Estrategias de combinación y transferencia de modelos de amplificador de potencia basados en series de Volterra

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías de Telecomunicación Estrategias de combinación y transferencia de modelos de amplificador de potencia basados en series de Volterra Autor: Sergi Muñoz Aguiló Tutor: Juan Antonio Becerra González y María José Madero Ayora Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2025 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías de Telecomunicación Estrategias de combinación y transferencia de modelos de amplificador de potencia basados en series de Volterra Autor: Sergi Muñoz Aguiló Tutores: Juan Antonio Becerra González Profesor Titular de Universidad María José Madero Ayora Profesora Titular de Universidad Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2025 Trabajo Fin de Grado: Estrategias de combinación y transferencia de modelos de amplificador de potencia basados en series de Volterra Autor: Sergi Muñoz Aguiló Tutor: Juan Antonio Becerra González y María José Madero Ayora El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: Agradecimientos E n primer lugar, quiero expresar mi más sincero agradecimiento a mis tutores, Juan Antonio Becerra y María José Madero. Su paciencia, dedicación y constante disposición para ayudar han sido fundamentales para la realización de este trabajo. Desde el primer día me han acompañado tanto en lo académico como en lo personal, brindándome su apoyo y motivación en cada etapa del proceso. Asimismo, agradezco a la Universidad y a todo el profesorado por ofrecerme la oportunidad de formarme en el ámbito de las telecomunicaciones, así como por su cercanía y disposición para resolver mis dudas siempre que lo he necesitado. Por último, y no por ello menos importante, a mis padres: gracias por vuestro apoyo incondicional, por estar siempre a mi lado en los momentos buenos y en los difíciles, y por permitirme estudiar lo que deseaba y donde lo deseaba. Sin vosotros, nada de esto habría sido posible. Sergi Muñoz Aguiló Sevilla, 2025 I Resumen E ste trabajo presenta el desarrollo y la evaluación de técnicas avanzadas de predistorsión digital (DPD) para la linealización de amplificadores de potencia en sistemas de comunicaciones 5G. El enfoque parte de un modelo clásico con memoria, cuyos coeficientes se estiman mediante aprendizaje indirecto, y explora distintas estrategias de combinación y mapeo de parámetros y adaptación de modelos a escenarios no contemplados durante el entrenamiento. Entre las técnicas desarrolladas, el método de Combinación de Parámetros Base (BPC) permite expresar nuevos coeficientes como combinaciones lineales de otros previamente estimados, facilitando la generalización ante distintas condiciones operativas y proporcionando un espacio común de parámetros. Además, se propone una Estrategia de Transferencia Dinámica (DTS) que actualiza de forma incremental la base de coeficientes con nuevos componentes extraídos directamente de cada escenario, ampliando la capacidad de modelado sin necesidad de reentrenar por completo. Finalmente, se introduce la Técnica de Mapeo de Características (FMT), que permite coordinar los espacios de características correspondientes a diferentes estructuras del modelo DPD, facilitando así la adaptación estructural del modelo al escenario concreto. III XÍndice 4.3 Estrategia de Transferencia Dinámica (DTS) 27 5 Diseño experimental y resultados 29 5.1 Señales utilizadas y condiciones de simulación 29 5.2 Aplicación de FMT-BPC 30 5.2.1 Distorsión no lineal: compresión de ganancia y variación de fase 31 5.2.2 Error de modelado: NMSE de linealización 33 5.2.3 Rendimiento espectral: ACPR 34 5.2.4 EVM y dispersión de las constelaciones 36 5.2.5 Condicionamiento del modelo: análisis de la matriz de autocorrelación 39 5.3 Aplicación de DTS-BPC 39 5.3.1 Evaluación del método DTS-BPC con preentrenamiento a potencias altas 40 5.3.2 Evaluación del método DTS-BPC con preentrenamiento a potencias bajas 41 6 Conclusiones y líneas futuras 43 Apéndice A Código de MATLAB®empleado en el trabajo 45 Índice de Figuras 59 Índice de Tablas 61 Índice de Códigos 63 Bibliografía 65 Notación RCuerpo de los números reales CCuerpo de los números complejos ∥v∥Norma del vector v ∥A∥rNorma de orden rde la matriz A A−1Inversa de la matriz A A†Matriz pseudoinversa de la matriz A AHTranspuesto y conjugado de A sen Función seno cos Función coseno sennxFunción seno de xelevado a n cosnxFunción coseno de xelevado a n δ(t)Función Delta de Dirac F→Aplicación de la Transformada de Fourier dy dx Derivada de yrespecto de x n!Factorial de n IM×MMatriz identidad de dimensión M 0M×LMatriz de ceros de dimensión M×L diag(A)Vector diagonal de la matriz A ∥x∥Norma-2 del vector x xi,i=1,2,...,nElementos i, de 1an, del vector x ≤Menor o igual ≥Mayor o igual ≫Mucho mayor que ≈Aproximadamente igual E[x]Esperanza matemática de x RxMatriz de correlación de x ˆxValor estimado de x tr[A]Traza de la matriz A A←BAsignación A⊗BProducto tensor Kronecker de las matrices AyB Col(A)Espacio columna de la matriz A PXOperación de proyección sobre el conjunto X ∅Conjunto vacío i/∈S i no pertenece a S A∪BUnión de los conjuntos AyB XI Acrónimos ACPR Adjacent Channel Power Ratio AM–AM Amplitude Modulation to Amplitude Modulation AM–PM Amplitude Modulation to Phase Modulation BIC Bayesian Information Criterion BPC Base Parameter Combination DLA Direct Learning Architecture DOMP Doubly Orthogonal Matching Pursuit DPD Digital Predistortion DTS Dynamic Transfer Strategy EVM Error Vector Magnitude FMT Feature Mapping Technique GMP Generalized Memory Polynomial ILA Indirect Learning Architecture LTI Linear Time-Invariant ML Memoryless MP Memory Polynomial NMSE Normalized Mean Square Error OMP Orthogonal Matching Pursuit PA Power Amplifier PCA Principal Component Analysis RSS Residual Sum of Squares SNR Signal-to-Noise Ratio XIII 1 Introducción Today’s science is tomorrow’s technology. Edward Teller, 1962 D esde las primeras señales de humo, la necesidad de transmitir información a distancia ha sido un motor fundamental del progreso técnico. En el ámbito de las telecomunicaciones, esta necesidad se ha materializado en una sucesión de avances que han permitido no solo una mejora en la capacidad y velocidad de transmisión, sino también una mayor fiabilidad y cobertura. En este contexto, las redes móviles han evolucionado rápidamente, pasando de servicios centrados en la voz a arquitecturas pensadas para soportar grandes volúmenes de datos. En la actualidad, el 5G representa un punto de inflexión al integrar servicios con requisitos heterogéneos como el uso masivo del Internet de las Cosas (mMTC), aplicaciones críticas con latencias extremadamente bajas (URLLC) o conexiones de alta velocidad y consumo intensivo de datos como el vídeo en streaming (eMBB). Esta evolución implica un notable aumento en el ancho de banda ocupado y, en consecuencia, una mayor exigencia sobre los elementos del transmisor. En particular, el amplificador de potencia (PA) se convierte en un bloque crítico, no solo por su función de elevar la potencia de la señal antes de la transmisión, sino por las limitaciones que impone su comportamiento no lineal. Operar el PA en regiones cercanas a la saturación es una práctica común cuando se persigue la máxima eficiencia energética, ya que en este régimen el dispositivo entrega más potencia útil por unidad de corriente consumida. No obstante, operar en esa zona implica un aumento considerable de las no linealidades, lo que da lugar a distorsiones severas. Estas incluyen compresión de ganancia (AM–AM), desplazamiento de fase (AM–PM) y un notable recrecimiento espectral (spectral regrowth) que compromete el cumplimiento de las máscaras espectrales. La situación se agrava si se considera que las señales empleadas en 5G, típicamente moduladas mediante esquemas como OFDM, presentan un alto PAPR (Peak-to-Average Power Ratio), es decir, una gran variabilidad en su envolvente, lo que obliga al amplificador a trabajar en condiciones no óptimas durante gran parte del tiempo, es decir, lejos del punto de máxima eficiencia energética del PA. Para evitar la distorsión, se podría aumentar el margen de back-off, pero esto penaliza gravemente la eficiencia, lo que resulta inaceptable en sistemas modernos donde el consumo energético es un factor clave. Frente a este compromiso entre eficiencia y linealidad, la predistorsión digital (DPD) se presenta como una técnica clave para mitigar las no linealidades introducidas por el PA. Esta consiste en aplicar una transformación digital sobre la señal de entrada, diseñada para contrarrestar los efectos no lineales y de memoria del amplificador. Para ello, es necesario modelar con precisión el comportamiento del sistema, lo cual suele abordarse mediante series de Volterra y sus variantes estructuradas, como los modelos MP o GMP. Estas configuraciones ofrecen una base flexible y eficaz para capturar la dinámica del PA, aunque su complejidad puede convertirse en un obstáculo cuando se pretende extender la predistorsión a entornos reales con escenarios cambiantes. Con el objetivo de afrontar estos desafíos, este trabajo tiene como objetivo principal el análisis y aplicación de estrategias que mejoran la eficiencia y adaptabilidad de los modelos de DPD ante condiciones operativas variables. En particular, se estudian tres enfoques: Base Parameter Combination (BPC), Feature Mapping Technique (FMT) y Dynamic Transfer Strategy (DTS). Estas técnicas permiten reducir el coste computacional tanto del preentrenamiento como de la fase de adaptación, ajustar la complejidad del modelo a las exigencias del entorno y mejorar su capacidad de adaptación ante cambios en el comportamiento del amplificador. 1 2Capítulo 1. Introducción Para guiar al lector a través de esta propuesta, el presente documento se organiza del siguiente modo. El Capítulo 2 introduce los fundamentos teóricos de la no linealidad en los amplificadores de potencia y presenta las métricas utilizadas para su evaluación. El Capítulo 3 desarrolla el modelado basado en series de Volterra y describe, dentro del mismo, los principios de la predistorsión digital y las arquitecturas más habituales. El Capítulo 4 se centra en el estudio de las estrategias BPC, FMT y DTS, mientras que el Capítulo 5 presenta el análisis experimental de la implementación de dichas técnicas. Finalmente, el Capítulo 6 recoge las conclusiones del trabajo y plantea posibles líneas de investigación futura. Con esta introducción se pretende situar el problema y poner de relieve la relevancia de las técnicas que se desarrollarán a lo largo de esta memoria, cuyo objetivo último es demostrar que la predistorsión digital, apoyada en metodologías de combinación y transferencia de parámetros, constituye una vía efectiva para conciliar los exigentes requisitos de 5G con la realidad física de los amplificadores de potencia modernos. 