Modelo de remodelación de callo óseo de fractura de fémur humano

UNIVERSIDAD DE SEVILLA Escuela Técnica Superior de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica y Fabricación Tesis Doctoral MODELO DE REMODELACIÓN DE CALLO ÓSEO DE FRACTURA DE FÉMUR HUMANO Javier García Rodríguez Director: Francisco Javier Martínez Reina Sevilla, Agosto de 2014 ii Agradecimientos Sin lugar a dudas el capítulo más difícil de escribir. Y no es por no tener claro a quien debo agradecerle el que este trabajo al fin vea la luz, sino por no saber cómo expresar tanto agradecimiento a tanta gente en tan poco espacio. Seguro que habrá alguien a quien me deje en el tintero, ruego sepa perdonar la torpeza de este humilde ingeniero. En primer lugar quiero agradecer al Dr. Francisco Javier Martínez Reina, director y tutor de esta tesis, todo el esfuerzo que ha realizado durante estos años, y principalmente en estos últimos meses, para que este trabajo sea hoy una realidad. Horas y horas desarrollando conjuntamente los modelos teóricos, prestando tu colaboración a la hora de la implementación numérica y analizando con ojo crítico pero experto cada uno de los resultados. Muchas gracias por haberme guiado en esta “carrera de fondo”. Al Dr. Alfredo Navarro Robles, profesor con el que tuve la suerte de realizar mi proyecto fin de carrera y que es el responsable, junto con el Dr. Miguel Angel Giraldez, médico traumatólogo del Hospital Virgen del Rocío de Sevilla, de que me enganchara al mundo de la Bioingeniería. Muchas gracias. A todos mis compañeros del Dpto. de Ingeniería Mecánica de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de la Universidad de Sevilla, que durante estos últimos 6 años (si incluimos el proyecto fin de carrera y el master) me han hecho sentir parte de esta gran familia: profesores, becarios, personal del laboratorio, de administración, etc. En especial a mis “vecinos” de despacho, a los de antes y a los de ahora (Mercedes, Laura, Pitu, Roman, Pili, Manuel, Carolina, Guido, Juanma, Sara), por haber sido también partícipes de todo este trabajo soportando las largas horas de debate entre Javi y yo. En serio, muchas gracias. Y si crucial ha sido el apoyo científico de todos ellos, no menos importante ha sido el humano e incluso divino de todos aquellos que han estado detrás mía y que con su aliento y consejos han hecho posible todo esto: mi comunidad, mis “Wendos”, mi SanRoqueFORT. iii iv Nombrarlos a todos sería imposible, nombrar solo a algunos una injusticia. Vosotros sabéis mejor que nadie lo que esta tesis ha significado para mí, muchas gracias. A mis padres: soy lo que soy gracias a vosotros y todo lo que tengo es gracias a vosotros. No hay palabras ni obras que compensen todo lo que me habéis dado, material y espiritual. A mis hermanos, porque gracias a vosotros he aprendido lo que significan conceptos como amistad incondicional, todo de todos, apoyo, etc. Al resto de amigos y familiares que habéis contribuido en lo mucho y en lo poco a que sea lo que soy. Y por último a vosotros: a mi mujer, a mi amiga, a mi compañera. Todo el que me conozca un poquito sabrá que esto no habría sido posible sin tu apoyo, tu comprensión y tus ánimos en todo momento, en los buenos y sobre todo en los malos. A mis hijos Daniel y Álvaro, la alegría de mi casa. Solo Dios sabe las veces que me habéis hecho ver lo que realmente importa en esta vida, instantes en los que una simple sonrisa hacían que olvidara por completo todos los malos momentos. Y aunque dicen que los niños traen un pan bajo el brazo, mi tercer hijo, Dios lo tenga en su Reino, me ha traído una tesis. A Dios. Agosto, 2014. Índice general 1. Introducción 1 1.1. Revisión histórica de los modelos de comportamiento de hueso ........ 3 1.1.1. Remodelación ósea. Revisión histórica .................. 3 1.1.2. Modelos matemáticos de remodelación ósea. Revisión histórica . . . . 6 1.1.3. Composición y propiedades del callo óseo de fractura. Revisión histórica 10 1.2. Objetivos fundamentales de la tesis ........................ 12 1.3. Descripción de la tesis ............................... 13 2. Estructura, composición y propiedades del hueso 15 2.1. Introducción ..................................... 15 2.2. Estructura del tejido óseo ............................. 16 2.3. Composición del tejido óseo ............................ 17 2.3.1. Matriz extracelular ............................. 17 2.3.2. Tipos de células óseas y su función .................... 21 2.4. Morfología del fémur ................................ 22 2.5. Fractura ósea del fémur .............................. 24 2.6. Remodelación ósea ................................. 27 2.6.1. Remodelación ósea interna ........................ 27 2.6.2. Remodelación ósea externa ........................ 30 2.7. Propiedades mecánicas ............................... 34 2.7.1. Heterogeneidad ............................... 35 2.7.2. Anisotropía ................................. 36 3. Composición del tejido fibroso 41 3.1. Introducción ..................................... 41 3.2. Selección de muestras ............................... 42 v vi ÍNDICE GENERAL 3.3. Preparación de las muestras ............................ 43 3.4. Determinación de la humedad de la muestra ................... 44 3.5. Determinación de la fracción de ceniza de la muestra .............. 45 3.6. Análisis elemental de las cenizas ......................... 47 3.7. Resultados experimentales ............................. 50 3.7.1. Composición volumétrica de los componentes mineral, colágeno y agua 50 3.7.2. Composición elemental de las cenizas ................... 58 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso 61 4.1. Introducción ..................................... 61 4.2. Materiales compuestos con inclusiones diluidas: Solución de Eshelby . . . . . 62 4.2.1. Método de homogeneización de Mori-Tanaka .............. 68 4.2.2. Método de Ferrari y Johnson para inclusiones con orientaciones aleatorias .................................... 69 4.2.3. Self-Consistent Scheme .......................... 72 4.3. Inclusiones periódicas ............................... 75 4.4. Modelo micromecánico propuesto ......................... 77 4.4.1. Propiedades de los componentes básicos ................. 80 4.4.2. Propiedades de las fases .......................... 81 4.4.3. Propiedades del tejido fibroso compacto ................. 84 4.4.4. Propiedades del tejido poroso ....................... 88 4.5. Resultados del modelo micromecánico del tejido fibroso ............ 93 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea 101 5.1. Introducción .....................................101 5.2. Revisión histórica ..................................102 5.2.1. Ley de Wolff ................................102 5.2.2. Primeros modelos matemáticos ......................103 5.2.3. Modelos continuos de remodelación ósea .................104 5.3. Modelo Isótropo de Stanford ...........................106 5.3.1. Acomodación celular ............................112 5.4. Modelo Anisótropo basado en la Mecánica del Daño de Doblaré y García . . 113 5.5. Modelo de remodelación ósea externa .......................121 5.5.1. Cómputo de las normales .........................122 5.5.2. Proyección de las variables ........................125 ÍNDICE GENERAL vii 5.6. Modelo de elementos finitos de un fémur proximal humano. ..........130 5.6.1. Definición de la malla geométrica .....................130 5.6.2. Aplicación de las cargas ..........................132 5.6.3. Condiciones de contorno ..........................135 5.7. Simulaciones y resultados .............................135 5.7.1. Propiedades mecánicas ...........................142 5.8. Conclusiones ....................................143 6. Modelo de remodelación ósea propuesto 149 6.1. Introducción .....................................149 6.2. Revisión histórica ..................................150 6.2.1. Modelo de BMUs de Hernandez ......................150 6.2.2. Modelo de BMUs de Hazelwood .....................151 6.3. Modelo isótropo basado en la actividad de BMUs de García-Aznar . . . . . . 153 6.3.1. Introducción ................................153 6.3.2. Actividad de las BMUs ..........................155 6.3.3. Balances de materia ............................160 6.4. Remodelación ósea externa en el modelo mecanobiológico ...........168 6.4.1. Curvas de respuesta ante estímulo superficial ..............168 6.4.2. Balances de materia en ROE .......................173 6.4.3. Remallado y mapeado de las variables ..................177 6.5. Aplicación del modelo de ROIE a la diáfisis de un fémur humano .......177 6.5.1. Resultados .................................181 6.5.2. Simulación 1000ROI ............................181 6.5.3. Simulación 9000ROIEE ..........................183 6.5.4. Simulación 1000ROIEEP .........................192 6.5.5. Evolución temporal de la sección de la diáfisis ..............193 6.6. Conclusiones ....................................197 7. Aplicación del modelo propuesto a la remodelación de un callo de fractura199 7.1. Introducción .....................................199 7.2. Geometría del callo óseo de fractura .......................200 7.3. Modelo músculo-hueso ...............................204 7.4. Simulación del proceso de remodelación del callo ................213 41. Introducción la eficacia mecánica de dicho tejido. Ward [234] ahondó en esta idea de minimizar tejido y maximizar rigidez comparando la microestructura de la cabeza del fémur (disposición del tejido cortical y trabéculas del esponjoso) con la forma triangular del soporte de una farola (fig. 1.1). Figura 1.1: Comparación entre la estructura soporte de una farola y la orientación del tejido trabecular en la cabeza del fémur [234]. Conforme avanza el siglo XIX se van sucediendo estudios que empiezan a reforzar esta idea de optimalidad y comienzan a aparecer los primeros conceptos asociados directamente con la remodelación ósea. Uno de ellos es el de trajectorial theory, término acuñado por Wolff [240], que defendía la idea de que las trabéculas del tejido esponjoso se alineaban con las direcciones principales de tensión. Culman, ingeniero alemán de la segunda mitad del siglo XIX, y según un artículo publicado por Roesler sobre el origen de algunos conceptos de biomecánica ósea [203], se sorprendió cuando, al visitar a von Meyer, un anatomista conocido suyo [232], observó que algunos dibujos hechos por este sobre la disposición de las trabéculas se asemejaban a algunos de sus estudios sobre las trayectorias de las direcciones principales de tensión en una columna diseñada por Fairbairn (fig. 1.2). Las ideas que introdujeron Bernard y Roux a finales del siglo XIX también contribuyeron a asentar las bases de futuros modelos matemáticos. Bernard fue pionero en estudiar el concepto de homeostasis en fisiología, por el cual todos los sistemas fisiológicos evolucionan para intentar mantener constante una determinada variable física. Roux [205] por su parte defendió que todos los sistemas biológicos sufrían una adaptación funcional en función de los cambios que se producían en sus condiciones de vida, a semejanza de lo expuesto por Darwin en su famoso El 1.1. Revisión histórica de los modelos de comportamiento de hueso 5 origen de las especies [45]. Figura 1.2: Comparación entre la columna de Fairbairn y la arquitectura trabecular del fémur. Adaptado de Wolff [240]. El cirujano alemán Wolff observó que los cambios en el estado tensional de los huesos llevaban aparejado un cambio en su estructura y/o forma, adaptándose de una forma más eficiente a las nuevas solicitaciones [240]. Esta adaptación ocurre por el proceso conocido como remodelación ósea. Frost [69] definía dos tipos de respuesta en función de la zona donde se produce esta adaptación: remodelling o remodelación interna, en el que el tejido se adapta cambiando su composición y/o estructura, y modelling o remodelación externa, en el que el hueso cambia su forma geométrica. Muchos estudios han corroborado las observaciones de Wolff desde un punto de vista experimental, principalmente en el caso de la remodelación interna, aunque también en el caso de la externa. Carter [27] comprobó que la atrofia y la hipertrofia estaban controladas por un desuso o sobrecarga severa, mientras que para casos de carga moderada no existía respuesta remodelatoria por parte del tejido. Lanyon [129] estudió la influencia de la forma de trabajo del hueso en el desarrollo de la curvatura del mismo mediante experimentos en tibias de rata, probando que la presión ejercida por la musculatura circundante ante una actividad normal provocaba un aplanamiento en la superficie del hueso. En el caso de la tibia, la acción de los músculos que rodean la diáfisis originaban la forma triangular de dicho hueso. Otros estudios similares han llegado a la misma conclusión en niños [192], humanos adultos [145], 61. Introducción perros [58], gatos [159] e incluso en elefantes [213]. Lanyon y Rubin realizaron una serie de experimentos en pavos [131] y gallos [206] que demostraban la actividad remodelatoria en casos de desuso, tanto por aumento de la porosidad (remodelación ósea interna) como por aumento del diámetro del endosteo (remodelación ósea externa). Estos mismos autores estudiaron el tipo de estímulo mecánico que controlaba el proceso de remodelación [207], llegando a la conclusión de que era el nivel de deformación el que lo controlaba. Así mismo comprobaron que el valor del estímulo de equilibrio con el cual el tejido no sufría adaptación cambiaba en función del hueso e incluso de la zona del mismo. Leichter y cols. [137] realizaron un experimento con humanos: midieron la densidad del tejido óseo a un grupo de reclutas (18-21 años) antes y después de un programa de entrenamiento de 14 semanas, demostrando que se podían lograr incrementos significativos en la densidad ósea del hueso (alrededor de un 7.5 %) en un período relativamente tan corto. En comparación con las numerosas evidencias empíricas del proceso de remodelación ósea, el modelado matemático de dicho proceso aún no ha sido capaz de reflejar todos los procesos involucrados en esta actividad. Sin embargo, grandes avances se han hecho desde que el propio Wolff comenzara a caracterizar este comportamiento con ecuaciones matemáticas. A continuación se presentan algunos de ellos, aunque en los capítulos 5y6se hará una revisión histórica en profundidad de los más importantes. 1.1.2. Modelos matemáticos de remodelación ósea. Revisión histórica Los primeros modelos matemáticos del proceso de remodelación aparecen conjuntamente con los primeros computadores. Uno de ellos fue el propuesto por Pauwels [186], que propuso la tensión local como magnitud que regulaba el proceso de remodelación, postulando la existencia de una tensión óptima a la cual no se producía remodelación. Kummer [127] también propuso un modelo parecido al de Pauwels, formulando matemáticamente la relación tensión/cambio de masa mediante una ecuación cúbica. Cowin y Hegedus [40] proponían un modelo continuo para el tejido óseo como un material poroelástico, con una fase sólida (matriz ósea) rodeada por un fluido (médula ósea) que intercambian masa, cambiando así la composición y, por tanto, las propiedades del tejido. En un trabajo posterior Firoozbakhsh y Cowin [62] ampliaban el modelo a más casos de carga e incluían el efecto de la remodelación ósea externa. El propio Cowin [37] fue también el primero en proponer un modelo de comportamiento mecánico para el tejido esponjoso a través del fabric tensor. 1.1. Revisión histórica de los modelos de comportamiento de hueso 7 Carter [30], ahondando en las ideas de Pauwels y Kummer, propuso la existencia de una magnitud que el hueso intenta mantener en equilibrio homeostático, en cuyo caso no existía remodelación ósea. Él es el primero en aproximarse a la idea de estímulo mecánico, que en su caso postuló como dependiente de la historia de carga reciente. También Carter intentó modelar el comportamiento del tejido trabecular mediante una definición análoga a la del estímulo mecánico, pero que en este caso era una medida vectorial y no escalar [31]. El trabajo de Huiskes y cols. [105] supuso una novedad al proponer que fuera la deformación (y no la tensión como en modelos anteriores) la que jugaba el papel determinante en la actividad remodelatoria. Huiskes, además, introdujo el concepto de “zona muerta” o de equilibrio en la cual, ante variaciones pequeñas del estímulo, no se producía remodelación. Con todo lo anterior como base, Beaupré y cols. [6,7] elaboraron un modelo isótropo de remodelación ósea conocido como modelo de remodelación ósea interna isótropa de Stanford en el que, utilizando la historia de carga tal y como propone Carter, evaluaban el estímulo mecánico y planteaban una ley de evolución de la densidad del tejido, la cual consideraban como la variable de estado, a través de una variable llamada velocidad superficial de reabsorción o formación ósea, ˙r. Mas tarde Jacobs [109] extendió este modelo al caso anisótropo usando modelos basados en la energía y en las tensiones pero fallidos en cuanto a que no eran capaces de reproducir la anisotropía del hueso de forma razonable. Por este motivo, García-Aznar [75] planteó un modelo propio anisótropo basado en la Mecánica del Daño de forma análoga al caso de materiales inertes en la mecánica clásica. Todos los modelos de remodelación ósea expuestos hasta ahora tienen una cosa en común: son todos modelos del tipo estímulo-respuesta, en los que solo se cuantifica dicha respuesta sin llegar a modelar cómo se produce a nivel biológico. A este tipo de modelos se les conoce como fenomenológicos. En la literatura existe otro gran grupo de modelos de remodelación ósea en los que sí se intenta modelar los procesos biológicos internos que llevan a las células óseas a reabsorber o formar tejido ante un determinado estímulo. A estos modelos se les conoce como mecanobiológicos. Uno de los primeros modelos que cuantificaba la actividad celular fue el modelo de adaptación ósea de hueso esponjoso de Huiskes y cols. [104]. La magnitud que controla el proceso según estos autores era la velocidad de variación de la densidad de energía de deformación, la cual era transmitida por los osteocitos hasta las células de borde, situadas sobre la superficie libre del tejido. Era precisamente la elección de esta variable la que dificultaba la aplicabilidad de este modelo, ya que requería de modelos microscópicos que lo 81. Introducción hacían muy costoso computacionalmente. Hernandez [94] tomó como punto de partida el algoritmo de remodelación ósea interna isótropa de Stanford, que es un modelo fenomenológico, y adaptó la ecuación fundamental de cambio de densidad para tener en cuenta los procesos biológicos implicados. Hernandez, a diferencia de Huiskes, sí tenía en cuenta la actividad de la BMU en su conjunto, la secuencia ARF de remodelación interna y la mineralización posterior del tejido formado. Además, aplicaba su modelo tanto a tejido cortical como trabecular. Quizás la mayor limitación del modelo era que la actividad remodelatoria estaba modelada como un proceso puramente biológico, pues el estímulo mecánico se consideraba constante en todo el proceso. Hazelwood [90], por su parte, sí que tenía en cuenta el estímulo mecánico como magnitud que controla el proceso y postulaba que las BMUs se activaban debido a cargas muy bajas (desuso) o muy altas (daño), aumentando la porosidad del tejido o reparando el daño producido por fatiga. Taylor y sus colaboradores han desarrollado una intensa labor de investigación sobre el daño en el tejido óseo, que ha dado lugar a numerosas publicaciones [219–222]. En uno de sus modelos, Taylor [219] utilizaba una función de densidad de probabilidad de Weibull, típico del análisis de fiabilidad de materiales, para predecir la posibilidad de fallo por fatiga que puede sufrir un hueso sometido a carga cíclica. En una revisión posterior, Taylor y cols. [220] tenía en cuenta la actividad de las BMU como fuente de reparación del daño acumulado por fatiga. Sin embargo, el caso de desuso no ha sido contemplado por estos autores. García-Aznar y cols. [76] desarrollaron un modelo isótropo mecanobiológico basado en la actividad de las BMUs que incluía, como novedad fundamental, que no solo la porosidad sino también el daño era una variable a tener en cuenta en la estimación de las propiedades mecánicas del tejido. Así mismo, incluía el efecto de acomodación celular en el tejido vivo: el estímulo mecánico de equilibrio para el cual no se produce remodelación no era constante, sino que se adaptaba al estimulo mecánico al que es sometido el tejido [224]. Esta adaptación se ajusta a la evidencia experimental de que un desuso prolongado no significa una reabsorción completa del tejido a largo plazo, tal y como predecían los anteriores modelos, sino solo una reducción controlada de su masa. El modelo de García-Aznar y cols. [76], sin embargo, trataba la mineralización del tejido formado de forma aproximada. En dicho modelo, se suponía que todo el tejido formado en un elemento era mineralizado de igual forma a una velocidad que dependería del contenido mineral promedio del elemento. Sin embargo, la velocidad de mineralización del tejido debe depender del tiempo que lleve formado cada porción de osteoide dentro de dicho elemento. 1.1. Revisión histórica de los modelos de comportamiento de hueso 9 Martínez-Reina y cols. [151], en un trabajo posterior junto con el propio García-Aznar, sí modelaba la mineralización del tejido teniendo en cuenta dicha variabilidad de la velocidad de mineralización dentro del elemento. Una cosa en común tienen todos los modelos de remodelación expuestos hasta ahora: se centran en la remodelación ósea interna. La razón de que casi ninguno de ellos incluya la modelización de la remodelación ósea externa puede estar fundamentada en que dicha adaptación por parte del hueso ocurre mucho menos a menudo. En efecto, es mucho más costosa desde el punto de vista biológico que la remodelación interna: si el hueso necesita aumentar su rigidez, por ejemplo, siempre le resultará mucho más sencillo reabsorber tejido poroso y formar tejido más denso que aumentar su sección, lo cual conllevaría un desplazamiento de los tejidos blandos circundantes, entre otras cosas. Sin embargo, una cosa es clara en lo que se refiere a la reparación del callo de fractura ósea, objetivo principal de esta tesis: igual de importante es la sustitución del tejido formado durante los primeros días posteriores a la fractura (el cual tiene unas propiedades mecánicas muy deficientes) como la remodelación ósea externa del callo para conseguir la reabsorción del mismo. Entre los pocos modelos anteriores que sí incluían el efecto acoplado de la remodelación ósea interna-externa estaban el de Huiskes [105] y el de García-Aznar [75]. Como ya se comentó anteriormente, Huiskes y cols. [105] plantearon un modelo utilizando la energía de deformación como la variable que controlaba el problema de la remodelación. En dicho modelo, además de dar una ley de evolución del módulo de elasticidad en función de la diferencia entre dicha variable y su valor en el equilibrio, proporcionaban una ley similar (solo cambia el valor de un parámetro) del desplazamiento de la superficie exterior en dirección normal a la misma. Beaupré y cols. [6,7], utilizando el modelo isótropo de Stanford, plantearon un modelo combinado de remodelación ósea interna y externa. La variación de las coordenadas de los nodos del contorno se calculaba directamente como la velocidad superficial de remodelación, ˙ren dicho modelo. Fridez y cols. [64,65] proponían dividir el estímulo mecánico en dos contribuciones, una para cada tipo de remodelación, a través de un parámetro βque debía ser ajustado. Estos autores particularizaron su modelo general al planteado por Huiskes y cols. [105]. García-Aznar [75] utilizaba la idea de Fridez en su modelo combinado. En este caso, en lugar de dividir el estímulo, lo que se dividía en dos partes era la respuesta ósea directamente, es decir, ˙r: la velocidad superficial de remodelación ósea interna, ˙ri, y la velocidad superficial de remodelación ósea externa, ˙re, de modo que ˙r= ˙ri+ ˙re. El parámetro βutilizado para 10 1. Introducción el reparto también debía ser ajustado. Todos los modelos anteriores de remodelación ósea externa comparten una característica común: el estímulo mecánico interno es el que marca, de alguna forma, el movimiento de la superficie exterior del hueso. Sin embargo, tal y como se ha comentado anteriormente, muchos estudios experimentales demuestran que la forma externa de los huesos, en especial los huesos largos de las extremidades, están determinados, en gran medida, por la actividad de la musculatura [58,129,145,159,213], en concreto por la presión que ejerce sobre los huesos. Carpenter y Carter [26] desarrollaron un modelo que incorpora la influencia de este estímulo mecánico superficial en la respuesta remodelatoria. En este modelo, sin embargo, existen una gran cantidad de variables que, ante la imposibilidad de ser medidos directamente, son supuestos por los autores. De este modelo se hablará más en detalle en el capítulo 6. 