Probabilidades y distribución de los números primos

Probabilidades y distribución de los números primos Francisco José Valladares Herrera Probabilidades y distribución de los números primos Francisco José Valladares Herrera Trabajo de fin de grado que forma parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Dirigido por Juan Arias de Reyna Martínez A mi madre, siempre fuerte. Summary In this project, we will try to study the prime factors of a number taken at random. The main objective will be to introduce the probabilistic theory of numbers and, at the same time, several central themes of probability theory in general: expected value, variance and the central limit. The story of probabilistic number theory begins with Hardy and Ramanujan, who were the ones who pushed the study of the central theme of this project: the distribution of ω(n), the number of prime divisors of a natural number n. Later generations, the area continued to develop remarkably with Erdös and Kac’s theorem (which is the main theme we will try to demonstrate and understand) until this day, thanks to both number theory specialists and probability experts. We will not assume any knowledge of complex analysis or measure theory. We only need to consider finite spaces of probability, so that we will start by studying expected value by treating ωas a random variable, using Chebyshev’s inequality. Subsequently we will study the variance, and aply it in two ways: one using the inequality of Chebyshev, and another somewhat more useful (that is, it will give better theoretical results). Finally we will apply the central limit theorem, in order to try to understand and demonstrate the aforementioned Erdös - Kac theorem. INTRODUCCIÓN Los números primos no constituyen un concepto complicado que requiera años de estudios matemáticos; de hecho, se enseñan en los colegios, en los primeros cursos de matemáticas. Para saber lo que es un número primo basta con estar familiarizado con los primeros números naturales y las cuatro operaciones fundamentales. Sin embargo, han sido y siguen siendo uno de los retos más fabulosos de la historia de la ciencia. Su influencia no sólo está presente en el universo particular de las matemáticas, sino que, aunque no seamos conscientes de ello, los números primos desempeñan un papel decisivo en nuestra vida cotidiana: en la protección que requiere nuestro ordenador personal, en las transacciones bancarias o en la privacidad de nuestras conversaciones telefónicas, ya que son las piedras angulares de la seguridad informática. En un sentido metafórico, los números primos son como un virus maléfico que, cuando ataca la mente de un matemático, es muy difícil de erradicar. Euclides, Fermat, Euler, Gauss, Riemann, Ramanujan y una larga lista de los matemáticos de mas renombre de la historia cayeron en sus redes. Algunos consiguieron zafarse de él de manera más o menos exitosa, tratando de entender las complejidades de su distribución y sorprendentes propiedades. En este proyecto trataremos de dar unas nociones básicas de la teoría probabilística de números, centrándonos en el estudio de la distribución de los divisores primos de un número, y no en el estudio en sí de la distribución de los primos. La razón principal es que realmente se sabe poco con certeza acerca de la distribución de los números primos. Por ejemplo, se conjetura la probabilidad que una pareja de enteros (n, n + 2) esté formada por primos. En ocasiones como mucho, lo único que se posee es cotas superiores dadas por la teoría de cribas. Existen modelos tanto fructíferos como imperfectos - por ejemplo, el modelo de Cramér, que dice que el evento que un número nsea primo y el evento que un número mdistinto sea primo se comportan muchas veces como si fueran eventos independientes. Está claro que 4probabilidades y distribución de los números primos to entero n: τ(n) = X d|n 1 La función aritmética ω(n)representa la cantidad de divisores primos que tiene un cierto entero n: ω(n) = X p|n 1 Observación 2.1.Cabe aclarar que por cada primo distinto se suma una vez por ejemplo: El número 12 tiene los tres divisores primos {2,2,3}pero ω(12) = 2. Observación 2.2.Aclaremos también que dado un número real xlas sumas del tipo Pn≤xse refieren a las sumas PN n=1 con N=bxc. Ésto será conveniente sobre todo a la hora de acotar y usar la fórmula de sumación de Abel. Observación 2.3.Observemos que Pp≤xse refiere a la suma de los términos primos pmenores que x, por ejemplo: Pp≤10 1 p=1 2+1 3+1 5+1 7. La función Λ(n)(función de Von Mangoldt) : Λ(n) = log psi n=pαpara algún primo py algún entero α > 0 0en caso contrario La función Xm(n): Xm(n) = 1si m|n 0si m-n(2.1) La función de Möbius µ(n): µ(n) = 0si nes divisible por algún cuadrado (−1)ω(n)en caso contrario (2.2) La función de Euler ϕ(n): denota el cardinal del conjunto de números primos con ny menores