O conceito de reta tangente na obra pedagógica de Sebastião e Silva

O CONCEITO DE RETA TANGENTE NA OBRA PEDAGÓGICA DE SEBASTIÃO E SILVA Catarina Mota Universidade do Minho [email protected] Maria Elfrida Ralha Departamento de Matemática e Aplicações — Universidade do Minho [email protected] Maria Fernanda Estrada Universidade do Minho [email protected] Resumo: As alterações políticas ocorridas no século XX Português tiveram reflexo direto no sistema educacional e no ensino da Matemática. Sob alçada do ministro Francisco Leite Pinto é estabelecido, em 1959, um protocolo de cooperação com a OCDE, o Projeto Regional do Mediterrâneo, que tem como um dos objetivos uma reestruturação do ensino Português, pretendendo dotar o país de pessoas com o conhecimento científico e técnico capazes de desenvolverem a economia nacional. O ensino da matemática é assim reformado, tendo José Sebastião e Silva um papel fundamental nesta reforma ao liderar, no triénio 1964–1966 a equipa responsável pelas alterações curriculares. Nesta comunicação analisaremos o pensamento pedagógico de Sebastião e Silva a partir do tratamento dado ao conceito de reta tangente a uma curva nas suas obras pedagógicas, dando particular relevo a três aspetos: a introdução do conceito; os exemplos/exercícios propostos; a utilização da história da matemática no ensino. Abstract: The political changes that took place in Portuguese 20th century had direct impact in the educational system and in Mathematics teaching. Under the responsibility of the minister Francisco Leite Pinto it’s established, in 1959, a cooperation protocol with OCDE, the Mediterranean Regional Project, that had as one of the goals reform the Portuguese educational system, Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CMAT através do FCT Project Est-C/MAT/UI0013/2011 e pela Bolsa de Doutoramento da FCT com a referência SFRH/BD/63176/2009. Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 414 SEBASTIÃO E SILVA E O CONCEITO DE RETA TANGENTE aiming provide the country with people with scientific and technical knowledge able to develop the national economy. Theteachingofmathematicsis,therefore, reformedhavingJoséSebastiãoe Silva a fundamental role in this reform leading, in the years 1964–1966 the team responsible by the curricular changes. Inthis paper wewill analyzethe pedagogicalideals ofSebastiãoe Silvafrom the treatment given to the concept of tangent line to a curve in his pedagogical works, emphasising three aspects: the concept introduction; the examples/exercises proposed; the use of history of mathematics in teaching. 1 Introdução JoséSebastiãoeSilva(1914–1972)foiumdosmatemáticosepedagogosquemais se distinguiu no século XX Português. Do seu trabalho científico destacam-se os cerca de 50 artigos publicados em revistas nacionais e internacionais, na área da Lógica, Análise Funcional e Teoria das Distribuições. A importância destes artigos é de tal forma relevante que os atualmente denominados “Espaços Silva” são assim conhecidos em honra do trabalho desenvolvido pelo matemático português nesta área. Contudo, nos dias de hoje, José Sebastião e Silva é essencialmente relembrado pelo seu trabalho enquanto professor e pedagogo. Exerceu o cargo de professor no Instituto Superior de Agronomia e na Faculdade de Ciências de Lisboa, embora o seu maior contributo para o ensino da Matemática se deva ao papel que desempenhou na reforma do ensino liceal português na década de 60 do século XX. Aquando da assinatura do Projeto Regional do Mediterrâneo, projeto assinado entre Portugal e a OCDE e outros países do sul da Europa, para a melhoria do ensino nestes estados, uma das alterações efetuadas foi uma reforma curricular ao nível do Ensino da Matemática. No triénio 1964–1966 José Sebastião e Silva fez parte da equipa responsável por esta reforma. Neste âmbito, como nota Matos (2009), publicou