Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento

Universidade do Minho Escola de Engenharia Ana Margarida Silva Barroso Análise do comportamento quaseestático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento outubro de 2022 Análise do comportamento quase-estático de um trem Epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento Ana Margarida Silva Barroso UMINHO| 2022 setembro de 2022 outubro de 2022 Ana Margarida Silva Barroso Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento Dissertação de Mestrado Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Trabalho efetuado sob a orientação do: Professor Doutor Nuno Miguel Magalhães Dourado i DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Atribuição-NãoComercial CC BY-NC https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/ ii AGRADECIMENTOS A presente dissertação só foi possível concluir com o apoio incondicional de diversas pessoas e aqui deixo o meu enorme agradecimento. Primeiramente ao Professor Doutor Nuno Miguel Magalhães Dourado, meu orientador nesta dissertação, pelo apoio proporcionado ao longo dos últimos meses. Agradeço a ajuda na resolução dos problemas que sugiram, bem como a disponibilidade que sempre demonstrou. Aos meus pais, à minha irmã e restante família por me ajudarem a ultrapassar momentos difíceis e por virem sempre em meu auxilio sempre que precisei. Por fim, aos meus amigos, em especial ao Pepper Clear, à Maria e à Rita pelos bons momentos que me proporcionaram, as horas de motivação para a conclusão de trabalhos e a bonita amizade que criamos. Este trabalho teve o apoio da FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia, através do Programa bilateral com a Tunísia, intitulado “Modelação híbrida para estudo e análise do comportamento dinâmico de sistemas de transmissão mecânica por rodas dentadas”. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 3 DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho. Universidade do Minho, 31 de outubro de 2022 Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 4 RESUMO Esta dissertação visa analisar o efeito do desalinhamento do anel exterior de um trem epicicloidal num conjunto de parâmetros de funcionamento habitualmente empregues na caracterização mecânica de engrenagens. Para o efeito, elaborou-se um modelo numérico, pelo Método dos Elementos Finitos, a partir de uma formulação matemática que permite gerar o perfil do dente. O referido modelo permitiu reproduzir corretamente uma parcela significativa do ciclo de engrenamento de um trem epicicloidal simplificado, formado por uma única roda satélite, na ausência de atrito. Os parâmetros de funcionamento foram a pressão de contacto, a área de contacto dos dentes, bem como a força normal e tangencial desenvolvida no contacto entre os dentes. Este estudo permitiu identificar padrões de comportamento nos parâmetros de funcionamento atrás referidos, ao longo da mesma parcela do ciclo de engrenamento. Estes padrões foram posteriormente comparados com os obtidos na condição de desalinhamento do anel exterior, revelando diferenças assinaláveis. PALAVRAS-CHAVE TREM EPICICLOIDAL; MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS; DESALINHAMENTO; PARÂMETROS DE FUNCIONAMENTO Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 5 ABSTRACT This dissertation aims to analyse the effect of the misalignment of a train Epicyclic’s exterior ring in a set of operating parameters commonly used in the mechanical characterisation of gears. For this purpose, a numerical model was elaborated, by the Finite Element Method, from a mathematical formulation that allows the generation of the tooth profile. This model allowed to correctly reproduce a portion of the gearing cycle of a simplified epicyclic train, formed by a single satellite wheel, in the absence of friction. The operating parameters were the contact pressure, the contact area of the teeth, as well as the normal and tangential force developed in the contact between the teeth. With this study is possible to identify patterns of behaviour in the parameters mentioned above, along the same portion of the gearing cycle. These patterns were later compared with those obtained in the misalignment condition of the exterior ring, revealing notable differences. KEYWORDS EPICYCLIC GEAR; FINITE ELEMENT METHOD; MISALIGNMENT; OPERATING PARAMETERS Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 6 ÍNDICE Agradecimentos ......................................................................................................................... ii Resumo ....................................................................................................................................... 4 Abstract ...................................................................................................................................... 5 Índice .......................................................................................................................................... 6 Índice de Figuras ......................................................................................................................... 8 Índice de Tabelas ...................................................................................................................... 11 Índice de Gráficos ......................................................................... Erro! Marcador não definido. Lista de Abreviaturas, Siglas e Acrónimos ................................................................................ 12 1. Introdução ......................................................................................................................... 