Aplicaciones de la Teoría de Juegos

Trabajo Fin de Grado Facultad de Matemáticas Aplicaciones de la Teoría de juegos Hugo Montilla Anta Aplicaciones de la Teoría de juegos Hugo Montilla Anta Grado de Matemáticas Sevilla, Junio 2025 Tutorizada por Antonio Rufián Lizana ÍNDICE 1 Índice Resumen ..................................... 4 Prólogo...................................... 5 1. Definiciones 7 UtilidadoPago.................................. 7 Estrategias .................................... 9 OptimalidaddePareto.............................. 11 EquilibriodeNash................................ 11 Dominancia y racionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Clasificación de juegos 14 Según el número de jugadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Cooperativos o no cooperativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Sumaconstante ................................. 15 Simultáneos o secuenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Simétricosoasimétricos............................. 16 Información completa o incompleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Juegos simultáneos 18 Juegosbipersonales ............................... 18 Juegosdesumacero............................ 19 TeoremaMinimax............................. 21 Programación lineal para la resolución de juegos de suma nula . . . . 22 EquilibriodeNash................................ 25 Ejemplo con estrategias puras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ejemplo con estrategias mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Representación de juego de tres jugadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ÍNDICE 2 4. Juegos dinámicos 31 Estrategias .................................... 33 Forma normal de un juego en forma extensiva . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Equilibriodesubjuegos.......................... 37 Inducciónhaciaatrás ........................... 38 Críticas al equilibrio perfecto en subjuegos . . . . . . . . . . . . . . . 40 5. Introducción a la Teoría de la Negociación 43 Teoríadeutilidad ................................ 44 Problema de negociación de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Promesas..................................... 47 Amenazas..................................... 48 Aplicaciones de la teoría de negociación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6. Referencias 52 agradecimientos 3 ■Agradecimientos Brevemente reconocer cual ha sido el pilar fundamental que me ha apoyado en todo el camino recorrido hasta ahora y que siempre me apoyara, mi familia. Especialmente a mi consejera y hermana Alba, siempre ha estado para ayudarme y darme un punto de vista diferente. Finalmente, reconocer el trabajo de los profesores que han invertido sus esfuerzos en transmitir sus conocimientos y ayudarnos a entenderlos. Especialmente a mi tutor, Antonio Rufián Lizana, por brindarme la oportunidad de hacer este trabajo sobre la Teoría de Juegos y ayudarme tanto en el proceso. resumen 4 ■Resumen El próximo proyecto trata de estudiar la Teoría de Juegos y algunas de sus aplicaciones. Comienza con las definiciones (capítulo 1) de los términos que utilizaremos a lo largo del trabajo, seguido de la clasificación de juegos (capítulo 2) mostrando cuales son los principales criterios para clasificar los juegos. Tras los apartados introductorios, el texto entra en materia examinando los principales resultados sobre juegos no cooperativos: juegos simultáneos (capítulo 3) y juegos dinámicos (capítulo 4). Al final trataremos el problema de la negociación (capítulo 5), añadiendo algunos ejemplos de la actualidad. ■Abstract The following project aims to study the Game Theory and some of its applications. It begins with the definition (chapter 1) of the terms we are using along the project, followed by the classification (chapter 2) in which the essential criteria for the distinction of the games are shown. After the introductory sections, the text comes into question examining the main results of non– cooperative games: strategic games (chapter 3) and dynamic games (chapter 4). Finally we discuss the bargaining problem (chapter 5), adding some examples from nowadays. prólogo 5 ■Prólogo ”No tomar una decisión ya es una decisión.” William James Todo ser humano toma miles de decisiones día a día, alguna de ellas conscientemente y la mayoría de forma inconsciente, pero todas ellas moldean nuestro presente y condicionan nuestro futuro. A medida que maduramos, nuestras elecciones se vuelven más complejas y están cada vez más influenciadas por nuestra experiencia, nuestras relaciones, y nuestro conocimiento del entorno. Decidir no es solo elegir entre opciones, sino asumir consecuencias en un mundo donde, aun actuando con objetividad, el resultado puede ser incierto. Siempre hemos estado tras el conocimiento que nos permita mejorar nuestro resultado. El razonamiento estratégico, que puede entenderse como el paso previo a la toma de decisiones, ha sido siempre la forma de prepararnos para afrontar un problema. Este razonamiento no solo implica analizar nuestras propias opciones, sino también anticipar las posibles decisiones de otros agentes involucrados. Comprender sus incentivos, motivaciones y restricciones nos permite ajustar nuestras estrategias en función del contexto, lo que transforma la toma de decisiones en un proceso dinámico e interdependiente. En el ámbito económico, la formalización de esta búsqueda no llegaría hasta 1944 con la publicación de "Theory of games and economic behaviour" por John von Neumann junto con Oskar Morgenstern, dotándosele del nombre de Teoría de Juegos y desarrollando los postulados básicos para el estudio de conflictos económicos, que luego extenderían otros matemáticos como: Albert W. Tucker, John Forbes Nash, o más tarde Reinhard Selten y John Maynard Smith, por citar algunos. En el prólogo de su libro sobre comportamiento económico, John von Neumann dice que trata de hacer con la economía lo que Newton con el movimiento de los planetas. No se trata de describir lo que se