Sistemas dinámicos estocásticos no autónomos y sistemas multivaluados

Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. no21(2002), 89–115 Sistemas din´amicos estoc´asticos no aut´onomos y sistemas multivaluados J. A. Langa Rosado Departamento de Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico, Universidad de Sevilla [email protected] Resumen Uno de los conceptos m´as importantes para la descripci´on del comportamiento asint´otico de ecuaciones en derivadas parciales de evoluci´on disipativas es el de atractor global. Presentamos los trabajos realizados en esta l´ınea para ecuaciones en derivadas parciales estoc´asticas (presencia de ruidos en alguno de los t´erminos), para inclusiones diferenciales (es decir, en donde la variaci´on de la variable inc´ognita no verifica una determinada expresi´on, sino un conjunto de expresiones), para ecuaciones con retardo (modelos que tienen en cuenta en cada instante parte de la din´amica pasada) y para ecuaciones en derivadas parciales no aut´onomas (es decir, donde los t´erminos que afectan a la inc´ognita son dependientes del tiempo). Esta diversidad de situaciones nos ha obligado a adentrarnos en disciplinas a veces muy distintas del An´alisis Funcional, las funciones multivaluadas o los procesos estoc´asticos, o teor´ıas como la de la medida o la de la dimensi´on de conjuntos. En una cantidad importante de los trabajos que resumimos hay una idea motor de fondo que recorre todos ellos: el hecho de poder describir la din´amica infinito dimensional propia de estos modelos con s´olo una cantidad finita de grados de libertad. Palabras clave: Sistemas din´amicos estoc´asticos, atractores aleatorios, iclusiones diferenciales Clasificaci´on por materias AMS: 60H15, 37L30, 37B55, 49K20 1 Introducci´on 1.1 Teor´ıa de atractores globales No cabe duda de la fuerza y aptitud que las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) tienen a la hora de modelizar fen´omenos de distintas disciplinas Fecha de recepci´on: 9 de abril de 2002 89 90 Jos´ e A. Langa cient´ıficas como la F´ısica, la Qu´ımica, la Biolog´ıa, la Econom´ıa, la Ingenier´ıa, etc. Podemos expresar, de manera general, una ecuaci´on en derivadas parciales de evoluci´on aut´onoma como: (∂u ∂t =F(u), t ≥0, x ∈D⊂Rn u(0, x) = u0(x), (1) donde u=u(t, x) es la funci´on a determinar que representa cierta propiedad de determinado fen´omeno natural y Findica el conjunto de transformaciones, en general no lineales, que manifiestan la manera en que ucambia cuando el tiempo evoluciona. Cuando un comportamiento del mundo real puede ser descrito mediante un buen modelo a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales, en cierto modo hemos sabido desentra˜nar las propiedades que describen la din´amica del fen´omeno estudiado a partir de un conjunto de ideas e instrumentos matem´aticos. Pero el objeto del modelado no es s´olo entender el fen´omeno, sino mucho m´as importante, predecir el comportamiento futuro del mismo. En este sentido, una de las preguntas b´asicas para cualquier modelo en EDPs es aqu´ella acerca de su comportamiento asint´otico, esto es, cuando el tiempo crece y tiende a infinito. Es com´un por otra parte que, debido por ejemplo a la fricci´on, muchos de estos sistemas tengan la propiedad de “perder energ´ıa”; desde un punto de vista matem´atico esta propiedad conduce al concepto de disipaci´on. Es decir, las soluciones del sistema permanencen en un acotado fijo para tiempos grandes. En este sentido, todo el comportamiento asint´otico de las soluciones se da en un conjunto acotado del espacio de fases H(L2(Ω),por ejemplo) en donde evolucionan las soluciones, lo que supone una simplificaci´on interesante en la din´amica del modelo (ver Figura 1). Sin embargo, a´un este conjunto puede ser significativamente grande. Hace ya m´as de tres d´ecadas el concepto de atractor global fue introducido para explicar con m´as precisi´on el comportamiento asint´otico de los sistemas disipativos. Desde entonces, podemos contar por miles los trabajos de investigaci´on que se han centrado en este concepto y variantes del mismo, dando lugar a verdaderas nuevas ramas de la teor´ıa de Sistemas Din´amicos (ver los trabajos de Hale [41], Temam [62], Babin y Vishik [4], Vishik [64], Ladyzhenskaya [44], Robinson [57]). Dada una soluci´on de un sistema