La aportación al desarrollo del cálculo de probabilidades de la obra de P. R. de Montmort

UNIVERSIDAD DE SEVILLA Departamento de Economía Aplicada I La Aportación al Desarrollo del Cálculo de Probabilidades de la Obra de P. R. de Montmort Trabajo presentado por María Dolores Pérez Hidalgo para la obtención del grado de doctor, dirigido por los doctores D. Jesús Basulto Santos y D. Jose Antonio Camúñez Ruiz Sevilla, Octubre 2015 ¡Qué gloria sería para esta Ciencia si ella pudiese servir para regular los juicios y la conducta de los hombres en la práctica de las cosas de la vida! Montmort (1713), pág. iii Agradecimientos El trabajo que aquí se presenta no se hubiese podido llevar a cabo sin el apoyo, el asesoramiento y ayuda de numerosas personas a las que estaré siempre agradecida. En primer lugar a mis directores de tesis, Dr. D. Jesús Basulto Santos y Dr. D. José Antonio Camúñez Ruiz. Ellos me iniciaron en el estudio de la historia de la Estadística y de la Probabilidad. A ellos les debo mi ilusión al abordar estos temas. Mi gratitud por todos los consejos que de ellos he recibido, por el tiempo y el esfuerzo que me han dedicado, por su aliento y ánimo en los momentos de desánimo; por la calma y reflexión que me transmitieron en momentos de nerviosismo y por su constante y permanente confianza en mí. Quiero agradecer al Director de mi departamento, Economía Aplicada I, su implicación y facilitación del proceso final de este trabajo, así como a Lola Gómez y Rosa Mª Paz, personal administrativo de nuestro departamento, su aliento y ánimo constante y su eficiencia y rapidez en todos los trámites que involucran la finalización de este trabajo. A todos mis compañeros de departamento por su constante apoyo. A mis padres, por su esfuerzo y sacrificio para cursar mis estudios. Y por supuesto a Arturo, Ana y Arturo, por su infinita paciencia en momentos de tensión y su ánimo permanente. vii ÍNDICE CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN 1 1.1. Breves detalles bibliográficos 4 1.2. Sobre el contenido del Essay 13 1.3. Sobre el contenido de esta tesis 26 CAPÍTULO 2 SOBRE COMBINATORIA 29 2.1. El trabajo sobre combinatoria de Montmort 29 2.2. Sobre problemas de ocupación. La distribución Hipergeométrica Multivariante y la distribución Multinomial 37 2.3. Encontrar el número de posibilidades de lanzar s puntos con n dados, teniendo cada uno f caras 50 2.3.1. El procedimiento de James Bernoulli 52 2.3.2. Solución combinatoria de Montmort 53 2.3.3. Generalizaciones 58 CAPÍTULO 3 JUEGOS DE AZAR 65 3.1. Sobre Juegos de Cartas 66 3.1.1. Pharaon 67 3.1.2. La Bassette 81 3.1.3. Lansquenet 85 3.1.4. Juego del Her 94 3.1.4.1. Introducción 94 3.1.4.2. P. R Montmort, N. Bernoulli y el juego del Her 96 3.1.4.3. Resolución desde un punto de vista actual 106 3.1.4.4. La aportación de Trembley (1804) 115 3.1.5. Sobre el Juego del Tas 121 3.2. Sobre Juegos de Dados 125 3.2.1. Quinquenove 125 3.3. Otros Juegos y Problemas 129 María Dolores Pérez Hidalgo viii CAPÍTULO 4 EL PROBLEMA DE LOS PUNTOS PARA JUGADORES CON DESIGUAL DESTREZA 4.1. Solución para jugadores con igual destreza 145 4.2. Primera solución para jugadores con desigual destreza 149 4.3. Segunda solución para jugadores con desigual destreza 152 4.4. Conclusión 156 CAPÍTULO 5 LA RESOLUCIÓN DE MONTMORT (1708, 1713) DE LOS CINCO PROBLEMAS PROPUESTOS POR HUYGENS EN SU TRATADO (1657). LA DURACIÓN DEL JUEGO O LA RUINA DEL JUGADOR 5.1. Introducción 160 5.2. Primer Problema 161 5.3. Segundo Problema 165 5.4. Tercer Problema 169 5.5. Cuarto problema 172 5.6. Quinto Problema 176 5.7. Fórmula de Nicholas Bernoulli para la probabilidad de la ruina del Jugador 184 5.8. Una demostración de la fórmula de Bernoulli 188 5.9. Conclusión 193 CAPÍTULO 6 LE JEU DU TREIZE. LAS SOLUCIONES TEMPRANAS DE MONTMORT Y N. BERNOULLI AL PROBLEMA DE LAS COINCIDENCIAS 6.1. Introducción 196 6.2. La solución de Montmort 197 6.3. La aportación de Nicolás Bernoulli 212 6.4. Conclusiones 215 Índice ix CAPÍTULO 7 CORRESPONDENCIA CON LA FAMILIA BERNOULLI 217 CAPÍTULO 8 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN 237 BIBLIOGRAFÍA 241 María Dolores Pérez Hidalgo 6 Después de su matrimonio se instaló en su casa de campo y se dedicó a trabajar sobre teoría de la probabilidad. No se sabe por qué eligió este tópico, pues él no era jugador. Era conocido en Francia y también conocido por Montmort, que James Bernoulli había dejado, en el momento de su muerte, el manuscrito de un libro sobre el asunto. Posiblemente Montmort tuvo contacto con algún discípulo de James (aunque se piensa que no se encontró con Nicolás hasta 1709) y este contacto le inspiró a perseguir el nuevo cálculo con sus fascinantes líneas colaterales como la suma de series infinitas o la manipulación de coeficientes binomiales (a través de John Bernoulli, también se ofreció para imprimir Ars Conjectandi). La fama de Montmort se debe a su libro sobre la probabilidad Essay d’Analyse sur les Jeux d’Hazard. Como dice Todhunter (1865), “En 1708 publicó su trabajo sobre Probabilidad donde, con la valentía de Colón, reveló un nuevo mundo a los matemáticos”. La introducción de Montmort en estos estudios surge, según el propio Montmort nos indica, a partir de la petición de algunos amigos de determinar la ventaja del banquero en el juego del Pharaon. En el prefacio de su obra Montmort dice: Varios de mis amigos me habían incitado, hace ya tiempo, a ensayar si el Álgebra no podría lograr determinar cuál es la ventaja del Banquero en el Juego del Faraón. Nunca había osado acometer esa investigación, pues sabía que el número de todas las diversas ordenaciones posibles de cincuenta y dos cartas, sobrepasa más de cien mil millones de veces la de los granos de arena que pueda contener el globo terráqueo; y no me parecía posible discernir, en un número tan grande, las ordenaciones que son ventajosas al banquero, de aquellas que son contrarias o indiferentes. Estaría aún en este prejuicio si los éxitos Capítulo 1 Introducción 7 luminosos del señor Bernoulli no me hubiesen invitado hace algunos años a buscar los diferentes azares de este juego. Fui más dichoso de lo que no había osado esperar, pues además de la solución general de este problema, he descubierto los caminos que eran necesarios disponer para descubrir una infinidad de problemas similares, o incluso mucho más difíciles. He sabido que se puede ir más lejos en este terreno donde nadie aún había estado; me precio de que se podía hacer una amplía recolección de verdades igualmente curiosas y nuevas: esto me ha hecho pensar en trabajar a fondo sobre esta materia, y el deseo de compensar de alguna manera al Público de la pérdida que se daría si estuviese privado de la excelente Obra del señor Bernoulli. Diversas reflexiones me han confirmado en este designio. El resultado de sus investigaciones fue publicado en el Essay d’Analyse sur les Jeux de Hasard impreso en París en 1708. Ésta primera edición es, a menudo, pasada por alto debido a la mayor extensión de la segunda. El incremento se debe a la introducción de un tratado sobre combinaciones que ocupa las páginas 1-72, así como a la incorporación en ésta última de la correspondencia Montmort-Bernoulli, digna de comentario. Montmort colaboró con Nicolás Bernoulli en una correspondencia fascinante que comenzó en 1710. Discutieron muchos temas, en particular, preguntas sobre probabilidad que surgen del libro de Montmort. N. Bernoulli pasó tres meses en el castillo de Montmort él cual le había invitado y le escribe en una carta de fecha 5 de septiembre de 1712: La esperanza que usted me da, Señor, de darme el honor de que llegue a visitarme aquí, me da un placer infinito. Sin embargo, N. Bernoulli y Montmort no discuten sólo de probabilidad en sus cartas. María Dolores Pérez Hidalgo 8 En la primera edición sólo hay un autor, el propio Montmort; la segunda edición, mucho más completa, nos atrevemos a decir que es probablemente una mixtura de Montmort y Nicolás Bernoulli. El hecho de que él lo escribiera todo fue probablemente una suerte para el cálculo de probabilidades. Que un noble de Francia y ex-canónigo de Notre-Dame encuentre tales problemas dignos de especulación y no como un estudio impío, dará al asunto un cierto caché y un aire de respetabilidad que permitió a los simples mortales la libertad para trabajar sin ser molestados. Aun así, Montmort consideró necesario escribir una apología sobre el hecho de haber pasado su tiempo trabajando sobre tales problemas y escribió esto con una rectitud autoconsciente: Es particularmente en los Juegos de azar donde aparece la debilidad del espíritu humano y la inclinación que tiene hacia la superstición. Nada es tan ordinario como ver a unos Jugadores atribuir sus desgracias a las personas que se les acercan, y a otras circunstancias que no son menos indiferentes a los acontecimientos del juego. Hay quien se hace una ley de no tomar nada más que cartas con las que han ganado, con el pensamiento de que una cierta suerte les une. Otros, por el contrario, se atan a tomar cartas perdedoras, en la opinión de que habiendo perdido varias veces, es menos verosímil que ellas seguirán perdiendo, como si el pasado pudiese decidir algo sobre el futuro. Hay a quienes les afectan ciertos lugares y ciertos días. Se ve que rehúsan mezclar las cartas, si éstas no están en ciertas situaciones, y quienes creerían perder infaliblemente si estuviesen separadas de sus reglas. En fin, la mayoría busca sus ventajas donde no están, o bien las descuidan enteramente. Se puede decir más o menos lo mismo de la conducta de los hombres en todas las acciones de la vida donde el azar toma parte. Estos son los mismos prejuicios que los gobernantes, es la imaginación quien Capítulo 1 Introducción 9 regula sus pasos, y que hace nacer a ciegas sus temores y sus esperanzas. Con frecuencia ellos abandonan un pequeño bien seguro para correr temerariamente tras un bien mayor, cuya adquisición es casi imposible; y con frecuencia, por demasiada desconfianza, renuncian a esperanzas considerables y bien fundadas, por conservar un bien cuyo valor no tiene punto de proporción con lo que ellos rechazan. El principio general de estos prejuicios y de estos errores es que la mayoría de los hombres atribuyen la distribución de los bienes y de los males y, en general, de todos los acontecimientos de este mundo a una fuerza fatal que actúa sin orden y sin regla, creyendo ellos que vale tanto abandonarse a esta Divinidad ciega, que se llama Fortuna, como forzarla a serle favorable siguiendo reglas de prudencia que les aparecen imaginariamente. He creído pues que sería útil, no sólo a los jugadores sino a los hombres en general, saber que el azar tiene reglas que pueden ser conocidas y que por falta de conocimiento de estas reglas cometen todos los días errores, cuyos resultados molestos les deben ser imputados con más razón que al destino al que ellos acusan. Yo podría proporcionar en prueba una infinidad de ejemplos extraídos o bien de los juegos, o bien de otras cosas de la vida en las que el suceso depende del azar. Es cierto que los hombres no se sirven lo suficiente de su espíritu para obtener lo que ellos desean incluso con el mayor ardor, y que no hacen suficiente esfuerzo para quitarle a la Fortuna lo que ellos podrían sustraerle por las reglas de la prudencia. Se ha creído que esta materia podría excitar la curiosidad de aquellos que incluso tienen menos en conocimientos abstractos. Naturalmente, se desea ver claro en aquello que se hace, incluso independientemente cualquier interés. Se jugaría, sin duda, con más agrado si se pudiese saber en cada lanzamiento la esperanza que se tiene María Dolores Pérez Hidalgo 10 de ganar, o el riesgo que se corre de perder. Se estaría más tranquilo sobre los acontecimientos del juego, y se evitaría más el ridículo de aquellas quejas continuas en las que se dejara ir la mayor parte de los Jugadores en los desafíos más comunes, los que le son contrarios. Si el conocimiento exacto de los azares del juego no es suficiente a los jugadores para hacerles ganar, puede al menos servir para hacerle tomar el mejor partido en las cosas dudosas y, lo que es más importante, enseñarle hasta qué punto son desfavorables para ellos las condiciones de ciertos juegos que la avaricia y la ociosidad introducen todos los días. Para mí, creo que si los jugadores supieran que cuando ponen en el Faraón un luis de trece libras sobre una carta que ha pasado tres veces, no siendo el montón más que de doce cartas, es precisamente lo mismo que si diesen como pura donación una libra, un sol y ocho deniers al Banquero, entonces habría pocos que quisiesen tentar la Fortuna con tanta desventaja. La conducta de los hombres hace la mayor parte de las veces su buena o mala fortuna, y las personas prudentes dan al azar lo menos que ellos pueden. No podemos conocer el futuro, pero siempre podemos en los juegos de azar y, con frecuencia, en las otras cosas de la vida, conocer con exactitud ¡cuánto es más probable que cierta cosa ocurra de tal manera antes que todas las demás! Y puesto que están aquí los límites de nuestro conocimiento, debemos al menos tratar de alcanzarlos. Todo el mundo sabe que en el defecto de la evidencia, debemos buscar la verosimilitud para aproximarnos a la verdad; pero no se sabe bastante qué hay de las verosimilitudes más grandes y más pequeñas en el Capítulo 1 Introducción 11 infinito, y cuál es el espíritu para ser buen juez, debiéndose distinguir todos los grados, puesto que ocurre con frecuencia que una cosa siendo incierta, es sin embargo cierta e incluso igual de evidente que la que es verosímil, y más verosímil que todas las demás. Parece que no se está bastante advertido hasta el presente que se puede dar reglas infalibles para calcular las diferencias que se encuentra entre diversas posibilidades. Se ha querido dar en esta Obra un ensayo de este nuevo arte, aplicándolo a una materia en la que ha habido hasta aquí una gran oscuridad, y que no parecía susceptible de precisión alguna. Se ha creído que era más apropiada que cualquier otra, que sea valorada por el Análisis, este arte maravilloso que es la llave de todas las ciencias exactas, y que no está al parecer descuidado nada más que porque no se conoce lo suficiente el alcance de sus usos; pues en vez de que solo se haya empleado justo hasta aquí el Álgebra y el Análisis más que para descubrir unas razones constantes e inmutables entre números y figuras, se sirve aquí para descubrir razones de probabilidades entre cosas inciertas y que no tienen nada de fijo, lo que parece muy opuesto al espíritu de la Geometría 2 y, de alguna manera, fuera de sus reglas. Esto es lo que hace juiciosamente sentir al ilustre Autor de la Historia de la Academia en el pasaje que ya he citado. No es tan glorioso, dice él, al espíritu de la Geometría más que reinar en la Física, reinar en las cosas de moral, tan casuales, tan complicadas, tan cambiantes. Cuanto más una materia le es opuesta & rebelde, más honor tiene de domesticarla. En 1715 Montmort visitó Inglaterra, esta vez para ver el eclipse de sol en compañía del astrónomo real, Edmond Halley. En esta visita se encontró con 2 En la época, Geometría y Matemáticas eran términos sinónimos. María Dolores Pérez Hidalgo 12 numerosos matemáticos como Abraham De Moivre y Brook Taylor, de donde surgió una amistad, a pesar de la sospecha por parte de Montmort del plagio de A. De Moivre. A pesar del público desacuerdo científico, a raíz del ataque de De Moivre en su De Mensura Sortis (1711) sobre la primera edición del Essay de Montmort al que éste contesta en su segunda edición. Sin embargo, Montmort tiene más crédito al tratar de arreglar la disputa, al escribirle varias veces a De Moivre, no siempre con respuesta. Después de regresar a Francia en la primavera de 1715 Montmort realiza una correspondencia muy activa con Taylor, que abarca incluso temas personales. Además de los mencionados anteriormente, Montmort mantiene correspondencia con John Craig, Edmond Halley, Gottfried Leibniz, Jakob Hermann y Giovani Poleni. En un momento álgido de la controversia Newton- Leibniz, Montmort fue capaz de mantener una estrecha amistad con ambos. En 1715 durante su viaje a Inglaterra fue elegido para ser miembro de la Royal Society de Londres. Montmort fue elegido miembro asociado de la Academçia Real de las Ciencias en 1716. Montmort falleció de viruela en Paris en octubre 1719. La viruela era una enfermedad temida en ese momento con alrededor de 400.000 personas fallecidas cada año en Europa. Alrededor del 30 por ciento de los afectados por la enfermedad murieron por dicha causa. Hubo frecuentes epidemias, la que golpeó Paris en 1719 mató a 14.000 de los habitantes de la ciudad. Montmort estuvo infectado por la viruela durante la epidemia de 1719 y murió en octubre de ese año. Tenía 40 años de edad y estaba en el apogeo de su actividad científica. Después de su muerte, su papel en la suma de las series finitas, De Seriebus Infinitis Tractanus, fue publicado en las Philosophical Transactions de la Royal Society. Este trabajo tiene un apéndice de Taylor. Capítulo 1 Introducción 13 1.2. SOBRE EL CONTENIDO DEL ESSAY El Essay d’Analyse sur les Jeux de Hazard fue publicado en 1708. Consta de un prefacio y tres partes sobre juegos de cartas, juegos de dados, y algunos otros problemas sobre juegos de azar, respectivamente. Se publicó una segunda edición en 1713. Ninguna de las dos ediciones contiene el nombre del autor ni en la página del título ni a lo largo de la obra. En la segunda edición el nombre Montmort aparece sólo en la página 337 haciendo referencia a un lugar. y esperando mi regreso a Montmort he recuperado el tiempo libre y esa tranquilidad de espíritu que yo estimo tanto Los prefacios