Estudio de soluciones positivas de problemas elípticos con coeficiente de difusión no-local.

PROGRAMA DE DOCTORADO EN MATEMÁTICAS ESTUDIO DE SOLUCIONES POSITIVAS DE PROBLEMAS ELÍPTICOS CON COEFICIENTE DE DIFUSIÓN NO-LOCAL Tarcyana do Socorro Figueiredo de Sousa Directores :Prof. Dr. Cristian Morales Rodrigo Prof. Dr. Antonio Suárez Fernández ii Agradecimientos Quiero dar las gracias a todos que me participaran direta y indirectamente en la construcción de esta memoria. Mi agradecimiento al Prof. Antonio Suárez por haber orientado al largo de estos 4 años. Agradezco su paciencia, su disponibilidad y atención. En todos los momentos de dificuldad siempre ha estado para ayudarme. ¡Muchas Gracias! Agradezco al Prof. Cristian Morales por toda ayuda que me ha proporcionado y además por la amizade que hemos construido. Al Prof. Giovany Figueiredo, mi tio y profesor, quien me introduziu y animou en el mundo de la investiagión matemática. Quiero agradecer a todos los profesores del Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico (EDAN). A todos los becários del EDAN por la inumeras ayudas y por todos los desayunos. A todos mis amigos brasileños que han estado en Sevilla durante estos 4 años. A mi familia que mismo de lejos me han dado su apoio. En especial a mi hija, Tayra, que me alegra con su sorisa. Y a mi marido, que esta a mi lado siempre que necesito. Al Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq)-Brasil, por el apoio financeiro y la oportunidad de estudio en la Universidad de Sevilla. iii iv Índice Notación 1 Introducción 3 1 Resultados Previos 29 1.1 Problema de autovalor local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2 Ecuación local con término de reacción cóncavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.3 Problemalogísticolocal ............................... 37 1.4 Problema superlineal local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.5 Método de sub-supersolución para una ecuación no-local . . . . . . . . . . . . . 48 2 Ecuación con coeficiente de difusión no-local: caso lineal y sublineal 49 2.1 Casohomogéneo ................................... 49 2.1.1 Caso q= 1 ................................... 50 2.1.2 Caso 0< q < 1................................ 52 2.2 Casoheterogéneo ................................... 55 2.2.1 Caso q= 1 ................................... 55 2.2.2 Caso 0< q < 1................................ 57 3 Ecuación logística con coeficiente de difusión no-local 73 3.1 Bifurcaciónglobalylocal............................... 74 3.2 Resultados de no existencia de solución positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3 Caso que bverifica (Hb1)............................... 82 3.4 Caso que bverifica (Hb2)............................... 84 4 Ecuación con coeficiente de difusión variable local y no-local 101 4.1 Problema no-local de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2 Problema no-local cóncavo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 v 4.3 Problema no-local logístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3.1 Casolocal................................... 111 4.3.2 Casono-local ................................. 118 5 Algunos problemas superlineales 131 5.1 Bifurcaciónglobal................................... 131 5.2 Direccióndebifurcación ............................... 134 5.3 Casogeneral...................................... 139 Bibliografía 149 vi Notación • | · |p- Norma del espacio Lp(Ω) con 1≤p≤ ∞. • | · |W2,p - Norma del espacio W2,p(Ω) con 1<p<∞. • | · |H1 0- Norma del espacio H1 0(Ω). •Dada una función a∈C(IR), denotaremos aL:= inf s∈IRa(s), aM:= sup s∈IR a(s), a(∞) = lim s→+∞a(s). •Dado un espacio de Banach Ey la ecuación F(λ, u) = 0 en IR×E, con Funa función continua y F(λ, 0) = 0 para todo λ∈IR: 1. λ0es un punto de bifurcación para Fdesde la solución trivial si existe una sucesión (λn, un)∈IR×Econ un6= 0 yF(λn, un) = 0 tal que (λn, un)→(λ0,0) en IR×E. 2. Si λ0es un punto de bifurcación, diremos que la dirección de bifurcación es supercrítica (resp. subcrítica) si para cualquier sucesión de soluciones (λn, un)tal que (λn, un)→(λ0,0), entonces λn> λ0(resp. λn< λ0). 3. Denotemos por Sla clausura del conjunto de soluciones no triviales de F(λ, u)=0. Llamaremos continuo C ⊂ S a un conjunto cerrado, conexo y maximal (maximal en el sentido que no es subconjunto propio de otro cerrado y conexo de S). 4. Diremos que un continuo Cse va a infinito si existe una sucesión (λn, un)∈ C tal que λn→λ∗,λ∗∈[−∞,∞]ykunk→∞. 5. Dado un elemento (λ, u)∈IR×E, denotamos por ProjIR(λ, u) = λ. 1 2 Introducción El objetivo de esta Memoria es estudiar teóricamente ecuaciones elípticas del tipo      −A(x, u)∆u=f(x, u)en Ω, u= 0 sobre ∂Ω, (1) donde Ω⊂RN,N≥1, es un dominio acotado y con frontera regular, f: Ω ×R→Res una función continua que será detallada posteriormente, y A: Ω ×L∞(Ω) 7→ Rcontinua y 0≤ A(x, u)≤ ∞. La novedad de (1) es precisamente la inclusión de este término A(x, u)en la difusión, en concreto, como coeficiente de difusión, lo que permite incluir coeficientes de difusión no lineales y nolocales, es decir, términos que dependen del valor de la variable en todo el dominio y no sólo en el punto x∈Ω. La ecuación (1) ha sido usada para modelar diversos fenómenos, citaremos el reciente libro [41] donde se hace un análisis de la inclusión de términos no-locales tanto en la función de reacción como en la de difusión. En nuestro caso, nuestro interés se centra en las soluciones positivas de (1) ya que estamos considerando que la ecuación modela el comportamiento de una especie, por ejemplo, el crecimiento de una bacteria, habitando Ω. En este contexto, ver [12], u(x)representa la densidad de la población en el punto x∈Ω,Ωrepresenta el hábitat de la especie, al que estamos suponiendo que está rodeado por una región inhóspita debido a la condición de contorno de tipo Dirichlet homogénea. La función f(x, u)es el término reacción y será detallado posteriormente y la función Aes la tasa de difusión. Recordemos que la difusión espacial de la especie está modelada por el operador Laplaciano, lo que indica que su movimiento espacial es aleatorio. Sin embargo, la inclusión del término A(x, u)implica que la velocidad de la difusión depende de la propia densidad de la especie de forma no-local, esto es, su difusión en un punto del hábitat 3 nuestros resultados. En concreto, definimos λ:= inf t>0λ1(t), λ := sup t≥0 λ1(t), donde λ1(t) := λ1[−a(x, t)∆; 1]. Observemos que 0≤λ≤λ≤ ∞. En el caso q= 1 los resultados son similares al caso homogéneo, si bien las técnicas son diferentes. Teorema 0.3 Supongamos q= 1. 1. Si ues una solución positiva de (7), entonces λ∈[λ, λ]. 2. Si λ∈(λ, λ), entonces existe al menos una solución positiva de (7). 3. Si la aplicación t7→ a(x, t)es una función estrictamente monótona, entonces (7) tiene una única solución positiva. 4. Si a(x, 0) = 0, entonces λ= 0. 5. Si lim s→∞ a(x, s) = ∞,uniformemente en Ω, entonces λ=∞. Consideremos ahora el caso 0< q < 1. Dividiremos nuevamente nuestro estudio en otros dos casos, el caso no degenerado para lo cual consideramos a(x, r)>0,para todo r≥0; y el caso degenerado donde a(x, r) = 0 si solo si r= 0. Estudiemos primero el caso no degenerado, esto es, a(x, s)>0, s ∈[0,∞). Para este caso usamos el método de bifurcación para probar la existencia de un continuo C no acotado en IR×L∞(Ω) de soluciones positivas de (7) que emana desde (λ, u) = (0,0). El comportamiento de este continuo depende del comportamiento de aen infinito. El principal Teorema del caso no degenerado es: 10 Teorema 0.4 Suponamos 0< q < 1yano degenerado. i) Existe un continuo Cno acotado de soluciones positivas de (7) que emana desde (λ, u) = (0,0). ii) Si lim s→∞ a(x, s)s1−q p=∞,uniformemente en Ω,(A∞) entonces existe solución positiva de (7) para todo λ > 0. En este caso, ProjIR(C) = (0,+∞). iii) Si lim s→∞ a(x, s)s1−q p=c(x),uniformemente en Ω,(Ac) con c(x)≥0para todo x∈Ω, entonces existen 0≤λ∗≤λ∗∗ ≤λ∗∗∗ <∞, λ∗∗ >0, tales que (a) Si λ>λ∗∗∗, entonces no existe solución positiva de (7). (b) Si λ∈(0, λ∗∗), entonces existe al menos una solución positiva, denotada por uλ, de (7). En este caso, (0, λ∗∗)⊂ProjIR(C). Además, tenemos |uλ|∞→ ∞ para λ→λ∗. Además, •Si c(x)≥c0>0para alguna constante c0, entonces λ∗>0, por lo que el continuo C se va a infinito en λ=λ∗. •Si c≡0en Ω, entonces λ∗= 0, por lo que el continuo Cse va a infinito en λ= 0. Por último, si s7→ a(x, s)es creciente, existe a lo más una solución positiva de (7). Obsérvese que las Figuras 1, 2 y 3 también representan los diagramas de bifurcación para a verificando (A∞),(Ac)con c≥c0>0y con c≡0, respectivamente. El caso degenerado es estudiado haciendo una perturbación en ay pasando convenientemente al límite. 11 Teorema 0.5 Supongamos 0< q < 1ya(x, 0) = 0. i) Si averifica (A∞), entonces existe al menos una solución positiva de (7) para λ > 0. ii) Si averifica (Ac)con c≥c0>0, entonces existen 0< λ∗< λ∗∗,tales que existe al menos una solución positiva de (7) para 0< λ < λ∗y no posee solución positiva para λ > λ∗∗. Es claro que cuando averifica (A∞)los resultados de existencia son similares al caso local. Sin embargo, en el caso no-local, cuando ase va a cero lo suficientemente rápido en infinito, entonces (7) no tiene solución positiva para λgrande. Gran parte de los resultados de este Capítulo están incluidos en [34]. En el Capítulo 3 estudiaremos el siguiente problema      −aZΩq(x)up∆u=λu −b(x)u2en Ω, u= 0 sobre ∂Ω, (8) aes una función continua y positiva, p > 0,qes una función acotada, no-negativa y no-trivial en Ω, y bverificando (Hb1)o(Hb2). El término de reacción es el clásico término logístico: λdenota la razón de crecimiento de la especie, −b(x)u2es un término que modela el límite de crecimiento de la especie, que considera la falta de alimentos, de espacio, etc, de la especie uy que evita un crecimiento descontrolado de la especie. Sin embargo, cuando bverifica (Hb2), hay una región, Ω0, donde la especie crece indefinidamente; ese conjunto es denominado el refugio de u. En el caso local, esto es, a≡1, los principales resultados conocidos son (ver Capítulo 1): 1. Si bverifica (Hb1), entonces existe solución positiva si y solo si λ>λ1. En tal caso, existe una única solución positiva. 2. Si bverifica (Hb2), entonces existe solución positiva si y solo si λ∈(λ1, λΩ0 1). En tal caso, existe una única solución positiva, y si la denotamos uλ, verifica lim λ→λ1 |uλ|∞= 0 ylim λ→λΩ0 1 |uλ|r=∞, 12 para cualquier 1≤r≤ ∞. En concreto, lim λ→λΩ0 1 uλ=M(x), donde Mes la denominada “metasolución”, esto es, M(x) :=      ∞in Ω0, L(x)in Ω\Ω0. (9) yLes la solución minimal de              −∆L(x) = λΩ0 1L(x)−b(x)L(x)2en Ω\Ω0, L(x) = 0 sobre ∂Ω, L(x) = ∞sobre ∂Ω0. Luego, en ambos casos, si la razón de crecimiento es pequeña, la única solución es la trivial. Además, cuando existe el refugio, para valores grandes de la razón de crecimiento, la especie no existe, “explota” en el conjunto Ω0. Por tanto, el objetivo es estudiar el comportamiento de esta ecuación cuando se introduce un término de difusión no-local. Como veremos, dependiendo del crecimiento de la función de difusión ay de la función q(x), la estructura del conjunto de soluciones positivas variará mucho del caso local, apareciendo una riqueza de soluciones muy amplia. Recordemos los resultados conocidos para (8). Notemos en primer lugar que dicha ecuación sólo ha sido estudiada para el caso en el bverifica (Hb1)en [17], [22] y [50] (ver también [51]). En [22] fue probada la existencia de solución positiva para λgrande y averifica (4). Este resultado fue mejorado en [17] mostrando la existencia de solución positiva λ > aMλ1. En ambos trabajos, el teorema de punto fijo de Schauder fue usado. En [50], el método de bifurcación fue utilizado para estudiar (8) cuando a(s) = c1+c2sα, ci>0, α > 0. Para esta particular elección de a, los autores en [50] probaron la existencia de solución positiva para λ > c1λ1suponiendo que 2>max{αp + 1, p −1}. 