2 La distorsión no lineal en amplificadores de potencia Scientific discovery consists in the interpretation for our own convenience of a system of existence which has been made with no eye to our convenience at all. Norbert Wiener, 1950 D entro del ámbito de las telecomunicaciones, el término sistema engloba a cualquier elemento, desde un filtro pasivo hasta un amplificador o el propio canal de propagación, cuya función es transformar una señal de entrada x(t) en otra de salida y(t) mediante una operación que denotaremos T{·} . Así, la relación entrada-salida puede expresarse formalmente como y(t) = Tx(t),x(t)T −→ y(t). Figura 2.1 Relación entrada-salida de un sistema. Esta abstracción se representa frecuentemente mediante una caja negra y nos permite el análisis de la implementación física. Al caracterizar el bloque mediante T{·} disponemos de potentes herramientas matemáticas altamente populares y eficientes, como la respuesta al impulso h(t) en el dominio temporal y la función de transferencia H(f)en el dominio frecuencial. 2.1 Sistemas lineales e invariantes en el tiempo Un sistema se considera lineal si satisface el principio de superposición. Sean x1(t),...,xN(t) entradas con sus correspondientes salidas y1(t),...,yN(t), se cumple el principio de superposición si y solo si N ∑ n=1 αnxn(t)−→ N ∑ n=1 αnyn(t),(2.1) donde αn∈C(n=1,...,N) . Es decir, un sistema es lineal si, al aplicar una combinación lineal de señales a la entrada, esto es, un conjunto de señales multiplicadas por ciertos coeficientes, la salida corresponde a la misma combinación lineal de las salidas individuales, utilizando los mismos coeficientes que se aplicaron a cada una de las entradas. Por otro lado, un sistema es invariante en el tiempo si, al retrasar la entrada en t0 , la salida sufre el mismo retraso: x(t−t0)−→ y(t−t0) Figura 2.2 Sistema invariante en el tiempo. 3 4Capítulo 2. La distorsión no lineal en amplificadores de potencia Los sistemas que cumplen ambas propiedades se denominan sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI) y la caracterización del sistema viene dada por su respuesta impulsiva h(t) , que se define como la salida que produce el sistema cuando a la entrada se le aplica la delta de Dirac, δ(t). δ(t)→Sistema →h(t) Figura 2.3 Respuesta impulsiva de un sistema. De este modo, resultan especialmente interesantes los sistemas LTI debido a que podemos definir la salida del sistema ante una señal genérica x(t)mediante la convolución: x(t)→h(t)→y(t) y(t) = h(t)∗x(t) = Z∞ −∞ h(τ)x(t−τ)dτ Figura 2.4 Salida y(t)obtenida mediante la convolución de h(t)yx(t). 2.2 Amplificador ideal con ganancia pura Un amplificador ideal con ganancia en amplitud gvpuede modelarse mediante h(t) = gvδ(t),(2.2) de modo que la salida del sistema es y(t) = gvx(t).(2.3) Si se analiza la relación entre la potencia de entrada y la potencia de salida, se obtiene Pout =gPin,(2.4) donde se observa una dependencia entre potencias lineal cuya pendiente g representa la ganancia del amplificador, tal y como se ilustra en la Figura 2.5. A pesar de que este tipo de sistemas ideales resulta atractivo por su simplicidad, su comportamiento se aleja del funcionamiento real de los amplificadores, los cuales, como se explicará en las secciones siguientes, presentan tanto una respuesta no lineal como efectos de memoria. 2.3 Amplificador de potencia como sistema no lineal con memoria Un amplificador de potencia real no presenta una razón de proporcionalidad entrada y salida debido a dos factores principales. En primer lugar, destacamos la limitación energética, puesto que el dispositivo solo puede entregar una potencia finita. Por tanto, cuando la señal de entrada supera un cierto umbral, el dispositivo se acerca a sus límites físicos, lo que provoca que la ganancia deje de ser constante y aparezca la compresión. En segundo lugar, existe una dependencia térmica en el funcionamiento del PA, ya que, al estar trabajando cerca del punto de saturación, el dispositivo tiende a calentarse, modificando así sus condiciones de polarización y comportamiento dinámico. Estos dos factores introducen memoria y, al mismo tiempo, rompen la linealidad asumida por el análisis LTI. Una forma concisa de describir este comportamiento consiste en emplear un polinomio con retardos [1] x(t)→SNL →yNL(t) = K ∑ k=1 bkx(t−τk)k Figura 2.6 Sistema no lineal. donde bk cuantifica el peso de cada orden no lineal y τk refleja la profundidad de memoria (memory depth). Cuando se excita un amplificador con este tipo de modelo, la señal de salida no sólo depende de la entrada actual, sino también de copias retardadas y elevadas a distintas potencias. Es decir, aparecen armónicos y 2.3 Amplificador de potencia como sistema no lineal con memoria 5 Figura 2.5 Potencia de salida frente a potencia de entrada para diferentes ganancias del amplificador. productos de intermodulación, que son los responsables del ensanchamiento espectral y de la distorsión de la señal original. Cabe a destacar que, si la amplitud de la señal de entrada fuese suficientemente pequeña, esas potencias presentarían una atenuación muy elevada y podrían ser despreciadas, haciendo que el dispositivo tuviese un comportamiento aproximadamente lineal. El problema reside en que trabajar con amplitudes pequeñas resulta incompatible con el propósito habitual de un PA: entregar la mayor potencia posible al siguiente elemento. Dado que la ganancia del amplificador no siempre va a ser suficientemente elevada, para garantizar un nivel de salida alto, la señal de entrada debe ser también considerable, y, en consecuencia, esos términos polinómicos dejan de ser despreciables. En la práctica se suele emplear una portadora de frecuencia ωc modulada en amplitud ( A(t) ) y/o fase (θ(t)) [2], descrita por x(t) = A(t)cosωct+θ(t).(2.5) Utilizar esta forma senoidal modulada facilita el análisis de los productos no lineales, esto es, armónicos e intermodulación. Al sustituir esta expresión en el polinomio de tercer orden y aplicar identidades trigonométricas, la salida presenta la siguiente forma: yNL(t) = a0+a1A(t)cosωct+θ(t)−φ1 +1 2a2A2(t)h1+cos2ωct+2θ(t)−2φ2i +3 4a3A3(t)cosωct+θ(t)−φ3 +1 4a3A3(t)cos3ωct+3θ(t)−3φ3, (2.6) donde se ha supuesto que los retardos τk son lo suficientemente pequeños como para que A(t) y θ(t) puedan considerarse constantes en el intervalo, permitiendo simplificar el retardo como un desplazamiento de fase mediante φk=ωcτk. En (2.6) , el término de primer orden ( k=1 ) introduce la componente lineal, mientras que los siguientes términos aportan armónicos de orden k≥2 . Lo que se observa es una redistribución espectral de la potencia, donde una parte de la energía que inicialmente se concentraba en la frecuencia fundamental fc pasa a ocupar sus múltiplos enteros k fc , dando lugar a las denominadas frecuencias espurias. La Figura 2.7 ilustra cómo la superposición de estos armónicos deforma la señal de salida del PA. 12 Capítulo 3. Modelado y linealización temporal del sistema. Esta formulación se convierte en una herramienta esencial para el modelado preciso de dispositivos reales con memoria. 3.1.1 Full Volterra: expresión integral Antes de adoptar una notación abreviada mediante sumatorios, conviene mostrar explícitamente los primeros términos de la expansión, destacando así el papel de la memoria en cada orden de no linealidad. Para una señal de entrada x(t), la salida puede escribirse como y(t) = Z∞ −∞ h1(τ1)x(t−τ1)dτ1 +ZZ ∞ −∞ h2(τ1,τ2)x(t−τ1)x(t−τ2)dτ1dτ2 +ZZZ∞ −∞ h3(τ1,τ2,τ3)x(t−τ1)x(t−τ2)x(t−τ3)dτ1dτ2dτ3+... (3.4) Generalizando la expresión anterior, se obtiene la representación funcional compacta [5] y(t) = ∞ ∑ p=1 yp(t),yp(t) = Z∞ −∞...Z∞ −∞ hp(τ1,...,τp) p ∏ k=1 xt−τkdτ1...dτp,(3.5) donde cada núcleo de Volterra hp(τ1,...,τp) , denominados los kernels de la serie, cuantifica la contribución de los términos de orden no lineal p , aplicados sobre combinaciones de muestras retardadas de la entrada x(t−τ1),...,x(t−τp) , combinando así los efectos de no linealidad y memoria. Esta formulación incorpora una gran variedad de combinaciones entre instantes pasados de la señal x(t) , conocidas como regresores, que permiten capturar de forma precisa la dinámica temporal del sistema, la cual queda reflejada explícitamente en las variables de integración τk . Para su implementación numérica, la serie (3.5) se discretiza en tiempo y se trunca a un orden máximo Py una profundidad de memoria Q, dando lugar a y[k]≈ P ∑ p=1 Q ∑ q1=0 Q ∑ q2=0 ... Q ∑ qp=0 hp[q1,...,qp] p ∏ j=1 x[k−qj],(3.6) donde x[k]representa la señal muestreada y hp[·]el kernel discreto. 3.1.2 Extensión a la envolvente compleja de banda base Aunque la serie de Volterra constituye una de las herramientas más directas para representar los efectos no lineales de un sistema real, en comunicaciones digitales resulta más práctico trabajar con la envolvente compleja de la señal. De este modo, la relación entre la señal de entrada x[k] y la salida y[k] se expresa mediante un modelo no lineal en banda base que conserva la información espectral de interés, y cuya formulación discreta puede escribirse, según [6], como y[k] = M ∑ m=0 Q ∑ q1=0··· Q ∑ q2m+1=0 h2m+1[q1,...,q2m+1]m+1 ∏ j=1 x[k−qj]2m+1 ∏ j=m+2 x∗[k−qj],(3.7) donde solo se consideran los términos de orden impar p=2m+1. Las expresiones (3.4) – (3.7) ilustran de forma progresiva la evolución del modelo, desde su forma integral continua hasta la versión discretizada con sumatorios y productos. En conjunto, reflejan cómo la serie de Volterra permite capturar, de manera explícita y estructurada, tanto la no linealidad como la memoria de los sistemas reales. 3.2 Modelado estructurado o casos podados A pesar de que el modelo FV proporciona la descripción más completa de un sistema no lineal con memoria, su aplicación práctica se ve limitada por el gran número de regresores requeridos: el total de coeficientes crece con el orden P y la profundidad de memoria Q , lo cual hace que sea una opción poco atractiva, computacionalmente hablando. Por ello, se proponen distintas estrategias de poda para reducir la complejidad 3.2 Modelado estructurado o casos podados 13 del modelo. Una de ellas es la poda a priori, que consiste en eliminar de antemano aquellos términos considerados prescindibles, basándose en información previa del sistema, con el objetivo de evitar un coste computacional excesivo. Otra estrategia es la poda heurística, que conserva únicamente los términos con mayor relevancia física o estadística, logrando así una reducción significativa de la complejidad sin degradar la precisión del modelo. En los apartados siguientes, nos centraremos en este último tipo de poda. 3.2.1 Memoryless (ML): caso sin memoria El primer caso podado, y el más extremo, se obtiene al anular la profundidad de memoria, es decir, imponer Qn=0para todo orden n. Bajo esta condición, en la ecuación general (3.7) , todos los núcleos quedan evaluados en qp=0 , y las copias desplazadas de la señal se reducen a términos sin retardo: x[k] y x∗[k] . La expresión resultante se escribe como: y[k] = M ∑ m=0 h2m+1(0)m+1 ∏ j=1 x[k]2m+1 ∏ j=m+2 x∗[k],(3.8) donde h2m+1(0) representa el coeficiente efectivo del núcleo del modelo sin memoria para cada orden impar 2m+1. Desarrollando los productos: y[k] = M ∑ m=0 h2m+1(0)x[k]m+1(x∗[k])m,(3.9) y reagrupando los factores en función del módulo: y[k] = M ∑ m=0 h2m+1(0)x[k]·|x[k]|2m.(3.10) Realizando el cambio de variable p=2m+1 , con lo que m=p−1 2 , se puede reescribir la expresión como: yML[k] = P ∑ p=1 pimpar hp(0)x[k]|x[k]|p−1.