Secciones de cuerpos convexos

FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO Trabajo Fin de Master: SECCIONES DE CUERPOS CONVEXOS Víctor Díaz Gil - Master Universitario en Matemáticas Julio 2024 Dirigido por: Rafael Villa Caro Julián E. Haddad Índice general Introducción 1 1. Conceptos previos 3 1.1. Conceptos básicos y notación ................. 3 1.2. Convexidad ........................... 6 1.2.1. Conjuntos convexos .................. 6 1.2.2. Funciones Convexas .................. 8 1.3. Proyecciones ........................... 10 1.4. La función soporte y los cuerpos convexos ......... 12 1.4.1. Hiperplanos soporte .................. 12 1.4.2. La función soporte ................... 14 1.4.3. Los cuerpos convexos ................. 16 1.5. La función radial y los cuerpos estrellados .......... 19 1.5.1. Cuerpos con forma estrellada ............. 19 1.5.2. La función radial .................... 20 1.5.3. Cuerpos estrellados .................. 23 1.6. Dualidad ............................. 27 1.7. Teoría de Brunn-Minkowski .................. 29 1.8. Transformadas .......................... 33 1.8.1. Transformada de Fourier y distribuciones ...... 33 1.8.2. Transformada esférica de Radón ........... 35 2. Secciones de cuerpos convexos 37 2.1. Fórmulas para medir secciones ................ 37 2.2. Volúmen extremos de secciones ................ 40 2.2.1. Secciones del cubo ................... 40 2.2.2. Secciones del diamante ................ 44 5 6ÍNDICE GENERAL 2.3. Desigualdad dual de Loomis-Whitney ............ 48 3. El problema de Busemann-Petty 51 3.1. Cuerpos de intersección .................... 51 3.2. Problema de Busemann-Petty ................. 56 Bibliografía 67 Introducción La tomografía geométrica es el campo de las matemáticas dentro de la geometría convexa que busca adquirir información sobre las propiedades de un objeto geométrico a través del estudio de sus secciones o proyecciones. El objetivo de este trabajo es hacer una revisión de diversos resultados en el estudio de la medida de las secciones (intersecciones con hiperplanos) de unos objetos llamados cuerpos estrellados y comparar esos resultados con los análogos en el ámbito de las proyecciones. Durante el trabajo se utilizarán diversa herramientas de la teoría de la medida que se pueden encontrar en [2] y en la sección cinco del capítulo cero de [5]. El presente trabajo está dividido en tres capítulos cuyo contenido se va a exponer brevemente Primer Capítulo: Se introducirá notación, teoría de convexidad y un breve resumen del concepto de proyección. Además se mostrarán herramientas fundamentales de la geometría convexa como son la función soporte, la función radial y los cuerpos convexos y estrellados. También se mostrarán un concepto de dualidad entre proyecciones y secciones y herramientas de la Teoría de Brunn-Minkowski como la desigualdad de Brunn-Minkowski o los volúmenes mixtos duales. Finalmente se introducirán la transformada de Fourier y la transformada esférica de Radón con sus propiedades. Segundo Capítulo: 1 Se mostrará una fórmula para medir secciones de cuerpos estrellados con la función radial y una fórmula de Koldobsky que usa análisis de Fourier. Posteriormente se realizará el cálculo de la medida de las secciones de la bola unidad de los espacios ℓ∞yℓ1, y se estimarán cotas superior e inferior estudiando los casos de igualdad. Finalmente se presentará una desigualdad de Meyer que se puede interpretar como la desigualdad dual a la de Loomis-Whitney. Tercer Capítulo: Se introducirá un nuevo cuerpo estrellado que se denominará cuerpo de intersección y se hará una revisión de sus propiedades, como el Teorema de unicidad de Minkowski, para compararlas con el cuerpo de proyección. Finalmente se tratará el problema de Busseman- Petty, uno de los problemas clásicos en el ámbito de las secciones y el problema dual al de Shephard. 2 Capítulo 1 Conceptos previos 1.1. Conceptos básicos y notación En esta sección se introducirán nociones y notaciones básicas de los elementos y herramientas que se utilizarán en este trabajo. El espacio euclídeo n-dimensional se denota Rn. Para referirse a sus elementos se utilizarán habitualmente letras minúsculas, y para sus subconjuntos letras mayúsculas. Dado x∈Rnentonces su expresión en coordenadas es x= (x1, . . . , xn). El elemento nulo u origen se denotará 0.ej∈Rncon 1≤j≤ndenotará al elemento j-ésimo de la base canónica. Un conjunto V∈Rnse dice subespacio vectorial de Rnsi contiene al origen y todas las combinaciones lineales de sus elementos. Si x∈Rn,lx es la recta que pasa por el origen y x. La norma p∈[1,+∞)de Rnse denota ∥·∥py se define con la fórmula: ∥x∥p= n X i=1|xi|p!1/p ∀x∈Rn. La norma p=∞de Rnse denota ∥·∥∞y se define con la fórmula: ∥x∥∞= m´ax{|xi|:i= 1 ...,n} ∀x∈Rn. 3 10 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS 1.3. Proyecciones Una proyección no es otra cosa que la sombra que plasma un objeto en un hiperplano. Este trabajo no se va a centrar en las proyecciones, pero como en muchas casos se pretende comparar los resultados de proyecciones con los de secciones, en este apartado se pretende dar un breve resumen de lo que es una proyección y los conceptos relacionados. Las pruebas de los resultados que se van a mostrar se pueden encontrarn en la segunda sección del primer capítulo de [15] y en el capítulo 7de [3]. Figura 1.5: Proyección de un politopo. Teorema 1.3.1. Sea F⊆Rnun conjunto no vacío, cerrado y convexo. Para todo x∈Rnexiste un único punto en F, que se denotará pF(x), y que cumple: |x−pK(x)|≤|x−y| ∀y∈F. Definición 1.3.2. Sea F⊆Rnun conjunto no vacío, cerrado y convexo. Entonces la proyección métrica sobre Fes la aplicación que a cada punto de Rn asocia el único punto de Fque minimiza la distancia al conjunto F. Se denota de esta manera: x∈Rn7→ pF(x)∈F Además si x /∈Fdenotaremos u(F, x)al vector unitario que marca la dirección de pF(x)ax. Es decir: u(F, x) = x−pF(x) d(x, F). 