13 Nuestros resultados mejoran a los anteriores en varios aspectos: no suponemos que aL>0 ni aM<∞; no imponemos ninguna condición en p; estudiamos el caso en el que bverifica (Hb2), no estudiado anteriormente; incluimos el peso qen el término no-local que nos dará una riqueza amplia de soluciones y determinamos exactamente desde el valor de λpara el que existe solución. Para ello, de nuevo aplicaremos el método de bifurcación. Mostraremos que desde la solución trivial bifurca un continuo de soluciones positivas Cque es no acotado en IR×L∞(Ω). Dependiendo de b,ayq, el comportamiento de este continuo difiere notablemente. Primero, tratamos el caso en el que b(x)satisface (Hb1), donde los resultados son muy similares al caso local. Teorema 0.6 Si b(x)satisface (Hb1). Entonces existe solución positiva de (8) si λ>a(0)λ1. Además, si bes constante y acreciente, entonces la solución positiva es única. El caso en el que bverifica (Hb2)los resultados dependen de varias cantidades. Definimos I:= ZΩq(x)(M(x))pdx. (10) donde M(x)es la llamada metasolución definida en (9). Estudiaremos dos casos para I, primer cuando I=∞y después cuando I < ∞. En este último caso, combinamos los resultados de bifurcación con otros de punto fijo. Teorema 0.7 1. Existe un continuo no acotado Cen IR×L∞(Ω) de soluciones positivas de (8) que emana desde la solución trivial en λ=a(0)λ1. 2. Si I=∞, entonces existe solución positiva de (8) si λ∈(min{a(0)λ1, a(∞)λΩ0 1},max{a(0)λ1, a(∞)λΩ0 1}). En este caso, los valores a(∞)=0ya(∞) = ∞son admitidos. De hecho, el continuo C se va a infinito en λ=a(∞)λΩ0 1. 14 3. Supongamos que I < ∞y consideramos la ecuación real g(s) := s (a(s))p=I. (11) (a) Supongamos que (11) no tiene solución, o sea, g(s)< I para todo s≥0. Entonces, (8) tiene al menos una solución positiva para λ∈(a(0)λ1,∞). (b) Supongamos que existen s1< s2< . . . < sm,m≥1raíces simples de (11) y consideramos Λi=λΩ0 1si I1/p , i = 1, . . . , m. Entonces, i. El continuo no acotado Cde soluciones positivas de (8) que bifurca desde la solución trivial en λ=a(0)λ1se va al infinito en λ= Λ1. Como consecuencia, existe al menos una solución positiva si λ∈(min{a(0)λ1,Λ1},max{a(0)λ1,Λ1}). ii. Si m= 2k+ 1,k≥0, (8) posee al menos una solución positiva para λ∈ k [ j=1 (Λ2j,Λ2j+1), y (8) no posee solución positiva para λgrande. iii. Si m= 2k,k≥1, (3.1) posee al menos una solución positiva para λ∈ k−1 [ j=1 (Λ2j,Λ2j+1)∪(Λ2k,∞).(12) En las Figuras 4-9 hemos representado diferentes formas de la función gasí como los diagramas de bifurcación que aparecen. 15 Figura 4: Diagramas de bifurcación en el caso que bverifies (Hb2),I=∞y0< a(∞)<∞. A la izquierda, a(0)λ1< a(∞)λΩ0 1y a la derecha a(∞)λΩ0 1< a(0)λ1. Figura 5: Diagramas de bifurcación en el caso que bverifies (Hb2)eI=∞. A la izquierda, a(∞) = ∞, a la derecha a(∞) = 0. El primer diagrama aparece también cuando bverifica (Hb1). Figura 6: Posible diagrama de bifurcación cuando bverifica (Hb2),I=∞ya(0)λ1=a(∞)λΩ0 1. En el primer caso, la dirección de bifurcación es supercrítica mientras que en el segundo subcrítica. 16 Figura 7: Representación de la función g(s)y diagrama de bifurcación para g(s)< I. Figura 8: Caso I < ∞: Representación de la función g(s)y del diagrama de bifurcación para g(s) = Ien un número impar de veces. Figura 9: Caso I < ∞: Diagrama de bifurcación para g(s) = Ien un número par de veces. En el primer diagrama a(0)λ1<Λ1y en el segundo a(0)λ1>Λ2. 17 Además, hemos estudiado la dirección de bifurcación desde la solución trivial y hemos analizado en detalle los casos cuando aes creciente o aes decreciente, mostrando en estos casos los diagramas de bifurcación exactos, así como la unicidad de solución positiva. Comparemos los resultados con el caso local: 1. En el caso que bverifica (Hb1)los resultados de existencia de solución positiva son bastante similares (en ambos casos existe solución positiva para λ>a(0)λ1); sin embargo en el caso no-local puede haber múltiples soluciones como así lo asegura los resultados sobre las direcciones de bifurcación. 2. Supongamos que bverifica (Hb2). En este caso, distinguiremos dos casos: I=∞eI < ∞. (a) I=∞. Este caso ocurre cuando Q+:= {x∈Ω : q(x)>0} ∩ Ω06=∅, esto es, el coeficiente de difusión no-local tiene en cuenta el refugio de la especie. A diferencia del caso local, puede existir solución para λpequeño (si el coeficiente de difusión es pequeño para valores grandes de la población, a(∞) = 0) y para valores grandes de λ(si el coeficiente de difusión es grande para valores grandes de la población, a(∞) = ∞). (b) I < ∞. Este caso ocurre cuando Q+∩Ω0=∅, esto es, el refugio no es visto por la difusión. En este caso, la estructura del conjunto de soluciones positivas es complejo, pero en ningún caso existe solución positiva para λpequeño. Además, para probar la existencia de solución para λgrande es necesario que avaya a infinito más rápido que s1/p. En otro caso, no hay solución positiva para λgrande. Los resultados de este Capítulo están incluidos en el trabajo [35]. 18 En el Capítulo 4 vamos a estudiar la ecuación      −χD1+χD2aZΩup∆u=f(x, u)en Ω, u= 0 sobre ∂Ω, (13) donde a:R→Res una función continua y positiva, p > 0,λ∈RyD1, D2⊂Ωson dos subdominios regulares tales que Ω = D1∪D2, D1∩D2=∅, y como consecuencia Ω = D1∪D2∪Γcon Γun conjunto de medida nula. Hemos denotado χD(x) :=      1si x∈D, 0si x6∈ D. Consideraremos la función fen los casos f1, f2yf3citados anteriormente. Observemos que en este caso, la especie se difunde de forma aleatoria en el conjunto D1y, por otra parte, su velocidad de difusión depende de la población total, de forma no lineal, en D2. Este caso, al menos en nuestro conocimiento, no había sido analizado anteriormente y ha sido introducido en un contexto ligeramente diferente en [44]. De nuevo, usaremos resultados de bifurcación para probar al existencia de un continuo Cde soluciones positivas no acotado en IR×C(Ω) que emana desde la solución trivial en λ0, donde λ0=     λ1[−(χD1+a(0)χD2)∆; 1] si f=f1of=f3, 0si f=f2. El comportamiento global del continuo Cdepende en gran medida de la función de reacción. En el caso f=f1, el principal resultado es: Teorema 0.8 Sea D16=∅ 6=D2y supongamos que f(u) = λu. Entonces, existe 0≤λ∞<∞ tal que (13) tiene solución positiva si λ∈(min{λ0, λ∞},max{λ0, λ∞}). 19 que incluye el caso en el que aestá acotada superiormente. En nuestro conocimiento, sólo el caso 0< q < 1yaverificando (16) ha sido estudiado previamente, ver [50]. En este trabajo, además se impone que asea una función creciente, y sólo el caso λ > 0es estudiado. El caso λ= 0 ha sido analizado en [7]. Sin embargo, al menos en nuestro conocimiento, el caso general q= 1 no ha sido estudiado previamente ni el caso en el que averifica (17). Este caso es de especial interés ya que se prueba que cuando acrece muy rápidamente la estructura del conjunto de soluciones cambia drásticamente, apareciendo soluciones positivas para λgrande. Debemos notar que la cantidad M1que aparece en (17) no es fácil de calcular. En el caso de que Ωsea un dominio radial, el problema (15) tiene una única solución positiva (ver por ejemplo [38], [45] y [54]) y por tanto M1podría ser calculado. Los resultados de este Capítulo están incluidos en el trabajo [36]. Para finalizar, exponemos algunos de los problemas abiertos que quedaron a lo largo de la Memoria, así como posibles líneas de investigación futuras. 1. En todos los problemas estudiados en la Memoria, salvo el considerado en el Capítulo 2, suponemos que aes no-degenerada en el 0, esto es, a(0) >0, lo que es usado principalmente para poder mostrar la existencia de un punto de bifurcación desde la solución trivial. Es por tanto interesante estudiar nuestros problemas para a(0) = 0. Podríamos actuar de dos maneras: (a) Perturbar conveniente el problema y tener una ecuación donde aε(0) >0, aplicar los resultados a este problema perturbado y pasar al límite convenientemente. Este razonamiento es el que hemos seguido en el Capítulo 2. (b) De nuevo perturbar el problema para tener una ecuación donde aε(0) >0. Concluir la existencia de un continuo Cεno acotado de soluciones positivas del problema no acotado. Aplicar a continuación el Lema de Whyburn ([52]) para poder concluir la 26 existencia de un continuo no acotado C=∪Cεde soluciones positivas del problema original. 2. En la ecuación logística estudiada en el Capítulo 3 sólo hemos podido probar que los puntos Λjson puntos de bifurcación a infinito en el caso en el que aes creciente. Creemos que debería ser posible mostrar este resultado independientemente de la monotonía de la función a. 3. Igualmente en la ecuación logística en la que se combinan difusión local y no-local estudiada en el Capítulo 4 hemos sido capaz de determinar el punto de bifurcación a infinito en algunos casos concretos tanto de la función acomo en el valor de p. Conocer si ese es el punto de bifurcación en el caso general es un problema interesante. 4. En el caso superlineal estudiado en el Capítulo 5 no hemos sido capaces de estudiar los casos en el que el coeficiente averifica a(s) s(r−1)/p → ∞ oa(s) s(r−1)/p →c > 0cuando s→ ∞. 5. Es bien conocido el resultado de Gidas-Spruck [39] que proporciona cotas a priori de las soluciones de un problema elíptico de la forma −∆u=f(x, u) donde fverifica lim s→∞ f(x, t) tr=h(x)>0para toda x∈Ω, y1< r < (N+2)/(N−2). No existe una resultado similar para una ecuación de la forma −aZΩup∆u=f(x, u) o en general −∆u=fx, u, ZΩup, debido a que la técnica usada en [39] no puede ser reproducida cuando hay un término 27 no-local. Este resultado daría interesantes consecuencias y nos ayudaría a analizar si la existencia de un término no-local eviataría la pérdida de cotas a priori en algunos problemas locales, ver [29]. 6. Si bien el objetivo de la Memoria era el estudio del problema estacionario, es un problema muy interesante estudiar la estabilidad (al menos local) de los puntos estacionarios con respecto al problema parabólico asociado. Para alguna no-linealidad concreta, se ha estudiado la existencia y propiedades del atractor asociado al problema parabólico (ver por ejemplo [13] y [14]) pero no la estabilidad de los posibles puntos estacionarios. Existen algunos resultados en el caso de que la función de reacción sea lineal (ver por ejemplo [18], [20], [23]) pero no en el caso no-lineal. Esto nos llevaría al estudio de problemas de autovalores no-locales para los que no se conocen aún con detalle la estructura del conjunto de autovalores. 7. En todos los problemas estudiados, el término no local aparece como un coeficiente de difusión. Puede plantearse igualmente el caso en el que dicho término aparezca dentro de la divergencia de un operador, esto es problemas de la forma −div aZΩK(x, y)up(y)dy∇u=f(x, u), que incluye los problemas −div a ZΩ(x,r)up(y)dy!∇u!=f(x, u), y el problema intermedio entre local y no local −div a 1 |Ω(x, r)|ZΩ(x,r)up(y)dy!∇u!=f(x, u), donde Ω(x, r) := Ω ∩B(x, r),r > 0. Aunque realmente hay pocos trabajos sobre estas ecuaciones, ya se han dado unos primeros pasos en [16], [46] y [2]. 28 Capítulo 1 Resultados Previos En este Capítulo introducimos resultados que serán usados a lo largo de esta Memoria. La mayoría de ellos son bien conocidos y no presentaremos sus pruebas, en otros las hemos incluido por conveniencia del lector; y algunos resultados son nuevos. Distribuimos el contenido de este capítulo de la siguiente manera: en la Sección 1.1 presentaremos algunos resultados referentes a problemas de autovalores locales. En la Sección 1.2 estudiamos una ecuación elíptica con término de reacción cóncavo. En las Secciones 1.3 y 1.4 presentaremos resultados conocidos sobre la ecuación logística, un problema superlineal y el caso cóncavo-convexo. Por último, en la Sección 1.5 presentaremos el método de sub-supersolución para un problema no-local. 