Estudio del proceso de dispersión electrón-núcleo en la aproximación de impulso

Estudio del proceso de dispersión electrón-núcleo en la aproximación de impulso TRABAJO FIN DE MÁSTER Alejandro Barba Lobo Director : Juan Antonio Caballero Carretero Máster Interuniversitario en Física Nuclear Curso 2016/2017 Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear, Universidad de Sevilla, ES-41080 Sevilla, España. 2 Índice General - Abstract. 4 1 Introducción. 5 1.1 Propiedades de la dispersión de electrones por núcleos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Sección eficaz de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Motivación y estructura del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Formalismo general. 8 2.1 Aproximación de Born de ondas planas (PWBA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1 Sección eficaz de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Descomposición en funciones respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Cinemática general del proceso (e,e´N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Aproximación de impulso de ondas planas (PWIA). 20 3.1 Sección eficaz diferencial en PWIA: factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Carácter ‘‘off-shell’’ del nucleón ligado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Tensor nucleónico en procesos A(e,e´N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Respuestas nucleónicas (‘‘single-nucleon’’) en procesos A(e,e´N) . . . . . . . . . . . . . . 26 3.5 Distribución de momentos en procesos A(e,e´N)B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.5.1 Modelos nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.6 Prescripción ‘‘on shell’’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4 Análisis de los resultados. 34 4.1 Respuestas nucleónicas en cinemática (q-y) constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Respuestas nucleónicas en cinemática paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Sección eficaz ‘‘single-nucleon’’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4 Funciones radiales y distribuciones de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.5 Respuestas nucleares en cinemática (q-y) constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Apéndice. 69 5 Conclusiones. 73 6 Referencias. 74 3 Abstract En este trabajo realizaremos un estudio de la dispersión de electrones con núcleos. Nos centraremos principalmente en la denominada aproximación de impulso de ondas planas (PWIA), en la cual se considera que tras la colisión del electrón inicial con el núcleo, el fotón intercambiado interacciona con un único nucleón. Así pues, dicho nucleón será eyectado y se detectará en coincidencia con el electrón dispersado. Con el fin de simplificar el proceso, la descripción del nucleón en el estado final se realizará en la aproximación de ondas planas, es decir, no consideraremos efectos asociados a la interacción de estados finales entre el nucleón emitido y el núcleo residual. Por último, analizaremos los efectos ‘‘off-shell’’ debidos al carácter del nucleón ligado (se encuentra fuera de la capa de masas), y los efectos nucleares producidos por el modelo nuclear. 4 1 Introducción. 1.1 Propiedades de la dispersión de electrones por núcleos. La dispersión de electrones por núcleos es un método muy potente para el estudio de la estructura nuclear. Este método tiene numerosas aplicaciones y, a su vez, dependiendo de la región del espectro que se considere, permite obtener información precisa sobre la estructura de los núcleos y sus constituyentes, como por ejemplo, propiedades del estado fundamental de los núcleos, transiciones electromagnéticas entre estados discretos, propiedades colectivas y la estructura de los nucleones. Todo esto es debido a las propiedades de la interacción entre el electrón y el núcleo: La interacción que predomina entre el electrón y el núcleo es la electromagnética, por lo que el vértice leptónico queda perfectamente descrito a través de la Electrodinámica Cuántica (QED), que es la teoría física más precisa en la actualidad. La constante de acoplo de dicha interacción es  = 137 1 , cuyo valor es relativamente pequeño. Esto conlleva dos ventajas: en primer lugar, la aproximación de intercambio de un fotón resulta una excelente descripción del proceso y, en segundo lugar, el electrón puede explorar todo el volumen nuclear sin causarle alteraciones significativas. Por último, puesto que el fotón intercambiado en el proceso de interacción proyectil-blanco es virtual, la energía () y el momento (q) transferidos al núcleo pueden variar independientemente, los cuales se encuentran solo bajo una restricción 2 Q = 2  - 2 q < 0, siendo   QQQ  2 , con  Q = (, q), donde  Q es el cuadrimomento transferido. En la Sección 2 verificaremos que 2 Q es negativo. Las características mencionadas hacen que el uso de electrones presente ventajas frente al uso de nucleones como proyectiles, ya que en este último caso lo que predomina es la interacción fuerte, siendo la constante de acoplo alta (dificultando enormemente el tratamiento perturbativo), y descrita a través de modelos fenomenológicos (lo que impide extraer información clara de dichos procesos). El uso de electrones como proyectiles presenta sin embargo también ciertos inconvenientes. En el ámbito experimental, las secciones eficaces son muy pequeñas, por lo que la tasa de recuento para este tipo de experimentos es normalmente baja, complicando el análisis de los resultados. Por otra parte, a nivel teórico, existen todavía incertidumbres significativas. En este trabajo vamos a realizar un estudio de las incertidumbres asociadas al carácter ‘‘off-shell’’ del nucleón ligado y al gauge escogido. Además, otro objetivo será estudiar los efectos nucleares debidos al modelo nuclear usado en la descripción del proceso. Figura 1: Sección eficaz de dispersión de electrones por núcleos en función de la energía y el momento transferidos en el proceso. 5 Antes de concretar los temas que vamos a tratar, es conveniente realizar un análisis general de las distintas regiones del espectro. 1.2 Sección eficaz de dispersión. En la figura 1 representamos la respuesta nuclear en un proceso de dispersión de electrones en función de la energía y momento transferidos en el mismo. Podemos distinguir las siguientes regiones: Para momentos transferidos bajos se observan una serie de picos en el espectro, que corresponden a las zonas de dispersión elástica e inelástica: - En la región elástica la energía transferida se emplea en comunicar energía cinética al núcleo, el cual queda en su estado fundamental. Esto hace que dicha zona sea interesante para el estudio de propiedades del estado fundamental del núcleo, tales como distribuciones de carga y corriente. - En la zona inelástica se producen excitaciones del núcleo a estados discretos, es decir, se pasa del estado fundamental a estados excitados. A energías transferidas mayores se encuentra el pico correspondiente a la resonancia gigante, estado debido a excitaciones colectivas del núcleo. La siguiente región se denomina pico cuasielástico (QEP). En ella el proceso más probable es aquel en el que un nucleón es extraído del núcleo. Se establece la interacción de un fotón con un nucleón, donde este último absorbe la energía transferida, de forma que éste posee energía suficiente para alcanzar un estado del continuo. Esta zona debe su nombre a que este proceso puede interpretarse como una dispersión elástica del nucleón por electrones, puesto que la estructura interna del nucleón no se ve afectada por la interacción. El estudio realizado en este trabajo corresponde a esta región cinemática. Para energías transferidas aún mayores nos encontramos en la zona de dispersión profundamente inelástica. En esta situación las funciones de respuestas (los observables) dependen únicamente de la variable de ‘‘scaling’’ de Bjorken, x , donde x =  N MQ 2 2 , siendo N M la masa del nucleón. Esto es una indicación de la existencia de quarks (partones) en el interior de los nucleones. 