manuais escolares, elaborou guias de utilização dos manuais publicados, organizou formação para os professores de matemática e, com as opções curriculares tomadas, contribuiu de forma direta para a introdução da matemática moderna em Portugal. Autor de uma vasta obra pedagógica, constituída não só pelos manuais para o ensino secundário mas também por apontamentos para o ensino superior e artigos publicados em revistas, assim como a disseminação dos seus ideais através das ações de formação que deu em Oeiras, Sebastião e Silva diActas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 CATARINA MOTA,M. ELFRIDA RALHA eM. FERNANDA ESTRADA 415 fundiu nessa sua obra os seus ideais pedagógicos e contribuiu para a formação de uma nova geração de matemáticos e de professores de matemática. Uma das características de Sebastião e Silva era o rigor com que tratava os conceitos e as definições. Um dos conceitos que mais problemas levanta no seu ensino/aprendizagem é o conceito de reta tangente a uma curva. A importância de uma completa compreensão dos conceitos e das definições tem sido amplamente estudada, sendo o caso da reta tangente um dos mais abordados. Vinner (2002, p. 75–76) e Tall (1990, p. 57) mostram nos seus trabalhos os problemas que surgem no ensino do conceito de reta tangente a uma curva e as consequências que daí podem advir, chamando à atenção que apenas um ensino completo deste conceito poderá evitar os problemas já diagnosticados. Neste trabalho analisaremos, na sua obra pedagógica, a forma como Sebastião e Silva lida com um conceito elementar (tendo em conta a sua precoce introdução no ensino da matemática) mas que muitas vezes é de difícil aprendizagem. A metodologia seguida nesta análise segue o modelo sugerido por Sierra et al. (2003) e consiste em analisar a obra como um todo (título, ano de edição, destinatários e conteúdos) seguido de uma análise do conteúdo no livro em causa através do modo de introdução do conceito, representações do conceito, sequência do ensino e tipo de exercícios e problemas. 2 A Obra Pedagógica de Sebastião e Silva A obra pedagógica de Sebastião e Silva é vasta e multifacetada. Desde os manuais escolares, aos apontamentos para o ensino superior, a artigos de opinião sobre as diferentes metodologias de ensino ou a utilização da calculadora, durante toda a sua vida Sebastião e Silva debruçou-se de forma séria sobre o ensino e deu a conhecer as suas ideias e ideais. Nasdiferentesobras/artigospublicadosSebastiãoeSilvaabordaoconceito de reta tangente em três delas: Transformações Geométricas, para o ensino superior; Compêndio de Álgebra, e Geometria Analítica e Plana para o ensino secundário. 2.1 Transformações Geométricas A obra Transformações Geométricas, é uma edição, datada de 1950, da Associação de Estudantes da Faculdade de Ciências de Lisboa e foi escrita para os alunos da disciplina de Geometria Descritiva que Sebastião e Silva lecionava nessa altura na Faculdade de Ciências de Lisboa. Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 416 SEBASTIÃO E SILVA E O CONCEITO DE RETA TANGENTE Esteencontra-seatualmentepublicada noprimeirovolumedosseus textos didáticos e ocupa, nessa edição (Silva, 1999, I, p. 187–300), 108 páginas seguidas de um índice de duas páginas. É composta por 26 capítulos, 1 apêndice e referências bibliográficas e aborda temas de geometria projetiva e diferencial. O conceito de reta tangente é abordado em três capítulos distintos: no 14.º capítulo, aquando do estudo das secções cónicas; no 26.ºcapítulo, aquando da introdução da geometria diferencial; e no 27.ºcapítulo, no estudo da relação entre o conceito de tangente e de assíntota. 2.2 Geometria Analítica e Plana Geometria Analítica e Plana, obra publicada em 1956, foi o livro único do 7.