Teoremas sobre puntos de mejor aproximación en espacios métricos

Tesis presentada por ´ Angel Jos´ e Almeida Rodr ´ ıguez para aspirar al grado de Doctor por la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, con la aprobaci´on y el visto bueno del Dr. Kishin Sadarangani y del Dr. Jackie Harjani Sauco. En Las Palmas de Gran Canaria a diecisiete de julio de 2015. A la memoria de Jos´e Lu´ıs Rodr´ıguez Rivero. Agradecimientos Esta tesis no habr´ıa sido posible sin la direcci´on acad´emica del profesor Dr. Kishin Sadarangani ni sin su aliento en momentos dif´ıciles de lo que ha sido un largo camino. Tambi´en agradezco al profesor Dr. Jackie Harjani su dedicaci´on como codirector, incluso en momentos en los que le tocaba ejercer de padre. Hay muchas razones, acad´emicas y personales, para nombrar aqu´ı a la profesora Dra. Bel´en L´opez Brito con cuya amistad me honra. El profesor Dr. Juan Lu´ıs Garc´ıa Cort´ı me abri´o las puertas de su casa hace muchos a˜nos y ha sido un gran apoyo. Para hacer una obra hay que molestar a mucha gente. Esta p´agina no es suficiente para nombrar a todas estas personas y agradecerles su paciencia. Familia, amigos y allegados han colaborado de un modo u otro: Ignacio, Joaqu´ın, Francisco, Luisa, Antonio, Merce, Iv´an, . . . A todos, gracias por estar, y por insistir. vii ´ Indice general Resumen 1 1. Puntos de mejor aproximaci´on 3 1.1. Introducci´on............................ 3 1.2. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Aplicaciones d´ebilmente contractivas 7 2.1. Introducci´on............................ 7 2.2. Resultados principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Ejemplos y corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4. Un resultado adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3. Contracciones de tipo Geraghty 39 3.1. Introducci´on............................ 39 3.2. Resultados recientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3. El resultado obtenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4. Corolarios y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4. La propiedad Pd´ebil 67 4.1. Introducci´on............................ 67 4.2. La propiedad Pd´ebil y el lema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ix Cap´ıtulo 2 Teoremas de puntos de mejor aproximaci´on para aplicaciones d´ebilmente contractivas generalizadas 2.1. Introducci´on La noci´on de aplicaci´on d´ebilmente contractiva fue usada por primera vez por Alber y Guerre-Delabriere en el contexto de espacios de Hilbert [3] y su motivaci´on es la siguiente. Sea (E, k·k) un espacio de Banach y sea T:E→Euna contracci´on, es decir, existe una constante k∈[0,1) tal que, para cualesquiera x, y ∈E, kTx −Tyk ≤ kkx−yk. Esta desigualdad puede ser escrita kTx −Tyk≤kx−yk−qkx−yk, 7 8CAP´ ITULO 2. APLICACIONES D ´ EBILMENTE CONTRACTIVAS donde k= 1 −qyq∈(0,1]. Una generalizaci´on natural de una aplicaci´on que satisface la ´ultima desigualdad nos da el concepto de aplicaci´on d´ebilmente contractiva. Se dice que una aplicaci´on T:E→Ees d´ebilmente contractiva si, para cualesquiera x, y ∈E, kTx −Tyk ≤ kx−yk−ψ(kx−yk) , donde ψ: [0,∞)→[0,∞) es una funci´on continua, creciente tal que ψ(0) = 0 yψ(t)>0 para todo t > 0. Ejemplos de esta clase de funciones son ψ(t) = log(1 + t), ψ(t) = arctan t yψ(t) = t 1 + t. Rhoades en [32] traslad´o esta definici´on al contexto de espacios m´etricos y present´o la siguiente definici´on. Definici´on 3. Sea (X, d) un espacio m´etrico y T:X→Xuna aplicaci´on. Diremos que Tes d´ebilmente contractiva si, para cualesquiera x, y ∈X, d(Tx, Ty)≤d(x, y)−ϕ(d(x, y)) donde ϕ: [0,∞)→[0,∞) es una funci´on continua y creciente y tal que ϕ(t) = 0 si y s´olo si t= 0. Nota 1. N´otese que, dado que d(Tx, Ty)≤d(x, y)−ϕ(d(x, y)) ≤d(x, y), cualquier aplicaci´on d´ebilmente contractiva es no expansiva y, por tanto, continua. El principal resultado de [32] , que es una generalizaci´on del teorema de la contracci´on de Banach, es el siguiente. 2.1. INTRODUCCI ´ ON 9 Teorema 1 ([32]).Sea (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→X una aplicaci´on d´ebilmente contractiva. Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. En [14], los autores presentan la siguiente generalizaci´on del teorema 1 Teorema 2 ([14]).Sea (X, d)un espacio metrico completo y T:X→X una aplicaci´on tal que, para cualesquiera x, y ∈X, ϕ(d(Tx, Ty)) ≤ϕ(d(x, y)) −φ(d(x, y)) donde ϕ, φ: [0,∞)→[0,∞)son funciones continuas, crecientes que verifican que ϕ(t) = φ(t)=0si y s´olo si t= 0. Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. Nota 2. Las funciones ϕ: [0,∞)→[0,∞) que son continuas, crecientes y tales que ϕ(t) = 0 si y s´olo si t= 0 se conocen en la literatura con el nombre de funciones que alteran la distancia (altering distance function). En [13], los autores presentan el siguiente resultado. Teorema 3 ([13]).Sea (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→X una aplicaci´on tal que, para cualesquiera x, y ∈X, ψ(d(Tx, Ty)) ≤ψ(M(x, y)) −φ(m´ax {d(x, y), d(y, Ty)}), donde ψes una funci´on que altera la distancia y φ: [0,∞)→[0,∞)es una funci´on continua tal que φ(t) = 0 si y s´olo si t= 0 y M(x, y) = m´ax d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty),1 2(d(x, Ty) + d(y, Tx)). Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. 10 CAP´ ITULO 2. APLICACIONES D ´ EBILMENTE CONTRACTIVAS 2.2. Resultados principales El objetivo de este cap´ıtulo es presentar un teorema de punto de mejor aproximaci´on para contracciones que satisfacen una condici´on contractiva parecida a la que aparece en el teorema 3. Previamente, presentamos la siguiente definici´on. Definici´on 4. Sean AyBsubconjuntos no vac´ıos de un espacio m´etrico (X, d) y T:A→Buna aplicaci´on. Diremos que Tes una aplicaci´on d´ebilmente contractiva generalizada si ψ(d(Tx, Ty)) ≤ψ(M(x, y)−d(A, B)) −φ(d(x, y)) para cualesquiera x, y ∈A, donde ψes una funci´on que altera la distancia, φ: [0,∞)→[0,∞) es una funci´on creciente tal que φ(t) = 0 si y s´olo si t= 0 yM(x, y) = m´ax d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty),1 2(d(x, Ty) + d(y, Tx)). N´otese que M(x, y)−d(A, B)≥d(x, Tx)−d(A, B)≥0 y, por tanto, la definici´on 4 es consistente. El principal resultado de este cap´ıtulo es el siguiente. Teorema 4. Sean AyBsubconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)tales que A06=∅y el par (A, B)tiene la propiedad P. Sea T:A→Buna aplicaci´on continua y d´ebilmente contractiva generalizada tal que T(A0)⊂B0. Entonces existe un ´unico punto de mejor aproximaci´on de la aplicaci´on T. Demostraci´on. Como A06=∅, tomamos x0∈A0. Dado que Tx0∈T(A0)⊂B0, por definici´on de B0, existir´a x1∈A0tal que d(x1, Tx0) = d(A, B). An´alogamente, dado que Tx1∈T(A0)⊂B0, existir´a x2∈A0tal que d(x2, Tx1) = d(A, B). 2.2. RESULTADOS PRINCIPALES 11 Repitiendo este proceso, encontramos una sucesi´on (xn)⊂A0tal que d(xn+1, Txn) = d(A, B) para cualquier n≥0.(2.1) Teniendo en cuenta que (A, B) tiene la propiedad P, de d(xn+1, Txn) = d(A, B) y d(xn, Txn−1) = d(A, B), inferimos que d(xn+1, xn) = d(Txn, Txn−1) para cualquier n≥1.(2.2) Se nos pueden presentar dos casos: Caso 1) Existe n0≥1 tal que d(xn0+1, xn0) = 0. Caso 2) Para cualquier n≥1, d(xn+1, xn)>0. En el Caso 1), tenemos que 0 = d(xn0+1, xn0) = d(Txn0, Txn0−1) y, por tanto, Txn0=Txn0−1. Por (2.1), deducimos d(A, B) = d(xn0, Txn0−1) = d(xn0, Txn0), y esto prueba que xn0es un punto de mejor aproximaci´on de la aplicaci´on T. Esto probar´ıa la existencia de un punto de mejor aproximaci´on en este caso. Caso 2). Supongamos que d(xn+1, xn)>0 para cualquier n∈N. 12 CAP´ ITULO 2. APLICACIONES D ´ EBILMENTE CONTRACTIVAS Teniendo en cuenta que Tes una aplicaci´on d´ebilmente contractiva generalizada y (2.2), se tiene ψ(d(xn+1, xn)) = ψ(d(Txn, Txn−1)) ≤ψ(M(xn, xn−1)−d(A, B)) −φ(d(xn, xn−1)) (2.3) A continuaci´on podemos distinguir cuatro casos. Caso 2a) Supongamos que M(xn, xn−1) = d(xn, xn−1). En este caso, teniendo en cuenta (2.3) y el hecho de que ψes creciente, se tiene que ψ(d(xn+1, xn)) = ψ(d(Txn, Txn−1)) ≤ψ(d(xn, xn−1)−d(A, B)) −φ(d(xn, xn−1)) ≤ψ(d(xn, xn−1)) −φ(d(xn, xn−1)) ≤ψ(d(xn, xn−1)) , y, por ser ψcreciente, tenemos que d(xn+1, xn)≤d(xn, xn−1). Caso 2b) Supongamos que M(xn, xn−1) = d(xn, Txn). Usando (2.1), deducimos que M(xn, xn−1)−d(A, B) = d(xn, Txn)−d(A, B) ≤d(xn, xn+1) + d(xn+1, Txn)−d(A, B) =d(xn, xn+1). Por tanto, por (2.3), se sigue que ψ(d(xn+1, xn)) = ψ(d(Txn, Txn−1)) ≤ψ(d(xn, Txn)−d(A, B)) −φ(d(xn, xn−1)) ≤ψ(d(xn, xn+1)) −φ(d(xn, xn−1)) . 2.2. RESULTADOS PRINCIPALES 13 Como d(xn, xn−1)>0 y φ(t) = 0 si y s´olo si t= 0, de la ´ultima desigualdad, se tiene ψ(d(xn+1, xn)) ≤ψ(d(xn, xn+1)) −φ(d(xn, xn−1)) < ψ (d(xn, xn+1)) y esto es una contradicci´on. Caso 2c) Supongamos que M(xn, xn−1) = d(xn−1, Txn−1). Siguiendo un argumento similar al usado en el caso 2) tenemos M(xn, xn−1)−d(A, B) = d(xn−1, Txn−1)−d(A, B) ≤d(xn−1, xn) + d(xn, Txn−1)−d(A, B) =d(xn−1, xn) y, consecuentemente, ψ(d(xn+1, xn)) = ψ(d(Txn, Txn−1)) ≤ψ(d(xn−1, Txn−1)−d(A, B)) −φ(d(xn, xn−1)) ≤ψ(d(xn−1, xn)) −φ(d(xn, xn−1)) < ψ (d(xn−1, xn)) Finalmente, usando el car´acter creciente de la funci´on ψse sigue que d(xn+1, xn)< d(xn−1, xn). Caso 2d) Supongamos que M(xn, xn−1) = d(xn, Txn−1) + d(xn−1, Txn) 2. 