Estudios elastoplásticos mediante FEM de probetas de fatiga biaxial a bajo número de ciclos

Proyecto de F Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Estudios elastoplásticos mediante FEM de probetas de fatiga biaxial a bajo número de ciclos Autor: Javier Miguel Juliá Lerma Tutor: Alfredo Navarro Robles Dep. Escuela Técnica Superior de Ingeniería i de F in de Grado Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Estudios elastoplásticos mediante FEM de probetas de fatiga biaxial a bajo número de ciclos Javier Miguel Juliá Lerma Alfredo Navarro Robles Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017 Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Estudios elastoplásticos mediante FEM de probetas de fatiga biaxial a bajo número de ciclos ii iii Trabajo de Fin de Grado Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Estudios elastoplásticos mediante FEM de probetas de fatiga biaxial a bajo número de ciclos Autor: Javier Miguel Juliá Lerma Tutor: Alfredo Navarro Robles Catedrático de Universidad Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2017 iv v Proyecto de Fin de Grado: Estudios elastoplásticos mediante FEM de probetas de fatiga biaxial a bajo número de ciclos Autor: Javier Miguel Juliá Lerma Tutor: Alfredo Navarro Robles El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2017 El Secretario del Tribunal vi vii Agradecimientos Considero la ingeniería una rama donde el apoyo mutuo es esencial, por ello han sido muchas las personas que, directa o indirectamente han hecho posible la realización de este trabajo, que representa el final de un ciclo importante en mi vida. En especial he de agradecer a mi tutor, Alfredo Navarro Robles, por su dedicación y paciencia en la aclaración de las cuestiones surgidas durante la realización del trabajo, así como por responderme a través de todas las plataformas. También, agradecer la ayuda prestada a José Antonio Balbín Molina y a la Dra Esther Reina Romo en la profundización del manejo del programa Abaqus, esencial para la realización de este trabajo. Mis más sinceros agradecimientos a mis compañeros de curso, tanto a los que por estas fechas terminan este ciclo como a los que no lo consiguieron o a los que les queda un tiempo aún. Muchas gracias a todos por hacerme sentir uno más y por la ayuda que, entre todos, nos hemos prestado. Agradecer a mi familia el apoyo incondicional que siempre me han proporcionado. Sin ellos no habría sido posible terminar este ciclo, no solo por el ya sabido aspecto económico, sino también por estar conmigo en los momentos en los que les he necesitado. Para finalizar, dar las gracias a todo el profesorado que ha intervenido en mi vida, desde los profesores del colegio y el instituto hasta los de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería. Gracias por transmitirme sus conocimientos y experiencias y por formarme como persona y como estudiante. Sin todos ellos no hubiera nunca conseguido llegar a realizar este trabajo ni a terminar este ciclo. Muchas gracias a todos. Javier Miguel Juliá Lerma Sevilla, 2017 viii ix Resumen Es un hecho que eventualmente se superan barreras tecnológicas que parecían imposibles. Para ello se lleva a la ciencia hasta límites impensables años atrás. El ser humano actual no tiene habilidades superiores a los anteriores, simplemente ha focalizado su conocimiento en diseñar herramientas que faciliten el desarrollo de otras, disparando así la progresión en el ámbito de la tecnología. Un ejemplo claro es el Método de los Elementos Finitos, que hace posible la obtención de resultados de problemas complejos de ingeniería de manera más rápida y exacta que si fueran resueltos manualmente mediante métodos simplificativos. En este documento se desarrolla un estudio elastoplástico ante cargas biaxiales mediante elementos finitos de un eje entallado empleado en multitud de estudios sobre vida a fatiga a lo largo de la historia. El principal objetivo es obtener un modelo de elementos finitos que pueda ser utilizado por el departamento de Ingeniería Mecánica y Fabricación de la Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla para cualquier propósito. Los modelos se han diseñado con el programa comercial Abaqus y para la realización de los análisis se ha requerido del empleo de otros programas como Matalb, Microsoft Excel y Catia. Durante el desarrollo del documento se ha pretendido, además, detallar el funcionamiento y manejo de Abaqus, con el objetivo de que pueda servir de guía al lector a la hora de realizar algún análisis similar. xvi Figura 5.4: Resultante en una sección intermedia y en la tapa superior ante un flector de 1500 Nm en el modelo HS. .................................................................................................................. 38 Figura 5.5: Resultante en una sección intermedia ante un torsor de 2000 Nm en el modelo HS. ..................................................................................................................................................... 39 Figura 5.6: Resultante en una sección intermedia y en la base ante un torsor de 2000 Nm en el modelo HS. .................................................................................................................................. 40 Figura 5.7: Resultante en la tapa superior ante un flector de 2400 Nm en el modelo J. ............. 40 Figura 5.8: Resultante en la tapa superior ante un torsor de 2000 Nm en el modelo J. .............. 41 Figura 5.9: Resultante en la tapa superior y en la base ante un flector de 2400 Nm en el modelo J. .................................................................................................................................................. 42 Figura 5.10: Resultante en la tapa superior, una sección intermedia y en la base ante un torsor de 3000 Nm en el modelo HS. ......................................................................................................... 43 Figura 5.11: Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo HS cargado con un momento torsor de 3000 Nm entre métodos de implementación de carga. ........................................................................................................................................... 44 Figura 5.12: Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo HS cargado con un momento flector de 1730 Nm entre métodos de implementación de carga. ........................................................................................................................................... 45 Figura 5.13: Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo J cargado con un momento flector de 2400 Nm entre métodos de implementación de carga. ........................................................................................................................................... 46 Figura 5.14: Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo J cargado con un momento torsor de 2000 Nm entre métodos de implementación de carga. ........................................................................................................................................... 46 Figura 5.15: Comparativa del espectro de color asociado al grado de plastificación (AC YIELD) en el modelo J cargado con un momento flector de 1730 Nm entre métodos de implementación de carga. ...................................................................................................................................... 47 Figura 5.16: Comparativa del espectro de color asociado al grado de plastificación (AC YIELD) en el modelo J cargado con un momento flector de 2400 Nm entre métodos de implementación de carga. ...................................................................................................................................... 48 Figura 5.17: Comparativa del espectro de color asociado al grado de plastificación (AC YIELD) en el modelo HS cargado con un momento torsor de 2000 Nm entre métodos de implementación de carga. ...................................................................................................................................... 48 Figura 5.18: Comparativa del espectro de color asociado al grado de plastificación (AC YIELD) en el modelo HS cargado con un momento torsor de 3000 Nm entre métodos de implementación de carga. ...................................................................................................................................... 49 Figura 6.1: Identificación de las aristas con números en el modelo HS particionado antes de mallar en Abaqus/CAE................................................................................................................ 57 Figura 6.2: Identificación de las aristas con números en el modelo J particionado antes de mallar en Abaqus/CAE. .......................................................................................................................... 61 xvii Índice de tablas Tabla 3.1: Puntos de la curva tensión – deformación del acero SAE 1045. ................................ 14 Tabla 6.1: Comparación de microdeformaciones en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) entre la tabla 6 del reportaje de J. W. Fash [1] y los resultados de los análisis realizados sobre el modelo F reconstruido. Cargas de torsión implementadas mediante fuerzas concentradas de modo genérico. ............................................................................................................................ 51 Tabla 6.2: Comparación de microdeformaciones en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) entre la tabla 6 del reportaje de J. W. Fash [1] y los resultados de los análisis realizados sobre el modelo F reconstruido. Cargas de flexión implementadas mediante fuerzas concentradas de modo genérico. ............................................................................................................................ 52 Tabla 6.3: Comparación de microdeformaciones en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) entre la tabla 6 del reportaje de J. W. Fash [1] y los resultados de los análisis realizados sobre el modelo F reconstruido. Cargas biaxiales de flexión – torsión implementadas mediante fuerzas concentradas de modo genérico. ................................................................................................. 52 Tabla 6.4: Comparación de microdeformaciones en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) entre los modelos F, HS y J ante cargas de torsión implementadas mediante fuerzas concentradas de modo genérico. ................................................................................................. 53 Tabla 6.5: Comparación de microdeformaciones en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) entre los modelos F, HS y J ante cargas de flexión implementadas mediante fuerzas concentradas de modo genérico. ................................................................................................. 54 Tabla 6.6: Comparación de microdeformaciones en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) entre los modelos HS y J ante cargas de torsión implementadas por ambos métodos, mediante Matlab y mediante Abaqus/CAE. ................................................................................................ 55 Tabla 6.7: Comparación de microdeformaciones en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) entre los modelos HS y J ante cargas de torsión implementadas por ambos métodos, mediante Matlab y mediante Abaqus/CAE. ................................................................................................ 56 Tabla 6.8: Número de semillas (seeds) dispuestas en cada arista del modelo HS previo al mallado y número elementos C3D20R, C3D15 y totales según el nivel de densidad de malla establecido. .................................................................................................................................. 58 Tabla 6.9: Estudio de densidad de malla para el modelo HS ante una carga de flexión de 1730 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 12 cuyas coordenadas son (0 ; - 0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación ε33 máxima. ..................................................................................................................................................... 59 Tabla 6.10: Estudio de densidad de malla para el modelo HS ante una carga de flexión de 2400 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 12 cuyas coordenadas son (0 ; - 0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación ε33 máxima. ..................................................................................................................................................... 59 Tabla 6.11: Estudio de densidad de malla para el modelo HS ante una carga de torsión de 2000 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 12 cuyas coordenadas son (0 ; - 0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación γ13 máxima. ..................................................................................................................................................... 59 xviii Tabla 6.12: Estudio de densidad de malla para el modelo HS ante una carga de torsión de 3000 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 12 cuyas coordenadas son (0 ; - 0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación γ13 máxima. ..................................................................................................................................................... 60 Tabla 6.13: Número de semillas (seeds) dispuestas en cada arista del modelo J previo al mallado y número elementos C3D20R, C3D15 y totales según el nivel de densidad de malla establecido. ..................................................................................................................................................... 62 Tabla 6.13: Estudio de densidad de malla para el modelo J ante una carga de flexión de 1730 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 24 cuyas coordenadas son (0 ; - 0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación ε33 máxima. ..................................................................................................................................................... 62 Tabla 6.14: Estudio de densidad de malla para el modelo J ante una carga de flexión de 2400 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 24 cuyas coordenadas son (0 ; - 0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación ε33 máxima. ..................................................................................................................................................... 63 Tabla 6.15: Estudio de densidad de malla para el modelo J ante una carga de torsión de 2000 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 24 cuyas coordenadas son (0 ; - 0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación γ13 máxima. ..................................................................................................................................................... 63 Tabla 6.16: Estudio de densidad de malla para el modelo J ante una carga de torsión de 3000 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 24 cuyas coordenadas son (0 ; - 0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación γ13 máxima. ..................................................................................................................................................... 63 Tabla 6.17: Comparación de resultados de los modelos HS y J con los obtenidos por J. W. Fash en su reportaje [1] para cargas de flexión. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo cuyas coordenadas son (0 ; -0,02 ; 0,045) , las deformaciones principales y la deformación ε33 máxima. .................................................................................................................................. 