1.3. PROYECCIONES 11 La proyección de un conjunto Asobre un conjunto convexo, cerrado y no vacío Fno es más que el conjunto de puntos de Fque se encuentran más cerca de A. Proposición 1.3.3. Sea Fun conjunto cerrado y no vacío de Rn, si x /∈Fe y∈ {pF(x) + λu(F, x) : λ≥0}. Entonces pF(x) = pF(y). Definición 1.3.4. Sea A⊂Rn, su conjunto ortogonal se denota A⊥y satisface: A⊥={x∈Rn:⟨x, a⟩= 0 ∀a∈A}. A⊥es un subespacio vectorial de Rn, y por tanto es convexo, cerrado y no vacío. Si x∈Rn, se denotará {x}⊥=x⊥. Teorema 1.3.5. Dado Vun espacio vectorial de Rn, todo x∈Rntiene una descomposición única en la forma x=PV(x) + PV⊥(x) donde PV(x)∈VyPV⊥(x)∈V⊥. Estos dos puntos se denotan proyecciones ortogonales de xa los conjuntos VyV⊥respectivamente. V V⊥x PV(x) PV⊥(x) Figura 1.6: Proyección ortogonal. Corolario 1.3.6. Dado V⊆Rnsubespacio vectorial, existen las aplicaciones proyección ortogonal a Vo a V⊥que a x∈Rnle asocia PV(x)oPV⊥(x) respectivamente. Estas aplicaciones son lineales, continuas y coinciden con las proyecciones métricas sobre VoV⊥respectivamente. 12 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS 1.4. La función soporte y los cuerpos convexos El objetivo de esta sección es poder dar una caracterización de los conjuntos convexos a través de funciones sublineales. Primero se darán algunos nociones de hiperplanos soporte, luego se pasará a introducir el concepto de la función soporte y finalmente se definirá los cuerpos convexos que serán uno de los objetos de estudio de este trabajo. 1.4.1. Hiperplanos soporte En este apartado se va a mostrar cómo a ciertos conjuntos convexos se pueden interpetar como intersección de hiperplanos, algo que les podrá asociar orientación. Las demostraciones de los resultados que se van a mostrar se pueden encontrar en la tercera sección del primer capítulo de [15]. Definición 1.4.1. Sea u∈Sn−1,c∈RyHel hiperplano de Rnde la forma {x∈Rn:⟨x, u⟩=c}. Entonces los semiespacios H+yH−son: H+={x∈Rn:⟨x, u⟩ ≥ c}. H−={x∈Rn:⟨x, u⟩ ≤ c}. Definición 1.4.2. Dado un conjunto convexo, cerrado y no vacío F⊆Rn, se dice que un hiperplano Hsoporta aFen un punto x∈Fsi x∈F∩HyF queda contenido en uno de los semiespacios H+yH−. Definición 1.4.3. Dado un conjunto convexo, cerrado y no vacío F⊆Rn, se dice que Hes un hiperplano soporte de Fsi Hsoporta a Fen algún punto x. Además, en ese caso el semiespacio H+oH−que contiene a Kse denomina semiespacio soporte de F. Proposición 1.4.4. Sea Fun conjunto convexo, cerrado y no vacío, y x∈ F. Entonces, el hiperplano Hque pasa por el punto pF(x)y es ortogonal al vector u(F, x)soporta a F, véase Definición 1.3.2. Teorema 1.4.5. Si Fes un conjunto convexo, cerrado y no vacío de Rn, entonces para cada punto de la frontera de Fexiste un hiperplano que soporta a F. Además, si Fes acotado, para cada vector u∈Sn−1existe un hiperplano soporte aFcon vector normal u. 1.4. LA FUNCIÓN SOPORTE Y LOS CUERPOS CONVEXOS 13 Corolario 1.4.6. Todo conjunto convexo, cerrado y no vacío Fde Rnes la intersección de sus semiespacios soporte. Definición 1.4.7. Sea Fun conjunto convexo, cerrado y con interior no vacío de Rn. Si para x∈∂F, el hiperplano Hque soporta a xen Fverifica F⊆H−, entonces al vector normal u∈Sn−1del hiperplano se le llama un vector normal exterior de Fen el punto x. Si ese vector normal exterior en x∈∂F es único, se denotará n(x). Ejemplo 1.4.8. Ilustremos los resultados de esta sección con el siguiente ejemplo. El siguiente triángulo tiene como hiperplanos soporte las rectas que contienen a sus lados, además se ve claramente que es la intersección de los semiespacios soporte. Los vectores que salen en el dibujo son los vectores normales exteriores, que en el triángulo están bien definidos en todos los puntos salvo los vértices. Para ver que el vector normal exterior no está bien definido en los vértices basta observar esta figura. 14 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS Esto es lo que va a pasar de manera general con los conjuntos cerrados y convexos de Rn, van a tener el vector normal bien definido salvo un conjunto de medida (n−1)-dimensional nula. 1.4.2. La función soporte En este apartado se introducirá una función sublineal que en ciertos casos caracterizará a ciertos conjuntos convexos. Las demostraciones de los resultados se pueden encontrar en la séptima sección del primer capítulo de [15]. Definición 1.4.9. Sea Fconjunto convexo, cerrado y no vacío de Rney∈Rn, se denota hFa la función soporte de Fque se define hF(y) = sup{⟨x, y⟩:x∈F}. Proposición 1.4.10. Sea F, F1, F2conjuntos convexos, cerrados y no vacíos de Rn,y1, y2∈Rn,λ≥0,Vuna subespacio vectorial, PVla proyección ortogonal sobre V, véase el Corolario 1.3.6, y Φ : Rn→Rnuna transformación lineal. Se verifican las siguientes propiedades: i) hFes sublineal, es decir, hF(λy) = λhF(y)si λ≥0(positivamente homogénea) y hF(y1+y2)≤hF(y2) + hF(y2)(subaditiva). De esto se deduce que la función soporte es convexa. ii) hF1≤hF2si y sólo si F1⊆F2. iii) hPV(K)(y) = hK(y)∀y∈V. iv) hλF =λhFy además h−F(y) = hF(−y)para todo y∈Rn. v) hΦ(F)(y) = hF(Φt(y)). Demostración. i),iv)yv)son simples comprobaciones usando propiedades del supremo y del producto escalar. La implicación si de ii)se debe a las propiedades del supremo; para la implicación sólo si basta usar un resultado de separación de conjuntos convexos cerrados que se puede hallar en la sección tres del capítulo uno de [15]. Si x /∈Fentonces ∃y0∈Rnde tal manera que ⟨x, y0⟩>⟨x, y⟩ ∀y∈ Rnde donde se deduce que: 1.4. LA FUNCIÓN SOPORTE Y LOS CUERPOS CONVEXOS 15 x∈F⇐⇒ ⟨x, y⟩ ≤ hF(y)∀y∈Rn.(1.1) Con esto se deduce la implicación no trivial de ii). Para iii), basta observar que, por el Teorema 1.3.5, si z∈PV(K), existe x∈Ktal que z=x−PV⊥(x), por lo que ⟨z, y⟩=⟨x, y⟩si y∈V, de donde se deduce fácilmente lo que se debe probar. Observación 1.4.11. 1. La propiedad i)nos permite definir hFsólo en los vectores unitarios u∈ Sn−1, ya que hF(0) = 0, y si y= 0 se puede escribir y=|y|y |y|, por lo que hF(y) = |y|hF(y |y|)donde y |y|∈Sn−1y|y|>0. 2. La propiedad ii)permite caracterizar los conjuntos cerrados y convexos a través de sus funciones soportes. Ejemplo 1.4.12. 1. Para F= [−x, x]con x∈Rn, si xeyforman un ángulo agudo entonces hF(y) = ⟨x, y⟩ ≥ 0, en otro caso hF(y) = −⟨x, y⟩ ≥ 0. Se deduce entonces que hF(y) = |⟨x, y⟩|. 2. Si F=rBn 2con r > 0, entonces ⟨x, y⟩≤|x||y| ≤ r|y|y si tomamos x=ry |y|llegamos a que hF(y) = r|y|. 