El teorema de Radon-Nikodym y sus consecuencias

EL TEOREMA DE RADON-NIKODYM Y SUS CONSECUENCIAS Por Marta Mart´ın Maya Dirigido por: D. Guillermo Curbera Costello FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE AN´ ALISIS MATEM´ ATICO 30 de junio de 2021 ´ Indice general Introducci´on 7 1. Propiedades de medidas 9 1.1. Algunos resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Continuidadabsoluta.............................. 11 1.3. Variaci´ontotal ................................. 13 1.4. Singularidad y concentraci´on de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2. Demostraci´on del Teorema de Radon-Nikodym 19 2.1. Primera demostraci´on del Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . 19 2.2. Segunda demostraci´on del TRN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Extensiones del teorema y algunas consecuencias 27 3.1. Extensi´ondelteorema ............................. 27 3.1.1. Medida µ σ-finita............................ 27 3.1.2. Medidas µyυ σ-finitas ........................ 28 3.1.3. Medidareal............................... 29 3.1.4. Medidacompleja ............................ 29 3.1.5. M´as all´a de la σ-finitud ........................ 30 3.2. Consecuencias del Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 4. Dualidad de espacios Lp35 4.1. Espaciosdesucesiones ............................. 35 4.2. Dual del espacio Lp.............................. 40 5. Sobre el Teorema de RadonNikodym vectorial 49 5.1. Medidasvectoriales............................... 49 5.2. LaintegraldeBochner............................. 54 5.3. El fallo del TRN en el caso vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4. Teorema de Radon-Nikodym y representaci´on de operadores . . . . . . . . 67 5.5. BasesdeSchauder ............................... 71 5.6. Casos positivos del Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . 77 Resumen El prop´osito de este trabajo es dar una prueba del Teorema de Radon-Nikodym, y tambi´en presentar algunas de sus consecuencias m´as importantes. En primer lugar, presentamos algunas propiedades preliminares sobre medidas. Para entender el Teorema de Radon-Nikodym definimos la continuidad absoluta de una medida. Una vez tenemos las herramientas necesarias, probamos el Teorema de Radon-Nikodym para una medida positiva y finita de dos formas diferentes. Despu´es de esto, extendemos el teorema a otros tipos de medidas y damos algunas consecuencias importantes, como por ejemplo el Teorema de Descomposici´on de Jordan. Con el Teorema de Radon-Nikodym somos capaces de probar un resultado muy importante: la identificaci´on isom´etrica del dual de los espacios Lppara 1 ≤p < ∞. Despu´es de presentar la teor´ıa para medidas positivas, reales y complejas, proporcionamos algunas definiciones importantes y resultados sobre medidas vectoriales, y probamos que en este caso el Teorema de Radon-Nikodym no se cumple en general. Finalmente, presentamos alguna condiciones bajo las cuales se cumple el Teorema de Radon Nikodym para medidas vectoriales. Abstract The aim of this project is to give a proof of the Radon-Nikodym Theorem; we also present some of its most important consequences. First of all, we present some preliminary properties about measures. In order to understand the Radon-Nikodym Theorem, we define the absolute continuity of a measure. Once we have all the necessary tools, we prove the Radon-Nikodym Theorem for a positive and finite measure in two different ways. After that, we extend the theorem to differents types of measures and we give some important consequences, like, for example, the Jordan Descomposition Theorem. With the Radon-Nikodym Theorem we are able to prove a very important result: the isometric identification of the dual of the Lpspaces for 1 ≤p < ∞. After presenting the theory for positive, real and complex measures, we provide some important definitions and results for vector measures and we prove that in this case the Radon-Nikodym Theorem does not hold in general. Finally, present some conditions which ensure the validity of the Radon Nikodym Theorem for vector measures. Introducci´on Este trabajo tiene como prop´osito presentar la prueba del Teorema de Radon-Nikodym desde dos puntos de vista diferentes. Veremos tambi´en algunas consecuencias importantes de este resultado y estudiaremos qu´e ocurre en el caso de una medida vectorial. El trabajo est´a estructurado en cinco cap´ıtulos. En los cuatro primeros, se desarrollan los conceptos importantes sobre medidas, as´ı como se prueba el resultado principal para el caso de medidas positivas y finitas, que despu´es extenderemos a otros tipos de medida. En el ´ultimo cap´ıtulo, presentamos las medidas vectoriales y vemos que ocurre en ese caso con el Teorema de Radon-Nikodym. En el primer cap´ıtulo se dan algunas nociones b´asicas sobre medidas. Se comienza enunciando algunas definiciones y resultados previos que ser´an ´utiles a lo largo del trabajo. Definimos los conceptos de medida absolutamente continua y variaci´on total de una medida, algo que ser´a crucial para entender el Teorema de Radon-Nikodym. Por ´ultimo, se estudian tanto la singularidad como la concentraci´on de medidas y algunas propiedades b´asicas. En el segundo cap´ıtulo se prueba el Teorema de Radon-Nikodym para medidas positivas y finitas desde dos puntos de vista diferentes. En la primera de ellas, usamos herramientas de Teor´ıa de la medida e integraci´on, como se ve en el libro Measure Theory (v´ease [1]). En la segunda, vemos la demostraci´on debida a Von Neumann (v´ease [4]) que usa el Teorema de Representaci´on de Fr´echet-Riesz de identificaci´on de funcionales lineales y continuos sobre un espacio de Hilbert (Teorema 2.2.1). En el tercer cap´ıtulo extendemos el teorema a otros tipos de medidas en los que se sigue cumpliendo (medidas σ-finitas, con signo, complejas . . . ) Adem´as, vemos algunas primeras consecuencias, como una demostraci´on del Teorema de Hahn (Teorema 3.2.3) diferente a la vista en el cap´ıtulo primero, o el Teorema de Descomposici´on de Jordan (Teorema 3.2.4). En el cuarto cap´ıtulo usamos el Teorema de Radon-Nikodym para probar que el dual del espacio Lpcon 1 ≤p < ∞se puede identificar de forma isomorfa e isom´etrica con el espacio Lq, donde qes el exponente conjugado de p. Antes de esto, vemos que el mismo resultado se cumple para los espacios de sucesiones `p, pero que su prueba es m´as sencilla ya que no requiere el uso del Teorema de Radon-Nikodym. Para ello, recordamos algunos resultados b´asicos como la definici´on de isomorfismo lineal isom´etrico o la Desigualdad 7 Por lo tanto, {Aij}∞ i,j=1 es una partici´on de Eas´ı que se sigue que ∞ X i=1 ti≤∞ X i,j=1 |µ(Aij)|≤|µ|(E). Tomando supremo en el lado izquierdo sobre todas las opciones posibles de {ti}vemos que ∞ X i=1 |µ|(Ei)≤ |µ|(E).(1.2) Para probar la desigualdad contraria, sea {Aj}∞ j=1 una partici´on de E. Para cualquier j fijado se tiene que {Aj∩Ei:i≥1}es una partici´on de Aj, y para cada ifijo, {Aj∩Ei: j≥1}es una partici´on de Ei. Entonces : ∞ X j=1 |µ(Aj)|=∞ X j=1  ∞ X i=1 µ(Aj∩Ei)) ≤∞ X j=1 ∞ X i=1 |µ(Aj∩Ei)| =∞ X i=1 ∞ X j=1 |µ(Aj∩Ei)| ≤∞ X i=1 |µ|(Ei). Como esto se da para cualquier partici´on {Aj}∞ j=1 de Ese tiene que |µ|(E) = sup ∞ X j=1 |µ(Aj)| ≤ ∞ X i=1 |µ|(Ei).(1.3) Entonces por las ecuaciones (1.2) y (1.3) se tiene que |µ|es numerablemente aditiva. Por otra parte, |µ|(∅) = 0 y por tanto efectivamente |µ|es una medida positiva como quer´ıamos. Definici´on 1.3.4. Sea (X, Σ) espacio medible y µuna medida. Sea |µ|su variaci´on total. Definimos µ+:= 1 2(|µ|+µ), µ−:= 1 2(|µ|−µ). Entonces ambas son medidas positivas en Σ, y se tiene que µ=µ+−µ−,|µ|=µ++µ−.