14 CAP´ ITULO 2. APLICACIONES D ´ EBILMENTE CONTRACTIVAS En este caso, resulta que M(xn, xn−1)−d(A, B) =1 2(d(xn, Txn−1) + d(xn−1, Txn)) −d(A, B) ≤1 2(d(A, B) + d(xn−1, xn+1) + d(xn+1, Txn)) −d(A, B) =1 2(d(A, B) + d(xn−1, xn+1) + d(A, B)) −d(A, B) =1 2d(xn−1, xn+1) ≤1 2(d(xn−1, xn) + d(xn, xn+1)) , y, por (2.3), inferimos que ψ(d(xn+1, xn)) = ψ(d(Txn, Txn−1)) ≤ψ(M(xn, xn−1)−d(A, B)) −φ(d(xn, xn−1)) ≤ψ1 2(d(xn−1, xn) + d(xn, xn+1))−φ(d(xn, xn−1)) < ψ 1 2(d(xn−1, xn) + d(xn, xn+1)). Como ψes creciente, se deduce que d(xn+1, xn)≤1 2(d(xn−1, xn) + d(xn, xn+1)) , y, por tanto, d(xn+1, xn)≤d(xn, xn−1). En resumen, en cualquier caso, tenemos que d(xn+1, xn)≤d(xn, xn−1). Esto es, la sucesi´on (d(xn+1, xn)) es una sucesi´on decreciente de n´umeros no negativos y, por tanto, existir´a r≥0 tal que l´ım n→∞(d(xn+1, xn)) = r. 2.2. RESULTADOS PRINCIPALES 15 A continuaci´on, probamos que r= 0. Procedamos por reducci´on al absurdo y supongamos que r > 0. En la discusi´on previa hemos considerado cuatro casos, uno de los cuales llevaba a contradicci´on. En los otros tres casos llegamos a que ψ(d(xn+1, xn)) ≤ψ(d(xn, xn−1)) −φ(d(xn, xn−1)) ≤ψ(d(xn, xn−1)) para cualquier n∈N. Tomando l´ımite cuando ntiende a infinito en esta desigualdad y, teniendo en cuenta que ψes continua, se tiene que ψ(r)≤ψ(r)−l´ım n→∞ φ(d(xn, xn−1)) ≤ψ(r) y esto implica que l´ım n→∞ φ(d(xn, xn−1)) = 0 (2.4) Dado que d(xn+1, xn) es una sucesi´on decreciente y r= l´ım n→∞ d(xn+1, xn) se tiene que 0 < r ≤d(xn+1, xn) para cualquier n∈N. Por tanto, como φes creciente y φ(t) = 0 si y s´olo si t= 0, de la ´ultima desigualdad, se sigue que 0< φ(r)≤φ(d(xn, xn−1)) para cualquier n∈N. y, por tanto, 0< φ(r)≤l´ım n→∞ φ(d(xn, xn−1)) y esto contradice a (2.4). Por tanto, l´ım n→∞ d(xn+1, xn) = 0. Seguidamente probaremos que (xn) es una sucesi´on de Cauchy. Para ello, supongamos que (xn) no es de Cauchy. Entonces, por un argumento est´andar, existir´a  > 0 y subsucesiones (xn(k)) y (xm(k)) de (xn) tales que 22 CAP´ ITULO 2. APLICACIONES D ´ EBILMENTE CONTRACTIVAS en el teorema 4 es esencial. Sean A=B=Rcon la m´etrica usual y sea T:R→Rla aplicaci´on definida por Tx =   0,si x∈(−∞,2], −1 2,si x∈(2,∞). Es claro que Tno es continua. Veamos, a continuaci´on, que Tes una aplicaci´on d´ebilmente contractiva generalizada. En efecto, tanto si x, y ∈(−∞,2] como si x, y ∈(2,∞), d(Tx, Ty) = 0. Supongamos, ahora, que x∈(−∞,2] e y∈(2,∞). Entonces d(Tx, Ty) = |Tx −Ty|= 0−−1 2 =1 2, d(x, Tx) = |x−Tx|=|x−0|=|x|, y d(y, Ty) = |y−Ty|= y−−1 2 = y+1 2 =y+1 2, dado que y > 2. Por tanto, se tiene que, d(Tx, Ty) = 1 2=1 52 + 1 2<1 5y+1 2≤1 5y+1 2+|x| =1 5(d(y, Ty) + d(x, Tx)) ≤2 5m´ax {d(y, Ty), d(x, Tx)} = m´ax {d(y, Ty), d(x, Tx)}− 3 5m´ax {d(y, Ty), d(x, Tx)} 2.3. EJEMPLOS Y COROLARIOS 23 Teniendo en cuenta que, 3 5m´ax {d(y, Ty), d(x, Tx)}=1 5·3 m´ax {d(y, Ty), d(x, Tx)} ≥1 5·2 m´ax {d(y, Ty), d(x, Tx)} ≥1 5(d(y, Ty) + d(x, Tx)) =1 5y+1 2+|x| >1 5(y+|x|) ≥1 5|y−x|=1 5d(x, y), de la ´ultima estimaci´on, se sigue que d(Tx, Ty)≤m´ax {d(y, Ty), d(x, Tx)}− 3 5m´ax {d(y, Ty), d(x, Tx)} <m´ax {d(y, Ty), d(x, Tx)}− 1 5d(x, y) ≤M(x, y)−1 5d(x, y). Esto nos dice que, para cualesquiera x, y ∈R, d(Tx, Ty)≤M(x, y)−1 5d(x, y) y, por tanto, Tes una aplicaci´on d´ebilmente contractiva generalizada con ψ la aplicaci´on identidad en [0,∞) y φ(t) = 1 5t. A continuaci´on, presentamos algunos corolarios interesantes del teorema 4. Si la aplicaci´on ψen el teorema 4 es la identidad en [0,∞), se tiene el siguiente resultado. Corolario 1. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)tal que A06=∅. Sea T:A→Buna aplicaci´on continua y, tal que, para cualesquiera x, y ∈A, d(Tx, Ty)≤M(x, y)−d(A, B)−φ(d(x, y)) , 24 CAP´ ITULO 2. APLICACIONES D ´ EBILMENTE CONTRACTIVAS donde φ: [0,∞)→[0,∞)es una funci´on creciente que satisface que φ(t)=0 si y s´olo si t= 0. Supongamos que T(A0)⊂B0y que el par (A, B)tiene la propiedad P. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. Teniendo en cuenta que si d(A, B) = 0, entonces el par (A, B) tiene la propiedad P, se tiene el siguiente corolario. Corolario 2. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)tal que A06=∅yd(A, B)=0. Sea T:A→Buna aplicaci´on continua y d´ebilmente contractiva generalizada tal que T(A0)⊂B0. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. Los siguientes dos resultados son consecuencias del corolario 2. Corolario 3. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)tal que A06=∅yd(A, B)=0. Sea T:A→B una aplicaci´on continua con T(A0)⊂B0y que verifica que, para cualesquiera x, y ∈A, d(Tx, Ty)≤M(x, y)−φ(d(x, y)) , donde φ: [0,∞)→[0,∞)es una funci´on creciente que satisface φ(t) = 0 si y s´olo si t= 0. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. Demostraci´on. T´omese como ψen el corolario 2 la aplicaci´on identidad en [0,∞). Corolario 4. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)con A06=∅yd(A, B)=0. Sea T:A→B una aplicaci´on tal que T(A0)⊂B0y que verifica que, para cualesquiera x, y ∈A, d(Tx, Ty)≤d(x, y)−φ(d(x, y)) , 2.3. EJEMPLOS Y COROLARIOS 25 donde φ: [0,∞)→[0,∞)es una funci´on creciente tal que φ(t)=0si y s´olo si t= 0. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. Demostraci´on. N´otese que la condici´on d(Tx, Ty)≤d(x, y)−φ(d(x, y)) ≤d(x, y) implica la continuidad de Ty que d(Tx, Ty)≤d(x, y)−φ(d(x, y)) ≤M(x, y)−φ(d(x, y)) . El corolario 4 es el resultado principal del art´ıculo [30] para el caso en que sea d(A, B) = 0. La siguiente consecuencia del teorema 4 nos presenta un resultado sobre puntos de mejor aproximaci´on usando una condici´on contractiva de tipo Kannan. Corolario 5. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo que tiene la propiedad Py tal que A06=∅. Sea T:A→Buna aplicaci´on continua tal que T(A0)⊂B0y que satisface, para cualesquiera x, y ∈A, ψ(d(Tx, Ty)) ≤ψ1 2(d(x, Tx) + d(y, Ty)) −d(A, B)−φ(d(x, y)) , siendo ψ: [0,∞)→[0,∞)una funci´on que altera la distancia y siendo φ: [0,∞)→[0,∞)una funci´on creciente tal que φ(t)=0si y s´olo si t= 0. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. Demostraci´on. N´otese que, como 1 2(d(x, Tx) + d(y, Ty)) ≥1 2(d(A, B) + d(A, B)) = d(A, B), 26 CAP´ ITULO 2. APLICACIONES D ´ EBILMENTE CONTRACTIVAS la condici´on contractiva est´a bien definida. Por otra parte, 1 2(d(x, Tx) + d(y, Ty)) ≤1 2(M(x, y) + M(x, y)) = M(x, y) y, por tanto, la condici´on contractiva del corolario 5 implica la que aparece en el teorema 4. Por este teorema, se obtiene el resultado deseado. A continuaci´on, presentamos, como una consecuencia del teorema 4, un resultado sobre puntos de mejor aproximaci´on para aplicaciones que verifican una condici´on de tipo integral Corolario 6. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)con A06=∅y tal que el par (A, B)tiene la propiedad P. Sea T:A→Buna aplicaci´on continua tal que T(A0)⊂B0y que satisface, para cualesquiera x, y ∈A, la desigualdad Zd(T x,T y) 0 ϕ(t)dt ≤ZM(x,y)−d(A,B) 0 ϕ(t)dt −Zd(x,y) 0 ρ(t)dt, en la que ϕ, ρ: [0,∞)→[0,∞)son funciones integrables Lebesgue tales que Z 0 ϕ(t)dt > 0yZ 0 ρ(t)dt > 0para cualquier  > 0. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. Demostraci´on. N´otese que las aplicaciones ψ, φ: [0,∞)→[0,∞) definidas por ψ(t) = Zt 0 ϕ(s)ds yφ(t) = Zt 0 ρ(s)ds son continuas y crecientes y verifican que ψ(t) = φ(t) = 0 si y s´olo si t= 0. Por tanto, el resultado se obtiene como consecuencia del teorema 4. Cuando A=Btenemos los siguientes resultados sobre puntos fijos en espacios m´etricos completos. 2.3. EJEMPLOS Y COROLARIOS 27 Corolario 7. Sea (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→Xuna aplicaci´on continua tal que, para cualesquiera x, y ∈X, ψ(d(Tx, Ty)) ≤ψ(M(x, y)) −φ(d(x, y)) , donde ψes una funci´on que altera la distancia y φ: [0,∞)→[0,∞)es una funci´on creciente que verifica que φ(t)=0si y s´olo si t= 0. Entonces T tiene un ´unico punto fijo. T´engase en cuenta que la condici´on contractiva que aparece en el teorema 3, es decir, ψ(d(Tx, Ty)) ≤ψ(M(x, y)) −φ(m´ax {d(x, y), d(y, Ty)}) implica la que aparece en el corolario 7, dado que φes una funci´on creciente. Esto nos viene a decir que el corolario 7 mejora el teorema 3 en el caso en que T:X→Xsea una aplicaci´on continua. Por otra parte, dado que la condici´on contractiva ψ(d(Tx, Ty)) ≤ψ(d(x, y)) −φ(d(x, y)) que aparece en el teorema 2 implica, por el car´acter creciente de la funci´on ψ, que ψ(d(Tx, Ty)) ≤ψ(M(x, y)) −φ(d(x, y)) tenemos el siguiente corolario. Corolario 8. Sea (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→Xuna aplicaci´on que satisface, para cualesquiera x, y ∈X, que ψ(d(Tx, Ty)) ≤ψ(d(x, y)) −φ(d(x, y)) , donde ψes una funci´on que altera la distancia y φ: [0,∞)→[0,∞)es una funci´on creciente satisface que φ(t)=0si y s´olo si t= 0. Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. 28 CAP´ ITULO 2. APLICACIONES D ´ EBILMENTE CONTRACTIVAS N´otese que en el corolario 8 no exigimos la continuidad de Tdado que esta se deriva de la condici´on contractiva. En efecto, ψ(d(Tx, Ty)) ≤ψ(d(x, y)) −φ(d(x, y)) ≤ψ(d(x, y)) y, dado el car´acter creciente de ψ, se infiere que d(Tx, Ty)≤d(x, y), y por tanto Tes continua. El corolario 8 mejora el teorema 2 ya que no asumimos la continudad de φ. Corolario 9. Sea (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→Xuna aplicaci´on tal que, para cualesquiera x, y ∈X, d(Tx, Ty)≤d(x, y)−φ(d(x, y)) donde φ: [0,∞)→[0,∞)es una funci´on creciente tal que φ(t)=0si y s´olo si t= 0. Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. Demostraci´on. T´omese en el corolario 8 como ψla aplicaci´on identidad en [0,∞). El corolario 9 mejora el teorema 1 dado que no se asume la continuidad de la funci´on φ. A continuaci´on presentamos algunos ejemplos relacionados con los resultados obtenidos. El primer ejemplo prueba que la condici´on de que el par (A, B) tenga la propiedad Pes esencial en el teorema 4. 2.3. EJEMPLOS Y COROLARIOS 29 Ejemplo 1. Consideremos el espacio m´etrico (R, d) con la m´etrica usual y los subconjuntos A={8,−8}yB={1,−1}. Es obvio que los subconjuntos AyBson cerrados, que d(A, B) = 7 y que A0=A6=∅yB0=B. Adem´as el par (A, B) no tiene la propiedad P, ya que d(8,1) = d(A, B)=7 d(−8,−1) = d(A, B)=7 yd(8,−8) = 16 >2 = d(1,−1). Sea ahora la aplicaci´on T:A→Btal que T(8) = −1 y T(−8) = 1. Es claro que Tes una aplicaci´on continua porque la m´etrica inducida en Ay en Bes la m´etrica discreta. Adem´as 2 = d(T8, T(−8)) ≤9−1 3·16 = d(8,−8) −d(A, B)−1 3d(8,−8) ≤M(8,−8) −d(A, B)−1 3d(8,−8), y, por tanto, Tes una aplicaci´on d´ebilmente contractiva generalizada con ψ la identidad en [0,∞) y φ(t) = 1 3t. Adem´as, d(8, T8) = d(−8, T(−8)) = 9 >7 = d(A, B) y, por tanto, Tno tiene punto de mejor aproximaci´on. En el siguiente ejemplo se muestra que la condici´on de que los conjuntos AyBsean cerrados no es una condici´on necesaria para la existencia de un ´unico punto de mejor aproximaci´on. Ejemplo 2. Consideremos el espacio m´etrico completo (R2, d) con la distancia eucl´ıdea d. Sean los subconjuntos A= [0,∞)×{0}yB=−π 2,0i×{0}. N´otese que Bno es un subconjunto cerrado de (R2, d). Adem´as, es inmediato que d(A, B) = 0, A0={(0,0)}yB0={(0,0)} 30 CAP´ ITULO 2. APLICACIONES D ´ EBILMENTE CONTRACTIVAS Consideremos, a continuaci´on, la aplicaci´on T:A→Bdefinida por T(x, 0) = (−arctan x, 0). Es claro que T(A0) = B0. Obviamente, Tes continua. Veamos, a continuaci´on, que Tes tambi´en una aplicaci´on d´ebilmente contractiva generalizada. En efecto, para (x, 0),(y, 0) ∈A, se tiene que d(T(x, 0), T(y, 0)) = |arctan x−arctan y| ≤ arctan |x−y| = arctan (d((x, 0),(y, 0))) =d((x, 0),(y, 0)) −(d((x, 0),(y, 0)) −arctan (d((x, 0),(y, 0)))) ≤M((x, 0),(y, 0)) −(d((x, 0),(y, 0)) −arctan (d((x, 0),(y, 0)))) Por tanto Tes una aplicaci´on d´ebilmente contractiva generalizada con ψ la identidad en [0,∞) y φ(t) = t−arctan t. En la estimaci´on anterior, hemos usado el hecho de que |arctan x−arctan y| ≤ arctan |x−y|, y la prueba de esto se har´a en el lema siguiente Por otra parte, el punto (0,0) es el ´unico punto de mejor aproximaci´on de T, puesto que d((0,0), T(0,0)) = 0 = d(A, B) Lema 1. Supongamos que ϕ: [0,∞)→[0,∞)es c´oncava y creciente y que ϕ(0) = 0. Entonces aϕes subaditiva, es decir, ϕ(x+y)≤ϕ(x) + ϕ(y)cualesquiera que sean x, y ∈[0,∞). b|ϕ(x)−ϕ(y)| ≤ ϕ(|x−y|)cualesquiera que sean x, y ∈[0,∞). 2.3. EJEMPLOS Y COROLARIOS 31 Demostraci´on. a Teniendo en cuenta la concavidad de ϕy el hecho de que ϕ(0) = 0, tenemos, para x, y ∈[0,∞), que ϕ(x) = ϕx x+y(x+y) + y x+y·0 ≥x x+yϕ(x+y) + y x+yϕ(0) = x x+yϕ(x+y) y ϕ(y) = ϕy x+y(x+y) + x x+y·0 ≥y x+yϕ(x+y) + x x+yϕ(0) = y x+yϕ(x+y) Sumando las dos desigualdades queda ϕ(x) + ϕ(y)≥ϕ(x+y), y, por tanto, ϕes subaditiva. b Sean x, y ∈[0,∞) y supongamos, sin p´erdida de generalidad, que x>y. Entonces, por la subaditividad de ϕ, se tiene que ϕ(x) = ϕ(x−y+y)≤ϕ(x−y) + ϕ(y). Esto nos da que ϕ(x)−ϕ(y)≤ϕ(x−y) Esto quiere decir que |ϕ(x)−ϕ(y)|=ϕ(x)−ϕ(y)≤ϕ(x−y) = ϕ(|x−y|) . Esto completa la prueba. Nota 3. Dado que la funci´on ϕ: [0,∞)→[0, π/2) definida por ϕ(x) = arctan x Cap´ıtulo 3 Teoremas de puntos de mejor aproximaci´on para contracciones de tipo Geraghty 3.1. Introducci´on Es un hecho bien conocido que el principio de la contracci´on de Banach deja de ser cierto para contracciones con k= 1, es decir, para aplicaciones no expansivas, o lo que es lo mismo, aplicaciones T:X→Xque satisfacen que d(Tx, Ty)≤d(x, y) para cualesquiera x, y ∈X. El ejemplo t´ıpico es la traslaci´on no trivial en R, es decir, T:R→Rdada por Tx =x+acon a > 0 que, evidentemente, no tiene punto fijo. Si la condici´on contractiva anterior la sustituimos por d(Tx, Ty)< d(x, y) para cualesquiera x, y ∈X, con x6=y(3.1) 39 40 CAP´ ITULO 3. CONTRACCIONES DE TIPO GERAGHTY entonces la conclusi´on del principio de contraccion de Banach se satisface en el caso en que (X, d) sea un espacio m´etrico compacto. Este hecho, por lo que sabemos, fue probado por Edelstein en [15]. Concretamente, tenemos el siguiente resultado. Teorema 6 ([15]).Sean (X, d)un espacio m´etrico compacto y T:X→X una aplicaci´on que satisface, para cualesquiera x, y ∈Xcon x6=y, d(Tx, Ty)< d(x, y). Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. El resultado anterior deja de ser cierto en caso de que (X, d) no sea compacto. Un ejemplo lo proporciona el espacio m´etrico (R, d), con la m´etrica usual, y la aplicaci´on T:R→Rdefinida por Tx =π 2+x−arctan x. En efecto, ϕ1(x) = x−arctan xyϕ2(x) = arctan xson estrictamente crecientes en R, ya que ϕ0 1(x)=1−1 1 + x2≥0, ϕ0 2(x) = 1 1 + x2>0 y ϕ1(x) = 0 si y s´olo si x= 0. Por ello, suponiendo, sin p´erdida de generalidad, que x>y, se tiene que |Tx −Ty|=Tx −Ty =x−arctan x−y+ arctan y =x−y+ (arctan y−arctan x) < x −y=|x−y|, dado que arctan y−arctan x < 0. La aplicaci´on Tsatisface la condici´on (3.1) y no tiene punto fijo, ya que si x=π 2+x−arctan x, entonces arctan x=π 2, que no tiene soluci´on en R. 3.1. INTRODUCCI ´ ON 41 En el art´ıculo [17], Geraghty estudia qu´e funci´on de control, distinta de una constante no negativa y menor que 1, hay que colocar en el segundo miembro de la condici´on (3.1) para que la conclusi´on del teorema de la contraccion de Banach sea cierta. Geraghty usa la clase Fde las funciones α: (0,∞)→[0,1) que satisfacen que, para cualquier sucesi´on (tn)⊂(0,∞), α(tn)→1⇒tn→0. Ejemplos de funciones de la clase Fson ϕ(t) = log(1 + t) t,ϕ(t) = arctan t t yϕ(t) = sen t t. Un ejemplo de funci´on no continua de Fes la siguiente: α: (0,∞)→[0,1) α(t) =      1−x, si x∈(0,1] 1 2,si x > 1. El principal resultado de [17] es el siguiente. Teorema 7 ([17]).Sean (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→X una aplicaci´on tal que existe α∈ F y que satisface d(Tx, Ty)≤α(d(x, y)) ·d(x, y), para cualesquiera x, y ∈X, con x6=y. Entonces Ttiene un unico punto fijo. Si en el teorema 7, tomamos αmon´otona decreciente el resultado de Geraghty nos da el de Rakotch en [31], una de las muchas generalizaciones del teorema de la contracci´on de Banach que aparecen en la literatura. 42 CAP´ ITULO 3. CONTRACCIONES DE TIPO GERAGHTY 3.2. Resultados recientes Algunos resultados sobre teoremas de puntos de mejor aproximaci´on en los que se usan contracciones de tipo Gerahgty han aparecido recientemente en la literatura. A continuaci´on, presentamos algunos de estos resultados. En [12], los autores presentan el siguiente resultado acerca de puntos de mejor aproximaci´on. Teorema 8 ([12]).Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)tal que A06=∅. Sea T:A→Buna aplicaci´on tal que existe α∈ F de modo que d(Tx, Ty)≤α(d(x, y)) ·d(x, y), para cualesquiera x, y ∈Acon x6=y. Supongamos que T(A0)⊂B0y que el par (A, B)tiene la propiedad P. Entonces existe un ´unico x∗∈Aque es punto de mejor aproximaci´on de T. Karapinar en [22], prueba un teorema acerca de puntos de mejor aproximaci´on usando la clase Mde las funciones ϕ: [0,∞)→[0,∞) que satisfacen las siguientes condiciones: I) ϕes creciente; II) ϕes subaditiva (es decir, ϕ(s+t)≤ϕ(s) + ϕ(t) para cualesquiera s, t ∈[0,∞)); III) ϕes continua; IV) ϕ(t) = 0 si y s´olo si t= 0. Ejemplos de funciones de Mson ϕ(t) = arctan tyϕ(t) = log(1 + t). El principal resultado de [22] es el siguiente. 3.2. RESULTADOS RECIENTES 43 Teorema 9 ([22]).Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)tal que A06=∅. Sea T:A→Buna aplicaci´on tal que existen ϕ∈ M yα∈ F y satisface ϕ(d(Tx, Ty)) ≤α(ϕ(d(x, y))) ·ϕ(d(x, y)), para cualesquiera x, y ∈Acon x6=y. Supongamos que T(A0)⊂B0y que el par (A, B)tiene la propiedad P. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. En [22] se presenta el teorema 9 como una generalizaci´on del teorema 8, que se obtendr´ıa tomando como ϕla identidad sobre [0,∞) en el teorema 9. Pero en [20] los autores prueban que el teorema 9 no es en realidad una generalizaci´on del teorema 8 sino una consecuencia. Para ello se hace notar que, si ϕ∈ M entonces ϕ◦des tambi´en una distancia en Xtal que si (X, d) es un espacio m´etrico completo entonces (X, ϕ ◦d) tambi´en lo es. Adem´as, se ve f´acilmente que si el par (A, B) tiene la propiedad Pen (X, d) tambi´en la tiene en (X, ϕ ◦d) y, por tanto, el teorema 9 es una consecuencia del teorema 8. En este mismo art´ıculo, los autores prueban una verdadera generalizaci´on del teorema 8. Es la siguiente. Teorema 10 ([20]).Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)con A06=∅y tal que (A, B)tiene la propiedad P. Sea T:A→Buna aplicaci´on con T(A0)⊂B0y tal que existen α∈ F yψ: [0,∞)→[0,∞)que satisface las condiciones I), III) y IV) que definen la clase My tales que ψ(d(Tx, Ty)) ≤α(d(x, y)) ·ψ(d(x, y)) , para cualesquiera x, y ∈Acon x6=y. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on x∗∈A. Adem´as, cualquier sucesi´on (xn)⊂A0que 44 CAP´ ITULO 3. CONTRACCIONES DE TIPO GERAGHTY verifique que d(xn+1, Txn) = d(A, B)para cualquier n∈N, converge a x∗. Observamos que en los tres recientes resultados sobre teoremas de puntos de mejor aproximaci´on para contracciones de tipo Geraghty, el operador T:A→Bsatisface lo siguiente: –en el teorema 8: d(Tx, Ty)≤α(d(x, y)) d(x, y) para x, y ∈A,x6=y; –en el teorema 9: ϕ(d(Tx, Ty)) ≤α(ϕ(d(x, y))) ϕ(d(x, y)) para x, y ∈A,x6=y; –en el teorema 10: ψ(d(Tx, Ty)) ≤α(d(x, y)) ψ(d(x, y)) para x, y ∈A,x6=y; siendo α∈ F,φ∈ M yψ: [0,∞)→[0,∞) continua, creciente y tal que ψ(t) = 0 si y s´olo si t= 0. Consecuentemente, en los tres casos Tes no expansiva y, por lo tanto, continua. 3.3. El resultado obtenido El objetivo de este cap´ıtulo es presentar un teorema de punto de mejor aproximaci´on para contracciones de tipo Geraghty. Antes de presentar nuestro resultado, necesitamos la siguiente definici´on. Definici´on 5. Sean (A, B) un par de subconjuntos no vac´ıos de un espacio m´etrico (X, d) y T:A→Buna aplicaci´on. Diremos que Tes una contracci´on 3.3. EL RESULTADO OBTENIDO 45 de tipo Geraghty si existe α∈ F tal que, para cualesquiera x, y ∈Acon x6=y, d(Tx, Ty)≤α(d(x, y)) ·m´ax {d(x, y), N(x, y)−d(A, B)}, siendo N(x, y) = m´ax {d(x, Tx), d(y, Ty)}. N´otese que, dado que para cualquier x∈A,d(x, Tx)≥d(A, B), entonces N(x, y)≥d(A, B) y la definici´on anterior es consistente. A continuaci´on, presentamos un ejemplo de una contracci´on de tipo Geraghty que no es continua. Ejemplo 3. Consideremos A=B=Ry la m´etrica usual en Ry sea T:R→Rla aplicaci´on definida por Tx =     1 5x, si x≤ −1, 1 3x, si x > −1. Claramente, Tno es continua en x0=−1. Adem´as, como A=B=R, se tiene que d(A, B) = 0. Veamos que Tes una contracci´on de tipo Geraghty. Si x, y ∈(−∞,−1], d(Tx, Ty) = |Tx −Ty|= 1 5x−1 5y =1 5|x−y|=1 5d(x, y). Si x, y ∈(−1,−∞), d(Tx, Ty) = |Tx −Ty|= 1 3x−1 3y =1 3|x−y|=1 3d(x, y). 46 CAP´ ITULO 3. CONTRACCIONES DE TIPO GERAGHTY Finalmente, si x∈(−∞,−1] e y∈(−1,∞), d(Tx, Ty) = |Tx −Ty|= 1 5x−1 3y = 3x−5y 15  ≤ 3x−3y 15  + 2y 15 =1 5|x−y|+2 15 |y| =1 5|x−y|+2 3|y|=1 5(d(x, y) + d(y, Ty)) ≤2 5m´ax {d(x, y), d(y, Ty)} ≤2 5m´ax {d(x, y), N(x, y)} Por tanto, en cualquier caso, se tiene que d(Tx, Ty)≤2 5m´ax {d(x, y), N(x, y)}, y esto prueba que Tes una contracci´on de tipo Geraghty con α(t) = 2 5, que obviamente, es una funci´on de la clase F. Seguidamente, presentamos el principal resultado del cap´ıtulo. Teorema 11. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)tal que A06=∅. Sea T:A→Buna contracci´on de tipo Geraghty continua tal que T(A0)⊂B0. Supongamos que el par (A, B)tiene la propiedad P. Entonces existe un ´unico punto de mejor aproximaci´on de la aplicaci´on T. Demostraci´on. Por hip´otesis A0es no vac´ıo. Sea pues x0∈A0. Se sigue que Tx0∈T(A0)⊂B0y, consecuentemente, existir´a x1∈A0tal que d(x1, Tx0) = d(A, B). De la misma manera, dado que Tx1∈T(A0)⊂B0, existir´a x2∈A0tal que d(x2, Tx1) = d(A, B). Repitiendo este proceso, se obtiene una sucesi´on (xn)⊂A0que verifica que d(xn+1, Txn) = d(A, B) para cualquier n≥0. (3.2) 3.3. EL RESULTADO OBTENIDO 47 Teniendo en cuenta que el par (A, B) tiene la propiedad Py, dado que d(xn+1, Txn) = d(A, B) y d(xn, Txn−1) = d(A, B), se deduce que d(xn+1, xn) = d(Txn, Txn−1) para cualquier n≥1. (3.3) Si existiera n0tal que d(xn0+1, xn0) = 0, entonces, por la relaci´on anterior, se tiene que 0 = d(xn0+1, xn0) = d(Txn0, Txn0−1) y, por tanto Txn0=Txn0−1. Por (3.2) se infiere que d(A, B) = d(xn0, Txn0−1) = d(xn0, Txn0), y esto nos da que xn0es un punto de mejor aproximaci´on de la aplicaci´on T. Esto es, si d(xn+1, xn) se anula, para alg´un n0≥1, entonces Ttiene un punto de mejor aproximaci´on. Supongamos, ahora, que d(xn+1, xn)>0 para cualquier n≥1. Teniendo en cuenta que Tes una contracci´on de tipo Geraghty y (3.3) , se deduce entonces que, para cualquier n∈N, d(xn+1, xn) = d(Txn, Txn−1) ≤α(d(xn, xn−1)) ·m´ax {d(xn, xn−1), N(xn, xn−1)−d(A, B)}. (3.4) Se pueden distinguir dos casos. Caso 1) Supongamos que m´ax {d(xn, xn−1), N(xn, xn−1)−d(A, B)}=d(xn, xn−1). 