1.1.3. Composición y propiedades del callo óseo de fractura. Revisión histórica El estudio de la composición y microestructura del tejido óseo, así como de sus propiedades mecánicas, ha estado presente en la literatura prácticamente desde que se comienza a investigar en biomecánica. Una breve revisión histórica sobre dichos trabajos, especialmente los relacionados con el tejido fibroso que compone el callo óseo de fractura, se muestra a continuación. En los años 90, una serie de artículos del grupo de investigación dirigido por Palumbo [61,144,195] fueron publicados sobre el estudio de la distribución de osteocitos en diferentes tipos de tejidos óseo, entre ellos el tejido fibroso. Dichos estudios son la base para que, en modelos posteriores, se pudiera cuantificar el nivel de porosidad lacuno-canalicular. El tejido óseo que aparece durante el crecimiento de los huesos largos presenta similitudes estructurales con el tejido fibroso que aparece en el callo óseo tras una fractura [71,72, 160,218]. En este sentido, Su y cols. [218] estudiaron la microestructura, composición y propiedades mecánicas a nivel microscópico en secciones de diáfisis de fémur de fetos humanos de 14 - 26 semanas de gestación.. Observaron una mayor desorganización en las fibrillas de colágeno del tejido óseo de las capas exteriores, mientras que en las interiores dichas fibrillas se disponían, preferentemente, en dirección longitudinal, lo que daba lugar a unas propiedades anisótropas en la diáfisis del fémur. Como consecuencia de dicha observación, en un estudio posterior [217], el propio Su junto con otros colaboradores estudiaron la influencia de la disposición de las fibrillas de colágeno en la organización de los cristales de mineral del tejido, observando que dichos cristales tenían, al igual que el caso del tejido lamelar, forma 1.1. Revisión histórica de los modelos de comportamiento de hueso 11 de plaquita, aunque con unas dimensiones menores. Hernandez y cols. [98] también midieron la densidad de osteocitos en el tejido fibroso o “woven bone”, que es el que forma el callo óseo de fractura, obteniendo unos resultados similares a los de Remaggi y cols. [195]. Más recientemente, Morgan y cols. [167] publicaron un artículo en el que exponían algunas cuestiones aún sin resolver sobre la reparación de fracturas óseas: los distintos candidatos que, en distintos trabajos, habían sido propuestos como conductores del proceso de remodelación ósea del callo de fractura (presión hidrostática, flujo de fluido, deformación a cortante, etc.), el modo en el que las señales necesarias para el proceso de reparación eran transmitidas, etc. Una de estas cuestiones era la determinación de las propiedades mecánicas del tejido óseo del callo, y en dos trabajos posteriores en ratas, Leong y Morgan [138,139] realizaron medidas del módulo elástico del callo óseo mediante indentación y su correlación con el contenido mineral. Gardner y cols. [77] estimaron las propiedades mecánicas del callo óseo in vivo midiendo el valor de la atenuación de los rayos X en la zona del callo en radiografías digitalizadas de fracturas en humanos. En cuanto a los modelos de comportamiento del tejido óseo, muchos son los autores que, en los últimos años, han desarrollado distintos modelos micromecánicos. Sin embargo, hasta donde sabemos, ninguno específico para describir el comportamiento mecánico del tejido óseo fibroso. Algunos de los autores que estudiaban el tejido lamelar, concretamente el tejido cortical, usaban técnicas de homogeneización e incluso utilizaban un enfoque multiescala [49,52,79, 123,188,210], aunque no daban una descripción completa de la microestructura jerarquizada propia de dicho tejido. El tejido cortical se caracteriza, como se verá en el capítulo 2, por tener una alta organización desde la escala nano (constituyentes básicos) hasta la escala micro (lamela y osteona). Esta organización tan característica sí era tratada de manera más detallada por dos grupos de investigadores principalmente: el de Hellmich [66,92,93] y el de Cowin [246,247]. Posteriormente, Martínez-Reina y cols. [150] desarrollaron un modelo micromecánico multiescala del tejido cortical a partir del modelo de Yoon y Cowin [246,247] en el que se incluía la variabilidad del contenido de mineral del tejido a la hora de estimar las propiedades de los distintos constituyentes del tejido cortical. 12 1. Introducción 1.2. Objetivos fundamentales de la tesis De la revisión histórica realizada anteriormente se desprende que tanto la remodelación ósea externa como el modelado del comportamiento micromecánico del callo óseo de fractura han sido dos temas a los que se les ha prestado relativamente poca atención por parte de los científicos. En lo que a la remodelación externa se refiere, la razón de esta ausencia de trabajos científicos puede estar fundamentada en que este proceso supone un caso anormal en la actividad del tejido óseo maduro de un individuo adulto. En efecto, la adaptación ósea mayoritaria que se produce en el hueso en estos casos es de índole interna, con modificación de las propiedades y/o estructura interna del tejido pero no de la forma externa del hueso. En cuanto al modelado del comportamiento del tejido óseo fibroso para la estimación de sus propiedades, varios aspectos deben ser tenidos en cuenta. Por un lado, el callo óseo de fractura no es un tejido fácil de estudiar, pues se trata de una estructura compleja compuesta por varios tipos de tejido óseo de distinta naturaleza (principalmente tejido óseo fibroso, pero también tejido cartilaginoso). Esto se traduce en una alta heterogeneidad en el callo, tanto en su composición como en sus propiedades. Por otro lado, se trata de un tejido de corta duración, el cual va a sufrir cambios sustanciales tanto interna como externamente en un período relativamente corto, entre 10 y 20 semanas [175]. Con el fin de intentar dar respuesta a estas dos grandes cuestiones, los objetivos de esta tesis pueden dividirse en dos bloques: por un lado la obtención de un modelo micromecánico para estimar las propiedades del tejido óseo fibroso, y por otro lado el desarrollo de modelos combinados de remodelación ósea interna y externa capaces de simular los procesos mecánicos y biológicos que se producen en la actividad remodelatoria de dicho callo de fractura. Los objetivos principales de esta tesis son: Conocer la composición y la estructura interna del tejido óseo fibroso. Desarrollar un modelo micromecánico capaz de estimar las propiedades mecánicas del tejido óseo fibroso a partir de la composición y estructura del mismo. Comprobar la bondad de distintos modelos de remodelación ósea interna existentes para el caso de la remodelación del callo óseo de fractura. Diseñar un modelo de remodelación ósea externa fenomenológico que incluya la carga superficial que los músculos ejercen sobre el hueso como una variable del modelo e integrarlo en un modelo conjunto de remodelación ósea interna y externa. 1.3. Descripción de la tesis 13 Estimar la variación de dicha carga superficial por la existencia de un callo óseo de fractura. Simular numéricamente el proceso completo de remodelación ósea del callo óseo de fractura: estimar las propiedades del callo óseo utilizando el modelo micromecánico, incluir dichas propiedades en una malla de elementos finitos real del hueso y el callo de fractura, y simular la remodelación ósea interna y externa que se produce. 1.3. Descripción de la tesis A continuación se realiza una breve descripción de los distintos capítulos que conforman este trabajo. El capítulo 2sirve de introducción teórica a la componente biológica del trabajo. Se hará una descripción de la biología ósea implicada en el proceso de remodelación ósea y se comentarán las distintas microestructuras presentes en el hueso, su composición y su importancia en las propiedades finales. Así mismo se explicará brevemente cómo se comporta el hueso desde un punto de vista mecánico. En el capítulo 3se describen las medidas experimentales sobre muestras de tejido óseo que han sido realizadas para conocer la composición del mismo. Cualquier tejido óseo esta compuesto, principalmente, de mineral de calcio, colágeno y agua en distintas proporciones. El cambio en esta composición, junto con la estructura particular del tejido, afectará a las propiedades mecánicas de dicho tejido. Una vez conocida la composición exacta del tejido, es posible desarrollar un modelo micromecánico del tejido existente en el callo óseo conocido como tejido óseo fibroso o woven bone para la estimación de sus propiedades mecánicas, que será realizado en el capítulo 4. Una vez que se dispone de una estimación de las propiedades del tejido óseo fibroso es el momento de trabajar con el posterior proceso de remodelación ósea. Los modelos de remodelación ósea pueden dividirse en dos grupos en función de la forma de abordar el problema: los modelos fenomenológicos y los modelos mecanobiológicos. El capítulo 5 se centra en el primer grupo, que pretende modelar el problema como una simple “caja negra” en la que un determinado estímulo mecánico produce una actividad remodelatoria que provoca cambios en la rigidez del tejido. Tras una breve revisión histórica de estos modelos se detallará el que sirve de base para este capítulo, el modelo isótropo de Stanford, así como un modelo anisótropo basado en la mecánica del daño. También se explicará el modelo de remodelación ósea externa utilizado junto con este modelo fenomenológico. Los 20 2. Estructura, composición y propiedades del hueso másica de la matriz ósea: Mh+Mc+Mw=Mb(2.4a) mh=Mh Mb mc=Mc Mb mw=Mw Mb          ⇒mh+mc+mw= 1 (2.4b) donde Mbes la masa de tejido y Mxymxson las masas y fracciones másicas del compuesto xen el tejido, respectivamente. La densidad del tejido, ρb, será por tanto: ρb=Mb Vb =Mb Mh ρh+Mc ρc+Mw ρw =1 mh ρh+mc ρc+mw ρw (2.5) donde ρxes la densidad del compuesto xen el tejido. Por otro lado se tiene, a partir de la definición intrínseca de la variable relativa respecto a la variable absoluta, lo siguiente: Mx=mxMb Mx=ρxVx=ρxvxVb  ⇒vx=mx Mb Vbρx =mx ρb ρx (2.6) Sustituyendo la ec. (2.5) en (2.6) se tiene una expresión que relaciona el contenido en masa de cada componente del tejido con su contenido en volumen a través de las densidades de sus distintos compuestos: vx=mx ρx(mh ρh+mc ρc+mw ρw)para x=h, c, w (2.7) La fracción de ceniza es un parámetro que caracteriza el grado de mineralización del tejido y, por tanto, las propiedades mecánicas. En capítulos posteriores se hará un uso intensivo de esta variable. Baste ahora con conocer su definición formal, esto es, la fracción másica de cenizas en una muestra seca, que para el caso del tejido óseo será la masa de mineral dividida por la suma de la masa de mineral y la masa de colágeno, es decir, eliminando el agua: α=Mh Mh+Mc =Vhρh Vhρh+Vcρc =vhρh vhρh+vcρc (2.8) donde ρh= 3.12 g/cm3yρc= 1.43 g/cm3son, respectivamente, las densidades del mineral y del colágeno [134]. 2.3. Composición del tejido óseo 21 2.3.2. Tipos de células óseas y su función Las células óseas son las encargadas de proporcionar al hueso su capacidad de remodelación. Así, el hueso reconoce de alguna forma dónde es necesario cambiar sus propiedades mecánicas o su forma (por un defecto, por ejemplo) debido a las cargas a las que es sometido y desencadena una serie de señales bioquímicas que activan las células encargadas del proceso remodelatorio. Existen 4 tipos diferentes de células óseas que se aprecian en la fig. 2.4, cada una con un rol concreto en este proceso: Osteoclastos: son células multinucleadas cuya misión es la de reabsorber el tejido óseo, tanto el dañado para su posterior reparación, como el que no soporta carga. Son producidas por la médula ósea, y tienen un borde rugoso en contacto con la matriz ósea donde segrega ácidos que hacen disminuir el pH y disuelven la fase mineral del tejido [21]. A continuación reabsorben la fase orgánica con la acción de enzimas, avanzando hacia el interior del tejido a una velocidad de decenas de micras al día [148]. Al finalizar la reabsorción reciben una señal de tipo bioquímica y sufren apoptosis (suicidio celular programado). Osteoblastos: son células mononucleadas cuya misión es la de formar la fase orgánica del tejido: el osteoide. No forman mineral, este aparece durante la fase de mineralización desplazando el agua del tejido. Los osteoblastos son producidos tanto en la médula ósea como en la capa interna del periosteo bajo ciertos niveles de estímulo mecánico [148]. Siguen a los osteoclastos (siguiendo una señal bioquímica) [187] rellenando la cavidad de reabsorción con osteoide a una velocidad aproximada de 1µm/día [148]. Una vez completada su misión pueden sufrir apoptosis o diferenciarse a osteocitos o a células de borde. Osteocitos: son osteoblastos que han quedado atrapados dentro de la matriz ósea. Al diferenciarse cambian su forma y aparecen unas ramificaciones que ocupan los túneles de la matriz y les permite conectarse entre sí y con las células de borde. Mas del 90 % de las células óseas son osteocitos, y tienen un papel fundamental en la transmisión de señales en el tejido óseo [163,191]. Células de borde: son osteoblastos que han finalizado su misión de segregación de osteoide en la superficie de la matriz ósea, por lo que se diferencian y cambian su forma a una más plana y alargada, cubriendo toda la matriz. Su misión principal es la de servir de control de la remodelación, iniciándola. Además sirven como protección de 22 2. Estructura, composición y propiedades del hueso la matriz ósea frente al ataque de agentes químicos existentes en la sangre. Figura 2.4: Micrografía donde se diferencian las 4 células óseas. El osteoclasto multinucleado ha comenzado a disolver el hueso mineralizado, mientras que un osteoblasto antiguo está terminando de depositar osteoide. Se pueden apreciar los osteocitos diseminados por todo el tejido óseo, así como las células de borde que lo recubren a excepción de la zona donde actúa el osteoclasto. Tomada de [3] 2.4. Morfología del fémur Aunque todo lo contenido en este capítulo es válido para cualquier hueso del esquele- to humano, las simulaciones de remodelación ósea se harán posteriormente en modelos de elementos finitos de un fémur humano. Por tanto se hace indispensable conocer algunas nociones básicas de la anatomía de este hueso (fig. 2.5). El fémur es el hueso más largo del cuerpo humano. Se articula en su extremo distal con la tibia, a través de la articulación de la rodilla, y en su extremo proximal con la pelvis (hueso ilíaco), a través de la articulación de la cadera. Con el sujeto de pie en posición vertical se encuentra ligeramente inclinado, de arriba a abajo y de fuera hacia dentro. Además presenta una torsión a lo largo de su eje longitudinal. 2.4. Morfología del fémur 23 Se distingue un cuerpo central o diáfisis y dos extremos o epífisis. Epífisis superior: en ella se aprecia una protuberancia aproximadamente esférica conocida como cabeza del fémur, que sirve de apoyo articular con la cadera. Esta cabeza está conectada al resto de la epífisis por medio del cuello. Además se distinguen otras dos protuberancias más pequeñas, el trocánter mayor y el trocánter menor, que sirven de punto de inserción para diversos músculos. Epífisis inferior: se divide en dos protuberancias laterales de similar tamaño, el cóndilo lateral y el cóndilo medial, separados entre ellos por una depresión articular. En la superficie inferior de ambos cóndilos es donde se produce la articulación con la tibia. Figura 2.5: Fémur humano derecho. Como en todos los huesos largos, la diáfisis del fémur tiene estructura tubular y está compuesta por una capa externa de tejido cortical, limitada por el periosteo que la protege del exterior y por el endosteo que la protege del ataque de agentes químicos que contiene 24 2. Estructura, composición y propiedades del hueso la médula ósea. Esta se encuentra en el hueco interior de la diáfisis, denominado cavidad medular. A efectos del modelo de elementos finitos el fémur se considerará hueco en su zona central, no modelándose la médula ósea. Las epífisis del fémur se componen principalmente de tejido trabecular, rodeado por una fina capa externa de hueso cortical. Las trabéculas se orientan en las direcciones de carga, por lo que en la epífisis proximal se puede observar que dichas trabéculas están prácticamente alineadas con la orientación del cuello del fémur (fig. 2.6). Figura 2.6: Radiografía de la cabeza de un fémur. Tomado de Skedros y Baucom [214]. 2.5. Fractura ósea del fémur Como ya se ha comentado anteriormente, los huesos tienen, entre otras, la función de proteger los órganos internos y soportar las cargas normales a que está sometido el cuerpo durante la actividad diaria. En el desempeño de estas funciones el tejido óseo puede sufrir una interrupción en su continuidad espacial que se denomina fractura ósea. Dicha fractura puede tener distintos grados de importancia, desde microrroturas o fisuras, en las que solo una pequeña parte del tejido muy localizado sufre daño, quedando el resto del hueso intacto, hasta fracturas en las que el tejido se daña de forma evidente. En este último caso se puede distinguir entre fractura completa o incompleta en función de si la fractura afecta a la sección completa del hueso o no. El motivo por el cual se produce una fractura puede ser muy diverso, aunque se suele dividir en tres grandes grupos: Por acción directa: el estado tensional que provoca la fractura es debido a la acción 2.5. Fractura ósea del fémur 25 directa de una fuerza excepcionalmente alta actuando sobre el punto donde se produce la fractura ósea. Por ejemplo: golpear con un objeto contundente sobre un hueso largo. Por acción indirecta: la carga que provoca la fractura no se aplica directamente en el punto donde esta se produce, sino en un punto alejado de la misma. Es un caso típico de acciones de flexión o torsión de huesos largos, por ejemplo en traumatismos por caídas en los que la acción del suelo en los pies provoca la rotura de los huesos de la pierna sometidos a flexión. Por fatiga: el estado tensional que provoca la fractura no es de una intensidad anormal, sino que la acción repetida y continuada en el tiempo va produciendo microgrietas que van dañando progresivamente el tejido y producen finalmente la rotura. Normalmente dichas microgrietas son reparadas por la actividad remodelatoria normal del tejido antes de llegar a la fractura. Sin embargo, en casos de enfermedad, desuso del tejido o simplemente por falta de tiempo, dicha remodelación ósea puede ser insuficiente y una pequeña sobrecarga adicional puede producir la fractura. En el caso particular de esta tesis se está interesado en lo que ocurre después de una fractura de fémur a nivel diafisario, aunque igualmente sería válido para otro hueso largo. A la fractura le sigue un proceso de reparación en el que, a lo largo de distintas fases, el fémur recupera sus propiedades y forma [16,18,87,211,229,230]: A) Fase reactiva 1. Desde el momento en el que se produce la fractura, los vasos sanguíneos dañados causan un hematoma. Esta fase suele ser dolorosa y estar acompañada de inflamación en la zona dañada. 2. Conforme las células sanguíneas van muriendo [17,18], los fibroblastos sobreviven y comienzan a multiplicarse formando un agregado celular que, junto con pequeños vasos sanguíneos, forman el tejido granular [87]. B) Fase reparativa 3. Comienzan a aparecer los primeros signos de osificación: las células de los extremos distal y proximal de la fractura comienzan a diferenciarse en condroblastos y osteoblastos para formar el callo óseo de fractura. Este abultamiento de tejido fibrocartilaginoso termina cerrando la fractura y mineralizándose, restaurando, en parte, la rigidez original [16]. 26 2. Estructura, composición y propiedades del hueso 4. A continuación el tejido fibroso es reemplazado por tejido lamelar: la matriz mineralizada es penetrada por pequeños vasos sanguíneos, que transportan los osteoblastos que inician la formación de tejido lamelar sobre la matriz ósea [16, 18,87]. De este modo la rigidez de la zona aumenta. C) Fase remodelatoria 5. Finalmente tiene lugar la fase de remodelación. El callo sufre una adaptación de su estructura interna y de su forma exterior, y por lo tanto también de sus propiedades mecánicas. Las trabéculas son sustituidas por tejido óseo compacto, formándose hueso cortical para, finalmente, alcanzar unas características similares a las que tenía antes de la fractura. El callo de fractura formado suele tener una sección mayor que la del hueso original, ya que rigideces menores, como la del callo, requieren secciones mayores para soportar la misma carga. Dicho callo óseo, que se produce tanto en la zona externa del periosteo como en la interna del endosteo, se identifica por un abultamiento en la zona de la fractura (fig. 2.7). La posterior remodelación ósea cambiará tanto la microestructura y rigidez del callo como su forma. Figura 2.7: Imagen histológica de una sección longitudinal del callo en formación del metatarso de una oveja. Tomado de Claes y Heigele [34]. 2.6. Remodelación ósea 27 2.6. Remodelación ósea Como ya se ha comentado, el hueso es un material capaz de reparar los defectos que presente su estructura. Pero esta actividad de autoreparación es solo una parte de la gran capacidad de adaptación que posee: el hueso es sensible a las cargas a las que es sometido y adapta su forma y propiedades en consecuencia. A esta capacidad de adaptación se le conoce como remodelación ósea (RO). La remodelación ósea puede dividirse en dos según la parte del hueso donde ocurra: Remodelación ósea interna (ROI): definida por Frost [69] como bone remodelling, tiene lugar en el interior y con ella el hueso adapta su densidad y microestructura y, por tanto, sus propiedades mecánicas. Remodelación ósea externa (ROE): tiene lugar sobre la superficie del hueso, ya sea el periosteo o el endosteo y con ella el hueso adapta su forma externa. Frost [69] definió este proceso como bone modelling. Ambos procesos, aún siendo distintos, pueden darse simultáneamente y tienen como meta regular el estímulo mecánico del hueso dentro de unos valores moderados: ni tan altos que puedan provocar fracturas no deseadas, ni tan bajos que resulten en un hueso poco cargado y, por tanto, ineficiente desde el punto de vista resistente. A esta regulación se le conoce como principio de auto-optimización de Carter [30]. La remodelación, por tanto, elimina material óseo donde no es necesario y lo deposita donde sí lo es. La actividad remodelatoria del tejido óseo es una consecuencia directa de la composición celular y microestructura del tejido óseo, por lo que es necesario conocer cómo funciona biológicamente dicho tejido. 2.6.1. Remodelación ósea interna La remodelación ósea interna supone una compleja sucesión de señales bioquímicas y actividad celular que conlleva primero la reabsorción de hueso (por ser innecesario o por estar dañado) y la posterior formación de tejido nuevo. Este proceso ocurre de manera coordinada gracias a la asociación temporal entre osteoclastos y osteoblastos conocida como BMU (Basic Multicellular Unit) [68,69]. A la secuencia de sucesos que tiene lugar durante el proceso remodelatorio se le conoce como Secuencia ARF [181]. Aunque dicha secuencia estrictamente solo contempla 3 fases (activación-reabsorción-formación, de ahí su nombre) suele extenderse para incluir el proceso completo, quedando dividida en 6 fases: 28 2. Estructura, composición y propiedades del hueso 1. Activación: Como ya se ha visto, en el tejido óseo existe un entramado de osteocitos conectados entre sí y con las células de borde por medio de ramificaciones. Estas discurren por los canalículos, rodeadas de médula ósea que al fluir riega todo el tejido proveyéndolo de nutrientes. Dichas ramificaciones o filamentos son sensibles a las tensiones tangenciales producidas por dicho flujo [122], el cual fluye a través de los canalículos gracias al estímulo mecánico cíclico que los deforma [22]. Si dicho flujo por los canalículos se interrumpe, bien por falta de estímulo mecánico, bien por la presencia de microgrietas, de menor impedancia que los canalículos y que, por tanto, desvían el flujo, los osteocitos envían una serie de señales bioquímicas a las células de borde para que estas activen una BMU y comience el proceso remodelatorio [163,190,191,226]. 2. Reabsorción: Las células de borde son las encargadas de comenzar la remodelación. Según la teoría inhibitoria de Martin [147], su tendencia es la de promover la remodelación en todo momento, pero la señal inhibitoria que reciben de los osteocitos se lo impide. Al dejar de sentirla, segregan una sustancia química, el RANK-L, que es detectada por la proteína RANK de los precursores de los osteoclastos, presentes en la médula ósea, provocando su diferenciación y fusión en osteoclastos maduros. Conjuntamente, las células de borde cambian su forma contrayéndose, dejando libre la superficie del hueso a reabsorber por dichos osteoclastos. Estos comienzan la reabsorción del tejido disolviendo la matriz extracelular y formando un túnel hacia el interior en el hueso cortical (fig. 2.8) y un hueco superficial en el hueso trabecular (fig. 2.9). 