Análisis de las modalidades deportivas cíclicas desde la perspectiva de la complejidad: aplicación a las carreras atléticas

PROGRAMA DE DOCTORADO P&PECTNA ACTUAL DE LAS CIENCIAS DE LA ACTIVIDAD FÍSICA Y DEL DEPORTE ANCHA VALPARAISO CHILE Departamento de educación Física de la Universidad de.Las Palmas de Gran Canaria Universidad de Playa Ancha (Valparaíso) Título de la Tesis: - 0 ANÁLISIS DE LAS MODALIDADES DEPORTIVAS C~CLICAS DESDE m O 4 LA PERSPECTIVA DE LA COMPLEJIDAD: APLICACIÓN A LAS CARRERAS ATLÉTICAS TESIS DOCTORAL Doctorando: Enrique Arriaza Ardjles Directores: Doctor Juan Manuel García Manso Doctor Juan Manuel Martín González Septiembre de 2006 3912006-07 UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA UNIDAD DE TERCER CICLO Y POSTGRADO Reunido el día de la fecha, el Tribunal nombrado por el Excmo. Sr. Rector Magfco. de esta Universidad, ella aspirante expuso esta TESIS DOCTORAL. Terminada la lectura y contestadas por ella Doctorandola las objeciones formuladas por los señores miembros del Tribunal, éste calific' dicho trabajo con la nota de Bmf) /JÉEJT% r ,NI WE y5 WWS\ UF~A~\IWI~)~D Las Palmas de Gran Canaria, a 16 de enero de 2007 El Presidente: Dr. D. Fernando ~madhr Z 1 El Vocal: Dr. l$ dugo/~ugusto Aránguiz Aburto, La Vocal: Dra. Dña. ,' I ic PROGRAMA DE DOCTORADO PESPECTIVA ACTUAL DE LAS CIENCIAS DE LA ACTIVIDAD FÍSICA Y DEL DEPORTE DE PLAYA ANCHA VALPARAISO CHILE Departamento de educación Física de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Universidad de Playa Ancha (Valparaíso) r. E Título de la Tesis: 3 ANÁLISIS DE LAS MODALIDADES DEPORTIVAS C~CLICAS DESDE LA PERSPECTIVA DE LA COMPLEJIDAD: APLICACION A LAS CARRERAS ATLÉTICAS - m O TESIS DOCTORAL Doctorando: Enrique Arriara Ardiles Directores: Doctor Juan Manuel García Manso Doctor Juan Manuel Martín González Septiembre de 2006 DR. D. Antonio Ramos Gordillo, SECRETARIO DEL DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN F~SICA DE LA UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA, CERTIFICA r. Que el Consejo de Doctores del Departamento en su sesión de fecha j 020 -44- ==2-01!6 tomó el acuerdo de dar el consentimiento para su $ tramitación, a la tesis titulada: %nálisis de las modalidades deporfívas cíclicas desde la perspectiva de la complejidad: Aplicación a las carreras atléticasJ' 8 presentada por el doctorando D. Enrique Arriaza Ames y dirigida por los Doctores 9 D. Juan Manuel García Manso y D. Juan Manuel Martín González. * Y para que así conste, y a efectos de lo previsto por el Artículo 73.2 del j = Reglamento de Estudios de Doctorado de esta Universidad, firmo la presente en Las Palmas de Gran Canaria, a de &x~*-c b++ de dos $ mil seis Departamento de educación Física de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Universidad de Playa Ancha (Valparaíso) Programa de Doctorado: Perspectiva Actual de las Ciencias de la Actividad Física y el Deporte Título de la Tesis: ANÁLISIS DE LAS MODALIDADES DEPORTIVAS C~CLICAS DESDE LA PERSPECTIVA DE LA COMPLEJIDAD: APLICACIÓN A LAS CARRERAS ATLÉTICAS Tesis Doctoral Presentada por: D. Enrique Ardiles Arriaza Dirigida por: Juan Manuel García Manso Juan Manuel Martin González El pirector El Director El doctorando lan M, Martín González D. Enrique Alriaza Ardhs ANÁLISIS DE LAS MODALIDADES DEPORTIVAS CÍCLICAS DESDE LA PERSPECTIVA DE LA COMPLEJIDAD: APLICACI~N A LAS CARRERAS ATLÉTICAS AGRADECIMIENTOS El más profundo de mis agradecimientos para todos aquellos que incondicionalmente han mantenido el apoyo y el afecto, ssódo piso de mi crecimiento. Gracias Helga, Pablo, Alonso y Consuelo, Gracias padres, Gracias Norma, Maite y Amaia, Gracias amigos. Y muy especialmente a dos tl;oicos ejemplos de aquellas personas que disfrutan con las pequeñas y sencillas cosas de la vida, mis maesfros y amigos Juanma y r. E Juan. 3 - 0 m Páginas ~NDICE DE FIGURAS ~NDICE DE TABLAS ~NDICE DE CUADROS RESUMEN ABSTRACT FUNDAMENTACI~N TEÓRICA Sistemas Caos Fractales Complejidad Criticalidad Autoorganizada (Soc) 1.5.1 Autoafinidad Leyes de Escala (Power Laws). 1.6.1 Mecanismos para la Distribución de Power Laws 1.6.2 Zipf - Mandelbrot 1.6.3 Distribuciones Libres de Escala. CAP~TULO II II, MATERIALES Y MÉTODOS 11.1 MUESTRA Y CRITERIOS DE SELECCIÓN 11.2 MÉTODOS 11.2.1 PROCEDIMIENTOS vi viii X xi xi i CAPITULO III APLICACIONES PRÁCTICAS 82 III .1 Leyes de potencia y carreras de media y larga duración. 82 111.2 índice de Rendimiento y Estructura Mutifractal de las Carreras Atléticas de Media y Larga Duración. 100 111.3 Existencia de Diferentes Leyes de Escala en el Comportamiento de la Velocidad en las Distintas Carreras Atléticas. 1 08 111.4 Aplicación de las Leyes de Potencia al Análisis Carreras Atléticas de Media y Larga Duración y Detección de Comportamientos Atípicos (Outlier). 111.5 Análisis de la Evolución de Marcas en las Carreras de Medio - Fondo y Fondo Organizadas por Grupos de Pruebas. 111.5.1 Distancias de Medio-Fondo 11 1.5.2 Carreras de Fondo 111.5.3 Carreras de Gran-Fondo 111.6 Aplicación de las Leyes de Potencia en la Predicción de Rendimientos 111.7 Estudio del Comportamiento de las Marcas Mediante Intervalos de Frecuencia: Comparación de Carreras con otras Modalidades Atléticas. 111.7.1 Mejores Marcas por Prueba (Carreras, Saltos y Lanzamientos). 111.7.2 Mejores Marcas por Atleta (Solo Carreras) 111.7.2.1 Análisis de la Tabla: Función Zipf-Mandelbrot 111.7.3 Conclusiones 111.7.4 Análisis Ley de Zipf CAPITULO IV VI BIBLIOGRAF~A ABSTRACT The modern theories of nonlinear complex systerns could be an efficient tool to open a new perspective that would facilitate evaluation, and control procedures and using training models for certain sports specialties. In the case of athletics races, when time (or average speed) is related to distance on middle and long distance races, you can see they behave according to power-laws what might suggest the presence of alleged critical phenomena. According to the place athletes have in the al1 - time world ranking, this behaviour allows us to outline a Performance lndex that reveals the existence of possible multifractal structures associated to the natural barriers to the athletes tend in their pursuit of world records. The explanation for these power-laws and multifractal structures in this system or near its critical points could be found in the new theories of self - organized critical phenornena. When these tests are compared with other athletic specialties by means of frequency interval behaviour you can see they also work according to a power law pattern. Key terms: Long and Middle Distance Races, Non - Linear Complex Systems, Power-Laws, Self - Organized Criticality, Multifractal, Frequency Intervals, Sports Training. ANÁLISIS DE LAS MODALIDADES DEPORTIVAS C~CLICAS DESDE LA PERSPECTIVA DE LA COMPLEJIDAD: APL~CACIÓN A LAS CARRERAS ATLÉTICAS Las carreras atléticas han constituido, junto a las acciones luctatarias, el eje central de las manifestaciones deportivas desde sus orígenes a la actualidad. Los principales eventos deportivos (Juegos Olímpicos, Juegos Panamericanos, Juegos Mediterráneos, etc.) apoyan una parte importante r. de su programa en el desarrollo de estas confrontaciones atléticas E atendiendo, de esta forma, la demanda del público y a la realidad deportiva 3 - 0 m O actual. Su elevada importancia se manifiesta en que sean estas 4 especialidades deportivas las que han permitido crear durante las ultimas décadas uno de los cuerpos de conocimientos más sólido y riguroso en los - m O que se apoyan las ciencias aplicadas al deporte. La estadística, la biomecánica, la cinesiología, la bioquímica y, fundamentalmente, la fisiología n - O O del ejercicio, han sido, entre otras, las ramas de la ciencia que más han aportado durante los últimos años información sobre los distintos aspectos vinculados a las carreras atléticas. Los protocolos que actualmente se emplean en la evaluación, seguimiento o control de las diferentes modalidades deportivas, pensamos que podrían ser complementadas con modelos matemáticos que fueran desarrollados a partir del comportamiento de variables biológicas, mecánicas o numéricas ya conocidas y que de esta forma se facilitara una aplicación más sencilla para los profesionales del deporte y, muy particularmente, para los estudiosos de las carreras atléticas. En este trabajo tratamos de analizar estas disciplinas a la luz de las nuevas teorías de los sistemas dinámicos complejos (no lineales). Es nuestra intención ver si esta perspectiva puede aportar nueva información sobre estas pruebas y, de esta forma, poder dar mayor racionalidad al cuerpo de conocimientos específico de las carreras, aplicarlo al desarrollo de modelos de entrenamiento o disponer de nuevas herramientas en la predicción de resultados atléticos. Las modernas teorías de sistemas complejos no-lineales parecen jugar un rol importante en diferentes disciplinas como la biología, ecología, economía, etc., y entendemos que el deporte es una de las manifestaciones del ser humano que puede ser explicada objetivamente a la luz de las teorías basadas en los sistemas complejos. Con frecuencia el análisis científico se concentra sobre porciones bien definidas del mundo llamadas sistemas. Podríamos decir que un sistema es una parte determinada del universo separada del resto por una frontera imaginaria. Los sistemas se consideran abiertos si intercambian energía, materia o información con su entorno (sistemas permeables), y cerrados (aislados o sistemas escasamente permeables) si no lo hacen. Dentro de la categoría de sistemas abiertos, están aquellos que son influidos pasivamente por su entorno, llamados no adaptativos, y los que reaccionan y se adaptan al medio que les rodea, llamados adaptativos. Tal característica les permite modificar aspectos de su estructura (componentes) y10 de su funcionamiento (patrones o formas). Uno de los hechos más asombrosos de la naturaleza es la emergencia. En muchos sistemas, existen patrones y formas que pueden ser consideradas como manifestaciones macroscópicas de la organización de los componentes del sistema. Patrones que pueden aparecer "espontáneamente" o como resultado del forzamiento por agentes externos, r. no existiendo una teoría general de la formación de estos. Hablamos E entonces de sistema como un conjunto de unidades, auto-organizadas en 3 - 0 m varios niveles de jerarquía, que interaccionan entre sí de manera no-lineal O 4 n mediante un cierto número de reglas, de manera que los cambios en alguna parte de este sistema se propagan a otras partes del mismo, y tal que el - m O sistema en su globalidad exhibe un comportamiento y propiedades emergentes, que no pueden inferirse por el análisis de las unidades que lo n O O componen. A causa de la no linealidad de las interacciones, tales sistemas pueden manifestar comportamientos caóticos y, por tanto, cierto grado de impredecibilidad asociada a la alta sensibilidad a las condiciones iniciales de este tipo de sistemas. La capacidad de autoorganización y propiedades emergentes de estos sistemas, sintetizados en la conocida expresión "the whole is more than the sum of its parts" (Holland, 1998), añade un nuevo tipo de impredecibilidad. Debido de la complejidad que caracteriza cada organismo humano y teniendo presente la singularidad de los subsistemas que lo componen, cuando se trata de estudiar su manifestación a través de la actividad física, podemos observar cierta regularidad en los comportamientos. Esto hace que cuando estudiamos al ser humano, o alguna de sus manifestaciones (ejemplo: el deporte), aunque no podamos predecir con exactitud sus conductas, sí podamos establecer ciertas pautas que nos permitan aproximarnos a los aspectos fundamentales de su funcionamiento. Así por ejemplo, cuando analizamos las carreras de medio fondo y fondo, vemos como la velocidad media con la que se puede recorrer una distancia dada, o el tiempo empleado en ella, se comporta de acuerdo a una ley de potencia (LP) del tipo v= cdao su equivalente logv= log c-alogd Donde las constantes c y a (exponente de escala) de la ecuación toman distintos valores según sea el nivel de rendimiento, y10 entrenamiento, del deportista. El valor de d representa la distancia recorrida en cada carrera que, en nuestro caso, son las distancias más populares entre los programas atléticos, pero poniendo especial interés en lo que se conocen como carreras de medio-fondo y fondo: 1.500 m, 3.000 m, 5.000 m, 10.000 m, 21 .O97 m (media-maratón) y 42.195 m (maratón). Entendemos que este tipo de comportamiento se da en cada grupo de deportista y es independiente de sus características individuales. Las LP son comportamientos muy comunes en la naturaleza, (terremotos, ecosistemas, distribución de la materia en el universo, etc.). Los fenómenos asociados a este tipo de funciones no tienen escalas características y la aparición de LP sugiere, aunque no siempre, la existencia de posibles fenómenos críticos asociados a algún tipo de transición de fase. Es bien conocido (Binney et al., 4993; Solé et al.,1996) que un sistema 3 - 0 m puede sufrir fuertes cambios cualitativos (transición de fase) en sus O 4 n propiedades macroscópicas, si se modifica adecuadamente algún parámetro de control apropiado. Cercano a los puntos críticos pueden aparecer de - m O manera espontánea estructuras fractales, patrones de dinámica compleja, transferencia óptima de información. n O O Mas recientemente se ha planteado la denominada conjetura SOC (P. Bak, 1987, 1997; Paczuski et al., 1996; Jensen, 1998), según la cual algunos sistemas que operan lejos del equilibrio son conducidos continuamente por su propia dinámica interna, y acaso las interacciones con el medio que las rodea, hacia un estado crítico, que, al igual que en el caso de las transiciones de fase, se caracterizan por ser libres de escala. Los sistemas que muestran SOC parecen ser robustos y bien adaptados a perturbaciones externas. Desde esta perspectiva, la interacción de los deportistas con los factores que intervienen y condicionan el rendimiento atlético en carreras de resistencia (nivel de entrenamiento, experiencia atlética, edad, características de las competiciones, incentivos sociales o económicos, universo de practicantes, etc,.) podría autoconducirlos hacia este tipo de estados. De muchas maneras, el ser humano (no sólo los deportistas), explora continuamente los límites de su capacidad de rendimiento, físico, mental o de cualquier otra índole. Para ello es necesario que se