Diseño e Implementación de un Theremin

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica Diseño e Implementación de un Theremin Autor: Gonzalo Triano Garrote Tutor: Francisco Rogelio Palomo Pinto Dpto. Electrónica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2024 Introducción 2 3 Diseño e Implementación de un Theremin Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica Diseño e Implementación de un Theremin Autor: Gonzalo Triano Garrote Tutor: Francisco Rogelio Palomo Pinto Profesor titular Dpto. de Electrónica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2024 Introducción 4 5 Diseño e Implementación de un Theremin Trabajo Fin de Grado: Diseño e Implementación de un Theremin Autor: Gonzalo Triano Garrote Tutor: Francisco Rogelio Palomo Pinto El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2024 El Secretario del Tribunal Introducción 6 7 Diseño e Implementación de un Theremin Agradecimientos gradecer a mi familia el apoyo continuo durante todos estos años. A mis compañeros, ya amigos para toda la vida, por las horas de sueño perdidas y por acompañarnos en cada lucha hasta llegar aquí. Agradecer a Rogelio el haberme transmitido su pasión por la electrónica y su defensa acérrima de la válvula de vacío. Gracias también a Andrés y Agustín, por su útil ayuda y consejos en el laboratorio. A Introducción 8 Resumen Este proyecto consiste en la implementación de un theremin mediante el desarrollo de un prototipo de laboratorio, partiendo de un diseño de electrónica analógica típico del instrumento. El objetivo es la generación de una señal de audio controlable por las antenas tradicionalmente instaladas en el instrumento, de manera que se alcance una funcionalidad lo más musical posible, pudiendo variar el tono y volumen percibidos por el oyente. 9 Diseño e Implementación de un Theremin Abstract This project involves the implementation of a theremin through the development of a laboratory prototype, based on a standard analog electronics design of the instrument. The main objective is the generation of a controllable audio signal via the traditionally installed antennas, aiming to achieve a musical functionality that allows for variations in pitch and volume as perceived by the listener. El Theremín: invención, evolución e influencia cultural 16 Ilustración 5: Esquemático del circuito original implementado en el theremín de RCA [5]. La década de 1950 supuso un salto en la popularidad y desarrollo del theremín. La expansión de la electrónica abrió puertas para el uso y diseño de dispositivos por parte de muchos usuarios, y así aparecieron revistas como la Popular Electronics, la cual publicó un artículo educativo en 1955 para la construcción de un modelo theremín básico. Ilustración 6: Portada del artículo de Popular Electronics para la construcción de un theremín (1955) [6]. Una figura destacada en esta década fue Robert Moog [7], quien por aquel entonces era un joven ingeniero estadounidense con interés en los instrumentos musicales electrónicos y que aprendió a construir un theremín siguiendo los pasos de un kit de construcción. A raíz de ese prototipo comenzó a desarrollar versiones propias 17 Diseño e Implementación de un Theremin y a venderlas al público, siendo las primeras construidas con válvulas de vacío pero introduciendo por primera vez un diseño con tecnología de estado sólido a finales de los años 50. Durante esta expansión, Robert Moog ganó reputación y con su empresa vendió miles de unidades en el país, ganando además popularidad con el diseño del sintetizador, instrumento que marcaría un antes y un después en la música popular del siglo XX. 2.3 Influencia en el arte del S.XX y actualidad del instrumento Durante los años 30 empezaron a aparecer composiciones musicales especialmente escritas para el theremín, así como intérpretes que llegaron a desarrollar una técnica depurada para el instrumento. En ello destaca Clara Rockmore [8], una joven violinista lituana que, dedicando práctica y estudio al theremín, alcanzó un alto nivel que permitió colaborar con Leon Teremin y ayudar en la búsqueda de mejoras del instrumento. Fue así como se amplió el número de octavas alcanzables, de 3 a 5, así como una mayor precisión de afinación con el movimiento de las manos. Ilustración 7: Clara Rockmore interpretando música a través del theremín. Esta intérprete enfocó el uso del instrumento en la interpretación de música clásica, concibiéndolo como instrumento solista en este género musical [9]. Posteriormente, en la década de 1940 se comenzó a ampliar su uso apareciendo en el ámbito del cine, especialmente en los géneros de ciencia y ficción y terror, donde su característico sonido etéreo podía aportar atmósferas de misterio y tensión. Aquí fue pionero Dmitri Shostakovich, compositor soviético que ya en la anterior década incluyó piezas interpretadas con el theremín en sus filmes [10]. También en Hollywood jugó un papel importante en las bandas sonoras, siendo utilizado en películas de Hitchcock, Billy Wilder o Robert Wise [11]. Moog contribuyó a la importancia de la figura del theremín en la cultura pop de los años 60, en una escena cultural en la que el instrumento aportó perspectivas novedosas en la búsqueda de las sonoridades que acompañarían la explosión del rock y la psicodelia de esta época. Grandes figuras de la cultura usaron el theremín en sus obras, como es el caso del ‘Good Vibrations’ de los Beach Boys [12] (con una variante llamada ‘electro-theremin’ [13], de uso más sencillo, con potenciómetro y táctil) o Jimmy Page de Led Zeppelin en éxitos de la banda como ‘Whole Lotta Love’ [14]. El Theremín: invención, evolución e influencia cultural 18 Ilustración 8: Jimmy Page, guitarrista de Led Zeppelin, usando el theremín en una actuación en directo. Desde esta época hasta la actualidad, el theremín no ha dejado de estar presente en el panorama cultural, siendo un dispositivo de gran importancia en la creación de arte, no solo en el ámbito musical sino también en el mundo cinematográfico, creando atmósferas caracterizadas por su sonido etéreo y espacial. Cabe destacar la gran variedad de modelos de theremín que han aparecido conforme la tecnología de diseño y fabricación electrónica ha avanzado hasta el presente siglo, con modelos comerciales y de diferentes gamas con grandes prestaciones y especificaciones técnicas. Uno de los modelos de más éxito comercial es el Moog Theremini [15], de la empresa originalmente fundada por Robert Moog, la cual se ha mantenido en el tiempo como fabricante referente de instrumentos musicales electrónicos como el theremín o todas las variantes de sintetizador. Modelos como este incorporan especificaciones que los circuitos digitales pueden aportar de manera más eficiente y económica que diseños analógicos o de componentes discretos gracias a la electrónica integrada y el desarrollo de firmware específico de procesamiento digital de la señal (DSP), haciendo del theremín un dispositivo a la altura de los estándares de calidad de la industria de instrumentos electrónicos musicales. 