Una aproximación geométrica a la aerodinámica de curvas y superficies

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETR´ IA Y TOPOLOG´ IA Una aproximaci´on geom´etrica a la aerodin´amica de curvas y superficies Memoria realizada por Alejandro Garc´ıa Bedoya Dirigido por: VoBo Alfonso Carriazo Rubio M. Carmen M´arquez Garc´ıa Abstract In this work we present a method to improve the aerodynamics of curves and surfaces with respect to the air resistance. Previously, we also analyze a method of normal approximation of curves and surfaces which is the basis of our aerodynamic method. In both of them, we will show many examples including computations, figures and some animations from our own files made with MAPLE VI and the internet-based service for solving numerical optimization problems NEOS Server. 3 4 ´ Indice general Introducci´on 7 1. Curvas y Superficies de B´ezier 9 1.1. Pierre Etienne B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Curvas de B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Polinomios de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Curvas de B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Superficies de B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. Aproximaci´on normal de curvas y superficies 23 2.1. Introducci´on............................ 23 2.2. M´etodo para curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3. M´etodo para superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Ejemplos.............................. 26 3. Aproximaci´on aerodin´amica 49 3.1. Introducci´on............................ 49 3.2. M´etodo para curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3. Ejemplos.............................. 57 3.4. M´etodo para superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.5. Ejemplos.............................. 66 Ap´endice Digital 73 Bibliograf´ıa 75 5 6´ INDICE GENERAL Introducci´on ¿Qu´e entendemos por aerodin´amica? Seg´un el Diccionario de la Real Academia Espa˜nola, la aerodin´amica es la “rama de la mec´anica de fluidos que estudia el movimiento del aire y otros gases, y su interacci´on con los cuerpos que se mueven en ellos”. Se trata pues, de una ciencia de gran importancia en nuestros tiempos, pues de ella depende la forma, por ejemplo, de los aviones o de los coches (en particular los de carrera). Resulta evidente que un correcto dise˜no de ´estos permite ahorrar combustible y/o alcanzar mayores velocidades. Sin embargo, no existe ninguna formulaci´on f´ısica para controlar, mediante ecuaciones, la aerodin´amica de un objeto inmerso en un fluido. De hecho, para poder mejorar un determinado dise˜no aerodin´amico, sigue siendo necesario el uso de modelos a escala y de los llamados “t´uneles de viento”. El objetivo de nuestro trabajo es aportar algunas herramientas para llevar a cabo una posible mejora aerodin´amica de un objeto, siendo el fluido en nuestro caso el aire, que consideraremos representado por un vector constante unitario. Abordaremos este objetivo desde una perspectiva geom´etrica, considerando como objetos sometidos a la presi´on del aire las curvas y superficies. Si bien el problema real, desde un punto de vista f´ısico, se corresponder´ıa con el de las superficies en el espacio, estudiaremos previamente el caso de las curvas en el plano, que podemos entender como un modelo de “bolsillo”(o de “prueba”), a la manera en que los f´ısicos ensayan sus teor´ıas en espacios de dimensiones menores, para simplificar los c´alculos. Debemos se˜nalar aqu´ı que el m´etodo propuesto para esta mejora aerodin´amica es completamente original. De hecho, una versi´on preliminar de los resultados obtenidos fue presentada por el autor de esta memoria como una comunicaci´on al XI Encuentro Andaluz de Geometr´ıa, celebrado en Sevilla en mayo de 2015 (v´ease [1]). Para desarrollar nuestro m´etodo, utilizaremos las llamadas curvas y superficies de B´ezier. Por lo tanto, empezaremos esta memoria incluyendo un 7 8INTRODUCCI ´ ON primer cap´ıtulo en el que se recogen algunos preliminares sobre estos objetos geom´etricos, base de los estudios modernos de dise˜no industrial, as´ı como unas breves notas biogr´aficas sobre su creador: Pierre B´ezier. En el segundo cap´ıtulo, analizaremos con detalle el m´etodo introducido por los directores de este trabajo en [2], denominado M´etodo de Aproximaci´on Normal, cuyo objetivo es aproximar una curva o superficie regular mediante una curva o superficie de B´ezier, obtenida geom´etricamente a partir de la anterior. Adem´as, ofreceremos algunos ejemplos de elaboraci´on propia, no incluidos en el art´ıculo original. El tercer cap´ıtulo est´a dedicado a la exposici´on de nuestro m´etodo de aproximaci´on aerodin´amica. Al igual que antes, ofrecemos un buen n´umero de ejemplos. Todos los ejemplos presentados a lo largo de este trabajo han sido elaborados en los correspondientes ficheros que se adjuntan en formato digital. Para ello, hemos empleado el programa de c´alculo simb´olico MAPLE VI y el servidor gratuito para la resoluci´on num´erica de problemas de optimizaci´on NEOS Server (https://neos-server.org/). Los ficheros utilizados se detallar´an en el Ap´endice Digital. Concluiremos esta memoria con una lista de las referencias bibliogr´aficas que hemos empleado para su elaboraci´on. No quisiera terminar esta Introducci´on sin expresar mi agradecimiento a los tutores del trabajo, el Prof. Alfonso Carriazo y la Prof. M. Carmen M´arquez, y en especial a mi familia y a mi pareja por su apoyo. Cap´ıtulo 1 Curvas y Superficies de B´ezier En este cap´ıtulo incluiremos algunas nociones b´asicas sobre curvas y superficies de B´ezier. ´ Estas van ser la base de los diferentes estudios que vamos a realizar. No presentaremos pruebas o demostraciones, que pueden consultarse en [3] o [4]. Para comenzar, ser´ıa conveniente introducir brevemente qui´en fue la persona que les da nombre. 1.1. Pierre Etienne B´ezier Francia, 1 de septiembre de 1910 - 25 de noviembre de 1999. Nacido en Par´ıs, de padre y abuelo ingenieros, estudi´o ingenier´ıa mec´anica en Arts et M´etiers ParisTech (Escuela Nacional Superior de Artes y Oficios), ingenier´ıa el´ectrica y posteriormente Matem´aticas en la Universidad Pierre y Marie Curie. Incluso sus hijos y nietos tambi´en se formaron como ingenieros mec´anicos. Pierre nunca dej´o de aprender: 40 a˜nos despu´es de su carrera de ingenier´ıa mec´anica public´o su tesis “Essai de D´efinition Num´erique des Courbes et des Surfaces Experimentales” en la Universidad Pierre y Marie Curie. Y en 1977, obtuvo el t´ıtulo de Doctor en Matem´aticas. Paul de Casteljau fue el primero que utiliz´o las curvas de B´ezier, aunque fue Pierre B´ezier quien las populariz´o y las formaliz´o. Pierre y Paul trabajaron en la industria automovil´ıstica en Renault y Citro¨en, respectivamente. En 1975, Pierre, despu´es de graduarse, comenz´o a trabajar en esta firma francesa como dise˜nador. 9 16 CAP´ ITULO 1. CURVAS Y SUPERFICIES DE B ´ EZIER Si realiz´asemos este proceso para todo t∈[0,1] generar´ıamos la curva de B´ezier correspondiente a los puntos P0= (−1,0), P1= (0,2), P2= (1,0), como podemos apreciar en la Figura 1.5. 1 P0 0 2 P1 P1 P0P2 (1) (1) -1 Figura 1.5: Curva de B´ezier de 2ogrado generada por recurrencia Veamos este mismo proceso recursivo para curvas de B´ezier de 3er grado: B(t) =(1 −t)3P0+ 3(1 −t)2tP1+ 3(1 −t)t2P2+t3P3= =(1 −t)[(1 −t)2P0+ 2t(1 −t)P1+t2P2]+ +t[(1 −t)2P1+ 2t(1 −t)P2+t2P3] = =(1 −t)[(1 −t)[(1 −t)P0+tP1] + t[(1 −t)P1+tP2]]+ +t[(1 −t)[(1 −t)P1+tP2] + t[(1 −t)P2+tP3]]. Denotamos P(1) 0= (1 −t)P0+tP1, P(1) 1= (1 −t)P1+tP2, P(1) 2= (1 −t)P2+tP3. Entonces B(t) = (1 −t)[(1 −t)P(1) 0+tP(1) 1] + t[(1 −t)P(1) 1+tP(1) 2], y si denotamos P(2) 0= (1 −t)P(1) 0+tP(1) 1yP(2) 1= (1 −t)P(1) 1+tP(1) 2,se tiene: B(t) = (1 −t)P(2) 0+tP(2) 1. 1.2. CURVAS DE B ´ EZIER 17 Observaci´on 1.2.7 En la Figura 3.18 los puntos P(1) 0, P(1) 1, P(1) 2, P(2) 0, P(2) 1 est´an fijados para t= 1/3. P2 P1 P0 P3 P1 P0 P0 P1 P2 (1) (1) (2) (1) (2) P2 P1 P0 P3 Figura 1.6: Curva de B´ezier de 3er grado generada por recurrencia El siguiente algoritmo es una generalizaci´on del Ejemplo 1.2.6. De hecho, fue dise˜nado por De Casteljau, el que origin´o las curvas de B´ezier. Algoritmo de De Casteljau Sean P0, P1, . . . , Pn, n + 1 puntos en R2´o R3.Si definimos P(0) k=Pk, k = 0, . . . , n, P(1) k= (1 −t)P(0) k+tP(0) k+1, k = 0, . . . , n −1, P(2) k= (1 −t)P(1) k+tP(1) k+1, k = 0, . . . , n −2, ······ ······ P(n−1) k= (1 −t)P(n−2) k+tP(n−2) k+1 , k = 0,1, P(n) k= (1 −t)P(n−1) k+tP(n−1) k+1 , k = 0, se tiene que B(t) = P(n) 0. 18 CAP´ ITULO 1. CURVAS Y SUPERFICIES DE B ´ EZIER 1.3. Superficies de B´ezier Definici´on 1.3.1 Dados un conjunto de puntos de control {Pij = (aij, bij, cij)} con 0 ≤i≤n, 0≤j≤m, definimos la superficie de B´ezier generada por estos puntos como la superficie param´etrica S(u, v) = n X i=0 m X j=0 PijBn i(u)Bm j(v), para u, v ∈[0,1],donde Bn i(u) = n iui(1 −u)n−i, Bm j(v) = m jvj(1 −v)m−j son polinomios de Bernstein de grados nymrespectivamente. Esto es: S(u, v) = n X i=0 m X j=0 (aij, bij, cij)Bn i(u)Bm j(v) = n X i=0 m X j=0 aijBn i(u)Bm j(v), n X i=0 m X j=0 bijBn i(u)Bm j(v), n X i=0 m X j=0 cijBn i(u)Bm j(v)!. Proposici´on 1.3.2 Las superficies de B´ezier cumplen las siguientes propiedades: 1. S(u, v)interpola los puntos v´ertices de la malla de puntos de control: S(0,0) = P00, S(0,1) = P0m, S(1,0) = Pn0, S(1,1) = Pnm. 1.3. SUPERFICIES DE B ´ EZIER 19 Figura 1.7: Los v´ertices de la malla forman parte de la superficie de B´ezier 2. Las derivadas parciales de una superficie de B´ezier vienen dadas por: ∂S(u, v) ∂u = n X i=0 m X j=0 Pij dBn i(u) du Bm j(v). Teniendo en cuenta la derivada de los polinomios de Bernstein y reagrupando t´erminos, tenemos: ∂S(u, v) ∂u =n n−1 X i=0 m X j=0 (Pi+1,j −Pij)Bn−1 i(u)Bm j(v). De la misma forma: ∂S(u, v) ∂v =m n X i=0 m−1 X j=0 (Pi,j+1 −Pij)Bn i(u)Bm−1 j(v). Si consideramos la curva param´etrica frontera v= 0, es decir α(u) = S(u, 0), tenemos: α0(u) = ∂S(u, 0) ∂u =n n−1 X i=0 (Pi+1,0−Pi0)Bn−1 i(u). Por tanto, α0(0) = n(P10 −P00)yα0(1) = n(Pn0−Pn−1,0). (Obs´ervese que realmente se ha obtenido aqu´ı la Propiedad 3 de las curvas de B´ezier) 20 CAP´ ITULO 1. CURVAS Y SUPERFICIES DE B ´ EZIER 3. Los puntos S(u, v)est´an en la envolvente convexa de los puntos Pij. 4. Invarianza af´ın. Si fes una afinidad, la superficie imagen por la afinidad f(S(u, v)) coincide con la superficie de B´ezier generada por los puntos f(Pij), imagen por la afinidad de los puntos de control de S(u, v). 