apliquen, de forma especifica e individualizada, en una secuencia muy bien controlada los adecuados protocolos de intervención sobre el organismo del deportista. Para los atletas el estado de forma óptima que le permita acceder a su mejor registro personal o a otro que represente un récord en la modalidad, está asociado a un especial estado de funcionamiento interno, físico y mental, diferente al de un sujeto que simplemente se enfrenta a los requerimientos de la vida cotidiana. Las interconexiones e intercomunicaciones entre los diferentes órganos y sistemas funcionales le permiten atender, en estas extremas situaciones, a las especiales demandas de trabajo mediante una respuesta coherente, intensa y sinérgica de cada estructura de su organismo. Este complejo proceso funcional es similar al que se manifiesta en sistemas altamente disipativos que operan lejos del equilibrio termodinámico. En resumen, a partir de lo mencionado, esta investigación se concreta en el estudio de los siguientes objetivos: - Investigar si la máxima velocidad con la que se puede recorrer diferentes distancias de carrera se comportan de acuerdo a una LP. - Comprobar la estructura multifractal subyacente en las pruebas de carrera de media y larga duración. - Determinar la posible existencia de algún punto crítico en este comportamiento que nos indique la existencia de más de una LP cuando estudiamos el rendimiento en las distintas distancias de carrera. - Estudiar sí las LP resultantes en cada nivel de rendimiento pueden ser utilizadas como instrumento de predicción de rendimientos en diferentes distancias de carrera. - Analizar desde la complejidad, por grupo de pruebas y de manera individualizada las distancias de 1.500, 3.000, 5.000, 10.000, 21.097 y 42.195 metros. - Comparar los comportamientos de diferentes modalidades atléticas a partir de intervalos de rendimientos (individuales y totales) utilizando las leyes de Zipf y Zipf-Mandelbrot. La validez de estos análisis aumenta cuanto más elevado es el número de atletas que realizan, en condiciones óptimas de competición, cada una de las distancias objeto de estudio. De esta manera, al disponer de un universo muestra1 grande podemos amortiguar al máximo las interferencias derivadas de comportamientos individuales extremos o atipicos. La importancia de la muestra empleada se manifiesta cuando centramos el estudio entre los mejores deportistas de cada distancia atlética, especialmente cuando nos referimos a los valores que constituyen los récords mundiales de cada una de las pruebas utilizadas. En este trabajo se usa como muestra los rankings mundiales all-time en el que se relacionan sólo la mejor marca de cada uno de los atletas que han corrido las diferentes distancias. No obstante, algunos análisis requieren la utilización del ranking oficial de marcas en el que se refleja la totalidad de registros logrados por cualquier atleta dentro de un rango de nivel previamente establecido. Las marcas empleadas corresponden siempre a los registros oficialmente reconocidos por la IAAF como válidos poniendo como fecha tope para el estudio aquellas marcas obtenidas antes del 30 de octubre de 2003. "Diez microsegundos después del big-bang el plasma de quark y gluones se expandió y al enfriarse dio lugar a la formación de hadrones y leptones, la dilatación posterior enfrió tanto la materia que estos se juntaron para formar átomos. En los hornos estelares los átomos ligeros dieron lugar a los mas pesados, y así sucesivamente hasta nuestros días". Este ejemplo citado por Martín en la conferencia "Conciencia y Realidad: algunos aspectos científicos abiertos a comienzos del 111 milenio. Bases para un debate" (Martín, 2002) , para referirse a la creación de las estructuras de la naturaleza y posteriormente la vida, refleja con precisión meridiana la composición y la función que cumple cada elemento de una estructura superior con un plan determinado y la evolución en el tiempo. Como podemos apreciar en esta historia los ingredientes en niveles inferiores se agrupan para dar lugar a los superiores y se forman todas las estructuras imaginables. La materia se organiza en niveles y escalas bien separados y distinguibles: Organización de los quarks, hadrones (neutrones y protones), átomos, etc., tal como sucede en el caso de las estructuracion de las sociedades; familias, clanes, comunidades, ciudades, países. No hay organizaciones en escalas intermedias. el conocimiento completo de todas ellas determine unívocamente el estado del sistema. Se dirá, entonces, que un sistema se encuentra en un estado de equilibrio si este permanece, al menos estadísticamente, sin cambiar con el paso del tiempo. El conjunto de todos los posibles valores de las variables, o de todos los posibles estados del sistema es lo que se conoce como espacio de fases (de estados o de configuraciones), siendo el estado actual del sistema un punto en dicho espacio de fases. Con el tiempo, este punto se mueve o evoluciona en el espacio de fases, describiendo una trayectoria u órbita, que nos permite evaluar el estado del sistema en un tiempo posterior. Al estado inicial se le conoce como conjunto de condiciones iniciales. El sistema, por consiguiente, estará condicionado en gran medida por el estado interno de los elementos constituyentes, pues existirá gran cantidad de variables que a cada instante estarán propiciando nuevos movimientos en el sistema, lo que provocará la pérdida de equilibrio y consecuentemente la no linealidad. Lejos de permanecer inmóviles y aislados los flujos de energía generados en el intercambio de información entre los elementos, permitirá que partes de la estructura adquieran nuevas propiedades, traduciéndose esto en características completamente nuevas y necesarias para comprender la dinámica de los sistemas (Almendra, 2002). Esta nueva estructuración de los estados internos asegura la cohesión y la coherencia de los movimientos del sistema, dándole la posibilidad de alcanzar otros múltiples estados y en consecuencia gran cantidad de "oportunidades" para mantener el flujo que le da vida al sistema. El movimiento en estos sistemas no lineales tiende hacia una zona o patrón orbital que se ubica entre el desorden producido por una amplia gama de desplazamientos que vuelven el comportamiento en caótico y una región de poca o casi nula actividad espontánea regida por el orden. De modo que la fluctuación entre estos dos espacios corresponde a la permanente búsqueda del sistema por llegar a un lugar intermedio que le permita limitar con ambos y pendular entre ellos. Esta zona hacia la que se siente atraída el sistema se denomina atractor. Un atractor es, por lo tanto, una región del espacio de fases a la que tiende o es atraído el comportamiento de un sistema. Algunos sistemas que no tienden al reposo a largo plazo, recorriendo periódicamente una sucesión de estados, se conocen como ciclos límite, mostrando curvas cerradas en el espacio de fases. La cuenca de atracción es el conjunto de puntos que evolucionan hacia un atractor. 1.2 CAOS Cuando un sistema a nivel local cuenta con reglas muy simples y a pesar de ello globalmente exhibe un comportamiento altamente inesperado que no es predecible, estamos hablando de un sistema caótico (Prigogine, 1984). Una de las características intrínsecas de estos sistemas es la gran sensibilidad de las condiciones iniciales, en las que una mínima e insignificante alteración puede provocar una catástrofe, su capacidad de propagación y amplificación exponencial a lo largo del sistema, es capaz de desencadenar un comportamiento posterior totalmente diferente (Prigogine, 1984). Es decir, aunque las condiciones iniciales hayan sido casi idénticas y el resto de las exposiciones o influencias a las que se encuentre sometido el sistema sean particularmente parecidas a las primeras, acaban transformándose en configuraciones finales completamente diferentes, razón por la cual resulta imposible hacer una precisión del estado final de estos sistemas. No obstante, el caos, no es carencia absoluta de orden, o a la inversa, solamente desorden, sino es una mezcla de ambos estados, que aunque parezcan contar con parte de una evolución aleatoria y errática en su funcionamiento interno, tienen un cierto orden subyacente que le permite oscilar de un estado a otro sin que se pierdan o alteren las estrictas leyes naturales a las que obedece su dinámica. Los sistemas conformados por una cantidad de elementos similares bajo interacción, exhiben una gama muy rica de conductas dinámicas complejas cuando se encuentran en las cercanías de una zona de transición entre estados ordenados y estados desordenados (transiciones de fase orden-desorden). Los sistemas demasiado desordenados (caóticos) o demasiado ordenados pueden que no sustenten, por mencionar un ejemplo, capacidades de procesamiento de información, que en el caso de una estructura social característica, resulta claramente esencial. Una investigación sobre la organización del sistema social de las hormigas realizado por Miramontes (2000), y que ejemplifica claramente esta dinámica, se observa al estudiar el comportamiento dentro de las colonias de las hormigas del género Leptothorax. Se señala que, contra lo normalmente esperado, los individuos de esta colonia pueden pasar hasta un 25% del tiempo inactiva, mientras las otras ejecutan "tareas de recolección". Esta conducta, según la investigación, parece apuntar al hecho de que aquellos sistemas en los que orden y desorden coexisten, presentan "resultados más adecuados para dar sustento a los procesos informativos emergentes, lo que brinda mayor capacidad y flexibilidad adaptativa a dichos sistemas" (Miramontes, 2000). Por otra parte, el hecho de que el sistema se encuentre en permanente oscilación entre orden y desorden, facilita la participación de las propiedades intrínsecas tanto de un estado como de otro y asimismo la aparición de nuevas propiedades emergentes, que en definitiva facilitan la adaptación y evolución del sistema a nuevas configuraciones o estados (Levinson, 1994). En muchos otros fenómenos naturales no parece haber una relación clara entre causa y efecto (meteorología y sistemas climáticos, el flujo de un torrente, el resultado al tirar los dados, etc.), teniendo todos ellos aspectos impredecibles, y por tanto, las predicciones se realizan en términos de probabilidades, ya que parecen contener elementos aleatorios. Sin embargo, aunque los proceso estocásticos o aleatorios se han asociado siempre a sistemas con un número grande de grados de libertad (cada grado de libertad tiene que ver con cada una de las variables necesarias para la descripción del sistema), existen sistemas deterministas muy simples que pueden generar un comportamiento complejo de tipo aleatorio (Solé, 1996). Un sistema caótico es justamente esto, un sistema determinístico pero imposible de predecir. Aunque esté regido por una sola ecuación, puede generar dinámicas aparentemente aleatorias o erráticas que jamás se repiten, siendo, con todo, impredecible a largo plazo. De esta manera, tras fenómenos aparentemente complicados, puede subyacer un orden oculto. El comportamiento caótico tiene cuatro características importantes (Almendro, 2000): - El sistema es determinista, viene gobernado por un conjunto de ecuaciones (o reglas) que definen la evolución del sistema. - El comportamiento está acotado. El sistema esta variando siempre dentro de unos límites. - El comportamiento de las variables es aperiódico en el régimen caótico, sus valores no se repiten nunca. - El comportamiento depende de forma muy sensible de las condiciones iniciales (efecto mariposa). Es decir, dos puntos o estados, en el espacio de fases, muy cercanos entre sí, eventualmente se separarán unos de otros. Todos estos comportamientos hacen impredecible a este tipo de sistema, dada la imposibilidad de conocer exactamente el valor de todas las variables que determinan su estado en un momento dado. Basta una imprecisión mínima en nuestro conocimiento de las condiciones iniciales para que esta se propague exponencialmente hasta anular toda predicción. Las predicciones, por tanto, deben basarse en propiedades estadísticas o geométricas, lo cual afecta al método científico tradicional, ya que el procedimiento para verificar una teoría es hacer predicciones y contrastarlas con datos experimentales. También afecta al reduccionismo, que pretende entender un sistema descomponiéndolo en sus partes, ya que un sistema puede tener un comportamiento complicado que emerge en virtud de simples interacciones no lineales entre algunos componentes. La sensibilidad a las condiciones iniciales implica, de alguna forma, la muerte del reduccionismo, cualquier pequeña incertidumbre en las condiciones iniciales crecerá exponencialmente con el tiempo: por bien que sea conocido el punto inicial, no se puede predecir el futuro para siempre. Los sistemas caóticos deben poseer estados de equilibrio que son necesariamente inestables (Levinson, 1994). Un sistema está en un estado de equilibrio estable si una ligera perturbación no produce un gran efecto subsiguiente, retornando el sistema a la misma posición de equilibrio pasado algún tiempo. Al contrario, un estado de equilibrio se denomina inestable si al perturbarlo ligeramente, termina por evolucionar enseguida a un estado diferente. Por ejemplo un lápiz puesto en pie, en estado vertical, cae al moverlo levemente, y caído, o sea en posición horizontal, se encuentra en un estado diferente (el resultado de una pequeña perturbación se amplifica). El equilibrio inestable tiene mucho en común con la dependencia sensible: ambos suponen la amplificación de pequeñas perturbaciones (Martín, 2002). Un ejemplo de la estabilidad caótica es un arroyo turbulento, donde es imposible predecir la trayectoria de una partícula de agua, y aunque es un sistema continuamente cambiante es siempre estable (si se tira una piedra al agua el sistema no se desestabilizará). Otro puede ser la predicción climática, casi imposible de una semana a otra, pero los sucesos meteorológicos se suceden a lo largo de los años con gran parsimonia (Martín, 2002). La naturaleza parece utilizar el caos de manera constructiva a través de la amplificación de pequeñas fluctuaciones de manera que puede facilitar a los sistemas naturales el acceso a lo nuevo, por ello, una medida del caos es la entropía, que viene a constituir el promedio del ritmo al que el sistema crea o destruye información (Prigogine, 1984). Caos, como ya se dijo, no significa desorden absoluto, sino un comportamiento regido por factores determinísticos, pero con un nivel significativo de incertidumbre en la evolución de su comportamiento. En resumen, los sistemas no lineales, como el clima, son impredecibles, así lo son también los ecosistemas, las entidades económicas, los embriones en desarrollo y, sobre todo, el cerebro. Todos son ejemplos de una complejidad dinámica que desafía el análisis matemático y la simulación. De otro lado, se pueden observar sistemas con un comportamiento global determinístico, y un comportamiento local impredecible. Por ejemplo: se sabe que el ritmo cardiaco de una persona normal en reposo se puede encontrar entre 60 y 100 latidos por minuto, pero es imposible saber, con exactitud, cual será su frecuencia cardiaca un tiempo después de medir esta variable. Este tipo de comportamiento se observa también en sistemas que se encuentran influidos por el azar: factores externos aleatoriarnente variables. Los sistemas caóticos operan bajo una amplia gama de condiciones y son adaptables y flexibles, permitiendo a los sistemas habérselas con las exigencias de un ambiente cambiante e impredecible. Muchas patologías del corazón muestran un comportamiento cada vez más periódico, perdiendo variabilidad. Caos aquí sería sinónimo de salud (García, 2003). 