19 Diseño e Implementación de un Theremin Ilustración 9: Modelo Theremini de Moog. Hay numerosas especificaciones incluidas en modelos comerciales hoy en día. Una de ellas es la corrección de tono para facilitar su interpretación a usuarios no especializados, discretizando el rango de movimientos de la mano y sus correspondientes variaciones de tono. Esto permite limitar los posibles sonidos a un conjunto de notas deseado, como puede corresponderse con una escala musical concreta o contexto armónico que facilite al músico inexperto su uso. En cuanto a configuraciones sonoras de la onda emitida, existen multitud de opciones configurables. Se permite en muchos modelos la modificación del timbre del sonido, imitando otros instrumentos por ejemplo. También son comunes controles de ajuste de la ecualización frecuencial, así como efectos sonoros integrados en un mismo dispositivo, como reverberación o delay, expandiendo posibilidades y aportando expresividad al sonido. Ilustración 10: Interfaz mostrada en pantalla del Moog Theremini, con controles de tonalidad, escala y efectos [16]. Arquitectura, principio físico y consideraciones iniciales 20 3 ARQUITECTURA, PRINCIPIO FÍSICO Y CONSIDERACIONES INICIALES 3.1 Arquitectura de alto nivel Desde un punto de vista de alto nivel, el theremín se estructura en tres bloques fundamentales de circuito, cada uno cumpliendo una función en la generación del audio: Circuito de tono Circuito que genera la señal audible que se transmitirá en última estancia por el medio de reproducción que transduzca la señal a vibraciones sonoras. Circuito de volumen Produce la señal que se emplea en el control de la amplitud de la señal audible en la última etapa del dispositivo. Etapa de salida Emplea las señales producidas por las etapas anteriormente descritas para generar como señal de salida una señal de frecuencia y amplitud variables. Ambos parámetros varían bajo el control del usuario por medio de las antenas, gracias a los mecanismos de modulación implementados a lo largo del circuito. Ilustración 11: Diagrama general de bloques de circuito. 21 Diseño e Implementación de un Theremin 3.2 Efecto capacitivo El fenómeno físico descubierto por León Teremin que permite la interacción del músico con el instrumento, a través de las antenas, es el efecto capacitivo creado entre estas y un elemento desplazado en el entorno, normalmente las manos del intérprete. El efecto capacitivo tiene lugar cuando en las proximidades del electrodo se sitúa un elemento con una determinada carga eléctrica, de modo que entre ambos se forma una capacidad equivalente cuya magnitud capacitiva varía en función de la distancia relativa entre ambos elementos. De esta forma, se transmite la variación de capacitancia al circuito por el nodo de conexión entre la antena y el circuito. En la actualidad, este mecanismo ha sido estudiado y es ampliamente utilizado en la industria, aprovechando sus propiedades en aplicaciones tecnológicas como pantallas táctiles y diversos tipos de sensores. En el momento de la invención del theremín supuso una novedad en el campo de la electrónica y causó un gran interés alrededor del instrumento. A continuación se desarrolla la teoría que hay detrás de este mecanismo físico y su aplicación a este proyecto con el uso de las antenas, detallando los parámetros de tipo eléctrico y constructivo que se involucran en su funcionamiento como medio de interacción para el intérprete del instrumento, permitiendo controlar el sonido generado en tono y volumen. En apartados posteriores se detallará el diseño del circuito llevado a cabo en base a las leyes físicas que definen el comportamiento capacitivo de las antenas. 3.2.1 Antena y mano del intérprete Tal y como se ha descrito, el fenómeno del efecto capacitivo se fundamenta en el comportamiento de una capacidad eléctrica [17]. De esta forma, identificando la antena del theremín y la mano del intérprete como los electrodos de un condensador, el efecto capacitivo creado se describe por las leyes físicas que rigen el funcionamiento de un condensador eléctrico. Por tanto, se establece la relación directa con las dos placas de un condensador, entre las cuales se establece un campo eléctrico debido a la distribución de cargas en ambas. Ilustración 1: Distribución de carga y campo eléctrico creado entre dos electrodos. La relación fundamental establecida en un condensador se basa en la proporción entre la carga acumulada en los electrodos y la diferencia de potencial entre ambos, estando estos dos parámetros relacionados mediante una constante de proporción denominada capacidad, la cual cuantifica precisamente la capacidad del condensador de almacenar energía eléctrica, dada una diferencia de potencial determinada. Relación entre carga, diferencia de potencial y capacitancia: 𝑄=𝐶 |𝛥𝑉| Continuando con la definición física de un condensador, considerando un campo eléctrico constante y uniforme entre las dos placas y de dirección perpendicular a ellas, con sentido desde la placa de carga negativa -Q hacia la placa con carga positiva +Q, se establece la siguiente relación de integración entre la diferencia de potencial de las placas, la magnitud de campo eléctrico y la distancia existente entre ambas: Arquitectura, principio físico y consideraciones iniciales 22 Δ𝑉=𝑉−−𝑉+=−∫ 𝑬 󰇍 󰇍 ·𝑑 𝒔 󰇍 − + A partir de lo cual se obtiene, en valor absoluto: |Δ𝑉|=𝐸·𝑑 Bajo las condiciones de distribución de carga descritas, se establece a su vez la siguiente relación entre campo eléctrico, superficie conductora de placa, carga contenida en este espacio acotado y constante dieléctrica del medio existente entre los electrodos: 𝐸= 𝑄 𝜖0 𝐴 Todas estas relaciones expuestas permiten establecer la siguiente expresión que relaciona las variables involucradas en el comportamiento de un condensador: 𝐶= 𝑄 Δ𝑉=ϵ0𝐴 𝑑 De esta forma, es posible hacer una descripción cualitativa del efecto capacitivo aprovechado en el funcionamiento del theremín, haciendo un análisis de la relación expuesta en esta fórmula. El fin de este estudio es comprender este mecanismo para conseguir una variación controlada y acotada de la capacidad eléctrica equivalente, de modo que pueda ser transmitida al circuito y aprovechada en su funcionamiento. Ilustración 12: Diagrama de interacción entre la mano y la antena con conexión al circuito. Teniendo en cuenta las características del instrumento, basta con analizar la relación ( ) para identificar los parámetros controlables en el diseño y que se involucran en el mecanismo capacitivo que se busca generar, de forma que se puedan definir métodos de diseño para alcanzar el funcionamiento deseado. Asumiento que un electrodo es una antena del theremín y el otro la mano del intérprete, los parámetros fundamentales variables son el área conductiva de los electrodos y la distancia entre ellos. Área de los electrodos Este parámetro concierne el aspecto constructivo de las antenas. De la anterior relación numérica se extrae la relación directamente proporcional entre la superficie conductiva del electrodo y la capacidad equivalente que se refleja en el circuito. De este modo, a más superficie tenga el electrodo, más variaciones de faradios se transmitirán al dispositivo. 23 Diseño e Implementación de un Theremin Distancia entre electrodos Esta variable está bajo el control del usuario del theremín, y permite la interpretación musical con el instrumento (en tono y volumen) a través del movimiento de un elemento en el entorno de las antenas. Cualitativamente, a mayor cercanía entre la mano y la antena, se reduce el factor d que define la distancia entre los dos electrodos el condensador, por tanto aumentando la capacidad equivalente. 3.2.2 Conexión y sintonización: Circuito LC El funcionamiento descrito para las antenas del dispositivo necesita de una conexión adecuada al circuito, que transmita las variaciones de capacidad originadas por el usuario a un elemento circuital que las refleje. Tal y como se detallará en los próximos apartados, el elemento que genera y sostiene el sonido en forma de ondas periódicas es el oscilador, el cual se define por tener una frecuencia de resonancia característica, para la que se sostiene la oscilación. La onda generada tendrá como frecuencia característica la establecida por la red de realimentación, y es en esta donde se conectará la antena por medio de un subcircuito que permita acoplarla al circuito. Este circuito de adaptación se basa en lo que se conoce como tanque LC [18], un filtro paso banda con condensador y bobina en paralelo, al que se añade una bobina conectada en serie con la antena, formando así dos conjuntos LC, con sus respectivas frecuencias características. Este bloque se ha de dimensionar de forma que la frecuencia característica de ambos coincida con la frecuencia a la que se ajusta el circuito oscilador. Ilustración 13: Diagrama de conexionado entre antena y red LC al oscilador. De este modo, partiendo del anterior apartado que demuestra la equivalencia entre la antena y una capacidad eléctrica, a nivel circuital, la antena instalada en el instrumento representa un condensador de cierta