Geometriae magnae in minimis pars prima...

GEOMETRIA MAGNA IN MINIMIS, IN TR£S PARTES DIVISA. DE MINIMIS IN COMMVNI. DE MINIMIS IN P. DE MINIMIS INs:4<rirt;D^* AVTHOK lOSEPHOZARAGOZA VALENTINO, SOCIETATIS lESV. GEOMETR: IAE magn;ae im minimis " PARS PRIMA. PROBLEMA CATHOLICVM RESOLVIT. CATHOLICO, ET MAXIMO CAROLO It HISPANIARVM REGI SACRATVM. A V THORE R, A. P. lOSEPHO ZARAGOZA VALENTINO,_ SOCIETATIS lESV, In SuprcDia Hifpaniarum Inc^uifitionc proporuionum Fidei Ccnfori, ohin Theologiae Scholafticae inCollegijsBalcaricojBarcinonenfi,&: Valcntino <nunc in Mitricenfi AcadxmialnapetialisCoUegij Mathefeos Profe ffoie Regio. Pn'w4 Editio. TOLETl.ApuiFraDcifcum Calvo,Typogr.Reg. Abdo Domini i<S 74. Sttperierum pcrrnijfu. ai CA- gia mirabili. Magna lIUiaMihimis, hievero in minimaatacc Maxima, ttiffanumlmpcriumvaftifsima iua mole in cotumotbem diiufum,Regiofpiriiuviuit:Hcuquatushic erit ,qui cantocoiporianimandorafficiat! Martisalumnibellicumardorerafapra Martialem fpicitumyaticinantuc,MularumCultoresprsfidem Apollinem experiuntur,&Iouem3]^crumrcgnodatumaugcKancurq^ofquot regtasadbiones animi candore confpicuasfupm canitiem vident. Gemmanctenel- 1* arbores, vciftfloresvetQcnt,& autumnent infrudtus :fed primovere M'.V.gemmas in florcs,Uosinfru€tasconvetritprudeniisica- Iorcdecoftos,fpemfcilicetpr*uerrcntegau- dio,floridum ver gcauidoAutumnG.Ecftituranobisaurcafxculacredimus ,ciiminvnu collciiosauguramurFerdinandoSjCarolos, Philippos: illosregiminc,ac virtute.be!lica; hosvcrbfpecie.prudeiitia, pietate, &magnitudine ,quotumfingol»dotesitain V.Maicftatc Angulares icfe omnes oftendunt ,vt qu2euisingenicacredi,& in tanto Regeprincipem fibi locumvelit ,quem dum fmgulx ambiunt.iamilKunfuoquseque iurefibi vcdicant ,&arrogaat finguk. Vix hsc Regia Makilisduodcnnis fceptro manum extedir, & &oftendit negotiorum expeditioni taciem, CUU1 rerumfacies mutata cftiac iiouofpkndore induta auguratur Hifpania priftina:n fplendorem,quciiia feculo habuit inftauran* dum.RegiusenimcaDdor,iudoUsaurcaj[iiilitumamofj&ardorinmilitaiemgloriapropenfus, cautus fine aftuaniiuus, fecrcccrum auarus>tenax propofiti,in muneraprofu{iis,& reliquxanirr.i dotes vcreRegixfpcmnon (oliim faciunt. V.M.(mgnunifuturum,fed vere Maximum eflepiasdicant ,ac Heroesintet cnumcradum:cuiupuerumpct prudentiam, vel prudentiam per puerum regnate fumnio Imperijbooo,&gaudiovideamus. Hoc ipfu teftatucccElum ipfum ,fi nobis ftellarum caraifleresinterprctariliccaE.Fortunatus luppiterfcrcunamnancnon volubilem, (ed regno ftabilcmpoIiicetur.Efto.fileant tamen ^oftlJ- nata^5’de^a,Empy^eummiraculoconcepnonisfat loquitur. £o enim Patre genitos eft M, V.fra£tofcilicctvitibus,*tate,ac valet udineingtaucfccntibas, vt nemoptudensin dubiumverterit ,quin donu hoc totum ccc- IcftcaSuperis conceffum fuerit Catholico S.cgno.Timcndui« igitur nebisnocft,neque rperandum hofiibus,fuperum heemunus ante diemeuolaturumivnum bis limcduiu,qui NOTARVM EXPLICATIO.. A.TtUngulumquodlibet. ti.TriangulumRcdangulura. --' .v' -.t3 ca.vel O.Rei5taiigulumquodUbcc. .Quadratum. O.velQ.^hombus. o.vel a'. Trapezium. QPcntagoaomijocdlibct. O.Hexagonum quodlibec. +.PUs,velfu^ia.. -I-' ' ;- —.Minus,vel diffirentia. Cff»rf./fCentruuvf5gucarum.'- Centr /^GenttunsfigQtaraBifenWw»;' Centrum hgBfidTftiBJilia^ itf vel 4^». sequantur, : EREO- GEO-’ GEOMETRIA^"*' MAGNA IN MINIMISJ PARS PRIMA.-. PROBLEMA CATHOtlCVM RESOLVITVR. CATHOUCO, ET MAXIMO CAROLOIL HISPANIARVM REGI SACRATVM. m ?liiiiliS©Pi!PllBIS«SP»!^ ffiRWiHRSSRPVSfMKARn ^M^S^!SS3SSBBl£SSi3 t^m^wmgjl^SaS Pttrsprim4. Propojitto I. j PROPOSITIO I. S/re^aJftinA^ualiterdM^yJiptrifimtlesex (otareSxtO differentiapartMmditpUfunt earum,qtftexp4rtil!Hsm*qH4libusfiunt. EXPOSITIO. Fig.i. Jit refta AD. insqualiter diuila inB.&fuim{iirB£.ipfiBD,*quaii3,critque AE. differentia partium. Dico quaslibet figuras fimiles lupra totam AD. &partium differentiam AE. duplaselTefimiliumiupia LnsequalespatccsAB.BD. DEMONSTRATIO. QVadratatociusAD.&dtfferentiaAE-du- ^^plafunc. (^adratorum Ci partibus inscqualibus AB. BD. (a.l. 2.) fed omnes figurx fiuiiles funt in eadem ratione quadratorum; nempe in duplicata ratione laterum hqaiologotum(4l,tf.) Ergo omnesfigutaefimilcs fupra totam AD.&diffetentiam AE. duplx funt fimilium fupra. inatquales partes AB BD.([,l.y.)Hoc eftOADn-QAE.tequatuc 2OAB4-2 oBD. Q^od erat demonftt.induni. Hascpropofltio eft lo, lih.t.Ekm.iA omnes figuras fimilescxtenfa. PRO- 4Geo>nitriiM4insmmMmui PROPOSITIO n. SIreBaStiqualitery^m/^aaUter gw*pmiltseK 04rtih*s mtqualilius dufU /itnfearttmquaex dimidia rtHa,^ex inttrfegmeniopunf.EXPOSITIO. Fig.j. rc<3a CF. diaifa «qualiter in G. &in- -«qualiter inH. Dico quaslibet figuras fijnilesfuprainsqualesparcesCH.HF.effeduplascatum qu«exdiDiidiaredtaCG.&exin* icrfcgmcmoHG.firuilcsfiunt. DEMONSTd-ATIO. QVadcatacx partibus in«qualibusCH.HF. ^^/unt duplicia quadratorum ex dimidia CG.&interfcgmentoHG.(?.l-a-)Scdomnes figursfimilcs (unt in rationequadratorumj nempeinduplicata ratione laterum homologorum (4.1. 6.) Ergo omncs6gur* fimiies fuptaCH.HF.funcdupl«earum.qu* cxCG. HG.fieripolTunt(i.l.f.)fcilicctOCR4-DH F.*quanturaOCG.+-iOHG. Quoderatdemonftiandum. Harcpropofitioeftp.W.a.^^flW' sd omnes figuras^ilcseztenra. PEO- :: Parsffiima.PrtpoJtrU IJI. 'y | iIROPOSITIO la I I'TN(jiiolil>etre^ili?%eoJidaoJtmiliamfcrib4s- jturcommuni ae^tiuUexceJfu. j J1.Adaiusfuperat mediumgnomonemiru- 1 Ti.^dHpitciJieuraJimthex Uterum differentia, z. AdaiusCuperatAlinus duplicignomone !m!aoTt,?$dupltctfiguraJimiliexd0erentM. I Adasirgnomonminoremfuperat,^c^ Iplementamaioraetiamminoraijfdem ifiguris. 1 4.Complementa maicn'a Juperant gnomo~ nem mmorem vnafmiUffgura ex differentia. EXPOSITIO- Fig.a. (JN tc^tilinco QADG.infcripca funrfimilia OABO.&OAEQjEqualitwfwroexcefluB B.BD.Dico I. O.ADG.Iuperarc DABO.roto gnomone mmori EPQL+ *OPYF. Dico *. oADG.fuperare OAEQjnaEPQI^+j OPY F.Dico j.GnomoncmBPOH.fupcrareEPQL inzOPYE&fimilitercompkineiua DP-?? GI.fuperareBL.+ LOKini OPYF. Dico4. 'coinplcmcnuDP-t-.PGI.ftiperatcEPQI.to- to O.PYF. DEMONSTRATIO- i.QVmrc^AD.fitiQSEqualicerdiuifaioB. &AE.fitdift'ercntia, erunt 0ADG-(-0 AEQ,cstota,Sedi®retia,scqiwlia iOABO+- 6CeomttrUMag/tdbimwimf: iPYEhoccft» pAB-t-iOBDCi. p.)Ergofi vtrinqucaBferaturcommunc CAE^ehto ADG.»qualcOAB04-gaomoniEPQL-l-jO PYf.ErgoOADG-fupcrac medium OABO. loto gnomoncniinoriEPQL+iOPYF.cxlaicrumdiffcrctiaPY.vclBD.qu* aqualesfunt (q.l.i.)Qwoderat primum,&c. 1.QuiaOAlK3.fupcratQAB0inEPQ QPYEfed O.ABO.fupcrat OAEQJn E PQI. Ergo OABG. fuperac OAEQidu^us gnomonibusEPC^+aOPYF.&c. 3, QmaOADG.fupcratOABO.totognorooneBfOH etiamgnomonc EPQ| -Hj-OP Yf.cx/!t««»,i.eritgnomonBFOH.*qualcEP QI, -(-jOPYF.Ergoctiamfiabvtroque gnomone EPQI_&BFO. auferantursqualiaOL P.& OPf.remanebunt complementa DP -f-P GI.2equaliacompleEncotisBL+-LOK-f-* OP YF.&c, 4. Ergo (i tantam ex maiori gnomone B FOH.auferatur QPYF. complementa DP+-P GI;*qualia erunt gnomoni EPQ^.-i-QPyF. Qu.odcratdcmonRrandum. PRO- 'PaTspnrfu.PnpoJit{o IV. T PROPOSITIO IV. DAtoqt^odltbetreSilineofidlidduojimtlia ctrc^t dugoniiiminfcTibantHr,^aliud jiat ex tnjcriptomm hafiumd^erentia-AatumA^ja- SumMpUdafuntinjcriptorum. )*S'(datum,^faBi*mduplici4fmtinfcrip ItorumjaSumeritex b^umdifferentia. EXPOSITIO. Ffg.i. CldacumrcfbilineumOADf.&circadiagoiniumAF.infcripcafnwUa,nempcOABP.& OPYF.cumcxinfcriptioncomnia latera fint parallela (4.1,6.) erunt PY.BD. sequales te&x \ (^.l.l.)fie^gofumatllrBE.arqualisip^lBD.vcl IPY. eritAE.(iiff:reHria bafiuniAB.&ED.vel tPY.& inta/asi. cadet E, intra f^B.dc wea/u a. cadet extta;fi 6 rgofiacfupraAE.OAEL. Dico OADF+ QAEL.«qualiaclTe jOABP. 1 Q PYF. DEMONSTRATIO. |Nc.!/«i.cumBD.BE.finta:qualeseftAD.in- 'inaequaltterdiu.ifainB.&AEefldifSrcncia ipartiuAB.BD.ErgoQADF.^-OAEL.tequa- ;turzOABP+jOBD.vclPYF.Ci.p.) ;cumBD.BE.fintsqu.tfcseftreifta ED.cequalitcrdiutlainB &ina^qualitcrdiuifainA.Ergo O.ADF.4-GAEL. partium /n- «qua- 14 Geometri* Main»himhmif'. PROPOSITIO VIll. Elgur* qu* atm tquaUhAjium excejfu be/it*qUAli4compUmenla,minim*fm(ex JimiUl!its,qit* adbafium teimmos condituipop funt: uiemqueepdefummaadf»mmAm,y econuetfo. EXPOSITIO. F^.i. gint OABO&aCBZ aqualium cojiipicoic- ‘^torumr&bafcsindireiftum pofitahabeant cumrauncpundlumB. Dicoillaseflc omniu minimas,quaad tcrminosA.C. ipfis firaiiiu conftitui poffunt. DBMONJTRATIO. cVmatur in ACquodlibcc punitum E&O ‘^AEQ-l-aCEX.fupcrabunt OABO-t-aCBZ ynoOtB-i-aEB(A.p.)ErgoOABO-haCBZ. funt omnium minima. Idem dcmonftrabiturdefummaadfumiiiaiTi.&devnaBgura ad alkruujfummamcxn.p.Quodcratj&c. ' Econuerfo COABO.&caCBZ.func omniu niinima,dicohabcrca5qualia complementa: ali ter habeant oAEQJcaCEX.a:qualiac6- plcmenta:Ergo OABO^-aCBZ fuperarent OAEQ+euCEX.duabus(imilibusfiguriscx interfeginentoEB. (d.p.)Ergo QABO.&a CBZ, aofl eircntniiniai£c5iraHypoths£m. Parsfffimd.^ropefuigJX, 'ly Jiadcin eft dcin.onftiatio dc fumina ad (ummam.&c. PROPOSITIO IX. Flgitrs,velfuraAquit(t*m e4demtert44jigH- ra,vtlfurnmii minima, elidmintsrfe minimtfmi. i. Sidi»ejlgitrjt,'Velfummitdni^salijsinterfe!Htmfnis,f^>fumminim4jiat,cti4minierfi mimmaeruntomnes. EXPOSITIO. glntfigiKsA.B.C.D.&c.fiA.acB.fintipfiC. mininixdicoetTe ituerfe minimas. Tutn 0 A.fic minimaC.&B.fic minima D.& C.D,minima: fuerintdicoA.B.C,D.omnss ede inter {c minimas. DEMONSTRATIO. t^VmA, &B.fint minima: C.liabentcumillaxqualiacomplcmenta{8.p.)Ergo6:in- Ecefe habencxqualiacomplcmer.talj.p.) Ergo funtminim*intcrfe(8.p.) z. CuniCD fupponanturrr.inim.^,&A. ficminimaCeritctiam minima ip(i D.iimi- I' tccB.&C.Ergo etiam A.&B.^c. Eadem eft dcmonftraciodcCumim adfammam.vel dc vna figura ad aliarumfnmmara. PRO- i6 GtometrUMsfflAmmmmit. PROPOSITIO X. TRJanp*U,velj>4ra!lelogramma Aqui aI- tA,hAbinttqi»alucompUmtnlA,^funt minima,?^'fcaniterfi. EXPOSITIO. Pig.