Lineabilidad y curvas de Peano

UNIVERSIDAD DE SEVILLA Facultad de Matem´ aticas M´aster Universitario en Matem´aticas Departamento de An´alisis Matem´atico Lineabilidad y Curvas de Peano Trabajo Fin de Master presentado por Francisco J´acome Maura Dirigido por: Mar´ıa del Carmen Calder´on Moreno, Jos´e Antonio Prado Bassas. Sevilla, Noviembre de 2018 ´ Indice general Abstract 5 Resumen 7 Introducci´on 9 1. Conceptos Previos 13 1.1. N´umeros Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Tama˜noTopol´ogico............................. 15 1.3. Lineabilidad, espaciabilidad y algebrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Curvas y Espacios de Peano 19 2.1. CurvasdePeano .............................. 19 2.2. EspaciosdePeano ............................. 23 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y )25 3.1. Lineabilidad de CS(Rm,Rn) ........................ 25 3.2. Algebrabilidad de CS(Rm,Cn)....................... 32 3.3. Espacios σ-Peano.............................. 39 3.4. Curvas de Peano en espacios de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.5. Curvas de Peano en espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 ´ Indice general 4. Curvas de Peano en C(I, Y )51 4.1. Propiedades topol´ogico-algebraicas de P................. 51 4.1.1. Topolog´ıa de PyPY........................ 52 4.1.2. Semigrupabilidad de P....................... 55 4.2. Curvas que rellenan espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.1. Propiedades de SF ......................... 58 4.2.2. Denso-lineabilidad maximal de T SF ............... 66 Bibliograf´ıa 71 4 Abstract Peano curves can be generalized and understood: either as continuous and surjective applications between two spaces Xand Y, or as curves whose image has an area. Each of these two interpretations defines a different class of sets. In this Master Thesis, results on the lineability and algebrability of both types of sets are compiled, allowing to obtain a notion of their algebraic size as subsets of the continuous functions. 5 6 Resumen Las curvas de Peano pueden generalizarse y entenderse: o bien como aplicaciones continuas y sobreyectivas entre dos espacios XeY, o bien como curvas cuya imagen tiene ´area. Cada una de estas dos interpretaciones define una clase de conjuntos diferente. En este Trabajo Fin de M´aster se recopilan resultados sobre la lineabilidad y algebrabilidad de ambos tipos de conjuntos, permitiendo obtener una noci´on del tama˜no algebraico de los mismos como subconjuntos de las funciones continuas. 7 8 Introducci´on Desde su definici´on a principios del siglo XX, las categor´ıas de Baire han permitido, en el ´ambito del An´alisis Matem´atico, dar una noci´on del tama˜no topol´ogico de un subconjunto de un espacio m´etrico completo en funci´on de la categor´ıa que sea. Esta herramienta ha permitido demostrar, por ejemplo, que el conjunto formado por las funciones reales de varible real continuas en todo punto pero no derivables en ninguno, tambi´en llamadas Monstruos de Weierstrass, es residual y por tanto “grande”. Mucho despu´es del desarrollo de las construcciones anteriores aparece una manera distinta de medir c´omo de grande es un conjunto en un espacio, esta vez desde un punto de vista algebraico. La idea es ver si el conjunto en cuesti´on, en uni´on con el 0, contiene un subespacio vectorial o incluso un ´algebra. Si su dimensi´on es peque˜na, el conjunto puede interpretarse como peque˜no. Sin embargo, si su dimensi´on es la m´axima posible, la del espacio ambiente, el conjunto debe ser grande. Adem´as puede verse si el subespacio contenido en el conjunto es cerrado o incluso denso. Figura 1: Vladimir I. Gurariy. La semilla de estos conceptos nace en el a˜no 1966, en concreto en el art´ıculo Subspaces and bases in spaces of continuous functions [13] del matem´atico Vladimir I. Gurariy. En el mismo, demostr´o que el conjunto de los Monstruos de Weierstrass es lineable, es decir, contiene un espacio vectorial de dimensi´on infinita. El resultado es cuanto menos sorprendente: encontrar una sola de estas funciones es complicado de por s´ı; obtener un conjunto con infinitas de ellas manteniendo estructura de espacio vectorial es un salto cualitativo, que por otro lado concuerda con la visi´on que aportaban las categor´ıas de Baire. 9 Cap´ıtulo 1. Conceptos Previos al absurdo que Aes de primera categor´ıa, entonces X=A∪(X A) tambi´en es de primera categor´ıa. Sin embargo, esto entra en contradicci´on con que Xsea un espacio de Baire, ya que por la proposici´on precedente Xdebe ser de segunda categor´ıa. Por otro lado, en un espacio de Baire los conjuntos residuales son siempre de segunda categor´ıa: si Xes un espacio de Baire y A⊂Xes residual, X A es de primera categor´ıa y existe una sucesi´on de conjuntos (Rn)ndensos en ninguna parte tales que X A = ∞ [ n=1 Rn⊆ ∞ [ n=1 Rn=⇒A=X\ ∞ [ n=1 Rn= ∞ \ n=1 (X Rn)⊇ ∞ \ n=1 X Rn. Dado que los Rnson densos en ninguna parte, los conjuntos X Rnson densos y abiertos, y por ser Xun espacio de Baire, la intersecci´on de todos ellos es densa. As´ı pues, Acontiene un conjunto denso, y por tanto Aes denso. Como consecuencia de la proposici´on anterior, en un espacio de Baire la categor´ıa de un conjunto nos da una idea de su tama˜no. Los conjuntos residuales ser´an “grandes”, ya que son densos en el espacio. Por contraposici´on, los conjuntos de primera categor´ıa, que son complementarios a los residuales, pueden interpretarse como “peque˜nos”. N´otese la importancia de partir de un espacio de Baire. Para que la interpretaci´on tenga sentido, es necesario que los conjuntos no puedan ser grandes y peque˜nos a la vez. Los espacios de Baire son el contexto necesario para ello, pues en ellos todos los conjuntos residuales son de segunda categor´ıa (adem´as de densos) y por tanto no de primera categor´ıa. Por ´ultimo, e independientemente de trabajar o no en un espacio de Baire, los conjuntos de primera categor´ıa tambi´en son “peque˜nos” en el sentido de que son uni´on numerable (min´uscula si la comparamos con una uni´on no numerable) de conjuntos que topol´ogicamente son tan “peque˜nos” que el interior de su clausura es vac´ıo. A lo largo del Cap´ıtulo 4 trabajaremos con las nociones anteriores. Damos para terminar una definici´on relacionada que tambi´en ser´a necesaria. Definici´on 1.2.5. Un subconjunto Ade un espacio m´etrico (X, d)se dice poroso si existe α > 0tal que, para todo x∈Xy todo ε, existe y∈B(x, ε)tal que B(y, αd(x, y)) ∩A=∅. Si el n´umero αpuede tomarse tan pr´oximo a 1como se desee, entonces se dice que A es fuertemente poroso. 16 Cap´ıtulo 1. Conceptos Previos El inter´es de estos conjuntos viene dado por el siguiente resultado. Proposici´on 1.2.6. Los conjuntos porosos son densos en ninguna parte. Demostraci´on. Supongamos por reducci´on al absurdo que Ano es denso en ninguna parte. Entonces, A◦6=∅, y por tanto existen x0∈A,ε0>0 tales que B(x0, ε0)⊂A. En consecuencia, dado cualquier α > 0 y cualquier y∈B(x0, ε0), la intersecci´on B(y, αd(x0, x)) ∩A6=∅, porque B(y, αd(x0, x)) ∩B(x0, ε0)6=∅para todo α > 0 y B(x0, ε0)⊂A. Esto significa que Ano es poroso, luego llegamos a contradicci´on. Por la proposici´on anterior, la porosidad es una propiedad m´as fuerte que la densidad en ninguna parte, si bien esta ´ultima no es exclusiva de los espacios m´etricos. As´ı, los conjuntos porosos son siempre de primera categor´ıa y podemos interpretarlos como “peque˜nos” topol´ogicamente. 1.3. Lineabilidad, espaciabilidad y algebrabilidad Un espacio vectorial topol´ogico (abreviado como e.v.t.) es un espacio vectorial dotado de una topolog´ıa donde las operaciones propias del espacio son continuas. Podemos hacernos una idea del tama˜no de un subconjunto en estos espacios con las nociones de lineabilidad y espaciabilidad. Definici´on 1.3.1. Sea Xun e.v.t., Mun subconjunto de Xyµun n´umero cardinal. Mes µ-lineable si M∪ {0}contiene un espacio vectorial de dimensi´on µ. Mes µ-espaciable si M∪ {0}contiene un e.v. cerrado de dimensi´on µ. Mes µ-denso-lineable si M∪ {0}contiene un e.v. denso de dimensi´on µ. Diremos adem´as que Mes maximal lineable,maximal espaciable omaximal denso-lineable si la dimensi´on del subespacio es igual a la dimensi´on de X. Por otro lado, si el subespacio es infinito dimensional, se puede decir simplemente que Mes lineable, espaciable, etc.. Pueden encontrarse algunos ejemplos curiosos de conjuntos finito-lineables en [3, p. 49]: denotando por ˆ C(A, B) a las funciones continuas de AaBque alcanzan su 17 Cap´ıtulo 1. Conceptos Previos m´aximo una sola vez, se prueba entre otras cosas que ˆ C(R,R) y ˆ C([a, b),R) son 2- lineables y que ˆ C([0,1],R) es 1-lineable pero no 2-lineable. Como dec´ıamos, estos resultados nos aseguran que el conjunto de estas funciones es “peque˜no” (en sentido lineal) dentro del