65 Tabla 6.18: Comparación de resultados de los modelos HS y J con los obtenidos por J. W. Fash en su reportaje [1] para cargas de flexión. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo cuyas coordenadas son (0 ; -0,02 ; 0,045) , las deformaciones principales y la deformación γ13 máxima. .................................................................................................................................. 65 xix Notación M Momento flector T Momento torsor S Tensión nominal ν Coeficiente de Poisson E Módulo de Young ε Deformación εeq Deformación equivalente εimax Deformación máxima de la componente i εpi Deformación principal i (con i = 1, 2 ó 3) γ Deformación por cortante σ Tensión σn , τn Tensiones nominales de la sección σvm Tensión de Von Mises τ Esfuerzo cortante sen Función seno cos Función coseno Subíndices 1, 2, 3 Tensiones, deformaciones principales e Magnitudes elásticas eq Magnitudes equivalentes xx 1 1. Introducción La resolución de los problemas de ingeniería es fruto de la unión de varios campos de la ciencia de las que emanan diversas ecuaciones que, en muchas ocasiones, pueden llegar a ser muy difíciles de resolver. Un ingeniero, además de resolverlas, ha de interpretarlas para comprender el comportamiento del sistema analizado. Para ello, desde los comienzos de la ingeniería hasta hoy en día, se han empleado modelos simplificados que han dado resultados muy correctos. Sin embargo, la tecnología avanza a pasos agigantados y cada vez se requieren cálculos más precisos para llevar la ciencia al límite. Uno de los avances tecnológicos más importantes en la historia moderna fue el descubrimiento de la computación ya que resultó ser el pistoletazo de salida hacia el desarrollo tecnológico tal y como hoy lo conocemos, rápido, global y sin aparentes límites. Gracias a la evolución de la computación se han llegado a construir métodos numéricos avanzados capaces de resolver problemas de gran dificultad en minutos, facilitando así la labor de los ingenieros. Uno de ellos es el Método de los Elementos Finitos (MEF), introducido por Richard Courant en 1943 y desarrollado y optimizado por diversos científicos durante la segunda mitad del siglo XX y que, en la actualidad, sigue evolucionando. Abaqus es un conjunto de programas de simulación que aplican el método de los elementos finitos para resolver multitud problemas de índole ingenieril. La combinación de los 4 programas hace posible diseñar modelos, calcular las ecuaciones y visualizar los resultados de problemas tan diversos como los presentes en el campo de la mecánica de fluidos, la acústica, la energía y por su puesto la mecánica de sólidos. Los programas que forman el conjunto de Abaqus son Abaqus/CAE, Abaqus/Standard, Abaqus/Explicit y Abaqus/CFD. Abaqus/CAE es empleado para el modelado y la visualización de los resultados. Abaqus/CFD es un complemento de Abaqus/CAE para mejorar el preproceso y el postproceso cuando se estudian problemas en el ámbito de la dinámica de fluidos. Abaqus/Standard y Abaqus/Explicit son los simuladores que resuelven las ecuaciones que rigen la evolución del modelo. El objetivo de este documento es obtener un modelo de elementos finitos elastoplástico de un eje entallado muy común en los estudios de vida a fatiga realizados durante la historia. Para ello, se parte del reportaje “An evaluation of damage development during multiaxial fatigue of smooth specimens” [1], donde James Walter Fash presenta, entre otros, un modelo primitivo en Abaqus del mismo eje entallado que se quiere modelar. Primero se reconstruye dicho modelo y a la par se diseñan dos modelos alternativos con mallas de mayor densidad y bastante distintas entre sí. Luego se diseña un método de implementación de cargas mediante cargas concentradas con ayuda del programa comercial Matlab que sigue el procedimiento llevado a cabo por J. W. Fash en su reportaje. También se cargan los modelos diseñados con otro método de implementación de cargas, mediante el propio Abaqus/CAE de modo que pueda comprobarse el correcto funcionamiento del otro método. Luego, se realiza un estudio de densidad de malla con el objetivo de obtener los mismos resultados con ambos modelos una vez converjan. Finalmente, comparan estos resultados con los que J. W. Fash presentaba en su reportaje [1]. Durante el desarrollo del documento se hace referencia a multitud de anexos ubicados en el CD-ROM adjunto donde se encuentran los ficheros en su formato original. Estos anexos se han presentado para que puedan ser utilizados, si se estima oportuno, en futuros trabajos que éste como punto de partida . Por lo tanto, salvo los cuatro anexos (A, B, C y D) del documento, los anexos citados no son necesarios para la co documento, por ello se sitúan en el CD 1.1 Introducción a Abaqus Además del objetivo citado previamente, se pretende a la par introducir al lector en el funcionamiento y manejo del programa Abaqus, ya que la inmensa may realizado ha sido por medio de dicho programa. En Abaqus un análisis está formado por 3 pasos claramente diferenciados tal y como se muestra en la figura 1.1 . Primero el usuario realiza un preproceso por medio de Abaqus/CAE o de otro software similar y al finalizar esto, se genera un fichero . segundo lugar Abaqus realiza la simulación a través de Abaqus/Standard o de Abaqus/Explicit generando unos ficheros de salida. Finalmente estos ficheros de salida qu resultados de la simulación se pueden visualizar con el propio Abaqus/CAE o con otro software. Figura 1.1: Esquema de funcionamiento Abaqus. Fuente: Elaboración propia. Los ficheros de salida más importantes son los siguientes: • Fichero .odb → Para visualizar este archivo se emplea Abaqus/Viewer, que es el módulo “Visualization ” de Abaqus/CAE. Con este archivo se puede obtener gráficas y obserrvar los resultados del análisis con numerosas herramientas. • Fichero .inp → Al igual que el un archivo de salida. Es decir, si se ejecuta el análisis a través de Abaqus/CAE sin emplear un fichero .inp , uno de los ficheros de salida será el fichero . 2 presentado para que puedan ser utilizados, si se estima oportuno, en futuros trabajos que . Por lo tanto, salvo los cuatro anexos (A, B, C y D) del documento, los anexos citados no son necesarios para la co rrecta comprensión del documento, por ello se sitúan en el CD -ROM adjunto. 1.1 Introducción a Abaqus Además del objetivo citado previamente, se pretende a la par introducir al lector en el funcionamiento y manejo del programa Abaqus, ya que la inmensa may realizado ha sido por medio de dicho programa. En Abaqus un análisis está formado por 3 pasos claramente diferenciados tal y como se muestra . Primero el usuario realiza un preproceso por medio de Abaqus/CAE o de otro y al finalizar esto, se genera un fichero . inp con las instrucciones dadas. En segundo lugar Abaqus realiza la simulación a través de Abaqus/Standard o de Abaqus/Explicit generando unos ficheros de salida. Finalmente estos ficheros de salida qu resultados de la simulación se pueden visualizar con el propio Abaqus/CAE o con otro software. Esquema de funcionamiento Abaqus. Los ficheros de salida más importantes son los siguientes: Para visualizar este archivo se emplea Abaqus/Viewer, que es el módulo ” de Abaqus/CAE. Con este archivo se puede obtener gráficas y obserrvar los resultados del análisis con numerosas herramientas. Al igual que el fichero .inp se puede dar como archivo de entrada, también es un archivo de salida. Es decir, si se ejecuta el análisis a través de Abaqus/CAE sin emplear un , uno de los ficheros de salida será el fichero . inp que de haber sido usado habría presentado para que puedan ser utilizados, si se estima oportuno, en futuros trabajos que tomen . Por lo tanto, salvo los cuatro anexos (A, B, C y D) situados al final rrecta comprensión del Además del objetivo citado previamente, se pretende a la par introducir al lector en el funcionamiento y manejo del programa Abaqus, ya que la inmensa may oría del trabajo En Abaqus un análisis está formado por 3 pasos claramente diferenciados tal y como se muestra . Primero el usuario realiza un preproceso por medio de Abaqus/CAE o de otro las instrucciones dadas. En segundo lugar Abaqus realiza la simulación a través de Abaqus/Standard o de Abaqus/Explicit generando unos ficheros de salida. Finalmente estos ficheros de salida qu e contienen los resultados de la simulación se pueden visualizar con el propio Abaqus/CAE o con otro software. Para visualizar este archivo se emplea Abaqus/Viewer, que es el módulo ” de Abaqus/CAE. Con este archivo se puede obtener gráficas y obserrvar los se puede dar como archivo de entrada, también es un archivo de salida. Es decir, si se ejecuta el análisis a través de Abaqus/CAE sin emplear un que de haber sido usado habría 3 generado un análisis análogo. En este fichero se cuenta con la información de la malla diseñada en Abaqus/CAE además de con las propiedades del físicas del material, cargas, tipo de análisis etc... • Fichero .dat → Cuando se ejecuta un análisis con un fichero .inp se puede escoger qué variables se desea obtener en este fichero .dat y de qué elementos o nodos. Además en este archivo es posible ver mensajes de aviso o de error que hayan ocurrido durante el análisis además de otras características del mismo como son la duración, la complejidad del análisis en cuanto a número de elementos y nodos, las opciones empleadas etc... • Fichero .sta → En este archivo se monitoriza el proceso de análisis llevado a cabo. Se puede observar para cada incremento de tiempo el número de iteraciones dadas, el tiempo consumido en hacerlas, el tiempo total, si aparecen discontinuidades etc... Por lo tanto, como se ha comentado, para generar una simulación hay dos caminos distintos, indirectamente mediante Abaqus/CAE o directamente programando sobre el fichero .inp en el lenguaje de comandos de Abaqus. En el reportaje de J. W. Fash, se presenta el modelo de Abaqus del eje en un fichero .inp en el anexo B, por lo tanto, para comprender las órdenes ahí presentadas es necesario conocer el funcionamiento, la estructura y el propósito de un fichero .inp en Abaqus. Un fichero .inp consta de dos partes, la zona de datos de modelado y la zona de datos de historia (model data y history data). Estas dos partes no están divididas por nada, es una forma de ordenar el documento en la zona de definición del modelo (geometría de la malla, material, secciones, tipos de elementos de la malla...) y la zona de definición del tipo de análisis o lo que le ocurre al modelo (cargas, condiciones de contorno, tipo de simulación...). En el fichero habrá una serie de líneas de código y las hay de dos tipos: El primer tipo son las líneas de palabras clave (Keywords lines) son aquellas que señalan lo que se está definiendo. Comienzan por asterisco (*) y pueden ir seguidas de parámetros. Algunos parámetros son obligatorios para la palabra clave y otros opcionales. Mediante estos parámetros se seleccionan las diferentes características que se quieran variar o añadir al aspecto que controla la palabra clave. En ocasiones, las palabras clave requieren de una serie de líneas donde se de valores al aspecto representado por dicha palabra clave. Estas líneas son las denominadas líneas de datos (data lines) y contienen valores que es más sencillo listar que dar por parámetros como por ejemplo coordenadas de nodos, conectividades de elementos, propiedades del material... Cada dato va separado por una coma del siguiente y cuando una línea de datos termina con una coma significa que continúa en la línea siguiente. También es posible añadir comentarios dentro del fichero para mejor comprensión del usuario y para ordenar la información. Para ello se comienza la línea con dos asteriscos seguidos (**) y se continúa escribiendo el comentario propiamente dicho. Para editar un fichero .inp solo es necesario un editor de texto y la principal ventaja de realizar el análisis de este modo es la versatilidad del método, ya que para realizar varias simulaciones con condiciones distintas bastará con cambiar algunas líneas del fichero y ejecutarlo de nuevo. Por ejemplo, para realizar dos análisis cuya única diferencia es el valor del momento flector 4 aplicado, solo deberán cambiarse las líneas de datos correspondientes a la palabra clave *CLOAD, dejando el resto del fichero igual. Para cargar un archivo .inp al programa Abaqus para su simulación hay dos formas: La primera forma es desde Abaqus/CAE se puede acceder al árbol de comandos y pulsando con el botón derecho del ratón sobre Models seleccionar Import y escoger el fichero .inp a importar. Luego habrá que señalar el comienzo de la simulación desde el módulo Job de Abaqus/CAE y esperar a obtener los resultados de dicha simulación. La segunda forma es desde la pantalla de comandos (Abaqus Command), señalando el archivo a cargar y ejecutándolo a través de Abaqus con el comando abaqus j=nombrearchivo. Para poder realizar esta operación es necesario llegar al directorio donde esté situado el fichero empleando el comando cd para moverse entre carpetas. Una vez ejecutado directamente se irán obteniendo en dicho directorio los ficheros de salida de Abaqus/Standard o de Abaqus/Explicit. Para visualizar los resultados basta con abrir el archivo de extensión .odb con Abaqus/Viewer o con Abaqus/CAE en el módulo “Visualization”, comenzando así la etapa de postprocesado. Para trabajar con el fichero .inp se requiere de la definición de todos los nodos y conectividades de los elementos de la malla. Dichos aspectos pueden ser diseñados de cero, como J. W. Fash realizó en su reportaje [1] pero es una tarea complicada cuando se pretende obtener una malla de muchos elementos. 2. Reconstrucción malla de J. W. En este apartado se expone la información recogida del el reportaje development during multiaxial fatigue of smooth and notched specimens explica el proceso realizado para la obtención, en Abaqus, del modelo expuesto en dicho reportaje. A la malla del citado modelo se le denomin 2.1 Extractos del ‘report’ de J. W. Fash En algunas figuras, tablas y e geometría del eje, la explicación del modelo, la información sobre la malla y el fichero . modelo en Abaqus. La geometría del eje entallado a analizar se muestra en del eje es la entalla de 5 mm de radio, donde J. W. Fash foca Figura 2.1: Plano acotado del eje completo. Fuente: J. W. Fash “ An Evaluatio Notched Specimens” [1]. Sin embargo, para el modelo en Abaqus, J. W. Fash solo completo. Para ello, como se aprecia en la excluida del eje realizaba sobre la parte modelada del mismo. 5 Reconstrucción malla de J. W. En este apartado se expone la información recogida del el reportaje “An evaluation of damage development during multiaxial fatigue of smooth and notched specimens ” de J. W. Fash [1 explica el proceso realizado para la obtención, en Abaqus, del modelo expuesto en dicho reportaje. A la malla del citado modelo se le denomin ará de ahora en adelante “ 2.1 Extractos del ‘report’ de J. W. Fash En algunas figuras, tablas y e n los anexos A y B del citado documento [1] explicación del modelo, la información sobre la malla y el fichero . La geometría del eje entallado a analizar se muestra en la figura 2.1 . La principal característica del eje es la entalla de 5 mm de radio, donde J. W. Fash foca lizó el estudio en su reportaje. Plano acotado del eje completo. An Evaluatio n of Damage Development During Multiaxial Fatigue of Smooth and Sin embargo, para el modelo en Abaqus, J. W. Fash solo trabaja con una sección del eje completo. Para ello, como se aprecia en la figura 2.2 , se tiene en cuenta la acción que excluida del eje realizaba sobre la parte modelada del mismo. Reconstrucción malla de J. W. Fash evaluation of damage ” de J. W. Fash [1 ] y se explica el proceso realizado para la obtención, en Abaqus, del modelo expuesto en dicho “ malla F”. [1] se cuenta con la explicación del modelo, la información sobre la malla y el fichero . inp del . La principal característica lizó el estudio en su reportaje. Multiaxial Fatigue of Smooth and trabaja con una sección del eje , se tiene en cuenta la acción que la parte 12 Figura 3.1: Boceto (sketch) acotado de la sección del eje construido con Abaqus/CAE. Fuente: Elaboración propia. 