3. Inversión: La formación del nuevo tejido corre a cargo de los osteoblastos, pero la activación de estos no es inmediata. En el ser humano ocurre unos 30 días después de la activación de los osteoclastos. Dado que la actividad de los osteoclastos para terminar de horadar una sección en un determinado punto dura unos 24 días, transcurren aproximadamente 8 días en el período conocido como inversión, durante el cual la superficie del hueso que ha quedado expuesta se prepara para recibir el osteoide que formarán los osteoblastos en la siguiente fase. 4. Formación: Los preosteoblastos son formados por diferenciación de células madre mesenquimales y atraídos a las paredes de la cavidad dejada por los osteoclastos por factores químicos. Allí maduran, dando lugar a los osteoblastos que comienzan a depositar osteoide (colágeno y agua) rellenando la cavidad de reabsorción (fig. 2.8 y2.9). Jaworski y Hooper [114] demostraron que los osteoblastos no avanzan con la BMU, sino que al terminar de rellenar la sección en la que han formado osteoide se diferencian a 2.6. Remodelación ósea 29 osteocitos o a células de borde o sufren apoptosis. En otras secciones del hueso será necesario atraer a otros preosteoblastos. Según Roberts y cols. [199], los preosteoblastos mantienen su población dividiéndose por mitosis antes de diferenciarse a osteoblastos, para lo cual es necesario un cierto nivel de estímulo tal y como confirmaron Barou y cols. [4]. El proceso completo de diferenciación dura 60 días. 5. Mineralización: Los osteoblastos solo depositan osteoide, es decir tejido no mineralizado. El mineral comienza a aparecer unos 12 días después de haber sido depositado el osteoide [55,171], al desplazar al agua contenida en este. Al principio esta mineralización es muy rápida, alcanzándose valores del 70 % [95] del valor de saturación en pocos días [178]. A esta fase del proceso de mineralización se le conoce como primaria. A partir de aquí comienza la fase de mineralización secundaria, que se define como el tiempo entre el final de la fase primaria y el instante en el que se alcanza el 95 % del valor de saturación [95,178], y dura entre 6 meses [182] y 2 años [70]. 6. Final de la remodelación: Los osteoclastos sufren apoptosis y la BMU se detiene. Los osteoblastos terminan de rellenar la cavidad y se diferenciarán a osteocitos o células de borde en función de donde hayan quedado atrapados. Dichas células de borde se encargarán de iniciar una futura BMU en esta zona si fuera necesario. Conviene indicar que la actividad de la BMU termina mucho antes de que el tejido se mineralice por completo, puesto que la vida media de una BMU es de unos 100 días (unos 3 meses). Figura 2.8: BMU en hueso cortical. Adaptado de Fridez [64]. 36 2. Estructura, composición y propiedades del hueso Figura 2.12: Resistencia frente a porosidad en el tejido óseo lamelar. Adaptado de McCalden y cols. [158]. fracturas por impacto. Es por ello por lo que el contenido mineral de un tejido mineralizado se mantiene en unos rangos de variación muy estrechos (α∈[0.68 −0.72]), que le confieren una resistencia y rigidez menores pero con un comportamiento más dúctil que el que tendría un tejido completamente mineralizado (sin fase orgánica). En este sentido, Hernandez [94] obtuvo las siguientes correlaciones en humanos para el módulo de rigidez, E, y la tensión última de rotura, σult, con el grado de mineralización y la fracción volumétrica de tejido: E(MPa) = 84370 v2.58 bα2.74 (2.10a) σult (MPa) = 794.33 v1.92 bα2.79 (2.10b) 2.7.2. Anisotropía La anisotropía de las propiedades mecánicas depende de la microestructura, que es diferente para cada tipo de hueso: Hueso cortical: El comportamiento del tejido cortical se puede suponer en primera aproximación transversalmente isótropo, debido a la alineación de las osteonas aproximadamente con la dirección de las cargas que soporta el hueso [153], y a que dichas osteonas presentan una cierta simetría de revolución. Por tanto, el hueso tiene mayor 2.7. Propiedades mecánicas 37 rigidez y resistencia en dirección longitudinal que en dirección transversal. Esta característica puede ser de importancia al tratar implantes intramedulares, puesto que en ellos aparecen tensiones radiales que pueden fracturar el hueso. Además la resistencia de este tipo de hueso es asimétrica: mayor a compresión que a tracción (fig. 2.13). Deformaci´on ( %) Tensi´on (MPa) Longitudinal Transversal Figura 2.13: Curva tensión vs deformación del tejido cortical (a partir de los datos de Reilly y Burstein [193], Arendts y Sigolotto [2] y Dechow y cols. [48]). Hueso trabecular: A medida que la porosidad del tejido óseo aumenta, la rigidez y resistencia del mismo disminuyen. Eso explicaría que dichas propiedades mecánicas en el tejido trabecular sean menores que en el cortical, tal y como se desprende de numerosos estudios [125,172,204,243] (fig. 2.14). Sin embargo, la razón no es solo esa. Aunque el tejido tuviera la misma porosidad, el hueso cortical tiene mejores propiedades debido a la presencia de osteonas que soportan mejor las cargas [197]. La anisotropía del hueso trabecular está directamente relacionada con la forma y/u orientación de los poros del tejido y no tanto con su tamaño, que influye principalmente en la heterogeneidad. Para conocer dicha información se recurre habitualmente a la medida de la anisotropía local de la microestructura, lo cual se hace a partir del fabric tensor definido por medio del concepto de longitud de intersección promedio o MIL (mean intercept length). Este método (fig. 2.15) consiste en trazar líneas paralelas sobre una sección de tejido trabecular y medir la distancia promedio entre dos intersecciones de dicha línea con el 38 2. Estructura, composición y propiedades del hueso material óseo, valor que es función del ángulo θ. Whitehouse y Dyson [238] realizaron medidas para varios valores de θy observaron que en dos dimensiones la variable MIL se ajusta a una elipse cuyos semiejes están alineados con las direcciones principales de tensión según diversos autores [36]: 1 MIL2(θ)=L11 cos2θ+L22 sin2θ+ 2L12 sin θcos θ(2.11) donde L11,L22 yL12 son parámetros que dependen de la microestructura. Si este método se extiende al caso tridimensional se obtiene un elipsoide [88] asociado a un tensor simétrico de segundo orden, el MIL, denotado por L. En ese caso: 1 MIL2(n)=niLijnj(2.12) donde nes el vector unitario en la dirección de la línea de referencia. A partir de L Cowin [36] define el fabric tensor,H, que se normaliza para desacoplar el efecto de la porosidad y la microestructura. En el capítulo 5se profundizará en su uso. H=L−1/2(2.13) Figura 2.14: Curva carga vs desplazamiento del comportamiento biomecánico característico del tejido cortical y trabecular. Tomado de Caeiro y cols. [25]. 2.7. Propiedades mecánicas 39 Figura 2.15: Esquema de una estructura trabecular para la medición de MIL y función 2D resultante. Tomado de Martin y cols. [148]. 40 2. Estructura, composición y propiedades del hueso Capítulo 3 Composición del tejido fibroso 3.1. Introducción La composición del tejido óseo lamelar (cortical y trabecular) a nivel macroscópico es relativamente constante en el tiempo: aunque la secuencia de remodelación afecta a la composición del tejido a nivel local, dichas variaciones se ven diluidas a una escala mayor. Varios estudios se han realizado con el fin de estimar dicha composición, destacando los realizados por Elliott y Robinson [53], Gong y cols. [84] y Biltz y Pellegrino [13] en la década de los 50 y 60. El caso del tejido fibroso que aparece en el callo óseo de fractura es distinto. Poco se conoce sobre la composición real del hueso fibroso y su evolución hasta alcanzar la del tejido lamelar. Quizás se deba al hecho de que es difícil determinar una clara separación entre cuándo un tejido deja de ser fibroso y pasa a ser tejido lamelar, ya que ambos se van entremezclando con la remodelación ósea del callo. O quizás a que, debido al corto período de tiempo en el que el primero existe, la bibliografía no ha prestado mucha atención a su composición. Debido a esto, y con el fin de obtener la composición del tejido fibroso, se han llevado a cabo una serie de medidas sobre muestras de tejido óseo de ovejas. En concreto se han realizado tres medidas distintas a cada una de las muestras, realizadas secuencialmente: 1. Determinación de la humedad del tejido: el contenido en agua. 2. Determinación de la fracción de ceniza del tejido: el contenido mineral. 3. Determinación elemental del mineral: se ha medido la fracción másica de una serie de elementos químicos en las cenizas sobrantes de la medida anterior para conocer la 41 42 3. Composición del tejido fibroso composición de los cristales de mineral (hidroxiapatita pura, impurezas, posibles restos de inquemados, etc). Estas medidas se han realizado en el Servicio de Microanálisis del CITIUS (Centro de Investigación, Tecnología e Innovación) de la Universidad de Sevilla. 3.2. Selección de muestras Los ensayos se realizaron sobre muestras de tejido fibroso obtenidos del metatarso de ovejas a las que se sometió a una distracción controlada en otro proyecto de investigación del grupo [166]. En ese trabajo se seleccionaron 11 individuos adultos de raza merina con edad comprendida entre 3 y 5 años y un peso comprendido entre 50 y 80 kg (tabla 3.1). Con eso se aseguraba que las dimensiones del hueso eran las óptimas para poder llevar a cabo las intervenciones necesarias. A estos animales se les sometió a una intervención quirúrgica para practicarles una osteotomía en el metatarso y colocarles un distractor con el que realizar un proceso de distracción ósea. Después de un período de latencia de aproximadamente 7 días se siguió un protocolo de distracción consistente en un transporte óseo de 1mm/día durante unos 15 días seguido por el proceso de consolidación de la fractura. Las ovejas fueron sacrificadas durante esta etapa de la consolidación, a excepción de dos de estas ovejas que aún no habían sido sacrificadas en el momento de realizar estas determinaciones, ya que se deseaba que hubieran comenzado la etapa de remodelación ósea para otros fines [166]. La zona fracturada de los 9 individuos restantes fueron analizadas mediante tecnologías de análisis de imagen (TAC, radiografías, histologías, etc.) con el fin de descartar aquellos individuos en los que se apreciaran indicios de remodelación para evitar en la medida de lo posible la presencia de tejido lamelar en las muestras (fig. 3.1). Una vez descartados 5 individuos con evidentes signos de actividad remodelatoria, se seleccionaron los 4 individuos restantes en los que dicha etapa no se había iniciado aún y se obtuvieron de ellos 11 muestras de hueso fibroso en total. Con el fin de comparar los resultados obtenidos, así como para validar los protocolos utilizados, se extrajeron 10 muestras de tejido cortical sano del extremo distal de los metatarsos de las 9 ovejas sacrificadas. Estas muestras fueron extraídas de una zona suficientemente alejada del sitio de fractura para asegurar que solo contenían tejido lamelar. De esta forma se pudo comparar la composición de ambos tipos de tejido. 3.3. Preparación de las muestras 43 Oveja Días Días Días Remodelación N◦muestras totales latencia distracción Fibroso Cortical 1 98 8 15 SI - 1 2 79 7 16 NO 4 2 3 35 7 13 NO 1 1 4 161 7 15 SI - 1 5 - 7 17 - - - 6 37 7 14 NO 2 1 7 22 7 13 SI - 1 8 29 7 14 SI - 1 9 17 8 9 SI - 1 10 - 7 14 - - - 11 50 7 15 NO 4 1 Tabla 3.1: Duración de los ensayos en cada una de las 11 ovejas: desde la cirugía para colocar el distractor hasta el sacrificio (totales), desde la cirugía hasta el comienzo de la distracción (latencia) y duración del proceso de distracción (distracción). También se incluye información sobre si en el momento del sacrificio había signos evidentes de remodelación ósea interna. Las ovejas 5 y 10 aún no habían sido sacrificadas en el momento de realizar estas medidas experimentales. 3.3. Preparación de las muestras Las 21 muestras obtenidas de las ovejas (11 muestras del tejido fibroso, Fi, 10 muestras del tejido cortical de control, Ci) fueron tratadas y ensayadas de la misma manera: 1. Las secciones del metatarso se mantuvieron congeladas hasta el momento de su utilización, primero a una temperatura de −80◦C, y un día antes de ser descongeladas se pasaron a un refrigerador a una temperatura de −20◦C. 2. Una vez descongelada, cada sección del metatarso fue limpiada de todo tejido no óseo (piel, músculo, cartílago, etc.), dejando el hueso preparado para la posterior extracción de las muestras de los tejidos de interés. 3. Con la ayuda de una sierra se realizaron diversos cortes a lo largo del metatarso para aislar, por un lado, un trozo de hueso lamelar, cortical en este caso, y por otro, el callo óseo producido por el proceso de distracción ósea. 44 3. Composición del tejido fibroso BMU BMU Figura 3.1: Histología del callo óseo de fractura de la oveja 1, en la que se observó signos de remodelación [166]. En concreto se aprecian 2 BMUs en reabsorción, con las flechas indicando el sentido de avance. 4. Una vez diferenciadas y etiquetadas convenientemente se procedió al molido de cada muestra en un mortero de ágata hasta que el tamaño característico de cada partícula fuera inferior a 1mm. Dicho tamaño fue esencial para conseguir que las posteriores medidas (humedad, ceniza y análisis elemental) fueran lo más exactas posibles. Es muy importante que este molido se realizara sobre un mortero completamente limpio para no introducir impurezas en dichas medidas, y que se hiciera justo antes de los ensayos para evitar la contaminación o que la muestra molida se humedeciera con la propia humedad del aire. 3.4. Determinación de la humedad de la muestra Con esta medida se pretende obtener el contenido en agua de la muestra. El procedimiento es muy simple: se calienta la muestra hasta que el agua se evapora, y se mide la variación en peso que ha sufrido la muestra en el proceso. Sin embargo, y debido a la escasa cantidad de muestra de la que se dispone, fue muy importante seguir fielmente los distintos pasos del proceso para obtener resultados válidos. Todas estas medidas se han hecho siguiendo los protocolos del CITIUS: 1. En primer lugar se debe preparar el recipiente en el que se va a depositar la muestra. 3.5. Determinación de la fracción de ceniza de la muestra 45 Un frasco de cristal completamente limpio se introdujo en una estufa previamente precalentada a (105±2)◦C. Durante 1h el frasco de cristal fue calentado para eliminar cualquier resto de humedad que pudiera contener. Con el fin de evitar la contaminación de la muestra se utilizó una tapa que también fue calentada junto al frasco. 2. A continuación se sacaron frasco y tapa de la estufa y se pesaron ambos conjuntamente en balanza electrónica de precisión 0.1mg. Se devolvieron frasco y tapa a la estufa durante otros 15 minutos y se volvieron a pesar ambos. Se repitió el proceso hasta obtener pesada constante, consistente en obtener una diferencia de pesada menor de 1mg, que representa aproximadamente un 1 % del peso de las muestras. Se enfriaron ambos hasta temperatura ambiente en un desecador para que no absorbieran humedad y se pesaron, registrando un peso en vacío M1. 3. Se añadió la muestra al frasco y se pesaron frasco, muestra y tapa conjuntamente (M2). 4. Se calentó el frasco sin tapar con la muestra junto con la tapa por separado en la estufa durante 1h a (105 ±2)◦Cy se pesaron hasta pesada constante (se repitió todo el proceso hasta que la diferencia de pesadas fue menor a 1mg). Se tapó el frasco con la tapa y se llevó frasco, tapa y muestra secada hasta un desecador, donde se enfrió hasta temperatura ambiente. Se pesó el frasco junto con la tapa y la muestra (M3). Siguiendo este procedimiento todas las pesadas fueron realizadas en las mismas condiciones, a temperatura ambiente. El contenido en humedad de la muestra, β, se define como la fracción en peso del agua eliminada durante el proceso expresada en tanto por uno, es decir, la fracción másica de agua en la muestra (mw): β=mw=Magua Mmuestra =Mw Mh+Mc+Mw =M2−M3 M2−M1 (3.1) 3.5. Determinación de la fracción de ceniza de la muestra Una vez que la muestra fue secada, se determinó el contenido mineral. El proceso para ello es muy similar a la anterior medida: se calienta la muestra hasta que toda la parte orgánica (colágeno) se ha quemado, quedando solo la parte inorgánica (mineral). 1. En primer lugar, y al igual que ocurriera en el caso de la determinación de humedad, hay que preparar el recipiente. En este caso un frasco de cristal no sería válido, ya que 52 3. Composición del tejido fibroso vhvcvwvhvcvw C10.385 0.395 0.220 F10.327 0.559 0.114 C20.376 0.407 0.217 F20.293 0.538 0.169 C30.382 0.405 0.213 F30.316 0.557 0.127 C40.401 0.384 0.215 F40.286 0.605 0.108 C50.414 0.397 0.189 F50.273 0.584 0.143 C60.402 0.390 0.208 F60.195 0.596 0.210 C70.403 0.383 0.214 F70.231 0.621 0.148 C80.405 0.393 0.202 F80.265 0.598 0.137 C90.421 0.379 0.200 F90.262 0.620 0.117 C10 0.391 0.393 0.216 F10 0.312 0.580 0.108 F11 0.322 0.565 0.113 Tabla 3.5: Composición volumétrica en tanto por uno de las muestras de tejido lamelar cortical (Ci) y de las muestras de tejido fibroso (Fi). El test de Welch ha sido realizado para comparar, por separado, la composición volumétrica de mineral, colágeno y agua entre las muestras de tejido cortical y tejido fibroso. Se han encontrado diferencias significativas en los resultados para el mineral entre las muestras de tejido cortical (vh,C = 0.398 ±0.014) y de tejido fibroso (vh,F = 0.280 ±0.041), t(12.6) = 9.0,p < .001; para el colágeno (vc,C = 0.392 ±0.009 yvc,F = 0.584 ±0.027), t(12.4) = −22.1,p<.001; y para el agua (vw,C = 0.210 ±0.010 yvw,F = 0.136 ±0.031), t(12.1) = 7.5,p<.001 (fig. 3.3). Estos resultados sugieren que existe una gran diferencia entre la composición del tejido cortical y el tejido fibroso. Discusión de los resultados Dos resultados destacan a primera vista. En primer lugar la mayor dispersión de las fracciones volumétricas de las tres fases en el tejido fibroso, lo cual puede ser un síntoma de la heterogeneidad de este tejido. Por contra, el tejido lamelar cortical es muy uniforme y la dispersión de los resultados prácticamente insignificante. En segundo lugar destaca el elevado contenido de colágeno y el bajo contenido de agua del tejido fibroso. En el osteoide de ambos tejidos predomina el colágeno sobre el agua, pero en el del callo este predominio es muy notable. Si el cuerpo tiene que formar tejido en esta zona de manera muy rápida, para recuperar cuanto antes las propiedades resistentes 3.7. Resultados experimentales 53 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 vh,C vh,F vc,C vc,F vw,C vw,F *** *** *** Figura 3.3: Composición volumétrica en tanto por uno de mineral, vh, colágeno, vc, y agua, vw. Para las muestras de tejido cortical se usa el subíndice C, y para las muestras de tejido fibroso el subíndice F. En los tres casos se tiene un nivel de significación p < .001. del hueso, está claro que lo hace depositando mucho colágeno. Y de hecho lo hará gracias a la elevada población de osteoblastos, mayor que el tejido lamelar, como prueba la mayor densidad de osteocitos encontradas en muestras de este tejido [98,195]. El contenido de mineral del tejido fibroso tiene también una elevada dispersión y más bajo que en el tejido lamelar, pero ello obedece a otras razones. Para analizar los resultados del contenido de mineral conviene hacer un inciso para describir cómo es el proceso de mineralización. En el caso del tejido óseo fibroso se sabe muy poco de cómo se mineraliza. Lo que se expone a continuación se conoce de trabajos que han estudiado la mineralización del tejido lamelar y puede no ser de aplicación al tejido fibroso, aunque, en cualquier caso, puede servir para comparar lo que ocurre en uno y otro tejido. El modelo matemático del proceso de mineralización se analizará con detalle más adelante. Ahora solo se dan las ecuaciones necesarias para analizar los resultados de este capítulo. Como se ha dicho anteriormente, el tejido recién formado por los osteoblastos, el osteoide, sólo tiene materia orgánica y agua. El mineral de calcio aparece durante el proceso de 54 3. Composición del tejido fibroso mineralización del tejido, durante el cual el agua presente en el osteoide es reemplazada por el mineral. Este proceso se puede dividir en tres etapas bien diferenciadas, que se reflejan en la ec. (3.6): una etapa previa a la mineralización propiamente dicha, conocida como retraso en la mineralización o mineralization lag time (mlt) [55,171]; una primera etapa en la que el mineral se deposita muy rápidamente y a velocidad aproximadamente constante [95] denominada fase primaria, y una segunda etapa (fase secundaria) mucho más lenta en la que el tejido se va saturando de mineral siguiendo una ley exponencial [95,181]. Así, se modela en el capítulo 6que la fracción volumétrica de mineral en el tejido óseo formado el día t= 0, vh(t), aumenta progresivamente según la siguiente ecuación: vh(t) =            0t≤Tmlt vh,prim t−Tmlt Tprim Tmlt < t ≤Tmlt +Tprim vh,max −(vh,max −vh,prim)e−κ(t−Tprim−Tmlt)Tmlt +Tprim < t (3.6) donde Tmlt = 12 días es el tiempo que dura el retraso de la mineralización [19,55,171,179], Tprim = 10 días es el tiempo aproximado que dura la fase primaria [151], vh,prim = 0.121 es el contenido de mineral al finalizar la fase primaria [95], vh,max = 0.442 es el contenido máximo de mineral [44] y κes un parámetro de velocidad de la fase secundaria. Dicho parámetro está directamente relacionado con la duración de la fase de mineralización secundaria, estando su valor entre κ= 0.0009 días−1(Hernandez [94], se corresponde con una duración de la fase secundaria de algo más de 4 años) y κ= 0.008 días−1(para una duración de 6 meses, tal y como defiende Parfitt [182]). Para una duración de 2 años, tal y como predice Frost [70], se tendría que κ= 0.002 días−1. La evolución temporal de la fracción volumétrica vhestá relacionada directamente con la de la fracción de ceniza, que se muestra en la fig. 3.4. Ahí se puede observar la diferente velocidad de mineralización en las fases primaria y secundaria. Teniendo presente lo anterior se pueden extraer interesantes conclusiones sobre el contenido mineral de las muestras de tejido fibroso y lamelar cortical. En primer lugar vhdel tejido lamelar cortical arrojó muy poca dispersión, lo que quiere decir que el contenido de mineral es muy uniforme a pesar de que puede variar con el tiempo. Esto es fácil de explicar a la vista de la fig. 6.6, ya que al ser la fase primaria tan rápida, la mayor parte del tejido óseo lamelar que se puede encontrar en las muestras y que tendrá una cierta edad, estará en la fase secundaria y, como se aprecia en la misma figura, el rango de contenido mineral del tejido en esa fase es muy estrecho, como confirman los resultados obtenidos aquí para las muestras Ci. 3.7. Resultados experimentales 55 αprim αmax t(a˜nos) 5 10 0,95αmax κ= 0,008 κ= 0,0009 Figura 3.4: Evolución temporal de la fracción de ceniza αen el tejido óseo en función del parámetro κ. Por el contrario, la dispersión del contenido de mineral de las muestras de tejido fibroso es mucho mayor y con un valor medio mucho más pequeño. Este tejido tiene menor edad que el lamelar cortical. De hecho es un tejido muy joven, puesto que se ha formado después de la osteotomía, durante la distracción. Por tanto, se encontrará seguramente en la fase primaria de mineralización o, como mucho, al principio de la secundaria. Por eso su contenido de mineral es más pequeño y más disperso, ya que en la fase primaria el rango de contenido mineral es muy amplio. Además, el transporte óseo garantiza la continuidad del proceso de formación de nuevo tejido fibroso, con lo cuál es aún más probable encontrar tejidos de diversa edad y una mayor dispersión en el contenido de mineral. El contenido de mineral de las muestras de tejido fibroso aumenta con el tiempo transcurrido desde la osteotomía hasta el sacrificio de la oveja. En la fig. 3.5 se muestra la evolución de los valores promedio de vh. Salvo en el caso de la única muestra extraída de oveja sacrificada a los 35 días, se observa un incremento de la mineralización con el tiempo, que además resulta ser muy rápido. En efecto, suponiendo que el proceso de mineralización comienza el día en el que se coloca el distractor a efectos de la ec. (3.6), el tiempo de la tabla 3.1 es el tiempo a utilizar en dicha ecuación. Usando ese modelo matemático con los valores de 56 3. Composición del tejido fibroso las constantes establecidos antes se tendría una fracción volumétrica de las muestras, v∗ h, dada en la tabla 3.6 para dos valores del parámetro de velocidad de la fase secundaria, κ. Se observa que los valores de vhmedidos en las muestras son significativamente mayores a los estimados mediante el modelo matemático, v∗ h. Las razones de esta diferencia pueden ser diversos. En primer lugar la especie, puesto que los valores de las constantes del modelo corresponden a humanos. En segundo lugar, que el proceso de mineralización del tejido fibroso no comience exactamente el día en el que se coloca el distractor, ya que ese día puede haber aún tejido de granulación, que se sustituye posteriormente por el tejido fibroso. No obstante, si el tiempo de la tabla 3.6 fuera corregido en este sentido, por ejemplo restándole el tiempo de latencia, los valores de v∗ hserían más pequeños y la diferencia entre las muestras y el modelo sería aún mayor. 