5. Si consideramos una curva param´etrica v=v0, α(u) = S(u, v0) = n X i=0 m X j=0 PijBm j(v0)!Bn i(u) es una curva de B´ezier de grado ncon puntos de control Qi= m X j=0 PijBm j(v0). An´alogamente ocurrir´ıa para una curva param´etrica u=u0 Ejemplo 1.3.3 Consideremos la siguiente malla de puntos: P00 = (0,0,0), P01 = (0,1/2,0), P02 = (0,1,0), P10 = (1/2,0,0), P11 = (1/2,1/2,2), P12 = (1,1/2,0), P20 = (1,0,0), P12 = (1/2,1,0), P22 = (1,1,0). Entonces la superficie de B´ezier resultante es: S(u, v) = n X i=0 m X j=0 PijBn i(u)Bm j(v) = (u, v, 8uv −8uv2−8u2v+ 8u2v2). 1.3. SUPERFICIES DE B ´ EZIER 21 Figura 1.8: Superficie de B´ezier Observaci´on 1.3.4 Podemos apreciar en la Figura 1.8 c´omo se cumplen las propiedades 1 y 3 de las superficies de B´ezier. 22 CAP´ ITULO 1. CURVAS Y SUPERFICIES DE B ´ EZIER Cap´ıtulo 2 Aproximaci´on normal de curvas y superficies 2.1. Introducci´on En este cap´ıtulo vamos a presentar el m´etodo de aproximaci´on normal de curvas y superficies publicado en [2]. Este procedimiento es la base del m´etodo que presentaremos en el cap´ıtulo siguiente. Motivaci´on Sea α(t) una curva con una expresi´on determinada y B(t) una curva de B´ezier. Nuestro objetivo es modificar B(t) a trav´es de sus puntos de control para ajustarla, con el menor error posible, a la curva α(t). Este mismo proceso se podr´a realizar con superficies y con aproximaci´on mediante una superficie de B´ezier. Todas los c´alculos realizadas en este cap´ıtulo se podr´an encontrar en el Ap´endice Digital. Algunas expresiones las indicaremos con aproximaciones num´ericas ya que en esos casos las expresiones exactas resultan excesivamente largas. 23 24 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON NORMAL 2.2. M´etodo para curvas planas Sean α: [0,1] −→ R2una curva regular, una partici´on de [0,1] en intervalos iguales, t0= 0 < t1< . . . < tn−1< tn= 1 , P0=α(0) y Pn=α(1). Para cada i= 1, . . . , n −1, consideramos el punto Pi(λi) = α(ti) + λin(ti), donde n(ti) es el vector normal de αen α(ti), como podemos apreciar en la Figura 2.1. α(ti) α(0) α(1) Pi(λi) n(ti) t(ti) Figura 2.1: M´etodo de aproximaci´on normal de curvas Definimos entonces B(λ1, . . . , λn−1, t) = P0Bn 0+ n−1 X k=1 Pk(λk)Bn k+PnBn n(2.2.1) y H(λ1, . . . , λn−1) = Z1 0|α(t)−B(λ1, . . . , λn−1, t)|2dt. (2.2.2) Al considerar esta funci´on se utiliza la norma L2 2, que representa la diferencia de ´area entre la curva original α(t) y la nueva curva construida en (2.2.1). Para poder obtener la mejor aproximaci´on con este m´etodo necesitamos minimizar la funci´on definida en (2.2.2). As´ı, obtendremos los valores λ0 1, . . . , λ0 n−1que mejor aproximan la curva B(λ0 1, . . . , λ0 n−1, t) a la curva α(t). 2.2. M ´ ETODO PARA CURVAS PLANAS 25 Para ello, necesitamos resolver un sistema de ecuaciones dado por ∂H/∂λj= 0, para cada j= 1, . . . , n−1. Aplicando el criterio usual de derivaci´on dentro del signo integral, se tiene que ∂H ∂λj =Z1 0 ∂G ∂λj dt, (2.2.3) con G(λ1, . . . , λn−1, t) = |α(t)−B(λ1, . . . , λn−1, t)|2= = 2 X k=1 (αk(t)−Bk(λ1, . . . , λn−1, t))2,(2.2.4) donde el super´ındice krepresenta la componente k-´esima. Observaci´on 2.2.1 Una de las grandes ventajas que posee este m´etodo es que podemos aproximar cualquier curva regular con su expresi´on determinada por una curva polin´omica con su error asociado. Adem´as, esto puede hacerse resolviendo un sistema de ecuaciones lineales, tal y como se prueba en el siguiente teorema: Teorema 2.2.2 El sistema de ecuaciones ∂H/∂λj= 0,j= 1, . . . , n −1, es un sistema de ecuaciones lineales. Demostraci´on: Veamos la expresi´on que tienen estas derivadas parciales. En virtud de (2.2.3) y (2.2.4), resulta: ∂H ∂λj =−2 2 X k=1 nk(tj)Z1 0 (αk(t)−Bk(λ1, . . . , λn−1, t))Bn j(t)dt = =−2 2 X k=1 nk(tj)Z1 0 αk(t)Bn j(t)dt −Pk 0Z1 0 Bn 0(t)Bn j(t)dt− − n−1 X i=1 αk(ti)Z1 0 Bn i(t)Bn j(t)dt −Pk nZ1 0 Bn n(t)Bn j(t)dt!+ + 2 n−1 X i=1 2 X k=1 nk(ti)nk(tj)Z1 0 Bn i(t)Bn j(t)dt!λi. Al igualar esta expresi´on a cero, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales en λ1, . . . , λn−1. 32 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON NORMAL Ahora, vamos a calcular la funci´on H(λ1): H(λ1) = Z1 0|α(t)−B(λ1, t)|2dt ≃0,134λ2 1+ 0,017λ1+ 0,001.