Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas

FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD Aplicaciones de la Programación Lineal en las Finanzas Trabajo Fin de Grado presentado por Angustias Rejano Márquez, siendo la tutora del mismo la profesora Asunción Zapata Reina. Vº. Bº. De la Tutora: Alumna: Dª Asunción Zapata Reina Dª Angustias Rejano Márquez Sevilla. Junio de 2015 GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD FACULTAD DE TURISMO Y FINANZAS TRABAJO FIN DE GRADO CURSO ACADÉMICO [2014-2015] TÍTULO: APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL EN LAS FINANZAS AUTORA: ANGUSTIAS REJANO MÁRQUEZ TUTORA: ASUNCIÓN ZAPATA REINA DEPARTAMENTO: ECONOMÍA APLICADA III ÁREA DE CONOCIMIENTO: MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA RESUMEN: La programación lineal es una técnica de investigación operativa que se utiliza como herramienta en la toma de decisiones. Por su sencillez se emplea frecuentemente para modelizar una gran variedad de problemas reales de diversos ámbitos en los que intervienen gran cantidad de variables. En el área financiera, la gestión de una cartera de inversión supone tomar decisiones acerca de en qué invertir y cuánto invertir, por lo que la programación lineal se presenta como un instrumento útil tanto para la creación de la cartera como para su valoración. En este trabajo se realiza un estudio de la programación lineal en las finanzas, centrándonos en el área financiera y en la modificación que hicieron Konno y Yamazaki (1991) del modelo de selección de carteras de Markowitz (1952). PALABRAS CLAVE: Programación lineal; Optimización; Cartera; Rentabilidad; Riesgo. TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -I- ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................................................................................................... 3 2. RESEÑA HISTÓRICA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL ........................................................................................ 5 2.1. HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL ........................................................................................... 5 3. CONCEPTOS Y RESULTADOS BÁSICOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL ............................. 7 3.1. DEFINICIÓN Y CARACTERÍSTICAS ......................................................................................................................... 7 3.2. PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL .... 7 3.2.1. Formulación canónica .................................................................................................................................................. 8 3.2.2. Formulación estándar ................................................................................................................................................... 8 3.2.3. Región factible. Solución factible .............................................................................................................. 8 3.3. RESULTADOS BÁSICOS .............................................................................................................................................................. 9 3.4. UN EJEMPLO ..................................................................................................................................................................................................... 9 3.5. MÉTODO GRÁFICO ............................................................................................................................................................................... 9 4. ALGORITMO DE RESOLUCIÓN: SIMPLEX .............................................................................................................................. 11 4.1. MÉTODO SIMPLEX ............................................................................................................................................................................ 11 4.2. ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ................................................................... 12 4.2.1. Introducción de variables ................................................................................................................................... 12 4.2.2. Fase I .................................................................................................................................................................................................. 12 4.2.3. Fase II ................................................................................................................................................................................................ 14 5. LINGO ............................................................................................................................................................................................................................................................. 17 5.1. DESCRIPCIÓN ............................................................................................................................................................................................ 17 5.2. OPERATIVA DE LINGO .............................................................................................................................................................. 17 5.3. OPTIMIZACIÓN DE LA RENTABILIDAD CON MÚLTIPLES VARIABLES19 6. APLICACIONES ............................................................................................................................................................................................................................. 23 6.1. APLICACIÓN AL MARKETING ........................................................................................................................................ 23 6.1.1. Elección de soportes publicitarios ...................................................................................................... 23 6.1.2. Investigación de mercados ............................................................................................................................. 23 6.2. APLICACIÓN A LA PRODUCCIÓN .......................................................................................................................... 