de EDPs aut´onomo para el cual suponemos existencia y unicidad de soluciones, definimos el correspondiente semigrupo S(t) : H→H, mediante la igualdad S(t)u0=u(t;u0),donde u(t;u0) es la soluci´on de (1) en el tiempo tque estaba en u0para t= 0.Un atractor global A es un conjunto compacto del espacio de fases H, invariante para el semigrupo, i.e. verificando S(t)A=Apara todo t∈R+y que atrae de manera uniforme a todos los acotados D⊂H, es decir, l´ım t→+∞dist(S(t)D, A) = 0, Sistemas din´amicos estoc´asticos y multivaluados 91 time T(u ) T(v ) 0 0 u v0 0 Bx(t;u ) x(t;v ) 0 0 Figura 1: Conjunto acotado B⊂Rque absorbe soluciones del sistema (1) que comienzan en u0, v0. con ‘dist’ la semidistancia de Hausdorff. Cuando determinamos un atractor global para un sistema, estamos precisando d´onde se da la din´amica asint´otica del mismo, prediciendo as´ı el futuro de los fen´omenos asociados. 1.2 Dimensi´on del atractor global Sin duda, una de las propiedades m´as interesantes de los atractores globales para EDPs es que, en muchos casos interesantes (por ejemplo para las ecuaciones de Navier-Stokes), se trata de conjuntos de dimensi´on fractal (y, por tanto, de dimensi´on de Hausdorff) finita, es decir, df(A) = l´ım sup ε→0 log(Nε(A)) log(1/ε)<+∞. Aqu´ı, Nε(A) indica el m´ınimo n´umero de bolas de radio εnecesarias para recubrir A.Esto significa que, aunque el espacio de fases es un espacio infinitodimensional, lo que determina el comportamiento asint´otico es un conjunto, de extremada complejidad geom´etrica en algunas ocasiones, pero que puede ser descrito a partir de un n´umero finito de variables. La pregunta que hace ya d´ecadas importantes investigadores se hicieron fue la siguiente: ¿Es cierto que para tiempos grandes los sistemas din´amicos disipativos e infinito-dimensionales tienen ´unicamente una cantidad finita de grados de libertad? O, mucho mejor, ¿existir´an ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) que describan el comportamiento asint´otico de las EDPs disipativas? Estas preguntas han conducido, bajo mi punto de vista, a los resultados m´as bellos e interesantes en la teor´ıa de sistemas din´amicos en dimensi´on infinita (ver Foias et al. [38], Robinson [57], Eden et al. [32]). Por otra parte, han motivado buena parte de nuestra investigaci´on hasta el momento. 92 Jos´ e A. Langa El inter´es que posee la descripci´on con un n´umero finito de grados de libertad la din´amica asint´otica de un sistema dado tiene una clara motivaci´on: la posibilidad de usar t´ecnicas y razonamientos propios de las EDOs para el tratamiento de EDPs. 2 Atractores aleatorios 2.1 El concepto de sistema din´amico Consideremos la siguiente EDPs estoc´astica (∂u ∂t =F(u) + g(u)dWt dt , t ≥0, x ∈D⊂Rn, u(0, x) = u0(x), (2) donde dWt dt es la derivada temporal de un proceso de Wiener Wtdefinido en el espacio de probabilidad (Ω,F, P) y g(u)≡Cte. ´o g(u)≡u(es decir, estamos en los casos de ruido aditivo o ruido lineal multiplicativo). Hasta hace pocos a˜nos no exist´ıan herramientas apropiadas para describir el comportamiento asint´otico de EDPs estoc´asticas en el espacio de fases, es decir, en analog´ıa a lo que ya era bien conocido en el caso determinista. Conceptos como medidas invariantes o atractores de probabilidad eran usados con m´as o menos ´exito (Schmalfuss [60], Morimoto [54]). Por otro lado, en los a˜nos ochenta fue desarrollada la teor´ıa de flujos estoc´asticos (Elworthy [33]), que dio lugar en los noventa a la de sistemas din´amicos aleatorios (Arnold [1]). 2.2 Nuevos conceptos para el an´alisis asint´otico en tiempo No fue hasta 1994 cuando se dispuso del marco necesario para poder introducir el concepto de atractor aleatorio para ciertas ecuaciones diferenciales estoc´asticas (v´ease Crauel y Flandoli [28]; v´ease tambi´en un resumen sobre esta teor´ıa en Caraballo y Langa [15]). Ni siquiera el marco conceptual estaba desarrollado; por otra parte, para generalizar a esta situaci´on el concepto de atractor global determinista hay grandes dificultades. Por un lado, una ecuaci´on diferencial estoc´astica puede, en ciertas circunstancias, ser interpretada como una ecuaci´on perturbada con t´erminos no aut´onomos (esto hace necesario definir, en vez de un semigrupo de operadores, una familia biparam´etrica de operadores S(t, s) : H→H, t ≥s). Por