Ecuación del transporte: Teoría y aplicaciones

FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y AN´ ALISIS NUM´ ERICO Trabajo Fin de Grado ECUACI ´ ON DEL TRANSPORTE: TEOR´ IA Y APLICACIONES Isabel Borrego Caraballo Dirigido por: Diego Araujo de Souza Sevilla, Junio 2025 A mis padres, a mi hermano y al resto de mis seres queridos, por apoyarme siempre. ´ Indice general Introducci´on 1. Preliminares 1 1.1. Resultados y conceptos de An´alisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. El bidual E∗∗ ...................................... 3 1.3. Topolog´ıasd´ebiles ................................... 3 1.3.1. La topolog´ıa m´as fina para la que un conjunto de aplicaciones son continuas 4 1.3.2. Definici´on y propiedades elementales de la topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗) . . . . 4 1.3.3. La topolog´ıa d´ebil-∗,σ(E∗, E) ........................ 5 1.4. Espacios Lp....................................... 6 1.4.1. Introducci´on. Resultados de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.2. Propiedades elementales de los espacios Lp................. 9 1.5. Espacios de Sobolev W1,p ............................... 12 1.6. EspaciosdeBochner .................................. 13 1.7. Resultados y conceptos previos de EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2. M´etodo de las Caracter´ısticas 19 2.1. Introducci´on....................................... 19 2.2. Propiedadesdelflujo.................................. 20 2.3. Existenciadesoluci´on ................................. 27 2.4. Unicidaddelflujo.................................... 33 2.5. El Teorema del Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3. Soluciones d´ebiles 43 3.1. Existencia en el caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2. Camporegular ..................................... 45 3.3. Primeros elementos en el caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4. M´etodos num´ericos. Aplicaciones. 53 4.1. Modelizaci´on del tr´afico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2. Din´amica simplificada de los gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3. Modelo de din´amica de poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4. Ecuaci´ondeBurgers .................................. 62 4.5. Implementaci´on num´erica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Conclusi´on 67 Abstract The aim of this work is to present the transport equation from both a theoretical and an applied perspective. First, the initial value problem associated with the transport-reaction equation will be introduced, followed by an analysis of the existence and uniqueness of solutions under certain regularity assumptions. Next, we will address the question of what happens when these assumptions are relaxed, as the required regularity is not always present in practical applications. In this context, the concept of a weak solution will be introduced, and the conditions ensuring its existence and uniqueness will be discussed. Finally, various mathematical models based on the transport equation will be presented, with applications in physics and biology, along with a numerical implementation of the problem. Resumen El objetivo de este trabajo es presentar la ecuaci´on de transporte desde una perspectiva te´orica y aplicada. En primer lugar, se introducir´a el problema de valor inicial asociado a la ecuaci´on de transporte-reacci´on, para luego estudiar la existencia y unicidad de soluciones bajo ciertas hip´otesis de regularidad. A continuaci´on, se abordar´a la cuesti´on de qu´e ocurre al debilitar dichas hip´otesis, ya que en aplicaciones pr´acticas no siempre se cuenta con la regularidad requerida. En este contexto, se introducir´a el concepto de soluci´on d´ebil y se analizar´an las condiciones bajo las cuales se garantiza su existencia y unicidad. Finalmente, se presentar´an diversos modelos matem´aticos basados en la ecuaci´on de transporte con aplicaciones en f´ısica y biolog´ıa, as´ı como una implementaci´on num´erica del problema. Agradecimientos Agradezco el apoyo incondicional de mi familia, en especial a mis padres, que me han otorgado las facilidades de poder enfocarme en mis estudios, que siempre han estado ah´ı cuando lo he necesitado; sin ellos, nada de lo que he conseguido hubiera sido posible. Agradecer tambi´en a mis amigos y aquellas personas que han hecho que todo este camino sea m´as ameno, sin ellos no podr´ıa haber disfrutado de igual forma todo este proceso, tanto a aquellas amigas que he conocido durante la carrera, que nos hemos apoyado tanto en los buenos como en los malos momentos, como a mis amigos de pr´acticamente toda la vida, que siempre han estado ah´ı para escucharme. Finalmente, agradecer a mi tutor Diego Araujo de Souza por su dedicaci´on y gu´ıa para que pudiera sacar el trabajo con ´exito, sin su ayuda no podr´ıa haber conseguido realizar este trabajo. Tambi´en quiero expresar mi gratitud a Manuel Gonz´alez Burgos, que fue quien me permiti´o conocer a mi tutor, Diego. CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Sea F:A⊂RN→RNun campo de vectores diferenciable en un punto a. Se define la divergencia de Fen a, y se denota como div(F)(a)por div(F)(a) = N X i=1 ∂iFi(a). Se presentan algunos resultados que se usar´an durante el desarrollo del trabajo, siendo de gran utilidad. Estos resultados aparecen en [4, Ap´endice A, p´agina 114, Proposici´on A.2.], [4, Ap´endice B, p´agina 127, Teorema B.1.], [7, Cap´ıtulo 2, p´agina 86, Teorema del Valor Medio], [11, Cap´ıtulo 6, p´agina 452, Teorema del Valor Medio para integrales.] y [4, Cap´ıtulo 2, p´agina 55, Lema 2.2.], respectivamente. Proposici´on 1.3. Para cualquier funci´on escalar u∈ C1(Ω,R)y para cualquier campo de vectores v∈ C1(Ω,RN), se tiene la siguiente f´ormula. div(uv) = v· ∇u+div(v)u. Adem´as, si u∈ C2(Ω,R), tenemos que ∆u=div(∇u). Teorema 1.4. (Teorema de Stokes2). Sea Ωun subconjunto abierto regular3de RN. Entonces, para cualquier campo de vectores v∈ C1(Ω,RN)se tiene ZΩ div(v)dx =Z∂Ω v·ν dS(x), donde ν es el vector unitario normal exterior de Ω. Teorema 1.5. (Teorema del Valor Medio). Sea f:A⊂Rn→Rmuna funci´on real, con Asubconjunto abierto; y sean aybdos puntos de Atales que el segmento [a, b], o lo que es lo mismo, {ta + (1 −t)b:t∈[0,1]}, cuyos extremos son ayb, est´a contenido en A. Si fes diferenciable en todos los puntos del segmento, entonces existe ξ∈(a, b)tal que f(b)−f(a) = Df(ξ)(b−a). Teorema 1.6. (Teorema del Valor Medio para integrales). Sea f: [a, b]⊂R→Runa funci´on continua. Entonces existe c∈[a, b]tal que f(c)(b−a) = Zb a f(x)dx. El ´ultimo resultado que se abordar´a en esta secci´on es la Regla de Leibniz para la diferenciaci´on sobre el signo de la integral. Lema 1.7. Sea f:R×R→Runa funci´on de clase C1y sean tambi´en α, β :R→Rfunciones de clase C1. Se tiene la siguiente f´ormula d dt Zβ(t) α(t) f(x, t)dx =Zβ(t) α(t) ∂tf(x, t)dx +β′(t)f(β(t), t)−α′(t)f(α(t), t). 2George Gabriel Stokes (1819-1903); matem´atico y f´ısico irland´es que realiz´o grandes contribuciones a la mec´anica de fluidos, entre ellas, las ecuaciones de Navier-Stokes. 3Se dice que Ω es un conjunto abierto regular si localmente, ∂Ω es una hipersuperficie regular de RNy Ω est´a situado en un ´unico lado de ∂Ω. As´ı, para cualquier punto de ∂Ω, podemos definir el ´unico vector unitario normal que est´a orientado desde el interior hasta el exterior de Ω. 2 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 1.2. El bidual E∗∗ En esta secci´on se tratan los conceptos de espacio dual, espacio bidual y espacio reflexivo. El contenido de esta secci´on se encuentra en [6, Cap´ıtulo 1, p´aginas 3, 4, 8 y 9]. Sea Eun espacio vectorial sobre R. Definici´on 1.8. El espacio dual topol´ogico de E, denotado por E∗y tambi´en conocido como espacio dual de E, es el espacio de todos los funcionales lineales continuos de Econ la norma ∥f∥E∗= sup x∈E ∥x∥≤1 |f(x)|. Dados f∈E∗, x ∈E, se escribir´a ⟨f, x⟩en lugar de f(x) y se dir´a que ⟨·,·⟩ es el producto escalar para la dualidad E∗, E. Se presenta ahora el siguiente resultado [6, Cap´ıtulo 1, p´agina 4, Corolario 1.4.]. Proposici´on 1.9. Para cada x∈Ese tiene ∥x∥E= sup f∈E∗ ∥f∥≤1 |⟨f, x⟩| = m´ax f∈E∗ ∥f∥≤1 |⟨f, x⟩|. Sea E∗el espacio dual de Econ norma ∥f∥E∗= sup x∈E ∥x∥≤1 |⟨f, x⟩|. Definici´on 1.10. El bidual, denotado por E∗∗, es el espacio dual de E∗dotado con la norma ∥ξ∥E∗∗ = sup f∈E∗ ∥f∥≤1 |⟨ξ, f⟩|. Se introduce por tanto una inyecci´on can´onica J:E→E∗∗ de la siguiente manera: Dado x∈E, la aplicaci´on f7→ ⟨f, x⟩es un funcional lineal continuo en E∗; es decir, es un elemento de E∗∗, que se denota por Jx. Se tiene ⟨Jx, f⟩E∗∗ ,E∗=⟨f, x⟩E∗,E ∀x∈E, ∀f∈E∗. Est´a claro que Jes lineal y es una isometr´ıa; es decir, ∥Jx∥E∗∗ =∥x∥E. La sobreyectividad de Jde EaE∗∗ no tiene por qu´e tenerse. En caso de que Jsea sobreyectiva, decimos que Ees reflexivo y se identifica E∗∗ con E. 1.3. Topolog´ıas d´ebiles En esta secci´on se trata uno de los conceptos m´as relevantes para el trabajo: la topolog´ıa d´ebil-∗. Para ello, se introducir´a previamente la topolog´ıa d´ebil, as´ı como propiedades de ambas. El contenido de esta secci´on se encuentra en [6, Cap´ıtulo 3, p´aginas 55-58, 62-64, 66]. 3 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 1.3.1. La topolog´ıa m´as fina para la que un conjunto de aplicaciones son continuas Se empieza viendo uno de los conceptos m´as conocidos en topolog´ıa: la topolog´ıa d´ebil. Supongamos Xun conjunto (sin estructura) e (Yi)i∈Iuna colecci´on de espacios topol´ogicos. Sean (φi)i∈Iuna colecci´on de aplicaciones tales que para cada i∈I,φi:X→Yi. Planteamos el problema de construir una topolog´ıa sobre Xde forma que todas las aplicaciones (φi)i∈Isean continuas, y si es posible, que dicha topolog´ıa Ttenga el menor n´umero de subconjuntos abiertos posible. Veremos que existe una ´unica topolog´ıa Tsobre Xque cumple lo anterior para la cual cada aplicaci´on φies continua, conocida como la topolog´ıa d´ebil asociada a la colecci´on (φi)i∈I. Si ωi⊂Yies un conjunto abierto, entonces φ−1 i(ωi) no necesariamente tiene que ser un abierto en T. Como ωirecorre la familia de conjuntos abiertos de Yieirecorre I, se obtiene una familia de subconjuntos abiertos de X, cada uno debiendo ser un abierto en la topolog´ıa T. Denotemos a esta familia por (Uλ)λ∈Λ. Esto lleva a tener que considerar otro problema: Dado un conjunto Xy una familia de subconjuntos de X, (Uλ)λ∈Λ, se quiere construir la topolog´ıa m´as fina sobre Xtal que cada Uλ sea abierto para todo λ∈Λ. Es decir, se debe encontrar la familia m´as fina Fde subconjuntos de Xpara la cual la intersecci´on finita de subconjuntos abiertos cualesquiera de Fy la uni´on de subconjuntos abiertos cualesquiera de Fpertenezcan a F(se dir´a que Fes estable bajo Tfinita ySarbitraria) y adem´as Uλ∈ F para todo λ∈Λ. La construcci´on se realiza de la siguiente forma: Primero, se considera la intersecci´on finita de conjuntos en (Uλ)λ∈Λ. De esta forma, se obtiene una nueva familia, ϕ, de subconjuntos de Xque incluye (Uλ)λ∈Λy la cual es estable bajo Tfinita, aunque no se sabe qu´e ocurre bajo Sarbitraria. Por lo tanto, se considera la siguiente familia Fobtenida por la uni´on arbitraria de elementos de ϕ. Es claro que Fes estable bajo Sarbitraria y se puede probar que Fes estable bajo Tfinita (para ello, v´ease [6, Cap´ıtulo 3, p´agina 56, Lema 3.1.]). De eso modo, se observa que la familia Fconstruida da la topolog´ıa m´as fina con la propiedad requerida. En resumen, los conjuntos abiertos de la topolog´ıa Tse obtienen considerando primero Tfinita de los conjuntos de la forma φ−1 i(ωi) y luego Sarbitraria. Despu´es, para cada x∈X, se obtiene una base de entornos de xpara la topolog´ıa Tconsiderando conjuntos de la forma Tfinita φ−1 i(Vi), donde Vies un entorno de φi(x) en Yi. En lo que sigue, se dota a Xcon la topolog´ıa T, que es la topolog´ıa d´ebil asociada a la colecci´on (φi)i∈I. El siguiente resultado caracteriza la convergencia de sucesiones en la topolog´ıa T, [6, Cap´ıtulo 3, p´agina 56, Proposici´on 3.1.]