(1.4) Que son medidas positivas se sigue de que |µ|(E)≥ |µ(E)|. 14 Definici´on 1.3.5. Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida. Decimos que µes acotada si existe M > 0 tal que |µ(A)| ≤ Mpara todo Amedible. Teorema 1.3.6. Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida compleja, entonces µes acotada. Demostraci´on. Supongamos que la medida µno es acotada. Entonces se tiene que sup{|µ(A)|:A∈Σ}=∞, lo que significa que existe A1tal que |µ(A1)| ≥ 1 + |µ(X)|. Por lo tanto |µ(Ac 1)|=|µ(X)−µ(A1)|≥|µ(A1)|−|µ(X)| ≥ 1. Es decir, tenemos que |µ(A1)|,|µ(Ac 1)| ≥ 1. Entonces debe ocurrir que sup B⊂A1|µ(B)|=∞,o sup B⊂Ac 1|µ(B)|=∞, pues si no la medida ser´ıa acotada, pues para cualquier Dmedible se tendr´ıa |µ(D)|≤|µ(D∩A1)|+|µ(D∩Ac 1)| ≤ sup B⊂A1|µ(B)|+ sup B⊂Ac 1|µ(B)|<∞, donde la cota no depende de D. Escogemos entonces A1oAc 1que denotamos E1, de forma que cumpla que |µ(E1)| ≥ 1 y tambi´en se tenga supB⊂Ec 1|µ(B)|=∞. Podemos repetir el proceso en Ec 1buscando un E2⊂Ec 1con |µ(E2)| ≥ 1 y supB⊂Ec 2|µ(B)|= ∞. As´ı sucesivamente, encontramos una sucesi´on {En}∞ n=1 de conjuntos dos a dos disjuntos tal que |µ(En)| ≥ 1 para todo n. Sin embargo, tenemos que µ∞ [ n=1 En=∞ X n=1 µ(En), que es convergente. Esto implicar´ıa que µ(En)→0, pero entonces se tendr´ıa |µ(En)|<1 para n≥n0, lo que es una contradicci´on. Por lo tanto efectivamente µes acotada como quer´ıamos. Corolario 1.3.7. Sea (X, Σ) un espacio de medida y µuna medida compleja. Sea |µ|su variaci´on total. Se cumple que |µ|(X)<∞. Demostraci´on. Procediendo como en la demostraci´on anterior, si suponemos |µ|(X) = ∞, podemos dividir el conjunto Xen E1yEc 1de forma que |µ(E1)|>1 y |µ|(Ec 1) = ∞. Dividimos de nuevo el conjunto Ec 1en E2yEc 2de manera que |µ(E2)|>1 y |µ|(Ec 2) = ∞. 15 As´ı sucesivamente, encontramos una sucesi´on disjunta dos a dos {En}∞ n=1 con |µ(En)|>1 para todo n. De nuevo, tenemos que µ∞ [ n=1 En=∞ X n=1 µ(En), que es convergente, lo que implica que µ(En)→0, luego |µ(En)|<1 lo que es una contradicci´on. Por lo tanto, efectivamente |µ|(X)<∞. 1.4. Singularidad y concentraci´on de medidas Definici´on 1.4.1. Sea (X, Σ) un espacio de medida y sean µ,υmedidas positivas. 1. Se dice que υest´a concentrada en Emedible si se cumple υ(A) = υ(A∩E), A ∈Σ. Esto es equivalente a decir que υ(A) = 0 si A∩E=∅. 2. Supongamos que existe un par disjunto de conjuntos AyBtal que µest´a concentrada en Ayυest´a concentrada en B. Entonces decimos que µyυson mutuamente singulares (y escribimos µ⊥υ). Veamos ahora un resultado sobre estos conceptos junto con el concepto de continuidad absoluta que vimos al principio del cap´ıtulo. Proposici´on 1.4.2. Sea (X, Σ) un espacio de medida y sean υ, λ medidas y µmedida positiva. (a) Si υest´a concentrada en E entonces tambi´en lo est´a |υ|. (b) Si λ⊥υentonces |λ|⊥|υ|. (c) Si λ⊥µyυ⊥µentonces (λ+υ)⊥µ. (d) Si λµyυµentonces λ+υµ. (e) Si υµentonces |υ|  µ. (f) Si λµyυ⊥µentonces λ⊥υ. (g) Si υµyυ⊥µentonces υ= 0. 16 Demostraci´on. (a) Si E∩A=∅y{Aj}∞ j=1 es una partici´on de Aentonces υ(Aj) = 0 para todo jporque υest´a concentrada en E. Entonces se tiene que |υ(Aj)|= 0, para todo j. Por lo tanto efectivamente |υ|est´a concentrada en E. (b) Si λ⊥υentonces λest´a concentrada en Ayυest´a concentrada en Bsiendo Ay Bdisjuntos, luego por el apartado (a), tenemos que |λ|est´a concentrada en Ay que |υ| est´a concentrada en Bcon AyBdisjuntos. Por lo tanto |λ|⊥|υ|. (c) Como λ⊥µ, hay conjuntos A1yB1disjuntos tales que λest´a concentrada en A1 yµest´a concentrada en B1. Adem´as, como υ⊥µ, hay conjuntos A2yB2disjuntos tales que υest´a concentrada en A2yµest´a concentrada en B2. Entonces se tiene que λ+υ est´a concentrada en A=A1∪A2yµest´a concentrada en B=B1∩B2y se cumple que AyBdisjuntos. Por lo tanto, (λ+υ)⊥µ. (d) Como λµentonces λ(A) = 0 para todo Amedible tal que µ(A) = 0. Como υµentonces υ(A) = 0 para todo Amedible tal que µ(A) = 0. Si tenemos por tanto A medible con µ(A) = 0 entonces (λ+υ)(A) = λ(A) + υ(A) = 0. Por lo tanto λ+υµ (e) Supongamos que µ(E) = 0 y {Ej}∞ j=1 es una partici´on de E. Entonces µ(Ej) = 0 y como υµ,υ(Ej) = 0 para todo j, asi que se tiene que P∞ j=1 |υ(Ej)|= 0. Por lo tanto, |υ|(Ej) = 0, luego |υ|  µ. (f) Como υ⊥µ, hay un conjunto Acon µ(A) = 0 (porque µest´a concentrada en B con AyBdisjuntos) en el que υest´a concentrada. Como λµentonces λ(E)=0 para todo E⊂A. Por lo tanto λest´a concentrado en el complementario de A y como υ est´a concentrada en Ay son disjuntos, entonces λ⊥υ. (g) Por el apartado (f), como υµyυ⊥µse tiene que υ⊥υlo que fuerza necesariamente a que υ= 0. 17 Cap´ıtulo 2 Demostraci´on del Teorema de Radon-Nikodym En este cap´ıtulo presentaremos dos formas diferentes para demostrar el Teorema de Radon- Nikodym 2.1. Primera demostraci´on del Teorema de Radon- Nikodym Una vez definidos los conceptos del cap´ıtulo anterior nos surge una pregunta importante. Si µyυson dos medidas finitas tales que υabsolutamente continua respecto de µ, nos preguntamos si existe g∈L1(µ) tal que υ(A) = ZA g dµ, A ∈Σ. La respuesta a esta pregunta es afirmativa y la veremos en el Teorema de Radon-Nikodym. Veamos el enunciado del Teorema as´ı como una primera demostraci´on con herramientas de Teor´ıa de la medida e integraci´on. Teorema 2.1.1 (Teorema de Radon-Nikodym).Sea (X, Σ) un espacio medible y sean µy υmedidas positivas y finitas. Si υes absolutamente continua respecto a µ, entonces existe una funci´on g:X→[0,+∞)medible e integrable respecto de µtal que υ(A) = ZA g dµ, A ∈Σ. Adem´as dicha g es ´unica en casi todo. 19 Demostraci´on. Sea Fel conjunto formado por las funciones medibles f:X→[0,+∞] que cumplen que RAf dµ ≤υ(A) para cada Amedible. La estrategia que seguiremos ser´a probar que Fcontiene una funci´on gtal que Zg dµ = sup Zf dµ :f∈F,(2.1) y luego veremos que dicha funci´on gcumple que υ(A) = RAg dµ para cada Amedible. Finalmente observaremos que gpuede ser modificada de forma que solo tome valores finitos. Tenemos que Fes no vac´ıo (pues la funci´on constante 0 pertenece a F). Empecemos comprobando que si f1yf2pertenecen a Fentonces el supremo de f1y f2, que escribiremos como f1∨f2, est´a tambien en F. Para verlo notemos que si Aes un conjunto arbitrario medible y tenemos A1={x∈A:f1(x)> f2(x)}yA2={x∈A: f1(x)≤f2(x)}entonces: ZA (f1∨f2)dµ =ZA1 f1dµ +ZA2 f2dµ ≤υ(A1) + υ(A2) = υ(A), luego efectivamente (f1∨f2)∈F. Tomemos ahora una sucesi´on {fn}de funciones de Fpara las que: l´ım nZfndµ = sup Zf dµ :f∈F. Sustituyendo fnpor f1∨···∨fn, podemos asumir que {fn}es creciente. Sea g= l´ımnfn y sea Amedible, por el Teorema de Convergencia Mon´otona tenemos que: ZA g dµ = l´ım nZA fndµ = sup ZA f dµ :f∈F≤υ(A). Por lo tanto tenemos que g∈Fy que Rg dµ = sup{Rf dµ :f∈F}como quer´ıamos ver. Veamos ahora que υ(A) = RAg dµ para cada Amedible. Como g pertenece a F, la f´ormula υ0(A) = υ(A)−ZA g dµ, define una medida positiva. Ve´amoslo. Se comprueba f´acilmente que se cumple que υ0(∅) = υ(∅)−R∅g dµ = 0. 20 Sea {An}∞ n=1 medibles: υ0∞ [ n=1 An=υ∞ [ n=1 An−ZS∞ n=1 An g dµ =∞ X n=1 υ(An)−∞ X n=1 ZAn g dµ =∞ X n=1 υ(An)−ZAn g dµ =∞ X n=1 υ0(An). Nuestro objetivo es ahora probar que υ0= 0. Ve´amoslo por reducci´on al absurdo. Supongamos entonces lo contrario. Como µes finita, tenemos que existe ε > 0 tal que: υ0(X)> εµ(X).