Contribuciones del caos determinista a la dinámica del comportamiento especulativo

UNIVER SI DAD DE LA S PALMA S DE GRAN C ANARIA DEPARTAMENTO DE ECONOMIA APLICADA TESIS DOC TORAL CO NTRIBUCION ES DEL CAOS DETERMINISTA A LA DINÁM IC A DEL CO MPORTAMIE NTO ES PE CU LATIVO MARIA DOLORES GARC iA ARTILES Las Palmas de Gran Canaria, Julio de 1995 Título de la tesis: CONTRIBUCIONES DEL CAOS DETERMINISTA A LA DINÁMICA DEL COMPORTAMIENTO ESPECULATIVO Thesis title: CONTRIBUTIOS OF DETERMINIST CHAOS TO THE DYNAMICS OF SPECULA TIVE BEHA VIOR Abstraet In this thesis an asset price model of speculative financial market is analysed. The model introduces two groups of traders: fundamentalists, who forro rational expectations on the fundamental value of asset, and chartists, who base their trading decisions on an analysis of past price trends Gur model explains bursts of volatility in financial markets, which are not well explained by the traditional finance paradigms, as \Ve will show. Speculative bubbles arise as a complex non-linear dynnmic phenomenon hrought about naturally by the dynamic interaction ofheterogeneous markct participants. Depending on the time lag in the fOID1ation of chartists' expectations, the system evolves through several dynamic re gimes finishing in a strange attractor. Chaos provides a self-sustained motion around the rationally expected eqllilihrium that corresponds to a speculative bubble. In order to explain the role of Chartism, chao tic motion is a very interesting thcoretical feature for a speculative financial market model. It provides a complex nonlinear dynamic behaviour around the Walrasian equilibrium price proclucecl by deterministic interactions between fundamentalists and chartists. This model could be a link between two opposite views over the behaviour of financial market: the theorist's literature one that claims the random motion of asset prices and the chartist's position cxtensivcly spread by the market professionals. CONTENIDOS Capítulo O. Introducción y Objetivos 0.1. Expectativas Racionales.......... ...................... ........ ..... ....... ........... ... .... ... 2 0.2. Mercados Eficientes............................................................................... 9 0.3. El Análisis Técnico o Chartismo............................................................. 19 0.4. Un Modelo Especulativo' de Mercados de Cambios.:.............................. 31 0.5. Un Modelo Especulativo de Mercados de Capitales............................... 37 Objetivos ...... ............................. ............................................. ............. 58 Capítulo 1. Dos Modelos Complejos de Comportamiento Especulativo 1.1. Un Modelo Discreto de Fundamentalistas y Chartistas............................ 64 1.1.1. Análisis Lineal Local. Bifurcaciones..................................... ..... 67 1.1.2. La Bifurcación de Hopf en Sistemas Dinámicos Discretos......... 75 1.1.3. Detección del Caos por medio de un Punto Fijo Expansivo....... 80 1.1.4. Caos Transitorio......... .............................. ............ .................... 89 1.1.5. Estudio del caso '[ -> O............................................................. 94 1.1.5.1. Bifurcación Flip......................................................... 102 1.1.6. A Modo de Síntesis .................................................................. 109 1.2. Un Modelo de Fundamentalistas y Chartistas con Dos Activos............ .... 111 1.2.1. Análisis Lineal Local .................................................................. 116 1.2.2. La Bifurcación de Hopf en Sistemas de Alta Dimensión...... ....... 117 1.2.3. Análisis Geométrico del Ciclo Límite en Tres Dimensiones ........ 124 1.2.4. Variedad Central y Reducción de la Dimensión Ffectiva. 129 1.2.5. Estudio del Caso t -> o ............................................................ 137 1.2.6. Discretizllción del Modelo: Aparición del Movimiento Caótico.. 145 1.2.7. A Modo de Síntesis................................................................... 153 Capítulo 2. Contrastaciones Empíricas 2.1. Introducción.................................................................................... ....... 156 2.2. Espectros de Fourier.. ............................................................................. 157 2.3. Estadístico BDS ...................................................................................... 171 2.4. Estadístico de Hurst............................................................................... 179 2.4.1. La Memoria a Largo Plazo en los Precios de los Mercados de Valores ..................... · .................................. 179 2.4.2. Análisis del Rango Reescalado .................................................... 181 2.4.3. Detección de Ciclos No Periódicos ............................................ 185 2.5. Patrones de Comportamiento y Predictores Locales en Series Temporales ................................................................................... 211 Conclusiones..................... ............................................... ........... ......................... 230 Bibliografía .......................................................................................................... 236 Capítulo O CAPITULO O INTRODUCCION y OBJETIVOS 0.1. Expectativas Racionales En Economía, como disciplina que estudia la asignación eficiente de recursos escasos, los procesos de decisión son básicos. Dado que los resultados de estos procesos generalmente se extienden en el tiempo, se hace necesario considerar el futuro, por lo que la formación de expectativas se constituye de esta forma en un elemento fundamental de dicha ciencia. En efecto, para adoptar una decisión, los agentes económicos no tienen en cuenta sólo los valores actuales y pasados de las variables relevantes, sino que formulan y consideran predicciones sobre valores futuros, por lo que en los modelos económicos es necesario describir los mecanismos de formación de expectativas que permitan generar dichas predicciones a partir de la información disponible. En la literatura se han propuesto vanos mecanismos de formación de expectativas. En Begg (1982) podemos encontrar una amplia información al respecto. 2 Keynes (1936), en su "Teoría General ", señaló la importancia de las expectativas, así como la posibilidad de que podrían obedecer a motivaciones más psicológicas que económicas (los denominados por Keynes animal spirits), constituyendo una de las causas de la inestabilidad de la economía. Así, en su famoso pasaje sobre el comportamiento del mercado bursátil como un casIno, Keynes (1936) describe dichos mercados como lugares donde, especuladores en busca de ganancias de capital inmediatas, anticipan "10 que la opinión media aspera. que sea la opinión media", en lugar de centrarse en los determinantes fundamentales del mercado. Las primeras formulaciones sobre formación de expectativas tomaron la forma de mecanismos de expectivas adaptativas y de expectativas extrapolativas. Según la hipótesis de expectativas adaptativas propuesta por Cagan (1956), los individuos usan la información referente a errores de predicción pasados para revisar las expcx;lativas currientes. De esta forma, si 1-1 xel representa el valur que los agentes que forman sus expectativas al final del periodo t - 1 esperan tome la variable X en el momento t, tendríamos que el mecanismo de expectativas postulado podría escribirse como 1-1 XCI -1_2 xc I_I='A.( x.-t1-2 XC t), 0<A:<1 reagrupando términos se obtiene 1_ 1 xel =" 'A. XI _ I + (1 - 'A.) t _ 2 XCI _ 1 y por sustituciones sucesivas podemos transformar esta expresión en la siguiente 3 + .... .+ A(1-A)O X'.-n-l + A(1-Á)o+ 1 t-n-2 Xet_n_t donde todos los términos, excepto el último, son observables. Puesto qtie A es una fracción positiva, (1- 'At + 1 se hace cada vez menor conforme aumenta n.Para un valor den suficientemente elevado podemos despreciar el último término y escribir 1.1 X~I - f.. L (1-f..); X.-i-l 1.0 (0.1.1) Así pues, según ésta hipótesis las expectativas corrientes sobre el valor futuro de una variable se basan en una media ponderada de valore..: ("orrientes pasados, donde las ponderaciones decaen geométricamente. Por su parte, el mecanismo de expectativas extrapolativas sugerido por Modigliani y Sutch (1966) vendría dado por la siguiente expresión: M t_IX C, =A¿ a.¡ Xt_i+(l-A.)~ (X t_lXqt-l), 0< Á< 1 (0.1.2) donde ~t.l es el valor considerado de equilibrio de la variable ~ _ l' que se especifica generalmente como sigue~ M xqt_1 = ¿ h¡ X.-i j.1 Con lo que (O .1.1) sería un caso particular de (0.1.2). 4 En la década de los treinta, Cowles (1933) y Working (1934) observaron que los métodos convencionales de predicción de los precios de las acciones no producen mejores resultados que los que se obt~ndrian siguiendo un pr~cedimiento al~atorio. A este mismo resultado llegaron Kendall (1953), concluyendo que los coeficientes de correlación de los precios de las acciones en el mercado no difieren significativamente de cero, y Roberts (1959), que comprobó que las primeras diferencias de los precios de las acciones guardaban una gran analogía con una sucesión de números aleatorios. Un trabajo que influyó decisivamente fue el de Osborne (1959), donde manifestaba que el precio de las acciones se ajusta bastante bien a la ley fisica que gobierna el IImovimiento browniano ll (movimiento de una partícula suspendida en un líquido). Sin embargo, el proceso de formación de precios de las acciones en los mercados de valores recobró verdadera actualidad en la década de los años sesenta. En ésta década, Cootner (1964) realizó diversos estudios de las características del mercado utilizando el análisis cuantitativo. En este mismo período aparece el.estudio sobre la Teoría de Selección de Carteras de Markowitz (1959) a raíz de un famoso trabajo de Tobin (1958). Fueron, sin embargo, Sharpe (1964) y Lintner (1965) quienes completaron el estudio de la composición óptima de una cartera de valores. El Modelo de Valoración de Activos Financieros (CAPM) surge ideado por Sharpe en la década de los setenta, en donde el riesgo sistemático, también llamado riesgo de mercado, encierra la reacción de las acciones hacia los cambios del mercado en general. El trabajo que formaliza la racionalidad de la Hipótesis de los Mercados Eficientes fue descrito por Fama (1970). La HME, en su forma pura, establece que el mercado es una martingala; la información no puede ser usada para obtener beneficios extraordinarios. 11 Según Lorie y Hamilton (1973), la afirmación de que un mercado es eficiente, tiene más peso que asegurar que los sucesivos cambios en los precios de las acciones son independientes unos de otros. Esta última suposición indica simplemente que el análisis de los esquemas del precio en el pasado no sirve para pronosticar el precio en el futuro, ya que toda la información deducible de tal análisis habrá sido incorporada a los precios del mercado. Sin embargo, en un mercado eficiente los precios no sólo reflejan toda la información contenida en las series históricas, sino también toda la infonnación hecha pública y toda la información privada. Esto sugiere la infructuosidad del esfuerzo para obtener rendimientos superiores mediante el análisis de 103 parámetros fundamentales. El término" eficiencia" no es fácil de concretar cuando se enfrenta al mundo real. Un mercado eficiente es un mercado perfecto, pero la realidad puede alejarse más o menos de esta situación ideal. El ataque al análisis fundamental dividió la HME en tres distintos niveles de eficiencia: la forma "débil", la forma "intermedia" y la forma "fuerte". En la hipótesis débil del mercado eficiente los precios sólo reflejan la información contenida en las series históricas; por tanto, examinar el pasado de las cotizaciones no sirve para predecir los precios futuros. El ajuste de los precios es instantáneo. Los cambios en los precios son independientes entre sí, por lo que el nivel de precios es aleatorio. Ningún inversor podrá obtener, por tanto, una rentabilidad superior a la normal. 12 La hipótesis intermedia o semifuerte del mercado eficiente postula que los precios reflejan toda la· información hecha pública que pueda afectar al valor tntnnseco de una acción. El ajuste de los precios se produce despué~ de un periodo de adaptación o aprendizaje del mercádo. Existe, por tanto, un desfase temporal en el ajuste de los precios, que será tanto menor cuanto más eficiente sea el mercado. Sólo los inversores con información privilegiada podrán obtener una rentabilidad superior. Por último, en la hipótesis fuerte del mercado eficiente, los precios reflejan toda la información pública y privada. Los cambios en los precios' son variables aleatorias independientes que incorporan toda la información conocible. Nadie puede obtener una rentabilidad superior a la que obtendría cualquier inversor con una cartera aleatoria. A mediados de los años 70, la versión semifuerte dc la HME fue la teoría aceptada generalmente. La evidencia estadística en favor de la eficiencia. de los mercados discutida por Fama (1976) ha sido tomada como soporte para el modelo de camino aleatorio, y hasta hace muy poco los economistas financieros no han tenido la menor duda en aceptar este punto de vista como explicación del comportamiento de las series temporales de los precios de los activos. Pero el mundo económico, en general, es incierto, el valor intrínseco de una acción o de cualquier otro título no puede detenninarse con exactitud. Las estimaciones (expectativas) de los dividendos futuros de una determinada empresa, el horizonte económico o período de planificación, las predicciones acerca de la evolución del marco socioeconómico, etc., son diferentes para los distintos inversores, aún en el supuesto. de que todos ellos dispongan de la misma información. 