ve, se trata de entender las causas para que las cosas sucedan y tratar de estimar el comportamiento futuro. La idea es que los astrónomos solo describían los movimientos celestes, pero Newton encontró las leyes que explicaban esos movimientos y eso le permitía predecir cómo evolucionarían. El concepto que nos ocupa, la Teoría de Juegos, en la actualidad abarca numerosos campos y se desarrolla a través de diversas disciplinas entre las que des- prólogo 6 tacan la biología, sociología, política, psicología, filosofía, economía y ciencias de la computación. definiciones 7 1 Definiciones Para comenzar con la Teoría de Juegos, primero deberíamos tener claro a que llamamos juego. Un juego es un modelo matemático en el que dos o más decisores se encuentran en una situación donde hay un conflicto de intereses, de manera que las decisiones que tomen pueden afectar al resto. Los decisores pueden ser personas, grupos o incluso entidades y les daremos el nombre de jugadores. Dentro de esta definición, además de tener los juegos en su definición estricta como son el ajedrez o el poker, podemos considerar también como un juego la forma en la que se eligen los precios en un mercado o la forma en la que se reparten dos personas cierta cantidad de dinero. En este texto se analizará la Teoría de Juegos bajo la siguiente suposición: en un conflicto los jugadores son racionales, es decir, cada jugador entiende las reglas del juego y busca el máximo beneficio propio (no hay compasión con el resto de jugadores). Cabe mencionar que la Teoría de Juegos no reconoce la posibilidad de hacer trampas, se debe jugar para ganar siguiendo las reglas. ■Utilidad o Pago Aquí cabe mencionar a Daniel Bernoulli, matemático de origen holandés y rector de la universidad de Basilea, quién introdujo la teoría de la utilidad esperada, utilizándola posteriormente para resolver la paradoja de San Petersburgo. Antes de entrar más a fondo en la paradoja de San Petersburgo, cabe definir un concepto que utilizaremos después. Llamamos pago o utilidad a la anticipación que espera obtener un jugador al realizar una acción. De esta forma el comportamiento de cualquier jugador estará influido por la utilidad que espera recibir al tomar una decisión. ■Paradoja de San Petersburgo El jugador tiene que pagar una tarifa para participar en el juego. A continuación este realiza lanzamientos sucesivos de una moneda hasta que salga cruz por primera vez. Entonces se detiene el juego, se cuenta el número de lanzamientos que se han producido, y el jugador obtiene 2𝑛euros, donde n es clasificación de juegos 14 2 Clasificación de juegos En la Teoría de Juegos hay una gran variedad de formas de clasificar los juegos, aquí citaremos solo algunas de ellas y más adelante entraremos en mayor profundidad. ■Juegos según el número de jugadores Podemos diferenciar tres casos diferentes: un solo jugador, esta teoría recibe el nombre de Teoría de la Decisión, la cual no trataremos en este trabajo. Dos jugadores, estos juegos reciben el nombre de juegos bipersonales y son de gran importancia, como ejemplos tenemos el ajedrez o el blackjack. Y por último, los juegos donde hay más de dos jugadores, los juegos con n-jugadores (n>2). ■Juegos cooperativos o no cooperativos Un juego se dice cooperativo, o coalicional, cuando los jugadores no compiten sino que colaboran para conseguir el mismo objetivo, lo que da lugar a la formación de coaliciones entre jugadores, pudiendo así tomar comportamientos cooperativos. Por lo tanto ganan o pierden en conjunto, pues el juego es una competición entre coaliciones de jugadores y no entre jugadores individuales. La Teoría de Juegos cooperativos se centra en la estabilidad de coaliciones, las acciones conjuntas que los grupos toman y la distribución justa de ganancias. ■Ejemplo 2.1 - Juego de las Empresas Conjuntas Imagina que tres empresas (A, B y C) están considerando formar una coalición para desarrollar un nuevo producto. Cada empresa tiene recursos y habilidades diferentes, y el éxito del proyecto depende de cómo combinen sus esfuerzos. El beneficio total que pueden obtener depende de las coaliciones que formen: 1. Si A y B se unen, pueden generar un beneficio de 100 millones de dólares. 2. Si A y C se unen, pueden generar un beneficio de 120 millones de dólares. 3. Si B y C se unen, pueden generar un beneficio de 80 millones de dólares. 4. Si A, B y C se unen, pueden generar un beneficio de 200 millones de dólares. 5. Si actúan por separado, cada una obtiene 0. El objetivo de las empresas es decidir si forman una coalición y, en caso afirmativo, cómo distribuir los beneficios entre ellas. clasificación de juegos 15 Por otro lado tenemos los juegos no cooperativos, introducidos por Nash en su tesis. En este tipo de juegos los jugadores deciden de forma independiente compitiendo entre ellos y buscando el máximo beneficio. La Teoría de Juegos no cooperativos se enfoca en predecir las acciones y ganancias de los jugadores individuales y analizar los equilibrios de Nash. La mayor parte de los juegos que se estudian en la Teoría de Juegos son no cooperativos, entre ellos el juego de la moneda. ■Juegos de suma constante Un juego es de suma constante es aquel en el que la suma de los beneficios de todos los jugadores es constante, el interés de cada jugador está en conflicto directo con el de los demás, como es el caso del juego de las monedas. Los juegos donde lo que pierde un jugador lo gana el otro se llaman juegos de suma cero. Como ejemplo de juego de suma cero podemos considerar el poker, donde las perdidas de un jugador se reparten entre los otros jugadores. ■Juegos simultáneos o secuenciales Un juego simultáneo o estratégico es aquel en el que los jugadores toman decisiones sin conocer las que otros jugadores han tomado, porque las decisiones se tomasen de forma simultánea o por otro motivo. Se representan en forma normal como ya hemos visto antes, es decir con una matriz de pagos, y se resuelve mediante el equilibrio de Nash. Un ejemplo bastante común es el piedra-papel-tijeras. Otro ejemplo es el juego del uno al... , donde