(2.2) Sea (P, N) una descomposici´on de Hahn (Teorema 1.1.6) para la medida con signo υ0−εµ. Tenemos que para cada Amedible, υ0(A∩P)≥εµ(A∩P), y por lo tanto υ(A) = ZA g dµ +υ0(A) ≥ZA g dµ +υ0(A∩P) ≥ZA g dµ +εµ(A∩P) =ZA (g+εχP)dµ. (2.3) Notemos que µ(P)>0, porque si no tendr´ıa que ser µ(P) = 0 (porque la medida µes positiva) y tendriamos que υ0(P) = 0 (porque la medida υes absolutamente continua respecto de µ). Entonces se dar´ıa que: υ0(X)−εµ(X) = (υ0−εµ)(N)≤0. Lo que contradice la ecuaci´on (2.2). Por lo tanto efectivamente µ(P)>0. Se sigue entonces que Zg dµ < Z(g+εχP)dµ ≤υ(X)<+∞. 21 Por la ecuaci´on (2.3) tenemos que g+εχPpertenece a Fy cumple R(g+εχP)dµ > Rg dµ lo que contradice la ecuaci´on (2.1) porque Rg dµ es el supremo. Por lo tanto como hemos llegado a contradicci´on, tenemos υ0= 0. As´ı que efectivamente, υ(A) = RAg dµ para cada Amedible como queriamos ver. Por ´ultimo, como gpuede tomar valores infinitos en un conjunto de medida µnula, podemos redefinirla para que tome solamente valores finitos y con esto hemos construido la funci´on requerida para el caso en el que µyυsean finitas. Veamos ahora la unicidad de g. Sean g, h :X→[0,+∞) funciones medibles que cumplen υ(A) = ZA g dµ =ZA h dµ, A ∈Σ. Como υes finita, g−hes integrable y RAg−h dµ = 0 para cada Amedible. Lo que significa que gyhcoinciden en casi todo entonces g=he.c.t., por lo que queda probada la unicidad de g. 2.2. Segunda demostraci´on del TRN En esta ocasi´on, veremos la demostraci´on del Teorema de Radon-Nikodym debida a von Neumann que usa el teorema de representaci´on de Fr´echet-Riesz de identificaci´on de funcionales lineales y continuos sobre un espacio de Hilbert que recordamos a continuaci´on. Teorema 2.2.1 (de representaci´on de Fr´echet-Riesz).Sea H un espacio de Hilbert y sea F un funcional lineal continuo en H. Entonces existe un ´unico y∈Htal que F(x) = hx, yi, x ∈H. Tambi´en usaremos el siguiente resultado: Proposici´on 2.2.2. Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida finita. Sea f∈L1(µ) ySun conjunto cerrado en el plano complejo tal que AE(f) = 1 µ(E)ZE f dµ ∈S, E ∈Σ, con µ(E)>0. Entonces f(x)∈Spara casi todo x∈X. Teorema 2.2.3 (Teorema de Radon-Nikodym).Sea (X, Σ) un espacio medible y sean µy υmedidas positivas y finitas. Si υes absolutamente continua respecto a µ, entonces existe una funci´on g:X→[0,+∞)medible e integrable respecto de µtal que υ(A) = ZA g dµ, A ∈Σ.(2.4) Adem´as dicha g es ´unica en casi todo. 22 Demostraci´on. Definiendo ϕ=υ+µ se tiene que ϕes una medida positiva y finita en Σ, y por la definici´on de suma de dos medidas se tiene que ZX f dϕ =ZX f dυ +ZX f dµ (2.5) para f=χAy, por tanto, para fsimple (f=Pm i=1 aiχAi) y por tanto tambi´en para f medible no negativa. Si f∈L2(ϕ) entonces |f|2∈L1(ϕ) y por tanto |f|2∈L1(υ). Como υes finita, se sigue que f∈L1(υ) y entonces por la desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos que ZX f dυ≤ZX|f|dυ ≤ZX|f|dϕ ≤ZX|f|2dϕ1/2 {ϕ(X)}1/2. Como se cumple que ϕ(X)<∞, la aplicaci´on f7−→ ZX f dυ, (2.6) es un funcional lineal y acotado en L2(ϕ) (con norma menor o igual a ϕ(X)1/2). Tenemos por el Teorema de representaci´on de Fr´echet-Riesz, Teorema 2.2.1, que existe h∈L2(ϕ) tal que ZX f dυ =ZX fh dϕ, para toda f∈L2(ϕ).(2.7) Observemos que hest´a definida ´unicamente como un elemento de L2(ϕ). Si ponemos f=χAen la ecuaci´on (2.7), para cualquier Amedible con ϕ(A)>0, como se cumple que 0 ≤υ≤ϕ, tenemos que: υ(A) = ZX χAdυ =ZX h χAdϕ =ZA h dϕ, entonces 0≤υ(A) = ZA h dϕ ≤ϕ(A). Por lo que llegamos a que 0≤1 ϕ(A)ZA h dϕ ≤1 (2.8) para todo Atal que ϕ(A)>0. Por lo tanto, por la Proposici´on 2.2.2 podemos afirmar que h(x)∈[0,1] para casi todo x(con respecto a ϕ) y podemos asumir ahora que 0 ≤h(x)≤1 para todo x∈Xsin afectar a (2.7) y la reescribimos como: ZX f dυ =ZX fh dϕ =ZX fh dυ +ZX fh dµ, 23 Demostraci´on. Si υes una medida compleja, entonces se cumple que ν=ν1+iν2, donde ν1(A) = <(ν(A)), ν2(A) := =(ν(A)), A ∈Σ. Veamos que ν1, ν2son medidas reales. En primer lugar tenemos que υ(∅) = υ1(∅) + iυ2(∅) = 0 porque υes una medida. Por lo tanto, necesariamente se tiene que υ1(∅) = 0 y que υ2(∅) = 0. Por otro lado, sean {An}∞ n=1 conjuntos medibles disjuntos, sabemos que como υes una medida, se tiene que υ(S∞ n=1 An) = P∞ n=1 υ(An). Entonces υ∞ [ n=1 An=υ1∞ [ n=1 An+iυ2∞ [ n=1 An y tambi´en ∞ X n=1 υ(An) = ∞ X n=1 [υ1(An) + iυ2(An)] = ∞ X n=1 υ1(An) + i∞ X n=1 υ2(An) por lo tanto se tiene que υ1(S∞ n=1 An) = P∞ n=1 υ1(An) y tambi´en que υ2(S∞ n=1 An) = P∞ n=1 υ2(An) como quer´ıamos, por lo que efectivamente υ1yυ2son medidas reales (porque al ser υuna medida compleja, no toma valores infinitos). Como ahora υ1yυ2son medidas reales, podemos aplicar el Teorema 3.1.4 y por lo tanto sabemos que se tiene que existen f1, f2:X→[0,+∞) tales que υ1(A) = Zf1dµ, A ∈Σ, y υ2(A) = Zf2dµ, A ∈Σ, con f1, f2medibles e integrables respecto de µ, y por lo tanto la funci´on que buscamos es f:= f1+if2. 3.1.5. M´as all´a de la σ-finitud Finalmente, si vamos m´as all´a de la σ-finitud, nos encontramos situaciones en las que el Teorema falla. Por ejemplo, si consideramos como νla medida de Lebesgue en [0,1] y como µla medida cardinal restringida al σ-´algebra de medibles Lebesgue de [0,1], es decir: µ(A) = card(A). 30 Los conjuntos de medida finita para µson los conjuntos con una cantidad finita de puntos, y la uni´on de una cantidad numerable de ellos es un conjunto numerable. Por lo tanto un conjunto no numerable, tiene medida µno σ-finita, en el σ-´algebra de todos los conjuntos medibles Lebesgue en [0,1]. Entonces, aunque υµ(porque si µ(A) = 0 para A∈[0,1] significa que card(A) = 0, es decir, A no tiene ning´un punto luego A=∅y por lo tanto υ(A) = υ(∅) = 0) y υest´a acotada, no hay g∈L1(µ) tal que υ(A) = RAg dµ. Porque si fuera as´ı, para cada x∈(0,1) se tendr´ıa 0 = υ({x}) = Z{x} g dµ =g(x)µ({x}) = g(x), lo que llevar´ıa a g(x) = 0 para todo x∈[0,1] y por tanto a ν= 0. 3.2. Consecuencias del Teorema de Radon-Nikodym Veremos en esta secci´on algunos resultados que surgen como consecuencia del Teorema de Radon-Nikodym Teorema 3.2.1. Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida compleja. Entonces existe una funci´on medible htal que |h(x)|= 1 para todo x∈Xy tal que µ(A) = ZA h d|µ|, A ∈Σ, lo que se puede escribir abreviadamente como dµ =h d|µ|(3.1) Demostraci´on. Es trivial que µ |µ|porque si |µ(A)|= 0, entonces µ(A) = 0 y por tanto el Teorema de Radon-Nikodym garantiza la existencia de h∈L1que cumpla la ecuaci´on (3.1). Sea Ar={x∈X:|h(x)|< r} donde res un n´umero positivo, y sea {Ej}∞ j=1 una partici´on de Arentonces: ∞ X j=1 |µ(Ej)|=∞ X j=1 ZEj hd|µ|≤∞ X j=1 r|µ|(Ej) = r|µ|(Ar) Por lo tanto llegamos a que |µ|(Ar)≤r|µ|(Ar). Pero se tiene que si fuera r < 1, necesariamente |µ|(Ar) = 0. Por lo tanto, se llega a que |h| ≥ 1 e.c.t. Por otra parte, si |µ|(E)>0 por la ecuaci´on (3.1) se tiene que 31  1 |µ|(E)ZE h d|µ| =|µ(E)| |µ|(E)≤1 (3.2) Por el Teorema 2.2.2 podemos concluir entonces que |h| ≤ 1 e.c.t.. Por tanto, sea B= {x∈X:|h(x)| 6= 1}hemos visto que se tiene que |µ|(B) = 0 as´ı que efectivamente tenemos la funci´on que quer´ıamos. Teorema 3.2.2. Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida positiva. Sea g∈L1(µ) con υ(A) = ZA g dµ, E ∈Σ, entonces |υ|(A) = ZA|g|dµ, E ∈Σ. Demostraci´on. Por el Teorema 3.2.1, sabemos que hay una funci´on medible h, de valor absoluto 1, tal que dυ =h d|υ|. Por hip´otesis, sabemos que dυ =g dµ. Entonces, g dµ =h d|υ|. Por lo tanto, como |h|= 1 se tiene que hh = 1 y entonces d|υ|=hg dµ. Como |υ| ≥ 0 y tambi´en µ≥0, se sigue que hg ≥0 e.c.t., por lo tanto hg =|g|por lo que |υ|(A) = ZA|g|dµ como quer´ıamos. Vimos en el primer cap´ıtulo, una demostraci´on del Teorema de Descomposici´on de Hahn, Teorema 1.1.6. Veremos ahora que dicho teorema tambi´en se puede deducir del Teorema de Radon-Nikodym. Teorema 3.2.3 (Hahn).Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida real. Existen conjuntos A, B medibles tales que A∪B=X,A∩B=∅y tal que se tiene que µ+(E) = µ(A∩E); µ−(E) = −µ(B∩E). Demostraci´on. Por el Teorema 3.2.1 tenemos que dµ =h·d|µ|donde |h|= 1. Como µes real, entonces htambi´en lo es y por tanto solo puede ser h=±1. Sea A={x:h(x) = 1} yB={x:h(x) = −1}. Entonces, como µ+=1 2(|µ|+µ) se tiene que d d|µ|(µ+) = 1 2(1 + h) = 1 en A 0 en B . 32 Entonces para cualquier E∈Σ se tiene que: µ+(E) = 1 2ZE (1 + h)d|µ|=ZE∩A d|µ|=µ(E∩A), Y por tanto, como µ(E) = µ(E∩A) + µ(E∩B) y µ=µ+−µ−tenemos que µ(E) = µ+(E)−µ−(E) = µ(E∩A)−µ−(E). Entonces µ−(E) = −µ(E∩B), como quer´ıamos. Corolario 3.2.4 (Descomposici´on de Jordan).Si µ=λ1−λ2donde λ1, λ2son medidas positivas, entonces se tiene que λ1≥µ+yλ2≥µ−. Demostraci´on. Como µ≤λ1tenemos que por el teorema de Hahn µ+(E) = µ(E∩A)≤λ1(E∩A)≤λ1(E). Por otro lado, como µ≥ −λ2se tiene que µ−(E) = −µ(B∩E)≤λ2(B∩E)≤λ2(E). Por tanto efectivamente se cumple lo que quer´ıamos. 33 Cap´ıtulo 4 Dualidad de espacios Lp En este cap´ıtulo usaremos el Teorema de Radon-Nikodym para probar que el dual del espacio Lpcon 1 ≤p < ∞se identifica con el espacio Lq, donde qes el exponente conjugado de p, es decir, se cumple 1 p+1 q= 1 y para p= 1 se toma q=∞. 4.1. Espacios de sucesiones Antes de ver el resultado que hemos mencionado para funciones, veremos que se tiene un resultado an´alogo para los espacios de sucesiones `pcon 1 ≤p < ∞, pero con una prueba m´as sencilla que no requiere el uso del Teorema de Radon-Nikodym. Para ello, recordemos algunas definiciones y resultados. Definici´on 4.1.1. Sea 1 ≤p≤ ∞. Para 1 ≤p < ∞, se define `p=n(xn)∞ n=1 ∈CN:∞ X n=1 |xn|p<∞o, siendo su norma kxkp:= ∞ X n=1 |xn|p!1/p . Para p=∞`∞=n(xn)∞ n=1 ∈CN: sup{|(xn)|:n∈N}<∞o, siendo su norma kxk∞:= sup{|xn|:n∈N}. Definici´on 4.1.2. Sea 1 <p<∞. El dual de `p, notado como (`p)∗, es el conjunto de los funcionales ψ:`p→Cque son lineales y continuos. 35 Lema 4.1.3 (Desigualdad de Young).Sea 1<p<∞yqsu exponente conjugado. Si x, y ≥0entonces se tiene xy ≤xp p+yq q. Demostraci´on. Consideramos la funci´on exponencial f(s) = esque es convexa en R, de manera que para todo s, t ∈Ry para cada α, β ≥0 con α+β= 1, se tiene eαs+βt ≤αes+βet.(4.1) Si x= 0 o y= 0, la desigualdad de Young es trivial, por lo que podemos suponer sin p´erdida de generalidad que x, y > 0. Si tomamos ahora α=1 p, β =1 q, s =plog x, t =qlog y, se sigue de la desigualdad (4.1) que xy =es p+t q≤es p+et q=xp p+yq q. Proposici´on 4.1.4 (Desigualdad de H¨older discreta).Sea 1< p < ∞y q su conjugado. Sea n∈Nyx1. . . xn∈C,y1. . . yn∈C, entonces n X j=1 |xjyj| ≤ n X j=1 |xj|p1/pn X j=1 |yj|q1/q. Demostraci´on. Consideremos los n´umeros reales no negativos u=n X j=1 |xj|p1/p, v =n X j=1 |yj|q1/q. Si u= 0 o v= 0, la desigualdad de H¨older se cumple trivialmente, luego podemos suponer sin p´erdida de generalidad que u, v > 0. Aplicando el Lema 4.1.3 con |xj|/u,|yj|/v se tiene que n X j=1 |xj||yj|=uv n X j=1 |xj| u·|yj| v ≤uv1 p n X j=1 |xj|p up+1 q n X j=1 |yj|q uq =uv 1 p+1 q =uv. 36 Definici´on 4.1.5. Se dice que un funcional T∈B(X, Y ) es un isomorfismo lineal isom´etrico, si Tes un isomorfismo lineal tal que kTxk=kxkpara todo x∈X. Teorema 4.1.6. Sea 1<p<∞yqsu exponente conjugado. Existe un isomorfismo lineal isom´etrico entre (`p)∗y`q. Demostraci´on. Dados x= (xn)∞ n=1 ∈`p, y = (yn)∞ n=1 ∈`qse tiene por la desigualdad de H¨older que, fijado N∈N N X n=1 |xnyn| ≤ N X n=1 |xn|p!1/p N X n=1 |yn|q!1/q ≤ ∞ X n=1 |xn|p!1/p ∞ X n=1 |yn|q!1/q =kxkpkykq. Tomando supremo en Nen la suma de la izquierda, llegamos a que ∞ X n=1 |xjyj| ≤ kxkpkykq.(4.2) Si mantenemos fijo y∈`q, tenemos que x∈`p7→ Sy(x) := ∞ X n=1 xnyn∈C es un funcional lineal y continuo en `pque verifica que kSyk=kykq, donde kSykes la norma de Sycomo funcional. Veamos esto ´ultimo por doble desigualdad. De la ecuaci´on (4.2) se sigue directamente que kSyk≤kykq. Tomamos yn=λn|yn|donde λn∈Cverifica |λn|= 1 y definimos xn:= λn|yn|q−1n∈N. Entonces ∞ X n=1 |xn|p=∞ X n=1 |yn|(q−1)p=∞ X n=1 |yn|q<∞, 37 pues como 1 p+1 q= 1 se sigue que (q−1)p=q, y por lo tanto x∈`p. Por otro lado ∞ X n=1 |yn|q=∞ X n=1 λn|yn|λn|yn|q−1 =∞ X n=1 ynxn =Sy(x) ≤ kSykkxkp =kSyk∞ X n=1 |yn|q1/p, de donde se obtiene que kykq≤ kSyky por tanto se tiene la igualdad que quer´ıamos. Hacemos ahora variar la sucesi´on y∈`qpara obtener un operador lineal e isom´etrico S:`q→(`p)∗. Para probar entonces que `q≡(`p)∗falta ver que Ses sobreyectivo. Dado un funcional ψ∈(`p)∗, buscamos y∈`qtal que Sy=ψ. Tomamos yn:= ψ(ρn)n∈N, donde ρndenota el n-´esimo vector unitario, es decir, ρn= (0,...,0,1,0. . . ), con 1 en la coordenada en´esima. Veamos primero que y= (yn)∞ n=1 como lo hemos definido pertenece a`q. Consideramos de nuevo yn=λn|yn|con |λn|= 1.Fijado N∈Nconsideramos la sucesi´on xN= N X n=1 λn|yn|q−1ρn. Es decir, xN n= 0 para n > N. Como se cumple que |yn|q=λnλn|yn||yn|q−1=ynxN n, entonces N X n=1 |yn|q= N X n=1 xN nyn = N X n=1 xN nψ(ρn) =ψN X n=1 xN nρn 38 =ψ(xN) ≤ kψkkxNkp =kψkN X n=1 |λn|p|yn|(q−1)p|ρn|p1/p =kψkN X n=1 |yn|q1/p. De lo que claramente obtenemos que ∞ X n=1 |yn|q≤ kψkq, y por lo tanto y∈`qcomo quer´ıamos. Solo queda probar entonces que Sy=ψpero esto es inmediato. Tenemos por definici´on de yque Sy(ρn) = yn=ψ(ρn) para todo n∈N. Entonces por linealidad, Sycoincide con ψen el espacio generado por los vectores unidad, que es denso en `p, por lo que, por continuidad, han de coincidir en `p. Por lo tanto, queda probado que el operador S con el que hemos trabajado es un isomorfismo isom´etrico y por lo tanto podemos escribir `q≡(`p)∗como quer´ıamos. Teorema 4.1.7. Existe un isomorfismo lineal isom´etrico entre (`1)∗y`∞. Demostraci´on. En este caso procedemos de manera similar al resultado anterior. Dados x∈`1,y∈`∞, se cumple que fijado N∈N N X n=1 |xnyn| ≤ N X n=1 |xn|sup{|yn|:n∈N}=kyk∞ N X n=1 |xn|≤kyk∞kxk1. Por lo tanto, tomando supremo en Nen la suma de la izquierda tenemos ∞ X n=1 |xnyn|≤kxk1kyk∞. Definamos, para y∈`∞, x∈`17→ Sy(x) := ∞ X n=1 xnyn. Si mantenemos fija la y, tenemos que es un funcional lineal y continuo en `1que verifica kSyk=kyk∞. Veamos esto ´ultimo por doble desigualdad. De la definici´on se sigue directamente que kSyk≤kyk∞ 39 Demostraci´on. Veamos en primer lugar que gexiste. Como en el resultado anterior, podemos asumir kφk>0. Consideremos primero µ(X)<∞. Para cualquier conjunto medible E⊂Xdefinimos υ(E) := φ(χE). Como φes lineal y χA∪B=χA+χBsi AyBson disjuntos, entonces υes aditiva. Para probar que es numerablemente aditiva, sean (En)∞ n=1 una sucesi´on de conjuntos medibles y dos a dos disjuntos. Entonces     χS∞ n=1 En− N X n=1 χEn   1 =kχS∞ n=1 En−χSN n=1 Enk1 =kχS∞ n=N+1 Enk1 =µ∞ [ n=N+1 En, que tiende a 0 porque S∞ n=N+1 Endecrece al vac´ıo. Por lo tanto, se tiene que en la topolog´ıa de L1se cumple χS∞ n=1 En=∞ X n=1 χEn. Entonces, la continuidad de φprueba que υ∞ [ n=1 En=φ(χ∪∞ n=1En) =φ∞ X n=1 χEn =∞ X n=1 φ(χEn) =∞ X n=1 υ(En). Por lo tanto υcomo la hemos definido es una medida compleja. Est´a claro que υ(E) = 0 si µ(E) = 0 ya que en ese caso kχEk1= 0. Por lo tanto υµ, por lo que el Teorema de Radon Nikodym asegura la existencia de una funci´on g∈L1(µ) tal que para todo E⊂Xmedible φ(χE) = ZE g dµ =ZX χEg dµ. (4.14) 46 Por linealidad se sigue que φ(f) = ZX fg dµ para cualquier fsimple medible, y por lo tanto tambi´en para cualquier f∈L∞(µ) (porque cualquier funci´on f∈L∞(µ) es el l´ımite uniforme de funciones simples). Queremos concluir que en realidad dicha g∈L∞(µ). Por (4.14), se tiene que ZE g dµ≤ kφkkχEk1=kφkµ(E), E ∈Σ. Es decir, 1 µ(E)ZE g dµ≤ kφk, µ(E)>0. Entonces, por la Proposici´on 2.2.2, tenemos que |g(x)|≤kφke.c.t y por lo tanto kgk∞≤ kφk. Es decir, g∈L∞(µ). Si adem´as se cumple (4.12), se tiene que φ(f) = ZX fg dµ ≤ kgk∞ZX f dµ =kgk∞kfk1, de lo que se deduce que kφk≤kgk∞.