3. F= Φ(Bn 2)un elipsoide centrado en el origen, entonces hF(y) = |Φt(y)|hBn 2(Φt(y) |Φt(y)|) = |Φt(y)|. Proposición 1.4.13. Si Fes un conjunto convexo, cerrado y no vacío de Rn, entonces se tiene que: F=\ u∈Sn−1{x∈Rn:⟨x, u⟩ ≤ hF(u)}. Este resultado se deduce de (1.1) y de la Observación 1.4.11 . Es de gran interés y nos muestra el sentido del nombre de la función. El valor hF(u) con u∈Sn−1si es finito asocia al cuerpo Fun hiperplano soporte con 16 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS F hF(u) u −u hF(−u) Figura 1.7: Interpretación geométrica de la función soporte. vector normal exterior u. Además es la distancia con signo desde el origen hasta el hiperplano soporte asociado a hF(u). 1.4.3. Los cuerpos convexos En el apartado anterior se mostró que todo conjunto convexo y cerrado tenía asociado una única función sublineal. En este apartado se va a mostrar que el recíproco es cierto si añadimos la condición de que sean acotados. Las demostraciones de los resultados se pueden encontrar en la séptima sección del primer capítulo de [15]. Teorema 1.4.14. Si f:Rn→Res una función sublineal, entonces existe un único conjunto convexo y compacto Ken Rnde tal manera que su función soporte es f. No se va a dar una prueba completa, pero si se va a mostrar la idea detrás de ella. Si tenemos una función sublineal fse puede construir el siguiente conjunto basándonos en la proposición anterior. K=\ y∈Rn{x∈Rn:⟨x, y⟩ ≤ f(y)}. Al ser intersección de semiespacios cerrados es convexo y cerrado, además está acotado en todas las direcciones por lo que es acotado. Si Kno 1.4. LA FUNCIÓN SOPORTE Y LOS CUERPOS CONVEXOS 17 es vacío por definición de función soporte hK(y)≤f(y)∀y∈Rn. Bastaría demostrar que hK(y)≥f(y)∀y∈Rny se tendría la existencia y la unicidad por las propiedades de la función soporte. La prueba completa se puede encontrar en la sección siete del capítulo uno de [15]. Corolario 1.4.15. Si denotamos Knal conjunto de los cuerpos convexos en Rn (convexos,compactos y no vacíos), entonces hay una biyección entre Kny las funciones sublineales de Rnen Rque consiste en asociarle a cada Ksu función soporte hK. Proposición 1.4.16. Sean K, L ∈Kn, entonces hK+L=hK+hL. Demostración. Sea z∈K+Lentonces existe x∈K, y ∈Ltal que ⟨z, u⟩=⟨x, u⟩+⟨y, u⟩ ≤ hK(u) + hL(u). De aquí se deduce que hK+L≤hK+hL. Como K, L son compactos y ⟨·, u⟩es continua existen valores x0∈Key0∈Ldonde hK(u) = ⟨x0, u⟩ yhL(u) = ⟨y0, u⟩. De esto se deduce: hK(u) + hL(u) = ⟨x0, u⟩+⟨y0, u⟩=⟨x0+y0, u⟩ ≤ hK+L(u). Una consecuencia de este resultado es que para K∈Knse tiene que m X i=1 K=mK con m > 1. Definición 1.4.17. Sea K∈Knyu∈Sn−1se define la anchura de Ken la dirección ucomo wK(u) = hK(u) + hK(−u). Proposición 1.4.18. Sea K∈Kn,u∈Sn−1,luyPlula proyección ortogonal sobre lu. La función anchura satisface: wK(u) = |Plu(K)|. Demostración. La función soporte hK(u)asocia el mayor coeficiente que se da al proyectar Ken luy−hK(−u)será el mínimo. La proyección de Ken luserá entonces el segmento [−hK(u)u, hK(u)u]que mide exactamente wK(u). 18 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS Definición 1.4.19. Sea K∈Knse dice que es simétrico respecto al origen o simplemente centrado si K=−K. El conjunto de cuerpos convexos centrados de Rnse denota Kn 0. Definición 1.4.20. Sea K∈Kn, se define su cuerpos simétrico ∆Kcomo ∆K=1 2(K−K). Además ∆K=Ksi y solo si K∈Kn 0. Figura 1.8: Cuerpo convexo con su cuerpo simétrico. Ejemplo 1.4.21. Sea Kun triángulo de vértices (−1,0),(0,1) y(1,0). K={(x, y)∈R2:y−1≤x≤1−y, 0≤y≤1}. −K={(x, y)∈R2:−1−y≤x≤1 + y, −1≤y≤0}. Sea (x1, y1)∈Ky(x2, y2)∈ −Kentonces K−Ksatisface: −1≤y1+y2≤1−2 + y1−y2≤x1+x2≤2−y1+y2. Por último realizando la homotecia de centro 0y razón 2se tiene que ∆Ksatisface: −2≤y1+y2≤2−4 + y1−y2≤x1+x2≤4−y1+y2. Estas ecuaciones definen el cuerpo simétrico del triángulo, que forman un hexágono. 1.5. LA FUNCIÓN RADIAL Y LOS CUERPOS ESTRELLADOS 19 1.5. La función radial y los cuerpos estrellados En esta sección se definirán unos conjuntos que no son convexos que se podrán ver como la unión de segmentos que parten del origen, se dara una función que los caracterizará y finalmente se definirán los cuerpos estrellados que serán otro objeto de estudio en este trabajo. Los resultados de esta sección se pueden encontrar en la sepctima sección del capítulo cero de [5]. 1.5.1. Cuerpos con forma estrellada En esta sección se van a introducir un tipo de conjuntos que se le pedirá que tengan la propiedad de ser convexos en el origen. Definición 1.5.1. Un conjunto L⊆Rnes cuerpo con forma estrellada si contiene al origen, es compacto y para todo x∈Lse satisface que λx ∈Lsi 0≤λ≤1. 00 Figura 1.9: Cuerpo con y sin forma estrellada Los K∈Knque contienen el origen son cuerpos con forma estrellada, aunque en general los cuerpos con forma estrellada no son cuerpos convexos que contienen el origen como se ver en la figura anterior. Veámos ahora que propiedades satisfacen los cuerpos con forma estrellada. Proposición 1.5.2. Sean L, L1, L2⊆Rncuerpos con forma estrellada, α≥0, V⊆Rnsubespacio vectorial y Φ : Rn→Rntransformación lineal. Se satisface: i) L=Sx∈L[0, x], 26 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS Figura 1.11: Cuerpo estrellado y su simetrizado radial. donde tes el ángulo que forma ucon el eje de abcisas. Entonces su simetrizado radial asociado ˜ ∆Lvendría dado por la función radial ρ˜ ∆L(u) = ρL(u)+ρL(−u) 2= 1. Es decir ˜ ∆L=Bn 2 Proposición 1.5.15. Sea L∈Sny˜ ∆Lsu cuerpo radial asociado. Se satisface i) ρ˜ ∆L(u) = |L∩lu| 2, ii) |˜ ∆L∩lu|=|L∩lu| ∀u∈Sn−1, iii) L=˜ ∆Lsi y solo si Les simétrico respecto al origen. Demostración. i)Basta aplicar la Proposición 1.5.5. ii)De nuevo aplicando la Proposición 1.5.5: |˜ ∆L∩lu|=ρ˜ ∆L(u) + ρ˜ ∆L(−u) 2 = ρL(u)+ρL(−u) 2+ρL(−u)+ρL(u) 2 2 =ρL(u) + ρL(−u) 2=|L∩lu|. iii)Si Les simétrico respecto al origen entonces ρL(u) = ρL(−u), por lo que ρ˜ ∆L=ρLy con la Proposición 1.5.5 se deduce ˜ ∆L=L. Para la otra implicación como ρ˜ ∆Les par se tiene que es simétrico respecto al origen por lo que Ltambién. 