Modelado y simulación de escaleras mecánicas como sistemas multicuerpo

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Ingeniería de las Tecnologías Industriales Modelado y simulación de escaleras mecánicas como sistemas multicuerpo Autor: José Ignacio Guajardo-Fajardo Jiménez Tutor: José Luis Escalona Franco Dpto. de Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2023 Índice de Tablas 2 Trabajo Fin de Grado Ingeniería de las Tecnologías Industriales Modelado y simulación de escaleras mecánicas como sistemas multicuerpo Autor: José Ignacio Guajardo-Fajardo Jiménez Tutor: José Luis Escalona Franco Profesor titular Dpto. de Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2023 Índice de Tablas 4 Trabajo Fin de Grado: Modelado y simulación de escaleras mecánicas como sistemas multicuerpo Autor: José Ignacio Guajardo-Fajardo Jiménez Tutor: José Luis Escalona Franco El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2023 Índice de Tablas 6 El Secretario del Tribunal A mi familia, por estar siempre intentando que saque la mejor versión de mí mismo, y a mis amigos por su apoyo incondicional. Índice de Tablas 8 Agradecimientos s de buen nacido ser agradecido, y por ello no puedo comenzar esta memoria sin agradecer a todas esas personas que me han ayudado a hacerlo realidad. En primer lugar, quería agradecer a mi familia, ellos son los que me han animado desde pequeño a seguir mis sueños y hacerlos realidad. Han estado en los momentos buenos y sobre todo en los malos, han sabido como enfadarme para sacar lo mejor de mí mismo y sin ellos no habría sido capaz de conseguir terminar la carrera. Agradecer también a Alfonso Molina, gracias a la oportunidad que me dio de trabajar en su empresa conocí el fascinante mundo de las escaleras mecánicas y por ellos estoy realizando este trabajo. Por último, agradecer a José Luis Escalona, profesor de Cinemática y Dinámica de máquinas y mi tutor en este proyecto. Me ha enseñado el trabajo que conlleva realizar un proyecto de ingeniería y motivado a aprender cada vez más sobre la informática. Muchas gracias. E Índice de Tablas 16 6.3 Resultados de la simulación 35 7 Validación 39 7.1 Validación escalera paso largo 39 7.1.1 Modificación Sistema paso corto 39 7.1.2 Resultados simulación 45 8 Experimentos de simulación 50 8.1 Experimento 1 50 8.2 Experimento 2 53 8.3 Experimento 3 56 9 Conclusión y Futuras líneas de investigación 59 Anexos 61 CommonSimulationFiles 61 Geometría 61 Restricciones 61 Dinámica 62 simulaciónCinematicaEscalator 63 simulacionDinamicaEscalator 63 Referencias 65 Índice de Tablas 18 ÍNDICE DE TABLAS Tabla 5-1: Valores del modelo de la guía de tracción 20 Tabla 7-1: Datos escalera Tesis Doctoral 39 Tabla 7-2: Datos escalera paso largo 40 Tabla 7-3: Datos simulación 1 42 Tabla 7-4: Datos simulación 2 43 Tabla 8-1: Datos experimento 3 56 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2-1: Escalera giratoria por Adems 24 Figura 2-2: Escalera mecánica de Reno 25 Figura 3-1: Modelo de escalera convencional realizado en SIMPACK de Cano 11 Figura 3-2: Esquema de modelo dinámico del sistema de guía del pasamanos por Kwon 12 Figura 3-3: Geometría de la cadena creada por Cuevas 12 Figura 4-1: Esquema escalera mecánica (figura obtenida de [13]) 13 Figura 4-2: Escalones y cadena de rodillos (figura obtenida de [14]) 13 Figura 4-3: Sistema de tracción de una escalera mecánica (figura obtenida de [14]) 14 Figura 4-4: Zonas de una escalera mecánica (figura obtenida de [15]) 15 Figura 4-5: Partes del peldaño 16 Figura 4-6: Peldaño levantado por mala geometría en el carril de arrastre (figura obtenida de [14]) 17 Figura 4-7: Sistema de tracción por Owen (figura obtenida de [14] ) 17 Figura 5-1: Geometría externa de la escalera mecánica con tensor (figura obtenida de [1]) 20 Figura 5-2: Deformación muelle tensor (figura obtenida de [1]) 21 Figura 5-3: Catálogo de cadena de rodillos (figura obtenida de [17]) 22 Figura 5-4: Contacto rueda-rodillos de tracción (figura obtenida de [16]) 23 Figura 5-5: Peldaño de acero inoxidable del fabricante Lilong (figura obtenida de [18]) 24 Figura 5-6: Esquema del mecanismo de peldaños móviles (figura obtenida de [16]) 25 Figura 5-7: Posición del peldaño en zona de volteo (figura obtenida de [16]) 27 Figura 5-8: Carril de tracción y carril de arrastre 28 Figura 5-9: Escalera mecánica completa 28 Figura 5-10: Geometría guías acción y arrastre (figura obtenida de [16]) 29 Figura 5-11: Escalera completa (figura obtenida de [16]) 29 Figura 6-1: Geometría escalera mecánica 35 Figura 6-2: Desplazamiento del tensor con respecto al tiempo 35 Figura 6-3: Desplazamiento del tensor con respecto al tiempo ampliado 36 Figura 6-4: Velocidad de los rodillos 36 Figura 6-5: Zonas Escaleras con velocidad de arrastre no constante 37 Figura 6-6: Aceleración de los rodillos 37 Figura 6-7: Tensión en kN del eslabón 1 con respecto al tiempo 38 Figura 7-1: Rueda tractora paso largo 41 Figura 7-2: Velocidad rodillos simulación 1 43 Figura 7-3: Velocidad rodillo simulación 2 44 Índice de Figuras 20 Figura 7-4: Velocidad rodillo con amortiguamiento menor 44 Figura 7-5: Velocidad rodillo con amortiguamiento aumentado 44 Figura 7-6: Velocidad rodillo con amortiguamiento casi perfecto 45 Figura 7-7: Tensión eslabón Cano 46 Figura 7-8: Tensión eslabón simulada 46 Figura 7-9: Desplazamiento del tensor Cano 47 Figura 7-10: Desplazamiento del tensor simulada 47 Figura 7-11: Velocidad de un eslabón Cano 47 Figura 7-12: Velocidad de un eslabón simulada 48 Figura 7-13: Aceleración eslabón Cano 48 Figura 7-14: Aceleración eslabón simulada 48 Figura 8-1: Masa de la persona en función del tiempo 51 Figura 8-2: Fuerza de la persona frente al tiempo 52 Figura 8-3: Tensión eslabón 1 frente al tiempo 52 Figura 8-4: Velocidad peldaño 1 frente al tiempo 53 Figura 8-5: Distribución masa aleatoria 54 Figura 8-6: Fuerza de la persona frente al tiempo 54 Figura 8-7: Tensión eslabón frente al tiempo 55 Figura 8-8: Velocidad eslabón frente al tiempo 55 Figura 8-9: Fuerzas personas frente al tiempo 57 Figura 8-10: Tensión eslabones personas frente al tiempo 57 Introducción 22 1 INTRODUCCIÓN n este trabajo se explica el modelado de una escalera mecánica como sistema multicuerpo y la simulación computacional del movimiento basada en este modelo. El modelo está basado en el trabajo fin de grado de Cuevas, que a su vez está basado en el modelo desarrollado por Escalona. En este trabajo se extiende el modelo de la cadena de tracción de la escalera presentado en [1] a un modelo dinámico 2D que además incluye los peldaños, rodillos de arrastre y guía de arrastre. 