30 40 50 60 70 80 0,1 0,2 0,3 0,4 d´ıas vh Figura 3.5: Fracción volumétrica de mineral, vh, en las muestras de tejido fibroso obtenidas de las ovejas 2 (79 días), 3 (35 días), 6 (37 días) y 11 (50 días). Queda otra posible explicación para esa diferencia y es que el tejido fibroso se mineralice más rápido que el lamelar. Esto tendría cierta lógica puesto que con ello se conseguiría recuperar más rápidamente las propiedades resistentes del tejido, lo que es de vital importancia en una fractura. Este incremento en la velocidad de deposición de mineral en el tejido fibroso puede estar motivado por varios factores. En primer lugar el hecho bien conocido de que el colágeno presente en el tejido óseo (de tipo I) promueve la deposición del mineral 3.7. Resultados experimentales 57 Muestra Oveja Tiempo (días) vh v∗ h κ= 0.0009 κ= 0.008 F12 79 0.327 0.137 0.239 F22 79 0.293 0.137 0.239 F32 79 0.316 0.137 0.239 F42 79 0.286 0.137 0.239 F53 35 0.273 0.125 0.153 F66 37 0.195 0.125 0.157 F76 37 0.231 0.125 0.157 F811 50 0.265 0.129 0.185 F911 50 0.262 0.129 0.185 F10 11 50 0.312 0.129 0.185 F11 11 50 0.322 0.129 0.185 Tabla 3.6: Fracción volumétrica en las muestras de tejido fibroso del mineral medido (vh, tabla 3.5) y estimado en función del tiempo desde la colocación del distractor (v∗ h) para los dos valores límite del parámetro κ:κ= 0.0009 [94] y κ= 0.008 [182]. como varios estudios han confirmado [142,227], en contra de lo que ocurre con otros tipos de colágeno, propios de tejidos no mineralizados. Dicho de otra forma, las moléculas de colágeno tipo I son puntos de deposición preferente del mineral y si el tejido fibroso tiene mayor contenido de colágeno, atraerá el mineral más rápidamente. Si además el colágeno está menos compactado (más desorganizado) tendrá una mayor superficie de exposición para que el mineral se deposite en el espacio interfibrilar. Por otro lado, la irrigación de la zona fracturada es absolutamente esencial para la correcta formación del callo óseo, la unión de la fractura y la posterior remodelación de dicho callo [63]. En este sentido, el flujo sanguíneo que llega a esta zona proveniente de los vasos del tejido circundante puede ser hasta 6 veces mayor que el flujo sanguíneo en el tejido óseo sano [63]. Un mayor flujo sanguíneo pondría a disposición del tejido fibroso una mayor cantidad de mineral que en el caso del tejido lamelar. Por último, hay que tener en cuenta que el tamaño promedio de los cristales de hidroxiapatita en el caso del tejido fibroso es menor que en el tejido lamelar, 32 x19 x3 (nm) en el tejido fibroso [217] frente a 50 x25 x3(nm) en el tejido lamelar [198]. Esto puede implicar dos cosas: que los cristales de mineral del tejido fibroso se mueven con más facilidad por el espacio interfibrilar y que coalescen hasta un tamaño más pequeño, mientras 58 3. Composición del tejido fibroso que la coalescencia de los cristales más grandes del tejido lamelar es seguramente más lenta. 3.7.2. Composición elemental de las cenizas Los resultados de estas medidas, que aparecen en la tabla 3.4, han sido comparadas con los valores de referencia del mineral de hidroxiapatita pura: Ca5(PO4)3OH, fig. 3.6. La fracción másica, m∗ x, de los elementos que componen la hidroxiapatita pura es: m∗ Ca =5·40 5·40 + 3 ·31 + 13 ·16 + 1 = 0.3984 (3.7a) m∗ P=3·31 5·40 + 3 ·31 + 13 ·16 + 1 = 0.1853 (3.7b) m∗ O=13 ·16 5·40 + 3 ·31 + 13 ·16 + 1 = 0.4143 (3.7c) m∗ H=1 5·40 + 3 ·31 + 13 ·16 + 1 = 0.0020 (3.7d) 1 3 5 7 9 11 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 ◦vCa,cort ×vCa,fibr vCa∗ ◦vP,cort ×vP,fibr vP∗ ◦vC,cort ×vC,fibr vC∗ ◦vO,cort ×vO,fibr vO∗ ◦vH,cort ×vH,fibr vH∗ vx muestra Figura 3.6: Composición elemental en masa de calcio (azul), fósforo (rojo), carbono (verde), oxígeno (cyan) e hidrógeno (magenta) en las muestras de tejido cortical (◦) y fibroso (×), así como el valor de referencia de la hidroxiapatita pura. 3.7. Resultados experimentales 59 Si se comparan dichos valores con los de las muestras ensayadas se podría cuantificar el grado de impureza del mineral en el tejido fibroso, que provoca una deformación de los cristales de mineral. La forma hexagonal regular de los cristales de hidroxiapatita está supeditada a que la relación másica de calcio frente a fósforo se mantenga en su valor de referencia, Ca P=5·40 3·31 = 2.15. Cualquier variación en dicha cantidad producirá un cristal de mineral amorfo, en el que se pierde la forma hexagonal regular, producido por la sustitución de iones fosfato (PO43−) con iones carbonato (CO32−) y fosfato de hidrógeno (HPO42−). Se ha realizado un análisis estadístico de los valores de la relación Ca Ppara las muestras de tejido fibroso y lamelar. El procedimiento seguido es el mismo que el realizado anteriormente: primero se ha realizado un test de Levene para comparar las varianzas de las muestras y así determinar el tipo de test de contraste de hipótesis a realizar. Los resultados del test de Levene muestran que se trata de muestras heterocedásticas (p=.011), por lo que es conveniente aplicar un test de Welch. Con dicho test se ha comparado la relación Ca Pen las muestras de tejido lamelar cortical y fibroso. Aunque dicha relación está ligeramente más alejada de la estequiométrica en el caso del tejido fibroso, esta diferencia no es significativa: Ca P= 2.122 ±0.064 para el tejido cortical y Ca P= 2.101 ±0.224 para el tejido fibroso, t(11.8) = 0.3,p=.384 (fig. 3.7). El valor medio de la relación Ca Pen cualquier caso es muy parecido y muy similar al de la hidroxiapatita pura. En el caso de las muestras de tejido fibroso, sí se observa una mayor dispersión de los resultados, que es casi inexistente en el caso del tejido lamelar. Esto quiere decir que es más probable encontrar cristales amorfos en el tejido fibroso aunque sean pocos. Este leve amorfismo de los cristales de hidroxiapatita es el que ha llevado a aproximarlos por un elipsoide en el capítulo 4, más que por un paralelepípedo como sería más correcto en un cristal de hidroxiapatita pura. Legros y cols. [136] determinaron experimentalmente la relación Ca Pen ratas y ganado bovino, obteniendo los datos de la tabla 3.7. Si se comparan los valores de la segunda columna con los medidos en esta tesis para las muestras de tejido fibroso se observa que los resultados son similares en los ejemplares adultos. La relación Ca Pva creciendo y acercándose a la estequiométrica con la edad del individuo. En la fase de crecimiento la formación de tejido nuevo es más rápida y eso puede hacer que la deposición de mineral sea más desorganizada y por tanto más alejada de la estequiométrica, como ocurriría también en el caso del tejido fibroso en callos de fractura. 60 3. Composición del tejido fibroso 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 Cortical Fibroso Ca P Figura 3.7: Fracción Ca/P para las muestras de tejido cortical y fibroso en comparación con el valor de referencia de la hidroxiapatita pura. Animales Ca Pmolar Ca Pmásica Rata al nacer 1.51 1.95 30 días 1.60 2.06 1 año 1.65 2.13 Bovino 2 meses 1.65 2.13 7 años 1.69 2.18 Tabla 3.7: Valores de la relación Ca Pobtenidos por Legros y cols. [136] en ratas y ganado bovino de diferentes edades. Se incluye tanto la relación molar como la relación másica de dichos elementos en los cristales de mineral analizados. Capítulo 4 Modelo micromecánico del tejido fibroso 4.1. Introducción El tejido óseo es capaz de reparar las fracturas óseas para así conseguir una recuperación de las propiedades mecánicas del hueso. Sin embargo, esta reparación no es inmediata, sino que se pueden distinguir varias fases que ya fueron comentadas en el capítulo 2. Cuando la inflamación propia de la fractura llega a su fin y el hematoma desaparece, la aparición del callo es esencial, ya que con él el cuerpo será capaz de proveer rápidamente de rigidez a la zona de fractura y reducir en la medida de lo posible las deformaciones de la misma. Debido a que el callo se forma muy rápidamente el tejido que lo forma está muy desorganizado. Además, como se vio en el capítulo 3, tiene un contenido orgánico más alto que el del tejido lamelar. Todo esto hace que tenga una rigidez más baja que el tejido lamelar y unas peores características mecánicas, en general. El posterior proceso de remodelación ósea del callo solucionará este problema. Antes de que comience su remodelación la estructura del callo óseo de fractura es similar a la estructura interna de materiales compuestos típicos: posee una matriz mineral y fibrillas de colágeno dispuestas en orientaciones aleatorias [215] (fig. 4.1). También puede tener lugar una reorientación de las fibrillas de colágeno en las direcciones principales de carga como se ha observado en tejido óseo inmaduro de fetos humanos [218], lo que hace al tejido algo más eficiente desde el punto de vista resistente. Además, el callo se va endureciendo a lo largo de la fase reparatoria debido al incremento de la fracción volumétrica de material de 61 68 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso Como ya se ha comentado, en el caso de inclusiones muy diluidas se tiene que εa≃εm a= Dmσa, por lo que: ⟨σ⟩i=Ci⟨ε⟩i=Ci[I+SDm(Ci−Cm)]−1Dmσa(4.18) σarepresenta la carga aplicada al sólido completo, por lo que σa=⟨σ⟩yεa=⟨ε⟩, siendo ⟨σ⟩y⟨ε⟩los tensores de tensiones y deformaciones medios del material que aparecen en las ecs. (4.3). Por lo tanto, se pueden identificar los tensores de localización de la inclusión, que se denominan diluidos, de las ecs. (4.17) y (4.18) como: Ai dil = [I+SDm(Ci−Cm)]−1(4.19a) Bi dil =Ci[I+SDm(Ci−Cm)]−1Dm(4.19b) Los tensores de localización de la matriz, AmyBm, pueden ser fácilmente obtenidos a partir de los de la inclusión por medio de las ecs. (4.6) y (4.7). Con estos tensores de localización y la ec. (4.10) se puede obtener el tensor de comportamiento del composite. 4.2.1. Método de homogeneización de Mori-Tanaka Todo el desarrollo anterior, válido sólo para inclusiones diluidas, es utilizado como punto de partida por el método Mori-Tanaka [20,168]. En este método, ahora válido para composites no diluidos (aunque es necesario que la concentración de inclusiones siga siendo relativamente baja), la superposición entre las inclusiones y el hecho de que estas están en pequeña proporción respecto a la matriz permite aproximar σayεa, tensiones y deformaciones en el campo lejano, en las ecs. (4.17) y (4.18) por las tensiones y deformaciones medias en la matriz, ⟨σ⟩my⟨ε⟩m: ⟨σ⟩i=Bidil ⟨σ⟩m(4.20a) ⟨ε⟩i=Aidil ⟨ε⟩m(4.20b) De las ecs. (4.5) y (4.20b) se tiene que: ⟨ε⟩=ξ⟨ε⟩i+ (1 −ξ)⟨ε⟩m=ξAidil ⟨ε⟩m+ (1 −ξ)⟨ε⟩m=[ξAidil + (1 −ξ)I]⟨ε⟩m(4.21) Despejando ⟨ε⟩my sustituyendo de nuevo la ec. (4.20b): ⟨ε⟩i=Aidil [ξAidil + (1 −ξ)I]−1⟨ε⟩(4.22) 4.2. Materiales compuestos con inclusiones diluidas: Solución de Eshelby 69 de lo cual se deduce el valor del tensor de localización de deformaciones de Mori-Tanaka: AiMT =Aidil [ξAidil + (1 −ξ)I]−1(4.23) y de forma análoga el tensor de localización de tensiones: BiMT =Bidil [ξBidil + (1 −ξ)I]−1,(4.24) quedando la expresión del tensor de rigidez del composite, según la ec. (4.10): CMT =Cm+ξ(Ci−Cm)AiMT (4.25) 4.2.2. Método de Ferrari y Johnson para inclusiones con orientaciones aleatorias La ec. (4.25) es válida para una determinada orientación de las inclusiones respecto a la matriz, la cual se tiene en cuenta tanto en los tensores de rigidez CiyCmcomo en el tensor de Eshelby S. Es por ello por lo que este método es válido para tratar materiales compuestos con inclusiones alineadas en una sola dirección, muy común en materiales artificiales en los que se controla dicha orientación para rigidizar el material en cierta orientación. Sin embargo, ese no es el caso del tejido fibroso, el cual presenta una distribución de fibrillas no alineadas y prácticamente aleatoria (fig. 4.1). Para este tipo de composites se puede seguir el procedimiento propuesto por Ferrari y Johnson [60] que es una extensión del método de Mori-Tanaka para inclusiones con orientación aleatoria. En dicho procedimiento se sustituye el concepto de tensores de concentración y localización absolutos por el de tensores promedio en el espacio de la distribución, tal y como se describe a continuación. Se tiene que el tensor de rigidez del composite usando la formulación de Ferrari, CMT F , es: CMT F =Cm+ξ{(Ci−Cm)AiMT F }(4.26) donde el tensor de localización de deformaciones de la formulación de Ferrari AiMT F se define a partir de la ec. (4.23) como: AiMT F =Aidil [ξ{Aidil}+ (1 −ξ)I]−1(4.27) donde {} denota que la variable se ha promediado de la siguiente forma. Para un tensor Fcualquiera se define su promedio por: 70 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso {F}=IF(g)ρ(g)dg= =1 ¯ρ∫2π 0∫π 0∫2π 0 F(g)ρ(g) sin Φ dϕ1dΦdϕ2(4.28) donde Hes la integral triple en el espacio de coordenadas esféricas, ges la terna de ángulos de Euler que definen la orientación de la fibra (Φ∈(0, π),ϕ1∈(0,2π)yϕ2∈(0,2π), fig. 4.3.a), F(g)es el tensor Fgirado en la dirección definida por g,ρ(g)es la función de probabilidad de distribución y ¯ρuna constante que será definida más adelante. X‘ Y‘ Z‘ X YZ φ1 φ2 Φ INCLUSION a) γ1 γ2 b) Φ φ1 c) Figura 4.3: a) Representación de la orientación de la fibrilla con sus ejes locales (rojo), los ejes globales (negro) y los ángulos entre ellos (azul), b) ejemplo de valores tomados para γ1 yγ2y c) distribución de las fibrillas en el espacio tomando dichos valores. La función de probabilidad de distribución se define como: ρ(g)dg=dV(g) Vf (4.29) con Vfel volumen total de fibras en el compuesto y dV(g)el volumen de fibras en el rango [g,g+dg], de modo que: Iρ(g)dg= 1 (4.30) De esta forma, conocida la probabilidad con la que las inclusiones están orientadas en una determinada orientación ga través de la función ρ(g), es posible integrar los tensores de las 4.2. Materiales compuestos con inclusiones diluidas: Solución de Eshelby 71 ecs. (4.26) y (4.26) para obtener el tensor de rigidez (o de forma análoga el de flexibilidad) de un sólido compuesto por una matriz con inclusiones no alineadas, como es el caso del tejido fibroso. En esta tesis se va a suponer que las inclusiones pueden ocupar una cierta región del espacio definida por γ1, ..., γ6y con una densidad de probabilidad de orientación ρ(g)uniforme: ρ(g) =    ˆρ∀Φ∈[γ1, γ2], ϕ1∈[γ3, γ4], ϕ2∈[γ5, γ6] 0resto (4.31) donde ˆρes una constante. Las inclusiones se suponen elipsoidales de manera general. Si el material que las forma tiene ciertas simetrías (es isótropo o transversalmente isótropo con dirección preferente el eje X‘local), el giro ϕ2es irrelevante en la formulación. También se supondrá la simetría polar del composite, es decir que el ángulo ϕ1también es irrelevante. Así, de manera general, se considerará que las inclusiones pueden estar orientadas dentro del espacio comprendido entre dos conos de ejes el eje Xglobal y ángulos en el vértice γ1yγ2 (fig. 4.3b y 4.3c) y que dentro de ellos se distribuyen de manera uniforme. Este caso general se puede particularizar. Así, por ejemplo, si las inclusiones se distribuyen uniformemente en todas las direcciones del espacio se tiene que γ1= 0◦yγ2=π/21, y si las inclusiones están alineadas en torno a una dirección preferente, como afirman Su y cols. [218], se tiene γ1= 0◦ yγ2=γ2, un cierto valor que dependerá del grado de alineación. La función de densidad de probabilidad será entonces: ρ(g) = ρ(Φ) =    ˆρ∀Φ∈[γ1, γ2] 0∀Φ∈[0, γ1)∪(γ2, π] (4.32) La constante ¯ρse define imponiendo la condición dada por la ec. (4.30). Teniendo en cuenta la definición de ρdada en la ec. (4.32) se tiene: Iρ(g)dg=1 ¯ρ∫2π 0∫π 0∫2π 0 ρ(Φ) sin Φ dϕ1dΦdϕ2=4ˆρπ2 ¯ρ∫γ2 γ1 sin Φ dΦ = =4ˆρπ2 ¯ρ(cos γ1−cos γ2) = 1 ⇒ ⇒¯ρ= 4ˆρπ2(cos γ1−cos γ2)(4.33) 1γ2=π/2y no πporque al ser inclusiones infinitas, los ángulos π/2< γ2≤πya están cubiertos. 72 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso Una vez conocido el valor de la función de probabilidad de distribución es necesario aplicar la transformación {} a los tensores de las ecs. (4.26) y (4.27). Para ello se realiza una integral triple en todo el dominio de la distribución de inclusiones. Sin embargo, las inclusiones son transversalmente isótropas con dirección preferente la dirección longitudinal, como se verá en la sección 4.4. Y esto hace que ϕ2no intervenga en la integración, como ya se ha dicho. Por lo tanto, el promedio de Ferrari y Johnson para un tensor genérico F resulta en este caso: {F}=1 ¯ρ∫2π 0∫π 0∫2π 0 F(g)ρ(Φ) sin Φ dϕ1dΦdϕ2=2πˆρ ¯ρ∫2π 0∫γ2 γ1 F(g) sin Φ dϕ1dΦ = =1 2π(cos γ1−cos γ2)∫2π 0∫γ2 γ1 F(g) sin Φ dϕ1dΦ(4.34) Para realizar esta doble integración de forma numérica se definió una malla (fig. 4.4) para discretizar el dominio de integración y así sustituir la integral por un sumatorio. Dicho sumatorio se dividió en tres términos: uno doble para la zona central (Φ∈(γ1, γ2)) y dos sumatorios simples para los extremos del dominio (Φ = γ1, γ2): {F} ≃ 1 2π(cos γ1−cos γ2)  γ2−e1 ∑ Φ=γ1+e1 360−e2 ∑ ϕ1=0 F(Φ, ϕ1) sin Φe1e2+ + 360−e2 ∑ ϕ1=0 F(γ1, ϕ1) sin γ1 e1e2 2+ 360−e2 ∑ ϕ1=0 F(γ2, ϕ1) sin γ2 e1e2 2 (4.35) donde ∆Φ = e1y∆ϕ1=e2representan los incrementos de las variables en la integración numérica. 4.2.3. Self-Consistent Scheme A veces no es posible aceptar la premisa de que la concentración de inclusiones es tan baja como para que el método Mori-Tanaka sea válido. En efecto, a partir de un cierto valor de la fracción volumétrica de inclusiones, ξ, la suposición hecha en la ec. (4.18) de inclusiones diluidas, que implica que εa≃εm a=Dmσa, ya no es válida. En estos casos se puede usar un esquema auto-consistente (Self-Consistent Scheme) para estimar el tensor de rigidez del composite, denominado ahora CSCS. Este esquema supone que la inclusión ya no está embebida en la matriz, sino en un composite equivalente, que puede ser el propio composite ya homogeneizado, tal como proponen Hill [101] y Hashin [89]. Para ello se sustituye en la definición del tensor Aide la ec. (4.19a)CmyDmpor CSCS yDSCS, respectivamente: 4.2. Materiales compuestos con inclusiones diluidas: Solución de Eshelby 73 Φ φ1 a) e1 e2 F(Φ, φ1) F(γ1, φ1) b) Figura 4.4: Representación esquemática de la malla del dominio de integración. a) Vista general, b) Vista de detalle. Ai SCS = [I+SDSCS (Ci−CSCS)]−1(4.36) que al sustituir en (4.10) proporciona CSCS =Cm+ξ(Ci−Cm) [I+S DSCS (Ci−CSCS)]−1(4.37) La anterior es una ecuación implícita que se resuelve de forma iterativa para CSCS según el algoritmo de la fig. 4.5. El método Self-Consistent Scheme se usa profusamente también cuando no está muy claro qué fase del composite actúa como matriz y qué fase actúa como inclusión. Dicho caso se da, por ejemplo, cuando las fases interpenetran entre sí. En la fig. 4.6 se comparan esquemáticamente los tres modelos de homogeneización analizados: el modelo de inclusiones diluidas (DIL), el modelo de Mori-Tanaka (MT) y el método Self-Consistent Scheme (SCS). Nótese la diferencia del MT frente al DIL en cuanto al campo de tensiones utilizado (⟨σ⟩men lugar de σa) y del SCS frente al DIL en cuanto a las propiedades de la fase matriz (matriz efectiva que cambia en cada paso de iteración en lugar de la matriz real). 74 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso Inicio CSCS ←Cm DSCS ←Dm SSCS ←funci´on de CSCS y de la geometr´ıa de la inclusi´on (ver anexo) A←[I+SSCSDSCS (Ci−CSCS)]−1 C∗ SCS ←Cm+ξ(Ci−Cm)A ǫ←kC∗ SCS k−kCSCS k kCSCS k CSCS ←C∗ SCS |ǫ|< ǫ ∗ Fin No S´ı Figura 4.5: Diagrama de flujo del algoritmo de resolución del método Self-Consistent Scheme. La variable ϵ, medida de la diferencia entre las normas de los tensores C∗ SCS yCSCS, se compara con una tolerancia que debe ser definida convenientemente para asegurar la convergencia (en esta tesis se ha tomado ϵ= 0.01). La norma del tensor C, conocida como norma de Frobenius o norma euclídea, se define como la raíz cuadrada del producto doblemente contraído del tensor por sí mismo: ∥C∥=√C:C. 4.3. Inclusiones periódicas 75 i σa DIL m i hσim MT m i σa SCS eff Figura 4.6: Comparación esquemática del método de Eshelby para inclusiones diluidas (DIL), según la aproximación de Mori-Tanaka (MT) y según el Self-Consistent Scheme (SCS). 4.3. Inclusiones periódicas En la sección anterior se ha tratado el caso de un material compuesto por matriz e inclusiones con una distribución aleatoria (tanto para el caso de concentraciones diluidas, DIL, como para valores mayores de ξ, MT y SCS). Con la extensión hecha por Ferrari y Johnson [60], además, se puede tratar el caso de que dichas inclusiones no estén alineadas. Una distribución de las inclusiones completamente aleatoria es una modelización muy habitual en composites, siendo otra típica la distribución de inclusiones periódica. En esta sección se va a tratar dicho caso. Debido a la complejidad de la formulación del método, sólo se va a hacer una pequeña introducción para entender el concepto básico del mismo. Para más información sobre el método de estimación de las propiedades de un sólido con microestructura periódica se puede consultar el libro de Nemat-Nasser y Hori [173]. En un sólido con microestructura periódica sometido a solicitaciones periódicas todas las variables del problema (tensión, deformación, tensor de rigidez, etc.) se repiten de forma periódica en el dominio, por lo que el volumen elemental representativo será, lógicamente, el de la celda unitaria de dimensiones 2ai(i= 1,2,3fig. 4.7). Por tanto se tiene que: C(x+d) = C(x)(4.38a) σ(x+d) = σ(x)(4.38b) ε(x+d) = ε(x)(4.38c) donde drepresenta un vector entre dos celdas cualesquiera. Por simplicidad, se ha particularizado la formulación para el caso de celdas unitarias cúbicas, aunque se puede generalizar para cualquier tipo de celda unitaria. 76 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso 2a2 2a1 a1 a2 x d Figura 4.7: Celda unitaria para una estructura periódica. Adaptado de Nemat-Nasser y Hori [173] Al tratarse de funciones periódicas es útil trabajar con la representación en series de Fourier de estas variables. Una función f(x)con periodicidad dpuede ser expresada como: f(x+d) = f(x) = ∑ ξ Ff(ξ) exp(ixξ)(4.39a) ξ=ξiei(4.39b) siendo ξi=niπ ai(ni= 0,±1,±2, . . . ;i= 1,2,3) una nueva variable que se corresponde con las componentes de ξ1. Por tanto el sumatorio en la ecuación anterior se realiza para todos los enteros ni(i= 1,2,3). Ff(ξ)son los coeficientes de Fourier, que se definen como: Ff(ξ) = 1 V∫U f(x) exp(−ixξ)dVx(4.40) donde U={x;−ai< xi< ai;i= 1,2,3}es el dominio de la celda unitaria y V=a1a2a3es el volumen de dicha celda. Trabajando de esta manera, y partiendo de la ecuación de homogeneización donde se introduce el concepto de eigenstrain (4.13), se llega, después de un desarrollo relativamente largo, a que: 1Conviene no confundir la variable ξ, variable vectorial de la serie de Fourier, o ξi, las componentes de ξ, con ξ, variable escalar para la fracción volumétrica de fibrillas en el compuesto. 4.4. Modelo micromecánico propuesto 77 CP=Cm{1−ξ[(Cm−Ci)−1Cm−P]−1}(4.41) donde CPes el tensor de rigidez del sólido con estructura periódica, ξes la fracción volumétrica de la inclusión en la celda unitaria (y por tanto en el sólido) y Pes un operador tensorial para inclusiones de forma genérica en una estructura periódica. En el anexo Bse presentan algunos ejemplos de dicho tensor para formas simples de la inclusión y la celda unitaria. Se puede comprobar (Nemat-Nasser y Hori [173]) que en el caso de inclusiones elipsoidales este operador tensorial tiende al tensor de Eshelby para concentraciones diluidas1: l´ım ξ→0P=S(4.42) 4.4. Modelo micromecánico propuesto Para estimar las propiedades mecánicas del tejido fibroso se propone en esta tesis un modelo para el que es necesario conocer tanto la estructura interna de dicho tejido como su composición, e ir calculando paso a paso las propiedades de cada una de las sub-estructuras en que se puede dividir el tejido [128,161,235]. Se va a partir de un modelo micromecánico multiescala desarrollado por Martínez-Reina y cols. [150] para hueso cortical y se modificará de acuerdo con las características propias del tejido fibroso. En ese modelo se parte de los componentes del tejido óseo, esto es, el mineral, el colágeno y el agua. Dichos componentes se asocian entre sí para formar dos fases básicas: colágeno mojado (colágeno y agua) y mineral mojado (mineral y agua). Estas fases son las que forman las estructuras inmediatamente superiores en el modelo multiescala. En primer lugar se forman las fibrillas, que son una combinación de fibras de colágeno mojado con inclusiones de mineral mojado (mineral intrafibrilar). Estas fibrillas se alinean y se rodean de mineral interfibrilar para formar fibras. Por último, estas fibras también se rodean de mineral dando lugar al tejido lamelar (mineral interlamelar) que se dispone en capas concéntricas para formar la osteona (fase a, fig. 4.8). A partir de aquí se completa el modelo multiescala incluyendo el efecto de la porosidad (tanto de las lacunas que contienen los osteocitos como de los canalículos que las unen), la superposición de osteonas o los canales haversianos (fase b, fig. 4.9). Durante el proceso de remodelación de hueso cortical los osteoclastos van formando un túnel que posteriormente es rellenado por los osteoblastos para formar 1El concepto de inclusión diluida de Eshelby se podría ver como un caso particular de inclusión periódica en el que la celda unitaria es el material completo, y por tanto solo hay una inclusión. 