Modelado y simulación de la cadena de tracción de una escalera mecánica como sistema multicuerpo

0Equation Chapter 1 Section 1 Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de las Tecnologías Industriales Modelado y simulación de la cadena de tracción de una escalera mecánica como sistema multicuerpo Dpto. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Autor: Alejandro Cuevas López Tutor: José Luis Escalona Franco Sevilla, 2020 ii iii iv i Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de las Tecnologías Industriales Modelado y simulación de la cadena de tracción de una escalera mecánica como sistema multicuerpo Autor: Alejandro Cuevas López Tutor: José Luis Escalona Franco Catedrático de Ingeniería Mecánica Dpto. de Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 ii iii Proyecto Fin de Carrera: Modelado y simulación de la cadena de tracción de una escalera mecánica como sistema multicuerpo Autor: Alejandro Cuevas López Tutor: José Luis Escalona Franco El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2020 iv v A mi familia A mis maestros A mis amigos xii 5 Cinemática de la cadena de tracción de la Escalera Mecánica .................................................................................. 35 5.1 Coordenadas del sistema multicuerpo .................................................................................................................. 35 5.2 Restricciones del problema ..................................................................................................................................... 38 5.3 Problema de la posición ........................................................................................................................................... 38 5.4 Velocidad del sistema multicuerpo ........................................................................................................................ 43 5.5 Aceleración del sistema multicuerpo ..................................................................................................................... 43 6 Dinámica Inversa de la Escalera Mecánica................................................................................................................. 47 6.1 Desarrollo de la dinámica inversa ........................................................................................................................... 47 6.1.1 Problema de posición ........................................................................................................................................... 47 6.1.2 Problema de velocidad ......................................................................................................................................... 48 6.1.3 Problema de aceleración y fuerzas de reacción .................................................................................................. 48 6.2 Simulación de la dinámica inversa.......................................................................................................................... 52 7 Dinámica Directa de la Escalera Mecánica ................................................................................................................. 60 7.1 Sistema de tracción .................................................................................................................................................. 60 7.1.1 Controlador ........................................................................................................................................................... 62 7.1.2 Valor de la rigidez de indentación ....................................................................................................................... 63 7.2 Problema de integración numérica ........................................................................................................................ 63 7.2.1 Posición inicial...................................................................................................................................................... 63 7.2.2 Integración numérica ............................................................................................................................................ 63 7.2.3 Ecuación de movimiento ..................................................................................................................................... 64 7.2.4 Cálculos cinemáticos y dinámicos ...................................................................................................................... 66 7.3.1 Resultados en el dominio del tiempo .................................................................................................................. 68 7.3.2 Resultados en el dominio de la frecuencia .......................................................................................................... 79 7.3.3 Conclusiones ......................................................................................................................................................... 88 7.4 Simulación de la dinámica directa para situación en carga ................................................................................. 89 8 Conclusiones y futuras líneas de investigación .......................................................................................................... 95 9 Anexo .......................................................................................................................................................................... 98 9 Bibliografía ................................................................................................................................................................102 xiii ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Transportes verticales 1 Figura 2. Escalera mecánica Otis 2 Figura 3. Imágen ilustrativa de la estructura de la escalera Tipo J de Mitsubishi Electronic (1) 6 Figura 4. Detalles de la barandilla de una escalera mecánica 7 Figura 5. Unidad motriz de una Escalera Mecánica 8 Figura 6. Peldaño de una escalera mecánica 9 Figura 7 . Modelo 3D de una escalera mecánica (7) 10 Figura 8. Partes de una escalera mecánica (4) 11 Figura 9. Norma UNE-EN 115-1:2018 (5) 12 Figura 10.Dibujo esquema de un peldaño (5) 13 Figura 11. Principales medidas de una escalera mecánica (5) 14 Figura 12. Geometría externa de la escalera mecánica 16 Figura 13. Sistema tensor de la escalera mecánica (4) 17 Figura 14. Geometría externa de la escalera mecánica con tensor 18 Figura 15. Cadena de Rodillos (4) 18 Figura 16. Rueda dentada del sistema de tracción (4) 19 Figura 17. Engrane cadena de rodillos-rueda dentada (4) 20 Figura 18. Situación A: Velocidad máxima (7) 20 Figura 19. Situación B: Velocidad mínima (7) 20 Figura 20. Geometría de la guía para el modelo de la escalera mecánica 22 Figura 21. Peldaño de acero inoxidable del fabricante Lilong 24 Figura 22. Catálogo de cadenas de rodillos 25 Figura 23. Valores de la cadena de rodillos 25 Figura 24.Cadena de rodillos 26 Figura 25. Relación 𝐬𝟎−𝐬𝟏 27 Figura 26. Posición de un Rodillo 29 Figura 27. Esquema de parámetros de la rueda dentada 32 Figura 28. Modelo 3D de la rueda dentada 32 Figura 29. Posición de los dientes 33 Figura 30. Coordenada posición de los rodillos 35 Figura 31. Desplazamiento del tensor frente al avance de la cadena de rodillos 42 Figura 32. Desplazamiento del tensor respecto a la media de valores de 𝜹 42 Figura 33. Desplazamiento del tensor frente a la coordenada 𝒔𝟎𝟏 𝐲 𝒔𝟏𝟏 52 Figura 34. Longitud de onda espacial del desplazamiento del tensor 52 Figura 35. Desplazamiento del tensor frente al tiempo 53 Figura 36. Longitud de onda temporal del desplazamiento del tensor 53 Figura 37. Velocidad del rodillo 1 a lo largo de la guía 54 Figura 38. Detalle de la velocidad del rodillo 1 en la zona de embarque inferior-superior 54 Figura 39. Velocidad de los rodillos 1,2,3 y 4 en el recorrido de la guía 55 Figura 40. Aceleración del rodillo 1 en la guía 56 Figura 41. Detalle de la aceleración del rodillo 1 56 Figura 42. Aceleración de los rodillos 1,2,3 y 4 en la guía 57 Figura 43. Esquema vector de tensiones en los rodillos, posición inicial 58 Figura 44. Fuerzas de Reacción: Tensiones en los eslabones y fuerza de arrastre de la cadena por la restricción de movilidad 58 Figura 45. Geometría completa del modelo 59 Figura 46. Detalle de la rueda tractora 59 Figura 47. Esquema de funcionamiento de un Mecanismo 60 Figura 48. Detalles de la indentación rodillo-diente 61 Figura 49. Detalle de las fuerzas de contacto rodillo-diente 62 Figura 50. Posición inicial para la integración numérica. Cadena engranando en la rueda tractora 67 Figura 51. Desplazamiento del tensor frente al movimiento del rodillo 1 en la dinámica directa 68 Figura 52. Detalle del desplazamiento del tensor 69 Figura 53. Desplazamiento del tensor frente al tiempo 70 xiv Figura 54. Par motor y velocidad angular de la rueda tractora 71 Figura 55. Detalle del par motor y la velocidad angular de la rueda tractora 71 Figura 56. Detalle del desplazamiento del tensor frente al tiempo 72 Figura 57. Coordenada del desplazamiento del tensor y sus derivadas: 𝛅−𝛅− 𝛅 72 Figura 58. Coordenada del desplazamiento del rodillo 1 y sus derivadas: 𝐬𝟎𝟏−𝐬𝟎𝟏−𝐬𝟎𝟏 73 Figura 59. Coordenada del giro de la rueda tractora y sus derivadas: 𝛉−𝛉−𝛉 73 Figura 60. Detalle de la velocidad y aceleración de la coordenada 𝛉 74 Figura 61. Velocidad del rodillo 1 en la dinámica directa 75 Figura 62. Detalle de la velocidad del rodillo 1 75 Figura 63. Velocidad de los primeros cuatro rodillos de la cadena. 76 Figura 64. Aceleración del rodillo 1 77 Figura 65. Aceleración de los primeros 4 rodillos 77 Figura 66. Fuerza de reacción de las restricciones: Tensión de los eslabones 78 Figura 67. Dominio temporal vs dominio frecuencial: Desplazamiento del carro tensor 𝜹 80 Figura 68. Dominio temporal vs dominio frecuencial: Aceleración del carro tensor 𝜹 81 Figura 69. Dominio temporal vs dominio frecuencial: Velocidad del carro tensor 𝜹 81 Figura 70. Dominio temporal vs dominio frecuencial: Coordenada velocidad desplazamiento de la indeformada, 𝒔𝟎 82 Figura 71. Dominio Tetemporal vs dominio frecuencial: Coordenada aceleración desplazamiento de la indeformada, 𝒔𝟎 83 Figura 72. Dominio Temporal vs dominio frecuencial: Velocidad angular 𝜽 84 Figura 73. Dominio temporal vs dominio frecuencial.: Aceleración angular 𝜽 84 Figura 74. Dominio del tiempo vs dominio de la frecuencia: Velocidad en X del rodillo 85 Figura 75. Dominio del tiempo vs dominio de la frecuencia: Aceleración en X del rodillo 86 Figura 76. Dominio del tiempo vs dominio frecuencial: Tensión en los eslabones 87 Figura 77. Dominio temporal vs dominio frecuencial: Indentación rodillo-𝐝𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝟏 88 Figura 78. Coodenada 𝜹 y sus derivadas 89 Figura 79. Coordenada 𝒔𝟎 y sus derivadas 90 Figura 80. Coordenada 𝜽 y sus derivadas 90 Figura 81. Velocidad de los rodillos 91 Figura 82. Aceleración de los rodillos 92 Figura 83. Tensión en los eslabones 92 Figura 84. Controlador del par motor y entrada de los usuarios mediante una señal escalón 93 Figura 85. Indentación de los dientes-rodillos 94 xv ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Medidas principales de la norma [figura 10]................................................................................................................ 13 Tabla 2. Parámetros de la guía externa ...................................................................................................................................... 17 Tabla 3. Velocidades debidas al efecto cordal ........................................................................................................................... 20 Tabla 4. Valores del modelo de escalera mecánica ................................................................................................................... 22 Tabla 5. Dimensiones del peldaño .............................................................................................................................................. 24 Tabla 6. Valores paramétricos según la coordenada ................................................................................................................. 28 Tabla 7. Valores de la geometría del diente ............................................................................................................................... 31 Tabla 8. Propiedades físicas de la rueda dentada ...................................................................................................................... 32 Tabla 9. Dimensiones de las matrices de las ecuaciones de movimiento ................................................................................ 51 Tabla 10. Zonas de la velocidad ................................................................................................................................................... 55 Tabla 11. Dimensiones de las ecuaciones de la dinámica directa ............................................................................................ 66 Tabla 12. Dimensiones de la resolcuión de la dinámica directa ............................................................................................... 67 Tabla 13. Características odeset para la integración numérica ................................................................................................ 68 Tabla 14. Valores necesarios para la transformada de fourier ................................................................................................. 