1.1 Objetivo del trabajo Pese a llevar desde el siglo XIX en nuestras vidas, las escaleras mecánicas tienen un grave problema, la seguridad. Son innumerables los accidentes relacionados con dichas escaleras. En 1930 se presentó una demanda por la lesión de un niño [2], y si bien esto fue en el siglo pasado, en pleno siglo XXI en 2018, 24 personas resultaron heridas al descontrolarse una escalera mecánica del metro de Roma [3]. Y es que, la falta de actividad en I+D en este sector hace que haya muy pocos modelos de simulación que permitan realizar experimentos computacionales con alta fiabilidad. Por ello, el objetivo de este trabajo es continuar con el modelo propuesto de la cadena de tracción en el trabajo fin de grado [1], y extenderlo a un modelo dinámico en 2D en el que incluya los peldaños, rodillos de arrastre y guía de arrastre. De esta manera estaremos más cerca de tener un buen modelo de simulación computacional de la escalera completa en 3D que permita realizar ensayos virtuales fiables, aumentando así la seguridad de las escaleras y facilitando las tareas de mantenimiento de las mismas. 1.2 Estructura del trabajo En este trabajo de fin de grado, una vez introducido el tema y explicados los objetivos del mismo, vamos a repasar de manera breve la historia de las escaleras mecánicas, yendo desde su primera idea hasta la actualidad. Esto es fundamental para entender el estancamiento que se ha producido en su evolución en los últimos años. Una vez vista su historia, procederemos a exponer los modelos de simulación que se han encontrado de las escaleras y sus componentes los cuales no abundan y hay que investigar bastante para encontrar, dando aún más relevancia a la importancia de crear un buen modelo de las escaleras para su uso por parte de las empresas de elevación y que facilite entender el funcionamiento de las mismas abriendo la puerta a nuevas mejoras. E No se puede poner límites a nuestros sueños. Cuanto más soñamos, más lejos se encuentra la meta. - Michael Phelps - Posteriormente se explicará su funcionamiento, dando algunas breves definiciones y mostrando una serie de imágenes, que ayuden a entender su mecanismo interior, y su posterior modelado. Esta parte es fundamental, dado que es extremadamente necesario saber la función de cada uno de los componentes de un mecanismo para poder modelarlo correctamente y hacer un modelo fiable. Tras entender todo esto se pasará a ver el modelado de la escalera, donde se explicará el software utilizado para la simulación y se procederá a modelar cada elemento de la escalera mecánica. A continuación, se mostrarán y evaluarán los resultados de la simulación de la escalera de paso corto. Como bien es sabido, un buen modelo de simulación es aquel que ha sido validado con datos reales, y por ello, tras mostrar los resultados del modelo, se procederá a ver la validación del modelo. Para ello se tendrá que crear otro modelo, basado en el de paso corto, para poder comparar bien los datos. Finalmente, una vez realizada la simulación y su validación, se podrán realizar ensayos con nuestro modelo con la certeza de que los resultados que se obtengan serán muy similares a la situación real. Historia de las escaleras mecánicas 24 2 HISTORIA DE LAS ESCALERAS MECÁNICAS ese a que la primera escalera mecánica se construyó en 1896, fue años antes cuando la idea de crear un elemento de elevación vertical compuesto por escalones fue expuesta [4]. El inventor Nathen Adems, quien ya tenía otras patentes a su nombre, patentó lo que llamo la escalera giratoria en 1859. No llegó a construirse debido a su fallecimiento en 1860. Este invento era entonces algo especulativo ya que no especificaba materiales para su construcción o posibles usos de dicho invento. Nathen describió su invento como: “La naturaleza de mi invento consiste en disponer peldaños o escaleras sobre una correa, cadenas o cuerdas inclinadas sin fin, o en unir los peldaños mediante eslabones o uniones para formar un tramo inclinado sin fin de escalones, que se colocan sobre, o alrededor de rodillos para que los escalones sirvan como ascensores cuando se transmite movimiento a los rodillos” Figura 2-1: Escalera giratoria por Adems Algo más tarde, un joven de 16 años llamado Jesse W. Reno, formuló una idea de escalera inclinada móvil. Tras sus estudios de ingeniería, Reno, en 1891 patentó y construyó su invento en Georgia la cual llamó nuevo y práctico elevador sin fin. Lo presento en 1896 en un parque temático de Coney Island como una atracción de entretenimiento. Se basaba en un pasillo móvil inclinado en el que lis peldaños eran plataformas triangulares que se desplazaban de forma continua por una cinta trasportadora de 25º de inclinación. Tras el éxito de dicha atracción, Reno quiso instalar una escalera mecánica de doble sentido en el metro de Nueva York, pero su propuesta fue rechazada [5]. P Figura 2-2: Escalera mecánica de Reno En esta misma época, George Wheeler, inventó y patentó una escalera móvil con escalones planos que se desplazaban junto a una balaustrada [6]. En 1898, un diseñador de la época, Charles Seeberger, compró la patente de Wheeler y comenzó a trabajar en estos diseños para Otis Elevator Company. Charles creó el nombre que reciben a día de hoy en inglés, escalator. Dicho nombre proviene de “scala” del latín peldaño, y “elevator” del inglés ascensor. Mientras Reno solucionó el problema de la superficie de rodadura inclinada, teniendo éxito en la instalación práctica de dicha escalera con resalte en la ciudad de Nueva York; Otis Company expuso la escalera móvil con peldaños en la Exposición de 1900 en París e instaló en unos grandes almacenes de la ciudad de Filadelfia. Posteriormente, Otis absolvió a Reno quedándose como único fabricando. Desde entonces, las escaleras mecánicas se convirtieron en uno de los principales medios de transporte vertical, uniéndose a Otis Company diferentes empresas entre las que destacan, Mitsubishi, ThyssenKrupp, Kone y Schindler [2]. Funcionamiento de la escalera mecánica 16 16 Embarcaderos: En los rellanos inferior y superior, los peldaños de la escalera mecánica deben guiarse de tal manera que se muevan horizontalmente durante una longitud mínima de 0.80 m. A velocidades superiores a 0,50 m/s y no superiores a 0,65 m/s, esta longitud debe ser de al menos 1,20 m. A velocidades nominales superiores a 0,65 m/s esta longitud debe ser al menos de 1,60 m. Zonas de transición: En escaleras mecánicas, el radio de curvatura en la transición superior debe ser: al menos 1,00 m para v ≤ 0,5 m/s (inclinación máxima 35˚), al menos de 1,50 m para 0,5 m/s < v ≤ 0,65 m/s (inclinación máxima 30˚), al