Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la optimización con restricciones de desigualdad

FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD Título del Trabajo Fin de Grado Trabajo Fin de Grado presentado por Manuel Quevedo Zarcero, siendo la tutora del mismo la profesora Inmaculada Masero Moreno. Vº. Bº. de la Tutora: Alumno: Dña. Inmaculada Masero Moreno D. Manuel Quevedo Zarcero Sevilla. Junio de 2015 GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS TRABAJO FIN DE GRADO CURSO ACADÉMICO [2014-2015] TÍTULO: ANÁLISIS DE UNA CARTERA DE INVERSIÓN DE MARKOWITZ COMO APLICACIÓN DE LA OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD AUTOR: MANUEL QUEVEDO ZARCERO TUTOR: DÑA INMACULADA MASERO MORENO DEPARTAMENTO: ECONOMÍA APLICADA III ÁREA DE CONOCIMIENTO: METODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA . RESUMEN: En el presente trabajo se aborda una aplicación de la optimización clásica con restricciones de desigualdad en el ámbito financiero. Se plantea una aplicación práctica del modelo de Markowitz para una cartera de valores del Ibex35 que minimice el riesgo para una rentabilidad dada. PALABRAS CLAVE: Métodos Cuantitativos, Optimización, Inversión, Rentabilidad, Riesgo. TFG. FICO. Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la Optimización con restricciones de desigualdad ÍNDICE INTRODUCIÓN....................................................................................................................................................................................................................................................................... 1 CAPÍTULO 1. OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA ........................................................................................................................................................ 3 1.1. Breve aproximación histórica de la Optimización .......................................................................................................................... 3 1.2. Clasificación de los problemas de Optimización Matemática ......................................................................................... 4 CAPÍTULO 2: OPTIMIZACIÓN EN ECONOMÍA ...................................................................................................................................................... 7 2.1. La Optimización Libre en el contexto económico-empresarial ..................................................................................... 8 2.2. La Optimización Condicionada en el contexto económico-empresarial ........................................................... 9 CAPÍTULO 3: PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD ................................................................................................................................................................................................................................ 11 3.1. Formulación del problema .......................................................................................................................................................................................... 11 3.2. Condiciones de Kuhn-Tucker ................................................................................................................................................................................. 12 3.2.1. Problemas con condiciones de no negatividad. Condiciones de K-T .................................... 13 3.3. Condición suficiente de Optimalidad Global..................................................................................................................................... 14 CAPÍTULO 4: EL MODELO DE MARKOWITZ ......................................................................................................................................................... 17 4.1. Introducción .................................................................................................................................................................................................................................... 17 4.2. Planteamiento ............................................................................................................................................................................................................................... 17 4.2.1. Minimización del riesgo ....................................................................................................................................................................... 17 4.2.2. Rendimiento esperado.............................................................................................................................................................................. 