1.3 Motivación y estructura del trabajo. El objetivo de este trabajo es el análisis del proceso A(e,e´N)B. En este tipo de reacción, un electrón incide sobre un núcleo blanco A, consecuentemente se emite un nucleón (nucleón saliente), que se detecta en coincidencia con el electrón dispersado. El análisis de procesos (e,e´N) en la zona QEP ha proporcionado información muy valiosa sobre la función de onda individual de los nucleones, permitiéndonos determinar sus energías y distribuciones de momento, así como factores espectroscópicos. Este tipo de procesos en coincidencia plantea no obstante serias dificultades experimentales, ya que las secciones eficaces, que son pequeñas en estos procesos electromagnéticos, se ven aún más reducidas al tener en cuenta que se detecta un nucleón en coincidencia con el electrón. Esto obliga al uso de detectores muy sensibles y aceleradores de alto rendimiento. Hasta finales de los 80 aproximadamente, el análisis teórico de los procesos (e,e´N) se ha basado en cálculos no relativistas. Esto se realizaba en la denominada aproximación de impulso de ondas distorsionadas (DWIA), la cual tiene en cuenta la interacción de estados finales que existe entre el nucleón saliente y el núcleo residual. Sin embargo, las energías y momentos alcanzados en las dos últimas décadas invalidan en gran medida las aproximaciones no relativistas. Por este motivo, se 6 introduce un tratamiento relativista mediante la aproximación de impulso relativista de ondas distorsionadas (RDWIA). Los cálculos de las distribuciones de momentos, factores espectroscópicos y funciones de respuesta, realizados haciendo uso de la aproximación relativista de campo medio, están en mejor acuerdo con los datos experimentales en el caso de los factores espectroscópicos [1-7]. En lo referente a los efectos nucleares, introduciremos la distribución de momentos para distintos modelos nucleares como son: el oscilador armónico (HO), y modelos relativistas de campo medio (RMF) como son HS y NLHS. El modelo HO es un modelo no relativista que introduce un potencial de oscilador armónico, como consecuencia de ello, utilizaremos la ecuación de Schrödinger para el estudio de este modelo. Por el contrario, los modelos RMF son modelos relativistas que introducen un potencial vector y otro escalar, utilizándose en este caso la ecuación de Dirac para su análisis. Debido al carácter ‘‘off-shell’’ de los nucleones ligado y saliente (están fuera de la capa de masas), emplearemos distintas prescripciones para el operador de corriente, además de la elección del gauge de trabajo. Para las distintas prescripciones realizaremos un tratamiento de las incertidumbres ‘‘offshell’’. Para una comparación precisa con los datos experimentales es necesaria la introducción de la interacción de estados finales (FSI), debido a que existe una distorsión de la función de onda del nucleón saliente como consecuencia de la interacción de éste con el núcleo residual. Sin embargo, puesto que en este trabajo no realizamos un análisis de los datos experimentales, nos centraremos en la aproximación de impulso de ondas planas (PWIA), la cual simplifica enormemente los cálculos. La estructura de este trabajo es la siguiente: en primer lugar, en las Secciones 2 y 3 se presenta el formalismo general del que haremos uso en las diferentes aproximaciones. Trataremos el proceso tipo A(e,e´N)B, para el cual se calculará el denominado tensor nucleónico para dos expresiones del operador de corriente, las respuestas ‘‘single-nucleon’’ para tres gauges, y las distribuciones de momentos para los modelos nucleares mencionados anteriormente (Secciones 3.3, 3.4, 3.5 y 3.5.1). En la Sección 3.6 explicaremos brevemente en qué consiste la denominada aproximación ‘‘on-shell’’. Las respuestas y secciones eficaces nucleónicas, funciones radiales, distribuciones de momentos y respuestas nucleares, serán analizadas en la Sección 4. Por último, en la Sección 5 presentaremos las conclusiones que obtengamos de dicho análisis. Durante todo el trabajo se tomará   c  1 (sistema de unidades naturales). Además, los cuadrivectores serán representados con letras mayúsculas ( A ) , los trivectores con letras minúsculas en negrita (a), y sus módulos en letras tipo normal ( a ). 7 2 Formalismo general. En este capítulo iremos desarrollando el formalismo para describir procesos A(e,e´N)B, realizando una serie de aproximaciones razonables que simplificarán los cálculos y harán más comprensible el mecanismo de la reacción. Ya mencionamos que la constante de acoplo de la interacción electromagnética es  (constante de estructura fina), y que ésta permite un desarrollo perturbativo, en el que el orden predominante es el primero (‘‘leading order’’). De esta forma, la interacción electrón-núcleo queda bien descrita mediante el intercambio de un sólo fotón entre ellos, lo que se conoce como aproximación de Born (BA). Asimismo, consideramos que el electrón incidente y el dispersado se comportan como ondas planas, despreciándose la distorsión causada por el potencial coulombiano. Así pues, resulta la aproximación de Born de ondas planas (PWBA), la cual es muy aceptable para núcleos ligeros y electrones ultrarrelativistas. Para blancos medios o pesados es necesario considerar los posibles efectos producidos por el núcleo sobre la función de onda electrónica, en cuyo caso, sería conveniente utilizar la aproximación de Born de ondas distorsionadas (DWBA). Dado que en este trabajo no analizaremos datos experimentales, nos centraremos en la aproximación PWBA. Figura 2: Diagrama de Feynman del proceso A(e,e´N)B en la aproximación de Born. 2.1 Aproximación de Born de ondas planas (PWBA). La figura 2 se corresponde con el proceso en el que un electrón con cuadrimomento  i K interacciona con un blanco A inicialmente en reposo, transfiriéndole una energía  y un momento q a través de un fotón virtual, arrancándose un nucleón de A, quedando un núcleo residual B caracterizado por el cuadrimomento  B P . El electrón, tras ser dispersado un ángulo e  , posee un cuadrimomento  f K . Las energías del nucleón saliente y del núcleo residual son 22 NNN MpE  y 22 BBB MpE  , respectivamente, siendo B M la masa del núcleo residual en su estado de excitación. Trabajaremos en el sistema laboratorio (‘‘lab-frame’’) y consideraremos los electrones como ultrarrelativistas (ERL), por lo que sus energías coinciden con los módulos de sus momentos: ii k   , ff k   . En cuanto al sistema de coordenadas, el momento transferido q define la dirección del eje z, y el plano que contiene a i k y f k es el plano xz, conocido como plano de dispersión. El triedro que define tal sistema será: q z q  ˆ fi fi y kk kk    ˆ zyx ˆ ˆˆ  (1) 8 Figura 3: Representación esquemática del proceso A(e,e´N)B. En la figura 3 se representa el plano que contiene a q y a N p llamado plano de reacción, formando un ángulo  con el plano de dispersión. 2.1.1 Sección de dispersión. La sección eficaz diferencial del proceso anteriormente descrito puede escribirse en el sistema laboratorio como [8] 2 2 4 2 recA BNN i f Nef fM MMp Q ddd d                2 fi if M  , (2) donde el sumatorio indica un promedio sobre estados iniciales y suma sobre estados finales en caso de no considerar polarizaciones. El elemento de matriz invariante fi M es:   fi e fi Jj  M , (3) donde e j  es la cuadricorriente electromagnética para el electrón, dada por ),(),( iiff e susuj kk    , (4) y  fi J es la cuadricorriente electromagnética nuclear. La función rec f es el factor de retroceso dado por NA NNN rec pM qEp f  cos 1   , (5) donde N  es el ángulo entre N p y q (véase figura 3). En la ecuación (2) el momento del nucleón saliente N p viene dado por la conservación de energía a través de:   ABNNNNN MMqqppMp 22222 cos2 . (6) 9 Así pues, tras fijar e  obtenemos f  mediante la ecuación (44) y consecuentemente tendríamos i  a partir de (43).  