a las dos ediciones son idénticos, aparte de la sección en la que se mencionan brevemente los contenidos. Se añade un Avertissement (Advertencia) de 18 páginas a la segunda edición. Estas dos secciones, prefacio y advertencia, vienen numeradas con números romanos, el resto en arábigo. El libro de su segunda edición se divide en cinco partes. La primera sección es sobre combinatoria, cuyos teoremas se encontraban diseminados en la primera edición y sobre lo que Montmort añade algunos teoremas más; después siguen las tres partes también analizadas en la primera edición relativas a juegos de azar con añadidos y generalizaciones, así como la solución a los problemas propuestos por Huygens y, finalmente, como quinta parte, 132 páginas de cartas entre Montmort y John y Nicolás Bernoulli. Haremos en este apartado un resumen de los contenidos, así como una imagen de la portada del Essay. María Dolores Pérez Hidalgo 14 Capítulo 1 Introducción 15 Señalamos en negrita las novedades de la segunda edición frente a la primera. Tabla de contenidos del Essay de Montmort, 1708 y 1713 Páginas MATERIA EDICIÓN DE 1708 EDICIÓN DE 1713 Prefacio III -XXIV III - XXIV Advertencia XXV - XLII Sobre combinaciones 79 - 100 1 - 72 Sobre juegos de cartas 1- 108 73 - 172 Pharaon, lansquenet, treize, bassete, piquet, triomphe, l’ombre, brelan, imperiale, quinze Sobre juegos de dados 109 - 155 173 - 215 Quinquenove, hazard, esperance, trictrac, trois dez, passe-dix, raffle, jeu des noyaux Soluciones a problemas sobre juegos de azar 156 - 185 216 - 277 Los cinco problemas de Huygens, el problema de De Méré, el problema de los puntos, el problema de Robartes, la lotería de Lorraine, la duración del juego Cuatro problemas para resolver 185 - 189 278 - 282 Cartas entre Montmort, John Bernoulli y Nicolás Bernoulli 283 - 414 María Dolores Pérez Hidalgo 22 El trabajo pionero de Montmort tiene tres características: (1) introduce nuevos métodos de resolución de problemas asociados al nuevo cálculo; (2) da la solución de muchos nuevos problemas importantes; y (3) inspira a Nicolás Bernoulli y De Moivre a generalizar estos problemas y desarrollar nuevos métodos de demostración. Los trabajos pioneros son con frecuencia de difícil lectura 3 , y el Essay (1708) no es una excepción. En muchos lugares es también tedioso a causa de los numerosos detalles. Estas dificultades se han mejorado por la decisión de Montmort de presentar la solución de los problemas más interesantes con ejemplos numéricos solamente y establecer la solución general sin demostración. Sin embargo, en el Avertissement de la segunda edición, Montmort (1713) explica que ha omitido algunas demostraciones en la primera edición para estimular la curiosidad del lector –ciertamente tuvo éxito con respecto a Nicolás Bernoulli y De Moivre. Añade que ahora incluye estas demostraciones a requerimiento de algunos amigos. En el Avertissement Montmort menciona la publicación de De Mensura Sortis. En 1712, De Moivre publica su De Mensura Sortis y en el prólogo escribe Huygens fue el primero, que yo sepa, que presentó reglas para la solución de esta clase de problemas, que un autor francés ha ilustrado muy bien recientemente con varios ejemplos; pero este distinguido caballero no parece haber empleado la simplicidad y generalidad que la naturaleza de la materia demanda; por otra parte, como utiliza muchas incógnitas para representar las diversas condiciones de los jugadores, hace su cálculo muy complejo; y como supone que la destreza de los jugadores es siempre la misma, confina esta doctrina de juegos dentro de unos límites muy estrechos. 3 Un ejemplo, el pionero libro de Cardano sobre juego de dados, Liber de Ludo Aleae, 1564. Capítulo 1 Introducción 23 Desde luego es una gran injusticia caracterizar el trabajo de Montmort por el comentario de que ha ilustrado bien las reglas desarrolladas por Huygens con varios ejemplos. Montmort refuta enérgicamente la nota crítica de De Moivre, y en las páginas 361-370 en una carta dirigida a N. Bernoulli, da un “repaso” de De Mensura Sortis y hace una comparación con su propio trabajo. Así en la página 362 podemos leer: Problemas que son resueltos en mi libro. Finalmente encontrará que los temas que aborda, cuyos puntos no se encuentran resueltos, lo están en nuestras cartas; así que no creo que haya en este libro, de hecho, muy bueno, algo nuevo para usted O en su página 365: No sé por qué el autor se toma la molestia de resolver en las proposiciones 12, 13 y 14 de su libro los problemas propuestos por M Huygens que ya están resueltos por mí. Y en la página siguiente: No puedo adivinar por qué razón este autor me hace reproches, y que motivo le lleva a pronunciarse contra mí, no dejándome el mérito de haber aplicado a los ejemplos las pretendidas reglas de M. Huygens, yo llamo a juicio a los geómetras que leyeron esto de M. Huygens y M. Pascal, los autores no hablan sobre esta materia. Pág. 369 De Moivre lamentó sus comentarios, y en el prefacio de la Doctrine of Chances (1718) escribe, María Dolores Pérez Hidalgo 24 Sin embargo, si me hubiera permitido un poco más de tiempo para considerarlo, sin duda habría hecho justicia a su autor, por tener como propio que no sólo ha ilustrado el Método de Huygens con una gran variedad de bien elegidos ejemplos, sino que ha añadido diversas cosas curiosas de su propia invención… Desde la impresión de mi espécimen [De Mensura Sortis], el Sr. de Montmort, autor del Analyse des jeux de, ha publicado una segunda edición del libro en el que particularmente ha dado muchas pruebas de su singular genio y extraordinaria capacidad; testimonio que doy tanto a la verdad como a la amistad con la que él se complace en honrarme. La parte restante del Avertissement está ocupada por una historia de la teoría de la probabilidad antes de 1713. La segunda edición del Essay (1713) es una versión mejorada de la primera, no sólo porque Montmort recoge los teoremas combinatorios en una parte introductoria, sino también porque añade varias demostraciones y generalizaciones y su correspondencia con los Bernoulli. No hay duda que Montmort estaba muy influenciado por Nicolás Bernoulli y que las mejoras le deben mucho a la colaboración con él, por eso usábamos la expresión “mixtura” Montmort-Bernoulli para denominar la segunda edición. Al publicar su correspondencia con los Bernoulli, Montmort deja cuidadosamente las cuestiones de prioridad a sus lectores. La correspondencia con Nicolás Bernoulli es de una fascinante lectura. Toma la forma de una serie de intercambios amistosos de dificultad creciente. Habitualmente comienza con un problema planteado por Montmort, que ilustra la solución con un ejemplo numérico sin revelar su demostración; Nicolás Bernoulli entonces proporciona una demostración no sólo del problema original sino también de una generalización. Capítulo 1 Introducción 25 A juzgar por el número de referencias de los tres libros, el Essay nunca llegó a disfrutar de la popularidad del Ars Conjectandi de Bernoulli y Doctrine of Chances de De Moivre. Una razón de esto es que la segunda edición del Essay es una combinación de un libro de texto y una correspondencia científica sobre el desarrollo de los más importantes problemas del texto, por lo que es bastante difícil para el lector seguir la solución de un problema dado puesto que es tratado en muchos lugares diferentes del libro. Otra razón puede ser que Bernoulli y De Moivre fuesen renombrados matemáticos por lo que los demás matemáticos naturalmente mirasen a sus obras en lugar del trabajo de un “amateur”. La contribución de Montmort (y la de Nicolás Bernoulli) ha sido pasada por alto e infravalorada por muchos autores. Existen, sin embargo, dos planteamientos integrales del trabajo de Montmort, a saber, el de Todhunter (1865) (Capítulo 8) y el de Henny (1975). Concluimos este apartado utilizando las palabras finales del capítulo 8 de Todhunter: El trabajo de Montmort en su conjunto debe ser considerado altamente meritorio por su agudeza, perseverancia y energía. Es digno de elogio el coraje que le llevó a trabajar en un campo hasta ahora tan poco cultivado, y su ejemplo sirvió para estimular a su más distinguido sucesor. De Moivre fue sin duda muy superior en capacidad matemática a Montmort, y disfrutó de la gran ventaja de una larga vida, que se extiende a más del doble de la duración de la de su predecesor; por el contrario, las circunstancias afortunadas de la posición de Montmort le dieron ese abundante tiempo libre, que a De Moivre en el exilio y la pobreza le debe haber resultado imposible asegurar. María Dolores Pérez Hidalgo 26 1.3. SOBRE EL CONTENIDO DE ESTA TESIS En el siguiente capítulo analizamos el contenido combinatorio de la obra. A la manera de Pascal, Montmort nos introduce a su obra dando un importante repaso a la parte combinatoria conocida en su época. En el capítulo 3 analizamos los juegos de azar contenidos en el Essay. Comenzaremos con los juegos de cartas, centrándonos en los que creemos más interesantes, como Pharaon, Lansquenet y Her. Analizamos a continuación los juegos de dados, especialmente el Quinquenove, así como otros juegos que hemos considerado interesantes de destacar. En el capítulo 4 estudiamos la forma en que Montmort aborda la resolución del problema de los puntos (tópico de la literatura temprana del cálculo de probabilidades) aportando él mismo la resolución para el caso de jugadores con desigual destreza. En el siguiente capítulo, en el quinto, otro tópico de la literatura incipiente, los cinco problemas propuestos por Huygens al final de su tratado, y que fueron tomados como retos por el resto de investigadores contemporáneos. Son analizadas sus resoluciones por parte de Montmort. Merece la pena detenerse en el quinto, sobre la “ruina del jugador” o “la duración del juego”, que se ha repetido hasta nuestros días. “El problema de la coincidencias” aparece por primera vez propuesto en el juego del Treize, estudiado por Montmort en su obra. Dedicamos el capítulo 6 a este asunto que tanta literatura ha generado en la historia del nuevo cálculo. Como ya se ha comentado en varias ocasiones, la segunda edición del Essay contiene la correspondencia que Montmort mantuvo, tras la publicación de Capítulo 1 Introducción 27 la primera edición, con James Bernoulli y, sobre todo, con el sobrino de éste, Nicolás. Aunque muchos detalles de la correspondencia ya son analizados en capítulos previos de la tesis, en los respectivos contextos de los problemas estudiados en ellos, dejamos el capítulo 7 para un análisis de la correspondencia. En este capítulo, hemos seguido la secuencia cronológica de la misma por lo que no hemos dividido el capítulo en apartados, sino que carta a carta se han analizado los contenidos más destacables en cada una de ellas. Terminamos con un capítulo de conclusiones, futuras investigaciones y la bibliografía consultada. María Dolores Pérez Hidalgo 28 29 C APITULO 2 S OBRE C OMBINATORIA 2.1. El trabajo sobre combinatoria de Montmort 2.2. Sobre problemas de ocupación. La distribución Hipergeométrica Multivariante y la distribución Multinomial 2.3. Encontrar el número de posibilidades de lanzar s puntos con n dados, teniendo cada uno f caras 2.3.1. El procedimiento de James Bernoulli 2.3.2. Solución combinatoria de Montmort 2.3.3. Generalizaciones 2.1. EL TRABAJO SOBRE COMBINATORIA DE MONTMORT La primera parte del texto de Montmort está dedicada a la combinatoria, a imagen de cómo Pascal presentó su trabajo sobre cálculos de azar. Así, comienza presentando su propia tabla que le valdrá como instrumento de cálculo a lo largo de casi toda la obra: María Dolores Pérez Hidalgo 30 Tabla del señor Pascal para las combinaciones 1. 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 11 . 12 . 13 1 . 3 . 6 . 10 . 15 . 21 . 28 . 36 . 45 . 55 . 66 . 78 1 . 4 . 10 . 20 . 35 . 56 . 84 . 120 . 165 . 220 . 286 1 . 5 . 15 . 35 . 70 . 126 . 210 . 330 . 495 . 715 1 . 6 . 21 . 56 . 126 . 252 . 462 . 792 . 1287 1 . 7 . 28 . 84 . 210 . 462 . 924 . 1716 1 . 8 . 36 . 120 . 330 . 792 . 1716 1 . 9 . 45 . 165 . 495 . 1287 1 . 10 . 55 . 220 . 715 1 . 11 . 66 . 286 1 . 12 . 78 1 . 13 1 Tabla 2.1 A la primera fila le llama “unidades”, a la segunda “números naturales”, a la tercera “número triangulares”, a la cuarta “número piramidales”, a la quinta “triángulo-piramidales”… a causa de ciertas relaciones que ellos tienen con los triángulos, con las pirámides, & así, tienen propiedades muy singulares que los señores Fermat, Descartes, Pascal, y otros grandes Geómetras franceses y extranjeros han investigado con gran esmero. Y añade: Una de las principales, y de la cual se trata aquí, es que por su medio se puede encontrar de una vez en cuántas maneras diferentes un número cualquiera de fichas o de cartas o de cualquier otra cosa, puede ser combinado, es decir, tomados o bien de uno en uno, o dos a dos, o tres a tres, o cuatro a cuatro, y así, en un mayor número de fichas y de cartas. O sea, identifica ya los números del triángulo con los números combinatorios y le sirve para introducirse en el cálculo de las combinaciones a través del propio triángulo aritmético, convirtiendo dicho cálculo en uno de sus objetivos fundamentales en esta parte del trabajo. Montmort es consciente de que Capítulo 2 Sobre Combinatoria 31 con la combinatoria va a poder resolver los problemas sobre juegos que quiere abordar en su Tratado. La idea no era nueva, ya hemos citado a Pascal que 50 años antes escribe un tratado sobre el triángulo aritmético con la demostración de una serie de proposiciones que sirven para relacionar los números del triángulo y, con la identificación de dichos números, con los números figurados y los números combinatorios. El propio Pascal usa el triángulo para resolver uno de los problemas más famosos de la época sobre cálculo de probabilidades: el problema de los puntos. Estos trabajos de Pascal fueron publicados a título póstumo en 1665. En la imagen que sigue mostramos un fragmento del inicio de esta parte del tratado. Hemos elaborado esa imagen imitando la edición de 1713, pero traducida al castellano: T R A T A D O DE LAS COMBINACIONES. PRIMERA PARTE. María Dolores Pérez Hidalgo 38 número de formas en las que n elementos pueden ser seleccionados sin reemplazamiento entre los N elementos tal que i n elementos son seleccionados de la clase i-ésima, 1 ... f n n n = + + , es igual a 1 1 ... f f N N n n             (1) Este es el número de posibilidades para conseguir un resultado específico. Dividiendo por el número total de posibilidades N n       resulta lo que hoy es llamada distribución hipergeométrica multivariante. Pues bien, Montmort presenta (1) como uno de los muchos resultados que se desprenden del Triángulo Aritmético. Él presenta el problema de esta forma: PROPOSICIÓN VII. PEDRO, teniendo entre sus manos un número cualquiera de fichas de todos los colores, blancas, negras, rojas, verdes, & así, apuesta contra Pablo, que sacando al azar un número cualquiera determinado de fichas, él sacará tantas blancas, tantas negras, tantas rojas, tantas verdes, & así. Se pide cuántos azares tiene Pedro para hacer lo que se propone. La demostración, muy al estilo de la época, aunque retórica es sencilla a partir de razonamientos condicionados. Un fragmento de la misma es como sigue: 20. E S necesario multiplicar el número que expresa de cuántas maneras las fichas blancas que Pedro debe tomar al azar, pueden ser tomadas de forma diferente en el número de fichas blancas propuestas, por el número que expresa de cuántas maneras las fichas negras que Pedro debe tomar al azar, pueden ser tomadas de forma diferente en el número entero de fichas negras propuestas; multiplicar a continuación este producto por el número que expresa de cuántas maneras diferentes las fichas rojas que Pedro se propone Capítulo 2 Sobre Combinatoria 39 extraer, pueden ser tomadas en las fichas rojas propuestas, multiplicar de nuevo ese producto por el número que expresa de cuántas maneras diferentes las fichas verdes que se piden pueden ser tomadas entre todas las verdes, & así, sucesivamente, se tendrá el número buscado. Esta solución lleva consigo la demostración, y no tiene dificultad alguna; pero como este Teorema será un resultado de un gran uso, voy a hacer aquí la aplicación sobre un ejemplo. E JEMPLO. Pedro tiene cincuenta y dos fichas entre sus manos, a saber, trece blancas, trece negras, trece rojas, trece azules, o, lo que viene a ser lo mismo, un juego entero compuesto de cincuenta y dos cartas. Se pide de cuántas maneras diferentes él puede sacar cuatro cartas al azar de estas cincuenta y dos, sacando un rombo, un corazón, una pica y un trébol. 