Aportaciones al método de la celda en el diseño y análisis de un modelo de máquina rotativa trifásica de inducción magnética

   Tesis Doctoral UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA Departamento de Ingeniería Eléctrica Aportaciones al Método de la Celda en el Diseño y Análisis de un Modelo de Máquina Rotativa Trifásica de Inducción Magnética Autor: Leopoldo Simón Rodríguez Directores: José Miguel Monzón Verona Miguel Joaquín Martínez Melgarejo Las Palmas de Gran Canaria, 2015  Agradecimientos La elaboraci´on de una tesis implica a un amplio n´umero de personas que directa o indirectamente terminan formando parte de la misma. En un intento por nombrarlas a todas he de comenzar por mi esposa Mar´ıa Esther y mis hijas Miriam y Natalia, por su incondicional comprensi´on y paciencia por todo este tiempo que no les he dedicado, para tal fin. Agradezco a mis directores de tesis, ante todo compa˜neros del departamento, Dr. D. Jos´e Miguel Monz´on Verona y Dr. D. Miguel Joaqu´ın Mart´ınez Melgarejo, quienes han tenido la paciencia y dedicaci´on en la continua orientaci´on y ayuda de este trabajo de tesis doctoral. Especialmente agradezco al profesor Dr. D. Jos´e Fern´ando Medida Padr´on, por la inestimable ayuda, apoyo y ´animo que me ha brindado en todo este tiempo. Agradezco a los profesores de m´aquinas el´ectricas del Departamento de Ingenier´ıa El´ectrica, D. Guillermo Hern´andez Lezcano y D. Pablo Ignacio Gonz´alez Dom´ınguez, por el desinteresado asesoramiento y ayuda en lo que a m´aquinas se refiere. Con especial cari˜no, he de mencionar a D˜na. Mar´ıa Victoria Ram´ırez Quevedo, por su ´animo y asesoramiento documental. Y en general, a todos los compa˜neros del Departamento de Ingenier´ıa El´ectrica. I ´ Indice general 1. Introducci´on. 1 1.1. Objetivos y Metodolog´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1. Objetivos................................. 2 1.1.2. Metodolog´ıa. .............................. 3 1.2. Estructura de la tesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Resumen de publicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Estado del Arte. 9 2.1. M´etodos de an´alisis en m´aquinas el´ectricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1. Evoluci´on hist´orica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Ecuaciones topol´ogicas: El M´etodo de la Celda. . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Ecuaciones del medio magn´eticas y el´ectricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1. Ecuaciones constitutivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.2. Ecuaciones circuitales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Geometr´ıa Computacional Aplicada a la Formulaci´on Finita. 25 3.1. Introducci´on. .................................. 26 3.2. Celdas complejas. Discretizaci´on del espacio eucl´ıdeo R3. .......... 28 3.3. Orientaci´on de las celdas complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4. Matrices de incidencia en celdas complejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.5. La f´ormula de Euler-Poincar`e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.6. Relaci´on entre elementos para mallados densos. . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.7. Resultados y discusi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 IX ´ Indice general 3.7.1. C´alculo de matrices topol´ogicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7.2. F´ormulas de Euler para objetos de dimensi´on 2. . . . . . . . . . . . 46 3.7.3. F´ormulas de Euler para objetos de dimensi´on 3. . . . . . . . . . . . 48 3.7.4. Estudio de la convergencia en mallados densos. . . . . . . . . . . . 51 4. Ecuaciones Topol´ogicas de Las Leyes de Maxwell en la Formulaci´on Finita. 59 4.1. Introducci´on. .................................. 60 4.2. Clasificaci´on de las magnitudes electromagn´eticas. . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3. La t´ecnica de integraci´on finita y las ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . 64 4.3.1. Introducci´on. .............................. 64 4.3.2. Ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4. Principios asociados a la formulaci´on finita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.4.1. Elementos de tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.5. Las leyes de Maxwell en forma finita o global. . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.6. Forma local de las ecuaciones de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.7. Ejemplos de la forma local de las ecuaciones de campo. . . . . . . . . . . . 81 4.7.1. Ley de Inducci´on de Faraday. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.7.2. Ley de Inducci´on de Amp`ere-Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.7.3. Ley de Gauss Magn´etica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.7.4. Ley de Gauss El´ectrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5. Discretizaci´on de las Ecuaciones Constitutivas. 91 5.1. Introducci´on. .................................. 91 5.2. Ecuaci´on constitutiva magn´etica ~ B=µ~ H. .................. 93 5.2.1. Aproximaci´on uniforme del campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.2.2. Aproximaci´on por interpolaci´on de Whitney. . . . . . . . . . . . . . 96 5.3. Ecuaci´on constitutiva el´ectrica ~ J=σ~ E..................... 99 5.3.1. Aproximaci´on por interpolaci´on de Whitney. . . . . . . . . . . . . . 99 X ´ Indice general 6. Ecuaci´on Global del M´etodo de la Celda y el M´etodo Nodal Modificado en Problemas Electromagn´eticos y Circuitales en 2D. 105 6.1. Introducci´on. ..................................106 6.2. Una variaci´on del m´etodo nodal modificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.3. Ecuaciones de Maxwell y circuitales con la FF y el MNM en 2D. . . . . . . 110 6.3.1. Formulation {a, (a,V)}in2D......................110 6.3.2. Discretizaci´on para el modelo de conductor filiforme (conjunto tipo 5). ....................................113 6.3.3. Discretizaci´on para el modelo de conductor s´olido (conjunto tipo 4). 114 6.3.4. Ensamble de todas las ecuaciones en una matriz global. . . . . . . . 115 6.4. Resultados y discusi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.4.1. Respuesta en frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.4.2. Respuesta transitoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7. La Matriz Fundamental de Bucles B en el M´etodo de la Celda. Aplicaci´on a un Problema Electromagn´etico de Corrientes Inducidas en 3D. 123 7.1. Introducci´on. ..................................124 7.2. Base te´orica de la formulaci´on finita de las ecuaciones de Maxwell. . . . . . 126 7.2.1. Ecuaciones topol´ogicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.2.2. Ecuaciones constitutivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2.3. Sistema global de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.2.4. Ley de continuidad en el segundo miembro. . . . . . . . . . . . . . 134 7.3. Resultados y discusi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.3.1. Resumen. ................................137 7.3.2. Ley de Continuidad. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.3.3. Resultados del campo magn´etico y de las corrientes inducidas para excitaciones de corriente lineal, superficial y volum´etrica. . . . . . . 149 8. El M´etodo de la Celda Aplicado al An´alisis de Fallos en una M´aquina de Inducci´on Magn´etica. 159 8.1. Introducci´on. ..................................160 8.2. CircuitoyMatrices................................164 XI ´ Indice general 8.3. Resultados y discusi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.3.1. Comparaci´on de resultados del m´etodo de la celda con el FEM. . . 169 8.3.2. Excitaci´on con corriente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.3.3. Excitaci´on con tensi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.3.4. Experiencias con roturas de barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.3.5. C´alculo del par electromagn´etico. An´alisis en frecuencia. . . . . . . 182 8.4. Caso lineal y no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 9. Identificaci´on y Ajuste Param´etrico de una M´aquina Trif´asica de Inducci´on Magn´etica usando Algoritmos Gen´eticos. 193 9.1. Introducci´on. ..................................194 9.2. ModelocontinuoFEM..............................196 9.3. Condiciones de frontera del modelo continuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.4. Identificaci´on del modelo param´etrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.5. An´alisis mediante el FEMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 9.6. Ajuste de los par´ametros por algoritmos gen´eticos. . . . . . . . . . . . . . . 201 9.7. Resultados y discusi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 10.Conclusiones y L´ıneas Futuras de Trabajo. 211 10.1.Conclusiones. ..................................211 10.2. L´ıneas futuras de investigaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Anexo A. Publicaciones 215 Anexo B. Ecuaciones constitutivas magn´eticas 233 Anexo C. Ecuaciones constitutivas el´ectricas 243 Anexo D. Modelo param´etrico del motor de inducci´on en r´egimen din´amico251 Bibliograf´ıa General 257 XII ´ Indice de figuras 3.1. Discretizaci´on de una esfera mediante tetraedros. . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2. Subdivisi´on baric´entrica dual - l´ınea de puntos -, arista dual ˜ ljy nudo dual ˜ pk......................................... 29 3.3. Una de las caras cuadril´ateras que forma una cara dual ˜ si. ......... 30 3.4. Una celda dual ˜ vhforma un volumen delimitado por caras duales ˜ si. . . . . 30 3.5. Elementos de dimensi´on 0, 1, 2 y 3, y orientaci´on interna. . . . . . . . . . . 31 3.6. Elementos de dimensi´on 0, 1, 2 y 3, y orientaci´on externa. . . . . . . . . . 32 3.7. Orientaci´on externa de una l´ınea seg´un la dimensi´on del espacio que la contiene...................................... 32 3.8. Tetraedro como figura elemental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.9. Mallado m´as simple de un tetraedro en dos celdas tetra´edricas. . . . . . . . 37 3.10. Orientaciones de los elementos de forma-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.11. Orientaciones de los elementos de forma-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.12. Elementos de forma-3, separados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.13. Tetraedro de referencia {p, i, j, k}........................ 41 3.14. Lazo formado por {l1,l2,l3,l4}. ........................ 43 3.15. ´ Arbol del conjunto formado por {l1,l2,l3,l7}.................. 45 3.16. Grupo de corte {l7,l8,l9}. ........................... 46 3.17. Elementos 2D de la superficie de una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.18. Elementos 2D de la superficie de un toro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.19. Elementos 2D de la superficie de un cilindro, obtenido con el mallador Gmsh. 48 3.20. Elementos 3D del vol´umen de una esfera, obtenido con el mallador Gmsh. . 49 XIII ´ Indice de figuras 3.21. Elementos 3D del vol´umen de un toro con g=1................ 49 3.22. Elementos 3D del vol´umen de un cilindro con g=0.............. 50 3.23. Elementos 3D del vol´umen de un toro con g= 2 y g=3. .......... 51 3.24. Convergencia asint´otica con el aumento de la densidad del mallado. . . . . 52 3.25. Prototipo gen´erico para un cuarto de esfera y dominio ΩD.......... 52 4.1. Diagrama de magnitudes electromagn´eticas de Tonti. . . . . . . . . . . . . 62 4.2. Tetraedro de referencia orientado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3. Diferencias de Potenciales Uiasociadas a las aristas del complejo primario. 67 4.4. Fuerza Magnetomotriz ˜ Fm, asociada a las aristas del complejo dual. . . . . 68 4.5. Intensidad El´ectrica ˜ I, asociada a las caras del complejo dual. . . . . . . . 68 4.6. Flujo El´ectrico ˜ Ψ, asociado a las caras del complejo dual. . . . . . . . . . . 69 4.7. Flujo Magn´etico φasociado a las caras y diferencia de potenciales Uia las aristas, en el complejo primal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.8. Discretizaci´on primal-dual del eje de tiempo. Salto de la rana. . . . . . . . 76 4.9. Variables f´ısicas asociadas al complejo primal. ................ 78 4.10. Variables f´ısicas asociadas al complejo dual. ................. 78 6.1. Modelos continuos y discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2. Divisi´ondeldominio...............................111 6.3. Modelos de conductores en el CM. Siendo Nf=n´umero de conductores, ∆=´area de tri´angulo y L=Longitud axial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.4. Modelo continuo con divisi´on primaria y dual, punto de referencia A y modelocircuital. ................................116 6.5. Validaci´on de resultados de las simulaciones con transitorios. . . . . . . . . 118 7.1. Dominio del problema y su mallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.2. Tetraedro de Referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.3. Magnitudes involucradas en las ecuaciones constitutivas. . . . . . . . . . . 130 7.4. Dibujo de un grafo lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 7.5. Calidad del mallado y relaci´on entre elementos obtenidos en los 19 experimentosnum´ericos. ...............................138 XIV ´ Indice de figuras 7.6. Superficie del subdominio fuente, donde se aplica una ~ Js...........140 7.7. Evaluaci´on superficial 2D de ~ Js.........................140 7.8. Secci´on del subdominio fuente Ωs⊂ΩD. Cortes, Co´arbol y ´ Arbol(en negrita).143 7.9. Zonas de Cortes donde se ha hecho el balance. . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.10. ´ Arbol(negrita) y co´arbol de la superficie ∈Ωs.................145 7.11. Distribuci´on del Balance Nodal de Corrientes. . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.12. Evaluaci´on volum´etrica de ~ Jv..........................150 7.13. Campo magn´etico y corrientes inducidas para una excitaci´on de densidad de corriente lineal -l´ınea negra-, para un mallado de P= 2904,L= 19545,S= 33230,V=16588..........................152 7.14. An´alisis de la convergencia para el campo magn´etico y las corrientes inducidas........................................152 7.15. Comparaci´on de resultados con una excitaci´on de corriente lineal para ~ Jreal y~ Jimag con FF, GETDP y FEMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.16. Campo magn´etico y corrientes inducidas. Excitaci´on con densidad de corriente superficial (A /m) -vectores de color negro-. ..............154 7.17. Campo magn´etico y corrientes inducidas. Excitaci´on con una densidad de corriente volum´etrica (A /m2) -vectores de color negro-.............154 8.1. Mallados sin simetr´ıa y con simetr´ıa en 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.2. Zonas de corte trazadas en el est´ator ls, el entrehierro ley el rotor lr. . . . 162 8.3. Modelo circuital de la m´aquina, con los cinco modelos de elementos. . . . . 164 8.4. Secci´on transversal de la m´aquina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.5. Forma y distribuci´on de la ~ Asobre la l´ınea de rotor (lr). ..........170 8.6. Forma y distribuci´on de la ~ Jsobre la l´ınea de rotor (lr). ..........171 8.7. Parte real e imaginaria de la densidad de corriente en todo el desarrollo de la zona (lr) del rotor (2π). ...........................172 8.8. Parte real e imaginaria de la densidad de corriente en π 3de la (lr) del rotor, de la fase A. ..................................173 8.9. Diagrama fasorial de las corrientes de barras. . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.10. M´odulo y ´angulo de las corrientes de barras del rotor. . . . . . . . . . . . . 175 XV ´ Indice de figuras 8.11. Potencial Vector Magn´etico en π 3de la (ls) del est´ator, de la fase A. . . . . 176 8.12. Potencial Vector Magn´etico en π 3de la (le) del entrehierro, de la fase A. . 177 8.13. Potencial Vector Magn´etico en π 3de la (lr) del rotor, de la fase A. . . . . . 178 8.14. M´odulo del transitorio y diagrama fasorial de las corrientes de barras. . . . 179 8.15. M´odulo del transitorio y diagrama fasorial de las corrientes de barras. . . . 180 8.16. M´odulo del transitorio y diagrama fasorial de las corrientes de barras. . . . 181 8.17. Curvas de saturaci´on B-H para el modelo lineal y el no lineal. . . . . . . . 186 8.18. Representaci´on FEM del campo ~ B. ......................187 9.1. Secci´on de los cinco tipos de geometr´ıas de barras de rotor analizadas. . . . 196 9.2. M´odulo de la densidad de corriente en el modelo continuo por elementos finitos.......................................198 9.3. Modelo simple por fase del motor de inducci´on en r´egimen estacionario. . . 199 9.4. Ajuste de la parte real de la inducci´on mediante GA para la geometr´ıa de rotortipo0....................................203 9.5. Ajuste de la parte imaginaria de la inducci´on mediante GA para la geometr´ıaderotortipo0. .............................203 9.6. Validaci´on del par electromagn´etico para la geometr´ıa de rotor tipo 0. . . . 