(3.11) El modelo sin memoria dado por (3.11) se caracteriza por su baja complejidad: el número de coeficientes crece linealmente con el orden no lineal P , frente al crecimiento exponencial que presentaba FV. Por ello, resulta adecuado cuando el amplificador opera con señales de banda estrecha o cuando los efectos dinámicos son despreciables frente a la distorsión puramente estática. 3.2.2 Memory Polynomial (MP) Este modelo podado es una aproximación eficiente para modelar amplificadores de potencia con efectos de memoria, evitando la elevada complejidad asociada al modelo completo de Volterra. Su formulación parte de la suposición de que todos los factores de un término no lineal comparten el mismo retardo, es decir, se reemplaza el vector de retardos [q1,q2,...,qp] por un único valor común q . De esta forma, se reduce drásticamente el número de coeficientes del modelo, manteniendo una adecuada capacidad de modelado. Bajo esta hipótesis, cada término no lineal adopta la forma x(k−q)|x(k−q)|p−1 , donde p representa el orden del término no lineal y q el retardo común. Siguiendo un desarrollo similar al realizado en el modelo ML, pero permitiendo ahora que el retardo común sea distinto de cero, se obtiene la siguiente formulación en banda base: yMP[k] = P ∑ p=1 pimpar Q ∑ q=0 hp(q)x(k−q)|x(k−q)|p−1.(3.12) Esta formulación, introducida por Kim y Konstantinou en [ 7 ], ha demostrado ser especialmente útil en el diseño de DPD, ofreciendo un buen equilibrio entre precisión y eficiencia computacional. 14 Capítulo 3. Modelado y linealización Para una mayor claridad y entendimiento, este modelo puede reformularse de manera compacta en forma matricial como: y=Xh,(3.13) donde y= [y(k),y(k+1),...,y(k+M−1)]⊤∈CM×1 , y la matriz de regresores X∈CM×Nr está compuesta por todos los términos del modelo para cada muestra temporal. El número total de regresores del modelo, denotado como Nr, está dado por: Nr=P(Q+1), siendo P el orden no lineal máximo considerado y Q+1 la profundidad de memoria (es decir, el número de retardos desde q=0hasta q=Q). Así, la matriz Xse estructura como: X=     x(k)x(k−1)··· x(k−Q)··· x(k)|x(k)|P−1··· x(k−Q)|x(k−Q)|P−1 x(k+1)x(k+1−1)··· x(k+1−Q)··· x(k+1)|x(k+1)|P−1··· x(k+1−Q)|x(k+1−Q)|P−1 . . .. . .. . .. . .. . . x(k+M−1)x(k+M−1−1)··· x(k+M−1−Q)··· x(k+M−1)|x(k+M−1)|P−1··· x(k+M−1−Q)|x(k+M−1−Q)|P−1     . Cada columna de la matriz X representa un regresor del modelo, es decir, una combinación no lineal de la señal de entrada x(·) evaluada en distintos instantes de tiempo. Concretamente, cada columna está asociada a un par (p,q) , correspondiente al orden no lineal p y al retardo q . Así, la entrada general de la matriz toma la forma x(k−q)|x(k−q)|p−1, donde q=0,1,...,Qyp=1,2,...,P. Por último, el vector de coeficientes h∈CNr×1queda definido como: h=h1(0)h1(1)··· h1(Q)h2(0)··· h2(Q)··· hP(0)··· hP(Q)⊤. 3.2.3 Generalized Memory Polynomial (GMP) Aunque el modelo MP proporciona una representación eficiente de los efectos no lineales con memoria, su principal limitación radica en la suposición de que todos los factores no lineales de un término comparten el mismo retardo. Esta restricción no siempre refleja fielmente el comportamiento real de los amplificadores de potencia, donde la distorsión puede depender de interacciones entre muestras de entrada en distintos instantes temporales. Por ello, se introdujo el modelo GMP [ 5 ], que extiende el MP mediante la incorporación de términos cruzados con retardos distintos, lo que permite capturar efectos de memoria cruzada que no pueden modelarse adecuadamente con estructuras de retardo único. Por tanto, GMP puede interpretarse como un modelo MP al que se le añaden componentes adicionales en los que la envolvente compleja x[n] y su módulo |x[n]| no comparten el mismo retardo. El modelo GMP en banda base se expresa como: yGMP[n] = ∑ k∈Ka ∑ l∈La akl x[n−l]|x[n−l]|k +∑ k∈Kb ∑ l∈Lb ∑ m∈Mb bklm x[n−l]|x[n−l−m]|k +∑ k∈Kc ∑ l∈Lc ∑ m∈Mc cklm x[n−l]|x[n−l+m]|k,(3.14) donde se ha adoptado una notación en la que n representa el índice temporal, k≥0 el orden no lineal, l≥0 los retardos principales y m>0 introduce desviaciones relativas que permiten capturar interacciones cruzadas entre distintos instantes temporales. Los primeros términos corresponden al modelo MP estándar, mientras que los sumandos adicionales permiten modelar efectos de memoria cruzada mediante productos entre la envolvente en n−l y muestras situadas en n−l−m y n−l+m , lo que representa contribuciones retardadas y adelantadas, respectivamente, respecto al retardo principal l . Esta estructura proporciona flexibilidad, ya que los subconjuntos K,L y M pueden seleccionarse de manera específica para incluir únicamente los términos que se consideren más relevantes. En este sentido, el modelo GMP ofrece una mayor capacidad de ajuste frente a amplificadores reales, sin aumentar en exceso la complejidad computacional gracias a una selección controlada de términos. 3.3 Modelado no estructurado 15 3.3 Modelado no estructurado El modelado no estructurado parte de la premisa opuesta a la de los modelos estructurados, como MP o GMP, donde se fijan los órdenes y retardos máximos para acotar el espacio de regresores. En lugar de imponer esos límites, el planteamiento no estructurado explora el dominio completo de la serie de Volterra y va incorporando únicamente los términos que demuestran aportar información relevante sobre el comportamiento real del amplificador. La lógica es sencilla: si el sistema bajo estudio presenta fenómenos no lineales y de memoria especialmente complejos, resulta limitado anticipar cuáles serán los regresores más influyentes, ya que, en escenarios de este tipo, los modelos estructurados pueden saturarse: añadir más términos no garantiza una mejora significativa del ajuste, y a menudo introduce redundancia o sobreajuste [8]. Este enfoque ofrece dos ventajas clave. Primero, tiene capacidad para descubrir regresores poco convencionales sin necesidad de recurrir a matrices excesivamente grandes. Segundo, evita la saturación de prestaciones que suele darse cuando simplemente se aumenta el orden o la memoria de un modelo predefinido. Ahora bien, la contrapartida es su exigencia computacional: la búsqueda iterativa sobre un espacio tan amplio demanda tiempo de cálculo y un criterio de parada robusto para prevenir el sobreajuste, siendo habitual el uso de métricas como el Bayesian Information Criterion (BIC) [ 9 ] para detectar el punto óptimo en la evolución del modelo. Por tanto, optar por un modelo no estructurado equivale a sacrificar eficiencia de cómputo a cambio de una representación más fiel del dispositivo, algo especialmente interesante en escenarios de banda ancha o alta potencia, donde los modelos estructurados pueden llegar a saturarse y dejar de mejorar incluso cuando se incrementa su número de coeficientes. 3.4 Modelo de regresión Una vez seleccionada y fijada la estructura del modelo, el siguiente paso consiste en estimar sus coeficientes. El objetivo es que la salida generada por el modelo reproduzca con precisión el comportamiento del sistema real, en nuestro caso, el PA. Para ello, se recurre al método de mínimos cuadrados (LS), ampliamente aceptado por su sencillez y eficacia. Aunque el procedimiento se presenta normalmente bajo un esquema de modelado directo (forward modeling), el mismo marco es aplicable en predistorsión digital (DPD) mediante el intercambio entre las señales de entrada y salida. 3.4.1 Formulación del problema Sea y∈CM×1 el vector de salida del sistema y X∈CM×Nr la matriz de medida compuesta por Nr regresores, construida a partir de combinaciones de la señal de entrada x[n] según la estructura del modelo (Volterra, MP, GMP, etc.). El modelo lineal se expresa como y=Xh +e,(3.15) donde h∈CNr×1 es el vector de coeficientes a estimar del modelo y e∈CM×1 representa el error inevitable que el modelo no puede capturar. La matriz Xestá determinada por la estructura del modelo y aloja un regresor en cada columna: X=φ φ φ1φ φ φ2··· φ φ φNr∈CM×Nr,(3.16) donde φ φ φi es el i -ésimo regresor del modelo, que en los modelos de serie de Volterra es una combinación de la señal de entrada x[n]. 3.4.2 Criterio de mínimos cuadrados El método LS persigue minimizar la energía del error e=y−ˆ y,(3.17) 16 Capítulo 3. Modelado y linealización donde yes la señal de salida real e ˆ yla salida estimada por el modelo, siendo su expresión ˆ y=Xˆ h.(3.18) La RSS (Residual Sum of Squares) cuantifica la energía del error como el cuadrado de la norma Euclidiana (o norma-ℓ2) del vector e: RSS =∥e∥2 2= (y−ˆ y)H(y−ˆ y),(3.19) donde ∥e∥2=√eHees la longitud Euclidiana del vector de error. Por tanto, el desarrollo sigue sustituyendo la expresión de ˆ yen (3.19), obteniendo RSS = (y−Xˆ h)H(y−Xˆ h),(3.20) que, al desarrollar, RSS =yHy−ˆ hHXHy−yHXˆ h+ˆ hHXHXˆ h.(3.21) Para encontrar el valor de ˆ h que minimiza el RSS, se deriva (3.21) con respecto a los coeficientes y se iguala a cero: ∂RSS ∂ˆ h=−2XHy+2XHXˆ h=0.(3.22) Reordenando los términos, se llega al sistema de ecuaciones conocido como ecuaciones normales: XHXˆ h=XHy.(3.23) Si los regresores son linealmente independientes, es decir, el producto XHX es no singular, entonces se puede resolver directamente el sistema y obtener la solución cerrada del problema de mínimos cuadrados como: ˆ h=XHX−1XHy.(3.24) Definiendo la pseudoinversa de Moore–Penrose de la matriz de medida, X†= (XHX)−1XH,(3.25) la expresión (3.24) puede escribirse de forma compacta como ˆ h=X†y.(3.26) Finalmente, la salida predicha por el modelo se obtiene mediante ˆ y=Xˆ h=XXHX−1XHy.(3.27) Este desarrollo muestra que la estimación por mínimos cuadrados reduce el problema de ajuste a la resolución de las ecuaciones normales (3.23) . La solución cerrada (3.24) minimiza la energía del error (RSS) y, por tanto, también el error cuadrático medio entre el modelo y el amplificador real. En términos geométricos, esta solución equivale a proyectar ortogonalmente la salida real y sobre el subespacio generado por los regresores de X , ajustando la contribución de cada uno en función del grado de correlación existente entre ellos. La calidad de la estimación depende, por tanto, de la riqueza de dichos regresores y de su independencia lineal. De lo contrario, XHX podría estar mal condicionada, comprometiendo así la fiabilidad del resultado. En la práctica, este procedimiento constituye la base de los algoritmos de aprendizaje de modelos Volterra y, mediante inversión de señales, del diseño de bloques de predistorsión digital. 3.5 La normalización en los modelos de Volterra En la regresión aplicada a modelos de Volterra, la matriz de regresores X∈CM×Nr contiene en sus columnas monomios de la señal de entrada elevados a distintos órdenes y retardos. Esta estructura provoca que las columnas puedan presentar escalas muy diferentes entre sí: mientras que los términos lineales suelen tener magnitudes moderadas, los de orden elevado pueden alcanzar valores mucho mayores o mucho menores, dependiendo de la potencia de la señal original. Esta diferencia en las normas de las columnas provoca dos problemas en el proceso de estimación de coeficientes. 