El Operador de Evolución de un Álgebra de Evolución
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Facultad de Matemáticas Departamento de Geometría y Topología Máster Universitario en Matemáticas TRABAJO FIN DE MÁSTER El Operador de Evolución de un Álgebra de Evolución Víctor Manuel Gómez Sousa Tutorizado por: Desamparados Fernández Ternero. Juan Núñez Valdés. Profesora Contratada Doctora. Profesor Titular de Universidad. Dpto. de Geometría y Topología. Dpto. de Geometría y Topología. Universidad de Sevilla. Universidad de Sevilla. Fdo: Víctor Manuel Gómez Sousa. Graduado en Matemáticas. Sevilla, Junio 2020.
AGRADECIMIENTOS En estas líneas me gustaría expresar mi más profundo agradecimiento a todas aquellas personas que, de un modo u otro, me han apoyado y ayudado en la realización de este trabajo. A mis tutores de este Trabajo Fin de Máster, Desamparados Fernández Ternero y Juan Núñez Valdés, gracias por haberme guiado a lo largo de estos meses, por la confianza que habéis depositado en mí y por vuestra dedicación y tiempo. Sin vosotros y vuestras incansables correcciones y aportaciones, este trabajo no hubiera sido posible, y no hubiera podido adentrarme en el fascinante mundo de la investigación matemática. A todos mis amigos, por los buenos momentos que hemos vivido juntos y por estar siempre dispuestos a ayudar en lo que fuese necesario. Gracias por escucharme y regalarme una sonrisa cuando más lo necesitaba. A mi familia, en especial a mis padres y mi hermana, por haber sido un apoyo constante y darme ánimos en todo momento, por acompañarme en las derrotas y victorias de mi vida, enseñándome que el esfuerzo es el camino para lograr los objetivos. Todo lo que soy ahora os lo debo a vosotros. A todos vosotros, este trabajo es tan mío como vuestro.
Índice general 1. Introducción 1 1.1. Motivación para tratar con álgebras de evolución . . . . . . . . . 1 1.2. Estructura del Trabajo Fin de Máster . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Evolución histórica 5 2.1. Los orígenes de las álgebras genéticas . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. El origen de las álgebras de evolución . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. Preliminares 11 3.1. Álgebras de evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2. ÁlgebrasdeLie........................... 17 4. Nuevos resultados sobre el operador de evolución 19 4.1. Álgebras de evolución cuyo operador de evolución es una derivación 20 4.1.1. Álgebras de evolución de dimensión 2 . . . . . . . . . . . 24 4.1.2. Álgebras de evolución de dimensión 3 . . . . . . . . . . . 24 4.1.3. Álgebras de evolución de dimensión 4 . . . . . . . . . . . 25 4.2. Álgebras de evolución cuyo operador de evolución es un endomorfismoalgebraico ........................ 25 4.2.1. Álgebras de evolución de dimensión 2 . . . . . . . . . . . 31 4.2.2. Álgebras de evolución de dimensión 3 . . . . . . . . . . . 32 4.2.3. Resolubilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5. Problemas abiertos 41 Bibliografía 43 Índice de autores 47 Índice de conceptos 49
CAPÍTULO 1 Introducción 1.1. Motivación para tratar con álgebras de evolución La búsqueda de relaciones entre conceptos de distintas áreas de las Matemáticas es un objeto de estudio cada vez más habitual en investigación. Este es el caso de las llamadas álgebras de evolución, las cuales tienen conexiones con ramas tan diferentes como la Teoría de Grafos, la Teoría de la Probabilidad (concretamente, las cadenas de Markov), la Teoría de Grupos y la Teoría de Nudos, entre otras. Estas conexiones permiten no solo interpretar resultados conocidos de unos campos en otros, sino también trasladar el estudio de ciertos conceptos de unas áreas a otras. Por otra parte, también es necesario señalar la aplicación directa que tienen las álgebras de evolución en genética no-Mendeliana, ya que su origen se debe, precisamente, a esta rama de la Biología y a la necesidad de explicar ciertos fenómenos de forma precisa y rigurosa. En el campo de las álgebras genéticas, al cual pertenecen las álgebras de evolución, el producto del álgebra tiene una clara interpretación: la reproducción entre individuos de una cierta población. Ejemplos concretos de estas conexiones indicadas pueden verse, por ejemplo, en las referencias [9, 26] y [27], que relacionan álgebras de evolución con grafos y estructuras combinatorias, en las referencias [6] y [22], que unen a estas álgebras con las cadenas de Markov y en las referencias [8, 11, 20] y [28], que las utilizan para el estudio de diferentes poblaciones biológicas. 1
2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Las álgebras de evolución se definen como aquellas álgebras no asociativas que satisfacen que ei·ej= 0, para cualesquiera dos elementos eiyejdistintos de una de sus bases. De esta forma, un álgebra de evolución viene determinada por los productos ei·ei, pudiéndose reunir la información sobre los mismos en la llamada matriz de estructura, a partir de la cual se define el denominado operador de evolución L. Este operador, a pesar de que revela toda la información acerca de la dinámica del álgebra de evolución, ha sido poco estudiado, haciéndose visible la necesidad de investigaciones enfocadas al mismo. Esta ha sido precisamente la línea a seguir en el estudio que se presenta en este Trabajo Fin de Máster. Siendo precisos, se ha analizado cuándo este operador satisface ciertas igualdades que involucran a la segunda operación interna del álgebra, el producto. Así, se ha estudiado el caso en el que este operador es una derivación, es decir: L(x·y) = L(x)·y+x·L(y), así como el caso en el que es un homomorfismo de álgebras, es decir: L(x·y) = L(x)·L(y), para todo par de elementos xeydel álgebra. Cabe matizar, a parte del interés matemático que pueda tener, el interés biológico de estas igualdades, las cuales pueden ser útiles para modelizar ciertas poblaciones cuya reproducción cumpla estos patrones. 1.2. Estructura del Trabajo Fin de Máster Al objeto de llevar adelante el estudio propuesto, la estructura de este Trabajo Fin de Máster es la siguiente. Tras esta Introducción, en el Capítulo 2, se hace una recopilación histórica sobre los orígenes de las álgebras genéticas y, en particular, de las álgebras de evolución. Al final de este capítulo se hace notar la escasez de estudios relativos al operador de evolución. En el Capítulo 3 se recuerdan algunos conceptos básicos sobre álgebras de evolución, incorporando ejemplos para una adecuada comprensión de los mismos. También se introducen algunas nociones sobre álgebras de Lie, para posteriormente definir el espacio de derivaciones de un álgebra cualquiera, el cual tiene una estructura natural de álgebra de Lie. Asimismo, con la finalidad de no alargar innecesariamente este Trabajo, se incluyen únicamente los enunciados de aquellos resultados ya conocidos que van a ser utilizados a lo largo del mismo, sin demostraciones.