que n, es decir: ϕ(n) = card{k⊥n: 1 ≤k≤n}. La función zeta de Riemann ζ(s): ζ(s) = ∞ X n=1 1 ns. 3 Abel, Mertens y la esperanza 3.1 Nuestro espacio de probabilidad Consideraremos un número real x > 1y el espacio Ωx={n∈N:n≤x}es decir, el espacio formado por los números naturales 1,2,...,bxc=N. Dotaremos al espacio Ωxde una probabilidad, la que asigna la misma probabilidad a cada punto del espacio, precisamente 1 N. Podríamos poner un ejemplo: Ejemplo 3.1.Si tenemos Ω5.23 entonces la probabilidad de que un número natural n∈Ω5.23 y sea impar es 3 5. Describiremos ahora la famosa fórmula de sumación de Abel, la cual usaremos muy a menudo en el trabajo (aquí encontramos la razón de usar la variable continua xen lugar de la discreta N). 3.2 Lema de Abel Sea (an)una sucesión, estamos interesados en una suma del tipo PN n=1 ano incluso PN n=1 anf(n)donde fes una función con derivada continua. En estos casos es muy útil el lema de Abel. Lema 3.1 (Lema de Abel).Sea un x > 0real . Definiendo S(x) = Pn≤xantenemos que N X n=1 anf(n) = S(x)f(x)−Zx 1 S(t)f0(t)dt (3.1) 6probabilidades y distribución de los números primos Observación 3.1.Notemos que en la integral aparece S(t)siendo tun número real. es por esto que aun cuando nos interese estudiar Pn≤xansolo para x∈Ndebemos considerarlos para todo xreal. 3.3 El concepto de Esperanza A lo largo de esta sección, queremos dejar claro el concepto de esperanza probabilística, así como su íntima relación con las sumas frecuentes en el área del análisis matemático. Definición 3.1 (Esperanza). Dada una variable aleatoria Xque toma los valores x1, x2, . . . , xncon ciertas probabilidades p1, p2, . . . , pn, se define la esperanza de dicha variable, E(X), como la cantidad n X i=1 pixi. Ejemplo 3.2.Podríamos poner el ejemplo clásico de un dado, si llamamos a Xcomo la variable aleatoria que toma los valores: X=                  1con probabilidad 1/6 2con probabilidad 1/6 3con probabilidad 1/6 4con probabilidad 1/6 5con probabilidad 1/6 6con probabilidad 1/6 es fácil calcular su esperanza probabilísitca, que sería: E(X) = n X i=1 pixi=1 6·1 + 1 6·2 + ···+1 6·6 = 7 2. Una propiedad básica es que dadas X1, X2, . . . , Xnvariables aleatorias, se cumple que E(X1+X2+···+Xn) = E(X1) + E(X2) + ···+E(Xn). 3.4 Promedio de τ(n) Nuestro objetivo es conocer los valores esperados que tomará la función aritmética ω(n)pero antes, estudiaremos los de τ(n)pues es un poco más sencillo de averiguar 3. abel, mertens y la esperanza 7 y el método será idéntico. Para que tenga sentido preguntarnos por el promedio de τ(n)fijamos un cierto x, es decir, tomaremos un entero nal azar en el intervalo (1, x). Usaremos la función Xmque definimos en (2.1) y la tomaremos formalmente como una variable aleatoria discreta. Así pués, por definición: τ=X d|n 1 = X d|n Xd(n) = X m≤x Xm(n). Como consecuencia τ=X m≤x Xm. Y por tanto preguntarnos por el promedio de τno es más que preguntarnos por su esperanza, o sea : E(τ) = EX m≤x Xm=X m≤x E(Xm). Ahora calculemos E(Xm): E(Xm) = Prob(Xm(n) = 1) = 1 NX n≤x m|n 1 = 1 Nx m=1 Nx m+O(1)=1 m+O(1 x). (3.2) Observación 3.2.Recordemos que N≤xcon N=bxcy que estamos trabajando en Ωx. Observación 3.3.Queda apropiado aclarar de nuevo que, la notación O(1) quiere decir "una cantidad ytal que |y| ≤ Cpara alguna constante C" y O(1/x)quiere decir "una cantidad ytal que |y| ≤ C/x". También que la ecuación bx/mc=x/m +O(1) nos está diciendo simplemente que el valor absoluto de la diferencia entre bx/mcy x/m es siempre menor que una pequeña constante, y dicha constante es uniforme e igual a 1, no depende de m∈Ωx, esto es usado a continuación. Por lo tanto: En X m=1 Xm= n X m=1 E(Xm) = X m≤x 1 m+X m≤x O1 x=∗log x+O(1). 8probabilidades y distribución de los números primos Concluimos que E(τ) = log x+O(1).(3.3) Expliquemos con un poco más de atención el por qué de la igualdad(∗): Aplicando la técnica de sumación de Abel (3.1) en Pm≤x1/m (definiendo S(x) = Pm≤x1yf(t) = 1/t) y luego acotando Pm≤xO(1/x)obtenemos que: X m≤x 1 m=X m≤x 1·1 m=bxc1 x−Zx 1btc(−1) t2dt =bxc1 x−Zx 1 (t−{t})(−1) t2dt = log(x) + 1 + O(1 x).(3.4) Observación 3.4.En lo anterior, recordemos que btc=t−{t}. |X m≤x O(1 x)| ≤ X m≤x C x=C x·bxc= 1 + O(1 x). Observación 3.5.Es importante destacar que aquí Cdenota a la misma constante en cada sumando. De lo cual, sumando ambas expresiones obtenemos X m≤x 1 m+X m≤x O(1 x) = log x+O(1). 3.5 Promedio de ω(n) Ahora trataremos uno de los resultados importantes que nos preguntamos al principio: si ω(n)es el número de divisores primos de n, ¿cuánto sera ω(n)en promedio? Teniendo en cuenta que, ω(n) = X p≤n 1 = X p≤x Xp(n), 3. abel, mertens y la esperanza 9 y que por tanto ω=X p≤x Xp entonces, como hicimos con τ(n), calcularemos su esperanza: E(ω) = EX p≤x Xp=X p≤x E(Xp) = X p≤x 1 p+X p≤x O1 x. Ahora bien X p≤x 1 p= log log x+O(1) (3.5) (como demostraremos en la sección 3.7, usando la esperanza y técnicas de sumación, este es el teorema de Mertens, 1875). Por lo tanto: E(ω(n)) = log log x+O(1).