1.6. DUALIDAD 27 1.6. Dualidad En esta sección se va a introducir un concepto de dualidad que relacionará la función soporte con la función radial, conectando así las dos ramas de la Tomografía Geométrica, las proyecciones y las secciones. Las demostraciones de los resultados salvo que se diga lo contrario se pueden encontrar en la sección seis del capítulo uno de [15]. Definición 1.6.1. Sea A⊆Rn. Se define el conjunto dual de Acomo A∗={x∈Rn:⟨x, a⟩ ≤ 1∀a∈A}. Proposición 1.6.2. Sean A,By{Ai}i∈I, subconjuntos no vacíos de Rn. Entonces se verifica: i) Si∈IAi∗=Ti∈IA∗ i, ii) A∗es cerrado, convexo y 0∈A∗, iii) Si A⊆B, entonces B∗⊆A∗, iv) Si λ > 0, entonces (λA)∗= (1/λ)A∗, v) Sea Φuna transformación lineal, entonces (ΦA)∗= Φ−tA∗, vi) A⊆(A∗)∗≡A∗∗, vii) A∗∗ =conv (A∪{0}). Demostración. i) "[ i∈I Ai#∗ =(x∈Rn:⟨x, a⟩ ≤ 1∀a∈[ i∈I Ai) =\ i∈I{x∈Rn:⟨x, a⟩ ≤ 1∀a∈Ai}=\ i∈I A∗ i. ii)Basta aplicar i)aA=Sa∈A{a}, entonces A∗=Ta∈A{a}∗, donde {a}∗ es un semiespacio cerrado que contienen a 0. iii)Sea x∈B∗, entonces ⟨x, b⟩ ≤ 1∀b∈B; como A⊆B, en particular ⟨x, a⟩ ≤ 1∀a∈A, por lo que x∈A∗. 28 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS iv)yv)son son simplemente aplicar propiedades del producto escalar. vi)Sea x∈Aentonces ∀y∈A∗se tiene ⟨x, y⟩ ≤ 1, por lo que x∈A∗∗. vii)Por vi)se tiene conv(A∪{0})⊆A∗∗ por la definición de la clausura y de la envolvente convexa. La otra inclusión se puede encontrar en la sección seis del capítulo uno de [15] y se basa en un resultado de separación. Ejemplo 1.6.3. i) A=rBn 2con r > 0. Sea x= 0 entonces rx |x|∈rBn 2, por lo que si x∈A∗ se debe cumplir ⟨x, r x |x|⟩=r|x| ≤ 1, de donde se deduce que x∈1 rBn 2. Si x∈1 rBn 2ya∈rBn 2, entonces ⟨x, a⟩ ≤ |x||a| ≤ 1. Por lo que A∗=1 rBn 2. ii) A= Φ(Bn 2)un elipsoide centrado, entonces por la Proposición 1.6.2 se tiene A∗= Φ−t((Bn 2)∗) = Φ−tBn 2que es otro elipsoide centrado. iii) A=Bn ∞. Dado y∈A∗, tomamos x∈Ade tal manera que xi= 1 si yi≥0,xi=−1si yi<0. Entonces |y1|+. . .+|yn|=⟨x, y⟩ ≤ 1, es decir, A∗⊆Bn 1. Si ysatisface la condición anterior entonces ⟨x, y⟩ ≤ |y1|+. . .+ |yn| ≤ 1. Por lo que A∗=Bn 1. Además si z∈(Bn 1)∗, entonces tomando x= (0, . . . , xi,...,0) con xi= 1 si zi≥0, y xi=−1si zi<0, se llega a que |zi| ≤ 1para todo i= 1,...n. Es decir (A∗)∗= (Bn 1)∗⊆Bn ∞=A, la otra inclusión siempre ocurre por la Proposición 1.6.2. iv) A={(1,1)}, entonces A∗={(x, y)∈R2:x+y≤1}y(1/2,1/2) ∈ (A∗)∗ya que 1 2x+1 2y≤1 2<1∀(x, y)∈A∗, por lo que A∗∗ ⊆ A. Proposición 1.6.4. Sea Fun conjunto convexo y cerrado de Rnque contiene el origen. Entonces Fes acotado si y solo si 0es un punto interior de F∗, y además F∗es acotado si y solo si 0está en el interior de F. Demostración. Si Fes acotado entonces ∃r > 0tal que F⊆rBn 2, aplicando la Proposición 1.6.2 se tiene 1 rBn 2⊆F∗, por lo que el 0es punto interior de F∗. Recíprocamente si 0es punto interior de F∗entonces ∃r > 0tal que rBn 2⊆F∗, de manera análoga a lo anterior y volviendo a usar la Proposición 1.6.2 se llega a que F=F∗∗ ⊆1 rBn 2, con lo que Festá acotado. 1.7. TEORÍA DE BRUNN-MINKOWSKI 29 Corolario 1.6.5. La aplicación (·)∗es una biyección entre los cuerpos convexos de Rnque tienen el origen como punto interior, y su inversa es ella misma. Teorema 1.6.6. Sea K∈Kntal que tiene el 0como punto interior. Se satisface hK∗(x) = 1 ρK(x)=∥x∥Kx∈Rn\{0}. La prueba de este resultado se puede encontrar en la sección siete del capítulo uno de [15]. Por último se introduce el resultado que relaciona secciones con proyecciones. Teorema 1.6.7. Sea K∈Kncon el 0como punto interior y Vun espacio vectorial. Se tiene que K∗∩V= (PV(K))∗ donde el espacio ambiente en el que se calcula el segundo dual es V. Demostración. Basta usar las Proposiciones 1.5.5,1.4.10 y1.6.2, y el Teorema 1.6.6, entonces para todo u∈Sn−1∩V. ρK∗∩V(u) = ρK∗(u) = 1 hK(u)=1 hPV(K)(u)=ρ(PV(K))∗(u). Como cualquier elemento de Vse puede expresar como combinación lineal de u∈Sn−1∩Vcon coeficientes no negativos se tiene que ambos conjuntos coinciden. 1.7. Teoría de Brunn-Minkowski En esta sección se van introducir herramientas de la Teoría de Brun- Minkowski. Sólo se han recogido los resultados necesarios para el trabajo. Para un desarrollo más exhaustivo, véase el apéndice de [5]. Esta teoría tiene su origen en la célebre desigualdad de Brunn-Minkowski, a partir de la cual se obtienen propiedades fundamentales de los cuerpos convexos. Dicha desigualdad, que establece una relación de concavidad relacionando la suma de conjuntos con la medida de Lebesgue, es cierta 30 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS para conjuntos muy generales, aunque nosotros sólo la usaremos para cuerpos convexos. Teorema 1.7.1. Desigualdad de Brunn-Minkowski: Sean K, L ∈Kny t∈[0,1], se tiene: |(1 −t)K+tL|1 n≥(1 −t)|K|1 n+t|L|1 n, dándose la igualdad si y solo si K, L están contenidos en hiperplanos paralelos o K=x+rL con x∈Rnyr > 0. Demostración. Sean KyLcajas ortogonal con lados de longitud xi, yi>0 respectivamente, entonces se tiene. |K|= n Y i=1 xi|L|= n Y i=1 yi|K+L|= n Y i=1 (xi+yi). Aplicando la desigualdad aritmético-geométrica, se deduce n Y i=1 xi xi+yi!1/n + n Y i=1 yi xi+yi!1/n ≤1 n n X i=1 xi xi+yi +1 n n X i=1 yi xi+yi = 1. Despejando se tiene |K+L|1/n ≥ |K|1/n +|L|1/n. Esta desigualdad se puede generalizar a colección finitas de cajas ortogonales no solapadas, la prueba se encuentra en el apéndice de [5]. Como la medida de los conjuntos compactos se obtiene usando colección finitas de cajas ortogonales no solapadas, se tiene |K+L|1/n ≥ |K|1/n +|L|1/n para K, L ∈Kn. Basta coger (1 −t)KytL en lugar de KyLy aplicar propiedades de la medida para deducir la desigualdad deseada. El caso de igualdad se puede encontrar en [5]. Se ha probado la desigualdad 1.7.1 usando que para todo K, L ∈Knse tiene |K+L|1/n ≥ |K|1/n +|L|1/n. Realmente estas dos desigualdades son equivalentes, ya que basta escoger t= 1/2y utilizar las propiedades de la medida Lebesgue. Por lo que cuando se hable de la Desigualdad de Brunn-Minkowski nos referiremos a cualquiera de las dos versiones. 