El momento desaparecido m p nos permite determinar B p . Mediante el momento del nucleón saliente N p podemos obtener N E , por tanto la masa del núcleo residual B M puede ser conocida y, consecuentemente, podemos conocer su energía B E también. Además, N  viene definida como:          qp pqp ar N BN N 2 cos 222  . (51) La sección eficaz para el proceso (e,e´N) queda completamente especificada por seis variables cinemáticas independientes. Fijados e  y  , la sección eficaz dependerá de las denominadas variables ‘‘dinámicas’’, por ejemplo   m pq ,,,  . La elección de las cuatro variables ‘‘dinámicas’’ presenta diversas alternativas dependiendo del proceso específico (e,e´N) que estemos tratando. Supongamos que fijamos la energía y el momento transferidos. La ecuación (43) puede ser reescrita en función de la energía de excitación   2 2 0222 cos2 mBmmNA pMqpqpMM   , (52) donde  es el ángulo formado por m p y q . Podemos ver que no todo el plano   m p   está permitido, puesto que 1cos   . En la zona cuasielástica el fotón emitido interacciona con un único nucleón cediéndole toda su energía, quedando el núcleo residual en reposo. En este caso, la energía transferida vendrá dada por: BANQEP MMMq  22  . (53) En el panel superior de la figura 4 hemos representado   m p  para un valor de  real inferior a QEP  para el proceso   NpeeO 1516 ´, . Las regiones permitidas son   0  m p  y 0  m p , que son las que tienen sentido físico. Así pues, los valores permitidos de  y m p se encuentran bajo la curva correspondiente a 1cos   para el panel superior de la figura 4. Los dos valores para los cuales  = 0 se denotan como yp  min y Yp  max , cuyas expresiones son [9]:             qWMM W qy BA 2 2 02 2 1 ,  , (54)             qWMM W qY BA 2 2 02 2 1 ,  , (55) siendo   2 2 qMW A   ,     2 2 02 2 1 NB MMW  . 16 Figura 4: El panel superior corresponde a  = 55 MeV y el inferior a  = 240.6 MeV, siendo q = 0.5 GeV/c. Si  real es mayor que QEP  , obtenemos la gráfica del panel inferior de la figura 4. La zona físicamente permitida es aquella comprendida entre las curvas  = 0 y  = , con  > 0 y m p > 0. La energía transferida se encuentra en función de q e y, cuya expresión se puede obtener recurriendo a la ecuación (43), y teniendo en cuenta que para yp  ( lo cual implica que 1cos   ):     ABN MMyyqMyq  22 2 2 ,  . (56) En el caso y = 0,  vendrá dada por: 17   ABNQEP MMqMq  22 0,  . (57) Valores de y negativos se corresponden con  menores que QEP  , y valores positivos con  superiores a QEP  . Figura 5: Comparación entre la energía transferida en el proceso y la que correspondería si se estuviera en el pico cuasielástico. Esta última depende del ángulo N  y se representa para siete valores del mismo. Tenemos pues  y QEP  como función del momento desaparecido. En la figura 5 se muestra la energía transferida en el proceso (  ) (línea de trazos) y la energía transferida que corresponde al centro del pico cuasielástico ( QEP  ) (líneas continuas) frente a m p . Los resultados corresponden al proceso   NpeeO 1516 ´, , considerando el núcleo residual en su estado fundamental y tomando 5.0  N p GeV/c. La ecuación (56) se puede poner en función de N p y m p :   ABmNNmN MMpMppp  2222 ,  (58) Como se puede apreciar, la energía transferida se mantiene casi constante en todo el rango de momentos ( B M >> m p ), mientras que las curvas que indican la posición del centro del pico cuasielástico para cada N  se alejan rápidamente del valor de  . Concretamente, para valores pequeños de N  nunca se va a estar en el centro del pico cuasielástico. Solamente para los valores más bajos permitidos para m p   NNm pp  sin  estaremos en las proximidades del pico. Para valores superiores de N  sí vamos a conseguir en algún momento estar en el pico cuasielástico. No obstante, vamos a alejarnos rápidamente de él, pues basta con separarse aproximadamente 0.15 GeV/c del punto de corte, para que la distancia entre  y QEP  alcance valores próximos a 0.1 GeV. Cinemáticas usuales. Existen dos tipos de cinemática frecuentemente utilizadas que reciben el nombre de cinemática paralela y cinemática   yq  constante, esta última también es conocida como cinemática perpendicular. Sus principales características se presentan a continuación: 18 1. Cinemática paralela. Es aquella en la que coinciden la dirección del momento transferido q, el momento del nucleón saliente y el momento desaparecido m p . Distinguiremos el caso de cinemática estrictamente paralela   mN ppq |||| y cinemática antiparalela (q || N p , pero siendo m p antiparalelo a ellos). En este caso, la energía transferida  se mantiene prácticamente constante en el rango habitual de momento desaparecido (  m p 0.5 GeV/c) . Por otra parte, el momento transferido q varía, puesto que se ha de verificar mN ppq  . De esta forma, cuanto mayor es el momento desaparecido más alejados nos encontramos del pico cuasielástico. 2. Cinemática perpendicular. Se fija el valor de y y el momento desaparecido q . Tiene la ventaja de poder trabajar en el pico cuasielástico cuando y = 0 . Recuérdese que y es el valor mínimo permitido del momento m p . En esta cinemática, haciendo uso de (58) y considerando  QEP   , el momento del nucleón saliente puede expresarse en la forma: B Nm N M Mqp qp 222 22   , (59) por tanto, excepto para núcleos muy ligeros, el valor de N p se mantiene muy cercano al de q . El nombre de esta cinemática es debido a que, aunque el valor de N  varía, los valores de N p y q suelen ser bastante grandes como para que en el rango de momento desaparecido de interés dicho ángulo tome valores pequeños, siendo m p casi perpendicular a q y N p , es decir, º90   (para y = 0). 19 3 Aproximación de impulso de ondas planas (PWIA). Anteriormente hemos analizado el vértice leptónico del proceso utilizando la aproximación PWBA. En este capítulo nuestro interés se centra en la descripción del vértice nuclear, realizando aproximaciones que simplifican el análisis del proceso A(e,e´N)B. Esta clase de procesos suele darse en la región del pico cuasielástico, en cuyo caso se cumple que N NN M Q MMq 2 2 22   . Si esta relación fuese exacta, el fotón virtual cedería toda su energía a un único nucleón en reposo del núcleo. En el pico cuasielástico es apropiado describir la interacción electrón-núcleo en la aproximación de impulso (IA), en la cual el fotón virtual intercambiado interacciona con un único nucleón, siendo este último detectado. Por tanto, los demás nucleones se consideran espectadores. Por otra parte, la interacción de estados finales se puede despreciar para energías y momentos transferidos altos. En este trabajo vamos a analizar la denominada aproximación de impulso de ondas planas (PWIA), cuyas características son las siguientes: 1. El operador de corriente electromagnética nuclear viene dado como un operador a un cuerpo, por tanto no se incluyen corrientes de intercambios de mesones (MEC). 2. El nucleón saliente se describe como una onda plana, despreciándose la interacción de éste con el núcleo residual. 3. El nucleón saliente, que absorbe la energía y el momento del fotón virtual emitido, es detectado en coincidencia con el electrón dispersado. El pico cuasielástico es la zona en la que esta aproximación es más fiable, en cuyo caso la variable de Bjorken x es aproximadamente igual a 1, 1  x . Así pues, la aproximación PWIA resulta más fiable para valores intermedios de  . Para valores más altos, uno debe considerar los efectos de resonancias nucleónicas y dispersión profundamente inelástica. Figura 6: Vértice nuclear en la aproximación PWIA. El diagrama de Feynman correspondiente al vértice nuclear en PWIA se encuentra representado en la figura 6. Hemos introducido dos nuevas variables que describen al nucleón ligado, su momento p y su energía E . Estas dos variables están relacionadas con las demás variables implicadas en el diagrama mediante la conservación de cuadrimomento en el vértice NN, así como en el vértice nuclear: 20 BAN EMEE   , BN pqpp  . (60) Podemos ver que el momento del nucleón ligado coincide con el momento desaparecido, p = m p . El hecho de que el nucleón ligado se encuentre fuera de su capa de masas (‘‘off-shell’’) conlleva que su energía y su momento no verifiquen la relación 22 N MpE  . Dentro del formalismo de segunda cuantización, el operador de corriente nuclear en PWIA adopta la siguiente expresión [10]:           mm mm aaSmSmddJ pp pppp ''' '' ),(,´,´´´,´ ˆ . (61) En este operador,  mm aa pp , '''  son los operadores de creación y destrucción de nucleones con momento, proyección de espín (en el eje de cuantización caracterizado por  S , siendo éste el cuadriespín) e isospín: p´, m´,  ´ y p, m,  , respectivamente. Están normalizados de tal forma que:     ''''' ´,   mmmm aa pp pp   . (62) El término    ,, Sm p representa un espinor con momento p y cuadriespín  S , verificándose la relación ‘‘on-shell’’ energía-momento: 222 N MpE  . El operador   describe el vértice NN . 