19 4.2.3. La frontera eficiente .................................................................................................................................................................................... 20 CAPÍTULO 5: APLICACIÓN PRÁCTICA ............................................................................................................................................................................. 21 5.1. Elección de las Empresas.............................................................................................................................................................................................. 21 5.2. Planteamiento y construcción del problema ....................................................................................................................................... 23 5.3. Resolución del problema ............................................................................................................................................................................................... 25 5.3.1 Condiciones de Kuhn-Tucker .......................................................................................................................................................... 25 5.3.2 Resolución del problema mediante LINGO ................................................................................................................ 27 5.3.3 Variantes sobre el problema .............................................................................................................................................................. 28 5.3.4 Conclusiones .......................................................................................................................................................................................................... 30 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................................................................................................................................................. 31 Quevedo Zarcero, Manuel TFG. FICO. Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la Optimización con restricciones de desigualdad 1 INTRODUCCIÓN En este trabajo se presenta una aplicación de la optimización clásica en el ámbito financiero. Más concretamente se diseñará una aplicación práctica utilizando el modelo de Markowitz para una cartera de valores con el fin de encontrar una cartera eficiente con el mínimo riesgo para una rentabilidad dada. En primer lugar, comentaremos un planteamiento matemático del modelo económico, que se ajusta a un problema de Optimización. Ésta, ha estado siempre ligada al comportamiento humano, ya que el hombre por su propia naturaleza busca siempre lo mejor en casi todos los segmentos de su actividad. Comenzaremos por exponer qué es la Optimización y las características de los distintos tipos de problemas que engloban para proponer una clasificación de los mismos. En el capítulo 2 comentaremos la importancia de la Optimización, tanto condicionada como libre, en los contextos económicosempresariales y en algunos de los problemas que se plantean en torno al consumidor, la empresa y el inversor. Planteada la relación entre algunos problemas económicos y los problemas de Optimización, abordaremos en el capítulo 3 los problemas con restricciones de desigualdad, deteniéndonos en su estudio, ya que la aplicación práctica que se propone se ajusta a este tipo de problemas de optimización. Se plantearán las Condiciones de Kuhn-Tucker. En el capítulo 4, se expone el modelo de Markowitz. En primer lugar haremos una referencia a sus orígenes, las ideas sobre su teoría y, lo más importante, cómo se plantea su modelo. Como principal característica tiene que, el inversor analiza la situación de inversión para decidir qué proporción de su capital invertir para conseguir un mínimo riesgo. Se necesita construir una cartera de valores eficientes. La cuestión se centra en demostrar cómo, a partir de las expectativas que se crean sobre las rentabilidades esperadas de los activos financieros individuales, se puede realizar una correcta elección de la cartera a través de tres objetivos fundamentales; la minimización del riesgo, el rendimiento esperado y la frontera eficiente. Una vez conocidas las ideas principales del modelo se plantea una aplicación práctica del mismo en el capítulo 5, que se ajusta a un problema de Optimización Clásica con restricciones de desigualdad. Se pretende construir una cartera de valores formada por tres compañías, justificando la elección de estas empresas del Ibex-35 referenciándonos a sus rentabilidades por dividendo. Se exponen de forma detallada