13 Estas podrían ser algunas de las distintas razones por lo que la teoría de los mercados eficientes no concuerda con los acontecimientos sucedidos en octubre de 1929 o en octubre de 1987. La observación directa del funcionamiento de los mercados financieros a lo largo de éstas jornadas históricas permite compr~nder la lógica de la evolución de los pr~c¡oc¡ FI cmsh de los mercados financieros ele 19R7 ha inducido a considerar más profundamente la virtualidad del paradigma de los mercados eficientes, y ha propiciado nuevas visiones sobre los mercados especulativos y nuevos modelos dinámicos para explicar su funcionamiento. Incluso en los períodos llamados normales, la teoría de la eficiencia de los mercados financieros es criticada por algunos teóricos. Recientes trabajos empíricos manifiestan diversas objeciones a los principios básicos del modelo de mercados eficientes, o al menos al punto de vista que dicho modelo sugiere para la dinámica de los precios. A partir de la década de los 80, ya eran muchos los investigadores que presentaban serias dudas sobre la eficacia del mercado, mostrando distintas eyidcncias contradictorias con la HME. Algunos de estos estudios han sido inconsistentes con el modelo puro del camino aleatorio o forma débil de la lIME. Otros trabajos reportan anomalías relativas al exceso de rendimientos debidos a una variedad de factores tales como tamaño de la firma, sentimientos· del mercado, días de la semana, mes del año, etc. Muchas de estas anomalías son revisadas por Keim (1986), Lo y MacKinlay (1988), que utilizan tests basados en estimadores de la varianza. En sus trabajos se concluye que el modelo de camino aleatorio es, en general, no consistente con el comportamiento estocástico de las rentabilidades bursátiles semanales; también encuentran una correlación significativamente positiva para períodos productivos semanales y mensuales. 14 Trab¡ljos realizados a lo largo de los años 80 llegan a la conclusión de que la evidencia relacionada con las reversiones de beneficios es inconsIstente con la hipótesis del mercado eficiente, que afirma que los beneficios de la inversión son serialmente independientes. Los precios de los títulos cambian de dirección con el tiempo, y por tanto los beneficios tienden también a ·cambiar. Este es el descubrimiento de la investigación realizada por Fama y French (1988), los cuales comprueban que aunque los beneficios de las acciones en períodos cortos de tiempo pueden tener una correlación serial positiva, en períodos más largos muestran una correlación serial negativa. Igualmente, Poterba y Summers (1987) encuentran evidencia de componentes transitorias para una fracción larga de la varianza en las rentabilidades bursátiles. Las reversiones de los beneficios cn distintos períodos de tiempo están generalmente enraizadas en hechos económicos. La volatilidad de los tipos de interés constituye una. de las principales influencias económicas en los precios de las acciones. Puesto que los bonos (que son los que reflejan la orientación de los tipos de interés) compiten con las acciones para conseguir el dinero de los inversores, se podría esperar de forma lógica relaciones sistemáticas entre los tipos de interés y los precios de las acciones. Por tanto, en un ciclo de flu<.:tuaciones de los tipus de interés, se observará unos rendimientos de acciones relativamente elevados seguidos de rendimientos bajos de las acciones. El trabajo realizado por los autores French y Roll (1986) revisa la idea básica de la HME según la cual los movimientos del mercado son"ocasionados por la llegada de información nueva. Estos autores demostraron que esto no sucede así. Su estudio refleja que la difusión de información privada es la causa principal de las varianzas de . los precios en el mercado. Este análisis deja abierta la posibilidad de influencias 15 adicionales en el mercado, aparte de la llegada de información pública nueva. En un trabajo posterior, Roll (1988) mostró que una parte de la volatilidad en los precios de las acciones se puede explicar por noticias relacionadas con la econotlÚa, la industria y noticias específicas sobre empresas privadas. La información privilegiada y la actuación de los profesionales y otros inversores puede jugar un papel importante en el proceso de formación de precios. Por otro lado, existe un número creciente de investigaciones relativas al exceso de volatilidad de los precios de los activos. Una recopilación de estgs datos es posible encontrarlos en West (1988), que ponen en cuestión el punto de vista de que el precio de los activos está determinado exclusivamente por los valores fundamentales esperados racionalmente, que de acuerdo con Samuelson (1965) deberían seguir un camino aleatorio. Un test estadístico, propuesto por Shiller (1989), muestra que los precios de los títulos presentan "demasiada variabilidad 11 para poder ser explicada por una teoría de valoración de precios de mercado eficiente, y se deben tener en cuenta consideraciones de comportamiento y de psicología de multitudes para explicar el proceso de la determinación de precios en el mercado de valores. Peters (1991) investiga la función de densidad de los rendimientos de los mercados de valores y observa que su comportamiento se ajusta sólo a una distribución It aproximadamente normal". Los rendimientos están sesgados negativamente (Fama, 1965) y existen demasiadas observaciones en las colas '1ejos de la media (Osbome, 1959). Asimismo, Peters observa que el pico que se produce alrededorde la media es más alto que lo predicho por una distribución normal. Esta leptokurtosis (anchas colas y alto pico) advertida en la función de densidad de las rentabilidades bursátiles, es otra de las inconsistencias con la HME. Según Sterge (1989), pueden esperarse cambios en los precios mucho mayores y ocurrirán dos o 16 tres veces más a menudo de lo que predice una distribución normal. Ya en 1964 Mandelbrot propuso sustituir la normal por una distribución paretiana estable caracterizada por varianza infinita o indefinida. Lo que es incuestionahle es que el mercado reacciona a muy distintos factores que afectan a los precios. Tanto los inversores que acuden a los mercados de. valores en busca de colocación para sus ahorros, como los empresarios que acuden a los mismos en busca de recursos con los que financiar sus actividades productivas, utilizan inmumerables trucos y estratagemas con el objeto de obtener una mayor rentabilidad o pagar un menor coste por la financiación. Como señala Peters (1994), "es inconcebible que una institución hecha por el hombre, como es el caso del mercado, pueda ser mecánicamente perfecta de forma que todas las discrepancias que sUljan puedan ser totalmente controladas antes de que sea posible observarlas". Es por lo que cabe plantearse la pregunta: ¿son eficiente~ los mercados? La HME supone que los inversores son racionales, es decir, valoran las acciones en base a toda la información disponible y obtienen un precio. acorde a la misma. Los rendimientos se fijan mediante un método probabilístico ponderado, y en particular son adversos al riesgo. ¿Pero es la gente racional considerada incluso agregadamente? Peters (1991) analiza distintas razones por las que los inversores no se comportan de la manera descrita en la teoria de expectativas racionales. Los inversores pueden no conocer la manera de interpretar toda la información conocida, y pueden reaccionar por esta causa a las tendencias; la sobrerrcacción ante la información sobre dividendos futuros es una realidad cuando la gente se enfrenta a una pérdida o ganancia potencial. La existencia de amplias influencias en lus prtx.:ius dd mercado sugiere la posibilidad de que los inversores no 17 acepten el precio establecido como el mejor reflejo de su valor intrínseco. No hay necesariamente aversión al riesgo cuando existen pérdidas seguras por no jugar. La gente no es in sesgada, usa probabilidades subjetivas. Existe una reacción no lineal ante la información. Las noticias se acumulan y la reacción se produce a partir de un cierto niveL El pasado puede influir sobre el presente originando una reacción retardada. Los cambios en los precios son demasiado volátiles, no pudiendo achacarse esta variabilidad a cambios en los dividendos esperados. Las anchas colas de densidad pueden ser explicadas por la reacción no lineal de los inversores ante la llegada de nueva información. De acuerdo con ésto, se espera que los profesionales de la inversión especulen sobre lo que ellos perciben de cuál scría la dirección del mercado. Cuando los agentes intentan aprovecharse de las imperfecciones del mercado y actúan según su percepción de la tendencia del precio actual, sus acciones pueden causar fenómenos que son totalmente inconexos con los fundamentos económicos, y son impredecibles por el análisis fundamental. Este comportamiento describe una dinámica endógena que se basa esencialmente en las interacciones de los agentes y que tiene un efecto sobre los precios. Se plantea, por tanto, la necesidad de considerar modelos alternativos para analizar la dinámica de los precios de los activos: alternativas desde el punto de vista de que los precios no sólo reflejan los valores fundamentales de los activos esperados racionalmente por los agentes. Estos modelos deberán tener en cuenta la incorporación en el mercado de los chartistas, un grupo de agentes que basan su actuación en el análisis de las.tendencias de los precios ocurridas en el pasado. 18 0.3. El Análisis Técnico o Chartismo El término técnico, aplicado al mercado de valores, se refiere al estudio de la actividad del mercado en sí misma en tanto que se opone al estudio de los bienes de que se ocupa ese mercado. El análisis téc;nico consiste, en esencia, en crear e interpretar gráficas de títulos. A sus profesionales se les denomina chartistas. Estudian el pasado, tanto los movimientos de las cotizaciones como el volumen de negocio, buscando la dirección de los cambios futuros. Los chartistas son inversores que basan su estimación en el componamiento del mercado en si mismo, usandu el comportamiento pasado para predecir el comportamiento futuro. El primer principio del análisis técnico es que toda la información sobre los beneficios, los dividendos, y el desarrollo futuro de una empresa queda reflejado automáticamente en las cotizaciones de las acciones de la emp(esa en el pasago. Una gráfica que muestre éstos precios y el volumen de negocio, incluye toda la información fundamental que debe saber el analista de inversión. El segundo principio es que los precios tienden a moverse siguiendo una tendencia. El analista técnico afirma que existe un momento de inercia en el mercado: los títulos que han estado subiendo lo van a seguir haciendo, y los que empiezan a bajar continuarán del mismo modo. Para los chartistas, los principios del análisis técnico tienen sentido dentro del mercado de valores por dos razones fundamentales: la primera se refiere al instinto de la multitud, de la psicología de masas, y la segunda es la existencia de un acceso desigual a la infonnación fundamental de una empresa. El precio del mercado no sólo refleja toda la infonnación fundamental que el arlalista estadístico puede esperar aprender (y de alguna otra que quizás sea secreta para él y que sólo conocen \\lgunos 19 iniciados), sino también todas las esperanzas, temores, conjeturas y estados de ánimo, ya sean racionales o no, de todos los posibles compradores y vendedores, así como I sus necesidades y recursos. El análisis técnico defiende, por taTlío, que la variabilidad de los precios no depende del estudio y análisis de los parámetros fundamentales, sino de la evolución constatada de las cotizaciones y la observación del comportamiento de los otros inversores. Los gráficos son herramientas de trabajo del analista técnico. Han sido desarrollados en multitud de formas y estilos para representar casi todo lo que ocurre en el mercado o para trazar un índice a partir de ellos. En los gráficos aparecen ciertos esquemas de formaciones, niveles y áreas que tienen significado y pueden interpretarse en términos del futuro desarrollo de una tendencia: La construcción de una gráfica dentro del análisis técnico consiste básicamente en una linea vertical, cuya base es la cotización minima del titulo ese . . día y cuya parte superior es la cotización máxima, dicha línea se cruza para indicar la cotización al cierre del día (Figura 0.1). El proceso se repite· por cada día de contratación. A menudo, el analista técnico también indica el volumen de acciones de un título que se negocian durante el día con otra linea vertical en la base de la gráfica. Los altos y bajos de la gráfica del título analizado reproducen una figura cuya interpretación es fundamental para el chartista. 20 s e Figura 0.4 Pauta Básica del Principio de Onda de Elliot. Consiste en un ciclo completo de ocho ondas: cinco ondas al alza (fase de números) y tres ondas a la baja (fase de letras). Después de un primer ciclo se desarrolla otro sirrúlar de ocho ondas (cinco al alza y tres a la baja), para terminar con un último avance de cinco ondas al alza; así se completa un movimiento "alcista" mayor de cinco ondas, produciéndose a continuación un movimiento "bajista" mayor de tres ondas. La Figura 0.5 representa dos ondas de grado superior que se descomponen en ocho ondas del siguiente grado inferior, y que a su vez se subdividen en treinta y dos ondas del siguiente grado inferior. Dado que la fonna es repetitiva a todos los niveles y en todos los períodos de tiempo, tiene valor de predicción. Un ciclo completo, en el contexto general de la formación de la onda, revela 10 que se debe esperar, tanto en lo que se refiere al equilibrio del ciclo actual como al próximo ciclo de mayor grado. 27 ~ .... ... ~:~~;. .(2) CD ·0'·· .... (5)····~.~~~.;, .•. ···~c\~~~ .. ·· . t (b)···.~~o~ .~.<1'/(3) /\/~ /\ ... ~v\. .. IV'\ 1\ / ' \ \ tf.0~·.. . !' I \ / \ \¡ \ . (1) /\/ \ 'y ( ) A j\ /V\/ (4) e / V ¡ (2) Figura 0.5 Dos ondas de grado superior se descomponen en 8 ondas del siguiente grado inferior subdjvidiéndose en 32 ondas del grado inferior siguiente. En un ciclo completo del mercado, las ondas se subdividen en ondas de ciclo primélrias, intermedias y menores. La formación de onda se rige por los siguientes principios básicos: 1) la acción viene seguida de la reacción; 2) las ondas de impulso (movimientos en la dirección de la tendencia principal) se subdividen en cinco ondas, y las ondas correctivas (movimientos en contra de la tendencia principal) se subdividen en tres ondas; 3) un ciclo completo se obtiene al finalizar un movimiento de ocho ondas (cinco al alza y tres a la baja) y 4) el marco temporal no hace variar la pauta, ya que el mercado sigue reflejándose en su fonna básica; las ondas se pueden alargar o comprimir, pero la pauta subyacente es constante. 