Análisis y control de problemas de tipo Navier-Stokes

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y AN´ ALISIS NUM´ ERICO TRABAJO DE FIN DE M´ ASTER: AN´ ALISIS Y CONTROL DE PROBLEMAS DE TIPO NAVIER-STOKES Irene Mar´ın Gayte Dirigido por: Enrique Fern´andez Cara ii Agradecimientos Agradezco a todas las personas que, directa o indirectamente, han contribuido y seguir´an contribuyendo en mi formaci´on tanto acad´emica como personal. En concreto, agradecer a todos mis profesores, entre ellos, a mi tutor Enrique Fern´andez Cara por haberme dedicado su tiempo durante todo el a˜no y por abrirme este nuevo campo de estudio. Por todo ello y a todos, ¡Much´ısimas gracias! iii iv Abstract This work is framed within the field of EDPs and Numerical Analysis, aiming to continue the study of the Navier-Stokes equations which was already started on the subjects “EDPyA”, “ANED” and “MySN”. It is meant for deepening our knowledge on the regularity and control of the Navier-Stokes equations. Additionally, an analogous study of the Boussinesq system is carried out. Throughout this text we broach the existence, uniqueness and regularity of the Navier- Stokes equations as well as the Boussinesq system. The article of Caffarelli, Kohn and Nirenberg plays a central role in the research of the regularity of Navier-Stokes equations. Besides the above-mentioned aspects, various numerical methods to approximate the solutions to the Navier-Stokes equations and Boussinesq system are wide developed. The applicability of the results is exemplified by studying the simulations of these methods. The text concludes with a theoretical analysis of the control of the Navier-Stokes equations. v vi ´ Indice general Introducci´on IX 1. Resultados de existencia y unicidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 1 1.1. Resultados te´oricos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Teoremadeexistencia .............................. 4 1.3. Teorema de unicidad (N=2) .......................... 13 1.4. Teorema de unicidad parcial (N=3) ...................... 17 1.5. Soluciones m´as regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6. Recuperaci´on de la presi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. Resultados de existencia y unicidad para el sistema de Boussinesq 27 2.1. Teoremadeexistencia .............................. 27 2.2. Teorema de unicidad (N=2) .......................... 32 2.3. Teorema de unicidad parcial (N=3) ...................... 35 2.4. Soluciones m´as regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3. Resultados de regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 39 3.1. Regularidad parcial de la soluci´on admisible de las ecuaciones de Navier-Stokes (Caffarelli, Kohn y Nirenberg) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1. Introducci´on................................ 39 3.1.2. Demostraci´on de la Proposici´on 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.3. Demostraci´on de la Proposici´on 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.4. Demostraci´on del Teorema B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1.5. Existencia de soluci´on d´ebil admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2. Regularidad parcial de la soluci´on admisible de Navier-Stokes (Ladyzhenskaya) 64 4. Resultados de regularidad para el sistema de Boussinesq 67 4.1. Existencia de soluci´on d´ebil admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2. Regularidad parcial de la soluci´on d´ebil admisible . . . . . . . . . . . . . . . 69 5. M´etodos num´ericos de paso fraccionario para problemas de valores iniciales 71 5.1. M´etodo de Peaceman-Rachford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.2. M´etodo de Douglas-Rachford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.3. El θ-esquema ................................... 77 5.4. Aplicaci´on a las ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 vii viii ´ Indice general 5.5. Aplicaci´on al sistema de Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.6. Simulaciones.................................... 83 6. Un problema de control para las ecuaciones de Navier-Stokes 89 6.1. Elproblemadecontrol.............................. 89 6.2. Formulaci´on y an´alisis de un problema de control ´optimo . . . . . . . . . . . 90 6.3. Semidiscretizaci´on en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.4. Aproximaci´on del problema completamente discreto . . . . . . . . . . . . . . 95 Conclusiones 99 Bibliograf´ıa 101 Introducci´on Este trabajo pretende servir como una introducci´on a las ecuaciones de tipo Navier- Stokes. Muchos de los conceptos y argumentos que usamos aqu´ı se pueden generalizar a otras ecuaciones y as´ı ayudar en el an´alisis de muchas otras EDPs provenientes de la Ingenier´ıa o de otras disciplinas cient´ıficas. A lo largo del trabajo, Ω ⊂RNes un abierto conexo acotado al menos de clase C0,1 (N= 2 y N= 3) y tomamos 0 ≤T < +∞.Tambi´en, usaremos la notaci´on Q:= Ω ×(0, T) y Σ := ∂Ω×(0, T). As´ı, nos centraremos primero en las ecuaciones de Navier-Stokes,        ut+ (u·∇)u−ν∆u+∇p=fen Q, ∇·u= 0 en Q, u= 0 sobre Σ, u(x, 0) = u0(x) en Ω, (1) donde ν > 0, f=f(x, t) y u0=u0(x) est´an dadas. Este modelo sirve para estudiar el comportamiento de un fluido Newtoniano, viscoso e incompresible que el dominio Ω durante el intervalo de tiempo (0, T, ).As´ı nuestras inc´ognitas en (1) son u=u(x, t) que se corresponde con la velocidad del fluido y p=p(x, t) que denota la presi´on. La funci´on dato f=f(x, t) representa la densidad de fuerzas externas y u0=u0(x) es la velocidad incial del fluido. Con estas ecuaciones estamos suponiendo que la densidad de masa del fluido es igual a 1. La primera ecuaci´on de (1) se corresponde con la ley de conservaci´on de la cantidad de movimiento, es decir, la segunda ley de Newton escrita a lo largo de las trayectorias expresada por unidad de volumen. La segunda ecuaci´on es debida a que el fluido es incompresible, es decir, el volumen ocupado por un conjunto de part´ıculas es independiente del tiempo. Por ´ultimo, debemos completar el sistema con condiciones de contorno que expresan que las part´ıculas se adhieren a la pared del dominio y por ello no deslizan y la condici´on inicial para t= 0. Nuestro primer objetivo en este trabajo es analizar la existencia, unicidad y regularidad de la soluci´on de (1), las principales ideas para nuestras demostraciones pueden encontrarse en [3,6,15,19,21,22,27,29]. Desdel punto de vista de la mec´anica, para intentar resolver (1) es totalmente coherente que asumamos que el estado del fluido en el tiempo t= 0 y las fuerzas que act´uan sobre el mismo durante (0, T) son conocidas, para as´ı determinar el estado del fluido en todo instante t∈(0, T). Sin embargo, las ecuaciones (1) no son siempre las m´as apropiadas para describir el flujo ix 2 1.1. Resultados te´oricos previos los espacios duales V0yH0, correspondientes, la inyecci´on adjunta, i∗:H0→V0es lineal y compacta. As´ı, por el Teorema de Riesz, podemos identificar Hcon su dual H0y escribir la siguiente cadena de inyecciones continuas y compactas, donde cada espacio es denso en el siguiente; V ,→H≡H0,→V0. Como consecuencia de esta cadena, podemos extender el producto escalar en Hde f∈H yu∈Va un producto de dualidad entre V0yV, que denotaremos h·,·i. Podemos ver que, para cada u∈V, la aplicaci´on v∈V7→ ((u, v)) ∈Res lineal y continua en V; y por lo tanto, por el Teorema de Riesz, existe un ´unico elemento en el dual, denotado Au ∈V0, tal que hAu, vi= ((u, v)) para todo v∈V. Si consideramos el caso en el que el dominio Ω es no acotado, debemos tomar en Vel producto escalar [[u, v]] = ((u, v)) + (u, v) y as´ı seguiremos teniendo la cadena de inclusiones antes mencionada m´as arriba, aunque ahora no ser´an compactas. Ahora, una vez introducida la notaci´on y algunos de los espacios en los que vamos a trabajar, vamos a recordar varios conceptos y resultados que m´as adelante necesitaremos. Se pueden consultar las demostraciones en [27]. Definici´on 1.1.1. Sea Xun espacio de Banach, y a, b tales que −∞ ≤ a < b ≤+∞. Entonces para αdado con 1≤α < +∞, denotamos Lα(a, b;X)al espacio de las clases de funciones Lα−integrables en el sentido de B¨ochner de [a, b]en X. Se trata de un nuevo espacio de Banach con la norma kfkLα(a,b;X)=ˆb akf(t)kα Xdt1 α. Recordemos que se dice que fes α−integrable en el sentido de B¨ochner si: Existe un conjunto Z⊂[a, b] de medida nula tal que f|Zctoma valores en un separable. f: (a, b)→Xes medible. ´b akf(t)kα Xdt1/α <+∞. Tenemos que Lα(a, b;X) es el espacio cociente del espacio de las funciones α-integrables sobre el conjunto de funciones nulas casi por doquier (c.p.d. en lo que sigue). En esta l´ınea podemos definir tambi´en el espacio L∞(a, b;X) como sigue, Definici´on 1.1.2. Denotamos L∞(a, b;X)el espacio de las clases de funciones medibles y acotadas c.p.d. en [a, b]. Se trata de un nuevo espacio de Banach, con la norma kfkL∞(a,b;X)= Ess sup [a,b]kf(t)kX. Cap´ıtulo 1. Resultados de existencia y unicidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 3 Observemos que en la norma del espacio anterior hemos considerado el supremo esencial puesto que recordemos que estamos en un espacio de clases de funciones y por tanto, no podemos tomar supremo. Por ´ultimo, recordemos que el espacio vectorial C([a, b]; X) de las funciones continuas f: [a, b]→Xse convierte en un espacio de Banach para la norma, kfkC([a,b];X)= sup [a,b]kf(t)kX. A continuaci´on, recordaremos un resultado que se refiere a las derivadas de funciones con valores en espacios de Banach: Lema 1.1.3. Sean Xun espacio de Banach, X0su dual y u, f ∈L1(a, b;X); entonces las condiciones siguientes son equivalentes: (a) ucoincide con una primitiva de fen casi todo, es decir, u(t) = ξ+ˆt 0 f(s)ds, ξ ∈X, c.p.d. t ∈[a, b]. (b) Para cada funci´on “test”φ∈ D((a, b)), ˆb a f(t)φ(t)dt =−ˆb a u(t)φ0(t)dt, siendo φ0=dφ dt . (c) Para cada n∈X0, d dthn, ui=hn, fi, en el sentido de las distribuciones en (a, b). Adem´as, si alguna de las propiedades anteriores se satisfacen entonces la funci´on ues igual en casi todo a una funci´on continua de [a, b]en X. Lema 1.1.4. Sean XeYespacios de Banach tales que Xes reflexivo y X ,→Ycon inyecci´on continua. Si φ∈L∞(0, T;X)y es continua con valores en Yentonces φes d´ebilmente continua con valores en X. Es decir, la aplicaci´on t7→ hm, φ(t)iX0,X es continua para todo m∈X0. Adem´as, se tiene la propiedad siguiente: Si las φn* φ d´ebil-∗en L∞(0, T;X)y est´an acotadas en C0([0, T]; Y),entonces φes d´ebilmente continua de [0, T]en Xy para todo t∈[0, T]φµ(t)* φ(t)d´ebil en X. Ahora vamos a introducir un nuevo espacio que ayudar´a a probar la existencia de soluci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes. Definici´on 1.1.5. Sean a, b tales que −∞ ≤ a<b≤+∞,γ>0yX0, X1dos espacios de Hilbert con X0,→X1.Denotamos Hγ(a, b;X0, X1)al espacio siguiente: Hγ(a, b;X0, X1) := {u∈L2(a, b;X0):Dγ tu∈L2(a, b;X1)}. 4 1.2. Teorema de existencia Por Dγ tudenotamos la derivada fraccionaria de orden γde urespecto de t, definida (por ejemplo) a partir de la transformada de Fourier de la prolongaci´on de ua todo Rpor 0. Antes de seguir vamos recordar algunos propiedades de la derivada fraccionaria que hemos introducido. Sea u∈L2(0, T;X0),→L2(0, T;X1),entonces extendemos la funci´on upor cero a todo Ry denotamos ˜usu prolongaci´on. Claramente, ˜u∈L2(R;X1). Podemos considerar la transformada de Fourier de la funci´on ˜u, que se define por bu:= F˜u, bu(τ) = ˆ+∞ −∞ e−iτt ˜u(t)dt, τ c.p.d. en R. As´ı, podemos definir Dγupara cada γ > 0 como sigue: Dγu=F−1(|τ|γbu)|(0,T ). Observemos que esta definici´on generaliza la habitual puesto que, si γ=n∈Ncoincide con la derivada de orden nnatural. Observemos que Hγ(a, b;X0, X1) es un espacio de Hilbert para la norma kukHγ(a,b;X0,X1):= kuk2 L2(a,b;X0)+kDγ tuk2 L2(a,b;X1)1 2. Tenemos el siguiente resultado importante, que tambi´en usaremos m´as adelante: Teorema 1.1.6. Sean X0, X, X1tres espacios de Hilbert que satisfacen la siguiente cadena de inyecciones continuas: X0,→X ,→X1, siendo adem´as la inyecci´on de X0en Xcompacta. Entonces, para cualquier intervalo (a, b)y cualquier γ > 0,tenemos que la inyecci´on de Hγ((a, b); X0, X1),→L2(a, b;X)es compacta. Con este ´ultimo resultado damos por terminado el repaso de los resultados y conceptos te´oricos previos y ya podemos pasar a estudiar propiamente las ecuaciones de Navier-Stokes. 