(4.15) Por lo tanto, kφk=kgk∞como quer´ıamos, y esto completa la prueba en el caso en el que µ(X)<∞. Si µ(X) = ∞pero µes σ-finita, elegimos w∈L1(µ) tal que 0 < w(x)<1 para todo x∈X. De nuevo por el mismo razonamiento que en el resultado anterior tiene sentido esta funci´on. Entonces, dµ =w dµ define una medida finita y F∈L1(µ)7→ TF := wF ∈L1(µ) (4.16) define una isometr´ıa lineal biyectiva T:L1(µ)7→ L1(µ) porque w(x)>0 para todo x∈X, y entonces kTFk1=ZX|wF|dµ =ZX w|F|dµ =ZX w|F|1 wdµ =ZX|F|dµ =kFk1. 47 Por lo tanto, ψ(F) = φ(wF) (4.17) define un funcional lineal acotado ψen L1(µ) con kψk=kφk. La primera parte de la prueba, demuestra que existe G∈L∞(µ)tal que ψ(F) = ZX FG dµ, F ∈L1(µ).(4.18) Si ponemos g:= Gentonces kgk∞=kGk∞=kψk=kφk Asi que (4.13) se cumple, y como G dµ =wg dµ, finalmente tenemos φ(f) = ψ(w−1f) = ZX w−1fG dµ =ZX fg dµ, f ∈L1(µ). Por ´ultimo, la unicidad de gse ve claramente como en la Proposici´on 4.2.3. Si gyg0 son funciones cumpliendo (4.12), entonces la integral de g−g0sobre cualquier conjunto medible Ede medida finita es 0 (tomando f=χE). Entonces por la σ-finitud de µse tiene que g−g0= 0 e.c.t. Teorema 4.2.5. Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida positiva y σ-finita. Sea 1≤p < ∞y sea qsu exponente conjugado. Entonces Lq(µ)es isom´etricamente isomorfo a(Lp(µ))∗. Demostraci´on. Definimos el funcional T:Lq(µ)→(Lp(µ))∗, lineal y continuo tal que a cada g∈Lq(µ) le asocia Tg∈(Lp(µ))∗definido por Tg(f) := ZX fg dµ, f ∈Lp(µ). Este funcional est´a bien definido porque para cada g∈Lq(µ), se tiene que Tg∈(Lp(µ))∗. Para probar entonces que Lq(µ) es isom´etricamente isomorfo a (Lp(µ))∗, solamente tenemos que ver que Tes un isomorfismo lineal, es decir, que kTgk=kgkq Por la Proposici´on 4.2.3, sabemos que kTgk=kφk=kgkq. Adem´as, por el mismo resultado, sabemos que dado φfuncional lineal y continuo en Lp(µ) existe una ´unica funci´on g∈Lq(µ) tal que Tg=RXfg dµ =φ, por lo tanto Tges sobreyectivo, lo que concluye nuestra demostraci´on. 48 Cap´ıtulo 5 Sobre el Teorema de RadonNikodym vectorial 5.1. Medidas vectoriales Definici´on 5.1.1. Sea (X, Σ) un espacio medible y νuna aplicaci´on ν: Σ →E, donde Ees un espacio de Banach. Se dice que νes una medida vectorial finitamente aditiva, si para cualesquiera A1, A2conjuntos medibles disjuntos, se tiene ν(A1∪A2) = ν(A1) + ν(A2). Si adem´as ν∞ [ n=1 An=∞ X n=1 ν(An) en la norma de la topolog´ıa de E, para cualquier sucesi´on (An)∞ n=1 de subconjuntos disjuntos medibles, entonces se dice que νes una medida vectorial numerablemente aditiva. Ejemplo 5.1.2. Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida positiva y finita. Definimos A∈Σ7→ ν(A) = χA∈L1(µ). Entonces νes una medida finitamente aditiva, ya que dados A1, A2conjuntos medibles disjuntos, se tiene que : ν(A1∪A2) = χA1∪A2=χA1+χA2=ν(A1) + ν(A2). 49 Adem´as, si (An)∞ n=1 es una sucesi´on disjunta de subconjuntos medibles, entonces l´ım m  ν∞ [ n=1 An− m X n=1 ν(An)  1= l´ım m  ν∞ [ n=m+1 An  1 = l´ım m  χS∞ n=m+1 An  1 = l´ım mZX|χS∞ n=m+1 An|dµ = l´ım mZ∪∞ n=m+1An dµ = l´ım mµ∞ [ n=m+1 An = 0. Por lo tanto νcomo la hemos definido es una medida vectorial numerablemente aditiva con valores en L1(µ). Ejemplo 5.1.3. Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida positiva y finita. Sea 1< p < ∞, definimos A∈Σ7→ ν(A) = χA∈Lp(µ). Entonces νes una medida finitamente aditiva, ya que dados A1, A2conjuntos medibles disjuntos, se tiene que : ν(A1∪A2) = χA1∪A2=χA1+χA2=ν(A1) + ν(A2). Adem´as, si (An)∞ n=1 es una sucesi´on disjunta de subconjuntos medibles, entonces l´ım m  ν∞ [ n=1 An− m X n=1 ν(An)  p= l´ım m  ν∞ [ n=m+1 An  p = l´ım m  χS∞ n=m+1 An  p = l´ım mZX|χS∞ n=m+1 An|pdµ1/p = l´ım mZ∪∞ n=m+1An dµ1/p = l´ım mµ∞ [ n=m+1 An1/p = 0. Por lo tanto νcomo la hemos definido es una medida vectorial numerablemente aditiva con valores en Lp(µ). 50 Ejemplo 5.1.4. Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida positiva y finita. Definimos A∈Σ7→ ν(A) = χA∈L∞(µ). Entonces νes una medida finitamente aditiva, ya que dados A1, A2conjuntos medibles disjuntos, se tiene que : ν(A1∪A2) = χA1∪A2=χA1+χA2=ν(A1) + ν(A2). Sin embargo, si (An)∞ n=1 es una sucesi´on disjunta de subconjuntos medibles, entonces l´ım m  ν∞ [ n=1 An− m X n=1 ν(An)  ∞= l´ım m  ν∞ [ n=m+1 An  ∞ = l´ım m  χS∞ n=m+1 An  ∞ = 1. Por lo tanto νcomo la hemos definido es una medida vectorial finitamente aditiva con valores en L∞(µ), pero no es numerablemente aditiva. Ejemplo 5.1.5. Sea [[0,1],M[0,1]] espacio medible y mla medida de Lebesgue. Definimos A∈M[0,1] 7→ ν(A) = ZA sen(nx)dx∞ n=1 ∈c0. En primer lugar tenemos que esta medida est´a bien definida, ya que el lema de Riemann- Lebesgue afirma que si f∈L1[0,1] se cumple que l´ım n→∞Z1 0 f(x) sen(nx)dx = 0. Esto demuestra que para f=χAse tiene que RAsen(nx)dx∞ n=1 ∈c0. Por otro lado, νes una medida finitamente aditiva, ya que dados A1, A2conjuntos medibles Lebesgue disjuntos, se tiene que : ν(A1∪A2) = ZA1∪A2 sen(nx)dx∞ n=1 =ZA1 sen(nx)dx +ZA2 sen(nx)dx∞ n=1 =ZA1 sen(nx)dx∞ n=1 +ZA2 sen(nx)dx∞ n=1 =ν(A1) + ν(A2). 51 Adem´as, se cumple que kν(A)k∞= sup nZA sen(nx)dx:n∈No ≤sup nZA|sen(nx)|dx :n∈No ≤m(A), donde mes la medida de Lebesgue en [0,1]. Por lo tanto, si (Aj)∞ j=1 es una sucesi´on disjunta de subconjuntos Aj⊆[0,1] medibles Lebesgue, entonces l´ım m  ν∞ [ j=1 Aj− m X j=1 ν(Aj)  ∞= l´ım m  ν∞ [ j=m+1 Aj  ∞ ≤l´ım mm∞ [ j=m+1 Aj = 0. Por lo tanto νcomo la hemos definido es una medida vectorial numerablemente aditiva con valores en c0. Ejemplo 5.1.6. Sea [[0,1],M[0,1]] espacio medible y mla medida de Lebesgue. Definimos A∈M[0,1] 7→ ν(A) = ZA sen(nx)dx∞ n=1 ∈`2. En primer lugar tenemos que esta medida est´a bien definida, es decir, ∞ X n=1 ZA sen(nx)dµ 21/2 <∞. Esto se debe a que el sistema {cos(nx),sen(nx)}es una base ortonormal de L2[0,1]. Por lo tanto, dada una funci´on f∈L2[0,1], sus coeficientes de Fourier est´an en `2. Entonces, si tenemos f=χA∈L2[0,1] tenemos que RAsen(nx)dx∞ n=1 es una parte de los coeficientes de Fourier de f, y por lo tanto la suma de sus cuadrados es finita. Por otro lado, νes una medida finitamente aditiva, ya que dados A1, A2conjuntos medibles Lebesgue disjuntos, se tiene que : ν(A1∪A2) = ZA1∪A2 sen(nx)dx∞ n=1 =ZA1 sen(nx)dx∞ n=1 +ZA2 sen(nx)dx∞ n=1 =ν(A1) + ν(A2). 52 Adem´as se cumple, por la desigualdad de Bessel, que kν(A)k2= ∞ X n=1 ZA sen(nx)dx 2!1/2 ≤ kχAkL2[0,1] =m(A)1/2. Por lo tanto, si (Aj)∞ j=1 es una sucesi´on disjunta de subconjuntos Aj⊆[0,1] medibles Lebesgue, entonces l´ım m  ν∞ [ j=1 Aj− m X j=1 ν(Aj)  2= l´ım m  ν∞ [ j=m+1 Aj  2 ≤l´ım mm(∞ [ j=m+1 Aj1/2 = 0 Por lo tanto νcomo la hemos definido es una medida vectorial numerablemente aditiva en `2. Ejemplo 5.1.7. Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida positiva y finita. Sea T:L1(µ)→Eun operador lineal y continuo. Definimos ν(A) := T(χA), A ∈Σ. Entonces νes finitamente aditiva, ya que dados A1, A2conjuntos medibles disjuntos, por la linealidad del operador Ttenemos que ν(A1∪A2) = T(χA1SA2) = T(χA1+χA2) = T(χA1) + T(χA2) = ν(A1) + ν(A2). Adem´as, para cada A, se tiene que kν(A)kE=kT(χA)kE≤ kTkkχAkL1(µ)=kTkµ(A). Consecuentemente, si (An)∞ n=1 es una sucesi´on disjunta de subconjuntos medibles, entonces l´ım m  ν∞ [ n=1 An− m X n=1 ν(An)  E= l´ım m  ν∞ [ n=m+1 An  E ≤l´ım mµ∞ [ n=m+1 AnkTk = 0. Por lo tanto νcomo la hemos definido es una medida vectorial numerablemente aditiva con valores en E. 53 Definici´on 5.1.8. Sea (X, Σ) un espacio medible, ν: Σ →Euna medida vectorial y µ una medida finita real no negativa. Si l´ım µ(A)→0ν(A)=0, entonces se dice que νes µ-continua y se escribe como νµ. A veces cuando νµdiremos que νes continua respecto de µo que νes absolutamente continua respecto de µ. 5.2. La integral de Bochner En esta secci´on veremos la definici´on de integral de Bochner. Es una abstracci´on de la integral de Lebesgue. Normalmente se dice que la integral de Bochner es simplemente la integral de Lebesgue con los valores absolutos reemplazados por normas. Veremos que a menudo esto es as´ı, pero hay veces que es una afirmaci´on err´onea sobre la integral de Bochner. Adem´as, veremos m´as adelante que, en general, el Teorema de Rad´on Nikodym falla para la integral de Bochner. Definici´on 5.2.1. Sea (X, Σ) un espacio de medida y µuna medida positiva y finita. Sea Eun espacio de Banach. Sea funa funci´on f:X→E. Se dice que fes simple, si existen x1. . . xn∈EyA1. . . Anmedibles tales que f= n X i=1 xiχAi. Para una funci´on simple f, la integral respecto de µse define por linealidad respecto de la medida, es decir, ZX f dµ =ZXn X i=1 xiχAidµ = n X i=1 xiZX (χAi)dµ = n X i=1 xiµ(Ai), donde se comprueba facilmente que el valor no depende de la expresi´on de fcomo suma de vectores por funciones caracter´ısticas. Adem´as, se tiene la siguiente propiedad fundamental: si fes una funci´on simple se cumple   ZX f dµ  E≤ZXkfkEdµ, (5.1) 54 cuya comprobaci´on es directa:   ZX f dµ  E=  ZX n X i=1 xiχAidµ  E=   n X i=1 xiµ(Ai)  E ≤ n X i=1 kxiµ(Ai)kE= n X i=1 kxikEµ(Ai) = n X i=1 kxikEZAi dµ =ZXn X i=1 kx1kEχAidµ =ZXkfkEdµ. Se dice fque es µ-medible si existe una sucesi´on (fn)∞ n=1 de funciones simples con l´ım nkfn(x)−f(x)kE= 0 e.c.t. x∈X. Observaci´on 5.2.2. En la literatura, el t´ermino fuertemente medible se usa a menudo para referirse a la µ-medibilidad. A veces, la referencia a la medida µse puede suprimir si no hay ambig¨uedad. Las propiedades usuales de estabilidad de una funci´on medible bajo sumas, multiplicaciones por escalar y l´ımite puntual se cumplen. Lo enunciaremos en el siguiente resultado. Proposici´on 5.2.3. Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida positiva y finita. (a) Si f, g :X→Eson µ-medibles, entonces f+ges µ-medible. (b) Si f:X→Ees µ-medible y α∈R, entonces αf es µ-medible. (c) Si fn:X→E(n≥1) son µ-medibles, entonces l´ımnfnes µ-medible. Definici´on 5.2.4. Sea (X, Σ) espacio medible, y µuna medida positiva y finita. Sea Eespacio de Banach. Sea f:X→Euna funci´on µ-medible, se dice que es integrable Bochner si existe una sucesi´on (fn)∞ n=1 de funciones simples tales que: l´ım nZXkfn(x)−f(x)kEdµ(x) = 0. Se cumple en este caso, a partir de (5.1) que la sucesi´on en Edada por ZX fndµ∞ n=1 es de Cauchy en Ey, por tanto se define la integral de frespecto de µcomo ZA f(x)dµ(x) = l´ım nZA fn(x)dµ(x), A ∈Σ. Se cumple que este l´ımite no depende de la sucesi´on (fn)∞ n=1 elegida. 55 =ZXhy∗,l´ım nfn(x)idµ(x) =ZXhy∗, f(x)idµ(x). donde hemos podido intercambiar l´ımite e integral por el Teorema de la Convergencia Dominada, pues RXkf(x)kEdµ(x)<∞. 5.3. El fallo del TRN en el caso vectorial Uno de los aspectos m´as interesantes de la teor´ıa de la integral de Bochner se basa en la siguiente pregunta: ¿Cu´ando surge una medida vectorial como una integral indefinida de Bochner? Si (X, Σ, µ) es un espacio de medida finito y ν: Σ →Ees una medida vectorial de la forma ν(A) = ZA f dµ, para alguna fintegrable Bochner, entonces νes numerablemente aditiva (por el Teorema 5.2.8), µ-cont´ınua y de variaci´on acotada. Rec´ıprocamente, en el caso de medidas complejas sabemos que por el Teorema de Radon- Nikodym, si νes una medida compleja, absolutamente continua respecto de µ, existe una funci´on integrable fpara la que ν(A) = RAf dµ. Para la integral de Bochner en general, esto no tiene por que ser cierto. Ejemplo 5.3.1. Una medida vectorial, numerablemente aditiva, con valores en c0y de variaci´on acotada que no tiene derivadad de Radon-Nikodym. Sea ([0,1],M[0,1]) espacio medible y µla medida de Lebesgue en [0,1]. Vamos a hacer una peque˜na modificaci´on en el Ejemplo 5.1.5 para obtener lo que buscamos. Definimos ν(A) := ZA sen(2nπx)dµ(x)∞ n=1. La prueba de que esta medida est´a bien definida, es decir, ν(A)∈c0, y de que es numerablemente aditiva, sigue los pasos de el Ejemplo 5.1.5. De la acotaci´on kν(A)kc0≤sup nZA|sen(2nπx)|dµ(x)≤µ(A), A ∈M([0,1]), se sigue que νes µ-continua y de variaci´on acotada, pues ∞ X i=1 kν(Ai)kc0≤∞ X i=1 µ(Ai) = µ(A)<∞. 62 Supongamos ahora que existe una funci´on f: [0,1] →c0integrable Bochner tal que ν(A) = ZA f(x)dµ(x), A ∈M([0,1]), donde fes de la forma x∈[0,1] 7→ f(x)=(fn(x))∞ n=1 ∈c0, donde l´ımn→∞ f(x) = 0 para casi todo x. Como el dual de c0es `1, las coordenadas de un funcional lineal en c0son todas funcionales lineales continuos, es decir, consideramos ρn= (0,...,1,...,0) ∈`1, entonces hρn, ν(A)i=ZA sen(2nπx)dµ(x), A ∈M([0,1]). Utilizando la Proposici´on 5.2.10, se tiene que hρn,ZA f(x)dµ(x)i=ZAhρn, f(x)idµ(x) = ZA fn(x)dµ(x), A ∈M([0,1]). Por lo tanto, ZA fn(x)dµ(x) = ZA sen(2nπx)dµ(x), A ∈M([0,1]). Entonces, como lo anterior se tiene para todo Amedible, se deduce que fn(x) = sen(2nπx) e.c.t., por lo que el candidato a funci´on densidad de Bochner es f(x) = sen(2nπx)∞ n=1. Veamos ahora que esta funci´on no toma valores en c0en un conjunto de medida positiva. Definimos An:= nx∈[0,1] : fn(x)≥1 √2o. Entonces µ(An) = 1 4para cada n. Ve´amoslo. Sabemos que x∈Ansi se tiene que sen(2nπx)≥1 √2. Por lo tanto, haciendo c´alculos y despejando la x se tiene que 1 2n+2 +k 2n−1≤x≤3 2n+2 +k 2n−1. 63 Definimos Ik:= h1 2n+2 +k 2n−1,3 2n+2 +k 2n−1i. Determinemos para qu´e valores de kse tiene Ik⊆[0,1]. Debe ser k≥0 y debe ocurrir que 3 2n+2 +k 2n−1≤1. Por lo tanto, 3 8+k≤2n−1, as´ı que k≤2n−1−1, porque kdebe ser entero. Por lo tanto, para k= 0 . . . 2n−1−1 se tiene que Ik⊆[0,1] y son disjuntos. Por lo tanto, hay 2n−1intervalos, y como µ(In) = 1 2n+1 , entonces µ(An) = 2n−1 2n+1 =1 4, como quer´ıamos. Consideremos ahora el conjunto de los puntos que pertenecen a una infinidad de conjuntos An: A=∞ \ n=1 ∞ [ j=n Aj. Podemos acotar inferiormente la medida de A: µ(A) = µ∞ \ n=1 ∞ [ j=n Aj= l´ım nµ∞ [ j=n Aj≥l´ım nµ(An) = 1 4. Por otro lado, consideremos el conjunto Bde los puntos x∈[0,1] tales que f(x)6∈ c0 B:= nx∈[0,1] : f(x)6∈ c0o. Como si x∈Ase tiene que xpertenece a una infinitud de conjuntos An, entonces fn(x)≥1 √2para infinitos valores de n∈N. Por lo tanto, l´ımnfn(x)6= 0, luego x∈B. Se sigue que µ(B)≥1 4. En particular, µ(B)>0. Se deduce que la funci´on fno toma valores en c0en casi todo x∈[0,1], luego la medida νno tiene una densidad Bochner integrable. Observaci´on 5.3.2. El fallo del Teorema de Radon-Nikodym para la integral de Bochner no es un aspecto negativo. En realidad, este fallo en casos especiales tiene poderosas repercusiones en la teor´ıa de operadores, la geometr´ıa de los espacios de Banach, la teor´ıa de dualidad de los espacios de Banach, la teor´ıa de probabilidad vectorial y la teor´ıa de integraci´on. 64 Ejemplo 5.3.3. Una medida vectorial con valores en L1([0,1]) que no tiene derivada de Radon-Nikodym. Sea ([0,1],M([0,1])) y µla medida de Lebesgue en [0,1]. Definimos ν:M[0,1] → L1([0,1]) como A∈M[0,1] 7→ ν(A) = χA∈L1([0,1]). Entonces νes numerablemente aditiva (por el Ejemplo 5.1.2), µ-continua y de variaci´on acotada. De hecho, se