La Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19

i Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales La Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. Autor: José María Puyol Aliaga Tutor: Pablo Aparicio Ruiz Dpto. de Organización Industrial y Gestión de Empresas II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2 02 2 iii Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales La Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. Autor: José María Puyol Aliaga Tutor: Pablo Aparicio Ruiz Dpto. de Organización Industrial y Gestión de Empresas II Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2022 v Trabajo Fin de Grado: La Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. Autor: José María Puyol Aliaga Tutor: Pablo Aparicio Ruiz El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2022 El Secretario del Tribunal vii Agradecimientos n primer lugar, me gustaría dar las gracias a mi tutor, Pablo Aparicio Ruiz, por su amabilidad y colaboración durante estos meses de trabajo. La elaboración de este proyecto habría sido imposible sin su ayuda y sin el tiempo que me ha dedicado. Infinitas gracias a mi padre; por el apoyo que constantemente nos hace sentir tanto a mí como a mis hermanos y por la oportunidad de estudiar lo que siempre he querido. Sus palabras y su manera de vivir la vida han sido imprescindibles cuando la motivación y las ganas de levantarse tras el enésimo revés escaseaban. Por último, pero no por ello menos importante, no quiero olvidarme de mis amigos. Son los grandes artífices de que esta etapa universitaria que acaba haya sido absolutamente inolvidable para mí. José María Puyol Aliaga Alumno de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Sevilla, 2022 E ix Resumen nadie le gusta esperar. Se dice que, en general, la sociedad actual vive en la cultura de la inmediatez. La gente detesta esperar al autobús, a que por fin salga agua caliente del grifo, a que un agente quede disponible cuando llaman a su compañía telefónica o de seguros; se siente que se está perdiendo el tiempo cuando toca esperar en la cola del supermercado, cuando pasan varios minutos y el ascensor sigue sin llegar, etc. Son innumerables los ejemplos de momentos en los que uno debe armarse de paciencia y esperar su turno en el día a día. Ingenieros de todo el mundo buscan y estudian constantemente formas de reducir los tiempos de espera de todo tipo de situaciones, y es que las esperas se traducen irremediablemente en inconvenientes: acumulación de gente en larguísimas colas, tiempo perdido inútilmente, mala imagen de la empresa que ocasiona la espera y, por tanto, potencial pérdida de clientes, estrés, lucro cesante y un largo etcétera. Como cabía prever, conseguir reducir el tiempo de espera en una situación determinada requiere una inversión, y de la importancia de conocer de antemano si las medidas propuestas conseguirán el efecto deseado o no para así no malgastar dinero nace la necesidad de unos modelos y técnicas que analicen la situación en cuestión. La Teoría de Colas trabaja en el campo de la ingeniería de organización y estudia desde el punto de vista de las matemáticas y la estadística los diversos factores decisivos a la hora de mejorar los tiempos de espera como son, por citar algunos, el tiempo medio de servicio o la capacidad máxima del sistema sin llegar al colapso. Sin embargo, la pandemia COVID-19 que desgraciadamente tanto ha afectado a nuestras vidas también ha hecho lo propio con muchas empresas y organizaciones. Esta se ha erigido como un claro agente transformador de los modelos de gestión motivado por las medidas impuestas por los gobiernos y la reconfiguración de los recursos y de los espacios. Este Trabajo de Fin de Grado tiene como objetivo conocer las herramientas de estudio de sistemas donde se generan líneas de espera, así como realizar una simulación por eventos discretos en Python y analizar los resultados obtenidos de un punto de vacunación contra la COVID-19 implementado en en la Facultad de Derecho y Ciencias del Trabajo de la Universidad de Sevilla en 2021. A Figura 4.4: Tabla variación número total de personas vacunadas ........................................................ 40 Figura 4.5: Tabla variación utilización media de los servidores ............................................................. 41 Figura 4.6: Tabla variación tiempo medio de espera ............................................................................. 41 Figura 4.7: Gráfico inoculaciones en función del número de servidores .............................................. 42 Figura 4.8: Gráfico grado de utilización de los servidores en función del número de habilitados ..... 43 Figura 4.9: Disposición de los boxes o servidores en el vacunódromo del Estadio de la Cartuja ....... 44 Figura 4.10: Largas colas de gente esperando para vacunarse en el exterior del Estadio de la Cartuja. Junio de 2021 ........................................................................................................................ 44 Figura 4.11: Equipo necesario para el uso del software de gestión de turnos en contraposición con un dispensador de turnos tradicional ................................................................................... 45 1 1 INTRODUCCIÓN finales del año 2019 la palabra “coronavirus” comenzó a abrir y protagonizar los telediarios de todo el mundo. Eran noticias sobre una extraña neumonía muy contagiosa la cual se estaba propagando preocupantemente en China. Sin embargo, la gran mayoría de la población se limitó a continuar con sus vidas sin mayor miramiento dado que en aquel momento, resultaba inimaginable que un elemento con un tamaño de apenas 100 nanómetros de radio pudiese llegar a tener una capacidad de impacto tan sumamente grande en la sociedad. Al cabo de unas semanas se desencadenó la pandemia del coronavirus SARS-CoV-2. Los gobiernos de países de todo el mundo aplicaron medidas drásticas y restricciones de libertad de la ciudadanía con el fin de mitigar la saturación del sistema sanitario, generando a la vez grandes conflictos sociales, políticos y económicos. 1.1 La pandemia COVID-19 1.1.1 Cronología de una pandemia Diciembre 2019 Se comienzan a investigar varios casos de personas enfermas con una neumonía viral; la mayoría de los pacientes tienen en común que habían estado días atrás en un mercado mayorista de mariscos en la ciudad china de Wuhan (Llaneras, 2021). Enero 2020 Se confirma que el agente causante de la enfermedad es un nuevo tipo de coronavirus. Este empieza a propagarse y se descubren casos en Tailandia, Japón, Australia, Vietnam, Corea del Sur y Francia entre otros países. A finales de mes, China ordena guardar cuarentena a gran parte de su población y la Organización Mundial de la Salud declara que el brote cumple con los criterios para declarar una emergencia de salud pública de importancia internacional (Organización Mundial de la Salud, 2020). El 31 de enero de 2020, España registra el primer caso de coronavirus dentro de sus fronteras: una persona alemana en la isla de La Gomera (Islas Canarias). Febrero 2020 La OMS denomina oficialmente a la enfermedad como “COVID-19”. El virus comienza a extenderse a gran velocidad por Europa, siendo Italia el país más castigado al principio. A partir de aquí, se desencadena la expansión del coronavirus por todo el mundo. España confirma el primer contagio local en Sevilla. A Capítulo 1. Introducción 2 Marzo 2020 A principios de mes se conoce el primer fallecimiento a causa del coronavirus en España. Mientras tanto, eventos multitudinarios como manifestaciones, conciertos y competiciones deportivas continúan teniendo lugar (Figura 1.1), lo que a la postre provocaría una gran polémica a nivel social y político. El 11 de marzo de 2020, la OMS declara la COVID-19 como pandemia mundial (Muñoz, 2021). Dos días más tarde, el presidente del Gobierno de España, Pedro Sánchez, anuncia la decisión de aplicar el Estado de Alarma durante 15 días en todo el territorio nacional: a partir del 15 de marzo todos los españoles guardarían confinamiento domiciliario no pudiendo así circular libremente por las calles salvo por casusas de fuerza mayor. La actividad de todo comercio no esencial queda temporalmente suspendida. Durante estas semanas, la escalada de casos es exponencial a pesar de que más tarde se descubriría que tan solo se estaba detectando 1 de cada 10 contagios. Los hospitales tienen dificultades para absorber la ingente cantidad de enfermos que les llegan. La falta de material sanitario de protección se convierte en un gran problema y el coronavirus comienza a hacer mella en las residencias de ancianos. Abril 2020 Se alcanza el pico de contagios y fallecimientos en los primeros días de abril mientras eventos de la talla de los Juegos Olímpicos de Tokio o el Oktoberfest son cancelados. Tras varias prórrogas del Estado de Alarma, el Gobierno de España anuncia un plan de desescalada después de comprobar que las cifras representativas de la incidencia del virus en el