ESTRUCTURA DEL TRABAJO FIN DE MÁSTER 3 El Capítulo 4 constituye la parte de investigación de este trabajo y es totalmente novedoso. En él se exponen los resultados obtenidos por el autor en esta materia. Se comienza estudiando cuándo el operador de evolución es una derivación, distinguiendo entre dos casos bien diferenciados: las álgebras de evolución que son degeneradas y las que son no-degeneradas. La proposición 4.4 nos permite diferenciar entre estos dos tipos de álgebras de una forma más sencilla, facilitando la demostración del teorema 4.5, en el cual se explicitan todas las álgebras no-degeneradas. Como consecuencia directa de este teorema obtenemos el corolario 4.6, que nos muestra la inexistencia de álgebras no-degeneradas de dimensión impar. Posteriormente, en la proposición 4.7, se estudia el espacio de derivaciones de estas álgebras, el cual está formado por una familia de aplicaciones con una estructura muy parecida a la de su operador de evolución. Por último, se ha construido un algoritmo que permite simplificar el cálculo de todas las álgebras degeneradas de dimensión finita, utilizando únicamente las de una dimensión menor. Con todo esto, se puede obtener una clasificación completa de las álgebras de evolución cuyo operador de evolución es una derivación. Para ejemplificarlo, en las subsecciones 4.1.1, 4.1.2 y 4.1.3 se explicitan todas aquellas de dimensión menor que 5. Por otra parte, también se ha llevado a cabo el estudio del caso en el que el operador de evolución es un homomorfismo algebraico. Siguiendo la misma estructura que anteriormente, se diferencian los casos en los que el álgebra es degenerada o no. Con un razonamiento similar, se construye un algoritmo para obtener todas las álgebras degeneradas de una dimensión específica utilizando las de una dimensión menor. Después de esto, se aborda el caso de las álgebras no-degeneradas de dimensión n, haciéndose un estudio según el rango del operador de evolución. Así, se obtienen las proposiciones 4.8, 4.10 y 4.11, las cuales caracterizan aquellas álgebras cuyo operador de evolución tiene rango n,n−1y1, respectivamente. Para otros rangos distintos se obtiene la proposición 4.12, que aunque no proporciona una caracterización, sí aporta una condición necesaria. Todo esto nos permite obtener una clasificación completa de aquellas álgebras de dimensión menor que 4, la cual ha sido expuesta en las subsecciones 4.2.1 y 4.2.2. Por último, en la subsección 4.2.3, se hace un estudio de una cierta familia de subálgebras, probándose que tienen estructura de álgebras de evolución (proposición 4.13) y que su operador de evolución asociado es también un endomorfismo algebraico que coincide con la restricción del operador de evolución del álgebra que las contiene (corolario 4.15). A partir de esta familia de subálgebras se define el concepto de resolubilidad, el cual se demuestra que es equivalente a la nilpotencia de la matriz de estructura del álgebra (proposición 4.17). Finalmente, en el Capítulo 5 se indican varios problemas abiertos al respecto y diferentes formas de continuar con la investigación iniciada. El Trabajo termina
10 CAPÍTULO 2. EVOLUCIÓN HISTÓRICA Con las palabras “evolution” y “operator” en el título, en cualquier orden, bien seguidas o separadas por otras palabras, hay 866 publicaciones. De ellas, 342 corresponden a 2005 en adelante (posteriores por tanto a la introducción de las álgebras de evolución). Afinando un poco más, con las palabras “evolution operator” así escritas (seguidas y en ese orden) hay 136. La primera data de 1970 [1]. Con las secuencias “evolution operator” y “algebra” hay solo dos, si bien en sus títulos no aparece la palabra “algebra” sino “algebraic” (años 1997 y 1998, respectivamente): MR1627522 y MR1482770. Sin embargo, con las secuencias “evolution algebra” y “operator” no hay ninguna publicación. Con las secuencias “evolution”, “algebra” y “operator” (como palabras o parte de palabras, en cualquier orden, seguidas o separadas) hay 13. De ellas, solo una, debida a Rozikov, [31], trata con álgebras de evolución. De estos artículos citados, podemos destacar los referidos al operador de evolución. En 2013, Ladra y Rozikov obtuvieron en [21] condiciones necesarias para que el estado de una población bisexual sea un punto fijo o un punto cero de su operador de evolución correspondiente y también establecieron una mejor estimación del límite de puntos fijos para las trayectorias de ese operador. Utilizando estas condiciones necesarias, dieron un análisis detallado de un caso especial de álgebra de evolución: el álgebra de evolución de la población bisexual en la cual el tipo “1” de mujeres y hombres tiene prioridad. Finalmente, Mellon y Velasco establecieron en 2019 en [24] una condición suficiente para la continuidad del operador de evolución de un álgebra de evolución normada con respecto a su base natural, probando además que ese operador no es necesariamente continuo cuando la dimensión del álgebra no es finita.