tiene que |ν|(A) = sup ∞ X n=1 kν(Ai)kL1(µ)= sup ∞ X i=1 µ(Ai) = µ(A), A ∈M([0,1]). Supongamos que existe g: [0,1] →L1([0,1]) integrable Bochner tal que ν(A) = ZA g dµ, A ∈M([0,1]). Definimos un operador T:L∞([0,1]) →L1([0,1]) como Tf =Z[0,1] fg dµ, f ∈L∞([0,1]). Veamos que este operador es compacto, es decir, que T(BL∞[0,1]) es un conjunto relativamente compacto en L1[0,1]. Sea ε > 0, como ges integrable Bochner, por la Definici´on 5.2.4, existe una funci´on gnsimple tal que Z[0,1] kg(x)−gn(x)k1dµ(x)< ε. Sea gn(x) = Pm i=1 ηiχAi(x) donde ηi∈L1[0,1] y (Ai)m i=1 son conjuntos medibles disjuntos. Sea f∈BL∞[0,1], es decir, |f(x)| ≤ 1 e.c.t. y x∈[0,1]. Entonces   Z[0,1] f(x)g(x)dµ(x)−Z[0,1] f(x)gn(x)dµ(x)  1=  Z[0,1] f(x)(g(x)−gn(x)) dµ(x)  1 (5.2) ≤Z[0,1] kf(x)(g(x)−gn(x)k1dµ(x) =Z[0,1] |f(x)|kg(x)−gn(x)k1dµ(x) ≤Z[0,1] kg(x)−gn(x)k1dµ(x) < ε 65 Desarrollemos Z[0,1] f(x)gn(x)dµ(x) Z[0,1] f(x)gn(x)dµ(x) = Z[0,1] f(x)m X i=1 ηiχAi(x)dµ(x) = m X i=1 ηiZAi f(x)dµ(x), donde RAif(x)dµ(x) son escalares que cumplen: m X i=1 ZAi f(x)dµ(x)≤ m X i=1 ZAi|f(x)|dµ(x)≤ m X i=1 µ(Ai)≤1. Por lo tanto se cumple que el vector Z[0,1] gn(x)f(x)dµ(x) pertenece a la envolvente convexa de las funciones η1. . . ηmde L1[0,1]. Este conjunto es un conjunto compacto que denotamos K=co{η1, . . . , ηm}. Se sigue de (5.2) que T(BL∞[0,1])⊂K+ε, y como K+εes relativamente compacto, se deduce que T(BL∞[0,1]) es relativamente compacto como quer´ıamos. Por otro lado consideremos una sucesi´on de conjuntos medibles (An) tales que µ(An) = 1 2, µ(An∆Am) = 1 4. Una forma de obtenerlos es considerar particiones d´ıadicas sucesivas de [0,1] y formar An escogiendo los subintervalos impares de cada partici´on. Es decir, n= 1; I1=h0,1 2i, I2=h1 2,1i n= 2; I3=h0,1 4i, I4=h1 4,1 2i, I5=h1 2,3 4i, I6=h3 4,1i n= 3; I7=h0,1 8i, I8=h1 8,1 4i, I9=h1 4,3 8i, I10 =h3 8,12i I11 =h1 2,5 8i, I12 =h5 8,3 4i, I13 =h3 4,7 8i, I14 =h7 8,1i . . . De esta forma se tiene: kχAn−χAmk1=µ(An∆Am) = 1 4. Como tenemos que Tes compacto, es decir T(BL∞[0,1]) relativamente compacto, se tiene que como χA∈BL∞[0,1], existe una subsucesi´on (χAnk) de la sucesi´on (χAn) tal que kT(χAnk)−T(χAmk)k1→0. 66 Sin embargo, tenemos que kT(χAn)−T(χAm)k1=  ZAn g(x)dµ(x)−ZAm g(x)dµ(x)  1 =kν(An)−ν(Am)k1 =kχAn−χAmk1 =µ(An∆Am) =1 4. Por lo tanto, no puede existir dicha subsucesi´on y entonces T no puede ser compacto. Sin embargo, hab´ıamos visto antes que si existiera la funci´on gintegrable Bochner, Tser´ıa compacto. Esto significa que entonces no puede existir la funci´on gcomo la hemos definido. 5.4. Teorema de Radon-Nikodym y representaci´on de operadores Este cap´ıtulo se centra en la relaci´on que hay entre el Teorema de Representaci´on de Riesz y el Teorema de Radon-Nikodym. Recordemos primero lo que dicen estos teoremas. Definici´on 5.4.1. Una funci´on g:X→E µ-medible es esencialmente acotada si cumple ´ınf na > 0 : µ{x∈X:kg(x)kE> a}= 0o<∞. Teorema 5.4.2 (Representaci´on Riesz).Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida positiva y finita. Sea E espacio de Banach y T:L1(µ)→Eun operador lineal y continuo. Entonces existe una funci´on g:X→E µ-medible y esencialmente acotada tal que Tf =ZX fg dµ, f ∈L1(µ).(5.3) Teorema 5.4.3 (Radon-Nikodym).Sea (X, Σ) un espacio medible y µuna medida positiva y finita. Sea E espacio de Banach. Sea ν: Σ →Ees una medida vectorial, µ-continua y de variaci´on acotada. Entonces existe una funci´on gintegrable Bochner respecto de µtal que ν(A) = ZA g dµ, A ∈Σ.(5.4) Veremos que la conexi´on entre ellos es b´asicamente formal y que si Ees un espacio de Banach fijo, entonces el Teorema de Representaci´on de Riesz describe todos los operadores Tcomo en (5.3) si y s´olo si el Teorema de Rad´on-Nikodym describe todas las medidas ν como en (5.4). 67 Ejemplo 5.4.4. Fallo del Teorema de Representaci´on de Riesz para un operador T:L1[0,1] → c0 Sea ([0,1],M[0,1]) y µla medida de Lebesgue. Definimos un operador T:L1(µ)→c0 como Tf =Z[0,1] f(t)sen(2nπt)dµ(t)∞ n=1. De nuevo por el Lema de Riemann-Lebesgue se prueba que Tes un operador lineal en L1(µ) con valores en c0. Adem´as, kTfkc0= sup nZ[0,1] f(t)sen(2nπt)dµ(t) ≤sup nZ[0,1] |f(t)sen(2nπt)|dµ(t) ≤Z[0,1] |f(t)|dµ(t) =kfk1 Por lo tanto, Test´a acotado. Supongamos entonces que existe una funci´on g:X→E µ-medible y esencialmente acotada tal que Tf =Z[0,1] fg dµ, f ∈L1(µ). Entonces, si νes la medida vectorial del Ejemplo 5.3.1 yAmedible, se sigue que ν(A) = T(χA) = ZA g dµ, pero por dicho ejemplo sabemos que esta funci´on gno existe. Ejemplo 5.4.5. Fallo del Teorema de Representaci´on de Riesz para el operador identidad en L1([0,1]) Sea ([0,1],M[0,1]) y µla medida de Lebesgue. Sea Tel operador identidad en L1([0,1]). Si el Teorema de Representaci´on de Riesz se cumple para este operador, existe una funci´on g: [0,1] →L1([0,1]) acotada, µ-medible tal que f=Tf =Z[0,1] fg dµ, f ∈L1([0,1]). En particular, tenemos que χA=RAg dµ, A ∈M[0,1]. Pero entonces, sabemos que g ser´ıa la derivada de Radon-Nikodym de la medida νdefinida en el Ejemplo 5.3.3, lo que es imposible porque hab´ıamos demostrado que no existe. 68 La relaci´on entre los Ejemplos 5.3.1,5.3.3 de la secci´on anterior y los Ejemplos 5.4.4, 5.4.5 no es accidental. Precisaremos con los siguientes resultados esta relaci´on. Definici´on 5.4.6. Sea (X, Σ) espacio medible, µuna medida positiva y finita y Eun espacio de Banach. Se dice que Etiene la propiedad de Radon-Nikodym respecto a (X, Σ, µ) si para cada medida vectorial ν: Σ →E µ-continua, de variaci´on acotada, existe gintegrable Bochner tal que ν(A) = ZA g dµ, A ∈Σ. Se dice que Etiene la propiedad de Radon-Nikodym si la tiene respecto a cada espacio de medida finita. Sea T:L1(µ)→Eun operador lineal y acotado, se dice que es representable Riesz si existe g:X→Etal que Tf =ZX fg dµ, f ∈L1(µ), donde ges µ-medible y esencialmente acotada. Teorema 5.4.7. Sea (X, Σ) un espacio medible, µuna medida positiva finita y Eun espacio de Banach. Entonces Etiene la propiedad de Radon-Nikodym respecto de (X, Σ, µ) si y solo si cada T:L1(µ)→Ees representable Riesz. Demostraci´on. ⇒) Supongamos que Etiene la propiedad de Rad´on-Nikodym respecto a (X, Σ, µ). Sea T:L1(µ)→Eun operador lineal y continuo. Definimos ν: Σ →Ecomo ν(A) := T(χA), A ∈Σ. Como kν(A)kE=kT(χA)kE≤ kTkkχAkL1(µ)=kTkµ(A), se sigue que νes numerablemente aditiva, µ-continua y de variaci´on acotada. Entonces, como Etiene la propiedad de Rad´on-Nikodym, existe una funci´on gintegrable Bochner tal que ν(A) = T(χA) = ZA g dµ, A ∈Σ. Por lo tanto se tiene que T(f) = ZX fg dµ, para fsimple y por lo tanto para f∈L∞(µ), porque cualquier funci´on f∈L∞(µ) es el l´ımite uniforme de funciones simples. Por lo tanto tenemos que T(f) = ZX fg dµ, f ∈L∞(µ). Como kν(A)kE≤ kTkµ(A) para todo Amedible, se sigue que |ν|(A)≤ kTkµ(A). Por lo tanto, para Amedible con µ(A) positivo, 1 µ(A)ZAkgkEdµ ≤ kTk. 69 Entonces por la Proposici´on 2.2.2, llegamos a que kgkE≤ kTke.c.t. Por lo tanto, ges µ-medible y esencialmente acotada y por eso Tes representable. ⇐) Supongamos que cada operador lineal y continuo T:L1(µ)→Ees representable. Sea ν: Σ →Euna medida vectorial µ-continua de variaci´on acotada. Como νes numerablemente aditiva, entonces tambi´en lo es |ν|. Adem´as, como |ν|se anula en cada conjunto de medida µnula, la medida |ν|tambi´en es µ-continua. Existe una sucesi´on (An)∞ n=1 de subconjuntos medibles disjuntos tal que X=S∞ n=1 An con la propiedad de que (n−1)µ(A)≤ |ν|(A)≤nµ(A), para cada Amedible contenido en Anpara n= 1,2, . . . Para eso, elegimos una funci´on no negativa h∈L1(µ) tal que |ν|(A) = ZA h dµ, A ∈Σ, y entonces consideramos An={x∈X:n−1≤h(x)< n} Fijado ny para una funci´on simple f=Pm i=1 αiχBicon Bimedible, Bi∩Bj=∅para i6=j, definimos el operador Tn(f) := m X i=1 αiν(An∩Bi) = ZAn f dν. Entonces, tenemos: kTn(f)kE=   m X i=1 αiν(An∩Bi)  E ≤ m X i=1 |αi||ν|(An∩Bi) ≤ m X i=1 |αi|nµ(An∩Bi) =nkfk1. Se sigue entonces que Tnse extiende a un operador lineal y continuo de L1(µ) en E. Como cada operador T:L1(µ)→Ees representable, existe gn:X→E µ-medible y esencialmente acotada tal que Tn(f) = ZX fgndµ, f ∈L1(µ). Adem´as, se tiene que ν(A∩An) = Tn(χA) = ZA gndµ, A ∈Σ. 70 Haciendo esto para cada n, construimos una sucesi´on (gn)∞ n=1 µ-medible y esencialmente acotada tal que ν(A∩An) = RAgndµ para Amedible. Definimos g:X→Ecomo g(w) := gn(w), w ∈An. Entonces, como νes numerablemente aditiva, ν(A) = l´ım mνA∩m [ n=1 An= l´ım mZA∩(Sm n=1 An) g dµ. Tomando A=∪m n=1An, se deduce que ν(∪m n=1An) = Z∪m n=1An g dµ. As´ı, Z∪m n=1AnkgkEdµ =|ν|(∪m n=1An)≤ |ν|(X). Tomando supremo en m∈N, se deduce, como νes de variaci´on acotada, que ZXkgkEdµ ≤ |ν|(X)<∞, y por lo tanto kgk ∈ L1(µ) por el Teorema de la Convergencia Mon´otona. Por ´ultimo, por el Teorema de la Convergencia Dominada, se tiene que ν(A) = l´ım mZA∩Sm n=1 An g dµ =ZA g dµ. Por lo tanto, Etiene la propiedad de Rad´on-Nikodym respecto de (X, Σ, µ) como quer´ıamos probar. 5.5. Bases de Schauder En cualquier tratamiento de sucesiones y series en espacios de Banach, un papel importante est´a reservado para las sucesiones b´asicas. La discusi´on de esta importante noci´on, ocupar´a esta secci´on del cap´ıtulo. Se sentar´a una base en la que construiremos varios de los aspectos m´as importantes de la teor´ıa de sucesiones y series en espacios de Banach. Definici´on 5.5.1. Una sucesi´on (xn)∞ n=1 en un espacio de Banach E, se llama base de Schauder para Esi para cada x∈Eexiste una ´unica sucesi´on (αn)∞ n=1 de escalares tal que x= l´ım n n X k=1 αkxk. 71 Entonces se tiene que ZXkgkEdµ =ZX   ∞ X n=1 ν(An) µ(An)χAn  Edµ =∞ X n=1 ZAn kν(An)kE µ(An)dµ =∞ X n=1 kν(An)kE µ(An)µ(An) =∞ X n=1 kν(An)kE =|ν|(X) <∞. Luego ges integrable Bochner. Comprobemos que ges una densidad para la medida ν. Como la medida µes puramente at´omica, todo conjunto medible Aes uni´on de una familia de ´atomos A=Sn∈ZAn, para Z⊆N. ν(A) = X n∈Z ν(An) =X n∈Z ν(An) µ(An)µ(An) =X n∈Z ν(An) µ(An)ZAn dµ(x) =X n∈Z ν(An) µ(An)ZX χAn(x)dµ(x) =ZXX n∈Z ν(An) µ(An)χAn(x)dµ(x) =ZA∞ X n=1 ν(An) µ(An)χAn(x)dµ(x) =ZA g(x)dµ(x). Ejemplo 5.6.3. Un ejemplo sencillo de un espacio con la propiedad de Radon-Nikodym es `1. Sea (Ω,Σ, µ) espacio de medida. Si ν: Σ →`1es una medida vectorial, µ-continua, de variaci´on acotada, entonces podemos aplicar el teorema de Radon-Nikodym escalar a cada coordenada para producir una derivada de Radon-Nikodym de νrespecto de µ. Consideremos el funcional coeficiente ρn, con n∈N. Entonces A∈Σ7→ hρn, ν(A)i ∈ C 78 es una medida real y µ-continua. Por el Teorema de Radon-Nikodym, Teorema 2.1.1, existe una funci´on fnintegrable respecto de µtal que hρn, ν(A)i=ZA fndµ, A ∈Σ. Se sigue que ν(A) = ZA fndµ∞ n=1 ∈`1, A ∈Σ. Veamos que las funciones fncon n∈N, permiten definir una funci´on vectorial con valores en `1. Dado N∈N, consideramos la medida A∈Σ7→ νN(A) := ZA f1dµ, . . . , ZA fNdµ, 0, . . . ∈`1. Se cumple kνN(A)k1=   N X n=1 ZA fn(x)dµ(x)ρn  1≤ kν(A)k1. Del Teorema 5.2.8(d) se sigue que |ν|N(A) = ZA   N X n=1 fn(x)ρn  1dµ(x)≤ |ν|(A). entonces sup NZΩ   N X n=1 fn(x)ρn  1dµ(x)≤ |ν|(Ω). Como se cumple    N X n=1 fn(x)ρn  1≤   N+M X n=1 fn(x)ρn  1, se sigue que ZΩ   ∞ X n=1 fn(x)ρn  1dµ(x)<∞. Se sigue que para casi todo x∈Ω    ∞ X n=1 fn(x)ρn  1<∞. Es decir, f(x) := (fn(x))∞ n=1 ∈`1e.c.t x∈Ω. Adem´as, se tiene que ZΩkf(x)k1dµ(x)≤ |ν|(Ω), 79 luego f: Ω →`1es integrable Bochner y ν(A) = ZA fn(x)dµ(x)∞ n=1 =ZA f(x)dµ(x). Por lo tanto, si tenemos (fn(x))∞ n=1 la sucesi´on escalar de derivadas de Radon-Nykodym de cada coordenada de ν, entonces ∞ X n=1 fn(x)ρn(x) converge a f(x) = (f1(x), . . . , fn(x), . . . )∈`1y esa es la derivada de Radon-Nikodym de ν. Este fen´omeno ocurre en los espacios de Banach con base de Schauder acotadamente completa. Teorema 5.6.4 (Dunford).Sea (Ω,Σ, µ)un espacio de medida, µmedida positiva y finita. Sea Eespacio de Banach. Si Etiene una base de Schauder acotadamente completa (xn)∞ n=1, entonces Etiene la propiedad de Radon-Nikodym. Demostraci´on. Notamos por (x∗ n) la sucesi´on de funcionales coeficientes de la base (xn)∞ n=1, entonces cada x∈Etiene la forma x=∞ X n=1 x∗ n(x)xn. Empezamos haciendo la norma “mon´otona” respecto a (xn)∞ n=1. Definimos una nueva norma k·kmen E, escribiendo para x∈E kxkm:= sup n   n X k=1 x∗ k(x)xk  . Se puede probar que la nueva norma es equivalente a la inicial (ver m´as adelante). Para cualquier sucesi´on de escalares (αn)∞ n=1, tenemos    n X k=1 αkxk  m≤   n+m X k=1 αkxk  m, para m, n enteros positivos. Ahora sea ν: Σ →Euna medida vectorial, µ-continua y de variaci´on acotada. Probaremos que νtiene una derivada de Radon-Nikodym integrable Bochner respecto de la norma k·km. Para cada n∈NyAmedible, sea λn(A) := x∗ n(ν(A)). 80 La medida λnes escalar, µ-continua, de medida finita en Σ, por lo que por el Teorema de Radon-Nikodym escalar, Teorema 2.1.1, existe gnintegrable en Ω tal que λn(A) = ZA gndµ, A ∈Σ. Tambi´en por la monoton´ıa de k·kmtenemos que    N X k=1 ZA gk(w)dµ(w)xk  m≤   N+M X k=1 ZA gk(w)dµ(w)xk  m≤ kν(A)km.(5.6) Se sigue que por el Teorema 5.2.8 sup nZΩ   n X k=1 gk(w)xk  mdµ(w)≤ |ν|(Ω). Entonces, ZΩ   ∞ X k=1 gk(w)xk  mdµ(w)<∞,(5.7) luego para casi todo w∈Ω    ∞ X k=1 gk(w)xk  m<∞. Es decir, supnkPn k=1 gk(w)xkkmexiste para casi todo w∈Ω. Como (xn)∞ n=1 es una base acotadamente completa, esto significa que l´ım n n X k=1 gk(w)xk=g(w) existe en casi todo w∈Ω, y por lo tanto g: Ω →Ees medible y por el Lema de Fatou y la desigualdad (5.7), ges integrable Bochner. Finalmente, del hecho de que kPn k=1 gk(w)xkkm≤ kg(w)kmen casi todo, y por el Teorema de la Convergencia Dominada, se sigue que para cada Amedible ν(A) = l´ım n n X k=1 λk(A)xk= l´ım n n X k=1 ZA gkdµxk=ZA g dµ. Veamos por ´ultimo que k · kmyk · kEson equivalentes. Por una parte, al ser x= l´ımnPn k=1 αkxk, se tiene kxkE= l´ım n   n X k=1 αkxk  E≤sup n   n X k=1 αkxk  E=kxkm. 81 Consideremos la aplicaci´on identidad entre el espacio E considerado con la dos normas Id: (E, k·km)→(E, k·kE). La desigualdad kxkE≤ kxkmque acabamos de probar muestra que Id es continua. Ahora bien, es biyectiva. Se puede probar, como se hizo en la prueba del Teorema 5.5.3, que el espacio Econ la norma k·kmes completo. Se sigue del Teorema de la Aplicaci´on Abierta que su inversa tambi´en es continua, luego existe K > 0 tal que kxkm≤KkxkE, x ∈E. Por lo tanto kxkE≤ kxkm≤KkxkE, x ∈E, es decir, las dos normas son equivalentes. Se cumple que la propiedad de Radon-Nikodym es invariante bajo isomorfismos lineales, pues si ν(A) = RAg dµ, con g:X→EyT:E→Fes un operador lineal y continuo entres dos espacios de Banach EyF, entonces T(ν(A)) = ZA T◦g dµ, A ∈Σ. donde la funci´on T◦g:X→Fes integrable Bochner si y s´olo si lo es g. Por lo que como hemos visto tiene una derivada de Radon-Nikodym integrable Bochner bajo la nueva norma k·kmen E, tambien la tiene bajo la norma original. 82 Bibliograf´ıa [1] Cohn, D.L., Measure Theory, Birkhauser, Basel, 1993. [2] Diestel, J. Sequences and Series in Banach spaces, Springer-Verlag, New York, 1984. [3] Diestel, J. and Uhl, J.J., Vector Measures, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1977. [4] Rudin, W., Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1970. 84