+. "pRianguU ABC.Bl>E.habcnt zqualem alticLklincm.ncmpcruntvelpolTuncelTe iater cafdem paral!clas(8.1. i.) dico iila efle intecfeminima:&iirunt inter feniininia, dico haberexqualem altitudinem. Idemque cd deparallelo ganamis. DEMONSTRATIO, CVuianturAI. DF. sequalcsexccflusbafium: ^&fintIK.fH. lateribus AC. DE. parallelae: complemcta.vel paiallclo gramma AL. DG. inrcr parallelas,&{upraxqoalesbafcs AI. DF. funt*qualia(8.1,i.) Ergo triangula ABC.BD E. ciim habeant aqualia complementa funt rainima(_8.p.) Idecncftdcpafallelogranitnis cum fint triangulorum dupla (8.1. ij C,6uerfa pater: quia fiEinemininialubent aqualiacomplcmeca(8.p.)quafunc paralielogramma cumaqualibafi, vdeaccllu :Ergo habent aqualem alcitudinem(8,l. Fitrs^^.ProfoJitio XI. il PROPOSITIO XI. SITTuvtiulim h4kMl du^Ltm paraMsp-4mmaltitudintm^untirtterfefiiurt mieconuerfo. EXPOSITIO. Pig.i. 'J'Riangulum ABC habeat dupla Dialtiiu- "dinemparallclogrammi DF. dico efle guras miniinasr&lTABC minimunifitcaDF. dico triangulumABChabircduplam altitu dinem parallclogrammi DP. DEMONSTRATIO. Cumantur DG, AM, xqualcs balium cxceffus;&ficB,EI, diameter, 5: GI. lL..paraile!ce ipfis DEK.FEH,&MP.parallela AC. Complementa GE.EL xquantur(ij,[.6.) ScdoAO.cft duplum GE ciim habeat duplam altitudine fupra bafim AM. xqualcm DG (8.!. i.) Ergo complementum AO. «quatut complementis GEEL. Ergo cum ABC.&;DF. habeant xqualiacomptemcnta,cruntfieurxininimx (8.p.)Quod,&c, Econttetfo. Si ABC uiinimS ficDF. cft AO. *qualeLE-t'EG(8.p.)hoc eft 2EG.Ergo ciim bafes fint xquales MA.DG.erii altitudo OA. dupla GE.(8.).i,) PRO- CeometTuM.iiln*irtmmt^. PROPOSITIO' m SImqmUhtPolygono diagoaium cumbaji, Uterefuciat triangularefegmentum,atiusaltitudofit adcuiufivis trianguli altitudine, vtfegmentum triangulare ad totum Pylogonumihoo,^trianguMm erunt interfe minimaj CS° econuerfo. EXPOSITIO. FiS-ft. §It OABCOE &diagonium ACN.faciens fegmcniura iriangulare ABC. cuiusalci tudofitTI.&fit quodlibetzlAFG.cuiusalcitudoIH. Si altitudo IT. triangularis Tegmenti ABC.ficadalticudincinlH. Trianguli AFG. vt Tegmentum ABC. ad OA-BCDE. Dico A ABC.& O.ABCDE. eflefiguras minimas fuprabaliumTummamFB. DEMONSTRATIO. §Vmantur BL&FKaqualcSj&duftisparalielis BN. NQT^R. erit circunferiptum o ALNQR.&fimiliterinfcribaturCiCMNOP. deducaturKHS-paraLelaFG. Complementum LC. ad fnmmam complementorum LC-i-CQE. eft vt Tegmentum ABC.ad Polygonum BCDE(4. 1.6.) vel ex con(lru(ftionc vc IT.ad IH. fed parallelogram mumF2.adFH.eftvtaItitudoIT.adIH.(!.I. '1 Parsprms.PropoJitio XlJl. 'i? 3 ^,;)Ergo vtLC.adLC-t*LQE itaFZ.adFH. 1 altcrnando:vi:LC.adFZ.itaLC-t- i <JQE adEH(4.1 5)fed paraHelogrammaLC. FZ.(upra«qgalcsbafcsFK.BL.&iiuGr parallelas lL.TM.«juantur(8.1. i.)Ergo etiam c6- plcmcnraLC-FCQE,*quanturcomp!cmen- to,FHCi-l-y-)Etgo -!2iFAG.& OABCD. cum liabeantaqualiacomplcmcnta,{unt inccr/c figur«minj tn«(8. p,)'Quod,&c. £’iro««f^.SiAFAG.&OABCD.fint minima,ertt complementumFH.squale complementis LC-t-CQE(8,p.)&FZsqualeLC. vt FH.squateLCw-CQE (cd vt IT. ad IH. ita FZ.ad FH(.i.L6.) Ergo vt IT.ad IH.ita EC. ad EC-I-CQE(i.].5,) hoc eft ita fegmentum ABC. ad Polygonum ABCDE(4. 1.6.^ (^od erat demcnflrandun). PROPOSITIO XIII. QVadrtlattrttm hahensduo lateraparalietaepadtriangularefegrneniumMff*’^- maforundemlaterHfu adlatus quod ^ in triangulo'.?^fegmentalmtvt lateraparallela:^ecomerfe. EXPOSITIO, ng,?. jNaABCD. fi AD.BC.finr latera paral!ela.& diagoniumBD.velAC.faciant triangularia C*fcg- iO CeofnetrUMdintiammmk: fcjcnenca. Dico totum aABCD, ad AABD.' ctlevtAD+BC.adAD.latusAABD,vclaAB CD.effeadAABC.vtAD+BC.adBC.latusA A3C.ItemADB.adBDC.cflcTcAD.adBC., DEMONSTD.ATIO. OVoniamAABD.& ABCD.iunt inter pa- ^ra\!clasAD.BC.fchabcntvtbafcsAD.BC. (i .1.6.) Ergoctiarricomponendofumma AB CD-t-ABAD.ericadADAB.vt fuimnalace~ rumBC+DA.ad DA(4.1-f •)&AADC+ A ABC, adAABCvt AD+BC.adBC.Quod eiatdemonftrandum. Econuetfo Sifegmentum ADB.ad BCD.fc habetvtAD.adBC dico AD.&BC.cflc latera parallela, FiaccnimBE.aqoalisAD.&ducawtDE.BED.adBCD.cftTtBE.aciBCCi.I. 6.) hoc cftvt AD. adBC.fed etiam ci hypotMtriangulum ADB.ad BCD. eft vt AD. ad BC. Ergo AADB. «qualceft ABDE(i.l. y. ) Ecgo cum habeant sequalcs bafcs-AD.BE. erunt inter parallelas (^8. 1i.)ErgoAD.BE. fune parallelas. Qupdcrat,&c. Parsprhn*.PropofitieXtV. PROPOSITIO XIV. 1]^(juoUhetTrapeuoreliaperangulHmdiafp tioparalleUpCAtUfuscontinuatum in ra thneTrapet^ij a/triangularefegmentum, ^in rjiiomfigmentoruminterfe. EXPOSITIO. Ilg.»; cicd ABCD.&diagoniumBD.&cx angu- '^loC.ducaturCE.ipfiBD.parallek.nuaoccurrat lateri AD. cominuatoinEDico fegmentumAABC.ad^5.BDC.cffcvtAD.adDE. &etiam AABC. ad ABCD. effe vc AD. adAE DEMONSTRATIO. CIt refta AGH.perpendi cularisvtnqacpa- ‘^rallelsBD.CE.&eritGH.aititudotriangu- Ii BDC.&GA.akitudo trianguli BDA.Ergo cum bafisBD.fit communis ^BDA.&ziBD CcritABDA.adABDC.vtalcimdoAG.ad aliitudincmGH (1.1.6.^ fcd AG.ad GH. cft vt AD.adDE(j.l.6.)EcgoABDA.adABDC,eft vt AD.adDEC«d. 5.) Ergo componendo A BDA adABDA-h ABDC.hoc eft ad ABC D. erit vt AD. ad AD+DE(4.1. f-Quod erat dcBionftrandum. PRO- ^% Ciometrlt Ma^ummmimU. PROPOSITIO XV. EntagpiMmreguUre efiadtrUnguUrefeg- Ime/!Mm,vtfum?fta Uttmmhumsadlaltts ijifiuspentagoni. EXPOSITIO. Bg-sr. §lt C)A.BCDE.&diagoniuiivcE. DicoOAB CDE.ad fegmcntum ACDE.e(Ti: vt fummi lateiumACOE.ad lacus OABC. hoc cAvtC D.+DE4-ECadCD. DEMONSTRATIO, J)VcaturdiagoniumCA.&dcfcripto arcu •DF.iungaturEF.cuni arcus DE. EA. fint sequales ex «quaIibuschordis(2.I. 5.) etiam anguliDCE.ECA.funt aqualcs(3.1.5,) latera vefradij CD.CF.etiam asquantutr&CE. latus communeeft ADCE.& AECF. Ergo fune triangula omnin6sequalia(4.1.i.)fedAAEC. ad ADCE.vel ad AFEC. eft vt AC.adFC (i. 1. 6.) hoc eft vt EC.ad DC.& AABC ad ADCE. eftvt CB.ad DC. vel ED.ad DC.Aeetiam AD CE. ad ADCE. cftvtDC.ad DC.ErgocomponcJoAABC+AACDi- AEDC.adAEDC. eft vtDE-hEC4-CD.adDC(4l.j.) Quod erat dcmonftrandum. PRO- ParspnmM.PrepofiikXVr. 23 PROPOSITIO XVI. HExagonam repilare adtfrangularefegmentum ^iaralionefextupta. DEMONSTRATIO. Fig.io. CItO ABE.&diagoniuni CE. Dico totum ‘^OABE.adi^EDC.effevttf.ad r. Dadtis enim AE. AC.tum ex eentroGA. GE GC.& fient 6. triangula, quafupraaquales bales AE. BC. CA. habent reliqua latera «qualia,ex ipfaHexagoni conftru6kione :Ergo omnia 6. triangula erunt «qualia (4I. 1.) Ergo totumHexagonumABCDEF.adAED C. erit vc 6.ad i.vcl fextaplum. Quod erat demonfiranduni. SCHOLIVM. Licet ratio Pentagoni, vcIHcxagoni adjfuu triangularcfegmcntum.vniuerfaliterdeterminctur etiam proomnibus Polygonis irregularibus in fcquenti propofitionc ;Decerminationesift«fpecialesomiftend«non fuere,quia in Minimorum praxi carum vfus .facilior,&expeditiotcft. 50 CeometrhMaptiiitmtnwdtj nis minimis,erunt Polygona minimaintCcCc ?tbafcs.Q.uoderat dcmonflxaadum, PROPOSITIO XXL SI‘Triangulumfhtrihusaiijs triangulisfimul A(juialtumJis,eritslludmirumumadalioru fummam. iIdemefideParallela^ammss interfe.^ jEtetiamdevnafummaadaliam. 4Et econuetfo etiam in omnibus. EXPOSITIO. Flg.13. glcTriangulumABC.cuiusaUuudoaECjualis ficalcitudinumfumm*aliorum, nempe A GHI+IKL-t-LMN.quaeicaconfticuantur vt vnumfupraalterius verticem &,& bafes habeant paralklas.DicoTriangulum ABC. minimum effc ad aliorum fummam :Et eeonuerf) fi aliorum fummsefic AABC. minimuj cius altitudo sequalis erit altitudinum fum- DEMONSTRATIO. §Vitiantur tequalcsbafiumcxcciTusBD, GZ. 6cfit DF.parallelalateriBC. 6c20.0P. PQ^ paral[cI*IatcribusGl-IL.LN. Bafes AB. GH. in eadem redta,&KR. ivlS. NC. ipfis parallela. Oppofita latera in parallelogrammissequaliafuntBD.CEeumZG.OI.PL.QNC7.1.i.)& cum ParspnoH.PropoJitto XXL 31 cum BD.GZ. fmt ex conftrudtione xqualia: omriiactunt sequalia inter fc ;Ergo cx a:(juali b-ifi.&altitudincfuntparallelogramaaqua- 1laDR.GO.tum RS. OL. tuiiiSC.LQ£8.l i. ) Ergo compkmcntumDC. in il^ABC.aiqualc eftcoinpkmentisGO+OL-t-LQ^riangulorumGHI.lKLiMR Ergo curaliiABC. habeaccomplementiim aequale coarplemencis aliorumericriABC. mininnimadfummam /iiGHl+AIKL-t-ALMNCS.p.) 1DePatallelogrammiseademefloinni- aodenionfttatioex complementis. 3SiTriagulaABR.FRC.tribusalijsasque alta funt.erunc etiam complemcca DR-h RE, «qualia complemcntisGO+OL-f-LQ^Ergo fummafumm» etit minima: &etiam in Paraliclogrammis. 4Si^ABCminiraumlltAGHI+rKL -i-LMN.eritcomplcmcnruniDC.«quakco. pkmentisGCH'OL4-LQX,8.p.)Erga cum baksBD.ZG.fintsqualcsscrunccciamaltitudinesjequales(3.l. i) Quod erat,&:c. PRO3 ^ ji 'peometrie.MagnAmmmimu. j PROPOSITIO xxir. SIplHresfigHrufueriatJtTigillatimminmicii ahjsfgurisftmmafHmmti etitmnma. izFigurAqmJftalicuifitmmsmm>na,eti4 alteri fitmmiminimaerit' EXPOSiTlO. Hg.ij. fCIt AGHI.minimum nT-S: AlKL, cum O s‘V.&: ALMN, ciimOXDico fummamA 'GHt-hAIKL+ALMN.minimumeir«DT ;+C)V-rOX. ,DEMONSTRATIO. .(0Vm AGHI.minimum fit OT. erit complementum GO.sequalecompIementisQ T(8, pj tum OL. sequabitur complementis iOV. S:LQ^compkmentis OX(g. p.) Ergo fumiiiacomplcmentorumGO-i-OL-)- LQ. asquacurfummxcomplementorumQT-i-O ,V+OX(4p.)Ergofijmma AGHI+ AIKL H- ALMN.minimacft funim.T T-h OV-(-, OX(8.p.) 2<^fummaAGHl4-^^lKL-i-ALMN. demonftrata fit minima fummteDT-t-OV-i- OX.SiAABC velqusslibctaliafigura minima fic priori fumrn»,etiam alteri minimaerit j (9-p.)Q^cderatdcmonftran<ium. PRO- Parspritnk. Fropofitio XXIIT. 33 PROPOSITIO XXIII. SIfuerintplura Folygona,^ altitudo a^cu-^ 'tus triangulifiladaltitudinem triangulari» Jegmentorum, vtjumma Polygonorum adfigmentorumfummam,erit triangulumfumma Polygonorummmmum0econuetfo. EXPOSITIO. Fig.i+. 5lnc.Po!ygonaa.AECD.& OEFH- eorum fumma ad fummam fcgtnentorum ABD-f- EFI.crt vc fumma AE+EiCadAD-irfcl(^i-;.p.) Sit ergo alcitudo/^LOR ad altitudinesAAB D-i-EFI, cciamvt AE-f*EK. ad AP+EI Dico ALOR clleminimumfummata ABCD4-0 EFH (^econtra. DEMONSTRATIO. T)Vcantur qu»libccEM.KN-&:AMAE.erjc minirnuma ABCD.