Aplicaciones del Equilibrio de Nash a situaciones reales

1 Proyecto Fin de Carrera Ingeniería en Tecnologías Industriales Aplicaciones del Equilibrio de Nash a situaciones reales. Autor: Cristina Muley Escribano Tutor: Inmaculada Ventura Molina Manuel Ordóñez Sánchez Dpto. Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 2 3 Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Tecnologías Industriales Aplicaciones del Equilibrio de Nash a situaciones reales. Autor: Cristina Muley Escribano Tutor: Inmaculada Ventura Molina Manuel Ordóñez Sánchez Dpto. de Matemática Aplicada II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021. 4 5 Proyecto Fin de Carrera: Aplicaciones del Equilibrio de Nash a situaciones reales. Autor: Cristina Muley Escribano Tutor: Inmaculada Ventura Molina Manuel Ordóñez Sánchez El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2021 El Secretario del Tribunal 6 7 A mi hermano, que merece mucho más que estas palabras de admiración. Ad maiorem Dei gloriam. 8 Resumen El conocido como “Equilibrio de Nash” se ha aplicado y adaptado ampliamente en la economía y otras ciencias del comportamiento. De hecho, la teoría de los juegos, con el equilibrio de Nash como pieza central, se ha convertido en la teoría unificadora más destacada de las ciencias sociales. En este proyecto se introduce al lector en el campo de los juegos, explicando los conceptos que ha de conocer para sacar provecho a la lectura. Se explican los orígenes y la utilidad de la teoría de juegos, así como sus aplicaciones a la vida real, centrándonos en la política y las ciencias sociales. Se ha realizado una simulación de un juego aplicado a la actual crisis de Afganistán. 9 Abstract The so-called "Nash equilibrium" has been widely applied and adapted in economics and other behavioral sciences. In fact, game theory, with Nash equilibrium as its centerpiece, has become the most prominent unifying theory in the social sciences. This thesis introduces the reader to the field of games, explaining the concepts he or she needs to know to benefit from the reading. The origins and usefulness of game theory are explained, as well as its applications to real life, focusing on politics and the social sciences. A simulation of a game applied to the current crisis in Afghanistan has been carried out. 16 2.3. Juegos en forma normal o estratégica. Los juegos en forma normal o estratégica se caracterizan principalmente por la simultaneidad de las decisiones de los agentes que participan en el juego. Es decir, ninguno de los participantes del juego conoce las decisiones que van a tomar los demás participantes. En un primer momento se podría pensar que la interdependencia en este tipo de juegos no existe. Pero si pensamos más allá es claro que lo que elija un jugador dependerá, a veces en gran medida, de las elecciones de los otros. Por ejemplo. Supongamos un juego de cartas donde los ases son las cartas que puntúan más. Si a cierto jugador le han tocado dos ases, éste puede pensar que es difícil que otro jugador tenga dos ases y actuar de un modo concreto. Puede estar en lo cierto o no, pero lo lógico es que sus decisiones se vean condicionadas por las expectativas que tiene el jugador de los demás jugadores. Un juego expresado en forma normal podrá ser definido mediante tres elementos: • Un conjunto de jugadores I={1,2,...,n}. • Un conjunto de estrategias Si para todo jugador i ∈ I. • Funciones de utilidad o de pagos von Newmann-Morgenstern Ui(S) para cada combinación S=(S1,...,Sn) de estrategias. En la Figura 1 se ve un ejemplo sencillo de un juego representado en forma normal. Tenemos dos jugadores (J1, J2), denotamos por Eji la estrategia i ∈{1,2,3} del jugador j ∈{1,2}. Los pares (-, -) representan los pagos expresados en utilidad de von Neumann- Morgenstern. Así, para el par (3,2), 3 es el pago que recibe J1 al elegir él la estrategia E11 y J2 la estrategia E21. Mientras que 2 el pago que recibe J2 al elegir J1 la estrategia E11 y él la estrategia E21. Cada jugador deberá elegir qué estrategia usar en esta jugada, sin saber qué ha elegido el otro. J2 E21 E22 E23 J1 E11 (3,2) (4,0) (5,1) E12 (1,0) (7,3) (2,5) E13 (2,-1) (8,5) (2,7) Figura 1. Representación de un juego en forma normal. 