Algunos resultados sobre el bordismo de variedades de homología

Algunos resultados sobre el bordismo de variedades de homología Por ANTONIO QUINTERO Recibido: 14 diciembre 1983 Presentado por el Académico correspondiente D. Antonio de Castro Resumen En este artículo probamos que las variedades de homología (HML-variedades) definen una teoría de bordismo singular que es la teoría de homología generalizada asociada al Espectro de Martin, ([14]). Usando ios números característicos singulares relacionamos el HML-bordismo singular y el DIF-bordismo singular. Finalmente, probamos que el HML-bordismo absoluto es equivalente al bordismo absoluto de las variedades topológicas trianguladas (TRI-manifolds) en dimensión ^ 6. SOME RESULTS ON BORDISM OF HOMOLOGY MANIFOLDS. Abstract In this paper we prove that homology manifolds (HML-manifolds) define a singular bordism theory which is the generalized homology theory defined by Martin's spectrum ([14]). We use singular characteristic numbers to find some relations between singular HML-bordism and singular DIFF-bordism. Finally we prove that HML-bordism is equivalent to TRI-bordism (TRI = topological triangulated manifolds) in dimensions ^6. INTRODUCCIÓN A lo largo de este trabajo, la homología utilizada será la homología singular con coeficientes en el anillo de los números enteros. Por una variedad de homología (HML-variedad) de dimensión n se entiende un poliedro euclídeo cuya homología local es la del semiespacio IR4.. Una ^-esfera (n-boh) de homología es una HML-variedad cuya homología es la de la esfera (bola) canónica de dimensión n. Para más detalles ver [20]. Una TRI-variedad será un poHedro euclídeo que es variedad topológica. En todo lo que sigue nos restringiremos a las variedades compactas. Martin ([14]) encuentra un espectro MH cuyos grupos de homotopía determinan los grupos de HML-bordismo. En el presente trabajo probamos que las HML-variedades dan lugar a una teoría de bordismo singular (HMLbordismo singular) y que es la teoría de homología generalizada asociada al espectro MH. Es interesante resaltar que las HML-variedades no quedan inte- 74 ANTONIO QUINTERO gradas en los modelos con singularidades de Rourke y Sanderson (ver [3]) ya que las HML-variedades no poseen en general PL-collar. Usando los números característicos, relacionamos el HML-bordismo singular con el DIF-bordismo singular. Por último, probamos que toda /7-esfera de homología (n > 5) es H-bordante a una esfera de homología simplemente conexa de forma que los puntos donde el H-bordismo no es TRI-variedad están situados en el borde. Este resultado ha sido probado independientemente y con distinta demostración en [9]. El resultado anterior nos permite demostrar que los grupos de HMLbordismo absoluto son isomorfos a los de TRI-bordismo en dimensiones mayores que 5. En dimensiones menores o iguales que 5, Martin ha probado en [15] que los grupos de HML-bordismo orientado absoluto son isomorfos a los de PL-bordismo en dimensiones n < 3 y n = 5 y para n = 4 que es isomorfo al grupo de PL-bordismo orientado absoluto suma directa con el grupo 6^ de las 3-esferas de homología orientadas bajo la relación de H-bordismo con la operación suma dada por la suma conexa de los representantes. 