espacio total, que tiene dimensi´on infinita. Sin embargo, en los casos que veremos en los siguientes cap´ıtulos encontraremos subespacios de dimensi´on infinita maximal dentro de los conjuntos a estudiar, por lo que interpretaremos entonces que tales conjuntos ser´an “grandes”. N´otese que ya vimos una intuici´on parecida en la secci´on anterior trabajando en espacios de Baire. La b´usqueda de lineabilidad es sin embargo una herramienta mucho m´as moderna que las categor´ıas de Baire, aunque la idea perseguida sea la misma: obtener una cierta noci´on del tama˜no de un conjunto dentro de un espacio topol´ogico. Queda por enunciar otra noci´on importante, la de algebrabilidad, que no deja de ser similar a la de lineabilidad pero con una operaci´on adicional. Definici´on 1.3.2. Sea un conjunto Mcontenido en un ´algebra A, y sea un n´umero cardinal µ. Mes algebrable si M∪ {0}contiene un sub´algebra Cde Acon un sistema de generadores de cardinal infinito. Mes µ-algebrable si M∪ {0}contiene un sub´algebra Cde Acon un sistema de generadores de cardinal µ(se dice que es µ-generada). Mes fuertemente µ-algebrable si M∪ {0}contiene un sub´algebra libre C de Aque sea µ-generada. Si Aes conmutativa, esto equivale a que para cada conjunto finito {x1, . . . , xn}⊂Cy para cada polinomio no nulo Pde nvariables que no tenga termino constante, P(x1, . . . , xn)∈M{0}. Diremos adem´as que Mes maximal algebrable,maximal µ-algebrable ofuertemente maximal µ-algebrable si la dimensi´on del sub´algebra Ces igual la de A. Conviene destacar que, por definici´on, algebrabilidad fuerte implica algebrabilidad, y algebrabilidad implica lineabilidad. Sin embargo, los rec´ıprocos no se tienen (ver [7] y [9, p. 74]). Esto significa que la algebrabilidad fuerte (como su propio nombre indica) es una propiedad m´as fuerte que la algebrabilidad y que la lineabilidad, y por tanto ser´a m´as dif´ıcil de encontrar. 18 Cap´ıtulo 2 Curvas y Espacios de Peano 2.1. Curvas de Peano A finales de junio del a˜no 1877, George Cantor mantiene correspondencia postal con Richard Dedekind [12]. El primero cre´ıa haber construido una biyecci´on entre I= [0,1] eI2, pero quer´ıa la revisi´on de su compa˜nero. La esencia de su idea era, dado un n´umero z∈I, hacerle corresponder el punto (x, y)∈I2, donde xeyestar´ıan formados, respectivamente, por las coordenadas impares y pares de la expresi´on decimal de z, resultando evidente la aplicaci´on inversa de esta: z= 0.z1z2z3z4z5z6. . . ←→ (x, y) = (z1z3z5...,z2z4z6. . . ). Algunos n´umeros tienen dos expresiones decimales. Por ejemplo, 0,5 = 0,4999 . . .. Cantor decide que la segunda representaci´on ser´a la que use la funci´on. Pero Dedekind encuentra un error: al n´umero z= 0,12010101 . . . le corresponder´ıa x= 0,100000 . . . , que no est´a permitido por la elecci´on de Cantor. La otra elecci´on tampoco habr´ıa valido: basta notar que a z= 0,0191919 . . . le har´ıa corresponder x= 0,0999 . . . . 1 Cantor pronto solventa el problema refinando su aplicaci´on mediante el uso de representaci´on por fracciones continuas. Env´ıa una nueva carta, donde declaraba “je le vois, mais je ne le crois pas”. Claro que lo cre´ıa, estaba convencido del resultado y 1El problema puede arreglarse. Si separamos z= 0,12010101 . . . en 12 01 01 01 . . . , y le hacemos corresponder x= 0,1201 . . . ey= 0,0101 . . ., el fallo estar´ıa solucionado. Se mantendr´ıa la elecci´on de la representaci´on con nueves, y se usar´ıa que hay biyecciones entre (0,1] y [0,1]. 19 Cap´ıtulo 2. Curvas y Espacios de Peano la prueba ahora era m´as s´olida. Pero quer´ıa una ´ultima revisi´on de Dedekind. No es para menos, acababa de demostrar que IeI2ten´ıan el mismo cardinal. 2 Sin embargo, la biyecci´on construida por Cantor no era continua. Ya en 1890, el italiano Giuseppe Peano, en su art´ıculo Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane [18], compara su resultado con el de Cantor. Ha encontrado algo igual de sorprendente: una aplicaci´on continua y sobreyectiva de Ien I2. No es inyectiva, pero ha construido la primera curva, en el sentido de aplicaci´on continua que parte de un intervalo de R, que rellena el ´area del cuadrado. Por esta raz´on, a este tipo de curvas se les denomina curvas de Peano. Definici´on 2.1.1. Una curva de Peano es una aplicaci´on continua y sobreyectiva de [0,1] en [0,1]2. Denotaremos por Pal conjunto de estas curvas. La curva del art´ıculo tiene adem´as, como remarca Peano al final del mismo, la particularidad de no ser diferenciable en ning´un punto. No es el primer ejemplo de una curva con estas caracter´ısticas: Karl Weierstrass hab´ıa publicado, ya en 1872, una funci´on continua pero no derivable en ning´un punto [22] que se gan´o el apodo de “monstruo de Weierstrass”. A pesar de que Peano no ofrece ninguna imagen en su art´ıculo, la manera m´as natural de entender su curva es dibuj´andola, pues se construye como el l´ımite de la siguiente sucesi´on de curvas: La primera se obtiene de la siguiente forma: se divide el cuadrado unidad en 9 cuadrados de lado 1/3, y se traza la curva que pasa por los centros de los mismos de la forma representada. Para la segunda, tomamos una homotecia de raz´on 1/3 de la primera curva y la colocamos en los cuadrados de las esquinas y del centro. En los otros cuadrados colocamos la imagen sim´etrica con respecto a eje vertical de dicha homotecia. Se unen los segmentos m´as cercanos y la curva de la segunda iteraci´on queda dibujada. As´ı, los 9 cuadrados de la primera iteraci´on se dividen de nuevo en 9 cuadrados cada uno, habiendo ahora en total 92cuadrados de lado 1/32, por cuyos centros pasa la curva. 2N´otese que adem´as, si tenemos en cuenta que existen biyecciones entre IyR, esto implica que RyR2tambi´en tienen el mismo cardinal. De hecho, bas´andonos en las aplicaciones que se usan en la demostraci´on de la Proposici´on 3.1.1, se tiene que RyRnposeen el mismo cardinal. 20 Cap´ıtulo 2. Curvas y Espacios de Peano Figura 2.1: Primeras 3 iteraciones de la curva de Peano. Para la siguiente iteraci´on se proceder´ıa de manera similar: tomando una homotecia de raz´on 1/3 de la curva total anterior, coloc´andola en el cuadrado central y en los que hacen esquina (de los 9 cuadrados en los que se divide el cuadrado unidad), colocando su imagen sim´etrica en los otros cuatro cuadrados, y uniendo los segmentos de la forma m´as corta posible. As´ı, la en´esima curva de la sucesi´on pasar´ıa por los centros de los 9ncuadrados iguales en los que se puede dividir el cuadrado unidad. Intuitivamente, el l´ımite pasar´ıa por todos los puntos del cuadrado manteniendo a´un la continuidad de la curva, que partir´ıa de la esquina inferior izquierda. David Hilbert [14] public´o en 1891, un a˜no despu´es de Peano y en la misma revista, un art´ıculo donde describ´ıa otra curva de las mismas caracter´ısticas, bas´andose en la construcci´on original de Peano, pero creando una m´as sencilla. Si Peano divid´ıa el cuadrado unidad en 9, Hilbert lo divid´ıa en 4: La primera curva de la sucesi´on parte del centro del cuadrado inferior izquierdo, sube al centro del superior izquierdo, pasa al superior derecho y baja al inferior derecho. La segunda se forma aplicando una homotecia de raz´on 1/4 a la curva anterior y situ´andola sin girar en los cuadrados superiores, girada 90oen sentido horario en el inferior izquierdo, y girada 90oen sentido antihorario en el inferior derecho. Finalmente se unen los extremos de los segmentos m´as cercanos. 21 Cap´ıtulo 2. Curvas y Espacios de Peano De forma similar se obtienen las siguientes: dada una curva de la sucesi´on, la siguiente se obtiene aplic´andole una homotecia de raz´on 1/4, coloc´ando cuatro copias de esta en los nuevos cuadrados con los giros especificados, y uniendo los extremos m´as cercanos. Figura 2.2: Primeras 6 iteraciones de la curva de Hilbert. Esta vez la en´esima curva de la sucesi´on pasa por los centros de 4ncuadrados de lado 1/2n. Igual que antes, la intuici´on nos dice que el l´ımite de la sucesi´on debe ser continuo y sobreyectivo en el cuadrado unidad. Sin embargo, esto no es tan sencillo de demostrar, ni en la curva de Peano ni en la de Hilbert. Para cualquiera de las dos sucesiones la prueba deber´ıa asegurar tres cosas sobre su l´ımite: debe estar bien definido (es decir, a un valor de Isolo le puede corresponder uno de I2); debe ser continuo; y debe ser sobreyectivo. Una prueba para el caso de la curva de Hilbert puede encontarse en [6]. En [17, p. 272] se describe una prueba para una curva similar. Por otro lado, en [15, p. 209] puede encontarse una prueba que demuestra la existencia de las curvas de Peano, aunque no es constructiva. 