24 6.2.1. Producción en el sector aeronáutico .............................................................................................. 24 6.2.2. Producción agrícola .................................................................................................................................................... 24 6.3. APLICACIÓN A LA ASIGNACIÓN DE TAREAS ................................................................................ 25 6.3.1. Aplicación al sector servicios ..................................................................................................................... 25 TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -II- 6.4. APLICACIÓN A LA LOGÍSTICA ..................................................................................................................................... 25 6.4.1. Problema del transporte ..................................................................................................................................... 25 6.5. APLICACIÓN A MEZCLAS ..................................................................................................................................................... 26 6.5.1. Problema de la dieta ................................................................................................................................................. 26 6.5.2. Industria química. Sector petrolero .................................................................................................. 26 6.6. APLICACIÓN A LAS FINANZAS ................................................................................................................................... 27 6.6.1. Gestión de carteras de inversión ......................................................................................................... 27 6.6.2. Planificación financiera. Toma de decisiones ................................................................ 27 6.7. APLICACIÓN FINANCIERA: UNA CARTERA DE VALORES .................................... 27 7. CONCLUSIONES ........................................................................................................................................................................................................................ 35 BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................................................................................................................................ 37 TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -3- CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN La programación lineal es una herramienta de investigación operativa ampliamente desarrollada desde sus inicios a mediados del siglo XX. Puede señalarse 1947 como un año clave en su desarrollo, gracias a Dantzig y su método del simplex. Dentro de la programación matemática es de señalar la ventaja que supone la linealidad de las funciones desde una doble vertiente. Por una parte, debido a la peculiaridad de las funciones lineales se verifican propiedades que facilitan la resolución de dichos problemas y, por otra, el desarrollo de los ordenadores ha permitido la proliferación de paquetes informáticos que proporcionan la resolución de estos problemas. Actualmente pueden resolverse problemas complejos con múltiples variables con un ordenador personal y software gratuito descargado de internet. El gran número de trabajos publicados que hacen uso de la programación lineal, pone de manifiesto la potencialidad y aplicabilidad de esta técnica matemática. Las investigaciones realizadas apoyándose en la programación lineal se encuadran en muchos sectores, tales como marketing, producción, logística, mezclas y por supuesto, las finanzas. Pero es en el sector financiero en el que basamos el estudio realizado en este trabajo, puesto que la reducción de costes y la consecución de la máxima rentabilidad es el objetivo de las empresas de cualquier sector. Algunos ejemplos de sus aplicaciones en el área empresarial son:  Diversificación de las inversiones en los productos más rentables.  Reducción de costes por los intereses de las deudas, al elegir los mejores proveedores de recursos.  Reducción de costes de transporte.  Asignación de los horarios de las tareas más eficiente.  Distribución de los trabajos de forma más efectiva. Permite resolver problemas en los que se persigue determinar la mejor distribución de los recursos optimizando una función (por ejemplo, maximizando los beneficios o minimizando los costes) y cumpliendo determinadas condiciones (por ejemplo, restricciones presupuestarias). Generalmente, la programación lineal ha estado vinculada al área productiva. El objetivo de este trabajo es demostrar que en las finanzas también puede ser aplicada con buenos resultados. Los objetivos de la programación lineal para cualquier área son conseguir solucionar la reducción de costes y maximizar la rentabilidad. En las finanzas esto se vuelve aun más relevante, ya que su fin es el máximo beneficio de las inversiones. Por todo ello, el objetivo de este estudio es reportar las ventajas que la programación lineal aporta al mundo financiero. Algunas de ellas son:  Permite resolver modelos reales.  Ayuda a la toma de decisiones.  Permite comparar entre varias soluciones alternativas, en escaso tiempo.  