magnitud equivalente de faradios que, introducido en la red de realimentación del oscilador, permite con sus variaciones según el movimiento de la mano unas correspondientes variaciones de la frecuencia fundamental generada por el oscilador. Concretamente, la antena es vista por el circuito como una capacidad en paralelo al potencial ‘0’ o tierra del circuito, de forma que su valor de faradios se añade al que representa la red de realimentación del oscilador. Tradicionalmente en el diseño de circuitos de theremín se ha incluido la funcionalidad de variar el factor de capacidad del tanque LC, por medio de un condensador ajutable. Este método, empleado también en circuitos de captación de radiofrecuencias, permite por iteración desplazar la frecuencia central del conjunto LC para conseguir una transmisión óptima de las variaciones de capacidad. Esto teóricamente se alcanza al hacer coincidir la frecuencia característica del oscilador con la del conjunto LC – antena. Las características concretas de la topología del conjunto oscilador y antena se desarrollan en el apartado 4, en el cual se detallan las decisiones de diseño tomadas a raíz de los fundamentos físicos estudiados en el presente punto. Arquitectura, principio físico y consideraciones iniciales 24 3.2.3 Respuesta de la antena: valor equivalente y sensibilidad Una vez definido cualitativamente el comportamiento y ciertas consideraciones de integración de la antena en el circuito, aparece la problemática de cuantificar la capacidad eléctrica que la antena representa. La obtención de un valor numérico de este parámetro supone la complejidad que representa el no poder medir por medio de instrumentación electrónica la magnitud en unidades de Faradios que se genera a partir de la interacción entre la mano y el electrodo, puesto que es el propio cuerpo humano del intérprete el que actúa como elemento conductivo estableciendo una distribución de cargas entre la antena y la mano, así como una conexión equivalente a la tierra del circuito. La variación de capacidad eléctrica que genera el usuario del theremín por medio del movimiento de su mano se refleja en el circuito siguiendo la relación numérica que define la frecuencia característica de un filtro LC: 𝑓0=1 2𝜋√𝐿𝐶 En esta expresión general, deducida de la respuesta frecuencial conjunta de una bobina y un condensador en conexión (serie o paralelo, según la funcionalidad buscada) el parámetro C es el que se encuentra bajo variación en este caso de estudio. El factor C representa una capacidad eléctrica a cuyo valor contribuye más de un parámetro del circuito según la implementación del theremín. - La capacidad generada por el efecto capacitivo generado entre la antena y la mano. Esta capacidad se cuantifica según estudios en torno a los 20 pF. - Capacidad parásita de la antena - Capacidad del condensador o condensadores incluidos en el tanque LC y en la red de realimentación del oscilador. De todos estos factores enumerados, se pueden asumir constantes todos excepto la que corresponde a la interacción del usuario con la antena. Así, numéricamente se establece una relación cuadrática entre la capacidad eléctrica variada por medio de la antena y la frecuencia generada por el oscilador. En la práctica, esto se traduce en una respuesta frecuencial del instrumento que no es uniforme con la variación de la distancia entre mano y antena, precisamente se encuentra una respuesta exponencial, con variaciones leves a distancia alejada y un mayor grado de variación conforme la mano se acerca a la antena [19]. Estos aspectos del comportamiento observado en la práctica de exponen en los siguientes apartados, en los cuales se expone el comportamiento frecuencial obtenido en el laboratorio durante el desarrollo del prototipo y las correspondientes medidas de diseño y ajuste tomadas para alcanzar el funcionamiento deseado. 3.3 Heterodinación El segundo principio físico que permite el funcionamiento del theremín de diseño analógico es la mezcla de frecuencias, conocida como heterodinación [20]. Este mecanismo comúnmente usado en aplicaciones de radiofrecuencia para operaciones de modulación consiste en combinar dos señales mediante su multiplicación, de modo que la señal resultante contiene en frecuencia tanto la suma como la resta de las dos señales introducidas. 3.3.1 Fundamento teórico de la heterodinación Para la aplicación estudiada en este proyecto, la utilidad de la heterodinación radica en extraer la diferencia de frecuencias de dos señales generadas por osciladores en el circuito de tono. Por un lado, una frecuencia variable controlada por la antena de tono, y por otro una frecuencia fija de referencia. De este modo, se realiza la conversión de un rango de frecuencias superior a otro inferior, en este caso el rango de frecuencias audibles (entre 20 Hz y 20 kHz). Bajo la nomenclatura de radiofrecuencia, tradicionalmente se identifica estas señales como RF (Radiofrecuencia, la señal recibida que se pretende demodular), LO (Oscilador Local, señal generada internamente como referencia para el proceso de demodulación) e IF (Frecuencia Intermedia, señal resultante 25 Diseño e Implementación de un Theremin que contiene la suma y resta de RF y LO). Ilustración 14: Arquitectura fundamental del mezclador o heterodino. Como se ha descrito, el objetivo de la implementación del proceso de heterodinación es la obtención de la diferencia entre dos frecuencias. Para ello, el primer paso en el proceso será la multiplicación de señales por medio del mezclador. Matemáticamente, en el dominio temporal, la multiplicación de senoides posee la siguiente propiedad: Dadas las dos señales a multiplicar: · 𝑉𝑅𝐹 =𝐴·sin (𝑤𝑅𝐹 𝑡+𝜙𝑅𝐹) · 𝑉𝐿𝑂 =𝐵·sin (𝑤𝐿𝑂 𝑡+𝜙𝐿𝑂) 𝑉𝑅𝐹 ·𝑉𝐿𝑂 =AB·sin(𝑤𝑅𝐹 𝑡+𝜙𝑅𝐹)·sin(𝑤𝐿𝑂 𝑡+𝜙𝐿𝑂) Aplicando la propiedad de multiplicación de senoides: sin(𝑎)·sin(𝑏)=1 2·[cos(𝑎−𝑏)−cos(𝑎+𝑏)] Resulta: 𝑉𝑅𝐹·𝑉𝐿𝑂 =𝐴𝐵 2·[𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟏−𝝎𝟐)𝒕+(𝝓𝟏−𝝓𝟐)−𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟏+𝝎𝟐)𝒕+(𝝓𝟏+𝝓𝟐)] Analizando la expresión se extrae de la operación las dos componentes fundamentales que se corresponden con la suma y la resta de las frecuencias de los senoides multiplicados, (𝜔1−𝜔2) y (𝜔1+𝜔2). Por tanto, el objetivo de diseño del circuito es la implementación de esta operación matemática mediante electrónica, para lo cual se emplea el heterodino. A nivel circuital no es posible realizar la multiplicación de señales por sí misma, por lo que su implementación consiste en explotar la no linealidad de un determinado dispositivo electrónico, el cual introduce en las componentes frecuenciales de la señal resultante la suma y resta de las frecuencias introducidas. 3.3.2 Mezclador doble balanceado A lo largo de la historia de la electrónica de radiofrecuencia se han desarrollado numerosas topologías de mezclador que implementan esta función mediante electrónica analógica, empleando componentes cuya característica de funcionamiento viene dada por una no linealidad, fundamentalmente diodos y transistores Diseño del circuito: topología y dimensionado 14 14 A nivel de simulación, se muestra como ejemplo variaciones dentro del rango {0, 10} pF por parte de la antena, las cuales se traducen en leves variaciones de la frecuencia dentro de unos valores que generen variaciones notables en el audio. Ilustración 19. LTSPICE: Salida del oscilador variable, simulando distintas posiciones respecto a la antena. Como se observa en la ilustración 4, a mayor valor de la capacidad equivalente de la antena, que se corresponde con una mayor cercanía de la mano respecto a la antena, menor frecuencia de oscilación genera el oscilador variable de tono. De este modo, se aprecia que para unos 10 pF de capacidad de antena, se da la oscilación de menor frecuencia, mientras que, para un valor nulo de capacidad, correspondiente a ausencia de movimiento en el entorno de la antena, se da la frecuencia para la que se sintoniza el oscilador, siendo la más elevada posible dentro del rango de variación. De cara al análisis frecuencial resulta más ilustrativo un análisis de Fourier, en