22 Cap´ıtulo 2. Curvas y Espacios de Peano 2.2. Espacios de Peano En general, y como veremos posteriormente, existen muchos m´as conjuntos que pueden ser imagen continua de [0,1]. Ello lleva a dar la siguiente definici´on. Definici´on 2.2.1. Un espacio topol´ogico de Hausdorff se dice espacio de Peano si es imagen continua de [0,1]. Proposici´on 2.2.2. Los espacios de Peano son conexos por caminos. Demostraci´on. Si Yes un espacio de Peano, es imagen de [0,1] por una funci´on f. Dados u, v ∈X, tomando s1∈f−1(u) y s2∈f−1(v) se tiene que la aplicaci´on t∈[0,1] 7→ f((1 −t)s1+ts2) es un camino entre uyv. M´as a´un, podemos cambiar el espacio de salida definiendo t∈[a, b]7→ f(b−t b−as1+t−a b−as2) Vali´endenos de la proposici´on anterior, obtenemos un resultado que utilizaremos m´as adelante en los Cap´ıtulos 3 y 4. Proposici´on 2.2.3. Sea Yun espacio de Peano y sea [a, b]un intervalo cerrado de R. Dados u, v ∈Y, existe una aplicaci´on Φ∈ CS([a, b], Y )tal que Φ(a) = uyΦ(b) = v. Demostraci´on. Como Yes un espacio de Peano, es imagen continua de I= [0,1], y por tanto existe f∈ CS(I, Y ). Adem´as, los espacios de Peano son conexos por caminos, por lo que existen g: [0,1/3] →Yyh: [2/3,1] →Ytales que g(0) = u, g(1/3) = f(0), h(2/3) = f(1) y h(1) = v. Definimos ϕ:I→Ycomo ϕ(t) =      g(t) si 0 ≤t < 1/3 f(3t−1) si 1/3≤t≤2/3 h(t) si 2/3≤t≤1. Evidentemente, la aplicaci´on Φ : [a, b]→Ydefinida por Φ(t) = ϕ(t−a b−a) es continua y sobreyectiva, con lo que concluye la prueba. El siguiente teorema, cuya prueba puede encontrarse en [23, Teorema 31.5], caracteriza los espacios de Peano. Teorema 2.2.4. (Hahn-Mazurkiewicz) Un espacio topol´ogico de Hausdorff es imagen continua de [0,1] si y solo si el espacio es compacto, conexo, localmente conexo y segundo numerable. 23 Cap´ıtulo 2. Curvas y Espacios de Peano Como consecuencia del mismo, un espacio de Peano es un espacio compacto, conexo, localmente conexo y segundo numerable. Es m´as, teniendo en cuenta que los espacios de Hausdorff compactos son localmente compactos y que los espacios de Hausdorff localmente compactos son regulares [23, p. 130], por el teorema de metrizaci´on de Urysohn [23, Teorema 23.1], tenemos que un espacio de Peano es un espacio compacto, conexo, localmente conexo y metrizable. Esta caracterizaci´on ser´a la que usaremos m´as adelante. N´otese que los espacios de Peano son adem´as separables (como consecuencia de ser segundo numerables, o bien de ser compactos y metrizables, o tambi´en por el teorema de metrizaci´on de Urysohn). 24 Cap´ıtulo 3 Curvas de Peano en C(Rm, Y ) 3.1. Lineabilidad de CS(Rm,Rn) Ahora que sabemos que existen curvas de Peano, resulta natural querer extenderlas para que rellenen todo el plano. No existen aplicaciones continuas y sobreyectivas de Ien R2, dado que la imagen por una funci´on continua de I, que es compacto, siempre ser´a compacto, y R2no lo es. Sin embargo, s´ı que podremos extender las curvas de Peano para obtener aplicaciones continuas y sobreyectivas de Ren R2. A este conjunto lo denotaremos CS(R,R2), y en general, dados dos espacios topol´ogicos Xe Y, definimos CS(X, Y ) como el conjunto de las aplicaciones continuas y sobreyectivas de Xen Y. En particular, P=CS(I, I2)6=∅. Sea pues f∈ P, y sea adem´as anuna enumeraci´on de Z2. Siguiendo el ejemplo de [3, p. 88], extendemos faCS(R,R2) definiendo ˆ f(t) = (an+1 2+f(t−n+ 1) si t∈[n−1, n] y nimpar, (an 2+f(1))(n−t)+(t−n+ 1)an+2 2si t∈[n−1, n] y npar. (3.1) La expresi´on es complicada, pero la idea es sencilla: crear una malla de cuadrados de lado 1 en R2que la extensi´on va recubriendo uno a a uno (son una cantidad numerable) y uni´endolos por segmentos para que se mantenga la continuidad. En efecto, ˆ flleva [0,1] en a1+I2, [2,3] en a2+I2, [4,5] en a3+I2, ... y [1,2], [3,4], etc., en los segmentos que conectan a1+f(1) con a2,a2+f(1) con a3, y as´ı sucesivamente. N´otese que ak+f(1) es el punto donde acaba el recubrimiento del k-´esimo cuadrado yak+1 el punto donde empieza el recubrimiento del (k+ 1)-´esimo. L´ogicamente, por 25 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) 3.2. Algebrabilidad de CS(Rm,Cn) Dado que en la secci´on anterior hemos obtenido resultados positivos sobre la lineabilidad de CS(Rm,Rn), cabe preguntarse si el conjunto es adem´as algebrable, considerando como producto el producto habitual de funciones coordenada a coordenada. Es sencillo ver que no: No es posible encontrar en CS(Rm,Rn)∪ {0}ning´un subconjunto con estructura de ´algebra, pues dada cualquier f∈ CS(Rm,Rn), la funci´on f2es no negativa: en su imagen no hay ning´un punto con alguna coordenada negativa, y por tanto no es sobreyectiva y no pertenece a CS(Rm,Rn). Sin embargo, la cosa cambia si el espacio de llegada es complejo, porque en Clos n´umeros negativos s´ı tienen ra´ıces cuadradas. Tendr´ıa sentido por tanto buscar una estructura de ´algebra contenida en CS(Rm,Cn)∪ {0}. En esta secci´on demostraremos la algebrabilidad de CS(Rm,Cn). Para ello, vamos a ver algunas definiciones y propiedades que nos ayudar´an a obtenerla. Siguiendo el procedimiento de [2], construiremos primero un lema previo antes de pasar propiamente a la demostraci´on del teorema. Denotamos por H(C) al espacio de las funciones enteras de Cen C. Recordemos que estas funciones se caracterizan por ser holomorfas (es decir, complejo diferenciables) y anal´ıticas (pueden expresarse como serie de potencias) en todo punto de C. Para r > 0 y f∈ H(C), definimos M(f, r) := m´ax|z|=r|f(z)|. La funci´on M(f, ·) crece estrictamente hacia +∞siempre que fsea no constante. Se tienen los siguientes resultados, que pueden encontrarse en [10, p. 9] o en [5]. Propiedades 3.2.1. El orden (de crecimiento) ρ(f) de una funci´on entera f∈ H(C) se define como el´ınfimo de todos los n´umeros reales α > 0 que cumplan M(f, r)< erα para todo r > r(α)>0. N´otese que ρ(f)∈[0,+∞]. Trivialmente, el orden de una funci´on constante es 0. (a) Si fes no constante, se tiene ρ(f) = l´ım sup r→+∞ log log M(f, r) log r.(3.2) (b) Si f(z) = ∞ X n=1 anznes la serie de MacLaurin de f, entonces ρ(f) = l´ım sup n→+∞ nlog n log(1/|an|).(3.3) 32 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) En particular, dado α > 0, fα(z) := ∞ X n=1 zn nn/α satisface ρ(fα) = α. (c) Para cada f∈ H(C), cada N∈Ny cada α∈C{0}, ρ(αfN) = ρ(f).(3.4) (d) Para toda f, g ∈ H(C), ρ(f·g)≤m´ax{ρ(f), ρ(g)},(3.5) ρ(f+g)≤m´ax{ρ(f), ρ(g)}.(3.6) M´as a´un, si fygtienen ´ordenes diferentes, ρ(f+g) = m´ax{ρ(f), ρ(g)}=ρ(f·g),(3.7) donde se asume que f66= 0 66=gpara la segunda igualdad. (e) (Corolario del Teorema de Hadamard): Toda funci´on entera no constante fcon ρ(f)6∈ Nyρ(f)<+∞es sobreyectiva (ver [5, p. 211]). Con estas propiedades y algo m´as de notaci´on estamos preparados para obtener el lema. Dado un polinomio no constante de Kvariables P∈C[z1, . . . , zK], definimos IP:= {n∈ {1, . . . , K}:∂P ∂zn6= 0}.Es decir, IPes el conjunto de ´ındices kpara los que zkaparece en alg´un monomio de P. Lema 3.2.2. Sean f1,...,fK∈ H(C)tales que ρ(fi)6=ρ(fj)si i6=j. Entonces ρ(P(f1, . . . , fK)) = m´ax k∈IP ρ(fk), para todos los polinomios no constantes P∈C[z1, . . . , zK]. Adem´as, {fk}K k=1 es algebraicamente independiente y genera un sub´algebra libre conmutativa de H(C). Demostraci´on. Antes de nada, se˜nalamos que una vez se pruebe la igualdad del lema, se tendr´a que {fk}K k=1 es algebraicamente independiente porque todas las funciones tienen orden distinto, y por las Propiedades 3.2.1(c) y (d) una funci´on del conjunto no puede ser producto, suma o producto por escalar de otras. Por otro lado, recordemos que el hecho de que {fk}K k=1 genere un sub´algebra libre conmutativa de H(C) significa que para cada conjunto finito {f1, . . . , fn}⊂{fk}K k=1 33 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) y para cada polinomio no nulo Pde nvariables que no tenga t´ermino constante, P(f1, . . . , fn)∈ H(C){0}. Es sencillo ver que esto se cumple teniendo el resultado principal del teorema: evidentemente P(f1, . . . , fn)∈ H(C), pero adem´as ρ(P(f1, . . . , fK)) = m´axk∈IPρ(fk)6=0=ρ(0), luego P(f1, . . . , fn)6= 0. Dicho esto, pasamos a probar la igualdad. Vamos a empezar prob´andola para K= 1. Sea funa funci´on entera y no constante (el caso constante es trivial). Tenemos que probar que ρ(P(f)) = ρ(f) para cualquier polinomio no constante P∈C[z], que ser´a de la forma P(z) = amzm+· · · +a1z+a0 con m > 0 y am∈C\{0}.Por las Propiedades 3.2.1(c) y (d), ρ(P(f)) = ρ(amfm+· · · +a1f+a0)≤m´ax{ρ(amfm), . . . , ρ(a1f), ρ(a0)} | {z } por(d) ≤ρ(f) |{z} por(c) , luego ya tenemos ρ(P(f)) ≤ρ(f). Por tanto, solo queda probar la desigualdad contraria. Como l´ım |z|→+∞ P(z) zm=|am|>0, tenemos |P(z)|> c · |z|m para |z|suficientemente grande, donde c:= |am|/2. Como l´ogicamente ρ(f)>0, sea εtal que 0 < ε < ρ(f). Por la propia definici´on de orden, existen una sucesi´on de radios positivos (rn)n→+∞y una sucesi´on compleja (zn)ncon |zn|=rny |f(zn)|=M(f, rn) tales que ρ(f)−ε < log log M(f, rn) log rn ≤l´ım r→+∞sup log log M(f, r) log r=ρ(f). En