204 9.7. Perfil del m´odulo del vector potencial magn´etico y sus componentes complejas. ......................................204 9.8. M´odulo de la inducci´on magn´etica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9.9. Representaci´on de las curvas par-velocidad para todos los tipos de geometr´ıa.205 9.10. Representaci´on de la intensidad en una de las fases, para todas las geometr´ıas.206 D.1. Circuito equivalente de la m´aquina de inducci´on. . . . . . . . . . . . . . . . 252 XVI ´ Indice de tablas 3.1. Relaci´on entre entidades para un mallado asint´otico. . . . . . . . . . . . . . 36 3.2. Relaci´on asint´otica entre Elementos Topol´ogicos y Nudos. . . . . . . . . . . 51 6.1. Resultados de la respuesta en frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.1. Evaluaci´on en el Baricentro, sin aplicar el WA. . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.2. Evaluaci´on en el Punto Medio de las aristas duales, sin aplicar el WA. . . . 141 7.3. Evaluaci´on en el Baricentro, aplicando el WA. . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.4. Evaluaci´on en el Punto Medio de las aristas duales, aplicando el WA. . . . 143 7.5. ~ Jsevaluada en el Baricentro y en el Punto Medio en zona 1, sin aplicar el WA. .......................................145 7.6. ~ Jsevaluada en el Baricentro y en el Punto Medio en zona 2, sin aplicar el WA. .......................................146 7.7. ~ Jsevaluada en el Baricentro y en los Puntos Medios en zona 1, o sea, con divergenciacero. ................................149 7.8. ~ Jsevaluadas en el Baricentro y en los Puntos Medios en zona 2, o sea, con divergenciacero. ................................150 8.1. Comparaci´on del n´umero de inc´ognitas (nudos) de un problema sin simetr´ıa conotroconsimetr´ıa...............................162 8.2. Comparaci´on del par por frecuencias, entre el CM5 y el FEM(GETDP). . . 185 8.3. Comparaci´on de las corrientes de la fase A, entre el CM5 y el FEM(GETDP).185 XVII Cap´ıtulo 1. Introducci´on. 4. Modelado del R´egimen Din´amico y An´alisis de Sensibilidad de una M´aquina Trif´asica de Inducci´on Magn´etica, autores: L. Sim´on y J. M. Monz´on, publicaci´on en la revista Scielo de Informaci´on Tecnol´ogica en 2010, con factor de impacto. 5. Identificaci´on Param´etrica de una M´aquina Trif´asica de Inducci´on Magn´etica, con Algoritmos Gen´eticos, autores: L. Sim´on y J. M. Monz´on, expuesta en el CAIP 2009, (9 Congreso Interamericano de Computaci´on Aplicada a la Industria de Procesos), en Agosto de 2009. Montevideo - Uruguay. 6. Identificaci´on y Ajuste Param´etrico de una M´aquina Trif´asica de Inducci´on Magn´etica usando Algoritmos Gen´eticos, autores: L. Sim´on y J. M. Monz´on, publicaci´on en la revista Scielo de Informaci´on Tecnol´ogica en 2010, con factor de impacto. 7. Parametric Identification of a Three-Phase Induction Machine with Genetic Algorithms, autores: L. Sim´on y J. M. Monz´on, expuesta en ISEF 2009, (XV International Symposium on Electromagnetic Fields in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering), en Septiembre de 2009. Arras - Francia. 8. Parametric Identification of a Three-Phase Induction Machine with Genetic Algorithms, autores: L. Sim´on y J. M. Monz´on, cap´ıtulo 9, S. Wiak et al. (Eds): Computational Methods for Electrical Devices Design, SCI 327, pp. 167–184. SpringerVerlag Berlin Heidelberg 2010. ISBN: 978-3-642-16224-4 (Print). e-ISBN: 978-3642-16225-1 (Online). DOI 10.1007/978-3-642-16225-1. Studies in Computational Intelligence ISSN 1860-949X. Library of Congress Control Number: 2010937107. 2010 Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 9. Cell Method and Modified Nodal Method in Eddy Current Electromagnetic Problems, autores: L. Sim´on y J. M. Monz´on, expuesta en ICREPQ 2011, (International Conference on Renewable Energies and Power Quality), en Abril 2010. Las Palmas de Gran Canaria - Espa˜na. 10. Computational Geometry applied to Finite Formulation, autores: L. Sim´on, P. Gonz´alez y J. M. Monz´on, expuesta en ISEF 2011, (XV International Symposium on Elec6 1.3. Resumen de publicaciones. tromagnetic Fields in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering), en Septiembre de 2011. Funchal (Island of Madeira) - Portugal. 11. Global Equation of Cell Method and Modified Nodal Method of Electromagnetic and Circuital Problems, autores: J. M. Monz´on, L. Sim´on y P. Gonz´alez, expuesta en ISEF 2011, (XV International Symposium on Electromagnetic Fields in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering), en Septiembre de 2011. Funchal (Island of Madeira)- Portugal. 12. The Fundamental Loop Matrix in Eddy Current Problem with Finite Formulation, autores: L. Sim´on y J. M. Monz´on, expuesta en 2012, (MASCOT12&ISGG12 - IMACS/ISGG Conference), en Agosto de 2012. Las Palmas de Gran Canaria - Espa˜na. 13. La Matriz Fundamental de Bucles B en el M´etodo de la Celda. Aplicaci´on a un Problema Electromagn´etico de Corrientes Inducidas en 3D, autores: L. Sim´on, P. I. Gonz´alez, J. M. Monz´on, M. Mart´ınez, enviado al CAIP 2015, (12 Congreso Interamericano de Computaci´on Aplicada a la Industria de Procesos), aceptado en Abril 2015. Cartagena de Indias - Colombia. 14. El M´etodo de la Celda Aplicado al An´alisis de Fallos en una M´aquina de Inducci´on Magn´etica, autores: L. Sim´on, P. I. Gonz´alez, J. M. Monz´on, M. Mart´ınez, enviado al CAIP 2015, (12 Congreso Interamericano de Computaci´on Aplicada a la Industria de Procesos), aceptado en Abril 2015. Cartagena de Indias - Colombia. 15. El M´etodo de la Celda Aplicado al estudio de Campos Electromagn´eticos y Transferencia de Calor en Motores de Inducci´on, autores: P. I. Gonz´alez, L. Sim´on, J. M. Monz´on, M. Mart´ınez, enviado al CAIP 2015, (12 Congreso Interamericano de Computaci´on Aplicada a la Industria de Procesos), aceptado en Abril 2015. Cartagena de Indias - Colombia. 16. Thermal Constitutive Matrix Applied to Asynchronous Electrical Machine Using The Cell Method, autores: P. I. Gonz´alez, J. M. Monz´on, L. Sim´on, S. Garc´ıa-Alonso, enviado al ISEF 2015, (XVII International Symposium on Electromagnetic Fields 7 Cap´ıtulo 1. Introducci´on. in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering), aceptado en Mayo 2015. Valencia - Espa˜na. 8 Cap´ıtulo 2 Estado del Arte. ´ Indice 2.1. M´etodos de an´alisis en m´aquinas el´ectricas. . . . . . . . . . . 10 2.1.1. Evoluci´on hist´orica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Ecuaciones topol´ogicas: El M´etodo de la Celda. . . . . . . . . 12 2.3. Ecuaciones del medio magn´eticas y el´ectricas. . . . . . . . . . 14 2.3.1. Ecuaciones constitutivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.2. Ecuaciones circuitales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Resumen e introducci´on. En este cap´ıtulo se hace una revisi´on del estado actual de los m´etodos de an´alisis cl´asicos utilizados en el estudio de m´aquinas el´ectricas, focalizando la atenci´on en la formulaci´on finita (FF) como m´etodo de discretizaci´on basado en magnitudes globales y en el planteamiento que hace de las ecuaciones electromagn´eticas. Se recoge un breve compendio hist´orico con los m´etodos cl´asicos de discretizaci´on basados en la formulaci´on diferencial, hasta la propuesta de la formulaci´on finita (FF) para expresar dichas leyes como un conjunto de ecuaciones algebraicas globales. 9 Cap´ıtulo 2. Estado del Arte. 2.1. M´etodos de an´alisis en m´aquinas el´ectricas. Entre los m´etodos de resoluci´on num´erica para el an´alisis y el dise˜no de m´aquinas el´ectricas que se describen con ecuaciones diferenciales parciales (PDEs) [SP90, PS05], est´an los m´etodos cl´asicos conocidos como el m´etodo de las diferencias finitas (FDM) [Y+66, LHK+90, PS05] el m´etodo de los elementos finitos (FEM) [SF96, ZLO77, PS05] el m´etodo de los vol´umenes finitos (FVM) [PS05, Sch06], y el m´etodo de los elementos de contorno (BEM) [Hal94, PR90], entre otros. En estos m´etodos se d´a por sentado que las ecuaciones diferenciales contienen toda la informaci´on sobre las leyes f´ısicas y geom´etricas del fen´omeno f´ısico electromagn´etico que ellas describen. Pero realmente se pierde informaci´on importante como la distinci´on entre tipos de variables (configuraci´on, fuente y energ´ıa), el poder introducir variables globales desde el mismo planteamiento del problema, la noci´on de los dos tipos de orientaci´on en los elementos espaciales (interna y externa) y cuando se depende del tiempo, algunas variables deben evaluarse en un instante de tiempo o entre uno inicial y otro final, pues de lo contrario la formulaci´on num´erica acarrear´ıa errores de precisi´on, inestabilidad y violaci´on de la conservaci´on de la energ´ıa [TZ10]. Junto a la formulaci´on diferencial como herramienta matem´atica, la algebraica es la que permite una descripci´on m´as profunda del fen´omeno f´ısico electromagn´etico. Existen multitud de programas comerciales de an´alisis FEM, como el ANSYS [Man], COMSOL [Mul94], Opera 3D [Fie04], etc. Y otros tantos GNU de fuente abierta o de libre distribuci´on, como el FEMM [Mee09], Getdp [DG13], Imoose [ABK+06], OpenFoam [Ope10], etc. Estos programas son implementaciones del m´etodo de los elementos finitos, ampliamente conocidos en la divulgaci´on cient´ıfica. Sin embargo, el autor no conoce en toda la literatura consultada, ning´un programa comercial ni de fuente abierta que basados en los principios de la formulaci´on finita y el m´etodo de la celda. 2.1.1. Evoluci´on hist´orica. La topolog´ıa algebraica y su analog´ıa con las redes el´ectricas y el c´alculo vectorial ya fueron estudiadas en los a˜nos sesenta por multiples autores [Bry61, Bra66, Bra64]. Los problemas de redes, adem´as de una estructura de grafo lineal, tienen una es10 2.1. M´etodos de an´alisis en m´aquinas el´ectricas. tructura algebraica asociada, dando a conocer la relaci´on existente entre la f´ısica y la geometr´ıa desde un punto de vista matem´atico [Bra66]. Este ´ultimo aspecto es el que se denomina como topolog´ıa algebraica y en particular, teor´ıa de la homolog´ıa de las celdas complejas [Ton95]. De entre los muchos m´etodos de an´alisis num´erico que surgieron, uno de los m´as importante fu´e el m´etodo de los elementos finitos (FEM). Su origen fu´e para aplicaciones en el campo de la mec´anica, donde los desplazamientos y fuerzas son representados por vectores asociados a los nudos del mallado. Hist´oricamente, en la aplicaci´on del m´etodo FEM al estudio de campos electromagn´eticos, se trataron las magnitudes vectoriales electromagn´eticas (intesidad del campo el´ectrico y magn´etico) como funciones nodales asociadas a los nudos del mallado, de igual forma que las mec´anicas (desplazamientos y fuezas), pero realmente est´an asociadas a otro tipo de elementos geom´etricos. Esto supuso un error en el tratamiento num´erico de este tipo de problemas que conllev´o la aparici´on de soluciones esp´ureas [Bos90, JWP96]. En su larga trayectoria, el FEM ha evolucionado hasta convertirse en una de las herramientas de an´alisis discreto m´as vers´atiles. La literatura consultada revela diversas aportaciones al FEM como las que hace A. Bossavit de los elementos de arista edge elements method (EEM) [Bos98, Mur94], as´ı como las formas diferenciales y las formas de Whitney [WPFH94, Bos88a]. Pero es K. S. Yee quien propone por primera vez un m´etodo diferente basado en el m´etodo de las diferencias finitas (FDM), donde considera un mallado cartesiano escalonado con dos tipos de mallados duales, uno para el campo el´ectrico y otro para el magn´etico [Y+66, BK00]. Cuando los sistemas de computaci´on y las herramientas inform´aticas de programaci´on adquiere m´as relevancia y accesibilidad, en los a˜nos setenta M. Weiland es uno de los pioneros en el desarrollo de la t´ecnica de integraci´on finita (FIT) [SW01, CW01b], basado en un esquema generalizado de las diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD) para la soluci´on de las ecuaciones de Maxwell, haciendo un planteamiento discreto de las mismas para fines computacionales [Wei96, Wei84a, Wei84b]. El planteamiento de las ecuaciones matriciales discretas que ´el hace constituyen las denominadas ecuaciones de malla de Maxwell (MGE) [CW99, Y+66]. El m´etodo permite obtener una representaci´on 11 Cap´ıtulo 2. Estado del Arte. exacta de las ecuaciones de Maxwell usando variables de campo integradas en vez de componentes de campo. M. Clemens junto a M. Weiland, colaborar´an en los siguientes a˜nos en el desarrollo de la implentaci´on del m´etodo FIT basadas en las ecuaciones de malla MGE [CW99, CW01a]. En los a˜nos setenta, E. Tonti elabora un planteamiento algo distinto de las ecuaciones electromagn´eticas [Ton01c]. Con respecto a la discretizaci´on de las ecuaciones de Maxwell, muestra que es posible expresar las leyes del electromagnetismo directamente como un conjunto de ecuaciones algebraicas [Ton02b, Ton02a, Ton95]. A la hora de discretizar e integrar las variables espaciales tambi´en discretiza el tiempo, en lo que ´el define como formulaci´on finita (FF) o global [Ton14]. Clasifica las variables f´ısicas y establece unos principios que asocian las variables con los elementos de espacio y tiempo. Las leyes f´ısicas del electromagnetismo y sus ecuaciones constitutivas las interpreta geom´etricamente mediante variables integrales que define como variables globales. Al representar las variables f´ısicas globales, estas se encuentran asociadas de forma natural con elementos orientados de espacio y tiempo que son representadas mediante dos celdas complejas en relaci´on dual. Para el desarrollo de este an´alisis f´ısico se plantea un m´etodo num´erico denominado m´etodo de la celda (CM). El m´etodo de la celda (CM) es un m´etodo de resoluci´on num´erica que aplica y utiliza las variables globales en mallados no estructurados basados en tri´angulos y tetraedros [Ton02a, Mar02, Mar04]. Muchos aspectos del CM son comunes con la FIT, y planteamientos similares se han expuesto en diferentes investigaciones [BK00]. 2.2. Ecuaciones topol´ogicas: El M´etodo de la Celda. La teor´ıa de grafos est´a relacionada con las propiedades estructurales de los circuitos el´ectricos y el modelado de fen´omenos discretos [Ton76, Ton01a, DST06]. El hecho de utilizar variables globales permite escribir las ecuaciones f´ısicas de forma discreta, mediante los operadores discretos. Estos operadores discretos en la FF son matrices de incidencia entre los elementos espaciales l´ıneas-puntos, superficies-l´ıneas y vol´umenes-superficies, siendo hom´ologos de los operadores diferenciales gradiente, rota12 2.2. Ecuaciones topol´ogicas: El M´etodo de la Celda. cional y divergencia respectivamente [LYL07b, LYL07a]. Es decir, en relaci´on a las ecuaciones topol´ogicas se tienen ecuaciones de balance (divergencia), ecuaciones de circulaci´on (rotacional) y ecuaciones de diferencias (gradiente), representadas como matrices en el CM [Ton01b, Mar01a]. Estas matrices van a representar un grafo orientado formado por pares de elementos ordenados entre entidades geom´etricas en mallados duales, mediante relaciones de dualidad [DFRR09]. Las ecuaciones topol´ogicas no contienen informaci´on m´etrica, asociando las variables f´ısicas con entidades geom´etricas del mismo tipo. En general, fen´omenos f´ısicos an´alogos pueden compartir las mismas ecuaciones topol´ogicas para el mismo espacio discreto con la misma estructura en sus ecuaciones matriciales, diferenci´andose s´olo en las ecuaciones constitutivas [AFR10, GMSM15]. Las ecuaciones de Maxwell una vez discretizadas mediante la FF, quedan de forma que las leyes de Maxwell-` Ampere y la ley Gauss el´ectrica, por su naturaleza el´ectrica est´an asociadas al mallado dual, con variables fuente. Las leyes de Faraday y la ley de Gauss para el campo magn´etico, por su naturaleza magn´etica est´an asociadas al mallado primal, con variables de configuraci´on [Ton95, Ton01b, Ton13]. El CM es el m´etodo num´erico asociado a la FF de las ecuaciones de Maxwell. Permite formular las funciones de dominio (ecuaciones de campo) directamente en forma finita usando variables globales (integradas) [Ton01b, TZ10, Ton14]. Las ecuaciones constitutivas y las leyes f´ısicas se definen a nivel de celda. Su estructura matem´atica se basa en dos celdas complejas duales orientadas con una asiganaci´on de las variables globales a sus elementos(simplex). Su implementaci´on a nivel de programas comerciales de uso gen´erico, se desconoce en la literatura consultada. Existe un proyecto de implementaci´on que usa el m´etodo FIT dirigido por T. Weiland, y cuyo software se denomina MAxwell Finite Integration Algoritm (MAFIA) [Wei90, BDD+92]. Los programas que se han utilizado para el m´etodo FEM, son el Getdp y el FEMM [DG13, Mee09]. Los programas implementados con el CM se han desarrollado en GNU/C++ y Scilab [Tie88, Ent12]. Se han utilizado estos programas por ser software libre o de fuente abierta, con reputado uso en el ´ambito cient´ıfico, permitiendo amplias posibilidades de 13 Cap´ıtulo 2. Estado del Arte. adaptaci´on program´atica a los problemas planteados. En las aportaciones que se presentan en esta tesis, se utiliza la Formulaci´on Finita (FF) con una implementaci´on original del M´etodo de la Celda (CM) [HB10]. Se han hecho aportaciones del CM con ecuaciones circuitales tanto en 3D como en 2D. Los resultados se han comparado con aquellos resultantes de aplicar el M´etodo de los Elementos Finitos (FEM) en cada caso. Comprob´andose la convergencia de los resultados del m´etodo CM en funci´on de incrementos en la densidad del mallado, con los de referencia obtenidos mediante el FEM. 2.3. Ecuaciones del medio magn´eticas y el´ectricas. 