(2.4.3) Minimizando la expresi´on (2.4.3), obtenemos λ0 1≃ −0,066, P1(λ0 1)≃(0,465,0,549) y la curva ´optima: B(λ0 1, t)≃(0,930t+ 0,069t2,1−0,901t+ 0,269t2). Figura 2.5: Aproximaci´on normal con 1 punto intermedio a la curva α(t) = (t, e−t) Y el error producido es H(λ0 1)=0,0002300261480. Ejemplo 2.4.4 Vamos a aproximar la curva del Ejemplo 2.4.3 pero ahora con dos puntos intermedios. Tomamos n= 3, α(0) = P0= (0,1) y α(1) = P3= (1, e−1). Elegimos t1= 1/3, t2= 2/3 y definimos: P1(λ1) = α(1/3) + λ1n(1/3) = 1 3+λ1e−1/3 √1 + e−2/3, e−1/3+λ1 √1 + e−2/3, P2(λ2) = α(2/3) + λ2n(2/3) = 2 3+λ2e−2/3 √1 + e−4/3, e−2/3+λ2 √1 + e−4/3. La curva de B´ezier depende de los param´etros λ1yλ2. Viene dada por: 2.4. EJEMPLOS 33 B(λ1, λ2, t) =P0B3 0(t) + P1(λ1)B3 1(t) + P2(λ2)B3 2(t) + P3B3 3(t)≃ ≃(t+ 1,747tλ1−3,494t2λ1+ 1,747t3λ1+ 1,37tλ2−1,37t3λ2, 1−0,850t+ 0,241t2−0,022t3+ 2,438tλ1−4,877t2λ1+ + 2,438t3λ1+ 2,668t2λ2−2,668t3λ2). Ahora, vamos a calcular la funci´on H(λ1, λ2): H(λ1, λ2) = Z1 0|α(t)−B(λ1, λ2, t)|2dt ≃ ≃0,365 ·10−3+ 0,889 ·10−2λ1+ 0,871 ·10−2λ2+ 0,085λ2 1+ 0,085λ2 2+ 0,127λ1λ2. (2.4.4) Minimizando la expresi´on (2.4.4), obtenemos λ0 1≃ −0,031, λ0 2≃ −0,027 y la curva ´optima: B(λ0 1, λ0 2, t)≃(0,944t+ 0,072t2−0,017t3,1−0,927t+ 0,321t2−0,026t3). Figura 2.6: Aproximaci´on normal con 2 puntos intermedios a la curva α(t) = (t, e−t). Y el error producido es H(λ0 1, λ0 2)=0,0001061806379. 34 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON NORMAL Tambi´en hemos calculado las curvas con 3 y 4 puntos intermedios para ver c´omo se comporta el error. As´ı, se ha obtenido: Noptos intermedios Error producido 1 0.0002300261480 2 0.0001061806379 3 0.00006045249766 4 0.00004356696217 Observaci´on 2.4.5 Se observa emp´ıricamente, que a mayor cantidad de puntos de control intermedios, el error disminuye. Es decir, partiendo de una curva con cualquier expresi´on y un determinado error a priori, podr´ıamos obtener una curva polin´omica de grado n−1, siendo nel n´umero de puntos que hemos necesitado para construir la curva, y un error menor o igual al asumido anteriormente. Ejemplo 2.4.6 Sea α: [0,1] −→ R2la curva α(t) = (t, t log(t)) (la definimos en t= 0 por continuidad, pues log(0) no existe). Queremos aproximarla con un punto intermedio. Tomamos entonces n= 2, α(0) = P0= (0,0) y α(1) = P2= (1,0). Elegimos t1= 1/2 y definimos: P1(λ1) = α(1/2) + λ1n(1/2) ≃(0,333 + 0,0981λ1,−0,366 + 0,995λ1). La curva de B´ezier depende del param´etro λ1y viene dada por: B(λ1, t) =P0B2 0(t) + P1(λ1)B2 1(t) + P2B2 2(t)≃ ≃(−0,332t(−2,010 −0,592λ1−1,005t+ 0,592tλ1), 0,663(−1 + t)t(1,104 −3λ1)). Ahora, vamos a calcular la funci´on H(λ1): H(λ1) = Z1 0|α(t)−B(λ1, t)|2dt ≃0,0245 + 0,0920λ1+ 0,133λ2 1.(2.4.5) Minimizando la expresi´on (2.4.5), obtenemos λ0 1≃ −0,366, P1(λ0 1)≃(0,297,−0,730) 2.4. EJEMPLOS 35 y la curva ´optima: B(λ0 1, t)≃(−0,0396t(−15,007 −10,220t),1,460(−1 + t)t). Y el error producido es H(λ0 1) = 0,004862420158. Figura 2.7: Aproximaci´on normal con 1 punto intermedio a la curva α(t) = (t, t log(t)) Ejemplo 2.4.7 Vamos a aproximar la curva del Ejemplo 2.4.6 pero ahora con dos puntos intermedios. Tomamos n= 3, α(0) = P0= (0,0) y α(1) = P3= (1,0). Elegimos t1= 1/3, t2= 2/3 y definimos: P1(λ1) = α(1/3) + λ1n(1/3) ≃(0,333 + 0,0981λ1,−0,366 + 0,995λ1), P2(λ2) = α(2/3) + λ1n(2/3) ≃(0,667 −0,511λ2,−0,270 + 0,860λ2). Ahora, vamos a calcular la funci´on H(λ1, λ2): H(λ1, λ2) = Z1 0|α(t)−B(λ1, λ2, t)|2dt ≃ ≃0,011 + 0,104λ1λ2+ 0,0357λ2+ 0,0588λ1+ + 0,086λ2 1+ 0,0857λ2 2. (2.4.6) Minimizando la expresi´on (2.4.6), obtenemos λ0 1≃ −0,331, λ0 2≃ −0,002 36 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON NORMAL y la curva ´optima: B(λ0 1, λ0 2, t)≃(−0,001t(−170,239t+ 86,274t2−749,466), 0,001t(2854,411t−1087,335t2−1767,075)). Figura 2.8: Aproximaci´on normal con 2 puntos intermedios a la curva α(t) = (t, t log(t)) Y el error producido es H(λ0 1, λ0 2)=0,0005937663342. Figura 2.9: Aproximaciones normales a la curva α(t)=(t, t log(t)) As´ı, se ha obtenido: 2.4. EJEMPLOS 37 Noptos intermedios Error producido 1 0.004862420158 2 0.0005937663342 Nota 2.4.8 En la Figura 2.9, la curva roja es la aproximaci´on con un punto intermedio y la curva verde con dos puntos intermedios. Ejemplo 2.4.9 A pesar de lo se˜nalado en la Observaci´on 2.2.1, este m´etodo tambi´en tiene algunas dificultades a la hora de interpolar curvas con muchos cambios de curvatura. Sea ahora, α(t) = (t, sen(2πt)) con t∈[0,1]. Vamos a realizar la interpolaci´on con un punto intermedio, n= 2, α(0) = P0= (1,0) yα(1) = P2= (1,0). Elegimos t1= 1/2 y definimos: P1(λ1) = α(1/2) + λ1n(1/2) = 1 2+2πλ1 √1+4π2,λ1 √1+4π2. La curva de B´ezier depende del param´etro λ1y viene dada por: B(λ1, t) = P0B2 0(t) + P1(λ1)B2 1(t) + P2B2 2(t) = =(2 −2t)t1 2+2πλ1 √1+4π2+t2,(2 −2t)tλ1 √1+4π2. Ahora, vamos a calcular la funci´on H(λ1): H(λ1) = Z1 0|α(t)−B(λ1, t)|2dt =1 2+2 15λ2 1.(2.4.7) 38 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON NORMAL Minimizando la expresi´on (2.4.7), obtenemos λ0 1= 0, P1(λ0 1) = 1 2,0y la curva ´optima: B(λ0 1, t) = (t, 0). Figura 2.10: Aproximaci´on normal con 1 punto intermedio a la curva α(t) = (t, sen(2πt)) Esto se debe a que las ´areas por encima y por debajo del eje de abcisas se equilibran. Y el error producido es 0,5. Vemos que el punto ´optimo es (1/2,0), dado que nuestro punto de control est´a tomado justo para t= 1/2. Y la curva de B´ezier de tres puntos alineados es el segmento que los une, tal y como indicamos en la primera propiedad de las curvas de B´ezier. Para poder solucionar este problema, necesitamos dividir la curva justo en el punto de cambio de curvatura. Para ello, vamos a reparametrizar la curva en dos tramos de forma independientes, aunque se podr´ıa generar el segundo tramo a partir del primero por la Propiedad 5 de las curvas de B´ezier (invarianza af´ın). La curva reparametrizada en los dos tramos queda: α1(t)=(πt, sen(πt)), α2(t)=(πt +π, sen(πt +π)) y en ambos tramos t∈[0,1], dado que lo necesitamos al trabajar con curvas de B´ezier. 