28 De alguna manera, las medias del mercado desarrollan tendencias que se despliegan siguiendo pautas de la Onda de Elliott, al margen de los movimientos de I precio de las acciones individuales. La fitosofia de Elliott permite que las actitudes individuales y circunstanciales afecten a la formación del precio de cualquier acción, ya que lo que el Principo de Onda refleja es sólo ésa parte del proceso de decisión de cada persona que es compartida por el conjunto de todos los inversores. El Principio de Onda tiene un trasfondo históricq, y matemático en la lieCllencia de números de Fibonacci, en donde la suma de dos números conseclltiv()~ es igual al siguiente número superior: cuya solución para Xl = 1 Y X2 = 1 es la sucesión: {l, 1,2,3,5,8, 13,21,34, .... } Esta serie de números proporciona una función de medida conveniente para las ondas de tiempo. La serie de Fibonacci es útil para estudiar las series de tiempo económico y éstas se pueden analizar partiendo de una base horaria, diaria, semanal, mensual o anual. Un estudio de la estructura del tiempo indica que los cambios del precio del mercado tienden a desarrollarse en movimientos de onda, y que éstos movimientos no se pueden describir adecuadamente mediante un análisis de camino aleatorio. Aunque el tiempo no es una propiedad predecible del Principio de Onda, frecuentemente las secuencias de tiempo basadas en la serie de Fibonacci parecen 29 encajar duraciones de onda con una gran exactitud, dando al analista una perspectiva adicional. Elliott afirmó que el factor tiempo suele "ajustarse a la pauta", de ahí su importancia. En el análisis de onda, los periodos temporales sirven para indicar posibles áreas de giro, sobre todo si sus duraciones coinciden con objetivos de precio y cómputo de onda. El Principio (if~ Ond~ r~tifíc~gr~n p~rte de la Teoría de Dow y prueba la validez del análisis técnico, pero no ocurre en el caso contrario ya que aquél tiene una base matemática, sólo requiere una media de mercado para su interpretación y !i;e desarrolla siguiendo un ritmo básico o pauta. Sin embargo, ambas teorias están basadas en observaciones empíricas y se complementan entre sí, siendo de gran utilidad al analista técruco para decidir qué formaciones son de mayor importancia. En cualquier caso, y a pesar de que muchos analistas no lo tratan como tal, El Principio de Onda de Elliott es un estudio serio y objetivo, pudiéndose considerar como "un tipo disciplinado de análisis técruco". Según los autores Frost y Prechter (1985), el Principio de Onda se muestra claramente en el mercado, ya que "el mercado de valores se puede considerar como una manifestación de la estructura formal del progreso del hombre en vez de un revoltijo informe que reacciona ante los nuevos acontecimientos". A pesar del dominio en la literatura académica del paradigma camino aleatorio/mercados eficientes, algunas instituciones de inversores, cada vez más numerosas, dedican una considerable cantidad de recursos al análisis técnico declarando incluso que es posible "anticiparse al mercado" con tales procedimientos (Pruitt y White, 1988). 30 0.4. Un Modelo Especulativo de Mercados de Cambio Un capitulo de especial relevancia en el campo de la economia lo constituyen los mercados de tipos de cambios. Existen distintos planteamientos teóricos sobre la cuestión de determinar los tipos de cambio que están estrechamente vinculados al mecanismo de ajuste de la ba\anza de pago~. Do'S. enfoque'S. predominan en \a literatura económica. El primero engloba al modelo comercial, mientras que el segundo enfoque engloba los modelos monetarios y los modelos de equilibrio de cartera. (Para una panorámica general véase Bajo y SosvilIa, 1993). En el modelo comercial, en donde se utilizan variables flujo, el tipo de cambio de equilibrio viene determinado por la intersección de las curvas de demanda y oferta de divisas. La demanda de divisas se produce a partir de las partidas deudoras de la balanza de pagos (importaciones de bienes y servicios y exportaciones de capital), mientras que la oferta de divisas se origina en las partidas acreedoras (exportaciones de bienes y servicios e importaciones de capital) (Femández Díaz, Parejo Gamir y Rodríguez Saiz, 1993). La inestabilidad del equilibrio dependerá de las interacciones que se produzcan entre los niveles de precios y los tipos de interés de los distintos países, así. como de las expectativas de ambas variable':!. 'j \a':!.· de\ propio tipo de cambio. El segundo enfoque utiliza variables stocks para su descripción. El modelo . . monetario de los tipos de cambio tiene como factor determinante las políticas monetarias en el mercado de dinero nacional y extranjero. Los modelos monetarios que utilizan tipos de cambio rígidos a corto plazo son los llamados modelos de sobrerreacción; su característica es que a consecuencia de las perturbaciones el tipo 31 de cambio alcanza el equilibrio a largo plazo. El modelo monetario con tipo de cambio flexible comenzó a utilizarse a partir de la década de los setenta cuando comenzaron a producirse distintas modelizaciones utilizando otras variables macroeconómicas. Los modelos de equilibrio de cartera amplían el análisis incluyendo otros tipos de activos. La característica de estos modelos consiste en considerar que el tipo de cambio no sólo fluctúa cuando hay perturbaciones en los mercados de dinero sino que tambien influyen los mercados con otros activos financieros. En los últimos años se ha abierto una linea de. investigación alternativa consistente en justificar la alta volatilidad registrada en este tipo de mercados (Bajo, Fernández y Sosvilla, 1992a,b). El papel fundamental que desempeñan las innovaciones o nueva información disponible para los agentes en los mercados cambiarios, podrían explicar las desviaciones observadas en los tipos de cambio con respecto al modelo de camino aleatorio. Existen distintos modelos teóricos propuestos que consideran que los tipos de cambios pueden verse como precios de activos, e introducen elementos no lineales que surgen fundamentalmente de los mecanismo de generación de expectativas por parte de los agentes que intervienen en el mercado. La no linealidad y las expectativas de los agentes que intervienen en el mercado podria Ser una explicación al problema de la volatilidad en los mercados de tipos de cambio. En la actualidad el proceso de modelización está teniendo en cuenta estos dos factores detemúnautes en las variaciones del tipo de cambio, y tienen como conclusión que en un determinado rango de los parámetros el modelo presenta alta sensibilidad a las cundiciones iniciales, dando lugar a movimit:ntus cíclicus del tipo de cambio y caos. 32 En este sentido, se establece que en el mercado existen dos tipos de agentes: los chartistas y los fundamenta/islas, que utilizan distintos niveles de información. 1 La interacción de ambos agentes introduce un número suficiente de no linealidades que origina movimientos caóticos en el mercado que pueden ser interpretados como aleatorios, pero en donde subyace una estructura determinista. En este contexto es posible realizar predicciones a corto plazo. De Grauwe y Vansanten (1990) realizaron un estudio que introduce no linealidades a partir de cierta.'1 ~llposiciones sobre la actuación en la balanza comercial y en la formación de expectativas, considerando la variaCión esperada del tipo de cambio entre dos períodos consecutivos como la media ponderada de las expectativas mantenidas por los chartistas y fundamentalistas. Sus conclusiones determinan que para un determinado rango de los parámetros, el modelo presenta una dinámiea de carácter caótico. Más recientemente, De Grauwe, Dewachter y Embrechts (1993) utilizan un enfoque similar. A continuación vamos a desarrollar esta nueva versión como prototipo de modelo que presenta comportamiento caótico. Sea ~ el tipo de cambio en el período t y ~ la ecuación en forma reducida que describe la estructura del modelo y las variables exógenas que hacen funcionar el tipo de cambio en el período t. La primera premisa consiste en considerar que el tipo de cambio se ajusta a la siguiente ecuación (0.4.1) siendo Et(R t.1) las expectativas del tipo de cambio en el período t para el período t+l y donde b es el factor de descuento. 33 La segunda premisa postula que la variación esperada del tipo de cambio entre los períodos t~ 1 Y t+ 1 es una media ponderada entre las variaciones esperadas por los chartistas y fundamentalistas en este mismo período (0.4.2) siendo Ect(Rt) y E,t(Rt .¡) las expectativas de los chartistas y los fundamentalistas respectivamente, y donde Il\ es el factor de ponderación. El comportamiento chartista lleva a suponer que la variación f'!s'perada del tipo de cambio para los mismos será una función de los tipos de cambio, en los últimos N periodos (0.4.3) Asumiendo que las expectativas de los fundamcntalistas se comportan según la expresión E/ t(Rt•1) = R· t = R 't-1' se . deduce que la variación esperada por los fundamentalistas sobre el tipo de cambio entre los períodos t~ 1 Y t+ 1 se ajusta a la ecuación (0.4.4) donde a. es la velocidad de retomo a la posición R; = (X/I(I-h) esperada por los fundamentalistas, si 0.=1 significa que los fundamentalistas esperan que el tipo de cambio vuelva a su valor fundamental en un período. 34 Por otra parte, en un ambiente de incertidumbre respecto al valor fundamental del tipo de cambio, la pondera~ión de las expectativas de los fundamefitalistas aumentará cuando el tipo de carnbio del mercado se separa del valor de equilibrio, por tanto el factor de ponderación vendrá dado por la expresión (0.4.5) donde p es el grado de precisión de las estimaciones fundamentalistas. Sustituyendo las ecuaciones (0.4.3) y (0.4.4) en la ecuación (0.4.2), y esta última en la (0.4.1), resulta (0.4.6) El modelo queda definido por el sistema de ecuaciones en diferencias (0.4.5) y (0.4.6), que dada su naturaleza no lineal es muy dificultoso resolverlo analíticamente. Particularizando la actuación de los chartistas en el mercado en el sentido de utilizar el método de las medias móviles según el cual los chartistas actúan en función de los promedios a corto y a largo plazo, se puede establecer 35 siendo y el grado de extrapolación de. la evolución del tipo de cambio en eLpasado nevada a cabo por los chartistas. El sistema que describe la dinámica del modelo de tipos de cambio resulta ahora de la siguiente forma que es un sistema de ecuaciones en diferencias de tercer orden y donde al = b [1+ymt -cx(l-m t )1 Q2 -2b ym t a3 = b ym t (0.4.7) (0.4.8) Manteniendo fijos el parámetro de descuento b y el parámetro ~ (que mide el grado de precisión de las estimaciones fundamentalistas) el modelo dependerá solamente de los parámetros a y y que han sido descritos con anterioridad. Los resultados que se derivan de las simulaciones numéricas realizadas por los autores concluyen que para valores de y ~ 1 las soluciones convergen al valor fundamental del tipo de cambio, mientras que si y > 1 , se producen movimientos cíclicos del tipo de cambio en tomo a su valor fundamental, aumentando suficientemente el valor de y el modelo responde con una dinámica caótica. El parámetro u que mide la velocidad con que el tipo de cambio vuelve a la posición de equilibrio también afecta a la naturaleza de la dinámica. El caos puede surgir tanto con valores bajos O < ex < 1 , 36 inflexión en (-g) y acotada superior e inferionnente, lo que indica que el volumen de contratación especulativo está controlado en función del activo. El modelo se cierra especificando el modo en que los chartistas forman su estimación de la tendencia del precio. Los chartistas consideran estimaciones sobre el estado del mercado basándose en la hipótesis de que los precios varían siguiendo tendencias de los precios pasados. Todo ello nos lleva a suponer que la dinámica de un mercado especulativo fuera del equilibrio se basa en un proceso de expectativas adaptativas de acuerdo a la siguiente ecuación .(/) = c(P(t)-1f1(t», O<c~oo (0.5.5) que describe la variación chartista de la tendencia del precio y donde c es la velocidad de ajuste chartista. Esta ecuación preteride describir la base del análisis técnicó, donde la estimación de la tendencia se ajusta al alza si el cambio de precio es más alto que el esperado, y viceversa. Alternativamente, la cantidad ~ (=l/c) indicará el tiempo de retardo en la formación de expectativas. De las ecuaciones (0.5.1) -(0.5.5) ~ obtiene que las diná.micas del precio del activo se rigen por Ji = a(W -P)+h(1f1-g) -r1f = a(W-P)- V +h(lf-g) (0.5.6) que constituye un sistema de segundo orden de ecuaciones diferenciales no lineales. 43 Siguiendo a Chiarella (1992), consideramos que W(t) y g(t) son constantes. En tal caso, el punto de equilibrio del sistema (0.5.6) viene dado por V = O y pW ... h(-g)/a yel sistema se transforma en - p = -ap+k(Y) t+ ap-':l" .. k(1f) (0.5.7) siendo p = P -P la desviación del precio de equilibrio y donde k(1f) h('l-g)-h(-g). En este caso el punto de equilibrio es P= 1J.1 =0 Se ubserva que la función k('P) tiene las mismas caracteristicas que h('P -g), salvo que ahora el punto de inflexión· está en el origen. Por otra parte, como k'(,.) = h'(Y-g) > o, en el punto de equilibrio ocurre quek'(O) = h'(-g) = b > o, donde el parámetro b refleja la pendiente en el equilibrio de la demanda chartista o especulativa. Análisis Lineal Local Para hacer el análisis lineal local delsistema-(0.5.7) calcularnos la matriz jacobiana en el punto de equilibrio. esto es [ -a b 1 J = -ah; (b-l)lt Notemos que det(J) = ah > O, lo que excluye la posibilidad de punto de silla. Para determinar la estabilidad o inestabilidad local calculamos traz(J) = -a + (b-l)/-r: . 