. Proposici´on 1.11. Sea (xn)una sucesi´on en X. Entonces, xn→xen Tsi y solo si φi(xn)→φi(x)para cada i∈I. 1.3.2. Definici´on y propiedades elementales de la topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗) Sean Eun espacio de Banach y f∈E∗. Se denota por φf:E→Ral funcional lineal φf(x) = ⟨f, x⟩. Como frecorre E∗, se obtiene una colecci´on (φf)f∈E∗de aplicaciones de EaR. Entonces, se considera ahora una nueva topolog´ıa sobre Ede la siguiente forma. Definici´on 1.12. La topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗)en Ees la m´ınima topolog´ıa asociada a la colecci´on (φf)f∈E∗, en el sentido de la subsecci´on 1.3.1 donde X=E,Yi=Rpara todo ie 4 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES I=E∗. Observaci´on 1.13. Cada aplicaci´on φfes continua para la topolog´ıa usual y por tanto la topolog´ıa d´ebil tiene menos abiertos que la topolog´ıa usual. Observaci´on 1.14. Si una sucesi´on (xn) en Econverge a xen la topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗), se escribir´a xn⇀ x Tambi´en se dir´a que xn⇀ x d´ebilmente en σ(E, E∗). A veces para que quede claro se escribir´a, para enfatizar la convergencia fuerte, xn→xfuertemente; significando que ∥xn−x∥ → 0. Se trata ahora un resultado sobre propiedades de la convergencia d´ebil en σ(E, E∗), recogido en [6, Cap´ıtulo 3, p´agina 58, Proposici´on 3.5.]. Proposici´on 1.15. Sea (xn)una sucesi´on en E. Se tienen las siguientes propiedades. 1. xn⇀ x d´ebilmente en σ(E, E∗)⇔ ⟨f, xn⟩→⟨f, x⟩,∀f∈E∗. 2. Si xn→xfuertemente, entonces xn⇀ x d´ebilmente en σ(E, E∗). 3. Si xn⇀ x d´ebilmente en σ(E, E∗), entonces (∥xn∥)est´a acotada y ∥x∥ ≤ l´ım inf ∥xn∥. 4. Si xn⇀ x d´ebilmente en σ(E, E∗)y si fn→ffuertemente en E∗, entonces ⟨f, xn⟩→⟨f, x⟩. 1.3.3. La topolog´ıa d´ebil-∗,σ(E∗, E) Por ahora, se tienen dos topolog´ıas sobre E∗, •La topolog´ıa (fuerte) usual asociada a la norma de E∗. •La topolog´ıa d´ebil σ(E∗, E∗∗), obtenida aplicando a E∗la construcci´on de la subsecci´on 1.3.2. Se define una tercera topolog´ıa en E∗llamada topolog´ıa d´ebil-∗, denotada por σ(E∗, E), (la * es para recordar que esta topolog´ıa se define ´unicamente sobre espacios duales). Para cada x∈Ese considera el funcional lineal φx:E∗→Rdado por f7→ φx(f) = ⟨f, x⟩. Como x recorre E, se obtiene una colecci´on (φx)x∈Ede aplicaciones de E∗aR. Definici´on 1.16. La topolog´ıa d´ebil-∗,σ(E∗, E), es la m´ınima topolog´ıa sobre E∗asociada a la colecci´on de aplicaciones (φx)x∈E, con φx=J(x), en el sentido de la subsecci´on 1.3.1 donde X=E∗,Yi=Rpara todo i, e I=E. Observaci´on 1.17. Si una sucesi´on (fn) en E∗converge a fen la topolog´ıa d´ebil-∗σ(E∗, E), se escribir´a fn∗ ⇀ f. Tambi´en se dir´a que fn∗ ⇀ f d´ebilmente-∗en σ(E∗, E). A veces para que quede claro se escribir´a, para enfatizar la convergencia fuerte, fn→ffuertemente. Se trata ahora un resultado sobre propiedades de la convergencia d´ebil-∗en σ(E∗, E), recogido en [6, Cap´ıtulo 3, p´agina 63, Proposici´on 3.13.]. Proposici´on 1.18. Sea (fn)una sucesi´on en E∗. Se tienen las siguientes propiedades. 1. fn∗ ⇀ f en σ(E∗, E)⇔ ⟨fn, x⟩→⟨f, x⟩,∀x∈E. 2. Si fn→ffuertemente, entonces fn⇀ f en σ(E∗, E∗∗). Si fn⇀ f en σ(E∗, E∗∗), entonces fn∗ ⇀ f en σ(E∗, E). 5 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 3. Si fn∗ ⇀ f en σ(E∗, E), entonces (∥fn∥)est´a acotada y ∥f∥ ≤ l´ım inf ∥fn∥. 4. Si fn∗ ⇀ f en σ(E∗, E)y si xn→xfuertemente en E, entonces ⟨fn, xn⟩→⟨f, x⟩. Observaci´on 1.19. Supondremos que fn∗ ⇀ f en σ(E∗, E), o incluso fn⇀ f en σ(E∗, E∗∗), y xn⇀ x en σ(E, E∗). En general no se tiene ⟨fn, xn⟩→⟨f, x⟩. Observaci´on 1.20. Cuando Ees un espacio de dimensi´on finita, las tres topolog´ıas sobre E∗ coinciden. Para finalizar, veamos una de las propiedades esenciales de la topolog´ıa d´ebil-∗as´ı como de la topolog´ıa d´ebil, el Teorema de Banach-Alaoglu-Bourbaki, [6, Cap´ıtulo 3, p´agina 66, Teorema 3.16.], que trata sobre la compacidad de la bola unidad cerrada BE∗, y el Teorema de Kakutani, [6, Cap´ıtulo 3, p´agina 67, Teorema 3.17.], que trata sobre la compacidad de la bola unidad cerrada BE. Teorema 1.21. (Banach-Alaoglu-Bourbaki). Sea Eun espacio de Banach. La bola unidad cerrada BE∗={f∈E∗:∥f∥ ≤ 1}, es compacta en la topolog´ıa d´ebil-∗σ(E∗, E). Teorema 1.22. (Kakutani). Sea Eun espacio de Banach. Entonces Ees reflexivo si y solo si la bola unidad cerrada BE={x∈E:∥x∥ ≤ 1}, es compacta en la topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗). 1.4. Espacios Lp Esta secci´on aborda tambi´en otros de los conceptos fundamentales en el trabajo: los espacios Lp. Abarca, entre otros, resultados de integraci´on que har´an falta como el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue, la definici´on de estos espacios, y propiedades de convergencia y densidad en estos. El contenido de esta secci´on se encuentra en [6, Cap´ıtulo 4, p´aginas 89-92, 97, 99, 101, 102, 104, 105, 107-111 y 126] y en [3, Cap´ıtulo 1, p´aginas 1 y 2]. 1.4.1. Introducci´on. Resultados de integraci´on Definici´on 1.23. Se dice que la terna (Ω,M, µ)es un espacio medible si Ωes un conjunto y se verifica i.Mes un σ-´algebra en Ω; es decir, Mes una colecci´on de subconjuntos de Ωtal que •∅ ∈ M. •A∈M⇒Ac∈ M. • ∞ S n=1 An∈ M para cualquier An∈ M, para todo n∈N. ii.µes una medida; es decir, µ:M → [0,+∞]satisface •µ(∅)=0. •µ( ∞ S n=1 An) = ∞ S n=1 µ(An)para cualquier familia disjunta numerable (An). Los conjuntos de Mse conocen como conjuntos medibles, y escribiremos |A|en vez de µ(A). 6 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES iii.Ωes σ-finita; es decir, existe una familia numerable (Ωn)en Mtal que Ω = ∞ S n=1 Ωny µ(Ωn)<∞para todo n∈N. Se dice que los conjuntos E∈ M tienen medida nula si µ(E) = 0. Adem´as, se dice que una propiedad es cierta en casi todo (e.c.t x ∈Ω) si se tiene para todo Ω salvo en un conjunto de medida nula. Consideremos Ω ⊆RNmedible. Se define el espacio L1(Ω) como L1(Ω) = {f: Ω →Rmedible : ZΩ |f|dx < ∞}. Es decir, el espacio de las funciones integrables de Ω a R. Se introduce por tanto la norma ∥f∥L1(Ω) =ZΩ |f|dx. Se presenta un teorema de suma importancia: el Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue, que se encuentra en [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 90, Teorema 4.2.]. Teorema 1.24. (Teorema de la Convergencia Dominada de Lebesgue4). Sea (fn)nuna sucesi´on de funciones en L1(Ω) que satisfacen 1. fn(x)−→ f(x)en casi todo Ω. 2. Existe g∈L1(Ω) tal que para todo nse tenga |fn(x)| ≤ g(x)en casi todo Ω. Entonces f∈L1(Ω) y∥fn−f∥1−→ 0. Definici´on 1.25. Se define soporte de una funci´on φ:RN→Rcomo la clausura del conjunto de puntos donde φno se anula; es decir, sop(φ) = {x∈RN:φ(x)= 0}. Definici´on 1.26. Se define el espacio C∞ c(Ω) como el espacio de todas las funciones de Ωcon soporte compacto; es decir, C∞ c(Ω) = {f∈C(Ω) : f(x)=0∀x∈Ω\K, con Kcompacto}. Se tiene el siguiente teorema de densidad [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 90, Teorema 4.3.]. Teorema 1.27. El espacio C∞ c(RN)es denso en L1(RN); es decir, para cualesquiera f∈ L1(RN),ε > 0existe f1∈C∞ c(RN)tal que ∥f−f1∥L1≤ε. Sean (Ω1,M1, µ1), (Ω2,M2, µ2) dos espacios medibles que son σ−finitos. A continuaci´on, se ven dos teoremas importantes que se recogen en [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 91, Teorema 4.4.], [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 91, Teorema 4.5.] respectivamente. Teorema 1.28. (Tonelli). Sea F(x, y):Ω1×Ω2→Runa funci´on medible satisfaciendo 1. ZΩ2 |F(x, y)|dµ2<∞e.c.t x∈Ω1. 4Henri Le´on Lebesgue (1875-1941); matem´atico franc´es fundamentalmente conocido por sus aportes a la teor´ıa de la medida y de la integral. 7 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 2. ZΩ1 dµ1ZΩ2 |F(x, y)|dµ2<∞. Entonces F∈L1(Ω1×Ω2). Teorema 1.29. (Fubini). Sea F∈L1(Ω1×Ω2). Entonces, para casi todo x∈Ω1se tiene F(x, y)∈L1 y(Ω2)yRΩ2F(x, y)dµ2∈L1 x(Ω1). De igual manera, para casi todo y∈Ω2se tiene F(x, y)∈L1 x(Ω1)yRΩ1F(x, y)dµ1∈L1 y(Ω2). Adem´as, se tiene ZΩ1 dµ1ZΩ2 F(x, y)dµ2=ZΩ2 dµ2ZΩ1 F(x, y)dµ1=ZZΩ1×Ω2 F(x, y)dµ1dµ2. Distribuciones Introducimos ahora un espacio de Banach que va a ser ´util a lo largo del trabajo, los espacios Ck(Ω). Consideremos Ω ⊂RNsubconjunto abierto y acotado. El espacio C0(Ω) se trata del espacio de las funciones continuas en Ω. Adem´as, junto con la siguiente norma, es un espacio de Banach: ∥f∥C0(Ω) = m´ax x∈Ω |f(x)|. En general, para k∈N, se tiene Ck(Ω), el espacio de funciones continuamente diferenciables hasta orden ktales que todas las derivadas parciales de orden menor o igual que kse pueden prolongar a funciones continuas en Ω. Esto es, ∀α= (α1, ..., αN)∈(N∪ {0})Ncon |α| ≤ k, ∂|α| αfse prolonga a una funci´on de C0(Ω), donde |α|= N P i=1 αi. Este espacio junto con la siguiente norma es un espacio de Banach ∥f∥Ck(Ω) =X |α|≤k ∥∂|α| αf∥C0(Ω). Observaci´on 1.30. f∈Ck(Ω) si y solo si existe una funci´on ω∈Ck(RN) tal que la restricci´on de ωa Ω, ω|Ω, coincide con f. Definici´on 1.31. Dado un conjunto abierto Ωde RN, se define D(Ω) como el espacio C∞ c(Ω) dotado de la siguiente noci´on de convergencia: Una sucesi´on φn∈ D(Ω) se dice que converge en D(Ω) hacia una funci´on φ∈ D(Ω) si existe K⊂Ωcompacto tal que sop(φn)est´a contenido en Kpara todo n∈Ny para todo α∈(N∪ {0})N, se tiene ∂|α| αφn−→ ∂|α| αφuniformemente en Ω. Observaci´on 1.32. Como la convergencia uniforme implica convergencia puntual, se tiene que en la convergencia anterior la funci´on φtambi´en tiene soporte en K. Una distribuci´on en Ω es una aplicaci´on T:D(Ω) −→ Rlineal tal que si φnconverge a φ en D(Ω), entonces T(φn) converge a T(φ). Al conjunto de distribuciones en Ω es un espacio vectorial que se denota por D′(Ω). Adem´as, si T∈ D′(Ω) y φ∈ D(Ω), se usar´a la notaci´on ⟨T, φ⟩o⟨T, φ⟩D′(Ω),D(Ω) para denotar a T(φ). 