Estudio de la variabilidad de los campos recpetivos en las transformaciones de campos de datos. Implicaciones en transformaciones de imágenes y teoría retinal

UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA Y SISTEMAS ESTUDIO DE LA VARIABILIDAD DE LOS CAMPOS RECEPTIVOS EN LAS TRANSFORMACIONES DE CAMPOS DE DATOS. IMPLICACIONES EN TRANSFORMACIONES DE IMÁGENES Y TEORÍA RETINAL JUAN CARLOS QUEVEDO LOSADA Las Palmas de Gran Canaria, 1997 TESIS DOCTORAL UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA Doctorado en Informática Departamento de Informática y Sistemas Programa de Percepción Artificial y Aplicaciones ESTUDIO DE LA VARIABILIDAD DE LOS CAMPOS RECEPTIVOS EN LAS TRANSFORMACIONES DE CAMPOS DE DATOS. Implicaciones en Transformaciones de Imágenes y Teoría Retina1 Tesis Doctoral presentada por D. JUAN CARLOS QUEVEDO LOSADA Dirigida por los Drs. Dña. OLGA BOLIVAR TOLEDO D. ROBERTO MORENO DÍAZ, jr. Las Palmas de Gran Canaria, 9 de Junio de 1997 A mi Familia AGRADECIMIENTOS Quisiera expresar mi mas sincero agradecimiento a los codirectores de esta tesis, los Drs. Olga Bolívar y Roberto Moreno, por su inestimable ayuda y colaboración en el seguimiento y culminación de la misma. También me gustaría agradecer a los miembros del Departamento de Informática y Sistemas la colaboración prestada, y, es especial, a José A. Muñoz por el apoyo y gran interés que ha demostrado en todo momento. Finalmente, y no por ello menos importante, quiero dar las gracias a Sonia por su paciencia y ayuda incondicional durante el desarrollo de este trabajo. RESUMEN Resumen En este trabajo titulado "Estudio de la Variabilidad de los Campos Receptivos en lus Trunsjormaciones de Campos de Datos. Implicuciones en Trunsjormaciones de Imágenes y Teoría Retinal" presentamos distintos desarrollos relacionados con el concepto neurofisiológico de Campo Receptivo, estudiando la influencia de su variabilidad en las transformaciones algebraico-analíticas que combinan campos receptivos y funcionales. Lo hemos dividido en 4 capítulos y dos apartados referentes a las Conclusiones y Referencias bibliográficas. En el Capítulo 1 hacemos referencia a un conjunto de antecedentes en Transformaciones de Imágenes donde exponemos distintos conceptos creados y desarrollados eii tiübüj~s an:e;io;cs y yue cunstit~yei, !a cimientos de !es siguientes capítulos. Además de los conceptos teóricos expuestos. presentamos algunos resultados prácticos de la aplicación de éstos a una imagen en particular como ejemplo. Se expone los Filtros de Newton y los aplicamos para obtener núcleos utilizables en la normalización de las intensidades. Destacamos también, dentro de este apartado, la utilización de estos núcleos en la operación de filtrado de una imagen para la extracción de bordes. En el Capitulo 2, hemos desarrollado y aplicado la Transformación Foveal Dirigida (TFD), como primer paso en la modelización de los mecanismos de atención que rigen gran parte del proceso visual. Como punto de partida. exponemos su antecedente en la Transformación Foveal para continuar con su desarrollo. La base hdamentai se centra en la posibilidad de dirigir la fóvea a cualquier punto del campo de datos, dándole mayor resolución y funcionando como un atractor de interés. Concluimos este tema proponiendo áreas de aplicabilidad de esta transformada como son utilizarlas como método criptográfico de imágenes y como mecanismo de atención. Finalmente, hacemos mención de su incidencia en la Teoría Retinal. En el Capítulo 3, presentamos un estudio relacionado con la representación de Resumen imágenes y campos receptivos, dándole una enfoque natural y art$cin!. En prjmer !ugus, y resumiendo lo expuesto en el Capítulo 1, definimos el concepto de Campo Receptivo desde el punto de vista natural para a continuación aterrizar en lo art$cial y su relación con los funcionales. Esto nos conduce a plantear y estudiar la influencia de distintos parámetros que rodean a las transformaciones de campos receptivos. Para ello. utilizamos el Reconocimiento de Formas, que como es sabido, constituye la base de la visión artificial, donde obtenemos distintas conclusiones que reflejamos al final de este trabajo. Además, nos sirve de base para desarrollar un método de descripción automática de formas mediante la localización de los campos receptivos. En e! caFit;;lo 4. i-stUdiai;ilos a ----:-l-'l* variauiiiciaci de ios campos receptivos y su conectividad con la complitud. Desarrollamos un método para la generación de funcionales y lo aplicamos basándonos en distintas transformadas clásicas. A parte de éstas, desarrollamos otros tipos de transformadas como son las Diagonales y las basadas en los Filtros de Newton. Por último presentamos un marco de aplicabilidad exponiendo su incidencia en la compresión de imágenes. Antecedentes en Transformaciones de Imágenes La Transformada Coseno Discreta (DCT), que es un sustituto aceptable para la KLT discreta, presenta unos coeficientes que no están exactamente incorrelados [Rao90]. Con objeto de reducir el efecto de bloques, surgieron las transformadas solapadas. Con una transformada solapada, se transforman L muestras del bloque de entrada en M coeficientes. siendo L la longitud de las funciones base LT, con L>M. Como se ha de mantener la frecuencia de muestre0 se computan M nuevos coeficientes para cada M nuevas muestras de entrada. Una vez calculada la LT de un bloque se llevan las M muestras del bloque al buffer de L muestras. De esta forma habrá un solape de L-M muestras en el computo de transformadas de bloques consecutivos. n nt.suiia de interés la consideiación de la ofiDgonali&d. lo qüe hü dado lÜgu; desarrollo de las transformadas solapadas ortogonales [Cas85]. De entre estas, cabe destacar las Transformadas Solapadas Moduladas (MLT) y, a su vez' las Expandidas (ELT). Otra clase de LT son las Transformadas Solapadas Jerárquicas (HLT) basadas en el concepto de descomposición multirresolución de una señal; de hecho, la HLT puede considerarse como una Transformada Discreta en Onditas. Las transformadas en onditas (WT) surgen del procesamiento de señales por descomposición en canales multifrecuencia y se derivan del Análisis de Fourier. Presentan un gran interés en el proceso de imágenes y en visión artificial, ya que los modelos multicanales se han empleado para explicar procesos de bajo nivel en la corteza visuai. Moreno Díaz y Candela [Can871 han puesto de manifiesto el hecho de que las transformaciones típicas presentan propiedades adecuadas para generar espacios de representación no tanto debido a los funcionales propios, sino mas bien como consecuencia de una partición del campo de datos en los denominados campos receptivos. Dichos autores enfatizan el concepto de complitud, y consideran que en Visión Artificial debe existir un compromiso básico entre los funcionales a realizar y los campos receptivos, es decir, entre Antecedentes en Transformaciones de Imágenes lo que se hace sobre los datos y donde se toman éstos, para mantener una constancia de los grados de libertad impuestos por los objetivos del sistema . Lo anterior les ha llevado a la introduccion de las Transformaciones de Resolución Progresiva (TRP), cuya propiedad inmediata consiste en la obtención de un espacio de salida, que representa al espacio de entrada con varias resoluciones. Esto equivale a disponer en el dominio transformado, de subimágenes con distinta resolución, equivalentes a un muestre0 variable [Rov92]. Teniendo en cuenta que el desideratum de todo sistema de proceso de imágenes es ei Sistema Visuai numano. parece coherente antes cie apiicar cuaiquier esquema ciásicü de codificación. preprocesar la forma canónica de una imagen, teniendo en cuenta las propiedades y características de los Sistemas Naturales. Por otro lado, las investigaciones en codificación de imágenes orientadas fundamentalmente por la teoría de la información no tienen en cuenta lo que el ojo ve, ni como lo ve. Los progresos recientes en el estudio de los mecanismos cerebrales de la visión. han abierto nuevas pistas en la codificación de imágenes. La sensibilidad direccional de las neuronas a lo largo del camino visual junto con los procesos separados de contornos y texturas, han dado lugar a una nueva clase de métodos de codificación, denominados de 2" generación que alcanzan muy altas tasas de compresión. P Antecedentes en Transformaciones de Imágenes 1.2 EL SISTEMA VISUAL EL Sistema Visual Humano (SVH) es una parte del Sistema Nervioso, el cual constituye, sin lugar a dudas, la red de comunicaciones más compleja que conocemos, la cual está a su vez controlada por el más potente computador: el Cerebro. La comunicación en esta red se realiza a través de células nerviosas denominadas neuronas. (El cerebro contiene alrededor de 10" neuronas que es aproximadamente el mismo número de estrellas de nuestra galaxia). La transferencia de información de una a otra neurona, se realiza de forma e!ecty=qldmica, &E=pAq&qd=~e 2 18 ,nlyi~r=,nls t,*aqsmisera y recptnra ybVAU, y-uuAU nr~ainántira v y "A"" J postsináptica respectivamente. La acción de una neurona puede ser de dos tipos: excitatoria e inhibitoria; la primera genera pulsos en la neurona postsináptica, mientras que la segunda inhibe los pulsos existentes. Para tener una idea de la complejidad del Sistema Nervioso (SN) podemos imaginar una red de 1 012 neuronas, conectadas en cascada, en paralelo y con realimentación. - En la siguiente figura se muestra una imagen correspondiente a este esquema organizativo. Input. 0 O O Antecedentes en Transformaciones de Imágenes de este tipn de red pc&iz parecer. 2 piori. si iqc~ih!~. si bastante difícil. Sin embargo, hay una serie de características que simplifican este estudio y que hacen posible actualmente analizar el SN sobre una base célula a célula. Estas características son: En el SN sólo existen dos tipos de señales: una para distancias largas y otra para distancias cortas. Estas señales son casi idénticas en todas las neuronas, independientemente de la información que transporten, sea ésta visual. táctil. audible, etc. Más aún, su forma no varía de especie a especie. Lo que permite al cerebro distinguir entre dos señales idénticas, es la trayectoria seguida por cada una de las señales, en otras palabras. el cableado. Existe por tanto un entramado especifico de neuronas correspondiente a cada tipo de excitación. Desde un punto de vista matemático existe un mapeo uno-a-uno entre las diferentes partes del cuerpo y el cerebro. 1.3 CODIFICACIÓN RETINAL El ojo es el sensor de las señales visuales, siendo la retina la capa neurosensorial del ojo. La anatomía de la retina muestra cinco tipos de células organizadas en capas, existiendo una correspondencia anatómico funcional entre ellas. Los fotorreceptores transforman la señal luminosa en una señal eléctrica cuya duración y amplitud dependen de la intensidad y longitud de onda de la luz incidente. Tras esta primera capa somática se P;+--- 10 con0 nl0v;fn-l3i ~~t~rno Annrl~ se ~nr~~~ntv~n l~c rnn~~inn~r qinhntirnc JILUU IU ~UYU ~KQRIIV~LLI~ -ALYIIIU UVIIUY WIIWUW..CLUI. IUY WV..~,..~..-~ Y---- fotorreceptores con células bipolares y horizontales y tras ella la capa somática interna con los cuerpos celulares de bipolares, horizontales e interplexiformes. Las células horizontales reciben información de los fotorreceptores y envian su salida tanto a fotorreceptores como a bipolares. Las bipolares por su parte, transforman la información aferente entre las dos capas plexiformes, es decir, sus salidas alimentan las conexiones con las células amacrinas ? Antecedentes en Transformaciones de Imágenes y !.S g.rng!ion;ires (conexiones que forman la capa plexiforme interna), cuyos cuerpos celulares forman la capa somática mas externa de la retina. Los axones de las ganglionares forman el nervio óptico que abandona el ojo a través del punto ciego y lleva las salidad de estas células al cuerpo lateral geniculado (CLG). Este constituye la "primera parada" de la señal visual antes de llegar a la corteza visual, y morfológicamente está formado por seis capas de neuronas divididas en dos 1," ,,,,, ..n...rr\nnli,loraci /AP p611119C1 giuyu.. bapaa wI.YY de pequeno tamziio) y las capas magnocelulares (de células más grandes). La neurofisiología relaciona la actividad del CLG con el procesamiento de color y codificación de movimiento, si bien por nuestro grupo se ha propuesto un mecanismo de cómputo invariante fiente a cambios externos globales de iluminación que residiría en el CLG y que haría uso de una acción del tipo inhibición presináptica, tal y como se explicará, en su versión artificial, más adelante en Antecedentes en Transformaciones de Imágenes el capítulo 2. En el SVH la imagen retiniana es muestreada por unos 125 millones de fotorreceptores, y el nervio óptico consta, por contra. de un millón de Iíneas [Lei72] [Tru65]. Las retinas de muchas especies presentan una región central o fóvea donde la agudeza visual presenta un máximo. En esta región, la población de fotorreceptores es mas densa que en otras zonas retinales y las células están desplazadas lateralmente. de forma que la luz incida lo mas directamente posible sobre los fotorreceptores. Un concepto íntimamente ligado a la computación o proceso por capas es el de computación paralela. Dentro de cada capa existen multitud de células (procesadores) trabajando en paralelo sobre los datos de sus campos receptivos. Las células de una capa determinada no hacen todas ellas lo mismo ni son sensibles a exactamente los mismos tipos de estímulos sobre su campo receptivo. Este paralelismo en el proceso implica, pues, una extracción de características diferentes de la información de entrada. El proceso en paralelo dentro de una capa se complica conforme la información llega al cerebro, donde existen diversos caminos de bifurcación y la computación en paralelo ha de verse no solo dentro de una capa sino entre capas diferentes: áreas paralelas diferentes tienen funciones independientes. El análisis apropiado de los procesos retinales, pues, ha de basarse en los conceptos de computación por capas, contenidos en germen en los escritos de McCulloch x7 p;ttc ru-ron1 , ' '&&a LA."