14 1.1. Estrutura do documento ........................................................................................... 15 2. Introdução Teórica ............................................................................................................ 16 2.1. Engrenagens .............................................................................................................. 16 2.1.1. Classificação de engrenagens ............................................................................... 16 2.2. Nomenclatura Fundamental ...................................................................................... 17 2.3. Trens de engrenagens ............................................................................................... 20 2.3.1. Trens Epicicloidais ................................................................................................ 20 2.4. Formulação Matemática do Perfil do Dente ............................................................. 22 2.4.1. Contacto no engrenamento de perfis conjugados da roda satélite com anel exterior 22 2.4.2. Raio de concordância exterior na evolvente do dente do satélite ...................... 24 2.4.3. Raio de concordância interno do dente na evolvente do anel exterior .............. 27 4. Simulação do funcionamento do modelo do trem epicicloidal ........................................ 29 4.1. Parâmetros tecnológicos ........................................................................................... 29 4.2. Descrição do modelo numérico ................................................................................. 30 Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 13 PN Força Normal PT Força Tangencial PR Força Resultante P Pressão de Contacto TS Momento motor TC Momento motor resistente ZR Número de dentes do anel exterior ZS Número de dentes da roda planetária P Norma euclidiana do vetor das forças exteriores I Norma do vetor das forças internas αc Ângulo do porta-satélites αs Ângulo da roda planetária αp Ângulo roda satélite TR Matriz de transformação Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 14 1. INTRODUÇÃO O desenvolvimento de ferramentas numéricas destinadas à simulação das condições de funcionamento de trens de engrenagens oferece a possibilidade a projetistas e a técnicos de manutenção de obter um conjunto de informações muito úteis. De entre as possibilidades que se oferecem com estes modelos, destaca-se a avaliação do erro de transmissão e da amplitude das pressões de contacto geradas ao longo do ciclo de engrenamento, que poderá ser realizada através de uma análise quase-estática ou dinâmica, com prescrição realista dos constrangimentos, bem como das propriedades mecânicas dos materiais. Outra informação relevante, diz respeito à estimativa dos valores máximos das pressões instaladas nos apoios/juntas (rotóides) chumaceira-moente, em resultado da observação ou consideração de desalinhamentos dos eixos das rodas, devidos a erros associados à montagem ou ao desgaste prematuro dos componentes mecânicos. Estes indicadores de desempenho integram o conjunto de parâmetros comumente utilizados no aperfeiçoamento de sistemas de transmissão. Esta informação não pode ser obtida recorrendo a métodos de dimensionamento clássicos, visto que a abordagem adotada nesses procedimentos baseia-se na análise cinemática, que não leva em linha de conta a deformação dos corpos[1]. Com esta dissertação pretende-se desenvolver um modelo de elementos finitos de um trem de engrenagens epicicloidal de dentes retos de três satélites, equipado com um portasatélites, uma roda planetária e um anel exterior fixo, empregando pinos metálicos nas juntas rotóides. Escolher-se-á um conjunto de parâmetros tecnológicos representativo do funcionamento de um trem com aquelas características (i.e., número de dentes, entre-eixo e ângulo de pressão normalizados [2]), e parametrizar-se-ão a amplitude do desalinhamento. Deste modelo extrair-se-ão curvas de pressão de contacto em função do parâmetro de desalinhamento[3, 4]. Este estudo envolverá a realização de análises em regime de carregamento quase-estático para várias posições do ciclo de engrenamento (amplitude de 40% do total), à semelhança de J. Sanchez [5]. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 15 1.1. ESTRUTURA DO DOCUMENTO O presente documento encontra-se estruturado em 6 capítulos: No primeiro capítulo é feito um enquadramento teórico sobre o caso que se encontra em estudo. No segundo capítulo tem como objetivo gerar um modelo do trem epicicloidal que permita a realização de simulações. O terceiro capítulo e quarto abordam as transformações geométricas que o modelo necessita de realizar para se complete o objetivo definido para esta dissertação. Nestes capítulos também é feito um tratamento de dados para se retirar conclusões. No quinto capítulo são comparados os três ângulos de rotação em torno do eixo z (0, 0.0025 e 0.005 radianos) No sexto capitulo, são retiradas conclusões acerca das análises efetuadas. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 16 2. INTRODUÇÃO TEÓRICA Neste Capítulo realiza-se uma introdução aos conceitos base das engrenagens, trens de engrenagem e trens epicicloidais, focada na formulação teórica necessária para a criação do modelo do perfil de dente do trem epicicloidal. 