consecuencia, log rρ(f)−ε n<log log M(f, rn), y |f(zn)|=M(f, rn)> erρ(f)−ε npara n= 1,2, . . . . (3.8) As´ı, para valores grandes de n, M(P(f), rn)≥ |P(f(zn))|> c · |f(zn)|m> c ·emrρ(f)−ε n. 34 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) Por tanto, ρ(P(f)) ≥l´ım sup r→+∞ log log M(P(f), r) log r≥l´ım sup n→+∞ log log M(P(f), rn) log rn ≥l´ım n→∞ log log c·emrρ(f)−ε n log rn = l´ım n→∞    log log c log rn + log log erρ(f)−ε nm log rn   = 0 + l´ım n→∞ log mlog erρ(f)−ε n log rn = l´ım n→∞ (log m log rn +log rρ(f)−ε n log rn) ≥ρ(f)−ε. Sin m´as que hacer tender εa 0, llegamos a ρ(P(f)) ≥ρ(f) y hemos terminado con el caso unidimensional. Conviene aclarar que era necesario probar previamente este caso para poder usarlo en una inducci´on del caso general. Vayamos a ello: Dado un polinomio no constante P∈C[z1, . . . , zK], queremos probar que ρ(P(f1, . . . , fK)) = m´ax k∈IP ρ(fk). A diferencia de antes, ahora suponemos que el polinomio Ptiene grado mayor o igual que m > 0. Adem´as, podemos asumir sin p´erdida de generalidad que las funciones f1, . . . , fK∈ H(C) satisfacen ρ(f1)< ρ(f2)<· · · < ρ(fK). En particular, si N= m´ax{k∈ IP}, la hip´otesis anterior implica ρ(fN) = m´axk∈IPρ(fk). Por otro lado, por la definici´on de IP, si existen kcon N < k ≤K, las funciones fkno aparecen en ning´un monomio de P(f1, . . . , fK). Teniendo todo lo anterior en cuenta, podemos escribir P(f1, . . . , fK) = m X j=0 Pj(f1, . . . , fN−1)·fj N,(3.9) con Pm∈C[z1, . . . , zN−1]{0}. Vamos a probar la primera desigualdad. Dado que P(f1, . . . , fK) es un polinomio, es suma de productos de las funciones f1, . . . , fKentre s´ı mismas y escalares. Usando como antes las Propiedades 3.2.1(c) y (d), se tiene sin m´as que ρ(P(f1,...fK)) ≤m´ax k∈IP ρ(fk). Denotando ρN:= ρ(fN), esta desigualdad asegura ρ(Pj(f1, . . . , fN−1)) ≤ρ(fN−1)< ρNpara todo j= 0, . . . , m, (3.10) 35 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) y como ρ(Pm(f1, . . . , fM)) ≤ρ(fN−1) y fNtiene orden estrictamente mayor, las dos funciones tienen orden distinto y por Propiedades 3.2.1(d) ρ(Pm(f1, . . . , fN−1)·fN) = ρN.(3.11) Vamos a usar estos dos resultados para probar la segunda desigualdad y acabar la prueba del lema. Sea ε > 0 tal que ρ(fN−1)< ρN−2ε<ρN. Como antes, existen una sucesi´on de n´umeros reales (rn)n→+∞y una de n´umeros complejos (zn)ncon |zn|=rntales que para nsuficientemente grande se tienen: |Pj(f1, . . . , fN−1)(zn)|< erρN−2ε npara todo j= 0, . . . , m, (3.12) |Pm(f1, . . . , fN−1)(zn)|·|fN(zn)|> erρN−ε n.(3.13) La primera de estas dos desigualdades se obtiene tomando (3.10) y la definici´on de orden, y la segunda utilizando (3.11) y razonando como en (3.8). Ahora, uniendo (3.12) y (3.13) y dividiendo, obtenemos que para nsuficientemente grande |fN(zn)|> erρN−ε n−rρN−2ε n.(3.14) Recordando que |a+b|≥|a|−|b|para todo a, b ∈C, |P(f1,...fK)(zn)|=|Pm(f1, . . . , fN−1)(zn)·fN(zn)m+ m−1 X j=0 Pj(f1, . . . , fN−1)(zn)·fN(zn)j| ≥ |Pm(f1, . . . , fN−1)(zn)|·|fN(zn)|m− m−1 X j=0 |Pj(f1, . . . , fN−1)(zn)|·|fN(zn)|j > erρN−ε n|fN(zn)|m−1−erρN−2ε n m−1 X j=0 |fN(zn)|j(por (3.13) y (3.12)) =erρN−ε n|fN(zn)|m−1·"1−ernρN−2ε−rnρN−ε· m−1 X j=0 |fN(zn)|j−(m−1)#(3.15) La expresi´on entre corchetes de la ´ultima f´ormula tiende a 1 cuando n→+∞. En efecto, teniendo en cuenta que ε > 0 es un valor ya fijado, ernρN−2ε−rnρN−ε=ernρN−ε(rn−ε−1) −→ n→+∞e+∞(−1) = 0, 36 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) Por otro lado, por (3.14), para nsuficientemente grande |fN(zn)|−1< erρN−2ε n−rρN−ε n−→ n→+∞0. Por tanto, usando esto ´ultimo en (3.15), tenemos que para cualquier constante C∈ (0,1) y n∈Nsuficientemente grande |P(f1, . . . , fK)(zn)|> C ·erρN−ε n|fN(zn)|m−1. Es m´as, por (3.14) tambi´en sabemos que erρN−ε n|fN(zn)|m−1> erρN−ε ne(m−1)rρN−ε n−(m−1)rρN−2ε n=emrρN−ε n−(m−1)rρN−2ε n =emrρN−ε n[1−(1−1 m)r−ε n]> em 2rρN−ε n, para nsuficientemente grande, porque r−ε n→0 (n→ ∞). As´ı pues, para cualquier constante C∈(0,1) y nsuficientemente grande se tiene M(P(f1, . . . , fK), rn)≥C·em 2rρN−ε n. Esto que implica, razonando igual que en el caso unidimensional, ρ(P(f1, . . . , fK)) = l´ım sup r→+∞ log log M(P(f1, . . . , fK), r) log r ≥l´ım sup n→+∞ log log M(P(f1, . . . , fK), rn) log rn ≥l´ım n→∞ log log(C·emrρN−ε n) log rn ≥ρN−ε. Sin m´as que hacer εtender a 0, la desigualdad anterior prueba finalmente ρ(P(f1,...fK)) ≤ρN= m´ax k∈IP ρ(fk). Ya estamos preparados para demostrar la algebrabilidad de CS(Rm,Rn). De hecho, vamos a ver que es fuertemente c-algebrable, lo que implica que es fuertemente maximal algebrable si tenemos en cuenta que el cardinal del espacio ambiente C(Rm,Cn) es c. 37 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) Teorema 3.2.3. CS(Rm,Cn)es fuertemente maximal algebrable en C(Rm,Cn). Demostraci´on. Para la prueba basta considerar m=n= 1. El caso m > 1, n = 1 se obtiene del caso m= 1 como en la Proposici´on 3.1.1: considerando que las proyecciones de RmaRson aplicaciones continuas y sobreyectivas y que la composici´on de funciones mantiene estas dos propiedades. El caso n > 1 se obtiene adaptando el argumento de la proposici´on mencionada. Si f∈ CS(R,C), la aplicaci´on (f(Re(f)), f(Im(f))) ∈ CS(R,C2), y repitiendo el razonamiento con, por ejemplo, la ´ultima coordenada, obtenemos aplicaciones de CS(R,Cn). En este conjunto, la estructura de ´algebra funcionar´ıa coordenada a coordenada. Empecemos pues. Para cada s∈A:= (0,+∞)N, sea una funci´on entera ϕs: C→Cde orden s. Por ejemplo, como ya vimos en Propiedades 3.2.1(b), la funci´on φs(z) = P∞ n=1 zn nn/s cumple esta condici´on. Por el Lema 3.2.2, tenemos que el conjunto {ϕs}s∈A, que tiene cardinal c, genera un sub´algebra libre Ade H(C). Por definici´on, cada ϕ∈ A {0}puede escribirse como un polinomio no constante Psin termino constante evaluado sobre ϕs1, . . . , ϕsN: ϕ=P(ϕs1, . . . , ϕsN) De nuevo por el Lema 3.2.2, existe un j∈ {1, . . . , N}tal que ρ(ϕ) = ρ(ϕsj) = sj6∈ N∪{0}. Entonces, por Propiedades 3.2.1(e) tenemos que ϕes sobreyectiva. Finalmente, tomamos F∈ CS(R,C) y consideramos el ´algebra B:= {ϕ◦F}ϕ∈A. Est´a claro que Bes libre, c-generada y que por composici´on B {0} ⊂ CS(R,C), con lo que concluimos la prueba. Es interesante notar que la estructura de la demostraci´on es similar a la que se us´o en la demostraci´on del Teorema 3.1.5. En ambas se define un conjunto (BoC) de la misma manera, con la idea de que cumpla las propiedades necesarias para ser un subespacio vectorial o un sub´algebra contenido dentro del conjunto de las funciones continuas y sobreyectivas junto con el cero. Por ´ultimo, cabe comentar que puede obtenerse un resultado todav´ıa m´as fino, que es el que originalmente aparece en [2]. Si hubi´eramos tomado F∈ CS∞(R,C), que podemos hacer por ejemplo considerando f:= (f1, f2)∈ CS∞(R,R2) y definiendo 38 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) F:= f1+if2, habr´ıamos probado el siguiente teorema sin cambiar nada m´as de la demostraci´on, teniendo en cuenta para el caso m > 1 que CS∞(Rm,R)6=∅. Teorema 3.2.4. El conjunto CS∞(Rm,Cn)es fuertemente maximal algebrable en C(Rm,Cn). 3.3. Espacios σ-Peano Siguiendo con [2], la idea de esta secci´on es dar una condici´on suficiente para que, dado un e.v.t. Y, el espacio CS∞(Rm, Y ) sea maximal lineable en C(Rm, Y ) (esto es, c-lineable). Tal condici´on ser´a que Ysea lo que vamos a definir a continuaci´on como un espacio σ-Peano. Definici´on 3.3.1. Un espacio topol´ogico Yse dice σ-Peano si existe una sucesi´on creciente de subconjuntos K1⊂K2⊂ · · · ⊂ Km⊂ · · · ⊂ Y, tales que cada uno de ellos es un espacio de Peano (con la topolog´ıa heredada por Y) y la uni´on de todos ellos recubre el espacio, es decir Sn∈NKn=Y. Observaci´on 3.3.2. Como consecuencia de ser uni´on numerable de espacios separables (los espacios de Peano Kn), los espacios σ-Peano tambi´en son separables. Veamos algunos ejemplos para asentar la definici´on: Ejemplo 3.3.3. (Espacios que son σ-Peano). (a) Trivialmente, los espacios eucl´ıdeos Rny los espacios de Peano son σ-Peano. (b) Para 1 < p ≤ ∞, se define el cubo de Hilbert como el producto cartesiano infinito Cp:= Y n∈N−1 n,1 n⊂`p. Considerado como un subespacio topol´ogico de `p, es un espacio m´etrico, y adem´as es compacto, conexo y localmente conexo por ser producto cartesiano numerable de conjuntos con estas propiedades, por lo que es un espacio de Peano. Para cada k∈N, sea kCpel cubo de Hilbert dilatado con raz´on k. Entonces, la uni´on de cubos de Hilbert Sk∈NkCpes un e.v.t. σ-Peano, dotado con la topolog´ıa heredada de `p. 39 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) (c) Sea Yun e.v.t. separable e Y0su dual topol´ogico dotado de la topolog´ıa ∗-d´ebil. Si Y0es recubierto por una sucesi´on creciente de conjuntos ∗-d´ebil compactos, entonces ser´a σ-Peano. Esto se tiene porque en Y0con la topolog´ıa ∗-d´ebil, los subconjuntos