Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Ingeniería Aeroespacial Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos Autor: Alberto José Molina Molero Tutor: Antonio de la Cruz González Fernández Dpto. Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 iii Trabajo Fin de Grado Ingeniería Aeroespacial Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos Autor: Alberto José Molina Molero Tutor: Antonio de la Cruz González Fernández Profesor Titular de Universidad Dpto. de Física Aplicada III Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 v Trabajo Fin de Grado: Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos Autor: Alberto José Molina Molero Tutor: Antonio de la Cruz González Fernández El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2019 El Secretario del Tribunal vii A mi madre ix Agradecimientos Me gustaría agradecer a todas las personas que con su ayuda, han hecho posible superar esta etapa que culmina con el desarrollo de este proyecto. Gracias a mi familia, amigos y compañeros que me han permitido superar este desafío. También, me gustaría agradecer especialmente al Dr. D. Antonio de la Cruz González Fernández, mi tutor, por toda su ayuda y dedicación en el desarrollo de este trabajo. Alberto José Molina Molero Sevilla, 2019 4.2.1 Plano infinito 34 4.2.2 Superficie circular 35 4.3 Superficie gruesa: el efecto del espesor 36 4.3.1 Plano infinito 36 4.3.2 Superficie circular 38 4.4 Dinámica del amortiguador 39 4.4.1 Superficie plana conductora infinita 40 4.4.2 Superficie plana conductora circular 40 4.4.3 Dipolo entre dos placas circulares 41 5 AMORTIGUADOR FORMADO POR UN TUBO Y SUPERFICIES CIRCULARES PLANAS CONDUCTORAS 45 5.1 Factores que influyen en el diseño 45 5.2 Intervalos de posiciones del dipolo con coeficiente de fricción constante 47 5.3 Amortiguador sometido a oscilaciones de pequeña amplitud 48 5.3.1 Amortiguador sin efecto de la posición del dipolo 48 5.3.2 Efecto de la posición del dipolo en oscilaciones de pequeña amplitud 51 5.4 Oscilaciones de gran amplitud. Respuesta del amortiguador 53 5.5 Caracterización numérica del amortiguador 55 5.5.1 Parámetros y variables del amortiguador 55 6 CONCLUSIONES 61 Referencias 63 xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 3-1. Porcentaje de potencia disipada según intervalos del tubo 17 Tabla 4-1. Potencia disipada en ρ/a ∈[0, 0.6] 34 Tabla 4-2. Condiciones según el tipo de amortiguamiento para el plano infinito 40 Tabla 4-3. Amortiguamiento desarrollado por el movimiento de un dipolo entre dos placas circulares 43 Tabla 5-1. Rangos de z0 con  constante para dipolo moviéndose entre dos superficies circulares 47 Tabla 5-2. Rangos de z0 con  constante para dipolo moviéndose por el interior de un tubo 47 Tabla 5-3. Porcentaje de potencias disipadas por el tubo y las tapas según la esbeltez 49 Tabla 5-4. Intervalos de posiciones del dipolo con coeficiente de fricción constante 53 Tabla 5-5. Caracterización del amortiguador con m=1g y  /a=0.1 57 Tabla 5-6. Caracterización del amortiguador con m=10g y  /a=0.1 58 Tabla 5-7. Caracterización del amortiguador con m=1g y  /a=0.2 58 Tabla 5-8. Caracterización del amortiguador con m=10g y  /a=0.2 59 Tabla 5-9. Caracterización del amortiguador con m=10g y  /a=0.4 59 Tabla 5-10. Caracterización del amortiguador con m=100g y  /a=0.4 60 xix ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1-1. Amortiguador de coche 1 Figura 1-2. Esquema del interior de un amortiguador fluido 1 Figura 1-3. Sistema críticamente amortiguado y sobreamortiguado 3 Figura 1-4. Respuesta subamortiguada,  /  0=0.375 3 Figura 1-5. Disco de frenos del tren bala japonés 5 Figura 2-1. Esquema de un amortiguador magnético 7 Figura 2-2. Modelo de dipolo de Ampère y Gilbert 9 Figura 2-3. Variables de longitud en el resorte elástico 12 Figura 3-1. Esquema de un amortiguador electromagnético formado por un tubo conductor 15 Figura 3-2. Densidad de potencia 17 Figura 3-3. Potencia disipada por un anillo de espesor  18 Figura 3-4. Potencia disipada en función de la longitud del tubo con z0=0 20 Figura 3-5. Potencia disipada en función de la posición del dipolo y de la longitud del tubo 21 Figura 3-6. Potencia disipada según la posición del dipolo con L fija 21 Figura 3-7. Detalle de potencia disipada según posición del dipolo 23 Figura 3-8. Potencia disipada para tubo de longitud infinita según el espesor del tubo 27 Figura 3-9. Cociente de potencias para un tubo infinito 28 Figura 3-10.Potencia disipada en función de a para distintos espesores del tubo 28 Figura 3-11. Potencia disipada por un tubo finito en función del espesor con z0=0 29 Figura 3-12. Cociente de potencias disipadas para tubos finitos 30 Figura 4-1. Dipolo frente a una superficie plana 31 Figura 4-2. Densidad de potencia radial con d0/a=1 33 Figura 4-3. Densidad de potencia radial con posición del dipolo fija 33 Figura 4-4. Potencia disipada en una superficie circular plana 35 Figura 4-5.Potencia disipada en función de d0 con a fijo 36 Figura 4-6. Potencia disipada por un plano infinito en función del espesor 37 Figura 4-7. Cociente de potencias para un plano infinto 38 Figura 4-8. Potencia disipada por una superficie circular plana en función del espesor 39 Figura 4-9. Cociente de potencias disipadas para superficies circulares 39 Figura 4-10. Dipolo moviéndose entre dos superficies conductoras circulares 41 Figura 4-11. Dipolo moviéndose frente a una superficie conductora superior 41 Figura 4-12. Coeficiente de fricción asociado a un dipolo entre dos superficies circulares 42 Figura 5-1. Masa del amortiguador en función de la esbeltez 46 Figura 5-2. Porcentajes de masas asociadas al tubo y a las tapas respecto a la masa total 46 Figura 5-3. Potencia total disipada por el amortiguador 48 Figura 5-4. Potencia disipada por el amortiguador para L/a[0, 1.2] 49 Figura 5-5. Potencia disipada por el amortiguador para L/a[2.7, 5] 50 Figura 5-6. Potencia disipada por el amortiguador para L/a[1.2, 2.7] 50 Figura 5-7. Potencia disipada por el amortiguador en función de z0 con L/a[1, 2] 51 Figura 5-8. Potencia disipada por el amortiguador en función de z0 con L/a[2.5, 3.5] 52 Figura 5-9. Potencia disipada por el amortiguador en función de z0 con L/a[4, 5] 52 Figura 5-10. Respuesta del amortiguador con L/a=1 54 Figura 5-11. Respuesta del amortiguador con L/a=5 54 Figura 5-12. Amplitud máxima de las oscilaciones en función de la esbeltez 56 Figura 5-13. Respuesta del sistema con L/a=2,  /a=0.1,m=1g, z0=0 y v0=0.5cm/s 57 Figura 5-14. Energía cinética con L/a=2,  /a=0.1,m=1g, z0=0 y v0=0.5cm/s 58 Figura 5-15. Respuesta del sistema con L/a=20,  /a=0.4,m=10g, z0=0 y v0=30cm/s 59 Figura 5-16. Energía cinética con L/a=20,  /a=0.4,m=10g, z0=0 y v0=30cm/s 60 xxi 1 INTRODUCCIÓN Cualquier sistema mecánico puede verse sometido a excitaciones que originen respuestas vibratorias. Las vibraciones pueden afectar al rendimiento del sistema, tener efectos desestabilizares, provocar daños estructurales o favorecer la fatiga de los materiales, disminuyendo la vida útil del sistema. Para diseñar cualquier máquina o estructura, se debe tener en cuenta el fenómeno vibratorio. Una forma de proceder consiste en actuar sobre las características del sistema, de manera que su respuesta ante una excitación origine menos vibraciones [1]. El amortiguamiento es un proceso que permite disipar energía de un sistema vibratorio. Generalmente, la energía se disipa en forma de calor. En caso de vibraciones libres (estas se originan cuando el sistema se desplaza de su posición de equilibrio o este recibe un impacto), el amortiguamiento reduce la amplitud de las vibraciones a las que está sometido el sistema mecánico. Los principales tipos de amortiguamiento son: el amortiguamiento fluido, el amortiguamiento seco o de Coulomb y el amortiguamiento estructural. El amortiguamiento fluido puede ser viscoso o turbulento. El tipo de amortiguamiento que genera un amortiguador basado en corrientes de Foucault es de tipo viscoso, como se comprueba en los capítulos posteriores [1]. 