menos de 2,60 m para v > 0,65 m/s (inclinación máxima 30˚). El radio de curvatura de la transición inferior entre la pendiente y la horizontal de la escalera debe ser al menos de 1,00 m hasta velocidad nominal de 0,65 m/s y de al menos 2,00 m para velocidades mayores de 0,65 m/s. 4.1.4 Peldaños Consiste en una plataforma móvil, con forma similar a la de un escalón, en la que se montan los pasajeros para ser desplazados. Lo componen las siguientes partes: Huella: Parte del peldaño donde se suben los usuarios. Contrahuella: Parte vertical del peldaño. Línea de demarcación: Línea amarilla alrededor del peldaño como elemento de seguridad para los usuarios. Rodillo de arrastre: Rodillo que sirve para posicionar el peldaño con la orientación deseada. Figura 4-5: Partes del peldaño 4.1.5 Carril de arrastre El carril de arrastre se sitúa por debajo del de tracción. Su función es guiar a los rodillos de arrastre y permitir a los peldaños llevar la orientación adecuada. Su geometría debe ser muy exacta dado que, de no ser así, el peldaño podría ir con un grado de inclinación en una zona diseñada para que vaya horizontal y suponer graves problemas. Figura 4-6: Peldaño levantado por mala geometría en el carril de arrastre (figura obtenida de [14]) 4.1.6 Sistema de tracción Como se ha comentado anteriormente, el sistema de tracción es el encargado de transmitir el movimiento a la cadena de rodillos. Se compone de: - Motor eléctrico: transmite la potencia - Cadena de transmisión: Transite la energía del motor eléctrico a la rueda dentada. - Rueda dentada: Se compone de un eje y dos ruedas dentadas a cada lado, para impulsar ambas cadenas de rodillos a la misma velocidad. Figura 4-7: Sistema de tracción por Owen (figura obtenida de [14] ) Funcionamiento de la escalera mecánica 18 18 4.1.7 Sistema tensor El sistema tensor de una escalera mecánica, como hemos comentado en puntos anteriores, se situ en la cabeza inferior de la misma y es de gran importancia. Consiste en dos muelles, uno por cada cadena, y se sitúa en esta zona ya que es donde menor tensión tienen estas cadenas. Este sistema tiene dos funciones principales: - Asegurar el funcionamiento a tracción de los eslabones, dado que no es bueno el cambio de tracción a compresión y viceversa. - Por el problema de polinización, se encarga de adaptar los cambios geométricos que supone la aproximación de curvas por polígonos de lados iguales a la longitud de los eslabones. 5 MODELADO na vez definido qué es una escalera mecánica y sus componentes, procedemos a la creación de nuestro modelo. Un buen modelo de simulación es de gran utilidad en el mundo de la ingeniería, ya que, a falta de poder realizar experimentos reales, permite obtener datos muy significativos sobre el sistema. Para crear un modelo de simulación debemos seguir una serie de pasos. Primero debemos elegir el software que emplearemos para nuestra simulación, posteriormente tendremos que seleccionar los diferentes sistemas a modelar para, por último, implementar estos modelos en el software. 5.1 Software La Ingeniería asistida por ordenador (CAE), es la disciplina que se encarga del conjunto de programas informáticos que permiten analizar y simular los diseños de ingeniería realizados con el ordenador [7]. Pese a que en sus comienzos muchos ingenieros se mostraban reacios a su implementación, con el paso del tiempo se ha vuelto en una herramienta esencial para muchos. Esto se debe a su posibilidad de prever errores y corregirlos con antelación, reducción de costes, poder realizar cambios en el modelo rápidamente, y otras muchas más. Es por esto que a día de hoy se dispone de multitud de programas comerciales que posibilitan la modelización y simulación de todo tipo de sistemas, CATIA, SIMPACK, ANSYS, etc. Pese a que muchos modelos previos realizados en el ámbito de elementos de elevación están creados con SIMPACK, en este trabajo se empleará otro programa. El programa elegido es Matlab, el cual es el usado durante el grado de Ingeniería de las Tecnologías Industriales en la Universidad de Sevilla. 5.2 Modelado de los mecanismos del Sistema En el apartado anterior hemos descrito las partes que componen una escalera mecánica, y por tanto estas son los elementos que debemos modelar. Cuevas-Escalona en [1] modeló: la guía externa, la cadena de rodillos, el sistema tensor y el sistema de tracción; y Escalona en [16] modeló los peldaños, el rodillo de arrastre y la guía de arrastre. En este apartado se usarán estos dos modelos como referencia, haciendo pequeños hincapiés en errores que podemos observar en dichos modelos y utilizando datos de escalones y cadenas de rodillos reales obtenidos de catálogos. 5.2.1 Modelado de la guía externa La geometría de la guía de tracción, está formada por rectas horizontales, transiciones circulares, rectas con pendiente y semicírculos. Esta geometría, definida en [1] es la mostrada en la figura 5-1. U Modelado 20 20 Figura 5-1: Geometría externa de la escalera mecánica con tensor (figura obtenida de [1]) Dicha geometría debe cumplir con las especificaciones impuestas en la Norma UNE-115 2018 expuestas en el apartado 4.1.3, y es por ello que se le asignan los valores mostrados en la tabla 5-1. Tabla 5-1: Valores del modelo de la guía de tracción Nombre Parámetros Valor (m) Longitud del Tensor 𝐿𝑡 0.2 Longitud Embarcadero Inferior 𝐿1 0.8 Radio de Transiciones 𝑅𝑡 1.5 Ángulo de la Pendiente ∝ 30˚ Longitud de la Pendiente 𝐿 5.2 Longitud Embarcadero Superior 𝐿2 0.8 Radio de Cabeza 𝑅 0.6 Esta geometría es la que recorrerán el centro de los rodillos de la cadena de tracción, no la guía en sí. De esta manera no tenemos que introducir el ángulo girado por cada rodillo y evitamos asi la complicación del modelo. 