(3.6) 3.6 Cota superior de ω(n) En esta sección usaremos la desigualdad de Markov para dar una primera cota superior de ω(n)la cual seguidamente intentaremos de mejorar. Teorema 3.1 (Desigualdad de Markov). Sea Xuna variable aleatoria que toma siempre valores no negativos y sea t≥E(X). Entonces se cumple que: Prob(X≥t)≤E(X) t(Desigualdad de Markov).(3.7) Su demostración es sencilla: Demostración. Por la definición de esperanza, siempre es cierto que E(X)≥0·Prob(X < t) + t·Prob(X≥t) = t·Prob(X≥t). Luego Prob(X≥t)≤E(X) t. 10 probabilidades y distribución de los números primos Con este resultado, obtenemos de manera inmediata que Prob(τ(n)≥t)≤log x+O(1) t,(3.8) Prob(ω(n)≥t)≤log log x+O(1) t.(3.9) De forma coloquial, esta cota nos viene a decir que, la probabilidad de que el número de factores primos de un cierto número ntomado en el intervalo (1, x)sea mayor que un cierto t, sera menor que el valor de (log log x)/t más un cierto error del orden O(1 t). No obstante, esta cota la podemos mejorar de la manera siguiente: Es fácil ver que τ(n)≥2ω(n)luego es directo que Prob(ω(n)≥t)≤Prob(τ(n)≥2t)≤log x+O(1) 2t.(3.10) Pero realmente, nos tenemos que preguntar en qué se diferencia la cota (3.9) a la nueva que hemos dado en (3.10), o sea, ¿cuánto es de mejor la nueva cota? Si consideramos t= (1 + ) log2log x, entonces (3.9) nos da Prob(ω(n)≥t)≤log 2 + o(1) 1 +  mientras que (3.10) nos da Prob(ω(n)≥t)≤1 + o(1) (log x) lo cual es una cota mucho más fuerte (es decir, más baja). Más adelante trataremos de estimar las distribuciones de ω(n)yτ(n)con mayor precisión. 3.7 Demostración del teorema de Mertens Sencillamente en esta sección queremos demostrar un resultado famoso de teoria de números, que usamos directamente en la sección anterior y que usaremos más 3. abel, mertens y la esperanza 11 adelante en el Teorema de Erdös-Kac. Lo que queremos probar es la igualdad siguiente: X p≤x 1 p= log log x+O(1).(3.11) Demostración. Dividiremos la demostracón en 6 pasos: 1. Para empezar, tendremos en cuenta el siguiente teorema: Teorema 3.2 (Teorema fundamental de la aritmética). Todo número entero positivo puede ser expresado como un producto de primos de manera única. En otras palabras, para todo entero positivo n, n=Y p pvp(n) donde vp(n)es el máximo entero no negativo ktal que pk|n. Asi pues, tomando logaritmo en ambos lados de la igualdad, obtenemos que: n=pa1 1·pa2 2···pak k⇒log n=a1·log p1+···+ak·log pk=Pk i=1 ailog pi= Pp|nvp(n) log p=Ppα|nlog p=Pd|n d=pα log p=Pd|nΛ(d) (3.12) donde Λ(d)es la función de Mangoldt definida en los conceptos previos. 2. Si tomamos Xdcomo antes, es decir la variable aleatoria que toma el valor 1 cuando d|ny el valor 0cuando d-n. Definiendo Y=Pd|nΛ(d)Xd. Entonces, por (3.12), para todo n∈Ωx,Y(n)siempre toma valores de log n, de donde es directo concluir que, teniendo en cuenta la definición de esperanza que dimos al principio, E(Y) = log x+O(1).(3.13) Pues, aplicando el lema de Abel: E(Y) = 1 NX n≤x log n=1 Nbxclog x−Zx 1btcdt t= log x+O1 N(x−1)= log x+O(1) 3. A la vez, tenemos que: E(Y) = X d≤x Λ(d)E(Xd) = X d≤x Λ(d)·1 Nx d, 12 probabilidades y distribución de los números primos asi que, igualándolo con (3.13), X d≤x Λ(d)1 Nx d= log x+O(1).(3.14) Como 1 NbN dc=1 d−O(1 x),estamos a un paso de obtener una estimación de Pd≤x Λ(d) d: X d≤x Λ(d) d= log x+O(1)+X d≤x Λ(d)·O1 x= log x+O(1)+ 1 x·OX d≤x Λ(d). (3.15) Sólo nos falta acotar Pd≤xΛ(d) 4. Por (3.14), tenemos X d≤x Λ(d)·1 Nx d= log x+O(1), y para x/2en lugar de xtenemos que X d≤x/2 Λ(d)·1 N/2x/2 d= log x 2+O(1) y por lo tanto X x 2≤d≤x Λ(d)≤X d≤x Λ(d)·x d−2x 2d=x(log x+O(1))−x(log x 2+O(1)) = O(x) para todo x. Por lo tanto, dividiendo una suma en intervalos diádicos, es decir, intervalos de la forma M < d ≤2M; un procedimiento muy común en análisis, obtenemos que Pd≤xΛ(d) = Px 2≤d≤xΛ(d) + Px 4≤d≤x 2Λ(d) + Px 8≤d≤x 4Λ(d) + . . . =O(x) + O(x/2) + O(x/4) + ··· =O(x). (3.16) 5. De (3.14)y(3.16) deducimos que, como X d≤x Λ(d) d= log x+O(1)1 x·OX d≤x Λ(d) y como X d≤x Λ(d) = O(x) 3. abel, mertens y la esperanza 13 entonces X d≤x Λ(d) d= log x+O(1) + 1 x·O(x) = log x+O(1) (3.17) 6. Ahora bien, los enteros dde la forma d=pαtienen una contribución en la suma (3.17) prácticamente nula, en concreto, O(1)( porque Pn log n n2es convergente). Asi pués solo nos queda el caso d=p, todo lo demás es igual a O(1) y por tanto tenemos que S(x) := X p≤x log p p= log x+O(1) (3.18) Para librarnos del factor log p, usaremos la fórmula de sumación de Abel (3.1) en Pp≤x1/p de la siguiente forma: X p≤x 1 p=X p≤x log p p·1 log p=X n≤x an·1 log p=X n≤x an·f(n) definiendo an=(log p psi n=pprimo 0en caso contrario y f(t) = 1 log t. Por tanto, si S(x) = Pn≤xanusamos Abel (teniendo en cuenta (3.18)), como hicimos en (3.4): X p≤x 1 p=S(x)1 