1.3 FRACTALES Aparecen en las matemáticas hacia finales del siglo XIX. Fue Benoit Mandelbrot quien le dio el nombre y popularizó la nueva geometría fractal, aunque en rigor, ya desde Cantor en adelante muchos científicos venían hablando de esta disciplina pero bajo otro nombre (Clark, 1999). Vio Mandelbrot (Mandelbrot, 1977), la naturaleza a través de la geometría fractal y en esta, irregularidades e interrupciones que se describían con cierta similaridad, con independencia del tamaño de las estructuras observadas y de la escala utilizada para la imagen, las características generales del objeto observado presentaban autosimilaridad en sus formas. Un detalle de la estructura que se observa presenta entonces semejanzas que facilitan la descripción del sistema. Una primera imagen puede entregar información y comprensión del resto, pues es una representación reducida pero pormenorizada del todo. En principio eran curvas o superficies infinitamente plegadas, líneas infinitas compactificadas de forma regular en una superficie finita, superficies no derivables bajo ningún punto, conjuntos de puntos aislados isomorfos a la recta real, ejemplos de objetos no rectificables. Son innumerables los objetos fractales que se pueden encontrar en todas las ramas del conocimiento, y no únicamente en las relacionadas con la física, las matemáticas o la biología. El mundo macroscópico, el orgánico pero también el inorgánico está repleto de objetos fractales. Un fractal es una figura geométrica que no se hace más simple cuando se analiza en partes cada vez más pequeñas (Mandelbrot, 1984). A veces las partes reproducen la misma estructura que el todo, en este caso los fractales se denominan autosimilares (un ejemplo corriente sería el de una coliflor). Las estructuras fractales tienen la característica de ser invariantes a escala, es decir, a todas las escalas a las que podamos observarlo las partes son semejantes al todo. Así como existen estructuras con geometría fractal, existen fenómenos con características fractales, ya que poseen patrones de comportamiento que se repiten en diferentes escalas de tiempo. Estos fenómenos pueden ser caracterizados con ayuda de las herramientas matemáticas de la geometría fractal. La naturaleza esta llena de fractales. Una montaña o un árbol. El cuerpo humano, un patrón de terremotos, el cielo un día nuboso, una costa, las ondas sobre la superficie del océano, patrones de vegetación, etc., presentan estructuras que no son más simples cuando las examinamos aumentándolas al "microscopio". En el cuerpo humano existen muchas estructuras con La combinación de estructuras y emergencia conduce a la autoorganización, proceso espontáneo de organización de elementos individuales en estructuras coherentes. La autoorganización puede definirse como la tendencia constante y espontánea de un sistema a generar patrones de comportamiento globales a partir de las interacciones entre sus partes constituyentes y de las interacciones de estas con su entorno. Debido sólo al entendimiento mutuo entre las partes que conforman el sistema, estas realizan un trabajo conjunto y coherente. Para tratar de acomodar los seres vivos se utiliza una clase especial de sistemas complejos: Los sistemas complejos adaptativos. Estos sistemas poseen la capacidad de, cambiándose a si mismos, adaptarse a los cambios ambientales. Y también cambiar el ambiente para acomodarlo a ellos mismos. Al evolucionar transforman su entorno, con lo que modifican las condiciones y reglas de cambio, retroalimentación funcional que pone de manifiesto su carácter adaptativo. Entre ellos, muchos se autoreproducen. De alguna manera saben nacer, crecer y morir. Podemos decir, por tanto, que los sistemas complejos adaptativos (no sólo biológicos, también los sociales), tienen una "complejidad adicional" debido a su capacidad de tomar decisiones de forma autónoma, supuestamente basada en la información disponible y a la influencia de factores externos o internos. Las decisiones autónomas son impredecibles excepto en un sentido estadístico. Los humanos, como la mayoría de los animales, tienen la capacidad de aprender, de adquirir conocimientos sobre su ambiente físico y sobre si mismos. Único en los humanos parece ser la capacidad de generar nuevo conocimiento, investigando y aplicándolo a la producción de bienes y servicios e innovaciones tecnológicas, que afectan profundamente a su calidad de vida. 5. Los sistemas complejos involucran o implican una interacción entre orden y caos. Algunos autores mantienen que la complejidad ocurre o se sitúa en la frontera o al borde del caos. Para ello imaginemos una variable de cualquier sistema que tenga algún parámetro de control que puede cambiar dependiendo del ambiente (por ejemplo, la temperatura). La mayoría de los sistemas no lineales no muestran fenomenología caótica para todos los valores de dicho parámetro de control. La frontera del caos sería aquel valor preciso del parámetro de control para el que la naturaleza de la dinámica pasa de un comportamiento a otro. Es como un punto crítico en una transformación de fase, el punto donde las correlaciones de rango largo son más importantes. Los sistemas complejos aparecen a medio camino entre el orden y el desorden. El orden es necesario para almacenar información y mantener la estabilidad de las estructuras. Pero se necesita flexibilidad en la transmisión de información. Parece como si los sistemas complejos, tales como los biológicos, actuaran modificando su ambiente para poder operar tanto como sea posible en ese lugar fronterizo entre el orden y el caos, lugar donde es más probable que ocurra la autoorganización ya que en este punto se dan fuertes correlaciones de largo alcance. Hay multitud de ejemplos de este tipo de fenómenos: las colecciones de organismos sujetos a las leyes de la evolución, animales, tribus, sociedades, ciudades, estados, equipos deportivos, grandes corporaciones, entre otras. Recientemente (J. Crutchfield, S. Kauffman, C Langton, en Bak, 1997) han mostrado que la complejidad aparece también en ciertas condiciones especiales, o puntos críticos, en los que tienen lugar transiciones de fase. En estos puntos críticos parece coexistir orden y desorden en los sistemas naturales, coexistencia que conlleva la aparición de estructuras fractales (o autosemejante), que se caracterizan por presentar el mismo aspecto básico a distintas escalas. Es más, algunos fenómenos complejos como movimientos sísmicos, dinámica de montones de arena, rnacroevolución, etc., tienden de forma espontánea hacia algún punto crítico, exhibiendo propiedades comunes entre ellos a pesar de su distinta naturaleza. Parece haber elementos en interacción que amplifican perturbaciones fortuitas, de manera que la amplificación de la perturbación inicial puede provocar grandes cambios: terremotos, avalanchas, etc. siendo los terremotos de poca intensidad, por ejemplo, mucho más frecuentes. El comportamiento en el punto crítico sigue leyes de potencia. Donde se cumplan leyes potenciales se descubre también la existencia de propiedades fractales. Un ejemplo lo proporciona una selva tropical (Solé et al. 1996), donde las perturbaciones impiden que la competencia entre especies sea "sin cuartel", generándose nuevas oportunidades. La caída de un árbol es una perturbación endógena, que deja un claro en el bosque, por donde entra la luz, cambiando las condiciones de humedad y temperatura en el sitio. A veces la caída arrastra a otros árboles formándose claros de gran tamaño. La dinámica de claros contribuye al mantenimiento de la diversidad. La distribución de tamaño de claros es de tipo potencial, como corresponde a un sistema cerca del punto critico. La información transmitida se hace máxima en el punto crítico. Para obtener un comportamiento global coherente es preciso, por tanto, que las interacciones entre individuos den lugar a correlaciones que abarquen el sistema entero. Las propiedades de los puntos criticas: no linealidad, emergencia, autosemejanza, se presentan en todos los sistemas complejos. También la computación, o capacidad de un sistema complejo para captar y procesar información, aparece en la frontera del caos. Los sistemas complejos tienen capacidad para interaccionar con su ambiente y procesar la información recibida, para lo que se necesita cierto orden interno que permita almacenar la información. Es necesario, por otra parte, cierto grado de desorden (flexibilidad interna) para poder manipular dicha información. Algunos autores creen que la evolución de las especies se desarrolla también en la frontera del caos. Si la vida se encuentra en zona critica, es la dinámica natural del propio sistema la que impone que los seres vivos que existen no sean todos los imaginables, sino los viables bajo las leyes fisicoquímicas subyacentes a los seres vivos. El cerebro se considera también un sistema complejo cercano al punto crítico. El estudio de ondas cerebrales parece indicar la existencia de caos determinista. Así, ciertos estados patológicos de la actividad cerebral muestran ondas muy ordenadas o muy desordenadas, mientras que en estados de normalidad convergen ambos aspectos: las ondas son aperiódicas pero permiten, al propagarse por la corteza, sincronizar miles de millones de neuronas de forma ordenada. Se cree que las transiciones de fase pueden desempeñar un papel muy importante en la dinámica del cerebro ( Haken et al\¡., 1995; Kelso et alli. 1997) que operaria cerca de puntos críticos donde posee la capacidad óptima de manejar y procesar información. Algunos sicoterapeutas plantean que el inconsciente seria, al operar de modo más desordenado, responsable de capacidad creativa, y el consciente una especie de base de datos ordenada (Almendro, 2000). En resumen, un sistema completamente ordenado no es capaz de guardar y procesar información. Por el contrario un sistema completamente aleatorio, como un gas, debido a su extrema volubilidad que le impide sustentar alguna estructura coherente, tampoco. Debe darse el orden suficiente para sustentar procesos con una dosis de desorden para poder explorar y adaptarse a situaciones novedosas. 6. Los sistemas complejos involucran o implican interacción entre cooperación y competición. Muchas de las relaciones que se dan entre los constituyentes de un sistema, se fundamentan en la necesidad de estos de "asociarse" y a la vez competir por un espacio, por alimento o algún otro factor común. Entendido esto como una interacción entre escalas, es decir, la competición a escala n es sostenida o alimentada por cooperación a escala n-l. Por ejemplo, familias que compiten con otras en lo económico, pero cooperan entre sus miembros (mejorando si sus miembros toman parte en las decisiones). Guerra entre naciones y patriotismo local, hormigas, termitas, abejas. Esta dicotomía cooperación-competición parece terminar con viejos conceptos en teoría de la evolución como supervivencia por adaptación, etc. Un buen resumen se desprende de las palabras de Prigogine (Prigogine, 1984), quien sostiene que las leyes de la naturaleza, no están todas "dadas" desde el principio, sino que evolucionan como lo hacen las especies. A medida que las cosas se complican, aparecen bifurcaciones, amplificaciones, fluctuaciones y emergen nuevas leyes. "Las raíces de lo biológico se hunden en la materia mucho antes de lo que hubiera podido imaginarse". El papel activo de la irreversibilidad, la creación de un orden por fluctuaciones, el carácter aleatorio de éstas, la historicidad - es decir el papel del pasadointroducido por el orden de sucesión de las bifurcaciones que conducen a una estructura, constituyen un conjunto de notables propiedades de la evolución, características de los sistemas alejados del equilibrio. 