5.2.2 Modelado del Sistema tensor El sistema tensor se modela como un muelle y un amortiguador en la zona del embarcadero inferior. Esta zona está definida por dos parámetros: 𝐿𝑡, 𝛿. El primero de ellos cuantifica la zona total deformable de la parte móvil, y el segundo la deformación producida por el tensor en, un instante de tiempo. Figura 5-2: Deformación muelle tensor (figura obtenida de [1]) De esta manera obtenemos una geometría externa variable, teniendo un perímetro para la guía indeformada y otro para la guía deformada: ( ) 2* 1 2 * 2* * indeformado perímetro L L L Lt R rt  = + + + + + (1.1) 2*( 1 2 * 2* * ) deformado perímetro L L L Lt R rt    = + + + + + − (1.2) 5.2.3 Modelado de la cadena de rodillos Las cadenas de rodillos son de dos tipos como ya se ha visto, de paso largo (3 eslabones por peldaño) o de paso corto (1 eslabón por peldaño). En este caso vamos a elegir una cadena de paso corto para evitar lo máximo posible el problema de poligonización. Mediante un catálogo podemos obtener los datos cinemáticos y dinámicos necesarios para nuestro modelo. Modelado 22 22 Figura 5-3: Catálogo de cadena de rodillos (figura obtenida de [17]) Seleccionamos el modelo ST133 del cual obtenemos los siguientes datos: - Paso del eslabón: 𝐿𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏ó𝑛=0.1333 - Radio del rodillo: 𝑅𝑑=0.35 - Masa por paso: 𝑚=2.45 𝑘𝑔 5.2.4 Modelado del Sistema de tracción El sistema de tracción se modela como una rueda dentada, la cual gira en función de la coordenada 𝜃. Para transmitir la potencia de la rueda de tracción a los rodillos, el contacto entre los flancos de los dientes y los rodillos se modela con un modelo elástico. Los detalles se discuten en [1]. Para determinar en cada instante de tiempo las parejas de diente-rodillo que están en contacto de forma eficiente hay que implementar una simple lógica que determina la transición entre los contactos. Por ejemplo, en el caso representado en la figura 15, con una cadena de 52 rodillos y una rueda con 12 dientes, en el instante representado, las parejas de rueda-rodillo en contacto son {(1-1), (2-2), (3-3), (4- 4), (5-5), (6-6), (7-7)}, pero en un corto periodo de tiempo pasarán a ser {(12-52), (1-1), (2-2), (3-3), (4-4), (5-5), (6-6)}. Este algoritmo, que identifica la aparición-desaparición de contactos, constituye la primera fase del cálculo de las fuerzas de interacción rueda-rodillo. En el ejemplo implementado en este trabajo, la ruda de tracción consta de nteeth = 28 dientes [16]. Figura 5-4: Contacto rueda-rodillos de tracción (figura obtenida de [16]) 5.2.5 Modelado de los peldaños Los peldaños son un elemento esencial en las escaleras mecánicas, y su correcto modelado es fundamental. De cara a un modelo 2D de la escalera, al modelar un peldaño tenemos que tener en cuenta la longitud de la huella y la de la contrahuella, a parte de su peso. Para ello, al igual que hicimos con la cadena, existen catálogos de peldaños que nos permiten elegir en función a nuestras especificaciones. En nuestro caso tenemos la cadena ST133 la cual nos permite un ancho de peldaños de 0.4 metros. El fabricante Lilong tiene peldaños que se ajustan a estas especificaciones como se explica en [1], eligiendo el peldaño TJ800 de su colección el cual tiene las siguientes características: - Ancho del peldaño: 𝑥1=0.4 𝑚 - Alto del peldaño: 𝑧1=0.42 𝑚 - Profundidad del peldaño: 𝑦1=0.8 𝑚 - Masa peldaño: 𝑚=17 𝑘𝑔 Modelado 24 24 Figura 5-5: Peldaño de acero inoxidable del fabricante Lilong (figura obtenida de [18]) Una vez tenemos las características de nuestro peldaño, debemos saber de cuantos dispone nuestra escalera. Para ello, sabiendo que es de paso largo, dividimos el perímetro total de la guía indeformada entre la longitud 𝑥1del peldaño, y redondeamos el número obtenido para tener un número exacto de peldaños. Tenemos dos opciones, redondear hacia la unidad superior, en cuyo caso la guía se deberá expandir; o hacia la unidad menor, y la guía de comprimirá para eliminar el exceso de juego. Con esto nos queda el siguiente número de peldaños: 𝑁𝑝𝑒𝑙𝑑𝑎ñ𝑜𝑠= 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑜 𝐿𝑝𝑒𝑙𝑑𝑎ñ𝑜 = 21.2751 0.4 =52.18 ≅52 𝑝𝑒𝑙𝑑𝑎ñ𝑜𝑠 5.2.6 Modelado del rodillo y guía de arrastre A diferencia que el carril de tracción, la guía de arrastre no responde a unas curvas analíticas. Para conseguir que los peldaños se mantengan paralelos a si mismos durante la subida de la rampa y vuelquen adecuadamente en la cabeza de la escalera, el carril de arrastre debe tener una geometría precisa. Para obtenerla, en este trabajo se una un procedimiento numérico que se explica a continuación. 5.2.6.1 Posición de rodillos de tracción En primer lugar, se simula el movimiento de la cadena de tracción en su carril. Para ello se describe la geometría del carril de tracción de la siguiente forma: 𝐫𝒕𝒓 = 𝐫𝐭𝐫(𝑠𝑡𝑟,𝛿) (5.3) donde 𝒓𝑡𝑟 es el vector posición de un punto arbitrario en dicho carril, 𝑠𝑡𝑟es la longitud de arco a lo largo de la curva del carril y δ es la elongación del muelle del sistema de tensado. Esta fórmula se usa así: cuando el rodillo i de la cadena de tracción se encuentra en la sección del carril con longitud de arco 𝑠𝑡𝑟respecto a una referencia, y el muelle de sistema de tensado tiene una elongación δ, la fórmula (5.3) proporciona la posición absoluta del rodillo. La implementación de la Eq. (5.3) es elemental y está explicada en [1]. Los eslabones de la cadena de tracción garantizan que la distancia entre rodillos es constante. Esto se puede describir mediante las siguientes ecuaciones de restricción: (𝐫𝐢+𝟏 𝐭𝐫 −𝐫𝐢𝐭𝐫)𝑇(𝐫𝐢+𝟏 𝐭𝐫 −𝐫𝐢𝐭𝐫)−(𝑙𝑒𝑠𝑙)2=0, 𝑖=1,…,𝑛𝑟𝑜𝑑 (5.4) Donde 𝒓𝒊𝒕𝒓 y 𝒓𝒊+𝟏 𝒕𝒓 son los vectores de posición de los rodillos 𝑖 e 𝑖+1, 𝑙𝑒𝑠𝑙 es la longitud del eslabón y 𝑛𝑟𝑜𝑑 es el número de rodillos. Si ahora suponemos que unos de los rodillos, por ejemplo, el primero, avanza co velocidad constante a lo largo del carril con velocidad V, como sigue: 𝑠1𝑡𝑟−𝑉𝑡=0, (5.5) La combinación de las ecuaciones (2) y (3) representan el conjunto de (𝑛𝑟𝑜𝑑+1) ecuaciones y (𝑛𝑟𝑜𝑑+1) incógnitas, que son las longitudes de arco de todos los rodillos 𝑠1𝑡𝑟 y la elongación del muelle δ. Por tanto, la solución de estas ecuaciones de un intervalo de tiempo hasta que el primer rodillo alcanza el final del carril da lugar a la simulación cinemática de dicho movimiento. El output de esta simulación es la posición de cada rodillo en cada instante de tiempo como sigue: 𝐫𝐢tr=𝐫𝐢tr(𝑡), 𝑖=1,…,𝑛𝑟𝑜𝑑 (5.6) 5.2.6.2 Obtención de la geometrís de la guía de arrastre Una vez determinada la geometría del peldaño y la posición de cada rodillo en todos los instantes de tiempo, procedemos a marcar tres puntos fijos en cada peldaño: A, B y C, mostrados en la figura 5-5. Figura 5-6: Esquema del mecanismo de peldaños móviles (figura obtenida de [16]) - Punto A: Punto donde se unen la cadena de tracción y el peldaño. - Punto B: Punto en el que se sitúa el rodillo de arrastre. - Punto C: Punto del contorno del peldaño, situado a la misma altura que A cuando el peldaño está horizontal. De la figura 17 se deduce que la posición instantánea de cada peldaño debe ser tal que su punto A se Simulación 32 32 Estos valores impuestos hacen que diferenciemos dos tipos de coordenadas en el sistema: independientes (las que tienen un valor impuesto) y dependientes (las que calcularemos en base a las independientes). 