Álgebras de Abel cerradas

Algebras de Abel cerradas por Juan Arias de Reyna Martínez PRESENTADO POR EL ACADÉMICO D. DARÍO MARAVALL CASESNOVES 1. CEROS DE LAS FUNCIONES ANALÍTICAS Sea G una región de C y ü = ¡p"1 (G). Si / : u -5> A es analítica existe g : G-^ C tal que es analítica y el diagrama Q y A <f ->C es conmutativo. Diremos que / es semiconstante si g es constante. Diremos que / es seminnla si g es nula. Si existe a € ü tal que / (a) = O, pueden ocurrir dos cosas : o / es seminula o no es semiconstante. En este ùltimo caso, y sólo en. éste, diremos que a es un cero de /• PROPOSICIÓN 1.—Sea f : Q -> /4 analitica1. Sea a '€• û un cero def. Existe y es único el númefo entero ntal que pueda escribirse i (z) = (z - a)n f, (Z) con f1(a)5áO y l^.a-^A analítica'. Llamaremos a n el orden del cero. — 100 — Como / (a) = O se tiene en un entorno de a el desarrollo / (s) = aL (2 — a) + a., (s — a)2 + ... Sea n el menor entero tal que an -=£ O que existe, pues / no es idénticamente nula. Se tiene /(*) = («-a)*/, (a) en un entorno de CD. Fuera de este entorno podemos poner /, O) =/<?)(*-o)-»;- pues se tendrá 9 (V) j£-y (a). Esta /x cumple evidentemente todas las condiciones del enunciado. El n es único, pues si existieran dos se tendrían dos desarrollos diferentes de / en el entorno de a. De hecho, incluso la /j es única, pues dos /x diferentes proporcionarían también dos desarrollos distintos de la /. PROPOSICIÓN 2.—Sea G una región de C. Q = y'1 (G), f : O -» A analìtica. Sea g : G -> C la función analítica tal que 9 ° f = g ° 9. Supongam-os que f wo es semiconstante. Entonces, si a es cero de f, iç (sì) es cero de g. Además, si œ « «» cero de g de ovàen n, la suma de los órdenes de los ceros a de í tales que 9 (a) = a es a> lo más n. El primer enunciado es trivial. Como / no es semiconstante, g no es constante. Sea, por tanto, a cero de g, y a1} a2, ..., oit, .'.. los ceros de / tales que 9 (a,) — a contados con su multiplicidad. Aplicando la proposición 1, repetidamente se tiene parà cada k f (z) = (z - fll) (* - <g ...(* — at) 4 (s) donde ft esanalítica en ü. Sea gt la función asociada a fa ; entonces aplicando 19 a la ¡gualda danterior se obtiene g (z) = (s—a)*gt (g). Como gK es analítica, debe ser k <^ n. Si el ideal maximal de A es principal, esto es, si A es anillo de valuación discreta, el estudio de las funciones analíticas puede reducirse a las no seminulas. Pues si / es • seminula, los coeficientes* de — ICI — su desarrollo pertenecen todos a un ideal del tipo (^™), siendo & el generador del ideal maximal de A. La función / puede entonces escribirse en la forma / 00 = x» fí 00, donde la función /j no es seminula. Sin embargo,, en el caso general esto no es posible. Sea / analítica y no seminula en Û = ^1 (G). Donde G es una región de C. Llamaremos grado de / en « € G al orden del cero en a de la función g asociada a /. (Naturalmente, el grado puede ser cero.) Si a € O es tal qtte 9 (a) = a, y / (z) = S «„ (s — a)» el grado de / en y. es precisamente el entero n tal que <? (a-K) 5¿ O, siendo <p (at) = O para k <. n. Sea / no seminula y analítica de û en A, siendo fí = ç'1 (G) y G una región de C. La proposición 2 nos dice que para cada a € G se tiene : Card { a | tp (a) = x y / (a) = 0 } <; grado de / en a. Sabemos que para C esta desigualad es siempre una igualdad. Induce esto a definir el concepto de álgebra de Abel cerrada. DEFINICIÓN 1.