3.1 Sección eficaz diferencial en PWIA: factorización. El tensor nuclear para procesos A(e,e´N)B viene dado por la expresión (9):       NBA AJNBAJNBW qq  ˆˆ * . (63) En la aproximación PWIA el estado final NB viene caracterizado por el producto de las funciones de onda correspondientes al núcleo residual y al nucleón saliente (considerado libre). Haciendo uso de la ecuación (61) para el operador de corriente, podemos obtener [11]:   BaNB NN mmNm   ''''' ´ pp p   . (64) Despreciándose los efectos de intercambio de carga y eliminando la dependencia con las variables de isospín, el elemento de matriz de la corriente nuclear se reduce a:          AaBSmSmdAJNB mNNN m p pppq ,, ˆ  . (65) Usando este resultado, el tensor nuclear viene dado por:       ' '' , mm mmmm NW pqp  W , (66) siendo  'mm W el denominado tensor nucleónico:             N m NNNNNNmm SmSmSmSm ,,´´,,, * ' ppppqp  W , (67) 21 que depende directamente del vértice NN, y 'mm N la distribución de momentos, que nos proporciona la probabilidad de encontrar un nucleón en el núcleo con un cierto momento p ,     B mm A mm AaBAaBN pp p * '' . (68) En el caso en que el núcleo blanco no esté polarizado y la partícula saliente sea un nucleón, la distribución de momentos es diagonal en las variables de espín,     '' mmmm pNN   p , (69) siendo 0 '  mm  si ´mm  y 1 '  mm  si m = m´. Así pues, para m = m´ la distribución de momentos resulta:     pNN mm  p ' , (70) con     4 )( 2 p pN shell  , (71) siendo   p shell  la función en el espacio de momentos de un nucleón en el núcleo, la cual depende del núcleo blanco, la capa, el modelo nuclear y si el nucleón es un protón o un neutrón. Con ello, el tensor nuclear en PWIA se expresa simplemente de la forma:   pNW  W  , (72) donde  W (tensor nucleónico) está dado por la expresión:           N mm NNNNNN SmSmSmSm ,,,, * pppp  W . (73) En tal caso, la sección eficaz diferencial factoriza   pNKf ddd d eN rec Nfe    1    , (74) siendo eN  la sección eficaz ‘‘half off-shell’’ electrón-nucleón (el nucleón inicial está ligado, y por consiguiente fuera de la capa de masas). En función de los tensores leptónico y nucleónico la sección eficaz eN  viene dada por:        W i f eN Q 4 2 2  . (75) La sección eficaz electrón-nucleón eN  puede descomponerse en una serie de funciones de respuesta que se denominan respuestas nucleónicas (‘‘single-nucleon’’), para diferenciarlas de las respuestas nucleares definidas en (31-34). Así pues, podemos escribir:    TTTLTLk k kM eN v ,,, R  . (76) 22 Las respuestas ‘‘single-nucleon’’ se calculan de forma análoga a las expresiones dadas por las ecuaciones (36-39), en las cuales se reemplaza el tensor nuclear por el nucleónico. Las respuestas nucleónicas y las nucleares se relacionan mediante la distribución de momentos:   pNR kk R  . (77) 3.2 Carácter ‘‘off-shell’’ del nucleón ligado. En la dispersión de electrones por núcleos, dentro de la aproximación de impulso, aparece una doble complicación: un nucleón que esté ligado a un núcleo está sujeto a interacciones, y por tanto su momento y su energía no están correlacionados. Asimismo, si tenemos en cuenta la interacción existente entre el nucleón saliente y el núcleo residual, dicho nucleón tampoco cumple la relación energía-momento que verifican las partículas libres (para partículas libres, 222 N MpE  ). En ambas situaciones, el nucleón presenta un carácter ‘‘off-shell’’ (fuera de la capa de masas). En el caso general (teniendo en cuenta la interacción de estados finales (FSI)), la estructura del operador se complica considerablemente: depende de 12 factores de forma dependientes, a su vez, de 3 escalares cada uno. Incluso la aproximación PWIA, donde el nucleón saliente está en su capa de masas, implica usar un operador con 4 factores de forma dependientes de 2 escalares. Por esta razón, han de adoptarse ciertas prescripciones para el tratamiento del vértice NN. Es habitual extrapolar el tratamiento del vértice ‘‘on-shell’’ al caso ‘‘off-shell’’. De Forest propone los siguientes aspectos para proceder en el caso del vértice ‘‘half off-shell’’ que aparece en PWIA [12,13]: 1. Definir las variables ‘‘on-shell’’:  el cuadrimomento ‘‘on-shell’’ del nucleón ligado:   p ,EP   , siendo p el momento real del mismo, y E la energía que le correspondería al nucleón si fuera libre: 222 N MpE  .  el cuadrimomento transferido ‘‘on-shell’’ por el fotón:     )(, PPQ N  q , i.e. , EE N   . 2. Describir el nucleón ligado haciendo uso de los espinores libres, es decir, espinores ‘‘on-shell’’. 3. Usar el operador de corriente electromagnética correspondiente al caso del nucleón libre. En este caso sólo intervienen dos factores de forma dependientes de un único escalar   2 Q . Dos formas del operador que son equivalentes para nucleones libres, pero no lo son para nucleones ligados, denominadas CC1 y CC2, son consideradas usualmente: 1:        N N CC PP M F FF  2 2 211 , (78) 2:    Q M iF F N CC 2 2 12  , (79) siendo 1 F y 2 F los factores de forma ‘‘on-shell’’ de Pauli y Dirac, respectivamente, y el término        2 , 2 ii es el generador de las transformaciones y opera en el espacio de Dirac. 4. En la aproximación de impulso sólo se consideran las contribuciones a un cuerpo de la corriente electromagnética nuclear, la cual no verifica 0    JQ , es decir, no se conserva. De hecho, los 23 operadores de corriente CC1 o CC2 no satisfacen la propiedad de conservación (la violan en una cantidad proporcional a   ). A nivel de aproximación de impulso, existen por tanto tres posibles opciones: (a) No restablecer la conservación de la corriente, lo que da lugar a las denominadas prescripciones NCC1 y NCC2. El gauge resultante es el de Landau. (b) Imponer conservación artificialmente a nivel de la corriente a un cuerpo, sustituyendo la componente longitudinal 3 J por el valor 03 J q J   que debería adoptar si la corriente realmente se conservara. A estas prescripciones se las denominan 0 1CC y 0 2CC , dando lugar al gauge de Coulomb. (c) Restablecer la conservación sustituyendo 0 J por 3 J q  . Las prescripciones que resultan son las llamadas 3 1CC y 3 2CC , obteniéndose el gauge de Weyl. Las corrientes que hemos denominado CC1 y CC2 son equivalentes para nucleones libres como ya mencionamos anteriormente, obteniéndose una a partir de la otra haciendo uso de la descomposición de Gordon:           iiifffiiff suPP M susuQ M i su , 2 1 ,, 2 , pppp            . (80) Las incertidumbres que se presentan en este trabajo, en cuanto a operador de corriente y gauge, son producidas únicamente por el nucleón ligado al no considerarse la interacción de estados finales. 3.3 Tensor nucleónico en procesos A(e,e´N). Como ya vimos anteriormente, la sección eficaz diferencial factoriza, por tanto a nivel del diagrama de Feynman del proceso, la factorización se entiende como una separación del vértice nuclear en dos vértices: el vértice núcleo blanco-nucleón ligado-núcleo residual, y el vértice nucleón ligado-fotón virtual-nucleón saliente o vértice NN (ver figura 6). Una vez conocido el tensor nucleónico, podemos evaluar las funciones de respuesta ‘‘single-nucleon’’. En el caso en que el nucleón saliente no se encuentre polarizado, el tensor nucleónico viene dado por:               s NNNN susususu , ˆ ,, ˆ , * pppp  W , (81) que puede ser evaluado mediante técnicas de trazas. La traza a evaluar resulta:       NNN N MPMPTr M   ˆˆ 8 1 2 W , (82) donde   ˆ es el operador de corriente dado por (78,79), y 00 ˆˆ     . A continuación vamos a calcular el tensor nucleónico mediante la ecuación (82) para los dos operadores de corriente de tipo CC1 y CC2 dados en (78) y (79):  operador CC1 24                                   NNN N NN N N MPPP M F FFMPPP M F FFTrM 0 2 21 0 2 21 2 22 8      W                 NNN N NN PPTrPPPP M F PTrPP FFF PPTrFF         2 2 2221 2 21 4 2                      TrFFMPTrPP FFF PTrPP FFF NNNN 2 21 2 221221 22                  1 42 2 2221 TrPPPP F PTrPP FFF NNNN        , hemos usado las siguientes fórmulas para trazas:   babaTr    4 ,     dcbacdbadbcadcbaTr      4 , Tr[1] = 4, (83) siendo la traza de un número impar de matrices de Dirac nula. Además, hemos hecho uso del álgebra de matrices de Dirac:     12,   g  , (84) donde 1 es la matriz identidad de dimensión 44  . Así pues, el tensor nucleónico, usando el operador CC1, resulta:                                        CC M Q F FFFg Q PPPPFF M N NN N 2 2 2 2 221 2 2 21 2 4 1 22 2 1 W , (85) con     N PPC  . De forma análoga calculamos el tensor nucleónico con el operador CC2:  operador CC2                       NN N N N N MPQ M F iFMPQ M F iFTrM 0 2 1 0 2 1 2 22 8      W               PTrQ FF iPTrQ FF iTrFMPPTrF NN  22 2121 2 1 22 1              TrQQ F PTrQ FF iPTrQ FF i NN 422 2 22121    N N PPTrQQ M F     2 2 2 4 , donde se ha hecho uso de (83), (84) y de la siguiente fórmula para la traza de seis matrices de Dirac [14]: 25 donde dr rdU r Ur ls )(1 )(   , 0 44.0 UU ls  (134) y          1 2 1 )( 22 0 l l rMUrU N  ,          2/1 2/1 l l j . (135) Resolviendo la ecuación de Schrödinger obtenemos la función de onda:     sm s r m llnl l l YjmslmrRjmln , 2 1 ,)()) 2 1 (,(  r . (136) Aplicando la transformada de Fourier (117) calculamos la función de onda en el espacio de momentos:   p m nl n j pR    )()1()( p . (137) Por tanto la distribución de momentos vendrá dada por       4 )( 4 )( )( 4 )( )( 4 1 )( 22 1 2 2 2 ppR d pR dpN nl pp m nl p j      p , (138) obteniéndose el mismo resultado que en (131). Esto se debe a que tanto para el modelo HO como el modelo HO + sl  , la función radial no depende de j, solamente depende de n y l . 3.6 Prescripción ‘‘on-shell’’. Uno de los principales problemas que plantea el tratamiento propuesto por De Forest es la ruptura de la invariancia gauge de la teoría, que es uno de los principales requisitos que ha de cumplir una teoría cuántica de campos. Para el caso del nucleón ligado la generalización del uso de la corriente ‘‘onshell’’ presenta la inconsistencia de que la conservación de la corriente no se satisface en una cantidad proporcional a   . Debido a ello, cada uno de los tres gauge en la Sección 3.2 conduce a un resultado diferente, por tanto introduciendo incertidumbres en el cálculo teórico. Además, el uso de las corrientes CC1 y CC2 introducen resultados distintos en el caso ‘‘half off-shell’’, al no ser válida la descomposición de Gordon para el nucleón ligado. La idea básica de la prescripción ‘‘on-shell’’consiste en imponer que el nucleón ligado satisfaga las relaciones cinemáticas que verifica un nucleón ‘‘on-shell’’. Esto conlleva que la energía y el momento del nucleón están ligados por la relación libre 22 N MpE  . Este tratamiento conlleva ciertas implicaciones físicas. La energía E puede escribirse de la siguiente forma utilizando la condición de conservación de la energía : 0 BA EME   , (139) donde E es la energía del nucleón ligado y  es la energía de excitación definida en (45). Si en la ecuación (139) imponemos la condición de que la energía del nucleón ligado adopte el valor ‘‘onshell’’, la energía de excitación vendrá dada por: 32 Figura 7: Energía de excitación en la prescripción ‘‘on-shell’’ para el O 16 .   2 0222 BNA MpMpM   . (140) Podemos ver que imponiendo que el nucleón ligado verifique la condición EE  (siendo 22 N MpE  la variable ‘‘on-shell’’ introducida por De Forest) nos lleva a una relación biunívoca entre la energía de excitación y el momento desaparecido, es decir,  =  ( p) . La ecuación (140) puede ser reescrita de la siguiente forma:   0 0 2 0222        BBNNs MMpMMpE  . (141) La ecuación (140) muestra que la energía de excitación es negativa para todo el rango de p. Obviamente, este resultado no se corresponde a una situación física puesto que la energía de excitación es definida positiva. Asimismo, la energía de excitación real del núcleo residual, para la prescripción ‘‘on-shell’’, debe ser sustituida por un valor efectivo negativo dependiente del momento desaparecido (ver figura 7). Un argumento a favor de la prescripción ‘‘on-shell’’ es que en ella no existen ambigüedades de Gordon ni ambigüedades gauge al contrario de lo que ocurre con la prescripción ‘‘off-shell’’. Es importante señalar que la ecuación (140) es consistente con las ambigüedades introducidas por las diversas prescripciones ‘‘off-shell’’, en la cual la energía de excitación se fija a cero. En dicho caso, ambas prescripciones coinciden únicamente para p = 0 y 0  s E . En todo caso, la prescripción ‘‘onshell’’ debe considerarse como un método aproximado más para describir el vértice NN en procesos A(e,e´N). 33 4 Análisis de los resultados. En esta sección presentamos los resultados que se han obtenido para las respuestas ‘‘single-nucleon’’, sección eficaz ‘‘single-nucleon’’, funciones radiales, distribuciones de momentos y respuestas nucleares. El análisis de las respuestas nucleónicas lo realizaremos para cinemática (q-y) constante (en la que se fijan los valores q e y) y cinemática paralela ( qp || N , p en la misma dirección), siendo  = 0, es decir, cinemática coplanar y la energía de excitación  = 0 (el núcleo residual en su estado fundamental). Para las respuestas nucleónicas hemos considerado únicamente el caso de protones, (e,e ´p). Analizaremos la sección eficaz nucleónica (para los casos de protones y neutrones) para cinemática perpendicular, teniendo en cuenta distintos valores de  . A continuación mostraremos las funciones radiales (los casos de protones y neutrones) y las distribuciones de momentos (el caso de protones) para los tres modelos analizados en la Sección 3.5.1. Finalmente, analizaremos las respuestas nucleares (caso de protones) para cinemática perpendicular y  = 0. 4.1 Respuestas nucleónicas para cinemática (q-y) constante. Los resultados en cinemática (q-y) constante se presentan en las figuras 9-12. Para cada respuesta presentamos resultados para tres valores del momento transferido: q = 0.5 GeV/c (paneles superiores), 1 GeV/c (paneles intermedios) y 2 GeV/c (paneles inferiores). A su vez, para cada momento transferido se consideran tres valores de y: -200 MeV/c ( QEP   ) ( paneles izquierdos), 0 (valor correspondiente al pico cuasielástico) ( paneles centrales), y +200 MeV/c ( QEP   ) (paneles derechos). El análisis de todos estos casos nos servirá para tratar de entender cómo afectan las incertidumbres ‘‘off-shell’’ y los efectos relativistas cinemáticos a cada respuesta. Para ello se representan seis curvas para cada respuesta correspondientes a las seis prescripciones ‘‘off-shell’’ de De Forest. Las curvas (  , p) que se obtienen para cada par de valores q, y resultan útiles para saber la región de trabajo accesible. En la figura 8 observamos que para cada elección de valores q, y, el rango permitido de momento desaparecido es diferente. Para las respuestas nucleónicas presentamos los resultados en el rango de p comprendido entre min p y 0.5 GeV/c. Para cada par de valores (q, y) estaremos barriendo una fracción distinta del rango total permitido de p. Recordemos que las respuestas T R y TT R sólo dependen de la elección del operador de corriente, mientras que L R y TL R dependen además de la elección del gauge. En concreto, la respuesta L R es independiente en el gauge de Coulomb de la elección del operador de corriente, y, en general, la incertidumbre debida a la elección del operador es menor de un %8  ( %6  ) para el gauge de Landau (Coulomb). Sin embargo, en el caso del gauge de Weyl las diferencias son apreciablemente mayores, pudiendo llegar a ser elevadas en ciertas condiciones. Consideremos a continuación las incertidumbres asociadas a la elección del gauge. En las figuras 9 y 11 se observa que los resultados obtenidos en el gauge de Weyl son los que muestran mayores diferencias con respecto a los demás. Esto está de acuerdo con lo observado en [10,15]. Fijándonos en el operador de corriente podemos concluir lo siguiente:  Las diferencias relativas entre el gauge de Weyl y los correspondientes gauge de Landau/Coulomb disminuyen al aumentar q, tanto más cuanto menor es el valor de y.  