la construcción del mismo, es decir, el cálculo de cada uno de las funciones que intervienen en el modelo para realizar el adecuado planteamiento del problema. A continuación, se plantean las Condiciones de Kuhn-Tucker para dicho problema y dado el número de variables y de ecuaciones e inecuaciones se resuelve mediante el programa informático LINGO, herramienta fundamental para formular problemas lineales y no lineales, resolverlos y analizar su solución. Para finalizar, se introducen algunas variantes sobre el mismo y se analizan los resultados detalladamente. Quevedo Zarcero, Manuel 8 los avances significativos de la Economía Matemática, acaecidos tras el nacimiento de la Programación Lineal y la Teoría de Juegos como respuesta a problemas de carácter económico. El pionero en la incorporación de la teoría formal de máximos y mínimos de funciones en el campo económico fue el considerado “padre” de la Economía Matemática, Antoine Augustin Cournot (1801-1877). La incorporación de nuevas técnicas que permitieran el análisis de problemas con restricciones permitió manejar situaciones más realistas, además fue el primero en utilizar funciones matemáticas para describir conceptos económicos como la demanda, la oferta o el precio. Antoine Augustin Cournot El método de los multiplicadores de Lagrange es una herramienta de gran interés para el economista, gracias a la cual es posible analizar el comportamiento humano desde el punto de vista de un comportamiento maximizador con restricciones. El primer problema económico en ser abordado con la técnica de los multiplicadores de Lagrange, consistió en encontrar la distribución eficiente de un recurso entre distintos usos de manera que maximizará la utilidad total. Ya en el siglo XX, un nuevo y espectacular avance para la optimización se produjo en 1939 de la mano del matemático ruso Leonid Kantorovich 3 (1912-1986), al advertir que los problemas de planificación de la producción poseen una estructura matemática definida y representó un gran avance en la comprensión de la asignación de recursos para lograr resultados óptimos. Leonid Kantorovich 2.1 La Optimización Libre en el contexto económico-empresarial. En la Teoría de la Empresa, donde el comportamiento racional induce a la maximización de beneficios o la minimización de los costes, es frecuente encontrar situaciones que pueden ser resueltos mediante problemas de optimización libre. Por ejemplo, la obtención de un plan de producción para una empresa que fabrica un producto a partir de varios inputs o para una empresa que fabrica varios productos. Un importante papel es el que juega la Optimización Clásica Libre en la Estadística y Econometría, por ejemplo, para obtener estimadores de máxima verosimilitud. El método de los mínimos cuadrados es una aproximación polinómica usada como en el ajuste de datos y la estadística. Sin embargo la Optimización Clásica presenta como inconvenientes las funciones han de ser suficientemente diferenciables y que los óptimos que se calculan no son absolutos, sino relativos a un entorno más o menos amplio del punto encontrado. 3 Premio Nobel de Economía en 1975. TFG. FICO. Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la Optimización con restricciones de desigualdad 9 2.2 La Optimización Condicionada en el contexto económico-empresarial. Los problemas de Optimización Condicionada encuentran una cantidad de aplicaciones en multitud de áreas, en particular en la Economía y la Empresa. Un problema económico casi siempre es un problema condicionado. En Economía es muy típico ilustrar la Optimización Condicionada con el ejemplo del consumidor que desea elegir los bienes adecuados para maximizar su utilidad teniendo en cuenta su restricción presupuestaria. La Optimización Clásica libre es rica teóricamente y proporciona los fundamentos de la Optimización Clásica Condicionada. En ocasiones, ésta última podría verse como un caso particular de aquélla ya que hay problemas condicionados que se traducen de una forma más o menos directa a problemas libres. Las restricciones limitan los valores que pueden tomar las variables, pues representan condiciones sobre las incógnitas del problema. En ocasiones tales condiciones se podrían eliminar si se tuvieran en cuenta variables adicionales. Por ejemplo, una restricción presupuestaria se podría eliminar si consideramos que se puedan obtener fondos adicionales a un cierto interés, a costa de modificar la función objetivo para incluir el coste de dicha operación. Así el problema de optimización restringida también puede reducirse en algunas ocasiones a problemas de optimización sin restricciones. En numerosas ocasiones las restricciones de igualdad son una limitación a la hora de recrear fielmente la realidad. Una restricción presupuestaria no necesariamente debe satisfacerse con exactitud, es decir, no es necesario gastar todo el presupuesto, sino garantizar que el gasto sea menor o igual que el total disponible. Son más realistas aquellos problemas que contienen restricciones definidas mediante inecuaciones (restricciones de desigualdad). Y por ello, veremos las consecuencias que tendría para el consumidor, la empresa y el inversor:  El problema del consumidor El problema básico del consumidor se resume en la elección de bienes a consumir a partir de una renta disponible. Dado que el conjunto de bienes y servicios para el consumo es muy amplio, se supone que el consumidor dispone de un nivel de renta que puede gastar en su totalidad o no en una combinación de productos que le proporciona un beneficio máximo. Así el consumidor realiza un proceso de elección teniendo en cuenta una conducta optimizadora.  El problema de la empresa En este caso el problema consiste en elegir la combinación adecuada de inputs, de manera que se consigan la maximización de los beneficios. Las variables de decisión son las cantidades a consumir de los distintos inputs y la función de producción informa de la cantidad de output que se puede producir con una determinada combinación de inputs. Conocidos los precios unitarios de los inputs y del output, se puede construir la función de beneficios de la empresa y la función objetivo del problema de optimización. Sin embargo, pueden aparecer otras situaciones que nos guíe a un modelo de Optimización Condicionada. Por ejemplo, según Barrios y otros “supongamos que la empresa tiene que satisfacer determinado contrato que le exige asegurar una producción prefijada mínima en P unidades de output” (2005, p.416). La mejor opción Quevedo Zarcero, Manuel 10 posible para cumplir dicho contrato consiste en efectuar esa producción de manera que se minimice el coste asumido por la empresa, que será también una función de las unidades empleadas de los inputs.  El problema del inversor La inversión en cualquier tipo de bienes suele plantear elegir entre varias opciones disponibles. El problema para el inversor es elegir dentro de la cartera óptima qué combinación de títulos es la que le reportará una rentabilidad total prefijada, así como la minimización de su riesgo de inversión. En el presente trabajo abordaremos la resolución de un problema de este tipo. TFG. FICO. Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la Optimización con restricciones de desigualdad -11- CAPÍTULO 3 PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD En este capítulo se formulan los problemas de optimización con restricciones de desigualdad, ya que son los que más se ajustan a la realidad de un modelo. 3.1 Formulación del problema. Un problema de optimización con restricciones de desigualdad se formula de la siguiente manera: Opt s.a. g(x)≤ b x S Donde es la Función Objetivo X = {x D / g (x) ≤ b, x S} es el conjunto factible. DEFINICIÓN Denotaremos por al conjunto de direcciones factibles a partir de .           representa la clausura de y por denotaremos el conjunto de índices correspondientes a las restricciones saturadas en . Un punto verifica hipótesis de cualificación de restricciones (h.c.r) si:           = { , v ≤ 0, i )} Esta condición es difícil de comprobar en la práctica y existen condiciones suficientes más operativas para determinar la presencia de esta hipótesis. DEFINICIÓN Un punto es regular si los gradientes de las restricciones saturadas en son linealmente independientes o es un punto interior de . La regularidad de un punto es condición suficiente para que se cumplan en él la hipótesis de cualificación de restricciones. A continuación se exponen las dos condiciones suficientes más utilizadas para que todos los puntos de X cumplan hipótesis de cualificación de restricciones. Quevedo Zarcero, Manuel 12  Todas las funciones que definen las restricciones son convexas, y X tiene interior no vacío.  Todas las restricciones del problema son lineales. Supondremos que los puntos del conjunto factible verifican la denominada hipótesis de cualificación de restricciones. 3.2 Condiciones de Kuhn y Tucker Consideremos el problema Opt f(x) s.a g(x) ≤ b con f, g (D) El siguiente resultado establece las denominadas condiciones de Kuhn y Tucker que son condiciones necesarias para que un punto que cumple las h.c.r. sea un óptimo local del problema. Teorema (Condición Necesaria de Kuhn-Tucker de Optimalidad Local) Sea que verifica hipótesis de cualificación de restricciones. Si es máximo (mínimo) local del problema, entonces tales que: ∑ se denominan multiplicadores de Kuhn-Tucker. ( ) se denominan puntos de Kuhn-Tucker. La segunda relación se llama de holgura complementaria. Establecen que si una restricción no está saturada en el punto, esto hace que el multiplicador correspondiente sea nulo. Según el teorema los puntos de Kuhn-Tucker han de verificar las siguientes condiciones: ∑ ( ) TFG. FICO. Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la Optimización con restricciones de desigualdad -13- Las condiciones anteriores se pueden expresar en términos de la función langraniana de la forma siguiente: es punto de Kuhn-Tucker si verifica: ( ) Las condiciones necesarias de mínimo local, son análogas cambiando el signo de los multiplicadores. El valor de los multiplicadores de Kuhn-Tucker asociado a una restricción mide la variación marginal que experimenta el valor objetivo óptimo cuando se realizan variaciones infinitesimales en el coeficiente de la restricción correspondiente. 3.2.1 Problemas con condiciones de no negatividad. Condiciones de Kuhn- Tucker. Las variables económicas siempre son no negativas, por lo que supongamos el problema anterior introduciendo que las variables están sujetas a condiciones de no negatividad. El problema se formula de la forma siguiente. con f, g (D) El siguiente resultado establece las denominadas condiciones de Kuhn y Tucker, condiciones necesarias para que un punto que cumple las h.c.r. sea un óptimo de este problema. Teorema (Condición Necesaria de Kuhn-Tucker de Optimalidad Local) Sea que verifica hipótesis de cualificación de restricciones. Si es máximo (mínimo) local del problema, entonces tales que: ∑ Quevedo Zarcero, Manuel 14 ( ∑ ) 3) ( ) Los puntos se denominan puntos de Kuhn y Tucker. En términos de la función Langraniana para el problema anterior, las condiciones anteriores se reescriben como: es punto de Kuhn y Tucker si verifica. 1) 2) 3) ( ) 4) 5) 6) Para el problema de minimizar, las condiciones son análogas salvo que el signo de cada multiplicador es negativo y el signo de las derivadas de la Lagrangiana respecto a las variables originales del problema que son positivas. ( ) 3.3 Condición Suficiente de Optimalidad global La Condición Suficiente de Óptimo Global se aplican para afirmar que los puntos de Kuhn-Tucker son Óptimos Globales. Si son funciones convexas y es un punto de Kuhn- Tucker entonces es un mínimo global. En el caso que f fuera estrictamente convexa, es un mínimo global único. TFG. FICO. Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la Optimización con restricciones de desigualdad -15- Si f cóncava y son convexas y es un punto de Kuhn- Tucker entonces es un máximo global. En el caso que f fuera estrictamente cóncava, es un máximo global único. Quevedo Zarcero, Manuel 16 TFG. FICO. Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la Optimización con restricciones de desigualdad -17- CAPÍTULO 4 EL MODELO DE MARKOWITZ 4.1 Introducción El modelo matemático de Harry Max Markowitz (1927- ) se desarrolla sobre la base del comportamiento racional del inversor, es decir, el inversor desea la rentabilidad de la inversión y rechaza el riesgo, por lo que una cartera será eficiente si proporciona la máxima rentabilidad posible para un riesgo dado. Markowitz 4 publicó en 1952 en la revista Journal of Finance, un artículo 5 basado en su tesis doctoral, planteando un modelo de conducta racional del decisor para la selección de carteras de títulos-valores con liquidez inmediata. Desde su aparición, el modelo de Markowitz ha conseguido un gran éxito a nivel teórico, dando lugar a múltiples desarrollos y derivaciones, e incluso sentando las bases de diversas teorías de equilibrio en el mercado de activos financieros. Sin embargo, su utilidad en la práctica no ha sido tan extensa como podría suponerse de su éxito teórico. Harry Markowitz Una de sus principales causas de este hecho contradictorio es la complejidad matemática de sus cálculos. El algoritmo de resolución es complejo y por otro lado, el número de estimaciones de rentabilidades esperadas, varianzas y covarianzas a realizar es muy elevado aunque depende del número de títulos a analizar. Es importante señalar que el modelo no tiene en cuenta los costes de transacción ni los impuestos y considera la perfecta divisibilidad de los títulos-valores seleccionados. 4.2 Planteamiento del problema 4.2.1 Minimización del riesgo El modelo de Markowitz analiza una cartera de mínimo riesgo. Éste se calcula a través de medidas estadísticas de dispersión. Una de ellas es la varianza y se define como la esperanza matemática del cuadrado de los desvíos que se producen entre cada valor de la variable y la media aritmética. Ya que la varianza está expresada en términos cuadráticos, es útil calcular la desviación típica, que es la raíz cuadrática positiva de la varianza. En este caso, la desviación se utilizará como indicador del riesgo de un activo. La desviación estándar de cada una de las acciones, permite indicar que a mayor desviación estándar mayor será el nivel de riesgo de ese activo ya que significa una mayor dispersión de los datos con respecto al promedio. [ ( ) ] 4 Premio Nobel de Economía en 1990. 5 “Portfolio Selection”. Quevedo Zarcero, Manuel 24 Segundo paso. Cálculo de las covarianzas entre los activos. ∑ ( ∑ ) (∑ ) ( ) Tercer paso. Matriz de varianza y covarianza: M = = Cuarto paso. Función Objetivo. Sean el % de capital a invertir en cada uno de los activos. ∑ ∑ + Quinto paso. Rendimiento de los Dividendos por Activo Bursátil.              Sexto Paso. Restricciones del problema. TFG. FICO. Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la Optimización con restricciones de desigualdad -25- Fijamos una rentabilidad o ganancia determinada del 8% (nivel máximo ya que si no, no hay conjunto factible).           En este caso, las variables representan el % de inversión de cada tipo de acción a valorar. Vamos a suponer que no existe obligación de invertir todo el capital disponible, lo que se traduce en la siguiente restricción: Séptimo paso. Planteamiento del problema: Obtener el porcentaje óptimo de inversión en cada activo que minimiza el riesgo asegurando una rentabilidad mínima del 8%, 6,15% y 4,5% y una inversión máxima de 10.000 euros 5.3 Resolución del problema 5.3.1 Condiciones de Kuhn-Tucker Vamos a escribir las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker para este problema. En primer lugar comprobemos que se verifican las hipótesis de cualificación de restricciones y para ellos apliquemos una de las condiciones suficientes: Las restricciones del problema son lineales, por lo tanto todos los puntos del conjunto factible verifican las hipótesis de cualificación. Las función objetivo y las funciones que aparecen en las restricciones son de clase uno. La función de Lagrange del problema es: Quevedo Zarcero, Manuel 26 Los puntos que son Kunh-Tucker del problema verifican las siguientes condiciones: 1) 2) 3) 4) 5) 6) Dado el número de variables y de inecuaciones y ecuaciones vamos a resolverlo a través del programa informático LINGO. Éste programa nos proporciona óptimos locales. Para asegurar que el óptimo obtenido sea global podemos aplicar el Teorema de Local-Global. La función es estrictamente convexa ya que: >0 >0 El conjunto factible está formado por las soluciones de un sistema lineal de inecuaciones por lo que es convexo. El Teorema Local-Global afirma que si f es estrictamente cóncava y el conjunto factible es convexo, entonces si existe un mínimo local es global y es único. Para la obtención de óptimos locales en los problemas de programación matemática, se puede utilizar el programa informático LINGO. El problema planteado se ajusta a uno de Optimización Condicionada que puede ser resuelto mediante el Teorema de Kuhn-Tucker En este caso, lo vamos a resolver a través del programa LINGO. Para Lucero y Canizo, LINGO “es una herramienta simple para formular problemas lineales y no lineales, resolverlos y analizar su solución….... el resultado que LINGO nos proporciona es la optimización que nos ayuda a encontrar el mejor resultado: la TFG. FICO. Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la Optimización con restricciones de desigualdad -27- ganancia más alta o el costo más bajo” (2002, p.1). Por lo tanto, LINGO proporciona un óptimo local del problema, sea único o no. Según estos autores, el programa permite expresar cualquier problema de manera similar a una notación matemática en su conjunto, pudiendo incluir restricciones en el problema que se vaya a plantear. Incluso puede leer datos de una hoja de cálculo separada, base de datos o archivo de texto. A continuación, se mostrará la resolución mediante dicho programa del problema planteado anteriormente. 5.3.2 Resolución del problema mediante LINGO Para introducir los datos en el programa LINGO, fijamos una rentabilidad o ganancia determinada del 8% (el nivel máximo es la rentabilidad más alta entre los títulos para que el conjunto factible no sea el conjunto vacío). Figura 5.1. Solución del problema para una rentabilidad mínima del 8 % proporcionada por LINGO Fuente: LINGO Los resultados se muestran en la siguiente tabla. RENTABILIDAD 8% SANTANDER REPSOL MAPFRE INVERSIÓN 95.11% 0% 4.89% RIESGO 10.375% TOTAL INVERTIDO 100% Tabla 5.2. Aplicación práctica con la rentabilidad fijada al 8%. Fuente: Elaboración propia a partir del programa informático LINGO. Quevedo Zarcero, Manuel 28 El reparto de la inversión se realiza entre dos de los tres títulos, concentrándose casi el total de la inversión en las acciones del Santander (95,11%), compañía cuya rentabilidad está más cercana al porcentaje mínimo fijado. En cuanto a las otras dos compañías, no se invierte en Repsol y se realiza una inversión mínima en Mapfre. El riesgo de la inversión es de 10,375% inferior al riesgo de realizar toda la inversión en el título con el porcentaje con riesgo más alto, 11,59%, que en este caso es Santander. Se invierte la totalidad del capital y se obtiene la rentabilidad más baja esperada. 5.3.3 Variantes sobre el problema Vamos a plantear el mismo problema con dos valores diferentes de rentabilidad mínima esperada. Comenzaremos por un porcentaje de rentabilidad que es el promedio de los rendimientos por activo bursátil de los tres títulos. Dicha rentabilidad es del 6,15%. A continuación, se muestra el problema resuelto mediante el programa LINGO. Figura 5.2. Solución del problema para una rentabilidad mínima del 6,15 % proporcionada por LINGO Fuente: LINGO La siguiente tabla muestra los resultados en el reparto de inversión entre los tres tipos de títulos: TFG. FICO. Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la Optimización con restricciones de desigualdad -29- RENTABILIDAD 6.15% SANTANDER REPSOL MAPFRE INVERSIÓN 41.95% 0% 58.05% RIESGO 2.75% TOTAL INVERTIDO 100% Tabla 5.3. Aplicación práctica con la rentabilidad fijada al 6.15%. Fuente: Elaboración propia a partir del programa informático LINGO. La inversión se reparte de nuevo entre las dos mismas compañías del caso anterior, siendo el porcentaje a invertir superior en Mapfre, un 58,05%, pero “relativamente” cercano al de Santander (41,95%). El riesgo de la inversión es de 2,75%, muy inferior al riesgo asociado a los datos del problema anterior y a los de los tres activos. Se invierte la totalidad del capital y se obtiene la rentabilidad más baja esperada. Por último, fijaremos una rentabilidad o ganancia determinada del 4,5% (nivel mínimo). No tiene sentido plantearse una rentabilidad inferior a este dato ya que la rentabilidad más baja de los activos es del 4,69 % Figura 5.3. Solución del problema para una rentabilidad mínima del 4,5 % proporcionada por LINGO Fuente: LINGO Los resultados muestran el siguiente reparto de inversión entre los tres tipos de títulos: Quevedo Zarcero, Manuel 30 RENTABILIDAD 4.5% SANTANDER REPSOL MAPFRE INVERSIÓN 26.63% 0% 49.56% RIESGO 1.82% TOTAL INVERTIDO 76.19% Tabla 5.4. Aplicación práctica con la rentabilidad fijada al 4.5%. Fuente: Elaboración propia a partir del programa informático LINGO. Se mantiene la dinámica del segundo planteamiento, repartiéndose la inversión entre los Santander y Mapfre, siendo bastante superior la de este último, aunque inferiores ambas al caso anterior. Para esta rentabilidad mínima, el 23,8% del capital se deja sin invertir. El riesgo de la inversión en este caso es del 1,82%. Este caso es el más conservador, lo que justifica ese bajo nivel de riesgo. 5.3.4 Conclusiones finales. Según los datos anteriores, conforme se exige al planteamiento de la inversión una rentabilidad menor, el riesgo de la misma a su vez también va tomando valores inferiores. Por lo tanto a menor exigencia de rentabilidad menor riesgo asumido, es decir, mientras más conservador es el inversionista menor riesgo y rentabilidad. Conforme disminuye el nivel mínimo de rentabilidad exigida, se invierten las posiciones de fuerza en la inversión entre Santander y Mapfre. Es de destacar que cuando se fija la rentabilidad en el nivel mínimo es decir, 4.5%, el total de la inversión es de 76.19% por lo que no se invierte todo nuestro capital. En ninguno de los tres casos analizados se invierte parte del capital en Repsol. Cabe decir que la frontera eficiente será la misma para todos los inversores, siempre y cuando no haya información asimétrica. Esto nos dice que si todos los inversores tienen los mismos datos con los que actuar sobre los activos, construirán la misma frontera eficiente. A raíz de esto, cada uno decidirá cuál de las interminables carteras eficientes les conviene según el riesgo que quieran asumir en cada una de ellas. TFG. FICO. Análisis de una cartera de inversión de Markowitz como aplicación de la Optimización con restricciones de desigualdad -31- Bibliografía Agopián, E. (2010):“Teoría de Selección de la Cartera de Valores” 26 de abril. Alcelay, S. (2015): Suplemento ABC, “ABC EMPRESA”. 7 de junio. http://www.merco.info/docs/Premios-ABC-Merco-2015-2.pdf (Consultado 16/06/2015) Arévalo Mª.T; Camacho E; Mármol A; Monroy, L. (2005): Programación Matemática para la Economía. Las Rozas (Madrid):Delta Publicaciones. Barrios ,G; Carrillo, F; Concepción, G; Pestano, C. 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