&ANEK.ipfiOEFH (1 8.p)Ergo altitudo AMAE,ad altitudinem AABD.eritvt AE.ad AD.&fimilitet altitudo .'liNfiK ad altitudinemAEFi.vcEKad EI. nempe vt Polygonaad fcgmcnta(it.p.) Ergo fumrna.iltitujinu AMAE-FANEICadfum- mam altitudinum rcgnicnturum nempe A ABD-t-AEFI, eft vt fuma AE-f- EK.ad fummim AD+EI (4.I .)fed etiam altitudo A LOR.adalutudinemfcamentoiu.nemccA EABD 34 GeometridMa^dtnmmimts'. ABD-l-/^£FI.eftvcAE-l-EK.adAD4-EI.es hy 1'Othcfi.Ergoaltitudo ALOR.ascjuahs cft (umasaltitudinumAMAE-i-ANtK.cam eide eandem habeant racionem(2.1, 5.) Ergo ^ LOR.minimum erit fumitMe triangulorum MAE4-N£K(ii.p)Ergo cu<:lMAB.minimu fic £1 ABCD.Se ^NEK.miaimumOEFH.crit ^LOR.minimumfuatiiaPolygonorum<a ABCD+OEFH(2*.p.)Q^od crat,&cjfcflMJtfj/o.SiiS.LOR.mmimumfitfumnuE ciABa5-4-C>EFH.etiamci'itminimnmcriagulislSlEKMAE(4i.p.)Ergoahitudo/i.LOR squalis eft altitudinum fummseil MAE-t- •ANEK(*i.p. )fcdl’uinma altitudinum WAE+ANEK.adfumma^ABDH-AEFI eft vt AE-t-EK.adAD-hELvc antea:Ergo altitudo ALOR.adfummamaltitudinum AABD -4- AEFI.eftvtfummaAE-l-EK.ad fummam AD+EI. Quodcrat,&c. TROPOSITIO xxiv: SITnangittitiohdhitt*qUikm4tlitudisem cumtermmsparallelarum ,eptadetemlrmnePolygonorumrationes.erftfummaPoiyionorumminimHmdSeeont^a. IXPOSITIO- Fig.r4' JitALOR.EolygonafotaABCD.&DEFH 'Pmpima. Tropoph 'XXV, 'jy akitudoALOR,«qualisfit fumm* altitudinum pundorum E.&K. vbi dctcrminantuc Polygonorum rationes ex 17. p. vel fint RK. LB.parallel». Dico ALOR, minimum efie fumaeca ABCD-(- OEPH.®"econtra. DEMONSTRATIO. J)Vcantur quilibet KREM.&ALOR.minimum erit fumniiAMAE+ANEK(2 1 . p.)red AMAE.minimumeft AABCD.&A NEK.ipfi oEFH(i8.p )Ergo ALOR.minimumeritfamm*oABCD-i- OEFH(22.p.} Quod ctat,&c. Econturfo. Si ipfis minimum llt etiam triaguli MAE.NEK. minimum erit (22. p. )Ergo&ipfis ique altumfai.p.) ^od erar, &c, PROPOSITIO XXV. SIteminusp/tralktedeierminantisreBilinei ratianem-.AUorum terminis xque altumfit, ertt recHliaeHm aliorumfumma minimum,^ iconue^o. EXPOSITIO. Flg.i4. git P.&exaliap.'»rceAABl..D.&OEFH. & altitudo Qjequalisiltfummi altitudinum pundorumE.&K.DicoDP. minimum eik fummiaABCD-t- OEFH.Sc econuetfo /i ipiis £ ininimumfit:dico altitudinem Qj*qualeiii ea«E&K. DEMONSTRATIO. CIc ALOR.vc alcitudmesR. &(^squales fint.EtgoetiaaltitudoR. «qualis erit (umm2ealtitudinuinE.&K.(edQP.!'ninimJmeft ALOR(i8,p.)&ALOR.minimumfiimm* minimum {unim*clABCD-(- OEFH (9.p. ) Qucd,&c. ... SiTcroaP.minimumipfisfit,ctiamminimuctitALOR.6cQ.,«queakum ipfi R. nempefumiii«E.&K.(^oderat,&c- PROFOSITIO XXVI SIdetermmationesratfoniimirt ahemtra re- SiliaeortimJttmmii hAbe^nt equale»} ^ilutudinem'.eruntre£lilineoTUm^iimmAtttterfe minime, econtra. •EXPOSITIO. Il6-i4r,. , CTntcxvna^ttcQABCD+OEFH.fecx slia OX-l-al&fumma altitudinum K.squalisfitfummsealtitudinumS. Dico fummam dABCD-i- QEFH.minimamcffefummatO X-^aZ &fifumma fit fummse minima dico altitudmcsK.&S.cfle*qualcs. DE- FarsprmdFropofitioXXVJl. 57 DEMONSTRATIO. CIcALOR.*^usaItumpunftoK.Ergo etia pun(5toS.sequc alcumcrit:Ergo erit^LOR . minimum verique fumms(z4p.') Ergo etia fummaerit alteri minima (9.p.)Quod erat &c. ., £f(jn«CT-/ifi('ummaficfumma:mmima eidetnri.LOR.minim3ecit(9.p.)Ergo aititudoR xqualiserit,5iK.&S {^ 24P-) Ergo etia altitudo K. erit altitudini S. xqualis (3.p. ) Quodcrac.Scc. PROPOSITIO xxvn. INrecHlineisjimiHhus^rationum aliitudines, fmteommbafibus ,a"dllit»dinibm propor-. tisnales-.etiamJicompUxefitmantur. EXPOSITIO. FSg.iJ. ClntQABa&OKLR.fimilu.determjoatio- "^nes rationumfincD.&NCn-P’)^*^^^'^* aUitudinesDF.«c>;P..DicoDF.adlSlP effe vt bafes AB.ad KL.velvt alcitudinesHG ad RQ^ ErfiOT.if oV.&OXfincipilsrimiliajctiana complexe fummaDF+NP.adaltitudines rationum inT-t*V4-X.c(Ievt{unimani barium AB-t-KL.adfumiranibafiumT-l-V-t-X. DEMONSTRATIO. yTAB.adBC.itaKL.adLM(4l.6.)&BC 3? GeontthrU ^agniinmmtt^. adBD.vcLM.a<iLN(i7.p.)&BD. adDF.rt LN.adNP(i.l.tf.)E^SOCxsequoAB.adDF. vt KL.adNP(i.l.f.5 ErgoaltcrnSdo vcbafis AB. adi<L. ita altitudo DF.adNP (^4. l.y.) SimiliierdcmonftrabiturAB.adKL.cffe TtHG.ad RQ^rgoct iamvt HG.adRQj.taDF. ad NP. (i.l.f.)Ergo etiam fumma adfummam erit incadcmratione(4.l.f.)Quodfticracdemon; Arandum. PROPOSITIO xxvni. FlguTA (imilesjt iqualembttfim,velxltitudinemoabeMt^immitfuntmterfe,Q’i{on~ EXPOSITIO. Flg-is. §Vpra £equaIcsbafcsT.V.X.Z.lintconftitutafiiiiiliaParaUelogramarvclftntT. V.X.Z. aequales altitudines ftmilium trapeziornm. Dico figurascffc iotcr fc minimasi vel tcontta fi=T.6CTV.&oX,&nZ,fimi!iafint,&minima,dico bales, vel altitudines T.V.X.Z.efle scquales. DEMONSTRATIO. CVmfigurxIupponaneurftiiiilcs,erunt ra. tioniimaltitudines.earumbafibus.vel altitudinibus proportionales (27.p. )Icd bales, vel alritudinesT,V.X,Z.ruppcnuntur aquales: FmpnnitC FupofttU XXIX. p les: Ergorationumaltitudines erunt jcquales p.l. f. )Ergo figuriE erunt interfe minim® £c’(»jfr4fifigaracfuKmmimie,ctiam rationum a[citudines(i0.p.)Ergoctianibarcs, vel figurarum altitudineserunt sequales^i-). p. ) Quodetatdcmonftraodum. PROPOSITIO XXJX O/FigUT4nfmJfmiliumfi*mmaitqHalem habeaifimi»iitmb4fiHm\bafiahen,’iiell>aJii4m ^ntmtxentminimaalreriffurefimili ,velfiguroTumfumma,^econtra. tdemquet^dealtitu^ dinejigUTaTHm.- £XPOSITIO. FIg.iy. 5VnimacsT+CJV+aX&<3 Y+ea Z. habeant squalem bafium ,vel altitudinum luminain dico fumniain funmis cllc niini-. mam:&eamuerfo. DEMONSTRATIO. ^Vmfigursfinnlesfint:ratioDumaltitudines etiam compkxecrfitfumms bafium, velaltitodinunjproportion3les( 27,p. )Ergo cum lumma bahnmT-hV-t-X. fupponamr squalisfummsbafiumY-hZ-rationeshabe- bunt fuarum altitudinum (ummam squale (i.I. jO^^i^goIummafigurarueritalceri Aimisa' 4<5 GtmetrUMagnklnmnmts'. fupcrficiet fphsricx figuras AGA.&OGB.* fupcrar«minimisAEA.&oEB.duabusCmilibosexradioEG. DEMONSTRATIO. ^Sfumpto quolibet punto G. figur* ex illo 1'uperant minimas es E. duabus {imilibus cxrcdaabaffumptoG.adE(33 p)k<j, quodlibctpundtumG.fumaturin circunfcrentia, rcdaEG. erit radius: Ergo ex quouiscircunfereijtisepunclofignra; iupcrabunt minimas duabuslimilibuscx Radio,&c. IDefcribaturcxE.fphseraGH.&airumptoin fuperficiequouispnnftoG.erit inecdc planocumA.B nempe in plano ABG, in quo cfteotaAEB.&GE(i./.>i.)ErgoZiGA4- Q GB.fuperant AEA-h OEB.duabus fimiiibiis figuriscxEGQ}».^.) nempe exradiofphxrx. Quod erat,&c. 3SummacxG.fempcr cft eadem :quia ferEpereft«quaUsminimx(umma:cKmduabusfimilibusfiguriscxeodc radio, ve! xquali:Ergo cuni fcmpcc iifdcmxqualisfit.fempcr erit xqualis.vel eadem. Quod erat demonftraudum. Fari prima. Propojilio XXXIV. PROPOSITIO XXxIV. CEntruma^oluteminimummereluopunciA.^qitoddmditreiiampHnciiiconisin- (entemmfifpras minimas, qmdvnicam tcontra. EXPOSITIO. fJg.17. Jlncpunf^aA.B.&TcitaAB.aiuifainEinfifigurasmioimasAEA.& OEB.dicoE.efle centrumaWoIute luinimumad pun(ftaA.B. &eflevnicun3.CS’«fo»fr.<- DEMOKSTRATIO. extra E. fumatur quodiibec punftum G. ^eritinfuperficicalicuiusfphiersexcctroE. radio EG.dcfcriptse; Ergo AGA+OGB. fufuperant ^EA4- OEB. duobus limiiibus ex EC(?3./'.)Ergo('unimacxE.eftomniumminima,&: E. centrum abfoiucc iniiiimuin :& vnicam cft ,quia ex quoiibcc alio fit maior fuinma.Quod erac,&c. Comtetfa patet ,quia fiE.non diuideret AB. infigurasminimas non ciTec centrum minimuinconttahypothefini.Q^odcratdcmonftrandum. 4? Geometritnin minimis. 3?ft.OPOSITIO XXXV. i^^pun^stmdmdiitre£{itms^eittaiiter,eri( iSi meqtf4tster,eritcentrum S‘.AA.nmf e quadrati’unluspartis, £5* reUarspuU vtriufque. ?Sijphara,velcirculusdfcriiaturfum>na fempererit eademiuntacenlnqualitatem. BXPOSITIO. Rg-17. JICB.diuidarurjecjualiter.vclCD.in^qualiterinE.dicoE. circ£'Mfr'.j/._^adC.&B.veI cMJy-jfit/.ncQipc OED.&aCED.&c. DEMONSTRATIO. ^VmEC.EB.fupponantur «quales, crunc -miQim*qu*cumquefigur* fimiles inter fc(i8-/>.)ErgoeritE.£¥»?r.^j^adCB(3j.p.) 1Quoniam rcftanguluin CED.& quadratum ED. habent «qualem altitudinem ED.funtintctfeminima(io^.) Ergoerit E. centrumminimumjj^»/i/.qu* fimiles fint ED.&aCED(^?j.p.) jSi fph«ra, vel circulus defcribacur ex quolibet pundtoG.fumraaf-Jf-GC GB. fempercritcadetn;tumetiamfummanGC,&D GD.fcmper eadcm(^4p.') &c. PRO- l*4rtprlm4.PrBp»fitkXXXV^L ^9 PROPOSITIO XXXVI, SlreSfaconktngens duo punUa diuidatur in quuslil/etpartes ae}Ui*les,Primu diuijio erit centrum pitrurnum .totidemJ.jf. quarum unu Jitexmaioriparte,^reliquaexminori:^econ^ uerjo. EXPOSITIO. 1)5.17. §It rc(51:aKN. diuifa in fex partes vt KI. fit quinta pars ipfiusTN.dicoL.eflcwwfre»» «warum lint^.cs KL ScYnaeiLN.®* (conueTjo(\l.Xn centrumf.Jf. q^uarutir fintex KL. &: vna cx LN.dico KL.efle quintam partemipfiusLN. OEMONSTRATJO. CVmrcftaKL. fit quinta pars ipfius LM. quinque bales figurarum c.xK£.a;qudes crunt bafiLREtgo funima quinque KL. minima erit bmili figur« cxLIs^9.^.) Ergo curecta KN.diuifa fit in L. infigurasmintmaseritL,«»/r./_^vel ccmruni minimu (54,p.)QuQd,&c, Econuerfo SiL.fitce«rf.^_i(£ady.KL.& i. LN. crunt ift*miniroa; Ergo KL,erit quinta pars ipfius LN (a9./>.) Quod erat demom firandum. CPRO- PROPOSITIO XXXVII. SIrtH-iContungensdai pmcl^ etiuidatur m jaasltbit parces a^»aies ,quodlibet dmfiomsptn-iitm entcecrum mimmHmtocidem^.jf. exvtr4qiteparte,quo£ptncpartes'inoppof>ca,i^ ecoauerjo. EXPOSITIO. QlntdataduopunaaK.N. &rC(aaKlSI.dim- -Ia in fi.partesseqnaUs.Si fumatur punftuM. DicoefleirfMfr»f»6-^-j^^uanim<^aatuorfint exKM.quiaparsoppoficaMN.continct4par- tes;&duaeff{int cxMN. quia pare oppofita KM continetduasparccs;d? DEMONSTRATIO. CVmKM. contineat duas festas partes :fi ^-quaterfumatur.ctitfummabafiumaqualis8.partibus,&:cumMN.concineat4. partes fibisfumatur,eritfucnmabafium «qualis ?. partibus; ergo cubafium famnrtefiot «qua- !cs.critfumma4jfj7;KM.uiinimafumm£e2. f.j'.M.