54 CAP´ ITULO 3. CONTRACCIONES DE TIPO GERAGHTY Subcaso 2b) Que N(x1, x2) = d(x2, Tx2). El mismo argumento usado en el subcaso 2a) nos da una contradicci´on. En todo caso, se llega a una contradicci´on y, por tanto, x1=x2. Esto prueba la unicidad del punto de mejor aproximaci´on de T. Con esto se finaliza la prueba. Nota 5. T´engase en cuenta que en las hip´otesis del teorema 11 hemos exigido la continuidad del operador Tporque en un principio las contracciones de tipo Geraghty no tienen por qu´e ser continuas. N´otese que no hemos podido probar el teorema 11 sin la condici´on de continuidad de T. 3.4. Corolarios y ejemplos Seguidamente presentaremos algunas consecuencias del teorema 11. Corolario 10. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)tal que A06=∅y tal que el par (A, B)tiene la propiedad P. Sea T:A→Buna aplicaci´on que verifica que T(A0)⊂B0 y tal que d(Tx, Ty)≤α(d(x, y)) ·d(x, y)para cualesquiera x, y ∈Acon x6=y. siendo α∈ F. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. Demostraci´on. N´otese que la condici´on contractiva del corolario 10 implica la que aparece en el teorema 11. Adem´as, dado que α∈ F, d(Tx, Ty)≤α(d(x, y)) ·d(x, y)< d(x, y) para cualesquiera x, y ∈Acon x6=y,Tes no expansiva y, consecuentemente, continua. Se verifican pues las hip´otesis del teorema 11 y el corolario se sigue de este teorema. 3.4. COROLARIOS Y EJEMPLOS 55 El corolario 10 es precisamente el resultado principal del art´ıculo [12]. El siguiente corolario nos da un teorema de punto de mejor aproximaci´on para una aplicaci´on continua que satisfaga una condici´on contractiva de tipo Geraghty-Kannan. Corolario 11. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)tal que A06=∅y el par (A, B)tiene la propiedad P. Sea T:A→Buna aplicaci´on continua que verifica que T(A0)⊂B0y que, para cualesquiera x, y ∈Acon x6=y, d(Tx, Ty)≤α(d(x, y)) ·d(x, Tx) + d(y, Ty) 2−d(A, B), siendo α∈ F. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. Demostraci´on. T´engase en cuenta que, para x, y ∈A, se tiene que d(x, Tx) + d(y, Ty) 2≥2d(AB) 2=d(A, B) y, por tanto, la condici´on contractiva est´a bien definida. Por otra parte, se tiene que, para cualesquiera x, y ∈A, d(Tx, Ty)≤α(d(x, y)) ·d(x, Tx) + d(y, Ty) 2−d(A, B) ≤α(d(x, y)) ·2N(x, y) 2−d(A, B) =α(d(x, y)) ·(N(x, y)−d(A, B)) ≤α(d(x, y)) ·m´ax {d(x, y), N(x, y)−d(A, B)} y, por tanto, Tes una contracci´on de tipo Geraghty. Finalmente, por el teorema 11 se obtiene el resultado. Veamos a continuaci´on algunas consecuencias del teorema 11 encuadradas dentro del marco de los teoremas de punto fijo. T´engase en cuenta que si Aes un subconjunto no vac´ıo de un espacio m´etrico, entonces (A, A) tiene la propiedad P. 56 CAP´ ITULO 3. CONTRACCIONES DE TIPO GERAGHTY Corolario 12. Sean (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→Xuna contracci´on de tipo Geraghty continua. Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. El corolario 12 generaliza el teorema 1.3 que es el principal resultado de [17]. Si en el corolario 11 ponemos A=Btenemos el siguiente resultado de punto fijo para contracciones de tipo Geraghty-Kannan. Corolario 13. Sean (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→Xuna aplicaci´on continua para la que existe α∈ F tal que d(Tx, Ty)≤α(d(x, y)) d(x, Tx) + d(y, Ty) 2 para cualesquiera x, y ∈Xcon x6=y. Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. Corolario 14. Sean (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→Xuna aplicaci´on continua que verifica que d(Tx, Ty)≤αd(x, y) + β(d(x, Tx) + d(y, Ty)) para cualesquiera x, y ∈X, con α, β ≥0yα+ 2β < 1. Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. Demostraci´on. N´otese que la condici´on contractiva del corolario 14 implica que d(Tx, Ty)≤αd(x, y) + β(d(x, Tx) + d(y, Ty)) =αd(x, y)+2βd(x, Tx) + d(y, Ty) 2 ≤(α+ 2β) m´ax d(x, y),2N(x, y) 2 = (α+ 2β) m´ax {d(x, y), N(x, y)} y, por tanto, tomando γ(t) = α+ 2βpara t∈(0,∞), γ∈ F yTsatisface la condici´on contractiva del teorema 11. 3.4. COROLARIOS Y EJEMPLOS 57 En los corolarios 13 y 14 hemos exigido la continuidad porque existen ejemplos de aplicaciones que satisfacen las condiciones contractivas de estos corolarios y que no son continuas. Ejemplo 4. Consideremos Rcon la m´etrica usual y T:R→Rla aplicaci´on definida por Tx =     1 5x, si x≤ −1, 1 7x, si x > −1. Es claro que Tno es continua en x0=−1. Veamos que Tsatisface la condici´on contractiva del corolario 13. Si x, y ∈(−∞,−1], entonces d(Tx, Ty) = |Tx −Ty|= 1 5x−1 5y≤1 5|x|+1 5|y|=1 44 5|x|+4 5|y| =1 4(d(x, Tx) + d(y, Ty)) =1 2 d(x, Tx) + d(y, Ty) 2. Si x, y ∈(−1,∞), d(Tx, Ty) = |Tx −Ty|= 1 7x−1 7y≤1 7|x|+1 7|y|=1 66 7|x|+6 7|y| =1 6(d(x, Tx) + d(y, Ty)) =1 3 d(x, Tx) + d(y, Ty) 2. Si x∈(−∞,−1] e y∈(−1,∞), d(Tx, Ty) = |Tx −Ty|= 1 5x−1 7y≤1 5|x|+1 7|y|=1 4 4 5|x|+1 6 6 7|y| ≤1 44 5|x|+6 7|y| =1 4(d(x, Tx) + d(y, Ty)) =1 2 d(x, Tx) + d(y, Ty) 2. 58 CAP´ ITULO 3. CONTRACCIONES DE TIPO GERAGHTY Por tanto, en cualquier caso se tiene que d(Tx, Ty)≤1 2 d(x, Tx) + d(y, Ty) 2 para x, y ∈R. Esto prueba que Tsatisface la condici´on contractiva del corolario 13 con α(t) = 1 2y no es continua. Ejemplo 5. Consideremos ([0,1], d) con dla distancia usual y la aplicaci´on Tx =       7x 20,si x∈0,1 2, 3x 10,si x∈1 2,1. Es claro que Tno es continua en x0=1 2. Veamos que Tsatisface la condici´on contractiva del corolario 14 tomando α=1 10 yβ=4 9. En efecto, si x, y ∈0,1 2, d(Tx, Ty) = |Tx −Ty|= 7 20x−7 20y =7 20 |x−y| =1 10 |x−y|+5 20 |x−y| ≤1 10 |x−y|+5 20 |x|+5 20 |y|<1 10 |x−y|+4 913 20 |x|+13 20 |y| =1 10d(x, y) + 4 9(d(x, Tx) + d(y, Ty)) , haciendo uso de que, para x, y ∈0,1 2, d(x, Tx) = |x−Tx|= x−7x 20 =13 20 |x| y d(y, Ty) = |y−Ty|= y−7y 20 =13 20 |y|. 3.4. COROLARIOS Y EJEMPLOS 59 Si x, y ∈1 2,1, entonces d(Tx, Ty) = |Tx −Ty|= 3 10x−3 10y =3 10 |x−y| =1 10 |x−y|+2 10 |x−y| ≤1 10 |x−y|+2 10 |x|+2 10 |y|<1 10 |x−y|+4 97 10 |x|+7 10 |y| =1 10d(x, y) + 4 9(d(x, Tx) + d(y, Ty)) , teniendo en cuenta que, para cualquier z∈1 2,1, d(z, Tz) = |z−Tz|= z−3z 10 =7 10 |z|. Por ´ultimo, si x∈0,1 2ey∈1 2,1, d(Tx, Ty) = |Tx −Ty|= 7x 20 −3y 10 = 1 10x+5 20x−1 10y−2 10y ≤1 10 |x−y|+ 5 20x−2 10y≤1 10 |x−y|+5 20 |x|+2 10 |y| <1 10 |x−y|+4 913 20 |x|+7 10 |y| =1 10d(x, y) + 4 9(d(x, Tx) + d(y, Ty)) Por tanto, para cualesquiera x, y ∈[0,1], se tiene que d(Tx, Ty)≤1 10d(x, y) + 4 9(d(x, Tx) + d(y, Ty)) y, por tanto, Tsatisface la condici´on contractiva del corolario 14 con α=1 10 yβ=4 9y, adem´as α+ 2β=1 10 +8 9=89 90 <1 El ejemplo 5 aparece en [34]. Seguidamente, presentamos algunos ejemplos relacionados con los resultados obtenidos en el cap´ıtulo. 60 CAP´ ITULO 3. CONTRACCIONES DE TIPO GERAGHTY El siguiente ejemplo muestra que la condici´on de la propiedad Pde (A, B) no puede ser omitida en el teorema 11. Ejemplo 6. Consideremos el espacio m´etrico (R, d), donde des la distancia usual, y sean A={8,−8}yB={1,−1}. Es claro que AyBson subconjuntos cerrados de Ry, adem´as, d(A, B) = 7, A0=AyB0=B. Si consideramos la aplicaci´on T:A→Bdada por T8 = −1 y T(−8) = 1, entonces, es obvio que Tes continua y, adem´as, para x6=y d(Tx, Ty) = d(T8, T(−8)) = d(−1,1) = 2, d(x, y) = d(8,−8) = 16, d(x, Tx) = d(8,−1) = 9, y d(y, Ty) = d(−8,1) = 9 d(Tx, Ty) = 2 ≤8 = 1 2m´ax {16,2}=1 2m´ax {d(x, y), N(x, y)−d(A, B)}. Por tanto, Tes una contracci´on de tipo Geraghty. Por otra parte, (A, B) no tiene la propiedad P, dado que d(8,1) = d(−8,−1) = 7 = d(A, B) y d(8,−8) = 16 >2 = d(1,−1). Adem´as, se observa que Tno tiene punto de mejor aproximaci´on ya que, para cualquier x∈A, d(x, Tx)=96= 7 = d(A, B). El siguiente ejemplo prueba que la propiedad Pno es una condici´on necesaria para la existencia de un punto de mejor aproximaci´on. 3.4. COROLARIOS Y EJEMPLOS 61 Ejemplo 7. Consideremos C[0, π] = {f: [0, π]→Rcontinua}, que es un espacio m´etrico completo con la m´etrica inducida por la norma del supremo, esto es, d(f, g) = sup {|f(x)−g(x)|:x∈[0, π]}. Sean A={fα∈ C[0, π]: fα(x)=1−αsen xcon 0 ≤α≤1}yB=−A. Es claro que AyBson cerrados en C[0, π]. Adem´as, para cualesquiera α, β tales que 0 ≤α, β ≤1, se tiene que d(fα,−fβ) = sup {|fα(x) + fβ(x)|:x∈[0, π]} = sup {|1−αsen x+ 1 −βsen x|:x∈[0, π]} = sup {|2−(α+β) sen x|:x∈[0, π]} = sup {2−(α+β) sen x:x∈[0, π]}= 2 Por tanto, d(A, B) = 2. Adem´as, dado que d(fα,−fβ) = 2 = d(A, B) para cualesquiera α, β con 0≤α, β ≤1, A0=AyB0=B. Por otra parte, el par (A, B) no tiene la propiedad P, ya que df1 2,−f1 2=df1 3,−f1 2= 2 = d(A, B), mientras que df1 2, f1 3= sup  1−1 2sen x−1 + 1 3sen x :x∈[0, π] = sup −1 6sen x :x∈[0, π]=1 6 yd−f1 2,−f1 2= 0. Sea T:A→Bla aplicaci´on definida por Tfα=−fα 2. Veamos que Tes una contracci´on de tipo Geraghty. 62 CAP´ ITULO 3. CONTRACCIONES DE TIPO GERAGHTY En efecto, si 0 ≤α, β ≤1 y α6=β, entonces d(Tfα, Tfβ) = d−fα 2,−fβ 2=dfα 2, fβ 2 = sup  1−α 2sen x−1−β 2sen x :x∈[0, π] = sup  β−α 2sen x :x∈[0, π]= β−α 2 De la misma manera, se tiene que d(fα, fβ) = |α−β|. Luego, para cualesquiera α, β con 0 ≤α, β ≤1, se tiene que d(Tfα, Tfβ) = 1 2|α−β|=1 2d(fα, fβ) ≤1 2m´ax {d(fα, fβ), N (fα, fβ)−d(A, B)}. Por tanto, Tes una contracci´on de tipo Geraghty con α(t) = 1 2para t > 0. Por otra parte, para cualquier αcon 0 ≤α≤1, se tiene que d(fα, Tfα) = dfα,−fα 2 = sup n1−αsen x+ 1 −α 2sen x:x∈[0, π]o = sup  2−3α 2sen x :x∈[0, π] = sup 2−3α 2sen x:x∈[0, π]= 2 = d(A, B). En este caso, cualquier punto es un punto de mejor aproximaci´on de T. N´otese que en este ejemplo no tenemos la unicidad del punto de mejor aproximaci´on. En el siguiente ejemplo se prueba que la condici´on de que AyBsean cerrados no es una condici´on necesaria para la existencia de un punto de mejor aproximaci´on. En el ejemplo, se utilizar´a la funci´on f: [0,∞)→[0,1) dada por f(x) = tanh x=e2x−1 e2x+ 1. 3.4. COROLARIOS Y EJEMPLOS 63 N´otese que fes creciente y que f00(x) = 8e2x(1 −e2x) (e2x+ 1)3<0 para x > 0, por lo que fes tambi´en c´oncava. Como, adem´as, f(0) = 0, fes una funci´on subaditiva que satisface que |f(x)−f(y)| ≤ f(|x−y|) para x, y ∈[0,∞). (ver lema 1). Adem´as, dado que la funci´on g(x) = x−f(x) = x−tanh x=x−e2x−1 e2x+ 1 para x∈[0,∞), tiene como derivada g0(x) = e2x−1 (e2x+ 1)2>0 para x > 0, y, por tanto, es estrictamente creciente, se tiene que tanh x<xpara x > 0. Consideremos ahora la funci´on α: (0,∞)→[0,1) dada por α(t) = tanh t t. Veamos que α∈ F, es decir, que α(tn)→1⇒tn→0. En efecto, primeramente observamos que si α(tn)→1, entonces (tn) es una sucesi´on acotada, ya que en caso contrario, como la funci´on f(t) = tanh t es acotada, existir´ıa una subsucesi´on (tnk) de (tn) tal que α(tnk)→0, lo cual es una contradicci´on. Supongamos ahora que tn6→ 0. Esto significa que existe  > 0 tal que para cada n∈Npodemos encontrar pn∈Ntal que tpn≥. Como tpnes una sucesi´on acotada, podemos suponer que tpn→a > 0. 70 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Demostraci´on. I) Supongamos que (yn)⊂B0y que yn→y. Por definici´on de B0, para cada n∈Nexistir´a xn∈B0tal que d(xn, yn) = d(A, B). (4.1) Teniendo en cuenta la propiedad Pd´ebil del par (A, B), se tiene que, para cualesquiera n, m ∈N, d(xn, xm)≤d(yn, ym). Dado que (yn) es una sucesi´on convergente, es de Cauchy y, por tanto, de la ´ultima desigualdad se sigue que (xn) es tambi´en de Cauchy. Dado que A es cerrado en un espacio m´etrico completo, es tambi´en completo y, por tanto, existir´a x∈Atal que xn→x. Teniendo en cuenta que la distancia es una aplicaci´on continua, y tomando l´ımite cuando ntiende a infinito en 4.1, se deduce que d(x, y) = d(A, B) y, consecuentemente, y∈B0. II) Dado que T(A0)⊂B0, para probar que TA0⊂B0, es suficiente probar que T(A0−A0)⊂B0. Supongamos que x∈A0−A0. Entonces existir´a (xn)⊂A0tal que xn→x. La continuidad de Tnos da que Txn→Tx y, puesto que T(A0)⊂B0, resultar´a que (Txn)⊂T(A0)⊂B0. Teniendo en cuenta que B0es cerrado, por I) se deduce que Tx ∈B0. Si (A, B) es un par de subconjuntos cerrados no vac´ıos de un espacio m´etrico completo con la propiedad Pd´ebil tal que A06=∅y adem´as T:A→Bes continua y T(A0)⊂B0, entonces podemos definir una aplicaci´on P:T(A0)→A0de la siguiente manera. Dado y∈T(A0), el apartado 4.1. INTRODUCCI ´ ON 71 II) del lema 2 asegura que y∈B0y, por tanto, la existencia de x∈A0tal que d(x, y) = d(A, B). Definimos Py =x. Veamos que la aplicaci´on Pest´a bien definida. Para ello sea x1∈A0tal que d(x1, y) = d(A, B). Dado que (A, B) tiene la propiedad Pd´ebil, de d(x, y) = d(A, B) y d(x1, y) = d(A, B) se sigue que d(x, x1)≤d(y, y) = 0 y, consecuentemente, x=x1, lo que prueba que Pest´a bien definida. Adem´as, dado que, para cualesquiera y1, y2∈T(A0), se tiene que d(Py1, y1) = d(A, B) y d(Py2, y2) = d(A, B), por la propiedad Pd´ebil de (A, B) se sigue que d(Py1, Py2)≤d(y1, y2) y por tanto Pes una aplicaci´on no expansiva. En resumen, tenemos el siguiente resultado. Lema 3. Sean AyBsubconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)tales que A06=∅y el par (A, B)tiene la propiedad Pd´ebil. Supongamos que T:A→Bes una aplicaci´on continua con T(A0)⊂B0. Entonces existe una aplicaci´on no expansiva P:T(A0)→A0 tal que d(Py, y) = d(A, B)para cualquier y∈T(A0). El argumento que permite traducir un resultado sobre puntos de mejor aproximaci´on a uno sobre puntos fijos es el siguiente. Sea (A, B) un par de 72 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico (X, d) con A06=∅. Supongamos que (A, B) tiene la propiedad Pd´ebil y sea T:A→Buna aplicaci´on continua con T(A0)⊂B0. Consid´erese P◦T:A0→A0⊂A0 siendo Pla aplicaci´on introducida en el lema 3, Dado que, para cualesquiera x1, x2∈A0, d((P◦T)(x1),(P◦T)(x2)) = d(P(T(x1)), P(T(x2))) ≤d(T(x1), T(x2)) por ser Pno expansiva, el operador P◦Thereda la condici´on contractiva de Ty, aplicando el teorema de punto fijo adecuado se obtiene el resultado correspondiente para puntos de mejor aproximaci´on. Finalizamos esta introducci´on se˜nalando que en [39] se trata de una forma cerrada todas las cuestiones sobre la propiedad Pd´ebil tratadas anteriormente. 4.2. La propiedad Pd´ebil y el lema 3 En esta secci´on analizaremos c´omo se obtienen algunos resultados sobre puntos de mejor aproximaci´on existentes en la literatura usando la propiedad Pd´ebil y el argumento detallado en la secci´on anterior. La motivaci´on del primer resultado que presentaremos en esta secci´on es el siguiente teorema que aparece como resultado principal en [30]. Teorema 12 ([30]).Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)con la propiedad Py tal que A06=∅. Sea T:A→Buna aplicaci´on tal que T(A0)⊂B0y para la que se cumple que, cualesquiera que sean x, y ∈A, d(Tx, Ty)≤d(x, y)−φ(d(x, y)) , 4.2. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Y EL LEMA 3 73 siendo φuna funci´on que altera la distancia (ver cap´ıtulo 2). Entonces T tiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. N´otese que la aplicaci´on T:A→Bque aparece en el teorema 12 verifica que d(Tx, Ty)≤d(x, y)−φ(d(x, y)) ≤d(x, y) para cualesquiera x, y ∈Ay, por tanto, Tno es expansiva y, por ende, continua. El siguiente resultado es una mejora del teorema 12 usando la propiedad Pd´ebil. Teorema 13. Si en el teorema 12 reemplazomos la hip´otesis de la propiedad Pdel par (A, B)por la de propiedad Pd´ebil, se obtiene la misma conclusi´on. Demostraci´on. El lema 3 asegura la existencia de la aplicaci´on P◦T:A0→A0⊂A0 tal que, para cualesquiera x, y ∈A0, d((P◦T)(x),(P◦T)(y)) ≤d(Tx, Ty). Veamos a continuaci´on que P◦Tsatisfce las condiciones del teorema 1 (teorema del punto fijo dado por Rhoades en [32]). En efecto, para cualesquiera x, y ∈A0se tiene que d((P◦T)(x),(P◦T)(y)) ≤d(Tx, Ty)≤d(x, y)−φ(d(x, y)) y, como (A0, d) es un espacio m´etrico completo, por el teorema del punto fijo arriba rese˜nado, P◦Ttiene un ´unico punto fijo x0∈A0. Vemos a continuaci´on que x0es un punto de mejor aproximaci´on de T. 74 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Sea x0es un punto fijo de P◦T, esto es, (P◦T)(x0) = x0, o, lo que es lo mismo, P(Tx0) = x0 y, consecuentemente, por definici´on de P, d(x0, Tx0) = d(A, B). Esto prueba que x0es un punto de mejor aproximaci´on de T. Para la unicidad, sea x1∈Atal que d(x1, Tx1) = d(A, B). Entonces, por definici´on de P, tenemos que P(Tx1) = x1y consecuentemente x1es un punto fijo de P◦Ty, por la unicidad del punto fijo, se sigue que x1=x0. Esto prueba la unicidad del punto de mejor aproximaci´on. La motivaci´on para el siguiente resultado aparece en [33], donde los autores demuestran el siguiente teorema. Teorema 14. [33] Sea (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→Xuna aplicaci´on que verifica que, para cualesquiera x, y ∈X, d(Tx, Ty)≤φ(MT(x, y)) , siendo MT(x, y) = m´ax {d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty)}yφuna funci´on de comparaci´on (recu´erdese que φ: [0,∞)→[0,∞)es una funci´on de comparaci´on si es creciente y φ(n)(t)→0para todo t > 0) . Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. 4.2. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Y EL LEMA 3 75 N´otese que en el teorema 14 no se exige la continuidad del operador T. A continuaci´on presentamos un ejemplo de una aplicaci´on T:X→X que satisface la condici´on contractiva del teorema 14 y no es continua. Ejemplo 10. Consideremos el espacio m´etrico completo ([0,1], d) donde d es la m´etrica usual en Ry sea T: [0,1] →[0,1] la aplicaci´on definida por Tx =     7x 20, si x∈[0,1/2], 3x 10, si x∈(1/2,1]. Es claro que esta aplicaci´on no es continua en x0= 1/2. Como ya vimos en el ejemplo 5 del cap´ıtulo 3, se tiene que, para cualesquiera x, y ∈[0,1], d(Tx, Ty)≤1 10d(x, y) + 4 9(d(x, Tx) + d(y, Ty)) ≤1 10 m´ax {d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty)} +4 9·2 m´ax {d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty)} =1 10 +8 9MT(x, y) = 89 90MT(x, y). Por tanto Tsatisface la condici´on contractiva del teorema 14 haciendo φ(t) = 89 90tque, evidentemente, es una funci´on de comparaci´on. Nuestro siguiente resultado es la versi´on del teorema 14 en el contexto de puntos de mejor aproximaci´on. Teorema 15. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)con la propiedad Pd´ebil y con A06=∅. Sea T:A→Buna aplicaci´on continua tal que T(A0)⊂B0y tal que, para cualesquiera x, y ∈A, d(Tx, Ty)≤φ(MT(x, y)) , siendo φuna funci´on de comparaci´on. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. 76 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Demostraci´on. Sea P◦T:A0→A0⊂A0 la aplicaci´on descrita por el lema 3. Veamos a continuaci´on que P◦Tsatisface las condiciones del teorema 14. En efecto, para cualesquiera x, y ∈A0, d((P◦T)(x),(P◦T)(y)) ≤d(Tx, Ty)≤φ(MT(x, y)) y, puesto que (A, d) es un espacio m´etrico completo por ser Acerrado, el teorema 14 nos da la existencia de un ´unico punto fijo x∗∈A0del operador P◦T, es decir (P◦T)(x∗) = x∗. Esto significa, por definici´on de P, que d(P(Tx∗), Tx∗) = d(x∗, Tx∗) = d(A, B) y, por tanto, x∗es un punto de mejor aproximaci´on de T. Sea ahora x1∈A0un punto de mejor aproximaci´on de T, esto es, d(x1, Tx1) = d(A, B). Dado que Tx1∈T(A0)⊂T(A0), por definici´on de la aplicaci´on P, se tiene que P(Tx1) = x1 y consecuentemente x1es un punto fijo de P◦T. Dada la unicidad del punto fijo de P◦T, se deduce que x∗ 1=x∗, lo que completa la demostraci´on. Una consecuencia del teorema 15 es el siguiente resultado. Corolario 15. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)con la propiedad Pd´ebil y con A06=∅. 4.2. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Y EL LEMA 3 77 Sea T:A→Bcontinua tal que T(A0)⊂B0y tal que, para cualesquiera x, y ∈A, d(Tx, Ty)≤φ(MT(x, y, A, B)) , siendo φuna funci´on de comparaci´on y MT(x, y, A, B) = m´ax {d(x, y), d(x, Tx)−d(A, B), d(y, Ty)−d(A, B)}. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. Demostraci´on. N´otese que, al ser MT(x, y, A, B)≤MT(x, y) para cualesquiera x, y ∈Ayφuna funci´on creciente, la condici´on contractiva que aparece en el corolario 15 implica la que aparece en el teorema 15 y este teorema nos da el resultado buscado. El corolario 15 puede ser considerado como una versi´on en el contexto de espacios m´etricos del teorema 20 que aparece en [19]. Seguidamente probaremos que el corolario 15 sigue siendo cierto sin la hip´otesis de continuidad de T. Esto supone que la conclusi´on del apartado II del lema 2 no tiene por qu´e ser cierta. Es decir, puede ser que T(A0)6⊂ B0y por tanto que el operador P:T(A0)→A0no se pueda definir. En ese caso el argumento usado en las pruebas anteriores no ser´ıa v´alido aqu´ı. Por ello, la prueba que presentamos ser´a constructiva. Teorema 16. Bajo las condiciones del corolario 15, salvo la hip´oteis de continuidad del operador T:A→B, se obtiene la misma conclusi´on. Demostraci´on. La hip´otesis de ser A06=∅asegura la existencia de x0∈A0. Dado que T(A0)⊂B0,Tx0∈B0y, por definici´on de B0, existe x1∈A0 tal que d(x1, Tx0) = d(A, B). Repitiendo el proceso con x1∈A0obtenemos x2∈A0tal que d(x2, Tx1) = d(A, B). Queda determinada as´ı una sucesi´on 78 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL (xn)⊂A0tal que d(xn+1, Txn) = d(A, B) para cualquier n≥0. Supongamos que existe n0≥0 tal que d(xn0+1, xn0) = 0 o, lo que es lo mismo, xn0+1 =xn0. Dado que d(xn0+1, Txn0) = d(A, B) se deduce que d(xn0, Txn0) = d(A, B) y, por tanto, xn0es un punto de mejor aproximaci´on de T. En resumen, si la sucesi´on d(xn+1, xn) tiene un t´ermino nulo, entonces Ttiene un punto de mejor aproximaci´on, quedando probada la parte de existencia. Suponemos ahora que d(xn+1, xn)>0 para cada n≥0. Dado que d(xn+1, Txn) = d(A, B) y d(xn, Txn−1) = d(A, B), la propiedad Pd´ebil del par (A, B) nos da que d(xn+1, xn)≤d(Txn, Txn−1) para cualquier n∈N. Usando la hip´otesis de contractividad, se tiene que, para cualquier n∈N, d(xn+1, xn)≤d(Txn, Txn−1)≤φ(MT(xn, xn−1, A, B)) =φ(m´ax {d(xn, xn−1), d(xn, Txn)−d(A, B), d(xn−1, Txn−1)−d(A, B)}). Teniendo en cuenta que d(xn, Txn)−d(A, B)≤d(xn, xn+1) + d(xn+1, Txn)−d(A, B) =d(xn, xn+1) + d(A, B)−d(A, B) = d(xn, xn+1), de ser m´ax {d(xn, xn−1), d(xn, Txn)−d(A, B), d(xn−1, Txn−1)−d(A, B)} =d(xn, Txn)−d(A, B), 4.2. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Y EL LEMA 3 79 tendr´ıamos, por ser φuna funci´on de comparaci´on, que d(xn+1, xn)≤d(Txn, Txn−1)≤φ(d(xn, Txn)−d(A, B)) ≤φ(d(xn, xn+1)) < d(xn, xn+1), que es una contradicci´on (n´otese que en la ´ultima desigualdad hemos usado el hecho de que si φes una funci´on de comparaci´on, entonces φ(t)< t para todo t > 0). Por tanto, para cualquier n∈N, se tiene que d(xn+1, xn)≤d(Txn, Txn−1) ≤φ(m´ax {d(xn, xn−1), d(xn−1, Txn−1)−d(A, B)}) . Teniendo en cuenta que d(xn−1, Txn−1)−d(A, B)≤d(xn−1, xn) + d(xn, Txn−1)−d(A, B) =d(xn−1, xn) + d(A, B)−d(A, B) = d(xn−1, xn), se sigue que, para cualquier n∈N, d(xn+1, xn)≤d(Txn, Txn−1)≤φ(m´ax {d(xn, xn−1), d(xn−1, Txn−1)−d(A, B)}) ≤φ(m´ax {d(xn, xn−1), d(xn, xn−1)}) =φ(d(xn, xn−1)) . De aqu´ı obtenemos que d(xn+1, xn)≤φ(n)(d(x1, x0)) y, como d(x1, x0)>0 y φes una funci´on de comparaci´on, tomando l´ımite cuando ntiende a infinito en la ´ultima expresi´on, llegamos a que l´ım n→∞ d(xn+1, xn) = 0. 86 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Por tanto, para cualquier n= 1,2, . . . ,MT(xn, xn−1) = d(xn, xn−1) y, usando de nuevo la estimaci´on obtenida anteriormente, se tiene que, para cualquier n= 1,2, . . . , d(xn+1, xn)≤β(MT(xn, xn−1)) ·MT(xn, xn−1) =β(d(xn, xn−1)) ·d(xn, xn−1)< d(xn, xn−1). Esto prueba que (d(xn+1, xn)) es una sucesi´on decreciente de n´umeros reales no negativos y por tanto existe r≥0 tal que l´ım n→∞ d(xn+1, xn) = r. Supongamos que r > 0. Dado que d(xn+1, xn)>0 para cada nentero no negativo, de la ´ultima desigualdad se deduce que 0<d(xn+1, xn) d(xn−1, xn)≤β(d(xn, xn−1)) <1 y, tomando l´ımite cuando ntiende a infinito, queda 0<1 = l´ım n→∞ d(xn+1, xn) d(xn−1, xn)=r r≤l´ım n→∞ β(d(xn, xn−1)) ≤1. De esto, se sigue que l´ım n→∞ β(d(xn, xn−1)) = 1. Dado que β∈ F,r= l´ım n→∞ d(xn−1, xn) = 0, lo que contradice nuestra suposici´on de que r > 0. Por tanto, l´ım n→∞ d(xn+1, xn) = 0. Seguidamente probaremos que (xn) es una sucesi´on de Cauchy. En caso contrario, y aplicando un procedimiento est´andar, aseguramos la existencia de  > 0 y dos subsucesiones (xm(k)) y (xn(k)) de (xn) tales que l´ım k→∞ d(xn(k)+1, xm(k)+1) = l´ım k→∞ d(xn(k), xm(k)) = yd(xn(k), xm(k))≥ para cualquier k∈N. Aplicando la condici´on contractiva, se tiene que 4.3. CONTRACCIONES DE GERAGHTY GENERALIZADAS 87 d(xn(k)+1, xm(k)+1) = d(Txn(k), Txm(k))≤βMT(xn(k), xm(k))·MT(xn(k), xm(k)) =βMT(xn(k), xm(k))·m´ax d(xn(k), xm(k)), d(xn(k), Txn(k)), d(xm(k), Txm(k)) =βMT(xn(k), xm(k))·m´ax d(xn(k), xm(k)), d(xn(k), xn(k)+1), d(xm(k), xm(k)+1) <m´ax d(xn(k), xm(k)), d(xn(k), xn(k)+1), d(xm(k), xm(k)+1) Teniendo en cuenta que d(xn(k), xm(k))≥se sigue que ≤m´ax d(xn(k), xm(k)), d(xn(k), xn(k)+1), d(xm(k), xm(k)+1) y, por tanto, de la ´ultima desigualdad se tiene que 0≤d(xn(k)+1, xm(k)+1) m´ax d(xn(k), xm(k)), d(xn(k), xn(k)+1), d(xm(k), xm(k)+1) ≤βMT(d(xn(k), xm(k)))<1. Llevando ka infinito en la desigualdad anterior y, teniendo en cuenta que, l´ım k→∞ d(xn(k)+1, xm(k)+1) = l´ım k→∞ d(xn(k), xm(k)) = y, l´ım k→∞ d(xn+1, xn) = 0, resultar´a que 0< l´ım k→∞ d(xn(k)+1, xm(k)+1) l´ım k→∞ m´ax d(xn(k), xm(k)), d(xn(k), xn(k)+1), d(xm(k), xm(k)+1) = = 1 ≤l´ım k→∞ βMT(xn(k), xm(k))= 1. Dado que β∈ F, se sigue que l´ım k→∞ MT(xn(k), xm(k)) = 0, y, teniendo en cuenta que 0 ≤d(xn(k), xm(k))≤MT(xn(k), xm(k)) para cualquier k∈Nse obtiene que 0 = l´ım k→∞ d(xn(k), xm(k)) = , lo que es una contradicci´on. Por tanto, (xn) es una sucesi´on de Cauchy. La completitud del espacio (X, d) asegura la existencia de x∈Xtal que l´ım n→∞ xn=x. Vemos a continuaci´on que xes un punto fijo. Supongamos que no, es decir, que d(x, Tx)>0. 88 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Dado que l´ım n→∞ xn=xy l´ım n→∞ d(xn+1, xn) = 0, resulta que existe n0∈N tal que m´ax {d(xn, x), d(xn+1, xn)}< d(x, Tx) para cualquier n≥n0. Por tanto, MT(xn, x) = d(x, Tx) para n≥n0. Ahora, si n≥n0, se tiene que d(xn+1, Tx) = d(Txn, Tx)≤β(MT(xn, x)) ·MT(xn, x) ≤β(d(x, Tx)) ·d(x, Tx) < d(x, Tx) y tomando l´ımite cuando ntiende a infinito, se infiere que d(x, Tx)≤β(d(x, Tx)) ·d(x, Tx)< d(x, Tx), que es una contradicci´on. Por tanto Tx =xy queda probada la existencia de un punto fijo de T. Supongamos ahora que x1es un punto fijo de Ty que x16=x. Entonces se tiene que d(x1, x2) = d(Tx1, Tx2) ≤β(MT(x1, x2)) ·MT(x1, x2) =β(d(x1, x2)) ·d(x1, x2)< d(x1, x2) y esto es una contradicci´on. Por tanto x1=x2. Esto completa la prueba. Seguidamente presentamos una versi´on mejorada del teorema 17, donde la condici´on de propiedad Pes reemplazada por la condici´on de propiedad Pd´ebil. Teorema 19. Sea (A, B)un par de subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)con la propiedad Pd´ebil y tal que A06=∅. 4.3. CONTRACCIONES DE GERAGHTY GENERALIZADAS 89 Sea T:A→Buna contracci´on Geraghty generalizada continua y tal que T(A0)⊂B0. Entonces existe un ´unico punto de mejor aproximaci´on de T. Demostraci´on. La continuidad de T, junto con las propiedades de la aplicaci´on P◦T:A0→A0⊂A0 descrita en el lema 3, implica que d((P◦T)(x),(P◦T)(y)) ≤d(Tx, Ty) para cualesquiera x, y ∈A0. Por tanto, para cualesquiera x, y ∈A0, se tiene que d((P◦T)(x),(P◦T)(y)) ≤d(Tx, Ty) ≤β(MT(x, y)) (MT(x, y)−d(A, B)) ≤β(MT(x, y)) ·MT(x, y). Dado que A0, des un espacio m´etrico completo, por el teorema 18 existe un punto fijo x0∈A0. Ahora, usando el mismo argumento que en los teoremas 13 y 15, se prueba que x0es el ´unico punto de mejor aproximaci´on de T. Seguidamente probaremos que el teorema 19 sigue siendo cierto sin la hip´otesis de continuidad del operador T. No obstante, al no exigir ahora la continuidad de T, la prueba no puede seguir el esquema de la demostraci´on del mencionado teorema, sino que tiene que ser constructiva. Teorema 20. Sea (A, B)un par de subconjuntos cerrados y no vac´ıos de un espacio m´etrico completo (X, d)con la propiedad Pd´ebil y tal que A06=∅. Sea T:A→Buna contracci´on de Geraghty generalizada tal que T(A0)⊂B0. Entonces existe un ´unico punto de mejor aproximaci´on de T. 90 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Demostraci´on. Como A0es no vac´ıo, existe x0∈A0. Ahora, teniendo en cuenta que Tx0∈T(A0)⊂B0, existe x1∈A0tal que d(x1, Tx0) = d(A, B). Repitiendo este proceso, encontramos una sucesi´on (xn)⊂A0tal que d(xn+1, Txn) = d(A, B) para cualesquiera n≥0. As´ı pues, si nymson enteros no negativos cualesquiera, d(xn+1, Txn) = d(A, B) y d(xm+1, Txm) = d(A, B), de donde, por la la propiedad Pd´ebil de (A, B) se obtiene que d(xn+1, xm+1)≤d(Txn, Txm) (4.2) cualesquiera que sean nymenteros no negativos. Supongamos que existe n0≥0 tal que d(xn0, xn0+1) = 0. Entonces d(A, B) = d(xn0+1, Txn0) = d(xn0, Txn0) yxn0es un punto de mejor aproximaci´on de T, y la parte de existencia de punto de mejor aproximaci´on estar´ıa probada. Supongamos ahora que d(xn, xn+1)>0 para cada n≥0. Ahora, teniendo en cuenta (4.2), se sigue que, para cualquier n∈N, d(xn+1, xn)≤d(Txn, Txn−1)≤β(MT(xn, xn−1)) ·(MT(xn, xn−1)−d(A, B)) =β(MT(xn, xn−1)) ·(m´ax {d(xn, xn−1), d(xn, Txn), d(xn−1, Txn−1)}−d(A, B)) Dado que d(xn, Txn)−d(A, B)≤d(xn, xn+1) + d(xn+1, Txn)−d(A, B) =d(xn, xn+1) + d(A, B)−d(A, B) = d(xn, xn+1) 4.3. CONTRACCIONES DE GERAGHTY GENERALIZADAS 91 y d(xn−1, Txn−1)−d(A, B)≤d(xn−1, xn) + d(xn, Txn−1)−d(A, B) =d(xn−1, xn) + d(A, B)−d(A, B) = d(xn−1, xn), se tiene que, para cualquier n≥0, d(xn+1, xn)≤β(MT(xn, xn−1)) ·m´ax d(xn, xn−1)−d(A, B), d(xn, xn+1), d(xn−1, xn) =β(MT(xn, xn−1)) ·m´ax d(xn, xn+1), d(xn−1, xn) Supongamos que existe n0≥0 tal que m´ax d(xn0, xn0+1), d(xn0−1, xn0)=d(xn0, xn0+1). Entonces, de la ´ultima desigualdad, y teniendo en cuenta que β(t)<1 para todo t, se infiere que d(xn0+1, xn0)≤β(MT(xn0, xn0−1)) ·d(xn0+1, xn0)< d(xn0+1, xn0) que es una contradicci´on. Por tanto, m´ax d(xn, xn+1), d(xn−1, xn)=d(xn−1, xn) para cualquier n≥0 y, consecuentemente, d(xn, xn+1)≤d(xn−1, xn) para cualquier n≥0. Se tiene as´ı que (d(xn+1, xn)) es una sucesi´on decreciente de n´umeros reales no negativos y, por tanto, existe r≥0 tal que l´ım n→∞ d(xn+1, xn) = r. Veamos que r= 0. Si fuese r > 0, dado que para todo n > 0, d(xn−1, xn)>0 y 0< d(xn+1, xn)≤β(MT(xn, xn−1)) ·d(xn−1, xn)< d(xn−1, xn), se deduce que 0<d(xn+1, xn) d(xn−1, xn)≤β(MT(xn, xn−1)) <1, 92 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL y haciendo tender na infinito en esta ´ultima desigualdad, obtenemos que 0<r r= 1 ≤l´ım n→∞ β(MT(xn, xn−1)) ≤1. Esto implica que l´ım n→∞ β(MT(xn, xn−1)) = 1 y, dado que β∈ F, se deduce que l´ım n→∞ MT(xn, xn−1) = 0, esto es, l´ım n→∞ m´ax {d(xn, xn−1), d(xn, Txn), d(xn−1, Txn−1)}= 0, y, por tanto l´ım n→∞ d(xn, xn−1) = 0, lo que contradice la hip´otesis de que r > 0. Se concluye as´ı que l´ım n→∞ d(xn+1, xn) = 0. Seguidamente, probaremos que (xn) es una sucesi´on de Cauchy. En caso contrario, existir´an  > 0 y subsucesiones (xn(k))y(xm(k)) de (xn) tales que d(xn(k), xm(k))≥,d(xn(k)−1, xm(k))<  y l´ım k→∞ d(xn(k), xm(k)) = l´ım k→∞ d(xn(k)+1, xm(k)+1) = . Por tanto, por (4.2), se tiene que, para cualquier k∈N, d(xn(k)+1, xm(k)+1) ≤d(Txn(k), Txm(k)) ≤βMT(xn(k), xm(k))MT(xn(k), xm(k))−d(A, B). (4.3) Dado que d(xn(k), Txn(k))−d(A, B)≤d(xn(k), xn(k)+1) + d(xn(k)+1, Txn(k))−d(A, B) =d(xn(k), xn(k)+1) + d(A, B)−d(A, B) =d(xn(k), xn(k)+1) y, de la misma manera, d(xm(k), Txm(k))−d(A, B)≤d(xm(k), xm(k)+1), 4.3. CONTRACCIONES DE GERAGHTY GENERALIZADAS 93 de (4.3) se tiene que, para cualquier k∈N, d(xn(k)+1, xm(k)+1) ≤βMT(xn(k), xm(k))·m´ax d(xn(k), xm(k))−d(A, B), d(xn(k), xn(k)+1), d(xm(k), xm(k)+1) ≤βMT(xn(k), xm(k))·m´ax d(xn(k), xm(k)), d(xn(k), xn(k)+1), d(xm(k), xm(k)+1) Dado que l´ım n→∞ d(xn+1, xn) = 0, existe k0∈Ntal que, para cualquier k≥k0, d(xn(k), xn(k)+1)<  ≤d(xn(k), xm(k)) y d(xm(k), xm(k)+1)<  ≤d(xn(k), xm(k)), y, por tanto, m´ax d(xn(k), xm(k)), d(xn(k), xn(k)+1), d(xm(k), xm(k)+1)=d(xn(k), xm(k)). De este modo, para k≥k0, se tiene que d(xn(k)+1, xm(k)+1)≤βMT(xn(k), xm(k))·d(xn(k), xm(k))< d(xn(k), xm(k)), o, lo que es lo mismo, 0<d(xn(k)+1, xm(k)+1) d(xn(k), xm(k))≤βMT(xn(k), xm(k))<1. Si en esta ´ultima desigualdad tomamos l´ımite cuando ktiende a infinito, teniendo en cuenta que l´ım k→∞ d(xn(k)+1, xm(k)+1) = l´ım k→∞ d(xn(k), xm(k)) = , obtenemos que 0< = 1 ≤l´ım k→∞ βMT(xn(k), xm(k))≤1. 