CAPÍTULO 3 Preliminares En este capítulo introducimos la mayor parte de los conceptos y resultados que serán utilizados a lo largo de esta Memoria. Comenzamos con aquellos relativos a álgebras de evolución, para posteriormente introducir las álgebras de Lie y establecer una conexión entre estos dos tipos de álgebras. 3.1. Álgebras de evolución Partimos de un espacio vectorial (E, +) sobre un cuerpo K, dotado de una segunda operación interna binaria ·:E×E→Eque es bilineal, es decir, para todo α∈Ky todo u, v, w ∈Ese tiene que: (u+v)·w=u·w+v·w, u·(v+w) = u·v+u·w, (αu)·v=u·(αv) = α(u·v). Entonces, se dice que (E, +,·)es un álgebra sobre el cuerpo K. Si existe una base del álgebra B={ei, i ∈Λ}, donde Λes un conjunto de índices, tal que ei·ej= 0, si i6=j, entonces se dice que Ees un álgebra de evolución. Una base Bde este tipo será llamada natural. Puesto que Bes base, podemos escribir ej·ej=Pi∈Λaijei, con aij ∈K, donde solo una cantidad finita de constantes de estructura aij son distintas de cero, para cada j∈Λfijado. Como consecuencia, la multiplicación en Eestá completamente determinada por la denominada matriz de estructura A= (aij). 11
12 CAPÍTULO 3. PRELIMINARES Ejemplo 3.1. Por propia definición, el álgebra conmutativa E, con base B= {e1, e2, e3}y productos definidos por: e1·e1=e1+e2+ 3e3, e2·e2=−2e1+e3, e3·e3=e3, es un álgebra de evolución. Definición 3.2. Un álgebra de evolución Ede base B={ei, i ∈Λ}se dice graficable si las constantes aij son 1o0, para todo i, j ∈Λ. Ejemplo 3.3. El álgebra conmutativa Ede base B={e1, e2, e3}y productos definidos por: e1·e1=e1+e2, e2·e2=e2+e3, e3·e3=e1+e2+e3, es un álgebra de evolución graficable, a diferencia del ejemplo anterior, que es un álgebra de evolución no graficable. Ejemplo 3.4. Consideremos el álgebra conmutativa Ede base B={e1, e2}y productos definidos por: e1·e1=e1, e1·e2=e2, e2·e2=e1. Aunque en principio este álgebra parece no ser de evolución, si consideramos la base B0={η1, η2}, con η1=e1+e2yη2=e1−e2, vemos que η1·η2= 0. Por lo tanto, aunque Bno sea una base natural, B0sí lo es, y Ees un álgebra de evolución. Ejemplo 3.5. Consideremos el álgebra conmutativa Ede base B={e1, e2}y productos definidos por: e1·e1=e1, e1·e2=e2. Veamos que Eno es un álgebra de evolución. Por reducción al absurdo, supongamos que sí lo es. Supongamos entonces que existe una base natural {η1, η2}de E, con η1=ae1+be2yη2=ce1+de2. Entonces: 0 = η1·η2=ace2 1+bde2 2+ (ad +bc)e1·e2=ace1+ (ad +bc)e2.
ÁLGEBRAS DE EVOLUCIÓN 13 Por lo tanto ac = 0 yad+bc = 0. Los escalares aycno pueden ser ambos nulos, ya que en ese caso η1yη2serían linealmente dependientes. Por lo tanto las únicas soluciones posibles son a=b= 0 oc=d= 0. En ambos casos llegamos a que un elemento de la base natural es nulo, lo que es una contradicción. Mostramos a continuación algunas propiedades sobre álgebras de evolución probadas por Tian y Vojtechovsky en [37], indicando ejemplos particulares de algunas de ellas: Las álgebras de evolución no son, en general, asociativas. Un ejemplo de este aserto es el álgebra de evolución Ede base natural B={e1, e2}y productos definidos por e2 1=e2 2=e2, ya que: (e1·e1)·e2=e2·e2=e26= 0 = e1·(e1·e2). Las álgebras de evolución no son, en general, de potencias asociativas, es decir, no se tiene la igualdad xn·xm=xn+m, para todo x∈Eyn, m ∈ N. Un ejemplo de esto es el álgebra de evolución Ede base natural B= {e1, e2}y productos definidos por e2 1=e2 2=e2, ya que: e2 1·e2 1=e2 2=e26= 0 = (e2·e1)·e1= (e2 1·e1)·e1=e4 1. Las álgebras de evolución son conmutativas y por tanto flexibles, es decir, (x·y)·x=x·(y·x), para todo x, y ∈E. La suma directa de álgebras de evolución es un álgebra de evolución. El producto de Kronecker de álgebras de evolución es un álgebra de evolución. Recordemos que el producto de Kronecker de dos álgebras Ey E0, con bases {ei, i ∈Λ}y{ηj, j ∈Ω}, respectivamente, es el álgebra E⊗E0de base {ei⊗ηj, i ∈Λ, j ∈Ω}y productos definidos por (x1⊗x2)·(y1⊗y2) = (x1·y1)⊗(x2·y2). Existen dos tipos de álgebras de evolución que se denominan triviales: Las álgebra de evolución de tipo cero, que son aquellas tales que aij = 0, para todo i, j ∈Λ. Las álgebra de evolución de tipo no-cero, que son aquellas tales que aij = 0 si y sólo si i6=j, es decir, e2 j=ajej, para todo j∈Λ, donde aj∈K\ {0}. Sobre este último tipo de álgebras de evolución, probamos a continuación, como resultado novedoso, que el concepto de álgebra de evolución de tipo nocero no depende de la base natural elegida, es decir, es un concepto intrínseco al álgebra de evolución E.
14 CAPÍTULO 3. PRELIMINARES Proposición 3.6. Sea Eun álgebra de evolución con base natural B={ek, k ∈ Λ}tal que e2 k=akek, con ak∈K\ {0}. Sea B0={ηi, i ∈Ω}cualquier otra base natural. Entonces, salvo reordenación y multiplicación por escalares, estas bases son la misma. Demostración. Como Bes base, ηi=Pk∈Λckiek, donde solo un número finito de constantes cki son no nulas, para cada ifijo. Se tienen las siguientes propiedades: Para todo kexiste un único ital que cki 6= 0. La existencia se debe a que ByB0son bases. Deduciremos la unicidad por reducción al absurdo. Dado que: ηi·ηj= X k∈Λ ckiek!· X k∈Λ ckjek!=X k∈Λ ckickje2 k=X k∈Λ ckickjakek, si existieran i, j tales que cki 6= 0 6=ckj , entonces ηi·ηj6= 0 yB0no sería una base natural. Para todo iexiste un único ktal que cki 6= 0. La causa de esta existencia es la misma. Para la unicidad procedemos de nuevo por reducción al absurdo. Supongamos que ηi=ck1iek1+· · · +ckriekrcon r > 1. Entonces, ek1no puede escribirse como combinación lineal de los ηjy tenemos una contradicción. En efecto, en una tal combinación debe aparecer ηi, ya que es el único de los ηjcon ck1j6= 0. Pero si aparece ηiningún otro ηjpuede contrarrestar el término ck2iek2de ηi, ya que es el único de los ηjcon ck2j6= 0. De esta forma se puede definir una aplicación f: Ω →Λtal que ηi=cf(i)ief(i). Tian demuestra en [36] que un álgebra de evolución Etiene elemento unidad si y solo si Ees un álgebra de evolución de tipo no-cero. En este caso el elemento unidad es µ=Pi∈Λ 1 aii ei. Pasamos ahora a recordar algunos conceptos fundamentales sobre álgebras de evolución, ya introducidos por Tian: Un álgebra de evolución Econ base natural B={ei, i ∈Λ}se dice nodegenerada si e2 i6= 0, para todo i∈Λ. En caso contrario se dice que Ees degenerada. En [5] se demuestra que Ees no-degenerada si y solo si el único x∈Etal que x·E= 0 es x= 0. Como consecuencia, la definición de álgebra de evolución no-degenerada no depende de la base natural considerada, por lo que es un concepto bien definido.