^{i9.p.) ErgocumKRdiuifaficinfigurasminimas,erit Conwrfa liquet, &dcmonftraii poterit vt inprtcccdcnti. PRO-J Titrspnma. PrcpoJitJe XXXV71I. 5 1 PK.OPOSITIO xxxvm SIin re^afuerint quxliht pmcU , pmifoiiadimdAtur ,'vefiimmafgurarupn ’vmns partis minimafit adfammam altmus partisfiguraex quolibet alio recix puncto fuperabunt minimas totidem fimilibus ex intetfegmento,&‘'econtra. iXPOSITIO. Hs.17: gltdataredta AB.&: iji ea fine puncla A.C. D.B.&: pan£tum E.diuidac illam,vtAEA-t- caEC. minimafinteum ED+ QEB. fiinre- EtaaiTumatur quodlibet pundtCiF. Dico lunv mam^i^.neiiipe AFA+aFC+O FD+ Q FB.fujJcrare minimam fuinmam ex E. totidemfiguris pracdidtammfimilibus ex EF. DEMONSTRATIO. (])VmAEA+aEC.minima fupponantur ED-+- OEB. erunt (umms requaliur.i complementorumQ^.)ErgofigurjcexE.(’aperabunt figuras ex E. cotideni fimilibus ex interlcgmciKo Ef(7.^.) Qupd,&c. Econtra fi exceflus talisfaerir, erunt figar*exE.scqua!iam comp'em:'.'icorum(7./' } Ergo Minim2e(8^.) Q.uod,5cc. PXO- j* GtometriaMagn^mmiamis. FROPOSITIO XXXIX. SIinreclMfierintqHilil>etf)ttn£ln,(^ itavno pmdo Muidatur, vtfumw/tff.fummafit minimA-.f^TA ex quolibetaliof>Uni,i>elfoUdi pundofuperatminimamtotidemfiguris ex recia ab ajfumpto adpunSum minima fumniH '£? econtra. EXPOSITIO. Fig.i7. C!tdatarci5iaAB.6cpun(5taA.C.D.B.&:pon- ‘^(ftumE. diuidat re^am.vtfumma ^EA + qEC. minimafitfunim*QED4- OEB. Affumatur prscccrca cxtta refta quodlibet pla- ni,velfolidi punftum G. &iugacur rcfta EG. DicofigurasdatisfiniiJcsexG.fupcrarcminimamfummam ex E. totidem fimilibus fadiis cxretta EG.fif 'econuerfo. DEMONSTRATIO. J)V(ftis GA.GB. erit idem planum AGB. (i./. 11.) &cum in eo fit recta AB. etiam erunt inillo puiidta A.C.E.D.B. ducatur igiturGE.perpendicularisipfiAB.Ergo cum F, iit in recta AB. fummajf ex F. luperabit minimam ex Etotidemj?.EF.ncmpc^FA-l-a FC-t-oFD-l-CiFB.xqualiaerunt^EA-ha' EC-hDED-i- OEB.&prretcrea^./fimilibus exEF(j8^.) ScdcuuianguliadF,Cntredti/:i Tarspnm4.pTopofitia XL. y? <SA.xquatur AfA-l-^FG.&ca SC. squatur aFC+oFG.&DGD.a:qaatur FD+DFG. &OGB xquacur DFB-i- OFG(4. 1.6.)Ergo furr.ma ex G.ncmpcAGA4-aGC+ GD-^ oGB.squaturminim«efumm«exE. +4jp BiiiilibusexEF.&4. FG. fed cum angulus GFE.cci51:usfic4,jf‘EF.S:4._^FG.squantur 4. ff.EG. carundem fimilibus (4./.6,) Ergo fummacx G. squatur miciim* fuiniii* cx E. +4. JpcxEG. Ergo fuperatminimamfummam 4j}. EG.quscdatisfimiUsfint, licet inter fedif fimilcs, (foderatdemonftrandum. Econuirfo. Sicx quolibet puni^oG.funimafnperec modo difto fummam exE. ordine retrogrado demonftrabitur ,pundtum E. diuidcrereiftamAB.infigurasnjinimis. Prarereaeadctneftdemonftratiojicetpunda plura fuerint in vna parte,quam in alia. PROPOSITIO XL. SIin re^nfitenntqudihetpuniU spunilum diuidensilUminfigurtts minm4s,mt centrumf. abfoluie minimum addata punSa ,S/ icontra. EXPOSITIO, rig.17. ^It redtaAB.&piindta A.C.D.B.&Ediuidar •illajuinf5gurasminimas,vtin praecedenti. Di- 54 CeometritM/t^ttnmmmi: Dicopun(f\;iimEcflcctf»^r««»]pabfolutc mi-^ nimuruad datapuiv5taA.B.C.D.C^«i>s/T4. DEMONSTRATIO. ^Vir. E. diuidac ABi in figuras minimas, funiinaexE.miaor cft.quam fumma cx quolibet puiido F.ciufdem rciVx(i8./i.)& ccianiminor, qubr\ ex quolibet piiftoG. pla- ni,vei folidi )Ergo cum fumma exE. minorfit, quam cx quolibet alio excogicabili puncto, ericE.ccntrum abfiolutc miaiinum. {^iwd,&c. Cj4i*rrl4liquet. Si enim fumma cxE.non cffetomniuinminima.non effet E.centtuin minimum,quodcftconcrahypoc!iefini :Ergo,&c. Quoderat demonitrandum. PROPOSITIO XU SIin Teclafuerint qu^liitcpunSa ,€5’ « centrof. minimofph&rn defaibatur iujolrdo, ‘uetcirculusinqsioMSplana percentrum fi. tranfemte fumma ex quolthetfiiptrficiet fph tria, niel drcunfercnlu circularis pun-ita ,fuperalnt minimamtotidemf. ex radio0ecomteif7. EXPOSITIO. Eig-17. glcE.ceffffawjf.adA.C.D.B.ex quo deferibaturin foIidofpJixraGH vcl circulus in plano: dico fummani ex quouis punfto G. vd Tttrs pnmn. Fropofitio XLL yy V€lH.fuperficiei,velcircuDfercnti*di£tefuperarcminimam exE.ioudciaffxx radio EG. icoHtrd. DEMONSTRATIO. J^AdiasEG. eftdiftantiacctiia qucuis pan- £tociicunfcrepti!e,vc!fupcrficicifpba;ricse:fcd C.X quolibet punfto G.aflumpto plani, velfalidi fummafupcratminimam totidem diftai!ti*GE(59./'.) Ergoex quolibet piindtocircanfcrentixcircularisin plano, vel fupcificici fphxric* in folido fumma fupetat ni inimamtotidcmfigutisexradioEG.Quod erat demonftranduni. ICum {ummafempet habeat eundem cxccirameideminiaim£6{’umma5,{empcr erit »qua!is,veleadem(3.^.) 5Eteconusrfo fi ex quolibet punfto G. fcinperiit idetn cxceffus, nepetotidem^EG. pinftuinE. diuidet rcftam AB.inficuusmiiumas(39.(?.) Etgoetit E. ««fwwj^abfolute. ininimum, Quodcrat,&c. PE.O: 6i CeometntMa^mmnm^s'. .cxcenUmsiTc AFG-ha EG+oF&J- OFG-t* OfG.qu^priocibusfimiliafinr. DEMONSTRATIO. PEr F. &G.ducacurHM. vtrinque infinita, a<i quamex A. B. C. D. E. demittantur perpendicula AtiBK. CI.DL.EM.&crit "i.cendatis fimilium adH.LK. L-M^44^.) led AGH.nGI.aGK.aGL OGM.fupcram fimilesfigurasl-H. EI.FK.FL.FM totidem fimil!buscxFG(3P./.)Ergofivirique partiaddaniuc fimiiesfigurse ex perpendicularibus AH.Q BK.DL.EM./«»>i»rf/GH.HA-t-Gr.- IC-i-GK.KBh-GL. LD-i-GM. ME. fuper.ibit fummamFH-HA-i-FI.lCd-FK.KB-l-FL.LD -hfM. ME totidem fiinilibus figuris CiiG (<j.F.)ScdcumanguliadH.I.K.L.M.{int nfti figur® AGH-l-AriA aequatur AGA{^^./.6.) &fimiliterAFHd-AHA. aequantur AFA.& fic de reliquis; ErgoyMAWJM4_^cxG. nen'j>;. A' GA-hOGB-v-oGC-V" DGO-h.OGE.iipcrancGinilcscxF.nempcAFA-I-ci EB.&c caridem fiinilibus ex FG. nempeAFG-t-a FG-t- cFGd- FG+ OFG. Quod crat,i:c. Fcaawff/a fi ex quolibet pundtoG.extraF. figui JccxG.fupercntfiguras ex F. teciden if. reeheFG. eritF. centrum Cjui.t tu rumma ex illo fit qualibet alia minor .erit cm- Farsfnma. Ffopojitw XLVII. dj omiium tiiinima. Qu,od erat ,&c. PROPOSITIO XLVII. O/fuerint inplano quilibet pt*n£ia njtcum^ ^in eo excentroff{iferitaturctrculus: jMimajiguraruex quouhetcircunferentUpun- Hafuperat minimam totidem fiptrisJimtlibus exradio-.?SfempeTer:teadem-.f^econtra. EXPOSITIO. Iig.it. ^Int io plano pun<5ta A- B. C. D. E. &in illo ^coruinccntrumF.es quo dcfcribatur quilibet circulus ZX. Dico fummamerquolibet pundoZincircunfcrcnciaaflumpto fuperareminimamexF.cotidemfijjurisex radioFZ. ^econtterfo.DEMONSTRATIO. (^VniFZ. fitdiftancia centri acircunferencia:fumtnaexZ('upcratfummamcxF,cc>> tidem^cx FZ(^«./>.) Ergo cumhoede quolibet puiidlodcQionftrccur.conftat veritas, Ergo cum funnnalcmperhabcateundcm acefluin rfeinpetcrit tequalis, vel eadem (j.P.) Quod.&c. Contterfa patet vt in pracedenci. 64 GeometruAda^e'mminima . ^ IROPOSITIO XLVIIl DAthqnihsli^ttpungisinfUno,Ji extra /HuaJujn-a, vel infia fumatur quotcumquepungunt' Figura ex affumpto/uperantpla- ni minimas totiaemff.(imtiibus ex reda ab affumptoadcentrumff.plani. £XPOSITia FIg.i». ^fnt pu(5ta A.B.CD. E&figuiarum (pccies ^A.dB-caC.aD. OF..centrHmff.p\in\ fit f.&affunatur qaodlibet punftuni Z. (upra planum cleuatum ,vel depreflum infra. Bico/Kw»w<*»3^datisfimiliumexZ.{upcrarefummiitij^cxF. totidem figurisfimilibus ex rciffaFZ. iju* accntro ad afiumptum duxritur. DEMONSTRATIO. J^EmicaturZG. ipfi plano perpendicularis: -&cxpundfofc£tionisG. ducantur inplano tc£b®ad datapundta.GA.GB. GC.GD. DE. quibusomnibusperpcdiculariserirZG. AcomnesanguliZGAl ZGC.&c. erunt recti (a?,P.)Du(5tisfgiturZA.ZB.ZC.ZD.ZEopponcii cur angulis rerftis; ErgoAZA, fuperac AGA.toro AGZ.&aZC.fuperataGC.toto tsGZ. &:c. £i§p>fummaff.cx Z, fuperat fummam cxG.Cocidcro^cx GZ.Sedfumma Parsprimd.FropoJttioXLIX. m4JpcxG.fupcrat minimam ex F.cocidcm fimilibusex teftaFG (45.P.) cx Z.fupcrac minimam cx F.cocidcm figuris c.x reftaGZ &cotidcmex redtaFG.fed AFG+ ^GZ.sequancur AFZ. quod angulo re(5to op ponicur(4/. 6.)&ficde rcliquisitrgo totidem _^FG+ totidemJ^GZ.xquatuc totidemFZ. Ergo fumma e.x pundtoZ. fuperat minimam exccntropIaoiF. cocidcmff. :c6txFZ. Quod erac,&c, PROPOSITIO XLIX. CEntrumin pUnommmu adqu.tuis demplampunUaefiabfolutiminmttm. iSiexeod^crib ilurfphara-fummaexquo- libet fupetjicieipitncdofuperat mihmafKtoridem ff.fimilibus ex radio. 5Su/nma^.femper^eadem. EXPOSITIO. rig.iS. ^Incdacain plano pundia A.B.C D.E.&plani «fl/rwwjf F, dico ede abloluce cutrum minimumcriamfolidi;&: fummam exfupecfi» cicfplaierica femper *qu ;km. DEMONSTRATIO. ^IcxtraF.fumaturquodlibct purdhim G.in plano:fummiexF.mHiQceft(<6_?)S!puiidtumZcxcrapknumfumacur enam fumma Icx 66 GcometrUMugnimminimis. ex F,minor eft(48,^.) ErgocumfummaexF. fir qualibet alia minor,erit omnium abfolutc miniuiai&F. cenirum afafolucc minimum, &c. 2Si cx F. deferibatur fphxra, quodvis punftum{uper6cieidiftatacentroF.totoradioFZicdcx quolibet punfto extra centrum F, fuiruna fuperat minimam totidem figuris diftantia:(46&48.>’-)Efg° ^quolibet punftoZ.fupetficiei fphiericifumma fuperabit minimam totidem figuris radijEZ, Qued erat.&c. 5Cumfumma femper excedat minima eodem excelfu ,nempe totidemff. datarum fim ilibus,fempeterica;quaiis,veleadc.Qucd eiat,&c. PROPOSITIO L. Slfiienntinplano quAlihetpttncla.ex quilm; ducanturperpeodkitUresinifJunipUnum. 'vel in aliud planumper cenirum ffirarjitt.sidem etiam eriteentrum^. adperpindmlorun, fixiones infecundoplano- EXPOSITIO. Flg.is>. TM planoXZ, fintqudibet pimifia A.B.C. ^D.Equorum centrum minimum ficF.TrS- feat perF. quodeumque planum RS. fccans pri- Tdrsprtma.PrepofitioL. 67 primum, &communis fefkioBtPQ. Demicranrurpratcrea rcft® AH.BI.CK.DL-E.V1. plano RS. perpendiculares, fecanrcs tpfum in H.5.K.L. M. Dico punftumF. efle pariter cen- //•«wjf adH,I.K.L.M.qu:Kfimilesfincclatisin A.B.CDE. DEMONSTRATIO. nVcanturexF. rc6ts FA.FB.FC.FD. FE. tu FH,FLFK.FM.FL.&inplanoRS.funiatur cxccaF.quocilibetpuiictuniG.ex quoducantut etiam redtead omnia pundtaicumangull FHA.FIB. Scc. tumGH.A.GlB.&;c. redti lint (»5. P.) iiF A. sequatur AFH-H AHA, &a FC.xquacur aFK+nKC.&c. {n.l.6 )Similiter AGA.xquatur AGH4-AHA,&c.(4/.^.) Ergo (ummajf^GA.GB.GC.GD.GE. aequatur fummxCGW.HA-+-Gl IB+-GK.KC-t-GL. I.D-l-GM.ME.