79 xvi 1 1 ESTADO DEL ARTE ste proyecto es desarrollado surge de la colaboración con Alfonso Molina-Spínola, ingeniero industrial y director y fundador de la empresa Elewation, el cual posee una amplia experiencia de 15 años en el sector de las escaleras mecánicas y rampas móviles. El objetivo de este proyecto, es dar el primer paso en el desarrollo de una herramienta profesional futura, mediante un modelo dinámico de sistemas multicuerpo, de una escalera mecánica. Esta herramienta será de gran ayuda para Alfonso y su empresa, Elewation, para estudiar el comportamiento de las escaleras mecánicas ante algún cambio de parámetros en el modelo o la acción de ciertas fuerzas externas. En este apartado, se comienza con una breve introducción sobre la historia de las escaleras mecánicas, uno de los grandes mecanismos en el ámbito del transporte vertical de personas y se verá cómo han ido evolucionando a lo largo de los años, y cuáles son las líneas de investigación actuales. 1.1 TRANSPORTES VERTICALES DE PERSONAS, LAS ESCALERAS MECÁNICA La evolución de las escaleras mecánicas a lo largo de los años, está vinculada al sector del transporte vertical. Este es un campo muy amplio, donde pueden incluirse diferentes sistemas cuyo objetivo principal es el de transportar numerosos volúmenes, normalmente personas, a lo largo de los días. Algunos de estos sistemas son: - Escaleras Mecánicas - Ascensores - Pasillos móviles - Pasarelas de embarques - Teleféricos - Telesillas E “No llames tontería a una buena acción” Historia de una escalera, 1947 Antonio Buero Vallejo Figura 1. Transportes verticales 2 1.2 ORÍGEN DE LAS ESCALERAS MECÁNICAS Los orígenes de las escaleras mecánicas se pueden situar a mediados del siglo XIX, dos años después del primer ascensor de pasajeros (1) - (2). En 1859, el estadounidense Nathan Ames patentó la llamada escalera giratoria, la cual nunca llegó a construirse debido a que este murió en 1860. El mecanismo formaba un triángulo equilátero en el que los pasajeros debían de dar un pequeño salto tanto para bajarse como para subirse. En 1892, Jesse W. Reno patentó el primer tipo operativo de escalera mecánica, al cual se le denominó elevador inclinado, y fue presentado en 1896 como un novedoso mecanismo de desplazamiento, en un parque temático de Nueva York. Consistía en un pasillo móvil inclinado dónde los peldaños eran plataformas de sección triangular curvadas que se desplazaban de forma continua sobre una cinta transportadora que tenía una inclinación de 25º. Durante esta década, George H-Wheeler hizo su aparición gracias a una escalera mecánica con un pasamanos móvil y escalones planos, a la que se accedía y descendía desde la parte lateral. Charles D. Seeberger comenzó a trabajar sobre los diseños de Wheeler, y fue quién inventó la palabra inglesa “escalator” a partir de las palabras “scala” (peldaño en latín) y la palabra “elevator” (ascensor). Reno y Otis fueron las dos grandes fuerzas en la evolución de las escaleras mecánicas. En 1900, Reno solucionó el problema de la superficie de rodadura inclinada instalando una escalera móvil con resalto en una estación elevada en la ciudad de Nueva York. Posteriormente, Otis obtuvo el monopolio de la fabricación de escaleras mecánicas, vendiendo dos tipos de escaleras mecánicas, con peldaños y resaltos. A partir de entonces, las escaleras mecánicas se convirtieron en uno de los medios más importante en los transportes verticales, para el movimiento de grandes números de personas a alturas medias, como puede ser en centros comerciales, hoteles, edificios de oficina, estaciones, aeropuertos, … Figura 2. Escalera mecánica Otis 3 1.3 ESCALERAS MECÁNICAS EN LA ACTUALIDAD Hay que decir que las escaleras mecánicas actuales no se salen mucho del patrón de funcionamiento general de las patentes del siglo XIX, por lo que se puede ver que son mecanismos de principios rígidos y robustos, que no aceptan grandes cambios en cuanto a innovación. Sin embargo, hoy en día, aunque estén bien definidas los aspectos tecnológicos de las escaleras mecánicas, se sigue investigando para obtener mejores resultados desde el punto de vista de la seguridad, la eficiencia y el coste. Son destacables las siguientes líneas de trabajo actuales (2): - Inteligencia mediante control de microprocesador, obteniendo mayor seguridad y eficiencia en el funcionamiento de la escalera. - Sensibilidad mediante el control por microprocesador, para determinar desde el punto de vista del confort del pasajero, la velocidad y modo de funcionamiento adecuado para el pasajero. - Mejora de los materiales y tecnología para su funcionamiento en condiciones adversas, como es a la intemperie. - Seguridad y confort, optimizando los sistemas tanto de control como mecánicos, para cumplir lo mejor posible los requisitos de los pasajeros. 4 2 INTRODUCCIÓN os sistemas mecánicos, ya sean estructuras o máquinas, pueden cambiar su estado de equilibrio cuando están sujetos a fuerzas o movimientos que varían con el tiempo. Estos cambios pueden perturbar el funcionamiento normal del mecanismo (3). Cuando la excitación de variación en el tiempo del mecanismo tiene ciertas características, la respuesta vibra y puede alcanzar grandes amplitudes, lo que puede desembocar en un fallo del sistema. Esto sucede incluso si la intensidad de la acción estimulante es pequeña. En algunos sistemas mecánicos puede producirse una vibración con una amplitud menor, lo que no produce un mal funcionamiento del sistema debido al valor máximo de la amplitud. Sin embargo, esta vibración si son constantes a lo largo del tiempo puede producir algún daño en el mecanismo, el cuál es denominado fatiga. Todo sistema que tenga masa y capacidad para deformarse elásticamente, puede vibrar libremente. La mayoría de estructuras y máquinas son sometidas a alguna forma de vibración, es por ello que el diseño de estos debe considerar el comportamiento vibratorio. Las estructuras y máquinas deben estar diseñadas para evitar el mal funcionamiento debido a vibraciones excesivas. Las amplitudes de las vibraciones producidas en los sistemas dependen de: - La variación con el tiempo de la excitación - Las características mecánicas del sistema Por tanto, para conseguir diseñar sistemas que eviten el mal funcionamiento o el fallo por las vibraciones, deberemos actuar sobre: - La excitación del sistema, reduciendo valores de fuerzas y valores aplicados. - Las características del sistema, haciendo que afecten menos estas vibraciones. La vibración de los sistemas mecánicos depende fundamentalmente de cuatro parámetros: masa, rigidez, amortiguamiento y la excitación externa aplicada, ya sea una fuerza o momento. • Masa: Parámetro que provoca las fuerzas de inercias. Son las fuerzas que se oponen al cambio de velocidad de los sistemas. • Rigidez: Parámetro consecuente de la resistencia a la deformación, mediante una fuerza o momento. Esta fuerza o momento de reacción depende de la deformación causada. Los sistemas más comunes en la realidad, son los de comportamiento aproximadamente elástico lineal, donde la fuerza o momento que se opone al desplazamiento o rotación, es de origen elástico, proporcional al mismo. • Amortiguamiento: Es el proceso de consumo de la energía del sistema durante la vibración. Si la vibración es el resultado de una vibración libre, por unas condiciones iniciales, el amortiguamiento provoca la reducción progresiva de esta vibración hasta la parada final. El sistema puede ser amortiguado por distintas razones como puede ser el rozamiento entre partes en movimiento, el paso de fluidos por orificios, como en los amortiguadores de vehículos, o por la fricción entre materiales sujetos a deformación. • Excitación externa: Para producir una vibración en un sistema, es necesaria una excitación externa. La excitación puede ser tanto una fuerza o momento como un movimiento. Es por todo esto, que el estudio de las vibraciones es una de las ramas más importantes de la Ingeniería. Como se ha visto, las vibraciones tienen influencia en la vida útil de los mecanismos para garantizar el correcto funcionamiento de los sistemas. Este correcto funcionamiento, se traduce para las escaleras mecánicas, objeto de nuestra investigación, en confort, seguridad y vida del mecanismo. L 5 Para este estudio es imprescindible generar un modelo de simulación dinámica multicuerpo que se adapte a la realidad del mecanismo. Como se verá en los siguientes apartados, este modelo servirá como herramienta para el análisis de variables como son la velocidad y aceleración de los peldaños, el movimiento y fuerzas existentes el tensor de la cadena, las fuerzas de reacción de los rodillos o la tensión de los eslabones que forman la cadena. La simulación dinámica de sistemas multicuerpo es una herramienta de la ingeniería que se utiliza cada vez más en las etapas de diseño y análisis de mecanismos, debido a su ventaja ante la construcción de prototipos reales, que suelen tener mayores costes y problemas de tiempos asociados a los análisis, ya que estos son menos flexibles ante cambios en sus características. Gracias a la entrada gráfica de datos, animaciones, módulos de postprocesado avanzados y la comunicación de programas CAD y FEM con programas de análisis de sistemas capaces de formular las ecuaciones de movimiento de Newton-Euler o Lagrange, nacen programas de simulación dinámica de sistemas multicuerpo como son COMPAMM y SIMPACK. Este último programa, por ejemplo, es usado en una tesis doctoral (4), que se ha tomado como referencia para el desarrollo del modelo de simulación dinámica multicuerpo que se pretende crear. Para la creación desde cero del modelo dinámico de los sistemas multicuerpo, se ha utilizado en este caso el programa de cálculo Matlab, que es usado durante el grado de Ingeniería de las Tecnologías Industriales de la Universidad de Sevilla. Con este modelo se intentará hacer un análisis de las vibraciones con el objetivo de mejora del confort de los pasajeros y la disminución de los costes de mantenimiento a través del estudio de variables como las que se han nombrado anteriormente. 12 3.3 NORMA La norma europea vigente que regula la seguridad de escaleras mecánicas y andenes móviles es la Norma UNE-EN 115 de 2018 (5): “Seguridad de escaleras mecánicas y andenes móviles”. Esta norma está estructurada en las siguientes partes: 1º Parte: Construcción e instalación 2º Parte: Reglas para la mejora de seguridad de las escaleras mecánicas y de los andenes móviles existentes 3º Parte: Correlación entre la Norma EN 115-1:1995, con sus enmiendas, y la Norma EN 115-1:2008 4º Parte: Interpretaciones relativas a la familia de Normas EN 115 Nos centraremos en la primera parte de esta norma, la UNE-EN 115-1:2018. Esta norma está compuesta por 7 capítulos y los anexos: 0. Introducción 1. Objeto y campo de aplicación 2. Normas para consulta 3. Términos y definiciones, símbolos y abreviaturas 4. Lista de peligros significativos 5. Requisitos de seguridad y/o medidas de protección 6. Verificación de los requisitos de seguridad y/o medidas de protección 7. Información para el uso Es de especial interés el capítulo 5 de esta norma, en la que podremos ver los requerimientos necesarios que deben satisfacer las escaleras mecánicas. Figura 9. Norma UNE-EN 115-1:2018 (5) 13 3.3.1 PELDAÑOS En el apartado 5.3: Peldaños, placas y bandas, podemos destacar que la superficie pisable del peldaño debe se un punto de apoyo seguro y horizontal, que debe cumplir con unas dimensiones dadas: - La anchura nominal 𝑧1no debe ser inferior a 0,58 m y no debe superar los 1,10 m - La altura del peldaño 𝑥1no debe superar los 0,24 m - La profundidad del peldaño 𝑦1no debe ser inferior a 0,38 m De esta manera queda definida la geometría de los peldaños, aunque en la norma también se especifican otros detalles como la geometría que deben tener los peines, y que valores no han de superar, además de los ensayos estructurales que han de superar, tanto dinámicos como estáticos. En la norma además se indica que los materiales de los que se fabriquen los peldaños deben mantener sus características de resistencia durante toda su vida especificada. Los materiales normalmente usados para la fabricación de los peldaños suelen ser aleaciones de aluminio. Medidas principales Apartado de la Norma 𝑥1≤0,24 m 5.3.2.2.1 𝑦1≥0,38 m 5.3.2.2.2 0,58 m≤𝑧1 ≤ 1,10 m 5.3.2 Tabla 1. Medidas principales de la norma [Figura 10] Figura 10.Dibujo esquema de un peldaño (5) 14 3.3.2 MAQUINARIA DE ACCIONAMIENTO En el siguiente apartado, el 5.4, hace referencia a la velocidad nominal de la escalera, la cual no ha de superar: - 0,75 m/s para una escalera mecánica con un ángulo de inclinación de hasta 30º - 0,50 m/s para una escalera mecánica con un ángulo de inclinación de más de 30º y hasta 35º 3.3.3 RELLANOS En el apartado 5.7 vemos la configuración de peldaños, placas y peldaños: - En los rellanos inferiores y superiores, los peldaños han de moverse en la horizontal durante una distancia mínima de 0,80 m. - A velocidades superiores a 0,50 m/s y no superiores a 0,65 m/s o en desniveles superiores a 6 m, esta longitud horizontal debe ser al menos de 1,20 m. - El radio de curvatura en la transición superior entre la pendiente y la horizontal debe ser: o Al menos de 1,00 m para velocidades nominales de v≤0,5m s (inclinación máxima de 35º) o Al menos de 1,50 m para velocidades nominales entre 0,5𝑚 𝑠<v≤0,65m s (inclinación máxima de 30º) o Al menos de 2,60 m para velocidades nominales de v>0,65m s (inclinación máxima de 30º) - El radio de curvatura de la transición inferior entre la pendiente y la horizontal debe ser al menos de 1,00 m hasta velocidades nominales 0,65 m/s y de al menos 2,00 m por encima de 0,65 m/s. - Figura 11. Principales medidas de una escalera mecánica (5) 15 4 MODELADO DE LA ESCALERA MECÁNICA na forma para adquirir información sobre el comportamiento de un sistema real, es experimentando con él, como se ha hecho durante siglos. Sin embargo, hay veces que no es posible experimentar directamente sobre un sistema real, ya sea porque el sistema aún no exista o esté en fase de desarrollo, que sea inviable en la escala de tiempo experimentar con él, o que los costes económicos de su experimentación sean muy elevados. Es por esto que nace una alternativa a la experimentación de sistemas reales, que consiste en realizar un modelo del sistema y experimentar sobre ese modelo. Por tanto, podemos definir un modelo como: “Una representación de un sistema real, desarrollado con un propósito especificado” (6) La experimentación sobre modelos resulta menos costosa y más segura. Además, la experimentación sobre modelos, tienen como ventaja poder ensayar condiciones extremas, o cambiar ciertos parámetros del modelo para ver que comportamiento tienen. 