94 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Esto implica que l´ım k→∞ βMT(xn(k), xm(k))= 1 y, dado que β∈ F, ha de ser l´ım k→∞ MT(xn(k), xm(k)) = 0 y, consecuentemente, l´ım k→∞ d(xn(k), xm(k)) = 0. Esto contradice que l´ım k→∞ d(xn(k), xm(k)) =  > 0 y, por tanto, (xn) es una sucesi´on de Cauchy. Existe as´ı x∈Xtal que l´ım n→∞ xn=x. Vemos a continuaci´on que Txnes de Cauchy. En efecto, para cualesquiera n, m ∈N, se tiene, haciendo uso de que d(xn, Txn)−d(A, B)≤d(xn, xn+1) yd(xm, Txm)−d(A, B)≤d(xm, xm+1), que d(Txn,Txm) ≤β(MT(xn, xm)) ·(MT(xn, xm)−d(A, B)) =β(MT(xn, xm)) ·m´ax d(xn, xm)−d(A, B), d(xn, Txn)−d(A, B), d(xm, Txm)−d(A, B) ≤β(MT(xn, xm)) ·m´ax d(xn, xm)−d(A, B), d(xn, xn+1), d(xm, xm+1) ≤β(MT(xn, xm)) ·m´ax d(xn, xm), d(xn, xn+1), d(xm, xm+1) <m´ax d(xn, xm), d(xn, xn+1), d(xm, xm+1) Ahora, dado que (xn) es de Cauchy y l´ım n→∞ d(xn, xn+1) = 0, tomando l´ımites, se obtiene que l´ım m,n→∞ d(Txn, Txm) = 0, y, por tanto, (Txn) es una sucesi´on de Cauchy. Dado que (X, d) es un espacio m´etrico completo, existe p∈Xtal que l´ım n→∞ Txn=p. Veamos que p=Tx. Por una parte, dado que d(xn+1, Txn) = d(A, B) para cualquier n∈N, se tiene que d(x, p) = d(A, B). Supongamos que p6=Tx, es decir, que d(p, Tx)>0. Entonces, para 4.3. CONTRACCIONES DE GERAGHTY GENERALIZADAS 95 cualquier n∈N, se tiene que d(Txn, Tx)≤β(MT(xn, x)) ·(MT(xn, x)−d(A, B)) =β(MT(xn, x)) ·m´ax d(xn, x)−d(A, B), d(xn, Txn)−d(A, B), d(x, Tx)−d(A, B) ≤β(MT(xn, x)) ·m´ax d(xn, x), d(xn, xn+1), d(x, p) + d(p, Tx)−d(A, B) =β(MT(xn, x)) ·m´ax d(xn, x), d(xn, xn+1), d(p, Tx) + d(A, B)−d(A, B) =β(MT(xn, x)) ·m´ax d(xn, x), d(xn, xn+1), d(p, Tx), (4.4) Como l´ım n→∞ d(xn, x) = l´ım n→∞ d(xn+1, xn) = 0, existir´a n0∈Ntal que, para cualquier n≥n0, m´ax {d(xn, x), d(xn, xn+1)}< d(p, Tx). Por tanto, de (4.4) se tiene que, para n≥n0, d(Txn, Tx)≤β(MT(xn, x)) ·d(p, Tx)< d(p, Tx). Esto implica que 0≤d(Txn, Tx) d(p, Tx)≤β(MT(xn, x)) <1, y haciendo tender na infinito, se obtiene 0<1 = d(p, Tx) d(p, Tx)= l´ım n→∞ d(Txn, Tx) d(p, Tx)≤l´ım n→∞ β(MT(xn, x)) ≤1. Es decir, l´ım n→∞ β(MT(xn, x)) = 1 y, dado que β∈ F, l´ım n→∞ MT(xn, x) = 0. Por tanto l´ım n→∞ m´ax {d(xn, x), d(xn, Txn), d(x, Tx)}= 0. Esto implica que l´ım n→∞ d(xn, Txn) = d(x, p) = 0 = d(x, Tx). Consecuentemente, x=p=Tx, lo que contradice nuestra hip´otesis de que d(p, Tx)>0. Por tanto, p=Tx. Dado que d(x, p) = d(A, B), se tiene que d(x, Tx) = d(A, B) y, por tanto, xes un punto de mejor aproximaci´on de T. 102 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL se tiene que d(Tx, Ty)>0 y, por tanto, τ+ϕ(d((P◦T)(x),(P◦T)(y))) ≤τ+ϕ(d(Tx, Ty)) ≤ϕm´ax d(x, y), d(x, Tx)−d(A, B), d(y, Ty)−d(A, B), d(x, Ty) + d(y, Tx) 2−d(A, B). Dado que d(x, Tx)−d(A, B)≤d(x, (P◦T)(x)) + d((P◦T)(x), Tx)−d(A, B) =d(x, (P◦T)(x)) + d(A, B)−d(A, B) = d(x, (P◦T)(x)), y, an´alogamente, se tiene que d(y, Ty)−d(A, B)≤d(y, (P◦T)(y)) y, adem´as, d(x, Ty) + d(y, Tx) 2−d(A, B) ≤d(x, (P◦T)(y)) + d((P◦T)(y), Ty) 2 +d(y, (P◦T)(x)) + d((P◦T)(x), Tx) 2−d(A, B) =d(x, (P◦T)(y)) + d(A, B) 2 +d(y, (P◦T)(x)) + d(A, B) 2−d(A, B) =d(x, (P◦T)(y)) + d(y, (P◦T)(x)) 2, 4.4. SOBRE LAS F-CONTRACCIONES DE WARDOWSKI 103 y, usando el hecho de que ϕes estrictamente creciente, se tiene que τ+ϕ(d((P◦T)(x),(P◦T)(y))) ≤ϕm´ax d(x, y), d (x, (P◦T)(x)) , d(y, (P◦T(y))) , d(x, (P◦T(y))) d(y, (P◦T(x))) 2. Por tanto, P◦Tsatisface las condiciones del teorema 24, (ya que P◦T es continua) y, por este teorema, P◦Ttiene un unico punto fijo x∗∈A0. Es decir, (P◦T)(x∗) = x∗. Esto significa, por definici´on de P, que d(A, B) = d((P◦T)(x∗), Tx∗) = d(x∗, Tx∗). Por tanto, x∗es un punto de mejor aproximaci´on de T. Esto prueba la existencia de un punto de mejor aproximaci´on de T. Veamos que es ´unico. Para ello supongamos que x∗ 1∈A0⊂A0es un punto de mejor aproximaci´on de T, es decir, que d(x∗ 1, Tx∗ 1) = d(A, B). Por definici´on de P, esto significa que (P◦T)(x∗ 1) = x∗ 1 y, por tanto, x∗ 1es un punto fijo de P◦T. Dada la unicidad del punto fijo de P◦T, se tiene que x∗ 1=x∗. Esto finaliza la prueba. A continuaci´on probaremos que el teorema 25 sigue siendo cierto sin la hip´otesis de continuidad de T. Por tanto, la prueba no se puede hacer aplicando el lema 3 y tendr´a que ser constructiva. 104 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Teorema 26. Bajo las hip´otesis del teorema 25 salvo la continuidad de T, y asumiendo la continuidad de ϕla conclusi´on del teorema sigue siendo cierta. Demostraci´on. Usando un argumento similar al usado antes, encontramos una sucesi´on (xn)⊂A0tal que d(xn+1, Txn) = d(A, B) para cualquier n≥0. Si existe n0≥0 tal que d(xn0+1, xn0) = 0, entonces d(A, B) = d(xn0+1, Txn0) = d(xn0, Txn0) yxn0ser´ıa un punto de mejor aproximaci´on de T. A partir de ahora, supongamos que d(xn+1, xn)>0 para cualquier n≥0. Entonces, para cualquier n∈N, se tiene que d(xn, Txn−1) = d(A, B) y d(xn+1, Txn) = d(A, B) y, por tener (A, B) la propiedad Pd´ebil, d(xn, xn+1)≤d(Txn−1, Txn). Por tanto, ϕ(d(xn, xn+1)) ≤τ+ϕ(d(xn, xn+1)) ≤τ+ϕ(d(Txn, Txn−1)) ≤ϕm´ax d(xn, xn−1), d(xn, Txn)−d(A, B), d(xn−1, Txn−1)−d(A, B), d(xn, Txn−1) + d(xn−1, Txn) 2−d(A, B) Dado que d(xn, Txn)−d(A, B)≤d(xn, xn+1) + d(xn+1, Txn)−d(A, B) =d(xn, xn+1) + d(A, B)−d(A, B) =d(xn, xn+1), 4.4. SOBRE LAS F-CONTRACCIONES DE WARDOWSKI 105 y, an´alogamente, se tiene que d(xn−1, Txn−1)−d(A, B)≤d(xn−1, xn) y, adem´as, d(xn, Txn−1) + d(xn−1, Txn) 2−d(A, B) ≤d(A, B) + d(xn−1, xn+1) + d(xn+1, Txn) 2−d(A, B) ≤d(A, B) + d(xn−1, xn+1) + d(A, B) 2−d(A, B) =d(xn−1, xn+1) 2≤d(xn−1, xn) + d(xn, xn+1) 2 ≤2 m´ax {d(xn−1, xn), d(xn, xn+1)} 2= m´ax {d(xn−1, xn), d(xn, xn+1)}, se tiene, de la ´ultima desigualdad, que ϕ(d(xn, xn+1)) < τ +ϕ(d(xn, xn+1)) ≤τ+ϕ(d(Txn−1, xn)) ≤ϕ(m´ax {d(xn, xn−1), d(xn, xn+1)}) . Si m´ax {d(xn0, xn0−1), d(xn0, xn0+1)}=d(xn0, xn0+1) para alg´un n0∈N, entonces ϕ(d(xn0, xn0+1)) < τ +ϕ(d(xn0, xn0+1)) ≤ϕ(d(xn0, xn0+1)) , lo que es una contradicci´on. Por tanto, d(xn+1, xn)≤d(xn, xn−1) para cualquier n∈N, y se sigue que ϕ(d(xn, xn+1)) < τ +ϕ(d(xn, xn+1)) ≤ϕ(d(xn, xn−1)) . (4.6) Esto nos dice que (d(xn+1, xn)) es una sucesi´on decreciente de n´umeros reales no negativos y, por tanto, existe r≥0 tal que l´ım n→∞ d(xn+1, xn) = r. Veamos que r= 0. Si r > 0, entonces, dado que ϕes estrictamente creciente, haciendo tender na infinito en (4.6) se tiene que ϕ(r)< τ +ϕ(r)≤ϕ(r), 106 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL que es una contradicci´on. Por tanto, l´ım n→∞ d(xn+1, xn) = 0. Veamos, a continuaci´on, que (xn) es de Cauchy. En caso contrario, existir´a  > 0 y subsucesiones (xn(k)) y (xm(k)) de (xn) tales que ≤d(xn(k), xm(k)), d(xn(k)−1, xm(k))<  y l´ım k→∞ d(xn(k)+1, xm(k)+1) = l´ım k→∞ d(xn(k), xm(k)) = . Dado que, para cualquier k∈N, d(xn(k)+1, Txn(k)) = d(A, B) y d(xm(k)+1, Txm(k)) = d(A, B), por la propiedad Pd´ebil del par (A, B) d(xn(k)+1, xm(k)+1)≤d(Txn(k), Txm(k)). Dado que l´ım k→∞ d(xn(k)+1, xm(k)+1) =  > 0, para todo ksalvo a lo sumo un n´umero finito, d(xn(k)+1, xm(k)+1)>0. Aplicando la condici´on contractiva, resultar´a entonces que ϕd(xn(k)+1, xm(k)+1)< τ +ϕd(xn(k)+1, xm(k)+1) ≤τ+ϕd(Txn(k), Txm(k)) ≤ϕm´ax d(xn(k), xm(k)), d(xn(k), Txn(k))−d(A, B), d(xm(k), Txm(k))−d(A, B), d(xn(k), Txm(k)) + d(xm(k), Txn(k)) 2−d(A, B). (4.7) 4.4. SOBRE LAS F-CONTRACCIONES DE WARDOWSKI 107 Teniendo en cuenta que, d(xn(k), Txn(k))−d(A, B)≤d(xn(k), xn(k)+1) + d(xn(k)+1, Txn(k))−d(A, B) =d(xn(k), xn(k)+1) + d(A, B)−d(A, B) =d(xn(k), xn(k)+1) y, an´alogamente, d(xm(k), Txm(k))−d(A, B)≤d(xm(k), xm(k)+1) y, adem´as, d(xn(k), Txm(k)) + d(xm(k), Txn(k)) 2−d(A, B) ≤d(xn(k), xm(k)+1) + d(A, B) + d(xm(k), xn(k)+1) + d(A, B) 2−d(A, B) ≤d(xn(k), xm(k)+1) + d(xm(k), xn(k)+1) 2 ≤d(xn(k), xm(k)) + d(xm(k), xm(k)+1) + d(xm(k), xn(k)) + d(xn(k), xn(k)+1) 2 =2d(xn(k), xm(k)) + d(xm(k), xm(k)+1) + d(xn(k), xn(k)+1) 2, de la desigualdad (4.7) se deduce que ϕd(xn(k)+1, xm(k)+1)< τ +ϕd(xn(k)+1, xm(k)+1) ≤τ+ϕd(Txn(k), Txm(k)) ≤ϕm´ax d(xn(k), xm(k)), d(xn(k), xn(k)+1), d(xm(k), xm(k)+1), 2d(xn(k), xm(k)) + d(xm(k), xm(k)+1) + d(xn(k), xn(k)+1) 2 y haciendo tender ka infinito y teniendo en cuenta que ϕes continua, queda ϕ()≤τ+ϕ()≤ϕm´ax , 0,0,2 2=ϕ() lo que es absurdo, ya que entonces τ= 0. 108 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Por tanto, (xn) es de Cauchy. Y por ser (X, d) un espacio m´etrico completo existir´a x∈Xtal que l´ım n→∞ xn=x. Veamos que (Txn) es de Cauchy. Sean n, m ∈Ntales que d(Txn, Txm)>0. Entonces se tiene que ϕ(d(Txn, Txm)) < τ +ϕ(d(Txn, Txm)) ≤ϕm´ax d(xn, xm), d(xn, Txn)−d(A, B), d(xm, Txm)−d(A, B), d(xn, Txm) + d(xm, Txn) 2−d(A, B) ≤ϕm´ax d(xn, xm), d(xn, xn+1), d(xm, xm+1), d(xn, xm+1) + d(xm, xn+1) 2 ≤ϕ(m´ax {d(xn, xm), d(xn, xn+1), d(xm, xm+1)}), donde hemos usado aqu´ı que d(xn, Txn)−d(A, B)≤d(xn, xn+1), d(xm, Txm)−d(A, B)≤d(xm, xm+1) y d(xn, Txm) + d(xm, Txn) 2−d(A, B)≤d(xn, xm+1) + d(xm, xn+1) 2. Como d(xn, xm+1) + d(xm, xn+1) 2≤2d(xn, xm) + d(xm, xm+1) + d(xn, xn+1) 2, se tiene que ϕ(d(Txn, Txm)) < τ +ϕ(d(Txn, Txm)) ≤ϕm´ax d(xn, xm), d(xn, xn+1), d(xm, xm+1), 2d(xn, xm) + d(xm, xm+1) + d(xn, xn+1) 2. 4.4. SOBRE LAS F-CONTRACCIONES DE WARDOWSKI 109 Teniendo en cuenta que (xn) es de Cauchy, y que l´ım n→∞ d(xn, xn+1) = 0 y el hecho de que l´ım m,n→∞ m´ax d(xn, xm), d(xn, xn+1), d(xm, xm+1), 2d(xn, xm) + d(xm, xm+1) + d(xn, xn+1) 2= 0 resultar´a que, tomando l´ımite cuando nymtienden a infinito en la ´ultima desigualdad, se llega, teniendo en cuenta que ϕ∈Fa que l´ım n,m→∞ ϕ(d(Txn, Txm)) = −∞. Como ϕ∈F, se tiene que l´ım n,m→∞ d(Txn, Txm) = 0 y esto prueba que (Txn) es de Cauchy. Luego Txn→ppara cierto p∈X. Veamos que p=Tx. Dado que, d(xn+1, Txn) = d(A, B), haciendo tender nal infinito, se deduce que d(x, p) = d(A, B). Supongamos que d(p, Tx)>0. Entonces, para nsuficientemente grande d(Txn, Tx)>0 y τ+ϕ(d(Txn, Tx)) ≤ϕm´ax d(xn, x), d(xn, Txn)−d(A, B), d(x, Tx)−d(A, B), d(xn, Tx) + d(x, Txn) 2−d(A, B) Como d(xn, Txn)−d(A, B)≤d(xn, xn+1), d(x, Tx)−d(A, B)≤d(x, p) + d(p, Tx)−d(A, B) = d(p, Tx) y d(xn, Tx) + d(x, Txn) 2−d(A, B) ≤d(xn, p) + d(p, Tx) + d(p, x) + d(p, Txn) 2−d(A, B), 110 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL resultar´a que ϕ(d(Txn, Tx)) < τ +ϕ(d(Txn, Tx)) ≤ϕm´ax d(xn, x), d(xn, xn+1), d(p, Tx), d(xn, p) + d(p, Tx) + d(A, B) + d(p, Txn) 2−d(A, B) y haciendo tender na infinito y teniendo en cuenta que ϕes continua, se tiene que ϕ(d(p, Tx)) < τ +ϕ(d(p, Tx)) ≤ϕm´ax 0,0, d(p, Tx),d(A, B) + d(p, Tx) + d(A, B)+0 2−d(A, B) =ϕm´ax d(p, Tx),d(p, Tx) 2=ϕ(d(p, Tx)) , lo cual es una contradicci´on. Por tanto, d(p, Tx) = 0, esto es, p=Tx, lo que implica que d(A, B) = d(x, p) = d(x, Tx) y xes un punto de mejor aproximaci´on de T. Esto prueba la existencia de un punto de mejor aproximaci´on. Si x1es otro punto de mejor aproximaci´on de T, y x16=x, teniendo en cuenta que d(x1, Tx1) = d(A, B) y la propiedad Pd´ebil de (A, B) se deduce que 0< d(x, x1)≤d(Tx, Tx1) y, por tanto, τ+ϕ(d(Tx, Tx1)) ≤ϕm´ax d(x, x1), d(x, Tx)−d(A, B), d(x1, Tx1)−d(A, B), d(x, Tx1) + d(x1, Tx) 2−d(A, B) =ϕm´ax d(x, x1),0,0,d(x, x1) + d(x, x1) 2=ϕ(d(x, x1)) , 4.5. SOBRE UN RESULTADO DE POPESCU 111 es decir, ϕ(d(x, x1)) ≤ϕ(d(Tx, Tx1)) < τ +ϕ(d(Tx, Tx1)) ≤ϕ(d(x, x1)) y esto es una contradicci´on. Luego x=x1. Esto finaliza la prueba. 