1.1 Problema de autovalor local En primer lugar analizamos el siguiente problema de autovalores      −m1(x)∆u+m2(x)u=λm3(x)uen Ω, u= 0 sobre ∂Ω, (1.1) donde m1, m2, m3∈L∞(Ω), m1≥m > 0, para alguna constante m > 0, y m3≥0en Ω. El siguiente resultado nos proporciona las principales propiedades del autovalor principal de (1.1). Los resultados son bien conocidos, citemos por ejemplo [42] donde se realiza un estudio exhaustivo de (1.1). Proposición 1.1 El problema (1.1) tiene un autovalor principal, λ∈R, denotado por λΩ 1[−m1(x)∆ + m2(x); m3(x)], que tiene asociado una autofunción positiva, ϕ1∈W2,q(Ω), para todo q > 1, y por tanto 29 ϕ1∈C1,α(Ω), α ∈(0,1). Además, es el único autovalor que tiene asociada una autofunción con signo definido. Por último, las siguientes propiedades son satisfechas: 1. La aplicación m2∈L∞(Ω) 7→ λΩ 1[−m1(x)∆+m2(x); m3(x)] en R, es continua y creciente. 2. La aplicación m1∈L∞(Ω) 7→ λΩ 1[−m1(x)∆ + m2(x); m3(x)] en R, es continua. Además, si m2≤0en Ω, la aplicación es también creciente. 3. El autovalor principal λΩ 1[−m1(x)∆+m2(x); m3(x)] es continuo y decreciente con respecto aΩen el siguiente sentido: (a) Si Ω1⊂Ω2⊂Ω, entonces λΩ2 1[−m1(x)∆ + m2(x); m3(x)] < λΩ1 1[−m1(x)∆ + m2(x); m3(x)]. (b) Si definimos los conjuntos Ωγ:= {x∈RN;dist(x, Ω) < γ}, donde γ > 0, entonces lim γ→0λΩγ 1[−m1(x)∆ + m2(x); m3(x)] = λΩ 1[−m1(x)∆ + m2(x); m3(x)]. Nota 1.2 1. Si Ω = ∅om3≡0en Ω, por convenio diremos que λΩ 1[−m1(x)∆ + m2(x); m3(x)] = ∞. 2. Cuando no haya confusión, suprimiremos el superíndice Ωen el autovalor, esto es, escribiremos λΩ 1[−m1(x)∆ + m2(x); m3(x)] = λ1[−m1(x)∆ + m2(x); m3(x)]. 3. Obsérvese que λ1[−m1(x)∆ + m2(x); m3(x)] se puede escribir de la siguiente forma λ1[−m1(x)∆ + m2(x); m3(x)] = λ1"−∆ + m2(x) m1(x);m3(x) m1(x)#. 30 Al largo de esta memoria denotaremos, para m1≡1, m2≡0ym3≡1, los siguientes autovalores λ1:= λΩ 1[−∆; 1], λD 1:= λD 1[−∆; 1], con D⊂⊂ Ωun subdominio propio de Ω. A continuación estudiaremos un caso particular de (1.1) que jugará un papel fundamental en el Capítulo 4. Consideramos m1=χD1+dχD2, m2≡0ym3≡1, o sea, el problema de autovalor local      −(χD1+dχD2) ∆u=λu en Ω, u= 0 sobre ∂Ω, (1.2) donde d > 0,D1, D2⊂Ωson dos subdominios regulares tales que Ω = D1∪D2, D1∩D2=∅, y como consecuencia Ω = D1∪D2∪Γcon Γun conjunto de medida nula. Hemos denotado χD(x) :=      1si x∈D, 0si x6∈ D. Definimos las funciones: g(d) := λ1[−(χD1+dχD2) ∆; 1] , g0(d) := λΩ0 1[(χD1+dχD2) ∆; 1] ,(1.3) donde Ω0⊂⊂ Ωes un subdominio propio de Ω. En el siguente resultado mostramos el comportamiento del autovalor g(d)con respecto a d. Proposición 1.3 1. La función g: (0,+∞)→R+es creciente y continua. 2. lim d↓0g(d)=0. 31 3. lim d↑∞ g(d) = λ1[−∆; χD1]. Prueba: 1. Sigue de la Proposición 1.1 que g(d)es creciente y continua. 2. Por la Proposición 1.1, tenemos 0< g(d) = λ1[−(χD1+dχD2)∆; 1] < λD2 1[−d∆; 1] = dλD2 1. Tomando el límite cuando d↓0, tenemos lim d↓0g(d) = 0. 3. Sea ϕdla autofunción positiva asociada a g(d), con |ϕd|2= 1. Tenemos que 0< g(d) = λ1[−(χD1+dχD2)∆; 1] < λD1 1, y por tanto, g(d)es acotada y existe limd→∞ g(d) = g(∞). Multiplicando (1.2) por ϕd, obtenemos que ZΩ|∇ϕd|2=g(d)ZΩ ϕ2 d χD1+dχD2 =g(d)ZD1 ϕ2 d+1 dZD2 ϕ2 d≤C. (1.4) Luego, |ϕd|H1 0≤C. Entonces, por el Teorema de inyección de Sobolev, existe ϕ∗∈H1 0(Ω), ϕ∗≥0,ϕ∗6≡ 0tal que ϕd* ϕ∗en H1 0(Ω), ϕd→ϕ∗en L2(Ω) cuando d→ ∞. Probemos que ϕ∗>0en D1. Supongamos que ZD1 ϕ2 d→0cuando d→ ∞. Por (1.4) tenemos claramente una contradicción. Por otro lado, de la definición de ϕdse tiene ZΩ∇ϕd· ∇ϕ=g(d)ZD1 ϕdϕ+1 dZD2 ϕdϕ, ϕ ∈H1 0(Ω).(1.5) 32 Tomando límite cuando d→ ∞ en (1.5), obtenemos ZΩ∇ϕ∗· ∇ϕ=g(∞)ZD1 ϕ∗ϕ=g(∞)ZΩχD1ϕ∗ϕ, ϕ ∈H1 0(Ω). Entonces, ϕ∗es una solución débil del problema      −∆ϕ∗=g(∞)χD1ϕ∗en Ω, ϕ∗= 0 sobre ∂Ω. Por tanto, como ϕ∗≥0,ϕ∗6≡ 0, sigue que g(∞) = λ1[−∆; χD1]. En la Figura 1.1 hemos representado la función g(d). Figura 1.1: Comportamiento del autovalor g(d). El siguiente resultado muestra el comportamiento del autovalor g0(d)con respecto a d, que depende de la posición relativa de los conjuntos Ω0, D1yD2. Proposición 1.4 1. La función g0: (0,+∞)→R+es continua y no decreciente. 2. Si Ω0∩D26=∅, entonces lim d↓0g0(d) = 0. 3. Si Ω0∩D2=∅, entonces lim d↓0g0(d) = λΩ0 1. 4. Si Ω0∩D16=∅, entonces lim d↑∞ g0(d) = λΩ0 1[−∆; χD1∩Ω0]. 33 5. Si Ω0∩D1=∅, entonces lim d↑∞ g0(d) = ∞. Prueba: 1. El primer apartado sigue nuevamente de la Proposición 1.1. 2. Por la Proposición 1.1 y la definición de g0(d), tenemos 0< g0(d) = λΩ0 1[−(χD1+dχD2)∆; 1] = λΩ0∩D2 1[−d∆; 1] = dλΩ0∩D2 1. Tomando el límite cuando d→0, obtenemos el resultado. 3. Como Ω0∩D2=∅,entonces Ω0⊆D1y tenemos g0(d) = λΩ0 1[−∆; 1] = λΩ0 1. Por tanto, concluimos el apartado. 4. En este apartado podemos usar exactamente el mismo razonamiento del apartado 3 de la Proposición 1.3. 5. Como Ω0⊆D2, tenemos g0(d) = dλΩ0 1. Tomando el límite cuando d→ ∞, obtenemos el resultado.  En las Figuras 1.2-1.4 se muestra la función g0(d)en diferentes situaciones. Figura 1.2: Comportamiento g0(d)cuando Ω0∩D26=∅yΩ0∩D1=∅. 34 Figura 1.3: Comportamiento g0(d)cuando Ω0∩D2=∅yΩ0∩D16=∅. Figura 1.4: Comportamiento g0(d)cuando Ω0∩D26=∅yΩ0∩D16=∅. 1.2 Ecuación local con término de reacción cóncavo Consideramos el problema      −∆w=σm(x)wqen Ω, w= 0 sobre ∂Ω, (1.6) donde m∈Cα(Ω),α∈(0,1), con m≥0,m6≡ 0y0< q < 1. En el siguiente resultado probamos la existencia y unicidad de solución positiva para (1.6). Aunque el resultado es bastante conocido, ver por ejemplo [8] y [3], introducimos su prueba por completitud. Teorema 1.5 El problema (1.6) tiene una única solución positiva, denotada por w[σ,m]∈ C2,γ(Ω),con γ∈(0,1), si y sólo si σ > 0. Además, w[σ,m]=σ1 1−qw[1,m].(1.7) 35 Debido a (1.17), obtenemos λ1ZΩv2< µ ZΩv2"1 + 1 NN−2 2N−1 r+ 1−1#, que implica, µ>λ1"1 + 1 NN−2 2N−1 r+ 1−1#−1 =λ1"(N−2)(r+ 1) −2N N(r−1) #, lo que es una contradicción con (1.14).  En el siguiente resultado analizamos (1.13) con q < 1, ver por ejemplo [3] y [31]. Proposición 1.13 Sea 0< q < 1. 1. Existe µ > 0tal que para µ > µ, (1.13) no tiene solución positiva. 2. Si 1< r < N+ 2 N−2, entonces existe solución positiva de (1.13) si y sólo si µ∈(−∞, µ]. Además, (1.13) tiene al menos dos soluciones positivas si µ∈(0, µ). Por último, desde la solución trivial bifurca en µ= 0 un continuo Cde soluciones positivas de (1.13) que es no acotado en R×C(Ω) y tal que ProjR(C) = (−∞, µ]. En el resto de la Sección nos dedicamos a dar resultados que serán usados en los Capítulos posteriores al estudiar problemas no-locales. En el primer resultado, estudiamos el comportamiento de las soluciones de (1.13) cerca del punto de bifurcación en el caso 0< q < 1. Proposición 1.14 Sea 0< q < 1y(µn, vn)una sucesión de soluciones positivas de (1.13) tales que µn→0y|vn|∞→0. Entonces, vn µ 1 1−q n →w[1,1] en L∞(Ω). Prueba: Como |vn|∞→0y la dirección de bifurcación de soluciones positivas de (1.13) es 42 supercrítica, ver [31], sigue que µn>0. Por otro lado, como vn≥0, tenemos que −∆vn=µnvq n+vr n≥µnvq n, luego vnes supersolución de (1.6) con σ=µnym≡1, por tanto vn≥µ 1 1−q nw[1,1].(1.18) Por otro lado, por el Teorema 2.2 de [3], existe β > 0tal que para todo µ∈(0, µ)el problema (1.13) tiene una única solución positiva que satisface |v|∞≤β. Gracias a la unicidad de solución, para encontrar una cota superior de vnbasta encontrar una supersolución. Tomemos como supersolución de (1.13) w=Rnw[1,1] con Rna elegir. En efecto, −∆w≥µnwq+wr⇔R1−q n≥µn+Rr−q nwr−q [1,1]. Ahora, basta tomar Rnque satisfaga R1−q n−Rr−q nW=µn,(1.19) donde W=|w[1,1]|r−q ∞. Reescribiendo (1.19) como   Rn µ 1 1−q n  1−q −  Rn µ 1 1−q n  r−q Wµ r−1 1−q n= 1,(1.20) y tomando límite en (1.20), obtenemos Rn µ 1 1−q n →1. 43 Por (1.18) y la supersolución w, obtenemos w[1,1] ≤vn µ 1 1−q n ≤Rn µ 1 1−q n w[1,1] en Ω. Esto concluye la prueba.  En el siguiente resultado establece condiciones para garantizar que si una sucesión de soluciones de (1.13) converge a 0en norma Lp, entonces lo hace también en norma L∞. Proposición 1.15 Supongamos p > max{N(r−1) 2, r}y0< q ≤1. Sea (µn, vn)soluciones positivas de (1.13) con |µn| ≤ C, con Cuna constante positiva. Si ZΩvp n→0, entonces |vn|∞→0. Prueba: Como vn→0en Lp(Ω), entonces vr n→0en Lp r(Ω) yvq n→0en Lp q(Ω). Como µnestá acotado, tenemos que µnvq n+vr n→0en Lp r(Ω). Por regularidad elíptica, existe una constante M > 0tal que |vn|W2,p r≤M|µnvq n+vr n|p/r →0. Ahora, consideramos tres casos: 1.p r>N 2,2.p r=N 2,3.p r<N 2. Supongamos el caso 1, esto es p > r(N/2). Por inyección continua de W2,p r(Ω) en L∞(Ω), tenemos que |vn|∞→0. Supongamos el caso 2, p=r(N/2). También por inyección continua de W2,p r(Ω) en Ls(Ω) para todo s > 1, tenemos que vn→0en Ls(Ω), para todo s > 1. Por tanto, usando de nuevo la regularidad elíptica, |vn|∞→0. 44 Ahora, supongamos el caso 3, esto es p<r(N/2). Por inyección continua, tenemos W2,p r(Ω) ,→Lt1(Ω), donde t1=pN rN−2p. Luego, vr n→0en Lt1 r(Ω) yvq n→0en Lt1 q(Ω), que implica, |vn|W2,t1 r≤M|µnuq n+vr n|t1/r →0. De nuevo, si t1/r ≥N/2, esto es, p≥r2N 2(r+ 1), llegamos a que |vn|∞→0. Por otro lado, si t1 r<N 2, W2,t1 r(Ω) ,→Lt2(Ω), donde t2=pN r2N−2p(r+ 1). Repitiendo este razonamiento kveces llegamos a que |vn|W2,tk r→0, donde tk=pN rkN−2p k−1 X j=0 rj , k ≥0. Por tanto, si existe ktal que tk/r ≥N/2llegamos a un absurdo pues |vn|∞→0. Por un cálculo directo, decir que tk/r ≥N/2es equivalente a decir p≥N 2 rk+1(r−1) rk+1 −1=N 2 (r−1) 1−r−k−1, 45 para lo que es suficiente que p > N(r−1) 2.Esto concluye la prueba.  En el siguiente resultado probamos que para q= 1 el punto (µ, v) = (0,0) no es un punto de bifurcación de (1.13) desde la solución trivial. Proposición 1.16 Sea (µn, vn)una sucesión de soluciones positivas de (1.13) con µn→0. Entonces existe C > 0tal que |vn|∞≥C, ∀n∈N. Prueba: Supongamos por contradicción que |vn|∞→0. Hacemos el cambio de variable wn=vn |vn|∞ en (1.13). Por lo tanto, como q= 1 tenemos −∆wn=µnwn+wr n|vn|r−1 ∞,in Ω.(1.21) Por definición wnestá acotado en Lq(Ω) para todo q > 1, y por regularidad elíptica, tenemos |wn|W2,q ≤C, q > 1. Por lo tanto, existe w∈C1(Ω),w6≡ 0tal que wn→wen C1(Ω). Pasando el límite en (1.21), tenemos −∆w= 0 en Ω, w = 0 sobre ∂Ω, que lo implica w≡0. Esto nos conduce a una contradicción ya que |wn|∞= 1. Como consecuencia de los resultados anteriores se tiene: Proposición 1.17 Supongamos p > max{N(r−1) 2, r},q= 1 y1< r < N+ 2 N−2. Sea (µn, vn)una 46 sucesión de soluciones positivas de (1.13) con µn→0. Entonces existe C > 0tal que ZΩvp n≥C, ∀n∈N. Prueba: Supongamos por contradicción que ZΩvp n→0. Por la Proposición 1.15, tenemos que |vn|∞→0, lo que es un absurdo por Proposición 1.16.  Observemos que en el caso µ= 0 no necesitamos imponer q= 1. Por tanto, tenemos el siguiente resultado para las soluciones positivas de (1.13) para el caso concreto µ= 0, esto es, para la ecuación      −∆v=vren Ω, v= 0 sobre ∂Ω. (1.22) Corolario 1.18 Sea 1< r < N+ 2 N−2yp > max{N(r−1) 2, r}. Entonces existe una constante C > 0tal que para toda vsolución positiva de (1.22) se tiene que: C≤ZΩvp.(1.23) Como consecuencia, podemos definir M1:= sup{C > 0 : C≤ZΩvppara toda vsolución positiva de (1.22) }. Los siguientes resultados son consecuencia inmediata de la Proposición 1.9. Proposición 1.19 Sea 1< r < N+ 2 N−2y0< q ≤1. Si (µn, vn)es una sucesión de soluciones positivas de (1.13), con |µn| ≤ C, entonces existe C1tal que ZΩvp n≤C1. 47 1.5 Método de sub-supersolución para una ecuación no-local Introducimos el método de sub-supersolución para la siguiente ecuación no-local      −aZΩq(x)up∆u=f(x, u)en Ω, u= 0 sobre ∂Ω, (1.24) donde f: Ω ×R→Res una función continua, aes una función positiva y continua, p > 0y q∈L∞(Ω). Existen diferentes definiciones de sub-supersolución para (1.24) dependiendo de las propiedades de ayf, ver por ejemplo [1]. Usaremos el método de sub-supersolución de [25], que permite más generalidad en ayf. Definición 1.20 Decimos que la pareja de funciones (u, u), con u, u ∈H1(Ω) ∩L∞(Ω), es una pareja de sub-supersoluciones de (1.24) si a) u≤uen Ω, b) u≤0≤usobre ∂Ω, c) aZΩq(x)upZΩ∇u· ∇ϕ−ZΩf(x, u)ϕ≤0≤aZΩq(x)upZΩ∇u· ∇ϕ−ZΩf(x, u)ϕ, para todo ϕ∈H1 0(Ω),ϕ≥0en Ωy para todo u∈[u, u] := {u∈L∞(Ω) : u≤u≤u}. El resultado principal dice lo siguiente: Teorema 1.21 Supongamos que existe una pareja (u, u)de sub-supersoluciones de (1.24). Entonces, existe una solución u∈H1 0(Ω) ∩L∞(Ω) de (1.24) tal que u∈[u, u]. 