Algunos resultados recientes en polinomios ortogonales de Sobolev

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–7) Algunos resultados recientes en polinomios ortogonales de Sobolev Juan J. Moreno Balc´ azar1 1Dpto. Estad´ıstica y Matem´atica Aplicada e Instituto Carlos I de F´ısica Te´orica y Computacional, Universidad de Almer´ıa, CITE III, E-04120 Almer´ıa. E-mail: [email protected]. Palabras clave: Polinomios ortogonales, Ortogonalidad no est´andar Resumen En este trabajo expondr´e algunos resultados recientes acerca de polinomios ortogonales con respecto a un producto escalar no est´andar que involucra medidas de soporte no acotado. 1. Introducci´on Consideremos el producto escalar no est´andar (p, q)S=Zp(x)q(x)dµ0(x) + λZp0(x)q0(x)dµ1(x), λ ≥0 (1) donde µii= 0,1 son medidas con soporte en el eje real y p, q ∈Pdonde Pes el espacio de los polinomios con coeficientes reales. Claramente el producto escalar (1) no satisface la propiedad (xp, q) = (p, xq),y de ah´ı, su denominaci´on de no est´andar ya que los polinomios ortogonales respecto a (1) no satisfacen las propiedades que para polinomios ortogonales sobre la recta real se deducen de ´esta como, por ejemplo, el satisfacer una relaci´on de recurrencia a tres t´erminos. Los polinomios ortogonales con respecto a (1) se llaman polinomios ortogonales de Sobolev. El apellido Sobolev est´a motivado por la presencia de las derivadas en la segunda integral y suponiendo sop(µi) = I⊆Rse puede construir el espacio de Hilbert, llamado espacio de Sobolev (ver [8]), W1,2 µ0,µ1(I) = ©f:f∈L2 µ0(I), f0∈L2 µ1(I),||f||2 S:= (f, f)S<+∞ª. Estos polinomios han sido objeto de estudio fundamentalmente durante los ´ultimos 30 a˜nos. Por tanto, existe una amplia literatura acerca de ellos (el lector interesado puede 1 Juan J. Moreno Balc´azar consultar los surveys [14], [15] y m´as recientemente para el caso de medidas de soporte no acotado [13]). Sin embargo, es posible enumerar grandes l´ıneas donde todo est´a pr´acticamente por hacer, entre ellas podemos destacar: Establecer un esquema para los polinomios ortogonales de Sobolev an´alogo al esquema de Askey–Wilson para polinomios est´andar (ver, por ejemplo, [10]). Enti´endase este esquema de Sobolev en la l´ınea de encontrar relaciones l´ımite entre las diversas familias de polinomios Sobolev an´alogas a las existentes en el esquema de Askey– Wilson, por ejemplo, los polinomios de Laguerre–Sobolev como l´ımite de los polinomios de ∆–Meixner–Sobolev (ver [6]) que es la l´ogica generalizaci´on de la relaci´on l´ımite entre los polinomios cl´asicos de Meixner y de Laguerre. Por otra parte, cabe destacar que algunas de las familias del esquema de Askey–Wilson cuando tienen par´ametros no est´andar presentan ortogonalidad Sobolev (ver [1], [4], [5], [16] o, m´as recientemente, [9]), lo que puede hacer pensar en una extensi´on de este esquema. Pr´acticamente la totalidad de los resultados obtenidos acerca de las propiedades asint´oticas de los polinomios ortogonales respecto a (1) han sido hechas cuando λes un par´ametro fijo (ver [13], [14] y [15]). En este caso, la segunda medida µ1juega el papel principal en la ortogonalidad Sobolev debido a que la segunda integral introduce un factor n2cuando el producto escalar (1) es aplicado a polinomios m´onicos. Por tanto, es l´ogico pensar en tomar una sucesi´on λncon ciertas propiedades de forma que el producto escalar (p, q)λn=Zp(x)q(x)dµ0(x) + λnZp0(x)q0(x)dµ1(x), este equilibrado, o sea, ambas medidas jueguen un papel equivalente en la asint´otica de los polinomios de Sobolev. El primer trabajo en esta direcci´on [2] consider´o c´omo equilibrar (balancear) el producto escalar de Sobolev cuando las medidas son de soporte acotado y bajo ciertas restricciones (pares coherentes de medidas). Aqu´ı, se describir´a parte de los resultados obtenidos para el caso no acotado en [3], que demostrar´an las diferencias entre ambos casos. Sin embargo, no existe a´un un m´etodo general que permita estudiar la asint´otica fuerte de los polinomios de Sobolev (balanceados o no) cuando la intersecci´on de los soportes de las medidas es vac´ıa (soportes disjuntos) o incluso, en situaciones m´as sencillas, por ejemplo cuando una medida tiene soporte R+y la otra R. Hasta ahora las potentes t´ecnicas de Riemann– Hilbert para estudiar polinomios ortogonales no han podido ser adaptadas al caso Sobolev. Recientemente se ha iniciado el estudio de polinomios ortogonales de Sobolev en varias variables con los trabajos [11] y [18]. El futuro se presenta prometedor en varias variables aunque tambi´en es cierto que queda mucho por hacer en una variable, como se acaba de comentar. En este trabajo se describir´an con brevedad algunos de los avances realizados en los dos primeras l´ıneas descritas anteriormente. 2 Resultados recientes en P.O. de Sobolev 2. Relaci´on l´ımite entre los polinomios de ∆–Meixner–Sobolev y los polinomios de Laguerre–Sobolev En esta secci´on estableceremos una relaci´on l´ımite entre dos familias de polinomios de Sobolev, ∆–Meixner–Sobolev y Laguerre–Sobolev, que generaliza la existente para las familias cl´asicas de polinomios de Meixner y de Laguerre. Los polinomios cl´asicos de Meixner m(β,c) n(x) se definen como los polinomios ortogonales con respecto al producto escalar discreto: (p, q)M=Zp q dµ(k) = +∞ X k=0 p(k)q(k)ck(β)k k!,0< c < 1, β > 0,(2) donde µ(k) = ck(β)k k!, k = 0,1,2. . . , 0< c < 1, β > 0, es la conocida distribuci´on de Pascal1. Estableceremos 1 n!µ1−1 c¶n como coeficiente l´ıder de estos polinomios. Por otra parte, los polinomios cl´asicos de Laguerre L(α) n(x) son ortogonales con respecto al producto escalar continuo: (p, q)L=Z+∞ 0 p(x)q(x)xαe−xdx , α > −1.(3) Los consideraremos con coeficiente l´ıder igual a (−1)n/n!.Notar que la funci´on peso xαe−x Γ(α+ 1) con α > −1 corresponde a la funci´on de densidad de la distribuci´on de probabilidad Gamma en [0,+∞). Es bien conocida (ver, por ejemplo, [10]), la relaci´on l´ımite entre estas dos familias de polinomios, que con las normalizaciones escogidas queda como: l´ım c↑1cnm(α+1,c) nµx 1−c¶=L(α) n(x).(4) Ahora vamos a considerar una generalizaci´on de los anteriores productos escalares. Para generalizar (2) se considera el producto escalar ∆–Sobolev: (p, q)SM = +∞ X k=0 p(k)q(k)ck(β)k k!+λ +∞ X k=0 ∆p(k)∆q(k)ck(β)k k!,0< c < 1, β > 0, λ ≥0. (5) Los polinomios {SM n}ortogonales con respecto a (5) son llamados polinomios de ∆– Meixner–Sobolev y se normalizan con la condici´on de que SM n(x) tenga el mismo coeficiente l´ıder de m(β,c) n(x), n≥0. Para generalizar (3) en el correspondiente espacio de 1Si se desea tener una distribuci´on de probabilidad basta considerar (1 −c)βµ(k) 3 Juan J. Moreno Balc´azar Sobolev, se considera el producto escalar (p, q)SL =Z+∞ 0 p(x)q(x)xαe−xdx +˜ λZ+∞ 0 p0(x)q0(x)xαe−xdx , α > −1,˜ λ≥0. (6) Los polinomios {SL n}ortogonales con respecto a (6) son llamados polinomios de Laguerre– Sobolev y el coeficiente l´ıder de SL n(x) con n≥0 es el mismo que el de L(α) n(x). En [6] se prob´o una relaci´on l´ımite entre las familias de polinomios {SM n}y{SL n} que generaliza la existente (4) para familias cl´asicas. Hasta donde conocemos es la ´unica relaci´on l´ımite entre familias de polinomios de Sobolev. Teorema Para los valores β=α+ 1 yλ=˜ λ (1 −c)2, se satisface l´ım c↑1cnSM nµx 1−c¶=SL n(x). Esta relaci´on l´ımite nos conduce a que las propiedades algebraicas y asint´oticas de los polinomios de Laguerre–Sobolev puedan ser deducidas de aquellas para los polinomios de ∆–Meixner–Sobolev. Este resultado es un paso inicial en la idea de intentar establecer un esquema para los polinomios de Sobolev similar al de Askey–Wilson para los polinomios est´andar. 3. Equilibrando o balanceando productos escalares de Sobolev Tal y como se coment´o en la Secci´on 1, si consideramos el producto escalar (p, q)S=Zp(x)q(x)dµ0(x) + λZp0(x)q0(x)dµ1(x), λ ≥0, la medida µ1juega el papel principal cuando se desea obtener propiedades asint´oticas de los polinomios ortogonales m´onicos con respecto a este producto escalar ya que la segunda integral introduce un factor n2.Para equilibrar/balancear esta situaci´on, en [2] se introduce un producto escalar de Sobolev variante (p, q)λn=Zp(x)q(x)dµ0(x) + λnZp0(x)q0(x)dµ1(x),(7) donde {λn}es una sucesi´on decreciente de n´umeros positivos con l´ım n→∞n2λn=L∈(0,+∞) (8) Considerando medidas de soporte acotado y en el ´ambito de la coherencia, en [2] se obtienen resultados asint´oticos donde queda reflejada la importancia de las dos medidas. En verdad, 4 Resultados recientes en P.O. de Sobolev los autores de [2] tambi´en consideran los casos extremos L= 0 y L= +∞introduciendo algunas restricciones naturales sobre la sucesi´on {λn},aunque en esas dos situaciones el producto escalar no queda equilibrado, sirven para recuperar resultados asint´oticos ya conocidos para polinomios de Sobolev no balanceados. En el caso no acotado, esto es, cuando las medidas µi, i = 0,1,tienen soporte no acotado cabe preguntarse si el producto escalar se puede equilibrar de la misma forma que en el caso acotado. Si bien podr´ıa parecer que imponer (8) valdr´ıa para equilibrar el producto escalar (7), veremos que no es la elecci´on correcta. Consideramos d µi=W2(x)dx,i= 0,1 con W(x) = e−Q(x)donde Q:I= (−c, c)→[0,+∞) es convexa, suave, par con Q(c−) = Q((−c)+) = +∞yQ(x) = 0 solamente para x= 0.Necesitaremos usar una herramienta habitual del caso no acotado: los n´umeros de Mhaskar–Rakhmanov–Saff anasociados con Q, que son las ra´ıces positivas de la ecuaci´on n=2 πZ1 0 antQ0(ant)dt √1−t2. Entonces, haciendo uso de las desigualdades (ver [12]) kW QnkL2([−an+1,an+1]) ≤ kW QnkL2(R)≤√2kW QnkL2([−an+1,an+1]) podemos probar que para todo polinomio Qn(x) = xn+. . . se tiene hQn, Qniλn ∼Zan+1 −an+1 Q2 n(x)W2(x)dx +λnZan+1 −an+1 ¡Q0 n(x)¢2W2(x)dx =an+1 ·Z1 −1 Q2 n(an+1t)W2(an+1t)dt +λnZ1 −1¡Q0 n(an+1t)¢2W2(an+1t)dt¸ =a2n+1 n+1 ·Z1 −1 U2 n(t)W2(an+1t)dt +n2λn a2 n+1 Z1 −1 V2 n−1(t)W2(an+1t)dt¸, donde UnyVn−1son polinomios m´onicos de grado nyn−1, respectivamente. Por tanto, lo exigible para equilibrar el producto escalar (7) es: (a) l´ım n→∞ n2λn a2 n+1 =L∈(0,+∞) (9) (b) La extremalidad asint´otica de la norma L2(W2(an+1t),[−1,1]) para polinomios m´onicos de grado nse