1. HML-BORDISMO SINGULAR Si (X, yl) es un par topológico, una HML-variedad singular de dimensiones n sobre (X, ^) es un par (M, f) donde M es una HML-variedad de dimensión n y f\ (M, dM) -> (X, A) QS una función continua. Dos de tales modelos, (M, f) y {M\ f) son HML-bordantes si existe un triple {W, WQ, F) donde W y WQ son HML-variedades de dimensión n -¥ \ y n, respectivamente, tales que bW = {M -¥ M') U WQ es un pegamiento a través de dW^ = = bM + dM' ("+" indicará en todo el trabajo reunión disjunta) y F: (W, WQ) -^ {X, A) es una extensión continua de/y/'. Es fácil verificar que esta relación es de equivalencia, y que el conjunto cociente oA^n {X, A), con la operación suma de clases definida como la clase de la reunión disjunta de los representantes está dotado de estructura de grupo abeliano. La verificación de los axiomas de [7], excepto el del entorno regular, que prueban que ©i"^ (—) determina una teoría de homología generalizada sobre la categoría de los pares de espacios topológicos es consecuencia inmediata de las propiedades generales de las HML-variedades. La existencia de entorno regula se deducirá del próximo teorema. Si f'.K-^L es una apHcación simplicial, que también lo es entre subdivisiones baricéntricas K' y L\y a EL se llama célula dual de a respecto a/al complejo simplicial de K' definido por DiaJ)= {(ao,ai, ..„ Oq) |a</(ao), OQ <Oi < ... <0q GK} y sea D{aJ)= {(00, ai, ..., Oq) \a^fiOo), OQ <...<Oq EK] Como una generalización de [5.6; 5] tenemos ALGUNOS RESULTADOS SOBRE EL BORDISMO 75 1.1. Teorema.— En la situación anterior, si el poliedro subyacente aÁ", lÁ'l, es una HML-variedad (no necesariamente compacta) de dimensión n y a es un r-símplice de X, se verifica que D (a, /) es una HML-variedad de dimensión n — r cuyo borde es dD {0Lj) = b {aJ)U D {aJ\dK) Demostración.-- Sea A = {GQ, QJ , ..., Oq) un (7-símplice de D (o:, /), y supongamos que A n /"^ {b {a)) ^ 0. Entonces, Ik (A;D (oi;f)) es PL-isomorfo a / la'o (b (ci)) * D (Oo,ó, )*...*£) (a^-i, a^) * £) (a^, ¿T) Pero D(Oi,ói + i) y D(Oq,K) son PL-isomorfos a Ik (Oi, Of+i) y Ik (Oq, K) respectivamente, por lo que D {Oq, K) es una bola o esfera de homología dependiendo de que Oq pertenezca o no a hK, Por otra parte, f\OQ'.OQ-^a se puede extender linealmente a f. ^dim a o _^ TO cft'm a por lo que / ^ ib (a) es un plano de dimensión dim OQ — dim OL y / l"iV (* í^)) = ao n /""^ (6 (a)) es una PL-esfera de dimensión dim 00 — dim a — 1. De todo lo anterior se deduce que Ik (A;D (a, /)) es una bola o esfera de homología según que Oq pertenezca o no a dK, En particular, D ia;f \dK)CD (a,f). Si suponemos que A H/"^ (6(a:)) = 0, entonces a<f(OQ) y Ik (A;D(a;f))^D(a;f | ¿o) * i) (ao, aO * ... * ¿ (Oq-u àq) * í) (Oq;K) Como antes, D (Oi, â/ + i) es una PL-esfera y D (Oq, K) es una bola o esfera de homología. Además, se sigue de [5.6; 5] que £) (a;/ | ¿o) es una PL-variedad que colapsa a / 1";^^^ {b ix)). Pero como a </(ao) se tiene que fn\{b{á))=f\-a\{b{a)\ que como ya se vio es una PL-bola. Entonces Z) (ce;/ | ¿0) debe ser una PL-bola, por lo que Ik (A; D (a: /)) es una bola de homología yD (o¿;f) C C dD (a, /). Así pues D (a, f) es una HML-variedad y D (a, f) U D (a; f I bK) C bD (a; f). Es fácil comprobar que la inclusión anterior es una igualdad y con ello queda probado el teorema. Puesto que los entornos regulares son un caso particular de célula duales (ver [19]) se tiene el siguiente corolario. 1.2. Corolario.— Si K es un complejo simphcial tal que un poliedro sub yacente, \K\, es una HML-variedad, dado un subcomplejo L C ^ un entorno regular de L en A" es una HML-variedad de la misma dimensión que \K\. 