Dinámica de las particiones por el lado mayor de un espacio de triángulos con métrica hiperbólica
Abstract
Programa de doctorado: Ingeniería de Telecomunicación Avanzada
Full text
UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA INSTITUTO UNIVERSITARIO DE MICROELECTR´ ONICA APLICADA TESIS DOCTORAL DIN´ AMICA DE LAS PARTICIONES POR EL LADO MAYOR EN UN ESPACIO DE TRI´ ANGULOS CON M´ ETRICA HIPERB´ OLICA Autor:FRANCISCO PERDOMO PE˜ NA Director:DR. ´ ANGEL PLAZA DE LA HOZ JULIO DE 2013
A mi esposa Saro
Agradecimientos Agradecer a mi director de tesis Doctor Angel Plaza de la Hoz por su dedicaci´on durante la realizaci´on de mi investigaci´on, concretada en frecuentes reuniones tanto para la planificaci´on y la comprobaci´on de tareas, como para la revisi´on de resultados y redacciones. Han sido muy importantes sus sugerencias, llenas del saber hacer del oficio. Le agradezco sus constantes ´animos y apoyos durante este tiempo. Tambi´en agradecer a mi mujer Mar´ıa del Rosario Soto S´anchez su incondicional y constante apoyo durante mis estudios de tercer ciclo. vii
Resumen Se estudian las propiedades m´etricas de los m´etodos de refinamiento de mallas de tri´angulos basadas en particiones por el lado mayor. Se prueba por primera vez la no degeneraci´on de la trisecci´on por el lado mayor para tri´angulos, conjeturada en trabajos de Plaza et al.. As´ı mismo se obtiene una segunda demostraci´on, desde la dada por Rosenberg y Stenger en 1975, de la no degeneraci´on de la bisecci´on por el lado mayor para tri´angulos. Adem´as se prueba la degeneraci´on para el m´etodo de partici´on por el lado mayor en cuatro o m´as partes. Se demuestran f´ormulas para el valor del di´ametro m´aximo en cada iteraci´on en los m´etodos no degenerados de bisecci´on y trisecci´on por el lado mayor, f´ormulas de inter´es para la acotaci´on de errores al aplicar el m´etodo de elementos finitos. Se demuestran resultados sobre el cardinal de tri´angulos no similares obtenidos por bisecci´on o trisecci´on por el lado mayor. Tambi´en se examinan otros tipos de particiones como la 4T-LE propuesta por Rivara o la 7T-LE propuesta por Plaza et al.. Metodol´ogicamente, resulta novedoso en el contexto de generaci´on de mallas, el empleo de un espacio de formas triangulares al que se dota de m´etrica hiperb´olica. Se definen din´amicas discretas en este espacio de tri´angulos para cada m´etodo de refinamiento. Se demuestra que tales din´amicas verifican una propiedad de no incremento de la distancia hiperb´olica, lo que permite probar las propiedades del p´arrafo anterior para los refinamientos. ix
Cap´ıtulo 1 Introducci´on 1.1. Motivaci´on de esta tesis En el m´etodo de elementos finitos o en la representaci´on de objetos se dividen regiones del espacio empleando figuras de geometr´ıa sencilla (tri´angulos, cuadrados, hex´agonos). Se puedan emplear elementos de cualquier forma, aunque centramos nuestra atenci´on en mallas formadas por tri´angulos o tetraedros. M´as concretamente, en mallas de tri´angulos o tetraedros no estructuradas y conformes, aplicadas con gran ´exito en la literatura [32, 52, 61]. Una vez obtenida una triangulaci´on normalmente se necesita refinar ciertas zonas de la misma. Estos refinamientos se logran aplicando distintos m´etodos a sus elementos de modo reiterado, ya sea localmente o globalmente. Un modo habitual de refinar localmente una malla es dividir los tri´angulos o tetraedros seleccionados en nuevos tri´angulos o tetraedros [53, 66, 69, 79]. En el proceso de refinamiento debe evitarse que los nuevos tri´angulos tengan ´angulos muy peque˜nos o pr´oximos a 180oya que son el origen de problemas 1
2CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI ´ ON de convergencia en los m´etodos num´ericos [5, 28, 56]. De esta forma el estudio de la calidad de la malla obtenida en cada m´etodo de refinamiento ha sido un tema frecuente de investigaci´on [7, 8, 19, 42, 54, 68, 88, 89]. Un modo de asegurar la no degeneraci´on de los nuevos tri´angulos es exigir al m´etodo de refinamiento que el ´angulo m´ınimo de los elementos de la malla est´e acotado inferiormente [14, 54, 69, 86]. Una t´ecnica de refinamiento de mallas triangulares de f´acil implementaci´on es la bisecci´on por el lado mayor o 2T–LE. Consiste en dividir el tri´angulo en dos nuevos tri´angulos uniendo el punto medio de su lado mayor con su v´ertice opuesto. Rosenberg y Stenger [86] demostraron la no degeneraci´on del m´etodo de bisecci´on por el lado mayor. Demostraron que si αes el menor de los ´angulos del tri´angulo inicial, α/2 es cota inferior de los ´angulos de los tri´angulos generados por sucesivas iteraciones del m´etodo de bisecci´on por el lado mayor. Este resultado asegura la calidad de los refinamientos de mallas de tri´angulos por el m´etodo de 2T–LE y de m´etodos derivados del mismo. Adem´as de la acotaci´on el ´angulo m´ınimo, otras propiedades interesantes de los refinamientos son la acotaci´on del di´ametro de los tri´angulos generados y el cardinal de nuevos tri´angulos no similares. Estas caracter´ısticas son recogidas en la literatura, tanto para los m´etodos que est´an basados en la partici´on por el lado mayor, como para los que no [22]. En concreto para la 2T–LE se tienen los siguientes resultados: En el m´etodo de bisecci´on por el lado mayor se cumple que, si δ0es el di´ametro del tri´angulo inicial y δiel m´aximo di´ametro de los tri´angulos
1.1. MOTIVACI ´ ON DE ESTA TESIS 3 generados en el paso i, entonces (Ver [93, 94, 1]) δ2n≤√3 2nδ0, δ2n+1 ≤1 2nδ0. El n´umero de tri´angulos semejantes que aparecen en la aplicaci´on sucesiva del m´etodo de bisecci´on por el lado mayor es finito [1, 94]. De hecho existen estimaciones del n´umero de clases de tri´angulos semejantes que aparecen [31]. Dividiendo el lado mayor de un tri´angulo en tres partes en lugar de dos, se obtiene el m´etodo de refinamiento de trisecci´on por el lado mayor o 3T– LE. Para esta partici´on existen en la literatura resultados emp´ıricos sobre la calidad de las mallas obtenidas por el m´etodo 3T–LE [69]. Plaza et al. han presentado los resultados de simulaciones en las que, si αes el menor de los ´angulos de un tri´angulo inicial, entonces α/6.7052 es cota inferior de los ´angulos de tri´angulos generados tras sucesivas iteraciones de la trisecci´on por el lado mayor. Antes de esta investigaci´on no exist´ıa prueba de esta conjetura. Tampoco exist´ıan resultados sobre la evoluci´on del di´ametro m´aximo o sobre el cardinal de tri´angulos no similares generados para la 3T–LE. Puesto que s´olo interesan los ´angulos a la hora de estudiar la calidad de una malla, se emplean normalizaciones de los tri´angulos. La normalizaci´on de un tri´angulo hace corresponder el lado mayor del tri´angulo con el segmento de extremos (0,0) y (1,0) del eje horizontal, dejando el v´ertice opuesto en el semiplano superior, y el ´angulo menor en el v´ertice (1,0). De este modo se puede establecer una biyecci´on entre cada punto de la regi´on definida por (x−1)2+y2≤1, y > 0 y 0 < x ≤1/2, y cada clase de tri´angulos similares.
4CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI ´ ON Figura 1.1: Puntos resultantes de aplicar la 3T–LE y normalizar partiendo de un tri´angulo inicial marcado con un punto de mayor tama˜no. Se muestran un total de diez iteraciones. Aparecen resaltados los l´ımites de la zona normalizada (Figura tomada de Plaza et al. [69]). Esto lleva a un tipo de diagramas de empleo frecuente en la literatura de refinamientos de mallas [31, 67]. Un ejemplo concreto es reproducido en la Figura 1.1 para comodidad del lector (Figura 9(a) en p´agina 867 de Plaza et al. [69]). En el mismo se representan normalizadas las sucesivas trisecciones por el lado mayor de un tri´angulo, obteni´endose un conjunto de puntos al que se denomina ´orbita del tri´angulo para la 3T–LE. Estos diagramas constituyen ejemplos de espacios de formas que no resultan extra˜nos en la matem´atica aplicada [21, 41, 91, 101]. En los espacios de formas cada punto representa una forma prescindiendo de su tama˜no y posici´on. Adem´as puede darse en ellos una definici´on precisa de distancia entre dos formas. En particular, para el estudio de espacios de formas de tri´angulos,
1.2. OBJETIVOS 5 estrechamente relacionados con estos diagramas, se ha sugerido el empleo de la m´etrica hiperb´olica [15, 91]. Algunas propiedades de los elementos del modelo de Poincar´e para la geometr´ıa hiperb´olica plana se conservan tanto al ser tomados tanto desde la perspectiva hiperb´olica como desde la perspectiva eucl´ıdea. Por ejemplo, esto ocurre con los ´angulos entre dos curvas que resultan id´enticos en ambas m´etricas. Igualmente las circunferencias se corresponden como conjuntos en ambos casos. De esta forma, cualquier algoritmo que se formule empleando ambos tipos de elementos como entradas, puede ser adaptado mutatis mutandis desde la geometr´ıa eucl´ıdea a la hiperb´olica. Adem´as la geometr´ıa hiperb´olica aporta a la resoluci´on de problemas eucl´ıdeos tanto un enfoque diferente como su maquinaria te´orica [24]. Las funciones que describen la transici´on entre puntos de ´orbitas como la de la Figura 1.1 pueden ser descritas mediante sencillas funciones de variable compleja [67]. Por tanto, en este contexto, resulta significativa la literatura sobre din´amica compleja discreta [29, 58, 90], puesto que aportan resultados sobre ´orbitas creadas por aplicaci´on reiterada de funciones de variable compleja empleando la m´etrica hiperb´olica. Parece prometedor la incorporaci´on de los m´etodos de la geometr´ıa hiperb´olica al estudio de las din´amicas asociadas a las particiones por el lado mayor. 1.2. Objetivos Los objetivos de esta tesis son:
6CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI ´ ON Estudiar cada m´etodo de partici´on por el lado mayor de tri´angulos a partir la din´amica que define en un espacio de formas triangulares dotado con m´etrica hiperb´olica. Dar una demostraci´on de la no degeneraci´on de la 3T–LE. Espec´ıficamente, demostrar que si αes el menor ´angulo de un tri´angulo al que se aplica reiteradamente la 3T–LE, entonces el menor ´angulo α0de cualquiera de los tri´angulos generados verifica α0≥α/c, donde c=π/3 arc tg √3/11. Dar cotas para los di´ametros de los tri´angulos generados en cada paso de la 3T–LE, como existen en la literatura para la 2T–LE. Evaluar el cardinal de tri´angulos no similares generados al aplicar reiteradamente la 3T–LE. Encontrar nuevas demostraciones de los resultados ya existentes en la 2T–LE, 4T–LE y 7T–LE sobre no degeneraci´on, acotaci´on para los di´ametros de los tri´angulos generados en cada iteraci´on o cardinal de tri´angulos generados no similares. Estudiar la no degeneraci´on de otros m´etodos de partici´on por el lado mayor. 1.3. Gui´on de desarrollo En el Cap´ıtulo 2 se realiza una revisi´on de aspectos que se emplear´an en el desarrollo de los cap´ıtulos posteriores. Se incluye las nociones m´as b´asicas de
1.3. GUI ´ ON DE DESARROLLO 7 mallas. Se aborda la partici´on 2T–LE en el caso plano y sus propiedades m´etricas. Se trata la teor´ıa de los espacios de formas, aunque s´olo para espacios de tri´angulos y tomando en consideraci´on ´unicamente m´etricas hiperb´olicas. Por ´ultimo, se recoge tambi´en una muy sucinta introducci´on al plano hiperb´olico, donde se resumen los resultados que se emplear´an. En el Cap´ıtulo 3 se tratar´a todo lo relativo al estudio de las propiedades de la 3T–LE. Este cap´ıtulo es el n´ucleo inicial de la tesis, por lo que hemos preferido desarrollarlo primero. En el mismo vemos c´omo identificar la forma asociada a tri´angulos similares con un punto de un conjunto acotado del plano complejo (espacio de tri´angulos). En este espacio se define la distancia entre diferentes formas de tri´angulos como la distancia (hiperb´olica) entre los afijos o puntos de ese espacio de tri´angulos. Demostramos aqu´ı la propiedad de no incremento de la distancia entre tri´angulos al aplicar m´etodos de partici´on por el lado mayor. Esta propiedad de no incremento de distancias ser´a la piedra angular de toda la tesis. Apoy´andonos en esta propiedad demostramos resultados novedosos como la no degeneraci´on de la 3T–LE, y tambi´en la f´ormula de acotaci´on de los di´ametros. Incluimos tambi´en un estudio completo sobre el cardinal de los tri´angulos generados al aplicar la 3T–LE. En el Cap´ıtulo 4 se demuestran, en la l´ınea del anterior, resultados cl´asicos para la 2T–LE: no degeneraci´on, acotaci´on de los di´ametros y finitud de las ´orbitas. Todas las demostraciones son novedosas y se apoyan en el uso de la propiedad de no incremento de las distancias. En el Cap´ıtulo 5 se obtienen resultados sobre el n´umero de tri´angulos no similares generados por el m´etodo de partici´on introducido por Mar´ıa Cecilia
8CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI ´ ON Rivara (4T–LE de Rivara). Se recoge tambi´en nuevas pruebas de resultados para 7T–LE. Adem´as se demuestra la degeneraci´on de m´etodos basados en particiones del lado mayor en cuatro o m´as partes. En el Cap´ıtulo de Conclusiones se recapitulan los resultados obtenidos en los cap´ıtulos previos. Por ´ultimo, en el Cap´ıtulo final de L´ıneas futuras de investigaci´on, se sugiere como abordar un problema a´un abierto en la geometr´ıa computacional: la no degeneraci´on de la bisecci´on por el lado mayor (2T–LE) para tetraedros. Tras la Bibliograf´ıa se recopilan los proceeding de los congresos donde se han comunicado resultados contenidos en esta tesis [71, 73, 75], as´ı como los art´ıculos publicados o en fase de revisi´on a los que ha dado lugar [77, 72, 74, 76].