se elige un reto, un número x>1 y dos jugadores dicen simultáneamente un número natural en el rango [1,x]. Uno de los jugadores hace el rol de adivino y el otro de retado, en caso de coincidir el número el retado deberá llevar a cabo el reto acordado. Los juegos secuenciales o dinámicos son juegos en los que los jugadores posteriores tienen algún conocimiento de las acciones previas, es decir, los jugadores toman sus decisiones en un orden específico. En estos juegos el conocimiento puede ser perfecto, es decir, recuerdan todas las acciones anteriores, clasificación de juegos 16 o imperfecto en caso contrario. Estos juegos tienen una forma de representación distinta a la forma normal, llamada forma extensiva, la cual veremos más adelante. ■Ejemplo 2.2 - Juego del ultimátum Consideramos dos jugadores, a uno lo llamaremos proponente y al otro receptor. El proponente debe decidir una única manera para repartir 100 entre ambos jugadores. El receptor, por su parte, podrá aceptar o no dicha propuesta. En caso de no aceptar, ningún jugador ganaría nada. Por el contrario, si acepta se procede al reparto según la propuesta realizada por el proponente. Aquí vemos como el receptor actúa después que el proponente y además sabe cual ha sido la decisión de este, por lo que estamos ante un juego bipersonal, secuencial y de información perfecta. ■Juegos simétricos o asimétricos Un juego simétrico es un juego donde las recompensas por jugar una estrategia en particular dependen solo de las otras estrategias empleadas, no de quién las está jugando. Es decir, si se pueden intercambiar las identidades de los jugadores sin cambiar las recompensas, el juego es simétrico. Los juegos asimétricos son aquellos en los que las estrategias adoptadas por los jugadores son diferentes. En los juegos asimétricos, la estrategia que brinda beneficios a un jugador puede no ser igualmente beneficiosa para el otro jugador. La mayoría de los juegos en nuestro mundo suelen ser asimétricos, aunque muchos de los juegos bipersonales que se estudian habitualmente se modelan de manera que sean simétricos. Las representaciones estándar del juego de la gallina, también conocido como el juego del halcón y la paloma, y el dilema del prisionero son todos simétricos. Ambos ejemplos los trataremos más adelante ■Juegos de información completa o incompleta En los juegos de información completa cada jugador tiene la misma información relevante al juego que los demás jugadores, conoce las recompensas clasificación de juegos 17 y estrategias disponibles para los demás. Esto es mucho más que simplemente decir que algo es conocido por todos, sino que también implica el hecho de que sea conocido que también es conocido por todos. La información completa se refiere al estado de conocimiento sobre la estructura del juego, no necesariamente al conocimiento del devenir del juego. Algunos ejemplos de juegos de información completa son el ajedrez, donde ambos jugadores saben los posibles movimientos que ambos pueden realizar y conocen todos los movimientos realizados. También tenemos las damas o el tres en raya. En un juego de información incompleta, los jugadores poseen información privada sobre preferencias y habilidades cuando escogen sus estrategias. El hecho de escoger sus estrategias en presencia de asimetrías en la información es la característica de estos juegos. El juego de hundir la flota, el póker o el blackjack son ejemplos de juegos con información incompleta. juegos simultáneos 18 3 Juegos simultáneos En los juegos simultáneos o estratégicos consideramos que los jugadores toman las decisiones simultáneamente, es decir, no saben la estrategia que siguen los otros jugadores hasta que toman la suya. ■Ejemplo 3.1 - Piedra, papel y tijera (RPS) Tenemos un juego, generalmente de dos jugadores, en el que los jugadores deben decidir simultáneamente entre tres opciones: piedra (R), papel (P) y tijeras (S). De los posibles enfrentamientos sabemos que R gana a S, S gana a P y P gana a R. Estos juegos se representan como una matriz que llamamos forma normal del juego, donde las entradas de la matriz son vectores con los pagos de los jugadores. Para nuestro juego anterior tenemos la siguiente forma normal: R P S R (0,0) (-1,1) (1,-1) P (1,-1) (0,0) (-1,1) S (-1,1) (1,-1) (0,0) Cuadro 3: Forma normal del juego RPS El RPS es un juego bipersonal (aunque puede llegar a ser n-personal), simétrico y como podemos ver en los pagos, de suma cero. ■Juegos bipersonales Desde el trabajo pionero de von Neumann y Morgenstern (1944), los juegos bipersonales han sido clave para el desarrollo del concepto de equilibrio de Nash (1950). Además, se han desarrollado múltiples extensiones para analizar juegos repetidos, de suma cero, no cooperativos y cooperativos, contribuyendo a campos como la economía, la computación y la biología evolutiva. Estudios empíricos y simulaciones computacionales han demostrado la aplicabilidad de los juegos bipersonales en la toma de decisiones estratégicas, desde mercados y competencia empresarial hasta dilemas sociales y negociación juegos simultáneos 19 política. Su análisis formal permite modelar interacciones racionales y evaluar mecanismos que incentiven la cooperación o maximicen beneficios en escenarios adversariales. ■Ejemplo 3.2 - El juego de la Gallina Consideramos dos conductores que circulan en sentido contrario con dos posibles estrategias cada uno, desviarse (D) o no desviarse (ND). Si ambos deciden no desviarse acaban chocandose, formando un accidente. Si uno decide desviarse y el otro no, el primero se muestra más gallina y el segundo más valiente. Por último, si ambos se desvían evitan chocarse pero a ambos se les considera gallina. Este juego, que habíamos mencionado antes, es un juego simultáneo bipersonal cuya matriz de pago es: D ND D (0,0) (-1,1) ND (-1,1) (-5,-5) Cuadro 4: Forma normal del Juego de la Gallina •Juegos de suma cero Hemos visto algunos juegos de suma cero según hemos avanzado, como el juego de las moneda o el RPS, ahora vamos a ver una definición más explicita de lo que es un juego de suma cero. Decimos