—Sea A un álgebra de Abel. Diremo sque A es cerrada. Sí para cada f : U -» A analítica y no semi-nula. Siendo £1 = ç-1 (G) y cadaa € G, se tiene-: Card { a | tp (a) = a, y f (a) = O } = grado de f en a.. El objetivo de lo que sigue es estudiar con más detalle las relaciones entre una función analítica y sus ceros. — IO2 — 2. TEOREMA DE PREPARACIÓN Vamos a extender el conocido resultado a nuestras álgebras, paralo que será necesario modificar las demostraciones conocidas. Sobre todo para probar la convergencia de las series que aparecen. Llamaremos S (A, X) el anillo de las series convergentes (esto es, con radio no nulo) de potencias con coeficientes en A. PROPOSICIÓN 3.—Sea B = 3bfl A'"<e S (A, X) tal que existe bt (£ 'M., y llamemos p al menor k tal que bt 3 SVZ. Dada A = 5 an A^'Ç S (A, X) ffjfísten Q £ S (A, X) y un polinomio ï-i K = ^ r A"", .¿-J » ' n = o tales que A = B Q + R y tanto Q como R están determinados ¿f manera única. Probaremos primero la existencia y después la unicidad. Existencia a) Reducimos primero el problema general al caso en que dividimos por un B de un tipo particular. B puede escribirse en la forma B = B3 +X"B2, donde Bl = i,0 + 6lX + ... + &,_1X»-i y B2 es un elemento de S (A, X) que es invertire en S (A, X), pues <p (&J,) yé 0. Estamos usando el hecho de que la composición de funciones analíticas es analítica y que 1/X es analítica en bt. - 103 — Entonces B = B2 (Xp — C), donde C = — (1/BJ E1 es un elemento de S (A, X). Debemos encontrar Q y R tales que A = (X* — C) S + R, donde S = B2 Q. Basta de hecho encontrar S y R, donde S'€S (A, X) y R es un polinomio de grado p — lo inferior, pues entonces se tendrá Q = B^1 S. b) Plan de la demostración. Determinaremos por recurrència elemento-s de S (A, X), S«(Si, S2, ..., S*, ..., tales que se verifique : A —•• Xp S° sea un polinomio de grado menor o igual que p — 1. CS* — X* S*^1 sea un polinomio de grado menor o igual que p •— 1. No cabe duda de que existen y están determinados de manera única estos elementos de S (A, X). Pongamos S* = .y/ + ^* X + í2* X2 + ... Probaremos que las series ±<„* t-O son absolutamente sumables en A. También veremos que la serie oc oo s=Z(2X*)x» n=e K=o pertenece a S (A, X). Una vez probado esto, la existencia de S que verifique A = (Xp — C) S + R — IO4 — es trivial, pues sumando las k + 1 igualdades de (1) se obtiene que A —X"(S» + S1 + ... + S*+i) 4C(S» + Si + ... + S*) es un polinomio de grado menor o igual que p — 1. Como los coeficientes de S° + S1 + ... + S* tienden en la topología de A hacia los de S, se deduce fácilmente que los coeficientes de A — X'J (S« + S'i + ... + S*+!) + ... + S*) tienden todos a un valor que es el correspondiente coeficiente de A — X" S + C S, y por ser éstos a partir del de Xp nulos, su límite no puede ser más que cero. Así, pues, A = (Xs — C) S + R, donde R es un polinomio de grado menor o igual que p — 1. c) Cálculo de los sn*. Las ecuaciones (1) proporcionan las igualdades •f " = a •t+n • lí O "P+n *.