2.4. EJEMPLOS 39 Sean los puntos P0=(0,0), P1=(π/2,1 + λ1), P2=(π, 0) = Q0, Q1=(3π/2,−1 + λ2), Q2=(2π, 0). En este caso vamos a trabajar en cada tramo con un punto de control intermedio. Como podemos apreciar, P2=Q0; esto es necesario dado que es precisamente el punto donde dividimos la curva y obtenemos continuidad. Realizando el mismo proceso visto anteriormente, con t= 1/2 en ambos tramos, obtenemos: B1(λ1, t) = πt 2+πt2 2,−t(1 −t)(1 + λ1), t ∈[0,1], B2(λ2, t) = π−πt 2+3πt2 2,−t(1 −t)(1 + λ2), t ∈[0,1]. Alcanzan sus valores ´optimos en: λ0 1=−π3−120 π3yλ0 2=π3−120 π3. Entonces, las curvas de B´ezier ´optimas son: B1(λ0 1, t) = πt, −120t(−1 + t) π3, t ∈[0,1], B2(λ0 2, t) = πt +π, 120t(−1 + t) π3, t ∈[0,1]. 40 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON NORMAL En la Figura 2.11 podemos ver la representaci´on de la curva compuesta por B1(λ0 1, t) y B2(λ0 2, t). Figura 2.11: Aproximaci´on normal dividida en dos tramos a la curva α(t) = (t, sen(2πt)) El error es la suma de los dos errores generados por las dos aproximaciones: 0,001444986389. Para terminar este cap´ıtulo, vamos a presentar un ejemplo de aproximaci´on de una superficie. 2.4. EJEMPLOS 41 Ejemplo 2.4.10 (Helicoide) Sea el helicoide la superficie a la cual queremos realizar una aproximaci´on: S(u, v) = ((2v−1)cos(πu),(2v−1)sen(πu), πu), u, v ∈[0,1]. Figura 2.12: Helicoide En primer lugar, vamos a aproximar la frontera del helicoide (curvas verdes de la Figura 2.12) mediante cuatro curvas independientes con dos puntos de control intermedios (t= 1/3 y t= 2/3) para cada una de ellas. Luego generaremos la superficie aproximada con cuatro puntos de control internos y esta superficie estar´a atada a su frontera. Primera curva Sean la recta S(0, t) = (2t−1,0,0) (2.4.8) y los puntos extremos P00 =S(0,0) = (−1,0,0), P03 =S(0,1) = (1,0,0). Consideramos los siguientes puntos: P01 =S(0,1/3) = (−1/3,0,0), P02 =S(0,2/3) = (1/3,0,0). 48 CAP´ ITULO 2. APROXIMACI ´ ON NORMAL Cap´ıtulo 3 Aproximaci´on aerodin´amica 3.1. Introducci´on La idea principal de este m´etodo es modificar la curva del mismo modo que en el Cap´ıtulo 2, pero ahora moveremos los puntos de control a trav´es de sus normales para mejorar el rendimiento aerodin´amico. Figura 3.1: Modificaci´on de los puntos de control 49 50 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON AERODIN ´ AMICA Observemos que, en general, ser´ıa necesario fijar una cota superior para la deformaci´on de la curva ya que, en caso contrario, ´esta tender´ıa a infinito. Las siguientes observaciones f´ısicas han sido obtenidas de [5]. Motivaci´on Supongamos un flujo de aire continuo y en una misma direcci´on. Cuando “choca” con un cuerpo se ejerce una fuerza en la misma direcci´on del aire. Esta fuerza depende de la superficie del cuerpo y la denotaremos como R. Por ejemplo, cuando sacamos la mano mientras vamos en un coche, observamos que, a medida que inclinamos la mano y la colocamos totalmente paralela a la carretera, la fuerza es mucho menor que cuando es perpendicular. En general, la fuerza Ractuando sobre el cuerpo se descompone en una componente D(drag) en la misma direcci´on del aire y una componente L (lift) en la direcci´on normal a la superficie, tal y como puede verse en la Figura 3.2: RL D Figura 3.2: Descomposici´on de la fuerza Rque act´ua sobre un cuerpo Sea pla presi´on del aire sobre una porci´on m´ınima de ´area dA yτla fuerza de fricci´on por unidad de ´area. La fuerza pdA act´ua en la normal a la superficie, mientras que la fuerza de fricci´on se ejerce tangencialmente. Nuestro objetivo es minimizar la fuerza de presi´on que viene determinada por la ecuaci´on Fp=ZA cos θpdA, siendo θel ´angulo formado por el vector horizontal (que representa la direcci´on del aire) y el vector normal de la curva. F´ısicamente no hay una forma expl´ıcita de calcular la resistencia al aire; se prueba mediante experimentos. 3.1. INTRODUCCI ´ ON 51 Figura 3.3: Descomposici´on de la fuerza Rque act´ua sobre un cuerpo En la Figura 3.4, vemos c´omo a medida que variamos la inclinaci´on del segmento, la fuerza de presi´on disminuye hasta el ´ultimo caso, en el que Fp= 0, y podemos afirmar que la fuerza de presi´on se anula. Entonces, queda verificado que el ´angulo θes significativo al evaluar la fuerza de presi´on del aire sobre una curva o superficie. A medida que el valor absoluto del cosθ disminuye, la fuerza de presi´on es menor. Para evitar problemas con el signo, consideraremos de ahora en adelante cos2θ. Fp=RApdA Fp=RAcosθpdA Fp= 0 Figura 3.4: Variaci´on de la fuerza de presi´on en funci´on del ´angulo θ 52 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON AERODIN ´ AMICA 3.2. M´etodo para curvas planas Usando como base el m´etodo descrito en el cap´ıtulo anterior, nuestro objetivo es minimizar el cos2θ. Sea α: [0,1] −→ R2una