log x+Zx 1 S(t)dt tlog2t=log x+O(1) log x+Zx 2 dt tlog t+Zx 2 O(1) dt tlog2t Observación 3.6.Tengamos en cuenta que S(t)=0para 1< t < 2y podemos cambiar el límite inferior de 1a2(observando también que log 1 = 0). resolviendo cada integral, y agrupando valores constantes con O(1) obtenemos directamente que: X p≤x 1 p= log log x+O(1) (3.19) 20 probabilidades y distribución de los números primos Dicho de otra manera, Prob(|ω(n)−log log n| ≥ tplog log x)≤1 + O(1/√log log x) t2(4.9) para todo t≥1. Tanto el resultado (4.9) como la prueba que hemos presentado se deben a Erdös y Turán; Hardy y Ramanujan habían dado antes una prueba más complicada de un resultado ligeramente más debil. Usemos esta cota para dar algún ejemplo a continuación: Ejemplo 4.1.Escogemos t= 10, y obtenemos que Prob(|ω(n)−log log x| ≥ 10plog log x)≤1 100 +o(1). Ejemplo 4.2.Escogemos t=√log log x, y obtenemos que Prob(ω(n)>(1 + ) log log x)≤1 2log log x+o(1), Prob(ω(n)<(1 −) log log x)≤1 2log log x+o(1). 4.3 Una cota superior de ω(n)usando la varianza Nuevamente nos preguntamos: ¿cuántos primos hay entre 1yx? Tratemos de ver si podemos atacar el problema usando la varianza, en lugar de la esperanza. La idea central esta clara: los primos son algo que se desvían de la norma, y podemos usar la desigualdad de Chebyshev para obtener una cota sobre la probabilidad de eventos que se desvian de una norma. Podemos usar la desigualdad (4.8) (la cual hemos probado usando la misma desigualdad de Chebyshev) con k= log log n, y obtenemos Prob(ω(n) = 1) ≤Prob(|ω(n)−log log n| ≥ log log x−2) + o(x) ≤log log x+O(1) (log log x)2+ 2 log log x·O(1) + O(1)2+o(x) 4. chebyshev y la varianza 21 Observación 4.1.La primera desigualdad se debe a que {n≤x:ω(n) = 1}⊂{n≤x:|ω(n)−log log n| ≥ log log x−2}∪{n≤x1/2}∪{n≤ee} pues si n≤x,ω(n) = 1 y|ω(n)−log log n|<log log x−2entonces o bien ω(n) = 1>log log no bien log log n−1<log log x−2. En el primer caso e > log n=⇒ ee> n. En el segundo, log log n < log log x−1luego log n < 1 elog x < 1 2log xluego n≤x1/2. Donde log log x+O(1) (log log x)2+ 2 log log x·O(1) + O(1)2=log log x+O(1) (log log x)2+O(log log x)=1 + O(1/log log x) log log x+O(1) y, agrupando errores, 1 + O(1/log log x) log log x+O(1) =1 log log x+O(1) por lo que, obtenemos Prob(ω(n) = 1) ≤1 log log x+O(1) (4.10) para cualquier ntomado al azar entre 1yx. Por lo tanto hay a lo más x log log x+O(1) primos entre 1yx. Esta cota es una cota sumamente débil: la cota que obtuvimos usando la esperanza era mucho mejor. Por tanto, tendríamos que ver si podríamos usar la desigualdad de Chebyshev de otra manera para obtener una cota más fuerte. Veremos que es asi, y luego veremos que la gran ventaja de lo que haremos sobre lo que hicimos en las notas en la sección anterior es que el método que seguiremos ahora también sirve para obtener cotas sobre muchas cosas a parte del número de primos entre 1yx. 4.4 Una cota superior de ω(n)usando un método más flexible Lo que estamos haciendo es evaluar la varianza de X=PpXp. Al hacer tal cosa, utilizamos el hecho de que las variables Xp,p≤x1/3(digamos) son casi independientes en pares. Hay todavia un hecho más general que no estamos usando: para 22 probabilidades y distribución de los números primos p1< p2<··· < pkcualesquiera tales que p1p2···pkes bastante menor que x, las variables Xp1, Xp2, . . . , Xpkson mutuamente independientes, o casi. ¿Qué podriamos hacer con esto?. Lo veremos a continuación. Si definimos Zp(n) = (−(1 −1 p)si p|n 1 psi p-n(4.11) donde nes un entero aleatorio entre 1yx. Es fácil ver que E(Zp) = O(1/x): E(Zp) = −(1 −1 p)·Prob({n≤x:p|n}) + 1 p·Prob({n≤x:p-n}). Tenemos que card{n≤x:p|n}=x p. El otro conjunto es su complementario, de manera que obtenemos E(Zp) = −(1 −1 p)bx/pc N+1 p N−bx/pc N=1 p−1 Nx p. Recordando que bx/pc=bN/pctendremos que E(Zp) = 1 p−1 NN p=1 p−1 NN p−N p=1 NN p Esto prueba que E(Zp) = O(1/N), pero para x > 2tenemos N≥x/2, así que finalmente E(Zp) = O1 x.(4.12) Si definimos para todo dsin divisores cuadrados (es decir, dno divisible por 4, ni por 9, ni por 16,. . . )Zdtal que: Zd=Y p|d Zp.(4.13) Verifiquemos ahora que E(Zd) = O(τ(d)/x)(aunque esta vez, no es de forma tan directa): E(Zd) = 1 NX n≤x Zd(n) = 1 NdM X n=1 Zd(n)+ dM+r X n=dM+1 Zd(n)=M N d X n=1 Zd(n)+ 1 N r X n=1 Zd(n). 