8 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Se considera la siguiente noci´on de convergencia en D′(Ω): Una sucesi´on Tnde distribuciones se dice que converge a una distribuci´on Ten D′(Ω), escrita como Tn⇀ T en D′(Ω), si ⟨Tn, φ⟩→⟨T, φ⟩ ∀φ∈ D(Ω). Sea Ω un subconjunto abierto de RN. Se define L1 loc(Ω) como el espacio de las funciones f: Ω →Rmedibles tales que ZK |f|dx < ∞,∀K⊂Ω compacto. A continuaci´on, se introduce la siguiente noci´on de convergencia en L1 loc(Ω): Una sucesi´on fn∈L1 loc(Ω) se dice que converge en L1 loc(Ω) a una funci´on f∈L1 loc(Ω) si fnconverge a fen L1(K)para todo K⊂Ωcompacto; es decir, si ZK |fn−f|dx →0∀K⊂Ω compacto. 1.4.2. Propiedades elementales de los espacios Lp Se define, para 1 <p<∞, Lp(Ω) = {f: Ω →Rmedible : ZΩ |f|pdx < ∞}. Observaci´on 1.33. Se observa que de la propia definici´on, |f|p∈L1(Ω). Si se considera la siguiente norma, se tiene que Lp(Ω), p∈[1,∞), con dicha norma es un espacio de Banach. ∥f∥Lp(Ω) =ZΩ |f|pdx1/p . Observaci´on 1.34. Se puede observar que los elementos de Lp(Ω) no son funciones, sino clase de funciones, pues funciones que son iguales salvo en un conjunto de medida nula se consideran la misma. Por ello, no se puede hablar del valor de una funci´on de Lp(Ω) en un punto de Ω. Si p=∞, se define L∞(Ω) = {f: Ω →Rmedible/∃C≥0 tal que |f(x)| ≤ C e.c.t. Ω}. Si se considera la siguiente norma, se tiene que L∞(Ω) con dicha norma es un espacio de Banach. ∥f∥L∞(Ω) = ´ınf{C≥0 : |f(x)| ≤ Ce.c.t. Ω}. Observaci´on 1.35. Si f∈L∞(Ω) entonces se tiene |f(x)| ≤ ∥f∥L∞(Ω) e.c.t. x ∈Ω. Observaci´on 1.36. Se tiene que C0(Ω) es un subespacio de L∞(Ω). Adem´as, la norma de una funci´on de C0(Ω) coincide con su norma en L∞(Ω). Como los elementos de L∞(Ω) son clases de funciones pero los elementos de C0(Ω) s´ı son funciones, cuando se dice que es un subespacio, se usa que si dos funciones de C0(Ω) son iguales en casi todo Ω, entonces son iguales en Ω. Dado p∈[1,∞], se denota por p′al exponente conjugado, 1 p+1 p′= 1. Ahora se dar´a la conocida desigualdad de H¨older, [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 92, Teorema 4.6.]. Teorema 1.37. (Desigualdad de H¨older). Para cualesquiera f∈Lp(Ω),g∈Lp′(Ω), se tiene fg ∈L1(Ω) y se verifica ZΩ |fg|dx ≤ ∥f∥Lp(Ω)∥g∥Lp′(Ω) ∀p∈[1,+∞]. 9 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Convoluci´on y regularizaci´on Se empieza definiendo el producto de convoluci´on de una funci´on f∈L1(RN) con una funci´on g∈Lp(RN), p∈[1,∞]; [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 104, Teorema 4.15.]. Teorema 1.38. (Young). Sea f∈L1(RN)yg∈Lp(RN),p∈[1,∞]. Entonces, para casi todo x∈RNse tiene que la funci´on y7→ f(x−y)g(y)es integrable en RNy se definir´a (1.1) (f∗g)(x) = ZRN f(x−y)g(y)dy. Adem´as, f∗g∈Lp(RN)y ∥f∗g∥p≤ ∥f∥1∥g∥p. Definici´on 1.39. Una sucesi´on regularizante (ρn)es una sucesi´on de RNque cumple (1.2) ρn∈C∞ c(RN), sop(ρn)⊂B(0,1/n),ZRN ρn= 1, ρn≥0en RN. A continuaci´on, introducimos unos cuantos resultados de inter´es, respectivamente [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 109, Teorema 4.22.], [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 109, Corolario 4.23.], [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 110, Corolario 4.24.]. Teorema 1.40. Sea f∈Lp(RN)con p∈[1,∞). Entonces (ρn∗f)→fcuando n→ ∞ en Lp(RN). Corolario 1.41. Sea Ωsubconjunto abierto de RN. El espacio C∞ c(Ω) es denso en Lp(Ω) para todo p∈[1,∞). Lema 1.42. Sea Ωsubconjunto abierto de RNy sea u∈L1 loc(Ω) tal que ZΩ uf = 0 ∀f∈ C∞ c(Ω). Entonces u≡0en casi todo Ω. Este lema tiene diferentes versiones con otros conjuntos de funciones tests que pueden ser m´as ´utiles en ocasiones; por lo que se ver´a una de estas versiones que har´a falta m´as adelante, recogida en [4, Ap´endice A, p´agina 116, Lema A.5.]. Lema 1.43. Sea Ωsubconjunto abierto de RNy sea u∈L1 loc(Ω) tal que ZB u= 0 ∀Bbola contenida en Ω. Entonces u≡0en casi todo Ω. A continuaci´on, se presentan unos resultados de inter´es cuando se est´en estudiando las soluciones d´ebiles. Proposici´on 1.44. Sean u∈L∞(RN),(ρn)una sucesi´on regularizante y (ζn)una sucesi´on en L∞(RN)tal que ∥ζn∥∞≤1∀n, yζn→ζen casi todo RN. Adem´as, pongamos vn=ρn∗(ζnu), v =ζu. Entonces, vn∗ ⇀ v en la topolog´ıa d´ebil-∗σ(L∞, L1). 10 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Observaci´on 1.45. El resultado anterior tambi´en se tiene para cualquier subconjunto Ω de RN, solo basta prolongar uy cada una de las funciones de la sucesi´on (ζn) a RNhaciendo que valga cero en los puntos de RN\Ω. Corolario 1.46. Sea Ω⊂RNun subconjunto abierto. Se tiene que el espacio C∞ c(Ω) es denso en L∞(Ω) con respecto a la topolog´ıa σ(L∞, L1). Por otro lado, veamos qu´e ocurre con los espacios duales de Lp. Para ello, daremos a continuaci´on el Teorema de Representaci´on de Riesz [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 97, Teorema 4.11.]. Teorema 1.47. (Teorema de Representaci´on de Riesz5). Sea p∈(1,∞)y sea ϕ∈(Lp)∗. Entonces existe una ´unica funci´on f∈Lp′tal que ⟨ϕ, g⟩=ZΩ fg dx ∀g∈Lp(Ω). Adem´as, ∥f∥Lp′=∥ϕ∥(Lp)∗. Se puede identificar (Lp)∗≡Lp′. Se tiene tambi´en otro teorema de densidad, [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 97, Teorema 4.12.]. Teorema 1.48. El espacio C∞ c(RN)es denso en Lp(RN), para cualquier p∈[1,∞). Observaci´on 1.49. El espacio C∞ c(Ω) es denso en Lp(Ω), para cualquier p∈[1,∞), donde Ω es un abierto de RN. Cuando p= 1, se obtiene otro Teorema de Representaci´on de Riesz, [6, Cap´ıtulo 4, p´agina 99, Teorema 4.14.]. Teorema 1.50. (Teorema de Representaci´on de Riesz). Sea ϕ∈(L1)∗. Entonces existe una ´unica funci´on f∈L∞tal que ⟨ϕ, g⟩=ZΩ fg dx ∀g∈L1(Ω). Adem´as, ∥f∥L∞=∥ϕ∥(L1)∗. Observaci´on 1.51. El Teorema de Representaci´on de Riesz 1.50 muestra que todo funcional lineal continuo de L1se puede representar como una integral. Se puede identificar (L1)∗≡L∞. En cuanto al espacio L∞(Ω), se tienen las siguientes propiedades La bola unidad cerrada es compacta en la topolog´ıa d´ebil-∗,σ(L∞(Ω), L1(Ω)). Si Ω es un subconjunto medible de RNy (fn) es una sucesi´on acotada de L∞(Ω), entonces existe una subsucesi´on (fnk) y alg´un f∈L∞(Ω) tal que fnk⇀ f en la topolog´ıa d´ebil-∗, σ(L∞(Ω), L1(Ω)). 5Frigyes Riesz (1880-1956); matem´atico h´ungaro fundamentalmente conocido por sus aportes al An´alisis Funcional. 11 Cap´ıtulo 2 M´etodo de las Caracter´ısticas En este cap´ıtulo se estudiar´an resultados sobre la existencia y unicidad del problema de Cauchy para la ecuaci´on de transporte-reacci´on. Se introducir´a el concepto de parcela de fluido, que servir´a como base para estudiar la evoluci´on de cantidades transportadas por un flujo. A continuaci´on, se presentar´a el Teorema del Transporte para el caso de una funci´on escalar.Este teorema proporciona una herramienta clave para calcular la derivada temporal de la integral de una cantidad escalar definida sobre una parcela de fluido, lo cual resulta esencial en numerosos contextos de la mec´anica de medios continuos y la f´ısica de fluidos. Finalmente, se discutir´an las condiciones necesarias sobre el campo de velocidades para asegurar que el flujo est´e bien definido, es decir, que exista una ´unica trayectoria para cada punto inicial (unicidad) y que estas trayectorias dependan de forma regular del tiempo y del punto de partida (regularidad). Estas condiciones son cruciales para poder formular y analizar correctamente los modelos que describen el transporte de sustancias en medios en movimiento. 2.1. Introducci´on Sea Ω un conjunto abierto de RNcon frontera regular1. Se considera un campo de vectores v: Ω ×R→RNque vamos a suponer que pertenece al espacio C1(Ω ×R) y que es acotado. Vamos a suponer que v=v(x, t) verifica v·ν = 0 sobre ∂Ω×R(f´ısicamente, quiere decir que es un campo tangente a la frontera y que las trayectorias de las part´ıculas que viajan con velocidad vson tangentes a la frontera). Sea tambi´en una funci´on escalar c: Ω ×R→Rperteneciente al espacio C1(Ω ×R) y u0: Ω →Run dato inicial en el espacio C1(Ω). Nos interesa resolver el problema de Cauchy para la ecuaci´on del transporte-reacci´on: (2.1) (ut+v· ∇u+cu = 0 en Ω ×R, u(·,0) = u0en Ω, donde, •u=u(x, t): representa la cantidad transportada (por ejemplo, temperatura en un medio en movimiento, densidad de una poblaci´on en una regi´on geogr´afica, concentraci´on de un contaminante en un fluido) en el instante de tiempo ten la posici´on x. •v=v(x, t): representa el campo de velocidades (indica la velocidad y direcci´on del flujo que transporta u) en el instante de tiempo tal pasar por la posici´on x. •c=c(x, t): representa la reacci´on del medio con la cantidad transportada u(por ejemplo, interacciones internas o externas que crean o destruyen la cantidad transportada udebido 1Se dice que Ω tiene frontera regular si localmente, ∂Ω es una hipersuperficie regular de RNy Ω est´a situado en un ´unico lado de ∂Ω. As´ı, para cualquier punto de ∂Ω, podemos definir el ´unico vector unitario normal que est´a orientado desde el interior hasta el exterior de Ω. 19 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS a algunas reacciones qu´ımicas, crecimiento poblacional, etc.) en el instante de tiempo ten la posici´on x. Observaci´on 2.1. Aunque el problema anterior se denomina problema de Cauchy por involucrar una evoluci´on temporal junto con un dato inicial, no estamos tratando una ecuaci´on diferencial ordinaria, ya que al expresarla formalmente como ut=F(u, t),el t´ermino Fno es una funci´on en el sentido cl´asico, sino un operador diferencial que involucra derivadas espaciales de u. Observaci´on 2.2. Cuando se considera el caso c≡0, la ecuaci´on del transporte (en este caso, tenemos lo que se conoce como transporte puro o advecci´on) describe c´omo una cantidad use propaga a lo largo del tiempo debido al movimiento de un fluido con velocidad v. En este caso, no hay ganancia ni p´erdida de u, simplemente se traslada siguiendo el flujo. Al incorporar el t´ermino cu, se introduce una reacci´on local que afecta la evoluci´on de u: puede representar, por ejemplo, crecimiento, descomposici´on o interacci´on con el entorno. En el contexto del flujo de un r´ıo, este t´ermino podr´ıa modelar el efecto de un contaminante que se disuelve o reacciona qu´ımicamente con el agua, alterando la concentraci´on