𝐪= [𝐪𝐢𝐧𝐝 𝐪𝐝𝐞𝐩] (6.10) De manera que simplifique los cálculos, al hacer el estudio cinemático del sistema no tendremos en cuenta la posición de la rueda tractora. Esta situación nos ayuda a entender mejor el movimiento del sistema sin complicar las ecuaciones de manera excesiva. Es por ello que el sistema queda definido al imponer la condición de la posición del primer rodillo de la cadena de tracción 𝑠01. 6.1.4 Problema de velocidad En el problema de velocidades y aceleraciones se hace el sistema compatible aumentando el número de restricciones hasta hacer el sistema compatible. Estas restricciones que añadimos se denominan Restricciones de movilidad. Seguimos sin tener en cuenta la rueda tractora, por ello tenemos 𝑔=1. Esto quiere decir que debemos introducir una restricción de movilidad al sistema para hacerlo compatible. Si bien en el problema de posición se estimó la velocidad de 𝑠01, ahora impondremos que dicho rodillo se mueva a una velocidad constante de 0.5 𝑚/𝑠. Una vez impuesta la restricción de movilidad debemos calcular los jacobianos de las restricciones: 𝐂𝐪(𝐪)=[𝐂𝐪esl 𝐂𝐪pel]=∂𝐂(𝐪) ∂𝐪 (6.11) Por tanto, debemos calcular la derivada de las restricciones con respecto a las coordenadas generalizadas. Para ello vamos a simplificar el cálculo realizando dicho cálculo de manera separada. Para el cálculo de 𝜕𝑪𝒒𝑒𝑠𝑙 𝜕𝒒 implementamos las ecuaciones explicadas en [1]. El cálculo del jacobiano de los eslabones se asemeja al explicado en [19] sobre los pares de revolución. Si lo extrapolamos a nuestras ecuaciones nos quedaría el siguiente jacobiano: ∂𝐂𝐪pel ∂str = [ −∂𝐫𝐢tr ∂str −∂𝐫𝐢ar ∂str ] ∂𝐂𝐪pel ∂𝐪pel=[𝐈𝐈 𝐀𝛉𝐮𝐀 𝐀𝛉𝐮𝐁] ∂𝐂𝐪pel 𝜕𝛿 = [−∂𝐫𝐢tr 𝜕𝛿 0] (6.12) De donde 𝐴𝜃 es la derivada de la matriz de giro 𝐴 con respecto al ángulo 𝜃. Con esto tendríamos ya todos los términos necesarios para calcular la velocidad 𝐪󰇗=−𝐂𝐪−1𝐂𝐭. 6.1.5 Problema de aceleración El cálculo del problema de aceleraciones, una vez calculadas las velocidades, se resuelve de la siguiente manera: 𝐪󰇘=−𝐂𝐪−1(𝐂𝐪󰇗𝐪󰇗+𝐂𝐭)󰇗. De la misma manera que en cálculo de las velocidades, debemos calcular 𝑪𝒒󰇗. Dicho cálculo se divide en derivada de jacobiano de los eslabones (explicadas en detalle en [1]), y derivada del jacobiano de los peldaños: 𝜕𝐂󰇗𝐪pel 𝜕𝑠𝑡𝑟 = [ −𝜕𝐫󰇗𝐢tr 𝜕𝑠𝑡𝑟 −𝜕𝐫󰇗𝐢ar 𝜕𝑠𝑡𝑟 ] ∂𝐂󰇗𝐪pel ∂𝐪pel=[ 𝜃󰇗𝐀󰇗𝛉𝐮A 𝜃󰇗𝐀󰇗𝛉𝐮𝐁] 𝜕𝐂󰇗𝐪pel 𝜕𝛿 = [−𝜕𝐫󰇗𝐢tr 𝜕𝛿 0] (6.13) 6.2 Dinámica del Sistema Para el cálculo dinámico de los sistemas multicuerpo debemos eliminar las restricciones de movilidad impuestas para los problemas de velocidad y aceleración. De este modo el sistema vuelve a tener 2 grado de libertad. Para obtener las ecuaciones de movimiento del sistema, partimos de las ecuaciones de Newton-Euler de los peldaños: 𝐌ipel𝐪󰇘ipel= 𝐐igrav+𝐐ireac 𝐌ipel=[𝑚𝑝𝑒𝑙 0 0 0 𝑚𝑝𝑒𝑙 0 0 0 𝐼𝑝𝑒𝑙],𝐐igrav=[ 0 −𝑚𝑝𝑒𝑙𝑔 0] (6.14) En donde 𝐐igrav es el vector de fuerzas generalizadas de gravedad y 𝐐ireac es el vector de fuerzas generalizadas de reacción debido a las restricciones 𝐂, y 𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑦 𝐼𝑝𝑒𝑙 son la masa y la inercia de los peldaños respectivamente. Y la ecuación de Euler de la rueda de tracción (la cual ya si tenemos en cuenta): 𝐼𝑟𝑢𝑒𝜃󰇘= 𝑀𝑑𝑟𝑖𝑣𝑒+𝑀𝑐𝑜𝑛𝑡 (6.15) En esta ecuación, 𝐼𝑟𝑢𝑒 es el momento de inercia de la rueda tractora, 𝑀𝑑𝑟𝑖𝑣𝑒 es el par motor aplicado Simulación 34 34 en la rueda, el cual en este trabajo se obtiene como resultado de un algoritmo de control PID que mantiene la velocidad angular de la rueda, y por tanto la velocidad de traslación de los peldaños, aproximadamente contante; y 𝑀𝑐𝑜𝑛𝑡 es el par resultante de fuerzas de contacto entre los dientes y los rodillos de tracción, explicado en [1]. Si consideramos ahora los elementos modelados en el apartado 5.2, y considerando despreciables las masas de los rodillos, de los eslabones y del muelle tensor, para la escalera completa de nuestro modelo nos quedan las siguientes ecuaciones de equilibrio: 𝐌𝐪󰇘+𝐂𝐪𝐭𝛌=𝐐; (6.16) Donde tenemos: 𝐌= [ 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝐌𝐩𝐞𝐥 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎𝐼𝑟𝑢𝑒 ] ; 𝑸= [ 𝐐cont 𝟎 𝐐grav 𝐹𝑚𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑀𝑚𝑜𝑡+𝑀𝑐𝑜𝑛𝑡 ] ; 𝐌𝐩𝐞𝐥=[𝐌𝟏𝐩𝐞𝐥 ⋯ 𝟎 ⋮ ⋱ ⋮ 𝟎 ⋯ 𝐌𝐧𝐩𝐞𝐥 𝐩𝐞𝐥]; 𝐐𝐠𝐫𝐚𝐯=[𝐐𝟏𝐠𝐫𝐚𝐯 ⋮ 𝐐𝐧𝐩𝐞𝐥 𝐠𝐫𝐚𝐯]; 𝐹𝑚𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒=−𝑘𝛿−𝑐𝛿󰇗; (6.17) 𝐂𝐪𝐭𝛌: Fuerzas de reacción debido a las restricciones cambiadas de signo. Esta ecuación no se puede resolver como una ecuación diferencial de segundo orden ya que desconocemos algunos términos, como el multiplicador de Lagrange λ. Para ello se han de añadir las ecuaciones de restricción y agrupar ambas ecuaciones de manera que nos quedan escritas en forma de DAE (differential-algebraic equations): [𝐌 𝐂q 𝐂q𝟎][𝐪󰇘𝛌]=[ 𝐐 −𝐂q𝐪󰇗]; (6.18) De esta manera debemos resolver una ecuación tipo 𝐀𝐱=𝐁, en la que A y B son una matriz y un vector respectivamente cuyos valores conocemos, y 𝐱 es el vector incógnita en el que encontramos las aceleraciones y los multiplicadores de Lagrange de nuestro sistema. Para simular dinámicamente el movimiento de la escalera se integran numéricamente utilizando el método generalized coordinate partitioning [3]. Con este método, sólo se integran numéricamente tantas coordenadas como grados de libertad, que son 2 en este caso. A estas se les llama coordenadas independientes. En el caso analizado, las coordenadas seleccionadas como independientes son: 𝐪ind=[𝑠1𝑡𝑟 𝜃] (6.19) 6.3 Resultados de la simulación Una vez implementadas las ecuaciones en Matlab, procedemos a realizar la simulación. Los resultados que observamos a continuación corresponden, como hemos comentado durante lo largo del trabajo, a una escalera de paso corto, con 52 escalones de masa 17kg, un muelle tensor con rigidez de 1e5 y amortiguación 1e3, y con una velocidad constante de 0,5 m/s. En la figura 6-1 podemos observar la geometría de la escalera, incluyendo la rueda tractora, los peldaños, la cadena de tracción y se observa la guía de arrastre. Figura 6-1: Geometría escalera mecánica Podemos observar en la figura 6-2 el desplazamiento del tensor. Observamos como el desplazamiento del tensor se asemeja a una curva senoidal, cuya frecuencia de paso es la frecuencia de paso de los eslabones, es decir, tiene un periodo de 0,266 segundos, como se puede observar en la imagen 6-3. Figura 6-2: Desplazamiento del tensor con respecto al tiempo Simulación 36 36 Figura 6-3: Desplazamiento del tensor con respecto al tiempo ampliado En la figura 6-4 podemos observar la velocidad de los rodillos, tanto de tracción como de arrastre. En azul vemos la velocidad del rodillo de acción, que tras uno segundos pasa a régimen estacionario a 5 m/s, mientras el rodillo del carril de arrastre, al no ir por la misma trayectoria, tiene variaciones de velocidad. Se puede observar que el rodillo 1, tiene primero un pico de velocidad mayor al de