1.7. TEORÍA DE BRUNN-MINKOWSKI 31 Proposición 1.7.2. Sea K∈Kn,u∈Sn−1,t∈RyAK(u, t) = |K∩(u⊥+ tu)|. Se satisface: i) AK(u, t)es par en la variable real si K∈Kn 0, ii) AK(u, t)alcanza su máximo en t= 0. iii) AK(u, t)1/n−1es cóncava. Demostración. i)Se deduce del hecho de que AK(u, t)es par en la variable real usando el Lema 3.1.5. ii)Usando el Teorema 1.7.1 para t=1 2y K1=u⊥∩(K+su)K2=−K1=u⊥∩(K−su), se deduce usando la convexidad de Kque AK(u, 0) = |u⊥∩K|≥|1 2(K1+K2)|≥|K1|=AK(u, s) iii)Se fija un u∈Sn−1. Sea t∈R, entonces se define Kt={x∈K:x= v+tu, v ∈u⊥}yf(t)la medida n−1dimensional de Kt. Sean λ∈[0,1], s, t ∈R,K1=λKsyK2= (1 −λ)Kt. Entonces si x∈K1+K2, se tiene que x∈Kλs+(1−λ)tya que x=. . . = (λy + (1 −λ)z)+(λs + (1 −λ)t)u∈u⊥+ (λs + (1 −λ)t)u, yx∈Kpor la convexidad de K. Aplicando el Teorema 1.7.1 se deduce f(λs + (1 −λ)t) 1 n−1≥ |K1+K2| 1 n−1≥ |K1| 1 n−1+|K2| 1 n−1 =λ|Ks| 1 n−1+ (1 −λ)|Kt| 1 n−1 =λf(s) 1 n−1+ (1 −λ)f(t) 1 n−1. El resultado se concluye observando que f(t) = AK(t, u). Definición 1.7.3. Sea K∈Kny sea B(Sn−1)la σ-álgebra Borel de Sn−1, entonces la medida de superficie del conjunto Kviene dada por S(K, w) = |τ(K, w)|, donde τ(K, w) = {x∈∂K :n(x)∈w}con w∈ B(Sn−1). Esta es una medida Borel no negativa y finita en Sn−1que satisface S(K, Sn−1)≡S(K) = |∂K|. 32 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS Teorema 1.7.4. Sea K∈Knyu∈Sn−1. Se tiene |Pu⊥(K)|=1 2ZSn−1|⟨u, v⟩|dS(K, v) = 1 2ZSn−1|⟨u, v⟩|dS(−K, v). Definición 1.7.5. Sean L1, . . . , Ln∈Snse define el volumen mixto dual así ˜ V(L1, . . . , Ln) = 1 nZSn−1 ρK1(u). . . ρKn(u)du, donde ρLes la función radial dada en la Definición 1.5.4. Proposición 1.7.6. Sean L1, . . . , Ln, L, L′∈Sn,α, β ≥0yΦuna transformación lineal. El volumen mixto dual satisface: i) ˜ V(L, . . . , L) = |L|, ii) ˜ V(L1, . . . , Ln) = ˜ V(Li1, . . . , Lin)para toda permutación de índices. iii) ˜ V(ΦL1,...,ΦLn) = |det Φ|˜ V(L1, . . . , Ln). iv) Si L⊆L′entonces ˜ V(L, L2, . . . , Ln)≤˜ V(L′, L2, . . . , Ln). v) ˜ V(L1, . . . , Ln)≥0. Demostración. Para ii),iv)yv)basta usar la definición y la Proposición 1.5.5. i)Basta aplicar el Teorema de Fubini y usar coordenadas polares ˜ V(L, . . . , L) = 1 nZSn−1 ρL(u)ndu =ZSn−1ZρL(u) 0 rn−1drdu =|L|. ii)Basta aplicar la Proposición 1.5.5. iv)Se hace de manera análoga a los volúmenes mixtos. Notación 1.7.7. Sean L1, L2⊆Rncuerpos con forma estrellada que contengan el 0en su interior e i∈R, denotamos ˜ Vi(L1, L2) = 1 nZSn−1 ρL1(u)n−iρL2(u)idu. 1.8. TRANSFORMADAS 33 Observación 1.7.8. En la notación anterior la razón por la que se exige que el origen esté en el interior es porque así nos aseguramos que ρL>0y por lo tano cuando i > n no estemos diviendo entre 0. Cuando estemos en el caso i≤n realmente pueden ser cuerpos con forma estrellada. Teorema 1.7.9. Primera Desigualdad de Minkowski Dual Sean L1, L2cuerpos con forma de estrella, entonces se satisface: ˜ V1(L1, L2)n≤ |L1|n−1|L2|. Demostración. Basta aplicar la Desigualdad de Hölder con p=n n−1yq= ny la Proposición 1.7.6 ˜ V1(L1, L2) = 1 nZSn−1 ρL1(u)n−1ρL2(u)du ≤1 nZSn−1 ρn L1(u)dun−1 n1 nZSn−1 ρn L2(u)du1 n =|L1|n−1 n|L2|1 n. 1.8. Transformadas 1.8.1. Transformada de Fourier y distribuciones Para el desarrollo de este apartado se ha seguido [13]y[8] Definición 1.8.1. Sea f∈L1(Rn), su transformada de Fourier viene dada por ˆ f(y) = ZRn f(x)e−⟨x,y⟩dx. Definición 1.8.2. Una ϕ∈C∞(Rn)se dirá de la clase de Schwartz en Rno función test en Rnsi pk(ϕ) = sup |α|≤k sup x∈Rn (1 + |x|)k|Dαϕ(x)|<+∞ ∀k∈N, donde α= (α1, . . . , αn)con αk∈N∪ {0},|α|=Pn k=1 αkyDαϕ= ∂|α| ∂xα1 1...∂xαn n. Además al conjunto de las funciones de test en Rnse denotará S(Rn)o simplemente Scuando la dimensión quede clara. 34 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS PREVIOS Proposición 1.8.3. Sean f1, f2∈L1(Rn),α, β ∈Ryφ∈ S(Rn). La transformada de Fourier satisface: i) \ αf1+βf2=αb f1+βb f2, ii) bb ϕ(y) = (2π)nϕ(−y), iii) ϕ(x) = 1 (2π)nRRnb ϕ(y)(x)e⟨x,y⟩dy. Definición 1.8.4. T:S(Rn)→Rse dirá una distribución en Rnsi satisface: 1. T(αϕ1+βϕ2) = αT (ϕ1) + βT (ϕ2)∀α, β ∈R, ϕ1, ϕ2∈ S(Rn). 2. Si {ϕn}n∈N⊆ S(Rn)tal que existe ϕ∈ S(Rn)tales que pk(ϕn−ϕ)→0 para todo k∈N, entonces T(ϕn−ϕ)→0. Además se usará la notación T(ϕ) = ⟨T, ϕ⟩y al conjunto de distribuciones en Rnse denostará S′(Rn)o simplemente S′cuando quede clara la dimensión. Teorema 1.8.5. Sea f∈L1 loc(Rn), es decir medible y L1(K)para todo compacto en Rn, y además satisfaciendo que existe α > 0tal que l´ım |x|→+∞ f(x) |x|α= 0, entonces se puede ver como una distribución de esta manera ⟨f, ϕ⟩=ZRn f(x)ϕ(x)dx ∀ϕ∈ S. Teorema 1.8.6. Sea fen las condiciones del Teorema anterior, entonces se tiene que ⟨f, ϕ⟩= 0 ∀ϕ∈ S =⇒f≡0. Teorema 1.8.7. Sea f∈ S′(Rn)yϕ∈ S(Rn). Se satisface: i) ˆ ϕ∈ S(Rn). ii) ˆ fes una distribución dada por ⟨ˆ f, ϕ⟩=⟨f, ˆ ϕ⟩ Definición 1.8.8. Sea f∈ S′(Rn), su transformada de Fourier es ˆ fdel Teorema anterior. 1.8. TRANSFORMADAS 35 Proposición 1.8.9. Sean f1, f2, f ∈ S′(Rn),α, β ∈R. La transformada de Fourier satisface: i) \ αf1+βf2=αb f1+βb f2, ii) ⟨ˆ f, ˆ ϕ⟩= (2π)n⟨ˆ f, ˆ ϕ⟩para las ϕ∈ S(Rn)pares. 1.8.2. Transformada esférica de Radón Durante el desarrollo de este apartado se ha seguido [5]y[8]. Definición 1.8.10. Sea f∈C(Sn−1), su transformada esferica de Radón, que se llamará para abreviar transformada de Radón es R(f)(u) = ZSn−1∩u⊥ f(v)dv u ∈Sn−1 Proposición 1.8.11. Sean f, g ∈C(Sn−1)yα, β ∈R. La Transformada de Radón tiene estas propiedades: i) R(αf +βg) = αR(f) + βR(g). ii) R(f)∈C(Sn−1). iii) Si fes par, R(f)también. iv) RSn−1R(f)(u)g(u)du =RSn−1f(u)R(g)(u)du. Demostración. i)Es por la linealidad de la integral. ii)Se deduce fácilmente usando que fes continua en un compacto es en particular uniformemente continua y que |Sn−1∩u⊥|=|Sn−2|. iii)Como −(Sn−1∩u⊥) = Sn−1∩u⊥es un simple cambio de vairable. iv)Es simplemente aplicar Fubini teniendo en cuenta que tomar u∈Sn−1 y tomar v∈Sn−1tal que u⊥ves lo mismo que tomar v∈Sn−1y tomar u∈Sn−1tal que v⊥u. Teorema 1.8.12. Sea f1, f2∈Ce(Sn−1), entonces se tiene: i) R(f1) = R(f2)⇐⇒ f1=f2, ii) R:C∞ e(Sn−1)→C∞ e(Sn−1)es una biyección. 