4.1 SISTEMAS A MODELAR Para el modelado de cualquier mecanismo, tenemos que partir de la identificación en el mecanismo real de: - Los cuerpos que componen el mecanismo - La interacción que existe entre los diferentes cuerpos, y las restricciones entre los cuerpos interconectados, así como el contacto existente entre los cuerpos y su comportamiento (rodadura, deslizamiento o pivotamiento) - La geometría que tienen estos componentes - Los materiales de los que están hecho los componentes, para el cálculo de sus masas y propiedades inerciales - El sistema motriz y las fuerzas externas que perturban el sistema - Modelos de los valores de rigidez y amortiguamiento de las fuerzas y contactos presentes en el sistema, así como modelos de valores de rozamiento a aplicar en desplazamientos, rodaduras y pivotamientos Una vez se ha definido las características que se han de tener en cuenta en el proceso de modelado de un sistema, se pasará a ver cuáles son los principales cuerpos a modelar en la escalera mecánica. En este trabajo, al ser una introducción a una herramienta de modelado dinámico de sistemas multicuerpo, se comenzará por lo más básico del modelo: - La geometría de la guía externa es la parte principal que se ha de modelar, ya que es por la superficie de la guía por la que pasará la cadena de rodillos, que será la que transmitirá las vibraciones provocadas del paso de los rodillos por la geometría de la guía, a los peldaños. - La cadena de rodillos, que es realmente la encargada de transmitir el movimiento a los peldaños. - El sistema tensor de la cadena, que es una pieza fundamental para poder encajar la cadena de rodillos en la guía externa. - El sistema de tracción que será el encargado de poner en movimiento la cadena de rodillos. U 16 4.2 DESCRIPCIÓN DE LOS MECANISMOS DEL SISTEMA A MODELAR 4.2.1 GUÍA EXTERNA La guía externa o raíl externo es la geometría encargada de guiar la cadena de rodillos. La cadena de rodillos se apoya en esta guía y recorre todo el perímetro en contacto con esta. La guía externa es descrita por cuatro zonas diferentes, las cuáles han sido nombradas en el apartado 3.2.2: Embarcaderos: Esta zona queda definida por los parámetros L1 y L2, correspondientes a el embarcadero inferior y al embarcadero superior respectivamente. Además, en la zona del embarcadero inferior se sitúa el sistema tensor, el cuál será descrito en el próximo apartado. Cabezas: Esta zona queda definida por los parámetros R1 y R2, asociados a la cabeza inferior, que será una zona móvil debido al sistema tensor, y la cabeza superior, en la que se situará la cabeza de tracción. Transiciones: Quedará definida por los parámetros 𝛼 , que hace referencia a la inclinación de la escalera, y 𝑟𝑡, a lo que llamaremos radio de transición. Pendientes: La pendiente depende tanto del ángulo de inclinación 𝛼 de la escalera como de la altura que necesitemos vencer, usando para ello la longitud de la pendiente, 𝐿. Figura 12. Geometría externa de la escalera mecánica 17 Por tanto, la geometría externa queda definida por los siguientes parámetros: Nombre Parámetros Zona Embarcadero Inferior-Superior 𝐿1 Embarcaderos Primera Transición 𝑟𝑡 Transiciones Zona Inclinada Superior 𝛼,𝐿 Pendientes Segunda Transición 𝑟𝑡 Transiciones Embarcadero Superior-Superior 𝐿2 Embarcaderos Cabeza Superior 𝑅 Cabezas Embarcadero Superior-Inferior 𝐿2 Embarcaderos Tercera Transición 𝑟𝑡 Transiciones Zona Inclinada Inferior 𝛼,𝐿 Pendientes Cuarta Transición 𝑟𝑡 Transiciones Embarcadero Inferior-Inferior 𝐿1 Embarcaderos Cabeza Inferior 𝑅 Cabezas Tabla 2. Parámetros de la guía externa 4.2.2 SISTEMA TENSOR Este sistema es de gran importancia en modelar, ya que el sistema tensor será el encargado en poder adaptar la cadena de rodillos, al mismo tiempo de tensarla. Este sistema tensor que consiste en un muelle por cadena capaz de deslizar sobre la guía, y está situado en la cabeza inferior debido a que es dónde menor tensión de cadena se produce. Considerando el muelle sin deformar, llamaremos a la longitud que comprende el sistema tensor, 𝐿𝑡 Figura 13. Sistema tensor de la escalera mecánica (4) 18 Los principales objetivos del sistema tensor son: - Asegurar el funcionamiento a tracción de la cadena. Debido al juego existente en los casquillos de los rodillos, no es bueno el cambio de tracción a compresión. - Adaptar la geometría para absorber los cambios de geometría que supone la aproximación de las curvas por polígonos de lados iguales definidos por la longitud del eslabón de la cadena de rodillos. 4.2.3 CADENA DE RODILLOS La cadena de rodillos es el elemento que interconecta el sistema de tracción con los peldaños. Consiste en una cadena formada por eslabones móviles en sus extremos donde conectan con los rodillos. A su vez los rodillos van conectados mediante un eje a los escalones de la escalera mecánica. Figura 14. Geometría externa de la escalera mecánica con tensor Figura 15. Cadena de Rodillos (4) 19 Las cadenas de rodillos suelen clasificarse según el número de rodillos que pasa por cada uno de los peldaños: - Paso pequeño: Pasan 3 eslabones por peldaño. - Paso medio: Pasan 2 eslabone por peldaño. Suele ser el menos común - Paso largo: Pasa sólo 1 eslabón por peldaño Una buena aproximación de la geometría de la guía por las cuerdas que suponen los eslabones, hará que el sistema funcione mejor al adaptarse mejor a la guía, y evita mejor el efecto de poligonalización que se da en la tracción de la cadena, y que veremos en el siguiente apartado. Es por ello que, en la realidad, las escaleras con paso pequeño de cadena son las más comunes. 4.2.4 SISTEMA DE TRACCIÓN El sistema de tracción es un elemento de vital importancia en modelar, ya que será el encargado en introducir la potencia a la escalera mecánica. Para ello, tendremos que modelar la rueda dentada que se encarga de mover la cadena de rodillos. Como hemos dicho anteriormente, el sistema de tracción suele situarse en la cabeza superior de las escaleras mecánicas. Este sistema consiste en dos ruedas dentadas, unidas mediante un eje para asegurar el sincronismo de las cadenas. Es accionada mediante un motor eléctrico que será el responsable en introducir la potencia a la rueda. La rueda engrana con los eslabones haciendo que esta se desplace. Figura 16. Rueda dentada del sistema de tracción (4) 20 4.2.4.1 PROBLEMA DE POLIGONALIZACIÓN En los sistemas de tracción por cadenas, por ser el paso (longitud del eslabón) secante a la circunferencia primitiva de las ruedas, aparece una variación tangencial, la cuál es llamada efecto cordal o poligonalización de la velocidad. Este problema introduce vibraciones y falta de confort al sistema. Para analizar este problema, vamos a estudiar un caso extremo en el que la rueda dentada solo tenga 4 dientes, y esta tenga una velocidad angular constante igual a 𝜔. Podremos ver que existe una velocidad tangencial máxima en la rueda, y una velocidad tangencial mínima, descritas en estas dos situaciones (7): Situación A Situación B 𝑉𝑚𝑎𝑥=𝑅𝜔=𝐷1 2𝜔 𝑉𝑚𝑖𝑛=𝑅′𝜔 Tabla 3. Velocidades debidas al efecto cordal Figura 17. Engrane cadena de rodillos-rueda dentada (4) Figura 18. Situación A: Velocidad máxima (7) Figura 19. Situación B: Velocidad mínima (7) 21 Paramétricamente, si llamamos Z al número de dientes, t al paso del eslabón, y 𝜓 al ángulo que forma cada diente sucesivo respecto al eje de rotación: 𝜓=360/𝑍 De las figuras obtenemos que el paso del eslabón es igual a: 𝑡=2𝑅𝑠𝑒𝑛(𝜓2)=𝐷1𝑠𝑒𝑛(180 𝑍) 𝑅′=𝑅𝑐𝑜𝑠(𝜓2)=𝐷1𝑠𝑒𝑛(180 𝑍) ( 4-1 ) Por lo tanto, podremos relacionar la velocidad máxima con la velocidad mínima de la forma: 𝑉𝑚𝑖𝑛=𝑉𝑚𝑎𝑥cos(180 𝑍) ( 4-2 ) Con esta relación entre velocidades, se puede comprobar que a medida que disminuye el número de dientes de la rueda, mayor es la variación entre las velocidades tangenciales máximas y mínimas. Esta mayor diferencia se traduce en un aumento de la magnitud de los saltos de cadena y del ángulo 𝜓 que está obligado a girar un eslabón con respecto al otro, produciendo mayor desgaste, pérdidas de potencia y vibraciones. 4.3 MODELADO DE LOS MECANISMOS DEL SISTEMA 4.3.1 MODELADO DE LA GUÍA EXTERNA Primero definimos la geometría de la guía, ya que el principal objetivo de las escaleras mecánicas es vencer el desnivel entre dos plantas. Suponiendo que queremos vencer un desnivel de un piso estándar, 3 metros, y apoyándonos en cualquier página de fabricante de escaleras mecánicas, como puede ser Thyssenkrupp, la cual introduciendo el desnivel que queremos vencer y los grados que queremos que tenga nuestra escalera, no superando los 35º que impone la norma, obtendremos unas medidas referencias para nuestro modelo de escalera mecánica. Partiendo de estos datos de referencia, que nos da una ligera idea de los valores que puede tomar la guía de la estructura interior del sistema, junto con las restricciones que nos impone la norma (5), podemos crear nuestro propio modelo de escalera mecánica. Las restricciones de la norma que aplican en la geometría de la guía según lo visto en el apartado 3.3 son: - Rellanos inferiores y superiores de una distancia mínima de 0,80 m - Radio de transición superior entre 1,00 m y 2,60 m según la velocidad y la inclinación de la escalera. Suponiendo una velocidad máxima de 0,5 m/s y una pendiente de 30º tenemos un radio de transición al menos de 1,50 m. - Radio de transición inferior entre al menos de 1,00 m para velocidades nominales de 0,65 m/s. Como simplificación tomaremos el mismo valor de 1,50 m para todas las transiciones. 28 Tabla 6. Valores paramétricos según la coordenada En esta tabla podemos ver los valores que tomará cada una de las coordenadas en cada uno de los puntos significantes de cambio de pendiente, que se han señalado en la gráfica anterior. La relación de la Figura 25, viene dada por la unión de las siguientes funciones a trozos que definen la relación entre la coordenada de deformada 𝑠1 y la coordenada de la indeformada 𝑠0: 1. Primer tramo, tensor superior, 𝑠0∈[0,𝐿𝑡): 𝑠1=𝑠0(1−𝛿 𝐿𝑡) ( 4-5 ) 2. Segundo tramo, parte indeformada de la guía, 𝑠0∈[𝐿𝑡,𝐿𝑡+𝑅𝜋+2𝐿+2𝐿1+2𝐿2+4𝑟𝑡𝛼): 𝑠1=𝑠0−𝛿 ( 4-6 ) 3. Tercer tramo, tensor inferior, 𝑠0∈[ 𝐿𝑡+𝑅𝜋+2𝐿+2𝐿1+2𝐿2+4𝑟𝑡𝛼,2𝐿𝑡+𝑅𝜋+2𝐿+2𝐿1+ 2𝐿2+4𝑟𝑡𝛼 ): 𝑠1=𝑠0(1−𝛿 𝐿𝑡)+(𝛿 𝐿𝑡)(𝜋𝑅+2𝐿+2𝐿1+2𝐿2+4𝑟𝑡𝛼) ( 4-7 ) 4. Cuarto tramo, cabecera inferior: 𝑠0∈[ 2𝐿𝑡+𝑅𝜋+2𝐿+2𝐿1+2𝐿2+4𝑟𝑡𝛼,𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑑𝑎 ): 𝑠1=𝑠0−2𝛿 ( 4-8 ) Queda así definida la coordenada auxiliar en la deformada 𝑠1 en función de la coordenada indeformada 𝑠0 y δ. Coordenada 𝐬𝟏 Coordenada 𝐬𝟎 Punto Valor Punto Valor A’ 𝐿𝑡−𝛿 A 𝐿𝑡 B’ (𝐿𝑡−𝛿)+2(𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2)+𝜋𝑅 B 𝐿𝑡+2(𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2)+𝜋𝑅 C’ 2(𝐿𝑡−𝛿)+2(𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2)+𝜋𝑅 C 2(𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2)+𝜋𝑅 D’ 2(𝐿𝑡−𝛿)+2(𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2+𝜋𝑅) D 2(𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2+𝜋𝑅) 29 4.3.3.3 DEFORMACIÓN DE LA GUÍA POR EL SISTEMA TENSOR La posición de un rodillo cualquiera al que llamaremos 𝑖 puede quedar definida tanto por la coordenada 𝑠1como por las coordenadas 𝑠0−𝛿 conjuntamente. En esta figura se observa dos situaciones de la guía: 1. Guía indeformada: Es la correspondiente al trazado negro de la figura. En ella, la coordenada 𝛿 tiene un valor nulo. 2. Guía deformada: Es la correspondiente al trazado azul de la figura. En ella, la coordenada 𝛿 tiene un valor positivo, haciendo que el muelle tensor se comprima y la guía externa reduzca su perímetro total en 2𝛿. Debido a la presencia del sistema tensor en la parte superior e inferior de la guía, hace que la cabecera inferior se puede considerar una parte móvil en la guía, mientas la parte que queda a la derecha del sistema tensor, es fija. Se sitúa el eje global de referencia en el centro de la curva de la cabecera inferior, cuando no existe deformada en la guía. Se define entonces la posición de un rodillo cualquiera 𝑖 como: 𝐫i=𝐟(𝑠0𝑖,𝛿)=𝐟(𝑠1𝑖) Por tanto, en nuestro sistema para definir la posición de los rodillos, tendremos tantas coordenadas como rodillos tenga el sistema, más la coordenada que define la deformada del tensor. Figura 26. Posición de un Rodillo 30 𝐪=[𝑠01 𝑠02 𝑠03…𝛿]T=[𝒔𝟎 𝛿] Siendo 𝒔𝟎 un vector de tantas coordenadas como rodillos haya en el sistema. Si llamamos p al número de rodillos del sistema, y n al número de coordenadas, tendremos entonces: dim(𝐬𝟎)=[M,1] || dim(𝐪)=[(M+1),1] 4.3.4 MODELADO DEL SISTEMA TRACTOR Para el modelar el sistema de tracción, se añade al sistema multicuerpo una rueda dentada que gire en función de la coordenada 𝜃. Para poder modelar la tracción entre la rueda dentada y la cadena de rodillos, se recurrirá al modelo elástico. En el modelo elástico se permite que dos cuerpos en contacto interpenetren en sus volúmenes. Se tiene que determinar en qué momento se produce es interpenetración entre dientes y rodillo, y una vez que estos entran en contacto, se calcula la fuerza elástica que se produce. Esta fuerza elástica se traduce en una fuerza normal y otra tangencial, aplicadas en el supuesto punto de contacto. 4.3.4.1 DIMENSIONADO DE LA RUEDA DENTADA En primer lugar, se debe definir la geometría de la rueda dentada. Aproximando la geometría de los dientes a unos trapezoidales. Se parte de los parámetros usados anteriormente con los que se ha definido la guía y la cadena de rodillos: - Radio primitivo de la rueda dentada: Será el radio que se describa por el movimiento de los centros de los rodillos alrededor de la guía. 