44 Si l' > (b-l )/a = l' *, el equilibrio resulta ser localmente estable mientras que si se verifica 1:' < (b-l)/ a = 1:' *, el equilibrio es localmente inestable. Se observa que el equilibrio se hace localmente inestable cuando los chartistas basan su estimación de la tendencia en los cambios de precio más recientes. Aumentando el impacto del mercado de los chartistas, el sistema oscila y se hace inestable. como se espera. La estabilidad e inestabilidad del equilibrio y la naturaleza de las fluctuaciones que se producen en el caso inestable, dependerán de la interacción entre la intensidad de la demanda fundamental, la intensidad de la demanda especulativa y la velocidad con la que los chartistas revisan sus estimaciones de la tendencia del precio. El Ciclo Límite Aplicando el Teorema de Bifurcación de Hopf, discutido entre otros por Lorenz (1993), que establece la existencia de órbitas cerradas en las proximidades del punto fijo para valores apropiados del parámetro 1', calculamos la ecuación característica de la matriz jacobiana, y los autovalores vienen dados por 1" ~ 1" 4a -a (1--) ± a 2 (1 __ )2 - l' l' l' 11 ,2 = _____ ---L ___ ...,....---''--_ 2 Si 1'=1'., los autovalores son imaginarios puros A1,2=±..rar:t i, y la parte real de ).. verifica oRe().. (1'))/0 1:' = -al2t* <o. Esto permite afirmar que aparece un ciclo límite cuando 1:' pasa a través de 1:'* (desde 1'>1" a 1'<1'"), ya que el punto fijo pasa de ser 45 estable a inestable. El punto de equilibrio cambia su estabilidad a causa de que la parte real de 'A. pasa de ser negativa a positiva. El teorema de bifurcación de Hopf establece sólo la existencia de órbitas cerradas en un entorno del punto de. equilibrio, pero no afirma nada sobre la estabilidad de las órbitas. Para determinar la estabilidad del ciclo límite y sus características. el proceso de Chiarella con~j~te en con~tmiT un modelo no lineal que tenga la propiedad de ser capaz de generar un movimiento de ciclo límite alrededor del punto inestable, esto es, trayectorias auto-sostenidas que persisten para un amplio rango de cambios arbitrarios de valores en los parámetros del modelo. Para ello se realiza un análisis del modelo no lineal a través de su ecuación diferencial de segundo orden, obtenida del sistema (0.5. 7), una vez se halla elinlinado p en ambas ecuaciones, resultando • W +(ac + b - k'('P» + + a 'P ~ O, siendo e=.-.· (0.5.8) Es posible dar una descripción global de la dinámica de 'P sin hacer ninguna simulación mumérica, ya que podemos aplicar dos teoremas referentes a ecuaciones diferenciales nu lim:alt:s. El teorema de Olech (1963) afirma que la eco diferencial (0.5.8) es global y asintóticamente estable para e>O. Por otra parte, haciendo U('P)=(ae+b-k'('P»/-r y V('P)=a':Ph, la ecuación (0.5.8) puede verse como una ecuación de Liimard generalizada, que ha sido discutida por Gandolfo (1983), utilizando la versión del Teorema de Levinsón y Smith, lo que permite afinnar que la ecuación (0.5.8) tiene un único ciclo límite para E<O. Las gráficas que se obtienen por métodos de aproximación son globalmente válidas, pero esta aproximación no dice mucho sobre el comportamiento cualitativo 46 del ciclo límite, esto es, el efecto del cambio de los parámetros estructurales del modelo sobre la amplitud del ciclo. Para estudiar la forma en que los parámetros del modelo afectan a las fluctuaciones, se aplica el método de la media (Chiarella, 1990) con el fin de investigar la naturaleza del ciclo límite en el punto de bifurcación e=O. Para ello, primero resuelve la ecuación diferencial (0.5.8) ignorando los efectos no lineales; la solución en este caso es de la forma 1f'(t)=A'sen(~ ·t + 8) siendo A la amplitud y 8 el ángulo de fase; el método de la media busca una solución de este tipo para la ecuación diferencial (0.5.8) cuando e7'Ó, esto es, una solución de la forma 'P(t)=A(t)·sen(..raTX + 8(t» donde ahora la amplitud y el ángulo de fase son dependientes del tiempo. Realizando en el sistema de ecuaciones (0.5.7) una transformación en coordcnéldas polares: p-Aw:s e, ':Y-Asen e, se llega a una aproximación de primer orden de la amplitud de fase A(t) que vendrá dada por la solución de la ecuación diferencial siendo A = A'(K(A)-ae/2)1T K(A) = ~ r 21C rk'(Aseny) - bl COS 2y dy 21C Jo 47 (0.5.9) La función k' ('P) es simétrica respecto del eje vertical; como k' (O )= b, la función está acotada superionnente por el parámetro de impacto especulativo, y además se cumple que Iím k'('P)= 0+, cuando 'P -4 ± 00 ; por tanto es posible asegurar que la función K(A), cuya gráfica está representada en la Figura 0.6,' tiene las siguientes características (i) K(A) < o ya que k'(lJr) < b, \;fljl (ii) K(O). _1_ r2 tr. [k'(O) _ b} cos 2y dy _ O 2,; Jo (iii) Si A .... ~, lím K(A). ...l!- (271 cos 2 y <{v • 211: Jo (iv) K'(A). _1_ r 21l t"(A smy) .smyoos2y < O 2,; Jo b 1 ya que k"(A smy) < O (> O) n .rmy > O « O ) , 1 f. 2rr. I 2 (v) Si A ... 00, 11m K (A) - - t(oo) smy cos y dy. O 2x O K ¡ AA --+--=~=-----------~i--------------------~ .. 12f-----------------------~------------------------------- 1 ~ ~ t-------------------------------------------~---------- ¡ Figura 0.6 La Función K(A) 48 Estudiando el comportamiento cualitativo de la ecuación diferencial (0.5.9), podremos detenninar cómo evoluciona la amplitud de las fluct~aciones del p~ecio del activo. Si E>O el término K(A) ~ aE/2 < O, V A, luego Á<O y por tanto A .... 0, el equilibrio es local y asintóticamente estable (Figura 0.7a). Si por el contrario, E<O, la ecuación K(A) - aE/2 = O tiene una solución A; por tanto, Á>O para A<A y Á<O para A>A. Yen consecuencia, desde un valor inicial, la amplitud A converge hacia .i, Le., A .... A (Figura 0.7b) . • A • A A A (a) &>0 (b) &<0 Figura 0.7 Comportamiento Dinámico de la Amplitud Análisis Geométrico del Ciclo Límite A continuación se analizan las isoclinas P=O, ..¡r =0, en el sistema (0.5.7), considerando únicamente el caso donde se presenta inestabilidad local; esto es, cuando b> 1 +a t, Y donde ya se ha comprobado que las oscilaciones de p y 'P son atraídas hacia un único ciclo límite. 49 La primera de las isoclinas p=k(V)/a, es una curva que tiene las características de la función k('P), esto es, una curva monótona creciente con un punto de inflexión en el orígen y acotada superior e inferiormente, mientras que la segunda isoclina, p=(k('P)-'P)/a, en el caso b>l, es una curva creciente en el origen y tiene dos puntos críticos, como se muestra en la Figura 0.8. p p=k(q¡)/ a ~ J \ p=(k( '1')- '1')/ a b>l Figu.ra o.S Análisis Geométrico del Ciclo LÍmite Se pueden distinguir cuatro fases en las fluctuaciones d~ p Y 'P. En la l}rimera fase de A u B, el precio del activo empieza a crecer, por lo que la demanda fundamentalista disminuye y aumenta la demanda chartista. La estimación chartista de la tendencia del precio se ajusta al alza y en consecuencia se incrementa la especulación. En la segundafase de B aC, el precio sigue aumentando, por 10 que la demanda chartista es aún mayor que la fundamentalista, pero la expectativa 50 chartista empieza a disminuir y la especulación se reduce. En la tercera jase de e a D, el precio comienza a ajustarse a la baja, la demanda fundamentalista comienza a I aumentar, por lo que la expectativa chartista., y en consecuencia la especulación, sigue disminuyendo. En la cuarta jase de D a A, el precio del activo sigue reduciéndose todavía más, la demanda fundamentalista es ahora mucho mayor que la demanda chartista, pero la expectativa chartista de la tendencia del precio comienza a ajustarse al alza y la especulación aumenta. El ciclo entra ahora en la primera fase y se repite en sí mismo. El precio fluctuará alrededor del equilibrio walrasiano ~asta que se pr?duzcan cambios en los p.arámetros del modelo, de esta forma el sistema es capaz de generar componentes transitorias significativas y fluctuaciones predecibles alrededor del punto de equilibrio. Comportamiento Especulativo Para analizar cómo afectan los parámetros del modelo a la amplitud de las fluctuaciones tendremos en cuenta que el comportamientu l:uéllitativu de la a.mplitud A viene dado por la ecuación (0.5.9), siendo e='t"-(b-l)/a; por tanto, . diferenciando implícitamente la ecuación K(A)-ae/2=0 con respecto a cada uno de los parámetros estructurales del modelo, se puede observar los resultados siguientes. a) Efecto de la variación de la pendiente de la función de demanda jundamentalista "a": 51 - X'(A)' &.A -!.(E+a~)=O _ lJa 2 &a ~A 1 _ .(E+ b-l) __ 't_ < O lJa 2X'(A) a 2X'(A) en igualdad de condiciones, un crecimiento de a en la demanda fundamental conduce a un decrecimiento de la amplitud A de las fluctuaciones del precio del acti~o. b) Efecto de la variación de la pendiente de demanda charlista "b": 1 --->0 2X'(A) en contraposición con e\ caso anterior, s.e observa que un crecimiento de b en la función de demanda chartista produce un crecimiento en la amplitud de las fluctuaciones. e) Efecto del tiempo de retardo medio en la formación de la estimación de la tendencia chartista "'t": ~A a < O t> 't 2X '(A) en igualdad de condiciones, un decrecimiento de 't', esto es, cuando los especuladores reaccionan más rápidamente a los cambios del precio del activo, ocasiona que la amplitud de las fluctuaciones también aumente. 52 Todo ello ha conducido a la aparición dentro de la literatura económica de un número creciente de estudios sobre la dinámica del comportamiento de los precios fuera del equilibrio. Su denominador común podría resumirse en los siguientes aspectos: a) Dentro de los mercados se encuentra presente una dinámica interna, endógena, basada en la interacción de grupos de agentes con diferente horizonte temporal de inversión y diferentes cOncepciones sobre el. comportamiento del mercado. Por un lado habría que considerar un grupo de agentes fundamentalistas, en el sentido que basan sus acciones de inversión en la ortodoxia económica y en la existencia de un precio de equilibrio intertemporal walrasiano; por otro, un grupo de agentes chartistas, especuladores a corto plazo, cuya demanda está inducida por expectativas sobre el incremento de los precios basadas en el estudio de las cotizaciones del activo en el pasado. b) Parte del comportamiento de los agentes es de carácter autorreferencial y se retroalirnenta; es decir, los precios se forman como resultante de los flujos de compras y ventas, y dichos flujos son a su vez activados por el comportamiento de los precios (lu que imiul,;l;: a cunsideut.r la al:luaciún de algunus agenles bajo la perspectiva de expectativas adaptativas). e) Las interacciones que se producen dentro del mercado pueden ser no lineales. La información se acumula y una reacción sólo se produce a partir de cierto nivel. En éste sentido pueden darse, igualmente, reacciones retardadas del pasado sobre el presente. 59 d) El mercado amplifica las consecuencias de las nuevas informaciones que recibe, y su volatilidad es muy superior a la que se justifica por los cambios en su valor fundamental. e) La posibilidad de dinámicas estables de los precios fuera de sus valores de equilibrio revela que, incluso en períodos nonnales no especialmente turbulentos, es completamente factible la existencia de burbujas especulativas. En ésta línea consideramos de interés abordar los siguientes aspectos de la dinámica del comportamiento especulativo que van a constituir los ohjetivos de esta Tesis. l. Recientes trabajos sobre la dinámica del comportamiento de los mercados han dado entrada en los modelos al chartismo como forma de especulación muy extendida dentro de los mercados reales. Dichos modelos, al incorporar la no linealidad de ciertas funciones entre sus premiSas, dan lugar a un tipo de comportamiento en forma de ciclos límites o variedad, rápido-lenta. Tal comportamiento? pese a dar una buena visión de Jos efectos del chartismo dentro de un mercado, resulta poco rico y demasiado ingenuo para ,explicar un fenómeno tan complejo como puede ser un mercado financiero real. Consideramos como un objetivo central de esta Tesis el construir modelos de comportamiento especulativo que den una mejor explicación al problema de la alta volatilidad que registran los mercados financieros. En efecto, en 103 modelos de dinámicas fuera del equilibrio con un ciclo límite, la volatilidad está directamente asociada con la longitud dd ciclo. Estos moddos encierran, en sí mismos, una abierta 60 contradicción: la volatilidad debe estar asociada no con la magnitud de las fluctuaciones de las series económicas, sino con la incertidumbre que puedan generar tales fluctuaciones. Por el contrario, en los modelos deterministas c1ás¡co~ los. ciclos límites son perfectamente predecibles. 2. Revisión de los modelos de especulación en los mercados, especialmente el de Chiarella (1992), buscando enriquecer su comportamiento con la introducción de dinámicas caóticas. Estas dinámicas, pese a su carácter detenninista, tienen una considerable riqueza y un sorprendente parecido con las evoluciones estocástjcas. En este sentido cabria pcnsar en una doble acción. a) Discretizar modelos formulados previamente en tiempo continuo. En tal caso, el comportamiento caótico puede aparecer incluso en los sistemas dinámicos unidimensionales. b) Aumentar la dimensión de los modelos continuos con el fin de estudiar su comportamiento en presencia de varios activos. El análisis técni~o o chartismo es una forma de intervención en los mercados ampliamente extendida. Postula la existencia de diversas escalas de memoria dentro de los mercados que dan lugar a la aparición, según la teoría' de Dow, de tres tipos de tendencias: primaria (de uno a varios años), secundaria (de uno a cuatro meses) y terciaria (varios días). En este sentido, es priJllUldiw considerar el siguiente objetivo: 61 3. Contrastar la existencia de movimientos de tipo cíclico y en general procesos de memoria a corto o largo plazo en los movimientos de las cotizaciones de los. mercados. financieros. El resultado de dicho contraste tendría como finalidad averiguar la utilidad de multitud de reglas que aparecen en el Análisis Técnico así como su propia razón de ser. 4. Por último, es preciso dar respuesta a la paradoja que encierra, en sí misma, la posibilidad de predicción en un mercado financiero resultante de cualquier modelo detenninista o del propio Análisis Técnico. Si todo el mundo sabe que las cotizaciones van a subir, por ejemplo, pasado mañana, todos comprarían mañana y destruirían la propia predicción; es decir, lilas profecías en fa Bolsa se anulan a sí mismas". 