país se han estabilizado. Este plan se conforma por cuatro fases para acabar desembocando en la denominada “nueva normalidad”. Junio 2020 El 21 de junio finaliza el Estado de Alarma en España (Vivas and Castro, 2021). Se da comienzo así a la ya mencionada nueva normalidad caracterizada por la obligatoriedad de ciertas medidas mínimas de prevención como el uso de mascarillas en cualquier lugar público. Paralelamente, se trata de reactivar la economía y el turismo tras meses de auténtica pesadilla. Agosto 2020 Continúan multiplicándose los rebrotes por todo el territorio nacional hasta el punto de colocar a España a la cabeza de la segunda ola en Europa. En el lado positivo, durante este mes se comienza a estudiar el plan de vacunación una vez estas estén listas. Octubre 2020 Una vez superado el temor de que la vuelta al colegio de forma presencial supusiese un importante foco de transmisión que finalmente no se cumplió, desafortunadamente los números de la segunda ola no logran descender del todo. El día 25 de este mes, el Gobierno declara un nuevo Estado de Alarma dada la gravedad de la situación e implanta el toque de queda (Vilasoa, 2021). Como puede observarse en la Figura 1.2, la segunda ola prácticamente se solapa con la tercera, la cual se dispararía a partir de finales de diciembre. Figura 1.1: Concierto en el WiZink Center de Madrid. 6 de marzo de 2020 (Fuente: wizinkcenter.es) El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 3 Diciembre 2020 Se confirma la efectividad de las vacunas siendo Reino Unido el país europeo pionero en comenzar a administrarlas masivamente a la población. El 27 de diciembre recibe una dosis el primer ciudadano español y se inicia el plan de vacunación en España. Mientras tanto, el virus continúa imparable a pesar de las restricciones y aparecen nuevas variantes del coronavirus más infecciosas aún. Año 2021 El nuevo año comenzó con la explosión de la tercera ola. En 2021, nuevas olas y variantes del virus se fueron sucediendo mientras que, paralelamente, la vacunación masiva continuó a buen ritmo alcanzando alrededor del 80% de la población española vacunada con la pauta completa a finales de año (Figura 1.3). Este dato, muy superior al porcentaje de población vacunada en otros países europeos de nuestro entorno, hizo que España se convirtiese en ejemplo de vacunación en el mundo entero (Jiménez, 2021). Evolución de los fallecimientos diarios en España desde el inicio de la pandemia Figura 1.2: Evolución de los fallecimientos diarios en España desde el inicio de la pandemia (Fuente: Ministerio de Sanidad, Consumo y Bienestar Social) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 4 mar 20 18 mar 20 1 abr 20 15 abr 20 1 may 20 15 may 20 31 may 20 14 jun 20 29 jun 20 17 jul 20 6 ago 20 27 ago 20 16 sep 20 6 oct 20 26 oct 20 16 nov 20 4 dic 20 28 dic 20 19 ene 21 9 feb 21 1 mar 21 23 mar 21 13 abr 21 3 may 21 21 may 21 10 jun 21 30 jun 21 20 jul 21 9 ago 21 27 ago 21 16 sep 21 6 oct 21 27 oct 21 16 nov 21 7 dic 21 29 dic 21 Capítulo 1. Introducción 4 1.1.2 Medidas requeridas para reducir el riesgo De acuerdo con la Organización Mundial de la Salud, las principales medidas básicas contra la propagación del virus son (Organización Mundial de la Salud, 2020a):  Mantener una distancia interpersonal de seguridad de, al menos, 1 metro y medio  Utilizar mascarilla homologada en público, especialmente en lugares cerrados o cuando resulte difícil mantener la distancia de seguridad  Lavarse las manos con frecuencia  Quedarse en casa si aparecen síntomas compatibles con la enfermedad (fiebre, tos, dificultad al respirar…) o en caso de duda tras haber estado en contacto con un positivo  Priorizar espacios abiertos o con buena ventilación Durante el período en el que no estuvo permitido circular por las calles salvo por causa de fuerza mayor entre los meses de marzo y junio de 2020, toda actividad económica no esencial quedó suspendida. Solo aquellos comercios de primera necesidad tales como tiendas de alimentación, farmacias, gasolineras, etc. pudieron permanecer abiertos, eso sí, con considerables alteraciones con respecto a su modus operandi habitual (Montes, 2020). Por ejemplo, en el caso de los supermercados, estos implementaron numerosos cambios en la disposición y en el funcionamiento de sus tiendas para poder continuar prestando servicio a la ciudadanía durante el confinamiento con seguridad. Estas modificaciones, extrapolables a muchos otros comercios que también basan su actividad en las tiendas físicas, van desde medidas a priori un tanto obvias hasta otras más innovadoras (Sangha, 2020): Figura 1.3: Evolución de la vacunación contra la COVID-19 en España en 2021 (Fuente: Ministerio de Sanidad, Consumo y Bienestar Social) Evolución de la vacunación contra la COVID-19 en España en 2021 0 5000000 10000000 15000000 20000000 25000000 30000000 35000000 40000000 2021-01-04 2021-01-15 2021-01-26 2021-02-07 2021-02-17 2021-03-01 2021-03-11 2021-03-25 2021-04-06 2021-04-16 2021-04-27 2021-05-09 2021-05-19 2021-05-31 2021-06-10 2021-06-22 2021-07-04 2021-07-14 2021-07-26 2021-08-05 2021-08-17 2021-08-29 2021-09-08 2021-09-20 2021-09-30 2021-10-13 2021-10-25 2021-11-04 2021-11-17 2021-11-29 2021-12-13 2021-12-26 Al menos 1 dosis Pauta completa Con dosis de refuerzo El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 5  Limitación del número total de clientes en el interior de las instalaciones para que se pueda circular con facilidad; cuando se alcanza ese límite, se adopta la política de entrada y salida “one-in-one- out” (solo se permite el ingreso una vez que otra persona ha salido).  Uso de señalización en el suelo para fomentar la distancia social y crear flujos de personas que se muevan en la misma dirección en determinadas zonas de la tienda como las cajas o las puertas de acceso.  Instalación de pantallas de protección de metacrilato en mostradores y cajas de cobro para preservar la salud a los empleados.  Reserva de ciertas franjas horarias a lo largo del día para los clientes más vulnerables como personas mayores o con problemas de salud.  Promoción y refuerzo del canal de venta online mediante la mejora de la experiencia de compra por Internet y la contratación de más personal para los equipos de entrega a domicilio.  Implementación de un servicio “click & collect” para aprovechar la flexibilidad que ofrece el comercio online. Este método de compraventa consiste en que los clientes realizan su compra por Internet y ellos mismos la recogen en la tienda física. Como se puede observar, tanto los supermercados como el resto de comercios esenciales tuvieron que adaptarse a las circunstancias y tratar de sacar el máximo provecho del margen de acción que encontraron. En el siguiente punto se analiza no solo las medidas aplicadas por este tipo de establecimientos en pro de la protección de la salud sino, desde un punto de vista más general, los efectos de la pandemia del coronavirus a las distintas organizaciones y cómo reaccionaron estas para combatir los daños. 1.1.3 El impacto de la COVID-19 en el tejido empresarial Pocas instituciones escapan de los graves efectos que ha provocado la irrupción sorpresiva del coronavirus. Como tantos otros riesgos, una pandemia de esta envergadura era algo que se pensaba de forma muy remota; los pocos que fueron suficientemente cautos en el pasado como para trazar algún tipo de plan de contingencia y continuidad ante un acontecimiento de esta naturaleza, lo más probable es que sus medidas de minimización de daños no fuesen adecuadas ni suficientes. En líneas generales y dejando a un lado el aspecto sanitario, las principales consecuencias que está generando el coronavirus son económicas. Muchas empresas vieron cómo sus ventas caían hasta en un 50% durante el primer trimestre del año 2020 sobre todo por el cese total o parcial de cualquier tipo de actividad presencial que habitualmente desarrollasen (Banco Mundial, 2021). Firmas como Inditex registraron pérdidas a raíz de la pandemia por primera vez en su historia y se vieron forzadas a realizar cambios en su modelo de negocio para asegurar la viabilidad. Figura 1.4: Carteles recordando mantener la distancia de seguridad en un supermercado (Fuente: Reuters) Capítulo 1. Introducción 6 En el caso de la compañía textil, esta apostó enérgicamente por su negocio online mediante una fuerte inversión en integración tecnológica, digitalización y adaptación. Una medida que resultó ser muy efectiva dado que en el segundo trimestre de dicho año sin ir más lejos, Inditex volvía a la senda de los beneficios y alcanzaba un incremento en ventas por Internet del 77%. A mediados de 2021 el canal de ventas online suponía ya el 32% de la facturación total de la empresa cuando antes de la pandemia se estimaba llegar en 2022 únicamente al 25% (Osorio, 2020), lo que confirmaba que el cambio de rumbo en la estrategia fue un completo acierto. Adicionalmente, se tomó la decisión de cerrar algunas de las miles de tiendas físicas que tienen repartidas por el mundo y agrandar muchas