a lo largo del trayecto. Nuestro objetivo es hallar bajo qu´e condiciones se garantiza la existencia de una soluci´on u∈ C1(Ω ×R) para el problema de Cauchy (2.1). En el problema de valores iniciales (2.1) se han planteado una serie de hip´otesis que hacen preguntarse si realmente son necesarias o el porqu´e de su imposici´on. A lo largo de la secci´on veremos las respuestas a esta cuesti´on. El problema (2.1) se puede resolver mediante el M´etodo de las Caracter´ısticas, gracias a las condiciones de regularidad de v. As´ı, si existe soluci´on y si adem´as es suficientemente regular, esta verifica una ecuaci´on diferencial lineal de primer orden a lo largo de las trayectorias del flujo. Dichas trayectorias se denominan curvas caracter´ısticas de la ecuaci´on. 2.2. Propiedades del flujo Se aborda el concepto de flujo asociado al campo de vectores v. Este concepto es fundamental para el estudio de la existencia de soluci´on por el M´etodo de las Caracter´ısticas. En consecuencia, resulta de gran inter´es estudiar propiedades esenciales del flujo. Al conocer v, estas curvas caracter´ısticas son por definici´on soluciones del siguiente problema de valores iniciales. (2.2) (∂tX(x, t, s) = v(X(x, t, s), t), X(x, s, s) = x. La funci´on Xes la posici´on en el instante de tiempo tde una part´ıcula de fluido que en el instante de tiempo sestaba en la posici´on x. Es decir, la aplicaci´on t7−→ X(x, t, s) es conocida como la trayectoria de la part´ıcula de fluido que en el instante de tiempo sestaba en la posici´on x. Dicha funci´on se conoce como el flujo asociado al campo de vectores v. A continuaci´on, presentamos un resultado que nos dice que dado un punto de Ω, el flujo asociado a este punto permanece en Ω. Procedemos a demostrar esta propiedad. Proposici´on 2.3. Sean Ω⊂RNun subconjunto abierto acotado con frontera regular y v: Ω×R→RNtal que v∈ C1(Ω ×R)yv·ν = 0 sobre ∂Ω×R. Entonces, X(x, t, s)∈Ωpara cualesquiera x∈Ω,t, s ∈R. 20 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Prueba.Dado que Ω ⊂RNes un subconjunto abierto acotado, su frontera es compacta. Adem´as, como su frontera es regular, existe ε > 0 tal que la aplicaci´on ψ: (y, s)∈∂Ω×(−ε, ε)7→ y−sν(y)∈RN, es un C1difeomorfismo en su imagen Udefinida por U={x∈RN:d(x, ∂Ω) < ε}. Adem´as, su inversa, para cada x∈ U, viene dada por ψ−1(x)=(P(x), δ(x)) ∈∂Ω×(−ε, ε), donde δ(x) est´a dada por la funci´on distancia con signo de un punto xa∂Ω, δ(x) := (d(x, ∂Ω) si x∈Ω, −d(x, ∂Ω) si x∈Ωc, y donde P(x) es la proyecci´on ortogonal de xsobre ∂Ω, siendo el ´unico2punto del compacto ∂Ω que verifica ∥x−P(x)∥=d(x, ∂Ω). Entonces, nos encontramos que ∇δ(x) = −ν(P(x)). Fijemos T > 0 arbitrario. Para cualquier punto x∈ U, como vyδson regulares, por el Teorema del Valor Medio 1.5 |(v· ∇δ)(x, t)−(v· ∇δ)(P(x), t)| ≤ C∥x−P(x)∥=C|δ(x)|, para cualesquiera t∈[−T, T], x∈Ω y donde C > 0 es una constante que depende de T. Asimismo, en la frontera del dominio se verifica (v· ∇δ)(y, t) = −(v·ν)(y, t) = 0,∀t∈[−T, T],∀y∈∂Ω. Combinando estos dos resultados, (2.3) |(v· ∇δ)(x, t)| ≤ C|δ(x)|,∀t∈[−T, T],∀x∈ U. Sea ahora x0∈∂Ω. Estudiemos la evoluci´on de δ(X(x0, t, 0)), que representa la distancia con signo desde X(x0, t, 0) hasta la frontera. d dtδ(X(x0, t, 0)) =∇δ(X(x0, t, 0)) ·∂tX(x0, t, 0) =∇δ(X(x0, t, 0)) ·v(X(x0, t, 0), t). Integrando y utilizando la desigualdad (2.3) obtenida previamente, mientras que X(x0, t, 0) se mantenga en U, se cumple |δ(X(x0, t, 0))|≤|δ(x0)|+CZt 0 |δ(X(x0, s, 0))|ds, ∀t∈[−T, T]. Aplicando el Lema de Gronwall 1.77 |δ(X(x0, t, 0))| ≤ |δ(x0)|eC|t|,∀t∈[−T, T ]. Dado que partimos de un punto x0∈∂Ω, se tiene que δ(x0) = 0. Por tanto, concluimos que δ(X(x0, t, 0)) = 0,∀t∈[−T, T]. 2En general, la proyecci´on de un punto arbitraro de un conjunto compacto no tiene por qu´e tenerse. En este caso se debe porque Ω es regular y ε > 0 es peque˜no. 21 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Como T > 0 era arbitrario, se tiene que t7→ X(x0, t, 0) est´a completamente contenida en ∂Ω. Si ahora x0∈Ω, entonces la trayectoria t7→ X(x0, t, 0) permanece completamente contenida en Ω. En efecto, si esto no fuera as´ı, dicha trayectoria deber´ıa intersectar la frontera ∂Ω. Por raz´on expuesta anteriormente, en tal caso la trayectoria se mantendr´ıa ´ıntegramente en la frontera, lo cual no es posible dado que X(x0,0,0) = x0se encuentra en el conjunto abierto Ω. Con esto, concluye la demostraci´on. Se procede a demostrar que estas curvas caracter´ısticas est´an bien definidas y tambi´en algunas propiedades suyas. Proposici´on 2.4. Se supone v: Ω ×R→RNes una funci´on continua y Lipschitz respecto de su variable espacial, siendo Ω⊂RNun subconjunto abierto acotado, y adem´as v∈ C1(Ω ×R). Entonces, la funci´on Xest´a bien definida para todo x∈Ωy para cualesquiera t, s ∈R, y se tiene que X(x, t, s)∈Ω. Adem´as, se tienen las siguientes propiedades: 1. Para cualesquiera t1, t2, t3∈Rse tiene X(X(·, t2, t3), t1, t2) = X(·, t1, t3). 2. Para cualesquiera t, s ∈Ryx∈Ω, se tiene ∂tX(x, t, s) + ∇X(x, t, s)·v(x, s)=0, o tambi´en ∂tXi(x, t, s) + ∇Xi(x, t, s)·v(x, s) = 0, donde Xies la i-´esima componente de X, para todo i∈ {1, ..., N}. Prueba.Veamos que Xest´a bien definida. Por hip´otesis, v∈ C1(Ω ×R). Por definici´on, existe una funci´on w∈ C1(RN×R) tal que v=w|Ω×R Entonces, wsatisface la condici´on en la frontera ∂Ω×R w·ν =v·ν = 0 Por lo tanto, como wes conocida, se puede resolver el siguiente problema de valores iniciales. (∂tX(x, t, s) = w(X(x, t, s), t), X(x, s, s) = x∈RN. Posiblemente la importancia de que el dominio sea acotado est´a en el hecho de que la extensi´on w necesita satisfacer las condiciones del Teorema de Cauchy-Lipschitz 1.75 (continua y globalmente Lipschitz en la variable espacial). Se observa que, por ser vla restricci´on de wa Ω ×R, las trayectorias del problema anterior que est´an en Ω ×Rcoinciden con las del problema (2.2). Gracias a estas consideraciones y a la condici´on w·ν = 0 sobre ∂Ω×R, por la Proposici´on 2.3, los puntos de dicha frontera permanencen invariantes. Por tanto, X(x, t, s)/∈∂Ω, si x∈Ω. As´ı, como Ω es un abierto acotado, se tiene que las soluciones del problema (2.2) son globales, pues garantiza que las soluciones del problema de valores iniciales que se han definido anteriormente para wno explotan en tiempo finito con datos dados en Ω. Veamos ahora la propiedad 1. 22 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Sean t2, t3∈R,x∈Ω fijos. Recordemos que tenemos el problema de valores iniciales (2.2). (∂tX(x, t, s) = v(X(x, t, s), t), X(x, s, s) = x. Integrando entre tysse tiene X(x, t, s) = X(x, s, s) + Zt s v(X(x, τ, s), τ)dτ =x+Zt s v(X(x, τ, s), τ)dτ. Entonces, X(X(x, t2, t3), t, t2) = X(x, t2, t3) + Zt t2 v(X(X(x, t2, t3), τ, t2), τ)dτ. X(x, t, t3) = x+Zt t3 v(X(x, τ, t3), τ)dτ. Como ves globalmente Lipschitz respecto Ω, sea L > 0 su constante Lipschitziana, y considerando lo anterior, para cualquier t∈Rse tiene |X(X(x, t2, t3), t, t2)−X(x, t, t3)|= X(x, t2, t3) + Zt t2 v(X(X(x, t2, t3), τ, t2), τ)dτ −x−Zt t3 v(X(x, τ, t3), τ)dτ = x+Zt2 t3 v(X(x, τ, t3), τ)dτ +Zt t2 v(X(X(x, t2, t3), τ, t2), τ)dτ −x−Zt t3 v(X(x, τ, t3), τ)dτ =Zt t2 v(X(X(x, t2, t3), s, t2), s)−v(X(x, s, t3), s)ds ≤Zt t2 L|X(X(x, t2, t3), s, t2)−X(x, s, t3)|ds. Aplicando el Lema de Gronwall 1.77 L|X(X(x, t2, t3), t, t2)−X(x, t, t3)| ≤ 0∀t∈R. Por lo que L|X(X(x, t2, t3), t, t2)−X(x, t, t3)|= 0 y por tanto X(X(x, t2, t3), t, t2) = X(x, t, t3) para cualquier t∈R. Se tiene la propiedad 1. Veamos la propiedad 2. Sea γ(x, t, s) = ∂sX(x, t, s) + ∇X(x, t, s)v(x, s). Sabemos que X(x, s, s) = xy derivando esta identidad respecto a s, se obtiene 0 = ∂sX(x, s, s) + ∂tX(x, s, s) =∂sX(x, s, s) + v(X(x, s, s), s) =∂sX(x, s, s) + v(x, s). 23 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Luego, teniendo en cuenta que ∇X(x, s, s) = Id, tenemos que γ(x, s, s)=0∀s∈R,∀x∈Ω. Como γes suficientemente regular, las derivadas cruzadas coinciden y por tanto, d dtγ(x, t, s) = d dt [∂sX(x, t, s) + ∇X(x, t, s)v(x, s)] =d ds [∂tX(x, t, s)] + ∇[∂tX(x, t, s)] v(x, s) =d ds [v(X(x, t, s), t)] + ∇[v(X(x, t, s), t)] v(x, s) =∇v(X(x, t, s), t)∂sX(x, t, s) + [∇v(X(x, t, s), t)∇X(x, t, s)] v(x, s) =∇v(X(x, t, s), t) [∂sX(x, t, s) + ∇X(x, t, s)v(x, s)] =∇v(X(x, t, s), t)γ(x, t, s). Con ello, la aplicaci´on t7−→ γ(x, t, s) verifica una ecuaci´on diferencial lineal de primer orden que adem´as cumple γ(x, s, s) = 0 ∀s∈R,∀x∈Ω, luego γ≡0. Se tiene la propiedad 2. Con esto, concluye la prueba. Una vez confirmado que el flujo est´a bien definido y conocidas ciertas propiedades del mismo, procedemos a demostrar dos propiedades que resultar´an de utilidad a lo largo del cap´ıtulo. Teorema 2.5. (Propiedades del flujo). Se supone v: Ω ×R→RNes una funci´on continua y Lipschitz respecto de su variable espacial (v´ease Definici´on 1.67), siendo Ω⊂RNun subconjunto abierto acotado con frontera Lipschitz3. Se tienen las siguientes propiedades. •Propiedad de grupo del flujo. Para cualesquiera t0, t1, t2∈Ryx∈Ωfijo, se tiene (X(·, t0, t0) = Id, X(x, t2, t0) = X(·, t2, t1)◦X(x, t1, t0). En particular, para todo t0, t1∈R, el flujo es un homeomorfismo de Ωy Lipschitz en Ω; donde su inversa est´a dada por X−1(·, t1, t0) = X(·, t0, t1)en Ωy tambi´en es Lipschitz en Ω. •Continuidad respecto los datos. La aplicaci´on X(x, t, s):Ω×R×R→Ωes localmente Lipschitz. Prueba.Comenzaremos con la propiedad de grupo del flujo. La funci´on X(·, t0, t0):Ω→Ω est´a representada por la matriz identidad para todo t0∈R, pues X(x, t0, t0) = xpara cualesquiera x∈Ω, t0∈R. Veamos que X(·, t, s) es biyectiva y continua. La continuidad es clara gracias a la regularidad de v, pues ∂tX(x, t, s) = v(X(x, t, s), t)∀x∈Ω, ∀t, s ∈R. Para todo x∈Ω, s, t ∈R, definamos y=X(x, s, t). Por la Proposici´on 2.4, se tiene que y=X(x, s, t)∈Ω, y adem´as, X(y, t, s) = X(X(x, s, t), t, s) = X(x, t, t) = x. 3Sea Ω ⊂RNun conjunto abierto acotado. Se dice que Ω tiene frontera Lipschitz si para todo x0∈∂Ω existen δ > 0, U ⊂ RN, subconjunto abierto con x0∈ U, y una funci´on globalmente Lipschitz (Definici´on 1.67) ψ, tales que ψ(0) = x0,ψ(B(0, δ)∩ {xN>0}) = Ω ∩ U yψ(B(0, δ)∩ {xN= 0}) = ∂Ω∩ U. 24 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Con ello, se tiene la sobreyectividad. En cuanto la inyectividad, sean x1, x2∈Ω verificando X(x1, t, s) = X(x2, t, s). Hay que probar que, en dicho caso, entonces x1=x2. x1=X(X(x1, t, s), s, t) = X(X(x2, t, s), s, t) = x2. Luego X(·, t, s) es biyectiva. Veamos ahora cu´al es la expresi´on de la inversa. Por la Proposici´on 2.4, para cualesquiera x∈Ω, t, s ∈Rse tiene X(X(x, t, s), s, t) = X(x, s, s) = x. Por lo tanto, X−1(·, s, t) = X(·, t, s) en Ω, que como se ha visto, es continua en Ω. As´ı, el flujo es