ÁLGEBRAS DE EVOLUCIÓN 15 Un subespacio E0⊆Ees una subálgebra del álgebra de evolución Esi es cerrado bajo la segunda operación interna del álgebra. Un subespacio E0⊆Ees una subálgebra de evolución de Esi es subálgebra y es de evolución, es decir, existe una base natural B0={ei, i ∈Λ0}de E0tal que ei·ej= 0, si i6=j. Se dice que una subálgebra de evolución E0del álgebra de evolución Etiene la propiedad de extensión si la base natural B0de E0puede ser extendida a una base natural Bde E. Sea Eun álgebra de evolución. Se dice que un subespacio E⊆Ies un ideal si I·E⊆I. Dado que todo ideal es una subálgebra, podemos definir los conceptos de ideal de evolución e ideal de evolución con la propiedad de extensión. En [36] Tian da una definición diferente de subálgebra de evolución, ya que exige el tener la propiedad de extensión. Sin embargo, Cabrera, Siles y Velasco demuestran en [5] que, considerando las definiciones anteriores, no todas las subálgebras de evolución tienen la propiedad de extensión. De hecho, exponen ejemplos mostrando que todos los conceptos definidos anteriormente son diferentes, excepto los de subálgebra e ideal de evolución teniendo la propiedad de extensión, que son equivalentes, ya que toda subálgebra con la propiedad de extensión es un ideal. Por lo tanto, nosotros diferenciaremos entre todos estos conceptos y mencionaremos explícitamente cuándo una subálgebra o un ideal tiene la propiedad de extensión. Ejemplo 3.7. Un ejemplo de álgebra de evolución degenerada es la de base B= {e1, e2}y productos definidos por: e1·e1=e1, mientras que un álgebra de evolución no-degenerada es la definida por: e1·e1=e1, e2·e2=−e2, que además es de tipo no-cero. Es evidente que cualquier álgebra de tipo no-cero es no-degenerada. Sin embargo, el recíproco no es cierto, como puede observarse en el álgebra definida por los productos: e1·e1=e1, e2·e2=−e1.
16 CAPÍTULO 3. PRELIMINARES Ejemplo 3.8. Consideremos el álgebra de evolución Ede base B={e1, e2, e3} y productos definidos por: e1·e1=e1+e2, e3·e3=e3. El subespacio E0de base {e1+e2+e3}es una subálgebra de evolución, ya que: (e1+e2+e3)·(e1+e2+e3) = e2 1+e2 2+e2 3=e1+e2+e3. Sin embargo, no es un ideal, ya que e1·(e1+e2+e3) = e2 1=e1+e2/∈E0. Por lo tanto, tampoco puede tener la propiedad de extensión, ya que en ese caso sería un ideal. Un ejemplo de ideal (y en consecuencia subálgebra) de evolución es el subespacio Ide base {e1+e2}, ya que para todo a, b, c ∈Kse tiene que: (ae1+be2+ce3)·(e1+e2) = ae2 1+be2 2=a(e1+e2)∈I. Además tiene la propiedad de extensión, ya que {e1+e2, e2, e3}es una base natural de E. Por último hacemos referencia al grupo de endomorfismos algebraicos de un álgebra de evolución, es decir, aquellos endomorfismos G:E→Etales que G(x·y) = G(x)·G(y). Para caracterizar este grupo es necesaria la siguiente definición: Definición 3.9. Sean A= (aij)yB= (bij )dos matrices de dimensión n×m. Se definen las siguientes operaciones matriciales: El producto de Hadamard AB= (aijbij). Se define A(2) =AA. A∗B= (ck ij)una matriz de tamaño n×m(m−1) 2, donde ck ij =akibkj, para pares (i, j)con i < j. Las filas están indexadas por ky las columnas por pares (i, j)con el orden lexicográfico. De nuevo en [36] podemos encontrar la siguiente caracterización del grupo de endomorfismos algebraicos de un álgebra de evolución Econ matriz de estructura A: End(E) = nG:E→Etal que AG(2) =GA yA(G∗G) = 0o.
ÁLGEBRAS DE LIE 17 3.2. Álgebras de Lie En esta sección se recuerda el concepto de álgebra de Lie y se establece una relación entre este tipo de álgebras y las de evolución. Concretamente, veremos que el espacio de derivaciones de un álgebra de evolución es un álgebra de Lie. Comenzaremos definiendo un álgebra de Lie (L, +,[·,·]) sobre un cuerpo K como aquella álgebra que satisface las siguiente propiedades: Anti-conmutatividad: Para todo u, v ∈Lse tiene que [v, u] = −[u, v]. Para todo u, v, w ∈Lse verifica la denominada identidad de Jacobi: [u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0. donde la primera propiedad es equivalente a que [u, u] = 0, para todo u∈L. En álgebras de Lie es habitual denotar por [·,·]a la segunda operación interna, que es llamada producto corchete. Estas álgebras se denominan así en honor del matemático noruego Marius Sophus Lie (1842-1899). Lie fue uno de los principales fundadores de la teoría de la simetría continua y su logro más importante fue el descubrimiento de que los grupos continuos de transformaciones (actualmente denominados “grupos de Lie”, también en su honor) estaban generados por sus correspondientes campos vectoriales (llamados generadores infinitesimales), que dotados de la ley denominada “corchete” o “producto conmutador” poseen una estructura algebraica que es la que actualmente se denomina “álgebra de Lie”. Algunas propiedades sobre álgebras de Lie son las siguientes: Las álgebras de Lie no son, en general, asociativas. Las álgebras de Lie son de potencias asociativas, ya que cualquier potencia es nula, dado que [u, u] = 0, para todo u∈L. Las álgebras de Lie son anticonmutativas y por tanto flexibles, es decir, [[u, v], u] = [u, [v, u]], para todo u, v ∈L. Pasamos a dar algunas definiciones básicas sobre álgebras de Lie: Se define la serie central descendente de un álgebra de Lie Lcomo L1⊇L2⊇ · · · ⊇ Lk⊇. . . , donde L1=LyLk= [Lk−1, L]. Se dice que Les nilpotente si existe m∈Ntal que Lm= 0. El menor de estos mse denomina el índice de nilpotencia.
