Efecto de la zona de contacto entre fibra y matriz en las propiedades de fractura de materiales compuestos sometidos a carga transversal

69 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 14 EFECTO DE LA ZONA DE CONTACTO ENTRE FffiRA Y MATRIZ EN LAS PROPIEDADES DE FRACTURA DE MATERIALES COMPUESTOS SOMETIDOS A CARGA TRANSVERSAL F P , * J e e - ** J v *** . ar•s , . . ano , . arna * ESII Sevilla, Av. Reina Mercedes, s/n, 41012 Sevilla ** ETSII Valladolid, Paseo del Cauce s/n, Valladolid *** Dept. of Mat. and Prod. Eng., Lulea Univ. of Tecb., Sweden Resumen. El presente trabajo trata de dilucidar si en presencia de despegues entre fibra y matriz, se produce contacto circunferencial entre ambas fases cuando el conjunto está sometido a carga uansversal a la fibra. Se utiliza el Método de los Elementos de Contorno para modelar el problema de fibra única embebida en matriz. El estado tensional se caracteriza colocando a ambos lados del fondo de grieta elementos de geometría circular y con variación discontinua singular en las tensiones. Con la consideración de la zona de contacto se pretende calcular valores de la energía unitaria liberada, usando la técnica del ciene de grieta, para compararlos con los obtenidos usando soluciones analíticas que conllevan interpenetraciones entre fibra y matriz. Ambos resultados serán comparados con medidas experimentales obtenidas en el ensayo transversal de fibra única, con una probeta obtenida del ensayo de fragmentación. Abstract. This paper tries to ellucidate if in presence of debondings between fibre and matrix, circumferential·contact between them arises when the whole set is loaded transVersally to the fibre direction. The Boundary Element Method is used to model the case of unique fibre embedded in a matrix. The stress state is characterized placing at both si des of the crack tip elements with circular geometry and having discontinuous singular evolution of the stresses. Values of the energy release rate, considering the presence of a contact zone, are calculated, using the crnck closure technique, to be compared with those obtained using analytical solutions that involve interpenetrations between fibre and matrix. Both results are compared with the ex-perimental values obtained from the tranSVersal t es t of unique fibre, the specimen having been obtained from a fragmentation test. l. INTRODUCCION El comportanúento transVersal y a cortadurn de materiales compuestos unidireccionales es donúnado por las propiedades de la matriz y de la interfase fibrnmatriz. El que el fallo se produzca en la matriz o bien como un despegue en la interfase depende del tipo de carga y de las propiedades de frncturn de la matriz y de la interfase. La situación generalmente aceptada es que se generan despegues localizados entre fibra y matriz que coalecen y dan lu gar a una macrogri eta . England [ 1] resolvió el problema de una grieta en forma de arco entre materiales diferentes, solución que Toya [2] utilizó para encontrar ex-presiones de tensiones Y desplazanúentos que han sido empleadas parn el propósito descrito en el párrafo anterior. Es~ soluciones, que suponen superficies libres en los _ labiOS de la grieta, presentan tensiones con singulandades oscilantes y el campo de desplazamientos conduce a interpenetraciones entre las superficies libres de fibra Y matriz en el entorno del fondo de grieta. La predicción del crecinúento de una grieta de despegue transversal entre fibra y matriz requiere al menos del conocimiento mu y preciso del estado tensional en el entorno del fondo de grieta para poder así apli ca r la técni ca del c iene de grieta, que se basa en qu e la energía de deformación liberada durante la pr opagación es equivalente al trabajo requerido para devolver la grieta a su posic ión antes de la liberación. Estos hechos son manifestaciones de la presencia 1 ~ · n as una zona de contacto entre la fibra y la matnz e proxinúdades del fondo de grieta, zona de conta~~ cuya existencia desde un punto de vista conce~tual es puesta de manifiesto por Comninou [31 para diferent situaciones de carga. l 1 1 70 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 14 (1997) Para dilucidar la influencia que esta potencial presencia de l_a zona de contacto pudiera tener en el estado tensiOnal en el entorno del fondo de grieta y por ende en la energía unitaria liberada al propagarse la grieta de de~P_e~e, se desarrolló un procedinúento numérico de análisiS basado en el método de los elementos de contorno, del Caño [4], que contempla la posibilidad de contacto entre fibra Y matriz antes mencionado El estado t~nsional encontrado, del Caño et al [5}, ~rúa de ~esto la p~sencia de esta zona de contacto ~ptada solo a partu de ciertos tamaños de grieta (de Ciertos an~~os de ~espegues entre fibra Y matriz), lo qu~ ~~uenna una Cierta explicación para no entrar en cohsi~n con la conclusión genérica obtenida r Commnou. po El proJ?