otras que sí que mantendrían en funcionamiento con el fin de abaratar los costes fijos de la empresa. Inditex trató de aprovechar todo el margen de acción que encontraron tras la explosión de la pandemia a través de la maximización de sus líneas de negocio y una excelente gestión de la situación en términos de rapidez de respuesta y capacidad de adaptación a las circunstancias. Además, demostraron tener también cierta conciencia social al ceder su potente infraestructura logística y de aprovisionamiento al servicio de la emergencia sanitaria (Inditex logra superar los 1.100 millones de euros de beneficio, 2021), lo que facilitó enormemente la adquisición y transporte de material sanitario. Todo esto hizo que Inditex se erigiese como un claro ejemplo de gestión y reacción ante dificultades para empresas de todo el mundo. Las empresas que menos han acusado la pandemia tienen en común ciertas directrices que pueden ser resumidas en los siguientes puntos:  Ante eventos de esta envergadura, una Junta Directiva estable, coherente y segura de su acciones y prioridades estratégicas es un factor fundamental para asegurar un próspero devenir de la compañía. Como dijo una vez el gurú Peter Drucker, “la mejor organización no asegura los resultados, pero una estructura equivocada es garantía de fracaso” (Stein, 2010). La enfermedad no ha hecho más que acelerar la transformación digital que ya se llevaba produciendo desde hace varios años, y esta transición resulta infinitamente más fácil con unos buenos líderes que hagan las veces de guías en el camino. En esta misma línea, la llegada del teletrabajo, en la mayoría de los casos de forma temporal pero en otros muchos lugares parece que para quedarse, abre no sin polémica nuevas puertas para empleados y empleadores. Aprovechando la tecnología, esta nueva modalidad de trabajo es capaz de entrañar numerosas ventajas para ambos si se implementa correctamente al igual que otras también surgidas a raíz de la emergencia sanitaria tales como el smart working, el crowd employment, el job sharing o el casual work (“Los Cambios En La Organización de Las Empresas Provocados Por El Coronavirus,” 2021). Figura 1.5: Medida aplicada por Inditex ante la COVID-19 (Fuente: Inditex) El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 7  Estas empresas tienen una menor cantidad de costes fijos. Por citar un ejemplo, en el ámbito del fútbol se ha comprobado que la pandemia golpeó con más fuerza al FC Barcelona por este motivo. El informe anual de fútbol que realiza la auditora inglesa Deloitte ‘Money League’ recomienda a los clubes apostar por fórmulas que den un mayor peso a los ingresos no presenciales dado que la fuente de ingresos proveniente de los días de partido es mucho más variable como se pudo comprobar durante muchos meses entre 2020 y 2021 (Deloitte, 2021).  En cuanto a las organizaciones cuya actividad depende de su cadena de suministro, aquellas que cuentan con proveedores de distintas regiones o países e instalaciones alternativas sufren menos las consecuencias de la pandemia (Hernández, 2020); de esta forma están menos expuestas al riesgo de ver su actividad parada por completo si surge un foco de coronavirus en algún lugar de la cadena. Asimismo, otra de las claves en este sentido es una gestión de inventarios eficiente. 1.1.4 La crisis de los contenedores Como consecuencia del coronavirus, en el año 2021 surgió un nuevo y grave conflicto: la denominada “crisis de los contenedores”. En resumen, el problema radica en un repentino crecimiento del comercio en general tras superarse lo peor de la pandemia; la demanda ha estado acumulándose durante meses y la oferta no es capaz de absorberla. Se ha producido un efecto dominó que comenzó con el cambio de reglas del juego a consecuencia de la pandemia. Durante los primeros meses de la misma, la prioridad número uno fue la distribución de material sanitario principalmente desde China al resto del mundo. Esto, sumado a paradas de producción generalizadas, cancelaciones de pedidos y cierres perimetrales en muchos países, ha provocado que una gran cantidad de contenedores se hayan quedado en los distintos puertos de destino: si no por ausencia de tiempo y/o mercancía para llenarlos y que su retorno fuese rentable, por las restricciones al tránsito entre fronteras impuestas por los gobiernos. Es decir, el problema no radica en falta de contendores sino en que estos están mal repartidos por el mundo. A su vez, una serie de catalizadores han agravado el conflicto a lo largo de 2021:  En primer lugar, el atasco del Canal de Suez en marzo ocasionado por el encallamiento del megabuque Ever Given, de 400 metros de eslora y capaz de transportar hasta 20.000 contenedores en un mismo viaje. El Canal de Suez es la principal vía de comunicación por mar entre Europa y Asia, y por él circulan entre 50 y 100 cargueros diariamente, o lo que es lo mismo, aproximadamente el 20% del tráfico marítimo comercial a nivel mundial (Gladstone, 2021). El navío estuvo imposibilitando el paso de otros barcos portacontenedores durante seis días, provocando graves efectos en la economía mundial además de causar un gran revuelo mediático. Figura 1.6: Datos del descenso de ingresos en clubes de fútbol a consecuencia de la COVID-19 (Fuente: Deloitte) Capítulo 2. Estado del Arte 14 mensaje de “no responde” parecido al mostrado en la Figura 2.3 (afortunadamente esto es ya más inusual debido a que los ordenadores de hoy en día incorporan procesadores cada vez más potentes). Además, hay que tener en cuenta distintos fenómenos como el rechazo, el cual se da en sistemas finitos donde la cola tiene una capacidad máxima y que de alcanzarse, no se admiten más clientes; el abandono, cuando por ejemplo se excede un tiempo máximo de espera y el cliente decide salir del sistema sin ser servido; por último, se deben considerar todos los problemas que pueden aparecer derivados del comportamiento imperfecto del ser humano que, al no ser máquinas, son capaces de no respetar a otros usuarios y saltarse la cola, etc. (Marín, 2006). 2.2.4 Mecanismo de servicio Cuando se analiza un sistema internamente, el tiempo de servicio medio (𝑡) es un parámetro que juega un rol muy importante en el comportamiento del sistema en cuestión. Es el tiempo que tarda un cliente en ser atendido una vez superada la cola en caso de haber tenido que esperar, el tiempo que tarda una máquina en procesar una unidad de trabajo, etc. A partir de este parámetro obtenemos la tasa de servicio media, es decir, 𝜇 =  . Como puede observarse en la Figura 2.4, se denomina 𝑇 al tiempo que tarda el cliente en ser atendido, mientras que 𝑄𝑇, por sus siglas en inglés “tiempo de cola” (queue time), es el tiempo que pasa dicho cliente en el buffer esperando. La suma de ambos parámetros es igual al tiempo de ciclo (𝐶𝑇 = 𝑄𝑇 + 𝑇), que es el tiempo total que pasa el cliente en el sistema desde que llega hasta que lo abandona. Figura 2.3: Ejemplo de mensaje de Windows al saturarse el procesador del PC (Fuente: tecnotec.es) Figura 2.4: Distintos parámetros de tiempo en el análisis interno (Fuente: elaboración propia) El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 15 Adicionalmente, cuando los servidores son máquinas existen tres casos extraordinarios que han de ser considerados a la hora de estudiar un problema de Teoría de Colas ya que alteran el tiempo de servicio de las mismas. Estos son: 1. Reprocesado: consiste en volver a procesar aquellas unidades que presentan defectos. Se conoce o se estima una fracción defectuosa 𝑝 a partir de la cual se calcula el nuevo tiempo de servicio medio que llamamos tiempo efectivo medio: 𝑡= . Cabe anotar que los trabajos defectuosos no pasan por la cola de nuevo. 2. Paradas planificadas: son paradas programadas en las máquinas de antemano para set-ups, mantenimiento, etc. El tiempo efectivo medio queda como sigue: 𝑡= 𝑡+  donde 𝑡 es el tiempo de parada, y 𝑛 el nº medio de trabajos entre paradas. 3. Averías: son paradas no previstas donde una vez resuelta la avería, el trabajo continúa desde donde se quedó. El 𝑡 de este caso se calcula a partir de una disponibilidad 𝐴 de la máquina que a su vez depende de dos datos. Estos son el tiempo entre fallos 𝑇 , que sigue una distribución Exponencial, y el tiempo de reparación del fallo 𝑇. Así, 𝐴 =   , y de ahí, 𝑡= . 2.2.5 Flujo de salida Se refiere a los clientes que van abandonando el sistema una vez han sido atendidos. Análogamente a la fuente de entrada, si se denomina 𝐷(𝑡) al número de unidades que han salido del sistema hasta el instante 𝑡, entonces la tasa de salida será 𝑇𝐻(𝑡)=() . Sin embargo, como ya se explicó anteriormente, el parámetro que presenta mayor interés en este caso en el estudio del flujo de salida es la tasa de salida media: 𝑡ℎ = 𝑙𝑖𝑚→𝑇𝐻(𝑡). También 𝑡ℎ =   siendo 𝑡 el tiempo medio entre salidas. 