otro lado, la presencia de t´erminos estoc´asticos (procesos de Wiener en sentido de Ito o de Stratonovich) hace necesario en realidad trabajar con procesos tri-param´etricos S(t, s, ω) : H→H, donde ω∈Ω y (Ω,P,F),es el espacio de probabilidad asociado. De hecho, existe un grupo de transformaciones {θt: Ω →Ω, t ∈R}tal que (t, ω)7→ θtωes medible, θ0= id, θt+s=θtθsy S(t, s, ω) = S(t−s, 0, θsω),para s, t ∈R(ver Crauel et al. [27]). La familia de operadores S(t, s, ω) se denomina sistema din´amico aleatorio (SDA). Una nueva dificultad se a˜nade: los sistemas dejan de ser disipativos, en el sentido de que, debido a las fuertes fluctuaciones provocadas por los t´erminos Sistemas din´amicos estoc´asticos y multivaluados 93 estoc´asticos, cabe esperar que la evoluci´on de cualquier soluci´on del sistema se salga de todo conjunto acotado del espacio de fases. Sin embargo, bajo ciertas condiciones, el efecto disipativo ejercido por los t´erminos de difusi´on permanece presente, aunque m´as d´ebilmente, como se pone de manifiesto, por ejemplo, en Caraballo et al. [21]. En Crauel y Flandoli [28] se propone la siguiente definici´on del concepto de atractor global estoc´astico: Definici´on 1 Un conjunto aleatorio A(ω)(A: Ω → P(H),P(H)es el conjunto de las partes de H)es el atractor aleatorio asociado al SDA Ssi se tiene P−c.s. lo siguiente: i) A(ω)es un conjunto aleatorio compacto; es decir, A(ω)es compacto y para todo x∈Hla aplicaci´on ω7→dist(x, A(ω)) es medible, ii) S(t, s, ω)A(θsω) = A(θtω)∀t≥0 (invarianza)y iii) para todo B⊂Xacotado l´ım s→+∞dist(S(0,−s, ω)B, A(ω)) = 0 (propiedad de atracci´on “pullback”). Nota: Para cada x∈B, S(0,−s, ω)xpuede interpretarse como la posici´on en el tiempo final (el presente)t= 0 de la trayectoria que estaba en xen el instante inicial −s(el pasado). As´ı, la propiedad de atracci´on se da en relaci´on al comportamiento asint´otico de los tiempos iniciales (en el pasado), fijando el tiempo final. Observemos que esta interpretaci´on tambi´en es v´alida para atractores globales cl´asicos. El resultado general sobre existencia de atractores aleatorios es el siguiente, debido a Crauel y Flandoli ([28], Teorema 3.11). Se trata de una generalizaci´on de los resultados cl´asicos de existencia de atractor global en el caso determinista aut´onomo: “Supongamos que existe D(ω)absorbente y compacto, es decir, tal que para todo acotado B⊂Xexiste un tiempo T(B, ω)verificando S(0,−s, ω)B⊂D(ω) para todo s≥T(B, ω). Entonces existe un ´unico atractor aleatorio para el SDA S(t, s, ω).” El mismo concepto de atractor es v´alido para EDPs no aut´onomas ∂ ∂t =F(t, u), donde Fes, en general, no acotada (Kloeden y Schmalfuss [43]). En efecto, en este caso definimos una familia biparam´etrica de procesos (Sell [61]) S(t, s). Diremos que la familia de conjuntos compactos {A(t)}t∈IR es el atractor (global) no aut´onomo asociado a Ssi es invariante, es decir, S(t, s)A(s) = A(t),para todo t≥s, y atrae a todos los conjuntos acotados B⊂H, esto es l´ım s→+∞dist(S(t, −s)B, A(t)) = 0,∀t∈R. 94 Jos´ e A. Langa Observamos en las Figuras 2 y 3 que los conceptos de invarianza y atracci´on difieren bastante de los conceptos cl´asicos para atractores globales de EDPs deterministas y aut´onomas. R K(t ) x ττ τt n2 1 0 0 x(t, ;x ) x(t, ;x ) x(t, ;x ) 0 0 0 τ τ τ n 2 1 R K(t ) x ττ τt n2 1 0 0 x(t, ;x ) x(t, ;x ) x(t, ;x ) 0 0 0 τ τ τ n 2 1 Figura 2: Atracci´on “pullback” hacia el conjunto K(t0)de las trayectorias que comienzan en el punto x0en una sucesi´on de instantes iniciales {τn}que tiende a−∞. Chepyzhov y Vishik [24] definieron, con otra terminolog´ıa, un concepto similar de atractor para EDPs no aut´onomas disipativas. Para una ecuaci´on a la vez no aut´onoma -en t´erminos deterministas- y estoc´astica, es posible definir el marco de sistema din´amico y el concepto de atractor no aut´onomo y aleatorio {A(t, ω)}t∈R,ω∈Ωtal y como aparece en Caraballo y Langa [14]. 