3.1.2 Creación del eje en Catia A partir del plano representado en la figura 3.1 se ha creado un boceto del eje para después revolucionarlo entorno a una arista. El eje en tres dimensiones se puede apreciar en la figura 3.2. Figura 3.2: Sección del eje construido con Catia en tres dimensiones. Fuente: Elaboración propia. 13 Sin embargo, con el objetivo de realizar modelos similares a los realizados por J. W. Fash en su reportaje [1], los nuevos modelos de Abaqus también van a ser de una sección del eje y no del eje completo. Por lo tanto, se crea un nuevo boceto (figura 3.3) y se revoluciona de nuevo, esta vez con las dimensiones de la sección de interés (figura 3.2). Figura 3.3: Boceto acotado de la sección del eje en Catia. Fuente: Elaboración propia. Guardando la geometría en formato .igs se puede importar a Abaqus desde Abaqus/CAE siguiendo esta secuencia de comandos: File → Import → Part... Es importante destacar que se debe aplicar a la geometría importada una escala de 10-3 para obtener las dimensiones en milímetros. Esto es posible realizarlo en el menú emergente resultante de la importación de una pieza. La escala es necesaria porque Abaqus lee solo números, obviando las unidades que aporta Catia, de modo que 100 mm para Catia corresponden a un número 100 en Abaqus y como se va a trabajar en unidades según el Sistema Internacional de Unidades habrá que aplicar la escala de milímetros a metros que corresponde a un factor de 10-3. 3.1.3 Creación del modelo en Abaqus Una vez se cuenta con la geometría cargada en Abaqus, es necesario pasar por los módulos “Property” y “Assembly” para definir el material de la pieza en el primero y para asignarle un ensamblaje dependiente o independiente al modelo. En el caso de haber obtenido la geometría en Abaqus/CAE, como se explica en el apartado 3.1.1, es necesario orientar la pieza en el módulo “Assembly” mediante el empleo de las opciones “Translate instance” y “rotate instance”. Con estos cambios de orientación se consigue poner la pieza del mismo modo que J. W. Fash realiza en su reportaje [1] e igual también que la orientación del modelo cuando la geometría es importada de Catia. El material es acero SAE 1045 cuyas propiedades, como hemos visto anteriormente, vienen ya definidas en el fichero .inp que J. W. Fash aporta en su reportaje. [3] Es un acero de aplicación 14 universal en la ingeniería y presenta un nivel medio de resistencia mecánica. Las propiedades especificadas en Abaqus/CAE son el Módulo de Young (E), el coeficiente de Poisson (ν), la densidad (ρ) y la curva tensión – deformación plástica dada por puntos. A continuación se muestran los valores de las citadas propiedades: 𝐸=2,02375∙10 𝑃𝑎 𝜈=0,3 𝜌=7780 𝑘𝑔/𝑚 La curva por puntos representada gráficamente es presentada en la figura 3.4. Los puntos seleccionados para la implementación en Abaqus/CAE se muestran en la tabla 3.1. Tabla 3.1: Puntos de la curva tensión – deformación del acero SAE 1045. σ (Pa) x 10-6 206,84 255,92 296,51 323,18 343,54 360,22 374,44 386,90 398,03 ε 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 408,12 417,35 425,89 433,83 441,27 448,27 454,89 461,17 467,14 472,85 0,0045 0,005 0,0055 0,006 0,0065 0,007 0,0075 0,008 0,0085 0,009 478,31 483,55 488,59 493,44 498,12 502,64 507,02 511,26 515,38 519,37 0,0095 0,01 0,0105 0,011 0,0115 0,012 0,0125 0,013 0,0135 0,014 523,26 527,04 530,72 534,31 537,82 541,24 544,58 547,85 551,05 554,18 0,0145 0,015 0,0155 0,016 0,0165 0,017 0,0175 0,018 0,0185 0,019 557,24 560,25 587,44 610,64 630,96 649,11 665,55 680,62 694,54 707,49 0,0195 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 0,05 0,055 0,06 Fuente: Elaboración propia a partir de los datos de J. W. Fash [1]. 15 Figura 3.4: Curva tensión – deformación del acero SAE 1045 empleado. Fuente: Elaboración propia. El hecho de que el modelo sea dependiente o independiente, en el caso de que la geometría esté importada de Catia, solo afectará a que el mallado se realice sobre la pieza o sobre lo que Abaqus denomina “Instance”. Esto implicará que las particiones necesarias para el proceso de mallado se harán en el módulo “Part” o en el módulo “Mesh” respectivamente. Esto implica que, en caso de haber obtenido la geometría en Abaqus/CAE, se requiere que el modelo sea dependiente, para poder así ejecutar el mallado sobre la pieza orientada adecuadamente. Tras estos primeros pasos se realiza la malla sobre la geometría en el módulo “Mesh”. Para poder mallar se requiere una o varias particiones de la geometría. Una partición es dividir cierta geometría en otras más sencillas que la primera, de modo que se facilite la adaptación de ésta a elementos pequeños. Para realizar las pariciones hay numerosas herramientas y no solo pueden particionarse volúmenes sino también aristas y superficies. Según el tipo de geometría obtenida al particionar será posible mallar de un modo u otro, a estos modos se les denomina técnicas de mallado. Para guiar al usuario durante el mallado en Abaqus/CAE se emplea el siguiente código colores en la pieza: Naranja: La geometría es demasiado compleja y debe ser particionada previamente. Verde: La geometría puede ser mallada de forma estructurada (structured). Amarillo: La geometría puede ser mallada por barrido (sweep). Rosa: La geometría puede ser mallada con estilo libre (free). Rosa claro: La geometría puede ser mallada de forma especial añadiendo parámetros del usuario (bottom-up). Cuando varias técnicas son posibles la pieza se torna de cualquiera de los colores cuya técn asociada es posible. Para elegir entre una u otra técnica se accede al menú “ categorías. En cada una existe el mismo código de colores pero se diferencian una de otra en el tipo de elemento que se emplea para realiza Hex : Elementos hexaédricos pero con cierta flexibilidad en caso de zonas complejas. Hex-dominated : Restringido a elementos hexaédricos en toda la malla. Tet: Elementos tetraédricos. Wedge: Elementos tipo cuña. En la figura 3.5 se puede observar el menú “ líneas anteriores: Figura 3.5: Recorte del menú “Assing Mesh Controls” de Abaqus/CAE. Fuente: Elaboración propia. Según el tipo de elemento elegido se podrá mallar con una u cada elemento tiene sus ventajas y sus desventajas en cuanto al coste computacional y a la precisión de los cálculos, sobre todo cuando éstos son muy complejos. En general los elementos hexaédricos ofrecen mejores resultados los elementos tetraédricos ofrecen resultados menos precisos pero con menor coste computacional. Tras elegir el tipo de elemento y la técnica de mallado se accede al menú “ se concret a más en el tipo de elemento a elegir. En este menú se debe elegir si trabajar con elementos lineales o cuadráticos, de integración reducida o no y otros muchos factores. Los elementos cuadráticos ofrecerán resultados más precisos que los lineales pero con computacional mayor. Los elementos de integración reducida permiten que el coste 16 Cuando varias técnicas son posibles la pieza se torna de cualquiera de los colores cuya técn Para elegir entre una u otra técnica se accede al menú “ Assing Mesh Controls categorías. En cada una existe el mismo código de colores pero se diferencian una de otra en el tipo de elemento que se emplea para realiza r la malla. : Elementos hexaédricos pero con cierta flexibilidad en caso de zonas complejas. : Restringido a elementos hexaédricos en toda la malla. se puede observar el menú “ Assing Mesh Controls ” que se ha explicado en las Recorte del menú “Assing Mesh Controls” de Abaqus/CAE. Según el tipo de elemento elegido se podrá mallar con una u otra técnica de mallado. Además cada elemento tiene sus ventajas y sus desventajas en cuanto al coste computacional y a la precisión de los cálculos, sobre todo cuando éstos son muy complejos. En general los elementos hexaédricos ofrecen mejores resultados a costa de un mayor coste computacional mientras que los elementos tetraédricos ofrecen resultados menos precisos pero con menor coste Tras elegir el tipo de elemento y la técnica de mallado se accede al menú “ Element type a más en el tipo de elemento a elegir. En este menú se debe elegir si trabajar con elementos lineales o cuadráticos, de integración reducida o no y otros muchos factores. Los elementos cuadráticos ofrecerán resultados más precisos que los lineales pero con computacional mayor. Los elementos de integración reducida permiten que el coste Cuando varias técnicas son posibles la pieza se torna de cualquiera de los colores cuya técn ica Assing Mesh Controls ” y aparecen 4 categorías. En cada una existe el mismo código de colores pero se diferencian una de otra en el : Elementos hexaédricos pero con cierta flexibilidad en caso de zonas complejas. ” que se ha explicado en las otra técnica de mallado. Además cada elemento tiene sus ventajas y sus desventajas en cuanto al coste computacional y a la precisión de los cálculos, sobre todo cuando éstos son muy complejos. En general los elementos a costa de un mayor coste computacional mientras que los elementos tetraédricos ofrecen resultados menos precisos pero con menor coste Element type ” donde a más en el tipo de elemento a elegir. En este menú se debe elegir si trabajar con elementos lineales o cuadráticos, de integración reducida o no y otros muchos factores. Los elementos cuadráticos ofrecerán resultados más precisos que los lineales pero con un coste computacional mayor. Los elementos de integración reducida permiten que el coste computacional descienda. Un factor muy importante a tener en cuenta cuando se malla con elementos distintos un mismo modelo es la compatibilidad entre elementos ya q compatibles entre sí. Por ejemplo, no es posible mallar una parte de la pieza con elementos tetraédricos y otra con elementos hexaédricos ya que no hay coincidencia posible entre los nodos al solapar ambas partes de la pieza. En la figura 3.6 se puede observar el menú “ Figura 3.6: Recorte del menú “Element type” de Abaqus/CAE. Fuente: Elaboración propia. Combinando todas las opciones comentadas pueden obtenerse numerosas mallas distintas. A continuación se muestran los paso diseñadas. 3.2 Particiones y malla HS La primera de ellas, denominada “HS” ha sido diseñada tratando de recrear la malla expuesta en el artículo “ Estimating multiaxial elastic loading” de Hoffmann y Seeger La segunda de ellas, denominada “J” ha sido diseñada desde cero, sin basarse en ninguna otra. Ambas han requerido unas particiones similares pero no las particiones realizadas para la obtención de dichas mallas. 17 computacional descienda. Un factor muy importante a tener en cuenta cuando se malla con elementos distintos un mismo modelo es la compatibilidad entre elementos ya q compatibles entre sí. Por ejemplo, no es posible mallar una parte de la pieza con elementos tetraédricos y otra con elementos hexaédricos ya que no hay coincidencia posible entre los nodos al solapar ambas partes de la pieza. se puede observar el menú “ Element type”: Recorte del menú “Element type” de Abaqus/CAE. Combinando todas las opciones comentadas pueden obtenerse numerosas mallas distintas. A continuación se muestran los paso s necesarios y las características que reúnen las dos mallas 3.2 Particiones y malla HS La primera de ellas, denominada “HS” ha sido diseñada tratando de recrear la malla expuesta Estimating multiaxial elastic -plastic notch st resses and strains in combined Hoffmann y Seeger [2] pero con mayor número de elementos. La segunda de ellas, denominada “J” ha sido diseñada desde cero, sin basarse en ninguna otra. Ambas han requerido unas particiones similares pero no idénticas. A continuación se muestran las particiones realizadas para la obtención de dichas mallas. computacional descienda. Un factor muy importante a tener en cuenta cuando se malla con elementos distintos un mismo modelo es la compatibilidad entre elementos ya q ue no todos son compatibles entre sí. Por ejemplo, no es posible mallar una parte de la pieza con elementos tetraédricos y otra con elementos hexaédricos ya que no hay coincidencia posible entre los Combinando todas las opciones comentadas pueden obtenerse numerosas mallas distintas. A s necesarios y las características que reúnen las dos mallas La primera de ellas, denominada “HS” ha sido diseñada tratando de recrear la malla expuesta resses and strains in combined La segunda de ellas, denominada “J” ha sido diseñada desde cero, sin basarse en ninguna otra. idénticas. A continuación se muestran 18 En la figura 3.7 se muestran las particiones realizadas para el diseño de la malla HS. Figura 3.7: Modelo HS particionado antes de mallar en Abaqus/CAE. Fuente: Elaboración propia. El orden de realización de las particiones no afecta al resultado final. Las particiones realizadas y cómo se han ejecutado con Abaqus/CAE son las siguientes: - Partición según el plano XZ = 0: Se ha realizado creando primero un plano de referencia con la herramienta “Create Datum Plane: Offset from Principal Plane” , eligiendo el plano XZ y añadiendo un offset igual a cero. Posteriormente, con la opción “Partition Cell: Use Datum Plane” se ha realizado la partición. - Partición según el plano YZ = 0: Se genera del mismo modo que la anterior con la salvedad de que previamente será necesario seleccionar las células que se quieren particionar, ya que tras la primera operación se cuenta ya con más de una célula. Por tanto, se seleccionan ambas células y se realizan los mismos pasos eligiendo esta vez el plano YZ. - Partición trasversal en z = 0,05 m: Se ha realizado empleando la opción “Partition Cell: Define Cutting Plane”, seleccionando todas las células que haya, eligiendo la definición del plano por 3 puntos y seleccionándolos directamente en la pieza. Para ello hay que tener en cuenta que la línea de z = 0,05 viene ya dibujada con la geometría de la pieza importada ya que dicha línea es la frontera entre dos superficies distintas, por lo que señalas dichos puntos no es difícil. - Partición cilíndrica coaxial con la probeta: Para realizar esta partición se requiere particionar una de las dos caras extremas y posteriormente extruirla hasta la otra cara extrema. Para realizar la partición de una superficie se emplea la herramienta “Partition Face: Sketch” y se seleccionan (manteniendo la tecla “shift” si hay varias) las caras que se quieren particionar. Puede ser que haya varias en caso de que se hayan realizado las demás particiones previamente, ya que en ese caso cada célula tendrá su superficie. Al usar esta herramienta Abaqus pide que se seleccione una arista para que sea mostrada de forma vertical y a la derecha del nuevo escritorio 19 que sale para poder dibujar sobre la superficie. Una vez en dicho escritorio se selecciona una circunferencia y se hace “click” primero en el lugar donde se quiere establecer el centro de la circunferencia y posteriormente se hace “click” en un punto del radio. Finalmente se selecciona la opción “Add dimension” para darle al radio de la circunferencia la dimensión deseada. En el diseño de la mala HS se ha elegido un radio de 0,004 m de modo que la circunferencia resultante sea bastante menor que la circunferencia de la superficie superior de la probeta. Una vez realizada la partición de la cara se extruye en dirección a la otra cara, para ello se emplea la opción “Partition Cell: Extrude/Sweep Edges”. Primero se seleccionan las células que se desea particionar (todas en el caso de este diseño), luego se seleccionan los ejes que se desea extruir, los cuales son los creados antes en la superficie y finalmente se selecciona la opción de extruir según una dirección, eligiendo una arista cualquiera perpendicular al plano XZ. Una vez realizadas estas particiones es posible elegir las técnicas de mallado. Para la malla HS se ha seleccionado la técnica estructurada con elementos hexaédricos en las zonas de color verde y la técnica de barrido con elementos tipo cuña para el cilindro coaxial de color amarillo en la figura 3.7. Finalmente se añaden las semillas denominadas “seeds” en Abaqus para elegir la densidad de malla. Dichas semillas deben establecerse en todas y cada una de las aristas del modelo y pueden disponerse según tamaño (distancia entre semillas) o según el número de semillas deseado. Estas semillas no solo pueden aplicarse de manera uniforme en la arista sino que hay diversas opciones como el “Bias” para tener mayor densidad de malla a un lado de la arista que en el otro de modo que se puede crear un modelo con cierta adaptabilidad entre zonas más densas y zonas menos densas. Inicialmente se ha elegido una densidad sin ninguna referencia, más adelante se realizará un estudio de la convergencia de los resultados atendiendo a las distintas densidades de malla. Un detalle importante a tener en cuenta para la realización de la malla HS es que el cilindro interior solo ha de tener 1 elemento en su radio de modo que solo haya un elemento tipo cuña por cada radio de cada circunferencia del cilindro. De este modo la malla HS queda según muestra la figura 3.8. En el CD-ROM adjunto se presenta el anexo F tanto en formato .inp como en formato .cae. Dichos ficheros contienen el modelo HS cargado a modo de ejemplo con un momento torsor de 2000 Nm implementado con el programa de Matlab genérico (apartado 4.1.1.2). 