-, V J. Intrínsecamente unido al concepto anterior de computación por capas, se encuentra el concepto de Campo Receptivo, hoy en día adoptado por ingenieros y matemáticos. El Campo Receptivo de una célula en una capa determinada es el conjunto de células de la capa anterior que le envían señales. El número de células que procesan la información y el Antecedentes en Transformaciones de Imágenes tir;~ y t~m~ec & !os cumpos receptixl~s vzr.ri, de cap2 u czp, eYistiend~ cna cgfitifica contracción y expansión de los lugares en donde es procesada la información. En cada capa se observa un altísimo grado de solape entre campos receptivos vecinos, lo que unido a la convergencia y divergencia de información entre capas, ha dado lugar a La formulación de diversos modelos de localización y detección de estímulos [Bo189][Grü73], preservación de información (y su relación con la complitud de las transformaciones llevadas a cabo por las neuronas vistas como procesadores [Bo189][Mor79]), percepción de movimiento [Grü73] y funcionamiento de ganglionares en retinas de anfibios [Mor65]. A través de todo lo anterior es presumible que. en este esquema de computación por capas, conforme la información progresa en su camino hacia zonas más centraies ciei cerebro, el significado de la actividad neuronal se incrementa dramáticamente. A medida que nos movemos desde los sensores, el grado de complejidad semántica aumenta y se hace más difícil descifrar la función neuronal atendiendo únicamente al registro de su actividad eléctrica. Es aquí donde resulta necesario un análisis tanto de la cooperatividad neuronal como de su morfogénesis, si se pretende llegar a un conocimiento de la función nerviosa. [Mat90][Mir] . El uso de los dos conceptos ya expuestos, Campo Receptivo y Computación por Capas, hace ver la actividad neuronal global (tomando como entrada la salida de los fotorreceptores y como salida la señal en el nervio óptico), desde un punto de vista formal matemático, como la implementación natural de una operación convolutiva. Así, la capa 1C-L-- ---- L ---- A,. .....m rr\+;-m A,,&,, -1 rnri.il+,,AT\AP1 m,,PCi+,.aT\ AP ;lllP,-,Pli í1 IR PiCIlliPn+P Ut: LULUII~:C;~:~LUIC~ uc u11a lculla uala LI IL~ULLUUU ULI AIIULJU~V ULLIU IIIIUbVii .- -- -- O"""" capa de células, las cuales accceden a trozos de la imagen, los trozos que caen efectivamente sobre sus campos receptivos, que en conjunto barren toda una imagen digitalizada. Sin embargo, existen varias diferencias importantes: la actividad de las células ganglionares realizaría una convolución cuyos núcleos no tienen una huicionalidad constante ni espacial ni temporalmente. Antecedentes en Transformaciones de Imágenes 1.3 CONVOLUCIONES GENERALIZADAS Un Campo de Datos arbitrario, discreto y multidimensional, se puede definir por un espacio de entrada, de dimensión n, tal que la posición ij ... n está ocupado por un número, Cj,,,,. En el caso de que el Campo de Datos fuese una imagen, Gj,,, indica. por ejemplo, la intensidad luminosa (tonalidad de gris). Una transformación sobre fjj,.,, (espacio de entrada) es un conjunto de reglas Rij,.." (una regla para cada posible n-tupla de los subíndices ij ... n), tal que, aplicadas a todos los números Cj, ,,, generan un nuevo espacio Fij ,,, (denominado espacio de salida). F.. =R.. 'y.. ij ... n q...n\ 1, ... n Cj... n) Ec. 1 El marco general para la creación de transformaciones sobre la base de convoluciones generalizadas está basado en una propuesta de Moreno-Díaz y Rubio [Mor781 y modificaciones posteriores [Mor84], actualizada y adaptada a los objetivos del proceso visual. La hipótesis fundamental consiste en considerar la regla de decisión como una transformación, en lugar de considerarla como definitoria o determinante de un sistema. Haremos el desarrollo teórico para una dimensión, ya que los resultados son fácilmente extensibles a más dimensiones. Una Convolución Generalizada se basa en una única regla de transformación que se aplica a todos o parte de los valores f, contenidos en los lugares i. Ec. 2 A partir de la regla del elemento en la posición cero, la regla para el elemento en Antecedentes en Transformaciones de Imágenes la posición k se obtiene sustituyendo cada f, en la regla por f ,+ Ec. 3 Una transformación multidimensional en la que existe una convolución generalizada para una (o más) dimensiones, es invariante en esas dimensiones. Al imponer restricciones sobre la regla de transformación, podemos obtener distintos tipos de convoluciones generalizadas, como son las algebraicas, las analíticas y las algorítmicas. 1.3.1 Convoluciones Algebraicas. Filtros Digitales En el caso de señales temporales discretas y permitiendo que la regla de transformación sea una función arbitraria de los valores: x(t),x(t1 ),x(t-2), ...y( tl),y(t-2) se generan los filtros digitales arbitrarios: Antecedentes en Transformaciones de Imágenes Si la regla es lineal en la forma de factores de peso o núcleos, se obtienen los filtros digitales lineales, recursivos o no. Si además de ser la regla Ri una expresión algebraica y lineal, el sistema es no recursivo, se tiene la convolución convencional. La regla: Ec. 4 Antecedentes en Transformaciones de Imágenes En distintos trabajos anteriores, desarrollados por miembros de nuestro grupo de investigación, se han desarrollado ejemplos relacionados con esta convolución. Uno de esos ejemplos serían las transformaciones no lineales, cuyo objetivo es la normalización de las intensidades. Según Muñoz [Muñ87], un método para alcanzar el objetivo anterior es mediante un filtro lineal paso alto, seguido de un procedimiento de escalado para estandarizar el rango de variación de las intensidades. Una transformación sencilla que proporcione las invarianzas traslacionales y homotéticas se consigue por medio de la expresión local: &,y)- Min [I(x,y)l '(x7y)= Max [I(x,y) J - Min [l(x,y) J Las invarianzas requeridas suponen la acción de un filtro no lineal. La naturaleza de la no linealidad viene dada por la homotecia en el dominio de las intensidades. En general, ésta es una propiedad que tiene como expresión el cociente de dos transformaciones lineales, cuyos núcleos cumplen la propiedad: donde C es el campo receptivo. En el lenguaje de las estructuras computacionales paralelas, la expresión anterior requiere que el campo receptivo C de cada unidad computacional tenga partes excitadoras e inhibidoras que se cancelen. Antecedentes en Transformaciones de Imágenes Esto permitió establecer y demostrar a Muñoz [Muii87j1 e! siguiente teorema: Teorema. Si TI y T2 son dos transformaciones lineales, caracterizadas por los núcleos W, y W2, tales que: la transformación no lineal T, definida por: es tal que f(x,y) es invariante frente a traslaciones y homotecias en intensidades. A modo de ejemplo, presentamos una demostración práctica del teorema anterior. Convolucionamos una imagen con una máscara tipo Laplaciana. En la siguiente figura, presentamos: c) y d) Resultados de procesar las imágenes anteriores según la transformación no lineal, que corresponde a una Convolución