21. SI no tiene más que trece rombos y trece corazones, tendría ciento sesenta y nueve maneras diferentes de tomar en esas veintiséis cartas dos cartas de esas dos clases; pues cada uno de los trece rombos podría ser tomado con el as de corazones, lo que hace trece, o con el dos de corazones, lo que hace aún trece, y así, sucesivamente, cada uno de los trece rombos podría ser tomado con cada uno de los trece corazones, lo que hace 13 13 × , es decir, ciento sesenta y nueve maneras de tomar un rombo y un corazón en veintiséis cartas. Ahora si a estos trece rombos y a estos trece corazones se añaden trece tréboles, sería necesario para tener todas las maneras posibles de tomar un rombo, un corazón y un trébol en estas treinta y nueve cartas, multiplicar por 13 las ciento sesenta y nueve maneras precedentes, pues cada una de estas ciento sesenta y nueve maneras diferentes se podrían encontrar con el as de trébol, lo que hace 13 13 1 × × , y con el dos, lo que hace 13 13 2 × × , es decir, trescientos treinta y ocho maneras diferentes, y con el tres, lo que hace quinientas siete maneras diferentes, y así sucesivamente, cada una de los ciento sesenta y nueve formas diferentes se podría encontrar con cada uno de los trece trébol, lo que hace 13 13 13 × × , es decir, dos María Dolores Pérez Hidalgo 40 mil ciento noventa y siete maneras diferentes de tomar un rombo, un corazón y un trébol en estas treinta y nueve cartas. Se observará de igual forma que la cuarta potencia de trece expresará de cuántas diferentes cuatro cartas de diferentes clases, a saber, un rombo, un corazón, un pica y un trébol, pueden ser tomadas en las cincuenta y dos cartas: Éste sería el mismo razonamiento en todas las demás clases. Por tanto, & así. Consideramos a continuación n pruebas independientes con f resultados igualmente probables en cada prueba, por ejemplo, n lanzamientos de un dado que tiene f caras. El número de maneras de conseguir i n resultados de un tipo determinado, por ejemplo, i n lanzamientos con la cara i, 1 ... f n n n + + = , es igual a 1 1 1 1 2 1 ... ! ... ! ! f f f n n n n n n n n n n n n − − − − −     =           ⋯ . (2) Dividiendo por n f , conseguimos la distribución multinomial, la cual es presentada también por nuestro autor, de la siguiente forma: P ROPOSICIÓN XII. Arrojando al azar un número cualquiera p de dados donde el número de caras f sea también cualquiera; encontrar cuántos lanzamientos hay para llevar un cierto número fijo y determinado q, de ases. Montmort hace tres interpretaciones del coeficiente multinomial (2), a saber, como el número de combinaciones, como el número de permutaciones, y como un coeficiente en el desarrollo multinomial. En su análisis Montmort usa tres ejemplos: Capítulo 2 Sobre Combinatoria 41 1. Extraer sin reemplazamiento desde una baraja (muestreo aleatorio en población finita), que es el fragmento presentado arriba. 2. Lanzamiento de un número de dados cada uno teniendo f caras (muestreo aleatorio en población infinita o muestreo con reemplazamiento en una población finita). 3. Los coeficientes en el desarrollo multinomial ( ) 1 n f a a + +… . Hoy han sido estudiados muchos más ejemplos de este tipo; por ejemplo, el muestreo de poblaciones clasificadas en diversas categorías; la distribución del número de accidentes entre los días de la semana, y la distribución de un número de partículas en compartimentos, habitualmente discutido en términos de una distribución aleatoria de bolas en celdas, por tal razón estos problemas son llamados problemas de ocupación. Consideremos una tabla bidimensional cuyos elementos los denotamos por ( ) ij a ; supongamos, por ejemplo, una baraja, donde 1,..., i f = denota el número que corresponde a la cara y 1,..., j s = , el número del palo, por lo que el número total de elementos es igual a N f s = ⋅ . En una baraja de 52 naipes, por ejemplo, tendríamos 1 13 ,..., i = , (donde 1 es el as, 2 es el dos,…, 11 es la sota, 12 el caballo, y 13 el rey) y 1 2 3 4 , , , j = , siendo entonces 4 s = , representando j cada uno de los cuatro palos de la baraja. Supongamos que se extraen n elementos sin reemplazamiento de un total de N elementos y que contamos el número de elementos en la muestra para cada valor de la cara, sin tener en cuenta el número del palo. Esto lleva a la distribución de ocupación, 1 2 , ,..., f n n n , donde i n denota el número de elementos María Dolores Pérez Hidalgo 42 cuya cara es igual a i, 1 ... f n n n + + = , 0,1,..., i n s = , y 0 i n n ≤ ≤ . Según (1), la correspondiente probabilidad de ocurrencia de ese resultado es 1 ... f s s s f n n n   ⋅                 . (3) Para encontrar la distribución de las i n según el tamaño, tenemos que contar el número de los valores de las caras para los que los números de ocupación son igual 0,1,..., s , respectivamente. Supongamos que la distribución resultante es Valor de i n 0 k 1 k … c k Número de valores de las caras 0 r 1 r … c r donde 0 1 0 ... , c k k k s ≤ < < < ≤ 0 c j r f = ∑ , y 0 c j j k r n = ∑ . Para explicar esta tabla hacemos uso del siguiente ejemplo. Supongamos que extraemos 10 naipes al azar y que los resultados han sido: 2 ases, 3 sotas, 3 caballos y 2 reyes. 0 k sirve para indicar las caras que no han aparecido en esta extracción. En este caso, 0 0 k = . Mientras que 0 r cuenta el número de caras que no han aparecido. Igualmente, 1 k lo empleamos para indicar que las caras que han aparecido una sola vez, mientras que 1 r es el número de caras distintas que han aparecido una sola vez, y así. La tabla anterior, para este caso particular, quedaría de esta forma. Valor de i n 0 0 k = 1 1 k = 2 2 k = 3 3 k = Número de valores de las caras 0 9 r = 1 0 r = 2 2 r = 3 2 r = En el caso de la baraja, esta distribución da el número de valores de las caras que faltan en una determinada extracción, el número de valores no Capítulo 2 Sobre Combinatoria 43 repetidos, el número de dobles, etc. En el ejemplo de las bolas, la distribución da el número de celdas vacías, el número de celdas ocupadas por una, doblemente ocupadas, etc. Con esta notación (3) puede escribirse como 1 1 ... c r r c s s k k             . Sin embargo, esta expresión no proporciona el número de posibilidades de conseguir la distribución en cuestión dado que no hemos tenido en cuenta el hecho de que no se consideran los valores de las caras. Estamos interesados sólo en el número de triples, por ejemplo, que ocurren en la muestra, no en sus valores de las caras. El número de posibilidades de arriba debe por tanto multiplicarse por el número de formas en que el número dado de valores de las caras puede ser elegido entre los f valores de las caras; esto es, por 1 11 1 2 1 ... ! ... ! ! c c c f r rf f r f rr r r r − − − −−     =     ⋅⋅⋅      , por lo que el resultado final se convierte en 1 11 ! ... ! ! c r r c c s s f kk r r       ⋅⋅⋅     . (4) Este es el resultado dado por Montmort en 1708, Proposición 14, sin demostración, y en 1713, Proposición 8, que presentamos a continuación, con una demostración similar a la que hemos dado. 22. L LAMARÉ cartas simples a las cartas de diferentes tipos; carta doble, dos cartas de la misma clase; por ejemplo, dos Reyes, dos Damas, dos Sotas, & así, carta triple, tres cartas de una misma categoría; por ejemplo, tres ases, tres sotas, tres diez, & así, carta María Dolores Pérez Hidalgo 44 cuádruple, cuatro cartas de una misma especie, carta quíntuplo, cinco cartas de una misma clase, & así. P ROPOSICIÓN VIII. Sea un número de cartas cualquiera compuesto de un número igual de ases, de dos, de tres, de cuatro, & así. Se pide cuántos azares hay para que Pedro sacando entre esas cartas un cierto número de cartas a voluntad, extraiga tantas de simples, tantas de dobles, tantas de triples, tantas de cuádruples, tantas de quíntuplos, & así. Consideremos a continuación el lanzamiento de n dados, cada uno con f caras numeradas desde 1 hasta f. Esta configuración es análoga a la anterior, con la modificación de que s palos han sido reemplazados por n dados en los que el resultado de cada dado es independiente de los resultados de los otros dados, correspondiente a la extracción con reemplazamiento en lugar de sin reemplazamiento. Sin tener en cuenta la numeración de los dados, la distribución de los n resultados según los valores de las caras es dada por ( ) 1 ,..., f n n , 0,1,..., i n n = , y 1 ... f n n n + + = . La correspondiente distribución de probabilidad se obtiene dividiendo el coeficiente multinomial (2) por el número total de resultados n f . Señalemos que para extracciones sin reemplazamiento, consideramos fs n       muestras igualmente probables, mientras que para extracciones con reemplazamiento tenemos n f muestras igualmente probables. Como antes, ahora nos olvidamos de los números de las caras y consideramos la distribución de las i n según el tamaño. Usando la misma notación, excepto que c k n ≤ en lugar de c k s ≤ , el número de posibilidades para la distribución de ocupación dada se convierte en Capítulo 2 Sobre Combinatoria 45 ( ) ( ) 1 1 1 ! ! ! ! ! ! c r r c c n f r r k k ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ (5) donde el coeficiente multinomial (2) se ha escrito en términos de los k y los r y después multiplicado por el número de maneras en las que el número dado de valores de las caras puede elegirse entre los f valores de las caras. Este es el resultado dado por Montmort en 1708, Proposición 30, sin demostración, y con un error de imprenta en la fórmula, pero con la fórmula correcta usada en los ejemplos numéricos, y en 1713, Proposición 15, con la demostración como se da arriba. P ROPOSICIÓN XV. Sea un número cualquiera p de dados, cuyo número de caras f sea también cualquiera. Se pide cuántos azares hay para que se encuentren tanto de simples, tantos de dobles, tantos de triples, & así, indeterminados. Llamo dados simples, los dados de diferente clase, o que marcan diferentes puntos, dado doble, dos dados de la misma clase, o que marcan los mismos puntos; por ejemplo, doble dos o ternas, & así, dado triple, tres dados de la misma clase, por ejemplo, tres ases o tres dos, & así, y así, dado cuádruplo, quíntuplo, séxtuplo, & así, cuatro, o cinco, o seis dados de la misma clase. S OLUCIÓN. 42. C OMO en este supuesto puede haber varios múltiplos igualmente elevados; es decir, que varias de entre las letras b, c, d, e, & así del Problema precedente que expresan los números o los exponentes de los múltiplos, pueden aquí ser iguales. Sea llamado B el número que expresa cuántos múltiplos hay del primer exponente dado, C el número que expresa cuántos múltiplos hay del segundo exponente, D el número que expresa cuántos hay del tercero, & así. La fórmula que da el número buscado es & así p p b p b c p b c d f f B f B C b c d e B C D − − − − − − − − − × × × × × × × × □ □ □ □ □ □ □ & así f B C D E − − − ×□ . María Dolores Pérez Hidalgo 46 Por ejemplo, si lanzando nueve dados al azar se pide cuántas maneras diferentes hay de sacar un cuádruplo, dos dobles y un simple, se tendrá 4 b = , 2 c = , d = también 2, porque se pide dos dobles, y 1 e = , se tendrá también 1 B = , 2 C = , y 1 D = , y, por tanto, la fórmula dará 9 9 4 9 4 2 9 4 2 2 6 6 1 6 1 2 4 2 2 1 1 2 1 − − − − − − − − − × × × × × × = □ □ □ □ □ □ □ 126 10 3 1 6 10 3 680400 × × × × × × = . Es necesario observar que la primera parte de la fórmula debe tener tantos términos como múltiplos hay, y la segunda tantos términos como diferentes múltiplos. Esta fórmula puede aún recibir otra forma & así & así f f B f B C f B C D B C D D q k l m n − − − − − − × × × × ×× × × × □ □ □ □ . Entiendo por q el número de todas las ordenaciones posibles de p, y por k, l, m, n, & así, los números que expresan todas las diversas ordenaciones posibles, de b, c, d, e, & así. DEMOSTRACIÓN. LA primera parte de la formula está demostrada en la Proposición precedente. La demostración de la segunda es casi la misma, pues se ve bien que el número de casos determinados de la Proposición precedente debe ser multiplicado por el número de las diferentes combinaciones que los múltiplos pueden recibir en el número de caras f. Ahora bien, cuando ciertas caras se emplean por un número B de múltiplos, no queda más que f B − caras; y cuando las otras caras son empleadas por los C, no queda más que f B C − − de las caras, y así el resto. Por tanto, & así. COROLARIO. 43. S E sigue de esta Proposición y del art. 29, que en un polinomio & así q A B C D E F = + + + + + + , elevado al exponente p, la fórmula de arriba dará la suma de los coeficientes de todos los términos donde los exponentes de una o varias letras indeterminadamente serán elevadas a la Capítulo 2 Sobre Combinatoria 47 primera, o segunda, o tercera potencia, & así. Si se pide, por ejemplo, la suma de los coeficientes de todos los términos donde habrá una letra cualquiera a la cuarta potencia, dos cualquiera a la segunda, y por fin, cualquiera a la primera, se encontrará por la fórmula de arriba la suma buscada 680400 = . Para el uso de dados de los jugadores, Montmort da una tabla de los valores de (2) y (5) para 6 f = , y 2,...,9 n = , ver 1708, pp. 138-140, y 1713, pp. 200-202. Montmort vuelve a una discusión de (5) y sus aplicaciones (1713, pp. 353-355) y reclama prioridad para esta fórmula. números a conseguir 8 o 48 9 o 47 10 o 46 11 o 45 12 o 44 13 o 43 1 8 36 120 330 792 maneras de conseguirlos 14 o 42 15 o 41 16 o 40 17 o 39 18 o 38 19 o 37 1716 3432 6435 11440 19448 31824 8 1 − × 8 8 − × 8 36 − × 8 120 − × 8 330 − × 8 792 − × 20 o 36 21 o 35 22 o 34 23 o 33 24 o 32 25 o 31 50388 77520 116280 170544 245157 346104 8 1716 28 1 − × + × 8 3432 28 8 − × + × 8 6435 28 36 − × + × 8 11440 28 120 − × + × 8 19448 28 330 − × + × 8 31824 28 792 − × + × 26 o 30 27 o 29 28 480700 657800 888030 8 50388 28 1716 56 1 − × + × − × 8 77520 28 3432 56 8 − × + × − × 8 116280 28 6435 56 36 − × + × − × María Dolores Pérez Hidalgo 54 En la Tabla 2.4 damos una versión abreviada de la tabla de Montmort para 3 n = . La tabla muestra la formación de cada suma listando los valores de los tres de x incrementando el orden de magnitud. Para contar el número de posibilidades es necesario tener en cuenta el número de permutaciones, 1, 3, y 6, respectivamente. Tabla 2.4. Para valores dados de 1 2 3 s x x x = + + , la tabla contiene las composiciones ( ) 3 2 1 , , x x x en orden creciente de magnitud, y el correspondiente número de posibilidades s = 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 111 112 113 114 115 116 117 118 119 11,10 122 123 124 125 126 127 128 129 133 134 135 136 137 138 144 145 146 147 155 156 222 223 224 225 226 227 228 233 234 235 236 237 244 245 246 255 333 334 335 336 344 345 444 0 N 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 1 N 3 9 18 30 45 63 2 N 3 9 N 1 3 6 10 12 12 10 6 3 1 Fuente: Montmort (1713, p. 48) La fila denotada por 0 N muestra el número de posibilidades cuando no hay restricciones sobre las x, por lo que para cada s, el mayor valor de cualquier x iguala a 2 s − . Para cada s, el valor de 0 N se obtiene sumando el número de permutaciones de las composiciones listadas en la correspondiente columna. Capítulo 2 Sobre Combinatoria 55 La fila denotada por N se obtiene excluyendo todas las composiciones que contengan uno o más números mayores que 4, como se indica por los dominios triangulares por encima de la línea escalonada. Esto significa que todos los x se restringen a los números 1,…, 4, y N entonces da el número de posibilidades de lanzar s puntos con 3 dados de cuatro caras. El problema es probar que N puede también obtenerse de 0 N aplicando las correcciones 1 N y 2 N , de acuerdo con (1), que demuestra que ( ) 1 2 1 5 9 ;3,4 3 3 2 2 2 o s s s N s N N N − − −       = − + = − +             (3) Vemos que 1 N se obtiene simplemente multiplicando 0 N por 3 y moviendo cuatro lugares a la derecha, y que, similarmente, 2 N es obtenido multiplicando 0 N por 3 y moviendo ocho lugares a la derecha. Restringimos primero una y solo una de las x, por ejemplo 1 x , a tomar sobre los valores de 1 a 4. Considerando 12 s = , la composición que será excluida se muestra en la Tabla 2.5. Tabla 2.5. La composición ( ) 3 2 , x x dando 1 2 3 12 s x x x = + + = para 1 x mayor que 4 1 x 10 9 8 7 6 5 1 s x − 2 3 4 5 6 7 11 12 13 14 15 16 22 23 24 25 33 34 Número de posibilidades 1 2 3 4 5 6 María Dolores Pérez Hidalgo 56 Montmort no incluye una tabla exactamente como ésta, sino que la tabla 2.5 es realmente sólo parte de su tabla para 2 n = . Se verá que el correspondiente número de posibilidades es igual a los números figurados de orden 2, siendo su suma 21. Este hecho es explicado por Montmort de la siguiente forma: Obtener 12 puntos con 1 4 x > y ( ) 2 3 , x x libre de restricciones es obviamente lo mismo que obtener 12 4 8 − = puntos sin ningunas restricciones para las x. Sin embargo, se sigue de (2) (ver también Tabla 2.4) para 8 s = , que el correspondiente número de posibilidades es igual 21, a saber, los números figurados de orden 3, que, como se muestra en la Tabla 2.5, se obtiene como la suma de los números figurados de orden 2. Dado que un dado se puede seleccionar entre los tres de tres maneras, tenemos que deducir 3 21 63 × = si sólo uno de los x está restringido a la vez (ver 1 N en Tabla 2.4 para 12 s = ). Comparando las Tablas 2.4 y 2.5, vemos que hemos restado demasiado; en lugar de 3 21 × casos, habría que deducir 3 18 × casos. La diferencia se debe a las composiciones que contienen dos valores x mayores que 4, a saber, 156, 165, y 244. Para corregir este error hemos excluido el número de casos correspondientes a 165, que están incluidos en la Tabla 2.5 pero no en la Tabla 2.4, por lo que los 21 se reducirán a 19, y además debemos contar 255 sólo una vez en lugar de dos, por lo que 19 se reduce a 18. Por lo tanto, tenemos que añadir ( ) 3 1 2 9 + = , como se muestra en la Tabla 2.4 como 2 N para 12 s = . Montmort explica este resultado como sigue: Obtener 12 puntos con 1 4 x > , 2 4 x > , y ninguna restricción sobre 3 x es lo mismo que obtener 12 2 4 4 − × = puntos sin ninguna restricción sobre las x. A partir de (2) (ver también Tabla 2.4 para 4 s = ) tenemos que el correspondiente número de posibilidades es igual a 3. Ya que las dos x bajo restricción pueden elegirse de tres maneras, tenemos que multiplicar por 3. Capítulo 2 Sobre Combinatoria 57 La demostración dada por Montmort sigue el razonamiento del ejemplo. Montmort (1713, p. 50) escribe, …pues siendo expresados los dados por las letras A, B, C, D, E & así, y que uno de estos dados, por ejemplo A, sea determinado por llevar un punto más alto que el número de caras f, es evidente que este dado A, con los demás dados B, C, D, & así, debe hacer otro f, puntos que están ciertamente comprendidos en una de las caras del dado A, incluso p f − puntos: pues es necesario tomar el número de casos que expresa de cuántas maneras se puede conseguir p f − puntos, y multiplicarlo por el número de dados; puesto que éste puede ser o el dado A, o el dado B, o el dado C, 6 así, que sea determinado en llevar un punto más alto que el número de caras. Ahora bien, puede ocurrir que se haya suprimido demasiado, a saber, en el caso donde dos dados son determinados por llevar cada uno un punto mayor que el número de caras; y entonces será necesario sumar el número de casos para conseguir 2 p f − puntos multiplicado por 1 1 2 d d ⋅ − ⋅ , Montmort continúa esta vía de razonamiento hasta 4 s f − puntos. Vemos que Montmort usa lo que hoy es llamado método de inclusión y exclusión en su demostración. Él no señala este método en su razonamiento, pero lo emplea como una cuestión de rutina; también lo usa en su demostración del número de coincidencias. Ni Montmort ni De Moivre discuten las propiedades de la función ( ) ; , N s n f aparte de señalar su simetría alrededor de ( ) 1 2 s n f = + . Montmort María Dolores Pérez Hidalgo 58 da una tabla completa de los términos de ( ) ;8,6 N s , de la que se puede ver la construcción. La distribución es, obviamente, una combinación lineal de ( ) s n f −   polinomios de grado 1 n − , añadiéndose un nuevo término cada vez que s se incrementa por f. Como se ha mencionado antes, Montmort tabula la distribución para 2,3,...,9 n = y 6 f = . No hace comentarios sobre la forma de la distribución para valores crecientes de n. 2.3.3. GENERALIZACIONES Montmort (1713, pp. 52-55) deriva un algoritmo para encontrar el número de posibilidades de lanzar s puntos con n dados, teniendo diferente número de caras, 1 ,..., n f f . Esta es una extensión del algoritmo dado en las Tablas 2.2 y 2.3. Montmort y Bernoulli consideran otras dos interpretaciones (aplicaciones) del algoritmo, a saber, encontrar el número de combinaciones con repeticiones restringidas y el número de divisores de un entero dado. Sean 1 ,..., n a a que denotan los n elementos diferentes o los n diferentes números primos mayores que 1. El número de m-combinaciones con repetición cuando i a se restringe a que ocurra a los sumo i f veces, puede encontrarse por el algoritmo anterior. Bernoulli (1713, p. 123) da un ejemplo numérico similar al dado por Montmort. Sea el número dado 1 1 ... n f f n N a a = . Todos los divisores de N pueden escribirse en la misma forma que N con i f sustituido por i d , siendo 0 i i d f ≤ ≤ y Capítulo 2 Sobre Combinatoria 59 i d d = ∑ . El algoritmo entonces da el número de divisores de dimensión d s n = − incluyendo el divisor 1 correspondiente a 0 d = . Bernoulli (1713, pp. 59-62) también deriva un algoritmo para encontrar el número de m-combinaciones con repeticiones restringidas. Finalmente, Montmort (1713, pp. 59-62) considera el difícil problema de encontrar el número de posibilidades de conseguir la suma s extrayendo n cartas sin reemplazamiento de una baraja de k palos con f cartas numeradas de 1 a f en cada palo. Primero da un algoritmo para resolver este problema con un único palo, y entonces muestra con un ejemplo cómo usar esto para tres palos de 10 cartas cada uno. No da una fórmula para la solución análoga a (1). Bernoulli (1713, pp. 169-174) da un ejemplo similar. Montmort otorga naturalmente una gran importancia a su investigación en general, y especialmente a todo lo que sea nuevo en la segunda edición. Dice, en su página 65, “Este problema es, como vemos, toda la extensión y la posible universalidad, y parece que no deja nada que desear sobre este asunto, que todavía no ha sido tratado por persona, que yo sepa: Tengo la demostración en el Journal des Sçavans en el mes de marzo de 1711”. Mostramos a continuación la demostración que presenta nuestro autor en consonancia con lo comentado anteriormente. SOLUCIÓN. 44. SEA 1 p d q − + = , y sea designado por esta marca arbitraria q el número figurado de orden d, que corresponde a q, es decir, el primer número de orden d, si 1 q = ; y el segundo de orden d, si 2 q = María Dolores Pérez Hidalgo 60 ; y el tercero, si 3 q = , & así, la fórmula q d q f − × − + 1 1 2 1 2 3 2 3 4 1 2 1 2 3 1 2 3 4 d d d d d d d d d q f q f q f ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − + × − − × − + × − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ & así, expresará el número buscado. Para hacer entender mejor esta fórmula, voy a hacer la aplicación, dando en la Tabla siguiente el número de azares que hay para conseguir cada punto posible con 8 dados. números a conseguir 8 o 48 9 o 47 10 o 46 11 o 45 12 o 44 13 o 43 1 8 36 120 330 792 maneras de conseguirlos 14 o 42 15 o 41 16 o 40 17 o 39 18 o 38 19 o 37 1716 3432 6435 11440 19448 31824 8 1 − × 8 8 − × 8 36 − × 8 120 − × 8 330 − × 8 792 − × 20 o 36 21 o 35 22 o 34 23 o 33 24 o 32 25 o 31 50388 77520 116280 170544 245157 346104 8 1716 28 1 − × + × 8 3432 28 8 − × + × 8 6435 28 36 − × + × 8 11440 28 120 − × + × 8 19448 28 330 − × + × 8 31824 28 792 − × + × 26 o 30 27 o 29 28 480700 657800 888030 8 50388 28 1716 56 1 − × + × − × 8 77520 28 3432 56 8 − × + × − × 8 116280 28 6435 56 36 − × + × − × Capítulo 2 Sobre Combinatoria 61 Se ve por esta Tabla que hay, por ejemplo, 1708 maneras de conseguir 14 o 42 con 8 dados, y 133288 maneras de conseguir 27 o 29, & así. DEMOSTRACIÓN. CUANDO el número de caras de cada dado no es menor que 1 p d − + , los números figurados de orden d, Tabla primera, art. 1, dan siempre el número de azares diferentes para conseguir tal o tal punto. Para asegurarse es necesario considerar la relación que se encuentra entre la manera en que se forman los diferentes puntos con uno, dos, tres dados, & así, y la manera en que se forman los números de primer, segundo, tercero, & así, rango horizontal, art. 1, se encontrará fácilmente esta relación en las Tablas siguientes. Primera Tabla para conseguir con un dado, o 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 1 2 3 4 5 6 formación de los puntos 1 1 1 1 1 1 manera de conseguir estos puntos Segunda Tabla para conseguir con dos dados, o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 o 11 o 12 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1,10 1,11 22 23 24 25 26 27 28 29 2,10 33 34 35 36 37 38 39 44 45 46 47 48 Formación de los puntos 55 56 57 66 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Maneras de conseguir estos puntos María Dolores Pérez Hidalgo 62 Tercera Tabla para conseguir con tres dados o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 o 11 o 12 o 13 o 14 111 112 113 114 115 116 117 118 119 11,10 11,11 11,12 122 123 124 125 126 127 128 129 12,10 12,11 133 134 135 136 137 138 139 13,10 144 145 146 147 148 149 155 156 157 158 166 167 222 223 224 225 226 227 228 229 22,10 233 234 235 236 237 238 239 244 245 246 247 248 255 256 257 Formación de los puntos. 266 333 334 335 336 337 338 344 345 346 347 355 356 Maneras de conseguir estos puntos. 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 Se ve, 1º, por la primera Tabla, que el rango de las unidades expresa todas las maneras de conseguir con un dado o un as, o un dos, o un tres, & así. 2º. Por la segunda Tabla, que los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, & así expresan todas las maneras de conseguir con dos dados o dos, o tres, o cuatro, o & así, puntos, donde la razón es que para formar estos puntos, juntando el as del segundo dado con todos los puntos que se pueden conseguir con el primero, y a continuación el dos del segundo dado, con todos los puntos que se pueden conseguir con los del primero, excepto el as; y a continuación el tres del segundo dado, con todos los puntos del primero, excepto el as y el dos, & así. 3º. Por la tercera Tabla, que los números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, & así, expresan todas las maneras de conseguir con tres dados, o tres, o cuatro, o cinco, & así, por esta razón, que para formar estos puntos se une al as del tercer dado todos los puntos de la Tabla precedente para dos dados, y a continuación el dos del tercer dado con todos los puntos de la Tabla precedente donde el as no se encuentre, y a continuación el tres del Capítulo 2 Sobre Combinatoria 63 tercer dado, con todos los puntos de la Tabla precedente donde no se encuentre ni el as, ni el dos, y así el resto. De donde es evidente que esta formación de los diferentes puntos es la misma que la de los números figurados, art. 1, es decir, en una y otra, una suma reiterada, estos últimos números expresarán siempre todas las maneras de conseguir todos los puntos posibles, cuando las caras de los dados sean marcadas con cifras que pueden servir para marcar estos puntos; pues, en los dados ordinarios con seis caras, se ve que esta regla no ha lugar, y que no hay, por ejemplo, siete maneras de conseguir 8 con 2 dados; puesto que no habiendo caras marcadas con un 7, es necesario suprimir 17, y que no hay 8 maneras de conseguir 9, puesto que es necesario suprimir los puntos 18, 27, & así, es lo que se ha querido hacer observar por los trazos que se han situado en estas Tablas, para hacer entender los lanzamientos que son necesarios suprimir en los dados ordinarios, lo que se puede también aplicar a todos los demás supuestos del número de caras de cada dado, como se hará ver en los Corolarios que se darán a continuación. Nos queda ahora, pues, para acabar de demostrar la fórmula, hacer ver en general lo que es necesario suprimir del número que responde al rango perpendicular de orden p, y al rango horizontal d: ese número es el primer término de nuestra fórmula. Es necesario sustraer de ese número, el número de casos por los cuales puede llegar que por la formación del punto dado falla hacer entrar un número mayor que el número de caras de un dado. Ahora bien, hay d veces tantos casos para esto, como hay para conseguir un punto expresado por p f − con el mismo número de dados; pues siendo expresados los dados por las letras A, B, C, D, E & así, y que uno de estos dados, por ejemplo A, sea determinado por llevar un punto más alto que el número de caras f, es evidente que este dado A, con los demás dados B, C, D, & así, debe hacer otro f, puntos que están ciertamente comprendidos en una de las caras del dado A, incluso p f − puntos: pues es necesario tomar el número de María Dolores Pérez Hidalgo 70 0 2 2 2 2 h i p i p q q = − −     =     −     ∑ . (8) Señalando que ( ) p u q depende de la suma de números figurados alternativos de orden 1 q − , Montmort afirma que tales sumas se pueden encontrar por medio de sus fórmulas de suma (15.4.13) pero que usará un método más directo “basado en una curiosa propiedad de los números figurados”. Montmort define el k-ésimo número figurado de orden m por la recurrencia 1 1 1 , 1, 2,3,..., k m m k j k j f f f m − = = = = ∑ (9) de modo que 2 1 m k m k fm + −   =   −   . (10) Denotando la suma de números figurados alternativos por m k F , tenemos 2 ... m m m k k k F f f − = + + , (11) siendo el último término 2m f m = para k par y 1 1 m f = para k impar. De las definiciones se sigue que 1 1 m m m k k k f f f − − − = , 1 1 2 3 ... m m m m m k k k k k f f f f f + − − − + + + + = , 1 1 2 3 ... m m m m m k k k k k f f f f F − − − − − + − + = . Sumando las dos últimas ecuaciones y dividiendo por 2, Montmort encuentra la recurrencia Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 71 1 1 1 1 2 2 m m m k k k F f F + − = + , lo que lleva a ( ) 1 1 2 1 1 1 1 ... 2 4 8 2 m m m m k k k k k k m F f f f f c + − = + + + + + (12) donde 0 k c = para k par, y 1 k c = para k impar. Para su posterior uso Montmort también demuestra que 1 1 1 1 1 1 2 2 m m m k k k F f F + − + + = − , lo que conduce a ( ) ( ) 1 1 2 1 2 3 1 1 1 1 ... 2 4 8 2 m m m m m k k k k k m k m m F f f f f d + − + + + + + − = − + − − + (13) donde 0 k m d + = para k m + par, y 1 k m d + = − para k m + impar. Escribiendo (8) en la forma ( ) 11 2 q p p q p u q F q − − +   =     , se obtiene de (12) que ( ) 1 2 1 1 ... 2 2 1 4 2 p p p p u q q q q  − −       = + +         − −         ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 i q q q i q i q i q q g p p − + = = + ∑ , (14) donde 1 q g = para q par, y 0 q g = para q impar. Por medio de esta fórmula Montmort tabula ( ) p u q para 3,4,...,8 q = ; los dos primeros resultados son María Dolores Pérez Hidalgo 72 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 5 3 y 4 4 1 2 4 3 p p p u u pp p − = = − − + . (15) De los resultados dados anteriormente, en la primera edición (1708) aparecen los siguientes: la recurrencia (1) para ( ) p e q ; la solución general (8) en términos de números figurados sin demostración en la página 23; el lema sobre la suma de números figurados alternantes aparece sin demostración en las pp. 24-25 de su primera edición; y los valores de ( ) p u q para 1,...,8 q = que se dan en las páginas 24-25. Habiendo obtenido ( ) p u q en la forma (8) por una combinación de razonamientos combinatorios y recurrencia, es curioso que Montmort no derive estos resultados después con un argumento combinatorio directo. Éste fue dado, sin embargo, por John Bernoulli en su carta a Montmort (1713, pp. 284-287). Bernoulli señala que la demostración se hace más simple si uno considera sólo las p q       permutaciones de q aes y p q − bes, en lugar de las ! p permutaciones de p elementos diferentes. Demuestra esto para 4 p = y 6 y entonces afirma sin demostración que ( ) 2 2 1 ... 2 2 4 p q q p p u q p q q  + −         = + + +           −           ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 ... 2 2 q q q q q q p q p p − − − − − + + + − = (16) para q par, y da una fórmula similar para q impar. Bernoulli escribe que Montmort encontrará que esta fórmula da el mismo resultado particular, esto es, ( ) p u q para 1,...,8 q = como se establece en su libro; Bernoulli parece (como Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 73 Todhunter) pasar por alto el hecho de que Montmort ha dado la fórmula general (8) y que (17) sólo es ligeramente diferente en la forma. La cuestión de interés es qué clase de razonamiento combinatorio usa John Bernoulli. Es tentador sugerir que John tuvo su resultado de James, quien usó combinatoria para resolver un problema muy similar en el juego de cartas Bassette. En su réplica, Montmort (1713, pp. 303-304) señala que él tiene desde hace tiempo conocimiento de la fórmula (5), que sólo difiere ligeramente en su forma de la de Bernoulli. Nicholas Bernoulli en una carta a Montmort (1713, p. 299) da la fórmula (16) sin demostración y Montmort la demuestra en p. 99 por medio de (13). Esta nota descubre el fundamento de la diferencia que se encuentra entre mi fórmula de arriba, y la que sigue, de la que el señor Nicolás Bernoulli me ha dado conocimiento en su carta del 26 de febrero de 1711, que se encontrará al final de este Libro. María Dolores Pérez Hidalgo 74 1 1 1 1 1 2 4 1 8 1 2 16 1 2 3 q q q q q q p q p q p q p q p q p q ⋅ − ⋅ − ⋅ − × − × + × − + − + ⋅ − + − + ⋅ − + ⋅ − + 1 1 2 3 32 1 2 3 4 q q q q p q p q p q p q ⋅ − ⋅ − ⋅ − − × + − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + & así. Esta última parece preferible, en que no se emplea nada más que tantos términos como unidades hay en 1 q − , en lugar que en la mía, cuando q es un número par, es necesario tomar tantos términos de la serie como unidades hay en q; y en este caso multiplicar el último término por 2: esta excepción resta de alguna forma uniformidad a la fórmula. Pero esta ventaja es quizás compensada por los signos alternativos y los q que se encuentran en el denominador en la fórmula del señor Bernoulli, y principalmente porque se opera sobre números más grandes. Para hacer la comparación, sea propuesto encontrar la suma de estos números, por ejemplo, que son de cuarto orden, 120 56 20 4 + + + = 200. Se tiene por mi fórmula 1 1 1 1 330 120 36 8 2 4 8 16 × + × + × + × . Y según la del señor Bernoulli 1 1 1 1 495 220 66 12 2 4 8 16 × − × + × − × . Presumiblemente, Nicholas entendió la indicación de Montmort de su demostración de (12) y entonces derivó (13) para uso de su propia demostración. Con referencia al Essay de Montmort (1713), Struyck (1716, pp. 104-107) da una demostración puramente combinatoria. Señala que cualquier permutación que comience con a puede descomponerse en dos que comiencen con ab y aa, respectivamente, y que las correspondientes probabilidades son ( ) ( ) ( ) 1 1 q p q q q q p p p − + − =− . Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 75 La compara con permutaciones que comienzan con ba, que tienen una probabilidad de ( ) ( ) 1 p q q p p − − , y demostrará que la ventaja del banquero puede expresarse en términos de la diferencia de estas probabilidades. Ignorando la regla de que la última carta no cuenta, Struyck establece que el ganador del juego es el primero que extrae una a de una caja que contiene q aes y p q − bes, extrayendo alternativamente el banquero y el que apuesta. Este problema es, sin embargo, el mismo que el segundo problema de Huygens generalizado a la extracción sin reemplazamiento. Por tanto, la probabilidad del banquero de ganar es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 12 4 ... 2 4 p q p q q q q Pp p p p p − − = + + + − − 1 3 ... 1 1 p p p q q q  − −       = + +         − −         , y la probabilidad del que apuesta es similarmente, 2 2 4 ... 1 1 p p p P q q q  − −       = + +         − −         . La ventaja del banquero, dependiendo de su prioridad, es así ( ) 1 2 1 2 P P − . Dado que, 1 1 1 1 2 p x p x p x q q q − − − − −       − =       − − −       , la ventaja del banquero se convierte en María Dolores Pérez Hidalgo 76 2 4 ... 