º ano do liceu1nos concursos do Ministério da Educação Nacional de 1957, 1962 e 1967. Este livro de 138 páginas inicia com uma pequena introdução, onde é feita a distinção entre a Geometria e a Análise, é explicado o significado da geometria analítica e as circunstâncias que levaram ao surgimento deste novo ramo da geometria. A matemática compreende dois ramos principais: a análise, que trata dos números e das relações entre números (expressa por equações, inequações, etc.), e a geometria, que estuda as propriedades relativas a pontos e a conjuntos de pontos (lugares geométricos). (...) A ideia básica deste método [geometria analítica] — simples como todasas ideias realmentefecundas —consiste em definir a posição de cada ponto por meio dum sistema de números (dois números, em geometria plana, e três, em geometria do espaço), o que permite traduzir integralmente a linguagem da geometria na linguagem precisa e maleável da análise: as figuras geométricas passam então a ser descritas por meio de equações e inequações; os problemas da geometria transformam-se em problemas de álgebra ou de cálculo infinitesimal; os teoremas da geometria tornam-se demonstráveis por meio da análise. (Silva, 1970, p. 5). Logo após a introdução, surgem as notas históricas, uma das característicasmaismarcantesdasobrasdeSebastiãoeSilvaeque mostramaimportância 1O 7.ºano do ensinoliceal corresponde ao atual 11.ºano de escolaridade do sistema de ensino português. Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 CATARINA MOTA,M. ELFRIDA RALHA eM. FERNANDA ESTRADA 417 por ele atribuída a este ramo da matemática. Nestas notas históricas Sebastião e Silva apresenta uma breve biografia de René Descartes e Pierre de Fermat, os matemáticos que Sebastião e Silva considera como os fundadores da Geometria Analítica. Estas referências históricas são complementadas com indicações bibliográficas que permitem aos interessados (professores e/ou alunos) aprofundarem a história da matemática. No que se refere aos conteúdos da obra estes encontram-se divididos em 4 capítulos: 1. Pontos e números; 2. Lugares Geométricos e equações; 3. Estudo geral da reta; 4. Estudo elementar das cónicas. Os diferentes capítulos encontram-se estruturados com a apresentação da teoria, seguida de exemplos. No final do capítulo encontram-se os exercícios e respetivas soluções. O conceito de reta tangente nesta obra é abordado no último capítulo aquando do estudo da circunferência. 2.3 Compêndio de Álgebra AobraCompêndio deÁlgebra, escrita emcolaboraçãocom J.D.Silva Paulo, tem a primeira edição datada de 1956 e foi o livro único nos concursos do Ministério da Educação Nacional de 1958, 1963 e 1968 para o ensino liceal. Utilizado até, pelo menos, aos anos de 1973 e 1974 é composto por 2 tomos: o primeiro para o 6.ºano2e o segundo para o 7.ºano do liceu. O primeiro volume, composto por 312 páginas, encontra-se dividido em 10 capítulos abordando as seguintes temáticas: conceito de número (números naturais, racionais, reais e complexos); funções reais de variável real; limites de sucessões e de funções; cálculo diferencial; polinómios e frações algébricas. O segundo volume, composto por 283 páginas, contém 13 capítulos cujas temáticas são: análise combinatória; binómio de Newton; resolução de equações e inequações; resolução de problemas por meio de equações; função exponencial e logarítmica; propriedades e tábuas de logaritmos. A estrutura destes dois volumes é semelhante à da Geometria Analítica Plana: exposição dos conceitos teóricos e exemplos e no final do capítulo são 2O 6.ºano do ensino licealcorresponde ao atual 10.ºano de escolaridade do sistema de ensino português. Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 418 SEBASTIÃO E SILVA E O CONCEITO DE RETA TANGENTE apresentados os exercícios de consolidação e as respetivas soluções. A diferença centra-se com a introdução, no final de vários capítulos, de notas históricas. No Compêndio de Álgebra o conceito de reta tangente a uma curva é estudado no 1.