18 CAPÍTULO 3. PRELIMINARES Un álgebra de Lie nilpotente Lse dice filiforme si verifica dim Lk=n−k, para todo k∈ {2, . . . , n}. Se define la serie derivada de un álgebra de Lie Lcomo L[0] ⊇L[1] ⊇ · · · ⊇ L[k]⊇. . . , donde L[0] =LyL[k]= [L[k−1], L[k−1]]. Se dice que Les resoluble si existe m∈Ntal que L[m]= 0. El menor de estos mse denomina el índice de resolubilidad. La siguiente definición, válida para cualquier álgebra en general, está estrechamente relacionada con las álgebras de Lie. Definición 3.10. Sea Aun álgebra sobre un cuerpo Kyd:A→Aun endomorfismo. Se dice que des una derivación de Asi para todo x, y ∈Ase satisface la regla de Leibniz d(x·y) = d(x)·y+x·d(y). Al conjunto de todas las derivaciones de Ase le denota por Der(A). Se prueba que el conjunto Der(A)tiene estructura de espacio vectorial. Además, si definimos el producto corchete de dos derivaciones como [d1, d2] = d1d2− d2d1, el resultado es una derivación. Este producto dota al espacio de derivaciones de estructura de álgebra de Lie. Tian demuestra en [36] que el espacio de derivaciones para el caso particular de un álgebra de evolución Econ base natural B={ei, i ∈Λ}es: Der(E) = d:E→Etal que 2ajidii =X k∈Λ akidjk,para todo i, j ∈Λ; akjdji +akidij = 0,para todo i, j, k ∈Λcon i6=j, donde e2 j=Pi∈Λaijeiyd(ej) = Pi∈Λdijei. Con ayuda de la matriz de estructura A= (aij)y la matriz D= (dij), que representa al endomorfismo dcon respecto a la base B, podemos expresar la primera condición en forma matricial como 2ADiag(D) = DA, donde Diag(D)es la matriz diagonal de entradas dii.
CAPÍTULO 4 Nuevos resultados sobre el operador de evolución Pasamos ahora a introducir el concepto de operador de evolución, que será el principal objeto de estudio de esta Memoria. Definición 4.1. Sea Eun álgebra de evolución con base natural B={ei, i ∈Λ} y matriz de estructura A= (aij). Se define el operador de evolución asociado a Bcomo el endomorfismo L:E→Eque lleva cada generador en su cuadrado, es decir, L(ej) = e2 j=Pi∈Λaijei, para todo j∈Λ. Notemos que la representación matricial del operador de evolución con respecto a la base Bes la matriz de estructura A= (aij). Una forma alternativa de definir el operador de evolución es L(x) = θ·x, donde se expresa formalmente θ=Pi∈Λei, sin importar que esta suma no sea finita, pues el producto siempre lo será. En efecto, como Lasí definido es lineal (en virtud de la propiedad distributiva) y L(ej) = Pi∈Λeiej=e2 j, las dos definiciones son equivalentes. Dado que el operador de evolución Lha sido definido a partir de la base B, es natural preguntarse por la rigidez de este operador. Es decir, si consideramos otro operador de evolución L0asociado a otra base natural B0, ¿serán LyL0el mismo operador cuando los expresemos en una misma base? Tian responde a esta pregunta en [36] a través de la siguiente proposición: Proposición 4.2. Sea Eun álgebra de evolución. Consideremos dos bases naturales ByB0. Sean LyL0los operadores de evolución asociados a cada una de estas bases. Entonces, LyL0son el mismo operador lineal si y solo si las bases ByB0son la misma, o si una puede ser obtenida de la otra mediante una permutación. 19
26 CAPÍTULO 4. NUEVOS RESULTADOS OPERADOR DE EVOLUCIÓN La primera ecuación es equivalente a A(A(2) −A) = 0. Los elementos de A(2) −A son de la forma a2 ij −aij =aij(aij −1). Por lo tanto la condición anterior es equivalente a la igualdad: Acj(cj−~ 1 )= 0,∀j, donde cjes la columna j-ésima de Ay~ 1es el vector (1, . . . , 1)t. Por otra parte, según la definición de la operación ∗, la segunda ecuación es equivalente a: A(cicj) = 0,∀i6=j. Por lo tanto, la matriz de estructura debe cumplir las condiciones: Acj(cj−~ 1 )= 0,∀j, (4.4) A(cicj) = 0,∀i6=j. (4.5) Comenzaremos estudiando el caso en el que Ees degenerada y de dimensión finita n. Entonces, esta matriz se escribe como: A=A00 vt0, donde A0es una matriz cuadrada de tamaño n−1yvun vector con n−1entradas. La condición 4.4 es equivalente a: A0c0 j(c0 j−~ 1 )= 0 yvtc0 j(c0 j−~ 1 )= 0,∀j, donde c0 jes la columna j-ésima de A0. La condición 4.5 es equivalente a: A0c0 ic0 j= 0 yvtc0 ic0 j= 0,∀i6=j. De esta forma, A0será la matriz de estructura de un álgebra de evolución E0 de dimensión n−1con operador de evolución L0∈End(E0). Por otra parte, v será un vector ortogonal a cada vector c0 j(c0 j−~ 1 ) yc0 ic0 j, para todo i, j con i6=j. Gracias al razonamiento anterior nos podemos centrar en el estudio de las álgebras no-degeneradas, ya que si estas son conocidas podemos obtener las matrices de estructura de todas las degeneradas mediante el siguiente algoritmo: Paso 1: Obtener todas las matrices A0de una dimensión menor, tanto degeneradas como no-degeneradas.
EL OPERADOR DE EVOLUCIÓN ES ENDOMORFISMO ALGEBRAICO 27 Paso 2: Para cada matriz A0obtenida, encontrar el espacio de vectores ortogonales a{c0 j(c0 j−~ 1 ), c0 ic0 j:i6=j}. Si vpertenece a este espacio entonces las matrices buscadas serán aquellas de la forma A=A00 vt0. Estudiemos ahora el caso en el que Lsea un automorfismo, es decir, el rango de Asea máximo. Proposición 4.8. Sea Eun álgebra de evolución con matriz de estructura A= (aij)y tal que Les un automorfismo. Entonces, L∈End(E)si y solo si Ase obtiene permutando las columnas de la matriz identidad. En particular, Ees un álgebra de evolución graficable. Demostración. La implicación hacia la izquierda es una simple comprobación. Para la otra implicación procedemos del siguiente modo: Como Atiene rango máximo, de la condición 4.4 obtenemos que: cj(cj−~ 1 ) = 0,∀j. Es decir, aij(aij −1) = 0, para todo i, j. Equivalentemente, aij es cero o uno, para todo i, j. De la condición 4.5 obtenemos que: cicj= 0,∀i6=j. Por tanto no puede haber dos columnas que tengan un elemento no nulo en la misma posición. Como ninguna columna es nula (ya que el rango de Aes máximo), la única posibilidad es que cada columna cjsea un vector básico ekj, con kj6=kj0 cuando j6=j0. Si el rango de Ano es máximo tenemos el siguiente resultado: Proposición 4.9. Sea Eun álgebra de evolución de dimensión ntal que L∈ End(E). Sea ckuna columna no nula que puede escribirse como combinación lineal de las demás. Entonces, Ack=Ac(2) k= 0. En particular, si Ees nodegenerada y el rango de Aes n−k, entonces existen al menos k+ 1 de estas columnas. Demostración. Supongamos que existe una columna no nula ckque es combinación lineal de las demás. Es decir, existen λ1, . . . , λk−1, λk+1, . . . , λntales que: ck= n X i=1 i6=k λici.