2 2 2 p p p q q q  − −       + +         − −         , de acuerdo con (8). De Moivre (1718, pp. 40-44, 55-58) obtiene ( ) p u q para 1,...,4 q = con un argumento combinatorio similar al usado por Struyck. En su prefacio (1718, p. XI), De Moivre escribe “Admito que algunos grandes matemáticos antes que yo se han tomado la molestia de calcular le ventaja del banquero… Pero aun así, la curiosidad de los investigadores permaneció insatisfecha; la cuestión principal, y con mucho la más difícil, relativa al Pharaon o Bassette, es la de qué tanto por ciento consigue el banquero del total del dinero aventurado.” Entonces pasa a convertir q en una variable aleatoria. Imagina que m veces sucesivas el que apuesta pone su dinero en un valor cara elegido al azar, haciendo su primera elección antes de la primera extracción. La ventaja media del banquero se convierte en ( ) 1 4 2 0 0 2 2 1 4 4 m p i i q p i i p u u q q q m − − = = −      =      −      ∑∑ , (18) donde el factor por ( ) 2p i u q − iguala la probabilidad de que q de las cuatro cartas permanezcan en stock. De Moivre reduce esta expresión a un polinomio en p y m dividido por ( ) 4 p . Para 52 p = y 23 m = , encuentra 0.0299 u = . Lo que significa que la ventaja media del banquero es sobre el 3% de la apuesta. En ese prefacio De Moivre está muy entusiasmado con esta solución. Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 77 Como señala Todhunter (p. 152), la idea de De Moivre es poco realista desde el punto de vista del jugador. Hoy la idea es interesante principalmente como un ejemplo temprano de un procedimiento aleatorio. Respecto a este juego Montmort da dos tablas de resultados numéricos respeto del Pharaon. Una de estas tablas pretende ser una exposición exacta de la ventaja del banquero en cualquier etapa del juego, suponiendo que se jugó con una baraja de 52 naipes; la otra tabla es una exposición aproximada de la ventaja de la banca. Puede hacerse una observación con respecto a la tabla anterior. La tabla consta de cuatro columnas; la primera y la tercera son correctas. La segunda columna debe calcularse a partir de la fórmula ( ) 2 2 1 + − n n n , sustituyendo n en la serie 50, 48, 46, ... 4, como ya se ha dicho. Pero en la segunda edición del libro de Montmort, la columna se da de forma incorrecta; comienza con 3117 350350 en lugar de 26 2450 , y algunas de las restantes entradas son correctas, pero no en sus formas más simples, y otras son incorrectas. La cuarta columna debería calcularse mediante la fórmula ( )( ) 2 5 2 1 3 − − − n n n , al poner n en la serie 50, 48, 46, ... 4; pero hay también algunos errores. A título de curiosidad, añadimos esas dos tablas de Montmort a continuación: María Dolores Pérez Hidalgo 78 T ABLA PARA EL F ARAÓN 52 1 * * * = :2 * * * = :3 * * * = 2295086253 :4 115890841950 a a = + 50 1 * * * = 3117 :2 350350 a a = + 3 :3 196 a a = + 7208829 :4 349595300 a a = + 1 48 1 48 a a = + 1787 :2 161304 a a = + 3 :3 188 a a = + 276199 :4 12842280 a a = + 1 46 1 46 a a = + 3431 :2 296010 a a = + 3 :3 180 a a = + 11002 :4 489555 a a = + 1 44 1 44 a a = + 822 :2 67639 a a = + 3 :3 172 a a = + 913 :4 38786 a a = + 1 42 1 42 a a = + 3145 :2 246246 a a = + 3 :3 164 a a = + 79 :4 3198 a a = + 1 40 1 40 a a = + 1501 :2 111540 a a = + 3 :3 156 a a = + 25 :4 962 a a = + 1 38 1 38 a a = + 2849 :2 201068 a a = + 3 :3 148 a a = + 1349 :4 49210 a a = + 1 36 1 36 a a = + 679 :2 45045 a a = + 3 :3 140 a a = + 1139 :4 39270 a a = + 1 34 1 34 a a = + 2573 :2 160446 a a = + 3 :3 132 a a = + 357 :4 11594 a a = + 1 32 1 32 a a = + 1215 :2 70928 a a = + 3 :3 124 a a = + 177 :4 5394 a a = + 1 30 1 30 a a = + 2287 :2 124410 a a = + 3 :3 116 a a = + 55 :4 1566 a a = + 1 28 1 28 a a = + 536 :2 27027 a a = + 3 :3 108 a a = + 221 :4 5850 a a = + 1 26 1 26 a a = + 2001 :2 92950 a a = + 3 :3 100 a a = + 611 :4 14950 a a = + 1 24 1 24 a a = + 929 :2 39468 a a = + 3 :3 92 a a = + 473 :4 10626 a a = + 1 22 1 22 a a = + 1715 :2 66066 a a = + 3 :3 84 a a = + 143 :4 2026 a a = + Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 79 1 20 1 20 a a = + 1572 :2 54340 a a = + 3 :3 76 a a = + 35 :4 646 a a = + 1 18 1 18 a a = + 1429 :2 43758 a a = + 3 :3 68 a a = + 31 :4 510 a a = + 1 16 1 16 a a = + 429 :2 11440 a a = + 3 :3 60 a a = + 9 :4 130 a a = + 1 14 1 14 a a = + 44 :2 1001 a a = + 3 :3 52 a a = + 23 :4 286 a a = + 1 12 1 12 a a = + 7 :2 132 a a = + 3 :3 44 a a = + 19 :4 198 a a = + 1 10 1 10 a a = + 1 :2 15 a a = + 3 :3 36 a a = + 5 :4 42 a a = + 1 8 1 8 a a = + 5 :2 56 a a = + 3 :3 28 a a = + 11 :4 70 a a = + 1 6 1 6 a a = + 2 :2 15 a a = + 3 :3 20 a a = + 7 :4 30 a a = + 1 4 1 4 a a = + 1 :2 4 a a = + 3 :3 12 a a = + 1 :4 2 a a = + T ABLA II . PARA EL F ARAÓN 52 1 * * * = :2 * * * = :3 * * * = 1 1 :4 51 50 a= + > < 50 1 * * * = 1 1 :2 95 94 a= + > < 1 1 :3 66 65 a= + > < 1 1 :4 49 48 a= + > < 1 48 1 48 a a = + 1 1 :2 91 90 a= + > < 1 1 :3 63 62 a= + > < 1 1 :4 47 46 a= + > < 1 46 1 46 a a = + 1 1 :2 87 86 a= + > < 3 :3 60 a= + 1 1 :4 45 44 a= + > < 1 44 1 44 a a = + 1 1 :2 83 82 a= + > < 1 1 :3 58 57 a= + > < 1 1 :4 43 42 a= + > < 1 42 1 42 a a = + 1 1 :2 79 78 a= + > < 1 1 :3 55 54 a= + > < 1 1 :4 41 40 a= + > < 1 40 1 40 a a = + 1 1 :2 75 74 a= + > < 1 :3 522 a= + 1 1 :4 39 38 a= + > < María Dolores Pérez Hidalgo 86 S E llaman cortadores 4 a aquellos que toman cartas en la vuelta, antes de que el mano se dé la suya; y carabineros 5 , a aquellos que toman carta después que la del mano haya sido extraída. Se llama el regocijo a la carta que viene inmediatamente después la carta de aquél que tiene la mano. Todo el mundo puede poner antes de que la carta de aquél que tiene la mano sea extraída; pero depende de él tener lo que quiere, con tal de que se explique antes de extraer su carta: pues si la extrae sin decir nada está obligado a cumplir con todo lo que se ha puesto. Después de que se ha regulado el fondo del juego, aquél que tiene la mano da cartas a los cortadores comenzando por su derecha, y estas cartas se llaman cartas diestras, para distinguirlas de las cartas de reposición y de regocijo; se da una carta, y a continuación extrae el regocijo. Siendo hecho esto, él continúa extrayendo todas las cartas sucesivamente; gana lo que está sobre la carta de un cortador, cuando él lleva la carta de este cortador; y pierde todo lo que está en el juego, cuando lleva la suya. Por fin, si él lleva todas las cartas diestras de los cortadores antes de llevar la suya, vuelve a comenzar y continúa teniendo la mano, sea que haya ganado o perdido el regocijo. He aquí las reglas más generales: Y aquí algunas otras particulares que se refieren al problema propuesto. 1º. Cuando el que tiene la mano, al que llamaré siempre Pedro, da una carta doble a un cortador, es decir, una carta de la misma clase que otra que él ya ha dado a otro cortador que está más a la derecha, él gana el fondo del juego sobre la carta perdedora, y está obligado a tener el doble sobre la carta doble. 2º. Cuando Pedro da una carta triple a un cortador, gana lo que está sobre la carta perdedora, y está obligado a poner cuatro veces el fondo del juego sobre la carta triple. 3º. Cuando Pedro da una carta cuádruplo a un cortador, recoge lo que hay puesto sobre las cartas simples o dobles; si la tiene, 4 Coupeurs, escribe el autor en francés. Nota de la Traductora. 5 Carabineurs, en francés. Nota de la traductora. Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 87 pierde lo que está sobre la carta triple de la misma clase que la cuádruplo que él lleva, y deja la mano sobre el campo, sin dar otras cartas. 4º. Si se da a sí mismo una carta cuádruple, toma todo lo que hay sobre las cartas de los cortadores, y, sin dar otras cartas, vuelve a repetir la mano. 5º. Cuando la carta del regocijo es cuádruple, no va. 6º. Es también una ley del juego, que un cortador cuya carta es tomada, esté obligado a pagar el fondo del juego a cada cortador que tenga una carta delante de él, lo que se llama regar; pero hay esta distinción por hacer, que cuando es una carta diestra, el que pierde paga a las otras cartas diestras el fondo del juego, sin tener en cuenta que la suya o la carta diestra de los otros cortadores sea simple, doble o triple; mientras que cuando es una carta de reposición, no se paga y no se recibe más que según las reglas de la partida. Ahora bien, en este juego las partidas hacen poner tres contra dos, cuando se tiene una carta doble contra carta simple; dos contra uno, cuando se tiene una carta triple contra carta doble; y tres contra uno, cuando se tiene carta triple contra carta simple. Estando bien concebidas estas reglas, si se quiere saber en qué consiste la dificultad de la primera parte de este Problema, que es determinar la ventaja de aquél que tiene la mano, es necesario observar: 1º. Que la ventaja de tener la mano encierra otra más considerable, que es la de conservar en Pedro el derecho de tener las cartas tantas veces como cartas diestras de los cortadores haya llevado antes de llevar la suya. Ahora bien, como esto puede ocurrir varias veces sucesivamente, cualquier número de cortadores que haya, es necesario, es necesario, examinando la ventaja de aquél que tiene las cartas, tener en consideración la esperanza que tiene de hacer la mano un número de veces cualquiera indeterminadamente. De donde se sigue que no se puede expresar la ventaja de Pedro más María Dolores Pérez Hidalgo 88 que por una serie compuesta de un número infinito de términos que irán sierre disminuyendo. 2º. Que Pedro tiene tanta menos esperanza de hacer mano, cuanto más cortadores haya y más cartas simples entre las cartas diestras. 3º. Que la obligación donde está Pedro de poner el doble del fondo del juego sobre las cartas dobles, y el cuádruplo sobre las cartas triples, disminuye la ventaja que él tendría ocasionando cartas dobles o triples antes que darse la suya; y que su ventaja es aumentada por esta otra condición del juego, que le permite retomar por entero lo que ha puesto sobre las cartas dobles y triples, cuando da a uno de los cortadores una carta cuádruplo. Estas notas y algunas otras parecidas que omito, pueden hacer conocer que este Problema es más complejo que lo que parecía al principio. Para resolverlo, he aquí el camino que tengo. La regla inicial dada parece hacer que el juego sea justo, al tener todos los participantes esperanza cero, pero las reglas suplementarias que dependen de los números de ocupación, esto es, el número de valores únicos, dobletes, etc., hacen que el banquero tenga ventaja. Además, la regla de continuación, también dependiendo del número de ocupación, da al banquero una cierta probabilidad de continuar como banquero. La ventaja total del banquero así depende de su ganancia esperada g digamos, en un solo juego, y de su probabilidad de continuar como banquero, digamos p, por lo que la ventaja total viene a ser 2 3 ... 1 g u g pg p g p g p = + + + + = − . El problema es determinar g y p. Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 89 Montmort (1708, pp. 30-53; 1713, pp. 105-129) calcula estas cantidades para 3,4,...,7 n = . Volviendo al comentario de Todhunter, parece este autor no ha valorado el hecho de que Montmort después de haber derivado los resultados para 3 n = y 4 por simple enumeración, señala para 5 n = que la solución general se obtiene por medio de la distribución de ocupación, que luego se va a aplicar. Como ilustración del método de Montmort usaremos el caso 4 n = . La distribución de ocupación de n cartas ya la conocemos, es 0 1 2 0 1 2 4 4 4 52 13! ... 0 1 2 ! ! !... r r r r r r n                         , donde 13 i r = ∑ , i ir n = ∑ , 0 r es el número de valores de caras perdidas entre las n cartas, 1 r el número de únicos, 2 r el número de dobletes, etc. Denotaremos el número de posibilidades del numerador por i N correspondiente al vector número i en un orden dado de los vectores ( ) 0 1 2 , , ,... r r r . Para encontrar la ganancia esperada del banquero en un único juego, Montmort considera la distribución de ocupación de las 1 n − cartas, y para cada resultado calcula la ganancia esperada según las reglas especiales del juego. Finalmente, obtiene g como la media de las ganancias condicionadas, como se muestra en la siguiente tabla. CÁLCULO DE MONTMORT DE LA GANANCIA ESPERADA EN UN ÚNICO JUEGO CON CUATRO JUGADORES I EJEMPLO a 0 r 1 r 2 r 3 r 52 i N GANANCIA ESPERADA, i g 1 abc 10 3 0 0 352 63/245 2 aab 11 1 1 0 72 197/245 3 aaa 12 0 0 1 1 275/245 Total: 425 a a, b y c denotan los diferentes valores de las caras. Tabla 3.2 María Dolores Pérez Hidalgo 90 El número total de posibilidades es igual 52 22.100 3   =     ; dividiendo por 52 conseguimos 425, como se muestra en la tabla. Tenemos que 7.327 20.825 i i i N g gN = = ∑ ∑ . Para encontrar la probabilidad de continuación, Montmort considera la distribución de ocupación de n cartas, y para cada resultado calcula la probabilidad de continuación según las reglas especiales del juego. Finalmente obtiene p como la media de las probabilidades condicionadas, como se muestra en la siguiente tabla. CÁLCULO DE MONTMORT DE LA PROBABILIDAD DE CONTINUACIÓN EN UN JUEGO CON CUATRO JUGADORES I EJEMPLO a 0 r 1 r 2 r 3 r 4 r 52 i N Probabilidad, i p 1 abcd 9 4 0 0 0 14.080 20/80 2 aabc 10 2 1 0 0 6.336 29/80 3 aabb 11 0 2 0 0 216 40/80 4 aaab 11 1 0 1 0 192 50/80 5 aaaa 12 0 0 0 1 1 80/80 Total: 20.825 a a, b, c y d denotan los diferentes valores de las caras. Tabla 3.3 Se tiene que 30.229 104.125 i i i N g pN = = ∑ ∑ . La ganancia esperada total del banquero resulta así 36.635 1 73.896 g p= − . Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 91 Montmort acaba su análisis dando ejemplos del cálculo de la pérdida esperada de cada jugador usando el mismo método de arriba. John Bernoulli en su carta a Montmort (1713, pp. 287-289) señala que un análisis más realista estaría basado en el supuesto de que los jugadores sucesivamente se vayan convirtiendo en banqueros, de modo que cuando el banquero pierde su apuesta, el jugador de su derecha se hace cargo de la banca. Bernoulli analiza este problema para dos jugadores. Supongamos que el resultado es aa con probabilidad p y ab con probabilidad 1 q p = − . En el primer caso el banquero consigue la cantidad 2, y en el segundo no consigue nada. Por tanto, su ganancia esperada en un único juego es 2 1 g p p q = − = − , por lo que su ganancia total esperada según el supuesto de Montmort se convierte en ( ) ( ) 1 g p p q q −=− . Denotemos por u la ganancia total esperada del banquero bajo el supuesto de Bernoulli. Bernoulli entonces resuelve el problema por medio de la ecuación ( ) ( ) 1 1 u p u q u = + + − − , que refleja el hecho de que los dos jugadores cambian los papeles con probabilidades p y q. La solución es ( ) 2 u p q q = − , justo la mitad del resultado previo. En una breve nota de Nicholas Bernoulli a Montmort (1713, pp. 299-301), éste hace una generalización a n jugadores y a un número finito de partidas; supongamos, m. Partimos de que los jugadores 1 ,..., n A A tienen de ganancias esperadas 1 ,..., n g g , 0, i g = ∑ en una única partida en la que 1 A es el banquero, y sea p la María Dolores Pérez Hidalgo 92 probabilidad de continuar como banquero para cada jugador. El jugador 2 A se sienta a la izquierda de 1 A , 3 A a la izquierda de 2 A , y así, hasta n A , quien se sienta a la derecha de 1 A . Cuando 1 A pierde el juego, n A se convierte en banquero, por lo que 1 A ahora tiene la misma posición respecto al banquero que 2 A la tenía antes, lo que significa que su ganancia esperada es ahora 2 g . Ya que el juego es “circular”, tenemos 2 ... i n i n i g g g + + = = = si están implicadas más de n partidas. Sin demostración, Nicholas Bernoulli da la ganancia esperada de 1 A como ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 1 2 3 2 ... u g pg qg p g pqg q g = + + + + + + , serie que contiene m términos. Para los otros jugadores se cumplen expresiones análogas, siendo la demostración sencilla. En la primera partida, la ganancia de 1 A es 1 g . Si él gana continúa como banquero y consigue 1 g ; si pierde, n A se convierte en banquero, y la ganancia de 1 A es 2 g , y así. Sin demostración Bernoulli entonces da otra forma de esta expresión. Indicaremos una demostración; la otra fue dada por Todhunter (pp. 116-119). Tenemos 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 m k m m i k i i i k i i k i i i k k i u p q g g q p i k − − − − −+ + = = = = +     = =         ∑∑ ∑ ∑ , después de cambiar el orden de los sumandos. Observar que 1 i k k i q p k + +       es la probabilidad de conseguir el ( ) 1 i + − ésimo fallo en la última partida de un total de 1 k i + + partidas, es decir, la distribución binomial del tiempo de espera. Para reducir la suma de tales términos a una suma de probabilidades binomiales tenemos en cuenta que Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 93 1 1 0 1 1 c x n x c y c x y n n y q p q p x c ∞ − + − − = = + −     =         ∑ ∑ , ya que el miembro de la izquierda da la probabilidad de al menos c fallos en n partidas, que es lo mismo que la probabilidad de que el fallo ( ) 1 c + ocurra en la partida ( ) 1 n + o posterior, como expresa el miembro de la derecha. Resulta que ( ) 1 1 0 1 , , n c c y y y c B c n q q p y − − + = +   − =     ∑ . Por sustitución obtenemos ( ) 1 1 1 1 0 1 , , m i i u q g B i m q − −+ = =−   ∑ , que es el resultado de Bernoulli. Finalmente Nicholas Bernoulli da la solución para m → ∞ como ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 ... n n g n g g unq − − + − + + =. Nuestro autor termina el estudio de este juego con una nota en la que comenta la existencia de un juego parecido: NOTA II. 97 . H AY un juego bastante conocido que se llama la Duppe, que es una especie de Lansquenet al revés. La diferencia de este juego al Lansquenet consiste en lo que sigue; 1º, el que tiene la Duppe se da la primera carta; 2º, el que ha cortado las cartas está obligado a tomar la segunda; 3º, los otros jugadores pueden tomar o rechazar la carta que le es presentada; 4º, el que toma una carta doble está obligado a hacer la partida; 5º, el que tiene la Duppe no deja las cartas, y conserva siempre la mano. El parecido que hay del juego al del María Dolores Pérez Hidalgo 94 Lansquenet, ha hecho imaginar a los jugadores que hay desventaja para el que tiene la mano, tanto más que en este Juego la mano no cambia, en lugar de lo que ocurre en el Lansquenet que cada uno la tiene en su turno. Sobre este fundamento ellos le han dado el nombre de la Duppe 6 : pero no le conviene en modo alguno; pues es fácil descubrir que la igualdad es perfecta en este Juego, y para los jugadores entre ellos, y para el que tiene la mano con relación a los Jugadores. Me basta con hacer esta nota, un poco de atención en convencer a aquellos que quieran hacer el esfuerzo de examinarlo. 