4. chebyshev y la varianza 23 Observación 4.2.Hemos tenido en cuenta, que todo entero N=bxc=dM +r, con 0≤r < d. Observación 4.3.En la tercera igualdad hemos tenido en cuenta que Zd(n) = Zd(n+ d)por su propia definición. Como des libre de cuadrados, es producto de primos distintos d=p1·p2···pk. Sea J0={p1, p2, . . . , pk}el conjunto de sus factores primos. El valor de Zd(n) = Zp1(n)···Zpk(n)depende de cuales de los primos p1, . . . , pkdividen a n. Al estudiar las sumas anteriores usaremos J⊂J0para denotar los primos p∈J0que dividen a n(Jvaría con n). Puede haber varios nque den el mismo J, en realidad J={p∈ J0:p|n}luego Qp∈Jp=mcd(n, d), y Zd(n)se puede escribir como Zd(n) = Qp∈J1 p−1Qp∈J0rJ 1 p, entonces: 1. El primer sumando: d X n=1 Zd(n) = X J⊂J0Y p∈J (1 p−1) Y p∈J0rJ 1 p·card{n≤d:mcd(n, d) = Y p∈J p} teniendo en cuenta que, fijado un J, el número de veces que se va a sumar Pp|n es igual al cardinal: card{n≤d:mcd(n, d) = Y p∈J p}=card{n Qp∈Jp≤d Qp∈Jp:mcd(n Qp∈Jp,Y p∈J0rJ p) = 1} =card{m≤Y p∈J0rJ p=mcd(m, Y p∈J0rJ p) = 1}=ϕ(Y p∈J0rJ p) = Y p∈J0rJ (p−1). Observación 4.4.Recordemos que ϕ(n)es la función de Euler, la cual denota el cardinal del conjunto de números primos con ny menores que n. tenemos que =X J⊂J0Y p∈J (1 p−1) Y p∈J0rJ 1 p·card{n≤r:mcd(n, d) = Y p∈J p} | {z } Qp∈J0rJ(p−1) por tanto d X n=1 Zd(n) = X J⊂J0Y p∈J (1 p−1) Y p∈J0rJ (1 −1 p) = Y p|d (1 −1 p)X J⊂J0 (−1)card(J)= 0 24 probabilidades y distribución de los números primos puesto que X J⊂J0 (−1)card(J)= n X r=0 (−1)rn r= (1 −1)n= 0. 2. El segundo sumando:  1 N r X n=1 Zd(n)≤1 N d X n=1 Zd(n)≤1 NY p|d (1 −1 p)·X J⊂J0|(−1)card(J)| ≤1 N2card(J0)=τ(d) N=Oτ(d) x. Por tanto queda probado que E(Zd) = Oτ(d) x Ahora bien, como hemos visto, si d1,d2son distintos y carecen de divisores cuadrados, entonces E(Zd1)E(Zd2) = x−2·O(τ(d1))O(τ(d2)) (4.14) y haciendo cuentas como hicimos en los dos puntos de arriba, podemos llegar también a que E(Zd1Zd2) = x−1·O(τ(d1d2)) ≤x−1·O(τ(d1))O(τ(d2)).(4.15) Observación 4.5.No nos centraremos en calcular la igualdad anterior, pues realmente sería repetir cálculos. Y por lo tanto E(Zd1Zd2) = E(Zd1)E(Zd2) + x−1·O(τ(d1))O(τ(d2)).(4.16) Ahora definiremos Z=P∗ d≤MZd, donde M=N0.49 (el asterisco ∗en la suma P∗ d≤Mquiere decir que drecorre sólo a los enteros sin divisores cuadrados). Calculemos ahora la esperanza y la varianza de Zayudándonos de lo que ya sabemos, pero antes, enunciaremos un teorema que usaremos en los cálculos. Teorema 4.2 (Dirichlet). Si τ(n)es el número de divisores de un cierto entero n, entonces tenemos que, cuando xtiende a infinito: X n≤x τ(n) = xlog x+ (2γ−1)x+O(√x)(4.17) donde γes la constante de Euler. 4. chebyshev y la varianza 25 Observación 4.6.La técnica usada en la prueba de este teorema se debe a Dirichlet y se denomina método de la hipérbola (ver por ejemplo en el libro An Introduction to the Theory of Numbrers, de Hardy y Wright [3]). Observación 4.7.El termino de error O(√x)puede mejorarse. La determinación del ínfimo de los θtales que podamos sustituir O(√x)por O(xθ)en el teorema anterior, constituye un problema abierto que se conoce con el nombre de problema del divisor de Dirichlet. En 1915 Hardy y Landau probaron que inf θ≥1/4. Esperanza: E(Z) = E∗ X d≤M Zd=∗ X d≤M E(Zd) = ∗ X d≤M Oτ(d) x)≤C x ∗ X d≤M τ(d) ahora bien, usando el teorema anterior (4.17), tenemos que C x ∗ X d≤M τ(d)≤C xMlog M≤Clog x x0.51 ≤C x1/2=O(x−1/2).(4.18) Varianza: V ar(Z) = E(Z−E(Z))2=E(Z2)−E(Z)2=E(∗ X d≤M Z2 d+2 ∗ X d1<d2 Zd1Zd2)−E(Z)2 luego teniendo en cuenta que E(Z)2=∗ X d≤ME(Zd)2+ 2 X di<dj E(Zdj)E(Zdj) tenemos V ar(Z) = X d≤M V ar(Zd)+2 X d1<d2E(Zd1Zd2)−E(Zd1)E(Zd2) y acotando el segundo sumando, X d1<d2E(Zd1Zd2)−E(Zd1)E(Zd2)≤C x ∗ X d1<d2 τ(d1)τ(d2)≤C x∗ X d≤M τ(d)2≤ C x(Mlog M)2=C xx1−0.02(log x)2=x−0.01. 26 probabilidades y distribución de los números primos Por tanto llegamos a que V ar(Z) = ∗ X d≤M V ar(Zd) + O(x−0.01) = ∗ X d≤M (E(Z2 d)−(E(Zd))2+O(x−0.01). Nos faltaría calcular explícitamente el valor de E(Z2 d), así pues, mostraremos a continuación que precísamente E(Z2 d) = ϕ(d) d2+O(τ(d) x), donde ϕ(d) = d· Qp|d(1 −1/p), es la función de Euler definida en las notaciones. E(Z2 d) = 1 NX n≤x Z2 d(n) = 1 NdM X n=1 Z2 d(n)+ dM+r X n=dM+1 Z2 d(n)=M N d X n=1 Z2 d(n)+1 x r X n=1 Z2 d(n). Aquí hemos usado que todo número entero nse puede escribir como n= dM +r. Ahora, estudiemos el primer y el segundo sumando, definiendo de antemano los conjuntos J0={p1, . . . , pk, pk+1, . . . , pω(d)} ≡ primos que dividen adyJ={p1, . . . , pk}los que dividen a a, con J⊂J0y siendo a=mcd(n, d). •M NPd n=1 Z2 d(n) d X n=1 Z2 d(n) = X a|dX mcd(n,d)=a 1≤n≤d Z2 d(n). Ahora bien: X a|dX mcd(n,d)=a 1≤n≤d Z2 d(n) = X a|dX mcd(n a,d a)=1 1≤n≤dY p∈J (1 −1 p)2Y p∈J0rJ 1 p2= y como hay ϕ(d a) = Qp∈J0rJ(p−1) sumandos en la segunda suma, entonces =X JY p∈J0rJ (p−1) Y p∈J (1 −1 p)2Y p∈J0rJ 1 p2 =X JY p∈J (1 −1 p)2Y p∈J0rJ(1 −1 p)1 p=Y p∈J0 (1 −1 p)2X JY p∈J0rJ 1 p 1 (1 −1 p) =Y p∈J0 (1−1 p)2Y p∈J0 (1+ 1 (p−1)) = Y p∈J0 (1 −1 p)2 (1 −1 p)=d dY p∈J0 (1−1 p) = ϕ(d) d. 4. chebyshev y la varianza 27 •Pr n=1 Z2 d(n) r X n=1 Z2 d(n)≤ d X n=1 Z2 d(n) = ϕ(d) d≤τ(d) puesto que, si des libre de cuadrados y 0≤r≤d, ϕ(d) d=Y p|d (1 −1 p)≤Y p|d (1 + 1) ≤2ω(d)=τ(d). Por tanto, habiendo estudiado los dos sumandos, llegamos a que E(Z2 d) = M N·φ(d) d+1 NOτ(d) y como M N=1 d, puesto que N=Md +r=⇒1 = M Nd+r N=⇒1 d=M N+ r Nd, y además 1 N∼1 x. Entonces considerando que (E(Zd))2es O((τ(d) x))2 y que τ(d) xes O(1), concluimos que E(Z2 d) = φ(d) d2+Oτ(d) x.