42 CAPÍTULO 2. SECCIONES DE CUERPOS CONVEXOS F(x) = Zx 0 f(t)dt x ≥0, Por como es fse tiene que F(0) = 0,l´ımt→+∞F(t) = 1 2yF(x)≤x∥f∥∞, por lo que: 2−p= 2 l´ım t→+∞F(t)p+1 = 2 Z+∞ 0 (Fp+1(x))′dx = 2(p+ 1) Z+∞ 0 f(x)Fp(x)dx ≤2(p+ 1)∥f∥p +∞Z∞ 0 f(x)xpdx = (p+ 1)∥f∥p ∞ZR f(x)|x|pdx. La igualdad se dará cuando salvo un conjunto de medida nula f(x) = ∥f∥∞en un conjunto de medida finitay 0en el resto. Lema 2.2.4. Sea Qn= [−1 2,1 2]nyAQn(u, t) = |Qn∩(u⊥+tu)|para t∈Ry u∈Sn−1. Se satisface ZR|t|2AQn(u, t)dt =1 12. La prueba de este Lema se puede hayar en [1] y no se muestra ya que usa herramientas que se escapan a las desarrolladas en este trabajo. Teorema 2.2.5. Sea u∈Sn−1yBn ∞= [−1,1]n, entonces |Bn ∞∩u⊥|≥|Bn−1 ∞| dándose la igualdad si y solo si u∈ {±e1,...,±en} Demostración. Sea f(t) = AQn(u, t)donde Qn= [−1 2,1 2]nyu∈Sn−1. Por la Proposición 1.7.2 f(t)es par, derivable salvo un conjunto de medida nula y acotada, además es positiva y por el Principio de Cavialeri ∥f∥1= |Qn|= 1. Se aplica el Lema 2.2.3 con p= 2 y el Lema anterior recordando que por la Proposición 1.7.2 f(0) = ∥f∥∞para llegar a 2.2. VOLÚMEN EXTREMOS DE SECCIONES 43 |Qn∩u⊥| ≥ 2√3 2√3= 1 dándose la igualdad si y solo si fsalvo un conjunto de medida nula es constante no nulo en un conjunto de medida finita y 0en el resto. Esto ocurre cuando u∈ {±e1,...,±en}. Finalmente para deducir el resultado basta observar que usando la Proposición 3.1.5 se tiene |Bn ∞∩u⊥|= 2n−1|Qn∩u⊥|=|Bn−1 ∞||Qn∩u⊥|. Cota superior El desarrollo de esta cota como la siguiente se puede encontrar en [1]. Lema 2.2.6. Sea p≥2, entonces se tiene la siguiente desigualdad: 1 πZR sin(t) t p dx ≤r2 p, dándose la igualdad si y solo si p= 2. La prueba de este Lema se puede hayar en [1]. No se muestra ya que es larga y utiliza herramientas que se salen de lo que se ha desarrollado en este trabajo. Teorema 2.2.7. Se satisface |Bn ∞∩u⊥| ≤ √2|Bn−1 ∞|para todo u∈Sn−1 dándose la igualdad cuando existen i, j naturales tales que i=j,|ui|=|uj|y uk= 0 si k=i, k =j. Demostración. La prueba se divide en dos casos: Primero sea |uk|>1 √2para algún k= 1, . . . , n. Como Qn∩u⊥⊆Qn se tiene que la medida (n−1)-dimensional de la proyección de Qn∩u⊥ en e⊥ kes menor o igual que la medida de la proyección de Qnen e⊥ kque vale 1. Pero el primer valor se puede calcular usando el Teorema 1.7.4 y es |uk||Qn∩u⊥|. 1≥ |uk||Qn∩u⊥|=⇒ |Qn∩u⊥| ≤ 1 |uk|<√2. 44 CAPÍTULO 2. SECCIONES DE CUERPOS CONVEXOS Usando que |Bn ∞∩u⊥|= 2n−1|Qn∩u⊥|=|Bn−1 ∞||Qn∩u⊥|por el Lema 3.1.5 se concluye este caso. Sea |uk| ≤ 1 √2para todo k= 1, . . . , n y quitemos los que son nulos de la expresión. Aplicando el Teorema 2.2.2, la desigualdad de Hölder generalizado con pk=1 u2 k , el cambio de variable x=ruky el Lema 2.2.6 sucesivamente con p=1 u2 k para k= 1, . . . , n se tiene: |Bn ∞∩u⊥| |Bn−1 ∞|=1 πZ+∞ −∞ n Y k=1 sen(ruk) ruk dr ≤1 πZ+∞ −∞  n Y k=1 sen(ruk) rukdr ≤1 π n Y k=1 Z+∞ −∞  sen(ruk) ruk 1 u2 kdr!u2 k =1 π n Y k=1 1 uku2 k Z+∞ −∞  sin(x) x 1 u2 kdx!u2 k ≤ n Y k=1 q2u2 ku2 k1 u2 ku2 k = n Y k=1 √2u2 k=√2. Si se da la igualdad y uk1, . . . , ukmson las componenetes no nulas de u∈ Sn−1, por el Lema 2.2.6, tiene que ocurrir que 1 u2 kj = 2 para j= 1, . . . , m. Como u∈Sn−1la igualdad solo puede ocurrir cuando m= 2. 2.2.2. Secciones del diamante Teorema 2.2.8. Sea Bn 1={x∈Rn:|x1|+. . . |xn| ≤ 1}yu∈Sn−1. Se satisface: 1. |Bn 1∩u⊥| |Bn−1 1|=1 πR+∞ −∞ Qn k=1 1 1+(ukt)2dt, 2. √n 4n−12n−2 n−1|Bn−1 1| ≤ |Bn 1∩u⊥| ≤ |Bn−1 1|,dándose la igualdad en la inferior si y solo si utiene todas las componentes iguales en valor absoluto y en la superior si y solo si u∈ {±e1,...,±en} 2.2. VOLÚMEN EXTREMOS DE SECCIONES 45 Cálculo de las secciones Esta fórmula también es de Koldobski y la demostración se puede encontrar en el tercer capítulo de [7]. Lema 2.2.9. Sea x∈Rn\{0}y∥x∥1=Pn k=1 |xk|. Se satisface: ∥x1∥1−n=1 (n−2)! Z+∞ 0 yn−2e−y∥x∥1dy. Demostración. Como xno es nulo ∥x∥1>0, por lo que con el cambio de variable s=∥x∥1yse deduce el resultado. Lema 2.2.10. Sea f(x) = ∥x∥1−n 1. Se satisface: ˆ f(z) = 1 (n−2)! Z+∞ 0 n Y k=1 2 1+(tzk)2dt. Demostración. Como existen c1, c2>0tales que c1|x|1−n≤ ∥u∥1−n 1≤c2|x|1−nx= 0, se puede aplicar el Teorema 1.8.5, diversos cambias de variable, el Teorema de Fubinni, el Teorema 1.8.6 y el Lema 2.2.9 para deducir ⟨ˆ f, ϕ⟩=ZRn∥x∥1−n 1ˆ ϕ(x)dx =ZRn1 (n−2)! Z+∞ 0 yn−2e−y∥x∥1dyˆ ϕ(x)dx =1 (n−2)! Z+∞ 0 yn−2De−y∥x∥1,ˆ ϕEdy =1 (n−2)! Z+∞ 0 yn−2ZRnZRn e−y∥x∥1e−i⟨x,z⟩dxϕ(z)dzdy =1 (n−2)! Z+∞ 0 yn−2 ZRn n Y k=1 ZR e−y|xk|e−ixkzkdxk!ϕ(z)dz!dy =1 (n−2)! Z+∞ 0 yn−2 ZRn 1 yn n Y k=1 ZR e−|xk|e−ixkzk ydxk!ϕ(z)dz!dy 46 CAPÍTULO 2. SECCIONES DE CUERPOS CONVEXOS =1 (n−2)! Z+∞ 0 y−2 ZRn n Y k=1 2 1+(zk y)2ϕ(z)dz!dy =1 (n−2)! Z+∞ 0 ZRn n Y k=1 2 1+(tzk)2ϕ(z)dz!dt =*1 (n−2)! Z+∞ 0 n Y k=1 2 1+(tzk)2dt, ϕ+. Teorema 2.2.11. Sea Bn 1={x∈Rn:|x1|+. . . |xn| ≤ 1}yu∈Sn−1, entonces se tiene: |Bn 1∩u⊥| |Bn−1 1|=1 πZ+∞ −∞ n Y k=1 1 1+(ukt)2dt. Demostración. Por el Corolario 1.5.9 se tiene ∥x∥1=∥x∥Bn 1. Aplicando el Teorema 2.1.2 y el Lema anterior se deduce |Bn 1∩u⊥|=1 π(n−1)(n−2)! Z+∞ 0 n Y k=1 1 1+(ukt)2dt, teniendo en cuenta que |Bn−1 1|=2n−1 (n−1)! y la paridad de 1 1+t2se concluye el resultado. Cota inferior Para el desarrollo de esta cota se ha seguido [10]. Lema 2.2.12. Sea u∈Sn−1, entonces se tiene: n Y k=1 1 1+(ukt)2≥1 (1 + t2 n)n, dándose la igualdad si y solo si |u1|=. . . =|un|. Demostración. Basta aplicar la desigualdad aritmético-geométrica de la media: n Y k=1 (1 + (ukt)2)≤Pn k=1(1 + (ukt)2) nn =1 + t2 nn 2.2. VOLÚMEN EXTREMOS DE SECCIONES 47 La igualdad se daría si y solo si 1+(u1t)2=. . . = 1 + (unt)2, es decir, si y solo si |u1|=. . . =|un|. Proposición 2.2.13. Sea Bn 1={x∈Rn:|x1|+. . . |xn| ≤ 1}yu∈Sn−1 entonces |Bn 1∩u⊥| ≥ √n 4n−12n−2 n−1|Bn−1 1|, dándose la igualdad si y solo si |u1|=. . . =|un|. Demostración. Aplicando el Lema 2.2.12 y el Teorema 2.2.11 con el cambio de variable t √n: |Bn 1∩u⊥| |Bn−1 1|≥1 πZ+∞ −∞ 1 1 + t2 nn=√n πZ+∞ −∞ 1 (1 + s2)nds. El cálculo de la siguiente integral se puede hacer con métodos recursivos. Sea R+∞ −∞ 1 (1+t2)ndt =In, entonces I1=R+∞ −∞ 1 1+t2dt =πy además In+1 =Z+∞ −∞ 1 + t2−t2 (1 + t2)n+1 dt =In+Z+∞ −∞ −t2 (1 + t2)n+1 dt =In+t 2n(1 + t2)n+∞ −∞ −1 2nIn=In−1 2nIn. Es decir, In=2n−3 2n−2In−1y por inducción se puede probar que In=I1 n Y k=2 2k−3 2k−2=I1 n Y k=2 (2k−3)(2k−2) (2k−2)2 =(2n−2)! 4n−1(n−1)! =π 4n−12n−2 n−1. La igualdad se da si y solo si |u1|=. . . =|un|por el Lema 2.2.12. Cota superior Durante el desarrollo de esta cota se ha seguido [10]. 48 CAPÍTULO 2. SECCIONES DE CUERPOS CONVEXOS Lema 2.2.14. Sea u∈Sn−1, entonces se satisface: n Y k=1 1 1+(ukt)2≤1 1 + t2, dándose la igualdad si y solo si u∈ {±e1,...,±en}. Demostración. Basta observar que n Y k=1 (1 + (ukt)2) = 1 + n X k=1 u2 k!t2+P(t) donde P(t)es un polinomio par y homogéneo de coeficientes positivos de la forma Qm j=1 u2 kjcon 2≤m≤nykj=ki. Por lo que n Y k=1 (1 + (ukt)2)≥1 + t2, dándose la igualdad si y si solo si los coeficientes del polinomo Pson cero, es decir, si y solo si u∈ {±e1,...,±en}. Proposición 2.2.15. Sea Bn 1={x∈Rn:|x1|+. . . |xn| ≤ 1}yu∈ Sn−1entonces |Bn 1∩u⊥| ≤ |Bn−1 1|, dándose la igualdad si y solo si u∈ {±e1,...,±en}. Demostración. Aplicando el Lema anterior y el Teorema 2.2.11 se tiene: |Bn 1∩u⊥| |Bn−1 1|=1 πZ+∞ −∞ n Y k=1 1 1+(ukt)2dt ≤1 πZ+∞ −∞ dt 1 + t2= 1, dándose la igualdad por el Lema anterior cuando u∈ {±e1,...,±en}. 