Para un q fijo, el gauge de Weyl es más parecido a los gauge de Landau y Coulomb a medida que pasamos de valores negativos a positivos de y. Para valores altos de q las respuestas obtenidas para los tres gauge muestran una dependencia considerablemente menor con el valor de y. 34 Figura 8: Energía de excitación en función de p para el O 16 . La línea continua se corresponde con y = 200 MeV/c, la rayada-punteada con y = 0 y la punteada con y = -200 MeV/c . 35 L R Figura 9: Respuesta longitudinal ‘‘single-nucleon’’. Las curvas para el gauge de Coulomb se representan con líneas rayadas-punteadas y (líneas punteadas) para CC1(CC2), para el de Weyl con círculos y (triángulos hacia la derecha) y para el de Landau con líneas continuas y (triángulos hacia la izquierda). 36 T R Figura 10: Respuesta transversal ‘‘single-nucleon’’. Misma leyenda que en la figura 9. 37 TL R Figura 11: Respuesta nucleónica de interferencia transversal-longitudinal. Misma leyenda que figura 9. 38 TT R Figura 12: Respuesta nucleónica de interferencia transversal-transversal. Misma leyenda que figura 9. 39  Las diferencias apreciadas entre los gauge de Landau y Coulomb van aumentando ligeramente al incrementar y. Este aumento es mayor para q pequeños. Por último, es importante tener en cuenta que el rango de momento desaparecido [ min p , 0.5] GeV/c, representa una fracción muy distinta del rango total permitido para cada cinemática definida por q, y. En la figura 8 se observa que dicho rango es mayor conforme q aumenta. En efecto, el intervalo [ min p , 0.5] GeV/c representa aproximadamente un %55  de la región permitida para q = 0.5 GeV/c ( %30  para y = 200 MeV/c), mientras que para q = 2 GeV/c representa como máximo un %15  . Esto puede explicar por qué las diferencias entre distintos gauge se van atenuando conforme aumentamos q. La parametrización que hemos utilizado para obtener las gráficas de las respuestas nucleónicas es la de Galster [23]. En las Secciones 4.2, 4.3 y 4.5 también utilizaremos la parametrización de Galster. Podemos señalar que el gauge de Weyl muestra un comportamiento muy distinto frente a los gauge de Landau/Coulomb. Por otro lado, las incertidumbres ‘‘gauge’’ son mayores para CC1, i.e, CC2 muestra menor sensibilidad al gauge elegido. 4.2 Respuestas nucleónicas en cinemática paralela. En las figuras 13, 14, 15 y 16 presentamos las respuestas no polarizadas para reacciones A(e,e´p)B en cinemática paralela para la aproximación PWIA. Hemos realizado dos elecciones para las variables dinámicas: { 0,  NN p  ,  = 0, p } y { q, 0  N  ,  = 0, p }. Si mantenemos el momento del nucleón saliente N p fijo, esto implica que el momento transferido q tiene que variar, puesto que el momento desaparecido p varía. Para q < N p las direcciones de q, p y N p coinciden, en consecuencia  = 0 (cinemática estrictamente paralela). Para q > N p el momento desaparecido p es antiparalelo con respecto a q y N p , en consecuencia,  = 180º (cinemática antiparalela). Para la elección { q, 0  N  ,  = 0, p }, el momento transferido q se fija y para variar p el momento del nucleón saliente N p debe variar también. En la cinemática paralela y utilizando la aproximación PWIA sólo sobreviven dos respuestas no polarizadas en el proceso (e,e´N), L R y T R . Las figuras 13 y 14 se corresponden con la elección { 0,  NN p  }, mientras que las figuras 15 y 16 se corresponden con { q, 0  N  }. En ambos casos representamos las respuestas para  = 0 y  = 180º. Comencemos la explicación con las respuestas obtenidas a partir de las figuras 13 y 14. Los resultados para cinemática estrictamente paralela son mostrados en la figura 13. Aquí el momento transferido disminuye conforme aumenta p (recordemos que q = pp N  ). Existe, por tanto, un valor máximo de p para el cual q alcanza el valor de  , es decir, para el cual nos aproximamos a la región de producción de fotones reales ( 0 2  Q ). Como consecuencia de ello, la respuesta L R evaluada en el gauge de Landau diverge debido al factor 2 1Q que aparece en la ecuación (92). Cuando imponemos conservación de la corriente (gauge de Coulomb o de Weyl), ese factor se cancela, y no existe divergencia. No obstante, los resultados en la región cercana a la producción de fotones reales han de ser tomados con precaución (nótese que para N p = 0.5 GeV/c sólo exploramos el rango 0 < p < 0.325 GeV/c con el fin de no acercarnos demasiado a la zona de producción de fotones reales). En cinemática antiparalela (figura 14) la situación es distinta, ya que el momento transferido se incrementa al aumentar p, y por tanto no es posible la producción de fotones reales. 40 p (GeV/c) Figura 13: Respuestas en cinemática paralela con N p fijo. Misma leyenda que figura 9. 41 Figura 18:  ~ para el caso de neutrones. Misma leyenda que figura 9. 48 4.4 Funciones radiales y distribuciones de momentos. En esta Sección presentamos y discutimos las funciones radiales obtenidas a partir de los modelos nucleares vistos anteriormente en la Sección 3.5.1, y de sus correspondientes distribuciones de momentos vistas en las Secciones 3.5 y 3.5.1 . Para ello, hemos escogido dos núcleos O 16 y Ca 40 cuyas configuraciones nucleónicas, para protones y neutrones, son   2/12/32/1 111 pps y   2/32/12/52/12/32/1 121111 dsdpps , respectivamente. Vamos a centrarnos en las capas más externas, es decir, 2/3 1p y 2/1 1p para el O 16 , y 2/5 1d , 2/1 2s y 2/3 1d para el Ca 40 . En la figura 19 mostramos las funciones radiales (para protones y neutrones) y las distribuciones de momentos (para protones) para el O 16 . En el panel superior podemos ver las funciones radiales para protones (lado izquierdo), las funciones radiales para neutrones (centro) y las distribuciones de momentos (lado derecho) para la capa 2/3 1p . Análogamente, en el panel inferior de la figura 19 vemos las funciones radiales y las distribuciones de momentos en el caso de la capa 2/1 1p . En la figura 20 representamos las funciones radiales (protones y neutrones) y las distribuciones de momentos (protones) para el Ca 40 . En el panel superior mostramos las funciones radiales para protones (lado izquierdo), las funciones radiales para neutrones (centro) y las distribuciones de momentos (lado derecho) para la capa 2/5 1d . Análogamente, en el panel central observamos las funciones radiales y distribuciones de momentos de la capa 2/1 2s , y el panel inferior para la capa 2/3 1d . En la figura 19 hemos utilizado una frecuencia  = 0.5795 1  fm para el modelo HO, mientras que en la figura 20  = 0.5156 1  fm . Recordemos que la frecuencia  es necesaria para determinar la función de onda, tanto en el espacio de coordenadas como en el espacio de momentos, del modelo HO, (véase Sección 3.5.1). En las figuras 19 y 20 vemos que cuando las funciones radiales de los modelos HO, NLHS y HS se parecen, también se parecen sus correspondientes distribuciones de momentos. Esto es debido a que la función radial y la distribución de momentos están relacionadas mediante la transformada de Fourier dada por la ecuación (117). En el panel superior de la figura 19 observamos una gran semejanza entre los dos modelos relativistas. El parecido que hay entre HS y NLHS se puede deber a que las funciones radiales para estos dos modelos están determinadas a partir de los potenciales escalar S y vector V resolviendo el sistema de ecuaciones acopladas (115) y (116), por tanto si se han escogido un potencial vector V y un potencial escalar