(4.19) Por consiguiente V ar(Z) = ∗ X d≤M φ(d) d2+O(x−0.01)log M≤log x(4.20) Observación 4.8.La primera desigualdad, se puede ver fácilmente. Basta con darse cuenta que φ(d)≤d. Utilizaremos ahora la desigualdad de Chebyshev Prob(|Z−E(Z)| ≥ k)≤V ar(Z) k2.(4.21) Si queremos usar la varianza para estimar el número de primos, debemos obtener una variable aleatoria tal que tenga esperanza pequeña y varianza grande en los elementos que queramos contar, en este caso los primos. Ahora bien, si el número nes primo y mayor que M, entonces, para cada dsin divisores cuadrados, entonces Zd(n) 28 probabilidades y distribución de los números primos tomará el valor Qp|d1/p = 1/d (por la definición de Zd, ver (4.11) y (4.13) ). Por lo tanto, si nes primo y mayor que M, Z(n) = ∗ X d≤M 1 d≥Pd≤M 1 d Pm 1 m2X d≤M 1 dlog Mlog x (luego la variable es grande justamente en los primos mayores que M) donde utilizamos el hecho de que la suma Pm 1 m2converge, aunque la primera desigualdad no es del todo directa, así que la veremos con más detenimiento: Es decir, queremos probar con claridad que ∗ X d≤M 1 d≥Pd≤M 1 d Pm 1 m2 . Sabemos que, por definición que P∗ d≤x 1 d=Pd≤x|µ(d)| d(aquí hemos quitado el asterisco del sumatorio usado la definición de µ(d), ver en la sección de notaciones (2.2)) y usando el lema de Abel (definiendo Q(x) = Pd≤x|µ(d)|yf(t) = 1 t2): ∗ X d≤x 1 d=X d≤x |µ(d)| d=Q(x) x+Zx 1 Q(t)·1 t2dt estudiemos la integral, sabiendo que Q(x) = 1 ζ(2) ·x+O(√x)por un resultado de teoría analítica de números, donde ζ(t)denota la función zeta de Riemann y usando como notación R(t) = O(√t): Zx 1 Q(t)·1 t2dt =Zx 1 1 ζ(2)·t·1 t2dt+Zx 1 R(t)·dt t2=1 ζ(2) log x+Z∞ 1 R(t) t2dt−Z∞ x R(t) t2dt. y acotando superiormente a R∞ x R(t) t2dt con O(1 √x)llegamos a que: ∗ X d≤M 1 d=1 ζ(2) log x+H+O(1 √x)≥Clog x=C·Pd≤M 1 d P∞ m=1 1 m2 . (donde Hdenota una constante) Luego, efectivamente ∗ X d≤M 1 d≥Pd≤M 1 d Pm 1 m2 . 4. chebyshev y la varianza 29 Dejando atrás este inciso y continuando con nuestro razonamiento, dado que {p≤x:p>M, siendo pprimo }⊂{n≤x:|Z−E(Z)|> k}con k= P∗ d≤M1/d −E(Z)log x−O(x−1/2)log x, se infiere de forma inmediata que Prob(nes primo y mayor que M)≤Prob(|Z−E(Z)| ≥ k) Por (4.20)y(4.21), concluimos directamente que Prob(nes primo y mayor que M)1 log x y por lo tanto Prob(nes primo)1 log x+Prob(n≤M) = 1 log x+M x1 log x(4.22) para ntomado al azar entre 1yx. En otras palabras, el número de primos entre 1 yxes x log x(es trivial, pues hay xnúmeros posibles que tomar entre 1yxcon posibilidad de que sea primo 1 log x, es decir, x·1 log x). Ésta es esencialmente la cota que ya obtuvimos usando la esperanza en la sección anterior, pero la diferencia con lo que ya hicimos está en el propio método que hemos usado ahora, puesto que el método presente obtiene una suma flexibilidad a la hora de usarlo para otras aplicaciones, como veremos a continuación (con menos detalle) de un problema similar. 4.4.1 Acotación del número de primos gemelos usando el método anterior Procediendo como lo hicimos en el problema anterior, probaremos que Prob(tanto ncomo n+ 2 son primos)1 (log x)2(4.23) para ntomado al azar entre 1yx. 1. La variable adecuada ahora es: Zp=(2 psi p-nyp-(n+ 2) −(1 −2 p)si p|nop|(n+ 2) (4.24) 36 probabilidades y distribución de los números primos Definición 5.2 (Función característica). Dada una variable aleatoria X, definimos la función característica b X:t7→ E(eitX). Si Xes continua, b X(t) = E(eitX) = Z∞ −∞ eitxf(x)dx, donde fes la función de densidad de X. Si Xes discreta, b X(t) = E(eitX) = XProb(X=x)eitx. Lema 5.1.Cuando se tienen dos variables independientes X, Y, la variable X+Y tiene como distribución la convolución de las distribuciones. Lema 5.2.La transformada de Fourier [ f∗gde la convolución f∗gde dos funciones, es igual a b f·bg. En consecuencia, \ X+Y=b X·b Y. Observación 5.2 (Como solventar que nuestras variables no tengan la misma distribución).Siendo ω=Pp≤xXpdonde los Xpni son independientes ni tienen la misma distribución. En primer lugar consideraremos unas variables X0 pque van a ser independientes pero tienen la misma distribución y vemos que ω0=Pp≤xX0 psí convergen a la distribución normal. Ahora realizaremos unos cálculos previos, que nos servirán posteriormente para el límite central de ω(n): Sean X0 2, X0 3, X0 5, . . . variables mutuamente independientes con la siguiente distribución: X0 p=1con probabilidad 1/p 0con probabilidad 1−1/p (5.3) (Escojemos los signos X0 2, X0 3, X0 5, . . . porque usaremos X2, X3, X5, . . . más tarde) Observación 5.3.Las variables aleatorias Xp: Ωx×[0,1] están definidas por Xp(n, t) = 1si p|ny vale 0en otro caso. Las variables X0 pson independientes y toman el valor 1con probabilidad 1/p y0con probabilidad 1−1/p. Entonces E(X0 p) = 1 p,E((X0 p−E(X0 p))2) = Var(X0 p) = 1 p−1 p2,E(|X0 p−E(X0 p)|3)≤ 1 p. Por consiguiente, la función característica de X0 p−E(X0 p)es 1−t2 21 p−1 p2+O(t3) p. 5. el límite central 37 Por el mismo razonamiento, la función característica de 1 √log log x(X0 p−E(X0 p)) es 1−t2 2 log log x1 p−1 p2+O(t3) p(log log x)3/2.