17 2.4. Juegos en forma extensiva. Un juego en forma extensiva consiste en: • Un conjunto de n jugadores. • Un árbol enraizado que es el árbol asociado al juego. • Cada hoja del árbol da un pago a los jugadores en el caso de que acabe en esa hoja. • Una probabilidad de elección del camino entre nodos para cada jugador. La Figura 2 muestra un ejemplo de lo que sería un modo de representar un juego en forma extensiva con un árbol de decisión para un juego con dos jugadores, jugando el primero de ellos dos veces y terminando la partida, e interviniendo el segundo una vez entre las dos jugadas del primero. El conjunto de posibles acciones es {A, B, C, D, E} y los pagos se han generado de forma aleatoria. Figura 2. Árbol de decisión para un juego en forma extensiva. 18 3. La teoría de Nash. 3.1. Introducción. Consideremos el juego de la Figura 3 y supongamos que existe una poblacin de individuos que se enfrentan de forma repetida, pero annima a este tipo de situacin de interdependencia estratgica. Cada jugador se enfrenta, por tanto, muchas veces a ese tipo de situacin, pero cada una de ellas con rivales distintos. Bajo esta perspectiva, resulta lgico preguntarnos si cabe esperar que surja una manera estable de desarrollarse el juego, esto es, que siempre que los jugadores se enfrenten a una situacin de este tipo jueguen de la misma manera. Si as fuese, la combinacin de estrategias propuesta como forma estable de desarrollarse el juego debera servir de base para la formacin de expectativas de los jugadores y, adems, debera ser racional, en el sentido de que cada jugador est eligiendo una estrategia ptima dadas esas expectativas. En otras palabras, si un juego tiene una forma estable de jugarse, entonces: las expectativas de cada jugador cada vez que se enfrente a una situacin de ese tipo deberan ser que el otro se comportar como lo hacen siempre jugadores de ese tipo en estas situaciones. Cada jugador debera estar adoptando una estrategia que fuese la mejor respuesta a esas expectativas. Consideremos la combinacin de estrategias (𝑏2, 𝑎3) y veamos si cumple estas condiciones. Si el jugador b creyese, en base a su experiencia previa, que los de tipo a siempre eligen la estrategia 𝑎3 ciertamente su eleccin sera 𝑏2. Sin embargo, si el jugador a creyese que los jugadores de tipo b siempre eligen 𝑏2, su mejor respuesta no sera 𝑎3, sino 𝑎2. En definitiva, los jugadores de tipo a jugaran de otra manera, las expectativas de los de tipo b tambin seran otras, lo que les llevara a su vez a jugar de otra manera. Si analizsemos, una por una, todas las combinaciones de estrategias del juego, veramos que slo en una de ellas, la (𝑏1,𝑎1), se dan esas condiciones de consistencia. En efecto, si cada jugador se comportase de acuerdo con ella siempre que se enfrentase a una situacin de este tipo, vera a posteriori que su eleccin ha sido la mejor posible dado lo que ha hecho el otro. Cada vez que se enfrentase a una situacin como sta no tendra razones para cambiar sus expectativas y, por tanto, tampoco su comportamiento. Lo que distingue en ltima instancia a la combinacin (𝑏1,𝑎1), del resto es que ambas estrategias son simultneamente mejor respuesta la una a la otra. Un equilibrio de Nash es precisamente una combinacin de estrategias que cumple esa condicin: que cada jugador esta eligiendo la mejor estrategia posible dadas las estrategias elegidas por los otros. 19 Figura 3. 3.2. Determinacin del equilibrio de Nash. El procedimiento habitual a la hora de determinar los equilibrios de Nash de un juego consta de dos pasos: 1. Bsqueda, para cada jugador, de las estrategias que constituyen mejores repuestas a cada posible combinacin de estrategias del resto de jugadores. 2. Determinación de todas las combinaciones de estrategias que son simultáneamente mejores respuestas para todos los jugadores. Mostramos a continuación un ejemplo: En el juego representado en la Figura 4 las mejores respuestas de un jugador a cada posible estrategia del otro se señalan subrayando el pago correspondiente. El hecho de que solo la combinación de estrategias (𝑎1, 𝑏1) presente los dos pagos subrayados, nos indica que constituye el único equilibrio de Nash del juego. 