1.5 CRITICALIDAD AUTOORGANIZADA (SOC) Como se dijo, la complejidad es el problema central de la llamada ciencia de los sistemas complejos y esta relacionada con las propiedades que emergen de las interacciones de varios elementos similares. Además, se relaciona con la generación espontánea de orden que se manifiesta en varias escalas temporales y espaciales diferentes a aquellas en las que ocurren las interacciones (Kelso, 1997, 1998, 2001). Se trata, pues, de un orden generado sin la intervención de un control central o de un plan determinado, ya sea en el diseño estructural de los elementos o codificado en los mecanismos de interacción. Este nuevo orden se conoce con el nombre de autoorganización y se manifiesta generalmente como una ruptura espontánea de simetría, en la que existe formación de patrones donde antes no los había, y por la posibilidad de conductas colectivas altamente organizadas, aún en la ausencia de diseños prefijados. Los sistemas de la naturaleza en general son ejemplos de un delicado equilibrio, donde orden y desorden coexisten. Es este el balance entre cierta aleatoriedad y autoorganización (Solé, 1993). La evolución es y será un ejemplo caracterizador de este fenómeno. Fue Bak y colaboradores quien en el 1987 (Bak, 1987) introdujo el concepto de SOC a la paradoja de equilibrio y catástrofe que coexiste en la naturaleza. Propuso que es posible que algunos sistemas dinámicos lleguen a arreglos dentro de si mismos de manera que siempre se encuentren en algún tipo de punto crítico, sin importar cual fue el estado de partida. Se dice que tales sistemas se "autoorganizan" hacia el punto crítico o que muestran "criticalidad autoorganizada". Estos modelos se han aplicado en diversos fenómenos de la naturaleza (Haken, 1995 et alli; Haken, 1997, Jeldtoft), tales como, incendios, terremotos y avalanchas, y aunque probablemente no sea la ley universal que algunos han creído ver, parece ser un poderoso e intrigante concepto que potencialmente tiene aplicaciones en una amplia variedad de fenómenos. La idea básica de los SOC es un gran sistema dinámico que se autoorganiza y es altamente interactivo en sus estados críticos, donde la menor perturbación puede provocar eventos, llamados avalanchas por todos sus lados y de todos los tamaños que ocurren entre eventos conectados causalmente, estos sistemas son autoorganizados, debido a que estas regularidades emergen sin interferencias externas. El sistema exhibe puntuaciones de comportamientos equilibrados, donde periodos de estabilidad son interrumpidos por intermitentes rupturas de su actividad cotidiana (Bak, 1987). Desde el momento en que estos sistemas se presentan como ruidosos por la alta variabilidad de sus comportamientos, los eventos actuales no pueden ser predichos; sin embargo, la distribución estadística de estos eventos si resulta predecible. Si la historia pudiera ser repetida con mínimas diferencias, los resultados serían completamente diferentes. Algunos grandes sucesos catastróficos podrían ser evitados, pero otros indefectiblemente igual hubiesen ocurrido. No existe una solución instantánea que pueda estabilizar el sistema y prevenir las fluctuaciones. Si el cuadro es el correcto para el mundo real, deberíamos aceptar las fluctuaciones y cambios como inevitables. Ellos son intrínsecos a la dinámica de la biología, la historia y la economía entre otras. Ocasionalmente se producen cambios radicales, donde perturbaciones pequeñas van creando "avalanchas" que se propagan entre los agentes interconectados desarrollando buena cantidad de reacciones en cadena. SOC implica una universalidad de fenómenos complejos diversos, en la cual las interacciones entre agentes son las responsables del comportamiento complejo del sistema como un todo, manifestado en cambios puntuales, sistemas con memoria y regularidad estadística de las avalanchas. SOC en la naturaleza ha sido de gran interés en la investigación en la última década y se ha usado para modelar fenómenos distintos: sistemas mecánicos, evolución de especies, fluctuación en fenómenos económicos de mercado, dispersión de fuegos en el bosque, también las características del crecimiento de escala libre de los sistemas autoorganizados se han observado en compañías manufactureras, poblaciones de pájaros, redes de actores de holywood, papers, etc. (Bak,l997; Neuman,2005) . Lo que todos estos fenómenos parecen tener en común es que las interacciones entre lugar y momento y de este modo, manejar las distribuciones y evitar la quema indiscriminada, de gran parte o la totalidad, del bosque, El modelo de el ruido coherente fue propuesto por Sneppen y Newman (en Newman, 2005), como un modelo biológico de extinción. En este mecanismo, un número de agentes o especies está sujeto a presión por varias zonas y cada agente cuenta con umbrales de estres que pueden soportar, sobre los cuales una nueva aplicación de este irá borrando un agente hasta que las especies llegan a extinguirse. Las especies extinguidas son reemplazadas por unas nuevas con umbrales escogidos aleatoriamente. El resultado final es que el sistema se autoorganiza hacia estados donde más de una especie sobrevive teniendo altos umbrales, pero la distribución exacta depende de la distribución de estrés de una manera muy similar a la relación entre parcelas y frecuencia de fuegos de la Highly optimized tolerante (HOT). Las Fragmentaciones corresponden a un modelo que se podría ejemplificar de la siguiente manera. Supongamos que se quiebra una barra en dos partes, con una posición que es una fracción aleatoria z a lo largo de la barra. Después de muchos quiebres, el largo de una de las piezas remanentes será ni zi , donde zi es la posición de i th quiebres. Este es el producto de números aleatorios y por consiguiente el resultado de la distribución del largo de la barra sería una Ip sobre una porción de ese rango. Un mecanismo similar a este y común en la naturaleza seria, por ejemplo, producir una distribución de Ip de meteoros y otros fragmentos de rocas interplanetarias, las cuales se rompen al colisionar unas con otras mostrando un comportamiento de ley de potencia (Newman, 2005). 1.6 LEYES DE ESCALA (POWER LAWS). Muchas de las cosas que los científicos miden tienen una escala o tamaño típico, es decir, valor característico alrededor del cual las medidas individuales están centradas. La altura de las personas, la velocidad en kmlhr de los autos, las temperaturas en determinadas zonas, etc. son ejemplos de estos valores cuyos histogramas muestra una campana de Gauss. Pero no todas las cosas medidas tienen valores típicos. Algunos varian sobre una enorme dinámica de rangos, en muchos Órdenes de magnitud. Un ejemplo clásico esta dado por el tipo de comportamiento de los tamaños de las ciudades y sus poblaciones. Grandes ciudades con mucha población serán considerablemente menos que la gran cantidad de ciudades pequeñas con pocos habitantes. La distribución de leyes de potencia ocurre en rangos extraordinariamente diverso de fenómenos. En efecto el ejemplo citado de las poblaciones de las ciudades, el tamaño de los temblores, los cráteres lunares, estallidos solares, archivos computacionales, guerras, la frecuencia de palabras usadas en el lenguaje humano, el número de artículos científicos escritos, el numero de citaciones por articulo, el número de éxitos en las paginas web, las ventas de libros, y un amplio número de otras variables que efectivamente siguen una distribución de ley de potencia. Identificar un comportamiento de Ip en cualquier fenómeno de la naturaleza o en sistemas construidos por el hombre puede ser difícil. La estrategia estandarizada para observar sus resultados es la siguiente: un histograma de un valor con una distribución de Ip aparece como una IÉnea recta cuando se gráfica como escala logarítmica. Sin embargo, a veces, el histograma completo muestra que no toda la Iínea tiene el comportamiento de Iínea recta, por lo que la observación debe ser cuidadosa y minuciosa respecto de aquellos valores que se encuentran en la zona "ruidosa", con el objeto de no caer en el error de subvalorar todo lo que se encuentra allí contenido. En algunas situaciones específicas se podrá optar por eliminar aquellos datos, pero en otras la información contenida en ese segmento puede que contenga valor sustantivo respecto del comportamiento del sistema observado. Una solución alternativa es variar el ancho de los intervalos en el histograma. Si se va a hacer esto, se debe normalizar el total de la muestra para ampliar los intervalos allí contenidos. Se debe considerar también, que una distribución de datos acumulativa puede verse con una Iínea recta típica de Ip o bien curva al final de la misma, lo que podría ser indicador de una distribución acumulativa con Ip análogas de las llamadas ley de Zipf o ley de Pareto (Newman, 2005). Anteriormente se habían mencionado una serie de ejemplos de distribuciones acumulativas que siguen un comportamiento de Ip para fenómenos de distinta índole, entre ellas, físicas, biológicos, tecnológicos, sistemas sociales de varios tipos, etc. El echo de que los comportamientos en fenómenos tan diversos del mundo natural, se vean expresados a través de un único y simple mecanismo matemático como es la Ip, hace que se vincule a todos estos sistemas juntos, aunque para el entendimiento común sea inconexos. En el caso de los sistemas SOC, estos se caracterizan por distribuciones Ip de eventos o de otras cantidades. Por ejemplo, una distribución Ip del tamaño de eventos o sucesos sobre un tiempo, significa que el histograma de estos por sus tamaños, no es la familiar curva normal, sino una distribución altamente torcida, tal que la frecuencia decrece rápida y monótonamente desde los eventos menores a los mayores. Como ya se ha mencionado, una cualidad especial de una Ip es que esta parece una línea recta sobre un gráfico cuando ambos ejes tienen escalas logarítmicas. Matemáticamente una Ip significa que cierta cantidad N puede ser expresada como proporcional a alguna potencia de otra cantidad r. Lo que queda de forma, N=@ donde C es una constante y d el exponente, el que además puede ser un número fraccional. Este tipo de función es a veces referido como una Ip debido al exponente alfa, pues cuando la dibujamos sobre una escala doblemente logarítrnica la resultante nos da una línea recta característica de pendiente alfa, de modo que la expresión anterior queda de la siguiente manera; log (N) = log (C) - D * log (r) , en la que la recta intersecta el eje de ordenadas en log (C). Es costumbre ajustar estas funciones mediante esta recta por el método de mínimos cuadrados (García, et al. 2003). Las distribuciones Ip no son ni triviales ni ubicuas. La altura de las personas, el tiempo de vida de estas, el número de tiradas de una moneda, el costo del pan, etc. y todas esas cosas que se distribuyen de forma estadística normal no producen Ip, pero sí, en cambio se encuentran en muchos diferentes fenómenos tales como economía ecología y física. En la actualidad no hay una teoría universalmente aceptada de porqué ocurren, solo se sabe que SOC es una de las teorías que existen para esto. Específicamente se observa una ley de potencia en los sistemas que se encuentran cerca de una transición de fase, lugar en que estos se hacen críticos no mostrando ninguna longitud característica y organizándose espontáneamente en fractales, obedecen, además a leyes de potencia cuyos exponentes se denominan exponentes críticos. Experimentos durante los años '70 y '80 mostraron que exponentes críticos de materiales solo se dan con ciertos valores esenciales pudiendo ser agrupados los que tienen exponentes idénticos en clases. Este principio señala que todos los sistemas que sufren transición de fase caen en uno de estos conjuntos de clase conocidos como universalidad. En esos años se realizaron trabajos experimentales midiéndose exponentes críticos de materiales: polímeros, metales, fluidos, gases, etc., se esperaba que a cada material correspondería un conjunto con diferencias en sus exponentes. En lugar de ello los materiales parecían agruparse asimismo en clase caracterizados en un único conjunto de exponentes críticos, puesto que estos describen la dinámica de un sistema cerca de una transición de fase continua. El hecho de que exista la clasificación mencionada prueba que comportamientos crítico arbitrario no son posibles. Sólo un número limitado de comportamientos existe en la naturaleza y se conocen como universales porque definen clase disjuntas llamadas, precisamente clase de universalidad. Cerca de una transición de fase continua un sistema dado no es muy sensible a la naturaleza de las partículas que lo constituyen o los detalles de la interacción que existe entre ellos, en lugar de esto, depende de otras características más fundamentales del sistema, tales como el número de dimensiones de la muestra. Desde un punto de vista teórico para estudiar un sistema físico, solo se ha de considerar el modelo matemático más simple posible de concebir en la misma clase de universalidad. Producirá el mismo exponente crítico que el sistema bajo estudio. En este campo la idea intuitiva de que la descripción de un sistema depende de la cantidad de detalles puesto en juego no es cierta. La transición de fase de agua a hielo es un ejemplo de transición de fase discontinua: la materia súbitamente pasa de un estado mas desordenado a uno más organizado (el cambio súbito se acompaña por intercambio de calor latente), (Martín, 2002). En nuestro estudio estamos interesados en sistemas algo diferentes, aquí los sistemas hacen transiciones entre dos fases diferentes pero lo hacen de una manera suave y continua (sin intercambiar calor latente), son las llamadas transiciones de fase continua. Para revelar las formas Ip de una distribución, es mejor dibujar el histograma sobre escalas logarítmicas y observar la característica línea recta de la distribución. No obstante, el dibujo no es muy bueno y puede suceder que la parte derecha de la distribución (caso D negativo), sea ruidosa debido a errores de muestreo, es decir, en esta region los intervalos (bins) en los que se divide la muestra para calcular el histograma contienen pocos valores de la muestra, si es que los hay. En esta region hay fluctuaciones que pueden ser grandes lo que aparece como ruido en la curva. Como se señaló anteriormente, una manera de tratar con este problema es eliminar los datos de la cola de la curva, lo que no es aconsejable pues a menudo hay información útil en estos datos, pero existe otra alternativa que es variar la anchura de los datos en el histograma ax y normalizar, es decir, el número de muestras en un intervalo de anchura ax debe ser dividido ax para obtener cuentas por unidad de intervalo. La muestra normalizada se hace independiente de la anchura. También puede hacerse un intervalo logarítmico. Otra manera de plotear los datos es calcular su función de distribución acumulada (CDF o FDA). En vez de plotear un simple histograma de datos, aquí se hace un plot de la probabilidad P(x) en que x tenga un valor mayor o igual a x. El plot obtenido ya no es una simple representación de la distribución de los datos. Si la distribución sigue una Ip p(x)=C~-~ de manera que la función de distribución acumulada sigue también una ley de potencia pero con exponente (a-1) y sobre escala doblemente logarítmica obtendremos nuevamente una recta. La ventaja en este caso es que no se necesita intervalar los datos para calcular P(x), que esta bien definida para cada valor de x. Esto evita todas las cuestiones acerca del tamaño de los intervalos. A veces las distribuciones acumuladas se denominan ranklfrequency plot, es decir distribuciones acumuladas con forma de Ip, las que a veces se dice que siguen la ley de Zipf o la distribución de Pareto. La ley de Zipf y la