4.5. Sobre un resultado de Popescu El siguiente resultado tiene su motivaci´on en un reciente trabajo debido a O. Popescu que generaliza un resultado anterior de Bogin de 1976. El resultado de Bogin aparece en [10] y es el siguiente. Teorema 27 ([10]).Sea (X, d)un espacio m´etrico completo y sea T:X→X una aplicaci´on que satisface, para cualesquiera x, y ∈X, d(Tx, Ty)≤ad(x, y) + b(d(x, Tx) + d(y, Ty)) + c(d(x, Ty) + d(y, Tx)) , donde a≥0,b >,c > 0ya+ 2b+ 2c= 1. Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. O. Popescu generaliza en [28] el teorema 27 a˜nadiendo una condici´on antecedente a la propiedad contractiva. Su resultado es el siguiente. Teorema 28 ([28]).Sea (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→X una aplicaci´on que satisface, para cualesquiera x, y ∈X, 1 2d(x, Tx)≤d(x, y) ⇒d(Tx, Ty)≤ad(x, y) + b(d(x, Tx) + d(y, Ty)) + c(d(x, Ty) + d(y, Tx)) donde a≥0,b > 0,c > 0ya+ 2b+ 2c= 1. Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. 118 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL condici´on contractiva, d(x, y)≤d(Tx, Ty) ≤ϕ(M(x, y)−d(A, B)) =ϕ(m´ax {d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty)}−d(A, B)) =ϕ(m´ax {d(x, y)−d(A, B),0,0}) =ϕ(d(x, y)−d(A, B)) ≤ϕ(d(x, y)) < d(x, y), y esto es una contradicci´on. Por tanto x=y. Esto finaliza la prueba. En lo que sigue, daremos un ejemplo de una aplicaci´on que satisface la condici´on contractiva del teorema 29 y que no es continua. El mismo ejemplo 11 nos sirve. Sea T: [0,1] →[0,1] la aplicaci´on dada por Tx =     1 2, si x∈[0,1), 1 4, si x= 1. En este caso A=B= [0,1], d(A, B) = 0, B0=A0= [0,1] y T(A0)⊂B0. Claramente Tno es continua en x0= 1. Si x, y ∈[0,1), d(Tx, Ty) = 0. Y si x∈[0,1) e y= 1, d(Tx, Ty) =  1 2−1 4 =1 4, yM(x, y) = m´ax {d(x, 1), d(x, Tx), d(1, T1)} ≥ d(1, T1) = 3 4. Luego d(Tx, T1) = 1 4=1 3·3 4≤1 3M(x, 1) y la condici´on contractiva se satisface para la funci´on ϕ(t) = 1 3t, independientemente del antecedente. El siguiente resultado nos da una versi´on del teorema 29 donde la continuidad del operador Tes reemplazada por otras condiciones. 4.5. SOBRE UN RESULTADO DE POPESCU 119 Teorema 30. Sean AyBdos subconjuntos no vac´ıos y cerrados de un espacio m´etrico completo (X, d)tales que A06=∅y sea T:A→Buna aplicaci´on tal que T(A0)⊂B0. Supongamos que existe una funci´on de comparaci´on ϕ tal que para cualesquiera x∈A0ey∈A, rd(x, Tx)≤d(x, y) + d(A, B)⇒d(Tx, Ty)≤ϕ(M(x, y)−d(A, B)) , siendo M(x, y) = m´ax {d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty)}yrtal que si d(A, B)>0, entonces r < 1; si d(A, B) = 0, entonces r≤1 2. Supongamos que el par (A, B)tiene la propiedad P. Entonces Ttiene un ´unico punto de mejor aproximaci´on. Demostraci´on. Dado que la propiedad Pimplica la propiedad Pd´ebil, siguiendo un razonamiento an´alogo al desarrollado en la prueba del teorema 29 encontramos una sucesi´on (xn)⊂A0tal que d(xn+1, Txn) = d(A, B) para cualquier n= 0,1,2, . . . y, adem´as, existe x∈Atal que xn→x. Usando la propiedad Pdel par (A, B), se deduce que, para cualesquiera n, m ≥0, d(xn+1, Txn) = d(A, B) d(xm+1, Txm) = d(A, B)  ⇒d(xn+1, xm+1) = d(Txn, Txm) y, como (xn) es de Cauchy (por ser convergente), de lo anterior inferimos que (Txn) es tambi´en de Cauchy. Dado que (Txn)⊂B0⊂ByBes cerrado, existe z∈Btal que Txn→z. Por ser d(xn+1, Txn) = d(A, B) para cualquier n= 0,1,2, . . . , tomando l´ımite cuando ntiende a infinito, se obtiene que d(x, z) = d(A, B). 120 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Veamos a continuaci´on que z=Tx. Distinguimos dos casos: z=xyz6=x. Caso 1: z=x. En este caso, dado que d(x, z) = d(A, B), se tiene que d(A, B) = 0 y, por tanto r≤1 2. Adem´as, dado que d(xn+1, Txn) = d(A, B) = 0, xn+1 =Txn para cualquier n≥0. En lo que sigue, vamos a probar que el conjunto D={n:d(xn, xn+1)≤2d(xn, x)} es infinito. En caso contrario, existir´a n≥0 tal que d(xn, xn+1)>2d(xn, x) para cualquier n≥n0. Por tanto, para n≥n0, 2d(xn, x)< d(xn, xn+1)≤d(xn, x) + d(x, xn+1) y de aqu´ı se infiere que d(xn, x)< d(xn+1, x) para n≥n0. Dado que 0 < 0=d(xn0, x)< d(xn+1, x) para n≥n0, esto contradice el hecho de que xn→x. Por tanto Des un conjunto infinito. Existe por tanto una subsucesi´on (xn(k)) de (xn) tal que rd(xn(k), Txn(k)) = rd(xn(k), xn(k)+1)≤1 2d(xn(k), xn(k)+1)≤d(xn(k), x) para cualquier k. 4.5. SOBRE UN RESULTADO DE POPESCU 121 Usando la condici´on contractiva que aparece en nuestra hip´otesis se tiene que, para cualquier k, d(xn(k)+1, Tx) = d(Txn(k), Tx) ≤ϕM(xn(k), x) =ϕm´ax d(xn(k), x), d(xn(k), Txn(k)), d(x, Tx) =ϕm´ax d(xn(k), x), d(xn(k), xn(k)+1), d(x, Tx). Teniendo en cuenta que xn(k)→xy que d(xn(k), xn(k)+1)→0 cuando k→ ∞, si d(x, Tx)>0, entonces existe k0∈Ntal que, para cualquier k≥k0, d(xn(k), x)< d(x, Tx) y d(xn(k), xn(k)+1)< d(x, Tx) y, por tanto, de la ´ultima cadena de igualdades, se tiene que, para k≥k0, d(xn(k)+1, Tx)≤ϕ(d(x, Tx)) y haciendo tender ka infinito, se deduce que d(x, Tx)≤ϕ(d(x, Tx)) , lo cual es una contradicci´on, ya que, por ser ϕuna funci´on de comparaci´on, ϕ(t)< t para t > 0. Por tanto, d(x, Tx) = 0 y x=z=Tx. Adem´as, d(x, z) = d(A, B) = 0, por lo que d(x, Tx) = d(A, B) y xes un punto de mejor aproximaci´on de T. Caso 2: z6=x. Veamos que z=Tx. Dado que d(A, B) = d(x, z)>0, en este caso r < 1. 122 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Por otra parte, dado que l´ım n→∞ rd(xn, Txn) = rd(x, z) y l´ım n→∞ (rd(xn, x) + d(A, B)) = d(A, B) = d(x, z), existe n0∈Ntal que para n≥n0 rd(xn, Txn)≤d(xn, x) + d(A, B). Usando la condici´on contractiva, tenemos, para n≥n0, que d(Txn, Tx)≤ϕ(M(xn, x)−d(A, B)) =ϕ(m´ax {d(xn, x), d(xn, Txn), d(x, Tx)}−d(A, B)) . Consideramos a continuaci´on los siguientes conjuntos: N1={n≥n0: m´ax {d(xn, x), d(xn, Txn), d(x, Tx)}=d(xn, x)}, N2={n≥n0: m´ax {d(xn, x), d(xn, Txn), d(x, Tx)}=d(xn, Txn)} y N3={n≥n0: m´ax {d(xn, x), d(xn, Txn), d(x, Tx)}=d(x, Tx)}. Dado que N1∪N2∪N3={n:n≥n0}, al menos uno de los conjuntos Ni, i = 1,2,3 es infinito. Supongamos que N1es infinito. Existe entonces una subsucesi´on (xn(k)) de (xn) tal que, teniendo en cuenta que ϕes creciente y que ϕ(t)< t si t > 0, d(Txn(k), Tx)≤ϕd(xn(k), x)−d(A, B)≤ϕd(xn(k), x)< d(xn(k), x), Haciendo tender ka infinito en la ´ultima desigualdad se obtiene que d(z, Tx)≤0 y por tanto z=Tx, que es el resultado buscado. 4.5. SOBRE UN RESULTADO DE POPESCU 123 Supongamos ahora que N2es infinito. Existe entonces una subsucesi´on (xn(k)) de (xn) tal que, para cualquier k∈N, M(xn(k), x)−d(A, B) =d(xn(k), Txn(k))−d(A, B) ≤d(xn(k), xn(k)+1) + d(xn(k)+1, Txn(k))−d(A, B) =d(xn(k), xn(k)+1) + d(A, B)−d(A, B) = d(xn(k), xn(k)+1). Por tanto, para cualquier k∈N, se tiene que d(Txn(k), Tx)≤ϕM(xn(k), x)−d(A, B) ≤ϕd(xn(k), xn(k)+1)< d(xn(k), xn(k)+1) y llevando kal infinito, se deduce que d(z, Tx)≤0 y, por tanto, z=Tx, como se buscaba. Por ´ultimo, supongamos que N3es infinito. Existe entonces una subsucesi´on (xn(k)) de (xn) tal que, para cualquier k∈N, se tiene que, d(Txn(k), Tx)≤ϕ(d(x, Tx)−d(A, B)) ≤ϕ(d(x, z) + d(z, Tx)−d(A, B)) =ϕ(d(A, B) + d(z, Tx)−d(A, B)) = ϕ(d(z, Tx)) . Si d(z, Tx)>0, haciendo tender ka infinito, d(z, Tx)≤ϕ(d(z, Tx)) < d(z, Tx), y esto nos da una contradicci´on. Por tanto d(z, Tx) = 0, que es lo que busc´abamos. En cualquier caso, xes un punto de mejor aproximaci´on. Supongamos ahora que yes otro punto de mejor aproximaci´on. Entonces, por la propiedad Pse tiene que d(x, Tx) = d(A, B) d(y, Ty) = d(A, B)  ⇒d(x, y) = d(Tx, Ty). 124 CAP´ ITULO 4. LA PROPIEDAD PD´ EBIL Adem´as, como en cualquier caso r < 1, se tiene que rd(x, Tx) = rd(A, B)≤d(x, y) + d(A, B) y por tanto, aplicando la condici´on contractiva que aparece en nuestra hip´otesis, se tiene que d(Tx, Ty)≤ϕ(M(x, y)−d(A, B)) =ϕ(m´ax {d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty)}−d(A, B)) =ϕ(m´ax {d(x, y), d(A, B), d(A, B)}−d(A, B)) =ϕ(m´ax {d(x, y), d(A, B)}−d(A, B)) . Si m´ax {d(x, y), d(A, B)}=d(x, y)>0, entonces, de la ´ultima desigualdad se obtiene que d(x, y) = d(Tx, Ty)≤ϕ(d(x, y)−d(A, B)) ≤ϕ(d(x, y)) < d(x, y), lo que es una contradicci´on, salvo que x=y. Si m´ax {d(x, y), d(A, B)}=d(A, B), entonces, se tiene que d(x, y) = d(Tx, Ty)≤ϕ(d(A, B)−d(A, B)) = ϕ(0) = 0 y, por tanto, x=y. Esto prueba la unicidad del punto de mejor aproximaci´on de T. Dado que si d(A, B) = 0, entonces el par (A, B) tiene la propiedad P, se tiene el siguiente resultado de punto fijo. Corolario 16. Sean (X, d)un espacio m´etrico completo y T:X→Xuna aplicaci´on tales que existen una funci´on de comparaci´on ϕyr∈Rde modo que, para cualquier x, y ∈X, rd(x, Tx)≤d(x, y)⇒d(Tx, Ty)≤ϕ(M(x, y)) con M(x, y) = m´ax {d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty)}. Supongamos tambi´en que se da una da las dos condiciones siguientes 4.5. SOBRE UN RESULTADO DE POPESCU 125 I) Tes continua y r= 1; II) 0< r ≤1 2. Entonces Ttiene un ´unico punto fijo. Bibliograf´ıa [1] A. Abkar y M. Gabeleh, A note on some best proximity point theorems proved under P-property, Abstr. Appl. Anal., Art. ID 189567, 3, 2013, 3124078, issn: 1085-3375. [2] M. A. Al-Thagafi y N. Shahzad, Convergence and existence results for best proximity points, Nonlinear Anal., vol. 70, n.o10, p´ags. 3665-3671, 2009, issn: 0362-546X. [3] Y. I. Alber y S. Guerre-Delabriere, Principle of weakly contractive maps in Hilbert spaces, en New results in operator theory and its applications, ´ep. Oper. Theory Adv. Appl. Vol. 98, Birkh¨auser, Basel, 1997, p´ags. 7-22. [4] A. Almeida, J. Harjani y K. Sadarangani, Existence and uniqueness of best proximity point for contractions of Geraghty type, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas F´ıs. Nat. Ser. A Math. RACSAM, vol. 108, n.o 2, p´ags. 957-971, 2014, issn: 1578-7303. [5] A. Almeida, J. Harjani y K. Sadarangani, A best proximity point theorem for generalized weakly contractive non self mappings. English, J. Convex Anal., vol. 21, n.o4, p´ags. 989-1006, 2014, issn: 0944-6532. 127