ºvolume, aquando da introdução ao cálculo diferencial. 3 O conceito de reta tangente José Sebastião e Silva trata o conceito de reta tangente abordando-o de duas formas distintas: o conceito de reta tangente à circunferência e o conceito de reta tangente a uma curva geral. A separação deste estudo deve-se às propriedades particulares que a reta tangente à circunferência apresenta, e que não podem ser generalizadas para outras curvas. É também notória a diferença entre o tratamento dado ao conceito nas obras dedicadas ao ensino liceal e ao ensino superior, decorrentes das diferenças de conteúdos a lecionar. Analisemos em pormenor estes estudos. 3.1 O conceito de reta tangente no Compêndio de Álgebra O conceitode reta tangente surge, no Compêndiode Álgebra, associadoao conceito de declive de uma curva na introdução ao Cálculo Diferencial. O declive de uma curva é apresentado nos seguintes moldes: Dados uma curva C, um ponto P0da curva e Pum ponto móvel sobre a curva, o limite d0=limx→x0 f(x)−f(x0) x−x0 dá-nos o declive da curva Cno ponto P0(Silva, 1963, p. 217–218). No sentido de ajudar a clarificar o conceito o autor apresenta uma figura elucidativa (Silva, 1963, p. 217). Note-se que, na figura, a ideia do movimento se encontra presente, e é representado por setas que indicam as diferentes direções do movimento de aproximação dos dois pontos, e consequente movimento das retas secantes que se aproximam de uma posição fixa — a reta tangente. Inicialmente a reta tangente é introduzida nos seguintes termos: A retat, que passa por P0e tem declive d0, diz-se tangente à curva no ponto P0(Silva, 1963, p. 217–218). Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 CATARINA MOTA,M. ELFRIDA RALHA eM. FERNANDA ESTRADA 419 Figura 1: Ilustração do conceito de declive de uma curva. Contudo, a ideia transmitida pela representação gráfica do declive de uma curva é utilizada para apresentar uma definição alternativa de reta tangente a uma curva num ponto, definição que ainda hoje é a utilizada em vários manuais do ensino secundário. Quando um ponto móvel Ptende para o ponto fixo P0, a secante P0Ptende para uma posição limite t, que é a tangente à curva no ponto P0(Silva, 1963, p. 218). Sebastião e Silva dedica-se, em seguida, à análise da existência (ou não) de retas tangentes verticais. Quando, nesta obra, definiu declive de uma reta (Silva, 1963, p. 217) Sebastião e Silva considerou que as retas verticais tinham declive infinito (1963, p. 217), pelo que neste ponto também considera, de forma análoga, que uma curva genérica pode ter declive infinito. Contudo, impõe uma condição para a existência de reta tangente nesse ponto: Se aquele limite d0for ∞, diremos que o declive da curva em P0 é infinito. Mas só quando o sinal deste for determinado se pode então falar de «tangente à curva em P0» (Silva, 1963, p. 218). Com este resultado Sebastião e Silva restringe a existência de retas tangentes verticais aos casos em que os limites laterais do declive da curva têm como resultado infinito com o mesmo sinal. Com esta distinção é possível a existência de retas tangentes verticais, por exemplo em pontos de inflexão de algumas curvas, mas não se consideram como retas tangentes as retas verticais que podem surgir como limites das secantes em pontos angulosos de certas curvas. Depois de estabelecer a relação entre o conceito de reta tangente a uma curvanumponto eo conceito dedeclive dacurva nesseponto, Sebastião eSilva Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 420 SEBASTIÃO E SILVA E O CONCEITO DE RETA TANGENTE relaciona a reta tangente com a derivada no ponto de tangência da função que define acurva, estabelecendo umarelação direta entre um problema deanálise e um problema de geometria. A derivada da função f(x)emx0é o declive do gráfico dessa função no ponto de abcissa x0. Comoo declivede