1.2. Teorema de existencia En esta secci´on vamos a estudiar la existencia de soluci´on para las ecuaciones de Navier- Stokes para N= 2 y N= 3. As´ı, consideremos la forma trilineal continua sobre Vdada por b(u, v, w) := N X i=1 ˆΩ uiDivjwjdx ∀u, v, w ∈V. Veamos algunas propiedades de la forma trilineal que nos resultar´an ´utiles para demostrar la existencia de soluci´on. Si u∈V, entonces se verifica que b(u, v, v) = 0,para todo v∈H1 0(Ω)N. Cap´ıtulo 1. Resultados de existencia y unicidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 5 Adem´as, por el Teorema de Riesz, tenemos que, para cada u, v ∈V, existe una aplicaci´on bilineal continua, B:V×V→V0tal que hB(u, v), wi=b(u, v, w)∀w∈V. A continuaci´on, vamos a formular el problema de valores iniciales para las ecuaciones de Navier-Stokes. Comenzaremos viendo una formulaci´on poco rigurosa pero bastante intuitiva:                      Hallar u: Ω ×(0, T)→RN,yp: Ω ×(0, T)→Rtal que: ut−ν∇u+ N X i=1 uiDiu+Dip=fen Q:= Ω ×(0, T), ∇·u= 0 en Q, u= 0 sobre Σ := ∂Ω×(0, T), u(x, 0) = u0(x) en Ω. (1.1) En este problema, las funciones f: Ω ×[0, T]→RNyu0: Ω →RNson datos. Definici´on 1.2.1. Decimos que (u, p)es una soluci´on cl´asica de (1.1) si u∈ C0(Q;RN)C2(Q;RN), p∈ C1(Q;R)y las igualdades anteriores se verifican puntualmente. Esta definici´on de soluci´on cl´asica es bastante fuerte y poco ´util a la hora de intentar probar un resultado de existencia. De hecho, veremos m´as adelante que la existencia de soluci´on cl´asica es un problema abierto. Por ello, vamos a introducir otro concepto de soluci´on m´as d´ebil. Observamos que, si ues soluci´on cl´asica de (1.1), entonces uest´a en L2(0, T;V) y para cada v∈ V tenemos que: d dt(u, v) + ν((u, v)) + b(u, u, v) = hf, vi. Esta igualdad se mantiene por continuidad para toda funci´on v∈V. Observemos que en esta ´ultima igualdad ha desaparecido la presi´on p, lo que permite que el problema se simplifique. M´as adelante demostraremos que la presi´on se puede recuperar a partir de u. As´ı, podemos introducir ya una formulaci´on debilitada del problema y la definici´on de soluci´on d´ebil: Definici´on 1.2.2. Dadas f∈L2(0, T;V0)yu0∈H, decimos que ues una soluci´on d´ebil del problema de Navier-Stokes si              u∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H), d dt(u, v) + ν((u, v)) + b(u, u, v) = hf, vi,∀v∈V, u(0) = u0. (1.2) 6 1.2. Teorema de existencia Ahora vamos a probar que la condici´on u(0) = u0tiene sentido, puesto que, en principio, para una funci´on de L2(0, T;V) no tiene sentido hablar de sus valores en un conjunto de medida nula. A´un as´ı, vamos a probar que si una funci´on est´a en L2(0, T;V) y verifica la ecuaci´on anterior entonces, tiene sentido hablar del valor que tiene en cada t∈[0, T].Antes, veamos un resultado que necesitaremos despu´es. Lema 1.2.3. Si u∈L2(0, T;V),la funci´on B(u, u)dada por hB(u, u)(t), vi=b(u(t), u(t), v)∀v∈V, c.p.d. en (0, T), pertenece a L1(0, T;V0). A continuaci´on pasaremos a probar que efectivamente la condici´on inicial en (1.2) tiene sentido. Observemos que para casi todo ttenemos que B(u, u)(t)∈V0y adem´as la funci´on t∈(0, T)7→ B(u, u)(t)∈V0es medible. Como b(·,·,·) es una forma trilineal continua sobre V, existe C > 0 tal que kB(w, w)k∗≤Ckwk2,para todo w∈V. Luego si integramos en tiempo tenemos que ˆT 0kB(u, u)k∗dt ≤CˆT 0kuk2dt. Con lo cual, B(u, u)(t)∈L1(0, T, V 0) de hecho, veremos m´as adelante que B(u, u)∈ Lσ(0, T;V0) para un cierto σ > 1 (que depende de N). Adem´as, como d dt (u, v) = hf−νAu −B(u, u), vi,para todo v∈V, yAu ∈L2(0, T;V0), de donde f−νAu −B(u, u) est´a en L1(0, T;V0); con lo cual, ut∈L1(0, T;V0). As´ı, por el Lema 1.1.3, podemos afirmar que ues igual en casi todo a una funci´on continua de [0, T] en V0; y la condici´on u(0) = u0tiene sentido, a menos como igualdad en V0. M´as a´un, como u∈L∞(0, T;H),tambi´en tenemos por el Lema 1.1.4 que ucoincide c.p.d. con una funci´on d´ebilmente continua de [0, T] en H; luego la igualdad tambi´en tiene sentido en H. Ahora, vamos a pasar a ver una formulaci´on alternativa del problema (1.2). Es la siguiente:        Hallar utal que u∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H), ut∈L1(0, T;V0), ut−νAu +B(u, u) = f u(0) = u0. (1.3) El resultado siguiente es inmediato: Lema 1.2.4. Los problemas (1.2) y(1.3) son equivalentes. Estos dos problemas poseen soluci´on gracias al siguiente Teorema 1.2.5. Sean f∈L2(0, T;V0)yu0∈H. Existe al menos una soluci´on d´ebil udel problema de Navier-Stokes. Adem´as, ues d´ebilmente continua de [0, T]en H. Cap´ıtulo 1. Resultados de existencia y unicidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 7 Demostraci´on Antes de probar la existencia de uveamos que si ues soluci´on entonces ues d´ebilmente continua. Para ello vamos a aplicar el Lema 1.1.4. Tomamos X=HeY=V0, entonces por lo que probaremos a continuaci´on sabemos que u∈L∞(0, T;H) y adem´as, ues d´ebilmente continua en V0. Luego aplicando el Lema 1.1.4 tenemos que ues d´ebilmente continua de [0, T] con valores en H. As´ı pasamos ahora a probar que efectivamente existe al menos una soluci´on ude las ecuaciones de Navier-Stokes. Usaremos el m´etodo de compacidad, combinado con una estrategia de Galerkin. APROXIMACI ´ ON DE GALERKIN Como el espacio Ves denso en Vy ´este es separable, existe una sucesi´on {wn}⊂Vde funciones linealmente independientes que es total en V. As´ı pasamos a considerar el problema aproximado de (1.2):                          Hallar um= m X k=1 αim(t)wital que (u0 m(t), wj) + ν((um(t), wj)) + b(um(t), um(t), wj) = hf, wji, t∈[0, T], j = 1, . . . , m; um(0) = u0m, (1.4) siendo u0mla proyecci´on ortogonal del dato inicial u0∈Hsobre el espacio Vm:= [w1, w2, . . . , wm]. Obsevemos que (1.4) es en realidad un problema de Cauchy para el sistema no lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias: m X i=1 (wi, wj)α0 im +ν m X i=1 ((wi, wj))αim + m X i,k=1 b(wi, wk, wj)αimαkm =hf(t), wji, o equivalentemente, α0 im + m X j=1 aijαim + m X j,k=1 cijkαjmαkm = m X j=1 dijhf(t), wji, para adecuado aij, cijk, dij ∈R. Tambi´en, la condici´on inicial para umequivale a mcondiciones iniciales para los αim: um(0) = m X i=1 αim(0)wi= m X i=1 (u0, wi)wi⇔αim(0) = (u0, wi), i = 1, . . . , m. Tenemos un problema de Cauchy para un SDO no lineal, con mecuaciones y minc´ognitas. Luego existe una ´unica soluci´on umdefinida en un intervalo maximal por la derecha [0, tm], con 0 < tm≤T. 8 1.2. Teorema de existencia Veamos que tm=T, para todo m. Supongamos que tm< T, entonces l´ım sup t→tmkum(t)k= +∞.Pero ahora veremos |um(t)|est´a acotada en [0, T] por una constante independiente de ty de m.. Luego la soluci´on est´a definida en todo [0, T] para todo m. ESTIMACIONES A PRIORI Para obtener las estimaciones a priori vamos a multiplicar en (1.4) por αjm(t) y sumar en j; as´ı tenemos que (u0 m(t), um(t)) + ν((um(t), um(t))) + b(um(t), um(t)um(t)) = hf(t), um(t)i, y si operamos y aplicamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz, llegamos a que, 1 2 d dt|um(t)|2+νkum(t)k2=hf(t), um(t)i≤kf(t)k∗kum(t)k. Ahora, usando la desigualdad de Young, tenemos que d dt|um(t)|2+ 2νkum(t)k2≤1 νkf(t)k2 ∗+νkum(t)k2, con lo cual, d dt|um(t)|2+νkum(t)k2≤1 νkf(t)k2 ∗. Integrando en tiempo en el intervalo [0, t] con t≤Tpodemos escribir que |um(t)|2≤ˆt 0kf(s)k2 ∗ds +|u0m|2≤ |u0|2+1 νˆT 0kf(s)k2 ∗ds, (1.5) de donde sup t∈[0,tm]|um(t)|2≤ |u0|2+1 νˆT 0kf(t)k2 ∗dt, luego efectivamente tm=Tpara todo my, adem´as, {um}est´a uniformemente acotada en L∞(0, T;H). Ahora para obtener otra estimaci´on a priori de {um}vamos a integrar en el intervalo [0, T] la ecuaci´on (1.5) y as´ı tenemos que kum(T)k2+νˆT 0kum(t)k2dt ≤1 νˆT 0kf(t)k2 ∗dt +|u0m|2. Con lo cual, νˆT 0kum(t)k2dt ≤1 νˆT 0kf(t)k2 ∗dt +|u0|2. Y, por lo tanto, podemos concluir que {um}tambi´en est´a uniformemete acotada en L2(0, T;V). Cap´ıtulo 1. Resultados de existencia y unicidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 9 CONVERGENCIA Consideremos ahora las extensiones por cero de las uma todo R, denotadas ˜um. Podemos tambi´en considerar la correspondiente transformada de Fourier bum. Vamos a probar que {um}est´a uniformemente acotada en Hγ(0, T;V, H) para 0 < γ < 1 4. Como ya hemos visto que {um}est´a uniformemente acotada en L2(0, T;V),s´olo nos queda probar que ˆ+∞ −∞ |τ|2γ|bum(τ)|2dτ ≤C. Para demostrar esta desigualdad consideramos la ecuaci´on verificada por umextendida a todo R: (˜u0 m, wj) = h˜ fm, wji+ (u0m, wj)δ0−(um(T), wj)δT, j = 1, . . . , m, (1.6) donde ˜ fmes la extensi´on de fma todo Ryfm=f−νAum−B(um, um). As´ı tambi´en podemos ver que al extender a todos los n´umero reales aparecen dos t´erminos nuevos uno multiplicado por δ0y otro por δTque es la distribuci´on de Dirac en 0 y en T, respectivamente. Estos t´erminos provienen de la integraci´on por partes pues, si (yt, wj) = (f(t, y), wi) para todo ien [0, T], entonces el sistema extendido se obtiene de la siguiente forma: ˆR ˜ f(t, y)Ψ(t)dt =ˆT 0 f(t, y)Ψ(t)dt =ˆT 0 (yt, wi)Ψ(t)dt =−ˆT 0 (y, wi)Ψ0(t)dt + (y(T), wi)Ψ(T)−(y(0), wi)Ψ(0) =ˆT 0 (yt, wi)Ψ(t)dt + (y, wi)Ψ(t)δT−(y, wi)Ψ(t)δ0 =ˆR (˜yt, wi)Ψ(t)dt + (y, wi)Ψ(t)δT−(y, wi)Ψ(t)δ0∀Ψ∈ D(R). Aplicando la transformada de Fourier a (1.6), tenemos que 2πiτ(bum, wj) = hb fm, wji+ (u0m, wj)−(um(T), wj)e−2πiT . Y si ahora multiplicamos esta ecuaci´on por bαjm, que es la transformada de Fourier de la extensi´on por cero a todo Rde αjm, y sumamos en jnos queda que 2πiτ(bum(τ),bum(τ)) = hb fm(τ),bum(τ)i+ (u0m,bum(τ)) −(um(T),bum(τ))e−2πiT , es decir: 2πiτ|bum(τ)|2=hb fm(τ),bum(τ)i+ (u0m,bum(τ)) −(um(T),bum(τ))e−2πiT . Como fm=f−νAum−B(um, um) y kB(um, um)k∗≤Ckumk2sabemos que fmest´a uniformemente acotada en L1(0, T;V0): ˆT 0kfm(t)k∗dt ≤ˆT 0 (kf(t)k∗+νkum(t)k+Ckum(t)k2)dt ≤C 10 1.2. Teorema de existencia Por tanto, ˜ fmest´a uniformemente acotada en L1(R;V0) y b fmlo est´a en L∞(R, V 0) : sup τ∈Rkb fm(τ)k∗≤C. Teniendo en cuenta que umest´a uniformemente acotada en L∞(0, T;H),tambi´en tenemos que |um(0)| ≤ C, |um(T)| ≤ C. As´ı, podemos escribir que 2πτ|bum(τ)|2≤ kb fm(τ)k∗kbum(τ)k+|u0m|kbum(τ)k+|um(T)|kbum(τ)k, y, tambi´en, τ|bum(τ)|2≤Ckbum(τ)k. Ahora fijamos γen (0,1 4)., Existe una constante Cγ>0 tal que podemos escribir la siguiente desigualdad, que necesitaremos m´as adelante: |τ|2γ≤Cγ 1 + |τ| 1 + |τ|1−2γ,∀τ∈R. Si nos fijamos esta desigualdad se tiene para todo τ∈Rpues si τes suficientemente grande en valor absoluto, entonces estamos comparando dos polinomios del mismo grado y para τpr´oximo a 0 que 0 ≤Cγ; luego tomando Cγadecuadamente tenemos esta desigualdad. As´ı podemos escribir que ˆR|τ|2γ|bum(τ)|2dτ ≤CγˆR 1 + |τ| 1 + |τ|1−2γ|bum(τ)|2dτ ≤CˆR kbum(τ)k 1 + |τ|1−2γdτ +CˆRkbum(τ)k2dτ. Esta ´ultima desigualdad la tenemos pues como ya hemos visto, τ|bum(τ)|2≤Ckbum(τ)k,y 1 1 + |τ|1−2γ≤1. Recordemos que buscamos acotar ˆR|τ|2γ|bum(τ)|2dτ, luego si acotamos las dos integrales anteriores ya lo tendremos. Por ello veamos que ambas est´an uniformemente acotadas. As´ı tenemos que ˆRkbum(τ)k2dτ ≤C, pues {um}est´a uniformemente acotada en L2(0, T;V) y por la Identidad de Parseval tenemos que kbumkL2(0,T ;V)=kF˜umkL2(0,T ;V)=k˜umkL2(0,T ;V)=kumkL2(0,T;V). Cap´ıtulo 1. Resultados de existencia y unicidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 11 Por otro lado, para ver que la otra integral est´a acotada usaremos la desigualdad de Cauchy-Schwarz: ˆR kbum(τ)k 1 + |τ|1−2γdτ ≤ˆR 1 (1 + |τ|1−2γ)2dτ1 2ˆRkbum(τ)k2dτ1 2. Pero la pen´ultimas integral est´a acotada si 2 −4γ < 1,es decir, si γ < 1 4. Por lo tanto ya tenemos que ˆR kbum(τ)k 1 + |τ|1−2γdτ ≤C, luego queda probado que ˆR|τ|2γ|bum(τ)|2dτ ≤C y{um}est´a uniformemente acotada en Hγ(0, T;V, H). EXTRACCI ´ ON DE SUBSUCESIONES Y PASO AL L´ IMITE Podemos extraer subsucesiones que convergen en sentido apropiado a una funci´on upara luego pasar al l´ımite en el problema aproximado. Como {um}est´a uniformemente acotada en L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H),entonces existe una subsucesi´on, que denotamos de la misma manera, de forma que um* u d´ebil en L2(0, T;V); um* u d´ebil- ∗en L∞(0, T;H). Adem´as, como V ,→Hcon inyecci´on compacta, por el Teorema 1.1.6, tenemos que Hγ(0, T;V, H),→L2(0, T;H) con inyecci´on compacta, de donde um→ufuerte en L2(0, T;H). Para el paso al l´ımite en la aproximaci´on de Galerkin, vamos a necesitar un lema previo que enunciamos a continuaci´on, pero que no demostraremos: Lema 1.2.6. Si uµconverge a ud´ebilmente en L2(0, T;V)y fuertemente en L2(0, T;H), entonces para cualquier funci´on w∈ C1(Q)Nse tiene que ˆT 0 b(uµ(t), uµ(t), w)dt →ˆT 0 b(u(t), u(t), w)dt. Se puede encontrar la prueba en [27]. La idea de la misma consiste en escribir que b(uµ, uµ, w) = −b(uµ, w, uµ) = −XˆΩ uµi∂iwjuµj dx y usar las propiedades de convergencia de las uµ. As´ı ya podemos pasar al l´ımite en el problema aproximado de Galerkin. 18 1.4. Teorema de unicidad parcial (N= 3) Demostraci´on Por el lema anterior sabemos que para casi todo t∈(0, T) tenemos que ku(t)kL4≤C|u(t)|1/4ku(t)k3/4. Con lo cual tenemos que, ˆT 0ku(t)k8/3 L4dt ≤ˆT 0 (ku(t)k3/4|u(t)|1/4)8/3dt =ˆT 0ku(t)k1/2|u(t)|3/2dt, por el teorema de existencia sabemos que u∈L∞(0, T;H)∩L2(0, T;V) as´ı que ˆT 0ku(t)k8/3 L4dt ≤ˆT 0ku(t)k1/2m´ax t∈[0,T]|u(t)|3/2dt ≤ kuk3/2 L∞(0,T;H)kuk1/2 L1/2(0,T;V)≤C. Con lo cual, ya hemos probado que u∈L8/3(0, T;L4(Ω)),ahora queda ver la otra propiedad. Por la desigualdad de H¨older observamos que |b(u, u, v)|=|b(u, v, u)| ≤ Ckuk2 L4(Ω)kvkpara todo u, v ∈V. Por lo tanto, kB(u(t), u(t))k∗≤Cku(t)k2 L4c.p.d. en (0, T). Con lo cual, como u∈L8/3(0, T;L4(Ω)) entonces B(u, u)∈L4/3(0, T, V 0) y as´ı llegamos a que ut=f−νAu −B(u, u)∈L4/3(0, T, V 0) pues f, Au ∈L2(0, T;V0); terminando entonces la prueba del teorema.  Ahora s´ı que podemos pasar ya a enunciar y demostrar el teorema de unicidad de soluci´on (fuerte) para las ecuaciones de Navier-Stokes en dimensi´on 3: Teorema 1.4.3. Supongamos N= 3, entonces hay a lo m´as una soluci´on d´ebil de las ecuaciones de Navier-Stokes que verifica u∈L8(0, T;L4(Ω)).Adem´as, si existe, tal soluci´on es continua de [0, T]en H. Demostraci´on Sea usoluci´on d´ebil de las ecuaciones de Navier-Stokes. Entonces, sabemos que u∈ L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H). Si u∈L8(0, T;L4(Ω)) entonces B(u, u)∈L2(0, T;V0) al menos, pues como vimos antes kB(u, u)(t)k∗≤Cku(t)k2 L4.Luego ut∈L2(0, T;V0). Si aplicamos el Lema 1.3.3 sabemos que ues igual en casi todo a una funci´on continua de [0, T] en H. Veamos ahora que dicha soluci´on es ´unica. Usando el lema anterior y la desigualdad de H¨older, tenemos que |b(u, u, v)| ≤ CkukL4kvkL4kuk ≤ C|u|1/4kuk7/4kvkL4∀u, v ∈H1 0(Ω). Cap´ıtulo 1. Resultados de existencia y unicidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 19 Supongamos que existen dos soluciones d´ebiles u1, u2y pongamos u=u1−u2, es obvio que u∈L8(0, T;L4(Ω)). As´ı, con los c´alculos habituales, podemos ver que d dt|u|2+ 2νkuk2=−2b(u, u2, u)=2b(u, u, u2)≤2C|u|1/4kuk7/4ku2kL4, con lo cual, d dt|u|2≤νkuk2+C|u|2ku2k8 L4. Como u2∈L8(0, T;L4(Ω)) podemos escribir que d dte−C´t 0ku2(s)k8 L4ds|u(t)|2≤0, con lo cual, |u(t)|2≤0 para todo t∈[0, T]. Luego u1=u2,como quer´ıamos probar.  