&rfumnMff. FA.FB FC. FD. FE.xquatorfumm*^FH.riA-t-Fl,lB-i-FK. KC-rFL LD-^-FM. ME. SeJfiac pu nftumG-fit in planoXZfiue extra .fummajfexG.fui)erat fummamjf.cF.tonJcmfigutisrcdtsFGC^S.vcUS.p.) Ergo figurxGH.HA+GI.IB-i-GlCKC-rGL LD-f- GM.MD.fuperautfigurasFri.HA-t-FI.lB-r FK. KC-hFL. LD+FM, ME t^ tid.Ill figuris rcdtxFG.Ergo ablatis verinque cumoiuai- 68 Geometri* 2'Aagn* in minimk. bus/HA.IB.KC.LD.Mt figurseGH.GI.GK GL.GM.fupcnbuncFH.FI.FK FLFM. ictidemj/TrcifbeFG.Ergo cum hcc de qoclibet punifto G. deraonftretur, erunt Fgurse cx F. omniuir. minim*,&F.cf»?r»»»_f.ad iedioncsperpcndiculorumH.I.KL.M. Quod erae &c. Eadem cftdeinonftratiofi perpendicula res priniDplanoducantur. PROPOSITIO Ll SlfUenntinpUnoqitililietpmcia,^ per ilU kitcMtur qamis paralleUfeeantes tpfum, &quodlihtnUadpUnifmtranfiempercentrum ff. 'vteumque-tdemetiam erit centrum ff'.adparallelarumfe^ionesin fecumioplano. EXPOSITIO- Ftg-is-. 5lnt inplano XZ. pun(fta A£. C. D. E. &comncentrttmff. F. per quod cranicat plan um TV.& per A.B. C. D. E. paratkla: fecan tes v tcumque vtrumque planum idicoF.effe centrum ad feiftionesparallelaruni in plano TV. DEMONSTRATIO. 51 parallelae fintper]'epicu!arcs,velpfanoXZ. vel planoTV, conflat veritas Si ncuirofint perpendiculares: concipiatur per F.pIanumRS.paralie!isperpeiidicubre;Ergo Parsprimn.ProfioJiiio LIl. 69 ,eri tF. centtuin ad faStioncs plani RS (yo. e, ) Ergocumix pundlrisH, I. KL.M, fint perpendicula parallela, ScplanumTV. fit percentru F.ericF.cf/j/ra^adfcaiones plani TV(yo./) Quod cratdcmonllrandum. PROPOSITIO LII. S'tfaufiatplanmiiiidqmd ^exdatis ducanturperpeadicuU--idem erit centrumff'.ad. planifecdiones. EXPOSITIO. Elg.is. ^Int puntki A.B,C.D.E.iEi(olido,& centrum /.'f.pcr quod rranfcac planumRS. cui fiiu perpendiculares AH BI.CK.DL.EM.dicof. ^ifccentrumf ad plani fe<5tionesH.I.K.L.M. DEMONSTRATIO. A.Sfumatur in plano RS. quodiibet puncKi G.cuin F.fit centrumminimum ad puntAa falidi AB-CD.E.exhypoihcll figurx cxG. fuperanr/cxF,aliquocxcefru;alitcrEnon effer centrum minimum; fit crgoc-xcelTus Y.. cum anguli inH. IK. L. M. fiiiricdtijfiguw CA.GB.^^c Jequantur/GHA.GTB.&c. Tum figura;FA.FB&c.*quaiKiu/FHA.FIBA-c. (4./.6.)Ergo^GHA.GIB,&c.fiiperanrFHA. FIB.&c, roto py. Ergoablatisconiniunibns HA. -jo GeometrUMagnithmHitm'. HA-l'B,8cc.figutsGH.GI,&c.(u,pcr3ntjJ^FHJ Fl.&c.coto /.ErgoF.cft«Bm<»?_^.adH.I. 5:c.ficucinjo^.QuodAc. PROPOSITIO LIII. STinfolido cjt*ilthetpitnBa,pefquA dttcantw qHiUhetpAralkUfccantes fUm tranfiensper centrum^vtatmque-idem erstcetn*mf.daplanifecfiones. EXPOSITIO, f.s.19. CInt A.B.C D.E in lolido cenirumffj.^ct “quodttanfeacpUnumTV.&qnseuisparallels.AH BL&c,fecenc ipfutnvccumque, DicoF- cflc centmmff. ad plani j6c parallelarum fedtiones. demonstratio. CIplanumTV.tic parallelis perpendiculare, •conftac veritasex Ja/. finon fuerit ;concipiatur planumRS. parallelis AH. BI. &c. perpeudiculate-.ErgoeritF centrumf.ad feiRioncsH.l.KL.M^,^!.;') ergo cum planumTV, iranfcatperF.fwft'»**^' P^^^i RS &fccetp.-i- lallelas, erit F. centrumf. ad feftioiies plani TV(50p.) Quoderat dcmomlrandum. Geometri* Mafftthjminhfiu. quas omaescompkditurhjecpropofidojEt-, goconftatomniumv«itas.Quoclcrat,&c. £ea*ndaprop(ficionisfars nec^aris^it, re~ Uqif* inunamcolleSAptatiKepro centriff. -vel pandorum diaerfitate (inguii propofitiones ia operis decarfupofimaoducend*fint. PROPOSITIO LXL SIinplano.vilinjotidojuerint qa*libetpun- dcentrof-ducatarreciiiadiiliud nouampandam-fnmeritcentrumffladomnia, ^ 'eeonaetfo, EXPOSITIO. Fig-ii. CInt data puncta A.B.C.D. in plano,vc! in fo- 'Jido vccumques&aCww^adillafitF. Prastecea datum fit nouum aliud punctum E. vcl ineoden^lanOjVelinfolidoiDudtaFE.dico «Bfmw^adomniapunClaA.B C.D.E.efleiii rcCta FE. EtecKOterfo fiF- fit ccntrumad A. B. C.D.E.&L.fitcentrutnadA.B.C.D.E. dico rcdtamFL.tcanfitc perE.yclreCtamEL. cran- Crc pctE DEMONSTRATiO- CVmatur extra redtam FE, qucdhbet pun- CtumH, Educatur FH.& hoc radio defcribacur fpbsra fccans FE. in L. &ducatur EH.CumpunCtaH.L-fintinfupcrficiefpfajcra Pdrsprima.PfopoJitio LXT. ',9 excentro^^F.defcrjpt2e,fummajf. DHA+A HB+oHC+OHD.sequaliseftfummse^ LA+<iiLB+oLC+ OLD(p5.;-.) fedOEH. maiuseftqaamOELquiaintriaiiguloFHE. latera FtiHE-maiorafutirquam F£ (j./. i.)& ablacisaequalibus tadijs FH-EL.rcmancE HE. innorquamLE.ErgofummajfHA,HB.HC. HO.HLmaiorcftfumm3 j^LA.LB LC.ED. LE.ErgocuiulKJcdemonilrerurde quolibet pun£k)fiextrarcftamFLaflampco,-pundlu irriniin*(umm*,vclr«rr»«j^nequitefle extra icdbanvFE.&ficetvtmilla. Quod erat demonftrand im. Econtietf» fi F. ft centrumad A, B, C. D, & L-fiteentrumad A.B.CD.E. retftaFL, tranfibitperE.velte£taEL.tcanfifajtp«f.quiacam icdbFE-demonftratafit eadem cumFL. vel cumEL.nccefiarioFLvel £E. tranfcunc per E-ScL. Quod«atdemoiiftrandain. 8o Gcometn4MagnAittmi>ums. PROPOSITIO LXII. STexccgmto cenndff.adaH/tpuncia pUni, ve\fsltdi,Tedtt\natmddaiia ila dtuidatttr vtteiiiimflgureiifmpojitisjimiles exparte centro proxima,jint mmmuadnomm addendam fx aliaparte-illuderitcentrum§.(^econtra. expositio; Fig.21. Clncdatapuaila jf- ^datis O.fimiliumcollccandaeftin nouo puncVo E. figura 0.Si fE. ita diuidatur inL.vtquatuorfigutxEL.datisfmiiles(quia F.cft cetrum qua tuor punctorum A.E. CD) miniin*fintad nouaraLE;fci icccvt OLF+ AfF+r-iT F4- oLE.minimxfigurxfint 0 LEDico L. fore centrum jf. ad omnia punfta A.B.C.D.E.-3cficdequibuslib=talijs,fijc figurxdacefiiniks inccrfcfint .fiucdifsimilcs. fi F, fin:<'KOww;^ad A.B,C.D.& L.ad A.B.C.D.E.Dicoredtam FE.diuifatneff£inL.vt<i^FL.datisinA.B.C.D.fimilcs,mi. ninixfiiiccuiuvltimafiguraLE. DEMONSTRATIO. F. fupponatur.wffft-ww f. cognitum ^adpun(5kaA.B.CD;E.&:IitE.i30uunipun- ctum.dudtaFE.in il?a£fi'r centry.mjf.zd A.B. CD.E(6i.p, )fcd alTumpto inFE quodlibec alio PArsprima.Profofnio LXn. 8i alio pundko.extra L.fumnia^^ DRA+ H- aRC4- QRD.icquacurinmimajcxF. nempe §. FA.FB. FC.FD.-1-4-/ ER (tfo./. )Ergo fummaexR,adA-B.C.D.E.squaeuriHiniuia; exF. FR-(-OLE.fed eadem ratioji^ ex Ljequantur minimafumroi ex F-i-4^^ -)- 0F£. Ergocum4/FL+OLE, fiipp^antur luiniiria, jioc cft ,nunores quifeusljbci alijs 4.jfFR4- ORE. erit fuinma ex L. minor qualibctalia ex quolibet piin£toR.Ergocti£ L. ctnintmff vcl cenfrummmimttm&Aommi puiidla A. B. C. D. E. iuxta fpecies figurarum datas. C^od erat,6cc. Eadem omninbefldciiioirilratiojfiaeeestmmff. priuscognitumfic ad duo ,rria ,vel plura quixlibecpunifta,dum prtedidadiuifionis ratio obferuata fit. Ecomerfo fiF. CKctntrumff ad A.B.CD.Sc L. ad A. B.C. D. E, fumma^ex L. minorctic qualibet alia ex quouis punfto R. fcd funmia ex Lsequatur minimxex F-i- FL-I- OLE. (fio.p.) fiefummaexR. fimiliter tequatur minimse.xF-i-4^FR4-0RE. Ergo ablata vtrinquemirimaiummaj^cxF.adA.B.CD.remanebunc4^FL4-OFE. minores quani4.J^FR 4-ORE,Eccumiiocfctnperdemonftrcturde quolibet pnnaroR. cxtraL.erunt4/FL-^- 0 LFE. 82 Geometni. MapiAin mininih. fE.omniumminimse ;Ergocf»;r»w/.L.ad A.B.C.D.E ciiuiditreckaraEE in figuras minimas. Quod etac,&c. SCHOLIVM. HO'theorema fufius explicandum fnir, quia inventio tocaineoconfiftic, obferuatis figurarum fpeciebus iuxta qualitatem qu*ftionis. Theorematis etiam conuerfio inligncm habet in Geometria, vium, quod Aufpicc Deo in fecunda huius operis partemanifeftumomnibusfiec. PROPOSITIO Lxm. RESacomungensdito centraff.adalia, dliapLni,vetfolidipm£latfanfitpercentrHmff.ado»miafirml,&honuerfo. EXPOSITIO. Fig.2i. CltpunftumF.cw^rwwjlfad AB.C D.fiuc in plano, fiucinfolidoiint,&E.t:o?lw»3/. adG.N.veUdpUiraeiufdem.vclaleeriuspIaiii,vel folidi;&: le^aPE coniungat vcruniquc centrttmf. Dicocew/rwj^ ad omnia fimui A.B.C.IX G. N. &c. efle in recTaF E. vel illam itanfire per centrumfcovuerfo :Si F, fic centrum ad A.B. C.D. &R. ad A. B.C. D. G.Fs,&ducaturrc(5UFR DicotranfireperE. Cf«/««Wj^pundIorumG.N. dcfiducacurER. P^ipiittM.Prspp/tihLXUf. 8.3 tranflrepcrf.fOT/rwOTj^punAoruaiA.B.C.D. DEMONSTRATIO. ^VmacurextraEF. quodlibcc punctuinH.& ‘^dacStur FH.HE&radioFH. defcribatur {phasraftcansFE.inL.In triangulo FHE.funt FH.HE. maiores >quaniFE (j./. i .)&ablatis squalibus radijs FRFL. rcmanebicEH.tiiaiorquamEL. Summaj^ex H.ad A- B. C. D.squarur niinimsexF+4j^FH(fio,p.) .iffumjuacxH.ad G. R.squatur minimsex E+z.ff. HE(60. p. ') Ergo lumma^ cxH.adA.B.C.D. G. N. squaturminimisexF.&E+4jfFH+2^HE. Similiter lafnma^.exL.aaA,B.C.D.G.N. ert squalisminim!sexF.&E-i-4,^FLvclFH.-f- i.^LE. Ergocuuireliqua omniafiat xqualia, i^HE.maioresfincqu^iijf^LE. quia bafisHE.demonftrataeftmaior.eiit fmma es H. maior quam fumma ex L. Ergo nullum pun^um ti.cxtraredtamFE. potcft cfe fraTW^ad omnia pun(aa A.B.C,D.G.N. Ergo onmia eft iij rcfta FE.Quoderat, Eeaftuerfo fi ree^aFE-tranfic per omnium rwrr^w^R.rcdtaFR.uanfibit perE, vel ER. petF.4uiaFR.ER.EF.eadcnncct.ifunt.Quod, &c, IF-O- S4 Geometn*Magnt.'mmnlmU. PROPOSITIO LXIV. SIred4Conmngensiiuocentra^.adali4, €5" aliiteii^!km,vtldmtrftplani,velfolidipm- SajtitdiitifaJtfvt totidemfifura vntus partis, quotfiiapmlia,mmm&jint totidem figuris alteriuspartis,quotfu4puncia--diitiJionfspHn&um frttcentrumjf.adommafimuUf^fcsnuerfo. EXPOSITIO. Flg.*!. git punftum i.centrum^.id A.B.C.D. inpla- '^ao,vclinfoiido:&E.ir(fff/r»;^^adG.N &c, redkaPE. coniungenscfwfr^^F.E. diuifa fit inR.vcquatuorfigurxFR.fimiies datis A, ^B.aC.OD.minimaefintduabusfigarisRE. datarum fimilibusDG- ON. luxta puncftoru cuius ibetcctri numerum,Srfiguraruis Tpccicm.DicoR.eflecwrrwwyf^ad omnia pundta fimulA,B.C,D.G.N.£'rfC3«»CT/sfiE.(it(re«- tvawsJ^adA.B.C.D.G.N &F.ad A.B.C..D.& EadG.N.DicoFF.diuifamefleiDR.vt4_f!^fR. mininiKfinrad i.jf.RE. DEMONSTRATIO. SVmma^exR.adA.B.C.D.2equaturmini- nitecxE+4ji^FR.&Iummajf.'cxR,adG.N. SEquacurmin!maeexE4-2j?rRE(do.