un homeomorfismo de Ω. Comprobemos ahora que para cualesquiera t, s ∈R,X(·, t, s) es Lipschitziana en Ω. Sean x1, x2∈Ω arbitrarios. Como el flujo es soluci´on de un problema de valores iniciales, (2.2), se tiene X(x1, t, s) = x1+Zt s v(X(x1, τ, s), τ)dτ ∀t∈R, X(x2, t, s) = x2+Zt s v(X(x2, τ, s), τ)dτ ∀t∈R. Como ves Lipschitz en Ω, se obtiene |X(x1, t, s)−X(x2, t, s)|≤|x1−x2|+Zt s |v(X(x1, τ, s), τ)−v(X(x2, τ, s), τ)|dτ ≤ |x1−x2|+Zt s L(τ)|X(x1, τ, s)−X(x2, τ, s)|dτ. Aplicando el Lema de Gronwall 1.77, |X(x1, t, s)−X(x2, t, s)|≤|x1−x2|exp Zt s L(τ)dτ. Luego Xes Lipschitz en Ω. Adem´as, como la inversa es X−1(·, s, t) = X(·, t, s), se tiene el mismo resultado para esta. Veamos finalmente la composici´on. Fijemos t0, t1∈R,x∈Ω arbitrarios. Sea Y(x, t, t0) = X(X(x, t1, t0), t, t1). Hay que comprobar que Yes soluci´on de (2.2). ∂tY(x, t, t0) = ∂tX(X(x, t1, t0), t, t1) = v(X(X(x, t1, t0), t, t1), t) = v(Y(x, t, t0), t). Adem´as, gracias a la expresi´on de la propia inversa, Y(x, t0, t0) = X(X(x, t1, t0), t0, t1)=(X◦X−1)(X(x, t1, t0), t0, t1) = x. Luego Yes soluci´on del problema (2.2) y por tanto, si se toma t=t2cualquiera, se tiene la composici´on pedida, gracias a la unicidad de soluci´on para el problema (2.2). Falta probar la propiedad del flujo de continuidad respecto de los datos. Para ver que Xes localmente Lipschitz en Ω ×R×R, hay que probar que para cada 25 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS (x, t, s)∈Ω×R×R, existe una bola abierta de centro xcontenida en Ω y un intervalo cerrado de Rque contenga a ty a sde forma que la restricci´on de Xsea globalmente Lipschitziana. Sean x0∈Ω, t, s ∈Rfijos. Sea I⊂Run intervalo abierto de forma que t, s ∈I. Como hemos visto cuando hemos probado que el flujo era Lipschitz en Ω, tenemos (2.4) |X(x0, t, s)−X(x1, t, s)| ≤ exp ZI L(τ)dτ|x0−x1| ∀x1∈Ω. Por otro lado, X(x0, t, s) = x0+Zt s v(X(x0, τ, s), τ)dτ. Entonces, X(x0, t, s) = x0+Zt s v(x0, τ)dτ +Zt s (v(X(x0, τ, s), τ)−v(x0, τ)) dτ. Como ves Lipschitz en Ω ×R, |X(x0, t, s)|≤|x0|+Zt s |v(x0, τ)|dτ +Zt s L(τ)|X(x0, τ, s)−x0|dτ . Aplicando el Lema de Gronwall 1.77 |X(x0, t, s)| ≤ |x0|+Zt s |v(x0, τ)|dτexp Zt s L(τ)dτ. Por lo tanto, |X(x1, t, s)|=|X(x1, t, s)±X(x0, t, s)| ≤ |X(x0, t, s)−X(x1, t, s)|+|X(x0, t, s)| ≤exp ZI L(τ)dτ|x0−x1|+|x0|+ZI |v(x0, τ)|dτexp ZI L(τ)dτ. Sea ρ0∈(0,1] de forma que B(x0, ρ0)⊂Ω. As´ı, tomando x1∈B(x0, ρ0), |x0−x1| ≤ ρ0. Denotemos por R(x0) = ρ0exp ZI L(τ)dτ+|x0|+ZI |v(x0, τ)|dτexp ZI L(τ)dτ. Esto implica que X(x1, t, s)∈¯ B(0, R(x0)) para todo x1∈B(x0, ρ0). Consideremos ahora ¯ B(0, R(x0)) ׯ IyM(x0)>0 una cota de ven dicho conjunto. Para cualesquiera t0, t1, t2∈Iyx1∈B(x0, ρ0), integrando entre t1, t2, X(x1, t1, t0)−X(x1, t2, t0) = Zt2 t1 v(X(x1, τ, t0), τ)dτ, (2.5) |X(x1, t1, t0)−X(x1, t2, t0)| ≤ M(x0)|t2−t1|. 26 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Para cualesquiera ¯ t, ¯s∈I,x1∈B(x0, ρ0), se obtiene |X(x1,¯ t, ¯s)−X(x1, t, s)|=|X(x1,¯ t, ¯s)−X(x1, t, s)±X(x1,¯ t, s)| ≤|X(x1,¯ t, ¯s)−X(x1,¯ t, s)|+|X(x1,¯ t, s)−X(x1, t, s)| =|X(x1,¯ t, ¯s)−X(X(x1,¯s, s),¯ t, ¯s)|+|X(x1,¯ t, s)−X(x1, t, s)| =|X(X(x1, s, s),¯ t, ¯s)−X(X(x1,¯s, s),¯ t, ¯s)| +|X(x1,¯ t, s)−X(x1, t, s)| ≤exp ZI L(τ)dτ|X(x1, s, s)−X(x1,¯s, s)| +|X(x1,¯ t, s)−X(x1, t, s)| ≤M(x0)exp ZI L(τ)dτ|s−¯s|+|t−¯ t|. donde en la primera desigualdad se ha aplicado la desigualdad triangular, en la segunda y tercera igualdad la propiedad de grupo del flujo del Teorema 2.5, que ya hemos probado, despu´es hemos aplicado la desigualdad (2.4) (es v´alida porque x1∈B(x0, ρ0)⊂Ω) y para terminar, la desigualdad (2.5). Finalmente, volviendo a aplicar las desigualdades (2.4), (2.5) se tiene |X(x1,¯ t, ¯s)−X(x0, t, s)|=|X(x1,¯ t, ¯s)−X(x0, t, s)±X(x1, t, s)| ≤|X(x1, t, s)−X(x0, t, s)|+|X(x1,¯ t, ¯s)−X(x1, t, s)| ≤exp ZI L(τ)dτ|x1−x0| +M(x0)exp ZI L(τ)dτ|s−¯s|+|t−¯ t|. As´ı, la restricci´on de XaB(x0, ρ0)ׯ Iׯ Ies globalmente Lipschitziana respecto a B(x0, ρ0)ׯ Iׯ I. En conclusi´on, se tiene la propiedad de continuidad del flujo respecto los datos. Con esto, concluye la prueba de las propiedades del flujo. 2.3. Existencia de soluci´on Se abordan distintos resultados en los que estudiamos cu´ando se consigue una soluci´on regular del problema de Cauchy (2.1) para la ecuaci´on del transporte-reacci´on. Adem´as, tambi´en se har´a este an´alisis para variantes de dicha ecuaci´on, como puede ser el caso donde no se tiene t´ermino de reacci´on o se le a˜nade una fuente externa (regular) al problema. Introducimos un resultado de inter´es en el caso particular en que la EDP del problema (2.1) se simplifica al caso c≡0; es decir, no se incluye t´ermino de reacci´on, comenzando en el instante s= 0. Proposici´on 2.6. Bajo las condiciones del problema de Cauchy (2.1), suponiendo que c≡0en Ω, se tiene u(X(x, t, 0), t) = u0(x)para todo x∈Ω. Prueba.Derivando respecto de t, sustituyendo primero la EDP de (2.2) y luego por la EDP de (2.1), se obtiene ∂tu(X(x, t, 0), t) = ∇u(X(x, t, 0), t)∂tX(x, t, 0) + ut(X(x, t, 0), t) =v(X(x, t, 0), t)· ∇u(X(x, t, 0), t) + ut(X(x, t, 0), t) = 0. 27 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Dicha funci´on est´a bien definida. Ve´amoslo. Como ues una funci´on medible positiva, u(s)>0 para todo s∈I, luego ω(u(s)) est´a bien definida para todo s∈I. Adem´as, la composici´on ω◦ues medible en I, pues ωes continuo y ues medible. Asimismo, como α∈L1 loc(I) y ω∈C0(¯ I)⊂L1(I), por la desigualdad de H¨older 1.37 se tiene que α(ω◦u)∈L1(I). Por lo tanto, h∈W1,1(I). Por la hip´otesis (2.10), u(t)≤h(t) para todo t∈Iy como ues positiva, se tiene que htambi´en lo es. Como ωes creciente en R+, se tiene h′(t) = α(t)ω(u(t)) ≤α(t)ω(h(t)) ∀t∈I. Adem´as, teniendo en cuenta que g′(t) = 1 ω(t), se obtiene (g◦h)′(t) = g′(h(t))h(t)≤1 ω(h(t))α(t)ω(h(t)) = α(t). Integrando en (t0, t), para todo t∈I, se tiene Zt t0 (g◦h)′(s)ds ≤Zt t0 α(s)ds ⇒g(h(t)) −g(h(t0)) ≤Zt t0 α(s)ds ⇒g(h(t)) ≤g(h(t0)) + Zt t0 α(s)ds ⇒g(h(t)) ≤g(a) + Zt t0 α(s)ds. Como g′(x) = 1 ω(x)yωes positiva, ges una funci´on creciente, luego g(u(t)) ≤g(h(t)) para todo t∈I. Por lo tanto, g(u(t)) ≤g(a) + Zt t0 α(s)ds ∀t∈I. Se tiene (2.11). Supongamos ahora que a= 0. Como se ha visto, si aes estrictamente positivo, se tiene g(u(t)) ≤g(a) + Zt t0 α(s)ds ∀t∈I, para cualquiera que sea umedible positiva en I. Teniendo en cuenta que g(a) = Za 1 1 w(s)ds, tomando l´ımite cuando atiende a cero, se obtiene que l´ım a→0g(a) = Z0 1 1 ω(s)ds =−∞. Entonces, g(u(t)) = Zu(t) 1 1 ω(s)ds ≤ −∞. Esto implica que g(u(t)) = −∞ para todo t∈I. Por lo tanto, ues nula en casi todo I. Con ello, finaliza la demostraci´on. 34 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Teorema 2.17. Sean Eun espacio de Banach, Ωun subconjunto abierto de EeIun intervalo abierto de R. Se supone adem´as v∈L1 loc(I, Cω(Ω, E)) en Ω, con ωverificando (2.9). Entonces, para cualesquiera (x0, t0)∈E×I, existe un intervalo Jtal que t0∈J⊂Iy existe una ´unica aplicaci´on Lipschitziana xtal que, para todo t∈J, (2.12) x(t) = x0+Zt t0 v(x(s), s)ds. Prueba.Veamos la unicidad. Sean x1, x2dos soluciones que verifican (2.12) y son Lipschitz en I. x1(t)−x2(t) = Zt t0 [v(x1(s), s)−v(x2(s), s)] ds. Entonces, |x1(t)−x2(t)| ≤ Zt t0 |v(x1(s), s)−v(x2(s), s)| ω(d(x1(s), x2(s))) ω(d(x1(s), x2(s))) ds, ∀t∈I. Debemos comprobar que s7→ |v(x1(s), s)−v(x2(s), s)| ω(d(x1(s), x2(s))) ∈L1 loc(I). Comprob´emoslo. ZK |v(x1(s), s)−v(x2(s), s)| ω(d(x1(s), x2(s))) ds ≤ZK sup z=y ∥v(z, s)−v(y, s)∥E ω(∥z−y∥E)ds ≤ZK ∥v(·, s)∥Cω(Ω,E)ds < ∞ ∀K⊂Jcompacto. Aplicando el Lema de Osgood 2.16 se tiene x1≡x2y con ello la unicidad. Veamos ahora la existencia. Utilizaremos un esquema de Picard. (2.13) xk+1(t) = x0+Zt t0 v(xk(s), s)ds. Tomando un intervalo J⊂Isuficientemente peque˜no, se puede asegurar que las funciones xk permanezcan en el dominio de definici´on de vy que formen una sucesi´on acotada en L∞(J). Sea ρk,n(t) = ∥xk+n(t)−xk(t)∥E. Se tiene 0≤ρk+1,n(t)≤Zt t0 ∥v(xk+1+n(s), s)−v(xk+1(s), s)∥Eds =Zt t0 ∥v(xk+1+n(s), s)−v(xk+1(s), s)∥E ω(ρk,n(s)) ω(ρk,n(s)) ds. Por otro lado, como v∈L1 loc(I, Cω(Ω, E)), ZK ∥v(xk+1+n(s), s)−v(xk+1(s), s)∥E ω(ρk,n(s)) ds ≤ZK sup z=y ∥v(z, s)−v(y, s)∥E ω(∥z−y∥E)ds ≤ZK ∥v(·, s)∥Cω(Ω,E)ds < ∞,∀K⊂Jcompacto. Luego la aplicaci´on α(s) = ∥v(xk+1+n(s), s)−v(xk+1(s), s)∥E ω(ρk,n(s)) ,∀s∈J, 35 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS es positiva y pertenece a L1 loc(J). Por lo tanto, retomanto las desigualdades anteriores, 0≤ρk+1,n(t)≤Zt t0 α(s)ω(ρk,n(s)) ds. Sean ρk(t) = sup nρk,n(t) y ¯ρ(t) = sup k ρk(t) para todo t∈J. Como ωes creciente, tomando supremo en nse tiene 0≤ρk+1(t)≤Zt t0 α(s)ω(ρk(s)) ds. Tomando l´ımite superior en k, 0≤¯ρ(t)≤Zt t0 α(s)ω(¯ρ(s)) ds. Aplicando el Lema de Osgood 1.77, queda 0 ≤¯ρ(t)≤0, por lo que ¯ρ≡0. As´ı, la sucesi´on (xk(t)) es de Cauchy para todo t∈J, y como Ees un espacio de Banach, dicha sucesi´on es convergente en E. Tomando l´ımite cuando ktiende a +∞en (2.13) se tiene el resultado y concluye la prueba. Por tanto, gracias al Teorema 2.17, si se toma el campo de vectores vde forma que verifique la regularidad y las condiciones mencionadas anteriormente, se obtendr´a la unicidad de soluci´on del flujo asociado a vy se podr´a definir este, teniendo sentido entonces plantear el problema (2.2). 