Cap´ıtulo 2 Revisi´on General 2.1. Mallas de tri´angulos y tetraedros Consideraremos s´olo conjuntos cerrados en R2oR3, con frontera dada por una poligonal cerrada en el caso bidimensional, o una superficie poli´edrica cerrada en el caso tridimensional. Si una regi´on cerrada en R2oR3se recubre con tri´angulos o tetraedros tales que dos a dos se corten solamente en su frontera, decimos que se tiene una triangulaci´on de la regi´on [20, 27]. Aunque en el m´etodo de elementos finitos se puedan emplear otras formas (rect´angulos, hex´agonos), siguiendo su vocabulario hablamos de la malla de una regi´on. Tambi´en con esta nomenclatura a cada tri´angulo o tetraedro se le denomina elemento de la malla, y nodo a cada v´ertice [38]. En esta tesis nos referimos siempre a mallas de tri´angulos o tetraedros. Decimos que una malla es estructurada cuando tiene un patr´on regular de conexi´on entre sus elementos. Esta regularidad puede ser explotada por los 9
16 CAP´ ITULO 2. REVISI ´ ON GENERAL s´ımplice original. El resultado da informaci´on sobre la convergencia del m´etodo de bisecci´on por el lado mayor en cualquier dimensi´on n, probando que la m´axima longitud de los lados de los s´ımplices generados en las sucesivas aplicaciones de la bisecci´on por el lado mayor sigue una progresi´on subexponencial decreciente. Esto significa que δkn ≤ √3 2!k δ0, donde δ0es el di´ametro del simpl´ıce inicial y δiel m´aximo di´ametro de los s´ımplices generados en la iteraci´on ide la 2T–LE. En el caso de los tetraedros el mejor resultado que se tiene en la literatura es el de Kearfott. En el caso plano, Stynes mejor´o la acotaci´on dada en sucesivos trabajos en 1979 y 1980 [93, 94]. Lo mismo hizo Adler independientemente en su trabajo de 1983 [1]. Si δ0es el di´ametro del tri´angulo inicial y δiel m´aximo di´ametro de los tri´angulos generados en el paso i, se tiene que δ2n≤√3 2nδ0, δ2n+1 ≤1 2nδ0. Estas cotas no pueden ser mejoradas, puesto que los segundos miembros se corresponden con las longitudes m´aximas obtenidas para un tri´angulo equil´atero. Daremos una demostraci´on de estas desigualdades en un pr´oximo cap´ıtulo por m´etodos diferentes a los de Adler o Stynes. Tambi´en en los trabajos de Stynes y Adler se demuestra que el n´umero de tri´angulos no similares que aparecen en la aplicaci´on sucesiva del m´etodo de bisecci´on por el lado mayor es finito [1, 94]. Recientemente, Guti´errez, Guti´errez y Rivara retomaron el t´opico, dando una cota al n´umero de tri´angulos
2.4. ESPACIOS DE TRI ´ ANGULOS 17 no similares que es funci´on de los ´angulos del tri´angulo inicial [31]. Los m´etodos de partici´on por el lado mayor producen nodos no conformes, es decir, nodos que no son v´ertices de todos los elementos que los tienen en su frontera. Se pueden realizar nuevas particiones por el lado mayor en los tri´angulos con nodos no conformes, pudiendo probarse que el proceso termina en un n´umero finito de pasos [79]. Estos nuevos refinamientos quedan localizados por lo general en peque˜nas zonas de la malla [70, 83, 84, 96]. Otro m´etodo, v´alido en cualquier dimensi´on, consiste en la aplicaci´on de la partici´on por el lado mayor solamente a los s´ımplices con lado m´aximo para toda la malla, y no a cada elemento de la misma, lo que evita la creaci´on de nodos no conformes [46]. Aunque este m´etodo asegura la conformidad de la malla obtenida y es de muy f´acil implementaci´on, frecuentemente en elementos finitos se necesitan refinar, por la distribuci´on de los errores, elementos que no cumplen el criterio de di´ametro m´aximo de la malla. 2.4. Espacios de tri´angulos Cuando en un figura es eliminada toda informaci´on sobre su localizaci´on, escala u orientaci´on, la informaci´on que resta se denomina su forma [21, 91]. Alternativamente, se dice que dos figuras tienen la misma forma si la composici´on de una homotecia con giros, traslaciones y reflexiones, hacen coincidir una figura con otra. Si dos figuras tienen la misma forma diremos que son similares. Diremos que dos figuras son semejantes si pueden transformarse una en la otra empleando solamente la composici´on de una homotecia con giros o traslaciones, sin reflexiones. Por ejemplo, dos tri´angulos son similares si sus
18 CAP´ ITULO 2. REVISI ´ ON GENERAL ´angulos internos son iguales, pero no son necesariamente semejantes. Consideremos tres puntos en el plano complejo z1,z2yz3tales que al menos dos sean diferentes. Vemos c´omo representar de modo natural la forma del tri´angulo con v´ertices en z1,z2yz3. Supuesto que z16=z2ponemos z=z3−z1 z2−z1 El tri´angulo z1,z2yz3tiene la misma forma que el tri´angulo cuyos v´ertices son 0, 1 y z. Con ello el n´umero complejo zretiene la informaci´on sobre la forma del tri´angulo. La Figura 2.5 representa la transformaci´on del tri´angulo de v´ertices z1,z2yz3en el tri´angulo de v´ertices 0, 1 y z. Las partes real e imaginaria de zque determinan la forma del tri´angulo se denominan coordenadas de Bookstein, quien las populariz´o [15, 21, 91]. Figura 2.5: A cada tri´angulo de v´ertices z1,z2yz3se asocia un complejo zde modo que el tri´angulo de v´ertices 0, 1 y zsea similar. Con las coordenadas de Bookstein podemos emplear el plano complejo como espacio de formas triangulares. Una idea de este espacio de tri´angulos se da en Figura 2.6, donde cada tri´angulo se dibuja con el centro de su base en la
2.4. ESPACIOS DE TRI ´ ANGULOS 19 posici´on correspondiente a su coordenada de Bookstein. En este espacio de tri´angulos se tiene: Los tri´angulos equil´ateros se corresponden con 1 2+√3 2iy1 2−√3 2i(marcados con E y F en Figura 2.6). Los tri´angulos rect´angulos est´an localizados en las l´ıneas Re z= 0 y Re z= 1, y en la circunferencia z−1 2 =1 2. Los tri´angulos is´osceles se encuentran en la l´ınea Re z=1 2y sobre los c´ırculos |z|= 1 y |z−1|= 1. Los casos de tri´angulos degenerados (tres puntos alineados) est´an sobre la l´ınea Im z= 0. El plano puede dividirse en dos semiplanos de modo que cada tri´angulo bajo la l´ınea Im z= 0 pueden girarse 180◦para hacerlo coincidir con un tri´angulo sobre la l´ınea Im z= 0. El semiplano superior puede ser dividido en seis regiones por la l´ınea Re z= 1 2, y los c´ırculos |z|= 1 y |z−1|= 1. Como podemos realizar permutaciones en los v´ertices de un tri´angulo cualquiera antes de asignarle sus coordenadas de Bookstein, se obtiene un punto en cada regi´on del semiplano superior para cada tri´angulo. Como a cada tri´angulo se le hacen corresponder seis puntos en el semiplano superior, para conseguir una relaci´on uno-uno entre tri´angulos similares y puntos del plano, debemos restringirnos a una regi´on. Definici´on 2.4.1 En este trabajo de tesis, habitualmente nos referiremos a la regi´on AOE limitada por el arco de los tri´angulos is´osceles AE, la l´ınea de
20 CAP´ ITULO 2. REVISI ´ ON GENERAL Figura 2.6: Cada tri´angulo aparece dibujado con el centro de su base en el punto de sus coordenadas de Bookstein. Los tri´angulos equil´ateros se sit´uan en los puntos E y F. Los tri´angulos is´osceles se encuentran sobre los c´ırculos y la vertical de trazo continuo, y los tri´angulos rect´angulos sobre el c´ırculo y las verticales de trazo punteado. Los tri´angulos degenerados formados por puntos alineados est´an localizados sobre la l´ınea discontinua horizontal. (Figura tomada de [21]. Confront´ese tambi´en con [101]). los tri´angulos is´osceles OE y la l´ınea de los tri´angulos degenerados AO en la Figura 2.6. Esta regi´on se denominar´a regi´on normalizada oespacio de tri´angulos en lo que sigue. Asignando a un tri´angulo cualquiera las coordenadas de Bookstein en esta
2.4. ESPACIOS DE TRI ´ ANGULOS 21 Figura 2.7: Regi´on normalizada de tri´angulos utilizada en esta Tesis. regi´on, hacemos coincidir su lado mayor con el segmento de extremos 0+0·iy 1+0·idel eje de abscisas, dejando el v´ertice opuesto al lado mayor sobre el eje de abscisas y su lado menor a la izquierda de la vertical dada por Re z=1 2. Esta regi´on normalizada se representa en la Figura 2.7. Esta regi´on normalizada aparece con frecuencia en la bibliograf´ıa de los m´etodos de partici´on. Por ejemplo, en [31] aparece esta regi´on para describir relaciones m´etricas entre los lados de cada tri´angulo a trav´es de sub-regiones en la misma y estudiar la evoluci´on de la 2T–LE. En [67] se describe detalladamente la regi´on normalizada, junto con su regi´on sim´etrica respecto al eje Re z=1 2, emple´andola para acotar los ´angulos m´aximo y m´ınimo de los tri´angulos mediante subregiones, como puede verse en la Figura 2.8. Esta figura se basa en las siguientes consideraciones: los tri´angulos normalizados con ´angulo mayor constante γ=γ0describen un arco de circunferencia que pasa por los puntos 0 + 0 ·iy 1 + 0 ·i; los tri´angulos normalizados con ´angulo menor constante α=α0quedan sobre las semirrectas
22 CAP´ ITULO 2. REVISI ´ ON GENERAL que pasan por el punto 0 + 0 ·io el punto 1 + 0 ·i. Figura 2.8: Acotaci´on por subregiones del ´angulo mayor γy del ´angulo menor αde un tri´angulo (Figura 1, p´agina 20 de [67]). En este mismo trabajo se la utiliza tambi´en para analizar la evoluci´on del m´etodo 4T–LE. Este mismo uso se hace para la 3T–LE en [69], donde adem´as se emplea la regi´on normalizada para representar estimaciones de la cota inferior del ´angulo menor al aplicar reiteradamente la 3T–LE. Finalmente, citar [57] donde se emplea la regi´on normalizada para describir qu´e m´etodo de partici´on es preferible para cada tipo de tri´angulo. 2.5. M´etrica hiperb´olica en el espacio de tri´angulos Consideremos, por una parte dos tri´angulos con coordenadas de Bookstein cercanas al eje horizontal y separados por una distancia eucl´ıdea δ, y por otra, dos tri´angulos con coordenadas de Bookstein separadas por la misma distancia
2.5. M´ ETRICA HIPERB ´ OLICA EN EL ESPACIO DE TRI ´ ANGULOS 23 eucl´ıdea δpero lejos del eje horizontal. Bookstein sugiri´o la m´etrica hiperb´olica para los tri´angulos, dado que la misma distancia δtiene menos significaci´on al aumentar la distancia hal eje horizontal [21]. Ver la Figura 2.9. Figura 2.9: La importancia para la forma de un tri´angulo con base en Im z= 0 de la distancia δdepende de la distancia al eje horizontal h. Se desarrolla a continuaci´on una justificaci´on m´as formal de la elecci´on de esta m´etrica para el espacio de formas triangulares [91], susceptible de ser extendida a dimensiones superiores. Supongamos dos conjuntos de puntos diferentes {x1, x2, x3}e{y1, y2, y3}en R2relacionados por una transformaci´on h:R2→R2de modo que h(xi) = yi para todo i= 1,2,3. El grado en el que hse aparta de la familia de transformaciones del plano resultantes de la composici´on de una homotecia con movimientos r´ıgidos, incluyendo reflexiones, puede ser usado como una medida de la diferencia entre las formas de los tri´angulos de v´ertices {x1, x2, x3}e {y1, y2, y3}. En forma matricial, podemos escribir la transformaci´on hcomo h(x) = Λx+adonde xyason vectores columna 2 ×1 y Λ es una matriz cuadrada 2×2. Restringimos el an´alisis al caso en que det(Λ) >0.
24 CAP´ ITULO 2. REVISI ´ ON GENERAL Figura 2.10: Cambio de forma inducido por una transformaci´on af´ın x→Λx+ a. Las longitudes αyβdel semieje mayor y del semieje menor, respectivamente, son los autovalores de la matriz Λ. La Figura 2.10 muestra c´omo la transformaci´on af´ın afecta a la forma de una figura bidimensional. Se considera la elipse imagen del c´ırculo unidad por la aplicaci´on h. Si los valores α≥βson los autovalores de Λ, la aplicaci´on af´ın transforma el c´ırculo unidad en una elipse con semieje mayor αy semieje menor β. La transformaci´on hes una isometr´ıa si y s´olo si la raz´on α/β es igual a 1. Luego ln(α/β) sirve como medida de la deformaci´on que produce h. Podemos emplear estas consideraciones para obtener la expresi´on local de la m´etrica de las formas triangulares. Sean z=z1+z2iyw=w1+w2ien el semiplano superior, las respectivas coordenadas de Bookstein de dos tri´angulos. La transformaci´on af´ın que aplica 0, 1 y zen 0, 1 y w, respectivamente, es una transformaci´on lineal. La podemos representar como el producto de un vector columna 2 ×1 por la matriz triangular superior Λ = 1w1−z1 z2 0w2 z2 . Si wes una perturbaci´on muy peque˜na de z, se puede escribir w=z+dz
2.5. M´ ETRICA HIPERB ´ OLICA EN EL ESPACIO DE TRI ´ ANGULOS 25 con w1=z1+dz1yw2=z2+dz2. Ver la Figura 2.11. Figura 2.11: Cambio infinitesimal en las coordenadas de Bookstein. La matriz Λ puede entonces ser escrita como I+dΛ donde Ies la matriz identidad 2 ×2 y dΛ = 1 z2 0dz1 0dz2 . Para encontrar los autovalores de Λ calculamos en primer lugar los autovalores de ΛTΛ. Al ser Λ una perturbaci´on de la matriz identidad podemos escribir ΛTΛ como (I+dΛ)T(I+dΛ) ≈I+dΛT+dΛ, al despreciar t´erminos de menor orden. Usando esta ´ultima expresi´on se pueden escribir la ecuaci´on caracter´ıstica de los autovalores como det λI −(I+dΛT+dΛ)= 0. Esta es una ecuaci´on de segundo grado en λ. Los autovalores λ1yλ2de ΛTΛ son, salvo t´erminos de menor orden, las dos ra´ıces de esta ecuaci´on y se pueden calcular expl´ıcitamente como
32 CAP´ ITULO 2. REVISI ´ ON GENERAL Figura 2.12: Las semirrectas y semicircunferencias en el semiplano perpendiculares al eje de abscisas determinan las rectas hiperb´olicas. Proposici´on 2.6.5 Sean z1, z2∈Hcon partes reales diferentes. Entonces cosh d(z1, z2) = 1 + |z1−z2|2 2 Im z1Im z2 .(2.3) Demostraci´on. El segundo miembro de la F´ormula (2.3) es invariante al aplicar una transformaci´on az +b cz +dcon a, b, c, d ∈Ryad−bc > 0. Consideramos la ´unica semicircunferencia ortogonal al eje Im z= 0 que pasa por z1yz2. Supongamos que corta la l´ınea base en a∈R. La transformaci´on de M¨obius −1 z−aaplica la semicircunferencia en una semirrecta {b+ti/ t > 0}con b∈R. Entonces w(z) = −1 z−a−baplica la semicircunferencia en el eje positivo de ordenadas. Supongamos que z1yz2se aplican en ri ysi, respectivamente. Sin perder generalidad podemos suponer r≥s > 0. Entonces 1 + |z1−z2|2 2 Im z1Im z2 = 1 + |w(z1)−w(z2)|2 2 Im w(z1)Im w(z2)= 1 + (r−s)2 2rs =r2+s2 2rs . y por otra parte, por la F´ormula (2.1) cosh d(z1, z2) = cosh d(w(z1), w(z2)) = cosh ln r s=r2+s2 2rs .
2.6. MODELO DE POINCAR´ E DEL PLANO HIP´ ERBOLICO 33 Definici´on 2.6.4 Llamamos circunferencia hiperb´olica con centro ay radio ry la denotamos C(a;r)al conjunto {z∈H/d(z, a) = r}. Llamamos c´ırculo hiperb´olico con centro ay radio ry la denotamos D(a;r)al conjunto {z∈H/d(z, a)≤r}. Proposici´on 2.6.6 Una circunferencia hiperb´olica C(a;r), con a=a1+a2i, es una circunferencia eucl´ıdea de centro a1+a2cosh r i y radio a2senh r(Ver Figura 2.13). Demostraci´on. Usando la F´ormula (2.3) resulta que z=x+yi est´a en la circunferencia C(a;r) lo que equivale a que cosh r= 1 + |z−a|2 2a2y, de donde (x−a1)2+y2−2a2ycosh r+a2 2= 0, y usando que cosh2r−1 = senh2rse tiene que (x−a1)2+ (y−a2ycosh r)2=a2 2senh2r. El centro y radio hiperb´olico de la circunferencia no coincide con su centro y radio eucl´ıdeo. Como cosh r−senh r→0 cuando r→+∞, el punto inferior de la circunferencia se aproxima a la l´ınea base Im z= 0 cuando raumenta. Como cosh r→+∞y cosh r−senh r→+∞cuando r→+∞, el centro y el punto superior de la circunferencia se alejan de la l´ınea base Im z= 0 cuando raumenta.
34 CAP´ ITULO 2. REVISI ´ ON GENERAL Es importante resaltar que toda geod´esica que pase por a∈Hes perpendicular a la circunferencia C(a;r) para cualquier r > 0. En efecto, lo dicho es evidente si la geod´esica es una l´ınea vertical porque en su intersecci´on con la circunferencia se alcanzan sus puntos superior e inferior. Podemos transformar con un elemento wde Aut(H) cualquier geod´esica que pase por a, en la vertical que pasa por a. Componiendo con una homotecia si es preciso, podemos suponer ainvariante. Dado que wconserva las distancias hiperb´olicas, aplica la circunferencia C(a;r) en s´ı misma. Como wtambi´en es una transformaci´on conforme, se sigue lo dicho. Figura 2.13: Circunferencias con centro hiperb´olico a=a1+a2iy centro eucl´ıdeo a1+a2cosh r i. No todas las isometr´ıas del plano hiperb´olico conservan la orientaci´on. Por ejemplo, la funci´on S(z) = −¯zes biyectiva, y seg´un las F´ormulas (2.1) y (2.3), preserva las distancias entre puntos. Sin embargo, esta transformaci´on fija todos los puntos de la recta hiperb´olica dada por r={it/ t > 0}, y aplica
2.6. MODELO DE POINCAR´ E DEL PLANO HIP´ ERBOLICO 35 cada uno de los dos semiplanos que determina ren el otro, no conservando la orientaci´on. Proposici´on 2.6.7 Toda isometr´ıa del plano hiperb´olico tiene una expresi´on de la forma az +b cz +do de la forma a(−¯z) + b c(−¯z) + dcon a, b, c, d ∈Ryad −bc > 0. Demostraci´on. Sea T:H→Huna isometr´ıa. Sea r={it/ t > 0}y sea l=T(r). Como w(l) es una geod´esica, existe w∈Aut(H) tal que w(l) = r. Se tiene que res invariante para la composici´on w◦T. Componiendo con una homotecia si es preciso, podemos suponer que (w◦T)(i) = i, y componiendo si es preciso con z→ −1 z, podemos suponer invariantes por w◦Tlos intervalos (0, i) e (i, ∞) de la semirrecta. Como w◦Tes una isometr´ıa, cada punto de res invariante por w◦T. Sea z=x+yi en Hy (w◦T)(z) = u+vi. Como w◦Tes isometr´ıa, d(z, it) = d(u+vi, it). Por la F´ormula (2.3) se sigue x2+ (y−t)2v=u2+ (v−t)2y. Dado que esta ecuaci´on es v´alida para todo t > 0, igualando coeficientes en la expresi´on anterior se obtiene que y=vyx2=u2. Luego (w◦T)(z) = zo (w◦T)(z) = −¯z. Como los conjuntos {z/(w◦T)(z) = z}y{z/(w◦T)(z) = −¯z} forman una partici´on de H, son conjuntos cerrados y abiertos de H. Al ser H un conjunto conexo, debe ser w◦T=Iow◦T=S. Con ello, T=w−1(z) o bien T=w−1(−¯z). Sea lotra recta hiperb´olica. Existe w(z) en Aut(H) que lleva la recta len la recta rde la demostraci´on. Entonces Sl=w−1◦S◦wes una isometr´ıa que deja fijos todos los puntos de l. Dos aplicaciones w1(z) y w2(z) en Aut(H) que lleven
36 CAP´ ITULO 2. REVISI ´ ON GENERAL la recta len la recta rdefinen la misma aplicaci´on Sl. En efecto, w−1 1◦S◦w1= w−1 2◦S◦w2sobre la recta hiperb´olica l. Debe ser w1=S◦w1◦w−1 2◦S◦w2 sobre l. Obs´ervese que S◦w1◦w−1 2◦S◦w2es una isometr´ıa que conserva la orientaci´on, luego por el teorema anterior es un elemento de Aut(H). Como w1 yS◦w1◦w−1 2◦S◦w2toman en al menos tres puntos la misma imagen, ambas funciones coinciden, y se sigue lo dicho. Definici´on 2.6.5 La transformaci´on Slse denomina reflexi´on osimetr´ıa axial respecto de la recta hiperb´olica l. Si l={a+it/ t > 0}es una semirrecta ortogonal a la l´ınea base, podemos tomar w(z) = z−a, luego Sl(z)=2a−¯z. De donde Sles una reflexi´on o simetr´ıa axial en el sentido eucl´ıdeo respecto a la semirrecta l. Estudiamos el caso de ser luna semicircunferencia ortogonal a la l´ınea base con centro a∈Ry radio r > 0. Podemos reducir al caso de la circunferencia unidad con centro en el origen aplicando una traslaci´on y luego una homotecia. En este caso, podemos tomar w=z−1 z+ 1, y como w−1(z) = −z−1 z−1, tendremos Sl(z) = 1 ¯z. Deshaciendo la homotecia y la traslaci´on nos queda Sl(z) = a+r2 ¯z−a,(2.4) que tambi´en podemos escribir como Sl(z) = a+r2 |z−a|2(z−a). Luego la aplicaci´on Sles una inversi´on respecto de la circunferencia que contiene a l. Obs´ervese que Slaplica cualquier punto z∈Hen un punto w∈Hen la semirrecta que une el centro de lyz. Adem´as |z−a|·|w−a|=r2. Ver Figura 2.6.