𝑏1 𝑏2 𝑎1 16,7 3,5 𝑎2 4,8 22,6 𝑎3 7,5 19,9 Figura 4. Mejores respuestas y equilibrio de Nash. 3.3. Estrategias mixtas. Consideremos el juego representado en su forma estratégica en la Figura 5. Hemos denominado al mismo «pares o nones» porque la situación de interdependencia estratégica que representa se corresponde con la del juego popular que se conoce con ese nombre. Podemos comprobar que ninguna de las cuatro combinaciones de estrategias posibles constituye un equilibrio de Nash. 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏1 2,4 5,0 0,2 𝑏2 0,0 1,8 4,6 20 Vamos a considerar que los jugadores en lugar de elegir una única estrategia, lo que hacen es asignar una probabilidad a cada una de ellas. Denominaremos a cada una de esas posibles reglas estrategia mixta y a cada una de las estrategias originales estrategia pura. Una estrategia mixta es, por tanto, una distribución de probabilidad sobre el conjunto de estrategias puras {𝑃,𝑁}. Podemos considerar a una estrategia pura como una estrategia mixta degenerada que asigna toda la probabilidad a una de las alternativas. Vamos a representar de manera genérica una estrategia mixta cualquiera para el jugador a por 𝜎𝑎 = (p, 1 − p) y una para el jugador 𝑏 por 𝜎𝑏=(𝑞,1−𝑞). Consideremos por separado el problema de decisión de cada uno de los jugadores. Si comenzamos poniéndonos en lugar del jugador a, su ganancia esperada si elige una estrategia mixta cualquiera 𝜎𝑎 = (p, 1 − p), cuando b elija a su vez una mixta cualquiera 𝜎𝑏=(𝑞,1−𝑞) vendr dada por: 𝐺𝑎(𝜎𝑎,𝜎𝑏) = 𝑝𝑞(1)+𝑝(1−𝑞)(−1)+(1−𝑝)𝑞(−1)+(1−𝑝)(1−𝑞)](1) = 4𝑝𝑞−2𝑝−2𝑞+10. Figura 5. Juego de pares y nones. La elección de una estrategia mixta por parte del jugador a queda totalmente determinada por el valor que asigne a p, por lo que podemos plantear su problema de elección en términos de dicho valor. Partiendo de él y derivando parcialmente respecto a p podemos ver su influencia sobre la ganancia esperada del jugador a. 𝐺𝑎(𝜎𝑎,𝜎𝑏)𝑝=4𝑞−2 cantidad que es positiva si 𝑞>0,5. 𝑃 𝑁 𝑃 1,-1 -1,1 𝑁 -1,1 1,-1 21 Estamos ya en condiciones de determinar la mejor respuesta del jugador a (en trminos de qué estrategia mixta elegir) para cada posible estrategia mixta del jugador b. Así definimos 𝑝(𝑞∗) como la normalización de las ganancias o pérdidas del jugador. 𝑝(𝑞∗)={ 1 𝑠𝑖 𝑞>0,5 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑞=0.5 0 𝑠𝑖 𝑞<0.5 Figura 6. Correspondencia de mejor respuesta del jugador a. Si el jugador a asigna una probabilidad mayor de 0.5 a que el jugador b elija una determinada estrategia, su mejor respuesta es jugar con probabilidad 1 esa misma estrategia (a gana si los dos eligen P o los dos eligen N). Únicamente en el caso de que crea igual de probable que el otro elija cualquiera de las dos estrategias tendra ms de una respuesta ptima, de hecho, tendra infinitas: su ganancia esperada es la misma elija la mixta que elija. Haciendo lo mismo para el jugador b tenemos que: 𝑞(𝑝∗)={ 0 𝑠𝑖 𝑝>0,5 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑝=0.5 1 𝑠𝑖 𝑝<0.5 p q 1 1 0,5 22 Figura 7. Correspondencia de mejor respuesta del jugador b. Una vez tenemos las correspondencias de mejor respuesta para ambos jugadores, estamos ya en condiciones de determinar si existen o no equilibrios de Nash en estrategias mixtas para este juego. La Figura 8 nos permite apreciar que este equilibrio se produce cuando cada jugador elige la estrategia mixta (0.5,0.5), esto es, adopta la regla de jugar cada una de sus dos estrategias con la misma probabilidad. Podríamos decir que, en el nico equilibrio de Nash del juego ambos jugadores se comportan de manera totalmente impredecible, en el sentido de que eligen una regla de comportamiento que asigna la misma probabilidad a cada una de sus estrategias puras. Podemos interpretar también este equilibrio en términos de la incertidumbre que a los jugadores les interesa crear en su rival. Que el equilibrio de Nash sea (0.5,0.5) nos recuerda que no es suficiente con crear incertidumbre en el rival sobre la estrategia pura que elegiremos, sino que la incertidumbre creada deber ser tal que el rival crea que es igual de probable que juguemos cualquiera de nuestras dos estrategias puras. En muchos juegos de envite o incluso en las competiciones deportivas, el comportamiento óptimo de los jugadores es «mezclar» adecuadamente entre las distintas acciones que pueden llevar a cabo (echar un farol en un juego de envite, elegir el tipo de golpe por parte de un jugador de tenis, …). p 1 1 0,5 q 23 Figura 8. Equilibrio de Nash en estrategias mixtas para el juego "pares o nones". 