2.3.1. Ecuaciones constitutivas. Las ecuaciones constitutivas son aquellas que relacionan las variables de configuraci´on, asociadas al mallado primal, con las variables fuente, asociadas al mallado dual, y que adem´as contienen informaci´on acerca del material y de los par´ametros del sistema. Con el fin de asociar adecuadamente estas variables en los mallados, las primeras clasificaciones distinguen entre el grupo de variables el´ectricas asociadas al mallado primal y el grupo de variables magn´eticas asociadas al mallado dual. En estas primeras clasificaciones los mallados se definieron ortogonales entre s´ı [Y+66, BK00]. En geometr´ıas complejas con contornos curvos y objetos de dimensi´on espacial irregular, se hace necesaria una discretizaci´on basada en tetraedros y tri´angulos, entre otras formas posibles [Ton02a, Mar02, Mar04]. Las ecuaciones constitutivas adem´as, contienen informaci´on m´etrica y de par´ametros constitutivos, asociando las variables f´ısicas con entidades geom´etricas de distinto tipo. Las primera clasificaci´on rigurosa del an´alisis te´orico de las leyes f´ısicas y la relaci´on existente entre ellas est´an representadas en los diagramas de Tonti [Ton01c, Ton01a, Ton01b, DFRR09]. Para resolver las matrices constitutivas se ha utilizado como m´etodo n´umerico el m´etodo de la celda (CM). Estas matrices deben cumplir una serie de propiedades para resolverse mediante el CM. Deben de ser matrices sim´etricas definidas positivas, precisas y 14 2.3. Ecuaciones del medio magn´eticas y el´ectricas. consistentes. Con estas propiedades se asegura la estabilidad del m´etodo num´erico, se reducen los errores de discretizaci´on en mallados poco densos y se asegura que las matrices reconstruyen un campo uniforme sin introducir variaciones [Mar01b, CST07]. Las ecuaciones que rigen el medio son las ecuaciones magn´eticas y las ecuaciones el´ectricas. Las hip´ostesis consideradas asumen la uniformidad de los campos ~ By~ Hen el interior de cada volumen o celda. Las ecuaciones constitutivas magn´eticas relacionan el vector de flujo magn´etico (variable de configuraci´on) con el vector de voltaje magn´etico (variable fuente) de forma local [Rep07, CFRG08]. En esta tesis la alternativa utilizada se basa en la interpolaci´on local para relacionar el vector de flujo magn´etico con el vector de voltaje magn´etico, para ello se utilizan las funciones de forma de Whitney, dentro de cada celda [Bos88b, WPFH94, GB11]. Este tipo de vectores y las funciones de interpolaci´on son utilizados para definir las ecuaciones constitutivas para el CM [HB10]. En las ecuaciones el´ectricas, la interpolaci´on relaciona los vectores de corrientes (variable fuente) y fuerzas electromotrices (variable de configuraci´on), utiliz´andose tambi´en las funciones de Whitney dentro de cada celda [Rep07]. Para la deducci´on de las ecuaciones constitutivas no hay un m´etodo ´unico. Desde un punto de vista geom´etrico se pueden definir funciones de interpolaci´on como las funciones de Whitney que se utilizan en esta tesis, pero existen otros como el m´etodo de la microcelda [Mar04, MFF02], m´etodos mixtos [Mar99], etc. 2.3.2. Ecuaciones circuitales. Junto con los dominios discretos tambi´en se han implementado dominios circuitales, constitu´ıdos por ecuaciones circuitales. Las ecuaciones circuitales tienen una parte topol´ogica y otra parte de ecuaciones constitutivas. Las matrices topol´ogicas utilizadas en las ecuaciones circuitales son las matrices A, B y Q. 15 Bibliograf´ıa [Sch06] M. Sch¨afer. Computational engineering: introduction to numerical methods. Springer, 2006. [SF96] P. P. Silvester and R. L. Ferrari. Finite elements for electrical engineers. Cambridge university press, 1996. [SP90] M. N. O. Sadiku and A. F. Peterson. A comparison of numerical methods for computing electromagnetic fields. In Southeastcon’90. Proceedings., IEEE, pages 42–47. 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On the numerical solution of maxwell’s equations and applications in the field of accelerator physics. Technical report, Deutsches Elektronen-Synchrotron (DESY), Hamburg (Germany, FR), 1984. [Wei84b] T. Weiland. On the unique numerical solution of maxwellian eigenvalue problems in three dimensions. Technical report, Deutsches ElektronenSynchrotron (DESY), Hamburg (Germany, FR), 1984. [Wei90] T. Weiland. Solving maxwell’s equations in 3d and 2d by means of mafia. In Proc. of the Conf. on Computer Codes and the Linear Accelerator Community, LA-11857-C, 1990. [Wei96] T. Weiland. Time domain electromagnetic field computation with finite difference methods. International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, 9(4):295–319, 1996. [WPFH94] M.-F. Wong, O. Picon, and V. Fouad Hanna. The impact of whitney forms on computational electromagnetics. In Antennas and Propagation Society 23 Bibliograf´ıa International Symposium, 1994. AP-S. Digest, volume 3, pages 2076–2079 vol.3, June 1994. [Y+66] K. S. Yee et al. Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell’s equations in isotropic media. IEEE Trans. Antennas Propag, 14(3):302–307, 1966. [ZLO77] O. C. Zienkiewicz, J. Lyness, and D. Owen. Three-dimensional magnetic field determination using a scalar potential–a finite element solution. Magnetics, IEEE Transactions on, 13(5):1649–1656, Sep 1977. 24 Cap´ıtulo 3 Geometr´ıa Computacional Aplicada a la Formulaci´on Finita. ´ Indice 3.1. Introducci´on.............................. 26 3.2. Celdas complejas. Discretizaci´on del espacio eucl´ıdeo R3. . . 28 3.3. Orientaci´on de las celdas complejas. . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4. Matrices de incidencia en celdas complejas. . . . . . . . . . . . 33 3.5. La f´ormula de Euler-Poincar`e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.6. Relaci´on entre elementos para mallados densos. . . . . . . . . 36 3.7. Resultados y discusi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7.1. C´alculo de matrices topol´ogicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.7.2. F´ormulas de Euler para objetos de dimensi´on 2. . . . . . . . . 46 3.7.3. F´ormulas de Euler para objetos de dimensi´on 3. . . . . . . . . 48 3.7.4. Estudio de la convergencia en mallados densos. . . . . . . . . . 51 25 Cap´ıtulo 3. Geometr´ıa Computacional Aplicada a la Formulaci´on Finita. Resumen. En este cap´ıtulo, se hace uso de la celda compleja como elemento b´asico mediante el cual se derivar´an las nociones de orientaci´on, dualidad y n´umeros de incidencia. Tambi´en se definen los elementos topol´ogicos necesarios para obtener un conjunto de matrices topol´ogicas denominadas G,C, y Dy sus respectivas duales ˜ G,˜ C, y ˜ D. Definidas las matrices de incidencias, se determinar´an el ´arbol de la red topol´ogica, la matriz fundamental de bucle y la matriz fundamental de corte. Mediante la f´ormula de Euler-Poincar`e, se podr´a cuantificar las relaciones entre los diferentes elementos. Pero especialmente para mallados muy densos, donde el n´umero de ecuaciones es bastante elevado, se hace necesario disponer de alguna herramienta que determine cuantitativamente estas relaciones. Una aproximaci´on asint´otica de dicha f´ormula, hace posible esta cuantificaci´on dando informaci´on sobre el n´umero de inc´ognitas totales, al no existir una ecuaci´on anal´ıtica. 3.1. Introducci´on. La topolog´ıa –-topo lugar, -logia estudio – es la rama de las matem´aticas que trata especialmente de la continuidad y de otros conceptos m´as generales originados de ella, como las propiedades de las figuras con independencia de su tama˜no o forma. De como unas formas est´an relacionadas e interconectadas con sus vecinas para formar un espacio. Es una disciplina esencialmente constructiva, de car´acter abstracto, que utiliza t´ecnicas de la geometr´ıa cl´asica, teor´ıa de grafos, teor´ıa de conjuntos y del ´algebra lineal. El t´ermino de topolog´ıa computacional ha terminado derivando en lo que se conoce como geometr´ıa computacional, que es el estudio mediante la computaci´on para resolver problemas geom´etricos, con algoritmos y estructuras de datos eficientes [Mil97, PS78, Sha05]. Indiscutiblemente, la geometr´ıa es el fundamento de la mayor´ıa de las teor´ıas f´ısicas actuales. En todas ellas existe una gran estructura geom´etrica subyacente. Y se ha con26 3.1. Introducci´on. vertido en el lengua madre de numerosas teor´ıas f´ısicas y matem´aticas actuales [DKT08]. En este cap´ıtulo se definen los elementos que forman una red topol´ogica y la relaci´on que existen entre ellos, tanto en el espacio eucl´ıdeo R2para el plano, como en R3para el espacio tridimensional. Entre estas definiciones se encuentra como elemento de mayor dimensi´on la celda compleja, herramienta topol´ogica b´asica que determina las nociones de orientaci´on,dualidad y n´umeros de incidencia, mediante un conjunto de matrices topol´ogicas primarias y duales [Ton76, Ton01a, DST06]. Las celdas complejas van a representar los denominados grafos orientados odirigidos [Mar01, Ton01b]. La teor´ıa de grafos ha jugado un papel fundamental en el descubrimiento de propiedades estructurales en los circuitos el´ectricos. Esto es porque son una representaci´on pictogr´afica de los circuitos y capturan todas sus caracter´ısticas estructurales. Por ello, en las matrices circuitales quedar´a reflejada la naturaleza dual de los circuitos y los conjuntos de corte, mediante el ´arbol y las matrices de bucle y de corte fundamentales. Para hallar estas matrices circuitales se ha utilizadado una implementaci´on del algoritmo de Welsh [KPSB+97, TVMG99]. Las expresiones de Euler-Poincar`e van a determinar las relaciones cuantitativas que existen entre los elementos topol´ogicos. Esta cuantificaci´on en las relaciones, permite conocer la relaci´on entre el n´umero de ecuaciones y el n´umero de inc´ognitas en problemas determinados [SGM11]. En los mallados esta cuantificaci´on se corresponde con la f´ormula de Euler-Poincar`e y su caracter´ıstica, que depende del g´enero que posea el objeto topol´ogico. En mallados muy densos se puede obtener de forma emp´ırica una relaci´on aproximada entre el n´umero de elementos de menor dimensi´on y los correspondientes de mayor dimensi´on, permitiendo un conocimiento previo del n´umero de inc´ognitas, lo que permitir´a determinar el m´etodo de resoluci´on m´as adecuado [SGM11]. Como mallador se ha utilizado el programa Gmsh de fuente abierta, que incorpora un generador de mallas, un motor de dise˜no asistido CAD y un postprocesador [GR08, GR09]. 27 Cap´ıtulo 3. Geometr´ıa Computacional Aplicada a la Formulaci´on Finita. 3.2. Celdas complejas. Discretizaci´on del espacio eucl´ıdeo R3. En el espacio eucl´ıdeo R2, los grafos lineales est´an constituidos por elementos del plano definidos como formas-0 o celdas-0 para los puntos, y formas-1 o celdas-1 para las l´ıneas. Sin embargo, en el espacio eucl´ıdeo R3aparecen dos nuevos tipos de elementos topol´ogicos, los vol´umenes y las superficies definidas como formas-3 o celdas-3 y formas-2 o celdas-2, respectivamente. Las celdas complejas son las herramientas b´asicas de la topolog´ıa algebraica. En esta rama de la topolog´ıa muchos conceptos se han desarrollado alrededor de las celdas complejas incluyendo las nociones de orientaci´on, dualidad y n´umeros de incidencia [Ton13, TK04, Ton14]. Figura 3.1: Discretizaci´on de una esfera mediante tetraedros. Los elementos geom´etricos orientados que discretizar´an el espacio en donde se encuentran, se pueden entender como parte de la celda compleja primaria, principal o fundamental. Estos elementos crear´an un mallado que abarcar´a toda la regi´on donde el fen´omeno f´ısico a estudiar ser´a considerado. Los v´ertices ph, lados li, caras sjy celdas vkser´an representadas por puntos P, l´ıneas L, superficies Sy vol´umenes Vde la celda compleja primaria K. Los sub´ındices indican el n´umero de elementos geom´etricos. A partir del complejo primario, se introduce el complejo dual ˜ Kcompuesto de los elementos geom´etricos ˜ vh,˜ si,˜ lj,˜ pkindicados con la tilde de la letra ˜n o virgulilla (˜) para 28 3.2. Celdas complejas. Discretizaci´on del espacio eucl´ıdeo R3. distinguirlos de los elementos geom´etricos correspondientes de la celda primaria compleja K. La dualidad entre los dos complejos Ky˜ Krelaciona los elementos geom´etricos correspondientemente de la siguiente forma: ph↔˜ vh li↔˜ si sj↔˜ lj vk↔˜ pk (3.1) Las celdas del complejo primario Kest´an basadas en celdas tetra´edricas vk, y las del dual complejo ˜ Kse basan en la subdivisi´on baric´entrica a partir de K. Es decir, el nudo dual ˜ pkes el baricentro del tetraedro vk; el lado o arista dual ˜ ljatraviesa la cara o superficie primaria sj, que tiene dos segmentos que van cada uno, del baricentro de la cara sja los baricentros de los dos tetraedros que comparten la cara (Fig. 3.2) [RT04]. Figura 3.2: Subdivisi´on baric´entrica dual - l´ınea de puntos -, arista dual ˜ ljy nudo dual ˜ pk. La cara dual ˜ si, atravesada por el lado del primario li, es la uni´on de un n´umero de caras cuadril´ateras que est´an delimitadas cada una de ellas por cuatro nudos definidos 29 Cap´ıtulo 3. Geometr´ıa Computacional Aplicada a la Formulaci´on Finita. por: el baricentro del lado li, el baricentro del tetraedro que contiene las dos caras sjque tienen en com´un el lado li, y los baricentros de las dos caras sj(Fig. 3.3). Figura 3.3: Una de las caras cuadril´ateras que forma una cara dual ˜ si. Una celda dual ˜ vhforma un volumen que contiene un nudo principal ph, que es el baricentro dual. Las caras que lo rodean son las caras duales ˜ sj(Fig. 3.4). Figura 3.4: Una celda dual ˜ vhforma un volumen delimitado por caras duales ˜ si. 30 3.3. Orientaci´on de las celdas complejas. Por tanto, el complejo primario Kestar´a formado por un mallado simplicial de dimensi´on 1 −d, 2 −do 3 −dseg´un el problema, mientras el complejo dual ˜ Kestar´a formado por un mallado baric´entrico de igual dimensi´on [DFRR09]. 3.3. Orientaci´on de las celdas complejas. Los elementos espaciales como los puntos, l´ıneas, superficies y vol´umenes pueden ser dotados de una orientaci´on [FGR08, Mar01, Ton01b]. Hay dos tipos de orientaciones: interna y externa. Orientaci´on interna: Siempre que la orientaci´on de un elemento espacial se encuentre en el mismo elemento, se dice que se ha establecido una orientaci´on interna, como se muestra en la figura 3.5. Figura 3.5: Elementos de dimensi´on 0, 1, 2 y 3, y orientaci´on interna. La orientaci´on interna de un punto puede ser concebida como una fuente o sumidero. En la presente tesis, la orientaci´on interna de los elementos de forma −0 o puntos P tiene valor positivo cuando es considerado como un sumidero. La orientaci´on interna del elemento de forma −1 o l´ınea L, es la direcci´on intr´ınseca coincidente con ella misma. La orientaci´on interna del elemento de forma −2 o superficie S, es la direcci´on a lo largo de su frontera. Por ´ultimo, la orientaci´on interna del elemento de forma −3 o volumen V, es la orientaci´on compatible con la de sus caras. La orientaci´on interna de los vol´umenes en la presente tesis tiene valor positivo cuando es considerado como una fuente [Ton01b]. Esta es equivalente a la regla del sacacorcho [Tre02]. 31 Cap´ıtulo 3. Geometr´ıa Computacional Aplicada a la Formulaci´on Finita. nudos ={1,2,3,4,5}(3.12) El conjunto de lados o aristas viene determinado por pares de nudos. La orientaci´on de las aristas es arbitraria y el sentido est´a definido de nudo inicial a nudo final (Fig. 3.10). Las aristas est´an formadas por el conjunto indicado a continuaci´on, aristas ={l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,l8,l9}(3.13) Cada arista lnest´a formada por el conjunto de pares de nudos con una orientaci´on interna que va del primer nudo al segundo nudo, quedando asignados de la siguiente forma: l1={2,3};l2={3,5};l3={5,4};l4={4,2};l5={2,5}; l6={3,4};l7={2,1};l8={1,3};l9={5,1}(3.14) En la figura 3.10 est´an definidos los elementos forma-1 que se corresponden con las aristas y sus respectivas orientaciones respecto de los nudos o v´ertices. Figura 3.10: Orientaciones de los elementos de forma-1. El conjunto de caras definen la denominada forma-2. Este conjunto est´a formado por las caras de los tetraedros. 38 3.7. Resultados y discusi´on. Figura 3.11: Orientaciones de los elementos de forma-2. Su orientaci´on viene determinada de forma arbitraria y el sentido viene dado por el orden de secuencia de la tripleta de nudos que la componen. El conjunto se define de la siguiente forma: caras ={s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7}(3.15) Cada cara snest´a formada por el conjunto de tripletas de nudos cuya orientaci´on interna viene dada por la secuencia nudo primero, nudo segundo, nudo tercero. s1={2,3,5};s2={3,5,4};s3={5,4,2};s4={3,4,2}; s5={5,2,1};s6={2,1,3};s7={1,3,5}(3.16) En la Fig. 3.11 est´an definidos los elementos forma-2 que se corresponden con las caras y sus respectivas orientaciones. 