comporte como la de grado n−1. Notar que de (9) se deduce que en el caso no acotado la elecci´on correcta para equilibrar el producto escalar no puede ser (8). Por otra parte, en [3] bas´andonos en resultados de Teor´ıa de Potencial damos una condici´on suficiente para (b) que es W1/n(an+1t)∼w(t),∀t∈(−1,1) donde wes una funci´on peso continua admisible (ver [17]). Una de las cuestiones pendientes es poder hacer este estudio cuando se tienen dos medidas de soporte acotado distintas. Alg´un peque˜no avance se hizo en [3] para pares coherentes sim´etricos de tipo Hermite aprovechando las particularidades de la medidas involucradas. 5 Juan J. Moreno Balc´azar Un ejemplo de resultados asint´oticos Se considera el peso de Freud W(x) = exp(−x4/2), tambi´en conocido en la literatura por peso de Nevai–Freud, entonces mediante el c´alculo de los correspondientes n´umeros de Mhaskar–Rakhmanov–Saff se tiene que an∼n1/4.Por tanto, n2λn∼a2 n+1 ⇒λn∼n−3/2. Por otra parte, W1/n((n+ 1)1/4t)∼exp(−t4/2) , que es un peso admisible. Por tanto, estamos en condiciones de poder equilibrar el producto escalar (7) donde dµi(x) = W2(x)dx , i = 0,1.Denotamos por {Pn}la sucesi´on de polinomios ortogonales est´andar con respecto al W2(x) y por {Sn,λn}la sucesi´on de polinomios de Sobolev ortogonales con respecto a (7) donde dµi(x) = W2(x)dx , i = 0,1.El siguiente resultado probado en [3] establece la asint´otica relativa entre los polinomios de Sobolev y los polinomios de Freud. Teorema. Sea {λn}una sucesi´on decreciente de n´umeros reales positivos tales que l´ımnn7/4(λn−2−λn) = 0 = l´ımnn1/4³λn−2 λn−1´.Si l´ım n→∞n3/2λn=L∈[0,+∞], entonces l´ım n→∞ Sn,λn(z) Pn(z)=            1si L= 0 1 1−hϕ³20 L+3 √3 12 L´i−1si 0< L < +∞ 3/2si L= +∞, uniformemente en subconjuntos compactos de C\R,donde ϕ(z) = z+√z2−1. En la demostraci´on de este resultado se usan t´ecnicas de variable compleja, espacios de Hardy y asint´otica fuerte exterior de los polinomios Pn(x). Es conveniente hacer algunos comentarios al resultado obtenido: (a) Realmente se equilibra el producto escalar (7) cuando L∈(0,+∞).En este caso, se puede considerar el producto escalar: (P, Q)λn=ZR P(x)Q(x)W2(x)dx +λnZR P0(x)Q0(x) [L W2(x)] dx . Si λn=n−3/2(1+ o(1)) entonces l´ım n→∞ Sn,λn Pn depende de L, o sea, del cociente de los pesos y esto refleja que ambas medidas participan en la asint´otica de los polinomios Sn,λn(x). (b) La elecci´on λn≡constante,que corresponde al caso no balanceado, es un caso particular de L= +∞, y el teorema nos da el resultado asint´otico obtenido en [7]. 6 Resultados recientes en P.O. de Sobolev (c) Puesto que la asint´otica fuerte exterior de los polinomios Pn(x) es conocida, como corolario de este teorema tenemos la asint´otica fuerte exterior de los polinomios de Sobolev Sn,λn(x). Agradecimientos Este trabajo ha sido parcialmente subvencionado por Ministerio Educaci´on y Ciencia (MTM2005–08648–C02–01) y la Junta de Andaluc´ıa (FQM229 y proyectos de excelencia FQM481 y P06–FQM–1735). Referencias [1] M. Alfaro, M. ´ Alvarez de Morales y M.L. Rezola, Orthogonality of the Jacobi polynomials with negative integer parameters, J. Comput. Appl. Math. 145 (2002), 379–386. [2] M. Alfaro, A. Mart´ınez–Finkelshtein y M.L. Rezola, Asymptotics properties of balanced extremal Sobolev polynomials: coherent case, J. Approx. Theory 100 (1999), 44–59. [3] M. Alfaro, J.J. 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