S parecidos para ambos modelos, las soluciones de dichas ecuaciones serán parecidas para ambos casos, es decir, )(rg  será semejante para NLHS y HS. Por el contrario, para la capa 2/1 1p existen diferencias apreciables entre los distintos modelos. Obsérvese que en la región donde se localiza el máximo de las distribuciones de momentos, la discrepancia asociada a los distintos modelos nucleares es del orden de un  7-8% para la capa 2/3 1p . Por el contrario, dicha diferencia se incrementa hasta un  30-35% en el caso de la 2/1 1p . Estos resultados pueden ser debidos a efectos relativistas, y en concreto, la posible contribución de las componentes inferiores en las funciones de ondas relativistas. Nótese que para la capa 2/3 1p , la componente inferior (‘‘down’’) viene caracterizada por l = 2, mientras que para la capa 2/1 1p , el número cuántico l que define su componente inferior es l = 0. Esto significa que mientras la componente inferior de la capa 2/3 1p viene caracterizada por una función de onda tipo d, la componente inferior en el caso de la capa 2/1 1p está definida por una función de onda tipo s, por tanto las diferencias apreciables entre los modelos nucleares para la capa 2/1 1p se deben a que hay más diferencia entre el comportamiento de la función de onda tipo p y s con respecto a la de tipo p y d. Podemos apreciar que la diferencia entre las funciones radiales para protones y neutrones es mínima. Esto se debe a que la única diferencia que hay prácticamente entre protones y neutrones viene dada por el potencial vector V (ecuaciones (115) y (116)) que introduce el isospín. 49 Figura 19: El modelo HO es la línea continua, HS la rayada-punteada y NLHS la punteada para O 16 . 50 Figura 20: Funciones radiales y distribuciones de momentos para Ca 40 . Misma leyenda que figura 19. 51 En la figura 20 observamos que no hay diferencia a simple vista entre el modelo NLHS y el HS. La razón de esto es la misma que hemos discutido para la capa 2/3 1p la figura 19, pero siendo la semejanza mayor en este caso. Por el contrario, vemos que hay diferencias apreciables del modelo HO con respecto a HS/NLHS para las tres capas del Ca 40 , especialmente para la 2/1 2s . Obsérvese en este caso el desplazamiento en el momento p en el que los distintos modelos alcanzan el mínimo (‘‘cero’’ en la distribución de momentos). En las distribuciones de momentos que hemos escogido para los tres modelos solamente se han tenido en cuenta las proyecciones positivas de la energía, pero mientras que la función radial del modelo HO es no relativista, las funciones radiales de los modelos HS y NLHS sí son relativistas, por tanto esa puede ser la razón de las diferencias apreciables que hay de forma general entre HS/NLHS versus HO. 4.5 Respuestas nucleares en cinemática (q-y) constante. En esta Sección presentamos las respuestas nucleares haciendo uso de los tres modelos nucleares vistos en las Secciones 3.5.1 y 4.4, para las capas externas de dos núcleos: O 16 y Ca 40 . Hemos elegido una cinemática en la cual q = 0.5 GeV/c, y = 0, 498.0  N p GeV/c y p = [0, 0.5] GeV/c . Así pues, nos encontramos en la zona del pico cuasielástico. Si escogemos únicamente la proyección positiva de la energía, las respuestas nucleares factorizan. Esto nos permite obtener las respuestas mediante el producto de las respuestas nucleónicas por la distribución de momentos. En las figuras 21-35 mostramos las respuestas nucleares para las capas externas ya mencionadas en la Sección 4.4 del O 16 y Ca 40 , y haciendo uso de los modelos nucleares HO, HS y NLHS. En las figuras 21-26 los resultados se corresponden con el O 16 , mientras que las figuras 27-35 corresponden a Ca 40 . Comencemos la discusión por la capa 2/3 1p del O 16 . En las figuras 21-23 observamos la similitud que existe entre los modelos HS y NLHS, mientras que estos dos modelos difieren del modelo HO. Los efectos nucleares hacen que los gauge de Landau y Coulomb estén en muy buen acuerdo. Por el contrario, vemos diferencias apreciables entre el gauge de Weyl y los gauge de Landau/Coulomb para las respuestas L R y TL R . Por otro lado, las incertidumbres debidas al modelo nuclear son  8-13% para la respuesta L y  10-17% para la respuesta TL. En las figuras 24-26 existen diferencias apreciables entre los modelos HS/NLHS y HO. A su vez, también hay ciertas discrepancias entre los modelos HS y NLHS. Las incertidumbres debidas al modelo son  13-16% (respuesta L) y  11-18% (respuesta TL) En las figuras 27-35 no existen diferencias a simple vista entre HS y NLHS. Sin embargo, sí hay diferencias apreciables entre HO y HS/NLHS, especialmente en la capa 2/1 2s , (véase el Apéndice A.2). En las figuras 27-29 las incertidumbres debidas al modelo son  3-9% (respuesta L) y  10-13% (respuesta TL). En las figuras 30-32 las incertidumbres son  30-35% (respuesta L) y  35-40% (respuesta TL) para p  0.15 GeV/c. En las figuras 33-35 las incertidumbres son  6-8% (respuesta L) y  6-9% (respuesta TL). En lo referente a las respuestas nucleares observamos que la incertidumbre debida a la elección del operador de corriente es muy pequeña. Podemos concluir diciendo que para la respuesta TL existe mayor incertidumbre debida al modelo nuclear. Estas incertidumbres se hacen máximas para la capa 2/1 2s . Por otro lado, para las respuestas L y TL existen diferencias apreciables entre los gauge de Weyl y Landau/Coulomb. Las diferencias entre los gauge de Weyl y Landau/Coulomb disminuyen considerablemente si aumentamos el valor del momento transferido q, por ejemplo, para q = 2 GeV/c, (véase el Apéndice A.3). Por tanto podemos decir que para q grandes las incertidumbres disminuyen, al igual que ocurría para las respuestas nucleónicas. Podemos ver que la respuesta L es la que introduce mayor incertidumbre gauge, excepto en la capa 2/1 2s . Observamos que las respuestas nucleares L, T y TL tienen el mismo comportamiento 52 Figura 21: Modelo HO para la capa 2/3 1p del O 16 . Misma leyenda que figura 9. 53 Figura 22: Modelo HS para la capa 2/3 1p del O 16 . Misma leyenda que figura 9. 54 Figura 23: Modelo NLHS para la capa 2/3 1p del O 16 . Misma leyenda que figura 9. 55 Figura 24: Modelo HO para la capa 2/1 1p del O 16 . Misma leyenda que figura 9. 56 Figura 25: Modelo HS para la capa 2/1 1p del O 16 . Misma leyenda que figura 9. 57 Figura 32: Modelo NLHS para la capa 2/1 2s del Ca 40 . Misma leyenda que figura 9. 64 Figura 33: Modelo HO para la capa 2/3 1d del Ca 40 . Misma leyenda que figura 9. 65 Figura 34: Modelo HS para la capa 2/3 1d del Ca 40 . Misma leyenda que figura 9. 66 Figura 35: Modelo NLHS para la capa 2/3 1d del Ca 40 . Misma leyenda que figura 9. 67 que sus correspondientes distribuciones de momentos, exceptuando la TL para la capa 2/1 2s , (véase A.2). Nótese que las incertidumbres debidas al gauge de Weyl con respecto a Landau/Coulomb para las respuestas L aumentan conforme aumentamos el número cuántico l, obteniéndose incertidumbres mayores para l = 2 (1d ), intermedias para l =1 (1p) y menores para l = 0 (2s), sin embargo para las respuestas TL las incertidumbres se hacen mayores en la capa 2s. A continuación presentamos una breve discusión referente a las incertidumbres asociadas al modelo nuclear específico usado para el cálculo de las funciones de respuesta. En el caso del O 16 (figuras 21- 26), se observa claramente que las diferencias son mucho más significativas para la capa 2/1 1p . Por el contrario, vemos que los distintos modelos están en mejor acuerdo en el caso de la capa 2/3 1p . Esto se debe, de nuevo, a los efectos relativistas introducidos por la posible contribución de las componentes inferiores de las funciones de ondas relativistas como ya mencionamos anteriormente (véase Sección 4.4). Por otro lado, en el caso del Ca 40 (figuras 27-35), observamos que las discrepancias más relevantes se encuentran en la capa 2/1 2s , mientras que las incertidumbres son menos significativas en los casos de las capas 2/5 1d y 2/3 1d . Para la capa 2s tenemos una situación similar a la de 2/1 1p , puesto que en ambos casos el número cuántico j es el mismo, es decir, j= 1/2 . Esto significa que la componente inferior de la función de onda relativista viene caracterizada por l = 0 y la componente superior está definida por l = 1 para 2/1 1p , mientras que en el caso de la capa 2s, las componentes superior e inferior vienen caracterizadas por l = 0 y l =1, respectivamente, por tanto en ambas capas hay que considerar las diferencias significativas entre una función de onda tipo s (l = 0) y otra función de onda tipo p (l = 1). 