que un juego con n jugadores es de suma cero si para (𝑝1, 𝑝2, ..., 𝑝𝑛)los pagos de los n jugadores al seguir una estrategia arbitraria cumplen que: 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑝𝑖= 0 Los casos en los que la suma ∑𝑛 𝑖=1 𝑝𝑖=𝑐donde c puede no ser 0, son los juegos de suma constante de los que ya hemos hablado anteriormente. En los juegos de suma cero solo es necesario indicar el pago del jugador I ya que el jugador II tiene los mismos pagos pero con signo opuesto. Dada la juegos simultáneos 20 matriz de pago del juego de las monedas podemos reescribirla de la siguiente forma sin perder información: C X C 1 -1 X -1 1 Un concepto clave en este tipo de juegos es el de punto de silla, o también llamado punto de decisión de equilibrio. Este punto representa una decisión para dos jugadores en la cual ninguno de los dos puede mejorar su pago partiendo unilateralmente de ese punto, esto quiere decir que los demás jugadores mantienen su decisión. Si consideramos la matriz de pago de un juego de suma cero, un punto de silla es una entrada que es el mínimo valor de su fila, y el máximo de su columna. Este concepto es importante ya que aunque no siempre existe, en caso de existir este es un equilibrio de Nash en estrategias puras. Analizemos la matriz de pagos del juego RPS: R P S R 0 -1 1 P 1 0 -1 S -1 1 0 Comenzamos a analizar la primera fila, cuyo mínimo valor es -1, pero este valor no es el máximo de su columna. Pasamos a la segunda fila, con valor mínimo 0, pero de nuevo vemos que este no es el valor máximo de la columna. Razonando de la misma forma obtenemos que en la tercera fila tampoco encontramos ningún punto de silla por lo que concluimos que este es un ejemplo en el que no existe punto de silla. Consideremos la siguiente matriz y vamos a buscar de nuevo los puntos de silla: A B C X -1 -1 1 Y 0 0 2 Z -1 -2 3 juegos simultáneos 21 Usando el mismo razonamiento que antes encontramos que los puntos de silla de la matriz de pagos son los que hemos subrayado. Aquí tenemos un ejemplo en el que existen dos puntos de silla. •Teorema Minimax En su libro, Neumann y Morgenstern, introdujeron una forma de encontrar la estabilidad en un juego bipersonal de suma cero: el Teorema de Minimax. La idea principal es que el primer jugador intentara maximizar su pago mientras que el segundo intentara minimizar sus perdidas. Dada esta definición sabemos que el Teorema de Minimax en estrategias puras es un punto de silla. Veamos el razonamiento que siguieron. Para ello tendremos en cuenta las estrategias mixtas de cada jugador, que notaremos como Δ(𝐴𝑖)para i=1,2, donde 𝑥∈ Δ(𝐴𝑖)es una distribución de probabilidad entre las posibles acciones que tiene el jugador i-ésimo. Supongamos que el jugador I elige 𝑥∈ Δ(𝐴1), el jugador II 𝑦∈ Δ(𝐴2)y B es la matriz de pagos del juego. Entonces definimos como el pago esperado del jugador I: 𝐵(𝑥, 𝑦) = 𝑚 ∑ 𝑖=1 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑥𝑖𝑏𝑖𝑗𝑦𝑗 El jugador I debería temer que el jugador II adivine su estrategia. Vamos a considerar que el jugador II siempre sabrá que estrategia elegirá el jugador I, minimizando así el pago esperado: 𝑣(𝑥) = 𝑚𝑖𝑛𝑦∈Δ(𝐴2)𝑥𝐵𝑦𝑇 Podemos considerar que 𝑥𝐵𝑦𝑇es una media ponderada del pago esperado para el jugador I si este usa x contra las diferentes estrategias puras del jugador II. Por lo que el mínimo estará en alguna de estas estrategias puras del jugador II: 𝑣(𝑥) = 𝑚𝑖𝑛𝑦∈Δ(𝐴2)𝑥𝐵𝑦𝑇=𝑚𝑖𝑛𝑗𝑥𝐵.𝑗 (𝐵.𝑗denota la columna j de la matriz B) Por lo tanto el jugador I tomará 𝑥∈ Δ(𝐴1)de forma que maximice v(x): 𝑣𝐼=𝑚𝑎𝑥𝑥∈Δ(𝐴1)𝑚𝑖𝑛𝑗𝑥𝐵.𝑗 juegos simultáneos 22 Sabemos que 𝑣𝐼existe ya que v(x) es continua y Δ(𝐴1)es compacto, ya que consideramos que 𝐴1es un conjunto finito. A esta estrategia xse le denomina estrategia maximin del jugador I, en ingles decimos que es su gain-floor. Procediendo de la misma forma para el jugador II obtenemos: 𝑣𝐼𝐼 =𝑚𝑖𝑛𝑦∈Δ(𝐴2)𝑚𝑎𝑥𝑖𝐵𝑖.𝑦 (𝐵𝑖.denota la fila i de la matriz B) Esta estrategia yes la estrategia minimax del jugador II, en inglés loss-ceiling. Para cualquier función F(x,y) definida en un producto cartesiano X×Y, es sencillo probar que: 𝑚𝑎𝑥𝑥∈𝑋𝑚𝑖𝑛𝑦∈𝑌𝐹(𝑥, 𝑦)≤𝑚𝑖𝑛𝑦∈𝑌𝑚𝑎𝑥𝑥∈𝑋𝐹(𝑥, 𝑦) Por lo tanto, en nuestro caso obtenemos: 𝑣𝐼≤𝑣𝐼𝐼 Por último, haciendo uso dos lemas que podemos encontrar demostrados en Game Theory [4] de Guillermo Owen, queda demostrado el actual Teorema de Minimax. Este demuestra que con estrategias mixtas siempre existe un punto de equilibrio en este tipo de juegos, además este es: 𝑣=𝑣𝐼=𝑣𝐼𝐼 •Programación lineal para la resolución de juegos de suma nula La pregunta que nos viene una vez sabida su existencia es como encontramos este equilibrio. Para ello podemos plantear la búsqueda a través un problema de programación lineal. Asumiremos el juego bipersonal de suma nula con 𝐴1= {𝑎1, ..., 𝑎𝑛},𝐴2= {𝑏1, ..., 𝑏𝑚}las estrategias de los jugadores I y II respectivamente. Notaremos M como la matriz de pagos y 𝑚𝑖𝑗 =𝑀(𝑎𝑖, 𝑏𝑗)a la entrada de la matriz M cuando el jugador I utiliza la estrategia 𝑎𝑖y el jugador II la estrategia 𝑏𝑗. Además podemos suponer sin perdida de generalidad que todas las entradas de M son positivas, ya que en caso contrario tan solo tendríamos que sumar una constante a la matriz para que esto sucediera. De esta forma no se alteraría la estructura del juego. juegos simultáneos 23 Sea 𝑣∗el mínimo pago esperado por el jugador I (𝑣∗>0) y 𝑥= (𝑥1, ..., 𝑥𝑛)una distribución de probabilidad para el jugador I con: 𝑥𝑖≥0 ∀𝑖= 1, ..., 𝑛 , 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑥𝑖= 1 Tenemos que: 𝑀(𝑥, 𝑏𝑗) = 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑚𝑖𝑗𝑥𝑖≥𝑣∗∀𝑗= 1, ..., 𝑚 Si dividimos la ecuación por 𝑣∗y notando 𝑢𝑖=𝑥𝑖∕𝑣∗obtenemos: 𝑢= (𝑢1, ..., 𝑢𝑛)𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑖>0 ∀𝑖= 1, ..., 𝑛 𝑦 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑢𝑖= 1∕𝑣∗ 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑚𝑖𝑗𝑢𝑖≥1 ∀𝑗= 1, ..., 𝑚 Esta claro que el primer jugador quiere maximizar su mínimo pago, 𝑣∗, lo que es equivalente a querer minimizar 1∕𝑣∗=∑𝑛 𝑖=1 𝑢𝑖. De esta forma hemos obtenido la función objetivo que queremos minimizar y el problema lineal para el primer jugador sería el siguiente: 𝑀𝑖𝑛 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑢𝑖 𝑠.