20 Figura 3.8: Malla del modelo HS en Abaqus/CAE. Fuente: Elaboración propia. Todos los elementos se han elegido cuadráticos por lo que la malla HS presenta 5152 elementos tipo cubo C3D20R y 608 elementos tipo cuña C3D15. El nombre o código asignado a cada tipo de elemento va asociado a las características que presenta. A continuación se comentan las asociaciones nombre-características sobre un ejemplo para un elemento C3D20R. C -3D – 20 – R C: Esta letra asocia el elemento a una estructura continua, es decir, un sólido deformable genérico. Este parámetro se entiende mejor al saber que otras letras son “S” para elementos tipo placa “Shell” o “B” para elementos tipo viga “Beam”, los cuales presentan características distintas. 3D: El elemento es tridimensional. 20: Es el número de nodos que tiene un solo elemento. Cuando el elemento es cuadrático tiene más nodos que cuando es lineal ya que cuando un elemento es cuadrático, como en este ejemplo, tiene nodos tanto en los vértices de la entidad geométrica como en mitad de las aristas, mientras que si es lineal solo tiene nodos en los vértices. Por ello en este ejemplo, que como se ha dicho es un elemento hexaédrico, se tienen tantos nodos como la suma de vértices (8) y aristas (12) de un cubo. R: Este espacio está reservado para tener “R” o no tenerla. Es decir, un elemento puede ser de integración reducida “R” o no, y ser por tanto de integración completa. La integración reducida permite reducir la potencia de cálculo necesaria para el análisis y además aproximar mejor los 21 resultados. Es decir, se obtienen resultados más precisos y con menor potencia de cálculo. Sin embargo los resultados con catastróficos a partir de cierto error. Otra desventaja que presenta en el caso de elementos lineales es que el elemento es más flexible por lo que se deforma más. Para los elementos cuadráticos, como el caso del ejemplo, aminora los posibles errores y hace mucho menos sensible el elemento a posibles distorsiones, pero añade cierto error cuando hay grandes desplazamientos y no es exacto cuando se desean analizar contactos. Presentada dicha caracterización de los elementos se pueden analizar los elementos elegidos. El elemento C3D20R, que es el mismo explicado en el ejemplo, no se tendrá ningún problema de exactitud en los resultados mientras no se realicen análisis de contacto o de grandes desplazamientos. Para el tipo de elemento cuña C3D15 no se tiene integración reducida porque no está disponible todavía en Abaqus pero al ser un elemento cuadrático salva las dificultades que tienen los elementos lineales en cuanto a la exactitud cuando hay momentos flectores aplicados, por lo que solo presentaría inexactitudes ante elementos con grandes distorsiones. 3.3 Particiones y malla J El diseño de la segunda malla, la malla J se ha hecho de forma similar. Las particiones realizadas se muestran en la figura 3.9. Figura 3.9: Modelo J particionado antes de mallar en Abaqus/CAE. Fuente: Elaboración propia. Las particiones realizadas son las mismas que en el caso de la malla HS salvo que no hay partición trasversal a z = 0,05 m y que el radio de la partición cilíndrica es considerablemente mayor, R = 0,012 m en este caso. Es importante destacar que a la hora de establecer las 28 En el anexo B se presenta el programa de Matlab empleado para la obtención de un momento torsor resultante en una malla cualquiera. Dicho anexo se encuentra tanto al final de este documento, en su correspondiente apartado, en formato de texto, como en el CD-ROM adjunto en formato .m para ser abierto directamente con Matlab. En la figura 4.2 se muestra gráficamente la distribución de cargas asignada para la obtención de un momento torsor de 2000 Nm en el modelo HS. Figura 4.2: Distribución de las fuerzas concentradas para originar un torsor en el modelo HS según el método general. Fuente: Elaboración propia. Tal y como se ha comentado anteriormente, se cargan todos los nodos simétricos que, en este caso, son todos los de la tapa superior. Los símbolos que aparecen en color naranja representan las condiciones de contorno establecidas en la base. Estas condiciones de contorno son restricciones de desplazamiento en las tres direcciones, dejando libres los tres grados de libertad asociados al giro. 4.1.2 Asignación particular según J. W. Fash En el modelo desarrollado por J. W. Fash en su reportaje [1] no se cargan todos los nodos de la tapa superior. Esta pequeña variación implica una notable diferencia en las cargas concentradas asignadas a cada nodo. Se diseñan programas adaptados a la restricción de Fash con el objetivo de comparar los resultados obtenidos con los representados en el reportaje de Fash de la forma más exacta posible. 29 4.1.2.1 Momento flector Para el momento flector se toman los nodos separados del cero según la coordenada “y” una distancia mínima de 3.9 mm. Por lo tanto, se omiten los nodos del 1644 al 1670 inclusive. (Véanse figuras 2.5 y 2.6). Al eliminar estos nodos, se debe destacar que la definición del factor de proporcionalidad aplica solo a los nodos cargados, por lo que el valor de alfa en este programa difiere del diseñado en el apartado anterior. 𝛼= 𝑀 ∑( 𝑦)   Donde ‘n’ es el número de nodos cargados. Al haber menos nodos cargados, el valor del factor de proporcionalidad es mayor por lo que las fuerzas concentradas obtenidas son ligeramente superiores en este programa que en el completo. Las condiciones que han de cumplirse son las mismas que en el apartado anterior. Cuando se emplea la malla F, como conocen los nodos a cargar, no se añade el filtrado de nodos simétricos. Sin embargo, en todos los programas se establecen varias comprobaciones de que no se añaden fuerzas o momentos secundarios. En el anexo C se presenta el programa de Matlab que genera las fuerzas concentradas distribuidas en los nodos de la tapa superior especificados por J. W. Fash en su reportaje, tal que la resultante es un momento flector. Dicho anexo se encuentra tanto al final de este documento, en su correspondiente apartado, en formato de texto, como en el CD-ROM adjunto en formato .m para ser abierto directamente con Matlab. En la figura 4.3 se muestra gráficamente la distribución de cargas asignada para la obtención de un momento flector de 1730 Nm en el modelo F. Figura 4.3: Distribución de las fuerzas concentradas para originar un flector en el modelo método específico. Fuente: Elaboración propia. Nótese como todos los nodos de la tapa superior cuentan con una componente según el eje ‘y’ mientras que solo los nodos dispuestos a cierta distancia del centro presentan carga según el eje ‘z’ par a establecer el momento flector resultante. 4.1.2.2 Momento torsor Para el momento torsor se tienen dos diferencias. La primera sigue siendo el hecho de que no se cagan todos los nodos de la tapa superior, pero a ésta se le añade la diferencia de que no dependencia de la distancia al centro de la sección, ‘r’. Es decir, J. W. Fash aplica del siguiente modo el torsor: Donde r = 0,017334 m que es el radio de la circunferencia que contiene a los nodos 1608, 1609, 1620, 1642... (Ver figura 2.5 ). Sin embargo, para la definición del factor de proporcionalidad ‘ distancia al centro de la sección del mismo modo que se realiza en el programa completo: 30 Distribución de las fuerzas concentradas para originar un flector en el modelo Nótese como todos los nodos de la tapa superior cuentan con una componente según el eje ‘y’ mientras que solo los nodos dispuestos a cierta distancia del centro presentan carga según el eje a establecer el momento flector resultante. Para el momento torsor se tienen dos diferencias. La primera sigue siendo el hecho de que no se cagan todos los nodos de la tapa superior, pero a ésta se le añade la diferencia de que no dependencia de la distancia al centro de la sección, ‘r’. Es decir, J. W. Fash aplica del siguiente 𝐹 󰇍 󰇍  =−𝑠𝑒𝑛(𝜑) cos(𝜑)∙𝑟∙𝛽 Donde r = 0,017334 m que es el radio de la circunferencia que contiene a los nodos 1608, 1609, ). Sin embargo, para la definición del factor de proporcionalidad ‘ β’ s í se tiene en cuenta la distancia al centro de la sección del mismo modo que se realiza en el programa completo: 𝛽= 𝑇 ∑( 𝑟)   Distribución de las fuerzas concentradas para originar un flector en el modelo F según el Nótese como todos los nodos de la tapa superior cuentan con una componente según el eje ‘y’ mientras que solo los nodos dispuestos a cierta distancia del centro presentan carga según el eje Para el momento torsor se tienen dos diferencias. La primera sigue siendo el hecho de que no se cagan todos los nodos de la tapa superior, pero a ésta se le añade la diferencia de que no se toma dependencia de la distancia al centro de la sección, ‘r’. Es decir, J. W. Fash aplica del siguiente Donde r = 0,017334 m que es el radio de la circunferencia que contiene a los nodos 1608, 1609, í se tiene en cuenta la distancia al centro de la sección del mismo modo que se realiza en el programa completo: 31 Debe tenerse en cuenta de nuevo que ‘n’ representa a los nodos de la tapa superior cargados. En este caso los nodos cargados son los que siguen un patrón radial, es decir, los 80 nodos situados a una distancia igual o superior al radio de la circunferencia más interna (r = 0,01333 m) de la figura 2.5. Este cambio implica que cada trío de nodos con el mismo ángulo ‘φ’ tienen el mismo valor asignado de fuerza concentrada. Para los nodos de la circunferencia interior se tendrá un valor de fuerza concentrada mayor que la obtenida con el programa anterior ya que se emplea una ‘r’ mayor. Para los nodos de la circunferencia virtual intermedia sí coincidirán los valores y para los de la circunferencia exterior los valores de las fuerzas concentradas obtenidas de este modo son menores que las obtenidas con el programa completo. Al igual que con el momento flector, las condiciones que han de cumplirse son idénticas a las del programa completo y durante el programa se realizan varias comprobaciones de que no se añaden fuerzas secundarias. En el anexo D se presenta el programa de Matlab que genera las fuerzas concentradas distribuidas en los nodos de la tapa superior especificados por J. W. Fash en su reportaje, tal que la resultante es un momento torsor. Dicho anexo se encuentra tanto al final de este documento, en su correspondiente apartado, en formato de texto, como en el CD-ROM adjunto en formato .m para ser abierto directamente con Matlab. En la figura 4.4 se muestra gráficamente la distribución de cargas asignada para la obtención de un momento torsor de 2000 Nm en el modelo F. Figura 4.4: Distribución de las fuerzas concentradas para originar untorsor en el modelo F según el método específico. Fuente: Elaboración propia. 32 Cabe destacar que sólo se han cargado los nodos de las tres circunferencias exteriores, como se ha comentado en este apartado. En este caso todas las fuerzas están contenidas en el plano de la tapa superior de modo que se origine un momento torsor resultante. 4.2 Mediante Abaqus/CAE La aplicación de cargas directamente desde Abaqus/CAE es notablemente más sencilla que la realizada anteriormente. Sin embargo, se requiere realizar algunos pasos en Abaqus/CAE como se explica a continuación. Aplicando las cargas de este modo no existe apenas diferencia en cuando a la aplicación de un momento flector o uno torsor más allá de la dirección de la carga. Las cargas se implementarán directamente como un momento de fuerzas en el centro de la tapa superior, acompañado de una fuerza concentrada también en el centro en caso de que se busque aplicar un momento flector. Para que toda la sección se comporte según la carga establecida en un solo punto de ella, es necesario crear una restricción en Abaqus que relacione el punto central con el resto de superficies que constituyen la tapa superior. El punto central se toma como punto de referencia empleando la herramienta “Reference Point” situada en la pestaña “Tools” de la barra horizontal superior de Abaqus/CAE. Tras realizar este paso, se crea una superficie constituida por las diversas superficies de la tapa superior (8 superficies en el caso de ambos modelos). Para acceder a esta opción se entra por la pestaña “Tools” de la barra de herramienta y se selecciona “Surface” → “Create surface”. Con estos ingredientes, se accede al módulo “Interaction” para crear una restricción (“Constraint”) del tipo “Coupling”. Este tipo de restricción permite asociar la evolución de una superficie a la de un solo punto, por lo que es la necesaria para los propósitos explicados. Se seleccionan las entidades creadas previamente siguiendo las instrucciones que el propio Abaqus/CAE facilita en la barra inferior y se selecciona el tipo “kinematic” como tipo de restricción “coupling” y se marcan los seis grados de libertad. Tras realizar esto serán visibles en pantalla una serie de trazas que salen del punto de referencia a las superficies asociadas. Una vez realizada la asociación, se crea el “Step” en el módulo con el mismo nombre. Un “Step” recoge la información acerca del análisis que se desea realizar, desde el tipo de problema hasta las variables que se desea obtener de salida. Se escoge la opción “Static general” porque el problema a resolver es estático y se aceptan las demás opciones por defecto. Tras realizar este paso se accede al módulo “Load” para cargar el nodo de referencia con momentos y con fuerzas concentradas si es necesario. Recordar que, como se explicó en el apartado anterior, para la aplicación de un momento flector será necesario un momento flector parcial de menor magnitud y un cortante, mientras que para la aplicación de un momento torsor bastará con establecer un momento en el centro de la misma magnitud que el objetivo a aplicar. Por ejemplo, para aplicar un flector total de 2400 Nm será necesario aplicar un flector parcial de 1600 Nm como momento en el punto de referencia y un cortante de 16000 N como fuerza concentrada en el punto de referencia. 