Esta prueba tambi´en es v´alida para dominios Ω ⊂R3no acotados. Tambi´en, se puede generalizar el Teorema 1.4.3 al caso e que se impone u∈Lr(0, T;Ls(Ω)),con 2 r+3 s≤1, s > 3. La demostraci´on de esta ´ultima observaci´on se puede consultar en [21]. 1.5. Soluciones m´as regulares En esta secci´on vamos a ver que, con segundos miembros y condiciones iniciales m´as regulares, conseguimos soluciones m´as regulares para las ecuaciones de Navier-Stokes. En el caso tridimensional adem´as debemos suponer que los datos iniciales son suficientemente “peque˜nos”, en cierto sentido. Teorema 1.5.1. Supongamos que N= 2,f, ft∈L2(0, T;V0)con f(0) ∈Hyu0∈H2(Ω)2∩ V. Entonces la ´unica soluci´on d´ebil de las ecuaciones de Navier-Stokes satisface ut∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H) (1.9) y, por lo tanto, u∈ C([0, T]; V). Demostraci´on Para demostrar este teorema volveremos a usar las aproxinaciones de Galerkin y probaremos nuevas estimaciones a priori para las u0 m.En efecto, veremos que las u0 mest´an uniformemente acotadas en L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H) y as´ı pasando al l´ımite tendremos que (1.9). 20 1.5. Soluciones m´as regulares Como u0∈V∩H2(Ω)2,podemos elegir los u0mcomo las proyecciones ortogonales de u0so- bre el espacio Vm= [w1, w2, . . . , wm].Con lo cual, podemos afirmaer que u0m→u0en H2(Ω)2 y que ku0mkH2≤ ku0kH2. Ahora, si multiplicamos por α0 jm(t) en las EDOs de (1.4) y sumamos en j, tenemos que |u0 m(t)|2+ν((um(t), u0 m(t))) + b(um(t), um(t), u0 m(t)) = hf(t), u0 m(t)i. En particular, para t= 0, nos queda que |u0 m(0)|2+ν((um(0), u0 m(0))) + b(um(0), um(0), u0 m(0)) = hf(0), u0 m(0)i o, equivalentemente, |u0 m(0)|2+ν(∆u0m, u0 m(0)) + b(u0m, u0m, u0 m(0)) = hf(0), u0 m(0)i. Como f(0) ∈H, y u0m∈H2(Ω)2∩V, podemos acotar de la siguiente manera, |u0 m(0)|2≤ |f(0)||u0 m(0)|+ν|∆u0m||u0 m(0)|+kB(u0m, u0m)k∗|u0 m(0)|. Con lo cual, |u0 m(0)|≤|f(0)|+ν|∆u0m|+kB(u0m, u0mk∗. Como u0m→u0en H2(Ω)2yku0mkH2≤ ku0kH2,entonces podemos afirmar que |∆u0m| ≤ Cku0mkH2≤Cku0kH2, pues la aplicaci´on u7→ ∆ues lineal y continua de H(Ω) el L(Ω). Por otro lado, tenemos gracias a la desigualdad de H¨older que |b(u, u, v)| ≤ CkukL4k∇ukL4|v| ∀u∈H2(Ω)2,∀v∈L2(Ω)2. Ahora, si usamos lo anterior junto con el Lema 1.3.1 y la desigualdad de Sobolev, entonces para toda u∈H2(Ω)2y toda v∈L2(Ω)2tenemos que |b(u, u, v)| ≤ C|u|1/2|∇u|1/2|∇u|1/2|∆u|1/2|v|=C|u|1/2|∇u||∆u|1/2|v| ≤C|u|1/2|∇u|kuk1/2 H2|v| ≤ Ckuk1/2 H2kukkuk1/2 H2|v|=CkukH2kuk|v|. En particular, volviendo a usar la desigualdad de Sobolev tenemos que kB(u0m, u0mk∗≤Cku0mkku0mkH2≤Cku0mk2 H2≤Cku0k2 H2. La consecuencia es que |u0 m(0)| ≤ Cku0k2 H2+Cku0k2 H2+|f(0)|, de donde {u0 m(0)}est´a uniformemente acotada en H. Cap´ıtulo 1. Resultados de existencia y unicidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 21 Ahora, como ft∈L2(0, T;V0), si derivamos respecto de tlas EDOs de (1.4), tenemos que (u00 m, wj) + ν((u0 m, wj)) + b(u0 m, um, wj) + b(um, u0 m, wj) = hft, wji, y multiplicando por α0 jm y sumando en jllegamos a que d dt|u0 m|2+ 2νku0 mk2+ 2b(u0 m, um, u0 m) = hft, u0 mi. Por el Lema 1.3.2 y por la desigualdad de Young, tenemos que 2|b(u0 m(t), um(t), u0 m(t))| ≤ 23/2|u0 m(t)|ku0 m(t)kkum(t)k ≤ νku0 m(t)k2+2 ν|u0 m(t)|kum(t)k2. Con lo cual, deducir f´acilmente que d dt|u0 m|2+ 2νku0 mk2−2|b(u0 m, um, u0 m)| ≤d dt|u0 m|2+ 2νku0 mk2+ 2b(u0 m, um, u0 m) = hft, u0 mi, entonces, d dt|u0 m|2+ 2νku0 mk2−νku0 mk2−2 ν|u0 m|kumk2 =d dt|u0 m|2+νku0 mk2−2 ν|u0 m|kumk2≤ kftk∗|u0 m|. Y aplicando de nuevo la desigualdad de Young tenemos que d dt|u0 m|2+νku0 mk2≤2 ν|u0 m|kumk2+2 νkftk2 ∗.(1.10) Entonces, aplicando el Lema de Gronwall, teniendo en cuenta que umest´a uniformemente acotada en L2(0, T;V) y u0 m(0) est´a uniformemente acotada en H, obtenemos que u0 mest´a acotada en L∞(0, T;H). Y usando la desigualdad (1.10) tambi´en llegamos a que u0 mest´a uniformemente acotada en L2(0, T;V), (de la misma forma que hicimos en la prueba del Teorema 1.2.5).  Teorema 1.5.2. Bajo las hip´otesis del teorema anterior, si adem´as Ωes de clase C2y f∈L∞(0, T;H),entonces u∈L∞(0, T;H2(Ω)2). Demostraci´on Observemos que podemos escribir que ν((u(t), v)) = (g(t), v)∀v∈V, siendo g(t) = f(t)−ut(t)−B(u(t), u(t)). 22 1.5. Soluciones m´as regulares Para esta prueba usamos los resultados de regularidad de la ecuaci´on de Stokes estacionaria, v´ease la Proposici´on 2.2 del Cap´ıtulo 1 de [27]. Como u∈L∞(0, T;V) y |b(u, u, v)| ≤ CkukL4kukkvkL4≤Ckuk2kvkL4, tenemos que B(u, u)∈L∞(0, T;L4/3(Ω)).Por el Teorema 1.5.1 ut∈L∞(0, T;H) y por hip´otesis f∈L∞(0, T;H); luego g∈L∞(0, T;L4/3(Ω)). Y por el reultado de [27], podemos afirmar que u∈L∞(0, T;W2,4/3(Ω)). Por el Teorema de Inyecci´on de Sobolev tenemos que W2,p(Ω) ,→L∞(Ω),con inyecci´on compacta para todo p > 1, por lo tanto, u∈L∞(Q)2. Esta regularidad puede mejorarse si acotamos B(u, u) comos sigue: |B(u(t), u(t))| ≤ sup t∈[0,T]ku(s)kku(t)k. As´ı podemos afirmar que B(u, u)∈L∞(0, T;H); por lo que g∈L∞(0, T;H) y aplicando de nuevo el resultado de [27] tenemos que u∈L∞(0, T;H2(Ω)2),como quer´ıamos probar.  Observemos que si aplicamos sucesivamente el resultado de [27] podemos probar que si Ω es de clase C∞yf∈C∞(Q) entonces u∈ C(Ω ×[0, T])2.De hecho, cabe esperar, que cuanto m´as exigentes sean las hip´otesis sobre los datos mayor ser´a la regularidad de u. Ahora vamos a probar resultados de regularidad similares a los anteriores en el caso tridimensional. Tendremos que a˜nadir hip´otesis adicionales que exijan que los datos sean “peque˜nos”. Teorema 1.5.3. Supongamos que N= 3. Sean u0yftales que u0∈H2(Ω)3∩V, f ∈ L∞(0, T;H), ft∈L1(0, T;H)yf(0) ∈H. Si adem´as las funciones u0, f, ftson suficientemente peque˜nas en sus respectivos espacios, entonces existe una ´unica soluci´on d´ebil de las ecuaciones de Navier-Stokes que verifica ut∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H). Demostraci´on Como u∈L∞(0, T;V) y V ,→L4(Ω)3con inyecci´on compacta, entonces u∈L∞(0, T;L4(Ω)3). Y por el Teorema de 1.4.3 tenemos que dicha soluci´on ues ´unica. Con lo cual solo nos queda ver que ut∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H).Para ello nos apoyamos de nuevo en el m´etodo de aproximaci´on de Galerkin, eligiendo u0mtales que u0m→u0en H2yku0mkH2≤ ku0kH2. As´ı, de nuevo, podemos deducir que |∆u0m| ≤ Cku0mkH2≤Cku0kH2. Con lo cual, u0 m(0) est´a uniformemente acotada en H: , |u0 m(0)| ≤ d1:= |f(0)|+νCku0kH2+Cku0k2 H2. Cap´ıtulo 1. Resultados de existencia y unicidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 23 Si ahora derivamos las EDOs de (1.4) respecto de t, multiplicamos por α0 jm(t) y sumamos en j, tenemos que d dt|u0 m|2+ 2νku0 mk2+ 2b(u0 m, um, u0 m)=2hft, u0 mi. Luego, d dt|u0 m|2+ 2ν−Ckumkku0 mk2≤2|ft||u0 m|. Como ya ten´ıamos antes, sabemos que d dt|u0 m|2+νkumk2≤1 νkf(t)k2 ∗, y sup s∈[0,T]|um(s)|2≤ |u0|2+1 νˆT 0kf(t)k2 ∗dt, entonces tenemos que νkum(t)k2≤1 νkf(t)k2 V0−2(um(t), u0 m(t)) ≤1 νkf(t)k2 V0+ 2|um(t)||u0 m(t)| ≤ ≤1 νkfk2 L∞(0,T;V0)+ 2|u0|2+T νkfk2 L∞(0,T;V0)1/2|u0 m(t)|. Y sustituyendo en t= 0 tenemos que νkum(0)k2≤d2 ν+ 2d1|u0|2+Td2 ν1/2:= d3, siendo d2:= kfk2 L∞(0,T;V0). Por hip´otesis, podemos suponer que d4:= d2 ν+ 2d1|u0|2+Td2 ν1/2e´T 0|ft(t)|dt <ν3 C2. Como d3≤d4entonces νkum(0)k2≤d3≤d4<ν3 C2, y por lo tanto, ν−Ckum(0)k>0. De aqu´ı podemos deducir que existe t∗∈(0, T] tal que ν−Ckum(t)k ≥ 0 para todo t∈[0, t∗]. Sea Tmel primer tiempo menor que Ttal que la diferencia anterior se hace 0 (si no hay un tiempo as´ı, tomamos Tm=T). Entonces ν−Ckum(t)k ≥ 0 para 0 ≤t≤Tmy usando que d dt|u0 m|2+ 2(ν−Ckumk)ku0 mk2≤2|ft||u0 m|, llegamos a que d dt|u0 m|2≤2|ft||u0 m|, 24 1.5. Soluciones m´as regulares con lo cual, d dt1 + |u0 m|2≤2|ft|1 + |u0 m|2. Luego aplicando el lema de Gronwall tenemos que, para t∈[0, Tm], d dt1 + |u0 m(t)|2≤e´t 0|ft(s)|ds ⇒1 + |u0 m(t)|2≤1 + |u0 m(0)|2e´t 0|ft(s)|ds ≤(1 + d2 1)e´T 0|ft(s)|ds.. Como νkum(t)k2≤d2 ν+ 2|u0|2+Td2 ν1/2|u0 m(t)| ≤d2 ν+|u0|2+Td2 ν1/21 + |u0 m(t)|2, y por lo visto anteriormente tenemos que νkum(t)k2≤d2 ν+|u0|2+Td2 ν1/21 + |u0 m(t)|2 ≤d2 ν+|u0|2+Td2 ν1/21 + d2 1e´T 0|ft(s)|ds =d4. Con lo cual, como νkum(t)k2≤d4para todo t∈[0, Tm], entonces ν−Ckum(t)k ≥ ν−Crd4 νpara todo t∈[0, Tm]. Observemos que por hip´otesis ν−Cqd4 ν>0, luego podemos afirmar que ν−Ckum(t)k>0 para todo t∈[0, T],es decir, Tm=T. Y por lo tanto, tenemos que d dt|u0 m(t)|2+ 2ν−Crd4 νku0 m(t)k2≤2|ft(t)||u0 m(t)|. Razonando como en ocasiones anteriores, podemos afirmar que u0 mest´a uniformemente acotada en L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H).Y con esto terminamos la demostraci´on del teorema.  Al igual que en el caso bidimensional tenemos: Teorema 1.5.4. Bajo las hip´otesis del teorema anterior, si adem´as Ωes un abierto de clase C2,tenemos que u∈L∞(0, T;H2(Ω)3). Demostraci´on De nuevo vamos a usar la igualdad ν((u(t), v)) = (g(t), v) para todo v∈V, siendo g(t) = f(t)−ut(t)−B(u(t), u(t)). Como f−ut∈L∞(0, T;H) por la Proposici´on 2.2 de [27] tenemos que, si B(u, u)∈ L∞(0, T;H),entonces u∈L∞(0, T;H2(Ω)3). Cap´ıtulo 1. Resultados de existencia y unicidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 25 Luego veamos esto ´ultimo y ya habremos acabado la demostraci´on, para ello usaremos la desigualdad de H¨older |b(u, u, v)| ≤ CkukL6kukkvkL3≤ kuk2kvkL3. Como u∈L∞(0, T;V), entonces tanto gcomo B(u, u) est´an en L∞(0, T;L3/2(Ω)3). Y de nuevo usando el mismo resultado que en el caso bidimensional tenemos que u∈ L∞(0, T;W2,3/2(Ω)3,y como W2,3/2(Ω) ,→Lr(Ω) con inyecci´on continua para r∈[1,+∞), podemos afirmar que u∈L∞(0, T;Lr(Ω)3),para r∈[1,+∞). Luego, si tomamos r= 8 tenemos que u∈L∞(0, T;L8(Ω)3) y usando la desigualdad de H¨older llegamos a que |b(u, u, v)| ≤ CkukL8kukkvkL8/3. Con lo cual, B(u, u), g ∈L∞(0, T;L8/3(Ω)3) y por la Proposici´on 2.2 de [27], llegamos a que u∈L∞(0, T;W2,8/5(Ω)3) que se inyecta de forma continua en L∞(Ω)3; por lo tanto, u∈L∞(Q)3.Y con esto terminamos la demostraci´on de este teorema.  1.6. Recuperaci´on de la presi´on Vamos a terminar este primer cap´ıtulo viendo c´omo podemos recuperar la presi´on una vez obtenida la soluci´on ude las ecuaciones de Navier-Stokes. Para ello vamos a definir las siguientes funciones: U(t) := ˆt 0 u(s)ds, β(t) := ˆt 0 B(u, u)(s)ds, F(t) := ˆT 0 f(s)ds. Observemos que si ues soluci´on de Navier-Stokes, entonces se verifica que U, β, F ∈ C([0, T]; V0). Integrando ahora la ecuaci´on variacional llegamos a que ν((U(t), v)) = hg(t), vi ∀v∈V, ∀t∈[0, T], siendo g=F−β−u+u0∈ C([0, T]; V0). A continuaci´on presentaremos dos resultados importantes, demostrados en [27], con los que se prueba que es posible recuperar la presi´on una vez obtenida la soluci´on de Navier- Stokes. Lema 1.6.1. (De Rham) Sea f= (f1, f2, . . . , fn)con fi∈ D0(Ω) para todo i. Entonces, hf, vi= 0 para todo v∈ V ⇔ ∃p∈ D0(Ω) tal que f=∇p. Proposici´on 1.6.2. Sea p∈ D0(Ω). i. Si ∂ip∈L2(Ω) para todo i, entonces p∈H1(Ω) ykpkH1/R≤C|∇p|. ii. Si ∂ip∈H−1(Ω) para todo i, entonces p∈L2(Ω) ykpkL2/R≤Ck∇pkH−1. 26 1.6. Recuperaci´on de la presi´on iii. El operador gradiente, p7→ ∇p, es un isomorfismo de L2(Ω)/Rsobre H−1(Ω)N. Deducimos as´ı que para cada t∈[0, T], existe una funci´on P(t)∈L2(Ω) tal que −ν∆U(t) + ∇P(t) = g(t) o, equivalentemente, u(t)−u0(t)−ν∆U(t) + β(t) + ∇P(t) = F(t). Luego, ∇P=g+ν∆Uy por lo tanto, ∇P∈ C([0, T]; H−1(Ω)); esto implica que P∈ C([0, T]; L2(Ω)). As´ı, podemos derivar la ecuaci´on anterior en el sentido de las distribuciones sobre Qy obtenemos la ecuaci´on ∂u ∂t −ν∆u+ N X i=1 uiDiu+∇p=fen Q, siendo p=∂P ∂t (la presi´on aparece en el sistema como una distribuci´on en Q). En general, s´olo puede afirmarse que p=∂P ∂t con P∈ C([0, T]; L2(Ω)); aunque, bajo hip´otesis de regularidad m´as fuertes, podemos probar que p∈L∞(0, T;H1(Ω)). Con esto damos por terminado el estudio general de las ecuaciones de Navier-Stokes que hemos hecho en este primer cap´ıtulo. Cap´ıtulo 2 Resultados de existencia y unicidad para el sistema de Boussinesq En este segundo cap´ıtulo vamos a estudiar el sistema de Boussinesq. LLevaremos un desarrollo an´alogo al que hemos descrito en el cap´ıtulo anterior puesto que muchos resultados son una extensi´on de los precedentes. As´ı, siguiendo con la notaci´on ya usada, consideremos el sistema:            ut−ν∆u+ (u·∇)u+∇p=f+−→ Kθ en Q, ∇u= 0 en Q, θt+u·∇θ−κ∆θ=gen Q, u= 0, θ = 0 sobre Σ, u(0) = u0, θ(0) = θ0en Ω. (2.1) ´ Este describe el comportamiento de un fluido homog´eneo, (es decir, que tiene densidad constante), incompresible, Newtoniano, (es decir, surge aplicando la segunda ley de Newton al movimiento del fluido) y para el cual los efectos t´ermicos son importantes. Al igual que pasa con las ecuaciones de Navier-Stokes, el coeficiente νes positivo y se interpreta como la viscosidad cinem´atica del fluido. La funci´on f: Ω ×(0, T)→RNdetermina el campo de fuerzas externas y g: Ω ×(0, T)→Res una fuente de calor. La constante κdetermina el coeficiente de conductividad t´ermico del fluido y −→ K=KeNes el vector gravedad con Kla constante de gravedad. Consideramos que el fluido ocupa todo el dominio Ω ⊂RNy que est´a adherido a la frontera del mismo. Las inc´ognitas u:Q→RN,p, θ :Q→Rrepresentan la velocidad, presi´on y temperatura del fluido, respectivamente. De la misma forma que en las ecuaciones de Navier-Stokes, el t´ermino convectivo u·θ representa el calor que est´a siendo transportado por el fluido. 