84 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso ha supuesto que este reparto es proporcional al volumen relativo del componente correspondiente en el tejido, tal y como hacen Martínez-Reina y cols. [150]: vwh =vw vh vh+vc (4.48a) vwc =vw vc vh+vc ,(4.48b) cumpliéndose que vwh +vwc =vw. Por tanto, la proporción de agua en las fases mineral mojado y colágeno mojado son iguales entre sí y, a su vez, iguales a la fracción volumétrica de agua en el tejido: ϕwh =vwh vh+vwh =vwvh vh+vc vh+vwvh vh+vc =vw vh+vc+vw =vw(4.49a) ϕwc =vwc vc+vwc =vwvc vh+vc vc+vwvc vh+vc =vw vh+vc+vw =vw(4.49b) donde se han usado las ecs. (4.47) y (4.48). Finalmente se tiene que: ϕhw = 1 −ϕwh =ϕcw = 1 −ϕwc = 1 −vw(4.50) 4.4.3. Propiedades del tejido fibroso compacto Una vez conocidos los tensores de comportamiento de las fases se procede a obtener las propiedades del tejido fibroso compacto. Para ello es necesario conocer la fracción volumétrica de cada uno de los compuestos de dicho tejido, es decir, de cada una de las fases (mineral mojado y colágeno mojado). Tal y como se vio en el capítulo 3, dichas fracciones son lo suficientemente altas como para que no sea posible aceptar la hipótesis de inclusión diluida (DIL) y ni tan siquiera la de fracciones volumétricas bajas necesaria para el esquema de MT. Es necesario, por tanto, recurrir de nuevo al método SCS. Sin embargo, mientras que en el apartado anterior se hizo uso de la formulación del SCS para inclusiones alineadas, en este caso no conviene hacerlo así. En efecto, al formarse el tejido fibroso compacto la fase de colágeno mojado se distribuye aleatoriamente en el tejido, mientras que el mineral es depositado rellenando los huecos. Por lo tanto, es necesario incluir la aleatoriedad en la orientación del colágeno mojado en el modelo. En secciones anteriores se explicó el planteamiento hecho por Ferrari y Johnson [60] para incluir este efecto en la formulación de Mori-Tanaka. En el modelo que se propone en esta tesis se ha utilizado dicho planteamiento pero aplicado al método SCS mediante el uso del 4.4. Modelo micromecánico propuesto 85 concepto de tensor promedio {F}en el cálculo del tensor C∗ SCS del algoritmo de resolución del SCS que aparecía en la fig. (4.5). Además, hay que elegir qué fase desempeña el papel de matriz y qué fase el papel de inclusión. Como ya se ha comentado, en el modelo SCS generalizado para inclusiones alineadas dicha elección carece de importancia: se obtiene un mismo tensor de comportamiento de las fases sea cual sea la matriz escogida inicialmente. Sin embargo, en el caso de inclusiones no alineadas la elección sí que es de vital importancia: los tensores de localización promedio no son iguales en ambos casos. ¿Qué fase escoger, por tanto, para que desempeñe el papel de la matriz? La elección más lógica se basa en la forma que tiene el tejido fibroso (fig. 4.1): las fibrillas de colágeno mojado aparecen embebidas por el mineral mojado y con una distribución no alineada. Por tanto, el mineral mojado se tomó como matriz y el colágeno mojado como inclusión, y la estimación del tensor de rigidez del tejido óseo fibroso compacto, Ccomp, será: Ccomp =Chw +ξ{(Ccw −Chw) [I+ScompDcomp (Ccw −Ccomp)]−1}(4.51) donde ξes la fracción volumétrica de inclusiones (colágeno mojado) en el tejido y Scomp es el tensor de Eshelby del tejido compacto. De nuevo se tiene que el tensor de comportamiento de la matriz es distinto en cada paso de iteración, por lo que Scomp también debe ser actualizado en cada paso. La forma de la inclusión del tejido fibroso compacto, al tratarse de colágeno mojado, es cilíndrica e infinita: b=cya→ ∞. La variable ξserá: ξ=vc+vwc vh+vwh +vc+vwc =vc+vwc =vc+vw vc vh+vc =vc vh+vc (4.52) donde se han usado las ecs. (4.47) y (4.48). Se tiene que, al inicio del proceso de mineralización del tejido fibroso, vh= 0. Es al iniciarse la mineralización cuando el contenido en agua del tejido va siendo sustituido por mineral de hidroxiapatita que precipita. El volumen de colágeno es constante e igual al que depositan los osteoblastos cuando forman el osteoide. Por tanto, se supondrá vc=cte, pero esta suposición solo será válida mientras el proceso de remodelación no haya comenzado. Al iniciarse dicho proceso los osteoclastos reabsorben tanto mineral como material orgánico y los osteoblastos depositan osteoide pero en una proporción distinta cuando forman tejido lamelar. Por esta razón el colágeno presente dependería también de la cantidad de tejido remodelado. 86 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso Ahora bien, mientras que el volumen relativo de colágeno permanece constante durante la mineralización, el del mineral y el del agua varían, aumentando el primero y reduciéndose el segundo en igual proporción. El proceso de mineralización no terminaría, en teoría, hasta que el tejido no fuera capaz de alojar más mineral porque no hubiera más agua que pudiera ser desplazada por dicho mineral. Sin embargo, este límite es difícil de alcanzar, ya que el tejido se satura antes, aproximadamente a los 6 meses [182]. Antes de que dicha saturación ocurra es previsible que la remodelación ósea interna haya comenzado, sustituyendo el tejido fibroso por tejido lamelar y variando el contenido de mineral de acuerdo a la cantidad de tejido remodelado. En ese caso habría que considerar en el modelo micromecánico la mezcla de ambos tipos de tejidos, algo que no se hace en esta tesis. Por tanto, la validez del presente modelo está limitada en el tiempo al período anterior a que ocurra la remodelación del callo y dicha limitación temporal afecta también al contenido de mineral que puede alcanzar el tejido fibroso que no será muy alto. A pesar de ello, en esta tesis se contempla todo el rango de mineralización para el tejido fibroso, por generalidad, desde vh= 0 hasta el valor de saturación, vh,sat, que se ha supuesto que ocurre cuando la fracción de ceniza es α= 0.7[76,97], al igual que en el caso del tejido cortical. De la ec. (2.8) se tiene: α=vh,satρh vh,satρh+vcρc = 0.7⇒vh,sat =0.7ρcvc 0.3ρh (4.53) Como se ha dicho el tejido fibroso tiene un contenido de colágeno más alto que el tejido lamelar y en ese caso es posible que se sature antes. Por ello el límite vh,sat puede corresponder a una cantidad de mineral tal que todo el agua haya sido sustituida por mineral, lo cual carecería de sentido físico. El volumen de mineral que correspondería a ese caso, vh,vw=0, sería: vh+vc+vw=vh,vw=0 +vc= 1 ⇒vh,vw=0 = 1 −vc(4.54) Por tanto, el valor máximo admisible de la fracción volumétrica de mineral en el tejido será el mínimo de ambos límites: vh,max = m´ın (0.7ρcvc 0.3ρh ,1−vc)(4.55) La ec. (4.51) es de nuevo una ecuación implícita que se resuelve de forma iterativa según el algoritmo modificado de la fig. 4.11. En este modelo se quiere comprobar la influencia de la orientación de las inclusiones en las propiedades del tejido fibroso, por lo que era necesario definir la función ρ(g)en todo 4.4. Modelo micromecánico propuesto 87 Inicio Ccomp ←Chw Dcomp ←Dhw Scomp ←funci´on de Ccomp para un elipsoide b=c,a→ ∞ (ver anexo) A←[I+ScompDcomp (Ccw −Ccomp)]−1 C∗ comp ←Chw +ξ{(Ccw −Chw)A} ǫ←kC∗ compk−kCcompk kCcompk Ccomp ←C∗ comp |ǫ|< ǫ ∗ Fin No S´ı Figura 4.11: Diagrama de flujo del algoritmo de resolución del método Self-Consistent Scheme modificado para inclusiones no alineadas particularizado para el tejido fibroso compacto. 88 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso el dominio convenientemente, y en particular los ángulos γ1yγ2(sec. 4.2.2). Inicialmente se supone que el tejido fibroso posee una distribución aleatoria uniforme con la orientación de las inclusiones, esto es, las fibrillas de colágeno mojado ocupan todas las direcciones. Por tanto γ1= 0 yγ2=π/2. Conforme el tejido fibroso va madurando, y según Su y cols. [218], las inclusiones se pueden alinear con las direcciones principales de carga, por lo que γ2va disminuyendo. En la sec. 4.5 se verá el efecto de la variación de dicho ángulo. 4.4.4. Propiedades del tejido poroso Como ya se vio en el capítulo 2, el tejido óseo está compuesto por una matriz de tejido sólido compacto con una serie de poros, que en función del tipo de tejido puede llegar a representar hasta el 90 % del volumen total. Si bien es cierto que la naturaleza del tejido fibroso (el cual se forma, normalmente, en zonas del hueso previamente fracturadas) es radicalmente distinta a la del tejido óseo lamelar maduro (consecuencia de un proceso de remodelación ósea), no es menos cierto que la estructura interna no es tan distinta en un caso y en otro. Algunos de los osteoblastos que forman el osteoide del tejido fibroso se diferencian a osteocitos al terminar su actividad, al igual que ocurre en el caso de la actividad de las BMUs. De hecho, es necesario que dicho tejido fibroso contenga osteocitos interconectados en el seno de la matriz, ya que ellos son los responsables de iniciar la posterior remodelación del tejido fibroso [163,191]. Varios estudios han sido realizados con el fin de evaluar el número y tamaño de dicho osteocitos en el tejido fibroso: Hernandez y cols. [98] cuantificaron la densidad de osteocitos en ratas para el tejido lamelar (834 ±83 células/mm2), para el tejido fibroso formado por osificación intramembranosa en el periosteo de un callo de fractura (1138 ±168 células/mm2) y para el tejido fibroso formado por osificación endocondral en el centro del callo (1875±270 células/mm2). Remaggi y cols. [195] realizaron un experimento similar pero para varias especies, entre ellas humanos, obteniendo en este caso una densidad de 1050±400 células/mm2. La porosidad de este tejido, al igual que ocurre con el hueso lamelar, viene determinada por la presencia de lacunas en las que se encuentran los osteocitos y canalículos que unen dichas lacunas. Se puede hablar, por tanto de dos tipos de porosidad: porosidad lacunar y porosidad canalicular. El proceso descrito a continuación es una adaptación al tejido fibroso del método utilizado por otros autores para la porosidad del tejido cortical (Martinez-Reina y cols. [150], Yoon y Cowin [246]). 4.4. Modelo micromecánico propuesto 89 Porosidad canalicular Los canalículos que conectan los osteocitos entre sí pueden ser asemejados a cilindros infinitos distribuidos periódicamente en direcciones longitudinal, radial y circunferencial. Las propiedades de un material compuesto por una matriz sólida y unas inclusiones huecas que se distribuyen periódicamente a lo largo de dicha matriz se pueden estimar utilizando el método de Nemat-Nasser y Hori para inclusiones con rigidez nula [173]: Ccan =Ccomp [I−pcan (I−Pc,comp)−1](4.56) donde Ccan es el tensor de rigidez del tejido con porosidad canalicular, Ccomp es el tensor de rigidez del tejido fibroso compacto calculado en el paso anterior, pcan es la porosidad canalicular y Pc,comp es el operador tensorial para huecos cilíndricos en el tejido compacto (ver Anexo B). Ahora bien, dado que los canalículos están distribuidos en las tres direcciones, es necesario repetir este proceso en dichas direcciones: longitudinal, L, radial, R, y circunferencial, C. Para ello, la ec. (4.56) se convierte en: Ck can =Ccomp [I−pcan (I−Pk c,comp)−1](4.57) donde Ck can yPk c,comp son el tensor de rigidez del tejido con porosidad canalicular en la dirección k(L, R, C)y el operador tensorial para huecos cilíndricos en la dirección k, respectivamente. Como en Yoon y Cowin [246], se supone que el tejido es una superposición de láminas de tejido con los canalículos en las tres direcciones. Por tanto, es posible calcular el tensor de rigidez del material con porosidad canalicular, CLRC can , mediante la formulación desarrollada por Chou [32] para compuestos laminados. En ella, y una vez conocidas las fracciones volumétricas de cada laminado, Vk, es posible determinar el tensor de rigidez del tejido con porosidad canalicular, CLRC can , por sus componentes de la siguiente manera: CLRC can,ij =∑ k=L,R,C Vk       Ck can,ij +Ck can,i3 Ck can,33    ∑ Ω=L,R,C VΩCΩ can,3j CΩ can,33 ∑ Ω=L,R,C VΩ CΩ can,33 −Ck can,3j           ∀i, j = 1,2,3,6 (4.58) 90 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso CLRC can,ij =∑ k=L,R,C Vk ∆kCk can,ij ∑ k=L,R,C ∑ Ω=L,R,C VkVΩ ∆k∆Ω(Ck can,44CΩ can,55 −Ck can,45CΩ can,54)∀i, j = 4,5(4.59) donde ∆k=Ck can,44Ck can,55 −Ck can,45Ck can,54. Se necesita definir el valor de pcan yVk. Los tensores Pk c,comp están completamente definidos conociendo pcan, ya que se trata de una inclusión periódica con forma cilíndrica infinita, ver anexo B. La celda unitaria representativa usada en el modelo periódico para la porosidad canalicular es una celda cúbica de dimensión 2a. En ella se coloca una inclusión cilíndrica de radio by longitud 2l= 2a, y por tanto infinita cuando se admite la periodicidad de esta celda en las tres direcciones (fig. 4.12a). Por ello se tiene que pcan =Vcilindro Vcelda =πb22l (2a)3=π(b 2a)2. El valor de b, radio de los canalículos para el tejido fibroso, es desconocido, por lo que pcan se determina indirectamente más adelante. 2a 2a 2a 2b 2l a) 2L 2L 2L 2b1 2b2 2b3 b) Figura 4.12: Celdillas unitarias con las inclusiones cilíndricas infinitas (canalículos) y elipsoidales (lacunas). Para definir el valor de Vk, fracción de volumen de cada laminado (L, R, C), se utiliza la proporción estimada de canalículos que hay en cada dirección como se hace en otros trabajos [9,150,247]. Para ello, si se supone que los canalículos parten de la lacuna (osteocito) con una distribución aleatoria uniforme (no hay preferencia por una dirección en concreto) es lógico pensar que la proporción de canalículos orientados en una cierta dirección estará directamente relacionada con el área de la lacuna proyectada sobre el plano en cuestión. En efecto, si por ejemplo se tuviera una lacuna perfectamente esférica se tendría que los canalículos saldrían de ella en todas las direcciones con la misma probabilidad, tal y como se deduce de las áreas proyectadas por la esfera en los tres planos (fig. 4.13a). La proporción 4.4. Modelo micromecánico propuesto 91 de áreas es de la forma πa2:πa2:πa2, lo que equivale a 1 3:1 3:1 3. Si por el contrario se supone que la forma del osteocito es un elipsoide de semiejes b1,b2yb3, se procede de forma análoga (fig. 4.13b). En este caso se tienen unas áreas proyectadas πb2b3:πb1b3:πb1b2, que dan unas proporciones b2b3 b1b2+b1b3+b2b3:b1b3 b1b2+b1b3+b2b3:b1b2 b1b2+b1b3+b2b3≡VL:VC:VR. Los valores 2b1= 13 µm,2b2= 12 µm y2b3= 9 µm, semiejes del elipsoide que representa una lacuna promedio en el tejido fibroso, fueron tomados de Remaggi y cols. [195], con los que se obtiene: VL= 0.1176 (4.60a) VC= 0.2941 (4.60b) VR= 0.5882 (4.60c) a πa2 πa2 πa2 b1 b2 b3 πb1b3 πb1b2 πb2b3 a) b) L C R Figura 4.13: Proyección del osteocito esférico de radio ay del osteocito elipsoidal de semiejes b1,b2yb3en los tres planos. Porosidad lacunar Por último, y una vez introducida la porosidad canalicular, es el momento de estimar las propiedades mecánicas del tejido fibroso completo incorporando al modelo la porosidad 92 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso lacunar. Procediendo de la misma manera que para el caso de las porosidad canalicular pero con inclusiones huecas elipsoidales, como se supone para las lacunas: C=CLRC can [I−plac (I−Pe,LRC )−1](4.61) donde Ces el tensor de rigidez del tejido con porosidad lacunar y, por tanto, del tejido fibroso completo, plac es la porosidad lacunar y Pe,LRC es el operador tensorial para huecos elipsoidales en el tejido con porosidad canalicular (ver anexo B). Es necesario definir el valor de plac, las dimensiones de la lacuna (2bkcon k= 1,2,3) y las dimensiones de la celdilla unitaria del modelo periódico, 2L, (fig. 4.12b). A partir de estos valores se calcula el operador tensorial Pe,LRC (anexo B). Las dimensiones de la lacuna bkson las usadas anteriormente, mientras que las dimensiones de la celda unitaria pueden estimarse a partir de los valores dados en Remaggi y cols. [195] para la densidad superficial de osteocitos en humanos. Si se conocía el número de osteocitos por unidad de superficie en el tejido fibroso (A= 1050 osteocitos/mm2, [195]), se puede obtener fácilmente la dimensión de la celda unitaria cúbica que contiene un solo osteocito como 2L= 1/√A= 30.86 µm [9,150,247]. Una vez conocidas las dimensiones del elipsoide y de la celda se puede calcular fácilmente un valor típico de la porosidad lacunar en tejido fibroso, plac, como: plac = 4π 3b1b2b3 (2L)3=πb1b2b3 6L3= 0.0250 (4.62) Ahora ya se puede calcular la porosidad canalicular, pcan, que quedó pendiente en el apartado anterior, aunque para ello es necesario realizar algunas suposiciones. Si se define la porosidad lacuno-canalicular como plc =plac +pcan, se tiene que el volumen total de poros en la celda unitaria del modelo periódico, Vlc, es: Vlc =Vl+Vc=plcVcelda (4.63) siendo Vcelda = (2L)3el volumen de la celda que contiene al osteocito y a los canalículos que salen de él, y VlyVcel volumen de lacuna y canalículos en la celda unitaria, respectivamente. En este modelo se supone que dicho volumen total de poros en la celda unitaria del tejido fibroso es igual al volumen total de poros en la celda unitaria del tejido lamelar del hueso cortical. Esta suposición equivale a afirmar que los osteocitos y sus ramificaciones (canalículos) tienen el mismo tamaño en ambos tipos de tejido. Teniendo eso en cuenta se tiene: 4.5. Resultados del modelo micromecánico del tejido fibroso 93 Vl,fib +Vc,fib =Vl,cort +Vc,cort =plc,cortVcelda,cort (4.64) Es su forma y la densidad de osteocitos lo que puede variar. Esto último solo afectaría al volumen de la celda unitaria y, por tanto, a la porosidad lacuno-canalicular. Y la forma afectaría al reparto de volumen de la célula entre cuerpo y ramificaciones, es decir, al reparto de dicha porosidad entre lacunar y canalicular. De esta forma, una vez conocidos los valores de la porosidad lacuno-canalicular en el tejido cortical (plc,cort = 0.05 [38,233,246,249,250]) y de las dimensiones de la celda unitaria en el tejido cortical (2Lcelda,cort = 43 µm [9]), se tiene que: pcan =plc −plac =plc,cort Vcelda,cort Vcelda,fib −plac = 0.05 433 30.863−0.0250 = 0.1103 (4.65) Estos valores de la porosidad del tejido fibroso (pcan,fib = 0.1103,plac,fib = 0.0250) son significativamente más altos que en el tejido lamelar del hueso cortical (pcan,cort = 0.0418, plac,cort = 0.0082 [150]). La razón de esta diferencia se explica por la naturaleza del tejido fibroso. Tal y como se vio en el cap. 3, este tejido tiene un contenido de colágeno más alto que el cortical, lo que será una consecuencia de una mayor concentración de osteoblastos. Es de esperar entonces que la cantidad de ellos que quedan enterrados en la matriz ósea y se diferencian a osteocitos sea mayor en el tejido fibroso que en el tejido lamelar, lo cual está en consonancia con los resultados de Hernandez y cols. [98] y Remaggi y cols. [195] anteriormente comentados. 4.5. Resultados del modelo micromecánico del tejido fibroso Una vez que se conoce la composición media del tejido fibroso se procede a estimar las propiedades mecánicas del mismo mediante el modelo micromecánico propuesto. Los valores de los distintos parámetros usados en el modelo micromecánico, se detallan en la tabla 4.2. En el modelo micromecánico se ha modelado el coeficiente de Poisson del agua como un valor muy próximo al límite ν= 0.5sin llegar a él para evitar problemas numéricos, νw= 0.5−ε, mediante un parámetro εtendente a cero. Se define dicho parámetro como: ε= 10−(1+λ)(4.66) 100 4. Modelo micromecánico del tejido fibroso Capítulo 5 Modelo fenomenológico de remodelación ósea 5.1. Introducción El tejido óseo posee unas características formidables. Y no es debido a su rigidez o su tensión última de rotura, ya que estas son bajas en comparación con otros materiales estructurales (tabla 5.1). Ni siquiera se debe a su relativamente baja densidad, ya que si dicha comparación se realiza teniendo también en cuenta las propiedades mecánicas, queda muy por debajo de algunos materiales como el aluminio, que con una densidad del mismo orden posee valores de la rigidez y resistencia mucho mayores. Lo que hace único al tejido óseo en comparación con cualquier otro material estructural es también su propiedad más evidente: es un tejido vivo. Este origen biológico confiere al tejido óseo la capacidad de adaptación y reparación frente al estímulo mecánico y el daño. En efecto, el hueso de los seres vivos vertebrados es capaz de cambiar su forma externa y/o su microestructura interna para adaptarse a las cargas a las que es sometido, y también de autorepararse, no solo de fracturas severas y evidentes ante esfuerzos excesivos, sino también de las microgrietas que pueden aparecer por fatiga a consecuencia de la actividad diaria. Sin embargo, la contrapartida a esta singularidad radica en la dificultad a la hora de caracterizar las propiedades mecánicas y/o físicas del tejido óseo. En efecto, cuando se habla del acero, por ejemplo, es muy fácil conocer con exactitud las propiedades mecánicas del mismo con solo conocer el tipo de aleación de la que se trata. Y dichas propiedades permanecerán prácticamente inalterables durante toda la vida útil del material. Sin embargo, 101 102 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea E(GPa)σu(MP a)ρ(g cm3) Tejido óseo 20 130 2 Acero inoxidable T302 193 640 7.86 Aleación de aluminio 2014-T6 72 485 2.8 Tabla 5.1: Valores de la rigidez E, resistencia σu, y densidad ρpara el tejido óseo, el acero T302 y una aleación de aluminio 2014-T6 [5,15,46,103]. al hablar de las propiedades mecánicas del tejido óseo, se puede estar hablando de variaciones de varios órdenes de magnitud en las constantes elásticas en diferentes localizaciones de un mismo órgano. Para responder a esta necesidad es posible abordar el problema utilizando dos tipos de formulación totalmente distintas en cuanto a su complejidad y nivel de detalle, tal y como se vio en el capítulo 1: los modelos fenomenológicos y los modelos mecanobiológicos. En este capítulo se realizará, en primer lugar, una revisión histórica algo más profunda que la realizada en dicho capitulo de algunos modelos fenomenológicos para posteriormente detallar el usado en esta tesis. Más tarde se pondrá en evidencia la incapacidad de los modelos fenomenológicos para ciertas aplicaciones de interés y se propondrá el uso de los modelos mecanobiológicos. 5.2. Revisión histórica En el capítulo 1se hizo una breve revisión histórica de algunos trabajos tanto experimentales como teóricos sobre la remodelación ósea. A continuación se detallan los más importantes con una visión más en profundidad de la formulación matemática de los mismos. 5.2.1. Ley de Wolff Muchos modelos han sido propuestos desde que Julius Wolff, cirujano alemán de finales del siglo XIX afirmara: “[. . . ]Todos los cambios que sufren los huesos en su forma y función o bien sólo en su función, van seguidos de ciertos cambios concretos en su arquitectura interna e igualmente en su conformación externa, de acuerdo a leyes matemáticas[. . . ]”. Incluso desde antes ya se conocía esta capacidad del tejido óseo para adaptarse al entorno biomecánico, como atestiguan los trabajos de Bell [8], Ward [234] o el mismísimo Galileo [74], 5.2. Revisión histórica 103 entre otros. Sin embargo, la importancia de la aportación de Wolff a este campo radica en que es el primero que intenta plasmar dichas evidencias en leyes matemáticas, si bien es cierto que no llegó a conseguirlo debido, en parte, a su escasa formación en este campo. No obstante, es a partir de los trabajos de Wolff cuando este anhelo científico por plasmar en ecuaciones el comportamiento del hueso comienza a aparecer. Es él quien introduce el término trajectorial theory, teoría que defiende que las trabéculas del hueso esponjoso se orientan en las direcciones de las tensiones principales, y por tanto formando ángulos de 90◦. Todas estas ideas las plasma en su famosa obra The Law of Bone Remodelling [240], y se conocen desde entonces como ley de Wolff. Sin embargo, Wolff se equivoca en una de las ideas que defiende con más vehemencia: el tejido óseo sufre una adaptación cuando las condiciones cambian bruscamente (durante el crecimiento o después de una fractura, por ejemplo), pero no en condiciones de carga normales. Él defiende que la adaptación se refiere al cambio de forma (lo que se conoce como bone modelling y en español remodelación ósea externa) pero no al cambio de la estructura (bone remodelling o remodelación ósea interna). Sin embargo, hechos experimentales posteriores han demostrado que tal afirmación es falsa [197]. En cualquier caso, las ideas de Wolff, acertadas o equivocadas, han contribuido a asentar las bases de los futuros modelos matemáticos. 