62 Capítulo 1 CAPITULO 1 DOS MODELOS COMPLEJOS DE COMPORTAMIENTO ESPECULATIVO 1.1. Un Modelo Discreto de Fundamentalistas y Chartistas Los progresos efectuados en la comprensión de las dinámicas no lineales han suscitado un gran interés en los economistas financieros. El motivo se comprende facilmente: la teoría del caos determinista y el análisis de los atractores extraños han puesto de manifiesto la sorprendente semejanza que existe entre las trayectorias caóticas y las evoluciones estocásticas. Sin embargo, se trata de fenómenos cuya lógica puede contraponerse y es posible distinguirlos teóricamente.· Son muchos los trabajos que han discutido tests que permiten separar estos dos conceptos, así como el análisis en los distintos campos de aplicación, especialmente en el análisis del crecimiento y de las fluctuaciones cíclicas, y también en el estudio de los mercados financieros. En nuestro caso, la interacción de fundamentalistas y chartistas puede presentar una dinámica caótica para determinado rango de los parámetros. La característica clave del movimiento caótico es que un sistema determinista puede 64 generar una serie temporal que parezca completamente aleatoria y que la historia temporal que comienza en puntos iniciales muy próximos tengan un aspecto completamente diferente. Como la expre~ión matemática del modelo especulativo analizado por Chiarella (1992) es un sistema diferencial bidimensional en tiempo continuo, para estudiar la posibilidad de un comportamiento caótico es nece~ario con~iderar la versión del modelo en tiempo discreto, ya que, según el teorema de PoincaréBendixon, la posibilidad de que se genere un movimiento caótico en un modelo en tiempo continuo requiere que el sistema sea de al menos tres ecuaciones diferenciales. En este sentido vamos a discretizar el sistema determinista obtenido por Chiarclla ¡J = -ap+k('l) ~1.P = -ap- 'l +k('l) (1.1.1) siendo p el precio del activo y 'l la estimación (media) de la tendencia actual del precio para los chartistas. El parámetro "a" es la pendiente del exceso de demanda fundamentalista y "'[" indica el tiempo de respuesta en la formación de expectativas charlista. La función k está definida en el modelo como: k('l) = h('l-g)-h(-g), donde h indica una función no lineal de la diferencia entre el rendimiento esperado del activo y una tasa creciente de inversiones alternativas sin riesgo (como puede ser el caso de bonos gubernamentales) indicada por g. En nuestro modelo g se supone constante. 65 La función k('P) tiene, por tanto, las mismas características que la función h('P -g), salvo que ahora el punto de inflexión está en el origen, y en consecuencia verifica: (i) k(O) = O (ii) k'('P) > O (iii) k"('P) < O para 'P > O y k"('P) > O para 'P <O (iv) lim k'('P) = O si 'P -+ ± 00 (v) k (+00) k oup y k (_IX» k ¡uf Figura 1.1 Gráfica de la función k ( 'P) Además, como k'(V) = h'(V -g) > O, en el punto de equilibrio se verifica que: k'(O) = h'(-g) = b > O, donde el parámetro "bit refleja la pendiente en el equilibrio de la demanda chartista o especulativa. 66 Haciendo P = PI+l -PI' -+ = 'P 1+1 - 'PI en el sistema (1.1.1), resulta Pt•l = (l-u)pt+k(''l' t) lP t.l -a/'tpt1"(I-lI't) lP t+k(lP t)/'t (1.1.2) que representa un sistema no lineal de dos ecuaciones en diferencias unidimensionales, cuyo único punto de equilihrio e~ el origen Dadas las características que presenta la función k('P), nosotros la hemos supuesto equivalente a la función tangente hiperbólica que presenta una combinación de funciones exponenciales. Aunque esto no es esencial para' el desarrollo analítico del modelo, sí resulta imprescindible para la realización de las simulaciones numéricas que hemos efectuado. b (e 2'l" -1) k(lP) " e 2'l" + 1 siendo b la cota superior de la función. En los siguientes apartados de esta sección realizaremos un estudio analítico del modelo (1.1.2). 1.1.1. Análisis Lineal Local. Bifurcaciones Para realizar el análisis lineal local calculamos el Jacobiano en el punto de equilibrio 67 siendo l-a b a 1- (l-b) .. t '][' = tr JE = (l-a) + (l-lIt) +b/t D = det JE = (l-a)(l-Ih:) + bh: Los autovalores de esta matriz vendrán dados por la soluciones de la ecuación caracterís.tica esto es: Si los autovalores Al y A2 son reales, siempre es posible (Hirsch y Smale, 1974) encontrar una transformación invertible del sistema discreto linealizado. El problema se desdobla en dos ecuaciones diferenciales discretas unidimensionales, y la cuestión de la estabilidad es inmediatamente resuelta; el sistema es asintóticamente 68 1.1.2. La Bifurcación de Hopf en Sistemas Dinámicos en Tiempo Discreto ! La mayoría de los planteamientos matemáticos sobre órbitas cerradas en sistemas dinámicos se refieren a sistemas en tiempo continuo. Una excepción de esta regla es el teorema de bifurcación de Hopf en tiempo discreto en lR?, aunque desafortunadamente no existe una generalización del teorema al caso n-dimensional. Recientemente, el teorema de bifurcación de Hopf ha sido aplicado en modelos económicos. Este es el caso del estudio en la versión discreta del modelo de Goodwin, argumentando precios flexibles, realizado por los autores Cugno y Montrucchio (1984). En un modelo de generaciones solapadas trabajado por Reichlin (1986), se encuentran condiciones de estabilidad. Lorenz H.W. (1993) también comprueba la existencia de una bifurcación de Hopf en el modelo discreto de Kaldor. El siguiente resultado, debido a RueHe y Takens (1971), es una versión de Iooss (1979), y más recientemente de Guckenheimer y Holmes (1983). El teorema de bifurcación de Hopf cn tiempo discreto afirma cn su parte de existencia 10 siguiente. Teorema 1.1. (Bifurcación de Hop! en el caso discreto.) Sea el sistema de ecuaciones en diferencias X¡+1 = F(x¡ ,~), donde X¡ ER2 ~ ~ ER con u~ familia de punto fijos x*(~), en donde los autovalores son complejos conjugados. Si existe un ~o tal que y 75 d(m~ l(¡u¡o» -----< o entonces existe una bifurcación en una curva cerrada en el valor J.l=J.lo. Hay una gran analogía de este terorema con el teorema de bifurcación de Hopf para flujo. El requerimiento que los autovalores cruzan el eje imaginario es sustituido por la condición de que los autovalores c.omplE>jos conjugados c.m7.an el círculo unidad; esto es, mod A,=l en el punto de bifurcación Il=J..1o. Por otra parte, también se precisa que las raíces no sean reales cuando sean iteradas sobre el círculo unidad. Finalmente, los autovalores deben cruzar el círculo unidad con velocidad no nula cuando J..I. pasa a través de J..I.o (desde J..I.>J..I.o a J..I.<J..I.o). En nuestro caso, el valor dd módulu pu~de :S~l d~t~llllillado considerando la ecuación característica: A 2 -tr JE A + det JE = O, siendo sus soluciones: . En el caso que las soluciones sean complejas conjugadas, podemos escribir 11.2 = IX:I:: ~ i, siendo !OC = trJ E /2 Y ~ = V( 4 dd.J E- (trJ E )2)/ 4. El módulo se define 76 siendo det JE = (I -a)(I -111") + bl't". Los autovaloresserári complejos conjugados si En el rango de parámetros en donde dicha desigualdad es verdadera. se obtiene una bifurcación de Hopf para el sistema dinámico en tiempo discreto, en el valor 't='to si det JE 1 cuando "1: = 1: o' esto es, si se verifica O-a)(li 2...)+ b li 1: 0 "1: 0 Además en 't - 't o se demuestra d (ll!lllOO 1 (1: )) d 1: b-1 1: o =li+-- a Por tanto el módulo cruza el círculo unidad con velocidad no nula cuando el parámetro 't cambia (de 1: > 1: o a 't < 1: o) y el punto fijo pasa de ser estable a inestable. Estableciendo el requisito que las iteraciones 'A,n , n=1,2,3,4, sobre el círculo unidad sigan siendo complejas conjugadas, todas las condiciones del teorema de bifurcación de Hopf para el caso discreto se cumplen cuando 't = 't o . Por ejemplo, en el caso que los autovalores corten al círculo unidad en un ángulo 6 =± 60 o entonces l,¡ = e ±inl3 son las raíces sextas de la unidad y el sistema tiene periodo 6. En la Figura 1.8 se observa una bifurcación cuando 't=.6. 77 0.5r--......---, 0.1 0.1 o o -0.1 -0.1 -0.2 o 0.2 -0.2 o 0.2 -0'~1 o 1 Figura 1.8 Bifuración de Hopf cuando el módulo de los autovalores atraviesa el círculo unidad. Si los autovalores son las raíces sextas de la unidad el sistema tiene período seis. a .6: b .76: 1: .7: .6:.5 respectivamente. Más generalmente podemos observar en la Figura 1.9 una bifurcación de Hopf La bifurcación se produce en el valor 't= 0.45, que corresponde al segundo gráfico de la fila superior. En los tres gráficos de la fila inferior de la Figura 1.9 el valor de t disminuye. Se observa que el sistema pasa de un ciclo límite a un sistema de periodo cuatro, y por último se concentra en un atra~tor. Las tray,ectorias temporales del precio del activo las podemos ver en la Figura 1.10. En los tres gráficos de la fila superior la trayectoria temporal del precio pasa de ser estable a inestable. En la fila inferior, al disminuir el tiempo de retardo, la trayectoria temporal del precio pasa por un estado de comportamiento cíclico y regular (en nuestro caso, de período cuatro) para posteriormente concentrarse en un atractor. Esta situación transitoria que se produce en el sistema la veremos con más detalle posteriormente. 78 0.2 0.2 0.5 D : .~.,. ¡ l···· I O ~.~., " .. ' -- . O .. ". 0. O --:: ~," O '. . :: ..... "':: "0: . ''': .. --;: ..... ! " -O}) 2 O 0.2 -O~b.2 O 0.2 -O:n.5 O 0.5 o:~ :§] .0·~1 O 1 O -~ 1 O 1 Figura 1.9 En las tresfiguras superiores el sistema pasa por una bifurcación de Hopf a medida que el tiempo de retardo disminuye a =.3; b = .835; ¡- = .5; .45;.4; En las tres figuras inferiores el tiempo de retardo sigue disminuyendo ¡-= .2; .15; .12; el sistema pasa de una órbita atractor cerrada a establecerse en un período cuatl'O para finalmente cOl/cemrarse en Utl al/actor, 11=1000 iterac. 0.2 0.2 0.5 o,WJwv'l/if';W O 'iWWW!~ ~l V Y' V O lfV\tWfN\~~\~ J ~. n ~~ -0.20 50 100 -0.20 50 100 -0.50 50 100 0.5 :~ O -0.50 -O 50 100 -10 50 100 Figura 1.10 Trayectorias temporales del precio al disminuir el tiempo de retardo. En la fila superior, de izquierda a derecha, la trayectoria pasa de ser estable a inestable. En la fila inferior la trayectoria pasa por una fase transitoria antes de concentrarse en un atractor 79 1.1.3. Detección del Caos por medio de un Punto Fijo Expansivo I La mayor parte de los estudios que se caracterizan por tener un comportamiento complejo y que han podido modelizarse en economía se refieren, en el caso discreto, a sistemas dinámicos unidimensionales. En el caso de sistemas discretos bidimensionales el sistema de Henon, que se utiliza frecuentemente como ejemplo clásico para la dinámica caótica en JR? tiene la característica de ser invertible bajo una determinada condición. Sin embargo, el comportamíentocomplejo puede ser observado también en sistemas no invertibles. Marotto (1978) estudia un sistema bidimensional no invertible, que con determinadas condiciones resulta cualitativamente igual a la ecuación logística. Sus resultados calculados rpediante simulaciones numéricas para determinados valores en los parámetros, da lugar a diversos objetos geométricos Estos objetos resultan ser atractores en el sentido en que puntos iniciales localizados lejos de los mismos se aproximan a ellos rápidamente. La forma inusual de estos atractores, los cuales no son ni puntos fijos ni órbitas cerradas, es la razón por la que han sido llamados atraetores extraños. Un intento de generalizar el resultado del teorema de Li y Y orke (1975) para sistemas discretos n-dimensionales es el trabajo realizado por Diamond (1976), el cual no ha tenido suficiente aplicación en el campo econó~co. Nosotros nos basaremos en el concepto de snap-back repeller (repeledor de salto hacia atrás) introducido por Marotto (1978) para la detección del caos en el modelo especulativo. Definición 1.1. (punto fijo expansivo). Se considera ún sistema dinimico en tiempo discreto ~ + 1 ~ f (~ ) con un punto fijo inestable x'" = f (x*), siendo Br (x*) una bola cerrada con radio r en Rtt centrada en x*. Se dice que el punto x* perteneciente a RR es un punto fijo expansivo de f (x) en términos 80 de Marotto (1978), si x* es un punto fijo y todos los autovalores del jacobiano de f (x) son en valor absoluto mayores que uno para todo x perteneciente a la bola Br (x*). Esta definición no implica que la serie temporal se mueva siempre lejos de x* . Si x no pertenece a Br (x*), para un r arbitrario los autovalores podrán ser menores o iguales que uno. Un punto ~ que se encuentre fuera de Br (x*) puede saltar dentro de ella e incluso coincidir con x*; en este caso, el punto fijo se denomina snap-back repeller en términos de Marotto. T"a Figura 1.11 muestra la idea de un snap-back repeller : Una trayectoria que comienza en un punto Xo arbitrariamente cerca del punto fijo x*, es repelida del punto fijo después de tomar algunos valores dentro de la bola Br (x*), pero al cabo de ciertas iteraciones salta hacia atrás súbitamente para caer exactamente en el punto fijo. lBS (lr.x*) Figura 1.11 Un Snap-Back Repeller 81 El teorema en el que nos vamos a basar afirma: Teorema 1.2. (A1arotto, 1978). Si f posee un snap-back repeller, entonces el sistema dinámico en tiempo discreto es caótico. En nuestro modelo bidimensional en tiempo discreto, el jacobiano del sistema (1.1.2) es siendo J k'(':P) 1 k I(':P )-1 + 1 1: F 21 = a 1: F 22 = k I(':P )-1 1: Los autovalores de J vendrán dados por Para el rango de parámetros tales que a<l, k'('P) >1 Y 't<I+(b-l)/a, el módulo de los autovalores es mayor que uno, lo que implica que los autl'>valores 82 permanecen fuera del círculo unidad y el punto fijo es un punto fijo expansivo en términos de Marotto. Hemnann (1985) fue capaz de encontrar un snap-back repeller en el modelo de Kaldor en tiempo discreto. de tal forma que en la 12 ava iteración dicho punto saltaba para caer exactamente en el punto fijo. La búsqueda dentro de un sistema complejo de un punto repeledor no e!; tarea ~encilb y Sil loc;:¡li7;:¡ción c;:¡si Pllede ~er producto de la casualidad, por esto hemos ideado un método que nos permite detectar dicho punto de una fOffil::l más directa. El procedimiento que hemos seguido para encontrar en este rango de parámetros un snap-back repeller es considerar las iteraciones inversas del punto fijo de la siguiente forma: Para ilustrar esta idea considt-'Tcmos la logística x t.l ; 4 x t (1x t)' cuya fW1ci6n invcrsa viene dada por ±~ 2 Si partimos del valor O, que es el punto fijo inestable para la función logística, se obtiene que ~ = 1, ya que la solución O ha de ser rechazada. Iterando el proceso se tiene como siguiente valor X¡ = 1/2 , Y así sucesivamente se consigue una sucesión cuyos primeros términos vienen dados por la siguiente expresión: 83 que es una sucesión decreciente desde de su segundo término, de tal fonna que si partimos de cualquier punto de esta sucesión suficicntt.,'ffiCI1te próximo al punto fijo inestable, los puntos que se irán obteniendo en la ecuación logística se irán alejando del mismo hasta llegar al valor 1, desde donde se produce un salto haCia atrás que va a parar al mismo pooto iíjo. El origen es un rcpclcdor de salto hacia atrás para la ecuación logística, en el sentido de Marotto. • En nuestro modelo, y para el rango de parámetros en donde se verifica que el punto fijo es un punto fijo expansivo, partiendo del mismo ocurre (como veremos en la simulación realizada) que en la primera iteración el punto salta a un valor que se encuentra fuera de una bola de centro el origen y radio 1, esto es, una bola B¡((J¡') , a partir del cual las próximas itt::uu,.:iunt::s se irán acercando tantu cumu quenllIlUS al punto fijo (Figura 1.12). p Figura 1.12 Un Snap-Back Repeiler mediante iteraciones inversas 84 trayectoria converge hacia una órbita atractor despues de ser colapsada por un complejo movimiento. 