Análisis de la comprensión en los alumnos de bachillerato y primer año de universidad sobre la noción matemática de derivada (Desarrollo del concepto).

ANÁLISIS DE LA COMPRENSIÓN EN LOS ALUMNOS DE BACHILLERATO Y PRIMER AÑO DE UNIVERSIDAD SOBRE LA NOCIÓN MATEMÁTICA DE DERIVADA (DESARROLLO DEL CONCEPTO) Gloria Mª Sánchez-Matamoros García Este libro ha sido posible gracias al apoyo del Proyecto de Investigación PSI2008-02289/PSIC correspondiente a la convocatoria de ayudas a proyectos I+D 2008 del Ministerio de Ciencia e Innovación. ANÁLISIS DE LA COMPRENSIÓN EN LOS ALUMNOS DE BACHILLERATO Y PRIMER AÑO DE UNIVERSIDAD SOBRE LA NOCIÓN MATEMÁTICA DE DERIVADA (DESARROLLO DEL CONCEPTO) No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS © 2010 Autor: Gloria Mª Sánchez-Matamoros García Imprime: Edición Digital @tres, S.L.L. C/ Doctor Escobar Delmas nº, 7 Bjo-B 41018-SEVILLA I.S.B.N.: 978-84-692-8430-8 Depósito Legal: SE-82-2010 IMPRESO EN ESPAÑA – PRINTED IN SPAIN Si tuviésemos de alguna manera que sintetizar en una palabra lo que ha llevado a la realización de este libro, ésta sería compartir. Compartir muchas horas de trabajo con personas que han sabido trazar senderos por los que la labor investigadora de una principiante pudiese discurrir, en especial Salvador Llinares Ciscar y Mercedes García Blanco. Compartir lo que ha supuesto llevar a cabo una investigación en el campo de la Educación Matemática, en la que no sólo se ha identificado un problema coherente con unos planteamientos teóricos, formulado unos objetivos y elaborado un diseño, sino que también se ha aprendido a apreciar las particularidades que la investigación en este campo conlleva. Es indudable que los avances en dicho campo han permitido que se pueda profundizar en temas como el aquí presentado, en el que se aborda la comprensión de alumnos de niveles no obligatorios de conceptos matemáticos específicos, como es el caso de la derivada. Compartir con esos alumnos, universitarios y de Bachillerato, los momentos de duda e incertidumbre que implica colaborar en un trabajo de estas características, y que ellos supieron superar mostrando en todo momento una gran disponibilidad. Pero compartir también es agradecer. En este sentido, junto a nuestro agradecimiento a todos los que han hecho posible este trabajo, queremos mencionar la colaboración prestada por organismos que, con su ayuda, han hecho posible su impresión y facilitado su divulgación. A mis padres ÍNDICE GENERAL Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 1 ÍNDICE GENERAL LISTA DE CUADROS ............……………………....................................... 5 CAPÍTULO 1: Problemática de investigación…………………………..…7 1.1 . Desde el Bachillerato a la Universidad…………………………... 8 1.2. La noción de derivada……………………………………………10 1.2.1. Desarrollo histórico de la noción de derivada…………..10 1.2.2. La derivada en el currículo. Bachillerato y primer año de la Universidad……………16 1.3. La problemática de la investigación……………………………...23 1.4. Lo que conocemos sobre la comprensión de la noción de derivada..…………………………………………25 CAPÍTULO 2: Marco teórico……………………………………………...51 2.1. Pensamiento Matemático Avanzado: de proceso a objeto……….52 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 7 CAPÍTULO 1: Problemática de investigación El estudio de la comprensión de conceptos matemáticos ha sido y es un campo de gran interés para la investigación en Educación Matemática, y es en este ámbito en el que queremos encuadrar nuestro estudio. En concreto nuestra investigación pretende profundizar en el desarrollo de la comprensión del concepto de Derivada. Este concepto matemático empieza a desarrollarse, desde la perspectiva de la enseñanza, en la Enseñanza Secundaria, en el nivel de Bachillerato (16-18 años). Por ello, desde nuestro punto de vista es necesario “mirar” en los cursos correspondientes a este nivel educativo. Pero además, al ser este nivel una preparación previa para seguir formándose a nivel superior, también es conveniente estudiar lo que pasa en el primer año de la Universidad, en concreto en primer año de la Licenciatura de Matemáticas. En este primer capítulo haremos unas breves reflexiones sobre: la enseñanza / aprendizaje de las matemáticas en estos niveles, la noción de 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 8 derivada desde el punto de vista histórico, y cómo aparece la derivada en el currículo de Bachillerato y primer año de la Universidad. Finalizaremos este capítulo comentando lo que conocemos de la comprensión de la noción de derivada a través de las aportaciones de diferentes investigaciones. 1.1. Desde el Bachillerato a la Universidad Las Matemáticas nacen de la necesidad de resolver determinados problemas prácticos, y se sustentan en su capacidad para tratar, modelizar, explicar y predecir situaciones reales, y dar consistencia y rigor a los conocimientos científicos. Constituyen un conjunto muy amplio de conocimientos que tienen en común un determinado modo de representar la realidad. La necesidad de una fundamentación teórica aparece por primera vez en el Bachillerato. El desarrollo de esta faceta del proceder matemático conlleva la introducción de la demostración, entendida en su sentido más amplio como argumentación válida para uno mismo y para los demás. Dicha fundamentación debe adaptarse a la experiencia y características del alumnado (no se puede tratar del mismo modo en alumnos de Bachillerato que en alumnos de la Universidad). Según Dreyfus (2000) para la mayoría de los estudiantes de secundaria, la diferencia entre un teorema y su recíproco no es muy clara, debido a que casi todas las implicaciones que encuentran son bidireccionales. La resolución de problemas matemáticos, entendida como una manera de enseñar matemáticas, permite mostrar en qué consisten estas, cómo se construyen, qué dificultades plantean y para qué sirven. Construir y presentar una argumentación o explicar los procesos seguidos al abordar la resolución de un problema constituyen aspectos importantes de la formación científica. Cada estudiante debe tomarse el tiempo necesario para edificar un conjunto coherente de conocimientos y acceder al descubrimiento y a la 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 9 experiencia de la comprensión. El alumno debe ser consciente de que la mayoría de las ideas matemáticas han necesitado tiempo para emerger y desarrollarse. La historia de las matemáticas es una fuente de problemas genuinos que pueden servir para introducir determinados contenidos, y conectarlos con otros campos del conocimiento. Un estudiante de Bachillerato debería situar las ideas matemáticas fundamentales en su contexto y en su momento histórico. Las Matemáticas de Bachillerato deben desarrollar en el alumno la capacidad de razonamiento y el sentido crítico necesario para interpretar la realidad, y dotarles, al mismo tiempo, de las herramientas adecuadas para resolver problemas cotidianos, pero también, deben preparar al alumno para continuar sus estudios. En las matemáticas de Bachillerato, sobre todo en las de segundo curso, los alumnos deben alcanzar el grado de madurez necesario, en el manejo del lenguaje formal y de los procesos lógicos deductivos, que les permitan interpretar y desarrollar demostraciones que no sean excesivamente complicadas (y que en estudios posteriores, en la Universidad, irán desarrollando con mayor complejidad), plantear conjeturas, analizar procesos lógicos y obtener conclusiones, generalizaciones, .... Por otra parte, la transición del Bachillerato a la Universidad es un proceso complejo y difícil. La diferente manera en la que se presentan las matemáticas en Bachillerato y en la Universidad parece no tener en cuenta las diferentes características de la actividad matemática desarrollada por los estudiantes en estos dos niveles educativos, y por tanto, no considera las características de la comprensión de los alumnos de los conceptos matemáticos (Fonseca, 2003). Esta situación define la necesidad de investigar en este proceso de transición del Bachillerato a la Universidad desde la perspectiva de la naturaleza de la comprensión de los conceptos matemáticos generados por los alumnos y de las características de la actividad matemática 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 10 cuando resuelve problemas. 1.2. La noción de derivada En este apartado indagaremos en los orígenes del cálculo diferencial, a través del desarrollo histórico de la noción de Derivada y a continuación analizaremos la presencia del concepto derivada en el currículo de Bachillerato y primer año de la Universidad. 1.2.1. Desarrollo histórico de la noción de derivada La derivada es el concepto fundamental del Cálculo diferencial, existen distintas publicaciones que se pueden consultar para destacar aspectos del desarrollo histórico de dicha noción Bochner (1991), González (1992), Durán (1996) entre otros. Nosotros nos basaremos fundamentalmente en Aleksandrov et al. (1988) y Kline (1992). Dos tipos diferentes de problemas – el problema físico de calcular la velocidad instantánea de una partícula móvil, y el problema geométrico de encontrar la tangente a una línea de uno de sus puntos – conducen de manera natural a la misma idea básica de derivada. El cálculo fue desarrollado sobre todo para tratar los principales problemas científicos del siglo XVII. Según Kline (1992, p.452) había cuatro tipos principales de problemas: - Primer tipo de problemas: Dada la fórmula de la distancia que un cuerpo recorre como función del tiempo, obtener la velocidad y la aceleración en cualquier instante; y al revés, dada la fórmula que describe la aceleración de un cuerpo como función del tiempo, obtener la velocidad y la distancia recorrida. La velocidad de un movimiento no uniforme en un instante dado es un concepto puramente físico, que surge de la experiencia. (Aleksandrov et al.,1988, p.126) 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 11 - Segundo tipo de problemas: Obtener la tangente a una curva. Del estudio del movimiento surgía un problema científico que implicaba la tangente a una curva. La dirección del movimiento de un cuerpo móvil en cualquier punto de su trayectoria es la dirección de la tangente a la trayectoria. Según Kline (1992, p.457) para Descartes encontrar la tangente a una curva era importante porque permitía encontrar propiedades de las curvas. Escribió su método de Cálculo en el segundo libro de “La Geometrie”, este método era puramente algebraico y no incluía el concepto de límite, a diferencia del método elaborado por Fermat que si implicaba dicho concepto, y se formulaba rigurosamente. El método de Descartes sólo era útil para curvas cuya función fuera y =f(x), donde f(x) es un polinomio sencillo. Otros científicos como Barrow también dieron un método para obtener tangentes a las curvas, se trata de un método geométrico bastante complicado y que hace uso de curvas curvilíneas. - Tercer tipo de problemas: Obtener el valor máximo o mínimo de una función. Puede decirse que comienza con una observación de Kepler, de quien se dice que se interesó por el problema de los volúmenes porque notó la falta de precisión de los métodos utilizados por los tratantes de vinos, para obtener el volumen de los barriles. La identificación de las áreas y volúmenes curvilíneos con la suma de un número infinito de elementos infinitesimales es la esencia del método de Kepler, (Kline 1992, p.459) - Cuarto tipo de problemas: Obtener longitudes de curvas como por ejemplo, la distancia recorrida por un planeta en un periodo de tiempo dado. Según este mismo autor los cuatro problemas habían sido considerados como diferentes, sin embargo se detectaron relaciones entre ellos que, incluso, llegaron a utilizarse. Por ejemplo, Fermat había usado exactamente el mismo método para obtener tangentes que para obtener el valor máximo de una 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 12 función. Este científico conocía la relación entre área y derivada en casos particulares pero no valoró su generalidad o importancia. Barrow expuso la relación entre obtener la tangente a una curva y el problema del área, pero planteada en forma geométrica y ni siquiera él mismo se dio cuenta de su significado (Kline 1992, p.471). Así, los matemáticos del siglo XVII se fueron percatando gradualmente de que una gran parte de los problemas que surgían de distintos tipos de movimiento, así como de problemas geométricos que no se habían podido abordar con los métodos usuales, podían reducirse a dos tipos: - Ejemplos de problemas del primer tipo: “hallar la velocidad en cualquier instante de un movimiento no uniforme”, y “trazar una tangente a una curva dada”. Estos problemas condujeron a una rama del análisis que recibió el nombre de “cálculo diferencial”. - Ejemplos del segundo tipo de problemas: “encontrar el área de una figura curvilínea” (el problema de la curvatura) o “el espacio recorrido en un movimiento no uniforme”, o en general, “el efecto total de la acción de una magnitud continuamente variable”. Este grupo de problemas condujo a otra rama del análisis, el “cálculo integral”. Así se concretizaron dos grupos de problemas fundamentales: “el problema de las tangentes”, y “el problema de las cuadraturas”. Los problemas del Cálculo fueron abordados por muchos matemáticos del siglo XVII. Todas sus contribuciones fueron coronadas por las realizaciones de Newton y Leibniz (Kline 1992, p.454). El problema que se replantearon Newton y Leibniz, según el cual la inversión del problema de las tangentes resolvía el problema de la cuadratura, suministraba un método directo para calcular las áreas limitadas por curvas muy variadas. Newton generalizó las ideas ya adelantadas por muchos otros, estableció métodos ya maduros y mostró las interrelaciones entre varios de los problemas descritos 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 13 anteriormente. Aunque aprendió mucho como alumno de Barrow, en sus trabajos de Álgebra y Cálculo estuvo más influido por el científico Wallis (Kline 1992, p.475). La labor de los constructores del nuevo cálculo se desarrolló en dos direcciones:  Búsqueda de los procedimientos adecuados para determinar el área de una superficie limitada por una curva de ecuación conocida, el volumen de un sólido de rotación cualquiera y el baricentro de las figuras de dos y tres dimensiones.  Exploración de los procedimientos de determinación de la tangente para cada punto de una curva de ecuación conocida, sus eventuales máximos y mínimos, sus puntos de inflexión y su curvatura. El segundo problema era más nuevo que el del área, y su solución era conocida solamente para algunos tipos particulares de curva; pero la importancia de ambas direcciones reside sobre todo en que la búsqueda del área es equivalente al cálculo de una integral, y la determinación de una tangente al de una derivada. Es importante resaltar que Newton y Leibniz introdujeron símbolos cómodos y precisos para regular cada una de las operaciones fundamentales que se manejan. Este hecho eliminó para siempre la improvisación en la notación, tal sistematización no era sencilla pues implicaba la reorganización de todos los resultados conseguidos. Centrándonos en las aportaciones de Newton, este científico no sólo dio un método general para obtener el cambio relativo de una variable respecto a la otra, sino que mostró que el área puede obtenerse invirtiendo el proceso de obtener un cambio relativo. Las áreas se habían obtenido y expresado como sumación de áreas infinitesimales. Newton aplicó el método para obtener el área encerrada bajo muchas curvas. Introdujo dos importantes tipos de 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 14 sistematización: el cálculo de las fluxiones y el de las primeras y últimas razones, si bien los símbolos propuestos por él son menos adecuados que los empleados por Leibniz. Newton elabora el método de las fluxiones partiendo de que líneas y superficies se pueden considerar constituidas no de sumas, sino de desplazamientos de puntos o de líneas, y de que las magnitudes que varían continuamente lo hacen en función de una “velocidad de crecimiento” que puede ser medida y comparada. Newton decide llamar fluxión a esta velocidad y fluyentes a las cantidades descritas mediante un movimiento continuo. Es decir, llama fluyente a una cantidad variable y a su cambio relativo fluxión. Se enfrenta en seguida con dos problemas fundamentales: cálculo de las fluxiones, o de la relación entre dos fluxiones cuando se conoce la relación entre las respectivas fluyentes, y cálculo de las fluyentes cuando se conoce la relación en que se hallan las fluxiones. Estos dos problemas son los que hoy día conocemos como cálculo de derivadas y de integrales, y fueron las reglas de ambos cálculos las que Newton descubrió. En el “Method of Fluxions” Newton incluyó aplicaciones de las fluxiones a la diferenciación de funciones implícitas y a la obtención de tangentes a la curva, máximos y mínimos de las funciones, curvatura de las curvas y puntos de inflexión de las mismas. También obtuvo áreas y longitudes de las curvas (Kline 1992, p. 481) Por otro lado, Leibniz no llegó al cálculo infenitesimal a través de las situaciones prácticas (como hizo Newton), su aportación, entre otras, fue el símbolo de integración  ; este símbolo indicaba la suma de todos los “indivisibles” que llenaban un área, y para señalar la integral de una variable y, función de una variable independiente x, Leibniz recomienda no omitir la introducción de dx bajo el símbolo de la integral, escribiéndose así:  ydx, notación que ha permanecido invariable hasta hoy. Según Aleksandrov et al. (1988, p.171), el hecho de que estas notaciones introducidas por Leibniz (dx, d2x, d/dx,  ydx) se utilicen todavía muestra lo acertado de su elección. La 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 15 lectura de las obras matemáticas de Pascal permitió a Leibniz descubrir el triángulo característico, y llamó diferenciales a la razón entre las diferencias no nulas de sus abscisas y sus ordenadas; la condición esencial que impuso a las operaciones de obtención de las tangentes fue la de relacionar las diferenciales entre ellas. De este modo surgió la principal operación del nuevo cálculo, o sea, el estudio de la relación dy/dx entre las dos diferenciales correspondientes a los dos catetos del “triángulo característico”. Tanto a Newton como a Leibniz se les debe reconocer que vieran el Cálculo como un método nuevo y general, aplicable a muchos tipos de funciones. Después de sus contribuciones el Cálculo dejó de ser un apéndice de la Geometría griega para convertirse en una ciencia independiente capaz de manejar una cantidad de problemas ampliamente extendidos (Kline 1992, p.500) La evolución de los conceptos del análisis matemático (derivada, integral, ...) continuó después de Newton y Leibniz, y continúa todavía en nuestros días. Según Aleksandrov et al. (1988, p.172) una etapa en esta evolución que merece ser destacada es la que tuvo lugar a comienzos del siglo XIX, y que está relacionada con el trabajo de Cauchy, que dio una definición formal y precisa del concepto de límite y la utilizó como base para sus definiciones de continuidad, derivada, diferencial e integral. La descripción del desarrollo histórico de los conceptos fundamentales del cálculo muestra el vínculo existente entre la modelización de problemas, la visualización e interpretación de problemas desde una perspectiva geométrica y el desarrollo de la simbolización. La síntesis e integración paulatina de los significados generados en cada tipo de problema muestra el tipo de pensamiento y/o razonamiento que los matemáticos del siglo XVII generaron para caracterizar la idea de variación de la velocidad, y tangente a una curva, estableciéndose la generación de la idea de derivada en un punto como paso previo en la consideración de función derivada. Así, la conceptualización de la 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 22 En esta tarea, f ’ muestra en su gráfico cambios de signo, cambios de crecimiento, puntos de corte con el eje X, puntos de tangencia horizontal y un punto anguloso, todo ello conlleva que para esbozar el gráfico de f el estudiante necesita establecer relaciones entre aspectos del concepto de derivada analíticos y/o gráficos globales (es decir, en intervalos) que vinculen el crecimiento de f ’ a la convexidad de f, el signo de f ’ al crecimiento de f y aspectos del concepto analíticos y/o gráficos puntuales vinculando f ’ a extremos y puntos de inflexión de f. El estudiante puede resolver la tarea a través de aspectos del concepto de la noción de derivada gráficos como pendiente de la recta tangente a la gráfica o a través de aspectos del concepto analíticos puntuales y globales vinculados al crecimiento y a la concavidad. En ambos casos y para llegar al gráfico de f es necesario considerar f ’ como función y (f ’)’ como su derivada, al menos puntualmente, obteniendo así información sobre f ’’ desde el gráfico de f ’, sin el uso de estas relaciones el esbozo del gráfico de f no es posible. Es necesario aplicar estas relaciones entre diferentes aspectos del concepto para resolver tareas que figuran en los libros de consulta de los estudiantes de 1º Licenciatura de Matemáticas. Sin embargo, no sucede lo 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 23 mismo en las tareas que figuran en los libros de texto de Bachillerato, en las que no es necesario utilizarlas. Este breve análisis de las características de las tareas-problemas que los alumnos deben realizar en Bachillerato y Universidad nos indica que la diferencia en el tipo de actividad matemática que deben generar los estudiantes radica no sólo en la cantidad de elementos matemáticos del concepto de derivada que se ponen en juego, sino también en la naturaleza de las relaciones que se deben establecer entre dichos elementos durante la actividad de resolución de problemas. Por tanto, las relaciones entre los elementos del concepto de derivada, tanto de la idea de derivada en un punto, como de la idea de función derivada, desde perspectivas analíticas o gráficas, constituyen una característica esencial para determinar lo que los alumnos pueden llegar a ser capaces de resolver. 