𝑡. 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑚𝑖𝑗𝑢𝑖≥1 ∀𝑗= 1, ..., 𝑚 𝑢𝑖≥0 ∀𝑖= 1, ..., 𝑛 De forma análoga obtendríamos el problema de programación lineal del jugador II. Consideramos 𝑣∗el valor máximo de la matriz de pagos que es el valor que quiere minimizar el jugador II, 𝑦= (𝑦1, ..., 𝑦𝑚)una distribución de probabilidad para el jugador II y el cambio de variable 𝑤𝑗=𝑦𝑗∕𝑣∗para j=1,...,m. De esta forma obtenemos: 𝑀𝑎𝑥 𝑚 ∑ 𝑖=1 𝑤𝑗 𝑠.𝑡. 𝑚 ∑ 𝑖=1 𝑚𝑖𝑗𝑤𝑗≤1 ∀𝑖= 1, ..., 𝑛 𝑤𝑗≥0 ∀𝑗= 1, ..., 𝑚 juegos simultáneos 30 ■Representación de juego de tres jugadores ■Ejemplo 3.6 — Voto de los Legisladores Tres legisladores votan si se permiten un aumento salarial de 2000€por año. Dado que los votantes están observando dicha votación, hay una pérdida de prestigio muy cara si el legislador vota a favor de un aumento. Supongamos que los legisladores estiman la pérdida de prestigio en 1000€por año. ¿Qué pasa si los tres votan al mismo tiempo? Consideramos por lo tanto tres legisladores A, B y C con dos posibles acciones: votar subir o votar bajar C vota subir C vota bajar A vota subir B vota subir (1, 1, 1) (1, 1, 2) B vota bajar (1, 2, 1) (-1, 0, 0) A vota bajar B vota subir (2, 1, 1) (0, -1, 0) B vota bajar (0, 0, -1) (0, 0, 0) Para encontrar un equilibrio en este tipo de juegos utilizamos la mejor respuesta, aunque ahora habría que considerar más estrategias y jugadores el razonamiento es el mismo. C vota subir C vota bajar A vota subir B vota subir (1, 1, 1) (1, 1, 2) B vota bajar (1, 2, 1) (-1, 0, 0) A vota bajar B vota subir (2, 1, 1) (0, -1, 0) B vota bajar (0, 0, -1) (0, 0, 0) Podemos concluir que en este juego existen tres equilibrios de Nash diferentes. No todos los juegos se pueden representar de manera sencilla en forma normal, ya que cuanto mayor sea el número de estrategias y de jugadores es mas costoso elaborar la forma normal del juego. juegos dinámicos 31 4 Juegos dinámicos En los juegos dinámicos, o secuenciales, como su propio nombre indica son juegos en los que hay una secuencia en la que los jugadores toman decisiones, esto permite advertir una estructura temporal en el juego. Como hemos visto anteriormente, en los juegos simultáneos no existía esta estructura. Al igual que en los juegos simultáneos en los juegos secuenciales existe una forma de representarlos, la forma extensiva. Un juego en forma extensiva es: 1. Un árbol con un vértice A distinguido llamado punto de partida o inicio. 2. Una partición de los vértices no terminales de Γen n+1 conjuntos, 𝑆0, 𝑆1, ..., 𝑆𝑛llamados conjuntos de los jugadores. El conjunto 𝑆0contiene a los llamados nodos de riesgo. 3. Una distribución de probabilidad definida en cada vértice del conjunto 𝑆0entre los vértices que lo siguen inmediatamente. 4. Para cada i = 1,...,n existe una subpartición de 𝑆𝑖en subconjuntos 𝑆𝑗 𝑖llamados conjuntos de información. Dado dos vértices en el mismo conjunto de información tenemos el mismo número de vértices que lo siguen inmediatamente y dos vértices en el mismo conjunto de información no pueden seguirse. 5. Un vector n dimensional a cada vértice terminal de Γ, que es el pago. 6. Para cada 𝑆𝑗 𝑖se tiene un conjunto de índices 𝐼𝑗 𝑖y una aplicación inyectiva de 𝐼𝑗 𝑖en el conjunto de los inmediatos seguidores de cada vértice de 𝑆𝑗 𝑖. Los nodos del conjunto 𝑆0se consideran como acontecimientos exógenos al juego que pueden alterar el pago de los jugadores. El pago que reciben los jugadores no solo depende de las estrategias que sigan, estos acontecimientos exógenos se pueden dar en cualquier momento del juego y se atribuyen a un jugador ficticio, que suele recibir el nombre de naturaleza o azar. ■Ejemplo 4.1 — Juego del explorador perdido Consideramos como jugador al explorador y la naturaleza o azar. El explorador tiene como posibles acciones izquierda (I) o derecha (D). La naturaleza juegos dinámicos 32 sigue una distribución de probabilidad de 1 2a cada intersección. El jugador comienza en la intersección A o B, esto lo elije la naturaleza. Si el explorador se encuentra en la intersección A puede elegir: izquierda, acaba lejos del campamento o derecha, acaba en el campamento. Si el explorador comenzara en la intersección B sería al contrario: izquierda, acaba en el campamento o derecha, acaba lejos del campamento. La forma extensiva del juego es de la siguiente forma: Figura 2: Forma extensiva del explorador perdido En este ejemplo podemos ver como actúa la naturaleza en el nodo de inicio haciendo que el pago no solo dependa de las acciones del explorador. También hemos unido los nodos que están en el mismo conjunto de información con una línea discontinua. Decimos que un juego tiene información perfecta si cada conjunto de información 𝑆𝑗 𝑖consta de un solo nodo ∀𝑖= 1, ..., 𝑛. Nosotros asumiremos que cuando un jugador toma una decisión, recuerda toda la información que sabía del juego, incluido sus movimientos pasados. En caso contrario diremos que el juego es de información imperfecta. Nuestro ejemplo del explorador perdido entraría en el segundo grupo, los de información imperfecta. Sin embargo si supiera diferenciar si se encuentra en A o en B, sería de información perfecta. juegos dinámicos 33 ■Ejemplo 4.2 — Juego del explorador olvidadizo Consideramos esta vez un único jugador, el explorador, que tiene como posibles acciones izquierda (I) o derecha (D). Consideramos que el explorador es olvidadizo debido al cansancio, después de tomar una decisión no recuerda haberla tomado. El juego comienza con la decisión del explorador en el nodo A: izquierda, acaba lejos del campamento o derecha, acaba en el nodo B. Si el explorador acaba en el nodo B él no sabe que esta en el nodo B ya que se ha olvidado, entonces puede elegir: izquierda, acaba en el campamento o derecha, acaba en el río. Figura 3: Forma extensiva del explorador olvidadizo ■Estrategias Matemáticamente, una estrategia pura para el jugador i-ésimo en un juego dinámico no es más que una función 𝑠𝑖que en cada posible conjunto de información