1.1 El oscilador amortiguado Figura 1-1. Amortiguador de coche Imagen tomada de [2] Figura 1-2. Esquema del interior de un amortiguador fluido Imagen tomada de [3] En las figuras 1-1 y 1-2, se muestra un amortiguador fluido y un esquema de su interior. Cualquier amortiguador fluido típico posee un resorte y un pistón con orificios, contenido en un cilindro. A su vez, este Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad. Albert Einstein INTRODUCCIÓN 2 cilindro contiene al fluido. Ante cualquier perturbación que reciba el amortiguador, el resorte comenzaría a oscilar. El pistón, que está ligado al resorte, también se movería y por tanto, obliga al fluido a atravesar los orificios del pistón. La fricción generada al pasar el fluido por el pistón provoca que se disipe la energía en forma de calor. Como consecuencia del movimiento del fluido, se genera una diferencia de presiones a ambos lados del pistón responsable de la aparición de una fuerza que se opone al movimiento relativo entre el pistón y el cilindro que lo contiene. Se dice que el amortiguamiento es viscoso cuando el fluido se mueve por los orificios en régimen laminar. Suponiendo que uno de los extremos del amortiguador está fijo y el otro es móvil (el extremo móvil se mueve con velocidad 𝒗), la fuerza de amortiguamiento, 𝑭𝒂, viene dada por 𝑭𝒂=−𝛾𝒗, (1.1) donde 𝛾 es el coeficiente de fricción y depende de la geometría interna del amortiguador (cilindro, orificios y pistón) y de la viscosidad del fluido. En el caso del movimiento rectilíneo y empleando la variable 𝑥 para describir la posición del extremo móvil del amortiguador, cuyo origen se toma en la posición de equilibrio estático, la fuerza de amortiguamiento es 𝐹𝑎=−𝛾𝑥󰇗. (1.2) El resorte elástico, el cual forma parte del amortiguador, ejerce una fuerza que se puede modelar con la ley de Hooke [3]. En el caso de considerar un movimiento unidimensional, la fuerza elástica es 𝐹𝑒=−𝑘𝑥. (1.3) La combinación del amortiguamiento viscoso con un oscilador (modelado por un resorte de constante elástica k) permite obtener un oscilador amortiguado. El resorte es el responsable de que se produzcan oscilaciones ante perturbaciones del sistema y el amortiguamiento viscoso actúa como una fuerza de fricción que reduce la amplitud de las oscilaciones y por tanto, el sistema de masa 𝑚, que está conectado al amortiguador, tenderá a su posición de equilibrio estático ante cualquier perturbación. Para resolver la dinámica del sistema, se aplica la segunda ley de Newton y se obtiene que 𝑚𝑥󰇘(𝑡)+𝛾𝑥󰇗(𝑡)+𝑘𝑥(𝑡)=0. (1.4) Dividiendo la ecuación (1.4) por la masa y aplicando que 𝛽=𝛾/2𝑚 (coeficiente de amortiguamiento) y 𝜔0=√𝑘𝑚 ⁄ (frecuencia natural del sistema) se obtiene que 𝑥󰇘(𝑡)+2𝛽𝑥󰇗(𝑡)+𝜔02𝑥(𝑡)=0,𝑥(0)=𝑥0 y 𝑥󰇗(0)=𝑣0. (1.5) Esta ecuación, junto a las condiciones de posición y velocidad, permiten obtener la respuesta del sistema. A continuación, se explican de manera cualitativa, los distintos casos de amortiguamiento en función de valores de los parámetros que intervienen en el sistema y se muestra la respuesta del sistema mediante representaciones gráficas con el fin de ilustrar las situaciones posibles. En el siguiente capítulo, se hace una descripción más detallada de la solución a esta ecuación, expresando las soluciones analíticas correspondientes a las gráficas representadas en este primer capítulo. En función del valor de la relación 𝛽𝜔0 ⁄, el sistema responderá de tres formas distintas:  Si 𝛽𝜔0 ⁄>1 se dice que el sistema está sobreamortiguado (expresión analítica en (2.22)).  Si 𝛽𝜔0 ⁄=1 se dice que el sistema está críticamente amortiguado (expresión analítica en (2.23)). 3 3 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos Figura 1-3. Sistema críticamente amortiguado y sobreamortiguado Se puede observar en la figura 1-3, que para el caso críticamente amortiguado y sobreamortiguado, el sistema regresa a su posición de equilibrio sin oscilar. También, se observa que al aumentar la relación de amortiguamiento 𝛽𝜔0 ⁄, se consigue que el máximo de la amplitud se reduzca, pero al aumentar dicha relación el sistema responde de una forma más lenta y tarda más tiempo en alcanzar la posición de equilibrio.  Si 𝛽𝜔0 ⁄<1 se dice que el sistema está subamortiguado (expresión analítica en (2.24)). Figura 1-4. Respuesta subamortiguada,  /  0=0.375 Las condiciones iniciales empleadas para las representaciones de las respuestas anteriormente dibujadas son: 𝑥(0)=0.1m y 𝑥󰇗(0)=1ms−1. De los tres tipos de respuestas posibles, el caso subamortiguado es el que permite al sistema regresar a su posición de equilibrio de la forma más rápida posible. En algunas aplicaciones de amortiguadores mecánicos, como los utilizados en los coches de pasajeros, es necesario llegar a un compromiso entre el control que se tiene sobre el vehículo y el confort que experimentan los pasajeros. Una relación de amortiguamiento 𝛽𝜔0 ⁄ comprendida entre 0.3 y 0.4 es la que se usa DESCRIPCIÓN GENERAL DEL SISTEMA Y FUNDAMENTOS FÍSICOS 10 En este trabajo, se va a considerar un sistema de referencia tal que el eje z coincide en dirección y sentido con 𝝁. Además, el eje z coincidirá con el eje del tubo y será perpendicular a las superficies planas que se consideren (plano o tapas circulares de material conductor colocadas en los extremos del tubo). Considerando estos ejes, se observa la existencia de simetría cilíndrica de los problemas que se van a abordar, por lo que es conveniente emplear un sistema de referencia cilíndrico para simplificar los cálculos. El potencial vector dado por (2.7), expresado en coordenadas cilíndricas es 𝑨=𝜇0 4𝜋 𝜇𝜌𝒆𝜽 (𝜌2+(𝑧−𝑧0)2)32 . (2.8) Aplicando (2.6) sobre el potencial vector dado por (2.8) se obtiene que el campo magnético del dipolo expresado en coordenadas cilíndricas es 𝑩= 3(𝑧−z0)𝜇𝜇0𝜌 4𝜋((𝑧−z0)2+𝜌2)52 ⁄𝒆𝝆− −(3𝜇𝜇0𝜌2 4𝜋((𝑧−z0)2+𝜌2)52 ⁄+𝜇𝜇0 2𝜋((𝑧−z0)2+𝜌2)32 ⁄)𝒌. (2.9) Se ha tenido en cuenta que los vectores de posición 𝒓 y 𝒓𝟎 expresados en coordenadas cilíndricas son 𝒓=𝑥𝒊+𝑦𝒋+𝑧𝒌=𝜌𝒖𝝆+𝑧𝒌, con 𝜌=√𝑥2+𝑦2 𝑦 𝒓𝟎=𝑧0𝒌. En las ecuaciones (2.7-2.8), se ha supuesto que el momento dipolar magnético va orientado en la dirección positiva del eje 𝑧 (polo norte arriba y polo sur abajo). Si se considera el imán orientado de forma opuesta, las expresiones cambian de signo. 2.4 Fuerza magnética que actúa sobre el imán: Potencia disipada por el elemento conductor El imán moviéndose en las proximidades de un elemento conductor, experimenta una fuerza magnética que es la responsable del amortiguamiento. En este apartado, se aborda el cálculo de esta fuerza. Para ello, se seguirá un procedimiento basado en la idea de que el imán se detiene al disipar su energía en forma de calor. Además, se sabe que la potencia disipada por el elemento conductor es el producto de la fuerza responsable del amortiguamiento por la velocidad del imán. Obteniendo la expresión de la potencia disipada y teniendo en cuenta que el factor que acompaña a la velocidad es la fuerza responsable del amortiguamiento, se puede obtener la fuerza de amortiguamiento de la expresión de la potencia. La ley de Joule [6] establece que la potencia eléctrica disipada en forma de calor en un volumen 𝑉 es 𝑃=∫ 𝑬∙𝑱d𝑉 𝑉. (2.10) La densidad de corriente 𝑱 se relaciona con el campo eléctrico a través de la forma puntual de la ley de Ohm [6]. Esta ley establece que 𝑱 es 𝑱=𝜍𝑬. (2.11) Teniendo en cuenta la ecuación (2.11), la potencia dada en (2.10) puede expresarse como una función de la geometría del elemento conductor y del campo eléctrico existente en dicho elemento, obteniéndose 11 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos 𝑃=∫ 𝜍𝐸2d𝑉=∫ 𝜌d𝜌∫ d𝑧 𝑧2 𝑧1∫ d𝜃𝜍𝐸(𝜌,𝑧)2 𝜃2 𝜃1 𝜌2 𝜌1 𝑉. (2.12) La ecuación (2.12) permite obtener la potencia disipada cuando se conozca el campo eléctrico 𝑬 que aparece en todos los puntos del elemento conductor. Para calcular 𝑬 se va a emplear la ecuación (2.3) y (2.6): ∇×𝑬=−∂𝑩 𝜕𝑡=−𝜕(∇×𝑨) 𝜕𝑡 →∇×(𝑬+𝜕𝑨 𝜕𝑡*=𝟎→𝑬=−𝜕𝑨(  ,𝜌,𝑧,𝑧0) 𝜕𝑡 −∇  . (2.13) La expresión general del campo eléctrico en función del potencial vector es la indicada en la ecuación (2.13). Debido a la simetría del problema que se va a abordar en este trabajo, es posible simplificar la ecuación (2.13) haciendo nulo el término del potencial  . La simetría del problema permite asegurar que las líneas del campo eléctrico 𝑬, fluyen a través del material conductor, de manera circunferencial sobre el material, considerando nulo el término del potencial. El campo eléctrico para este problema es 𝑬=−𝜕𝑨(  ,𝜌,𝑧,𝑧0) 𝜕𝑡 =−𝜕𝑨 𝜕𝑧0𝜕𝑧0 𝜕𝑡=−𝑣𝜕𝑨 𝜕𝑧0. (2.14) La ecuación (2.14) permite obtener el campo eléctrico en todos los puntos del conductor a partir de la velocidad a la que se mueve el imán y de su potencial vector. Introduciendo en (2.14), el potencial vector de un dipolo, se obtiene el campo eléctrico inducido en el tubo conductor 𝑬=−𝑣 3(𝑧−𝑧0)𝜇𝜇0𝜌 4𝜋((𝑧−𝑧0)2+𝜌2)52 ⁄𝒖𝜽. (2.15) En la expresión anterior, se ha despreciado el efecto de la autoinducción de las corrientes eléctricas inducidas. 2.5 Dinámica del sistema En este apartado, se pretende caracterizar las fuerzas que actúan sobre el dipolo, para posteriormente, plantear la ecuación que describe el movimiento del imán. El imán está sometido a las siguientes acciones:  Peso 𝑚𝒈: el dipolo está sometido a la influencia de la gravedad, pero este efecto se absorbe con la fuerza elástica.  Fuerza magnética 𝑭𝒓: Actúa como una fuerza de amortiguamiento viscoso, que se opone al movimiento y se expresa como el producto del coeficiente de fricción 𝛾, y de la velocidad 𝑧󰇗0(𝑡). Esta fuerza queda caracteriza tras modelar el coeficiente de fricción, estudio realizado en capítulos posteriores.  