1.3. La problemática de la investigación El desarrollo de las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de términos relacionados con el cálculo diferencial e integral (funciones (García y Llinares, 1996), límites (Sierra et al., 1999, Espinoza y Azcárate, 2000), ...), así como nuestra experiencia como profesora de Educación Secundaria, nos ha permitido comprobar la enorme dificultad de la enseñanza y el aprendizaje de estos conceptos, en particular el concepto de Derivada. Respecto a este hecho, Artigue (1995) afirma que aunque se puede enseñar a los estudiantes a realizar de forma más o menos mecánica algunos cálculos de derivadas y a resolver algunos problemas estándar, sin embargo se encuentran grandes dificultades para hacerles alcanzar una comprensión satisfactoria de los conceptos y métodos de pensamiento que son el centro de este campo de las matemáticas. Así, muchos estudiantes son capaces de llevar a cabo los ejercicios que se les proponen, por ejemplo, son capaces de aplicar de forma 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 24 correcta las reglas de derivación, y sin embargo muestran dificultades al manejar el significado de la noción de Derivada (ya sea a través de su expresión analítica como límite del cociente incremental, o en su interpretación geométrica como pendiente de la recta tangente). Realmente, el fondo de la cuestión es que estos estudiantes no han construido el concepto de Derivada. Es frecuente, como hemos podido comprobar, que para la enseñanza del concepto de Derivada, se estudie previamente los conceptos de función y de límite. La derivada aparece como el límite de los cocientes incrementales o como el límite de las secantes. La función y el límite son conceptos matemáticos que presentan gran dificultad de aprendizaje a los estudiantes, como podemos observar en diversas investigaciones centradas en la comprensión de los mismos (Breidenbach et al., 1992; Cottrill et al., 1996), por tanto el aprendizaje de la derivada viene afectado por ello. Las concepciones previas de los estudiantes que provienen de su experiencia pueden contener aspectos contradictorios que se manifiestan según las situaciones y son muy resistentes al cambio. Por todo esto, nos parece necesario profundizar en la comprensión de la noción matemática de la derivada de los alumnos de Bachillerato y primer año de la Licenciatura de Matemáticas, dado que es en estos cursos donde se inicia y construye los aspectos básicos que forman el concepto. Al centrarnos en el proceso de transición del Bachillerato a la Universidad hace que planteemos el problema de investigación sobre la comprensión desde una perspectiva del desarrollo que se da entre estos dos niveles educativos. 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 25 1.4. Lo que conocemos sobre la comprensión de la noción de derivada La problemática de investigación que nos hemos planteado ha sido abordada por otros investigadores desde distintos planteamientos y con diferentes objetivos, pero todos ellos nos aportan información que nos sirve de base a nuestro trabajo. Por ello en lo que sigue vamos a comentar algunas de las ideas aportadas por dichos estudios. Algunas investigaciones se han centrado en describir los errores y dificultades que tienen los estudiantes respecto al concepto de derivada, sin plantearse como se construye el concepto (Orton, 1983; Ferrini-Mundy y Graham, 1994; Porzio, 1997; entre otros). Así, Orton (1983) centrándose en la diferenciación y sus aplicaciones, nos habla de tres tipos de errores cometidos por los estudiantes: estructural (relacionado con los conceptos esenciales implicados), arbitrario (el alumno que se comporta arbitrariamente sin tener en cuenta los datos del problema) y ejecutivo (error en la manipulación, si bien los conceptos implicados pueden ser comprendidos) según esquema descrito por Donalson (1963). Este estudio se llevó a cabo con 110 estudiantes, 60 de ellos entre 16-18 años procedentes de 4 escuelas y el resto entre 18-22 años procedentes de 2 centros para formación de profesores (55 hombres y 55 mujeres en total). Como fuente de datos realizaron dos entrevistas: En la primera entrevista los estudiantes contestaban preguntas referidas a límites, áreas e integración. Y en la segunda entrevista preguntas referidas a rango de cambio, diferenciación y aplicaciones. Centrándose en la diferenciación y asociados al rango de cambio (cociente incremental), había un total de 21 items. Los items que eran aplicaciones de la diferenciación fueron los que menos dificultades le presentaron a los estudiantes. Siendo los referidos a la comprensión de la diferenciación y a la gráfica asociada a la razón de cambio los que más dificultades les presentaron. 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 26 En las tareas con funciones lineales dadas por gráfico – tabla, y una línea de pendiente positiva, con rango de cambio constante, 22 estudiantes contestaron con el valor de y, y no con el valor del cociente incremental. Lo mismo sucede en cuestiones similares dadas por gráfico – ecuación en la que 29 estudiantes contestaron con el valor de y. En lo que sigue mostramos ejemplos de tareas usadas por Orton (1983, pp. 245-247) en su estudio. 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 27 En las tareas similares a las comentadas anteriormente, pero con funciones no lineales, donde en una tarea dada por gráfico – ecuación, distinguiendo entre la razón sobre un intervalo o sobre un punto, al preguntar que sucede al tomar límite cuando h tiende a cero, 96 estudiantes no pudieron contestar de forma correcta la cuestión. Un ejemplo de tarea usada por Orton (1983, p.247) es la siguiente: Ortón cree que estas dificultades se deben a una visión conceptual débil del concepto de función. En este estudio, también plantea items vinculados con la idea de rotar la secante para entender la tangente como un límite, o con el uso de los símbolos y, y/x, dx, dy, dy/dx. 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 28 Otras investigaciones de carácter descriptivo se centran en estudios de casos, así Ferrini-Mundy y Graham (1994) analizan las dificultades de los estudiantes al intentar esbozar un dibujo de la derivada de una función cuando la función se da por medio de su gráfica. La investigación la realizaron guiados por el constructivismo piagetiano, que según Cobb, Wood, Yackel, Nicholls, Wheatly, Trigatti y Perlwitz (1991) afirma que el aprendizaje de las Matemáticas es un proceso en el cual el estudiante reorganiza su actividad mediante la resolución de problemas. El propósito de este estudio fue describir la comprensión de los estudiantes de Cálculo de función, límite y continuidad, derivada e integral, y explorar la interrelación entre sus comprensiones de estas áreas conceptúales. La metodología usada es cualitativa, basada en entrevistas a los estudiantes. Los estudiantes seleccionados para participar en el estudio, fueron seis (tres hombres y tres mujeres), dos con notas por debajo de la media, dos con notas en la media, y dos con notas por encima de la media. A cada estudiante se le pidió que realizara cuatro entrevistas de aproximadamente una hora de duración, las entrevistas fueron grabadas, y en cada una de ellas se trataron los tópicos: - función, - límite, - continuidad, - derivada e integral. Estas entrevistas fueron espaciadas a lo largo del curso, y sólo fueron completadas por 4 de los estudiantes, los otros dos abandonaron el curso. Los items elegidos para el estudio incluyen items presentados gráficamente e items presentados por fórmulas. En cada entrevista se incluían tareas que se podían resolver de forma rutinaria para el estudiante, ya que ellos habían hecho problemas similares en el texto. La investigación adoptó la forma de estudio de caso de una estudiante cuyas compresiones y construcciones más ricas se dan en las nociones de funciones, límites y continuidad. Sus concepciones de derivadas e integrales fueron muy escasas y definidas principalmente a través de procedimientos. 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 29 Sobre derivada la mayor dificultad la tuvo en relacionar gráfica y fórmula. Tuvo facilidad en derivadas usando algoritmos, y habilidad para esbozar curvas siguiendo un algoritmo sobre puntos, mirando las derivadas positivas y negativas,... Esta estudiante admitió que no tiene la idea de la línea tangente relacionada con la derivada de una función. Las conexiones entre sus conocimientos procedimentales y conceptuales no eran fuertes. Para tomar decisiones sobre si ciertas gráficas representan funciones derivadas, ella volvió a su práctica previa de buscar fórmulas para funciones, viendo si podía encontrar una derivada por un procedimiento estándar. De este estudio sus autores concluyen que: 1.- los contextos gráficos y algebraicos pueden considerarse por los estudiantes como modos separados donde se aplican algoritmos sin relación, para resolver problemas. 2.- en muchas ocasiones existen conflictos entre los significados matemáticos convencionales que tienen los profesores y libros de textos, y lo personal que hacen los estudiantes. 3.- los estudiantes de Cálculo formularon su propia teoría, construyendo sus conexiones propias. Estos procesos parecen estar fuertemente influidos por la experiencia previa. 4.- existen grandes inconsistencias entre representaciones, particularmente en items procedimentales y comprensión de conceptos. 5.- los estudiantes construyen una concepción en Matemáticas como resultado de la instrucción experimentada. Otra investigación descriptiva que se realiza con un estudio de caso de un estudiante, Tim que había completado un año de estudio de Cálculo elemental, fue realizado por Aspinwall, Shaw y Presmeg (1997), a través de una serie de entrevistas, con dos objetivos: (1) estructurar el proceso de entrevista y (2) obtener información sobre los procesos de pensamiento del 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 30 estudiante que, emparejado con los datos de las entrevistas previas, guiaría el desarrollo de las tareas adicionales designadas para demostrar las habilidades interpretativas del estudiante para discriminar gráficamente una función y su derivada. Los autores demostraron como a veces las imágenes incontroladas crean barreras para construir significados, en contra del punto de vista que sólo ve ventajas en el proceso de aprendizaje con imágenes mentales. No sugieren que se abandonen las imágenes mentales, pero si que los educadores matemáticos deben ser conscientes de ello. Aspinwall et al. (1997) para llevar a cabo el estudio diseñaron 20 tareas, las 4 primeras tareas se elaboraron antes del estudio, el resto se diseñaron basadas en el análisis de entrevistas de tareas previas. La mayoría de las tareas eran problemas no rutinarios, y en muchos de ellos había que determinar las gráficas de las derivadas, dando sólo gráficos de funciones y explicar el proceso de pensamiento. Varios aspectos de la posición de Krutetskii (1976) son de relevancia en la interpretación de los datos que se hace en este estudio. Este autor distingue tres tipos de habilidades matemáticas en el nivel escolar: I. Analítica: predomina la componente lógicoverbal II. Geométrica: predomina la componente pictórico-visual III. Armónica: equilibrio de las dos componentes. En esta última distingue dos subtipos: a. Armónica abstracto: si puede usar soporte visual en la resolución de problemas, pero no es el preferido b. Armónico pictórico: si puede usar soporte visual en la resolución de problemas, y prefiere hacerlo así. Los resultados obtenidos son los siguientes: i) respecto a la comprensión simbólica de fórmulas y procedimientos del cálculo de funciones derivadas, se observó que Tim es un experto en la aplicación de reglas para 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 31 determinar derivadas en diversas situaciones. ii) respecto a la comprensión gráfica, aunque Tim utiliza soporte visual cuando resuelve problemas y prefiere hacerlo así, su habilidad para pensar sobre un problema fue obstaculizada por una imagen incorrecta. El estudiante construyó una imagen de una función polinómica de segundo grado como si tuviera asíntotas verticales. Sin embargo, afirmó que el dominio eran todos los números reales. Esta imagen errónea le hizo dibujar una gráfica de la derivada en forma de función cúbica. Este dibujo estaba en conflicto con su conocimiento analítico de que la derivada de una función cuadrática debía ser una recta. No obstante, no fue capaz de controlar sus imágenes mentales, las cuales continuaban interfiriendo en su pensamiento sobre la derivada. Otra forma de estudiar la comprensión proviene de asumir determinados marcos teóricos de comprensión, que llevan a preguntas coherentes con dichos marcos. Los diferentes modelos teóricos que los investigadores han utilizado muestran donde cada uno de ellos coloca el énfasis y el significado dado a la comprensión y desarrollo de la comprensión. Centrándonos en el caso de la derivada, los estudios realizados han usado aproximaciones centradas en elementos de cognición como - la idea de “esquema conceptual” (Azcárate, 1990) derivada de la idea de Imagen del concepto (Tall, 1989), - ideas procedentes de una aproximación piagetiana del conocimiento y su desarrollo visto a través de la teoría APOS (Asiala et al., 1997), y la teoría del desarrollo de los esquemas (Clark et al., 1997; Baker et al., 2000; Badillo, 2003), - ideas procedentes del papel de las representaciones y las actividades con ellas en el desarrollo de los significados (Font, 1999, 2000 b), y - las teorías de la reificación (Sfard, 1992) centradas en las relaciones entre proceso-objeto (Zandieh, 2000). 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 38 A partir de los resultados estos autores concluyen que la comprensión de la regla de la cadena conlleva la construcción de un esquema. Este esquema debe contener el esquema de función, que incluye al menos una concepción proceso de función, composición y descomposición de funciones. El esquema de función está vinculado al esquema de diferenciación que incluye las reglas de diferenciación al menos a nivel de proceso. Desde los resultados este autor nos propone una descomposición genética revisada, apoyándose en el desarrollo del esquema de la regla de la cadena utilizando las características de los niveles: Intra, Inter, Trans. En el nivel Intra los estudiantes tienen una colección de reglas para encontrar derivadas incluyendo algunos casos especiales, pero no tienen reconocido las relaciones entre ellas. El segundo nivel de desarrollo, el nivel Inter., está caracterizado por la habilidad del estudiante para ver todos los casos diferentes, y reconoce que en algunos casos estos están relacionados. En el nivel Trans el estudiante debe construir la estructura de la regla de la cadena, debe vincular la composición o descomposición de funciones a la diferenciación. Los elementos en el esquema deben moverse desde sus descripciones esencialmente por una lista, a su descripción por una regla simple. Conjeturan que un esquema maduro de la regla de la cadena depende estrechamente del esquema de función del individuo. 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 39 Otra investigación que asume el marco teórico APOS y que se centra en el desarrollo del esquema a través de los niveles Intra, Inter, Trans, es la llevada a cabo por Baker et al. (2000) el objetivo de su estudio era analizar la comprensión de los estudiantes acerca de los conceptos de cálculo utilizados en la resolución de un problema atípico de cálculo gráfico. Para ello se les pidió a los alumnos que esbozaran la gráfica de una función, dando sus propiedades (en la primera, y segunda derivada, límites y continuidad) en intervalos específicos de su dominio (Baker et al., 2000, p. 563). Para determinar el nivel de comprensión de los alumnos se analizaron las respuestas detalladas de los estudiantes a las entrevistas orales y escritas. Como se ha mencionado anteriormente para el análisis de las respuestas de los estudiantes se utilizó la triada (INTRA, INTER, TRANS) del desarrollo del esquema en el contexto de la teoría APOS. Los tres niveles del desarrollo del esquema de derivada fueron caracterizados de la siguiente forma: - INTRA: un objeto en el nivel Intra no es reconocido por el estudiante como necesario, y su forma es similar a la forma de una generalización simple. Por ejemplo en el nivel Intra del esquema de derivada el estudiante interpreta la derivada como la pendiente de la recta tangente en puntos específicos. - INTER: en el nivel Inter el estudiante es consciente de las relaciones presentes y puede deducir desde la operación inicial, una vez es comprendida, otras operaciones que son inferidas por esta o que pueden coordinarse con operaciones similares. Por ejemplo, en el nivel Inter 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 40 del esquema de derivada, el estudiante coordina la noción de derivada como pendiente de la recta tangente con la idea de derivada como razón de cambio en un punto dado. - TRANS: a través de la síntesis de las transformaciones del nivel Inter, el estudiante construye una consciencia de la completitud del esquema, puede percibir nuevas propiedades globales que eran inaccesibles en los otros niveles. Por ejemplo, en el nivel Trans del esquema de derivada el estudiante agrupa todas las derivadas como pendientes o razones de cambio de una función en un punto y reconoce que todas las situaciones en las que está implicada la variación se relacionan al concepto de derivada. El estudio se realizó con 41 estudiantes que estaban matriculados en estudios de Ingeniería, Matemáticas y Ciencias, y todos habían cursado, al menos dos semestres de cálculo en una variable. Antes de analizar las entrevistas realizaron una descomposición genética inicial de las técnicas de cálculo gráficas, y analizaron con profundidad tres entrevistas y descubrieron concepciones de los estudiantes, dificultades y estrategias, permitiendo revisar la descomposición genética inicial para reflejar más fielmente dicha información. Las 38 entrevistas restantes las analizaron con esta descomposición genética final. Los datos de cada una de las 41 entrevistas fueron analizados de manera independiente por, al menos, dos investigadores y comparados para su verificación. Estos autores asumen al realizar este tipo de análisis que el esquema de cálculo gráfico, como cualquier esquema, variará de una persona a otra y podría evolucionar por caminos diferentes, pero cada esquema personal pasará de algún modo a través del proceso de los niveles de desarrollo. Según estos autores, el esquema de cálculo gráfico para un estudiante está caracterizado por una combinación de los niveles de desarrollo en la comprensión de los conceptos del cálculo como la derivada, límites, 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 41 continuidad e ideas de precálculo. El esquema de “cálculo gráfico” se conjeturó que estaba formado por dos esquemas que denominaron el “esquema propiedad” y el “esquema intervalo”. Además, el desarrollo del esquema de “cálculo gráfico” lo describieron por la interacción de estos dos esquemas, utilizando para ello una terna bidimensional. Baker et al. (2000) finalizan el estudio señalando varios puntos que causaron dificultades constantemente a los estudiantes: el punto cúspide, la tangente vertical, y la supresión de la condición de continuidad (que era una de las