2.2.6 Congestión La congestión 𝜌 de un proceso viene dada por el cociente entre la tasa de entrada media y la tasa de salida media, 𝜌 =  . Así, los sistemas que cumplan la condición de estabilidad tendrán una congestión 𝜌 ≤ 1 , es decir 𝜆 ≤ 𝜇 y por tanto 𝑡ℎ = 𝜆 (𝑡= 𝑡); si por el contrario el sistema se encuentra desbordado y por tanto es inestable, 𝜌 > 1, por lo que 𝜆 > 𝜇 y entonces 𝑡ℎ = 𝜇. Este último caso de inestabilidad se traduce en una acumulación cada vez mayor de clientes en la cola que, prolongada en el tiempo, conduce al sistema hasta el colapso. Se puede afirmar por tanto que cualquier proceso inestable acaba siendo antes o después insostenible también. Capítulo 2. Estado del Arte 16 2.2.7 Balance de masa Como se ha visto en los puntos sobre los flujos de entrada y salida, 2.2.1 y 2.2.5 respectivamente, se denominan 𝐴(𝑡) y 𝐷(𝑡) al número de clientes que entran y salen del sistema respectivamente hasta un instante 𝑡. Estos dos parámetros junto a 𝑁(𝑡), que es el nº de unidades que se encuentran en el sistema en ese instante 𝑡 (ya sea en cola o siendo atendidos), permiten realizar un balance de masa bastante sencillo: 𝐴 ( 𝑡 ) = 𝐷 ( 𝑡 ) + 𝑁 ( 𝑡 ) (2.1) Este balance ayuda a ver que para que un sistema se mantenga estable en el tiempo es condición imprescindible que 𝑙𝑖𝑚→ () = 0; lo contrario implica una congestión 𝜌 > 1 que antes o después supondría el colapso del sistema. 2.2.8 Capacidad del sistema Se conoce como capacidad de un proceso (𝑡ℎ∗) al máximo valor de flujo externo que mantiene el proceso estable (𝜌 < 1). Dicho de otro modo, sería como llevar el sistema al límite de la estabilidad donde aún no se alcanza el colapso, es decir congestión 𝜌 = 1, y ver en ese instante cuánto flujo de entrada (o de salida puesto que aún serían equivalentes) está siendo absorbido y procesado por el sistema. Al aumentar el número de servidores activos (más máquinas procesando trabajos simultáneamente) y pasar así de sistema monocanal a multicanal, resulta más difícil alcanzar ese límite en la congestión, lo que se traduce en que el sistema tiene una mayor capacidad. No hay que olvidar que ahora, al calcular la congestión del nuevo sistema, se debe contemplar el mayor número de servidores; si 𝑐 es el número total de máquinas en funcionamiento (en sistemas monocanal, 𝑐 es igual a 1), entonces 𝜌 =  ∗ . Este último caso de sistemas multicanal consiste principalmente en un solo buffer que nutre a las distintas 𝑐 máquinas (diagrama (a) en la Figura 2.5), aunque también podría tratarse de una configuración alternativa consistente en distintas colas para cada canal (diagrama (b) en dicha Figura) (García Sabater, 2016). (a) (b) Figura 2.5: Distintas configuraciones de sistemas multicanal (Fuente: elaboración propia) El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 17 Por último, es preciso apuntar que un error común a la hora de tratar con varios servidores es pensar que el tiempo de servicio disminuye. Así, no es cierto que una estación con 𝑐 máquinas idénticas con tiempo medio de operación 𝑡 equivalga a una estación con una sola máquina con tiempo medio de operación  . El 𝑡 de cada máquina es independiente del número 𝑐 de máquinas idénticas que se encuentren activas. 2.2.9 Ley de Little La Ley de Little proporciona una relación muy útil entre el tiempo de espera y el tamaño de la cola (Esteban Velázquez, 2018). Estos parámetros son de suma relevancia en el estudio de un problema de Teoría de Colas:  𝑤: inventario medio en proceso (o número de clientes en total en el sistema)  𝑤𝑞: inventario medio en cola o longitud del buffer (excluyendo las unidades que están en servicio)  𝑐𝑡: tiempo de ciclo en promedio. Como vimos anteriormente, equivale a la suma del tiempo de cola más el tiempo de servicio (𝑐𝑡 = 𝑞𝑡 + 𝑡)  𝑞𝑡: tiempo de cola o tiempo de espera en el sistema para cada cliente (excluyendo el tiempo de servicio) Así, Little consigue en su fórmula relacionar estos parámetros a través de la tasa de entrada media 𝜆 obteniendo: 𝑤 = 𝜆 ∗ 𝑐𝑡 (2.2) Y en referencia a la cola: 𝑤𝑞 = 𝜆 ∗ 𝑞𝑡 (2.3) Capítulo 2. Estado del Arte 18 2.2.10 Redes de colas Son sistemas más complejos en los que los clientes o trabajos van pasando de una estación a otra. En otras palabras, una red de colas está formado por varios subsistemas donde la fuente saliente de uno de ellos compone, total o parcialmente, la fuente de entrada del siguiente. Existen tres tipos:  En serie: las distintas estaciones están conectadas entre sí en cadena de manera que el flujo de clientes va pasando por todas las estaciones en el mismo orden. En las estaciones en serie el flujo de entrada de cada estación es igual al flujo de salida de la estación anterior. Cabe recordar que en las Figuras que esquematizan sistemas de colas mostradas a lo largo de este documento, se utilizan triángulos para la representación de las colas y, análogamente, círculos para los servicios.  Split: el flujo de salida de una estación se divide y abastece a 𝑛 nuevos subsistemas. El sumatorio de los flujos de entrada de cada estación 𝑖 es igual al flujo saliente de la estación origen: 𝑡ℎ = ∑𝜆(𝑖)   . A su vez, 𝜆(𝑖)= 𝑡ℎ ∗ 𝑝(𝑖) donde 𝑝(𝑖) es la parte proporcional de flujo 𝑡ℎ que absorbe cada estación 𝑖. Figura 2.7: Diagrama de ejemplo de split con 𝑛 estaciones (Fuente: elaboración propia) 𝑡 ℎ ( 1 ) ( 𝑖 ) ( 𝑛 ) 𝑝 ( 𝑖 ) 𝜆 ( 𝑖 ) 𝑡 ℎ ( 3 ) 𝑡 ℎ ( 2 ) = 𝜆 ( 3 ) 𝑡 ℎ ( 1 ) = 𝜆 ( 2 ) 𝜆 ( 1 ) (2) (3) (1) Figura 2.6: Diagrama de ejemplo de 3 estaciones dispuestas en serie (Fuente: elaboración propia) El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 19  Join: opuestamente al split, en el caso join el flujo de entrada de una estación está compuesto por la suma de los flujos de salida de las 𝑛 estaciones previas. De este modo tenemos que 𝜆 = ∑𝑡ℎ(𝑖)   . Por otro lado, el estudio de la capacidad en un sistema de redes de colas es algo más complejo que en procesos de una sola etapa. Como se ha visto en el punto 2.2.8, la capacidad de un sistema (𝑡ℎ∗) se define como el máximo valor del flujo externo (𝛾) que mantiene el proceso estable. Así, existirá una estación 𝑏 de la red la cual, si se incrementase el flujo externo 𝛾, esta se congestionaría antes que el resto de las estaciones (𝜌(𝑏)= 1). Decimos entonces que la estación 𝑏 es el cuello de botella del proceso global y el flujo externo al cual se congestiona 𝑏 es la capacidad del sistema: 𝑡ℎ∗= 𝛾 (Suñé, Gil and Arcusa, 2004). La estación cuello de botella es siempre la que tiene una mayor congestión y por tanto la que marca la velocidad del proceso global independientemente de 𝛾, por lo que identificarla no debe suponer grandes dificultades. Pero ¿cómo se calcula el valor de 𝛾 al cual la estación 𝑏 se congestiona? Es decir, ¿cuál es el máximo flujo externo posible para que el sistema continúe siendo estable? Pues bien, una vez identificado el cuello de botella del proceso, sabiendo que la capacidad de una estación se calcula como 𝜌(𝑏)= () ()∗() (ver de nuevo el punto 2.2.8) y poniendo 𝜆(𝑏) en función de 𝛾, ya solo quedaría igualar a 1 y despejar 𝛾. Así, 𝜌 ( 𝑏 ) = 𝜆 ( 𝑏 ) 𝑐 ( 𝑏 ) ∗ 𝜇 ( 𝑏 ) = 𝛼 ( 𝑏 ) 𝑐 ( 𝑏 ) ∗ 𝜇 ( 𝑏 ) ∗ 𝛾 = 1 (2.4) donde se ha aplicado que 𝛼(𝑖)=() . Finalmente, tras despejar, queda que la capacidad máxima de la red de colas en cuestión 𝛾 es como sigue: 𝛾  á  = 𝑡 ℎ ∗ = 𝑐 ( 𝑏 ) ∗ 𝜇 ( 𝑏 ) 𝛼 ( 𝑏 ) (2.5) ( 1 ) ( 𝑖 ) ( 𝑛 ) 𝑡 ℎ ( 𝑖 ) 𝜆 Figura 2.8: Diagrama de ejemplo de join con 𝑛 estaciones (Fuente: elaboración propia) Capítulo 2. Estado del Arte 20 2.2.11 Resumen de la nomenclatura 𝐴(𝑡): número de unidades que han entrado en el proceso hasta el instante 𝑡 𝐷(𝑡): número de unidades que han salido del sistema hasta el instante 𝑡 𝑁(𝑡): nº de unidades que se encuentran en el sistema en ese instante 𝑡 𝑡: tiempo medio entre llegadas 𝜆: tasa de entrada media 𝑡: tiempo medio de servicio 𝜇: tasa de servicio media 𝑡: tiempo medio entre salidas 𝑡ℎ: tasa de salida media 𝜌: congestión del sistema 𝑐𝑡: tiempo medio de ciclo 𝑞𝑡: tiempo medio de cola 𝑡: tiempo efectivo medio 𝑐: número de servidores activos 𝑡ℎ∗: capacidad del sistema 𝑤: inventario medio en proceso 𝑤𝑞: inventario medio en cola 𝛾: flujo externo de entrada al sistema 𝛾á: flujo externo máximo que mantiene el sistema estable en una red de colas 𝑏: estación cuello de botella del sistema 𝛼(𝑖): relación entre flujo de entrada de estación 𝑖, 𝜆(𝑖), y flujo externo 𝛾 2.2.12 Notación de Kendall Existe una forma de denominar a los problemas de Teoría de Colas que, inventada por David G. Kendall (1953) (Adan and Resing, 2001), recoge en una única expresión las principales características del sistema en cuestión. La Notación de Kendall se basa en cinco parámetros separados por barras aunque a menudo se utilizan únicamente los tres primeros: 𝐴 | 𝐵 | 𝑋 | 𝑌 | 𝑍 El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 21 donde A: alude a la distribución del tiempo entre llegadas B: indica el patrón del proceso de servicio X: es el número de servidores activos (equivalente a 𝑐) Y: número máximo de clientes que caben en el sistema (incluido los que están en servicio) Z: disciplina de la cola A su vez, los campos de la A y B suelen adquirir alguno de estos tres posibles valores:  M: si se trata de una distribución exponencial. La M viene de la palabra inglesa ‘memoryless’, es decir, sin memoria  D: para tiempos entre llegadas/servicios deterministas (son conocidos con exactitud)  G: en caso de que los tiempos siguen una distribución general Por ejemplo, el problema 𝐷|𝑀|1|20|𝑆𝐼𝑅𝑂 implicaría tiempos entre llegadas deterministas, la distribución de los tiempos de servicio exponencial, un solo servidor, capacidad para un total de 20 clientes (19 en cola y 1 en servicio) y disciplina de cola SIRO, es decir, servicio en orden aleatorio. Como se ha dicho anteriormente, a menudo se ignoran los dos últimos campos, Y y Z, lo cual quiere decir que la capacidad es infinita y la disciplina de la cola es FIFO. Así, 𝐺|𝐷|2 signficaría un caso en el que las llegadas siguen una distribución general, el tiempo de servicio es determinista, que el sistema cuenta con dos canales, la capacidad del mismo es infinita y la disciplina de cola utilizada es FIFO. 2.3 Teoría de Colas aplicada en la vida real A pesar de que a priori uno puede pensar que este campo de las matemáticas solo es práctico en ciertas situaciones concretas y complejas, la realidad es que la Teoría de Colas encuentra utilidad en multitud de escenarios y contextos cotidianos. Una vez explicados los conceptos teóricos más importantes de Teoría de Colas, a continuación se muestran algunas de las muchas y distintas aplicaciones que tiene este campo de las matemáticas y la estadística tanto en la industria como en el sector servicios. 2.3.1 Sistemas de colas en la industria La Teoría de Colas juega un papel fundamental en el diseño y la planificación de los sistemas de producción. En todas las fábricas un proceso productivo comienza con un estudio en el cual se tiene en cuenta diversos factores tales como las dimensiones de la planta, las características del producto en cuestión, el orden de las máquinas y sus respectivos tiempos de servicio, en qué lugares de la línea de fabricación pueden permitirse colas y la disciplina de cada una de ellas, dónde se encuentra el cuello de botella del proceso, las tasas de entrada y salida, la capacidad del sistema, etc. Capítulo 2. Estado del Arte 22 El mundo de la logística y el transporte de mercancías es otro ámbito que sin lugar a dudas se rige en gran medida por la Teoría de Colas. La gestión de inventarios y almacenes, el transporte de cargas por tierra, mar o aire o la logística de aprovisionamiento por citar solo algunos ejemplos son tareas donde una mala planificación en términos de tiempos de espera en cualquiera de las distintas fases trae consigo fatales consecuencias. En una cadena de suministro o un canal de distribución, cuando existe un pequeño error en etapas tempranas de la misma, este se va magnificando cada vez más y más a lo largo de la cadena hasta el punto de suponer en muchas ocasiones enormes pérdidas económicas. Este fenómeno es conocido como ‘bullwhip effect’ o efecto látigo (Cómo controlar el ‘bullwhip effect’ o efecto látigo en logística, 2019), y demuestra que una correcta aplicación de conocimientos de Teoría de Colas se suele traducir en el ahorro de muchos disgustos y grandes cantidades de dinero para una empresa. 2.3.2 Sistemas de colas en el sector servicios En lo que respecta al sector servicios, se pueden clasificar los distintos sistemas de colas en cuatro grandes grupos según el tipo de servicio que prestan: servicio comercial, servicio de transporte, servicio interno y servicio social. 1. Servicio comercial: Los sistemas de servicio comercial son aquellos en los cuales los clientes, por lo general humanos, reciben un determinado servicio proporcionado por una organización comercial. En esta categoría el tipo de relación servidor-cliente más común es de persona a persona, como ocurre por ejemplo en una cafetería (los camareros son los servidores) o en las cajas de los supermercados (donde se aprecia además que los canales de servicio están dispuestos en paralelo). Sin embargo, también existen otras configuraciones de dicha relación posibles como ocurre por ejemplo en los túneles de lavado donde tanto los servidores como los clientes son máquinas, las máquinas de cobro de los párkings públicos donde esta vez los servidores son máquinas automáticas, o los sistemas que se crean cuando una empresa facilita soporte técnico a domicilio a sus clientes (es el servidor quien va hacia el cliente y no al revés como suele ocurrir). 2. Servicio de transporte: Por su parte, en el grupo de los sistemas de servicio de transporte los vehículos pueden adquirir tanto el rol de servidores (taxis, autobuses, ascensores, etc.) como de clientes (caso de peajes o aviones pidiendo permiso para despegar). 3. Servicio interno: La Teoría de Colas también se utiliza, cada vez más, con fines organizativos. Son muchas las empresas que utilizan estos conocimientos para gestionar parte de su plantilla e intentar así ser lo más eficientes posible. Esto se ve muy claro en equipos de mantenimiento o inspección, donde las máquinas a reparar o los objetos/lugares a inspeccionar actúan como clientes, y los empleados Figura 2.9: Bullwhip effect (Fuente: elaboración propia) El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 23 encargados de realizar estas tareas como servidores. Son los denominados sistemas de servicio interno (Esteban Velázquez, 2018). 4. Servicio social: Por último, la categoría de sistemas de servicio social permite ver que en prácticamente cualquier contexto resulta de suma utilidad la aplicación de Teoría de Colas: hospitales, bibliotecas, juzgados, comisarías, etc. Todos estos escenarios se reducen al fin y al cabo a un problema de eficiencia donde la realización de un análisis mediante un modelo y el estudio de ciertos parámetros clave como la tasa de entrada y de servicio o la cantidad de trabajos/clientes en proceso ayuda inmensamente a lograr un sistema optimizado y eficiente. Además, conocer en qué punto del sistema de alcanza antes la congestión total y por qué ocurre así, saber cómo varía el comportamiento del mismo ante un cambio del método de selección de clientes de la cola, dónde convendría colocar más canales de servicio o determinar la mejor distribución de las distintas etapas de la red de colas es información muy valiosa en aras de mejorar todo el proceso objeto de estudio, tanto desde el punto de vista de la institución que ofrece el servicio, la cual haría un mejor uso de los fondos públicos, como de los clientes, quienes lógicamente quedarían más satisfechos con el servicio recibido. Capítulo 3. Desarrollo 30 El diagrama de flujos mostrado en la Figura 3.2 traducido a lenguaje Python queda como sigue: 40 def arrival(self): 41 self.num_arrivals+=1 42 self.num_in_system+=1 43 44 if self.num_in_q==0: #queue=0, 2 possible cases 45 flag=0 46 for x in range(self.N): 47 if self.state[x]!=1: 48 flag=1 49 if flag==0: #1: all servers are busy so arrival joins queue 50 self.num_in_q+=1 51 self.number_in_queue+=1 52 self.t_arrival=self.clock+self.gen_int_arr() 53 54 else: #2: at least 1 server is idle 55 idle=[] 56 for x in range(self.N): 57 if self.state[x]==0: 58 idle.append(x) 59 random=np.random.choice(idle) 60 self.state[random]=1 61 aux=self.gen_service_time_nurse() 62 self.dep_sum[random]+=aux 63 self.t_departure[random]=self.clock+aux 64 self.t_arrival=self.clock+self.gen_int_arr() 65 66 else: #queue>0, arrival joins queue 67 self.num_in_q+=1 68 self.number_in_queue+=1 69 self.t_arrival=self.clock+self.gen_int_arr() Por su parte, si la rutina de tiempos identifica que el siguiente evento programado se trata de una salida de un paciente del sistema, se efectúa la misma actualizando contadores estadísticos. Acto seguido se presta servicio a una nueva persona de la cola con lo que la longitud de esta disminuye en una unidad, y se programa el nuevo tiempo de salida en el puesto de vacunación correspondiente. En caso de que esto sea imposible por no haber nadie esperando en ese momento, simplemente se marca el estado de dicho puesto como libre y el tiempo de salida se establece en el infinito para que este no interfiera en la determinación del siguiente evento a ser considerado (de igual manera que se hizo en la rutina de inicialización). El diagrama de flujos en caso de considerarse una salida queda como sigue: El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 31 Homólogamente a la función de llegada, a partir del diagrama de flujos de la Figura 3.3 se codifica una nueva función en Python dentro de la clase que recoge las dos opciones posibles tras un evento de salida del sistema: 72 def nurse(self,servernumber): 73 self.num_of_departures[servernumber]+=1 74 self.num_in_system-=1 75 76 if self.num_in_q>0: #1: queue>0, set new departure 77 aux=self.gen_service_time_nurse() 78 self.dep_sum[servernumber]+=aux 79 self.t_departure[servernumber]=self.clock+aux 80 self.num_in_q-=1 81 82 else: #2: queue=0, make nurse idle 83 self.state[servernumber]=0 84 self.t_departure[servernumber]=float('inf') Figura 3.3: Diagrama de flujos de las distintas posibilidades que existen tras la salida de un individuo del sistema (Fuente: elaboración propia) Capítulo 3. Desarrollo 