Fuerza elástica del resorte: el imán está unido a un muelle de longitud natural 𝑙0 y constante elástica 𝑘. Para describir la fuerza elástica ejercida por el resorte, se usa la variable 𝑧0. Esta variable tiene su origen en la posición de equilibrio estático del sistema. Para determinar esta posición hay que tener en cuenta que la acción del peso del imán provoca que el muelle se alargue respecto a su longitud natural una distancia 𝑧𝑒𝑞=𝑚𝑔𝑘 ⁄ y como 𝑧0=0 cuando el sistema está en su posición de equilibrio estático, se deduce que el extremo superior del muelle está a una distancia 𝑙0+𝑧𝑒𝑞 del origen de 𝑧0. Con esta variable, la fuerza elástica queda como 𝑭𝒆=𝑘(𝑙0+𝑧𝑒𝑞−𝑧0−𝑙0)𝒌=𝑘(𝑧𝑒𝑞−𝑧0)𝒌. (2.16) DESCRIPCIÓN GENERAL DEL SISTEMA Y FUNDAMENTOS FÍSICOS 12 Figura 2-3. Variables de longitud en el resorte elástico Definidas las fuerzas que actúan en el sistema, se puede aplicar la segunda ley de Newton, 𝑭=𝑚𝒂 y se obtiene que la ecuación del movimiento del imán es −𝛾(𝑧0(𝑡))𝑧󰇗0(𝑡)𝒌+𝑘(𝑚𝑔 𝑘−𝑧0(𝑡))𝒌−𝑚𝑔𝒌=𝑚 𝑧󰇘0(𝑡)𝒌→ 𝑚 𝑧󰇘0(𝑡)+𝛾(𝑧0(𝑡))𝑧󰇗0(𝑡)+𝑘𝑧0(𝑡)=0. (2.17) La ecuación (2.17) se debe resolver junto a dos condiciones iniciales (𝑧0(0) y 𝑧󰇗0(0) se supondrán conocidas). En el caso general, el coeficiente de fricción 𝛾 es una función de la posición del imán y por tanto, habría que resolver numéricamente la ecuación (2.17) para obtener 𝑧0(𝑡). Sin embargo, como se comprueba en capítulos posteriores, existen situaciones en las que el coeficiente de fricción permanece prácticamente constante y no varía con la posición del imán. Esto implica que (2.17) pasa a ser una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden en estos casos. A continuación, se van a desarrollar las soluciones de la ecuación (2.17) para los casos en los que 𝛾 se aproxima a un valor constante. La ecuación (2.17) puede expresarse de forma análoga a la ecuación (1.5), aplicando la definición del coeficiente de amortiguamiento 𝛽 y de la frecuencia natural del sistema 𝜔0, obteniéndose 𝑧󰇘0(𝑡)+2𝛽𝑧󰇗0(𝑡)+𝜔02𝑧0(𝑡)=0. (2.18) La solución general a la ecuación (2.18) es del tipo 𝑧0(𝑡)=𝐴1𝑒  1𝑡+𝐴2𝑒  2𝑡, (2.19) con 𝐴1y 𝐴2 constantes que dependen de las condiciones iniciales del problema. Los valores de  1 y  2 son las raíces de la ecuación característica  2+2𝛽  +𝜔02=0→  1,2=−𝛽±√𝛽2−𝜔02. (2.20) Según el resultado obtenido en (2.20), la solución general (2.19) se puede expresar como 𝑧0(𝑡)=𝑒−𝛽𝑡(𝐴1𝑒√𝛽2−𝜔02 𝑡+𝐴2𝑒−√𝛽2−𝜔02 𝑡+. (2.21) 13 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos Observando (2.21), se deduce que la forma de 𝑧0(𝑡) viene dada por el valor de √𝛽2−𝜔02. En función de esta raíz se tienen los siguientes casos:  Si 𝛽>𝜔0, se dice que el sistema está sobreamortiguado. La posición 𝑧0(𝑡) viene dada por 𝑧0(𝑡)=  2𝑧0(0)−𝑧󰇗0(0)  2−  1𝑒  1𝑡+  1𝑧0(0)−𝑧󰇗0(0)  1−  2𝑒  2𝑡. (2.22)  Si 𝛽=𝜔0, se dice que el sistema está críticamente amortiguado. La posición 𝑧0(𝑡) viene dada por 𝑧0(𝑡)=[𝑧0(0)+(𝑧󰇗0(0)+𝛽𝑧0(0))𝑡]𝑒−𝛽𝑡. (2.23)  Si 𝛽<𝜔0, se dice que el sistema está subamortiguado. La posición 𝑧0(𝑡) viene dada por 𝑧0(𝑡)=𝑒−𝛽𝑡*𝑧0(0)cos(𝜔𝑡)+𝑧󰇗0(0)+𝛽𝑧0(0) √𝜔02−𝛽2sen(𝜔𝑡)+ con 𝜔=√𝜔02−𝛽2. (2.24) En las ecuaciones (2.22-2.24), se ha expresado 𝐴1 y 𝐴2 en función de las condiciones iniciales del problema. El amortiguamiento crítico proporciona la forma más rápida de volver a la posición de equilibrio del sistema sin que se produzcan oscilaciones. Con menor amortiguamiento (caso subamortiguado), se llega a la posición de equilibrio más rápidamente, pero oscila en torno a esta posición. En el caso sobreamortiguado, la llegada a la posición de equilibrio es más lenta. 3 DIPOLO EN MOVIMIENTO POR EL INTERIOR DE UN TUBO CONDUCTOR El objetivo de este capítulo es calcular la fuerza magnética que aparece sobre el dipolo del amortiguador de la figura 3-1, cuando el imán se encuentra en movimiento. Se va a proceder según lo explicado en el capítulo anterior, caracterizando la potencia disipada durante el movimiento para obtener, a partir de esta, la fuerza magnética y modelar dicha fuerza como el producto de la velocidad del dipolo y el coeficiente de fricción. En el desarrollo de este capítulo, se estudia las implicaciones que tienen sobre la potencia disipada la longitud del tubo conductor y la posición que ocupa el dipolo durante el movimiento, y en qué casos es posible considerar el coeficiente de fricción constante. Este capítulo finaliza con una descripción de las condiciones que deben cumplir los parámetros que intervienen en el sistema para conseguir un determinado tipo de amortiguamiento. Figura 3-1. Esquema de un amortiguador electromagnético formado por un tubo conductor Inténtalo, aquel que nunca cometió un error jamás intentó nada nuevo. Albert Einstein DIPOLO EN MOVIMIENTO POR EL INTERIOR DE UN TUBO CONDUCTOR 16 3.1 Fuerza magnética responsable del amortiguamiento: potencia disipada por el tubo conductor Como se ha detallado en el capítulo 2, la fuerza se va a calcular a partir de la potencia disipada. Para ello, se particulariza en (2.12) con la geometría del tubo y teniendo en cuenta el valor del campo eléctrico 𝑬 dado en (2.15), se obtiene 𝑃=∫ 𝜍𝐸2d𝑉=∫ 𝜌d𝜌∫d𝑧 𝐿2 −𝐿2∫ d𝜃𝜍(𝑣3(𝑧−𝑧0)𝜇𝜇0𝜌 4𝜋((𝑧−𝑧0)2+𝜌2)52 ⁄)2 2𝜋 0 𝑎+𝛿 𝑎𝑉 . (3.1) De la potencia, se puede obtener la fuerza magnética que actúa en el imán, teniendo en cuenta que el producto de la fuerza por la velocidad es la potencia disipada por el tubo conductor. A continuación, se considera que el espesor del tubo conductor es despreciable frente al radio interior 𝑎, lo que permite simplificar el cálculo de la integral que proporciona la potencia disipada por el tubo. En epígrafes posteriores, se estudiará cuál es el efecto del espesor en la potencia disipada y se expresará la relación que deben satisfacer el espesor y el radio interior para que el tubo pueda considerarse de pared delgada. 3.2 Tubo de pared delgada: Fuerza magnética y potencia disipada Considerando un tubo cuyo espesor 𝛿 es despreciable frente a su radio 𝑎, la expresión (3.1) queda como 𝑃=2𝜋𝑎𝛿∫ 𝜍(𝑣3(𝑧−𝑧0)𝜇𝜇0𝑎 4𝜋((𝑧−𝑧0)2+𝑎2)52 ⁄)2d𝑧 𝐿2 −𝐿2. (3.2) De la ecuación (3.2) se puede obtener la potencia disipada por unidad de longitud 𝑝=2𝜋𝑎𝛿𝜍𝐸(𝑎,𝑧)2=9𝑎3𝛿𝜇2𝜇02𝑣2𝜍(𝑧−𝑧0)2 8𝜋(𝑎2+(𝑧−𝑧0)2)5. (3.3) La potencia disipada por unidad de longitud o densidad de potencia, dada en (3.3), permite cuantificar la contribución de cada sección que forma el tubo en el proceso de disipación de energía. Para visualizar qué secciones contribuyen significativamente en la disipación de energía se va a llevar a cabo la representación gráfica de la densidad de potencia. Considerando el instante de tiempo en el cual el imán está situado en la parte central del tubo conductor (𝑧0(𝑡)=0), la potencia disipada por cada sección, que forma el tubo, es 𝑝=9𝑎3𝛿𝜇2𝜇02𝑣2𝜍 8𝜋 𝑧2 (𝑎2+𝑧2)5=9𝑎3𝛿𝜇2𝜇02𝑣2𝜍 8𝜋 𝑧2 𝑎10 (𝑎2 𝑎2+𝑧2 𝑎2*5=9𝛿𝜇2𝜇02𝑣2𝜍 8𝜋𝑎5𝑧2 𝑎2 (1+𝑧2 𝑎2*5= 𝑝=𝐶 𝑧2 𝑎2 (1+𝑧2 𝑎2*5,donde 𝐶=9𝛿𝜇2𝜇02𝑣2𝜍 8𝜋𝑎5. (3.4) A continuación, se representa la potencia por unidad de longitud o densidad de potencia, dada por (3.4) 17 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos Figura 3-2. Densidad de potencia De esta gráfica se pueden deducir las regiones del tubo en las que se disipa mayor energía. Estas zonas se corresponden con la parte superior e inferior del tubo respecto a la posición que en cada instante de tiempo tiene el imán, dada por 𝑧0 . A continuación, se muestra el porcentaje de potencia que disipa el tubo según las secciones que se consideren de este. Tabla 3-1. Porcentaje de potencia disipada según intervalos del tubo Intervalo Porcentaje de potencia disipada 𝑧𝑎 ∈[𝑧0 −0.5,𝑧0 +0.5] 35.53% 𝑧𝑎 ∈[𝑧0 −1,𝑧0 +1] 83.95% 𝑧𝑎 ∈[𝑧0 −2,𝑧0 +2] 99.23% 𝑧𝑎 ∈[𝑧0 −4,𝑧0 +4] 99.98% Las secciones del tubo comprendidas en 𝑧0𝑎 ⁄ ∈[𝑧0 −2,𝑧0 +2], se encargan de disipar el 99.23% de la energía cuando el imán se mueve por el interior del tubo. La potencia disipada, dada por la ecuación (3.2), se obtiene al integrar en la longitud del tubo. Se van a estudiar los casos en los que el tubo tiene una longitud infinita y finita. Los resultados del estudio realizado para un tubo infinito permitirán detectar en qué situaciones, un tubo de longitud finita se comporta como un tubo infinito. 3.2.1 Tubo de pequeña longitud. Anillo En primer lugar, se va a analizar un tubo de longitud 𝜀≪𝑎, por lo que la forma de este tubo se asemejará a la de un anillo. Con esta consideración, es posible calcular la potencia disipada, considerando la densidad de potencia de todas las secciones que forman el anillo constante e igual a la que se obtiene en la sección media dada por 𝑧=0. Con esta simplificación, se obtiene una potencia disipada DIPOLO EN MOVIMIENTO POR EL INTERIOR DE UN TUBO CONDUCTOR 18 𝑃=9𝛿𝜇2𝜇02𝑣2𝜍𝜀 8𝜋𝑎5𝑧02 𝑎2 (1+𝑧02 𝑎2*5=𝐶𝜀 𝑧02 𝑎2 (1+𝑧02 𝑎2*5. (3.5) Figura 3-3. Potencia disipada por un anillo de espesor  De la gráfica anterior se deduce que el anillo disipa la máxima potencia posible cuando el dipolo está a una distancia 𝑧0𝑎 ⁄=±0.5 respecto al anillo. La potencia disipada por el anillo es nula cuando el dipolo se encuentra en la sección media del anillo y a distancias lejanas del anillo. 