compactos son metrizables ([19, Teorema 3.16]) y en consecuencia, ser´an espacios de Peano (la conexi´on se tiene por ser Yun e.v.t.). En particular, este resultado se tiene para el dual topol´ogico de los espacios normados separables dotados de la topolog´ıa ∗-d´ebil. Veamos ahora algunos ejemplos contrarios. Recordemos que un F-espacio es un e.v.t. con una m´etrica completa e invariante por traslaciones. Ejemplo 3.3.4. (Espacios que no son σ-Peano). (a) Todo espacio σ-Peano es separable. En consecuencia, cualquier espacio que no sea separable no es σ-Peano. Por ejemplo, `∞, el espacio de las sucesiones acotadas reales dotado de la topolog´ıa inducida por la norma || · ||∞. (b) Los espacios σ-Peano siempre son σ-compactos (esto es, uni´on numerable de espacios compactos) debido a que los Knde su definici´on son espacios de Peano, y por tanto, compactos. Sin embargo, ning´un F-espacio infinito dimensional es σ-compacto, y por tanto, no pueden ser σ-Peano. Por ejemplo, los espacios de Banach, dado que son F- espacios, no son σ-Peano. La causa de que los F-espacios no sean σ-compactos es la Proposici´on 1.2.3 combinada con el hecho de que en un e.v.t. de dimensi´on infinita los conjuntos compactos tienen interior vac´ıo. Como los F-espacios son espacios m´etricos, los subconjuntos compactos son cerrados, su clausura es igual al conjunto y tienen interior vac´ıo. Es decir, los compactos son densos en ninguna parte. Una uni´on numerable de compactos ser´ıa un conjunto de primera categor´ıa, pero por la proposici´on mencionada sabemos que los F-espacios, que son m´etricos y completos, son de segunda categor´ıa y por tanto no de primera. El siguiente resultado caracteriza a los espacios σ-Peano que tengan la propiedad de Hausdorff. Proposici´on 3.3.5. Si Yes un espacio topol´ogico de Hausdorff, son equivalentes: 40 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) (a) Yes un espacio σ-Peano. (b) CS∞(R, Y )6=∅. (c) CS(R, Y )6=∅. Demostraci´on. (a) ⇒(b) : Sea K1⊂K2⊂. . . una sucesi´on creciente de espacios de Peano contenidos en Ycuya uni´on es todo Y. Fijemos un punto x0∈Y. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que x0∈Knpara todo n≥1.Por la Proposici´on 2.2.3, para cada n≥1 hay una curva de Peano fn: [n, n + 1] →Knque empieza y termina en x0, es decir, fn(n) = x0=fn(n+1). Uniendo todas estas curvas de Peano al camino constante t∈(−∞,0] 7→ x0∈K1, se obtiene una aplicaci´on F:R→Y. Dado que F−1(x) es un conjunto no acotado para todo x∈Y, se tiene que F∈ CS∞(R, Y ). En efecto, si x∈Kn⊂Ypara todo n≥n0, existen rn∈[n, n + 1] tales que fn(rn) = F(rn) = xpara todo n≥n0, y por tanto F−1(x) contiene a {rn:n≥n0}, que es no acotado. (b) ⇒(c) es trivial porque CS∞⊂ CS. (c) ⇒(a) : Sea f∈CS(R, Y ). Por ser sobreyectiva, Y=f(R). Entonces, Y=f(R) = f [ n∈N [−n, n]!=[ n∈N f([−n, n]) . Definiendo Kn:= f([−n, n]), est´a claro que Knes un espacio de Peano por ser imagen continua de [0,1] (recordemos que [n, n + 1] y [0,1] son homeomorfos). Adem´as es evidente que K1⊂K2⊂. . . , y ya ten´ıamos que la uni´on de todos ellos es Y, por lo que Yes un espacio σ-Peano. Una de las consecuencias m´as evidentes de la proposici´on es que, de la misma forma que los espacios de Peano son imagen continua del intervalo [0,1], los espacios σ-Peano son imagen continua de R. Esta es la idea con la que se definieron estos espacios, y como veremos en el pr´oximo resultado, resulta ser de bastante utilidad, porque basta que haya una sola aplicaci´on continua y sobreyectiva de Ren un e.v.t. Ypara asegurar que CS∞(R, Y ) sea maximal lineable. Teorema 3.3.6. Sea Yun e.v.t. σ-Peano. Entonces, CS∞(Rm, Y )es maximal lineable en C(Rm, Y ). 41 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) 3.5. Curvas de Peano en espacios de funciones En esta ´ultima secci´on extenderemos los resultados de la secci´on anterior a espacios de funciones. Sea Λ un conjunto infinito de ´ındices. Tal y como se explica en [17, p. 124, 267], el espacio RΛde las funciones f: Λ →Res un espacio m´etrico completo dotado de la m´etrica uniforme ρu(f, g) := sup λ∈Λ m´ın{1,|f(λ)−g(λ)|},(3.17) que adem´as es la que provee la topolog´ıa uniforme de RΛ, estrictamente m´as fina que la topolog´ıa producto de este espacio. N´otese que RΛno es σ-Peano. En efecto, por reducci´on al absurdo, supongamos que RΛ=Sn∈NKn, con Knsubconjuntos compactos de RΛ. Viendo a Ncomo un subconjunto de Λ, podemos considerar la proyecci´on πn:RΛ→R. Como es continua, πn(Kn)⊂Res compacto para todo n, y dado que Rno es compacto, necesariamente πn(Kn)6=Ry existe xn∈Rπn(Kn). Entonces, la funci´on f: Λ →Rdefinida por f(n) = xnpara n∈Nyf(λ) = 0 si λ6∈ N. Como esta funci´on no pertenece a Sn∈NKn=RΛ, llegamos a contradicci´on. En consecuencia, en virtud de la Proposici´on 3.3.5, CS(R,RΛ) = ∅, de forma similar a lo que encontramos en la secci´on anterior con RN. Es m´as, al igual que en dicha secci´on, tambi´en se extiende el resultado a CS(Rm,RΛ) = ∅. Sin embargo, si consideramos que el espacio de salida tiene dimensi´on infinita la cosa cambia. Sean Λ y Γ conjuntos de ´ındices infinitos. Por definici´on, si card(Λ) ≥card(Γ), el conjunto de sobreyecciones de RΛen RΓes no vac´ıo. Podemos interpretar por tanto a Γ como un subconjunto de Λ. En consecuencia, manteniendo la notaci´on de la Proposici´on 3.4.3, para cada r= (rγ)γ∈Γ∈(0,1]Γ, definimos Φr:RΛ→RΓcomo Φr(f)(γ) := φrγ(f(γ)). De forma similar a la vista en la proposici´on mencionada, se obtiene que Φres continua. Trabajando con {Φr:RΛ→RΓ}r∈(0,1]Γy con las aplicaciones enteras de la tercera secci´on, se obtiene Proposici´on 3.5.1. Si card(Λ) ≥card(Γ), entonces (a) CS(RΛ,RΓ)es 2card(Γ)-lineable. (b) CS(CΛ,CΓ)es 2card(Γ)-algebrable. 48 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) No hay nada que pueda hacerse con el caso restante, es decir, si card(Λ) ≥card(Γ). Bajo este supuesto, card(RΛ) = 2card(Λ) ≤2card(Γ) = card(RΓ). Si suponemos ciertos los axiomas de Zermelo-Fraenkel y la hip´otesis del continuo generalizada, tenemos que card(Λ) ≥card(Γ) implica 2card(Λ) <2card(Γ). As´ı, con esta axiom´atica tenemos que no hay ninguna sobreyecci´on de RΛaRΓ, y por tanto CS(CΛ,CΓ) = ∅. 49 Cap´ıtulo 3. Curvas de Peano en C(Rm, Y ) 50 Cap´ıtulo 4 Curvas de Peano en C(I, Y ) 4.1. Propiedades topol´ogico-algebraicas de P Recordemos que denot´abamos a la familia de las curvas de Peano como P:= CS(I, I2). De ahora en adelante, si Yes un espacio de Peano, denotaremos PY(:= CS(I, Y )). En particular, P=PI2. A diferencia del cap´ıtulo anterior, dado que las funciones con las que trabajamos son continuas y parten del compacto I, su imagen f(I) tambi´en ser´a compacta y por tanto “no muy grande” si trabajamos dentro de un espacio ambiente mayor. Por ejemplo, si tomamos una curva de P, su imagen ser´a I2, que es todo el espacio si consideramos Y=I2, o bien un conjunto “muy peque˜no” si lo comparamos con su espacio ambiente R2. Esto es consistente con la idea de que Pes “peque˜no” dentro de C(I, R2). Es m´as, no tiene sentido estudiar la lineabilidad de P, pues esta familia ni siquiera es estable para las homotecias: si tomamos la curva de Peano original y la multiplicamos por 2 se sale del conjunto. Sin embargo, s´ı que podemos hacer un estudio de su tama˜no topol´ogico y tambi´en buscar otro tipo de estructura algebraica dentro del conjunto, considerando Pcomo subespacio de C(I, I2). Tambi´en encontraremos resultados topol´ogicos para PYcomo subespacio de C(I, Y ). Lo haremos siguiendo [4]. 51 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) 4.1.1. Topolog´ıa de PyPY Definici´on 4.1.1. Dados un espacio topol´ogico Xy un espacio m´etrico (Y, d), definimos la m´etrica del supremo en C(X, Y )como ρ(f, g) := sup x∈X d(f(x), g(x)).(4.1) Como se explica en [17, p. 268], esta m´etrica est´a relacionada con la m´etrica uniforme definida al final del cap´ıtulo anterior de la forma ρu= m´ın{ρ(f, g),1}. Adem´as, si (Y, d) es un espacio m´etrico completo, (C(X, Y ), ρ) tambi´en lo es. En particular, tenemos (C(I, R2), ρ) es un espacio m´etrico completo, partiendo de que (R2, d∞) lo es. N´otese que d∞((a, b),(c, d)) = m´ax{|a−c|,|b−d|}. Si Yes un espacio de Peano, entonces (C(I, Y ), ρ) es un espacio m´etrico completo. En efecto, como los espacios de Peano son compactos y metrizables, por [17, Teorema 45.1] cualquier distancia que genere su topolog´ıa es completa. En consecuencia, del segundo punto se sigue que Pes un espacio m´etrico comple- to. Adem´as, si vemos Pcomo un subespacio topol´ogico cerrado de (C(I, R2), ρ), por [23, Teorema 24.10] tenemos que esta m´etrica ρhace de Pun espacio m´etrico completo. Obs´ervese que Pes cerrado en (C(I, R2), ρ), por ser I2acotado y porque la convergencia uniforme implica la puntual. Observaci´on 4.1.2. En virtud de lo anterior, C(I, R2),C(I, Y ) y Pson espacios m´etricos completos y consecuentemente espacios de Baire. Vamos a ver ahora un resultado que nos muestra algunas propiedades topol´ogicas de PY. En concreto, teniendo en cuenta lo comentado al final de la Secci´on 1.2, el siguiente teorema asegura que PYes “peque˜no” topol´ogicamente hablando, al tratarse de un conjunto de primera categor´ıa. Teorema 4.1.3. Sea Yun espacio de Peano. Tenemos: (1) PYes cerrado en C(I, Y ). En particular, PYes un espacio completamente metrizable. (2) Si Ytiene al menos dos puntos, PYno es compacto. 