3.6 Técnicas de reducción de dimensionalidad y extracción de características 17 En primer lugar, se produce un desequilibrio numérico que rompe con la estabilidad de las ecuaciones normales (3.23) . Al estar formada por columnas con escalas muy dispares, la matriz de autocorrelación XHX puede volverse mal condicionada, lo que implica que pequeñas variaciones en los datos se traducen en grandes errores en la estimación de ˆ h. En segundo lugar, este desequilibrio puede influir en la interpretación del modelo. En ausencia de normalización, la regresión puede verse condicionada por la magnitud de los regresores, asignando un mayor peso a aquellos términos cuya energía (norma euclídea al cuadrado) es mayor, independientemente de su verdadera relevancia en la relación con la salida. Esto puede dificultar la evaluación de la importancia relativa de cada término en el modelo y sesgar la estimación final. Para mitigar ambos efectos, se aplica un procedimiento de normalización que consiste en escalar cada columna de X de modo que todas posean la misma energía. Dado que la energía de un vector se define como el cuadrado de su norma euclídea, igualar la energía entre columnas equivale a igualar sus normas. Para ello, se calcula el vector de normas como ν ν ν=∥x1∥2∥x2∥2··· ∥xNr∥2T, donde xi∈CM×1denota la i-ésima columna de X, y se define la matriz de normalización como N=diag(ν ν ν). Con esta matriz, se construye un conjunto de regresores normalizados como ¯ X=XN−1, de forma que cada columna de ¯ X tiene norma unidad. Sobre esta nueva matriz se plantea el problema de mínimos cuadrados, ˆ ¯ h=¯ XH¯ X−1¯ XHy, obteniéndose así un vector de coeficientes asociado al conjunto de regresores normalizados. Finalmente, para recuperar los coeficientes asociados a los regresores originales, se realiza una desnormalización según ˆ h=N−1ˆ ¯ h. Este procedimiento mejora significativamente la robustez del ajuste. Al reducir el número de condición de la matriz que se invierte durante la estimación, se disminuye la sensibilidad del modelo frente a perturbaciones numéricas. Además, la normalización permite una interpretación más homogénea de los coeficientes, al asegurar que todos los términos del modelo parten de una escala comparable. Este aspecto resulta especialmente importante en modelos de Volterra, donde la presencia de términos de distinto orden conlleva una gran desproporción en las magnitudes de los regresores. 3.6 Técnicas de reducción de dimensionalidad y extracción de características Como ya ha sido comentado en secciones anteriores, los modelos basados en series de Volterra generan matrices de regresores X con cientos o miles de columnas, cada una asociada a una combinación polinómica de la señal de entrada. Esta alta dimensionalidad incrementa significativamente el coste computacional de la estimación de ˆ h , comprometiendo, a su vez, la estabilidad numérica del modelo, especialmente cuando los regresores están fuertemente correlacionados o existen diferencias notables en sus escalas. En este sentido, la reducción de dimensionalidad y la extracción de características se convierten en herramientas esenciales para reducir la complejidad del modelo sin perder su capacidad explicativa. Dependiendo del enfoque del método, la selección o transformación de regresores puede guiarse por su correlación con la salida o por su capacidad para concentrar la mayor parte de la varianza presente en el conjunto de regresores. En todos los casos, el objetivo es siempre eliminar redundancia y retener únicamente la información más representativa del modelo. El resultado es un modelo más compacto, numéricamente robusto y menos propenso al sobreajuste, lo que mejora tanto la eficiencia computacional como la capacidad de generalización. En las siguientes secciones se emplearán tres funciones auxiliares comunes en los algoritmos de selección: la operación Hk(·) , que conserva los k valores más altos de su argumento y anula el resto; la función supp(·) , 18 Capítulo 3. Modelado y linealización que devuelve los índices de los elementos distintos de cero, permitiendo identificar los regresores que han sido seleccionados en cada iteración; y el símbolo ⊗, que denota el producto de Kronecker. 3.6.1 Principal Components Analysis (PCA) PCA es una técnica estadística clásica de reducción de dimensionalidad que identifica las direcciones del espacio de entrada donde los datos presentan mayor varianza [ 10 ][ 11 ]. El principio que lo fundamenta es que las direcciones asociadas a una mayor varianza contienen la información más significativa del sistema, mientras que aquellas con menor varianza pueden considerarse redundantes o dominadas por ruido. Matemáticamente, estas direcciones corresponden a los autovectores de la matriz de autocorrelación XHX , y su importancia se mide mediante los autovalores asociados. Los autovectores se ordenan de forma decreciente según sus autovalores, de modo que las primeras direcciones representan las componentes principales del conjunto de datos. En la práctica, este procedimiento se lleva a cabo mediante la descomposición en valores singulares (SVD), que permite expresar la matriz de regresores X∈CM×Nrcomo: X=UΣ Σ ΣWH,(3.28) donde U∈CM×M es la matriz de vectores singulares izquierdos de X , Σ Σ Σ∈RM×Nr es una matriz diagonal con los valores singulares, relacionados con la varianza de los datos a lo largo de cada dirección principal, y W∈CNr×Nrdenota la matriz de vectores singulares derechos, que coinciden con los autovectores de XHX. Seleccionando las primeras Ts columnas de W , correspondientes a los mayores valores singulares, se define una nueva base ortogonal que captura la mayor parte de la varianza presente en los datos. Al proyectar los regresores originales sobre este subespacio, se obtiene un conjunto de componentes principales que conserva la estructura dominante de la señal, pero en una representación más compacta y con menor colinealidad entre los nuevos regresores. Algoritmo 1 Pseudocódigo del PCA clásico (formulación SVD) Entrada: X,y,Ts(número de componentes principales a seleccionar) Salida: ˆ h,ˆ y 1: [U,Σ Σ Σ,W]←svd(X)▷descomposición SVD 2: WTs←W(:,1 : Ts)▷selección de componentes principales 3: Z←XWTs▷proyección sobre subespacio reducido 4: ˆ h←Z†y▷estimación de coeficientes 5: ˆ y←Zˆ h▷estimación de salida 3.6.2 Selección de componentes con PCA Como se ha introducido en la sección anterior, PCA permite identificar las direcciones de mayor varianza en un conjunto de datos y usarlas como base ortogonal para una representación más compacta. Sin embargo, al proyectar los datos sobre una base nueva, formada por combinaciones lineales de los regresores originales, se pierde la interpretabilidad directa de los coeficientes, lo cual puede ser una desventaja importante en el contexto de modelos físicos como las series de Volterra. Con el objetivo de mantener dicha interpretabilidad, esta variante adaptada del PCA opera directamente sobre los regresores originales, seleccionando secuencialmente aquellos con mayor varianza y ortogonalizando el resto mediante el proceso de Gram–Schmidt. El Algoritmo 2 muestra un pseudocódigo de PCA para modelos de Volterra, donde en cada iteración se calcula la varianza de cada regresor extrayendo la diagonal principal de la matriz de autocorrelación ( ZHZ∈CNr×Nr ). Posteriormente, se identifica el regresor con mayor varianza, y se añade a un support set, es decir, al conjunto de índices correspondientes a los regresores seleccionados. A continuación, se ortogonalizan las columnas restantes mediante el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt, para evitar redundancia entre los candidatos no seleccionados. De este modo, se construye progresivamente un modelo reducido, numéricamente estable y menos sensible a la correlación entre regresores. Una vez alcanzado el criterio de parada, el procedimiento devuelve el support set final S(end) y la estimación de los coeficientes ˆ h(end). 3.6 Técnicas de reducción de dimensionalidad y extracción de características 19 Algoritmo 2 Pseudocódigo del algoritmo de selección con PCA Entrada: X,y Salida: S(end),ˆ h(end) 1: Inicialización: S(0)←/0,Z(0)←X 2: for t=1hasta que se cumpla el criterio de parada do 3: g(t)←diag(ZHZ), ▷ varianza de cada regresor 4: s(t)←supp(H1(|g(t)|)) ▷índice de mayor varianza 5: S(t)←S(t−1)∪s(t)▷actualiza conjunto soporte 6: p(t)←Z(t−1) i(t) HZ(t−1)▷proyección sobre regresor elegido 7: Z(t)←Z(t−1)−p(t)⊗Z(t−1) i(t)▷ortogonaliza columnas restantes mediante Gram-Schmidt 8: ˆ hS(t)←X† S(t)y▷estima coeficientes 9: ˆ y(t)←XS(t)ˆ hS(t)▷estima salida 10: end for 3.6.3 Orthogonal Matching Pursuit (OMP) El algoritmo OMP es una técnica de selección de regresores que, en cada iteración, selecciona el término con mayor correlación con el error residual, con el objetivo de reducir progresivamente dicho error [ 12 ]. En lugar de priorizar los términos de mayor varianza, como ocurre en el PCA, OMP incorpora iterativamente aquellos regresores que explican mejor la parte del vector de salida aún no modelada. Esta selección se realiza después de normalizar las columnas de X , con el fin de que la comparación entre regresores sea equitativa en escala. De esta forma, se construye un modelo que captura de forma progresiva la información relevante del sistema. Algoritmo 3 Pseudocódigo del algoritmo OMP (Orthogonal Matching Pursuit) Entrada: X,y Salida: S(end),ˆ h(end) 1: Inicialización: r(0)←y,S(0)←/0 2: for t=1hasta que se cumpla el criterio de parada do 3: g(t) i←XH i ∥Xi∥2 r(t−1),∀i▷correlación con el residuo 4: s(t)←supp(H1(|g(t)|)) ▷índice de mayor correlación 5: S(t)←S(t−1)∪s(t)▷actualiza el support set 6: ˆ hS(t)←X† S(t)y▷estima coeficientes 7: ˆ y(t)←XS(t)ˆ hS(t)▷salida estimada 8: r(t)←y−ˆ y(t)▷actualiza error residual 9: end for La iteración se detiene cuando se cumple un criterio de parada, como el Bayesian Information Criterion (BIC) [13][9]. Aunque OMP proporciona buenos resultados con un coste computacional moderado, presenta una limitación clave: no controla la dependencia entre regresores durante la selección. Esto puede dar lugar a la inclusión de términos redundantes, lo que empeora la capacidad explicativa del modelo, especialmente en entornos con alta colinealidad como los modelos de Volterra. Esta situación se debe a que OMP basa sus decisiones únicamente en la correlación de los regresores con el error residual en cada iteración, sin considerar si la información aportada por un nuevo término ya está representada por los seleccionados previamente. De esta forma, un regresor que mejora el error residual, a priori, puede no aportar información nueva de forma global, generando redundancia. Esta característica, aunque no afecta directamente a la minimización del error, puede empeorar la generalización y la robustez del modelo frente al sobreajuste. 