3.2.2 Tubo de longitud infinita En este apartado, se va a considerar un tubo de longitud infinita. Se va a aplicar el cambio de variable tg(𝛼)=𝑧−𝑧0 𝑎 (3.6) para simplificar el cálculo de la potencia dada por la ecuación (3.2), obteniéndose 𝑃𝐿→∞=∫ 9𝑎3𝛿𝜇2𝜇02𝑣2𝜍(𝑧−𝑧0)2 8𝜋(𝑎2+(𝑧−𝑧0)2)5d𝑧 ∞ −∞ =∫ 9𝑎3𝛿𝜇2𝜇02𝑣2𝜍 8𝜋 tg2(𝛼)cos8(𝛼) 𝑎7d𝛼= 𝜋2 −𝜋2 =𝑃𝐿→∞=45𝛿𝜇2𝜇02𝜍𝑣2 1024𝑎4. (3.7) El cálculo de la integral anterior y las sucesivas en este trabajo, se realizan con el software Mathematica. Considerando la potencia disipada como el producto escalar de la fuerza magnética por la velocidad del imán 𝑃=|𝑭𝒓∙𝒗|=−𝐹𝑟𝑣=𝛾𝑣2 (3.8) y comparando el resultado obtenido en (3.7) con la expresión en (3.8), se obtiene la fuerza magnética que actúa en el imán, 19 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos 𝐹𝑟=−45𝛿𝜇2𝜇02𝜍𝑣 1024𝑎4=−𝛾𝑣. (3.9) De los resultados obtenidos en (3.7) y (3.9) se deduce que:  Cuanto mayor sea el coeficiente de fricción 𝛾, mayor es la potencia disipada y la fuerza de amortiguamiento que actúa sobre el imán.  Interesaría emplear materiales con una conductividad alta y tubos con radios pequeños para aumentar el coeficiente de amortiguamiento.  Ni la fuerza 𝐹𝑟, ni la potencia disipada dependen de la posición del imán, 𝑧0(𝑡). 3.2.3 Tubo de longitud finita En este apartado, se va a calcular la potencia disipada y la fuerza de amortiguamiento que actúa sobre el imán en movimiento por el interior de un tubo conductor de longitud finita. Para ello, se emplea el mismo procedimiento que el seguido en el apartado anterior para un tubo de longitud infinita. De la ecuación (3.2) se obtiene que la potencia disipada por el tubo conductor de longitud 𝐿 es 𝑃=∫ 𝑝d𝑧= 𝐿2 −𝐿23𝑣2𝜇2𝜇02𝜍𝛿 1024𝑎4𝜋(15arctg(𝐿−2z0 2𝑎 *+15arctg(𝐿+2z0 2𝑎 *+ +𝑎(𝐿2−z0)(−15𝑎6+73 4𝑎4(𝐿−2z0)2+55 16𝑎2(𝐿−2z0)4+15 64(𝐿−2z0)6) (𝑎2+14(𝐿−2z0)2)4− −𝑎(−𝐿2−𝑧0)(−15𝑎6+73 4𝑎4(𝐿+2z0)2+55 16𝑎2(𝐿+2z0)4+15 64(𝐿+2z0)6) (𝑎2+14(𝐿+2z0)2)4,. (3.10) Se puede comprobar que si la longitud del tubo tiende a infinito, se obtiene el resultado dado por (3.7): lim 𝐿→∞𝑃=3𝑣2𝜇2𝜇02𝜍𝛿 1024𝑎4𝜋(15𝜋 2+15𝜋 2+0+0*=45𝑣2𝜇2𝜇02𝜍𝛿 1024𝑎4 La fuerza, que actúa sobre el dipolo, se obtiene de la misma manera que en el caso del tubo de longitud infinita, 𝐹=−3𝑣𝜇2𝜇02𝜍𝛿 1024𝑎4𝜋(15arctg(𝐿−2z0 2𝑎 *+15arctg(𝐿+2z0 2𝑎 *+ +𝑎(𝐿2−z0)(−15𝑎6+73 4𝑎4(𝐿−2z0)2+55 16𝑎2(𝐿−2z0)4+15 64(𝐿−2z0)6) (𝑎2+14(𝐿−2z0)2)4− −𝑎(−L2−z0)(−15𝑎6+73 4𝑎4(𝐿+2z0)2+55 16𝑎2(𝐿+2z0)4+15 64(𝐿+2z0)6) (𝑎2+14(𝐿+2z0)2)4,. (3.11) Como puede observarse en la expresión anterior, el coeficiente de fricción deja de ser constante en el caso de considerar un tubo de longitud finita. 3.2.3.1 Potencia disipada según la longitud del tubo. Imán en la sección central del tubo Puesto que se ha considerado que el dipolo oscila en torno a la sección central del tubo, cuando el imán oscile con una amplitud muy pequeña o la longitud del tubo sea suficientemente grande para considerar que las DIPOLO EN MOVIMIENTO POR EL INTERIOR DE UN TUBO CONDUCTOR 26 𝛾<2√𝑘𝑚→45𝛿𝜇2𝜇02𝜍 1024𝑎4𝑃(𝐿) 𝑃𝐿→∞<2√𝑘𝑚. (3.25) Se puede comprobar que si se emplea para el diseño del amortiguador el radio 𝑎∞ 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 calculado en (3.18), el sistema formado por un tubo de longitud finita se comporta como un oscilador subamortiguado: 𝛾=2√𝑘𝑚𝑃(𝐿) 𝑃𝐿→∞→𝛽(𝐿)=𝑃(𝐿) 𝑃𝐿→∞√𝑘 𝑚. (3.26) Según la gráfica de la figura 3-3, 𝑃(𝐿)𝑃𝐿→∞ ⁄<1 →𝛽<𝜔0 por lo que se deduce que el sistema se comporta como un oscilador subamortiguado. Como se puede observar, las condiciones obtenidas difieren de las del tubo infinito en el factor 𝑃(𝐿)𝑃𝐿→∞ ⁄, que al ser menor que la unidad, reduce la capacidad de amortiguamiento del sistema respecto al caso del tubo infinito. También, las condiciones anteriores se pueden particularizar para el caso de oscilaciones de gran amplitud (𝛾 como función de 𝑧0) y se obtendría un coeficiente de fricción que dejaría de ser constante por lo que el amortiguador se dejaría de ser lineal. 3.4 Tubo grueso: el efecto del espesor En todo el desarrollo anterior, se ha considerado que el tubo conductor es de pared delgada. En este apartado, se pretende estudiar el efecto que tiene el espesor del tubo en la potencia que se disipa y, por tanto, en la capacidad de amortiguamiento del sistema objeto de estudio. Además, se podrá cuantificar la relación que debe cumplir el espesor frente al radio interior del tubo para que este pueda considerarse de pared delgada. Para obtener la potencia disipada incluyendo el efecto del espesor, se integrará la expresión (3.1) en el espesor. Primero, se analizará el caso del tubo de longitud infinita y a continuación, se abordará el estudio del efecto del espesor considerando tubos de longitud finita. 3.4.1 Tubo de longitud infinita De la ecuación (3.1) se obtiene 𝑃𝐿→∞ 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟=∫ 𝜌d𝜌∫ d𝑧 ∞ −∞ ∫ d𝜃𝜍(𝑣3(𝑧−𝑧0)𝜇𝜇0𝜌 4𝜋((𝑧−𝑧0)2+𝜌2)52 ⁄)2 2𝜋 0 𝑎+𝛿 𝑎= =45𝜇2𝜇02𝜍𝑣2 1024𝑎3(13−1 3(1+𝛿𝑎)3,=𝐶(13−1 3(1+𝛿𝑎)3,= =𝑃𝐿→∞+𝐶𝛿𝑎(−2𝛿𝑎−8(𝛿𝑎)2−(𝛿𝑎)3 (1+𝛿𝑎)3,=𝑃𝐿→∞−𝑒. (3.27) La expresión (3.27), representa la potencia disipada por un tubo de longitud infinita e incluye el efecto del espesor [10]. Nótese que ha sido posible expresar (3.27) como la diferencia de la potencia disipada por el tubo infinito delgado y el error 𝑒 cometido al realizar la aproximación de tubo delgado. 27 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos Figura 3-8. Potencia disipada para tubo de longitud infinita según el espesor del tubo En la gráfica 3-8, se pone de manifiesto que al incrementar el espesor del tubo la potencia disipada aumenta. Con un mayor espesor, se dispone de más material conductor en el cual, es posible llevar a cabo el fenómeno de inducción electromagnética y en consecuencia, la fuerza magnética que experimenta el dipolo es más intensa, pero el aumento de la potencia no es ilimitado al incrementar el espesor. Se observa que, a partir de un cierto valor del espesor, no se consigue aumentar significativamente la fuerza que experimenta el dipolo (la potencia disipada posee una asíntota horizontal y la potencia representada en la figura 3-8, tiende a 1/3). El carácter asintótico se debe a que la intensidad de campo magnético disminuye al alejarse del dipolo y, aunque se disponga de más material conductor para llevar a cabo el fenómeno de la inducción electromagnética, y por tanto, disipar más potencia, en regiones lejanas respecto a la posición del dipolo, el campo magnético es muy débil y tiende a cero al aumentar la distancia de separación con el dipolo. Por lo tanto, la zona externa de un tubo muy grueso apenas contribuye en la disipación de potencia y en cambio, incrementa el material empleado en el amortiguador y en consecuencia, su peso y coste. Con el fin de cuantificar la relación que debe cumplir el espesor con el radio del tubo para que este pueda considerarse de pared delgada, se va a analizar el cociente entre la potencia dada en (3.27) y (3.7). El cociente de (3.27) y (3.7) es 𝑃𝐿→∞ 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑃𝐿→∞ =(13−1 3(1+𝛿𝑎)3, 𝛿𝑎. (3.28) A continuación, se representa el cociente entre la potencia disipada correspondiente a un tubo de longitud infinita, que tiene en cuenta el efecto del espesor, y la potencia disipada en un tubo delgado de longitud infinita. DIPOLO EN MOVIMIENTO POR EL INTERIOR DE UN TUBO CONDUCTOR 28 Figura 3-9. Cociente de potencias para un tubo infinito En la figura 3-9, se observa que para espesores de 𝛿<0.1𝑎, es adecuado considerar la aproximación de pared delgada ya que la relación de potencias representada en la gráfica es superior a 0.8 y por tanto, próximo a la unidad. Confirmada la validez de la aproximación de tubo delgado para espesores 𝛿<0.1𝑎, es importante destacar que en un tubo de gran espesor (𝛿→∞), la potencia disipada es 15𝜇2𝜇02𝜍𝑣21024𝑎3 ⁄. Comparando con la potencia disipada para un tubo delgado, dada en (3.7), se obtiene que la dependencia con el radio del tubo es distinta en ambos casos: para un tubo delgado e infinito, la potencia disipada es inversamente proporcional al radio elevado a cuatro, mientras que en un tubo grueso e infinito, la potencia disipada es inversamente proporcional al cubo del radio. Por tanto, modificaciones del radio en un tubo delgado, permiten mayores incrementos en la potencia respecto a tubos de gran espesor. Para visualizar el efecto del radio del tubo en la potencia disipada se va a representar la disipación en función de 𝑎, para distintos valores del espesor del tubo. Figura 3-10.Potencia disipada en función de a para distintos espesores del tubo En la gráfica, se observa que la disipación es más sensible al radio cuando se emplean tubos delgados. Además, se pone de manifiesto la independencia del espesor en la disipación, al considerar espesores del tubo muy elevados, ya que las curvas se hacen independientes del espesor en estos casos y se solapan. 