Análisis de la variabilidad de la dirección media y evaluación de patrones temporales en el oleaje

An´alisis de la variabilidad de la direcci´on media y evaluaci´on de patrones temporales en el oleaje Jos´ e Luis Vega Herrera Las Palmas de Gran Canaria Noviembre de 2015 Agradecimientos Si alguien me hubiera dicho que, con m´ as de 40 a˜ nos cumplidos, volver´ ıa a retomar estudios para iniciar una tesis doctoral que terminar´ ıa cumplido los 50 a˜ nos, le habr´ ıa dicho que mejor que dejara el alcohol. En estos casi ocho a˜ nos, muchas son las personas que de una manera u otra me han animado a concluir un trabajo que nunca acababa de rematar: mis padres, Susa y Emilio, que con su ejemplo de entrega y sacrificio en todos los ´ ordenes de la vida, me ense˜ naron aquello de que con trabajo y esfuerzo casi todo se consigue. Gracias. Mis hijos, Carla y Pablo, que se resignaron a que su padre no les dedicara todo el tiempo que ellos necesitaban y yo quer´ ıa, y deb´ ıa, darles. Gracias. Germ´ an, director, amigo y hermano que a pesar de todos los inconvenientes que ten´ ıa trabajar con un tipo como yo, renunci´ o a muchas madrugadas, a tiempo con Merche, Luis y Manuel para pasar horas y horas conmigo en busca de no s´ e que art´ ıculo o arreglando alg´ un programa. Muchas gracias por tu confianza y paciencia. Hay m´ as personas que, sin duda, de una manera u otra han ’empujado’ para que esta historia, que parec´ ıa el cuento de nunca acabar, tuviera un final feliz: la abuela Amparo y sus ’tortillitas’, Gustavo y sus programitas, mis hermanas y hermanos, cu˜ nadas y cu˜ nados, amigas y amigos. Todos en alg´ un momento me ayudaron con esta tesis. A todos ellos, gracias. Para terminar, sin ella, sin Clara, nada de ´ esto hubiera sido posible. Ella ha sido quien m´ as me anim´ o a intentarlo, me levant´ o en los momentos de duda y, estoy seguro, ser´ a la persona que m´ as se alegrar´ a de que lo haya conseguido. TE QUIERO. SIEMPRE. GRACIAS. Al grupo de investigaci´ on en F´ ısica Marina y Teledetecci´ on Aplicadas (FIMATA) del Departamento de F´ ısica de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria por iii iv poner a mi disposici´ on los medios necesarios para realizar este trabajo. A Puertos del Estado por suministrar las bases de datos analizadas en el presente estudio. ´ Indice general 1. Introducci´on 1 2. Metodolog´ıas de an´alisis 7 2.1. Datoscirculares................................ 7 2.2. Conceptos b´ asicos............................... 10 2.2.1. Estad´ ısticos descriptivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2. Distribuciones de probabilidad circulares . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.3. Momentos trigonom´ etricos y otras caracter´ ısticas . . . . . . . . 19 2.3. Modelos param´ etricos b´ asicos........................ 21 2.3.1. Distribuci´ on Uniforme Circular Uc................. 22 2.3.2. Distribuci´ on de von Mises vM(µ, κ) ................ 24 2.3.3. Distribuci´ on Normal empaquetada WN(µ, σ)............ 27 2.4. Caracterizaci´ on espectral del oleaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.1. Espectro direccional del oleaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.2. Momentos y par´ ametros espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5. Estimaci´ on de la distribuci´ on de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5.1. Estimaci´ on no param´ etrica kde ................... 46 2.5.2. Estudio num´ erico para la selecci´ on de h.............. 53 2.6. Ajuste de funciones emp´ ıricas........................ 55 v vi ´ Indice general 2.7. Evaluaci´ on de la eficiencia de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.7.1. Criterios de eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7.2. Contraste estad´ ıstico de hip´ otesis.................. 66 3. Caracterizaci´on estad´ıstica de la direcci´on media del oleaje 75 3.1. Anisotrop´ ıa de la direcci´ on media del oleaje . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.1.1. Resultados y discusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2. Caracterizaci´ on de f(θm) con el modelo de vM en el Cant´ abrico . . . . 82 3.2.1. Zona de estudio y datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.2. Resultados y discusi´ on........................ 83 3.3. Correlaci´ oncircular-circular.........................100 3.3.1. Coeficientes de correlaci´ on ρΘ,Φ...................101 3.3.2. Resultados y discusi´ on. .......................103 3.4. Caracterizaci´ on de f(θm) con el modelo vM y mezclas de dos vM . . . 105 3.4.1. Mezcla de dos von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.4.2. Resultados y discusi´ on........................108 3.5. Caracterizaci´ on de f(θm) con mezclas de vM y NNTS . . . . . . . . . . 117 3.5.1. Zona de estudio y datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.5.2. Modelos te´ oricos ...........................117 3.5.3. Resultados y discusi´ on........................121 4. Patrones temporales anuales 141 4.1. Relaci´ on entre variables angulares y temporales . . . . . . . . . . . . . 142 4.2. Estacionalidad del potencial energ´ etico del oleaje . . . . . . . . . . . . . 149 4.2.1. ´ Area de estudio y datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.2.2. Estimaci´ on de la potencia del oleaje . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.2.3. Identificaci´ on preliminar de patrones anuales . . . . . . . . . . 154 ´ Indice general vii 4.2.4. Evaluaci´ on estad´ ıstica del ciclo anual . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.2.5. Resultados y discusi´ on........................157 4.3. Patrones temporales en la ocurrencia de tormentas . . . . . . . . . . . . 161 4.3.1. ´ Area de estudio y datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.3.2. Resultados y discusi´ on........................164 5. Conclusiones 173 5.1. Conclusiones..................................173 5.2. Lineas de trabajo futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Bibliograf´ıa 177 Cap´ıtulo 1 Introducci´on Los resultados del an´ alisis del oleaje sobre periodos de tiempo durante los cuales es posible asumir un comportamiento estacionario del fen´ omeno, denominados estados de mar, constituyen la fuente b´ asica de informaci´ on para la caracterizaci´ on de las condiciones de oleaje durante intervalos de duraci´ on muy superior. Mientras la duraci´ on de un estado de mar suele estar entorno a unas pocas horas, el estudio de las condiciones del oleaje en una zona dada suele extenderse sobre periodos de decenas de a˜ nos y es conocido como estudio del clima mar´ıtimo, o climatolog´ıa del oleaje. Este t´ ermino hace referencia fundamentalmente a la caracterizaci´ on probabil´ ıstica de los par´ ametros caracter´ ısticos, o representativos, de cada uno de los estados de mar observados durante el periodo de tiempo considerado [Wiegel, 1964 (90)]. No obstante, tambi´ en resultan de gran inter´ es la detecci´ on y descripci´ on de patrones temporales, o ciclos, en la evoluci´ on de dichos par´ ametros. El conocimiento del clima mar´ ıtimo en una zona espec´ ıfica resulta de vital inter´ es en numerosas aplicaciones, tales como la estimaci´ on de los posibles esfuerzos ejercidos por este fen´ omeno sobre cualquier tipo de estructura, oce´ anica o costera, sometida a su acci´ on, as´ ı como la respuesta din´ amica experimentada por los mismos. Algunos ejemplos de estructuras cuya din´ amica est´ a fuertemente condicionada por las condiciones de oleaje son las obras de defensa de costa (diques rompeolas, muros de protecci´ on costera, etc.), las embarcaciones destinadas al transporte mar´ ıtimo, los dispositivos de extracci´ on de energ´ ıa del oleaje, o del viento sobre el mar, las platafor1 8 Cap´ ıtulo 2 suelen definir las variables circulares como aquellas realizadas con la br´ ujula o con el reloj. (a) (b) Figura 2.1: Representaci´ on de direcciones: (a) en coordenadas esf´ ericas y (b) en coordenadas polares. Existen tres maneras b´ asicas de considerar las direcciones en el plano: como un punto en el plano cartesiano sobre la circunferencia de un c´ ırculo unidad, como un ´ angulo asociado a dicho punto en coordenadas polares, o como n´ umeros unitarios en el plano complejo, tal como se muestra en la figura 2.2. As´ ı, elegida una direcci´ on inicial y una orientaci´ on para el c´ ırculo unidad, cada punto xsobre el c´ ırculo puede ser representado por un ´ angulo, θ,o de forma equivalente por un n´ umero unitario complejo, z. Este n´ umero complejo se relaciona con xpor x=(cos θ, sin θ)Tyz=eiθ=cos θ+isin θ(2.1) Otra caracter´ ıstica importante de las variables circulares es la de su naturaleza peri´ odica. As´ ı, considerando un punto sobre el c´ ırculo que, partiendo de una posici´ on inicial θ0describe una rotaci´ on de 2pπradianes, donde p∈N, regresa a la misma posici´ on, es decir θ=mod(θ+2pπ, 2π). En consecuencia, para analizar este tipo de datos es necesario tener en cuenta como medir la distancia entre dos observaciones Metodolog´ ıas de an´ alisis 9 x sin Θ cos Θ Θ x1 x2 Figure 2.1: Representation of a direction as a point xin the plane with Cartesian coordinates and with polar coordinates (iii) As a point in the complex plane: Let C:= {z∈C:||z|| = 1}be a unit circle in the complex plane. The third representation of directions are complex numbers z∈C. Because of the condition ||z|| = 1 all z∈Ccan be expressed in the following way: z= eiθ = cos θ+isin θ, θ ∈(0,2π]. (See Figure 2.2) Differences between the probability theory on the circle and the theory on the line already occur in the most basic terms. Even the definition of the random variable has to be adjusted to the specific structure of the circle, as seen in the following definitions. Definition 2.1.1. (i) We shall say that a 2-dimensional random vector Xhas a circular distribution in R2and call it a unit random vector if it takes values only on the circumference of a unit circle in the plane with centre in the origin. (ii) We shall say that a complex random variable Zhas a circular distribution in Cif it takes values only on the circumference of a unit circle in the complex plane with centre in the origin. Definition 2.1.2. Let Zbe a complex random variable with a circular distribution in C. Then a unique random variable Θ,0<Θ≤2π, exists such that Z= eiΘ. We shall call random variable Θa random angle. Remark 2.1.3. In some literature, the random angle is also referred to as a circular random variable. Out of convenience, we will work with random angles in the following text. Also, we will describe the transformation between the 2dimensional random vector Xwith circular distribution and random angle Θin Section 3.2. 6 (a) z sin Θ cos Θ Θ Re Im Figure 2.2: Representation of a direction as a complex number zin the complex plane 2.2 Main characteristics of random angles In this section, main characteristics of random angles are defined analogously to characteristics of random variables on the line. The following definitions and lemmata are drawing mainly from Mardia and Jupp [2000]. Definition 2.2.1. Let Θbe a random angle. Its distribution function F is given by F(θ) = P(0 <Θ≤θ),0< θ ≤2π and F(θ+ 2π)−F(θ) = 1,−∞ < θ ≤ ∞.(2.1) Equation (2.1) expands the domain of definition from (0,2π] to the whole real line, as it is common for the distribution function. This expansion uses the fact that the circle is a closed curve as 0 and 2πrepresent the same point on the circle. Therefore, we have: P(0 <Θ≤2π) = 1. Also for α≤β≤α+ 2π, P(α < Θ≤β) = F(β)−F(α) = ∫β α dF(θ),(2.2) where the integral is a Lebesgue-Stieltjes integral. The following lemma describes the main properties of the distribution function. Lemma 2.2.2. For the distribution function F of a random angle Θ, the following holds: (i) F(0) = 0, F(2π) = 1; 7 (b) Figura 2.2: Representaci´ on de una direcci´ on como: (a) un punto en el plano con coordenadas cartesianas y polares y (b) como un n´ umero en el plano complejo. cualesquiera. N´ otese que la distancia entre dos datos circulares es definida de forma diferente sobre el c´ ırculo que sobre la recta real. As´ ı, mientras sobre la recta real la distancia entre dos puntos queda definida por la diferencia num´ erica entre ambos, la distancia entre dos observaciones circulares viene dada por el menor arco entre ambos, (ver figura 2.3). Otra caracter´ ıstica particular de los datos circulares que merece la pena destacar es que la noci´ on de valores altos y bajos carece de sentido. This is illustrated in Figure 3.1 where for both a non-circular and circular example the distances between two objects are visualized. 350 5 -- ---------------------------------------- -- 355 0 — I------------------------------------------------------1— 360 Figure 3.1: For both a non-circular (left) and circular example (right) the distance between two objects is visualized. This chapter describes several different representations of circular data and examines the effect on the outcome of PCA experiments. The aim is to identify which representation allows standard PCA techniques to be used, and what types of artefacts can be expected in cases where an inappropriate representation has been selected. To observe the effect of these different representations, all results are compared with a study performed on the same data set with non-circular data, i.e. Cartesian coordinates. All experiments are performed using a data set that consist of RNA sequence fragments. 3.2. Experimental 3.2.1. Data To examine how the PCA results are influenced by the circularity of the data, a subset is selected of the database used in Duarte & Pyle, 1998. The original set consists of 1480 RNA mononucleotides extracted from 52 RNA sequences, originated from the nucleic acid (NDB) (Berman et al., 1992) and protein (PDB) (Bernstein et al., 1977) databases. In Figure 3.2A the mononucleotides are visualized by means of the two pseudo torsion angles n and 0, defined by the atoms C4’N.1-PN-C4’N-PN+1 and PN-C4’N-PN+1-C4’N+1, respectively (see Figure 3.3). 10 31 Figura 2.3: Representaci´ on de direcciones: (a) en coordenadas esf´ ericas y (b) en coordenadas polares. 10 Cap´ ıtulo 2 Al realizar c´ alculos con las direcciones es necesario expresarlas como ´ angulos, motivo por el que las variables circulares tambien reciben el nombre de variables angulares. Para expresar las direcciones en ´ angulos es necesario elegir un origen y un sentido de giro. En otras palabras, es necesario establecer una direcci´ on cero y un sentido de rotaci´ on (horario o antihorario). Es importante resaltar que diferentes or´ ıgenes, o diferentes sentidos de giro, asignan valores diferentes a la misma observaci´ on. La localizaci´ on del cero y la elecci´ on del sentido de giro son arbitrarios, pudiendo variar de un campo cient´ ıfico a otro, e incluso al estudiar diferentes fen´ omenos en un mismo campo del conocimiento. As´ ı, por ejemplo, el conocido criterio matem´ atico establece el cero en el lado positivo del eje abscisas, midiendo generalmente los ´ angulos en sentido antihorario. Es decir, los ´ angulos toman valores entre 0oy 360o (0, 2π). Sin embargo, tambi´ en es posible elegir la misma localizaci´ on del cero, pero medir los ´ angulos en ambos sentidos, de modo que estos adoptan valores en el rango de -180oa 180o(−π,π), tal como se ilustra en la figura 2.4 (a). El criterio empleado en geof´ ısica, y en otros ´ ambitos de las ciencias de la tierra, establece el origen en el Norte y, por lo general, el sentido de giro horario entre 0oy 360o. Sin embargo, al igual que ocurre en el criterio matem´ atico, tambi´ en es posible emplear sentidos de giro horario y antihorario, adoptando los ´ angulos valores entre -180oy 180o, ver figura 2.4 (b). En el presente trabajo se adopta la convenci´ on m´ as com´ un en los estudios de oleaje, de modo que la direcci´ on de dicho fenomeno queda establecida por su direcci´ on de procedencia, respecto al norte geogr´ afico, en el que se localiza el cero, siendo el sentido de giro positivo el sentido horario. Las t´ ecnicas estad´ ısticas habituales no pueden utilizarse para analizar los datos circulares. Esto es debido a la geometr´ ıa circular del espacio muestral. Por ejemplo, tomemos x1,x2,...,xnobservaciones independientes sobre el c´ ırculo unidad, tales que 0 <xi<2π;i=1,2,...,n; la direcci´ on media ¯ x, que es la media de las x1,...,xn observaciones circulares, no es igual 1 nPn i=1xi. 2.2. Conceptos b´asicos En esta secci´ on se presentan de forma resumida algunos conceptos b´ asicos de estad´ ıstica de datos circulares, o angulares, empleados a lo largo del trabajo. En particular, se introducen algunos estad´ ısticos descriptivos circulares, los momentos Metodolog´ ıas de an´ alisis 11 (a) (b) Figura 2.4: Criterios para la medida de ´ angulos: (a) Matem´ atico, (b) Geof´ ısico trigonom´ etricos, y las caracter´ ısticas b´ asicas de las distribuciones de probabilidad definidas sobre el c´ ırculo. Una exposici´ on detallada de ´ estos, y otros conceptos y t´ ecnicas de estad´ ıstica circular, pueden encontrase en los textos citados en la bibliograf´ ıa. En particular, Mardia (1972) (43) y Fisher, (1993) (16), representan dos fuentes excelentes, con diferente nivel de rigurosidad matem´ atica. 