Generalizada. Antecedentes en Transformaciones de lmagenes 1'4 FILTROS DE NEWTON. Según un estudio realizado por Moreno Díaz [Mor93], un Filtro de Newton es el resultado en cascada de unos procesos S(+) y R(-) expresados por N(Am, Dn. ...) donde "m" es el orden del proceso aditivo (número de filas suma) y "n" es el orden de la diferencia (numero de filas diferencia). Por ejemplo, el filtro N(A2,D2) se obtiene por la aplicación de las reglas: Una clase de transformaciones. son las denominadas transformaciones globales generadas a partir de Filtros de Newton de anchura fija. Se define la Anchura de un Filtro de Newton, N(An,Dm), como el número total de componentes del filtro:n+m+ l. Dado un número natural L>= 1, existen L Filtros de Newton. Veamos el conjunto de Filtros de Newton de una cierta anchura determinada, L, como un conjunto de vectores L-dimensionales: Antecedentes en Transformaciones de Imágenes ... NL1 = N(A 1 ,Dn1) NL = N(Dn) donde L=n+l . Las componentes de esos vectores se puede expresar como: para el primer vector. Para el segundo. la componente k-ésima vendrá dada por: con k=O ... n-1, obtenemos los primeros n elementos. El elemento n+l es (-1)'"=-1 Convenimos que: si b<O o si b>a. De esta forma, para el tercer vector: Antecedentes en ~ransformaciones de Imágenes donde k=O ... n1 con las convenciones anteriores y el último elemento (- 1)3+'=1, y la késima componente del vector i queda: E clf]~-i] j k-j con k=O ... nl. donde la última componente del vector es (- 1)"' e i#L. Para el ultimo vector tendremos: con k=O..n. Ejemplos: 1.- Para L=2 formamos los filtros N(A1) y N(D1): 2.- Para L=3, tenemos: Antecedentes en Transformaciones de Imágenes 3.- Para L=4 los vectores correspondientes a los filtros serán: Con los ejemplos anteriores, se puede formar las matrices cuyas filas son los correspondientes vectores de pesos de los Filtros de Newton. Dichas matrices son cuadradas y las llamaremos Matrices de Newton. De esta forma, siguiendo con los ejemplo, la Matriz de Newton de orden 2 es: y la de orden 3: y así sucesivamente. TRANSFORMACIONES FOVEALES GENERALIZADAS Transformaciones Foveales Generalizadas 2.1 ANTECEDENTES Como se indicó en el Capítulo 1, un dominio puede estar caracterizado por distancias d,,. Consideremos los dominios tales que cada uno es caracterizable por una única distancia. Es decir, sea (D) un conjunto de M dominios Di, con distancias di. Estas distancias pueden ordenarse de menor a mayor y en caso de igualdad, por la proximidad al origen del menor elemento de D. Llamaremos C,a este criterio de ordenación. Según esto, una Transformación de Resolución Progresiva (TRP) es aquella en la que : a) (D) es independiente. b) { D) esta ordenado según un cierto criterio C,. C) (D) es completo. Por ejemplo, la transformación de Haar es una TRP. y las propiedades relevantes de dicha transformación se deben, en esencia, a que es TRP y no la forma de las funciones (o núcleos) empleados. Una clase particular de TRP's que están inspiradas en el "moving average", son las transformaciones denominadas "foveales", ya que para una retina, proporcionan ia máxima resolución "directa" en la parte central o "fóvea". La idea de TRP foveales parte del hecho de que en una partición completa global de una retina se puede jugar con los grados de libertad iniciales, para deducir, o imponer, campos receptivos o dominios independientes, a nuestra elección. La idea se ilustra imponiendo la existencia de todos los campos receptivos de una dimensión dada, d, sobre la retina, de forma que sean independientes. Para una dimensión dada, d, existen: Transformaciones Foveales Generalizadas CAPA PKOY ECCION ?E 1 1-1 subretina D=N-d+l dominios linealmente independientes. Estos D, aumentados con un número d1 de dominios linealmente independientes de dimensión 1 arbitrarios (es decir, dominios correspondientes a la transformación identidad), forman una TRP. Es decir: Dada una retina de N grados de libertad y una dimensión d<N arbitraria, existe una TRP formada por todos los dominios linealmente independientes de &memi& d, mis d-I d~)ni~ins ~nitnrins disthfos y nrbitrnrim Los N-d+l dominios de dimensión d son independientes, por construcción. Asimismo lo son los d-1 dominios unitarios distintos y arbitrarios. Seguidamente, formemos la matriz A, de NxN, por yuxtaposición de las matrices: Transformaciones Fovcales Generalizadas En este punto, proponemos una nueva transformación. de tal forma que la fóvea se pueda dirigir a cualquier punto del Campo de Datos. Llamaremos a esta transformación, Transformación Foveal Dirigida (TFD). Transformaciones Foveales Generalizadas 2-2 T~ANSFORMACION FOVEAL DIRIGIDA Al igual que la transformación foveal, la TFD está inspirada en el "moving average", con la diferencia que los dominios unitarios se pueden colocar en cualquier zona de la retina. Veamos un procedimiento para obtener la TFD. Vamos a definir primeramente, el número de subconjuntos de dominios de dimensiones diferentes que se van a admitir. A cada subconjunto se le denomina "capa de proyección". Sea K el número de tales capas, tales que el cardinal de cada capa es constante. Se tiene que cada cardinal es: N d = (ent) - K donde N representa los grados de libertad. Para la primera capa se tiene una dimensión (N-d+l) e iterativamente. para la capa i En general, si NK no es entero, la última capa proporciona una subretina de dimensión: Transformaciones Foveales Generalizadas Analicemos un ejemplo numérico. Consideremos una retina de N=128, con 4 capas de proyección (K=4). Se tiene que el cardinal de cada capa es: Es decir. cada subconjunto de dominios está formado por 32 elementos. y las de las subretinas: SUB, 971 =96 SUB, 65 - 1 = 64 SUB, 33 - 1 = 32 Si, por ejemplo, dirigimos la fóvea a la zona izquierda de la retina, la posición de las subretinas serían: SUB, --> posición 48 SUB, --> posición 32 Transformaciones Foveales Generalizadas SUB, --> posición 16 Gráficamente. observamos las 4 capas de proyección con la fóvea dirigida a la zona izquierda. 