3.6.4 Doubly Orthogonal Matching Pursuit (DOMP) El algoritmo DOMP nace como una mejora sobre OMP, diseñada para reducir la redundancia entre los regresores seleccionados [ 14 ]. Mientras que OMP elige los términos únicamente en función de su correlación con el error residual, DOMP introduce un paso adicional: en cada iteración, ortogonaliza los candidatos con 20 Capítulo 3. Modelado y linealización respecto al regresor recién incorporado. De este modo, no solo se evita seleccionar múltiples regresores con contenido informativo similar, sino que se garantiza que cada nueva elección aporte variabilidad adicional al modelo. Esta estrategia resulta especialmente útil en entornos con alta dependencia entre funciones base, como ocurre en los modelos de Volterra, donde es habitual que existan regresores fuertemente correlacionados. Algoritmo 4 Pseudocódigo del algoritmo DOMP (Doubly Orthogonal Matching Pursuit) Entrada: X,y Salida: S(end),ˆ h(end) 1: Inicialización: r(0)←y,S(0)←/0,Z(0)←X 2: for t=1hasta que se cumpla el criterio de parada do 3: g(t) i←ZH i ∥Zi∥2 r(t−1),∀i▷correlación con el residuo 4: s(t)←supp(H1(|g(t)|)) ▷índice de mayor correlación 5: S(t)←S(t−1)∪s(t)▷actualiza el support set 6: p(t)←Z(t−1) i(t) HZ(t−1)▷proyección sobre regresor elegido 7: Z(t)←Z(t−1)−p(t)⊗Z(t−1) i(t)▷ortogonaliza candidatos restantes mediante Gram-Schmidt 8: ˆ hS(t)←X† S(t)y▷estima coeficientes 9: ˆ y(t)←XS(t)ˆ hS(t)▷salida estimada 10: r(t)←y−ˆ y(t)▷actualiza residuo 11: end for El Algoritmo 4 implementa una variante de OMP que introduce un segundo nivel de ortogonalización para mejorar la calidad del conjunto seleccionado. En cada iteración, DOMP evalúa la correlación entre el residuo actual y los regresores candidatos, pero lo hace sobre una versión ortogonalizada de X , denotada como Z(t) . Esta matriz se actualiza sucesivamente eliminando de los candidatos restantes la proyección sobre los regresores ya seleccionados, de modo que la información explicada no vuelva a tener presencia en futuras selecciones y se evite seleccionar múltiples regresores que expliquen la misma dirección en el espacio de soluciones. Esta estrategia, inspirada en el método de Gram–Schmidt [ 15 ], garantiza que cada nueva elección aporte contenido informativo adicional y no solapado con los términos previamente incorporados. A nivel estructural, DOMP mantiene de forma simultánea los espacios X y Z , utilizando este último como base ortonormal dinámica sobre la que se calcula la correlación con el residuo. La estimación de los coeficientes ˆ h , sin embargo, se sigue realizando en el dominio original X , lo que permite conservar la interpretabilidad física de los regresores seleccionados. 3.7 Predistorsión Digital El aumento en la demanda de velocidad y eficiencia en las comunicaciones inalámbricas ha impulsado el desarrollo de esquemas de modulación avanzados, como el OFDM, que permiten una explotación del espectro mucho más flexible. Sin embargo, estas técnicas generan señales con picos de potencia elevados, lo que da lugar a una elevada PAPR (peak-to-average power ratio). Esta característica obliga a operar el amplificador de potencia en una región alejada de su punto de máxima eficiencia energética, conocida como la zona de saturación. En la Figura 3.1 se ilustran las dos principales regiones de funcionamiento del amplificador. La primera corresponde a niveles bajos de potencia de entrada, donde el comportamiento es predominantemente lineal. La segunda es la mencionada zona de saturación, asociada a niveles de entrada elevados, donde los efectos no lineales presentan mayor relevancia. Estas no linealidades introducen distorsión en banda, productos de intermodulación y emisiones fuera de banda (out-of-band emissions), lo que puede provocar el incumplimiento de máscaras espectrales. Por tanto, paradójicamente, el amplificador resulta más eficiente precisamente en la región donde introduce mayores distorsiones no lineales en la señal. Esta situación se conoce como el compromiso entre no linealidad y eficiencia [16]. Para hacer frente a este compromiso, se han propuesto diversas técnicas de linealización [ 17 ]. Una de las más empleadas en sistemas modernos es la predistorsión digital (digital predistortion, DPD), que consiste en aplicar una transformación a la señal de entrada en la etapa previa al amplificador, de modo que el sistema en cascada formado por el DPD y el PA se comporte de manera globalmente lineal. El principio fundamental de 3.7 Predistorsión Digital 21 Figura 3.1 Curva AM/AM del amplificador de potencia. la DPD es compensar de antemano las no linealidades introducidas por el PA, actuando como una inversión funcional de su comportamiento. El diseño del DPD se basa en modelos capaces de representar con precisión tanto las no linealidades como los efectos de memoria presentes en el amplificador. En este sentido, los modelos basados en series de Volterra resultan especialmente adecuados, como se ha visto en la Sección 3.1. DPD PA PA+DPD Potencia de entrada Potencia de salida (a) u x y PA DPD (b) Figura 3.2 Esquema general del DPD. En la práctica, existen diversas estrategias para implementar la DPD. Entre las más comunes se encuentran la arquitectura de aprendizaje indirecto (Indirect Learning Architecture, ILA), que estima directamente la inversa del PA, y la arquitectura de aprendizaje directo (Direct Learning Architecture, DLA), en la que los coeficientes del DPD se ajustan iterativamente mediante un lazo de realimentación. Estas arquitecturas se abordan en detalle en las secciones siguientes. A partir de este punto, se adopta un cambio en la notación con el fin de mantener la variable x como representación de la señal de entrada al amplificador de potencia. En consecuencia, la señal de entrada al sistema completo, es decir, a la entrada del bloque de predistorsión digital (DPD), se denotará como u , mientras que x pasará a representar la señal predistorsionada que se inyecta al PA. Este cambio aparece reflejado en el esquema mostrado en la Figura 3.2b. 28 Capítulo 4. Estrategias de combinación y transferencia de modelos ˆ c=XHX−1XHy.(4.10) Una vez estimados, los nuevos coeficientes se incorporan como una columna adicional en la matriz B , enriqueciendo su contenido y mejorando su capacidad de modelado ante condiciones no contempladas inicialmente. Para mantener la complejidad computacional bajo control, la dimensión de B puede reducirse opcionalmente mediante técnicas como PCA o DOMP. Cabe destacar que estos nuevos coeficientes no pueden obtenerse mediante BPC, ya que esta técnica consiste en proyectar el nuevo escenario sobre la base B , hallando un vector de coeficientes transformados wt que genera cnuevo =Bwt . Sin embargo, este procedimiento solo produce combinaciones lineales de las columnas ya presentes en B , por lo que no incrementa el rango de la matriz ni introduce nuevas direcciones en el espacio de parámetros. En consecuencia, no se amplía la capacidad representativa del modelo ni se incorpora información adicional al sistema. 5 Diseño experimental y resultados Without data, you’re just another person with an opinion. W. Edwards Deming U na vez expuesta la fundamentación teórica en los capítulos anteriores, resulta imprescindible validar experimentalmente las estrategias propuestas. En este apartado se presentan los resultados obtenidos a partir de las simulaciones realizadas, con el objetivo de evaluar la eficacia de las distintas técnicas de predistorsión digital desarrolladas. Para ello, se han diseñado una serie de experimentos controlados sobre un amplificador sintético, que permiten analizar el comportamiento del sistema bajo distintos escenarios y comparar el rendimiento de los enfoques aplicados. 5.1 Señales utilizadas y condiciones de simulación Para llevar a cabo el análisis de los métodos de predistorsión digital, se ha trabajado con una señal representativa del estándar 5G NR. Se ha empleado modulación 64-QAM, con una separación de subportadoras de 60 kHz y un ancho de banda total de 100 MHz, lo que permite simular un escenario realista de alta demanda espectral. La potencia de entrada se ha variado entre −35 dBm y −15 dBm con pasos uniformes, cubriendo así una zona amplia del rango dinámico del amplificador. En el escenario considerado, se ha modelado un amplificador de potencia sintético con una estructura compuesta por una no linealidad estática seguida de una etapa lineal con memoria, simulada mediante un filtro FIR de siete coeficientes. Este planteamiento reproduce un comportamiento típico de los modelos Hammerstein [ 5 ], en los que la distorsión no lineal se aplica antes de que la señal atraviese los efectos de memoria. Como se ha indicado previamente, el dispositivo no representa un equipo físico específico, sino un entorno sintético cuidadosamente diseñado para reflejar de forma controlada fenómenos de saturación, distorsión no lineal y memoria de salida, en ausencia de imperfecciones I/Q y bajo una alta relación señalruido. La no linealidad se ha configurado para inducir distorsiones significativas, lo que permite evaluar con mayor exigencia la capacidad de los esquemas de predistorsión digital para compensar estas degradaciones. Esta configuración permite trabajar en un entorno controlado pero suficientemente representativo, que pone a prueba la robustez y precisión de las estrategias de compensación desarrolladas en los siguientes apartados. Cabe señalar que parte del código empleado para llevar a cabo estas simulaciones se ha basado en la implementación proporcionada en [31]. En primer lugar, se ha analizado el comportamiento del amplificador ante distintos niveles de potencia de entrada con el objetivo de caracterizar su zona lineal y detectar el inicio de la saturación. En la Figura 5.1a, se ha representado la ganancia instantánea en función de la potencia de entrada, observándose cómo esta se mantiene aproximadamente constante en la región lineal y comienza a decrecer progresivamente a medida que el dispositivo entra en saturación. Este cambio de pendiente refleja la aparición de distorsión no lineal, especialmente significativa en los niveles de potencia más elevados. Además, se ha examinado el espectro de la señal de salida para algunos escenarios mediante la estimación de su densidad espectral de potencia. Tal y como se muestra en la Figura 5.1b, se han identificado componentes fuera de banda, atribuibles a los productos de intermodulación generados por el comportamiento no lineal 29 30 Capítulo 5. Diseño experimental y resultados del amplificador. Estos resultados justifican la necesidad de aplicar técnicas de predistorsión digital para mitigar la distorsión espectral y recuperar la linealidad del sistema. (a) (b) Figura 5.1 Caracterización del comportamiento del amplificador sin predistorsión. (a) Variación de la ganancia instantánea en función de la potencia de entrada para distintos niveles de señal. (b) PSD normalizada de la señal de salida correspondiente a dichos niveles. 