2.1. Teorema de existencia Pasemos a estudiar la existencia de soluci´on para dicho sistema. 27 34 2.2. Teorema de unicidad (N= 2) Luego, d dt|u(t)|2−1 νku2(t)k2+ 2k|θ(t)|2|u(t)|2≤0. Y como F(t) := 1 νku2(t)k2+2k|θ(t)|2es integrable pues u2∈L2(0, T;V) y θ∈L2(0, T;H1 0(Ω)), podemos escribir que d dte−C´t 0F(s)ds|u(t)|2≤0. Si ahora integramos y usamos que u(0) = 0,llegamos a que |u(t)|2≤0,para todo t∈[0, T]. Luego u1=u2,como quer´ıamos probar. Razonando de fomra an´aloga para θpodemos escribir que d dt|θ(t)|2+ 2κkθ(t)k2≤23/2|u(t)|1/2ku(t)k1/2kθ2(t)k|θ(t)|1/2kθ(t)k1/2. Ahora aplicando la desigualdad de Young para p= 3/4 y q= 4 tenemos que d dt|θ(t)|2+2κkθ(t)k2≤2κkθ(t)k2/3+C|u(t)|2kθ2(t)k4|θ(t)|2≤2κkθ(t)k2+C|u(t)|2kθ2(t)k4|θ(t)|2. Y como G(t) := C|u(t)|2kθ2(t)k4es integrable por ser producto de funciones integrables tenemos que d dte−C´t 0G(s)ds|θ(t)|2≤0. Si ahora integramos y usamos que θ(0) = 0,llegamos a que |θ(t)|2≤0,para todo t∈[0, T]. Luego θ1=θ2,como quer´ıamos probar y as´ı terminamos la demostraci´on del teorema.  Como consecuencia de este resultado y del Lema 1.3.1 tenemos: Corolario 2.2.3. Supongamos que N= 2, entonces la ´unica soluci´on d´ebil de Boussinesq verifica (u, θ)∈L4(Q)2×L4(Q). Para acabar esta secci´on, observemos que el teorema y corolario anterior tambi´en son v´alidos si el dominio Ω es no acotado. Adem´as, para N= 2,la soluci´on d´ebil verifica la igualdad de energ´ıa, igual que ocurr´ıa en las ecuaciones de Navier-Stokes. Cap´ıtulo 2. Resultados de existencia y unicidad para el sistema de Boussinesq 35 2.3. Teorema de unicidad parcial (N= 3) En esta secci´on vamos a estudiar la unicidad en el caso tridimensional. En este caso, s´olo es posible demostrar algunos resultados parciales de unicidad, al igual que ocurre para las ecuaciones de Navier-Stokes. Comencemos antes viendo dos resultados previos, Teorema 2.3.1. Sea N= 3. Entonces la soluci´on d´ebil del sistema de Boussinesq que proporciona el Teorema 2.1.4, verifica (u, θ)∈L8/3(0, T;L4(Ω)2×L4(Ω)) y(ut, θt)∈L4/3(0, T;V0× H−1(Ω)). Este teorema se demuestra de forma an´aloga a como se prueba el Teorema 1.4.3 del cap´ıtulo anterior. As´ı ya podemos pasar a enunciar y demostrar el teorema de unicidad de soluci´on (fuerte) para el sistema de Boussinesq en dimensi´on 3: Teorema 2.3.2. Supongamos N= 3. Entonces hay a lo m´as una soluci´on d´ebil del sistema de Boussinesq que verifica (u, θ)∈L8(0, T;L4(Ω)2×L4(Ω)).Adem´as, si existe, tal soluci´on es continua de [0, T]en H×L2(Ω). Demostraci´on La prueba es an´aloga a la del Teorema 1.4.3, lo ´unico que ahora resulta la siguiente acotaci´on d dt|u(t)|2≤F(t)|u(t)|2 siendo F(t) := Cku2(t)k8 L4(Ω) + 2k|θ(t)|2.Esta cota viene de hacer lo siguiente: d dt|u(t)|2+ 2νku(t)k2=−2b1(u(t), u2(t), u(t)) + 2(−→ Kθ(t), u(t)). Y usando los resultados anteriores tenemos d dt|u(t)|2+ 2νku(t)k2≤C|u(t)|1/4ku(t)k7/4ku2(t)kL4+ 2k|θ(t)|2|u(t)|2 ≤2νku(t)k2+Cku2(t)k8 L4+ 2k|θ(t)|2|u(t)|2. De la misma forma que hemos razonado anteriormente, como Fes integrable, aplicando el Lema de Gronwall llegamos a que u1=u2,como quer´ıamos probar. De forma an´aloga, como d dt|θ(t)|2+ 2κkθ(t)k2=−2b2(u(t), θ2(t), θ(t)) razonando igual llegamos a que d dt|θ(t)|2≤G(t)|θ(t)|2, siendo G(t) := Cku(t)k6|u(t)|2kθ2(t)k8, integrable. Y de nuevo aplicando el Lema de Gronwall llegamos a que θ1=θ2,como quer´ıamos probar.  36 2.4. Soluciones m´as regulares Esta prueba tambi´en es v´alida para dominios Ω ⊂R3no acotados. Observemos que igual que para las ecuaciones de Navier-Stokes, se puede generalizar el teorema anterior imponiendo (u, θ)∈Lr(0, T;Ls(Ω)4) con 2 r+3 s≤1, s > 3. 2.4. Soluciones m´as regulares En esta secci´on vamos a ver que, con segundos miembros y condiciones iniciales m´as regulares, conseguimos soluciones m´as regulares para el sistema de Boussinesq igual que ocurr´ıa en el caso de las ecuaciones de Navier-Stokes. Y de nuevo en el caso tridimensional adem´as, debemos suponer que los datos iniciales son suficientemente “peque˜nos”, en cierto sentido. Teorema 2.4.1. Supongamos que N= 2,(f, g); (ft, gt)∈L2(0, T;V0×H−1(Ω)) con (f(0), g(0)) ∈H×L2(Ω) y(u0, θ0)∈H2(Ω)4∩(V×H1 0(Ω)).Entonces la ´unica soluci´on d´ebil del sistema de Boussinesq satisface (ut, θt)∈L2(0, T;V×H1 0(Ω)) ∩L∞(0, T;H×L2(Ω)) y, por lo tanto, (u, θ)∈ C([0, T]; V×H1 0(Ω)). Demostraci´on Para demostrar este teorema lo ´unico que tenemos que observar es que θ0 m∈L2(0, T;V0), pues como ya vimos θ0 m=g−κA2θm−B2(um, θm) y B2(u,θm)∈L2(0, T;V0) y g, A2∈ L2(0, T;V0).Luego usando esta observaci´on ya podemos deducir por lo demostrado para las ecuaciones de Navier-Stokes que: ut∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H) Y sabiendo esto podemos deducir que θt∈L2(0, T;H1 0(Ω)) ∩L∞(0, T;L2(Ω)) Y as´ı queda demostrado el teorema.  Teorema 2.4.2. Bajo las hip´otesis del teorema anterior, si adem´as Ωes de clase C2y (f, g)∈L∞(0, T;H×L2(Ω)),entonces (u, θ)∈L∞(0, T;H2(Ω)4). Este teorema se demuestra de forma equivalente al teorema visto para las ecuaciones de Navier-Stokes. De nuevo ocurre que si aplicamos sucesivamente un resultado equivalente al de [27] podemos probar que si Ω es de clase C∞yf, g ∈C∞(Q) entonces (u, θ)∈ C(Ω×[0, T])4.De hecho, como se puede observar, cuanto m´as exigentes sean las hip´otesis sobre los datos mayor ser´a la regularidad de (u, θ). Ahora vamos a estudiar resultados de regularidad similares a los anteriores pero para el caso tridimensional, e igual que pasaba para las ecuaciones de Navier-Stokes tridimensional, tendremos que a˜nadir hip´otesis adicionales que exijan que los datos sean ”peque˜nos”. Cap´ıtulo 2. Resultados de existencia y unicidad para el sistema de Boussinesq 37 Teorema 2.4.3. Supongamos que N= 3. Sean u0, θ0yf, g tales que u0∈H2(Ω)3∩V, θ0∈H2(Ω)3∩H1 0(Ω),(f, g)∈L∞(0, T;H×L2(Ω)),(ft, gt)∈L1(0, T;H×L2(Ω)) y (f(0), g(0)) ∈H×L2(Ω).Si adem´as u0, θ0, f, ft, g, gtson suficientemente peque˜nas en sus respectivos espacios, entonces existe una ´unica soluci´on d´ebil del sistema de Boussinesq que verifica (ut, θt)∈L2(0, T;V×H1 0(Ω)) ∩L∞(0, T;H×L2(Ω)). Demostraci´on Para esta demostraci´on s´olo tenemos que observar que θm∈L∞(0, T;V0) y esto resulta obvio a partir del teorema de existencia, puesto que adem´as como ya vimos para el caso bidimensional seguimos teniendo que θ0 m∈L2(0, T;V0). As´ı podemos aplicar la demostraci´on usada para Navier-Stokes y llegamos a que u0 mest´a uniformemente acotada en L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H). Teniendo en cuenta esto y siguiendo el mismo razonamiento podemos escribir que θ0 m est´a uniformemente acotada en L2(0, T;H1 0(Ω)) ∩L∞(0, T;L2(Ω).Y con esto terminamos la demostraci´on del teorema.  Al igual que en el caso bidimensional ocurre que: Teorema 2.4.4. Bajo las hip´otesis del teorema anterior, si adem´as Ωes un abierto de clase C2,tenemos que (u, θ)∈L∞(0, T;H2(Ω)6). Este teorema se demuestra de forma an´aloga al ya demostrado para las ecuaciones de Navier-Stokes. Observemos que de nuevo una vez obtenida una soluci´on para el sistema de Boussinesq podemos recuperar la presi´on gracias a resultado an´alogos a los vistos para las ecuaciones de Navier-Stokes. As´ı damos por concluido el estudio del sistema de Boussinesq que como vemos es una generalizaci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes que sigue manteniendo propiedades an´alogas. 38 2.4. Soluciones m´as regulares Cap´ıtulo 3 Resultados de regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes En este cap´ıtulo, recordaremos los resultados principales de Caffarelli, Kohn y Nirenberg y de Ladyzhenskaya. Ambos presentan los mejores resultados conocidos en relaci´on a la regularidad de la soluci´on de las EDPs de Navier- Stokes. Comenzaremos estudiando con detalle el art´ıcuo de Caffarelli, Kohn y Nirenberg, donde encontramos el principal resultado sobre regularidad que se conoce hasta ahora para las ecuaciones de Navier-Stokes. A continuaci´on veremos el art´ıculo de Ladyzhenskaya que aporta una peque˜na modificaci´on a dicho resultado mejor´andolo un poco, como ya explicaremos. 3.1. Regularidad parcial de la soluci´on admisible de las ecuaciones de Navier-Stokes (Caffarelli, Kohn y Nirenberg) Desarrollemos pues en esta secci´on el art´ıculo de Caffarelli, Kohn y Nirenberg, v´ease [3]. 3.1.1. Introducci´on Para esta secci´on vamos a considerar las ecuaciones de Navier-Stokes en tres dimensiones con datos y condiciones de contorno como sigue,        ui t+u·∇ui−∆ui+∇ip=fi, i = 1,2,3, ∇·u= 0 u(x, 0) = u0(x), x ∈Ω u(x, t) = 0, x ∈∂Ω,0< t < T. (3.1) Supondremos que la funci´on dada f= (f1, f2, f3) verifica que ∇·f= 0. Esto no supone una p´erdida de generalidad, puesto que para toda f∈Lq(Ω) hay una descomposici´on f= ∇φ+gcon ∇·g= 0 y kgkLq(Ω) ≤C(q, Ω)kfkLq(Ω),1< q < +∞,v´ease [11]. 39 40 3.1. Regularidad parcial de la soluci´on admisible de las ecuaciones de Navier-Stokes (Caffarelli, Kohn y Nirenberg) Usando esta descomposici´on para cada tiempo, f´acilmente se reduce el problema de Navier-Stokes con una funci´on f∈Lq(Ω ×(0, T)) al caso particular en que ∇·f= 0. Para comprender bien las demostraciones es fundamental hacer primero un an´alisis sobre la dimensi´on que tiene cada t´ermino de las ecuaciones. Observemos que si u(x, t) y p(x, t) son soluci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes con segundo miembro f(x, t), entonces para cada λ > 0 se verifica que el par (uλ, pλ), donde uλ(x, t) := λu(λx, λ2t) y pλ:= λ2p(λx, λ2t) es soluci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes con segundo miembro fλ:= λ3f(λx, λ2t).Una vez vista esta propiedad podemos asignarle a cada t´ermino una dimensi´on que se obtiene mediante un sencillo cambio de variable con el que adimensionalizamos los t´erminos. As´ı, decimos que un t´ermino es de dimesi´on k, con kentero, si queda adimensionalizado cuando se multiplica por λ−k, donde λes una longitud caracter´ıstica. Y podemos afirmar que cada xitiene dimensi´on 1, tes de dimensi´on 2, uitiene dimensi´on -1, ptiene dimensi´on -2, ftiene dimensi´on -3, ∇itiene dimensi´on -1, ∂ttiene dimensi´on -2, con lo cual, cada t´ermino de la ecuaci´on tiene dimensi´on -3. La existencia y unicidad de la soluci´on ha sido estudiada en el Cap´ıtulo 1 as´ı que ahora nos preocuparemos m´as a fondo por la regularidad de la soluci´on d´ebil. As´ı, comenzaremos con la definici´on siguiente, Definici´on 3.1.1. Sea (x, t)∈Ω×(0, T).Decimos que (x, t)es singular si la soluci´on u no es L∞ loc en ning´un entorno de (x, t).An´alogamente, decimos que (x, t)es regular en caso contrario, es decir, si la soluci´on ues L∞en alg´un entorno de (x, t). En [3], los autores consiguieron estimar una dimensi´on de tipo Hausdorff del conjunto de los puntos singulares Sde las ecuaciones de Navier-Stokes. Esta estimaci´on muestra que S es “peque˜no” y por tanto conduce a un teorema de regularidad parcial. Antes de presentar dicho teorema, recordemos el resultado principal al que hab´ıa llegado Scheffer sobre la regularidad parcial; Teorema 3.1.2 (Teorema A).Para f= 0 existe una soluci´on d´ebil de Navier-Stokes cuyo conjunto de puntos singulares Ssatisface: H5/3(S)<+∞yH1(S∩(Ω ×{t})) <+∞uniformemente en t, siendo Hkla medida k−dimensional de Hausdorff en RNyΩcualquier dominio acotado tal que ∂Ωtiene medida de Lebesgue 0. Cap´ıtulo 3. Resultados de regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 41 En el resultado principal de [3], se considera una clase particular de soluciones que llamaremos soluciones d´ebiles admisibles, o simplemente soluciones admisibles. En ´el, se muestra que, para cualquier soluci´on admisible el conjunto de puntos singulares tiene medida de Hausdorff unidimensional igual a cero. De hecho, prueban que P1(S) = 0, siendo P1una medida an´aloga a la medida de Hausdorff unidimensional H1que usa recubrimientos por cilindros parab´olicos en su definici´on; en particular H1≤CP1,y por tanto, tambi´en se tiene H1(S) = 0. El resultado principal de [3] es: Teorema 3.1.3 (Teorema B).Para cualquier soluci´on admisibe de las ecuaciones de Navier-Stokes en un conjunto abierto Ω×(0, T), el conjunto de puntos singulares Sasociado satisface que P1(S)=0. Este resultado mejora al Teorema A: en primer lugar, posee car´acter local y por otra parte, constituye un refinamiento de la estimaci´on de la dimensi´on de Hausdorff de S. Adem´as, es v´alido para cualquier segundo miembro. Para probar el Teorema B, nos ayudaremos de algunos resultados que veremos a continuaci´on. En lo que sigue, para cada (x, t) y cada r > 0, pondremos Qr(x, t) := {(y, τ) : |y−x|< r, t −r2< τ < t}. Diremos que Qr(x, t) es un cilindro parab´olico en torno a (x, t). Proposici´on 3.1.4 (Proposici´on 1).Supongamos que (u, p)es una soluci´on d´ebil admisible de las ecuaciones de Navier-Stokes en Q1=Q1(0,0), con f∈Lq(Ω ×(0, T)), para q > 5 2. Existen constantes absolutas 1, C1>0y una constante 2=2(q)>0que depende s´olo de q tales que si ¨Q1 (|u|3+|u||p|) + ˆ0 −1ˆ|x|<1|p|dx5/4dt ≤1(3.2a) y ¨Q1|f|q≤2,(3.2b) entonces |u(x, t)| ≤ C1c.p.d. en (x, t)∈Q1/2=Q1/2(0,0).