52 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) (3) Asumamos que Ytiene al menos dos puntos y existe y0∈Ycumpliendo la siguiente propiedad: dado un entorno Ude y0, existe un entorno Vde y0tal que V⊂UyV{y0}es conexo por caminos. Entonces, P◦ Y=∅. En particular, por (1) PYes denso en ninguna parte en C(I, Y ). (4) En el caso Y=I2, la familia de Peano PY=Pes fuertemente porosa en C(I, I2). Demostraci´on. (1) Sea F∈ C(I, Y )y(fn)n≥1una sucesi´on en PYtal que fn→F. Sea y∈Y. Como las fnson sobreyectivas, existe una sucesi´on (tn)n≥1⊂Ital que fn(tn) = ypara todo n∈N. Adem´as, como Ies compacto, podemos extraer una subsucesi´on (tnk)k≥1convergente a alg´un punto t0∈I. Denotando por da la distancia propia de Y, la continuidad de Fasegura αk:= d(F(tnk), F(t0)) →0 cuando k→ ∞. Por la desigualdad triangular, d(y, F(t0)) ≤d(fnk(tnk), F(tnk)) + d(F(tnk), F(t0)) ≤ρ(fnk, F) + αk−→ 0. Por tanto, d(y, F(t0)) = 0, o lo que es lo mismo, F(t0) = y. Como y∈Yera un punto arbitrario, Fes sobreyectiva y F∈ PY, luego PYes cerrado en C(I, Y ). (2) Sean y, z ∈Ycon y6=zy sea ε:= d(y, z)>0. Fijamos δ∈(0,1). Por la Proposici´on 2.2.3, existe una sobreyecci´on continua Φ : [0, δ/2] →Ycon Φ(0) = y= Φ(δ/2). En particular, existe v∈[0, δ/2] tal que Φ(v) = z. Extendiendo Φ como yen (δ/2,1] y definiendo u:= 0, encontramos dos puntos u, v ∈Iy una aplicaci´on Φ ∈ PY tales que |u−v|< δ pero d(Φ(u),Φ(v)) ≥ε. En otras palabras, la familia PYno es equicontinua. De acuerdo con el teorema generalizado de Arzel´a [16, p.119], PYno puede ser relativamente compacto, y por tanto no es compacto. (3) Consid´erese un punto y0∈Yen las hip´otesis del enunciado. Por reducci´on al absurdo, consideremos que P◦ Y6=∅. Entonces existen f∈ PYyr > 0 tales que Bρ(f, r)⊂ PY. En otras palabras, si g∈ C(I, Y ) y ρ(g, f)< r, entonces g(I) = Y. Por un lado, puede encontrarse un entorno Vde y0tal que Bd(y0, r/2) ⊃Vy V{y0}es conexo por caminos. Por otro lado, existe una bola cerrada Bd(y0, s)⊂V. Como fes continua, el conjunto f−1(Bd(y0, s)) es abierto en I, por lo que es uni´on numerable de conjuntos de la forma (α, β),[0, β),(α, 1]. Como ni αni βpertenecen a los intervalos, en los tres casos tenemos f(α)6=y06=f(β), si bien la continuidad de fimplica f(α), f(β)∈Bd(y0, s). Entonces, f(α), f(β)∈V{y0}, que es conexo 53 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) por caminos. Por tanto, en el primer caso, podemos encontrar una aplicaci´on continua h=hα,β : [α, β]→V{y0}cumpliendo h(α) = f(α) y h(β) = f(β). Definimos la aplicaci´on g:I→Ycomo sigue: g(t) = f(t) si t∈I f−1(Bd(y0, s)); g(t) = hα,β(t) si tpertenece a uno de los intervalos (α, β) de f−1(Bd(y0, s)); g(t) = f(β) si t∈[0, β)⊂f−1(Bd(y0, s)); y g(t) = f(α) si t∈(α, 1] ⊂f−1(Bd(y0, s)). Es evidente que ges continua y que g(t)6=y0para todo t∈I, luego g6∈ PY. Ahora bien, la desigualdad triangular y el hecho de que s < r/2 asegura d(g(t), f(t)) < r para todo t∈I, luego g∈Bρ(f, r)⊂ PY. Esta contradicci´on prueba (3). (4) Sean α∈(0,1), f∈ P yε > 0 tales que Bρ(f, ε)⊂ C(I, I2). Definimos f0:= (1 −ε 2)f. Trivialmente, f0∈C(I, I2). Adem´as, ρ(f, f0) = sup t∈I  f(t)−1−ε 2f(t)  ∞=ε 2sup t∈I kf(t)k∞≤ε 2< ε, por lo que f0∈Bρ(f, ε). Sea g∈Bρ(f0, αρ(f, f0)). Entonces d∞(g(t), f0(t)) ≤ αρ(f, f0)≤αε/2 para todo t∈I. Por la desigualdad triangular y por la definici´on de f0, kg(t)k∞=kg(t)−f0(t) + f0(t)−0k∞≤αρ(f, f0) + kf0(t)k∞≤αε 2+ 1 −ε 2<1. En consecuencia, g(I)6=I2para toda g∈Bρ(f0, αρ(f, f0)), por lo que estas funciones no son sobreyectivas y Bρ(f0, αρ(f, f0)) ∩ P =∅. Como αpuede tomarse arbitrariamente cerca de 1, esto significa que Pes fuertemente poroso en C(I, I2). Observaci´on 4.1.4. Evidentemente, la condici´on de (3) se verifica si Y=I2, pero la conclusi´on de (4) es m´as fuerte que la de (3). N´otese que la hip´otesis de (3) sobre Y realmente es necesaria para obtener P◦ Y=∅. Por ejemplo, para el c´ırculo unidad Y= S1={(x, y)∈R2:x2+y2= 1}, que claramente no satisface la condici´on mencionada, tenemos P◦ S16=∅. De hecho, no es dif´ıcil mostrar que para la aplicaci´on f∈ PS1que recorre S1dos veces en sentido antihorario enviando t∈I→(cos(4πt),sin(4πt)) ∈S1, se tiene Bρ(f, 1/2) ⊂ PS1. En efecto, esta bola es lo suficientemente peque˜na para que cualquier aplicaci´on g:I→S1perteneciente a la misma se vea obligada a recorrer al menos una vez toda la circunferencia S1al no mantenerse muy alejada de f, que la recorre dos veces. 54 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) 4.1.2. Semigrupabilidad de P Hemos visto que Pes topol´ogicamente “peque˜no” y que algebraicamente tambi´en lo es, en el sentido de que no contiene ning´un espacio vectorial. No obstante, vamos a ver que podemos encontrar otra estructura algebraica menos compleja dentro de este conjunto: un semigrupo. Antes daremos las definiciones pertinentes. Definici´on 4.1.5. Un semigrupo es una estructura algebraica de la forma (X, }), en la cual Xes un conjunto no vac´ıo y }es una operaci´on interna asociativa definida en X: }:X×X−→ X (a, b)7−→ c=a}b . Definici´on 4.1.6. Se dice que un semigrupo Xes infinitamente generado siempre que no sea finitamente generado, esto es, si no existe un conjunto finito F⊂Xtal que cada x∈Gpueda ser escrito como un producto finito x=am1 1}· · · }amp p, con a1, . . . , ap∈Fyp, m1, . . . , mp∈N(dependiendo p,aiymide x). N´otese que las aide la definici´on no tienen por qu´e ser necesariamente diferentes, puesto que el semigrupo puede ser no conmutativo. Sin embargo, en el caso que vamos a estudiar, X=C(I, I2), el producto estar´a dado por la multiplicaci´on coordenada a coordenada y si ser´a conmutativo, por lo que las ais´ı ser´an diferentes. Definici´on 4.1.7. Sea (X, })un semigrupo y sea A⊂X. Diremos que Aes semigrupable si existe un subsemigrupo infinitamente generado G⊂A. Teorema 4.1.8. El conjunto Pes semigrupable en C(I, I2). Demostraci´on. Sea una sucesi´on (an)⊂Icon a1< a2< . . . < an< . . . →1. Sea a0:= 0. De acuerdo con la Proposici´on 2.2.3, para cada n∈Npodemos encontrar una aplicaci´on fn∈ CS([an−1, an], I2) con fn(an−1) = (1,1) = fn(an). Podemos extender de forma continua fnaIdefiniendo fn(t) = (1,1) si t∈I[an−1, an]. Entonces, fn∈ P y, trivialmente, cada potencia fm nsigue perteneciendo a P(se usa el producto coordenada a coordenada). Consideremos el subsemigrupo Ggenerado por {fn}n≥1. Dada Φ ∈G, existen p∈N,{i1< . . . < ip} ⊂ Ny{m1, . . . , mp} ⊂ Ntales que Φ = fm1 i1· · · fmp ip. Como I2⊃Φ(I)⊃Φ([aip−1, aip]) = fm ip([aip−1, aip]) = I2, 55 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) obtenemos Φ(I) = I2, o lo que es lo mismo, G⊂ P. Todo lo que queda por probar es que Ges infinitamente generado. Asumamos, por reducci´on al absurdo, que estuviera generado por una cantidad finita de elementos de G. Teniendo en cuenta la estructura de Gy el hecho de que Ges conmutativo, tendr´ıa que existir p∈Ntal que cada Φ∈Gpudiera ser escrito como Φ = fm1 1· · · fmp p, para m1, . . . , mp∈ {0,1,2, . . .} dependiendo de Φ. Pero tomando Φ = fp+1, la expresi´on del producto previo no es posible, porque fj(t) = (1,1) para todo t∈[ap, ap+1] y todo j= 1, . . . , p. Luego llegamos a contradicci´on. Observaci´on 4.1.9. Si Pes considerado subconjunto del grupo aditivo (C(I, R2),+), entonces la suma de dos aplicaciones de Pno tiene por qu´e ser otra aplicaci´on de P. Sin embargo, podemos decir al menos lo siguiente: dado N∈N, existen funciones f1, . . . , fN∈ P tales que f1+· · · +fN∈ P. De hecho, esto se cumple si para cada i∈ {1, . . . , N}tomamos ficomo la aplicaci´on Φ de la Proposici´on 2.2.3 para Y=I2,[a, b]=[i−1 N,i N], u = (0,0) = v, extendida como (0,0) para el resto de I. Pero no se puede encontrar una sucesi´on (fn)∞ n=1 ⊂ P tal que Pn≥1fnconverja uniformemente a alguna funci´on porque, si este fuera el caso, por la condici´on necesaria de convergencia se tendr´ıa l´ımn→∞ supt∈Ikfn(t)k∞= 0, que claramente no es posible dado que supt∈Ikfn(t)k∞= 1 para todo n. No se sabe si hay una sucesi´on (fn)∞ n=1 ⊂ P tal que Pn≥1fnconverja puntualmente a una funci´on f∈ P. 4.2. Curvas que rellenan espacio Como ya vimos al principio del cap´ıtulo anterior, no existen funciones continuas y sobreyectivas de Ien R2por no ser compacto este ´ultimo. Sin embargo, una noci´on m´as general que curvas de Peano nos permite encontrar resultados interesantes teniendo aC(I, R2) como espacio ambiente. Las curvas