La utilización de la programación lineal permite enormes reducciones de costes en las empresas, al usar de la manera más eficiente los recursos empleados TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -4- Este trabajo se ha estructurado en varios apartados. En primer lugar, se realiza una reseña histórica de la programación lineal. En esta, se hace referencia a los hechos más significativos en cuanto a estudios, investigaciones y descubrimientos desde el siglo XVII hasta hoy día. En segundo lugar, se expone detalladamente el concepto de problema de programación lineal y otros conceptos relacionados con él, así como algunos resultados fundamentales. A continuación, se explica el método de resolución por excelencia de un problema de programación lineal, el método del simplex y se muestra el uso de algunos paquetes informáticos que permiten resolver problemas en los que intervienen una gran cantidad de variables y restricciones. Todo este desarrollo irá ilustrado con ejemplos que ayuden a una mejor comprensión. Por último, se realiza un análisis de múltiples aplicaciones de la programación lineal con especial énfasis en el sector financiero. Con objeto de completar el estudio, y poner de manifiesto la aplicabilidad del procedimiento, se realiza un análisis de gestión de carteras con un caso real con datos obtenidos de la Bolsa de Madrid. Finalmente, se detallan las conclusiones relativas al trabajo. TFGFICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas D. Bernoulli L. V. Kantorovich RESEÑA HISTÓRICA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL 2.1. HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL La programación l ineal tiene su origen en los siglos XVII y XVIII. En estos siglos ya hay datos que confirman que ilustres matemáticos, como Bernoulli, Newton y Leibniz, investigan sobre cómo aplicar restricciones a funciones lineales. También Lagrange hizo importantes ap ortaciones con el descubrimiento del método de los multiplicadores, que resuelve problemas condicionados. Excepto por alg unos estudios realizados por el matemático francés que ideó los antecedentes del método gráfico con el desarrollo d descriptiva en 17 76 y Jean Baptiste eliminación Forier- Motzkin e hasta más adelante cuando es investigada con mayor relevancia. También Gyula Farkas, matemático húngaro en 1902 hizo importantes contribuciones, ya que creó un procedimiento para resolver sistemas de inecuaciones. l ineal, cuando consider junto al matemático estadounidense George Dantzig (quien publicó el algoritmo simp aplicó sus estudios a los planes soviéticos para la pla de la economía. transporte, que consiste en la planificación de la mejor combinación entre varios centros de producción y diversos centros de consumo. Este problema e matemático ruso Leonid Kantorovich y el matemático Holand Koopmans, quienes en 1975 comparten Premio Nobel de Economía por s aportaciones a la programación l para la organización y la producción” y ”Concepts of optimality and their uses” Tres años después a Joseph Stigler, Premio Nobel de Economía requerido del ejército Americano solucionar el soldados tuviese los valores nutritivos necesarios, y además con el mínimo cost 1946, dentro del trabajo “E actualmente como problema de la dieta. La programación l ineal tuvo su desarrollo operativo en 1947 cuando George Dantzig, usando sus ideas junto a las de otros antecesores, ideó el algoritmo simplex para solucionar los problemas de asignación de recursos de la Segunda Guerra Mundial. Esto sucedió cua comenzó a trabajar en la cadena de abastecimiento que concluyó que había que resolver el pro cientos de miles de ítems y personas. En los años posteriores a la Segunda Guerra Mundial en Estados Unidos, surgió el problema de cómo distribuir entre la FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -5- CAPÍTULO 2 RESEÑA HISTÓRICA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL ineal tiene su origen en los siglos XVII y XVIII. En estos siglos ya hay datos que confirman que ilustres matemáticos, como Bernoulli, Newton y Leibniz, investigan sobre cómo aplicar restricciones a funciones lineales. También Lagrange ortaciones con el descubrimiento del método de los multiplicadores, que resuelve problemas condicionados. unos estudios realizados por el matemático francés que ideó los antecedentes del método gráfico con el desarrollo d 76 y Jean Baptiste –Joseph Fourier, que desarrolló el método de Motzkin e n 1826, aproximándose así a la programación l hasta más adelante cuando es investigada con mayor relevancia. También Gyula Farkas, matemático húngaro en 1902 hizo importantes creó un procedimiento para resolver sistemas de inecuaciones. En 1930 aparecen los primeros datos de programación ineal, cuando el matemáti co ruso Leonid Kantorovich consider ado uno de los creadores de la programación l junto al matemático estadounidense George Dantzig (quien publicó el algoritmo simp lex en 1947) y John Von Neumann aplicó sus estudios a los planes soviéticos para la pla de la economía. En los años 1941- 1942 es investigado el problema del transporte, que consiste en la planificación de la mejor combinación entre varios centros de producción y diversos centros de consumo. Este problema e s resuelto por el matemático ruso Leonid Kantorovich y el matemático Holand és Tjalling Charles en 1975 comparten Premio Nobel de Economía por s aportaciones a la programación l ineal con sus publicaciones “Métodos matemáticos para la organización y la producción” y ”Concepts of optimality and their uses” Tres años después a Joseph Stigler, Premio Nobel de Economía requerido del ejército Americano solucionar el problema de que la alimentación de los soldados tuviese los valores nutritivos necesarios, y además con el mínimo cost dentro del trabajo “E l coste de la subsistencia”, desarrolla su conocido actualmente como problema de la dieta. ineal tuvo su desarrollo operativo en 1947 cuando George Dantzig, usando sus ideas junto a las de otros antecesores, ideó el algoritmo simplex para solucionar los problemas de asignación de recursos de la Segunda Guerra Mundial. Esto sucedió cua ndo se unió a las fuerzas aéreas y comenzó a trabajar en la cadena de abastecimiento que concluyó que había que resolver el pro blema de gestionar miles de ítems y personas. En los años posteriores a la Segunda Guerra Mundial en Estados Unidos, surgió el problema de cómo distribuir entre la G.B. Dantzig RESEÑA HISTÓRICA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL ineal tiene su origen en los siglos XVII y XVIII. En estos siglos ya hay datos que confirman que ilustres matemáticos, como Bernoulli, Newton y Leibniz, investigan sobre cómo aplicar restricciones a funciones lineales. También Lagrange ortaciones con el descubrimiento del método de los Gaspard Monge que ideó los antecedentes del método gráfico con el desarrollo d e la geometría que desarrolló el método de n 1826, aproximándose así a la programación l ineal, no es También Gyula Farkas, matemático húngaro en 1902 hizo importantes creó un procedimiento para resolver sistemas de inecuaciones. aparecen los primeros datos de programación co ruso Leonid Kantorovich , ado uno de los creadores de la programación l ineal junto al matemático estadounidense George Dantzig (quien lex en 1947) y John Von Neumann aplicó sus estudios a los planes soviéticos para la pla nificación 1942 es investigado el problema del transporte, que consiste en la planificación de la mejor combinación entre varios centros de producción y diversos s resuelto por el és Tjalling Charles en 1975 comparten Premio Nobel de Economía por s us ineal con sus publicaciones “Métodos matemáticos para la organización y la producción” y ”Concepts of optimality and their uses” Tres años después a Joseph Stigler, Premio Nobel de Economía en 1982, le es problema de que la alimentación de los soldados tuviese los valores nutritivos necesarios, y además con el mínimo cost e. En desarrolla su conocido TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -12- 4.2. ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Continuando con el ejemplo de los capítulos anteriores en el que se resuelve un problema de bonos y acciones. Modificamos los nombres de las variables y en lugar de x e y les llamaremos x 1 a los bonos y x 2 a las acciones. Por tanto, el problema a resolver es: Max 0,0025 x 1 + 0,045 x 2 S.a. x 1 ≥ 20000 x 2 ≤ 15000 x 1 + x 2 ≤ 50000 x 1 , x 2 ≥ 0 4.2.1. Introducción de variables Para proceder a aplicar el método simplex, se deben añadir unas variables complementarias, con el objeto de escribir el problema en forma estándar. En primer lugar, se deben convertir las restricciones funcionales de desigualdad en restricciones funcionales de igualdad. Cuando el lado izquierdo de la ecuación es menor que el derecho, hay que introducir variables de holgura sumando para poder igualar y cuando ocurre lo contrario, se introducen restando. Se introducen x 3, x 4, y x 5. Además, cuando la restricción es del tipo ≥ también se introduce una variable denominada artificial, en este caso x 6 . Por tanto, el problema queda como sigue. Max 0,0025 x 1 + 0,045x 2 S.a. x 1 - x 3+ x 6 = 20000 x 2+ x 4 =15000 x 1 +x 2 + x 5 =50000 x 1 , x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ≥ 0 4.2.2. Fase I Para proceder con el algoritmo del simplex debemos calcular una solución básica factible inicial. Para ello podemos utilizar dos métodos:  Método de las penalizaciones. Conocido también como método de la M grande, consiste en agregar variables artificiales al problema original para modificarlo. Cuando el problema es maximizar se agrega –M x 6 y cuando es minimizar se añade +M x 6 a la función objetivo.  Método de la doble fase. Este método elimina el uso de la M. Minimiza la suma de las variables artificiales. En la primera fase, el mínimo que debe alcanzar es cero para poder pasar a la segunda fase, en caso contrario, el problema carece de solución. Utilizaremos el método de la doble fase para resolver el problema de inversión considerado anteriormente. Para comenzar con el método simplex, como en la primera restricción se tiene una variable artificial, debemos realizar una primera fase para averiguar si obtendremos una solución factible. Esto se hace insertando una función auxiliar, en la que se minimizan las variables artificiales. TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -13- En esta primera fase el problema a resolver es: Min x 6 S.a. x 1 - x 3+ x 6 = 20000 x 2+ x 4 =15000 x 1 +x 2 +x 5 =50000 x 1 , x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ≥ 0 O bien para maximizar: Max - x 6 S.a. x 1 - x 3+ x 6 = 20000 x 2+ x 4 =15000 x 1 +x 2 +x 5 =50000 x 1 , x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 ≥ 0 De este modo, la primera tabla es la siguiente: Tabla 1 0 0 0 0 0 -1 Base C B P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 X B P 4 0 0 1 0 1 0 0 15000 P 5 0 1 1 0 0 1 0 50000 P 6 -1 1 0 -1 0 0 1 20000 C J - Z J 1 0 -1 0 0 0 Z= 20000 Figura 4.2. Fase I. Algoritmo simplex. Tabla I. Método de la doble fase. Fuente: Elaboración propia El objetivo de esta primera fase es conseguir que el valor z sea igual a cero. Como aún no se ha alcanzado este valor, hay que iterar. Para conocer qué variable debe entrar y cuál salir, se deben realizar varios cálculos sencillos. Dados los valores C J -Z J = C J -C B T P J , primero se elige el mayor valor positivo de C J - Z J , dado que se trata de un problema de maximizar. En este caso este valor es 1, por tanto, P 1 será la columna pivote y es la que entra en la base. Para hallar la fila se divide cada término independiente entre el elemento de la columna pivote correspondiente, sólo con valores estrictamente positivos, de aquí elegimos el menor valor, en el ejemplo es 20000, por lo que P 6 sale de la base. En la fila del elemento pivote cada nuevo elemento se calcula como sigue: Nuevo Elemento Fila Pivote = Anterior Elemento Fila Pivote / Pivote En el resto de las filas, cada elemento se calcula: Nuevo Elemento Fila = Anterior Elemento Fila - (Anterior Elemento Fila en Columna Pivote * Nuevo Elemento Fila Pivote) TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -14- Con esto se obtiene la segunda tabla. Como el valor de Z es cero, el problema inicial tiene solución factible y, por tanto, pasamos a la fase II. Tabla 2 0 0 0 0 0 -1 Base C B P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 X B P 1 0 1 0 -1 0 0 1 20000 P 4 0 0 1 0 1 0 0 15000 P 5 0 0 1 1 0 1 -1 30000 C J - Z J 0 0 0 0 0 -1 Z= 0 Figura 4.3. Fase I Algoritmo simplex. Tabla II. Método de la doble fase. Fuente: Elaboración propia De este modo, se ha obtenido una solución básica factible inicial para el problema de inversión. 