(3.2c) En particular, tendremos que el punto (0,0) es regular. La Proposici´on 1 dice que, si u, p yfson suficientemente peque˜nos en el cilindro normalizado Q1entonces todo punto de Q1/2es regular. As´ı queda claro que existe una relaci´on entre el tama˜no de los datos y soluciones normalizadas y su regularidad. Ahora, si ponemos M(r) := 1 r2¨Qr (|u|3+|u||p|) + r−13/4ˆt t−r2ˆ|y−x|<r |p|dy5/4dτ (3.3) 42 3.1. Regularidad parcial de la soluci´on admisible de las ecuaciones de Navier-Stokes (Caffarelli, Kohn y Nirenberg) y Fq(r) := r3q−5¨Qr|f|q(3.4) deducimos: Corolario 3.1.5. Supongamos que (u, p)es una soluci´on admisible de las ecuaciones de Navier-Stokes en el cilindro Qr=Qr(x, t)con f∈Lq(Ω ×(0, T)) para q > 5 2.Si adem´as, M(r)≤1yFq(r)≤2entonces |u| ≤ C1r−1c.p.d. en Qr/2(x, t). En particular,todo punto del cilindro Qr/2(x, t)es regular. Este corolario puede ser visto como una estimaci´on del nivel de energ´ıa en el que puede desarrollarse una singularidad. De hecho, supongamos que (x0, t0) es un punto singular entonces M(r)≤1yFq(r)≤2deben fallar en Qr(x, t) cuando (x0, t0)∈Qr/2(x, t).Como q > 5/2,tenemos que necesariamente Fq(r)→0 cuando r→0. Por tanto, M(r)> 1siempre que res suficientemente peque˜no y Qr(x, t) contiene a (x0, t0). Esto sugiere que |u| ≥ C r´o |p| ≥ C r2y, como r= (|x−x0|2+|t−t0|2)1/2→0,es natural preguntarse si |∇u|(x, t)≥C r2cuando (x, t)→(x0, t0). La segunda herramienta fundamental para la prueba del Teorema B tiene que ver con esta cuesti´on. Pongamos ahora Q∗ r(x, t) := {(y, τ) : |y−x|< r, t −7 8r2< τ < t +1 8r2}. Obs´ervese que Q∗ r(x, t) = Qr(x, t +1 8r2). Proposici´on 3.1.6 (Proposici´on 2).Si (u, p)es una soluci´on admisible de Navier-Stokes en un entorno de (x, t)y existe una constante absoluta 3>0tal que l´ım sup r→0 1 r¨Q∗ r(x,t)|∇u|2≤3 entonces (x, t)es un punto regular. El Teorema B es consecuencia de la Proposici´on 2, como veremos m´as adelante, pero antes vamos a mostrar brevemente algunos detalles que usamos en su prueba. Consideremos primero la prueba de que el conjunto Sde puntos singulares tiene dimensi´on de Hausdorff menor o igual que 5/3. Usando el corolario anterior y un lema de recubrimiento, podemos ver que para cada δ > 0, S puede ser recubierto por una familia de cilindros parab´olicos {Q∗ i=Q∗ ri(xi, ti)}tales que ri< δ, y 1 r2 i¨Q∗ ri/5 (|u|3+|u||p|) + r−13/4ˆti+1 8r2 i ti−7 8r2 iˆ|x−xi|<ri|p|dx5/4dt > 1(3.2a’) Cap´ıtulo 3. Resultados de regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 43 para todo iy, adem´as, Q∗ ri/5(xi, ti) son disjuntos dos a dos. Supongamos por el momento que u∈L10/3(Ω ×(0, T))3yp∈L5/3(Ω ×(0, T)).Entonces usando la desigualdad de H¨older tenemos que r−5/3 i¨Q∗ ri/5 (|u|10/3+|p|5/3)> C(1), de donde podemos deducir que Xr5/3 i≤C¨∪Q∗ ri/5 (|u|10/3+|p|5/3). Tomando δ→0,deducimos que P5/3(S) = 0, de donde en particular, vemos que la dimensi´on de Hausdorff asociada es a lo sumo, 5/3. Para mostrar que P1(S) = 0 por un m´etodo similar, ser´ıa necesario modificar el segundo argumento para que el espacio integral de tiempo sea de dimensi´on 1; ´esta es la finalidad de la Proposici´on 2. De hecho, usando la Proposici´on 2 podemos cambiar la desigualdad (3.2a) por 1 riˆ ˆQ∗ ri/5|∇u|2> 3(3.2a”) y as´ı llegamos a que Xri≤C¨∪Q∗ ri/5|∇u|2 y podemos concluir que P1(S) = 0 (incluso sin la hip´otesis de que sea p∈L5/3(Ω ×(0, T))). Es natural preguntarse si se puede mejorar la cota con este m´etodo, es decir, si podemos estimar mejor la dimensi´on de S. Dicho de otro modo, ¿existe k < 1 tal que Pk(S) = 0? Esta pregunta a´un no se ha conseguido resolver. Ahora vamos a proseguir viendo la definici´on de soluci´on admisible para despu´es comentar brevemente la definici´on y propiedades de la medida Pk. Definici´on 3.1.7. Decimos que el par (u, p)es una soluci´on d´ebil admisible, o simplemente soluci´on admisible, para las ecuaciones de Navier-Stokes en un abierto D⊂R3×R con segundo miembro f, si se cumplen las siguientes condiciones: 1 (Hip´otesis de integrabilidad) u, p, f son funciones medibles en Dtales que: •f∈Lq(D)3, q > 5/2y∇·f= 0, •p∈L5/4(D), •Para ciertas constantes E0, E1<+∞: ˆDt|u|2dx ≤E0,siendo Dt=D∩(R3×{t}),para t c.p.d. con Dt6=∅, ¨|∇u|2≤E1. 50 3.1. Regularidad parcial de la soluci´on admisible de las ecuaciones de Navier-Stokes (Caffarelli, Kohn y Nirenberg) As´ı, ya tenemos que Qn+1 |u|3≤1 22/3 1.(3.12a) Para el otro t´ermino de la desigualdad, usaremos el Lema 3.1.10 con ρ= 1/4 y r=rn+1. As´ı, L(rn+1)≤Cr7/5 n+1A(rn+1)1/5G(rn+1)1/5K(1/4)4/5+Cr5/3 n+1G(rn+1)1/3G(1/4)2/3 +CG(rn+1)1/3G(2rn+1)2/3+Cr3 n+1G(rn+1)1/3sup −r2 n+1<t<0ˆ2rn+1<|y|<1/4 1 |y|4|u|2dy. Ahora pasaremos a acotar estos t´erminos de la derecha y ya tendremos probada el segundo t´ermino de la desigualdad (3.11). Por hip´otesis tenemos que, G(rn+1)≤CG(rn)≤C1r3 n, A(rn+1)≤A(rn)≤C2/3 1r2 n K(1/4) = K(r2)≤K(r1)≤C1. De aqu´ı se deduce que r7/5 n+1A(rn+1)1/5G(rn+1)1/5K(1/4)4/5≤Cr12/5 n2/15 11≤Cr12/5 n1, r5/3 n+1G(rn+1)1/3G(1/4)2/3≤Cr5/3 n+11/3 1rn2/3 1≤Cr8/3 n1, G(rn+1)1/3G(2rn+1)2/3≤C1/3 1rn2/3 1r2 n≤Cr3 n1, r3 n+1G(rn+1)1/3sup −r2 n+1<t<0ˆ2rn+1<|y|<1/4 1 |y|4|u|2dy ≤r3 n+11/3 1rnsup −r2 n+1<t<0ˆ2rn+1<|y|<1/4 1 |y|4|u|2dy ≤r4 n1/3 1 n X k=2 r−3 kA(rk)≤Cr4 n1/3 1 n X k=2 r−3 k2/3 1r2 k≤Cr4 n1 n X k=2 r−1 k≤Cr3 n1, y, como rn≤1,vemos que L(rn+1)≤Cr12/5 n1. Retomando el t´ermino que quer´ıamos acotar, tenemos que r3/5 n+1 Qn+1 |u||p−pn+1| ≤ Cr13/5 n+1 L(rn+1)≤C∗∗1, siendo de nuevo C∗∗ una constante tal que C∗∗1/3 1≤1/2. Cap´ıtulo 3. Resultados de regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 51 Por lo tanto, ya tenemos que Qn+1 |u|3+r3/5 n+1 Qn+1 |u||p−pn+1| ≤ 2/3 1, concluyendo as´ı este paso de la demostraci´on. PASO 4. (3.11)k,3≤k≤n⇒(3.10)n,n≥3. Para este paso usaremos la desigualdad local de energ´ıa (3.6) con una funci´on concreta como funci´on test adecuada φ=φn.Para simplificar la notaci´on haremos un cambio de coordenadas en espacio-tiempo de forma que en lo que sigue el origen (0,0) representar´a formalmente al punto (a, s). Tomamos φn=χΨn, siendo Ψnla soluci´on fundamental de la ecuaci´on retr´ograda del calor, φt+ ∆φ= 0 con singularidad en (0, r2 n).Expl´ıcitamente Ψn(x, t) = 1 (r2 n−t)3/2e−|x|2/(4(r2 n−t)) ∀(x, t) con t < r2 n, yχes una funci´on de clase C∞con 0 ≤χ≤1, χ= 1 en Q2=Q1/4(0,0), χ= 0 fuera de Q1/3(0,0). As´ı, es f´acil observar que φn≥0 y cumple las propiedades siguientes: ∂φn ∂t + ∆φn= 0 en Q2, ∂φn ∂t + ∆φn≤Cen todo su dominio de definici´on, 1 Cr−3 n≤φn≤Cr−3 n,|∇φn| ≤ Cr−4 nen Qn, φn≤Cr−3 k,|∇φn| ≤ Cr−4 ken Qk−1\Qk,para 1 < k ≤n, siendo Cuna constante independiente de n. Usando φnen (3.6) y razonando como en el Paso 2, obtenemos: sup −r2 n<t≤0 |x|<rn|u|2(x, t)dx +r−3 n¨Qn|∇u|2≤sup −r2 n<t≤0 r−3 nˆB(0,rn)|u|2dx +r−3 n¨Qn|∇u|2 ≤Csup −r2 n<t≤0ˆB(0,r1)|u|2φdx +¨Q1|∇u|2φ≤C(I+II +III +IV ), siendo I1:= ¨Q1|u|2∂φn ∂t + ∆φn, I2:= ¨Q1|u|3|∇φn|, 52 3.1. Regularidad parcial de la soluci´on admisible de las ecuaciones de Navier-Stokes (Caffarelli, Kohn y Nirenberg) I3:= ¨Q1 p(u·∇φn), I4:= ¨Q1|u||f||φn|. Nuestro objetivo ahora es acotar estos cuatro t´erminos usando las desigualdades (3.11)k, 3≤k≤n, (3.7b), (3.9) y las propiedades de φn. En primer lugar, I1≤C¨Q1|u|2≤C2/3 1, I2=¨Q2|u|3|∇φn|+¨Q1\Q2|u|3|∇φn| ≤ n X k=2 ¨Qk|u|3|∇φk|+Cr−4 2¨Q1|u|3 ≤C n X k=2 r−4 k¨Qk|u|3+Cr−4 22/3 1≤C n X k=1 r−4 k2/3 1≤C2/3 1. Para acotar el t´ermino I4debemos usar, adem´as, las desigualdades (3.11)ky la desigualdad de H¨older como vemos a continuaci´on, I4≤C n X k=1 r2 k Qk|u|1/3 Qk|f|3/22/3 ≤C n X k=1 2/9 1r2 k Qk|f|q1/q ≤C2/9 11/q 2 n X k=1 r2−5/q k. Como q > 5/2 podemos elegir 2(q) de forma que 1/q 2 +∞ X k=1 r2−5/q k< 4/9 1,de donde tambi´en tendremos I4≤C2/3 1. Por ´ultimo debemos acotar el t´ermino I3. Para ello, debemos usar el hecho de que utiene divergencia nula y reducir el problema de estimar la oscilaci´on de p. As´ı, para cada k≥1, sea χkuna funci´on de clase C∞en Q1=Q1/2(0,0),tal que 0 ≤χ≤1, χk= 1 en Q7rk/8(0,0), χk= 0 fuera de Qrk(0,0),|∇χk| ≤ C rk . Observemos que χ1φn=φn,con lo cual ¨Q1 p(u·∇φn) = n−1 X k=1 ¨Q1 pu ·∇((χk−χk+1)φn) + ¨Q1 pu ·∇(χnφn). Ahora vamos a estimar cada t´ermino por separado. Como utiene divergencia nula y χk−χk+1 tiene soporte en Qk, para k≥3 observamos que ¨Q1 pu ·∇((χk−χk+1)φn) = ¨Qk (p−pk)u·∇((χk−χk+1)φn) Cap´ıtulo 3. Resultados de regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 53 y ¨Q1 pu ·∇(χnφn) = ¨Qn (p−pn)u·∇(χnφn). Para k= 1,2 por las propiedades impuestas a φnyχktenemos que ¨Q1 pu ·∇((χk−χk+1)φn)≤C¨Q1|p||u|. Con lo cual, podemos escribir que I3=¨Q1 p(u·∇φn)≤C n X k=3 ¨Qk|u||p−pk|r−4 k+C¨Q1|u||p|, pues |∇((χk−χk+1)φn)| ≤ Cr−4 ky|∇(χnφn)| ≤ Cr−4 n. Usando las desigualdades (3.11)ky (3.9), obtenemos finalmente que I3=≤C n X k=3 r−23/5 k¨Qk|u||p−pk|r3/5 k+C¨Q1|u||p| ≤ C n X k=3 r−23/5 k2/3 1+C1≤C2/3 1. Y con esto ya tenemos que (3.10)n≤C2/3 1como quer´ıamos probar. Por lo tanto queda demostrada la Proposici´on 1. Observemos adem´as que la constante Ces absoluta y no depende ni de nni de 1.Adem´as las constantes C∗yC∗∗ son independientes de 1yny podemos elegir 1suficientemente peque˜no de forma que se cumplan las desigualdades y sin peligro de entrar en un razonamiento circular. Una vez escogido 1,podemos fijar 2=2(q) de forma que las desigualdades se sigan manteniendo.  3.1.3. Demostraci´on de la Proposici´on 2 Para demostrar la Proposici´on 2 utilizaremos una proposici´on y algunos lemas t´ecnicos que no probaremos;sus demostrciones pueden ser encontradas en [3]. A la vista del Corolario 3.1.5, la idea de la demostraci´on ser´a de nuevo estimar el radio compatible con una singularidad. El corolario sugiere que cerca de un punto singular (x0, t0) tendremos |u| ≥ C/r, donde r2=|x−x0|+|t−t0|.Si ucrece r´apido, esperamos que |∇u| tambi´en lo haga, para que el punto sea singular; as´ı la Proposici´on 2 sugiere cerca de un punto singular una estimaci´on tipo |∇u|2≥C/r4cuando r→0. En lo que sigue vamos a trabajar con los cilindros: Q∗ r(a, s) = Qr(a, s +1 8r2). En la prueba vamos a estudiar el comportamiento de la soluci´on (u, p) cerca de un punto particular (x, t) que, mediante una traslaci´on, identificaremos con el punto (0,0). Simplificaremos la escritura, poniendo Q∗ r:= Q∗ r(0,0).Ahora introduciremos nuevos t´erminos que ayudar´an a demostrar la proposici´on, 54 3.1. Regularidad parcial de la soluci´on admisible de las ecuaciones de Navier-Stokes (Caffarelli, Kohn y Nirenberg) A∗(r) := sup −7 8r2<t<1 8r2 1 rˆBr×{t}|u|2dx, δ∗(r) := 1 r¨Q∗ r|∇u|2, G∗(r) := 1 r2¨Q∗ r|u|3, K∗(r) := 1 r13/4ˆ1/8r2 −7/8r2ˆBr|p|5/4dt, J∗(r) := 1 r2¨Q∗ r|u||p|, H∗(r) := 1 r2¨Q∗ r|u|·||u|2−|u|2 r|, F∗(r) := 1 r1/2¨Q∗ r|f|3/2. Aqu´ı, Br:= {x:|x|< r}y |u|2 r=|u|2 r(t) := Br|u|2dx. Notemos que A∗, δ∗, G∗yK∗son t´erminos an´alogos a A, δ, G yKdonde se ha usado Q∗ r en vez de Qr; por lo tanto, se siguen manteniendo las estimaciones ya probadas en la Secci´on 3.1.1. Denotemos ahora por M∗(r)la siguiente expresi´on: M∗(r) = G∗(r)2/3+H∗(r) + J∗(r) + K∗(r)8/5. Tenemos entonces el resultado siguiente: Proposici´on 3.1.11 (Proposici´on 3).Sea (u, p)una soluci´on d´ebil admisible para las ecuaciones de Navier-Stokes con segundo miembro fen Q∗ ρ.Supongamos que δ∗(ρ)≤1y F∗(ρ)≤1.Entonces para r≤ρ/4tenemos que M∗(r)≤C2nr ρ1/5M∗(ρ) + ρ r2(M∗(ρ)1/2δ∗(ρ)1/2+M∗(ρ)δ∗(ρ) + F∗(ρ) + δ∗(ρ))o, donde C2es una constante independiente de u, p yf. Lo importante de esta proposici´on es que: (a) todos los t´erminos de la derecha, salvo uno, son potencias positivas de ρ/r, que es grande, y est´an multiplicados por una potencia positiva de δ∗(ρ) y de F∗(ρ), que son peque˜nos, y (b) el ´unico t´ermino distinto lleva un factor (r/ρ)1/5, que es peque˜no. As´ı podremos estimar que si ues regular en (0,0) entonces M∗(r) converge r´apidamente a 0 cuando r→0. Cap´ıtulo 3. Resultados de regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 55 Veamos que la Proposici´on 3 implica la Proposici´on 2 y as´ı ya s´olo nos quedar´a probar la Proposici´on 3 y ya tendremos lo que buscamos. Sin p´erdida de generalidad podemos asumir que (x, t) = (0,0) y que (u, p) est´a definida en un entorno Dde (0,0). Recordemos adem´as que de la definici´on de la soluci´on admisible tenemos que f∈Lq(D) para q < 5 2. Observemos que Fq(r) = r3q−5¨Qr|f|q≤r5/2¨D|f|q para Qr⊂D; en particula,r Fq(r)→0 cuando r→0. Si aplicamos el Corolario 3.1.5, (0,0) es regular si l´ım inf r→0n1 r2¨Q∗ r (|u|3+|u||p|) + r−13/4ˆr2/8 −7r2/8ˆBr|p|dx5/4dto≤1, (escrita la condici´on en t´erminos de Q∗ r,lo cual es posible gracias al Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue). Comparando esta desigualdad con la que aparece en la Proposici´on 3, vemos que si existe 1, tal que l´ım inf r→0M∗(r)≤1(3.13a) entonces tendremos que l´ım inf r→0M(r)≤1(3.13b) y, en consecuencia, (0,0) ser´a un punto regular. Veamos primero que (3.13a) implica (3.13b), en efecto, como Q∗ r(0,0) = Qr(0,1/8r2) y las funciones que integramos son positivas podemos afirmar que: l´ım inf r→0M(r) = l´ım inf r→0n1 r2¨Qr (|u|3+|u||p|) + r−13/4ˆ0 −r2ˆBr|p|dx5/4dto ≤l´ım inf r→0n1 r2¨Q∗ r (|u|3+|u||p|) + r−13/4ˆr2/8 −7r2/8ˆBr|p|dx5/4dto= l´ım inf r→0M∗(r)≤1. Para ver que l´ım infr→0M∗(r)≤1lo haremos por reduci´on al absurdo,supongamos que l´ım infr→0M∗(r)> 1. Supongamos ahora que existen constantes absolutas 0 < 3≤1 y 0 < γ ≤1/4 tales que M∗(ρ)> 1F∗(ρ)≤3yδ∗(ρ)≤3 implica M∗(γρ)≤1 2M∗(ρ).(3.14) Ahora podemos tener dos situaciones, una en la que M∗(γρ)≤1,en dicho caso habr´ıamos terminado; y otro en el que M∗(γρ)> 1.Si tenemos esta situaci´on podr´ıamos volver a aplicar (3.14) y as´ı llegar´ıamos a que M∗(γ2ρ)≤1 22M∗(γρ). 