3.4. Estrategias mixtas y dominancia. Una estrategia pura dominaba a otra si daba mayor ganancia que ella fuese cual fuese la combinación de estrategias elegida por los otros jugadores. Este concepto se extiende al concepto de dominancia al caso en el que los jugadores pueden elegir estrategias mixtas: La condición ahora para que una estrategia mixta domine a una pura es, por tanto, que la ganancia esperada jugando la mixta sea mayor que la ganancia esperada jugando la pura, sean cuales sea cual sea las estrategias puras elegidas por los otros jugadores. 3.4.1. Relación entre estrategias dominadas y estrategias mejor respuesta. Puede ocurrir que existan estrategias puras que sin estar dominadas por otras no sean la mejor respuesta bajo ninguna de las posibles expectativas que se pudiera formar el jugador correspondiente. La pregunta que nos falta por responder es qu ocurrir ahora si eliminamos, no sólo las estrategias que estén dominadas por otras puras, sino tambin todas aquellas otras que estn dominadas por una mixta. La respuesta, que no entramos a demostrar, es que para juegos con solo dos jugadores, si ampliamos el espacio de eleccin incluyendo las estrategias mixtas, el conjunto de estrategias no dominadas para un jugador coincide con el conjunto de estrategias que son mejor respuesta bajo alguna de sus posibles expectativas. En otras palabras, en un juego con dos jugadores, si una estrategia pura no est dominada (ni por una pura ni por una mixta) existirán unas expectativas bajo las cuales dicha estrategia es mejor respuesta. En consecuencia: para juegos con dos jugadores, el conjunto de estrategias racionalizables para cada uno de ellos puede determinarse aplicando la eliminacin iterativa de estrategias dominadas (por otras estrategias puras o mixtas). p 1 1 0,5 q 0,5 24 3.5. Interpretación del equilibrio de Nash como concepto de solución. Utilizar el equilibrio de Nash como concepto de solucin supone exigir que las expectativas de cada jugador sobre el comportamiento del resto sean correctas. ¿Cmo puede justificarse esa consistencia en las expectativas de todos los jugadores? En la medida que estamos estudiando juegos estticos, dichas expectativas no pueden tener su origen en el conocimiento previo que tengan unos jugadores de otros. Entre las posibles justificaciones de esa consistencia entre expectativas y estrategias cabe destacar las siguientes: 1. La experiencia acumulada de enfrentarse a situaciones similares de manera repetida en el tiempo con otros jugadores o la informacin recibida de otros jugadores que se han enfrentado a esa situacin; 2. La comunicacin previa al juego. En relacin con la comunicacin previa al juego, podemos pensar en una situacin en la cual los jugadores pueden enviarse mensajes antes de elegir una estrategia o incluso pueden negociar entre ellos. En este caso, si se pusiesen de acuerdo sobre una forma conjunta de comportarse, esta misma debera ser un equilibrio de Nash: tiene la propiedad de que existen incentivos para que cada jugador elija la estrategia acordada. Sin embargo, en la mayora de las ocasiones tomaremos como supuesto bsico que las expectativas de los jugadores tienen su origen en su experiencia previa derivada de enfrentarse a situaciones de interdependencia estratgica similares. Cada jugador tiene experiencia suficiente como para anticipar de manera correcta cómo jugarn los otros jugadores. Resulta til pensar en unas condiciones ideales en las cuales para cada jugador existe una poblacin de individuos que puede adoptar ese papel. Cada vez que se produce la situacin de interdependencia estratégica, un jugador de cada tipo es elegido al azar de la correspondiente poblacin, de tal manera que cada jugador se enfrenta a una misma situacin, pero con rivales distintos cada vez. Esto hace que cada jugador se forme unas expectativas