32 3.2.2.5 Generación de tiempos de llegada y tiempos de servicio A pesar de que el programa de vacunación contra el coronavirus en España incluye un sistema de citas según el cual los ciudadanos van siendo estratégicamente convocados a vacunarse en el lugar que corresponda, generalmente, en las simulaciones por eventos discretos de situaciones como la de este caso, la fuente de entrada se modela asumiendo que el proceso de llegadas sigue una distribución de probabilidad discreta cuyos eventos se asemejan a la distribución de Poisson. En Python, lo anterior se programa a través de una función dentro de la clase que utiliza el método de la transformada inversa para generar tiempos entre llegadas 𝑡 exponenciales (Andhika Viadinugroho, 2021) donde se ha estimado una tasa media de llegadas 𝜆 al sistema de 2 personas por minuto (es decir, 𝑡≅ 0,5). Esta valoración se basa en la cantidad de servidores activos a la vez (𝑐 = 6) y en la presunción de que la convocatoria a la ciudadanía a través de las citas se realiza teniendo en cuenta el volumen de flujo externo que el sistema puede absorber sin desbordarse. En cuanto a los tiempos de servicio por parte de los servidores, teóricamente estos deberían ser deterministas, es decir, el tiempo que tardan siempre todos los enfermeros en administrar una dosis a cualquier persona no tiene una incertidumbre significativa y, por tanto, se estima que es siempre igual a cierto valor. Sin embargo, la realidad no es tan perfecta. Personas aprensivas que tardan más tiempo en ser servidas o posibles incidencias en el proceso de identificación del ciudadano previamente a la inoculación hacen que exista una pequeña variabilidad en el servicio individual a cada persona que no debe ser ignorada. Así, la simulación se ha programado considerando una función que genera tiempos de servicio 𝑡 aleatorios dentro de un estrecho rango con una media estimada de 2 minutos y 20 segundos (𝜇 ≅ 0,426). Este tiempo de servicio incluye tanto la identificación del individuo ya en el puesto al que fue asignado como la inoculación. 87 def gen_int_arr(self): #function to generate interarrival times 88 return (-np.log(1-(np.random.uniform(low=0.0,high=1.0)))*0.5) 89 90 def gen_service_time_nurse(self): #function to generate service times 91 return (np.random.uniform(low=1.9,high=2.8)) Hay que apuntar que se ha confirmado que estas estimaciones de tiempos utilizadas para la generación del flujo de entrada y en el proceso de servicio gozan de similitud con la realidad tras haber contrastado estos inputs con un enfermero amigo que estuvo trabajando en el lugar durante varios meses. 3.2.2.6 Notación de Kendall del caso Llegados a este punto, y como el proceso de servicio sí es determinista en el largo plazo, que es donde se centra el interés del problema, se puede afirmar que la Notación de Kendall de la situación simulada en este estudio es M | D | 6 | 70 | FIFO como ya se avanzó anteriormente. En resumen: procesos de llegada y servicio de Poisson y determinista respectivamente, seis servidores El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 33 trabajando simultáneamente, capacidad máxima del sistema de 70 personas (aunque esto nunca supondrá un problema) y First In First Out como método utilizado de selección de clientes de la cola. 3.2.2.7 Ejecución de la simulación Una vez que ya se tienen todas las funciones necesarias para ejecutar la simulación dentro de la clase, solo queda el último paso: ejecutar el modelo. Se ha decidido realizar 100 iteraciones del modelo con el fin de lograr unos resultados más fiables. Cada una de estas repeticiones simula una jornada completa de 14 horas del Punto de Vacunación en funcionamiento. Los datos resultantes de todas ellas se van almacenando en una hoja de cálculo, con lo que al final se obtiene un archivo Excel con valiosa información para un posterior análisis. Los parámetros que incluye esta hoja de resultados son:  Número total de personas vacunadas en la jornada  Tiempo medio entre llegadas  Grado de utilización medio de los seis servidores o puestos de vacunación  Porcentaje de clientes que tuvieron que esperar  Tiempo medio de espera en la cola 95 s = Simulacion_Vacunacion() 96 df=pd.DataFrame(columns=['People vaccinated','Average interarrival time', 'Average utilization of nurses','% that had to wait in line','Average waiting time']) 97 98 for i in range(100): 99 np.random.seed(i) 100 101 s.__init__() 102 while s.clock <= 840: #14h*60min=840 103 s.time_adv() 104 105 total_departures = sum(s.num_of_departures) 106 aux=0 107 for k in range(s.N): 108 aux += s.dep_sum[k]/s.clock 109 avg_utilization = aux/s.N 110 111 a=pd.Series([total_departures,s.clock/s.num_arrivals, avg_utilization, (s.number_in_queue/s.num_arrivals)*100, s.total_wait_time/s.number_in_queue],index=df.columns) 112 df=df.append(a,ignore_index=True) 113 114 df.to_excel('Resultados_Vacunacion.xlsx') 35 4 RESULTADOS n este capítulo se analizarán los resultados obtenidos con el modelo de simulación desarrollado para el punto de vacunación temporal situado en la Facultad de Derecho de la Universidad de Sevilla. A su vez, se simularán otros escenarios con configuraciones alternativas y donde los recursos disponibles son empleados de distinta manera con el fin de comparar los outputs y extraer conclusiones. 4.1 Aclaraciones previas Antes de valorar los resultados, es pertinente hacer una serie de aclaraciones sobre los mismos: 1. Como se ha explicado en el capítulo anterior, el modelo creado realiza un total de 100 simulaciones equivalentes a 100 jornadas de vacunación con el fin de conseguir unos datos más fiables. Cada una de estas simulaciones arroja una fila de resultados en la hoja de cálculo con lo que, al ejecutar el modelo, se generan una gran cantidad de datos brutos que han de ser limpiados previamente a su interpretación. Así, se ha realizado la media aritmética de estas 100 filas de datos de modo que al final lo que se obtiene son los resultados de una única simulación promedio sobre los que se desarrolla el posterior análisis. 2. El parámetro “porcentaje que tuvo que esperar en cola” no es más que la proporción de personas que pasaron por la línea de espera en comparación con el total de individuos que llegaron al sistema. Se asume que este número de llegadas es igual al “número total de personas vacunadas”, es decir, nadie abandona el lugar antes de tiempo por motivos tales como una larga longitud de la fila por citar algún ejemplo. Esta última casuística sería perfectamente programable en el modelo a través de una estimación de la probabilidad que tiene un individuo de abandonar el sistema sin ser servido en caso de que el número de personas en cola fuese mayor a un determinado valor x; sin embargo, al tratarse de un asunto sanitario donde la ciudadanía acude con citas, no se ha creído conveniente incluirla. 3. Para el cálculo del “tiempo medio de espera” se han tenido en cuenta únicamente a los pacientes que pasaron por la fila. 4. La “utilización media de los servidores” se refiere al nivel de aprovechamiento promedio conjunto de los seis enfermeros donde un 100% implicaría que se ha estado vacunando sin parar ni un E Capítulo 4. Resultados 36 instante. Tiene sentido realizar la media de los seis puesto que se ha considerado que los tiempos de servicio de todos ellos son iguales y deterministas. Si la tasa de servicio 𝜇 de alguno de los enfermeros fuese claramente distinta a la de los demás como ocurre, por ejemplo, en situaciones donde uno de los servidores se encuentra en proceso de aprendizaje, entonces se consideraría la utilización media de cada uno de ellos por separado. 4.2 Datos obtenidos El modelo de simulación devuelve en primera instancia una gran cantidad de datos que hay que formatear antes de ser interpretados y extraer cualquier tipo de conclusiones. La Figura 4.1 muestra una parte de la hoja de cálculo de Excel donde puede apreciarse que los respectivos outputs de las distintas replicaciones de la simulación difieren muy ligeramente entre sí: Figura 4.1: Captura de pantalla de la hoja de cálculo de Excel formateada para unos resultados visualmente más limpios (Fuente: elaboración propia) El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 37 El último paso previo a la lectura de resultados es la realización de las respectivas medias aritméticas con el objetivo de alcanzar la simulación promedio como se explicó en las aclaraciones realizadas anteriormente. Tras este proceso, los resultados finales a analizar recogidos en una tabla quedan como sigue: Número total de personas vacunadas 1.675,94 Porcentaje que tuvo que esperar en cola 46,31 % Tiempo medio de espera (minutos) 1,02 Utilización media de los servidores 78,37 % Tasa media de entrada (personas/minuto) 2,01 Figura 4.2: Tabla resumen de resultados promedio de la simulación (Fuente: elaboración propia) 4.3 Análisis de resultados Entre los resultados de la Figura 4.2 destacan las casi 1.700 personas que el modelo de simulación calcula que pueden ser inoculadas cada jornada de 14 