5.2.2. Primeros modelos matemáticos Coetáneos de Wolff, Bernard y Roux, también contribuyeron con sus ideas a asentar las bases de futuros modelos matemáticos. Bernard (1813-1878) fue pionero en estudiar el concepto de homeostasis en fisiología, por el cual todos los sistemas fisiológicos evolucionan para intentar mantener constante una determinada variable física. Roux [205] por su parte defendió que los sistemas biológicos sufrían una adaptación funcional en función de los cambios que se producían en sus condiciones de vida. Pero no es hasta la aparición de los ordenadores cuando se comienzan a desarrollar los primeros modelos matemáticos de remodelación ósea. Uno de los primeros en hacerlo es Pauwels [186], que toma la idea de la adaptación funcional de Roux y propone la existencia de una tensión óptima a la cual no se produce remodelación. Por debajo de esta se produce reabsorción ósea y por encima formación. Si la tensión es excesivamente alta, se produce perdida ósea por daño. Si bien es cierto que dicha contribución constituye una gran novedad y la base de futuros modelos, la idea de que sea la tensión la que controle el proceso es cuanto menos controvertida, como se pondrá de manifiesto con el tiempo. Kummer [127] plasma en ecuaciones las ideas de Pauwels mediante la expresión cúbica: 104 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea dm dt=−a(σ−σu)(σ−σs)(σ−σo)(5.1) donde mrepresenta la masa ósea, aes un parámetro a determinar experimentalmente, σuy σoson las tensiones mínima y máxima que el hueso es capaz de soportar y σses la tensión óptima que define Pauwels. Por comodidad Kummer toma σscomo el valor medio entre σuyσo(fig. 5.1). Se trata de un modelo muy simple pero pone de relieve dos aspectos fundamentales: la conexión entre desuso y reabsorción y la necesidad de una respuesta del hueso frente a la sobrecarga y al daño. σuσsσo ˙m σ Figura 5.1: Representación gráfica del modelo de Kummer-Pauwels [127,186]. 5.2.3. Modelos continuos de remodelación ósea Cowin y Hegedus [40] son los primeros autores que desarrollan un modelo matemático continuo de remodelación ósea. En este modelo se supone el hueso como un material poroelástico compuesto por matriz ósea y médula, que intercambian masa, energía y entropía por la acción biológica de las células óseas, y todo ello controlado por el nivel de deformaciones. El flujo de masa contribuye al cambio de porosidad del tejido y, por tanto, del módulo de elasticidad. Más tarde, Firoozbaksh y el propio Cowin [62] llegan incluso a proponer un modelo de remodelación ósea externa. Este modelo propone un tensor de deformaciones de equilibrio en la capa externa que se compara con el tensor de deformaciones real para predecir los movimientos de la superficie exterior del hueso. Cowin [37] es también el primero en dar un modelo mecánico del hueso esponjoso, relacionándolo con el fabric tensor,H. Este tensor, definido anteriormente por él mismo [36], 5.2. Revisión histórica 105 da una medida de la anisotropía del tejido que es debida a la existencia de trabéculas, considerándose la matriz ósea que las compone isótropa en sí misma. Este modelo del tejido esponjoso tiene una gran cantidad de parámetros que sería necesario ajustar experimentalmente, por lo que solo ha sido implementado en casos muy sencillos debido a su enorme complejidad. Más tarde Carter [30] ahonda en la idea de Pauwels y propone la existencia de una magnitud que el hueso, mediante cierta actividad biológica, mantiene en equilibrio homeostático y, por tanto, conlleva la ausencia de respuesta remodelatoria neta. Sin embargo, mientras que Pauwels y Kummer le otorgan ese papel de control al nivel de tensión local, Carter postula que dicha magnitud debe estar influenciada por la historia de carga reciente. Definen entonces un estímulo mecánico Sque es directamente proporcional a la combinación de los distintos niveles de carga a los que se ve sometido el tejido durante un cierto período de tiempo: S∝ N ∑ i=1 niσim(5.2) donde Nes el número de actividades distintas que se realizan, nies el número de veces que la actividad ise repite al día, mes un parámetro a definir experimentalmente y σies el nivel de tensión efectiva que la actividad iproduce y que se define como: σ=√2E(ρ)U(5.3) siendo Eel módulo de Young del tejido, que depende de su densidad aparente, ρ, y Ula densidad de energía de deformación. El propio Carter también trata el modelado del tejido trabecular [31]. Según su teoría, las trabeculas se orientan preferentemente en la dirección donde se maximiza un cierto estímulo vectorial denominado tensión equivalente normal, ˜σn: ˜σn(n) = [N ∑ i=1 ni nt (nσin)m]1 m (5.4) donde ntes el número total de ciclos aplicados y nes un vector unitario. Huiskes y cols. [105], por su parte, proponen que es la deformación la que juega el papel determinante en la actividad remodelatoria, a través de la energía de deformación U(ε)y no la tensión como en los modelos anteriores. Huiskes toma de Carter [27] la idea de la zona muerta, en la que ante variaciones pequeñas de la variable U(ε)no se produce remodelación, y modela la variación del módulo de elasticidad, E, a través de relaciones como las de la 106 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea fig. 5.2, donde U0es el valor de equilibrio de la energía de deformación, ses el semiancho de la zona muerta y Ces la pendiente de las curvas de respuesta ante variaciones de U. Estos autores incluso llegan a modelar el proceso de remodelación ósea externa a través de ecuaciones análogas a la del módulo de elasticidad, siendo Xel desplazamiento de la superficie exterior. Este modelo, aun siendo isótropo, ha sido aplicado con éxito en el diseño de prótesis. 2s U U0 C C dE dt,dX dt Figura 5.2: Modelo de remodelación ósea interna-externa propuesto por Huiskes y cols. [105]. 5.3. Modelo Isótropo de Stanford El nombre de este modelo se debe a que se desarrolló en la Universidad de Stanford, a finales de los años 80 y principios de los 90 por Beaupré [6,7] y Jacobs [109] bajo la dirección del profesor Carter. Este es el modelo fenomenológico de remodelación ósea interna que se ha utilizado en esta tesis. En este modelo se toman las ideas anteriores de estos y otros autores sobre la autorregulación por parte del sistema óseo de una determinada magnitud: el estímulo mecánico. Así, dicho sistema posee mecanismos que modifican su composición y densidad para, a través de la variación de las propiedades mecánicas, mantener dicho estímulo mecánico en una situación de equilibrio. Según este modelo, la remodelación ósea está directamente relacionada con el estímulo tensional diario a nivel de tejido, Ψt, que es una variable macroscópica, y su comparación con un valor de referencia, Ψ∗ t, a través de una variable denominada error de remodelación, e: e= Ψt−Ψt∗(5.5) 5.3. Modelo Isótropo de Stanford 107 Ψtse calcula a partir del estímulo mecánico diario, Ψ, a través de la relación entre la densidad aparente del tejido óseo, ρ(definida como el cociente entre la masa de matriz ósea y el volumen de tejido) y la densidad de la matriz ósea, ˆρ. Esta última se calcula considerando que el tejido cortical compacto tiene una porosidad mínima de p= 0.05 [109,146]: ˆρ=ρmax 1−p=ρmax 0.95 (5.6) donde ρmax es la máxima densidad aparente del hueso cortical. Jacobs [109] asigna un valor al hueso cortical de mínima porosidad una densidad aparente ρmax = 1.92 g/cm3, de lo que se deduce el valor de ˆρ= 2.02 g/cm3. Para conocer cómo dicha relación de densidades ˆρ/ρ afecta al cómputo de Ψt, hay que realizar un salto desde la escala microscópica, heterogénea, a la escala macroscópica del modelo continuo. Para ello, y haciendo uso de los trabajos de Gibson [80] sobre cómo se relacionan las tensiones últimas del material entre dichos niveles, se establece que: Ψt=(ˆρ ρ)2 Ψ(5.7) El estímulo mecánico diario, Ψ, considera el efecto de los distintos casos de carga diarios de forma similar a la ec. (5.2): Ψ = (N ∑ i=1 niσim)1 m (5.8) donde N,ni,myσison los parámetros ya definidos en la ec. (5.2). Debido a la complejidad que supondría contabilizar todas y cada una de las actividades físicas que realiza una persona a lo largo de un día, los autores del modelo proponen realizar una simplificación de dichas actividades y contabilizar solo aquellas que influyen significativamente en la remodelación. Además, y debido a la diferente escala de tiempos característicos de la aplicación de cargas (del orden de segundos) y de la adaptación ósea (del orden de días), es también lógico suponer que el orden de aplicación de dichas cargas a lo largo del día no va a influir significativamente en la respuesta del hueso, por lo que aquellas actividades que provoquen una actividad remodelatoria similar se pueden agrupar para simplificar el modelo. Así, por ejemplo, si la actividad diaria de un individuo es como la descrita en la fig. 5.3a, el orden de aplicación de las cargas podría ser obviado y se podría modelar esa actividad diaria mediante un histograma que contabilizara los ciclos de cada actividad, como el mostrado en la fig. 5.3b. 108 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea Posteriormente, Jacobs [109] propone una simplificación adicional de la historia de carga basada, de nuevo, en la diferente escala de tiempos de las cargas y la respuesta ósea. En concreto, Jacobs propone agrupar las cargas de la fig. 5.3b como se muestra en la fig. 5.3c, manteniendo la proporción entre el número de ciclos correspondiente a cada actividad, pero suponiendo una sola actividad para cada día. σ t 1 2 2 3 a) n◦ciclos diarios 4 8 12 16 4 8 12 16 d´ıas d´ıas b) c) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Act. 1 Act. 2 Act. 3 Figura 5.3: Ejemplo del agrupamiento de cargas. a) Ejemplo de evolución de las cargas a lo largo de un día. b) Cargas a aplicar después de agrupar las actividades similares. c) Cargas a aplicar después de realizar la simplificación propuesta por Jacobs [109]. Al imponer estas condiciones, el número de ciclos de cada carga es el mismo, y además sólo hay un caso de carga por día (que se repite según sea necesario), por lo que se simplifica el cálculo del estímulo tensional diario. En efecto, si N= 1 la ec. (5.8) queda: 5.3. Modelo Isótropo de Stanford 109 Ψ = n1 mσi(5.9) Una vez que se ha calculado el error de remodelación, hay que establecer una relación entre dicho valor y la variación de densidad ósea. Hay que tener en cuenta que la remodelación ósea supone la formación o reabsorción de material óseo. Esta ocurre en las superficies del periosteo y endosteo en el caso de la remodelación ósea externa, mientras que en el caso de la remodelación ósea interna ocurre sobre la superficie libre de hueso y en la superficie de las trabéculas para tejido cortical y trabecular, respectivamente. Por tanto, el error de remodelación, que establece la diferencia entre el estímulo mecánico aplicado y el de equilibrio, para el cual no se produciría remodelación, estará directamente relacionado con la velocidad de remodelación superficial, ˙r. Esta se define como el volumen de hueso que se deposita o se reabsorbe por unidad de area y por unidad de tiempo1. Dicha relación establece la base de la respuesta remodelatoria del hueso y se suele cuantificar a partir de expresiones no lineales que representan funciones como las de la fig. 5.4a [7]. En esta figura se observa una zona central, conocida como zona muerta, en la que la velocidad de remodelación superficial es nula (o prácticamente nula): no hay formación ni reabsorción neta de hueso. Para valores positivos del error de remodelación (Ψt>Ψt∗,e > 0) la velocidad de remodelación superficial se hace positiva y por tanto hay aporte neto de material, mientras que para valores negativos (Ψt<Ψt∗,e < 0) existe reabsorción neta. El comportamiento del tejido óseo puede variar de un hueso a otro. En concreto, huesos distintos pueden tener diferentes valores del estímulo de equilibrio, ancho de la zona muerta y no todos responden con la misma velocidad a un desuso severo o a una sobrecarga, tal y como se observa en la fig. 5.4a. De esta forma, en el hueso 1de dicha figura (que corresponde al cráneo) solo existe formación, típico de los huesos cuya función es la de protección, ya que normalmente no soportan cargas significativas. También puede apreciarse que el estímulo de equilibrio del tejido 3(metáfisis del fémur) es mayor que el del tejido 2(periosteo del fémur), por ejemplo, aún siendo ambos tejidos del mismo hueso. Las curvas ˙r/e suelen simplificarse con funciones en tramos rectos como la de la fig. 5.4b. Para el caso del fémur esta relación se puede aproximar como: 1Es habitual usar el día como unidad de tiempo en las simulaciones de remodelación ósea. 116 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea Tomando las ecs. (5.20) y (5.21) se tiene: ˜σ=H−1σH−1(5.22) Para conocer la deformación efectiva basta aplicar la idea de que la energía de deformación debe ser igual, calculada a partir de los tensores originales o a partir de los tensores efectivos. Llamando Ade forma genérica al tensor que relaciona la deformación εcon la deformación efectiva ˜ ε: ˜ ε=AεA ˜ σ=H−1σH−1   ˜ σ:˜ ε=H−1 ik σklH−1 lj AimεmnAnj =σklεmn (H−1 ik Aim)(H−1 lj Anj) (5.23) Igualando las dos expresiones para la energía de deformación: ˜σij ˜εij =σklεmn (H−1 ik Aim)(H−1 lj Anj)=σklεkl (5.24) Por lo tanto: (H−1 ik Aim)(H−1 lj Anj) = δkmδln    H−1 ik Aim =H−1 ki Aim =δkm H−1 lj Anj =H−1 lj Ajn =δln ⇒Aim =Him (5.25) donde se ha usado que el tensor Hes simétrico. Se obtiene finalmente la expresión para la deformación efectiva: ˜ε=HεH(5.26) Una vez conocidos los tensores efectivos de tensión y deformación es fácil obtener el tensor de rigidez Cpara un material dañado en función de dicho tensor en el caso isótropo no dañado, ˆ C: ˜ σ:˜ ε= ˜σij ˜εij = ˜σij ˆ C−1 ijmn ˜σmn =H−1 ik σklH−1 lj ˆ C−1 ijmnH−1 mrσrsH−1 sn (5.27) Reordenando términos y cambiando los subíndices mudos se tiene: ˜σij ˜εij =σklH−1 ik H−1 lj ˆ C−1 ijmnH−1 mrH−1 sn σrs =σtuH−1 ti H−1 uj ˆ C−1 ijmnH−1 mvH−1 nwσvw (5.28) Por otro lado, en el caso del material dañado: 5.4. Modelo Anisótropo basado en la Mecánica del Daño de Doblaré y García 117 σ:ε=σtuεtu =σtuC−1 tuvwσvw (5.29) Identificando en las ecs. (5.28) y (5.29) se deduce que: C−1 tuvw =H−1 ti H−1 uj ˆ C−1 ijmnH−1 mvH−1 nw ≡C−1=H−2ˆ C−1H−2(5.30) En ejes principales el fabric tensor es un tensor diagonal: HI II III =     HI0 0 0HII 0 0 0 HIII      (5.31) En estos mismos ejes se calculan los coeficientes del tensor de comportamiento [35]: 1 EI =1 ˆ E 1 H4 I (5.32a) 1 EII =1 ˆ E 1 H4 II (5.32b) 1 EIII =1 ˆ E 1 H4 III (5.32c) −νI II EII =−νII I EI =−ˆν ˆ E 1 H2 IH2 II (5.32d) −νI III EIII =−νIII I EI =−ˆν ˆ E 1 H2 IH2 III (5.32e) −νII III EIII =−νIII II EII =−ˆν ˆ E 1 H2 IIH2 III (5.32f) 1 2GI II =1 + ˆν ˆ E 1 H2 IH2 II (5.32g) 1 2GI III =1 + ˆν ˆ E 1 H2 IH2 III (5.32h) 1 2GII III =1 + ˆν ˆ E 1 H2 IIH2 III (5.32i) siendo ˆ Eyˆνel modulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson del tejido óseo isótropo de densidad máxima y daño nulo. A partir de estas definiciones es posible determinar el valor del parámetro Ade la ec. (5.21). En efecto, en el caso isótropo se tiene que ˆ H=Iy que H∝I, por lo que: D=(1−(ρ ˆρ)β/2√A)I(5.33) 118 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea y por tanto: H2=(ρ ˆρ)β/2√AI⇒H4=(ρ ˆρ)β AI(5.34) De las ecs. (5.32) y (5.34), junto con (2.9a): E=ˆ EHI4=ˆ Bˆρˆ β(ρ ˆρ)β A≡Bρβ(5.35) representando Bel coeficiente de las correlaciones (2.9a). Por su parte, ˆ Byˆ βrepresentan el mismo coeficiente y el exponente en esas correlaciones para el caso de tejido cortical: β=     2.5ρ≤1.2g/cm3 3.2302 ρ > 1.2g/cm3=ˆ β (5.36a) B=     2014 ρ≤1.2g/cm3 1763 ρ > 1.2g/cm3=ˆ B (5.36b) Despejando de la ec. (5.35) el parámetro Aqueda: A=B(ρ) ˆ Bˆρβ(ρ)−ˆ β=     2014 1763 ˆρ2.5−3.2302 ρ≤1.2g/cm3 1ρ > 1.2g/cm3 (5.37) A continuación se define el estímulo como la variable termodinámica asociada al daño y distinguiendo entre los casos de formación y reabsorción. En este último caso se define a partir de la deformación: Yr≡∂ψ(ε, H) ∂H=∂ψ ∂σ ∂σ ∂Hε=cte = = 2 [2ˆ Gsym[(HεH) (Hε)] + ˆ λtr(H2ε)sym (Hε)](5.38) y para el caso de formación, siguiendo lo indicado por Wolff, es la tensión la variable que rige el proceso de remodelación: Yf≡∂ˆ ψ(σ, H) ∂H=∂ˆ ψ ∂ε ∂ε ∂Hσ=cte = =−2H−2[1 + ˆν ˆ Esym[(H−1σH−1)(H−1σ)]−ˆν ˆ Etr(H−2σ)sym (H−1σ)](5.39) 5.4. Modelo Anisótropo basado en la Mecánica del Daño de Doblaré y García 119 siendo ˆ E,ˆν,ˆ Gyˆ λlos constantes elásticas del tejido cortical de porosidad nula, es decir, isótropo, ψla función de energía libre y ˆ ψla función de energía libre complementaria: ˆ ψ(σ, H)=σ:ε(σ, H)−ψ(ε(σ, H),H)(5.40) Se puede demostrar, y así lo hace García-Aznar [75], que: Yr=−Yf≡Y(5.41) Una vez conocidos los estímulos para el caso de reabsorción y para el de formación (aunque, como se acaba de ver, solo se necesita Y) es necesario establecer un criterio que permita establecer cuándo el tejido se encuentra en la fase de reabsorción y cuándo en la de formación. Para ello se definen las funciones grygfcomo: gr=−n1/mA1/8ˆρ2−β/8ρβ/8√B271/4 √2(1 −ω)(J−1:J−1)1/4+ (Ψt∗−w)ρ2−β/2(5.42a) gf=n1/mA1/8ˆρ2−β/8ρβ/8√B31/4 √2(1 −ω)(J:J)1/4−(Ψt∗+w)ρ2−β/2(5.42b) donde se introducen varios parámetros para asegurar la equivalencia de este criterio aplicado al caso isótropo con el criterio del modelo de Stanford. También aparece un nuevo tensor de estímulo J, que se define para ponderar la influencia de la anisotropía en el modelo a través del parámetro ω: J= (1 −ω)tr(Y)1 31+ωdev(Y) = (1 −2ω)tr(Y)1 31+ω(Y)(5.43) Así, ω= 0 en el caso isótropo y ω= 1 para obtener el mayor grado de influencia posible de la anisotropía. Las funciones grygfdefinen los criterios de reabsorción y formación de tal forma que:            Si gr≥0, gf<0Reabsorción Si gr<0, gf<0Zona muerta Si gr<0, gf≥0Formación (5.44) Las leyes de crecimiento y reparación de daño son las siguientes, respectivamente: ˙ Hr=µr ∂gr ∂Y(5.45a) 120 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea ˙ Hf=µf ∂gf ∂Y(5.45b) siendo µryµftales que se cumpla la condición det(ˆ H) = 1 [33,75]. Desarrollando las expresiones anteriores se llega a que: ˙ Hf=3βk ˙rSV 4tr(H−1Jˆω) ˆρ ρJˆω(5.46a) ˙ Hr=3βk ˙rSV 4tr(H−1J−3ˆω) ˆρ ρJ−3ˆω(5.46b) siendo ˆωel tensor siguiente: ˆω= (1 −2ω)1 31⊗1+ωI(5.47) y definiéndose la velocidad de remodelación, ˙r, de forma análoga a como se hace en el modelo isótropo de Stanford, en función del proceso remodelatorio que esté activo en cada momento (formación o reabsorción) como: ˙r=           −crgr ρ2−β/2si gr≥0, gf<0 0si gr<0, gf<0 cfgf ρ2−β/2si gr<0, gf≥0 (5.48) Una limitación del modelo puede deducirse de la definición de ˙r, y es que la formación se activa siempre que gr<0ygf≥0. Esto es cierto para valores razonables del estímulo pero deja de serlo cuando el hueso está sometido a estímulos mecánicos muy altos. En estos casos el tejido óseo comienza a dañarse por sobrecarga, es decir, a aumentar su volumen de grietas, como sugieren varios autores [24,115,133] y esto puede provocar una reabsorción del tejido para reparar el daño. Por tanto, este modelo anisótropo solo sería válido para valores fisiológicos del estímulo mecánico, y no en casos de sobrecarga. Las leyes de flujo (5.45) proporcionan la variación del fabric tensor y a partir de ellas es posible actualizar la anisotropía y la densidad. Por ejemplo, aplicando un algoritmo a integración de Euler explícito se tiene que: H(t+ ∆t) = H(t) + ˙ H(t)∆t(5.49) y a partir del nuevo tensor Hactualizado junto con la ec. (5.21): H2=(ρ ˆρ)β/2 A1/2ˆ H⇒det(H2) = [(ρ ˆρ)β/2 A1/2]3 det(ˆ H)(5.50) 5.5. Modelo de remodelación ósea externa 121 Sabiendo que det(ˆ H) = 1 se puede despejar la densidad: ρ=[(det(H2))1/3 A1/2]2/β ˆρ=[det(H2) A3/2]2/3β ˆρ(5.51) 5.5. Modelo de remodelación ósea externa Una vez presentado el modelo de remodelación ósea interna fenomenológico que se ha usado en esta tesis, se aborda ahora un modelo de remodelación ósea externa que permite modelar el movimiento de la superficie externa como parte del proceso global de remodelación ósea. Para ello, García-Aznar presenta un modelo generalizado basado en el modelo isótropo de Stanford [75] que hace uso de los trabajos de Fridez [64,65], quien propone usar como variable de control de la remodelación externa la misma que en la remodelación interna, es decir, la velocidad de crecimiento o reabsorción del hueso, ˙r. En el caso de considerar ambos fenómenos conjuntamente, la respuesta ósea se divide de la siguiente manera: ˙r= ˙re+ ˙ri=β˙r+ (1 −β) ˙r(5.52) donde βes una constante que determina el reparto de la actividad remodelatoria. La respuesta ósea, en cuanto a remodelación interna se refiere, ya se ha definido completamente. Sólo habrá que sustituir ˙rpor (1 −β) ˙ren las ecs. (5.13) y (5.45), dependiendo de si se trata del modelo isótropo o anisótropo, respectivamente. En cuanto a la remodelación externa, la formación o reabsorción implica una variación de la geometría externa del modelo, moviendo los nodos de la superficie según corresponda y utilizando como dirección de crecimiento la normal a dicha superficie [7,64,105]: ˙ X=β˙rn(5.53) siendo Xla posición de los nodos exteriores y nla normal a la superficie en dichos nodos. Existen otros modelos de remodelación ósea externa que utilizan diferentes criterios para el desplazamiento de los nodos como el modelo basado en CAO (computer aided shapeoptimization) [12,154–157]. En este, el desplazamiento se produce también en la dirección normal a la superficie, pero con la diferencia de que el parámetro βahora no es una constante, sino una variable que depende de la dirección del gradiente del estímulo Ψ(fig. 5.8). Cuando normal y gradiente coinciden, se tiene que la variable βalcanza su valor máximo β1. Sin embargo, en el caso de que ambas direcciones formen un ángulo ϕ > 0, el valor de βse 122 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea irá reduciendo hasta anularse cuando ϕ= 90◦. En algunos casos esta relación se modela incluyendo una zona muerta en la que, para valores de ϕmuy próximos a 90◦, la variable βtambién se anula (ver fig. 5.8). Sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones puede comprobarse que la dirección normal prácticamente coincide con la dirección del gradiente del estímulo, por lo que β≃cte =β1, tal y como se ha supuesto en esta tesis. h β1 1 β cos φ Figura 5.8: Variación de la variable βen función del ángulo ϕformado por la normal a la superficie exterior y el gradiente del estímulo en el modelo de remodelación ósea externa basado en CAO. Adaptado de García-Aznar [75]. Una vez conocido el movimiento de los nodos exteriores se modifica la geometría convenientemente. Para ello se utiliza un algoritmo de integración de Euler explícito como en la densidad (modelo isótropo) o el fabric tensor (modelo anisótropo): X(t+ ∆t) = X(t) + ˙ X(t)∆t=X(t) + β˙r(t)n(t) ∆t(5.54) El algoritmo completo de remodelación ósea, tanto interna como externa, según el modelo isótropo de Stanford o el modelo anisótropo basado en la mecánica del daño, se representan de forma esquematizada en las figs. 5.9 y5.10, respectivamente. 5.5.1. Cómputo de las normales Para poder aplicar la ec. (5.54) convenientemente, solo falta conocer la normal exterior a la superficie en los nodos, n. Al tratarse de un modelo de elementos finitos, la normal 5.5. Modelo de remodelación ósea externa 123 P Ψt Ψt∗ e ˙r Historia de carga Hueso: Geometr´ıa y Estructura + − ρ(t+ ∆t) = ρ(t) + ˙ρ(t)∆t=ρ(t) + ˙r(t)(1 −β)SVˆρ(t)∆t X(t+ ∆t) = X(t) + ˙ X(t)∆t=X(t) + ˙r(t)βn(t)∆t ˙r e Figura 5.9: Algoritmo de remodelación ósea interna y externa para el modelo isótropo de Stanford. Adaptado de García-Aznar [75]. a la superficie en los nodos no puede ser calculada directamente, ya que esta normal es discontinua precisamente en los nodos por la discretización de la geometría. Para estimarla de forma aproximada se sigue el siguiente procedimiento (ver fig. 5.11), que es válido para elementos hexaédricos, pero fácilmente extrapolable a elementos tetraédricos: 1. En primer lugar se calculan las normales exteriores ne Ien los elementos (e= 1, . . . , N) que concurren al nodo I. Puesto que la cara exterior del elemento eno tiene por qué ser plana: 1.a. Se calcula v1, el vector unitario normal al plano formado por las dos aristas que pertenecen a la cara exterior del elemento ey concurren en el nodo I. 1.b. Se repite el paso anterior en el resto de nodos de la cara exterior del elemento (v2,v3yv4). 1.c. Se toma como normal ne Ial elemento ela media aritmética de las normales vi: ne I=1 4 4 ∑ i=1 vi(5.55) 1.d. Se normaliza el vector ne Ipara que sea unitario. 