3 Los resultados sobre semicontinuidad superior La primera observaci´on que hemos indicado a partir de las definiciones anteriores es que el concepto de atractor difiere sustantivamente del de atractor global para EDPs deterministas y aut´onomas. En efecto, permitir que la ecuaci´on posea una propiedad de disipatividad s´olo si la analizamos asint´oticamente respecto de los tiempos iniciales ha hecho que, por un lado, la propiedad de invarianza sea posible si consideramos una familia de compactos que, en general, no tiene por qu´e estar acotada; por otro lado, tambi´en ha hecho que la propiedad de atracci´on tenga que ser definida con referencia a tiempos iniciales y para tiempos finales fijos. Adem´as, como mencionamos anteriormente, otros conceptos de conjuntos atrayentes para estas ecuaciones hab´ıan sido previamente introducidos en la Sistemas din´amicos estoc´asticos y multivaluados 95 A(0) A(t ) A(t ) A(t ) 1 2 tt t 12 n = S(t ,0)A(0) =S(t ,t )A(t ) n 2 2 =S(t ,t )A(t ) n n 1 1 n Figura 3: Propiedad de invarianza del atractor no aut´onomo A(t). literatura. Por todo ello, lo primero que quisimos investigar era si las definiciones anteriores eran apropiadas en el sentido de, en el caso de interpretar las ecuaciones estoc´asticas y/o no aut´onomas como peque˜nas perturbaciones de EDPs disipativas, deterministas y aut´onomas, era posible obtener resultados de perturbaci´on y convergencia para los atractores asociados. En efecto, en Caraballo et al. [6] y Caraballo y Langa [14] pudimos establecer resultados generales que garantizaban lo siguiente: Supongamos que tenemos un semigrupo de operadores asociado a una EDP determinista y aut´onoma S0:R+×H→Hen las condiciones de existencia de atractor global A. Perturbemos el sistema mediante t´erminos no aut´onomos y estoc´asticos dependientes de un peque˜no par´ametro σ∈(0,1], de manera que obtengamos familias de procesos Sσ:R×R×Ω×H→H para los que suponemos que existen conjuntos absorbentes compactos Kσ(t, ω) y, por consiguiente, atractores aleatorios Aσ(t, ω). Supongamos que se verifica: (H1) Para todo ω∈Ω y todo t∈R, dist(Sσ(t, 0, ω)x, S0(t)x)→0,cuando σ&0 uniformemente en los acotados de H. 96 Jos´ e A. Langa (H2) Existe un compacto K⊂Htal que l´ım σ&0dist(Kσ(t, ω), K) = 0,∀ω∈Ω,∀t∈R. Entonces se tiene el siguiente Teorema 1 Bajo las condiciones (H1) y(H2) l´ım σ&0dist(Aσ(t, ω),A) = 0,∀ω∈Ω,∀t∈R. En particular, este resultado garantiza que el concepto de atractor no aut´onomo y aleatorio es la “buena”generalizaci´on para el estudio de propiedades asint´oticas de este tipo de EDPs. Este resultado es de car´acter general, y pudo ser aplicado a distintos modelos, como las ecuaciones estoc´asticas bidimensionales de Navier-Stokes, ecuaciones de reacci´on-difusi´on (Caraballo et al. [6]), y ecuaciones diferenciales no aut´onomas y estoc´asticas del tipo du =f(t, u)dt+u dWt(Caraballo y Langa [14]). 4 Comportamiento asint´otico finito-dimensional 4.1 El caso estoc´astico Anteriormente nos referimos a que una de las propiedades m´as interesantes de la teor´ıa de atractores globales era que, en muchos casos, se trataba de conjuntos compactos finito-dimensionales. En el caso estoc´astico, los mejores resultados acerca de la dimensi´on finita de atractores aleatorios aparecen en Debussche [31] (ver Flandoli y Langa [34] y Langa [52] para su aplicaci´on a las ecuaciones de Navier-Stokes). En estos trabajos se muestra que, para cada ω∈Ω,el atractor A(ω) posee dimensi´on fractal finita, siendo ´esta uniforme para todos los ω∈Ω.Por otro lado, puede ocurrir que ∪ω∈ΩA(ω) sea un conjunto no acotado y, adem´as, que dim(∪ω∈ΩA(ω)) = +∞,donde ‘dim’ se˜nala la dimensi´on de Hausdorff o dimensi´on fractal del conjunto. Es decir, la descripci´on global del comportamiento asint´otico del sistema se hace sobre un conjunto no acotado e infinito-dimensional. Por otro lado, s´ı es posible dar resultados que relacionan de manera precisa la din´amica asint´otica de los sistemas con la din´amica que podemos observar en los atractores. En efecto, tanto para atractores globales deterministas (Langa y Robinson [46], Langa [48]) como para atractores aleatorios (Caraballo y Langa [7]), es posible demostrar que, para cualquier trayectoria del sistema, existe una sucesi´on de trayectorias en el atractor que describen la din´amica de la misma con una precisi´on tan certera como deseemos: Proposici´on 2 Supongamos que el proceso S(t, s)satisface, para L > 0, u1, u2∈H, |S(t, s)u1−S(t, s)u2| ≤ exp(L(t−s))|u1−u2|.(3) Sistemas din´amicos estoc´asticos y multivaluados 97 Sean u0∈Hy{εn},{Tn}sucesiones positivas con εn&0yTn+1 −Tn%+∞ .Entonces existen unos vncon {vn}n∈N, vn∈ A(Tn)para todo n∈Ny una sucesi´on {τn}n∈Nno creciente,tales que, sup s≤τn; 0≤t≤Tn+1−Tn|S(Tn+t, s)u0−S(Tn+t, Tn)vn| ≤ εn. Adem´as, los “saltos” entre dos trayectorias consecutivas verifican l´ım n→∞ |S(Tn+1, Tn)vn−vn+1|= 0.