preguntas de la entrevista). Un número significativo de estudiantes mostraron una comprensión muy limitada de la segunda derivada. Algunos ignoraron la segunda derivada, evidenciando falta de desarrollo del esquema de la propiedad, otros trabajaron sólo a partir de la memorización. Y por último, otros fueron incapaces de coordinar las condiciones de la primera derivada y la segunda derivada. Muy pocos estudiantes consideraron las derivadas como funciones, especialmente, no supieron interpretar la relación de la segunda derivada con la primera. Baker et al. (2000) concluyen diciendo que en algún punto los estudiantes necesitan considerar la primera derivada en sí misma como una función para entender la importancia de la segunda derivada. La investigación llevada a cabo por Badillo (2003) también asume el marco APOS, en su investigación intenta inferir el nivel de comprensión que tienen los profesores de matemáticas y física de Colombia sobre derivada. Para ello se usó un cuestionario indirecto y entrevista, además de los documentos elaborados (programación, unidad didáctica y evaluación) por los cinco profesores participantes. El estudio de los niveles de comprensión del esquema de derivada que tienen los profesores mostró que existía pluralidad en los niveles de comprensión de los profesores que participaron en el estudio. La mayoría de los profesores tenían dificultad en la comprensión gráfica de los 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 42 macro-objetos f(x), f ’(a) y f ’(x), e incluso algunos reprodujeron inconsistencias con relación a estos macro objetos , tales como: 1. la confusión de los macro objetos f ’(a) y f ’(x) 2. la reducción de la expresión simbólica del macro objeto f ’(x) a la ecuación de la recta tangente y la gráfica del macro objeto f ’(x) a la gráfica de la recta tangente 3. la no justificación del uso de las técnicas de derivación directas e indirectas (definición en término de límite y las reglas de derivación). En la investigación se trabajó a partir de los datos obtenidos organizados en redes sistémicas y se definieron las categorías del concepto de derivada que consideraron relevantes para la comprensión del concepto: a) los conceptos estructurales b) la relación entre los objetos pendiente de la recta y razón de cambio en la construcción del macro-objeto f ’(a) (función derivada en un punto) c) la relación (tanto gráfica como algebraica) entre los macro-objetos f ’(a) y f ’(x) (función derivada en un punto y función derivada). Para la autora el esquema de derivada está conformado por la coordinación de varios objetos matemáticos, centrándose en describir el esquema de derivada como la conexión interna de: el macro-objeto derivada en un punto f ’(a) y el macro-objeto función derivada f ’(x), estos macroobjetos son a su vez el resultado de la coordinación, consciente o inconsciente de tres objetos: pendiente de la recta (O1), límites de las tasas de variación media (O2), y razón de cambio (O3). Para llegar a tener un esquema coherente de la derivada se requiere coordinar dos esquemas previos: algebraico y gráfico, resultado a su vez de la coordinación interna de O1, O2, O3. Aunque señala que los macro-objetos f ’(a) y f ’(x) se encuentran fuertemente relacionados, comprender el macro-objeto f ’(a) no implica tener construido 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 43 el macro-objeto f ’(x), pero la comprensión del macro-objeto f ’(x) implica una comprensión simultánea o previa del macro-objeto f ’(a). Por otra parte, basándose en el papel de las representaciones Font (1999) realiza una investigación en la que parte de la hipótesis de que el cálculo de f ’(x) a partir de f(x) se puede interpretar como un proceso en el que se ha de considerar: 1) traducciones entre distintas formas ostensivas de representar f(x) 2) el paso de una forma de representación ostensiva de f(x) a una forma de representación ostensiva de f ’(x) 3) traducciones entre las distintas formas ostensivas de representar f ’(x) utiliza el término ostensivo en el sentido de que se puede mostrar a otro directamente. Por representación ostensiva entiende por ejemplo, la fórmula de la función que el profesor escribe en la pizarra y el alumno ve directamente. Este autor diseña una unidad didáctica para alumnos de 3º B.U.P. y 1º Bachillerato Científico Tecnológico, con actividades en las que el alumno ha de realizar alguno de los tres subprocesos. Font llevó a cabo la experimentación de la unidad en un grupo de 41 alumnos completo, y un grupo mixto de 20 y 21 alumnos atendido por dos profesores. Las representaciones ostensivas consideradas son: - expresión simbólica - gráfica - tabla - descripción verbal de la situación En la investigación se analiza una secuencia de actividades que tiene por objetivo el cálculo de la función derivada. La implementación pone de manifiesto la dificultad que tienen los alumnos con contenidos que forman parte de conocimientos previos (función, traducción entre diferentes 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 44 representaciones de una función, variación de una función, pendiente, tasa de variación media, velocidad, etc.). También muestra que la definición de función derivada f ’(x) como el límite del cociente incremental presenta una complejidad semiótica considerable, al igual que a través de la pendiente de la tangente. En cambio la introducción de la derivada a partir de una tabla resulta más fácil de entender. Los tres procedimientos (límite del cociente incremental, pendiente de la tangente y tabla) utilizan ostensivos distintos: en expresión simbólica; en gráficos y en tablas, respectivamente. La conclusión es que la secuencia de actividades que combinan los tres procedimientos anteriores posibilita la comprensión del estudiante. Asumiendo la Teoría de la Reificación, Zandieh (2000) lleva a cabo un estudio en el que considera como premisa inicial de su investigación que en la comprensión de un concepto multifacético como es la Derivada, no es apropiado preguntarse simplemente si un estudiante comprende el concepto o no, sino ¿qué aspectos del concepto conoce el estudiante y qué relaciones establece entre estos aspectos?. Para ello primero realiza una descripción del concepto de Derivada atendiendo a dos componentes principales: las múltiples representaciones o contextos y las capas (o estratos) de parejas de procesoobjeto. Respecto a las diversas representaciones del concepto de derivada, considera (a) gráficamente como la pendiente de la línea tangente a la curva en un punto, (b) verbalmente como la razón de cambio instantánea, (c) en física como la velocidad, y (d) simbólicamente como el límite del cociente incremental. En cuanto a las parejas proceso-objeto, Zandieh indica que matemáticamente el concepto de Derivada involucra una razón, un límite y una función. De acuerdo con la investigación de Sfard (1992) respecto a la evolución histórica y psicológica de los conceptos matemáticos, en la que se 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 45 sugiere una transición desde un proceso o concepción operacional hasta una concepción estructural estática, y en la que los procesos son operaciones sobre objetos previamente establecidos, cada proceso es reificado en un objeto en el que actuarán otros procesos, formándose una cadena que Zandieh llama parejas de proceso-objeto. En su estudio introduce la descripción de la noción del concepto de Derivada en término de tres parejas de proceso-objeto vinculadas en una cadena, cada una vista en varias representaciones o contextos. El proceso de razón toma dos objetos (dos incrementos, dos longitudes, una distancia y un tiempo, ...) y actúan por una división. El objeto reificado (razón, pendiente, velocidad,...) se usa para el próximo proceso, que es tomar un límite, el proceso del límite aproximándose a un valor particular (el valor del límite, la pendiente en un punto de la curva, la velocidad instantánea,...). El objeto reificado, el límite, se usa para definir cada valor de la función derivada. La función derivada actúa como un proceso pasando a través de (posiblemente) muchos valores de entrada, y para cada uno determinando un valor de salida dado por el límite del cociente incremental en ese punto. La función derivada también puede ser vista como un objeto reificado, como cualquier función (la función derivada puede pensarse como un objeto que ha salido de otro proceso, el operador derivada). Zandieh (1997) investigó con 9 estudiantes de cálculo de “high school” la evolución de la comprensión del concepto de derivada en cada estudiante. Dicha evolución se trató como un estudio de caso individual ( a través de notas de campo del investigador durante las clases (75) a lo largo de 9 meses, exámenes de los estudiantes y entrevistas (5) con varias preguntas hechas a los estudiantes para tratar de obtener su comprensión del concepto de Derivada). En este artículo los datos se centran en las entrevistas primera (después de que los estudiantes hubieran repasado límites y funciones, pero antes de que hubieran repasado las nociones teóricas y prácticas de Derivada), segunda 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 46 (después de que hubieran terminado de estudiar la derivada) y quinta (al final del curso después de que ellos hubieran hecho el examen) realizadas a los estudiantes. Comienza describiendo como piensa que puede ser la comprensión del concepto de Derivada de un estudiante, a continuación describe la comprensión de los estudiantes, para ello elabora una matriz donde se recoge aspectos de esta comprensión (si el estudiante menciona en su respuesta a una o más preguntas de las entrevistas, respecto del concepto de Derivada, un contexto o un estrato (capa) o un proceso o un pseudo-objeto). La matriz no recoge las conexiones que el estudiante puede o no puede hacer. Además, define un pseudo-objeto como una comprensión intuitiva que no involucra la comprensión del proceso subyacente en el objeto. El uso de pseudo-objetos y de múltiples representaciones lleva al individuo a construir inicialmente una comprensión del concepto de Derivada muy diferentes unas de otras. En este sentido, la comprensión de Derivada de un estudiante se desarrolla desde una comprensión parcial, cada estudiante con diferentes piezas de un puzzle, cuanto más completa es la comprensión menos piezas quedan sin encajar. El reto para el educador es dar a los estudiantes experiencias para que sean capaces de contemplar la comprensión de todas las capas (estratos) de estos tres proceso-objeto del concepto de Derivada. Una dificultad está en que muchos problemas relacionados con el concepto de Derivada se pueden resolver usando sólo una comprensión de pseudo-objetos. Otro resultado de la investigación es que los estudiantes no conectan automáticamente una comprensión de un proceso en un contexto con el mismo proceso en otro contexto. Un estudiante no tendrá una comprensión completa del concepto de Derivada si no puede reconocer y construir cada uno de los tres procesos involucrados en la comprensión del concepto de Derivada en cualquier contexto relevante. 1. Problemática de investigación Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 47 Una vez revisados aquellos estudios que nos hablan desde distintos puntos de vista de la comprensión de la derivada mostramos esquemáticamente la información que globalmente nos aportan. Así, las investigaciones nos han proporcionado información en relación a: - las características de los significados del concepto de derivada construidos por el estudiante, y - las características de la evolución de estos significados (desarrollo de la comprensión) En relación a los significados construidos por el estudiante: se muestra la existencia de conflictos e inconsistencias entre las construcciones realizadas por los estudiantes y los significados formales presentados por los estudiantes y los libros de texto (Ferini-Mundi-Graham, 1994). Se ha mostrado la influencia de los contextos en el sentido de que los estudiantes no conectan automáticamente una concepción proceso de las ideas de razón, límite, función vinculadas a las ideas de derivada dados en un contexto con el mismo proceso dado en otro contexto, por ejemplo la confusión de la velocidad media con la instantánea en un punto (Azcárate, 1990). En este sentido se aboga por la idea de que se conseguirá una comprensión completa de la idea de derivadas cuando se reconozca y reconstruya cada una de las ideas de razón límite y función en diferentes contextos (Zandieh, 2000). Los modos de representación gráfico y analítico también han mostrado su influencia sobre la construcción de los significados por parte de los estudiantes. Los modos gráficos y analíticos pueden ser considerados por los estudiantes como separados donde se pueden aplicar algoritmos sin relación (Ferrini- Mundi-Graham, 1994). En este sentido las “imágenes incontroladas” construidas por los estudiantes crean barreras en el proceso de construir y usar los significados del concepto de derivada (Aspinwall-Shaw-Presmeg, 1997). Por ejemplo se han identificado dificultades referidas a la comprensión de la diferenciación y a la gráfica asociada al rango de cambio (Orton, 1983), y 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 52 2.1. Pensamiento Matemático Avanzado: de proceso a objeto Nuestra investigación estudia la construcción de la comprensión por parte de alumnos de Bachillerato y 1º de la Licenciatura de Matemáticas de la noción de Derivada. Muchas de las actividades que se llevan a cabo en la resolución de un problema en Matemáticas avanzadas, también se realizan en matemáticas elementales. El paso desde el pensamiento matemático elemental al avanzado conlleva una transición significativa: de describir a definir, de convencer a probar (o demostrar) de una manera lógica basada en esas definiciones. Esta transición requiere una reconstrucción cognitiva. Otro hecho que hay que tener en cuenta es que en la enseñanza preuniversitaria a menudo se presenta la forma final de la teoría deducida. En palabras de Skemp (1971) la enseñanza tiende a dar a los estudiantes el producto del pensamiento matemático antes que el proceso de pensamiento matemático. Un matemático a menudo coge una idea matemática compleja y la “simplifica” rompiéndola en componentes más pequeñas, y puede enseñar cada componente en una secuencia lógica. Desde el punto de vista del experto las componentes pueden verse como partes de un todo, pero el estudiante puede verlas como piezas sueltas sin relación, el estudiante forma una imagen del concepto personal desde el contexto particular, la cual puede que no coincida con la idea formal. Por ejemplo, un análisis matemático de la noción de derivada f ’(x) requiere la noción de limite de (f(x+h)-f(x))/h cuando h tiende a 0, así matemáticamente la derivada debe estar precedida de la noción de límite. Inicialmente se lleva a cabo para x fija, más tarde x empieza a variar, dando lugar a la noción de una función 1 . Así, la secuencia seguida en un análisis matemático formal es: (1) noción de límite (2) para x fija, considerar el limite de (f(x+h)-f(x))/h cuando h tiende a 0 1 El grupo Zero (Barcelona) presenta una alternativa al discutir la aplicación del análisis del concepto al diseño del curriculum 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 53 (3) llamo al límite f ’(x), entonces variando x, da la función derivada el paso de (2) a (3) no es tan fácil cognitivamente como parece matemáticamente. Muchos estudiantes ven (2) como una actividad puramente simbólica, y no ven la derivada f ’(x) como una función, ni son capaces de buscar interrelaciones con el gráfico (Tall, 1991). Así, leyendo los libros de texto de Matemáticas en relación a las diferentes nociones o conceptos matemáticos da la impresión de que estamos hablando sobre alguna clase de objetos. Ejemplos de estos objetos son: las funciones, los grupos ... Los textos usan nombres para llamar a estos objetos, y se le atribuyen por definición, o como consecuencia de las propiedades definidas una gran cantidad de propiedades y relaciones. Muchas nociones matemáticas son consideradas y habladas en forma de objetos matemáticos, este hecho predomina en matemáticas avanzadas. Pero, ¿qué entendemos por objeto matemático? El platonismo estipula que los objetos matemáticos existen a priori fuera del tiempo y del espacio independiente del pensamiento humano. Los métodos desarrollados en Matemáticas (como la demostración ...) se ven como métodos legítimos para investigar estos objetos, y aprender no es otra cosa que recordar. Otro punto de vista es el expuesto por Beth y Piaget (1966) , según el cual los objetos matemáticos son o reflejan estructuras, modelos y regularidades en/ y de acciones humanas y operaciones mentales (como contar, medir, comparar, mover). Piaget describe un modelo general de proceso de aprendizaje, que intenta estudiar como las ideas mentales se crean en la mente de cada individuo. Este autor considera la necesidad de que el individuo esté en equilibrio dinámico con su entorno, este equilibrio podía ser perturbado a través de la confrontación del conocimiento nuevo que entra en conflicto con el que tenía, y así hay un período de transición en el cual la 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 54 estructura de conocimiento es reconstruida para llegar a un nivel más maduro de equilibrio. La teoría de los estados de Piaget postula que un niño crece hasta llegar a adulto a través de una serie de estados de equilibrio, cada uno más rico que el anterior. Piaget identificó cuatro estados principales: el primer periodo es el sensoriomotriz, seguido por el pre-operacional, a continuación el niño va a través de una transición en el periodo de operaciones concretas donde considerara conceptos que están vinculados a objetos físicos, a un periodo de operaciones formales: razonamientos hipotéticos-deductivos usando ideas y símbolos sin necesidad de manipulación física (Mason y Joston-Wilder 2004, p. 162). Los estudios y trabajos de Piaget han servido de base a trabajos relacionados con el pensamiento matemático avanzado. A través de estos trabajos nos podemos preguntar: ¿cómo construye el conocimiento el estudiante? y ¿qué tipo de construcciones realiza?. Las respuestas teóricas a estas cuestiones planteadas varían de unos autores a otros. En los párrafos siguientes mostraremos algunas de ellas. Tall y Vinner (1981) distinguen entre la forma en la que el individuo piensa sobre el concepto, y su definición formal, distinguiendo entre matemáticas como una actividad mental y matemáticas como un sistema formal. Lo que es esencial para ellos es un enfoque cognitivo que da cuenta del desarrollo de la estructura de conocimiento y de los procesos de pensamiento de los estudiantes. Tall et al. (2000) distingue tres tipos de construcciones de objetos mentales en matemáticas: - Objetos percibidos: surgen a través de la abstracción empírica desde objetos en el entorno. 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 55 - “Procepts” los cuales envuelven procesos en objetos del mundo real, usando símbolos que ser manipulados como objetos, sobre los cuales se pueden realizar operaciones y simbolizar de la misma forma. - Objetos axiomáticos, concebidos por criterios específicos (axiomas o definiciones) cuyas propiedades se deducen por demostración formal. El nombre “procept” surge del dual del símbolo de process y concept. En Tall (1994, 1999) y Tall et al. (2000) se define un “procept” elemental como la amalgama de tres conceptos: un proceso, un concepto relacionado producido por ese proceso, y un símbolo que se usa para representar a ambos el proceso y el concepto. Los procepts surgen primero a través de la abstracción pseudo-empírica desde las acciones en los objetos del mundo real, y por un nivel superior de abstracción reflexiva en los objetos concebidos de resultados que se presentan por símbolos, permitiéndonos pivotar entre proceso y objeto. En este mismo sentido, Barnard y Tall (1997) definen la “unidad cognitiva” como items enlazados que comienzan a asociarse en una sóla entidad. Una colección de items conexos, que podrían ser procesos, representaciones, objetos, propiedades, pasos (etapas) de una deducción lógica, comienzan a “comprimirse mentalmente” en una sola entidad que pueden manipularse fácilmente, usando un mínimo espacio del pensamiento, y posteriormente “desempaquetarlo” cuando es necesario. Tal trozo de estructura cognitiva la llaman unidad cognitiva. Según Barnard (1999) la noción de “comprimir mentalmente” es similar a la idea de encapsulación (Dubinsky (1991)), reificación (Sfard (1991)), y la entidad obtenida puede ser vista como un procept (Gray y Tall, 1994). Otras aproximaciones teóricas nos hablan de la forma en que el estudiante construye el conocimiento. En concreto, el enfoque de Sfard (1991) 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 56 y la teoría APOS propuesta por Dubinsky y co-investigadores, plantean varias etapas en el desarrollo de la construcción del conocimiento desde un procedimiento / proceso (generalmente realizado paso a paso) para finalizar en un objeto / concepto que se puede manipular en sí mismo. Los pasos intermedios no tienen una correspondencia directa entre ambas teorías. Por una parte Dubinsky caracteriza la habilidad del individuo de tomar el control de una acción repetida, y por otra Sfard se centra en la habilidad de pensar el proceso en términos de entrada-salida sin necesidad de considerar pasos intermedios. Según Dörfler (2002) estas son teorías cognitivas, es decir consideran la construcción (de la noción) de un objeto matemático como un proceso cognitivo que implica la construcción del estudiante de estructuras cognitivas adecuadas. Estas teorías consideran la cognición como parte de la actividad humana consciente, y consideran al individuo y su contexto como una unidad inseparable. Para Dörfler, ver o tratar algo como objeto o entidad es un tipo de habilidad que puede y tiene que ser adquirida por el estudiante. La construcción de los objetos matemáticos puede ser experimentada como un esfuerzo personal que el individuo debe emprender de forma espontánea. Esta construcción es un proceso cognitivo que usa significados simbólicos, esquemáticos y lingüísticos para expresar cambios de perspectiva y puntos de vista. 