12 Cap´ ıtulo 2 2.2.1. Estad´ısticos descriptivos Medidas de posici´on y centralizaci´on Sean ~ x1,...,~ xnvectores unitarios cuyas ´ angulos correspondientes son θi,i= 1,...,n. La direcci´on media ¯ θde θ1, . . . , θnes la direcci´ on de la resultante ~ x1+···+~ xn. Como las coordenadas cartesianas de ~ xison (cos θi,sin θi), para i=1,...,n, podemos definir ¯ C=1 n n X i=1 cos θi,¯ S=1 n n X i=1 sin θi(2.2) Por tanto, la direcci´ on media, ¯ θ, es la soluci´ on de las ecuaciones cos ¯ θ=¯ C ¯ R; sin ¯ θ=¯ S ¯ R(2.3) donde la longitud resultante media ¯ R, asociada con la direcci´on media ¯ θ, es dada por ¯ R=(¯ C2+¯ S2)1/2(2.4) Cuando ¯ θ > 0, ¯ θpuede definirse expl´ ıcitamente como sigue: ¯ θ=                                            tan−1(¯ S ¯ C) si ¯ C≥0 tan−1(¯ S ¯ C)+πsi ¯ C<0 π 2si ¯ C=0,¯ S>0 3π 2si ¯ C=0,¯ S<0 Indeterminada si ¯ C=¯ S=0 (2.5) Metodolog´ ıas de an´ alisis 13 De (2.2) y (2.3) se deduce que ¯ R=1 n n X i=1 cos(θi−¯ θ) (2.6) y para ¯ R>0 n X i=1 sin(θi−¯ θ)=0 (2.7) La ecuaci´ on (2.7) es an´ aloga a n X i=1 (yi−¯ y)=0 (2.8) donde y1,...,ynson observaciones lineales de media muestral ¯ y. Como se puede ver en las ecuaciones (2.6) y (2.7) las sumas de las desviaciones respecto de la media son cero. No es dif´ ıcil demostrar que la direcci´ on media muestral es invariante bajo rotaci´ on. Esto puede demostrarse suponiendo una nueva elecci´ on de direcci´ on inicial, tomando el ´ angulo αcomo direcci´ on inicial original y reescribiendo los datos como θ0 i=θi−αy ¯ C0=1 n N X i=1 cos θ0 i,¯ S0=1 n N X i=1 sin θ0 i(2.9) Esta equivarianza es an´ aloga a la equivarianza bajo traslaci´ on de la media muestral en las observaciones lineales. Otra importante medida de centralizaci´ on es la direcci´ on mediana. De forma similar a los datos tomados sobre la recta, es posible definir la direcci´on mediana muestral θmed de los ´ angulos θ1, . . . , θncomo cualquier ´ angulo φtal que:(i) la mitad de los datos estan en el intervalo [φ, φ +π), y (ii) la mayor´ ıa de los datos est´ an m´ as cerca de φque de φ+π. En particular, cuando el tama˜ no de la muestra nes impar, la mediana es uno de los datos, si no la mediana muestral ser´ a el punto medio de los dos datos centrales adyacentes. 14 Cap´ ıtulo 2 Medidas de concentraci´on y dispersi´on Para analizar la concentraci´ on y dispersi´ on de los datos circulares, la longitud resultante media ¯ Rdada por (2.4) resulta muy importante. ´ Esta se encuentra en el rango [0,1] y, en particular, cuando ¯ R=1 implica que todos los datos coinciden. Por tanto ¯ Res una medida de concentraci´on de los datos. Sin embargo, si ¯ R=0no implica una dispersi´ on uniforme alrededor del c´ ırculo. Para ver esto, notese que, por ejemplo, cualquier conjunto de datos de la forma θ1, . . . , θn, θi+π, . . . , θn+πtiene ¯ R=0 sin estar los datos igualmente distribuidos alrededor del c´ ırculo. La longitud resultante R es la longitud del vector resultante ~ x1+···+~ xn, por tanto R=n¯ R(2.10) Para la mayor´ ıa de los prop´ ositos descriptivos e inferenciales, la longitud resultante media ¯ Res m´ as importante que cualquier otra medida de dispersi´ on. Por otra parte, usando ¯ Res posible definir la varianza circular: V=1−¯ R(2.11) De la misma manera que la varianza lineal, cuanto menor sea el valor de la varianza circular, m´ as concentrada ser´ a la distribuci´ on. Sin embargo, notese que 0≤V≤1, a diferencia de la varianza lineal. Adem´ as, notese que a la luz de lo remarcado antes sobre la interpretaci´ on de ¯ R=0, V=1 no implica necesariamente una dispersi´ on m´ axima. Otras medidas de dispersi´ on son la desviaci´on est´andar circular muestral, dada por v=[−2 log (1 −V)]1 2=[−2 log ¯ R]1 2(2.12) y la dispersi´on circular muestral: ˆ δ=1−¯ R2 2¯ R2(2.13) Metodolog´ ıas de an´ alisis 15 donde ¯ R2representala longitudresultantemedia delos ´ angulosdobles 2θi,...,2θn. La dispersi´ on circular ˆ δjuega un importante papel en el c´ alculo de un intervalo de confianza para la direcci´ on media y en la comparaci´ on y combinaci´ on de diversas direcciones medias muestrales (ver Fisher, 1993 (16)). Momentos trigonom´etricos muestrales En la secci´ on sobre las medidas de localizaci´ on y concentraci´ on, los momentos ¯ Cy ¯ Sfueron introducidos para definir la direcci´ on media muestral y la varianza circular muestral. Es ´ util combinarlos en el primer momento trigonom´ etrico. En particular, ¯ θy¯ Rson los componentes angular y de amplitud del primer momento trigonom´etrico sobre la direcci´on cero m0 1=¯ C+i¯ S=¯ Rei¯ θ(2.14) Siguiendo esta notaci´ on, definimos el p-´esimo momento trigonom´etrico sobre la direcci´ on cero para p=1,2, . . . como m0 p=¯ Cp+i¯ Sp=¯ Rpei¯ θp(2.15) donde ¯ Cp=1 n n X i=1 cos pθi¯ Sp=1 n n X i=1 sin pθi(2.16) y¯ θpy¯ Rprepresentan la direcci´ on media muestral y la longitud resultante media muestral de pθ1,...,pθn. Los p-´esimos momentos trigonom´etricos muestrales sobre la direcci´on media se obtienen de una manera similar: mp=1 n n X i=1 cos p(θi−¯ θ)+i1 n n X i=1 sin p(θi−¯ θ) (2.17) 16 Cap´ ıtulo 2 En particular, usando las ecuaciones (2.6) y (2.7) se cumple que m1=1 n n X i=1 cos p(θi−¯ θ)=¯ R(2.18) porque Pn i=1sin p(θi−¯ θ)=0, y m2=1 n n X i=1 cos 2(θi−¯ θ) (2.19) De los primeros y segundos momentos trigonom´ etricos sobre la direcci´ on cero, m0 1ym0 2, obtenemos las medidas del sesgo y la curtosis para datos circulares, definidos, respectivamente, como ˆ s=¯ R2sin ( ¯ θ2−2¯ θ) (1 −¯ R)3 2 (2.20) y ˆ k=¯ R2cos ( ¯ θ2−2¯ θ)−¯ R4 (1 −¯ R)2(2.21) Para conjuntos de datos unimodales y sim´ etricos, ˆ ses casi cero. Los datos procedentes de una distribuci´ on unimodal, tienden a poseer un valor de la curtosis muestral alrededor de cero, mientras que las distribuciones m´ as ”puntiagudas”tienen curtosis muestrales positivas. Otras medidas de posici´on y dispersi´on Puede ser ´ util definir medidas como la moda y el rango para datos circulares. La direcci´on modal muestral e θes la direcci´ on que corresponde a la m´ axima concentraci´ on de los datos. Una manera de determinar e θes encontrar el valor de θque maximiza un estimador de la densidad f(θ), aunque este m´ etodo depende de la cantidad de suavizado implicado en el procedimiento de estimaci´ on de la densidad (ver Fisher, 1993 (16)) Metodolog´ ıas de an´ alisis 17 Finalmente, volviendo a las medidas de dispersi´ on, definimos el rango muestral como la longitud del arco m´ as peque˜ no que contine todas las observaciones. 2.2.2. Distribuciones de probabilidad circulares En esta secci´ on se introducen los conceptos b´ asicos de la teor´ ıa de distribuciones de probabilidad para datos circulares. Con este prop´ osito, se definen la funci´ on de distribuci´ on y la funci´ on caracter´ ıstica de datos circulares. Por otra parte, las versiones poblacionales de los momentos trigonom´ etricos y las medidas de posici´ on y dispersi´ on son intoroducidas con el fin de definir la distribuci´ on de probabilidad y otras caracter´ ısticas de los datos circulares. Funci´on de distribuci´on y funci´on caracter´ıstica Sea f(θ) la funci´on de densidad de probabilididad de una variable aleatoria continua Θ, es decir f(θ) es una funci´ on de periodo 2πno negativa que cumple las condiciones de normalizaci´on Z2π 0 f(θ)dθ=1 (2.22) positividad f(θ)≥0∀0≤θ≤2π(2.23) yperiodicidad f(θ)=f(θ+k2π)∀k=1,2, . . . (2.24) La funci´on de distribuci´on,F(θ), puede ser definida sobre cualquier intervalo (θ1, θ2) por F(θ2)−F(θ1)=Zθ2 θ1 f(θ)dθ(2.25) 24 Cap´ ıtulo 2 2.3.2. Distribuci´on de von Mises vM(µ, κ) La distribuci´ on de von Mises se puede considerar como el an´ alogo circular de la distribuci´ on normal en la recta. De hecho comparte muchas propiedades con la distribuci´ on de Gauss. Ambas son distribuciones de m´ axima entrop´ ıa. Ambas son sim´ etricas y tienen su moda y su mediana en la media, y ambas pertenecen a la familia de las distribuciones exponenciales. Por lo tanto es f´ acil de calcular el estimador de m´ axima verosimilitud del par´ ametro µde la distribuci´ on von Mises. Aunque no hay ningun estimador de m´ axima verosimilitud en forma cerrada del par´ ametro de concentraci´ on, κ, se puede calcular num´ ericamente. Esta distribuci´ on fue introducida por von Mises (1918) (88) y tambi´ en suele recibir el nombre de Normal Circular [e.g., Gumbel et al., 1953, (25)] Desde el punto de vista de la inferencia estad´ ıstica, la distribuci´ on de von Mises es una de las m´ as famosas y usadas sobre el c´ ırculo. Es una distribuci´ on unimodal sim´ etrica empleada habitualmente para caracterizar muestras unimodales de datos circulares. La funci´on de densidad de probabilidad-vM(µ, κ) es f(θ)=1 2πI0(κ)eκcos (θ−µ)(2.47) donde I0(κ)=1 2πZ2π 0 eκcos θdθ(2.48) es la funci´ on de Bessel modificada de primera clase y orden cero. La funci´ on I0tiene un desarrollo en serie de potencias dado por I0(κ)=∞ X r=0 1 (r!)2(κ 2)2r(2.49) siendo µla direcci´on media, mientras que κes conocido como par´ametro de concentraci´on. Una representaci´ on de la distribuci´ on de von Mises para diferentes valores del par´ ametro de concentraci´ on se muestra en la figura 2.6. La longitud resultante media ρes igual a A1(κ), que se define como Metodolog´ ıas de an´ alisis 25 A1(κ)=I1(κ) I2(κ) y, en general, Ip(κ)=∞ X r=0 1 Γ(p+r+1)Γ(r+1) (κ 2)2r+p(2.50) La estimaci´ on de κno es sencilla debido a la presencia de las funciones modificadas de Bessel, por lo que es necesario recurrir a m´ etodos num´ ericos. Uno de los m´ as ultilizado es el dado por Best & Fisher (1981) (4) κ=                      2¯ R+¯ R3+5¯ R5/6 si ¯ R<0,53 −0,4+1,39 ¯ R+0,43/(1 −¯ R) si 0,53 ≤¯ R<0,85 1/(¯ R3−4¯ R2+3¯ R) si ¯ R≥0,85 (2.51) La funci´on de distribuci´on viene dada por F(θ)=[2πI0(κ)]−1Zθ 0 eκcos udu (2.52) Los principales momentos ypropiedades de esta distribuci´ on se citan a continuaci´ on: i. la direcci´ on media es µ; ii. la longitud resultante media es ρ=A1(κ); iii. la dispersi´ on circular es δ=[κA1(κ)]−1; iv.αp=Ap(κ) y βp=0, p≥1; v.φp=eipµIp(κ) I0(κ); vi. cuando κ→0, la distribuci´ on converge a la distribuci´ on uniforme Uc; 26 Cap´ ıtulo 2 0.2 0.4 0.6 0.8 30 210 60 240 90270 120 300 150 330 180 0 κ = 0.0 κ = 0.1 κ = 0.5 κ = 1.0 κ = 2.0 κ = 3.0 Figura 2.6: Variaci´ on de la distribuci´ on de von Mises en t´ erminos del par´ ametro de concentraci´ on. vii. cuando κ→ ∞, la distribuci´ on tiende a la distribuci´ on puntual concentrada en la direcci´ on µ; viii. el modo esta en θ=µy el antimodo (punto opuesto en el c´ ırculo al punto modal) est´ a en θ=µ+π. Hay que tener en cuenta que vM(µ+π, κ) y vM(µ, −κ) son la misma distribuci´ on as´ ı que para eliminar esta indeterminaci´ on de los par´ ametros µyκ, es habitual tomar κ≥0; ix. la relaci´ on entre la densidad en el modo y la densidad en el antimodo viene dada por e2κ, de tal manera que cuanto mayor es el valor de κmayor es el agrupamiento alrededor del modo. La distribuci´ on de von Mises es quiz´ as la m´ as prominente y usada en la literatura. Su fama es debida a la posibilidad de calcular los estimadores de los par´ ametros con m´ axima verosimilitud. Pero uno de los principales inconvenientes de este enfoque es que no hay muchas distribuciones disponibles aparte de la von Mises y la mezcla de distribuciones de von Mises. Por otra parte, la extensi´ on a casos multivariados para Metodolog´ ıas de an´ alisis 27 esta distribuci´ on es a´ un un problema abierto. S´ olamente en los ´ ultimos trabajos [Mardia et al., 2007 (47) y 2008 (48)] podemos ver algunas aplicaciones de distribuciones de von Mises bivariadas y trivariadas pero su inferencia precisa de muy complejos procedimientos de estimaci´ on. 2.3.3. Distribuci´on Normal empaquetada WN(µ, σ) Como su propio nombre implica, la distribuci´ on normal empaquetada es la distribuci´ on normal sobre la recta envuelta alrededor del c´ ırculo unidad. Es tambi´ en unimodal y definida por f(θ)=1 σ√2π ∞ X k=−∞ exp[−(θ−µ+2πk)2/2σ2] (2.53) donde µyσ > 0 son par´ ametros. Para la distribuci´ on normal empaquetada, la longitud resultante media ρes exp(−σ2/2) y la direcci´ on media es µ. Para esta distribuci´ on, σ=q−2lnρ1(2.54) lo cual motiva una definici´ on alternativa de la desviaci´ on circular. Es interesante se˜ nalar que cuando σest´ a relacionada con κpor A(κ)=exp(−σ2/2) (2.55) las distribuciones de von Mises y Normal empaquetada difieren en un peque˜ no porcentaje, de modo que en algunas aplicaciones es conveniente tratar sus propieades como indistinguibles. Dada la similitud entre ambas distribuciones, el uso de una u otra depende de los objetivos perseguidos o de las preferencias del usuario. Los momentos trigonom´ etricos de la distribuci´ on normal empaquetada son m´ as simples de calcular que los de la distribuci´ on de von Mises, mientras que la estimaci´ on de los estimadores de m´ axima verosimilitud de la distribuci´ on de von Mises resulta m´ as sencilla que en el caso de la distribuci´ on normal empaquetada. 28 Cap´ ıtulo 2 2.4. Caracterizaci´on espectral del oleaje La generaci´ on, propagaci´ on y disipaci´ on del oleaje constituyen procesos no lineales altamente complejos resultantes de la transferida de energ´ ıa desde un campo de vientos hacia la superficie del mar, a trav´ es de mecanismos f´ ısicos que implican un fuerte acoplamiento entre las capas l´ ımite atmosf´ erica y oce´ anica. Parte de la energ´ ıa transferida por la atm´ osfera al campo de oleaje es almacenada por ´ este para su generaci´ on y crecimiento, mientras que otra parte resulta disipada en forma de turbulencia. Por otro lado, la energ´ ıa captada por determinadas componentes del oleaje es redistribuida lentamente entre diferentes componentes, mediante interacciones no lineales, posibilitando un crecimiento adicional significativo del contenido energ´ etico del campo de oleaje [e.g., Komen et al., 1994 (35)]. En consecuencia, la estructura tan compleja del proceso resultante hace que ´ este sea considerado como un fen´ omeno f´ ısico de naturaleza aleatoria, con propiedades diferentes en funci´ on de las escalas espaciales y temporales consideradas. En consecuencia, la estructura aleatoria del oleaje suele ser caracterizada a diferentes escalas espaciales y temporales, que var´ ıan desde unos pocos segundos y metros hasta el orden de varios d´ ıas y cientos de kil´ ometros. La primera escala espacio-temporal empleada para caracterizar la estructura probabil´ ıstica del oleaje es del orden de un periodo, o una longitud de onda, y los detalles revelados de esta forma reflejan una naturaleza aleatoria. La investigaci´ on sistem´ atica de la estructura del oleaje requiere promediar estos detalles sobre escalas de cientos de periodos y longitudes de onda. En esta segunda escala de descripci´ on las propiedades estad´ ısticas caracter´ ısticas del oleaje son consideradas como temporalmente estacionarias y espacialmente homog´ eneas. Cada uno de los periodos durante cuales las condiciones de oleaje permanecen localmente estacionarias recibe el nombre de estado de mar. Esto permite definir diferentes par´ ametros integrales de altura, periodo y direcci´ on del oleaje, caracter´ ısticos de cada estado de mar, que var´ ıan lentamente a escalas temporales y espaciales superiores. El an´ alisis del comportamiento estoc´ astico de estos par´ ametros caracter´ ısticos de m´ ultiples estados de mar individuales, sobre periodos de tiempo mucho m´ as extensos, representa la tercera escala de descripci´ on de las condiciones de oleaje, denominada generalmente como an´ alisis a largo plazo. En la segunda escala espacio-temporal, la elevaci´ on de la superficie libre del mar, η(~ x,t), en una localizaci´ on ~ x=(x,y) e instante t, es considerada como un proceso aleatorio Gaussiano, estacionario y erg´ odico de media nula. La Gaussianidad del Metodolog´ ıas de an´ alisis 29 proceso surge de admitir que la elevaci´ on de la superficie libre es el resultado de la superposici´ on lineal de un n´ umero infinito de componentes sinusoidales, en la que cada componente posee su propio periodo, longitud de onda y direcci´ on de propagaci´ on. La aplicaci´ on del teorema central del l´ ımite conduce directamente a la Gaussianidad de dicha variable. Las suposiciones de estacionariedad y homogeneidad implican que las propiedades estad´ ısticas de ηson independientes del tiempo y la localizaci´ on de medida. No obstante, es importante resaltar que, tal como se coment´ o previamente, estas hip´ otesis son generalmente v´ alidas sobre un ´ area y durante un periodo limitados. La suposici´ on de Gaussianidad implica una distribuci´ on sim´ etrica de los desplazamientos de la superficie libre sobre el nivel medio en reposo. Sin embargo, esta suposici´ on es s´ olo v´ alida para condiciones de oleaje moderadas en aguas profundas, apareciendo desviaciones notables bajo condiciones severas de oleaje y, especialmente, en aguas de profundidad reducida. Considerando un sistema de referencia Cartesiano fijo, con la coordenada zpositiva hacia arriba desde el plano horizontal x-y, coincidente con la superficie del mar en reposo, un tren de ondas regular propag´ andose con una direcci´ on θrespecto al eje x puede ser representado por η(~ x,t)=<haexp ni(kx cos θ+ky sen θ−ωt+φ)oi(2.56) donde <denota la parte real, aes la amplitud de onda compleja, i=√−1, y k el m´ odulo del vector n´ umero de onda, ~ k=(kcos θ, ksen θ) , relacionado con la frecuencia angular mediante la relaci´ on de dispersi´ on ω2=gk tanh kh (2.57) siendo hla profundidad y gla aceleraci´ on gravitatoria. N´ otese que el vector~ kincluye informaci´ on sobre la longitud de onda, la direcci´ on de propagaci´ on y la frecuencia de cada componente constituyente. Admitiendo las hip´ otesis anteriormente citadas, un tren de oleaje irregular puede ser caracterizado mediante una superposici´ on de ondas regulares con diferentes 30 Cap´ ıtulo 2 frecuencias, amplitudes y direcciones de propagaci´ on. Esto es, η(~ x,t)=< ∞ X n=1 anexp ni(knxcos θn+knysen θn−ωnt+φn)o(2.58) Las fases iniciales, φn, asociadas con las amplitudes complejas anse asumen distribuidas uniformemente en [0,2π). El modelo de oleaje descrito recibe el nombre de modelo aleatorio de oleaje lineal. La naturaleza aleatoria del proceso queda impl´ ıcitamente incluida en la aleatoriedad de las amplitudes, los n´ umeros de onda y las fases iniciales. La linealidad del modelo se debe a que la expresi´ on de cada componente es soluci´ on de la ecuaci´ on de Laplace bajo condiciones de contorno linealizadas [e.g, Phillips, 1977 (64)]. 