1 32 elcmcntos 497 - *: 1 I SUBR 1 Capa l clcm cntos 65 I 32 clcmcntos Capa 1 3 2 clcmcntos : unitarios ' - "fovca" La restricción de la posición de las subretinas (especificado por 1 y J) viene dada por ia expresión: siendo N los grados de libertad y K el número de capas de proyección. A continuación presentamos distintos ejemplos de la TFD aplicada a una misma imagen, donde hemos variado tanto la dirección de la fóvea como el número de capas. Al A continuación presentamos dos referentes a ia entropía de las imágenes anteriores y su correspondientes imágenes cinadas. Fhbnte, propone~d~s como trabajo firturo, la comparación detaíiada del método propuesto con disEintos métodos criptogrkiftcos existentes. Transfomaciones Foveaies Generalizadas 232 TFD como Meranismn de Atencirjn. Otro campo de aplicabilidad de la TFD es utilizarla para "captar la atención" del observador sobre alguna zona de la imagen. Se pretende resaltar algún objeto de la imagen de tal forma que el resto de la información quede difuminada (sin ninguna información aparente). Con la TFD, dirigimos la fóvea sobre el objeto a resaltar y aplicamos la transformación consiguiendo el objetivo marcado. Recuérdese que aunque la información parafoveal quede "distorsionada", con la TFD inversa recuperamos la imagen original en su totalidad. Ei método consistirá en io siguiente. En primer iugar, calcularnos el ceiiiro de gravedad del objeto. que corresponderá al punto de atención o centro de la fóvea. Para ello, utilizaremos como herramienta los Momentos, es decir, un conjunto de valores obtenibles de forma sistemática a partir de una función. Los momentos en el dominio discreto, que será nuestro caso, se definen como: Una de las propiedades de los momentos de bajo orden es que nos dan las coordenadas del centro de gravedad del objeto. así que estas pueden ser calculadas mediante las expresiones: Por tanto, la fovea la centramos en el punto (&,YG). Un vez determinado el centro de la fóvea, pasamos a calcular el tamaño de la Transformaciones Foveales Generalizadas 2.4 INCIDENCIA EN TEOR~A RXTINAL La Teoría de la Visión persigue fundamentalmente construir un marco teórico y practico para la explicación de la hción visual en seres vivos y sus posibles contrapartidas artificiales. En este sentido cae dentro de la Cibernética. entendida esta en el sentido original que le imprimió Norbert Wiener [Wie59]: ciencia que trata de los fenómenos de comunicación, control y proceso de información en máquinas y seres vivos. El sentido de la vista es, en muchas especies, el que procesa en bruto y aporta una mayor cantidad de información con significado sobre el entorno del individuo. siendo por tanto el que sirve en mayor medida de guía de conducta. La habilidad para discriminar parámetros o descriptores importantes y iocaiizar en qué parte de ia imagen se encüeniran es esezciz! para un sistema visual, tanto si es natural como si es artificial. Como queda desarrollado anteriormente, las Transformaciones Foveales Dirigidas, contempladas desde este punto de vista cibemético, se presentan como un primer paso en la modelización de los mecanismos de atención que rigen gran parte del proceso visual de los vertebrados superiores. El núcleo de la TFD es una variación del "moving average" que concentra la mayor resolución en una zona determinada de la imagen a la que se llama "fóvea" por razones obvias del paralelismo con el ojo. Originalmente, esta zona de mayor resolución se expandía a partir del centro geométrico de la imagen. En las TFD's, los dominios sobre los que la mayor resolución es guardada se pueden emplazar alrededor de cualquier punto de la imagen, a la vez que es posible elegir el tamaño de dicha zona foveal. En ia zona pxafo'v'eal, es p~sibk Uehii. trzmf~nnadas en las que el mantenimiento de resolución no sea un factor crítico. De esta manera, se entiende el papel de definir en zonas distintas de la imagen original estas transformaciones como el de una atractor de interés. Así, las zonas parafoveales extraerían información sobre un evento interesante, pero con pérdida de resolución, y una vez discriminado el evento, la fóvea se digiria y centraría en él para llevar a cabo un proceso mucho más detallado de ese fragmento de la imagen. La Transformaciones Foveales Generalizadas idea biológica subyacente es una cierta economía de cómputo: ningún sistema visual conocido mantiene fóveas grandes o que supongan un área mayor del 10% de la retina total [Lei9 11 [Tru65][Bon69] ya que el volumen de información a procesar y transmitir crecería dramáticamente, con lo que se necesitarían nervios ópticos mas complejos, más gruesos y muchas más conexiones neuronales en estadios intermedios del camino visual (dejando aparte otras consideraciones morfológicas que se escapan del objeto de esta discusión). Así pues, e! objetivo natural sería optimizar el volumen de información detallada a transmitir, optimización que tiene también su importancia en el caso de querer implementar eficientes mímesis artificiales de dichos sistemas y que representaría una reducción de complejidad computacional (entendida como número de operaciones sobre datos) de hasta un 70%. Otro aspecto interesante es el de la complitud. Utilizando una TFD. en principio, no se exigiría complitud a todo el conjunto de descriptores. sino sólo aquellos que actúan sobre la fóvea. El grado de complitud de una transformada nos da idea (y la posibiliad) de la recuperabilidad posterior de los datos originales a partir de los descriptores de la imagen y en los sistemas visuales naturales es independientes, en principio, del grado de resolución del sistema (el ojo humano no discrimina a nivel fotorreceptor sino a nivel textura1 [Ko190][Jun73], que implica la integración de la información procedente de un conjunto de fotorreceptores). REPRESENTACIONES DE IMÁGENES A PARTIR DE LAS TRANSFORMACIONES DE CAMPOS RECEPTIVOS Representación de Imágenes a partir de las Transformaciones de Campos Receptivos - - - - - -- -- 3.1 CAMPOS RECEPTIVOS Y FUNCIONALES En el capítulo 1, al presentar la codificación retinal, definimos el concepto de campo receptivo desde el punto de vista nafural como: El Campo Receptivo de una célula en una capa determinada es el conjunto de células de la capa anterior que le envía señales. Patiendo de esto. consideremos en este apartado un Campo de Datos D(N) de resolución R, y consideremos un conjunto L de Campos Receptivos independientes de las . /- i Ir\ P .r direcciones 1 i i= i ... iu J. csLe corijuiii~ püedc ~~preseiii~is~ por una matriz haria P,,, de N filas y L columnas tal que el elemento ik (k=1 ... L) es 1 si la dirección i está en el campo receptivo k, y O en otro caso. Los vectores verticales P,, (para cada k) son independientes en el sentido de que ninguno de ellos puede obtenerse por unión de los otros. Por ejemplo, la matriz Pi, correspondiente a una transformación de resolución progresiva, para N=L=8 es: Una configuración de campos receptivos para L=4, es por ejemplo, representable por la matriz: Representación de lmagenes a panir de las Transformaciones de Campos Receptivos Consideremos una subclase de campos receptivos de las direcciones i, donde cada dirección se toma, ai menos. una vez. De esta forma, ei cmipü recepiivu cubre iodu el campo de datos, es decir, no hay ninguna dirección desconsiderada. Esto puede observarse en las dos configuraciones de campos receptivos anteriores. En general, consideremos solamente configuraciones de este tipo, que llamaremos particiones P. Se plantea, entonces, la siguiente cuestión. Dada una partición P de un campo de datos de dimensión N, ¿Cuál es un conjunto de funcionales que actuando sobre las direcciones de cada campo receptivo dentro de la partición, genera una representación completa?. Un teorema propuesto por Bolívar [Bo189], indica que dado un campo de datos de N direcciones y una partición P de L columnas tal que M = N/L sea entero, entonces el cbmputc! de hn c~eficientes de filncinnali linealmente independientes y distintos de cero, en cada campo receptivo, proporciona una descripción completa del campo de datos. Sean los M vectores