33 De modo que: 𝑀=1600+(0,095−0,045)∙ 16000=2400 𝑁𝑚 Otros ejemplos, que se emplearán en análisis posteriores, son los siguientes: 𝑀=983,3+(0,095−0,045)∙ 9833,3=1475 𝑁𝑚 𝑀=1153,3+(0,095−0,045)∙ 11533,3=1730 𝑁𝑚 𝑀=1333,3+(0,095−0,045)∙ 13333,3=2000 𝑁𝑚 En la figura 4.5 se muestra lo visto en Abaqus/CAE tras establecer dichas cargas para un flector negativo en torno al eje X. Figura 4.5: Representación de la fuerza y el momento concentrados en el punto de referencia para equivaler a un momento flector, en Abaqus/CAE. Fuente: Elaboración propia. Para obtener un flector negativo los signos son los que se aprecian en la figura, la fuerza concentrada es positiva según el eje Y (dirección 2) y el momento concentrado es negativo y en dirección 1 (eje X). En el caso del momento torsor, solo se aplica un momento concentrado según la dirección del eje Z (dirección 3) y con sentido positivo o negativo según el momento torsor que se quiera aplicar. En el caso de los análisis mostrados en los siguientes apartados el torsor es negativo. Es importante destacar que al ser este método de aplicación uno íntegro de Abaqus/CAE, solo se puede aplicar a los modelos J y HS, ya que el modelo F fue obtenido a través del fichero .inp del anexo B del reportaje de J. W. Fash [1]. 34 35 5. Comprobaciones generales Se realizan a continuación una serie de comprobaciones mediante el empleo de algunas de las muchas herramientas que Abqus/CAE ofrece en el módulo “Visualization”. Con estas comprobaciones generales se pretende sobre todo averiguar si los dos métodos de implementación de cargas realizan su función correctamente. 5.1 Comprobación de cargas asignadas mediante Matlab Para comprobar si las cargas objetivo están siendo obtenidas de manera correcta se puede emplear la herramienta de corte de Abaqus/CAE. Para poder emplear esta herramienta debe seleccionarse como variable de salida NFORC además de las demás variables que se deseen. NFORC son las fuerzas en los nodos debidas a las tensiones de los elementos, de modo que se pueda obtener la resultante de todos los nodos de una sección cualquiera. Para ello se accede en el módulo “Step” a la denominada “Field Output”, donde se encuentran algunas de las variables de salida que Abaqus puede dar tras un análisis. Las demás variables se encuentran en otra ventana denominada “History Output”. La principal diferencia entre ambas ventanas es que en la “Field Output” se encuentran variables del tipo deformación, tensión, desplazamiento, fuerzas y reacciones, mientras que en el “History Output” las variables están más relacionadas con la energía y otras propiedades. Una vez ejecutado el análisis con la variable de salida NFORC seleccionada, se accede al módulo “Visualization” y se emplea la herramienta “Free Body Cut” desde la barra de opciones superior de Abaqus/CAE. Se crea un corte en las caras tridimensionales de los elementos y se obtienen las resultantes en dichas caras. Al seleccionar todos los elementos de una sección intermedia se obtiene la resultante en dicha sección. Se realiza esta comprobación para varias cargas en todos los modelos creados. A continuación se muestra una comprobación para cada uno de los modelos, tanto para momento flector como para momento torsor puros. 36 5.1.1 Modelo F En la figura 5.1 se presenta la resultante en una sección situada a una distancia ‘z’ igual a 0,05 m en el modelo F ante una carga de 1730 Nm de momento flector resultante: Figura 5.1: Resultante en una sección intermedia ante un flector de 1730 Nm en el modelo F. Fuente: Elaboración propia. Como se comentó en el apartado 4.1.1, el momento flector total es igual a un momento flector menor más un cortante proporcional a la distancia con la entalla, tal y como se muestra en la ecuación 2.1.2. Como la entalla está a una distancia ‘z’ del origen igual a 0.045m se tiene la siguiente ecuación: 𝑀=1672+(0,05−0,045)∙ 11530=1729,65 𝑁𝑚 Ya que el cortante en esta sección es 11530 N y el flector parcial es de 1672 Nm. El flector objetivo es 1730 Nm por lo que la aplicación de las cargas es correcta. Al igual que se ha observado una sección intermedia, pueden analizarse las resultantes en la base, es decir, las reacciones. En la figura 5.2 se muestran las resultantes en la base. Figura 5.2: Resultante en la base y en la tapa superior ante un Fuente: Elaboración propia. En las resultantes de la base el cortante se opone al flector menor y los sentidos de ambas cargas cambian. |𝑀 Como el flector objetivo es 1730 tanto en módulo como en sentido, tal y como se aprecia en la figura anterior. Como ejemplo de comprobación de la aplicación de un momento torsor de 2800 Nm en el modelo F se presenta la figura sección intermedia analizada en el caso del flector. Figura 5.3: Resultante en una sección intermedia ante un torsor de 2800 Nm en el modelo F. Fuente: Elaboración propia. 37 Resultante en la base y en la tapa superior ante un flector de 1730 Nm en el modelo F. En las resultantes de la base el cortante se opone al flector menor y los sentidos de ambas cargas |=2249 − 0,045∙ 11530=1730,15 𝑁𝑚 Como el flector objetivo es 1730 Nm, se observa que las reacciones también son las correctas tanto en módulo como en sentido, tal y como se aprecia en la figura anterior. Como ejemplo de comprobación de la aplicación de un momento torsor de 2800 Nm en el figura 5.3. E n ella se aprecia la resultante de fuerzas en la misma sección intermedia analizada en el caso del flector. Resultante en una sección intermedia ante un torsor de 2800 Nm en el modelo F. flector de 1730 Nm en el modelo F. En las resultantes de la base el cortante se opone al flector menor y los sentidos de ambas cargas se observa que las reacciones también son las correctas Como ejemplo de comprobación de la aplicación de un momento torsor de 2800 Nm en el n ella se aprecia la resultante de fuerzas en la misma Resultante en una sección intermedia ante un torsor de 2800 Nm en el modelo F. La probeta ensayada tiene como fundamental característica la entalla y es éste el detalle que la hace tan popular entre los estudios de vida a fatiga en ingeniería. Por ello en l situarse las tensiones y deformaciones máximas. Sin embargo, en algunas de las figuras del apartado 5.1 (Comprobación de cargas asignadas mediante Matlab) distribución de tensiones no es máxima en la entalla, sino las cargas. Pero con las cargas aplicadas mediante Abaqus/CAE, en el apartado 5.2, el espectro de colores sí tiene el sentido físico que se estima correcto. Esto hace pensar , a primera vista, superior para la generación de un momento flector o torsor muestran varias figuras comparando los espectros de color obtenidos en los mismos modelos para la misma fuerza pero con imple muestra a la izquierda el modelo cargado mediante Matlab y a la derecha el mismo cargado mediante Abaqus/CAE. En la figura 5.11 se muestra el modelo HS cargado para obtener un torsor de 3000 Nm. Figura 5.11: Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo HS cargado con un momento torsor de 3000 Nm entre métodos de implementación de carga. Fuente: Elaboración propia. Puede observarse como en el caso de las cargas implementadas por Matlab, la tensión de Von Mises máxima (indicada en la figura) se sitúa en el borde de la tapa superior y con una magnitud muy alta. Esto implicará con total seguridad plastificación en dicha implementación de las cargas Sin embargo, cuando las cargas se aplican mediante Abaqus/CAE la distribución de las tensiones de Von Mises son más parecidas a lo que se estima correcto se dan en la zona entallada como se indica en la figura. 44 La probeta ensayada tiene como fundamental característica la entalla y es éste el detalle que la hace tan popular entre los estudios de vida a fatiga en ingeniería. Por ello en l situarse las tensiones y deformaciones máximas. Sin embargo, en algunas de las figuras del (Comprobación de cargas asignadas mediante Matlab) , se puede observar como la distribución de tensiones no es máxima en la entalla, sino en la tapa superior, donde se aplican Pero con las cargas aplicadas mediante Abaqus/CAE, en el apartado 5.2, el espectro de colores sí tiene el sentido físico que se estima correcto. , a primera vista, que el empleo de fuerzas concentradas distribuidas en la tapa superior para la generación de un momento flector o torsor no es adecuado. A continuación se muestran varias figuras comparando los espectros de color obtenidos en los mismos modelos para la misma fuerza pero con imple mentaciones de las cargas distintas. En todas las figuras se muestra a la izquierda el modelo cargado mediante Matlab y a la derecha el mismo cargado se muestra el modelo HS cargado para obtener un torsor de 3000 Nm. Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo HS cargado con un momento torsor de 3000 Nm entre métodos de implementación de carga. Puede observarse como en el caso de las cargas implementadas por Matlab, la tensión de Von Mises máxima (indicada en la figura) se sitúa en el borde de la tapa superior y con una magnitud muy alta. Esto implicará con total seguridad plastificación en dicha zona y eso de este modo carezca de sentido cualitativamente. Sin embargo, cuando las cargas se aplican mediante Abaqus/CAE la distribución de las tensiones de Von Mises son más parecidas a lo que se estima correcto . Las tensiones máximas se dan en la zona entallada como se indica en la figura. La probeta ensayada tiene como fundamental característica la entalla y es éste el detalle que la hace tan popular entre los estudios de vida a fatiga en ingeniería. Por ello en l a entalla deben situarse las tensiones y deformaciones máximas. Sin embargo, en algunas de las figuras del , se puede observar como la en la tapa superior, donde se aplican Pero con las cargas aplicadas mediante Abaqus/CAE, en el apartado 5.2, el espectro concentradas distribuidas en la tapa A continuación se muestran varias figuras comparando los espectros de color obtenidos en los mismos modelos En todas las figuras se muestra a la izquierda el modelo cargado mediante Matlab y a la derecha el mismo cargado se muestra el modelo HS cargado para obtener un torsor de 3000 Nm. Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo HS cargado con un momento torsor de 3000 Nm entre métodos de implementación de carga. Puede observarse como en el caso de las cargas implementadas por Matlab, la tensión de Von Mises máxima (indicada en la figura) se sitúa en el borde de la tapa superior y con una magnitud zona y eso hace que la carezca de sentido cualitativamente. Sin embargo, cuando las cargas se aplican mediante Abaqus/CAE la distribución de las . Las tensiones máximas A pesar de lo comentado, si se observa detenidamente la asociación de colores en ambas imágenes, puede apreciarse que el color amarillo/verde del modelo cargado con Matlab tie valor asociado próximo al del ambos casos la zona entallada está sometida a una tensión de Von Mises aproximadamente 3,850 x 10 8 En la figura 5.12 se muestra el modelo H observa de nuevo que en el caso del modelo cargado mediante Matlab, las tensiones de Von Mises máximas se dan en el borde de la tapa superior con un valor de 3,877 para que plastifiqu e con total seguridad. Sin embargo, en la entalla de Von Mises aproximadamente igual a 2,9 cargado mediante Abaqus/CAE se da en la entalla y es igual a 2,625 Figura 5.12: Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo HS cargado con un momento flector de 1730 Nm entre métodos de implementación de carga. Fuente: Elaboración propia. En la figura 5.13 se muestra el modelo J sometido a un momento flector de 2400 Nm. Ahora la carga es muy superior a la mostrada en la figura anterior por lo que los valores de las tensiones resultantes también lo son y la tapa superior plastifica aún más en mediante Matlab. 45 A pesar de lo comentado, si se observa detenidamente la asociación de colores en ambas imágenes, puede apreciarse que el color amarillo/verde del modelo cargado con Matlab tie del color rojo del modelo cargado con Abaqus/CAE. Es decir, en ambos casos la zona entallada está sometida a una tensión de Von Mises 8 Pa. se muestra el modelo H S sometido a un momento flector de 1730 Nm. Aquí se observa de nuevo que en el caso del modelo cargado mediante Matlab, las tensiones de Von Mises máximas se dan en el borde de la tapa superior con un valor de 3,877 x 10 e con total seguridad. Sin embargo, en la entalla , se tiene un valor de tensión de Von Mises aproximadamente igual a 2,9 x 108 Pa. E l valor máximo obtenido en el modelo cargado mediante Abaqus/CAE se da en la entalla y es igual a 2,625 x 108 Pa. Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo HS cargado con un momento flector de 1730 Nm entre métodos de implementación de carga. se muestra el modelo J sometido a un momento flector de 2400 Nm. Ahora la carga es muy superior a la mostrada en la figura anterior por lo que los valores de las tensiones resultantes también lo son y la tapa superior plastifica aún más en el caso del mod A pesar de lo comentado, si se observa detenidamente la asociación de colores en ambas imágenes, puede apreciarse que el color amarillo/verde del modelo cargado con Matlab tie ne un color rojo del modelo cargado con Abaqus/CAE. Es decir, en del mismo orden, S sometido a un momento flector de 1730 Nm. Aquí se observa de nuevo que en el caso del modelo cargado mediante Matlab, las tensiones de Von x 10 8 Pa, suficiente , se tiene un valor de tensión l valor máximo obtenido en el modelo Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo HS cargado con un momento flector de 1730 Nm entre métodos de implementación de carga. se muestra el modelo J sometido a un momento flector de 2400 Nm. Ahora la carga es muy superior a la mostrada en la figura anterior por lo que los valores de las tensiones el caso del mod elo cargado Figura 5.13: Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo J cargado con un momento flector de 2400 Nm entre métodos de implementación de carga. Fuente: Elaboración propia. Se puede observar como la distribución de colores obtenida en el caso del modelo cargado mediante Abaqus/CAE es mucho más típica como respuesta ante un momento flector. embargo al igual que en los casos anteriores, la tensión en la entalla en ambos cas puede apreciar observando en detalle los valores asociados a los colores en cada caso. En ambos casos las tensiones de Von Mises En la figura 5.14 se muestra el modelo J sometido a un momento torsor de 2000 Nm. Figura 5.14: Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo J cargado con un momento torsor de 2000 Nm entre métodos de implementación de carga. Fuente: Elaboración propia. 46 Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo J cargado con un momento flector de 2400 Nm entre métodos de implementación de carga. Se puede observar como la distribución de colores obtenida en el caso del modelo cargado mediante Abaqus/CAE es mucho más típica como respuesta ante un momento flector. embargo al igual que en los casos anteriores, la tensión en la entalla en ambos cas puede apreciar observando en detalle los valores asociados a los colores en cada caso. En ambos las tensiones de Von Mises rondan los 3,5 x 108 Pa. se muestra el modelo J sometido a un momento torsor de 2000 Nm. Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo J cargado con un momento torsor de 2000 Nm entre métodos de implementación de carga. Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo J cargado con un momento flector de 2400 Nm entre métodos de implementación de carga. Se puede observar como la distribución de colores obtenida en el caso del modelo cargado mediante Abaqus/CAE es mucho más típica como respuesta ante un momento flector. Sin embargo al igual que en los casos anteriores, la tensión en la entalla en ambos cas os, como se puede apreciar observando en detalle los valores asociados a los colores en cada caso. En ambos se muestra el modelo J sometido a un momento torsor de 2000 Nm. Comparativa del espectro de color y del máximo de tensión de Von Mises en el modelo J cargado con un momento torsor de 2000 Nm entre métodos de implementación de carga. Esta figura se ha mostrado para tener así las ninguna novedad respecto a las demás. 