29 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos 3.4.2 Tubo de longitud finita Expresando la ecuación (3.1) en función de la geometría de un tubo finito, sin considerar la aproximación de tubo delgado, se obtiene la potencia en función del espesor del tubo. Además, la potencia disipada dependerá de otras variables como la esbeltez o la posición del dipolo 𝑧0 . Cuando se realice un análisis considerando pequeñas oscilaciones, se puede aproximar el valor de la potencia disipada al que se obtiene en 𝑧0 =0, obteniéndose 𝑃=3𝑣2𝜇2𝜇02𝜍 1024𝑎3𝜋 ( 20 𝐿+128𝐿3 (4+𝐿2)3−160𝐿 (4+𝐿2)2−80 𝐿(4+𝐿2)−20 𝐿(1+𝛿𝑎)2−128𝐿3 (𝐿2+4(1+𝛿𝑎)2)3+ ++ 160𝐿 (𝐿2+4(1+𝛿𝑎)2)2+80 𝐿(𝐿2+4(1+𝛿𝑎)2)+10arctg(𝐿2)−10arctg( 𝐿 2(1+𝛿𝑎)) (1+𝛿𝑎)3 ) . (3.29) Figura 3-11. Potencia disipada por un tubo finito en función del espesor con z0=0 La forma cualitativa de la figura 3-11 es equivalente a la obtenida para un tubo infinito. La potencia aumenta con el espesor y la longitud del tubo y tiene una asíntota horizontal, por lo que un incremento excesivo del espesor no mejora la capacidad de amortiguamiento del sistema que se está analizando. La constante 𝐶 empleada en la representación se ha definido en (3.27). Para estimar el espesor a partir del cual se puede considerar la aproximación de tubo delgado, en el caso en el que sea válida la aproximación de considerar el dipolo en la sección central, se representa gráficamente el cociente de potencias dadas en las ecuaciones (3.29) y (3.12). DIPOLO EN MOVIMIENTO POR EL INTERIOR DE UN TUBO CONDUCTOR 30 Figura 3-12. Cociente de potencias disipadas para tubos finitos De la figura 3-12, se deduce que el rango de espesores, para los cuales se puede considerar válida la aproximación de pared delgada, aumenta con incrementos en la longitud del tubo. También, se deduce que tubos de longitudes 𝐿𝑎 ⁄≥3, el cociente de potencias representado en la gráfica anterior es superior a 0.8 para valores del 𝛿𝑎 ⁄≤0.1. 4 DIPOLO EN MOVIMIENTO SOBRE SUPERFICIES PLANAS CONDUCTORAS En este capítulo, se va a caracterizar la fuerza magnética que actúa sobre un dipolo, al moverse en torno a una superficie plana conductora de espesor 𝛿𝑠. El dipolo se mueve según un eje perpendicular a la superficie que contiene su centro. Primero, se estudia la interacción del dipolo con un plano infinito y luego, se realiza el estudio considerando que la superficie conductora sobre la que se mueve el dipolo es una superficie circular de radio 𝑎𝑠. Para realizar el estudio del movimiento del dipolo se sigue el mismo procedimiento que se ha empleado en el capítulo anterior: calculando la potencia disipada durante el movimiento y obteniendo de esta la fuerza magnética y el coeficiente de fricción que caracteriza dicha fuerza. Figura 4-1. Dipolo frente a una superficie plana El secreto de la creatividad está en dormir bien y abrir la mente a las posibilidades infinitas. ¿Qué es un hombre sin sueños? Albert Einstein DIPOLO EN MOVIMIENTO SOBRE SUPERFICIES PLANAS CONDUCTORAS 32 El sistema de referencia empleado en este capítulo es un sistema cilíndrico con el origen de la variable 𝑧 sobre la superficie plana, según lo indicado en la figura 4-1. La variable que mide la distancia existente entre el dipolo y la superficie es 𝑑𝑜 cuyo origen coincide con el de 𝑧. La variable 𝑧0 tiene su origen a una distancia 𝐿/2 de la superficie plana conductora considerada. Todas las variables empleadas, 𝑧,𝑧0 y 𝑑0, se consideran positivas cuando estén dirigidas hacia arriba. De la figura 4-1, se deduce la relación existente entre la variable 𝑧0 y 𝑑0: 𝑑0=𝐿2+𝑧0. (4.1) 4.1 Fuerza magnética responsable del amortiguamiento: potencia disipada por la superficie plana conductora El objetivo de este apartado es calcular la fuerza magnética que aparece en el imán al moverse en el entorno de una superficie plana conductora. Para calcularla, se comienza por el cálculo de la potencia disipada para obtener finalmente la fuerza magnética y el coeficiente de fricción. Particularizando (2.12) para la geometría de la superficie conductora y teniendo en cuenta el valor del campo eléctrico 𝑬 dado en (2.15), se obtiene que la potencia disipada es 𝑃=∫ 𝜍𝐸2d𝑉=∫ 𝜌d𝜌∫ d𝑧 0 −𝛿𝑠∫ d𝜃𝜍(𝑣3(𝑧−𝑑0)𝜇𝜇0𝜌 4𝜋((𝑧−𝑑0)2+𝜌2)52 ⁄)2 2𝜋 0 𝑎𝑠 0𝑉 . (4.2) De la potencia, se puede obtener la fuerza magnética que actúa en el imán, teniendo en cuenta que el producto de la fuerza por la velocidad es la potencia disipada por la superficie conductora. A continuación, se considera que la superficie conductora es muy delgada y por tanto, su espesor es despreciable frente a la dimensión radial que se considera. 4.2 Superficie plana delgada: Fuerza magnética y potencia disipada Considerando una superficie plana de espesor 𝛿𝑠 muy delgado, la expresión (4.2) queda como 𝑃=∫ 9𝜌3𝛿𝑠𝜇2𝜇02𝑣2𝜍𝑑02 8𝜋(𝜌2+𝑑02)5d𝜌 𝜌𝑓 0. (4.3) De la ecuación (4.3) se puede obtener la densidad de potencia radial que disipa cada espira circular que constituye la superficie conductora 𝑝𝑟=9𝛿𝑠𝜇2𝜇02𝑣2𝜍𝜌3𝑑02 8𝜋(𝜌2+𝑑02)5. (4.4) Se va a adimensionalizar esta densidad de potencia radial con las variables 𝑑0    =𝑑0 𝑎,𝜌=𝜌𝑎, (4.5) siendo 𝑎 un radio de referencia característico de la superficie. Empleando las variables definidas en (4.5), la densidad de potencia radial es 33 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos 𝑝𝑟=9𝜇2𝜇02𝑣2𝜍𝛿𝑠 8𝜋𝑎5𝜌3𝑑0    2 (𝜌2+𝑑0    2)5=𝐶𝑟𝜌3𝑑0    2 (𝜌2+𝑑0    2)5. (4.6) A continuación, se representa la densidad de potencia radial con un mapa de color y de forma bidimensional. Figura 4-2. Densidad de potencia radial con d0/a=1 Figura 4-3. Densidad de potencia radial con posición del dipolo fija De las figuras anteriores se deduce que:  La parte central dada por 𝜌𝑎 ⁄=0 y las regiones circunferenciales lejanas a dicha parte central, no contribuyen en la disipación de energía.  El máximo de la densidad de potencia radial, según la posición del dipolo, es mayor cuanto más cerca DIPOLO EN MOVIMIENTO SOBRE SUPERFICIES PLANAS CONDUCTORAS 34 está el dipolo de la superficie conductora, tendiendo a infinito cuando la distancia de separación entre el elemento conductor y el dipolo tiende a cero. Dicho máximo se localiza en una región circunferencial, que se acerca a la parte central de la superficie a medida que disminuye la distancia de separación entre la superficie y el dipolo. Además, la distancia circunferencial para la cual se obtiene una densidad de potencia radial máxima, es directamente proporcional a la distancia de separación entre la superficie y el dipolo. La región que se encarga mayoritariamente de la disipación de potencia es la correspondiente a colores claros en el mapa de color de la figura 4-2 y se localiza en torno a este máximo. Para ilustrar cuál es la zona de la superficie que contribuye principalmente en la disipación de potencia, se muestran en la siguiente tabla, los porcentajes de potencia disipados por la región de la superficie conductora dada por 𝜌/a ∈[0, 0.6]. Tabla 4-1. Potencia disipada en 𝜌/a ∈[0, 0.6] Posición 𝑑0𝑎 ⁄ Porcentaje de potencia disipada 0.3 97.28% 0.4 91.03% La región especificada se encarga de disipar más del 90% de la potencia. 4.2.1 Plano infinito En este apartado, se va a considerar un plano infinito. Particularizando la geometría de esta superficie en la ecuación (4.3), se obtiene que la potencia disipada es 𝑃𝑠→∞=∫ 9𝛿𝑠𝜇2𝜇02𝑣2𝜍𝜌3𝑑02 8𝜋(𝜌2+𝑑02)5d𝜌 ∞ 0=3𝑣2𝜇2𝜇𝑜2𝜍𝛿𝑠 64𝜋𝑑04. (4.7) Como se ha realizado en apartados anteriores, la fuerza magnética y el coeficiente de fricción se obtienen de la potencia disipada, 𝐹𝑠→∞=−𝛾𝑠→∞𝑣=−3𝜇2𝜇𝑜2𝜍𝛿𝑠 64𝜋𝑑04𝑣, (4.8) y el coeficiente de fricción 𝛾𝑠→∞=3𝜇2𝜇𝑜2𝜍𝛿𝑠 64𝜋𝑑04=𝐾 𝑑04. (4.9) De (4.9) se deduce que:  Se consigue mayor capacidad de amortiguamiento (la potencia disipada es mayor y por tanto el coeficiente de fricción también lo es) cuanto más cerca de la superficie esté el dipolo. Se puede observar que tanto la potencia disipada como la fuerza de fricción y por tanto, el coeficiente de fricción son inversamente proporcionales a la distancia de separación entre el dipolo y la superficie a la cuarta, por lo que no se puede considerar que el coeficiente de fricción es constante como ocurría con el obtenido en el caso de un tubo de longitud infinita. Debido a esta relación con la distancia, el sistema solo disipa potencia cuando el dipolo se encuentre en las proximidades de la superficie.  Interesaría emplear materiales con una conductividad alta para aumentar la capacidad de amortiguamiento. 35 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos 4.2.2 Superficie circular En este apartado, se va a calcular la potencia disipada y la fuerza de amortiguamiento que actúa sobre el imán en movimiento sobre una superficie circular de radio 𝑎𝑠. De manera análoga a los apartados anteriores, se obtiene que la potencia disipada es 𝑃=∫ 9𝛿𝑠𝜇2𝜇02𝑣2𝜍𝜌3𝑑02 8𝜋(𝜌2+𝑑02)5d𝜌 𝑎𝑠 0=9𝑣2𝜇2𝜇𝑜2𝜍𝛿𝑠 8𝜋 (1 24𝑑𝑜6−4𝑎𝑠2+𝑑𝑜2 24(𝑎𝑠2+𝑑𝑜2)4)𝑑𝑜2. (4.10) La expresión (4.10) se puede adimensionalizar con las variables definidas en (4.5) y con la potencia disipada por una superficie plana infinita, (4.7), obteniéndose 𝑃 𝑃𝑠→∞=1−4𝑑0    6+𝑑0    8 (1+𝑑0    2)4. (4.11) Figura 4-4. Potencia disipada en una superficie circular plana De la gráfica anterior, se pueden obtener las siguientes conclusiones:  Cuando 𝑑0𝑎𝑠 ⁄→0, la potencia disipada en una superficie plana circular tiene el mismo comportamiento que la correspondiente a un plano infinito. El cociente 𝑑0𝑎𝑠 ⁄ puede tender a cero en dos situaciones: una situación se corresponde a que 𝑑0→0, y por tanto, la disipación es muy intensa tendiendo a infinito, como ocurría en el caso del plano infinito; y otra situación en la que 𝑎𝑠→∞, por lo que la geometría de la superficie se asemeja a un disco infinito.  Cuando 𝑑0𝑎𝑠 ⁄ tiende a un valor alto, la disipación de potencia tiende a cero. El cociente 𝑑0𝑎𝑠 ⁄ tiene un valor elevado en los siguientes casos: o bien porque la distancia de separación entre el dipolo y la superficie es muy elevada para que se pueda producir el efecto disipativo, o bien porque 𝑎𝑠 tiende a cero y por tanto no existe superficie necesaria para llevar a cabo el fenómeno disipativo. De (4.10) es inmediato obtener que la fuerza magnética que actúa sobre el imán es DIPOLO EN MOVIMIENTO SOBRE SUPERFICIES PLANAS CONDUCTORAS 42 𝑑0=𝐿2−𝑧0, (4.21) válida para el caso del dipolo moviéndose frente a la superficie superior. Esta expresión, junto a la dada en (4.1), permiten expresar los coeficientes de fricción correspondientes al movimiento de un dipolo en el entorno de una superficie plana conductora en función de 𝑧0, obteniéndose 𝛾𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟=9𝜇2𝜇𝑜2𝜍𝛿𝑠 8𝜋 ( 1 24(𝐿2+𝑧0)6−4𝑎𝑠2+(𝐿2+𝑧0)2 24(𝑎𝑠2+(𝐿2+𝑧0)2)4 ) (𝐿2+𝑧0*2 (4.22) y 𝛾𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟=9𝜇2𝜇𝑜2𝜍𝛿𝑠 8𝜋 ( 1 24(𝐿2−𝑧0)6−4𝑎𝑠2+(𝐿2−𝑧0)2 24(𝑎𝑠2+(𝐿2−𝑧0)2)4 ) (𝐿2−𝑧0*2. (4.23) Si se tiene un dipolo entre dos superficies circulares separadas una distancia 𝐿, oscilando en torno al punto medio de separación de las dos placas (situación representada en la figura 4-11), el coeficiente de fricción total viene dado por la suma de (4.22) y (4.23). A continuación, se representa el coeficiente de fricción global debido a la acción conjunta de las dos superficies para 𝐿𝑎 ⁄=3. Figura 4-12. Coeficiente de fricción asociado a un dipolo entre dos superficies circulares En la figura 4-12, se aprecia que existe un rango de posiciones en torno a 𝑧0=0 en el que la derivada es prácticamente nula. Debido a la forma del coeficiente de fricción que se obtiene en esta situación, resulta válido aproximar el coeficiente de fricción con un polinomio de Taylor. Cuando se consideren oscilaciones sobre 𝑧0=0, es posible aproximar el coeficiente de fricción realizando un desarrollo en serie de Taylor en torno a 𝑧0∗=0, 43 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos 𝛾(𝑧0)≅𝛾(0)+𝑧0𝛾′(0)+𝑧02 2𝛾′′(0). (4.24) Definida la aproximación del coeficiente de fricción según (4.24), se puede particularizar la condición de amortiguamiento crítico para obtener la distancia 𝑧0𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎: 𝛾(𝑧0) 2𝑚 =𝜔0→𝑧02 2𝛾′′(0)+𝑧0𝛾′(0)+𝛾(0)−2√𝑘𝑚=0→ →𝑧0𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎=−𝛾′(0)±√𝛾′(0)2−2𝛾′′(0)(𝛾(0)−2√𝑘𝑚) 𝛾′′(0). (4.25) Para caracterizar el coeficiente de fricción de la expresión (4.25), se deben calcular la primera y segunda derivada del coeficiente de fricción. Calculadas las derivadas y considerando la situación representada de la figura 4-10, se obtiene que 𝛾′(0)=0 y de (4.25) se obtiene 𝑧0𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎=±√2(−𝛾(0)+2√𝑘𝑚) 𝛾′′(0). (4.26) En la siguiente tabla, se muestra el tipo de amortiguamiento que se desarrolla al moverse un dipolo entre dos superficies circulares, en función de la distancia 𝑧0. Tabla 4-3. Amortiguamiento desarrollado por el movimiento de un dipolo entre dos placas circulares Intervalo de 𝑧0 Tipo de amortiguamiento |𝑧0|>|𝑧0𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎| Sobreamortiguado |𝑧0|=|𝑧0𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎| Críticamente amortiguado |𝑧0|<|𝑧0𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎| Subamortiguado Como el mínimo del coeficiente de fricción se encuentra en 𝑧0=0, en caso de que 𝛾(0)>2√𝑘𝑚, el sistema de la figura 4-10 respondería de forma sobreamortiguada en todo momento y la distancia 𝑧0𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎 no se definiría. Este análisis es válido en el caso de considerar oscilaciones de pequeña oscilaciones. 5 AMORTIGUADOR FORMADO POR UN TUBO Y SUPERFICIES CIRCULARES PLANAS CONDUCTORAS El amortiguador que se pretende analizar en este capítulo, está compuesto por un tubo de longitud 𝐿 y radio interior 𝑎, y dos tapas circulares colocadas en los extremos del tubo de radio 𝑎. Como se ha desarrollado en los capítulos anteriores, el coeficiente de fricción depende de la posición del dipolo. En una primera aproximación, con el fin de eliminar esta dependencia, se va a considerar que el coeficiente de fricción desarrollado por el amortiguador es el que se tiene cuando el dipolo está situado en 𝑧0 =0. Por tanto, se va a elegir como punto de diseño, la situación en la cual el dipolo se posiciona en la sección central del tubo a una distancia 𝐿/2 de los extremos del tubo. Bajo este supuesto, se debe admitir que las oscilaciones que se desean atenuar, son tales que el coeficiente de fricción no varía significativamente durante el movimiento del dipolo. Estas situaciones (deducidas en los capítulos anteriores) se tienen cuando la amplitud máxima de las oscilaciones sea muy pequeña, de manera que permita aproximar el coeficiente de fricción de las tapas y del tubo, a su valor asociado en 𝑧0 =0, y cuando el tubo sea suficientemente largo para aceptar la aproximación de tubo infinito, siempre y cuando las tapas no influyan significativamente en la potencia total disipada. En un segundo análisis, se va a considerar en el coeficiente de fricción total, la dependencia de la posición del dipolo, considerando de manera exacta el coeficiente de fricción asociado a las superficies conductoras que constituyen el amortiguador objeto de estudio. Finalmente, mediante la resolución numérica de la ecuación del movimiento, se analiza la respuesta del sistema considerando la dependencia de la posición del dipolo en el coeficiente de fricción y se concluye este capítulo, caracterizando numéricamente el amortiguador. 5.1 Factores que influyen en el diseño  Propiedades del material: densidad 𝜌 y conductividad 𝜍. Se debe elegir un material con una conductividad alta para maximizar el coeficiente de fricción. Además, con una densidad baja se consigue minimizar la masa del amortiguador. La masa de un amortiguador formado por un tubo y dos tapas circulares en sus extremos es 𝑚𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟=(2𝜋𝑎𝛿𝐿+2𝜋𝑎2𝛿)𝜌=2𝜋𝜌𝑎3( 𝐿+1)𝛿𝑎=𝐶𝑚( 𝐿+1). (5.1) La verdadera grandeza de la ciencia acaba valorándose por su utilidad. Gregorio Marañón AMORTIGUADOR FORMADO POR UN TUBO Y SUPERFICIES CIRCULARES PLANAS CONDUCTORAS 46 De la expresión (5.1) se deduce que para un radio 𝑎 fijo, la masa se minimiza al reducir la esbeltez. A continuación, se representa la masa del amortiguador en función de la esbeltez. Figura 5-1. Masa del amortiguador en función de la esbeltez Cuando 𝐿<1, la masa asociada a las tapas circulares representa una mayor contribución en la masa total del amortiguador. Con 𝐿>1, el tubo es el elemento más pesado del amortiguador. Figura 5-2. Porcentajes de masas asociadas al tubo y a las tapas respecto a la masa total  Esbeltez 𝑳. Para minimizar la masa del material conductor, se debe elegir la menor esbeltez posible.  Radio 𝒂 del tubo y de las tapas circulares. Elegida la esbeltez del amortiguador, se debe minimizar el radio para incrementar el coeficiente de fricción y minimizar la masa de las superficies que constituyen el amortiguador.  Espesor 𝜹. Incrementos en el espesor, suponen una mejora en el coeficiente de fricción. Para espesores medianos (𝛿𝑎 ⁄~0.5), se podrían conseguir incrementos de potencia importantes (duplicar 47 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos o triplicar la potencia disipada respecto a la que se disipa en una superficie delgada) según los resultados obtenidos en las gráficas 3-11 y 4-8. Respecto a la masa del amortiguador, existe una relación directamente proporcional con el espesor.  