2.4.1. Espectro direccional del oleaje Denotando la fase de cada componente, para un instante, t, y una posici´ on, ~ x, como ϕ=~ k~ x−ωt+φ=φ+φ0 donde la fase inicial, φ0, est´ a distribuida uniformemente en [0,2π), resulta f´ acil demostrar que la esperanza matem´ atica y la varianza de la funci´ on sen (ϕ) vienen dadas por Esen (ϕ)=0 Var sen (ϕ)=1 2 De modo que, considerando las reglas de la suma de variables aleatorias independientes, se tiene Eη(~ x,t)=0 Metodolog´ ıas de an´ alisis 31 y Var η(~ x,t)= N X n=1 a2 nEhsen2(ϕ)i= N X n=1 1 2a2 n(2.59) En teor´ ıa, en lugar de un n´ umero finito de componentes, se puede admitir que η(~ x,t) es el resultado de la superposici´ on lineal de un n´ umero infinito de ondas sinuosidades, con diferentes amplitudes y n´ umeros de onda. En tal caso, es conveniente expresar las amplitudes como an=a(~ k) y reemplazar el sumatorio por una integral, tal como sigue N X n=1 1 2a2 n−→ ∞ Z kx=−∞ ∞ Z ky=−∞ Ψkx,kydkxdky=Z~ k Ψ(~ k)d~ k(2.60) La funci´ on Ψkx,ky= Ψ(~ k) representa la densidad de ondas entorno a un n´ umero de ondas~ k, o de forma equivalente, la contribuci´ on a la varianza de las componentes con n´ umeros de onda en un intervalo (dkx,dky), entorno a ~ k. Esta funci´ on, que recibe el nombre de espectro de n´ umero de ondas, es semidefinida positiva, Ψ(~ k)≥0. Si el espectro Ψ(~ k) est´ a concentrado entorno a un n´ umero de onda ~ k0, el campo de oleaje estar´ a dominado por ondas con n´ umeros de onda pr´ oximos a dicho valor. Es decir, por ondas viajando en la direcci´ on ~ k0/k0, y frecuencia dada por la relaci´ on de dispersi´ on (ecuaci´ on 2.57), que para el caso de aguas profundas se reduce a ω2=gk. En el contexto de la teor´ ıa lineal de ondas es posible demostrar que para un tren de ondas regular con amplitud a, la energ´ ıa por unidad de superficie del oc´ eano es ρga2/2. As´ ı, generalizando para un campo de oleaje irregular, se tiene que E=ρgVar η(~ x,t)=Z~ k Ψ(~ k)d~ k(2.61) En consecuencia, la funci´ on Ψ(~ k) puede ser considerada como proporcional a la distribuci´ on de energ´ ıa del oleaje en t´ erminos del n´ umero de onda. 32 Cap´ ıtulo 2 Dado que ~ k=kcos θ~ i+sen θ~ j, es posible expresar la varianza (energ´ ıa) de la superficie libre en coordenadas polares, de modo que Var η(~ x,t)=Z~ k Ψ(~ k)d~ k= ∞ Z k=0 2π Z θ=0 Ψ(k, θ)k dk dθ(2.62) Es decir Ψ(~ k)d~ k= Ψ(k, θ)k dk dθ(2.63) donde la expresi´ on Ψ(k, θ) recibe el nombre de espectro de n´ umero de onda - direcci´ on. Recurriendo a la relaci´ on de dispersi´ on para aguas profundas es posible intercambiar la variable kpor ω, de forma que Z~ k Ψ(~ k)d~ k= ∞ Z k=0 2π Z θ=0 Ψ(k, θ)k dk dθ = ∞ Z ω=0 2π Z θ=0 Ψ(k(ω), θ)k(ω)dk(ω) dωdωdθ = ∞ Z ω=0 2π Z θ=0 E(ω, θ)dωdθ La funci´ on E(ω, θ)= Ψ(k(ω), θ)k(ω)dk(ω) dω(2.64) recibe el nombre de espectro direccional del oleaje y, en la pr´ actica, suele resultar la opci´ on m´ as adecuada para caracterizar un estado de mar. N´ otese que, a diferencia de las funciones Ψ(~ k) y Ψ(k, θ), el espectro direccional no incluye expl´ ıcitamente Metodolog´ ıas de an´ alisis 33 informaci´ on sobre el n´ umero de onda. En este sentido, es importante resaltar que la inmensa mayor´ ıa de los sensores empleados para medir el oleaje de forma rutinaria no son capaces de obtener informaci´ on sobre la estructura espacial del fen´ omeno. Estos dispositivos de medida act´ uan registrando, mediante diversos m´ etodos, datos relativos a la frecuencia y direcci´ on del oleaje en una localizaci´ on puntual de la superficie del mar, de modo que la informaci´ on sobre el n´ umero de ondas debe ser inferida, en su caso, a trav´ es de la relaci´ on de dispersi´ on. En general, el espectro direccional suele ser expresado en t´ erminos de la frecuencia lineal, medida en hertzios, en lugar de la frecuencia angular, medida en radianes. La transformaci´ on entre ambas expresiones alternativas del espectro direccional viene dada por E(ω, θ)dωdθ=E(f, θ)df dθ(2.65) El espectro direccional, E(ω, θ), representa la contribuci´ on a la varianza (energ´ ıa) del proceso η(~ x,t) en cada intervalo (df,dθ) y, en la pr´ actica, suele resultar conveniente expresarlo como el producto de dos funciones. Una de ellas recibe el nombre de funci´ on de distribuci´ on direccional, o funci´ on de dispersi´ on direccional, D(f, θ), y representa la forma en que se distribuye la energ´ ıa en t´ erminos de la direcci´ on para cada frecuencia. La otra es denominada funci´ on de densidad espectral de varianzas, espectro escalar, o simplemente espectro del oleaje, y es denotada como S(f). Es decir, E(f, θ)=S(f)D(f, θ) (2.66) donde la funci´ on de distribuci´ on direccional satisface la condici´ on 2π Z 0 E(f, θ) S(f)dθ= 2π Z 0 D(f, θ)dθ=1 (2.67) Hay que tener en cuenta que, de acuerdo con la ecuaci´ on 2.67, y seg´ un se indic´ o en la secci´ on 2.2, la funci´ on de distribuci´ on direccional satisface las propiedades de 40 Cap´ ıtulo 2 Figura 2.8: Boya de balanceo y cabeceo para medir elevaciones y pendientes de la superficie. b1(f)= 2π Z 0 sen(θ)D(f, θ)dθ=Qzy(f) k(f)Czz(f)(2.83) a2(f)= 2π Z 0 cos(2θ)D(f, θ)dθ=Cxx(f)−Cyy(f) k(f)2Czz(f)(2.84) b2(f)= 2π Z 0 sen(2θ)D(f, θ)dθ=2Cxy(f) k(f)2Czz(f)(2.85) donde Cii denota el auto-espectro, Cij el co-espectro y Qij el quad-espectro. El n´ umero de onda puede ser determinado de dos formas. Haciendo uso de la relaci´ on de dispersi´ on lineal, o a partir de los auto-espectros, de la siguiente forma k(f)= Cxx(f)+Cyy(f) Czz(f)!1/2 (2.86) Metodolog´ ıas de an´ alisis 41 El procedimiento anterior s´ olo permite obtener la siguiente aproximaci´ on truncada de la funci´ on D(f, θ) D(f, θ)=1 π       1 2+ 2 X n=1an(f) cos(nθ)+bn(f) sin(nθ)      (2.87) la cual s´ olo resulta adecuada cuando los coeficientes de Fourier de orden superior, no estimados, son muy peque˜ nos [Longuet-Higgins et al. 1963 (41); Kuik et al. 1988, (37)]. En consecuencia, para este tipo de medidas existen varios m´ etodos basados en el uso del an´ alisis espectral cruzado de las tres se˜ nales mencionadas, cuya finalidad es extraer la informaci´ on direccional del oleaje, y que pueden clasificarse b´ asicamente en dos clases. En la primera de ellas se intenta reconstruir la distribuci´ on direccional de energ´ ıa para cada frecuencia. En el segundo m´ etodo se estiman, a partir de los coeficientes de Fourier, unos pocos par´ ametros direccionales caracter´ ısticos, lo cual suele resultar suficiente en la mayor´ ıa de las aplicaciones pr´ acticas. En consecuencia, dado que D(f, θ) es una funci´ on de densidad de probabilidad circular, haciendo uso de sus momentos trigonom´ etricos, resulta posible definir los siguientes par´ ametros estad´ ısticos: Direcci´ on media para una frecuencia dada θ0(f)=θm(f)= 2π Z 0 θD(f, θ)dθ(2.88) Direcci´ on dominante, o direcci´ on modal, para una frecuencia dada θp(f)= Θ ⇐⇒ D(f,Θ)=m´ax θ{D(f, θ)}(2.89) Varianza direccional para una frecuencia dada, o equivalentemente dispersi´ on energ´ etica entorno a θm(f) σ2 0(f)= 2π Z 0θ−θm(f)2D(f, θ)dθ(2.90) 42 Cap´ ıtulo 2 Sesgo para una frecuencia espec´ ıfica γ1(f)=σ−3 0(f) 2π Z 0θ−θm(f)3D(f, θ)dθ(2.91) Curtosis para una frecuencia dada γ2(f)=σ−4 0(f) 2π Z 0θ−θm(f)4D(f, θ)dθ(2.92) Dados los cuatro coeficientes, a1(f),b1(f),a2(f),b2(f), y definiendo los siguientes coeficientes centrados de Fourier, m1(f)= 2π R0 cos (θ−θo(f))D(f, θ)dθ =a1(f) cos(θ0(f)) +b1(f) sen (θ0(f)) =a2 1(f)+b2 1(f)1/2 (2.93) m2(f)= 2π R0 cos [2(θ−θo(f))]D(f, θ)dθ =a2(f) cos(2θ0(f)) +b2(f) sen (2θ0(f)) (2.94) n1(f)= 2π R0 sen (θ−θo(f))D(f, θ)dθ =b1(f) cos(θ0(f)) −a1(f) sen (θ0(f)) =0 (2.95) n2(f)= 2π R0 sen [2(θ−θo(f))]D(f, θ)dθ =b2(f) cos(2θ0(f)) −a2(f) sen (2θ0(f)) (2.96) Metodolog´ ıas de an´ alisis 43 es posible definir los par´ ametros anteriores tal como sigue [Mardia, 1972, (43)]. Es decir, la direcci´ on media para una frecuencia dada θm(f)=tan−1 b1(f) a1(f)!=tan−1 Qzy(f) Qzx(f)!(2.97) la direcci´ on principal para una frecuencia espec´ ıfica θp(f)=1 2tan−1 b2(f) a2(f)!=1 2tan−1 2Cxy(f) Cxx(f)−Cyy(f)!(2.98) la dispersi´ on o varianza direccional respecto a la direcci´ on media para una frecuencia concreta σ0=σ(f)=2(1 −m1(f))1/2(2.99) que indica el grado de dispersi´ on direccional, aumentando a medida que la funci´ on de distribuci´ on direccional se ensancha. Adem´ as, el sesgo para una frecuencia f, adopta la expresi´ on γ(f)=−n2(f) h1 2(1 −m2(f))i3/2(2.100) mientras la curtosis para una frecuencia espec´ ıfica puede ser expresada como δ(f)=6−8m1(f)+2m2(f) 2(1 −m1(f))2=6−8m1(f)+2m2(f) σ2 0 (2.101) Los par´ ametros direccionales definidos hasta el momento se refieren a las caracter´ ısticas direccionales de las componentes del oleaje para una frecuencia particular. Sin embargo, en general, resulta necesario caracterizar la direccionalidad de un campo de oleaje completo mediante unos pocos par´ ametros, tal como ocurre con la altura y el periodo. En muchas ocasiones se emplean la direcci´ on media, θm(f), la direcci´ on 44 Cap´ ıtulo 2 principal, θp(f), y la dispersi´ on direccional, σ(f), para la frecuencia asociada al pico espectral (f=fp), para caracterizar el espectro direccional completo. No obstante, es posible definir par´ ametros que engloban informaci´ on representativa de todo el espectro, o una banda significativamente energ´ etica del mismo. Con este fin se definen par´ ametros direccionales que se obtienen promediando el espectro direccional sobre todo, o parte, de su rango de frecuencias. En la pr´ actica, la integraci´ on se suele restringir a un rango de frecuencias flow <f<fhigh ≡ss, que engloba tanto al oleaje de viento como al oleaje de fondo [e.g., Kuik et al., 1988 (37); Herbers et al, 1999, (27); Spydell & Feddersen, 2009, (79)]. Estimando la direcci´ on media asociada a cada frecuencia, θm(f), es posible definir un conjunto de vectores cuyas intensidades vienen dadas por la contribuci´ on energ´ etica de cada frecuencia al proceso (S(f)) y cuyas direcciones son las direcciones medias asociadas (θm(f)) [e.g., Tucker, 1991, (83)]. De este modo, el vector resultante del promedio de todos estos vectores indicar´ a una direcci´ on media global para el campo de oleaje dada por [Kuik et al., 1988, (37)] θm=tan−1 Rss 2π R0 sen(θ)E(f, θ)df dθ Rss 2π R0 cos(θ)E(f, θ)df dθ  (2.102) De modo equivalente es posible definir una dispersi´ on direccional global, que indica el grado de dispersi´ on direccional del oleaje entorno a la direcci´ on media de propagaci´ on, como σ2 θ=Rss 2π R0 sen2(θ−¯ θ)E(f, θ)df dθ Rss 2π R0 E(f, θ)df dθ (2.103) Otros par´ ametros empleados en la pr´ actica son la direcci´ on principal para la frecuencia de pico, θp(fp), y la direcci´ on dominante, definida por el valor m´ aximo de D(f, θ) promediado de forma ponderada en frecuencias. Es interesante notar que, aunque todos estos par´ ametros representan una direcci´ on, el rango de las direcciones media y dominante es [0,2π), mientras el de la direcci´ on principal se reduce a [−π/2, π/2]. Metodolog´ ıas de an´ alisis 45 En ocasiones, para obtener una estimaci´ on razonablemente consistente de la direcci´ on media del oleaje en la regi´ on del pico espectral, se define una direcci´ on media en el pico espectral ¯ θpk promediando sobre un rango de frecuencias estrecho entorno afp, tal como 0,9<f/fp<1,5. El presente trabajo centra su atenci´ on en el estudio de la variabilidad estad´ ıstica de la direcci´ on media, θm, como par´ ametro m´ as representativo de la direcci´ on del oleaje en un estado de mar. La figura 2.9 muestra un ejemplo de espectro direccional de un campo de oleaje, en forma de gr´ afico polar donde los contornos de color indican la densidad espectral (m2/oHz), el eje axial la frecuencia, Hz, y el radial la direcci´ on (grados). La flecha indica la direcci´ on media del oleaje. Sensors 2011, 11 1055 Figure 13. Comparison of the directional wave spectrum. (a) GPS-derived; (b) buoy-measured (Data: 2006/12/17 01:00). 0.1 0.2 0.3 0.4 30 210 60 240 90270 120 300 150 330 180 0 m2s/deg direction[degrees]/frequency[Hz] 309o 0.1 0.2 0.3 0.4 30 210 60 240 90270 120 300 150 330 180 0 m2s/deg direction[degrees]/frequency[Hz] 317o (b) Figure 14. Comparison of significant wave height (SWH) between the buoy-measured with GPS-derived. SWH derived from GPS (m) SWH measured by buoy (m) 0 1 2 3 4 GPS Hs(m) 0 1 2 3 4 Accelerormeter Hs(m) R = 0.99 R=0.99 0 1 2 3 4 GPS Hs(m) 0 1 2 3 4 Accelerormeter Hs(m) R = 0.99 R=0.99 Figura 2.9: Ejemplo de espectro direccional de un estado de mar. 2.5. Estimaci´on de la distribuci´on de probabilidad Las diferentes metodolog´ ıas empleadas para la estimaci´ on de la funci´ on de densidad para una variable aleatoria dada pueden ser clasificadas en param´ etricas y no 46 Cap´ ıtulo 2 param´ etricas. El m´ etodo param´ etrico asume una forma funcional espec´ ıfica (Normal, Log-normal, Rayleigh, etc.) dependiente de unos pocos par´ ametros que pueden ser estimados mediante m´ etodos convencionales, tales como el de m´ axima verosimilitud. Por el contrario, la aproximaci´ on no param´ etrica no impone restricciones sobre la estructura de la fdp admitiendo una forma funcional predeterminada. En este caso, la idea fundamental es estimar la fdp teniendo en cuenta ´ unicamente el conjunto de datos que constituye la muestra, sin admitir que esta procede de una determinada distribuci´ on te´ orica. As´ ı, si los datos lo sugieren, la fdp estimada puede tener un grado arbitrario de asimetr´ ıa o cualquier n´ umero de modos. Uno de los objetivos principales del presente trabajo es determinar que distribuciones te´ oricas caracterizan de forma m´ as adecuada el comportamiento probabil´ ıstico de la direcci´ on media del oleaje. Por tanto, es necesario estimar la funci´ on de densidad de probabilidad emp´ ırica, a partir de las observaciones, y posteriormente analizar la capacidad de los diferentes modelos te´ oricos examinados para representarlas adecuadamente. En consecuencia, resulta imprescindible emplear alguna aproximaci´ on no param´ etrica con el fin estimar la funci´ on de densidad de probabilidad emp´ ırica. En particular, se emplea el m´ etodo de estimaci´ on kernel, en adelante denominado como kde, de kernel density estimation. En la siguiente secci´ on se presenta un breve resumen de los fundamentos de esta metodolog´ ıa. Una exposici´ on detallada de este m´ etodo puede encontrase en diversos textos especializados (e.g. Silverman, 1986 (76); Wand & Jones, 1994 (89)). 