2.1. ENGRENAGENS As engrenagens são órgãos de máquinas que têm por função transmitir a potência e o movimento entre o órgão motor e o órgão movido[4]. Nestas, o contacto ocorre sem escorregamento, pelo que a relação de transmissão é constante. As engrenagens podem ser utilizadas para transmitir movimento entre eixos paralelos, concorrentes ou não complanares. Estes órgãos motores permitem operar sistemas mecânicos de baixas e altas frequências angulares de rotação. Estes componentes são bastante utilizados, uma vez que apresentam um conjunto de características favoráveis, nomeadamente, elevada capacidade de resistência, boa precisão, relação de transmissão constante, fiabilidade, durabilidade e dimensões reduzidas [2]. 2.1.1. CLASSIFICAÇÃO DE ENGRENAGENS As engrenagens são dividas segundo três critérios, nomeadamente a disposição relativa dos eixos das rodas, forma dos dentes e posição relativa do centro instantâneo de rotação. No que se refere à disposição relativa dos eixos da roda, podem ser classificadas em cilíndricas, se os eixos forem paralelos; cónicas, se os eixos forem concorrentes e torsos, se os eixos forem complanares[6]. Relativamente à forma do dente, são denominados por dentes retos, dentes helicoidais/inclinados e por dentes espirais ou curvos[6]. Por último, a classificação segundo a posição dos centros instantâneos de rotação é definida por engrenagens interiores ou exteriores[2]. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 17 2.2. NOMENCLATURA FUNDAMENTAL Nesta secção apresenta-se a terminologia de base das engrenagens (Figs. 2.1 e 2.2), necessária à compreensão do presente documento. Figura 2.1-Terminologia setor de uma roda cilíndrica exterior de dentes retos[2] Figura 2.2-Nomenclatura fundamental de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos[2] Na Figura 2.1 e na Figura 2.2 pode-se visualizar os importantes componentes que constituem a engrenagem: -Número de dentes (Z); -Saliência (ha) - distância compreendida entre a superfície de coroa e a superfície primitiva; -Reentrância(hf) - distância entre a superfície primitiva e a superfície de raiz; -Altura do dente (h)- distância entre a circunferência de coroa e a circunferência de raiz. É obtida a partir da equação (2.1): ℎ=ℎ 𝑎+ℎ𝑓 ; (2.1) Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 18 -Diâmetro primitivo (d)- diâmetro intermédio entre o diâmetro de coroa e o diâmetro de raiz; -Diâmetro de raiz (df) – diâmetro definido pelas superfícies cilíndricas coaxiais, que contêm a raiz, com o eixo da roda ; -Diâmetro de coroa (da) - diâmetro definido pelas superfícies cilíndricas coaxiais, que contêm a coroa, com o eixo da roda; -Passo (p)- comprimento do arco da circunferência primitiva feito entre dois flancos consecutivos e homólogos; -Módulo (m)- o módulo é a grandeza que melhor define uma roda dentada. O módulo está diretamente relacionado com o tamanho dos dentes da roda dentada[7]. É um parâmetro que se encontra normalizado com o intuito de uniformizar as rodas dentadas. Pode ser descrito pela equação (2.2): 𝑚=𝑝 π Figura 2.3-Relação o entre o módulo, tamanho dos dentes e número de dentes [2] (2.2) Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 19 -Ângulo de pressão (α)- ângulo que define a direção da força que a roda motora exerce sobre a movida; -Ângulo de incidência (θ)- ângulo agudo formado pela tangente ao perfil do dente num ponto qualquer e pelo raio da roda nesse ponto; Na Figura 2.4 encontra-se a representação do ângulo de pressão e do ângulo de incidência, cujas definições foram apresentadas anteriormente. Figura 2.4-Representação dos ângulos de incidência e de pressão[2] -Ponto Primitivo (I)- Ponto primitivo é o ponto tangente entre duas circunferências primitivas; Raio de Concordância (r fill)- O raio de concordância deve ser proporcional ao módulo e é expresso segundo a equação (2.3): 𝑝=1 3𝑚 (2.3) - Linha de Engrenamento - a linha de engrenamento é sempre tangente às circunferências de base das duas rodas, passa pelo ponto primitivo e faz um ângulo (ângulo de pressão) com a linha tangente às circunferências primitivas. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 20 2.3. TRENS DE ENGRENAGENS O trem de engrenagens é definido como um conjunto de três ou mais rodas dentadas que se associam de forma a transmitir o movimento entre um veio de entrada e um veio de saída, sendo que o veio de entrada é também denominado por veio motor e o veio de saída por veio movido. A utilização dos trens de engrenagens tem como principal objetivo obter uma relação de transmissão elevada num mecanismo mais compacto. Na Figura 2.5-Trem de engrenagens cilíndricas normal composto ilustra-se um exemplo de um trem de engrenagens cilíndricas normal composto. Figura 2.5-Trem de engrenagens cilíndricas normal composto[2] 2.3.1. TRENS EPICICLOIDAIS Se um dos eixos de uma ou mais rodas dentadas tiver movimento relativamente ao fixe, o trem designa-se por epicicloidal. A roda 1 (fixe) é designada por roda planetária, a roda dois por roda satélite e o elemento 3 por porta-satélite. Na Figura 2.6 e na Figura 2.7 é possível visualizar a esquematização de um trem epicicloidal. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 21 Figura 2.6-Representação de um trem de engrenagens epicicloidal[2] Figura 2.7-Esquema de um trem epicicloidal[5] Os estudos desenvolvidos acerca de trens epicicloidal têm vindo a aumentar (Figura 2.8) que resulta da necessidade de trens de engrenagens mais fiáveis, como requisitos de binário, velocidade e compactação superiores, devido ao aumento da sua utilização nas mais diversas áreas da engenharia. Algumas das características que tornam os trens epicicloidais apelativos são a co-axilidade dos eixos, valores de rotações por minuto (rpm) e de relação de transmissão elevados e ter uma alta eficiência. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 22 Figura 2.8Estudos realizados sobre trens de engrenagens epicicloidal ao longo dos anos[4] 2.4. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DO PERFIL DO DENTE 2.4.1. CONTACTO NO ENGRENAMENTO DE PERFIS CONJUGADOS DA RODA SATÉLITE COM ANEL EXTERIOR A formulação matemática utilizada na construção do perfil do dente do trem epicicloidal foi baseada no trabalho desenvolvido por M. Iglesias, A. Fernandez del Rincon, A. de-Juan, A. Diez-Ibarbia, P. Garcia, and F. Viadero [1]. O contacto evolvente-evolvente ocorre na linha tangente às circunferências bases também designado como linha de engrenamento ou ação. Na Figura 2.9 está representado a construção gráfica correspondente com um par interno numa posição de referência (contacto no ponto primitivo, P). Na figura a engrenagem da roda satélite encontra-se definida pelo número 1 e o anel exterior com o número 2. Existe um sistema de referência fixo com a origem O e está colocado no centro do sistema. O componente tem a posição inicial de C20 que coincide com a origem do referencial. A posição inicial do satélite corresponde ao C10 no ponto O1, localizado na distancia de montagem d0. Pondo isto, é necessário encontrar o ponto de contacto e a sobreposição geométrica δ quando ambas a as circunferências tem um deslocamento de centro (𝑥𝑖,𝑦𝑖) e rotação com ângulo θi. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 29 4. SIMULAÇÃO DO FUNCIONAMENTO DO MODELO DO TREM EPICICLOIDAL Neste Capítulo será feita uma descrição dos das diversas etapas que devem ser definidas para a construção do modelo do trem epicicloidal, nomeadamente a escolha dos parâmetros tecnológicos, descrição da malha, material, condições de fronteira e superfícies de contacto. 4.1. PARÂMETROS TECNOLÓGICOS A definição dos parâmetros tecnológicos é necessária para o funcionamento correto do dente da engrenagem idealizada. O trem epicicloidal em estudo apresenta os seguintes parâmetros tecnológicos descritos na Tabela 1. Tabela 1 - Parâmetros tecnológicos do trem epicicloidal Roda Planetária Roda Satélite Anel Exterior Unidades Nomenclatura m 4.5 4.5 4.5 Módulo Z 60 30 121 Número de dentes 20 20 20 (°) Ângulo de pressão ha 1.m 1.m 1.m (mm) Saliência hf 1.25.m 1.25.m 1.25.m (mm) Reentrância t 12 12 12 (mm) Largura Rfill 1.0 1.0 1.0 (mm) Raio de concordância Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 30 4.2. DESCRIÇÃO DO MODELO NUMÉRICO A criação da malha é um passo importante para o funcionamento do modelo, sem esta os resultados ficam comprometidos. Inicialmente, definiu-se o perfil do dente, e seu conjugado, utilizando a formulação apresentada no capítulo 2.4, a partir do qual se aplicaram operações/transformações de espelhamento e de padronização circular. Esta operação configurou o contorno integral (bidimensional) do dente, que também inclui o furo. Posteriormente, procedeu-se à extrusão de cada um desses domínios (dente e seu conjugado), numa extensão correspondente à largura do dente, perfazendo um modelo tridimensional. Este modelo foi posteriormente discretizado da forma que se representa na Figura 4.1. Figura 4.1Malha de EF do trem epicicloidal. Na Tabela 2 é possível verificar o número de elementos e nós presentes em cada um dos componentes do trem epicicloidal. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 31 Tabela 2Número de nós e elementos Elementos Nós Roda Satélite 29760 151860 Roda Planetária 6495 33328 Porta-Satélites 1005310 1001019 Anel Exterior 37829 95250 O elemento finito usado na discretização de cada um dos componentes do trem epicicloidal é o elemento paralelepipédico quadrático de 20 nós(C3D20), que é o elemento segundo a biblioteca do software utilizado (Figura 4.2), . A seleção deste elemento deve-se essencialmente à elevada complexidade geométrica e à necessidade de existir uma elevada precisão dimensional para a obtenção de resultados fidedignos. Figura 4.2-Elemento paralelepipédico quadrático de 20 nós[8] O material escolhido para o modelo do trem epicicloidal foi o aço AISI 5115 [9], usualmente aplicado em engrenagens, casquilhos, cavilhas, rótulas de direção, excêntricos, árvores de torno, cambotas e pistões. Este aço estrutural apresenta um módulo de elasticidade de 207 GPa e coeficiente de Poisson de 0,3. Este aço possui uma tensão de cedência de 600 MPa e uma tensão de rotura de 1080 MPa [10]. 4.3. DEFINIÇÃO DAS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA O modelo do trem epicicloidal é constituído por 4 componentes, designadamente o anel exterior, a roda satélite, a roda planetária e o porta-satélites (Figura 4.3). Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 32 Figura 4.3Modelo do trem epicicloidal As condições de fronteira definidas no modelo de trem epicicloidal foram estabelecidas mediante a consideração de dois pares cinemáticos criados em dois eixos do modelo – furo do porta-satélites e furo da roda planetária. Este procedimento teve por objetivo simplificar a aplicação de dois momentos – motor e resistente -, de forma a estabelecer o equilíbrio cinemático do modelo. Assim, num e noutro caso (posições A e B na Figura 4.4), escolheu-se como posição remota o centro de cada furo. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 33 Figura 4.4-Pares cinemáticos estabelecidos (situação A e B). Posteriormente, procedeu-se ao encastramento do conjunto de nós que define a superfície exterior do anel exterior (Figura 4.5), tendo-se restringido, igualmente, o conjunto de nós que compõe o plano médio do porta-satélites (na direção z), para impedir o deslocamento fora do plano do modelo deste componente. Figura 4.5Família de nós encastrada na superfície exterior do anel exterior Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 34 Neste estudo impôs-se um momento motor TS na roda planetária de intensidade igual 500 N.m. Tendo em vista o equilíbrio de momentos, determinou-se o momento motor resistente a aplicar ao porta-satélites, a partir da expressão, R CS S 1+Z TT Z  =−   (4.1) sendo ZR e ZS o número de dentes do anel exterior e da roda planetária, respetivamente. O equilíbrio pôde assim ser estabelecido por P – I = 0 (4.2) em que P representa a norma euclidiana do vetor das forças exteriores generalizadas e I a norma do vetor das forças internas (nodais) que atuam no corpo. De modo a facilitar o processo de convergência, utilizaram-se fatores de amortecimento viscosos com o valor de 1E-3. 