5.2 Aplicación de FMT-BPC En este apartado se presentan los resultados obtenidos tras aplicar predistorsión digital con la implementación de las técnicas de transferencia y combinación de modelos, donde la metodología empleada se basa en la arquitectura ILA, prescindiendo de procesos iterativos con el objetivo de focalizar el análisis en la transferencia de modelos. El código fuente utilizado para la generación de los resultados mostrados se encuentra documentado en el Apéndice A. Con el fin de evaluar el rendimiento de la estrategia FMT-BPC, se ha planteado un experimento basado en dos modelos heterogéneos. Por un lado, se utiliza un modelo completo que actúa como referencia, al que se hace alusión como modelo compartido y cuyos conjuntos K,L,M se detallan en la Tabla 5.1. Por otro lado, se considera un modelo reducido que sirve como base para la aplicación de las estrategias de transferencia mediante la matriz de mapeo de características Φ Φ Φ , cuya configuración de términos se detalla en la Tabla 5.2. Tabla 5.1 Configuración del modelo completo. Conjunto Término principal (MP) Término retrasado cruzado Término adelantado cruzado K[0 2 4 6 8 10 12] [2 4 6] [2 4 6] L[10 10 10 10 10 10 10] [1 1 1] [1 1 1] M- [1 1 1] [1 1 1] Tabla 5.2 Configuración del modelo reducido. Conjunto Término principal (MP) Término retrasado cruzado Término adelantado cruzado K[0 1 2 3] - - L[1 1 1 1] - - M--- El modelo completo está constituido por un total de 89 regresores, mientras que el modelo reducido únicamente incorpora 8. Esta diferencia refleja una clara disparidad en la complejidad de ambos modelos, 5.2 Aplicación de FMT-BPC 31 lo que justifica el interés en aplicar estrategias de transferencia como el mapeo FMT-BPC. Dicha técnica permite proyectar el modelo completo sobre un espacio reducido en escenarios donde no se requiere tanta capacidad de modelado, adaptándolo al contexto específico y reduciendo el coste computacional cuando una mayor complejidad no resulta necesaria. El impacto práctico de las estrategias evaluadas se ha analizado sobre cuatro niveles de potencia media de entrada {−35,−25,−20,−15}dBm , cubriendo desde la zona estrictamente lineal del PA hasta la proximidad de su saturación. A lo largo de las Figuras 5.2–5.12 se comparan, para cada caso, la señal sin DPD, el modelo reducido estimado directamente, la estrategia FMT, la combinación FMT-BPC y el modelo completo, también ajustado mediante regresión directa. En todos los gráficos se mantiene un código de color constante con el objetivo de facilitar la interpretación. Cabe destacar que, a la hora de analizar las diferencias observadas, no se distingue entre los resultados de FMT y FMT-BPC, ya que el propósito principal de incorporar BPC no es mejorar directamente las métricas de linealización, sino introducir una estructura compartida que permita reutilizar y proyectar coeficientes de forma flexible y escalable. Tal y como se ha expuesto en la Sección 4.1, la matriz B encapsula un conjunto común de coeficientes entrenados de forma global, sobre los cuales se construyen modelos adaptados a cada escenario operativo mediante mapeo de características. Esta formulación permite comprobar experimentalmente que los modelos generados por FMT y FMT-BPC se comportan de forma equivalente, validando así los fundamentos teóricos presentados anteriormente. En este capítulo, se ha aplicado PCA sobre la matriz de transformación B con el objetivo de reducir su dimensionalidad, conservando las direcciones más representativas. Esta reducción permite simplificar el modelo resultante sin comprometer significativamente su capacidad de generalización, además de mejorar la estabilidad numérica en la estimación de los coeficientes transformados. 5.2.1 Distorsión no lineal: compresión de ganancia y variación de fase En primer lugar, comenzaremos analizando el comportamiento de la ganancia y la fase del amplificador bajo las distintas estrategias de predistorsión digital propuestas. Las curvas de compresión de ganancia y AM/PM, recogidas en las Figuras 5.2–5.5, permiten visualizar con claridad el efecto de la linealización para distintos niveles de potencia de entrada. A partir de estas representaciones se puede comprobar que el modelo FMT-BPC logra una linealización efectiva en un amplio rango de potencias, especialmente en condiciones moderadas como −25 dBm y −20 dBm . No obstante, resulta especialmente llamativo que, en los escenarios de potencia más baja, como −35 dBm , el modelo FMT-BPC no presenta mejoras significativas respecto al modelo reducido. A pesar de partir de un modelo completo más expresivo y proyectar su comportamiento sobre un subespacio adaptado, el rendimiento final en términos de ganancia y fase es prácticamente idéntico. Este fenómeno puede explicarse por varias razones complementarias. En primer lugar, a estas potencias el PA opera en un régimen prácticamente lineal, por lo que las distorsiones presentes son mínimas y fácilmente compensables con un conjunto reducido de regresores. Esto implica que el modelo reducido ya se encuentra muy próximo a la solución óptima, y la proyección de información adicional mediante FMT no genera un cambio apreciable en el rendimiento. En segundo lugar, la técnica FMT fuerza la solución a permanecer dentro de un subespacio de menor dimensionalidad. En este sentido, aunque el modelo completo disponga de mayor capacidad expresiva, solo puede aprovecharse aquella parte de su comportamiento que pueda ser representada dentro de la estructura del modelo reducido. Aun así, la técnica FMT-BPC sigue siendo plenamente válida y útil, ya que cumple con su objetivo fundamental: reducir la complejidad computacional sin comprometer significativamente el rendimiento. El hecho de que logre igualar los resultados del modelo reducido entrenado específicamente para cada escenario confirma que la proyección mediante FMT conserva información suficiente del modelo completo como para adaptarse eficazmente a contextos donde las no linealidades son débiles. Este resultado no es trivial, ya que se alcanza sin recurrir a una reestimación directa, sino a través de una proyección estructurada desde un modelo de mayor dimensionalidad, lo que resalta la eficacia del mapeo FMT como herramienta de transferencia. Conforme la potencia de entrada aumenta, especialmente en torno a −20 dBm , donde ya empiezan a manifestarse con claridad las no linealidades del PA, el modelo FMT-BPC comienza a obtener mejoras en rendimiento respecto al modelo reducido. En este escenario, se observa una mejora apreciable tanto en la linealización de la ganancia como en la fase. Este comportamiento pone de manifiesto que la proyección realizada por FMT sí contiene información relevante que, en condiciones más exigentes, permite recuperar parte del rendimiento del modelo completo, manteniendo al mismo tiempo una baja complejidad computacional. 32 Capítulo 5. Diseño experimental y resultados No obstante, para potencias de entrada elevadas como −15 dBm , el desempeño de los modelos se ve claramente degradado. Tanto el modelo completo como FMT-BPC muestran una capacidad limitada para compensar las distorsiones del PA, lo cual se traduce en resultados de linealización considerablemente peores. Sin embargo, este deterioro no debe atribuirse a la estrategia FMT-BPC en sí, sino a la propia dificultad del escenario, pues incluso el modelo completo, con todos sus grados de libertad, es incapaz de ofrecer una corrección eficaz. Por tanto, aunque los resultados en este caso no sean óptimos, no evidencian una deficiencia del método propuesto. De hecho, se observa que el modelo con FMT-BPC logra superar al modelo reducido e incluso igualar el rendimiento del modelo completo, manteniendo su estructura eficiente. (a) (b) Figura 5.2 Linealización de la ganancia instantánea del amplificador para una señal con potencia media de (a) −35 dBm y (b) −25 dBm. (a) (b) Figura 5.3 Linealización de la ganancia instantánea del amplificador para una señal con potencia media de (a) −20 dBm y (b) −15 dBm. 5.2 Aplicación de FMT-BPC 33 (a) (b) Figura 5.4 Linealización de la fase del amplificador para una señal con potencia media de (a) −35 dBm y (b) −25 dBm. (a) (b) Figura 5.5 Linealización de la fase del amplificador para una señal con potencia media de (a) −20 dBm y (b) −15 dBm. 5.2.2 Error de modelado: NMSE de linealización La Figura 5.6 muestra la evolución del NMSE de validación en función de la potencia de entrada para los distintos modelos evaluados. Tal y como se había anticipado en el análisis de las curvas de compresión de ganancia y AM/PM, los resultados reflejan con claridad los distintos regímenes operativos del amplificador y la capacidad de cada estrategia para hacerles frente. En la zona de baja potencia, por debajo de −25 dBm , el error de modelado se mantiene prácticamente plano para todos los modelos con DPD. En particular, tanto el modelo reducido como FMT-BPC alcanzan un NMSE de linealización próximo a los −41.4 dB , lo que indica que el comportamiento del PA es suficientemente lineal como para ser compensado eficazmente con una estructura de baja complejidad. En consecuencia, FMT-BPC no aporta mejoras apreciables en esta región, lo cual corrobora la explicación previa: el modelo reducido ya se encuentra en un mínimo local con escaso margen de mejora. Esto refuerza la idea de que, en condiciones de baja potencia, las estrategias avanzadas como FMT-BPC apenas pueden superar el rendimiento alcanzado por el modelo reducido, a pesar de proyectarse sobre un espacio generado a partir del modelo completo. Esta transferencia de información no se traduce en beneficios tangibles mientras no exista una necesidad real de mayor expresividad, aunque sigue evidenciando la utilidad de la técnica para adaptar las estructuras complejas impuestas por BPC a entornos donde una baja complejidad es suficiente. A medida que la potencia de entrada se incrementa y comienzan a manifestarse las no linealidades, especialmente a partir de −22 dBm , se observa una clara divergencia entre modelos. FMT-BPC empieza a 34 Capítulo 5. Diseño experimental y resultados mostrar ventajas sobre el modelo reducido, alcanzando una mejora de aproximadamente 8 dB a −20 dBm . El mejor resultado se obtiene en torno a −17 dBm , donde el NMSE mejora aproximadamente 18 dB con respecto al modelo reducido. A partir de ese punto, el NMSE comienza a aumentar rápidamente para todos los modelos, incluido el completo. Este deterioro refleja que el nivel de distorsión introducido por el PA supera la capacidad de linealización incluso del modelo de referencia, lo que justifica la caída de rendimiento observada en las gráficas anteriores. Aun así, como ya se había evidenciado en las métricas anteriores, FMT-BPC consigue mantener una mejora frente al modelo reducido e iguala el rendimiento del modelo completo, lo que pone de manifiesto su solidez incluso en condiciones límite. -35 -30 -25 -20 -15 Potencia de entrada (dBm) -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 NMSE (dB) NMSE sin DPD NMSE de linealización del modelo reducido NMSE de linealización (FMT) NMSE de linealización (FMT+BPC) NMSE de linealización del modelo completo Figura 5.6 Evolución del NMSE de validación para escenarios con y sin DPD. 5.2.3 Rendimiento espectral: ACPR La variación del ACPR del canal adyacente primario se muestra en la Figura 5.7. En ausencia de DPD (trazas rojas), el ACPR muestra una degradación progresiva conforme aumenta la potencia de entrada, partiendo de valores en torno a −55 dBc a −35 dBm hasta alcanzar aproximadamente −21 dBc a −15 dBm . En el rango de potencias más bajas, la incorporación del modelo FMT-BPC (trazas cian) sigue sin proporcionar un rendimiento superior respecto al modelo reducido, en consonancia con lo ya observado en las métricas analizadas anteriormente. Como ya se ha mencionado, esta ausencia de mejora no debe interpretarse como una limitación del método, sino como indicativo de que, en estas condiciones, el modelo reducido ya proporciona una linealización eficaz. En este contexto, la capacidad de FMT-BPC para igualar dicho rendimiento sin necesidad de reentrenamiento específico resulta especialmente útil, al demostrar su aptitud para generalizar y adaptarse con una carga computacional reducida. De hecho, en torno a −35 dBm se logra una atenuación del ACPR superior a 15 dB frente al caso sin DPD, que se incrementa hasta los 26 dB a −25 dBm , alcanzando