(5.4) Definimos S0 x=1 √log log xPp≤x(X0 p−E(X0 p)). Usando la regla \ X+Y=b X·b Yy (5.4), vemos que c S0 x=Y p≤x1−t2 2 log log x1 p−1 p2+O(t3) p(log log x)3/2 =Y p≤x e−t2 2 log log x·(1 p−1 p2)·(1+O(t/√log log x)=e−(1+ot(1))·Pp≤xt2 2 log log x(1 p−1 p2) cuando x→ ∞. Por el teorema de Chebyshev-Mertens, sabemos que Pp≤x 1 p= log log x+O(1), y por tanto: X p≤x t2 2 log log x1 p−1 p2=t2 2(1 + O(1/log log x)) cuando x→ ∞, y en consecuencia c S0 x=e−t2/2·(1+ot(1)) →e−t2/2 cuando x→ ∞. Por el teorema de convergencia de Lévy (que enunciaremos a continuación), concluimos que S0 xconverge en distribución a la normal. Teorema 5.4 (Teorema de convergencia de P. Lévy). Sean X1, X2, X3, . . . variables aleatorias con funciones características c X1,c X2,c X3, . . . Asumiendo que para todo real t, la sucesiónc X1(t),c X2(t),c X3(t), . . . tiene un límite f(t). Si fes continua alrededor de t= 0, entonces fes la función característica b Xde alguna variable aleatoria X, y las variables X1, X2, X3, . . . convergen a Xen distribución. 5.3 El límite central de ω(n) Sean ahora X2, X3, X5, . . . variables dadas por Xp=1si p|n 0si p-n(5.5) 38 probabilidades y distribución de los números primos donde nes un entero aleatorio entre 1yx. Como ya sabemos, ω(n) = Pp≤xXp(n). Queremos probar que la distribución de ω(n)o, más bien dicho, 1 √log log x(ω(n)−log log x) tiende a la normal. Cuando calculamos la varianza de ω(n), vimos que las variables Xpson casi independientes en pares: Xp1yXp2son aproximadamente independientes para p1, p2< x1/2−,p16=p2primos cualesquiera, y, en total, los términos de error son pequeños. No obstante, las variables Xpestán muy lejos de ser mutuamente independientes. ¿Qué podemos hacer?. Podemos probar el teorema del límite central para ω(n)por el método de momentos. Cuando calculamos el momento E(ω(n)k), sólo necesitamos el hecho que las variables Xpsean casi independientes "tomadas de ken k", esto es: kvariables distintas cualesquiera entre X1, X2, X3, . . . son aproximadamente independientes, por las mismas razones que ya vimos para k= 2. El término de error dependera de k, y por lo tanto la efectividad de convergencia de E(ω(n)k)a su límite dependerá de k; sin embargo, al método de momentos esto no le importa. Pasando todo esto a limpio, podemos probar teorema de Erdös-Kac en la siguiente sección. 6 El teorema de Erdös-Kac Teorema 6.1 (Erdös-Kac). Sean Yx: Ωx→Rlas variables aleatorias definidas en nuestro espacio de probabilidad Ωxpor Yx(n) = 1 √log log x(ω(n)−log log x) (naquí representa un entero tomado al azar entre 1yx). Entonces Yxtiende en distribución a una normal 1 √2πe−t2/2 cuando x→ ∞, es decir, que para cualesquiera que sean los números reales ω1,ω2, tales que ω1< ω2, l´ım x→∞P(ω1< Yx< ω2) = l´ım x→∞ 1 x·card{n≤x, ω1≤ω(n)−log log x √log log x≤ω2} =1 √2πZω2 ω1 e−t2/2dt. La demostración que veremos se debe a Billingsley [2]; incluye varias ideas de la prueba de Erdös y Kac (1939) y de la prueba de Halberstam (1995). Como antes, expresaremos ω(n)como una suma Pp≤xXp. Así como para utilizar la desigualdad de Chebyshev tuvimos que truncar la suma Pp≤xXp(reemplazándola por Pp≤x1/3Xp), tendremos que truncarla ahora (aún más, ya que la reemplazaremos por Pp≤g(x)Xp, donde g(x)crece más lentamente que cualquier potencia de x). Primero mostraremos que esta truncación no nos sera dañina, es decir, que el total omitido Pg(x)<p≤xXpes pequeño; luego procedermos a determinar la distribución de la suma truncada Pp≤g(x)Xputilizando el método de momentos. 40 probabilidades y distribución de los números primos 6.1 Demostración del teorema de Erdös-Kac Demostración. Sea g(x)una función tal que g(x) = o(x)para todo  > 0y log log x−log log g(x) = o(√log log x); podemos tomar, por ejemplo, g(x) = x1/log log x. Vemos inmediatamente que: Yx(n) = (1 + o(1)) ·1 plog log g(x)(ω(n)−log log x). Ahora bien, X p≤g(x) 1/p = log log g(x)+O(1) = log log x+o(plog log x) = log log x+o(plog log g(x)) Concluimos que Yx(n) = (1 + o(1)) ·1 plog log g(x)ω(n)−X p≤g(x) 1/p+o(1).(6.1) Definamos ahora Sm=1 √log log m·X p≤m (Xp−1/p)(6.2) donde Xpes como en (5.5). Está claro que ω(n) = Pp≤xXp(n)y por lo tanto ω(n)− Pp≤g(x)Xp(n)es igual a Pg(x)<p≤xXp(n). Calculamos la esperanza de esto último: EX g(x)<p≤x Xp=X g(x)<p≤x 1 p= log log x−log log g(x) + O(1) (6.3) =o(plog log x) = o(plog log g(x)). Como Xptoma solo valores positivos, la desigualdad de Markov nos permite deducir de (6.3) que 1 plog log g(x)X g(x)<p≤x Xp=o(1) con probabilidad 1−o(1). Veamos esto último con más detenimiento: La desigualdad de Markov, nos decía que Prob(X≥t)≤E(X) t, luego, tomando X=Pg(x)<p≤xXp: 6. el teorema de erdös-kac 41 ProbX g(x)<p≤x Xp≥t≤o(plog log g(x)) t definiendo e(x) = o(plog log g(x)), y h(x) = e(x) √log log g(x), que tiende a 0cuando x→ ∞. Escogemos el valor de tcomo t=ph(x)·plog log g(x), entonces: ProbX g(x)<p≤x Xp≤ph(x)·plog log g(x)>1−e(x) ph(x)·plog log g(x)= 1−ph(x) = 1−o(1) por lo tanto Prob 1 plog log g(x)X g(x)<p≤x Xp≤o(1)!