28 CAPÍTULO 4. NUEVOS RESULTADOS OPERADOR DE EVOLUCIÓN Sea j6=ktal que λj6= 0 ycj6= 0. Entonces: ckcj= n X i=1 i6=k λici cj= n X i=1 i6=k λicicj. Utilizando la condición 4.5 tenemos que: 0 = A(ckcj) = n X i=1 i6=k λiA(cicj) = λjA(cjcj). Como λj6= 0, entonces A(cjcj) = 0. Dado que la condición 4.4 nos asegura que A(cjcj−cj) = 0, deducimos que Acj= 0. Para finalizar solo es necesario señalar que los papeles de cjyckson intercambiables. Estudiamos a continuación los casos particulares en los que el rango de Aes n−1o1: Proposición 4.10. Sea n≥2. Sea Eun álgebra de evolución no-degenerada con base natural B={ei:i= 1, . . . , n}y matriz de estructura A= (aij)de rango n−1. Entonces, L∈End(E)si y solo si existe una reordenación de la base B tal que la matriz de estructura es de la forma: A1A2 O P , donde: A1=a−a a−a, para algún a6= 0. A2es una matriz de dimensión 2×(n−2) cuyas dos filas son iguales. Oes la matriz nula de dimensión (n−2) ×2. Pes una matriz de dimensión (n−2) ×(n−2) que se obtiene al permutar las columnas de la matriz identidad de tamaño n−2. Demostración. La implicación hacia la izquierda es una simple comprobación. Para la otra implicación procedemos del siguiente modo: Como el rango de Aes n−1, el espacio vectorial V={v∈Cn:Av = 0} es unidimensional. Por la proposición anterior, sabemos que existen j, k tales que V=< cj>=< c(2) j>=< ck>=< c(2) k>. Mediante una reordenación de la base,
EL OPERADOR DE EVOLUCIÓN ES ENDOMORFISMO ALGEBRAICO 29 podemos suponer que estas columnas son las dos primeras. Además, la igualdad < c1>=< c(2) 1>solo es posible si las entradas no nulas de c1son todas iguales. Es decir, existe a∈C\ {0}tal que ai1es 0oa, dependiendo de cada i. Sea Ω = {i:ai16= 0}. Por la condición 4.5 sabemos que cjc1∈V=< c1>, para todo j6= 1, lo que implica que: aijai1=µjai1⇒aij =µj,∀i∈Ω,∀j6= 1, donde µjsolo depende de la columna j. Entonces todas las filas i-ésimas, con i∈Ω, son iguales. Como el rango de Aes n−1,|Ω| ≤ 2. Es decir, todas las entradas de c1, excepto una o dos, son nulas. Veamos que |Ω|= 2. Por reducción al absurdo, supongamos que |Ω|= 1. Sea ila posición del elemento no nulo de c1. Entonces, de la igualdad Ac1= 0 obtenemos que aci= 0, lo cual es una contradicción, ya que a6= 0 yci6= 0 (Ees no-degenerada). Sean r, s las posiciones de los elementos no nulos de c1. De la igualdad Ac1= 0obtenemos que acr+acs= 0. Como el rango de Aes n−1y ya conocemos dos columnas que son linealmente dependientes, no pueden existir más. Por lo tanto r ysson iguales a 1y2. Además c2=−c1. Sea ahora i > 2, entonces tenemos que ai1=ai2= 0. La condición 4.4 nos asegura que todas las entradas de la fila i-ésima son ceros y unos. Además, no puede haber más de un uno, ya que en caso contrario no se cumpliría la condición 4.5. Por lo tanto, hay n−2filas que son vectores básicos (0, . . . , 0,1,0, . . . , 0) o son nulas. Como las filas 1y2son linealmente dependientes, entonces no puede haber ninguna otra fila nula. Por el mismo motivo estos vectores básicos deben ser todos distintos. Proposición 4.11. Sea Eun álgebra de evolución no-degenerada de dimensión n. Supongamos que su matriz de estructura Atiene rango 1. Entonces, L∈End(E) si y solo si cj=λjc1, para todo j6= 1, donde ~ λ= (1, λ2, . . . , λn)tes ortogonal a c1y a c(2) 1. Demostración. Si el rango de Aes 1, entonces existen escalares λ2, . . . , λnno nulos tales que cj=λic1, para todo j= 2, . . . , n. La condición 4.5 se reduce a: A(c1c1) = 0, mientras que la condición 4.4 es equivalente a: 0 = Ac1(λjc1−~ 1 )=λjA(c1c1)−Ac1=−Ac1.