un comportamiento muy próximo al del modelo completo (trazas negras). A partir de −22 dBm , las no linealidades del PA comienzan a manifestarse con mayor intensidad, provocando un aumento pronunciado del ACPR en todos los modelos. No obstante, FMT-BPC mantiene una ventaja clara de entre 15 dB y 18 dB respecto al modelo reducido, alcanzando su mejor rendimiento en torno a −18 dBm , con una mejora de aproximadamente 20 dB respecto de dicho modelo. Además, su desempeño sigue siendo comparable al del modelo completo, lo que indica una transferencia efectiva de información desde el espacio de características enriquecido. A potencias elevadas, como −15 dBm , se observa un aumento abrupto del ACPR en todas las configuraciones, lo que sugiere que el PA entra en una región de saturación severa, donde incluso el modelo completo pierde eficacia. A pesar de ello, FMT-BPC continúa mostrando mejoras tanto respecto al modelo reducido como al caso sin DPD, y logra igualar nuevamente el rendimiento del modelo completo. Este resultado pone de manifiesto que la estrategia conjunta FMT-BPC es capaz de preservar, con una complejidad 5.2 Aplicación de FMT-BPC 35 significativamente menor, buena parte de la linealidad espectral que proporciona el modelo completo, incluso en escenarios de operación exigentes. Además, en condiciones de baja potencia, donde las mejoras respecto al modelo reducido no son significativas, FMT-BPC permite reducir la complejidad del modelo completo sin degradar el ACPR, lo que refuerza su utilidad como mecanismo eficiente de transferencia en un amplio rango operativo. En las Figuras 5.8–5.9 se representa el espectro de la señal de salida para distintos niveles de potencia de entrada, permitiendo analizar el efecto de cada modelo de predistorsión sobre las emisiones fuera de banda. A −35 dBm , todos los modelos logran suprimir eficazmente la distorsión espectral, con resultados casi indistinguibles entre sí. Sin embargo, conforme aumenta la potencia de entrada, las diferencias se hacen más evidentes. A −20 dBm , el modelo FMT-BPC muestra una clara mejora respecto al modelo reducido, mitigando con mayor eficacia los productos de intermodulación. Finalmente, a −15 dBm , los efectos no lineales se intensifican, y aunque todos los modelos experimentan cierta degradación, el modelo completo y FMT-BPC siguen mostrando un rendimiento equiparable en términos de reducción de emisiones espurias. -35 -30 -25 -20 -15 Potencia de entrada (dBm) -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 ACPR del canal canal adyacente primario (dBc) Sin DPD - Ch. Inf Sin DPD - Ch. Sup Con DPD (modelo reducido) - Ch. Inf Con DPD (modelo reducido) - Ch. Sup Con DPD (FMT+BPC) - Ch. Inf Con DPD (FMT+BPC) - Ch. Sup Con DPD (modelo completo) - Ch. Inf Con DPD (modelo completo) - Ch. Sup Figura 5.7 Evolución del ACPR del canal adyacente primario para escenarios con y sin DPD. -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 Frecuencia (MHz) -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 PSD normalizada (dB) Sin DPD Con DPD (modelo reducido) Con DPD (FMT) Con DPD (FMT+BPC) Con DPD (modelo completo) (a) -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 Frecuencia (MHz) -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 PSD normalizada (dB) Sin DPD Con DPD (modelo reducido) Con DPD (FMT) Con DPD (FMT+BPC) Con DPD (modelo completo) (b) Figura 5.8 Espectro de la señal de salida para una potencia de entrada de (a) −35 dBm y (b) −25 dBm. 36 Capítulo 5. Diseño experimental y resultados -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 Frecuencia (MHz) -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 PSD normalizada (dB) Sin DPD Con DPD (modelo reducido) Con DPD (FMT) Con DPD (FMT+BPC) Con DPD (modelo completo) (a) -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 Frecuencia (MHz) -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 PSD normalizada (dB) Sin DPD Con DPD (modelo reducido) Con DPD (FMT) Con DPD (FMT+BPC) Con DPD (modelo completo) (b) Figura 5.9 Espectro de la señal de salida para una potencia de entrada de (a) −20 dBm y (b) −15 dBm. 5.2.4 EVM y dispersión de las constelaciones La Figura 5.10 muestra la evolución del EVM en función de la potencia de entrada para los distintos modelos evaluados. Esta métrica, estrechamente relacionada con la calidad de la señal modulada, permite valorar el impacto de las estrategias de predistorsión desde el punto de vista de la fidelidad de la constelación. En el régimen de baja potencia (hasta aproximadamente −22 dBm ), se observa que todos los modelos con DPD logran mantener el EVM por debajo del 1 % , presentando diferencias poco significativas entre ellos. En esta región, el modelo reducido ya proporciona una linealización suficiente y, por tanto, FMT-BPC no introduce mejoras sustanciales, lo que concuerda con el comportamiento observado en las métricas anteriores. A medida que la potencia de entrada aumenta, el modelo reducido comienza a mostrar limitaciones y el EVM se incrementa de forma notable. En cambio, el modelo FMT-BPC mantiene un rendimiento mucho más robusto, con un EVM estable y cercano al del modelo completo incluso en condiciones de mayor exigencia. Esto confirma que FMT-BPC es capaz de preservar la calidad de la señal en escenarios donde el modelo reducido resulta insuficiente. Finalmente, para potencias cercanas a −15 dBm , todos los modelos presentan un incremento del EVM, como ya se había detectado anteriormente. No obstante, el modelo FMT-BPC sigue manteniendo una ventaja clara sobre el modelo reducido, mejorando incluso el rendimiento del modelo completo, demostrando así su capacidad para conservar la fidelidad de la modulación incluso en escenarios de alta distorsión. En las Figuras 5.11–5.12 se representan las constelaciones de la señal de salida para distintos niveles de potencia de entrada, permitiendo visualizar gráficamente la dispersión de los símbolos modulados. A una potencia de −20 dBm , se aprecian excelentes resultados por parte del modelo FMT-BPC, que logra una notable concentración de los símbolos en sus posiciones ideales, mejorando sustancialmente la precisión respecto al modelo reducido. Esta mejora visual concuerda con las reducciones de EVM observadas previamente. Por el contrario, a −15 dBm , tal como se había anticipado, todos los modelos muestran una degradación significativa en el alineamiento de los símbolos. 5.2 Aplicación de FMT-BPC 37 -35 -30 -25 -20 -15 Potencia de entrada (dBm) 0 5 10 15 20 25 EVM (%) EVM sin DPD EVM con DPD (modelo reducido) EVM con DPD (FMT) EVM con DPD (FMT+BPC) EVM con DPD (modelo completo) Figura 5.10 Evolución del EVM para escenarios con y sin DPD. (a) (b) Figura 5.11 Constelaciones de la señal de salida en el plano IQ para una señal de entrada con potencia media de (a) −35 dBm y (b) −25 dBm. 44 Capítulo 6. Conclusiones y líneas futuras y la adaptabilidad de los sistemas de predistorsión digital en entornos donde las condiciones de operación varían con frecuencia. Estas aportaciones sientan las bases para una futura validación mediante medidas experimentales, en las que se sustituya el modelo de amplificador sintético por un dispositivo real. Este paso permitiría comprobar la eficacia de los métodos propuestos en condiciones prácticas y frente a las limitaciones propias del hardware. Apéndice A Código de MATLAB®empleado en el trabajo En este apéndice se recogen los códigos utilizados para el desarrollo de las pruebas experimentales. Es importante señalar que numerosas funciones auxiliares no se incluyen en este documento con el fin de evitar una extensión excesiva del mismo. Además, buena parte del código mostrado corresponde a modificaciones sobre scripts previamente desarrollados por el Grupo de Sistemas de Radiocomunicación de la Universidad de Sevilla [31], a quienes el autor agradece su contribución. Código A.1 Código principal, donde se realizan los cálculos de los modelos, empleando la arquitectura ILA y aplicando FMT-BPC. % Definitions NMSE = @(x,y) 20*log10(norm(x/norm(x)-y/norm(y))/norm(y/norm(y))); % x es la real e y es la estimada dBminst = @(x) 10*log10(abs(x).^2/100)+30; dBm = @(x) 10*log10(rms(x).^2/(2*50))+30; %measures_type = ’chalmers’; measures_type = ’synthetic’; switch measures_type case ’synthetic’ scenario = 3; filename = fullfile(’measurements’, sprintf(’PA_Modeling_Data_esc_%d. mat’, scenario)); if ~exist(filename, ’file’) PA_Modeling_Data_generation(scenario); end load(filename); % Synthetic PA measurements % Signal parameters mu = 2; % Subcarrier spacing of 60 kHz M = 64; % 64-QAM Nslots = 1; % 0.25 ms NRB = 135; % 100 MHz seed1 = 12345; seed2 = 67890; ovs = 5; % fs = 614.40 MHz (122.88 MHz x ovs = 5) fs = 614.40e6; verbose = 1; 45 46 Appendix A. Código de MATLAB®empleado en el trabajo % Synthetic PA parameters switch scenario case 1, % Memoryless, good SNR, strong nonlinearity, without IQ impairments. gamma1 = 1; gamma2 = gamma1; SNR = 65; alpha = [1 100 25 60]; % Strong nonlinearity. GainImb = 0; % Gain imbalance (dB) QuadErr = 0; % Quadrature error (degrees) case 2, % With memory effects (Wiener-Hammerstein, 2 taps FIRs), good SNR, % strong nonlinearity, without IQ impairments. gamma1 = [1 0.07 0.03]; % Memory effects (FIR filter coefficients simulating gamma2 = gamma1; % linear memory effects before and after the nonlinearity) SNR = 65; alpha = [1 100 25 60]; % Strong nonlinearity. % Parameters controlling nonlinear distortion (AM/AM and AM/PM) GainImb = 0; % Gain imbalance (dB) % Parameters to simulate gain imbalance QuadErr = 0; % Quadrature error (degrees) % and quadrature errors (IQ impairments) case 3, % With memory effects (Hammerstein, 7 taps FIR), good SNR, % strong nonlinearity, without IQ impairments. gamma1 = 1; % Wiener-Hammerstein model gamma2 = [1 0.07 0.03 0 0 0 0 0.01]; % Memory filter coefficients SNR = 65; % (to simulate noise at the output) alpha = [1 100 25 60]; % Strong nonlinearity (defines the nonlinearity using polynomial coefficients) GainImb = 0; % Gain imbalance (dB) (used to simulate I/Q amplitude and phase imbalances) QuadErr = 0; % Quadrature error (degrees) case 4, % With memory effects (Wiener, 7 taps FIR), good SNR, % strong nonlinearity, without IQ impairments. gamma1 = [1 0.07 0.03 0 0 0 0 0.01]; % Nonlinear memory effects gamma2 = 1; % Wiener model SNR = 65; alpha = [1 100 25 60]; % Strong nonlinearity. GainImb = 0; % Gain imbalance (dB) QuadErr = 0; % Quadrature error (degrees) case 5, % With memory effects (Wiener-Hammerstein, 7 taps FIRs), good SNR, % strong nonlinearity, without IQ impairments. gamma1 = [1 0.07 0.03 0 0 0 0 0.01]; % Wiener-Hammerstein model gamma2 = [1 0.07 0.03 0 0 0 0 0.01]; % Memory filter coefficients 47 SNR = 65; % (to simulate noise at the output) alpha = [1 100 25 60]; % Strong nonlinearity (defines the nonlinearity using polynomial coefficients) GainImb = 0; % Gain imbalance (dB) (used to simulate I/Q amplitude and phase imbalances) QuadErr = 0; % Quadrature error (degrees) case 6, % With memory effects (Wiener-Hammerstein, 2 taps FIRs), good SNR, % strong nonlinearity, with IQ impairments. gamma1 = [1 0.07 0.03]; % Memory effects gamma2 = gamma1; SNR = 65; alpha = [1 100 25 60]; % Strong nonlinearity. GainImb = 1; % Gain imbalance (dB) QuadErr = 3; % Quadrature error (degrees) end case ’chalmers’ filename = fullfile(’measurements’, ’PA_Modeling_Data_Chalmers.mat’); if ~exist(filename, ’file’) Chalmers_Data; end load(filename); PAPRd = 9; Nmeas = 2; end figure(99),clf; for ipin=1:length(Pin) [Gv(ipin), Gcv(ipin), ~] = calcula_Gc(y(:,ipin),x(:,ipin)); end [Pin’ Gv’ Gcv’ (Gv-Gcv)’] for iPin = 1:length(Pin) % Gain calculation figure(99); clf; [G, Gc, Phc] = calcula_Gc(y(:,iPin),x(:,iPin)); g0 = 10^(Gc/20); ut = x(:, iPin); yt = y(:, iPin); indices = sel_indices(ut, yt, 0.05); utIdent = ut(indices); ytIdent = yt(indices); nmse_PA(iPin) = NMSE(yt/g0, ut); %% Applying ILA to the full model [model_DPD_ref] = modelconfigGMP_TFG; 48 Appendix A. Código de MATLAB®empleado en el trabajo % Post-inverse identification [model_DPD_ref] = model_PA(utIdent, ytIdent/g0, model_DPD_ref); c_ref = model_DPD_ref.h; fprintf(’\n------ Strongly nonlinear model ------’) fprintf(’\nIdentification NMSE post-inverse: %4.2f dB\n’, model_DPD_ref. nmse) fprintf(’Post-inverse identification Pin: %4.1f dB - Pout: %4.1f dB - Gain: %4.2f dB\n’,dBm(ytIdent/g0),dBm(utIdent),dBm(utIdent)-dBm(ytIdent/g0)) ; nmse_ILA_Id_ref(iPin) = model_DPD_ref.nmse; [model_DPD_ref] = model_PA(ut, yt/g0, model_DPD_ref); Y_ref = model_DPD_ref.X; fprintf(’Validation NMSE post-inverse: %4.2f dB\n’, model_DPD_ref.nmse) nmse_ILA_Val_ref(iPin) = model_DPD_ref.nmse; % Forward path [model_DPD_ref] = model_PA(ut, ut, model_DPD_ref); % We use u for both inputs just to generate the matrix. x_DPD_ref = model_DPD_ref.ymod; fprintf(’Forward path DPD: %4.1f dB - Pout: %4.1f dB - Gain: %4.2f dB\n’, dBm(ut),dBm(x_DPD_ref),dBm(x_DPD_ref)-dBm(ut)); switch measures_type case ’chalmers’ [y_lin_ref, ~, ~] = myPAChalmers(x_DPD_ref, dBm(x_DPD_ref), Nmeas, fsmed); case ’synthetic’ y_lin_ref = syntheticPA(x_DPD_ref, alpha, gamma1, gamma2, SNR); end fprintf(’Forward path PA: %4.1f dB - Pout: %4.1f dB - Gain: %4.2f dB\n’,dBm (x_DPD_ref),dBm(y_lin_ref),dBm(y_lin_ref)-dBm(x_DPD_ref)); nmse_lin_ref(iPin) = NMSE(y_lin_ref/g0, ut); %% Applying ILA to the reduced model [model_DPD_reduced] = modelconfigGMP_TFG_reduced; % Post-inverse identification [model_DPD_reduced] = model_PA(utIdent, ytIdent/g0, model_DPD_reduced); c_reduced = model_DPD_reduced.h; fprintf(’\n------ Weakly nonlinear model ------’) fprintf(’\nIdentification NMSE post-inverse: %4.2f dB\n’, model_DPD_reduced. nmse) fprintf(’Post-inverse identification Pin: %4.1f dB - Pout: %4.1f dB - Gain: %4.2f dB\n’,dBm(ytIdent/g0),dBm(utIdent),dBm(utIdent)-dBm(ytIdent/g0)) ; nmse_ILA_Id_rd(iPin) = model_DPD_reduced.nmse; [model_DPD_reduced] = model_PA(ut, yt/g0, model_DPD_reduced); fprintf(’Validation NMSE post-inverse: %4.2f dB\n’, model_DPD_reduced.nmse) nmse_ILA_Val_rd(iPin) = model_DPD_reduced.nmse; % Forward path 49 [model_DPD_reduced] = model_PA(ut, ut, model_DPD_reduced); % We use u for both inputs just to generate the matrix. x_DPD_rd = model_DPD_reduced.ymod; fprintf(’Forward path DPD: %4.1f dB - Pout: %4.1f dB - Gain: %4.2f dB\n’, dBm(ut),dBm(x_DPD_rd),dBm(x_DPD_rd)-dBm(ut)); switch measures_type case ’chalmers’ [y_lin_rd, ~, ~] = myPAChalmers(x_DPD_rd, dBm(x_DPD_rd), Nmeas, fsmed); case ’synthetic’ y_lin_rd = syntheticPA(x_DPD_rd, alpha, gamma1, gamma2, SNR); end fprintf(’Forward path PA: %4.1f dB - Pout: %4.1f dB - Gain: %4.2f dB\n’,dBm (x_DPD_rd),dBm(y_lin_rd),dBm(y_lin_rd)-dBm(x_DPD_rd)); nmse_lin_rd(iPin) = NMSE(y_lin_rd/g0, ut); %% Applying FMT U_t = model_DPD_reduced.X; c_rd = phi{iPin} * c_ref; % Transfer the DPD coefficients to the reduced model x_DPD_fmt = U_t * c_rd; switch measures_type case ’chalmers’ [y_lin_fmt, ~, ~] = myPAChalmers(x_DPD_fmt, dBm(x_DPD_fmt), Nmeas, fsmed); case ’synthetic’ y_lin_fmt = syntheticPA(x_DPD_fmt, alpha, gamma1, gamma2, SNR); end fprintf(’\nFMT Pin: %4.1f dB - Px: %4.1f dB - Pout: %4.1f dB - Gain: %4.2f dB - DPDGain: %4.2f dB\n\n’,dBm(ut),dBm(x_DPD_fmt),dBm(y_lin_fmt),dBm( y_lin_fmt)-dBm(ut),dBm(x_DPD_fmt)-dBm(ut)) nmse_lin_fmt(iPin) = NMSE(y_lin_fmt/g0,ut); %% FMT + BPC method % FMT+BPC focuses on computing the B matrix of the full model, % calculating the phi matrix between the reduced and full models, % and then estimating the coefficients as follows: Zt = Y_ref * B_inv; % Y_ref is used because we are estimating the coefficients of the post-inverse model w = regress_normalized(Zt,ut); % There are issues with singularity and conditioning c_BPC = B_inv * w; % c_BPC = c_ref c_fmt_bpc = phi{iPin} * c_BPC; x_DPD_fmt_bpc = U_t * c_fmt_bpc; 50 Appendix A. Código de MATLAB®empleado en el trabajo switch measures_type case ’chalmers’ [y_lin_fmt_bpc, ~, ~] = myPAChalmers(x_DPD_fmt_bpc, dBm( x_DPD_fmt_bpc), Nmeas, fsmed); case ’synthetic’ y_lin_fmt_bpc = syntheticPA(x_DPD_fmt_bpc, alpha, gamma1, gamma2, SNR); end nmse_lin_fmt_bpc(iPin) = NMSE(y_lin_fmt_bpc/g0, ut); % Autocorrelation plot normZ = vecnorm(Zt); Zn = Zt * diag(normZ.^-1); RZ = Zn’*Zn; figure(10) imagesc(abs(RZ)) colorbar end %% DTS experiment: pretraining at low power levels (-35 dBm to -30 dBm) and evaluating at higher powers for iPin = 21:length(Pin) % Evaluate only non-pretrained power levels figure(99); clf; [G, Gc, Phc] = calcula_Gc(y(:,iPin),x(:,iPin)); g0 = 10^(Gc/20); ut = x(:, iPin); yt = y(:, iPin); indices = sel_indices(ut, yt, 0.05); utIdent = ut(indices); ytIdent = yt(indices); nmse_PA(iPin) = NMSE(yt/g0, ut); [model_DPD_ref] = modelconfigGMP_TFG; % Post-inverse identification [model_DPD_ref] = model_PA(utIdent, ytIdent/g0, model_DPD_ref); c_ref = model_DPD_ref.h; [model_DPD_ref] = model_PA(ut, yt/g0, model_DPD_ref); Y_ref = model_DPD_ref.X; % Forward path [model_DPD_ref] = model_PA(ut, ut, model_DPD_ref); U_t = model_DPD_ref.X; x_DPD_ref = model_DPD_ref.ymod; y_DPD_ref = syntheticPA(x_DPD_ref, alpha, gamma1, gamma2, SNR); nmse_ref(iPin) = NMSE(y_DPD_ref/g0, ut); % Applying DTS Zt = Y_ref * B_dts_l; w = regress_normalized(Zt,ut); c_wo_DTS = B_dts_l * w; 51 x_wo_DTS = U_t * c_wo_DTS; y_wo_DTS = syntheticPA(x_wo_DTS, alpha, gamma1, gamma2, SNR); nmse_wo_DTS(iPin) = NMSE(y_wo_DTS/g0, ut); [B_dts_l_updated] = DTS_inv(B_dts_l, ut, yt); Zt = Y_ref * B_dts_l_updated; w = regress_normalized(Zt,ut); c_w_DTS = B_dts_l_updated * w; x_w_DTS = U_t * c_w_DTS; y_w_DTS = syntheticPA(x_w_DTS, alpha, gamma1, gamma2, SNR); nmse_w_DTS(iPin) = NMSE(y_w_DTS/g0, ut); end %% DTS experiment: pretraining at high input power levels (-20 dBm to -15 dBm) and evaluating at lower powers for iPin = 61:-1:1 % Evaluate only non-pretrained power levels figure(99); clf; [G, Gc, Phc] = calcula_Gc(y(:,iPin),x(:,iPin)); g0 = 10^(Gc/20); ut = x(:, iPin); yt = y(:, iPin); indices = sel_indices(ut, yt, 0.05); utIdent = ut(indices); ytIdent = yt(indices); nmse_PA(iPin) = NMSE(yt/g0, ut); [model_DPD_ref] = modelconfigGMP_TFG; % Post-inverse identification [model_DPD_ref] = model_PA(utIdent, ytIdent/g0, model_DPD_ref); c_ref = model_DPD_ref.h; [model_DPD_ref] = model_PA(ut, yt/g0, model_DPD_ref); Y_ref = model_DPD_ref.X; % Forward path [model_DPD_ref] = model_PA(ut, ut, model_DPD_ref); U_t = model_DPD_ref.X; x_DPD_ref = model_DPD_ref.ymod; y_DPD_ref = syntheticPA(x_DPD_ref, alpha, gamma1, gamma2, SNR); nmse_ref(iPin) = NMSE(y_DPD_ref/g0, ut); % Applying DTS Zt = Y_ref * B_dts_h; w = regress_normalized(Zt,ut); c_wo_DTS = B_dts_h * w; x_wo_DTS = U_t * c_wo_DTS; y_wo_DTS = syntheticPA(x_wo_DTS, alpha, gamma1, gamma2, SNR); 52 Appendix A. Código de MATLAB®empleado en el trabajo nmse_wo_DTS(iPin) = NMSE(y_wo_DTS/g0, ut); [B_dts_h_updated] = DTS_inv(B_dts_h, ut, yt); Zt = Y_ref * B_dts_h_updated; w = regress_normalized(Zt,ut); c_w_DTS = B_dts_h_updated * w; x_w_DTS = U_t * c_w_DTS; y_w_DTS = syntheticPA(x_w_DTS, alpha, gamma1, gamma2, SNR); nmse_w_DTS(iPin) = NMSE(y_w_DTS/g0, ut); end Código A.2 Función para calcular la matriz de mapeo de características Φ, aplicando la técnica FMT. function [phi] = FMT(Pin, x, y) % Description: % This function computes a set of transformation matrices (phi) that allow % mapping between different amplifier models corresponding to different % input power levels. These matrices can be used to project the behavioral % model of a power amplifier trained at one input power level onto another. % % Inputs: % Pin - Vector of input power levels in dBm % x - Matrix of input signals % y - Matrix of output signals % % Outputs: % phi - Cell array of feature mapping matrices. Each cell phi{i, j} % contains the matrix that maps the model j to i. % % Author: Sergi Muñoz % Date: 2025 phi = cell(1,length(Pin)); disp(repmat(’-’, 1, 60)); for t = 1:length(Pin) xt = x(:,t); yt = y(:,t); % Identification indices = sel_indices(xt, yt, 0.05); [model_i] = modelconfigGMP_TFG_reduced; % Will be used to approximate [model_j] = modelconfigGMP_TFG; % The target model to be approximated [model_i] = model_PA(yt(indices), xt(indices), model_i); Xi = model_i.X; 53 [model_j] = model_PA(yt(indices), xt(indices), model_j); Xj = model_j.X; phi{t} = regress_normalized(Xi,Xj); % subspace(phi{iPin,jPin},phi{jPin,iPin}) end end Código A.3 Función para calcular la matriz de transformación de características B inversa, para poder usarla en el DPD mediante el método BPC. function [B_pca_inv,B_DOMP_pca_inv] = BPC_inv(Pin, x, y, Ts) % Description: % BPC adapts the DPD model across different input power levels by combining the % coefficients from multiple scenarios into a global matrix B. It then applies PCA % for dimensionality reduction and computes a sparse version using DOMP. % Note: this process is designed for digital predistortion (DPD). % % Inputs: % Pin - Vector of input power levels (in dBm) % x - Matrix of input signals % y - Matrix of output signals % Ts - Number of principal components to keep in PCA % % Outputs: % B_pca - PCA-reduced matrix of GMP model coefficients (full model) % B_DOMP_pca - PCA-reduced matrix of selected coefficients via DOMP % regressor_count - Row vector indicating how many times each regressor % was selected across all input power levels % % Author: Sergi Muñoz % Date: 2025 dBm = @(x) 10*log10(rms(x).^2/(2*50))+30; dBminst = @(x) 10*log10(abs(x).^2/(2*50))+30; PAPR = @(x) 20*log10(max(abs(x))/rms(x)); maxdBm = @(x) dBm(x) + PAPR(x); scale_dBm = @(x,P) x*10^((P-dBm(x))/20); NMSE = @(x,y) 20*log10(norm(x/norm(x)-y/norm(y))/norm(y/norm(y))); if nargin < 4 Ts = []; end B_inv = []; B_DOMP_inv = []; for t = 1:length(Pin) 60 Índice de Figuras 5.14 Comparativa del NMSE de validación con y sin DTS-BPC, utilizando una matriz B preentrenada a potencias elevadas 41 5.15 Comparativa del NMSE de validación con y sin DTS-BPC, utilizando una matriz B preentrenada a potencias bajas 42 Índice de Tablas 5.1 Configuración del modelo completo 30 5.2 Configuración del modelo reducido 30 61 Índice de Códigos A.1 Código principal, donde se realizan los cálculos de los modelos, empleando la arquitectura ILA y aplicando FMT-BPC 45 A.2 Función para calcular la matriz de mapeo de características Φ, aplicando la técnica FMT 52 A.3 Función para calcular la matriz de transformación de características B inversa, para poder usarla en el DPD mediante el método BPC 53 A.4 Función para actualizar la matriz B ante nuevos escenarios mediante la estrategia DTS en DPD 55 A.5 Función para generar las señales de entrada/salida del amplificador y obtener las matrices preentrenadas que se usarán en el bloque principal 55 63 Bibliografía [1] J. 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