>1−o(1) y de ahi, obtenemos lo que dijimos. Concluimos ahora, por (6.2)y(6.1) que Yx= (1 + o(1))Sg(x)+o(1) (6.4) con probabilidad 1−o(1) cuando x→ ∞. En consecuencia, si probamos que Sg(x) tiende en distribución a la normal, habremos probado que Yxtiende en distribución a la normal. Hasta ahora, nuestra labor ha sido sólo la preparatoria: lo más que hemos hecho es truncar la suma Pp≤xy mostrar que el efecto de tal truncación es pequeño. A continuación, nuestra tarea es averiguar cuáles son los momentos de Sg(x). Sea k≥0. Sean X0 pcomo en (5.3) y S0 m=1 √log log mPp≤m(X0 p−1/p). Para k primos p1, p2, . . . , pkcualesquiera (no necesariamente distintos), E(Xp1Xp2···Xpk) = 1 NX n≤x Xp1(n)Xp2(n)···Xpk(n). Teniendo en cuenta que, Xpivale 1si pi|n, tomamos el mínimo común múltiplo entre {p1, p2, . . . , pk} | n, (esto significa que cada uno divida a n) y lo denotamos por d. Luego, como el número de múltiplos de dmenores o iguales que Nes bN dcentonces: E(Xp1Xp2···Xpk) = 1 NN d. 42 probabilidades y distribución de los números primos Y de la misma manera, tenemos que, como E(X0 p) = 1 py como son independientes E(X0 p1X0 p2···X0 pk) = E(X0 p1)E(X0 p2)···E(X0 pk) =1 p1·p2···pk =1 d. Observación 6.1.Tengamos en cuenta que E(X0 p)=1/p y es obvio que, si hay primos iguales el resultado es el mismo pues (X0 p)k=X0 p. Bien pues, quedaría claro entonces que |E(Xp1Xp2···Xpk)−E(X0 p1X0 p2···X0 pk)|= 1 NN d−1 d≤1 N,(6.5) donde dhemos dicho que es el mínimo común múltiplo de p1, p2, . . . , pk. g(x) = x1/log log xes una constante (dado nuestro espacio Ωx×[0,1]) . Consideramos ahora las variables S=1 plog log g(x)X p≤g(x) (Xp−1 p), S0=1 plog log g(x)X p≤g(x) (X0 p−1 p). Queremos probar que E(Sk) = E((S0)k) + Okg(x)k x Veamoslo detenidamente acotando la diferencia entre ambas esperanzas, y viendo que, efectivamente es Ok(g(x)k x): Sea U(x) = log log g(x)1/2. Tenemos entonces U(x)k|E(Sk)−E(S0)k| ≤ E X p≤g(x) (Xp−1 p)k −X p≤g(x) (X0 p−1 p)k. Los primos ≤g(x)son π0=π(g(x)) es decir, las sumas en pson el conjunto de primos P:= {p1, p1, . . . , pπ0}. Desarrollando la potencia k−ésima se obtiene X p≤g(x) (Xp−1 p)k =X (q1,...,qk)∈Pk k Y j=1 (Xqj−1 qj). 6. el teorema de erdös-kac 43 Por consiguiente U(x)k|E(Sk)−E(S0)k| ≤ X (q1,...,qk)∈PkEk Y j=1 (Xqj−1 qj)− k Y j=1 (X0 qj−1 qj). Ahora desarrollamos los productos, en cada uno de los kfactores podemos escoger el primer sumando Xqjo el segundo −1 qj. Para cada J⊂ {1,2, . . . , k}tenemos uno de los términos k Y j=1 (Xqj−1 qj) = X J⊂{1,2,...,k}Y j∈{1,2,...,k}rJ (−1 qj)Y j∈J Xqj. Hacemos esto mismo con la segunda potencia k−ésima y asociamos los terminos correspondientes al mismo J. Al final obtenemos U(x)k|E(Sk)−E(S0)k| ≤ X (q1,...,qk)∈PkX J⊂{1,2,...,k}Y j∈{1,2,...,k}rJ 1 qjE(Y j∈J Xqj−Y j∈J X0 qj). Pero hemos visto antes en (6.5) que la diferencia de estas dos esperanzas es≤1/bxc. Por consiguiente lo que tenemos es U(x)k|E(Sk)−E(S0)k| ≤ X (q1,...,qk)∈PkX J⊂{1,2,...,k}Y j∈{1,2,...,k}rJ 1 qj 1 bxc. Como cada qj≥2tendremos 1/qj≤1y entonces se simplifica a U(x)k|E(Sk)−E(S0)k| ≤ X (q1,...,qk)∈PkX J⊂{1,2,...,k} 1 bxc≤1 bxc2kπk 0≤2kg(x)k bxc. Como U(x) = log log g(x)1/2tiende a infinito con x, esto implica también que |E(Sk)−E((S0)k)| ≤ 2kg(x)k bxc=Og(x)k x. Como g(x) = o(x), sabemos que O(g(x)k·1 x) = ok(1). Ya vimos, que la distribución de S0 mtendía a la normal cuando m→ ∞; por lo tanto, los momentos E((S0 m)k)de Smtienden a los momentos E(Wk)de la normal W. Tenemos, entonces, que: l´ım x→∞ E(Sk g(x)) = l´ım x→∞ E((S0 g(x))k) = E(Wk) para todo k. Concluimos entonces que Sk g(x)converge en distribución a la normal, y por lo tanto, Yxconverge en distribución a la normal. 44 probabilidades y distribución de los números primos Con lo anterior, quedaría probado el teorema de Erdös-Kac, y con ello, acabaría nuestra misión de mostrar algo más de los primos cuanto menos curioso e interesante. Queda plasmada en estas páginas como algo tan aparentemente sencillo como son los divisores primos de un número pueden llegar a dar tanto juego en una de las áreas de las matemáticas actualmente tan usadas como son la teoría de la probabilidad y el propio análisis. De la misma manera, problemas tan aparentemente sencillos, formulados hace siglos y combatidos por los mas grandes matemáticos, siguen aún vigentes y sin solución. Bibliografía [1] T. Apostol,Introduction to Analytic Number Theory, Springer, New York, 1976. [2] P. Billingsley,Probability and Measure, Wiley, The University of Chicago, 1979. [3] G.H. Hardy y E. M. 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