2.2. La construcción de objetos matemáticos: la teoría de la reificación Sfard (1991, 1992) plantea dos enfoques del concepto, uno operacional, y otro estructural, estableciendo dos tipos de concepciones de un mismo concepto matemático:  las concepciones que se llaman “operacionales”, cuando se consideran las nociones matemáticas como procesos, algoritmos y acciones, y 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 57  las concepciones “estructurales”, cuando se consideran los conceptos matemáticos como objetos abstractos. Estos dos tipos de concepciones son complementarias y establece que las concepciones operacionales preceden a las estructurales. El proceso de aprendizaje y de resolución de problemas consiste en interacciones entre concepciones operacionales y estructurales de las mismas nociones. La concepción operacional es, para la mayoría de las personas, el primer paso en la adquisición de nuevas nociones matemáticas. Esta autora distingue tres etapas en el proceso de formación de concepciones, que corresponden a tres grados de estructuración progresiva, estas etapas se denominan: interiorización, condensación y reificación, y se caracterizan como sigue: o Interiorización: el estudiante entra en contacto con los procesos que van eventualmente a dar lugar a un nuevo concepto. Dichos procesos son operaciones con objetos matemáticos de nivel más elemental. Gradualmente se va familiarizando y adquiriendo las habilidades propias de dichos procesos. o Condensación: es un período en el cual se concentran las largas secuencias de operaciones en unas unidades más manejables. El alumno se siente cada vez más capaz de pensar en un proceso dado como un todo sin necesidad de considerar todos sus detalles. En esta etapa se puede dar un nombre al concepto que nace, se hace cada vez más factible combinar procesos, hacer comparaciones y generalizaciones, y aumenta la facilidad para alternar diversas representaciones del concepto. Este periodo de condensación dura mientras la nueva entidad permanece estrechamente unida a un cierto proceso. o Reificación: cuando la persona es capaz de concebir la nueva noción como un objeto en sí mismo, diremos que el concepto ha sido reificado. La reificación se define como un cambio 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 58 ontológico, una habilidad repentina para ver algo familiar con una perspectiva totalmente nueva. Se puede decir que un proceso solidifica en un objeto, en una estructura estática. Según Sfard (1992) las etapas de interiorización y de condensación son procesos graduales y cuantitativos más que cualitativos mientras que la reificación es instantánea, se puede entender como un salto cualitativo. La nueva entidad reificada se desprende del proceso que la ha producido y empieza a adquirir su significado por el hecho de pertenecer a una cierta categoría. Varias representaciones del concepto comienzan a unificar este constructo imaginario abstracto. El estado de reificación es el punto en el cual empieza la interiorización de unos conceptos de nivel superior, aquellos que se originan a partir de procesos sobre el objeto en cuestión. El esquema de tres fases se comprende como una jerarquía que implica que no se puede pasar de un estado mientras no se hayan dado todos los pasos anteriores. Sfard representa gráficamente este proceso en el siguiente cuadro Concepto B Concepto A Cuadro 2.1. Esquema de la teoría de la Reificación. Sfard (1991, p.22) Se debe considerar la posibilidad de que la concepción estructural pueda ser la primera. Si un concepto nuevo se introduce estructuralmente, el reificación condensación interiorización Objeto A Procesos en objetos concretos Objetos concretos reificación condensación interiorización Objeto B Proceso sobre A 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 59 estudiante interpretaría inicialmente, según Sfard, la definición de forma operacional. Sfard (1992) pone énfasis en que los términos procesos y objetos se comprenden como facetas distintas de una misma cosa, es decir, los modos de pensar operacional y estructural, aunque parecerían incompatibles son complementarios. Así mismo, esta autora expone que muchos estudiantes desarrollan concepciones pseudoestructurales. Refiriéndose al tema de función, considera que la tendencia de un alumno a asociar funciones con sus expresiones algebraicas es muy común, pero esto puede indicar una concepción operacional (ya que el estudiante puede percibir una fórmula como una descripción de un algoritmo computacional) o una concepción estructural (la fórmula se puede entender como una relación estática entre pares ordenados), y algunas veces es probable que la concepción del estudiante no sea ni operacional ni estructural, sino una concepción degradada semánticamente, que llama pseudoestructural. Zandieh (2000) hace referencia a esta concepción pseudoestructural mencionada por Sfard, considerando que se puede pensar en una concepción pseudoestructural como en un objeto sin estructura interna. Este autor se refiriere a ella como pseudo-objeto, aclarando que no tiene una connotación negativa cuando se menciona. La concepción como pseudo-objeto solamente denota cuando el estudiante usa el objeto no bajo la estructura estática del objeto de verdad, es una comprensión intuitiva que no involucra una comprensión del proceso que subyace al objeto. Además, introduce la idea de que una persona puede usar un pseudo-objeto porque no conoce el proceso subyacente, o simplemente porque no tiene necesidad de referirse al proceso subyacente en el contexto en el que está trabajando. 2.3. Una aproximación piagetiana del desarrollo de un esquema En nuestra investigación estudiamos el desarrollo de la comprensión de la noción de Derivada. Desde nuestro punto de vista podemos asimilar el 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 60 desarrollo de un esquema propuesto por Piaget al desarrollo de una noción matemática. Así, necesitamos definir qué vamos a entender por esquema y cómo caracterizaremos el desarrollo del mismo. En primer lugar, nos centraremos en lo que Piaget nos dice al respecto. Según Piaget e Inherler (1978), un esquema es: “la estructura o la organización de acciones, tales como se transfieren o se generalizan con motivo de la repetición de una acción determinada en circunstancias iguales o análogas”(p. 20) El desarrollo de un esquema es un proceso dinámico y cambiante, Piaget y García (1983/1989) platean que el conocimiento crece según ciertos mecanismos, y que un esquema se desarrolla pasando por tres niveles o fases: INTRA – INTER – TRANS, denominado/a triada, que se suceden según un orden fijo. Estos autores han formulado la hipótesis de que estos niveles se pueden encontrar cuando se analiza el desarrollo de un esquema de cualquier noción matemática. El mecanismo por el cual el individuo se mueve de un nivel a otro es denominado por Piaget y García (1983/89) “abstracción reflexiva” (p.10). Para Piaget, la abstracción reflexiva se lleva a cabo con actividades (físicas o mentales) del sujeto que tienen dos partes, necesariamente asociadas, una es la proyección del conocimiento existente a un plano superior del pensamiento, y la otra es la reorganización y reconstrucción de aquel conocimiento para formar nuevas estructuras. Las tres fases del desarrollo de un esquema propuesto por Piaget y García (1983/89) son definidas del siguiente modo:  INTRA: “lo propio de este periodo es el descubrimiento de una acción operatoria cualquiera, y la búsqueda del análisis de sus diversas propiedades internas o de sus consecuencias inmediatas, 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 61 pero con una doble limitación. En primer lugar, no hay coordinación de esta preoperación con otras en un agrupamiento organizado; pero además el análisis interno de la operación en juego se acompaña de errores que se corregirán progresivamente, así como de lagunas en la inferencia que de ella puedan deducirse”.(p. 163)  INTER: “una vez comprendida una operación inicial es posible deducir de ella las operaciones que están implicadas, o de coordinarlas con otras más o menos similares, hasta la constitución de sistemas que involucran ciertas transformaciones. Si bien hay aquí una situación nueva, existen sin embargo limitaciones que provienen del hecho de que las composiciones son restringidas ya que solamente pueden proceder con elementos contiguos”.(p.165).  TRANS: “es fácil de definir en función de lo que precede, como involucrando, además de las transformaciones, síntesis entre ellas. Dichas síntesis llegan a la construcción de “estructuras”” (p.167). Por “síntesis” se entenderá el proceso por el que a partir de una cosa que se conoce, realizando operaciones con/ sobre ella se llega a la conclusión y a la comprensión de algo que no se conocía. Una vez formado/construido el esquema, este puede ser tematizado. Piaget y García (1983/89) definen la tematización como: “el pasaje del uso o aplicación implícita a la utilización consciente, a la conceptualización” (p.103). Así mismo, Piaget y García (1983/89) consideran que cada fase o nivel (intra, inter o trans) implica a su vez algunos subniveles siguiendo el mismo orden de progresión. 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 68  INTRA: caracterizado porque se centra en un objeto aislado de otras acciones, procesos u objetos. Ejemplo del esquema de la regla de la cadena dado por Clark et al. (1997): “los estudiantes tienen una colección de reglas para encontrar la derivada, incluyendo algunos casos especiales de la regla de la cadena como la potencia ly quizás la fórmula general, pero no podría reorganizar las conexiones o relaciones entre ellas”, (p. 354).  INTER: caracterizado por la reorganización de relaciones entre diferentes acciones, procesos u objetos y/o esquemas. Ejemplo del esquema de la regla de la cadena dado por Clark et al. (1997): “en el nivel Inter el estudiante empezaría a reorganizar estos casos especiales y empezaría a relacionarlos. La colección de elementos del esquema de la regla de la cadena se estaría formando”,( p. 354).  TRANS: caracterizado por la construcción de una estructura coherente a través de las relaciones descubiertas en el nivel Inter del desarrollo. Ejemplo del esquema de la regla de la cadena dado por Clark et al. (1997): “los estudiantes en el nivel Trans construirán la estructura de la regla de cadena. Derivarán funciones compuestas desde una regla genera”,( p. 354). Basada en esta misma descripción de los niveles de desarrollo del esquema dada por Clark et al. (1997), Mc Donald et al. (2000) describen los tres niveles de desarrollo del esquema de sucesión (para lo que afirma que los estudiantes tienden a construir dos objetos cognitivos distintos ambos referidos como una sucesión: SEQLIST y SEQFUNC) de la siguiente manera: 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 69  INTRA: para un estudiante en el nivel Intra los enlaces entre SEQLIST, y SEQFUNC son prácticamente inexistentes, los dos constructor son distintos y cognitivamente no relacionados. Los estudiantes pueden usar ambos constructos para resolver un problema, pero lo ven como dos constructos y dos métodos para resolver el problema no relacionados, (p.92).  INTER: un estudiante en el nivel Inter todavía no ha construido un objeto cognitivo de SEQFUNC. Sin embargo, puede demostrar la existencia de enlaces entre la sucesión como función y como una lista, aunque no lo vea como dos representaciones de la misma cosa, (pp.92- 93).  TRANS: los estudiantes en este nivel tiene construido los objetos cognitivos SEQLIST y SEQFUNC, y conexiones entre sucesiones como funciones y sucesiones como listas, son conscientes de estas conexiones, y pueden subordinar cada uno de estos objetos a un concepto global de sucesión. La estructura coherente subyacente de su esquema le ayudará a utilizar este esquema en nuevas situaciones, (p.93). Cuando un individuo hace frente a una situación matemática (problema) se ha observado frecuentemente, que no siempre es capaz de movilizar las ideas, aunque posea cierto conocimiento no es capaz de usarlo. Baker et al. (2000) señalan que la teoría del desarrollo de un esquema puede explicar por qué los estudiantes tienen dificultades con diferentes partes de un tema y pueden tener incluso problemas diferentes con la misma situación en distintos casos. En su estudio definen un esquema maduro como una colección coherente de acciones, procesos, objetos y otros esquemas, previamente construidos, que son coordinados y sintetizados por el individuo para formar estructuras utilizadas en situaciones problemas. Una persona 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 70 demuestra la coherencia del esquema al discernir lo que se contiene en el esquema y lo que no (cuando la noción es aplicable o no). En los últimos años Baker et al. (2000) concretan la descripción de los niveles de desarrollo del esquema. Así según estos investigadores:  INTRA: Los objetos se analizan en término de sus propiedades, el estudiante no los reconoce como necesario y su forma es similar a la de una simple generalización. El estudiante se centra en repetir la acción u operación, pero carece de la capacidad para relacionar la acción con un sistema de condiciones a través de las cuales podría extender su aplicación e incluirlo en un sistema de transformaciones interdependientes. Ejemplos del nivel INTRA del esquema de derivada: “Los estudiantes interpretan la derivada como la pendiente de la línea tangente en un punto específico, demostrando esta interpretación con los intervalos de crecimiento y decrecimiento, o alternativamente, resolviendo un problema de tasa de variación. Sin embargo, los estudiantes no pueden hacer conexiones entre estos dos problemas”. Ejemplo del esquema de Derivada dado por Baker et al. (2000, p.559).  INTER: El estudiante es consciente de las relaciones presentes y puede deducir desde una operación inicial, una vez que se comprende, otras operaciones que están implicadas en ella o que pueden coordinarse con operaciones similares. Este proceso permite al estudiante agrupar los sistemas, utilizando un método que incluye una nueva transformación. Un ejemplo del nivel INTER del esquema de Derivada dado por Baker et al. (2000) es el siguiente: 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 71 “El estudiante coordina la noción de derivada como la pendiente de la recta tangente con la idea de derivada como el cociente incremental en un punto dado. Y puede utilizar estas ideas para describir la variación local de la función”, (p.559).  TRANS: Por medio de la síntesis de las transformaciones del nivel Inter, el estudiante toma conciencia de que el esquema está completo, y puede percibir propiedades globales que eran inaccesibles en otros niveles. En el nivel TRANS del desarrollo del esquema la colección (de acciones, procesos, ...) puede ahora referirse como un esquema, teniendo ahora la coherencia necesaria. Un ejemplo del nivel TRANS del esquema de Derivada dado por Baker et al. (2000) es el siguiente: “Los estudiantes agrupan todas las derivadas como pendientes o cocientes incrementales de una función en un punto dado y reconocen que todas las situaciones en la cual la variación está involucrada, está relacionada con el concepto de derivada. Los estudiantes pueden discriminar entre aquellas relaciones que están incluidas y aquellas que no están, demostrando coherencia del esquema”, (p.559). En cada nivel de la triada (INTRA, INTER, TRANS) el estudiante reorganiza el conocimiento adquirido durante el nivel anterior. La progresión es gradual y no necesariamente lineal. Este mismo modelo de desarrollo de un esquema ha sido aplicado a otros conceptos como la divisibilidad (Brown et al. (2002)). Desde nuestra perspectiva, vistas globalmente estas caracterizaciones del desarrollo de un esquema a través de los niveles Intra, Inter, Trans, indican que lo que define el desarrollo es el tipo de relaciones que los estudiantes son 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 72 capaces de establecer entre los elementos matemáticos que constituyen el concepto cuando resuelven un problema. Desde este punto de vista aunque en el planteamiento general de la teoría APOS se habla de “mecanismos” de construcción y estos se caracterizan a través de la idea de abstracción reflexiva piagetiana, identificándose diferentes tipos, queda por resolver cómo podemos ser capaces de dar una respuesta operativa a la cuestión de caracterizar el paso de un nivel a otro en el desarrollo de un esquema. Lo que si sabemos a partir de las investigaciones previas sobre el desarrollo de los esquemas es que hay que centrar la atención en - el “tipo de relaciones” que los estudiantes son capaces de establecer, entre - los “elementos matemáticos” del concepto comprendidos de alguna manera determinada (como acción, proceso u objeto). 2.3.3. El mecanismo de la triada para describir el desarrollo de un esquema En nuestra investigación, basándonos en la definición de Piaget (1963): “los elementos son siempre el producto de una disociación o de una segregación en el interior de una totalidad previa”(p. 8), un elemento matemático será el producto de una disociación o de una segregación en el interior del concepto o la noción matemática. Contemplamos en nuestro estudio dos aspectos de los elementos matemáticos: modos de representación y carácter local o global. Respecto a los modos de representación, consideramos analítico y gráfico, ya que la noción de Derivada tiene componentes analíticas y gráficas reflejadas en sus elementos constituyentes, según han mostrado las investigaciones previas. Dentro de cada uno de estos modos (analítico y gráfico) se distinguen elementos matemáticos puntuales (si el elemento matemático conlleva una 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 73 propiedad local x =a) y globales (si el elemento matemático conlleva una propiedad de un intervalo (a, b)). Nos referiremos a un esquema como a “la estructura matemática formada por las relaciones lógicas que se establecen entre los elementos matemáticos que constituyen una noción matemática, y que puede ser evocado para la resolución de un problema”. Para resolver un problema, los individuos usan los elementos matemáticos a través del establecimiento de “relaciones lógicas” entre ellos. Las relaciones lógicas que consideramos en el caso del esquema de derivada son las siguientes: conjunción lógica, contrarrecíproco y equivalencia lógica, definidas de la forma siguiente: Conjunción lógica (y lógica): es la relación que se produce entre elementos matemáticos cuando se usan conjuntamente para hacer inferencias. Contrarrecíproco: es la relación que se establece en un condicional directo y su contrarrecíproco [(AB) ()] Equivalencia lógica (o doble implicación): es la relación que se establece en un bicondicional y la conjunción de los condicionales [(A En definitiva caracterizaremos el desarrollo de un esquema a través del “tipo de relaciones lógicas establecidas entre los elementos matemáticos y del uso paulatino de más elementos matemáticos de la estructura matemática en la resolución de problemas”. Así, los tres niveles de desarrollo de un esquema los caracterizaremos como: NIVEL INTRA: No se establecen relaciones lógicas entre los elementos matemáticos (ya sean gráficos o analíticos, puntuales o globales), y los posibles esbozos de relación (del tipo conjunción lógica) entre ellos se 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 74 realizarán con errores. Uso de elementos matemáticos de forma aislada (y a veces de forma incorrecta). NIVEL INTER: Se establecen relaciones lógicas entre los elementos matemáticos utilizados, pero con limitaciones, predominando el uso de la conjunción lógica y sólo relacionan elementos matemáticos puntuales o/ y globales que se encuentren en el mismo modo de representación analítico o gráfico. Se usan más elementos matemáticos de forma correcta que en el nivel anterior. NIVEL TRANS: aumenta el repertorio de uso de las relaciones lógicas (y lógica, contrarrecíproco, equivalencia lógica) entre los elementos matemáticos. En este nivel se produce la “síntesis” de los modos de representación. Todo ello lleva a la construcción de la estructura matemática. La “síntesis” se aplica a situaciones en las que hay que relacionar (relación lógica) información gráfica y analítica. Es decir, usar información procedente de dos sistemas de representación diferentes para considerarla conjuntamente y obtener una “cosa” que no se conocía. “Considerar la información conjuntamente” significa establecer algún tipo de relación lógica entre los elementos matemáticos para tomar una decisión relativa a la situación en la que se encuentra. En algunos casos se llega a la tematización del esquema, hecho que se pone de manifiesto cuando el estudiante es capaz de determinar los dominios de validez de las propiedades. Es decir, sabe adaptarse a la nueva situación cuando se modifica alguna condición inicial del problema. Por ejemplo cuando es capaz de trasladar las relaciones entre f y f ’, al par f ’ y f ’’. Desde esta especificación del marco teórico relativo al desarrollo de un esquema estamos en condiciones de formular las preguntas de investigación específicas que queremos abordar. 