este caso el cálculo de la transformada rápida de Fourier (FFT) por simulación: 15 Diseño e Implementación de un Theremin Ilustración 20. LTSPICE: Análisis frecuencial con FFT de la señal de salida del oscilador variable. En la gráfica expuesta en la ilustración 5, a pesar de la precisión numérica limitada permitida por el simulador, se observa un detalle de las tres componentes frecuenciales fundamentales de oscilación, correspondientes a las tres supuestas posiciones de la mano respecto a la antena. La frecuencia de reposo sin actuación del intérprete sobre la antena se corresponde con la frecuencia de reposo a la que se sintoniza el oscilador, en este caso unos 31 kHz, desde la cual se reduce la frecuencia conforme aumenta la capacidad equivalente de la antena, acercando en teoría la mano del intérprete. Desde el punto de vista del prototipado del circuito, es ilustrativo el uso de este modelo para hacer una estimación de la relación entre el valor de capacidad de la antena y las correspondientes variaciones de frecuencia. No obstante, al tener este método un carácter ideal, no se corresponde con la implementación estrictamente necesaria en la construcción del circuito. Como se expuso anteriormente, la antena como elemento único no genera variaciones de frecuencia de forma eficiente en el oscilador, puesto que no aporta variaciones notabes de la impedancia de la red de realimentación. Por ello, la topología implementada en el prototipo de laboratorio y el circuito definitivo necesita de unos bloques adicionales que permiten acoplar el mecanismo capacitivo a la red de realimentación del oscilador, tal y como se expone a continuación. 4.2.1.2 Circuito implementado Tras el estudio realizado en el apartado 3.2 sobre el efecto capacitivo generado por la antena, se concluye que es necesario, para la conexión de la antena al oscilador, un circuito adicional que consta de una red LC, la cual debe ser dimensionada acorde a la oscilación que se busque, siguiendo la siguiente topología: Diseño del circuito: topología y dimensionado 16 16 Ilustración 21: Conexión de la antena con circuito LC al oscilador variable de tono. La primera consideración que tener en cuenta para la implementación práctica del oscilador es la necesidad de trabajar a mayor frecuencia de la que se establece en la simulación. Esto se debe al carácter constructivo de los componentes inductivos: para poder trabajar con bobinas de tamaño usable en placa de circuito, se deben seleccionar de valores lo suficientemente reducidos, ya que sus dimensiones son directamente proporcionales a su magnitud de inductancia en Henrios. Teniendo en cuenta que la frecuencia característica de la red LC viene dada por: 𝑓𝑜=1 2𝜋√𝐿𝐶 Al reducir el parámetro de inductancia 𝐿, la frecuencia característica de la red LC se eleva y en consecuencia la frecuencia de oscilación que marca la red de realimentación del oscilador. La segunda consideración surgida durante la implementación de esta primera etapa de circuito nace de la necesidad de un ajuste práctico y útil de la frecuencia generada con el objetivo de dotar al circuito de la funcionalidad de sintonización frecuencial de los osciladores. Experimentalmente se variaron los valores de la red RC de realimentación, observándose oscilaciones generadas sin cumplir estrictamente la topología teórica del oscilador de puente de Wien. Esto conlleva el hecho de que en la práctica el criterio de Barkhausen no viene dado por una igualdad matemática estricta, sino que abarca un conjunto de valores RC válidos para la oscilación. De esa forma, basta con aportar un cierto desfase a través de la red RC y dotar a la etapa de la suficiente ganancia por medio de la red de realimentación negativa para así generar una señal oscilante a la salida. A partir de estas observaciones, iterando con diversas configuraciones se adaptó la topología a una implementación simplificada del osciador de puente de Wien, que permite el ajuste preciso de la frecuencia de oscilador, según las necesidades de puesta en funcionamiento del instrumento. La topología implementada viene dada por: 17 Diseño e Implementación de un Theremin Ilustración 22: Topología implementada de oscilador. En este punto de la implementación se decidió la frecuencia de oscilación adecuada para esta y todas las etapas de generación de frecuencia del circuito. Esta decisión se tomó en concordancia a las características de los componentes seleccionados, cuya región de funcionamiento deseado está limitada en frecuencia, principalmente los amplificadores operacionales (TL072 de Texas Instruments) y los transformadores empleados en el heterodino (WB1-1T de Coilcraft). Ilustración 23: Respuesta frecuencial del amplificador operacional TL072 de Texas Instruments, aportada por el fabricante en la hoja de características. Ilustración 24: Respuesta frecuencial del transformador WB1-1T de Coilcraft, aportada por el fabricante en la hoja de características. A la vista de las características frecuenciales de los componentes y partiendo de la topología expuesta Diseño del circuito: topología y dimensionado 18 18 anteriormente se iteró con valores comerciales de los componentes pasivos (resistencias y condensadores) para buscar una frecuencia de oscilación dentro del rango alcanzable por los componentes. De esta forma, se escoge 190 kHz como frecuencia de oscilación, a partir de la implementación de los siguientes valores para la etapa: Ilustración 25: Valores escogidos para el oscilador. Para completar esta etapa se añade al oscilador el bloque compuesto por la antena y la red LC en conexión con el terminal positivo del amplificador operacional. Este conjunto antena – LC se dimensiona acorde a la frecuencia de oscilación elegida, para la cual se escogen los siguientes valores experimentalmente: Ilustración 26: Valores de los componentes de la red LC en conexión con la antena. Los componentes del bloque LC se dimensionan experimentalmente observando las variaciones generadas con movimientos en el entorno de la antena, primeramente escogiendo un valor de inductancia apropiado y afinando el comportamiento de la etapa variando el valor del condensador del tanque LC. De este modo, al observar variaciones notables en el rango frecuencial a la salida del oscilador, se escogen estos valores como definitivos para el diseño del circuito. A continuación se exponen los resultados obtenidos en laboratorio. 19 Diseño e Implementación de un Theremin 4.2.1.3 Medidas en laboratorio Implementando la anterior topología en el prototipo de laboratorio, se alcanza el comportamiento deseado para esta etapa, para el cual se realizan pruebas en laboratorio con diferentes posiciones de la mano respecto a la antena. Como solución para la construcción de la antena en el prototipo, se trabaja con una superficie rectangular de papel de aluminio, el cual cumple con las especificaciones de electrodo que necesita la antena, pues es un material conductor y fácilmente adaptable a las dimensiones requeridas. Ilustración 27: Implementación de superficie de aluminio a modo de antena en el prototipo de laboratorio. Conectando la antena al oscilador mediante el conexionado expuesto anteriormente, se obtiene la siguiente respuesta: Ilustración 28: Medidas a la salida del oscilador variable de tono, temporal (izquierda) y frecuencial (derecha, FFT) para la frecuencia de reposo (sin la mano en el entorno de la antena). Se observa en la gráfica de la FFT los armónicos que siguen a la componente de frecuencia fundamental de Diseño del circuito: topología y dimensionado 20 20 189.8 kHz, correspondientes a sus múltiplos enteros. En el caso del tercer armónico (570 kHz aproximadamente) se mide una diferencia respecto a la componente fundamental de 20.8 dB aproximadamente (cursor de medida del osciloscopio). Tomando los valores en decibelios de cada armónico y de la componente de 189.8 kHz, se realiza la siguiente estimación de distorsión armónica total: · Componente fundamental: 𝐴1=1020 20 =5.62 𝑑𝐵 · Segundo armónico: 𝐴2=10−5 20 =0.56 𝑑𝐵 · Tercer armónico: 𝐴1=100 20 =1 𝑑𝐵 · Cuarto armónico: 