del juego 𝑆𝑗 𝑖asigna uno de los arcos que siguen a un vértice representante del conjunto. Dicho de otra forma, sea 𝑖el conjunto que contiene a todos los conjuntos de información del jugador i-ésimo, la función 𝑠𝑖∶𝑖→𝐴𝑖 es una estrategia para el jugador i-ésimo. juegos dinámicos 34 También podemos extender esta definición para estrategias mixtas. Una estrategia mixta para el jugador i-ésimo es una función 𝜏𝑖que especifica una distribución de probabilidad sobre el conjunto de todas las estrategias puras para dicho jugador. Denotaremos como 𝑆𝑖al conjunto de estrategias puras y Δ(𝑆𝑖)al conjunto de estrategias mixtas del jugador i-ésimo. Veamos de forma más gráfica que es una estrategia en un juego en forma extensiva. Consideramos la siguiente forma extensiva: Figura 4: Si consideramos nuestra definición anterior tenemos que [b1c1] es una estrategia para el jugador I. Puede parecer extraño ya que al elegir b1, el jugador I ya no vuelve a tomar ninguna acción, pero tal y como hemos acordado, a cada conjunto de información se le da un arco, y en este caso tenemos que el jugador I tiene dos conjuntos de información. Los conjuntos de estrategias son: 𝑆1= {[𝑎1𝑐1],[𝑎1𝑑1],[𝑏1𝑐1],[𝑏1𝑑1]} y𝑆2= {[𝑤2𝑦2],[𝑤2𝑧2],[𝑥2𝑦2],[𝑥2𝑧2]}. Dado el conjunto de estrategias puras podemos definir el de estrategias mixtas, un ejemplo de estrategias mixtas en nuestro caso podría ser .5[a1c1]+.5[b1d1]. juegos dinámicos 35 ■Forma normal de un juego en forma extensiva Los juegos en forma extensiva se pueden reducir a juegos en forma normal. El interés de estudiar esta reducción es que ayuda a entender mejor qué es una estrategia en cada tipo de juego y, además, prepara el terreno para introducir la idea de equilibrio perfecto en subjuegos que explicaremos más adelante. La principal diferencia entre los dos tipos de representación consiste en que, mientras que en un juego en forma extensiva los jugadores deciden qué hacen según lo que hacen los rivales, en un juego en forma normal las estrategias tienen que cubrir desde el comienzo todas las posibles situaciones. Si consideramos un juego de n-jugadores, la primera pregunta que nos podemos hacer es como obtenemos los pagos de la forma normal del juego. Dado un perfil estratégico 𝑠∈𝑆=𝑆1×... ×𝑆𝑛y cualquier nodo xde nuestro juego Γ, definimos 𝑃|𝑠[x]como la probabilidad de que el juego se desarrolle por el nodo xcuando el juego empieza desde el nodo raíz de Γsiguiendo el perfil s. De esta forma tenemos que: Si xes el nodo raíz 𝑃|𝑠[𝑥]=1. Si xsigue inmediatamente a un nodo de riesgo y∈𝑆0y q es la probabilidad del arco que une yaxentonces 𝑃|𝑠[x] = 𝑞𝑃 |𝑠[y]. Si xsigue inmediatamente a un nodo de decisión yque pertenece al jugador i-ésimo e y∈𝑆𝑘 𝑖, entonces 𝑃|𝑠[𝑥] = 𝑃|𝑠[𝑦]si 𝑠𝑖(𝑘)se corresponde con el arco que une yax, y 𝑃|𝑠[𝑥]=0en caso contrario. Ahora si consideramos zun nodo terminal arbitrario de Γnotamos como 𝑤𝑖(z)al pago que recibe el jugador i en el nodo terminal z. Ahora, sea el conjunto de los nodos terminales del juego Γ, podemos definir el pago del jugador i-ésimo cuando los jugadores siguen una estrategia 𝑠∈𝑆como: 𝑢𝑖|𝑠=∑ 𝑧∈ 𝑃|𝑠[𝑧]𝑤𝑖(𝑧) Veamos un ejemplo práctico para ver como realizaríamos esta transformación en un juego en forma extensiva. juegos dinámicos 36 Figura 5: Juego en forma extensiva Teniendo en cuenta las posibles acciones que tienen los jugadores consideramos la estrategia s=([x1w1],[y2w2]). Esto quiere decir que si el jugador I tiene que elegir entre a1 y b1 o c1 y d1 eligira a1 y d1 respectivamente, de esta forma podemos obviar en el cálculo del pago los nodos terminales que resultan de seguir las estrategias b1 o c1. Usando el mismo razonamiento para el jugador 2 obtenemos el siguiente pago: 𝑢1|𝑠=𝑃|𝑠[𝑐]𝑤1(ℎ) + 𝑃|𝑠[𝑓]𝑤1(𝑛)=0𝑃|𝑠[𝑎]+4𝑃|𝑠[𝑏]=0⋅1 2+ 2 ⋅1 2= 1 𝑢2|𝑠=𝑃|𝑠[𝑐]𝑤2(ℎ) + 𝑃|𝑠[𝑓]𝑤2(𝑛)=2𝑃|𝑠[𝑎]+2𝑃|𝑠[𝑏]=2⋅1 2+ 2 ⋅1 2= 2 Si continuamos calculando los pagos de todas las estrategias puras posibles para los jugadores obtenemos la matriz de pagos de nuestro juego. juegos dinámicos 37 x2z2 x2w2 y2z2 y2w2 x1z1 (3,1) (2,2) (2,2) (1,3) x1w1 (2,2) (3,1) (1,3) (2,2) y1z1 (2,2) (1,3) (3,1) (2,2) y1w1 (1,3) (2,2) (2,2) (3,1) Cuadro 5: Forma normal del juego A partir de aquí el juego se estudiaría como si se tratara de un juego simultáneo. Sin embargo, uno de los inconvenientes que tiene es que dos juegos secuenciales diferentes pueden tener la misma forma normal. ■Equilibrio A la hora de estudiar los equilibrios de juegos en forma extensiva tenemos la opción de reescribirlo en forma normal y buscar sus equilibrios de Nash como ya hemos visto. Sin embargo, no es necesario escribir su forma normal, existen otras formas de encontrar los equilibrios trabajando con la forma extensiva del juego. •Equilibrio en subjuegos Consideremos Γun juego en forma extensiva, decimos que Γ′un subjuego de Γcon nodo raíz ya la restricción de Γa partir del nodo y. Además se debe cumplir que cualquier conjunto de información de Γdebe estar completamente contenido en el subjuego o completamente excluido de este. A los subjuegos que no son el propio juego en si (Γ′≠Γ) los llamamos subjuegos propios. Veamos algunos ejemplos de lo que son subjuegos. Figura 6: Ejemplo de dos posibles subjuegos propios juegos dinámicos 38 Figura 7: Ejemplo de lo que NO es un subjuego Ahora que ya hemos definido lo que es un subjuego, diremos que un perfil estratégico 𝑠∈𝑆es un equilibrio perfecto en subjuegos si para cualquier subjuego Γ’ de Γla restricción de s a Γ′es un equilibrio de Nash. Es obvio que un equilibrio perfecto en subjuegos es un equilibrio de Nash del juego, sin embargo, puede tener equilibrios que son de Nash pero no son equilibrio perfecto en subjuegos. •Inducción hacia atrás La inducción hacia atrás es un algoritmo para encontrar los equilibrios en subjuegos. La idea básica de este razonamiento es mirar hacia delante y razonar hacia atrás. En este tipo de resolución se consideran primero las últimas acciones del juego y a partir de ahí se determinan las acciones que los jugadores deben tomar en cada nodo del juego para maximizar su utilidad. Este proceso continúa hasta que se alcanza el nodo