2. Marco teórico Gloria Sánchez-Matamoros García 75 2.4. Preguntas de investigación Nuestras preguntas de investigación irán dirigidas a profundizar en la comprensión de los estudiantes del concepto de derivada. En concreto las cuestiones a las que pretendemos responder en este trabajo son: - ¿cómo los estudiantes llegan a comprender el concepto derivada?  ¿cómo podemos caracterizar los niveles de desarrollo del esquema de derivada?  ¿qué relaciones lógicas y qué elementos matemáticos se manifiestan en cada nivel de desarrollo de la derivada? CAPÍTULO 3 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 84 La información sobre el crecimiento de f en el intervalo (a, c) y el decrecimiento de f en (c, b) puede venir de haber considerado previamente f ’>0 en (a, c) → f es creciente en (a, c), y f ’<0 en (c, b) → f es decreciente en (c, b). Sin embargo, aquí lo que se subraya es que cuando se tiene información de un determinado tipo (como en este caso: - f convexa en (a, c) y (c, b), y - f es creciente en (a, c) f es decreciente en (c, a)) vincula los significados y permite tomar una decisión sobre la naturaleza del punto x =c (en este caso x =c es punto anguloso) - Contrarrecíproco [(AB)(  B  A)] Este tipo de relación se pone de manifiesto cuando usamos implicaciones como: “ f no es continua en (a, b) entonces f no es derivable en (a, b)”. Esta afirmación proviene del uso del contrarrecíproco del elemento matemático: - elemento - analítico - global condición necesaria de derivabilidad Si f es derivable en (a, b) entonces f es continua en (a, b) - Equivalencia lógica [(AB), AB  BA] Este tipo de relación se presenta cuando las condiciones necesarias y suficientes entre dos elementos matemáticos se consideran conjuntamente para determinar una equivalencia. Por ejemplo cuando se consideran las implicaciones entre el crecimiento de f y el signo de f ’ de manera conjunta, es decir: Sea f derivable en el intervalo (a, b) 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 85 * Si f ’(x) >0 para todo x del intervalo (a, b) entonces f es creciente en el intervalo. Si f ’(x) <0 para todo x del intervalo (a, b) entonces f es decreciente en el intervalo. Si f ’(x) =0 para todo x del intervalo (a, b) entonces f es constante en el intervalo. * Si f es creciente para todo x del intervalo (a, b) entonces f ’(x) >0 en el intervalo. Si f es decreciente para todo x del intervalo (a, b) entonces f ’(x) <0 en el intervalo. Si f es constante para todo x del intervalo (a, b) entonces f ’(x) =0 en el intervalo. Podemos obtener la equivalencia lógica: f es creciente  f ’>0 ( f es decreciente  f ’<0) ( f es constante  f ’=0) 3.2.2. Los problemas de los cuestionarios Una vez identificados los elementos matemáticos, que nosotros hemos considerado, del concepto de Derivada y las relaciones lógicas, pasamos al diseño y selección de problemas para la elaboración de los diferentes cuestionarios. Se diseñaron tres cuestionarios: - Cuestionario 1: para alumnos que han cursado primero de Bachillerato de Ciencias - Cuestionario 2: para alumnos que han cursado segundo de Bachillerato Tecnológico - Cuestionario 3: para alumnos que han cursado la asignatura de Elementos de Análisis Matemático, en el primer curso de la Licenciatura de Matemáticas. 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 86 El procedimiento seguido fue el siguiente: en primer lugar, a través de las consultas de diferentes libros de texto de 1º y 2º de Bachillerato y libros de consulta de la Licenciatura de Matemáticas elaboramos un primer listado de elementos del concepto. Teniendo en cuenta que según la hipótesis de partida, la construcción del esquema de Derivada es progresiva, las relaciones lógicas que se establecen entre los elementos matemáticos, y los elementos matemáticos que se utilizan y cómo se utilizan no es igual para estudiantes que entraban en contacto con la noción de derivada por primera vez, (alumnos de 1º de bachillerato), que para estudiantes que ya es el tercer año que lo estudian, como son los alumnos de 1º Licenciatura de Matemáticas. Elaboramos una batería de problemas provenientes de los libros de texto consultados, pruebas de acceso a la Universidad y artículos publicados en revistas de investigación relacionados con la comprensión de la derivada. Se resolvieron estos problemas de varias formas y por varios investigadores y la información proporcionada por la resolución de estos problemas se recogió en una plantilla donde figuraba: - Elementos matemáticos analíticos y gráficos puntuales y globales identificados - Cómo se relacionaban estos elementos matemáticos en la toma de decisiones en la resolución de la tarea - Cómo se utilizaban los modos (analítico y gráfico) en la resolución de la tarea. Tras este proceso se modificó el listado de elementos matemáticos del concepto de Derivada, añadiendo algún elemento más, unificando elementos del listado inicial, llegando así al listado definitivo de elementos, que recogemos en los cuadros 3.1 / 3.2 / 3.3 / 3.4. Los criterios que se siguieron para elegir los problemas de los distintos 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 87 cuestionarios fueron: 1. tipos de relaciones lógicas que se podían establecer entre los elementos matemáticos utilizados, y 2. tipos de elementos matemáticos (analíticos y gráficos, puntuales y globales) necesarios en la resolución de la tarea. La idea fue que la “demanda del problema propuesto” al resolutor en cada curso fuera tal que pudiéramos caracterizar los niveles de desarrollo del esquema de derivada. Por ello tuvimos en cuenta el desarrollo progresivo del esquema y el currículo en los diferentes grupos (1º, 2º Bachillerato y 1º Licenciatura de Matemáticas). Posteriormente, se agruparon los problemas según los elementos matemáticos que movilizaban y forma de resolución (relaciones lógicas entre los elementos, modos de representación utilizados,..), llegando así a una primera propuesta de cuestionarios pilotos pasados a una pequeña muestra de unos quince alumnos de los diferentes niveles en el curso académico 2000/2001. El análisis de los resultados de esta prueba piloto hizo que modificáramos los cuestionarios en algunos puntos. Así por ejemplo, se vio la conveniencia de que existieran tareas comunes en los distintos cuestionarios, y que en el cuestionario 3, para alumnos que han cursado la asignatura Elementos de Análisis Matemático en primer año de la Licenciatura de Matemáticas, se suprimiera una de las tareas que figuraban en el cuestionario piloto pues la comprensión del enunciado de esta tarea presentó dificultades y la misma no aportaba nuevos aspectos a la investigación ya que los elementos matemáticos y las relaciones que se utilizaban en los posibles procesos de resolución estaban contemplados en otras tareas del cuestionario. Al final de este proceso se identificaron 12 problemas con los que se diseñaron los tres cuestionarios. Una vez diseñados los tres cuestionarios (ver secciones 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 88 siguientes 3.2.2.1, 3.2.2.2, 3.2.2.3) se implementaron en 1º Bachillerato, 2º Bachillerato y 1º Licenciatura de Matemáticas. Las características de la implementación se describirán en la sección 3.2.3. Posteriormente a la realización de los cuestionarios, se elaboraron guiones de entrevistas semiestructuradas, con el objetivo de obtener más información sobre la comprensión del concepto de Derivada que alcanzan los estudiantes en las diferentes poblaciones. Las entrevistas fueron transcritas y se analizaron junto con las respuestas dadas a las diferentes tareas de los cuestionarios. El proceso de análisis seguido será descrito en la sección 3.3. El cuestionario / entrevista fue realizado por 69 estudiantes (20 /20 /29) de los diferentes niveles. En el cuadro se muestra el esquema del proceso seguido en la elaboración de los cuestionarios: 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 89 LISTAD0 Se resuelven de diversas maneras y Se identifican relaciones y elementos Selección de problemas Se modifica Cuadro 3.5. Esquema del proceso de elaboración de los instrumentos de recogida de datos Las tareas que utilizamos para la elaboración definitiva de los tres cuestionarios son las que mostramos a continuación. Comentamos en cada una de ellas su procedencia: TAREA 1 Comprueba que la tasa de variación media de f (x) = (x+3)/(x+2) en el intervalo [1, 2] es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(1, f(1)) y Q(2, f(2)). ¿Qué sucede con la tasa de variación instantánea de f(x) en el punto (1, f(1))? Tarea que proviene de ejercicios similares en el libro de texto de 1º Bachillerato de Ciencias (Andalucía) de la editorial Anaya (2000) TAREA 2 Suponer que la linea L es tangente a la gráfica de la función f en el punto (2,3) como aparece en la figura. Encontrar f(2) y f ’(2). LISTADO INICIAL DE RELACIONES LÓGICAS Y ELEMENTOS MATEMÁTICOS ANÁLISIS LIBROS DE TEXTOS, LIBROS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO Y ARTÍCULOS PUBLICADOS EN REVISTAS DE INVESTIGACIÓN BATERIA DE PROBLEMAS SE MODIFICAN RELACIONES Y ELEMENTOS DISEÑO CUESTIONARIO PILOTO: DESDE TEORÍA, DESDE CURRICULUM ANÁLISIS RESULTADOS CUESTIONARIOS DEFINITIVOS 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 90 Tarea que figura en el libro de texto de 1º de bachillerato de Ciencias de la editorial Editex (1996), y que es similar a la que figura en los artículos de Amit y Vinner (1990) y Asiala et al. (1997), en este artículo en el gráfico aparecían las coordenadas de dos puntos de la tangente a la curva, mientras que en esta tarea aparece la ecuación de la recta tangente a la curva. TAREA 3 La primera gráfica corresponde a la función derivada de f(x). La expresión analítica de f ’(x) =2x/3. Indica cuál de las gráficas A, B, C corresponde a la función f (x). Justifica la respuesta. Esta tarea proviene del libro de texto de 2º de bachillerato de Ciencias de la editorial Editex (1996) y en el libro de texto de 1º de Bachillerato de Ciencias Sociales de la editorial S.M.(1996) TAREA 4 Analiza las gráficas siguientes, ¿cuántas parejas producirías de cada función con su derivada? Tareas similares figuran en libros de texto 1º de Bachillerato de Ciencias Sociales S.M., pruebas de selectividad Andalucía LOGSE 1996 de 2º de Bachillerato Tecnológico, libro Azcárate C., Casadevall M., Caselles E., Bosch D. (1996) “Cálculo Diferencial e Integral” editorial Síntesis En todos estos textos mencionados la tarea se plantea de manera que todas las funciones quedan emparejadas con sus derivadas respectivas, nosotros decimos incluir una variante que es que no todas las funciones se pudieran emparejar, tan sólo podríamos formar dos parejas (una en la que la coordinación de elementos de conocimiento puntuales y globales fuera necesario para formar la pareja, y otra en la que sólo con el uso de un elemento de conocimiento global que relacionara el signo de f ’ y el crecimiento de f fuera suficiente para formar la pareja), quedando dos gráficos sueltos, sin emparejar, ya que de la forma original el resolutor podía formar alguna pareja por exclusión. Las gráficas a), c), d), e), f) de esta tarea aparecen en el artículo de Kyungmee Park y Kenneth J. Travers (1996), sustituimos la gráfica b) que figuraba en el mismo, por la que aparece en la tarea propuesta por nosotros, por el motivo mencionado anteriormente. 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 91 TAREA 5 La gráfica correspondiente a la función f ’(x) primera derivada de una cierta función f(x) es una recta que pasa por los puntos (a,0) y (0,b). Esboza las posibles gráficas de f(x). Tarea que proviene de modificar algunos ejercicios que figuran en el libro de texto de la editorial S.M. de 1º de bachillerato y de 2º de bachillerato de Ciencias (1996) se vio que modificando el enunciado de la tarea tal y como lo hemos hecho, mostraba de forma más completa el uso que hacen los estudiantes de los elementos de conocimiento del concepto de Derivada y de las relaciones que entre ellos se establecen. TAREA 6  2x3 + 2x + a x<1 Sea f(x) =   bx2 + 1 x  1 Calcular a y b para que f sea derivable en x =1 Tarea que se encuentra en el libro de texto de 1º de Bachillerato de Ciencias de la editorial Oxford (1998). TAREA 7 Dada la gráfica de la función f, formada por las ramas de parábolas a) Obtener los valores de f ’(3), f ’(7), f ’(10), f ’(14) y f ’(15). Explicando cómo los obtienes. b) Realiza un esbozo de la gráfica de f ’. Explica cómo lo has obtenido. El gráfico de la tarea procede de la prueba de selectividad Andalucía LOGSE de 1997 de 2º de Bachillerato de Ciencias Sociales, en el ejercicio de selectividad sólo se les pedía el valor de f ’(7) y f ’(3) y el cálculo de ciertos límites de f(x). Nosotros la modificamos pidiendo también el valor de f ’(10), f ’(14) y f ’(15) por la diversidad del comportamiento de la función en estos puntos, entre los que se encuentra x =14 punto anguloso o cúspide (tratado en el artículo de Baker et al. 2000), y además decidimos sustituir el apartado b) que figuraba en la prueba de selectividad del cálculo de límites de f(x) en determinados puntos, ya que esto no era objeto de nuestra investigación, por el apartado b) que figura en la tarea donde se pide el esbozo del gráfico de f ’ a partir del gráfico de f, pues nos daría información complementaria a otras tareas donde a partir del gráfico de f ’ piden el esbozo del gráfico de f, como sucede en la tarea 5 anteriormente citada o en la tarea 11 que aparece a continuación. 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 92 TAREA 8 Dada la función f(x)=(x-1)(x-2)(x-3). Encontrar un punto, entre dos valores que tengan la misma imagen, en el que la recta tangente sea paralela al eje x. Tarea que aparece en el libro “5000 Problemas de Análisis Matemático” B.P. Demidovich. Editoral Paraninfo (1976) TAREA 9 A)De una cierta función f conocemos algunos valores dados en la siguiente tabla: a) Usa esta tabla para aproximar el valor de la derivada de f en x=2. b) A partir de la información que te da esta tabla, ¿crees que f(x) es derivable en x =1? B) Supón que f es una función para la que lim (f(x)-f(2))/(x-2) cuando (x ->2) es igual a 0. ¿cuáles de las siguientes afirmaciones tienen que ser verdaderas, cuáles pueden ser verdaderas y cuáles son obligatoriamente falsas? 1. f ’(2) = 2 2. f(2) = 0 3. lim f(x) cuando (x ->2) igual a f(2) 4. f es continua en x=0 5. f es continua en x =2. El apartado A) de esta tarea está basado en tareas similares a las que figuran en los libros Azcárate y Deulofeu (1990) “Funciones y Gráficas” Editorial Síntesis, y Azcárate et al. (1996) “Cálculo Diferencial e Integral” Editorial Síntesis. En dichos libros figuran tareas similares aplicadas a la velocidad de un móvil, nosotros consideramos la tarea sin el contexto físico de la velocidad y en las proximidades de un punto, como aparece en el libro de texto de la editorial S.M. para 1º de bachillerato de Ciencias Sociales en el que figura la idea de método numérico de la derivada en un punto. Aunque en el libro de texto figura la expresión analítica de f(x), nosotros en la tarea no la hemos puesto ya que para el cálculo por aproximación numérica de f ’ en un punto no es necesario conocer la expresión analítica de f(x), basta con conocer el valor numérico de f en las proximidades del punto donde queremos calcular el valor de f ’ que son los datos que les hemos facilitado a los estudiantes en la tarea. Además en la tarea consideramos el cálculo de f ’ en dos puntos, uno en el que si existe f ’ y otro en el que no existe f ’ , para que se ponga de manifiesto que el estudiante conoce el elemento de conocimiento relativo a la existencia e igualdad de los límites laterales del cociente incremental para que f sea derivable en un punto. El apartado B) de la tarea es independiente del apartado anterior se trata de una cuestión teórica del tipo de las que figuran en los libros de texto de 1º y 2º de bachillerato de Ciencias sobre derivabilidad y continuidad donde el estudiante debe tener la idea de derivada en un punto como límite del cociente incremental, aparece como modelo de prueba de acceso a la Universidad en el libro “ Matemáticas II” de S.A.E.M. “THALES” (2000) 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 93 TAREA 10 Esboza la gráfica de una función que satisface las condiciones siguientes: - f es continua - f(2) =0 - f ’(3)=f ’(5)=0 - lim f (x) = -4 - lim f(x) = -  x  -  x  8 - f ’(x) <0 cuando 5 <x <8 - f ’(x) >0 cuando x<5 - f ’’(x) <0 cuando 3<x<8 - f ’’(x) >0 cuando x<3 Tarea basada en las que figuran en los artículos de investigación de Asilala et al. 1997, y de Baker et al. 2000 en la que no hemos considerado algunas condiciones que figuraban en esta por no considerarlas relevantes en la investigación, y podían producir confusión en el resolutor, como es el límite de h ’(x) cuando x tiende a - (Asiala 1997) o cuando x tiende a 0 (Baker et al. 2000) TAREA 11 La figura muestra la gráfica de la derivada de f ’, esboza las posibles gráficas de f. Tarea que figura en el libro “Calculus” M. Spivak, 1.974, editorial reverté,s.a. TAREA 12 Esboza la gráfica de una función que satisface las condiciones siguientes: - f es continua - f(-1) =0 - f ’(1)=f ’(3)=f ’(5)=0 - lim f (x) = -  - lim f(x) = -  x  -  x  -2 - f ’(x) <0 cuando 1 <x <5 y cuando x>7 - f ’(x) >0 cuando -2<x<1 y cuando 5<x<7 - f ’’(x) <0 cuando -2<x<3 - f ’’(x) >0 cuando 3<x<7 y cuando x> 7 Tarea similar a la tarea 10, se diferencia de esta en que para esbozar el gráfico de f es necesario considerar x =7 punto anguloso o cúspide (tratado en Baker et al. 2000) cosa que no sucedía en la tarea 10, por lo que en una aproximación a la resolución de la tarea 12 será necesario mayor variedad en los elementos de conocimiento y las relaciones entre estos utilizadas. Con estas doce tareas pasamos a confeccionar los tres cuestionarios que quedaron distribuidos como se muestra en la siguiente tabla: Cuestionarios 1º Bachillerato: T1,T2,T3,T9A) 2º Bachillerato: T4,T5,T6,T7,T8,T9,T10 1º Licenciatura de Matemáticas: T6,T7,T11,T12 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 100 y los elementos matemáticos gráfico y analíticos globales: - inverso del operador derivada: f ’recta -> f parábola - si f ’ es creciente en (a, b)  f es convexa en (a, b) - si f ’<0 en (a, b)  f decrece en (a, b) - si f ’>0 en (a, b)  f crece en (a, b) El uso por parte del estudiante del elemento analítico global: f ’ es creciente en R  f es convexa en R, no se manifiesta en estos estudiantes ya que ello, indica hacer uso de elementos matemáticos relacionados con f ’’, hecho que empieza a manifestarse en estudiantes de 2º Bachillerato debido a las limitaciones del currículo. Luego, - f ’ es creciente en R  f es convexa en R - f ’ es negativa en (-infinito, 0)  f es decreciente en este intervalo - f ’ es positiva en (0, +infinito)  f es creciente en este intervalo - f ’(0) =0 y en x =0 f pasa de ser decreciente a ser creciente  x =0 mínimo De todo ello se concluye que la función f (x) se corresponde con el gráfico B. En esta tarea se pueden relacionar (“y lógica”) elementos matemáticos analíticos y/o gráficos, pudiendo haber manifestación de esbozo de síntesis entre los modos analítico y gráfico. TAREA 4 De una cierta función f conocemos algunos valores dados en la siguiente tabla: 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 101 a)Usa esta tabla para aproximar el valor de la derivada de f en x=2. b)A partir de la información que te da esta tabla, ¿crees que f(x) es derivable en x =1? (A) El objetivo de esta tarea es movilizar los significados vinculados al cálculo de la derivada en un punto por aproximación numérica a través de la expresión analítica de la derivada (límite del cociente incremental) para lo que es preciso la existencia e igualdad de los límites laterales del cociente incremental (como proceso, aproximación a través de las tablas de valores) para que exista f ’(a). (B) Un proceso de resolución permite usar los elementos matemáticos analíticos puntuales: - derivada en un punto como límite del cociente incremental (expresión analítica de la derivada) - existencia e igualdad de los límites laterales del cociente incremental (como proceso, aproximación a través de las tablas de valores) para que f sea derivable. En el apartado a) piden el valor de f ’(2) por aproximación a través de la tabla de valores facilitada en el enunciado: f ’(2) = lim (f(x)-f(2))/(x-2) cuando (x 2) usamos la tabla de valores para encontrar una aproximación por la izquierda y otra por la derecha: - aproximación a la derivada de f en x =2 por la izquierda: f ’(2-) = lim (f(x)-f(2))/(x-2) cuando (x2-) 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 102 x 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999... 