2.5.1. Estimaci´on no param´etrica kde Considerando que la funci´ on de distribuci´ on de probabilidad, F(x), o funci´ on de densidad acumulada, cdf, es definida como F(x)=P(X≤x) donde f(x)=dF(x) dx (2.104) En el caso univariado, un estimador simple de la cdf emp´ ırica es Metodolog´ ıas de an´ alisis 47 ˆ F(x)=1 n n X i=1 1{Xi≤x} donde 1{Xi≤x}es la funci´ on indicador, definida como 1{Xi≤x}=       0⇐⇒ Xi>x 1⇐⇒ Xi≤x La cdf emp´ ırica constituye un estimador no param´ etrico, al no imponer una forma param´ etrica sobre la verdadera cdf. En consecuencia, es posible utilizar este hecho para obtener un estimador no param´ etrico de la fdp. Teniendo en cuenta (2.104), la fdp puede ser expresada como f(x)=l´ım h→0 F(x+h)−F(x) h=l´ım h→0 F(x+h/2) −F(x−h/2) h(2.105) Entonces, una elecci´ on simple y directa de estimador no param´ etrico de la fdp consiste en sustituir Fpor ˆ Fen (2.105). Sin embargo, el l´ ımite podr´ ıa no estar bien definido, dado que ˆ Fno es diferenciable. En cualquier caso, para un valor peque˜ no y positivo de hes posible definir ˆ f(x)=l´ım h→0 ˆ F(x+h/2) −ˆ F(x−h/2) h =1 nh n X i=1 1{x−h/2<Xi≤x+h/2}(2.106) La ecuaci´ on (2.106) representa simplemente el histograma cl´ asico empleado para estimar la fdp, siendo hel denominado ancho del intervalo. Esta ecuaci´ on puede ser reescrita como ˆ f(x)=1 nh n X i=1 KXi−x h(2.107) 48 Cap´ ıtulo 2 donde K(z)=1{−1/2≤z≤1/2}(2.108) es la densidad de la distribuci´ on uniforme sobre el intervalo [−1/2,1/2]. El histograma proporciona estimaciones de la fdp diferentes al variar el origen, valor de inicio del primer intervalo, y el n´ umero de intervalos, o el ancho de ´ estos, h. El primer par´ ametro efecta a la forma del histograma, mientra el segundo afecta al grado de suavizado. Una alternativa eficiente para obtener estimaciones de la fdp mas suavizadas consiste en sustituir la funci´ on uniforme en K(x) por una funci´ on una funci´ on que satisfaga ZK(x)dx =1 El estimador resultante, denominado estimador kernel tiene la misma expresi´ on, es decir, ˆ f(x)=1 nh n X i=1 KXi−x h(2.109) pero la funci´ on K(x), denominada funci´ on kernel, satisface la condici´ on de normalizaci´ on y, en la pr´ actica, suele ser seleccionada como una densidad de probabilidad, unimodal y sim´ etrica, como, por ejemplo, la Normal K(x)=1 √2πexp(−x2 2) (2.110) que representa la elecci´ on m´ as com´ un en la pr´ actica. Este tipo de estimador fue propuesto por Rosenblatt (1956) (74) y Parzen (1962) (61). Las distribuciones de probabilidad emp´ ıricas derivas de las observaciones experimentales examinadas en el presente trabajo han sido obtenidas mediante la metodolog´ ıa de la estimaci´ on kernel, kde. Metodolog´ ıas de an´ alisis 49 Es importante destacar que la elecci´ on de la funci´ on kernel no posee una implicaci´ on esencial en la funci´ on de densidad emp´ ırica resultante. Por el contrario, la selecci´ on del par´ ametro de ancho de banda, o suavizado, h, constituye el aspecto de mayor relevancia en este sentido. As´ ı, la elecci´ on de un hmuy alto da lugar a estimaciones de f(θ) demasiado suavizadas [figura 2.10 (c)], mientras que un valor de hmuy bajo produce estimaciones de f(θ) muy poco suavizadas [figura 2.10 (a)]. La elecci´ on de hno resulta simple y, como consecuencia, existen diversas t´ ecnicas para tal fin [e.g., Wand y Jones, 1994 (89)]. Densidad de probabilidad X h= 0.5 (a) (a) h=0,5 Densidad de probabilidad X h= 1.0 (b) (b) h=1,0 Densidad de probabilidad X h= 1.5 (c) (c) h=1,5 Figura 2.10: Efecto del ancho de banda, h, sobre la estructura de la fdp. Selecci´on del ancho de banda Existen diferentes formas de elegir el ancho de banda ”´ optimo”para un conjunto de datos dado. El m´ etodo m´ as simple es el de prueba-error que consiste en representar la kde para diferentes valores de h. De este modo, valores altos de hdar´ an lugar a estimaciones muy suavizadas de la fdp, mientras que para valores bajos esta presentar´ a una gran variabilidad. La elecci´ on del valor intermedio ´ optimo de hes una cuesti´ on de criterio. N´ otese que este procedimiento es similar al empleado con frecuencia para seleccionar el numero de intervalos en un histograma. Existen otros m´ etodos m´ as rigurosos para la elecci´ on del ancho de banda. Normalmente, el par´ ametro de ancho de banda se selecciona con la idea de minimizar alg´ un tipo de error, como por ejemplo, el error cuadrado integrado medio (MISE) 56 Cap´ ıtulo 2 observaciones experimentales a alg´ un modelo te´ orico. Es decir, dado un conjunto de observaciones experimentales, y(xi), y un modelo te´ orico, f(C,xi), que se desea ajustar a los datos experimentales, denominado funci´ on objetivo, el problema consiste en obtener el conjunto de par´ ametros de los que depende el modelo, C, que permiten obtener el mejor ajuste posible a las observaciones experimentales. El problema planteado incluye varias opciones posibles. Por un lado, las situaciones en las que los par´ ametros C, frecuentemente conocidos como par´ ametros libres del modelo, pueden variar arbitrariamente o si, por el contrario, su variabilidad est´ a restringida a unos l´ ımites determinados de la forma aj≤Cj≤bj;j=1,2,··· ,k. donde krepresenta el n´ umero de par´ ametros a determinar. Por otro lado, la dependencia del modelo con los par´ ametros puede ser lineal, o no lineal. En funcion de si existen restricciones en el rango de variaci´ on de los par´ ametros, o no, y de si la dependencia del modelo con los mismos es lineal o no lineal, se requieren diferentes tipos de procedimientos para la resoluci´ on del problema. Existen diferentes metodolog´ ıas para abordar el problema de la determinaci´ on de los par´ ametros libres de un modelo a partir de los datos experimentales [e.g., Bevington & Robinson, 2003, (5). En el presente trabajo, el inter´ es se centra en el ajuste de funciones no lineales en los par´ ametros y con restricci´ on en la variaci´ on de los mismos. La metodolog´ ıa adoptada para la obtenci´ on de los par´ ametros del modelo es el ajuste por m´ ınimos cuadrados no lineales, empleando el m´ etodo Levenberg-Marquardt [Levenberg, 1944 (40); Marquardt, 1963 (49)]. El objetivo es encontrar un conjunto de par´ ametros que minimicen las diferencias entre las observaciones y el modelo propuesto para ajustarlas. Esto es, se admite que las observaciones pueden ser expresadas como y(xi)=f(C,xi)+i;i=1,2,...,n. donde nes el n´ umero de observaciones y irepresentan los errores. Metodolog´ ıas de an´ alisis 57 La selecci´ on de los par´ ametros que proporcionan el mejor ajuste posible es quivalente a la busqueda de los par´ ametros libres que minimizan los errores entre las observaciones y las predicciones del modelo. Es decir, dado un modelo con kpar´ ametros c1,c2,...,ckse requiere minimizar los errores medios cuadr´ aticos, , definidos como (c1,c2,...,ck)= n X i=1 [yi−f(c1,c2,...,ck,xi)]2(2.118) N´ otese que en este planteamiento los errores resultan ser funci´ on de los par´ ametros para los cuales se busca el valor ´ optimo. La obtenci´ on de estos par´ ametros requiere la soluci´ on simult´ anea de las siguientes kecuaciones ∂ ∂c1 =0,∂ ∂c2 =0,··· ∂ ∂ck =0 (2.119) En general, la resoluci´ on de 2.119 equivale a la resoluci´ on de un sistema de k ecuaciones no lineales que suele resultar sustancialmente complicado [e.g., Press et al, 1992 (68); Transtrum et al., 2010, (82)]. Los m´ etodos m´ as com´ unmente empleados para la resoluci´ on del problema de minimizaci´ on expresado por la ecuaci´ on 2.118 son m´ etodos iterativos en los que se requiere suministrar un valor inicial de cada uno de los par´ ametros buscados. Todos los m´ etodos de optimizaci´ on no lineal son sensibles a la elecci´ on de los valores iniciales escogidos para iniciar el procedimiento iterativo, de forma que la elecci´ on inadecuada de los mismos puede hacer que el algoritmo no converja, o que los par´ ametros resultantes no s´ ean los ´ optimos [e.g., Press et al., 1992, (68)]. La elecci´ on del m´ etodo de Levenberg-Marquardt ha estado basada en que ´ este no es demasiado sensible a la elecci´ on de los par´ ametros iniciales y proporciona una covergencia razonablemente r´ apida. Este m´ etodo es una combinaci´ on del m´ etodo de Gauss-Newton y del m´ etodo de descenso de mayor pendiente y, partiendo de los valores iniciales suministrados, eval´ ua los residuos dados por la expresi´ on 2.118. En cada iteraci´ on, los par´ ametros son modificados ligeramente, empleando el m´ etodo del descenso de mayor pendiente, y se eval´ ua nuevamente el residuo. Si el residuo disminuye con los valores de los par´ ametros empleados, entonces ´ estos son empleados como nuevos valores 58 Cap´ ıtulo 2 iniciales, repiti´ endose el proceso hasta que el criterio de convergencia establecido sea satisfecho, es decir, hasta que ≤ς, donde ςes un valor de tolerancia previamente especificado. 2.7. Evaluaci´on de la eficiencia de los modelos El proceso de evaluaci´ on de la eficiencia de un modelo para caracterizar las observaciones requiere la aplicaci´ on de alg´ un procedimiento, objetivo o subjetivo, que permita estimar el grado de concordancia entre las observaciones y el modelo ajustado. Es decir, se requiere alguna medida de la bondad del modelo para caracterizar las observaciones. La metodolog´ ıa m´ as b´ asica para valorar la utilidad del modelo consiste en la observaci´ on visual de la distribuci´ on emp´ ırica de las observaciones y el modelo ajustado. Aunque de gran importancia en la toma de una decisi´ on final, esta aproximaci´ on al problema es completamente subjetiva. Sin embargo, la selecci´ on del modelo a emplear para caracterizar los datos debe estar basada en alg´ un crit´ erio que cuantifique a capacidad de este para realizar predicciones acuerdo con las observaciones. En general la valoraci´ on objetiva del grado de bondad de ajuste entre una distribuci´ on de probabilidad observada expirentalmente y otra te´ orica, propuesta para caracterizar la distribuci´ on emp´ ırica, puede ser abordada siguiendo dos aproximaciones diferentes. El primero de estos procedimientos se basa en la estimaci´ on de estad´ ısticos, dimensionales o adimensionales, que eval´ uan el grado de concordancia, o bondad de ajuste del modelo, cuantificando los errores, diferencias, promedio(absolutos o cuadr´ aticos) entre los valores observados y predichos por el modelo propuesto. Estas medidas son frecuentemente denominadas como funciones objetivas, criterios de eficiencia, o estad´ ısticos de bondad de ajuste. La decision de aceptar o rechazar el modelo para caracterizar las observaciones se adopta en funci´ on de valores de dichos parametros y el grado de concordancia necesario para cada aplicaci´ on espec´ ıfica, que debe ser fijado en funci´ on de los objetivos perseguidos. La otra metodolog´ ıa de valoraci´ on de la bondad de ajuste de un modelo dado a las observaciones es el contraste estad´ıstico de hip´otesis. En este procedimiento se examina el nivel de confianza estadistico asociado a la conformidad entre la muestra y el mo- Metodolog´ ıas de an´ alisis 59 delo. Es decir, se estima un estad´ ıstico, que cuantifica las desviaciones entre los datos y el modelo, y su valor es comparado con un valor cr´ ıtico asociado. Esta comparaci´ on permite aceptar o rechazar, la hipotesis de conformidad entre las observaciones y el modelo sugerido, con un n´ ıvel de confianza preestablecido. Es importante resaltar que ambas metodolog´ ıas no son m´ utuamente excluyentes sino que se pueden utilizar de forma complementaria. En el presente estudio se amplean ambas metodolog´ ıas. 2.7.1. Criterios de eficiencia Aunque existen bastantes criterios de medida de la eficiencia de un modelo para ajustar un conjunto de observaciones dado, cada uno de ellos es sensible a diferentes caracter´ ısticas del modelo, o pone especial ´ enfasis en distintos tipos de errores entre el modelo y las observaciones. As´ ı, por ejemplo, muchos de los estad´ ısticos existentes para evaluar el grado de concordancia, o desacuerdo, entre las observaciones y el modelo sugerido para caracterizarlas, contienen un t´ ermino de suma de errores, o diferencias entre los valores predichos por el modelo y las observaciones experimentales, normalizado con otro t´ ermino que cuantifica la variabilidad en las observaciones. Para evitar la cancelaci´ on de los errores de signo opuesto, se suelen emplear las sumas de los errores absolutos o cuadr´ aticos, poniendo as´ ı especial ´ enfasis en los mayores errores y dando menor importancia a la desviaciones menores. En consecuencia, la selecci´ on de un criterio adecuado resulta vital para la valoraci´ on robusta de la eficiencia del modelo empleado. Tanto la selecci´ on del criterio de eficiencia como su uso y la interpretaci´ on de los resultados suele constituir un reto, no siempre sencillo. A continuaci´ on se describen los criterios empleados para cuantificar el error, o la bondad del ajuste, entre las funciones de densidad de probabilidad emp´ ıricas de las variables estudiadas y los modelos te´ oricos propuestos para caracterizarlas. Los estad´ ısticos aqu´ ı considerados pueden ser agrupados en dos clases. Por un lado las denominadas medidas dimensionales del error medio y, por otro, los ´ ındices o criterios de eficiencia. Es importante hacer notar que el uso de los estad´ ısticos presentados no es exclusivo para variables circulares, si no que puede ser empleado para cualquier tipo de observaciones. 60 Cap´ ıtulo 2 Medidas dimensionales del error promedio Los estad´ ısticos m´ as b´ asicos empleados en la comparaci´ on estad´ ıstica entre un conjunto de nvalores obtenidos mediante observaciones experimentales (Oi;i= 1,2,··· ,n), y las correspondientes valores predichos por un modelo sugerido para caracterizarlas, (Pi;i=1,2,··· ,n), se basan en el an´ alisis de los errores observaci´ on-predicci´ on individuales (ei=Oi−Pi;i=1,2,··· ,n). Estas medidas de errores promedio tienen la expresi´ on gen´ erica siguiente eγ= n P i=1 wi|ei|γ n P i=1 wi  1/γ (2.120) donde γ≥1 y wison coeficientes de escala asignados a cada t´ ermino de la serie de errores, de acuerdo con su hipot´ etica influencia sobre el error total [Willmott et al 1985, (93)]. En el caso particular en que wi=1, para todo i, y γ=2 se tiene la denominada raiz del error cuadr´atico medio, denotada como RMSE, y dada expl´ ıcitamente por RMSE = 1 n n X i=1 (Oi−Pi)2 1/2 = 1 n n X i=1 e2 i 1/2 (2.121) Aunque con menor frecuencia, la valoraci´ on de los errores de un modelo tambi´ en puede ser obtenida considerando γ=1. En tal caso se obtiene el estad´ ıstico denominado error absoluto medio, o MAE. Es decir, MAE =1 n n X i=1|Oi−Pi|=1 n n X i=1|ei|(2.122) Todos los estimadores del error asociado a un modelo presentan ciertas limitaciones. As´ ı, por ejemplo, es conocido que los errores grandes tienen una influencia relativamente superior sobre RMSE que sobre MAE. No obstante, RMSE es sin duda el m´ as empleado de estos dos estad´ ısticos para expresar el error del modelo. Sin embargo, Willmott & Matsuura (2005) [(94)] argumentan que MAE deber´ ıa ser considerado al valorar la eficiencia de un modelo, por ser este una medida m´ as natural Metodolog´ ıas de an´ alisis 61 de la magnitud del error medio y que, al contrario que el RMSE, es una medida no ambigua de dicha magnitud. Por otro lado, Chai & Draxler (2014) [(9)] concluyen que RMSE es m´ as apropiado para representar la eficiencia del modelo que MAE cuando se espera que los errores se distribuyan normalmente y que no es una medida ambigua de los mismos. Estos autores no sugieren que la utilidad de RMSE sea superior a la de MAE, pero aclaran que cualquier estimador de este tipo proporciona una ´ unica visi´ on de los errores del modelo, enfatizando por tanto solo un determinado aspecto de las caracter´ ısticas de los mismos. En consecuencia, se sugiere el uso de una combinaci´ on de estad´ ısticos, no s´ olo RMSE y MAE, para una valoraci´ on adecuada de la eficiencia del modelo. Criterios de eficiencia Existen numerosos criterios empleados para valorar la eficiencia de un modelo para caracterizar un conjunto de observaciones. En esta secci´ on se presentan las principales caracter´ ısticas de los empleados en el presente trabajo. Coeficiente de determinaci´on Este coeficiente, definido como el cuadrado del coeficiente de correlaci´ on [Pearson 1896, (62)], puede ser empleado para estimar la proporci´ on de varianza observada en los datos explicada por el modelo y viene dado por R2= n P i=1Oi−OPi−P rn P i=1Oi−O2rn P i=1Pi−P2  2 (2.123) donde OyPson las medias de los valores predichos y observados, respectivamente. N´ otese que la media de los errores, conocida como error sistem´ atico medio o MBE, viene dada por MBE =1 n n X i=1 ei=O−P El valor de R2var´ ıa entre 0 y 1. R2=1 implica que el modelo es capaz de explicar toda la varianza presente en las observaciones, d´ andose la situaci´ on contraria cuando 62 Cap´ ıtulo 2 el coeficiente se anula. Se debe resaltar que este estad´ ıstico es insensible a desviaciones constantes. Es decir, si el modelo sobreestima o infraestima consistentemente en una proporci´ on espec´ ıfica el estad´ ıstico indica un ajuste perfecto [Legates & McCabe 1999, (39)]. El coeficiente de determinaci´ on no es un estad´ ıstico robusto y, por tanto, su valor es sensible a los outliers, o puntos an´ omalos, de modo que su magnitud aumenta err´ oneamente si existen valores extremos entre los datos observados. ´ Indice de eficiencia El ´ ındice de eficiencia, E, propuesto por Nash & Sutcliffe (1970) [(58)] es una medida de la raz´ on entre el error medio cuadr´ atico y la varianza de las observaciones y viene expresado por E=1− n P i=1 (Oi−Pi)2 n P i=1Oi−O2(2.124) El rango de este estad´ ıstico est´ a entre 1 y −∞.E=1 corresponde a un ajuste perfecto. Si el error es de la misma magnitud que la varianza de las observaciones E=0. En tal caso, el valor medio de las observaciones podr´ ıa ser un mejor predictor que el modelo que se contrasta. Al hacerse negativo y tender hacia menos infinito se encuentran situaciones cada vez m´ as defavorables en t´ erminos de la eficiencia del modelo. La principal desventaja del par´ ametro Ees que, al estimar las diferencias entre las observaciones y las predicciones de forma cuadr´ atica, los datos m´ as elevados son considerablemente sobre estimados, mientras que los m´ as bajos son infraestimados [Legates & McCabe 1999, (39)]. Al contrario que R2, este criterio no sufre el problema de la insensibilidad a las desviaciones proporcionales. Sin embargo, conserva la sensibilidad a los outliers. ´ Indice de acuerdo y modificaciones El ´ ındice de acuerdo, d, fue sugerido en [Willmott & Wicks, 1980, (91)] y establecido como criterio de bondad de ajuste de un modelo en [Willmott 1981, (92)]. Este par´ ametro, que representa el cociente entre el Metodolog´ ıas de an´ alisis 63 error medio cuadr´ atico y el error potencial total, viene dado por d=1− n P i=1hPi−O−Oi−Oi2 n P i=1hPi−O+Oi−Oi2(2.125) Desarrollando el t´ ermino del numerador, la ecuaci´ on (2.125) puede ser reescrita en su forma m´ as com´ un tal como sigue d=1− n P i=1 (Oi−Pi)2 n P i=1hPi−O+Oi−Oi2(2.126) El rango de dva desde 0, acuerdo nulo entre las observaciones y el modelo, y 1, ajuste perfecto. Al igual que en los dos ´ ındices anteriores, la presencia de los errores cuadr´ aticos en el numerador hacen que dconsiderablemente sensible a los errores altos e insensible a los bajos, adem´ as de ser notablemente afectado por la presencia de outliers. Una limitaci´ on pr´ actica importante de este estad´ ıstico es que se pueden obtener valores relativamente altos del