𝐴1=10−10 20 =0.31 𝑑𝐵 𝑇𝐻𝐷=√𝐴2 2+𝐴3 2+𝐴4 2 𝐴1=√0.562+12+0.312 5.62 =20.96% Este valor de distorsión armónica es de esperar dada la configuración del oscilador, con una señal de onda que satura en los extremos de alimentación (tomados como {+12, -12} V para la alimentación general del circuito). No obstante, como se desarrolla a continuación, esta distorsión es tolerable para el funcionamiento del circuito, puesto que en una etapa posterior se atenúa la señal, filtrando las componentes no deseadas y conservando para la generación de audio la frecuencia fundamental. Ilustración 29: Medidas a la salida del oscilador variable de tono, temporal (izquierda) y frecuencial (derecha, FFT) para la frecuencia mínima (con la mano en la posición más cercana a la antena). Tal y como se observa en la FFT computada por el osciloscopio, se realiza un desplazamiento en frecuencia de en torno a los 10 kHz (cursor vertical fijado en la frecuencia de reposo, algo inferior a 190 kHz). Precisamente esta diferencia dengo del rango audible es la que se pretende reproducir a la salida del instrumento. Esta misma topología se emplea en el oscilador fijo de tono, el cual genera la frecuencia de referencia respecto a la cual se extrae la diferencia con la frecuencia del oscilador variable con la antena de tono. Para el funcionamiento buscado, tal y como se explica en el apartado 3.3 del mecanismo de heterodinación, se ajusta el oscilador fijo a una frecuencia ligeramente superior a la de reposo del oscilador variable. La diferencia entre ambas frecuencias determinará el tono reproducido sin actuación sobre la antena de tono (nota reproducible 21 Diseño e Implementación de un Theremin más grave, en función del ajuste realizado). El ajuste del oscilador fijo de tono se realiza en este ejemplo de medida para la siguiente frecuencia: Ilustración 30: Medidas a la salida del oscilador fijo de tono, temporal y frecuencial (FFT). Al coincidir topologías y dimensionado de componentes, se obtienen resultados similares tal y como es necesario para la heterodinación de frecuencias posterior. 4.2.2 Prefiltrado de la señal Una vez generada la oscilación deseada a la salida de la etapa del oscilador variable, se debe transmitir esta señal al mezclador de frecuencia junto a la señal del oscilador fijo de tono, para producir la diferencia de frecuencias entre ambas. No obstante, las señales de ambos osciladores contienen unos armónicos de magnitud no despreciable respecto a la componente frecuencial que aportan cierta distorsión a la señal, la cual interfiere en el proceso de mezcla en la etapa de heterodinación. Por ello, es necesaria la implementación de una etapa intermedia que filtre las componentes no deseadas de las señales de los osciladores, en forma de filtro de paso bajo. Este circuito deberá atenuar la señal distorsionada que genera el oscilador (onda que satura a los niveles de alimentación del circuito, {-12, +12} V, alcanzando lo que se conoce como clipping o recorte de señal) para optimizar su transferencia a los transformadores de audio que conforman el heterodino. La topología empleada es un filtro Sallen Key de primer orden [25], con ganancia unitaria en su ancho de banda: Ilustración 31: Topología de filtro Sallen Key paso bajo de primer orden. Diseño del circuito: topología y dimensionado 22 22 4.2.2.1 Modelo de simulación En la simulación realizada en LTSPICE se implementa el circuito con los siguientes valores de componentes: Ilustración 32. LTSPICE: Filtro paso bajo Sallen Key de primer orden. Este circuito se dimensiona para simulación a una frecuencia de corte 𝑓−3 𝑑𝐵 =5 𝑘𝐻𝑧. Analizando su respuesta frecuencial teórica se observa que se aplica a la señal de 31 kHz una atenuación de -30 dB. Esto genera a la salida una señal menormente distorsionada, de carácter sinusoidal, que mantiene la frecuencia fundamental que se pretende transmitir. La atenuación que aplica este filtro respecto a la señal del oscilador se aprecia en la siguiente gráfica: Ilustración 33: Simulación de la señal generada a la salida del oscilador y filtrada. Se obtiene el siguiente resultado del procesado de la señal: 23 Diseño e Implementación de un Theremin Ilustración 34: Señal del oscilador atenuada por el filtro Sallen Key. 4.2.2.2 Circuito implementado Dado que en la práctica se dimensiona el circuito para la generación de frecuencias más elevadas, se dimensiona en consecuencia la etapa de filtro previa a la heterodinación, de manera que se eleva la frecuencia de corte del filtro Sallen Key para aplicar una atenuación proporcional que aporte las características de señal buscadas. El circuito se dimensiona en la práctica con los siguientes valores: Ilustración 35. KiCad: Dimensionado del circuito en la práctica. Este circuito se caracteriza por una frecuencia de corte alrededor de 𝑓−3 𝑑𝐵 =30 𝑘𝐻𝑧, con una atenuación para la señal generada de 190 kHz de unos -22 dB. Calculando la respuesta frecuencial con estos valores: Diseño del circuito: topología y dimensionado 30 30 Ilustración 46: Detalle de la FFT de las componentes fundamentales producto de la heterodinación. 4.2.4 Filtrado y acondicionamiento de la señal audible Habiendo generado la señal que contiene la información frecuencial de la suma y resta de las frecuencias de los osciladores, se debe ahora filtrar dicha señal de forma que se extraiga la frecuencia audible que se busca reproducir a la salida del instrumento. 4.2.4.1 Circuito implementado En este caso se implementa un filtro de paso bajo de segundo orden pasivo, junto con un amplificador operacional en configurador de seguidor como buffer de adaptación de impedancia de cara a la siguiente etapa. Este circuito tiene como único requisito filtrar toda componente frecuencial superior al rango audible útil que se pretende reproducir, por lo que se dimensiona con los siguientes valores: Ilustración 47. KiCad: Filtro de paso bajo de segundo orden implementado. Se obtiene como resultado una frecuencia de corte de 𝑓−3 𝑑𝐵 =11.56 kHz. 31 Diseño e Implementación de un Theremin 4.2.4.2 Medidas en laboratorio Se exponen a continuación los resultados de este filtrado medido en osciloscopio: Ilustración 48: Señal generada por el circuito de tono. Se genera una señal dentro del rango audible, de unos 4 kHz siguiendo con este ejemplo de medida, de alrededor de 1 V pico a pico. Ilustración 49: FFT de la señal generada por el circuito de tono. Se comprueba analizando la señal en el dominio frecuencial que se extrae la componente frecuencial deseada con suficiente magnitud respecto a armónicos para transmitirse a la etapa final; tal y como se mide con cursores de medida en el osciloscopio, se alcanza un margen de 11.6 dB. Estimando la distorsión armónica para esta medida: 𝑇𝐻𝐷=√𝐴2 2+𝐴3 2 𝐴1=√12+12 11.6 =12.19% Diseño del circuito: topología y dimensionado 32 32 4.3 Circuito de volumen Este segundo bloque principal del circuito tiene como función generar una señal que sirva de control del volumen de la señal audible emitida por el instrumento. Al igual que el circuito de tono, basa su funcionamiento en una antena como elemento de interfaz con el usuario, empleando el movimiento de la mano de la siguiente forma: al acercar la mano a la antena, se atenúa el volumen percibido por el oyente, mientras que conforme se aleja se amplifica gradualmente hasta cierto nivel auditivo que se establezca como máximo punto de dinámica musical. Este mecanismo ha sido tradicionalmente empleado en los diversos modelos de theremín comercializados, dado que la relación entre el movimiento de mano y volumen resulta muy intuitiva para el intérprete. De cara al aprendizaje de este instrumento, se suele entender este control como el hecho de ‘extraer’ sonido de la antena conforme se retira la mano, permitiendo aportar carácter a la interpretación con variaciones graduales de volumen que en parte dan al theremín sus características sonoras particulares. 