inicial. Las estrategias que permanecen tras aplicar el algoritmo son el conjunto de todos los equilibrios perfectos en subjuegos para la forma extensiva de un juego finito con información perfecta. Generalmente, la inducción hacia atrás no puede ser aplicada a juegos imperfectos o de información incompleta porque esto implica tomar decisiones a juegos dinámicos 39 través de conjuntos de información en los que no se tiene información disponible. Veamos de manera práctica como funciona este algoritmo que llamamos inducción hacia atrás. Para ella tendremos en cuenta el siguiente juego en forma normal. Primero nos colocamos en un nodo anterior a un nodo terminal, A o B. Si empezáramos en B le tocaría decidir al jugador II, eligiendo xal aportarle un pago mayor. Ahora pasaríamos al nodo anterior, A, y el jugador I se decidiría por la opción b, ya que estamos considerando que el jugador II elige la acción x. teoría de la negociación 46 dado [R,(𝑢∗, 𝑣∗)] podemos obtener una versión del juego [R’,(0,0)] ii)En la región R’ buscamos el punto (𝑢′ 0, 𝑣′ 0)tal que 𝑢′ 0𝑣′ 0≥uv, para todo (u,v) ∈R’. Es decir, buscamos el punto en R’ que maximice la función uv. Una vez obtenida la solución de Nash (𝑢′ 0, 𝑣′ 0)tan solo habría que revertir el cambio que hicimos en el primer paso, obteniendo así la solución (𝑢0, 𝑣0). Podemos obtener esta solución sin tener que transformar la función de utilidad buscando el punto (𝑢0, 𝑣0)en Rtal que: (𝑢0−𝑢∗)(𝑣0−𝑣∗)≥(𝑢−𝑢∗)(𝑣−𝑣∗) para todo (u,v) en Rtal que 𝑢≥𝑢∗y𝑣≥𝑣∗. Además Nash afirmó que una solución (𝑢0, 𝑣0)para el problema deberá cumplir las siguientes cuatro suposiciones. 1. Optimalidad de Pareto: (𝑢0, 𝑣0)es un óptimo de Pareto, no existiendo así ninguna estrategia que mejore las ganancias de ambos jugadores. 2. Simetría, si dada la región Rdel problema de negociación cumpliendo las siguientes propiedades: i)𝑢∗=𝑣∗ ii)Si (u,v) ∈R, entonces (v,u) ∈R Entonces, 𝑢0=𝑣0. Es decir, los jugadores toman roles simétricos. 3. Invarianza respecto a transformaciones de utilidad, las soluciones obtenidas de dos versiones del mismo problema con distintas funciones de utilidad, de tal forma que difieren en las unidades y en el origen de la función de utilidad, deben estar relacionadas mediante la misma transformación de utilidad. 4. Independencia de alternativas irrelevantes, es la hipótesis más sutil: supongamos dos problemas de negociación [𝑅1,(𝑢∗, 𝑣∗)]y[𝑅2,(𝑢∗, 𝑣∗)] tal que: i)𝑅1es un subconjunto de 𝑅2. ii)La solución de [𝑅2,(𝑢∗, 𝑣∗)] está en 𝑅1 Entonces ambos problemas tienen la misma solución. La solución de Nash descrita arriba no solo cumple las cuatro suposiciones descritas, si no que además es la única. Esta fórmula a recibido muchas críticas teoría de la negociación 47 a lo largo del tiempo, ya que Nash considera que la solución que se alcanza es "justa". ■Ejemplo 5.1 Se les ofrece 100 euros a dos personas si deciden ambos como repartirse el dinero, en caso de no llegar a un acuerdo ambos se quedan sin nada. Consideramos que uno es muy rico mientras que el otro es muy pobre . La suposición de que un jugador es rico y el otro pobre afecta a la función de utilidad de cada jugador ya que uno le da mucho más valor al dinero. Entonces podemos considerar que la utilidad del primer jugador será proporcional a la cantidad que recibe y el segundo jugador tendrá como función de utilidad al recibir x euros: 𝑙𝑜𝑔(100 + 𝑥) − 𝑙𝑜𝑔(100) = 𝑙𝑜𝑔(100 + 𝑥 100 ) Con estas funciones de utilidad obtenemos que la solución de Nash es u=54.4 y v=45.6. Este resultado resulta extraño ya que en teoría el pobre necesita más el dinero que el rico, pero, sin embargo, recibe menos. Por lo que la solución de Nash en este caso no es una solución justa. ■Promesas Como puede ocurrir en el mundo real, a la hora de negociar se pueden hacer promesas. Una parte se compromete a actuar de una forma que le perjudica pero que beneficie al otro jugador, suele ser un “si tú ..., entonces yo ...“. Uno de los inconvenientes es que esta promesa puede no ser creíble, por eso para darle mayor credibilidad el jugador puede hacer su decisión irreversible o puede comprometerse en público. Vamos a hacer unos cambios al dilema del prisionero para que encaje como ejemplo en nuestro contexto. Usaremos la misma matriz de pagos pero consideraremos que el jugador II es el primero en decidir y cuando el jugador I decide, sabe que ha elegido II. Además hay comunicación entre ambos. Consideremos que el jugador I le hace un promesa a II y le dice "Si tú decides confesar, yo también confesare". En tal caso ambos pasan un año en la cárcel. Aquí tendría que analizar el jugador II si la promesa es creíble, ya que si elige confesar y I no cumple su promesa, entonces II pasa 10 años en la cárcel. Por teoría de la negociación 48 lo tanto I debería buscar una forma de hacer su promesa creíble para que II elija confesar. ■Ejemplo 5.2 A B A (3,3) (-1,5) B (5,-1) (0,0) Supongamos ahora que el jugador II juega primero, y que el jugador I promete: “Si juegas A jugaré A”. Si el jugador II cree al jugador I el resultado será (3,3). ■Amenazas Al existir comunicación aparecen las amenazas, toman una forma parecida a las promesas. Al igual que ocurre con las promesas, una amenaza debe ser creíble para que el otro juador la tome en cuenta. ■Ejemplo 5.3 Un trabajador tiene la opción de trabajar en cuyo caso obtendría un salario que solo le permite subsistir mientras que su jefe se lleva una ganancia de 10€. Si elige no trabajar este no podrá subsistir mientras que su jefe no tiene ganancias. Unos pagos razonables son (0.10) y (-500,0). Claramente el jefe esta en una posición ventajosa, ya que el primer jugador tan solo podría amenazarle con no trabajar, pero no es una amenaza creíble dado que recibiría un pago mucho peor. Para que una amenaza sea efectiva deberá ser creíble, lo que quiere decir que se pondrá en una situación adversa. Para ello Nash sugirió un esquema del problema de negociación con amenazas que comprendía cuatro etapas o fases. 