2.3. Desigualdad dual de Loomis-Whitney La deisgualdad de Loomis-Whiteny es una cota superior de la medida de un cuerpo convexo usando la medida de las proyecciones en los hiperplanos con vectores normales los elementos de la base canónica. Se enuncia de esta manera: 2.3. DESIGUALDAD DUAL DE LOOMIS-WHITNEY 49 Teorema 2.3.1. Sea K∈Kn. Se satisface |K|n−1≤ n Y k=1 |Pe⊥ kK|, dándose la igualdad si y solo si K=Qn k=1[ak, bk]con ak, bk∈Rpara k= 1, . . . , n. Fue probada por L. Loomis y H. Whitney en [9], y se puede ver como la generalización de que en el plano la medida de un rectángulo con anchura wK(e1)y altura wK(e2), véase Definición 1.4.17, acota a la medida del cuerpo convexo. M. Meyer probó una desigualdad dual a ésta en [11], que se enuncia de esta manera: Teorema 2.3.2. Sea K∈Kn. Se satisface |K|n−1≥n! nn n Y j=1|K∩e⊥ j|, dándose la igualdad si y solo si existen λ1,...λn≥0tales que K=conv{±λ1e1,...,±λen}. No se mostrará la prueba de este resultado ya que las herramientas que se usan no se han desarrollado en este trabajo. Aún así es interesante ver el caso de igualdad y compararlo con el de Loomis Whitney. En el caso de las proyecciones el caso extremo eran los conjuntos de la forma K= Qn k=1[ak, bk]con bk≥ak, pero si además le pedimos simetría entonces son de la forma K=Qn k=1[−µk, µk]donde µk≥0. En este último caso podemos asumir que µk>0para todo k= 1,...nya que en otro caso se podría trabajar en un Rmcon m<ndonde sí ocurre. Entonces se puede tomar Φ(x)=(µ1x1, . . . , µnxn)y en consecuencia K= Φ(Bn ∞). Por la Proposición 1.6.2 se tendría que K∗= Φ−t(Bn ∞)∗= Φ−tBn 1, y por último como Bn 1=conv{±e1,...,±en}se tiene por la linealidad de Φque Φ−tBn 1=conv{±Φe1,...,±Φen}=conv n±1 µ1e1,...,±1 µneno, y tomando λk=1 µktendríamos que para cuerpos convexos centrados el caso de igualdad de Loomis-Whitney son los duales al caso de igualdad de la desigualdad de Meyer y viceversa. Capítulo 3 El problema de Busemann-Petty En este capítulo se introducirán los cuerpos de intersección y se comparará con su concepto dual, el cuerpo de proyección. Posteriormente se enunciará el problema de Busemann-Petty y se desarrollará una respuesta a este problema. El contenido que se muestra en este capítulo se puede encontrar en las primeras dos secciones del octavo capítulo de [5]. 3.1. Cuerpos de intersección En el ámbito de las proyecciones el cuerpo de proyección de un cuerpo convexo K∈Knes aquel cuerpo convexo ΠKcuya función soporte es la medida de las proyecciones de Ken los hiperplanos u⊥: hΠK(u) = |Pu⊥K|=1 2ZSn−1|⟨u, v⟩|dS(K, v), donde se ha aplicado los Teoremas 1.7.4 y1.4.14. Este tipo de cuerpos tenían diversas propiedades interesantes: Son centrados. Es más, en R2ser centrado es lo mismo que ser un cuerpo de proyección. Si Φes un giro entonces Φ(ΠK) = Π(ΦK). 51 58 CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DE BUSEMANN-PETTY Teorema 3.2.4. Sea L1∈Sn 0yL2∈Sn. Se satisface: |L1∩lu|≤|L2∩lu| ∀u∈Sn−1=⇒ |L1| ≤ |L2| Demostración. Primero construimos los simetrizados radiales asociados, véase Definición 1.5.13,˜ ∆Li. Por la Proposición 1.5.15 se tiene |˜ ∆(Li)∩lu|=|Li∩lu|˜ ∆(L1) = L1. Aplicando la hipótesis se deduce que |L1∩lu|=|˜ ∆L1∩lu|≤|˜ ∆L2∩lu| ∀u∈Sn−1, aplicando ahora la Proposición 1.5.5 se deduce que ρL1≤ρ˜ ∆L2, de donde L1⊆˜ ∆L2, y aplicando el lema anterior se concluye el resultado: |L1|≤|˜ ∆(L2)| ≤ |L2|. Una duda que podría surgir es si la simetría del conjunto con secciones mayores realmente es necesaria en el Teorema 3.2.4. El siguiente ejemplo servirá para mostrar que así es. Ejemplo 3.2.5. Sea L1⊆R2con frontera definida por r= 1 + sinθ 2. Si tes el ángulo que forma u⊥con el eje de abcisas, se tiene que ρL1(u) = 1 + sen(t) 2.L1 no es simétrico respecto al origen ya que su función radial no es par. Tomando L2=rB2 2con r= 1,05 y aplicando la Proposición 1.5.5 se da el contrajemplo: |L1|=9π 8> πr2=|L2| |L1∩u⊥|=ρK1(u) + ρK1(−u) = 2 <2r=|L2∩u⊥| 0 0 Figura 3.1: Cuerpo con secciones menores que mide más. 3.2. PROBLEMA DE BUSEMANN-PETTY 59 Con esto ya se pasa al procedimiento general. Se va a mostar que el problema (3.2) es cierto para cuerpos de intersección. Lema 3.2.6. Sean L1, L2∈Snsatisfaciendo: |L1∩u⊥| ≤ |L2∩u⊥| ∀u∈Sn−1, si L⊆Rnes un cuerpo de intersección se deduce ˜ V1(L1, L)≤˜ V1(L2, L), donde se ha usado la Notación 1.7.7. Demostración. Usando coordenadas polares la desigualdad de las secciones se puede reescribir como: 1 n−1ZSn−1∩u⊥ ρL1(v)n−1dv ≤1 n−1ZSn−1∩u⊥ ρL2(v)n−1dv, donde ρLicon i= 1,2son las funciones radiales asociadas a Lirespectivamente. Aplicando la Definición 1.8.10 se puede reducir a R(ρn−1 L1)≤ R(ρn−1 L2). Como L=IL0para cierto estrellado se tiene que ρL=R(ρn−1 L0/n −1). Usando la Proposición 1.8.11 se deduce para i= 1,2que ˜ V1(Li, L) = 1 nZSn−1 ρLi(u)n−1ρL(u)du =1 n(n−1) ZSn−1 ρLi(u)n−1(R(ρn−1 L0))(u)du =1 n(n−1) ZSn−1R(ρLi(u)n−1)ρn−1 L0(u)du. Teorema 3.2.7. Sean L1, L2∈Snsatisfaciendo: |L1∩u⊥| ≤ |L2∩u⊥| ∀u∈Sn−1. Si L1es un cuerpo de intersección, entonces |L1|≤|L2|. 