4.3.1 Mecanismo de modulación El objetivo del circuito de volumen es el control de la amplificación de la señal de tono, la cual se realiza a través de una etapa amplificadora cuyo elemento variable es un transistor en configuración de resistor variable. Dicha etapa se implementa a la salida del circuito y toma como señales de entrada la señal de tono y esta señal de control para producir la señal de audio final. Por tanto, lo que se pretende controlar en última estancia es la resistencia equivalente a través del canal del transistor. Para ello se debe generar una señal de tensión continua aplicada sobre el terminal de puerta del JFET, acotada en el rango de voltaje necesario para que la etapa final de amplificación modifique proporcionalmente la amplitud de la señal audible. Por las características de la etapa de salida, desarrolladas en el apartado 4.4, el rango deseado de variación del voltaje de puerta del FET se estima inicialmente en {0, -3} V. Se plantea el siguiente flujo de acondicionamiento de la señal para cumplir con el objetivo de generar una tensión continua variable según el movimiento de la mano en torno a la antena: Ilustración 50: Diagrama de flujo de señal del circuito de volumen. Como se observa en la ilustración 40, el funcionamiento del circuito de volumen comienza modulando la amplitud de la señal del oscilador a partir de su frecuencia, de modo que las variaciones de frecuencia generadas con la antena se reflejen en variaciones de amplitud que la etapa de detector de pico tome y genere para adaptarlo al rango deseado implementando una función de conversión. En este caso de implementación, para acondicionar esta señal acorde al rango deseado para el voltaje de puerta del JFET, se implementa una función de transferencia que realiza la conversión implementando una operación matemática. 4.3.2 Generación de frecuencia: antena y osciladores El bloque inicial del circuito de volumen para la generación y variación de la frecuencia a partir de los movimientos detectados por la antena coincide con el empleado en el circuito de tono. Esta decisión en el 33 Diseño e Implementación de un Theremin diseño de la topología se toma puesto que es posible realizar el mecanismo de modulación con el mismo rango de frecuencia generada, simplemente diseñando adecuadamente las posteriores etapas que transforman la oscilación generada en la señal de tensión continua variable. De esta forma, se simplifica el diseño y elección de componentes. 4.3.2.1 Circuito implementado A nivel de componentes, se dimensiona de igual manera que en el caso del circuito de tono, tal y como se muestra en el esquemático del proyecto en KiCad: Ilustración 51. KiCad: Conjunto formado por la antena, tanque LC y oscilador para la generación de frecuencia. Coincidiendo en el diseño para igual rango de frecuencia de oscilación, ajustable mediante un potenciómetro de ajuste de la ganancia del oscilador. 4.3.2.2 Medidas experimentales Se obtiene en laboratorio la siguiente respuesta, con iguales resultados medidos en cuanto a amplitud, frecuencia y distorsión armónica de la señal: Ilustración 52: Frecuencias de oscilación obtenidas máxima (Izquierda, 190 kHz, frecuencia de referencia) y mínima (Derecha, 180 kHz, al acercar la mano completamente a la antena). Diseño del circuito: topología y dimensionado 34 34 4.3.3 Modulación de amplitud controlada por frecuencia Como se desarrolla anteriormente en la descripción del mecanismo de modulación, la señal generada por el oscilador se introduce a un filtro paso bajo cuya función es modificar la amplitud de la señal oscilante en función de su frecuencia. De este modo, se reflejan las variaciones de frecuencia que el intérprete genera a través de la antena en forma de variaciones de amplitud. El requisito a cumplir con esta etapa es generar cambios de amplitud lo suficientemente pronunciados como para que la variación de volumen aplicada a la señal audible sea notoria al oído, además de lo mayormente gradual y controlable de cara al músico, optimizando así la funcionalidad musical del instrumento. La topología seleccionada para esta etapa es un filtro paso bajo Sallen-Key de orden 3 [25]. Tal y como se expone a continuación, este circuito se ha seleccionado por su elevado orden, puesto que se desea situar la zona de operación en su rango frecuencial de atenuación. De esta forma se obtiene en su respuesta una variación notable de magnitud frente a leves variaciones de frecuencia de la señal de entrada, proporcionalmente más pronunciada con el orden del filtro seleccionado (mayor pendiente negativa en la respuesta, en dB/Hz). Ilustración 53: Filtro Sallen-Key paso bajo de tercer orden 4.3.3.1 Modelo de simulación El filtro simulado en LTSPICE se diseñó inicialmente para una frecuencia de corte a -3 dB situada en torno a los 65 kHz mediante el siguiente dimensionado de componentes: Ilustración 54. LTSPICE: filtro Sallen-Key de paso bajo de tercer orden. 35 Diseño e Implementación de un Theremin Se obtiene la siguiente respuesta en simulación: Ilustración 55. LTSPICE: Onda del oscilador filtrada, de mayor amplitud cuanto menor la frecuencia (mano más cercana a la antena). Es de utilidad el efecto de filtrado en función de la frecuencia generada por el oscilador, dado que, como se observa en la anterior gráfica, se consigue generar una variación de voltaje de pico de la onda algo superior de 1 V (entre 1 V y 2 V aproximadamente). Este comportamiento servirá, como se estudia en el siguiente apartado, para capturar dicho valor mediante el detector de pico. Ilustración 56. LTSPICE: FFT calculada para valores de capacidad de antena de volumen crecientes. Diseño del circuito: topología y dimensionado 36 36 4.3.3.2 Circuito implementado Para el caso de implementación del proyecto, dado que las oscilaciones se sitúan entre los 180 y 190 kHz, se ha dimensionado el filtro para una frecuencia de corte teórica de unos 48 kHz. El dimensionado de esta etapa se afinó experimentalmente, iterando con valores RC que aplicaran a la señal la suficiente atenuación generando una variación de amplitud notable en la respuesta. El diseño implementado resulta en los siguientes valores de componentes y respuesta frecuencial teórica: Ilustración 57. KiCad: circuito de filtro dimensionado. Ilustración 58. LTSPICE: Respuesta frecuencial teórica del filtro implementado. Frecuencia de corte 𝑓−3 𝑑𝐵 =65 𝑘𝐻𝑧 37 Diseño e Implementación de un Theremin 4.3.3.3 Medidas en laboratorio Ilustración 59: Onda filtrada por el Sallen Key de tercer orden. Izquierda: mínima amplitud (mayor frecuencia, sin mano en el entorno de la antena). Derecha: máxima amplitud (menor frecuencia, mano lo más próxima posible a la antena). 4.3.4 Detector de pico y rectificación La siguiente etapa del circuito de volumen se basa en un circuito que cumple la función de detección del valor máximo de voltaje que recibe a la entrada. Este mecanismo, comúnmente aplicado en circuitos de muestreo de señales (Sample & Hold), se implementa a través de la siguiente topología: Ilustración 60: Topología de circuito detector de pico. Este circuito por medio de la rectificación con la pareja de diodos y la carga y descarga del condensador permite obtener a la salida el valor máximo de voltaje generado por el filtro paso bajo en forma de tensión continua. De esta forma, con las variaciones de frecuencia a partir de la antena, se genera una señal DC de valor inversamente proporcional a la frecuencia de oscilación, es decir, a mayor cercanía de la mano con la antena, menos frecuencia y mayor magnitud de la señal continua. A la topología básica del detector de pico [26] con diodos y condensador se le añade un amplificador operacional en configuración de seguidor de tensión, de forma que actúa como buffer de la señal, permitiendo adaptar la impedancia de la señal tanto a su salida como a su entrada, de forma que se garantiza una mínima integridad de la señal. 