Momento dipolar magnético: Se va a maximizar empleando imanes de neodimio. 5.2 Intervalos de posiciones del dipolo con coeficiente de fricción constante En este apartado, se indican los intervalos de posiciones del dipolo para los cuales, el coeficiente de fricción es constante en función de la esbeltez. De las gráficas de la potencia o del coeficiente de fricción en función de la posición del dipolo (gráficas 3-6 y 4-12), representadas en los capítulos anteriores, se pueden obtener los rangos de 𝑧0 para los cuales existen variaciones menores al 10% respecto al valor nominal asociado a la posición 𝑧0=0. Estos rangos se recogen en las tablas 5-1 y 5-2. Tabla 5-1. Rangos de z0 con  constante para dipolo moviéndose entre dos superficies circulares 𝐿 Rango 𝑧0  𝐿 Rango 𝑧0  0.5 [−0.0244,0.0244] 3 [−0.1050,0.1050] 1 [−0.0488,0.0488] 3.5 [−0.1148,0.1148] 1.5 [−0.0675,0.0675] 4 [−0.1250,0.1250] 2 [−0.0825,0.0825] 4.5 [−0.1350,0.1350] 2.5 [−0.0938,0.0938] 5 [−0.1430,0.1430] Tabla 5-2. Rangos de z0 con  constante para dipolo moviéndose por el interior de un tubo 𝐿 Rango 𝑧0  𝐿 Rango 𝑧0  0.5 [−0.058,0.058] 2.5 [−0.467,0.467] 1 [−0.470,0.470] 3 [−0.646,0.646] 1.1 [−0.935,0.935] 3.5 [−0.861,0.861] 1.15 [−0.909,0.909] 4 [−1.091,1.091] 1.2 [−0.873,0.873] 4.5 [−1.331,1.331] 1.5 [−0.267,0.267] 5 [−1.576,1.576] 2 [−0.333,0.333] Como se desprende de las tablas anteriores, el tubo admite rangos de posiciones del dipolo más amplios en los que se puede considerar el coeficiente de fricción constante. En cambio, para el caso de un dipolo moviéndose entre dos superficies circulares separadas una distancia L, los rangos son muy limitados debido a la dependencia importante del coeficiente de fricción con la posición del dipolo. En un amortiguador formado por un tubo y tapas circulares y según el aporte de cada uno de los elementos que constituyen el amortiguador a la potencia total disipada, el intervalo de posiciones en los que es posible considerar el coeficiente de fricción constante variará y se establece en el apartado 5.3. AMORTIGUADOR FORMADO POR UN TUBO Y SUPERFICIES CIRCULARES PLANAS CONDUCTORAS 48 5.3 Amortiguador sometido a oscilaciones de pequeña amplitud En este epígrafe, se caracteriza la potencia disipada por un amortiguador formado por un tubo y dos tapas circulares, considerando que las oscilaciones que se desean atenuar son de pequeña amplitud. 5.3.1 Amortiguador sin efecto de la posición del dipolo En este apartado, se va a considerar que el coeficiente de fricción es contante e igual al que se obtiene en 𝑧0 =0. Esta aproximación será válida cuando las oscilaciones se correspondan con los intervalos recogidos en las tablas anteriores. Para el diseño en torno a 𝑧0 =0, se debe particularizar las expresiones generales de la potencia disipada por el tubo y las tapas en 𝑧0 =0. En el caso del tubo, la potencia disipada con el dipolo situado en la sección central, viene dada por (3.12). En el caso de las tapas, se particulariza en (4.10) para una 𝑑0    =𝐿2 ⁄, obteniéndose 𝑃=3𝑣2𝜇2𝜇𝑜2𝜍𝛿 4𝑎4𝜋(1 𝐿4−(16+𝐿2)𝐿2 (4+𝐿2)4). (5.2) Sumando la potencia disipada correspondiente a todos los elementos que constituyen el amortiguador, se obtiene la potencia total disipada por el amortiguador, 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=𝑃𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟+𝑃𝑡𝑎𝑝𝑎 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟+𝑃𝑡𝑢𝑏𝑜=3𝑣2𝜇2𝜇𝑜2𝜍𝛿 2𝜋𝑎4(1 𝐿4−(16+𝐿2)𝐿2 (4+𝐿2)4+ +1 256(−1920𝐿+2336𝐿3+440𝐿5+30𝐿7 (4+𝐿2)4+15arctg(𝐿2) )+= =𝐶𝑡(1 𝐿4−(16+𝐿2)𝐿2 (4+𝐿2)4+1 256(−1920𝐿+2336𝐿3+440𝐿5+30𝐿7 (4+𝐿2)4+15arctg(𝐿2) )+. (5.3) Figura 5-3. Potencia total disipada por el amortiguador Según el resultado de la figura 5-3, para maximizar el coeficiente de fricción del amortiguador se debe emplear la menor esbeltez posible. Sin embargo, emplear una esbeltez baja limita las amplitudes máximas de las oscilaciones que puede atenuar el amortiguador. Por tanto, la relación de aspecto, también, debe elegirse teniendo en cuenta las oscilaciones que se pretenden atenuar. 49 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos Tabla 5-3. Porcentaje de potencias disipadas por el tubo y las tapas según la esbeltez Intervalo de esbeltez Porcentaje de potencia disipada por las tapas Porcentaje de potencia disipada por el tubo 𝐿∈[0,1.2] >91.02% <8.98% 𝐿∈[1.2,2.7] 91.02%−8.75% 8.98%−91.25% 𝐿∈[2.7,∞) <8.75% >91.25% Según los resultados de la tabla 5-3, el efecto de las tapas sobre la potencia total es inferior al 8.75% si la separación entre las tapas y el dipolo es superior a 1.35𝑎. Por tanto, siempre que el dipolo esté separado una distancia de 2.7𝑎2 ⁄, la potencia disipada por las tapas es menor al 9% respecto al total. A continuación, se representa la gráfica 5-1 dividida en los intervalos definidos en la tabla 5-3 para una mayor comprensión de la figura 5-1.  𝑳∈[𝟎,𝟏.𝟐] Figura 5-4. Potencia disipada por el amortiguador para L/a[0, 1.2] En este rango de relaciones de aspecto, la principal contribución en la disipación total de potencia corresponde a las tapas circulares. El tubo contribuye menos del 9% al coeficiente de fricción total del amortiguador, pero su contribución en masa es muy significativa. Para una esbeltez unidad, el tubo contribuye en un 50% a la masa total del amortiguador. Por lo tanto, se deduce que con relaciones de aspecto menores a 1.2, no sería necesario incluir un tubo conductor en el amortiguador ya que este supone un incremento significativo en la masa total del amortiguador que no se ve compensado por incrementos importantes en el coeficiente de fricción. Los intervalos de posiciones del dipolo en los cuales es válido este análisis se corresponden a los recogidos en la tabla 5-1. AMORTIGUADOR FORMADO POR UN TUBO Y SUPERFICIES CIRCULARES PLANAS CONDUCTORAS 50  𝑳∈[𝟐.𝟕,𝟓] Figura 5-5. Potencia disipada por el amortiguador para L/a[2.7, 5] La contribución del tubo al coeficiente de fricción total es superior al 91%. El porcentaje de masa asociada a las tapas respecto al total es inferior al 30%. En este intervalo de relaciones de aspecto, la masa de las superficies circulares no influye de manera muy acusada en la masa total del sistema. Cuando se utilicen relaciones de aspecto muy elevadas, las tapas no disiparían potencia por lo que se puede prescindir de ellas en el diseño del amortiguador, bajo el supuesto inicial de oscilaciones de pequeña amplitud. Prescindiendo de las tapas circulares por su escaso aporte en la potencia total disipada, los intervalos de posiciones del dipolo en los que el coeficiente de fricción es constante, se corresponden a los de la tabla 5-2.  𝑳∈[𝟏.𝟐,𝟐.𝟕] Figura 5-6. Potencia disipada por el amortiguador para L/a[1.2, 2.7] En este rango, las contribuciones del tubo y las tapas a la potencia disipada total son importantes y del 51 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos mismo orden. El tubo es el elemento que más contribuye a la masa total del amortiguador aunque los porcentajes de masa del tubo y de las tapas sobre la masa total son similares. El intervalo de posiciones en este rango de esbeltez se establece en el apartado 5.3.2, donde se determinan las posiciones del dipolo con 𝛾 constante al considerar la acción conjunta de todos los elementos del amortiguador en oscilaciones de pequeña amplitud. 5.3.2 Efecto de la posición del dipolo en oscilaciones de pequeña amplitud En este apartado, se van a utilizar las expresiones de potencia disipada total por el amortiguador considerando la potencia disipada por las tapas circulares en función de la posición del dipolo 𝑧0  y la potencia disipada asociada al tubo cuando el dipolo se encuentra en 𝑧0 =0. Se van a recalcular los intervalos de posiciones 𝑧0 en los que la variación de la potencia disipada total es menor del 10% respecto al valor nominal, al tener en cuenta el efecto combinado del tubo y las tapas. Al considerar que la potencia disipada por el tubo es constante e igual a la obtenida en 𝑧0 =0, los intervalos de posiciones que se obtengan en este apartado, no pueden ser más amplios que los establecidos en la tabla 5- 2. Sumando las expresiones de la potencia disipada por cada uno de los elementos, se obtiene la potencia total disipada por el amortiguador en función de la esbeltez y la posición del dipolo. A continuación, se representa la potencia disipada del amortiguador en función de la posición del dipolo, considerando distintas esbelteces. Figura 5-7. Potencia disipada por el amortiguador en función de z0 con L/a[1, 2] AMORTIGUADOR FORMADO POR UN TUBO Y SUPERFICIES CIRCULARES PLANAS CONDUCTORAS 58 Figura 5-14. Energía cinética con L/a=2,  /a=0.1,m=1g, z0=0 y v0=0.5cm/s Tabla 5-6. Caracterización del amortiguador con m=10g y  /a=0.1 𝐿 𝐿[𝑐𝑚] 𝑧0𝑚𝑎𝑥[𝑐𝑚] 𝛽∗[𝑠−1] 𝜔0[𝑟𝑎𝑑 𝑠−1] 𝑘[𝑁𝑚−1] 2 2 0.5 0.043 0.1075 1.1556∙10−4 3 3 1 0.033 0.0825 6.8063∙10−5 4 4 1.5 0.033 0.0825 6.8063∙10−5 Para un masa del sistema de 10g, se necesitan aproximadamente 100 segundos para detener a la masa que vibra, por lo que solo se aconseja usar la relación 𝛿𝑎 ⁄.