ásito del presente trabajo es dilucidar la prese~cla ~ n~ d~ zona de contacto y su influencia en la energm umtana hberada, todo ello en orden a evaluar si los resultados ex-perimentales encontrados por Varna et al l?J,. que presentaban serias discrepancias con las pre~cciOnes e~contradas usando las fórmulas de Toya , podl~ ser meJ~r aproximados con el uso de la técnica numenca menc10nada. 2. DESCRJPCION DEL PROBLEMA Dad~ que las s~paraciones que se producen tienen una l~n~tu~ apreciable, es aceptable inicialmente la hipoteSIS ?~ deformación plana. Ello permite la representaclOn transversal que aparece en la Figura 1 donde por si~etria sólo se representa el dominio x2 >o: Antes de aphcar la carga existe una zo na, dDb en la fi~ra, en que hay adhesión entre fibrn y matri z, rmentras que el resto, dDc+dDs en la figura, representa la zona inicialmente no pegada. O o O o ... ... ... ... ..- ... ..- ... ... ~ dD5 .... ... ~ .... ~ ____. Figura 1 G , una m : eometrta de una fibra única embebida en atnz con despegues transversales. Después de la r · · d d ap iCac10n de la carga remota cr 0. la zona a~c ~~~~ puede dividirse en una zona de contacto, figrua gura, Y una zona de separnción, aD s en la Tomando desplaza . como referencia un deben a ~~nto s Y t ens ion es de la ' 0 argo de dDb, satis fa cer: siste ma polar, fibrn y la matriz m f m f _m f u =u · u =u . 0_ - ~ . ~m _ ~f f f' e e' f - Vf ' V re -V r8 ( 1) Las caras libres de fibra y matriz a lo largo de dDs satisfacen: m_ m f f m f crr-a =a=a =O·u -u>O re r r8 ' r r- (2) Las condiciones de contorno a lo largo de la zona de contacto dDc, suponiendo ausencia de fricción, son: m f.Jll f f u = u · o_ = a < O · am - a - O r r ' r r - , re - re -(3) El problema es resuelto usando el Método de los Elementos de Contorno cuyos fundamentos pueden encontrarse en París y Cañas [7]. Los contornos rectos de_l problema se modelarán con elementos lineales n:tientras que la interfase entre fibrn y matriz seiá smml~~a con elementos circulares con variación parabohca de desplazamientos y tensiones. El carácter adecuado de estos elementos para simular problemas de con~cto curvo ha sido recientemente puesto de marufiesto P?r del Caño y París [8]. A ambos lados del f?ndo de gneta se utilizaián elementos discontinuos smgul~~es de dos nodos [4] que permiten una evoluc10n de las tensiones de la forma: e ara=-;:¡+ A a = r,9 ; O ~y~ 1 (4) S donde s es la d~stanci~ al fondo de grieta y y representa el orden de la smgulandad (1/2 en ausencia de fricción). Una _vez res~elto el problema, el valor de C se puede relac~~nar directamente con los factores de intensificaclOn de tensiones K¡ o Kn, dependiendo de la componente que se considere del estado tensional. El pr?blema bajo consideración pertenece a la clase conocida como problemas de contacto con retroceso ~onde la. extensión final de la zona de contacto ~ mdepend1ente, para un determinado tipo de carga, de la cantldad de_ carg~ aplicada. El problema puede pues ser resuelt?. 1terat1vamente, suponiendo una cierta extens10n d~ la zo~ . de contacto, resolviendo y chequeando mcompatlbihdades (interpenetraciones fuern de la ~ona de contacto y tracciones a lo largo de ella) y resolviendo un nuevo problema con las modificaciones hechas de ac~e~do a las incompatibilidades encontradas. Este procedmuento es una particularización, para el caso con retT?ceso que no s ocupa, del procedimiento ~eneral descnto en París y Garrido [9}. La elevada ng¡dez de la fibrn c_on_ respecto a la matriz permite desarrollar un proce_diffilento particular [ 4], resolviendo por separndo los SiStemas de ecuaciones relacionados con la fibra y la matriz. La propagació~. del despegue será analizada usando el balance energeuco: la energía requerida parn producir nuevas superficies es igual a la energía liberada en la 71 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 14 (1997) propagación del despegue entre fibra y matriz. Así la propagación ocurrirá para un detenninado ángulo de despegue ed cuando: (5) donde Gc representa el valor critico de la erergía liberada asociado a la imerfase entre fibra y matriz, necesario para el crecimiento del despegue. La