sobre lo que hace el rival en una situacin de ese tipo, no sobre lo que hacen rivales concretos. Interpretado as, el equilibrio de Nash se corresponde con un estado estacionario y por tanto vendra a ser una norma social estable: si todo el mundo la sigue nadie tiene incentivos para desviarse. La forma de justificar la estabilidad del comportamiento puede variar de una situacin a otra. Si se propone una combinacin de estrategias como solucin estable de un juego, el que sea equilibrio de Nash es una condicin necesaria que debemos imponerle. En caso de que la solucin propuesta no fuese equilibrio de Nash, deberamos justificar el hecho de que al menos un jugador no esté adoptando la mejor respuesta al comportamiento del resto. Sin embargo, puede haber situaciones de interdependencia estratgica en las que un posible desarrollo del juego no sea un buen candidato a solucin a pesar de ser un equilibrio de Nash (que sea equilibrio de Nash no es condicin suficiente para ser solucin). 25 3.6. Existencia del equilibrio de Nash. Nash (1950) demostr que todo juego finito (ha de serlo S, esto es, el nmero de jugadores y el espacio de estrategias de cada uno de ellos) tiene al menos un equilibrio de Nash, que puede serlo en estrategias mixtas. Este resultado se conoce como Teorema de Nash. Es habitual encontrarnos con juegos que presentan ms de un equilibrio de Nash. En relacin con ello debemos recordar que resulta til considerar el equilibrio de Nash como una condicin necesaria, pero no suficiente, para proponer una combinacin de estrategias como solucin de un juego. Ante la presencia de varios equilibrios de Nash existen dos grandes grupos de aproximaciones para seleccionar alguno de ellos como solucin: 1. Incorporando informacin adicional. Un juego supone una abstraccin de la situacin real de interdependencia estratgica y el proceso de abstraccin puede suponer la eliminacin de informacin til para ayudarnos a seleccionar un equilibrio de Nash. A modo de ejemplo, la posibilidad de que los jugadores puedan comunicarse o negociar entre ellos con anterioridad al desarrollo del juego, la presencia de convenciones sociales o de puntos focales, el aprendizaje de experiencias pasadas, la evolucin… pueden fundamentar la eleccin de uno de los equibrios de Nash como solucin. 2. Imponiendo restricciones tericas adicionales (refinamientos del equilibrio de Nash). Es lo que viene a llamarse perfeccin en subjuegos o el equilibrio secuencial. 3.7. Aplicaciones de la Teoría de Nash. 3.7.1. Modelo de Cournot. En el modelo de Cournot las empresas elegan la cantidad que deseaban sacar al mercado, determinndose en ste el precio de venta. En 1883 Bertrand propuso un modelo alternativo en el que cada empresa eligía el precio, produciendo a continuacin la cantidad que le demandaran al mismo. 32 combinacin de estrategias, en las cuales cada una es una respuesta ptima a la otra. Por tanto, si ambos jugadores son racionales, no querrn desviarse de sus estrategias ptimas, ya que se arriesgaran a emplear una respuesta no ptima. La crisis de los misiles de Cuba en el ao 1962 fue uno de los picos de tensin ms lgidos de la Guerra Fra. Tras aos de hostilidad entre los cubanos y los norteamericanos, el pas caribeo decide acercarse al bloque comunista. Como resultado, los soviticos obtienen la posibilidad de instalar misiles balsticos de alcance medio en Cuba. Esto supona que si se produca un lanzamiento, este tendra un alcance de casi la totalidad del territorio estadounidense, con una alerta de tan solo cinco minutos. Jugador 2 Cooperar Desertar Jugador 1 Cooperar 2,2 1,3 Desertar 3,1 0,0 Figura 13. Matriz de pagos para la crisis de los misiles. Figura 14. Vista area de los silos de misiles. (USAF, 1962). De este modo, los norteamericanos se plantearon el escenario de destruir los misiles e invadir la isla de Cuba para que los soviticos no los volviesen a instalar. Ello provocara 33 una respuesta sovitica (que probablemente ocurrira en Berln occidental), lo que dara comienzo a la Tercera Guerra Mundial. Pero no era una opcin razonable para ambas potencias. Otro aspecto a tener en cuenta es que no exista una lnea de comunicacin directa entre el presidente de los Estados Unidos