5.4 Zonas afectadas por plastificación Mediante la observación del parámetro AC YIELD en el módulo “ las zonas que plastifican del modelo. se da plastificación o que esta es mínima, mientras que un valor uno o mayor indicará que existe cierta plastificación en dicha zona. plastif ica cuando las cargas se introducen mediante el programa de Matlab. El hecho de que la tapadera superior plastifique hace incoherente la aplicación de las cargas mediante Matlab ya que, cualitativamente carece de sentido la distribución de tensiones que origina. En la figura 5.15 se muestra como ejemplo una comparativa entre dos mismos modelos J cargados de distinto modo. Ambos sometidos a un Figura 5.15: Comparativa del espectro de color asociado al grado de plastificación ( modelo J cargado con un momento flector de 1730 Nm entre métodos de implementación de carga. Fuente: Elaboración propia. Se puede observar como claramente en el modelo cargado mediante Matlab la plastificación llega a zonas de la tapadera superior mientras que en el modelo cargado mediante Abaqus/CAE la plastificación se da en una zona mucho más localizada, en la entalla. 47 Esta figura se ha mostrado para tener así las 4 casuísticas representadas, sin embargo no añade ninguna novedad respecto a las demás. 5.4 Zonas afectadas por plastificación Mediante la observación del parámetro AC YIELD en el módulo “ Visualization las zonas que plastifican del modelo. Un valor próximo a cero de este parámetro indica que no se da plastificación o que esta es mínima, mientras que un valor uno o mayor indicará que existe cierta plastificación en dicha zona. Así puede comprobarse que, en efecto, la tapadera superior ica cuando las cargas se introducen mediante el programa de Matlab. El hecho de que la tapadera superior plastifique hace incoherente la aplicación de las cargas cualitativamente carece de sentido la distribución de tensiones que se muestra como ejemplo una comparativa entre dos mismos modelos J cargados de distinto modo. Ambos sometidos a un momento flector de 1730 Nm. Comparativa del espectro de color asociado al grado de plastificación ( AC modelo J cargado con un momento flector de 1730 Nm entre métodos de implementación de carga. Se puede observar como claramente en el modelo cargado mediante Matlab la plastificación superior mientras que en el modelo cargado mediante Abaqus/CAE la plastificación se da en una zona mucho más localizada, en la entalla. 4 casuísticas representadas, sin embargo no añade Visualization ” pueden verse Un valor próximo a cero de este parámetro indica que no se da plastificación o que esta es mínima, mientras que un valor uno o mayor indicará que existe Así puede comprobarse que, en efecto, la tapadera superior El hecho de que la tapadera superior plastifique hace incoherente la aplicación de las cargas cualitativamente carece de sentido la distribución de tensiones que se muestra como ejemplo una comparativa entre dos mismos modelos J 1730 Nm. AC YIELD) en el modelo J cargado con un momento flector de 1730 Nm entre métodos de implementación de carga. Se puede observar como claramente en el modelo cargado mediante Matlab la plastificación superior mientras que en el modelo cargado mediante Abaqus/CAE En la figura 5.16 se muestran los mismos modelos pero para un flector de mayor magnitud, 2400 Nm. Como es de espera r, la zona plastificada es mucho mayor, pero sigue notándose como en el modelo cargado mediante Matlab, la tapadera superior está más plastificada. Figura 5.16: Comparativa del espectro de color asociado al grado de plastificación ( modelo J cargado con un momento flector de 2400 Nm entre métodos de implementación de carga. Fuente: Elaboración propia. En el caso del momento torsor la diferencia es menor ya que, como se aprecia en las figuras del apartado anterior, las tensiones de Von Mise En la figura 5.17 se muestra el modelo HS cargado de los dos modos distintos para obtener un torsor de 2000 Nm. Figura 5.17: Comparativa del espectro de color asociado al grado de plastificación ( modelo HS cargado con un momento torsor de 2000 Nm entre métodos de implementación de carga. Fuente: Elaboración propia. 48 se muestran los mismos modelos pero para un flector de mayor magnitud, r, la zona plastificada es mucho mayor, pero sigue notándose como en el modelo cargado mediante Matlab, la tapadera superior está más plastificada. Comparativa del espectro de color asociado al grado de plastificación ( AC YIELD J cargado con un momento flector de 2400 Nm entre métodos de implementación de carga. En el caso del momento torsor la diferencia es menor ya que, como se aprecia en las figuras del apartado anterior, las tensiones de Von Mise s son altas en ambos casos cerca de la tapa superior. se muestra el modelo HS cargado de los dos modos distintos para obtener un Comparativa del espectro de color asociado al grado de plastificación ( AC modelo HS cargado con un momento torsor de 2000 Nm entre métodos de implementación de carga. se muestran los mismos modelos pero para un flector de mayor magnitud, r, la zona plastificada es mucho mayor, pero sigue notándose como en el modelo cargado mediante Matlab, la tapadera superior está más plastificada. AC YIELD ) en el J cargado con un momento flector de 2400 Nm entre métodos de implementación de carga. En el caso del momento torsor la diferencia es menor ya que, como se aprecia en las figuras del s son altas en ambos casos cerca de la tapa superior. se muestra el modelo HS cargado de los dos modos distintos para obtener un AC YIELD) en el modelo HS cargado con un momento torsor de 2000 Nm entre métodos de implementación de carga. La diferencia parece mínima, sin embargo los valores asociados a cada color son ligeramente distintos por lo que el color rojo en un modelo es distinto que en el otro, aunque parecido. El modelo cargado mediante Matlab de nuevo tiene la tapadera superior ligeramente más plastificada aunque la máxima se da en la entalla, como presumiblemente debe ocurrir. Para una carga mayor la plastificación será mayor, como se puede apreciar en la donde se muestra de nuevo el modelo HS cargado de los dos modos explicados para un momento torsor de 3000 Nm de magnitud. Figura 5.18: Comparativa del espectro de color asociado al g modelo HS cargado con un momento torsor de 3000 Nm entre métodos de implementación de carga. Fuente: Elaboración propia. Como se ha comentado anteriormente, los valores asociados a los distintos colores son distinto en ambos modelos. En este caso el color naranja del modelo cargado mediante Matlab se corresponde a un valor de plastificación cercano a la unidad, al igual que el color amarillo del modelo cargado mediante Abaqus/CAE. En ambos casos el máximo se da en u localizada de la entalla y las diferencias son pequeñas. Como conclusión de este apartado se puede extraer que las han permitido observar que la implementación de cargas realizada por ambos métodos origina un as fuerzas resultantes correctas en la probeta. Sin embargo, la implementación de cargas mediante Matlab genera plastificación en la zona de la tapadera superior, donde se aplican dichas cargas, por lo que cualitativamente 49 La diferencia parece mínima, sin embargo los valores asociados a cada color son ligeramente rojo en un modelo es distinto que en el otro, aunque parecido. El modelo cargado mediante Matlab de nuevo tiene la tapadera superior ligeramente más aunque la máxima se da en la entalla, como presumiblemente debe ocurrir. la plastificación será mayor, como se puede apreciar en la donde se muestra de nuevo el modelo HS cargado de los dos modos explicados para un momento torsor de 3000 Nm de magnitud. Comparativa del espectro de color asociado al g rado de plastificación ( AC YIELD modelo HS cargado con un momento torsor de 3000 Nm entre métodos de implementación de carga. Como se ha comentado anteriormente, los valores asociados a los distintos colores son distinto en ambos modelos. En este caso el color naranja del modelo cargado mediante Matlab se corresponde a un valor de plastificación cercano a la unidad, al igual que el color amarillo del modelo cargado mediante Abaqus/CAE. En ambos casos el máximo se da en u localizada de la entalla y las diferencias son pequeñas. Como conclusión de este apartado se puede extraer que las distintas comprobaciones realizadas la implementación de cargas realizada por ambos métodos origina as fuerzas resultantes correctas en la probeta. Sin embargo, la implementación de cargas mediante Matlab genera plastificación en la zona de la tapadera superior, donde se aplican dichas cargas, por lo que cualitativamente carece de sentido emplear este mé todo. La diferencia parece mínima, sin embargo los valores asociados a cada color son ligeramente rojo en un modelo es distinto que en el otro, aunque parecido. El modelo cargado mediante Matlab de nuevo tiene la tapadera superior ligeramente más aunque la máxima se da en la entalla, como presumiblemente debe ocurrir. la plastificación será mayor, como se puede apreciar en la figura 5.18, donde se muestra de nuevo el modelo HS cargado de los dos modos explicados para un AC YIELD ) en el modelo HS cargado con un momento torsor de 3000 Nm entre métodos de implementación de carga. Como se ha comentado anteriormente, los valores asociados a los distintos colores son distinto s en ambos modelos. En este caso el color naranja del modelo cargado mediante Matlab se corresponde a un valor de plastificación cercano a la unidad, al igual que el color amarillo del modelo cargado mediante Abaqus/CAE. En ambos casos el máximo se da en u na zona muy distintas comprobaciones realizadas la implementación de cargas realizada por ambos métodos origina as fuerzas resultantes correctas en la probeta. Sin embargo, la implementación de cargas mediante Matlab genera plastificación en la zona de la tapadera superior, donde se aplican todo. 50 51 6. Comprobaciones numéricas En este apartado se van a realizar comprobaciones numéricas mediante la comparación de resultados en todas las mallas obtenidos con ambos métodos de implementación de cargas. De este modo se podrá llegar a diversas conclusiones. 6.1 Comparación: J. W. Fash – Modelo F recreado idéntico J. W. Fash en su reportaje [1] aplica cargas concentradas en los nodos de la tapa superior y recoge una serie de resultados en la tabla 6 de dicho reportaje. Se ha desarrollado un modelo idéntico y se ha diseñado un programa que genera las cargas del mismo modo que él empleó en su reportaje, pero los resultados obtenidos han sido notablemente distintos a los reflejados en la tabla del reportaje de J. W. Fash. J. W. Fash analizó las microdeformaciones del tensor de deformaciones dado en el nodo 801, que corresponde al punto de coordenadas (0 ; 0,02 ; 0,045). Sin embargo, sus resultados tenían el signo opuesto al obtenido en los resultados hechos en la actualidad en el mismo nodo. Sin duda, esta diferencia es debida al signo del flector/torsor aplicado, pero como el eje es axisimétrico el resultado debe ser el mismo en el punto simétrico respecto al eje, es decir, en el nodo 913, de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045). Por ello, en los resultados obtenidos en la actualidad se ha estudiado dicho nodo en lugar del 801. El método de cargas empleado en el modelo recreado es mediante Matlab y de modo particular, es decir, cargando solo algunos nodos de la tapa superior, los mismos nodos que Fash carga en su reportaje (Apartado 4.1.2). En las siguientes tablas se muestra la comparación entre los resultados obtenidos y los resultados que J. W. Fash presenta en la tabla número 6 de su reportaje. En verde se muestran los resultados de Fash y en azul los obtenidos en la actualidad con el modelo recreado. Momento torsor Tabla 6.1: Comparación de microdeformaciones en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) entre la tabla 6 del reportaje de J. W. Fash [1] y los resultados de los análisis realizados sobre el modelo F reconstruido. Cargas de torsión implementadas mediante fuerzas concentradas de modo genérico. Carga (Nm) / Microdeformación ε 11 ε 22 ε 33 γ 12 γ 13 γ 23 2000 elástico Fash 0 0 0 -359 -2770 0 2000 elástico 0 0 0 -363 -2816 0 2000 elastoplástico Fash 0 0 0 -359 -2770 0 2000 elastoplástico 0 0 0 -495 -3574 0 2400 elastoplástico Fash 0 0 0 -739 -4821 0 2400 elastoplástico 0 0 0 -699 -5146 0 2600 elastoplástico Fash 0 0 0 -757 -5118 0 2600 elastoplástico 0 0 0 -852 -6134 0 2800 elastoplástico Fash 0 0 0 -813 -5625 0 2800 elastoplástico 0 0 0 -1032 -7241 0 3000 elastoplástico Fash 0 0 0 -892 -6284 0 3000 elastoplástico 0 0 0 -1246 -8612 0 Fuente: Elaboración propia. 52 En el caso elástico los errores son pequeños, en torno al 1% de error relativo, pero en los casos elastoplásticos el error se dispara. Momento flector Tabla 6.2: Comparación de microdeformaciones en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) entre la tabla 6 del reportaje de J. W. Fash [1] y los resultados de los análisis realizados sobre el modelo F reconstruido. Cargas de flexión implementadas mediante fuerzas concentradas de modo genérico. Carga (Nm) / Microdeformación ε 11 ε 22 ε 33 γ 12 γ 13 γ 23 1400 elástico Fash -219 -611 1675 0 0 571 1400 elástico -219 -613 1679 0 0 573 1475 elastoplástico Fash -239 -644 1765 0 0 602 1475 elastoplástico -276 -902 1984 0 0 728 1730 elastoplástico Fash -366 -1218 2504 0 0 912 1730 elastoplástico -362 -1263 2529 0 0 919 2000 elastoplástico Fash -438 -1588 3074 0 0 1126 2000 elastoplástico -438 -1665 3118 0 0 1146 2200 elastoplástico Fash -524 -1903 3570 0 0 1306 2200 elastoplástico -526 -2010 3636 0 0 1318 2300 elastoplástico Fash -579 -2115 3868 0 0 1402 2300 elastoplástico -580 -2222 3944 0 0 1415 2400 elastoplástico Fash -640 -2362 4227 0 0 1533 2400 elastoplástico -642 -2452 4276 0 0 1535 2600 elastoplástico Fash -758 -2802 4876 0 0 1748 2600 elastoplástico -775 -2974 4998 0 0 1774 Fuente: Elaboración propia. Al igual que en el caso anterior, el caso elástico tiene un error relativo muy pequeño, menor al 1% mientras que el error es mayor en el caso elastoplástico. Sin embargo, es destacable que en el caso del flector la diferencia es bastante menor que en el caso del torsor. Cargas combinadas (Flector-Torsor) Tabla 6.3: Comparación de microdeformaciones en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) entre la tabla 6 del reportaje de J. W. Fash [1] y los resultados de los análisis realizados sobre el modelo F reconstruido. Cargas biaxiales de flexión – torsión implementadas mediante fuerzas concentradas de modo genérico. Carga (Nm) / Microdeformación ε 11 ε 22 ε 33 γ 12 γ 13 γ 23 1220-1710 elastoplástico Fash -279 -908 1831 -420 -3020 651 1220-1710 elastoplástico -284 -987 1900 -472 -3113 660 1550-1090 elastoplástico Fash -264 -792 1952 -205 -1591 683 1550-1710 elastoplástico -321 -1176 2302 -268 -1859 832 770-2180 elastoplástico Fash -132 -416 993 -437 -3293 342 770-2180 elastoplástico -216 -699 1305 -704 -4307 437 895-1720 elastoplástico Fash -149 -443 1114 -320 -2489 380 895-1720 elastoplástico -186 -650 1306 -465 -2909 456 1135-1090 elastoplástico Fash -180 -510 1368 -192 -1522 462 1135-1090 elastoplástico -215 -689 1526 -248 -1687 549 568-2180 elastoplástico Fash -10 -302 727 -434 -3270 247 568-2180 elastoplástico -154 -497 941 -699 -4201 314 Fuente: Elaboración propia. 