48 Capítulo 2 Ecuación con coeficiente de difusión no-local: caso lineal y sublineal En este Capítulo presentaremos los resultados obtenidos en [34]. Estudiaremos el siguiente problema no-local      −ax, ZΩup∆u=λuqen Ω, u= 0 sobre ∂Ω, (2.1) donde Ω⊂RN,N≥1es un dominio acotado y regular, p > 0,0< q ≤1,λ∈R, a: Ω ×R→[0,∞)con a∈C(Ω ×R). Dividiremos este Capítulo en el caso homogéneo, esto es, ax, ZΩup=aZΩup, y el caso heterogéneo. La estructura del Capítulo 2 es: En la Sección 2.1 estudiaremos la ecuación (2.1) considerando el caso homogéneo, donde la función ano depende de la variable x. La Sección 2.2 la dedicamos en estudiar el caso heterogéneo. El estudio del comportamiento de las soluciones positivas de (2.1) depende fuertemente del comportamiento de la función a(x, s)s1−q pen el infinito. 2.1 Caso homogéneo Tenemos como objetivo probar la existencia de soluciones positivas para el siguiente problema no-local      −aZΩup∆u=λuqen Ω, u= 0 sobre ∂Ω. (2.2) Debido a las técnicas usadas, separaremos nuevamente nuestro problema en dos casos, 49 primero el caso q= 1 y posteriormente el caso 0< q < 1. Para probar la existencia de solución positiva, en el primer caso, usaremos argumentos relacionados con el problema de autovalores y para el caso 0< q < 1usaremos un argumento de punto fijo. 2.1.1 Caso q= 1 Recordamos las siguientes definiciones aL:= inf s∈[0,∞)a(s), aM:= sup s∈[0,∞) a(s), donde aL≥0yaM≤ ∞. El resultado principal para este caso es: Teorema 2.1 i) Si (2.2) tiene solución positiva, entonces λ∈[aLλ1, aMλ1]. ii) Si λ∈(aLλ1, aMλ1), entonces existe una solución positiva de (2.2). iii) Si aL= min s∈[0,∞)a(s)>0óaM= max s∈[0,∞)a(s), entonces existe solución positiva para λ=aLλ1 óλ=aMλ1. iv) Si aes una función estrictamente monótona, entonces (2.2) tiene una única solución positiva. Prueba: i) Si ues solución positiva de (2.2), entonces λ=λ1−aZΩup∆; 1y por la monotonía del autovalor (ver Proposición 1.1) aLλ1=λ1[−aL∆; 1] ≤λ1−aZΩup∆; 1≤λ1[−aM∆; 1] = aMλ1, de donde sigue el apartado. ii) Sea λ∈(aLλ1, aMλ1), entonces aL<λ λ1 < aM. Por la continuidad de la función a, existe d > 0tal que a(d) = λ λ1 . 50 Sea ϕ1>0la autofunción positiva asociada a λ1con ZΩ(ϕ1)p= 1. Luego u=d1 pϕ1es solución de (2.2). En efecto, se tiene que −aZΩup∆u=a(d)d1 pλ1ϕ1=λu. iii) Si 0< aL= min s∈[0,∞)a(s)óaM= max s∈[0,∞)a(s), entonces existe d > 0tal que a(d) = λ λ1 , como en el apartado ii) tenemos la existencia de solución. iv) Sean uyvdos soluciones positivas de (2.2), con u6=v. El problema (2.2), con q= 1, puede ser visto como un problema de autovalores, luego ues proporcional a v, o sea, existe k > 0tal que u=kv. Si ZΩup=ZΩvp. Entonces k= 1 y por lo tanto u=v. Si ZΩup<ZΩvp. Como uyvson soluciones, entonces λ=λ1−aZΩup∆; 1yλ=λ1−aZΩvp∆; 1. Supongamos que aes estrictamente creciente. Entonces aZΩup< a ZΩvp. Luego, por la monotonía del autovalor λ=λ1−aZΩup∆; 1< λ1−aZΩvp∆; 1=λ lo que es una contradicción. En el caso en el que aes estrictamente decreciente, se razona de forma similar.  51 donde ues la única solución de la ecuación lineal      −∆u=fen Ω, u= 0 sobre ∂Ω. El siguiente resultado es conocido y es consecuencia de las inyecciones de Sobolev y del principio del Máximo Fuerte, ver [40]. Lema 2.8 El operador Les compacto y estrictamente positivo. Además, si f∈L∞(Ω), entonces existe C > 0tal que |Lf|∞≤C|f|∞. Para probar la existencia de solución usaremos el método de bifurcación. Para eso definimos la aplicación Kλ:C0(Ω) →C0(Ω); Kλ(u) := u−λT(u) donde T(u) := L    (u+)q ax, ZΩ(u+)p   . donde u+= max{0, u}. Proposición 2.9 ues solución no negativa de (2.1), si y solo si, ues cero de la aplicación Kλ. Prueba: ⇐)Sea uun cero de Kλ. Entonces por la definición de Kλ, tenemos            −∆u=λ ax, ZΩ(u+)p(u+)qen Ω, u= 0 sobre ∂Ω. (2.9) Multiplicamos (2.9) por u−y integrando por partes, obtenemos ZΩ|∇u−|2= 0 Por tanto u−≡C,Cconstante. Como u−= 0 en ∂Ω, entonces u−≡0. Luego u≥0en Ωy es solución de (2.1). 58 ⇒)Sea usolución no negativa de (2.1), entonces      −ax, ZΩup∆u=λuqen Ω, u= 0 sobre ∂Ω, y por definición de Kλ,ues cero de Kλ. Proposición 2.10 La aplicación de T:C(Ω) →C(Ω) es compacta. Prueba: La aplicación u7→ (u+)q a(x, RΩ(u+)p)es continua, y claramente por L, sigue que Tes compacto.  Ahora, probaremos que de la solución trivial emana un continuo no acotado de soluciones positivas en R×C(Ω) de (2.1). Usaremos el grado de Leray-Schauder de Kλen Bρ:= {u∈C(Ω) : |u|∞< ρ}, con respecto a cero, denotado por deg(Kλ, Bρ),y el índice de una solución aislada ude Kλ, denotado por i(Kλ, u). Para probar el siguiente resultado usaremos argumento similares a los usados en [5] y [6]. Teorema 2.11 λ= 0 es el único punto de bifurcación desde la solución trivial de (2.1). Además, existe un continuo Cde soluciones positivas de (2.1) no acotado en IR×C(Ω) que emana desde (λ, u) = (0,0). Prueba: Paso 1: Si λ < 0entonces i(Kλ,0) = 1. Definimos la aplicación H1: [0,1] ×C(Ω) →C(Ω) H1(t, u) := L   tλ ax, ZΩ(u+)p(u+)q   . Probemos que la homotopía definida por H1es admisible, para lo que es suficiente probar que 59 existe γ > 0tal que u6=H1(t, u)∀u∈Bγ, u 6= 0 yt∈[0,1]. Supongamos que existe un∈C(Ω)\{0}con |un|∞→0ytn∈[0,1], tal que un=H1(tn, un) o sea,      −ax, ZΩ(u+ n)p∆un=λtn(u+ n)q≤0en Ω, u= 0 sobre ∂Ω. Por lo tanto un≤0en Ω, luego u+ n= 0. Por tanto un≡0, absurdo. Tomando ∈(0, δ], tenemos i(Kλ,0) = deg(Kλ, B) = deg(I− H1(1,·), B) =deg(I− H1(0,·), B) = deg(I, B) = 1. Paso 2: Si λ > 0entonces i(Kλ,0) = 0. Sea φ > 0una autofunción asociada al autovalor principal λ1. Definimos H2: [0,1] ×C(Ω) →C(Ω) H2(t, u) := L    λ ax, ZΩ(u+)p(u+)q   +tφ Vamos a probar que H2es una homotopía admisible. Supongamos que existe un∈C(Ω)\{0}, con |un|∞→0, y tn∈[0,1], tal que un=H2(tn, un). Por tanto, −∆un=λ ax, ZΩ(u+ n)p(u+ n)q+tnλ1φen Ω, un= 0 sobre ∂Ω. Como tnφ≥0, por el principio del Máximo Fuerte tenemos que un>0en Ω. 60 Por otro lado, como 0< q < 1, para todo M, existe n0>0tal que λ(u+ n)q> Mun∀n≥n0. Además, como |un|∞→0, entonces existe C > 0tal que ZΩup n≤C. Por tanto, definimos A= max (x,s)∈Ω×[0,C] a(x, s)>0, luego, −∆un=λ(u+ n)q ax, ZΩ(u+ n)p+tλ1φ≥λ A(u+ n)q+tλ1φ > Mun. Entonces λ1[−∆−M; 1] >0, lo que para todo M≥λ1es un absurdo. Luego H2es admisible. Tomando ∈(0, γ], tenemos i(Kλ,0) = deg(Kλ, B) = deg(I− H2(0,·), B) =deg(I− H2(1,·), B) = 0. La última igualdad es cierta pues hemos probado que la ecuación −∆u=    λ ax, ZΩ(u+)p(u+)q   +φen Ω, u = 0 sobre ∂Ω, no tiene solución en B. Ahora, nuestro objetivo es aplicar el Teorema 1.3 en [47]. Sin embargo, nuestra ecuación u=λT(u)(2.10) no se puede escribir como la ecuación (0.1) en [47], es decir, u=λLu +H(λ, u), 61 con Lun operador compacto y H(λ, u)una función continua con H(λ, u) = o(|u|∞)cuando |u|∞→0. Por tanto, no podemos aplicar directamente el Teorema 1.3 en [47]. A pesar de ello, mostraremos que existe un continuo de soluciones positivas que emana desde (0,0). En efecto, denotamos por Sla clausura de soluciones no triviales de (2.10) y Csubconjunto conexo maximal de S ∪ {(0,0)}. Probaremos que Ces no acotado en R×C(Ω). Supongamos que Ces acotado. Primero, probamos que Cno posee (λ, 0) para cualquier λ6= 0. Para λ≤0, (2.10) no posee solución positiva. Supongamos que existen λ0>0y una sucesión de soluciones positivas tales que λn→λ0y|un|∞→0. Entonces, fijado existe n0∈IN tal que para n≥n0, tenemos −∆un=λn ax, ZΩ(u+ n)p(u+ n)q≥M Aun, donde M Afue definido anteriormente y llegamos a una contradicción para Mgrande. Entonces, Cverifica la hipótesis del Lema 1.2 en [47]. Luego, existe un conjunto acotado O ⊂ IR×C(Ω) tal que (0,0) ∈ O, con ∂O ∩ S =∅, y tal que Osolo contiene las soluciones triviales que pertenence al entorno de (0,0). Ahora, siguiendo el Teorema 1.3 en [47] concluimos la existencia de  > 0y valores λyλ tales que − < λ < 0< λ <  y (ver (1.11) en [47]) i(Kλ,0) = i(Kλ,0), que es absurdo pues hemos probado que i(Kλ,0) = 1 yi(Kλ,0) = 0. Por tanto, concluimos que existe en continuo de Cno acotado de soluciones (2.1) desde (0,0). Ahora, estudiaremos el comportamiento global del continuo Cde soluciones positivas de (2.1). Proposición 2.12 Sea {(λn, un)}una sucesión de soluciones positivas de (2.1) con |λn| ≤ C. Si |un|∞→ ∞, entonces ZΩup n→ ∞. Prueba: Supongamos que |un|∞→ ∞ yZΩup n≤Mpara alguna constante M > 0. Como 62 a0≤a(x, s), para todo (x, s)∈Ω×[0, M], entonces −∆un=λ ax, ZΩup nuq n≤C a0 uq nen Ω. Luego unes subsolución de (1.6) para σ=C a0 ym≡1, por lo tanto un≤C a01 1−qw[1,1]. Así, |un|∞≤C1, para alguna constante C1>0, que es absurdo.  Ahora, probaremos la existencia de solución positiva de (2.1) bajo ciertas condiciones de la función aen el infinito. Proposición 2.13 Si lim s→∞ a(x, s)s1−q p=∞,uniformemente en Ω,(A∞) entonces existe al menos una solución positiva para todo λ > 0. Prueba: Por el Teorema 2.11 sabemos que existe un continuo Cno acotado de soluciones positivas de (2.1) que emana desde (λ, u) = (0,0). Supongamos ProjIR(C)está acotado en IR, y por tanto existe una sucesión de soluciones positivas (λn, un)∈ C de (2.1) tal que λn→λ0y |un|∞→ ∞ para algún 0< λ0<∞. Por la Proposición 2.12, se tiene que ZΩup n→ ∞. Por (A∞) tenemos que para todo M > 0existe s0tal que, para s≥s0>0, a(x, s)s1−q p> M, x ∈Ω, 63 luego 1 a(x, s)<1 Ms1−q p, para s≥s0>0. Entonces −∆un=λn ax, ZΩup nuq n<λn MZΩup n1−q puq nen Ω. Por lo tanto, unes subsolución de (1.6) con σ=λn MZΩup n1−q pym≡1, entonces un≤ λn M!1 1−qZΩup n1 pw[1,1] en Ω. Lo que implica 1≤ λn M!p 1−qZΩwp [1,1] ≤ λ0+ M!p 1−qZΩwp [1,1]. Para Msuficientemente grande, es una contradicción. Esto prueba por tanto que ProjR(C) = (0,∞)y concluimos el resultado.  Proposición 2.14 Si lim s→∞ a(x, s)s1−q p=c(x),uniformemente en Ω,(Ac) con c(x)≥0para todo x∈Ω, entonces no hay solución positiva de (2.1) para λgrande. Prueba: Supongamos por absurdo que existe una sucesión (λn, un)de soluciones positivas para λn→ ∞. Dividiremos la demostración en dos casos: Caso 1: Supongamos ZΩup n→ ∞. Entonces |un|∞→ ∞. Debido a (Ac), tenemos que para todo  > 0, existe s0>0tal que a(x, s)s1−q p≤c(x) + ∀s≥s0>0. Por lo tanto, −∆un=λn ax, ZΩup nuq n≥λn c(x) + ZΩup n1−q puq n, 64 luego unes supersolución de (1.6) con σ=λnZΩup n1−q p, y m(x) = 1 c(x)+. Por tanto un≥λ 1 1−q nZΩup n1 pw[1,m]. Lo que implica 1≥λ p 1−q nZΩwp [1,m], una contradicción para λn→ ∞. Caso 2: Supongamos que ZΩup n≤C, para alguna constante C > 0. Por tanto ax, ZΩup n≤aC= sup s∈[0,C] x∈Ω a(x, s), entonces −∆un=λn ax, ZΩup nuq n≥λn aC uq n. Luego unes supersolución de (1.6) con σ=λn aC ym≡1. Por lo tanto, un≥ λn aC!1 1−q w[1,1] en Ω. luego para λn→ ∞, tenemos ZΩup n→ ∞. Absurdo.  Nota 2.15 Obsérvese que el resultado anterior es cierto suponiendo solamente que a(x, s)s1−q p es acotado en ∞. Podemos ya enunciar y probar el resultado principal en el caso en el que asatisface (Ac). Teorema 2.16 Si asatisface (Ac), entonces existen 0≤λ∗≤λ∗∗ ≤λ∗∗∗ <∞, λ∗∗ >0, tales que: 1. Si λ>λ∗∗∗, entonces no existe solución positiva de (2.1). 2. Si λ∈(0, λ∗∗), entonces existe al menos una solución positiva, denotada por uλ, de (2.1). 