2.5. El Teorema del Transporte En esta secci´on nos dedicamos a estudiar el Teorema del Transporte. Este teorema es esencial para poder estudiar las leyes de conservaci´on de la masa, del momento o de la energ´ıa. Para estudiar la ecuaci´on del transporte, se considera el movimiento de las part´ıculas como un todo; es decir, no hay que fijarse en el movimiento individual de cada part´ıcula, sino en conjunto. Entonces, se considera el fluido como un medio continuo; es decir, es continuo a lo largo del espacio que ocupa. Esta hip´otesis permite considerar las propiedades del fluido (densidad, temperatura, velocidad, etc.) como funciones continuas. Empezamos denotando por ϕt(x) = X(x, t, 0) al flujo que en el instante de tiempo 0 estaba en la posici´on x, asociado al campo de vectores v. Consideremos ω⊂Ω un conjunto abierto. El flujo est´a descrito por una familia de aplicaciones biyectivas (ϕt) definidas en ω, tales que para cualquier Ω0⊂ω, el conjunto Ωt=ϕt(Ω0) contiene exactamente en el instante de tiempo tla misma cantidad de mol´eculas de fluido que estaban presente en Ω0en el instante de tiempo inicial. Tal familia de conjuntos (Ωt)tse conoce como parcela de fluido, y en el caso de que Ω0 se trata ´unicamente de un punto, Ω0={x0}, se llama part´ıcula de fluido. Teorema 2.18. Sea f:RN×I→RNun campo de vectores C1globalmente Lipschitz en RN, donde I⊂Res un intervalo. Entonces, para cualesquiera t0∈I,x0∈RN, la aplicaci´on t7→ Dx0(X(x0, t, t0)) ∈ MN×N(R)es la ´unica soluci´on del siguiente problema de Cauchy matricial (2.14) (M′(t)=(Dxf)(X(x0, t, t0), t)M(t), M(t0) = Id. 36 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Prueba.La existencia y unicidad de soluci´on se tienen por el Teorema de Cauchy-Lipschitz 1.75. Sea Mla soluci´on de (2.14). Comprobemos que Mes efectivamente el Jacobiano del flujo respecto x0. Como fes de clase C1, para cualesquiera s∈I, y, h ∈RN,|h| = 0, se define R(y, h, s) := 1 |h|[f(y+h, s)−f(y, s)−Dxf(y, s)h]. Por la propia definici´on de R, observamos que (2.15) l´ım h→0|R(y, h, s)|= 0 ∀s∈I, ∀y∈RN. Por el Teorema del Valor Medio 1.5, para cualesquiera x, y ∈Rtal que el segmento que los une est´a contenido en RN, existe zen dicho segmento de forma que f(x, s)−f(y, s) = Dxf(z, s)(y−x). Teniendo adem´as en cuenta que fes Lipschitz en RN, se considera L(s)>0 su constante Lipschitziana y entonces |R(y, h, s)|=1 |h||f(y+h, s)−f(y, s)−Dxf(y, s)h| =1 |h||Dxf(z, s)h−Dxf(y, s)h| =|Dxf(z, s)−Dxf(y, s)| ≤ |Dxf(z, s)|+|Dxf(y, s)| ≤2L(s)∀s∈I, ∀y, h ∈RN. donde en la ´ultima desigualdad se ha aplicado la definici´on de Dxf(z, s), |Dxf(z, s)|= l´ım h→0 f(z+h, s)−f(z, s) |h| ≤l´ım h→0 |f(z+h, s)−f(z, s)| |h| ≤L(s) l´ım h→0 |z+h−z| |h| =L(s). Como el flujo es soluci´on de un problema de valores iniciales y M tambi´en, integrando entre ty t0y sustituyendo la condici´on inicial, se obtienen las siguientes formulaciones integrales. X(x0+h, t, t0)=(x0+h) + Zt t0 f(X(x0+h, s, t0), s)ds, X(x0, t, t0) = x0Zt t0 f(X(x0, s, t0), s)ds, M(t) = Id +Zt t0 Dxf(X(x0, s, t0), s)M(s)ds. 37 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Combin´andolas, X(x0+h, t, t0)−X(x0, t, t0)−M(t)h = (x0+h) + Zt t0 f(X(x0+h, s, t0), s)ds −x0−Zt t0 f(X(x0, s, t0), s)ds −h−Zt t0 Dxf(X(x0, s, t0), s)M(s)h ds =Zt t0 [f(X(x0+h, s, t0), s)−f(X(x0, s, t0), s)−Dxf(X(x0, s, t0), s)M(s)h]ds =Zt t0 [f(X(x0+h, s, t0), s)−f(X(x0, s, t0) + M(s)h, s)] ds +Zt t0 [f(X(x0, s, t0) + M(s)h, s)−f(X(x0, s, t0), s)−Dxf(X(x0, s, t0), s)M(s)h]ds. Por lo tanto, como fes Lipschitz en RN, se considera L(s)>0 su constante Lipschitziana, y por definici´on de R, |X(x0+h, t, t0)−X(x0, t, t0)−M(t)h| ≤ Zt t0 L(s)|X(x0+h, s, t0)−X(x0, s, t0)−M(s)h|ds +|h|Zt t0 |R(X(x0, s, t0), M(s)h, s)||M(s)|ds. Por el Lema de Gronwall 1.77, |X(x0+h, t, t0)−X(x0, t, t0)−M(t)h| ≤ |h|exp Zt 0 L dsZt t0 |R(X(x0, s, t0), M(s)h, s)||M(s)|ds. Entonces, 1 |h||X(x0+h, t, t0)−X(x0, t, t0)−M(t)h| ≤ exp Zt 0 L(s)dsZt t0 |R(X(x0, s, t0), M(s)h, s)||M(s)|ds. Gracias a (2.15) y (2.16), se puede aplicar el Teorema de la Convergencia Dominada 1.24 de forma que al tomar l´ımite cuando h−→ 0 en la expresi´on anterior se pueda intercambiar el l´ımite con la integral y quedar´ıa 1 |h||X(x0+h, t, t0)−X(x0, t, t0)−M(t)h| −→ 0. Por lo tanto, con lo anterior se ha probado que Mes el Jacobiano del flujo respecto de x0. Luego dicha funci´on es la soluci´on del problema (2.14); y con ello finaliza la prueba. Daremos un teorema que resultar´a de suma importancia para poder demostrar el Teorema del Transporte que se ver´a despu´es. Este, se conoce como el Teorema de Liouville. Dicho teorema trata sobre la evoluci´on a lo largo del tiempo del determinante de la matriz Jacobiana de X. Esta cantidad mide el cambio de los vol´umenes bajo la acci´on del flujo. Por otro lado, para todo t∈Ry para todo y∈Ω, denotamos por J(y, t) al determinante del Jacobiano y7→ X(y, t, 0) entre los tiempos 0 y ten la posici´on y. Teorema 2.19. (Teorema de Liouville). El determinante del Jacobiano y7→ X(y, t, 0),J, verifica la siguiente ecuaci´on diferencial ordinaria lineal (2.16) ∂tJ(y, t) = (div(v))(X(y, t, 0), t)J(y, t). 38 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Prueba.Como v: Ω ×R→Ω es globalmente Lipschitz respecto ty tambi´en es de clase C1 respecto de la misma, por el Teorema 2.18, se tiene ∂t(DyX)(y, t, 0) = (Dxv)(X(y, t, 0), t)·(DyX)(y, t, 0). Por otro lado, la aplicaci´on determinante det :GLN(R)→Res diferenciable y (Ddet(M))H= (detM)Tr(M−1H)∀M∈GLN(R),∀H∈ MN×N(R). donde Tr denota la traza de la matriz. Teniendo en cuenta la propiedad Tr(MH) = T r(HM)∀M, H ∈ MN×N(R). y recordando que ves soluci´on de (2.2), se obtiene ∂tJ(y, t) = ∂t(det(DyX)(y, t, 0)) = (det(DyX)(y, t, 0))Tr((DyX(y, t, 0))−1∂t(det(DyX)(y, t, 0))) =J(y, t)Tr((DyX(y, t, 0))−1(Dxv)(X(y, t, 0), t)(DyX)((y, t, 0))) =J(y, t)Tr((Dxv)(X(y, t, 0), t)) =J(y, t)(div(v))(X(y, t, 0), t). Con esto, se tiene el resultado. Como consecuencia del teorema anterior, se obtiene el siguiente colorario. Corolario 2.20. Si div(v) = 0, entonces el flujo asociado a vconserva el volumen a lo largo del tiempo. Prueba.Por el Teorema de Liouville 2.19, ∂tJ(y, t)=0 ∀y∈Ω,∀t∈R. Entonces, J(y, t) no depende del tiempo. Por la propiedad de grupo del flujo del Teorema 2.5, X(·,0,0) = Id en Ω, se tiene que J(y, t)=1 para cualesquiera y∈Ω, t∈R. Por el Teorema del Cambio de Variable, para todo t∈R, |Ωt|=ZΩ0 J(y, t)dy =|Ω0|. Por lo tanto, el volumen se conserva a lo largo del tiempo y concluye la prueba. Se introduce ahora un resultado de gran relevancia en la mec´anica de fluidos conocido como el Teorema del Transporte. Dicho resultado ense˜na c´omo diferenciar un valor escalar integrado sobre un elemento de fluido. Teorema 2.21. (Teorema del Transporte). Sea funa funci´on de clase C1en las variables (X, t)definidas sobre Ω×R. Entonces, (2.17) d dt ZΩt f(X, t)dX =ZΩt (∂tf+div(fv))(X, t)dX. 39 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Prueba.Fijemos t∈R. Realicemos el cambio de variables x∈Ω07→ X=ϕt(x)∈Ωt. Entonces, por el Teorema del Cambio de Variable, ZΩt f(X, t)dX =ZΩ0 f(ϕt(x), t)|J(x, t)|dx. Sea F(t) = ZΩ0 f(ϕt(x), t)|J(x, t)|dx. Por hip´otesis, ϕtes un C1-difeomorfismo que depende continuamente de t, por lo que su Jacobiano, J, nunca se anula y mantiene su signo constante en todo el dominio, por lo que el valor absoluto |J|coincide con Jo con −Jseg´un corresponda. Gracias a la regularidad de fy de |J|, podemos derivar F. Adem´as, teniendo en cuenta el Teorema de Liouville 2.19 y el problema de valores iniciales del flujo (2.2), se obtiene la siguiente expresi´on. F′(t) = ZΩ0 [(∇f(ϕt(x), t)∂tϕt(x)) + ∂tf(ϕt(x), t))|J(x, t)|+f(ϕt(x), t)∂t|J(x, t)|]dx =ZΩ0 [∇f(ϕt(x), t)v(ϕt(x), t) + ∂tf(ϕt(x), t) + f(ϕt(x), t)div(v)(ϕt(x), t)]|J(x, t)|dx. Deshaciendo el cambio de variables y considerando la Proposici´on 1.3, F′(t) = ZΩt [∂tf(X, t) + v(X, t)· ∇f(X, t) + f(X, t)div(v)(X, t)] dX =ZΩt [∂tf(X, t) + v(X, t)· ∇f(X, t) + div(fv)(X, t)−v(X, t)· ∇f(X, t)] dX =ZΩt [∂tf(X, t) + div(fv)(X, t)] dX. En conclusi´on, se tiene la igualdad d dt ZΩt f(X, t)dX =ZΩt (∂tf+div(fv))(X, t)dX. As´ı, concluye la demostraci´on del teorema. Observaci´on 2.22. El Teorema del Transporte 2.21 se puede generalizar a ecuaciones vectoriales. Por comodidad, se da el resultado de forma compacta, donde F(X, t) es una cantidad vectorial. d dt ZΩt F(X, t)dX =ZΩt∂F ∂t +div(F⊗v)dX, con vel mismo campo de vectores del teorema precedente. Observaci´on 2.23. Gracias al Teorema de Stokes 1.4, se puede expresar el Teorema del Transporte 2.21 como d dt ZΩt f(X, t)dX =ZΩt ∂tf(X, t)dX +Z∂Ωt f(X, t)·(v(X, t)·ν(X, t)) dS(X), donde ν es el vector normal unitario exterior de ∂Ωt. Muestra que la variaci´on de t7→ ZΩt f(X, t)dX se debe tanto a la variaci´on con respecto al tiempo de la funci´on fcomo al hecho de que la frontera de Ωtse vaya moviendo con el tiempo de acuerdo con el campo de vectores v. 40 CAP´ ITULO 2. M´ ETODO DE LAS CARACTER´ ISTICAS Observaci´on 2.24. Si en el Teorema del Transporte 2.21 se toma f≡1, se obtiene una ecuaci´on para la tasa de variaci´on en el tiempo de la medida de Lebesgue de Ωt. d dt|Ωt|=ZΩt div(v)dX. Se observa por tanto que si div(v)≥0 el volumen se va expandiendo a medida que avanza el tiempo, y si div(v)≤0, el volumen se va comprimiendo a medida que avanza el tiempo. 41 Cap´ıtulo 3 Soluciones d´ebiles En el cap´ıtulo anterior, se estudi´o el M´etodo de las Caracter´ısticas cuando los datos del problema cumpl´ıan cierta regularidad. En la pr´actica, es m´as complicado tener siempre dicha regularidad, habiendo incluso falta de diferenciabilidad. Adem´as, tambi´en puede ocurrir que el campo de velocidades no sea regular. Frente a esta situaci´on, se recurre a una noci´on m´as d´ebil de soluci´on, introduciendo lo que se conoce como soluci´on d´ebil de la ecuaci´on del transporte. Esta aproximaci´on resulta razonable, ya que, como se mostr´o en el cap´ıtulo anterior, incluso es posible obtener una soluci´on del problema de valores iniciales cuando el dato inicial es una funci´on continua o es ´unicamente medible, tal como establece la Proposici´on 2.6. Asimismo, la teor´ıa de distribuciones permite formalizar esta noci´on de soluci´on d´ebil para ecuaciones en derivadas parciales. En este contexto, se trabajar´a dentro de los marcos funcionales proporcionados por los espacios de Sobolev y los espacios Lp. Una vez que se ha debilitado la noci´on de soluci´on, surge de manera natural la pregunta sobre si se ha incrementado el n´umero de soluciones posibles o si, por el contrario, existe una ´unica soluci´on. Por ello, tambi´en se abordar´a el tema de la unicidad de soluci´on, para evitar que no se hayan introducido soluciones adicionales no deseadas. Cuando el campo de vectores es regular, se puede demostrar que la soluci´on es ´unica. Sin embargo, ¿qu´e sucede cuando dicho campo no presenta regularidad? En la ´ultima secci´on de este cap´ıtulo se presenta un resultado relevante para el caso de campos no regulares, que garantiza la unicidad de la soluci´on d´ebil bajo la condici´on de que el campo posea la propiedad de renormalizaci´on. Aunque en este trabajo no se estudiar´a en profundidad dicha propiedad, se introducir´a su concepto y el resultado asociado para ampliar la comprensi´on sobre la unicidad en este contexto. Definici´on 3.1. (Soluci´on d´ebil). Sean Ωun subconjunto de RNabierto acotado, T > 0, u0∈L∞(Ω),c∈L1(Ω ×(0, T)) yv∈L1(0, T; (L1(Ω))N)tal que div(v)∈L1(Ω ×(0, T)) y v·ν = 0 sobre la frontera ∂Ω×[0, T]. Se dir´a que una funci´on u∈L∞(Ω ×(0, T )) es soluci´on d´ebil del problema de Cauchy (2.1) si para toda funci´on test φ∈ C1(Ω×[0, T]) tal que φ(·, T)=0 se tiene (3.1) ZT 0ZΩ u(φt+v· ∇φ+ (div(v)−c)φ)dx dt +ZΩ u0φ(·,0) dx = 0. Observaci´on 3.2. Aunque es posible estudiar el concepto de soluci´on d´ebil para datos iniciales que pertenezcan a Lp(Ω),p∈[1,+∞), el estudio estar´a centrado en el caso L∞(Ω). 3.1. Existencia en el caso general Si se regularizan los datos y se usa el M´etodo de las Caracter´ısticas introducido en el cap´ıtulo anterior, es bastante sencillo construir soluciones d´ebiles de la ecuaci´on del transporte. 