de "factores de peso" del funcional representados en una matriz de m filas y d columnas F, (i=l, ..., m;j=l, ..., d). , Representación de Imágenes a partir de las Transformaciones de Campos Receptivos Los vectores Fij (para cada i) son independientes por construcción. Consideremos la matriz P,, de campos receptivos: Construyamos la matriz. M, de transformaciones de N*N, por la "apiicacion" de cada vector del funcional a cada campo receptivo: F11 F21 . . . . . . Fml . ... . ... Pnl Representación de lmagenes a partir de las Transfonnaciones de Campos Receptivos a) Normalización frente a Traslaciones. Cuando se trabaja con imágenes que representan objetos aislados, una transformación que tiene especial interés es la traslación del objeto al origen de coordenadas. Para ello, se traslada el objeto hasta hacer coincidir su centro de gravedad con el centro de los ejes de coordenadas. Para calcular el centro de gravedad del objeto utilizamos como herramienta los Momentos de igual forma que como fueron utilizados en el apartado 2.3.2 de este trabajo. Es decir. el centro de gravedad del objeto vendrá determinado por: Por lo tanto, aplicando este tipo de transformación conseguimos que las imágenes sean invariantes frente a cualquier tipo de traslación de coordenadas. b) Normalización frente a Rotaciones. Para obtener invarianza frente a rotaciones de las formas se puede girar los ejes de coordenadas hasta hacerlos coincidir con los Ejes de Inercia de la forma, que son una pr~piedac! intrinseca de la misma y que, por tanto, la acompaña sea cual sea la situación relativa del objeto respecto al referencia1 de la cámara. Otro método, que es el utilizado en este trabajo por su mayor exáctitud y mayor velocidad de cómputo, consiste en calcular el ángulo de desfase como el formado por el vector que une el punto más alejado del contorno de la forma y el centro de gravedad de la Representación de Imágenes a partir de las Transformaciones de Campos Receptivos misma con respecto al eje horizontal. Este método sólo es válido es aquellos casos en que la forma no tenga ningún tipo de simetría respecto al centro de gravedad, ni respecto a los ejes cartesianos que pasan por él, como es nuestro caso. Para ello, calculamos el contorno del objeto, por ejemplo, siguiendo la técnica del Código de Cadena, que es la codificación de los contornos en base a las coordenadas del primer punto del contorno (X,,Y,) y de las posiciones relativas de cada punto respecto al anterior. Una vez obtenido el contorno, se localiza el punto más alejado de este (X,,Y,) con respecto al centro de gravedad de la pieza (X,,Y,). Por último. se gira el objeto hasta hacer coincidir la recta que une (X,,Y,) con (X,,Y,) con el eje X positivo de nuestro sistema de -:- -. 2 -ACrirmn Ir. ;m-rrn n~i~An nnrmal;7~Acl frente a fnt2rinn~~ reierencia y ue cala iuiiiiu ia iiiiua~Ál YU~UU UUIL~~~~~~~~~ ..,.---..---v. c) Normalización frente a Homotecias. Para conseguir invarianzas frente a homotecias, es decir, variaciones del tamaño de la forma, fijamos que la imagen normalizada tenga un área predefinida constante. Esto nos lleva a realizar dos tratamientos distintos: 1 .- Cuando el área predefinida es mayor que la de la imagen, existe una expansión del objeto apareciendo nuevos puntos. Ei procedimiento consiste en transforma la imagen de forma que a varios pixels de la imagen transformada le correspondan un único punto en la imagen original. 2.- Cuando el área predefinida es menor que la de la imagen, existe una compresión del objeto eliminándose puntos. El procedimiento consiste en realizar un enrejado en la imagen original y calcular para un punto transformado la media de los valores Representación de Imaeenes a partir de las Transformaciones de Campos Receptivos de una cuadrícula del enrejado. 3.2.3 Frases Descriptoras: Campos Receptivos y Funcionales. En este punto vamos a tratar la generación de las frases descriptoras que deben etiquetar a cada una de las clases que conforman las formas, tanto patrones como incógnitas. para su posterior reconocimiento. Para ello, partimos del valor de N (Grados de libertad o resolución del Campo de Datos). Para la elección de los valores de L (número de particiones) y d (grados de libertad . . dei Campo Receptivo). la u~iica resiricciüñ existente vime dada pvr !u ccüucion: siendo z el desplazamiento interparticiones. Esto quiere decir, que fijado el número de grados de libertad y el desplazamiento, obtenemos el número de particiones necesarias. Por último, llevamos a cabo el proceso de clasificación. Para ello hemos utilizado, de los distintos métodos de clasificación existentes, una versión modificada de la Distancia Euclídea. Esta distancia se define de la siguiente forma: Dada una frase descriptora incógnita D'(i) y un conjunto de frases descriptoras, correspondientes a cada una de las clases de la base de datos referencial, D(i,j), se define la distancia Euclidea modificada como: [~istancia u)]' =x[(D '(i) -~(ij)ll O Ew]Z Representación de Imágenes a partir de las Transformaciones de Campos Receptivos donde: EQ) = min (exponente {Dt(i)), exponente {D(i,j))) (i=l ,....., n) siendo n el número de elementos de las frases descriptoras. Una vez calculadas todas las distancias entre la frase descriptora incógnita y cada una de las frases descriptoras de las clases que componen la base de datos referencial, el sistema de inferencia asocia el patrón incógnita a aquella clase patrón cuya distancia al patrón incógnita sea mínima. 3.2.4 Estudio Experimental Estudio Preliminar Como punto de partida de este estudio, se realizó la adquisición de las 90 imágenes con una resolución de 128x128 pixels. teniendo, por tanto, un tamaño del Campo de Datos igual a 128. Se comenzó eligiendo los siguientes parámetros: Tamaño del Campo de Datos: N = 128 Grados de Libertad de cada Campo Receptivo: d = N/4 = 32 Desplazamiento Intercampo Receptivo: z = d12 = 16 e No rmpes P-ec~pti~~s: L. = 7 No de Funcionales por Campo Receptivo: Campo Receptivo 1,2,3,5,6,7: 18 Campo Receptivo 4: 20 Una vez elegidos estos parámetros, pasamos a seleccionar un conjunto de Representación de Imágenes a partir de las Transformaciones de Campos Receptivos La zona somhreada de la figura representa la región de los Campos Receptivos y el número total de ellos pero no la localización fisica exacta de cada uno de ellos. Al estar tratando un problema bidimensional, la representación del desplazamiento intercampo receptivo exigiría dos dimensiones adicionales, con lo cual su representación no es posible. Por ello hemos optado por la representación anterior donde la zona sombreada refleja aproximadamente la localización de los campos receptivos elegidos. Con los Funcionales y las Particiones señaladas, realizamos la última fase. Para ello, partimos del banco de imágenes tomando: 63 Imágenes Patrones. 27 imágenes incógnitas. y arrancamos el proceso de clasificación. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla donde se refleja los números de fallos producidos por cada una de las particiones y con cada funcional. Representacion de Imágenes a partir de las Transfomaciones de Campos Receptivos Para ttdim los resuftados obtétiidos, procedemos a reagruparlos en cuatro grupos distintos atendiendo a la configuraci6n "progresiva" de los campos receptivos: a) Campos Receptivos de Centro Creciente Simple. Corresponde a las particiones 3,s y 15. b) Campos Receptivos de Cetltro Creciente Compuesto. Corresponde a las particiones 12,13 y 14. Diagrama 1.2 - -- c) Campos Reoepfivos de Pderk Creciente Compuesto. Corresponde a las particiones 15,16 y 14. d) Campos Receptivos variados. Corresponde al resto de Iss particiones. Dlagrarna 1.4 Anslizando los redados, conchiimos que: 1) Existe un conjunto de co~guraciones o distribución de los Campos Receptivo5 que prodpcedl mejores resultado8 que otros para propósitos de ciasifiOElCión. Esto e&&a la rdevar#;irn de los campos meptiws ibte a los fúnoionales cíásicos. Esto puede comprobarse obxmmdo que la variabilidad de los campos receptivos versus fiincionales es m$s pequeña que los funcioilales versus campos receptivos. Las co&guraciones de los Campos Receptivos que produoen mejores resuItigdosmn~queengtobm~mnasdelaimagánquemmsls discriminantes, coma puede ser el contomo de la misma. 2) Un -o del &hem de descriptares produce una disminución en la eficiencia del sistema Mcadm. Posiblemente esto es debido al ruido inherente y al aumento de redundancia los ouales no son controíados en el campo de datos original. Conohiimos que e1 hecho importante no m el número de descriptores &o dónde y cómo son degidos. Seguidamente, realiPlmos el proceso de clasiñcación. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla donde se refhja los números de f'aiios producidos por cada una de las particiones y con cada hcioonal. Para analiznrr los resultados obtenidos, procedemos a reagruparlos nuevamente en dif'erentes grupos distintos atendiendo a la conñguración de los campos receptivos: a) Campos Receptivos de Centro Creciente Simple. Corresponde a las particiones 3,2y 1. Diagrama 3-1 1 e) Campos de P& Creciente Compue8to. Correspode a las partrci~ms 1,4,5 y 6. Representación de Imágenes a partir de las Transfomaciones de Campos Receptivos Analizando los resultados, concluimos que: 1) En general se observa la poca significancia de los resultados con estos nuevos hncionales. Recordamos nuevamente que la máxima significancia se encuentra en la elección adecuada del lugar de los Campos Receptivos. Influencia de ia dimensión del Campo Receptivo Otro parámetro que no hemos modificado hasta ahora es la dimensión del Campo r- ~eceptivo. En este caso, vamos a esiüdix que iiillüencia produce !a dis,niiir?iiciSn de! Campo Receptivo. Para ello tomamos los siguientes parámetros: Tamaño del Campo de Datos: N = 256 Grados de Libertad de cada Campo Receptivo: d = N/8 = 32 Desplazamiento Intercarnpos Receptivos: z = dJ2 = 16 No de Campos Receptivos: L = 15 No Funcionales por Campo Receptivo: Campo Receptivo 8: í 8 Resto de Campos Receptivos: 17 Los funcionales corresponden al caso anterior y los Campos Receptivos elegidos serían: Campos Receptivos Centro Creciente Simple, Centro Creciente Compuesto y Periferia Creciente Compuesta: Representación de Imágenes a partir de las Transfomaciones de Campos Receptivos Para analizar los resultados obtenidos, procedemos a reagruparlos nuevamente en diferentes grupos distintos atendiendo a la configuración de los campos receptivos: a) Campos Receptivos & Centro Creciente Simple. Cofirespwde a las particiones 7,6,5,4,3,2 y 1. b) Campos Reiptivos de Ceaüo Creciente Compuesto. Corresponde a la Particiones 15,16,17,18,19,20,14. e) Campos Receptivos de Paiarll Crecicmte Compuesto. Comqmnde a ias Particiones 1,8,9,10,11,12,13,14. Awhmb Los i'iltimog mdacios, rrs;lltamos mrcvammte h importancia dd iugar donde elegimos los Campos Reeqptivos. Representación de Imágenes a partir de las Transformaciones de Campos Receptivos Cnnclirsicmes de este apartado 1) Existe un conjunto de configuraciones o distribución de los Campos Receptivos que producen mejores resultados que otros para propósitos de clasificación. Esto enfatiza la relevancia de los campos receptivos frente a los funcionales clásicos. Esto puede comprobarse observando que la variabilidad de los campos receptivos versus funcionales es más pequeña que los funcionales versus campos receptivos. Dichas configuraciones de los Campos Receptivos que producen mejores resultados son aquellas que engloban las zonas de la imagen que son más discriminantes. como puede ser el contorno de la misma. 2) Corroboramos el hecho de que los momentos que proporcionan mejores resultados para propósitos de clasificación son los de bajo orden. 3) Al aumentar el tamaño del Campo de Datos, aumenta la eficiencia del sistema clasificador. 4) Un aumento del número de descriptores produce una disminución en la eficiencia del sistema clasificador. Posiblemente esto es debido al ruido inherente y al amer?te de redudmc.ia !m ciia!es no son controlados en el campo de datos original. Concluimos que el hecho importante no es el número de descriptores sino dónde y cómo son elegidos. 5) En general, el utilizar un tipo de funcional u otro no influye significativamente 90 Representación de Imágenes a partir de las Transformaciones de Campos Receptivos en !os resultados de la clasificación. 6) El tamaño del Campo Receptivo tampoco influ>,e significativamente en los resultados de la clasificación. Sin embargo, observando los resultados cuando se disminuyó el tamaño del campo receptivo, podemos enfatizar el hecho de la elección adecuada de los Campos Receptivos. Variabilidad de los Campos Receptivos. Cornplitud. Generación de Funcionales En este ejempio, tenemos 8 grados de iibertad y en media se ha cie computar 8í4 funcionales por columna. En este caso, nos llevaría a una representación completa. si la elección de los funcionales es apropiada. Es decir, tenemos que garantizar la independencia de los funcionales cuando se aplican a cada columna, no bastando que lo sea para una columna determinada. Por ejemplo, para la primera columna, podemos elegir distintos funcionales independientes: que a! ap!icar!ns a !a matriz, nos daría e! siguiente resultado: Variabilidad de los Campos Receptivos. Complitud. Generacion de Funcionales Se observa que al aplicarlos a la segunda columna los números que se obtienen no son independientes. Sin embargo. si elegimos dos funcionales que son independientes para la columna de menor dimensión. por ejemplo los de pesos: y se generan dos funcionales nuevos de dimensión el de la columna mas grande por yuxtaposición, es decir los: los números que se generan ya son independientes. La correspondiente matriz de tronnfnrmo~; 'n PP ll~ll~l~llllu~l~ll b.2: Variabilidad de los Campos Receptivos. Complitud. Generación de Funcionales tal que todos los vectores filas son independientes. La solución encontrada en este ejemplo ha sido posible porque el número medio de hncionales a calcular por columna de la partición es igual (o menor) a la resolución de la columna de menor dimensión. TEOREMA Sea un campo de datos de dimensión N. Sea una partición arbitraria P, de L columnas tal que a y b son las dimensiones de la columna de mayor y menor dimensión respectivamente, y se cumple además, a>=NIL> 1. En estas condiciones, un conjunto de n=N/L funcionales independientes. de longitud a yuxtapuestos hasta la longitud b, proporciona una transformación completa. La demostración del teorema se sigue con facilidad. En efecto, consideremos un conjunto {a) de n vectores linealmente independientes, por construcción, de dimensión a. Formemos la matriz de transformación T de la siguiente manera: 1) Se yuxtaponen las componentes de cada vector de {a) hasta lograr vectores de Variabilidad de los Campos Receptivos. Complitud. Generación de Funcionales dimensión (b), en tita! n. 2) Se completan los vectores de (a) hasta la dimensión b (b-a lugares) con ceros. Es obvio que el conjunto de los 2n vectores (2n<b) son linealmente independientes. 