2 (f(x)-f(2))/(x-2) 3.9 3.99 3.999 3.9999 ... 4 Luego f ’(2-) = 4 - aproximación a la derivada de f en x =2 por la derecha: f ’(2+) = lim (f(x)-f(2))/(x-2) cuando (x 2+) x 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001... 2 (f(x)-f(2))/(x-2) 4.1 4.01 4.001 4.0001 ... 4 Luego f ’(2+) = 4 Por tanto, f ’(2-) = f ’(2+) = 4, luego el valor de la derivada de f en x =2 es f ’(2) = 4. En el apartado b) se pregunta por la derivabilidad de f en x =1, si existe f ’(1) debe coincidir con el límite del cociente incremental: f ’(1) = lim (f(x)-f(1))/(x-1) cuando (x 1) hay que usar la tabla de valores para ver si f es derivable en x =1, para ello hay que buscar una aproximación por la izquierda y otra por la derecha del cociente incremental, ya que para que f sea derivable en x =1, deben existir las dos aproximaciones y coincidir: - aproximación a la derivada de f en x =1 por la izquierda: f ’(1-) = lim (f(x)-f(1))/(x-1) cuando (x 1-) x 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999... 1 (f(x)-f(1))/(x-1) 1 1 1 1 ... 1 Luego f ’(1-) = 1 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 103 - aproximación a la derivada de f en x =1 por la derecha: f ’(1+) = lim (f(x)-f(1))/(x-1) cuando (x 1+) x 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001... 1 (f(x)-f(1))/(x-1) -2 -2 -2 -2 ... -2 Luego f ’(1+) = -2 Por tanto, f ’(1-) = 1 y f ’(1+) = -2, luego no existe la derivada de f en x=1, f ’(1), ya que : f ’(1-)  f ’(1+). En esta tarea, el hecho de que el estudiante sea capaz de decidir si la función es derivable o no en x =2 y x =1, pone de manifiesto que tiene construido el significado de derivada en un punto como límite del cociente incremental, y no lo tiene sólo como algo “memorizado” de la instrucción previa. En el cuadro 3.6. mostramos el objetivo de cada una de las tareas, así como los modos de representación utilizados tanto en la presentación como en sus posibles procesos de resolución: 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 104 TAREA MODOS DE REPRESENTACIÓN OBJETIVOS T1 ANALÍTICO - Identificar el nivel de uso correcto de elementos matemáticos analíticos de la noción de derivada - Identificar como el estudiante establece relación “y lógica” entre elementos analítico y gráfico puntual de la noción de derivada. Esbozos de síntesis de los modos analítico y gráfico. T2 GRÁFICO - Identificar el nivel de uso correcto del elemento gráfico puntual de la noción de derivada T3 ANALÍTICO Y GRÁFICO - Identificar como el estudiante establece relaciones lógicas (“y lógica”) entre elementos matemáticos analíticos y/o gráficos, puntuales y /o globales - Determinar el nivel de síntesis entre los modos de representación (analítico y gráfico) que manifiesta el estudiante. T4 ANALÍTICO - Poner de manifiesto el nivel de construcción que el estudiante tiene del significado de derivada en un punto como límite del cociente incremental, que no lo tiene sólo como algo “memorizado” de la instrucción previa, a través de una aproximación por tablas de valores (proceso). Cuadro 3.6. Objetivos de las tareas del cuestionario de 1º Bachillerato 3.2.2.2. Cuestionario 2º Bachillerato La selección de tareas de este cuestionario se hizo teniendo en cuenta que iba destinado a estudiantes para los que la noción de Derivada no era nueva, pues ya se les había introducido en 1º de Bachillerato. Estos alumnos cursaban 2º de Bachillerato Tecnológico lo que conllevaba también limitaciones propias del currículum a la hora de la elaboración del cuestionario, aunque considerados menos elementos matemáticos en relación a 1º Licenciatura, en este curso se introducen elementos matemáticos del concepto de Derivada relativos a f ’’ . (Ver capítulo1, p. 18) El cuestionario se diseñó con un par de tareas en las que podía ser necesario hacer uso de la derivada como límite del cociente incremental (tarea 3) y como pendiente de la recta tangente a la función (tarea 5). Además se 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 105 incluyeron dos tareas dadas en modo gráfico (tarea1 y tarea 4), otras dos en modo analítico (tarea 6 y tarea 7) y una tarea dada en forma de texto pero haciendo referencia al modo gráfico. También se tuvo en cuenta que dentro de estas tareas hubiera apartados que sólo utilizaran elementos matemáticos puntuales desde el modo gráfico (apartado A tarea 4) o desde el modo analítico (tarea 6). En todas las tareas es necesario establecer relaciones lógicas (“y lógica”, contrarrecíproco, equivalencia lógica) entre elementos matemáticos analíticos y/o gráficos puntuales y/o globales para llegar a la resolución de la tarea, pero mientras en algunas sólo hay que establecer una o dos relaciones lógicas (“y lógica”) como sucede en las tareas 1,2,5,7. En otras hay que establecer varias relaciones lógicas y de diversos tipos (“y lógica”, contrarrecíproco, equivalencia lógica) como sucede en las tareas 3, 4 y 6. A continuación lo veremos con más detalle. El cuestionario de 2º Bachillerato consta de las siguientes tareas: CUESTIONARIO 2º Bachillerato TAREA 1 Analiza las gráficas siguientes, ¿cuántas parejas producirías de cada función con su derivada? TAREA 2 La gráfica correspondiente a la función f ’(x) primera derivada de una cierta función f(x) es una recta que pasa por los puntos (a,0) y (0,b). Esboza las posibles gráficas de f(x). 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 106 TAREA 3  2x3 + 2x + a x<1 Sea f(x) =   bx2 + 1 x  1 Calcular a y b para que f sea derivable en x =1 TAREA 4 Dada la gráfica de la función f, formada por las ramas de parábolas a)Obtener los valores de f ’(3), f ’(7), f ’(10), f ’(14) y f ’(15). Explicando cómo los obtienes. b)Realiza un esbozo de la gráfica de f ’. Explica cómo lo has obtenido. TAREA 5 Dada la función f(x)=(x-1)(x-2)(x-3). Encontrar un punto, entre dos valores que tengan la misma imagen, en el que la recta tangente sea paralela al eje x. TAREA 6 A) De una cierta función f conocemos algunos valores dados en la siguiente tabla: a) Usa esta tabla para aproximar el valor de la derivada de f en x =2. 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 107 b) A partir de la información que te da esta tabla, ¿crees que f(x) es derivable en x=1? B) Supón que f es una función para la que lim (f(x)-f(2))/(x-2) cuando (x ->2) es igual a 0. ¿cuáles de las siguientes afirmaciones tienen que ser verdaderas, cuáles pueden ser verdaderas y cuáles son obligatoriamente falsas? 1. f ’(2) = 2 2. f(2) = 0 3. lim f(x) cuando (x ->2) igual a f(2) 4. f es continua en x =0 5. f es continua en x =2. TAREA 7 Esboza la gráfica de una función que satisface las condiciones siguientes: - f es continua - f(2) =0 - f ’(3)=f ’(5)=0 - lim f (x) = -4 - lim f(x) = -  x  -  x  8 - f ’(x) <0 cuando 5 <x <8 - f ’(x) >0 cuando x<5 - f ’’(x) <0 cuando 3<x<8 - f ’’(x) >0 cuando x<3 A continuación analizamos las tareas del cuestionario atendiendo a: (A) los objetivos que se quieren alcanzar con ella y (B) una aproximación a un posible proceso de resolución de la misma TAREA 1 Analiza las gráficas siguientes, ¿cuántas parejas producirías de cada función con su derivada? (A) En esta tarea se pide encontrar parejas de funciones con sus derivadas respectivas de entre las seis gráficas dadas, su objetivo es movilizar: 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 108  el significado geométrico de la derivada como pendiente de la recta tangente a la curva  los elementos matemáticos analíticos globales que relacionan el crecimiento de f con el signo de f ’, y la concavidad de f con el crecimiento de f ’, y  los elementos matemáticos analíticos puntuales que se fijan en los puntos en los que f ’(a) =0. Resolviendo la tarea a través de relaciones lógicas (“y lógica”) que se pueden establecer entre ellos, de tal forma que se puede mostrar esbozos de síntesis entre los modos analítico y gráfico si el estudiante establece relación lógica (“y lógica”) entre elementos matemáticos analítico y gráfico. Además, puede hacer uso de elementos matemáticos relativos a f ’’, hecho que empieza a manifestarse en los estudiantes de 2º Bachillerato debido a las limitaciones del currículo. (B) Un proceso de resolución permite usar los elementos matemáticos analíticos puntuales: - f ’(a) =0  x =a máximo, mínimo o punto de inflexión o si f cambia de creciente a decreciente x =a máximo o si f cambia de decreciente a creciente x =a mínimo o si f no cambia el crecimiento, pero cambia la concavidad x =a punto de inflexión - sea f derivable en (a, b) si f tiene un máximo, un mínimo o un punto de inflexión en x =a  f ’(a) =0) y los elementos matemáticos analíticos globales: - sea f una función derivable en (a, b) 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 109 o si f ’<0 en (a, b)  f decrece en (a, b) y si f ’>0 en (a, b) f crece en (a, b) o si f ’ es creciente en (a, b)  f es convexa en (a, b) y si f ’ es decreciente en (a,b)  f es cóncava en (a, b) - sea f una función derivable en (a, b) o si f es creciente en (a, b) f ’>0 en (a, b) y si f es decreciente en (a, b)  f ’<0 en (a, b) o si f es cóncava en (a, b)  f ’ es decreciente en (a, b) y si f es convexa en (a, b)  f ’ es creciente en (a, b) De todo este conjunto de elementos matemáticos, podemos identificar dos de ellos que pueden generar una aproximación a la resolución de esta tarea: - si f ’<0 en (a, b)  f decrece en (a, b) y si f ’>0 en (a, b) f crece en (a, b) - si f ’ es creciente en (a, b)  f es convexa ()en (a, b) y si f ’ es decreciente en (a,b)  f es cóncava () en (a, b) también: - si f es creciente en (a, b) f ’>0 en (a, b) y si f es decreciente en (a, b)  f ’<0 en (a, b) - si f es cóncava en (a, b)  f ’ es decreciente en (a, b) y si f es convexa en (a, b)  f ’ es creciente en (a, b) ). Analicemos una a una las gráficas que aparecen en el enunciado, utilizando las variables: - crecimiento de la función - signo de la función - concavidad de la función 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 116 f ’ es negativa en (a, +)  f decrece en este intervalo f ’(a) =0 y en x =a f pasa de ser creciente a ser decreciente  x =a máximo Esta tarea permite establecer relaciones (“y lógica”) entre elementos matemáticos gráficos y/o analíticos, lo que pondrá de manifiesto posibles esbozos de síntesis en los modos analítico y gráfico. Además, el hecho de que la tarea presente dos parámetros a y b, nos permite determinar mediante la entrevista si el estudiante es capaz de establecer relaciones (“y lógica”) entre elementos matemáticos analíticos y/o gráficos variando estos parámetros. TAREA 3  2x3 + 2x + a x<1 Sea f(x) =   bx2 + 1 x  1 Calcular a y b para que f sea derivable en x =1 (A) En esta tarea se da una función definida a trozos dependiente de dos parámetro a y b, y se piden los valores de esos parámetros para que f sea derivable. Su objetivo es movilizar los significados vinculados a la expresión analítica de la derivada como límite del cociente incremental, viendo la existencia e igualdad de los límites laterales del cociente incremental en x =1 para que f sea derivable en x =1 (continuidad de f ’ en x =1) y se pone de manifiesto tener construida la noción de la derivada en un punto como el límite del cociente incremental mediante la igualdad: lim [f(a+h) -f(a)]/ h cuando h0 = lim f ’(x) (cuando x  a) (B) Un proceso de resolución permite usar el elemento matemático analítico puntual: - f ’(a) = lim [f(a+h) -f(a)]/ h cuando h0 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 117 y el elemento matemático analítico global: - f derivable  f continua mediante la relación del contrarrecíproco: - f no continua  f no derivable Las relaciones lógicas (contrarrecíproco e “y lógica”) entre los elementos matemáticos utilizados puede llevarnos a la resolución de la tarea, poniéndose de manifiesto cómo se va produciendo el desarrollo del esquema a través del uso y variedad en las relaciones lógicas que se establecen entre los elementos matemáticos utilizados. Al estar f (x) formada por polinomios, que son derivables en los intervalos de definición, sólo tenemos que ver qué sucede en x =1, donde f(x) será derivable si la derivada por la derecha coincide con la derivada por la izquierda. Podemos entender que el resolutor se apoya en haber construido la noción de derivada en un punto como el limite del cociente incremental (en forma de proceso-paso al limite), en la expresión obtenida al aplicar las reglas de derivación a la función f (siempre que mediante la entrevista podamos corroborarlo). De esta manera, y desde un punto de vista operativo, por ejemplo el limite del cociente incremental por la izquierda (y por la derecha) Lim [f(1-h) - f(1)]/h (cuando h  1- ) se traduce en calcular la continuidad de f ’ en x =1 Lim(6 x2 + 2) (cuando x 1- ) que es igual a lim f ’(x) cuando x1- Por tanto, en la resolución de la tarea, se empieza viendo bajo que condiciones f es continua en x =1: f continua en x =1 sii lim f(x) cuando x  1- es igual que lim f(x) cuando x1+ sii 4+ a = b + 1 sii a=b-3 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 118 y a continuación una vez obtenida la expresión de f ’(x), vemos bajo que condiciones es derivable en x =1 (continuidad de f ’en x =1):  6x2 +2 x<1 f ’(x)=   2bx x>1 f ’(1- )= Lim(6 x2 + 2) (cuando x 1- )= 8 f ’(1+)= Lim(2bx) (cuando x 1+)= 2b f ’ continua en x =1 sii f ’(1- )= f ’(1+) sii 8= 2b sii b =4 y como por la condición de continuidad de f : a =b-3  a =1 En esta tarea, el estudiante puede poner de manifiesto que tiene construido el significado de derivada en un punto como límite del cociente incremental, y no lo tiene sólo como algo “memorizado” de la instrucción previa. TAREA 4 Dada la gráfica de la función f, formada por las ramas de parábolas a)Obtener los valores de f ’(3), f ’(7), f ’(10), f ’(14) y f ’(15). Explicando cómo los obtienes. b)Realiza un esbozo de la gráfica de f ’. Explica cómo lo has obtenido. (A) Esta tarea consta de dos partes centradas una en el comportamiento local y otra en el comportamiento global de la función. Su objetivo es: 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 119 * En la primera parte los diferentes puntos en los se pide el valor de f ’ a partir del gráfico de f, ejemplifican diferentes tipos de comportamientos de la función: - un máximo (con concavidad hacia abajo) en x =7 - una discontinuidad de salto con f definida en un extremo en x =10 - un máximo en forma de pico y con concavidad hacia arriba a la derecha e izquierda del punto (otro tipo de pico hubiera sido con un cambio de concavidad a la derecha e izquierda del punto) en x =14 (punto cúspide) - una discontinuidad esencial. El tipo de información que hay que obtener de la gráfica de f está vinculada a la "razón de cambio" (perspectiva analítica de la gráfica) o a la pendiente de la recta tangente a un punto de la gráfica de f (perspectiva geométrica). * La segunda parte de la tarea, que implica el esbozo de la gráfica de f ’ a partir del gráfico de f, permite usar elementos matemáticos analíticos y/o gráficos globales procedentes de los elementos matemáticos que conllevan implicaciones contrarias a los que se usaron en la tarea 2 (en la que se nos daba la función derivada y se nos pedía el esbozo de la gráfica de f). En cierta medida, esta segunda parte de la tarea 4 deberá aportar información complementaria a la obtenida en al tarea 2, en el sentido de que los elementos matemáticos utilizados por los estudiantes en ambas tareas nos permitirán saber si establecen relaciones lógicas (equivalencias lógicas) entre elementos matemáticos. Al igual que en la primera parte de la tarea el tipo de información que hay que obtener de la gráfica de f está vinculada a la "razón de cambio" (perspectiva analítica de la gráfica) o a la pendiente de la recta tangente a un punto de la gráfica de f (perspectiva geométrica). Los diferentes "tipos" de puntos que aparecen en la gráfica (entendidos 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 120 como diferentes comportamientos de la gráfica de la función en esos puntos) analizados en la primera parte de la tarea pueden permitir la aproximación al proceso de resolución de la segunda parte de la tarea mostrando los elementos matemáticos utilizados y sus relaciones lógicas: contrarrecíproco, “y lógica”. (B) Un proceso de resolución permite usar relaciones lógicas (contrarrecíproco) mediante el uso de los elementos matemáticos gráfico y analíticos puntuales: - f ’ ( a) = pendiente de la recta tangente a f en x =a - x =a máximo  f ’(a)=0 - f derivable en x =a f continua en x =a (contrarrecíproco: si f no es continua en x =a  f no es derivable en x=a) - el valor de la función derivada de f en un punto [f ’(a)] es el limite del cociente incrementar en ese punto: lim [f(a +h) - f{a )]/ h cuando h 0, y como consecuencia la igualdad de los limites laterales. y los elementos matemáticos analíticos globales: - sea f derivable en (a, b) si f crece en (a, b)  f ’>0 y en (a, b), y si f decrece en (a, b)  f ’<0 en (a, b) - sea f derivable en (a, b) si f cóncava  f ’ decrece en (a, b), y si f convexa en (a, b)  f ’ crece en (a, b) - operador derivada: f parábola  f ’ recta Veámoslo en los dos apartados: a) - la pendiente de la recta tangente a un función en un punto a [y= mx+b] es la derivada de f en ese punto f ’(a) = m . Lo que implica o que f ’(3) = 1, la gráfica de f ’ pasa por el punto (3,1) 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 121 - si la función tiene un máximo local implica que la pendiente de la recta tangente pasa de positiva a negativa por lo que valdrá cero en el máximo, lo que implica que la gráfica de f ’ cortará al eje OX (f ’tiene un cero en x =7) - si la función tiene una discontinuidad de salto, no es derivable (ya que si fuera derivable implicaría que es continua). El uso de esta idea implica pues el uso de la equivalencia de "f derivable implica f continua" y la negación de la implicación (f no continua implica f no derivable). El que f no sea derivable implica que no existe la gráfica. En el punto x = 10, a la izquierda del punto la pendiente de la recta tangente es negativa y la concavidad de f es hacia abajo; y a la derecha del punto la pendiente es positiva y la concavidad es para arriba. Esto implica que la gráfica de f ’ en x=10 tendrá también una discontinuidad que hace cambiar de signo a la gráfica ( de negativo a positivo). Además, el punto (10, a) en la gráfica de f ’ vendrá dado por la "cantidad de concavidad" hacia arriba de f en x = 10. Si la rama de la parábola a la derecha de x=10 podemos considerar que es el mínimo de la parábola, entonces el punto de arranque de la gráfica f ’ en x =10 (es decir el valor de f ’(l0) ) será tendiendo a cero (tomando el valor de cero en el limite del cociente incremental por la derecha) - en x= 14 gráfica de f tiene un pico (un máximo) sin cambio de concavidad eso implica que x = 14 la gráfica de f ’ tiene un cambio de signo (de positivo a negativo )pero no existe ya que los limites laterales del cociente incrementar de f son diferentes. b) - el que la grafica de f este formada por ramas de parábolas indica que la gráfica de f ’ son trozos de recta. Esto puede