curva. En el caso que en α(t) no est´e parametrizada en [0,1], la reparametrizamos para que est´e definida en ese intervalo. Consideremos tambi´en el vector del viento v, que tomaremos unitario (se detallar´a claramente en los diferentes casos pr´acticos). En primer lugar, al igual que el m´etodo introducido en el Cap´ıtulo 2, vamos a realizar una partici´on de nintervalos de t 0 = t0< t1< . . . < tn−1< tn= 1 y vamos a redefinir los puntos de control intermedios: P0=α(0), Pi(λi) =α(ti) + λinα(ti),1≤i≤n−1, Pn=α(1), siendo nα(t) el vector normal de la curva α(t). Se construye la curva de B´ezier: B(λ1, . . . , λn−1, t) = P0Bn 0(t) + n−1 X i=1 PiBn i(t) + PnBn n(t) siendo Bn k(t) los polinomios de Bernstein (v´ease el Cap´ıtulo 1). Se determina el vector normal a B(λ1, . . . , λn−1, t), que denotaremos por nB(λ1, . . . , λn−1, t). Llamaremos θ(λ1, . . . , λn−1, t) al ´angulo que forma este vector normal con el vector del viento v. Calculamos cos2θ(λ1, . . . , λn−1, t)=(nB(λ1, . . . , λn−1, t)·v)2, pues tanto nBcomo vson vectores unitarios. Presentamos a continuaci´on dos posibilidades para imponer la mejora del comportamiento aerodin´amico de la curva α. 3.2. M ´ ETODO PARA CURVAS PLANAS 53 Posibilidad 1 Construimos la funci´on F(λ1, . . . , λn−1) = Z1 0 cos2θ(λ1, . . . , λn−1, t)dt, que representa la evaluaci´on del cos2θen todos los puntos de la curva de B´ezier. Nuestro objetivo ser´a minimizar esta funci´on para obtener los valores ´optimos de λ1, . . . , λn−1, siendo ´estos los que hacen que la curva sea “m´as” aerodin´amica. Veamos un ejemplo para ilustrar este m´etodo: Ejemplo 3.2.1 Sean α(t) = (0,1−t), t∈[0,1] el segmento vertical que une los puntos (0,1) y (0,0) y v= (−1,0). Consideremos un punto de control intermedio. Entonces n= 2 y t1= 1/2. Por tanto, los puntos quedan: P0=α(0) = (0,1), P1(λ1) =α(t1) + λ1nα(t1)=(λ1,1/2), P2=α(1) = (0,0). Construimos ahora la curva de B´ezier: B(λ1, t) =P0B2 0(t) + P1(λ1)B2 1(t) + P2B2 2(t) = =(2λ1t−2λ1t2,1−t). Calculamos el cos2θ: cos2θ(λ1, t) = (nB(λ1, t)·v)2=1 16λ2 1t2−16λ2 1t+ 4λ2 1+ 1. Ahora tendremos que calcular la funci´on F(λ1): F(λ1) = Z1 0 cos2θ(λ1, t)dt =arctan(2λ1) λ1 .(3.2.1) Para minimizar esta funci´on, planteamos: ∂F ∂λ1 =−−2λ1+ 4 arctan(2λ1)λ2 1+ arctan(2λ1) (4λ2 1+ 1)λ2 1 = 0.(3.2.2) 54 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON AERODIN ´ AMICA De la ecuaci´on (3.2.2) obtenemos λ1= 0, pero esto es el m´aximo de la funci´on. Esto tiene sentido, pues cuando el segmento no se deforma presenta m´as resistencia al aire. No obstante, podemos analizar directamente la funci´on F(λ1). Resulta obvio que F(λ1) alcanza el m´ınimo cuando λ0 1=±∞ y F(λ0 1) = 0, dado que el numerador en la expresi´on (3.2.1) est´a acotado entre [−π/2, π/2] y el denominador tiende a ±∞ con λ1. En la Figura 3.5 puede verse la mejora aerodin´amica para λ0 1= 1: Figura 3.5: Optimizaci´on aerodin´amica del segmento vertical con 1 punto de control intermedio Ejemplo 3.2.2 Consideremos el Ejemplo 3.2.1, pero con 2 puntos de control intermedios. Entonces n= 3, t1= 1/3 y t2= 2/3. Por tanto, los puntos quedan: P0=α(0) = (0,1), P1(λ1) =α(t1) + λ1nα(t1)=(λ1,2/3), P2(λ2) =α(t2) + λ2nα(t2)=(λ2,1/3), P3=α(1) = (0,0). Construimos ahora la curva de B´ezier: B(λ1, λ2, t) =P0B3 0(t) + 2 X i=1 PiB3 i(t) + P3B3 3(t) = =(3λ1t−6λ1t2+ 3λ1t3+ 3t2λ2−3t3λ2,1−t). 3.2. M ´ ETODO PARA CURVAS PLANAS 55 Calculamos el cos2θ: cos2θ(λ1, λ2, t)=(nB(λ1, λ2, t)·v)2= =1/(−216λ2 1t3+ 198λ2 1t2+ 9λ2 1+ 81λ2 1t4+ 81t4λ2 2+ 324λ1t3λ2 −162λ1t4λ2+ 36λ1tλ2−198λ1t2λ2+ 36t2λ2 2−72λ2 1t−108t3λ2 2+ 1). Ahora tendr´ıamos que calcular la funci´on F(λ1, λ2) = R1 0cos2θ(λ1, λ2, t)dt, pero esta integral no es sencilla de obtener, ni siquiera usando un programa de c´alculo simb´olico. Entonces, proponemos una nueva posibilidad para el m´etodo: Posibilidad 2 En lugar de definir F(λ1, . . . , λn−1), buscamos una funci´on alternativa que represente la evaluaci´on del cos2θpero computacionalmente m´as sencilla. Proponemos e F(λ1, . . . , λn−1) = n−1 X i=1 cos2θ(λ1, . . . , λn−1, ti), es decir, discretizamos el problema evaluando el cos2θs´olo en los puntos de control intermedios (los puntos extremos no dan informaci´on relevante). El objetivo sigue siendo el mismo: minimizar la funci´on e F(λ1, . . . , λn−1) para obtener los valores ´optimos de λ1, . . . , λn−1. Ejemplo 3.2.3 Volviendo al Ejemplo 3.2.2 vamos a aplicar la Posibilidad 2. Para ello, calculamos: cos2θ(λ1, λ2, t = 1/3) = 1 1 + λ2 2 , cos2θ(λ1, λ2, t = 2/3) = 1 1 + λ2 1 , e F(λ1, λ2) = 2 X i=1 cos2θ(λ1, λ2, ti) = 1 1 + λ2 1 +1 1 + λ2 2 . Vemos que e F(λ1, λ2) se minimiza cuando λ1=λ2=±∞. Si tuvi´esemos una cota superior para ambos par´ametro, el m´ınimo se alcanzar´ıa en esa cota. 56 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON AERODIN ´ AMICA Podemos considerar el caso sim´etrico (λ=λ1=λ2): e F(λ) = 2 1 + λ2. Al igual que antes se alcanza el m´ınimo cuando λ=±∞. Por lo tanto, cuanto m´as “alarguemos” la figura, m´as aerodin´amica se volver´a, tal y como nos indica nuestra intuici´on. En la Figura 3.6 puede verse la mejora aerodin´amica para λ0= 1: Figura 3.6: Optimizaci´on