43 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES D´ EBILES Se observa que, por el Teorema de Fubini 1.29 y como φ(·, T) = 0, ZT 0ZΩ (u1u2φ)tdxdt =ZΩ [u1u2φ]t=T t=0 dx =−ZΩ u1u2(x, 0)φ(x, 0)dx, y tambi´en, integrando por partes, ZT 0ZΩ div(u1u2v)φ=ZT 0Z∂Ω u1u2vφν −ZT 0ZΩ u1u2v∇φ =−ZT 0ZΩ u1u2v∇φ. Por lo tanto, ZT 0ZΩ [−u1u2v∇φ−u1u2φt−div(v)u1u2φ]−ZΩ u0 1u0 2φ(·,0) = 0. Reordenando, ZT 0ZΩ u1u2(φt+v· ∇φ+div(v)φ) + ZΩ u0 1u0 2φ(·,0) = 0. Luego u1u2es soluci´on d´ebil del problema (2.1) con el dato inicial u0 1u0 2asociado. La unicidad se tiene de forma an´aloga a como se vio en la propiedad 1. Veamos finalmente la propiedad 4. Como div(v) = 0, el flujo asociado a vconserva el volumen a lo largo del tiempo, por lo tanto, |{x∈Ω : u(x, t)∈I}| =|{x∈Ω : u0(X(x, 0, t)) ∈I}| =|{x∈Ω : u0(x)∈I}|. Como div(v) = 0, J(x, t)≡1 y el segundo punto ser´a una consecuencia del Teorema del Cambio de Variable. Gracias al Teorema de Liouville 2.19; cuando se realice el cambio y=X(x, 0, t), se tendr´a que ∂tJ(y, t)≡0, este es constante respecto del tiempo y en particular J(y, 0) ≡1, pues por la propiedad del flujo del Teorema 2.5 X(·,0,0) = Id, y por tanto J(y, t)≡1. As´ı, se obtiene ∥u(·, t)∥q Lq=ZΩ |u(x, t)|qdx =ZΩ |u0(X(x, 0, t))|qdx =ZΩ |u0(y)|qJ(y, t)dy =∥u0∥q Lq∀t∈[0, T],∀q∈[1,∞). Se tiene la propiedad 4. Con esto, concluye la prueba. 3.3. Primeros elementos en el caso general Cuando el campo de vectores no es suficientemente regular, incluso si se pierde la propiedad de que sea Lipschitz, se puede perder la unicidad de soluciones d´ebiles. En esta secci´on se ver´a un resultado que abarcar´a las soluciones acotadas de la ecuaci´on del transporte cuando la condici´on inicial es nula. Esto ´ultimo tiene relaci´on con la propiedad de renormalizaci´on que garantiza la unicidad de soluci´on (se pueden consultar m´as detalles sobre este concepto en [3]). Teorema 3.6. Sea v∈L1(0, T;L1(Ω)N)un campo de vectores con div(v)∈L1(Ω ×(0, T)) y tal que v·ν = 0 sobre la frontera ∂Ω×[0, T]y sea c∈L1(Ω ×(0, T )). Supongamos (div(v)−c)+∈L1(0, T;L∞(Ω)). Entonces, toda soluci´on d´ebil acotada positiva de la ecuaci´on del transporte para la condici´on inicial nula es id´enticamente nula sobre Ω×(0, T). 50 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES D´ EBILES Prueba.Definamos la funci´on α(t) = ∥(div(v(·, t)) −c(·, t))+∥L∞. Tomemos como funci´on test φ(x, t) = (T−t) exp Zt 0 −α(s)ds, en la formulaci´on d´ebil (3.1), con el dato inicial u0≡0. Se obtiene ZT 0ZΩ u(φt+ (div(v)−c)φ)=0, que, sustituyendo el valor de φda ZT 0ZΩ uexp Zt 0 −α(s)ds(−1−(α(t)−div(v) + c)(T−t)) dx dt = 0, donde, dentro de dicha integral se tiene −1−(α(t)−(div(v) + c))(T−t) = −1−(∥(div(v(t)) −c(t))+∥L∞−(div(v) + c))(T−t) ≤ −1<0. Como ues positiva, la funci´on sobre la integral es negativa o nula, y por tanto se tiene que es id´enticamente nula. Luego u≡0. Con ello, finaliza la demostraci´on. 51 Cap´ıtulo 4 M´etodos num´ericos. Aplicaciones. Una vez tratados los aspectos m´as te´oricos del trabajo, se puede hacer la pregunta de qu´e aplicaciones tiene la ecuaci´on del transporte y el estudio de esta. As´ı bien, este cap´ıtulo se centrar´a en dar una serie de aplicaciones en el ´ambito del modelado y control del tr´afico, de la f´ısica, que aunque se dar´a un ejemplo simple que es el transporte de un gas a lo largo de una tuber´ıa en una ´unica direcci´on, es muy interesante para otros casos m´as complejos; y en la biolog´ıa, donde trataremos un modelo de din´amica de poblaciones, el proceso de divisi´on de las c´elulas. Asimismo, tambi´en se ver´a que la ecuaci´on del transporte no tiene por qu´e ser lineal, dando entonces la ecuaci´on de Burgers, que muestra que todos los resultados vistos en este trabajo ya pueden no servir, pues se puede tener que aunque el dato inicial sea muy regular, la soluci´on puede que no sea regular; o que un mismo dato inicial pueda dar m´as de una soluci´on, perdiendo as´ı la unicidad. Para finalizar, se har´a una implementaci´on num´erica del problema del transporte-reacci´on que se ha estudiado a lo largo del trabajo y se representar´a gr´aficamente usando el software MATLAB para ello. 4.1. Modelizaci´on del tr´afico Nos interesa modelar matem´aticamente el tr´afico en la carretera. Este tema es bastante amplio, por lo que solo se ver´a un caso sencillo con motivo de justificar el estudio de las ecuaciones de tipo transporte. Uno de los grandes retos que se pueden encontrar cuando se intenta modelar este tipo de problema, entre otros, es entender c´omo se forman las congestiones en las carreteras para poder tomar luego las decisiones correctas para evitarlas; como, por ejemplo, si es m´as conveniente una rotonda o un sem´aforo. Hip´otesis de modelizaci´on: Se modela una carretera nacional recta con un ´unico carril. Se asume que la carretera es infinita. Adem´as, se considera que no existe rebasamiento entre veh´ıculos, y que no hay incorporaci´on ni salida de veh´ıculos a lo largo del tramo estudiado. Al moderlalo de esta forma, se observa que el flujo de veh´ıculos sigue una ´unica direcci´on, por lo que el problema puede abordarse como un modelo unidimensional, N= 1. Trayectoria de un veh´ıculo: Se supone que se conoce la densidad de movimiento uy la velocidad ven cada tiempo e instante. Se considera un veh´ıculo que est´a en la posici´on x0en el instante t0. Entonces, X(x0, t, t0) ser´a su posici´on en el tiempo t. Como sabemos, (4.1) (∂tX(x0, t, t0) = v(X(x0, t, t0), t)∀t≥t0, X(x0, t0, t0) = x0. 53 CAP´ ITULO 4. M´ ETODOS NUM´ ERICOS. APLICACIONES. Si se conoce la velocidad v, la trayectoria del veh´ıculo estar´a dada por la soluci´on del problema (4.1); es decir, Xdar´a el flujo asociado a v. Ley de conservaci´on de densidad de veh´ıculos: En el Cap´ıtulo 2, obtuvimos la ecuaci´on de continuidad (2.8). Aplic´andola al modelo de tr´afico, esta representa la ley de conservaci´on de la densidad de veh´ıculos. Esto significa que, dados dos veh´ıculos cualesquiera, la cantidad de veh´ıculos que se encuentran entre ellos permanece constante a lo largo del tiempo. Cabe recordar que para que este resultado sea v´alido, el campo de velocidades vdebe ser suficientemente regular. Esto permite aplicar el Teorema de Cauchy-Lipschitz 1.75, que garantiza que las trayectorias Xest´an definidas globalmente, sin que sea necesario preocuparse por limitaciones en el dominio de definici´on. La ley de conservaci´on de la densidad de veh´ıculos es la siguiente. Proposici´on 4.1. Dadas las funciones u,vsuficientemente regulares, se tiene la ecuaci´on en derivadas parciales ut+∂x(uv)=0. Prueba.El n´umero de veh´ıculos entre dos coches dados en las posiciones ayben el tiempo t permanece constante a lo largo del tiempo; es decir, Zb a u(x, t)dx =ZX(b,t+s,t) X(a,t+s,t) u(x, t +s)dx ∀s∈R. Aplicando el Lema 1.7 d ds ZX(b,t+s,t) X(a,t+s,t) u(x, t +s)dx =ZX(b,t+s,t) X(a,t+s,t) ut(x, t +s)dx +∂tX(b, t +s, t)u(X(b, t +s, t), t +s) −∂tX(a, t +s, t)u(X(a, t +s, t), t +s). As´ı, evaluando s= 0, se obtiene la igualdad 0 = ZX(b,t,t) X(a,t,t) ut(x, t)dx +∂tX(b, t, t)u(X(b, t, t), t)−∂tX(a, t, t)u(X(a, t, t), t) =Zb a ut(x, t)dx +v(b, t)u(b, t)−v(a, t)u(a, t) =Zb a ut(x, t) + ∂x(uv)dx. Como esta igualdad se tiene para cualsquier t∈R, se debe tener entonces que ut+∂x(uv)=0. Con esto, finaliza la demostraci´on. Modelizaci´on del comportamiento de los veh´ıculos: Para cerrar el sistema1, se debe encontrar una relaci´on entre la densidad uy la velocidad v. Por tanto, se puede considerar uno de los tres modelos siguientes. 1Obtener tantas ecuaciones como variables desconocidas hay. 54 CAP´ ITULO 4. M´ ETODOS NUM´ ERICOS. APLICACIONES. •Primer modelo. Todos los conductores van a la misma velocidad, la m´axima permitida, independientemente de las condiciones del tr´afico. Esto ser´ıa v(x, t) = Vmax =cte. En estas condiciones, vya no es desconocida y por tanto se obtiene la ecuaci´on (4.2) 0 = ut+∂x(uVmax) = ut+Vmaxux. Se tiene la ecuaci´on del transporte con velocidad constante Vmax. •Segundo modelo. La velocidad m´axima var´ıa a lo largo de la carretera de acuerdo a una ley de velocidad Vmax =Vmax(x). La ecuaci´on ser´ıa (4.3) 0 = ut+∂x(uVmax) = ut+Vmaxux+V′ maxu. •Tercer modelo. Los conductores adaptan su velocidad al tr´afico. As´ı, cuanto m´as denso sea el tr´afico, menor velocidad habr´a. Esto puede dar, por ejemplo, una ley de la forma v=Vmax(1 −u), que llega a una ecuaci´on en derivadas parciales no lineal (4.4) 0 = ut+Vmax∂x(u(1 −u)). Tambi´en se puede escribir en t´erminos de la velocidad. 0 = vt+∂x(v(v−Vmax)). Dependiendo del modelo escogido, la densidad de tr´afico uverificar´a una de las tres ecuaciones (4.2), (4.3), (4.4). 4.2. Din´amica simplificada de los gases En esta secci´on se va a estudiar el comportamiento de un gas ideal en una dimensi´on; es decir, el gas se desplazar´a en una ´unica direcci´on, como por ejemplo un tubo recto con una secci´on muy peque˜na. Esta simplificaci´on a una dimensi´on, aunque limita la direcci´on del flujo, permite hacer un estudio m´as simple, m´as sencillo, con buenas aproximaciones y es f´acil de extender a casos multidimensionales. Hip´otesis de modelizaci´on: Se modela un gas ideal que es transportado por un tubo recto con una peque˜na secci´on, despreciando los efectos de la gravedad. Trayectoria del gas: Las variables que describen al fluido en estas condiciones son la densidad del gas u, la velocidad vy la presi´on p. Adem´as, se considerar´a que son suficientemente regulares para poder justificar todos los c´alculos que se har´an. Se considera un gas cuyas part´ıculas est´an en la posici´on x0en el instante t0. Entonces, X(x0, t, t0) ser´a su posici´on en el tiempo t. Como sabemos, (4.5) (∂tX(x0, t, t0) = v(X(x0, t, t0), t)∀t≥t0, X(x0, t0, t0) = x0. Si se conoce la velocidad v, la trayectoria de las part´ıculas estar´a dada por la soluci´on del problema (4.5); es decir, Xdar´a el flujo asociado a v. 55 CAP´ ITULO 4. M´ ETODOS NUM´ ERICOS. APLICACIONES. Ley de conservaci´on de la masa del gas: El razonamiento es an´alogo al visto con los veh´ıculos, y tambi´en se obtiene como ley de conservaci´on la siguiente ut+∂x(uv)=0. Modelizaci´on del comportamiento del gas: Dicho comportamiento est´a dado por la Ley de Newton y dice que la tasa de cambio del momento de cualquier sistema mec´anico es igual a la suma de las fuerzas externas que se le aplican. El momento en el instante de tiempo t0de una porci´on del gas entre las abscisas aybest´a dado por Zb a u(x, t0)v(x, t0)dx. A medida que va evolucionando con el tiempo, la porci´on de gas se encuentra entre las abscisas X(a, t, t0) y X(b, t, t0), y el momento total en el tiempo test´a dado por ZX(b,t,t0) X(a,t,t0) u(x, t)v(x, t)dx. Adem´as, esta porci´on de gas solo est´a sometida a fuerzas de presi´on, que son las ejercidas por las part´ıculas de gas fuera de la porci´on que se est´a considerando; luego dentro de este contexto se puede escribir la Ley de Newton como sigue d dt ZX(b,t,t0) X(a,t,t0) u(x, t)v(x, t)dx =−p(X(b, t, t0), t) + p(X(a, t, t0), t). Se proceder´a a reescribir esta ecuaci´on. Aplicando el Lema 1.7 y las caracter´ısticas (4.5) d dt ZX(b,t,t0) X(a,t,t0) u(x, t)v(x, t)dx =ZX(b,t,t0) X(a,t,t0) ∂t(u(x, t)v(x, t)) dx +∂tX(b, t, t0)u(X(b, t, t0), t)v(X(b, t, t0), t) −∂tX(a, t, t0)u(X(a, t, t0), t)v(X(a, t, t0), t) =ZX(b,t,t0) X(a,t,t0) ∂t(u(x, t)v(x, t)) dx +v(X(b, t, t0), t)u(X(b, t, t0), t)v(X(b, t, t0), t) −v(X(a, t, t0), t)u(X(a, t, t0), t)v(X(a, t, t0), t) =ZX(b,t,t0) X(a,t,t0) [∂t(u(x, t)v(x, t)) + ∂x(u(x, t)v2(x, t))] dx. Por otro lado, −p(X(b, t, t0), t) + p(X(a, t, t0), t) = −ZX(b,t,t0) X(a,t,t0) ∂xp(x, t)dx. Por lo tanto, ZX(b,t,t0) X(a,t,t0) [∂t(u(x, t)v(x, t)) + ∂x(u(x, t)v2(x, t)) + ∂xp(x, t)] dx = 0. Tomanto t=t0, Zb a [∂t(u(x, t)v(x, t)) + ∂x(u(x, t)v2(x, t)) + ∂xp(x, t)] dx = 0. 