𝑅𝑃=𝑅=0.6 m - Numero de dientes: Necesitamos que la cadena engrane perfectamente en la rueda; 𝑍= 180º arcsen(𝐿𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 2𝑅𝑃)=180 arcsen(0.1333 1.2 )=28.22 dientes ( 4-9 ) Como se debe tener un número exacto de dientes, se tiene que aproximar el valor a un entero, 28 dientes, y recalcular de nuevo el radio primitivo: 𝑅𝑃=𝐿𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 2sen(180 𝑍)=0.1333 2sen(180 28)=0.59543 m ( 4-10 ) 31 - Dientes: El ancho por donde debe entrar el diente, viene definido por la distancia más corta entre rodillos, siendo esta de 63.33 mm como indica la Figura 24. Con respecto al alto, se puede considerar un diente que sea igual al diámetro del rodillo. Finalmente, para tener un diente trapezoidal, se puede decir que el ancho de la base del diente sean 60 mm, y el ancho de la parte superior del diente sea 40 mm. Finalmente se puede definir la geometría de la rueda dentada como: Nombre Símbolo Valor (mm) Radio Primitivo 𝑅𝑃 595.43 Radio de Fondo 𝑅𝐹=𝑅𝑃−𝑟𝑑 560.43 Radio Externo 𝑅𝐸=𝑅𝑃+𝑟𝑑 630.43 Número de dientes 𝑍 28 dientes Ángulo entre dientes 𝜓=360/𝑍 12.8571 º Ancho de la base del diente 𝐵𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 60 Ancho cabeza del diente 𝑏𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 40 Alto del diente ℎ𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒=2𝑟𝑑 70 Tabla 7. Valores de la geometría del diente Se tiene que definir unos parámetros adicionales para poder definir la geometría de los dientes: 𝛽=arctg(𝐵𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 2 𝑅𝐹)=3.064º 𝑎=𝑅𝐹(1−cos(𝛽))=0.801 mm 𝑒=𝐵𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒−𝑏𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 2=10 mm ( 4-11 ) 32 Respecto a las propiedades físicas de la rueda dentada, se necesita un valor de profundidad, para poder calcular así tanto el peso como el momento de inercia de la rueda. Las ruedas dentadas son de acero, y estimamos el ancho de la rueda según el ancho del rodillo de la cadena, el cuál podemos consultar en la Figura 24. wrodillo=27 mm→wrueda=30 mm Se usa para el modelo un acero inoxidable X6Cr13 y mediante el apoyo de un programa de modelado 3D obtenemos la información necesaria sobre sus propiedades físicas: Tabla 8. Propiedades físicas de la rueda dentada Nombre Símbolo Valor Masa 𝑚𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 250.62 kg Momento de Inercia respecto Y 𝐼𝑌𝑌 43.78 kg∙m2 Figura 27. Esquema de parámetros de la rueda dentada Figura 28. Modelo 3D de la rueda dentada 33 4.3.4.2 POSICIÓN DE LOS DIENTES Una vez definida los parámetros de la rueda tractora, se pasa a definir la posición de cada uno de los dientes en nuestro sistema de referencia. Para ello, se necesita la posición de un punto auxiliar, y los cuatro puntos que definen el trapecio. 𝐫i,Pi diente=𝐫C+𝐮i,Pi diente=𝐫C+𝐀𝐢𝐮i,Pi diente=[𝑋𝐶 𝑍𝐶]+[cos(𝜃𝑖) −sen(𝜃i) sen(𝜃𝑖) cos(𝜃𝑖)][0 𝑅𝐹]=𝐟(𝜃𝑖)=𝐟(𝜃) ( 4-12 ) Siendo: 𝑖:Número de dientes de la rueda tractora 𝑋𝐶,𝑍𝐶:Posición del centro de la rueda tractora 𝑅𝐹:Radio de Fondo de la rueda tractora 𝜃𝑖=𝜃+ 𝜓(𝑖−1):Ángulo de la rueda i Centro de la rueda dentada: 𝐫𝐂=[𝐿𝑡+𝐿1+2𝑟𝑡sen(𝛼)+𝐿cos(𝛼)+𝐿2 2(𝑟𝑡−𝑟𝑡cos(𝛼))+𝐿sen(𝛼)] ( 4-13 ) Ahora, a partir de este punto auxiliar, se puede calcular cada punto que forma el diente de la rueda: 𝐫i,Ai diente=𝐫i,Pi diente+[cos(𝜃i)−sen(𝜃𝑖) sen(𝜃𝑖)cos(𝜃𝑖)][−𝑏2 −𝑎] 𝐫i,Bi diente=𝐫i,Pi diente+[cos(𝜃𝑖)−sen(𝜃𝑖) sen(𝜃𝑖)cos(𝜃𝑖)][−𝑏2+𝑒 ℎ] 𝐫i,Ci diente=𝐫i,Pi diente+[cos(𝜃𝑖) −sen(𝜃𝑖) sen(𝜃𝑖) cos(𝜃𝑖)][𝑏2−𝑒 ℎ] 𝐫i,Ci diente=𝐫i,Pi diente+[cos(𝜃𝑖) −sen(𝜃𝑖) sen(𝜃𝑖) cos(𝜃𝑖)][𝑏2 −𝑎] ( 4-14 ) Se recogen todos los puntos característicos de la geometría de la rueda tractora en un vector que se llamará 𝐫d. En él se tendrá ordenados todos los puntos que definen el diente trapezoidal (A, B, C, D) en sentido antihorario. 𝐫d=[𝐫d1 𝐫d2…𝐫dZ] 𝐫d𝑖=[𝐫i,Ai diente 𝐫i,Bi diente 𝐫i,Ci diente 𝐫i,Ci diente] ( 4-15 ) Queda así definida la geometría de la rueda dentada geométricamente. Figura 29. Posición de los dientes 34 4.3.4.3 MODELO ELÁSTICO DEL SISTEMA DE TRACCIÓN Sólo queda el definir cómo se va a modelar la tracción entre la rueda tractora y la cadena de rodillos. Para ello, se usa un modelo elástico, en el que se permitirá que los rodillos interpenetren en los dientes de la rueda tractora, apareciendo entonces una fuerza elástica entre ambos cuerpos. El punto de contacto diente-rodillo no siempre coincide, por lo que tendremos que determinar si estos están en contacto. Si estos están en contacto, se calcula las fuerzas que se producen en la indentación y se aplica al supuesto punto en contacto. Por tanto, el primer paso será el determinar el contacto diente-rodillo, y posteriormente calcular la fuerza elástica. Este tema se tratará posteriormente. 35 5 CINEMÁTICA DE LA CADENA DE TRACCIÓN DE LA ESCALERA MECÁNICA n este apartado se estudia la cinemática que describe el modelo de escalera mecánica que se ha desarrollado. Se definirá las coordenadas que forman el modelo multicuerpo, las restricciones a las que están sujetas, y el problema de posición, velocidad y aceleración. 5.1 COORDENADAS DEL SISTEMA MULTICUERPO Una vez que se han enumerado los sistemas reales que se necesitan modelar, para conseguir un modelo introductorio de escalera mecánica, aproximada a la real, se hace un recuento de las coordenadas que se necesitan para el sistema. Estas coordenadas según se han ido nombrando en los sistemas a modelar son: 𝐬𝟎: Conjunto de coordenadas que determinan la posición de cada uno de los rodillos de la cadena, en la geometría indeformada de la guía externa. 𝛿: Coordenada elongación del muelle tensor. 𝜃: Coordenada del ángulo girado por la rueda dentada. Por lo que se tiene un sistema de n coordenadas: n=p+2 E Figura 30. Coordenada posición de los rodillos 36 𝐪=[𝒔𝟎 𝛿 𝜃]T , dim(𝐪)=[n,1] 𝐬𝟎=[𝑠01 𝑠02…𝑠0𝑀 ]T, dim(𝐬𝟎)=[p,1] Las funciones que definirán la posición de cada uno de los rodillos del sistema vendrán determinadas por 𝑠0 y 𝛿. Además, como se va a modelar un problema plano, la segunda coordenada de la posición de los rodillos será nula (ry=0). Dependiendo del tramo de la guía en la que se encuentre el rodillo, que dependerá de la coordenada 𝑠0, la función tomará distintos valores. Se define así la guía completa mediante un conjunto de funciones a trozos. Veremos a continuación la expresión de estas funciones a trozos usadas en cada tramo, en las que se define la posición del rodillo en el eje X y en el eje Z: 1. Tensor inferior-superior, 𝑠0∈[0,𝐿𝑡): {𝑟𝑥=𝛿+𝑠0(1−𝛿 𝐿𝑡) 𝑟𝑧=𝑅 ( 5-1 ) 2. Embarcadero inferior-superior, 𝑠0∈[𝐿𝑡,𝐿𝑡+𝐿1): {𝑟𝑥=𝑠0 𝑟𝑧=𝑅 ( 5-2 ) 3. Primera transición, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1,𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡): { 𝑟𝑥=𝐿𝑡+𝐿1+𝑟𝑡sen((s0−(𝐿1+𝐿𝑡)) 𝑟𝑡 ) 𝑟𝑧=𝑅+𝑟𝑡−𝑟𝑡cos((s0−(𝐿1+𝐿𝑡)) 𝑟𝑡 ) ( 5-3 ) 4. Zona inclinada superior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡,𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡+𝐿): {𝑟𝑥=𝐿𝑡+𝐿1+𝑟𝑡sen𝛼+(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡))cos𝛼 𝑟𝑧=𝑅+𝑟𝑡−𝑟𝑡cosα+(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡))sen𝛼 ( 5-4 ) 5. Segunda transición, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡+𝐿,𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿): { 𝑟𝑥=𝐿𝑡+𝐿1+2𝑟𝑡sen𝛼+𝐿cos𝛼−𝑟𝑡sen(𝛼−((s0−(𝐿1+𝐿𝑡+𝛼𝑟𝑡+𝐿)) 𝑟𝑡 )) 𝑟𝑧=𝑅+2𝑟𝑡(1−𝑐𝑜𝑠𝛼)−𝑟𝑡+𝐿sen𝛼+𝑟𝑡cos(𝛼−((s0−(𝐿1+𝐿𝑡+𝛼𝑟𝑡+𝐿)) 𝑟𝑡 )) ( 5-5 ) 6. Embarcadero superior-superior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿,𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2): {𝑟𝑥=𝐿𝑡+𝐿1+2𝑟𝑡sen𝛼+𝐿cos𝛼+(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿)) 𝑟𝑧=𝑅+2𝑟𝑡−2𝑟𝑡cos𝛼+𝐿sen𝛼 ( 5-6 ) 7. Cabecera superior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2,𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2+𝑅𝜋): { 𝑟𝑥=𝐿𝑡+𝐿1+2𝑟𝑡sen𝛼+𝐿cos𝛼+𝐿2+𝑅sen((s0−(𝐿1+𝐿𝑡+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2)) 𝑅) 𝑟𝑧=𝑅+2𝑟𝑡−2𝑟𝑡cos𝛼+𝐿sen𝛼+𝑅cos((s0−(𝐿1+𝐿𝑡+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2)) 𝑅) ( 5-7 ) 37 8. Embarcadero superior-inferior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2+𝑅𝜋,𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+ 𝑅𝜋): {𝑟𝑥=𝐿𝑡+𝐿1+2𝑟𝑡sen𝛼+𝐿cos𝛼+𝐿2−(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2+𝑅𝜋)) 𝑟𝑧=2𝑟𝑡−2𝑟𝑡cos𝛼+𝐿sen𝛼−𝑅 ( 5-8 ) 9. Tercera transición, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋): { 𝑟𝑥=𝐿𝑡+𝐿1+2𝑟𝑡sen𝛼+𝐿cos𝛼−𝑟𝑡sen(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋) 𝑟𝑡) 𝑟𝑧=𝑟𝑡−2𝑟𝑡cos𝛼+𝐿sen𝛼−𝑅+𝑟𝑡cos(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋) 𝑟𝑡) ( 5-9 ) 10. Zona inclinada inferior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋): {𝑟𝑥=𝐿𝑡+𝐿1+𝑟𝑡sen𝛼+𝐿cos𝛼−(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋))cos𝛼 𝑟𝑧=𝑟𝑡−𝑟𝑡cos𝛼+𝐿sen𝛼−𝑅−(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋))sen𝛼 ( 5-10 ) 11. Cuarta transición, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,𝐿𝑡+𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋): { 𝑟𝑥=𝐿𝑡+𝐿1+𝑟𝑡sen(𝛼−(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋) 𝑟𝑡)) 𝑟𝑧=−𝑅+𝑟𝑡−𝑟𝑡cos(𝛼−(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋) 𝑟𝑡)) ( 5-11 ) 12. Embarcadero inferior-inferior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+ 2𝐿2+𝑅𝜋): {𝑟𝑥=𝐿𝑡+𝐿1−(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋)) 𝑟𝑧=−𝑅 ( 5-12 ) 13. Tensor inferior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,2𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋): {𝑟𝑥=−𝑠0(1−𝛿 𝐿𝑡)+(1−𝛿 𝐿𝑡)(𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋)+𝐿𝑡 𝑟𝑧=−𝑅 ( 5-13 ) 14. Cabecera inferior, 𝑠0∈[2𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,2𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+ 2𝑅𝜋): { 𝑟𝑥=𝛿−𝑅sen(𝑠0−(2𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋) 𝑅) 𝑟𝑧=−𝑅cos(𝑠0−(2𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋) 𝑅) ( 5-14 ) Como es apreciable en estas funciones, sólo aparece la coordenada 𝛿 en los tramos en los que la guía es móvil, o sea, el tensor superior e inferior y la cabecera izquierda 44 En esta expresión aparecen nuevos términos, la derivadas respecto al tiempo de las derivadas parciales, que son calculadas a continuación: 1. Tensor inferior-superior, 𝑠0∈[0,𝐿𝑡): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0 󰇗=−𝛿󰇗 𝐿𝑡 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0 󰇗=0 { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿󰇗=−𝑠0󰇗𝐿𝑡 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿󰇗=0 ( 5-35 ) 2. Embarcadero inferior-superior, 𝑠0∈[𝐿𝑡,𝐿𝑡+𝐿1): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0 󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0 󰇗=0 { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿󰇗=0 ( 5-36 ) 3. Primera transición, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1,𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0=−𝑠0󰇗𝑟𝑡sen((𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1)) 𝑟𝑡) 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0=𝑠0󰇗𝑟𝑡cos((𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1)) 𝑟𝑡) {𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿=0 ( 5-37 ) 4. Zona inclinada superior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡,𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡+𝐿): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0 󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0 󰇗=0 { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿󰇗=0 ( 5-38 ) 5. Segunda transición, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡+𝐿,𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0=𝑠0󰇗𝑟𝑡sen(𝛼−(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡+𝐿)) 𝑟𝑡) 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0=−𝑠0󰇗𝑟𝑡cos(𝛼−(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+𝛼𝑟𝑡+𝐿)) 𝑟𝑡) {𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿=0 ( 5-39 ) 6. Embarcadero superior-superior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿,𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0 󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0 󰇗=0 { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿󰇗=0 ( 5-40 ) 45 7. Cabecera superior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2,𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2+𝑅𝜋): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0=−𝑠0󰇗𝑟𝑡sen((𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2)) 𝑅) 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0=−𝑠0󰇗𝑟𝑡cos((𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2)) 𝑅) {𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿=0 ( 5-41 ) 8. Embarcadero superior-inferior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2+𝑅𝜋,𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+ 𝑅𝜋): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0 󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0 󰇗=0 { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿󰇗=0 ( 5-42 ) 9. Tercera transición, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0=𝑠0󰇗𝑟𝑡sen((𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2+𝑅𝜋)) 𝑟𝑡 ) 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0=−𝑠0󰇗𝑟𝑡cos((𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+2𝛼𝑟𝑡+𝐿+𝐿2+𝑅𝜋)) 𝑟𝑡 ) {𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿=0 ( 5-43 ) 10. Zona inclinada inferior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0 󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0 󰇗=0 { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿󰇗=0 ( 5-44 ) 11. Cuarta transición, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,𝐿𝑡+𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0=−𝑠0󰇗𝑟𝑡sen(𝛼−(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋)) 𝑟𝑡) 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0=𝑠0󰇗𝑟𝑡cos(𝛼−(𝑠0−(𝐿𝑡+𝐿1+3𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋)) 𝑟𝑡) {𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿=0 ( 5-45 ) 12. Embarcadero inferior-inferior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+ 2𝐿2+𝑅𝜋): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0 󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0 󰇗=0 { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿󰇗=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿󰇗=0 ( 5-46 ) 13. Tensor inferior, 𝑠0∈[𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,2𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0 󰇗=𝛿󰇗 𝐿𝑡 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0 󰇗=0 { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿󰇗=𝑠0󰇗𝐿𝑡 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿󰇗=0 ( 5-47 ) 46 14. Cabecera inferior, 𝑠0∈[2𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋,2𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+ 2𝑅𝜋): { 𝜕𝑟𝑥 𝜕𝑠0=𝑠0󰇗𝑟𝑡sen((𝑠0−(2𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋)) 𝑅) 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝑠0=𝑠0󰇗𝑟𝑡cos((𝑠0−(2𝐿𝑡+2𝐿1+4𝛼𝑟𝑡+2𝐿+2𝐿2+𝑅𝜋)) 𝑅) {𝜕𝑟𝑥 𝜕𝛿=0 𝜕𝑟𝑧 𝜕𝛿=0 ( 5-48 ) Una vez calculadas las derivadas respecto al tiempo de las derivadas parciales, ya es posible calcular las aceleraciones de cada uno de los rodillos: Si se usa la nomenclatura de matrices, y definiendo la derivada de 𝐁i: 𝐁i󰇗=[𝜕𝐫i 𝜕s0𝑖󰇗𝜕𝐫i 𝜕𝛿󰇗] Se puede expresar la aceleración en función de matrices: 𝐚i=𝐁i·𝐪󰇘+𝐁i󰇗·𝐪󰇗 47 6 DINÁMICA INVERSA DE LA ESCALERA MECÁNICA ste capítulo se centrará en el desarrollo de la dinámica inversa, cuyo objetivo es el cálculo de las fuerzas producidas cuando el sistema multicuerpo describe una trayectoria definida en el tiempo. Para este tipo de problemas se necesita la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas. 6.1 DESARROLLO DE LA DINÁMICA INVERSA Inicialmente, el primer paso que se tiene que dar, será definir el movimiento que describirá el sistema. Se tienen que definir tantos movimientos como grados de libertad tenga el sistema. En nuestro caso se tienen 2 grados de libertad, por lo tanto, se definen dos movimientos, uno referente a cualquier rodillo del sistema multicuerpo, ya que este hará que los demás sigan su movimiento para cumplir las restricciones del sistema, y el otro será el del movimiento de la rueda tractora: Restricción de movimiento del rodillo: 𝑠11=𝑣𝑡 Restricción de movimiento de la rueda tractora: 𝜃=𝜃0+𝜔𝑡 Para que la cadena de rodillos vaya engranando perfectamente con el movimiento de la rueda, se tiene que imponer la velocidad en la deformada, ya que esta coordenada tiene en cuenta la velocidad que añade el tensor del sistema en su movimiento. Además, relacionando la velocidad tangencial de la cadena con la velocidad angular de la rueda, y sabiendo que el giro de la rueda, cuando asciende es de la forma horaria, por lo que será una velocidad angular negativa, se puede definir: 𝜔=−𝑣/𝑅 Así se obtiene un sistema sincronizado en el paso de la cadena de rodillos por la rueda tractora. Si en un inicio la rueda no está engranando, se debe definir una posición inicial de la rueda, 𝜃0, en la que si esté engranando. La velocidad crucero que introduciremos en el sistema es de 0.5 m/s como nos indica la norma (5). Por último, hay que destacar que la imposición de movilidad de la rueda tractora es sólo para obtener un sistema de ecuaciones determinado para la resolución de la dinámica inversa, ya que no se está definiendo aún ninguna fuerza relacionada con el sistema de tracción como se verá en la dinámica directa. 6.1.1 PROBLEMA DE POSICIÓN En este problema, se tienen M restricciones, que es el mismo número de rodillos, más dos de movilidad, lo que hace que el sistema de ecuaciones a resolver sea determinado, dim(𝐂)=n=M+2: 𝐂= [ (𝐫2−𝐫1)T(𝐫2−𝐫1)−𝐿𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 2 (𝐫3−𝐫2)T(𝐫3−𝐫2)−𝐿𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 2 … (𝐫p−𝐫p−1)T(𝐫p−𝐫p−1)−𝐿𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 2 (𝐫1−𝐫p)T(𝐫1−𝐫p)−𝐿𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 2 𝑠11−𝑣𝑡 𝜃−𝜃0−𝜔𝑡 ] =𝟎 ( 6-1 ) Para el jacobiano, se tiene que añadir el cálculo de las derivadas parciales de la coordenada deformada respecto de las coordenadas de la indeformada y del tensor, quedando definido de la siguiente manera: E 48 En este problema, al haber añadido restricciones de movilidad, tendremos un vector de derivadas del jacobiano respecto al tiempo implícito no nulo: 𝐂𝐭=[00… −𝑣 −𝜔] ( 6-3 ) dim(𝐂𝐭)=[n,1] Se resuelven las ecuaciones algebraicas de las restricciones mediante el comando fsolve, aportando el jacobiano de estas. 6.1.2 PROBLEMA DE VELOCIDAD Una vez resuelto el problema de posición se procede a calcular la solución del problema de velocidad, que será resuelto mediante la siguiente ecuación: 𝐂𝐪𝐪󰇗+𝐂𝐭=𝟎→𝐪󰇗=−𝐂𝐪−𝟏𝐂𝐭 ( 6-4 ) Al resolver este sistema de ecuaciones se obtienen las derivadas de las coordenadas, con lo que se puede calcular la velocidad de cada uno de los rodillos, con la expresión desarrollada en la ecuación ( 5-33 ): 𝐯i=𝐁i·𝐪˙ 6.1.3 PROBLEMA DE ACELERACIÓN Y FUERZAS DE REACCIÓN Finalmente, se resuelven las aceleraciones y fuerzas que intervienen en el sistema. Para ello, se aplican las ecuaciones de Newton-Euler, mediante las ecuaciones de Lagrange, también conocido como el método de los Multiplicadores de Lagrange. Para ello se definen una serie de hipótesis y simplificaciones en el modelo: - Como se ha dicho anteriormente, toda la masa de los rodillos estará concentrada en el centro de estos. En consecuencia, no hace falta tener en cuenta las rotaciones de Euler. Es por ello que la guía definida sea la que describen los centros de los rodillos, y no su punto de contacto. - No se consideran Fuerzas de Rozamiento en el sistema Se calcula la matriz de aceleraciones, partiendo del apartado 4.2 que nos da la matriz de aceleraciones para los rodillos, añadiendo dos filas más, que serán referentes al sólido del tensor y el sólido de la rueda tractora. 𝐋= [ ∂𝐫𝐢 ∂s0i∂𝐫𝐢 (∂δ)∂𝐫𝐢 ∂θ −−−−− −−−−− −−−−− 𝟎 1 0 𝟎 0 1 ] ( 6-5 ) Para: 𝑖=1:p→ dim(𝐋)=[3p+2,n] 𝐂𝐪= [ −2(𝐫𝟐−𝐫𝟏)T∂𝐫𝟏 ∂s01 2(𝐫𝟐−𝐫𝟏)T∂𝐫𝟐 ∂s020 ⋯ 0 2(𝐫𝟐−𝐫𝟏)T (∂𝐫𝟐 ∂δ−∂𝐫𝟏 ∂δ) 0 0 −2(𝐫𝟑−𝐫𝟐)T∂𝐫𝟐 ∂s022(𝐫𝟑−𝐫𝟐)T∂𝐫𝟑 ∂s03⋯ 0 2(𝐫𝟑−𝐫𝟐)T (∂𝐫𝟑 ∂δ−∂𝐫𝟐 ∂δ) 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 2(𝐫𝟏−𝐫p)T∂𝐫𝟏 ∂s010 0 ⋯ −2(𝐫𝟏−𝐫p)T∂𝐫𝐌 ∂s0M2(𝐫𝟏−𝐫p)T (∂𝐫1 ∂δ−∂𝐫p ∂δ) 0 ∂s11 ∂s010 0 ⋯ 0 ∂s11 ∂δ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 1 ] ( 6-2 ) 49 Y su derivada: 𝐋󰇗= [ ∂𝐫𝐢 ∂s0i󰇗∂𝐫𝐢 ∂δ󰇗∂𝐫𝐢 ∂θ󰇗 −−−−− −−−−− −−−−− 𝟎 1 0 𝟎 0 1 ] ( 6-6 ) Según el apartado 4.3, se puede definir las aceleraciones de los rodillos en función de la matriz 𝐁 y la matriz 𝐁˙. En este caso, se sustituyen las aceleraciones de todos los sólidos en función de las matrices 𝐋 y 𝐋󰇗 en la ecuación de Newton. Estas fórmulas han sido tomadas de los apuntes de Cinemática de sistemas multicuerpo, de la asignatura Cinemática y Dinámica de máquinas, impartida por José Luis Escalona (8). 𝐌 ∙𝐚=∑𝐅Aplicadas 𝐌 ·(𝐋·𝐪󰇘 + 𝐋󰇗·𝐪󰇗)=𝐐+𝐐v ( 6-7 ) 𝐌 : Matriz de masas de Newton-Euler. Está formada por una submatriz de masa de cada sólido, siendo esta una matriz de dimensiones 3x3, la cuál es la misma para todos los rodillos, y la matriz de inercia de la rueda tractora, que sólo consta de una componente, 𝐼𝑌𝑌. La penúltima posición es referente al tensor de tensiones, al cual no se le asocia ninguna masa. 𝐌 = ( m 0 0 m ⋯0 0 0 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯0 0 0 𝐼𝑌𝑌 ) 𝐚: Aceleraciones de Newton-Euler. Sólo incluye las aceleraciones de traslación de los sólidos, ya que, al ser la masa concentrada en sus centros, no hay rotaciones. ∑𝐅𝐀𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚𝐝𝐚𝐬=𝐐+𝐐𝐯∶ En este caso, sólo se tienen la componente de fuerzas generalizadas de Newton-Euler, 𝐐 , ya que al no tener rotaciones los pares giroscópicos generalizados son nulos, 𝐐𝐯=𝟎. Siguiendo con el desarrollo de la ecuación, se premultiplican ambos lados por la matriz 𝐁𝐓: 𝐋𝑇·𝐌 ·(𝐋·𝐪󰇘 + 𝐋󰇗·𝐪󰇗)=𝐋𝑇·𝐐 𝐋𝑇·𝐌 · 𝐋 ⏟ 𝐌·𝐪󰇘=𝐋𝑇·𝐐 ⏟ 𝐐−𝐋𝑇·𝐌 · 𝐋󰇗·𝐪󰇗 ⏟ 𝐐𝐯 𝐌·𝐪󰇘=𝐐+𝐐v ( 6-8 ) 𝐌: Matriz de masas 𝐐v: Vector de fuerzas de inercia generalizadas cuadráticas en velocidad. En estas solo aparecen las fuerzas centrífugas, y no los pares giroscópicos ni las fuerzas de Coriolis. 𝐐: Vector de fuerzas externas generalizadas. Son las fuerzas y pares aplicados en cada sólido. Este vector incluye dos tipos de fuerzas generalizadas: fuerzas aplicadas generalizadas, 𝐐apl, y las fuerzas de reacción generalizadas, 𝐐=𝐐apl+𝐐reac ( 6-9 ) 50 • Fuerzas Aplicadas (𝐐apl): Son todas aquellas fuerzas cuyo valor se puede calcular en función de la posición, la velocidad y el tiempo. Dentro de este grupo, entre otras, están: o Fuerzas gravitatorias (continuas) o Fuerzas elásticas, aplicadas por muelles y elásticos o Fuerzas amortiguadoras, aplicadas por amortiguadores viscosos o Fuerzas aerodinámicas o Fuerzas hidrodinámicas o Fuerzas de control, aplicadas por algún controlador o actuador o Fuerzas de usuario, aplicadas por algún agente externo De estas fuerzas, aparecerán en nuestro modelo, las fuerzas gravitatorias, y las fuerzas de usuario, como por ejemplo el aplicar una fuerza constante en una serie de tres peldaños, simulando el peso de una persona. 𝐐apl=𝐋𝑇·𝐅Peso 𝑟𝑜𝑑𝑖𝑙𝑙𝑜𝑠+𝐋𝑇·FUsuario ( 6-10 ) • Fuerzas de Reacción (𝐐𝐫𝐞𝐚𝐜): Estas fuerzas no se pueden calcular en función de la posición, la velocidad y el tiempo. Son las fuerzas necesarias que han de aplicarse en el sistema para que se cumplan las restricciones a las que están sujetas las coordenadas. Para el cálculo de estas fuerzas, nos basamos en el método de los multiplicadores de Lagrange, el cual desarrolla que cada restricción tiene asociado un multiplicador de Lagrange 𝜆, que representa físicamente la fuerza necesaria que hay que aplicar al sistema para que se cumpla la susodicha restricción. Este método define las fuerzas de reacción de la forma: 𝐐reac=𝐂𝐪𝑇𝛌 ( 6-11 ) Se sustituye la expresión de los multiplicadores de Lagrange en las ecuaciones de movimiento, y se añade la derivada segunda de las restricciones de movimiento para poder formar el siguiente sistema de ecuaciones: 𝐌·𝐪󰇘=𝐐𝐚𝐩𝐥+𝐂𝐪𝑇𝛌+𝐐𝐯 𝐂󰇘=𝟎 → 𝐂𝐪·𝐪󰇘+𝐂𝐪󰇗𝐪󰇗+𝐂𝐭󰇗=𝟎 ( 6-12 ) Se pasan los valores desconocidos a la izquierda de la ecuación. Los multiplicadores de Lagrange son valores desconocidos que también se deben calcular. Al pasarlos a la parte izquierda de la ecuación no hace falta que se cambien de signo, ya que estos se definen como menos las fuerzas de reacción, 𝛌= −𝐅𝐢𝐣 {𝐌·𝐪󰇘+𝐂𝐪𝑇𝛌=𝐐apl+𝐐v 𝐂𝐪·𝐪󰇘=−(𝐂𝐪 ˙·𝐪˙+𝐂𝐭 ˙) ( 6-13 ) De forma matricial: [𝐪󰇘𝛌]=[𝐌 𝐂𝐪𝑇 𝐂𝐪𝟎]−1[𝐐apl+𝐐v −(𝐂𝐪󰇗𝐪󰇗+𝐂𝐭󰇗)] ( 6-14 ) Por último, se deben desarrollar la derivada del jacobiano respecto al tiempo, y la segunda derivada del jacobiano frente al tiempo explícito de las restricciones, la cuál es una fila de componente nulas, 𝐂𝐭󰇗=𝟎 51 Ahora se pasa a desarrollar la derivada del jacobiano Cq ˙(i,i)=−2·[(𝐯i+1−𝐯i)𝑇·∂𝐫i ∂s0𝑖+(𝐫i+1−𝐫i)T·∂𝐫i ˙ ∂s0𝑖] Cq ˙(i,i+1)=2·[(𝐯i+1−𝐯i)T·∂𝐫i+1 ∂s0𝑖+1+(𝐫i+1−𝐫i)T·∂𝐫i+1 ˙ ∂s0𝑖+1] Cq ˙(i,p+1)=2·[(𝐯i+1−𝐯i)T·(∂𝐫i+1 ∂δ −∂𝐫i ∂δ)+(𝐫i+1−𝐫i)T·(∂𝐫i+1 ˙ ∂δ −∂𝐫𝐢+𝟏 ˙ ∂δ)] Cq ˙(p,1)=2·[(𝐯1−𝐯p)T·∂𝐫1 ∂s01+(𝐫1−𝐫p)T·∂𝐫1 ˙ ∂s01] Cq ˙(p,p)=−2·[(𝐯1−𝐯p)T·∂𝐫p ∂s0p+(𝐫1−𝐫p)T·∂𝐫p ˙ ∂s0p] Cq ˙(p,p+1)=2·[(𝐯1−𝐯p)𝐓·(∂𝐫1 ∂δ−∂𝐫p ∂δ)+(𝐫1−𝐫p)𝐓·(∂𝐫1 ˙ ∂δ−∂𝐫p ˙ ∂δ)] 𝐂𝐪 ˙(:,n)=𝟎 𝐂𝐪 ˙(p+1,:)=[𝑑 𝑑𝑡(∂s11 ∂s01)0 … 𝑑 𝑑𝑡(∂s11 ∂δ)0] 𝐂𝐪 ˙(n,:)=𝟎 ( 6-15 ) Finalmente, se ve un repaso a las dimensiones de las matrices que componen las ecuaciones de movimiento: Nombre Matriz Dimensiones Posición, Velocidad y Aceleración de las coordenadas 𝐪,𝐪󰇗,𝐪󰇘 [n,1] Restricciones 𝐂 [n,1] Jacobiano y sus derivadas 𝐂𝐪,𝐂𝐭,𝐂𝐪󰇗,𝐂𝐭󰇗 [n,n] Matriz de masas 𝐌 [n,n] Fuerzas generalizadas y Multiplicadores de Lagrange 𝐐,𝛌 [n,1] Puntos característicos de la rueda dentada 𝐫𝐝 [3,4Z] Posición, Velocidad y Aceleración de los rodillos 𝐫,𝐯,𝐚 [3p,1] Matriz B y su derivada 𝐁,𝐁󰇗 [3p,n] Matriz L y su derivada 𝐋,𝐋󰇗 [3p+2,n] Tabla 9. Dimensiones de las matrices de las ecuaciones de movimiento 52 6.2 SIMULACIÓN DE LA DINÁMICA INVERSA Una vez definida la dinámica inversa del sistema, se puede proceder a interpretar los resultados que se obtienen de la simulación de la dinámica inversa, los cuáles serán obtenidos en el archivo de Matlab: dinamica_inversa.m Para ello, se define una velocidad de los rodillos de 0.5 m/s, por lo que la rueda tractora deberá tener una velocidad angular de 𝜔=−𝑣𝑅=0.5 0.59543=− 0.8397 rad/s Al resolver el problema para un paso de 0.005 m y un intervalo de tiempo entre t=0:0.005:42 s, para poder describir una vuelta completa del modelo, ya que el perímetro de la deformada corresponde a 20.88 m, y la velocidad es de 0.5 m/s, se necesita entorno a unos 42 s, para conseguir describir una vuelta completa. Figura 33. Desplazamiento del tensor frente a la coordenada 𝑠0 1 y 𝑠11 Figura 34. Longitud de onda espacial del desplazamiento del tensor 53 En estas gráficas que muestran la coordenada δ del tensor frente a la coordenada de la posición del rodillo primero, tanto en la indeformada 𝑠01, como en la deformada, 𝑠11, se puede comprobar que sigue un movimiento armónico con la misma longitud de onda espacial que describía en el problema de la posición del apartado 5.3, siendo esta la longitud del eslabón: 𝜆=𝐿𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛=133.33 mm Sin embargo, respecto al valor medio de 𝛿 en la onda del movimiento armónico, ha variado respecto a la resolución del problema de la posición, siendo esta ahora: 𝛿=37.02±0.06 mm frente a 𝛿=33.17±0.06 mm del problema de posición. En el problema dinámico se tiene un valor medio de 3.85 mm mayor con respecto al problema de posición, aunque la amplitud de onda se mantiene igual. Esto puede deberse a la restricción de movilidad sobre la velocidad, de 0.5 m/s, que hemos impuesto en la dinámica inversa. Figura 36. Longitud de onda temporal del desplazamiento del tensor Figura 35. Desplazamiento del tensor frente al tiempo 60 7 DINÁMICA DIRECTA DE LA ESCALERA MECÁNICA En la vida real no podemos imponer que un mecanismo siga un movimiento descrito mediante unas ecuaciones de movilidad. Realmente, las máquinas son gobernadas por fuerzas aplicadas, que inducen un movimiento en el sistema, no imponiendo tales movimientos directamente. Para esto, hacemos referencia a la dinámica directa, la cual consiste en aplicar unas fuerzas en el sistema, para obtener un movimiento. Así es como verdaderamente funcionan los mecanismos. El mecanismo se convierte en un bucle cerrado en el que, a partir de un sensor de movimiento, el sistema de control comanda al actuador para que el mecanismo siga el movimiento de referencia que queramos. Para la resolución de la dinámica directa, se tienen que eliminar las restricciones de movilidad que se habían impuesto en la dinámica inversa. Eliminando las dos restricciones impuestas, tanto la del arrastre de la cadena de rodillos, como la del giro de la rueda tractora, se obtiene un sistema de 2 grados de libertad. Se tienen las mismas ecuaciones de movimiento, pero en este caso, se va a modelar en profundidad la tracción que ejerce la rueda dentada sobre la cadena de rodillos. 