53 Los errores en estos casos son como los aparecidos en las cargas de torsor, muy altos. En el fichero .dat resultante del análisis en Abaqus suelen salir los errores reportados, sin embargo no aparece ningún fallo. Además, las cargas implementadas de este método generan resultantes correctas en todas las secciones del eje, como se ha comprobado en el apartado 5. La única razón puede ser atribuida a la plastificación de la tapa superior, sin embargo no se ha comprobado numéricamente que lo sea. 6.2 Comparación entre los 3 modelos con cargas implementadas mediante Matlab de modo general. En el apartado 6.1 se ha comprobado que la diferencia con los resultados obtenidos por J.W. Fash en su reportaje es notable, por lo que se proceden a comparar resultados entre los 3 modelos empleados para un mismo método de carga, mediante Matlab de modo general (Apartado 4.1.1). En las próximas tablas se muestran dichas comparaciones para 4 valores de flector puro y para otros 4 valores de torsor puro. En color morado se muestran los resultados del modelo F, en color azul los del modelo HS y en color verde los del modelo J. Al igual que en el apartado anterior, se representan las microdeformaciones del nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045). En el caso del modelo F dicho nodo es el 913, en el caso del modelo HS dicho nodo es el 14 y para el modelo J es el nodo 24. Momento torsor Tabla 6.4: Comparación de microdeformaciones en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) entre los modelos F, HS y J ante cargas de torsión implementadas mediante fuerzas concentradas de modo genérico. Carga (Nm) / Microdeformación ε 11 ε 22 ε 33 γ 1 2 γ 13 γ 23 2000 modelo F 0 0 0 -525 -3449 0 2000 modelo HS 0 0 0 -71 -3045 0 2000 modelo J 0 0 0 -41 3098 0 2400 modelo F 0 0 0 -746 -4947 0 2400 modelo HS 0 0 0 -93 -4437 0 2400 modelo J 0 0 0 -52 -4451 0 2600 modelo F 0 0 0 -909 -5833 0 2600 modelo HS 0 0 0 -112 -5360 0 2600 modelo J 0 0 0 -64 -5335 0 3000 modelo F 0 0 0 -1320 -8066 0 3000 modelo HS 0 0 0 -148 -7815 0 3000 modelo J 0 0 0 -86 -7653 0 Fuente: Elaboración propia. Para carga de momento torsor puede apreciarse una diferencia alarmante entre las microdeformaciones obtenidas con el modelo F y las obtenidas con los modelos HS y J. Entre los modelos HS y J la diferencia es pequeña para la microdeformación γ13 pero mayor del 40 % de error relativo para la componente γ12. 60 Momento torsor de 3000 Nm Tabla 6.12: Estudio de densidad de malla para el modelo HS ante una carga de torsión de 3000 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 12 cuyas coordenadas son (0 ; -0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación γ13 máxima. Nivel / Microdef. γ 12 γ 13 ε p 1 ε p 2 ε p 3 ε max 13 + 0 -151,0 -7798,0 3900 0 -3900 8509 + 1 -132,2 -7904,5 3953 0 -3953 8648 + 2 -94,3 -7938,0 3969 0 -3969 8722 + 3 -99,0 -7928,3 3964 0 -3964 8727 Fuente: Elaboración propia. Puede observarse como, para esta malla, la HS, en todos los casos la diferencia entre un nivel y el inmediatamente anterior es cada vez menor. Esto indica cierta convergencia en los resultados. La convergencia de las componentes normales, de las deformaciones principales y de la deformación máxima (ε33 ó γ13 según la el tipo de carga) es rápida y exacta, mientras que la de las componentes tangenciales lo es un poco menos. Sin embargo en general la convergencia es correcta. En el CD-ROM que se adjunta se presenta los anexos H, I, J y K. Es importante recordar que estos anexos se han presentado para que puedan ser utilizados, si se estima oportuno, en futuros trabajos que sean desarrollados a partir de este documento. No son necesarios para lo correcta comprensión del presente documento. - En el anexo H se tienen los ficheros .inp (generado automáticamente tras el análisis) y .cae del modelo HS con nivel 0 de densidad de malla sometido a un momento flector de 1730 Nm a modo de ejemplo, implementado mediante Abaqus/CAE. - En el anexo I se tienen los ficheros .inp (generado automáticamente tras el análisis) y .cae del modelo HS con nivel 1 de densidad de malla sometido a un momento flector de 2400 Nm a modo de ejemplo, implementado mediante Abaqus/CAE. - En el anexo J se tienen los ficheros .inp (generado automáticamente tras el análisis) y .cae del modelo HS con nivel 2 de densidad de malla sometido a un momento torsor de 2000 Nm a modo de ejemplo, implementado mediante Abaqus/CAE. - En el anexo K se tienen los ficheros .inp (generado automáticamente tras el análisis) y .cae del modelo HS con nivel 3 de densidad de malla sometido a un momento torsor de 3000 Nm a modo de ejemplo, implementado mediante Abaqus/CAE. En todos ellos bastará con abrir el fichero .cae y variar las cargas en el módulo “Load” para realizar el análisis que se estime oportuno. Se puede trabajar de manera análoga cambiando en el fichero .inp el valor de las cargas donde proceda y ejecutándolo con Abaqus/Command. 6.4.2 Malla J Análogamente al apartado anterior, en la se dispusieron l as semillas al mallar el modelo J. Figura 6.2: Identificación de las aristas con números en el modelo J Abaqus/CAE. Fuente: Elaboración propia. (1) → Entalla : Parte esencial en el estudio de densidad de malla. Es donde más variará el número de semillas. (2) → Cilindro : Conexión entre la zona cargada y la entalla. Es empleando la herramienta “ Bias (3) → Tronco de cono : Conexión entre las condiciones de contorno y la entalla. También es importante la adaptación empleando la herramienta “Bias”. (4) → Generatriz interior : Conecta los elementos t (verde) a lo largo de todo el eje. (5) → Arco de circunferencias número de semillas por lo que aumentar dicho número conlleva un gran aumento de la den de malla. Y el número de semillas es igual en todos los arcos de circunferencia. (6) → Radio externo tapa superior superior. El número de semillas es el mismo que en el radio externo de l 6 2 61 apartado anterior, en la figura 6.2 se muestra un esquema con las aristas donde as semillas al mallar el modelo J. Identificación de las aristas con números en el modelo J particionado antes de mallar en : Parte esencial en el estudio de densidad de malla. Es donde más variará el : Conexión entre la zona cargada y la entalla. Es importante la adaptación Bias ”. : Conexión entre las condiciones de contorno y la entalla. También es importante la adaptación empleando la herramienta “Bias”. : Conecta los elementos t ipo cuña (amarillo) con los hexaédricos (verde) a lo largo de todo el eje. Arco de circunferencias exteriores : Todas las circunferencias coplanarias tienen el mismo número de semillas por lo que aumentar dicho número conlleva un gran aumento de la den de malla. Y el número de semillas es igual en todos los arcos de circunferencia. tapa superior : Conecta la circunferencia interior con la exterior en la tapa superior. El número de semillas es el mismo que en el radio externo de l a base (no señalado). 3 1 5 4 8 se muestra un esquema con las aristas donde particionado antes de mallar en : Parte esencial en el estudio de densidad de malla. Es donde más variará el importante la adaptación : Conexión entre las condiciones de contorno y la entalla. También es ipo cuña (amarillo) con los hexaédricos : Todas las circunferencias coplanarias tienen el mismo número de semillas por lo que aumentar dicho número conlleva un gran aumento de la den sidad de malla. Y el número de semillas es igual en todos los arcos de circunferencia. la circunferencia interior con la exterior en la tapa a base (no señalado). 7 62 (7) → Radio interno tapa superior: Conecta el centro de la tapa superior, donde se aplican las cargas, con la circunferencia interior. (8) → Radio externo base: Conecta la circunferencia interna de la base con la externa. En la tabla 6.13 se muestra el número de semillas en cada arista según el nivel de densidad de malla y el número total de elementos. Tabla 6.13: Número de semillas (seeds) dispuestas en cada arista del modelo J previo al mallado y número elementos C3D20R, C3D15 y totales según el nivel de densidad de malla establecido. Arista / Nivel + 0 (por defecto) + 1 + 2 + 3 1 10 15 22 30 2 12 y bias 2 16 y bias 3 18 y bias 3 18 y bias 3 3 10 y bias 2 10 y bias 3 10 y bias 3 10 y bias 3 4 19 19 24 26 5 8 10 12 13 6 4 4 4 4 7 3 3 4 4 8 4 4 4 4 C3D20R 1824 2660 4608 5720 C3D15 5540 8440 15360 20384 TOTAL 7264 11100 19968 26104 Fuente: Elaboración propia. Para el este estudio se han empleado 4 sistemas de carga. Dos de flexión y 2 de torsión puras. Para cada caso una carga es de magnitud relativamente pequeña y la otra de magnitud grande. Para la construcción de las siguientes tablas se han observado las deformaciones en el nodo correspondiente a las coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) y se han representado las microdeformaciones que no son despreciables en cada caso. Es decir, en las cargas de flexión solo se representarán ε11, ε22, ε33 y γ23 y en las cargas de torsión solo se representarán γ12 y γ13. También se han representado las deformaciones principales y la deformación máxima de la componente más importante, la ε33 en el caso del momento flector y la γ13 en el caso del momento torsor. Momento flector de 1730 Nm Tabla 6.13: Estudio de densidad de malla para el modelo J ante una carga de flexión de 1730 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 24 cuyas coordenadas son (0 ; -0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación ε33 máxima. Nivel/Microdef. ε 11 ε 22 ε 33 γ 23 ε p 1 ε p 2 ε p 3 ε max 33 + 0 -315,2 -1020,5 2046,4 162,6 2048 -315 -1023 2440 + 1 -313,2 -1015,0 2050,6 242,3 2055 -313 -1019 2425 + 2 -313,6 -1028,7 2065,0 142,2 2066 -314 -1030 2457 + 3 -313,6 -1016,6 2051,2 121,0 2052 -314 -1018 2451 Fuente: Elaboración propia. 63 Momento flector de 2400 Nm Tabla 6.14: Estudio de densidad de malla para el modelo J ante una carga de flexión de 2400 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 24 cuyas coordenadas son (0 ; -0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación ε33 máxima. Nivel/Microdef. ε 11 ε 22 ε 33 γ 23 ε p 1 ε p 2 ε p 3 ε max 33 + 0 -571,7 -1835,1 3279,7 230,7 3282 -572 -1838 3965 + 1 -568,2 -1800,9 3258,8 386,0 3266 -568 -1808 3934 + 2 -567,4 -1842,6 3301,3 219,1 3304 -567 -1845 3990 + 3 -567,3 -1818,3 3275,4 181,5 3277 -567 -1820 3977 Fuente: Elaboración propia. Momento torsor de 2000 Nm Tabla 6.15: Estudio de densidad de malla para el modelo J ante una carga de torsión de 2000 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 24 cuyas coordenadas son (0 ; -0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación γ13 máxima. Nivel / Microdef. γ 12 γ 13 ε p 1 ε p 2 ε p 3 ε max 13 + 0 -51,7 -3078,7 1540 0 -1540 3464 + 1 -38,9 -3125,9 1563 0 -1563 3482 + 2 -35,6 -3101,2 1551 0 -1551 3464 + 3 -32,9 -3094,5 1547 0 -1547 3456 Fuente: Elaboración propia. Momento torsor de 3000 Nm Tabla 6.16: Estudio de densidad de malla para el modelo J ante una carga de torsión de 3000 Nm. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo 24 cuyas coordenadas son (0 ; -0,02 ; 0,045). También se muestran las deformaciones principales y la deformación γ13 máxima. Nivel / Microdef. γ 12 γ 13 ε p 1 ε p 2 ε p 3 ε max 13 + 0 -120,7 -7884,3 3943 0 -3943 8890 + 1 -80,1 -8001,9 4001 0 -4001 8997 + 2 -78,8 -7934,2 3967 0 -3967 8898 + 3 -73,2 -7922,5 3961 0 -3961 8912 Fuente: Elaboración propia. En el caso de la malla J la convergencia de las microdeformaciones de las componentes tangenciales es más rápida y exacta que en el caso de la malla HS, analizada en el apartado anterior. La convergencia de las componentes normales, de las deformaciones principales y de la deformación máxima (ε33 ó γ13 según la el tipo de carga) es rápida, al igual que en la otra malla. Por lo tanto, se tienen dos modelos que convergen de manera bastante rápida y precisa. 64 Queda por comprobar si éstas dan resultados parecidos entre sí y si dichos resultados se asemejan a los que J. W. Fash refleja en su reportaje. En el CD-ROM que se adjunta se presenta los anexos L, M, N y P. - En el anexo L se tienen los ficheros .inp (generado automáticamente tras el análisis) y .cae del modelo J con nivel 0 de densidad de malla sometido a un momento flector de 1730 Nm a modo de ejemplo, implementado mediante Abaqus/CAE. - En el anexo M se tienen los ficheros .inp (generado automáticamente tras el análisis) y .cae del modelo J con nivel 1 de densidad de malla sometido a un momento flector de 2400 Nm a modo de ejemplo, implementado mediante Abaqus/CAE. - En el anexo N se tienen los ficheros .inp (generado automáticamente tras el análisis) y .cae del modelo J con nivel 2 de densidad de malla sometido a un momento torsor de 2000 Nm a modo de ejemplo, implementado mediante Abaqus/CAE. - En el anexo P se tienen los ficheros .inp (generado automáticamente tras el análisis) y .cae del modelo J con nivel 3 de densidad de malla sometido a un momento torsor de 3000 Nm a modo de ejemplo, implementado mediante Abaqus/CAE. En todos ellos bastará con abrir el fichero .cae y variar las cargas en el módulo “Load” para realizar el análisis que se estime oportuno. Se puede trabajar de manera análoga cambiando en el fichero .inp el valor de las cargas donde proceda y ejecutándolo con Abaqus/Command. 6.5 Comparación entre el modelo J, el modelo HS y J. W. Fash Como se ha comentado en el apartado anterior, se presenta la comparación entre los resultados obtenidos con los modelos HS y J en su máximo nivel de densidad de malla y los resultados expuestos en el reportaje de J. W. Fash [1]. En las tabla 6.17 y 6.18 se muestran las microdeformaciones resultantes en el nodo de coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) ya que ahí es donde J. W. Fash analizó los resultados en su reportaje. Sin embargo, como comenta en su reportaje [1], dicho punto fue elegido por obligación dada la topología de la malla diseñada, ya que en realidad se hubiera preferido reflejar el punto de deformación máxima en la entalla. Por lo tanto, para poder comparar correctamente los resultados, se toma el nodo con las mismas coordenadas y no el nodo donde la deformación es máxima. En estas tablas 6.17 y 6.18 que se presentan a continuación no se muestran las deformaciones principales ni la deformación máxima en los resultados del reportaje de J. W. Fash porque no se cuenta con ellos, pero con la comparación de los resultados del tensor de deformaciones es suficiente para ver o no parecido. Para los resultados de los modelos HS y J y su comparación sí se cuenta con las deformaciones principales y la deformación máxima por lo que son expuestas en las tablas. 65 Cargas de flexión Tabla 6.17: Comparación de resultados de los modelos HS y J con los obtenidos por J. W. Fash en su reportaje [1] para cargas de flexión. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo cuyas coordenadas son (0 ; -0,02 ; 0,045) , las deformaciones principales y la deformación ε33 máxima. Carga (Nm) ε 11 ε 22 ε 33 γ 23 ε p 1 ε p 2 ε p 3 ε max 33 Flector 1730 Fash -366 -1218 2504 912 - - - - Flector 1730 HS -309 -956 2008 223 2012 -309 -960 2277 Flector 1730 J -314 -1017 2051 121 2052 -314 -1018 2451 Flector 2400 Fash -640 -2362 4227 1533 - - - - Flector 2400 HS -557 -1737 3219 374 3226 -557 -1744 3680 Flector 2400 J -567 -1818 3275 182 3277 -567 -1820 3977 Fuente: Elaboración propia. Cargas de torsión Tabla 6.18: Comparación de resultados de los modelos HS y J con los obtenidos por J. W. Fash en su reportaje [1] para cargas de flexión. Los resultados son microdeformaciones extraídas del nodo cuyas coordenadas son (0 ; -0,02 ; 0,045) , las deformaciones principales y la deformación γ13 máxima. Carga (Nm) γ 12 γ 13 ε p 1 ε p 2 ε p 3 ε max 13 Torsor 2000 Fash -359 -2770 - - - - Torsor 2000 HS -45 -3093 1547 0 -1547 3383 Torsor 2000 J -33 -3095 1547 0 -1547 3456 Torsor 3000 Fash -892 -6284 - - - - Torsor 3000 HS -99 -7928 3964 0 -3964 8727 Torsor 3000 J -73 -7923 3961 0 -3961 8912 Fuente: Elaboración propia. Puede observarse que los resultados obtenidos para los modelos HS y J son muy parecidos, sobre todo en las componentes principales y en las componentes de mayor importancia del tensor (ε33 en cargas de flexión y γ13 en cargas de torsión). El error relativo en dichas componentes es de aproximadamente el 1,5 %, lo cual es muy aceptable. Por lo tanto, se han obtenido dos modelos distintos que dan resultados aceptablemente similares, cumpliéndose así el objetivo principal del documento. Sin embargo, los valores de estos modelos difieren mucho de los que J. W. Fash recoge en su reportaje [1] con errores relativos entorno al 20 %. Para hallar la razón de dichas diferencias habría que profundizar más en el estudio de las mallas por diversos métodos que quedan ya fuera del ámbito de este documento. Sin embargo, existe una comprobación más que es posible realizar. En el módulo “Part”, cuando se realiza el boceto (Sketch) se tienen varias opciones del tipo restricción (constraint), que permiten dejarle claro al programa la forma en la que se conectan dos aristas por ejemplo. En ocasiones, si no se emplean dichas restricciones, el programa identifica en dicho punto de unión una indeterminación, de modo que las tensiones (y por tanto las deformaciones) se comportan asintóticamente en dicho punto y su entorno. 