aerodin´amica del segmento vertical con 2 puntos de control Nota 3.2.4 La Posibilidad 2 del m´etodo presenta un inconveniente: a la hora de discretizar el problema s´olo evaluamos la “aerodin´amica” en los puntos de control intermedios. Puede ocurrir que en dichos puntos el cos2θsea menor, pero que en el resto de puntos de la curva ese ´angulo no sea m´ınimo (v´ease el Ejemplo 3.3.6, que presentaremos en la siguiente secci´on). ¿Qu´e pasar´ıa si aplicasemos la Posibilidad 2 al Ejemplo 3.2.2? Pues al tener s´olo un punto de control intermedio tendr´ıamos que evaluar el cos2θcuando t= 1/2: cos2θ(λ1, t = 1/2) = 1. Entonces no aporta ninguna informaci´on, pues no podemos modificar λ1. Esto ocurre pues en ese punto el vector normal de la curva tiene la misma direcci´on que el vector del viento. 3.3. EJEMPLOS 57 3.3. Ejemplos Una vez presentadas las dos posibilidades del m´etodo, veamos diferentes ejemplos que podr´ıan resultar interesantes. Ejemplo 3.3.1 Consideremos el Ejemplo 3.2.3 pero vamos a realizar el estudio con 3 puntos de control intermedios. As´ı, n= 4, t1= 1/4, t2= 1/2 y t3= 3/4. Por tanto, los puntos quedan: P0=α(0) = (0,1), P1(λ1) =α(t1) + λ1nα(t1)=(λ1,3/4), P2(λ2) =α(t2) + λ2nα(t2)=(λ2,1/2), P3(λ3) =α(t3) + λ3nα(t3)=(λ3,1/4), P4=α(1) = (0,0). Construimos ahora la curva de B´ezier: B(λ1, λ2, λ3, t) = P0B4 0(t) + 3 X i=1 Pi(λi)B4 i(t) + P4B4 4(t) = =(4tλ1−12t2λ1+ 12t3λ1−4t4λ1+ 6t2λ2−12t3λ2+ 6t4λ2+ 4t3λ3−4t4λ3,1−t). El cos2θ(λ1, λ2, λ3, t) tiene una expresi´on demasiado larga, al igual que F(λ1, λ2, λ3). Entonces, vamos a aplicar la Posibilidad 2. Veamos cu´ales son las discretizaciones del coseno: cos2θ(λ1, λ2, λ3, t = 1/4) = 1 1 + 81 64λ2 2+9 8λ2λ3+1 4λ2 3 , cos2θ(λ1, λ2, λ3, t = 1/2) = 1 1−2λ1λ3+λ2 3+λ2 1 , cos2θ(λ1, λ2, λ3, t = 3/4) = 1 1 + 81 64λ2 2+9 8λ1λ2+1 4λ2 1 . Entonces: e F(λ1, λ2, λ3) = 3 X i=1 cos2θ(λ1, λ2, λ3, ti) = 1 1 + 81 64λ2 2+9 8λ2λ3+1 4λ2 3 + +1 1−2λ1λ3+λ2 3+λ2 1 +1 1 + 81 64λ2 2+9 8λ1λ2+1 4λ2 1 . (3.3.1) 64 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON AERODIN ´ AMICA Construimos ahora la curva de B´ezier: B(λ1, λ2, t) =P0B3 0(t) + 2 X i=1 Pi(λi)B3 i(t) + P3B3 3(t) = =t+3 2tλ1√2−3t2λ1√2 + 3 2t3λ1√2 + 3 2t2λ2√2−3 2t3λ2√2, 1−t+3 2tλ1√2−3t2λ1√2 + 3 2t3λ1√2 + 3 2t2λ2√2−3 2t3λ2√2. El cos2θ(λ1, λ2, t) tiene una expresi´on demasiado larga, al igual que F(λ1, λ2). Entonces, vamos a aplicar la Posibilidad 2. Veamos cu´ales son las discretizaciones del coseno: cos2θ(λ1, λ2, t = 1/3) = 1 4 (−2 + λ2√2)2 2 + λ2 2 , cos2θ(λ1, λ2, t = 2/3) = 1 4 (−2 + λ1√2)2 2 + λ2 1 . As´ı: e F(λ1, λ2) = 2 X i=1 cos2θ(λ1, λ2, ti) = =1 4 (−2 + λ2√2)2 2 + λ2 2 +1 4 (−2 + λ1√2)2 2 + λ2 1 . (3.3.5) Optimizando (3.3.5) se obtienen los valores ´optimos: λ0 1=−√2 y λ0 2=√2, ´o λ0 1=√2 y λ0 2=−√2. Se ha obtenido e F(λ0 1, λ0 2) = 0,4112779620 y dado que, sin modificar el segmento oblicuo, F(0,0) = 0,5, la mejora aerodin´amica no ha sido muy superior. Al realizar la discretizaci´on de la Posibilidad 2 del m´etodo, podemos obtener que la curva sea m´as aerodin´amica en los puntos que vamos a optimizar pero menos en el resto de puntos de la curva. V´ease la Figura 3.12. Nota 3.3.8 Para el c´alculo de los valores ´optimos hemos vuelto a utilizar los servidores mencionados anteriormente. 3.4. M ´ ETODO PARA SUPERFICIES 65 Figura 3.12: Optimizaci´on aerodin´amica del segmento oblicuo con 2 puntos de control intermedios 3.4. M´etodo para superficies Veamos c´omo podemos extender este m´etodo a superficies: Sean S: [0,1] ×[0,1] −→ R3, (u, v)7−→ S(u, v) una superficie regular, y dos particiones en intervalos iguales, en cada una, u0= 0 < u1< . . . < un−1< un= 1, v0= 0 < v1< . . . < vm−1< vm= 1. Fijamos la frontera de la superficie y los puntos interiores de la malla los redefinimos mediante la normal de la misma (que denotaremos NS): Pij(λij) = S(ui, vj) + λijNS(ui, vj), Entonces, definimos la superficie de B´ezier BS(λij, u, v) = n X i=0 m X j=0 PijBn i(u)Bm j(v), donde Pij =Pij(λij) si 1 ≤i≤n−1 y 1 ≤j≤m−1. 66 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON AERODIN ´ AMICA El resto del m´etodo para superficies se aplica de manera an´aloga al caso de curvas, salvo que lo que antes era una integral simple, ahora lo es doble. As´ı, consideramos F(λij) = Z1 0Z1 0 cos2θ(λij, u, v)dudv, siendo θ(λij, u, v) el ´angulo que forman el vector normal a la superficie BS(λij, u, v), que notaremos NBS(λij, u, v), y el vector del viento v. 3.5. Ejemplos En esta secci´on aplicaremos el m´etodo presentado en la secci´on anterior a varios tipos de mallas, para observar la deformaci´on aerodin´amica. Ejemplo 3.5.1 Sean S(u, v)=(u, v, 0) el plano Z= 0 con u, v ∈[0,1] y el vector del viento v= (−1,0,0). Realizamos una malla equidistante 3 ×3, es decir, con un solo punto de control intermedio dado que la frontera est´a fijada. La deformaci´on del punto de control intermedio queda: P11(λ) = S(1/2,1/2) + λN(1/2,1/2) = 1 2,1 2, λ. Figura 3.13: Malla 3 ×3 con 1 punto de control intermedio La superficie de B´ezier es: BS(λ, u, v) = (u, v, 4uvλ −4uv2λ−4u2vλ + 4u2v2λ). 