30 CAPÍTULO 4. NUEVOS RESULTADOS OPERADOR DE EVOLUCIÓN Por lo tanto, basta estudiar cuando Ac1=Ac(2) 1= 0. Esto es: n X k=1 ckak1= n X k=1 cka2 k1= 0. Tomando λ1= 1 y sustituyendo ck=λkc1: n X k=1 λkc1ak1= n X k=1 λkc1a2 k1= 0. Como existe alguna entrada no nula en c1, esto es equivalente a: n X k=1 λkak1= n X k=1 λka2 k1= 0. Es decir, el vector ~ λ= (1, λ2, . . . , λn)tdebe ser perpendicular al espacio < c1, c(2) 1>. La proposición 4.10 se puede generalizar, de cierto modo, a otros rangos de A: Proposición 4.12. Sean kyndos números naturales con n≥2k. Sea Eun álgebra de evolución no-degenerada con base natural B={ei:i= 1, . . . , n}y matriz de estructura A= (aij)de rango n−k. Si L∈End(E), entonces existe una reordenación de la base Btal que la matriz de estructura es de la forma: B C, donde: Bes una matriz de dimensión 2k×n. Ces una matriz de dimensión (n−2k)×ncuyas entradas son ceros y unos, con a lo sumo un uno por fila. Como consecuencia existe una submatriz de dimensión (n−2k)×2kque es nula. Demostración. Sea V={v∈Cn:Av = 0}yΩ = {i:∃v= (v1, . . . , vn)t∈ V, vi6= 0}. Si i∈Ω, entonces existe v= (v1, . . . , vn)t∈Ctal que Av = 0 y vi6= 0. De Av = 0 obtenemos que Pn i=1 vici= 0. Como vi6= 0, de la proposición 4.9 se deduce que ci∈V. Es decir, si i∈Ω, entonces ci∈V. Veamos que |Ω| ≤ 2k. Por reducción al absurdo, supongamos que |Ω|>2k. Entonces, existen más de 2kcolumnas que pertenecen a V. Como la dimensión
EL OPERADOR DE EVOLUCIÓN ES ENDOMORFISMO ALGEBRAICO 31 de Ves k, el rango de la matriz formada por estas columnas es menor o igual que k. Esto implica que el rango de Aes menor que k+ (n−2k) = n−k, lo que es una contradicción. Como |Ω| ≤ 2k, entonces existen, al menos, n−2kcoordenadas que son nulas en todos los vectores de V. Podemos suponer, mediante una reordenación de la base, que estas coordenadas son las n−2kúltimas. Como ya hemos hecho otras veces, las condiciones 4.4 y 4.5 nos aseguran que todas las entradas de las últimas n−2kfilas son ceros y unos, y que no puede haber más de un uno por fila. Por lo tanto, las últimas n−2kfilas son vectores básicos (0, . . . , 0,1,0, . . . , 0) o son nulas. Nótese que en la demostración anterior no se puede volver a reordenar la base para que la submatriz nula quede en la parte inferior izquierda, como en la proposición 4.10, ya que al hacer esto se deshace lo que habíamos conseguido con la reordenación anterior. 4.2.1. Álgebras de evolución de dimensión 2 Comencemos estudiando aquellas que son degeneradas. Como las únicas de dimensión 1son (0) y(1), entonces las degeneradas de dimensión 2deben ser de la forma: 0 0 a0y1 0 a0, con a∈C. Para cualquier valor de ase cumple la condición de ortogonalidad. Por otra parte, las no-degeneradas de rango máximo son dos: 1 0 0 1y0 1 1 0. Mientras que las no-degeneradas de rango n−1son: a−a a−a, con a∈C\{0}. En este caso n−1 = 1. Veamos que utilizando la proposición para rango igual a uno obtenemos las mismas matrices. Según este resultado, deben ser aquellas de la forma: a λa b λb, con (1, λ)tortogonal a <(a, b)t,(a2, b2)t>y(a, b)6= (0,0). Si a6=b, entonces (a, b)ty(a2, b2)tson linealmente independientes y no existe ninguna solución. Por lo tanto a=by(1, λ)tdebe ser ortogonal a <(a, a)>, de donde λ=−1, llegándose al mismo resultado.
32 CAPÍTULO 4. NUEVOS RESULTADOS OPERADOR DE EVOLUCIÓN 4.2.2. Álgebras de evolución de dimensión 3 Utilizando las de una dimensión menos, las matrices de estructura de aquellas álgebras degeneradas deben ser de la forma: δ0 0 a0 0 v1v20 , 1 0 0 0 1 0 v1v20 , 0 1 0 1 0 0 v1v20 y a−a0 a−a0 v1v20 , donde δes 0o1yv1, v2, a ∈C. Imponiendo las condiciones de ortogonalidad a (v1, v2)tobtenemos que todas las matrices degeneradas son: δ0 0 δ00 0 v1v20 , δ0 0 b0 0 v10 0 , 1 0 0 0 1 0 v1v20 , 0 1 0 1 0 0 v1v20 y a−a0 a−a0 v1−v10 , donde δ, δ0∈ {0,1},v1, v2, a ∈Cyb∈C\ {0,1}. Por otra parte, las no-degeneradas de rango máximo son, salvo reordenación de la base: 100 010 001 , 100 001 010 y 001 100 010 . Las no-degeneradas de rango n−1 = 2 son: a−a λ a−a λ 0 0 1 , con a∈C\ {0}yλ∈C. Por último, las no-degeneradas de rango 1son: a λa λ0a b λb λ0b c λc λ0c , con (1, λ, λ0)tortogonal a <(a, b, c)t,(a2, b2, c2)t>y(a, b, c)6= (0,0,0). Diferenciamos distintos casos: Si b, c 6= 0 yb6=c, entonces: λ=−a(c−a) b(c−b)yλ0=−a(b−a) c(b−c).
EL OPERADOR DE EVOLUCIÓN ES ENDOMORFISMO ALGEBRAICO 33 Si b, c 6= 0,b=cya= 0, obtenemos las matrices: 0 0 0 b λb −λb b λb −λb , para todo λyb6= 0. Si b, c 6= 0,b=cya6= 0, obtenemos las matrices: a λa −(λ+ 1)a a λa −(λ+ 1)a a λa −(λ+ 1)a , para todo λya6= 0. Si b= 0 yc6= 0, obtenemos las matrices: a λa −a 0 0 0 a λa −a , para todo λya6= 0. Si b6= 0 yc= 0, obtenemos las matrices: a−a λ0a a−a λ0a 0 0 0 , para todo λ0ya6= 0. 4.2.3. Resolubilidad Sabemos que las álgebras de evolución no son, en general, ni asociativas ni de potencias asociativas. Hasta ahora hemos trabajado siempre con las denominadas potencias principales, que se definen sobre un elemento a∈Ede forma recursiva como: a1=a, an=an−1·a.