4.2.3. Fase II El siguiente paso es preparar la tabla para la fase II, eliminando la función objetivo auxiliar y volviendo a calcular la última fila C J - Z J como en la primera tabla. En esta fase se resuelve el problema con el método simplex, a partir de la solución básica factible hallada en la fase I. Tabla 3 0.0025 0.045 0 0 0 Base C B P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 X B P 1 0.0025 1 0 -1 0 0 20000 P 4 0 0 1 0 1 0 15000 P 5 0 0 1 1 0 1 30000 C J - Z J 0 0.045 0.0025 0 0 Z = 50 Figura 4.4. Fase II Algoritmo simplex. Tabla III. Método de la doble fase. Fuente: Elaboración propia Para obtener la solución óptima, debe cumplirse que los valores C J - Z J deben ser menores o iguales que cero. Por tanto, esta solución no es óptima. Siguiendo con el mismo procedimiento de resolución, la fila pivote es P4 y la columna pivote P2, y por tanto el elemento pivote es 1. Así se obtiene la siguiente tabla. TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -15- Tabla 4 0.0025 0.045 0 0 0 Base C B P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 X B P 1 0.0025 1 0 -1 0 0 20000 P 2 0.045 0 1 0 1 0 15000 P 5 0 0 0 1 -1 1 15000 C J - Z J 0 0 -0.0025 0.045 0 Z = 725 Figura 4.5. Fase II Algoritmo simplex. Tabla IV. Método de la doble fase. Fuente: Elaboración propia En esta tabla la fila pivote es P 5 y la columna pivote es P 3. El óptimo se alcanza cuando los valores C J -Z J son negativos o iguales a cero, como se obtiene en la siguiente y última tabla. Tabla 5 0.0025 0.045 0 0 0 Base C B P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 X B P 1 0.0025 1 0 0 -1 1 35000 P 2 0.045 0 1 0 1 0 15000 P 3 0 0 0 1 -1 1 15000 C J - Z J 0 0 0 -0.0425 -0.0025 Z= 762.5 Figura 4.6. Fase II Algoritmo simplex. Tabla V. Método de la doble fase. Fuente: Elaboración propia Es evidente que la solución óptima Z=762,5 € se obtiene invirtiendo 35 000 € en bonos y 15 000 € en acciones. TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -16- TFGFICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas 5.1. DESCRIPCIÓN Existen múltiples programas informáticos que permiten la resolución de problemas de programación lineal en los que se manejan grandes cantidades de datos, la mayor parte de ellos utiliza el método del simplex. Además de estos programas específicos, se puede utilizar WINQSB, TORA o la hoja de cálculo Excel mediante SOLV paquete Lingo. LINGO (Linear Generalize Optimizer) programa matemático que resuelve problemas de prog ramación lineal. En este trabajo usamos la versi ón 15.0 que se caracteriza por facilidad de uso y lo intuitivo que es su interfaz. LINGO resuelve tanto problemas de programación lineal como no lineal. En pocos segundos resuelve problemas con cientos de variables y restricciones. Para su uso hay que introducir los datos de la función objetivo, las restricciones y en segundos nos ofrece la solución óptima a nuestro problema. 5.2. OPERATIVA DE LINGO En este apartado aplicaremos el software de LINGO, estudi resolver problemas de optimización tanto de maximización como de minimiz por lo tanto, có mo obtener conseguir el mínimo gasto financier anterior. En primer lugar , introducimos el planteamiento del problema. A continuación, definimos las variables: llamamos denominaremos x 2 a la cantidad invertida en nombrando la función objetivo como “total de intereses” y las restricciones, según si son de máximo a invertir o mínimo. Como ya está marcada la casilla que hace que LINGO suponga que todas las variables son mayores o iguales que cer necesario introducir nada más. Al introducir los datos queda de la siguiente forma. Figura 5.1. Introducción de datos en LINGO FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -17- CAPÍTULO 5 LINGO Existen múltiples programas informáticos que permiten la resolución de problemas de programación lineal en los que se manejan grandes cantidades de datos, la mayor parte de ellos utiliza el método del simplex. de estos programas específicos, se puede utilizar WINQSB, TORA o la hoja de cálculo Excel mediante SOLV ER. Uno de los programas disponibles (Linear Generalize Optimizer) es un programa matemático que resuelve problemas ramación lineal. En este trabajo usamos ón 15.0 que se caracteriza por su facilidad de uso y lo intuitivo que es su interfaz. LINGO resuelve tanto problemas de programación lineal como no lineal. En pocos segundos resuelve problemas con cientos de variables y restricciones. Para su uso hay que de la función objetivo, las restricciones y en segundos nos ofrece la solución óptima a nuestro problema. OPERATIVA DE LINGO En este apartado aplicaremos el software de LINGO, estudi aremos cómo es capaz de resolver problemas de optimización tanto de maximización como de minimiz mo obtener la máxima rentabilidad o la combinación de factores para conseguir el mínimo gasto financier o posible. Para ello, continuamos , introducimos el planteamiento del problema. A continuación, llamamos x 1 a la cantidad invertida en bonos del estado y la cantidad invertida en acciones. Después continuamos nombrando la función objetivo como “total de intereses” y las restricciones, según si son de máximo a invertir o mínimo. Como ya está marcada la casilla que hace que LINGO suponga que todas las variables son mayores o iguales que cer necesario introducir nada más. Al introducir los datos , la primera pantalla mostrada queda de la siguiente forma. Figura 5.1. Introducción de datos en LINGO Fuente: Elaboración propia Existen múltiples programas informáticos que permiten la resolución de problemas de programación lineal en los que se manejan grandes cantidades de datos, la mayor de estos programas específicos, se puede utilizar WINQSB, TORA o la de los programas disponibles es el restricciones y en segundos nos ofrece la solución óptima a nuestro problema. aremos cómo es capaz de resolver problemas de optimización tanto de maximización como de minimiz ación y, la máxima rentabilidad o la combinación de factores para continuamos con el ejemplo , introducimos el planteamiento del problema. A continuación, bonos del estado y Después continuamos nombrando la función objetivo como “total de intereses” y las restricciones, según si son de máximo a invertir o mínimo. Como ya está marcada la casilla que hace que LINGO suponga que todas las variables son mayores o iguales que cer o, no es la primera pantalla mostrada queda de la siguiente forma. Fuente: Elaboración propia TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -18- Al resolver nos aporta otra ventana, en la cual nos aparece la solución óptima. El valor de la función objetivo en el óptimo es 762,5 € de intereses totales. Además nos aporta otros datos: total de variables, total de restricciones, y el total de variables que son mayores o iguales a cero. También ofrece información sobre el tiempo que tarda en encontrar la solución. Figura 5.2. Óptimo global Fuente: Elaboración propia En la misma ventana