(4) Por tanto, la pregunta que surge a partir de estos resultados y los de Debussche antes citados es ´esta: ¿Pueden dar los atractores aleatorios alguna informaci´on sobre la dependencia de un n´umero finito de par´ametros del comportamiento asint´otico de los sistemas estoc´asticos? El resultado principal en este contexto, con respuesta afirmativa, aparece en Flandoli y Langa [34] y ha influido en varios trabajos posteriores (Chueshov [25], Chueshov et al. [26], Flandoli y Berselli [5]). Para ello tuvimos que generalizar al caso estoc´astico la propiedad de aplastamiento (la “squeezing property”), de gran utilidad en el caso determinista (ver Robinson [57]). Consideremos un proyector ortogonal PN≡Pde H sobre el subespacio finito-dimensional PH (Ndenota la dimensi´on de P).Sea Q:H→QH el proyector asociado sobre su complemento ortogonal QH, i.e. Q=I−P. En las aplicaciones, Pdenota el proyector ortogonal sobre las Nautofunciones de cierto operador lineal (el Laplaciano, por ejemplo). Supongamos (propiedad de aplastamiento) que, asociado al sistema din´amico aleatorio S(t, s, ω) y al par (P, Q),existen δ∈(0,1) y una variable aleatoria c(ω) de esperanza finita tales que, o bien |Q(S(1,0, ω)u−S(1,0, ω)v)| ≤ |P(S(1,0, ω)u−S(1,0, ω)v)|, o bien |S(1,0, ω)u−S(1,0, ω)v| ≤ exp(Z1 0 c(θsω)ds)|u−v|, para todo u, v ∈K(ω), con K(ω) un conjunto absorbente y compacto arbitrario. Teorema 3 En estas condiciones, si para k > 0, l´ım t→+∞ekt|P(S(t, 0, ω)u−S(t, 0, ω)v)|= 0, entonces l´ım t→+∞e(k−E(c(ω)))t|S(t, 0, ω)u−S(t, 0, ω)v|= 0. Obs´ervese que la propiedad sobre modos determinantes se da tomando l´ımites cuando el tiempo crece hacia +∞,que los datos iniciales han de estar en el conjunto absorbente K(ω) y que s´olo se verifica si suponemos una convergencia exponencial a cero de los primeros modos asociados a las soluciones. 104 Jos´ e A. Langa dependientes del tiempo. En Caraballo et al. [17] pudimos generalizar este concepto al caso de ecuaciones diferenciales con t´erminos no aut´onomos de car´acter general. En concreto, definimos y probamos la existencia de atractores para ½˙x(t) = f(t, xt) xs=ψ, ψ ∈C0([−h, 0]; Rn), con |f(t, ψ1)−f(t, ψ2)|≤ γ1(t)kψ1−ψ2kC0([−h,0];Rn), hf(t, ψ), ψ(0)i ≤ (−α+γ1(t)) |ψ(0) |2+γ2(t), bajo la hip´otesis de que, para cada ε > 0, Zt −∞ γ1(s)ds < ∞,Zt −∞ eεsγ2(s)ds < ∞. Para ello, nos basamos en el concepto de atractor no aut´onomo previamente introducido y, a partir de ´el, pudimos avanzar en la teor´ıa de atractores para ecuaciones con retardo que, como hemos comentado, llevaba muchos a˜nos sin poder ser tratada. Los resultados que tambi´en probamos de semicontinuidad superior para este atractor hacia el definido por Hale en [41] parecen confirmar que la generalizaci´on propuesta en [17] es acertada. 9 Estudio de fen´omenos de bifurcaci´on Recientemente, hemos comenzado a trabajar en una nueva l´ınea de investigaci´on cuyo campo de trabajo permanece en la actualidad pr´acticamente abierto en casi todas sus vertientes. Es conocido que, en general, un atractor global puede tener subconjuntos, suficientemente grandes, que no s´olo no atraen, sino que repelen las soluciones de una cierta ecuaci´on diferencial. En este sentido, el atractor global es un conjunto “demasiado grande” si queremos “afinar” la din´amica asint´otica de ciertos sistemas. Esto justifica resultados de seguimiento de trayectorias sobre otras en el atractor tal y como aparecen en Langa y Robinson [46] y Caraballo y Langa [7], que indican c´omo la din´amica en los atractores est´a relacionada con la din´amica asint´otica global de los sistemas diferenciales. Pero a´un podemos dar un paso m´as: si somos capaces de describir la estructura geom´etrica de los atractores e interpretar en estos t´erminos el comportamiento asint´otico de las trayectorias, probablemente sabremos m´as sobre c´omo es realmente el comportamiento asint´otico de las ecuaciones. En el caso de EDOs, este problema ha dado lugar a centenares de trabajos que en muchas ocasiones est´an relacionados con el an´alisis de fen´omenos de bifurcaci´on. Menos numerosos son estos resultados acerca de la estructura de atractores globales deterministas en el caso de EDPs. En el