65 Además, tenemos |uλ|∞→ ∞ para λ→λ∗. Además, si •Si c(x)≥c0>0para alguna constante c0, entonces λ∗>0. •Si c≡0en Ω, entonces λ∗= 0. Prueba: Por el Teorema 2.11 existe un continuo Cno acotado de soluciones positivas de (2.1) que bifurca desde λ= 0. Por la Proposición 2.14, existe λ∗∗∗ >0para el cual no hay soluciones positivas de (2.1) para λ > λ∗∗∗, lo que implica que ProjIR(C)está acotado. Luego, existe λ∗∗ >0tal que (2.1) posee al menos una solución positiva para 0< λ < λ∗∗. Como Ces no acotado, existe λ∗con λ∗≤λ∗∗ tal que lim λ→λ∗ |uλ|∞=∞. Supongamos que c≥c0>0yλ∗= 0, o sea, existe una sucesión (λn, un)∈ C de soluciones positivas de (2.1) tal que λn→0y|un|∞→ ∞. Por la Proposición 2.12, tenemos que RΩup n→ ∞. Entonces, para n≥n0tenemos que ax, ZΩup n≥ZΩup n−(1−q)/p c0 2. Entonces, −∆un≤λn 2 c0ZΩup n(1−q)/p uq n, luego unes subsolución de (1.6) con σ=2λn c0ZΩup n(1−q)/p ym≡1, tenemos que un≤λn 2 c01/(1−q)ZΩup n1/p w[1,1], entonces, 1≤λn 2 c0p/(1−q)ZΩwp [1,1], una contradicción para λn→0. Supongamos ahora que c≡0en Ω. Supongamos por contradicción que λ∗>0y que existe una sucesión (λn, un)∈ C de soluciones positivas de (2.1) tal que λn→λ∗,|un|∞→ ∞. Por 66 (Hc)con c≡0y como λn→λ∗, para todo , δ > 0, existen s0>0yn0∈Ntales que tenemos que a(x, s)s1−q p<  ∀s≥s0>0, y 0< λ∗−δ < λn∀n≥n0>0. Por tanto, −∆un=λn ax, ZΩup nuq n≥(λ∗−δ) uq nZΩup n1−q p. Luego, unes una supersolución de (1.6), con σ=(λ∗−δ) ZΩup n1−q pand m≡1. Por tanto 1≥ λ∗−δ !1 1−qZΩwp [1,1]. Eso es una contradicción para yδpequeño. El siguiente resultado muestra la unicidad de solución positiva de (2.1). Proposición 2.17 Si a(x, s)es una función creciente en s, entonces el problema (2.1) con 0< q < 1tiene solución positiva única. Prueba: Sea uyvdos soluciones de (2.1), donde u6=v. Supongamos que ZΩup=ZΩvp, entonces uyvson soluciones positivas de (1.6), con m(x) = λ ax, ZΩupym(x) = λ ax, ZΩvp, respectivamente. Como (1.6) tiene una única solución positiva sigue que u=v. Ahora, supongamos que ZΩup>ZΩvpentonces, −∆u=λuq ax, ZΩup<λvq ax, ZΩvp 67 3.1 Bifurcación global y local En primer lugar, probaremos la existencia de un continuo no acotado de soluciones positivas de (3.1). Teorema 3.1 Existe un continuo no acotada Cen IR×C(Ω) de soluciones positivas para el problema (3.1) que emana a partir de (λ, u)=(a(0)λ1,0). Prueba: Obsérvese que (3.1) es equivalente a u=Tλ(u) := λ a(0)Lu+h(λ, u), donde h(λ, u) = λL       1 aZΩ(u+)p−1 a(0)   u+   − L     b(x) aZΩ(u+)pu2   , u+= max{u, 0}, y Lestá definido en (2.8). Obsérvese que ues una solución no negativa de (3.1), si y sólo si u=Tλ(u). Por el Lema 2.8, tenemos  h(λ, u) u∞ ≤1 |u|∞  λL       1 aZΩq(x)(u+)p−1 a(0)   u+    ∞ +1 |u|∞  L    b(x) aZΩq(x)(u+)pu2    ∞ ≤C   λ 1 aZΩq(x)(u+)p−1 a(0) +|b(x)|∞ aZΩq(x)(u+)p |u|∞   →0, cuando |u|∞→0. Aplicando el Teorema 1.3 en [47], podemos concluir que existe una componente conexa de soluciones no negativas y no triviales Cque emana desde (λ, u) = (a(0)λ1,0) que es no acotada. Por el Principio del Máximo, las soluciones no negativas y no triviales son positivas en Ω. 74 Obsérvese que, por regularidad elíptica, cualquier solución u∈L∞(Ω), pertenece a W2,p(Ω) para todo p > 1, y entonces, u∈C1,α(Ω), α ∈(0,1). En el siguiente resultado estudiamos la dirección de bifurcación del continuo que emana desde λ=a(0)λ1. Teorema 3.2 Sea a∈C1(R). Denotamos ϕ1la autofunción positiva asociada a λ1, con norma |ϕ1|2= 1. El sentido de la bifurcación en el punto (λ, u) = (a(0)λ1,0) es el siguiente: a) Supongamos p= 1, entonces: a1)Si a0(0) >−ZΩb(x)ϕ3 1 λ1ZΩq(x)ϕ1 , el sentido es supercrítico. a2)Si a0(0) <−ZΩb(x)ϕ3 1 λ1ZΩq(x)ϕ1 , el sentido es subcrítico. b) Supongamos p > 1, entonces el sentido es supercrítico. c) Supongamos p < 1, entonces: c1)Si a0(0) >0, el sentido es supercrítico. c2)Si a0(0) <0, el sentido es subcrítico. Prueba: Para p≥1definimos la aplicación F: IR×C2(Ω) →C(Ω), F(λ, u) = aZΩq(x)up∆u+λu −b(x)u2.(3.2) Se tiene que F ∈ C1(IR×C2(Ω); C(Ω)) y Fu(λ, u)(v) = a0ZΩq(x)uppZΩq(x)up−1v∆u +aZΩq(x)up∆v+λv −2b(x)uv, (3.3) Fuλ(λ, u)v=v. (3.4) 75 Por definición de F, (3.3) y (3.4), tenemos F(λ, 0) = 0,∀λ∈IR, L0:= Fu(λ, 0)(v) = a(0)∆v+λv, L1:= Fuλ(λ, 0)(v) = v. También tenemos que Ker(L0) = {v∈C2 0(Ω) \ {0};a(0)∆v+λv = 0} 6=∅. Como a(0)λ1es un autovalor simple de (−a(0)∆), entonces Ker(Fu(a(0)λ1,0)) = hϕ1i, y dim (Ker(Fu(a(0)λ1,0))) = cod (Rg (Ker(Fu(a(0)λ1,0))) = 1. Por el Teorema de la Alternativa de Fredholm, tenemos Rg (Fu(a(0)λ1,0)) = u∈L2(Ω); ZΩϕ1u= 0. Por otro lado, tenemos Fuλ(a(0)λ1,0)(ϕ1) = ϕ1. Por tanto, Fuλ(a(0)λ1,0)(ϕ)6∈ Rg (Fu(a(0)λ1,0)), debido a |ϕ1|2= 1. Entonces podemos aplicar el Teorema de Crandall-Rabinowitz (ver [30]) y concluir que existe  > 0y dos aplicaciones C1 µ: (−, )→IR, v : (−, )→Z, 76 donde Zes el complementario topológico del Ker(L0)en C2 0(Ω), tales que µ(0) = 0,v(0) = 0, y para cada s∈(−, )      λ(s) = a(0)λ1+µ(s), u(s) = s(ϕ1+v(s)), (3.5) tales que (λ(s), u(s)) son soluciones no-triviales de (3.1), o sea F(λ(s), u(s)) = 0 s∈(−, ). Además, existe ρ > 0tal que si F(λ, u) = 0 y(λ, u)∈B((a(0)λ1,0), ρ), o bien u≡0en Ω, o (λ, u)=(λ(s), u(s)) para algún s∈(−, ); B((a(0)λ1,0), ρ)denota a bola centrada en (a(0)λ1,0) y radio ρ > 0en R×C2 0(Ω). Obsérvese que u(s)es positiva para s∈(0, ). Por otro lado, el desarollo de Taylor de la función a(t)es dado por a(t) = a(0) + ta0(0) + o(t).(3.6) Sustituyendo (3.5) y (3.6) en (3.1), obtenemos −a(0) + spa0(0) ZΩq(x)(ϕ1+v(s))p+o(sp)∆(sϕ1+sv(s)) = (a(0)λ1+µ(s))(s(ϕ1+v(s)) −b(x)(s(ϕ1+v(s)))2. Multiplicamos por ϕ1, integrando en Ωy reorganizando los términos, tenemos que spa0(0)λ1ZΩq(x)(ϕ1+v(s))p+spa0(0)λ1ZΩq(x)(ϕ1+v(s))pZΩϕ1v(s) + o(sp) =µ(s)ZΩ(ϕ1+v(s))ϕ1−sZΩb(x)(ϕ1+v(s))2ϕ1. Entonces, µ(s) sp= a0(0)λ1ZΩq(x)(ϕ1+v(s))p1 + ZΩϕ1v(s)+s1−pZΩb(x)(ϕ1+v(s))2ϕ1 ZΩ(ϕ1+v(s))ϕ1 +o(s).(3.7) Tomando límite en s, tenemos; 77 a) Si p= 1, entonces lim s→0 µ(s) s=a0(0)λ1ZΩq(x)ϕ1+b(x)ϕ3 1, de donde se deduce el primer apartado. b) Si p > 1, entonces por (3.7), tenemos lim s→0 µ(s) sp=∞, por lo que µ(s)>0para s > 0y pequeño, y entonces λ(s)> a(0)λ1y como consecuencia la dirección es supercríitica. c) Supongamos p < 1. Al no poder aplicar el Teorema de Crandall-Rabinowitz, usaremos un argumento distinto para estudiar la dirección de bifurcación. c1) Supongamos a0(0) >0, entonces existe  > 0tal que a(s)> a(0) 0 < s < . (3.8) También supongamos que existen {(λn, un)}, tal que λn→a(0)λ1y|un|∞→0. Como  > ZΩq(x)up n>0, para ngrande, por (3.8), tenemos aZΩq(x)up n> a(0). Por la Proposición 1.1, entonces λn=λ1−aZΩq(x)up n∆ + b(x)un; 1 > λ1−aZΩq(x)up n∆; 1 > λ1[−a(0)∆; 1] = a(0)λ1. 78 Luego, λn> a(0)λ1, o sea, el sentido es supercrítico. c2)Ahora, supongamos que a0(0) <0. Supongamos que existe (λn, un)una sucesión de soluciones positivas de (3.1) tal que λn→a(0)λ1y|un|∞→0, con λn> a(0)λ1. Sea C > 0, con Csuficientemente grande, tal que a0(0) <−ZΩb(x)ϕ3 1 Cλ1ZΩq(x)ϕ1 .(3.9) Definimos el problema      −aCZΩq(x)w∆w=w(µ−b(x)w)en Ω, w= 0 sobre ∂Ω. (3.10) Obsérvese que p= 1 en (3.10), luego podemos usar el apartado a2) y concluir que la dirección de bifurcación de (3.10) es subcrítica. Por tanto, µ<a(0)λ1en un entorno de a(0)λ1. Ahora, probemos que existe una sucesión (µn, wn)de soluciones positivas de (3.10) con µn> a(0)λ1,µn→a(0)λ1y|wn|∞→0, lo que nos llevará a una contradicción. Tomamos µn=λn. Por a0(0) <0, tenemos que existe 0>0tal que a(0) > a(s),0< s < 0.(3.11) Como p < 1, tenemos que existe n0∈Ntal que q(x)up n> Cq(x)un∀n≥n0. Como a0(0) <0, entonces aes decreciente en 0. Entonces, como |un|∞→0, tenemos aZΩq(x)up n< a CZΩq(x)un.(3.12) 79 Ahora, vamos aplicar el método de sub-supersoluciones a (3.10). Tomemos u=un, u =ϕ1, donde será escogido posteriormente. Obsérvese que como λn≥λ0>0para algún λ0, tenemos f(x, s) = s(λn−b(x)s)>0, s ∈[u, u]. Entonces, como aes decreciente en [u, u]yf(x, s)>0, la Definición 1.20 es equivalente a −aZΩCq(x)u∆u−f(x, u)≤0≤ −aZΩCq(x)u∆u−f(x, u). Veamos que u=unes supersolución de (3.10). En efecto, por (3.12) −aCZΩq(x)un∆un>−aZΩq(x)un∆un=un(λn−b(x)un). Ahora, veremos que u=ϕ1es subsolución de (3.10). De hecho, ϕ1es subsolución si b(x)ϕ1+aZΩCq(x)ϕ1λ1≤λn. Por (3.11), para pequeño, tenemos que b(x)ϕ1+aC ZΩϕ1λ1≤bM+a(0)λ1< λn ⇔≤λn−a(0)λ1 bM , donde bM= max x∈Ω b(x). Así, existe solución positiva de (3.10) para λn> a(0)λ1tal que ϕ1≤wn≤un,en Ω, lo que es contradicción como comentamos anteriormente.  80 3.2 Resultados de no existencia de solución positiva Una vez estudiada la bifurcación con detalle, empezamos a estudiar la ecuación para conocer el comportamiento global del continuo. Proposición 3.3 Sea (λ, u)solución positiva de (3.1). 1. Si denotamos d=aZΩq(x)up(x)dx, entonces, u d=θ[λ/d,b]. donde θ[λ/d,b]es la única solución positiva de (1.10). 2. Si ues solución positiva de (3.1), entonces aZΩq(x)up(x)dxλ1< λ < a ZΩq(x)up(x)dxλΩ0 1.(3.13) Prueba: 1. Dividiendo (3.1) por d2, obtenemos −∆u d=λ du d−b(x)u d2 , luego, u d=θ[λ/d,b]. 2. Por la Proposición 1.1, obtenemos que λ=λ1−aZΩq(x)up∆ + b(x)u> λ1−aZΩq(x)up∆ =aZΩq(x)upλ1. 81 Usando nuevamente la Proposición 1.1, tenemos λ=λ1−aZΩq(x)up∆ + b(x)u< λΩ0 1−aZΩq(x)up∆ =aZΩq(x)upλΩ0 1. El siguiente resultado es un resultado de no existencia de solución para valores de λgrande o pequeño. Proposición 3.4 Sea (λ, u)solución positiva de (3.1). 1. Si b(x)verifica (Hb1), entonces λ > aLλ1; 2. Si b(x)verifica (Hb2), entonces aLλ1< λ < aMλΩ0 1. Prueba: Los resultados son consecuencia de (3.13) y la Proposición 1.1.  Nota 3.5 Cabe recordar que, a diferencia de la mayoría de los resultados en la literatura, no asumimos que aestá acotada superiormente y tampoco aes estrictamente positivo. Por tanto, por ejemplo, cuando aes no acotado el resultado anterior se tiene con aM=∞. 3.3 Caso que bverifica (Hb1) Estudiemos primer el caso (Hb1), es decir, cuando b(x)es una función estrictamente positiva en todo el dominio. Teorema 3.6 Si b(x) satisface (Hb1). Entonces existe solución positiva de (3.1) si λ>a(0)λ1. Prueba: Obsérvese que u < λ b0 en Ω.(3.14) En efecto, sea Ω1=(x∈Ω; u(x)>λ b0). 82 Entonces, −aZΩq(x)up∆u=λu −b(x)u2≤0en Ω1, u =λ b0 sobre ∂Ω1, implicando que u≤λ b0 en Ω1; lo que es una contradicción. Por tanto, Ω1=∅, y gracias al Principio del máximo fuerte sigue (3.14). Por tanto, por el Teorema 3.1 existe un continuo Cno acotado de soluciones positivas que bifurca desde λ=a(0)λ1. Además, (3.1) no existe solución positiva para λ≤aLλ1. Como consecuencia de (3.14) tenemos que ProjIR(C)⊃(a(0)λ1,∞)y sigue la existencia de solución positiva para λ>a(0)λ1. Corolario 3.7 Si aes creciente y bconstante, entonces existe una única solución positiva de (3.1) si λ > a(0)λ1. Prueba: Por el Teorema 3.6 tenemos la existencia de solución. Ahora, probaremos que la solución es única. Supongamos que aes creciente y bconstante. Sea uyvsoluciones positivas de (3.1), con u6=v. Dividiremos en dos casos: 1.- Supongamos que ZΩq(x)up=ZΩq(x)vp. Entonces, uyvson soluciones positivas de −∆v=λv −bv2 aZΩq(x)upen Ω,v= 0 sobre ∂Ω. (3.15) Por tanto, como (3.15) tiene una única solución positiva, sigue que u=ven Ω. 2.- Supongamos ahora que ZΩq(x)up<ZΩq(x)vp. Obsérvese que como bes constante, sigue por (3.14) que λv −bv2>0en Ω.(3.16) Además, como aes creciente y por (3.16), obtenemos que −∆v=λv −bv2 aZΩq(x)vp<λv −bv2 aZΩq(x)up. Por tanto, ves subsolución de (3.15), que implica u>v, una contradicción.  83 entonces por (3.27) λ∗ λΩ0 1!p I≤s1= Λ1 λΩ0 1!p I, lo que implica que λ∗= Λ1. En el siguiente resultado mostramos la existencia de solución positiva entre a(0)λ1yΛ1. Teorema 3.15 Sea I < ∞. Supongamos que existe s0>0solución de (3.22). Entonces, existe al menos una solución positiva de (3.1) para λ∈(min{a(0)λ1,Λ1},max{a(0)λ1,Λ1}). Además, existe sucesiones (λn, uλn),(λ0 n, uλ0 n)∈ C, entonces lim λn→a(0)λ1 |uλn|∞= 0,lim λ0 n→Λ1 |uλ0 n|∞=∞. Prueba: Sabemos que existe un continuo Cno acotado en IR×L∞(Ω) de soluciones positivas que emana desde (a(0)λ1,0). Por la Proposición 3.14 concluimos el resultado.  Ahora, necesitamos introducir y estudiar la siguiente aplicación. Proposición 3.16 Fijamos λ > 0y definimos la función hλ: [0,∞)→[0,∞)por hλ(s) := ZΩq(x)θ[λ/a(s),b]p.(3.28) La función hλestá bien definida en el conjunto Λλ=(s∈[0,∞) : λ λΩ0 1 < a(s)<λ λ1). Además, hλes continua en Λλy 1. Sean sn, sn∈Λλtal que sn→s∗ysn→s∗>0tal que a(s∗) = λ λΩ0 1 ya(s∗) = λ λ1 . Entonces, (a) lim sn→s∗hλ(sn) = I. (3.29) 90 (b) lim sn→s∗ hλ(sn) = 0.(3.30) 2. Se tiene que hλ(s)≤I, ∀s∈[0,∞). Prueba: hλestá bien definida y es continua en Λλdebido al Teorema 1.7. 