implicar poner en relación la idea de que la parábola es de la forma f(x)=ax2+bx+c, y por tanto la función derivada (aplicando las 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 122 reglas de derivación) es f ’(x)=2ax+b, con la idea de que las gráficas de las funciones del tipo 2ax+b son rectas - que la función f sea cóncava en el intervalo (0,7) implica que la función derivada será decreciente en (0,7) - en el intervalo (7,10) la f ’es decreciente. - en el intervalo (7,14) al ser la gráfica de f creciente sabemos que la gráfica de f ’ es positiva y como la concavidad de f es hacia arriba entonces sabemos que la gráfica de f ’ es creciente [si f es creciente implica f ’>0] [si f es convexa implica f ’ creciente; si f es cóncava implica f ’ decreciente] En esta tarea se pone de manifiesto el uso de varias relaciones lógicas: “y lógica”, contrarrecíproco, e incluso equivalencia lógica. Esta última podemos detectarla en el uso del elemento matemático analítico global: sea f derivable en (a, b), si f es creciente en (a, b)  f ’>0 en (a, b), teniendo en cuenta que en la tarea 1 pudo hacer uso de la implicación contraria: si f ’>0 en (a, b)  f es creciente en (a, b), el estudiante puede hacer uso de estos elementos matemáticos como una relación de equivalencia lógica: 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 123 sea f derivable en (a, b), f es creciente en (a, b) f ’>0 en (a, b). Lo mismo sucedería con los elementos matemáticos que relacionan la concavidad de f y el signo de f ’’. Esta tarea podrá poner de manifiesto posibles esbozos de síntesis entre los modos analítico y gráfico al poder establecer relaciones lógicas (“y lógica”) entre elementos matemáticos analíticos y gráficos. TAREA 5 Dada la función f(x)=(x-1)(x-2)(x-3). Encontrar un punto, entre dos valores que tengan la misma imagen, en el que la recta tangente sea paralela al eje x. (A) El objetivo de esta tarea es usar los elementos matemáticos gráficos de la noción de derivada como pendiente de la recta tangente a la función (interpretación geométrica). Al igual que la tarea 3 exige en su resolución tener la noción de derivada como límite del cociente incremental (expresión analítica), en esta tarea es necesario tener la noción de derivada en su interpretación geométrica. (B) Un proceso de resolución permite usar el elemento matemático gráfico puntual: - f ’(a) = pendiente de la recta tangente a f en x =a y el elemento matemático analítico global: - operador derivada: si f(x) es una función polinómica de grado 3 f ’(x) será una función polinómica de grado 2. La relación lógica (“y lógica”) entre los elementos matemáticos mencionados nos lleva a la resolución de la tarea, ya que: f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) es una función que verifica que: f(1) = f(2) = f(3) = 0 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 124 Además, f es continua y derivable en R, por ser una función polinómica. Luego existe f ’(x) y por el operador derivada será una función polinómica de grado 2, luego existirán dos puntos en los que f ’(x) =0: f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x3 –6x2+11x-6 f ’(x) = 3x2-12x+11 f ’(x) = 0  3x2-12x+11 =0  x1= (6-3 )/3  (1,2) ó x2= (6+3 )/3  (2, 3) Esto quiere decir que existe un punto en el intervalo (1, 2) y otro punto en el intervalo (2, 3) que verifican las condiciones del enunciado de la tarea. Esta tarea puede ponerse de manifiesto esbozo de síntesis de los modos analítico y gráfico, si en su proceso de resolución se hace uso de la “y lógica” entre elementos matemáticos gráfico y analítico. El estudiante necesita hacer uso del elemento matemático gráfico de la noción de derivada (interpretación geométrica de la derivada) en la resolución de la tarea. TAREA 6 A)De una cierta función f conocemos algunos valores dados en la siguiente tabla: a) Usa esta tabla para aproximar el valor de la derivada de f en x =2. b) A partir de la información que te da esta tabla, ¿crees que f(x) es derivable en x =1? B)Supón que f es una función para la que lim (f(x)-f(2))/(x-2) cuando(x  2) es igual a 0. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones tienen que ser verdaderas, cuáles pueden ser verdaderas y cuáles son obligatoriamente falsas? 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 125 1. f ’(2) = 2 2. f(2) = 0 3. lim f(x) cuando (x  2) igual a f(2) 4. 4. f es continua en x =0 5. f es continua en x =2. El apartado A) es la misma tarea analizada como tarea 4 del cuestionario de 1º Bachillerato, por lo que nos centramos en el apartado B). (A) El objetivo de la segunda parte de la tarea, independiente de la primera parte de la misma, es usar los elementos matemáticos de la noción de derivada en un punto como límite del cociente incremental. (B) Un proceso de resolución del apartado B) permite usar los elementos matemáticos analíticos puntuales: - derivada en un punto como límite del cociente incremental (expresión analítica de la derivada) - f derivable en x =a  f continua en x =a. Por la expresión analítica de la derivada en un punto sabemos que: f ’(2) = lim (f(x)-f(2))/(x-2) cuando (x 2) Luego si en el enunciado de la tarea figura que lim (f(x)-f(2))/(x-2) cuando (x 2) es igual a cero, esto quiere decir que f ’(2) =0, y por tanto f es continua en x =2, al ser derivable en x=2. Luego lim f(x) = f(2) cuando (x2) Respecto a las afirmaciones dadas tendremos que: 1. f ’(2) = 2  FALSA pues f ’(2) =0 2. f(2) = 0  puede ser verdadera, no nos dicen nada 3. lim f(x) cuando (x 2) igual a f(2)  VERDADERA, ya que f derivable en x =2  f continua en x =2 4. f es continua en x =0 puede ser verdadera, no nos dicen nada 5. f es continua en x =2  VERDADERA 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 132 et al. 2000). El cuestionario de 1º de Licenciatura de Matemáticas consta de las siguientes tareas: CUESTIONARIO 1º Licenciatura de Matemáticas TAREA 1 La figura muestra la gráfica de la derivada de f ’, esboza las posibles gráficas de f. TAREA 2  2x3 + 2x + a x<1 Sea f(x) =   bx2 + 1 x  1 Calcular a y b para que f sea derivable en x =1 TAREA 3 Dada la gráfica de la función f, formada por las ramas de parábolas a) Obtener los valores de f ’(3), f ’(7), f ’(10), f ’(14) y f ’(15). Explicando cómo los obtienes. b) Realiza un esbozo de la gráfica de f ’. Explica cómo lo has obtenido. TAREA 4 Esboza la gráfica de una función que satisface las condiciones siguientes: 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 133 - f es continua - f(-1) =0 - f ’(1)=f ’(3)=f ’(5)=0 - lim f (x) = -  - lim f(x) = -  x  -  x  -2 -f ’(x) <0 cuando 1 <x <5 y cuando x>7 - f ’(x) >0 cuando -2<x<1 y cuando 5<x<7 - f ’’(x) <0 cuando -2<x<3 - f ’’(x) >0 cuando 3<x<7 y cuando x> 7 Una vez descrito el cuestionario pasamos a analizar las tareas una a una atendiendo a : (A) los objetivos que se quieren alcanzar con ella y (B) una aproximación a un posible proceso de resolución de la misma TAREA 1 La figura muestra la gráfica de la derivada de f ’, esboza las posibles gráficas de f. (A) El objetivo de esta tarea es similar al de la tarea 2 del cuestionario de 2º de Bachillerato, la diferencia entre estas dos tareas es la complejidad de la gráfica de f ’ , ya que mientras que en el cuestionario de 2º de Bachillerato hacíamos referencia a una función derivada cuya gráfica es una recta, en la tarea del cuestionario de Facultad la gráfica de f ’ muestra en su gráfico cambios de signo, cambios de crecimiento, puntos de corte con el eje X, puntos de tangencia horizontal y un punto anguloso (puntos tratados por Baker et al. 2000), todo ello conlleva que para esbozar el gráfico de f es necesario establecer relaciones lógicas (“y lógica”) entre elementos matemáticos analíticos y/o gráficos globales que vinculen el crecimiento de f ’ a la 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 134 convexidad de f, el signo de f ’ al crecimiento de f y elementos matemáticos analíticos y/o gráficos puntuales y globales vinculando f ’ a extremos y puntos de inflexión de f. Una aproximación al proceso de resolución se puede hacer desde el modo gráfico, a través de los elementos matemáticos gráficos de noción de derivada como pendiente de la recta tangente a la gráfica, o desde el modo analítico a través de los elementos matemáticos analíticos puntuales y globales vinculados al crecimiento y a la concavidad. En ambos casos y para llegar al gráfico de f es necesario considerar f ’ como función y (f ’)’ como su derivada, al menos puntualmente, obteniendo así información sobre f ’’ desde el gráfico de f ’. Esta relación aunque se podía utilizar en la tarea propuesta en el cuestionario de 2º de Bachillerato, no era necesaria para la resolución correcta de la tarea, sin embargo en esta tarea propuesta para los estudiantes de 1º de la licenciatura de Matemáticas sin el uso de estas relaciones el esbozo del gráfico de f no es posible. (B) Un proceso de resolución permite usar los elementos matemáticos analíticos puntuales: - f ’(a) =0  x =a máximo, mínimo o punto de inflexión de f - si f ’’ tiene signos diferentes a la izquierda y a la derecha de x =a  x=a es punto de inflexión de f y los elementos matemáticos analíticos globales: - si f ’>0 f crece y si f ’<0 f decrece - si f ’ crece (f ’’>0)  f convexa  , y si f ’ decrece (f ’’ <0) f cóncava  De todos estos elementos matemáticos, la relación lógica “y lógica” entre los dos elementos analíticos globales uno vinculado al signo de la función derivada y otro vinculado al crecimiento / decrecimiento de la función 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 135 derivada, pueden llevarnos a la resolución de la tarea. A. f ' > 0  f creciente (f ' < 0  f decreciente) B. si f ' es creciente entonces f es convexa  (si f ' es decreciente entonces f es cóncava ) La relación lógica (“y lógica”) entre estos dos elementos matemáticos permite “leer” la gráfica propuesta f ’ para obtener información sobre la gráfica de f. Desde la grafica dada en la tarea 1, y utilizando el elemento matemático A sabemos que: - en (-infinito, 1); (3, + infinito) la f ' es positiva luego f debe ser creciente, - en (1, 3) la f ' es negativa luego f es decreciente. De ahí sabemos que en x = 1 (donde f ’(1) =0) hay un máximo local (la función f pasa de crecer a decrecer), y en x =3 ,(donde f ’(3) =0) hay un mínimo local (porque f pasa de decrecer a crecer). Utilizando el elemento matemático B en cada uno de estos intervalos nos indica que el cambio de crecimiento de f ’ nos va a dar un cambio de concavidad de la f. Así, en (-infinito, 1) no hay cambio de crecimiento, luego no hay cambio de concavidad de f. Como f ’ es decreciente, f es cóncava . En (1,3) hay cambios de crecimiento de f ’ por lo que hay cambios de concavidad. Pero, como sabemos que en este intervalo f siempre es decreciente, el cambio de concavidad implica un punto de inflexión. Luego en (1, 3) cada cambio de crecimiento de f ’ nos da un cambio de concavidad. - (1, 3/2) f ’ es decreciente luego f es cóncava luego en x=1 hay un máximo local. 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 136 - (3/2, 2) f ’ es creciente luego f es convexa. - (2, 5/2) f ’ es decreciente, luego f es cóncava. - (5/2, 3) f ’ es creciente, luego f es convexa. En (3 , + infinito) hay cambios de crecimiento de f ’ por lo que hay cambios de concavidad de f. - (3, 7/2) f ’ es creciente, luego f es convexa. - (7/2,4) f ’ es decreciente, luego f es cóncava. - (4, + infinito) f ’ es creciente, luego f es convexa. Esta tarea puede ser resuelta a través del establecimiento de relaciones lógicas (“y lógica”) entre elementos matemáticos analíticos y/o gráficos, puntuales y/o globales. Permite poner de manifiesto esbozos de síntesis entre los modos analítico y gráfico a través de la relación (“y lógica”) entre elementos matemáticos analíticos y gráficos. Para llegar al gráfico de f es necesario considerar f ’ como función y (f ’)’ como su derivada, al menos puntualmente, obteniendo así información sobre f ’’ desde el gráfico de f ’, esto puede ser una manifestación de que el alumno tenga tematizado el esquema de derivada. 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 137 TAREA 2  2x3 + 2x + a x<1 Sea f(x) =   bx2 + 1 x  1 Calcular a y b para que f sea derivable en x =1 es la misma tarea analizada como tarea 3 del cuestionario de 2º Bachillerato, mirar página 116. TAREA 3 Dada la gráfica de la función f, formada por las ramas de parábolas a)Obtener los valores de f ’(3), f ’(7), f ’(10), f ’(14) y f ’(15). Explicando cómo los obtienes. b)Realiza un esbozo de la gráfica de f ’. Explica cómo lo has obtenido. es la misma tarea analizada como tarea 4 del cuestionario de 2º Bachillerato, mirar página 118. TAREA 4 Esboza la gráfica de una función que satisface las condiciones siguientes: - f es continua - f(-1) =0 - f ’(1)=f ’(3)=f ’(5)=0 - lim f (x) = -  x  -  3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 138 - lim f(x) = -  x  -2 - f ’(x) <0 cuando 1 <x <5 y cuando x>7 - f ’(x) >0 cuando -2<x<1 y cuando 5< 5<x<7 - f ’’(x) <0 cuando -2<x<3 - f ’’(x) >0 cuando 3<x<7 y cuando x> 7 (A) En esta tarea a partir de condiciones analíticas sobre f ’ y f ’’ se pide el esbozo del gráfico de f. Su objetivo es similar al de la tarea 7 del cuestionario de 2º de Bachillerato, establecer relaciones lógicas (“y lógica”) entre elementos matemáticos analíticos puntuales y globales relacionados con el crecimiento de f, y con la concavidad de f. La diferencia entre ellas es que en la tarea del cuestionario de 2º de Bachillerato las relaciones lógicas (“y lógica”) entre elementos matemáticos analíticos puntuales y globales sólo aparecían en un extremo y un punto de inflexión, en la tarea 4 aparece además un punto anguloso o punto cúspide, siendo el tratamiento de este punto lo que proporciona mayor dificultad (Baker et al. 2000). Por otro lado, en la tarea 1 del cuestionario de 1º Licenciatura de Matemáticas que estamos analizando, también se pedía el esbozo de la gráfica de f, pero mientras que en dicha tarea venía dada en modo gráfico (pues en el enunciado figuraba la gráfica de f ’), la tarea 4 viene dada en modo analítico pues se pide el esbozo del gráfico de f a partir de condiciones analíticas de f ’ y f ’’. (B) Un proceso de resolución permite usar los elementos matemáticos analíticos puntuales: - f ’(a) =0  x =a máximo, mínimo o punto de inflexión de f - si f ’’ tiene signos diferentes a la izquierda y a la derecha de x =a (cambio de concavidad en x =a)  x =a es punto de inflexión de f y los elementos matemáticos analíticos globales: - si f ’>0 en (a, b) f crece en (a, b), y si f ’<0 en (a, b) f decrece en 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 139 (a, b) - si f ’’>0 en (a, b)  f convexa  en (a, b), y si f ’’ <0 en (a, b) f cóncava  en (a, b) La información que proporciona este problema permite usar elementos matemáticos analíticos puntuales y globales, pero también la necesidad de establecer relaciones lógicas (“y lógica”) entre ellos para tomar decisiones. Así a través de la información proporcionada por las condiciones analíticas del enunciado de la tarea, sabemos: - que la función en x =-1 valga cero nos indica que la gráfica de f corta al eje OX - que la primera derivada sea cero en 1,3, y 5 puede indicamos que la función tiene un extremo relativo o un punto de inflexión - que la función tienda a -  cuando la x tiende a +  indica que la gráfica decrecerá a medida que la x crezca - que la función tienda a -  cuando x tiende a -2 indica que hay una asíntota en x= -2, Y que la gráfica decrece al acercamos a x = -2. Una consecuencia de esto es que la gráfica parece que debe estar definida en (-2,+) ya que al ser continua en su dominio de definición (por los datos dados), no puede existir a la izquierda de x = -2 ya que si existiera, al haber una asíntota, habría una discontinuidad - que el signo de la primera derivada indica el tipo de crecimiento de la gráfica de f, así o como f ’ es negativa en (1,5) y (7, +) entonces la gráfica de f será decreciente en esos intervalos o como f ’ es positiva en (-2,1) y (5,7) entonces la gráfica de f será creciente en esos intervalos 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 140 - la información proporcionada por el signo de la segunda derivada nos indicará el tipo de concavidad de la función. Así, o si la segunda derivada es negativa en un intervalo, implica que la primera derivada es decreciente, entonces la gráfica de f es cóncava o si la segunda derivada es positiva en un intervalo, implica que la primera derivada es creciente, entonces la gráfica de f es convexa. Con los datos anteriores sabemos que: f es cóncava en los intervalos (-2,3) , y f es convexa en los intervalos (3,7) y (7, +). Considerando esta información de manera conjunta (estableciendo relación “y lógica” entre elementos) sabemos que: a) en x =3 hay un punto de inflexión al cambiar la concavidad, por lo que la f ’derivada cambia de signo en ese punto por lo que debe ser cero ya que sabemos que existe por los datos del problema. b) en x = 1 hay un máximo local al ser un extremo relativo y ser la gráfica de f cóncava hacia abajo en (-2,3) c) en x =5 hay un mínimo local al ser un extremo relativo y ser la gráfica de f cóncava hacia arriba en el intervalo (3,7) d) en el punto x =7 tenemos que: a. a la izquierda de 7 la función es creciente b. a la derecha de 7 la función es decreciente por lo tanto en x =7 debe existir un máximo local, ya que la función es continua en su dominio de definición. En el punto x = 7 tenemos que a. a la izquierda de 7 la función es convexa 3. Diseño de la investigación Gloria Mª Sánchez - Matamoros García 141 b. a la derecha de 7 la función es convexa por lo que no hay cambio de concavidad. coordinando estas dos informaciones del punto d. implica que en x = 7 hay un pico y por tanto no es derivable. [en x =7 hay un pico porque si no lo hubiera debería haber un máximo (normal) en el intervalo (5,+) lo que implicaría un cambio de concavidad y no lo hay ya que en este intervalo se mantiene la concavidad]. Con toda esta información se puede esbozar la siguiente gráfica que exceptuando en el punto x = -1 que sabemos que corta al eje OX su dibujo puede estar trasladado sobre el eje OY ya que la información que se utiliza (a excepción del corte al eje OX en x =-1) procede del comportamiento de las derivadas, y por tanto siempre puede existir una constante en el desplazamiento de la gráfica sobre el eje OY. En esta tarea es necesario establecer relaciones lógicas (“y lógica”) entre elementos matemáticos analíticos puntuales y globales en su proceso de resolución. El establecimiento de estas relaciones es lo que permite determinar el nivel del desarrollo del esquema de derivada en el que se encuentra el estudiante, poniéndose de manifiesto más claramente con el establecimiento de relaciones lógicas (“y lógica”) entre elementos matemáticos analíticos puntual y globales en la determinación del punto cúspide. Además del uso por parte del estudiante de elementos matemáticos relacionados con f ’’. En el cuadro 3.8. mostramos el objetivo de cada una de las tareas, así como los modos de representación utilizados tanto en la presentación como en sus posibles procesos de resolución: 4. Resultados Gloria Mª Sánchez-Matamoros García 242 cociente incremental cuando x tiende a 14 por la izquierda no coincide con el limite del cociente incremental cuando x tiende a 14 por la derecha relacionandolo con la pendiente de la tangente a f(x) en x =14, para que una función sea derivable en un punto. Además lo usa con sentido (es decir, desencapsulando los significados implicados) al decir : E: ¿qué sucede con f’(14)? C25-L: no sería derivable porque no coinciden los límites laterales. Y la derivada es el límite de las pendientes de las rectas tangentes a f acercándose a x =14, por un lado son positivas y por el otro lado son negativas. (C25-L, Tarea 3) se relaciona la existencia e igualdad de los límites laterales del cociente incremental con la pendiente de la recta tangente a f en x =a, poniéndose de manifiesto como equivalencia lógica (hecho que nos muestra la síntesis de los modos de representación analítico y gráfico) La segunda parte de la Tarea 3 es complementaria a la Tarea 1, en el sentido que mientras que en la Tarea 1 se pedía el gráfico de f a partir del gráfico de f ’, en esta tarea se pide el gráfico de f ’ a partir del gráfico de f. Por tanto, se hará uso de los elementos matemáticos que conllevan una implicación contraria a los utilizados en la Tarea 1, pudiendo establecer el 4. Resultados Gloria Mª Sánchez-Matamoros García 243 estudiante relaciones de equivalencia lógica entre ellos. En la resolución el estudiante utilizó el elemento matemático analítico global : sea f derivable en (a, b) si f crece en (a, b) →f ’>0 en (a, b), y si f decrece en (a, b)→ f ’<0 en (a, b) (implicación contraria del mismo elemento utilizado en la Tarea 1), poniendo de manifiesto el uso de equivalencias lógicas. Además relaciona la inclinación de los segmentos que forman f ’, al hecho de que las pendientes de las rectas tangentes sean más o menos acusadas. Esto pone de manifiesto de nuevo el hecho de que C25-L tiene construido el significado de la derivada como pendiente de la tangente a f, y es capaz de desencapsular y utilizar los significados implícitos. Estableciendo relación lógica (“y lógica”) entre elementos matemáticos analítico y gráfico globales (lo que nos vuelve a mostrar la síntesis en los modos de representación analítico y gráfico). Por último, en la Tarea 4, tarea que usa los dos modos de representación, pues se presenta la información en modo analítico y pide esbozar la gráfica de f, C25-L usó los elementos matemáticos analíticos puntuales y globales necesarios en la resolución de forma correcta, y las relaciones lógicas (“y lógica”) entre ellos, lo que le permitió esbozar un gráfico correcto de f , comentando respecto al punto anguloso (cúspide) de función: E: ¿qué sucede en x =7? C25-L: la función es cóncava para valores mayores y menores que x =7, sin embargo es creciente para valores menores que x =7 y decreciente para valores mayores que x=7, y f es continua por eso he puesto un punto anguloso. (C25-L, Tarea 4) Por lo que C25-L ha manifestado a lo largo de la resolución de todo el cuestionario que es capaz de establecer las relaciones lógicas (“y lógica”, contrarrecíproco, equivalencias lógicas) necesarias de forma correcta entre 4. Resultados Gloria Mª Sánchez-Matamoros García 244 los elementos matemáticos, y que conoce los elementos matemáticos analíticos y/o gráficos puntuales y/o globales necesarios en la resolución de las diversas tareas, y usa los significados implícitos para tomar decisiones, mostrando tener la síntesis de los modos de representación analítico y gráfico. Además, considera las relaciones lógicas en un segundo nivel, es decir, considera f ’ como función, y f ’’ como su derivada, de tal manera que las ideas y relaciones que se tienen para el par (f, f ’), también se tienen para el par (f ’, f ’’) lo que nos lleva a concluir que C25-L ha (tiene) tematizado el esquema de derivada. Este hecho ha sido identificado en cuatro estudiantes de la Licenciatura de Matemáticas. CAPÍTULO 5 5. Discusión y conclusiones Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 245 CAPÍTULO 5: Discusión y conclusiones En esta sección presentamos algunas reflexiones generales, desde los resultados obtenidos, sobre el desarrollo del esquema de derivada, la tematización de dicho esquema, y la construcción de la comprensión de los conceptos matemáticos. 