68 Apéndice A.1. Modelo HO para diferentes frecuencias. En este apéndice mostramos los resultados obtenidos al variar un  10% el valor de la frecuencia considerado en el modelo HO para las capas 1p, 2s y 1d. Así pues, en la figura 36 representamos las correspondientes distribuciones de momentos para tres valores de  :   , 0 y   , las cuales están relacionadas mediante 00 1.0    , siendo 0  los valores de frecuencias dados anteriormente en la Sección 4.4 para el O 16 y Ca 40 . Recordemos que 0  viene dada por   N M  0 , siendo 3/23/1 2545   AA   (MeV), donde A es el número másico del núcleo. La gráfica de la izquierda corresponde a la capa 1p, la del centro a 2s y la de la derecha a 1d. Figura 36: Distribuciones de momentos variando la frecuencia del oscilador. Podemos ver que en las tres gráficas las curvas que están por encima son las de menores frecuencias (   ) y las que están por debajo son las de mayores frecuencias (   ). Esto se debe a que la función de onda en el espacio de momentos es inversamente proporcional a la frecuencia del oscilador, véase ecuación (130). A.2. Respuestas nucleares TL y TT para la capa 2s. En la figura 37 mostramos las respuestas TL (lado izquierdo), TT (centro), y sus correspondientes distribuciones de momentos (lado derecho) de los modelos HO y HS para la capa 2s. En este caso las respuestas nucleares han sido representadas únicamente para el gauge de Coulomb. 69 Figura 37: Respuestas TL y TT, y distribuciones de momentos para la capa 2s. Misma leyenda que figura 19. Las grandes diferencias que hay en el segundo pico de cada gráfica en la capa 2s entre los modelos HO y HS para las respuestas TL y TT se deben a la gran diferencia relativa entre estos dos modelos entre sus respectivas distribuciones de momentos para p  0.15 GeV/c, habiendo elegido el gauge de Coulomb para CC1. Así pues, esto es debido a los efectos relativistas ya discutidos anteriormente (véase Sección 4.4). También podemos apreciar que el comportamiento de las respuestas TL y TT son bastante distintos con respecto a sus distribuciones de momentos. Esto puede deberse a que en estas dos respuestas para la capa 2s las respuestas nucleónicas introducen un comportamiento distinto de las respuestas nucleares con respecto a sus distribuciones de momentos. A.2.1 Respuesta TL para la capa 2s variando la frecuencia. En la figura 38 comparamos la respuesta TL del modelo HO variando la frecuencia (   , 0  y   ) con la respuesta TL del modelo HS para la capa 2s, siendo elegido el gauge de Coulomb (CC1). Vemos que al disminuir la frecuencia, el mínimo de la respuesta TL del modelo HO se aproxima al resultado relativista, pero esto hace que haya mayor diferencia entre los máximos de las respuestas de ambos modelos, poniendo de manifiesto las discrepancias significativas entre los resultados producidos por ambos tipos de modelos. 70 Figura 38: Comparación entre los modelos HS y HO variando la frecuencia del oscilador. A.3. Respuesta nuclear L para la capa 1d. Figura 39: Respuesta L del modelo HO para la capa 1d con q= 2 GeV/c (lado izquierdo) comparada con el caso q= 0.5 GeV/c (lado derecho). Misma leyenda que figura 9. 71 Anteriormente vimos que la respuesta L para la capa 1d era la que introducía mayor incertidumbre debida al gauge de Weyl con respecto a los gauge de Landau/Coulomb. Esta incertidumbre puede disminuirse si aumentamos el valor del momento transferido q. Por ejemplo, para q= 2 GeV/c e y = 0 (zona del pico cuasielástico), obtenemos una incertidumbre  3%, siendo ésta mucho menor que para q= 0.5 GeV/c (  27%), véase figura 39. Incluso es apreciable que la respuesta L (lado izquierdo) es dos órdenes de magnitud inferior respecto a la respuesta L del lado derecho. 72 5 Conclusiones. En este trabajo hemos realizado un estudio sistemático de la magnitud de las incertidumbres ‘‘offshell’’ y los efectos nucleares en los observables asociados al proceso A(e,e´N)B (funciones de respuesta y secciones eficaces ‘‘single-nucleon’’) dentro de la aproximación PWIA. La diferencia que hay entre esta aproximación y la denominada RPWIA es que en este último caso se incluyen las componentes de energías negativas. Si consideramos únicamente la proyección de energías positivas, las respuestas nucleares y la sección eficaz diferencial factorizan en una parte que depende únicamente del vértice nucleónico y otra que incluye los efectos nucleares. En este estudio se ha considerado una amplia variedad de situaciones cinemáticas. En concreto, hemos trabajado con dos tipos generales de elección de las variables dinámicas: la cinemática perpendicular y la cinemática paralela. En ambos casos, hemos analizado los resultados no sólo en el centro del pico cuasielástico, sino también en regiones alejadas de él. Para el análisis de los efectos ‘‘off-shell’’ hemos representado los observables obtenidos para las distintas prescripciones introducidas originalmente por De Forest, para dos clases de operadores de corriente (CC1 ó CC2) y tres gauge de trabajo (Landau, Coulomb o Weyl). Por otro lado, los efectos nucleares han sido analizados para las capas más externas de dos núcleos ( O 16 y Ca 40 ) utilizando diversos modelos nucleares. A continuación presentamos las principales conclusiones del análisis de las incertidumbres ‘‘offshell’’ en cinemática perpendicular. Las incertidumbres más importantes son introducidas por el gauge de Weyl, lo cual concuerda con lo observado en anteriores trabajos. No obstante, los resultados proporcionados por dicho gauge se aproximan a aquellos obtenidos en los gauge de Landau y Coulomb conforme aumentan la energía y el momento transferidos. En cambio, los resultados correspondientes a los gauge de Landau y Coulomb son bastante más cercanos, y las diferencias entre ellos aumentan ligeramente cuando la variable y pasa de valores negativos a positivos. En lo que respecta a las incertidumbres asociadas a la elección del operador de corriente, hemos comprobado que son razonablemente pequeñas exceptuando casos aislados. También hemos analizado los efectos ‘‘off-shell’’ para cinemática paralela. Hemos diferenciado entre dos situaciones: cinemática estrictamente paralela (p, q y N p paralelos) y cinemática antiparalela (p opuesto a q y N p ). A su vez, hemos considerado dos situaciones en las cuales primero se ha fijado el momento del nucleón saliente N p y después se ha fijado el momento transferido q . Los resultados muestran que las incertidumbres ‘‘off-shell’’ se minimizan escogiendo cinemática antiparalela. En cambio, las incertidumbres son bastante grandes para cinemática estrictamente paralela, ocasionadas principalmente por la cercanía del punto de producción de fotones reales. Por otra parte, hemos empleado la distribución de momentos con la cual se introducen los efectos nucleares. Hemos visto que hay diferencias apreciables entre los modelos HO y NLHS/HS, principalmente en las capas 2/1 1p y 2s, las cuales se deben a los efectos relativistas introducidos por la componente inferior de la función de onda. Se ha observado que las incertidumbres asociadas al modelo nuclear son mayores para las respuestas TL. Hemos visto que el gauge de Weyl tiene un comportamiento bastante diferente a los gauge de Landau/Coulomb, lo cual disminuye si aumentamos el momento transferido. Asimismo, las incertidumbres asociadas a la elección del operador de corriente son bastante pequeñas. En lo referente a las incertidumbres debidas al gauge, la respuesta L es la que introduce mayor incertidumbre, exceptuando la capa 2s en la cual es la respuesta TL. 73