1. (a) De nuevo, gracias al Teorema 1.7, sigue que lim sn→s∗hλ(sn) = lim sn→s∗ZΩq(x)θ[λ/a(sn),b]p=ZΩq(x)(M(x))p=I. (b) Análogamente, lim sn→s∗ hλ(sn) = lim sn→s∗ZΩq(x)θ[λ/a(sn),b]p= 0. 2. Por la definición y el Teorema 1.7, tenemos hλ(s) = ZΩq(x)θ[λ/a(s),b]p≤ZΩq(x)(M(x))p=I.  Observemos que el conjunto Λλpuede tener distintas formas dependiendo de la forma de a, ver Figura 3.1. Figura 3.1: Dos ejemplos del conjunto Λλ: en el primero Λλ=Sy en el segundo Λλ=S1∪S2. En el siguiente resultado mostramos que resolver la ecuación (3.1) es de hecho equivalente a encontrar punto fijo de la ecuación real hλ(s) = g(s). La prueba se basa en un argumento de punto fijo. 91 Proposición 3.17 Si existe s∗>0tal que hλ(s∗) = g(s∗), entonces existe al menos una solución positiva de (3.1) para λ∈(a(s∗)λ1, a(s∗)λΩ0 1). Recíprocamente, si ues una solución positiva de (3.1), entonces existe s∗>0tal que hλ(s∗) = g(s∗), de hecho, s∗=ZΩq(x)up(x)dx. Prueba: Supongamos que existe s∗>0tal que hλ(s∗) = g(s∗). Por (3.23) y (3.28), obtenemos s∗ (a(s∗))p=g(s∗) = hλ(s∗) = ZΩq(x)θ[λ/a(s∗),b]p. Por tanto, s∗= (a(s∗))pZΩq(x)θ[λ/a(s∗),b]p=ZΩq(x)a(s∗)θ[λ/a(s∗),b]p.(3.31) Obsérvese que u=a(s∗)θ[λ/a(s∗),b] es solución de (3.1). En efecto, utilizando (3.31) −aZΩq(x)up∆u=−aZΩq(x)a(s∗)θ[λ/a(s∗),b]p∆(a(s∗)θ[λ/a(s∗),b]) = (a(s∗))2 λ a(s∗)θ[λ/a(s∗),b]−b(x)(θ[λ/a(s∗),b])2! =λ(a(s∗)θ[λ/a(s∗),b])−b(x)a(s∗)θ[λ/a(s∗),b]2 =λu −b(x)u2. Por tanto, u=a(s∗)θ[λ/a(s∗),b]es solución, que es positiva de (3.1) si λ∈(a(s∗)λ1, a(s∗)λΩ0 1). Recíprocamente, supongamos que ues una solución positiva de (3.1). Entonces, denotando por d=a(RΩq(x)up(x)dx), tenemos u d=θ[λ/d,b], entonces, ZΩq(x)up(x)dx =dpZΩq(x)θp [λ/d,b]. 92 Luego, ZΩq(x)up(x)dx aZΩq(x)up(x)dxp=ZΩq(x)θp [µ,b], con µ=λ aZΩq(x)up(x)dx. Esto concluye el resultado.  En el siguiente resultado mostramos que si g(s)< I entre dos soluciones de (3.4), α1< α2, esto es g(α1) = g(α2), entonces podemos encontrar solución en el intervalo λ∈(Λ1,Λ2). Proposición 3.18 Si g(s)< I para todo s∈(α1, α2)con g(α1) = g(α2) = I, entonces, existe solución positiva de (3.1) para λ∈(Λ1,Λ2), donde Λi=αi I1 pλΩ0 1,i∈ {1,2}. Prueba: Como g(α1) = g(α2) = I, tenemos que a(α1) = α1 I1 p<α2 I1 p=a(α2).(3.32) Tomemos λ∈(Λ1,Λ2), es decir λ λΩ0 1 ∈ α1 I1 p,α2 I1 p!= (a(α1), a(α2)). Por la continuidad de a, existe s∗∈(α1, α2)tal que a(s∗) = λ λΩ0 1 . Obsérvese que g(s)< I para todo s∈(α1, α2)es equivalente a s I1/p < a(s)para todo s∈(α1, α2). 93 Definimos los conjuntos S:= (sj∈[α1, α2]; a(sj) = λ λΩ0 1)yS:= (sj;a(sj) = λ λ1). Como a0(s) = 0 en a lo más un conjunto discreto, podemos ordenar los conjuntos SyStal que s1< s2< . . . ys1< s2< . . . Sabemos que s∗∈S, y por tanto, S6=∅. Ahora, separamos la prueba en dos casos diferentes: 1. Supongamos S∩[α1, α2] = ∅. Entonces, tomamos sj0= max j∈Nsj∈[α1, α2]. Por definición, a(sj0) = λ λΩ0 1 . Como S∩[α1, α2] = ∅,a(s)<λ λ1para todo s∈[α1, α2](ver Figura 3.2), luego existe δ > 0tal que λ λΩ0 1 < a(s)<λ λ1 , s ∈(sj0, α2+δ).(3.33) Por la Proposición 3.16, obtenemos lim s↓sj0 hλ(s) = I. Por la Proposición 3.16, hλ(α2+δ)≤Iyhλ(α2)< I. Entonces, hλ(sj0)−g(sj0)>0yhλ(α2)−g(α2)<0, por tanto existe s∗∈(sj0, α2)⊂(α1, α2)such that g(s∗) = hλ(s∗). Además, por (3.33) obsérvese que s∗es tal que λ∈(λ1a(s∗), λΩ0 1a(s∗)). Luego, por la Proposición 3.17 existe al menos una solución positiva de (3.1). 94 Figura 3.2: Ejemplo en el que λ/λ1> a(s)para todo s. 2. Supongamos S∩[α1, α2]6=∅. Tomemos s1< s2. (a) Si S∩(s1, s2)6=∅. Tomamos sj0= min{S∩(s1, s2)}. Consideramos ahora [s1, sj0]. Es claro que λ λΩ0 1 < a(s)<λ λ1 para todo s∈[s1, sj0]. Entonces, por la Proposición 3.16, obtenemos lim s↓s1 hλ(s) = I, ylim s→sj0 hλ(s)=0. Además, g(sj0)>0yg(s1)< I. Por tanto, hλ(s1)−g(s1)>0yhλ(sj0)−g(sj0)<0, entonces, existe s∗∈(s1, sj0)⊂(s1, s2)tal que hλ(s∗) = g(s∗). Luego, por la Proposición 3.17 existe al menos una solución positiva de (3.1). (b) Si S∩(s1, s2) = ∅. Entonces, tomamos s2< s3. Si S∩(s2, s3)6=∅, entonces podemos repetir el razonamiento anterior. Si S∩(s2, s3) = ∅consideramos s3< s4. luego, podemos continuar este argumento hasta S∩[sm0, sm0+1]6=∅, para algun m0. 95 Figura 3.3: Ejemplo en el que a(s)corta en dos puntos a λ/λ1. Figura 3.4: Ejemplo en el que la función acorta en varios puntos a λ/λ1yλ/λΩ0 1. Esto completa la prueba.  Proposición 3.19 Si g(s)< I para todo s∈(α1,+∞)con g(α1) = I. Entonces existe solución positiva de (3.1) para λ∈(Λ1,+∞), donde Λ1=α1 I1 pλΩ0 1. Prueba: Tomemos λ > Λ1, entonces λ λΩ0 1 >α1 I1 p=a(α1). Como g(s)< I para s > α1 sigue que lim s→∞ a(s) = ∞. Entonces, existe s∗, s∗∗ > α1tal que λ λΩ0 1 =a(s∗)yλ λ1 =a(s∗∗). Ahora, el argumento usado en la Proposición anterior puede adaptarse a este caso.  96 Teorema 3.20 Supongamos que bsatisface (Hb2),I < ∞y existen s1< s2< . . . < sm,m≥1, raíces de (3.22), g(s)< I para todo s∈(0, s1)tal que g0(sj)6= 0,(3.34) y consideremos Λi=λΩ0 1si I1/p , i = 1, . . . , m. Entonces: 1. Desde λ=a(0)λ1bifurca un continuo no acotado Cde soluciones positivas de (3.1) desde la solución trivial y tiende al infinito en λ= Λ1. Consecuentemente, existe al menos una solución positiva de (3.1) si λ∈(min{a(0)λ1,Λ1},max{a(0)λ1,Λ1}). 2. Si m= 2k+ 1,k≥0, (3.1) posee al menos una solución positiva para λ∈ k [ j=1 (Λ2j,Λ2j+1),(3.35) y (3.1) no posee solución positiva para λgrande. 3. Si m= 2k,k≥1, (3.1) posee al menos una solución positiva para λ∈ k−1 [ j=1 (Λ2j,Λ2j+1)∪(Λ2k,∞).(3.36) Además, si aes creciente entonces para cualquier Λ2j+1,j= 0, . . . , k, existe una sucesión de soluciones positivas (λn, uλn)de (3.1) tal que λn→Λ2j+1 y |uλn|∞→ ∞. Nota 3.21 En (3.35), si k= 0, consideramos k [ j=1 (Λ2j,Λ2j+1) = ∅. Igualmente, en (3.36), si 97 k= 1 consideramos k−1 [ j=1 (Λ2j,Λ2j+1)∪(Λ2k,∞) = (Λ2,∞). Nota 3.22 La condición (3.34) no es necesaria para obtener la existencia de solución. Observando la prueba del resultado (ver Proposición 3.34), podemos garantizar la existencia de solución positiva siempre que g(s)< I,s∈(sj, sj+1)con g(sj) = g(sj+1) = I. Por tanto, si por ejemplo g(sj) = g(sj+1) = g(sj+2) = Iyg(s)< I para s∈(sj, sj+1)∪ (sj+1, sj+2), podemos argumentar la existencia de solución positiva para λ∈(Λj,Λj+1)∪(Λj+1,Λj+2). Para simplificar en el enunciado, hemos preferido suponer que la raíces de g(s) = Ison simples. Prueba: 1. El primer apartado sigue del Teorema 3.15. 2. Supongamos ahora que m= 2k+ 1. Entonces, g(s2j) = g(s2j+1)yg(s)< I con s∈(s2j, s2j+1)para j= 1, . . . , k. Entonces, podemos aplicar la Proposición 3.18 para α1=s2j yα2=s2j+1. Además, según la Proposición 3.13, (3.1) no posee solución positiva para λgrande. 3. Cuando m= 2k, el resultado sigue de la Proposiciones 3.18 con α1=s2j,α2=s2j+1 y de la Proposición 3.19 con α1=s2k. Finalmente, supongamos que aes creciente. Ahora, vamos mostrar que la bifurcación a infinito ocurre en Λ2j+1. De hecho, tomemos λn↑Λ2j+1. Entonces, λn λΩ0 1 ↑a(s2j+1). Entonces, para cada n, tomamos el único sn< s2j+1 (recordamos que aes creciente) tal que a(sn) = λn λΩ0 1 . Es evidente que λn λ1> a(s2j+1)para ngrande, entonces existe un único sn> s2j+1 tal que a(sn) = λn λ1 . Luego, g(sn)−hλn(sn)<0yg(sn)−hλn(sn)>0. Podemos concluir la existencia de s∗ n∈(sn, sn) 98 tal que g(s∗ n) = hλn(sn), y por la Proposición 3.17 existe una solución positiva. De hecho, la solución es un=a(s∗ n)θ[λn/a(s∗ n),b]. Sin embargo, obsérvese que cuando λn→Λ2j+1 entonces sn→s2j+1, luego s∗ n→s2j+1. Así, λn a(s∗ n)→Λ2j+1 a(s2j+1)=λΩ0 1. Esto finaliza la prueba.  Corolario 3.23 Supongamos que aes una función decreciente. Entonces, existe al menos una solución positiva de (3.1) si λ∈(min{a(0)λ1,Λ1},max{a(0)λ1,Λ1}). Prueba: Como aes decreciente, entonces existe un único valor positivo s1>0tal que a(s1) = (s1 I)1/p. Por tanto, existe un único s1>0tal que g(s1) = I yg(s)> I para s > s1. Luego, podemos aplicar la Proposición 3.13 y Teorema 3.15 y concluir que existe solución positiva para λ∈(min{a(0)λ1,Λ1},max{a(0)λ1,Λ1}). De hecho, el continuo Cque emana desde la solución trivial en λ=a(0)λ1y tiende al infinito en λ= Λ1. 99 Prueba: Supongamos por contradicción que ZΩup n≤C1, para alguna constante positiva C1. Por (4.6) existe a0>0tal que a(s)≥a0>0,∀s∈[0, C1]. Luego, tenemos que −∆un=λn   χD1+χD2 1 aZΩup n   uq n≤CχD1+χD2 1 a0uq n≤C1 + 1 a0uq n. Luego unes subsolución de (1.6) con σ=C1 + 1 a0ym≡1. Entonces, por la Proposición 1.6 y (1.7) sigue que un≤C21 + 1 a01 1−qw[1,1] en Ω. Por lo tanto, |un|∞está acotada. Contradicción.  En los siguientes resultados obtenemos cotas inferiores de las soluciones positivas de (4.5). Proposición 4.9 Si ues solución positiva de (4.5), entonces ZD1 up≥λp 1−qZD1 wp [1,1]. Prueba: Tenemos que el problema (4.5) restringido en D1viene dado por −∆u=λuqen D1, u > 0sobre ∂D1. Luego ues supersolución de (1.6), con σ=λ,m≡1yΩ = D1, entonces u≥λ1 1−qw[1,1] en D1. Elevando a py integrando en D1concluimos la demostración.  106 Proposición 4.10 Si ues solución positiva de (4.5), entonces ZD2 up≥    λ aZΩup    p 1−q ZD2 wp [1,1]. Prueba: Tenemos que el problema (4.5) restringido en D2viene dado por −∆u=λ aZΩupuqen D2, u > 0sobre ∂D2. Luego ues supersolución de (1.6), con σ=λ aZΩup,m≡1yΩ = D2, entonces u≥    λ aZΩup    1 1−q w[1,1] en D2. Elevando a py integrando en D2concluimos la demostración.  La siguiente Proposición prueba la no existencia de solución positiva para λgrande si a(s)s1−q pestá acotada. Proposición 4.11 Si lim s→∞ a(s)s1−q p≤C, (4.7) donde C≥0. Entonces no existe solución positiva de (4.5) para λgrande. Prueba: Supongamos que existe (λn, un)una sucesión de soluciones positivas de (4.5), con λn→ ∞. Dividiremos la prueba en dos casos: Caso 1: Supongamos RΩup n→ ∞.Por las Proposiciones 4.9 y 4.10, tenemos que ZΩup n≥λ p 1−q nZD1 wp [1,1] +    λn aZΩup n    p 1−q ZD2 wp [1,1] ≥    λn aZΩup n    p 1−q ZD2 wp [1,1]. 107 Esto implica λnZD2 wp [1,1]1−q p≤aZΩup nZΩup n1−q p≤C. Contradicción, pues λn→ ∞. Caso 2: Supongamos ZΩup n≤C, luego aZΩup n≤aC=sups∈[0,C]a(s),entonces −∆un=λn χD1+1 a(RΩup n)χD2!uq n≥λnχD1+1 aC χD2uq n>λn aC uq n. Por tanto, unes supersolución de (1.6) con σ=λn aCym≡1. Luego un≥ λn aC!w[1,1]. Para λn→ ∞, obtenemos ZΩup n→ ∞. Contradicción.  Nota 4.12 Notemos que la Proposición 4.11 sigue siendo cierta si sólo consideramos a(s)s1−q p≤C∀s≥s0>0. Nuestro primer resultado en este caso es: Proposición 4.13 Si lim s→∞ a(x, s)s1−q p=∞uniformemente en Ω.(A∞) entonces existe solución positiva de (4.5) para λ > 0. Prueba: Por el Teorema 4.7 existe un continuo Cno acotado en R×L∞(Ω) de soluciones positivas de (4.5) que emana desde (λ, u) = (0,0). Supongamos que existe (λn, un)∈ C una sucesión de soluciones positivas de (4.5), con |un|∞→ ∞ yλn→λ≥0con λ < ∞. Obsérvese que gracias a (A∞), obtenemos que lim s→∞ A(x, s)s1−q p=∞,uniformemente en Ω. 108 Luego, para todo M > 0, existe s0>tal que A(x, s)≥M s1−q p ,∀s≥s0. Por tanto, −∆un≤λ+ MZΩup n1−q puq n. Luego unes subsolución de (1.6) con σ=λ+ MZΩup n1−q pym≡1. Por lo tanto, tenemos un≤ λ+ M!p 1−qZΩup n1 pw[1,1]. Lo que implica 1≤ λ+ M!p 1−qZΩwp [1,1]. Contradicción para Msuficientemente grande.  El siguiente resultado es el principal en esta Sección. Teorema 4.14 i) Si asatisface (A∞), entonces existe solución positiva de (4.5) para todo λ > 0. ii) Si asatisface (Ac), esto es, lim s→∞ a(x, s)s1−q p=c(x)uniformemente en Ω.(Ac) entonces existen 0≤λ∗≤λ∗∗ ≤λ∗∗∗ <∞, λ∗∗ >0tales que •si λ > λ∗∗∗, entonces no existe solución positiva de (4.5), •si λ < λ∗∗, entonces existe al menos una solución positiva, denotada por uλ, de (4.5). Además, tenemos |uλ|∞→ ∞ para λ→λ∗. Por otro lado, •Si c(x)≥c0>0para alguna constante positiva c0, entonces λ∗>0. •Si c≡0en Ω, entonces λ∗= 0. 