76 ANTONIO QUINTERO Tenemos así que los funtores oA^n^^ (—) determinan una teoría de bordismo singular (HML-bordismo singular) sobre los espacios topológicos. El grupo oÀ^n^^ ({p}) es llamado el n-gmpo de HML-bordismo absoluto y se denotará simplemente por oAfn^^. La teoría reducida asociada a ci'f^^ (-), Q^^^^ (-), definida sobre los espacios punteados verifica: 1.3. Proposición.— oAf^^^ (—) cumple el axioma del "wedge" sobre los CW-complejos y el axioma de equivalencia débil de homotopía (ver [21; 17.30, 17.31] para las definiciones). Demostración.— Sea h'. {X, XQ) -^ {Y, y^) una equivalencia débil de homotopía. Debemos probar que h^: o^n^^ iX) -^o^n^^ (.Y) es isomorfismo. Dado un elemento [M, f\ Geí^^^^ (r)=GÍ'í'^^ (y. 7o) la aplicación / induce una aplicación /: (M/dM, *) -> {Y, y^). Por [21 ; 6.31 ] existe una aplicación g: (M/dM, *) -^ {X, XQ) tal que h g ^ f. Entonces si TT: M -> M/dM es la proyección natural, la aplicación g = g ' n verifica que /z* [M, g] = [M, /]. Así pues /z* es epiyectiva. Por otra parte, si h^ [M, g] = [M, h o g] = Q e GA^^^^ (Y) existe (14/, Wo, F) condW=M U WQ, dWo = dM y F: (W, Wo)^{Y,yo) extensión continua de hog. En particular, F se factoriza en una aplicación F:iW/Wo,Z'^^(Y^yo) y por [21; 6.31] existe G: (W/W^, ^)-^ (X. Xo) tal que HG ^ F. Entonces si % es la restricción de la proyección natural n: W -> -» W/WQ a M se tiene hGn = FÎT = hg lo que implica, de nuevo por [21 ; 6.31], que g ^ GTT. Por tanto [M, g] = [M, G7r] = O EG^^^^ (X), y queda probado el axioma de equivalencia de homotopía débil. Sea {(Wa, *Û:)1 una familia de (CW-complejos punteados). Puesto que cada inclusión *c^ ^^~-> Xa es una cofibración, se sigue que P ^X es una cofibración, donde P y X son las reuniones disjuntas de las familias {*Û:} Y {Xa} respectivamente. Entonces P. : G^í!^^ (X, P) ^ G^^^^ ( VZa, *) =G/^f^^ (VXa) es isomorfismo (ver [21; 7.14]). Por tanto el morfismo de la línea superior del siguiente diagrama es isomorfismo. ee#^^^ {Xcd ^^^^^-^ c^^""^ (VXa) = <^^^^^ {yXa, *) ^OAT' (Xa, *a)~^^^^ojT' iX, P) ALGUNOS RESULTADOS SOBRE EL BORDISMO 77 Ello prueba que se verifica el axioma de "wedge" sobre los CW-complejos. En [ 14] se define un espectro MH y se construye un isomorfismo d'.a^^^ —>T^n{MH) Brevemente damos una descripción de MH y 6 : Dado un fibrado disco de homología E sobre un complejo celular (o un A-conjunto) K, se llama espacio de Thom de E al cociente T(E) = E/E donde E es el fibrado esfera asociado a E. Tomando un r-fibrado disco universal jr existe una aplicación natural 0^: sTijr)—^Tijr + i) que permite definir un espectro {r(7r),0.} A T (jr) se le denota por MH (r) y al espectro anterior por MH. Para más detalles ver [ 14] y [16]. El isomorfismo 6 es construido siguiendo el método clásico de Thom (ver [21 ; 12.30]) como sigue: Si M es una HML-variedad de dimensión n, y k QS \o suficientemente grande para que M esté PL-inmersa en 5""^^ se triangula S"'^^ de manera que M sea un subcomplejo lleno y se toma el fibrado normal de homología v de M respecto a dicha triangulación (ver [16]). Asociada a v existe una aplicación clasificante (única salvo homotopía) (ver [12; 6]). Entonces hj, induce una aplicación K: TiPxI)—>T{yk^i) = MH{k+\) Si ahora se identifica 5"+^ con el ecuador S""^^"^^, el fibrado normal P^ de M en 5"^+^+! tiene un espacio total homeomorfo al espacio total de P x I. De esta manera, define una aplicación %: S""^^^^ —>MH(k+ 1) dada por hu en los puntos de Pi y que envía 5"^+^+i — p^ en el punto base de MH(k + 1). Entonces 6 [Af] = [%]• En esta situación, nos proponemos probar ahora que la teoría de homología generahzada asociada a MH, MH*, es naturalmente equivalente al 78 ANTONIO QUINTERO HML-bordismo singular; es decir, el espectro MH es un espectro clasificante en la categoría rOP para oA^^^^ (—). Concretamente probamos: 1.4. Teorema.