aporta la solución al problema. Las cantidades a invertir para conseguir la máxima rentabilidad son 35 000 € a invertir en bonos del estado y 15 000 € para acciones, evidentemente, coincidiendo con la solución al ejemplo del capítulo dos. Figura 5.3. Solución problema de inversiones Fuente: Elaboración propia Otra información suministrada es la cuantía de las variables de holgura. En este caso, como la inversión en bonos es de 35 000 € y debe ser al menos 20 000 €, 15 000 € es la cantidad en la que se supera dicha restricción. Las restantes restricciones se cumplen como igualdad ya que las variables de holgura correspondientes son nulas. TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -19- 5.3. OPTIMIZACIÓN DE LA RENTABILIDAD CON MÚLTIPLES VARIABLES Como se menciona en el apartado anterior, LINGO resuelve problemas con cientos de variables. En este apartado se usa para resolver un problema de gestión de cartera de inversión con múltiples variables y varias restricciones. Una empresa presenta un beneficio de 1 500 000 € en el ejercicio 2014. Este beneficio no desea distribuirlo entre sus socios accionistas, ni invertirlo en inmovilizado, por lo que sus socios deciden invertirlo en activos financieros. Entonces se plantean el problema de cómo distribuir sus inversiones entre los diferentes productos que ofrece el mercado. Para ser asesorados acuden a una entidad financiera especializada en inversiones de todo tipo. El asesor financiero de la entidad les aconseja también que diversifiquen la inversión entre varios productos, ya que le comentan que no quieren asumir alto riesgo en sus inversiones. El asesor también les advierte que los productos con mayores rentabilidades son también los que cuentan con más riesgo y al revés. Les presenta la siguiente información de los activos financieros en los que pueden invertir y sus respectivas rentabilidades.  Acciones de una compañía telefónica: 6,8%  Acciones de una entidad financiera: 5%  Fondo de inversión: 2%  Fondo de pensiones: 7,5%  IPF: 0,75%  Inversión en Futuros: 6,3%  Cedulas hipotecarias: 3,8%  Participaciones preferentes: 7%  Obligaciones del tesoro: 1,6%  Pagares de empresa: 2% Analizando la información, llegan a la conclusión de invertir en acciones de la entidad bancaria un máximo de 50 000 € y entre ambos tipos de acciones 250 000 € por el riesgo asociado a dichos tipos de productos financieros. En los fondos de inversiones el mínimo que desean invertir es de 300 000 € por sus beneficios fiscales, ya que este producto sólo tributa si es rescatado. En IPF más obligaciones del estado la cantidad mínima a invertir es de 700 000 €, debido a que el perfil de los accionistas es conservador y estos productos cuentan con riesgo casi cero, aunque su rentabilidad es muy reducida. A su vez en IPF la inversión ha de ser superior a 100 000 € (que es el mínimo al que obliga la entidad para obtener 0,75% de rentabilidad), y en obligaciones del tesoro, 400 000 €. La inversión en el fondo de pensiones deciden que no debe superar los 200 000 €, porque, aunque su rentabilidad es elevada, la recuperación de la inversión es a muy largo plazo. Tampoco desean invertir más de 100 000 € en futuros y participaciones preferentes, en el primero por desconocimiento del producto y en el segundo por la mala fama de estas en los últimos tiempos. Además, el asesor les aconseja que inviertan en cédulas hipotecarias, ya que es un producto a medio plazo, entre dos y cinco años y garantizado por la misma entidad financiera con la totalidad de los préstamos hipotecarios con los que cuenta, más el patrimonio de la misma. Por esto deciden que la inversión en estos títulos sea de al menos 75 000 €. TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -20- De este modo el planteamiento del problema queda: Max 10987654321 x02,0x016,0x07,0x038,0x063,0x0075,0x075,0x02,0x05,0x068,0 +++++++++ Sujeta a: 1500000xxxxxxxxxx 10987654321 ≤+++++++++ 0x,x,x,x,x,x,x,x,x,x 10987654321 ≥ Para encontrar la solución que permita conseguir la máxima rentabilidad con todas las restricciones de mínimos y máximos, el asesor financiero recurre al software informático LINGO e introduce la denominación de cada variable, la función objetivo a maximizar y todas las restricciones, con los máximos y mínimos a invertir. La introducción de datos en LINGO queda como sigue. Figura 5.4. Introducción de datos. Problema de gestión de cartera Fuente: Elaboración propia 400000x 100000x 75000x 100000x 100000x 200000x 300000x 50000x 700000xx 250000xx 9 8 7 6 5 4 3 2 95 21 ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥ ≤ ≥+ ≤ + TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -21- Entre otros datos, la segunda ventana contiene la columna Value. En esta aparece el valor óptimo de cada variable, en la solución al problema planteado. Para alcanzar la máxima rentabilidad se deben invertir 125 000 € en acciones de telefónica, 300 000 € en el fondo de inversión, 200 000 € en el fondo de pensiones, 100 000 € en IPF, 75 000 € en cédulas hipotecarias, 100 000 € en participaciones preferentes, 600 000 € en obligaciones del tesoro y nada en acciones de la entidad bancaria, en futuros ni en pagarés de empresa. En la columna Slack or surplus aparece el valor óptimo de la función objetivo. Este valor es el total de intereses que se generan al invertir las cantidades óptimas de cada variable, en este caso es de 49 700 €. En esta misma columna además se obtiene otra información adicional de las variables de holgura. Por ejemplo, en la inversión en títulos de la entidad bancaria, ya que, aunque se permita invertir hasta 50 000 € en este tipo de activo no se invierte nada, y, entre ambos tipos de acciones que se invierten 125 000 € y el máximo a invertir es de 250 000 €, la diferencia entre ambas cantidades es la holgura. En cuanto a la inversión en obligaciones del tesoro aparece una variable de 200 000 € ya que la restricción es del tipo ≥ y se considera que no deben invertirse menos de 400 000 €, y la cantidad óptima que debemos invertir es de 600 000 €. La columna Reduced cost aporta datos sobre cómo varía la función objetivo por cada unidad invertida. En este caso, la función objetivo disminuye, es decir, obtendríamos menos intereses por cada unidad más que se invirtieran en acciones de la entidad bancaria, futuros o pagarés de empresa. Por ello, no se invierte nada en estos tres activos. Por otra parte, la columna Dual price, indica cómo mejora la función objetivo si variamos el término independiente de las restricciones en una unidad. Figura 5.5. Solución problema gestión de cartera Fuente: Elaboración propia Asimismo, pueden realizarse gráficas eligiendo las variables que creamos más relevantes. Para ello, en el menú Solver elegimos solution y nos devuelve una gráfica. En este caso, se han elegido todas las variables y una gráfica de barras. TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -28- dificultades asociadas al gran número de cálculos necesarios para resolver el modelo de Markowitz (1952). Siguiendo el modelo de Konno y Yamazaki (1991), el problema se plantea. T/ymin T 1j t ∑ = Sujeto a: 0yxa t n 1j jjt ≥+ ∑ = t= {1,…,T} 0yxa t n 1j jjt ≥+− ∑ = t= {1,…,T} pxr n 1j jj ≥ ∑ = 1x n 1j j = ∑ = 0x j ≥ j= {1,…,n} donde: x j inversión en el activo financiero j. a jt =r jt -r j donde: r j, es la rentabilidad media esperada del activo financiero j: y r jt, es la tasa de rentabilidad del activo financiero j en el período t j=1,2,. ..,n, t = 1,2, ...,T, T/rrj T 1t jt ∑ = = p es la tasa de rentabilidad requerida o deseada parametrizable. Con este planteamiento de programación lineal, se minimiza la suma de las desviaciones absolutas con respecto a la rentabilidad esperada de cada activo. Las llamamos y t para cada periodo, t= 1,…,T Gracias a este modelo se consigue una reducción de los cálculos necesarios para resolver el problema. Esta solución contiene como máximo (2*T + 2) variables básicas, que como se comprueba en el ejemplo, es igual al número de restricciones. Para aplicar este modelo se plantea un problema de cartera de valores de la Bolsa de Madrid eligiendo cinco empresas que cotizan en esta. Además tres de ellas, Santander, Repsol y Telefónica cotizan en el IBEX 35 que está formado por las empresas con mayor liquidez y solvencia del panorama español. A continuación, hacemos un breve resumen sobre su historia.  Prosegur. Es la empresa líder en el sector de la seguridad en España y ocupa el tercer puesto en el Ranking mundial de empresas de seguridad privada. En 1987 se convierte en la primera empresa española de seguridad que cotiza en la Bolsa de Madrid.  Repsol. Es una empresa española del sector energético. Sus actividades se desarrollan por todo el mundo, aunque principalmente sus explotaciones petroleras y de gas natural se encuentran en Latinoamérica. Comienza en el año 1989 a cotizar en el IBEX35. TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -29-  Laboratorios Rovi. Dedicados a la industria farmacéutica, su principal negocio es la venta de los productos que desarrolla a través de una red de comerciales. La salida a bolsa de laboratorios Rovi se produce en 2007 tras conseguir durante varios ejercicios altos beneficios.  Banco Santander. Es la compañía bancaria española más importante. Su peso ponderado en el IBEX 35 es del 18,37%. Se dedica principalmente a la banca minorista. Cuenta con una red de sucursales por todo el mundo, principalmente en Europa y Latinoamérica. El banco Santander cotiza en las cuatro bolsas españolas y en Londres, Milán, Nueva York, Lisboa, Buenos Aires, México, Sao Paulo y Varsovia.  Telefónica. Es la empresa líder en telecomunicaciones en el mercado español y latinoamericano. En el año 2000 realizó una oferta de suscripción pública en la que captó numerosos inversores minoristas e institucionales. Actualmente cotiza en las bolsas españolas y en la New York stock Exchange. De las empresas elegidas, se recopilan datos sobre sus diferentes rentabilidades históricas por dividendo de los últimos cinco años. Esta rentabilidad se define como el cociente de los dividendos repartidos anualmente y el precio de cotización. Es uno de los ratios financieros más utilizados por los analistas para realizar estudios de rendimiento de las acciones de una empresa. Con estas cifras se ha obtenido la rentabilidad media. Una vez obtenida esta información, se calcularán todos los componentes necesarios para la construcción del problema y posterior resolución usando LINGO. En la siguiente tabla se muestran las diferentes rentabilidades por dividendo de las empresas elegidas para componer una cartera de valores. Rentabilidad por dividendo: r jt Nombre 2010 2011 2012 2013 2014 2,07% 2,10% 2,15% 2,14% 2,26% 5,59% 7,27% 5,44% 5,25% 6,16% 0,90% 1,07% 1,12% 1,37% 1,57% 6,32% 10,01% 10,76% 9,27% 8,60% 5,77% 11,70% 5,71% 2,96% 6,17% Figura 6.1. Rentabilidades por dividendo cartera de valores. Fuente: Elaboración propia a partir de www.eleconomista.es A continuación, se calculan las rentabilidades medias necesarias para plantear el problema, así como los valores a jt =r jt –r j diferencias entre la rentabilidad de cada año y la rentabilidad media. TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -30- Rentabilidad media: r j a jt =r jt -r j Nombre 2010 2011 2012 2013 2014 2,14% -0,07% -0,04% 0,01% 0 0,12% 5,94% -0,45% 1,33% -0,5% -0,69% 0,22% 1,21% -0,31% -0,14% -0,09% 0,16% 0,36% 8,99% -2,67% 1,02% 2,77% 0,28% -0,39% 6,46% -0,69% 5,24% -0,75% -3,50% -0,29% Figura 6.2. Rentabilidades medias. Fuente: Elaboración propia Obsérvese que estos valores miden la variabilidad de la rentabilidad media en el periodo considerado. De este modo, el problema de programación lineal se plantea como: 5 yyyyy min 54321 + + + + Sujeto a: 0yx69,0x67,2x31,0x45,0x07,0 154321 ≥ + − − − − − 0yx24,5x02,1x14,0x33,1x04,0 254321 ≥ + + + − + − 0yx75,0x77,2x09,0x50,0x01,0 354321 ≥ + − + − − 0yx50,3x28,0x16,0x69,0x 454321 ≥ + − + + − 0yx29,0x39,0x36,0x22,0x12,0 554321 ≥ + − − + + 0yx69,0x67,2x31,0x45,0x07,0 154321 ≥ + + + + + 0yx24,5x02,1x14,0x33,1x04,0 254321 ≥ + − − + − 0yx75,0x77,2x09,0x50,0x01,0 354321 ≥ + + − + + − 0yx50,3x28,0x16,0x69,0x 454321 ≥ + + − − + − 0yx29,0x39,0x36,0x22,0x12,0 554321 ≥ + + + − − − px46,6x99,8x21,1x94,5x14,2 54321 ≥ + + + + 1xxxxx 54321 = + + + + 0x,x,x,x,x 54321 ≥ TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -31- siendo x j = Inversión en acciones de cada empresa, j= 1,…,5 y i = Desviación media absoluta como medida de riesgo, t= 1,…,5 p = Tasa de rentabilidad media