56 3.1. Regularidad parcial de la soluci´on admisible de las ecuaciones de Navier-Stokes (Caffarelli, Kohn y Nirenberg) As´ı podr´ıamos seguir sucesivamente hasta que llegamos a una contradicci´on con el hecho de que l´ım infr→0M∗(r)> 1. Ahora veamos que efectivamente podemos elegir las constantes 3yγde forma que se verifique (3.14). De hecho, si usamos la desigualdad de H¨older tenemos que F∗(r) = 1 r1/2¨Q∗ r|f|3/2≤C¨Q∗ r|f|q3/(2q)r9/2−15/(2q)≤Cr3/2¨Q∗ r|f|q3/(2q)para r≤1. Como q > 5 2entonces tenemos que F∗(r)→0 cuando r→0, luego existe una constante r0tal que F∗(r)≤3para todo r < r0. Y por hip´otesis de la Proposici´on 2 tambi´en tenemos que δ∗(r)≤3para todo r < r0. Observemos que si tenemos que M∗(ρ)> 1, F∗(ρ)≤3yδ∗(ρ)≤3entonces tenemos que M∗(ρ)1/2< −1/2 1M∗(ρ). Usando la Proposici´on 3 podemos concluir que M∗(r)≤C2nr ρ1/5M∗(ρ) + ρ r23 11/2+3M∗(ρ)+2ρ r23o para r≤1 4ρ. As´ı elegimos γde forma que C2γ1/5≤1 6yγ≤1 4. Una vez fijado γelegimos 3≤1 tal que C2γ−23+3 11/2≤1 6y 2C2γ−23≤1 61. Con todo esto si tomamos r=γρ podemos escribir que M∗(γρ)≤1 3M∗(ρ) + 1 61≤M∗(ρ). Luego vemos que efectivamente podemos elegir las constantes 3yγpara que se vereifique (3.14) y as´ı terminamos la prueba; ya s´olo nos queda demostrar la Proposici´on 3 y ya habremos terminado. Para demostrar la Proposici´on 3, necesitaremos varias desigualdades adicionales. Est´an contenidas en el resultado siguiente: Lema 3.1.12. Para los t´erminos definidos anteriormente tenemos que H∗(r)≤C(G∗(r)2/3+A∗(r)δ∗(r)),(3.15a) Si r≤ρ/2, tenemos: G∗(r)≤Cnr ρ3A∗(ρ)3/2+ρ r3A∗(ρ)3/4δ∗(ρ)3/4o,(3.15b) Cap´ıtulo 3. Resultados de regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 57 J∗(r)≤Cnr ρ1/5A∗(ρ)1/5G∗(r)1/5K∗(ρ)4/5+ρ r2A∗(ρ)1/2δ∗(ρ)o,(3.15c) K∗(r)≤Cnr ρ1/2K∗(ρ) + ρ r5/4A∗(ρ)5/8δ∗(ρ)5/8o,(3.15d) A∗(r)≤Cρ rG∗(ρ)2/3+H∗(ρ) + J∗(ρ) + F∗(ρ)4/3.(3.15e) Para la demmostraci´on v´ease [3]. As´ı tras este lema ya podemos pasar a demostrar la Proposici´on 3. Demostraci´on Gracias al Lema 3.1.12 podemos escribir que A∗1 2ρ≤CM∗(ρ) + F∗(ρ)4/3.(3.16) Si r≤ρ/4 podemos usar el lema anterior de nuevo y estimar M∗(r) en t´ermino de M∗(ρ/2), A∗(ρ/2), y de δ∗(ρ/2). Antes de continuar, recordemos que M∗(ρ/2) ≤CM∗(ρ), δ∗(ρ/2) ≤Cδ∗(ρ) y que, por hip´otesis, F∗(ρ)≤1 y δ∗(ρ)≤1. Como M∗(r) = G∗(r)2/3+H∗(r) + J∗(r) + K∗(r)8/5, vamos a acotar cada uno de los t´erminos de la derecha para as´ı llegar a la cota deseada. Usando el Lema 3.1.12 tenemos que G(r)2/3≤Cnr ρ2A∗1 2ρ+ρ r2A∗1 2ρ1/2δ∗(ρ)1/2o, y usando (3.16) podemos escribir que G∗(r)2/3≤Cnr ρ2(M∗(ρ) + F∗(ρ)4/3) + ρ r2(M∗(ρ)1/2+F∗(ρ)2/3)δ∗(ρ)1/2o ≤Cnr ρ2M∗(ρ) + ρ r2M∗(ρ)1/2δ∗(ρ)1/2+ρ r2(F∗(ρ)4/3+δ∗(ρ))o ≤Cnr ρ2M∗(ρ) + ρ r2M∗(ρ)1/2δ∗(ρ)1/2+ρ r2(F∗(ρ) + δ∗(ρ))o. Ahora pasamos a estimar H∗(ρ), usando el Lema 3.1.12 tenemos que H∗(r)≤C(G∗(r)2/3+A∗(r)δ∗(r) y usando dicho lema para acotar A∗(r) junto con que δ∗(r)≤(ρ/r)δ∗(ρ) por definici´on, deducimos que H∗(r)≤CnG∗(r)2/3+M∗(ρ) + F∗(ρ)4/3ρ r2δ∗(ρ)o. Combinando las estimaciones de G∗(r)2/3yH∗(r),llegamos a que G∗(r)2/3+H∗(r)≤Cnr ρ2M∗(ρ) + ρ r2(M∗(ρ)δ∗(ρ) + M∗(ρ)1/2δ∗(ρ)1/2)o 58 3.1. Regularidad parcial de la soluci´on admisible de las ecuaciones de Navier-Stokes (Caffarelli, Kohn y Nirenberg) +Cρ r2(F∗(ρ) + δ∗(ρ)). Ahora pasamos a estimar J∗(r).Gracias al Lema 3.1.12, J∗(r)≤Cnr ρ1/5A∗(ρ)1/5G∗(r)1/5K∗(ρ)4/5+ρ r2A∗(ρ)1/2δ∗(ρ)o ≤Cnr ρ1/5A∗1 2ρ+G∗(r)2/3+K∗(ρ)8/5+ρ r2A∗(ρ)1/2δ∗(ρ)o ≤Cnr ρ1/5M∗(ρ) + F∗(ρ)4/3+G∗(r)2/3+K∗(ρ)8/5+ρ r2A∗(ρ)1/2δ∗(ρ)o y, usando la definici´on de M∗(r) y que r/ρ ≤1 llegamos a la desigualdad J∗(r)≤Cnr ρ1/5M∗(ρ) + F∗(ρ) + G∗(r)2/3+ρ r2A∗(ρ)1/2δ∗(ρ)o. Por otro lado, dado que A∗(ρ/2) ≤CM∗(ρ) + F∗(ρ)4/3≤C(M∗(ρ) + 1), entonces tenemos que J∗(r)≤Cnr ρ1/5M∗(ρ) + F∗(ρ) + G∗(r)2/3+ρ r2M∗(ρ)1/2δ∗(ρ) + δ∗(ρ)o. Y usando la estimaci´on de G∗(r)2/3llegamos a que J∗(r)≤Cnr ρ1/5M∗(ρ) + ρ r2M∗(ρ)1/2δ∗(ρ)1/2+F∗(ρ) + δ∗(ρ)o. Finalmente, vamos a estimar K∗(r)8/5; para ello, usamos el Lema 3.1.12 y de nuevo la desigualdad A∗(ρ/2) ≤CM∗(ρ)+1y escribimos que K∗(r)8/5≤Cnr ρ4/5K∗(ρ)8/5+ρ r2A∗1 2ρδ∗(ρ)o ≤Cnr ρ4/5M∗(ρ) + ρ r2M∗(ρ)δ∗(ρ) + δ∗(ρ)o. Y con todos estos t´erminos acotados, por la definici´on de M∗(ρ), ya tenemos la cota deseada y as´ı queda probada la Proposici´on 3.  3.1.4. Demostraci´on del Teorema B Una vez probadas las Proposiciones 1 y 2, ya podemos demostrar el Teorema B. Pero antes de demostrarlo debemos enunciar un lema previo. Cap´ıtulo 3. Resultados de regularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes 59 Lema 3.1.13. Sea Juna familia de cilindros parab´olicos Q∗ r(x, t)contenidos en un subconjunto acotado de R3×R.Entonces existe una subfamilia finita o numerable J0={Q∗ i= Q∗ ri(xi, ti)}tal que (a) Q∗ i∩Q∗ j=∅para todo i6=j. (b) Para todo Q∗∈ J existe Q∗ ri(xi, ti)∈ J0tal que Q∗⊂Q∗ 5ri(xi, ti). Para la demostraci´on de este resultado, v´ease [3]. Se basa en un argumento inductivo relativamente sencillo. Ahora ya podemos pasar a probar el Teorema B. Demostraci´on Sea (u, p) una soluci´on d´ebil admisible definida en un conjunto abierto. Sin p´erdida de generalidad, podemos suponer que Des acotado. Por la Proposici´on 2 tenemos que, si (x, t)∈ S, entonces l´ım sup r→0 1 r¨Q∗ r(x,t)|∇u|2> 3. Sea Vun entorno de Sen Dy sea δ > 0.Entonces, para cada (x, t)∈S, elegimos Q∗ r(x, t) con r < δ de forma que se tenga 1 r¨Q∗ r(x,t)|∇u|2> 3yQ∗ r(x, t)⊂V. Aplicando el Lema 3.1.13 a esta familia de cilindros, deducimos que existe una subfamilia de cilindros disjuntos {Q∗ ri(xi, ti)}tal que S⊂[ i Q∗ 5ri(xi, ti). Adem´as, se verifica que X i ri≤−1 3X i¨Q∗ ri|∇u|2≤−1 3X i¨V|∇u|2. Como δes arbitrario podemos concluir que Stiene medida de Lebesgue 0 y, tambi´en, que P1(s)≤5 3¨v|∇u|2 para todo entorno de S. Como |∇u|2es una funci´on integrable, podemos afirmar que P1(S) = 0.En particular, la dimensi´on de Hausdorff asociada a los cilindros parab´olicos es menor o igual que 1.  3.1.5. Existencia de soluci´on d´ebil admisible Finalmente probaremos que efectivamente existen soluciones d´ebiles admisibles de las ecuaciones de Navier-Stokes. De este modo, cobrar´a pleno sentido el Teorema B. 66 3.2. Regularidad parcial de la soluci´on admisible de Navier-Stokes (Ladyzhenskaya) Para demostrar este resultado, Ladyzhenskaya divide la prueba en tres partes. En una primera parte, prueba un criterio de H¨older-continuidad local para uusando un procedimiento de explosi´on. Esta parte es parecida a la aproximaci´on desarrollada para investigaciones de regularidad parcial en ecuaciones el´ıpticas y parab´olicas, con la diferencia de que para la incompresibilidad se necesitan algunas correcciones del m´etodo. En la segunda parte se mejora el criterio anterior con la ayuda de una escala especial. Y en la tercera parte se obtiene el criterio final de regularidad local de la soluci´on d´ebil admisible, usando algunos resultados y observaciones de [3]. De esta manera se consigue aplicar un argumento m´as corto que el de [3] y m´as trasparente que el de [20]. Observemos tambi´en que de este teorema se sigue que la medida de Hausdorff parab´olica unidimensional P1del (nuevo) conjunto de puntos singulares es igual a cero y que la dimensi´on parab´olica asociada es menor o igual que 1. Para m´as detalles v´ease [18]. Cap´ıtulo 4 Resultados de regularidad para el sistema de Boussinesq En este nuevo cap´ıtulo vamos a desarrollar resultados an´alogos a los que hemos visto en el Cap´ıtulo 3 para el sistema de Boussinesq. Para ello veremos los principales resultados expuestos en [1]. As´ı en este cap´ıtulo vamos a ver el concepto de soluci´on d´ebil admisible para el sistema de Boussinesq y vamos a probar que el conjunto de los puntos singulares tiene medida unidimensional de Hausdorff 0. Observemos que esto no es de extra˜nar ya que el sistema de Boussinesq lo que introduce es una nueva variable en las ecuaciones de Navier-Stokes y esta variable es soluci´on de la ecuaci´on del calor, cuya soluci´on es regular. Con lo cual, es de esperar que el t´ermino de la temperatura no introduzca nuevos puntos singulares. Con respecto a la existencia de soluciones admisibles para el sistema de Boussinesq, los autores del art´ıculo se basaron en [28] para probarlo. En otras palabras, regularizaron el sistema de Boussinesq a˜nadiendo un t´ermino de viscosidad suficientemente grande, de la forma ε∆2y as´ı probaron la convergencia para las soluciones fuertes regularizadas cuando el par´ametro de regularizaci´on va a 0. Adem´as obtuvieron un resultado de regularidad parcial bas´andose en un corolario de [3]. As´ı pasamos a ver qu´e entendemos por soluci´on d´ebil admisible del sistema de Boussinesq y el resultado de existencia probado en [1]. En todo este cap´ıtulo vamos a considerar que el dominio Ω es todo R3. 4.1. Existencia de soluci´on d´ebil admisible Definici´on 4.1.1. Supongamos que u0∈H, θ0∈L2(R3)f∈L2(0, T, H−1(R3)3)yg∈L2(0, T;H−1(R3).(4.1) Decimos que (u, p, θ)es una soluci´on d´ebil admisible, o simplemente una soluci´on admisible, para el sistema de Boussinesq si se verifica que 1 (Hip´otesis de integrabilidad) u, p, θ son funciones medibles en R3×(0, T)tales que: 67 68 4.1. Existencia de soluci´on d´ebil admisible •p∈L4/3(0, T;L2(R3) + L4(R3)). •u∈L2(0, T;V)∩C0(0, T;H)yut∈L4/3(0, T;H−1(R3)3). •θ∈L2(0, T;H1(R3)) ∩C0(0, T;L2(R3)) yθt∈L4/3(0, T;H−1(R3)). 2 (Ecuaciones) u, p, θ, f, g satisfacen las ecuaciones del sistema de Boussinesq en el sentido de las distribuciones en R3×(0, T). 3 (Generalizaci´on de las desigualdades de energ´ıa) Para cada funci´on real φ∈C∞ 0(R3× (0, T)) con φ≥0tenemos que para todo t∈[0, T]: ˆR3|u(·, t)|2φ+ 2 ¨Qt|∇u|2φ ≤ˆR3|u0|2φ(·,0)+¨Qt|u|2(φt+∆φ)+(|u|2+2p)u·∇φ+2 ˆt 0hf, uφidτ +2 ¨Qt −→ Kuθφ, (4.2) y ˆR3|θ(·, t)|2φ+ 2 ¨Qt|∇θ|2φ ≤ˆR3|θ0|2φ(·,0) + ¨Qt|θ|2(φt+ ∆φ) + |θ|2u·∇φ+ 2 ˆt 0hg, θφidτ (4.3) siendo Qt:= R3×(0, t). 4 (Igualdad de energ´ıa) Para casi todo t0∈[0, T]y para todo t≥t0: ˆR3|u(·, t)|2+ 2 ˆt t0ˆR3|∇u|2=ˆR3|u(·, t0)|2+ 2 ˆt t0hf, uidτ + 2 ˆt t0ˆR3 −→ Kuθ, (4.4) y ˆR3|θ(·, t)|2+ 2 ˆt t0ˆR3|∇θ|2=ˆR3|θ(·, t0)|2+ 2 ˆt t0hg, θidτ. (4.5) Tras esta definici´on ya podemos dar el resultado principal de existencia. Teorema 4.1.2. Bajo las condiciones de la definici´on anterior, (4.1), existe al menos una soluci´on d´ebil admisible del sistema de Boussinesq. Cap´ıtulo 4. Resultados de regularidad para el sistema de Boussinesq 69 4.2. Regularidad parcial de la soluci´on d´ebil admisible Para ver el resultado principal de regularidad parcial para el sistema de Boussinesq, antes vamos a dar la definici´on de punto singular. Definici´on 4.2.1. Sea (x, t)∈R3×(0, T).Decimos que (x, t)es singular si la soluci´on u no es L∞ loc en ning´un entorno de (x, t).An´alogamente, decimos que (x, t)es regular en caso contrario, es decir, si la soluci´on ues localmente L∞en cualquier entorno de (x, t). Observemos que esta definici´on es exactamente igual a la definici´on para las ecuaciones de Navier-Stokes; esto es, porque como ya hemos mencionado la variable θes regular en todo su dominio por ser soluci´on de una ecuaci´on del calor. Luego no introduce ning´un punto singular ”nuevo” en el sistema. As´ı tenemos el siguiente resultado que estima la medida unidimesional de Hausdorff para el sistema de Boussinesq. Llamemos Sal conjunto de puntos singulares entonces Teorema 4.2.2. Supongamos que estamos bajo las condiciones (4.1). Si adem´as, se cumple que f∈L5/2 loc (QT),∇˙ f= 0, g = 0 yθ0∈L∞(R3)entonces existe al menos una soluci´on d´ebil del sistema de Boussinesq que verifica: (a) θ∈L∞(QT)ykθkL∞(Qt)≤ kθ0kL∞(Qt); (b) p∈L5/3(QT), (c) H1(S) = 0. Vemos que en este caso no hemos exigido que en la definici´on de soluci´on admisible p est´e en L5/3(QT) pero a´un as´ı en el teorema probamos que efectivamente existe al menos una soluci´on admisible con esa propiedad. Tambi´en podemos observar que para este teorema nos hemos restringido ´unicamente al caso en que gsea id´enticamente nula, pero podr´ıamos preguntarnos qu´e ocurre cuando la funci´on gno es nula, si en dicho caso se sigue teniendo que Stiene medida unidimensional de Hausdorff 0. Con respecto a esta pregunta podemos dar el siguiente resultado: Teorema 4.2.3. Sea (u, θ)soluci´on d´ebil del sistema de Boussinesq que satisfacen la definici´on de soluci´on admisible exceptuando las igualdades (4.2) y(4.3) dadas en 3. Si adem´as, u∈H,θ0∈L1(R3∩L1(R3)ykg(t)k ≤ C1(1 + t)−3/2.Entonces, kθ(t)k2≤C(1 + t)−5/2. Adem´as si u0∈L1(R3),f∈L1(0,+∞;L2(R3)) y∇·f= 0 entonces ku(t)k → 0,cuando t→+∞. Como ya dijimos estos resultados no los vamos a probar aunque si se desea la prueba se encuentra en [1]. A´un as´ı vamos a dar el siguiente teorema que es el que usan para probar tanto el teorema de existencia como el de regularidad parcial. Este resultado se basa en regularizar el sistema de Boussinesq introduciendo una penalizaci´on dependiente de un par´ametro ε, de forma que se puede demostrar que el sistema penalizado posee soluciones fuertes y dichas soluciones convergen a una soluci´on admisible del sistema de Boussinesq cuando εtiende a 0. 