4.3.4.1 Modelo de simulación El circuito implementado en LTSPICE se muestra a continuación, con los resultados de simulación: Diseño del circuito: topología y dimensionado 38 38 Ilustración 61. LTSPICE: Topología de detector de pico empleada. Como se observa a continuación, el detector de pico toma aproximadamente el valor máximo de pico de voltaje de la onda tomada a la entrada de la etapa, para generarla a la salida de forma estable. La diferencia entre el valor de pico real de la onda y el capturado por el circuito se corresponde con la tensión de umbral de conducción del diodo (para el modelo de diodo en simulación 0.7 V), lo cual es una característica limitante en el comportamiento de esta topología, pero asumible para el funcionamiento deseado. Ilustración 62. LTSPICE: relación entre onda filtrada y tensión de pico capturada por la etapa, para dos valores de ejemplo. 39 Diseño e Implementación de un Theremin 4.3.4.2 Circuito implementado A partir de la referencia de simulación software y la iteración en el laboratorio se ha implementado el circuito con el modelo de diodo 1N4148 y un valor de 10 nF para el condensador, suficiente para tomar el valor de pico mediante su carga. Ilustración 63. KiCad: topología del detector de pico empleada. 4.3.4.3 Medidas en laboratorio Un requisito clave a cumplir con esta etapa es la generación de una señal lo suficientemente estable para el control del JFET en su puerta. Para ello, se debe reducir el rizado de esta tensión lo máximo posible, hasta alcanzar una tensión pico a pico del orden de milivoltios, por medio del condensador empleado, de valor suficiente. De esta forma, para un cierto valor fijo deseado según el movimiento de la mano, la tensión de puerta del transistor es lo suficientemente estable para generar un valor controlado de resistencia equivalente de canal del JFET. Para las ondas de salida del filtro recogidas en laboratorio en el apartado de la etapa anterior, se miden las correspondientes respuestas del detector de pico: Ilustración 64: Onda rectificada a la salida del detector de pico. Izquierda: valor mínimo de continua (2.2 V). Derecha: valor máximo (4.3 V). Diseño del circuito: topología y dimensionado 46 46 De este modo, se hace el valor de la tensión 𝑉− directamente proporcional al de la resistencia equivalente del transistor. La atenuación que se pretende ejercer sobre la señal de tono viene dada por la diferencia de magnitud de la señal en el terminal positivo del amplificador respecto al negativo, de forma que a menor magnitud (menor resistencia equivalente del transistor), menor atenuación se aplicará y viceversa. De esta forma se transmitirá la señal de tono con la máxima amplitud para una resistencia nula, y se atenuará en volumen al coincidir esta resistencia con la resistencia conectada a tierra en el otro terminal (a idénticas tensiones en cada uno, la diferencia se anula). Por tanto, tomando inicialmente como valor de referencia 𝑅𝐺=560 Ω , se establece este como el valor máximo del rango de la resistencia equivalente del JFET. El valor de dicha resistencia se variará aplicando la tensión de control de volumen, continua, en la puerta, trabajando dentro de su zona de operación óhmica o lineal. A continuación se cuantifica la relación entre tensión de puerta 𝑉𝐺𝑆 y resistencia equivalente de canal 𝑅𝐷𝑆, a partir de las características del JFET. En este caso se emplea el modelo 2N5458, con los siguientes valores típicos extraídos de la hoja de características del fabricante Fairchild Semiconductor [27]: Ilustración 75: Curva característica 𝐼𝐷−𝑉𝐷𝑆 del 2N5458 de Fairchild Semiconductor [27], destacando la zona óhmica de funcionamiento en la que se sitúa el transistor en el circuito. · Corriente de saturación para 𝑉𝐺𝑆 =0: 𝐼𝐷𝑆𝑆 =3 𝑚𝐴 · Tensión umbral de corte: 𝑉𝐺𝑆(𝑜𝑓𝑓) ∈{−1,−7} 𝑉 Se calcula la resistencia equivalente del canal del JFET [28] como 𝑅𝐷𝑆 =𝑉𝐷𝑆 𝐼𝐷 donde la corriente de drenaje viene dada por 𝐼𝐷=𝐼𝐷𝑆𝑆·(1− 𝑉𝐺𝑆 𝑉𝐺𝑆(𝑜𝑓𝑓))2 De este modo, se caracteriza la resistencia equivalente de canal controlada por voltaje de puerta según la siguiente expresión: 𝑅𝐷𝑆(𝑉𝐺𝑆)= 𝑉𝐷𝑆 𝐼𝐷𝑆𝑆·(1− 𝑉𝐺𝑆 𝑉𝐺𝑆(𝑜𝑓𝑓))2 Tomando 𝑉𝐺𝑆(𝑜𝑓𝑓)=−7 𝑉 como valor para el corte del transistor y una señal de voltaje pico a pico 𝑉𝐷𝑆 = 47 Diseño e Implementación de un Theremin 1 𝑉, tal y como se ha obtenido a partir del circuito de tono, se dimensiona el rango de valores resistivos del transistor dentro de su región lineal de funcionamiento: · 𝑉𝐺𝑆 =0 𝑉 → 𝑅𝐷𝑆 =𝑉𝐷𝑆 𝐼𝐷𝑆𝑆 =0.5 𝑉 3 𝑚𝐴=166.66 Ω · 𝑉𝐺𝑆 =−1 𝑉 → 𝑅𝐷𝑆 =𝑉𝐷𝑆 𝐼𝐷𝑆𝑆·(1−−1 −7)2=1 𝑉 3 𝑚𝐴·0.25=226.85 Ω · 𝑉𝐺𝑆 =−2.5 𝑉 → 𝑅𝐷𝑆 =𝑉𝐷𝑆 𝐼𝐷𝑆𝑆·(1−−2.5 −7 )2=403.3 kΩ · 𝑉𝐺𝑆 =−3 𝑉 → 𝑅𝐷𝑆 =𝑉𝐷𝑆 𝐼𝐷𝑆𝑆·(1−−2.5 −7 )2=510 .42 Ω Valor para atenuación teórica máxima: 𝑅𝐷𝑆 =560 Ω → 𝑉𝐺𝑆 =−3.18 𝑉 Ilustración 76: Relación entre resistencia de canal y voltaje de puerta en el rango de interés. Se comprueba la tendencia exponencial que caracteriza el valor resistivo equivalente del transistor, el cual siendo introducido en el divisor resistivo incrementa proporcionalmente con su valor la atenuación de la señal resultante, como se ha descrito. A raíz de estos cálculos desarrollados, se toma aproximadamente como valor negativo máximo en el rango de tensión de puerta del transistor 𝑉𝐺𝑆 =−3 𝑉 de cara al diseño de las demás etapas. Otro elemento que afecta a la amplificación es la resistencia de realimentación negativa, siendo la proporción de su valor respecto al de las resistencias 𝑅1 y 𝑅2 directamente proporcional al nivel de ganancia aplicado. Estos son los mecanismos integrados en la etapa para controlar la amplificación. Estos son alterados iterando en el ajuste del circuito prototipo, según el comportamiento obsevado bajo experimentación y necesidades encontradas. 4.4.1.1 Modelo de simulación El circuito del que se parte en simulación sigue la topología estudiada y sigue el siguiente dimensionado de componentes: Diseño del circuito: topología y dimensionado 48 48 Ilustración 77. LTSPICE: Topología implementada en la simulación. Simulando el comportamiento para el rango de tensión de control de Puerta del JFET que se plantea aplicar y una señal de tono que se corresponde a una posición promedio respecto a la antena, se obtiene la siguiente respuesta: Ilustración 78. LTSPICE: Simulación de la etapa final midiendo la atenuación de la onda de salida (superior) 49 Diseño e Implementación de un Theremin para distintas tensiones de control de volumen (inferior), variando la capacidad equivalente de la antena. Tal y como se observa, el mecanismo de modulación del circuito de volumen permite aplicar una atenuación a la onda audible directamente proporcional a la cercanía de la mano con la antena de volumen (mayor capacidad equivalente de antena). De esta forma se obtiene una referencia del mecanismo de atenuación mediante variaciones en la tensión de puerta del FET de cara a la implementación del circuito. 4.4.1.2 Circuito implementado El circuito adoptado para la implementación de esta etapa consta de la siguiente topología, con el dimensionado de componentes: Ilustración 79. KiCad: circuito implementado. Se ha empleado el circuito expuesto en simulación, con la diferencia de haber añadido de cara a la práctica un control de ganancia ajustable mediante un potenciómetro en configuración de resistor variable, de forma que al aumentar la resistencia en el bucle de realimentación negativa se eleva la ganancia global de la etapa. Este control permite un ajuste del nivel de señal general que genera el instrumento, pudiendo así ajustar el nivel máximo de volumen percibido por el usuario a través del medio de reproducción, generalmente unos altavoces. 4.4.1.3 Medidas en laboratorio La implementación en el prototipo de laboratorio de esta etapa da los resultados expuestos a continuación, como resultado del funcionamiento completo del dispositivo. En estas pruebas se ha aplicado una atenuación variable por medio del control de volumen a la señal audible de cierta frecuencia controlada por la antena de tono. Para ello, se han tomado tres referencias de volumen, una de volumen máximo sin la mano en el entorno de la antena, otra a media atenuación con una posición intermedia y una última con la mano lo más cerca posible de la antena, a máxima atenuación. Diseño del circuito: topología y dimensionado 50 50 Ilustración 80: Señal de audio con mínima atenuación. Ilustración 81: Señal de audio con atenuación media. Ilustración 82: Señal de audio con máxima atenuación. 