3.5. EJEMPLOS 67 Ahora, tendr´ıamos que calcular la funci´on F(λ) = Z1 0Z1 0 cos2θ(λ, u, v)dudv, pero esta expresi´on es demasiado larga. Aunque sabemos que es decreciente, es decir, a medida que crece λel cos2θdisminuye. Acotemos λy supongamos que λ∈[0,3], entonces la mejora aerodin´amica se alcanza en λ0= 3. Figura 3.14: Deformaci´on de la malla 3×3 con 1 punto de control intermedio Ejemplo 3.5.2 Consid´erese el Ejemplo 3.5.1, pero ahora realizamos el estudio en una malla equidistante 4×4, es decir, con 4 puntos de control intermedios dado que la frontera est´a fijada. Tomamos λ11 =λ12 =λ21 =λ22 =λ, buscando la simetr´ıa de la figura. La deformaci´on de los puntos de control intermedios queda: P11(λ) = S(1/3,1/3) + λN(1/3,1/3) = 1 2,1 2, λ, P12(λ) = S(1/3,2/3) + λN(1/3,2/3) = 1 2,1 2, λ, 68 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON AERODIN ´ AMICA P21(λ) = S(2/3,1/3) + λN(2/3,1/3) = 1 2,1 2, λ, P22(λ) = S(2/3,2/3) + λN(2/3,2/3) = 1 2,1 2, λ. Figura 3.15: Malla 4 ×4 con 4 puntos de control intermedios La superficie de B´ezier es: BS(λ, u, v) = (u, v, 9uvλ −9uv2λ−9u2vλ + 9u2v2λ). Ahora, tendr´ıamos que calcular la funci´on F(λ) = Z1 0Z1 0 cos2θ(λ, u, v)dudv, pero esta expresi´on es, de nuevo, demasiado larga. Aunque sabemos que es decreciente, es decir, a medida que crece λel cos2θdisminuye. Supongamos que λ∈[0,3]; entonces la mejora aerodin´amica se alcanza en λ0= 3. V´ease la Figura 3.16. 3.5. EJEMPLOS 69 Figura 3.16: Deformaci´on de la malla 4×4 con 4 puntos de control intermedios Para concluir, vamos a presentar un ejemplo donde la redefinici´on de los puntos la realizamos de manera diferente. Ejemplo 3.5.3 Consid´erese el Ejemplo 3.5.1 pero ahora realizamos el estudio en una malla equidistante 5 ×5, es decir, con 9 puntos de control intermedios dado que la frontera est´a fijada. 70 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON AERODIN ´ AMICA Figura 3.17: Malla 5 ×5 con 9 puntos de control intermedios La deformaci´on de los puntos de control intermedios queda: P11(λ1) = S(1/4,1/4) + λ1N(1/4,1/4) = 1 4,1 4, λ1, P12(λ2) = S(1/4,1/2) + λ2N(1/4,1/4) = 1 4,1 2, λ2, P13(λ1) = S(1/4,3/4) + λ1N(1/4,3/4) = 1 4,3 4, λ1, P21(λ2) = S(1/4,1/4) + λ2N(1/4,1/4) = 1 2,1 4, λ2, P22(λ3) = S(1/4,1/4) + λ3N(1/4,1/4) = 1 2,1 2, λ3, P23(λ2) = S(1/4,3/4) + λ2N(1/4,3/4) = 1 2,3 4, λ2, P31(λ1) = S(3/4,1/4) + λ1N(3/4,1/4) = 3 4,1 4, λ1, P32(λ2) = S(3/4,1/4) + λ2N(3/4,1/4) = 3 4,1 2, λ2, P33(λ1) = S(3/4,3/4) + λ1N(3/4,3/4) = 3 4,3 4, λ1. Nota 3.5.4 Los puntos verdes de la Figura 3.17 dependen de λ1, los rojos de λ2y el punto celeste de λ3. 3.5. EJEMPLOS 71 La superficie de B´ezier es: BS(λ1, λ2, λ3, u, v) = (u, v, 36u2v4λ3−72u2v3λ3−120u2v4λ2+ 240u2v3λ2− −144u2v2λ2+ 24uv4λ2−48uv3λ2−96u4v4λ2+ 192u4v3λ2−120u4v2λ2+ + 192u3v4λ2−384u3v3λ2+ 64u4v4λ1−128u4v3λ1−128u3v4λ1+ + 256u3v3λ1+ 96u2v4λ1−192u2v3λ1+ 36u4v4λ3−72u4v3λ3+ 36u4v2λ3− −72u3v4λ3+ 144u3v3λ3−72u3v2λ3+ 96u4v2λ1−32u4vλ1+ 144u2v2λ1− −48u2vλ1−48uv2λ1+ 24u4vλ2−48u3vλ2+ 24u2vλ2+ 64u3vλ1−192u3v2λ1 + 24uv2λ2+ 240u3v2λ2+ 64uv3λ1+ 36u2v2λ3−32uv4λ1+ 16uvλ1). Ahora, vamos a plantear otro tipo de problema. Supongamos que tenemos una cota superior para λ3= 3, nuestro objetivo ser´a obtener los par´ametros λ0 1yλ0 2, que hacen que la superficie BS(λ0 1, λ0 2,3, u, v) sea lo m´as aerodin´amica posible. Para simplificar c´alculos, consideramos λ1, λ2∈[0,3]. En este momento, tendr´ıamos que calcular F(λ1, λ2,3), pero esta expre- si´on es dif´ıcilmente computable. Una ´opcion es usar el m´etodo de Simpson para calcular una aproximaci´on de F(λ1, λ2,3) (se puede encontrar en el archivo 11.malla 5x5.mws del ´ Apendice Digital). Utilizando los serividores mencionados anteriormente, hemos obtenido: λ0 1=λ0 2= 0, F(0,0,3) = 0,18027. Figura 3.18: Deformaci´on de la malla 5×5 con 9 puntos de control intermedios 72 CAP´ ITULO 3. APROXIMACI ´ ON AERODIN ´ AMICA Ap´endice Digital Esta memoria se acompa˜na de un CD, que incluye los siguientes archivos, a modo de Ap´endice Digital: 01.aprox polinomica.mws En este archivo se podr´an encontrar todos los c´alculos, figuras y animaciones relacionadas con los Ejemplos 2.4.1 y 2.4.2. 02.aprox exponencial.mws En este archivo se podr´an encontrar todos los c´alculos, figuras y animaciones relacionadas con los Ejemplos 2.4.3 y 2.4.4. 03.aprox tlog(t).mws En este archivo se podr´an encontrar todos los c´alculos, figuras y animaciones relacionadas con los Ejemplos 2.4.6 y 2.4.7. 04.aprox seno.mws En este archivo se podr´an encontrar todos los c´alculos, figuras y animaciones relacionadas con el Ejemplo 2.4.9. 05.aprox helicoide.mws En este archivo se podr´an encontrar todos los c´alculos, figuras y animaciones relacionadas con el Ejemplo 2.4.10. 06.segmento vertical.mws En este archivo se podr´an encontrar todos los c´alculos, figuras y animaciones relacionadas con los Ejemplos 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 y 3.3.1. 07.semicircunferencia.mws En este archivo se podr´an encontrar todos los c´alculos, figuras y animaciones relacionadas con los Ejemplos 3.3.3 y 3.3.4. 08.segmento oblicuo.mws En este archivo se podr´an encontrar todos los c´alculos, figuras y animaciones relacionadas con los Ejemplos 3.3.6 y 3.3.7. 73