*+! = *.* c„+n + s^ c^ + ... +í* c0. de las que pueden obtenerse los s/ en función de los a¡ y los c¡ coeficientes del desarrollo de C. Con una notación obvia puede escribirse : ~Í0*+1~ J.*+> J.*+» 1— _l = Cf Cf_1 £>_2 . ., . . C, O L J "V" J* J,* L -M Si ponemos e_i = c_2 = ... = o, - ios — la matriz infinita está formada por los elementos anm con n > O, m > 0. Siendo anm = Cj,+»_m. Entonces con el sentido obvio, pues todas las sumas consideradas son finitas, se tiene para cada k [*,*] = T* [«w.]„ donde T es la matriz antes considerada, y [í.,*] y [a„+1:] son los vectores fila obtenidos variando i. Así, pues, s"n es un polinomio en las variables c¡ y a¡ lineal en las <t¡. Tratamos de expresarlos explícitamente. Para ello debemosobtener la expresión de los términos de T*. Se tiene así si k > 1 : se *«* = £ <*h+P ( 2" a" *\ "\ '. "'*-! * ) = A=0 «|<*...»A_, CO = / ah+p ( X, tf+H-i, ef+>\-ít *>+»*_!-*) = A=0 »!*«•••«*_! = X. ^+Á et+j, ••••••• c¿+ ik ap+j, = 7, fitft,... cika^+^ jo+jt + ... +jk=n 2v = » + í/> t^f<,< + » 0¿vf.< + «. — t¿:Í\< + » Los c* son los coeficientes de — (V^s) BI> pero B! = 60 + *1 X + - + *P-1 X""1' donde los coeficientes pertenecen todos al ideal maximal de A, por tanto todos los c» pertenecen a este ideal. Más aún, si - (l/E2) = S dn X» se tiene cv = ba dv + 6X ¿„^ + ... + *,_, -*^v donde se ha puesto d_, = d_2 = ... = 0. — io6 — Sustituyendo esto en la expresión enconîrada antes de s*n, se obtiene />-i t~i f-i Snk — ¿ a*,+f ( 2^ ¿n^l-n) ( £ ¿r.rfv.-r,) • • • ( ¿j '*'r* d"'*''''/> ) Sv = » + /&/s n=o 0 = 0 ri = ° Pondremos ahora r = (ri,r2,...,r!c),v=(Vi,v2,...,vS:). En cambio, un subíndice ra, v0 indicará un número simplemente. Diremos que r < v si r¡ < ví y S v = VA + v2 + ... + v Además, ¿v = J^ ¿vt. rf|t = J__£ rf^. etc. 1=1 ;=i Entonces se tiene ^—i í1»* = ^^ í*v0 + /> 6v dp. v, + SV + SH = »H-*/» »^(#-l.#-l,- ••,/>-!) Es interesante saber cuántos sumandos aparecen en esta suma con un mismo v; es decir, cuántas soluciones existen de la ecuación v + S /t = » + k p — S v. El problema equivale a saber cuántas soluciones enteras positivas o nulas tiene la ecuación xí + x2 + ... + xh = A. :Será el coeficiente de SA en el desarrollo de (1 + z + z + ...)* = (í —z)-". — 107 — lh + A— 1\ Eil definitiva j _ J. En nuestro caso es h = k + ì y A = « + fe/>—Sv, luego el número de términos deseado es / n + k (p + 1) — 'S, v \ \ k f d) Acotación de los s*B. Puesto que — (1/^2) 7 A son series de S (A, X) existe un número real positivo r < + oc tal que sup lim v' 9 (djj) < f y sup lim v' q (on) < r, Q a •el supremo en q se toma sobre el conjunto de todas Ias seminormas multiplicativas que definen la topología de A. Por tanto ; para cada q existe un M > 0 que verifica 1 (rf„) <SíMrn y g (an) ^ M r". (3) De aquí, y usando la igualdad (2), se obtiene 3 (*„*}< 2 M*+i rS[«. + v„ + /s ?(¿v), V0 + Sv + S(l = K + Ã^ v^(^-l, ...