1 Variabilidad de los Campos Receptivos. Complitud. Generacion de Funcionales Un método sistemático para generar TRP's, consisten en hacer N particiones de la retina. independientes y ordenables. Estas particiones pueden representarse en una matriz de NxN. aonde cada fila representa uno de los N dominios de {DI. La partición más elemental es la Identidad, representable con 1 'S en la diagonal principal: En donde se puede observar que cumple las condiciones de TRP. Una forma de generar una TRP es tomar la identidad como generadora y proceder de la siguiente forma: a) Tomar los dominios Ii de 1 alternativamente el (1,, I,, 1,, ...), es decir N/2 elementos, para generar D,, Dz, ..., DN,2. P Variabilidad de los Campos Receptivos. Complitud. Generación de Funcionales . \ DJ Crear eiemenios. por unih de parejas consecuíivas. ioiiid~ las paiejas alternativamente (I,U17, I,UI,, I,UI,,, ...), generando los N/4 elementos siguientes. c) Crear elementos por unión de cuadmpietas consecutivas, tomando las cuadrupletas alternativamente (1 lU17U13U14, 19~~lo~~l ,UI,?, 1 17uI18uI 19U20), generando N/8 elementos. d) Proseguir hasta que se tome como único elemento la unión de todos los Ii (~lu~2u~3u....uIN). El nuevo conjunto {D) corresponde. en forma matricial a la siguiente matriz: ........ (1 o o o O 00) ... (00100.. 000) . N12 .......... .. (000010.. 000) (. .) (11000 .... .o001 (ooooiioo.. oooi N 14 ............. (. .) Este nuevo conjunto {D) es independiente y completo (y ordenable con el criterio C,), y por consiguiente es un {D} correspondiente a una TRP. Variabilidad de los Campos Receptivos. Complitud. Generacion de Funcionales En primer lugar, vamos a realizar un ejemplo ilustrativo suponiendo que el tamaño del campo de datos es N=8. Elegimos como funcional los de Haar y consideremos una partición (conjunto de campos receptivos) de tamaño 4 (L=4). -Según el teorema anterior. el número de funcionales a seleccionar será: Elijamos como funcionales los basados en la transformada de Haar: Generamos una partición siguiendo el método comentado anteriormente, cuyo resultado será: El último paso sería obtener la matriz de transformación. Por ejemplo tendríamos la siguiente matriz de transformación: Variabilidad de los Campos Receptivos. Complitud. Generacion de Funcionales Podríamos obtener distintas matrices de transformación. dependiendo del criterio de orcienacion que se utiiice. Siguiendo con el estudio, elegimos como funcionales los de Haar de longitud 2 (dm=3) y consideramos una partición de tamaño 128 (L=128) Los funcionales elegidos fueron: La pz~~icih resultante tendrá la siguiente composicion: Variabilidad de los Campos Receptivos. Complitud. Generación de Funcionales - -- 4.6 RASADOS EN LOS FILTROS nl NEWTON Una de las propiedades interesantes de los Filtros de Xewton es que el conjunto de vectores formado por los Filtros de Newton de una anchura determinada L son linealmente independientes. Esto es: Si A es la matriz de Newton de orden L. entonces: A*A = 2'--' 1, con L21 donde I es la matriz de indentidad. Sean los Filtros de Nenton de anchura L denotados como vectores: N,, N?, ..., N,. y formemos la correspondiente Matriz de Newton de dimensión LxL: Por lo anterior sabemos que A*A=2L-'I con lo que por propiedades de los determinantes: det(A*A) = det(A) det(A)=(2'-')' y de ahí: lo cual es distinto de cero para todos los posibles valores de L. De esta forma, si det(A) 114 Variabilidad de los Campos Receptivos. Complitud. Generacion de Funcionales La compresión de los datos de una imagen es una de las grandes áreas de investigación en proceso de imágenes. Por lo general, las imágenes vienen definidas en un rango de 256x256 o 5 12x5 12 pixels. Suponiendo que cada pixel es representado por 8 bits (correspondiendo a las variaciones del nivel de gris entre O y 255), esto representa 64K o 256K bytes de memoria. Sería deseable representar la información de la imagen con un menor número de bits y al mismo tiempo ser capaz de reconstruir una imagen que se asemeje lo más posible a la imagen original. La compresión de datos es aplicada principalmente en la transmisión y almacenamiento de la información. En las aplicaciones de transmision, las técnicas de compresión son obiigadas por ias consicieraciones en tiempo real que limitan el tamaño y la complejidad del hardware. En las aplicaciones de almacenamiento, los requerimientos son menos estrictos, ya que la mayoría de los procesos se realizan offline. Existen múltiples técnicas que llevan a cabo distintas compresiones de imágenes. En este punto proponemos una nueva técnica de compresión de imágenes basada en lo expuesto anteriormente. Filtros de Newton. Partamos de la siguiente transformacion: Como puede observarse, ai Ilm a cabo una mayor compresi6r1, se obtiene un peor resultado a la hora de realizar la reconstrucción de la imagen. Para medir la calidad de la imagen hemos calailado, m primer bar, y de entre las distiatas medidas que el error udrático medio que existe entre la imagen original y las distintas imágenes reconstruidas. En el siguiente diagrama se muestra el resuttado de estas medias: Error Cuadratico Medio A Fa la década de los 40, Shannon publicó su hoso paper "A rnathematical Theory of Infoxmationn Isba491 que habría la puerta d anatisis ~~ de fas íúentes de datos y a los sistemas de tmmmisi6a La base de su teoría esm'ba en el concepto de entropía, que mide la cantidad de informacih de un mensaje y especifica el número mfnimo de bits por pixel necesarios para dcar completamente una imagen. En el siguiente diagrama representamos la entropía dculada a las imágenes reconstruidas anteriwte: CONCLUSIONES Y PRINCIPALES APORTACIONES Referencias Bibliograficas [Rov92] Rovaris Romero. Eduado: Imágenes. Muestreo y Computación Distribuida de tipn Neiirnna!. Hacia un Enf~qw Unificadn. Tesis Dmtma!. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, 1992. [S ha491 Shanonn C.: A mathematical theory of information. 1949 [Tru65] Truex. Carpenter: Human Neuroanatomy. Williams and Wilkins. New York. 1965 [Wie58] Wiener N.: Nonlinear problems in random theory. MIT Press, Cambridge, Mass 1958. [Wie59] Wiener N.: Cybernetics. MIT Press. 1959.