tracción al comienzo, el cual es representativo de la primera transición a la zona curva ( zona 1); posteriormente vemos lo inverso, que su velocidad disminuye en la transición de zona inclinada al embarcadero superior (zona 2) y seguidamente ocurre lo mismo al entrar en la zona curva superior, es decir en la rueda tractora (zona 3). Figura 6-4: Velocidad de los rodillos Figura 6-5: Zonas Escaleras con velocidad de arrastre no constante En la siguiente imagen vemos la aceleración de los rodillos, tanto de tracción como de arrastre. En la gráfica observamos lo mismo que en la gráfica de velocidad, una velocidad constante hace que la aceleración sea próxima a cero, mientras que en la del rodillo de arrastre se observan variaciones en dicha aceleración. Desde pasados los 5 segundos hasta antes de llegar a los 20, se puede observar un aumento de las oscilaciones de la aceleración, esto se debe como veremos en la siguiente gráfica, a un aumento de las oscilaciones en la tensión. Figura 6-6: Aceleración de los rodillos Por último, en cuanto a la tensión vemos como en todo el recorrido es mayor de cero, por lo tanto, el tensor está cumpliendo una de sus funciones de hacer que todos los eslabones funcionen a tracción al ser perjudicial que lleguen a trabajar a compresión. Se observa cómo va aumentando linealmente al entrar en la zona inclinada de la escalera al tener que ir soportando el peso de los escalones que va entrando en esta zona, para, una vez terminada esta zona, equilibrarse en torno a los 15 KN. Tras esto, comienza a disminuir al pasar el eslabón a la zona no visible de la escalera hasta llegar al mínimo punto inicial una vez completada la vuelta a la escalera. Simulación 38 38 Figura 6-7: Tensión en kN del eslabón 1 con respecto al tiempo 7 VALIDACIÓN La validación de un modelo de simulación cinemática y dinámica con datos reales es un proceso esencial en la ingeniería mecánica y de sistemas, ya que garantiza que el modelo puede predecir el comportamiento del sistema real de manera precisa y confiable. Este proceso implica la comparación de los resultados de la simulación con datos medidos de un sistema físico real, lo que permite identificar cualquier discrepancia y ajustar el modelo en consecuencia. La validación es especialmente importante cuando se utilizan modelos para la toma de decisiones críticas en áreas como la seguridad y la eficiencia. La validación de un modelo de simulación también puede ayudar a identificar problemas o limitaciones en los datos de entrada o en la propia simulación, lo que puede mejorar la calidad de los datos y del modelo en general. 7.1 Validación escalera paso largo Obtener datos reales para poder validar nuestro modelo ha sido algo complejo dado que, como se comenta en el punto 3, hay muy pocos experimentos realizados con escaleras mecánicas. Si se han podido encontrar una buena base de datos para realizar dicha validación en [10], que serán con los que trabajaremos en este apartado. Para ello, debemos adaptar nuestro modelo, ya que estos datos han sido recogidos en una escalera de paso largo (un eslabón por peldaño), y nuestro modelo es de paso corto (tres eslabones por peldaño). En el apartado 5.2 se han modelado los mecanismos del sistema referidos a una escalera mecánica de paso corto. Para una escalera de paso largo modelaremos estos mismos mecanismos, pero con unas leves diferencias. 7.1.1 Modificación Sistema paso corto Los datos reales obtenidos en [10] son los referidos a una escalera con las siguientes especificaciones: Tabla 7-1: Datos escalera Tesis Doctoral Elementos Valor Altura que salva 4,5 m Ángulo inclinación 30° Peldaños 60 Pitch 0,4 m Rigidez muelle tensor 30 N/mm Por lo tanto, en nuestro modelo debemos modificar la geometría, la tensión y el número de peldaños. Esto es algo sencillo gracias a que todos estos datos están recogidos en la función paramEscalaor.m. Validación 40 40 7.1.1.1 Geometría guía externa En el modelo de la escalera con paso corto se definió una escalera con el mismo ángulo de inclinación, pero que superaba una altura de 3,5m. Es decir, para obtener una escalera que cumpla las especificaciones de la norma UNE-115-2018, y salve una altura de 4,5 metros, debemos variar principalmente la longitud de la pendiente, quedando nuestra geometría de la guía externa como vemos en la tabla 7-2. Tabla 7-2: Datos escalera paso largo Nombre Parámetros Valor (m) Longitud del Tensor 𝐿𝑡 0.2 Longitud Embarcadero Inferior 𝐿1 0.8 Radio de Transiciones 𝑅𝑡 1 Ángulo de la Pendiente ∝ 30˚ Longitud de la Pendiente 𝐿 8.2 Longitud Embarcadero Superior 𝐿2 0.8 Radio de Cabeza 𝑅 0.41 De esta manera, no solo se obtiene una geometría que cumpla la condición de superar a altura requerida, sino también modifica el número de peldaños, pasando a ser 60 peldaños. 7.1.1.2 Cadena de rodillos paso largo Para nuestro modelo, teniendo en cuenta que el escalón elegido es el mismo que en el modelo de paso corto, debemos encontrar una cadena que tenga un paso de 140 mm. Sin embargo, esto no es posible al no ser esta una medida estándar. Si existe la opción de solicitar al fabricante una cadena de rodillo hecha a medida con este paso, luego se va a suponer que este es el caso, y nos la han fabricado con las mismas especificaciones que la que se tenía en el modelo de paso corto: - Paso del eslabón: 𝐿𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏ó𝑛=0.410 𝑚 - Radio del rodillo: 𝑅𝑑=0.35 𝑚 - Masa por paso: 𝑚=2.45 𝑘𝑔 7.1.1.3 Sistema de tracción Debemos diseñar una nueva rueda tractora, de manera que los rodillos engranen correctamente al haber cambiado el paso del eslabón. Para ello se realizarán los siguientes cálculos: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠=𝑍= 180° sin−1(𝐿𝑒𝑠𝑙 2∗𝑅)=180° sin−1(0.41 2∗0.4)=5.9924 Vemos que nos sale un número no entero de dientes, por lo que vamos a hacer la operación de manera que obtengamos 6 dientes exactos en nuestra rueda tractora: 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎=6= 180° sin−1(0.4 2∗𝑅)=>𝑅=0.41𝑚 Los dientes los debemos recalcular también. El eslabón mide 410 mm y el rodillo tiene un diámetro de 70 mm, por lo tanto, el espacio disponible para que el diente engrane de manera correcta es de 340 mm. Para ello, al usar un diente trapezoidal tendremos una anchura de diente de 354.75 mm en la base y 334.75 mm en la zona superior y una altura de 40.25 mm. Con estas modificaciones la rueda tractora quedaría como se muestra en la figura 7-1. Figura 7-1: Rueda tractora paso largo Una vez diseñada en SolidEdge podemos obtener sus datos dinámicos de manera sencilla: - Masa: 248.676 𝑘𝑔 - Inercia YY: 42.767 𝑘𝑔∗𝑚2 Como