horas de duración con únicamente 6 enfermeros activos simultáneamente. Este dato representa un ritmo de vacunación realista y acorde con la realidad si se pone en contexto, y es que según fuentes consultadas, la capacidad máxima (es decir, funcionando a pleno rendimiento) del punto de vacunación más grande de Sevilla, el vacunódromo implementado en el Estadio de la Cartuja, ascendía a entre 6.000 y 7.000 inoculaciones diarias con los 16 boxes que se habilitaron inicialmente trabajando a la vez (M. J. López, 2021). Es importante recalcar que este dato del nivel de vacunación se alcanza con una utilización media de los servidores que no llega al 80%. En otras palabras: teóricamente, el sistema aún podría absorber un mayor flujo de entrada respecto al establecido. Sin embargo, convocar a más pacientes para aumentar así el volumen de llegadas no siempre sería conveniente porque, aparte de que la fuente de entrada no se comporta de forma lineal a lo largo del día (a pesar de las citas, acude menos gente a vacunarse a primera hora de la mañana y a la hora de comer), es crucial que en el ambiente de trabajo no se respire demasiado estrés y exista cierto margen para que el sistema no colapse a las primeras de cambio ante incidencias de cualquier tipo. Resulta interesante comprobar que calculando matemáticamente la congestión del sistema como se explicó en el Capítulo 2 se obtiene el mismo valor de utilización media que a través de la simulación: 𝜌 = 𝜆 𝑐 ∗ 𝜇 = 2 6 ∗ 0 , 426 = 0 , 783 = 78 , 3 % (4.1) En cuanto al proceso de espera del sistema, con una tasa de entrada media de prácticamente 2 personas por minuto (equivalente a un tiempo medio entre llegadas 𝑡 de medio minuto tal y como fue Capítulo 4. Resultados 38 programado), la simulación reporta que aproximadamente el 46% de los vacunados han de pasar por la cola previamente a recibir la dosis. Esto entra dentro de lo que cabía prever; no obstante, el dato más positivo entre los resultados obtenidos radica en que estos pacientes únicamente deben aguardan su turno durante un tiempo medio de cola 𝑞𝑡 que oscila entre los 45 segundos y el minuto y medio antes de ser asignados a un puesto de vacunación, con lo que se consigue que la línea de espera nunca alcance una longitud excesiva. Llegados a este punto, ya se tienen los datos necesarios para calcular otro parámetro de gran relevancia en el estudio de un sistema de colas: el tiempo medio de ciclo, 𝑐𝑡. El tiempo total que cada individuo pasa en promedio en el sistema no es más que la suma del tiempo medio de cola y el tiempo medio de servicio, con lo que se tiene que en el punto de vacunación de la Facultad de Derecho, el tiempo medio de ciclo es de 3 minutos y 22 segundos, el cual ha sido calculado como sigue (en sistema decimal): 𝑐𝑡 = 𝑞𝑡 + 𝑡  = 1 , 02 + 2 , 35 = 3 , 37 s (4.2) Por último, cabe destacar que no tiene sentido realizar un análisis en busca de cuellos de botella debido a que se ha considerado que todos los servidores trabajan al mismo ritmo. Por tanto, si llega un volumen de trabajo inasumible y estos se desbordan, lo hacen todos a la vez. 4.4 Capacidad máxima del sistema El cálculo de la capacidad máxima 𝑡ℎ∗ del sistema se realiza imponiendo en la fórmula matemática de la congestión utilizada recientemente una utilización media límite igual a la unidad (𝜌 = 1): 𝑡 ℎ ∗ = 𝜆 ∗ =  ∗   =  ∗  ,   = 2 , 553 pers./min. (4.3) Esto quiere decir que el sistema es capaz de absorber una tasa de entrada máxima de 𝜆∗= 2,553 personas por minuto (𝑡 ∗≅ 0,392 𝑠) sin colapsar. Simulando este caso límite con el modelo desarrollado se obtienen los siguientes resultados: Número total de personas vacunadas 2.102,94 Porcentaje que tuvo que esperar en cola 94,79 % Tiempo medio de espera (minutos) 9,17 Utilización media de los servidores 98,30 % Tasa media de entrada (personas/minuto) 2,553 Figura 4.3: Tabla resumen de resultados promedio en el caso de congestión límite (Fuente: elaboración propia) El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 39 Con este input, la utilización media de los servidores lógicamente se aproxima al 100%. Se observa que el número total de personas vacunadas por día aumenta en un 25,48% hasta superar los 2.100 pacientes, mientras que ahora la gran mayoría de la gente ha de pasar por la cola con un tiempo medio de espera mucho más variable con media ligeramente superior a los 9 minutos. A pesar de los evidentes peores resultados en lo que respecta al proceso de espera, estos no son disparatados gracias a que en el caso de congestión límite 𝜌 = 1, el sistema aún continúa siendo estable (la inestabilidad comienza a partir de 𝜌 > 1). Sin embargo, como se ha explicado anteriormente y aunque el ritmo de vacunación sea mayor, no es conveniente trabajar en estos niveles de congestión por peligro de desborde del sistema ante cualquier mínima incidencia. 4.5 Estudio de escenarios alternativos Una vez se ha estudiado tanto el comportamiento real del punto de vacunación como su evolución al imponer un flujo de entrada límite que congestione el sistema al máximo, es interesante analizar también nuevos escenarios donde ciertos recursos son empleados de distinta manera. Así, se ha simulado un juego de situaciones con el fin de observar cómo varían los resultados en función de dos parámetros configurables que hacen las veces de inputs. Estos son: 1. El número de enfermeros habilitados, de 2 a 8 servidores 2. La tasa de entrada al sistema en un rango desde 1 hasta 3 personas por minuto Se recuerda que este último parámetro puede ser modificado por parte de la organización a conveniencia dado que se basa en el sistema de asignación de citas. Por su parte, los outputs a analizar serán los siguientes: 1. El número total de personas vacunadas 2. La utilización media de los servidores 3. El tiempo medio de espera en cola, medido en minutos 4.5.1 Número total de personas vacunadas Como era de esperar, cuanto mayor es tanto el número de puestos de vacunación desplegados como el ritmo de llegada de pacientes al sistema, mayor es también el número de dosis administradas por jornada. Así, en la Figura 4.4 puede observarse cómo varía este número total de inoculaciones donde claramente el mínimo (amarillo) y el máximo (verde oscuro) se encuentran en la diagonal principal de la matriz. Capítulo 4. Resultados 46  Escalable y configurable: apropiado para situaciones de una complejidad considerable  Hardware estándar: reutilizable para escenarios futuros de distinto tipo  Proporciona información estadística útil para la implementación de mejoras en el sistema Por el contrario, entre los pocos inconvenientes que presenta esta tecnología se encuentran:  Necesidad de inversión económica inicial  Difícil de instalar únicamente de forma temporal en ubicaciones como los puntos de vacunación improvisados 47 5 CONCLUSIONES xplica el economista y escritor Tim Harford en su libro “El economista camuflado: La economía de las pequeñas cosas” que en las cajas de un supermercado, no vale la pena preocuparse por averiguar qué cola avanza más rápido. Según él, “si fuera obvio cuál es la cola que avanza más rápido, ya todos se hubiesen pasado a ella y, entonces, ya no sería la cola más rápida” (Harford, 2006). En esa misma línea, la denominada Paradoja de Braess defiende que añadir un camino alternativo o crear nuevos carriles en una red de carreteras congestionada con el fin de mejorar el flujo del tráfico termina provocando el efecto opuesto. Según este modelo teórico, desarrollado en 1968 por el matemático alemán Dietrich Braess, en vez de hacer más fluido el tráfico lo que se consigue es una situación igual o peor a la que se tenía anteriormente (Vanderbilt, 2009). Sin restar razón a estas teorías, con las cuales no cabe más remedio que estar de acuerdo una vez que se investiga un poco sobre ellas, con este proyecto se ha tratado de demostrar la gran utilidad que presenta el estudio desde el punto de vista de la Teoría de Colas de aquellas situaciones en las que se generan tiempos de espera. Mediante el análisis del problema que causa la cola y el uso de ciertas herramientas como los modelos de simulación se consiguen importantes progresos entre los que destacan el aumento de la eficiencia del sistema, la reducción de costes económicos, una gestión optimizada de los recursos disponibles o la mejora del servicio de atención al cliente en las organizaciones. En el caso concreto de los puntos de vacunación como el que protagoniza este trabajo, estos se encontraban en un contexto de emergencia sanitaria y por tanto, (en principio) no existían fines lucrativos de ningún tipo. Más bien se trataba de una carrera contrarreloj donde el principal objetivo no era otro que inmunizar al mayor número de personas posible cada día. Hubo que realizar un importante trabajo previo en términos de planificación logística de los distintos espacios y de estudio de las posibilidades de los procesos de entrada y servicio, además de estimar tanto la ampliación de capacidad necesaria en los puntos de vacunación habituales como el número