3.1.4. JUEGO DEL HER 3.1.4.1. INTRODUCCIÓN Después de analizar los juegos Pharaon, Lansquenet, Treize, y Bassette, que son juegos de puro azar, Montmort se detiene en algunos otros juegos de carta que no son de puro azar sino que también dependen del conocimiento y decisiones de los jugadores. Afirma que es imposible análisis completo de tales juegos y procede a 6 Podría traducirse como “el engañado”, “el inocente” o “el primo”. Nota de la traductora. Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 95 discutir algunas situaciones especiales que se pueden resolver por sencillos métodos combinatorios. Abordaremos en profundidad el Jeu du Treize en el capítulo 6, deteniéndonos ahora en el llamado juego Her. El juego del Her para dos jugadores A y B consiste en lo siguiente: El jugador B es el que reparte (previamente se ha sorteado quién lo hace) usando una baraja de 52 cartas, con 4 palos, 13 cartas por palo, siendo la más alta la del rey, que tiene el valor 13. El jugador B entrega una carta elegida al azar al jugador A y, después, otra para sí mismo. Si A no está contento con su carta puede obligar a B a intercambiarla con la suya, a menos que B tenga un rey (un 13). Si B no está contento con la suya, la extraída inicialmente o la que le ha obligado a coger A, entonces puede cambiarla por una de las restantes 50 cartas que quedan en la baraja, extraída al azar. Terminado este proceso ambos jugadores muestran sus cartas, ganando el juego el que tenga la carta más alta. En caso de empate, gana el jugador B. Se pide la probabilidad de cada jugador de ganar el juego. Montmort llama a los dos jugadores Pedro y Pablo, donde el primero es el que reparte y el segundo, Pablo, es el primero en tomar una decisión. El juego se describe para cuatro jugadores y Montmort lo usa como problema para el lector (1708, pp. 185-187). La descripción se repite para tres jugadores (1713, pp. 278-279) y de nuevo Montmort lo plantea como un problema. Es discutido y resuelto para dos jugadores en la correspondencia con Nicholas Bernoulli. La correspondencia comienza en 1710, y la última carta publicada es de Montmort a Bernoulli, fechada el 15 de noviembre de 1713. Ver Montmort (1713, pp. 321, 334, 338-340, 348-349, 361-362, 376-378, 400, 403- 406, 409-412, 413). En 1804, Jean Trembley publica su propia solución. María Dolores Pérez Hidalgo 102 Sostenemos que es indiferente a Pablo cambiar o mantenerse con un siete, y a Pedro cambiar o mantenerse con un ocho. Para probar esto, primero debo explicar su suerte en todos los casos. La de Pablo teniendo un siete, es 780 50 51 × cuando cambia, y cuando él se aferra a que es su suerte es 720 50 51 × si Pedro se mantiene en el ocho, y 816 50 51 × si Pierre cambia en el ocho. La suerte de Pedro teniendo un ocho es 150 23 50 × si se mantiene en él, y 210 23 50 × si cambia en el caso de que Pablo no se mantenga en el siete; y 350 27 50 × si se mantiene en él, y 314 27 50 × al cambiarlo en el caso de que Pablo se mantenga en el siete, así sucesivamente. Las suertes de Pablo 780 o 720 o 816 50 51 × , las de Pedro 150 o 210 23 50 × o 350o 314 27 50 × . En base a los números que obtiene, Waldegrave observa que “720 al estar más por debajo de 780 que lo que 816 está por encima, parece que Pablo debe tener una razón para cambiar con 7" (Montmort (1713), página 339). Las diferencias, 780 a 720 y 816 a 780, están en la relación de 60:36, o de 5:3, una relación que posteriormente entra en la discusión. En el resto de su argumento, habla Waldegrave de un “peso” en lugar de una razón. Llama A al peso que lleva a Pablo a cambiar, y B al peso que lleva a Pedro también a cambiar. Y argumenta que los mismos pesos llevan a Pablo y Pedro a ambas estrategias. A lleva a Pablo a cambiar con 7 y, como consecuencia, también lleva a Pedro para cambiar su 8; pero lo que lleva a Pedro a cambiar su 8 debe llevar a Pablo a quedarse con 7. Por lo tanto, A lleva a Pablo tanto a cambiar con un 7 como a quedarse con él. Lo mismo ocurre con Pedro. Por lo tanto, “es falso que Pablo no deba quedarse más que en el ocho 8, y Pedro en el 9”, que era la solución reclamada por Bernoulli. La palabra “probabilidad” Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 103 aparece sólo una vez en esta discusión, en la conclusión del extracto de la carta de Waldegrave a Montmort, donde el primero escribe (Montmort (1713), página 340): Al parecer, el señor Bernoulli se contentó con observar las fracciones que expresan las diferentes suertes de Pedro y Pablo, sin prestar atención a la probabilidad de lo que el otro va a hacer. Montmort deja aquí la discusión, sin más comentario. Al recibir la carta de Montmort, Bernoulli se muestra de acuerdo con estas cantidades, diciendo que “las suertes que encontraron para Pedro y Pablo están muy bien” (Montmort (1713), página 348). Y, sin embargo, cuando Bernoulli propone su solución, y cuando finalmente Montmort publica una tabla de probabilidades, como ya se ha dicho, como un apéndice del Essay (Montmort (1713), página 413), los números son diferentes. Ninguno de los componentes de este debate explica sus cálculos. La diferencia en las probabilidades es que las de Waldegrave son condicionadas a que Pablo tiene un siete en la mano y las probabilidades Bernoulli-Montmort son las probabilidades marginales de todas las cartas que Pablo pueda tener. En una carta de fecha 2 de junio de 1712, Bernoulli responde al argumento de Waldegrave acusándolo de cometer una falacia. Argumenta que si suponemos que A lleva a Pablo a cambiar con un siete, y así lleva a Pedro a cambiar con un ocho (si Pedro sabe que Pablo cambia con un siete), entonces también lleva a Pablo a quedarse en el siete. Por lo tanto, A tanto lleva a Pablo a cambiar con un siete como a quedarse con él. Su conclusión es que (Montmort (1713), página 348): María Dolores Pérez Hidalgo 104 …estamos suponiendo dos cosas contradictorias al mismo tiempo; es decir, que Pablo sabe y hace caso omiso a la vez lo que Pedro va a hacer, y Pedro lo hará respecto de Pablo. En su carta respuesta de 2 de junio de 1712 (Montmort (1713), pág349), Bernoulli explica que si nos mantenemos aquí respecto a lo que Pablo y Pedro saben acerca de la intención del otro, eso nos lleva a razonar en círculo, lo que demuestra que el argumento de Waldegrave no puede demostrar nada. Este argumento es peculiar, y parece sugerir que Bernoulli no entiende el punto de vista de Waldegrave. O bien podría ser simplemente una mala interpretación de su argumento, por expresarse en términos de peso en lugar de en términos de probabilidad. La palabra "peso" o "poids" en francés se presta en este caso a una mala interpretación. Por otra parte, Bernoulli admite haber escrito su carta a toda prisa, cuando se preparaba para un largo viaje a los Países Bajos e Inglaterra. Como resultado de este viaje, algunas cartas posteriores se retrasan, y los argumentos que contienen no siguen el orden cronológico de cuando se escribieron las mismas. Una carta de Montmort a Bernoulli, de fecha 5 de septiembre de 1712 (Montmort (1713), páginas 361-370), anuncia que Waldegrave y el abad d'Orbais han leído la respuesta de Bernoulli en la que los acusa de haber caído en una falacia. Montmort incluye una nota del abad d'Orbais en el que afirma que Waldegrave ha escrito una respuesta hermosa y precisa a la objeción de Bernoulli; la refutación, sin embargo, no está incluida. En esta nota, el abad d'Orbais también pide a Montmort que tome partido en esta disputa entre ellos. Esto sugiere que, incluso aunque Montmort agradeció a Bernoulli su solución, que, según él, estaba de acuerdo con la suya, aún no ha tenía claro si realmente Bernoulli había resuelto el problema. Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 105 La siguiente carta sobre el Her es de Bernoulli a Montmort, de fecha 30 de diciembre 1712 (Montmort (1713), páginas 375-394). La misma contiene una discusión de tres páginas sobre el Her (Bernoulli menciona que acaba de recibir la carta del 2 de junio, ya que fue enviada desde Suiza a Holanda, y luego a Inglaterra, y finalmente de vuelta a Suiza). Bernoulli insiste en que, a pesar de los argumentos de Waldegrave, Pablo no hace sino seguir la máxima de quedarse con el siete, como la de cambiarlo. Bernoulli luego dice (Montmort (1713), página 376): Si fuera imposible decidir este problema, Pablo tiene un siete y no sabría qué hacer; y para librarse de esa decisión, se sometería a la casualidad, por ejemplo, pondría en una bolsa un número igual de fichas blancas y fichas negras, con la intención de mantenerse en siete si se extrae una blanca, y cambiar con un siete si se extrae una negra; porque si pone un número desigual que se lleve más de una de las partes que de la otra, estaría en contra de la hipótesis. Pedro con un ocho haría lo mismo para ver si debe cambiar o no. En este comentario se presenta con claridad la idea de suerte por "la vía de las fichas", expresión que usarán con frecuencia los escritores sobre probabilidad del siglo XVIII. Lo que aquí dice Bernoulli parece confirmar que, al principio, cuando acusó Waldegrave de cometer una falacia, no interpretó los pesos de Waldegrave como probabilidades. Sin embargo, sugiere que la única asignación de probabilidad compatible con el supuesto estado de la ignorancia de los jugadores es que cada jugador elige una estrategia con una probabilidad de 1 2 . Bajo esta elección, se calcula la suerte de Pablo (que es entonces 774 50 51 ⋅ ) y llega a la conclusión de que sería malo para Pablo aleatorizar de esta manera, ya que él podía garantizarse a sí mismo una suerte mayor, 780 50 51 ⋅ . Por lo tanto, Bernoulli María Dolores Pérez Hidalgo 106 concluye que Pablo siempre debe cambiar con un siete. A continuación, explica el razonamiento que había dejado fuera de su carta al escribirla a toda prisa el 2 de junio En términos contemporáneos, se calcula la probabilidad no condicionada de ganar bajo cada perfil de estrategia pura (sin asumir que cualquier carta ha sido tratada aún). Muestra una versión refinada del razonamiento que antes le había llevado a considerar el de Waldegrave como una falacia, y sin embargo, no lo reconoce. En el siguiente apartado presentamos los últimos comentarios sobre la correspondencia. 3.1.4.3. RESOLUCIÓN DESDE UN PUNTO DE VISTA ACTUAL En cada partida hay al menos tres cartas implicadas, supongamos ellas de valores i, j, y k, tal que Pablo consigue i, Pedro consigue j, y si la partida concluye con Pedro extrayendo una carta de la baraja, él consigue k. La probabilidad de Pablo de ganar se puede escribir como ( ) ( ) ( ) , , ; , ; 50 p i j c i j S p i j S = , donde ( ) , p i j es la probabilidad de conseguir los valores ( ) , i j para las dos cartas extraídas, y ( ) , ; c i j S es el número de cartas entre las 50 restantes que hacen que Pablo gane, dado que los jugadores usan la estrategia S. Asumiendo que la apuesta es la unidad, la esperanza de Pablo es igual a su probabilidad de ganar. Obviamente, ( ) , p i j es igual a ( ) ( ) 4 52 4 51 para i j ≠ y ( ) ( ) 4 52 3 51 para i j = . Para ilustrar el cálculo de ( ) , ; c i j S , hemos considerado en que Pablo Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 107 mantiene cartas de valores 7 y superior y cambia cartas de valores inferiores. Los resultados se muestran en la tabla que acompaña. Tabla de ( ) , ; c i j S Pedro cambia Pedro retiene i \ j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ( ) ; c i S Pablo cambia 1 0 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 0 297 2 0 0 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 0 290 3 0 0 0 15 19 23 27 31 35 39 43 47 0 279 4 0 0 0 0 19 23 27 31 35 39 43 47 0 264 5 0 0 0 0 0 23 27 31 35 39 43 47 0 245 6 0 0 0 0 0 0 27 31 35 39 43 47 0 222 Pablo retiene 7 27 27 27 27 27 27 24 24 0 0 0 0 0 204 8 31 31 31 31 31 31 31 28 0 0 0 0 0 238 9 35 35 35 35 35 35 35 35 0 0 0 0 0 280 10 39 39 39 39 39 39 39 39 50 0 0 0 0 362 11 43 43 43 43 43 43 43 43 50 50 0 0 0 444 12 47 47 47 47 47 47 47 47 50 50 50 0 0 526 13 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 0 600 Total 4251 Las combinaciones de i y j para que Pablo pierda, 0 c = , y Pablo gane, 50 c = , se siguen inmediatamente de las reglas del juego. Consideramos a continuación una de las combinaciones que tienen 1 6 i ≤ ≤ y 13 i j < < . Para 6 i ≤ , Pablo obliga a Pedro a intercambiar cartas, el cual Pedro tiene una carta de valor i, y sabe que Pablo tiene una carta de valor j mayor que i. Entonces, Pedro extrae una carta de la baraja y consigue una de valor k. Pablo gana si k j < o 13 k = , y el número de cartas que satisfacen esta condición es ( ) ( ) , ; 3 4 1 4 1 c i j S j j = + − = − . Para 7 12 i ≤ ≤ y 1 6 j ≤ ≤ , un argumento similar da ( ) , ; 4 1 c i j S i = − . Para un valor dado de i la probabilidad de Pablo de ganar se convierte en María Dolores Pérez Hidalgo 108 ( ) ( ) ( ) 2 ; ; , ; 13 51 25 j c i S p i S p i j S= = × × ∑ , donde ( ) ( ) ( ) 3 ; , ; , ; 4 i j c i S c i j S c i i S ≠ = + ∑ . La probabilidad total de ganar para Pablo se convierte en ( ) ( ) ( ) 2 ; ; 13 51 25 i i p S p i S c i S = = × × ∑ ∑ . Para la estrategia definida en la tabla anterior, ( ) 2 4251 2834 0'5129 13 51 25 5525 p S × = = = × × . Montmort no explica estos cálculos relativamente simples; solo ofrece una tabla con los valores de ( ) 2 ; c i S para las cuatro estrategias en cuestión. Tabla de Montmort de ( ) 2 ; c i S y probabilidad de Pablo de ganar Pablo cambia 7 y menos Pablo retiene 7 y más Valor de la carta de Pablo Pedro cambia 8 y menos Pedro retiene 8 y más Pedro retiene 8 y más Pedro cambia 8 y menos 1 594 594 594 594 2 580 580 580 580 3 558 558 558 558 4 528 528 528 528 5 490 490 490 490 6 444 444 444 444 7 390 390 360 408 8 476 434 434 476 9 560 590 590 560 10 724 746 746 724 11 888 902 902 888 12 1052 1058 1058 1052 13 1200 1200 1200 1200 ( ) p S 2828/5525 =0’5119 2838/5525 =0’5137 2828/5525 =0’5119 2834/5525 =0’5129 Estrategia CC CR RR RC Fuente: Montmort (1713), p. 413. (C) cambia; (R) retiene. Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 109 Hemos añadido las fracciones decimales para ( ) p S y hemos etiquetado con CC el caso en que ambos jugadores cambian, CR, cuando Pablo cambia y Pedro retiene, RR, cuando ambos jugadores retienen (ninguno de los dos cambia de carta) y RC, cuando Pablo no cambia de carta y Pedro sí. Se verá que los números de la última columna de la tabla de Montmort se obtienen como ( ) 2 ; c i S de la tabla previa. Volviendo a la correspondencia, la primera carta de Montmort sobre Her contiene la nota de que la ventaja de A se encuentra entre 1 85 y 1 84 . Ya que 2828 1 131 1 5525 2 11.050 84'4 − = = , esto indica que Montmort ha encontrado que la probabilidad de A de ganar es (como mínimo) 2828 5525 . En su réplica, Bernoulli dice que si uno supone que cada jugador elige la estrategia que le es más ventajosa, entonces Pablo elige C, Pedro también elige C, y cuando Pablo elige R, Pedro también elige R, y en ambos casos la probabilidad de Pablo de ganar es 2828 5525 . Sin embargo, añade, es más ventajoso para Pablo usar la estrategia C antes que R, y “esto es un enigma que le dejo para que usted puede exponer”. Obviamente, la nota de Bernoulli se refiere al hecho de que la estrategia C da ya sea 2828 5525 o 2838 5525 , mientras que la estrategia R solamente da 2828 5525 o 2834 5525 . Montmort replica que la solución de Bernoulli coincide con la suya propia. Sin embargo, antes de pedir la opinión de Bernoulli él discutió durante algún tiempo el problema con dos de sus amigos: el Sr. Abad de Orbais (también Montmort lo nombra como Monsoury) y el Sr. Waldegrave, y ellos son de otra opinión; el Sr. Abad de Orbais mantiene que es imposible determinar las suertes María Dolores Pérez Hidalgo 110 de Pablo ni de Pedro, pues uno no puede encontrar la estrategia óptima de Pablo sin conocer la estrategia de Pedro y viceversa, y esto lleva a un argumento circular. Hemos ilustrado esto en la siguiente tabla, asumiendo que Pablo comienza eligiendo la estrategia C. Tabla de suertes de Pablo según las cuatro estrategias Estrategia de Pedro Estrategia de Pablo C R C 2828 5525 2838 5525 2834 5525 2828 5525 ← ↓ ↑ → R Como hemos comentado en el apartado anterior, Montmort muestra la carta de Bernoulli a sus amigos, y en respuesta Waldegrave escribe una carta a Montmort indicando sus objeciones. Aunque usando un razonamiento más sofisticado que el mostrado antes, llegan al argumento circular y sostienen que si los jugadores usan la estrategia C o R no hacen ninguna diferencia. Concluye que la solución de Bernoulli es falsa porque se “al parecer el Sr. Bernoulli se contentó….” (cita ya presentada en el apartado anterior). No es de extrañar que Bernoulli no entienda la implicación de esta nota, ya que los mismos escritores no han comprendido las implicaciones de su punto de vista. Bernoulli no está convencido; ahora da los argumentos para su solución previa. Si Pablo ha elegido una estrategia, C o R, entonces Pedro elige la misma estrategia, porque esta elección minimiza la suerte de Pablo y así maximiza la suya propia; para estas dos combinaciones de estrategias la suerte de Pablo es 2828 5525 . Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 111 Sin embargo, Bernoulli dice que si es imposible para los jugadores decidir qué estrategia usar, pueden dejar la decisión al azar y cada uno elegir una estrategia con probabilidad de 1 2 , lo que hace la suerte de Pablo igual a 2832 5525 . También dice que este procedimiento no lleva a una única solución porque la suerte de Pablo es 2833 5525 si él siempre usa la estrategia C y Pedro deja la decisión al azar. (Bernoulli usa números ligeramente diferentes en su razonamiento.) En la última carta sobre Her, la de 15 de noviembre de 1713, Montmort escribe que ahora está convencido de que las consideraciones de él mismo y de Bernoulli no representan una solución porque ellas presuponen que Pablo conoce la estrategia de Pedro. Adopta la idea de elegir una estrategia al azar y da la suerte de Pablo como ( )( ) 2828 2834 2838 2828 5525 ac bc ad bd pa b c d + + + =+ + , donde ( ) a a b + y ( ) c c d + son las probabilidades de Pedro y Pablo de elegir la estrategia C, respectivamente. Montmort es incapaz de encontrar el valor óptimo de estas probabilidades y concluye que es imposible resolver el problema. Sin embargo, antes de que concluyese su carta recibe una de Waldegrave con la solución, que él incluye en la carta a Bernoulli. Poniendo 3 a = y 5 b = , Waldegrave encuentra que 2831'75 5525 0'5125 p = = cualquiera que sea la estrategia que elija Pablo y así, también, cualquier valor de c y d que él elija. Da una clara discusión de esta solución, mostrando que si Pedro elige cualquier otra estrategia, existe una estrategia para Pablo que hace que la suerte o suerte de Pedro sea menor. Por tanto, 3 a = y 5 b = es la estrategia óptima para Pedro. Además, Waldegrave observa que Pablo es capaz de limitar la suerte de Pedro a 2831'75 5525 María Dolores Pérez Hidalgo 118 Parte de Pablo Cartas de Pablo Pablo se mantiene en el 7. Pedro se mantiene en el 8 Pablo se mantiene en el 7. Pedro cambia en el 8 Pablo cambia en el 7. Pedro se mantiene en el 8 Pablo cambia en el 7. Pedro cambia en el 8 Rey 1200 1200 1200 1200 Reina 1058 1052 1058 1052 Sota 902 888 902 888 Diez 746 724 746 724 Nueve 590 560 590 560 Ocho 434 476 434 476 Siete 360 408 390 390 Seis 444 444 444 444 Cinco 490 490 490 490 Cuatro 528 528 528 528 Tres 558 558 558 558 Dos 580 580 580 580 As 594 594 594 594 Media 8484 13 25 51 ⋅ ⋅ 8502 13 25 51 ⋅ ⋅ 8514 13 25 51 ⋅ ⋅ 8484 13 25 51 ⋅ ⋅ Parte de Pedro Media 8091 13 25 51 ⋅ ⋅ 8073 13 25 51 ⋅ ⋅ 8061 13 25 51 ⋅ ⋅ 8091 13 25 51 ⋅ ⋅ En la investigación de Trembley de la suerte de Pedro, que considera esta suerte en el momento en que Pablo ha hecho su elección si va a cambiar o no. Pero esto es de poco valor para el mismo Pedro; Pedro querría saber cómo actuar en determinadas circunstancias, y antes de que actúe saber si Pablo retuvo la carta que obtuvo en primera o le obligó a un intercambio. Por lo tanto la investigación de Trembley de la suerte de Pedro difiere del método antes Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 119 Los cálculos para dos jugadores se detienen aquí. Como vemos, presenta probabilidades condicionadas. No concluye con una solución global. No entiende el razonamiento de Waldegrave que conduce a la solución minimax antes desarrollada. Concluye esta parte para dos jugadores con el siguiente párrafo: El Sr. de Montmort y sus amigos concluyen entonces contra Nicolás Bernoulli, que este caso era insoluble, porque dijeron que, si Pablo sabe que Pedro se queda en el ocho, él va a cambiar en el siete, pero si Pedro llega a conocer que Pablo cambia en el siete, él va a cambiar en el ocho, llegando a un círculo vicioso. Pero sólo se deduce entonces que cada uno estará perpetuamente en la incertidumbre sobre la forma de juego de su adversario; en consecuencia, Pablo hará un cambio en siete en una jugada dada, pero él no seguirá constantemente este sistema en una secuencia de muchas jugadas. Asimismo Pedro puede cambiar en el ocho en una jugada dada, sin ser capaz de hacer varias jugadas iguales en una secuencia, lo que está de acuerdo con las conclusiones del Sr. Nicolás Bernoulli y en contra de las del Sr. de Montmort. Todhunter (1865) opina que no es correcto decir que la conclusión aquí obtenida coincide con la de Nicolás Bernoulli y en contra de la de Montmort: “Los adversarios de Nicolás Bernoulli sólo parecen haber afirmado que era imposible decir en qué regla Pablo debe actuar de manera uniforme, y esto lo permite Trembley”. Después, en el mismo documento, Trembley hace un intento de resolución del problema del Her para tres jugadores; pero su solución igual que antes, resulta insatisfactoria. Supongamos que hay tres jugadores, Pablo, Santiago y Pedro. Trembley considera que las posibilidades de Pablo y Santiago están en la María Dolores Pérez Hidalgo 120 proporción de las posibilidades del primer y segundo jugador cuando sólo hay dos jugadores; y denota estas suertes por x e y. Toma la proporción de x a y como 8496 a 8079. A continuación supone que las suertes de Santiago y Pedro están también en la misma proporción. Esto no sería del todo exacto, ya que cuando Santiago está estimando su suerte con respecto a Pedro ya tendría algún conocimiento de la carta de Pablo; mientras que en el caso de Pablo y Santiago, el primero no tiene conocimiento de cualquier otra carta que no sea la suya para orientarle sobre mantenerse en su carta o cambiar. Entonces, la insatisfacción de los cálculos de Trembley está en el siguiente paso. Considera que x x y + es la probabilidad de que Pablo le ganará a Santiago, y que y x y + es la de que Pedro le ganará a Pablo; infiere que ( ) 2 xy x y + es la de que ambos, Pablo y Pedro ganen a Santiago, por lo que Santiago será eliminado en la primera jugada. Esto no es correcto: el juego está construido de manera que los jugadores están casi en el mismo plano; por lo que 1 3 está muy próximo a la suerte de que un jugador dado sea excluido en la primera prueba. La solución de Trembley dará 1 4 como la suerte de que Santiago será excluido sí x y = . El error surge del hecho de que x x y + e y x y + no representan aquí suertes independientes; por supuesto si Pablo tiene una carta más alta que Santiago, esto por sí solo produce la presunción de que Santiago tendrá más bien una carta inferior a la de Pedro que superior. Este error en el inicio vicia la solución de Trembley. Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 121 Como parte complementaria de su solución Trembley muestra igual que para dos jugadores, sus cálculos pormenorizados con una larga extensión, que puede resultar tediosa. Fisher (1934) analiza el problema basándose en la exposición de Todhunter; deriva la tabla de ( ) , ; c i j S dada arriba y, por aleatorización, encuentra la solución de Waldegrave. Parece que no ha leído el libro de Montmort y, engañado por Todhunter, considera su solución como novedosa; su exposición del principio de aleatorización es desde luego más claro que el dado por Waldegrave. 3.1.5. SOBRE EL JUEGO DEL TAS El siguiente problema que Montmort en este caso propone para ser resuelto es sur le Jeu des Tas. El juego se describe así en la página 281, Para comprender de qué se trata, hay que saber que después de las recuperaciones de hombre, uno de los Jugadores que a menudo se divierte tiene compartir el juego en diez montones cada uno consiste en cuatro cartas cubiertas, y luego devolviendo la primera de cada montón, pone y quita todas que se encuentran semejantes, por ejemplo, dos Reyes, dos sotas, dos seis, etc., luego devuelve las cartas que siguen inmediatamente aquellos que llegan a dar dobletes y continúa quitando los que vienen por doblete hasta que llega a la última de cada montón, después de retirarlos todos de dos en dos, en cuyo caso solamente se gana. El juego no es del todo un juego de puro azar, porque el jugador con frecuencia puede hacer una selección de los distintos métodos de emparejamiento y la eliminación de las cartas. En la descripción del juego se supone que se María Dolores Pérez Hidalgo 122 utilizan cuarenta cartas, pero Montmort propone el problema para solución general sin limitar las cartas a cuarenta. Se requiere la probabilidad de que el jugador tenga ganancia y también el método más ventajoso de proceder. Él dice que el juego fue rara vez jugado por dinero, pero da a entender que estaba en uso entre las damas. En su página 321 Montmort da, sin demostración, el resultado en un caso particular de este problema, a saber, cuando las cartas se componen de n pares, las dos cartas en cada par están numerados igual; las cartas se supone colocados al azar en n lotes, cada uno de dos cartas. Él dice que la probabilidad de que el jugador gane es 1 2 1 − − n . n En la página 334 Nicolás Bernoulli dice que esta fórmula es correcta, pero él desea saber cómo se encontró, porque él mismo no puede encontrarlo por inducción, poniendo para n en la serie 2, 3, 4, 5, … Podemos suponer que esto significa que Nicolás Bernoulli verificó por prueba que la fórmula era correcta en algunos casos, pero no pudo dar una demostración general. Montmort parece haber pasado por alto la investigación de Nicolás Bernoulli, ya que el problema nunca se menciona otra vez en el curso de la correspondencia. Como el resultado es notable por su simplicidad y, como Nicolás Bernoulli encontró el problema difícil, puede ser interesante dar una solución. Se observará que en este caso el juego es uno de pura casualidad, ya que el jugador nunca tiene ninguna opción de cursos abiertos a él. La solución del problema depende de nuestra observación del estado de las cartas en el momento en el que el jugador pierde, es decir en el momento en el que puede que no haya más pares entre las cartas expuestas para ver; el jugador puede ser así arrestado en el comienzo del juego, o después de que ya ha dado algunos pasos: en este momento el jugador se queda con algún número de lotes, que están todos intactos, y las cartas expuestas a la vista no presentan pares. Esto será evidente en la reflexión. Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 123 Ahora debemos determinar (1) el número total de casos posibles, y (2) el número total de casos en los que el jugador está detenido desde el principio. (1) Podemos suponer que las 2n cartas se van a colocar en 2n lugares, y por lo tanto ( ) 2 ! n será el número total de casos posibles. (2) Aquí podemos encontrar el número de casos suponiendo que los n lugares superiores se rellenaron primero y después los n lugares inferiores. Podemos colocar en primer lugar cualquier carta de las 2n, a continuación, en segundo lugar cualquier carta de las 2n - 2 que permanecen al rechazar la carta acompañante que ponemos en primer lugar, a continuación, en el tercer lugar cualquier carta de las 2n - 4 que quedan por el rechazo de las dos cartas compañeras, y así sucesivamente. Por lo tanto los n lugares superiores se pueden rellenar de 2 ! n n ⋅ maneras. Luego los n lugares más bajos se pueden llenar de ! n maneras. De ahí obtenemos los 2 ! ! n n n ⋅ ⋅ casos en los que el jugador está detenido desde el principio. Podemos dividir cada una de estas expresiones por ! n si nos apetece hacer caso omiso del orden diferente en el suponemos que los n lotes se pueden fijar. Por lo tanto los resultados son ( ) 2 ! ! n n y 2 ! n n ⋅ , respectivamente; vamos a utilizar estas formas. Denotemos por n u el número total de casos desfavorables, y sea r f que denota el número total de casos favorables cuando las cartas consisten en T pares. Entonces ( ) ( ) 2 2 − = ⋅ +Σ − − n n r x r n! u n! f n r ! r! n r ! , la suma se extiende desde 2 r = a 1 r n = − , ambos inclusive. María Dolores Pérez Hidalgo 124 Porque, como hemos dicho, el jugador pierde por quedarse con algún número de lotes, sin continuidad, en el que las cartas expuestas no contienen pares. Supongamos que se queda con n r − lotes, por lo que se ha librado de r lotes de los n lotes originales. El factor de ( ) ! ! ! n r n r − da el número de formas en las que los r pares pueden seleccionarse a partir de n pares; el factor r f da el número de maneras en que estas parejas pueden ser dispuestas de modo que permitan al jugador deshacerse de ellos; el factor ( ) 2 − − n r n r ! proporciona el número de maneras en que los restantes pares n-r restantes pueden ser distribuidos en los n-r lotes sin que haya un solo par entre las cartas expuestas. Es preciso señalar que el caso en que r =1 no ocurre, dada la naturaleza del juego; el jugador, si no es detenido en el principio, sin duda va a ser capaz de eliminar dos pares. Podemos sin embargo si nos complace considerar que la suma se extiende desde 1 r = hasta 1 r n = − , ya que 0 r f = cuando 1 r = . Tenemos entonces 2 1 2   = ⋅ +Σ   ⋅   nr nr f u n! . r! La suma para n u se extiende a un término menos; así hallaremos que 1 1 2 2 − − = + n n n u n u n f . Pero ( ) ( ) 1 1 2 2 ! ; 1 ! n n n u f n − − − + = − Por lo que ( ) ( ) 2 2 2 1 n n n ! u . n ! ⋅ − =− Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 125 De aquí ( ) ( ) ( ) 2 ! 2 2 2 !; ! 2 ! n n n n f u n n − = − = − y ( ) 2 ! 1. ! 2 1 n nn fn n − ÷ = − Este es el resultado de Montmort. 3.2. SOBRE JUEGOS DE DADOS 3.2.1. QUINQUENOVE Cinco y nueve es un juego de dados que puede implicar varios lanzamientos dependiendo de los resultados de los lanzamientos previos. El jugador A lanza dos dados; B gana si se obtiene un 5 o un 9 en el lanzamiento; A gana si se lanza 3 u 11 puntos, o un doble; para el resto de resultados A continua lanzando hasta que, o bien gana B consiguiendo 5 o 9 puntos, o gana A al obtener el mismo número de puntos que le hizo continuar. María Dolores Pérez Hidalgo 126 Considerando el primer lanzamiento, es fácil ver que B gana en 8 casos, A gana en 10 casos, y A continúa jugando en 18 casos de un total de 36 casos igualmente probables. Para encontrar la esperanza de A Bernoulli usa un argumento condicional combinado con el siguiente Lema: Sea e la esperanza de A al comienzo de una partida: Supongamos que hay tres premios, a, b y e y que los correspondientes números de posibilidades son p, q y r. Entonces, ( ) ( ) e pa qb p q = + + . La demostración es sencilla. Bernoulli analiza los casos siguientes. Supongamos que A consigue cuatro puntos en su primer lanzamiento sin conseguir el doblete (2,2). El juego continua entones hasta que A lanza o bien 5 puntos, o bien 9, lo que implica una probabilidad 8 36 , o A lanza 4 puntos, con una probabilidad 3 36 . Para todos los demás resultados A vuelve a la misma situación en la que se encontraba antes de su último lanzamiento. Se sigue del lema que la esperanza de A es ( ) 3 1 8 0 11 3 11 × + × = . De esta forma, Bernoulli encuentra los siguientes resultados: Nº de puntos en el primer lanzamiento 4 6 7 8 10 Probabilidad de continuación 2 36 4 36 6 36 4 36 2 36 Esperanza condicionada 3 11 5 13 3 7 5 13 3 11 Finalmente, Bernoulli calcula la esperanza de A como [ ] 10 1 8 0 4 3 11 8 5 13 6 3 7 36 4189 9009 × × × + × + × + × = . Montmort (1708, pp. 109-113; 1713, pp. 173-177) analiza una versión un poco más general de este juego (Quinquenove) y, esencialmente, usa el mismo método para su solución. Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 127 Una explicación prolija de las reglas del juego junto con el primer problema planteado es la que aquí mostramos: E XPLICACIÓN DE E STE J UEGO. 137. S E sortea en primer lugar entre los jugadores quién tendrá el cubilete. Supongamos que cae en Pedro; y para hacer entender el Juego con más facilidad, supongamos que no hay más que dos Jugadores, Pedro y Pablo. Éste pondrá en primer lugar en el juego una cierta suma; entonces Pedro, lanzando los dados, he aquí lo que ocurre. Si Pedro saca cinco o nueve, pierde, y da el cubilete a Pablo. Si Pedro saca o tres, u once, o un doblete, consigue la apuesta de Pablo. Éste vuelve a poner en el juego, y Pedro continúa jugando. Si Pedro no consigue alguno de los lanzamientos precedentes, no habrá perdido ni ganado. Para explicar lo que ocurre en este caso, supongamos, por ejemplo, que Pedro ha conseguido siete en el primer lanzamiento. Se señalará, 1º, que volviendo a lanzar Pedro, no podrá ganar esta apuesta de Pablo nada más que consiguiendo siete. 2º. Que Pablo está en libertad de arriesgar una nueva apuesta, y que Pedro, paralelamente, en libertad de tenerla o de no tenerla. 3º. Que Pablo, para distinguir esta apuesta de la precedente, la pone debajo, y a ella se le llama montón. 4º. Que si este montón es igual a la apuesta, se le llama montón en el juego; y que cuando no es la misma, se le llama montón en los dados. 