mismo (mayores de 0.65) incluso para casos de ajustes claramente inadecuados. Un procedimiento ampliamente usado para aliviar el problema de la sobresensibilidad a los valores extremos, inducida por el error medio cuadr´ atico en E ydes calcular dichos par´ ametros con los logaritmos de OyP. Adem´ as de esta modificaci´ on, ambos estad´ ısticos pueden ser expresados en t´ erminos de diferencias absolutas, como MAE, en lugar de diferencias cuadr´ aticas, como en RMSE, obteni´ endose as´ ı estimadores m´ as consistentes de la eficiencia de un modelo. En este sentido, ambos estad´ ısticos pueden ser expresados de forma gen´ erica como Ek=1− n P i=1|Oi−Pi|k n P i=1Oi−Ok(2.127) 64 Cap´ ıtulo 2 y dk=1− n P i=1|Oi−Pi|k n P i=1hPi−O+Oi−Oik(2.128) con k∈N. En particular, [Legates & McCabe 1999, (39)] proponen la siguiente modificaci´ on de E, para k=1, E1=1− n P i=1|Oi−Pi| n P i=1Oi−O (2.129) mientras que [Willmott et al. 1985, (93)] hacen lo propio con d. Es decir, para k=1, d1=1− n P i=1|Oi−Pi| n P i=1hPi−O+Oi−Oi(2.130) Una ventaja importante de d1respecto a su antecesor, d, es que su aproximaci´ on a 1, a medida que las Ptienden a O, es m´ as lenta y, por tanto, proporciona una mejor resoluci´ on al comparar modelos que se aproximan relativamente bien a las observaciones. Adem´ as, d1es menos sensible a la presencia de valores an´ omalos. El rango de posibles valores es (0 ≤d1≤1). En un estudio m´ as reciente, [Willmott et al. 2012, (95)] proponen una versi´ on refinada de d1cuyos valores est´ an acotados inferior y superiormente por 1 y −1, respectivamente. Es decir, su rango es doble del de d1, lo cual debe constituir una mejora en la capacidad de resolver entre la gran variedad de formas en las que los valores predichos por los modelos pueden diferir de las observaciones. El estad´ ıstico Metodolog´ ıas de an´ alisis 65 propuesto, denotado por dr, adopta la expresi´ on dr=                                      1− n P i=1|Oi−Pi| 2 n P i=1Oi−O⇐⇒ n P i=1|Oi−Pi|≤2 n P i=1Oi−O 2 n P i=1Oi−O n P i=1|Oi−Pi|−1⇐⇒ n P i=1|Oi−Pi|>2 n P i=1Oi−O (2.131) N´ otese que la ecuaci´ on (2.131) puede ser expresada en t´ erminos del error absoluto medio (MAE) y la desviaci´on absoluta media, MAD, definida como MAD =1 n n X i=1Oi−O(2.132) Es decir, drpuede ser reescrita de forma m´ as compacta como dr=               1−MAE 2 MAD ⇐⇒ MAE ≤2 MAD 2 MAD MAE −1⇐⇒ MAE >2 MAD (2.133) Valores de drpr´ oximos a 1 indican un fuerte acuerdo entre el modelo y las observaciones. Por el contrario, valores del ´ ındice tendiendo a -1 reflejan desviaciones sustanciales entre ambos. Un valor de dr=0,5 corresponde a una situaci´ on en la que los errores y las desviaciones medias son iguales. Sin embargo, valores de dr=−0,5 estar´ an asociados a condiciones en las que los errores medios cuatriplican el valor de las desviaciones medias. De acuerdo con Legates & McCabe (1999), (39) y Krause et al. (2005), (36) una metodolog´ ıa adecuada para evaluar la efectividad de un modelo para caracterizar un conjunto de observaciones consiste en emplear una combinaci´ on de diferentes criterios de eficiencia complementada con la valoraci´ on de los valores absolutos o 72 Cap´ ıtulo 2 esto es θ1≤θ2≤θ3≤ ··· ≤ θn(2.145) calculamos las longitudes de los narcos entre dos puntos muestrales consecutivos: T1=θ2−θ1 T2=θ3−θ2 . . .. . . Tn−1=θn−θn−1 Tn=360o+θ1−θn Para chequear los c´ alculos es importante tener en cuenta que n X i=1 Ti=360o . La desviaci´ on de los Tide su valor esperado es |Ti−360o n|(i=1,2,...,n) (2.146) donde las barras verticales indican valor absoluto. El estad´ ıstico Udel Test de Rao est´ a basado en estas desviaciones. Cu´ anto mayores son las desviaciones, menos probable es la aleatoriedad. U=1 2 n X i=1|Ti−360o n|(2.147) Rao (1969, 1976) (69) (70) proporcion´ o los valores cr´ ıticos del estad´ ıstico U=U(α), en grados, para α=0,01; 0,05 y 0,10. Si Uexcede del valor cr´ ıtico U(α), la hip´ otesis nula de aleatoriedad se rechaza, es decir, se llega a la conclusi´ on de que es significativa alg´ un tipo de unilateralidad o direccionalidad. En el caso en que U<U(α), la aleatoriedad no se puede excluir. Metodolog´ ıas de an´ alisis 73 Las distribuciones poblacionales no siempre son unimodales. Ocurre a veces que dos o m´ as direcciones pueden ser prioritarias. El m´ etodo de doblar los ´ angulos puede aplicarse unicamente si los datos son claramente axiales. En todos los otros casos, ni el test de Rayleigh ni el test de Hodge-Ajne son potentes; pueden llevarnos err´ oneamente a rechazar la aleatoriedad si en realidad est´ a presente la multimodalidad. Este no es el caso del test de Rao. Llena un vac´ ıo en la medida en que trata bien tanto las muestras multimodales, como a las muestras unimodales. Otra ventaja de test de Rao es la facilidad de c´ alculo del estad´ ıstico U. Notese que la suma de las desviaciones positivas Ti−360o niguala a la suma de las desviaciones negativas. Por esta raz´ on, el estad´ ıstico Utambi´ en puede calcular con la f´ ormula m´ as simple U=X(Ti−360o n) (2.148) donde la suma se extiende ´ unicamente sobre las desviaciones positivas. Cap´ıtulo 3 Caracterizaci´on estad´ıstica de la direcci´on media del oleaje La elecci´ on de un modelo estad´ ıstico para carecterizar el comportamiento probabil´ ıstico de un conjunto de datos dado no suele resultar una tarea simple, a menos que existan fundamentos te´ oricos que indiquen la distribuci´ on que deben seguir los datos, o que permitan conocer el tipo de ley que controla su estructura probabil´ ıstica. No obstante, este no es el caso general. Adem´ as, con bastante frecuencia, los procesos observados, tanto en la naturaleza como en el campo de las ciencias sociales, suelen exhibir una estructura probabil´ ıstica con rasgos tales como asimetr´ ıas, colas largas, bimodalidad o multimodalidad, que no resultan f´ aciles de capturar mediante funciones de distribuci´ on param´ etricas, especialmente con las distribuciones tradicionalmente empleadas, dada su estructura funcional simple. En consecuencia, la selecci´ on de la funci´ on de densidad apropiada se convierte en un proceso de evaluaci´ on de diferentes posibles distribuciones candidatas en base a la bondad del ajuste de cada una de ellas a los datos observados. La laboriosidad de este procedimiento, que es completamente v´ alido, puede ser sustancialmente reducida mediante el uso de familias de distribuciones m´ as generales y flexibles. En general, en t´ erminos pr´ acticos se suele admitir que un estado de mar se puede caracterizar adecuadamente mediante tres par´ ametros derivados del espectro direccional. Estos son, la altura de ola significativa, Hm0, el periodo de pico espectral, Tp 75 76 Cap´ ıtulo 3 (o bien el periodo medio Tm) y la direccion media θm. En consecuencia, la disponibilidad de series temporales trivariadas de larga duraci´ on para los par´ ametros Hm0, Tpyθm, permite obtener una descripci´ on adecuada del clima mar´ ıtimo en una zona dada, mediante la caracterizaci´ on de las distribuciones de probabilidad conjunta de dichos par´ ametros, dados por P(H,T, φ)=PHm0≤H,Tp≤T, θm≤φ=ZH 0ZT 0Zφ 0 pHm0,Tp, θmdHdTdφ(3.1) Conocida la distribuci´ on de probabilidad trivariada pHm0,Tp, θm, las distribuciones bivariadas y univariadas vienen dadas por las siguientes distribuciones marginales pHm0,Tp=Z2π 0 pHm0,Tp, θmdθm pHm0, θm=Z∞ 0 pHm0,Tp, θmdTp pTp, θm=Z∞ 0 pHm0,Tp, θmdHm0 pHm0=Z∞ 0Z2π 0 pHm0,Tp, θmdθmdTp pTp=Z∞ 0Z2π 0 pHm0,Tp, θmdθmdHm0 p(θm)=Z∞ 0Z∞ 0 pHm0,Tp, θmdTpdHm0 En la pr´ actica, el clima mar´ ıtmimo se suele caracterizar derivando s´ olo las distribuci´ on univariada de Hm0, y en algunas ocasiones la de Tp. Tal como ya se comento en el cap´ ıtulo inicial, la distribuci´ on de la direcci´ on media del oleaje, p(θm), ha recibido much´ ısima menor atenci´ on, a pesar de su inter´ es te´ orico y pr´ actico. Con cierta frecuencia se calcula la distribuci´ on conjunta de p(Hm0,Tp) [e.g. Rodr´ ıguez, 2001 (72)], Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 77 as´ ı como ciertas distribuciones condicionadas. Es decir, la distribuci´ on de una o dos de las variables consideradas condicionada a que las restantes tomen unos valores, o rangos de valores, dados. En este sentido, algunos autores presentan distribuciones a largo plazo de Hm0para un cierto n´ umero de sectores direccionales, generalmente 4 u 8 [e.g, Kumar & Deo, 2004 (38)]. Es decir, p(Hm0/θ1≤θm< θ2) (3.2) Con menor frecuencia, se stima la distribuci´ on conjuta de Hm0yTppara un cierto n´ umero de sectores direccionales [e.g, Haver & Natvig, 1991 (26)] dada por p(Hm0,Tp, /θ1≤θm< θ2) (3.3) En definitiva, la informaci´ on sobre la direccionalidad del oleaje no es considerada, en general, al caracterizar el clima mar´ ıtimo de una zona dada. Sin embargo, esta informaci´ on es de gran relevancia para los estudios de din´ amica litoral, transporte de sedimentos y contaminantes en aguas costeras, as´ ı como para las actividades relacionadas con la ingenier´ ıa de costas. Desde hace aproximadamente una d´ ecada, la obtenci´ on de medidas instrumentales que incluyen la direccionalidad del oleaje ha dejado de ser algo inusual para convertirse progresivamente en algo rutinario, de modo que en la actualidad, las series de observaciones que incluyen par´ ametros direccionales comienzan a tener duraciones adecuadas para incluir dicho par´ ametro en la caracterizaci´ on del clima mar´ ıtimo. El objetivo del presente cap´ ıtulo es caracterizar el comportamiento estad´ ıstico a largo plazo de la direcci´ on media del oleaje, como componente fundamental del clima mar´ ıtimo, conjuntamente con la altura significativa y el periodo de pico, en la cornisa cant´ abrica. En particular, el estudio se centra en la estimaci´ on de la distribuci´ on marginal de la direcci´ on media del oleaje, p(θm), para los periodos totales de registro de datos, denominadas como globales, y separando la informaci´ on por estaciones climatol´ ogicas. Adem´ as, se examina y caracteriza la estructura probabil´ ıstica de las distribuciones de dicho par´ ametro condicionadas a la excedencia de diferentes 78 Cap´ ıtulo 3 valores umbrales de Hm0yTp. Esto es p(θm/Hm0≥H)=p(θm< θ, Hm0≥H) p(Hm0≥H)(3.4) p(θm/Tp≥T)=p(θm< θ, Tp≥T) p(Tp≥T)(3.5) Para ello se estiman las distribuciones de probabilidad emp´ ırica correspondientes, en diferentes puntos de la costa espa˜ nola empleando la metodolog´ ıa kde, adaptada a cada caso particular, y se examina la eficiencia de diversos modelos te´ oricos, de diferente complejidad, para reproducir la estructura de las funciones de densidad de probabilidad observadas. El estudio se presenta en varias fases. En primer lugar, tras examinar la existencia, o no, de direcciones preferenciales 3.1, se intenta caracterizar la estructura probabil´ ıstica de las observaciones experimentales de la direcci´ on media empleando la distribuci´ on de von Mises 3.2, o Normal circular, por ser ´ esta la distribuci´ on circular m´ as com´ unmente utilizada para describir variables circulares. A continuaci´ on se hace uso de esta misma ley probabil´ ıstica conjuntamente con una mezcla dos de ellas 3.4, con el fin de analizar la mejora del ajuste cuando la distribuci´ on experimental presenta asimetr´ ıa y/o bimodalidad. En este mismo contexto, en la secci´ on 3.5 se emplea una metodolog´ ıa para caracterizar distribuciones multimodales, basada en el desarrollo de la fdp en t´ erminos de sumas, o polinomios, trigonom´ etricas no negativas y se compara su eficiencia con la de mezclas finitas de von Mises. En este mismo cap´ ıtulo, se presenta un estudio sobre la correlaci´ on entre las direcciones medias observadas simult´ aneamente en diferentes puntos distribuidos a lo largo de la costa cat´ abrica 3.3. Las distribuciones experimentales examinadas en este cap´ ıtulo han sido obtenidas a partir de observaciones experimentales realizadas mediante boyas direccionales en diversos puntos de la costa espa˜ nola, que se indicar´ an adecuadamente en cada apartado. La distribuciones globales caracterizan el conjunto total de datos observados. Las estacionales son las asociadas a las diferentes estaciones climatol´ ogicas convencionales, mientras las distribuciones condicionadas son aquellas en las que s´ olo se consideran los valores de θmque satisfacen la condici´ on de superar un determinado umbral de altura de ola significativa o periodo. En este ´ ultimo caso, el filtrado Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 79 para estimar las distribuciones condicionadas se ha realizado en algunos casos en t´ erminos del periodo medio, Tm, y en otros del periodo de pico, Tp. La bondad del ajuste de los diferentes modelos te´ oricos a las distribuciones experimentales se eval´ ua en t´ erminos de los ´ ındices de eficiencia descritos en la secci´ on 2.7.1. En cada secci´ on, inicialmente se presentan y comentan las funciones de densidad de probabilidad te´ oricas empleadas y posteriormente se discuten los resultados obtenidos mediante el ajuste de las mismas. 3.1. Anisotrop´ıa de la direcci´on media del oleaje En general, las distribuciones emp´ ıricas de datos observados en la naturaleza suelen mostrar uno o mas picos. Sin embargo, en ocasiones se observan distribuciones que no exhiben, o no parecen presentar, direcci´ on preferencial alguna, de modo que las observaciones siguen una distribuci´ on isotr´ opica, o uniforme. Por ello, la mayor´ ıa de los estudios de datos circulares sobre direcciones preferenciales, o valores modales, comienzan despu´ es de eliminar la posibilidad de que las observaciones no presenten direcciones preferenciales o, lo que es equivalente, que no esten uniformemente distribuidas [Basu & Jammalamadaka, 2003, (2)]. En consonancia con lo anterior, una primera aproximaci´ on al an´ alisis del comportamiento estad´ ıstico de la direcci´ on media del oleaje en un lugar dado, debe consistir en examinar si dicha variable se distribuye uniformemente sobre todo el c´ ırculo o si, por el contrario, existen direcciones preferenciales. Es decir, determinar si todas las direcciones son igualmente probables, o si el oleaje registrado en la zona procede principalmente de determinados sectores direccionales. En este sentido es interesante indicar que f´ ısicamente resulta poco probable que el oleaje que alcanza una zona dada proceda con igual frecuencia de cualquier direcci´ on. Esto es especialmente cierto en puntos de observaci´ on pr´ oximos a zonas costeras, donde la presencia de las mismas restringe la generaci´ on de oleaje que se propague desde la costa hasta el ´ area de medida. La localizaci´ on geogr´ afica tambi´ en impide que hasta un punto dado de la superficie del oc´ eano puedan propagarse campos de oleaje procedentes de determinadas direcciones. Adem´ as, los sistemas atmosf´ ericos generadores del oleaje no se dan con igual probabilidad sobre cualquier parte del oc´ eano y, generalmente, tienen una estructura y orientaci´ on predominante. No obstante, parece razonable realizar un an´ alisis preliminar que permita establecer 80 Cap´ ıtulo 3 de forma clara si la direcci´ on media del oleaje observado en un punto dado presenta un comportamiento aleatorio (uniformidad), o si existen direcciones predominantes. En cualquier caso se debe contrastar la hip´ otesis de aleatoriedad, isotrop´ ıa, o uniformidad, frente a la posibilidad de una o varias direcciones preferenciales, o modas, siendo la hip´ otesis nula la isotrop´ ıa. Adem´ as, tal como se coment´ o anteriormente, la combinaci´ on de varios de los tests de uniformidad descritos en la secci´ on 2.7 permite contrastar la hip´ otesis de uniformidad de la direcci´ on media del oleaje de forma consistente. En el siguiente apartado se presentan los resultados del estudio de la anisotrop´ ıa en la direcci´ on media del oleaje para los diferentes puntos de observaci´ on seleccionados en este trabajo, cuatro de ellos ubicados a lo largo de la costa cant´ abrica (ver figura 3.2 y otro en la costa catalana. 