2.6. MODELO DE POINCAR´ E DEL PLANO HIP´ ERBOLICO 37 Figura 2.14: En una inversi´on cada punto zest´a alineado con su imagen y el centro de la circunferencia que define la inversi´on. Recordemos que a cada tri´angulo se le hacen corresponder seis puntos en el semiplano superior al asignarle sus coordenadas de Bookstein, resultado de las distintas permutaciones en los v´ertices. Cada punto se encuentra en una de entre las seis regiones determinadas por la l´ınea Re z=1 2, el c´ırculo |z|= 1 y el c´ırculo |z−1|= 1. Se tiene la siguiente versi´on bidimensional de un resultado que retomaremos posteriormente en dimensiones superiores. Proposici´on 2.6.8 La transformaci´on de Hque aplica las coordenadas de Bookstein de un tri´angulo en las coordenadas de Bookstein del mismo tri´angulo tras permutar sus v´ertices es una isometr´ıa. Demostraci´on. Basta con ver que es as´ı para la transposici´on de dos v´ertices, pues toda permutaci´on es composici´on de transposiciones. La transposici´on de los puntos de la base da puntos sim´etricos respecto a Re z=1 2. La transposici´on de un punto en la l´ınea base con la coordenada de Bookstein es una inversi´on respecto de las circunferencias |z|= 1 y |z−1|= 1. Por ejemplo, en
38 CAP´ ITULO 2. REVISI ´ ON GENERAL la Figura 2.15 se han intercambiado los puntos 1 y z. Se tiene entonces que |z| 1=1 |z0|, de donde |z||z0|= 1. Como adem´as 0, zyz0est´an alineados, z0es la inversi´on de zrespecto a |z|= 1. Figura 2.15: El intercambio de los puntos 1 y zdeja la coordenada de Bookstein del tri´angulo en z0, la inversi´on de zrespecto a |z|= 1 [101, 16]. Los elementos de Aut(H) se pueden clasificar seg´un sus puntos fijos en H. Los elementos de Aut(H) pueden tener o bien dos puntos fijos complejos conjugados, o bien dos puntos fijos reales, o bien un ´unico punto fijo real. Supongamos que w∈Aut(H) tiene dos puntos fijos complejos conjugados a, ¯a∈H. puesto que wconserva la distancia hiperb´olica, si z∈Hentonces d(z, a) = d(w(z), a), de modo que las circunferencias hiperb´olicas con centro en aquedan invariantes. Las geod´esicas que pasan por ason perpendiculares a las circunferencias hiperb´olicas con centro en a, y puesto que wes conforme, se sigue que las im´agenes de los radios tambi´en son radios. Sea θel ´angulo que forma un radio hiperb´olico r1con su imagen. Si tomamos cualquier otro radio hiperb´olico r2que forme un ´angulo αcon r1, su imagen por wformar´a un ´angulo α+θcon r1.
2.6. MODELO DE POINCAR´ E DEL PLANO HIP´ ERBOLICO 39 Definici´on 2.6.6 Una transformaci´on w∈Aut(H)con dos puntos fijos complejos conjugados ay¯ase denomina giro hiperb´olico con centro ay amplitud de giro θ, siendo eiθ =w0(a) |w0(a)|. Figura 2.16: Un giro en Hde un ´angulo de 60otransforma las regiones en gris (respectivamente en blanco) en las blancas (respectivamente grises) contiguas en sentido horario. Proposici´on 2.6.9 Si z1es el punto m´as alto de una geod´esica, la longitud hiperb´olica Ldel segmento sobre la geod´esica desde z0hasta z1verifica θ 2= arc tg e−L(2.5) donde θes la diferencia entre π 2y el ´angulo central determinado por el segmento desde z0hasta z1sobre la geod´esica. Demostraci´on. Usando la definici´on local de la m´etrica hiperb´olica tenemos L=Z[z0, z1] ds =Zπ/2 θ r·dβ rsen(β)=−ln tg θ 2. Ver la Figura 2.17. Esta proposici´on sugiere la siguiente definici´on.
40 CAP´ ITULO 2. REVISI ´ ON GENERAL Figura 2.17: Figura ilustrativa de la F´ormula (2.5). Definici´on 2.6.7 A toda l´ınea obl´ıcua que comparta el punto base con una geod´esica vertical se denomina equidistante a la geod´esica. Para las geod´esicas dadas por semicircunferencias, las equidistantes son los arcos de circunferencias que tienen como puntos de corte con Im z= 0, los mismos que la geod´esica.
Cap´ıtulo 3 Trisecci´on por el lado mayor 3.1. Din´amica de la partici´on 3T–LE Como ya comentamos en la introducci´on, una t´ecnica empleada frecuentemente en la bibliograf´ıa de los m´etodos de refinamiento por el lado mayor es la normalizaci´on de los tri´angulos. Esta normalizaci´on consiste en escalar y aplicar movimientos r´ıgidos al tri´angulo, incluyendo reflexiones, de modo que se haga coincidir su lado mayor con el segmento de extremos 0 + 0iy 1 + 0i del eje de horizontal, dejando el v´ertice opuesto al lado mayor en el semiplano superior y su lado menor a la izquierda de la vertical dada por Re z=1 2. Obtenemos para cada clase de tri´angulos similares un complejo zen la regi´on limitada por Re z=1 2, Im z= 0 y la circunferencia |z−1|= 1. Al anterior conjunto del plano lo hemos denominado la regi´on normalizada oespacio de tri´angulos. Al realizar la trisecci´on por el lado mayor de un tri´angulo normalizado, resultan tres nuevos tri´angulos que por su posici´on denominamos derecho, 41
48 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR yf2(z) = −1 3z−3en el resto. La circunferencia z−2 3 =1 3separa la zona VII del resto de la regi´on normalizada. La inversi´on respecto a dicha circunferencia, por la F´ormula (2.4), tiene la expresi´on S(z) = 2¯z−1 3¯z−2y se comprueba que f1◦S=f2. Otro ejemplo: para la funci´on wIse tiene la expresi´on g1(z) = 3¯z 3¯z−1en la zona III y la expresi´on g2(z) = 3z−1 3zen la zona IV. La simetr´ıa respecto a Re z=1 6viene dada por T(z) = 1 3−¯zy se cumple g1◦T≡g2. Podemos obtener las expresiones de las funciones wI,wMywDde otra forma. Por ejemplo, si en lugar de la regi´on normalizada, empleamos todo el semiplano superior, para normalizar ∆Ien el sentido de Bookstein, bastar´a realizar una homotecia de centro 0 + 0 iy raz´on 3, al menos para obtener una de sus seis posiciones posibles. Si queremos recuperar la unicidad debemos componer la homotecia 3zcon las reflexiones respecto de las circunferencias |z|= 1, |z−1|= 1 y la l´ınea Re z= 1/2 (ver Figura 3.8). Lo mismo puede hacerse para ∆Mcon 3z−1, homotecia de centro z=1 3y raz´on 3, y para ∆D con 3z−2, homotecia de centro z=2 3y raz´on 3. Pongamos m´as en concreto que zest´a en la zona I, de modo que 3zse encuentra en la zona |z−1| ≥ 1 y Re z≥1 2(ver Figura 3.8). Componiendo con la inversi´on respecto |z−1|= 1 de expresi´on w=¯z ¯z−1, resulta 3¯z 3¯z−1. Componiendo luego con la inversi´on respecto de |z|= 1 de expresi´on w=1 ¯z, resulta 3z−1 3z. Finalmente, componiendo con la simetr´ıa respecto de la recta Re z=1 2de expresi´on w= 1 −3¯z, se obtiene wI(z) = 1 3¯z. Esta forma de proceder nos aporta otra prueba de la simetr´ıa de las funciones wI,wMywDrespecto a las geod´esicas que intervienen en sus definiciones
3.2. TRISECCI ´ ON Y DISTANCIA HIPERB ´ OLICA 49 Figura 3.8: Podemos normalizar el tri´angulo ∆Ien el sentido de Bookstein realizando una homotecia de centro z= 0 y raz´on 3. a trozos. Por ejemplo, si zyz0est´an en la regi´on normalizada y son sim´etricos respecto de z−1 3 =1 3, entonces 3zy 3z0son sim´etricos respecto de |z−1|= 1. Esto significa que 3zy 3z0son coordenadas de Bookstein del mismo tri´angulo, y al reducir a la regi´on normalizada wI(z) = wI(z0). Un argumento similar se aplica a cualquiera de los distintos casos que se puedan presentar. 3.2. Trisecci´on y distancia hiperb´olica Se pueden usar las reflexiones respecto de las l´ıneas de las zonas I a VII para plegar la regi´on normalizada. Una idea similar de plegamiento seg´un geod´esicas hiperb´olicas puede encontrarse en [2]. Este plegado consiste en asignar a cada punto de la regi´on normalizada un
50 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR punto de la zona V que tiene su misma imagen por wI. En primer lugar con la inversi´on respecto de z−1 3 =1 3llevamos las zonas I, II y III a las zonas IV, V y VI. Luego aplicamos las zonas IV y VII en la zona VI por la inversi´on respecto a |z−| =1 3. Finalmente con la simetr´ıa respecto a Re z=1 6llevamos la zona VI a la zona V (ver la Figura 3.9). De este modo se lleva cada punto de la regi´on normalizada a uno de la zona V que tiene su misma imagen por wIseg´un la Proposici´on 3.1.1. Figura 3.9: Plegado que asigna a cualquier punto de la regi´on normalizada un punto de la zona V con la misma imagen por wI. Para la funci´on wMse puede construir un plegado similar: Con la inversi´on respecto de z−1 3 =1 3llevamos las regiones I, II y III a las regiones IV, V y VI, respectivamente. Por ´ultimo llevamos IV, V y VI a VII por medio de la inversi´on respecto de z−2 3 =1 3. As´ı llevamos cada punto de la regi´on normalizada a uno de la zona VII que tiene su misma imagen por wM(ver Figura 3.10).
3.2. TRISECCI ´ ON Y DISTANCIA HIPERB ´ OLICA 51 Figura 3.10: Plegado que asigna a cualquier punto de la regi´on normalizada un punto de la zona VII con la misma imagen por wM. Figura 3.11: Plegado de la regi´on normalizada para wD. Terminamos con el plegado correspondiente a wD. Basta llevar la zona VII en las restantes zonas por medio de la inversi´on respecto a z−2 3 =1 3(ver Figura 3.11).
52 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Como en su versi´on eucl´ıdea, la siguiente proposici´on establece que la distancia hiperb´olica entre dos puntos tras los plegados es menor o igual que la distancia inicial entre ambos. Proposici´on 3.2.1 Sean z1yz2complejos en la regi´on normalizada. Sean z0 1 yz0 2los complejos resultantes de z1yz2para alguno de los plegados descritos. Entonces se cumple que d(z0 1, z0 2)≤d(z1, z2). Figura 3.12: El segmento geod´esico que une z1con z∗es imagen por reflexi´on del segmento que une z0 1con z∗, de donde d(z1, z∗) = d(z0 1, z∗). Demostraci´on. Si una misma inversi´on (o simetr´ıa) se aplica a ambos durante el plegado, la distancia hiperb´olica entre sus transformados se conserva. Supongamos que en uno de los pasos del plegado se aplica la inversi´on (o simetr´ıa) s´olo a uno. Sin perder generalidad, supongamos que esto es as´ı en la primera inversi´on. Sea z0 1la imagen de la inversi´on de z1y sea z∗la intersecci´on del segmento hiperb´olico que une z1yz2con la circunferencia que define la inversi´on (ver Figura 3.12). Entonces por la desigualdad triangular tendremos d(z0 1, z2)≤d(z0 1, z∗) + d(z∗, z2) = d(z1, z∗) + d(z∗, z2) = d(z1, z2).
3.2. TRISECCI ´ ON Y DISTANCIA HIPERB ´ OLICA 53 Por tanto, a medida que se hace el plegado, la distancia entre los transformados disminuye o se conserva, resultando el enunciado. Lema 3.2.1 (de no incremento de la distancia) Sea W cualquiera de las funciones wI,wMywD. Si z1yz2pertenecen a la regi´on normalizada, entonces d(W(z1), W(z2)) ≤d(z1, z2). Demostraci´on. Sean z0 1yz0 2resultantes de z1yz2tras el plegado. Por la Proposici´on 3.1.1 se tiene d(W(z1), W(z2)) = d(W(z0 1), W(z0 2)). Adem´as a z0 1yz0 2se les aplica la misma expresi´on de W. Luego por la Proposici´on 2.6.7 se cumple d(W(z0 1), W(z0 2)) = d(z0 1, z0 2). Finalmente por la Proposici´on 3.2.1 d(z0 1, z0 2)≤d(z1, z2). Se concluye de todo esto que d(W(z1), W(z2)) ≤d(z1, z2). Observaci´on: De la prueba de la Proposici´on 3.2.1 se sigue que, si z1yz2 pertenecen al interior de regiones diferentes en la definici´on de W, entonces d(z0 1, z0 2)< d(z1, z2). Luego, en este caso, vale la desigualdad estricta en el enunciado del lema anterior. Existe un ´analogo al Lema de no incremento de la distancia para superficies de Riemann hiperb´olicas [29, 58, 85]. Tambi´en existe un hom´ologo eucl´ıdeo que es la base para algoritmos de dise˜no en origami [50].
54 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR El resultado del Lema 3.2.1 es fundamental en lo que sigue, por lo que damos otra prueba del mismo que se adapta mejor a otros m´etodos de partici´on por el lado mayor. Otra demostraci´on del Lema 3.2.1. Empleando todo el semiplano superior se puede normalizar los tri´angulos ∆I, ∆My ∆Dmediante las homotecias 3z, 3z−1y3z−2, respectivamente. Sean z1yz2puntos en la regi´on normalizada, yw1yw2sus im´agenes por una de las homotecias. Como las homotecias con centro en Im z= 0 conservan la distancia hiperb´olica, entonces d(z1, z2) = d(w1, w2), aunque w1yw2no tienen porque caer en la misma regi´on de entre las seis en que lo dividen las l´ıneas |z|= 1, |z−1|= 1 y Re z=1 2. Como las seis coordenadas de Bookstein son reflejo una de otras respecto de estas l´ıneas, d(W(z1), W(z2)) ≤d(w1, w2), con Wcualquiera de las funciones wI,wMywD. De donde se sigue el Lema 3.2.1 de no incremento de la distancia. Adem´as, la desigualdad d(W(z1), W(z2)) < d(w1, w2) es estricta, si w1yw2pertenecen a los interiores de regiones distintas del semiplano superior, o equivalentemente, si z1yz2pertenecen a los interiores de zonas de la regi´on normalizada con distintas expresiones para W. 3.3. Regiones cerradas. ´ Orbitas Existen tres circunferencias C1,C2yC3en las regiones I, IV y VII respectivamente, tangentes a las l´ıneas que delimitan estas zonas (ver Figura 3.13). Las ecuaciones de las circunferencias son
3.3. REGIONES CERRADAS. ´ ORBITAS 55 C1≡x−1 32 +y−1 22 =1 62 ,(3.1) C2≡x−1 32 +y−1 42 =1 122 ,(3.2) C3≡x−4 92 +y−1 62 =1 182 .(3.3) Proposici´on 3.3.1 En el plano hiperb´olico C1,C2yC3tienen como centros los n´umeros complejos ω1:= 1 3+√2 3i,ω2:= 1 3+√2 6iyω3:= 4 9+√2 9i, respectivamente. Adem´as todas tienen radio ln √2seg´un la m´etrica hiperb´olica. Demostraci´on. En la circunferencia C1los puntos de m´axima y m´ınima altura son 1 3+2 3iy1 3+1 3i, respectivamente. El diam´etro de la circunferencia seg´un la m´etrica hiperb´olica ser´a d= ln 2 por la F´ormula (2.1). Siendo ω1=1 3+y·i el centro de la circunferencia, el radio vendr´a dado por r= ln y 1/3=1 2ln 2. Luego y=√2 3yω1es como en el enunciado. Del mismo modo deducimos lo dicho para C2yC3. Notaci´on. Mantendremos la notaci´on de la proposici´on anterior para las circunferencias C1,C2yC3y sus centros como circunferencias hiperb´olicas ω1, ω2yω3en lo sucesivo. Adem´as pondremos C1,C2yC3tanto para las circunferencias como para los c´ırculos correspondientes, por deducirse del contexto el significado oportuno. El conjunto {ω1, ω2, ω3}es cerrado para las funciones wI,wMywD, o lo que es equivalente, W({ω1, ω2, ω3})⊆ {ω1, ω2, ω3}para W=wI,wM´o wD.