2. Se toma como normal en el nodo j,nj, la media ponderada de las normales de los N elementos que concurren al nodo en cuestión. Dicha ponderación se realiza a partir de 124 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea P Ψt Ψt∗ e ˙r Historia de carga Hueso: Geometr´ıa y Estructura + − H(t+ ∆t) = H(t) + ˙ H(t, ˙r)(1 −β)∆t ρ(t+ ∆t) X(t+ ∆t) = X(t) + ˙ X(t)∆t=X(t) + ˙r(t)βn(t)∆t ˙r e Figura 5.10: Esquema de remodelación ósea interna y externa para el modelo anisótropo basado en el daño. Adaptado de García-Aznar [75]. las áreas, AI, de las caras exteriores a los elementos: a mayor área, mayor peso en la ponderación. nj=∑N I=1 AIne I ∑N I=1 AI (5.56) 3. Por último se normaliza el vector njpara que sea unitario. v1v2 v3 v4 ne Ine 1ne 2 ne 3 ne 4nj Figura 5.11: Esquema del cálculo de la normal exterior a un nodo. 5.5. Modelo de remodelación ósea externa 125 5.5.2. Proyección de las variables El modelo de remodelación ósea externa ya ha quedado descrito: se conoce cómo se mueven los nodos en función del valor de una variable del modelo, ˙r, y la dirección de dicho desplazamiento, n. Sin embargo la implementación numérica está incompleta. Hay que tener en cuenta que no se conoce el valor de ˙ren los nodos que se van a desplazar, puesto que dicha variable se evalúa en los puntos de integración de Gauss de la malla, como el resto de variables de estado del algoritmo. Por tanto, es necesario proyectar la variable ˙rdesde los puntos de Gauss de los elementos exteriores a los nodos que se desplazan, los que conforman las superficies externas del periosteo y endosteo. La técnica que se ha utilizado en esta tesis es el método de proyección superconvergente de Zienkiewicz y Zhu [252], con algunas modificaciones realizadas por García-Aznar [75]. Este método utiliza una expresión polinómica, ˙r∗, que ajusta el valor de la variable ˙ren la parcela1del nodo en cuestión. Esta expresión polinómica se escribe de forma compacta: ˙r∗=Pa (5.57) donde Pcontiene los términos del polinomio para ndimensiones y ason los coeficientes de dicho polinomio. Para el caso unidimensional y polinomios de orden pse tiene: P=[1x x2x3··· xp](5.58a) a=[a1a2a3a4··· ap+1](5.58b) Cuanto mayor sea el orden del polinomio más aproximada será la solución proyectada. Pero hay que tener en cuenta que para el caso de tridimensional el uso de valores altos de pconlleva un coste computacional muy elevado. Además, los gradientes de ˙ren la malla son normalmente bajos, por lo que se puede elegir p= 1 [75] con resultados razonables, quedando entonces en el caso bidimensional: P=[1X Y XY ](5.59a) a=[a1a2a3a4](5.59b) y para el caso tridimensional: P=[1X Y Z XY XZ Y Z XY Z](5.60a) 1La parcela está compuesta por todos los elementos que contienen al nodo sobre el que se desea proyectar la variable ˙r. 132 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea a) C3D4 b) C3D6 c) C3D8 Figura 5.16: Esquema de los elementos utilizados en este capítulo. Alta conectividad Elementos solapados Discontinuidades severas Figura 5.17: Detalle de la malla del modelo de elementos finitos del fémur en el extremo proximal. 5.6.2. Aplicación de las cargas En el presente capítulo se intenta modelar el proceso de remodelación ósea (interna y externa) de un fémur humano desde un punto de vista fenomenológico para intentar obtener la distribución de densidad real de dicho hueso. Para ello, es necesario someter al hueso a un estado tensional igual al real, y validar si la formulación matemática desarrollada es capaz de modelar fenomenológicamente los procesos biológicos que ocurren. Si, por el contrario, el estado de cargas no es idéntico al real, no es posible afirmar que dicha comparación sea válida. Por tanto parece lógico pensar que resulta imprescindible conocer la totalidad de las cargas a las que se somete el fémur a lo largo del día: multitud de ligamentos, huesos y músculos concurren al fémur y lo someten a cargas dinámicas variables con el tiempo y la 5.6. Modelo de elementos finitos de un fémur proximal humano. 133 Figura 5.18: Elementos del endosteo en los que se permite la remodelación ósea externa. La remodelación ósea interna se permite en todos los elementos de la malla. actividad. Sin embargo, realizar una simulación teniendo en cuenta todas estas consideraciones resulta inviable, por lo que normalmente se emplea un estado de cargas que produzca unas tensiones los más parecidas a las reales. En ocasiones se emplea incluso los casos de carga más desfavorables que puedan producirse en una actividad física normal con el fin de estar en el lado de la seguridad. Para este modelo se han utilizado los casos de carga definidos por García-Aznar [75], correspondiente al momento de apoyo sobre una pierna cuando se camina, basados a su vez de otros trabajos previos [11,83,228]. El primer caso de carga se corresponde con el momento de apoyo del pie, mientras que los otros dos representan el movimiento de abducción y adducción respectivamente [30]. Estos tres casos de carga distintos se aplican en dias sucesivos (caso general) o en el mismo día (caso de acomodación celular), tal y como se explicó en secciones anteriores. Los tres casos de carga son los que aparecen en la tabla 5.2, aplicados en los puntos marcados en rojo en la fig. 5.19. Estado Cargas A Estado Cargas B Tipo Fx(N)Fy(N)Fz(N)Tipo Fx(N)Fy(N)Fz(N) Caso Cargas 1 1A -49.54 -38.02 -135.80 B 37.52 15.46 66.62 Caso Cargas 2 2A -24.08 40.16 -61.08 B 1.505 -7.98 38.14 Caso Cargas 3 3A -77.30 -41.62 -54.22 B 28.98 13.78 41.00 Tabla 5.2: Componentes de los tres casos de carga contemplados en el modelo de la extremidad proximal del fémur. 134 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea Tipo Cargas 1A Tipo Cargas 2A Tipo Cargas 3A Tipo Cargas B Figura 5.19: Puntos de aplicación de los tres casos de carga. 5.7. Simulaciones y resultados 135 5.6.3. Condiciones de contorno Por último queda por definir las condiciones de contorno del modelo. En este caso se desea conocer principalmente la distribución de densidades cerca del extremo proximal del fémur, pues es donde se obtienen los resultados más interesantes, ya que en la zona de la diáfisis la distribución es mucho más homogénea. Es por ello por lo que se ha decidido colocar las condiciones de contorno en el extremo distal de la malla, concretamente en los 4 puntos señalados en la fig. 5.20, en los que se han impedido los desplazamientos y se han permitido los giros. Figura 5.20: Definición de las condiciones de contorno. 5.7. Simulaciones y resultados En esta sección se detallan los resultados obtenidos al aplicar un modelo de remodelación ósea interna y externa (ROIE) al fémur humano descrito anteriormente. Se comentan las limitaciones que tiene dicho modelo y que justifican la proposición de uno nuevo, que se explica en el capítulo siguiente. En primer lugar se realizan una serie de simulaciones con el fin de estimar las propiedades mecánicas del fémur. Para ello se parte de una densidad ósea uniforme y muy baja, 0.5g/cm3, en todo el modelo de la extremidad proximal y se aplican las cargas descritas anteriormente. La densidad ósea varía con el tiempo, aumentando en las zonas más cargadas y disminuyendo en las zonas en desuso, hasta alcanzar un equilibrio de remodelación en el que deja de variar la densidad ósea. El resultado es una distribución de densidad (y consecuentemente de rigidez) que mantiene una razonable similitud con la real. Este tipo de simulaciones han sido ampliamente usadas en la literatura para obtener distribuciones de densidad aproximadas en 136 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea huesos [6,51,105]. Posteriormente, partiendo del equilibrio de ROI, se incorpora el modelo de ROE y se aplican más días de carga para comprobar si se alcanza un equilibrio en el modelo ROIE, en el que se mantenga invariable la geometría del fémur y en particular las superficies del endosteo y periosteo. Modelo de remodelación interna-externa que implementa el modelo de Stanford (IROIE) En este caso se han simulado 100 días de carga en el fémur para estimar las propiedades mecánicas con el modelo de ROI isótropo de Stanford y a continuación otros 500 días con el modelo ROIE, partiendo de la distribución de densidades obtenida en la simulación anterior (100 ROI + 500 ROIE). Los parámetros del modelo isótropo de Stanford usado en ambas simulaciones son los que aparecen en la tabla 5.3. Parámetro Valor ρmax(g cm3)Densidad máxima permitida 2.22 ρmin(g cm3)Densidad mínima permitida 0.05 ρi(g cm3)Densidad uniforme de partida 0.5a mExponente de la ecuación del estímulo 4b nNúmero de ciclos diarios de la actividad 10000 a Ψ∗ t(MP a día )Estímulo de equilibrio 50 c c1Pendiente de la curva e/ ˙r- Zona de reabsorción 0.02 a c2Pendiente de la curva e/ ˙r- Zona muerta hasta Ψ∗ t0.0a c3Pendiente de la curva e/ ˙r- Zona muerta tras Ψ∗ t0.0a c4Pendiente de la curva e/ ˙r- Zona de formación 0.02 a w(MP a día )Semiancho de la zona muerta 12.5a,d βParámetro de control ROI-ROE 0.0001 Tabla 5.3: Valores asignados a los distintos parámetros del modelo fenomenológico de remodelación ósea interna y externa isótropo. aGarcía-Aznar [75], bWhalen y Carter [237], c Beaupré y cols. [6], dDoblaré y García-Aznar [51]. En la fig. 5.21 se representa la evolución temporal de la densidad ósea en la extremidad proximal del fémur. Se puede apreciar cómo la solución converge hacia una distribución más o menos estable de la densidad. La distribución de densidad en la cabeza del fémur obtenida en el día 300 se compara en la fig. 5.22 con una radiografía real de la zona. En ambas se 5.7. Simulaciones y resultados 137 observa una densidad baja en el cuello, una capa de cortical gruesa en la metáfisis y un hueso trabecular denso en el interior de la cabeza. Se puede decir entonces que este modelo simula con razonable aproximación lo que ocurre en la realidad. Sin embargo, si se simulan más días de carga comienza a apreciarse una reabsorción excesiva en algunos puntos del fémur. Este resultado, que concuerda con los obtenidos por Garijo y cols. [78], se analizará con más detenimiento en la sección 5.7.1. No se puede hablar, por tanto, de que el modelo converja completamente. D´ıa 1 D´ıa 50 D´ıa 100 D´ıa 200 D´ıa 300 D´ıa 400 D´ıa 600 Figura 5.21: Evolución de la densidad ósea en la simulación IROIE. En cuanto a la remodelación ósea externa, puede observarse en la fig. 5.23 la evolución de una sección central de la diáfisis del fémur. Si se observa en detalle, se aprecia que el aumento de sección es constante a lo largo de la simulación de 500 días: existe formación tanto en el endosteo como en el periosteo. En el periosteo el crecimiento ocurre a mayor velocidad, dado que el estímulo mecánico es especialmente elevado en esa zona por las cargas de flexión, pero en ninguno de los casos se observa que la velocidad de formación tienda a disminuir con el tiempo. Por tanto, se puede afirmar que el modelo propuesto de remodelación ósea externa combinado con el modelo isótropo de Stanford no es convergente. 138 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea a) b) Figura 5.22: a) Distribución de densidades obtenida de una radiografía (tomada de Skedros y Baucom [214]). b) Distribución de densidades en el extremo proximal del fémur para el modelo de remodelación ósea interna en el día 300 de simulación. Periosteo Endosteo Inicial +100 d´ıas 600 d´ıas Figura 5.23: Evolución del contorno de una sección transversal de la diáfisis del fémur en la simulación IROIE desde la posición inicial (verde) hasta la posición a los 600 días simulados (rojo). La posición inicial coincide con la del día 100 de simulación, pues hasta entonces no hay ROE. 5.7. Simulaciones y resultados 139 Modelo de remodelación interna externa isótropo incluyendo acomodación celular (IROIEAC) A continuación se ha simulado el proceso de remodelación ósea interna y externa incluyendo el efecto de la acomodación celular. Para ello se repitió la simulación del caso anterior: se simularon 100 días de ROI sin acomodación celular, tan solo para estimar las propiedades mecánicas del fémur, seguidos de 500 días con el modelo de ROIE, pero ahora incorporando la acomodación celular al estímulo de equilibrio. Los parámetros de esta simulación son los mismos que en la simulación anterior (tabla 5.3), a excepción del número de ciclos a aplicar en cada caso de carga. En este caso, tal y como se comentó anteriormente, es necesario aplicar todos los casos de carga que se contemplan en cada día de simulación. Si antes se tenía que n= 10000 para cada caso de carga y se repetían varios días el caso de carga más frecuente, ahora se tiene que n1= 6000,n2= 2000 yn3= 2000 [75], aplicados diaria y secuencialmente. Por su parte, se ha tomado un valor del factor de la velocidad de la acomodación celular (ec. (5.17)) λ= 0.5. En la fig. 5.24 se observa la evolución de la densidad ósea en el fémur al considerar el efecto de la acomodación celular en el modelo. Se puede comprobar que la distribución obtenida sigue siendo muy similar a la real de la radiografía (fig. 5.22). Sin embargo, en este caso, al incluir la acomodación celular, sí se consigue alcanzar un equilibrio de remodelación y convergen tanto la densidad como las propiedades mecánicas del hueso, como se verá en la sección 5.7.1. La evolución de la sección transversal de la diáfisis puede verse en la fig. 5.25. Los resultados muestran que al finalizar los 600 días de simulación, el periosteo y el endosteo aún se están desplazando, formando tejido y aumentando la sección. Sin embargo, a diferencia de lo que ocurría en el modelo sin acomodación celular (fig. 5.23), cada día que pasa se produce una disminución paulatina del desplazamiento de la superficie, tanto en el periosteo como en el endosteo. Es decir, este modelo sí converge lo que, a priori, parece un buen resultado, que solventa la principal limitación del modelo anterior. No obstante, dicho resultado en realidad es engañoso pues hay que tener en cuenta que el periosteo y el endosteo no deberían desplazarse en ningún caso, pues se trata de una malla de elementos finitos obtenida de un fémur de dimensiones reales y el modelo de ROE debería estar en equilibrio y no producir cambios en la geometría del fémur. 140 5. Modelo fenomenológico de remodelación ósea D´ıa 1 D´ıa 50 D´ıa 100 D´ıa 200 D´ıa 300 D´ıa 400 D´ıa 600 Figura 5.24: Evolución de la densidad ósea en la simulación IROIEAC. Periosteo Endosteo Inicial +100 d´ıas 600 d´ıas Figura 5.25: Evolución del contorno de la sección transversal de la diáfisis del fémur en la simulación IROIEAC desde la posición inicial (verde) hasta la posición a los 600 días simulados (rojo). 5.7. Simulaciones y resultados 141 Modelo de remodelación interna externa anisótropo basado en la Mecánica de Daño (AROIE) Por último se ha simulado el proceso de ROIE usando el modelo anisótropo basado en la mecánica de daño de Doblaré y García-Aznar [51,75] para la remodelación interna. De nuevo se simularon 100 días de ROI partiendo de una densidad uniforme de 0.5g/cm3para estimar las propiedades mecánicas, y en este caso la anisotropía del hueso del fémur. Y otros 500 días con el modelo de ROIE, partiendo de la distribución de densidad y anisotropía obtenidos tras los primeros 100 días. Los parámetros de esta simulación son iguales a los del modelo isótropo de Stanford (tabla 5.3). Solo falta por definir el grado de anisotropía, que se ha tomado ω= 0.1[75]. En la fig. 5.26 se observa la evolución de la densidad ósea para este caso. La distribución de densidades obtenida, tal y como puede comprobarse al comparar la distribución a los 300 días de remodelación con la fig. 5.22, puede parecer en un principio que converge hacia una distribución parecida a la real. Sin embargo, al igual que ocurría en el modelo isótropo sin acomodación celular, esta convergencia no se produce (sección 5.7.1). D´ıa 1 D´ıa 50 D´ıa 100 D´ıa 200 D´ıa 300 D´ıa 400 D´ıa 600 Figura 5.26: Evolución de la densidad ósea en la simulación AROIE. 244 C. Simetrización de un tensor de comportamiento anisótropo ˆ CC, es: ˆ CC=               ˆ CC 11 ˆ CC 12 ˆ CC 12 000 ˆ CC 12 ˆ CC 11 ˆ CC 12 000 ˆ CC 12 ˆ CC 12 ˆ CC 11 000 0 0 0 ˆ CC 44 0 0 0 0 0 0 ˆ CC 44 0 00000ˆ CC 44               (C.14a) mientras que el correspondiente tensor de flexibilidad, ˆ SC, será: ˆ SC=               ˆ SC 11 ˆ SC 12 ˆ SC 12 000 ˆ SC 12 ˆ SC 11 ˆ SC 12 000 ˆ SC 12 ˆ SC 12 ˆ SC 11 000 0 0 0 ˆ SC 44 0 0 0 0 0 0 ˆ SC 44 0 0 0 0 0 0 ˆ SC 44               (C.14b) En este caso, los 6 autovalores del límite inferior, ΛR,C k, son los siguientes (1 autovalor con multiplicidad 2 y 1 autovalor con multiplicidad 3): ΛR,C (1) =1 ˆ SR,C 11 + 2 ˆ SR,C 12 (C.15a) ΛR,C (2,3) =1 ˆ SR,C 11 −ˆ SR,C 12 (C.15b) ΛR,C (4,5,6) =1 ˆ SR,C 44 (C.15c) En cuanto a los autovalores del límite superior, ΛV,C k: ΛV,C (1) =ˆ CV,C 11 + 2 ˆ CV,C 12 (C.16a) ΛV,C (2,3) =ˆ CV,C 11 −ˆ CV,C 12 (C.16b) ΛV,C (4,5,6) =ˆ CV,C 44 (C.16c) Los valores de ˆ SR,C ij yˆ CV,C ij se obtienen de nuevo como un promedio de las constantes ortótropas del material: ˆ SR,C 11 =ˆ SO 11 +ˆ SO 22 +ˆ SO 33 3=A′ 3(C.17a) C.2. Simetría isótropa 245 ˆ SR,C 12 =ˆ SO 12 +ˆ SO 13 +ˆ SO 23 3=B′ 3(C.17b) ˆ SR,C 44 =ˆ SO 44 +ˆ SO 55 +ˆ SO 66 2=C′ 3(C.17c) ˆ CV,C 11 =ˆ CO 11 +ˆ CO 22 +ˆ CO 33 3=A 3(C.18a) ˆ CV,C 12 =ˆ CO 12 +ˆ CO 13 +ˆ CO 23 3=B 3(C.18b) ˆ CV,C 44 =ˆ CO 44 +ˆ CO 55 +ˆ CO 66 3=C 3(C.18c) donde se han definido las constantes A,B,C,A′,B′yC′para facilitar la posterior resolución del sistema de ecuaciones resultante. Sustituyendo las ecs. (C.17) y (C.18) en (C.15) y (C.16), respectivamente: ΛR,C (1) =3 A′+ 2B′(C.19a) ΛV,C (1) =A+ 2B 3(C.19b) ΛR,C (2,3) =3 A′−B′(C.19c) ΛV,C (2,3) =A−B 3(C.19d) ΛR,C (4,5,6) =3 C′(C.19e) ΛV,C (4,5,6) =C 3(C.19f) A partir de estos límites de los autovalores del tensor de rigidez efectivo con simetría cúbica, Cowin y cols. [42] obtienen los correspondientes límites para el tensor isótropo como: ΛR,I (1) = ΛR,C (1) =3 A′+ 2B′(C.20a) ΛV,I (1) = ΛV,C (1) =A+ 2B 3(C.20b) ΛR,I (2,3,4,5,6) =5 2 ΛR,C (2,3) +3 ΛR,C (4,5,6) =5 2(A′−B′) 3+C′(C.20c) ΛV,I (2,3,4,5,6) =2ΛV,C (2,3) + 3ΛV,C (4,5,6) 5= 2(A−B) 3+C 5(C.20d) mientras que los autovalores del tensor de rigidez efectivo con simetría isótropa son: Λeff,I 1=ˆ Ceff,I 11 + 2 ˆ Ceff,I 12 ≡3Keff,I (C.21a) 246 C. Simetrización de un tensor de comportamiento anisótropo Λeff,I 2,3,4,5,6=ˆ Ceff,I 11 −ˆ Ceff,I 12 ≡2Geff,I (C.21b) donde Keff,I yGeff,I son el módulo de compresibilidad y el módulo de rigidez del material efectivo isótropo, respectivamente. Si se particulariza la desigualdad de Hill (ec. (C.1)) para el caso isótropo, y se hace uso de las ecs. (C.21) se tiene: ΛR,I (1) ≤3Keff,I ≤ΛV,I (1) (C.22a) ΛR,I (2,3,4,5,6) ≤2Geff,I ≤ΛV,I (2,3,4,5,6) (C.22b) El sistema de ecuaciones (C.22) está desacoplado, pudiéndose obtener de la primera ecuación los límites superior e inferior de Keff,I , y de la segunda ecuación los límites de Geff,I : Keff,I−≡KR=1 A′+ 2B′=1 ˆ SO 11 +ˆ SO 22 +ˆ SO 33 + 2 (ˆ SO 12 +ˆ SO 13 +ˆ SO 23)(C.23a) Keff,I+≡KV=A+ 2B 9= ˆ CO 11 +ˆ CO 22 +ˆ CO 33 + 2 (ˆ CO 12 +ˆ CO 13 +ˆ CO 23) 9(C.23b) Geff,I−≡GR=15 4(A′−B′)+6C′= =15 4( ˆ SO 11 +ˆ SO 22 +ˆ SO 33 −ˆ SO 12 −ˆ SO 13 −ˆ SO 23)+6(ˆ SO 44 +ˆ SO 55 +ˆ SO 66)(C.23c) Geff,I+≡GV=2(A−B)+3C 30 = = 2( ˆ CO 11 +ˆ CO 22 +ˆ CO 33 −ˆ CO 12 −ˆ CO 13 −ˆ CO 23)+3(ˆ CO 44 +ˆ CO 55 +ˆ CO 66) 30 (C.23d) Finalmente, las 2 constantes elásticas del tensor de rigidez efectivo con simetría isótropa, Keff,I yGeff,I , son estimadas como: Keff,I =Keff,I−+Keff,I+ 2(C.24a) Geff,I =Geff,I−+Geff,I+ 2(C.24b) Hill [99] obtuvo expresiones idénticas a las dadas por las ecs. (C.23) para los límites de las constantes del material isótropo simetrizado, suponiendo que las deformaciones eran uniformes (límite de Reuss [196]) o que las tensiones eran uniformes (límites de Voigt [231]). Bibliografía [1] A. Amadasi, D. Merli, A. Brandone, P. Poppa, D. Gibelli, and C. Cattaneo. The survival of gunshot residues in cremated bone: An inductively coupled plasma optical emission spectrometry study. Journal of Forensic Sciences, 58(4):964–966, 2013. [2] F.J. Arendts and C. Sigolotto. Standard dimensions, young’s modulus and strength of the human mandible. a contribution to the description of the biomechanics of the mandible - part i [standardabmessungen, elastizitatskennwerte und festigkeitsverhalten des human-unterkiefers, ein beitrag zur darstellung der biomechanik der unterkiefer - teil i]. Biomedizinische Technik, 34(10):248–255, 1989. [3] ASBMR. The american society for bone and mineral research. bone curriculum. http: //depts.washington.edu/bonebio/ASBMRed/ASBMRed.html, 2003. [4] O. Barou, M.H. Lafage-Proust, S. Palle, L. Vico, and C. Alexandre. Effects of immobilization on preosteoblast proliferation assessed histomorphometrically using brdu uptake on epon-embedded rat bone. Bone, 19(3, Supplement):131, 1996. [5] M. Bauccio, editor. ASM Metals Reference Book. Ed. ASM International, Materials Park, 1993. [6] G.S. Beaupré, T.E. Orr, and D.R. Carter. An approach for time-dependent bone modelling and remodelling - application: A preliminary remodeling simulation. J. Orthopaed. Res., 5:662–670, 1990. [7] G.S. Beaupré, T.E. Orr, and D.R. Carter. An approach for time-dependent bone modelling and remodelling - theoretical development. J. Orthopaed. Res., 5:651–661, 1990. [8] C. Bell. Animal Mechanics, or Proofs of Design in the Animal Frame. Morrill Wyman, 1827. 247 248 BIBLIOGRAFÍA [9] T. Beno, Y.J. Yoon, S.C. Cowin, and S.P.Fritton. Estimation of bone permeability using accurate microstructural measurements. J. Biomech., 39(13):2378–2387, 2006. [10] Y. Benveniste. A new approach to the application of mori-tanaka’s theory in composite materials. Mech. Mater., 6(2):147–157, 1987. [11] G. Bergmann, F. Graichen, and A. Rohlmann. Hip joint loading during walking and running, measured in two patients. Journal of Biomechanics, 26(8):969–990, 1993. [12] K. Bethge and C. Mattheck. Fatigue testing of a shape-optimized circular hole in a plate under tensile and bending loads. International Journal of Fatigue, 12(6):489–492, 1990. [13] R.M. Biltz and E.D. Pellegrino. The chemical anatomy of bone. i. a comparative study of bone composition in sixteen vertebrates. Journal of Bone and Joint Surgery - Series A, 51(3):456–466, 1969. [14] T.M. Boyce, D.P. Fyhrie, M.C. Glotkowski, E.L.Radin, and M.B. Schaffler. Damage type and strain mode associations in human compact bone bending fatigue. J. Orthopaed. Res., 16:322–329, 1998. [15] H.E. Boyer and Eds. T.L. Gall, editors. Metals Handbook. American Society for Metals, Materials Park, 1985. [16] C.T. Brighton and R.M. Hunt. Histochemical localization of calcium in the fracture callus with potassium pyroantimonate: possible role of chondrocyte mitochondrial calcium in callus calcification. Journal of Bone and Joint Surgery, 68-A(5):703–715, 1986. [17] C.T. Brighton and R.M. Hunt. Early histologic and ultrastructural changes in medullary fracture callus. Journal of Bone and Joint Surgery, 73-A(6):832–847, 1991. [18] C.T. Brighton and R.M. Hunt. Early histologic and ultrastructural changes in microvessels of periosteal callus. Journal of Orthopaedic Trauma, 11(4):244–253, 1997. [19] H. Brockstedt, M. Kassem, E.M. Erikssen, L. Mosekilde, and F. Melsen. Age- and sex-related changes in iliac cortical bone mass and remodeling. Bone, 14:681–691, 1993. [20] L. M. Brown and W. M. Stobbs. Work-hardening of copper-silica - 1. Phil. Mag., 23(185):1185–1199, 1971. BIBLIOGRAFÍA 249 [21] J.A. Buckwalter, M.J. Glimcher, R.R. Cooper, and R. Recker. Bone biology. part i: Structure, blood supply, cells, matrix, and mineralization. Journal of Bone and Joint Surgery - Series A, 77(8):1256–1275, 1995. [22] E.H. Burger, J. Klein-Nulend, and S.C. Cowin. Mechanotransduction in bone. Advances in Organ Biology, 5(C):123–136, 1998. [23] D.B. Burr, R.B. Martin, M.B. Schaffler, and E.L. Radin. Bone remodeling in response to in vivo fatigue microdamage. J. Biomech., 18(3):189–200, 1985. [24] D.B. Burr, C.H. Turner, P. Naick, M.R. Forwood, W. Ambrosius, et al. Does microdamage accumulation affect the mechanical properties of bone? J. Biomech., 31(4):337– 345, 1998. [25] J.R. Caeiro, P. González, and D. Guede. Biomechanics and bone (& ii): Trials in different hierarchical levels of bone and alternative tools for the determination of bone strength. Rev. Osteoporos Metab. Miner., 5(2):99–108, 2013. [26] R.D. Carpenter and D.R. Carter. The mechanobiological effects of periosteal surface loads. Biomechan. Model. Mechanobiol., 7:227–242, 2008. [27] D.R. Carter. Mechanical loading histories and cortical bone remodelling. Calcif. Tissue Internat., 36(1):19–24, 1984. [28] D.R. Carter and G.S. Beaupré. Skeletal Function and Form: Mechanobiology of Skeletal Development, Aging, and Regeneration. Cambridge University Press, New York (USA), 2001. [29] D.R. Carter, W.E. Caler, D.M. Spengler, and V.H. Frankel. Uniaxial fatigue of human cortical bone. the influence of tissue physical characteristics. J. Biomech., 14:461–470, 1981. [30] D.R. Carter, D.P. Fyhrie, and R.T. Whalen. Trabecular bone density and loading history: regulation of tissue biology by mechanical energy. J. Biomech., 20:785–795, 1987. [31] D.R. Carter, T.E. Orr, and D.P. Fyhrie. Relationships between loading history and femoral cancellous bone architecture. Journal of Biomechanics, 22(3):231–244, 1989. [32] P.C. Chou, J. Carleone, and C.M. Hsu. Elastic constants of layered media. J. Compos. Mater., 6(1):80–93, January 01 1972. 