umacurvanum ponto é, pordefinição, o declive da tangente à curva nesse ponto, o cálculo da derivada traduz, em análise, o problema geométricoda determinaçãoda tangente (Silva, 1963, p. 221). Ao contrário do que seria de esperar não existe qualquer exemplo ou exercício relativo à determinação da equação da reta tangente ao gráfico de uma função por um dado ponto, embora em vários gráficos apareçam traçadas retas tangentes para facilitar a compreensão da relação existente entre o sinal da derivada e a monotonia da função, ou o sinal da segunda derivada e a concavidade da função. Este facto pode dever-se à não referência no programa (Decreto n.º39807 de 7 de setembro de 1954 do Ministério da Educação Nacional) ao estudo do conceito de reta tangente pelo que Sebastião e Silva terá optado por não aprofundar esse estudo com a inclusão de exercícios sobre este tema. O capítulo termina com notas históricas sobre o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral, em particular biografias de Newton e de Leibniz, não sendo contudo referida a questão da determinação das retas tangentes a curvas, problemas que os dois matemáticos trataram. Sebastião e Silva abordará a determinação da reta tangente a uma curva na sua Geometria Analítica Plana. 3.2 O conceito de reta tangente na Geometria Analítica Plana Na Geometria Analítica Plana Sebastião e Silva estuda diversas propriedades geométricas recorrendo a equações, nos moldes tradicionais da geometria analítica. No último capítulo, intitulado “Estudo Elementar das Cónicas”, estuda as propriedades das cónicas enquanto lugares geométricos definidos por equações do 2.ºgrau; estuda então o conceito de reta tangente à circunferência, apresentando no subcapítulo 46, a resolução de problemas relativos a tangentes. Após oestudo dealgumas propriedades dacircunferência, Sebastiãoe Silva dedica-se à determinação da interseção de uma reta com uma circunferência e é neste contexto que apresenta a sua definição de reta tangente. Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 CATARINA MOTA,M. ELFRIDA RALHA eM. FERNANDA ESTRADA 421 Começa por fazer notar que, dado uma reta poder ser representável por uma equação de 1.ºgrau emxeyenquanto uma circunferência é representável por uma equação de 2.ºgrau emxey, determinar a interseção de uma reta com uma circunferência se reduz à resolução de um sistema de duas equações em xe em y, o que originará a resolução de uma equação do 2.ºgrau com uma só incógnita. Assim, é possível dizer que o problema da interseção de uma reta com uma circunferência se reduz à resolução de uma equação de 2.ºgrau, de coeficientes reais, numa incógnita. Sebastião e Silva analisa então as diferentes soluções desta equação, e nesse contexto define reta tangente nos seguintes termos: Comose sabe,uma equaçãodo2.ºgrau, decoeficientes reais, numa incógnita, pode ter duas raízes reais (distintas), uma só raiz real (dupla) ou duas raízes imaginárias. Assim, no 1.ºcaso, a interseção será formada por dois pontos distintos (a reta é secante); no 2.º caso, a interseção será formada de um único ponto (a reta é tangente); no 3.ºcaso, a interseção será vazia (a reta não encontra a circunferência). (Silva, 1970, p. 107). A caracterização da reta tangente como a reta que tem um único ponto em comum com a circunferência, embora conhecida desde Euclides, tornou-se generalizada com a introdução da geometria analítica por Descartes e é ainda hoje a definição apresentada em diversos livros de texto aos alunos aquando da lecionação do conceito de reta tangente à circunferência. Seguem-se três exemplos que visam representar as três situações definidas anteriormente. No subcapítulo seguinte, Sebastião e Silva debruça-se sobre problemas relativos a tangentes à circunferência dividindo-os em dois tipos, que designa de espécies: Problemas de 1.