70 4.2. Regularidad parcial de la soluci´on d´ebil admisible Teorema 4.2.4. Sea ε > 0, u0,ε ∈W,θ0,ε ∈H2(R),fε∈L2((0, T)×R3),gε∈L2((0, T)× R3).Entonces existe una ´unica soluci´on global fuerte (uε,∇pε, θε)del problema:            uε,t +ε∆2uε−∆uε+uε·∇uε=−∇pε+fε(x, t) + −→ Kθεen QT, ∇·uε= 0 en QT, uε(x, 0) = u0,ε(x)en R3, θε,t +ε∆2θε−∆θε+uε·∇θε=gε(x, t)en QT, θε(x, 0) = θ0,ε(x)en R3. (4.6) M´as a´un, la soluci´on (uε,∇pε, θε)satisface: uε∈L2(0, T;H4(R3)3∩W)∩C0(0, T;H)∩L∞(0, T;W), θε∈L2(0, T;H4(R3)3)∩C0(0, T;L2(R3)∩L∞(0, T;H2(R3), ∇pε∈L2(R3×(0, T)); siendo W:= {v∈H2(R3)3:∇·v= 0}, kuεk2 C0(0,T;H)+k∇uεk2 L2(0,T;L2(R3)3)+ 2εk∆uεk2 L2(0,T;L2(R3)3) +kθεk2 C0(0,T;L2(R3)+k∇θεk2 L2(0,T;L2(R3)) + 2εk∆θεk2 L2(0,T;L2(R3)) ≤C(T)(kfεk2 L2(0,T;H−1(R3)3)+kgεk2 L2(0,T;H−1(R3))) + C(T)(ku0,εk2 H+kθ0,εk2 L2(R3). Adem´as para cualquier funci´on φno negativa de clase C∞con soporte compacto se tiene que ˆR3|uε(t)|2φ+ 2 ¨Qt|∇uε|2φ+ 2ε¨Qt|∆uε|2φ ≤ˆR3|u0,ε|2φ+¨Qt|uε|2(φt+ ∆φ)+(|uε|2+ 2pε)uε·∇φ+ 2(fε+−→ Kθε)·uεφ +4εk∇φ|L∞(Qt)k∇uεkL2(Qt)k∆uεkL2(Qt)+ 2εk∆φkL∞(Qt)kuεkL2(Qt)k∆uεkL2(Qt); y similarmente ˆR3|θε(t)|2φ+ 2 ¨Qt|∇θε|2φ+ 2ε¨Qt|∆θε|2φ ≤ˆR3|θ0,ε|2φ+¨Qt|θε|2(φt+ ∆φ) + |θε|2uε·∇φ+ 2gεθεφ +4εk∇φ|L∞(Qt)k∇θεkL2(Qt)k∆θεkL2(Qt)+ 2εk∆φkL∞(Qt)kθεkL2(Qt)k∆θεkL2(Qt). Observemos que como existe una ´unica soluci´on global fuerte esto quiere decir que las igualdades de (4.6) se satisfacen puntualmente. Tambi´en, veamos que existe un ´unico ∇pεpuesto que la funci´on pεno es ´unica, salvo que impongamos una condici´on adicional sobre el valor de pε. As´ı con la ayuda de este teorema y de la transformada de Fourier se consigue demostrar los resultados de regularidad parcial y existencia para el sistema de Boussinesq. Con esto damos por terminado nuestro estudio de los resultados de regularidad para el sistema de Boussinesq. Cap´ıtulo 5 M´etodos num´ericos de paso fraccionario para problemas de valores iniciales Ahora vamos a pasar a estudiar m´etodos num´ericos que nos sirven para aproximar las ecuaciones de Navier-Stokes. En concreto, vamos a ver los conocidos como m´etodos de tipo “splitting”, es decir, esquemas que tratan los t´erminos no triviales de una ecuaci´on por separado. Por ejemplo, en la resoluci´on de las ecuaciones de Navier-Stokes nos encontramos con varios t´erminos no triviales que necesitan un tratamiento especial como son: - El momento de las ecuaciones es no lineal (u·∇)u, - La condici´on de incompresibilidad o de divergencia nula ∇·u= 0. As´ı como veremos en lo que sigue usaremos una discretizaci´on de tipo ”splitting” en tiempo que resolver´a las dificultades anteriores, en particular, desacoplar´a el t´ermino no lineal de la condici´on de incompresibilidad. El contenido de este cap´ıtulo est´a basado en el Cap´ıtulo 2 de [12] aunque tambi´en si se desea se puede encontrar en [2,7,17]. Para el desarrollo de los m´etodos num´ericos consideraremos que la ecuaci´on que deseamos aproximar es del tipo ϕt+A(ϕ, t) = 0, ϕ(0) = ϕ0.(5.1) donde para cada tdado Aes un operador (posiblemente no lineal e incluso multievaluado) de un espacio de Hilbert Hen s´ı mismo y ϕ0∈H. Supongamos que Ase puede descomponer de la siguiente manera A=A1+A2, siendo a1 yA2operadores m´as simples que A. As´ı podemos ver que es mucho m´as natural establecer m´etodos num´ericos para la ecuaci´on usando la descomposici´on del operador estos son los m´etodos de tipo ”splitting” que vemos a continuaci´on. 71 72 5.1. M´etodo de Peaceman-Rachford 5.1. M´etodo de Peaceman-Rachford Sea dt > 0 el paso de tiempo con el que discretizamos el intervalo [0, T] en el que queremos resolver nuestro problema. Y denotamos por ϕn+αa la aproximaci´on de la sunci´on ϕen el tiempo (n+α)∆t, siendo ϕla soluci´on del problema de valores iniciales (5.1). La idea fundamental que ah´ı detr´as del esquema de Peaceman-Rachford (introducida en [25]) es simple: Dividimos el intervalo de tiempo [0, T] en subintervalos del tipo [n∆t, (n+ 1)∆t], y a su vez cada subintervalo lo volvemos a dividir en dos intervalos usando el punto medio (n+1 2)∆t. As´ı conocido ϕnhallamos ϕn+1/2usando un esquema de tipo backward Euler con respecto al operador A1y un esquema de tipo forward Euler con respecto a A2.Una vez esto, pasamos a aproximar de la misma forma ϕn+1 conocido ϕn+1/2invirtiendo los papeles de A1yA2. Veamos como quedar´ıa la programaci´on de dicho esquema, ϕ0=ϕ0, Conocido ϕn,para n≥0,computamos sucesivamente ϕn+1/2yϕn+1 como sigue: ϕn+1/2−ϕn ∆t/2+A1ϕn+1/2,n+1 2∆t+A2(ϕn, n∆t) = 0,(5.2) ϕn+1 −ϕn+1/2 ∆t/2+A1ϕn+1/2,n+1 2∆t+A2(ϕn+1,(n+ 1)∆t)=0.(5.3) La convergencia de este esquema est´a probada en [23] bajo una hip´otesis m´as general de monoton´ıa sobre los operadores A1yA2, de hecho, estos operadores pueden ser no lineales, no acotados e incluso multievaluados. As´ı la convergencia no la estudiaremos puesto que necesita un desarrollo de teor´ıa de operadores para ver que son no expansivos y algunas propiedades m´as. Pasaremos a estudiar de forma r´apida la estabilidad y la precisi´on de este m´etodo. Para ello consideremos la situaci´on m´as sencilla para el problema (5.1), es decir, tomamos H=RN,φ0∈RNyAuna matriz de tama˜no N×Nsim´etrica, definida positiva e independiente de t. Con lo cual, la soluci´on del sistema aut´onomo correspondiente viene dad por ϕ(t) = e−Atϕ0. Si ahora queremos proyectar dicha soluci´on sobre alguno de los vectores de la base de RN es obvio que quedar´ıa: ϕi(t) = e−λitϕ0ipara i= 1,2, . . . , N, siendo 0 < λ1≤λ2≤ ··· ≤ λN los autovalores de la matriz A. Con el objetivo de aplicar el esquema de Peaceman-Rachford, supongamos que la matriz Aposee la siguiente descomposici´on A=αA +βA con α+β= 1 y 0 < α, β < 1; y aplicando el esquema con A1=αA yA2=βA tenemos que ϕn+1 =I+∆t 2βA−1I−∆t 2αAI+∆t 2αA−1I−∆t 2βAϕn, siendo Ila matriz identidad de orden N. Si usamos ahora este razonamiento para ϕny as´ı sucesivamente llegamos a que ϕn+1 =I+∆t 2βA−n−1I−∆t 2αAn+1I+∆t 2αA−n−1I−∆t 2βAn+1ϕ0, Cap´ıtulo 5. M´etodos num´ericos de paso fraccionario para problemas de valores iniciales 73 ϕn+1 i=1−∆t 2αλi 1 + ∆t 2αλin+11−∆t 2βλi 1 + ∆t 2βλin+1ϕ0i. De aqu´ı podemos deducir que |ϕn+1 i|≤|ϕ0i|para todo i= 1, . . . , N yn≥1, puesto que 0≤ |(1 −a)/(1 + a)<1 para todo a≥0. Con lo cual, el esquema de Peaceman-Rachford es incondicionalmente estable, al menos para este caso simple que hemos estudiado, adem´as l´ım n→+∞ϕn i= 0 para todo i= 1,2, . . . , N. Ahora vamos a estimar la precisi´on del m´etodo en este caso. Para ello consideramos la siguiente funci´on, R1(ξ) = 1−ξ 2α 1 + ξ 2α1−ξ 2β 1 + ξ 2β. As´ı si hacemos el desarrollo de Taylor para dicha funci´on en un entorno del 0 tenemos que R1(ξ) = 1 −ξ+ξ2 2−(α2+β2+αβ)ξ3 4+O(ξ4) y adem´as e−ξ= 1 −ξ+ξ2 2−ξ3 6+O(ξ4). Con esto podemos afirmar que nuestro esquema es al menos de segundo orden en tiempo para un par α, β de forma que α+β= 1 y 0 < α, β < 1.De hecho, si tomamos α=β=1 2 tenemos que α2+β2+αβ =3 16 =1 6+1 48. Con lo cual, para esta elecci´on de αyβpodemos afirmar que el esquema es al menos de orden 3 en tiempo (pues 3 16 es suficientemente peque˜no comparado con α+β= 1). Adem´as podemos observar que el m´etodo de Crank-Nicolson es un caso particular del esquema de Peaceman-Rachford tomando A1=AyA2= 0 y aplicando el esquema y luego al contrario, como vemos a continuaci´on, ϕn+1/2−ϕn ∆t/2+Aϕn+1/2,n+1 2∆t= 0, ϕn+1 −ϕn+1/2 ∆t/2+Aϕn+1/2,n+1 2∆t= 0. O, equivalentemente, podemos escribir ϕn+1 −ϕn ∆t+Aϕn+1 +ϕn 2,n+1 2∆t= 0, y similarmente pero tomando A1= 0 y A2=Apodemos deducir que ϕn+1/2−ϕn ∆t/2+A(ϕn, n∆t) = 0, ϕn+1 −ϕn+1/2 ∆t/2+A(ϕn+1,(n+ 1)∆t) = 0. 74 5.2. M´etodo de Douglas-Rachford Sumando estas ecuaciones tenemos que ϕn+1 −ϕn ∆t+1 2[A(ϕn, n∆t) + A(ϕn+1,(n+ 1)∆t)] = 0. Y este ´ultimo esquema como el que obtuvimos en el caso A1=AyA2= 0, ambos son de tipo Crank-Nicolson. Claramente son de segundo orden en tiempo si Aes suficientemente regular y coinciden si el operador Aes lineal. Por ´ultimo, antes de pasar a ver el siguiente esquema, queremos analizar el caso especial en que el operador Aes de la forma A(ϕ, t) = B(ϕ) + f(t), que es una situaci´on bastante com´un. As´ı supongamos que el operador Blo podemos seguir descomponiendo como suma de dos operadores m´as simples B1, B2.La pregunta que surge ahora de manera natural es c´omo se trata el t´ermino f(t),pues lo m´as razonable es usar el siguiente esquema de Peaceman- Rachford: ϕ0=ϕ0, Conocido ϕn,para n≥0,computamos sucesivamente ϕn+1/2yϕn+1 como sigue: ϕn+1/2−ϕn ∆t/2+B1(ϕn+1/2) + B2(ϕn) = 2 3fn+1 2∆t+1 3f(n∆t), ϕn+1 −ϕn+1/2 ∆t/2+B1(ϕn+1/2) + B2(ϕn+1) = 2 3fn+1 2∆t+1 3f((n+ 1)∆t). Para el caso en que A1sea ”feo” (discontinuo, multievaluado,...) podemos usar la siguiente variante del esquema de Peaceman-Rachford ϕ0=ϕ0, ϕn+1/2−ϕn ∆t/2+A1ϕn+1/2,n+1 2∆t+A2(ϕn, n∆t) = 0, ϕn+1 −2ϕn+1/2+ϕn ∆t/2+A2(ϕn+1,(n+ 1)∆t) = A2(ϕn, n∆t). Con esto damos por concluido nuestro estudio de este esquema y pasamos a ver el siguiente esquema num´erico. 5.2. M´etodo de Douglas-Rachford Ahora vamos a estudiar el m´etodo de Douglas-Rachford (v´ease [8]). ´ Este es una variante del esquema de Peaceman-Rachford, pues en este caso no se usa el punto medio sino que se considera una variante de la funci´on ϕen el punto n+ 1, como vemos a continuaci´on, Cap´ıtulo 5. M´etodos num´ericos de paso fraccionario para problemas de valores iniciales 75                  ϕ0=ϕ0 ˜ϕn+1 −ϕn ∆t+A1( ˜ϕn+1,(n+ 1)∆t) + A2(ϕn, n∆t)=0, ϕn+1 −ϕn ∆t+A1( ˜ϕn+1,(n+ 1)∆t) + A2(ϕn+1,(n+ 1)∆t) = 0. (5.4) De nuevo la convergencia de este m´etodo se puede ver demostrada en [23] bajo hip´otesis generales de monoton´ıa de los operadores A1, A2. Siguiendo el razonamiento que hicimos en la secci´on anterior vamos a pasar a estudiar la estabilidad y precisi´on del esquema para el caso simple en que H=RN,ϕ0∈RNy adem´as, Aes una matriz de orden N×N, real, sim´etrica y definida positiva. Si de nuevo suponemos que Ase puede descomponer como A=αA +βA con α+β= 1 y 0 < α, β < 1, obtenemos que ϕn+1 = (I+β∆tA)−1(I+α∆tA)−1(I+αβ∆t2A2)ϕn, ϕn+1 =(1 + αβ∆t2λ2 i)n+1 (1 + α∆tλi)n+1(1 + β∆tλi)n+1 ϕ0i,∀i= 1, . . . , N. Introducimos la siguiente funci´on racional R2(ξ) = 1 + αβξ2 (1 + αξ)(1 + βξ). Como R2(ξ)∈(0,1) para todo ξ > 0, entonces podemos afirmar que |ϕn+1 i|≤|ϕ0 i|,∀i= 0,1, . . . , N −1, n ≥0. Esto implica el esquema de Douglas-Rachford es incondicionalmente estable en este caso, y adem´as se cumple que l´ımn→+∞ϕn i= 0,para todo i= 1, . . . , N. Para estudiar la precisi´on del m´etodo, observemos que, razonando como en la secci´on anterior, en un entorno de ξ= 0 tenemos que R2(ξ)=1−ξ+ξ2+O(ξ3), lo que implica que el esquema de Douglas-Rachford es al menos de primer orden, usando tambi´en el desarrollo de Taylor de la funci´on e−ξ. Observemos que a diferencia de lo que ocurr´ıa en el esquema de Peaceman-Rachford los papeles de A1yA2son no sim´etricos en el esquema de Douglas-Rachford. De aqu´ı podemos deducir que de forma general el operador A2en este caso necesitar´a mejores propiedades de monoton´ıa. Una de las ventajas que tiene el esquema de Douglas-Rachford frente al de Peaceman- Rachford es que este esquema se puede generalizar de manera sencilla para el caso en que un operador Ase descomponga como suma de m´as de dos operadores. As´ı supongamos que nuestro operador Aes de la forma A= r X i=1 Aipara I≥2, entonces tomamos ϕ0=ϕ0y para n≥0 82 5.5. Aplicaci´on al sistema de Boussinesq Una vez realizado este paso pasamos al siguiente en el que computamos un+1−θyθn+1−θ: un+1−θ−un+θ (1 −2θ)∆t−βν∆un+1−θ+ (un+1−θ·∇)un+1−θ−−→ Kθn+1−θ=fn+θ+αν∆un+θ−∇pn+θ, θn+1−θ−θn+θ (1 −2θ)∆t−κ∆θn+1−θ+un+1−θ·∇θn+1−θ=gn+1−θ, un+1−θ=gn+1−θ 0,sobre Γ0, βν ∂un+1−θ ∂n =gn+1−θ 1−αν ∂un ∂n +γpn+θ,sobre Γ1, θn+θ=hn+θ 0,sobre ∂Ω. Ahora ya consideramos el ´ultimo paso del esquema en el que computamos un+1, θn+1,y pn+1, un+1 −un+1−θ θ∆t−αν∆un+1 +∇pn+1 −−→ Kθn+1 =fn+1 +βν∆un+1−θ−(un+1−θ·∇)un+1−θ, ∇·un+1 = 0, θn+1 −θn+1−θ θ∆t−κ∆θn+1 +un+1 ·∇θn+1 =gn+1, un+1 =gn+1 0,sobre Γ0, αν ∂un+1 ∂n −γpn+1 =gn+1 1−βν ∂un+1−θ ∂n ,sobre Γ1, θn+1 =hn+1 0,sobre ∂Ω. Con esto tendr´ıamos ya computado nuestro θ-esquema. Observemos que ahora nuestros subproblemas se han complicado porque en todos ellos tenemos que resolver sistemas no lineales;. Aunque compar´andolo con el sistema inicial, (5.9), s´ı que es cierto que se ha simplificado puesto que ese ten´ıamos dos t´erminos no lineales y ahora s´olo tenemos un t´ermino no lineal en cada problema. En este caso cabe esperar que de nuevo lo mejor sea escoger α= (1 −2θ)/(1 −θ) y β=θ/(1 −θ) para intentar as´ı reducir la memoria usada al resolver, Conforme a la elecci´on de θesperamos que la mejor elecci´on sea tomar θ= 1 −1/√2. Lo ideal en la pr´actica ser´ıa que pudi´eramos linealizar el esquema de forma que no perdamos generalidad. Para ello la linealizaci´on m´as natural que se nos puede ocurrir es sustituir en la primera fase de la computaci´on, el t´ermino un+θ·∇θn+θpor el t´ermino lineal un·∇θn+θ. Adem´as con este cambio consegur´ıamos desacoplar el sistema. En el segundo paso de la computaci´on podr´ıamos cambiar el t´ermino (un+1−θ·∇)un+1−θ,por (un+θ·∇)un+1−θ.Y en el ´ultimo paso har´ıamos un cambio an´alogo al primero, cambiar´ıamos un+1 · ∇θn+1 por el t´ermino lineal un+1−θ·∇θn+1.Con estos cambios pasar´ıamos a tener tres subsistemas lineales con dos de ellos desacoplados luego se simplificar´ıa bastante la resoluci´on. Con esto acabamos la aplicaci´on de nuestros m´etodos num´ericos a las ecuaciones de Navier-Stokes y al sistema de Boussinesq y ya podemos pasar a desarrollar el ´ultimo punto de este cap´ıtulo en el que veremos algunas simulaciones de estos problemas. Cap´ıtulo 5. M´etodos num´ericos de paso fraccionario para problemas de valores iniciales 83 5.6. Simulaciones Por ´ultimo en esta secci´on a˜nadiremos algunas de las simulaciones realizadas mediante le programa FreeFrem++. Comencemos viendo una soluci´on aproximada de Navier-Stokes usando el esquema de Peaceman-Rachford en un dominio en el que hay un obst´aculo (ala de avi´on), siendo ν= 0,0025 (coeficiente de Reynolds 400) y ∆t= 0,2. As´ı el problema que se resuelve es        ut+ (u·∇)u−ν∆u+∇p=fen Q, ∇·u= 0 en Q, u=gsobre Σ, u(x, 0) = u0(x) en Ω, (5.10) donde Ω := O\B(Oes una secci´on convexa acotada de todo R2yBes un abierto convexo acotado que representa el perfil de un cuerpo aerodin´amico). La funci´on fes f=k−→ e2es la fuerza de la gravedad, g= 0 sobre ∂B×(0, T) y g=u00 un vector constante sobre ∂O×(0, T) . En este caso hemos tomado el vector u00 = [cos(20 ∗π/180),sin(20 ∗π/180)]t.Adem´as la funci´on u0verifica que u0∈H1(Ω)2y∇·u0= 0,en este caso u0=u00. Para los problemas discretizados en tiempo, se ha usado: (a) La aproximaci´on usual P1−burbuja para la velocidad y P1para la presi´on; para los problemas de tipo Stokes, v´ease [13]. (b) La aproximaci´on P2-Lagrange habitual para los problemas el´ıpticos no lineales, v´ease [2]. Figura 5.1: Campo de velocidad en el tiempo final. 