250 BIBLIOGRAFÍA [33] P.G. Ciarlet. Mathematical Elasticity. Volume I: Three-dimensional elasticity. Elsevier Science Publishing Company, Inc., 1988. [34] L.E Claes and C.A Heigele. Magnitudes of local stress and strain along bony surfaces predict the course and type of fracture healing. J. Biomech., 32(3):255 – 266, 1999. [35] J.P. Cordebois and F. Sideroff. Damage induced elastic anisotropy. Mechanical Behavior of Anisotropic Solids, Proc. EUROMECH Colloque, 115:761–774, 1982. [36] S.C. Cowin. The relationship between the elasticity tensor and the fabric tensor. Mechanics of Materials, 4(2):137–147, 1985. [37] S.C. Cowin. Wolff’s law of trabecular architecture at remodeling equilibrium. Journal of Biomechanical Engineering, 108(1):83–88, 1986. [38] S.C. Cowin. Bone poroelasticity. J. Biomech., 32:217–238, 1999. [39] S.C. Cowin, R.T. Hart, and J.R. Balserand D.H. Kohn. Functional adaptation in long bones: establishing in vivo values for surface remodeling rate coefficients. J. Biomech., 18:665–684, 1985. [40] S.C. Cowin and D.H. Hegedus. Bone remodeling i: A theory of adaptive elasticity. J. Elasticity, 6:313–326, 1976. [41] S.C. Cowin and M.M. Mehrabadi. Anisotropic symmetries of linear elasticity. Applied Mechanics Reviews, 48(5):247–285, 1995. [42] S.C. Cowin, G. Yang, and M.M. Mehrabadi. Bounds on the effective anisotropic elastic constants. Journal of Elasticity, 57(1):1–24, 1999. [43] J.M. Crolet, B. Aoubiza, and A. Meunier. Compact bone: numerical simulation of mechanical characteristics. J. Biomech., 26(6):677–687, 1993. [44] J.D. Currey. Tensile yield in compact bone is determined by strain, post-yield behaviour by mineral content. J. Biomech., 37:549–556, 2004. [45] C. Darwin. On the Origin of Species by Means of Natural Selection, Or, The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life. J. Murray, 1859. [46] J.R. Davis, editor. Metals Handbook, Vol.2 - Properties and Selection: Nonferrous Alloys and Special-Purpose Materials. ASM International, 1990. BIBLIOGRAFÍA 251 [47] D.T. Davy and K.J. Jepsen. Bone damage mechanics. In Bone Mechanics Handbook, chapter 18. CRC Press, 2001. [48] P.C. Dechow, G.A. Nail, C.L. Schwartz-Dabney, and R.B. Ashman. Elastic properties of human supraorbital and mandibular bone. American Journal of Physical Anthropology, 90(3):291–306, 1993. [49] J.M. Deuerling, W. Yue, A.A. Espinoza Orías, and R.K. Roeder. Specimen-specific multi-scale model for the anisotropic elastic constants of human cortical bone. Journal of Biomechanics, 42(13):2061–2067, 2009. [50] S. Dillane, M. Thompson, J. Meyer, M. Norquay, and R.C. O’Brien. Inductively coupled plasma-atomic emission spectroscopy (icp-aes) as a method of species differentiation of bone fragments. Australian Journal of Forensic Sciences, 43(4):297–312, 2011. [51] M. Doblaré and J. M. García. Anisotropic bone remodelling model based on a continuum damage-repair theory. J. Biomech., 35(1):1–17, 2002. [52] X.N. Dong and X.E. Guo. Prediction of cortical bone elastic constants by a twolevel micromechanical model using a generalized self-consistent method. Journal of Biomechanical Engineering, 128(3):309–316, 2006. [53] S.R. Elliott and R.A. Robinson. The water content of bone. i. the mass of water, inorganic crystals, organic matrix, and co2 space components in a unit volume of the dog bone. J. Bone Joint Surg. Am., 39 A(1):167–188, 1957. [54] D.R. Epari, H. Schell, H.J. Bail, and G.N. Duda. Instability prolongs the chondral phase during bone healing in sheep. Bone, 38(6):864–870, 2006. [55] E.F. Eriksen, S.F. Hodgson, R. Eastell, S.L. Cedel, W.M., O’Fallon, and B.L. Riggs. Cancellous bone remodeling in type i (postmenopausal) osteoporosis: quantitative assesment of rates of formation, resorption and bone loss at tissue and cellular levels. J. Bone Miner. Res., 5:311–319, 1990. [56] J.D. Eshelby. Elastic inclusions and inhomogeneities. In I.N. Sneddon and R. Hill, editors, Progress in Solid MEchanics, volume 2, pages 89–140, Amsterdam (The Netherlands), 1961. North-Holland Publishing Company. 252 BIBLIOGRAFÍA [57] J.D. Eshelby. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 241(1226):376–396, 1982. [58] H.E. Evans and G.C. Christensen. Miller’s anatomy of the dog. Saunders, Philadelphia (USA), 1979. [59] J.R. Fernández, J.M. García-Aznar, and R. Martínez. Numerical analysis of a diffusive strain-adaptive bone remodelling theory. International Journal of Solids and Structures, 49(15-16):2085–2093, 2012. [60] M. Ferrari and G.C. Johnson. Effective elasticities of short-fiber composites with arbitrary orientation distribution. Mech. Mater., 8(1):67–73, 1989. [61] M. Ferretti, M.A. Muglia, F. Remaggi, V. Canè, and C. Palumbo. Histomorphometric study on the osteocyte lacuno-canalicular network in animals of different species. ii. parallel-fibered and lamellar bones. Italian journal of anatomy and embryology = Archivio italiano di anatomia ed embriologia, 104(3):121–131, 1999. [62] K. Firoozbakhsh and S.C. Cowin. An analytical model of pauwels’ functional adaptation mechanism in bone. Journal of Biomechanical Engineering, 103(4):246–252, 1981. [63] J.T. Fleming, M.T. Barati, D.J. Beck, J.C. Dodds, A.L. Malkani, D. Parameswaran, G.K. Soukhova, M.J. Voor, and J.B.A. Feitelson. Bone blood flow and vascular reactivity. Cells Tissues Organs, 169(3):279–284, 2001. [64] P. Fridez. Modélisation de l’adaptation osseuse externe. Technical report, Physics Department, EPFL, Lausanne, 1996. [65] P. Fridez, L. Rakotomanana, A. Terrier, and P.F. Leyvraz. Three dimensional model of bone external adaptation. In J. Middleton, M.L. Jones, and G.N. Pande, editors, Computer Methods in Biomechanics & Biomedical Engineering - 2, pages 189–196, 1998. [66] A. Fritsch and C. Hellmich. ’universal’ microstructural patterns in cortical and trabecular, extracellular and extravascular bone materials: Micromechanics-based prediction of anisotropic elasticity. J. Theor. Biol., 244(4):597–620, 2007. BIBLIOGRAFÍA 253 [67] H.M. Frost. Presence of microscopic cracks in vivo in bone. Henry Ford Hospital Medical Bulletin, 8:27–35, 1960. [68] H.M. Frost. Bone remodeling dynamics. Charles C. Thomas Co.„ Springfield, IL (USA), 1963. [69] H.M. Frost. The Laws of Bone Structure. Charles C. Thomas Co.„ Springfield, IL (USA), 1964. [70] H.M. Frost. Tetracycline-based histological analysis of bone remodeling. Calc. Tiss. Res., 3:211–237, 1969. [71] H.M. Frost. The biology of fracture healing. an overview for clinicians. part i. Clinical Orthopaedics and Related Research, 248:283–293, 1989. [72] H.M. Frost. The biology of fracture healing. an overview for clinicians. part ii. Clinical Orthopaedics and Related Research, 248:294–309, 1989. [73] Y.C. Fung. Biomechanics. Mechanical properties of living tissues. Springer Verlag, 1993. [74] G. Galileo. Discorsi e dimonstrazioni matematiche, intorno a due nuove scienze attentanti alla meccanica ed a muovementi locali. University of Wisconsin Press, 1638. [75] J.M. García-Aznar. Modelos de remodelación ósea: análisis numérico y aplicación al diseño de fijaciones de fracturas del fémur proximal. PhD thesis, Universidad de Zaragoza, Zaragoza (España), 1999. [76] J.M. García-Aznar, T. Rueberg, and M. Doblaré. A bone remodelling model coupling microdamage growth and repair by 3d bmu-activity. Biomech. Model Mechan., 4:147– 167, 2005. [77] T.N. Gardner, T. Stoll, L. Marks, S. Mishra, and M. Knothe Tate. The influence of mechanical stimulus on the pattern of tissue differentiation in a long bone fracture - an fem study. Journal of Biomechanics, 33(4):415–425, 2000. [78] N. Garijo, J.R. Fernández, M.A. Pérez, and J.M. García-Aznar. Numerical stability and convergence analysis of bone remodeling model. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 271(0):253–268, 2014. 260 BIBLIOGRAFÍA [145] M. Martens, R. Van Audekercke, P. De Meester, and J.C. Mulier. The geometrical properties of human femur and tibia and their importance for the mechanical behaviour of these bone structures. Arch. Orthop. Trauma Surg., 98:113–120, 1981. [146] R.B. Martin. Porosity and specific surface of bone. Critical Reviews in Biomedical Engineering, 10(3):179–222, 1984. [147] R.B. Martin. Toward a unifying theory of bone remodeling. Bone, 26(1):1–6, 2000. [148] R.B. Martin, D.B. Burr, and N.A. Sharkey. Skeletal Tissue Mechanics. Springer Verlag New York Inc, New York (USA), 1998. [149] J. Martínez-Reina. Aplicación de modelos de remodelación ósea interna al estudio del comportamiento de implantes dentales. PhD thesis, Universidad de Sevilla, Sevilla (España), 2006. [150] J. Martínez-Reina, J. Domínguez, and J.M. García-Aznar. Effect of porosity and mineral content on the elastic constants of cortical bone: A multiscale approach. Biomech. Model. Mechan., 10(3):309–322, 2011. [151] J. Martínez-Reina, J.M. García-Aznar, J. Domínguez, and M. Doblaré. On the role of bone damage in calcium homeostasis. J. Theor. Biol., 254:704–712, 2008. [152] J. Martínez-Reina, J.M. García-Aznar, J. Domínguez, and M. Doblaré. A bone remodelling model including the directional activity of bmus. Biomechanics and Modeling in Mechanobiology, 8(2):111–127, 2009. [153] J. Martínez-Reina, I. Reina, J. Domínguez, and J.M. García-Aznar. A bone remodelling model including the effect of damage on the steering of bmus. Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, 32:99–112, 2014. [154] C. Mattheck. Design and growth rules for biological structures and their application to engineering. Fatigue and Fracture of Engineering Materials and Structures, 13(5):535– 550, 1990. [155] C. Mattheck and S. Burkhardt. A new method of structural shape optimization based on biological growth. International Journal of Fatigue, 12(3):185–190, 1990. [156] C. Mattheck and D. Erb. Shape optimization of a rubber bearing. International Journal of Fatigue, 13(3):206–208, 1991. BIBLIOGRAFÍA 261 [157] C. Mattheck and L. Harzheim. Effect of loading on the optimized shape of a kinked bar. Materialwissenschaft und Werkstofftechnik, 22(7):236–244, 1991. [158] R.W. McCalden, J.A. McGlough, M.B. Barker, and C.M. Court-Brown. Age-related changes in the tensile properties of cortical bone. the relative importance of changes in porosity, mineralization and microstructure. Journal of Bone and Joint Surgery - Series A, 75(8):1193–1205, 1993. [159] R.C. McClure, M.J. Dallman, and P.D. Garrett. Anatomy of the cat: an atlas, text, and dissection guide. Lea and Febiger, Philadelphia (USA), 1973. [160] B. McKibbin. The biology of fracture healing in long bones. Journal of Bone and Joint Surgery - Series B, 60 B(2):150–162, 1978. [161] S.S. Mehta. Analysis of the mechanical properties of bone material using nondestructive ultrasound reflectometry. PhD thesis, The University of Texas Southwestern Medical Center at Dallas, 1995. [162] P. Meier and R. Blickhan. Fem-simulation of skeletal muscle: the influence of inertia during activation and deactivation. In W. Herzog, editor, Skeletal Muscle Mechanics. From Mechanisms to Function. John Wiley and Sons, Ltd., 2000. [163] L.N. Metz, R.B. Martin, and A.S. Turner. Histomorphometric analysis of the effects of osteocyte density on osteonal morphology and remodeling. Bone, 33(5):753–759, 2003. [164] J.L. Meyer and B.O. Fowler. Lattice defects in nonstoichiometric calcium hydroxylapatites. a chemical approach. Inorg. Chem., 21:3029–3035, 1982. [165] B. Mikic and D.R. Carter. Bone strain gage data and theoretical models of functional adaptation. J. Biomech., 28(4):465–469, 1995. [166] J. Mora. Diseño de dispositivos para el análisis experimental del proceso de transporte óseo en ovejas. Master’s thesis, Universidad de Sevilla, 2012. [167] E.F. Morgan, R.E. Gleason, L.N.M. Hayward, P.L. Leong, and K.T. Salisbury Palomares. Mechanotransduction and fracture repair. Journal of Bone and Joint Surgery - Series A, 90(Suppl. 1):25–30, 2008. [168] T. Mori and K. Tanaka. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions. Acta Metallurgia, 21:571–574, 1973. 262 BIBLIOGRAFÍA [169] T. Mura. Micromechanics of Defects in Solids. Martinus Nijhoff Publisher, Dordrecht (The Netherlands), 1987. [170] NASA. Nasa-std-3000: Man-systems integration standards. volumen 1, sección 3. http://msis.jsc.nasa.gov/sections/section03.htm, Julio 1995. [171] A.G. Need, M. Horowitz, H.A. Morris, R. Moore, and C. Nordin. Seasonal change in osteoid thickness and mineralization lag time in ambulant patients. J. Bone Miner. Res., 22(5):757–761, 2007. [172] J.L. Neil, T.C. Demos, J.L. Stone, and W.C. Hayes. Tensile and compressive properties of vertebral trabecular bone. Trans. Orthopaed. Res. Soc., 8:344, 1983. [173] S. Nemat-Nasser and M. Hori. Micromechanics: Overall Properties of Heterogeneous Materials. Elsevier, 1999. [174] S. Nemat-Nasser, N. Yu, and M. Hori. Bounds and estimates of overall moduli of composites with periodic microstructure. Mechanics of Materials, 15:163–181, 1993. [175] V.S. Nikolaou, N. Efstathopoulos, G. Kontakis, N.K. Kanakaris, and P.V. Giannoudis. The influence of osteoporosis in femoral fracture healing time. Injury, 40(6):663–668, 2009. [176] F.J. O’Brien, D. Taylor, G.R. Dickson, and T.C. Lee. Visualisation of three dimensional microcracks in compact bone. J. Anat., 197:413–420, 2000. [177] J. Ojeda. Application of Multibody System Techniques to Human Locomotor System. PhD thesis, Escuela Técnica Superior de Ingeniería, Universidad de Sevilla, 2012. [178] A.M. Parffit. Osteonal and hemi-osteonal remodeling: the spatial and temporal framework for signal traffic in adult human bone. J. Cell. Biochem., 55(3):273–286, 1994. [179] A.M. Parffit. What is the normal rate of bone remodeling? Bone, 35(1):1–3, 2004. [180] A.M. Parffit, G.R. Mundy, G.D. Roodman, D.E. Hughes, and B.F. Boyce. A new model for the regulation of bone resorption, with particular reference to the effects of biphosphonates. J. Bone. Miner. Res., 11(2):150–159, 1996. [181] A.M. Parfitt. The physiologic and clinical significance of bone histomorphometric data. In Bone Histomorphometry: techniques and interpretation. Boca, pages 143–223. CRC Press, 1983. BIBLIOGRAFÍA 263 [182] A.M. Parfitt. Bone remodeling and bone loss: Understanding the pathophysiology of osteoporosis. Clin. Obstet. Gynecol., 30(4):789–811, 1987. [183] E.P. Paschalis, E. DiCarlo, F. Betts, P. Sherman, R. Mendelsohn, and A.L. Boskey. Ftir microspectroscopic analysis of human osteonal bone. Calcif. Tissue. Int., 59:480– 487, 1996. [184] C.A. Pattin, W.E. Caler, and D.R. Carter. Cyclic mechanical property degradation during fatigue loading of cortical bone. J. Biomech., 29(1):69–79, 1996. [185] F. Paulsen and J. Waschke, editors. Sobotta. Atlas of Human Anatomy. Volume I: General Anatomy and Musculoskeletal System. Elsevier GmbH, Munich, 15th edition, 2011. [186] F. Pauwels. Biomechanics of the Locomotor Apparatus: Contributions on the Functional Anatomy of the Locomotor Apparatus. Springer-Verlag, 1980. [187] P. Pivonka, J. Zimak, D.W. Smith, B.S. Gardiner, C.R. Dunstan, N.A. Sims, T.J. Martin, and G.R. Mundy. Model structure and control of bone remodeling: A theoretical study. Bone, 43(2):249–263, 2008. [188] D. Porter. Pragmatic multiscale modelling of bone as a natural hybrid nanocomposite. Materials Science and Engineering A, 365(1-2):38–45, 2004. [189] S. Qiu, D.S. Rao, D.P. Fyhrie, S. Palnitkar, and A.M. Parfitt. The morphological association between microcracks and osteocyte lacunae in human cortical bone. Bone, 37:10–15, 2005. [190] S. Qiu, D.S. Rao, S. Palnitkar, and A.M. Parfitt. Age and distance from the surface but not menopause reduce osteocyte density in human cancellous bone. Bone, 31(2):313– 318, 2002. [191] S. Qiu, D.S. Rao, S. Palnitkar, and A.M. Parfitt. Relationships between osteocyte density and bone formation rate in human cancellous bone. Bone, 31(6):709–711, 2002. [192] Z.A. Ráliš, H.M. Ráliš, M. Randall, G. Watkins, and P.D. Blake. Changes in shape, ossification and quality of bones in children with spina bifida. Dev Med Child Neurol Suppl, 37:29–41, 1976. 264 BIBLIOGRAFÍA [193] D.T. Reilly and A.H. Burstein. The elastic and ultimate properties of compact bone tissue. Journal of Biomechanics, 8(6):393–405, 1975. [194] E. Reina-Romo, M.J. Gómez-Benito, J. Domínguez, F. Niemeyer, T. Wehner, U. Simon, and L.E. Claes. Effect of the fixator stiffness on the young regenerate bone after bone transport: Computational approach. Journal of Biomechanics, 44(5):917–923, 2011. [195] F. Remaggi, V. Canè, C. Palumbo, and M. Ferretti. Histomorphometric study on the osteocyte lacuno-canalicular network in animals of different species. i. woven-fibered and parallel-fibered bones. It. J. Anat. Embryol., 103(4):145–155, 1998. [196] A. Reuss. Berechnung der fließgrenze vonmischkristallen auf grund der plastizitätsbedingung für einkristalle. ZAMM, 9:49âĂŞ58, 1929. [197] J.Y. Rho, R. B. Ashman, and C. H. Turner. Young’s modulus of trabecular and cortical bone material: ultrasonic and microtensile measurements. J. Biomech., 26:111–119, 1993. [198] J.Y. Rho, L. Kuhn-Spearing, and P. Zioupos. Mechanical properties and the hierarchical structure of bone. Med. Eng. Phys., 20:92–102, 1998. [199] W.E. Roberts, P.G. Mozsary, and E. Klingler. Nuclear size as a cell-kinetic marker for osteoblast differentiation. American Journal of Anatomy, 165(4):373–384, 1982. [200] C.M. Robinson, E.B. Goudie, I.R. Murray, P.J. Jenkins, M.A. Ahktar, C.J. Foster, K. Clark, A.J. Brooksbank, A. Arthur, M.A. Crowther, I. Packham, and T.J. Chesser. Open reduction and plate fixation versus nonoperative treatment for displaced midshaft clavicular fractures. Journal of Bone and Joint Surgery - Series A, 95(17):1576– 1584, 2013. [201] R.A. Robinson and M.L. Watson. Collagen-crystal relationships in bone as seen in the electron microscope. Anal. Rec., 114:383–410, 1952. [202] G.J. Rodin. Eshelby’s inclusion problem for polygons and polyhedra. J. Mech. Phys. Solids, 44(12):1977–1995, 1996. [203] H. Roesler. The history of some fundamental concepts in bone biomechanics. Journal of Biomechanics, 20(11-12):1025–1034, 1987. BIBLIOGRAFÍA 265 [204] L. Rohl, E. Larsen, F. Linde, A. Odgaard, and J. Jorgensen. Tensile and compressive properties of cancellous bone. Journal of Biomechanics, 24(12):1143–1149, 1991. [205] W. Roux. Gesammelte Abhandlungen über Entwicklungsmechanik der Organismen. Wilhelm Engelmann, 1885. [206] C.T. Rubin and L.E. Lanyon. Regulation of bone formation by applied dynamic loads. Journal of Bone and Joint Surgery - Series A, 66(3):397–402, 1984. [207] C.T. Rubin and L.E. Lanyon. Osteoregulatory nature of mechanical stimuli: Function as a determinant for adaptive remodeling in bone. Journal of Orthopaedic Research, 5(2):300–310, 1987. [208] M.J.S. Rudwick. Georges Cuvier, fossil bones, and geological catastrophes. The University of Chicago Press, Chicago (USA), 1997. [209] T. Sato, T. Hara, S. Mori, H. Shirai, and S. Minagi. Threshold for bone resorption induced by continuous and intermittent pressure in the rat hard palate. J. Dent. Res., 77:387–392, 1998. [210] I. Sevostianov and M. Kachanov. Impact of the porous microstructure on the overall elastic properties of the osteonal cortical bone. Journal of Biomechanics, 33(7):881– 888, 2000. [211] C. Sfeir, Ho C., Doll B.A., et al. Fracture repair. In Lieberman J.R. and Friedlaender G.E., editors, Bone regeneration and repair, pages 21–43. Totowa: Humana Press, Inc., 2005. [212] K. Shiraishi, H. Kawamura, and G.-I. Tanaka. Determination of alkaline-earth metals in foetus bones by inductively-coupled plasma atomic-emission spectrometry. Talanta, 34(10):823–827, 1987. [213] S.K. Sikes. The Natural History of the African Elephant. American Elsevier Publishing Company, Inc., New York (USA), 1971. [214] J.G. Skedros and S.L. Baucom. Mathematical analysis of trabecular trajectories in apparent trajectorial structures: The unfortunate historical emphasis on the human proximal femur. J. Theor. Biol., 244:15–45, 2007. [215] J.W. Smith. Collagen fibre patterns in mammalian bone. J. Anat., 94(3):329–344, 1960. 266 BIBLIOGRAFÍA [216] W. Sontag. Age-dependent morphometric alterations in the distal femora of male and female rats. Bone, 13:297–310, 1992. [217] X. Su, K. Sun, F.Z. Cui, and W.J. Landis. Organization of apatite crystals in human woven bone. Bone, 32(2):150–162, 2003. [218] X.W. Su, Q.L. Feng, F.Z. Cui, and X.D. Zhu. Microstructure and micromechanical properties of the mid-diaphyses of human fetal femurs. Connect. Tissue Res., 36(3):271–286, 1997. [219] D. Taylor. Fatigue of bone and bones: An analysis based on stressed volume. Journal of Orthopaedic Research, 16(2):163–169, 1998. [220] D. Taylor, E. Casolari, and C. Bignardi. Predicting stress fractures using a probabilistic model of damage, repair and adaptation. Journal of Orthopaedic Research, 22(3):487– 494, 2004. [221] D. Taylor, J.G. Hazenberg, and T.C. Lee. The cellular transducer in damagestimulated bone remodelling: A theoretical investigation using fracture mechanics. Journal of Theoretical Biology, 225(1):65–75, 2003. [222] D. Taylor and A. Tilmans. Stress intensity variations in bone microcracks during the repair process. Journal of Theoretical Biology, 229(2):169–177, 2004. [223] S.M. Tommasini, P. Nasser, B. Hu, and K.J. Jepsen. Biological co-adaptation of morphological and composition traits contributes to mechanical functionality and skeletal fragility. J. Bone Miner. Res., 23:236–246, 2008. [224] C.H. Turner. Toward a mathematical description of bone biology: The principle of cellular accomodation. Calcified Tissue Int., 65:466–471, 1999. [225] A.-P. Uzel, J. Deloumeaux, J.-L. Rouvillain, G.-Y. Laflamme, A. Durandeau, and P. Caix. Comparative study of femoral diaphyseal morphometry in two male populations, in france and a french west indies island: An example of clinical relevance of comparative anatomy for orthopedic practice. Surgical and Radiologic Anatomy, 33(3):235–240, 2011. [226] D. Vashishth, G. Gibson, J. Kimura, M.B. Schaffler, and D.P. Fyhrie. Determination of bone volume by osteocyte population. Anatomical Record, 267(4):292–295, 2002. BIBLIOGRAFÍA 267 [227] G. Verde-Carvallo, A. Guarino, and G. González. Mineralization of hydroxyapatite over collagen type i. European Cells and Materials, 7(SUPPL.2):58–59, 2004. [228] N. Verdonschot and R. Huiskes. Creep behavior of hand-mixed simplex p bone cement under cyclic tensile loading. Journal of applied biomaterials, 5(3):235–243, 1994. [229] A. Vetter, D.R. Epari, R. Seidel, H. Schell, P. Fratzl, G.N. Duda, and R. Weinkamer. Temporal tissue patterns in bone healing of sheep. Journal of Orthopaedic Research, 28(11):1440–1447, 2010. [230] A. Vetter, Y. Liu, F. Witt, et al. The mechanical heterogeneity of the hard callus influences local tissue strains during bone healing: A finite element study based on sheep experiments. J. Biomech., 44(3):517–523, 2011. [231] W. Voigt. Lehrbuch der Kristallphysik. B. G. Teubner, 1928. [232] G.H. von Meyer. Die architektur der spongiosa. Arch. Anat. Physiol. wiss. Med., 34:615–628, 1867. [233] L. Wang, S. Fritton, S.C. Cowin, and S. Weinbaum. Fluid pressure relaxation depends upon osteonal microstructure: modeling of an oscillatory bending experiment. J. Biomech., 32:663–672, 1999. [234] F.O. Ward. Outlines of Human Osteology. H. Renshaw, 1838. [235] S. Weiner and W. Traub. Bone structure: From angstroms to microns. FASEB Journal, 6(3):879–885, 1992. [236] J.M. Weiss, S. Graves, S. Yang, E. Mendelsohn, R.M. Kay, and D.L. Skaggs. A new classification system predictive of complications in surgically treated pediatric humeral lateral condyle fractures. Journal of Pediatric Orthopaedics, 29(6):602–605, 2009. [237] R.T. Whalen and D.R. Carter. Influence of physical activity on the regulation of bone density. J. Biomech., 21(10):825–837, 1988. [238] W.J. Whitehouse and E.D. Dyson. Scanning electron microscope studies of trabecular bone in the proximal end of the human femur. Journal of Anatomy, 118(3):417–444, 1974. [239] P.J. Withers, W.M. Stobbs, and O.B. Pedersen. The application of the eshelby method of internal stress determination to short fibre metal matrix composites. Acta Metall., 37:3061–3084, 1989. 268 BIBLIOGRAFÍA [240] J. Wolff. Das Gesetz der Transformation der Knoche. Hirschwald, Berlin, 1892. [241] J.-J. Wu, H.S. Shyr, E.Y.S. Chao, and P.J. Kelly. Comparison of osteotomy healing under external fixation devices with different stiffness characteristics. Journal of Bone and Joint Surgery - Series A, 66(8):1258–1264, 1984. [242] T.T. Wu. The effect of inclusion shape on the elastic moduli of a two-phase material. Int. J. Solids Structures, 2(1):1–8, 1966. [243] H. Yamada and F.G. Evans. Strength of biological materials. Williams & Wilkins, 1970. [244] G. Yang, J. Kabel, B. Van Rietbergen, A. Odgaard, R. Huiskes, and S.C. Cowin. Anisotropic hooke’s law for cancellous bone and wood. Journal of Elasticity, 53(2):125– 146, 1998. [245] O.H. Yeoh. Some forms of the strain energy function for rubber. Rubber Chemistry and Technology, 66(5):754–771, 1993. [246] Y.J. Yoon and S.C. Cowin. An estimate of anisotropic poroelastic constants of an osteon. Biomech. Model. Mechan., 7(1):13–26, 2008. [247] Y.J. Yoon and S.C. Cowin. The estimated elastic constants for a single bone osteonal lamella. Biomech. Model. Mechan., 7(1):1–11, 2008. [248] Y.J. Yoon, G. Yang, and S.C. Cowin. Estimation of the effective transversely isotropic elastic constants of a material from known values of the material’s orthotropic elastic constants. Biomech. Model. Mechan., 1(1):83–93, 2002. [249] D. Zhang and S.C. Cowin. Oscillatory bending of a poroelastic beam. J. Mech. Phys. Solids, 42:1575–1599, 1994. [250] D. Zhang, S. Weinbaum, and S.C. Cowin. Estimates of the peak pressure in bone pore water. J. Biomech. Eng., 120:697–703, 1998. [251] Z. Zhang and H.D. Victory. Mathematical analysis of zienckiewicz-zhu’s derivati- ve patch recovery technique. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 12:507–524, 1996. [252] O.C. Zienkiewicz and J.Z. Zhu. The superconvergent patch recovery and a posteriori error estimates. part 1: The recovery technique. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 33:1331–1364, 1992. BIBLIOGRAFÍA 269 [253] P. Zioupos and J.D. Currey. Changes in the stiffness, strength, and toughness of human cortical bone with age. Bone, 22(1):57–66, 1998. [254] V. Ziv and S. Weiner. Bone crystal sizes: a comparison of transmission electron microscopic and x-ray diffraction line width broadening techniques. Connective Tissue Research, 30(3):165–175, 1994.