distribución de Pareto difieren una de otra en la manera en que la distribución acumulada es presentada o dibujada. Para Zipf, x esta en el eje horizontal y para Pareto al revés. En la práctica debemos estimar a desde los datos observados y el método más común es por ajuste de la línea recta aunque esto introduce algún sesgo en los valores del exponente. Pocas distribuciones en el mundo real siguen una Ip en todo su rango y en particular este efecto es mayor para valores pequeños de las variables que se miden. Por otra parte para cualquier valor del exponente, la función P(x) diverge cuando x tiende a O. Por esto en casos reales debe existir algún x,i,. De esta manera encontramos un cierto juego entre la elección del mínimo valor de x y por otra parte el problema de pocos datos en la cola final. Se ha de juzgar por tanto, el valor de x,i, sobre el cual la distribución sigue la Ip y una vez decidido se calcula (Martin, 2002). Una distribución Ip también se conoce como distribución libre de escala. El perfil o la forma de la distribución es una curva que no depende de la escala sobre la cual nosotros medimos. Este hecho no es solo una curiosidad, hay sistemas que llegan a ser libres de escala para ciertos valores especiales de los parámetros que lo gobiernan. Los puntos definidos por tales valores especiales se conocen como "transición de fase continua" y en tales puntos las cantidades observables en el sistema adoptan una distribución Ip lo cual motiva el estudio. También hay otros mecanismos que producen comportamientos tipo Ip no necesariamente transformaciones de fase. cantidades microscópicas una pl. Las circunstancias bajo las cuales se produce la divergencia son muy especificas y los parametros del sistema han de ser ajustados de manera muy precisa para producir el comportamiento Ip. Esto hace la divergencia de las longitudes de escala fenómenos muy improbables y por tanto no Útiles como explicación para la generación de distribuciones Ip. El punto preciso en el cual la longitud de escala en un sistema diverge es llamado punto critico o transición de fase mas especificamente una transición de fase continua. Las cosas que sucedan en la vecindad de una transición de fase continua se conocen como fenómenos críticos. 1.6.2 ZEPF - MANDELBROT En 1953, Benoit Mandelbrot, encuentra una expresión general de la ley de Zipf, la cual explica pequeñas diferencias entre ésta y los datos lingüísticos reales, que en su momento dieron origen a la ley de Zipf, fundamentalmente con aquellos datos que debían ser ajustados en el sector de la curva perteneciente a las palabras con menor frecuencia (Vogt, 2004). La ley de Mandelbrot es, por lo tanto, una generalización de la ley de Zipf, de forma que da cabida a leyes igualmente invariantes de escala pero más generales. Si el rango de un suceso es r, esta ley se puede escribir donde a es una constante y n el exponente que caracteriza ley. En el caso de la ley de Zipf original, a = O y n = 1. Este es un ejemplo sencillo y muy claro. Es quizá un poco menos evidente el estudio de autosimilaridad temporal, de las leyes de escala del tipo ll f P. El carácter universal de esta ley explica la gran cantidad de aplicaciones en diversos ámbitos y diferentes áreas de estudio, tales como; diversidad biológica, distribución de tamaños de las ciudades, distribución de terremotos, etc. En el estudio de la mayoría de estos sistemas previamente citados, la ley de Zipf, N(x) = al xb , aparece naturalmente, por lo menos en parte de los análisis. En la ley de Zipf, a y b son constantes, y x es la variable independiente. Para dar un mejor ajuste a gran parte de los datos, y basados en la información teórica, Mandelbrot propuso N(x) =al(~+x)~corno una generalización de la ley de Zipf, con a, b, y c, siendo constantes. La distribución Zipf-Mandelbrot también aparece en el contexto de una mecánica de generalización estadística propuesta tiempo atrás y reescrita así 1 N(*) = N, [l - (1 - q)k]~, donde N,, , 1, y q son parámetros reales. En suma, esta función satisface cualquier anomalía de deterioro de la ecuación, el parámetro qpuede ser considerado como una medida de cómo se deteriora la anomalía. En particular, la ecuación se reduce al deterioro exponencial común, N(x) = No exp(-h) en el límite q -+ 1 (Malacarne, 2000). 1.6.3 DISTRIBUCIONES LIBRES DE ESCALA. Como se ha dicho, una distribución de Ip es también llamada distribución libre de escala, fundamentalmente debido a que estas leyes de potencia no presentan escalas características, se puede decir entonces que cualquier escala la vemos como la misma. Esto en términos matemáticos supone que si tenemos alguna probabilidad de distribución p(x) para una cantidad x, y suponemos también que descubrimos o por alguna razón deducimos que satisface la propiedad que P(W = g(b)p(x), para cualquier 6. Esto es, si incrementamos la escala o las unidades para la medida x por un factor de 6, la configuración de la distribución no cambia, excepto para una constante multiplicativa global. Por ejemplo, podríamos encontrar que el archivo de una computadora de tamaño 2kB son % de veces tan comunes como los archivos de tamaño 1 kB. Encendiendo a medidas del tamaño en megabytes también encontramos que el archivo de tamaño 2MB son "/4 de veces tan común como los de archivo de tamaño IMB. Por consiguiente, la configuración de la curva de distribución tamaño-archivo (menor para estos valores en particular), no depende de la escala sobre la cual medimos la relación tamaño-archivo. Las propiedades libres de escala ciertamente no son verdaderas para más distribuciones. Esto no es correcto para el ejemplo de la distribución de exponentes. En efecto, como se ha dicho, sólo es verdadero para un tipo de distribuciones, las leyes de potencia. Partiendo, entonces, de la ecuación anteriormente descrita p(bx)=g(b)p(x), dando al primer dato x = 1, para p(b) = g(b)p(q). Entonces g(b) = p(b)/p(?) y la ecuación puede escribirse como Entonces la ecuación se supone que es verdadera para cualquier b, podemos diferenciar ambos tamaños con respecto a b, entonces xp' (bx) = p'(b)p(x) P(9 donde p' indica la derivada de p con respecto con respecto al argumento. Ahora vemos b = 1 y entonces Esta es una simple ecuación diferencial de primer orden, la cual tiene como solución Dando a x = 1 encontramos que la constante se simplifica In p(l), y tomando exponenciales de ambos lados donde a = - p(l)/pf(1). En consecuencia, como se había dicho con anterioridad, la distribución de ley de potencia es solo una función que satisface los criterios de distribución libre de escala. Esto resulta más que un hecho curioso. Algunos sistemas llegan a ser libres de escala para ciertos valores especiales de sus parametros de gobierno. El punto que define para cada valor especial se llama "transición continua de fase" y los argumentos dados implican que en cada punto la cantidad observable del sistema adoptaría una distribución de Ip. CAP~TULO II MATERIALES Y METODOS 11.1 MUESTRA Y CRITERIOS DE SELECCIÓN Los rankings han sido una de las herramientas más utilizadas en el deporte para establecer jerarquías de rendimiento y10 establecer resultados entre diferentes competiciones que no se celebran simultáneamente. Es tal la importancia que la elaboración de los mismos constituye una de las acciones básicas de las federaciones deportivas (especialmente las de los deportes individuales) y un elemento fundamental para sus estructuras técnicas (por ejemplo las secretarías técnicas). Por este motivo, año tras atío se publican, a nivel local, nacional o internacional, ranking cada vez más fiables y precisos, a los que poco a poco se les van añadiendo mayor cantidad de informaciones (velocidad del viento, altura topográfica, entre otras), las que enriquecen significativamente sus contenidos y permiten una compresión mayor de las circunstancias en que afectaron en cada momento de obtención del registro. Esto nos permite disponer de marcas de referencia que han sido estandarizados por los reglamentos oficiales de la IAAF, excluyendo aquellos que presentaban dudas en cuanto a las condiciones en la que los mismos habían sido obtenidos (competición oficial, jueces oficiales, condiciones reglamentarias oficiales, cronometrajes electrónicos, etc.). Todo ello nos proporciona una interesante base de datos con los que elaborar con gran fiabilidad los ranking necesarios (por marcas y10 por atletas) a los que aplicar los procedimientos metodológicos que han sido seleccionados para la elaboración de este estudio. En consecuencia, la muestra de nuestro estudio surge del grupo de deportistas más relevantes del universo competitivo (practicantes) que configuran algunas de las disciplinas más tradicionales e importantes del atletismo. De entre ellos utilizamos únicamente la categoría masculina por ser la que mayor número de practicantes tiene, además de ser pruebas en las que estos prevalecen claramente en los registros por prueba y especialmente por ser la que antes se incorporó a la práctica sistematizada de actividades físico deportivas. En este caso, se utilizaron los ranking mundiales all-time actualizados a 30 de octubre del 2003. Para ello, se elaboró en cada disciplina analizada un ranking lo más preciso posible tratando de abarcar el mayor número de deportistas con marcas realizadas dentro de las normas de competición emanadas de la Federación Internacional de Atletismo Amateur (IAAF). Dada la diferente difusión y popularidad de cada una de las distancias utilizadas se hizo preciso reducir el número de deportistas por prueba de acuerdo al criterio que marcaba la distancia con menor número de deportistas censados, aunque como se detalla más adelante, en algunos casos fue preciso utilizar una marca por atleta y en otros sólo registros con independencia del dueño de esta. Para nuestro estudio utilizamos las distancias más comunes entre las carreras atléticas que van desde los 60 mts hasta el maratón. Esto supone un total de 12 distancias, las cuales constituyen los calendarios atléticos oficiales al aire libre (8 pruebas), los calendarios indoor (6 pruebas), los campeonatos de ruta de media maratón y maratón y la prueba de 1.000 metros que cada vez es más habitual en meetings internacionales reconocidos por las federaciones oficiales (nacionales e internacionales). Estos criterios hacen que la muestra analizada corresponda a un pequeño porcentaje del universo total de practicantes en cada una de estas distancias, a partir de cuando fueron incorporadas en los calendarios competitivos desde que conocemos el atletismo moderno, sin embargo, pese a su relativamente pequeño volumen (magnitud), representa con bastante precisión el perfil del deportista que queremos analizar en nuestro estudio. No siempre se emplearon la totalidad de las marcas, ni totalidad de las pruebas seleccionadas. Así, en la elaboración de las leyes de potencia se utilizó el ranking de las 500 mejores marcas de las distancias de 1.000, 1.500, 3.000, 5.000, 10.000, media-maratón y maratón. Este mismo criterio se utilizó para el estudio de predicción de marcas. Para la determinación de los posibles fenómenos críticos que nos indicaran las diferentes distancias que engloban a las distintas LP se le añadieron los 500 mejores registro de las pruebas de 400 y 800 metros. Para el estudio del comportamiento fractal interno de las pruebas (fechas de registro) se utilizaron el mayor número de atletas disponibles en las distancias que van de los 1500 metros al maratón (500). En tanto, en el análisis de la regularidad por ranking de individuos, se estimó conveniente ampliar el número de datos hasta el valor correspondiente a la posición 1000 del ranking, considerando que para efectos de comparar el comportamiento de pruebas entre aquellas con sólo las mejores marcas y las mismas con todos los registros, era necesario utilizar un mayor número de datos los que luego se proceden a normalizar. En este caso se añadieron los valores de otras disciplinas atléticas (100 metros, 1.500 metros, maratón, salto de longitud, el lanzamiento de peso y salto con pértiga). Los criterios de aceptación de marca fueron la homologación oficial por parte de los organismos competentes (IAAF y/o Federación Nacional). El error cuadrático medio (ECM) del ajuste para cada caso es ECM = en que Ti son los datos temporales usados, y Tpi son los que nuestro modelo predice y N es el número de datos. En lo que respecta a la determinación de valores de rendimiento que se comportan de manera anormal dentro de su nivel y10 prueba se utilizó la técnica de box-plot. Se calcularon, para ello, las diferencias del valor real de cada prueba a la ecuación que se obtuvo al ajustarla por mínimos cuadrados. Para esto se toman las mejores marcas por prueba se aplica logaritmo para ajustar la recta a los datos y posteriormente se obtienen los errores. La diferencia entre el valor real y el que predice la ecuación de la recta es el valor teórico. En la medida que la prueba se acerca a O mejor ajustado queda al modelo. Para el estudio y la determinación del comportamiento de las marcas, previamente normalizadas, mediante intervalos de frecuencia, en primer lugar se realizó un histograma con la variable número de sujetos versus la variable velocidad. Posteriormente, se divide el número de sujetos por el número de intervalos que interesa para la muestra (5, 10, 20, 40, 60). Para compro bar siguiente ecuación, a que tipo de ley de escala corresponde, se utiliza la en que C, es el exponente, y Cl y C, , son coeficientes mayores que 0. De modo que si C, =O corresponde a una ley de Zipf. Posteriormente se varía C, y C, , C, se mantienen fijos. y se varía C, , al tomar log-log y,, se transforma en recta e y,, y, se curvan. De modo que cuando es una recta, vale decir ley de Zipf pura y cuando; Y = a1 y = al (a, + x)-"' (a2 + x)'' se curva al final, siendo una ley de Zipf-Mandelbrot. De manera que a, está relacionado con el valor máximo de la prueba. Al estar normalizado será próximo a 1, y consiguientemente mientras mas cercano a 1 más Zipf. CAPITULO III: APLICACIONES PRÁCTICAS 111.1 LEYES DE POTENCIA Y CARREMS ATLÉTICAS DE MEDIA Y LARGA DURACIÓN Kennelly (1906) fue el primero en utilizar las leyes de potencia para relacionar la variable distancia de carrera con el tiempo que se tarda en recorrer la misma, haciendo extensivas sus conclusiones, tanto a los seres humanos como a otras especies animales como es el caso de los caballos. A partir de este primer intento han