84 5.6. Simulaciones Figura 5.2: Primera componente de la velocidad en el tiempo final. Cap´ıtulo 5. M´etodos num´ericos de paso fraccionario para problemas de valores iniciales 85 Figura 5.3: Presi´on en el tiempo final. Ahora introduciremos tambi´en las simulaciones para el problema anterior (con u0=u00 = [cos(10 ∗π/180),sin(10 ∗π/180)]t) usando el esquema de Strang, que es un θ-esquema con θ= 0,25. As´ı tenemos que tomando ν= 0,0025,y ∆t= 0,1; con coeficiente de Reynolds 400, 86 5.6. Simulaciones Figura 5.4: Campo de velocidad en el tiempo final. Cap´ıtulo 5. M´etodos num´ericos de paso fraccionario para problemas de valores iniciales 87 Figura 5.5: Primera componente de la velocidad en el tiempo final. 88 5.6. Simulaciones Figura 5.6: Presi´on en el tiempo final. Cap´ıtulo 6 Un problema de control para las ecuaciones de Navier-Stokes En este cap´ıtulo vamos a desarrollar el an´alisis y la aproximaci´on num´erica de un problema de control ´optimo (frontera) para las ecuaciones de Navier-Stokes en el caso bidimensional. Para ello nos basaremos en la Secci´on 6.3 de [14]. As´ı estudiaremos la existencia de soluciones ´optimas y daremos el sistema de optimalidad que estas soluciones ´optimas deben cumplir. Tambi´en haremos una semidiscretizaci´on en tiempo y una discretizaci´on en espacio para aproximar el sistema de optimalidad. 6.1. El problema de control Comencemos estudiando cu´al es el problema de control asociado que vamos a estudiar. As´ı consideramos las ecuaciones de Navier-Stokes para un dominio bidimensional Ω acotado con frontera regular Γ en el intervalo de tiempo [0, T] para un cierto T > 0; tenemos que el problema de control es:            ut+u·∇u−ν∆u+∇p= 0 en Ω ×(0, T), ∇·u= 0 en Ω ×(0, T), u=gsobre Γc×(0, T), u= 0 sobre (Γ \Γc)×(0, T), u(x, 0) = u0(x) en Ω, (6.1) siendo Γc⊂Γ la parte de la frontera sobre la que ejercemos el control. Observemos que el control gdebe satisfacer las siguientes condiciones de compatibilidad:        ˆΓc g·n dx = 0, g|t=0=u0|Γc, (6.2) donde ndenota el vector normal a lo largo de Γ. 89 90 6.2. Formulaci´on y an´alisis de un problema de control ´optimo Es decir, exigimos que el control tenga un flujo de masas nulo sobre la frontera en la que ejercemos el control y que adem´as este control coincida con el dato incial en el instante t= 0.La primera condici´on es necesaria debido a la incompresibilidad del fluido y la segunda condici´on se debe a que buscamos que la soluci´on de Navier-Stokes sea suficientemente regular. As´ı la formulaci´on del problema de control ´optimo es: Hallar un control gsobre la frontera y un vector velocidad utales que el coste del funcional: J(u, g) := α 2ˆT 0ˆΩ|u−U|2+β 2ˆT 0ˆΓc (|g|2+β1|gt|2+β2|gx|2) (6.3) sea m´ınimo sujeto a que (u, g)satisfacen (6.1)-(6.2). Donde α, β, β1, β2son constantes positivas. El primer t´ermino es, en realidad, el t´ermino que queremos minimizar; los otros t´erminos han sido introducidos para acotar el control y probar la existencia de uno ´optimo. As´ı, podemos manejar el tama˜no del control gacias a los coeficientes β, β1yβ2. 6.2. Formulaci´on y an´alisis de un problema de control ´optimo En lo que sigue consideraremos los siguientes espacios L2 0(Ω) := {q∈L2(Ω) : ˆΩ q= 0}, Hr,s(Q) := L2(0, T;Hr(Ω)) ∩Hs(0, T;L2(Ω)), curl(H2)(Ω) := nv∈H1(Ω) : ∇·v= 0,ˆΓ v·n= 0o, H1 n(Γ) := ng∈H1(Γ) : ˆΓ g·n= 0o, H1 n0(Γc) := H1 0(Γc)∩H1 n(Γc). Si tomamos Ω acotado de R2con frontera Γ ∈ C2.Sean u∈L2(0, T;H1(Ω)) y p∈ L2(0, T;L2 0(Ω)),tambi´en llamadas las variables de estado. Sea g∈L2(0, T;H1 n0(Γc)) con gt∈L2(0, T;L2(Γc)).Entonces las variables de estado verifican la formulaci´on d´ebil de problema de Navier-Stokes correspondiente, es decir, para casi todo ten [0, T] tenemos:                    hut, vi+a(u, v) + b(u, u, v) + c(v, p) = 0 ∀v∈H1 0(Ω), c(u, q) = 0 ∀q∈L2 0(Ω), (u, s)Γ= (g, s)Γc∀s∈H−1/2(Γ), u(0) = u0∈curl(H2)(Ω), (6.4) Cap´ıtulo 6. Un problema de control para las ecuaciones de Navier-Stokes 91 siendo a(·,·) y b(·,·,·) los operadores ya estudiados en el Cap´ıtulo 1 y c(v, p) := −ˆΩ q∇·v dx. Podemos dar el siguiente teorema que bajo ciertas hip´otesis sobre el control podemos asegurar la existencia y unicidad de las variables de estado. Teorema 6.2.1. Sea Ω∈R2un dominio abierto, acotado con frontera Γde clase C2.Entonces si el control gcumple que: g∈H1/2,1(Σ),(6.5) ˆΓ g·n= 0 (6.6) g(0) = u0|Γ,(6.7) existe una ´unica u∈L2(0, T;H1(Ω)) ∩L∞(0, T;L2(Ω)) y una ´unica p∈L2(0, T;L2 0(Ω)) que resuelven el problema de Navier-Stokes:                    hut, vi+a(u, v) + b(u, u, v) + c(v, p) = 0 ∀v∈H1 0(Ω), c(u, q) = 0 ∀q∈L2 0(Ω), u=gsobre Γ, u(0) = u0∈curl(H2)(Ω), (6.8) en casi todo t∈(0, T).M´as a´un, kuk2 L2(0,T;H1(Ω)) +kuk2 L∞(0,T;L2(Ω)) ≤C(kgk2 H1/2,1(Σ) +ku0k2 H1/2(Γ)), donde Ces una constante que depende de g. As´ı podemos pasar a definir lo que entenderemos por conjunto de soluciones admisibles Adcomo Definici´on 6.2.2. Dado T > 0, u0∈curl(H2)(Ω) yU∈Uad := {U(x, t)∈ C0([0, T]; H1(Ω)) : Ut−ν∇2U+ (U·∇)U∈L∞(0, T;L2(Ω))}.Entonces (u, p, g)es una soluci´on admisible para el problema de control ´optimo si (u, p, g)∈L2(0, T;H1(Ω))×L2(0, T;L2 0(Ω))×H1,1(Γc× (0, T)) ∩L2(0, T;H1 n0(Γc)) es soluci´on de (6.4), el control gsatisface las condiciones de compatibilidad (6.6) y(6.7) yJ(u, g)es finito. El problema de control puede ser formulado as´ı: Dados u0∈curl(H2)(Ω) yU∈Uad encontrar (u, p, g)∈Adtal que el control gminimiza el coste del funcional J(u, g) = α 2ˆT 0ˆΩ (u−U)2+β 2ˆT 0ˆΓc (g2+β1g2 x+β2g2 t) (6.9) con α, β, β1, β2>0. Pasemos a ver que dicho problema de control est´a bien planteado y posee soluci´on. 98 6.4. Aproximaci´on del problema completamente discreto Conclusiones En este trabajo hemos probado varios resultados te´oricos sobre las ecuaciones de Navier- Stokes y el sistema de Boussinesq. As´ı hemos conseguido demostrar que ambos poseen una ´unica soluci´on d´ebil en el caso bidimensional y tambi´en en el caso tridimensional, si tomamos datos suficientemente peque˜nos. Hemos presentado con detalle las propiedades de regularidad de lo que hemos denominado soluci´on d´ebil admisible, v´ease Definici´on 3.1.7. As´ı, se ha intentado dar respuesta al problema que a´un permanece abierto sobre la regularidad de la soluci´on de Navier-Stokes, v´ease [3, 27]. Para ello, hemos necesitado algunos resultados previos, pero podemos observar que lo relevante de la prueba est´a en conseguir buenas cotas (con constantes absolutas o a lo sumo dependientes de un par´ametro q) para una serie de t´erminos, entre ellos l´ım supr→01 r˜Q∗ r(x,t)|∇u|2. Tambi´en hemos querido desarrollar algunos esquemas num´ericos que se usan en la pr´actica para implementar la soluci´on de estas EDPs. Una caracter´ıstica importante que poseen los m´etodos num´ericos que hemos presentado es que son de tipo splitting, tratan de separar las dificultades. Debemos destacar que todo el estudio que hemos realizado tiene una importante aplicaci´on pr´actica tanto en el campo de la implementaci´on de las ecuaciones como para dar fiabilidad al modelo frente a otros. Es decir, la aplicaci´on de los resultados obtenidos se abre al vasto campo de fen´omenos modelados por EDPs no lineales. Tambi´en hemos sido capaces de implementar algunos de los esquemas num´ericos estudiados y presentar experiencias num´ericas. As´ı, hemos estudiado las ecuaciones de Navier-Stokes en torno a un obst´aculo que en la pr´actica podr´ıa ser aplicado al movimiento del aire alrededor del ala de un avi´on Por ´ultimo, hemos analizado brevemente un problema de control ´optimo para las ecuaciones de Navier-Stokes en el caso bidmensional y lo hemos discretizado para as´ı poderlo implementar num´ericamente y hallar un control ´optimo. Quedan muchas cuestiones por estudiar, algunas a´un sin respuesta. Por mencionar algunas, podemos preguntarnos qu´e se puede decir para problemas de control ´optimo para las ecuaciones de Navier-Stokes tridimensionales o para el sistema de Boussinesq y su implementaci´on num´erica. Tambi´en podemos hacernos preguntas en torno a la regularidad de la soluci´on como: ¿qu´e puede decirse en la Proposici´on 1, Proposici´on 2 y en el Teorema B si (u, p) es soluci´on de alg´un otro problema similar? ¿seguir´ıamos teniendo que H1(S) = 0 en otros casos? Tambi´en podemos preguntarnos ¿qu´e ocurre si cambiamos los cilindros parab´olicos Qrdel 99 100 Cap´ıtulo 3 por cilindros adecuadamente deformados?, ¿se podr´ıan mejorar las estimaciones? O, ¿ es posible obtener estimaciones del tama˜no de Sa partir de problemas adjuntos? Por supuesto, adem´as de todas estas preguntas tambi´en est´a la ya mencionada pregunta del Milenio sobre la regularidad de la soluci´on. Bibliograf´ıa [1] G. Boling, Y. Guangwei, On the suitable weak solutions for the Cauchy-Problem of the Boussinesq equations, Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications, Vol. 26, 1996, pp. 1367-1385. [2] M. O. Bristeau, R. Glowinski, B. Mantel, J. Periaux, P. Perrier, Numerical methods for incompressible and comoressible Navier-Stokes problems, J. Wiley, Chichester, Vol. 6, 1985, pp. 1-40. [3] L. Caffarelli, R. Kohn, L. Nirenberg, Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations, Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. XXXV, 1982, pp. 771-831. [4] A. J. Chorin, J. E. Marsden, A mathematical introduction to fluid mechanics, Springer- Verlag, New-York, 1979. [5] D. Cioranescu, Sur une classe de fluides non-newtoniens, Appl. Math. Optimiz 3, 1977, pp. 263-282. [6] P. Constantin, C. Foias, Navier-Stokes equations, The University of Chicago Press, Chicago, 1988. [7] E. J. Dean, R. Glowinski, On some finite element methods for the numerical simulation for incompressible viscous flow, Cambridge University Press, New York,1993, pp. 109- 150. [8] J. Douglas, H. H. Rachford, On the solution of the heat conduction problem in 2 and 3 space variables, Trans. Amer. MAth. Soc., Vol. 82, 1956, pp. 421-439. [9] H. Federer, Geometric measure theory, Springer-Verlag, New York, 1969. [10] E. Fern´andez-Cara, F. Guill´en, R. R. Ortega, Mathematical modeling and analysis of viscoelastic fluids of the Oldroyd kind, Handbooks of Numerical Analysis, North- Holland, Amsterdam, Part 2, Vol. VIII, 2002, pp. 543-661. [11] D. Fujiwara, H. Morimoto, An L, theorem on the Helmholtz decomposition of vector fields, Tokyo Univ. Fac. Sciences J. 24, 1977, pp. 685-700. [12] R. Glowinski, Numerical methods for fluids (Part 3), North-Holland, Vol. IX, 2013. 101 102 Bibliograf´ıa [13] R. Glowinski, Viscous flow simulations by finite element methods and related numerical techniques, Birkh¨auser, Boston, MA, 1985, pp. 173-210. [14] M. D. Gunzburger, Perspectives in flow control and optimization, Society for Industrial an Applied MAthematics, 2003, pp. 190-208. [15] J. Heywood, The Navier-Stokes equations: on the existence, regularuty and decay of solutions, Ind. U. Math. J., 29,1980, pp. 639-681. [16] D. D. Joseph, Fluid dynamics os viscoelastic liquids, Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New-York, Vol. 84, 1990. [17] P. Kloucek, F. S. Rys, On the stability of the fractional step θ-scheme for the Navier- Stokes equations, SIAM J. Numer. Anal., Vol. 31, 1994, pp. 1312-1335. [18] O. A. Ladyzhenskaya, G. A. Seregin, On partial regularity of suitable weak solutions to the three-dimensional Navier-Stokes equations, J. Mathematical Fluid Mechanics, Vol. 2, 1999. [19] O. A. Ladyzhenskaya, The mathematical theory of theory of viscous incompresible flow, Gordon and Breach, New York, 1969. [20] F. H. Lin, A new proof of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg theorem, Comm. Pure Appl. Math., 51, 1998, pp. 241-257. [21] J. L. Lions, Quelques methodes de resolution des probl´emes aux limites non lin´eaires, Dunod, Paris, Montreal, 1963. [22] P. L. Lions, Mathematical topics in fluid mechanics, Vol. 1: Incompresible models, Clarendon Press, Oxford, 1996. [23] P. L. Lions, B. Mercier, Splitting algorithms for the sum of two nonlinear operators, SIAM J. Numer. Anal., Vol 16, 1979, 964-979. [24] R. L. Panton, Incompressible flow, Wiley Interscience, New York, 1984. [25] D. H. Peaceman, H. H. Rachford, The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations, J. Soc. Ind. Appl. Math., Vol. 3, 1955, pp. 28-41. [26] V. Scheffer, Hausdorff measure and the Navier-Stokes equations, Acta Mathematica, Vol. 176, 1996. [27] R. Temam, Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis, Studies in Mathematics and Applications, Vol. 2, North-Holland Publishing Co., Amsterdm- New York- Oxford, 1977. [28] H. B. Da Veiga, On the suitable weak solution to the Navier-Stokes equations in the whole space, J. Math. pures Appl., Vol. 64, 1985, pp. 77-86. Bibliograf´ıa 103 [29] E. Zeidler, Nonlinear functional analysis and its applications, Springer-Verlag, New York, Vol. IV, 1988.