de puntos de vacunación temporales que se requirieron poner en marcha. Toda esta planificación operativa siempre estuvo sujeta a diversos factores como la disponibilidad de vacunas, las condiciones de almacenamiento y el proceso de distribución de las mismas. A pesar de las difíciles circunstancias, fue de alabar el esfuerzo que se hizo por parte del Servicio Andaluz de Salud en el punto de vacunación improvisado en la Facultad de Derecho por alcanzar un equilibrio entre productividad y buen trato a la ciudadanía, y se consiguió que la actividad se desarrollase de forma fluida, acorde a lo previsto y sin riesgo de desbordamiento durante los meses en los que el punto estuvo activo. E Capítulo 5. Conclusiones 48 5.1 Potencial de las simulaciones de sistemas de colas Las simulaciones son una herramienta clave para la toma de decisiones en multitud de ámbitos, desde industrias manufactureras hasta el sector servicios pasando por el sistema sanitario como en el caso de este proyecto. Estas abren la puerta a la determinación de una gran cantidad de parámetros clave en base a criterios convenientemente seleccionados según el objetivo global del sistema sin correr el riesgo de cometer errores de bulto evitables en la práctica. En ese sentido, el modelo de simulación por eventos discretos desarrollado en los Capítulos 3 y 4 permite conocer los valores óptimos de variables cruciales como las siguientes:  Número necesario de enfermeros trabajando simultáneamente en el lugar  Utilización media que maximice la productividad sin descuidar el trato al cliente  Capacidad necesaria en la sala de espera  Horas de las citas para una coherente convocatoria a la población  Cantidad de horas de funcionamiento necesarias por parte del punto de vacunación para cumplir con los objetivos de vacunación establecidos  Número total de puntos de vacunación temporales a activar en la provincia de Sevilla Estos modelos de simulación no solo son útiles para el diseño previo del sistema de colas en cuestión, sino también para la realización de estudios de variabilidad y análisis de errores. Además, permiten experimentar sin restricciones de tiempo, distancias o dinero e incluso simular situaciones irreversibles o no éticas. 5.2 Otras aplicaciones de la Teoría de Colas relacionadas con la COVID-19 5.2.1 Gestión del riesgo de contagio en los comercios minoristas La Teoría de Colas también ha jugado un papel fundamental en el proceso de búsqueda de soluciones que concilien tanto la seguridad de la población como la viabilidad económica de los comercios tras verse estos últimos gravemente afectados por la pandemia COVID-19. A tal efecto, se han realizado numerosos estudios de la mano de biólogos que analizan la propagación del virus en tiendas físicas de distintos sectores, y que han resultado decisivos en el relanzamiento de la economía. Una de las conclusiones más interesantes a la que se llegó por medio de modelos matemáticos y probabilísticos fue que las modificaciones a realizar en los comercios con el fin de posibilitar la reapertura tras el confinamiento se debían centrar sobre todo en minimizar el tiempo de interacción entre los clientes en lugar de centrar la atención en que se respete la distancia de seguridad interpersonal de al menos 1,5 metros (Budd C., Calvert K. and Johnson S., 2021). El modelo de Teoría de Colas y su aplicación durante la pandemia COVID-19. 49 5.2.2 Estrategia de asignación de camas en el Hospital Infantil de Nanjing El departamento de rehabilitación del Hospital Infantil de Nanjing, en China, también hizo uso de la Teoría de Colas para diseñar su estrategia de gestión de un recurso tan valioso como preciado en tiempos de pandemia como son las camas de hospital. Estudios empíricos han demostrado que la estrategia de asignación de estas camas repercute directamente en la duración de la estancia hospitalaria de los pacientes e incluso en los índices de mortalidad de estos. Con la irrupción del coronavirus, el mencionado hospital explicaba en un informe cómo se vieron obligados a pasar en cada habitación de un sistema M | G | 3 | - | FIFO según su notación de Kendall, a una nueva configuración M | G | 2 | - | Priority en donde los servidores son las camas hospitalarias disponibles (Jing Hu et al., 2020). En resumidas cuentas, el cambio que forzó la crisis sanitaria consistió en la reducción del número de camas útiles en cada habitación de 3 a 2 con el objetivo de minimizar el de contagio entre los niños y la modificación del criterio por el cual se aceptaba o no el ingreso de nuevos pacientes, es decir, la disciplina de la cola: se pasó de utilizar el método convencional First In First Out a un nuevo criterio basado en la gravedad del paciente. Gracias a la nueva configuración, se aseguraba que niños con problemas serios de salud recibiesen tratamiento efectivo y a tiempo a la vez que se controlaba en la medida de lo posible el riesgo de infección por coronavirus. 5.3 Líneas futuras Encuadrada en el marco de una emergencia sanitaria a nivel mundial, la situación objeto de estudio en el presente documento se caracterizaba por encontrarse en un entorno de extrema urgencia. Así, se ha tratado de realizar un análisis del punto de vacunación de la Facultad de Derecho de la Universidad de Sevilla a través de una simulación que reflejase el escenario real con el que se encontraban los pacientes. Esto implicó el descarte en el estudio de dos importantes factores cuyas consideraciones habrían afectado significativamente al sistema:  La variabilidad de los tiempos de servicio por parte de los enfermeros: como se explicó en las aclaraciones previas al análisis de resultados, dada la urgencia de la situación se asumió que no era momento para aprendices y por tanto, todos los servidores trabajaban al mismo ritmo.  La componente económica: es evidente que de no haberse tratado de un asunto de manifiesto interés público, este aspecto habría adquirido gran relevancia y la disposición de los recursos se habría visto fuertemente condicionada por este motivo. Asimismo, a la hora de realizar otros estudios similares a este, y si las circunstancias así lo requieren, sería interesante contemplar también en el modelo de simulación la sala de reposo final donde los pacientes esperan 15 minutos antes de partir. Como se explicó en la descripción del sistema al principio del Capítulo 3, en la simulación desarrollada esta zona de espera fue omitida dado que se comprobó que era imposible que se llenase y por tanto, no tenía capacidad de impacto alguna en el proceso. Por otra parte, una línea futura de investigación que complementaría al modelo codificado en Python para este proyecto sería la utilización de softwares específicos de simulación tales como Arena o Simio por citar algunos ejemplos. La utilización de estos programas presenta una enorme utilidad potencial ya que permiten jugar fácilmente con los parámetros de entrada a través del modelado dinámico y Capítulo 5. Conclusiones 50 observar cómo se ve afectado el comportamiento del sistema de una manera mucho más gráfica. En línea con este proyecto, otro estudio que presentara gran interés es el desarrollo de una nueva simulación que ayude a analizar y mejorar el área de control de seguridad en un aeropuerto determinado. Se trata de un punto por el que irremediablemente han de pasar todas y cada una de las personas que deseen embarcar en un avión, lo que provoca que con frecuencia se generen incómodas colas que ponen en apuros el normal desempeño de la actividad en el lugar. Dado que todos los pasos requeridos desde que los pasajeros de un vuelo llegan al aeropuerto (registro o check-in en el mostrador de la aerolínea, facturación de equipaje, control de seguridad y llegada a la puerta de embarque correspondiente) tienen como referencia la hora prevista para el despegue, esta situación es susceptible de ser representada mediante un modelo de simulación por eventos discretos. Además, la necesidad de reducir al máximo las aglomeraciones a causa de la pandemia COVID-19 es un aliciente adicional para llevar a cabo este estudio. En definitiva, mientras continúen existiendo situaciones compuestas por un flujo de entrada, una cola, servidores y un proceso de salida en cualquiera de sus variadas formas, la Teoría de Colas seguirá desempeñando un papel fundamental en ámbitos organizativos para que el mundo funcione de la manera en la que lo hace actualmente. Además, en contra de lo que se puede imaginar, con la era digital donde cada vez más tareas se realizan única y exclusivamente a través de Internet, todo apunta a que en los próximos años esta área de las matemáticas y la estadística también adquirirá gran relevancia en los campos de la informática, las telecomunicaciones y las nuevas tecnologías en general. 53 Bibliografía [1] Adan, I. and Resing, J. (2001) Queueing Theory. [2] Andhika Viadinugroho, R.A. (2021) “Generate Random Variable Using Inverse Transform Method in Python,” Towards Data Science [Preprint]. 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