^ )Ergo fiiinma^e,x R.ad A.B.C.D GN.sequatur minimis ex F.i3cE.4'4/'ER+j^-RE. Similiter com Parsprimd.Propofitio LXn^. jy conuincicurfummam ex quolibet alio puncto L. redteFE *quari minimis exf.&E+ 4/FL+i/LE.Ergo cum minima fumm® cx F.&E.communcsfiiu,&:^fE minores fintcx Hypothcfi quaqualibecali® 4i^FL4-j/LE.{umniacxB. cric omnium minima, quacx quolibet punfto reifheFE coIlrgipoteft:Ergocum<?«/r*w^iitinrc(aa' '^i{6z.p.)zth'9^.cenln(»7f.a.b(o\accminhm ad omniapunfta A.B.C. D. G.N. Quoderat demonftrandum. £«»«<^/0 fiR.fit centrumff Aiamniz pnnftaordiiierecrogradoconuincitur 4£FR^- 2.RE. minotescirc quibuslibct4^f LE.proutinfii./i.Qupderat.&c,''^ S(5 GeoMthigMaptttiii mhfmiC CAVYX iii: PROBLEMA CATHOLICVM •B.ESOLYITVR. tnfintn<>,?^fecundo C4p(telraditafmtmProhle- Jio/fw fiernet viam aliorum ex fr&- cedentibus srta,ae eodem fere .ordencdemanfral^. The6rematumvernantesjiores,haitdflsrilem prodicunt annonam, qui omnes,ni frigons ,vel ajlusinfolentia tabefcant, in decoclds autumnahuntproblematumfu^us Prscocesalij,quosin hoc capite colligemus ialtjverv Serotini diutius calore Solis decoquendi infecundam operis partem colligendi venient :querpmfapor,eo forte patior , es” iucundior erit, quo minus 'e minino Ceometrufindo, velfperari potuit, velfaltem debuit. PRO- P4rsprlmx.Pro]>oJitio LXV. S7 PROPOSITIO LXV. Problcnia i. DAts quoUht Tridttl^la ,vel pardlelogr4mmoitUHdipJiminmiwt,^akeridA- t9fimUsimerdre,yelinterpardUUscsnptttere. EXPbsiTIO. Fig.»2. glc.datum TriangulumABC.inuenrcndum cft BED. quod ipii minimum fit, vel inccr eafdcm parallelas,fimilerainsnHIK. Conftruciio i.. ContinuctucbafisABE.infinica.&fiatCD.ipfi parallela infinita,&angulusEBD.*qudisH.&BDE!EqualisHKI,Dicofaetum. DEMONSTRATIO. 'pRianguIumcnimBDE. eftcxconftrudlio- 'nc inccr parallelas cum ABC. Ergo fune triagula£equcalta(8./.i.)ErgoABC.BDE. (St niinima(io./».)fcd cumanguliB.&D.aqaalesfincH &:K.rcliquusE.a5qualiscttI.(?,i.i ) ErgoBDEH[K.cumfinrsequiangula,habcnt latera proportionaIia,& funcfimilia (i l.«.) • ConptfU. 2. Si datum fit parallelogram-' mum AF. &BG. fimile debeat elk HL. ducaturdiagoniumKI.& fiac TriangulumBDE; fimilcHKI. vtantca.&ficEG. parallela BD. j4 GeometritAiagnainmininus . dicularisXZ. xqualis YS.& ducaturZO. pa- 'raUelabafiAB.&fiat vt antea vcBN. ad BC.‘ itaBO.adBP. ;Deinde ducatur PH. parallela bafi AB.fecansdiagonium inH.&fiantHG.HI.IK-KM. iateribu5patallei*,iSccrk redtilineumAGHI KM. finvde ex parallclifmo ipfi ABCDEF. (5.j6’.7.) DicoelTectiaminiinutriaguIo(^S. DEMONSTRATIO. pErpendiculumOT. eft altitudo trianguli QBS.ScVT,altitudo triangularisfegmcrti lAGti.EftigiturTO.adTV.ficutBO.adBP. (i.Z.6.)Scdinparal!elogramoGP.func£Equa- UsGH.BP (a-h.) ErgoTO.adTV.eftvtBO. adGH.vcIBN.adBC. ex conftrudtionc, hoc eft.vttec^ilineum ABCDEF, ad fegmentum ,ABC(i7.p.)fcdetianivt rectilincuABCDEF. ad triangulumABC.ita rcclilincum AGHI KM.ad triangulum AGH(4./.6.) Ergo ratio BO.adBP.vel BH.hoceftTO.adTV.cft ratio redtiUnei AGHIKM. ad triangularefegmentumAGH(i./,f.) Ergo TO. altitudo TrianguHQRS.eft ad altitudinem TV. fegmc.oti AGH.vt totum redtilincumAGHIKM. ad ttiangulatefcgmcnrum AEG.Ergo AGHIK LM &C^S.(ucfigurseminim*(t2.^.)Quod cratdcmonftran<luni. PRO- Parsprimd.Prapofitk LXXI. py PROPOSITIO IXXI. Problema q. SVpradatamreciamcon^ituere triangulum , €? reciiliniUm datisJitmlia qut iaterfemi- EXPOSITIO. Hg.Jj. §It data rc(5taj^. &rc(ftilineum ABCDEF. & Triangulum Q^.diuidendacft in j.vcrcftilineumfupra/y.&triangulumfupra jp^.fimiiiadatislint minima. Cort^ntd. Fiat triangulum iimilc dato Q^S. &minimu reftilineo ABCDEF. ex y. p. velrcflilincumAGHIKM.fimilcdato ABCD EF, &ininimutu triangulo QRS.<x<5./. 5:diuidatur_^.inj. vt fit/j'.3d;^f.ficurAG.adQR (2 p. %.) Suiaptzfj. fiat r€(5tilineuin fimilc AG HIKM.&fupraj^g. triangulum fiinileQRS. {'if.q.) Dicofadtum. DEMONSTRATIO. ^VmenimAGHIKM.&QRS.fiiitfigar3:m{ •nimseexcoftru(5tionc:&^. fit diuifa in ratione bafiura AG. ad QR. erunt figui* lupra .0'-J|-'ninim2e(3O./^.)Quoderat,&;c. PROJ 95 CeomitritMagn/immhmU. PROPOSITIO LXXn. problema 8. DAtuquibufcumqw tn4TtiuUs,velpitrallelff^rammts altttd ^$cere omniumfummtminmum,i^d4toJfmile. 2Sttjrra datam. reSam triangula,velparalUlogramma conflituergdAtisJimilta,qu!)rum vmmminimum(It relicuorum fumma. EXPOSITIO. fig.2<5. glnt dataTnangula ABC.Dhf HIK qa-eri- cur PQS omnium (ummaeuiinimum, £cfi* milcdato MON. Confiruil. i. DucancurciTCrticibus perpendiculares AB. DG.HL.&affumpco in rc- «fbi infinita PQjquolibecpuncto P. liePR. jpfi perpendicularis,ficaequalisfunim» omnium perpcndicu[orumAB-l-DG-(-HL.&ducacur RS. infinita parallciaPQ^Fiat deinde anguius QPS. 2equalisM.& PSQ. «qualis O.critque SQP.sequalisN (}.I. iJ) Se triangulum PQS. art^angulum, &finiile MNO.etitque minimumdaclSABC.DEF.HIK. DEMONSTRATIO. . OVoniames conOtudtionehabccPQS altitudinem PR.«qualem{uinm*altitudi- num AB.DG. HI., cft omnium fumm® nii- ni- ParsprIma.PropcJitio LXXII. nimum(j«./'.)Idcm<juccftdcParallcIogrammis.Qupd eracdcmooftranduin. EXPOSITIO a. 2Sit data rcdtaT Z. fupra quam co'nftituendafincquatuor triangula finjilia daus ABC.DEF.H!K.MNO.itavciimimileMNO. minimumfic ad fummam fimilm ABC. DEF. Con^mci. z. fiat primo trianguIuPQS. fimilcMNO. quod fit minimurn rcliq orum futnmxABC.DEF.HIK.vt antea, DeindefuniaturbafiuiuBC.EF.IKPQJomma :&fiat vt fumma bafiuni ad BC,j taTZ.adTV, &iterum vt fumma bafium ad EF. ita TZ.ad VX. & Iterum vtfumma:bafiumadIK.icaTZadX7. (2.?,7.) Conftiruaturdeindefupra TV. triangulumlimilcABC.&fupraVX.triangulum fimileDEF. &fbpraXY.triangulumfimilc HIK.&fupraYZ.fimiIcPQS. Dico criangulu iupraYZ.cfleon)niurufunniijc minimum. DEMONSTRATIO. Cum enim icdta TZ. fit diuifa es conflru- Aionc in ratione bafium BC. EF, lK,r<^ &a PC^ficniinimumad triangula BC.EF.IK! erit AYZ minimutrianguIisTV.VXXZOo £-,) Quodciacdemonftranduni. NPRO- pS CtametritMagnAinmmimis. PROPOSITIO LXXIII. Problema 9. CVtlihet re^iineo aliud minimum ^Cfre alteri datofimik. aSuftadiitamreciamduoTeSilineaconf^h tuereminima,^datisfimilie. EXPOSITIO. Fig.»?. CIcdatum redilincumABCOE. cui mini- *^mumcfficieDdumcftIVST.fiuiiIe daco IK LM. Con^TuUio. Ratio reftilinei ABCDE.ad ABE.fitAG.adAE.(iT./>0'^GH.perpcndicalarisBAH.rrKtcrea raciolKLM.adlKL.fit KlSI.adKL.(n.0.)&NO.per|JendicuiarisbafilKO.fumacufOP-sequalisHG.&fiac vcNK. adKL. icaOP.ad OR{i.p.i ')¶lleia IlCfecansdiagoniuminS. duftUST SV. &c, parailelisericlVST.fiiTiilcIKLM (1.^.7.) DicoIVST miniEnumcCIeipfiABw.DE. DEMONSTRATIO. •R milincumlKLM.adfcgmcncumlKL. eft vr IVST.ad IVS (4 Ul) fedIKLM. ad IKL. eftvtKN.adKL.hoceftvtPO.adOa. Ergo IVST.adlVS. cft vtOP.adOR. fcd quodlibcc rrianguium nempe GHA, habens altitudine GH.velPO.cftminimumipfiABCDE quia tius p4fvpr{m4. Prepefitio LXXIII. '99 eiusaltitudoGH adalritudincmHQ.fegmcti ABE.eftyt ABCDE.ad ABE&ctiameftminiraumreftilineoIVST. quiaaltttudo cius OP, adalticudiaemOR.iegmentilVS. cftvt IVST.ad IVS( Ii./».)Ergoccijm rcftilineaAB ED.IVST.func inccr fe minima {9.p. )Quod fuerat demonftcanduin. coNsraver. », et demonst. ^Srnt datarcftiiincaABCD.lVST.&rc-^ 6baXZ fupraquatnduo aliaipiisfimiUa collocandafuin.&inccrfeminima. fiatlVST.minimumipG ABCDE.&fimikIKLM?Vt antea deinde diuidaturXZ. in Y. vtXY.adYZ-ficTcAB ad IV. vel vtfunKna AB +lV.ad AB.itaXZ.adXYfi.^.-7.)(^fiatfupra XY.rcailmcafiTnilcABCD.&fuprayz.aimd fimileIVTS(?.p.7.'])&eruntinterfe minimas quia XZ. diuifaeft in ratienebafium AB. IV. (?o.^.)Qu3derat,&c. 100GeometriAAiagnainminimis. -. PROPOSITIO LXXIV. “• Problema lo. DAtis (quibuslibet re(£il!ntis aliajimiliamterfeminimaefficere. *Datam redam diuidere in qualibet redilineaminima datisfimilU. EXPOSITIO. rig.j«. CInt data rediilinea A.B.C.D.E efficienda ^lunt aljafniibajVt cmniafintinteikminima. Confirud. I. FiatP.fimileB.&minimum Triangulo A. (,^o^i) ItcmG.fimileC.&minipiuin ipfi A. Ireni H.fimilc D.& minimum cidemA. ftcmM fimileE.&minimunicide A.(io./i.) velfiA. nonfic triangulum (73.^.) D,icoA.F.G,H.M.efrceiiiHmaincer{e. ,, DEMONSTRATIO. 0Vmenirr.omnia minima fine es conftru- £tioneipriA.eruntinterfeminima(9.p.) Q^cderat,&c. CONSTRVCT. 2. ET DEMONST. *SicdatarciaaXZ,diu!dendainfigurasminimasfimiles A.B.C.D E. Fiant mrnim* A. F. G.H.M.vt anrca.&poftcafiat vt fummabafiiim A-F.GH-M.adbafiniA icaXZadXP.& fupcaXP.fiatredlilineumfimilc A. Deindevt Ium- Parspnm4.PrepciJttie LXXK toi | flimmi bafium A.F. G. H. M. adbafimF. ita S XZ.adPQ^&fiatfupiaPQ£c£tiIincumfitniIc i F.(j,^.-30Q“°'^^ontinuabicurdoncc expkaturrcctilinca:eritqucXZ.diuif3inrationcba- fiuinfigurarumminimarum-.ErgofTgurKfupra partes redt* XZ.conftitutscdatis fimiles «unt iiuctfc minima:(jo./.) Qiwd crac,&c. PROPOSITIO LXXV. Problcn.a II. D/4t4»i reSAmdiuidere in quotcumfigaras rmnimASjimilef interJe. iDatum reUam dimdere in duas partes, vtfiguravniusmmmajitadquotcumquejtntiksaltermpartis. ?Datamre^am dsi»deret'idi*aspartes,'vf quotcumquefigura vnitts minimafint adquotcumquejimilesalterius. CONSTRVCT. ETDEMONST. FIg.JO. ^Ic dacaiedta AB. diuidatuc mtot partes .xquales, quot figurae fmulesdefidcrantur; nempe bifariam inF. &erU0t AF.FB figurae minimse.vel trifariam in E. G.ocrunt AF,.EG. GB.miniinxivel quadrifariam iu IF. M.&c. Seinpcrcnimfigiirar fimilcs habebunt squalembafim.ex squalidiuifione: Ergo erunt in- KtfeminimafiS^.) CONS- lOi CiomtniMefinxmmhmu' CONSTRVCT. ET DEMONST. 2. 2SitdiuidcndaAB induaspartesvt figura Tuius minimafit duabus alterius,vcl eribus, &c. Diuidatur in tot partes squales, quot funcoinnesfigurs.&primumpundtumdiuifioniscftqusticununempcfifigura vnius minimaefie debeat duabusalterius, quia fut tres figurs.diuidecur in tres partes AE.EG.GB.& figura EB. minimaericduabusAE. Si vna debeat efie minima quinquealijsdiuideturinf. partes AD.pE,EF.FG.GH.HB, &figura DB. minima erit AD. Ratioom iium eft,quia fempermaiorparseft minoris multiplex :Ergofigurae.K parte maiori, minima erit totidemfigurisli.nilibuscx minori, quoties h*c concinetur inmaiori ,quia eius bafis fumnire bafiumcftjcqualis(29._p.)Quod,&c, CONSTRVCT. ET DEMONST. 