de Peano son funciones continuas y sobreyectivas, y en consecuencia rellenan todo el ´area del espacio de llegada de forma continua. En lugar de eso, vamos a buscar funciones continuas cuya imagen tenga ´area, aunque no sea toda el ´area de R2. Es decir, vamos a buscar curvas que rellenen ´area. Antes de ello vamos a recordar dos nociones diferentes de medida en el plano. Definici´on 4.2.1. Sea Sun conjunto acotado de R2. Los contenidos interior y exterior de Jordan se definen, respectivamente, mediante la integral inferior o superior de 56 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) Riemann de χS, donde χSdenota la funci´on caracter´ıstica de S, es decir, c(S) = ZχSdx dy = ´ınf (X k m(Ik); Ik∈P, Ik⊂S◦;P∈P(R)), c(S) = ZχSdx dy = sup (X k m(Ik); Ik∈P, Ik∩S;P∈P(R)), donde Res un rect´angulo conteniendo a SyP(R)es el conjunto de las particiones finitas de Ren subintervalos Ik. El conjunto Sse dice medible Jordan si c(S) = c(S), en cuyo caso a su valor com´un c(S)se le denomina contenido omedida de Jordan. N´otese que esto pasa si y solo si χSes integrabe Riemann. La siguiente proposici´on caracteriza a los conjuntos con medida de Jordan positiva. Proposici´on 4.2.2. Dado un conjunto medible Jordan acotado S⊂R2, se tiene que c(S)>0si y solo si S◦6=∅. Hay conjuntos de sobra conocidos que no son medibles Jordan, como por ejemplo Q2. Este problema se solventa con una medida m´as general, la medida de Lebesgue de R2, que denotaremos por λ. Recordemos que χSes integrable Riemann si y solo si λ(∂S) = 0. Adem´as, si Ses integrable Riemann tambi´en es integrable Lebesgue y sus medidas coinciden, esto es, c(S) = λ(S). Con esto presente, damos la siguiente definici´on: Definici´on 4.2.3. Una aplicaci´on continua ϕ:I→R2se dice curva que rellena espacio si ϕ(I)es medible Jordan y c(ϕ(I)) >0. Al subconjunto de C(I, R2)formado por todas las curvas que rellenan espacio se le denota SF (space-filling curves). Observaci´on 4.2.4. Teniendo en cuenta los p´arrafos anteriores, ϕ∈ SF si y solo si λ(∂ϕ(I)) = 0 y (ϕ(I))◦6=∅. Observaci´on 4.2.5. Directamente por definici´on, se tiene P ⊂ SF. De forma similar a las curvas de SF, se pueden definir las curvas que λ-rellenan espacio mediante la medida de Lebesgue. Al conjunto de estas curvas lo denotaremos λ-SF. Cabe destacar que estas dos definiciones son distintas. De hecho, Osgood [20] construy´o en 1903 una curva de Jordan (una funci´on continua e inyectiva ψ:I→R2) 57 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) Teorema 4.2.13. El conjunto SF es fuertemente algebrable en C(I, R2). Demostraci´on. Como primer paso, construimos una sucesi´on apropiada (fn)n≥1ge- nerando un ´algebra libre en C(I, R2). Por la Proposici´on 2.2.3, existe una curva ϕ∈ CS(I, [−1,1]2) tal que ϕ(0) = (0,0) = ϕ(1). Si tenemos un intervalo T= [a, b]⊂R, definimos ϕT: [a, b]→R2como ϕT(t) = ϕ(t−a b−a), de forma que ϕT(T)=[−1,1]2y ϕT(a) = (0,0) = ϕT(b). Consideramos el conjunto numerable J= (σk)k≥1definido como J:= {σ= (q1, q2, . . . , qj,0,0, . . .)∈(−1,1)N,donde q1, . . . , qj∈Q∩(−1,1), j ∈N}. Tomamos una sucesi´on (an)n⊂Iestrictamente creciente con an→1, y consideramos la sucesi´on de intervalos [an, an+1]⊂[0,1] (n≥1). De entre esta sucesi´on de intervalos queremos obtener una cantidad infinita numerable de subsucesiones de intervalos {In,k :k∈N}(n∈N) tales que In,k ∩Im,l =∅si (n, k)6= (m, l) y que se aproximen a 1 cuando k→+∞. Para ello, nos quedamos solo con la sucesi´on de intervalos disjuntos [a2n−1, a2n] y extraemos de aqu´ı las subsucesiones de intervalos de la siguiente forma: primero dividimos la sucesi´on a2n−1en las siguientes subsucesiones ordenando sus t´erminos recorriendo las diagonales principales: a1, a5, a11, a19, . . . a3, a9, a17, . . . a7, a15, . . . a13, . . . . . . A continuaci´on, denotamos por ankal k-´esimo elemento de la n-´esima fila (por ejemplo, a32=a15). Por ´ultimo, definimos los intervalos In,k := [ank, ank+1]. Est´a claro que son disjuntos y que para cada n∈Nse aproximan a 1 cuando k→+∞. Siguiendo con la demostraci´on, dividimos cada uno de estos intervalos en tres subintervalos de igual longitud, In,k =In,k,1∪In,k,2∪In,k,3, donde In,k,2es el intervalo intermedio. Dado n∈N, definimos fn:I→R2como sigue. Para todo k∈N,definimos fn:= k−1ϕIn,k,2sobre In,k,2yfn:= (0,0) sobre In,k,1∪In,k,3. Adem´as, para m6=n, definimos 64 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) fn:= (k−1qn, k−1qn) sobre Im,k,2, donde qnes la en´esima componente de la sucesi´on σk∈J. Las otras componentes de fnse definen como aplicaciones lineales afines sobre Im,k,1yIm,k,3, valiendo (0,0) en el extremo izquierda de Im,k,1y en el derecho de Im,k,3, y (k−1qn, k−1qn) para mantener la continuidad. Finalmente, definimos fn:= (0,0) sobre IS∞ k=1, m=1 Im,k. Cada fnes claramente continua en [0,1), mientras que su continuidad en t= 1 (donde fntoma el valor (0,0)) viene dada por el hecho de que supt∈In,k kfn(t)k1≤k−1para todo k∈Ny que los intervalos Im,k tienden a 1 cuando k→+∞. Ahora, sea N∈Ny consideremos un polinomio no nulo de Nvariables P= P(x1, . . . , xN) sin t´ermino constante. Sin p´erdida de generalidad, podemos asumir que xNaparece expl´ıcitamente en P, por lo que existen un cierto m∈Ny unos polinomios Qj(j= 0,1, . . . , N −1) de N−1 variables reales, con Qm6≡ 0, tales que P(x1, . . . , xN) = m X j=0 Qj(x1, . . . , xN−1)xj N. Sea F:= P(f1, . . . , fN). Nuestro objetivo es mostrar que F∈ SF (tambi´en deber´ıa probarse que F6≡ 0, pero esto no es necesario porque 0 6=SF). Asumamos primero que Qm(0,...,0) 6= 0. Como Qmes continuo, existe r∈(0,1) tal que Qm(x1, . . . , xN−1)6= 0 para todo (x1,...xN−1)∈(−r, r)N−1{(0,...,0}. Tomando p∈Ncon 1/p < r y definiendo qj:= 1/p (j= 1, . . . , N −1), deducimos la existencia de un punto (q1, . . . , qN−1)∈(Q∩(−1,1))N−1tal que Qm(k−1q1, . . . , k−1qN−1)6= 0 para todo k∈N.(4.2) Si por el contrario tenemos que Qm(0,...,0) = 0, entonces tambi´en encontrar´ıamos un punto q= (q1, . . . , qN−1)∈(Q∩(−1,1))N−1satisfaciendo (4.2). Para verlo, asumamos por contradicci´on que para cada punto p= (p1, . . . , pN−1)∈(Q∩(−1,1))N−1hay infinitos t∈Rcon Qm(tp1, . . . , tpN−1) = 0. Como el lado izquierdo de la ecuaci´on es un polinomio en la variable t, tenemos Qm(tp1, . . . , tpN−1) = 0 para todo t. Fijando ty teniendo en cuenta la densidad de Q∩(−1,1) en (−1,1) y la continuidad de Qm, obtenemos que Qm(tx1, . . . , txN−1) = 0 para todo (x1, . . . , xN)∈(−1,1)N−1 y todo t∈R, por lo que Qm≡0, y llegamos a contradicci´on. Por tanto, existe p∈ (Q∩(−1,1))N−1tal que el conjunto de los t∈Rpara los cuales Qm(tp1, . . . , tpN−1)=0 es finito. Como 0 es uno de dichos valores t, existe s∈Ncon Qm(tp1, . . . , tpN−1)6= 0 65 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) para todo t∈(0,1/s]. En conclusi´on, si tomamos q= (s−1p1, . . . , s−1pN−1), obtenemos que se verifica (4.2). Sea σ:= (q1, . . . , qN−1,0,0, . . .)∈J, donde (q1, . . . , qN−1)∈(Q∩(−1,1))N−1satis- face (4.2). Entonces existe k∈Ntal que σ=σk. Consideremos el intervalo IN,k y su subintervalo IN,k,2. Se tiene que, para cada t∈IN,k,2, F(t) = P(f1(t),...fN(t)) =P((k−1q1, k−1q1),...,(k−1qN−1, k−1qN−1), k−1ϕIN,k,2(t)) = m X j=0 Qj((k−1q1, k−1q1),...,(k−1qN−1, k−1qN−1))(k−1ϕIN,k,2(t))j. (4.3) Dado un polinomio H(x1, . . . , xN), denotaremos por H((a1, b1),...,(aN, bN)) al vector (H(a1, . . . , aN), H(b1, . . . , bN)). Por la definici´on de las fn, la imagen L2:= F(I IN,k) es la uni´on de dos funciones C1a trozos en R2, por lo que L◦ 2=∅. Adem´as, L2=∂L2 y la medida de Lebesgue de λ(∂L2) = 0. Gracias a (4.3), el conjunto L1:= F(IN,k) es la imagen del cuadrado R:= [−1/k, 1/k]2bajo la aplicaci´on S:R2→R2de clase C1dada por S(x, y) = (H(x), H(y)), donde Hes el polinomio no constante H(x) = Pm j=0 αjxj, con αj:= Qj(k−1q1, . . . , k−1qN−1) (es no constante porque, por (4.2), αm6= 0; esto tambi´en asegura F6≡ 0). Por tanto, existe un punto x0∈(−1/k, 1/k) tal que H0(x0)6= 0, por lo que el determinante de la matriz jacobiana JS(x, y) de la transformaci´on Sen (x0, x0)∈Res H0(x0)26= 0. Por el Teorema de la Aplicaci´on Inversa, Stiene una inversa local diferenciable (luego tambi´en continua) en (x0, x0), as´ı que Ses localmente abierta en este punto, lo que garantiza L◦ 1= (S(R))◦6=∅. Finalmente, dado que L1=S(R) es compacto, el Lema 4.2.11 asegura que λ(∂L1) = 0. Como ten´ıamos L◦ 16=∅y (F(I))◦⊃L◦ 1, est´a claro que (F(I))◦6=∅. Adem´as, λ(∂F(I)) ≤λ((∂L1)∪(∂L2)) ≤λ(∂L1) + λ(∂L2)=0. Hemos obtenido entonces que (F(I))◦6=∅yλ(∂F(I)) = 0. En oras palabras, F∈ SF, lo que termina la prueba. 