marco estoc´astico, no existe todav´ıa una teor´ıa general para describir la estructura de los atractores aleatorios, ni siquiera en el caso finito-dimensional. En lo que a bifurcaci´on se refiere lo ´unico que puede hallarse Sistemas din´amicos estoc´asticos y multivaluados 105 en la literatura son ejemplos que apuntan a conceptos que empiezan a ser concretados (ver Arnold [1], Cap´ıtulo 9, para una discusi´on amplia sobre estos problemas para EDOs estoc´asticas). En el caso de dimensi´on infinita no conoc´ıamos resultados, ni siquiera en ejemplos concretos, acerca de bifurcaci´on estoc´astica. Por todo ello es por lo que encontramos especialmente sugerente adentrarnos en este campo de investigaci´on. 9.1 Bifurcaci´on estoc´astica de tipo “pitchfork” En Caraballo et al. [18] describimos la bifurcaci´on de tipo “pitchfork” (o de tipo tenedor) que se produce en la siguiente EDP estoc´astica con ruido multiplicativo du = (∆u+βu −u3)dt +σu ◦dWt, es decir, estamos ante la ecuaci´on de Chafee-Infante con ruido lineal multiplicativo. En efecto, en Caraballo et al. [13] pudimos expresar cotas superiores precisas (generalizando las mejores cotas que se conocen en el caso determinista σ= 0) para la dimensi´on de los atractores aleatorios A(ω) asociados a esta ecuaci´on. En [18] dimos un resultado sobre acotaci´on inferior para la dimensi´on de estos mismos atractores, probando que exist´ıan variedades inestables aleatorias contenidas en el atractor. Adem´as, puesto que el cono de soluciones positivas y negativas son conjuntos invariantes, gracias al principio del m´aximo estoc´astico, demostramos que, en el caso unidimensional, estas variedades se mov´ıan, en un entorno del origen, precisamente en estos conos. De esta manera, pudimos dar una informaci´on precisa de la estructura interna de los conjuntos A(ω).A continuaci´on, estudiamos c´omo esta estructura cambiaba dr´asticamente cuando el par´ametro βpasaba de ser menor a ser mayor que el primer autovalor del problema de Dirichlet asociado al operador A=−∆, mostrando que lo que se tiene es, como en el caso determinista, una bifurcaci´on de dos nuevas ramas de conjuntos invariantes y globalmente asint´oticamente estables, mientras que el cero pasa a convertirse en un punto inestable (hubo que definir apropiadamente los conceptos de estabilidad e inestabilidad para conjuntos aleatorios invariantes. Adem´as, los resultados son independientes de la intensidad del par´ametro σen el t´ermino del ruido.A partir de la teor´ıa de sistemas din´amicos aleatorios que conservan el orden (Arnold y Chueshov [2]), se puede probar adem´as que, en el caso unidimensional, existen puntos fijos aleatorios que bifurcan desde la soluci´on nula. Es decir, la situaci´on es totalmente an´aloga a la observada en el caso determinista (ver Hale [41]) y que se describe como una bifurcaci´on de tipo “pitchfork”. Hasta el momento no conocemos un resultado general de estas caracter´ısticas, pues ni siquiera el concepto de variedad invariante asociada a una soluci´on estacionaria est´a claramente definido y, por tanto, no existen m´etodos para probar su existencia. En efecto, para la prueba de este resultado tuvimos que generalizar al caso estoc´astico una de las pruebas cl´asicas en el campo determinista para la existencia de variedades inerciales (Foias et al. [38]). 106 Jos´ e A. Langa 9.2 Conceptos de bifurcaci´on para ecuaciones diferenciales no aut´onomas De la misma manera que el problema de la estructura de atractores aleatorios est´a abierto, el problema an´alogo para atractores no aut´onomos estaba tambi´en pr´acticamente intacto en el caso de t´erminos dependientes del tiempo generales. Por ejemplo, nada se sab´ıa sobre los fen´omenos de bifurcaci´on para ecuaciones del tipo ˙u=λu −b(t)u3, con b(t)>0 y l´ımt→+∞b(t) = 0.En Caraballo y Langa [14] escribimos, para el caso estoc´astico, un ejemplo de bifurcaci´on de tipo “pitchfork”, muy relacionado con la ecuaci´on anterior. En Langa et al. [49] introdujimos los conceptos b´asicos que, en nuestra opini´on, deben servir de base para una teor´ıa de bifurcaci´on para ecuaciones diferenciales no aut´onomas del tipo (dx(t) dt =F(λ, t, x(t)) x(s) = x0, (16) con λ∈R,x0∈H. Para ello se define el concepto de trajectoria completa x(·), con S(t, s)x(s) = x(t),para todo t≥s, que no es m´as