3r----.-----.-----.-----.-----.-----.-----.----~ 2 -1 -2 -3~--~~--~----~~--~----~----_L----~~--~ o 100 200 300 400 500 600 700 800 Figura 1.15 Trayectoria temporal con fase transitoria La Figura 1.16 muestra el espacio de fase para las primeras 5000 iteraciones. Su contorno es similar al atractor caótico de la Figura l.13a, pero para este valor particular del parámetro la mayoría de los puntos en el espacio de fase representan puntos transitorios. El atractor está geoinétricamente organizado en una órbita de ocho grupos donde cada uno de ellos incluye el mismo número de puntos. Los 8 grupos del atractor han sido enfatizados en la Figura 1.17 con círculos, que indican la localización correspondiente dentro del atractor en el espacio de fase. 91 20r-----~----_r----~~----~----~----~ 15 A.···:: :.~. : ~ _ .:. ";.' .::~:~.:' ,:.--::~\,.. ... "':~ . .. ... .... ..... .. .. . ......... " .. " 11 "."' ... .............. .... ": , •• :¿ ... ",~~ " ". .....: ,"" .. " .. .. 11.. ':. :.,' I I ~ " l. : 111 .... ¡"'" :~' .. .... ". *. ",~. :;. .... .. .. '", ; .' ti .~-: .. .. :. ")::. .... "', ... ~ . ..'.,.: ... " .. .. ••• ~: ... "'lri '," .. 11. " .. " .. :"': l.: ',. l' "":.. : :' ...... ":.'111 "'; ~ .. ': ".. .... ..".: .. \ ¡ l' ,.... . ' .. ' ',i < •• '1.' .: .'Jo ':'.~" ...... .......... JI ~ ..... '.' ... . "" . -+. ............ . ... . 10 5 o -5 -10 -15 -20~----~----~--~~----~------~--~ -3 -2 -1 O 1 2 3 Figura 1.16 Atractor caótico (n =5000 iteraciones) donde se muestra, enfatizado con círculos, dónde se concentran las ocho órbitas periódicas -'l3.5 -14 .o -14.5 -15 CI -15.5 O o -16 O -16.5 O -17 O O -17'~1 O 2 3 Figura 1.17. Ocho órbitas períodicas, n=2500-5.000 92 El estudio del máximo exponente de Lyapunov en el atractor cuando sólo se considera el movimiento transitorio resulta ser positivo, lo que indica un movimiento caótico. Sin embargo, se obtiene un máximo exponente de Lyapunov negativo cuando se consideran todas las iteraciones, incluido el movimiento transitorio. Así, la serie temporal transitoria se comporta como una serie temporal caótica para posteriormente pasar a un atractor regular. Las conclusiones que se derivan en esta fase son las siguientes: 1) el sistema especulativo en tiempo discreto posee otra característica notable para un detenninado rango de los parámetros: un movimiento transitorio de naturaleza compleja que desemboca en un atractor regular. Esta característica también la verifican otros sistemas discretos bidimensionales, ya clásicos, como el Henon y el de Kaldor. 2) para los valores de los parámetros que implican atractores no caóticos, el sistema puede poseer múltiples atractores para diferentes condiciones iniciales. Los atractores consisten en órbitas de 8 períodos organizadas. en grupos desconectados de puntos periódicos. Las iteréll'iunes desde un puntuinidéll de un éllléll'tUI paItil'ulM están caracterizadas por un complejo movimiento transitorio, un colapso del movimiento transitorio y al final una convergencia suave hacia una órbita de período 8. Las cuencas básicas de atracción pueden ser complicados objetos en el espacio de fase. 93 1.1.5. Estudio del Caso 't -+ O Ya se ha justificado suficientemente el interés que supone que el tiempo de respuesta en la expectativa chartista disminuya. En este rango es cuando el sistema presenta un movimiento caótico y se concentra sobre un atractor extraño. En este apartado analizaremos el caso particular del modelo especulativo suponiendo que el tiempo de respuesta chartista es cero; esto indicará que los chartistas forman su estimación de la tendencia del precio del activo basándose sólo en los cambios de precios más recientes. El interés que tiene este caso particular es analizar qué sucede en el modelo cuando la demanda chartista muestra cambios inesperados, y en consecuencia el precio del activo podrá cambiar de dirección bruscamente. El sistema de ecuaciones en diferencias (1.1.2) puede ser transformado, una vez; eliminadas las variables p, y P'+l> en la ecuación en diferencias de segunqo orden ~'I't+2 -(2't-a't-I)'I't+l + (l-a)('t-I)'I', = k('I't+l) -k('I' J Si l' -+ 0, ésta ecuación se reduce a una ecuación en diferencias de primer orden haciendo H('I't+l) = k('I't+l) -'1'1+1 G( '1',) = k( '1',) -(I-a)'I', 94 se obtiene la ecuación en diferencias unidimensional 'I'u 1 = HI (G('I't» = F('I't ) (1.1.3) cuyo único punto fijo es el origen. Como la función k es no lineal, es imposible dar una expresión analítica para la función F, por tanto vamos a estudiar por separado las" características de las funciones H y G para poder justificar, en los distintos valores de los parámetros, las propiedades que se derivan de la función F. Características cualitativas de lafunción H('I') = k('I') - '1' (i) Si 'P -+ + 00 , entonces H('I') -+ _00 , ya que lím k('I') = b si '1' -+ + oo. Análogamente, si 'P --+ - QO , entonces II('P) -+ + "" , ya que lím k('P) = -b si 'P -+ _00; por tanto, H('I') tiene una asíntota oblicua a la derecha: b - 'P, Y una asíntota oblicua a la izquierda: -b -'1'. (ü) La pendiente de H('Y) viene dada por H'('Y) =k'('Y) - 1, por lo que será mayor o menor que cero en el origen si b es mayor o menor que uno respectivamente. ". . (iii) Los puntos críticos de H('I') serán las posibles soluciones de la ecuación k'('Y) = 1. Si b>l, la función H tiene dos soluciones, HI y H2, Y no hay solución para b<l. 95 Los dos casos posibles para la función H('P), segÓ n que el parámetro b sea menor o mayor que 1 están reflejados en la Figura 1.18. b<l b>l. Figura 1.18 Gráfica de H ('1:' ) Características cualitativas de lafunción G('P) = k('P)-(l-a)'P (i) Si '1' -t + 00 , entonces G('P) -t-OO (+00), según que a< (» 1; análogamente si 'P --t - 00, entonces G('P) -tI"" (--), según que a< (» 1, por tanto la función G('P) tiene dos asíntotas oblicuas: b - (l-a)'P a la derecha, y -b - (l-a)'P a la izquierda. (ü) La pendiente de G('P) viene dada por G'('P) = k'('P) - (l-a), por lo que si a<l, scrá positiva si b>l-a y negativa en caso contrario; pero si a>l, la pendiente en el origen será siempre positiva. (iii) Los puntos criticas de G serán las posibles soluciones de la ecuación k'('f) = l-a, la cual sólo tendra dos soluciones, GI y G2, en el caso b> l-a. 96 Los tres casos de la función G('P) están reflejados en la Figura 1.19. b<l-a b>l-a a>l Figura 1.19 Gráfica de G('J!) Un gran número de subcasos serán posibles para la' función F('P). La estabilidad del punto de equilibrio dependerá de que el valor de la pendiente de F, evaluada en el punto fijo, permanezca dentro del círculo unidad; esto es, que verifique I i!DlF (If ') 1& 'f I = 111 < X . Las bifurcaciones o cambios en el comportamiento cu3llitativo del modelo sólo pueden ocurrir cuando A. tome el valor + 1 ó -1. Como H('I"t+l ) = G('I"t ), derivando implícitamente con respecto a 'I"t obtenemos & T t.l I dl If t = <G I (Y t) IR I (Y t.l)' y como 'f t.l = F (T t)' resulta 97 G'(Y) F'(!' ) = t t , H (Y t+l) (1.1.4) por tanto, en el punto de equilibrio se verifica: F'(O) = G'(O) = h _m_ M '(O) lb - R La estabilidad e inestabilidad del punto de equilibrio dependerá de la interacción entre los parámetros chartistas y fundamentalistas. A continuación vamos a analizar todos los casos posibles, manteniendo fijo el parámetro a y haciendo variar el parámetro b. Si a<l, se tienen los tres subcasos siguientes. i) Si b < l-a, entonces F'(P t ) > O Y la función F('JI) es monótona creciente. Además, lliim F (Y t) = lb .. al !' t cuando 'f t-+ oo y lbim F (Y t) = -lb .. a Y t cuando 'f t-+- 00 por lu que la función F tiene dos asíntotas oblicuas y no existen puntos criíicos. El punto de equilibrio será siempre localmente estable ya que O < F'(O) < 1 [Figura 1.20(i)]. (ii) Si b > l-a , entonces G'(lf't ) = O tiene dos soluciones, '1'1 y 'f'2 (supongamos que 'JI1< 'JI2) Y H'('JI)<O, por tanto F'('JIt) < O en ('JI I , 'JIJ la función decrece en ese intervalo y crece en el resto del dominio, por lo que 'JI 1 Y 'JI 2 son puntos críticos de F. 98 Las asíntotas son las mismas que en el caso (i). En el punto de equilibrio se verifica F'(O) < O, la función es monótona decreciente en el origen, el equilibrio será localmente estable si -1 < F'(O) < O, esto es, cuando O < b < 1 - al2, Y será localmente inestable si 1 - a/2 < b < 1 [Figura 1.20(ii)]. (iii) Si b > 1, entonces G'('f', ) = O tiene dos soluciones, G1 y G2, Y también H'ep,) = O tiene dos soluciones, Hl y H2 (suponemos G1>H 1 y G2<H2 ), llamando H1*=H"1(G(G 1 » y H2 *=H1(G(G2 », es posible demostrar bajo dichas suposiciones que en las proximidades riel origen se verifica que >0 "<H]/\ 'f>H 2 :::0 Hl:::!!<H; I\H;<Y ~H2 F'(V t) = >0 H;<Y<H; ñndd Uf! =H; A 'lf =H; en estas condiciones los puntos critico s de F son H] y H2• Bajo otros supuestos, la curva puede presentar otras discontinuidades aparte de la que se obtiene en los puntos Hl * Y H2 *~ pero en las proximidades del origen, la gráfica de F no cambia sustancialmente. En el punto de equilibrio, F'(O) > O, por lo que la función es monótona creciente en el origen y será siempre localmente inestable, ya que se verifica F'(O) > 1 [Figura 1.20(iii)]. 99 1.5,------.-----, 0.5 I -0.5 I / -1 f í -1'~2 O 2 (i): b<1-a 1.5,----.-----, 0.5 (\ , \ f l () -0.5 v / ! I -1'~2 O 2 (ji): b>1-a 2.5,------.-----, 2í\ 1.5 0:5 . I f \ O i I -0.5 \ ! -1 -1.5 -2 V -2'~5 O 5 (iii): b>1 Figura 1.20 Gráfica de lafonción F('I') siendo a<l· Si a > 1 se tienen los dos subcasos siguientes (iv) Si b < 1, entonc~s Hey ,).< ° y O'('f'I) > O; pOLtanto F'('f't) '5 0, y en consecuencia la función F('P) es monótona decreciente. Además como se verifica que iJim F(Y t) = - b + a 1f t cuando Y t .... OO y lI.ñmnt F(Y t) = b + a 1f t cuando 1f t .... -00, la función F tiene dos asíntotas oblicuas y no existen puntos críticos. En el origen será F'(O) < O, por lo que el equilibrio será localmente estable si -1 < F'(O) < O; esto es, cuando O < b < 1 - a/2 , Y será localmente inestable si 1 - a/2 < b < 1 [Figura 1.21 (iv)]. 100 función podría presentar una transición directa de un período doble hacia el caos. Nuestros resultados indican que en ese rango de parámetros permanece un constante ciclo de período dos estable y el caos surge sólo para valores de b> 1. Tabla 1 Dinámica del modelo especulativo discreto cuando '[ = O, con a<l fijo (a=0.015) Comportamiento dinámico Parámetro chartista b Ilustración Pto equilibrio globalm.estable O <b < 0.9925 Figura 1.24(1) Ciclo período dus glubalm.estable 0.9925 < b <1.0227 Figura 1.24(2) Ciclo período ocho globalm. estable 1.0227 < b < 1.03 Figura 1.24(3) Caos (ciclus de periudus arbitrarios O comportamiento aperiódico, b> 1.03 Figura 1.24 dependiendo de, condic. iniciales) (4),(5) Si fijamos ahora a> 1, la trayectoria temporal pasa, por medio de una bifurcación flip en el valor bo=1-a/2, de ser estable (0<b<1-a/2) a un ciclo estable de período dos (cuya amplitud depende del valor que tome b), pero su dinámica no se modifica al aumentar el valor del parámetro chartista b, como se puede observar en la Figura 1.25. 107 2r---~----~--~--~ _2'--- ............ - __ '----_--'-_--1 O 10 20 30 40 Figura 1.15 Evolución de la trayectoria temporal para un a> 1 fijo (a= 1.2) variando el parámetro b. Concretamente: (iva) la trayectoria permanece estable para O<b<1-a/2, (b~.2); (ivb) aparece una bifurcaciónflip y la trayectoria se vuelve periódica de período dos 1-a/2<b<l, (b=.6); (v) aunque h aumenJe b> 1 (b=1.5) la trayectoria permanece en un constante período dos estable. Los gráficos de la derecha corresponden a lafunción F('l') donde se observan los valores de la serie temporal sobre la curva. Es interesante notar que en el modelo discreto unidimensional (1.1.3) no existe ningún otro tipo de bifurcación salvo la flip, ya que la condiciÓn Qlf (1lf ') / & Y = lo = - 1 no puede ocurrir. J08 Los resultados que se obtienen al analizar la dinámica de la ecuación unidimensional (1.1.3), una vez hecho cero el tiempo de respuesta chartista, concuerdan con los deducidos en el análisis del sistema discreto bidimensional. La dinámica viene determinada por la interacción entre los dos parámetros estructurales a y b que miden la respuesta fundamentalista y chartista respectivamente. El caos surge para valores pequeños del parámetro fundamentalista a<l y para valores altos del parámetro chartista b> 1, 10 que induce a pensar que es precisamente la actuación de los agentes chartistas 10 que produce la desestabilización dentro del mercado. 