técnica del cierre de grieta será usada para calcular la energía liberada. Así, si la zona despegada pasa de un valor ed a un valor ed + 8 (8 << 8d), la erergía liberada es igual al trabajo que se requiere para el cierre de la grieta. Así, el trabajo requerido por unidad de longitud de la grieta es: Las tensiones orr)ad y ore)ad corresponden a las existentes en la zona pegada a lo largo de una longitud 8 con un despegue de valor 8d. Los desplazamientos ur) ad + ~ y ue) acrto son desplazamientos relativos de los labios de la grieta (apertura y deslizamiento respectivamente) asociados a un despegue de valor ed +8. El subíndice 8 en G se ha mantenido para recordar que el valor así calculado es función del valor o tomado. Cuando la e>.:presion (6) se aplique a valores de ed que conlleven la presencia de zona de contacto, sólo el segundo término será significativo dado que el valor de ur a lo largo de 8 es nulo. Puesto que en Elasticidad lineal la energía es proporcional al cuadrado de la carga aplicada, podemos introducir la magnitud energía unitaria liberada normalizada en la siguiente forma: De las ecuaciones (5) y (7) se deduce la forma final del criterio de fallo que involucra al valor del despegue original ed y al valor de la tensión remota aplicada o0 para conseguir la propagación del despegue: a . = o cnt (8) Si la tensión critica que produce la propagación del despegue para una e:-,.1ens ión de éste de valor 8d. es obtenida de un experimento, la ecuacion (8) puede ser utilizada para calcular el valor de Gc. 3. RESULTADOS DEL ANALISIS TENSIONAL La geometría, dimensiones y propiedades de los materiales analizados (fibra de vidrio y resina epoxy) se representan en la Figura 2. El problema se analizará en deformación plana que puede ser considerada la situación que aparece en un ensayo transversal de una fibra única que ha sido previamente sometida a un ensayo de fragmentación, Varna et al [6]. vf =coeficiente Poisson (fibra)= 0.22 vm = Idem (matriz)= 0.33 Gf =módulo de cortadura (fibra)= 29.109 Pa om = Idem (matriz)= 1.05.109 Pa a= radio de la fibra= 8.5 10-6m. 100 a O o :r 1 ... ~lr~ X ~ Figura 2. Definición del problema. O o • • • • • • ... • La primera cuestión a clarificar es la presencia o no de zona de contacto. La Figura 3 muestra la evolución de las zonas de contacto y separación en ftmción del ángulo de despegue entre fibra y matriz. Se ha incluido también el tamaño de la zona de interpenetración de acuerdo a los resultados analíticos de Toya [2] que no considera posibilidad de zona de contacto. 90 80 S ., 70 ·!! Q 60 ... ., so .!: Zona de separación \ .. 40 -e " 30 ·= ~ ;¡ 20 f-o 10 o o 30 60 90 120 tSO Tamaño del despegue (•) . . ., del Figura 3. Zonas de contacto y separac10n en funcwn ángulo de despegue. · · rnuesua La evolución de la zona de separa~ 100 aJores claramente un valor asintótico. no apareciendo v 72 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 14 (1997) superiores a 90 grados por muy grande que sea el despegue inicial. Por el contrario, el tamaño de la zona de contacto aumenta con el ángulo de despegue una vez que su presencia puede ser detectada por la discretización Ello no se produce para valores por debajo de 30 grados, siendo sólo apreciable dicha zona desde un punto de vista físico para valores superiores a 60 grados aproximadarneme. La evolución de las interpenetraciones es cualitativamente similar a la evolución de la zona de contacto aunque de valor ligerameme mayor. Ello puede entenderse inspeccionando la Figura 4 donde para el caso de despegue de 80 grados se muestra la interpenetración predicha por la solución de Toya y la zona de contacto obtenida aplicando el ME C. 0.04 ....... ----------------, ~ Desp~ue Anal. [2] ~ de80 .. 1:1 ü .. 0.02 ., "' "a ;e !! ~ e 0.00 ~ a .. ... .. c. ~ Q -0.02 65 70 75 80 SS Angulo(") Figura 4. Desplazamientos radiales en el entorno del fondo de grieta para un despegue de 80 grados. Un razonamiento básico de medios continuos deforrnables permite intuir que si a partir de la solución con interpenetraciones se pretende alcanzar una solución compatible, ello requerirá la aplicación de una compresión en la superficie de ambos sólidos en orden a separar los dos contornos, produciéndose consecuentemente una zona final de contacto de menor e>..1ensión. La distribución de tensiones obtenida está en consonancia con la presencia o no de zona de comacto. La Figura 5 muestra la distribucion de tensiones en el entorno del fondo de grieta para un angulo de despegue de 80 grados. La tensión normal