56 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 3.13: Circunferencias hiperb´olicas C1,C2yC3de radio ln √2 y centros ω1=1 3+√2 3i,ω2=1 3+√2 6iyω3=4 9+√2 9i. Volviendo al lenguaje geom´etrico, estos n´umeros complejos determinan un conjunto de tres tri´angulos tales que, la aplicaci´on a cualquiera de ellos del proceso de trisecci´on por el lado mayor, genera tri´angulos similares a alguno de los tres. Se tiene el siguiente resultado. Proposici´on 3.3.2 Sea zcomplejo con d(z, ωi) = rpara alg´un 0< r ≤ln √2 y alg´un i∈ {1,2,3}. Si z0resulta de la aplicaci´on reiterada a zde las funciones wI,wMywD, entonces d(z0, ωi) = rpara alg´un i∈ {1,2,3}. Luego la uni´on de los c´ırculos C1,C2yC3es una regi´on invariante. Demostraci´on. El enunciado se sigue de la conservaci´on de la distancia por una isometr´ıa, de las que las expresiones de wI,wMywDen las zonas I, IV y VII son ejemplos, y de que adem´as {ω1, ω2, ω3}es un conjunto invariante para
3.3. REGIONES CERRADAS. ´ ORBITAS 57 dichas funciones. El resultado anterior sirve de motivaci´on a las siguientes definiciones [29, 58, 90]. Definici´on 3.3.1 Sean Γ(0) z={z}yΓ(n+1) z=wIΓ(n) z∪wMΓ(n) z∪wDΓ(n) z, para n≥0. Se define la ´orbita de zcomo el conjunto Γzdado por Γz=[ n≥0 Γ(n) z. Por ejemplo, el conjunto {ω1, ω2, ω3}es la ´orbita de cualquiera de sus elementos. Definici´on 3.3.2 Un subconjunto Ωde la regi´on normalizada es cerrado para la trisecci´on por el lado mayor si, y s´olo si, para cualquier zen Ωse cumple que wI(z),wM(z)ywD(z)est´an en Ω. Cuando no exista posibilidad de confusi´on hablamos simplemente de regi´on cerrada. Toda ´orbita es una regi´on cerrada para la trisecci´on. Si zest´a en una regi´on cerrada Ω para la trisecci´on, entonces su ´orbita Γzest´a contenida en la regi´on Ω. La Proposici´on 3.3.2 es un caso particular del siguiente resultado. Proposici´on 3.3.3 Sea zun n´umero complejo en la regi´on normalizada. Sea Ωla intersecci´on con la regi´on normalizada de los c´ırculos hiperb´olicos con centros en Γzy de igual radio r > 0. Entonces Ωes un conjunto cerrado para la 3T–LE.
64 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 3.18: Diagrama de la ´orbita generada por la 3T–LE para el tri´angulo equil´atero. La din´amica de trisecci´on comienza en el afijo 1 2+√3 2i. N´otese que 29 62 + 3√3 62 ies generado de modo estable desde la quinta iteraci´on. De modo que 1 6+√3 6i,13 42 +√3 14 i,29 62 +3√3 62 iy7 18 +√3 18 ison, por orden de aparici´on, los afijos que aparecen en las primeras iteraciones con parte imaginaria m´ınima. Por la F´ormula (3.4), tenemos que δ1= 1, δ2=√7 3,δ3=√31 9yδ4=1 3. 3.4.2. Demostraci´on de la cota superior Consideramos un tri´angulo ∆0con lado mayor de longitud δ0. Sea z0su complejo asociado. Designamos por ∆ncualquier tri´angulo generado en la ite-
3.4. CONVERGENCIA DE LA PARTICI ´ ON 3T–LE 65 raci´on nde la 3T–LE, y por znal n´umero complejo asociado a ∆n. Los zn pertenecen por definici´on a la ´orbita Γzde z. La longitud del lado mayor δn de cada tri´angulo en la iteraci´on nviene dada por δn=s2·´area(∆n) Im zn . Queremos demostrar que δn≤√31 3(n+1)/2·δ0. Considerando que ´area(∆n) = 1 3n·´area(∆0) = 1 2·3nIm z0·δ2 0, tratamos de demostrar que Im z0 Im zn≤31 3. Esto equivale a demostrar que la parte imaginaria de un complejo zno disminuye en menos de un factor 3 31 al aplicarle la din´amica de la 3T–LE. Una consecuencia de este resultado es por tanto la no degeneraci´on del m´etodo de trisecci´on por el lado mayor. Recordemos que la regi´on normalizada est´a definida por {z/ 0<Re z≤1/2,Im z > 0,|z−1| ≤ 1}, y que una regi´on Ω contenida en la regi´on normalizada es cerrada para la 3T– LE si, y s´olo si, para cualquier z∈Ω se tiene que Γz⊂Ω. La esencia de la demostraci´on que aportamos es ir descomponiendo la regi´on normalizada en regiones cerradas para la trisecci´on donde la acotaci´on de Imz/Imz0resulte posible, siendo z0∈Γz. Lema 3.4.1 Sea zun complejo en los c´ırculos C1,C2yC3. Entonces, para z0∈Γz, se tiene Im z Im z0≤6.
66 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 3.19: Los valores m´aximo y m´ınimo de Im zen los c´ırculos C1,C2yC3 vienen dados por los puntos se˜nalados. Demostraci´on. Por la Proposici´on 3.3.2, C1∪C2∪C3es una regi´on cerrada. Un complejo zen la uni´on de estos c´ırculos cumple que 1 9≤Im z≤2 3(ver la Figura 3.19). Luego, si zest´a en alguno de estos c´ırculos, se tiene que Im z Im z0≤2/3 1/9= 6. Sea Γeq el conjunto formado por los afijos generados en la trisecci´on del tri´angulo equil´atero exteriores a C1,C2yC3. Consideremos la uni´on de C1, C2,C3y de los c´ırculos hiperb´olicos de radio ln √3 con centros en el conjunto Γeq (ver Figura 3.20). Definimos la regi´on Σ como la intersecci´on de la regi´on normalizada con la uni´on anterior. La regi´on Σ es cerrada para la trisecci´on como consecuencia de la Proposici´on 3.3.3 en la P´agina 57.
3.4. CONVERGENCIA DE LA PARTICI ´ ON 3T–LE 67 Figura 3.20: Regi´on Σ, circunferencias C1,C2yC3y circunferencias hiperb´olicas con centros en los afijos generados en la trisecci´on del tri´angulo equil´atero exteriores a C1,C2yC3. Lema 3.4.2 Sea Ωla regi´on que resulta de suprimir en Σlos c´ırculos hiperb´olicos de radio ln √3con centros en 1 2+√3 2iy1 14 +3√3 14 i(ver Figura 3.21). Si z∈Ωyz0∈Γz, entonces Im z Im z0≤31 3. Demostraci´on. Por el Lema 3.4.1 podemos suponer zexterior a C1,C2y C3. Los c´ırculos con centros en los afijos del tri´angulo equil´atero exteriores a C1,C2yC3y distintos de 1 2+√3 2iy1 14 +3√3 14 itienen como puntos con m´axima y m´ınima parte imaginaria respectivamente 1 2+1 2iy29 69 +3 62i. As´ı,
68 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 3.21: Para los c´ırculos hiperb´olicos inferiores se tiene la acotaci´on Im z Im z0≤31 3. si zpertenece a alguno de estos c´ırculos, o bien Im z0>1 2y se tiene que Im z Im z0<1. o bien Im z0≤1 2y con ello Im z Im z0≤1/2 3/62 =31 3. Definici´on 3.4.1 Sea Cun c´ırculo hiperb´olico en el semiplano superior H= {z/ Im z > 0}. Sea zun punto del semiplano Hexterior a C. Sean r1yr2dos rectas hiperb´olicas en Hincidentes en zy tangentes a C. Denominamos cono de tangencia aCdesde el punto za la regi´on limitada por r1,r2yC.
3.4. CONVERGENCIA DE LA PARTICI ´ ON 3T–LE 69 Figura 3.22: Cono de tangencia a C1desde el punto 1 2+√3 2i. Ejemplo. Uno de los c´ırculos hiperb´olicos que consideramos tiene por centro hiperb´olico 1 2+√3 2i, y corta a Re z=1 2en 1 2+1 2iy1 2+3 2i(ver Figura 3.22) El punto 1 2+1 2itambi´en es el punto de tangencia de C1con Re z=1 2. De hecho, se tiene que la semirecta dada por Re z=1 2e Im z > 0, y el semic´ırculo dado por |z−1|= 1 e Im z > 0, son rectas del plano hiperb´olico en el modelo del semiplano de Poincar´e, que se cortan en 1 2+√3 2iy son tangentes a C1en 1 2+1 2iy1 5+3 5i. Tenemos con ello un cono de tangencia a C1desde el punto 1 2+√3 2i. Consideramos los conos de tangencia desde los puntos 1 2+√3 2i,1 14 +3√3 14 i, 1 6+√3 6iy1 2+√3 6iaC1, y a C2desde los puntos 1 6+√3 6i,1 2+√3 6i,5 26 +3√3 26 i, 13 42 +√3 14 iy5 14 +√3 14 i, y finalmente a C3desde los puntos 1 2+√3 6i,5 14 +√3 14 i, 7 18 +√3 18 i,1 2+√3 18 iy29 62 +3√3 62 i. Lema 3.4.3 Sea Ωla regi´on formada por los c´ırculos C1,C2yC3y los conos de tangencia anteriores (ver la Figura 3.23). Entonces Ωes cerrada para la
70 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 3.23: Conos de tangencia que con C1,C2yC3forman una regi´on cerrada para la trisecci´on. 3T–LE. Adem´as si z∈Ωyz0∈Γz, entonces Im z Im z0≤31 3. Demostraci´on. Vemos que Ω es una regi´on cerrada para la trisecci´on. Para cada cono de tangencia de los enumerados se tiene uno de los siguientes casos: 1. La restricci´on al cono de tangencia de wI,wMowDes una funci´on de M¨obius y el punto desde el que se traza el cono tiene imagen exterior a C1,C2yC3. Entonces, como cada c´ırculo C1,C2oC3se transforma en alguno de los mismos C1,C2oC3, y el cono de tangencia se transforma en alguno de los citados antes de la proposici´on.
3.4. CONVERGENCIA DE LA PARTICI ´ ON 3T–LE 71 Figura 3.24: El cono trazado desde 1 14 +3√3 14 iaC1yace sobre las regiones I y II. 2. Los conos de tangencia yacen sobre dos zonas con diferentes expresiones. Esto ocurre s´olo para wIcon dos conos: a) El cono desde 1 14 +3√3 14 ique se extiende sobre las zonas I y II (ver Figura 3.24). Puesto que la funci´on wItiene simetr´ıa con respecto a Re z=1 6, la imagen del cono queda en la imagen de la zona I por wI. Al ser la zona I invariante por wI, su imagen es la zona I misma. Por tanto la imagen del cono queda en la regi´on Ω. b) El cono desde 5 26 +3√3 26 ique yace sobre las zonas IV y VI (en gris en la Figura 3.25). Como wItiene simetr´ıa respecto a |z|=1 3, la imagen de este cono est´a contenida en la imagen de la uni´on de dos conos del tipo inicial con C2. 3. La imagen del v´ertice del cono de tangencia es interior a C1,C2oC3. Esto
72 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 3.25: El cono trazado desde 5 26 +3√3 26 ia la circunferencia C2yace sobre las zonas IV y VI. ocurre con 1 14 +3√3 14 i,5 26 +3√3 26 iy29 62 +3√3 62 ipor wM, pues su imagen es 25 62 +9√3 62 ien el c´ırculo C23.26. En este caso al ser la restricci´on al cono de wMuna aplicaci´on de M¨obius, se obtiene como imagen un cono aC1desde 25 62 +9√3 62 i, y est´a contenida en Ω. Veamos finalmente la acotaci´on prometida. Considerando los puntos en Ω de m´ınima y m´axima parte imaginaria, tenemos que Im z Im z0≤√3/2 3√3/62 =31 3. Los dos lemas anteriores demuestran el siguiente resultado. Proposici´on 3.4.2 Si z∈Σ(ver Figura 3.20) y z0∈Γz, entonces Im z Im z0≤ 31 3.
3.4. CONVERGENCIA DE LA PARTICI ´ ON 3T–LE 73 Figura 3.26: Los conos trazados tienen como imagen por wMel cono trazado desde 25 62 +9√3 62 iaC1. Sea Γeq el conjunto de los afijos generados en la trisecci´on del equil´atero exteriores a C1,C2yC3. Los puntos de Γeq se encuentran dispuestos sobre circunferencias hiperb´olicas de radio ln √2 + √6 2!con centros en ω1,ω2y ω3. Sea ahora Ω0la zona de la regi´on normalizada bajo estas circunferencias (ver Figura 3.27). Teorema 3.4.1 Si z∈Ω0yz0∈Γz, entonces Im z Im z0<5. Demostraci´on. Una recta de la forma y=mx que pase por el origen corta adem´as a la circunferencia (x−1)2+y2= 1 en otro punto 2 m2+ 1,2m m2+ 1. Para m≥√3 se tienen un punto sobre el arco que sirve de l´ımite a la regi´on normalizada, y para m≥3√3 este punto est´a en la zona Ω0. La distancia dde este punto con ω1cumple cosh d=m2+ 9 4√2m>1.
80 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 3.31: Regi´on cerrada Ω y rayos superior e inferior desde el punto 1 = 1+0i. Demostraci´on. Sea z3la intersecci´on de los arcos de γrcon centros en ω1y ω2. El punto z3est´a sobre la circunferencia z−1 3 =1 3que es la mediatriz hiperb´olica del segmento de extremos ω1yω2(ver Figura 3.33). Sea m1la geod´esica con ecuaci´on z−1 2 =1 2. La inversi´on con respecto a m1preserva la distancia a ω1por estar sobre m1. Adem´as, la inversi´on con respecto a m1 aplica la circunferencia z−1 3 =1 3en |z−1|= 1. As´ı z1es la inversi´on de z3 con respecto a m1, y z1,z3y1 2est´an alineados. Con argumentos similares se prueba que z3es la inversi´on de z4por m2, yz4es la inversi´on de z5por a m3, donde m2ym3son respectivamente las geod´esicas z−1 2 =√3 6y|z−1|=1 √3, como se muestra en la Figura 3.33. Luego z1,z3,z4y1 2est´an alineados, y z4,z5y 1 tambi´en. Por tanto z3,z4y
3.5. NO DEGENERACI ´ ON DE LA 3T–LE 81 Figura 3.32: γrse compone de arcos con centros hiperb´olicos en ω1,ω2yω3y el mismo radio r. z5est´an bajo el segmento desde z1a 1 = 1 + 0 i. Adem´as, z2da el m´ınimo argumento para 1 −¯zen γr, dado que la circunferencia con centro ω3es la circunferencia inferior. Lema 3.5.2 Sea zde Ω00, regi´on bajo los c´ırculos C1,C2yC3. Sea z0de la ´orbita de z. Sean αyα0los argumentos de 1−¯zy1−¯ z0, respectivamente. Entonces existe una constante c0< c con α0≥α/c0. Demostraci´on. Para cualquier zen Ω00, existe un radio r > ln √2 con zen γr. Por la propiedad de no incremento, si z0est´a en la ´orbita de Γz, la distancia de z0a uno de los puntos de Γω1es menor o igual que r. El peor caso en la disminuci´on del argumento de 1−¯ z0se tiene cuando z0=z2. Se puede suponer entonces que αyα0son los argumentos de respectivamente 1 −¯z1y 1 −¯z2, donde z1yz2son los del lema previo (ver Figura 3.32).
82 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 3.33: Elementos empleados en la Proposici´on 3.5.1. El punto de tangencia entre el arco sobre |z−1|= 1 y la circunferencia C1es 1 5+3 5i. Sea xla distancia desde z1al punto de tangencia 1 5+3 5i(ver Figura 3.34). Sea r0la distancia desde el punto de tangencia al punto 1 + i. Por la Ecuaci´on (2.5) se sigue α 2= arc tg e−x−r0. El punto z2est´a sobre la geod´esica m3dada por |z−1|=1 √3. En efecto, ω3 pertenece a esta geod´esica, de donde la circunferencia Ccon centro en ω3y radio res invariante para la inversi´on respecto a m3. Todo rayo desde 1 = 1+0 i corta a Cen dos puntos sim´etricos respecto a m3, salvo los tangentes a C. Por continuidad, los puntos de tangencia son invariantes respecto a la inversi´on, y por tanto pertenecen a m3. Luego la distancia rde z2aω3puede ser a˜nadida a r0 0, distancia del punto ω3 al punto 1 + √3 3i. Por la Ecuaci´on (2.5), se tiene que α0 2= arc tg e−r−r0 0.
3.5. NO DEGENERACI ´ ON DE LA 3T–LE 83 Figura 3.34: Curva γrpara r > ln √2 y puntos clave z1yz2. Adem´as α α0=arc tg (e−x−r0) arc tg e−r−r0 0<e−x−r0 π 4e−r−r0 0 porque la funci´on arc tg xverifica las desigualdades π 4x < arc tg x < x si 0<x<1. Acotamos la expresi´on e(r−x)+(r0 0−r0). Usando la F´ormula (2.3), se sigue que cosh r0=5 3y cosh r0 0=3√6 2. Consecuentemente, er0= 3, er0 0= 5√2+3√6 2, y por tanto er0 0−r0=5√2+3√6 6. Por otra parte cosh x·cosh(ln √2) = cosh r, por la versi´on hiperb´olica del Teorema de Pit´agoras. Entonces cosh x=2√2 3cosh ry er−x=er 2√2 3cosh r+q8 9cosh2r−1≤er 2√2 3cosh r+2√2 3cosh r−1 =3er 4√2 cosh r−3.