3. 5Sic AB.diuidcndavtquinqucfiguriETnius partisminimacfintadfcptem alteriust vel in quacumquealia ratione. Diuidaturtotarcftainrot partes «quales, quot funt omnes figur*,ncmpem li.&fumatur AK continens quinquepartcs.&KB. reptem, Dicoq.figuras cx AK. minimaseflcf. figuris cxKB,& fiede quacumqucaliadiuifione. Eacioeft,quiacunij,AC,conftituantAK. Parspiimit.PropeJitioLXXVI. ioj &1. AC.confticuint KB. communis menfura AC.concmscur quinquies in AK&(cpcics in KB. Ergo ^.figur* AK.&; jjf.KB continent xqualemDafiuinfunima:Erg07.AK.miniuis eriit 5. figurispartisoppoficseKB^iS ^JQuod erat,&c. PROPOSITIO LXXVI. Problema la. DAttiijM$uJcum^uereSiiJineualiitd^ce^ reaheridjttofimile,quodmmimum^tota niumanleeedeniiHm EXPOSITIO. Ffg.jo. Cint Rca:ilincaABCD.GhlIKL.OPQ.ST. VX.&:efficicndumefl^i^_fIimileSlVX.&: reliquiquisomibus minimum. Consuli. loueniatur omnium raticncs adTtiarrgulariafcgmciua(69.p.) &demifsis perpendicularibus FE.MN. QR YZ. fumatur 1'corfumquajibccig in finita, &fiat vc IZ. ad fummainpcrpendicu!ariumFE+MN4-QR. icabafisST.aairouam bafim^<^(2 praW. fiat rediilincum^.fimikSVXf }^ Dicorediilincum /^.minimum efTe rehquotumfaramx ABCD+GHIKL+OPQ^ .DEMONSTRATIO. platcnimytTy.adT/.irai^adfi^.&dcraic-' iio GfometrUMjtgntmmnls.mt Si puncta fuerint tria A. B. C, excentto G.’ duorum A.B, ducatur rc£ta ad tertium pundfum Cdediuidatur rriferiam.vel fumatur tertia ipfius parsGH.& erunt ijf GH. minimjeHC(?7.^,)ErgoH.cft£’i?wrrJf/.ad A.B. C Si punfta fuerint quatuor A. B.C. D.inueniatur prius centrum H. trium pjiidforum A.B. C.& ex H. ducatur rcftaadquartu pundtumD.&diuidarurquadrifariam.vcl fumatur HI. quarta pars totiusHD. &crit I.crBfr. jfjf.'adA.B.C SiesI.ducatut redalF.ad quintum pun- <5tum F. &IK.rit quinta parsipfiusIF.eritK. ccncrumpun(51:orumA.B.C.D.F(?^.Ar52.^.) SiexK.ducaturredfa KE.adfextumpimdfu E.At fumatur KL.fextapars totiusKE. erit L. csntr.ff.ff.ii e.pundfa A.B.C.D.F.E.&itainfitritccontinuabiturjquovfque expleacuroniniapuncfta. H*cpiaxis£ufiuse.xplicanda fuit ingratiauiTyronum. SCHOLIVM. ^Vmccncrum2pj^fitvaicum(i5o.^.)poreriepumaum L.muItip(icimodomucniri, ficut cniinptimaoperatio fadfaeft in puncti s A.B. fieri potuit in AC.vel A.E veiF. D. &;c. In fecunda etiam operatione fumi potuit quod- Parsprhnd.PrepefithLXXXI. 11 1 quodlibec puiiftam cx reliquis ,&in tertia quodlibet etiam ex reliquis,&c. Sempeivlcima operatio finietur in L. qu« fateunditas eritforteoperanti iacunda,&mihi quidem mirabiiiscft. PROPOSITIO Lxm problema 17. D^tis quibufcumque partilis vteamque Mfpofitis i<}plano ,velm fotidoyMoertue mnimumfammamfigaritrMmfimtliMminterfe, qut ex quoMsJpati] imaginari}pmcload data co^gipotefi. CONSTRVCTIO. Fig.J*. glntdatapuncfla A.B.C.D.inuemacurccntru '^miniinumEff.jf.(^So.p.) &ducantur redtse EA.EB.EC.ED.quxerunt bales figurarum fimiliumcfficientium minimam fuiumam. Fiacprxeerea angulus reftus HGF. &fumaturGH. «qualis EA. &GF.*qualisEB.& du£taFH.fitHI. ipfi perpendicularis «qualis EC. &du(5taFI, fit perpendicularisIK. xqualis ED.&iungaturFK&ita continue fiecdonecexpleantur omnia data pundVa. DicoFK.eflebafmifimilisfigurx.quxcft mininnlumma omiiiuqux ex quolibet piaoi,vcI (olidi pundko aflurai potcft pun‘5ta A. B. C. D. 1 1 1Ceometrit Ai4gnim mhmu, DEMONSTRATIO. QVoniampanftuinE.cftfeflrr«OTj^j^ ad ^A.B C.D (8o./>.)funmufigurarumcxEA. EB.EC.ED.eritomoiumminima: fcd figura cxFK fafta squalis cftfumm* omniumFG. GaHl.lK.velEB.EA.EC.ED((5./».i.)Ergo figurafHuiliscxFK.eticfunima omnium roininia.Quod erai demonftranducn. MONTTVM. ^Mncsre£t:s,quscxce«/roJ^ad datapun- '^dladucuntuf.effcdcbenc latera homolooafigutarum<quiexipfisfiunt,alitcr res non fucccdecet vc fi figurx fimilcs fint trapezio LMNO.&fupra AE.fiatfigura fimilis vt AE. fitiatus horqplogum LM. omnes red* EB. EC.ED.&etiamFK.minimsfumms debent effelaterabomologaipfiLM.IdcmeritfiAE fiatlacushomologumMN,etiam EB.EC.ED. &FK.&C. Ptsterca raiaima fumma inucntaFK. reducendafepiuscftadfpeciemdatifpatij.vel adquadratum.autreaanplum, quod fiet quandoopusfuetitcxprobl.l5,praxi.^.noftrs Geometri® Eraftic». Pars prma. Propofitio LXXXIF. i r ^ PROPOSITIO LXXXII. Problema i8. DAtuquotcumquepunciismplano ,velin foii(iovecHmque,muemrecentrum^,Jf.m quouisplano dato,o minimamplanifummam. EXPOSITIO, ng.js. gtnt daca quacumque pundta A. B. C.D, in plano.vel in lolido .^^datum planum GH. in quononfunt punda falcem omnia. Quaritur in eo punaum F. ex quo eliciatur miriima omniumfigurarufimilium fumma ,quje cx quolibet eiufdem plani puntfco elici pcteft. CONSTaVCT. ET DEMONST. JNueuiatur pnmopundtum E.centrumjfjf. (8o p.') Secundoex Educatur EF, perpendicularisplanoGH fccans planum in F.DJco F.efle i:e»ft'»«^y/?pIaniGH. Demandatiocondat ex ^6.p. Tandemex cencroF.ducantur redt^ad data puncta A. B. G.D. &inueniatur fumma figurarum omnino, Tc in prsccdentifSi.c') Qaod erat,&c. PRO- 1 114 CeometruA^a^n/einmnimis. PROPOSITIO LXXXia. Probknia 19, quotatm^itefunctis in plano ,vel in folido vtcumqut.defcribert in dato plano eirculum ,vt ex quoliliee circunferenti* pando fammafibrarumlimilsum aqualis Jit meumquedato(patio. EXPOSITIO. EJg-js. CInt(iatapun(aaA.B.C.D.inplano,velinfolido-.&datuinplanumGH.inquodcfcribi debet circulusTV.vt exquolibetcitcunferetisepunftoT.fumma figurarum fimiliumK, quas fieri polTunt cx redis TA.TB.TC.TD. asquaUsfirfpatiodatoP. Conftrad. Primo inucnkiturE.!:f»/r»»i &cxE. ducatur EF, plano dato HGpcrpendicularis,&:eritF.«»fr«w_^j;r.iii p!anoGH(8».i7.) Deinde inueniaturminitm fummafiguratumcxF.(8i^.)&baGsfun3mae homologabafiLM.fitNO. Prseterea eonucrtaturP.infiguramfimilem ipfiK (6.^.7.) ScfitQR.bafis homologa bafiLM. Diuifa QR. bifariam,fiat femicirculusQSR. &RS. xqiialismininisfuinn»NC>&:<iu'^«urSQ^ Infuper addatur ipfi pars denominata anumero puiidorum,nempe fi pundadata fint PM-sprima. Vropoph LXXXIII. Vi j fimduo erit SX.dimidiumSQJi pundta fine tna.critSX. tcctiapars ipfius SQ, ycl quarta parsfipuniba fuerint quacuor, ve in prarfenti, &kainfinite. TandciwdiuifaXQJ>ifariam.dcfcribatuifcmicirculusXZQ.fccans SR. inZ. Dico SZ cfieradiumqusefKi circuli.&fifumaTur FT. «quali SZ. 5c eo radio deferibatur circulus TV.& cxquolibct circunfcrencia: pundtoT ducancurredtead dacapunctaA.B CD.furama figurarum fimilium dat* K. erit «qualis datofpatioP. DEMONSTRATIO. ^NgalusQSR, io femicirculo eft reiflus (Uj.) ErgodQR. *qu.ilecftaRS+a SQTimihbus (4./.<S )(cd «3 QR. aquale eft ex conrtru(ftionc OP.Ergo OP.arqualcefttO RS +aSQ^ DeindecumXZQjitfemicircuIus.acZS, perpendicularis diametro XQ^cftSZ. media intecXS.SQ^&funt continua: XS.SZSQ, («./.6 )SedaSZ ad dSQ^eft in dupiicara ratione SZ,adSQ£4 /s )Ergo eft vt XS. ad SC^ Ergo cu XS.ficquarta parsSQ^ric aSZ.quartap^saSC^Ergocum OP.aqiieturd RS4- dSQ.cci.TOOp.®quabituraRS4-4aSZ.vcl 40 FT.tcdetiamfummafiinilitini figurarum ii5 CeometriitMainiinmtnimh. cx quolibet circunferentis punaoT. «quaturniiiiirojerumii-ix.ncmpca NO.vclta SR -l-4<3FT(6o.P.)t'’Sofig“'’®fi“'‘^«s,7clcic. exT.adA B, C.D. sequantur QP. Quod erat, demoiiftrandum. PETEfiMZW^r/O TtiOBLEMATIS. ePatiumdatum P. maius.cde debet minima ^fummaRS.alirernullas circulus pofict defer ibi, vt ex iptaconftxuftione.manifeftuca cft., Si planumdatum HG. tranfeat ^ticentrum £([. abfoluie minimum. nulU perpendicularis EE.duci potcft.quia cenirumB. inipfo plano cft. Tunc cx E. fametuc minima furama NO(8 i.p.) &inuenca vt antea SZ.fiac etiam E, centrum circuli TV. Eadem enim cftomnin6&conftrua:io,&.d:monftratio. PROPOSITIO LXXXIV. Problema 20. DAttsquotcumquepuniiis inplano, vel in fcdido vtcumque difpojitis fpheram defcribere.vt ex qwBetfHperjicieipitnilo fumma f.jfqut datufmilesfmt, tqualufit cuicumqul dato/patio. EXPOSITIO. Fig-js- glntdacapundtaA.B.CD.Qusenturfphsera p^sprir»4.Proj>oJtti$ LXXXIV. 111 TV.prouc inEhcfi.Figur«dcb€antefie fimilesQ LM.& oma!um(ummaa;qualis (patio oP. Viimoinnenmutcmtrumff^ff'. (Zo.J>- )Deinde minima fumma RS(8 1) Teitioteducaiar QP.adfiguram fimilemd bafis nomologaLM. & IcmicircuiusQ^.&inilloaccomodeturRSr Seducta QSXJwSX. quarta parsipfius SQ^ q'iiadatafuntquatuorpundtaA.B,C.D.&fC“ micirculusXZQ^etcrminat tadiumSZ.quo dcfcribeturfphxraTV.ex E, centroff.jf. £aM- queeritquod petitur. DEMONSTRATIO.. FXquolibet punfto fupcrficiei fomnucli- *^citucaequalisminim®('umm*RS+-40 radi) bT.vclSZ(6o.p.)fed4 aSZ. xquaiitura SC^routin83./.Ergo fumma exquclibetfupenicici fphxricx pundlo zquatur miuioice (uminx+ 'OSQJioceft «quaturclRS-'- 40 SQJcdetiamaQR.vel-OP.xquaturcaRS-l- <}aSQ(4/.6)ErgofurTimaexquolibet(upetficicifphxricx punfto xquatur OP. Qu,od ctat dcmonfttandum. MONITVM. QVotiefcumque in quxftionc proponitur -inucnicdafph*ra,defcribidebetex-ip(o 118 Gemetnt-MMgnebfMtiahnu. centro abfolutc mmitaof.f. arculus y«& dcfctibi poteft.vclK-tpfociTrtra abfolutc vaininioff.Jf. vcl ex centro cuiufcumquc plani noni«nfcuncisperf(f»fr.J?r^ vtconftatex 60-f. D2TEt.M1te4TiO ftOSLSMATJS. Cgatium datum in hoc.dc praecedenti pro- ‘^blemacc, debet eflemaiusminimafumraa. QuiaCrcdua:oCiP.a(kiQR.cflccciQR-*<lua U,vclniinusaSR.etiambaGsQR.iEqualis cf- {«.vcl minor, quamSR.&defctipto femicircoloQSa. non poffet in co accomodari bafisRS.lalcemvc remaneret differentiaSQ.. cuius figur® fubmuiripicx fieri poffet figura fimilisSZ. vndeiiccfphsra.nec «rcuiusdefctibi poffetdeficicnte radio.Qu*omnia fatis perfpicuafunt,QCCvltcriorcindigct demoniiltatione. PROPOSITIO LXXXV. Problema zi. DAtisi^i*atcumqueptnSlkvte^e,fphit- TAmdefcribere exceotroff.f.velchcuiftm $nqmUbetpUno,vtfummajiinrari*m daujimiliiiMtamhitbeAtrkuonemlibetfpatfodato. EXPOSITIO. E%.3j. glnt data pundta A. B. C. D. deferibenda eft Pars^knA.Prepofith LXXXV. 