se comenta en el apartado 5.2.4. el contacto entre los dientes y los rodillos se modelan con un modelo elástico. Las constantes elásticas del modelo de paso corto no son válidas para este modelo, al haber sido comprobado realizando la simulación con dichas constantes. Por lo que han sido Validación 48 48 Figura 7-12: Velocidad de un eslabón simulada Por último, observamos la comparación de la aceleración. En este caso si vemos más disparidad entre ambas gráficas. Mientras en la simulación obtenemos una aceleración prácticamente nula en el carril de accionamiento al estar la escalera funcionando a una velocidad constante de 5 m/s, vemos variaciones en la aceleración del eslabón del carril de arrastre y en los resultados experimentales vemos que también sufre bastantes alteraciones, llegando a valer más de 6 𝑚/𝑠2. Figura 7-13: Aceleración eslabón Cano Figura 7-14: Aceleración eslabón simulada Una vez comparados los resultados obtenidos en la simulación y los datos experimentales, podemos concluir que el modelo, sin llegar a ser perfecto, es una buena aproximación a la realidad. Teniendo en cuenta que es un modelo en 2 dimensiones y simplificado hemos visto que la mayoría de los resultados son prácticamente idénticos, lo cual indica que es un buen modelo, permitiéndonos pasar al siguiente apartado, realizar experimentos virtuales con el modelo para ver cómo afectan al comportamiento de la escalera. Experimentos de simulación 50 50 8 EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN Una vez que hemos creado y validado un modelo de simulación, el siguiente paso es simular diferentes escenarios para entender mejor la importancia del modelo y cómo puede ayudarnos a tomar decisiones informadas. Los escenarios que simulamos nos permiten evaluar cómo el sistema o proceso que estamos modelando podría responder a diferentes situaciones o cambios en las variables de entrada. Para ello vamos a hacer tres simulaciones: - 1) Una persona de masa concreta en un peldaño concreto. - 2) Una persona de masa aleatoria en un peldaño aleatorio. - 3) Tres personas de masas concretas en peldaños concretos. 8.1 Experimento 1 En este experimento de simulación, vamos a añadir al modelo mostrado en el apartado 6, el cual era una escalera en vacío, a una persona en un peldaño en concreto. Para comprobar que el modelo del apartado 6 se puede utilizar para diferentes geometrías de escaleras, en estos experimentos se ha modificado la longitud de la zona inlcinada 𝐿=7.2 y la masa de los peldaños, valiendo ahora 13kg en vez de los 17kg del apartado 6. Para ello primero debemos especificar los valores que vamos a utilizar, los cuales serán los siguientes: - Masa de la persona: 75 kg - Peldaño: 1 Una vez tenemos estos valores claros, debemos crear una función la cual debe tener dos condiciones: 1. La fuerza gravitatoria de la persona solo afecta a la dinámica de la escalera desde la mitad del embarcadero inferior, hasta la mitad del embarcadero superior. 2. Esta fuerza no puede comenzar al 100% desde el inicio y después desaparecer, ya que esto no es real. Debe comenzar en cero, crecer rapidamente hasta su valor constante y finalmente disminuir rápidamente hasta cero. Con estas dos condiciones se define la función a trozos que nos definirá la masa de la persona, usando la funciones de seno y coseno, quedando de la siguiente manera: 𝑚𝑝𝑒𝑟𝑠(𝑠𝑡𝑟 𝑖)= { 𝑚𝑒𝑥𝑡 2×(1+sin(𝜋 𝑠0𝑥−𝜋2) 𝑠𝑖 𝑥<𝑠0 𝑚𝑒𝑥𝑡 𝑠𝑖 𝑠0<𝑥<𝑠01 𝑚𝑒𝑥𝑡 2×(1+cos(𝜋 𝑠0(𝑥−(𝑠𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙−𝑠0)) 𝑠𝑖 𝑠01<𝑥<𝑠𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 (8.1) Donde 𝑚𝑝𝑒𝑟𝑠(𝑠𝑡𝑟 𝑖) se refiere al valor total que tendrá la masa de la persona ubicada en el peldaño 𝑖 en función de la zona de la escalera en la que se encuentre, 𝑚𝑒𝑥𝑡 es el valor introducido al programa que es el valor máximo de la masa de la persona, 𝑠0 es la lonjitud de arco recorrida desde que se sube la persona a la escalera hasta que llega a su peso máximo, 𝑠01 es la zona donde comienza a bajarse de la escalera y por tanto la masa comienza a disminuir, y finalente 𝑠𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 es la lonjitud de arco en la cual la masa exterior se hace nula. En esta función, el parámetro S0 indica la distancia a la que queremos que 𝑚𝑒𝑥𝑡 alcance su valor constante, S01 la distancia a la que el valor de 𝑚𝑒𝑥𝑡 comienza a disminuir, y por último Sfinal la distancia a la que el valor de 𝑚𝑒𝑥𝑡 se hace nulo. De esta manera, la función 𝑚𝑒𝑥𝑡 quedaría como muestra la figura 8-1, mostrada a continuación. Vemos que tiene una 𝑚𝑒𝑥𝑡=75 𝑘𝑔, un 𝑠0 de 2 segundos, un 𝑠01 de 18 segundos y un 𝑠𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 de 20 segundos. Figura 8-1: Masa de la persona en función del tiempo Una vez definida la función masa de la persona, debemos calcular la fuerza que provoca en nuestro sistema esta masa, sabiendo que esta fuera será también una función a trozos, definida de la siguiente manera: 𝑭𝑒𝑥𝑡(𝑠𝑡𝑟 𝑖)={[0 −𝑚𝑝𝑒𝑟𝑠∗𝑔 0]𝑠𝑖 0<𝑠𝑡𝑟 𝑖<𝐿𝑡+𝐿1+2∗𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎∗𝑟𝑡+𝐿+𝐿2 𝟎 𝑠𝑖 𝑠𝑡𝑟 𝑖>𝐿𝑡+𝐿1+2∗𝑎𝑙𝑝ℎ𝑎∗𝑟𝑡+𝐿+𝐿2 (8.2) Una vez definida la fuerza que ejercera la persona, debemos añadirlo a nuestras ecuaciones de la dinámica mostradas en el apartado 6 de la siguiente manera: 𝐌= [ 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎𝐌𝐩𝐞𝐥 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟎𝐼𝑟𝑢𝑒 ] ; 𝐐= [ 𝐐cont 𝟎 𝐐grav+𝐐ext 𝐹𝑚𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑀𝑚𝑜𝑡+𝑀𝑐𝑜𝑛𝑡 ] ; 𝐌𝐩𝐞𝐥=[𝐌𝟏𝐩𝐞𝐥+𝐌𝟏𝐞𝐱𝐭 ⋯ 𝟎 ⋮ ⋱ ⋮ 𝟎 ⋯ 𝐌𝐧𝐩𝐞𝐥 𝐩𝐞𝐥]; 𝐌ipel=[𝑚𝑝𝑒𝑟𝑠 0 0 0 𝑚𝑝𝑒𝑟𝑠 0 0 0 𝐼𝑝𝑒𝑟𝑠] (8.3) Donde observamos los términos 𝐐ext, referido a la fuerza generalizada provocada por la persona y 𝐌𝟏𝐞𝐱𝐭, la matriz de masas de la persona. De esta manera ya tendríamos nuestro nuevo sistema para una persona de 75 kg, en el primer peldaño y solo quedaría ver cómo afecta a nuestro sistema. En la figura 27 se puede observar la fuerza que introduce la persona en el peldaño 1. Al ser una persona de 75kg, ejerce una fuerza negativa de 75∗9,81=735,75 𝑁 como podemos observar en la zona en que la fuerza alcanza su máximo. Observamos perfectamente las tres fases definidas anteriormente, y Experimentos de simulación 52 52 cómo una vez pasados los 20 segundos, el escalón llega al embarcadero superior, y dicha fuerza se vuelve 0. Figura 8-2: Fuerza de la persona frente al tiempo Si se observa la figura 8-3, vemos como en un principio la tensión aumenta al introducir el peso de la persona, pero como se distribuye rapidamente entre los eslabones conjutnos disminuyendo asi la tensión del primer eslabón. Cuando realmente se ven afectados los eslabones es al pasar a la zona inclinada, como