=0.1 para aplicaciones con 𝑚~1𝑔. Con el fin de incrementar la masa del sistema para la cual es posible aplicar los amortiguadores basados en corrientes de Foucault, se propone aumentar la relación 𝛿𝑎 ⁄. 5.5.1.2 Relación /a=0.2 Con un espesor de un milímetro, se obtiene que 𝑎= 0.5cm. En la resolución de la ecuación del movimiento, el coeficiente de fricción se caracteriza teniendo en cuenta el efecto del espesor según la relación 𝛿𝑎 ⁄=0.2. Además, variando la masa del sistema durante la resolución de la respuesta, se deduce que para masas superiores a 10 gramos (con esta masa se necesitan 10 segundos para detener el sistema tras una perturbación inicial), la respuesta del sistema es excesivamente lenta. Por tanto, se van a analizar los casos en los que la masa es 1 gramo y 10 gramos. Tabla 5-7. Caracterización del amortiguador con m=1g y  /a=0.2 𝐿 𝐿[𝑐𝑚] 𝑧0𝑚𝑎𝑥[𝑐𝑚] 𝛽∗[𝑠−1] 𝜔0[𝑟𝑎𝑑 𝑠−1] 𝑘[𝑁𝑚−1] 3 1.5 0.25 4.20 10.5 1.1025∙10−1 4 2 0.5 4.14 10.35 1.0712∙10−1 5 2.5 0.75 4.14 10.35 1.0712∙10−1 6 3 1 4.14 10.35 1.0712∙10−1 59 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos Tabla 5-8. Caracterización del amortiguador con m=10g y  /a=0.2 𝐿 𝐿[𝑐𝑚] 𝑧0𝑚𝑎𝑥[𝑐𝑚] 𝛽∗[𝑠−1] 𝜔0[𝑟𝑎𝑑 𝑠−1] 𝑘[𝑁𝑚−1] 3 1.5 0.25 0.42 1.05 1.1025∙10−2 4 2 0.5 0.41 1.025 1.0506∙10−2 5 2.5 0.75 0.41 1.025 1.0506∙10−2 6 3 1 0.41 1.025 1.0506∙10−2 Para esbelteces superiores, se desarrolla el mismo coeficiente de amortiguamiento, ya que las tapas no contribuyen en la disipación de potencia. 5.5.1.3 Relación /a=0.4 Para esta relación se obtiene un radio de 0.25cm y al igual que en la relación anterior la potencia disipada y el coeficiente de fricción se caracterizan teniendo en cuenta el efecto del espesor. Calculando la respuesta para distintas masas, se deduce que se obtienen respuestas admisibles (respuestas no excesivamente lentas) para masas menores a 100 gramos. De la gráfica 5-12, se deduce que la esbeltez mínima a considerar en este caso es 4, por lo que se concluye que las tapas no influyen en el amortiguamiento y por tanto, las características de amortiguamiento son independientes de la esbeltez. Tabla 5-9. Caracterización del amortiguador con m=10g y  /a=0.4 𝐿 𝐿[𝑐𝑚] 𝑧0𝑚𝑎𝑥[𝑐𝑚] 𝛽∗[𝑠−1] 𝜔0[𝑟𝑎𝑑 𝑠−1] 𝑘[𝑁𝑚−1] 10 2.5 0.75 4.11 10.275 1.05576 20 5 2 4.11 10.275 1.05576 Figura 5-15. Respuesta del sistema con L/a=20,  /a=0.4,m=10g, z0=0 y v0=30cm/s AMORTIGUADOR FORMADO POR UN TUBO Y SUPERFICIES CIRCULARES PLANAS CONDUCTORAS 60 Figura 5-16. Energía cinética con L/a=20,  /a=0.4,m=10g, z0=0 y v0=30cm/s Con esta relación de espesor y radio, para un sistema de 𝑚=10g, se consigue un respuesta casi instantánea (menos de un segundo), tras una perturbación inicial. Tabla 5-10. Caracterización del amortiguador con m=100g y  /a=0.4 𝐿 𝐿[𝑐𝑚] 𝑧0𝑚𝑎𝑥[𝑐𝑚] 𝛽∗[𝑠−1] 𝜔0[𝑟𝑎𝑑 𝑠−1] 𝑘[𝑁𝑚−1] 10 2.5 0.75 0.41 1.025 1.0506∙10−1 20 5 2 0.41 1.025 1.0506∙10−1 Para una masa de 100g, el sistema emplearía aproximadamente 10 segundos en detenerse el movimiento. Como se ha puesto de manifiesto en las representaciones con 𝐿𝑎 ⁄ elevadas, se consigue una mayor carrera del imán por el interior del tubo y por tanto, un mayor rango de condiciones iniciales admisibles, haciendo más versátil el amortiguador. Además, el empleo de espesores medianos, 𝛿𝑎 ⁄~0.5, mejora enormemente las capacidades del amortiguador, permitiendo incrementar la masa del sistema que vibra y reduciendo el tiempo de detención. Para incrementar la masa del sistema se podría diseñar un dispositivo que incluyese varios amortiguadores. En definitiva, favorecer e incrementar el fenómeno de la inducción electromagnética para maximizar la potencia disipada. 6 CONCLUSIONES En el capítulo 1, se ha puesto de manifiesto la existencia del fenómeno vibratorio en los sistemas mecánicos y la necesidad de atenuar las vibraciones mediante el uso de amortiguadores. Los amortiguadores más usuales son los amortiguadores hidráulicos. También, se indican los tipos de respuestas existentes en función de los parámetros del sistema, mostrando gráficamente las respuestas posibles. Una alternativa a los amortiguadores hidráulicos son los amortiguadores basados en corrientes de Foucault. Estos amortiguadores se fundamentan en la existencia de un movimiento relativo entre un imán y un elemento conductor, llevando a cabo un proceso de inducción electromagnética. El capítulo 2 comienza con una descripción de un esquema de amortiguador que se va a analizar. El amortiguador está formado por un tubo conductor y/o dos superficies circulares conductoras situadas en los extremos del tubo. Además, el amortiguador posee un dipolo magnético unido a un resorte, que se mueve por el interior del tubo. La existencia del movimiento relativo entre los elementos conductores y el dipolo es la responsable del fenómeno de inducción electromagnética. Como consecuencia de este fenómeno, el dipolo experimenta una fuerza magnética, que se obtiene a partir de la potencia disipada por los elementos conductores. El conocimiento de la fuerza magnética conlleva una completa caracterización del coeficiente de fricción desarrollado por el amortiguador. Este capítulo finaliza con una descripción analítica de la respuesta del sistema para coeficientes de fricción constantes. En el capítulo 3, se analiza el amortiguador formado por un tubo conductor y un dipolo magnético unido a un resorte. Para un tubo delgado, se ha analizado la potencia disipada según la longitud del tubo. Las situaciones analizadas son: tubo de longitud muy pequeña (anillo), tubo de longitud infinita y de longitud finita. Caracterizada la potencia disipada, es posible obtener la fuerza magnética que actúa en el sistema. De esta fuerza, es inmediata la obtención del coeficiente de fricción, que permite la resolución de la ecuación del movimiento y la obtención de las relaciones que deben satisfacerse según el tipo de amortiguamiento. Este capítulo finaliza con el estudio de la influencia del espesor sobre la potencia disipada. En el capítulo 4, se analiza el amortiguador formado por una superficie plana conductora y un dipolo magnético unido a un resorte. En concreto, se analiza las situaciones en las que se emplea una superficie circular infinita y una superficie circular finita conductora, considerando la aproximación de superficies delgadas y estudiando el efecto del espesor sobre la potencia disipada. Caracterizada la potencia disipada, la fuerza magnética y el coeficiente de fricción, se analiza las condiciones para lograr cada tipo de amortiguamiento. La obtención de la respuesta del sistema se aborda en el siguiente capítulo. En el capítulo 5, se analiza un amortiguador formado por un dipolo unido a un resorte que se mueve por el interior de un tubo conductor y frente a dos superficies circulares. Las tapas circulares están situadas en los extremos del tubo. Este capítulo se inicia explicando los factores que influyen en el coeficiente de fricción. Debido a la dependencia existente entre el coeficiente de fricción y la posición del dipolo, se comienza estableciendo los intervalos de posiciones en los que es posible aproximar 𝛾 por un valor constante. Después, se determina numéricamente la respuesta del sistema ante situaciones en las que el coeficiente de fricción desarrollado por el amortiguador es variable y depende de la posición del dipolo. Finalmente, se realiza una caracterización numérica realista de los parámetros relativos al amortiguador, describiendo la respuesta del Solo sé que no se nada. Sócrates CONCLUSIONES 62 sistema en estos casos. 63 Análisis de un diseño de amortiguador mecánico basado en los principios de frenos magnéticos REFERENCIAS [1] Juana María Mayo Núñez y Jaime Domínguez Abascal. “Mecánica de Máquinas y Vibraciones: Vibraciones de 1 gdl”, Sección de Publicaciones, Escuela Técnica Superior de Ingeniería, Universidad de Sevilla, 2015 [2] “Amortiguadores de coches grupo sadeco”: https://www.gruposadeco.com/amortiguadores/ [3] Wiki Departamento de Física Aplicada III. “Oscilaciones amortiguadas (GIE)". http://laplace.us.es/wiki/index.php/Oscilaciones_amortiguadas_(GIE) [4] Grzegorz ŚLASKI, "Damping parameters of suspension of passenger vehicle equipped with semi-active dampers with by-pass valve".Institute of Machines and Motor Vehicles, Poznan University of Technology, 2011 [5] Qiang Pan, Tian He, Denghong Xiao, Xiandong Liu, "Design and Damping Analysis of a New Eddy Current Damper for Aerospace Applications". 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