119 fphseraTV.velcirculusinpIanoHG. vt fumma figurarum fimilium data K, ad fpatium ecianidatumP.habeatdatamrauonemrf^.ad cd. Cmfintcf. Inucniarur primo centmm E. ^f^So.^.velF.iapUnoHG &minima fumimruNO.Rcducatur OP.adfigurafeni- Icm oKAiit CIUS bafi^. (&p-.q.)fiat infupcr yEc//.ad/#i.ica//,ad<jiff (»./>.q.)&imer//,& 4g.' laucniaturmedia^. (a/.y.) •Rurfus{umatutQ^seciualisiiiedisefnucniarj(?^.5;RS.*qualisminiin*fiimmaNO, reliqua perficientur ytm8j.ycl U-p.&c deferibatuc circulus radioSZ.ex centro F.planiHG. vel fpliicracx centro abfoluteminiaio/£ E. Dico facisfaftumefle qusftioni. DEMONSTRATIO, ^Vnitresredtae^,^./y.fintcontinuiE,erit '3;>J)'adc3//,vtg2.ad/i.(4/.«.)hoccftvt4^. adc<r.cxcouftruaionc:fedi3;>jy. s,quatur cr coiiftruftioncaQR.vciaKS-i-aSQra./.fi.') hoceftoRS-t-^oSZ.vei ll.exdcmonft, i9-p. Ergo minima fuinura,nempc «3 RS.vcla NO +4QFr.funt adc3//.?c<*/.adc-i. (i Lt )Scd ex conftrucEione ap. aquatur OP.Ergo minimafummaaNO+4aFr.fe habent ad Q P. vtrfp.adf</.(ij.y.) (tiiMmvaaffJf. ex quolibet iz6 CtomttrUMet^nt,)nmtni»&t', Denique cxH. ducatur re^a ad quinnuii faiiidtumE.&diuidacurHE.inO.vtOOE-ft* milcdato OT. minimum ad fummaniquatuorfigurarumfupraOH.fimilium dacisAP, DQ.csR. OS.ncmpeOOE minimum fic A OH+DOH+aOH-t- OOH. &ita infinite continuabitur donecomnia expleantur pun- &a. Dico vltimumpundkum inuentumO. ^i.ctnfTHm§ dd.zi. dacapun£taA.B.C.D£. DEMOUiTRATIO. ^VmAB.diuifafit infigutasminimas AFA •&FB.eftF.ccntrum ad A.&B(m/’-)& cumEC.fitacentro F.ad icrtiqm punctum, & oGC.miaiinumfitAGF+ DGF.cftG. centrumadA-B.C (dj/)&:comcxccnrroG.fi£ GD.adquartum punftumiS: OHD.minimu I3HG+ HG+AHG.eftH. cccrum ad A. B. CD.(6i^.)&fimilitet O.ad A.B.C. D. E. ita infinite, ^oderat efficiendam, &de^ monfUanduiu Pars^mA. Profojitis LXXXVIII, j47 PROPOSITIO LXXXVIIL Problema 2^. DXtts quil/UiHet pHnUis vtcnm^e muenktmmmAm fummAmJigarAntmtUtu 'tuterfe dtfsimilutm. i/mentamfummam ,fn^Usfiptrat 4id quadratwnreducere. EXPOSITIO. EIg..]<. CIncdau punfta A.B.C.D. E. in plano,vel in *^IIbltdo:&ficO.C(»;m«»jf’<jy,qiiaefi£ailcsCiK ^tisAP.ClQ^oR-OS.ScOT.Quscitur minimafuinmiAOA-I-DOB-i-i30C4-OOD 4- OOE.&finiulQuadratum inueorxCum* m»xqualc5&fingula quadratafi nguJisfigaris xqualia. ConfiruS. Affiimaturadlibitumqaxnbec te£ia IK. lupra quam fiat leflacgulum 11;« *qualeAOA(cx«./Jr#.)&fijcraL'ii.fiat rcQagulumL^.xquak DOB &lupraM4.fiat retanguIuroMAxqu<dec30C.&iupi;aKAfiat refbangulumKc.xquale OOD.&fupraVr. fiatr»5taDguIumV<!/.*qualcOOE. Dicoefie IdTummam omnium ,vel minimam fiun4 mam. Ad Quadrata facile reducentur hac artei: piat<i4xquaiisdK.&c&.^ualisrd[&^g.xqua> Ef 12-8 Geometr!/tM4gnAinminfs.nU £equalis4i.&'D/*qualis‘CJrf,&:K>. squalisK-u.&defcribanturfemicirculi Cupra If.L/MA;.lSI^-V^.r/.fiant{cmicirculi(ecantes my.mm n.o p.q.y. DicoQuadratuniKw.efle aquale AOA. &Qwdratum oiAsquale Q OB.&Quadtatum4».*q«aleaOC.&Q£adtaturri^. aquale OOD.&C^adratuniCf^. aqualc OOE.&Quadratum aqualeminitax(ummx.ld, DEMONSTRATIO. pPrimoexconftruftioncrettaDgula Iv. Lm'. ••MANc.V«i.aquaUaCut £iOA. OB.nOC OOD.OOE.Ergocuml^.aquale fit rcftangulisIfW.Li.M^.Nf.V^.(i./-i.)crit l4'.fum" EUomniurnminima,xqualislcilicccAO A OB+aOC+OOD-hOOE A:c. Secundoiij'. media eft inter rd.eil. vel dK. [6.1 6.) Ergo Qiaadracum dy. aquale eftm W. (i./fi.) nempeminima Conuiia. Similiter K»i.inediacftintcrIK.Ke.yelK'w.&‘v«.media intcrL-i/.T^veliK.&iVf.oicdia inter Mrf. & «f.vel4^&i^.inediaintetN^iT.vdk&(:^. modiaintcrVc.c6.vd cd. (ea 6./.6.)ErgQ PK»». aquale eft rcftangulo IKc.vcl Ix>. vcl AOA. (1 ./. 6OScficdc reliquis. Quod erat demon* &andum. PBO: P^ipnmM.TTopofitioLXXXlX. i*> PaOPOSITIO LXXXIX. Problema *y. D-^^j^ci>*il»ifcumquefigmis.te34minusni- ’’if‘fpraqM4mtQUdemfigWJiddJatisfi- fHilescon^tutt,aquslesfintqifitdrato,‘vel cuilihetfpatiodato. EXPOSJTIO. JjAtsfint figurs AP. Q.aR, oS.OT. quaritur reda Z, fupra quam AZ. DZ. oZ. OZOZ.»quaIcsfin£ quadrato dato ,nc- ;^e Y.velcuicumqucfpaciocuiOY.ficjequa- Con^B. AflumptaqualibetcedtaX.fianc fupraipfam r^X, X.aX.&c, datis a &c.fiQjilja. Deinde inueniatur fumma AX +aX+aX+ QX+OXC8?.p.)&ficI«^.qux reducatur ad quadratum 7. vi in prtecedentj, Prartercafiaevt iawnadj. ad aflbmptam X. Ita dataY. ad quartam Z.fz.p.7. Dicq.re- MamZ e(rcquse(3cam,& AZ+QZ-4-hZ4- O Z+OZ.sequari DY. DEMONSTRATIO. q”'®ui(unt proportionales vt <^.adX. icaY.adZ.cxconftrudcione,eciamalfcrmndo proportionales erunt, vtt^y.adY. itaX Rad 1^0 CeometriAM^iinnunmis^ j.^Ergpctiafigutaifiniilcs defcriptae,pEopotcicrvalcsetttnc-(4./-fi.) iicrupevt ad Q.Y. ita^X-t-0X'+ nX+ OX+OX. adAZ-haZ+EjZ+OZ-hOZ. Etgoeciam dternandovc «^.ad AX+OX+raX-t Ci X+OX. ita QY^d AZ4- QZ+oZ+OZ-t- CZCaM. °<(y.*quacut AX+OX+O' X+OX+OX,excon(feiKaiorie;Ergo etiana QY.®quatuc‘AZ+ QZ+oZ+GZ+O^ Quodcfficicnduiw.&deiwonftrandamerat. Si autemfpatium datum non fueritcjua- dtatum,ie(facetutad quadratum ex.88,^. & fic DY-sequale {patio dato. Quo pofito infti-» tuetur operatio omnino vt antea.Sc esdcnv eritdcmonftratio. Qiwdin fequcntibus f*- pifymcobferuandum erit. EROPOSITIO. XC. Problema 26. REUam inuenirefapra quam figitr*- datis fimiles coapmre^.f^ alit al^s datisetiam- Jimths, datam haheantdifferentiam, squalem JcilieetcuiOietfpatio dato. EXPOSITIO- Fls-3«. J^At* Gnt fpeeies figurarun: AR.DQ.^R. OS.OT. QusrtturtcdbaZ vc (umma AZ +aZ-l-aZ.datisCmiIiunii&{«umia CZ+ oz. p4rsp7WM.Ffopofiti0XC. 13» OZ.diffiram dato fpacio T.vel Ttdi^&ren^ lia vtriulqucfumnisElitcqualis aY. Con^S. AfTumptatjusclibccreiaaXJat lupraip(ajnAXaXaX.-&inucniaturQ)ruii3 fuiuma, nempe »t. (28.^,) fimiliter fupra candemX ifiancOX.OX. Scinneniatureorumfumraaifdlicctaff;(88.p.)Dcfcri|irorupra*Mfemicifculo *st. i^accomodetur ti. &ducatur4j. Pr*terea6atvtiaucnta«y. a{fiimptaaiX.ttadaray.ad<3uartamZ,(j^.'7^ Pico TiCtioxZ. efJcquxfitam, &/atisfaccFe <)ux[lioni. DEMONSTJLATIO. jQyoniam (uni ex conftrudtionc propor- .^tionales.vt^.adXita Y^dZ-Sralternan- do vt iW.adY. itaX.adZ (4.if.y. )etiamfigur* fimilcseront proportionales (4 /.6.)vt Q ada y.ica AX+t3X+DX*-OX—OX.adZ» 21-i-Q.Z+QZ—OZ—OZ. Ergoetiamaltcrnando vt Q^J.ad AXn-aX+oXr-QX— O XJtaDY.adAZ+QZ+aZr-OZ—OZ (4./.y.)fcd Qaj cftdififercntia quadratorum, nepeO/r—O/x(4/.tf.)quia angulus in fejnicirculorcdkuseft (3./. 3.} &Oat —Qts. ex conftrudlrionc squale cft AX+DX-i-aX— OX-OX-Efgo .Y.ctic etiamaequaleAZ-(- pZ+aZT-.pZ-.OZ IrgoiumniaAZrt- Ra OZ ifs CeomettitMapiAmvnnu.mi 2+aZ.&funnT3aOZ-hOZ.habeDtdiffc^ lentiamdacam. aequalem fcilicct OY. Quod craEdenionftrandum. Si tpaiium datum non fuerit quadratum, reducetur adiUad,ficucin procedenti. ' PROPOSITIO XCL Problen» K'E3tam imenirefupr4 qUam4lia ,4(14 fifur&con^tur4J/$tispmles>fHmma>n ^ ju:t4nt^veldiferentUm bakMtt iudatA ratione CHiUbetJpatto dato. EXPOSITIO. FIg.*3. CPccics figurarum dat* fint Af. OQ.oR. T0S.OT. Quaeritur rc£taZ.vtfumma omnhw figurarum, nempe AZ.+ Z+oZ-i- €}^t-OZradfpatiumdaium QY.fitinrationcdatalL adLN. velquaeriturZ vt diffirentiafimilium AP.DQ^aR .&fimiliumOS.O* adfpaciumdatumOy.ficindata rationcIL.ad LN.hoceftvt AZ-k-DZ-t-nZ—>OZ—OZ.fic ad aY-VtlLadlN. ConfiruS. Primo inucniamrLM. media inter IL.&LN.Ca./.YODeindefiatvt LM. ad adIL.itaY.ad»iC. (* qu*ncurZ.yt omniumfummafit in data ratione: iiiucniatufZJtfumroaAZ^^DZ+cS-POZ+OZ. «qua- Paesprima.ProfreJttio XCI. 'jjj *qu3lisficD».cx89,;?.&rediaZ.cric quasfica. Sccunio fiqusracucZ.yc difKretia vtciufqucfun3m*,&:;.inuei5iaturZ.vtAZ'f'DZ-4- a—OZ—OZ.aEqu4[isfit «,ex9o.^. &reftaZ qa»ftioniiatisfaciet. DEMONSTaATIO. QVoniamex conftruftionc, tafumma AZ +Z-hC3Z+ OZ+OZ. quamfuiDiTiarutn differentia iupraZ nempe AZ-t-QZ-t- aZ—OZ—OZ.asqualcs funt », fcd »,ad QY.cftinduplicata ratione», adY(4/,6.)vcI cx confttuftione in ratione doplicatalL, ad •LM.hoceftvtIL.adLN.cum fint continuae exconftrudtione IL.LM.LN. Ergo lam fumma fupra Z.ex Z9-p. inueiua.quain differentia hipraZ. ex9o.p.inucnta«ritad datum (patiu aY.inrationcdataIL,adLN(i./.j.) (^od faciendum.&demonftrandum fuerat. Problema omnem rationemadmittercpo» «ft.dumfummaaffirmata figno-i- maior fit negatiua figno —.nec aliam determinatio; nemrequirit. GeometrUZdi^^mmmhms. PROPOSITIO xeii. Problema 28, DAtUqi*f^MstpiMU!svtcum^t*edilho^ filisex eorHmcentrdff.dd.fj>hera»td^cribsre, vtfunm4Jtguramm datis qutbufcumqae Jimilium .interfedtpimilhtm, ex qttolibetpt-^ .^ficieiptoMofit aquaUscmlibet (paitodkto, EXPOSITIO. Jtg.se. CIn^.datapiiaa A.B.C.D.E. fi^utse dataaZSP, OQ,aR..OS.OT.qu«ritur centrumO. & laiiawphsets cx coj/roO.dcIcribendiE.vtcx qaolibec fupcfficiei puofto fumma figurarumfliBi!iuniiiaP.aQ^c.i9ualis{5ccsx>.in . ConfiruS. Primo oz,. reducatur ad Da?. (ex^S.^,).iSrdiuiCaban/?.bifariamjfiac£emicirculus«f?.. Dt\aiit^wmitm0.centran^.dd.(ji.p.') 5eminima%urarum fommadaris fimilium \d. 9ureieducaiui£ciam.a<i<9uadca<wn(^. Prxtcrca fiatrr. rEqualis<?ju& ducatur St.Tandem inueniatur reita vt quinque figuras datis fimdcs fupra ipfam, nempe ^F_/’+aFy-(-Qfy’+_0^*quaIeslIntD>ef. XCIT. 'ijy Dicore(ftam^c(reraiumfphser«,qu*fico rajiode(ccibawE cxO facisfacicc qusftioni. DEMONS-TRATip. QVoniamO. t¢ntmff.dd. ex conftru- ''**'<ft3one,defcripta ex co fphsera radio Fjf fammaesqoolibet pundto fupcrfidei fupc- Eabit iiti-ftjjriam totidem ffguns fimilibus ex codcmradio (fio.^.)ncinpe!AF^ F/&C, Ergo cum Drf.fit cx conftcuftione minima foinmadmiima cx fpharica fuperficie fopera'- bfcOwr.f./Tes radio F/’nempe /^Ff+OFfr c3F/.&c.fe<i ^ij^exF/.aenfpt AF/-h E^&c. {equanciircxconfti-uitioHe .m.Ej^o (umma cxfph*ricaftiperffciefoperacmii)imam,fciliccc Dj/lfotoQ-w.fedci&.lKJceft O^f.foperai CTrMninimamfumaiamcotoD^/ (4./.6) cuangulusE.fitinfcmicirculo redus(5./.5.) Ergo (amnia figuraiumdatisHmiliu ex quocumquc-fupcr&iei fpbseric* punto ex fc»- itgO. dcfctipcse radio F/squatur-dj;^ dato. O^aderatcificKiidunijScdcmonftrandum.