y el de la Unin Sovitica. Por tanto, esta situacin se asemeja al dilema del Gallina. Ambos jugadores van a amenazar con la guerra para que el contrario ceda en sus pretensiones: uno de retirar los misiles de Cuba y el otro de que se retiren los misiles en Europa Occidental. Si no se llegaba a un acuerdo, ambos bloques chocaran y estallara un conflicto nuclear. Los equilibrios de Nash son D, C y C, D. La solucin aparente es que ambas potencias cooperen y lleguen a un acuerdo para evitar el holocausto nuclear. Pero esa estrategia no es ptima, ya que no es un equilibro de Nash. Por tanto, las dos lneas de accin ms probables son que los norteamericanos fuercen a los soviticos a retirar los misiles y que estos lo hagan, o que los norteamericanos intenten llegar a un acuerdo y claudiquen ante las acciones de la URSS para mantener en Cuba los misiles. Para poder analizar en profundidad este juego se deben tener en cuenta los factores externos a esa matriz de pagos. En este caso, el compromiso por desertar por parte de un jugador, el presidente J. F. Kennedy. Éste amenaz a los soviticos con responder a un ataque nuclear lanzado desde territorio. Los Estados Unidos mantuvieron esa lnea dura con la esperanza de ganar la batalla de los nervios a los soviticos. No obstante, tambin dejaban abierta la puerta a una futura negociacin con la decisin del bloqueo naval de Cuba para impedir que llegasen nuevos misiles. Esto permiti ver el compromiso de Kruschev de instalar esos misiles cuando los buques soviticos se acercaron a la lnea naval norteamericana. Cuando dieron media vuelta, Kennedy saba que haba ganado la batalla y la resolucin del conflicto estuvo ms cerca. Finalmente, una vez que éste supo de su fortaleza, se busc una solucin negociada para la retirada de los misiles, alcanzndose un compromiso bajo supervisin de Naciones Unidas. A cambio, la URSS obtuvo la promesa de que Estados Unidos nunca invadira la isla de Cuba. Cabe aclarar que el resultado del juego anterior no fue C, C. Dicho estado se alcanz una vez finalizado el mismo, ya que previamente Kennedy le haba ganado la batalla a Kruschev. 34 4. Una aproximación a la crisis de Afganistán. El análisis del problema que el sur de Afganistán supone es un reto notable dentro de la teoría de estrategias clásicas en el ámbito militar. Identificar y enmarcar el problema, aislar los centros críticos de crisis e intentar crear un estado democrático factible debido a la violencia de las numerosas tribus, narcotráfico y fanatismo religioso puede ser un problema de muy difícil solución. Los científicos sociales, los teóricos políticos y los economistas se encuentran con estos problemas mal estructurados de continuo. Una teoría que puede aplicarse particularmente al sur de Afganistán es la de los juegos. Intentamos, a continuación, dar unas directrices, desde la teoría de juegos, que permitan aislar el problema y desarrollar una estrategia de contrainsurgencia en Afganistán. Figura 15. Situación en Afganistán a 6 de agosto de 2021. 35 Supongamos que los estrategas militares en una región aislada de Afganistán se encuentran con el problema de crear una coalición para estabilizar la región en contra de los talibanes. Se identifican tres puntos críticos: 1. El apoyo o no que tengan las pequeñas comunidades de la región a los talibanes. 2. Las infraestructuras de comunicación entre estas aldeas. 3. Independientemente de la relación física, el hecho de que sus opiniones sean o no parecidas. Si una aldea decide apoyar a la coalición proporcionará un beneficio que se extenderá a las aldeas más próximas. Este beneficio es la suma de factores como una mayor confianza y empuje para que el esfuerzo de la coalición tenga sus frutos y del hecho de que los talibanes no podrán establecerse en dicha aldea excluyéndola de sus propias estrategias. Supongamos que el beneficio digamos pblico es “B” si deciden ayudar a la coalicin. Por otro lado, la contrapartida está en que a modo privado esto tiene un coste, el hecho de que los talibanes tomen represalias. Supongamos que este coste privado es “c”. Por otro lado, si la aldea decide adherirse a la causa talibán esto le lleva a incurrir en un costo pblico de “C” y la