7.1 SISTEMA DE TRACCIÓN Como ya se vio en el apartado 4.3.3.3 el primer paso será el determinar el contacto diente-rodillo, y posteriormente pasaremos a calcular la fuerza elástica: 1. Búsqueda del punto de contacto Para ahorrar cálculos, se sabe que los puntos de contacto entre el rodillo-diente, se darán en la parte superior de la escalera, en concreto en la cabecera superior. Se tiene que ir comprobando en esta zona si alguno de los rodillos está en contacto con algún diente. Para ello se irá calculando la distancia punto-recta, que describe el centro del rodillo 𝐫i, y la recta que describe la cara de empuje del diente, la cuál será la recta que pasa por los puntos C y D del diente j, 𝐫dj C ,𝐫dj D La ecuación que describe la recta CD es: 𝑎∙𝑥+𝑏∙𝑧+𝑐=0 𝑎=rdj D(𝑧)−rdj C(𝑧) rdj D(𝑥)−rdj C(𝑥) ( 7-1 ) Movimiento de Referencia Sensores de Movimiento MECANISMO Acciones Externas Actuador Sistema de Control Figura 47. Esquema de funcionamiento de un Mecanismo 61 𝑏=−1 𝑐=rdj C(𝑧)−rdj C(𝑥)∙(rdj D(𝑧)−rdj C(𝑧) rdj D(𝑥)−rdj C(𝑥)) Se calcula ahora la distancia punto-recta, la cual llamaremos dOM: 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎(𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜,𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎)=𝑑𝑂𝑀=|𝑎∙r𝑖(𝑥)+𝑏∙ri(𝑧)+𝑐| √𝑎2+𝑏2 ( 7-2 ) El siguiente paso será comparar si esta distancia es mayor o menor que el radio del rodillo. La indentación se define como: 𝜓=𝑟𝑟𝑜𝑑𝑖𝑙𝑙𝑜− 𝑑𝑂𝑀={>0∶Existe Indentación ≤0∶No hay Indentación Como se puede ver en la figura anterior, el cálculo de la indentación lleva a dos resultados posibles, la indentación cuando aparece un valor positivo (imagen izquierda) y la no indentación cuando la distancia de OM es mayor que el radio del rodillo (imagen derecha). Una vez identificado los rodillos que se encuentran en contacto con los dientes, se deben calcular las fuerzas de indentación que se producen. 2. Fuerzas de Contacto: La fuerza de contacto dependerá de una función que vendrá definida por la indentación y una constante, a la cuál llamaremos rigidez de indentación: 𝐟(𝜓)=𝑘∙𝜓1.5 ( 7-3 ) 𝑘:Rigidez de Indentación 𝜓:Indentación La fuerza de contacto normal a la superficie de ambos cuerpos, serán de sentido opuesto y dirección normal a las superficies: 𝐅Ni=𝐟(𝜓)∙𝐧i=−𝐅Nj ( 7-4 ) Figura 48. Detalles de la indentación rodillo-diente 62 La dirección de la fuerza se podrá calcular girando 90º la dirección unitaria de la recta que pasa por los puntos CD. Queda así definido todos los parámetros que se necesitan para el cálculo de la fuerza elástica. Las fuerzas de repulsión que se dan en el diente de la rueda tractora, provocan un par en ella. Al descomponer la fuerza que se produce en el diente, se obtiene una fuerza en dirección X’ y en dirección Z’ de las coordenadas locales de cada diente, lo que producirá un par a favor del movimiento de la rueda tractora, que será en sentido horario, y otro par, mayor al anterior, que será en sentido antihorario, oponiéndose al movimiento. Además, en la rueda tractora se aplica un par motor que será el encargado de mover la cadena de rodillos. Con respecto a las fuerzas que se producen en los rodillos, al igual que en la rueda tractora, se pueden descomponer en el eje X’ y Z’ de las coordenadas locales de cada rodillo, los cuales tienen dirección X’ tangencial a la rueda tractora, y dirección Z’ normal a la rueda tractora. La fuerza tangencial, será la encargada de empujar a la cadena de rodillos en el movimiento de la rueda tractora. 7.1.1 CONTROLADOR Como se ha dicho anteriormente, la rueda tractora además será sometida a un par motor, que será el encargado de introducir el movimiento en el sistema. Se debe incluir un controlador, para que el motor no produzca un par excesivo y se aumente la velocidad de la escalera por encima de los 0.5 m/s que nos impone la norma. Para ello se usa un controlador proporcional el cuál dependerá de la velocidad angular de la rueda tractora en cada instante. Se tiene que indicar una velocidad angular de referencia en la rueda tractora, la cuál será la misma que se introdujo en la dinámica inversa: 𝜃󰇗𝑟𝑒𝑓=𝑣𝑅=0.5 0.5954=0.84rad s 𝑀𝑚𝑜𝑡(𝑡𝑖)=𝑘𝑝∙(𝜃󰇗𝑟𝑒𝑓−𝜃󰇗(𝑡𝑖)) ( 7-5 ) Se tiene así modelado el controlador del motor que se encarga de mover la rueda. Se puede escoger un valor para la constante de proporcionalidad de 𝑘𝑝=600, para así obtener un par motor en la rueda de aproximadamente unos 500 N∙m. Esta constante de proporcionalidad dependerá de en cuanto tiempo se quiera que es sistema llegue a su régimen transitorio. Figura 49. Detalle de las fuerzas de contacto rodillo-diente 63 7.1.2 VALOR DE LA RIGIDEZ DE INDENTACIÓN Por último, se tiene que dar un valor a la constante de rigidez, que define el contacto elástico entre el rodillo y los dientes. Para valores muy elevados de rigidez de indentación se desembocará en problemas de integración de las ecuaciones de movimiento, debido a que aparecen problemas de rigidez, que hacen que sea más difícil evaluar el sistema. Además, el problema de la rigidez se ve incrementado cuando en el sistema no aparece ningún tipo de fuerza disipativa, como es en nuestro caso. Es fundamental encontrar el valor adecuado para que el sistema se asemeje lo mejor posible a la realidad, que sería para valores de rigidez muy elevados, y que no tengamos problemas en la integración o que el procesado de la integración de las ecuaciones de movimiento no sean muy elevados. Después de hacer varias pruebas de simulación del sistema para diversos valores de la rigidez de indentación, se toma un valor intermedio de 𝑘=10𝐸5 𝑁/𝑚, el cuál no se hace muy pesado en integrar, y es una rigidez elevada para simular la tracción del sistema. 7.2 PROBLEMA DE INTEGRACIÓN NUMÉRICA En la resolución de la dinámica directa se tiene que recurrir a la integración numérica de las ecuaciones. Es un método aproximado para conocer cómo evoluciona un sistema a partir de las ecuaciones de movimiento. Al tener ecuaciones de movimiento de ecuaciones diferenciales de segundo orden, se necesitará realizar un cambio de variable para poder resolverlas como ecuaciones diferenciales de primer orden. 7.2.1 POSICIÓN INICIAL Para determinar la evolución en el tiempo de cada una de las coordenadas es necesario aportar los valores iniciales de estas, 𝐪0(t0=0). Como se viene diciendo, en nuestro problema es muy importante la posición inicial del mecanismo, ya que la cadena de rodillos debe de estar engranando en la rueda tractora. Para ello, nos apoyamos en el programa de Matlab llamado posición_inicial.m que calcula cada una de las coordenadas para las restricciones. Resolviendo mediante el comando fsolve con la coordenada del primer rodillo como dependiente, e iterando tantas veces hasta que obtengamos una tolerancia determinada, por ejemplo, de 𝑡𝑜𝑙= 10𝐸−4 en las restricciones. Una vez determinadas las coordenadas de cada uno de los rodillos y la deformada del tensor se calcula la coordenada de giro de la rueda tractora, para que quede en la posición de engranaje. 7.2.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA El primer concepto al que se tiene que hacer alusión, es al cambio de variables que se debe hacer para poder convertir el sistema ecuaciones diferenciales de segundo orden, en un sistema de ecuaciones de primer orden, debido a que Matlab no permite resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden. Para explicar el cambio de variables que se ha de realizar, se parte de una ecuación diferencial de segundo grado estándar como es: 𝑚𝑥󰇘+𝑐𝑥󰇗+𝑘𝑥=𝐹(𝑡) 𝑥󰇘=−𝑘 𝑚𝑥−𝑐𝑚𝑥󰇗+𝐹(𝑡) 𝑚 ( 7-6 ) Expresando esta ecuación de forma matricial, se obtiene: [𝑥󰇗𝑥󰇘]=[0 1 −𝑘 𝑚−𝑐𝑚][𝑥𝑥󰇗]+[0 𝐹(𝑡) 𝑚] ( 7-7 ) 64 Al renombrar este sistema de ecuaciones, para poder realizar el cambio de variable, se pasa de un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden, a uno de primer orden: 𝐲=[𝑥𝑥˙], 𝐀=[0 1 −𝑘 𝑚−𝑐𝑚], 𝐑=[ 0 𝐹(𝑡) 𝑚] 𝐲󰇗=𝐀𝐲+𝐑(𝑡) 𝐟(𝐲,𝑡)=𝐲󰇗→𝐟(𝐲,𝑡)=𝐀𝐲+𝐑(𝑡) ( 7-8 ) Usando este método, ya se puede integrar las ecuaciones mediante la integración numérica de sistemas de ecuaciones de primer orden, cuya solución proporcionará los valores 𝐲=[𝑥𝑥˙], por lo que posteriormente, se tendrá que calcular las aceleraciones y fuerzas del sistema. Existen varios métodos de integración numérica: método de Euler, método Runge-Kutta, método de Heun, regla de Simpson, ect. En nuestro caso se utilizará el método que implementa el programa Matlab llamado Ode “Ordinary Differential Equations”, en especial el comando ode15s, que parte de la base del método de Runge- Kutta, y es específico para sistemas con problemas de rigidez como es en nuestro caso. Para llevar a cabo la integración numérica, se tienen que aportar los valores iniciales de las coordenadas, tanto de posición como de velocidad. El problema de posición queda resuelto en el anterior apartado, y con respecto a las condiciones iniciales en velocidad se toman unas condiciones nulas, para que el sistema evolucione libremente, 𝐪0󰇗=0 El siguiente paso consiste en proporcionar los intervalos de integración, que se definirán como 𝑡𝑠𝑝𝑎𝑛=[𝑡0,𝑡𝑓]. El paso de integración es el considerado por la función ode15s, aunque este puede ser cambiado a uno fijo si fuera necesario. Por último, la función ode15s tiene que recibir una función que serán las ecuaciones de movimiento del sistema, la cual se llamará EcMov_Escalator.m [t,y]=ode15s(@EcMov_Escalator,tspan,[q0 dq0]) Como outputs de la función, se recibirán un vector de tiempos, que contendrá los instantes de tiempo en los que se ha resuelto la integración numérica y una matriz y, que contendrá los valores de las coordenadas, tanto en posición como en velocidad, en cada uno de esos instantes de tiempo de integración. 7.2.3 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO La ecuación de movimiento por la que se rige nuestro modelo, es la misma que la usada para la dinámica inversa, la cual fue desarrollada en el apartado 6.1, con la excepción de que las restricciones de movilidad son eliminadas, y que se ha implementado la tracción de la rueda dentada, que será la encargada de trasmitir el movimiento al sistema. Además, en este caso, se calcula directamente la posición y las velocidades de cada uno de los rodillos para los valores de 𝐪0 y 𝐪0󰇗, y no mediante el cálculo de las restricciones. Es por esto, que se usa el método de estabilización de Baumgarten. Se pasa directamente al problema de la aceleración del apartado 6.1.3, en la ecuación (6-10) de la dinámica inversa, que hace referencia a las fuerzas aplicadas en el sistema, se debe añadir las fuerzas de tracción en la rueda junto con la fuerza que ejerce el motor de la rueda tractora: 𝐫=𝐟(𝐪0) 𝐯=𝐟(𝐪0󰇗) ( 7-9 ) 𝐐apl=𝐋𝐓·𝐅Peso 𝑟𝑜𝑑𝑖𝑙𝑙𝑜𝑠+𝐋𝐓·𝐅Usuario+𝐋𝐓·𝐅Tracción+𝐋𝐓·𝐅Motor ( 7-10 ) 65 La fuerza de tracción será la resultante de las acciones y reacciones producidas en la indentación. Las fuerzas que se producen en el diente, se convertirán en un par resistente para el motor de la rueda tractora, y vendrá definida por el producto vectorial entre las fuerzas y el vector posición donde se produce el contacto. Estas fuerzas sólo afectarán a la última coordenada, que es el ángulo de giro de la rueda tractora 𝜃. Por otro lado, las fuerzas sobre los rodillos, serán las encargadas de que la cadena de rodillos avance. Estas fuerzas vienen dadas en la siguiente ecuación: 𝐅Tracción=∑𝐅Indentación Diente x𝐔PuntoContacto+𝐅Indentación Rodillos ( 7-11 ) La fuerza del motor, al igual que las fuerzas que se producían en los dientes, sólo afectará a 𝜃. Por tanto será un vector de ceros, excepto en su última posición. Llamamos 𝑀𝑚𝑜𝑡 al módulo del par motor producido en la rueda, que vendrá determinado por el controlador que hemos definido al principio de la sección, en la ecuación (7-5). 