¿-1) y teniendo en cuenta el número de sumandos con un mismo v, x-i / n + k (p + 1) — 5 v \ •í (VX Z, M*+1 í r» + (* + D/>-S» ç(&v):, v^(# — l, .../>-!) ' ' Los &„, ^, ..., &,,_! dan lugar a p funciones enteras £ l (&,") ^n. — H4 — son no invertibles, la ecuación (afl •+ ^ X + ... + ap_l X*-i) = (co + ciX + ... + c^ X»-i + X*) (S ¿>n X*> no tiene más solución que y por tanto, ». = »a = - = », = - = » ao = °i = - = "P-I = °- Aplicando esto a nuestro caso, se obtiene K (S, - S2) = 0 y Ra - R1 = 0. Esto es, RJ = R2, y puesto que K es invertible, Sj = Sa. El teorema quedará así probado. Igualando los coeficientes de potencias análogas, en la ecuaciórtí se obtiene »-i »* = 2e» **rf-*- 0 = 0 donde hemos puesto c'k = — ct. Tenemos entonces que probar que ba = 0. La demostración!, de que los demás bn son nulos se obtiene de la misma manera. Sabemos que »-i ?-i »-i t, n— O KI = O i«2 = 0 V — 1 * — L " — i •^1 ^1 -^1 b„= ¿j °'n bi>-n = /, c'«< / . f'*262t-»t-«* = ••• P-l • •• — 7 , C'KÍ C'„, . . c'„h bhp - (n, + », + ... + «¿) . »,. = 0 Si &0 T¿ O, existe una seminorma q tal que q (£>„) 7^ 0. Por ser /•' /•' /•' c o' c i' •'•' c P-i - us - no invertibles, existe una función entera con coeficientes positivos 2 §„ zn tal que q (c i"1) < 5n para todo n y para todo » = 0,1,..., p — 1. Tratemos de acotar ahora q (bu) ; el razonamiento es análogo al usado antes en d): MÍ>-]> *o = ¿, bhv-k ( 2* c'»> c'»> • • • c'"k ) ; * = o Ev = A además S C'n C'n - *'n = £ (A !/K ! - «,_! ») '7° 'T' • • • *?*? £K=* SOT=* £ » m- = k Así, pues, í ( '2 c/« c/« - c'") < 2 (A !/(wo! - TOP-I !)) i (W --i (^I1) ^ i* ï S« = * 2»! = à donde, como ya vimos en e), S y„ ¿r" es entera. Como S 6B X« € S (A, X) existe r <. + oc tal que q (b^ <.M r" y podemos suponer r <1T pues si se verifica sólo para r >> 1, tomamos *R > r y se tiene 5 (VR»)< M (r/R)» y bastaría sustituir en la ecuación propuesta al principio X por X/R y multiplicar por Rp para obtener o, R* + ... + at_^ R X1*! = (co R" + ... + Xs) (S VR" x")- Tenemos entonces g(bo} ^ y^Mr*r-tyt.= L M r», -, r?o donde L = Y*/r*- Como esto vale para todo £, se obtiene q (è0) = O. — uè - 3. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE PREPARACIÓN Sea A un àlgebra de Abel y anillo de integridad. Sea ß = ç"1 (G) una región de A ; / : û-> A una función analítica, y g ; G'-> C la función asociada. Si g tiene un cero simple a € G, g (a)' = '0, existe a 6 û tal que 9 (à) — a y / (a) = 0. En efecto, desarrollemos / en z : /(X)=5an(X-a)«. Como £ (2) = S <p (a„) O — a)" , se tiene «p (öl) T¿ O y ç (ao) = 0. Dividamos X por la serie £ an X", se obtiene X = Q (S a„ X») + r0 ; pasando a las funciones asociadas resulta * = ?(*) (S <p (an) a») + 9 (ro), luego 9 (»•„)= OSustituyamos ahora r0 en lugar de la X en la igualdad obtenida por división : * Q('0)(3«B''„0)=0. Pero Q (r0) no puede ser cero, pues su primer coeficiente es invertible. Como A es de integridad, r.0 es cero de 2 o,, X". Supongamos que siga siendo A anillo de integridad ; / sea como antes, pero g tenga en a un cero de orden n. - li; — Desarrollemos f: ' f (X) = S-«„ (X - a)-. Apliquemos <p : g (A) = S <p (a J (s — a)M. Por tanto, V («„) = <P K) = ... = ç (<»„_!) = 0 y <p (a>n) jé 0. Si dividimos X* por S = 2 aa X", obtenemos X" = Q S' + r + fi X + ... + r^ X»-'. Aplicando <p se obtiene que 9 (%) = 9 (%) = - = 9 (Vi) = ° y que «p (Q) no tiene cero en el origen. Así, cualquier cero de »»-'„^X»-! -...