vemos en la gráfica alrededor de los 3 segundos. Al igual que disminuye al acabar dicha zona inlcinada en los 19 segundos, para volver a disminuir coincidiendo con la disminución en la zona de la rueda tractora pasados los 20 segundos. Figura 8-3: Tensión eslabón 1 frente al tiempo En la velocidad de los eslabones mostrada en la fidura 8-4 observamos que hay una pequeña variación en la estabilicación de la velocidad al montarse la persona en la escalera, pero no vemos ningún cambio apreciable en la velocidad en los instantes siguientes. Figura 8-4: Velocidad peldaño 1 frente al tiempo 8.2 Experimento 2 Una vez visto cómo afecta el peso de una persona a la dinámica de la escalera, puede ser de gran ayuda para el mantenimiento predictivo realizar el mismo experimento con datos aleatorios, es decir, masa de la persona y peldaño de aplicación aleatorios. Las ecuaciones para este experimento serán las mismas que hemos descrito en el apartado anterior, pero esta vez variamos la manera de definir nuestras variables. En orden de hacer una variable aleatoria, para definir la masa usaremos una distribución normal. En matlab esto es sencillo usando la funcion rand(). Según la página web websalud [20], el peso medio de los españoles varones es de 75kg y el de la mujer de 63kg. Luego para crear la variable de peso de manera real, lo haremos con una distribución normal centrada en 70 kg, con una desviación estandar de 6,32 ( para que el rango de valores este principalmente entre 55 kg y 95 kg, sería un rango de 40kg. Si este número lo dividomos entre 6 da un aproximación del valor de la desviación estandar deseada) quedando la masa de la persona definida de la siguiente manera: 𝑚𝑒𝑥𝑡=70+6,32∗𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛; (8.4) Siendo 70 kg la media y 6,32 kg la desviación estandar. Experimentos de simulación 54 54 Figura 8-5: Distribución masa aleatoria Para hacer que dicha masa aleatoria solo se aplique a un peldaño, y que este sea aleatorio, debemos seguir los siguientes pasos: 1.- Crear un vector de ceros denominado PeldFuerza 2.- Definir el peldaño donde aplicamos la fuerza como randi(npel), 3.- Introducir un 1 en la posición obtenida en 2 4.- Crear un bucle “if” de forma que solo aplique la fuerza si hay un 1 en PeldFuerza. Una vez hemos definido la masa del peldaño y el vector de aplicación, procedemos a ver los resultados del experimento. Se ha hecho el experiemtno obteniendo una masa de 67.2597kg aplicada en el peldaño 34. En la figura … vemos lo mismo que veíamos en el apartado 1, pero esta vez hacemos el cálculo a la inversa. La fuerza exterior introduciene sobre segundo 24 una fuerza de 659.65 N, es decir la masa de la persona es: 𝑚𝑒𝑥𝑡=659.65 9.81 =67.2597 𝑘𝑔. Al comenzar sobre el segundo 24, el peldaño se aplicación de dicha fuerza debe estar situado en el inicio de la simulación en la parte no visible de la escalera, como efectivamente lo está el peldaño 34. Figura 8-6: Fuerza de la persona frente al tiempo Como ya vimos en el experimento antrerior, el introducir una persona en un determinado peldaño provoca un aumento considerable de la tensón cuando comienza la parte inclinada de la escalera, como podemos observar en la gráfica … a partir del segundo 27. Igualmente volvemos a observar el aumento de presión al subirse la persona a la escalera para su posterior distribición con el resto de eslabones y por tanto su disminución. Figura 8-7: Tensión eslabón frente al tiempo Al estar aplicado en el peldaño 34, cuando la persona se sube a la escalera esta ya está en su estado estacionario, con lo cual no se observan variaciones considerables en la velocidad de los eslabones. Dicho esto podemos ver dos picos en la velocidad del eslabón aproximadamente en el segundo 20 y 24. Esto se debe a que en esos instantes el eslabón entra en la zona inferior de la escalera y por tanto en el sistema tensor, el cual se mueve para minimizar la poligonización. Por ello observamos esas variaciones de la velocidad en esos inistantes. Figura 8-8: Velocidad eslabón frente al tiempo Experimentos de simulación 56 56 8.3 Experimento 3 En este experimento se ampliará lo visto en el experimento 1, en el que simulamos una persona de masa concreta en un peldaño conocido. Para ello simularemos tres personas de masas concretas en peldaños conocidos. Ya hemos explicado anteriormente cómo se ha realizado el modelado de la persona, tanto con masa aleatoria como con masa conocida, y su fuerza aplicada en peldaños, tanto aleatorios como conocidos. A diferencia de estos casos, que hemos realizado estos experimentos con valores escalares, ahora debemos pasar de escalar a vectorial. Esto se hace de la misma manera que se ha realizado en el apartado anterior para la posición aleatoria de la masa en el peldaño, es decir: 1- Crear un vector de ceros de tamaño npel denominado mext. 2- Crear tres variables denominadas mext1, mext2, mext3 las cuales serán las masas de estas personas. 3- Introducir dichos valores en la matriz de masas. Una vez definido el vector de masas, se define el pelaño en el que se aplica la masa de la misma manera: 1- Crear vector de ceros de tamaño npel denominado PeldFuerza. 2- Introducir un 1 en l posición donde queremos aplicar cada masa Una vez definido correctamente el vector de masas y de peldaños, vamos a realizar el experimento con los siguientes datos: Tabla 8-1: Datos experimento 3 Peldaño Masa 2 60 kg 4 75 kg 8 88 kg Con estos datos, al realizar la simulación se observa que inicialmente las tres personas están en la escalera ya que las hemos colocado en peldaños de la zona inclinada. La primera persona se baja sobre el segundo 15, la segunda sobre el 17 y la última en el 20. Figura 8-9: Fuerzas personas frente al tiempo En cuanto a la tensión esta vez vamos a comprar la tensión de los tres eslabones donde se suben las personas. En el escalón 8, al tener que soportar el peso de la persona subida en el escalón, el resto de escalones inferiores a él en la zona inclinada y las personas ubicadas en los escalones 4 y 2 vemos como su tensión es mucho mayor, llegando a los 13 KN para descender como en los experimentos anteriores. En el escalón 4 observamos lo mismo, no llegando a un valor tan alto como en el escalón 8 al solo soportar el peso de la persona en su escalón y el de la del escalón 2, llegando a un valor máximo de casi 12 kN. Por último, vemos que la tensión en el escalón 2 es prácticamente igual que la gráfica de tensión mostrada en el experimento 1. Figura 8-10: Tensión eslabones personas frente al tiempo Anexos 64 64 REFERENCIAS [1] A. 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