3.1.1. Resultados y discusiones En la figura 3.1 (a) se muestran, en coordenadas polares, las distribuciones experimentales de los conjuntos de datos globales, para cada uno de los puntos de la cornisa cant´ abrica, conjuntamente con la distribuci´ on uniforme que representa la hip´ otesis nula. La figura 3.1 (b) muestra la informaci´ on correspondiente a Cabo Begur, en la costa catalana. El an´ alisis visual de las fdp, y su comparaci´ on la distribuci´ on uniforme, pone de manifiesto fuertes desviaciones entre las distribuciones experimentales y el modelo que representa la hip´ otesis nula de uniformidad, o isotrop´ ıa. Notese que, aunque las desviaciones respecto a la uniformidad son m´ as que evidentes en todos los casos, ´ estas son especialmente notables en las zonas m´ as orientales del Cant´ abrico. En particular, la fdp de la boya Bilbao-Vizcaya presenta pr´ acticamente un ´ unico modo y es bastante sim´ etrica. en la zona de Cabo Pe˜ nas comienza a aparecer un ligero modo secundario, que se intensifica hacia el oeste. En el caso de la boya de Cabo Begur (ver figura 3.1 (b)) aparece una situaci´ on m´ as compleja, con la fdp exhibiendo un sector direccional predominante y tres modos secundarios, de diferente intensidad relativa, en direcciones bastante diferentes. No obstante, tambi´ en es este caso la desviaci´ on respecto a la distribuci´ on uniforme es visualmente clara. En consecuencia, los resultados de todos los test de uniformidad descritos en la Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 81 (a) (b) Figura 3.1: Funciones de densidad de probabilidad de la direcci´ on media del oleaje obtenidas en diferentes puntos de la cornisa cant´ abrica (a) y en la costa catalana (b), comparadas con la distribuci´ on uniforme circular. secci´ on 2.7.2 rechazan la uniformidad de las distribuciones globales con un valor de p=0,000, para diferentes valores del nivel de significaci´ on (α=0,1,0,05,0,01). Es decir, la direcci´ on media del oleaje en dichas zonas no se comporta uniforme o isotr´ opicamente. Es decir, en cada uno de los puntos existen una o varias direcciones preferenciales. Es importante se˜ nalar que este hecho resulta a´ un m´ as acusado, en todas las estaciones de medida, en el caso de las distribuciones correspondientes a las estaciones clim´ aticas y, especialmente, al filtrar el conjunto total de datos por umbrales de altura de ola significativa y de periodo. La explicaci´ on de este fen´ omeno resulta simple. Tal como se puede apreciar en la figura 3.1, en la fdp del conjunto total de observaciones correspondientes a un punto de medida determinado aparecen asimetr´ ıas y/o modos secundarios, asociados a estados de mar menos frecuentes que los caracter´ ısticos del modo principal de la distribuci´ on. Al filtrar el conjunto de observaciones por estaciones o por umbrales de altura/periodo, se reducen de forma notable estos rasgos en la distribuci´ on resultante, quedando m´ as patente el predomino de una determinada direcci´ on de procedencia del oleaje y, en consecuencia, su isotrop´ ıa o no uniformidad. 88 Cap´ ıtulo 3 (a) primavera VS (b) primavera EB (c) primavera CP (d) primavera BV (e) verano VS (f) verano EB (g) verano CP (h) verano BV (i) oto˜ no VS (j) oto˜ no EB (k) oto˜ no CP (l) oto˜ no BV (m) invierno VS (n) invierno EB (˜ n) invierno CP (o) invierno BV Figura 3.4: Diagrama polar de direcciones para Villano-Sisargas (VS), Estaca de Bares (EB), Cabo de Pe˜ nas (CP) y Bilbao-Vizcaya (BV) (de izquierda a derecha) y por estaciones (primavera, verano, oto˜ no e invierno) de arriba abajo. Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 89 (a) primavera VS (b) primavera EB (c) primavera CP (d) primavera BV (e) verano VS (f) verano EB (g) verano CP (h) verano BV (i) oto˜ no VS (j) oto˜ no EB (k) oto˜ no CP (l) oto˜ no BV (m) invierno VS (n) invierno EB (˜ n) invierno CP (o) invierno BV Figura 3.5: Funci´ on de probabilidad emp´ ırica y von Mises ajustada en cada punto de medida, por estaciones. Tabla 3.7: Estad´ ısticos b´ asicos por umbrales de altura de ola en Villano-Sisargas Hm0>1 m Hm0>2 m Hm0>3 m Hm0>4 m Hm0>5 m Hm0>6 m N30 277 17 031 7 176 2 890 1 286 613 ¯ θ315o308o300o298o298o298o ¯ R0,71 0,70 0,75 0,86 0,92 0,94 κ1,87 2,00 3,13 4,17 5,21 5,22 90 Cap´ ıtulo 3 (a) Hm0>1m(b) Hm0>2m (c) Hm0>3m(d) Hm0>4m (e) Hm0>5m(f) Hm0>6m Figura 3.6: Funci´ on de probabilidad emp´ ırica y ajustada por una distribuci´ on de von Mises para diferentes umbrales de altura de ola en VS Tabla 3.8: Estad´ ısticos b´ asicos por umbrales de altura de ola en Estaca de Bares Hm0>1 m Hm0>2 m Hm0>3 m Hm0>4 m Hm0>5 m Hm0>6 m N39 648 23 361 10 949 5 100 2 286 1 013 ¯ θ304o300o298o297o296o295o ¯ R0,72 0,76 0,87 0,91 0,93 0,96 κ3,20 4,41 6,25 7,34 7,19 6,90 Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 91 (a) Hm0>1m(b) Hm0>2m (c) Hm0>3m(d) Hm0>4m (e) Hm0>5m(f) Hm0>6m Figura 3.7: Funci´ on de probabilidad emp´ ırica y ajustada por una distribuci´ on de von Mises para diferentes umbrales de altura de ola en EB Tabla 3.9: Estad´ ısticos b´ asicos por umbrales de altura de ola en Cabo Pe˜ nas Hm0>1 m Hm0>2 m Hm0>3 m Hm0>4 m Hm0>5 m Hm0>6 m N33 782 15 840 6 219 2 264 837 218 ¯ θ315o314o314o315o315o315o ¯ R0,86 0,91 0,95 0,96 0,96 0,97 κ7,46 10,02 10,62 8,90 7,30 5,39 92 Cap´ ıtulo 3 (a) Hm0>1m(b) Hm0>2m (c) Hm0>3m(d) Hm0>4m (e) Hm0>5m(f) Hm0>6m Figura 3.8: Funci´ on de probabilidad emp´ ırica y ajustada por una distribuci´ on de von Mises para diferentes umbrales de altura de ola en CP Tabla 3.10: Estad´ ısticos b´ asicos por umbrales de altura de ola en Bilbao-Vizcaya Hm0>1 m Hm0>2 m Hm0>3 m Hm0>4 m Hm0>5 m Hm0>6 m N18 104 7 893 3 469 1 541 607 218 ¯ θ305o302o301o299o298o298o ¯ R0,90 0,95 0,96 0,97 0,97 0,97 κ12,69 19,65 24,56 26,16 26,38 23,68 Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 93 (a) Hm0>1m(b) Hm0>2m (c) Hm0>3m(d) Hm0>4m (e) Hm0>5m(f) Hm0>6m Figura 3.9: Funci´ on de probabilidad emp´ ırica y ajustada por una distribuci´ on de von Mises para diferentes umbrales de altura de ola en BV Distribuciones condicionadas por umbrales de Tp Las figuras 3.10, 3.11, 3.12 y 3.13 muestran la fdp emp´ ırica de la direcci´ on media condicionada a la superaci´ on de diferentes valores del periodo de pico, as´ ı como la fdp ajustada mediante una distribuci´ on de von Mises, al aumentar el valor umbral 94 Cap´ ıtulo 3 de Tp. En general, se observa que la bimodalidad y la asimetr´ ıa observadas en la figura 3.3 se reducen considerablemente, llegando a desaparecer casi por completo al aumentar el valor umbral de Tpm´ as all´ a de los 6-8 s, tal como queda reflejado en los valores de los ´ ındices d1yE1dados en las tablas 3.7, 3.8, 3.9 y 3.10. Este hecho va acompa˜ nado de un ligero desplazamiento de la direcci´ on media hacia el oeste y un apuntamiento de la distribuci´ on, tal y como se refleja en los valores de los estad´ ısticos dados en las tablas 3.11, 3.12, 3.13 y 3.14. En este sentido es importante resaltar el descenso de κobservado en BV para periodos de pico superiores a 10 s, que llega a ser sustancial para valores de Tpmayores de 12 s. (a) Tp>6s(b) Tp>8s (c) Tp>10s(d) Tp>12s Figura 3.10: Funci´ on de probabilidad emp´ ırica y ajustada por una distribuci´ on de von Mises para diferentes umbrales de periodo de pico en Villano-Sisargas Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 95 Tabla 3.11: Estad´ ısticos b´ asicos por umbrales del periodo de pico en Villano-Sisargas Tp>6 s Tp>8 s Tp>10 s Tp>12 s N30 478 22 997 11 871 5 187 ¯ θ313o310o309o307o ¯ R0,76 0,83 0,86 0,88 κ2,38 3,12 3,57 4,17 (a) Tp>6s(b) Tp>8s (c) Tp>10s(d) Tp>12s Figura 3.11: Funci´ on de probabilidad emp´ ırica y ajustada por una distribuci´ on de von Mises para diferentes umbrales de periodo de pico en Estaca de Bares Tabla 3.12: Estad´ ısticos b´ asicos por umbrales del periodo de pico en Estaca de Bares Tp>6 s Tp>8 s Tp>10 s Tp>12 s N39 854 33 004 20 351 9 646 ¯ θ304o304o303o301o ¯ R0,77 0,84 0,86 0,87 κ3,67 4,39 5,09 6,04 96 Cap´ ıtulo 3 (a) Tp>6s(b) Tp>8s (c) Tp>10s(d) Tp>12s Figura 3.12: Funci´ on de probabilidad emp´ ırica y ajustada por una distribuci´ on de von Mises para diferentes umbrales de periodo de pico en Cabo Pe˜ nas Tabla 3.13: Estad´ ısticos b´ asicos por umbrales del periodo de pico en Cabo Pe˜ nas Tp>6 s Tp>8 s Tp>10 s Tp>12 s N38 198 31 774 20 034 8 868 ¯ θ316o316o315o314o ¯ R0.89 0,92 0,93 0,93 κ7,64 8,67 8,89 9,41 Tabla 3.14: Estad´ ısticos b´ asicos por umbrales del periodo de pico en Bilbao-Vizcaya Tp>6 s Tp>8 s Tp>10 s Tp>12 s N15 449 6 899 2 094 344 ¯ θ306o303o303o302o ¯ R0.96 0,97 0,97 0,97 κ11,86 14,08 11,75 6,90 A tenor de los resultados obtenidos en las secciones previas, y a modo de ejemplo, Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 97 (a) Tp>6s(b) Tp>8s (c) Tp>10s(d) Tp>12s Figura 3.13: Funci´ on de probabilidad emp´ ırica y ajustada por una distribuci´ on de von Mises para diferentes umbrales de periodo de pico en Bilbao-Vizcaya en la figura 3.14 (a) se muestran las estimaciones de densidad kernel de θmen el punto BV, para los seis umbrales de Hm0, (de 1 a 6 metros) conjuntamente. En dicha figura resulta evidente que las distribuciones emp´ ıricas se estrechan y se desplazan hacia el oeste, a medida que el umbral de Hm0aumenta. De modo similar, en la figura 3.14 (b) se presentan las estimaciones de densidad Kernel de θmpara los cuatro umbrales de Tp, en BV, donde se observa que, en t´ erminos del umbral del periodo de pico la direcci´ on media permanece m´ as estable que con la altura significativa. Adem´ as, dicha figura ilustra claramente el aumento inicial del par´ ametro de concentraci´ on, reflejado por el apuntamiento de la fdp,ysur´ apido descenso para periodos de pico altos, especialmente por encima de 12 s. 104 Cap´ ıtulo 3 central de la figura, obtenida replicando el diagrama de dispersi´ on original hacia arriba, a la derecha y en diagonal. De este modo, la nube de puntos central pone de manifiesto, de manera m´ as clara, la existencia de un cierto grado de asociaci´ on entre ambas variables. En realidad, este procedimiento es equivalente a transformar el dominio de las variables para que la direcci´ on media quede centrada en la figura. En este caso particular, los rangos de las variables han sido transformados desde el dominio [0o,360o) a [-180o, 180o), tal como se ilustra en la imagen derecha de la figura En la tabla 3.19 se muestran los valores obtenidos para los coeficientes de correlaci´ on circular-circular ρT,r2yˆ Πn, dados por las ecuaciones 3.6, 3.8 y 3.9, al analizar los diferentes pares de conjuntos de datos correspondientes a los puntos de medida VS, EB, CP y BV. Tabla 3.19: Coeficientes de correlaci´ on entre los distintos puntos de medida ρTr2ˆ ΠnH0: No asociaci´ on VS-EB 0,804 1,140 0,575 Rechazada EB-CP 0,764 1,190 0,440 Rechazada CP-BV 0,594 0,563 0,182 Rechazada CP-VS 0,615 0,667 0,305 Rechazada EB-BV 0,554 0,563 0,163 Rechazada VS-BV 0,506 0,449 0,135 Rechazada Figura 3.16: Ilustraci´ on del proceso de replicaci´ on de gr´ aficos de correlaci´ on circular-circular. Como se puede ver en la tabla 3.19, en todos los casos se rechaza la no asociaci´ on entre los valores de θmpara los diferentes pares de puntos considerados. El rechazo de la hip´ otesis nula es mas significativo cuanto m´ as pr´ oximos est´ an entre s´ ı los puntos. Es decir, el coeficiente de correlaci´ on aumenta al aumentar la proximidad entre los dos puntos considerados. Adem´ as, tambi´ en se observa un aumento de la correlaci´ on a medida que el par de puntos se encuentran localizados m´ as hacia el oeste. Todas estas consideraciones son independientes del tipo de asociaci´ on considerada, y quedan Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 105 Figura 3.17: Correlaciones circular-circular de los valores de la direcci´ on media entre BV, EB, CP y VS. bien reflejadas en el gr´ afico 3.17, en el cual se muestran los diagramas de dispersi´ on, centrados en 0o, correspondientes a cada par de puntos de medida, conjuntamente con el valor de ρT. 3.4. Caracterizaci´on de f(θm)con el modelo vM y mezclas de dos vM La opci´ on m´ as com´ un al intentar caracterizar la estructura probabil´ ıstica de una variable circular cuya distribuci´ on de probabilidad emp´ ırica presenta simetr´ ıa, es elegir la distribuci´ on de von Mises como modelo a justar. Sin embargo, tal como se ha comprobado anteriormente, en la pr´ actica no es muy com´ un encontrar fen´ omenos de naturaleza circular cuyas observaciones est´ en caracterizadas por una fdp completamente sim´ etrica. En muchos casos las observaciones est´ an asim´ etricamente distribuidas y pueden presentar uno o varios valores modales. En consecuencia, la adecuada caracterizaci´ on de estas variables requiere del uso de distribuciones de mayor flexibilidad que las convencionales (von Mises, Normal empaquetada, Cardioide, Cauchy empaqueta, etc.), cuya estructura es totalmente sim´ etrica. 106 Cap´ ıtulo 3 En los ´ ultimos a˜ nos se han propuesto numerosas distribuciones circulares que permiten obtener mejores ajustes en tales situaciones. En particular, tal como se coment´ o en la secci´ on 2.3, cualquier distribuci´ on definida sobre la recta real puede ser adaptada para su uso sobre el c´ ırculo mediante diferentes metodolog´ ıas, entre las que destaca el procedimiento de empaquetamiento [e.g. Jammalamadaka y SenGupta 2001, (30)]. No obstante, una aproximaci´ on metodol´ ogica bastante empleada para abordar este problema es el uso de una distibuci´ on resultante de la combinaci´ on ponderada de dos modelos de von Mises. En esta secci´ on se examina la estructura probabil´ ıstica de la direcci´ on media observada en la boya Estaca de Bares, empleando la misma base de datos utilizada en las secciones previas (ver secci´ on 3.2.1). La elecci´ on de este punto de medida est´ a basada en los resultados del an´ alisis realizado en la secci´ on 3.2, seg´ un los cuales, en esta localizaci´ on la fdp de la direcci´ on media presenta una asimetr´ ıa sustancial, que puede convertirse en un modo secundario en determinadas estaciones clim´ aticas o, bajo ciertas condiciones, cuando el conjunto total de datos es filtrado en t´ erminos de la altura de ola significativa o el periodo de pico. El objetivo planteado es comprobar la eficiencia de un modelo conformado por la combinaci´ on ponderada de dos distribuciones de von Mises, modelo que por si s´ olo no permite caracterizar ni la asimetr´ ıa ni la bimodalidad observado en la fdp experimental, examinando, adem´ as, el posible origen de dichos rasgos en la estructura probabil´ ıstica de la variable examinada. El an´ alisis de la eficiencia de la mezcla de dos von Mises se realiza comparando en todo momento el ajuste proporcionado por dicho modelo con el ofrecido por la distribuci´ on de von Mises. 3.4.1. Mezcla de dos von Mises Una variable circular θsigue una una mezcla de dos von Mises si su funci´ on de densidad de probabilidad viene dada por f(θ)=pfvM1(θ)+(1 −p)fvM2(θ)0 ≤θ < 2π(3.10) donde fvMi,i=1,2 representan la distribuci´ on de von Mises, dada por 2.47. La Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 107 expresi´ on anterior puede ser reescrita como sigue f(θ)=p1vM(θ;p1, µ1, κ1)+p2vM(θ;p2µ2, κ2) (3.11) siendo los valores pi,i=1,2 las denominadas proporciones de mezcla, que indican la contribuci´ on relativa de cada una de las componentes a la distribuci´ on resultante. Naturalmente, estos coeficientes de ponderaci´ on deben verificar que p1+p2=p1+(1 −p1)=1y 0 ≤pi≤1 para satisfacer las condiciones de normalizaci´ on (2.22) y positividad (2.23). Es decir, la expresi´ on asociada a una mezcla de dos von Mises puede ser escrita en forma expl´ ıcita como f(θ;p, µ, κ)=p 2πI0(κ1)exp κ1cos(θ−µ1)+(1 −p) 2πI0(κ1)exp κ1cos(θ−µ1) (3.12) La figura 3.18 muestra la estructura adoptada por una mezcla de dos vM en funci´ on de las direcciones medias, manteniendo constantes los valores κ1=κ2=1,0 yp1=p2=0,5, mientras que en la figura 3.19 se ilustra el efecto de la proporci´ on de mezcla, manteniendo constantes los valores µ1=180o, µ2=180o, κ1=κ2=2,0. En estas figuras se evidencia la capacidad de la fdp conformada por la mezcla de dos distribuciones de von Mises para caracterizar distribuciones experimentales sim´ etricas y asim´ etricas, unimodales y bimodales, as´ ı como la presencia de colas largas. Mard´ ıa & Sutton (1975) (46), establecieron las combinaciones de valores de los par´ ametros del modelo para las cuales esta distribuci´ on adopta una estructura unimodal o bimodal, as´ ı como informaci´ on sobre las localizaciones de los modos y los antimodos de la mezcla. Por otra parte, Spurr & Koutbeiy (1991) (78) exponen y comparan diversos m´ etodos para estimar los par´ ametros libres (p, µ1, µ2, κ1yκ2), mientras que Mooney et al (2003) (54), examinan algunos aspectos computacionales relacionados con la estimaci´ on de dichos par´ ametros. Existen numerosas aplicaciones de este modelo en la literatura, tanto para caracterizar variables direccionales como para examinar patrones c´ ıclicos en eventos temporales considerados como ´ angulos [e.g., Jones & James, 1969 (33); Mart´ ın et al., 1999, (50); Mooney et al., 2006 (55)]. 