de compresión en la zona de contacto es singular así como la tensión tangencial en la zona pegada. Por contra, la tensión normal en la zo~ pegada es no singular dependiendo su signo de la tenst~n radial nominal correspondiente al caso bajo estudio en ausencia de grieta, que para el caso de 80 ~rados que se muestra es de compresión, como puede ~se~arse en ~a Figura 6. Valores de despegue el!?res (por eJemplo 60 grados) conducirían a una tensJOn radi~ de tracción de carácter no singular en la zona pegada mmediata al fondo de grieta coexistiendo ~n~ . ' . . pre se nc1 a de una zona de contacto donde la tens10n radt.al b · · · es o vtamente de compres 10n . Figura 5. Tensiones en el entorno del fondo de grieta para un ángulo de despegue de 80 grados. so 40 ~ "' c. 5 30 "' :e 20 "' .. S:: 10 ~ ¡j ¡... o -10 o 10 20 30 40 so 60 70 80 90 Angulo (0) Figura 6. Tensión radial a lo largo de la interfase para el caso de pegado total entre fibra y matriz. 4. CRITERIO DE FALLO De acuerdo a lo indicado en el apartado 2 se puede calcular la energía unitaria liberada una vez se conoce el estado tensional. Así, para el caso de despegue de 80 grados el estado tensional que aparece en la Figura 5, debe combinarse con los desplazamientos que aparecen para un despegue ligeramente superior. En la Figura 7 se representan los desplazamientos para el caso de un despegue de 80.5 grados. No existen grandes diferencias entre los valores calculados con el MEC y los predichos por la solución analítica para los deslizamientos relativos tangenciales, pero sí para los normales, debido a la presencia de zona de contacto. La Figura 8 representa· la evolución de esta erergía normalizada, habiéndose representado los valores numéricos obtenidos con el Método de los Elementos de Contorno y los encontrados con la solución analítica de To ya [2]. El ángulo 8 ha sido tomado de 0.5 grados para la solución numérica, no apareciendo variaciones significativas para valores más pequeños. 73 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 14 (1997) 0.03 0.02 ~ "' o ~ ¡ 0.01 Deslizamiento 1! Despegue de 80 .5 r> ! e 1 0.00 i5. .0.01 ./" "' .. Separación Q .0.02 80.0 80.1 80.2 80.3 80.4 80.5 Angulo (") Figura 7. Desplazamientos relativos a lo largo de la zona despegada cerca del fondo de grieta para el caso de despegue 80.5 °. 0.8....--------------., "' ., "' ... 0.6 .. ,!:! .. -., "' "' "C~ ,!!"i 0.4 = E "' o .!! :: f." 0.2 .. :: ¡.:¡ 30 60 90 120 ISO Angulo de despegue (") Figura 8. Valores normalizados de G en función del despegue inicial. Los resultados asociados al uso de la solución de To ya implican la ausencia de una zona de contacto, creciendo la grieta en modo mixto. El modelo numéri co no detecta zona de contacto para ángulos de despegue menores de aproximadamente 30 grados, siendo en cualquier caso muy pequeños entre 30 y 60 grados. Tan pronto como una zona de contacto es detectada la posible propagación de la grieta se produciría en un modo 11 puro. Resulta por consiguiente coherente la relación encontrada entre los valores de la energía unitaria normalizada encontrada por ambos caminos. Hasta 60 grados ambos valores practicamente coinciden, produciendose discrepancias importantes a partir de 60 grados donde el método numérico só lo incorpora a la expresión (6) los valores de cortadura. En cualquier caso es importante remarcar qu e ambos enfoques predicen una zona de crecimiento inestable hasta un valor aproximado de unos 63 grados para los materiales considerados, produciéndose a partir de ahí una zona de crecimiento estable donde de acuerdo a lo indicado anteriormente los valores numéricos se mantienen por debajo de los analíticos. Lo correcto de esta tendencia puede claramente observarse en la comparación con resultados e:-.:perimentales que se indica en la Figura 9. En ella aparece en el eje horizontal el angulo de d es pegue y en el vertical la tensión a0 que provoca el crecimiento de la grieta. Observese en primer lugar que no aparecen ángulos de despegue menores de 60 grados, dado que experimentalmente no fue posible obtenerlos, lo que puede explicarse por el carácter inestable del crecimierúo que se puso de manifiesto entre O y 60 grados aproximadamente en la Figura 8. La solución numérica obtenida con elementos de comorno claramente manifiesta una tendencia superior a ajustarse con los resultados experimentales medidos. El valor de Gc ha sido obtenido aplicando la expresión (8). El valor superior predicho por el uso de la solución analítica de Toya está justificado por la inclusión del modo 1 de fractura que no se produce en cuanto aparece zona de contacto. 