109 Prueba: Por el Teorema 4.7 existe un continuo Cde soluciones positivas de (4.5) que bifurca desde (λ, u) = (0,0). i) Supongamos que asatisface (A∞). Debido a la Proposición 4.13 existe solución positiva de (4.5) para todo λ > 0. ii) Por la Proposición 4.11 existe λ∗∗∗ >0tal que no existe solución positiva de (4.5) para λ > λ∗∗∗.Por tanto, existe λ∗∗ >0tal que existe solución positiva de (4.5) para 0< λ < λ∗∗. Además, debido a que Ces no acotado y ProjIR(C)está acotada, existe λ∗>0, con λ∗≤λ∗∗, y una sucesión de soluciones positivas (λn, un)∈ C tales que λn→λ∗y lim n→∞ |un|∞=∞. Supongamos que c(x)≥c0>0yλ∗= 0. Luego, existe una sucesión (λn, un)de soluciones positivas de (4.5) tal que λn→0y|un|∞→ ∞.Por la Proposición 4.8, tenemos que RΩup n→ ∞. Entonces, para n≥n0tenemos que aZΩup n≥ZΩup nq−1 pc0 2. Por tanto, tenemos −∆un=λn χD1+a(RΩup n)χD2 uq n≤λn 1 + 2 c0ZΩup n1−q p!uq n, luego, unes subsolución de (1.6), con σ=λn1 + 2 c0(RΩup n)1−q pym≡1, y concluimos un≤λ1/(1−q) n 1 + 2 c0ZΩup n1−q p!1/(1−q) w[1,1]. Elevando a pe integrando sobre Ω, obtenemos ZΩup n 1 + 2 c0ZΩup n1−q p!p/(1−q)≤λp/(1−q) nZΩwp [1,1], 110 lo que es un absurdo si λn→0. Ahora, asumimos que c≡0. Supongamos por contradicción que λ∗>0. Por la Proposición 4.10, tenemos ZΩup n≥    λn aZΩup n    p 1−q ZD2 wp [1,1], entonces, 0←ZΩup n1−q paZΩup n≥λnZD2 wp [1,1]1−q p→λ∗ZD2 wp [1,1]1−q p>0. Contradicción.  4.3 Problema no-local logístico En esta Sección estudiamos la siguiente ecuación logística      −χD1+χD2aZΩup∆u=λu −b(x)u2en Ω, u= 0 sobre ∂Ω, (4.8) donde b(x)es una función que verifica (Hb2). 4.3.1 Caso local Primeramente haremos un estudio del problema      −(χD1+dχD2) ∆u=λu −b(x)u2en Ω, u= 0 sobre ∂Ω. (4.9) Obsérvese que este problema no está incluido en la ecuación (1.10) estudiada en el Capítulo 1, ya que incluye una función en el coeficiente de difusión. El resultado siguiente prueba la existencia y unicidad de solución positiva de (4.9) y sus propiedades. 111 Proposición 4.15 Existe una única solución positiva de (4.9), denotada por θ[λ,d],si y soló si λ∈(g(d), g0(d)). Además, la aplicación λ∈(g(d), g0(d)) 7→ θ[λ,d]∈C1 0(Ω) es continua, creciente y diferenciable. Además, lim λ↓g(d)|θ[λ,d]|∞= 0,lim λ↑g0(d)|θ[λ,d]|∞=∞. Además, si Ω0⊂⊂ D1y fijamos λ < g0(d), entonces existen una constante positiva K(λ)y una función positiva ϕ(independiente de d), tales que θ[λ,d]≤K(λ)ϕ, para todo λ≤λ. Prueba: (⇒) Sea usolución positiva de (4.9), entonces g0(d) = λΩ0 1[−(χD1+dχD2) ∆; 1] > λ =λ1[−(χD1+dχD2) ∆ + b(x)u; 1] > λ1[−(χD1+dχD2) ∆; 1] = g(d). (⇐) Sea λ>g(d)yϕdautofunción positiva asociada a g(d)con |ϕd|∞= 1. Tomamos como subsolución u=ϕd, con pequeño a elegir. Obsérvese que −(χD1+dχD2)∆u≤λu −b(x)u2⇔g(d)ϕd≤λϕd−b(x)ϕ2 d⇔≤λ−g(d) max x∈Ω b(x).(4.10) Como λ > g(d), podemos elegir  > 0tal que (4.10) ocurra. Sea λ < g0(d). Por la continuidad del autovalor principal con respecto al dominio (ver Proposición 1.1), existe δ > 0pequeño tal que Ω0⊂Ωδyλ < gδ(d)< g0(d), donde definimos Ωδ={x∈Ω; dist(x, Ω0)< δ}, gδ(d) := λΩδ 1[−(χD1+dχD2) ∆; 1]. También definimos ϕΩδ 1como una autofunción positiva asociada a gδ(d). 112 Ahora, sea ψ∈C1(Ω) definida ψ=             ϕΩδ 1en Ωδ 2, φen Ωδ\Ωδ 2, 1en Ω\Ωδ, donde φes una función regular tal que φ≥φ0>0en Ωpara alguna constante φ0>0. Tomamos como supersolución u=Kψ con K > 0, donde Kse elegirá depués. Veamos que u es supersolución de (4.9). Distinguiremos tres situaciones: 1. Si x∈Ωδ 2: Tenemos −(χD1+dχD2)∆u≥λu −b(x)u2⇔gδ(d)−λ≥ −b(x)KϕΩδ d.(4.11) La desigualdad (4.11) es verdadera para todo K > 0, debido a que λ<gδ(d). 2. Si x∈Ωδ\Ωδ 2: Tenemos −(χD1+dχD2)∆u≥λu −b(x)u2⇔K≥ max x∈Ωδ\Ωδ 2 [λφ + (χD1+dχD2)∆φ] min x∈Ωδ\Ωδ 2 (b(x)φ2).(4.12) 3. Si x∈Ω\Ωδ: Tenemos −(χD1+dχD2)∆u≥λu −b(x)u2⇔0≥λ−b(x)K⇔K≥λ min x∈Ω\Ωδ b(x).(4.13) Entonces, tomamos Ksuficientemente grande que verifique (4.12) y (4.13). Tomando  pequeño y Kgrande tales que u≤uen Ω. Así, obtenemos la existencia de solución positiva para (4.9). Las propiedades de la aplicación λ7→ θ[λ,d]siguen del Teorema 2.4 en [43]. La unicidad es debido a que la función t7→ λ−b(x)t χD1+dχD2 113 es decreciente para todo x∈Ωy estrictamente decreciente en Ω\Ω0, entonces por [10] tenemos la unicidad de solución positiva de (4.9). Supongamos ahora que Ω0⊂⊂ D1yλ<g0(d), entonces podemos tomar δ > 0pequeño tal que Ω0⊂Ωδ⊂D1,λ<gδ(d), luego gδ(d) = λΩδ 1[−(χD1+dχD2)∆; 1] = λΩδ 1. Por tanto, ϕΩδ 1es independiente de d. Además, si λ≤λ, la constante Kque verifica (4.12) y (4.13) debe verificar K≥ max x∈Ωδ\Ωδ 2hλφ +χD1∆φi min x∈Ωδ\Ωδ 2 (b(x)φ2), y K≥λ min x∈Ω\Ωδ b(x), donde Kes independiente de dyλ. En el siguiente resultado estudiamos el comportamiento de θ[λ,d]para dgrande. Proposición 4.16 1. Supongamos que λ<λ1[−∆; χD1], entonces existe d(λ)>0tal que θ[λ,d]≡0en Ω, para todo d≥d(λ). 2. Supongamos que λ∈ K ⊂ [λ1[−∆; χD1], λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]),Kun conjunto compacto. Entonces, existe dos constantes positivas Cyd(K)tales que |θ[λ,d]|∞≤Cpara todo d≥d(K). 3. Supongamos que λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]< λ. Entonces, lim d→∞ |θ[λ,d]|∞=∞. 114 Prueba: 1. Sea λ < λ1[−∆; χD1]. Por la Proposición 1.3 sabemos que g(d)→λ1[−∆; χD1]cuando d→ ∞, y por tanto existe d(λ)>0tal que λ < g(d)para d>d(λ). Concluimos que θ[λ,d]≡0en Ωpor la Proposición 4.15. 2. Tomamos λ∈ K ⊂ [λ1[−∆; χD1], λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]) entonces λ<λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]. Definimos el conjunto Ωδ:= {x∈RN;dist(x, Ω0∪D2)}< δ, y tomamos δpequeño, tal que λ < λΩδ 1[−∆; χD1], o equivalentemente, µδ(λ) := λΩδ 1[−∆−λχD1; 1] >0.(4.14) Tomamos ϕδ 1una autofunción positiva asociada a µδ(λ)con |ϕδ 1|∞= 1 y escogemos φuna función regular tal que φ≥φ0>0en Ωy tal que la función ψdefinida por ψ=             ϕδ 1en Ωδ 2, φen Ωδ\Ωδ 2, 1en Ω\Ωδ, sea también una función regular. Tomamos como supersolución u=Kψ con K > 0que escogeremos posteriormente. Veamos que ues una supersolución de (4.9) para Kgrande. En efecto, de nuevo dividiremos nuestra prueba en tres casos: (a) Si x∈Ωδ 2: En este caso, ues una supersolución de (4.9) si (χD1+dχD2)(µδ(λ) + λχD1)≥λ−b(x)Kϕδ 1en Ωδ 2. 115 2. Si Ω\Ω0⊂D1ya(∞) = ∞, entonces λ∗=λΩ0 1[−∆; χD1]. 3. Si p≥2,a(∞) = ∞, y existe constantes positivas Cys0tales que a(s) s1/p ≥Cpara todo s≥s0>0, entonces λ∗=λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]. Prueba: Por el Lema 4.22 tenemos que ZΩup n→ ∞. Por la continuidad de la función a, tenemos aZΩup n→a(∞). Por un argumento similar al Lema 4.22, tenemos ZΩu2 n→ ∞. Definimos zn=un |un|2 . Multiplicamos (4.8) por zny como a(∞)>0, obtenemos ZΩ|∇zn|2=λnZΩ   χD1+1 aZΩup nχD2   z2 n−ZΩb(x)   χD1+1 aZΩup nχD2   z3 n|un|2 ≤λnZΩ   χD1+1 aZΩup nχD2   z2 n≤CZΩz2 n=C. 122 Por tanto, existe z∈H1 0(Ω),z≥0yz6≡ 0tal que zn* z en H1 0(Ω), zn→zen Ls(Ω),∀s∈1,2∗=2N N−2. Supongamos 1. ó 2., y afirmamos que z≡0en Ω\Ω0.(4.20) Supongamos por contradicción que existe D⊂Ω\Ω0tal que z > 0en D. Tomemos ϕ∈C∞ 0(D), entonces ZD∇zn· ∇ϕ=λnZD   χD1+1 aZΩup nχD2   znϕ−ZDb(x)   χD1+1 aZΩup nχD2   z2 nϕ|un|2. Obsérvese que como z > 0en Dtenemos que un(x) = zn(x)|un|2→ ∞, por tanto si a(∞)<∞, tenemos ZDb(x)   χD1+1 aZΩup nχD2   z2 nϕ|un|2→ ∞. Por otro lado, si Ω\Ω0⊂D1, tenemos que D⊂D1, por tanto ZDb(x)   χD1+1 aZΩup nχD2   z2 nϕ|un|2>ZDb(x)χD1z2 nϕ|un|2→ ∞. Entonces, en ambos casos ZD∇zn· ∇ϕ→ −∞, lo que es una contradicción. Esto implica z∈H1 0(Ω0). Por tanto, obtenemos ZΩ0 ∇zn· ∇ϕ=λnZΩ0    χD1+1 aZΩup nχD2   znϕ∀ϕ∈H1 0(Ω0).(4.21) 123 Cuando a(∞)<∞, tomando el límite en (4.21), obtenemos ZΩ0 ∇z· ∇ϕ=λ∗ZΩ0 χD1+1 a(∞)χD2!zϕ ∀ϕ∈H1 0(Ω0). Implicando que λ∗=λΩ0 1[−(χD1+a(∞)χD2) ∆; 1] . Por otro lado, si a(∞) = ∞, tomando el límite en (4.21) ZΩ0 ∇z· ∇ϕ=λ∗ZΩ0 χD1zϕ ∀ϕ∈H1 0(Ω0). Esto concluye que λ∗=λΩ0 1[−∆; χD1]. Supongamos que p≥2ya(∞) = ∞. En este caso, probamos que z≡0in Ω\(Ω0∪D2). De hecho, si z > 0en D⊂Ω\(Ω0∪D2), entonces ZDb(x)   χD1+1 aZΩup nχD2   z2 nψ|un|2=ZDb(x)χD1z2 nψ|un|2→ ∞, contradicción. Por tanto, z∈H1 0(Ω0∪D2). Tomamos ψ∈H1 0(Ω0∪D2), entonces tenemos ZΩ0∪D2 ∇zn· ∇ψ=λnZΩ0∪D2    χD1+1 aZΩup nχD2   znψ −ZD2 b(x)    1 aZΩup n   z2 nψ|un|2. (4.22) 124 como p≥2ya(s)/s1/p ≥Cpara sgrande, tenemos que |un|2 aZΩup n≤C|un|p aZΩup n≤C. Luego, como zn→0en Ω0∪D2, concluimos que ZD2 b(x)    1 aZΩup n   z2 nψ|un|2→0. Tomando el límite en (4.22) obtenemos que λ∗=λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]. En el siguiente Teorema probamos los principales resultados de este caso. Teorema 4.24 Supongamos p > 1. Entonces existe λ∞>0tal que (4.8) posee al menos una solución positiva para λ∈(min{λ0, λ∞},max{λ0, λ∞}). Además, 1. Si 0< a(∞)<∞, entonces λ∞=λΩ0 1[−(χD1+a(∞)χD2)∆; 1]. 2. Si Ω0⊂D1, entonces λ∞=λΩ0 1. 3. Si Ω0⊂D2, entonces λ∞=∞si a(∞) = ∞yλ∞=∞si a(∞) = 0. 4. Si Ω0∩D16=∅ 6= Ω0∩D2, entonces λ∞= 0 si a(∞)=0yλ∞≥λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]si a(∞) = ∞. Además, en este caso, si alguno de los siguientes casos ocurre: (a) D2⊂Ω0, (b) p≥2ya(s) s1/p acotado inferiormente para sgrande, (c) lim s→∞ a(s) s1/p =∞, entonces λ∞=λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]. 125 En todos los casos λ0yλ∞son puntos de bifurcación desde la solución trivial y desde el infinito, respectivamente. Prueba: Por el Teorema 4.21 existe un continuo Cde soluciones positivas de (4.8) que bifurca desde (λ, u)=(λ0,0). 1. Supongamos 0< a(∞)<∞. Por la Proposición 4.22, tenemos que ProjR(C)está acotado en R. Por tanto, existe (λn, un)∈ C una sucesión de soluciones positivas de (4.8) tal que λn→λ∞<∞y|un|∞→ ∞. Por el Lema 4.23, tenemos λ∞=λΩ0 1[−(χD1+a(∞)χD2)∆; 1]. 2. Supongamos Ω0⊂⊂ D1. En este caso, λ∞no depende del valor de a(∞). Por la Proposición 4.22, como Ω0∩D16=∅, tenemos ProjR(C)es acotado en R. Por tanto, existe (λn, un)∈ C una sucesión de soluciones positivas de (4.8) tal que λn→λ∞<∞y |un|∞→ ∞. Denotamos por dn=aZΩup n, entonces un=θ[λn,dn]es la única solución positiva de (4.9), luego g(dn)< λn< g0(dn) = λΩ0 1. Probemos que λ∞=λΩ0 1.Supongamos por contradicción que al menos para una subsucesión, λn→λ∞< λΩ0 1.Entonces, existe λtal que λn≤λ < λΩ0 1. Luego, como Ω0⊂⊂ D1por el Teorema 1.7 existe una constante K(λ)y una función regular positiva ϕ(que es indepediente de dn), tales que un=θ[λn,dn]≤K(λ)ϕpara todo λn≤λ. Por tanto, |un|∞≤C. Contradicción. 3. Supongamos Ω0⊂D2. Usando la misma notación dn=a(RΩup n), entonces un=θ[λn,dn] 126 es la única solución positiva de (4.9), luego g(dn)< λn< g0(dn) = dnλΩ0 1. Obsérvese que dn→a(∞), por tanto, cuando a(∞) = 0 tenemos por la Proposición 1.3 que λn→0. Ahora, supongamos que a(∞) = ∞, entonces dn→ ∞. Supongamos por contradicción que λn→λ∞<∞. Tomemos un subdominio Dtal que Ω⊂⊂ Dy consideramos ϕD 1una autofunción positiva asociada a λD 1con |ϕD 1|∞= 1. Entonces, u=KϕD 1es supersolución si λD 1(χD1+dnχD2) + b(x)KϕD 1≥λnen Ω.(4.23) Como Ω0⊂D2, sigue que (4.23) se verifica en D2si dnλD 1> λn. Por otro lado, en D1se verifica (4.23) si λD 1+b(x)KϕD 1≥λnen D1. Como λ∞<∞yb(x)≥b0>0en D1yϕD 1≥b1>0en Ωpara b0yb1constantes, tenemos que esta desigualdad ocurre para Kgrande (que es independiente de n). Por tanto, para ngrande obtenemos un≤KϕD 1. Contradicción. 4. Supongamos Ω0∩D16=∅ 6= Ω0∩D2. Como Ω0∩D16=∅, de esa manera podemos aplicar la Proposición 4.22, entonces ProjR(C)es acotado en R. Por tanto, existe (λn, un)∈ C una sucesión de soluciones positivas de (4.8) tal que λn→λ∞<∞y|un|∞→ ∞. 127 Sea a(∞) = 0. Tenemos λn=λ1[−(χD1+dnχD2)∆ + b(x)un; 1] < λΩ0 1[−(χD1+dnχD2)∆; 1] < λB 1[−(χD1+dnχD2)∆; 1] =dnλB 1, donde B⊂Ω0∩D2. Tomando el límite en n, obtenemos λ∞= 0. Sea a(∞) = ∞. Supongamos que λ∞< λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]. Entonces, existe un conjunto compacto K ⊂ [0, λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]] tal que λn∈ K. Luego, por la Proposición 4.16 existen dos constantes positivas d(K)yC > 0tales que |un|∞=|θ[λn,dn]|∞≤C, para dn≥d(K)y para todo λn. Contradicción. Ahora, determinaremos en algún caso, que λ∞=λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]. (a) Supongamos que D2⊂Ω0. Obsérvese que en este caso Ω\Ω0⊂D1, y aplicando el Lema 4.23 obtenemos que λ∞=λΩ0 1[−∆; χD1] = λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]. (b) Supongamos que p≥2y existen una constante positiva Cys0>0tales que a(s) s1/p ≥Cpara todo s≥s0>0. Entonces, nuevamente usando el Lema 4.23 obtenemos que λ∞=λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]. 128 (c) Supongamos que lim s→∞ a(s) s1/p =∞, y que λ∞> λΩ0∪D2 1[−∆; χD1].Entonces, al menos para una subsucesión λn∈ K := [λ∞−, λ∞+],(4.24) con  > 0pequeño tal que λ∞− > λΩ0∪D2 1[−∆; χD1]. Entonces, por (4.18) deducimos que λn−dnµ(λn) bM ϕn≤unen Ω0∪D2, (4.25) donde µ(λn) = λΩ0∪D2 1[−∆−λnχD1; 1] <0yϕnes una autofunción positiva asociada aµ(λn)tal que |ϕn|∞= 1, o sea −∆ϕn−λnχD1ϕn=µ(λn)ϕnen Ω0∪D2,ϕn= 0 sobre ∂(Ω0∪D2). Por regularidad elíptica, |ϕn|W2,q ≤Cpara todo q > 1, entonces ϕn→ϕ∞en C1(Ω) para alguna función ϕ∞>0. Además, debido a (4.24) existen dos constantes positivas a, b tal que (a+bdn)ϕn≤unen Ω0∪D2. También, (a+bdn)ZΩ0∪D2 ϕp n1/p ≤ZΩup n1/p , que implica a dn +bZΩ0∪D2 ϕp n1/p ≤ZΩup n1/p dn =ZΩup n1/p aZΩup n→0, contradicción. Esto completa la prueba.  Como consecuencia del Teorema anterior, tenemos para Ω0=∅, esto es, b(x)≥b0>0el siguiente resultado. 129 Corolario 4.25 Supongamos que b(x)≥b0>0para alguna constante positiva. Entonces, existe al menos una solución positiva de (4.1) si λ∈(a(0)λ1,∞). 130 Capítulo 5 Algunos problemas superlineales Para finalizar esta Memoria, el presente Capítulo está basado en los resultados obtenidos en [36]. Vamos estudiar el problema no-local      −aZΩup∆u=λuq+uren Ω, u= 0 sobre ∂Ω, (5.1) donde Ω⊂RN,N≥1, es un dominio regular y acotado, p > 0,0< q ≤1,r > 1,λ∈Ry a:R7→ Runa función continua y positiva. Este Capítulo está estructurado de la siguiente manera: en la Sección 5.1 presentaremos un resultado de bifurcación global de las soluciones positivas de (5.1). En la Sección 5.2, haremos el estudio de la dirección de bifurcación. Finalmente, en la Sección 5.3 haremos el estudio del comportamiento del continuo de soluciones positivas de (5.1) dependiendo del comportamiento de aen infinito. 5.1 Bifurcación global El siguiente resultado prueba la existencia de un continuo de soluciones positivas de (5.1). Teorema 5.1 Existe un continuo no acotado Cen IR×C(Ω) de soluciones positivas para el problema (5.1) que emana a partir de: 1. (λ, u)=(a(0)λ1,0) si q= 1. 2. (λ, u) = (0,0) si 0< q < 1. Prueba: 131 Luego, −∆un=λnuq n+ur n aZΩup n≤un a(0) −∀n≥n0. Esto implica que, λ1≤ a(0) −, que es una contradicción para pequeño.  El siguiente cambio de variable será muy usado en este Capítulo, transforma nuestra ecuación en otra del tipo (1.13) con un término no-local, que recordamos por comodidad:      −∆v=µvq+vren Ω, v= 0 sobre ∂Ω. (5.5) Proposición 5.4 Si ues solución positiva de (5.1), entonces v=u aZΩup 1 r−1 .(5.6) es solución positiva de (5.5) con µ=λ aZΩupr−q r−1 .(5.7) Prueba: Sea usolución de (5.1). Llamando v=Ru, obtenemos −∆v=1 aZΩup(λR1−qvq+R1−rvr).(5.8) Tomando R R=aZΩup1 1−r,(5.9) y sustituyendo (5.9) en (5.8), tenemos que vverifica (5.5) con µdefinido en (5.7).  En el siguiente resultado damos condiciones de no existencia de soluciones positivas de (5.1) con λ= 0, o sea, 138      −aZΩup∆u=uren Ω, u= 0 sobre ∂Ω, (5.10) donde 1< r < N+ 2 N−2. Para ello recordemos que gracias al Corolario 1.18 para p > max{N(r−1) 2, r}existe la siguiente constante 0< M1:= sup{C;C≤ZΩvp},∀vsolución positiva de (1.22).(5.11) Proposición 5.5 Sea 1< r < N+ 2 N−2. Si p > max{N(r−1) 2, r}y a(s) sr−1 p >1 M r−1 p 1 ,∀s∈(0,∞),(5.12) entonces no existe solución positiva de (5.10). Prueba: Supongamos que existe (λ, u)solución positiva de (5.10). Entonces vdefinida en (5.6) es solución con µ= 0 de (5.5) y por la Proposición 1.18, obtenemos M1≤ZΩvp=ZΩup aZΩup p r−1 < M1. Lo que nos lleva a una contradicción.  5.3 Caso general Ahora, volvemos al estudio del problema (5.1). El siguiente resultado prueba la no existencia de solución positiva para λgrande si aestá acotada superiormente. Proposición 5.6 Si existe solución positiva de (5.1), entonces λ < aMλ1, donde aM= sup s∈IR a(s). 139 Prueba: Sea usolución positiva de (5.1), entonces λ=λ1−aZΩup∆−ur−1; 1< λ1[−aM∆; 1] = aMλ1. El siguiente resultado será muy útil para conocer el comportamiento del continuo C. Lema 5.7 Si existe usolución positiva de (5.1), entonces λ aZΩupr−q r−1 < λ, donde λ=     λ1si q= 1, µsi 0< q < 1, donde µestá definida en la Proposición 1.13. Prueba: Sea usolución positiva de (5.1), entonces por la Proposición 5.4, vdefinida por (5.6) es solución positiva de (5.5), con µdefinida en (5.7). Si q= 1, aplicamos la Proposición 1.10, y concluimos que λ aZΩupr−q r−1 =µ<λ1. Ahora, si 0< q < 1, por la Proposición 1.13 deducimos que existe µ, tal que tenemos que λ aZΩupr−q r−1 =µ < µ.  El siguiente resultado prueba que si una sucesión de soluciones positivas de (5.1) cumple que |un|∞→ ∞, entonces ZΩup n→ ∞. Proposición 5.8 Sea p > 0,1< r < N+ 2 N−2y0< q ≤1. Si (λn, un)una sucesión de soluciones positivas de (5.1) con λn→λ∗<∞y|un|∞→ ∞, entonces ZΩup n→ ∞. 140 Prueba: Supongamos que ZΩup n≤Cpara alguna constante C > 0. Entonces existen C1, C2>0tales que C1≤aZΩup n≤C2,∀n∈N.(5.13) Por la Proposición 5.4, (µn, vn)es solución positiva de (5.5), con µnyvndefinidas por (5.7) y (5.6), respectivamente. Por (5.13), tenemos que existe C3>0tal que |µn|= λn aZΩup nr−q r−1  ≤C3, por lo que podemos aplicar la Proposición 1.9 y concluir que |vn|∞≤C. Luego, |un|∞=|vn|∞aZΩup nr−q r−1≤C4, lo que nos lleva a una contradicción.  En el siguiente resultado probamos que no hay soluciones para λgrande bajo la condición lims→∞ a(s)s1−r p= 0. Proposición 5.9 Sea p > 0,1< r < N+ 2 N−2y0< q ≤1. Si lim s→∞ a(s)s1−r p= 0.(5.14) entonces no existe solución positiva de (5.1) para λgrande. Prueba: Supongamos que existe (λn, un)una sucesión de soluciones positivas de (5.1), tal que λn→ ∞. Por el Lema 5.7, tenemos λn< λa ZΩup nr−q r−1, luego aZΩup n→ ∞ y por tanto ZΩup n→ ∞. Nuevamente, hacemos el cambio (5.6) y (5.7). 141 Como |µn|= λn aZΩup nr−q r−1  ≤C, por la Proposición 1.9, sabemos que |vn|∞≤C, luego ZΩvp n≤C1. Por lo tanto, C1≥ZΩvp n=ZΩup n aZΩup np r−1 . Esto implica, aZΩup n ZΩup nr−1 p ≥C2>0. Contradicción con (5.14).  Podemos enunciar y probar el resultado principal en el caso que averifica (5.14). Teorema 5.10 Sea 1< r < N+2 N−2. Si asatisface (5.14), entonces existen λ∗≤λ∗∗ tales que λ≤λ∗< λ∗∗ <∞, donde, λ=     a(0)λ1,si q= 1, 0,si 0< q < 1, tal que 1. Si λ>λ∗∗, entonces no existe solución positiva de (5.1). 2. Si 0< λ < λ∗, entonces existe solución positiva de (5.1). En realidad, se tiene que el continuo no acotado Cde soluciones positivas de (5.1) verifica que (0, λ∗)⊂ProjIR(C). Además, si a(∞)>0, entonces existe solución positiva de (5.1) para λ < λ∗, y (−∞, λ∗)⊂ ProjIR(C). 142 Prueba: 1. Por la Proposición 5.9 existe λ∗∗ > λ tal que, no existe solución positiva de (5.1) para λ > λ∗∗. 2. Por el Teorema 5.1 existe una componente conexa Cde soluciones positivas de (5.1) que bifurca desde (λ, u)=(a(0)λ1,0) si q= 1 y(λ, u) = (0,0) si 0< q < 1. Por el apartado anterior no existe solución positiva para λgrande. Probemos que no existe λ∗>0tal que λn→λ∗y |un|∞→ ∞. Como |un|∞→ ∞ por la Proposición 5.8, tenemos que ZΩup n→ ∞. Por la Proposición 5.4, (µn, vn)son soluciones positivas de (5.5), con µnyvndefinidos en (5.7) y (5.6), respectivamente. Supongamos a(∞) = ∞. Entonces, como λn→λ∗yRΩup n→ ∞, se tiene que λn aZΩup nr−q r−1 →0. Por tanto, por el Proposición 1.19, tenemos ZΩvp n≤M2. Por otro lado, por (5.14) tenemos ZΩvp n=ZΩup n aZΩup np r−1 → ∞. Una contradicción. Supongamos 0< a(∞)<∞. Por tanto, |µn|= λn aZΩup nr−q r−1  ≤C. Por la Proposición 1.9, tenemos que |vn|∞≤C. Luego, |un|∞=aZΩup n1 r−1|vn|∞≤C. 143 Una contradicción, debido a que |un|∞→ ∞. Supongamos que a(∞)=0. Supongamos por contradicción que λn→λ∗>0. Por tanto, por Lema 5.7 sigue que 0≤λn aZΩup n≤µ. Como a(RΩup n)→ ∞ sigue que λ∗= 0, lo que es una contradicción, pues estábamos suponiendo que λ∗>0. Luego no existe punto de bifurcación a infinito en (0,∞), por lo que ProjR(C)⊃(0, λ∗). Supongamos ahora, que a(∞)>0y veamos que ProjR(C)⊃(−∞, λ∗). Supongamos por absurdo que existe λ∗≤0tal que λn→λ∗y|un|∞→ ∞.Observemos que en los casos a(∞) = ∞y0< a(∞)<∞podemos argumentar como antes y llegar a una contradicción. Por tanto ProjR(C)⊃(−∞, λ∗)y hay solución para λ < λ∗. Una vez analizado el caso en el que averifica (5.14), nos ocupamos de lo que ocurre cuando lims→∞ a(s)s1−r p>0. El siguiente resultado, prueba que no existe λ∗∈(−∞,∞)tal que λn→λ∗y|un|∞→ ∞ Proposición 5.11 Sea p > max nr, N(r−1) 2o,1< r < N+2 N−2y(λn, un)una sucesión de soluciones positivas de (5.1). Si lim s→∞ a(s)s1−r p=∞.(5.15) entonces no existe |λ∗|<∞tal que λn→λ∗y|un|∞→ ∞. Prueba: Supongamos por contradicción que existe λ∗<∞tal que λn→λ∗. Usando de nuevo el cambio de variable de la Proposición 5.8 y como λ∗<∞, tenemos µn=λn aZΩup nr−q r−1 →0. Usando ahora la Proposición 1.17 se tiene que ZΩvp n6→ 0. En cambio, por la condición (5.15), obtenemos ZΩvp n=ZΩup n aZΩup n p r−1 →0. 144 Contradicción.  Observemos que este resultado nos está diciendo que el continuo Cno acotado de soluciones positivas (5.1) no se puede ir a infinito en un valor finito de λ, por tanto, al ser no acotado, su proyección es no acotada, o bien por +∞, o por −∞, o incluso en ambas direcciones. El siguiente resultado refina el anterior. Probamos que no hay punto de bifurcación a infinito para valores positivos bajo una condición más débil que (5.15). Proposición 5.12 Sea p > max nr, N(r−1) 2o,1< r < N+2 N−2y(λn, un)una sucesión de soluciones positivas de (5.1). Si existe s0>0tal que a(s) sr−1 p >1 M r−1 p 1 ,∀s≥s0>0,(5.16) donde M1esta definido en (5.11), entonces no existe λ∗∈[0,∞)tal que λn→λ∗y|un|∞→ ∞. Prueba: Supongamos que exista λ∗∈[0,∞)tal que λn→λ∗y|un|∞→ ∞. Nuevamente, por la Proposición 5.4, vndada por (5.6) es solución positiva de (5.5), con µndefinida en (5.7). Observemos que por (5.16), tenemos a(∞) = ∞. Además, como |un|∞→ ∞, entonces aZΩup nr−q r−1→ ∞. Luego µn=λn aZΩup nr−q r−1 →0. Por la Proposición 1.9, tenemos que vnestá acotada en L∞(Ω). Luego, por regularidad elíptica, vnestá acotada en W2,q(Ω) para cualquier q > 1, y por tanto existe v∈C1(Ω) con v≥0tal que vn→ven C1(Ω). Tomando el límite en (1.13) y teniendo en cuenta que µn→0, obtenemos que ves solución de la ecuación −∆v=vr,en Ω, v = 0 sobre ∂Ω que es (5.5) con µ= 0. Probaremos que v6≡ 0.(5.17) 145 Supongamos q= 1 y supongamos por contradicción que vn→0en C1(Ω). Hacemos el cambio de variable wn=vn |vn|∞ . Luego −∆wn=|vn|r−1 ∞wr n,en Ω.(5.18) Por definición wnestá acotado acotada en L∞(Ω), y por tanto por regularidad elíptica, existe w∈C1(Ω) con w > 0en Ω, tal que wn→wen C1(Ω). Tomando el límite en (5.18), obtenemos −∆w= 0,en Ω, w = 0 sobre ∂Ω, lo que implica que w≡0en Ω. Contradicción. Ahora, supongamos 0< q < 1. Como µn→0, por la Proposición 1.14 tenemos que vn µ 1 1−q n →w[1,1] en L∞(Ω).(5.19) Sustituyendo (5.6) y (5.7) en (5.19), y obtenemos unaZΩup n(r−q) (r−1)(1−q) aZΩup n1 r−1λ 1 1−q n →w[1,1] en L∞(Ω). Elevando a pe integrando ZΩup naZΩup np(r−q) (r−1)(1−q) aZΩup np r−1λ p 1−q n →ZΩwp [1,1] en IR, 146 o equivalentemente ZΩup naZΩup np 1−q λ p 1−q n →ZΩwp [1,1],en IR. Por tanto, para todo  > 0existe n0∈Ntal que aZΩup nZΩup n1−q p≤λn"ZΩwp [1,1]1−q p+#∀n≥n0. Contradicción, debido que a(∞) = ∞.Luego v0en Ω. Por tanto, en ambos casos tenemos que vn→ven C1(Ω) yv≥0,v6= 0. Por la Proposición 1.17 y el Corolario 1.18, obtenemos M1≤ZΩvp n=ZΩup n aZΩup np r−1 < M1. Contradicción.  Podemos ya enunciar el resultado principal cuando averifica (5.12). Teorema 5.13 Sea 1< r < N+2 N−2yp > max nr, N(r−1) 2o. Si asatisface (5.12), entonces 1. si q= 1, existe λ∗∈(0, a(0)λ1]tal que existe solución positiva de (5.1) si λ∗≤λ; 2. si 0< q < 1, existe solución positiva de (5.1) si λ > 0. Prueba: Por el Teorema 5.1 existe una componente conexa Cde soluciones positivas de (5.1) que bifurca desde (λ, u)=(a(0)λ1,0) si q= 1 y(λ, u) = (0,0) si 0< q < 1. Por la Proposición 5.5 no existe solución positiva de (5.1) para λ= 0. Por la Proposición 5.12, no existe λ∗≥0tal que λn→λ∗y|un|∞→ ∞. Por tanto, tenemos 1. si q= 1, ProjR(C)⊃(a(0)λ1,∞); 2. si 0< q < 1, ProjR(C) = (0,∞). 147