— Si X es un espacio topológico, oA^n^^ {X) y 7r„ {MH A X^) son naturalmente isomorfos. (Por JST"^ se denota el espacio X punteado por un punto exterior). Demostración.— Se tiene que por lo que, de acuerdo con 1.3 y [21; 7.55], bastará construir una transformación natural. r. (-) : c^^^^ {-)—^MH, (-) de forma que Tq (S^) sea isomorfismo para todo qr. Sea [M, /] G GÂ^il^^ (X) =GÂ^^^^ (Z, *) Para k suficientemente grande se puede sumergir M en B^"^^ de forma que dM quede en 5"+^+!. Tomamos el fibrado normal de homología, v, de M en 5"^"*"^. Su restricción a 5"^^^"^ será el fibrado normal, v\ de dM en 5"""^"^. Entonces, según hemos comentado antes existe una apUcación clasificante cuya restricción a (u' x /, p' x I) da una apHcación clasificante para P\ Por tanto h induce una aplicación hy. (Tipxl), Tiy'xD)—>{MH{k-¥\), MH{k+\)) Si ahora identificamos B^'^^ con el ecuador de 5'^+^+i^ el fibrado normal, Vi, áQ M en 5"+^+i tiene su espacio total homeomorfo a v xl. La restricción v[ de Vi a S^'^^ es el fibrado normal de 9M en S^"^^ y su espacio total es homeomorfo al de v* x I. Entonces se define r: (5«+^+i,5«+^)—>{TivxD, Tiv' xD) por r (x) = X si X E 1^1 — í?! y r(x) = * en 5"+^+i — p^ y consideramos la composición (B'''-^'-\S'''-^)-^iT(vxr), T{v'xl))-^ -^(MATivxT), míATiv'xI)) ^^^"^ > (X AMH (k + 1),*) ALGUNOS RESULTADOS SOBRE EL BORDISMO 79 donde M está punteada por un punto exterior, p está inducida por la composición , p X id / ^1 (pxl p xT) >(Mxpxl Mxp xl) > -^^(MAiPxJ), MA(p'xD)-^(MAT(pxD, mAT(p'xD) siendo p una proyección asociada al fibrado de homología P x I (ver [2; 1.4.13]), TTi y 7r2 las correspondientes proyecciones naturales. La composición (A), que denotamos por h(M f) determina un elemento de TTn (MH A X, *) = MHn WDefinimos ' T ([M, /]) como dicho elemento. Obsérvese que si (X, *) = (5®, +1), T (S^) es el isomorfismo 6 de Martin. La comprobación de que Ti—) está bien definido y es una transformación natural es una adaptación de la prueba de Martin. 1.5. Nota.— Obsérvese que por definición GA'ÍÍ^^ {X,A) = QÀ^^^^ {X^iJcA^) = Ttn (MHAX'-UcA^,*) 2. RELACIÓN ENTRE EL HML-BORDISMO SINGULAR Y EL DIF-BORDISMO SINGULAR Puesto que toda HML-variedad es un espacio de Euler, se pueden definir las clases homológícas de Stiefel-Whitney Si(M)eHi(M, dM;Z2) como la suma de los /-símpHces de una subdivisión baricéntrica de M (para más detalles ver [1 ] y [8]). Nótese que SQ (M) = x (M) mod. 2 y Sn (M) es la clase de Z2-orientación JJLM de M. Las clases duales w„_/ (M) son las clases cohomológicas de Stiefel-Whitney. Si f: M -^ X es una apHcación continua de la HML-variedad M en el espacio X, se puede asociar a cada h EH^ (X; Z2) im<n = dim M) y enteros, ^1,^2, .»., rn-m 5 tÚQS que Ti + 2r2 + ... + (n — m) rn-m -n — m, el producto de Kronecker. (W^i W^^2 ... w;«_-^m f* (hX m> e Z2 llamado el (rj, ..., r„_^)-número singular de Stiefel-Whitney de (M, f) asociado a h. Obsérvese que si se toma h = l EH^ (X;Z2) 80 ANTONIO QUINTERO los números singulares de (M, f) son los números característicos de M. Análogamente al caso clásico de las variedades diferenciables, se puede probar: 2.1. Teorema.- Si (M, /) representa el elemento nulo de oA'n^^ {X) entonces todos los números singulares de Stiefel-Whitney de {M, f) son nulos. El teorema anterior, junto con el hecho de que si M es una variedad diferenciable las clases de Stiefel-Whitney coinciden con las clásicas (ver [10] y [17]), dan lugar al siguiente resultado (ver [17; 6]). 2.2. Corolario.— Si X es un CW-complejo finito y "olv" representa el morfismo olvido natural, entonces olv: c^^^^ (X)—>GÀ^a^^ (X) es inyectivo. En particular, olv: G^^^^—^aH^^ es inyectivo. 2.3. Nota.— Los números anteriormente definidos no caracterizan el HML-bordismo. En efecto, sea W la 4-variedad cuyo borde es la 3-esfera de Poincaré H^ (ver [12]). Esta variedad es simplemente conexa, H2 (W) es Ubre con ocho generadores y W2 (W) = 0. Sea M = c * H^ U W, M es una HML-variedad simplemente conexa y es fácil de comprobar que sus clases de Stiefel-Whitney W/ (M) son nulas para / <3. Por tanto tiene los mismos números característicos que S^, pero la obstrucción o(M) E H"^ (M; 6^) para que M sea HML-bordante a una PL-variedad es distinta de cero (ver [15]) por lo que M y S^ no pueden ser bordantes como HML-variedades. 3. HML-BORDISMO ABSOLUTO Si G^«^ denota el /t-ésimo grupo de bordismo absoluto no orientado de las TRI-variedades tenemos los morfismos olvido naturales: olv: GxPj^^—>^^^^ Entonces: 3.1. Teorema.— Los morfismos "olv" son monomorfismos si ^ >5 y epimorfismos si n > 6. Para la demostración de 3.1 nos apoyamos en el siguiente resultado. ALGUNOS RESULTADOS SOBRE EL BORDISMO 81 3.2. Teorema.— Toda «-esfera de homología H^, n> 5, es H-bordante a una n-esfera de homología simplemente conexa H^ de forma que los puntos donde el H-bordismo no es TRI-variedad están situados en el borde. Demostración.— Se considera una segunda subdivisión baricéntrica de H^, y so toma el 3-esqueleto K^ de la descomposición de células duales. Un entorno regular Mi do K^ es una PL-variedad ya que los puntos donde una HML-variedad no es PL-variedad están en el (n — 4)-esqueleto de cualquier triangulación. Se verifica que H, iMi) = H2ÍMi) = 0 ya que K^ es retracto de deformación de Mi y Hi (K^)=Hi (7/") = 0=^2 {H'') = H2 (K^) Si «1, «2, ..., oím son los generadores de TTJ (H^), supuesto que los representantes sean simpHciales, podemos considerar que los o:/ son elementos de TTi (K^). En particular h: Tti iMi)—^7ri {H"") es epiyectivo. Tomemos ahora un entorno regular abierto M2 del 2-esqueleto Z^ de una triangulación L2 de Mi. Por [11] M2 admite una estructura de variedad diferenciaba. Además esta estructura es paralelizable; en efecto, por ser i/" esfera de homología wi (/Í") = W2 {H'') = 0, luego wi (AÍ2) = W2 (M2) = 0. Por ser Wi (A/2) nula el fibrado tantenge TM2 es orientable, y podemos escoger una orientación. Por otra parte W2 (M2) = 0 implica que existe n — 1 campos independientes 7i, 72, •••? ln-\ sobre el 2-esqueleto de M2 . Si V^ (TM2 ) indica el fibrado sobre M2 cuya fibra es la {n, /:)-variedad de Stiefel asociada a TM2 (fibrado de las ^-referencias) podemos definir una sección. s: F^i {TM2)—^VÍ¡ ÍTM2) por siiei, ...,en-i)x) = <ei, ..., en-i,en)x donde e^ es el vector ortogonal al conjunto ei, ..., en-i que determina la