84 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Pero 3er 4√2 cosh r−3alcanza un valor m´aximo de 24√2 23 . Finalmente, α α0<4 π·24√2 23 ·5√2+3√6 6≈4,5155. 3.6. Cardinal de las ´orbitas para la 3T–LE Hemos empleado en las secciones previas la ´orbita {ω1, ω2, ω3}donde ω1= 1 3+√2 3i,ω2=1 3+√2 6iyω3=4 9+√2 9i. En esta secci´on demostraremos que para la 3T–LE est´a es la ´unica ´orbita finita. Lema 3.6.1 arc cos 1 √nno es un m´ultiplo racional de πpara cualquier impar n≥3. Demostraci´on. [[3], p´agina 40] Usando la f´ormula de trigonometr´ıa elemental cos α+ cos β= 2 cos α+β 2cos α+β 2 con α= (k+ 1)ϕyβ= (k−1)ϕse tiene cos ((k+ 1)ϕ) = 2 cos ϕcos kϕ −cos ((k−1)ϕ).(3.5) Por esta relaci´on de recurrencia, para el ´angulo ϕn= arc cos 1 √n, definido por cos ϕn=1 √ny 0 ≤ϕn≤π, se obtiene una representaci´on de la forma cos kϕn=Ak √nk, donde Akes un entero que no es divisible por n, para cualquier k≥0. De hecho A0=A1= 1, y por inducci´on sobre kempleando la F´ormula (3.5), se
3.6. CARDINAL DE LAS ´ ORBITAS PARA LA 3T–LE 85 obtiene para k≥1 cos ((k+ 1)ϕn) = 2 1 √n Ak √nk−Ak−1 √nk−1=2Ak−nAk−1 √nk+1 . Luego se sigue que Ak+1 = 2Ak−nAk−1. Si n≥3 es impar y Akno es divisible por n, entonces Ak+1 tampoco es divisible por n. Supongamos que ϕn=k lπ para enteros positivos kyl. Entonces de lϕn=kπ se sigue ±1 = cos kπ =Al √nl. Por consiguiente √nl=±Ales entero, y siendo l≥2, se sigue que n|√nl. Concluimos que n|Al, una contradicci´on. Figura 3.35: ´ Orbita tras las primeras diez iteraciones de la 3T–LE al tri´angulo marcado con un punto m´as grueso. La siguiente proposici´on explica las caracter´ısticas formaciones circulares que aparecen en las ´orbitas creadas por la 3T–LE (ver Figura 3.35).
86 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Proposici´on 3.6.1 Sea wde la regi´on normalizada. Supongamos que 0< d(w, ωi) = r≤√2para alg´un i∈ {1,2,3}. Entonces Γwes densa en cada circunferencia d(z, ωi) = rpara i= 1,2,3. Demostraci´on. Podemos suponer que i= 1, pues en otro caso bastar´a con aplicar la funci´on wMaw. N´otese que wMviene dada por la expresi´on −1 3z−2. La misma corresponde a un giro hiperb´olico con centro ω1. Como la derivada de wMen ω1es −1 3+2√2 3i, el ´angulo del giro hiperb´olico es α= π 2+arc tg 1 2√2. Como tg α=−2√2, cos(π−α) = 1 3. Se sigue que π−αno es un m´ultiplo racional de π, usando el Lema 3.6.1 para n= 9, y por supuesto αtampoco es un m´ultiplo racional de π. Como αno es un m´ultiplo racional de π, si m6=n, entonces wn M(w)6= wm M(w). Lo anterior basta para probar que la ´orbita es infinita. Pero tratamos de ver que es densa en la circunferencia hiperb´olica con centro ω1y radio r. Sea Lla longitud hiperb´olica de esta circunferencia. Sea zcon d(z, ω1) = r, debemos demostrar que para cada > 0 existe un punto en Γwcuya distancia hiperb´olica a zes menor que . Sea N > 0 tal que L/N < . Consideremos los puntos w, wM(w), w2 M(w), . . . , wN M(w) que son todos diferentes. Puesto que son N+1 puntos, dos de ellos estar´an en un arco de circunferencia hiperb´olica de longitud L/N. Luego existen 0 ≤m < n ≤Ntal que d(wn M(w), wm M(w)) < L/N < . Por tanto los puntos w, wn−m M(w), w2(n−m) M(w), w3(n−m) M(w), . . . est´an sobre la circunferencia a una distancia menor que cada uno del siguiente, puesto que wMes una isometr´ıa. Luego existe j > 0 tal que la distancia a z de wj(n−m) M(w) sea menor que .
3.6. CARDINAL DE LAS ´ ORBITAS PARA LA 3T–LE 87 Proposici´on 3.6.2 Sea zde la regi´on normalizada y supongamos que #Γz< +∞. Entonces z=wipara alg´un i∈ {1,2,3}. Demostraci´on. Como la ´orbita es finita, la sucesi´on z, wM(z), w2 M(z), . . . es c´ıclica para un valor suficientemente grande, esto es, existe N > 0 y p > 0 tal que wk M(z) = wk+p M(z) para k≥N. Si p= 1 entonces wk M(z) es un punto de la regi´on normalizada invariante por wM, de donde z=ω1. No puede ser p≥2. En efecto, supongamos p≥2 el menor con esta propiedad. Sean yj=wk+j−1 M(z) para j= 1, . . . , p puntos diferentes. Por la propiedad de no incremento de la distancia d(y1, ω1)≤d(y2, ω1)≤. . . ≤d(yp, ω1)≤d(y1, ω1). De aqu´ı d(y1, ω1) = d(y2, ω1) = . . . =d(yp, ω1). Luego y1, . . . , ypest´an en la misma regi´on de definici´on de wMdonde se encuentra ω1. En ella se aplica la expresi´on −1 3z−2que es un giro hiperb´olico con centro en ω1y ´angulo de giro α=π 2+arc tg 1 2√2como en la anterior Proposici´on 3.6.1. Pero entonces αser´ıa un m´ultiplo racional de π, lo que vimos en la Proposici´on 3.6.1 que no ocurre. Concluimos de lo anterior que existe Nentero no negativo tal que wN M(z) = ω1. Consideremos el menor Ncon esta propiedad. Si N= 0 o N= 1, entonces usando las f´ormulas de wM, se concluye que z=ωipara alg´un i∈ {1,2,3}. Supongamos N≥2. Puede ser wN−1 M(z) = ω2owN−1 M(z) = ω3. Si wN−1 M(z) = ω2, entonces su anti-imagen wN−2 M(z) por wMes o bien 4 9+√2 18 io bien 2 9+√2 9i. En ambos casos es imposible que la ´orbita de zsea finita, pues aplicando en
88 CAP´ ITULO 3. TRISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 3.36: Los puntos 4 9+√2 18 iy2 9+√2 9itendr´an ´orbitas de cardinal infinito seg´un la Proposici´on 3.6.1. ambos casos w5 M◦wDse obtiene un punto a distancia menor que ln √2 de ω2 (ver Figura 3.36), y se aplica la Proposici´on 3.6.1, siendo la ´orbita densa en la circunferencia, y por supuesto no finita. Por otra parte, Si wN−1 M(z) = ω3, entonces su anti-imagen wN−2 M(z) por wMes o bien 1 9+√2 9io bien 13 27 +√2 27 i. Otra vez es imposible que la ´orbita de zsea finita, pues aplicando en ambos casos w2 M◦wDse obtiene un punto a distancia menor que ln √2 de ω3(ver Figura 3.37), y nuevamente se aplica la Proposici´on 3.6.1. Corolario 3.6.1 El tri´angulo que resulta de dividir un rect´angulo de proporciones 1 : √2por medio de su diagonal genera s´olo otros dos tri´angulos no similares con la trisecci´on por el lado mayor. Cualquier otro tri´angulo genera un n´umero infinito de tri´angulos no similares.
3.6. CARDINAL DE LAS ´ ORBITAS PARA LA 3T–LE 89 Figura 3.37: Los puntos 1 9+√2 9iy13 27 +√2 27 itendr´an ´orbitas de cardinal infinito seg´un la Proposici´on 3.6.1.
96 CAP´ ITULO 4. BISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR 1 4, se cumple que VI(z) = −1 2z−1en I. Adem´as VD(z) = −1 2z−2de VII. Luego VI(VD(z)) = zyV2 D(z) = ¯z 2¯z−1est´a VI. Adem´as V3 D(z) = VD(z) y VI(V2 D(z)) = VI(z). Con ello Ξz={z, VD(z), V 2 D(z)}∪ΞVI(z). Como #ΞVI(z)< +∞dado que VI(z)∈I, se sigue que el cardinal del conjunto Ξzes finito. Ver Figura 4.4. Lema 4.1.3 Existe 0>0tal que, para todo zde la regi´on normalizada con distancia hiperb´olica a alguno de los puntos υ0, υ1, υ2menor o igual que 0, se cumple que # Ξz<+∞. Demostraci´on. Escogemos 0de forma que cada c´ırculo hiperb´olico con centro en υino corte a regiones que no tengan a ese υien su frontera. Esto es siempre posible como se muestra en la Figura 4.5. Supongamos primero zen la regi´on normalizada con d(z, υ0)≤0. Entonces z∈I y # Ξz<+∞. Supongamos ahora que d(z, υ1)≤0, entonces VI(z)∈I. Adem´as por la simetr´ıa de VD(z) respecto a z−1 2 =√2 2podemos suponer zen IV, V o VI. Luego VD(z) = 2¯z−1 2¯z−2est´a en IV o VII, y V2 D(z) = z. Como VIen IV y VII es un giro hiperb´olico de −π 2radianes con centro en ζ,VI(VD(z)) = ¯z 2¯z−1est´a en I, II o II. Luego V2 I(VD(z)) est´a en I. Tambi´en VD(VI(VD(z))) = VD(z) ya que VDen IV y VII es un giro hiperb´olico de π 2radianes con centro en ζ. Como Ξz={z, VD(z), VI(VD(z))}∪ΞVI(z)∪ΞV2 I(VD(z)), se sigue que # Ξz<+∞. Finalmente supongamos d(z, υ2)≤0, entonces d(VI(z), υ1)≤0y tambi´en d(VD(z), υ1)≤0, con lo que se reduce al caso anterior.
4.1. DIN ´ AMICA DE LA 2T–LE 97 Figura 4.5: Escogemos 0de modo que cada c´ırculo hiperb´olico con centro en υ1,υ2oυ3y radio 0corte solamente a las geod´esicas en la definici´on de VIy de VDque pasan por sus centros. Lema 4.1.4 Sea q1=3 8+√23 8iyr=d(q1, υ1). Entonces existe > 0tal que para cada zde la regi´on normalizada con d(q1, z)≤r+se cumple que #Ξz<+∞ Demostraci´on. Consideremos > 0 lo suficientemente peque˜no para que el c´ırculo hiperb´olico con centro en q1no corte a la regi´on VII. Esto es posible porque d(q1, υ1)< d(q1, x2) como se muestra en la Figura 4.6. Escogiendo suficientemente peque˜no podemos asegurar que la regi´on formada por los z con d(q1, z)≤r+est´a contenida en en las regiones I, II y IV, junto con un peque˜no c´ırculo hip´erbolico con centro en υ1como se hizo en el Lema 4.1.3. Por los Lemas 4.1.1 4.1.2 y 4.1.3, #Ξz<+∞.
98 CAP´ ITULO 4. BISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 4.6: Si se escoge adecuadamente , el c´ırculo con centro en q1y radio d(q1, υ1) + queda contenido en la uni´on de las regiones I, II y IV, junto con un peque˜no c´ırculo con centro en υ1en las condiciones del Lema 4.1.3. Lema 4.1.5 Sea q2=VD(q1) = 5 12 +√23 12 i. Sean rycomo en el Lema 4.1.4. Entonces para cada zen la regi´on normalizada con d(q2, z)≤r+, se cumple que #Ξz<+∞. Demostraci´on. Podemos suponer |z−1 2| ≤ 1 2, y por tanto zest´a en IV, V, VI o VII, ya que en otro caso d(q1, z)≤r+y se aplica el Lema 4.1.4. Luego V2 D(z) = z. Entonces Ξz={z, VD(z)}∪ΞVI(z)∪ΞVI(VD(z)) . Como d(VI(z), q1)≤d(z, q2)≤r+, entonces #ΞVI(z)<+∞. Del mismo
4.1. DIN ´ AMICA DE LA 2T–LE 99 modo #ΞVI(VD((z)) <+∞, puesto que d(VI(VD(z)), q1)≤d(VD(z), q2)≤d(z, q2)≤r+. Al ser Ξzuni´on de tres conjuntos finitos se sigue el enunciado. Lema 4.1.6 Sea > 0como en el Lema 4.1.4 y r=d(q1, υ1). Sea Kun compacto contenido en la regi´on normalizada tal que para todo z∈Kse cumple que d(z, q1)> r +. Entonces existe un valor A, con 0<A<1tal que para cada z∈Kse cumple que d(VI(z), q1)≤A·d(z, q1). Demostraci´on. La funci´on ϕ(z) = d(VI(z), q1) d(z, q1) es continua en K. Puesto que Kes compacto, existe Avalor m´aximo de ϕ(z) para K. Por la propiedad de no incremento de la distancia y dado que VI(q1) = q1se tiene que d(VI(z), q1)≤d(z, q1). Adem´as si z∈K,zno est´a en la regi´on I y la desigualdad de las distancias es estricta. Por tanto ϕ(z)<1, para cualquier z∈K. En particular esto ocurre para el valor de zen Kque da el m´aximo, y entonces A < 1. Teorema 4.1.1 Sea zde la regi´on normalizada. Entonces #Ξz<+∞. Demostraci´on. Sea rycomo en el Lema 4.1.4. Si d(z, q1)≤r+, entonces #Ξz<+∞por el Lema 4.1.4. Tambi´en si d(z, q2)≤r+, entonces #Ξz<+∞ por el Lema 4.1.5. Supongamos entonces que d(z, q1)> r +yd(z, q2)> r +. El grafo que muestra la Figura 4.7 describe la ´orbita de zcomo Ξz={z, VD(z), V 2 D(z)}∪ΞVI(z)∪ΞVI(VD(z)) ∪ΞVI(V2 D(z)) .
100 CAP´ ITULO 4. BISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 4.7: ´ Orbita de zen la forma Ξz={z, VD(z), V 2 D(z)}∪ΞVI(z)∪ΞVI(VD(z))∪ ΞVI(V2 D(z)). Sea Kel compacto formado por los puntos wde la regi´on normalizada con d(w, q1)≤d(z, q1) o d(w, q2)≤d(z, q2), verificando adem´as que d(w, q1)≥r+ yd(w, q2)≥r+. En la Figura 4.8 se representa Kcomo la zona sombreada. Por el Lema 4.1.6, existe Atal que para cualquier w∈Kse cumple d(VI(w), q1)≤A·d(w, q1). Luego d(VI(z), q1)≤A·d(z, q1). Adem´as por la propiedad de no incremento de la distancia se cumple que d(VD(z), q2)≤d(z, q2). Luego, o bien resulta que VD(z)∈Kyd(VI(VD(z)), q1)≤A·d(VD(z), q1), o bien la ´orbita de VD(z) es finita, y tambi´en lo es en particular la ´orbita de VI(VD(z)). Como tambi´en por la propiedad de no incremento de la distancia d(V2 D(z), q2)≤d(VD(z), q2)≤d(z, q2), tambi´en se concluye que o bien d(VI(V2 D(z)), q1)≤A·d(V2 D(z), q1), o bien la ´orbita de VI(V2 D(z)) es finita. Se concluye que la ´orbita de zse escribe como uni´on de un conjunto finito de puntos By un n´umero finito de ´orbitas o bien finitas o bien de puntos m´as cercanos a q1que los puntos de B. Repitiendo el proceso las veces precisas se acaba escribiendo Ξzcomo un conjunto finito y un n´umero finito de ´orbitas o bien finitas o bien de puntos cuya distancia a q1es menor o igual que r+, que por el Lema 4.1.4, tambi´en ser´an finitas.
4.2. NO DEGENERACI ´ ON DE 2T–LE 101 Figura 4.8: En gris el conjunto de los puntos wcon d(w, q1)≤d(z, q1) o d(w, q2)≤d(z, q2), verificando adem´as que d(w, q1)≥r+yd(w, q2)≥r+. Entendemos que la anterior demostraci´on es una novedad. Sin embargo el resultado mismo es bien conocido formulado de la siguiente forma geom´etrica [1, 94]. Corolario 4.1.1 S´olo se obtienen una cantidad finita de formas distintas al reiterar la bisecci´on por el lado mayor un n´umero arbitrario de veces. 4.2. No degeneraci´on de 2T–LE En la formulaci´on de la 2T–LE como din´amica en el espacio de tri´angulos, la propiedad de no degeneraci´on tiene la siguiente formulaci´on: Sea zde la regi´on normalizada. Sea z0de la ´orbita de z. Sean αyα0los argumentos de
102 CAP´ ITULO 4. BISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR 1−¯zy 1 −¯ z0, respectivamente. Tratamos de demostrar que el valor m´aximo del cociente α/α0en la regi´on normalizada es 2. Como en el caso de la 3T–LE, la regi´on normalizada es recubierta con regiones en las que es posible acotar α/α0. El punto ς=1 2+1 2ies el ´unico punto fijo de la bisecci´on por el lado mayor. Sea Del semic´ırculo hiperb´olico con centro en ςy tangente a la l´ınea Re z=1 4como se muestra en la Figura 4.9. Su borde curvo est´a sobre la circunferencia x−1 22 + x−√5 4!2 =1 16. Como el punto de tangencia a |z−1|= 1 es 1 3+√5 3i, el radio hiperb´olico de Des ln 1 + √5 2!. Por el lema de no incremento de la distancia, se puede afirmar que Des una regi´on cerrada para la bisecci´on por el lado mayor en la regi´on normalizada. El semic´ırculo D tambi´en es tangente a la circunferencia |z|=1 2. Figura 4.9: En blanco los puntos de la ´orbita del tri´angulo equil´atero por la 2T–LE y en negro el tri´angulo is´osceles rect´angulo.