51 Diseño e Implementación de un Theremin Ilustración 83: FFT de la señal de audio para nivel promedio de volumen. A partir de los resultados medidos en osciloscopio se comprueba la correcta transmisión de la señal audible a la salida del circuito, así como la limitación en la práctica del mecanismo de atenuación. El valor máximo de amplitud alcanzable por la señal viene dado por la ganancia aplicada en la última etapa, y determina el rango dentro del cual se aplica la atenuación. Es decir, a efectos prácticos el resistor variable de realimentación negativa en el amplificador diferencial tiene la función de control general de volumen del instrumento. Otro efecto observado en laboratorio es la limitación del mecanismo de atenuación generado mediante el transistor actuando a modo de resistor variable. A través del control por el terminal de puerta, su impedancia equivalente respecto a tierra en el terminal negativo del amplificador operacional no llega a alcanzar un valor que anule la amplitud de señal por completo, por lo que no se alcanza una atenuación completa de la onda medida bajo osciloscopio. No obstante, a nivel auditivo sí se percibe una atenuación suficiente como para anular el sonido y generar el efecto de silencio para una posición de mano totalmente próxima a la antena, así como todo el rango de variaciones graduales de volumen mediante el mecanismo descrito. Es importante remarcar que el alcance del proyecto se limita a la generación de la onda de audio del propio instrumento, lo cual no incluye la amplificación y transducción a vibraciones acústicas del sonido, por lo que la percepción del oyente dependerá en última instancia de la etapa de altavoces autoamplificados a la que se introduce la señal audible. 4.4.2 Acondicionamiento y conexión de salida A la salida del circuito y como última etapa del dispositivo se ha implementado un filtro de paso bajo de de segundo orden para reducir la distorsión armónica presente en la señal final de audio. Con esta etapa se atenúan los armónicos cercanos a la frecuencia fundamental, además las altas frecuencias características de ruido transmitido por etapas anteriores por amplificadores operacionales o rizado de la fuente de alimentación. Ilustración 84: Filtro de paso bajo de segundo orden pasivo con amplificador seguidor Diseño del circuito: topología y dimensionado 52 52 La expresión de la frecuencia característica de esta etapa viene dada por 𝑤0=1 2πRC 4.4.2.1 Circuito implementado Al trabajar con una señal audible de frecuencia inferior a 10 kHz se ha diseñado el filtro para una frecuencia característica de f−3 dB =7.2 kHz con los siguientes valores de componentes: 𝑅1=𝑅2= 2.2 𝑘Ω 𝐶1=𝐶2=10 𝑛𝐹 Ilustración 85. KiCad: implementación y dimensionado del filtro de paso bajo. Como medida adicional, siguiendo una práctica habitual en circuitos de audio, se incluye un condensador de desacoplo en serie a la salida de la etapa de filtrado. Con este componente pasivo se consigue desacoplar la señal del nivel de continua que tuviera al ser generada por la última etapa, siendo una señal puramente alterna y pudiendo ser transmitida a un medio de reproducción que la capte a su entrada y realice la amplificación y conversión necesarias para su reproducción por medio de un transductor como suelen ser altavoces de escucha. 4.4.2.2 Medidas en laboratorio El efecto del filtrado en las componentes frecuenciales se mide mediante osciloscopio sobre el prototipo: 53 Diseño e Implementación de un Theremin Ilustración 86: Comparativa mediante FFT de la señal de audio sin filtrar (izquierda) y filtrada (derecha). Se comprueba la mejoría en reducción de magnitud de armónicos respecto a la frecuencia fundamental de audio generada. Por tanto, el diseño de la etapa resulta adecuado para un filtrado efectivo de altas frecuencias no deseadas, sin excesiva pérdida de magnitud de la señal para su correcta transmisión al medio de reproducción externo a la salida del instrumento. Implementación del prototipo, diseño de PCB y construcción 54 54 5 IMPLEMENTACIÓN DEL PROTOTIPO, DISEÑO DE PCB Y CONSTRUCCIÓN 5.1 Prototipo de laboratorio El proceso de diseño e implementación del circuito se ha realizado progresivamente en el laboratorio mediante experimentación en una placa de inserción o protoboard, gracias al uso de material de laboratorio del Departamento de Electrónica. Con ella se ha podido iterar con distintas opciones de topologías y valores de componentes, hasta alcanzar el prototipo definitivo del circuito. Para el desarrollo del prototipo se ha usado una fuente de alimentación de dos canales para aportar los +-12 V de alimentación, así como osciloscopio Tektronix para la toma de medidas de onda y cálculo de FFT. Ilustración 87: Detalle de la placa de prototipado en laboratorio. En el prototipado del circuito se optó por emplear como antenas superficies de papel de aluminio a modo de electrodos con los que establecer el efecto capacitivo con la mano. Dicho material cumple la condición de ser conductivo y permite de forma cómoda adaptar sus dimensiones para iterar con tamaños válidos para generar variaciones de frecuencia en la etapa de oscilador. 55 Diseño e Implementación de un Theremin Ilustración 88: Implementación de laboratorio con conexión de las antenas. Ilustración 89: Visualización de medidas en osciloscopio de laboratorio. Para las pruebas de funcionamiento completo del instrumento se ha empleado una pareja de altavoces autoamplificados disponibles en el laboratorio, a los cuales se les ha conectado la señal de audio a través de un cable tipo jack de 3.5 mm, con conexión estéreo de audio (canales L y R) y un terminal de tierra. Referencias 62 62 ] theremins/theremini. [16 ] Moog, «Theremini Manual,» [En línea]. Available: https://api.moogmusic.com/sites/default/files/2018- 09/Theremini_Manual_6_25.pdf. [17 ] P. Horowitz y W. Hill, «1.4.1 Capacitor,» de The Art of Electronics, 3rd Edition, 2015. [18 ] P. Horowitz y W. Hill, «1.7.14 Resonant Circuits,» de Art of Electronics, 3rd Edition, 2015. [19 ] F. Nachbaur, «On Theremin Sensitivity,» 1997. [En línea]. Available: http://www.dogstar.dantimax.dk/theremin/thersens.htm. [20 ] P. Horowitz y W. Hill, «8.13.1 Frequency translation,» de Art of Electronics, 3rd Edition, 2015. [21 ] D. S. Ricketts, «ricketslab.org - Double Balanced Mixer Theory,» [En línea]. Available: https://rickettslab.org/bits2waves/design/mixer-discrete/mixer-discrete-theory/. [22 ] «Pressbooks.pub - Frequency ratios and pitch perception,» [En línea]. Available: https://pressbooks.pub/sound/chapter/pitch-and-frequency-in-music/. [23 ] P. Horowitz y W. Hill, «7.1.5 B Wien bridge oscillator,» de Art of Electronics, 3rd Edition, 2015. [24 ] J. M. Fiore, «Positive Feedback and the Barkhausen Criterion,» [En línea]. Available: https://eng.libretexts.org/Bookshelves/Electrical_Engineering/Electronics/Operational_Amplifiers_and_Li near_Integrated_Circuits_- _Theory_and_Application_(Fiore)/09%3A_Oscillators_and_Frequency_Generators/9.02%3A_Op_Amp_ Oscillators. [25 ] Texas Instruments, «Analysis of the Sallen-Key Architecture,» [En línea]. Available: https://www.ti.com/lit/an/sloa024b/sloa024b.pdf. [26 ] P. Horowitz y W. Hill, «4.5.1 Active Peak Detector,» de The Art of Electronics, 3rd Edition, 2015. [27 ] F. S. «2N5458 Datasheet,» [En línea]. Available: https://www.alldatasheet.com/datasheetpdf/pdf/179108/FAIRCHILD/2N5457_1.html. [28 ] Eric Torrence, University of Oregon, «Field Effect Transistors,» [En línea]. Available: https://pages.uoregon.edu/torrence/431/notes/anotes6.pdf. [29 ] «What's a theremin,» [En línea]. Available: http://www.thereminworld.com/Article/14232/what-s-a- theremin-. [30 ] Wikipedia, «Electro-Theremin,» [En línea]. Available: https://en.wikipedia.org/wiki/Electro-Theremin. 63 Diseño e Implementación de un Theremin ANEXO Esquemático de simulación de LTSPICE Anexo 64 64 Esquemáticos de proyecto de KiCad 65 Diseño e Implementación de un Theremin Anexo 66 66 67 Diseño e Implementación de un Theremin Anexo 68 68 Planos de caras de cobre generados para la impresión de la placa - Cara frontal: - Cara trasera: