Control Predictivo para el seguimiento de referencias constantes aplicado a un motor lineal

Control Predictivo para el seguimiento de referencias constantes aplicado a un motor lineal I.Alvarado, M.Fiacchini, D.Limon, T.Alamo y E.F.Camacho (alvarado, mirko, limon, alamo, eduardo)@cartuja.us.es Resumen Este art´ıculo trata de la aplicaci´on de una estrategia de control predictivo (MPC) para seguimien- to de referencias a un sistema real: un motor lineal. La formulaci´on del MPC para seguimiento de referencias usada en este art´ıculo fue presentado recientemente por los autores en [6]. Las principales novedades de este controlador son que: (1) utiliza un estado de referencia artificial como variable de decision, (2) penaliza la desviaci´on entre este estado artificial y el real en el coste y (3) como restricci´on terminal usa un conjunto invariante para tracking calculado con una ley local como se ver´a en la secci´on 3. Esta ley de control asegura la convergencia asint´otica verificando las restricciones a cualquier referencia definida dentro de un conjunto de referencias admisibles, partiendo de cualquier punto inicial definido dentro del la regi´on de atracci´on. El problema de optimizaci´on a resolver en cada periodo de muestreo resulta ser un QP (Quadratic Programming) parametrizado en el estado actual y el estado asociado a la referencia (estado objetivo), lo que nos permite obtener la ley de control de forma expl´ıcita y por lo tanto ser capaces de aplicar este controlador a sistemas r´apidos como el motor lineal, con un tiempo de muestreo de 10ms. Palabras clave: MPC, tracking, motor lineal, soluci´on expl´ıcita . 1. INTRODUCCI ´ ON MPC ha probado ser una t´ecnica de control apropiada para tratar el problema de regulaci´on para sistemas con restricciones (lineales y no lineales), con una base te´orica madura [3]. Esta t´ecnica ,de acuerdo con un ´ındice que eval´ua el desempe˜no, minimiza el coste de una secuencia finita de acciones de control a lo largo del horizonte de predicci´on en base a un modelo, obteniendo la secuencia optima de acciones de control que verifican todas las restricciones. Una vez calculada la secuencia ´optima de control se aplicar´a la primera acci´on y en el siguiente periodo de muestreo se volver´a a resolver el mismo problema (estrategia de horizonte deslizante). Bajo ciertas condiciones [7] la ley de control resultante hace converger al sistema asint´oticamente al punto deseado de una forma admisible. Normalmente estos controladores se usan para resolver el problema de regulaci´on. Si el setpoint se cambia, las condiciones de estabilidad deben ser recalculadas para poder asegurar convergencia, factibilidad y estabilidad. Para resolver este problema una nueva formulaci´on se present´o por los autores en [6]. Este controlador converge de forma asint´otica a cualquier setpoint admisible de una forma factible y sin offset, garantiza la factibilidad considerando una referencia artificial como variable de control y como restricci´on terminal un conjunto invariante para tracking. La referencia es alcanzada sin offset gracias a una penalizaci´on de la desviaci´on este la referencia artificial y la deseada en la funci´on de coste. En este art´ıculo se mostrar´a c´omo este controlador ha sido aplicado con ´exito a un sistema real: un motor lineal s´ıncrono con imanes permanentes. Debido a que el MPC requiere resolver un problema de optimizaci´on en cada periodo de muestreo hace dif´ıcil la aplicaci´on de este a sistemas r´apidos como el motor lineal. Para superar este problema se ha recurrido a precalcular la acci´on de control de una forma expl´ıcita. Las t´ecnicas para abordar este problema son propuestas en:[1] y [2]. Aplicando t´ecnicas de programaci´on multiparam´etrica, la ley de control resulta ser una ley af´ın a trozos (piecewise affine) definida en un conjunto de regiones cr´ıticas. De este modo la mayor parte de carga de computaci´on puede ser precalculada fuera de l´ınea. Bastar´a con determinar cual es la regi´on critica activa en el momento y aplicar la ley de control asociada. El tiempo de c´alculo puede ser reducido a´un m´as si utilizamos un ´arbol de b´usqueda [9] y [10]. Afortunadamente el problema de optimizaci´on asociado a al MPC para tracking es un QP parametrizado en el estado actual y el estado asociado a la referencia. Esto nos permite calcular la soluci´on expl´ıcita y usarla para controlar el motor lineal. El ´arbol de b´usqueda ha sido XXVII Jornadas de Automática Almería 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 313 implementado en una S-function cargada en una tarjeta dSPACE. El art´ıculo se estructura de la forma siguiente: primero se ver´a el planteamiento del problema , a continuaci´on el MPC para tracking. En la secci´on 3.1 se expondr´a brevemente como formular el problema como un QP. En la secci´on IV la obtenci´on de la soluci´on expl´ıcita y el ´arbol de b´usqueda ser´an mostrados en pocas palabras. En la secci´on V el motor lineal es presentado y en la secci´on VI se ense˜nar´an los resultados. Finalizando con algunas conclusiones. Notaci´on: El vector (x, θ) denota [xT, θT]T; dado un λ,λX ={λx :x∈X};int(X) denota el interior del conjunto X; una matriz Tdefinida positiva se representar´a como T > 0 y T > P significa que T−P > 0. Para una matriz sim´etrica P > 0, kxkPes la norma eucl´ıdea de x, i.e. kxkP=√xTP x. 0n,m ∈IRn×mes una matriz de ceros de orden n×m, In∈IRn×nes la matriz identidad de orden n, y diag(A1,···, An) es una matriz diagonal a bloques formada por la matrices Ai. Dado a∈IRna,b∈IRnb, y el conjunto Γ ⊂IRna+nb, el operador proyecci´on es P roja(Γ) = {a∈IRna:∃b∈IRnb,(a, b)∈Γ}. 2. Descripci´on del problema Sea el siguiente sistema lineal descrito por: x+=Ax +Bu (1) y=Cx +Du Donde x∈IRnes el estado del sistema, u∈IRmes la acci´on de control, y∈IRpLa salida y x+el estado en el siguiente periodo de muestreo. Se asume que la planta es estabilizable y los estados accesibles. xkyuk son el estado y la acci´on de control en el instante k. El sistema est´a sujeto a las siguientes restricciones: xk∈X, uk∈U Para todo k≥0. Los conjuntos XyUson politopos (poliedros cerrados y compactos) que contienen el origen en su interior. El objetivo es dise˜nar un controlador uk=KN(xk,ˆxs) que sea capaz de llevar al sistema a cualquier estado de equilibrio admisible ˆxsverificando en su evoluci´on todas las restricciones. 3. MPC para tracking La formulaci´on del MPC para seguimiento de referencias usada en este art´ıculo fue presentado recientemente por los autores en [6]. Las principales novedades de este controlador son que: (i) utiliza un estado de referencia artificial como variable de decision, (ii) penaliza la desviaci´on entre este estado artificial y el real en el coste y (iii) como restricci´on terminal usa un conjunto invariante para tracking. Para ello se necesita: 1) La descripci´on de los estados de equilibrio: consid´erese el setpoint t, el estado de equilibrio zs= (xs, uss) asociado a dicho punto debe satisfacer la siguiente ecuaci´on: A−InB C D  xs us=0n,1 t(2) Toda soluci´on de esta ecuaci´on puede ser expresada como: zs=Mθ (3) t=Nθ Donde θes un par´ametro que caracteriza la soluci´on de forma un´ıvoca. Su dimensi´on es nθ y depende de las matrices del sistema , pero siempre es ≤m+p. 2) El controlador local K y y la matriz de Lyapunov P deben verificar la siguiente ecuaci´on: (A+BK)TP(A+BK)−P=−(Q+KTRK) 3) El conjunto invariante para tracking, que se define como el conjunto de condiciones iniciales desde las cuales el sistema puede ser llevado a alg´un punto de equilibrio admisible por la ley de control:u=K(x−xs) + usdonde xsyusson el estado y acci´on de control asociados a la referencia deseada. De loa ecuaci´on 3 podemos escribir la ecuaci´on en bucle cerrado como: x θ+ =A+BK BL 0Inθ x θ(4) El anterior sistema de ecuaciones puede ser escrito como, w+=Aww. El conjunto invariante para tracking ser´a pues el m´aximo conjunto invariante de este sistema con las siguientes restricciones (v´ease [4]): Wλ={w= (x, θ) : x∈X, Kx +Lθ ∈U, (xs, us) = Mθ ∈λX ×λU} Donde λes un par´ametro toma un valor λ∈(0,1) mediante el cual se puede demostrar que el conjunto est´a finitamente determinado (ver [6]). El conjunto de los estados de equilibrio admisibles viene dado: Xs(λ) = {xs∈IRn:∃ustal que (xs, us)∈λX ×λU, y (A−In)xs+Bus= 0 } Cabe destacar que Xs(1) es el conjunto de todos los estados de equilibrio admisibles y adem´as que Xs(λ)⊂ Projx(Wλ). Para un estado inicial xy un estado de referencia deseado ˆxs, el problema de optimizaci´on PN(x, ˆxs) viene dado por: V∗ N(x, ˆxs) = m´ın u,θ VN(x, ˆxs,u, θ) s.t. x(0) = x. x(j+ 1) = Ax(j) + Bu(j), XXVII Jornadas de Automática 314 Almería 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 (x(j), u(j)) ∈X×U, j = 0,···, N −1 (xs, us) = Mθ, (x(N), θ)∈ Xw f. Donde las decisiones de control son: la secuencia futura de acciones de control u={u(0),...,u(N−1)}y el par´ametro θ. zs= (xs, us) = Mθ es el estado y acci´on de control de referencia artificial, x(i) es el estado predicho del sistema en el tiempo iy es calculado en base al modelo x(i+ 1) = Ax(i) + Bu(i), con x(0) = x. El coste a minimizar ser´a pues: VN(x, ˆxs,u, θ) = N−1 X i=0 kx(i)−xsk2 Q+ku(i)−usk2 R +kx(N)−xsk2 P+kxs−ˆxsk2 T Los par´ametros libres del controlador son son las matrices definidas positivas Q,R,T, la constante λ∈(0,1) y el horizonte de predicci´on N. PN(x, ˆxs) puede ser formulado como un problema de programaci´on cuadr´atica en las variables (u, θ). El hecho de considerar θ, variable asociada a la referencia artificial, como una variable de decisi´on y el utilizar como restricci´on terminal un invariante para tracking asegura la factibilidad del problema de optimizaci´on para cualquier punto de referencia ˆxs. La convergencia del estado de referencia artificial al estado de referencia deseado se asegura penalizando en el coste esta diferencia. Aplicando la t´ecnica de horizonte deslizante, la ley de control es dada por KN(x, ˆxs) = u∗(0), donde u∗(0) es funci´on de xy ˆxs. El dominio de atracci´on del sistema en bucle cerrado es la regi´on de factibilidad de PN(x, ˆxs), a la que se llamar´a XN. Esta regi´on es un poliedro y es independiente del estado asociado a la referencia ˆxs. Este controlador es capaz de llevar al sistema a cualquier un punto de referencia admisible ˆxs∈ Xs(λ), verificando las restricciones, desde cualquier estado inicial x∈XN, por lo tanto cualquier referencia constante a trozos puede ser seguida sin offset [6]. λ∈(0,1) es un par´ametro del controlador que puede ser elegido arbitrariamente cerca de 1; esto implica que pr´acticamente el todo el conjunto de referencias puede ser seguido sin offset Xs(1). 3.1. Formulaci´on del problema como un QP Sean los vectores e= (x−xs, x(1) −xs,···, x(N)− xs) , v= (u(0) −us, u(1) −us,···, u(N−1) − us) y x= (x, x(1),···, x(N)). Sean las matrices: Qf= diag(Q, ···, Q, P )∈IR(N+1)n×(N+1)n,Rf= diag(R, ···, R)∈IRNm×Nm. Entonces el coste a minimizar puede ser reescrito como: VN(x, ˆxs,˜ u) = kek2 Qf+kvk2 Rf+kxs−ˆxsk2 T, donde ˜ u= (u, θ) denota las variables de decisi´on. La evoluci´on predicha y el error de seguimiento pueden reescribirse como x=ˆ G˜ u+ˆ F x yef=˜ G˜ u+˜ F x, donde: ˜ F=   I A . . . AN   ,˜ G=    0n,m 0n,m ··· 0n,m −Mx B0n,m ··· 0n,m −Mx AB B ··· 0n,m −Mx . . . . . . ... . . . . . . AN−1B AN−2B··· B−Mx     As´ı como vf=˜ H˜ uand xs=˜ L˜ u, donde ˜ L= [0n,NmMx] y ˜ H=   Im0m,m ··· 0m,m −Mu 0m,m Im··· 0m,m −Mu . . . . . . ... . . . . . . 0m,m ··· 0m,m Im−Mu    Sustituyendo se obtiene: VN(x, xs,˜ u) = ˜ uT(˜ GTQf˜ G+˜ HTRf˜ H+˜ LTT˜ L)˜ u +2·(xT˜ FTQf˜ G−ˆxsT˜ L)˜ u +xT˜ FTQf˜ F x + ˆxT sTˆxs(5) Considerando que los conjuntos X,UyXw fest´an determinados por X={x∈IRn:Ax·x≤bx}, U={x∈IRn:Au·u≤bu}yXw f={(x, θ)∈ IRn+nθ:AXxx+AXθθ≤bX}y definiendo las matrices Ax f=diag(Ax,···, Ax), bx f= (bx,···, bx), Au f=diag(Au,···, Au) y bu f= (bu,···, bu), las restricciones de PN(x, xs) pueden ser reescritas como: Axx+A˜ u˜ u≤b, donde: "Ax f0 0 0 0AXx#x+"0 0 Au f0 0AXθ#˜ u≤"bx f bu f bX# Sea ¯ G=˜ G diag(INm,0nθ,nθ), entonces las secuencia de estados futuros puede ser expresada como: x=˜ F x +¯ G˜ u. De donde sacamos que la expresi´on de las restricciones de PN(x, ˆxs) como (Ax¯ G+A˜ u)˜ u≤b−Ax˜ F x (6) La soluci´on optima se obtiene pues, minimizando el coste (5) sujeto al conjunto de restricciones (6) para el estado actual xy el estado asociado a la referencia ˆxs. 4. Obtenci´on de la ley de control de forma expl´ıcita Definimos como estado extendido ˜x= (x, ˆxs), teniendo en cuenta las ecuaciones (5) y (6), el problema de optimizaci´on PN(x, xs) puede ser expresado como un problema QP standard. V∗ N(˜x) = 1 2˜x0Y˜x+ m´ın ˜ u1 2˜ u0H˜ u+ ˜x0F˜ u, s.t. G˜ u≤W+E˜x, (7) Donde H= 2( ˜ GTQf˜ G+˜ HTRf˜ H+˜ LTT˜ L), F= [˜ GTQf˜ F , −LTT]T,Y=diag(˜ FTQf˜ F , T ), G= Ax¯ G+A˜ u,W=byE= [−Ax˜ F , 0]. XXVII Jornadas de Automática Almería 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 315 Existen m´etodos [1, 2] que nos permiten resolver un problema QP que depende de uno o varios par´ametros, es el llamado multi-parametric QP (mp-QP). Estos m´etodos nos proporcionan la soluci´on dependiendo del o de los par´ametros. Si consideramos el estado ˜xcomo un par´ametro, entonces PN(x, ˆxs) puede ser considerado un problema de programaci´on multiparam´etrica y puede ser resuelto por uno de estos m´etodos. La solucion de este problema mp-QP nos proporciona de forma expl´ıcita la secuencia optima de acciones de control en funci´on del estado actual, i.e. ˜ u=K(˜x). Llamamos za la siguiente variable: z=˜ u+H−1F˜x Entonces el problema mp-QP puede ser reformulado como sigue: V∗ z(˜x) = m´ınz1 2z0Hz st. Gz ≤W+S˜x donde S=E+GH−1F0yV∗ z(˜x) = V∗ N(˜x)−1 2˜x0(Y− F H−1F0)˜x. La soluci´on del problema de optimizaci´on y la trayectoria ´optima resulta ser, para un problema mp-QP una funci´on dependiente del estado continua af´ın a trozos (piecewise affine). Usando las condiciones de optimalidad propuestas por Karush-Khun-Tucker (KKT) para el problema mp-QP, el espacio puede ser dividido en un conjunto de regiones {˜ Xi}, llamadas regiones cr´ıticas, en cada una de las cuales los par´ametros de la funci´on son constantes. As´ı la acci´on de control toma la siguiente expresi´on: ˜ u(˜x) = Kx(i)˜x+Kp(i),∀˜x∈˜ Xi Donde las matrices Kx(i) and Kp(i) son constantes en la regi´on cr´ıtica ˜ Xi. Al final de este proceso el estado queda dividido en un conjunto de regiones cr´ıticas en cada una de las cuales existe una ley de control af´ın, una vez que el estado actual es obtenido bastar´a determinar a que regi´on pertenece y as´ı obtener la ley de control a aplicar. Si el node regiones es muy grande, el tiempo requerido para ver a que regi´on critica pertenece el estado puede ser grande. Con objeto de de reducir este tiempo un ´arbol binario de b´usqueda es utilizado en concreto el propuesto por [9, 10]. La clave est´a en asociar una desigualdad y un conjunto de regiones cr´ıticas a cada nodo no terminal, de forma que los estados de las regiones de una de las ramas verifican dicha desigualdad y los de la otra no. Solo si una ´unica regi´on es asociada a un nodo est´e se considerar´a terminal. El conjunto de desigualdades que determinan el ´arbol son buscadas de forma que la profundidad del mismo sea m´ınima. El algoritmo comenzar´a evaluando la desigualdad del nodo ra´ız, dependiendo si el estado actual verifica o no la desigualdad el algoritmo evolucionar´a al siguiente nodo y as´ı sucesivamente hasta encontrar un nodo terminal que me proporcionar´a la ley de control a aplicar. El procedimiento expuesto anteriormente ha sido implementado en l´ınea para controlar un motor lineal mostrado en la siguiente secci´on. 5. El motor lineal El motor lineal es un dispositivo posicionador electromec´anico compuesto por dos partes: Una parte fija (estator) de forma rectangular que dispone de imanes permanentes dispuestos a lo largo del mismo de forma que la polaridad de los imanes vaya altern´andose de uno al siguiente. Una parte m´ovil que desliza sobre y a lo largo de la anterior. Esta parte posee fuertes electroimanes que generaran un campo variable que al interactuar con el campo del estator generar´a el movimiento. Su funcionamiento es similar de un motor el´ectrico que hubi´esemos ”desenrrollado” a lo largo de su eje. El motor lineal usado en este experimento se encuentra en los laboratorios del Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica de la Escuela Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla (figura 1). Figura 1: Motor lineal 1FN 3 de Siemens. La planta de ensayos est´a compuesta de las siguientes partes: 1. Motor Lineal: Es un motor lineal s´ıncrono con imanes permanentes modelo 1FN3 050-2w00-0aa de Siemens. La parte m´ovil posee en su interior las bobinas que generan el campo magn´etico. Sus dimensiones son: 254 ×67 ×47,7 mm. El estator esta compuesto por 21 imanes permanentes con 4 pares de polos cada uno, el tama˜no de cada im´an es: 120 ×58 ×11,8 mm; la longitud total del estator es 2520 mm. Entre en primario y el secundario existe una distancia de 1,3 mm. 2. Sensor de posici´on: Es un sistema ´optico de medida LC181 de Heidenhein 3. Armario de control: El cual contiene la alimentacion, las protecciones y el SimoDrive 611 XXVII Jornadas de Automática 316 Almería 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 Universal de Siemens, el cual nos permite controlar el motor. SimoDrive se conecta con el PC mediante un bus RS-232. 4. PC: Este Pc posee una tarjeta dSPACE DS1103. Es una tarjeta de control equipada con un procesador PowerPC 604a a 400 MHz la cual puede ser programada con una librer´ıa de MATLAB/Simulink. La tarjeta dSPACE se conecta directamente con el armario de control, permiti´endonos actuar directamente, ya sea leyendo las salidas o proporcionando las se˜nales de control. 6. Resultados experimentales El control esta basado en una tarjeta dSPACE , la cual nos permites usar MATLAB/Simulink para la implementaci´on de los ensayos sobre el motor lineal. El algoritmo para evaluar el arbol de b´usqueda asociado a la soluci´on expl´ıcita del MPC para tracking ha sido programado en C e implementado como una S-function. La tarjeta dSPACE mide la posici´on y la velocidad del motor lineal como una se˜nal anal´ogica y la convierte a digital. La se˜nal de control est´a compuesta por tres se˜nales: 1. la primera anal´ogica para la amplitud. 2. las otras 2 son digitales y nos sirven para determinar la direcci´on. Para identificar el sistema se ha escogido un tiempo de muestreo de 10 ms con objeto de probar la efectividad del procedimiento. Excitando el sistema con un PRBS, el modelo de la velocidad en relaci´on con la se˜nal de control ha sido calculado. Este modelo result´o ser un sistema de primer orden con un retraso de un periodo de muestreo. Considerando que la posici´on es la integral de la velocidad , el sistema tiene 3 estados con las siguientes matrices: A="1 1,6667 ×10−40 0 0,9686 5,1663 0 0 0 #, B ="0 0 1# C=100, D = [0] Donde la entrada es el voltaje [V], el primer estado es la posici´on [m],el segundo es la velocidad [m/min] y el tercero es la entrada en el periodo de muestreo anterior [V]. Cabe resaltar que todos los estados son accesibles. El sistema real esta sometido a las siguientes restricciones: U={u∈IR : |u| ≤ 0,95}, X ={x∈IR3:|Cx| ≤ 0,8} Los par´ametros del controlador son: el horizonte de predicci´on N= 3, Las matrices de peso Q=C0·C, R= 0,01 y T= 100 ×P. Esas matrices han sido escogidas para obtener una respuesta r´apida del sistema. La ley de control local , usada para calcular la restricci´on terminal ha sido un LQR. Pes la matriz de Lyapunov asociada a dicha ley de control. El par´ametro λ= 0,95 lo que hace que el conjunto de puntos de referencia admisibles sea [−0,76,0,76]. El controlador expl´ıcito obtenido tiene 514 regiones cr´ıticas con un total de 4740 desigualdades. EL ´arbol de b´usqueda est´a compuesto por 417 nodos con una profundidad de 13 niveles as´ı que para encontrar el nodo terminal y por lo tanto la regi´on cr´ıtica, solo tendremos que evaluar 12 desigualdades, en vez de 4740 desigualdades requeridas en el peor de los casos. A continuaci´on se mostrar´an 2 experimentos. 1. El motor lineal seguir´a una serie de referencias entre −0,5y0,5 ver figuras [2, 3 y 4]. Se puede ver como el sistema evoluciona hacia la referencia deseada de una forma admisible a pesar de los posibles errores de modelado y ruidos. 00.5 11.5 22.5 33.5 44.5 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Time [s] Input [V] Figura 2: Experimento 1. Acci´on de control 00.5 11.5 22.5 33.5 44.5 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Time [s] Position [m] Figura 3: Experimento 1. Posici´on y referencia 2. El segundo ensayo se pretende mostrar el papel de la referencia artificial en el controlador para asegurar la factibilidad. Para ello se le va a dar como referencia un valor no factible −1m.El controlador evolucionar´a al punto de referencia m´as cercano que sea admisible que es −0,76, como se puede ver en las figuras [5, 6 y 7]. XXVII Jornadas de Automática Almería 2006 - ISBN: 84-689-9417-0 317 00.5 11.5 22.5 33.5 44.5 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 Time [s] Speed [m/min] Figura 4: Experimento 1. Velocidad De la comparaci´on los resultados reales y del controlador aplicado al modelo podemos deducir que el modelo usado para las predicciones difiere del real, actualmente se est´a trabajando en un nuevo modelo que reduzca estos errores y as´ı obtener mejores respuestas en bucle cerrado y en una formulaci´on robusta del problema. Figura 5: Experimento 2. Acci´on de control 7. Conclusiones En este art´ıculo una nueva formulaci´on del MPC para tracking ha sido aplicada a un sistema real: un motor lineal. Este controlador nos permite seguir referencias admisibles constantes a trozos sin offset, manteniendo la factibilidad y asegurando la convergencia. Gracias a que el problema a resolver para obtener la soluci´on es un mp-QP parametrizado en el estado actual y el estado asociado a la referencia, la soluci´on expl´ıcita del mismo puede ser calculada fuera de linea, lo que nos permite aplicar dicho controlador a sistemas r´apidos como el motor lineal, con un tiempo de muestreo de 10 ms. Figura 6: Experimento 2. Posici´on y referencia Figura 7: Experimento 2. Velocidad Referencias [1] A. Bemporad, M. Morari, V. Dua, and E.N. Pistikopulos(2002). The explicit linear quadratic regulator for constrained systems. In Automatica, Vol. 38, pp. 3-20. [2] A. Bemporad, F. Borrelli and M. Morari(2002). Model Predictive Control Based on Linear Programming. The Explicit Solution. In IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 47, No. 12, pp. 1974-1985. [3] E. F. Camacho and C. Bordons. Model Predictive Control, 2nd edn, Springer-Verlag.2004. [4] E. G. Gilbert and K. Tan. 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