4.2.2. Denso-lineabilidad maximal de T SF Para terminar con el trabajo Fin de M´aster presentado, procedemos en esta secci´on a demostrar la maximal denso-lineabilidad de los conjuntos T SF yλ-T SF. 66 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) Antes de ello, necesitaremos algunos resultados previos. Del primero, que es un resultado bastante interesante sobre denso-lineabilidad en general, puede encontrarse una prueba en [8, Teorema 2.3] Teorema 4.2.14. Asumamos que Ees un e.t.v. metrizable y separable. Sean αun n´umero cardinal infinito y sean A, B ⊂Etales que Aes α-lineable, Bes densolineable, A∩B=∅yA+B⊂A. Entonces Acontiene un espacio vectorial denso M con dim(M) = α, por lo que en particular es α-denso-lineable. De los otros dos lemas s´ı daremos la prueba. Recordamos que un espacio topol´ogico (X, τ) se dice localmente conexo por caminos si para todo x∈Xy para todo entorno abierto Bde x, existe un conjunto Vabierto y conexo por caminos tal que x∈V⊂B. Lema 4.2.15. Sea (Y, d)un espacio m´etrico localmente conexo por caminos, y sea t0∈I. Enonces el conjunto Dt0:= {ϕ∈ C(I, Y ) : ϕes constante en un entorno U=Uϕde t0} es denso en C(I, Y ), dotado de la m´etrica del supremo ρ(f, g) = supt∈Id(f(t), g(t)). Demostraci´on. Fijemos una bola Bρ(f, ε)⊂C(I, Y ). Nuestro objetivo es mostrar que Dt0∩Bρ(f, ε)6=∅. Consideremos la bola Bd(f(t0), ε/3) ⊂Y. Por hip´otesis, existe un entorno Vde f(t0) en Ytal que V⊂Bd(f(t0), ε/3) y es conexo por caminos. Dado que fes continua en t0, existe un entorno [c, d] de t0en Icon f([c, d]) ⊂V. Podemos suponer 0 < t0<1 (los casos t0= 0 y t0= 1 se tratan de manera similar), de forma que c < t0< d. Tomamos c0, d0con c < c0< t0< d0< d. Como Ves conexo por caminos, podemos encontrar aplicaciones continuas g: [c, c0]→V,h: [d0, d]→V cumpliendo g(c) = f(c), g(c0) = f(t0) = h(d0) y h(d) = f(d). Definimos U:= [c0, d0] y la curva ϕ:I→Ycomo ϕ(t) =          f(t) si t6∈ [c, d] g(t) si t∈[c, c0) f(t0) si t∈U h(t) si t∈(d0, d]. 67 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) Claramente, ϕ∈ Dt0. Es m´as, ρ(f, ϕ) = sup t∈[c,d] d(f(t), ϕ(t)) ≤sup t∈[c,d] (d(f(t), f(t0)) + d(f(t0), ϕ(t))) ≤ε/3 + ε/3< ε, debido a la desigualdad triangular, a que f(t)∈V⊂Bd(f(t0), ε/3) para todo t∈[c, d], y al hecho de que ϕ([c, d]) = g([c, c]) ∪h([d0, d]) ⊂V⊂Bd(f(t0), ε/3). Consecuentemente, f∈ Dt0∩Bρ(f, ε), y hemos terminado la prueba. Lema 4.2.16. El subconjunto de T SF dado por T SF1:= {ϕ∈ C(I, R2):(ϕ(U))◦6=∅para todo entorno Ude 1} es espaciable en C(I, R2). Adem´as, es maximal lineable. Demostraci´on. Usaremos una modificaci´on de la construcci´on hecha en la prueba del Teorema 4.2.10. Fijemos de nuevo una sucesi´on (an)n⊂Iestrictamente creciente con an→1 (n→+∞). Como en el Teorema 4.2.13, consideramos una partici´on de Nen infinitas sucesiones divergentes disjuntas {p(n, 1) < p(n, 2) < p(n, 3) <· · · } (n= 1,2, . . .). Por la Proposici´on 2.2.3, para cada par (n, k)∈N2existe una aplicaci´on gn,k ∈ CS([ap(n,k), ap(n,k)+1],(1/k)I2) con gn,k(ap(n,k)) = (0,0) = gn,k(ap(n,k)+1). Definimos los intervalos de interiores disjuntos In,k := [ap(n,k), ap(n,k)+1] y extendemos de forma continua cada gn,k aIdefini´endolas como (0,0) en IIn,k. Ahora, fijamos n∈Ny definimos fn:= P∞ k=1 gn,k.Obs´ervese que en la serie es convergente para cada t∈I, por lo que est´a bien definida. De hecho, fn|In,k =gn,k, lo que adem´as garantiza la continuidad de fnteniendo en cuenta que las gn,k valen (0,0) en los extremos de los intervalos y tambi´en fuera de ellos. Como los soportes de las funciones fnson disjuntos, por el Lema 4.2.9 tenemos que forman una sucesi´on b´asica. Como en la prueba del Teorema 4.2.10, definimos M:= span{fn:n≥1}. Mes un subespacio cerrado infinito-dimensional de C(I, R2). Vamos a ver que es el conjunto que nos aporta la espaciabilidad de T SF∞. Sea f∈M{0}. Como las fn forma una sucesi´on b´asica, existen unos coeficientes reales ´unicos c1, c2, . . . con alg´un cm6= 0 tales que f=P∞ n=1 cnfn, donde la convergencia es uniforme en I. Fijemos un 68 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) entorno U⊂Ide t= 1. Como ap(m,k)→1 cuando k→ ∞, podemos encontrar un cierto k0∈Ntal que [ap(m,k0), ap(m,k0)+1]⊂U. Por tanto, recordando de nuevo que las fntienen soportes disjuntos, f(U)⊃f([ap(m,k0), ap(m,k0)+1]) = cmfm([ap(m,k0), ap(m,k0)+1]) =cmgp(m,k0)([ap(m,k0), ap(m,k0)+1]) = cmk−1 0I2, por lo que (f(U))◦6=∅. Esto implica que f∈ T SF1, por lo que M⊂ T SF1y logramos la espaciabilidad buscada. La lineabilidad maximal se obtiene de la misma forma que se obtuvo en el Teorema 4.2.10 para SF. En efecto, dim(M) = cyT SF es c-lineable. La construcci´on del lema anterior tambi´en puede hacerse para cualquier t0∈I, pero para nuestros prop´ositos basta tenerlo para t0= 1. De hecho, ya estamos listos para probar el ´ultimo resultado de esta memoria, y principal de esta secci´on. Teorema 4.2.17. El conjunto T SF es maximal denso-lineable en C(I, R2). Adem´as, el conjunto λ-SF tambi´en es maximal denso-lineable. Demostraci´on. Es suficiente probar que el subconjunto T SF1definido en el lema anterior es maximal denso-lineable en C(I, R2), por tenerse T SF1⊂ T SF ⊂ λ- SF. Para lograr este objetivo, haremos uso del Teorema 4.2.14. En primer lugar, recordamos que A:= T SF1es c-lineable en C(I, R2) por el Lema 4.2.16. En segundo lugar, el conjunto B:= {ϕ∈ C(I, R2) : ϕes constante en un entorno U=Uϕde 1} es denso en C(I, R2) debido al Lema 4.2.15. Trivialmente, Bes tambi´en un espacio vectorial, por lo que Bes denso-lineable. Tambi´en resulta claro que A∩B=∅sin m´as que ver la definici´on de A:= T SF1y notar que si una aplicaci´on ϕes constante en un conjunto U, entonces (ϕ(U))◦=∅. Finalmente, si ϕ∈A, ψ ∈ByUes un entorno de 1, existen un entorno V⊂Ude 1 y un vector constante C∈R2tales que ψ(t) = Cpara todo t∈Vy (ϕ(V))◦6=∅. Luego ((ϕ+ψ)(U))◦⊃((ϕ+ψ)(V))◦=C+ (ϕ(V))◦6=∅, donde C+ (ϕ(V))◦denota al conjunto (ϕ(V))◦trasladado por el vector C. 69 Cap´ıtulo 4. Curvas de Peano en C(I, Y ) En consecuencia ((ϕ+ψ)(U))◦6=∅, esto es, ϕ+ψ∈AyA+B⊂A. La prueba termina aplicando simplemente el Teorema 4.2.14 con E:= C(I, R2) y α:= c. 70 Bibliograf´ıa Bibliograf´ıa fundamental [1] N. G. Albuquerque, Maximal lineability of the set of continuous surjections, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 21 (2014), 83–87. [2] N. G. Albuquerque, L. Bernal-Gonz´alez, D. Pellegrino, y J. B. Seoane-Sep´ulveda, Peano curves on topological vector spaces, arXiv:1404.5876 [math.GN], Linear Algebra Appl. 460 (2014) 81–96. [3] R. M. Aron, L. Bernal-Gonz´alez, D. Pellegrino, y J. B. Seoane-Sep´ulveda, Lineability. The Search for Linearity in Mathematics, CRC Press, Boca Raton, FL, 2016. [4] L. Bernal-Gonz´alez, M. C. Calder´on-Moreno, y J. A. Prado-Bassas, The set of space-filling curves: topological and algebraic structure, Linear Algebra Appl. 467 (2015), 57-74. Otras referencias [5] L.V. Ahlfors, Complex analysis, McGraw-Hill Book Co., New York, 1978. [6] M. Bader, Space-Filling curves: An introduction with applications in scientific computing, Springer, Heidelberg, 2013. [7] A. Bartoszewicz y S. Glab, Strong algebrability of sets of sequences of functions, Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013), 827–835. [8] L. Bernal-Gonz´alez y M. Ord´o˜nez Cabrera, Lineability criteria, with applications, J. Funct. Anal. 206 (2014), no. 6, 3997-4025, DOI 10.1016/j.jfa.2013.11.014. 71 Bibliograf´ıa [9] L. Bernal-Gonz´alez, D. Pellegrino, y J.B. Seoane-Sep´ulveda, Linear subsets of nonlinear sets in topo-logical vector spaces, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 51 (2014), 71–130. [10] R. P. Boas Jr., Entire Functions, Academic Press, Inc., New York, 1954. [11] J. Diestel, Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, New York, 1984. [12] F. Q. Gouvˆea, Was Cantor surprised?, Amer. Math. Month., 118 (2011), no. 3, 198-209. [13] V. I. Gurariy, Subspaces and bases in spaces of continuous functions, Dokl. Akad. Navk SSSR 167 (1966), 971-973. [14] D. Hilbert, ¨ Uber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Fl¨achenst¨uck, Math. Ann. 38, (1891), 459–460. [15] D. Hinrichsen y J. L. Fern´andez, Topolog´ıa general, Ed. Urmo, Bilbao, 1977. [16] A. M. Kolmogorov y S. V. Fomin, Elementos de la teor´ıa de funciones y del an´alisis funcional, Mir, Mosc´u, 1975. [17] J. R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 2000. [18] G. Peano, Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane, Math. Ann. 36, (1890), 157-160. [19] W. Rudin, Functional analysis, 2nd ed., McGraw-Hill, Inc., New York, 1991. [20] H. Sagan, Space-filling curves, Universitext, Springer-Verlag, New York, 1994. [21] S. Z. Sternberg, Lectures on differential geometry, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1964. [22] K. Weierstrass, ¨ Uber continuirliche Funktionen eines reellen Arguments, die f¨ur keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen [On continuous functions of a real argument which possess a definite derivative for no value of the argument], K¨onigl. Akad. Wiss. (1872), Mathemathische Werke II, 71-74. 72 Bibliograf´ıa [23] S. Willard, General topology, Dover, New York, 2004. 73