requerida, este parámetro lo decide el inversor. Para resolver el problema planteado, se introducen las restricciones en LINGO, tanto positivas como negativas, además de las restricciones de rentabilidad. Aún se podrían incluir más restricciones como gastos de gestión o impuestos, pero no se incluyen para simplificar el modelo. Para esta cartera de valores queremos que la rentabilidad total sea de al menos un 7% por lo tanto la tasa de rentabilidad media requerida p=7% La introducción de datos en LINGO para el problema de cartera de valores que se propone: Figura 6.3. Introducción de datos en LINGO. Cartera de valores. Fuente: Elaboración propia En la posterior pantalla aparece la resolución. Para este problema de inversión en cartera de valores, la inversión en acciones de la empresa Repsol y del Banco Santander es de un 65,24% y del 34,75% respectivamente. En el resto de activos no se invierte nada. . Figura 6.4. Solución para rentabilidad requerida del 7% Fuente: Elaboración propia TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -32- Modificamos la rentabilidad del inversor, por ejemplo p=5. Al disminuir la rentabilidad requerida por el inversor, se aprecia como el riesgo también desciende. Por ejemplo, para y 1 con una rentabilidad requerida del 7% su riesgo es del 1,22, cuando la rentabilidad es del 5% este riesgo desciende hasta 0,55. Por tanto, cuando deseamos menos rentabilidad, le damos menos importancia al beneficio y más al riesgo. De este modo, la inversión queda como sigue: 32,89% en Prosegur, 56,94% en Repsol y 10,16% en el Banco Santander. Figura 6.5. Solución para rentabilidad requerida del 5% Fuente: Elaboración propia En la siguiente ventana se reduce hasta un 3% la rentabilidad requerida. Se comprueba cómo se diversifica aún más la cartera. La inversión óptima determinada en este caso es de 0,006% en Prosegur, 25,75% en Repsol, 61,55% en Laboratorios Rovi, 0,066% en Santander y en Telefónica nos indica que no se invierta nada. Figura 6.6. Solución para rentabilidad requerida del 3% Fuente: Elaboración propia Con objeto de señalar la importancia de la información utilizada, replanteamos el problema para suprimir del horizonte temporal los primeros tres años, así eliminamos y 1 , y 2 , e y 3 y exigimos una rentabilidad del 5%. La solución que aporta LINGO es la siguiente: TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -33- Figura 6.7. Solución para t= 4, 5 y rentabilidad requerida del 5% Fuente: Elaboración propia Al reducir el horizonte temporal, también disminuye el riesgo. Por ejemplo, y 4 en el problema anterior tiene un riesgo del 0,03 y en este caso el riesgo es cero. En este caso, la inversión es 0,03% en Repsol, 48,16% en Laboratorios Rovi, 43,04% en el Banco Santander, 0,04% en Telefónica y en Prosegur no se invierte nada. Esto supone una importante diferencia con respecto a la cartera obtenida requiriendo la misma rentabilidad pero contando con una mayor cantidad de información, puesto que hay una mayor diversificación y distinta composición de la cartera. TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -34- TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -35- CAPÍTULO 7 CONCLUSIONES En cualquier sector empresarial, y especialmente en el financiero, cobra especial relevancia la consecución de beneficios y la reducción de gastos. Para la toma de decisiones teniendo en cuenta estos objetivos contamos con diversas herramientas, entre las que destacamos la programación lineal. Con la programación lineal conseguimos una asignación eficiente de los recursos, maximizando los beneficios o minimizando los costes. Aunque la programación lineal es una herramienta versátil, no obstante, cuenta con algunas limitaciones, entre las que podemos destacar que no tiene en cuenta las expectativas, es decir, sus parámetros deben ser siempre conocidos. Por ejemplo, en las operaciones financieras debemos conocer el tipo de interés. Este inconveniente puede paliarse realizando un estudio de post-optimización de la solución obtenida. Sin embargo, aun presentando estas desventajas, la programación lineal es un instrumento eficaz para resolver problemas en múltiples ámbitos y en particular en la selección y gestión de carteras de inversión. Una cartera de inversión es una combinación de activos que proporciona una rentabilidad y lleva asociado un riesgo. Al invertir en varios activos, este riesgo se va reduciendo, mientras puede conseguirse que la rentabilidad se mantenga igual. Para el análisis de una cartera hay que tener en cuenta, además de las restricciones en cuanto a cantidades a invertir o a intereses, que no todos los activos nos ofrecen la misma rentabilidad, siendo los que conllevan mayor riesgo los más beneficiosos y al revés. Esto plantea varias cuestiones: ¿Qué activos debo elegir para conseguir la máxima rentabilidad o el mínimo interés para financiación? ¿Cuánto debo destinar a cada producto financiero? En el apartado dedicado al estudio de una cartera de inversiones, hemos considerado cinco valores con fuerte repercusión en la Bolsa de Madrid. Como el modelo de Markowitz (1952) utiliza gran cantidad de cálculos, usamos la simplificación de Konno y Yamazaki (1991) que se puede resolver con programación lineal. Analizando la solución obtenida con LINGO, llegamos a la conclusión, de que con esta herramienta de resolución, obtenemos una cartera eficiente, minimizando el riesgo asociado a los activos que cotizan en Bolsa, de forma simple y en escaso tiempo. Hay que señalar la importancia de los datos utilizados en el estudio, dado que la solución depende en gran manera de la disponibilidad de estos. De este modo, la programación lineal aplicada a las finanzas además de ser sencilla, es útil para la toma de decisiones financieras: obtener carteras eficientes de inversión en bolsa, optimizar inversiones de cualquier tipo o conseguir el mínimo interés para la financiación de una empresa. TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -36- TFG-FICO. Aplicaciones de la programación lineal en las finanzas -37- Bibliografía Libros Arévalo, M.T.; Camacho, E.; Mármol, A.; Monroy, L. (2005): “Programación matemática para la economía”, Ediciones Delta, Madrid. 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