66 J. W. Fash en su reportaje [1], eligió como punto de extracción de resultados el nodo correspondiente a las coordenadas (0 ; -0,02 ; 0,045) o a su simétrico respecto al eje de revolución del eje, según el signo de la carga. Dicho punto está situado justo en (ver figura 3.3) el punto de unión de la entalla con la parte cilíndrica del eje. Por lo tanto, es un punto candidato a ser problemático si no se indica una restricción de tangencia entre dichas aristas. Para comprobar dicha característica se repite el proceso completo de diseño y análisis para un caso particular, pero se obtiene exactamente la misma solución que en el caso particular realizado anteriormente sin restricción. Esto es debido a que las restricciones pueden añadirse con dicha herramienta “Constraint” o manualmente mediante la imposición de cotas con la herramienta “Add Dimension” siempre y cuando el boceto quede totalmente definido y acotado. Otro modo de comprobar si la diferencia se da solo en el entorno de dicho punto problemático es estudiar los resultados lejos de dicho punto. Se realiza el proceso para un punto más centrado en la entalla, de coordenadas (0 ; -0,0205 ; 0,0427) pero los resultados del estudio de densidad de malla dan similares en cuanto a velocidad y precisión de convergencia. Por lo tanto, esta característica no es la causa de la diferencia entre los resultados de los modelos HS y J. Para descubrir dicha causa, como se ha comentado antes, sería necesario realizar un estudio más profundo y exhaustivo sobre dichas mallas, quedando fuera de los objetivos de este trabajo. 67 7. Conclusiones y trabajos futuros El objetivo de este documento era desarrollar, al menos, un modelo de elementos finitos de un eje entallado muy utilizado en los estudios de vida a fatiga a bajo número de ciclos bajo cargas biaxiales, para ser utilizado en futuras investigaciones. Finalmente se han conseguido diseñar dos modelos distintos del eje entallado y se ha demostrado que ofrecen resultados similares ante cargas de torsión y de flexión. Se ha comenzado partiendo de una malla existente en el reportaje de J. W. Fash [1], que presentaba limitaciones en cuanto a la densidad de malla. Se ha recreado dicha malla y se ha diseñado un método de implementación de cargas mediante fuerzas concentradas similar al empleado en su reportaje. Dicho método se ha demostrado que presenta irregularidades en cuando a la distribución de tensiones en el eje por lo que se ha empleado un segundo método de implementación de carga para valorar numéricamente las diferencias con el otro método. Por otro lado, se han diseñado 2 mallas distintas para el mismo eje que pueden ser refinadas en un futuro. Se han analizado resultados de ambas mallas con los dos métodos de implementación de cargas, obteniendo resultados similares, sobre todo en el modelo HS. Finalmente se han analizado las diferencias entre los dos modelos diseñados y los resultados del reportaje de J. W. Fash empleando como método de implementación de cargas el de Abaqus/CAE, cuyo correcto funcionamiento ha sido comprobado previamente mediante las herramientas que el propio Abaqus/CAE ofrece. Los resultados obtenidos en los modelos diseñados difieren un 20 % aproximadamente de los presentados en el reportaje de J. W. Fash. Todos los pasos previamente citados han sido comprobados mediante el empleo de herramientas de Abaqus/CAE y los análisis realizados no han dado error, por lo que no se encuentra ningún matiz en el proceso que permita explicar estas diferencias. La razón más probable de esta diferencia es que la malla del modelo de J. W. Fash es muy primitiva y cuenta con muy pocos elementos, por lo que no es tan precisa como las demás. Sin embargo, para demostrar esta razón sería necesario profundizar en los detalles con especial cuidado, ya que durante la historia de la ingeniería han sido multitud de estudios los que se han apoyado en dichos resultados y desprestigiarlos significaría reducir el valor de cantidad de estudios a nivel internacional. Por ello, es necesario realizar un estudio más profundo y exhaustivo que lo que este documento puede ofrecer. En estudios futuros, habrá que profundizar en el análisis tratando de averiguar el por qué de dicha diferencia o de eliminarla si es posible. Sería de gran ayuda la realización de un número mayor de mallas, de distintas topologías de elementos y con particiones distintas, de modo que se pudieran realizar más comparaciones. Otra posible vía de evolución en este estudio sería la realización de modelos de otro modo completamente distinto, como por ejemplo mediante el uso del lenguaje de programación Python, muy conocido internacionalmente e instaurado por completo en el programa Abaqus. Para facilitar la continuación de este estudio en futuras investigaciones se han presentado a modo de anexo en el CD-ROM adjunto todos los ficheros que se estiman necesarios. 68 69 8. Bibliografía 1. Fash, J. W., “An Evaluation of Damage Development During Multiaxial Fatigue of Smooth and Notched Specimens” Report No. 123, College of Engineering, University of Illinois at Urbana-Champaign, 1980. 2. Hoffmann, M. and Seeger, T., Estimating multiaxial elastic-plastic notch stresses and strains in combined loading, Biaxial and Multiaxial Fatigue, EGF 3 (Edited by M. W. Brown and K. J. Miller), 1989, Mechanical Engineering Publications, London, pp. 3-24. 3. http://repository.unilibre.edu.co/bitstream/handle/10901/7826/VasquezTorresEdwinLibardo201 3Anexos.pdf?sequence=2 4. París Carballo, Federico, Teoría de la elasticidad, 3ª ed., Sevilla: Grupo de Elasticidad y Resistencia de materiales, 2000. 455p. ISBN: 84-88783-32-9. 5. Navarro Robles, A., Método de las deformaciones locales en fatiga, Sevilla: Teoría de máquinas y mecanismos. 6. Navarro Robles, A., An unconditionally convergent iterative algorithm for the intersection of Neuber’s and Molski-Glinka’s rules with Ramberg-Osgood stress-strain relationship, ELSEVIER 69 (2014) 53-62. 7. Madrigal, C., Navarro, A., Vallellano, C., Plasticity theory for the multiaxial Local Strain- Life Method, ELSEVIER (2016). 8. Navarro Robles, A., Método para el cálculo aproximado de tensiones y deformaciones elastoplásticas multiaxiales en zonas de concentración de tensiones, Sevilla: Departamento de Ingeniería Mecánica y fabricación. 76 %COMPROBACIÓN: Cálculo del momento torsor resultante, de las fuerzas resultantes % El momento torsor resultante (TR) debe ser igual al torsor que se pretende aplicar (T) TR=sum(sqrt((Fx(2,:).^2)+(Fy(2,:).^2)).*r'); % Las fuerzas resultantes según ambas direcciones debe ser nulas FxR=sum(Fx(2,:)); FyR=sum(Fy(2,:)); FxR_2=sum(Fx_2(2,:)); FyR_2=sum(Fy_2(2,:)); Anexo C: Programa de Matlab para flector por método particular % Programa para la implementación de las cargas necesarias en los nodos de la tapa superior para obtener un FLECTOR puro resultante recreando lo realizado por J. W. Fash en su reportaje. % INSTRUCCIONES: % Cambiar magnitud deseada del MOMENTO FLECTOR RESULTANTE (N m) en la línea 63 % Cambiar el nombre del fichero de salida asociándolo a la magnitud del MOMENTO FLECTOR RESULTANTE en la línea 88 clc; clear all; close all; format longg % Importación de todos los nodos de la TAPA SUPERIOR a partir de Excel. % 1ª Columna --> Número etiqueta nodo % 2ª Columna --> Coordenada x (m) % 3ª Columna --> Coordenada y (m) % 4ª Columna --> Coordenada z (m) N=xlsread('MALLA_FASH.xlsx'); % Todos los nodos del MODELO T=[]; % Nodos de la TAPA SUPERIOR i=1; j=1; for i=1:1:length(N(:,4)) if N(i,4)==0.095 % Coordenada z igual a la altura (m) de la TAPA SUPERIOR T(j,1)=N(i,1); T(j,2)=N(i,2); T(j,3)=N(i,3); T(j,4)=N(i,4); j=j+1; end end num_nodos_tapasup=length(T(:,1)); % Número de nodos de la TAPA SUPERIOR, necesario para el cálculo de las fuerzas concentradas en cada nodo asociadas al cortante V. 77 % Selección de los nodos que irán cargados de la TAPA SUPERIOR. % En el reportaje de J. W. Fash no se cargan todos los nodos de la TAPA SUPERIOR para la distribución que origina el flector. Sin embargo, para el cortante necesario sí se cargan todos los nodos. j=1; A=[]; for i=1:1:length(T(:,3)) if T(i,3)>0.0039 || T(i,3)<-0.0039 % Solo se toman los nodos separados de cero en la coordenada "y" una distancia mínima de 3.9 mm A(j,1)=T(i,1); A(j,2)=T(i,2); A(j,3)=T(i,3); A(j,4)=T(i,4); j=j+1; end end % COMPROBACIÓN de que se dan las condiciones necesarias para la obtención de un flector puro alrededor del eje x, sin añadir fuerzas o momentos adicionales. % Estas condiciones han sido demostradas en apartados anteriores. x=A(:,2); y=A(:,3); % Sumatorio de coordenadas y nulo suma_y=sum(y); % Sumatorio del producto xy nulo suma_xy=sum(y.*x); % Cálculo las fuerzas concentradas asociadas a cada nodo cargado de la TAPA SUPERIOR. El momento flector aplicado es negativo para ser análogo al implementado en el artículo comentado anteriormente. % Las relaciones siguientes han sido demostradas en apartados anteriores. M_grande=-1000; % Flector aplicado por la máquina de ensayo (N m) V=M_grande/(0.15*num_nodos_tapasup); % Cortante resultante en cada nodo de la tapa (N) M_peque=2*M_grande/3; % Momento parcial total aplicado objetivo (N m) suma_y_cuad=sum(y.^2); alfa=M_peque/suma_y_cuad; % Factor de proporcionalidad % Asociación de fuerza según distancia coordenada "y" -> F(x,y)= alfa*y F=[A(:,1)' ; alfa.*(y')];% Vector con las fuerzas (N) asociadas a cada nodo ordenados por número de nodo. % Eliminación de elementos con fuerza cero de la lista si los hubiera. FA=[]; k=1; s=1; 78 for k=1:1:length(A(:,1)) if F(2,k)~=0 FA(1,s)=F(1,k); FA(2,s)=F(2,k); s=s+1; end end % Exportación de las instrucciones en formato .inp en fichero de texto. bloc=fopen('Flector_1000_FASH','w+'); % w+ quiere decir lectura y escritura fprintf(bloc,'TAPASUP,2,%6.8f \r\n',-V); % Se representa -V en el bloc de notas porque el cortante va en sentido positivo del eje 2 (y). fprintf(bloc,'%6.0f,3,%12.8f \r\n',FA); % Como es un flector alrededor del eje "x" y "3" es el eje "z", que es el longitudinal en el caso de la pieza diseñada, todas las fuerzas van en dicho sentido. cerrado=fclose(bloc); % COMPROBACIÓN: Cálculo de los momentos resultantes y de las fuerzas resultantes. % El momento resultante según "x" total (MR_total) debe ser igual al flector que se pretende aplicar (M_total). MR_peque=sum(F(2,:).*y'); MR_total=(0.05*V*num_nodos_tapasup)+MR_peque; % La fuerza resultante (FR) y el momento resultante según "y" (MR2) deben ser nulos. FR=sum(F(2,:)); FAR=sum(FA(2,:)); MR2=sum(F(2,:).*x'); Anexo D: Programa de Matlab para torsor por método particular % Programa para la implementación de las cargas necesarias en los nodos simétricos de la tapa superior para obtener un TORSOR puro resultante recreando lo realizado por J. W. Fash en su reportaje. % INSTRUCCIONES % Cambiar magnitud deseada del MOMENTO TORSOR RESULTANTE (N m) en la línea 83 % Cambiar el nombre del fichero de salida asociándolo a la magnitud del MOMENTO TORSOR RESULTANTE en la línea 124 clc; clear all; close all; format longg % Importación de todos los nodos de la TAPA SUPERIOR a partir de Excel. 79 % 1ª Columna --> Número etiqueta nodo % 2ª Columna --> Coordenada x (m) % 3ª Columna --> Coordenada y (m) % 4ª Columna --> Coordenada z (m) N=xlsread('MALLA_FASH.xlsx'); % Todos los nodos del MODELO TS=[]; % Nodos de la TAPA SUPERIOR i=1; j=1; for i=1:1:length(N(:,1)) if N(i,4)==0.095 % Coordenada z igual a la altura (m) de la TAPA SUPERIOR TS(j,1)=N(i,1); TS(j,2)=N(i,2); TS(j,3)=N(i,3); TS(j,4)=N(i,4); j=j+1; end end % Selección de los nodos que irán cargados de la TAPA SUPERIOR. % En el reportaje de J. W. Fash no se cargan todos los nodos de la TAPA SUPERIOR para la distribución que origina el torsor. R=(TS(73,2)^2)+(TS(73,3)^2); CIRC=[]; i=1; j=1; for i=1:1:length(TS(:,1)) if ((TS(i,2)^2)+(TS(i,3)^2))>=R-0.000001 % Solo se toman los nodos cuya traza es una circunferencia perfecta. CIRC(j,1)=TS(i,1); CIRC(j,2)=TS(i,2); CIRC(j,3)=TS(i,3); CIRC(j,4)=TS(i,4); j=j+1; end end % COMPROBACIÓN de que se dan las condiciones necesarias para la obtención de un torsor puro alrededor del eje x, sin añadir fuerzas adicionales. % Estas condiciones han sido demostradas en apartados anteriores. y=CIRC(:,3); x=CIRC(:,2); r=sqrt((y.^2)+(x.^2)); r_intermedio=0.017334556; % Radio intermedio tomado por FASH para todos los puntos cargados de la tapa superior. for i=1:1:length(y) if y(i)>=0 && x(i)>0 && x(i)~=0 phi(i)=atan(y(i)/x(i)); end if y(i)>=0 && x(i)<0 && x(i)~=0 phi(i)=pi-(atan(y(i)/abs(x(i)))); end if y(i)<=0 && x(i)<0 && x(i)~=0 phi(i)=pi+(atan(abs(y(i))/abs(x(i)))); end 80 if y(i)<=0 && x(i)>0 && x(i)~=0 phi(i)=(2*pi)-(atan(abs(y(i))/x(i))); end if x(i)==0 && y(i)>0 phi(i)=pi/2; end if x(i)==0 && y(i)<0 phi(i)=3*pi/2; end end suma1=sum(sin(phi').*r); % Sumatorio del seno de los ángulos de cada nodo nulo suma2=sum(cos(phi').*r); % Sumatorio del coseno de los ángulos de cada nodo nulo % Cálculo las fuerzas concentradas asociadas a cada nodo cargado de la TAPA SUPERIOR. % Las relaciones siguientes han sido demostradas en apartados anteriores. T=2000; % Torsor aplicado objetivo (N m) suma_r_cuad=sum(r.^2); alfa=T/suma_r_cuad; % Factor de proporcionalidad % Asociación de fuerza según distancia coordenada "r" -> F(z,y)=alfa*r*(-seno o coseno) (según la componente) seno=[]; coseno=[]; for i=1:1:length(phi') seno(i)=sin(phi(i)); coseno(i)=cos(phi(i)); end Fx=[CIRC(:,1)' ; (-alfa*r_intermedio.*-seno)]; % Vector horizontal (según x) con las fuerzas (N) asociadas a cada nodo ordenados por número de nodo Fy=[CIRC(:,1)' ; (-alfa*r_intermedio.*coseno)]; % Vector vertical (según y) con las fuerzas (N) asociadas a cada nodo ordenados por número de nodo % Eliminación de elementos con fuerza cero de la lista si los hubiera. Fx_2=[]; k=1; s=1; for k=1:1:length(Fx) if Fx(2,k)>=0.00000001 || Fx(2,k)<=-0.00000001 Fx_2(1,s)=Fx(1,k); Fx_2(2,s)=Fx(2,k); s=s+1; end end Fy_2=[]; k=1; s=1; for k=1:1:length(Fy) if Fy(2,k)>=0.00000001 || Fy(2,k)<=-0.00000001 Fy_2(1,s)=Fy(1,k); 81 Fy_2(2,s)=Fy(2,k); s=s+1; end end % Exportación de las instrucciones en formato .inp en fichero de texto. bloc=fopen('Torsor_2000_FASH','w+'); % w+ quiere decir lectura y escritura fprintf(bloc,'%6.d,1,%12.8f \r\n',Fx_2); fprintf(bloc,'%6.d,2,%12.8f \r\n',Fy_2); % Como es un torsor y 1 y 2 son los ejes del plano de la sección en el caso de la pieza diseñada en abaqus, todas las fuerzas van en dichos sentidos. cerrado=fclose(bloc); %COMPROBACIÓN: Cálculo del momento torsor resultante, de las fuerzas resultantes % El momento torsor resultante (TR) debe ser igual al torsor que se pretende aplicar (T) TR=sum(sqrt((Fx(2,:).^2)+(Fy(2,:).^2)).*r'); % Las fuerzas resultantes según ambas direcciones debe ser nulas FxR=sum(Fx(2,:)); FyR=sum(Fy(2,:)); FxR_2=sum(Fx_2(2,:)); FyR_2=sum(Fy_2(2,:));