-T,, es cero de S (X). Los ceros de / serán, pues, éstos más a. De aquí se obtiene fácilmente la siguiente proposición : PROPOSICIÓN 4. — Un álgebra de Abel, anillo de integridad, es cerrada si y sólo si todo polinomio mànico de grado n tiene justamente n raíces. También se obtiene la siguiente : PROPOSICIÓN.—Si A es un álgebra de Abel es un anillo henseEsto es consecuencia de la nota anterior tomando para / un polio. No es necesario aquí suponer que A sea anillo de integridad. Para más detalles puede verse M. Raynaud. Sean A y B dos álgebras de abel ; diremos que / : A -> B es un morfismo si es homomorfismo de C-álgebras y continua. - ii8 — Llamaremos subálgebra de Abel de A a una subáigebra"B de A que con la topología inducida sea un álgebra de Abel. En este caso la inyección i : B -> A es uh riíorfismo. Sea A un álgebra de Abel. Buscamos un álgebra de Abel cerrada à y un morfismo ic : A -> à que verifique la propiedad siguiente. Cada vez que B sea un álgebra de Abel cerrada y / : A -> B un morfismo, existe un morfismo g : à -> B tal que hace conmutativo el diagrama A una solución A de este problema de aplicación universal la llamaremos cierre analítico del álgebra A. Puede plantearse este problema considerando sólo álgebras de Abel que sean anillos de integridad. En éste caso parece que la'solución estaría en darle una topología adecuada al ' anillo B cierre entero de A en un cuerpo K que sea el cierre algebraico del cuerpo de los cocientes de A, K. En esta dirección se dispone de un resultado parcial (véase Arias de Reyna, Prolongación de seminormas multiplicativas}. En todo caso quedan problemas abiertos : el de la existencia de álgebras de Abel cerradas no triviales (es decir, distintas de C) y el de encontrar el cierre analítico, si es que existe, de un álgebra de Abel. BIBLIOGRAFÍA ARIAS DE REYNA, J. : Diferenciación en espacios vectoriales topològico*. Tesis doctoral. Sevilla (1973). :. Prolongación de seminormas sultiplicativas. Comunicación presentada en las II Jornadas Matemáticas Hispano-Lusitánas (1973). ' " ; \ •-' Algebras de Atei e integración en álgebras de Abel. «Rev. de; , la Real Academia de Ciencias», tomo..68, págs. 495-545 (1974),. BO.URBAKI, N. : Topologie, générale. Chap. 2 y 3, 3.a édition. Hermann, París '(I960)': ' : "' — 119 — IBouRBAKi, N. : Topologie generale. Chap. 9, nouvelle édition. Hermann. París (1968). — — Algebre commutative. Chap. 1 a 7. Hermman. París. CARTAN, H. : Seminaire Henri Carton 1951-52, 1953-54. W. A. Benjamin, Inc. (1967). MICHAEL, R. A. : Locally multiplicativel<y-cowue\x topological Algebras. Memoirs of the «Amer. Math. Soc.», number 11, Providence R. I. (1952). PÓLYA, G. y SZEGÖ, G. : Aufgaben und Lehrsätze, aus des Analyses, 3.» ed., 2 vols., Springer, Berlin (1964). -RiCKART, C. : General theory of Banach Algebras D. Van Nostrand, New York (1960). JR.AYNAUD, M. : Anneaux Locaux Henséliens. «Lectures Notes», número 169. 'Springer Verlag (1970).