𝐅Motor=[0 … 0 𝑀𝑚𝑜𝑡] ( 7-12 ) Finalmente, mediante la expresión de las ecuaciones de movimiento de manera matricial, ecuación (6-14), se podrá resolver el sistema. Como se ha dicho anteriormente, las coordenadas de posición no pasan por las ecuaciones de restricciones, ya que se calculan los valores de posición y velocidad directamente de las coordenadas iniciales, lo que implica que no se sabe a ciencia cierta si estas coordenadas cumplirán las restricciones de posición porque en las ecuaciones de movimiento se están garantizando el cumplimiento de la segunda derivada de las restricciones, y no de las restricciones en sí. Para mantener que se cumplan las ecuaciones de restricción, se usa el método de estabilización de Baumgarte, que consiste en añadir a las ecuaciones de movimiento dos términos que “estabilicen” el sistema para evitar el efecto de deriva o drift. El drift o deriva, es un efecto asociado a la violación de las restricciones de movimiento, que causa un error acumulativo en el tiempo. Al partir para la resolución de las coordenadas en aceleración directamente de la derivada segunda de restricción, y no imponer las restricciones de movimiento, aparecen unas constantes temporales que provocan un crecimiento del error en las coordenadas de posición. Teóricamente, estos errores no deberían aparecer si satisfacemos inicialmente, mediante las coordenadas iniciales, las restricciones de movilidad. Sin embargo, debido a errores de redondeo en los cálculos, es posible que con el tiempo las coordenadas en posición dejen de cumplir las restricciones de movilidad. Es por ello, que se recurre al método de estabilización de Baumgarte, que introduce dos términos a la ecuación, definidos por las restricciones de movilidad, y la primera derivada de las restricciones, y unos parámetros α,β. Quedando así las ecuaciones de movimiento (7-13) como: 𝐂󰇘(𝐪,t)=𝟎→𝐂󰇘+𝛼𝐂󰇗+𝛽𝐂=0 [𝐪󰇘𝛌]=[𝐌 𝐂𝐪𝐓 𝐂𝐪𝟎]−1[𝐐ap𝐥+𝐐v −(𝐂𝐪󰇗𝐪󰇗+𝐂𝐭󰇗)−𝛼(𝐂𝐪𝐪󰇗−𝐂𝐭)−𝛽𝐂] ( 7-14 ) [𝐪󰇘𝛌]=[𝐌 𝐂𝐪𝐓 𝐂𝐪𝟎]−1[𝐐apl+𝐐𝐯 −(𝐂𝐪󰇗𝐪󰇗+𝐂𝐭󰇗)] ( 7-13 ) 66 Se deben elegir unos valores α,β, dependiendo de nuestro modelo, no muy grandes porque hace que las ecuaciones sean más difíciles de integrar, y no muy pequeñas porque podemos volver a incumplir las restricciones. Finalmente, se resuelven las ecuaciones (7-14), y se obtienen los valores [𝐪󰇘𝛌], que con el cambio de variables que se realiza en la integración numérica, se obtienen los outputs de la función: 7.2.4 CÁLCULOS CINEMÁTICOS Y DINÁMICOS Con los resultados de la integración numérica, solo se tienen las soluciones de las coordenadas en posición y velocidad. Se debe calcular ahora la posición, velocidad y aceleración de cada uno de los rodillos, así como las fuerzas debidas a las restricciones que se dan en el sistema. Para ello se recurre al programa que se ha llamado calculoscinematicosydinamicos.m el cuál recibe los valores de 𝐪,𝐪󰇗 y 𝐭, y nos devuelve los valores 𝐬𝟏,𝐫,𝐫𝐝,𝐯,𝐚,𝛌,𝐪󰇘,𝛙 y 𝐌mot. En dicho programa, se parte de las coordenadas en posición y velocidad, se calculan la posición y velocidad de los rodillos. Una vez calculados estas variables, se pasa al cálculo de las fuerzas aplicadas, y finalmente a la resolución de nuevo, del sistema que definen las ecuaciones (7-14). Por último, se analizan las dimensiones del sistema: Nombre Matriz Dimensiones Posición, Velocidad y Aceleración de las coordenadas 𝐪,𝐪󰇗,𝐪󰇘 [n,1] Restricciones 𝐂 [p,1] Jacobiano y sus derivadas 𝐂𝐪,𝐂𝐭,𝐂𝐪󰇗,𝐂𝐭󰇗 [p,n] Matriz de masas 𝐌 [n,n] Fuerzas generalizadas y Multiplicadores de Lagrange 𝐐,𝛌 [n,1] Puntos característicos de la rueda dentada 𝐫𝐝 [3,4Z] Posición, Velocidad y Aceleración de los rodillos 𝐫,𝐯,𝐚 [3p,1] Matriz B y su derivada 𝐁,𝐁󰇗 [3p,n] Matriz L y su derivada 𝐋,𝐋󰇗 [3p+2,n] Tabla 11. Dimensiones de las ecuaciones de la dinámica directa Estas dimensiones corresponden al proceso de la resolución paso a paso de los cálculos cinemáticos y dinámicos. Sin embargo, se tiene que tener en cuenta también la dimensión del intervalo de integración en la resolución final del problema de la dinámica directa. Llamando T al número de iteraciones de integración y, por tanto, para las variables que se necesitan para el postproceso de los resultados, tendremos: 𝐲=[𝐪𝐪󰇗]→ 𝐲󰇗=[𝐪󰇗𝐪󰇘] | 𝐲=[𝐪0 𝐪0󰇗] → 𝐲󰇗=[𝐪0󰇗𝐪󰇘] ( 7-15 ) 67 7.3 SIMULACIÓN DE LA DINÁMICA DIRECTA Al igual que en la dinámica inversa, una vez definida la dinámica directa, se pasa a analizar los resultados obtenidos mediante el programa que realiza esta simulación, llamado: dinamica_directa.m Se parte de una posición en la que se cumplan las restricciones, y además la cadena de rodillos quede engranada en la rueda tractora. Nombre Matriz Dimensiones Posición, Velocidad y Aceleración de las coordenadas 𝐪,𝐪󰇗,𝐪󰇘 [n,T] Multiplicadores de Lagrange 𝛌 [n,T] Puntos característicos de la rueda dentada 𝐫𝐝 [3∙4Z,T] Posición, Velocidad y Aceleración de los rodillos 𝐫,𝐯,𝐚 [3p,T] Coordenada de posición en la deformada 𝐬𝟏 [p,T] Indentación de los dientes-rodillos 𝛙 [Z,T] Par motor 𝐌𝐦𝐨𝐭 [1,T] Tabla 12. Dimensiones de la resolcuión de la dinámica directa Figura 50. Posición inicial para la integración numérica. Cadena engranando en la rueda tractora 68 La integración numérica ha sido resuelta para un intervalo de tiempo de 𝑡=[0,44] y muestreando los resultados para un paso de 1 mm. Además, para agilizar el proceso de integración numérica se han definido unas características de integración: Nombre Símbolo Valor Error Relativo de la Tolerancia 𝑅𝑒𝑙𝑇𝑜𝑙 (𝑥) 10−3 Error Absoluto de la Tolerancia 𝐴𝑏𝑠𝑇𝑜𝑙(𝑥) 10−3 Máximo paso de integración 𝑀𝑎𝑥𝑠𝑡𝑒𝑝 10−3 Tabla 13. Características odeset para la integración numérica 7.3.1 RESULTADOS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Se procede a ver los resultados del movimiento que describe el desplazamiento del tensor de la escalera en el dominio del tiempo, que deberá ser igual al que se ha estado viendo en los problemas anteriores de la cinemática y la dinámica inversa. Figura 51. Desplazamiento del tensor frente al movimiento del rodillo 1 en la dinámica directa 69 Como se ve en estas dos gráficas, el modelo sigue manteniendo el movimiento oscilatorio del tensor debido al desplazamiento de la cadena de rodillos. Desde un momento inicial ya comienza el movimiento oscilatorio, ya que inicialmente se están cumpliendo las restricciones del movimiento. Al igual que en los problemas anteriores, se obtiene una longitud de onda equivalente a la longitud del eslabón. 𝜆=𝐿𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛=133.33 mm Figura 52. Detalle del desplazamiento del tensor 76 Destacar que, en las velocidades de los rodillos de la cadena calculados mediante la dinámica directa, es el paso de estos por la zona del tensor, en la que se ve reflejada una pequeña vibración. En el cálculo de las aceleraciones se obtuvo mucho ruido introducido por la derivada de las coordenadas 𝑠0 y 𝛿. Es necesario aplicar algún filtro suavizador para poder ver la respuesta de la aceleración a lo largo del tiempo. En nuestro caso, se ha utilizado un filtro Hampel para el suavizado de la señal, el cual elimina valores atípicos, mediante el identificador de Hampel. Figura 63. Velocidad de los primeros cuatro rodillos de la cadena. 77 En estas figuras que representan las aceleraciones de los rodillos, se puede observar que, en un principio, las aceleraciones son muy altas, debido al arranque del par motor. Una vez empieza a pasar el tiempo y alcanza el régimen estacionario, el par motor se estabiliza, y sólo se ven aceleraciones normales en las zonas de curvatura. Figura 65. Aceleración de los primeros 4 rodillos Figura 64. Aceleración del rodillo 1 78 La fuerza de reacción es similar a la que se daba en la resolución de la dinámica inversa, exceptuando el salto de tensión que se producía al dar la vuelta completa a la geometría, debido a la fuerza de arrastre del sistema. Este modelo, al ser más real, se obtiene una fuerza tensional constante en el tiempo, en el que se pueden apreciar pequeñas vibraciones a lo largo de todo el recorrido, consecuencia del movimiento en el tensor. Es por ello que, en la zona móvil de la cabecera inferior, no presenta vibraciones, siendo una curva suave. Figura 66. Fuerza de reacción de las restricciones: Tensión de los eslabones 79 7.3.2 RESULTADOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA En todas estas gráficas se han visto pequeñas vibraciones a lo largo del recorrido. Para saber el origen de estas pequeñas vibraciones y a que están asociadas se necesita pasar al dominio de la frecuencia: Para poder pasar al dominio frecuencial, se usará de la función fft de Matlab, que corresponde a la transformada rápida de Fourier. Para ello se necesitan ciertos valores: Nombre Símbolo Valor Número de puntos de la transformada de Fourier 𝑁𝑓𝑓𝑡 𝑁𝑓𝑓𝑡=length(𝑡) Paso de Tiempo 𝛥𝑡 𝛥𝑡=𝑡(1)−𝑡(2) Frecuencia de Muestreo 𝐹𝑆 𝐹𝑆=1/𝛥𝑡 Variable temporal del eje x 𝑡 Variable temporal del eje y 𝑦 Variable frecuencial del eje x 𝑓 𝑓= 𝑁𝑓𝑓𝑡 𝑁𝑓𝑓𝑡−1∙𝐹𝑆 2 Variable frecuencial del eje y: Potencia 𝑌𝑚 𝑌=𝑓𝑓𝑡(𝑦,2𝑁𝑓𝑓𝑡) 𝑁𝑓𝑓𝑡 𝑌𝑚=𝑎𝑏𝑠(𝑌(1:𝑁𝑓𝑓𝑡)2 Tabla 14. Valores necesarios para la transformada de Fourier Para obtener la potencia de la transformada de Fourier de la función de entrada, se tiene que tomar el valor absoluto y elevarlos al cuadrado, ya que la transformada de Fourier en sí, se compone de la magnitud y de la fase (una magnitud real y una imaginaria). Además, se deshace una mitad del espectro de potencia, que, al ser simétrica, no hace falta. 80 El desplazamiento del tensor con respecto al tiempo, que es la variable más simple, se compone de un movimiento oscilatorio bien definido; en el dominio de la frecuencia se obtiene: Se ha eliminado el régimen transitorio del sistema, para evitar obtener modos de frecuencias debidas al arranque del sistema. Para ello, se ha realizado la transformada de Fourier para un tiempo de 5 segundos en adelante, cuando el sistema ya ha alcanzado el régimen permanente de 0.5 m/s de velocidad de los rodillos. Como se puede ver en el dominio frecuencial, el único modo de vibración que se obtiene del desplazamiento del tensor es de 3.74 Hz, que es el correspondiente a la frecuencia de paso de los eslabones por el carro tensor. Según las gráficas del desplazamiento del carro tensor frente al dominio del tiempo, se obtiene una longitud de onda temporal de 𝜆≈0.265 𝑠. Al multiplicar la longitud de onda por la velocidad que se ha impuesto en los rodillos, se vuelve a obtener la longitud del eslabón, 𝑣∙𝜆=0.5 (𝑚 𝑠)∙0.265 (𝑠)=0.1325 𝑚. Tenemos una frecuencia de paso teórica en el movimiento del tensor de: 𝑓𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎=1λ=3.77Hz Esta pequeña diferencia entre la frecuencia teórica de 3.77 Hz, y la real obtenida en el espectro de 3.74 Hz, puede ser debida a que realmente no se está imponiendo una velocidad lineal de 0.5 m/s, si no la velocidad angular de la rueda tractora correspondiente a esta velocidad lineal. Figura 67. Dominio temporal vs dominio frecuencial: Desplazamiento del carro tensor 𝛿 81 Figura 69. Dominio temporal vs dominio frecuencial: Velocidad del carro tensor 𝛿 󰇗 Figura 68. Dominio temporal vs dominio frecuencial: Aceleración del carro tensor 𝛿 󰇘 82 Tanto en la figura de la velocidad como en la figura de la aceleración, destaca el modo de vibración de 3.74 Hz como el principal armónico. Sin embargo, en la aceleración del carro tensor aparecer otras frecuencias destacadas, que realmente se corresponden a múltiplos del armónico principal. Ahora pasamos a ver la coordenada 𝑠0, la cual según la Figura 58. Coordenada del desplazamiento del rodillo 1 y sus derivadas: s01−s01󰇗−s01󰇘, se puede ver que esta coordenada en posición no describe ningún movimiento armónico, ni tiene ningún tipo de vibraciones. Con respecto a la coordenada en velocidad, sería interesante ver su espectro frecuencial, pero quitando los tramos en los que pasa por el carro tensor, puesto que, en esta zona, la coordenada de la indeformada es discontinua, y puede distorsionar el espectro de potencia. La derivada de la coordenada de desplazamiento del rodillo en la indeformada en la ventana que corresponde a los segundos entre 5-35 es: Se vuelve a ver la frecuencia principal del paso de la longitud de los eslabones. Además, en este caso de la coordenada en la velocidad, aparecen los modos múltiplos que se vio en la aceleración del carro tensor, aunque estos en este caso son insignificantes. Figura 70. Dominio temporal vs dominio frecuencial: Coordenada velocidad desplazamiento de la indeformada, 𝑠0 󰇗 83 Al igual, se hace con la coordenada de la aceleración. Sin embargo, en este caso, se tiene que aplicar un filtro Hampel, ya que esta señal consta de más ruidos que las anteriores. Así se eliminan los modos de vibración que no nos interesan. Gracias al haber aplicado el filtro Hampel para eliminar ciertas frecuencias debida a ruidos en la señal, se puede ver fácilmente otra vez que de nuevo la frecuencia principal es cercana a la frecuencia correspondiente al paso del eslabón. Figura 71. Dominio Tetemporal vs dominio frecuencial: Coordenada aceleración desplazamiento de la indeformada, 𝑠0 󰇘 84 Con respecto a la coordenada de giro de la rueda tractora tenemos: Figura 73. Dominio temporal vs dominio frecuencial.: Aceleración angular 𝜃 󰇘 Figura 72. Dominio Temporal vs dominio frecuencial: Velocidad angular 𝜃 󰇗 85 Como se ha podido ver, en todas las coordenadas del sistema se obtiene un armónico principal característico, que viene dado por la longitud del eslabón. Como es evidente, la velocidad y aceleración de los rodillos en el sistema, también estarán sujetos a estas frecuencias principalmente. Para la velocidad, se toma un tramo en el que sea lineal, para poder comprobar así que frecuencia es la que la define. Para ello, se analiza la velocidad en el tramo de subida, el cual se encuentra en la ventana de tiempo entre los segundos 5 y 14. La frecuencia tanto para la componente X de la velocidad como para la componente Z: Tanto la componente X como la componente Z de la velocidad en la pendiente de la escalera mecánica siguen el mismo armónico con la misma frecuencia principal. Esto ocurre debido a la descomposición del vector paralelo a la pendiente en el eje X y en el eje Z, afectando la frecuencia principal a ambos. Sin embargo, esto no ocurre en la componente Z de los tramos rectos, porque en estas zonas su velocidad es nula. Figura 74. Dominio del tiempo vs dominio de la frecuencia: Velocidad en X del rodillo 92 En la aceleración de los rodillos, también es apreciable estas variaciones debido a las fuerzas externas. En primer lugar, al subir la segunda persona, se produce un pico de desaceleración. Posteriormente, también se ven picos de aceleración en la bajada de la primera persona y en la bajada de la segunda persona. Estos picos de aceleración y desaceleración, se ven reflejados en el confort de la escalera, como pequeñas vibraciones. Figura 83. Tensión en los eslabones Figura 82. Aceleración de los rodillos 93 Los eslabones de la cadena de rodillos también sufren el paso de las personas por las escaleras, aumentando la tensión de estos de una manera más drástica al subir como se puede ver en aumento de