5.1. Sobre el desarrollo del esquema de derivada En el capítulo anterior hemos caracterizado el desarrollo del esquema de la noción de derivada a través de diferentes subniveles. Hemos podido comprobar que la construcción del conocimiento es progresiva, y que el paso de un subnivel al siguiente se pone de manifiesto a través del tipo de relaciones lógicas que se establecen entre los elementos matemáticos, y de los elementos matemáticos que se utilizan. El primer tipo de relación lógica que 5. Discusión y conclusiones Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 246 se utiliza es “y lógica”, y la que más dificultades presenta a los estudiantes es la equivalencia lógica. Los elementos matemáticos que usan los individuos varían de unos a otros, aunque podemos afirmar que los que recuerdan con más frecuencia son los relacionados con f ’, y no con f ’’, y algunos elementos matemáticos son recordados con errores. En un primer momento el estudiante no es capaz de establecer relaciones lógicas entre los elementos matemáticos que utiliza, y si hay algún esbozo de relación es incorrecto. En el subnivel siguiente, se manifiesta algún esbozo de relación lógica correcta de forma aislada, del tipo conjunción lógica (“y lógica”). De forma progresiva en subniveles posteriores se pone de manifiesto mayor riqueza en las relaciones lógicas, ya no sólo se usará la conjunción lógica (“y lógica”), también se hará uso del contrarecíproco, y de la equivalencia lógica. Esta última relación, es el que más dificultades le presenta al estudiante iniciándose su uso en el nivel INTER y plenamente desarrollado en el nivel TRANS. También, se ha observado que la construcción progresiva del esquema no va ligada a los modos de representación, pues generalmente los diferentes subniveles, a excepción del TRANS donde se observa la síntesis en los modos de representación, se vinculan a un modo de representación (analítico o gráfico), pero no hay prioridad de uno sobre el otro. Además hemos caracterizado la tematización del esquema a través de la consideración de f ’ como función y (f ’)’ = f ’’ como su derivada, una de las manifestaciones de este hecho es aplicar a f ’ y a su derivada (f ’’) las mismas relaciones e implicaciones que se aplican a f y a su derivada f ’. Muchos de los problemas de comprensión que mostraron los estudiantes en nuestra investigación, también fueron identificados por otros investigadores anteriormente. En lo que sigue haremos algunos comentarios sobre ellos en relación a nuestros resultados. 5. Discusión y conclusiones Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 247 1.- Así, Ferrini-Mundi y Graham(1994) y Asiala (1997) señalan que diferentes contextos (como el gráfico y el analítico) pueden considerarse como modos separados en los estudiantes, y como comenta Baker et al. (2000) hay un uso de la noción de derivada como pendiente de la recta tangente (gráfico) o como razón de cambio (analítico) sin ningún tipo de relación. Así, en la caracterización del nivel INTRA de desarrollo del esquema, hecha por Baker et al. (2000) señalan que: “... el estudiante se centra en una acción repetible.... e interpreta la derivada como pendiente de la recta tangente en puntos específicos demostrando esta interpretación con los intervalos de crecimiento / decrecimiento o alternativamente resolviendo un problema de razón de cambio...” , (pág. 559). Sin embargo, en nuestra investigación tenemos manifestaciones de individuos que se encuentran en el nivel INTRA 1 del desarrollo del esquema de derivada que no tienen la idea de derivada como pendiente de la recta tangente, ni como tasa de variación, simplemente recuerdan “cosas”. Desde nuestro punto de vista hay un uso de los elementos matemáticos como “objetos” que no provienen de la encapsulación de un proceso, y/o recuperan procedimientos aprendidos en la instrucción previa para la resolución de un determinado tipo de problemas, sin que ello signifique que usen los elementos matemáticos como “objetos” provenientes de la encapsulación de un proceso. 2.- Baker et al. (2000) señalan en su investigación que coordinar información al intentar resolver un problema de cálculo gráfico no rutinario presenta bastantes dificultades. En nuestra investigación, hemos utilizado tareas similares a la usada por Baker y sus colegas, y también hemos observado las dificultades que muestran los estudiantes ante la coordinación de ciertos elementos matemáticos, y en concreto, la dificultad de establecer relaciones lógicas entre aproximaciones globales y puntuales, es decir, pensar 5. Discusión y conclusiones Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 248 conjuntamente en el comportamiento de la función en intervalos y el comportamiento puntual de la función. Los puntos angulosos son una manifestación de este comportamiento prototípico, comentado en el trabajo de Baker. En nuestra investigación hemos observado también esa dificultad, tanto cuando el punto anguloso se presenta en modo gráfico, como cuando se presenta en modo analítico. Hemos encontrado manifestaciones empíricas de estudiantes que se encuentran en los subniveles INTER1 e INTER del desarrollo del esquema, que consideran que f ’ existe en dicho punto y que se trata de un extremo relativo, y otros que aunque consideran que no existe f ’ porque es un pico, no saben explicar por qué esto es así. Estos hechos podemos considerarlos como diferentes manifestaciones del uso de los elementos de conocimiento como “objetos” que no provienen de la encapsulación de un proceso. Respecto a este tema, Zandieth (2000) define un “pseudo-objeto” como una comprensión intuitiva que no involucra la comprensión del proceso subyacente en el objeto. Según este autor la dificultad está en que muchos problemas relacionados con el concepto de Derivada se pueden resolver usando sólo una comprensión de pseudo-objeto. 3.- Al igual que señalan Asiala et al. (1997) y Baker et al (2000), en nuestra investigación hemos apreciado que los estudiantes muestran una fuerte tendencia a utilizar la primera derivada para obtener información en la resolución de las tareas planteadas en el cuestionario. Baker y sus colegas señalan la dificultad que tienen los estudiantes en trabajar con condiciones relativas a la segunda derivada, hecho que en nuestro estudio también se pone de manifiesto tanto en tareas dadas en condiciones gráficas como en tareas dadas en condiciones analíticas. Son estudiantes que se encuentran en los niveles INTRA o INTER o en sus distintos subniveles, y que muestran dificultades en ver f ’ como función. Así hay estudiantes que confunden la interpretación del signo de f ’’, con la interpretación del signo de f ’, y otros que no recuerdan lo que significa ni son capaces de reconstruir su 5. Discusión y conclusiones Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 249 significado desde la interpretación geométrica de la derivada, mostrando dificultades en los intervalos de crecimiento y concavidad de f. Sólo cuando se ha tematizado el esquema de derivada se es capaz de trasladar las relaciones del par (f, f ’) al par (f ’, f ’’). 4.- Baker et al. (2000) en su estudio se apoya en la idea de la derivada como recta tangente y como razón de cambio y la paulatina integración de estas dos ideas para la caracterización del desarrollo del esquema de derivada. En nuestro trabajo hemos encontrado que es en el nivel TRANS del desarrollo del esquema cuando se tienen integradas estas dos ideas, manifestándose la síntesis de los dos modos de representación (analítico y gráfico). Es en este nivel de desarrollo del esquema de derivada (TRANS) cuando el estudiante muestra tener los elementos matemáticos como “objetos” que proceden de la encapsulación de un proceso, manifestándolo a través de la realización de “desencapsulaciones” cuando le son necesarias en la resolución de las diferentes tareas del cuestionario, usando los significados implícitos. Estos mismos investigadores refiriéndose al esquema del cálculo gráfico, comenta que como cualquier esquema, variará de una persona a otra y podrá evolucionar por caminos diferentes, pero cada esquema personal pasará de algún modo a través del proceso de los niveles de desarrollo. En nuestro trabajo hemos podido comprobar que el estudiante en los diferentes niveles de desarrollo del esquema, a excepción del nivel TRANS, no siempre tiene operativo los elementos matemáticos necesarios en la resolución de la tarea o no siempre es capaz de establecer las relaciones necesarias entre ellos, ni se manifiesta en todos los estudiantes de la misma manera la transición de un nivel de desarrollo del esquema a otro, esta es una de las características de la progresión en la construcción. Nosotros dentro de los niveles del desarrollo del esquema hemos considerado subniveles, y al igual que Baker y sus colegas afirman que cada esquema personal pasará a través del proceso de los niveles 5. Discusión y conclusiones Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 256 desempaquetado cuando es necesario. El sujeto que ha tematizado un esquema, cuando se le presenta una situación nueva sabe que partes del esquema pueden aplicarse y cuales no. Estos autores para examinar la posible tematización del esquema gráfico del Cálculo, variaron en la tarea planteada las condiciones iniciales (sobre continuidad, primera y segunda derivada) preguntándole al estudiante qué características del gráfico de la función permanecen. La habilidad para describir las relaciones entre las características que permanecen, sintetizar las propiedades y separarlas, empaquetarlas y desempaquetarlas cuando era necesario, lo consideraron evidencia de la tematización del esquema. En nuestra investigación hemos considerado que la tematización del esquema de derivada se pone de manifiesto cuando el estudiante es capaz de determinar los dominios de validez de las propiedades. En concreto, cuando es capaz de trasladar las relaciones entre f y f ’ al par f ’ y f ’’. Es decir, cuando es capaz de trasladar todas las relaciones e implicaciones que tiene construidas y organizadas para el par (f, f ’) al par (f ’, f ’’). Considera f ’ como una totalidad, sucediéndole lo mismo con (f ’)’ = f ’’... Es decir, el esquema derivada es una totalidad que puede ser manejada/usada sin “ataduras” con el contexto (derivada primera) a partir del que empezó a construirse. De esta forma, se considera f ’ como una totalidad que es generalizable y por lo tanto asimilable a (f ’)’ = f ’’, f ’’’, … Desde nuestro punto de vista, a través de este supuesto hemos hecho operativa la idea de tematización de Piaget, ya que cuando se considera la noción de derivada como un esquema construido a partir de una serie de elementos matemáticos y relaciones lógicas entre ellos, y considerado como una entidad generalizable, estaríamos describiendo lo que Piaget llama conceptualización, y por lo tanto el esquema derivada se ha conceptualizado, se ha construido el concepto derivada. 5. Discusión y conclusiones Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 257 Desde nuestra perspectiva, fijándonos en la definición de Piaget, un esquema es una estructura cognitiva, en nuestro caso una forma de conocer una estructura matemática. Esto complementa con la definición del grupo RUMEC de esquema como colección de concepciones acciones, concepciones procesos, concepciones objetos (que son formas de conocer) y otros esquemas y las relaciones entre ellos. 5.3. Sobre la construcción de la comprensión de los conceptos matemáticos La construcción de la comprensión de conceptos matemáticos ha sido el centro de preocupación e indagación de este trabajo. La pregunta que nos podemos formular y que desde estas páginas hemos querido contestar sería: ¿cómo los individuos construyen la comprensión de los conceptos matemáticos?, pregunta que lleva implícita una forma de entender el proceso de construcción. Como ya hemos visto hay distintas teorías que intentan responder a estas cuestiones, proponiendo marcos teóricos desde los que se habla de distintas formas de conocer un concepto matemático y de la forma que se construye la comprensión de dicho concepto. Lo que parece común a estas teorías es la fundamentación en las teorías de Piaget, la consideración de los conceptos matemáticos como objetos y considerar la construcción de un objeto que se puede manipular en sí mismo a partir de un proceso que generalmente es realizado paso a paso. Esta construcción si nos centramos en el marco teórico propuesto por el grupo RUMEC (Teoría APOS), se realiza a través de distintos mecanismos de construcción: interiorización, encapsulación ... (manifestaciones de lo que Piaget denomina “abstracción reflexiva”) que permiten ir construyendo distintas formas de conocer un concepto matemático avanzado. Así, se construye un objeto matemático mediante la encapsulación 5. Discusión y conclusiones Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 258 de un proceso, que a su vez ha sido construido mediante la interiorización de una acción. Pero además estos investigadores, en sus últimos trabajos, proponen y analizan una segunda forma de construir un concepto/objeto matemático. Esta construcción se realiza cuando el individuo reflexiona sobre un esquema, llega a ser consciente del esquema como una totalidad, y es capaz de realizar acciones sobre él, entonces consideran que el individuo ha tematizado el esquema en un objeto. Para estos autores la noción de esquema recoge la totalidad del conocimiento que para un individuo está conectado (consciente o inconscientemente) con un tópico matemático particular. Otra de las teorías que nos habla de la construcción de objetos/conceptos matemáticos es la propuesta por Sfard (1992). Según esta teoría, como mostrábamos en la página 55, existen tres etapas en la construcción de los objetos, que corresponden a tres grados de estructuración progresiva: interiorización, condensación y reificación. Etapas entendidas como una jerarquía, lo que implica que no se puede pasar de una etapa a otra mientras no se hayan dado todos los pasos anteriores. Las etapas de interiorización y de condensación son procesos graduales y cuantitativos más que cualitativos mientras que la reificación es instantánea, se puede entender como un salto cualitativo. Desde nuestros datos podemos entender/asimilar un concepto matemático con lo que Piaget denomina esquemas y por tanto hemos intentado trasladar la propuesta de desarrollo de un esquema de este investigador, al desarrollo de la comprensión de un concepto matemático. Esta traslación nos obliga a concretar y caracterizar la noción de esquema con la que trabajamos. En esta investigación, un esquema/concepto matemático es la estructura matemática formada por las relaciones lógicas que se establecen entre el conjunto de elementos matemáticos que constituyen una noción matemática, y que puede ser evocado para la resolución de una situación problema. Así 5. Discusión y conclusiones Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 259 mismo, la construcción de un concepto matemático es una construcción progresiva que se desarrolla a través de subniveles (INTRA1, INTRA, INTER1, INTER, TRANS). Estos subniveles están caracterizados por los tipos de relaciones lógicas que se establecen entre los elementos matemáticos, y de los elementos matemáticos que se utilizan. Esta construcción progresiva finalizará cuando el individuo haya tematizado el esquema, proceso que viene caracterizado por que se es capaz de determinar los dominios de validez de las propiedades del esquema, y a través del que se llega a la conceptualización del esquema o construcción del concepto matemático. 5.4. Limitaciones. Perspectivas de futuro A partir de la investigación que hemos realizado nos surgen una serie de cuestiones que pueden ser motivo de estudio en trabajos futuros: 1. Nuestro estudio se ha centrado en el desarrollo de la comprensión del concepto derivada, pero nos preguntamos ¿la caracterización de los niveles de desarrollo a través de las relaciones lógicas sería la misma si el concepto matemático estudiado fuera otro? ¿qué potencialidad tienen las relaciones lógicas en el desarrollo de la comprensión de un concepto matemático distinto a la derivada?. 2. Piaget y García (1983/1989) respecto a los niveles de desarrollo de un esquema comentan: “cada etapa Intra, Inter o Trans implica a su vez algunas subetapas, y lo que es más fundamental, que ellas siguen el mismo orden y por las mismas razones” (p. 162) En nuestra investigación hemos identificado algunas de estas subetapas o subniveles, pero no todos. La identificación de todos estos subniveles puede ser una posible línea de investigación futura. 5. Discusión y conclusiones Gloria Mª Sánchez – Matamoros García 260 3. La información obtenida en la investigación, ¿cómo se puede utilizar en el proceso de enseñanza–aprendizaje? ¿cómo podemos hacer operativa esta forma de caracterizar el desarrollo y construcción del concepto de derivada en el proceso de enseñanza–aprendizaje?. 4. Nos podríamos centrar en el diseño metodológico, y en concreto en la potencialidad de la entrevista. Nos preguntamos si sería conveniente que la entrevista tuviera un valor informativo en sí mismo. Así, si hubiéramos estructurado las entrevistas no como algo aclaratorio sino complementario a la resolución del cuestionario, por ejemplo, si en la entrevista se hubieran modificado las condiciones iniciales del problema, ¿cómo hubiera respondido el estudiante ante la nueva situación?. REFERENCIAS REFERENCIAS Gloria Mª Sánchez-Matamoros García 261 REFERENCIAS Alesandrov A. D., Kolmogorov A. N. y Laurentiev M. A. (1988). La matemática: su contenido, métodos y significado. Madrid: Alianza Editorial, pp. 91-222. Amit M., y Vinner S. (1990). Some Misconceptions in Calculus - Annecdotes or the tip of an iceberg?. En Booker, G. (Ed.): Proceedings of 14th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, 1. Oaxtepec, México: CINVESTAV. pp.3- 10. Anzola M. y Vizmanos J.R. (1996). Matemáticas I, Matemáticas II. Madrid: Editorial S.M. Apostol T. M. (1982). Análisis Matemático. Barcelona-Bogotá-Buenos Aires- Caracas-México-Rio de Janeiro: Editorial Reverté, s.a. Artigue M. 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