39 Cap´ıtulo 3. Geometr´ıa Computacional Aplicada a la Formulaci´on Finita. Figura 3.12: Elementos de forma-3, separados. Por ´ultimo en la Fig. 3.12 se representan los elementos denominados como forma-3, que se corresponden con los vol´umenes que forman los dos tetraedros del mallado. vol´umenes ={v1,v2}(3.17) Cada vol´umen vnest´a formado por el conjunto de cuadrupletas de nudos cuya orientaci´on interna viene dada por la secuencia arbitraria de sus aristas. v1={2,3,5,4};v2={5,2,1,3}(3.18) Por definici´on, as´ı como los nudos est´an orientados internamente como sumideros, o sea con signo positivo todo lo que entra hacia su interior, los vol´umenes est´an orientados internamente como fuentes, o sea con signo positivo todo lo que sale hacia el exterior. Para determinar la orientaci´on del volumen de cada tetraedro, las cuadrupletas de nudos identificadas como {i, j, k, p}, se comparan con un volumen orientado de referencia como el de la figura 3.13, cuya orientaci´on es positiva, con las caras orientadas hacia el exterior seg´un la regla de la mano derecha o sentido antihorario. En el ejemplo, las cuadrupletas de nudos de cada vol´umen se van a identificar como {i, j, k, p}, de tal forma que la cara formada por los nudos i, j, k forman un plano que divide al espacio en dos partes. Si desde el lado opuesto al nudo pse observa el sentido 40 3.7. Resultados y discusi´on. Figura 3.13: Tetraedro de referencia {p, i, j, k}. de los dem´as nudos i, j, k hacia la izquierda (sentido antihorario), el volumen es positivo (+), y si el sentido es hacia la derecha ( sentido horario), el volumen es (-) [FT97]. Para el ejemplo tratado, la matriz de incidencias entre aristas en las filas (9 elementos) y v´ertices en las columnas (5 elementos), proporcionar´a la matriz Gdefinida como G=                   0−1 1 0 0 0 0 −1 0 1 0001−1 010−1 0 0−1 0 0 1 0 0 −1 1 0 1−1 0 0 0 −10100 1000−1                   (3.19) La matriz Cviene determinada por las incidencias del conjunto de caras (7 elementos) en las filas, frente a aristas (9 elementos) en las columnas. 41 Cap´ıtulo 3. Geometr´ıa Computacional Aplicada a la Formulaci´on Finita. C=              1 1 0 0 −10000 0 1 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 1 0 −1 −1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1              (3.20) Y por ´ultimo, la matriz Dcorrespondiente viene determinada por las incidencias del conjunto de vol´umenes (2 elementos) en las filas, frente a las caras (7 elementos) en las columnas. D="−1 1 −1 1 0 0 0 1 0 0 0 −1 1 −1#(3.21) Las matrices obtenidas G,CyD, son las matrices de incidencias entre las diferentes formas que definen en el denominado mallado primal o primario. Uno de los nuevos elementos topol´ogicos es la matriz A. La matriz A est´a definida por las incidencias entre el n´umero de v´ertices o nudos en las filas y el n´umero de ramas en las columnas y se define como: A=−GT(3.22) Para el ejemplo desarrollado el n´umero de nudos = 5 y el n´umero de ramas = 9. El lazo es un conjunto de aristas que forman una l´ınea cerrada. Topol´ogicamente las caras son un caso particular de los lazos. Y viene dado por la expresi´on: n´umero de lazos =n´umero de ramas −(n´umero de nudos −1) (3.23) en el ejemplo que se viene desarrollando el n´umero de lazos = 5. Los conjuntos que forman los lazos en el ejemplo son los siguientes: 42 3.7. Resultados y discusi´on. {l1,l2,l3,l4} {l1,l2,l5} {l2,l3,l6} {l1,l7,l8} {l1,l2,l7,l9} (3.24) En la figura 3.14 se representa el lazo formado por el conjunto {l1,l2,l3,l4}. Figura 3.14: Lazo formado por {l1,l2,l3,l4}. El primer elemento topol´ogico a definir es el ´arbol. Una estructura topol´ogica conexa es aquella que permite pasar de uno de sus nudos a otro cualquiera mediante una l´ınea continua formada por aristas o ramas de la propia estructura. Si se tiene una estructura conexa con nnudos, entonces un ´arbol es cualquier subconjunto de sus aristas o ramas que sea conexo pero abierto, es decir sin lazos o bucles, que adem´as contenga a todos los nudos. El n´umero de aristas o ramas del ´arbol est´a formado por: n´umero de ramas del ´arbol =n´umero de nudos −1 (3.25) Para la obtenci´on del ´arbol y de las matrices ByQ, se ha implementado el algoritmo de Welsh mediante un programa escrito en C++ [KPSB+97]. En el ejemplo viene dado por: 43 Cap´ıtulo 3. Geometr´ıa Computacional Aplicada a la Formulaci´on Finita. ´ Arbol =h111000100i(3.26) El ´arbol obtenido no es ´unico y var´ıa en funci´on del criterio de b´usqueda adoptado. Su representaci´on se puede ver en la figura 3.15. Bucle b´asico o fundamental es aquel bucle que se define respecto de un ´arbol y contiene un s´olo eslab´on. n´umero de bucles fundamentales =n´umero de ramas del ´arbol −(n´umero de nudos −1) (3.27) Bbucles×ramas =Bb,r =         Bb,r = +1 ⇔ {r∈b}∧{el sentido de r coincide con el de b} Bb,r =−1⇔ {r∈b}∧{el sentido de r es contrario al de b} Bb,r = 0 ⇔ {r /∈b} (3.28) Un grupo de corte b´asico o fundamental respecto de un ´arbol dado, es un conjunto de ramas de las que s´olo una pertenece al ´arbol. n´umero de grupos de corte b´asico =n´umero de ramas del ´arbol =n´umero de nudos −1 (3.29) Qcortes×ramas =Qc,r =         Qc,r = +1 ⇔ {r∈c}∧{el sentido de la r coincide con el de c} Qc,r =−1⇔ {r∈c}∧{el sentido de la r es contrario al de c} Qc,r = 0 ⇔ {r /∈c} (3.30) 44 3.7. Resultados y discusi´on. 5 2 3 4 1 Figura 3.15: ´ Arbol del conjunto formado por {l1,l2,l3,l7}. La matriz fundamental de bucle la determina todas las incidencias entre los conjuntos de lazos o bucles fundamentales y las aristas o ramas, quedando definida como: B=         1 1 1 1 0 0 0 0 0 −1−1 0 0 1 0 0 0 0 0−1−1 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 −1 0 1         (3.31) Los grupos de corte est´an formados por aquel conjunto de aristas de forma que su supresi´on, dejar´ıa dividida en dos partes inconexas la estructura topol´ogica. Topol´ogicamente las aristas que concurren en un nudo son un caso particular del grupo de corte. Los conjuntos que forman los grupos de corte en el ejemplo, son los siguientes: {l7,l8,l9} {l1,l4,l5,l8,l9} {l2,l4,l5,l6,l9} {l3,l4,l6} (3.32) En la figura 3.16 se representa el grupo de corte formado por el conjunto {l7,l8,l9}. 45 Cap´ıtulo 3. Geometr´ıa Computacional Aplicada a la Formulaci´on Finita. 5 2 3 4 1 Figura 3.16: Grupo de corte {l7,l8,l9}. Y por ´ultimo se define la matriz fundamental de corte, determinada por las incidencias entre los cortes y las ramas: Q=      0 0 0 0 0 0 1 −1 1 1 0 0 −1 1 0 0 1 −1 0 1 0 −1 1 1 0 0 −1 0 0 1 −1 0 1 0 0 0       (3.33) Como referencia, los elementos de mayor n´umero de forma estar´an siempre en las filas frente a la forma inmediatamente inferior en las columnas. Los elementos de forma1 (aristas) y los elemenetos de forma-2 (caras) que se comparten y son comunes, son evaluados una sola vez. 3.7.2. F´ormulas de Euler para objetos de dimensi´on 2. La f´ormula de Euler-Poincar´e se comprueba para espacios de dimensi´on 2, en la esfera, el toro y el cilindro. Estos dominios ser´an los que se utilicen como prototipos en la presente tesis. 46 3.7. Resultados y discusi´on. N´umero de Elementos V´ertices (P) 110 Aristas (L) 324 Caras (S) 216 Figura 3.17: Elementos 2D de la superficie de una esfera. En la esfera de dimensi´on 2, aplicando la f´ormula (3.7), se obtiene que P−L+S= 110 −324 + 216 = 2 (3.34) si su g´enero g= 0, la caracter´ıstica de Euler valdr´a χ(S) = 2 −2g= 2 (3.35) N´umero de Elementos V´ertices (P) 261 Aristas (L) 783 Caras (S) 522 Figura 3.18: Elementos 2D de la superficie de un toro. Para la superficie del toro, aplicando la misma f´ormula se obtiene P−L+S= 261 −783 + 522 = 0 (3.36) en este caso su g´enero g= 1, y la caracter´ıstica de Euler valdr´a χ(T)=2−2g= 0 (3.37) 47 Bibliograf´ıa [Bos98] A. Bossavit. Computational Electromagnetism, Variational Formulations, Complementary, Edge Elements. Academic Press, 1998. [CF04] E. Cardelli and A. Faba. FEM analysis of thin cracks in metallic plates. International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, (19):503– 507, 2004. [CFS+05] E. Cardelli, A. Faba, R. Specogna, A. Tamburrino, F. Trevisan, and S. Ventre. Analysis methodologies and experimental benchmarks for eddy current testing. 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Clasificaci´on de las magnitudes electromagn´eticas. . . . . . . 62 4.3. La t´ecnica de integraci´on finita y las ecuaciones de Maxwell. 64 4.3.1. Introducci´on. ............................ 64 4.3.2. Ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4. Principios asociados a la formulaci´on finita. . . . . . . . . . . 74 4.4.1. Elementos de tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.5. Las leyes de Maxwell en forma finita o global. . . . . . . . . . 77 4.6. Forma local de las ecuaciones de campo. . . . . . . . . . . . . 80 4.7. Ejemplos de la forma local de las ecuaciones de campo. . . . 81 4.7.1. Ley de Inducci´on de Faraday. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.7.2. Ley de Inducci´on de Amp`ere-Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . 83 4.7.3. Ley de Gauss Magn´etica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.7.4. Ley de Gauss El´ectrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 59 Cap´ıtulo 4. Ecuaciones Topol´ogicas de Las Leyes de Maxwell en la Formulaci´on Finita. Resumen. La formulaci´on diferencial de las ecuaciones de Maxwell, ha sido utilizada durante m´as de dos siglos en el analisis de campos electromagn´eticos. Sin embargo, la Formulaci´on Finita est´a siendo cada vez m´as utilizada en la soluci´on de problemas de campos electromagn´eticos, puesto que en su formulaci´on no se hace uso de los operadores diferenciales. Weiland hace una descripci´on en forma discreta de las mismas, mediante su T´ecnica de Integraci´on Finita (FIT), y las expresa como un conjunto de ecuaciones matriciales adecuadas para la computaci´on num´erica. Este conjunto de ecuaciones matriciales discretas constituye las denominadas ecuaciones de malla de Maxwell (MGE). Como t´ecnica similar, Tonti en su Formulaci´on Global adem´as de las variables espaciales tambi´en discretiza el tiempo. D´a un enfoque en el estudio de campos electromagn´eticos, basado en el uso de valores integrales de las variables que denomina variables globales. Proporciona una clasificaci´on de las variables f´ısicas y establece unos principios que asocian las variables con los elementos de espacio y tiempo. 4.1. Introducci´on. En el presente cap´ıtulo, se plantean las ecuaciones de Maxwell para los campos electromagn´eticos, en su forma finita. La literatura consultada, indica que Weiland hace un planteamiento discreto de estas ecuaciones, enfocado a fines computacionales, creando una reformulaci´on de las mismas mediante lo que denomina T´ecnica de Integraci´on Finita [CW99, CW01b, HM04, KLMDP08]. La notaci´on y las ideas sobre la FIT, derivan directamente de las ecuaciones de Maxwell en su forma integral. Estas se resuelven obteni´endose un conjunto matricial de ecuaciones que constituyen los an´alogos discretos de cada una de ellas [Wei96, CW01a, Mar01, Mar04]. 60 4.1. Introducci´on. Para el tratamiento computacional, se trabaja con un dominio espacial acotado del problema de campo electromagn´etico, que contiene la regi´on de inter´es. El dominio se descompone mediante un n´umero finito de celdas tetra´edricas simpliciales, que constituyen el mallado primario y su respectivo dual. Las magnitudes f´ısicas se asignan a los elementos del mallado primal y del mallado dual como grados de libertad en las p-celdas [AFR10, CW01a]. Weiland en definitiva, hace una primera discretizaci´on de las ecuaciones de Maxwell usando integrales de variables de estado asignadas a los elementos de dimensi´on-pque forman las celdas del mallado [SW01, CW01a]. Por otra parte, los an´alisis electromagn´eticos llevada a cabo por Tonti [Ton02a, Ton02b, Ton76, Ton01] contribuyen al planteamiento de una forma discreta de las ecuaciones de Maxwell, donde no intervienen los vectores de campo involucrados en la formulaci´on diferencial, siendo ´esta una diferencia con el planteamiento hecho por Weiland. Las leyes f´ısicas del electromagnetismo y sus ecuaciones constitutivas se interpretan geom´etricamente mediante variables integrales, que Tonti define como variables globales. Tonti estructura su planteamiento mediante dos principios fundamentales, donde establece los criterios que relacionan las variables globales con los elementos de espacio y de tiempo. El tiempo lo discretiza considerando un conjunto discreto de instantes e intervalos [Ton76, Rep07]. En el cap´ıtulo, se asocian los planteamientos matem´aticos-f´ısicos desarrolladados por Weiland y Tonti en el planteamiento de las leyes electromagn´eticas de Maxwell, basada en la formulaci´on finita y la formulaci´on global. En la secci´on 4.2 se clasifican las magnitudes f´ısicas de origen electromagn´etico, atendiendo al tipo de variable y a su orientaci´on. En la secci´on 4.3 se introduce las t´ecnicas de integraci´on finita y las ecuaciones de Maxwell. En las secci´on 4.4 son definidos los principios asociados a la formulaci´on finita que relacionan los elementos de espacio y tiempo. En la secci´on 4.5 se plantea las leyes electromagn´eticas en su forma global. En la secci´on 4.6 se planteas las mismas en su forma local. Y por ´ultimo, en la secci´on 4.7 se desarrolla un ejemplo para la forma local. 61 Cap´ıtulo 4. Ecuaciones Topol´ogicas de Las Leyes de Maxwell en la Formulaci´on Finita. Figura 4.1: Diagrama de magnitudes electromagn´eticas de Tonti. 4.2. Clasificaci´on de las magnitudes electromagn´eticas. Un primer criterio de clasificaci´on, de gran utilidad en la ense˜naza e investigaci´on, es aquel que est´a basado en el papel que desempe˜na cada variable f´ısica en una teor´ıa. Este an´alisis lleva a la definici´on de tres clases de variables: las variables de configuraci´on, las variables de fuente y las variables de energ´ıa. En electromagnetismo, estas variables se muestran mediante los diagramas de Tonti, como el de la figura 4.1 [Ton02b, Ton02a, Ton76, Ton01, FGR08]. En cada campo de la f´ısica se puede encontrar: Las variables de configuraci´on, que son las que describen la configuraci´on de un campo o de un sistema. Estas variables est´an relacionadas unas con otras mediante operaciones de suma, diferencia, l´ımite, derivada e integral. 62 4.2. Clasificaci´on de las magnitudes electromagn´eticas. Las variables fuente, que son las que describen las fuentes de un campo o las fuerzas que act´uan sobre un sistema. Estas variables est´an relacionadas unas con otras mediante operaciones de suma, diferencia, l´ımite, derivada e integral. Las variables de energ´ıa, que son las que se obtiene mediante el producto de una variable de configuraci´on por una variable fuente. Estas variables est´an relacionadas unas con otras mediante operaciones de suma, diferencia, l´ımite, derivada e integral. Esta clasificaci´on desempe˜na un papel crucial en las teor´ıas f´ısicas [Ton02b, Ton02a, Ton76, Ton01]. Como consecuencia de esta clasificaci´on se definen las ecuaciones constitutivas, que son ecuaciones que relacionan las variables de configuraci´on con las variables fuente de un campo f´ısico, y contienen propiedades f´ısicas de los materiales y par´ametros m´etricos del sistema (longitudes, superficies, vol´umenes e intervalos de tiempo). Es notable que las variables de configuraci´on integral tienen todas la dimensi´on de un flujo magn´etico y que las variables fuente integral tienen todas la dimensi´on de una carga el´ectrica. El producto de una variable de configuraci´on global y una variable de fuente global tienen la dimensi´on de una acci´on (energ´ıa x tiempo). El diagrama 4.1 muestra las seis variables integrales que se pueden medir y su correspondientes funciones de campo [TS05, ST05]. Un segundo criterio de clasificaci´on distingue entre variables globales y variables de campo. La formulaci´on finita en electromagnetismo implica la b´usqueda de un tipo de formulaci´on independiente a la diferencial. Las variables globales son en realidad las com´unmente conocidas como variables integrales. Las medidas f´ısicas est´an relacionadas o asociadas principalmente con las variables globales, y con ellas se pueden medir directamente voltajes, flujos, contenido de carga y flujos de carga, pero no los vectores de campo. Sin embargo, una magnitud o cantidad global est´a referida a un sistema, a un espacio o elemento de tiempo, como son las l´ıneas, superficies, vol´umenes, intervalos, etc., o sea, 63 Cap´ıtulo 4. Ecuaciones Topol´ogicas de Las Leyes de Maxwell en la Formulaci´on Finita. C:= {ci,j}i:si∈S;j:lj∈L(4.5) y ˜ C:= {˜ci,j}i:˜ si∈˜ S;j:˜ lj∈˜ L(4.6) respectivamente, son los an´alogos discretos del operador rotacional. De igual forma, el teorema de Gauss para el campo magn´etico X j:sj∈S di,jΦj= 0 ∀i:vi∈V(4.7) y para el dual X j:˜ sj∈˜ S ˜ di,j ˜ Ψj=Qc i∀i:˜ vi∈˜ V(4.8) donde el lado derecho de la igualdad dado por Qc i=Zi:˜ vi∈˜ V ρE·dV(4.9) son las cargas dentro del volumen ˜ vide la celda dual, relacionada con la densidad de carga ρEagrupada en un vector de grados de libertad Qc={Qc i}i:˜ vi∈˜ V⊂˜ K. Las matrices de incidencia caras-vol´umenes del primario y del dual son D:= {di,j}i:vi∈V;j:sj∈S(4.10) y ˜ D:= n˜ di,joi:˜ vi∈˜ V;j:˜ sj∈˜ S(4.11) respectivamente, donde di,j,˜ di,j ∈ {0,±1}. Estas matrices se corresponden con los an´alogos discretos del operador divergencia para Ky˜ K. 70 4.3. La t´ecnica de integraci´on finita y las ecuaciones de Maxwell. An´alogamente, las matrices de incidencia nudos-aristas del primario y del dual, se van a corresponder con los an´alogos discretos del gradiente G:= {gi,j}i:li∈L;j:pj∈P(4.12) y ˜ G:= {˜gi,j }i:˜ li∈˜ L;j:˜ pj∈˜ P(4.13) respectivemante, donde gi,j,˜gi,j ∈ {0,±1}. Esto va a permitir sumar los valores del potencial el´ectrico Viy los valores del potencial magn´etico ~ Ajsituados en los v´ertices pi∈Py˜ pj∈˜ P, para la obtenci´on de los vectores de fuerza electromotriz y fuerza magnetomotriz mediante X j:pj∈P gi,jVj=Ui∀i:li∈L(4.14) y X j:˜ pj∈˜ P ˜gi,j ~ Aj=˜ Fmi∀i:˜ li∈˜ L(4.15) respectivamente. La dualidad de los mallados nK, ˜ Koquedan mostrados en las matrices identidad C=˜ CT(4.16) D=˜ GT(4.17) ˜ D=−GT(4.18) Sumando las expresiones de la (4.3) a la (4.8), las ecuaciones de Maxwell en forma integral para mallados duales nK, ˜ Ko, se reformulan exactamente por construcci´on, obteni´endose las ecuaciones de malla de Maxwell (MGE) [BDD+92, CW01a, CW99, Wei96], 71 Cap´ıtulo 4. Ecuaciones Topol´ogicas de Las Leyes de Maxwell en la Formulaci´on Finita. Figura 4.7: Flujo Magn´etico φasociado a las caras y diferencia de potenciales Uia las aristas, en el complejo primal. Ley de Inducci´on de Faraday. Z∂si ~ E·d~ L=−d dt Zsi ~ B·d~ S∀si∈S⊂K⇒C·U=−d dtΦ(4.19) Por ejemplo, para la ley de inducci´on de Faraday ∇ × ~ E=−∂~ B ∂t (4.20) Clemens [Cle05], plantea esta ley mediante la expresi´on 4.19, donde si se integra en el tiempo queda de la siguiente forma C·U·τ=−∆Φ(4.21) para ilustrar esta ecuaci´on obs´ervese la figura 4.7. tre06,spe01 72 4.3. La t´ecnica de integraci´on finita y las ecuaciones de Maxwell. Ley de Inducci´on de Amp`ere-Maxwell. Z∂si ~ H·d~ L=Z˜ si∂ ∂t ~ D+~ J·d~ S∀˜ si∈˜ S⊂˜ K⇒˜ C·˜ Fm=d dt ˜ Ψ+˜ I(4.22) Como ejemplo ver la figura 4.4. ∇ × ~ H=~ J+∂~ D ∂t (4.23) Clemens [Cle05], plantea esta ley mediante la expresi´on 4.22, donde si se integra en el tiempo queda de la siguiente forma ˜ C·˜ Fm·˜ τ= ∆ ˜ Ψ+˜ I·˜ τ(4.24) De igual forma se plantean las leyes de Gauss para el campo magn´etico y para el el´ectrico, Ley de Gauss Magn´etica. Z∂vi ~ B·d~ S= 0 ∀vi∈V⊂K⇒D·Φ= 0 (4.25) Ley de Gauss El´ectrica. Z∂˜ vi ~ D·d~ S=Z˜ vi ρEdV∀˜ vi∈˜ V⊂˜ K⇒˜ D·˜ Ψ=Qc(4.26) La propiedad algebraica de las matrices de incidencia de mallas DC = 0,˜ D˜ C= 0, CG = 0,˜ C˜ G= 0 (4.27) coincide con el comportamiento de sus equivalentes en las ecuaciones continuas ∇ · (∇×)≡0,∇ × (∇)≡0 (4.28) permitiendo por ejemplo, derivar una versi´on discreta de la ecuaci´on continua. 73 Cap´ıtulo 4. Ecuaciones Topol´ogicas de Las Leyes de Maxwell en la Formulaci´on Finita. Como consecuencia de lo anterior, se tiene que la ecuaci´on D·Φ= 0 revela la existencia de un vector a={ai}, donde ai=Zi:li∈L ~ A·d~ L(4.29) correspondiente a un vector potencial magn´etico ~ A, que contiene un Φ=C·a. Con la expresi´on (4.19), el vector de tensiones puede entonces ser representado como U=−d dta−GV (4.30) con la introducci´on de una funci´on escalar potencial el´ectrico Vcomo se muestra en (4.14), o una integral de tiempo Xdel mismo, dada por V=d dt X. De igual forma, para ˜ DI = 0 alg´un vector Υcuyas componentes est´an formadas por Υi:= Z˜ li∈˜ L ~ T·d~ L(4.31) se encuentra relacionado con un vector potencial el´ectrico ~ T, que puede ser introducido mediante I=˜ C·τ. Las identidades indicadas en (4.27) son condiciones necesarias para la consistencia de la formulaci´on discreta. 4.4. Principios asociados a la formulaci´on finita. Del an´alisis de un gran n´umero de variables f´ısicas de campos, Tonti [Ton02a, Ton76] establece: Primer Principio. Las variables de configuraci´on globales est´an asociadas con los elementos de espacio y tiempo dotados con orientaci´on interna. Al contrario, las variables de fuente globales (y las variables de energ´ıa globales) est´an asociadas con los elementos de espacio y tiempo dotados con orientaci´on externa. 74 4.4. Principios asociados a la formulaci´on finita. La raz´on para asociar las variables de energ´ıa y fuente con la orientaci´on externa es que ellas son usadas en ecuaciones de balance y un balance requiere un volumen con orientaci´on externa (normales hacia el exterior o interior). Este principio ofrece un criterio racional para asociar variables globales de cada teor´ıa f´ısica para elementos de espacio y tiempo, con lo que es ´util en electromagnetismo computacional. Segundo principio. En cada teor´ıa f´ısica, hay leyes f´ısicas que relacionan variables globales referidas a elementos espacio-temporales orientados (Ω), con otros referidos a su frontera orientada (∂Ω). Las leyes fundamentales del electromagnetismo satisfacen este principio [Ton02a]. Para dar un ejemplo dentro del ´ambito del electromagnetismo, este principio dice que una cantidad f´ısica referida a una variedad p-dimensional Ω, como puede ser la corriente I que fluye a trav´es de una superficie (2-dimensional), es igual a una cantidad f´ısica referida a su frontera (p−1)-dimensional ∂Ω, correspondiente a la fuerza magnetomotriz a lo largo de esa frontera ((2 −1)-dimensional). 4.4.1. Elementos de tiempo. Consid´erese un intervalo dado en el eje del tiempo, y div´ıdase este en peque˜nos intervalos como en la Fig. 4.8 [Ara02, CW01b, Mar01, Ton02b]. En una celda compleja en el eje del tiempo, se denota tncomo los instantes de tiempo y τmcomo los intervalos. Los instantes del primario to,t1, ..., tn−1,tn,tn+1, ... est´an orientados como sumideros, como un espacio de puntos [Rep07, Ton02b, Ton01]. Los intervalos del primario τ1, ..., τn,τn+1, ... tendr´an orientaci´on interna, es decir, ser´an orientados hacia el incremento temporal. Los instantes del dual ˜ t1, ...,˜ tn,˜ tn+1, ... tendr´an orientaci´on externa, es decir, tienen la misma orientaci´on que los intervalos del primario. Los instantes del dual ˜ tre06, spe01τ1, ..., ˜ τn,˜ τn+1, ... tienen orientaci´on externa, que es por definici´on, la orientaci´on interna de los instantes del primario [Tre02]. 75 Cap´ıtulo 4. Ecuaciones Topol´ogicas de Las Leyes de Maxwell en la Formulaci´on Finita. Figura 4.8: Discretizaci´on primal-dual del eje de tiempo. Salto de la rana. Cuando se trata con fen´omenos dependientes del tiempo, la f´ısica computacional discretiza el tiempo y considera un conjunto discreto de instantes y los correspondientes intervalos. Para ello, se crea una celda compleja unidimensional sobre el eje del tiempo. En esta celda compleja se definen los dos elementos de tiempo, los instantes del primario I, orientados como sumideros igual que los puntos en el espacio. Los intervalos del primario T, dotados de orientaci´on interna, o sea, est´an orientados hacia el incremento de tiempo [Ton02b, Ton01, Tre02]. Si se elige un instante dentro de cada intervalo de tiempo, se obtiene un instante dual ˜ Ique automaticamente queda dotado de una orientaci´on externa. El intervalo ˜ T entre dos instantes duales es un intervalo dual que autom´aticamente queda dotado de una orientaci´on externa. De esta forma, a cada instante del complejo primario le corresponde un intervalo del dual, y a cada intervalo del primal le corresponde un instante del dual. Por lo tanto, se obtiene una correspondencia dual formada por I↔˜ Ty˜ I↔T. En base a la nomenclatura empleada: Los v´ertices son puntos Pque se denotan en el volumen Vcomo v´ertices ph. La arista Lconecta el v´ertice pkcon el v´ertice ph, por lo que puede denotarse como lhk. Pero se denotar´a de una forma m´as c´omoda, utilizando un sub´ındice griego como lα. Si lαdenota la arista, lαdenota su longitud. Las caras Sse denotar´a como sβ. Si sβdenota una cara, sβdenota su ´area. El volumen Vrepresentado como celda ser´a vk. Si vkdenota una celda, vkdenota su 76 4.5. Las leyes de Maxwell en forma finita o global. volumen [Ton01]. Como se ha visto anteriormente, en el espacio se tienen cuatro elementos y en el tiempo se tienen dos elementos: los instantes Iy los intervalos T. 4.5. Las leyes de Maxwell en forma finita o global. La asociaci´on de las variables f´ısicas a los elementos espaciales y temporales en un complejo primal y en un complejo dual, permiten definir las leyes del electromagnetismo con estos criterios de relaci´on en una celda compleja orientada (Figuras 4.9 y 4.10) [Mar01, Ton02a]. Leyes del Electromagnetismo. La fuerza electromotriz impulso εreferida a la frontera ∂Sde una superficie dotada con orientaci´on interna durante un intervalo de tiempo Tes contraria a la variaci´on de flujo magn´etico Φ que atraviesa la superficie Sen el mismo intervalo (Ley de inducci´on electromagn´etica de Faraday). El flujo magn´etico Φ referido a la frontera ∂Vde un volumen Vdotado de orientaci´on interna se desvanece en cualquier instante I(Ley magn´etica de Gauss). La fuerza magnetomotriz impulso ˜ Fmreferida a la frontera de una superficie ∂˜ S dotada de orientaci´on exterior en un intervalo de tiempo ˜ T, es igual a la suma del flujo de carga el´ectrica Qfque fluye a trav´es de la superficie ˜ Sen ese intervalo de tiempo y a la variaci´on de flujo el´ectrico ˜ Ψque atraviesa la superficie ˜ Sen el mismo intervalo (Ley de Amp`ere-Maxwell). El flujo el´ectrico ˜ Ψa trav´es de la frontera ∂˜ Vde un volumen ˜ Vdotado con orientaci´on exterior en cualquier instante ˜ Ies igual a la carga el´ectrica Qccontenida en el interior del volumen ˜ V, en ese instante (Ley de inducci´on electrost´atica de Faraday = Ley el´ectrica de Gauss). La carga el´ectrica que fluye Qfa trav´es de la frontera ∂˜ Vde un volumen ˜ Vdotado de orientaci´on exterior, en un intervalo, es opuesta a la variaci´on de la carga el´ectrica 77 Cap´ıtulo 4. Ecuaciones Topol´ogicas de Las Leyes de Maxwell en la Formulaci´on Finita. El Potencial El´ectrico V, est´a referido a los puntos del complejo primario. La Diferencia de Potencial U, est´a referido a las l´ıneas del complejo primario. El Flujo Magn´etico Φ, est´a referido a las superficies del complejo primario. Figura 4.9: Variables f´ısicas asociadas al complejo primal. contenida Qcen el interior del volumen, en el mismo intervalo (conservaci´on de la carga). La relaci´on entre las variables f´ısicas globales y los elementos espaciales tanto del primal complejo como del dual complejo se muestra para el campo el´ectrico y para el campo magn´etico en las figuras 4.9 y 4.10. Las 4+1 leyes descritas del electromagnetismo en forma global, se pueden escribir como [Ara02, Ton02a, Ton01]                ε[T, ∂S] = Φ[I−,S]−Φ[I+,S] Φ[I, ∂V] = 0 ˜ Fm[˜ T, ∂˜ S] = ˜ Ψ[˜ I+,˜ S]−˜ Ψ[˜ I−,˜ S] + Qf[˜ T,˜ S] ˜ Ψ[˜ I, ∂ ˜ V] = Qc[˜ I,˜ V] Qf[˜ I, ∂ ˜ V] = Qc[˜ I−,˜ V]−Qc[˜ I+,˜ V] (4.32) 78 4.5. Las leyes de Maxwell en forma finita o global. El Contenido de Carga El´ectrica Qc, est´a referido a los vol´umenes del complejo dual. El Flujo El´ectrico ˜ Ψ, est´a referido a las superficies del complejo dual. El Fuerza Magnetomotriz ˜ Fm, est´a referida a las l´ıneas del complejo dual. El Potencial Magn´etico ˜ Vm, est´a referido a los puntos del complejo dual. Figura 4.10: Variables f´ısicas asociadas al complejo dual. Estas leyes pueden ser expresadas sin recurrir a las celdas complejas, y constituyen las leyes de campo para la formulaci´on finita correspondiente a las ecuaciones de Maxwell. Las ecuaciones (4.32) son los 4+1 leyes del electromagnetismo en la formulaci´on finita, que se estaban buscando. Se trata de ecuaciones algebraicas que cumplen con las siguientes propiedades: vinculan variables f´ısicas de la misma naturaleza, es decir, variables de configuraci´on con variables de configuraci´on, y variables fuente con variables fuente; son v´alidas en cualquier medio y por tanto, est´an libres de cualquier par´ametro del material; son v´alidas para cualquier superficie y cualquier volumen, por lo que son v´alidas para lo grande y lo peque˜no; y no implican nociones m´etricas, es decir, las longitudes, ´areas, medidas de vol´umenes y tiempos, no son necesarias. 79 Bibliograf´ıa [AFR10] P. Alotto, F. Freschi, and M. Repetto. Multiphysics problems via the cell method: the role of tonti diagrams. IEEE Transactions on Magnetics, 46(8):2959–2962, 2010. [Ara02] R. Araneo. Numerical solution of transient electromagnetic scattering problems using the novel time-domain cell method. volume 1, pages 291–296 vol.1, Aug. 2002. [BDD+92] M. Bartsch, M. Dehler, M. Dohlus, F. Ebeling, P. Hahne, R. Klatt, F. Krawczyk, M. Marx, Z. Min, T. Pr¨opper, D. Schmitt, P. Sch¨utt, B. Steffen, B. Wagner, T. Weiland, S. G. Wipf, and H. Wolter. Solution of maxwell’s equations. Computer Physics Communications, 73(1-3):22–39, 1992. [Cle05] M. Clemens. Large systems of equations in a discrete electromagnetism: formulations and numerical algorithms. IEE Proceedings Science Measurement and Technology, 152(2):50–72, 2005. [CW99] M. Clemens and T. Weiland. Transient eddy-current calculation with the fi-method. Magnetics, IEEE Transactions on, 35(3):1163 –1166, may 1999. [CW01a] M. Clemens and T. Weiland. Discrete electromagnetics: Maxwell’s equations tailored to numerical simulations. International Compumag Society newsletter, 8:S. 13–20, January 2001. 87 Bibliograf´ıa [CW01b] M. Clemens and T. Weiland. Discrete electromagnetism with the finite integration technique. Progress In Electromagnetics Research, 32(32):65–87, 2001. [FGR08] F. Freschi, L. Giaccone, and M. Repetto. Educational value of the algebraic numerical methods in electromagnetism. COMPEL The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, 27(6):1343–1357, 2008. [HM04] F. Hirtenfelder and J. Mollet. Phased Array Simulations using Finite Integration Technique. JINA Conference, November 2004. [KLMDP08] J. Korecki, Y. Le Menach, J-P. Ducreux, and F. Piriou. Numerical solutions in primal and dual meshes of magnetostatic problems solved with the finite integration technique. COMPEL: The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, 27(1):47– 55, 2008. [Mar01] M. Marrone. Computational aspects of the cell method in electrodynamics. In F. L. Teixeira, editor, Geometric Methods in Computational Electromagnetics, PIER 32, pages 317–356. EMW Publishing, Cambridge, Mass., 2001. [Mar04] M. Marrone. A new consistent way to build symmetric constitutive matrices on general 2-d grids, 2004. [Rep07] M. Repetto. Two dimensional quasi-static magnetic analysis. 2007. [ST05] R. Specogna and F. Trevisan. Discrete constitutive equations in A-χ geometric eddy-current formulation. Magnetics, IEEE Transactions on, 41(4):1259–1263, april 2005. [SW01] R. Schuhmann and T. Weiland. Conservation of Discrete Energy and Related Laws in the Finite Integration Technique, volume 32, pages 301–316. EMW Publishing, Cambridge, MA, 2001. 88 Bibliograf´ıa [Ton76] E. Tonti. The reason for analogies between physical theories. Applied Mathematical Modelling, 1(1):37–50, 1976. [Ton01] E. Tonti. Finite formulation of the electromagnetic field. Geometric Methods in Computational Electromagnetics PIER 32, 32(2):1–44, 2001. [Ton02a] E. Tonti. Finite formulation of electromagnetic field. Magnetics, IEEE Transactions on, 38(2):333 –336, mar 2002. [Ton02b] E. Tonti. Finite formulation on unstructured grids. In Computation in Electromagnetics, 2002. CEM 2002. The Fourth International Conference on (Ref. 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Seg´un la clasificaci´on propuesta por Tonti, todas las variables f´ısicas se pueden clasificar como variables de configuraci´on, variables fuente y variables de energ´ıa [Ton02]. En esa l´ınea, pueden definirse las ecuaciones constitutivas como aquellas que relacionan las variables de configuraci´on con las variables fuente, conteniendo informaci´on acerca del material y que pueden ser aplicada de forma aproximada a la celda compleja en forma discreta, mediante matrices constitutivas adecuadas [MFF02, MREHF02, GMSGA15]. 91 Cap´ıtulo 5. Discretizaci´on de las Ecuaciones Constitutivas. Cuando el dominio de discretizaci´on est´a formado por geometr´ıas complejas e irregulares, los mallados basados en tetraedros y tri´angulos, se imponen frente a otras formas posibles. La relaci´on entre las variables magn´eticas y el´ectricas se hace mediante la creaci´on de un mallado dual, entre entidades topol´ogicas duales [CW01]. Los par´ametros constitutivos y el hecho de que no exista una forma ´unica para su c´alculo, crean distintas posibilidades en su planteamiento [Bos98, CST07, CT06]. El m´etodo num´erico que se propone para su c´alculo est´a basado en el m´etodo de la celda (CM) [Fer13, Mar01a, MFF02, Mar02, Ton01]. Su aplicaci´on requiere el cumplimiento de una serie de propiedades aunque no todas ellas son necesarias [Bos98, MFF02, Mar01a, BK00]. Simetr´ıa de todas las matrices constitutivas, en el caso de mallados tetra´edricos la matriz constitutiva es sparce y normalmente no sim´etrica, aunque en algunos casos la matriz de rigidez ensamblada final puede tener esta propiedad [TK04, Mar02, CST07]. Definida positiva, para asegurar la estabilidad del m´etodo num´erico [SSW02, Bos99, CST07]. Precisi´on, reduciendo los errores de discretizaci´on a cero cuando la dimensi´on del mallado se hace peque˜na. Consistencia, propiedad que debe asegurar que las matrices constitutivas reconstruyen un campo f´ısico sin introducir variaciones ficticias [BK00, CMP04]. La importancia de estas propiedades en la aplicaci´on del CM depende del problema [Mar04b, Mar01b]. En base a las investigaciones realizadas, las aproximaciones que se pueden hacer en el c´alculo de las matrices constitutivas sobre tetraedros son: Una aproximaci´on geom´etrica basada en la aplicaci´on de reglas geom´etricas simples sobre los tetraedros. La definici´on de funciones locales de interpolaci´on en los tetraedros. Esta aproximaci´on aventaja a experiencias previas obtenidas en la aplicaci´on de conceptos similares en el FEM. 92 5.2. Ecuaci´on constitutiva magn´etica ~ B=µ~ H. La primera aproximaci´on es la mas simple cuando las caracter´ısticas f´ısicas del campo satisfacen las hip´otesis de un campo uniforme dentro del tetraedro. La otra aproximaci´on puede ser m´as conveniente en el caso de patrones m´as complejos del campo [Rep07]. 5.2. Ecuaci´on constitutiva magn´etica ~ B=µ~ H. 5.2.1. Aproximaci´on uniforme del campo. La hip´otesis de la uniformidad local de las variables de campo se ha introducido para escribir una conexi´on entre las variables globales y sus componentes hom´ologas de campo correspondientes. En estas situaciones, aproximaciones particulares pueden ser definidas dentro de los vol´umenes primarios. Los campos conservativos pueden ser tratados d´andoles un enfoque de uniformidad. Por tanto, se considera que existe uniformidad en el material magn´etico y en los campos dentro de cada volumen tetra´edrico. Una de estas aproximaciones para derivar las ecuaciones constitutivas locales es asumiendo la uniformidad de los campos ~ By~ Hen el interior de cada celda (e), es decir, en cada tetraedro [RT04]. Las ecuaciones constitutivas magn´eticas relacionan las variables de configuraci´on, o sea el vector local de flujo magn´etico ~ Φ(e)= [Φ1, Φ2, Φ3, Φ4]Tdefinido en las caras primarias, con la integral de l´ınea del vector local de tensiones magn´eticas ˜ F(e) m= [ ˜ Fm1,˜ Fm2,˜ Fm3,˜ Fm4]T a lo largo de tres de las cuatro porciones de las aristas duales. La caracter´ıstica solenoidal del vector densidad de flujo magn´etico para cualquier condici´on de tiempo variable, crea una propiedad b´asica que puede ser utilizada dentro de los tetraedros. Una inducci´on uniforme satisface autom´aticamente la ley de Gauss para cada volumen v, en cada celda o tetraedro, ∀v(e)∈V; 4 X j=1 de,jΦj= 0; ≡ ∇ · Φ= 0 (5.1) donde de,j es el n´umero de incidencia entre la orientaci´on interna del volumen v(e)y sus cuatro superficies primales sj. 93 Cap´ıtulo 5. Discretizaci´on de las Ecuaciones Constitutivas. Si el balance de flujo se expresa como Φ1+Φ2+Φ3+Φ4= 0 (5.2) siendo Φ1..,4los flujos magn´eticos que atraviesan cada cara primaria, uno de los flujos magn´eticos asociados se puede expresar en funci´on de los otros tres, Φ4=−Φ1−Φ2−Φ3(5.3) condici´on consistente con la uniformidad de la densidad de flujo magn´etico dentro del volumen, que adem´as indica que solo tres flujos independientes pueden ser definidos en un tetraedro. Debido a la identidad geom´etrica P4 j=1 de,jsj≡0 que relaciona los vectores de ´area de los tetraedros, se obtiene que 4 X j=1 de,jΦj= 4 X j=1 de,j(Bjsj)≡0 (5.4) Agrupando los tres vectores de ´area relativos a las tres superficies primarias y teniendo uno de los nudos en com´un, se definen las cuatro matrices no singulares ~ A1= [s2s3s4]T ~ A2= [s1s3s4]T ~ A3= [s1s2s4]T ~ A4= [s1s2s3]T (5.5) Como se ha indicado, al quedar reducido el vector de flujo magn´etico a tres independientes, el vector de ´area correspondiente es una matriz cuadrada de 3 ×3, y las componentes del campo ~ Bes un vector columna de 3 ×1, y se puede escribir como ~ B=~ S−1~ Φ(5.6) Como el vector de flujo magn´etico contiene realmente cuatro componentes, aqu´ı se introduce lo que se denomina una matriz aumentada S0 jde dimensi´on 3 ×4 de la matriz 94 5.2. Ecuaci´on constitutiva magn´etica ~ B=µ~ H. ~ S−1, que incluye una columna de ceros en correspondencia con el flujo dependiente. ~ B=S0 j~ Φ(5.7) A partir de la ecuaci´on constitutiva entre magnitudes de campo uniforme y materiales homog´eneos, el vector de campo magn´etico implica un campo magn´etico uniforme ~ H, y se puede derivar como ~ H=ν~ B=µ−1~ B(5.8) siendo νun escalar para materiales is´otropos, y un tensor de dimensi´on 3 ×3 para el caso de un medio anis´otropo. Si ~ ˜ Lj= (~ ˜ Ljx,~ ˜ Ljy,~ ˜ Ljz) son matrices de dimensi´on 3 ×3 conteniendo en las filas los vectores de las aristas duales, ~ ˜ L1= [˜ l2˜ l3˜ l4]T ~ ˜ L2= [˜ l1˜ l3˜ l4]T ~ ˜ L3= [˜ l1˜ l2˜ l4]T ~ ˜ L4= [˜ l1˜ l2˜ l3]T (5.9) el vector de fuerzas magnetomotrices ~ ˜ F(e) mse obtiene por proyecci´on del campo magn´etico sobre los vectores de las aristas duales ~ ˜ lj. De forma compacta, el vector campo ~ ˜ F(e) mpuede expresarse para todo el volumen como ~ H(e)=~ Aj~ ˜ F(e) m(5.10) siendo Aj=1,2,3,4una matriz cuyos elementos son los ~ ˜ L−1 ja˜nadiendo la j−´esima columna de ceros, y cre´andose as´ı una matriz aumentada ˜ L0de dimensi´on 3 ×4 [Mar04a]. Ordenando las expresiones se obtiene ˜ F(e) m=˜ L0νS0Φj=M(e) νΦj(5.11) El flujo magn´etico en las caras del tetraedro y las hip´otesis de campo uniforme, asegu95 Bibliograf´ıa [CW01] M. Clemens and T. Weiland. Discrete electromagnetism with the finite integration technique. Progress In Electromagnetics Research, 32(32):65–87, 2001. [Fer13] E. Ferretti. The cell method: an enriched description of physics starting from the algebraic formulation. CMC: Computers, Materials & Continua, 36(1):49–71, 2013. [GMSGA15] P. I. Gonz´alez, J. M. Monz´on, L. Sim´on, and S. Garc´ıa-Alonso. Thermal constitutive matrix applied to asynchronous electrical machine using the cell method. ISEF 2015 - XVII International Symposium on Electromagnetic Fields in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering, 2015. [Mar01a] M. Marrone. Computational aspects of the cell method in electrodynamics. In F. L. Teixeira, editor, Geometric Methods in Computational Electromagnetics, PIER 32, pages 317–356. EMW Publishing, Cambridge, Mass., 2001. [Mar01b] M. Marrone. Convergence and stability of the cell method with non symmetric constitutive matrices. In Proc. Compumag Conf, volume 4, pages 16–17, 2001. [Mar02] M. Marrone. The equivalence between cell method, fdtd and fem. In IEE Fourth International Conference on Computation in Electromagnetics, pages 8–11, 2002. [Mar04a] M. Marrone. A new consistent way to build symmetric constitutive matrices on general 2-d grids, 2004. [Mar04b] M. Marrone. Properties of Constitutive Matrices for Electrostatic and Magnetostatic Problems. IEEE Trans. on Magnetic, 40:1516–1520, 2004. [MFF02] M. Marrone, A. M. F. Frasson, and H. E. H. Figueroa. 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Discretizaci´on para el modelo de conductor filiforme (conjunto tipo5). ............................... 113 6.3.3. Discretizaci´on para el modelo de conductor s´olido (conjunto tipo 4)................................... 114 6.3.4. Ensamble de todas las ecuaciones en una matriz global. . . . . 115 6.4. Resultados y discusi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 105 Cap´ıtulo 6. Ecuaci´on Global del M´etodo de la Celda y el M´etodo Nodal Modificado en Problemas Electromagn´eticos y Circuitales en 2D. 6.4.1. Respuesta en frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.4.2. Respuesta transitoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Resumen. En este cap´ıtulo se presenta una aproximaci´on de un problema de corrientes inducidas electromagn´eticas acoplado con ecuaciones circuitales en 2D. Se usa el m´etodo de la celda (CM) y el m´etodo nodal modificado (MNM) de la teor´ıa de circuitos. Las ecuaciones de definici´on de dos modelos de conductores –filiformes y s´olidos– se deducen para esta formulaci´on. El an´alisis se desarrolla en estado transitorio y permanente. En el estado transitorio para la discretizaci´on del tiempo se usa un esquema cl´asico Euler-Crank Nicholson. Para la validaci´on de los resultados se ha comparado con el m´etodo de los elementos finitos (FEM). 6.1. Introducci´on. Hay varias referencias que usan ecuaciones circuitales, usando el m´etodo nodal modificado MNM y el m´etodo de los elementos finitos FEM [ST85, Str85, CNC00, MSS07]. En [DST06] se estudia una forma de acoplar las ecuaciones de campo con ecuaciones circuitales en un dominio acoplado. En este cap´ıtulo se usa una variaci´on del MNM y el m´etodo de la celda CM en las ecuaciones de campo electromagn´etico [SM11a, MSS07]. Con el m´etodo que se propone, es posible ensamblar en una sola matriz las ecuaciones de campo discretizadas, con las ecuaciones circuitales. La ecuaci´on matricial se implementa mediante un programa realizados en Scilab, un paquete de software para c´alculo num´erico [Ent12]. Para la discretizaci´on del dominio continuo se usa el programa GMSH, que es un mallador 3D, con capacidades de preprocesado y postprocesado [GR09]. Se desarrolla un m´etodo que usa ambas herramientas el MNM y el CM. Esto permite un an´alisis simult´aneo que integre los modelos circuitales concentrados y el dominio 106 6.2. Una variaci´on del m´etodo nodal modificado. + − (a) Ejemplo de conexi´on. A1A2A3 A4 A5 (b) Divisi´on de conjuntos. Figura 6.1: Modelos continuos y discretos. distribuido, como se muestra en la figura 6.1a. Todos los m´etodos n´umericos existentes para la soluci´on de una ecuaci´on de campo, tienen de una u otra manera, una formulaci´on diferencial como punto de partida. Como m´etodos de discretizaci´on para una formulaci´on discreta, se tiene el M´etodo de Diferencias Finitas (FDM), el M´etodo de los Elementos Finitos (FEM), o el M´etodo de los elementos del contorno (BEM), entre otros. Como alternativa se puede reformular las ecuaciones de campo en forma finita [Ton02] de forma que el sistema de ecuaciones algebraico se pueda escribir directamente, evitando el proceso de discretizaci´on aplicado a las ecuaciones diferenciales. Esta aproximaci´on es la Formulaci´on Finita (FF) y el correspondiente m´etodo num´erico es conocido como el m´etodo de la celda (CM) [AFR10]. La FF est´a basada en el uso de las variables globales [Ton02], obtenidas por la integraci´on de las variables de campo en un sistema de dos mallados complejos, relacionados estrictamente por condiciones de dualidad. 6.2. Una variaci´on del m´etodo nodal modificado. La idea fundamental consiste en modificar el MNM, introduciendo dos nuevos conjuntos de forma que se separen los elementos en cinco conjuntos disjuntos entre s´ı, como se puede ver en la figura 6.1b. En un primer conjunto A1 se incluyen aquellos elementos que pueden ser expresados 107 Cap´ıtulo 6. Ecuaci´on Global del M´etodo de la Celda y el M´etodo Nodal Modificado en Problemas Electromagn´eticos y Circuitales en 2D. en forma de admitancias. El segundo conjunto A2 incluye aquellos elementos que no tienen representaci´on en forma de admitancia o se requiere su intensidad. El tercer conjunto A3 incluye las fuentes independientes de intensidad. El cuarto conjunto A4 incluye aquellos elementos que modelan los conductores denominados como modelo s´olido [Str85]. ´ Este conjunto incluir´a las tensiones e intensidades que sirvan de nexo de uni´on con la Formulaci´on Finita y su implementaci´on num´erica en el m´etodo de la celda. Por ´ultimo, el quinto conjunto A5 incluye el segundo modelo denominado de conductor filiforme [Str85]. Esto resulta clave para eliminar todas aquellas inc´ognitas circuitales que no interesen y al mismo tiempo poder representar cualquier tipo de elemento, cosa que no es posible hacer con los m´etodos nodales puros o de circulaci´on puros. Reestructuramos los elementos de la red de manera que aplicando la ley de Kirchoff para corrientes (KCL), las ecuaciones puedan ser escritas de la siguiente manera: A1I1+A2I2+A4I4+A5I5+A3J= 0 (6.1) Siendo la matriz Ade dimensi´on An×biuna matriz circuital de incidencia nudos, ramas, donde nes el n´umero de nudos del circuito menos 1 y biel n´umero de elementos de cada uno de los conjuntos antes mencionados. Las divisiones son creadas de manera que: El vector I1contiene las corrientes que circulan por las ramas de los elementos que tienen representaci´on en forma de admitancia y que no son requeridas como soluciones. Siendo la matriz Y1diagonal y de dimensi´on [Y1]b1×b1, y cuya ecuaci´on de definici´on es Y1U1=I1(6.2) El vector I2contiene las corrientes por las ramas de los elementos que no tienen representaci´on en forma de admitancia. Contiene adem´as, corrientes de ramas de fuentes de tensi´on y corrientes de ramas que son requeridas como soluciones. La ecuaci´on de definici´on de estos elementos se muestra a continuaci´on y corresponde al M´etodo de la 108 6.2. Una variaci´on del m´etodo nodal modificado. Tabla [Chu75]: Y2U2+Z2I2=W2(6.3) donde el segundo miembro W2contiene las entradas no nulas de las fuentes independientes de tensi´on ´unicamente y las matrices Y2yZ2dependen del tipo de elemento. El vector I3contiene las fuentes independientes de intensidad (J), I3=J. El vector I4contiene las corrientes de los conductores que pertenecen a la regi´on continua con modelo de conductor s´olido. El vector I5contiene los conductores que pertenecen a la regi´on continua con modelo de conductor filiforme. Aplicando la ley de Kirchoff para las tensiones (KVL), las ecuaciones son divididas de la misma forma: U1=AT 1Vn(6.4) U2=AT 2Vn(6.5) U3=AT 3Vn(6.6) U4=AT 4Vn(6.7) U5=AT 5Vn(6.8) Siendo Ui=1...5los vectores que contienen las diferencias de potenciales de los elementos que pertenecen a cada conjunto, y Vnun vector con los potenciales el´ectricos de cada uno de los nudos respecto al de referencia. La ecuaci´on 6.6 se usa para determinar las tensiones en las fuentes de corriente, una vez que se haya encontrado el valor de Vn. Reescribiendo 6.9 de la siguiente forma: 109 Cap´ıtulo 6. Ecuaci´on Global del M´etodo de la Celda y el M´etodo Nodal Modificado en Problemas Electromagn´eticos y Circuitales en 2D. A1I1+A2I2+A4I4+A5I5=−A3J(6.9) Y sustituyendo 6.2 de I1en 6.9: A1Y1U1+A2I2+A4I4+A5I5=−A3J(6.10) Las tensiones en las ramas U1pueden ser eliminadas sustituyendo 6.4: A1Y1AT 1Vn+A2I2+A4I4+A5I5=−A3J(6.11) Y de igual manera sustituyendo 6.5 en 6.3, obtenemos: Y2AT 2Vn+Z2I2=W2(6.12) Las ecuaciones 6.11 y 6.12, ser´an utilizadas para completar en una sola ecuaci´on matricial, todas las inc´ognitas. 6.3. Ecuaciones de Maxwell y circuitales con la FF y el MNM en 2D. 6.3.1. Formulation {a, (a,V)}in 2D. Sean dos mallados complejos en <3en relaci´on dual denominados Ky˜ K. Supongamos que Kesta hecho de tetraedros y sus vol´umenes coinciden con esos tetraedros. El conjunto de nudos ˜ pdel mallado dual ˜ K, se corresponde con el baricentro de cada volumen del tetraedro en K. Una arista de ˜ Kes una l´ınea quebrada formada por dos segmentos rectos, que conectan dos nudos duales y pasa a trav´es de un punto interior (b) de una cara de K, com´un a los dos vol´umenes de Kque la comparten. Estos puntos (bn), a su vez, se corresponden con los baricentros de las caras en K. Este procedimiento establece una correspondencia biun´ıvoca entre las caras del mallado primario Ky las aristas del mallado dual ˜ K, como puede observarse en la figura 6.2b, 110 6.3. Ecuaciones de Maxwell y circuitales con la FF y el MNM en 2D. Da Ds Dc (a) Dominios. (b) Tetraedro de referencia. Figura 6.2: Divisi´on del dominio. y viceversa, a cada cara del mallado dual ˜ Kle corresponde una arista y s´olo una del mallado primario K. Se representa por l,s,v, el n´umero de lados, caras y vol´umenes para cada celda v∈Ky por ˜ l,˜ s,˜ vel n´umero de lados, caras y vol´umenes para cada celda ˜ v∈˜ K. Las magnitudes que intervienen en las ecuaciones de Maxwell son tensiones el´ectricas U, tensiones magn´eticas ˜ Fm, flujo el´ectrico ˜ Ψ, flujo magn´etico Φy la corriente el´ectrica ˜ I.´ Estas son definidas por integrales de l´ınea y de superficie de los valores elementales de campo ~ E(intensidad de campo el´ectrico), ~ H(intensidad de campo magn´etico), ~ D (densidad de flujo el´ectrico), ~ J(densidad de corriente el´ectrica) y ~ B(densidad de flujo magn´etico). Esas integrales son asignadas como inc´ognitas a los elementos de los mallados primarios y duales. Si en el subdominio fuente Ds(figura 6.2a) se conocen las fuentes de corriente, las condiciones de contorno y las condiciones iniciales, la soluci´on del problema encuentra las inc´ognitas nΦ, U, ˜ Fm,˜ Io. Para ello se ha escogido el planteamiento con los potenciales magn´eticos y el´ectricos que son magnitudes auxiliares, que simplifican el problema en cuanto al n´umero de inc´ognitas, y permiten acoplar f´acilmente las ecuaciones circuitales y las de campo. La primera ecuaci´on corresponde a la ley de Amp`ere, ∀l∈Da∪Dsa: 111 Cap´ıtulo 6. Ecuaci´on Global del M´etodo de la Celda y el M´etodo Nodal Modificado en Problemas Electromagn´eticos y Circuitales en 2D. -0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 I2 (A) t (m s) I2 (FEM) I2 (CM) I2 (Analitica) (a) Transitorio de la corriente. -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 a [µWb/m] t (m s) a (FEM) a (CM) (b) Transitorio del potencial magn´etico en el punto A. Figura 6.5: Validaci´on de resultados de las simulaciones con transitorios. El m´etodo utilizado para la discretizaci´on es el m´etodo de Euler-Crank-Nicholson, ecuaci´on 6.25 [Wal05]. C ∆t+θGXn+1 =C ∆t−(1 −θ)GXn+ (1 −θ)Wn+θWn+1 (6.25) Distintos esquemas pueden ser utilizados seg´un sea los valores de θ. Para θ= 1 es un Euler impl´ıcito, para θ= 0 un Euler expl´ıcito, para θ= 0,5 un Crank-Nicholson y para θ= 2/3 Galerkin. Como ejemplo, se ha aplicado un escal´on de 1000 Voltios a partir de t=0. Los resultados correspondientes para la corriente I2 se representa en la figura 6.5a. Estos resultados se comparan para su validaci´on, con una ecuaci´on an´alitica y el FEM (Getdp) [DGGL99], observando la coincidencia en todo el transitorio y tambi´en en el r´egimen permanente, resultando un valor de la corriente en este ´ultimo tramo de 0,00785 A. As´ı mismo, en la figura 6.5b se representa el transitorio correspondiente al potencial magn´etico asociado al punto (A), como se puede observar en la figura 6.4a. Tambi´en se observa la perfecta coincidencia entre las simulaciones realizadas aplicando FEM (Getdp) y el CM. 118 Bibliograf´ıa [AFR10] P. Alotto, F. Freschi, and M. Repetto. Multiphysics problems via the cell method: the role of tonti diagrams. IEEE Transactions on Magnetics, 46(8):2959– 2962, 2010. [Bos98] A. Bossavit. Computational Electromagnetism, Variational Formulations, Complementary, Edge Elements. Academic Press, 1998. [Chu75] L. O. Chua. Computer-aided analysis of electronic circuits: algorithms and computational techniques, volume 1. 1975. [CNC00] M. C. Costa, S. L. Nabeta, and J. R. Cardoso. Modified nodal analysis applied to electric circuits coupled with fem in the simulation of a universal motor. Magnetics, IEEE Transactions on, 36(4):1431–1434, Jul 2000. [DGGL99] P. Dular, C. Geuzaine, A. Genon, and W. Legros. An evolutive software environment for teaching finite element methods in electromagnetism. IEEE Transactions on Magnetics, 35(3):1682–1685, may 1999. [DST06] P. 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Acople del m´etodo nodal modificado y el m´etodo de los elementos finitos. implementaci´on en lenguaje scilab y c++. XCLEEE X Conference in Electrical Engineering, Aug 2007. [RT03] M. Repetto and F. Trevisan. 3-d magnetostatic with the finite formulation. Magnetics, IEEE Transactions on, 39(3):1135–1138, May 2003. [SM11a] L. Sim´on and J. M. Monz´on. Cell method and modified nodal method in eddy current electromagnetic problems. Renewable Energies and Power Quality, pages 1497–1516, 2011. [SM11b] L. Sim´on and J. M. Monz´on. Parametric identification of a three-phase machine with genetic algorithms. In Computational Methods for the Innovative Design of Electrical Devices, pages 167–184. Springer, 2011. [ST85] E. G. Strangas and K. Theis. Shaded pole motor design and evaluation using coupled field and circuit equations. Magnetics, IEEE Transactions on, 21(5):1880–1882, Sep 1985. [Str85] E. G. Strangas. Coupling the circuit equations to the non-linear time dependent field solution in inverter driven induction motors. Magnetics, IEEE Transactions on, 21(6):2408–2411, Nov 1985. [Ton02] E. Tonti. Finite formulation of electromagnetic field. Magnetics, IEEE Transactions on, 38(2):333 –336, mar 2002. 120 Bibliograf´ıa [Wal05] John B Walsh. Finite element methods for parabolic stochastic pde’s. Potential Analysis, 23(1):1–43, 2005. 121 Cap´ıtulo 7 La Matriz Fundamental de Bucles B en el M´etodo de la Celda. Aplicaci´on a un Problema Electromagn´etico de Corrientes Inducidas en 3D. ´ Indice 7.1. Introducci´on..............................124 7.2. Base te´orica de la formulaci´on finita de las ecuaciones de Maxwell.................................126 7.2.1. Ecuaciones topol´ogicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.2.2. Ecuaciones constitutivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2.3. Sistema global de ecuaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.2.4. Ley de continuidad en el segundo miembro. . . . . . . . . . . . 134 7.3. Resultados y discusi´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.3.1. Resumen. .............................. 137 7.3.2. Ley de Continuidad. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.3.2.1. Problema en 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 123 Cap´ıtulo 7. La Matriz Fundamental de Bucles B en el M´etodo de la Celda. Aplicaci´on a un Problema Electromagn´etico de Corrientes Inducidas en 3D. 7.3.2.2. Problema en 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.3.3. Resultados del campo magn´etico y de las corrientes inducidas para excitaciones de corriente lineal, superficial y volum´etrica. 149 Resumen. En este cap´ıtulo se discretiza un problema electromagn´etico de corrientes inducidas en 3D utilizando el m´etodo de la celda (CM) [SMM15]. Se han calculado los resultados del campo magn´etico y corrientes inducidas para corrientes de excitaci´on lineales, superficiales y volum´etricas. El error obtenido es menor de 0,15 % cuando se compara con el m´etodo de los elementos finitos (FEM). La contribuci´on de este trabajo est´a en forzar la condici´on de la continuidad de las corrientes superficiales y volum´etricas de densidad de corriente, a trav´es de un m´etodo puramente circuital. El m´etodo se basa en la matriz fundamental de bucle B, definido en un ´arbol de un grafo lineal en el dominio de las fuentes de corriente Ωs. Para obtener el ´arbol se utiliza el algoritmo de Welsh. La densidad de corriente superficial se eval´ua en el baricentro de los tri´angulos y en los puntos medios de las l´ıneas duales. La condici´on de continuidad se analiza en algunos cortes del dominio. Se hace un balance nodal para determinar la mejor evaluaci´on de las corrientes en los nudos. La densidad de corriente volum´etrica se eval´ua en el centroide de los tetraedros y en los centroides de las caras duales. 7.1. Introducci´on. Hoy en d´ıa, el dise˜no y el an´alisis de m´aquinas el´ectricas se realiza con herramientas num´ericas de c´alculo. Los m´etodos num´ericos para la soluci´on de un problema electromagn´etico de corrientes inducidas en 3D, aplicadas al an´alisis de las m´aquinas el´ectricas, tiene una formulaci´on integral o diferencial como punto de partida. 124 7.1. Introducci´on. La formulaci´on discreta, se puede obtener entonces por muchos m´etodos de discretizaci´on, tales como el m´etodo de los elementos finitos (FEM), el m´etodo de las diferencia finitas (FDM), el m´etodo de los elementos del contorno (BEM), entre otros [Bos98, Wei96]. Como alternativa, es posible formular las leyes de campo en forma finita de modo que, un sistema de ecuaciones algebraicas puede ser escrito directamente para resolver el problema de campo, evitando de esa forma el uso del proceso de discretizaci´on aplicada a una ecuaci´on integral o diferencial. Este enfoque es el que se hace en la formulaci´on finita (FF) que se introduce en las referencias [Ton76, Ton95, Ton02], y el m´etodo num´erico correspondiente se conoce como el m´etodo de la celda (CM) [Ton01a, AP04, AFR10, MVea10]. La geometr´ıa y la topolog´ıa, desempe˜nan un papel fundamental en la discretizaci´on de las ecuaciones de campo en derivadas parciales (PDE). Los operadores est´andar gradiente, rotacional y divergencia, son el equivalente en la FF a las matrices G,Cand D[Ton01b]. Estas matrices tienen una definici´on topol´ogica natural, ya que corresponden a las incidencias entre los elementos geom´etricos involucrados en la discretizaci´on de la PDE. Para la definici´on de las cantidades fisicas y la estructura topol´ogica, se ha seguido la clasificaci´on de Tonti y sus diagramas. Tonti clasifica las cantidades electromagn´eticas en variables de fuente, variables de configuraci´on y variables energ´eticas. Por otra parte, en la formulaci´on finita esta clasificaci´on se asocia con un par de celdas complejas duales, la primal Ky la dual baric´entrica ˜ K. Las interconexiones mutuas de la celda primaria K, describen la matriz de incidencia Gentre las aristas ly nudos p, la matriz Centre las caras sy aristas l, y la matriz Dentre vol´umenes vy caras s. Las matrices ˜ G=DT,˜ C=CTy˜ D=−GT, describen las interconexiones en la celda dual ˜ K. La contribuci´on de este trabajo, es forzar la condici´on de continuidad de la densidad de corriente - superficial y volum´etrica - por medio del uso de un m´etodo puramente circuital. El m´etodo se basa en la matriz de bucle fundamental B, referida a un ´arbol obtenido del grafo lineal en el dominio de la fuente de corriente Ωs(Fig. 7.1a) [SM12]. Esto se fundamenta en el teorema fundamental del ´algebra lineal [Str93]. Los valores de las corrientes en el co´arbol, se obtienen evaluando las corrientes en las caras duales, mediante el producto escalar de la densidad de corriente y el vector 125 Cap´ıtulo 7. La Matriz Fundamental de Bucles B en el M´etodo de la Celda. Aplicaci´on a un Problema Electromagn´etico de Corrientes Inducidas en 3D. superficie. La densidad de corriente ser´a evaluada en el baricentro de los tetraedros y en el baricentro de las caras duales (Fig. 7.7). La ley de la continuidad - divergencia cero - se debe cumplir. Para obtener el conjunto de las corrientes, se aplica el algoritmo de Welsh (WA). Los resultados obtenidos, ser´an comparados con la finalidad de ver en cu´al de las dos evaluaciones, se comente un error menor. (a) Un cuarto del dominio ΩD= Ωs∪Ωa∪ Ωc; Γc=∂ΩD. (b) Parte del mallado primal K-l´ınea continuay del mallado dual ˜ K-l´ınea discontinua-, obtenidos con el mallador Gmsh [GR09]. Figura 7.1: Dominio del problema y su mallado. 7.2. Base te´orica de la formulaci´on finita de las ecuaciones de Maxwell. 7.2.1. Ecuaciones topol´ogicas. La formulaci´on de las ecuaciones de Maxwell en la FF se desarrolla en [Ton01a] y en paralelo en [CW01], de manera muy similar. En los diagramas de Tonti, se hace una clasificaci´on sobre la estructura discreta de estas ecuaciones [Ton76, Ton95, Ton02]. Nos basamos en los diagramas de Tonti de las ecuaciones del campo electromagn´etico, para obtener el sistema de ecuaciones final que se discute en la secci´on 7.2.3. Los diagramas 126 7.2. Base te´orica de la formulaci´on finita de las ecuaciones de Maxwell. del Tonti, muestran los dos tipos de ecuaciones que aparecen en el FF de las ecuaciones de Maxwell. Por un lado, est´an las ecuaciones llamadas ecuaciones topol´ogicas en las que no est´an implicadas ninguna propiedad m´etrica o f´ısica del medio, y por otro lado, est´an las ecuaciones constitutivas relativas a la propiedad f´ısica y m´etrica. Las cantidades involucradas en el diagrama de Tonti se clasifican en dos grupos: Las magnitudes de configuraci´on, asociadas a una mallado primal Kformado por elementos geom´etricos, tipo punto p(nudo primal), l´ınea l(arista primal), superficie s(cara primal), y volumen primal v(volumen primal), y las magnitudes fuente asociadas al mallado dual ˜ Kformado por elementos como el punto dual ˜ p(nudo dual), la l´ınea dual ˜ l(arista dual), la superficie dual ˜ s(cara dual) y el volumen dual ˜ v(volumen dual). Por ´ultimo, en las ecuaciones constitutivas, se vinculan los dos tipos de cantidades, las magnitudes de configuraci´on con las magnitudes fuente. El dominio estudiado se divide como se ve en la figura 7.1b. Hay dos mallados complejos en <3. El mallado complejo primal Ky el mallado complejo dual ˜ K. El mallado primal Kest´a formado por tetraedros. Los centroides de los tetraedros son los conjuntos de puntos de ˜pdel mallado complejo dual ˜ K. Un arista dual ˜ ldel ˜ Kest´a compuesto por dos segmentos de rectas que unen dos nudos duales ˜ p. Estas aristas duales son segmentos de recta que atraviesan una cara primal compartida por dos tetraedros. Este procedimiento establece una correspondencia biun´ıvoca entre las caras sdel mallado primal Ky los lados ˜ ldel mallado dual ˜ K, y viceversa 7.2a. Las magnitudes que operan en las ecuaciones de Maxwell en la FF son magnitudes globales [Ton95]. Se trata de la tensi´on el´ectrica U, la tensi´on magn´eticas ˜ Fm, el flujo el´ectrico ˜ Ψ, el flujo magn´etico Φy la corriente el´ectrica ˜ I. Estos se definen por las integrales de l´ınea y las integrales de superficie de los valores elementales de campo, como la intensidad del campo el´ectrico ~ E, la intensidad del campo magn´etico ~ H, la densidad de flujo el´ectrico ~ D, la densidad de corriente el´ectrica ~ Jy la densidad de flujo magn´etico ~ B. Estas magnitudes de configuraci´on son asignadas como inc´ognitas en el mallado primal Ky para mallado dual ˜ K, como magnitudes fuente. Las ecuaciones topol´ogicas de las leyes de Maxwell del campo magn´etico en estado estacionario sinusoidal, aplicado a todo el dominio ΩDson: 127 12º Congreso Interamericano de Computación Aplicada a la Ingeniería de Procesos CAIP’2015 Cartagena de Indias, Colombia, Septiembre 2015 El Método de la Celda Aplicado al Análisis de Fallos en una Máquina de Inducción Magnética. Simón Rodríguez L., González Domínguez P. I., Monzón Verona J.M.; Martínez Melgarejo, M. Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Las Palmas de Gran Canaria 35017 – Tafira, Las Palmas (España). Número de teléfono/Fax: +0034 928 452888/451874 e-mail: leopoldo.sim[email protected], [email protected], josemiguel.monzon@ulpgc, [email protected] Resumen– El análisis de máquinas eléctricas mediante el método de los elementos finitos es bien conocido. Una de las aportaciones de este trabajo es la comprobación de la formulación finita aplicada en el estudio de máquinas eléctricas trifásicas de inducción magnética. Los estudios realizados se han hecho sobre un modelo basado en una sección bidimensional de la máquina Junto al modelo discreto se han incorporado ecuaciones circuitales, particularme nte de la fuente de alimentación. En un primer conjunto de experiencias, el sistema discreto se analiza imponiendo las corrientes de fase como fuente. 1 Introducción. Se trabaja con una sección transversal de un prototipo de máquina eléctrica. En las hipótesis que se plantean se presupone una máquina recta, sin efecto skew. De forma general, el conjunto será tratado como un gran dominio tridimensional, cuyos elementos discretos en el mallado serán tetraedros. La sección, por su diseño, tiene simetría plana, lo que permite un planteamiento singular de las variables magnéticas. Dado que el vector densidad de corriente 𝐽𝐽  y el vector potencial magnético 𝐴𝐴  tienen el mismo sentido y son perpendiculares a la sección transversal, sus componentes magnéticas vectoriales sólo tienen valor en el eje Z, es decir, la circulación en las aristas de 𝐴𝐴  viene dada por la integral de línea 𝑎𝑎=∫𝐴𝐴 ∙𝑑𝑑𝑑𝑑 � � �  , donde sus componentes vienen dadas como 𝐴𝐴 �𝐴𝐴 𝑥𝑥,𝐴𝐴 𝑦𝑦,𝐴𝐴 𝑧𝑧�, siendo sus componentes 𝐴𝐴 𝑥𝑥= 0 y 𝐴𝐴 𝑦𝑦= 0. El valor del vector potencial magnético proyectado en las aristas de los triángulos de la superficie es cero, y donde único tiene valor es en los nudos, de tal forma que en las aristas del prisma (proyección de los nudos) que se forma por simetría, adquieren el valor del potencial magnético. Es decir, las corrientes son perpendiculares y las incógnitas son las proyecciones en los nudos de las aristas proyectadas en ellos. En virtud de ello, el mallado que se utiliza es prismático por su correspondencia con la ortogonalidad de los vectores magnéticos y la simetría plana de la sección. El número de variables libres está determinada por el número de ramas del árbol, y el número de ramas donde el vector 𝐴𝐴 = 0 determina el número de incógnitas. El rango de la matriz del conjunto de ecuaciones del sistema es rango = número de ecuaciones − 1 . La matriz del conjunto de ecuaciones del sistema es singular por lo que se debe aplicar alguna condición de unicidad. La condición de unicidad se impone dándole un valor conocido a alguna de las incógnitas, es decir, asignando un valor a uno de los nudos. De esta forma el número de ecuaciones − 1 . Como procedimiento general, se asigna un valor cero a uno de los nudos. Con respecto a las matrices de incidencia, en este caso la matriz G = C . El flujo magnético asociado a las caras del 12º Congreso Interamericano de Computación Aplicada a la Ingeniería de Procesos CAIP’2015 Cartagena de Indias, Colombia, Septiembre 2015 EL MÉTODO DE LA CELDA APLICADO AL ESTUDIO DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS Y TRANSFERENCIA DE CALOR EN MOTORES DE INDUCCIÓN González Domínguez P. I., Simón Rodríguez L., Monzón Verona J.M.; Martínez Melgarejo, M. Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Las Palmas de Gran Canaria 35017 – Tafira, Las Palmas (España). Número de teléfono/Fax: +0034 928 452888/451874 e-mail: [email protected], [email protected], josemiguel.monzon@ulpgc , [email protected] Resumen–El principal objetivo de este trabajo es estudiar una máquina eléctrica de inducción, también conocida como máquina eléctrica asíncrona, desde el punto de vista electromagnético y térmico mediante la aplicación del método de la celda. La validación de los resultados o btenidos se hará comparando dichos resultados con los obtenidos sobre la misma máquina pero utilizando el método de los elementos finitos a partir de un software comercial de reconocido prestigio tal como Opera-3d, Getdp, etcétera. El método de la celda (M C), o cell method (CM), ha sido aplicado al estudio del electromagnetismo, más en el ámbito de la Física que en el ámbito de la Ingeniería. En la bibliografía consultada hay unos pocos trabajos dedicados el estudio de corrientes parásitas (eddy currents) en máquinas eléctricas. Y, prácticamente nulos, en el estudio termodinámico de máquinas eléctricas aplicando el MC. 1 Introducción. A continuación se hará un resumen de las principales características del MC, comparándolos con otros métodos numéricos conocidos. El MC, después de analizar las estructuras comunes que poseen muchas teorías físicas, nace con objeto de formular directamente las ecuaciones de campo en su forma topológica. Consiste en una discretización del espacio-tiempo mediante dos complejos de celdas: la celda primal y la celda dual. Se distinguen una serie de variables: variables globales, de fuente, de configuración y de energía. Las variables están orientadas. Las variables pertenecientes al complejo primal están orientadas internamente. Las variables pertenecientes al complejo dual están orientadas externamente. Las variables globales son continuas a través de espacios constituidos por diversos materiales. Por el contario, en la formulación diferencial, las variables de campo no son continuas para espacios compuestos de materiales heterogéneos. Esto dará lugar a que se tenga que recurrir a diversos artificios matemáticos para garantizar la continuidad y, por lo tanto, su derivabilidad. Las variables globales se pueden utilizar directamente en la formulación finita. Por el contario, en la formulación diferencial son indispensables las funciones de campo. Las variables globales dependen del espacio y el tiempo, mientras que las variables de campo dependen de un punto y de un instante de tiempo. Las variables de fuente describen el origen (fuente) del campo. Cualquier vinculación, tanto algebraica como diferencial, con este tipo de variables se hace sin la intervención de constantes físicas. Las variables de configuración son las que describen la configuración del campo, sus potenciales y todas las variables que se pueden enlazar mediante operaciones algebraicas o diferenciales sin la ISEF 2015 - XVII International Symposium on Electromagnetic Fields in Mechatronics, Electrical and Electronic Engineering 10 pts Valencia, Spain, September 10-12, 2015 8 pts THERMAL CONSTITUTIVE MATRIX APPLIED TO ASYNCHRONOUS ELECTRICAL MACHINE USING THE CELL METHOD P. González Domínguez (1); J. M. Monzón Verona (1); L. Simón Rodríguez, (1); S. García-Alonso (2) University of Las Palmas de Gran Canaria (1) Electrical Engineering Dept. and (2) Electronic and Automatic Dept. 35017 – Tafira, Las Palmas (Spain). e-mail: pablo.gonzalez@ ulpgc.es; [email protected]; [email protected]; [email protected] Abstract – In this work, we demonstrate the equivalence of two constitutive equations used in Fourier heat transmission problem, based on the method of the Cell Method. To obtain this constitutive equation, two different methodologies are used. Its results will be applied to the study of asynchronous electric machines in transient state in 3D. Introduction Electrical machines generate heat. This heat is due to the Joule effect, the magnetic hysteresis of the cores, the eddy currents and to mechanical friction of the moving parts. There is a direct relationship between the heat generated by the Joule effect and the currents that pass through the conductors. Likewise, the variation of the electromagnetic field in the cores of the machines will produce induced currents (eddy currents). The same magnetic field changes will produce cyclical magnetic hysteresis in the cores. Any moving part will produce mechanical friction. These phenomena give rise to the generation of heat that follows the Fourier heat transmission law in dynamic regime. Development and Results Fourier heat transmission law in dynamic regime applying the Finite Formulation proposed by Tonti [1] is: (1) To obtain the numerical resolution of expression (1) the Cell Method is used. Our interest is the study of the heat generated by asynchronous electric machines. The literature on implementation of the Cell Method to the study of the heat generated by the electrical machines is very low or insignificant. Alotto [2] and Bullo [3] and [4] have been consulted. These authors have studied the Fourier heat transmission equation using the Cell method, in the following way: Anexo B Ecuaciones constitutivas magn´eticas Anexo B. Ecuaciones constitutivas magn´eticas Ecuaci´on magn´etica. Funciones de Whitney de orden 2. Las ecuaciones constitutivas parten de las expresiones: En forma diferencial :~ H=ν~ B´o~ B=µ~ H En forma finita :F=Mνφ´o φ =MµF(B.1) ~ B=~ Ws1×φ1+~ Ws2×φ2+~ Ws3×φ3+~ Ws4×φ4(B.2) donde φi=1,...,4son los flujos asociados a las caras del primario de un tetraedro, cumpliendo el teorema de Gauss del campo magn´etico: D·φ= 0. Para un tetraedro, D(v,i)·φi= Di[s1(+1) s2(+1) s3(+1) s4(+1)] si la orientaci´on de las caras es hacia fuera. ~ Wsi(p)·~sj=νij; si p∈si; siendo 1 para i=jy 0 para i6=j. Las funciones cara de todas las caras se deducen en funci´on de las orientaciones de las mismas. Para la cara s1se tiene las orientaciones (2,3,4), (3,4,2), (3,2,3), para cada (i, j, k). ~ Ws1= 2 ·hWp2∇~ Wp3× ∇ ~ Wp4+Wp3∇~ Wp4× ∇ ~ Wp2+Wp4∇~ Wp2× ∇ ~ Wp3i Para la cara s2se tiene las orientaciones (1,4,3), (4,3,1), (3,1,4), para cada (i, j, k). ~ Ws2= 2 ·hWp1∇~ Wp4× ∇ ~ Wp3+Wp4∇~ Wp3× ∇ ~ Wp1+Wp3∇~ Wp1× ∇ ~ Wp4i Para la cara s3se tiene las orientaciones (1,2,4), (2,4,1), (4,1,2), para cada (i, j, k). ~ Ws3= 2 ·hWp1∇~ Wp2× ∇ ~ Wp4+Wp2∇~ Wp4× ∇ ~ Wp1+Wp4∇~ Wp1× ∇ ~ Wp2i Para la cara s4se tiene las orientaciones (1,3,2), (3,2,1), (2,1,3), para cada (i, j, k). ~ Ws4= 2 ·hWp1∇~ Wp3× ∇ ~ Wp2+Wp3∇~ Wp2× ∇ ~ Wp1+Wp2∇~ Wp1× ∇ ~ Wp3i 234 siendo Wp1=at1+bt1x+ct1y+dt1z 6v donde ves el volumen del elemento y donde para (2,3,4) at1=det    x2y2z2 x3y3z3 x4y4z4    bt1=−det    1y2z2 1y3z3 1y4z4    ct1=−det    x21z2 x31z3 x41z4    dt1=−det    x2y21 x3y31 x4y41    siendo Wp2=at2+bt2x+ct2y+dt2z 6v para (1,3,4) at2=det    x1y1z1 x3y3z3 x4y4z4    bt2=−det    1y1z1 1y3z3 1y4z4    235 Anexo B. Ecuaciones constitutivas magn´eticas ct2=−det    x11z1 x31z3 x41z4    at2=−det    x1y11 x3y31 x4y41    siendo Wp3=at3+bt3x+ct3y+dt3z 6v para (1,2,4) at3=det    x1y1z1 x2y2z2 x4y4z4    bt3=−det    1y1z1 1y2z2 1y4z4    ct3=−det    x11z1 x21z2 x41z4    dt3=−det    x1y11 x2y21 x4y41    siendo Wp4=at4+bt4x+ct4y+dt4z 6v para (1,2,3) 236 at4=det    x1y1z1 x2y2z2 x3y3z3    bt4=−det    1y1z1 1y2z2 1y3z3    ct4=−det    x11z1 x21z2 x31z3    dt4=−det    x1y11 x2y21 x3y31    y ∇~ Wp1=1 6v[bt1, ct1, dt1] ; correspondientes a los (i, j, k) ∇~ Wp2=1 6v[bt2, ct2, dt2] ; correspondientes a los (i, j, k) ∇~ Wp3=1 6v[bt3, ct3, dt3] ; correspondientes a los (i, j, k) ∇~ Wp4=1 6v[bt4, ct4, dt4] ; correspondientes a los (i, j, k) La funci´on cara se puede simplificar para el tetraedro de referencia y se obtienen las funciones lado para (2,3,4) se reduce a ~ Ws1=1 3v1Wp2 ~ ˜ l1+ 1Wp3 ~ ˜ l3+ 1Wp4 ~ ˜ l4 237 Anexo B. Ecuaciones constitutivas magn´eticas para (1,4,3) se reduce a ~ Ws2=1 3v−1Wp1 ~ ˜ l1+ 1Wp4 ~ ˜ l5+ 1Wp3 ~ ˜ l2 para (1,2,4) se reduce a ~ Ws3=1 3v−1Wp1 ~ ˜ l3−1Wp2 ~ ˜ l2+ 1Wp4 ~ ˜ l6 para (1,3,2) se reduce a ~ Ws4=1 3v−1Wp1 ~ ˜ l4−1Wp3 ~ ˜ l6−1Wp2 ~ ˜ l5 Dada la matriz local C(e)obtenida de la matriz global C C(e) i,p =      0100−1 1 0 0 −1 1 0 −1 100−1 1 0 −1−11000      (s×l) Y dada la matriz local D(e)obtenida de la matriz global D D(e) v,i = [ 1 1 1 1 ](v×s) En definitiva, queda ~ B=1 3vφ1~ ˜ l4+φ2~ ˜ l5+φ3~ ˜ l6 que depende del volumen y determina que dentro del tetraedro ~ Bes constante. Si ahora se evalua las funciones Wsen el baricentro de los tetraedros, las funciones nodales Wp,i(v) = 1/4. La funci´on queda de la siguiente forma 238 ~ Wf1=1 12v~ ˜ l1+~ ˜ l3+~ ˜ l4 ~ Wf2=1 12v−~ ˜ l1+~ ˜ l5+~ ˜ l2 ~ Wf3=1 12v−~ ˜ l3−~ ˜ l2+~ ˜ l6 ~ Wf4=1 12v−~ ˜ l4−~ ˜ l6−~ ˜ l5 determin´andose la expresi´on final       (˜ Fm)1 (˜ Fm)2 (˜ Fm)3 (˜ Fm)4       (e) =ν(e) v        ~ ˜ l1·~ ˜ l1~ ˜ l1·~ ˜ l2~ ˜ l1·~ ˜ l3~ ˜ l1·~ ˜ l4 ~ ˜ l2·~ ˜ l1~ ˜ l2·~ ˜ l2~ ˜ l2·~ ˜ l3~ ˜ l2·~ ˜ l4 ~ ˜ l3·~ ˜ l1~ ˜ l3·~ ˜ l2~ ˜ l3·~ ˜ l3~ ˜ l3·~ ˜ l4 ~ ˜ l4·~ ˜ l1~ ˜ l4·~ ˜ l2~ ˜ l4·~ ˜ l3~ ˜ l4·~ ˜ l4              Φ1 Φ2 Φ3 Φ4       (e) que es la matriz sim´etrica y singular M(e) ν, donde ν(e)=1 µ(e)en la celda y donde ~ ˜ ljson las aristas duales a las caras si. Pero CTMνCes una matriz de rigidez y siempre es sim´etrica independientemente del punto de evaluaci´on de las funciones Wsidentro del tetraedro. Los elementos de la matriz local (CT)(e)M(e) νC(e)son desarrollados sin el coeficiente ν(e) vde la siguiente manera, para prop´ositos computacionales, 239 Anexo C. Ecuaciones constitutivas el´ectricas (˜s1x)a=1 2˜ l3yh1z−˜ l3zh1y (˜s1y)a=−1 2˜ l3xh1z−˜ l3zh1x (˜s1z)a=1 2˜ l3xh1y−˜ l3yh1x (˜s1x)b=1 2h1y˜ l4z−h1z˜ l4y (˜s1y)b=−1 2h1x˜ l4z−h1z˜ l4x (˜s1z)b=1 2h1x˜ l4y−h1y˜ l4x concluyendo que ˜s1x= (˜s1x)a+ (˜s1x)b ˜s1y= (˜s1y)a+ (˜s1y)b ˜s1z= (˜s1z)a+ (˜s1z)b ahora se sigue con ˜s2 ˜s2= (˜s2x,˜s2y,˜s2z) = 1 2˜ l1×~ h2+1 2~ h2ט l4= 1 2   ~ i~ j~ k ˜ l1x˜ l1y˜ l1z h2xh2yh2z   +1 2   ~ i~ j~ k h2xh2yh2z ˜ l4x˜ l4y˜ l4z   ; ˜s2x=1 2˜ l1yh2z−˜ l1zh2y+1 2h2y˜ l4z−h2z˜ l4y ˜s2y=−1 2˜ l1xh2z−˜ l1zh2x−1 2h2x˜ l4z−h2z˜ l4x ˜s2z=1 2˜ l1xh2y−˜ l1yh2x+1 2h2x˜ l4y−h2y˜ l4x ahora se sigue con ˜s3 246 ˜s3= (˜s3x,˜s3y,˜s3z) = 1 2˜ l4×~ h3+1 2~ h3ט l2= 1 2   ~ i~ j~ k ˜ l4x˜ l4y˜ l4z h3xh3yh3z   +1 2   ~ i~ j~ k h3xh3yh3z ˜ l2x˜ l2y˜ l2z   ; ˜s3x=1 2˜ l4yh3z−˜ l4zh3y+1 2h3y˜ l2z−h3z˜ l2y ˜s3y=−1 2˜ l4xh3z−˜ l4zh3x−1 2h3x˜ l2z−h3z˜ l2x ˜s3z=1 2˜ l4xh3y−˜ l4yh3x+1 2h3x˜ l2y−h3y˜ l2x ahora se sigue con ˜s4 ˜s4= (˜s4x,˜s4y,˜s4z) = 1 2˜ l2×~ h4+1 2~ h4ט l3= 1 2   ~ i~ j~ k ˜ l2x˜ l2y˜ l2z h4xh4yh4z   +1 2   ~ i~ j~ k h4xh4yh4z ˜ l3x˜ l3y˜ l3z   ; ˜s4x=1 2˜ l2yh4z−˜ l2zh4y+1 2h4y˜ l3z−h4z˜ l3y ˜s4y=−1 2˜ l2xh4z−˜ l2zh4x−1 2h4x˜ l3z−h4z˜ l3x ˜s4z=1 2˜ l2xh4y−˜ l2yh4x+1 2h4x˜ l3y−h4y˜ l3x ahora se sigue con ˜s5 247 Anexo C. Ecuaciones constitutivas el´ectricas ˜s5= (˜s5x,˜s5y,˜s5z) = 1 2˜ l3×~ h5+1 2~ h5ט l1= 1 2   ~ i~ j~ k ˜ l3x˜ l3y˜ l3z h5xh5yh5z   +1 2   ~ i~ j~ k h5xh5yh5z ˜ l1x˜ l1y˜ l1z   ; ˜s5x=1 2˜ l3yh5z−˜ l3zh5y+1 2h5y˜ l1z−h5z˜ l1y ˜s5y=−1 2˜ l3xh5z−˜ l3zh5x−1 2h5x˜ l1z−h5z˜ l1x ˜s5z=1 2˜ l3xh5y−˜ l3yh5x+1 2h5x˜ l1y−h5y˜ l1x y por ´ultimo se sigue con ˜s6 ˜s6= (˜s6x,˜s6y,˜s6z) = 1 2˜ l1×~ h6+1 2~ h6ט l2= 1 2   ~ i~ j~ k ˜ l1x˜ l1y˜ l1z h6xh6yh6z   +1 2   ~ i~ j~ k h6xh6yh6z ˜ l2x˜ l2y˜ l2z   ; ˜s6x=1 2˜ l1yh6z−˜ l1zh6y+1 2h6y˜ l2z−h6z˜ l2y ˜s6y=−1 2˜ l1xh6z−˜ l1zh6x−1 2h6x˜ l2z−h6z˜ l2x ˜s6z=1 2˜ l1xh6y−˜ l1yh6x+1 2h6x˜ l2y−h6y˜ l2x Como M(e) σi,j =σ v(˜si·˜sj)para i, j ∈1 : 6 que para prop´ositos computacionales, se ha desarrollado −(GT)(e)M(e) σG(e) 248 M(e) σG(e) jw(GT)(e)M(e) σ hay que obtener la matriz G(e)y su traspuesta (GT)(e) G(e)=            −1 1 0 0 0−110 −1 0 1 0 −1 0 0 1 0−101 0 0 −1 1           (6×4) entonces −(GT)(e)Me σij G(e)=−σ(e) v(e)He ij ˜sies el vector ´area dual a las aristas del primal li.            I1 I2 I3 I4 I5 I6            =σ(e) v(e)            ˜s1·˜s1˜s1·˜s2˜s1·˜s3˜s1·˜s4˜s1·˜s5˜s1·˜s6 ˜s2·˜s1˜s2·˜s2˜s2·˜s3˜s2·˜s4˜s2·˜s5˜s2·˜s6 ˜s3·˜s1˜s3·˜s2˜s3·˜s3˜s3·˜s4˜s3·˜s5˜s3·˜s6 ˜s4·˜s1˜s4·˜s2˜s4·˜s3˜s4·˜s4˜s4·˜s5˜s4·˜s6 ˜s5·˜s1˜s5·˜s2˜s5·˜s3˜s5·˜s4˜s5·˜s5˜s5·˜s6 ˜s6·˜s1˜s6·˜s2˜s6·˜s3˜s6·˜s4˜s6·˜s5˜s6·˜s6                       U1 U2 U3 U4 U5 U6            249 Anexo C. Ecuaciones constitutivas el´ectricas H(1,1) = (s1·s1+s1·s3+s1·s4)+(s3·s1+s3·s3+s3·s4)+(s4·s1+s4·s3+s4·s4) H(1,2) = (−s1·s1+s1·s2+s1·s5)+(−s3·s1+s3·s2+s3·s5)+(−s4·s1+s4·s2+s4·s5) H(1,3) = (s1·s2−s1·s3+s1·s6)+(−s3·s2−s3·s3+s3·s6)+(−s4·s2−s4·s3+s4·s6) H(1,4) = (−s1·s4−s1·s5−s1·s6)+(−s3·s4−s3·s5−s3·s6)+(−s4·s41−s4·s5−s4·s6) H(2,1) =H(1,2) H(2,2) = (s1·s1−s1·s2−s1·s5)+(−s2·s1+s2·s2+s2·s5)+(s5·s1+s5·s2+s5·s5) H(2,3) = (s1·s2+s1·s3−s1·s6)+(−s2·s2−s2·s3+s2·s6)+(−s5·s2−s5·s3+s5·s6) H(2,4) = (s1·s4+s1·s5+s1·s6)−(s2·s4+s2·s5+s2·s6)−(s5·s4+s5·s5+s5·s6) H(3,1) =H(1,3) H(3,2) =H(2,3) H(3,3) = (s2·s2+s2·s3−s2·s6)+(s3·s2+s3·s3−s3·s6)−(s6·s2+s6·s3−s6·s6) H(3,4) = (s2·s4+s2·s5+s2·s6)+(s3·s4+s3·s5+s3·s6)−(s6·s1+s6·s5+s6·s6) H(4,1) =H(1,4) H(4,2) =H(2,4) H(4,3) =H(3,4) H(4,4) = (s4·s4+s4·s5+s4·s6)+(s5·s4+s5·s5+s5·s6)+(s6·s4+s6·s5+s6·s6) Sistema por elemento "CT l×s(Mν)s×sCs×l+d dt (Mσ)l×ld dt (Mσ)l×lGl×p −d dt GT p×l(Mσ)l×l−d dt GT p×l(Mσ)l×lGl×p#" al×1 χp×1#="Il×1 0p×1# 250 Anexo D Modelo param´etrico del motor de inducci´on en r´egimen din´amico Anexo D. Modelo param´etrico del motor de inducci´on en r´egimen din´amico Modelo param´etrico del motor de inducci´on en r´egimen din´amico. La identificaci´on param´etrica de la m´aquina de inducci´on, se hace partiendo de las ecuaciones (D.1) y (D.2). Se ha utilizado la transformaci´on de Park para la conversi´on de las tres fases del motor de inducci´on en componentes m´as sencillas d-q-0, ya que utilizan magnitudes reales contrariamente a la transformaci´on de Ku, que trabaja en el dominio complejo.       νds νqs νdr νqr       =      Rs+Lsp0Msrp0 0Rs+Lsp0Msrp Msrp nMsrωrRr+Lrp nLrωr −nMsrωrMsrp nLrωrRr+Lrp             Ids Iqs Idr Iqr       (D.1) Tr= (Jp +D)ωr+nMsr (IdsIqr −IqsIdr) (D.2) Del modelo planteado de la m´aquina de inducci´on, se obtiene el circuito equivalente representado en la figura D.1, del cual se deducir´an todas las variables de estado. Figura D.1: Circuito equivalente de la m´aquina de inducci´on. 252 Estas variables son, al ser un circuito tiempo invariante, las intensidades de las bobinas y las tensiones de los condensadores, o sea x(t) = (Ids, Idr, Iqr, Iqs, ωr), respectivamente. Si el circuito fuera tiempo variante, las variables de estado ser´ıan los flujos en las bobinas y las cargas en los condensadores. De igual forma, el vector u(t)=(νds, νqs, Tr), se corresponde con las fuentes independientes de tensi´on e intensidad del circuito de la figura D.1. Las excitaciones del circuito equivalente, est´an formadas por las fuentes de tensi´on en la parte el´ectrica y la fuente de intensidad en la parte mec´anica. Ambas partes est´an separadas por un transformador ideal. La parte mec´anica se ha modelado de forma singular, mediante un circuito equivalente. Como elementos en paralelo se han modelado el momento de inercia J, como un condensador y el coeficiente angular de fricci´on viscosa D, como una conductancia. El par resistente aplicado, se modela mediante una excitaci´on formada por una fuente de intensidad de valor Tr, la velocidad angular del rotor como una tensi´on aplicada ωry el par de origen el´ectrico Te. El modelado de la parte el´ectrica est´a constituido por la resistencias de los devanados del est´ator Rsy del rotor Rr, la autoinducci´on de los mismos como LsyLr, la inducci´on mutua entre est´ator y rotor Msr, las intensidades tanto del eje directo Ids,Idr como en cuadratura Iqs,Iqr, y en el est´ator, las fuentes de tensi´on como excitaciones en ambos ejes Vds yVqs, siendonel n´umero de pares de polos. Del modelo de la m´aquina de inducci´on y de su circuito equivalente, y de las ecuaciones correspondientes para los devanados directos y en cuadratura del est´ator y del rotor, se han planteado las ecuaciones de equilibrio para la parte el´ectrica (D.3) y para la parte mec´anica (D.4). Se han obtenido las derivadas primeras en las ecuaciones diferenciales no lineales y agrupados los t´erminos, se plantean las variables de estado en forma matricial quedando seg´un las expresiones (D.3) y (D.4). Al ser un circuito tiempo invariante, estas se corresponden con las intensidades en las bobinas y las tensiones en los condensadores. En las ecuaciones de equilibrio deducidas, aparece tambi´en como variable el ´angulo de rotaci´on mec´anico θ, que aunque no es variable de estado, su funci´on estar´a presente en la transformaci´on inversa o equivalente con el modelo trif´asico. 253 Anexo D. Modelo param´etrico del motor de inducci´on en r´egimen din´amico d dt       Ids Iqs Idr Iqr       =1 LsLr−M2 sr       nLrRs−nM2 srωr−MsrRr−MsrLrωr nM2 srωrLrRsnMsrLr−MsrRr −MsrRrnLsMsrωrLsRrnLsLrωr −nLsMsrωr−MsrRr−nLsLrωrLsRr             Ids Iqs Idr Iqr       +1 LsLr−M2 sr       Lr0 0Lr −Msr 0 0−Msr      (D.3) d dt "ωr θ#"−1 JDωr−1 JnMsr (IdsIqr −IqsIdr) ωr#+"1 J 0#Tr(D.4) El sistema general (D.3) y (D.4) responde a un sistema de ecuaciones diferenciales algebraicas (DAE) y viene referenciado por A˙y(t) + By(t) = b(t) (D.5) donde AyBson matrices de coeficientes, bes el vector del segundo miembro, y(t) es el vector desconocido, tes el tiempo y el punto es la derivada respecto del tiempo. Ay Bpueden depender de y(t) en el caso de sistemas no lineales, por ejemplo Bdepende de las inc´ognitas en el sistema de ecuaciones (D.7). La soluci´on num´erica del sistema (D.5) requiere una discretizaci´on del tiempo. Un esquema simple viene dado por (D.6) Ayn+1yn ∆t+B(αyn+1 + (1 −α)yn) = αbn−1(1 + α)bn(D.6) Los ´ındices nyn+ 1 se refieren a cantidades en el tiempo tnytn+1 =tn+ ∆t respectivamente. Las diferentes opciones del par´ametro αse obtienen por m´etodos cl´asicos (α= 1, es impl´ıcito (hacia atr´as) de Euler, α= 0 es expl´ıcito (hacia adelante) de Euler, α= 1/2 es Crank-Nicholson, α= 2/3 es Galerkin). El sistema general viene dado por una ecuaci´on diferencial ordinaria (ODE) que es un 254 caso especial de las DAE, donde la matriz Aes la unidad. Si k=1 LsLr−M2 sr , las matrices de coeficientes planteadas en el sistema general (D.5) quedan determinadas de la siguiente forma en (D.7): A=         10000 01000 00100 00010 00001         B=k         nLrRs−nM2 srωr−MsrRr−MsrLrωr0 nM2 srωrLrRsnMsrLr−MsrRr0 −MsrRrnLsMsrωrLsRrnLsLrωr0 −nLsMsrωr−MsrRr−nLsLrωrLsRr0 1 k 1 JnMsrIqr −1 k 1 JnMsrIdr 0 0 1 k D J         b=k         Lr0 0 0Lr0 −Msr 0 0 0−Msr 0 0 0 1 k 1 J            νds(t) νqs(t) Tr(t)    (D.7) 255 Bibliograf´ıa General [DZ09] F. Duan and R. Zivanovic. Induction motor fault diagnostics using global optimization algorithm. In Power Engineering Conference, 2009. AUPEC 2009. Australasian Universities, pages 1–5. IEEE, 2009. [Ent12] Scilab Enterprises. Scilab: Free and open source software for numerical computation. Scilab Enterprises, Orsay, France, 2012. http://www.scilab.org/. [Fer13] E. Ferretti. 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