ido apareciendo en la bibliografía algunos trabajos de esta índole (Lietzke, 1954; Henry, 1955; López, 4979; Riegel, 1981 ; Peronnet y Thibault, "189; Blest, 1996; Chatterjee y Laudato, 1996; Grubb, 1997; Katz y Katz, 1999; Savaglio y Carbone, 2002, entre otros) donde el análisis de las carreras y sus manifestaciones se realizan a partir de expresiones matemáticas similares o directamente derivadas de leyes de potencia. Algunos de estos investigadores hicieron su estudio enfatizando la importancia de la utilización de leyes de potencia en aspectos fisiológicos. Tal es el caso de Peronnet y Thibault (1989), quienes desarrollan su investigación, a través de un modelo empírico que relaciona la capacidad de rendimiento con algunas características de la producción de energía de los procesos metabólicas. Lo hacen por medio de un análisis matemático en el que aplican un modelo que permite conocer la evolución de la capacidad de metabolismo anaeróbico, la potencia aeróbica máxima y la reducción del peak de potencia aeróbico con el incremento natural propio de la duración de la carrera. En este estudio describen la cinética del metabolismo aeróbico y anaeróbico al comienzo del ejercicio, además de la reducción de la cantidad de energía proveniente del metabolismo anaeróbico al incrementarse el tiempo de carrera. Aplican este modelo de Ip para analizar la evolución de estas variables y la progresión de los récords mundiales de hombres y mujeres a lo largo de periodos de tiempo que comienzan en la primera parte del siglo XX. Un análisis en la evolución de los tiempos de carrera de los récords mundiales en diferentes disciplinas, tales como carrera, patinaje y natación, es la que en su estudio hacen Chatterjee y Laudato. En esta investigación se comparan los rendimientos entre mujeres y hombres y se observa la modificación que ha sufrido el ratio de la velocidad a 30 largo de los años. Encuentran una mejora en la velocidad mayormente de las mujeres en los tres deportes. Si bien es cierto, las marcas expresan un rendimiento superior en los hombres, son las mujeres las que han conseguido un incremento en la mejora de la velocidad más importante. Suponen, asimismo, que la disparidad en los rendimientos disminuye a medida que las distancias crecen, probablemente debido a la mayor la participación de las mujeres en todos los deportes desde los últimos treinta años, lo que según estos autores redunda en que sea razón para observar el incremento en la mejora de la velocidad. Quizás quienes más han investigado el comportamiento de eventos atléticos y algunas situaciones derivadas de esta, a traves del análisis de leyes de potencia han sido Silvan y Leon Katz. Un primer estudio de estos investigadores desarrollado en 1994, muestra los tiempos empleados por aquellos atletas varones que al año 1992 poseían los récords mundiales en pruebas que iban de los 100 metros a los 200 kilómetros, y los representan con precisión a través de la ecuación T=cDn , donde T es el cálculo del tiempo récord para la distancia D, y c y n constantes positivas. Posteriormente extienden este estudio en el periodo de 1925 a 1965 en intervalos de 10 y desde 1970 a 1995 en intervalos de 5 años para las distancias que van desde los 100 a los 10.000 metros. Los valores de n para todos los años considerados se hayan a lo largo de la línea recta con una pequeña curva negativa. Un análisis de la regresión da una ecuación para valores de n en los periodos comprendidos entre 1925 a 1995. Los valores de c desde 1925 a 1995 son ajustados a una ecuación cuadrátíca. Estas dos ecuaciones definen una superficie en un espacio de tres dimensiones [log (T), log (D), datos] para todos los récords de las carreras en el periodo y las distancias mencionadas. Demuestran que existe un patrón de comportamiento (t - T)/ t que es una función de los datos que se mantiene constante a lo largo de los 70 años utilizados para este estudio. En definitiva, sus investigaciones proponen que el estudio de las leyes de potencia puede ser una valiosa herramienta para el conocimiento y aprendizaje de la dinámica de los sistemas. También Blest (1996) utiliza leyes de potencia en un modelo que considera varias distancias y en el cual define límites entre cada nivel de rendimiento. En este estudio el autor se apoya en el trabajo de Katz y Katz (1994) para realizar un trabajo que si bien es cierto es similar, difiere en la utilización de la variable metros en lugar de kilómetros lo que entrega una información algo más reducida. Para este análisis utiliza los tiempos de carrera (marcas) registrados en la IAAF desde el periodo comprendido entre 1913 hasta 1970 y para selección de los restantes valores rescata la información desde Almanaques Mundiales y Archivos de libros de Guinness. A grandes rasgos se puede decir que utiliza la información de los años 1925 a 1965 en intervalos de 10 años y los valores para 1930, 1940, 1950 y 1960 se obtienen por interpolación. Esto lo hace para demostrar la progresión general de las marcas en intervalos de 5 años. Henry (1955), en tanto, utiliza un complicado modelo de varios exponenciales que le permite apreciar varios procesos fisiológicos en diferentes distancias, particularmente la transición entre pruebas de velocidad media y larga distancia para lo cual utiliza un modelo altamente paramétrico de difícil interpretación, sin embargo en este análisis, la velocidad no es una variable apropiada dado que esta es un valor medio producto del resultado entre las distancias y los tiempos. Riegel (1981), en tanto, considera un porcentaje de la velocidad de los récords del mundo como una medida de rendimiento. Propone que muchos atletas pueden correr al mismo porcentaje de velocidad del récord mundial en diversas distancias. No obstante, ni los objetivos, ni la metodología, ni las disciplinas o distancias empleadas en cada caso son siempre las mismas en cada uno de estos estudios. Sin embargo, esto mismo demuestra las amplias posibilidades de utilización que tienen las Ip en el deporte. Esto se debe fundamentalmente porque este tipo de comportamiento se da independientemente del tipo de atleta y de sus características individuales. Como se explicó en un apartado anterior, las Ip son muy comunes en los fenómenos de Ea naturaleza y en otros ámbitos (Schroeder, 1991), terremotos, ecosistemas, distribución de la materia en el universo, población de las ciudades, frecuencia de palabras, citaciones de artículos de revistas científicas, son entre otros muchos más, algunos de los ejemplos característicos en este sentido. Estos fenómenos están asociados con algún tipo de función libre de escala, en el sentido de que no presenta escalas características y no se altera el comportamiento básico del sistema a pesar de cambios importantes en algunos de sus componentes. Esto sugiere, aparentemente, la aparición de posibles fenómenos críticos asociados a algún tipo de transición de fase. Se sabe bien (Binney et al., 1993; Solé et al., 1996) que cambios cualitativos en algunos de las propiedades macroscópicas del sistema se pueden registrar producto de modificaciones adecuadas en los parámetros de control. Estructuras fractales, patrones de dinámica compleja, transferencia óptima de información son algunas de las propiedades que pueden aparecer espontáneamente cerca de los puntos críticos. Más recientemente, la hipótesis de la llamada Criticalidad Autoorganizada (SOC), ha sido desarrollada (Bak, 1987, 1997; Paczuski et al., 1996; Jensen, 1998), de acuerdo a la forma en que algunos sistemas que operan bajo equilibrio son continuamente llevados por su propia dinámica interna, y posibles interacciones con sus vecinos, hacia estados críticos los que se caracterizan por ser fenómenos libres de escala en alguna manera de transición de fase. Esta teoría provee una idea de la evolución de los sistemas complejos adaptativos. Los sistemas que muestran SOC parecen ser robustos y se adaptan bien a perturbaciones externas, patrones fractales y leyes de potencia son observados en sistemas complejos exactamente en estados críticos. Estos estados críticos son altamente sensitivos a pequeños eventos locales pudiendo provocar grandes avalanchas de actividad que se propagan a través del sistema (Bak, 1993). Actualmente no está claro que los SOC sea el Único posible origen de las distribuciones de leyes de potencia (PLD). Otros mecanismos que también producen PLD han sido encontrados, ambos en el estudio de procesos estocásticos que involucran ruido multiplicativo (Manrubia y Zanette, 1999) y en el conocido como highly optimized tolerance (HOT), el objeto de estudio se focaliza en sistemas que son optimizados por selección natural o por diseños de ingeniería (Carlson y Doyle, 1999; Newrnan, 2000). Considerando estos mecanismos, nuestro punto de vista aborda el fenómeno SOC como la interacción de los atletas con diversos factores que afectan y condicionan el rendimiento atlético en carreras: nivel de entrenamiento, experiencia atlética, edad, tipo de competición, incentivos económicos y sociales, universo (número de personas involucradas en la actividad), etc., lo que podria autoconducirlos hacia este tipo de estado. De muchas maneras, el ser humano (y no solamente el deportista) continuamente explora el limite de sus capacidades, tanto físicas, mental o de cualquier otra indole. Se intenta, por tanto, tratar de descubrir si algún tipo de punto crítico podría alcanzarse en los niveles de rendimiento deportivos como respuesta adaptativa a los adecuados estímulos que se utilizan en la preparación de los deportistas (cargas de entrenamiento, descanso, competición, incentivos, etc.,). Para ello es necesario que se apliquen, de forma específica e individualizada, en una secuencia muy bien controlada los adecuados O 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Ranking FIGURA 3 Muestra la evolucíón de los valores a (i) y C(i) para todos los valores de i considerados (¡=Y, . . .,500). C(i) muestra también el comporfamíento de una ley de escala. La explicación de la dinámica que presenta el valor a(i) es compleja y dificil de precisar. No obstante, debemos tener en cuenta que los primeros clasificados de cualquier ranking mundial representan la elite de la correspondiente modalidad deportiva y, por lo tanto, supone ocupar un puesto de privilegio sólo reservado a personas que salen del estereotipo normal del resto de los deportistas. Podríamos pensar que con el paso del tiempo, la utilización de nuevas tecnologías, la aparición de nuevos materiales, el perfeccionamiento de los sistemas de entrenamiento, los avances en las ciencias biológicas y, sin duda, el aumento de la muestra de personas que practican cada una de las modalidades atléticas, modifiquen el valor de u.(¡) para las marcas que actualmente ocupan ese puesto, aunque quizás muestren la misma tendencia al considerar sólo el criterio de puesto ocupado en el ranking. En dicha figura podernos ver como C(i) sigue también una ley de potencia, donde la función ajustada a los valores de C(i) queda representada por el trazo continuo. Aquí C = ai-\ presenta valores de a = 12.5564 y /3= 0.0143; Como quiera que i es un rango, podemos considerar que la anterior ecuación sigue una Ley de Zipf. El valor log (C(i)) representa el punto de corte de la recta de regresión a cada nivel con el eje log(v) y, de alguna manera, podíamos considerarlo un indicador de cómo la velocidad media de carrera decrece conforme baja la posición en el ranking mundial. Podríamos definir C(i) como un índice de rendimiento IR (o PI Performance Index). Así podríamos decir que el valor IR muestra el comportamiento de una ley de escala. Estas ecuaciones nos permiten determinar el valor de C(i), es decir, PI para el puesto i-ésimo en el ranking. Si intercambiamos los ejes en la ecuación C = y normalizamos los datos, se obtiene una distribución de frecuencias acumulada. Es decir, nos indica cual seria el número relativo de individuos con un valor de IR mayor que uno de C(i) dado o prefijado, y este resultado adecuadamente estandarizado, se puede presentar como una función de distribución acumulativa (CDF). En otras palabras, la probabilidad de encontrar un corredor cuya mejor marca X, en este caso IR, esté incluida entre los 500 mejores de todos los tiempos, con un P1 > C será aproximadamente proporcional a C-U. Su valor podrá ser estimado a partir de la ecuación: 1 P(X>C)=C-u con u - P Si dispusiéramos de más datos (>500 por prueba) del ranking, podríamos ser capaces de aumentar los valores de i para un mayor número de corredores. La figura siguiente muestra este resultado. figura 4 FIGURA 4 La figura representa, las barreras de evolución de los rendimientos (1, 2, 3), el ajusfe (linea continua) y distribución de frecuencias (histograma) del conjunto de datos IR, convenientemente reescalados para permitir visualizarlos como un conjunto de valores relativos y comparados entre sí. El histograma mostrado en la figura anterior, que es el histograma normalizado de los valores de IR, indica que los valores del índice de Rendimiento no se distribuyen siguiendo rigurosamente una ley de potencia (ver línea de puntos y línea continua), de forma que la densidad de puntos (puestos o marcas) no muestra el mismo patrón alrededor de cada punto. En la figura podemos distinguir claramente diferentes areas (1, 2, 3) que corresponden a la aparición de barreras naturales en la evolución que siguen las marcas en cada una de las disciplinas atléticas de medio-fondo y fondo, Estos puntos podrían pertenecer a niveles de rendimiento determinados, o marcas significativas, hacia las cuales tienden los atletas en su evolución hacia el logro de mejores resultados y en la persecución de los récords. En este comportamiento, el área señalada con el número 1 de la gráfica corresponderia a aquellos atletas que aspiran a posiciones de medalla en las principales competiciones internacionales, o bien aquellos deportistas con serias aspiraciones para entrar en las finales de su prueba y ocupar puestos de privilegio en la misma. El área 2 índica el índice de Rendimiento (IR) que corresponderia a la marca o barrera de rendimiento para aquellos atletas que podrían llegar ocasionalmente a finales importantes, tener muy serias opciones de entrar en semifinales y que con casi toda seguridad les permitiría entrar entre los 16 primeros de sus disciplina. Por último, el área 3 de la gráfica representa el nivel de rendimiento de aquellos deportistas con marcas