4.4. DEFINIÇÃO DAS SUPERFÍCIES DE CONTACTO Para se realizar de modo mais detalhado e fidedigno a análise do modelo foram estabelecidas superfícies de contacto entre os elementos. Estas superfícies são definidas como pares de contacto, de forma a evitar interpenetração dos elementos. 4.4.1. PAR DE CONTACTO A Primeiramente, são estabelecidas superfícies de contacto entre o anel exterior e a roda satélite, que são designadas por par de contacto A. Destacam-se 3 superfícies de contacto, que serão alvo de análise: TOOTH-1-RAD-21_SURF_RING_L (Slave) vs. PLANET-1-RAD-15_SURF_PLANET_1L,TOOTH-1-RAD1_SURF_RING_L (Slave) vs. PLANET-1-RAD-16_SURF_PLANET_1L (Master) e TOOTH-1-RAD2_SURF_RING_L (Slave) vs. PLANET-1-RAD-17_SURF_PLANET_1L (Master). Estas superfícies são estabelecidas através de linhas de código (Figura 4.6). Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 35 Figura 4.6-Comando para a criação dos pares de contacto entre o anel exterior e a roda satélite De modo a simplificar a leitura e compreensão do documento, a designação dos dentes será feita por 1º par de dentes do par de contacto A, 2º par de dentes do par de contacto A e 3º par de dentes do contacto A. Na Figura 4.7 observa-se a localização no trem epicicloidal dos contactos estabelecidos entre as superfícies anteriormente mencionadas. Figura 4.7-Superfícies de contacto entre o anel exterior e a roda satélite A nomenclatura das superfícies de contacto do par A e a sua distribuição podem ser vistas na Figura 4.8 . Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 36 Figura 4.8-Nomeclatura das superfícies de contacto entre o anel exterior e a roda satélite 4.4.2. PAR DE CONTACTO B De modo semelhante, existem superfícies de contacto entre a roda satélite e a roda planetária, par de contacto B (Figura 4.9). Figura 4.9Superfícies de contacto entre a roda satélite e a roda planetária Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 37 Do par de contacto B existem 3 pares de dentes que são alvo um estudo mais detalhado designados por: PLANET-1-RAD-1_SURF_PLANET_1R (Slave) vs. SURF_SUN_5_L (Master), PLANET-1-RAD-2_SURF_PLANET_1R (Slave) vs. SURF_SUN_6_L (Master) e PLANET-1-RAD30_SURF_PLANET_1R (Slave) vs. SURF_SUN_4_L (Master) . A simplificação da nomenclatura foi feita da seguinte forma :1ºpar de dentes do par de contacto B, 2º par de dentes par de contacto B e 3º par de dentes do contacto B. De modo análogo, são geradas linhas de código para introduzir estas superfícies de contacto no modelo do trem epicicloidal (Figura 4.10). Figura 4.10-Comando para a criação dos pares de contacto entre a roda planetária e a roda satélite A nomenclatura de cada um dos pares de dentes que sofreram uma análise mais detalhada encontra-se na Figura 4.11. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 38 Figura 4.11-Nomeclatura das superfícies de contacto entre a roda satélite e a roda planetária 4.4.3. OUTROS PARES DE CONTACTO Para além do contacto entre pares de dentes, também existem outros contactos interessantes que se estabelecem entre os elementos do trem epicicloidal. Existe uma superfície de contacto entre a parte anterior da roda satélite e a parte posterior do porta-satélites, como ilustrado na Figura 4.12. Esta superfície existe com o intuito de impedir a penetração destas duas superfícies e consequentemente invalidar a simulação e os seus resultados. Figura 4.12Superfície de contacto entre frente do porta satélites e a roda planetária Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 45 Figura 5.5 - Gráfico da Força Tangencial em função da posição do porta-satélites na superfície de contacto eixo/roda satélite Figura 5.6-Gráfico da Força Resultante em função da posição do porta-satélites na superfície de contacto eixo/roda satélite Adicionalmente foi traçado um gráfico de pressão (Figura 5.7) para o mesmo par de contacto. No ponto 1.298° verificou-se que existe uma diminuição de 10% em relação à mediana do conjunto de dados. Contrastando com o ponto 1.378° em que a pressão possuiu uma diminuição de 10% em relação à mediana. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 46 Figura 5.7-Gráfico de Pressão em função da posição do porta-satélites na superfície de contacto eixo/roda satélite 5.1.2. 1º PAR DE DENTES DO CONTACTO B Na interação do segundo par do anel exterior com a roda satélite, identificaram-se dois eventos no padrão de comportamento da área de contacto e das duas componentes da força (normal e tangencial), designadamente para as orientações 0.0055° e 1.139° (presentes nas Figura 5.8, Figura 5.9Figura 5.10). No ponto 0.0055° existe uma diminuição de aproximadamente 97% na área de contacto em relação à mediana, acompanhada com uma diminuição de 62.3% das forças normal e tangencial. No entanto, existe um contraste muito grande com a pressão desta orientação, uma vez que esta acusa um aumento de 1113% em relação à mediana dos dados. Estes valores são justificados, pelo facto do ângulo em estudo corresponder a uma fase inicial do ciclo de engrenamento e as forças que atuam nos dois dentes são localizadas a uma área muito reduzida, naturalmente irá existir uma pressão extremamente elevada nesse local. O ponto 1.139° apesar de contrastante com os pontos adjacentes, apresenta um valor de área de contacto, força normal e pressão igual à mediana do conjunto de dados. Os valores a partir dos quais foram gerados os gráficos encontram-se expostos no Anexo C: 1º par de dentes do contacto B . Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 47 Figura 5.8 - Gráfico da Área de contacto em função da posição do porta-satélites no 1º par de dentes do contacto B Figura 5.9 - Gráfico da Força Normal em função da posição do porta-satélites no 1º par de dentes do contacto B 1º Par de dentes do contacto B 1º Par de dentes do contacto B Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 48 Figura 5.10 - Gráfico Força Tangencial em função da posição do porta-satélites no 1º par de dentes do contacto B Figura 5.11 - Gráfico da Força Resultante em função da posição do porta-satélites no 1º par de dentes do contacto B 1º Par de dentes do contacto B 1º Par de dentes do contacto B Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 49 Figura 5.12 - Gráfico da Pressão em função da posição do porta-satélites no 1º par de dentes do contacto B 5.1.3. 2º PAR DE DENTES DO CONTACTO A Existem dois pontos interessantes de serem alvo de estudo na interação do 2º par de dentes do contacto A que tem o valor. 0.105° e 2.074° Observando as figuras Figura 5.13Figura 5.16Figura 5.17 pode-se ver que o ponto 0.105°sofre uma redução da área de contacto (cerca de 44% em relação à mediana), a força normal apresenta uma diminuição na ordem dos 10%, no entanto a pressão aumenta cerca de 61% em relação ao valor mediano. Contrastando com o ponto 2.074° em que ocorre uma redução da área de contacto (58.7%), força normal (86%) e da pressão (66%). Estes valores podem significar que o tipo de contacto entre os dois dentes se tenha alterado para esta configuração. 1º Par de dentes do contacto B Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 50 Figura 5.13 - Gráfico da Área de contacto em função da posição do porta-satélites no 2º par de dentes do contacto A Figura 5.14 - Gráfico da Força Normal em função da posição do porta-satélites no 2º par de dentes do contacto A 2º Par de dentes do contacto A 2º Par de dentes do contacto A Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 51 Figura 5.15 - Gráfico da Força tangencial em função da posição do porta-satélites no 2º par de dentes do contacto A Figura 5.16 - Gráfico da Força resultante em função da posição do porta-satélites no 2º par de dentes do contacto A 2º Par de dentes do contacto A 2º Par de dentes do contacto A Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 52 Figura 5.17 - Gráfico da Pressão em função da posição do porta-satélites no 2º par de dentes do contacto A 2º Par de dentes do contacto A Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 53 6. ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO X O desalinhamento é conseguido através de um conjunto de transformações geométricas semelhantes às apresentadas no capítulo 4. As transformações podem ser resumidas pela equação (6.1) T rx×.{𝑂𝑃 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍  −𝑂𝐶 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 }+{𝑂𝐶 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍 󰇍  } (6.1) Para o estudo do efeito do desalinhamento, foi realizada a seleção dos ângulos 0.0025 e 0.005 radianos para se desalinhar os elementos porta-satélites, roda planetária e a roda satélite em relação ao anel exterior que se encontra fixo. Na Figura 6.1 visualiza-se que o anel exterior se encontra ligeiramente desalinhado em relação aos restantes elementos. Figura 6.1-Desalinhamento do trem epicicloidal Seguindo a equação (6.1) torna-se necessária a criação de uma matriz de transformação ((6.2) que permite a rotação em torno do eixo x. [𝑇rx]=[1 0 0 cos (𝛼) 0 sin (𝛼) 0 −sin (𝛼) cos (𝛼)] (6.2) O procedimento utilizado para a identificação da posição do referencial que servirá de referência para as operações de transformação (rotação em torno de Z seguida de X) é falível, na medida em que depende a exatidão do resultado alcançado na precisão das componentes cartesianas dos pontos A, B e C, escolhidos do arco de circunferência. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 54 6.1. PÓS-PROCESSAMENTO DA ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO X O pós-processamento da transformação geométrica em torno do eixo x segue os mesmos princípios aplicados no subcapítulo 5.1, no entanto a abordagem será simplesmente uma comparação dos efeitos provocados pelo desalinhamento entre o 0.0025 e 0.005 radianos. 6.1.1. EIXO DO PORTA -SATÉLITES / FURO DA RODA SATÉLITE No par de contacto existente entre o eixo do porta-satélites e o furo da roda satélite existe um valor que se destaca dos restantes: 1.537°. No ponto 1.537° visualiza-se que a rotação 0.0025 rad apresenta uma diminuição da área de contacto em relação à posição 0.005 radiano, esta diminuição tem um valor de 44% (Figura 6.2).De igual modo a resultante das componentes normal e tangencial sofre uma redução de cerca de 30% (Figura 6.3, Figura 6.4, Figura 6.5). Esta diminuição dos valores destas componentes é contrastada com um aumento da pressão. O ângulo 0.0025 radianos apresenta um aumento de 22,5% na pressão em relação ao desalinhamento do ângulo de 0.005 rad. Figura 6.2 - Gráfico comparativo da área de contacto no par de contacto Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 61 Figura 7.1 - Gráfico da Força Normal para os ângulos 0, 0.0025 e 0.005 Figura 7.2 - Gráfico da área de contacto para os ângulos 0, 0.0025 e 0.005 0 500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 Força Normal, PN (N) Ângulo do porta-satélites, ac(°) 0 0.0025 0.005 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 Área de contacto, Ac (mm2) Ângulo do porta-satélite, ac(°) 0 0.0025 0.005 Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 62 Figura 7.3 - Gráfico da Força tangencial para os ângulos 0, 0.0025 e 0.005 Figura 7.4 - Gráfico da Pressão para os ângulos 0, 0.0025 e 0.005 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 Força Tangencial, PT (N) Ângulo do porta-satélites, ac (°) 0 0.0025 0.005 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 Pressão P (MPa) Ângulo do porta-satélites, ac (°) 0.0025 0.005 0 Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 63 8. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS A presente dissertação teve por base o estudo de um trem epicicloidal e os efeitos dos desalinhamentos que podem advir de erros de montagem ou de desgaste dos componentes, comprometendo as condições de funcionamento do trem. Neste sentido, desenvolveu-se um modelo numérico de um trem epicicloidal a partir de uma formulação matemática que permite definir o perfil do dente de forma rigorosa. Procedeu-se a seguir à simulação das condições de carregamento do trem, visando alcançar o equilíbrio estático do mesmo, mediante a aplicação de um momento motor no eixo da roda planetária, e de um momento resistente aplicado no eixo do porta-satélites. Esta condição foi estabelecida para uma série alargada de posições iniciais, visando abranger uma gama de amplitudes angulares representativas do ciclo de engrenamento, nas condições de: (a) alinhamento perfeito; e de (b) desalinhamento do anel exterior. Desta análise resultaram padrões de comportamento dos parâmetros de funcionamento do trem, designadamente: (1) da pressão de contacto; (2) da área de contacto, (3) bem como da força normal e tangencial. Desta análise registaram-se diferenças assinaláveis nos padrões referidos entre os modelos em que o alinhamento dos componentes do trem foi considerado perfeito, e naquele em que se consideraram os componentes desalinhados. No que respeita ao desalinhamento do trem consideraram-se dois valores, designadamente 0.0025 e 0.005 radianos. A análise destas amplitudes angulares revelou a existência de ângulos de engrenamento que apresentam comportamentos semelhantes para as diferentes amplitudes analisadas. Aqui, identificou-se um conjunto de posições angulares em que é possível observar uma perturbação assinalável no padrão dos parâmetros de funcionamento. Isto poderá significar que nessas condições a geometria do contacto entre os dentes assume uma posição crítica. No seguimento desta dissertação seria importante o estudo de um ciclo total de engrenamento, já que neste estudo apenas foi estudado 40% daquele domínio. Para além disso, será interessante analisar o efeito das folgas entre os dentes, assim como a influência da alteração do raio de concordância do dente. Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 64 BIBLIOGRAFIA [1] M. Iglesias, A. Fernandez del Rincon, A. de-Juan, A. Diez-Ibarbia, P. Garcia, and F. Viadero, “Advanced model for the calculation of meshing forces in spur gear planetary transmissions,” Meccanica, vol. 50, no. 7, pp. 1869–1894, 2015, doi: 10.1007/s11012015-0130-3. [2] P. Flores and P. Flores, “Órgãos de Máquinas II,” no. January, 2020. [3] R. G. Parker and J. Lin, “Mesh Phasing Relationships in Planetary and Epicyclic Gears,” Mech. Eng., pp. 1–10, 2003. [4] C. G. Cooley and R. G. 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Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 65 ANEXO A: ÂNGULOS DE ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO Z Tabela A-Ângulos de rotação em torno do eixo z αs(rad) αc(rad) αp(rad) αs(rad) αc(rad) αp(rad) αs(rad) αc(rad) αp(rad) O01 0.000206 -0.0006 0.001993 O24 0.023244 0.007039 -0.02117 O46 0.046283 0.014676 -0.04434 O3 0.001253 -0.00025 0.00094 O25 0.024292 0.007386 -0.02223 O47 0.04733 0.015023 -0.04539 O4 0.0023 0.000961 -0.00011 O26 0.025339 0.007733 -0.02328 O48 0.048377 0.01537 -0.04644 O5 0.003348 0.000443 -0.00117 O27 0.026386 0.00808 -0.02433 O49 0.049424 0.015717 -0.0475 O6 0.004395 0.00079 -0.00222 O28 0.027433 0.008427 -0.02538 O50 0.050471 0.016064 -0.04855 O7 0.005442 0.001137 -0.00327 O29 0.02848 0.008774 -0.02644 O51 0.051519 0.016412 -0.0496 O8 0.006489 0.001485 -0.00432 O30 0.029527 0.009122 -0.02749 O52 0.052566 0.016759 -0.05066 O9 0.007536 0.001832 -0.00538 O31 0.030575 0.009469 -0.02854 O53 0.053613 0.017106 -0.05171 O10 0.008584 0.002179 -0.00643 O32 0.031622 0.009816 -0.0296 O54 0.05466 0.017453 -0.05276 O11 0.009631 0.002526 -0.00748 O33 0.032669 0.010163 -0.03065 O55 0.055707 0.0178 -0.05382 O12 0.010678 0.002873 -0.00854 O34 0.033716 0.01051 -0.0317 O56 0.056755 0.018147 -0.05487 O13 0.011725 0.00322 -0.00959 O35 0.034763 0.010857 -0.03276 O57 0.057802 0.018494 -0.05592 O14 0.012772 0.003567 -0.01064 O36 0.035811 0.011204 -0.03381 O58 0.058849 0.018841 -0.05697 O15 0.01382 0.003915 -0.0117 O37 0.036858 0.011552 -0.03486 O59 0.059896 0.019189 -0.05803 O16 0.014867 0.004262 -0.01275 O38 0.037905 0.011899 -0.03591 O60 0.060943 0.019536 -0.05908 O17 0.015914 0.004609 -0.0138 O39 0.038952 0.012246 -0.03697 O61 0.061991 0.019883 -0.06013 O18 0.016961 0.004956 -0.01485 O40 0.039999 0.012593 -0.03802 O62 0.063038 0.02023 -0.06119 O19 0.018008 0.005303 -0.01591 O41 0.041047 0.01294 -0.03907 O63 0.064085 0.020577 -0.06224 O20 0.019056 0.00565 -0.01696 O42 0.042094 0.013287 -0.04013 O64 0.065132 0.020924 -0.06329 O21 0.020103 0.005997 -0.01801 O43 0.043141 0.013634 -0.04118 O65 0.066179 0.021271 -0.06434 O22 0.02115 0.006345 -0.01907 O44 0.044188 0.013982 -0.04223 O66 0.067227 0.021619 -0.0654 O23 0.022197 0.006692 -0.02012 O45 0.045235 0.014329 -0.04329 O67 0.068274 0.021966 -0.06645 Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 66 αs(rad) αc(rad) αp(rad) αs(rad) αc(rad) αp(rad) O68 0.069321 0.022313 -0.0675 O85 0.087123 0.028214 -0.0854 O69 0.070368 0.02266 -0.06856 O86 0.088171 0.028561 -0.08646 O70 0.071415 0.023007 -0.06961 O87 0.089218 0.028908 -0.08751 O71 0.072463 0.023354 -0.07066 O88 0.090265 0.029256 -0.08856 O72 0.07351 0.023701 -0.07172 O89 0.091312 0.029603 -0.08962 O73 0.074557 0.024049 -0.07277 O90 0.092359 0.02995 -0.09067 O74 0.075604 0.024396 -0.07382 O91 0.093407 0.030297 -0.09172 O75 0.076651 0.024743 -0.07487 O92 0.094454 0.030644 -0.09278 O76 0.077699 0.02509 -0.07593 O93 0.095501 0.030991 -0.09383 O77 0.078746 0.025437 -0.07698 O94 0.096548 0.031338 -0.09488 O78 0.079793 0.025784 -0.07803 O95 0.097595 0.031686 -0.09593 O79 0.08084 0.026131 -0.07909 O96 0.098643 0.032033 -0.09699 O80 0.081887 0.026479 -0.08014 O97 0.09969 0.03238 -0.09804 O81 0.082935 0.026826 -0.08119 O98 0.100737 0.032727 -0.09909 O82 0.083982 0.027173 -0.08225 O99 0.101784 0.033074 -0.10015 O83 0.085029 0.02752 -0.0833 O100 0.102831 0.033421 -0.1012 O84 0.086076 0.027867 -0.08435 O101 0.103879 0.033768 -0.10225 O102 0.104926 0.034116 -0.10331 Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 67 ANEXO B: EIXO DO PORTA SATÉLITE/FURO RODA SATÉLITE Tabela 4-Resultados obtidos para o par de contacto eixo do porta satélite e furo da roda satélite αc Incremento Área de contacto PN PT PR P (°) (mm2) (N) (N) (N) (Mpa) O01 -0.0343 22 23.85 5855 5.845 5855.003 245.4928 O03 -0.0144 19 23.85 5856 5.842 5856.003 245.5347 O04 0.0055 22 23.86 5856 5.845 5856.003 245.4318 O05 0.0254 62 20.91 5851 5.844 5851.003 279.8184 O06 0.0453 33 22.18 5842 5.834 5842.003 263.3906 O07 0.0652 134 21.33 5234 5.136 5234.003 245.3822 O08 0.0851 40 20.91 5849 5.843 5849.003 279.7228 O09 0.105 47 23.83 5757 5.748 5757.003 241.5864 O11 0.1447 38 20.91 5850 5.844 5850.003 279.7706 O12 0.1646 41 20.91 5851 5.845 5851.003 279.8184 O16 0.2442 60 20.91 5852 5.845 5852.003 279.8662 O17 0.2641 65 20.91 5851 5.845 5851.003 279.8184 O18 0.284 64 20.91 5850 5.844 5850.003 279.7706 O19 0.3038 64 20.91 5850 5.844 5850.003 279.7706 O20 0.3237 56 20.91 5852 5.846 5852.003 279.8662 O21 0.3436 67 20.91 5850 5.844 5850.003 279.7706 O22 0.3635 42 22.17 5847 5.841 5847.003 263.7349 O23 0.3834 39 20.91 5850 5.844 5850.003 279.7706 O24 0.4033 29 22.17 5848 5.842 5848.003 263.78 O25 0.4232 46 20.91 5851 5.846 5851.003 279.8184 O26 0.4431 46 20.91 5851 5.846 5851.003 279.8184 O27 0.463 43 20.91 5851 5.845 5851.003 279.8184 O28 0.4829 37 22.17 5848 5.843 5848.003 263.78 O29 0.5027 37 22.17 5848 5.843 5848.003 263.78 O30 0.5226 49 22.17 5850 5.842 5848.003 263.78 O31 0.5425 60 20.91 5850 5.845 5850.003 279.7706 O32 0.5624 41 22.17 5847 5.842 5847.003 263.7349 O41 0.7414 41 20.91 5852 5.846 5852.003 279.8662 O42 0.7613 41 20.91 5852 5.846 5852.003 279.8662 O51 0.9403 32 22.17 5851 5.846 5851.003 263.9153 O52 0.9602 25 22.17 5846 5.838 5846.003 263.6898 O61 1.1392 58 22.17 5852 5.847 5852.003 263.9604 O69 1.2983 144 31.08 5816 5.728 5816.003 187.1301 O70 1.3182 80 23.01 5769 5.762 5769.003 250.7172 O71 1.3381 31 22.17 5852 5.847 5852.003 263.9604 Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 68 O72 1.358 113 29.1 5749 5.736 5749.003 197.5602 O73 1.3779 157 15.56 7831 7.827 7831.004 503.2779 O81 1.537 38 20.91 5854 5.849 5854.003 279.9619 O91 1.7359 37 22.17 5855 5.85 5855.003 264.0958 O101 1.9348 20 22.17 5848 5.842 5848.003 263.78 Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 69 ANEXO C: 1º PAR DE DENTES DO CONTACTO B Tabela 5-Resultados obtidos para a interação do 1º par de contacto B αc IncreÁrea de contacto PN PT PR P mento (°) (mm2) (N) (N) (N) (MPa) O01 -0.0343 22 0.203 1665 1.665 1665 8202 O03 -0.0144 19 0.203 1666 1.666 1666 8206.9 O04 0.0055 22 0.203 1664 1.664 1664 8197 O05 0.0254 62 6.533 4414 4.414 4414 675.65 O06 0.0453 33 6.533 4420 4.42 4420 676.57 O07 0.0652 31 0.8622 144.5 0.145 144.5 167.59 O08 0.0851 40 6.533 4413 4.413 4413 675.49 O09 0.105 47 1.867 3327 3.327 3327 1782 O11 0.1447 38 6.533 4414 4.414 4414 675.65 O12 0.1646 41 6.533 4414 4.414 4414 675.65 O16 0.2442 60 6.533 4414 4.414 4414 675.65 O17 0.2641 65 6.533 4414 4.414 4414 675.65 O18 0.284 64 6.533 4413 4.394 4413 675.49 O19 0.3038 64 6.533 4413 4.394 4413 675.49 O20 0.3237 56 6.533 4413 4.323 4413 675.49 O21 0.3436 67 6.533 4413 4.413 4413 675.49 O22 0.3635 42 6.533 4413 4.413 4413 675.49 O23 0.3834 39 6.533 4414 4.414 4414 675.65 O24 0.4033 29 6.533 4418 4.418 4418 676.26 O25 0.4232 46 6.533 4413 4.413 4413 675.49 O26 0.4431 46 6.533 4413 4.413 4413 675.49 O27 0.463 43 6.533 4413 4.413 4413 675.49 O28 0.4829 37 6.533 4413 4.413 4413 675.49 O29 0.5027 37 6.533 4413 4.413 4413 675.49 O30 0.5226 49 6.533 4413 4.414 4414 675.65 O31 0.5425 60 6.533 4413 4.413 4413 675.49 O32 0.5624 41 6.533 4413 4.413 4413 675.49 O41 0.7414 41 6.533 4413 4.413 4413 675.49 O42 0.7613 41 6.533 4415 4.415 4415 675.8 O51 0.9403 32 6.533 4414 4.414 4414 675.65 O52 0.9602 25 6.533 4417 4.416 4417 676.11 Análise do comportamento quase-estático de um trem epicicloidal de três satélites: efeito do desalinhamento 70 O61 1.1392 58 6.533 4415 4.415 4415 675.8 O69 1.2983 65 1.203 639.2 0.639 639.2 531.34 O70 1.3182 50 1.414 1536 1.536 1536 1086.3 O71 1.3381 31 6.533 4414 4.414 4414 675.65 O72 1.358 60 0.8589 261.7 0.262 261.7 304.69 O73 1.3779 41 1.223 1544 1.544 1544 1262.5 O81 1.537 38 6.533 4412 4.412 4412 675.34 O91 1.7359 37 6.533 4411 4.41 4411 675.19 O101 1.9348 20 6.533 4414 4.414 4414 675.65