ªespécie: é dada uma circunferência e pede-se uma reta que seja tangente à circunferência, em dadas condições. Problemas de 2.ªespécie: é dada uma reta e pede-se uma circunferência que seja tangente à reta, em dadas condições. (Silva, 1970, p. 108) Estes problemas são aprofundados com a apresentação de vários exemplos ilustrativos de cada uma das espécies de problemas. Relativamente aos problemas da 1.ªespécie, são apresentados dois exemplos: o primeiro consiste na determinação da reta tangente a uma circunferência por um ponto da circunferência; o segundo consiste na determinação da equação da reta tangente a uma circunferência por um ponto exterior à circunferência. Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 428 SEBASTIÃO E SILVA E O CONCEITO DE RETA TANGENTE Figura 5: Reta tangente a uma curva num ponto de inflexão. Figura 6: Representação de um ponto anguloso. •Admite duas semitangentes coincidentes (ponto de regressão) (fig. 7); (Silva, 1999, p. 280) Figura 7: Representação de um ponto de regressão. •Mé um extremo de Ccom uma semitangente (ponto de suspensão) (fig. 8); (Silva, 1999, p. 280) •Não admite semitangente (fig. 9). (Silva, 1999, p. 280) A análise de todos estes casos permite que os leitores/alunos concebam uma imagem mental do conceito de reta tangente completo e não estereotipado, eliminando dúvidas e esclarecendo possíveis conflitos mentais entre a definição formal e a sua representação. Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 CATARINA MOTA,M. ELFRIDA RALHA eM. FERNANDA ESTRADA 429 Figura 8: Representação de um ponto de suspensão. Figura 9: Representação de um ponto que não admite semitangentes. De salientar também a referência por Sebastião e Silva a curvas que não admitem reta tangente em qualquer dos seus pontos, como é o caso da curva representativadafunçãodeWeierstrass,oquemaisumavezcontribuiparaque o conceito de reta tangente seja completamente entendido e os casos contra- -intuitivos sejam tidos em conta e não ignorados. Neste seguimento é também abordado o caso das retas tangentes a pontos múltiplos. Se um ponto Mé ponto múltiplo deCnão faz sentido falar de tangente, mas algumas partes podem admitir tangentes cujo nome se estende. (Silva, 1999, p. 281) Figura 10: Representação das retas tangentes num ponto múltiplo. O estudo do conceito de reta tangente é terminado com a análise do carácter projetivo deste conceito: se a reta ré tangente à linha Ce não passa pelo centro de projeção Oentão a imagem de rserá tangente à imagem de Cpela projeção de centroO. Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 430 SEBASTIÃO E SILVA E O CONCEITO DE RETA TANGENTE Note-se que este resultado tinha sido já apresentado no caso das homologias, sendo agora reforçado para o caso da projeção. Do estudo do conceito de reta tangente efetuado por Sebastião e Silva nas Transformações Geométricos destaca-se o rigor e o formalismo das definições, embora sempre complementado com uma ideia intuitiva que pretende ajudar a entender o conceito, assim como a importância atribuída à análise de todos os casos, por mais contra-intuitivos que sejam. 4 Notas Finais Sebastião e Silva marcou uma geração de alunos e de professores de matemática. Desde os manuais, aos cursos de formação de formação de profesores assim como na lecionação no ensino superior a sua faceta de pedagogo, sempre interessado no desenvolvimento do ensino/aprendizagem da matemática marcou a forma como em Portugal se encarava e ensinava matemática. No tratamento que Sebastião e Silva deu ao conceito de reta tangente na sua obra pedagógica são visíveis muitos dos ensinamentos que ainda hoje os professores devem ter em conta aquando da introdução de um novo conceito. A importância do currículo: Ao apresentar alguns exercícios e problemas como facultativos, assim como ao não aprofundar o conceito de reta tangente no Compêndio de Álgebra, Sebastião e Silva mostra-nos