suficientes para participar regularmente en importantes eventos internacionales (marcas mínimas oficiales) como son los Juegos Olímpicos, los Campeonatos Mundiales o competiciones similares. El resto corresponde a registros de nivel internacional, no siempre garantizados, y con muchas dificultades para pasar de las primeras rondas en este tipo de competiciones. Un análisis más detallado nos permitiría detectar más barreras o áreas, incluyendo barreras específicas por distancia, las cuales nos permitirían diferenciar con claridad los distintos grupos o niveles de rendimiento en cada prueba. Posiblemente, ésta dinámica de acumulación de marcas nos está indicando que cada disciplina atlética de medio-fondo y fondo tiene una estructura multifractal que se plasmaría en la aparición de más de una LP en cada prueba. Esto justificaría que al ajustar la correspondiente LP, existan zonas donde el ajuste pierde fuerza y dificulta el determinar los valores exactos de velocidad correspondientes a cada distancia. Especialmente relevante, resulta la situación de los valores más bajos de marcas en cada distancia, donde la LP tiende a sobrevalorar los mismos. Ilt. 2 ~NDICE DE RENDIMIENTO Y ESTRUCTURA MUTIFRACTAL DE LAS CARRERAS ATLETICAS DE MEDIA Y LARGA DUWCI~N. La forma en que se configuran los valores de IR, en torno a determinadas marcas, nos hace pensar en la posible existencia de una estructura fractal subyacente, o incluso multifractal. Que los datos se distribuyan según una estructura fractal significaría que estos se organizan en estructuras autosimilares. El cálculo de la dimensión fractal Do (box-counting) se muestra en la siguiente figura. Aquí, S representa el tamaño de la caja, para cada partición. La gráfica muestra los valores de log(s) contra los valores de log(N(s)), donde N(s) es el número de cajas de tamaño S no están vacías, del conjunto de valores del IR. La figura muestra como para valores de S 7/72, el valor de Do es 7. Dado que el número de datos del conjunto es finito, a partir de ir contando cajas de tamaño S > 1/12, aparecerán cajas vacías, y Do deja de ser proporcional a 1, apareciendo una tendencia cóncava en la gráfica. Hemos de decir que si los datos se distribuyeran exactamente siguiendo una ley de potencia, el comportamiento de Do seria el mismo. FIGURA 5 La figura 5 muestra el cálculo de /a dimensión fractal Do (box-counting). Se muestran los valores de log(s) contra los valores de log(N(s)), donde N(s) es el número de cajas de tamaño S del conjunto de valores del IR. La figura muestra que la distribución es irregular alrededor de cada punto del conjunto, como se ve desde el histograma, y el análisis boxcounting sólo reconoce la distribución en ley de potencia. Un análisis multifractal puede ayudarnos a cuantificar las diferencias entre los comportamientos de los puntos en algunas áreas determinadas. Desafortunadamente, la estimación de la dimensión multifractal D,, particularmente para valores de q<O, es extraordinariamente sensible en regiones de baja densidad. Sin embargo, la dimensión de información Di parece ser bastante robusta cuando es estimada con una cantidad finita de datos. La dimensión generalizada D,, para valores de q z 1, también aparece muy robusta en los datos que componen nuestro trabajo. En este caso solo consideramos los valores q = 1, 2 y 7 para el estudio. La siguiente tabla muestra los resultados numéricos obtenidos para algunos valores de q, q=1,2,7 para valores de s <1/12, y S 4/12, ambos con valores para 3 y desviación típica (Std) obtenidos de la recta de regresión. q s(1/2,/12) R~ Std S (1/12,1/200) i! Std TABLA 2 La tabla 2 muestra los resultados numéricos obtenidos para algunos valores de q, q=1,2,7 para valores de S <1/12, y S >lM2, ambos con valores para 3 y desviación típica (Std) obtenidos de la recta de regresión. En la próxima gráfica mostramos en una representación doblemente logarítmica (log-log) los resultados obtenidos para el cálculo de estas dimensiones en función de la partición. En ella es evidente la presencia de dos regímenes con una relación lineal y dos diferentes valores para cada D,. Estos resultados muestran con claridad que D, > D2 > D7, lo cual es un potente indicador de comportamiento multifractal en el conjunto de valores IR analizado. FIGURA 6 En la figura 6 se muestra la representación doblemente logarítmica (log-log) de los resultados obtenidos para el cálculo de las dimensiones box-counting en función de la partición. Estos resultados muestran los valores para D,, D2 y D7. Estos resultados nos dejan dos posibles mecanismos que puedan ser ios responsables de la aparición de estas leyes de escala y/o estructuras fractales. Por un lado, nosotros podríamos pensar en la aparición esporádica de algunos sujetos capaces de obtener nuevos registros que son claramente superiores a las marcas existentes en una distancia determinada. Estos atletas, o mejor dicho, sus nuevas marcas, podrían definir nuevas barreras que a la larga actuarán como atractores o puntos de referencia para otros atletas. En consecuencia, cuando esto ocurre un nuevo grupo de elite para todas las distancias, quedará definído. Es decir habrá un conjunto de corredores, los nuevos "mejores" o números 1 en el ranking, para cada distancia, que determinará una nueva ley de potencia, y por tanto un nuevo valor del índice IR. Por lo que se vio anteriormente, los valores de C(i) (ver tabla) se van ajustando cada vez mejor a una ley de potencia (? más próximo a 1, y error cuadrático más próximo a cero). La aparición de nuevas marcas tiene, además, consecuencias en la aparición de particulares o novedosos tipos de entrenamiento, la aplicación de nuevas técnicas, la aparición de nuevos incentivos o la incorporación de nuevos conocimientos (información) con origen en otras ciencias relacionadas con el deporte (fisiología, nutrición, etc.). Podrían estar funcionando como un sistema de avalanchas, produciendo pequeños o grandes ferrernofos en los medios deportivos y manteniendo el sistema en, o hacia, un estado crítico autoorganizado, como los que explicamos y detallamos en la fundamentación teórica. La superación de un récord importante siempre nos abre nuevas posibilidades. Sin embargo, son muy pocos los deportistas capacitados que pueden aspirar a marcas tan relevantes, aunque será toda la comunidad en torno al deporte que se trate (en nuestro caso carreras de medio-fondo y fondo) la que se verá beneficiada de estos resultados y, por lo tanto, las posibilidades de aproximarse o superar estas nuevas fronteras. Esta forma de evolucionar de las marcas también puede hacerse efectiva en otros niveles de rendimiento, aunque la posibilidad de encontrar predominio aeróbico), vemos que este oscila en función de las distancias que utilicemos como referencia. Tenemos que comprender que siempre estamos hablando de pruebas con dependencia mixta donde intervienen, en diferente proporción, cada una de las vías metabólicas predominantes (aeróbicas o anaerobicas) de que dispone el organismo humano. En nuestro caso, el análisis lo realizamos enfrentando las distancias de 400 metros, 800 metros y 1000 metros contra el grupo de pruebas que van desde los 1500 metros a la carrera de maratón. Punto de corte entre pruebas anaeróbicas y aeróbicas a nivel internacional Nivel Velocidad Tiempo de Corte Distancia de Corte (Marca-1 000 mts) (mi') (segundos) (metros) 2'1 4"73/100 7.42 146.1 9 1085.07 2'1 9"95/100 7.15 158.03 II 29.24 2'2 I "471100 7.07 163.04 11 52.51 2'22" 1 o0 7.03 164.55 1 157.25 2'22"7Ol1o0 7.0 1 165.22 1 157.83 2'23"l Olloo 6.99 166.05 1 160.38 2'23"40/100 6.97 165.79 1156.09 2'23"78/1 6.96 166.83 11 60.38 2'24"06/100 6.94 166.98 1159.10 2'243 1 o0 6.92 167.02 1 157.36 2.27.70/q00 6.77 156.59 1060.19 2.32.66/lo0 6.55 142.64 934.30 2.40.13n00 6.25 128.53 802.72 TABLA 3 La tabla 3 muestra el Punto de corte entre pruebas anaeróbicas y aeróbicas a nivel inferna cional. Se expresa en nivel, velocidad tiempo y distancia. Cuando hablamos de atletas de nivel internacional el tiempo de corte es similar al propuesto por Savaglio y Carbone (2002), con valores en nuestro estudio que oscilan entre los 145 y los 170 segundos, lo que equivale a recorrer 1080-1 160 metros. A la luz de estos datos el punto de equilibrio energético entre ambos metabolismos responde a pruebas ligeramente superiores a los 1000 metros confirmando sólo parcialmente los porcentajes que se obtienen de forma teórica donde, a nuestro entender, se tiende a sobre valorar el papel del metabolismo aeróbico en el resultado final sobre estas distancias. Es posible que si en los estudios de dependencia energética de la carrera se añadieran parámetros como las capacidades condicionales (ejemplo: fuerza, los comportamientos mecánicos de las estructuras afectadas (viscoelasticidad, rigidez, etc.), las causas que los pudieran alterar (temperatura, rozamientos, etc.), la movilidad articular, la capacidad de sufrimiento etc., los valores resultantes de estos estudios podrían verse modificados y aproximarse sus valores a los propuestos por los autores antes mencionados. De cualquier forma, esto no es más que una hipótesis que debe ser contrastada en estudios posteriores. FIGURA 8 La figura 8 muestra las rectas que indican los puntos de corte entre pruebas que podemos considerar como de clara dependencia anaeróbicas frente a los de clara dependencia aeróbicas para atletas masculinos con marcas de diferente nivel. Si ampliamos el análisis hasta niveles inferiores de rendimiento (nacional, regional o local) extrapolando, vemos que el punto que marca el equilibrio entre los dos metabolismos energéticos no sigue un comportamiento estable, dependiente entre otros factores del sujeto y de su nivel de rendimiento. Para analizar el compor&am~ento de este punto (desplazamiento del punto de corte con el nivel de rendimiento), en primer lugar estimamos, a partir de los valores de que disponíamos del ranking mundial all-time, los valores teóricos de otros puestos más bajos del ranking. Para ello determinamos, de acuerdo a cada posición teórica en el ranking (1) las marcas potenciales de los registros inferiores de las pruebas de 400, 800 y 1 O00 metros, siempre apoyándonos en los correspondientes valores de las constantes de su LP. Como referencia para las pruebas de velocidad resistencia (400 a 1000 metros) utilizamos las marcas de la prueba de 800 metros, dando unos valores de 1'50" para el nivel nacional, 1'58" para el regional y 2'07" para el local. Estos valores fueron determinados de forma empírica a partir de los protocolos ya existentes y de diferentes trabajos en los que se perfilan criterios de rendimiento por edades, sexo yfo niveles. El mismo procedimiento lo empleamos en las pruebas de claro predominio aeróbico, pero en este caso utilizamos como referencia la prueba de 1500 metros. Naturalmente, este punto sufrirá ligeras osciiaciones en función de las pruebas utilizadas para determinar la correspondiente LP (200-400; 200-400800; 400-800; 400-800-1000 ó 800-1000). Un análisis log-log de las correspondiente LP nos mostrará oscilaciones en la pendiente de la recta, que se manifestarán con valores más elevados de la misma cuanto más dependencia de la velocidad o la fuerza tengan las distancias utilizadas. Lógicamente estas variaciones afectarán al punto de corte. Una vez realizados estas comprobaciones, se entiende que las distancias más adecuadas para caracterizar el grupo de resistencia a la velocidad deberían ser los 400, 800 y 1000 metros, por ser las que mejor responden a los LP aplicadas. Analizando la gráfica (log - log) en la que se comparan las pruebas de velocidad resistencia con las de media y larga distancia, vemos que el punto de corte tiene un comportamiento distinto para los corredores de nivel internacional y los de niveles inferiores. FIGURA 9 Figura que muestra e/ comportamiento de diferentes niveles inferiores de rendimienfo (nacional, regional provincial o local) utilizando los datos de predicción calculados. Se observa la inestabilidad del punfo de corte, de acuerdo conforma baja el nivel. Si analizamos sólo el punto de corte de los niveles más bajos, vemos como se desplaza hacia la izquierda conforme baja el potencial atlético de la marca, lo que nos indica una mayor particjpación del metabolismo aeróbico sobre el total de energía utilizada sobra la distancia de una carrera de 1000 metros cuanto menor es el nivel de rendimiento del corredor. Esto es algo que ya ha sido demostrado por numerosos autores a partir de estudios fisiológicos de distribución energética. Así, Arcelli (1 994) al estudiar la carrera de 800 metros señala que el porcentaje de trabajo anaeróbico láctico varía por cada nivel de rendimiento proponiendo que su participación es de un 40% para carreras en las que se emplearon 102" y de 45% cuando se tardaba unos 135". De especial interés resulta el análisis del punto de inflexión entre los mejores especialistas en ambos tipos de pruebas (aeróbicas y anaeróbicas). En este caso, el punto de corte tiende a desplazarse inicialmente hacia la derecha para posteriormente estabilizarse e invertir suavemente su tendencia. Esto significaría que, aún aceptando las diferencias individuales que se pueden encontrar entre los especialistas de cada distancia, las pequeñas diferencias existentes entre los mejores especialistas de 1000 metros, se deben a un mejor aprovechamiento del metabolismo aerobico. Esto les debería permitir rendir a muy buen nivel sobre la distancia superior (1500 metros). Tal suposición se comprueba al analizar el ranking mundial all-time sobre la distancia de 1000 metros, donde encontramos entre sus mejores exponentes a corredores como Ngeny (2111"96noo vs 3'28"í 21qoo), Coe (2'1 2''I 8/, 00 vs 329"77/1 oO), Cram (2'1 2"881qoo vs 31Z9116711 00) o Morcelli (2'13''73110~ vs 3'2i''3i1100) que son a la vez algunos de los mejores corredores mundiales en 1500 metros de todos los tiempos. 