la tensión entre los segundos 5-10 con la subida del segundo usuario. En esta figura se ve como el controlador hace su función, intentando mantener un régimen permanente ante la entrada y bajada de los dos usuarios de la escalera mecánica. También se puede apreciar los instantes en los que las personas entran y bajan de la escalera. Figura 84. Controlador del par motor y entrada de los usuarios mediante una señal escalón 94 Para explicar lo ocurrido entre los segundos 20-25, se hace referencia al modelo elástico que forma el sistema de tracción. Si se observa la indentación producida entre los dientes de la rueda tractora y los rodillos: Una indentación positiva como son las que se ven desde el segundo 0 hasta el segundo 20, significan que el rodillo está indentando en la cara del diente de empuje, es decir, en la zona derecha del diente si lo se ve en una vista de planta. Al bajar la primera persona de la escalera mecánica, la cadena de rodillos se ve acelerada hasta tal momento que choca con el diente delantero, se produce entonces una fuerza en la cadena en sentido contrario del avance, y en la rueda tractora, una fuerza repulsiva, que va a favor del giro de la rueda dentada, acelerando esta. El controlador, para evitar esta sobre velocidad en la rueda tractora, produce un par torsor en sentido antihorario, lo que se suele llamar freno motor, ya que se opone al movimiento, y hace que vuelva a mantener la velocidad angular de referencia. Este adelantamiento de la cadena de rodillos a la velocidad de la rueda se produce debido a que no hay rozamiento entre la cadena de rodillos y la guía, y por lo tanto no hay pérdida de energía, y la cadena avanza con mayor rapidez gracias al último empuje del rodillo por las fuerzas elásticas, entre los segundos 15-20. Figura 85. Indentación de los dientes-rodillos 95 8 CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN En un modelo simple, introductorio a una herramienta de análisis de vibraciones, como el que hemos desarrollado, podemos comprobar la importancia de la longitud del eslabón de la cadena de rodillos, ya que será el que definirá el movimiento oscilatorio del tensor de la escalera mecánica y los modos de frecuencia principales de todas las coordenadas y variables. Este movimiento oscilatorio es de vital importancia, ya que es el que introduce las vibraciones al sistema. Gracias a algunos datos reales aportados por Alfonso Molina, se puede contrastar este modo de frecuencia con dos ejemplos reales: 1. Escalera mecánica de un centro comercial de las Palmas de Gran Canaria: En esta gráfica, Alfonso representa las vibraciones en los eslabones de una escalera mecánica, midiendo con un acelerómetro 6 intervalos de 2 segundos, haciendo un total de 24600 medidas. Como se puede comprobar, el armónico principal es de 3.9 Hz, que será el correspondiente a la frecuencia de paso de los rodillos por el tensor de la escalera, como se ha visto en los análisis de frecuencia anteriores. Además, es destacable, que las demás frecuencias son múltiplos de la frecuencia principal. Figura 86. Gráfica de datos reales de una escalera mecánica en funcionamiento obtenidos con un acelerómetro 96 2. Escalera mecánica de un centro comercial en León: En esta otra gráfica aportada por Alfonso, se puede ver las oscilaciones reales que se perciben de una escalera mecánica de un centro comercial en León, en vacío. La velocidad de esta escalera mecánica era de 0.49 m/s. Después de hacer un análisis de frecuencias Alfonso determinó que el armónico principal de la escalera era de 3.54 Hz. En este caso se puede sacar la longitud del eslabón mediante la velocidad de la escalera mecánica y la frecuencia principal del sistema. 𝐿𝑒𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛=𝑣𝜆=0.49 𝑚/𝑠 3.54 𝐻𝑧=0.1384 𝑚 Se puede ver que es una longitud de eslabón, es del orden de magnitud de la que se ha tratado en el presente proyecto. En un análisis temporal, se pueden ver que las amplitudes de pico a pico del desplazamiento del carro tensor son de 0.05 mm, que es una amplitud próxima a la amplitud que ha sido calculada mediante la simulación dinámica: 𝛿=37.02±0.06 mm Aunque realmente, en esta gráfica se puede observar algunos picos de desplazamientos de 0.1 mm, que pueden ser consecuencias de golpes, roces o desgastes de eslabones de la cadena de rodillos. Son muchos los elementos que condicionan un sistema real. Finalmente cabe decir que este modelo es una aproximación a la realidad, aunque aún podría desarrollarse más en futuros trabajos, incorporando más características de la escalera mecánica, haciendo que esta se asemeje más a la realidad, como, por ejemplo, introduciendo las fuerzas de rozamiento existentes entre la guía-rodillos, lo que resolvería el problema del choque del rodillo con el diente delantero; pasar a un plano 3D o incluir otros elementos de las escaleras mecánicas como son los pasamanos. También se tendría que buscar alguna forma de modelar los eslabones para tener en cuenta los desgaste que se producen en estos, en la cadena de rodillos, que conllevan a picos de desplazamientos en el carro tensor como se ha visto anteriormente en los resultados de Alfonso. Desarrollando este modelo, se podrá obtener una herramienta futura, útil, en el análisis del comportamiento dinámico de las escaleras mecánicas. Figura 87. Desplazamiento del tensor de la escalera mecánica 97 98 9 ANEXO Con este anexo, se cierra el trabajo de fin de grado haciendo referencia a los códigos utilizados para la resolución de la Cinemática, la Dinámica Inversa y la Dinámica Directa, que serán adjuntados como material electrónico. Los códigos que se han desarrollado se dividen según el problema que resuelven, sin embargo, existen ciertos códigos que son comunes en los tres problemas: CÓDIGOS COMÚNES Escalator.m: En este código incluimos los parámetros necesarios para definir: la geometría de las guías, de los peldaños, de la cadena de rodillos, de los rodillos, de la rueda tractora, y descripciones del mecanismo como el número de rodillos y el número de coordenadas. Por último, se definen los parámetros dinámicos del sistema. Todos los parámetros están en unidades del sistema internacional. r_analitica.m: Función que recibe como argumentos la coordenada s0 y δ, que indica la posición de uno de los rodillos en la guía. Devuelve la posición del rodillo, y sus derivadas parciales respecto de las coordenadas. [𝑟,𝜕𝑟 𝜕𝑠0,𝜕𝑟 𝜕𝛿 ]=𝑟_𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎(𝑠0,𝛿) relaciongeom.m: Función que hace referencia a la Figura 25. Relaciona la coordenada indeformada 𝑠1 con la coordenada deformada del sistema s1. [𝑠1,𝜕𝑠1 𝜕𝑠0,𝜕𝑠1 𝜕𝛿 ]=𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑔𝑒𝑜𝑚(𝑠0,𝛿) animacion_cinematica.m: Función que recibe como argumentos las coordenadas del sistema, y devuelve un “video” del movimiento del sistema. Realmente, este video es una serie de fotogramas de la posición de los rodillos en cada intervalo que hayamos tomado. restriccionesjacobiano.m: Función la cuál recibe las coordenadas del sistema y devuelve tanto las restricciones como el jacobiano. [𝐶,𝐶𝑞]=𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑗𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖𝑎𝑛𝑜(𝑞) Tanto para la dinámica inversa como para dinámica directa, tenemos una serie de funciones que son comunes. Estas son las matrices auxiliares B y L, y sus derivadas, la matriz de masas, las matrices de fuerzas, las funciones ausxiliares para el cálculo de velocidades y aceleraciones del rodillo, las derivadas de tiempo de las derivadas parciales, y las derivadas del jacobiano. Además, para estos problemas añadimos la rueda dentada. matriz_B.m: Función que recibe como argumentos las derivadas parciales de la posición respecto de las coordenadas, y devuelve la matriz auxiliar B. 𝐵=𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧_𝐵(𝜕𝑟 𝜕𝑠0,𝜕𝑟 𝜕𝛿) matriz_dB.m: En este caso recibe las derivadas de tiempo de las derivadas parciales de la posición respecto de las coordenadas, y devuelve la derivada de la matriz auxiliar B. 𝐵󰇗=𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧_𝑑𝐵(𝜕𝑟 𝜕𝑠0 󰇗,𝜕𝑟 𝜕𝛿󰇗) matriz_L.m: Recibe la matriz auxiliar B, y le añade las dos filas referentes a las coordenadas de δ y θ. Devuelve 99 así la matriz auxiliar L. 𝐿=𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧_𝐿(𝐵) matriz_dL.m: Igual que la función anterior, pero en este caso, respecto a las derivadas 𝐿󰇗=𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧_𝐿(𝐵󰇗) matriz_masas.m: Calcula la matriz de masas generalizadas. Recibe como argumentos la matriz L. 𝑀=𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧_𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠(𝐿) matriz_peso.m: Calcula las fuerzas generalizadas debidas a la masa de los componentes. Recibe igualmente la matriz auxiliar L. 𝑃=𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧_𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠(𝐿) matriz_velocidades.m: Calcula las fuerzas de inercia generalizadas cuadráticas en velocidad. Para ello necesita recibir 𝐋,𝐋󰇗 y 𝐪󰇗. 𝑄𝑣=𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧_𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠(𝐿,𝐿󰇗,𝑞󰇗 ) fuerza_externa.m: Función auxiliar para introducir alguna fuerza externa en el sistema, como puede ser el peso de una persona en uno de los eslabones. velocidades.m: Función auxiliar para el cálculo de las velocidades de los rodillos. Esta función necesita como argumentos la matriz B y 𝐪󰇗. 𝑣=𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 (𝐵,𝑞󰇗) aceleraciones.m: Al igual que velocidades.m, es la función auxiliar que calcula las aceleraciones de los rodillos. En este caso necesitamos los argumentos: 𝐪󰇗,𝐪󰇘,𝐁 y 𝐁󰇗. 𝑎=𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (𝐵,𝐵󰇗,𝑞󰇗,𝑞󰇘) dt_derivadasparciales.m: Función que recibe como argumentos s0.∂r ∂s0y ∂r ∂δ, y devuelve las derivadas respecto al tiempo de las derivadas parciales [∂r ∂s0 󰇗,∂r ∂δ󰇗]=𝑑𝑡_𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠(s0.∂r ∂s0,∂r ∂δ) rdiente.m: Función que calcula la posición de cada uno de los puntos geométricos necesarios que definen la rueda tractora. 𝑟𝑑=𝑟𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒(𝜃) jacobiano.m: Esta función recibe directamente la posición de los rodillos, junto con las derivadas parciales. Nos devuelve tanto el jacobiano como la derivada de las restricciones respecto al tiempo implícito. [𝐶𝑞,𝐶𝑡]=𝑗𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖𝑎𝑛𝑜(𝑟,𝜕𝑟 𝜕𝑠0,𝜕𝑟 𝜕𝛿,𝜕𝑠1 𝜕𝑠0,𝜕𝑠1 𝜕𝛿) djacobiano.m: Esta función recibe directamente la posición de los rodillos, junto con las derivadas parciales. Nos devuelve tanto el jacobiano como la derivada de las restricciones respecto al tiempo implícito. [𝐶𝑞,𝐶𝑡]=𝑗𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖𝑎𝑛𝑜(𝑟,𝜕𝑟 𝜕𝑠0,𝜕𝑟 𝜕𝛿,𝜕𝑠1 𝜕𝑠0,𝜕𝑠1 𝜕𝛿) 100 CÓDIGOS DE LA CINEMÁTICA cinematica.m: Resuelve la cinemática del sistema. restricciones_qdep.m: En este apartado de la cinemática, necesitamos el apoyo de esta otra función auxiliar, en la que se separan las coordenadas dependientes con las independientes. CÓDIGOS DE LA DINÁMICA INVERSA dinamica_inversa.m: Código principal que resuelve la dinámica inversa del sistema. Dt_relaciongeom.m: Función que recibe como argumentos s0,s0󰇗,δ󰇗 y devuelve las derivadas respecto al tiempo de las derivadas parciales de la coordenada deformada. Este caso es especial, porque como hemos visto en la dinámica inversa, imponemos el movimiento de velocidad sobre la coordenada deformada, y por tanto, necesitamos sus derivadas. [∂s1 ∂s0 󰇗,∂s1 ∂δ󰇗]=𝑑𝑡_𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑔𝑒𝑜𝑚(s0,s0󰇗,δ󰇗) CÓDIGOS DE LA DINÁMICA DIRECTA dinamica_directa.m: Código principal que resuelve la dinámica directa del sistema. posicion_inicial.m: Función que calcula la posición inicial del sistema, haciendo que la cadena, además, quede traccionando con la rueda dentada. Además, existe una función llamada plot_posicioninicial.m para comprobar que esta posición es correcta. EcMov_Escalator.m: Función que contiene las ecuaciones de movimiento a resolver mediante la integración numérica. En este se produce el cambio de variable, para poder integrar la ecuación diferencial de primer grado. 𝑦󰇗=𝐸𝑐𝑀𝑜𝑣_𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑡𝑜𝑟(𝑡,𝑦) calculoscinematicosydinamicos.m: Función que resuelve la dinámica y la cinemática del problema, una vez obtenidos los resultados de la integración numérica. Recibe como argumento las coordenadas en posición y velocidad, junto con el vector de tiempos de integración. Devuelve una serie de parámetros interesantes para el postprocesado del problema. [𝑠1,𝑟,𝑟𝑑,𝑣,𝑎,𝜆,𝑞󰇘,𝜓,𝑀𝑚𝑜𝑡]=𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠𝑐𝑖𝑛𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑐𝑜𝑠(𝑞,𝑞󰇗,𝑡) fuerzas_ruedatraccion.m: Cálculo de las fuerzas de tracción que se producen debido a la indentación entre diente-rodillo. Esta función recibe la posición de los rodillos y la rueda dentada, junto con la matriz L. Devuelve la fuerza de tracción ejercida, y la indentación producida. [𝑄𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛,𝜓]=𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠_𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛(𝑟,𝑟𝑑,𝐿) Par_motor.m: En esta función calculamos el par motor necesario, incluyendo el controlador, para que el sistema siga un movimiento con una velocidad constante de 0.5 m/s. Recibe como argumento la velocidad angular de la rueda tractora, para poder implementar el controlador. 𝑀𝑚𝑜𝑡=𝑝𝑎𝑟_𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 (𝜃󰇗) CÓDIGO AUXILIARES DE POSTROCESADO fourier_FFT.m: En este código desarrollamos el proceso para pasar del dominio temporal al dominio frecuencial. Para ello necesitamos la variable que queramos transformar, junto al tiempo. [𝑓,𝑌𝑚]=𝑓𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟_𝐹𝐹𝑇(𝑡,𝑦) 101