4.2. NO DEGENERACI ´ ON DE 2T–LE 103 La regi´on Ω1comprendida entre |z−1|= 1, la frontera de Dy la recta Re z=1 2, es aplicada por VIen la regi´on Ω2comprendida entre la frontera de D, la circunferencia z−1 2 =1 2y la recta Re z=1 4. Por VDla regi´on Ω1se transforma en la regi´on Ω3comprendida entre la frontera de D, z−1 2 =1 2y |z|=1 2. La imagen de Ω2por VIes Ω1, y por VD, es la regi´on Ω4limitada por la frontera de D, Re z=1 2y la geod´esica hiperb´olica tangente a la frontera de Dtrazada desde el punto 1 2+√3 6i. Las im´agenes de Ω4son Ω2y Ω3por VIyVD, respectivamente. Luego, la regi´on Ω = Ω1∪Ω2∪Ω3∪Ω4∪D, que se muestra en gris en la Figura 4.9, es una regi´on cerrada para la 2T–LE. Proposici´on 4.2.1 Sean zen Ωyz0en la ´orbita de z. Sean αyα0los argumentos de 1−¯zy1−¯ z0. Entonces α/2≤α0. Demostraci´on. Consideramos la tangente a la frontera de D,∂D, desde 1 = 1+0i. El punto w=10 −√10 18 +2√5−√2 9ide tangencia a ∂D est´a entre Ω3y Ω4(ver Figura 4.10). La tangente del argumento θde 1−¯wes 2(√5−√2) 3. Duplicando el ´angulo θse obtiene 2θcon tangente 4(7√2 + √5) 31 . Para el punto de tangencia 1 3+√5 3i, la tangente del ´angulo que forma la semirrecta que lo une con 1 = 1 + 0 ·iy la direcci´on negativa al eje horizontal es √5 2<tg 2θ. Luego la regi´on normalizada que se encuentra por encima de la semirrecta que forma un ´angulo 2θ, est´a incluida en la que est´a sobre la semirrecta que forma un ´angulo arc tg √5 2!. Para probar el enunciado bastar´a con demostrar que la proposici´on se cumple para la regi´on normalizada sobre la semirrecta que une 1 3+√5 3icon 1 = 1+0·i. La composici´on de aplicaciones VIyVDque nos dar´a el peor caso de de-
104 CAP´ ITULO 4. BISECCI ´ ON POR EL LADO MAYOR Figura 4.10: Como la regi´on Ω es cerrada s´olo falta demostrar la proposici´on para los puntos por encima de 2θ. genaci´on transforma esta regi´on llevando 1 2+√3 2ien 1 2+√3 6i,1 3+√5 3ien 3 7+√5 7iy dejando invariante 1 2+1 2i(ver Figura 4.11). Luego se trata de la inversi´on Trespecto de la circunferencia |z−1 2|=1 2. Sea ξun punto del arco sobre |z−1|= 1 desde 1 2+√3 2ihasta 1 3+√5 3i. Sea ξ0su imagen por la inversi´on T,T(ξ) = ξ0, situada sobre la geod´esica tangente a∂D desde 1 2+√3 6i. La imagen por la inversi´on Tde la semirrecta que une 1 = 1 + 0 ·icon ξes un arco que pasa por 1 2, 1 y ξ0como muestra la Figura 4.11. De entre los puntos de esta semirrecta y su imagen, el mayor cociente α/α0se obtiene con ξyξ0. Adem´as de entre todos los posibles ξel m´aximo cociente α/α0se obtiene para ξ=1 2+√3 2iy su imagen ξ0=1 2+√3 6i, y es α/α0= 2.
4.2. NO DEGENERACI ´ ON DE 2T–LE 105 Figura 4.11: Acotando α/α0en Ω1. Consideramos ahora la cuesti´on de la no degeneraci´on para los puntos por debajo de ∂D. Proposici´on 4.2.2 Sean zpor debajo de ∂D yz0en la ´orbita de z. Sean αy α0los argumentos de 1−¯zy1−¯ z0. Entonces α/2< α0. Demostraci´on. Consideremos la intersecci´on de la circunferencia hiperb´olica con centro en ς=1 2+1 2iy radio r0≥ln 1 + √5 2!. El punto zcon mayor argumento de 1 −¯zsobre esta circunferencia es el punto ξde corte de la misma con |z−1|= 1. El punto zcon menor argumento de 1 −¯zsobre esta circunferencia es el punto ξ0de tangencia de la recta trazada desde 1 = 1+0·i, tal como se muestra en la Figura 4.12. Tendremos que α α0=arc tg (e−x−r0) arc tg e−r0−r0 0
112 CAP´ ITULO 5. M´ ETODOS AFINES Figura 5.1: M´etodo de refinamiento 4T–LE de Rivara. Mantenemos en lo que sigue la notaci´on de VIyVDpara las funciones complejas asociadas a la 2T–LE que ya hab´ıamos introducido. Sea cual sea el tri´angulo, consideramos el tri´angulo asociado a VDen la primera divisi´on del proceso de 4T–LE. Aplicamos otra vez la 2T–LE siendo el lado que une 1 y zel mayor. Pero caben dos posibilidades para los lados medio y peque˜no. De manera que usamos VIsi z−1 2≤1 2, y VDsi z−1 2≥1 2, en la segunda divisi´on del proceso de 4T–LE. Figura 5.2: El tri´angulo sombreado no es similar en general al tri´angulo inicial. Supongamos pues z−1 2≥1 2. Vamos a obtener la expresi´on de (VD◦
5.1. EL M´ ETODO 4T–LE DE RIVARA 113 VD)(z). La expresi´on de VD(z) cuando z−1 2≤1 2es VD(z) = −1 2z−2. Ahora bien la imagen −1 2z−2se encuentra bajo el arco de z−1 2≤1 2en la regi´on normalizada, donde la expresi´on de VDes 2¯z−1 2¯z−2como se muestra en la Figura 5.3. Luego (VD◦VD)(z) = ¯z 2¯z−1. Figura 5.3: Funciones a componer para obtener z−1 2≥1 2. Supongamos ahora z−1 2≤1 2. Tratamos de componer ahora VI◦VD. Para ello distinguimos tres regiones bajo la circunferencia z−1 2 =1 2a causa de la definici´on a trozos de VI, separadas por las circunferencias z−1 3 =1 3 y z−2 3 =1 3. Ver la Figura 5.4. Finalmente presentamos en la Figura 5.5 la expresi´on de la ´unica funci´on a tener en cuenta para describir la din´amica de la 4T–LE de Rivara. Analizamos las expresiones que la definen. La funci´on ¯z 2¯z−1es una simetr´ıa respecto a la geod´esica z−1 2 =1 2, y por tanto es una involuci´on. La funci´on −z z−1 es un giro respecto al punto del infinito z= 0, por lo que transforma rectas geod´esicas con un punto del infinito en z= 0 en rectas geod´esicas con un
114 CAP´ ITULO 5. M´ ETODOS AFINES punto del infinito en z= 0. La funci´on 2¯z−1 ¯z−1es una traslaci´on hiperb´olica compuesta con una simetr´ıa respecto a Re z= 0. Figura 5.4: Funciones a componer para obtener z−1 2<1 2.
5.1. EL M´ ETODO 4T–LE DE RIVARA 115 Puesto que la funci´on que describe la 4T–LE de Rivara resulta de la composici´on de dos de las funciones de la 2T–LE, se concluye el siguiente resultado como consecuencia de la Proposici´on 4.3.1. Corolario 5.1.1 Sean δnlos di´ametros de los tri´angulos ∆nobtenidos al aplicar un n´umero nveces la 4T–LE de Rivara a un tri´angulo inicial ∆0, con di´ametro δ0. Entonces δn≤√3 2nδ0. Figura 5.5: Expresi´on de la ´unica funci´on a trozos que debe tenerse en cuenta en la 4T–LE de Rivara. Tambi´en es inmediata consecuencia de la Proposici´on 4.2.3 el siguiente resultado. Corolario 5.1.2 Sea αel menor de los ´angulos de un tri´angulo inicial al que se aplica la 4T–LE de Rivara. Sea α0un ´angulo cualquiera de los tri´angulos
116 CAP´ ITULO 5. M´ ETODOS AFINES generados al aplicar reiteradamente la 4T–LE de Rivara. Entonces α0≥α/2. Existen resultados sobre el cardinal de las ´orbitas para la 4T–LE de Rivara obtenidos empleando m´etodos de geometr´ıa eucl´ıdea [65]. Uno de ellos se recoge en la siguiente proposici´on. Proposici´on 5.1.1 Consideremos un tri´angulo ∆0con ´angulo m´ınimo α0y ´angulo m´aximo γ0. Entonces el n´umero Kde tri´angulos no similares que aparecen en la aplicaci´on reiterada de la 4T–LE de Rivara a ∆0satisface K= 2 , si γ0<π 2, K= 1 , si γ0=π 2, K≤jγ0−π/2 α0k+ 2 , si γ0>π 2 (5.1) Estudiamos a continuaci´on esta cuesti´on utilizando la din´amica de la 4T– LE de Rivara en la regi´on normalizada y la geometr´ıa hiperb´olica. Para ello, necesitamos analizar la imagen de los segmentos que las semirrectas Im z=m·(1 −Re z) determinan en la regi´on normalizada. Ver la Figura 5.6. La parte de la semirecta sobre la circunferencia z−1 2 =1 2se aplica en un arco en dicha regi´on por la inversi´on ¯z 2¯z−1. Si m≥√3 3, entonces la semirrecta s´olo corta a esta regi´on. El giro por un punto del infinito −z z−1lleva el segmento sobre el que se aplica a otro que comienza al final del arco anterior por continuidad, y cuya pendiente es m. Esto es as´ı porque la semirrecta original es una equidistante
5.1. EL M´ ETODO 4T–LE DE RIVARA 117 de la recta hiperb´olica Re z= 1. Luego su imagen es una equidistante, o al menos parte de ella, a Re z=−1 y forma el mismo ´angulo. La ecuaci´on de la semirrecta que contiene al segmento es Im z=m·(1 + Re z). Finalmente, 2¯z−1 ¯z−1hace corresponder el segmento sobre el que se aplica en otro segmento sobre la semirrecta Im z=m·(2 −Re z). Figura 5.6: Imagen de la equidistante Im z=m·(1 −Re z) por la 4T–LE de Rivara. El segundo de los segmentos citados sobre la semirrecta Im z=m·(1+Re z) es tangente a z−1 3 =1 3para m=√15 15 , como se muestra en la Figura 5.7. De este modo si zest´a en la regi´on normalizada y cumple que Im z 1−Re z≥√15 15 , entonces el cardinal de la ´orbita de zes menor o igual que 3. Tambi´en en la Figura 5.7 se muestra la semicircunferencia z−1 5 =1 5que es tangente a la
118 CAP´ ITULO 5. M´ ETODOS AFINES equidistante, y cuya imagen por −z z−1es z−1 3 =1 3. Se tiene que todo punto de la regi´on normalizada sobre la semicircunferencia z−1 5 =1 5o sobre la equidistante Im z=√15 15 ·(1 + Re z) tiene a lo sumo tres elementos en su ´orbita. Figura 5.7: Para m=1 √15 la imagen de la equidistante es tangente a la circunferencia z−1 3 =1 3. Podemos concretar m´as el cardinal de las ´orbitas por la 4T–LE de Rivara. Para ello estudiamos con detenimiento el giro respecto del punto del infinito z= 0 dado por w(z) = −z z−1. Pongamos Cnpara la circunferencia z−1 2n+ 1 =1 2n+ 1, para n≥1. Como w(0) = 0, w(2 2n+ 3) = 2 2n+ 1 y w(Cn+1) es una circunferencia ortogonal a Im z= 0 , se tiene que w(Cn+1) = Cn
5.1. EL M´ ETODO 4T–LE DE RIVARA 119 para n≥1. Si trazamos las tangentes desde z= 1 a estas circunferencias, obtenemos l´ıneas Dnformadas por el segmento desde 1 hasta el punto de tangencia y el arco sobre Cndesde el punto tangencia hasta 0. Estas l´ıneas Dndividen la regi´on bajo la circunferencia z−1 3 =1 3como se muestra en la Figura 5.8. Figura 5.8: Se representan las l´ıneas Dnpara n= 1,...,5. Proposici´on 5.1.2 Si zes un punto de la regi´on normalizada sobre una de las l´ıneas Dn, entonces el cardinal de la ´orbita de zes menor o igual que n+1. Demostraci´on. La demostraci´on es por inducci´on. Para n= 1 resulta el enunciado dado que la funci´on que define la 4T–LE de Rivara es la involuci´on ¯z 2¯z−1para z−1 2≥1 2. Supongamos el enunciado cierto para n. El arco de la l´ınea Dn+1
120 CAP´ ITULO 5. M´ ETODOS AFINES Figura 5.9: Se representan las l´ıneas γ0−π/2 α0 =kpara k= 1,...,5. tiene como imagen el arco de la l´ınea Dnpor la funci´on −z z−1. Adem´as por esta funci´on la semirrecta desde el punto 1 tangente a Dn+1 se aplica en una tangente al arco Dnde pendiente positiva. Luego los puntos entre Dn+1 yDn tienen su imagen sobre la l´ınea Dn, y por hip´otesis de inducci´on, tienen n+ 2 puntos a lo sumo en su ´orbita. El resultado presentado en la Proposici´on 5.1.1 puede visualizarse, a fin de comparar con los obtenidos. Para ello, representamos las l´ıneas γ0−π 2 α0 =k para k≥1, obteniendo regiones que se muestran en la Figura 5.9.
5.2. M´ ETODO 7T–LE 121 5.2. M´etodo 7T–LE La partici´on 7T–LE de un tri´angulo ∆0se obtiene como sigue [57, 68]: Situamos dos puntos igualmente espaciados en cada uno de los lados y los unimos mediante segmentos paralelos a los lados. Ver Figura 5.10 (a). Se obienen en cada v´ertice un tri´angulo similar al inicial ∆0. Unimos los puntos interiores del lado mayor del tri´angulo inicial con los puntos de la base del subtri´angulo opuesto mediante dos segmentos paralelos. Ver Figura 5.10 (b). Se obtienen dos tri´angulos ∆1similares al nuevo tri´angulo que genera la partici´on 4T–LE de Rivara de ∆0. Triangulamos el paralelogramo mediante la menor diagonal. Ver Figura 5.10 (c). Se obtienen dos tri´angulos ∆2similares al tri´angulo izquierdo que generar´ıa la partici´on 2T–LE de ∆0. Figura 5.10: Descripci´on del m´etodo 7T–LE. La din´amica de la 7T–LE queda descrita por dos funciones que ya hemos determinado anteriormente: la funci´on que denotamos como VIpara la 2T–LE (ver Figura 4.1); y la ´unica funci´on que defin´ıa la din´amica para la 4T–LE (ver Figura 5.5).
128 CAP´ ITULO 6. CONCLUSIONES Si z1yz2est´an en el semiplano superior y tienen partes reales diferentes, entonces cosh d(z1, z2) = 1 + |z1−z2|2 2 Im z1Im z2 . La distancia hiperb´olica entre dos puntos mide la diferencia entre las formas de sus tri´angulos asociados. Figura 6.1: Espacio de tri´angulos identificado con la regi´on dada por los n´umeros complejos zque verifican 0 <Re z≤1/2, Im z > 0 y |z−1| ≤ 1. Se han estudiado los m´etodos de partici´on por el lado mayor de tri´angulos (2T–LE y 3T–LE), analizando las din´amicas que cada una de ellas definen en el espacio de tri´angulos. Cada din´amica se ha descrito mediante funciones, tantas como el n´umero de partes en que se divide el lado mayor en ese m´etodo de partici´on. Todas estas funciones est´an definida a trozos con isometr´ıas del semiplano superior con la m´etrica hiperb´olica, esto es, funciones de la forma az +b cz +do de la forma a(−¯z) + b c(−¯z) + dcon a, b, c, d ∈R
129 yad −bc > 0. Las expresiones que intervienen en cada funci´on cumplen propiedades de simetr´ıa respecto de las l´ıneas geod´esicas que se emplean en su definici´on a trozos. Figura 6.2: Funciones que definen la din´amica de la 2T–LE. Tambi´en se han descrito las funciones que dan las din´amicas asociadas a m´etodos afines como la 4T–LE de Rivara o la 7T–LE a partir de las funciones que describen las din´amicas de la 2T–LE. Se han introducido los conceptos de ´orbita y de conjunto cerrado para la din´amica asociada a una partici´on por el lado mayor, al modo usual en la literatura: La ´orbita de un valor zest´a formada por el mismo z, por las im´agenes resultantes de aplicar las funciones que definen la din´amica a z, por las im´agenes que resultan de aplicar las funciones a estas ´ultimas, etc´etera. Un subconjunto del espacio de tri´angulos invariante para las funciones que definen la din´amica se dice cerrado para la din´amica.
130 CAP´ ITULO 6. CONCLUSIONES Se ha demostrado la propiedad de no incremento de la distancia para las din´amicas asociadas por los m´etodos de partici´on por el lado mayor. Por la misma, la aplicaci´on de cualquiera de las funciones que describen la din´amica a dos puntos cualesquiera del espacio de tri´angulos conserva la distancia o la disminuye, pero nunca la aumenta. Se ha obtenido una descripci´on razonada de la ´orbita del tri´angulo equil´atero para la 3T–LE. Se ha verificado su no degeneraci´on y no contiene ning´un punto con Im z= 0 como punto de acumulaci´on, al probarse que todos salvo un cantidad finita de puntos de la ´orbita forman un subconjunto denso en la uni´on de los tres circunferencias hiperb´olicas con centros en 1 3+√2 3i,1 3+√2 6io4 9+√2 9i. Figura 6.3: Aparecen rotulados los afijos de la ´orbita del tri´angulo equil´atero que no est´an contenidos en las c´ırculos C1,C2yC3.