34 CAPÍTULO 4. NUEVOS RESULTADOS OPERADOR DE EVOLUCIÓN Sin embargo, se pueden considerar otras potencias distintas a la habitual, como las potencias plenas, que se definen sobre un elemento a∈Ecomo: a[0] =a, a[n]=a[n−1] ·a[n−1]. Es un hecho conocido que estas potencias cumplen la siguiente propiedad: a[n][m]=a[n+m]. Definamos también, de forma recursiva, los siguientes conjuntos: E[0] =E, E[n]=E[n−1] ·E[n−1] ={x·y:x, y ∈E[n−1]}. Aunque es habitual definir E[n]como el subespacio generado por los productos de la forma x·y, con x, y ∈E[n−1], vemos en la siguiente proposición que en nuestro caso es algo innecesario, ya que E[n]tiene estructura de espacio vectorial con la definición que hemos considerado. Por otra parte, es inmediato ver que: E[n][m]=E[n+m]. Tenemos el siguiente resultado: Proposición 4.13. Sea Eun álgebra de evolución con base natural dada por B={ei:i∈Λ}y matriz de estructura A= (aij). Si L∈End(E), entonces E[n]es una subálgebra de evolución de E, para todo n≥0. Una base natural de E[n]es {e[n] i:i∈Ω}, para un cierto Ω⊆Λ. Además, se tienen las igualdades: e[n+1] i=Le[n] i=Ln+1 (ei) = X k∈Λ akie[n] k. Demostración. Lo demostraremos por inducción en n. Para n= 0 el resultado es obvio. Supongamos que es cierto para n−1y veamos que es cierto para n. Veamos en primer lugar que E[n]=E[n−1] ·E[n−1] tiene estructura de espacio vectorial. Si x, y ∈E[n], entonces existen x1, x2, y1, y2∈E[n−1], tales que x= x1·x2yy=y1·y2. Como {e[n−1] i:i∈Ω}es una base de E[n−1], entonces: xi=X k∈Ω xkie[n−1] k, yi=X k∈Ω ykie[n−1] k, para ciertos escalares xki yyki. Como esta base es natural: x=x1·x2=X k∈Ω xk1xk2e[n−1] k·e[n−1] k,
EL OPERADOR DE EVOLUCIÓN ES ENDOMORFISMO ALGEBRAICO 35 y=y1·y2=X k∈Ω yk1yk2e[n−1] k·e[n−1] k. Así, la suma es: x+y=X k∈Ω (xk1xk2+yk1yk2)e[n−1] k·e[n−1] k, que, a su vez, puede escribirse como el producto: X k∈Ω (xk1xk2+yk1yk2)e[n−1] k!· X k∈Ω e[n−1] k!. Cada uno de estos factores es un elemento de E[n−1], por lo que x+y∈E[n]. Además, como E[n−1] es una subálgebra, se tiene que E[n]⊆E[n−1]. Como consecuencia, si x, y ∈E[n], entonces x, y ∈E[n−1] y por lo tanto x·y∈E[n]. Esto prueba que E[n]tiene estructura de subálgebra. Por otra parte, de lo visto anteriormente se deduce que {e[n−1] i·e[n−1] i:i∈ Ω}={e[n] i:i∈Ω}es un conjunto generador de E[n], por lo que existe Ω0⊆Ω⊆ Λde forma que {e[n] i:i∈Ω0}es una base. Además, esta base es natural, ya que si i6=j: e[n] i·e[n] j=Le[n−1] i·Le[n−1] j=Le[n−1] i·e[n−1] j=L(0) = 0. Por último: e[n+1] i=e[n] i·e[n] i=Le[n−1] i·Le[n−1] i=Le[n−1] i·e[n−1] i=Le[n] i, Le[n] i=L(Ln(ei)) = Ln+1(ei), Ln+1(ei) = Ln(L(ei)) = Ln X k∈Λ akiek!=X k∈Λ akiLn(ek) = X k∈Λ akie[n] k. Una observación importante es que de la igualdad: e[n] i2=X k∈Λ akie[n] k no se puede deducir, en general, que la matriz de estructura asociada al subálgebra de evolución E[n], respecto de la base natural {e[n] i:i∈Ω}, sea Ao una submatriz de A, ya que Ωestá contenido en Λ. De hecho, la proposición 4.9 nos asegura que
42 CAPÍTULO 5. PROBLEMAS ABIERTOS de dimensión n−1, degeneradas o no. Se propone encontrar una caracterización de estas álgebras que permita obtener una clasificación sin necesidad de utilizar dimensiones menores. Estudiar el caso en el que el operador de evolución es un endomorfismo algebraico de rango r, con 2≤r≤n−2, con el fin de obtener una caracterización de estas álgebras que permita una clasificación completa para dimensiones mayores que 3. Trasladar los resultados obtenidos a otras ramas de las Matemáticas que tengan una conexión directa con las álgebras de evolución. Por ejemplo, cada álgebra de evolución tiene un grafo dirigido asociado de forma que la arista que parte de eiaejtiene peso aij. Partiendo de esto, ¿cómo se expresa en el grafo el hecho de que el operador de evolución sea una derivación o un endomorfismo algebraico? ¿Qué propiedades tienen estos grafos? Estudiar cuándo el operador de evolución satisface ciertas igualdades, distintas a las estudiadas, que involucren al producto y que tengan un mayor interés biológico para modelizar ciertas poblaciones.
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Índice de autores B Bayara, Joseph 8 Bernstein, Sergei Natanovich 7 C Cabrera Casado, Yolanda 15 Conseibo, André 8 E Etherington, Ivor Malcolm Haddon 5, 7 F Fisher, Ronald 5 G Glivenkov, Valery Ivanovich 6 Gonshör, Harry 6 H Haldane, John Burdon Sanderson 5, 6 Hamilton, William Rowan 9 Heuch, Ivar 6 Holgate, Philip 6, 7 J Jennings, Herbert Spencer 6 K Korol, Abraham Bentsionovich 6 Kostitzin, Vladimir Aleksandrovich 6 L Ladra, Manuel 10 Lie, Marius Sophus 17 Lyubich, Yuri Ilich 6 M Mellon, Pauline 10 Mendel, Gregor Johann 5, 6 Micali, Artibano 8 Motta Ferreira, João Carlos 8 N Newton, Isaac 9 P Petiau, George 5 Price, George Robert 5 Q Quattara, Moussa 8 R Reiersöl, Olav 6 Rozikov, Utkir A. 10 S Schafer, Richard Donald 6, 7 Serebrowski, Alexander Pawlowitsch 6 Shannon, Claude Elwood 5 Siles Molina, Mercedes 15 T Tian, Jianjun Paul 5, 8, 9, 13–15, 18 Tokmakoff, Andrei 9 V Velasco Collado, María Victoria 10, 15 Vojtechovsky, Petr 13 W Wörz-Busekros, Angelika 6 Wright, Sewall Green 5 47
Índice de conceptos A Álgebra 11 Álgebra bárica 7 Algebra de Bernstein 7 Álgebra de evolución 11 Álgebra de Lie 17 Álgebra dibárica 7 Álgebra genética 7 Álgebra train 7 B Base natural 11 C Constantes de estructura 11 D Degenerada 14 Derivación 18 E Endomorfismo algebraico 16 F Filiforme 18 Flexible 13 G Graficable 12 I Ideal 15 Ideal de evolución 15 Identidad de Jacobi 17 Índice de nilpotencia 17 Índice de resolubilidad 18 M Matriz de estructura 11 N Nilpotente 17 No-degenerada 14 O Operador de evolución 19 P Potencias asociativas 13 Potencias plenas 34 Potencias principales 33 Producto de Hadamard 16 Producto de Kronecker 13 Propiedad de extensión 15 R Raíces train 7 Regla de Leibniz 18 Resoluble 18 S Serie central descendente 17 Serie derivada 18 Subálgebra 15 Subálgebra de evolución 15 T Tipo cero 13 Tipo no-cero 13 49