150~-------------------------,~--, ~ 100 Q. ~ ll: ~ :e '"' 50 es ~ ~ o 60 G =25J/m2 e Cl test -- Ana1[2] -MEC 70 80 90 Angulo de despegue (0) e 100 110 Figura 9. Valores numéricos y experimentales de la tensión remota crítica que provo ca la propagación de la grieta. 5. CONCLUSIONES La coincidencia en la aparición de una zona de contacto de tamaño físico y el cambio de comportamiento estable a inestable a aproximadamente el mismo valor del ángulo de despegue (63 grados en -~1 caso considerado), claramente sugiere una correlac10~ emre estos dos hechos, correlación que puede ser cuesuonada si observamos por un lado que zona de contacto es detectada desde valores del ángulo de despegue de 30 grados y que por otro lado la solución de Toya, que no incluye zona de contacto, predice un camb10 de comportamiento cualitativo similar. La coherencia entre estos hechos . requiere U: e":plicación más profunda. Con refereocJ.a a la zo~. , contacto hay dos razones para su apanclo; Conceptualmente hablando, la presencia de una zona n contacto en una grieta entre materiales diferente_s ~~~d fenómeno local originado por la falta de compaub~ 1 los de la deformación paralela a la grieta en puntos e es · ta Es ta dos materiales adyacentes al fondo de gne · 74 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 14 (1997) una zona de contacto rnicromecánico que ni siquiera un método tan preciso como el :MEC puede detectar incluso usando elementos del orden de 0.0001 grados. Hay otro hecho que puede afectar o no a la presencia de zona de contacto, cual es la oriemación relativa del fondo de grieta con respecto a la linea de carga, oríemación que varía con el ángulo de despegue y que pone de manifiesto la presencia de una zona de contacto de manera fisicameme identificable a partir de los aproximadarnerúe 63 grados ya mencionados. No existe de esta forma ninguna incongruencia entre los resultados generales de Comninou y los aquí encontrados. Por otra parte el cambio de carácter del crecimiento de inestable a estable, está sin dud a ligado a la orienta~ión relativa del fondo de grieta. Es aceptable que una grieta pequeña colocada en la posición O grados crezca inestablemente mientras q ue la misma grieta colocada en la posición a 90 grados, alineada con la carga, lo haga establemente. Es coherente por tanto que exista una posición intermedia (63 grados para el problema considerado) donde se producirá el cambio de comportamiento. Puede por tanto concluirse que la presencia de una zona de contacto de tamaño fisico y el cambio de comportamiento de inestable a estable son dos manifestaciones del mismo fenómeno: el cambio de orientación de la fisura con respecto a la dirección de la carga aplicada. Por consiguiente la detección de la presencia de una zona de contacto para ángulos menores de 63 grados es debida a un fenómeno local originado por la existencia de materiales con propiedades diferentes. Resulta finalmente entendible que el modelo analítico de To ya, que no conlleva zona de contacto prediga el cambio de comportamiento para el mism¿ va lor , dado que el estado tensional analítico se ve de i~l ~~era que el numérico afectado por el cambio de onentaciOn relativo de grieta y carga al variar el ángulo de despegue. ~odos lo ~ resultados presentados en este trabajo han s~do ~~endos al caso de deformación plana, pudiendo la SltuaciOn real encontrarse más cercana al caso de ?eforrnación plana generalizada. Para evaluar la influencia de estas condiciones se ha considerado también el caso de tensión plana generalizada, como caso extremo, obteniéndose una variación, para el caso de ~~spegue de 80 grados es tudiado, de un 5% en la tens10n de rotura lo que hace aceptable los valores encontrados con el modelo de deformación plana. Agradecimientos. Los autores españoles agradecen el soporte recibido del Ministerio español de Educaci ón bajo el Proyecto MAT 95-1672-E. Los autores quieren mencionar que este trabajo ha sido realizado en conexión con el proyecto BRITE BRE2-0453/BE5542. 6. REFERENCIAS [1] England A. H., " An Aic Crack Around a Circular Elastic Inclusion ", J. of Appl. Mech., September, pp . 637-640, 1966. [2] Toya M., "A Crack Along the Interface of a Circular Inclusion Embedded in an Irñmite Solid" J. Mech. Phys.Solids, Vol. 22, pp 325-348, 1975. ' [3 ] Comninou, M. y Schmuesser, " The irúeñace crack in a Combined Tension-Compression and Shear Field", J. of Appl. 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