que una concreci´on de la idea de invarianza de un conjunto dependiente del tiempo. La idea central de un fen´omeno de bifurcaci´on en este caso ser´a investigar los valores del par´ametro λpara los que se da un cambio cualitativo en la estructura de los conjuntos con propiedades asint´oticas relevantes. Sin embargo, del concepto de atractor no aut´onomo s´olo podemos deducir lo que significa la estabilidad asint´otica en el sentido “pullback”, es decir, una trayectoria completa se dice asint´oticamente estable si satisface una propiedad de atracci´on como la del atractor no aut´onomo. Es por ello que se introducen las definiciones sobre atracci´on, estabilidad e inestabilidad local, global y asint´otica relativa a conjuntos invariantes. Todos estos nuevos conceptos son a continuaci´on ilustrados en diversos ejemplos, de manera que podamos, como m´ınimo, generalizar los ejemplos cl´asicos de bifurcaci´on: a) Bifurcaci´on de tipo “pitchfork”, para la ecuaci´on ˙u=λu −b(t)u3, con b(t)>0 y l´ımt→+∞b(t) = 0. b) Bifurcaci´on de Hopf, para    x0=αx −βy −h(t)(x2+y2)x y0=βx +αy −h(t)(x2+y2)y x(s) = x0;y(s) = y0, Sistemas din´amicos estoc´asticos y multivaluados 107 con h(t)>0,l´ımt→+∞h(t) = 0,Rt −∞ h(τ)e2ατ dτ < +∞, α, β ∈R,para todo t∈R. c) Bifurcaci´on de atractores a partir de la soluci´on nula, para u∈Rmy ˙u=ˆ Au +F(u, t), donde •ˆ Aes una matriz real de orden m×my del tipo ˆ A=µλ0 0−A¶, con Ade orden (m−1) ×(m−1) verificando yTAy ≥µ|y|2y∈Rm−1, •F(0, t) = 0 para todo t∈R, y, para p > 0, |F(u, t)−F(v, t)| ≤ a(t)[|u|2p+|v|2p]|u−v|, donde, para cada t∈R sup s∈(−∞,t] a(s) = α(t)<∞. d) Bifurcaci´on de tipo punto de silla (cf. Glendinning [40]), para la ecuaci´on ˙x=a−b(t)x2 con 0 < b(t)≤B,b(t)→0 cuando |t| → ∞, y R0 −∞ b(s)ds =R∞ 0b(s)ds = ∞. 9.3 El sistema de Lotka-Volterra Para el caso de un sistema de ecuaciones diferenciales tambi´en quisimos aplicar estos nuevos conceptos de bifurcaci´on. De esta manera, estudiamos el caso del sistema de Lotka-Volterra (Langa et al. [51]): ½˙u=u(λ−a(t)u−bv) ˙v=v(µ−cv −du)(17) con λ, µ como indicadores de la tasa de crecimiento y a(t), c, b, d > 0,midiendo, respectivamente, los dos primeros la limitaci´on del medio y los dos ´ultimos el nivel de competici´on frente a los recursos naturales. Suponemos 0 < a(t)< A;u=u(t), v =v(t) representan el n´umero relativo de individuos de las poblaciones u, v, que en este caso est´an en competici´on en un mismo “h´abitat”. Al imponer que a(t)→0 cuando t→+∞, todos los resultados anteriores sobre 108 Jos´ e A. Langa comportamiento asint´otico (hoy cl´asicos) para este modelo de poblaciones no daban informaci´on sobre nuestro caso. Observemos que tenemos ahora dos par´ametros λ, µ cuyos valores pueden producir fen´omenos de cambio de estabilidad y estructura de los conjuntos invariantes. Pudimos probar que, con los nuevos conceptos introducidos, existe una analog´ıa completa con el caso aut´onomo; ver, por ejemplo, la Figura 4, donde, en el caso db < cA, U(t), V (t) y α(t;a) representan soluciones de (17) que generalizan a las correspondientes soluciones estacionarias globalmente asint´oticamente estables del caso estacionario (ver Murray [55]). Para el caso µ λ (0,µ/c ) c /bλ d /Aλ (U(t),V(t)) (t;a)α ,0)( Figura 4: Comportamiento asint´otico global del problema (17) dependiente de los par´ametros λyµ, con Ac > bd. Para λ, µ > 0obtenemos tres regiones diferentes para este comportamiento; hemos escrito las trayectorias completas globalmente asint´oticamente atrayentes en cada una de estas regiones. db > cA, y a partir de la teor´ıa de ecuaciones asint´oticamente aut´onomas en Thieme [63], generalizamos el concepto de curva separatriz para el caso no aut´onomo. De nuevo conseguimos de esta manera un comportamiento comparable al que se da en el caso determinista aut´onomo. 10 Sobre el concepto de permanencia para EDPs no aut´onomas En el contexto de las Ecuaciones Diferenciales, el concepto de permanencia aparece normalmente asociado a modelos procedentes de la din´amica de poblaciones. B´asicamente, indica si, en el futuro, determinada especie o conjuntos de especies, contin´ua existiendo. En t´erminos matem´aticos, esto significa que existe un conjunto absorbente acotado para todos los datos iniciales positivos estrictamente alejado de la soluci´on nula para todo tiempo Sistemas din´amicos estoc´asticos y multivaluados 109 suficientemente grande. La cota para este conjunto que define la permanecia del sistema es por tanto, inferior y superior. Sin embargo, sabemos que, para una ecuaci´on no aut´onoma, no es esperable encontrar cotas superiores uniformes para los conjuntos absorbentes. 