1.1.6. A Modo de Síntesis El modelo especulativo de fundamentalistas y chartistas en tiempo discreto [Ecuaciones (1.1.2)], que hemos analizado en esta sección, ha revelado una dinámica mucho más rica que la deducida del sistema en tiempo continuo_ El comportamiento del modelo depende de la interacción entre el parámetro de impacto fundamentalista, el parámetro de impacto chartista y el tiempo de respuesta en la formación de expectativas chartista. El modelo discreto presenta un comportamiento asintótico de punto fijo estable que degenera, por medio de una bifurcación de Hopf, en un, ciclo límite cuando la velocidad de ajuste de la expectativa chartista aumenta. En éste caso también aparecen comportamientos del tipo variedad rápido-lenta, que se caracterizan porque la trayectoria temporal del precio así como la expectativa chartista presentan cambios muy abruptos. 109 Las bifurcaciones de Neimark y de Hopf, como transición hacia la zona caótica, ocurren cuando el tiempo de respuesta chartista disminuye. El sistema se concentra sobre un atractor caótico cuando en el mercado domina la demanda chartista y cuando su estimación de la tendencia del precio se basa en los cambios de precio más recientes. Este modelo es capaz de generar también un complejo movimiento transitorio, que puede confundirse con un movimiento caótico, pero que ocurre antes de que las trayectorias se estabilicen sobre el atractor. El interés que supone ésta característica es la posibilidad de encontrar una fase irregular durante el espacio de tiempo en que . '. el sistema considerado sea verdaderamente válido. Cuando e\ tiempo de respuesta en \a expectativa chartista tiende a cero. \a dinámica del modelo depende de la interacción de los chartistas y los fitndamentalistas. Pueden presentarse diversas situaciones dinámicas (estahilidad, bifurcación flip y comportamiento periódico), dependiendo de los valores tomados por 1m: parámetros del modelo. Sólo en el caso en que la influencia del parámetro de impacto de la demanda chartista supere al parámetro de impacto fundamentalista, es posible encontrar un movimiento caótico en el modelo. 110 1.2. Un Modelo de Fundamentalistas y Chartistas con Dos Activos En csta sección vamos a ampliar el modelo especulativo de Chiarella (1992) en tiempo continuo suponiendo que en el mercado están interactuando dos activos con dos funciones distintas 4U~ ~xpr~san el exceso de demanda especulativo de los diferentes activos y que contienen a sus diferentes precios. Análogamente al caso de un activo, se admite que los intercambios comerciales puedan realizarse de fonna continua. Se adopta como premisa básica que los cambios de los precios están forzados por el exceso de las demandas agregadas de los inversores PI (t) = Dt+1 (.) P2(t) D/2 (.) (1.2.1a) (1.2.1b) siendo PI (t) y P2 (t) los logaritmos de los precios de los activos en un tiempo t, y Dt·} y D;z las funciones del exceso de demanda de los inversores para los dos activos en el tiempo t. Supondremos también que para ambos activos el exceso de demanda de los inversores tiene dos componentes, una componente fundamental y una componente chartista Dt 1 (.) = D/ (.) + ~l (.) Dt 2 (.) = D/ (.) + ~2 (.) (1.2.2a) (L2.2b) donde Dt i se refiere al exceso de las demandas fundamentales y ~i al exceso de las demandas chartistas, siendo i= 1,2. 111 Sean WI (t) y W2 (t) los logaritmos de los precios que cada una de las demandas fundamentales justifica en un tiempo t, es decir, los precios de equilibrio subyacentes para cada uno de los activos. Podemos expresar las funciones de demanda fundamental como funciones lineales monótonas crecientes que se anulan en cero D/ a ll (Wt-Pt) - a'2 (W2-P7) Dt 2 = a 22 (W 2-P2) - a 21 (W¡-p¡) donde todos los coeficientes a¡jER+, i,j = 1,2. (1.2.3a) (1.2.3b) Sean 'PI (t) Y 'P2 (t) las estimaciones (medias) de las tendencias actuales que rorres.ponden a los precios de los dos ae\ivos Pl (t) y Pz (t), y sea también g (t) 'a tasa creciente de inversiones alternativas (sin riesgo). El exceso de las demandas chartistas ~ considera como fimciones de la diferencia entre el rendimiento' esperado para cada uno de los activos (medido por la estimación chartista de la tendencia del precio), y la adición que supone el rendimiento esperado del otro activo junto con el rendimiento de algún activo alternativo d/ = hl ('P I (t) - 'P 2 (t) - g (t)) d/ = h2 ('P 2 (t) - 'PI (t) -g (t)) (1.2.4a) (1.2.4b) donde las funciones h1 y h2 son funciones no lineales monótonas crecientes que pasan por el origen con un punto de inflexión en (-g) y acotadas superior e inferiormente por h¡sup y hiinf' i-I,2 respectivamt;nte. Figura (l.26). 112 h Figura 1.26 La Función de Demanda Chartista' 'l' indica la diferencia entre las estimaciones de las dos tendencias chartistas para cada uno de los activos: para lafunción h" 'l'=='l',-'l'zy parafunción h2, 'P='P2 -'1'¡ Rn orden a cerrar el modelo, especificamos el modo en que los chartistas forman su estimación de la tendencia del precio para cada uno de los activos. Asumimos que la demanda enun mercado especulativo fiJera del equilihrio sigue una dinámica de expectativas adaptativas de acuerdo a las siguientes ecuaciones 'ir I = el (PI -'P 1)' O<el~oo 'ir 2 = e2 (P 2 -'P 2)' O<C2~oo (1.2.5a) (1.2.5b) que describen la variación ehartista de la tendencia para eada uno de los precios y donde el Y e2 indican la velocidad de ajuste para los ehartistas. Alternativamente, la cantidad 'i (=l/cJ, i=1,2 indicará el tiempo de retardo en la formación de expectativas. En orden a simplificar el modelo, suponemos que los tiempos de 113 retardo en la fonnación de expectativas para cada uno de los activos son iguales, esto De las ecuaciones (1.2.1) -(1.2.5) podemos· obtener que la dinámica de los precios de los activos se conducen por PI au (W¡-p¡) - a¡2 (W2-P2) + h¡ (lf'" ¡- lf'" 2g) P2 = a 22 (W2-P2) -a2¡ (W¡-p¡) + h2 (lf'" 2lf'" 1g) 1""11 = a ll (W¡-P¡)-a 12 (W2-P2 )+h l (lf'"¡- lf'"2g )- VI 1" "1 2= a 22 (W2-P2) -a 2l (W¡-PI)+ h2 (lf'" 2lf'" 1g) -"1"2 que constituye un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales no lineales. (1.2.6a) (1.2.6b) (1.2.6c) (1.2.6d) Suponemos que Wl (t), W2 (t) Y g (t) son constantes, de este modo el punto de equilibrio del sistema (1.2.6) viene dado 'PI O 'P2 = O PI = WI + [a 22 h1 (-g) + a12 h2 (-g)] / (au an -a 12 azt) P2 = W2 + [azl hl (-g) + an h2 (-g)] / (an a 22 -a l2 a 21 ) siendo A= an a Z2 -a lz a 21 > o. Introduciendo un cambio de variable en los precios Pi = Pi -P i' i = 1,2; el sistema (1.2.6) se transforma 114 p, := -a ll PI + a 12 P2 + k. (,..\- "'2) P2 := a2• P. -a 22 Pl + k2 (,.. 2- "'1) 't 'ir 1 - aH PI + a 12 P2 + k1 (,.. 1Y 2) - 1J." 1 't 'ir 2 = a Z1 PI -a12 P2 + k2 (,.. 2- ,.. 1) - ,.. 2 el punto de equilibrio es ahora el origen, siendo k1 (1J."( 'F 2 )=h 1 C'P 1- 'P 2 -g)- h¡(-g) k2 ('J! 2- "P I ) == h2 ( 'J! 21p 1 - g) -h2 (-g) (1.2.7a) (1.2.7b) (1.2.7c) (1.2.7d) Las funciones k1 y kz tienen las mismas características que las funciones h1 y h2, sólo que ahora ambas tienen el punto de inflexión en el origen. Sus expresiones analíticas, dadas las características de cada una de ellas, las hemos supuesto equivalentes a funciones tangentes hiperbólicas donde b1 Y b2 son las cotas de las respectivas funciones, además se verifica c3k¡C'1J:' lY 2) ah¡C1J:' .-'1'" 2g) éJk 1 (lf ¡-lf ,) a"'l a,.. 1 éJ1J."z 115 c3hiY l-1J." 2-g) a1J."z (1.2.8) ahllJ! 2lP lg) ak 2 (lP 2lP 1) ah 2 (lP 21f lg) ay) aY2 a1f 2 por tanto, en el punto de equilibrio resulta a"l a"l (-)E = b¡; (-)E = - b1 am am Xl x2 donde los parámetros b¡ y b2 indican la pendiente en el equilibrio para cada una de las dos funciones de demanda chartista. 1.2.1. Análisis Lineal Local Para realizar el análisis lineal local del sistema (1.2.7) calculamos la matriz jacobiana en el punto de equilibrio 116 miden la respuesta chartista, mayores que uno: b1 = 1.2; b2 = 1.7. Para estos valores de los parámetros, -r* = 2.01955 es el valor de bifurcación. O ·:·/~ i· • l:./ 0.2 o -0.2 0.2 o ~0.2 -0~1 o -1 o -1 o J 0.4r--~---, 0.4 ..---~----, 0.5 0.2 o -0.2 {J ... :.:::~ .......... )i : . l~ ..... ·· .. -· 0.2 o -0.2 o -0'~1 o -0.5 L__ ~_---' -1 o Figura 1.27 Bifurcación de lfopj para las funciones P y 'P del activo 1 (ilustraciones superiores) y del activo 2 (ilustraciones inferiores). De izquierda a derecha • toma los valores 2.1, 2.01955 Y 1.9 respectivamente. El comportamiento dinámico pasa de ser estable a inestable por medio de una bifurcación de Hopf cuando .disminuye. 123 1.2.3. Análisis Geómetrico del Ciclo Límite en Tres Dimensiones En esta sección vamos a analizar las superficies isoclinas, es decir las variedades que se obtienen haciendo p . = O, 'Í'. = O. i = 1,2 en el sistema de ecuaciones 1 1 (1.2.7), considerando únicamente el caso donde el punto de equilibrio presenta inestabilidad local; esto es, cuando se verifica b > 1 + t (a -a), siendo (a - a) > O Y donde ya se ha comprobado que la~ oscilaciones de p¡ y lf'¡ , i= 1,2 son atraídas hacia un ciclo límite. Nuestro estudio estará centrado en analizar el efecto de las oscilaciones sobre el primero de los activos cuando están interactuando las expectativas chartistas de los dos activos. La primera de las variedades, obtenida al hacer p . = O, i = 1,2 en las ecuaciones 1 (1.2.7a) y (1.2.7b), Y tenicndo cn cuenta la relación existente entre las funciones k1 y k2 deducidas de (1.2.8), tiene como expresión PI = [(Q22 h 1Q12h 2) ¡Ah 1] k¡ClJ."t - 'l2)' cuya gráfica está representada en al Figura 1.28a. Figura 1.28a 124 La segunda variedad se deduce al hacer "IÍ'> o. i = 1.2 en las ecuaciones (1.2.7c) y (1.2.7d), Y teniendo en cuenta las anteriores observaciones, por lo que se obtiene PI '" [(a22bl-a12b2)/Abtl kl'PI-'1 2) - {o 22 '11 +a 12 '1:2)IA, representada en la Figura 1.28b Figura 1.28" Se observa que ambas variedades son simétricas respecto del plano 'PI = -'1'2. Con el fin de tener una idea más clara de 10 que sucede en el espacio tridimensional vamos inicialmente a seccionar ambas variedades por dicho plano y analizar el movimiento para el primero de los activos. Por tanto, la expresión que se deduce para la primera y segunda de las isoclinas resultan (1): PI = [(a 22 b] -oJ2b2)/Ah]1 ki2'1¡) <J) : PI = [(anb 1Q12 b 2)IAb 1] k1(21f 1) -l(022 - 012)1 AJ '1' l' cuya representación gráfica se indica en la Figura 1.29 y donde se realiza el análisis geométrico del ciclo límite que se deduce para el primer activo. 125 -2 -1 b>l Figura 1.19 \{'¡ L Análisis Geométrico dé! Ciclo Límite para el Primer Activo 2 Se distinguen cuatro fases en las fluctuaciones del primer activo. En la primela fase, situada en el primer cuadrante, el precio del activo aumenta, por lo que según la ecuación (1.2.3a) la demanda fundamentalista del primer activo diminuye a la vez que la expectativa chartista también disminuye. En la segunda fase, situada en el segundo cuadrante. el precio del primer activo empieza a disminuir y en consecuencia la demanda fundamentalista aumenta y la expectativa chartista continúa ajustándose a la baja por lo que la especulación se reduce. En la tercera fase, situada en el tercer cuadrante, el precio sigue disminuyendo pero la expectativa chartista sobre el primer activo empieza a aumentar. Por último, en la cuarta fase, situada en el cuarto cuadrante, el precio del primer activo comienza a aumentar disminuyendo la demanda fundamentalista pero la estimación de la tendencia chartista sigue ajustándose al alza y aumenta la especulación El ciclo entra ahora en la primerá fase y se repite en sí mismo. Este mismo análisis resultaria considerando el comportamiento del ciclo límite para el segundo de los activos. 126 El movimiento del ciclo límite en tres dimensiones resulta ahora más comprensible. Aunque se producen ocho fases, vamos a considerar únicamente las I cuatro más representativas correspondientes a los cuatro octantes frontales tal y como se muestra en la Figura 1.30. PI + B A ............. _ ................ -.-rI--'-'-----\-------~ '1'2 e D --- Figura 1.30 Análisis Geométrico del Ciclo Límite en Tres Dimensiones En la primera fase de A a B, el precio del activo está aumentando por Jo que según las ecuaciones (1.2.3a) y (1.2.3b) la demanda fundamentalista del activo 1 disminuye y la del activo 2 aumenta, a la vez que la expectativa chartista del activo 1 aumenta y la del activo 2 disminuye. En la segunda fase de B a e, el precio empieza a ajustarse a la baja, por 10 que ahora para el activo l. aumenta la qemanda fundamentalista. y para el activo 2 disminuye, las expectativas chartistas continúan igual que en la primera fase. En la tercera fase de e a D, el precio sigue disminuyendo la expectativa chartista sobre el activo 1 empieza a disminuir y la del activo 2 empieza 127 a aumentar. En la cuarte fase de D a A, el precio comienza a ajustarse al alza aunque las expectativas sobre los dos activos continúan igual que en la fase anterior. El ciclo entra ahora en la primera fase y se repite en sí mismo. Un análisis similar se deduciría de haber considerado el precio del segundo activo cuando están interactuando las expectativas chartistas sobre ambos activos En la Figura 1.31 se muestra la simulación numérica 'del ciclo límite en tres dimensiones, analizando el precio de cada uno de los activos frente a las estimaciones chartistas de la tendencia actual sobre cada uno de los precios. En estas simulaciones se han considerado los coeficientes ~ < 1 Y b¡ > 1, i,j=1,2 Y 1: < (b-l)/(a-a.) que es el rango de parámetros donde el punto de equilibrio tiene un comportamiento inestable. 0.8 0.6 0.4 0.2 ~ o c. -0.2 -0..4 -0.6 -0.8 0.5 Psi1 o -0.5 -1 Psi2 0.5 1.5 0.5 ('1 o c. -0.5 -1 -1.5 0.5 Figura 1.31 o o Psi1 -0.5 -1 Psi2 El Ciclo Límite en Tres Dimensiones. 