111.4 APLICACIÓN DE LAS LEYES DE POTENCIA AL ANALISIS CARRERAS ATLÉTICAS DE MEDIA Y LARGA DURACION Y DETECCIÓN DE COMPORTAMIENTOS AT~PICOS (OUTLIER) Esta parte de la tesis ha sido publicada por la revista New Studies in Athletics (2006) y como parte de un capítulo en el libro Teoría del Entrenamiento Deportivo vista desde la Teoría de la Complejidad (Ga-Manso y Martín-González, 2005) Para poder determinar aquellos valores de rendimiento que presentan un comportamiento anormal dentro de su nivel de rendimiento y/o prueba utilizamos la técnica gráfica conocida como box-plot. Haciendo un análisis pormenorizado de cada una de las pruebas, se comprueba que entre los mejores especialistas de cada uno de ellas suelen aparecer corredores que con sus registros presentan niveles de rendimiento que se escapan de la normalidad de datos estudiados. Esta situación no se da de la misma forma y en la misma proporción en cada una de las distancias estudiadas. boxplot Diferencias a cada recta 1 2 3 4 5 6 Column Numbes FIGURA 1 O Box-Plot de las carreras atléticas. Donde las líneas superior e inferior de las cajas representan los percentiles 25th y 75th del ejemplo. Los límites entre ambos extremos representan el rango infercuarfílico. La línea central representa la mediana que de no estar centrada muestra asimetría en los datos. Los outliers representan valores superiores en 1.5 veces el rango intercuarfjlico de la caja. Para construir el anterior box-plot, calculamos las diferencias del valor real de cada prueba a la ecuación obtenida al ajustar por mínimos cuadrados. Es decir, tomamos los datos para los mejores en el ranking, por lo tanto i=l. Calculamos los logaritmos y ajustamos una recta a los datos. Obtenemos ahora los errores, es decir la diferencia entre el valor del dato real y el que predice la ecuación de la recta que representa el valor teórico. Si hay 500 registros habrá 500 valores de diferencias para cada distancia, y con ello construimos el box-plot que figura en la gráfica anterior. Cuanto más cercano a cero es el valor, mejor ajustado está el modelo, en este caso una recta. De esta forma, aquellas cajas que mas se alejan en la grafica de la línea central (valor O), serán aquellas en las que el valor real menos se parece al teórico, mientras que por el contrario aquellas que se acercan al centro de la grafica más se asemejan. En cada una de las cajas, también podemos obsewar que hay algunos corredores con marcas claramente diferentes que el resto de sus compañeros en cada distancia. De entre estos sujetos (outlier) a nosotros nos interesa de manera especial aquellos que representan los mejores registros mundiales. Debemos tener presente, como vimos en el apartado anterior, que la aparición de estos sujetos, así como la de otros atletas con niveles de rendimiento similares, permiten disponer de registros (marcas) que actúan como metas para el resto de deportistas convirtiéndose las mismas en atractores y10 barreras del comportamiento evolutivo de la prueba. La importancia de este es relevante en este caso, ya que posiblemente esos atractores sean los que estén llevando al sistema hacia un estado crítico. Por ejemplo, en las distancias de 10.000 metros y maratón los récords (mejores marcas) se comportan como outlaiers respecto al resto de marcas que aparecen en el ranking utilizado (lo-500°). En el análisis box-plot un outlier corresponde a una marca cuyo valor es 1.5 veces mayor que el rango intercuartílico, tanto por arriba como por debajo de la caja. En el caso de los 10.000 metros este outlier (diferencia: 0.0077) nos demuestra que el valor del récord mundial (261221'75/100 en 10.000 metros) recogido en los valores de la muestra, es de una gran valía y representa, por hasta el momento, un registro difícil de lograr, a corto o medio plazo por la mayor parte de los especialistas en la distancia, factor al que debemos añadir la valía atlética del deportista que la consigue (Haile Gebraselassie). Desde un punto de vista teórico, sólo otro corredor con un perfil especialmente característico podrá superar este registro, Esto es algo que, durante la elaboración de este trabajo ya se ha producido y que, por lo tanto, queda fuera de los valores utilizados en la muestra. Su compatriota Keninisa Bekele se convierte el 8 de junio de 2004 en su sucesor al conseguir en Ostrava un registro de 26120"31/100, lo que sin duda reforzará la posibilidad de convertir los registros sobre 26'201'00,100 en barreras para este tipo de pruebas. Analizando el resto de marcas, podemos ver que tal y como se estimaba, el resto de corredores quedan lejos de estas, siendo la marca de Tergat (26'27"75/100) conseguida en 1997, la que más se aproxima a estos niveles de rendimiento. En cualquier caso, las dos últimas temporadas han aparecido nuevos jóvenes corredores capaces de hacer excelentes registros, como es el caso de sus compatriotas Ngera (26130"74/100) y Sihine (26'34"69/100) nacidos en 1984 y 1983 respectivamente. En ocasiones, aunque este no sea el caso, la experiencia nos muestra que estas extraordinarias marcas responden al efecto de variables ajenas al Column Number FIGURA 12 Box plot que muestra el comportamiento de los 3000 metros. Se observan registros bastante homogéneos con un rango intercuan'ílico pequeño y baja dispersión. La marca de Daniel Komen (7'20"67,,00), vigenfe record mundial, actúa de potente afracfor de la prueba hacia la normalización de sus registros. Este planteamiento queda confirmado al analizar en detalle los mejores registros de la historia obtenidos en esta distancia (ver cuadro siguiente): Marca Atleta País Edad Puesto Ciudad Fecha 7:20.67 Daniel Komen 7:23.09 Hicham El Guerrouj 7:25.02 Ali Saidi-Sief 7:25.09 Haile Gebrselassie 7%. 11 Noureddine Morceli 7:25.16 Daniel Komen 7:25.54 Haile Gebrselassie 7:25.87 Daniel Komen 726.02 Haile Gebrselassie 7:26.03 Haile Gebrselassie 7:26.62 Moharnmed Mourhit KEN 17 05 1976 1 Rieti MAR 14 09 1974 1 Bruselas ALG 15 03 1978 1 Monaco ETH 1 8 04 1973 1 Bruselas ALG 28 02 1970 1 Monaco Monaco Monaco Bruselas Bruselas Helsinki BEL 10 10 1970 2 Monaco 7:27.18 Moses Kiptanui KEN 01 10 1970 1 Monaco 25 07 1995 7:27.42 Haile Gebrselassie 1 0.510 o9 07 1998 7:27.50 Noureddine Morceli I Bruselas 25 08 1995 7:27.59 Luke Kipkosgei KEN 2711 1975 2 Monaco 08 08 1998 727.67 Ali Sa'idi-Sief 1 Paris ~aint-~enis 23 06 2000 7:27.72 Ehd Kipchoge KEN 05 í1 1984 1 6ruselas 03 09 2004 7:27.75 Tom Nyariki KEN 27 O9 1971 2 Monaco 10 08 1996 CUADRO 1 Cuadro con los 18 mejores registros en la prueba de 3.000 metros. (Fuente; lnternational Association of Athletics Federation. IAAF 2005). Se puede observar como la diferencia en tiempo entre el registro personal del record mundial y el de los diez mejores atletas mundiales alltime es de hasta 7" y el número de registros por debajo de 7'281'00110,-, es de sólo 18 corredores. Si a ello le añadimos que sólo un corredor ha sido capaz de bajar de esta marca en los últimos 5 años podemos afirmar con bastante rigurosidad, que la prueba, pese a los intentos institucionales, sigue adoleciendo del suficiente aliciente para los principales especialistas. Por el contrario, los registros de la carrera de 5.000 metros no tienen el mismo comportamiento, ya que sus marcas presentan una mediana no centrada situada en el Iímite inferior de la caja (box), donde se encuentran los registros más bajos utilizados. ?o-3 5000 m 1 Colurnn Number El box plot de la prueba de 5.000 metros muestra que los registros de esta tienen un comportamiento diferente dado que sus marcas presentan una mediana no centrada situada en el límite inferior de la caja (box), donde se encuentran los registros más bajos utilizados. Esto nos indica que existe una clara diferencia entre los corredores capaces de obtener las mejores marcas mundiales de todos los tiempos (marcas<13'.00") y el resto de corredores de nivel mundial (marcas entre 13'20" y 13'25"). En esta dinámica de la prueba de 5.000 metros han tenido mucho que ver los corredores africanos procedentes de las zonas del magreb (Marruecos y Argelia) y nororiental (Kenia y Etiopía). Además, el plot nos indica la enorme vitalidad de la prueba con gran cantidad de atletas que arrastran los registros hacia el promedio de la ley de potencia de las pruebas de media y larga duración (1500 metros a maratón). La marca de los 13'00" actuó a modo de barrera natural que ha venido siendo superada con cierta facilidad desde 1996. Hasta el Final de la temporada de 2005, han sido 81 las ocasiones (51 atletas) en las que se ha superado esta marca durante las últimas 10 temporadas. Un comportamiento muy diferente al de las dos anteriores distancias lo encontramos en la prueba de 1500 metros. Esta prueba de entrada tiene dos peculiaridades dignas de ser destacadas: - representa una de las pruebas reinas del atletismo (universo elevado); - se encuentra cerca de la frontera que separa las pruebas de resistencia (>lo00 metros), de alto predominio aeróbico, de las pruebas de velocidad (4 000 metros), de importante dependencia anaeróbica. 1 Column Number FIGURA 14 La figura 74 muestra el box de los 1500 metros donde se aprecia el buen comportamiento de los registros de la misma. Entre las más probables causas se encuentra el elevado número de participanfes y /a dependencia energética de la misma. A la luz de los datos, comprobamos el elevado valor promedio de las marcas de 1500 metros respecto a la tendencia que presentan el resto de las pruebas analizadas. Aquí debemos destacar dos aspectos que pueden afectar a la posición que ocupa esta distancia: su dependencia energética y su universo de practicantes. Realmente esta distancia tiene una importante dependencia del metabolismo aeróbico aunque su participación es significativamente diferente en cada caso según el corredor que la realiza, sus estructuras musculares y características condicionales (físicas). Esta vía metabólica actúa es esta prueba como un importante atractor en el organismo de un especialista sobre esta distancia. También, aunque en diferente proporción, es determinante el aporte energético que realizan las vías anaeróbicas. En la mayoría de los estudios, se atribuye al metabolismo aeróbico una contribución entre el 50% y el 70%, lo que supone una enorme variabilidad interindividual sobre la que debemos reflexionar. Es evidente que parte de estas diferencias pueda quedar explicada por las características de la muestra utilizada, pero indudablemente también debemos pensar en otros parametros. La experiencia demuestra que entre los especialistas sobre la distancia existen tres prototipos de corredores de 1500 metros, a saber: los que corren bien esa distancia y las inferiores (800 metros y 1000 metros); los que corren bien los 1500 metros pero también obtienen buenos rendimientos en las distancias superiores (3000 metros y 5000 metros); los especialistas puros de la distancia. Esta realidad práctica podría explicar algunas de las causas que subyacen bajo esta enorme variabilidad del comportamiento energético, aunque no podemos descartar otras que puedan estar derivadas de los procedimientos de evaluación metabólica utilizada. Existe diferente dependencia anaeróbica entre la marca y las características del corredor. A grandes rasgos, se podría estimar que los principales factores que limitan el rendimiento en pruebas de 1500 metros son la elevada depleción del CrP muscular, la alta acidosis rnetabólica que se produce por una importante activación del metabolismo glucolítico y una insuficiente capacidad de producir suficiente energía por parte del metabolismo aeróbico. La importancia de cada uno de estos aspectos en el resultado de una carrera varía con el corredor, su perfil funcional y su tipo de entrenamiento. Un caso individual especialmente interesante por la calidad de su registro es el que corresponde al actual récord mundial de la distancia (El Guerrouj: 3'26".891100) . Su registro aparece a menor distancia del ajuste de la recta (distancia: 0.0054) que el resto de marcas (rango de distancia: 0.010 a 0.012) utilizadas en el estudio (hasta el 500° all-time). Esto nos hace pensar que este corredor podría ser integrado entre aquellos atletas pertenecientes al grupo de corredores capaces de rendir eficientemente en distancias superiores (2000, 3000 e incluso 5000 metros). Esta opinión queda potenciada cuando comprobamos su mejor registro sobre 3000 metros (7'.231'.09~100) ó 5000 metros (12'.50".241~00) distancia esta última donde queda subcampeón del mundo en el 2003. Si a la dependencia metabólica mixta le añadimos la enorme importancia histórica de esta disciplina y el elevado número de corredores que la han disputado durante el último siglo (universo de participantes), podemos esperar un comportamiento diferente a la del resto de pruebas de media y larga distancia utilizadas para determinar la ley de escala que proponemos en este estudio sobre las carreras atléticas. Observando la gráfica que representaba los valores del logaritmo de la velocidad frente al logaritmo de la distancia, (Iúg(v) contra log(d)), para varios valores del ranking, ¡=lo, 100°, 200°, 300°, 400°, comprobamos que a todos los niveles (puestos del lo al 500') esta prueba muestra un comportamiento muy superior a la del resto de pruebas y muy especialmente a las dos distancias siguientes 3000 a 5000 metros que puede responder a los dos puntos antes analizados. 111.5.2 CARRERAS DE FONDO La distancia de 10.000 metros se comporta como una prueba sumamente estable sobre la que basculan el resto de distancias utilizadas en el análisis. No obstante, en ella se observan algunos detalles que a nuestro entender deben ser resaltados por su importancia y que hacen referencia a los mejores registros de la prueba (ver siguiente cuadro). La marca ya mencionada de Gebrasselasie, que corresponde al anterior récord mundial de la prueba, así como otros importantes registros que podemos encontrar en el ranking mundial donde aparecen un significativo numero de marcas logradas a finales del siglo pasado, hacen que la evolución de esta distancia atlética tenga un comportamiento especialmente interesante. Nos referimos a la evolución a tirones que se observa en los tres últimos lustros (1990-2005). En este periodo se bajó con cierta facilidad de la barrera de los 27'.0OV, y ello hizo que estos registros arrastren ligeramente de la prueba haciendo evolucionas la misma hacia los comportamientos teóricos de marcas esperados (posición en la LP). Sin embargo, en temporadas posteriores (finales de los 90) se observó cierto enfriamiento de la prueba que rápidamente se invirtió durante las Últimas temporadas. CUADRO 2 Cuadro con el ranking de las mejores marcas para los 10,000 metros. (Fuente; lnternational Association of Athletics Federation. IAAF 2005). Este comportamiento a saltos que manifiesta la prueba es difícil de evaluar, ya que pensamos que existen ciertas circunstancias atipicas que, a modo de atractores anómalos, hacen que esta prueba tenga el peculiar comportamiento que describimos, Esto nos hace pensar que, salvo hechos