10.1 Permanencia en sentido pullback El primer problema que nos planteamos fue, por tanto, analizar si exist´ıa alguna manera de desarrollar el concepto de permanencia en EDPs no aut´onomas. Para ello, en Langa y Su´arez [45] investigamos una de las EDPs m´as simples: ut−∆u=λu −b(t)u3, con b(t)>0 y l´ımt→+∞b(t) = 0,pero imponiendo condiciones de manera que los numerosos resultados conocidos acerca del comportamiento asint´otico de esta ecuaci´on no pudieran ser utilizados. En efecto, probamos que cualquier soluci´on es no acotada cuando t→+∞.Es decir, no es posible dar resultados de permanencia para esta ecuaci´on. Sin embargo, e inspirados por la teor´ıa de atractores no aut´onomos, propusimos en [45] la siguiente definici´on: Definici´on 3 Diremos que un sistema tiene la propiedad de permanencia en sentido “pullback” si existe una familia de conjuntos dependientes del tiempo U:R7−→ H, verificando que 1. U(t)es un conjunto absorbente (en el sentido “pullback”), 2. d(U(t),{0})>0para todo t∈R, donde d(A, b) = infa∈Ad(a, b). A continuaci´on, probamos que para la ecuaci´on anterior existe un conjunto con estas caracter´ısticas. Este resultado puede ser visto tambi´en desde la teor´ıa de bifurcaci´on para ecuaciones no aut´onomas. En efecto, quiz´as el punto m´as importante en este trabajo consiste en demostrar que la soluci´on nula, a partir del primer autovalor λ1del Laplaciano, pasa a ser inestable, transfiriendo la estabilidad asint´otica que gozaba hasta ese valor a dos nuevas trayectorias completas que se mueven en el cono de soluciones positivas y negativas respectivamente. De esta forma, en λ1se produce una bifurcaci´on desde la soluci´on nula hacia nuevos conjuntos invariantes. Para probar que ´este es el fen´omeno que se observa, tuvimos que generalizar a este caso de EDPs no aut´onomas la teor´ıa de sistemas estoc´asticos que preservan el orden en Arnold y Chueshov [2]. 10.2 El caso de un sistema de EDPs Para el caso de un sistema de EDPs el problema de la permanencia se complica en varios aspectos. En Langa et al. [50], estudiamos el problema de la permanencia para el siguiente sistema de tipo Lotka-Volterra: 110 Jos´ e A. Langa        ut−∆u=u(λ−a(t)u−bv) en D×(s, +∞), vt−∆v=v(µ−cv −du) en D×(s, +∞), u=v= 0 sobre ∂D ×(s, +∞), u(s, x) = u0(x), v(s, x) = v0(x) en D, (18) donde Des un dominio acotado en RN,N≥1, con frontera regular ∂Ω, b,c, dson constantes positivas, λ, µ ∈Ry 0 < a(t)≤A. De nuevo la pregunta que nos hacemos es determinar si las dos especies sobrevivir´an en el futuro. Si imponemos que a(t)→0 cuando t→+∞, una vez m´as no es posible aplicar los resultados conocidos sobre permanencia para este sistema. En efecto, probamos en primer lugar que, para ciertos valores de los par´ametros λ, µ, una de las especies se va a infinito, lo que produce extinci´on en la otra. Por ello, usamos el concepto de la permanencia en sentido “pullback” para dar nueva informaci´on acerca del comportamiento asint´otico del sistema. En este sentido, de nuevo encontramos una situaci´on an´aloga a la del caso aut´onomo, es decir, existen curvas λ=φ(µ) y µ=ϕ(λ) tales que delimitan regiones de permanencia y extinci´on para las especies (ver Figura 5). El estudio de la ecuaci´on log´ıstica λ λ µ µ σ σ σ σ 1 1 1 1 λ=φ(µ) λ=φ(µ) a0 Pullback permanencia E E E E Caso a. Caso b. µ=ϕ(λ, ) Figura 5: Caso a. Extinci´on de una de las especies cuando t→+∞.Caso b. E: Regiones de permanencia en el sentido pullback y extinci´on para tiempos iniciales tendiendo a −∞. que desarrollamos en [45] juega un papel fundamental. Igualmente, fue necesario concretar para esta situaci´on la teor´ıa de sistemas que preservan el orden y la de sub y supersoluciones para EDPs no aut´onomas. Referencias [1] L. Arnold, “Random dynamical systems”, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Berlin 1998. Sistemas din´amicos estoc´asticos y multivaluados 111 [2] L. Arnold, I. Chueshov, Order-preserving random dynamical systems, Dynam. 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