5º. Que Pedro, habiendo aceptado este nuevo montón, ganará consiguiendo en el lanzamiento siguiente, o tres, u once, o doblete, o bien consiguiendo en la siguiente esta chance antes que conseguir cinco o nueve; pero no puede ganar la primera apuesta que se ha dicho entrada en el juego, nada más que consiguiendo siete; y por fin, que perderá las dos consiguiendo o cinco o nueve. Supongamos ahora para una más amplia explicación, que habiendo dicho Pedro, Taupe à la masse 7 , consigue de su segundo lanzamiento ocho de otro modo que un doblete, es decir, con seis y 7 Con traducción literal “Topo en el montón”. María Dolores Pérez Hidalgo 134 sólo había dos caras en cada uno de los dados: Montmort propone entonces un problema similar en el que cada uno de los dados tiene cuatro caras. Pensamos que Montmort debería haber registrado el nombre de la primera mujer que hasta entonces había contribuido a la Teoría de la Probabilidad. Se puede observar que la desigualdad de este juego no supone perjuicio alguno a estos Jugadores del otro mundo, que no jugando entre ellos más que cosas cuya propiedad le es común, deben ser bastante indiferentes para la ganancia y para la pérdida. El desprecio que estos pueblos tienen para los que nosotros estimamos más, es una especie de paradoja que no se debe adelantar sin demostración en un Libro como éste. He aquí lo extraído del Barón de la Hontan: En el resto, dice este agradable viajero, estos juegos no se hacen más que para unos festines y para algunas otras bagatelas: pues es necesario señalar que como ellos odian el dinero, no lo ponen nunca en sus partidas. También puede asegurarse que el interés no está nunca causado por la división entre ellos. Creo el deber de añadir que este problema me ha sido propuesto por una Dama, que me ha dado casi sobre la marcha una solución muy justa, sirviéndose de la Tabla, art. 1, pero esta Tabla no sirve aquí más que por azar, pues si los huesos, en lugar de tener dos caras, tuviesen más, por ejemplo cuatro, esta Tabla no sería suficiente, y el problema sería mucho menos fácil que el precedente, así que se podría hacer notar en la proposición siguiente. Otro juego analizado “de pasada” por Montmort es el Pasa-diez, del cual no da apenas descripción de las reglas. Debería ser tan común en la época que no creyó necesario su incorporación. Este juego parece de procedencia española o italiana. Juan Caramuel, en su Kybeia ya lo había analizado en 1670 y estudiado con más profundidad que Montmort. Los profesores Camúñez, Basulto y García Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 135 del Hoyo en su trabajo de investigación publicado sobre Caramuel en 2007 hacen el análisis de este juego y del mismo extraemos el siguiente fragmento: Sobre el juego del Passa-Diez En el Artículo IV el autor (Caramuel) trata los problemas relacionados con un juego que era conocido tanto en España como en Italia como el Passa- Diez. El artículo está dividido en cuatro números y una nota de la que hablaremos más adelante. El primero de esos cuatro números, el LXXIV, lo dedica a describir el juego. Supongamos, por ejemplo, que participan 4 jugadores: Aufrido, Clucio, Dafnio y Balacurio. El mismo dado decide cómo han de sentarse los cuatro jugadores (el orden) y quién es el que lanza los dados (el que saca una puntuación mayor al lanzar el dado). Supongamos que, en este caso, es Balacurio el que lanza. Los otros tres han de apostar (“envidar, en español” escribe Caramuel). Clucio: apuesto un doblón. Aufrido: apuesto cuatro. Dafnio: apuesto cinco. La respuesta de Balacurio a cada uno y por orden debe ser: acepto. Si Balacurio gana, cobra todo ese dinero. Si pierde, pagará a cada uno lo que hayan depositado en la mesa y, sobre esto, Caramuel añade: “Y digo lo de “lo ha depositado” adrede: porque la memoria es traidora y puede originarse un altercado si quien ha envidado cuatro después asegura haber envidado ocho. Por esa razón, la apuesta se hace con el dinero en la mesa, que así no hay lugar a equivocaciones ni fraudes.” Si Balacurio acepta todas las apuestas, entonces lanzará los dados. Si hay alguna que no acepta, entonces no lanza, paga las apuestas que ha aceptado previamente aunque no se juegue y le pasa los dados al siguiente. Hasta aquí este número LXXIV. María Dolores Pérez Hidalgo 136 En el número LXXV se sigue explicando el Passa-Diez. Nos dice que son tres los dados que se lanzan. Si al lanzarlos muestran tres puntuaciones distintas, entonces el lanzamiento es nulo, no tiene validez ni para uno ni para los otros y el jugador vuelve a lanzar. Si al menos dos dados muestran igual puntuación entonces el lanzamiento si es válido y se aplica esta regla: si la suma de las puntuaciones de los tres dados es mayor que 10, gana el que los ha lanzado (Balacurio), si es menor o igual que diez ganan los que han envidado. Entonces se plantea la pregunta: “¿Es éste un juego justo, o –tal como está planteado hoy– favorece al que tira los dados y con los demás es injusto?” Para dar respuesta presenta una tabla de doble entrada en la que, en la primera columna están las parejas coincidentes y en la primera fila los posibles resultados del tercer dado. Dentro de la tabla, las sumas de las tres caras, expresándolas con números romanos cuando dicha suma es menor o igual que 10 (cuando pierde el que lanza) y con números arábigos cuando es mayor que esa cantidad. Al observar la tabla Caramuel dice que hay 36 lanzamientos válidos de los que 18 favorecen a una parte y 18 a la otra, con lo que el juego es “absolutamente justo”. El autor acierta en la conclusión, pero el razonamiento está incompleto. Por ejemplo, hay tres posibilidades de lanzar las caras 2, 2, 1: ( ) 2,2,1 , ( ) 2,1,2 y ( ) 1,2,2 , mientras que sólo hay una posibilidad de lanzar el triple 2: ( ) 2,2,2 , y eso debería haber sido considerado a la hora de concluir. Ahora bien, si eso se hace, observamos que salen 48 ternas cuya suma es menor o igual que 10 y otras 48 que suman más que 10, por lo que, a la postre, su conclusión es correcta. En los números LXXVI y LXXVII se aborda la variante belga de este juego en la que, el que lanza, gana también si los tres dados son iguales aunque no sumen 10 por lo que “están convirtiendo lo que de justo tiene el Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 137 juego en injusticia” pues en lugar de 18 a 18, los lanzamientos ( ) 1,1,1 , ( ) 2,2,2 y ( ) 3,3,3 que perjudicaban al que lanzaban pasan a favorecerle por lo que “quien tire los dados tendrá 21 formas de ganar y 15 de perder”. Si nos atenemos a lo comentado antes, Caramuel tendría que haber dicho “quien tire los dados tendrá 51 formas de ganar y 45 de perder”. El Artículo IV se completa con una Nota correspondiente al número LXXVIII donde el autor comenta que cuando enseñó este tratado a aquél a quien estaba dedicado (“Nuestro Ilustrísimo Señor y Doctísimo Varón”), éste le enseñó una lúcida diatriba, de temática idéntica, redactada por Cristian Severino Longomontano. Y añade: Como era interesante y breve, mereció la pena incluirla en este estudio, más que nada, porque se adentra en los laberintos del Álgebra para dirimir, con gran aparato, una problemática que nosotros hemos acertado a resolver de una forma más breve, clara y sencilla. Como vemos, Caramuel se muestra crítico y reservado ante esta diatriba. Más adelante añade: ¿Qué diría, si cayese en sus manos esta diatriba en la que a las puntuaciones de los talos –tan simplificadas que hasta un analfabeto diría que las entiende– se las hace comparecer ante el tribunal del Álgebra y se les manda que rindan cuentas de los lances del juego ante la mismísima Aritmética, ciencia sutil donde las haya? Aunque al final acepta la intervención del Álgebra ante la posibilidad de que se le pueda causar perjuicio al prójimo en el juego: Y ya que la Teología no se basta para dirimir esta problemática en sus detalles particulares, son de alabar los matemáticos que la asisten con su tesón y su talento; y, entre ellos, el que con pluma aguda y acertada, agregó a los cánones metarítmicos del Álgebra los postulados siguientes. Sigue entonces la diatriba que no es más que la versión latina del tratado de Huygens al completo, con los cinco problemas del final. María Dolores Pérez Hidalgo 138 Queremos terminar este capítulo con la traducción del fragmento que Montmort dedica al juego del Tric-Trac: P R O B L E M A S SOBRE EL TRICTRAC. 148. ES muy útil, para jugar al Trictrac agradablemente y con ventaja, saber en cada lanzamiento del dado, la esperanza que se tiene o de batir, o de llenar, o de cubrir alguna de sus damas por el lanzamiento que se va a jugar. Esto es también lo que conocen bastante los buenos Jugadores; pero no es más que por una gran aplicación y mucho ejercicio que se pueda adquirir la costumbre para el caso en que son un poco compuestos. Por ejemplo, hay pocas personas que puedan ver de un vistazo que estando dispuesto su pequeño Jan, así que en el lado A del Trictrac, ellos tienen un lanzamiento para ganar doce puntos, diez lanzamientos para ganar ocho, tres lanzamientos para ganar seis, dieciséis lanzamientos para ganar cuatro y, por fin, seis lanzamientos para no llenar. Pero lo que pasa extremadamente los conocimientos ordinarios de los Jugadores, y lo que sin embargo les sería muy importante para jugar bien las damas, y hacer modales a propósito, es poder conocer con exactitud la esperanza que se dispone de tener un cierto número de lanzamientos sin romper, o de arreglar su juego de tal o tal manera, en dos o varios lanzamientos. Se pueden descubrir todas estas cosas por los métodos precedentes: He aquí dos ejemplos muy simples donde el último puede tener alguna utilidad. PROBLEMA. PROPOSICIÓN XXII. Pedro apuesta que cogerá su gran esquina en dos lanzamientos. Se pide lo que debe apostar para que la partida le sea igual. Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 139 149. ES necesario señalar, 1º, que Pedro no puede ganar nada más que consiguiendo de primer lanzamiento del dado uno de estos cuatro lanzamientos, seis cinco, quine o sonnés. 2º. Que habiendo conseguido uno de estos cuatro lanzamientos, no ha ganado aún; pero que habiendo conseguido seis cinco del primer lanzamiento, para ganar debe aún conseguir seis cinco en el segundo lanzamiento; y que habiendo conseguido de primer lanzamiento quine, debe para ganar conseguir en el segundo lanzamiento sonnés; y que habiendo conseguido en el primer lanzamiento sonnés, debe para ganar conseguir en el segundo lanzamiento o quine o sonnés. Se sigue de todo esto que la suerte de Pedro será 2 2 1 1 1 2 7 36 36 36 36 36 36 1296 × + × + × = ; así que, para apostar sin desventaja Pedro, debe poner en el juego 7 contra 1289; y tendría ventaja al apostar 1 contra 186 de conseguir su gran esquina en dos lanzamientos. PROBLEMA. PROPOSICIÓN XXIII. Estando dispuestas mis damas así como parece en el lado B del Trictrac, quiero saber cuánto podría apostar por tener dos lanzamientos sin romper. 150. Los azares de los dos lanzamientos son aquí mezclados juntos, y no se deben considerar independientemente el uno del otro. Tan ventajoso que pueda ser mi primer lanzamiento, es claro que mi segundo puede hacerme perder; y al contrario tan desventajoso como sea, no me quita la esperanza de tener en el segundo lanzamiento. La mayor parte de los lanzamientos de dados que pueda conseguir en el primer lanzamiento, diversifican mi expectativa para el acontecimiento del segundo; pero hay quien me deja una igual esperanza. Por ejemplo, pone indiferente conseguir en el primer lanzamiento sonnés o cinco y as, o cuatro y dos, seis tres o cinco y cuatro, y así. Para desenredar todo esto, es necesario buscar cuál es mi esperanza María Dolores Pérez Hidalgo 140 de tener en el segundo lanzamiento en todos los diferentes supuestos de los diferentes lanzamientos del dado que yo pueda conseguir en el primer lanzamiento. La suma de todos estos azares expresará mi suerte, se encontrará que tengo, 1º, dos lanzamientos que me dan 1 36 a saber, seis y cinco. 2º. Tres lanzamientos que me dan 3 36 , a saber, seis cuatro y quine, puesto que habiendo conseguido seis cuatro o quine de primer lanzamiento, tengo para conseguir sonnés y seis y as. 3º. Cuatro lanzamientos que me dan 6 36 , a saber, seis tres, y cinco y cuatro, pues tendría para tener sonnés, seis y as, seis dos y bezet. 4º. Cuatro lanzamientos que me dan 10 36 , a saber, seis dos, y cinco y tres; pues tengo para tener sonnés, seis y as, seis, dos, seis tres, dos y as, tres y as y bezet. 5º. Dos lanzamientos que me dan 12 36 , a saber cuatro y tres, pues tendría para tener en el segundo lanzamiento sonnés, seis y as, seis dos, seis tres, dos y as, tres y as, y bezet. 6º. Cuatro lanzamientos que me dan 15 36 , a saber, seis y as, y cinco y dos; pues tendría para tener seis y as, sonnés, seis dos, bezet, seis tres, dos y as, seis cuatro, tres y as, y doble dos. 7º. Seis lanzamientos que me dan 21 36 , a saber, sonnés, cinco y as, cuatro y dos y terne 8 ; pues tendría para tener sonnés, seis y as, seis dos, bezet, seis tres, dos y as, seis cuatro, tres y as, doble dos, seis cinco, cuatro y as, tres y dos. 8º. Cuatro lanzamientos que me dan 23 36 , a saber, cuatro y as, y tres y dos; pues tengo para tener los mismos lanzamientos que si hubiese 8 La traducción literal de terne es “apagado”, “soso”. Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 141 conseguido de primer lanzamiento cinco y as, y además esta esperanza de conseguir en el segundo lanzamiento cinco y as. 9º. Un lanzamiento que me da 8 36 , a saber, carme 9 ; pues tendría para tener en el segundo lanzamiento dos y as, bezet, seis y as, seis dos y sonnés. 10º. Tres lanzamientos que me dan 27 36 , a saber, tres y as, y doble dos; pues tengo todo para tener en el segundo lanzamiento, excepto cinco y cuatro, cinco y tres, cuatro y tres, quine, carme y terne. 11º. Dos lanzamientos que me dan 32 36 , a saber, dos y as, pues tendría todos los lanzamientos favorables para tener, excepto quine, carme, y cinco y cuatro. 12º. Un lanzamiento que me da 35 36 , esto es bezet, pues sólo tendría en el segundo lanzamiento nada más que quine contra mí. La suerte buscada será, por tanto, 565 1296 , y el justo reparto de la apuesta sería 565 contra 731. Se tendría ventaja al apostar 3 contra 4, y desventaja al apostar 4 contra 5. A D V E R T E N C I A. 151. ES imposible en la mayor parte de las situaciones donde dos Jugadores pueden encontrarse en el Trictrac, determinar cuál es su suerte, y estimar con precisión de qué lado está la ventaja; pues además, la variedad prodigiosa de las diferentes disposiciones posibles de las treinta damas, la manera con frecuencia arbitraria en que los Jugadores conducen su juego, es lo que decide casi siempre la ganancia de la partida. Ahora bien, todo lo que depende de la fantasía de los hombres no 9 La traducción literal actual de la palabra carme es “carmelita”. María Dolores Pérez Hidalgo 142 teniendo ninguna regla fija y certera, está claro que no se puede resolver cuestión alguna sobre el Trictrac, a menos que la manera de jugar no sea determinada. El único problema que se puede resolver de una manera general sobre el juego del Trictrac es este: Encontrar la suerte de dos Jugadores que están en el jan de retorno, cualquier número de damas que tengan aún por pasar, en cualquier lugar en que se encuentren situados. Doy aquí un ejemplo, que bastará para hacer conocer de qué manera se podría encontrar los demás casos más compuestos. PROBLEMA. PROPOSICIÓN XXIV. Pedro tiene las tres damas A, B, C por levantar, y Pablo las tres damas D, E, F; aquél que en primer lugar habrá levantado pasando todas sus damas, ganará. Se supone que está Pedro por jugar, se pide cuál es su ventaja. 152. CUANDO Pedro va a jugar, tiene veinticinco lanzamientos para pasar las dos más atrasadas B y C, ocho para pasar las damas A y C, a saber, seis y as, cinco y as, cuatro y as, tres y as; dos lanzamientos para pasar las damas A y B, y un lanzamiento solamente para pasar B, a saber, bezet. Sea llamado S la suerte de Pedro cuando él va a jugar, x su suerte cuando lleva dos y as, e y su suerte cuando él lleva de primer lanzamiento bezet. Se tendrá 33 2 36 A x y S + + = . El dinero del juego es llamado A. Se trata ahora de determinar las incógnitas x e y; para llevarlo a cabo, es necesario señalar que Pedro, no teniendo más por levantar que la Dama C, no puede ni perder ni ganar por el lanzamiento que jugará Pablo; pero que su suerte será diferente según todos los diferentes lanzamientos que Pablo conseguirá. Pues, por ejemplo, Pablo pasando de su primer lanzamiento las dos damas E y F, si Pedro no pasa de su segundo lanzamiento la dama C, ciertamente habrá perdido, en lugar de Capítulo 3 Problemas Sobre Juegos de Azar 143 lo que él podría ganar aún si Pablo no hubiese pasado de su primer lanzamiento más que las Damas E y D, o solamente la Dama E. Sea entonces llamada u la suerte de Pedro cuando, habiendo conseguido de primer lanzamiento dos y as, Pablo ha pasado de su segundo lanzamiento las damas E y F; h su suerte, cuando Pablo ha pasado las damas D y E; y t su suerte, cuando Pablo ha pasado la dama E. Se tendrá 33 2 36 u h t x + + = . Para conocer el valor de u, se señalará que Pedro, no teniendo más que la Dama C por pasar, jugando su segundo lanzamiento, treinta y cinco lanzamientos para ganar. Para conocer el valor de h, se observará que Pedro no teniendo más que la dama C por pasar, y Pablo no teniendo más que la dama F, Pedro al jugar de nuevo tiene treinta y cinco lanzamientos para ganar, y un lanzamiento para tener 1 36 A : pues supuesto que Pedro jugando por segunda vez, consigue bezet que es el único lanzamiento que puede impedirle ganar, Pablo no ha ganado por esto; podría también conseguir bezet, en cuyo caso Pedro habría ganado. Para conocer el valor de t, se tiene cuidado de que Pedro no tenga más que la Dama C, y Pablo las dos damas D y F por levantar, Pedro jugando por segunda vez, treinta y cinco lanzamientos para ganar, y un lanzamiento para tener 4 36 A : pues Pedro, no ganando de su segundo lanzamiento, Pablo tiene paralelamente cuatro lanzamientos para no levantar todas sus damas, a saber, bezet, doble dos, dos y as. Se tendrá entonces 35 4 36 36 36 t A A = + × . Teniendo así determinadas las incógnitas u, h, t, si se sustituyen los valores encontrados en la ecuación 33 2 36 u h t x + + = , se tendrá 45366 46656 x A = . Ahora es necesario determinar el valor de y. María Dolores Pérez Hidalgo 246 Holgate, P. (1984) The Influence of Huygens’ Work in Dynamics on his Contribution to Probability. International Statistical Review, 52, 2, 137-140. Huygens, C. Oeuvres Complètes. 22 volúmenes. Société Hollandaise des Sciences. Nijhoff, La Haye. 1888-1950. 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