56 CAP´ ITULO 4. M´ ETODOS NUM´ ERICOS. APLICACIONES. Por el Teorema del Valor Medio para integrales 1.6 y como esta igualdad se tiene para cualesquiera a, b, t0∈R, se tiene la siguiente EDP por el Lema 1.43 ∂t(u(x, t)v(x, t)) + ∂x(u(x, t)v2(x, t)) + ∂xp(x, t) = 0 ∀t > 0,∀x∈R. Es decir, ∂t(uv) + ∂x(uv2+p) = 0 en R×(0,+∞). Se ha obtenido un sistema de dos ecuaciones que se conoce como Ecuaciones de Euler. (ut+∂x(uv) = 0, ∂t(uv) + ∂x(uv2+p) = 0. Como tambi´en se vio en el caso de los veh´ıculos, tenemos que cerrar el sistema, pues tenemos dos ecuaciones y tres variables desconocidas: densidad, velocidad, presi´on. Para ello, se estudiar´a el comportamiento termodin´amico del gas. •Primer modelo. El gas no est´a sometido a ninguna presi´on o esta es constante. Esto dar´ıa el sistema (ut+∂x(uv)=0, ∂t(uv) + ∂x(uv2)=0. Equivale al sistema (ut+∂x(uv)=0, vt+v∂xv= 0. para soluciones regulares tales que u= 0 •Segundo modelo. Se considera un simple proceso isoentr´opico, aquel que mantiene la entrop´ıa del sistema constante. Bajo esta condici´on, la termodin´amica dice que la presi´on est´a relacionada con la densidad de la forma p=p0uγ, donde p0yuγson constantes positivas dadas. Entonces el sistema de ecuaciones se convierte en el siguiente sistema de Ecuaciones de Euler isoentr´opico (ut+∂x(uv)=0, ∂t(uv) + ∂x(uv2+p0uγ) = 0. Este sistema es no lineal y dif´ıcil de entender y resolver. •Tercer modelo. Supongamos que el flujo es isot´ermico, la temperatura permanece constante a lo largo de su evoluci´on. En el caso de gases ideales, la termodin´amica dice que la ley que relaciona densidad y presi´on es lineal de la forma p=c2u. Entonces se define un sistema completo de la forma (ut+∂x(uv)=0, ∂t(uv) + ∂x(uv2+c2u) = 0. Se puede reescribir este sistema definiendo η= log ucomo nueva variable, obteniendo (∂tη+v∂xη+∂xv= 0, ∂tv+v∂xv+c2∂xη= 0. 57 CAP´ ITULO 4. M´ ETODOS NUM´ ERICOS. APLICACIONES. Si miramos en rangos de velocidades peque˜nos;es decir, estamos linearizando alrededor de v= 0, podemos considerar el sistema aproximado (∂tη+∂xv= 0, ∂tv+c2∂xη= 0. Por lo tanto, vyηverifican la misma ecuaci´on de ondas ∂2 tη−c2∂2 xη=0, ∂2 tv−c2∂2 xv=0. pues (∂2 tη+∂t∂xv= 0, ∂x∂tv+c2∂2 xη= 0.⇒∂2 tη−c2∂2 xη= 0, y (∂x∂tη+∂2 xv= 0, ∂2 tv+c2∂t∂xη= 0.⇒∂2 tv−c2∂2 xv= 0. La constante c > 0 es la velocidad de la onda, que en este caso se trata de la velocidad del sonido. Estos sistemas se denominan hiperb´olicos, lo que significa que generalmente, de forma local siempre se puede encontrar alg´un cambio de variable gracias al cual el sistema se asemeja a ecuaciones de tipo transporte. 4.3. Modelo de din´amica de poblaciones En esta secci´on se estudia un caso pr´actico en la biolog´ıa, correspondiente a las ecuaciones de renovaci´on o de Von Foerster, que se tratan de ecuaciones de equilibrio de poblaciones. En este modelo, se supone que las especies consideradas est´an ´unicamente limitadas al crecimiento inicial (no restringido), cuando se introduce una especie en un ambiente favorable sin limitaci´on de nutrientes, sin competici´on entre ellas y sin selecci´on. Por tanto, la poblaci´on que estudia solo est´a fisiol´ogicamente estructurada por edad. Este es un ejemplo sencillo que, a pesar de que se usaba en un principio para estudiar la epidemiolog´ıa, en la actualidad se usa en estudios demogr´aficos, aunque habr´ıa que a˜nadirle m´as variables: inmigraci´on, sexo, cultura, etc. Hip´otesis de modelizaci´on: Se considera un modelo de divisi´on de c´elulas estructurado por edad. La variable espacial xse trata de la edad de cada c´elula, por lo que, en particular, dicha cantidad es positiva. El objetivo es conocer la densidad de c´elulas de edad xen el tiempo t, denotada por n(x, t). Ley de conservaci´on: En ausencia de cualquier otro fen´omeno, la variaci´on de la poblaci´on de c´elulas comprendidas entre las edades aybpor unidad de tiempo se ve incrementada por la densidad de individuos con edad a(entran en la edad a) y disminuida por la densidad de individuos con edad b(salen de la edad b), esto es d dt Zb a n(x, t)dx =n(a, t)−n(b, t) = Zb a nx(x, t)dx ∀t > 0. Como el intervalo (a, b) no depende del tiempo, por el Lema 1.7 se tiene Zb a nt(x, t)dx =−Zb a nx(x, t)dx ∀t > 0. 58 CAP´ ITULO 4. M´ ETODOS NUM´ ERICOS. APLICACIONES. Entonces, Zb a (nt(x, t) + nx(x, t)) dx = 0 ∀t > 0. Por el Teorema del Valor Medio para integrales 1.6 y como a, b eran arbitrarios, se tiene la ecuaci´on del transporte nt+nx= 0 en (0,+∞)×(0,+∞). El envejecimiento natural de las c´elulas est´a gobernado por dicha ecuaci´on. Modelizaci´on del comportamiento: Se quiere modelizar la divisi´on de las c´elulas. Se supone que la tasa de nacimientos viene dada por k(x), que depende de la edad de las c´elulas. Entonces, la ley de conservaci´on cambia de la siguiente forma d dt Zb a n(x, t)dx =n(a, t)−n(b, t) + Zb a k(x)n(x, t)dx =Zb a (nx(x, t) + k(x)n(x, t)) dx ∀t > 0. Con un razonamiento an´alogo al que se ha visto se tiene nt+nx+kn = 0 en (0,+∞)×(0,+∞). Fijamos dos edades 0 <a<by consideramos la cantidad total de c´elulas cuya edad en el tiempo test´a comprendida entre a+tyb+t, esto es, F(t) = Zb+t a+t n(x, t)dx. Un cambio en esta cantidad ´unicamente se debe a la divisi´on celular, pues se ha supuesto que solo hay nacimientos. De forma m´as precisa, de entre las c´elulas consideradas en F(t), el n´umero de aquellas que se dividir´an por unidad de tiempo est´a dado por Zb+t a+t k(x)n(x, t)dx. Cuando la c´elula se divide, esta desaparece y da lugar a dos nuevas c´elulas de edad 0. Entonces, del Lema 1.7 se puede deducir F′(t) = −Zb+t a+t k(x)n(x, t)dx. Procedamos a ver dicha deducci´on. Integremos en (a+t, b +t) la ecuaci´on nt+nx+kn = 0. Zb+t a+t nt(x, t)dx +Zb+t a+t nx(x, t)dx +Zb+t a+t k(x)n(x, t)dx = 0. Por un lado, por el Lema 1.7, Zb+t a+t nt(x, t)dx =d dt Zb+t a+t n(x, t)dx −[n(b+t, t)−n(a+t, t)]. Por otro lado, Zb+t a+t nx(x, t)dx =n(b+t, t)−n(a+t, t). Por lo tanto, F′(t) = d dt Zb+t a+t n(x, t)dx =−Zb+t a+t k(x)n(x, t)dx. 59 CAP´ ITULO 4. M´ ETODOS NUM´ ERICOS. APLICACIONES. Con ello, el esquema aproximado que se tiene es el siguiente uk+1 i−uk i ∆t+vk i uk i−uk i−1 h+ck iuk i= 0. Despejando, se obtiene un esquema expl´ıcito uk+1 i=uk i−∆t hvk i(uk i−uk i−1)−∆tck iuk i= 0. Representaciones gr´aficas. Para finalizar, se implementa este m´etodo en MATLAB, usando los datos siguientes. (a, b) = (0, π), T= 5, N= 100, M= 100, v(x, t) = 1 2sin(x), c(x, t) = 10 + sin(x) cos(t), u0(x) = sin(πx). (a) Cantidad de movimiento de un fluido con los datos dados con reacci´on. (b) Cantidad de movimiento de un fluido con los datos dados sin reacci´on. En la gr´afica de la izquierda observamos que el t´ermino de reacci´on hace que la soluci´on vaya anul´andose a medida que avanza el tiempo. Sin embargo, en comparaci´on con la gr´afica de la derecha vemos que esta en vez de anularse, la soluci´on est´a siendo transportada. 66 Conclusi´on Este Trabajo de Fin de Grado se ha enfocado en un contexto espec´ıfico de la teor´ıa de la ecuaci´on del transporte, que sirve para entender los fundamentos de esta teor´ıa, la cual es mucho m´as extensa de lo que se ha tratado en este trabajo. Se ha dado una introducci´on del problema de valores iniciales para la ecuaci´on del transporte-reacci´on, el cual, con suficiente regularidad, se resuelve a trav´es del conocido M´etodo de las Caracter´ısticas. A su vez, se ha estudiado el Teorema del Transporte sin profundizar en todas las aplicaciones que tiene dentro del estudio de los fluidos, como podr´ıan ser deducir las ecuaciones de conservaci´on de la masa, del momento y de la energ´ıa. Por otro lado, se ha introducido el concepto de soluci´on d´ebil y la relevancia de esta en los problemas del transporte, con o sin reacci´on, cuando se trata de aplicar en la pr´actica. La cuesti´on sobre la p´erdida de unicidad de estas soluciones cuando no se tiene un campo de velocidades suficientemente regular dan lugar al estudio de las soluciones renormalizadas, abriendo otra l´ınea de gran inter´es para el an´alisis de la ecuaci´on del transporte, que fue introducido y estudiado en [20]. En cuanto al contenido de este trabajo, se han usado diversos conceptos y resultados estudiados a lo largo de la carrera en cursos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, An´alisis Num´erico, An´alisis, Analisis Funcional, Ecuaciones en Derivadas Parciales y en menor medida en cursos de Topolog´ıa y ´ Algebra. Adem´as, se han incluido nuevos conceptos de An´alisis Funcional y de Topolog´ıa para poder aplicarlos a lo largo del trabajo en resultados de suma importancia. De igual modo, y para finalizar, los resultados tratados en el trabajo han permitido poder usarse en la parte de las aplicaciones, donde se han estudiado distintos modelos tanto f´ısicos como biol´ogicos, mostrando con ello la importancia de las matem´aticas para estos campos. Bibliograf´ıa [1] H. Amann, Ordinary Differential Equations: An Introduction to Nonlinear Analysis (Ingl´es). [Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Una Introducci´on al An´alisis No Lineal], Walter de Gruyter, New York, 1990. [2] UC Davis Mathematics, ch6A: Vector-valued functions [Apuntes] (Ingl´es), Universidad de California, 2014. https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/pdes/ch6A.pdf [3] F. Boyer, Aspects th´eoriques et num´eriques de l’´equation de transport (Franc´es). [Aspectos te´oricos y num´ericos de la ecuaci´on del transporte], Master 2i`eme ann´ee - Math´ematiques et Applications, Aix-Marseille Universit´e, 2014. [4] F. Boyer, Ordinary Differential Equations Partial Differential Equations (Ingl´es). 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