um profundo conhecimento do currículo que tem para lecionar. Atualmente, os livros de texto substituem muitas vezes o currículo pelo que, o cuidado e a atenção dedicadas por Sebastião e Silva ao currículo devem ser uma lembrança para os professores atuais de que um efetivo conhecimento do currículo é essencial no processo de ensino/aprendizagem; As definições: Sebastião e Silva adequa a definição de reta tangente que apresenta nas diferentes obras ao ramo da matemática que se encontra a apresentar, assim como ao nível de ensino para o qual a obra se destina. Contudo, saliente-se também a constante interligação entre as diferentes formas de definir o mesmo conceito, numa tentativa de garantir que os seus leitores/alunos entendam que se trata do mesmo conceito e que as propriedades já estudadas não deixam de se verificar apenas por uma alteração de linguagem ou de formalização; Os exemplos/exercícios: A escolha de exemplos e exercícios que permitem, por umlado aconsolidação deconceitos eprocedimentos, por outrolado, a interligação de diferentes conceitos e ainda a exploração de todas as possibilidades, eexemplos menosusuais mostram aimportância queSebastiãoe Silva atribuíu à necessidade de um ensino rigoroso, onde tudo fosse feito para que Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 CATARINA MOTA,M. ELFRIDA RALHA eM. FERNANDA ESTRADA 431 os leitores/alunos desenvolvessem imagens mentais completas dos diferentes conceitos/conteúdos e se habituassem a investigações exaustivas. A História da Matemática: A inclusão de biografias nas suas obras para o ensino liceal seguiam uma indicação direta do programa em vigor. Realce- -se contudo, a escolha dos matemáticos apresentados por Sebastião e Silva nas suas notas históricas assim como a bibliografia que completa algumas destas notas. Com informações detalhadas não só da vida mas da obra de matemáticos como Descartes, Fermat, Newton ou Leibniz, Sebastião e Silva permite que os seus leitores,em caso de interesse, possam complementar e aprofundar de forma rigorosa os conteúdos abordados. Face a estes ensinamentos, e no ano em que se celebra o centenário do nascimento de José Sebastião e Silva, resta-nos desejar que os ensinamentos deixados por este brilhante matemático e pedagogo sejam cada vez mais divulgados e tornados prática corrente nas salas de aula dos dias de hoje. Referências Decreto n.º39807de7desetembrode1954 doMinistériodaEducaçãoNacional. Diário do governo. I Série. N.º198. Matos, J. M. (2009). Changing representations and practices in school mathematics: the case of Modern Math in Portugal. Em K. Bjarnadóttir, F. Furinguetti e G. Schubring (Eds.), “Dig where you stand” Proceedings of a Conference on Ongoing Research in the History of Mathematics Education, Gardabær, Iceland, June 20–24 2009. Reikyavik: Universidade da Islândia. Sierra Vázquez, M.; González Astudillo, M. T.; López Esteban, C. (2003). El concepto de continuidad en los manuales españoles de enseñanza secundaria de la segunda mitad del siglo XX. Educación Matemática, vol. 15, núm. 1, abril, 2003, p. 21–49 Silva, J. S. (1963). Compêndio de Álgebra. 1.ºTomo. Lisboa. Livraria Popular de Francisco Franco. Silva, J. S. (1970). Geometria Analítica Plana. Lisboa. Empresa Literária Fluminense, L.DA. Silva, J. S. (1950/1999). Transformações Geométricas. In: Textos Didácticos. Vol. I. Lisboa. Fundação Calouste Gulbenkian. Tall, D. (1990). Inconsistencies in the Learning of Calculus and Analysis. In: Focus, vol. 12, 3&4, 49–63. Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432 432 SEBASTIÃO E SILVA E O CONCEITO DE RETA TANGENTE Vinner, S. (2002). The Role of definitions in the teaching and learning of mathematics. In David Tall (Ed). Advanced Mathematical Thinking. 65–81. New York. Kluwer Academic Publishers. Actas/Anais do 7.ºEncontro Luso-Brasileiro de História da Matemática, I, 413–432