131 Se ha dado una acotaci´on del di´ametro de los s´ımplices de una malla en cada iteraci´on de la 3T–LE, adaptando y simplificando una prueba de Kearfott [40]. Se cumple que δ2n≤ √7 3!n ·δ0, siendo δ0el di´ametro m´aximo de los s´ımplices iniciales y δ2nel di´ametro de cualquiera los s´ımplices creados en el paso nde aplicaci´on del m´etodo. Se ha encontrado una cota para los di´ametros de los tri´angulos de una malla refinada por sucesivas iteraciones de la 3T–LE. De hecho, se ha demostrado que en la iteraci´on n≥5 de la 3T–LE se cumple que δn≤√31 3(n+1)/2·δ0, siendo δ0el di´ametro m´aximo de los tri´angulos iniciales y δnel di´ametro de cualquiera los tri´angulos creados en el paso nde aplicaci´on del m´etodo. Para ello se ha probado que, en cualquier ´orbita, ninguno de los puntos est´a a una altura inferior a 3 31 de la altura del punto inicial, empleando la propiedad de no incremento de la distancia y la ´orbita del tri´angulo equila´atero. Si n≤4 tambi´en se ha demostrado que δ1≤δ0,δ2≤√7 3δ0, δ3≤√31 9δ0yδ4≤1 3δ0. Todas estas desigualdades no son mejorables, pues se satisfacen las igualdades en el caso del tri´angulo equil´atero. Se ha ofrecido una demostraci´on de la no degeneraci´on de la 3T–LE. Exactamente, se ha demostrado que si αes el menor ´angulo de un tri´angulo al que se aplica reiteradamente la 3T–LE, entonces el menor ´angulo α0de cualquiera de los tri´angulos generados verifica α0≥α/c,
132 CAP´ ITULO 6. CONCLUSIONES donde c=π/3 arc tg √3/11. Nuevamente la prueba utiliza la propiedad de no incremento de la distancia y la ´orbita del tri´angulo equil´atero. Se ha demostrado que el cardinal de los tri´angulos no similares generados al aplicar reiteradamente la 3T–LE es infinito, salvo para los tres tri´angulos no similares que aparecen al trisecar por el lado mayor el tri´angulo formado al dividir por la diagonal un rect´angulo de proporciones 1 : √2. Esto se ha probado demostrando que una ´orbita caracter´ıstica de la 3T– LE es o bien (1 3+√2 3i, 1 3+√2 6i, 4 9+√2 9i)o bien densa en al menos tres circunferencias hiperb´olicas con centros en los puntos anteriores. Analizando la din´amica definida por la 2T–LE en el espacio de tri´angulos, se ha dado una nueva demostraci´on de que se generan una cantidad finita de tri´angulos no similares al aplicar la 2T–LE a un tri´angulo cualquiera. Usando la invarianza del tri´angulo is´osceles rect´angulo para la 2T–LE y la propiedad de no incremento de la distancia, se ha ofrecido una demostraci´on m´as simple de la no degeneraci´on de la bisecci´on por el lado mayor. Se ha dado una nueva demostraci´on de que si αes el menor ´angulo de un tri´angulo al que se aplica iteradamente la 2T–LE, entonces el menor ´angulo α0de cualquiera de los tri´angulos generados verfica α0≥α/2. Se ha dado una nueva demostraci´on de que δ2n≤√3 2n·δ0,
133 siendo δ0el di´ametro m´aximo de los tri´angulos iniciales y δ2nel di´ametro de los tri´angulos creados en el paso 2nde aplicaci´on del m´etodo de partici´on 2T–LE. Para ello se ha probado que, en cualquier ´orbita, ninguno de los puntos est´a a una altura inferior a 1 3de la altura del punto inicial, empleando la propiedad de no incremento de la distancia y la invarianza del tri´angulo rect´angulo is´osceles. Se ha demostrado que las ´orbitas de creadas en la 7T–LE son finitas. Esto demuestra que el n´umero de tri´angulos no similares generados al aplicar la 7T–LE es finito, por otros m´etodos a los empleados en [57]. Se han obtenido nuevas demostraciones de la no degeneraci´on para la 7T–LE. Tambi´en se han obtenido acotaciones para los di´ametros de los tri´angulos obtenidos en cada iteraci´on. Exactamente se verifica que δn≤√32 9n/2 δ0, siendo δ0el di´ametro del tri´angulo inicial y δnel di´ametro de cualquier tri´angulo generado en la iteraci´on nde la 7T–LE. Se ha estudiado el n´umero de tri´angulos no similares generados al aplicar el m´etodo de partici´on 4T–LE de Rivara, dando una partici´on del espacio de tri´angulos en regiones donde el cardinal de la ´orbita est´a acotado (Ver Figura 6.4). Este resultado es independiente del dado por Plaza et al. en [65]. Se ha dado una demostraci´on de la degeneraci´on de los m´etodos de partici´on por el lado mayor cuando el lado mayor se divide en cuatro o m´as partes.
134 CAP´ ITULO 6. CONCLUSIONES Figura 6.4: Los valores zsobre una l´ınea Dntiene una ´orbita para la 4T–LE de Rivara con n+ 1 puntos a lo sumo.
Cap´ıtulo 7 L´ıneas futuras 7.1. Una ´orbita finita para la 2T–LE en 3D Las demostraciones de no degeneraci´on para la bisecci´on o la trisecci´on por el lado mayor de tri´angulos que hemos aportado en esta tesis, se basan en la existencia para cada m´etodo de al menos una ´orbita finita. Por ejemplo, en el caso de la 3T–LE, el tri´angulo rect´angulo de catetos 1 y √2 genera s´olo tres tri´angulos no similares, y es el ´unico que tiene una ´orbita finita para la 3T–LE. Resultados como ´este, as´ı como la finitud de todas las ´orbitas en la 2T–LE, puede tener inter´es desde el punto de vista de la geometr´ıa discreta [92]. En la literatura, la calidad de los tetraedros obtenidos por la repetida iteraci´on de la bisecci´on por el lado mayor se estudia por m´etodos num´ericos, aportando evidencia a favor de la no degeneraci´on [62, 81]. Otro asunto es el tratamiento dado en la literatura a tetraedros con un ´orbita finita para la 2T–LE. Curiosamente, los dos ejemplos que se dan en la bibliograf´ıa revisada, est´an relacionados entre ellos [37, 53, 87]. Tan singular ejemplo es descrito a 135
136 CAP´ ITULO 7. L´ INEAS FUTURAS continuaci´on. Figura 7.1: Coordenadas de los v´ertices del tetraedro P1 Sea P1el tetraedro de v´ertices p1= (0,0,0), p2= (1,0,0), p3= (1 2,1 2,0) yp4= (1 2,0,√2 4) de la Figura 7.1. Sea pij el punto medio entre piypjpara 0≤i<j≤3. Las caras que comparten la arista p1p2de mayor longitud son tri´angulos is´osceles y la tienen como lado desigual. Luego los tetraedros que aparecen al bisecar P1por el lado mayor son sim´etricos. Pongamos P2para el de v´ertices p0,p1,p3yp12. Nuevamente su arista p1p3 de mayor longitud la comparten dos tri´angulos is´osceles que la tienen de lado desigual. Luego al bisecar P2se obtienen nuevamente dos tetraedros sim´etricos. Sea P3el tetraedro de v´ertices p0,p1,p12 yp13. En este caso las aristas p12p1y p0p13 miden lo mismo. Tambi´en p0p12 yp1p13 miden igual. Luego la bisecci´on por el lado mayor de P2produce dos tetraedros congruentes con P1. Ver Figura 7.2. Hemos probado la siguiente propiedad.
7.2. ESPACIOS DE S´ IMPLICES 137 Figura 7.2: Tetraedro con dos pares de aristas opuestas de igual medida, distintas de la arista de mayor longitud y su arista opuesta. Observando las caras y su incidencia se deduce que la bisecci´on por el lado mayor genera dos tetraedros congruentes. Proposici´on 7.1.1 En cada iteraci´on de la bisecci´on por el lado mayor al tetraedro P1se generan subtetraedros similares. Adem´as en la tercera iteraci´on se obtienen tetraedros similares a P1. Buscar otros ejemplos que generen un conjunto finito de tetraedros cuando se aplica la bisecci´on por el lado mayor parece un problema natural. Su inter´es radica tanto en s´ı mismo, como problema dentro del ´ambito de la geometr´ıa discreta, como en ser un camino aprovechable de cara al estudio de la degeneraci´on del m´etodo 2T–LE para tetraedros. 7.2. Espacios de s´ımplices En esta tesis el estudio de cada m´etodo de partici´on es realizado mediante el an´alisis de la din´amica asociada en un espacio de tri´angulos. La regi´on
is inside C2. See Figure 9 (c). Since the restriction of WMto tangent cones is a m¨obius map, then the images of tangent cones are tangent cones to C1with base point 25 62 +9√3 62 i. In any case the images are in Ω1. Since Ω1is a closed region, then α/α′≤cwith c=π/3 arctan √3/11≈6.7052, because for zin Ω1, the maximum and the minimum arguments of 1 −¯zare π 3and arctan √3 11 !, respectively. The bound is accurate because 29 62 +3√3 62 i and 7 18 +√3 18 iare in Γzeq . Fig. 10. Closed region Ω1and the top and bottom tangents from the point 1 = 1+0 i. However Ω2is not a closed region. Nevertheless an upper bound c′of α/α′ in Ω2will be obtained as follows. Let r > ln √2 and let γrbe the the line composed by the arcs of circumferences in Ω2with centers in the points of Γω1 and radius r(see Figure 11). Lemma 6 For the points in γrthe maximum argument of 1−¯zis obtained for z1at the top of γr. The minimum is obtained for z2in the arc of γrwith 12 240 AP´ ENDICE C. ART´ ICULOS EN REVISI ´ ON
Fig. 11. γris composed by arcs with hyperbolic centers in ω1,ω2and ω3and the same radius r. the centre in ω3whose tangent goes through 1 = 1 + 0 i(see Figure 11 (a)). Proof: Let z3be the intersection of the arcs of γrwith centres in ω1and ω2. Point z3is on the circumference |z−1 3|=1 3which is the hyperbolic perpendicular bisector of the segment from ω1to ω2(see Figure 11 (b)). Let m1be the geodesic which equation |z−1 2|=1 2. Inversion with respect to m1preserves the distance to ω1which is in m1. Furthermore, inversion with respect to m1applies the circumference |z−1 3|=1 3to |z−1|= 1. So z1is the inversion of z3with respect to m1, and z1,z3and 1 2are aligned. With similar arguments it is proved that z3is the inversion of z4with respect to m2, and z4is the inversion of z5with respect to m3, where m2and m3are the geodesics |z−1 2|=√3 6and |z−1|=1 √3, respectively, which are shown in Figure 11. Then z3,z4and 1 2are aligned, and z4,z5and 1 are aligned. Hence z3,z4and z5are under the segment from z1to 1 = 1 + 0 i. 13 C.2. APPLIED MATHEMATICS AND COMPUTATION 241
In addition, z2gives the minimal argument for 1 −¯zin γr, because the circumference with center ω3is the lowest of the three circumferences. The following proposition gives a result which will be used later on. Lemma 7 If z1is the top point directly over the centre of the geodesic, the hyperbolic length of the segment from z0in the geodesic to z1, say l, verifies θ 2= arctan e−l(2) where θis the difference between π/2and the central angle determined by the segment from z0to z1over the geodesic. Proof: Locally the hyperbolic metric is defined by ds2=dx2+dy2 y2. Then l=Z [z0, z1] ds = π/2 Z θ r·dβ rsin(β)=−ln tan θ 2!!(see Figure 12). Fig. 12. Illustrative figure for Lemma 7 Lemma 8 Let zbe in Ω2and z′in the orbit of z. Let αand α′be the arguments of 1−¯zand 1−¯ z′, respectively. There is a constant c′< c with α′≥α/c′. Proof: For every zin Ω2, there is a radius r > ln √2 with zin γr. By the non-decreasing property, if z′is in the orbit Γz, the distance of z′to one of the points in Γω1is less or equal than r. Obviously, the worst case for degeneracy 14 242 AP´ ENDICE C. ART´ ICULOS EN REVISI ´ ON
occurs when z′is over the curve γr. It can be supposed that αand α′are the arguments of 1 −¯z1and 1 −¯z2respectively, where z1and z2are as in the previous lemma. The tangency point between the arc in |z−1|= 1 of the region Σ and circumference C1is 1 5+3 5i. Let xbe the distance from z1to the tangency point 1 5+3 5i(see Figure 13). Let r0be the distance from the tangency point to the point 1 + i. By the Equation (2) then α 2= arctan e−x−r0. Fig. 13. Set γrfor r > ln √2 and critical point z1and z2. Let r′ 0be the distance from the point ω3to the point 1 + √3 3i, the top point in the geodesic through ω3with center 1 = 1 + 0 i. The point z2lies over this geodesic |z−1|=1 √3, and its distance rto ω3can be added to r′ 0. α′ 2= arctan e−r−r′ 0is also obtained by the Equation (2). 15 C.2. APPLIED MATHEMATICS AND COMPUTATION 243
Therefore α α′=arctan (e−x−r0) arctan e−r−r′ 0<e−x−r0 π 4e−r−r′ 0 because function arctan xverifies the inequalities π 4x < arctan x < x if 0< x < 1. Then the expression e(r−x)+(r′ 0−r0)must be bounded. Using Formula 1 it follows that cosh r0=5 3and cosh r′ 0=3√6 2. Consequently, er0= 3, er′ 0=5√2 + 3√6 2, and thus er′ 0−r0=5√2 + 3√6 6. Otherwise cosh x·cosh(ln √2) = cosh rby the hyperbolic version of the Pythagoras theorem. Then cosh x=2√2 5cosh rand er−x=er 2√2 5cosh r+q8 25 cosh2r−1≤er 2√2 5cosh r+2√2 5cosh r−1=5er 4√2 cosh r−5. But 5er 4√2 cosh r−5is a decreasing function for r≥ln √2, and its maximum value is obtained for r= ln √2. So er−x≤√2. Finally α α′<4 π·√2·5√2 + 3√6 6=4(5 + 3√3) 3π≈4.3274. 6 Conclusion In this paper a region of the upper half complex plane has been used as the space of triangular shapes. In a natural way this space has been endowed with hyperbolic metric. The properties of the piecewise-smooth discrete dynamic induced by LE-trisection in this space of triangular shapes has been studied. It has allowed us to obtain the lower bound for the smallest angle obtained by the iterative application of the LE-trisection. 16 244 AP´ ENDICE C. ART´ ICULOS EN REVISI ´ ON
Acknowledgements This work has been supported in part by Project number MTM2008-05866C03-02/MTM from the Spanish Ministerio de Educaci´on y Ciencia. References [1] J.W. Anderson, Hyperbolic Geometry, Springer (2005). [2] C. Guti´errez, F. Guti´errez and M.C. Rivara, Complexity of bisection method, Theoretical Computer Science 382 (2007), 131–138. [3] A. Plaza, S. Falc´on and G.F. Carey, A geometric diagram and hybrid scheme for triangle subdivision, Computer Aided Geometric Design 24 (2007), 19–27. [4] A. Plaza, S. Falc´on and J.P. Su´arez, On the non-degeneracy property of the longest-edge trisection of triangles, Applied Mathematics and Computation 216 (2010), 862–869. [5] I.G. Rosenberg and F. Stenger, A lower bound on the angles of triangles constructed by bisecting the longest-side, Mathematics of Computation 29 (1975), no. 130, 390–395. 17 C.2. APPLIED MATHEMATICS AND COMPUTATION 245
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C.3. CENTRAL EUROPEAN JOURNAL OF MATHEMATICS 247 C.3. Enviado a Central European Journal of Mathematics
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Cent. Eur. J. Math. •1-18 Author version Central European Journal of Mathematics Properties of the longest-edge bisection of triangles Research Article Francisco Perdomo ∗,´ Angel Plaza † Division of Mathematics, Graphics and Computation (MAGiC), IUMA, Information and Communication Systems, and Department of Mathematics, University of Las Palmas de Gran Canaria, 35017 Las Palmas de Gran Canaria, Spain Abstract: The Longest-Edge (LE) bisection of a triangle is obtained by joining the midpoint of its longest edge with the opposite vertex. Here two properties of the longest-edge bisection scheme for triangles are proved. For any triangle, the number of distinct triangles (up to similarity) generated by longest-edge bisection is finite. In addition, if LE-bisection is iteratively applied to an initial triangle, then minimum angle of the resulting triangles is greater or equal than half of the minimum angle of the initial angle. The novelty of the proofs is the use of an hyperbolic metric in a shape space for triangles. MSC: 51M09, 65M50, 65N50 Keywords: Triangular mesh •Longest-edge bisection •Mesh refinement •Finite element method c Versita Warsaw and Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 1. Introduction The finite element method requires efficient meshes (triangulations of surfaces) for the numerical algorithms to run. Although the requirements for meshes largely depend on the algorithm, the sharp angle conditions seem to be a common feature of particular importance in this context. For example, the longest-edge bisection guarantees the construction of high-quality triangulations [1,9,11,19,21,22]. Regularity or non-degeneracy is one of the good properties required for triangular or tetrahedral meshes in finite element method. Several regularity criteria for triangular and tetrahedral finite element partitions have been proposed in literature [3,13,15], and also, in some cases certain triangle partitions show an improvement property also studied [12,16]. With respect to the longest-edge bisection of triangles a classic result is due to Rosenberg and Stenger [19]. They showed the non-degeneracy property for LE-bisection by studying the minimum angle generated: if α0is the minimum angle of an initial given triangle, and αnis the minimum interior angle in new triangles considered at iteration n, then αn≥α0/2. ∗E-mail: kab[email protected]om †E-mail: [email protected]gc.es 1 C.3. CENTRAL EUROPEAN JOURNAL OF MATHEMATICS 249