1. Cada jugador elige cuál será su actuación si no logra llegar a un acuerdo, eso es lo que constituye una amenaza desde el punto de vista matemático. teoría de la negociación 49 2. Se informan mutuamente de estas amenazas, para que el resto pueda evaluarlas. 3. Cada jugador escoge un resultado que sea aceptable para aprobar la negociación. 4. Si todos consiguen su exigencia mínima, hay acuerdo. En otro caso, hay que ejecutar las amenazas. En este planteamiento hay infinitos puntos de equilibrio de Nash, pero él mismo demostró que existe un único equilibrio estable, que coincide con la solución axiomática que había hallado en su anterior trabajo sobre negociación. Probó que cada jugador tenía la posibilidad de encontrar la amenaza óptima que obligaba a los demás a llegar a un acuerdo, que era el punto de equilibrio. Veamos otro ejemplo, en este caso vamos a considerar la siguiente tabla: A B A (4,3) (4,1) B (2,1) (1,2) Podemos ver que el equilibrio de este juego es cuando ambos eligen A y obtienen (4,3). Consideremos que empieza eligiendo el jugador II y el jugador I le amenaza: “ Si juegas B, jugaré B”. Entonces el jugador II preferiría elegir A y I elegiría A también. Peor, ¿es esta amenaza creíble? Supongamos que II elige B, ¿cumplirá su amenaza I? En caso de hacerlo verá reducido su pago de 4 a 1 y el jugador II obtendrá 2 en lugar de 1. No tiene ninguna credibilidad la amenaza por lo que el jugador no la tendra en cuenta a la hora de decidir. ■Aplicaciones de la teoría de negociación •Guerra entre Rusia y Ucrania Como sabemos la guerra entre Rusia y Ucrania, la cual lleva más de 3 años en activo, constituye una escalada de la guerra ruso-ucraniana que comenzó tras los sucesos del Euromaidán en 2014. Se trata del mayor conflicto militar convencional en Europa desde la Segunda Guerra Mundial. teoría de la negociación 50 En esta guerra, Rusia ha estado ejerciendo un papel de victima, justificando así sus acciones e intentando mantener lo más lejos posible las intervenciones de otros países o continentes. Esto lo ha conseguido mediante el uso de amenazas tanto a Ucrania como a cualquier país que interviniera apoyándola en el conflicto. Entre ellas, Rusia amenazó con el uso de arma nucleares para evitar la intervención de la OTAN, lo que le ha permitido mantener la guerra. La invasión empezó con Rusia demandando anexionar parte del Dombás e imponiendole a Ucrania que renunciara a la OTAN, y en el caso de que Ucrania no accediera, se vería obligada a conseguirlo por la fuerza. A esto Ucrania respondió que en caso de comenzar la guerra, la llevaría a territorio ruso. Esta fue la justificación rusa para comenzar la invasión y Ucrania tuvo que responder invadiendo la región de Kursk. Vemos un ejemplo en el que ambos países se amenazaron y al cumplir Rusia su amenaza, Ucrania también la llevo a cabo, dando comienzo la guerra entre Rusia y Ucrania. A lo largo de la invasión han habido muchas amenazas más algunas de ellas creíbles y otras no tan creíbles. Cabe mencionar que, como Rusia está ganando militarmente se produce un efecto de negociación asimétrica favorable, lo que hace que no tenga interés en los tratados de paz ni en un alto al fuego, ya que el riesgo de la guerra le es favorable. Sin embargo, ese riesgo no es asumible por parte de Ucrania, y le hace llegar a las negociaciones con una mayor aversión al riesgo. •Aranceles impuestos por EEUU Uno de los sucesos más importantes de este 2025 ha sido la elección de Donald Trump como presidente de los EEUU, comenzando su mandato con medidas radicales como la deportación de cientos de miles de inmigrantes. Además de esto, ha implementado otra medida que a resonado alrededor del mundo ya que afecta a todos los países, los nuevos aranceles impuestos por EEUU. El pasado abril, Trump dio a conocer una tabla de aranceles que aplicará a los distintos países, siendo los más altos los impuestos a China (145 %). Los países más hostigados por los impuestos son asiáticos, debido a la intensificación de la guerra comercial contra estos países. La respuesta general ha sido la lógica, la aplicación de una política contra-arancelaria, es decir, aplicar las mismas medidas aunque de manera más moderada en algunos casos. Por ejemplo, China ha llegado a declarar la imposición del mismo arancel a EEUU de 125 %. teoría de la negociación 51 Como muchos economistas ya han declarado, la medida tomada por Trump es un auténtico suicidio de la economía estadounidense, la cual ya se ha visto dañada en el breve periodo desde que ha sido anunciada. Unas de las muchas razones es que muchas industrias dependen de insumos importados baratos, algunos de ellos procedentes de China y la caída de la inversión extranjera que ya se ha notado los días inmediatos al anuncio de esta medida haciendo perder miles de millones a empresaarios como Elon Musk, Mark Zuckerberg, Jeff Bezos, ... Como vemos, EEUU y China han lanzado sus amenazas. Si EEUU le impone un arancel tan alto a China esta hará lo mismo contra EEUU, causando una contracción económica. Al valorar esta amenaza, Trump ha decidido no llevar a cabo su amenaza ya que el pago que recibiría sería mucho peor. Finalmente el 12 de mayo de 2025 se alcanzó un acuerdo temporal entre EEUU y China para reducir estos aranceles. Según este acuerdo, los aranceles estadounidenses sobre productos chinos se redujeron del 145 % al 30 %, mientras que China redujo sus aranceles sobre productos estadounidenses del 125 % al 10 %. referencias 52 6 Referencias [1] von Neumann, J., y Morgenstern, O. (1953). Theory of games and economic behavior. Princeton University Press. [2] M.J. Osborne, A. Rubinstein, A course in game theory, MIT press (1994). [3] R. Duncan Luce y Howard R. (1957). Games and Decisions: Introduction and Critical Survey. John Wiley y Sons,Inc. [4] Owen, G. (1982). Game Theory, Second Edition. Academic Press. [5] Rufián Lizana. A (2017). La búsqueda del equilibrio en la Teoría de Juegos Nash. RBA coleccionables. [6] Jhon F. Nash (1950). The Bargaining Problem. Econometrica, Vol. 18, No. 2 , pp. 155-162 (8 pages). https://doi.org/10.2307/1907266 [7] Jhon F. Nash (1951). Non-Cooperative Games. 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