108 Cap´ ıtulo 3 0.1 0.2 0.3 0.4 30 210 60 240 90270 120 300 150 330 180 0 µ1 = 180 µ2 = 180 µ1 = 180 µ2 = 225 µ1 = 180 µ2 = 270 µ1 = 180 µ2 = 315 Figura 3.18: Mezclas de dos distribuciones de von Mises para diferentes direcciones medias N NE E SE S SW W NW N 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 direction density p1 = 0.1 p1 = 0.3 p1 = 0.6 p1 = 0.9 Figura 3.19: Mezclas de dos distribuciones de von Mises para diferentes coeficientes de ponderaci´ on 3.4.2. Resultados y discusi´on La direcci´ on del oleaje del conjunto completo de datos se representa en forma de rosa de oleajes en la figura 3.20 (izquierda). Se observa que la mayor parte de los Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 109 estados de la mar que llegan a la zona proceden del sector de WNW-NW. Esta es una clara indicaci´ on de las restricciones del fetch debido a la ubicaci´ on geogr´ afica de la boya (ver figura 3.2). Los estados de mar que se aproximan a la boya con componente sur est´ an fuertemente restringidos por la orientaci´ on de la costa norte de la pen´ ınsula ib´ erica. Por otra parte, el Golfo de Vizcaya conforma una cuenca relativamente peque˜ na en el sector NE, en comparaci´ on con el sector NW, abierta al Atl´ antico Noroccidental, donde se pueden delinear fetchs considerablemente mayores. El examen detallado de la rosa de direcciones del oleaje de la figura 3.20 revela la presencia de un segundo pico en torno al sector NE-SW. La bimodalidad se opone a la posibilidad a que la distribuci´ on de von Mises se ajuste adecuadamente a la distribuci´ on emp´ ırica, tal y como se observa en la parte derecha de la figura 3.20. En este caso, el ajuste entre la mezcla de dos von Mises y la distribuci´ on emp´ ırica resulta bastante m´ as adecuado que el proporcionado por el modelo de von Mises, hecho que queda refrendado por los valores de los par´ ametros de error y eficiencia dados en la tabla 3.23. A pesar del car´ acter bimodal de la distribuci´ on emp´ ırica, la direcci´ on del oleaje est´ a agrupada considerablemente en torno a un valor cercano a los 317o, sobre todo en el sector comprendido entre 240oy 360o. Por lo tanto, la contribuci´ on a la kde del pico secundario podr´ ıa ser debido a unas condiciones atmosf´ ericas imperantes durante alg´ un per´ ıodo del a˜ no, o podr´ ıa estar asociado a condiciones meteorol´ ogicas que ocurren durante periodos de tiempo no determinados. Teniendo en cuenta esto, los estados de mar han sido clasificados por estaciones clim´ aticas, en t´ erminos de su severidad y de la longitud o per´ ıodos dominantes de los estados de mar. Los resultados en t´ erminos de estaciones clim´ aticas se muestran en la figura 3.21. Se puede observar que la diferencia entre los picos principal y secundario es menor durante el verano. Durante este per´ ıodo la frecuencia de estados de mar procedentes del sector NE-ENE es m´ as bajo y la bimodalidad se reduce provocando una mejora en el ajuste con la mezcla de dos von Mises, que por supuesto es superior a la observada para el modelo simple, tal como se aprecia en la tabla 3.23, con valores de los coeficientes de acuerdo y eficiencia muy pr´ oximos a uno, y errores cuadr´ aticos y absolutos muy bajos. La diferencia entre ambos picos aumenta progresivamente hacia el invierno y en consecuencia el ajuste entre el modelo de mezcla y la kde empeora. Por lo tanto, la separaci´ on de los estados de mar por estaciones clim´ aticas revela que el car´ acter bimodal persiste durante el a˜ no y que el modelo simple de von Mises no es capaz de 110 Cap´ ıtulo 3 Figura 3.20: Rosa de direcciones de la ola media (izquierda) y distribuci´ on de probabilidad emp´ ırica de la direcci´ on del oleaje (l´ ınea continua), y ajustada(a la derecha) con un modelo de von Mises (l´ ınea discontinua) y con la mezcla de dos von Mises (l´ ınea de puntos), para todo el per´ ıodo analizado. adaptarse a la distribuci´ on de probabilidad observada. En este contexto, la mezcla de dos von Mises mejora el grado de ajuste en todas las estaciones del a˜ no, especialmente el verano, cuando la distribuci´ on es claramente asim´ etrica pero la bimodalidad se reduce. Este hecho se refleja en las estimaciones de m´ axima verosimilitud de κ, el par´ ametro de concentraci´ on del modelo de von Mises , que es una medida de la concentraci´ on alrededor de la direcci´ on media, tal como revelan los valores dados en la tabla 3.20, que da el n´ umero de estados de mar, el promedio de las direcciones medias del oleaje y κpara el conjunto de datos completo y para cada estaci´ on. Se observa que κaumenta en verano intensificando el apuntamiento de la distribuci´ on. Teniendo en cuenta que el car´ acter bimodal de la distribuci´ on de la direcci´ on media no depende de la estaci´ on clim´ atica, la variabilidad de la distribuci´ on observada ha sido examinada en funci´ on de la severidad de los estados de mar y considerando si los estados de mar que se aproximan al lugar de medida han sido generados local o remotamente, es decir, filtrando el conjunto de datos por umbrales de alturas de ola significativa y per´ ıodo de pico espectral. La relaci´ on direccional durante per´ ıodos de calma relativa son menos relevantes en el dise˜ no, construcci´ on y operatividad de estrucutras costeras y de aguas profun- Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 111 das. En consecuencia, el mayor inter´ es se centra en el comportamientoen los estados de mar m´ as energ´ eticos. La distribuci´ on de la direcci´ on media condicionada a la superaci´ on de seis umbrales de altura de ola diferentes, variando de 1 a 6 metros, se muestra en la figura 3.22. Resulta evidente que las distribuciones emp´ ıricas se estrechan e intensifican entorno al valor modal de θm, que se desplaza hacia el oeste, a medida que el umbral de Hm0aumenta. Esta evoluci´ on queda reflejada en los valores estad´ ısticos dados en la tabla 3.21. Es de destacar que para los umbrales bajos la distribuci´ on observada presenta una estructura similar a la asociada al conjunto de datos completo, pero cuando el umbral de altura de ola significativa aumenta el modelo de von Mises, y, naturalmente, la mezcla de dos componentes, se adapta cada vez m´ as adecuadamente a la estimaci´ on de la densidad emp´ ırica debido a que la distribuci´ on se concentra entorno a la direcci´ on media, aumentando la simetr´ ıa y tendiendo a desaparecer el car´ acter bimodal. Estos resultados que se pueden apreciar f´ acilmente de forma visual quedan contrastados cuantitativamente por los valores de los coeficientes de error y de bondad de ajuste dados en la tabla 3.23. Estos resultados revelan que el pico secundario esta asociado a estados de mar de severidad baja o moderada. La evoluci´ on de la funci´ on de densidad emp´ ırica de la direcci´ on media del oleaje y el ajuste a la von Mises y a una mezcla de dos von Mises para cuatro umbrales del per´ ıodo espectral de pico se muestra en la figura 3.23. Los valores correspondientes de los umbrales, as´ ı como los estad´ ısticas circulares b´ asicos se dan en la tabla 3.22. Los resultados muestran que las distribuciones emp´ ıricas se estrechan e intensifican entorno a la direcci´ on media, ¯ θ, que se desplaza hacia el oeste, al aumentar el umbral de Tp. Adem´ as, se puede observar que para valores altos de Tp, es decir, eliminando los estados de mar de periodo dominante bajo, la distribuci´ on emp´ ırica se ajusta mejor a ambos modelos. Este hecho es particularmente cierto para la mezcla de dos von Mises debido a que el car´ acter bimodal desaparece al filtrar los estados de mar con periodo de pico espectral bajo, pero incluso para umbrales altos la distribuci´ on sigue siendo ligeramente sesgada, con una meseta que desciende suavemente en el cuadrante NE, lo cual hace que el modelo simple de von Mises presente peores ajustes, en comparaci´ on con la mezcla de dos von Mises, tal como queda de manifiesto en los valores de los par´ ametros d1yE1dados en la tabla 3.23, los cuales adoptan valores que tienden a uno al aumentar el valor umbral de Tp, pero son siempre superiores para la mezcla de dos von Mises. 112 Cap´ ıtulo 3 Figura 3.21: Distribuci´ on de probabilidad emp´ ırica de las direcciones del oleaje (l´ ınea continua), y los modelos ajustados de una von Mises (l´ ınea discontinua) y de la mezcla de dos von Mises (l´ ınea de puntos) para la primavera (arriba-izquierda), verano (arriba-derecha), oto˜ no (abajoizquierda), e invierno (abajo-derecha). Tabla 3.20: N´ umero de estados de mar, direcci´ on media del oleaje y estimador de m´ axima verosimilitud del par´ ametro de concentraci´ on para el conjunto de datos y para el conjunto de datos filtrado por estaci´ on clim´ atica. N¯ θ(o)κ Total 43.227 317,5 2,18 Primavera 10.663 319,8 1,91 Verano 10.727 326,0 2,20 Oto˜ no 11.726 316,3 2,08 Invierno 10.111 315,8 2,00 Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 113 Figura 3.22: Distribuci´ on de probabilidad emp´ ırica de las direcciones del oleaje (l´ ınea continua), y los modelos ajustados de una von Mises (l´ ınea discontinua) y de la mezcla de dos von Mises (l´ ınea de puntos) para umbrales Hm0≥1m(arriba-izquierda), Hm0≥2m(derechaarriba), Hm0≥3m(centro-izquierda), Hm0≥4m(centro-derecha), Hm0≥5m(abajo-izquierda) yHm0≥6m(abajo-derecha). 120 Cap´ ıtulo 3 valores reales no negativos (R≥0). La importancia de este tipo de polinomios trigonom´ etricos fue destacada por Fej´ er (1916) (14), quien determin´ o las condiciones que deben satisfacer los coeficientes de un polinomio trigonom´ etrico para que ´ este adopte s´ olo valores no negativos, mientras que su conjetura sobre la forma que deben adoptar dichas funciones fue comprobada por Riesz (1916) (71). Los resultados alcanzados por ambos autores se conocen con el nombre de Teor´ ema de Fej´ er-Reisz y puede ser expresado como sigue Teorema 1 (Fej´er-Riesz, 1916) Un polinomiotrigonom´etrico w(eiθ)= n P k=−n ckeikθqueadopta ´unicamente valores reales no negativos ∀θ∈Rpuede ser expresado como sigue w(eiθ)=p(eiθ)2 para alg´un polinomio p(z)= n P 0 akzk. El polinomio puede ser elegido de forma que no posea raices en el disco unidad, D={z:|z|<1}, de modo que es ´unico excepto por una constante multlipicativa de m´odulo uno. Dicho teorema ha sido reexpresado de forma equivalente por Dimitrov (2002) (11), seg´ un el cual un polinomio trigonom´ etrico, o suma trigonom´ etrica, de orden n p(eiθ)2=a0+ n X k=1 [akcos (kθ)+bksen (kθ)] es no negativa ∀θ∈Rsi y solo si existen n´ umeros complejos ck,k=0,1,··· ,n, tal que a0= n X k=0|ck|2 y ak−ibk=2 n−k X l=0 cl+k¯ clpara k=1,2,...,n Haciendo uso de estos resultados, Fern´ andez-Duran (2004) (15) demuestra como obterner una distribuci´ on de probabilidad circular v´ alida. De acuerdo con dicho autor, una variable circular, θ, sigue una distribuci´ on de probabilidad circular basada Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 121 en una suma trigonom´ etrica no negativa, en adelante NNTS, si tiene como funci´ on de densidad f(θ;c,n)=1 2π+1 π n X k=1akcos(kθ)+bksen(kθ) paraθ∈[0,2π)(3.15) donde los coeficientes c=c0,c1,...,cn, y ck∈Cpara k=0,1,...,nson tales que n X k=0|ck|2=1 2π y ak−ibk=2 n−k X l=0 cl+k¯ cl para los n´ umeros complejos ck=crk +icck y¯ ck=crk −icck, con k=1,2,...,n. Es decir, el vector de par´ ametros, c, tiene dimension 2n+2 con 2n+1 par´ ametros libres. El orden de la suma trigonom´ etrica,n, es considerado como un par´ ametro adicional del modelo. Es interesante notar que para n=0 se tiene la distribuci´ on uniforme, mientras para n=1 la distribuci´ on resultante es la cardioide, introducida por para caracterizar el espectro direccional del oleaje [Jeffreys 1961, (31)]. 3.5.3. Resultados y discusi´on La climatolog´ ıa general del oleaje en la zona de Cabo Begur presenta una elevada variablilidad direccional que queda reflejada en las rosas de direcciones ilustradas en la figura 3.25. La figura 3.25 (a) muestra la variabilidad de la direcci´ on media (θm) en dicha zona. En ella se puede apreciar la existencia de un modo dominante, o direcci´ on preferencial, en el sector N-NNW, otro modo secundario entorno a la direcci´ on S-SW, as´ ı como dos m´ aximos secundarios de menor frecuencia relativa en los sectores SWSSW y E-ENE, respectivamente. La presencia de estos cuatro modos direccionales se aprecia m´ as claramente en la figura 3.25 (b), en la que se muestran las frecuencias de las direcciones medias asociadas a la frecuencia de pico del espectro direccional (θp). 122 Cap´ ıtulo 3 Aunque, en general, la direcci´ on de pico suele presentar mayor variabilidad que la direcci´ on media, en este caso se observa que ambos par´ ametros exhiben el mismo tipo de comportamiento, definiendo claramente los cuatro modos direccionales antes citados. En la tabla 3.24 se observa que la direcci´ on media resultante se encuentra en el sector N-NNE, pero exhibe una considerable variabilidad estacional (ver figura 3.26). Por el contrario, al considerar las direcciones asociadas a umbrales de altura y periodo progresivamente superiores, la direcci´ on media no presenta variaciones sustanciales. La dispersi´ on circular, dada en t´ erminos de la varianza circular, adopta sustancialmente altos, aunque se observa un ligero descenso de la misma desde la primavera hasta el invierno, al igual que al aumentar los umbrales de Hm0yTm. Es importante destacar que los estad´ ısticos correspondientes a condiciones de Tm¿8 s son poco representativas dado el escaso n´ umero de observaciones. Este hecho es razonable debido a la poca probabilidad de generaci´ on de oleaje de largo periodo que puedan alcanzar la zona de estudio, como consecuencia de las longitudes limitadas de las ´ areas de generaci´ on. Estos mismos patrones se pueden observar en los valores correspondientes a las direcciones de pico, dados en la tabla 3.25. En la figura 3.27 se muestra la funci´ on de densidad emp´ ırica para la direcci´ on media, durante el periodo completo de observaciones, conjuntamente con los ajustes obtenidos empleando mezclas de von Mises (vMm) con un n´ umero de componentes que var´ ıa entre tres y siete. Los ´ ındices de bondad de ajuste mostrados en la tabla 3.26 muestran que un nivel de concordancia bastante aceptable en todos los casos, aunque visualmente se aprecian algunas diferencias significativas, especialmente en la intensidad de los modos principales. No obstante, la mayor eficiencia para caracterizar la distribuci´ on experimental es asignada a la mezcla con cuatro componentes. Los resultados del ajuste de esta misma distribuci´ on empleando sumas trigonom´ etricas no negativas (NNTS) se muestran en la figura 3.28 y se cuantifican en la tabla 3.27. En funci´ on de los resultados dados en la tabla anterior, parece que los ajustes m´ as adecuados se obtienen con un n´ umero de componentes entorno a nueve. Sin embargo, el an´ alisis visual de la figura 3.28 revela un mejor ajuste general para un n´ umero de componentes entre doce y trece. Este hecho se aprecia m´ as claramente en la figura 3.29 en la que se muestra la funci´ on de densidad emp´ ırica para la direcci´ on media conjuntamente con los modelos de vMm de cuatro componentes y NNTS de trece componentes. Notese que de acuerdo con los valores de los ´ ındices de eficiencia dados en las tablas 3.26 y 3.27 la mezcla de cuatro von Mises produce un ajuste sig- Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 123 nificativamente mejor que el correspondiente a una NNTS con trece componentes, sin embargo el an´ alisis visual de la figura 3.29 revela que la NNTS se adapta mejor a la distribuci´ on observada siendo capaz de reproducir de forma m´ as fideligna la presencia de los picos secundarios localizados entre el NE y el SE, mientras que la vMm no es capaz de reflejar dichos rasgos. Los resultados obtenidos para las distribuciones experimentales por estaciones muestran una estructura bastante irregular, especialmente en oto˜ no. En general, los ´ ındices de bondad de ajuste dados en las tablas 3.28, 3.29, 3.30 y 3.31 asignan un mayor grado de acuerdo entre las distribuciones emp´ ıricas y las mezclas de von Mises, obteni´ endose los mejores resultados para un n´ umero de mezclas entre tres y cinco, excepto para el oto˜ no donde este aumenta hasta siete para alcanzar los mejores resultados. No obstante, el an´ alisis visual de los ajustes pone de manifiesto un mejor comportamiento, en t´ erminos de bondad de ajuste, para las sumas trigonom´ etricas no negativas, excepto en la estaci´ on de oto˜ no (ver figuras 3.30, 3.31, 3.32 y 3.33). Adem´ as es interesante hacer notar que un aumento en el n´ umero de componentes en las vMm induce, en general, a un empeoramiento en el grado de concordancia con la funci´ on de densidad experimental. Por el contrario, un aumento progresivo del n´ umero de t´ erminos en las NNTS da lugar a una mejora paulatina en el grado de ajuste. Lo anterior es aplicable a la comparaci´ on entre los modelos NNTS y vMm al filtrar las muestras de direcciones en funci´ on de la severidad de los estados de mar y de los periodos medios asociados a los mismos. Tal y como se puede observar en las figuras de 3.34 a 3.41 y las tablas de ´ ındices de bondad de ajuste de 3.32 a 3.39. A modo de ejemplo, la bondad de ajuste para las distribuciones condicionadas a Hm0>3myTm>2 s resulta visualmente muy superior en el caso de los polinomios trigonom´ etricos pero, sin embargo, los ´ ındices de bondad de ajuste asignan un mejor comportamiento a las mezclas de von Mises. En general, los resultados muestran una mayor capacidad de las NNTS, con ´ ordenes entorno a 9-13, para caracterizar las distribuciones expermientales, que la mostrada por la combinaci´ on ponderada de distribuciones de von Mises, con un n´ umero de componentes variando entre 3 y 6 aproximadamente. Sin embargo, los ´ ındices de bondad de ajuste no reflejan adecuadamente este hecho y asignan, en general, un mayor grado de concordancia entre las distribuciones experimentales y las mezclas de von Mises. Por otro lado, el aumento en el n´ umero de componentes en las NNTS induce una mejora progresiva en la bondad de ajuste, mientras que el 124 Cap´ ıtulo 3 Tabla 3.24: Estad´ ısticos b´ asicos de la direcci´ on media del oleaje en Cabo Begur: n´ umero de datos (N), direcci´ on media ( ¯ θ), desviaci´ on t´ ıpica (v), sesgo (ˆ s) y curtosis (ˆ k) N¯ θvˆ sˆ k Total 34.731 17o118o0,29 0,42 Estaciones Primavera 8.452 67o138o0,25 -0,37 Verano 9.207 319o126o-0,53 -0,37 Oto˜ no 10.240 43o101o0,47 0,02 Invierno 6.832 355o96o-0,21 0,71 θ/Hm0 Hm0>1 m 20.071 2o69o0,37 1,55 Hm0>2 m 8.341 357o47o1,01 4,05 Hm0>3 m 3.185 354o37o1,49 6,83 Hm0>4 m 1.006 355o37o1,39 6,40 Hm0>5 m 245 6o40o1,48 1,53 θ/Tm Tm>2 s 34.731 17o118o0,29 0,42 Tm>4 s 23.836 16o90o0,48 0,52 Tm>6 s 1.807 18o59o0,77 0,34 Tm>8 s 33 75o72o0,33 0,35 Tabla 3.25: Estad´ ısticos b´ asicos de la direcci´ on de pico del oleaje en Cabo Begur: n´ umero de datos (N), direcci´ on media ( ¯ θ), desviaci´ on t´ ıpica (v), sesgo (ˆ s) y curtosis (ˆ k) N¯ θvˆ sˆ k Total 34.731 15o116o0,23 0,44 Estaciones Primavera 8.452 53o136o0,37 -0,17 Verano 9.207 324o123o-0,47 0,22 Oto˜ no 10.240 42o102o0,43 0,09 Invierno 6.832 356o95o-0,27 0,72 θ/Hm0 Hm0>1 m 17.552 2o68o0,31 1,60 Hm0>2 m 7.489 358o47o0,96 3,88 Hm0>3 m 2.942 356o37o1,58 5,63 Hm0>4 m 886 357o36o1,40 5,29 Hm0>5 m 196 9o35o1,50 -0,54 θ/Tm Tm>2 s 34.731 15o116o0,23 0,44 Tm>4 s 20.268 14o87o0,42 0,66 Tm>6 s 1.553 18o55o0,59 0,58 Tm>8 s 11 58o6o-3,37 0,35 aumento en el n´ umero de componentes en las mezclas de von Mises provoca el efecto contrario. Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 125 (a) Direcci´ on media (b) Direcci´ on de pico Figura 3.25: Diagramas polares de la direcci´ on media y de la direcci´ on de pico del oleaje en Cabo Begur para el periodo total de observaciones. 126 Cap´ ıtulo 3 (a) Primavera (b) Verano (c) Oto˜ no (d) Invierno Figura 3.26: Diagramas polares de la direcci´ on media del oleaje, por estaciones, en Cabo Begur. Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 127 Figura 3.27: fdp de la direcci´ on media del oleaje en Cabo Begur para el periodo de observacion completo y ajuste con vMm. Tabla 3.26: ´ Indices de bondad de ajuste en Cabo Begur para el ajuste por mezclas de von Mises (global). N´ umero de mezclas RMSE MAE d1E1 3 0,0239 0,0175 0,9939 0,9737 4 0,0236 0,0149 0,9941 0,9743 5 0,0288 0,0157 0,9913 0,9618 6 0,0256 0,0158 0,9930 0,9697 7 0,0411 0,0296 0,9759 0,9292 Tabla 3.27: ´ Indices de bondad de ajuste en Cabo Begur para el ajuste por NNTS (global). N´ umero de componentes RMSE MAE d1E1 4 0,0965 0,0598 0,8254 0,5713 5 0,0795 0,0426 0,8991 0,7089 6 0,0759 0,0400 0,9089 0,7348 7 0,0793 0,0416 0,9067 0,7107 8 0,0754 0,0376 0,9182 0,7385 9 0,0766 0,0366 0,9165 0,7299 10 0,0810 0,0374 0,9102 0,6979 11 0,0855 0,0371 0,9030 0,6635 12 0,0855 0,0371 0,9030 0,6635 13 0,0879 0,0363 0,8994 0,6444 128 Cap´ ıtulo 3 Figura 3.28: fdp de la direcci´ on media del oleaje en Cabo Begur para el periodo de observacion completo y ajuste con NNTS. Figura 3.29: fdp de la direcci´ on media del oleaje en Cabo Begur para el periodo de observacion completo y ajuste elegidos de NNTS y vMm. Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 129 Tabla 3.28: ´ Indices de bondad de ajuste en CB (primavera) para el ajuste por mezclas de von Mises (vMmix) y por NNTS. N´ umero de mezclas RMSE MAE d1E1 vMmix 3 0,0343 0,0231 0,9887 0,9498 4 0,0456 0,0226 0,9807 0,9112 5 0,0389 0,0222 0,9858 0,9356 6 0,0469 0,0214 0,9796 0,9061 7 0,0459 0,0209 0,9805 0,9103 NNTS 4 0,1098 0,0726 0,7904 0,4860 5 0,0916 0,0631 0,8733 0,6418 6 0,0851 0,0547 0,8936 0,6911 7 0,0828 0,0597 0,9108 0,7079 8 0,0694 0,0481 0,9412 0,7948 9 0,0668 0,0481 0,9479 0,8099 10 0,0613 0,0453 0,9586 0,8397 11 0,0581 0,0427 0,9642 0,8561 12 0,0571 0,0416 0,9664 0,8608 13 0,0577 0,0421 0,9669 0,8582 Figura 3.30: fdp de la direcci´ on media del oleaje en Cabo Begur (primavera) y ajuste elegidos de NNTS y vMm. 136 Cap´ ıtulo 3 Tabla 3.35: ´ Indices de bondad de ajuste en CB (Hm0>4 m) para el ajuste por mezclas de von Mises (vMmix) y por NNTS. N´ umero de mezclas RMSE MAE d1E1 vMmix 3 0,0513 0,0313 0,9952 0,9791 4 0,0677 0,0421 0,9915 0,9635 5 0,0536 0,0318 0,9947 0,9771 6 0,0527 0,0265 0,9949 0,9779 7 0,0514 0,0261 0,9951 0,9790 NNTS 3 0,2427 0,1250 0,7853 0,5310 4 0,2067 0,1045 0,8555 0,6597 5 0,1604 0,0793 0,9239 0,7952 6 0,1289 0,0682 0,9566 0,8676 7 0,1269 0,0707 0,9607 0,8718 8 0,1078 0,0596 0,9730 0,9074 9 0,0750 0,0466 0,9875 0,9552 10 0,0686 0,0442 0,9902 0,9625 11 0,0752 0,0453 0,9888 0,9550 12 0,0785 0,0473 0,9888 0,9510 13 0,0750 0,0474 0,9891 0,9552 Figura 3.37: fdp de la direcci´ on media del oleaje en Cabo Begur (Hm0>4 m) y ajuste elegidos de NNTS y vMm. Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 137 Tabla 3.36: ´ Indices de bondad de ajuste en CB (Hm0>5 m) para el ajuste por mezclas de von Mises (vMmix) y por NNTS. N´ umero de mezclas RMSE MAE d1E1 vMmix 3 0,5043 0,2020 0,5047 -1,8484 4 0,3082 0,2139 0,4867 -0,0634 5 0,1500 0,0646 0,9365 0,7480 6 0,2661 0,1834 0,6713 0,2073 7 0,0846 0,0528 0,9797 0,9199 NNTS 3 0,2146 0,1190 0,7925 0,4844 4 0,1698 0,1021 0,8655 0,6773 5 0,1138 0,0699 0,9503 0,8550 6 0,1111 0,0604 0,9583 0,8618 7 0,1257 0,0615 0,9499 0,8231 8 0,1271 0,0626 0,9496 0,8192 9 0,1065 0,0521 0,9648 0,8729 10 0,1224 0,0628 0,9576 0,8322 11 0,1303 0,0679 0,9539 0,8098 12 0,1392 0,0707 0,9472 0,7829 13 0,1319 0,0644 0,9514 0,8052 Figura 3.38: fdp de la direcci´ on media del oleaje en Cabo Begur (Hm0>5 m) y ajuste elegidos de NNTS y vMm. 138 Cap´ ıtulo 3 Tabla 3.37: ´ Indices de bondad de ajuste en CB (Tm>2 s) para el ajuste por mezclas de von Mises (vMmix) y por NNTS. N´ umero de mezclas RMSE MAE d1E1 vMmix 2 0,0516 0,0408 0,9664 0,8673 3 0,0246 0,0186 0,9929 0,9698 4 0,0253 0,0161 0,9927 0,9681 5 0,0253 0,0160 0,9927 0,9681 6 0,0286 0,0155 0,9908 0,9593 NNTS 3 0,0901 0,0524 0,8282 0,5955 4 0,0920 0,0608 0,8444 0,5778 5 0,0773 0,0531 0,9071 0,7020 6 0,0694 0,0476 0,9266 0,7596 7 0,0714 0,0474 0,9285 0,7458 8 0,0641 0,0416 0,9453 0,7949 9 0,0607 0,0403 0,9521 0,8161 10 0,0610 0,0390 0,9538 0,8147 11 0,0592 0,0377 0,9573 0,8253 12 0,0591 0,0372 0,9577 0,8256 13 0,0594 0,0375 0,9581 0,8241 Figura 3.39: fdp de la direcci´ on media del oleaje en Cabo Begur (Tm>2 s) y ajuste elegidos de NNTS y vMm. Caracterizaci´ on estad´ ıstica de la direcci´ on media del oleaje 139 Tabla 3.38: ´ Indices de bondad de ajuste en CB (Tm>4 s) para el ajuste por mezclas de von Mises (vMmix) y por NNTS. N´ umero de mezclas RMSE MAE d1E1 vMmix 2 0,0536 0,0408 0,9809 0,9177 3 0,0345 0,0219 0,9923 0,9659 4 0,0381 0,0222 0,9906 0,9583 5 0,0384 0,0223 0,9905 0,9577 6 0,0390 0,0171 0,9903 0,9564 NNTS 3 0,1759 0,1083 0,3594 0,1119 4 0,1549 0,0970 0,6439 0,3114 5 0,1261 0,0696 0,7892 0,5438 6 0,1183 0,0712 0,8367 0,5983 7 0,0981 0,0653 0,9051 0,7237 8 0,0739 0,0517 0,9551 0,8433 9 0,0683 0,0480 0,9632 0,8660 10 0,0660 0,0466 0,9677 0,8752 11 0,0620 0,0437 0,9721 0,8898 12 0,0628 0,0434 0,9719 0,8867 13 0,0624 0,0432 0,9729 0,8883 Figura 3.40: fdp de la direcci´ on media del oleaje en Cabo Begur (Tm>4 s) y ajuste elegidos de NNTS y vMm. 140 Cap´ ıtulo 3 Tabla 3.39: ´ Indices de bondad de ajuste en CB (Tm>6 s) para el ajuste por mezclas de von Mises (vMmix) y por NNTS. N´ umero de mezclas RMSE MAE d1E1 vMmix 2 0,0713 0,0491 0,9791 0,9139 3 0,0478 0,0277 0,9909 0,9614 4 0,0373 0,0215 0,9946 0,9764 5 0,0478 0,0281 0,9910 0,9613 6 0,0488 0,0285 0,9906 0,9597 NNTS 1 0,2072 0,1289 0,5689 0,2732 2 0,2092 0,1284 0,6623 0,2590 3 0,1719 0,1013 0,7662 0,4993 4 0,1391 0,0818 0,8659 0,6724 5 0,1127 0,0714 0,9250 0,7847 6 0,1034 0,0699 0,9413 0,8190 7 0,1106 0,0729 0,9372 0,7928 8 0,0878 0,0619 0,9618 0,8696 9 0,0708 0,0536 0,9764 0,9152 10 0,0752 0,0536 0,9748 0,9043 11 0,0768 0,0535 0,9746 0,9001 12 0,0789 0,0554 0,9736 0,8946 13 0,0755 0,0533 0,9760 0,9036 Figura 3.41: fdp de la direcci´ on media del oleaje en Cabo Begur (Tm>6 s) y ajuste elegidos de NNTS y vMm. Cap´ıtulo 4 Patrones temporales anuales Debido a su naturaleza aleatoria, las condiciones de oleaje observadas en una zona espec´ ıfica exhiben un patr´ on de evoluci´ on temporal sustancialmente irregular. No obstante, como proceso resultante de la interacci´ on din´ amica entre la atm´ osfera y el oc´ eano en la interfase que separa ambos medios fluidos y, en especial, de la acci´ on del viento en dicha superficie, cabe esperar la existencia de ciclos que se repiten con una cierta regularidad a lo largo del tiempo y que tienen importantes repercusiones pr´ acticas. En consecuencia, la detecci´ on de dichos patrones mediante metodolog´ ıas robustas constituye un aspecto de gran inter´ es en la caracterizaci´ on y predicci´ on de las condiciones de oleaje y sus posibles repercusiones y aplicaciones. En este cap´ ıtulo se emplea una metodolog´ ıa, basada en los fundamentos de la estad´ ıstica circular, para examinar la presencia de patrones c´ ıclicos en dos aspectos particulares del oleaje. En primer lugar se analiza la presencia de ciclos anuales en el potencial energ´ etico disponible en el oleaje que alcanza una zona dada del mar, como recurso energ´ etico renovable, examinando si la potencia del oleaje se distribuye homog´ eneamente a lo largo del a˜ no o, si por el contrario, ´ este tiende a aumentar durante determinadas fases del a˜ no y a presentar valores m´ as bajos en otras. Por otro lado se eval´ ua si las condiciones extremas, o temporales, de oleaje ocurren de forma aleatoria a lo largo del a˜ no, o si ´ estas tienden a presentarse preferentemente en una o varias ´ epocas de dicho periodo. En primer lugar se presenta, a modo de introducci´ on, una breve discusi´ on de 141 142 Cap´ ıtulo 4 la relaci´ on entre las medidas direccionales, o angulares, y las temporales, con el fin de justificar el uso de t´ ecnicas de estad´ ıstica circular en el estudio de la variabilidad estad´ ıstica de la ocurrencia de eventos particulares en un fen´ omeno dado. Posteriormente se explica la metodolog´ ıa empleada para realizar dichos estudios. A continuaci´ on se comentan, en secciones diferentes, la importancia de cada uno de los fen´ omenos analizados, las zonas de estudio y las bases de datos empleadas en cada caso, as´ ı como los resultados obtenidos y las conclusiones alcanzadas. 4.1. Relaci´on entre variables angulares y temporales Anteriormente se ha comentado que la estad´ ıstica circular no s´ olo es ´ util para caracterizar variables estad´ ısticas que representan una direcci´ on en el plano, sino que tambi´ en permite caracterizar el comportamiento estad´ ıstico de variables temporales asociadas a instantes de tiempo en los que tiene lugar un evento dado a lo largo de un intervalo temporal concreto (e.g. Mardia & Jupp, 2000; (44)). Por este motivo, con frecuencia, se dice que las variables circulares son aquellas que pueden ser medidas con una br´ ujula (figura 4.1 a) o un reloj (figura 4.1 b). No obstante, mientras la br´ ujula mide directamente ´ angulos que indican direcci´ on, el reloj mide intervalos de tiempo que pueden ser transformados en ´ angulos. As´ ı, el instante de ocurrencia de un determinado evento durante un periodo de duraci´ on definida (d´ ıa, semana, mes, a˜ no, etc.) puede ser considerado como una variable circular. En este sentido, resulta interesante examinar brevemente la relaci´ on entre medidas angulares y unidades de duraci´ on temporal, y su origen. El tiempo no resulta un concepto f´ acil de entender. As´ ı, San Agust´ ın (354-430) escribe: ”... ¿Qu´e es el tiempo, entonces? Si nadie me pregunta, yo s´e; pero si tengo que contestar a alguien que me pregunta, entonces no s´e.”. En realidad, la consciencia de tiempo, as´ ı como el inter´ es por su medida, aparecen relativamente tarde en la historia de la evoluci´ on humana. Sin embargo, se desarroll´ o r´ apidamente, llegando a ser un tema primordial, con el florecimiento del comercio y la navegaci´ on mar´ ıtima. La medida del tiempo est´ a fuertemente relacionada con las actividades de los individuos y de la sociedad, pero para entender el origen y la cuantificaci´ on de dicha magnitud es necesario recurrir a la astronom´ ıa y a su relaci´ on con el desarrollo del reloj. En este sentido, los primeros procedimientos para medir el paso del tiempo entre eventos recurrentes se basaban en la aparici´ on, desaparici´ on, o fases de cuerpos celestes, tales como el sol, la luna y ciertas estrellas. De este modo, el d´ ıa queda Patrones temporales anuales 143 (a) (b) Figura 4.1: Br´ ujula y reloj de esfera como dispositivos de medida de variables circulares. definido por el ciclo de alternancia de luz y oscuridad, originado por el movimiento de rotaci´ on de la Tierra sobre su eje imaginario. En dicho movimiento la Tierra describe un ´ angulo de 360odurante 24 horas, aproximadamente. Este hecho constituy´ o el fundamento de la invenci´ on del reloj de sol y del uso del d´ ıa de 24 horas en el antiguo Egipto. Por otra parte, a medida que rota sobre si misma, la Tierra describe un movimiento de traslaci´ on alrededor del Sol, completando un ciclo completo (360o) en un a˜ no (aproximadamente 365 d´ ıas). Conjuntamente con los movimientos de rotaci´ on y traslaci´ on de la Tierra respecto al Sol, la Luna experimenta un movimiento de traslaci´ on alrededor de la Tierra, completando una revoluci´ on completa (360o) en un mes (aproximadamente 27.25 d´ ıas). Se debe destacar que, debido a la combinaci´ on de los movimientos de rotaci´ on y revoluci´ on de estos tres cuerpos celestes, las duraciones exactas del a˜ no, el mes y el d´ ıa presentan ligeras diferencias respecto a las dadas previamente. As´ ı, por ejemplo, debido a la traslaci´ on de la Tierra alrededor del Sol, unos 30opor mes, la transici´ on entre dos fases consecutivas de luna nueva dura aproximadamente 29.5 d´ ıas (un mes lunar). Al observar la Luna desde la Tierra durante este periodo se pueden distinguir las diferentes fases de la Luna (luna nueva, cuarto creciente, luna llena y luna llena), mientras en el oc´ eano la transici´ on entre ´ estas induce una modulaci´ on 144 Cap´ ıtulo 4 en la amplitud de la marea. Luna y sus fases no s´ olo ejercen un efecto dominante sobre la intensidad de las mareas, sino que adem´ as tienen un efecto significativo sobre diferentes procesos biol´ ogicos y, adem´ as, constituyen la base y las unidades de tiempo para la construcci´ on de muchos calendarios. Las unidades de tiempo anteriores tienen un claro origen astron´ omico. Entre el d´ ıa y el mes, existe una unidad de origen no astron´ omico, la semana de 7 d´ ıas. Aunque probablemente su origen est´ a relacionado con aspectos religiosos, la actividad de ser humano suele estar organizada en base a ella. En consecuencia, existen muchos campos del conocimiento relacionados con la actividad individual y colectiva del hombre en los que este periodo posee una gran importancia. As´ ı, en las series temporales analizadas en campos como la econom´ ıa, la demanda de energ´ ıa el´ ectrica, etc., la presencia de un ciclo semanal suele ser una caracter´ ıstica com´ un. Los ciclos de origen astron´ omico citados tienen una enorme repercusi´ on sobre el comportamiento de los seres vivos, hecho que justifica la existencia de una disciplina espec´ ıfica, denominada Cronobiolog´ ıa, encargada del estudio de los ritmos biol´ ogicos, que suelen ser divididos en tres grandes grupos, en funci´ on de la longitud de su periodo o duraci´ on. Estos son, los ritmos circadianos, que incluyen los ciclos de duraci´ on pr´ oxima al d´ ıa, ritmos ultradianos, de duraci´ on inferior a las 24 horas, y los ritmos infradianos, de m´ as de 24 horas de duraci´ on, entre los que cabe destacar los ritmos circamensuales (aproximadamente 30 d´ ıas) y los circanuales (aproximadamente 365 d´ ıas). En este contexto, el t´ ermino ritmo debe ser entendido como un cambio que se repite con un patr´ on similar. Adem´ as, es importante destacar el significado del t´ ermino circa, que en lat´ ın significa cerca de, aproximadamente, indicando que la duraci´ on de los ciclos puede variar ligeramente con el tiempo. En el caso particular del ciclo semanal, aunque suele ser denominado como circasemanal, su duraci´ on es constante, dado su origen no astron´ omico. El periodo anual es dividido normalmente en estaciones, lo cual es en principio una idea intr´ ınsecamente simple, pero que puede ser entendida de diferentes formas. As´ ı, la definici´ on de las estaciones astron´ omicas depende solamente de la inclinaci´ on del eje de rotaci´ on terrestre y de la posici´ on relativa de la Tierra respecto al Sol, y quedan delimitadas por los equinoccios y los solsticios (ver figura 4.2). Sin embargo, por comodidad en el an´ alisis de datos se suele adoptar la convenci´ on meteorol´ ogica de definir estaciones de tres meses, de modo que, para el Hemisferio Norte, el trimestre Diciembre-Febrero constituye el invierno, Marzo-Mayo la primavera, Junio-Agosto el verano y Septiembre-Noviembre el oto˜ no. Por otra parte, las estaciones clima- Patrones temporales anuales 145 tol´ ogicas son definidas en t´ erminos de puntos de transici´ on en las series temporales de procesos clim´ aticos. Esta definici´ on suele ser mucho m´ as ´ util en estudios de este tipo que las tradicionales estaciones astron´ omicas (Cannon, 2005 (7)). En el estudio de procesos oceano-meteorol´ ogicos, y en particular en estudios de clima mar´ ıtimo, resulta m´ as adecuado definir estaciones clim´ aticas en funci´ on de la variaci´ on de las condiciones medias, o en t´ erminos de la ocurrencia de eventos extremos. Figura 4.2: Estaciones astron´ omicas, definidas por la ocurrencia de solsticios y equinoccios. La relaci´ on entre medidas angulares y temporales no s´ olo se refleja en los movimientos c´ ıclicos de cuerpos celestes y la duraci´ on de los mismos. Al analizar el funcionamiento de un reloj cl´ asico (no digital), como el reloj de esfera mostrado en la figura 4.1 b, resulta f´ acil comprender que ´ este relaciona una posici´ on angular sobre el c´ ırculo con un instante dado de tiempo. En consecuencia, aunque el tiempo representa una variable continua cuyo soporte es toda la recta real, el reloj permite conocer el valor de un instante de tiempo mediante la observaci´ on de un ´ angulo sobre el c´ ırculo. N´ otese que las agujas del reloj ejecutan movimientos circulares simulando de alg´ un modo el movimiento de los astros antes citados. La aguja m´ as larga (minutero) completa un c´ ırculo completo en una hora. Es decir, describe un ´ angulo de 360o en 60 minutos, 6opor minuto, o 6’ por por segundo. La aguja m´ as corta (horaria)