Properties of the longest-edge bisection of triangles Figure 7: Closed graph describing the orbit of point z∈I. Figure 8: Closed graph describing the orbit of point z∈II. Out of region Iare only z,wR(z) and w2 R(z). produce that the orbit presents a lower cardinal. An orbit of importance in the proof of the finiteness of the orbits for the longest-edge bisection and of exactly two elements is the set q1=3 8+√23 8i, q2=5 12 +√23 12 i. In fact, as it is easy to check wL(q1) = q1,wR(q1) = q2,wL(q2) = q1, and wR(q2) = q2. See Figure 6. Lemma 4.2. If z∈II in the normalised region as labeled in Fig. 6, then the cardinal of its orbit, |Γz|, is finite. Proof. By the simmetry of function wL(z) with respect to the line Re z=1 4, then wL(z) = −1 2z−1∈I. Besides, wR(z) = −1 2z−2∈V II. Hence, wL(wR(z)) = zand w2 R(z) = z 2z−1∈V I. Also, w3 R(z) = wR(z), and wLw2 R(z)=wL(z)∈I. It follows that the cardinal of its orbit, |Γz|, is finite. Figure 4shows the elements of the orbit of a point z∈II. Lemma 4.3. There exists 0>0such that for every zin the normalised region with hyperbolic distance less or equal than 0to any of the points v0,v1and v2, the cardinal |Γz|<∞. 8 256 AP´ ENDICE C. ART´ ICULOS EN REVISI ´ ON
F. Perdomo, ´ A. Plaza Figure 9: Number 0>0 is chosen in such a way that each circle with center at v0,v1, or v2, and radious 0 only overlaps the regions with boundary at its center. Proof. Notice that 0may be chosen such that every circle with centre vidoes not overlap a region not containing point vion its boundary. See Figure 4. Let zin the normalised region with d(z, v0)≤0. Then z∈Iand |Γz|<∞. If, otherwise, d(z, v1)≤0, then wL(z)∈I. In addition, by the simmetry of wR(z) with respect to z−1 2 =√2 2 we may assume that z∈IV ∪V∪V I. Therefore, wR(z) = 2z−1 2z−2∈IV ∪V II, and w2 R(z) = z. Since function wL in IV ∪V II is a hyperbolic rotation of −π 2radians with centre point ζ, then wL(wR(z)) = z 2z−1∈I∪II ∪III. And then, w2 L(wR(z)) ∈I. Also, wR(wL(wR(z))) = wR(z) because function wL(z) for z∈IV ∪V II is a hyperbolic rotation of π 2radians with center at ζ. Since Γz={z, wR(z), wL(wR(z))}∪ΓwL(z)∪Γw2 L(wR(z)) it follows that |Γz|<∞by the lemma 4.1. If, finally, d(z, v2)≤0, then d(wL(z), v1)≤0and also d(wR(z), v1)≤0, so this case is reduced to the previous one. Lemma 4.4. Let q1=3 8+√23 8and r=d(q1, v1). Then, there exists > 0such that for any zin the normalised region with d(q1, z)≤r+, the cardinal |Γz|<∞. Proof. Observe that may be chosen such that every circle with centre q1does not overlap region V II. See Figure 10 This is possible since d(q1, v1)< d(q1, x2). For such , we can assure that the region 9 C.3. CENTRAL EUROPEAN JOURNAL OF MATHEMATICS 257
Properties of the longest-edge bisection of triangles Figure 10: Number > 0 is chosen now in such a way that every circle with centre q1does not overlap region V II. Circle with center at q1and radious d(q1, v1) + is included in the union of regions I,II and IV along with a small circle with center at v1. {zsuch that d(q1, z)< r +}is contained in the set I∪II ∪IV together with a small hyperbolic circle with centre v1as in Lemma 4.3. Lemma 4.5. Let be as in Lemma 4.4 and r=d(q1, v1). Let Kbe a compact set contained into the normalised region such that if z∈K, then r+≤d(z, q1). Then, there exists a value A, with 0< A < 1such that d(wL(z), q1)≤A·d(z, q1). Proof. Function ϕ(z) = d(wL(z), q1) d(z, q1)is continuous on K. In addition, if z∈K, then z /∈I. So, by the non-increasing property, d(wL(z), q1)< d(z, q1) since wL(q1) = q1. Therefore, ϕ(z)<1, for z∈K. In particular this hold for the maximum of ϕ(z), A < 1. Lemma 4.6. Let q2=wR(q1) = 5 12 +√23 12 and rand as in Lemma 4.4. Then, for any zin the normalised region with d(q2, z)≤r+, the cardinal |Γz|<∞. Proof. Note that |z−1/2|= 1/2 is the normal bisector of the segment q1yq2. If |z−1/2| ≥ 1/2 then d(z, q1)≤ r+and Lemma 4.4 applies. We may assume that |z−1/2| ≤ 1/2, and therefore that z∈IV ∪V∪V I ∪V II. Therefore w2 R(z) = z. Then Γz={z, wR(z)}∪ΓwL(z)∪ΓwL(wR(z)). 10 258 AP´ ENDICE C. ART´ ICULOS EN REVISI ´ ON
F. Perdomo, ´ A. Plaza Figure 11: The orbit of any point zmay be written as Γ(z) = {z, wR(z), w2 R(z)}∪Γ(wL(z)) ∪Γ(wL(wR(z))) ∪Γ(wL(w2 R(z))). Figure 12: Compact set K, where d(w, q1)≤d(z, q1) or d(w, q2)≤d(z, q2), and at the same time r+≤d(w, q1) and r+≤d(w, q2). Since d(wL(z), q1)≤d(z, q2)≤r+, then ΓwL(z)<∞. In the same way, also ΓwL(wR(z))<∞since d(wL(wR(z)), q1)≤d(wR(z), q2)≤d(z, q2)≤r+. Because Γzis the union of finite sets, the result follows. Theorem 4.1 (Finite orbits). Let zbe into the normalised region. Then |Γz|<∞. Proof. Let rand as in Lemma 4.4. If d(z, q1)≤r+, then |Γz|<∞by Lemma 4.4. Also, if d(z, q2)≤r+, then |Γz|<∞by Lemma 4.6. Let us suppose, then, that d(z, q1)> r +and also that at the same time d(z, q2)> r +. In this situation, as it is shown in Figure 11 where part of the orbit of such a point zis show, it is obtained that Γ(z) = {z, wR(z), w2 R(z)}∪Γ(wL(z)) ∪Γ(wL(wR(z))) ∪Γ(wL(w2 R(z))). 11 C.3. CENTRAL EUROPEAN JOURNAL OF MATHEMATICS 259
Properties of the longest-edge bisection of triangles Let Kthe compact set comprised by the points win the normalised region such that d(w, q1)≤d(z, q1) or d(w, q2)≤d(z, q2), and at the same time d(w, q1)≥r+and d(w, q2)≥r+. See Figure 12. By Lemma 4.5, there exists a constant Asuch that for any w∈K, there is d(wL(w), q1)≤A·d(w, q1). Therefore, d(wL(z), q1)≤A·d(z, q1). Besides, by the non-increasing property, there is d(wR(z), q2)≤d(z, q2). Then, either wR(z)∈Kand d(wL(wR(z)), q1)≤A·d(wR(z), q1), or the orbit of wR(z) is finite, and also in particular is finite the orbit of wL(wR(z)). Since, also by the non-increasing property, we have that d(w2 R(z)), q2)≤d(wR(z), q2)≤d(z, q2) it follows that either d(wL(w2 R(z)), q1)≤A·d(w2 R(z), q1), or the orbit of wL(w2 R(z)) is finite, and also in particular is finite the orbit of wL(w2 R(z)). In conclusion, the orbit of point zis described as union of a finite set of points, say B, and a finite number of orbits either finite or of the points closer to q1that the points of set B. We may iterate the same process as many times as necessary to finally describe the orbit Γzas a finite set and a finite number of orbits, either finite or orbits of points with distance to q1less or equal than r+. Therefore, by Lemma lem5 these orbits also are finite. 5. Non degeneracy property of the longest-edge bisection Here we will prove the non degeneracy property of the longest-edge bisection of triangles, also by means of the concepts of complex dynamic in the normalised region and using concepts from the hyperbolic geometry. Although the result is well known [18,19], the approach used here is totally new and could be applied in other geometric problems. This property is given in the following theorem: Theorem 5.1 (Lower bound on the angles of triangles constructed by LE bisection). Let α0be the smallest angle of an initial given triangle. If the LE bisection is iteratively applied to this initial triangle, then if αis the minimum interior angle in new triangles generated, then α≥α0/2. For the proof we proceed by covering the normalised region with subsets in which the statement of the theorem holds. Let ζbe the complex number corresponding to the fixed point for the LE bisection, that is ζ=1 2+1 2i. Let D be the hyperbolic semicircle with centre ζand tangent to the line Re z=1 4. By the non-increasing property, D is a closed region of the LE bisection. As any circumference with hyperbolic radius rand centre the point (a, b) has the equation (x−a)2+ (y−b·cosh r)2=b2·sinh2r, in particular the equation of the boundary of Dis 2x2+ 2y2−2x−√5y+ 1 = 0. The tangent point of circle Dto circle |z−1|= 1 is 1 3+√5 3i, so the radius of semicircle D, in the hyperbolic metric, is ln 1 + √5 2by Equation (1). Semicircle Dis also tangent to the circumference |z|=1 2. Let Ω1the region between the circumference |z−1|= 1, the boundary of Dand the line Re z=1 2. Let Ω2the 12 260 AP´ ENDICE C. ART´ ICULOS EN REVISI ´ ON
F. Perdomo, ´ A. Plaza Figure 13: Orbit of the equilateral triangle (white points), orbit of the isosceles right triangle (black point) and circle D. region between the circumference z−1 2 =1 2, the boundary of Dand the line Re z=1 4. Let Ω3the region between the circumferences z−1 2 =1 2and |z|= 1/2, and the boundary of D. Finally, let Ω4the boundary of D, the line Re z=1 2and the geodesic hyperbolic tangent to the boundary of Dpassing through point 1 2+√3 6i. With this notation, wL(Ω1) = Ω2, wR(Ω1) = Ω3, wL(Ω2) = Ω1, wR(Ω2) = Ω4 wL(Ω3) = Ω1, wR(Ω3) = Ω4, wL(Ω4) = Ω2, wR(Ω4) = Ω3. Therefore, region Ω = D∩Ω1∩Ω2∩Ω3∩Ω4is a closed region for the LE bisection. Proposition 5.1. Let z∈Ωand z0in the orbit Γz. Let αand α0respectively be the arguments of complex numbers 1−zand 1−z0. Then α0≥α/2. Proof. The tangent line to the boundary of Dthrough point 1 = 1 + 0iintersects the boundary δD at point w=10 −√10 18 +2√5−√2 8i, and it is between Ω3and Ω4. Consider now the argument θ= Arg(1 −w), with tan θ=2(√5−√2) 3. For the double angle 2θ, tan(2θ) = 4(7√2 + √5) 31 . For the point 1 3+√5 3i, the tangent of the angle between the straight line passing through 1 = 1 + 0 ·iand the negative horizontal axes is √5 2<tan(2θ). Therefore, the subset over the straight line with angle 2θis included into the subset over the straight line with angle arctan√5 2. Then for every zbellow the straight line passing through 1 = 1 + 0 ·iand 1 3+√5 3i, the proposition follows. 13 C.3. CENTRAL EUROPEAN JOURNAL OF MATHEMATICS 261
Properties of the longest-edge bisection of triangles Figure 14: Proving the lower bound on the angles in region Ω. We proceed now to prove the proposition for the points on the normalised region over the straight line with angle arctan √5 2. The composition of functions wLand wRproducing the worst case is such that the point 1 2+√3 2i is transformed in 1 2+√3 6i, point 1 3+√5 3iis sent to 3 7+√5 7i, while point 1 2+1 2iis invariant. So, it is and inversion, say T, with respect to the circumference |z−1/2|= 1/2. Let ξbe a point on the circular arc |z−1|= 1 between points 1 2+√3 2iand 1 3+√5 3i. Let ξ0be the image of ξby inversion T:T(ξ) = ξ0. Point ξ0is located on the tangent geodesic to the boundary of Dpassing through point 1 2+√3 6i. The semi straight line joining point 1 + 0 ·iand ξis an equidistant curve from the straight line Re z= 1. Its image by the inversion Tis the equidistant curve to circumference |z−3/4|= 1/4. This equidistant curve passes through points 1 2,ξ0and 1. See Fig. 15. For the points of the straight line between 1 + 0 ·iand ξ and its images, the highest quotient α/α0is obtained for ξand ξ0respectively the highest and lowest points in both equidistant. That is for ξ=1 2+√3 2iand ξ0=1 2+√3 6iand the quotient is α/α0= 2. Now we have to consider the non degeneracy question for the points bellow the boundary of D. Proposition 5.2. Let zbellow the boundary of Dand z0in the orbit Γz. Let αand α0respectively be the arguments of complex numbers 1−zand 1−z0. Then α0≥α/2. Proof. Let us consider the intersection between the hyperbolic circumference with centre ζ=1 2+1 2iand radius r0≥rwith r= ln 1 + √5 2, with the circumference |z−1|= 1. Let ξbe the intersection point as in Fig. 16. The point zof this circumference such that 1 −zhas the highest argument is the point ξ, while the point of the circumference such that 1 −zhas the lowest argument is the point ξ0, which is the point of the tangent line to 14 262 AP´ ENDICE C. ART´ ICULOS EN REVISI ´ ON
F. Perdomo, ´ A. Plaza Figure 15: Points ξand ξ0are the highest and the lowest over the equidistant lines. the circumference from the point 1 = 1 + 0 ·i. By the non-increasing property, the arguments of ξyξ0give an upper bound of α/α0. See Fig. 16. We have that by Equation (3) α α0≤arctan e−x−r0 arctan e−r0−r0 0. Since arctan δ≤δfor δ≥0, then arctan e−x−r0≤e−r−r0. In addition, by Equation (3) e−r0−r0 0≤tan θ 2,with tan θ=2(√5−√2) 3. For 0 ≤δ≤tan θ 2it holds that mδ ≤arctan δ, where m=θ/2 tan(θ/2). Therefore, α α0≤1 me(r0−x)+(r0 0−r0). By the hyperbolic version for the Pythagorean Theorem is cosh x·cosh r= cosh r0. Since r= ln 1 + √5 2, then cosh x=2 √5cosh r0. And therefore, er0−x=er0 ex=er0 2 √5cosh r0+q4 5cosh2r0−1 ≤er0 4 √5cosh r0−1=er0√5 4 cosh r0−√5. 15 C.3. CENTRAL EUROPEAN JOURNAL OF MATHEMATICS 263
Properties of the longest-edge bisection of triangles Figure 16: Values used in the proof of Proposition 5.2. Since the maximum value of the previous expression is attained for r0= ln 4 √5, then er0−x≤8√5 11 . By the formula for the hyperbolic distance, cosh r0=3 √5and cosh r0 0=√2, and so, er0=√5 and er0 0= 1 + √2, from where er0 0−r0=1 + √2 √5. Finally, α α0≤1 m·8√5 11 ·1 + √2 √5≈1.7935, and the proof is complete. 6. Conclusions In this paper we have used concepts from hyperbolic geometry to prove two relevant properties of the longest-edge bisection of triangles. These properties are commonly required for example for the finite element method. We have proved that number of distinct (up to similarity) triangles generated by iterative application of the longest-edge bisection to any initial triangle is finite. Besides, and also by hyperbolic geometry, we have proved easily that the longest edge partition does not degenerate. Explicitely, if α0is the minimum angle of an initial given triangle, and αis the minimum interior angle in new triangles considered after any number of iterations of longest-edge bisection, then then α≥α0/2. 16 264 AP´ ENDICE C. ART´ ICULOS EN REVISI ´ ON
F. Perdomo, ´ A. Plaza Acknowledgements This work has been supported in part by the CICYT Project number MTM2008-05866-C03-02/MTM from the Spanish Ministerio de Educaci´on y Ciencia. References [1] Adler A., On the bisection method for triangles, Math. Comp., 1983, 40, 571–574 [2] Bookstein F.L., Morphometric Tools for Landmark Data: Geometry and Biology, Cambridge University Press, 1991 [3] Brandts J., Korotov S., Kˇr´ıˇzek M., On the equivalence of regularity criteria for triangular and tetrahedral finite element partitions, Comput. & Math. Appl., 2008, 55, 2227–2233 [4] Dryden I.L., Mardia K.V., Statistical Shape Analysis, Wiley, 1998 [5] Bern M., Eppstein D., Optimal Mbius transformations for information visualization and meshing, Lecture Notes in Comp. Sci. 2125, 2001, 1425 [6] Eppstein D., Manhattan orbifolds, Topology and its Applications 157(2) 2009, 494507 [7] Eppstein D., Succinct greedy geometric routing using hyperbolic geometry, IEEE Transactions on Computing 60 (11) 2011, 15711580 [8] Guti´errez C., Guti´errez F., Rivara M.-C., Complexity of bisection method, Theor. Comp. Sci., 2007, 382, 131–138 [9] Hannukainen A., Korotov S., Kˇr´ıˇzek M., On global and local mesh refinements by a generalized conforming bisection algorithm, J. Comput. Appl. Math., 2010, 235, 419–436 [10] Iversen B., Hyperbolic Geometry, Cambridge University Press, 1992 [11] Korotov S., Kˇr´ıˇzek M., Krop´ac A., Strong regularity of a family of face-to-face partitions generated by the longest-edge bisection algorithm, Comput. Math. and Math. Phys., 2008, 49, 1687–1698 [12] M´arquez A., Moreno-Gonz´alez A., Plaza A., Su´arez J. P., The seven-triangle longest-side partition of triangles and mesh quality improvement, Finite Elem. Anal. Des., 2008, 44, 748–758 [13] Padr´on M. A., Su´arez J. P., Plaza A., A comparative study between some bisection based partitions in 3D, Appl. Num. Math., 2005, 55, 357–367 [14] Perdomo F., Plaza A., A new proof of the degeneracy property of the longest-edge n-section refinement scheme for triangular meshes, Appl. Math. & Compt., 2012, 219, 2342–2344 [15] Plaza A., Padr´on M. A., Su´arez J. P., Non-degeneracy study of the 8-tetrahedra longest-edge partition, Appl. Num. Math., 2005, 55, 458–472 [16] Plaza A., Su´arez J. P., Padr´on M. A, Falc´on S., Amieiro D., Mesh quality improvement and other properties in the four-triangles longest-edge partition. Comp. Aid. Geom. Des., 2004, 21, 353–369 17 C.3. CENTRAL EUROPEAN JOURNAL OF MATHEMATICS 265