proteccin local dada por estos le proporcionaría un beneficio privado de “b”. Variable y valores del juego Beneficio Público Apoyo a la coalición B Costo Privado Apoyo a la coalición c Beneficio Privado Apoyo a los Talibanes b Costo Público Apoyo a los Talibanes C Tabla 1. Costo y beneficio. La Tabla 1 contiene un resumen de estos costos y beneficios con valores iniciales asignados a cada uno. 36 Para ver mejor la estructura del juego, en la siguiente tabla se incluyen los costos y beneficios de dos aldeas cercanas en función de que apoyen a la coalición o no. Ciudad A Ciudad B Apoya a la coalición Apoya a los talibanes Apoya a la coalición 2B-c, 2B-c B-C-c,B+b-C Apoya a los talibanes B+b-C,B-c-C b-2C, b-2C Tabla 2. Costo y beneficio de dos aldeas. Para explicar esta tabla, por ejemplo, si ambas aldeas eligen apoyar a la Coalición, ambas reciben el beneficio público, 2 veces B, pero ambas también incurren en su propio costo privado, c. Por tanto, el resultado cuantificado de la decisión de cada aldea es 2B-c. Al aplicar los valores de la Tabla 1 se obtienen los resultados del juego, que se pueden encontrar en la tabla anterior. Si diéramos valores a estos parámetros, por ejemplo: B= 4, c=6, b=6, C=4; la simulación quedaría: 37 Ciudad A Ciudad B Apoya a la coalición Apoya a los talibanes Apoya a la coalición 2,2 -6,6 Apoya a los talibanes 6,-6 -2,-2 Tabla 3. Costo y beneficio para los valores B= 4, c=6, b=6, C=4. Aunque a primera vista parece que lo mejor es apoyar a la coalición, el verdadero equilibrio de Nash estaría en que ambas aldeas apoyen a los talibanes. Esto es debido al aislamiento de las aldeas y la poca comunicación entre ellas ya que los caminos de paso pueden estar custodiados por talibanes o incluso por la coalición que no se fía de los aldeanos. A la vista de esto, lo mejor para cada aldea por separado es apoyar a los talibanes como indica la tabla. Sin embargo, hay dos estrategias que la coalición puede usar para paliar esta falta de información mutua. Si la coalición estableciera puestos de combate avanzados que intimidaran a los talibanes entonces se podría reducir el coste de ser apoyada (c=6 en nuestro ejemplo). Si, por ejemplo, el costo bajase a 2 el equilibrio de Nash pasaría a ser el apoyo a la coalición por ambas aldeas. 38 Ciudad A Ciudad B Apoya a la coalición Apoya a los talibanes Apoya a la coalición 6,6 -2,6 Apoya a los talibanes 6,-2 -2,-2 Tabla 4. Costo y beneficio para los valores B= 4, c=2, b=6, C=4. La segunda opción es disuadir de que las propias aldeas se coaliguen para obtener el máximo beneficio público al apoyar a la coalición. Esto exige por otro lado un alto grado de confianza mutua. Aunque sólo hemos trabajado con dos aldeas este trabajo podría continuarse implicando a más jugadores (coalición, talibanes, GIRoA, líderes tribales, señores de la guerra, Pakistán, Irán, etc.), el juego adecuado (el dilema del prisionero es solo uno de muchos) y asignar valores a los parámetros del juego (quizás la tarea más difícil). También sería importante tener en cuenta que la capacidad de cómputo actual facilita la tarea en multijugadores y la elección del juego pasa por un conocimiento profundo de las costumbres, religión y relación entre este tipo de aldeas. Encontrar un modelo que refleje con precisión el entorno operativo contemporáneo sería de gran ayuda para identificar plenamente el problema y acertar con los puntos críticos del juego. Por último, estaría el cálculo de los parámetros los cuales ayudarían y mucho a tener una información más completa del problema. 39 5. Referencias. 1. CERDÁ, E., PÉREZ, J., JIMENO, J.L. Teoría de juegos. Madrid: Pearson, 2004. 84-205-3726-8. 2. DESWANN, A. Coalition Theory and Cabinet Formations. San Francisco : Jossey- Bass, 1973, no 347, p. 23. 3. HOLDEN, H., PIENE, R. The Abel Prize 2013-2017. Oslo: Springer, 2019. 978- 3-319-99027-9. 4. ORDESHOOK, PITER C. Game Theory and Political Theory. Cambridge University Press. 5. LAING, J., OLMSTEAD, S. Policy Making by Committees: An Experimental and Game Theoretic Study.'. Game Theory and Political Science,1978, vol. 215281. 6. F. LUCAS, WILLIAM. A Game with No Solution. 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