'T =1.5. n= 2000 iteraciones 128 0.5 1.2.4. Variedad Central y Reducción de la Dimensión Efectiva Una vez. comprobado que· el sistema posee órbitas cerradas' en las proximidades del punto de bifurcación, es interesante estudiar la estabilidad de las mismas. Para ello es necesario reducir la dimensión efectiva del sistema (1.2.7) restringiéndolo a una variedad central (Guckenheimer y Holmes, 1983). Aproximando mediante el desarrollo de Taylor las funciones k/1f I-lP 2) Y k2 ("P:z- "PI) obtenidas de (1.2.8), el sistema de ecuaciones diferenciales (1.2.7) puede aproximarse en su forma matricial: -b l PI PI b2 P2 P2 1 lP 3 bl = JE + - ("P - ) +} lP} 3 } 2 't +2 lP 2 b2 't Siendo los autovalores de la matriz Jacobiana en el punto de equilibrio JE: A,} = _.!..; A,2 =. -y; A,34 = ±~i en el punto de bifurcación, construimos la matriz 't . de paso P formada por los autovectores generados. por cada autovalor 129 o y"t-l 1+{6"t i l-{O"ti O (y"t-l)C ~ (l+¡a"t i)C~ (l-¡a"t i)C~ 2 p= 1 Y ¡at -¡ai 1 yC,. .f6C,.i -.f6 C ,./ 2 3 siendo a1 ;+ lt (a U '1:- b l + ¡aa1iall't-b t+ 1)-(alClt't)(a12'1:-bl) i y donde e ~ es el conjugado de e ~3. Efectuando el cambio PI Xl P2 X2 =p 'PI YI 'P2 Y2 se obtiene 130 y en consecuencia donde C2 = y(1-C~l)ER y C3 =¡a(l-C~)Ecysiendo e3 élconjugadode'C3 ,por tanto siendo P -1 JEP = diag (1 3 ,1 4,11'12 ). Llamando ahora para simplificar -b l .Al b2 .A2 = pl bl Bl 1: B2 b2 1: el sistema no lineal de dimensión cuatro puede escribirse 131 (1.2.13a) (1.2.13b) donde la matriz diag (l.,J'-4-) tiene autovalores complejos conjugados con parte real cero y la matriz diag 0'1'12) tiene autovalores reales negativos, por lo que el sistema asume implícitamente que la variedad inestable es vacía. El teorema de la variedad central garantiza que existe una variedad central para el sistema (1.2.13), pero puede no ser necesariamente única (Lorenz, 1993). Supongamos que la variedad central puede ser descrita por un sistema de ecuaciones de la forma (1.2.14) donde O(Xi 5 ), ;=1,2 incluye todos los términos degrado mayor o igual que cinco. Derivando la expresión (1.2.14), es posible estudiar el c<?mportamient~ en las proximidades del punto fijo con la ayuda del sistema dinámico bidimensional 132 Figura 1.31 Todo el movimiento fluye a lo largo de la variedad descrita por la Figura 1.32. Si seccionamos la variedad por el plano 'f'¡ = -q¡2' se obtiene la curva (1.2.20) que por ser ~2>a12' el coeficiente de k1 (2'P1) es positivo, y el coeficiente de 'PI es negativo, por tanto es creciente en el origen y tiene un máximo y un mínimo. Con el objeto de calcular éstos valores y sin pérdida de generalidad supondremos b1 = b2 . La ecuación (1.2.20) toma la forma PI = (a -a ) 22 12 [k (2lP )-lP ] = F1(lP 1) A 1 1 1 (1.2.21) 139 por tanto (a -a ) F'1('l 1· )" 22 12 [2k' (21f )-1] A 1 1 se observa que la función es creciente en el origen ya que k',l (O) = b1 > l. Los puntos críticos serán entonces las soluciones de la ecuación 2 k 't(21f 1) =: 1 , esto es (1.2.22) que constituyen el mínimo Ay el máximo e de la función Fl de la Figura 1.33. 'P1 r L \ Figura 1.33 El Ciclo Límite Rápido-Lento Observamos en la Figura 1.33 que el movimiento de una trayectoria particular sobre el plano ('Pt,Pt), en el caso b1 > 1, se concentra a 10 largo de la curva Ft ('PI)' 140 siendo el origen inestable. Todo el movimiento fluye hacia los puntos A y C de la curva pero el movimiento no es estacionario porque no son puntos de equilibrio. Si consideramos un punto inicial 1 cualquiera, cuando t -> 0, la variable 'P¡ se mueve a una gran velocidad ('Í" 1 .... 00 ) Y casi horizontalmente (el movimiento es horizontal e instantáneo cuando t = O) hacia la curva F 1 ('JI ¡). La trayectoria se mueve lentamente hacia el punto A, desde el cual salta horizontalmente y otra vez a una gran v~locidad hacia la otra rama de la curva F 1 ('JI 1). desde donde se desplaza hacia el máximo C, reiniciándose otra vez el mismo movimiento. Esto da lugar a un ciclo límite ABCn llamado rápidolento por tener ambas dinámicas en la misma órbita. La amplitud del ciclo viene dada por los valores máximo y mínimo de la curva indicados en la expresión (1.2.22). Con el fin de obtener una idea del posible movimiento que se produce sobre la variedad obtenida de la ecuación (1.2.19), observamos que la variedad es creciente en el origen y simétrica respecto del plano 'l'¡ = -'l'2' conteniendo a una recta de máximos y a una recta de mínimos, siendo el origen el único punto de equilibrio. Si b<l el movimiento sería a lo largo de la variedad hacia el origen, que en este caso es estable. La dinámica resulta más interesante en el caso b> 1, todo el movimiento fluye hacia la variedad y desde allí hacia la línea de máximos y la línea de mínimos, pero el movimiento no puede estacionarse en ninguno de los puntos de dichas líneas ya que éstos no son puntos de equilibrio. Es necesario imponer alguna hipótesis de salto para que los puntos que se encuentren en la línea de máximos pasen desde allí hasta la otra cara de la variedad desde donde caerán hasta la línea de mínimos, volviendo a saltar de nuevo hacia la otra parte de la variedad y así sucesivamente. En la Figura 1.34, y para el caso particular 1-> 0, se observa que dado un punto inicial 1 el movimiento fluye muy rápidamente hasta la variedad, y desde allí la 1-11 trayectoria se desplaza hasta que encuentra un máximo e de la línea de máximos de la variedad. El movimiento no puede estacionarse en e ni desplazarse hacia el origen que es inestable. De esta forma y bajo la influencia de las ecuaciones (1.2.7c,d), cuando 't -> O, ocurre que'.P 1 .... 00 Y '.P 2 .... 00 ; por tanto, la trayectoria salta muy rápidamente hacia la otra cara de la variedad encontrando un punto D de la misma y desplazandose lentamente por la variedad hasta que encuentra un mínimo A de la línea de mínimos. De la misma forma, la trayectoria, al no poder estacionarse en A ni tampoco dirigirse hacia el origen que la repele, vuelve a saltar por debajo de la variedad hasta encontrar un punto B de la misma, para seguidamente desplazarse lentamente por la variedad y encontrar un punto e de la línea de máximos, por lo que el movimiento vuelve a repetirse. Figura 1.34 El Ciclo Límite Rápido-Lento en Tres Dimensiones 142 Estos resultados están avalados por las simulaciones numéricas que hemos realizado cuando el tiempo de respuesta chartista es muy bajo, concretamente para el valor't .01, Y que se muestran en las Figuras 1.35 y 1.36. En la parte superior de la Figura 1.35 podemos observar el ciclo límite rápido-lento cuando actúa el precio del primer activo Pl frente a la expectativa chartista del primer activo \f 1 (cuya dinámica hemos explicado con la Figura 1.33). En las gráficas inferiores se indican las trayectorias temporales de PI y \f l respectivamente; se observa cómo la trayectoria del precio muestra cambios abruptos mientras que a 10 largo de toda la trayectoria de la expectativa chartista se van produciendo saltos. 0.5 a. o -0.5 -!2~-----1~.5---- __ L1-----_0~.5----~0----~0.~5----~-----1~.5----~2 Psí1 2.---~----~--~----, o -1 -1 '-- __ -'- ____ .L__ ~ __ __' o 500 1000 1500 2000 -2 L__ -'- ____ .L__ ~ __ __' O 500 1000 1500 2000 p1 Psí1 Figura 1.35 En la figura superior se observa el ciclo límite rápido-lento para el primer activo. En las figuras inferiores se muestran sus trayectorias temporales ... = .01, n = 2000 iteraciones. 143 En la parte izquierda de la Figura 1.36 se muestra, en las mismas condiciones en que se ha realizado la simulación previa, el ciclo límite rápido-lento cuando actúa , el precio del primer activo frente a las dos expectativas chartistas. En los tres gráficos de la parte derecha están las trayectorias temporales del precio y de ambas expectativas chartistas que muestran la característica similar de venir determinadas por saltos bruscos. 0.8 0.6 OA 0.2 ... o. o -0.2 -OA -0.6 2 Psi1 o 2 -2 -4 Psi2 4 -1 0~-750~0:---1:-:0:'::-00-:---:-:15~0-:-0 -2-=-='00·0 p1 :N~hWV~v~ -20 500 1000 1500 2000 Psi 1 :~~ -50 500 1000 1500 2000 Psi2 Figura 1.36 Simulación del Ciclo Límite·Rápido-Lento en Tres Diménsiones. En los gráficos de la derecha se muestran las trayectorias temporales del precio del primer activo y de las expectativas chartistas de los dos activos considerados. l' .0/, n 2000 iteraciones. 144 1.2.6. Discretización del Modelo: Aparición del Movimiento Caótico El análisis del modelo especulativo en tiempo continuo cuando actúan dos activos ha revelado un comportamiento similar al deducido por Chiarella (1992) cuando sólo actúa un activo. El modelo de fundamentalistas y ~hartistas pres~nta una convergencia hacia el precio de equilibrio intertemporal walrasiano (el equilibrio es local y asintóticamente estable) y muestra también fluctuaciones de cieJo límite alrededor del precio de equilibrio (el equilibrio es local y asintóticamenteinestable). En esta sección vamos a discretizar el modelo continuo de cuatro ecuaciones con el fin de detectar la posibilidad de que la interacción dinámica de fundamentalistas y chartistas, cuando actúan dos activos, presente también un comportamiento caótico. Discretizamos por tanto el sistema de ecuaciones (1.2.7) haciendo Pi Pi ,t.l - Pi,t' • i = '\'t.l- 'P i,t' i 1,2 PI,t + 1 P2,tT 1 = a21 PI,l + (1a zz )Pl,l + kz e· p lol -\VI,l) "t'P1 ,t+ 1= -a Il PI,t + a l2 P2,t + (t -1) 'P 1 ,t + kl ('PI,t -'P 2,1) "t'P2,I+l = a 21 PI,t -~2P2,t+(t-l)'P2,' +k 2 ('P 2 ,t-'P I,t) (1.2.23a) (1.2.23b) (1.2.23c) (1.2.23d) donde las funciones kl y k2 son las descritas por las expresiones (1.2.8). Aceptando el hecho (ya comprobado en la discretización del sistema de dos ecuaciones) que el nmgu de parámetros donde el componamiento se vuelve caótico resulta ser cuando los parámetros de impacto fundamentalista son pequeños: 8.¡.; < 1, ij=1,2; los parámetros de impacto chanista son grandes: b¡ > 1, i=1,2; Y cuando el tiempo de respuesta chartista tiende a cero: t -> 0, hemos realizado con el sistema discreto algunas simulaciones que nos avalen esta tesis. 145 Dada la estructura de las ecuaciones (1.2.23), nuestro estudio está basado en analizar el comportamiento del activo 1 dado que el segundo de los activos tendría I una estructura similar. Los valores de los parámetros para las primeras simulaciones realizadas son aH = .6; a 12 = .2; a 21 = .4; ~2 = .7; b1 l.2; b2 = 1.7; haciendo variar el parámetro t. o. o ... : .~f!!'~' '.' 0:5 Psi1 -0.5 -0.5 0.5 ú :t--- ---:----:--- -10 500 1060 Estabilidad 0.5 5 ú: •• -20 50 100 150 200 Perfodo4 Figura 1.37 La primera columna muestra el comportamiento del primer activo cuando están interactuando/as expectativas chartistas de los dos activos conjuntamente. La segunda columna indica la trayectoria temporal del precio del primer activo. De arriba a abajo, el tiempo de respuesta charlista toma los valores'/: = 3.3, 2.5 Y .7 146 As~ en la primera columna de la Figura 1.37 se observa cómo varia el espacio de fase del precio del primer activo cuando están interactuando las expectativas chartistas de los dos activos conjuntamente. La segunda columna muestra la trayectoria temporal del precio del primer activo a medida que el tiempo de retardo disminuye. Para un valor de 1: 3.3, la trayectoria converge hacia el precio de equilibrio. Si disminuye el valor del tiempo de respuesta chartista 1: = 2.5, aparecen fluctuaciones: de ciclo límite alrededor del precio de equilibrio. Si seguirnos bajando 't, la trayectoria se vuelve periódica con ciclos de periodo arbiÚario. Pero lo que más perdura son trayectorias de período cuatro, como se muestra en la última fila de la Figura 1.37. Las observaciones se vuelven más interesantes cuando los parámetros que miden larcspucsta fundamcntalista son muy pequeños: ~ « 1, iJ = 1,2; tal y como ocurre en el modelo discreto cuando sólo interviene un activo. En las simulaciones sucesivas: an -.06; a l2 -.02; ~l = .04; ~2 = .07; b}= 1.2; b2 -1.7. En este caso, y cuando disminuye el tiempo de retardo, el modelo pasa de ser estable a fluctuar alrededor del precio de equilibrio. A medida que 't sigue disminuyendo,· el ciclo límite se convierte en un ciclo. rápido-lento, permaneciendo todas las propiedades que caracterizan a los mismos. Por último, el sistema se vuelve caótico· concentrándose en un atractor extraño. 147 En la Figura 1.3 8 se observa que el ciclo límite se vuelve del tipo rápido-lento para "C = .9. La trayectoria temporal del precio tiene la característica de poseer cambios abruptos en su estructura, mientras que las trayectorias temporales de las expectativas chartistas con respecto al precio de los dos activos, 'lJI¡ y'lJl 2, presentan grandes saltos. 8 6 4 2 ..... o o. -2 -4 -6 -8 5 -1 00'----10'-:-O---:-2o'-:-o--~300 2 ~ ~~~\ h ¡ i . . I ~.: v~Nv I V 1\ o 100 . 200 300 _/- 5 2 01 /V\!~/VV\tv ~ o -5 -2 Psi2 -50 100 200 300 Figura 1.38 El Ciclo Límite Rápido-Lento en el Modelo Discreto cuando l' ~.9 148 Schuster, H.G. (1988): Deterministic Chaos. An Introduction, VCH Weinheim. Sharpe, W.F. (1964): "Capital Asset Prices: A Theory ofMarlcet Equilibrium under Conditiolls of Risk, Joumal of Finance, vol. XIX, n° 3, pp. 425-442. Shiller, RJ. (1989): Market Volatiliy, Cambridge, MA:M.I.T. Press. Sosvilla, S., Femández, F., Bajo, O. y Martín, 1. (1994): "Exchange Rate Volatility in the EA/S Before and After thu Fail", Documento de Trabajo 94-1 Ó, FEDEA, Madrid Sterge, A.l (1989), "On the Distribution of Flnancial Futures Price Changes", Financial Analysts Journal, May-Jun. Sugihara, G. Y May, R (1990): "Nonlincar forccasting as a way of distinguishing chaosfrom measurement error in time series", Nat.uG, vol. 344, pp. 735-741. Takens, F. (1981): "Detecting strange attractors in turbulence", in Lect. Notes Math. 898. Edited by Raud, D.A. and Young, L.S. Springer-Verlag. Thompson, J.M.T. Y Stewart, H.B. (1993): Non1jnear Dynamics and Chaos, Chichester-New York: John Wiley. la ed. (1986) Tobin, J. (1958): "Liquidity Preference as Behavior Toward Risk", Reyiew of Economic Studies, vol. XXVI (1), pp. 65-86. 251 West, K.D. (1988): IIBubbles, Fads and Stock Price Volatility: A Partial Evalualion", Jouma} ofFinance, vol. 43(3), pp. 639-660. Whitley, D. (1983): "Discrete Dynamical Systems in DimensionsOne and Two", Bulletin of the Lonoon Mathematical SQciety, vol. 15, pp. 177-217. Worklng, H (1934)' "A Randnm Dif.ference Seriesfnr rlse in the Analysis of Time Series", Jouma) ortbe American Statistical Association, vol. 29, pp. 11-24. Zeeman, E.e. (1974): "On The Unstable Behaviour 01 Stock Exchanges", JoumaI of MatbematicaJ Ecooomics, vol. 1, pp. 39-49. 252