60 CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DE BUSEMANN-PETTY Demostración. Aplicando el Lema anterior con L=L1y usando el Teorema 1.7.9 y la Proposición 1.7.6 |L1|n≤˜ V1(L2, L1)n≤ |L2|n−1|L1|=⇒ |L1|≤|L2| Tenemos una familia de cuerpos en la que el problema (3.2) tiene respuesta afirmativa. Ahora el objetivo es intentar extrapolarlo a los cuerpos convexos centrados, y para ello se va a utilizar un argumento de densidad que se puede encontrar en [14]. Este permite aproximar con la medida los cuerpos Kn 0con cuerpos convexos centrados C∞ +. Ser C∞ +significa tener frontera diferenciable y curvatura de Gauss estrictamente positiva. Estos son conceptos de geometría diferencial que no se han desarrollado en este trabajo, pero se pueden encontrar simplificadamente en la sección nueve del capítulo cero de [5] y de manera más general en [16]. Un resultado interesante que se muestra en [5] es que todo cuerpo convexo centrado con frontera diferenciable es un cuerpo estrellado centrado con ρK∈C∞ e(Sn−1). Los Lemas que vienen a continuación buscan comprobar si los cuerpos estrellados centrados con ρK∈C∞ e(Sn−1)son cuerpos de intersección. Lema 3.2.8. Sea K∈Kn 0con frontera diferenciable y supongamos que existe una función g∈Ce(Sn−1)tal que ρL=R(g). Se satisfacen estas dos fórmulas: g(u) = −1 4π2Z+∞ 0 AK(u, t)−AK(u, 0) t2du si n= 3, g(u) = −1 16π2A′′ K(u, 0) si n= 4, donde AK(u, t) = |K∩(u⊥+tu)|. No se va a mostrar la prueba de este resultado ya que se sale del contenido que se ha desarrollado en este trabajo. Si se quiere ver la prueba, se puede encontrar en la primera sección del octavo capítulo de [5]. Teorema 3.2.9. Sea K∈Kn 0con ρK∈C∞ e(Sn−1). Si 2≤n≤4, se tiene que Kes un cuerpo de intersección. 3.2. PROBLEMA DE BUSEMANN-PETTY 61 Demostración. El caso n= 2 es por el Teorema 3.1.3. Para los otros dos casos hay que tener en cuenta que como la frontera de Kes diferenciable su función radial también lo es y por el Teorema 1.8.12 existe una g∈C∞ e tal que ρK=R(g). Por la Proposición 3.1.2 falta comprobar que g≥0. Cuando n= 3,4como la función AK(t, u)1/n−1es cóncava en su variable real por la Proposición 1.7.2, basta usar las fórmulas para g(u)del Lema 3.2.8 y que por cóncavidad el cociente AK(t,u)−AK(0,u) t2yA′′ K(0, u)son negativos. Teorema 3.2.10. El Problema de Busemann-Petty 3.2 tiene respuesta afirmativa si 2≤n≤4. Demostración. Por reducción al absurdo supongamos que hubiera K1, K2∈ Kn 0cumpliendo: |K1∩u⊥|≤|K2∩u⊥| ∀u∈Sn−1|K1|>|K2|. Por un resultado de aproximación de [15] se puede construir un conjunto K′∈Kn 0de clase C∞ +satisfaciendo que K′⊆K1y|K′|>|K2|. Por hipótesis se tendría que |K′∩u⊥| ≤ |K2∩u⊥| ∀u∈Sn−1. Si K′fuera cuerpo de intersección, por el Teorema 3.2.7 se tendría |K′|≤|K2|. Llegamos a un absurdo aplicando el Teorema 3.2.7. Caso n > 4 El siguiente resultado es la clave de porque en este caso el Problema de 3.2 no tiene respuesta afirmativa. Teorema 3.2.11. Existe K∈Kn 0de clase C∞ +y con el origen en su interior que no es un cuerpo de intersección. No se va dar la demostración de este resultado ya que se sale de la toería desarrollada en este trabajo.La prueba se puede encontrar en la primera sección del octavo capítulo de [5]. Al haber un cuerpo estrellado C∞que no es un cuerpo de intersección, no se puede hacer la misma demostración que en el Teorema 3.2.10 y a priori no se podría dar una respuesta en n > 5. El siguiente resultado muestra que además se puede construir un contraejemplo al problema (3.2). 62 CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DE BUSEMANN-PETTY Teorema 3.2.12. Sea K∈Kn 0de clase C∞ +y con el cero en su interior que no es un cuerpo de intersección. Existe K′∈Kn 0tal que |K′∩u⊥| ≤ |K∩u⊥| para todo u∈Sn−1, pero |K′|>|K|. Demostración. Como K∈Kn 0tiene frontera diferenciable, en particular ρK∈C∞ e(Sn−1). Aplicando el Teorema 1.8.12 existe g∈C∞ e(Sn−1)tal que ρK=R(g). Por la Proposición 3.1.2 debe existir v∈Sn−1tal que g(v)<0 y por ser ésta continua existe un entorno v∈V⊆Sn−1tal que g(u)<0 si u∈V. Se puede construir una función h∈C∞ e(Sn−1)satisfaciendo h(u)≥0si g(u)<0yh(u) = 0 en otro caso. Volviendo a aplicar el Teorema 1.8.12 existe G∈C∞ e(Sn−1)tal que h=R(G). Aplicando el Teorema 1.5.10 se define L∈Sn 0con función radial satisfaciendo: 1 n−1ρn−1 L=1 n−1ρn−1 K−tG, tomando t > 0de tal manera que el lado derecho de la igualdad siempre sea positivo. Aplicando la Definición 3.1.1 y la Proposición 3.1.2 ρIL =R1 n−1ρn−1 L=R1 n−1ρn−1 K−tG=ρIK −th. Aplicando la Proposición 1.5.5 se tiene IL ⊆IK, por lo que |L∩u⊥| ≤ |K∩u⊥|para todo u∈Sn−1. Además usando las Proposiciones 1.7.6, 1.8.11 se deduce |K|− ˜ V1(L, K)≤ |K|n−1 n|L|1 n=1 nZSn−1 (ρn−1 K(u)−ρn−1 L(u))ρK(u)du =1 nZSn−1 (ρn−1 K(u)−ρn−1 L(u))R(g)(u)du =1 nZSn−1R(ρn−1 K(u)−ρn−1 L(u))g(u)du =n−1 nZSn−1 (ρIK(u)−ρIL(u))g(u)du < 0. Para deducir que |K|>|L|basta utilizar el Teorema 1.7.9 y la desigualdad anterior |L|<˜ V1(L, K)≤ |K|n−1 n|L|1 n=⇒ |K|>|L|. 3.2. PROBLEMA DE BUSEMANN-PETTY 63 Para deducir que Les convexo hay que utilizar un resultado de [12] que permite describir la curvatura de Gauss en función de la función radial de ese cuerpo y sus derivadas. Tomando tlo suficientemente pequeño se puede conseguir que la curvatura de Gauss de Lsea positiva y aplicando un resultado que se encuentra en la página 41 de [16] se deduce que Les convexo. Tomando L=K′se probaría el resultado. Corolario 3.2.13. El Problema 3.2 es falso cuando n≥5. Cuando n= 7 existen ejemplos de cuerpos que no satisfacen el Problema 3.2. Antes de exponerlo hacen falta algunos lemas técnicos. Lema 3.2.14. Z1 −1 (1 −t2)n−1 2dt =Zπ 2 −π 2 cosn(t)dt =|Bn 2| |Bn−1 2|. Demostración. La primera igualdad es un simple cambio de variable. La segunda es un simple ejercicio de recursión usando que si In=Rπ 2 −π 2 cosn(t)dt entonces I0=π,I1= 2 y aplicando integración por partes se tiene I2k=2k−1 2kI2k−2=. . . =π k Y m=1 2m−1 2m=π 22k−12k−1 k, I2k+1 =2k 2k+ 1I2k−1=. . . = 2 k Y m=1 2m 2m+ 1 =22k+1(k!)2 (2k+ 1)! . Aplicando las fórmulas de |Bn 2|que se encuentran en [7] se concluye el resultado. Lema 3.2.15. Sean a, b > 0yK={x∈Rn:Pn−1 k=1 x2 k≤a2,|xn| ≤ b}un cilindro simétrico respecto al origen. Entonces |K∩u⊥| ≤ 2an−2b|Bn−2 2|M, donde M= sup0≤s≤1f(s)yfes la función f(s) = (b2+ (as)2)1 2 bs Zs 0 (1 −t2)n−2 2dt. 64 CAPÍTULO 3. EL PROBLEMA DE BUSEMANN-PETTY Demostración. La demostración se separa en dos casos que se pueden ver en la Figura 3.2: 1. Si |un|>a √a2+b2, es decir, K∩u⊥no corta con la parte inferior o superior del cilindro. Entonces la proyección de K∩u⊥en el hiperplano e⊥ nes aBn−1 2. Aplicando el Teorema 1.7.4 y el Lema 3.2.14 se deduce que |K∩u⊥|=an−1|Bn−1 2| |un|< an−2|Bn−1 2|pa2+b2 = 2an−2|Bn−2 2|bf(1) ≤2an−2b|Bn−2 2|M. 2. Si |un| ≤ a √a2+b2, entonces E=Pe⊥ n(K∩u⊥)es un trozo de una bola aBn−1 2encerrada entre dos hierplanos H1yH2paralelos. Las secciones de esa bola en hiperplanos paralelos a H1a distancia zdel origen es p(a2−z2)Bn−2 2. Aplicando el Teorema 1.7.4 y el Principio de Cavialeri |K∩u⊥|=|E| |un|=1 |un|Zbcot φ −bcot φ (a2−z2)n−2 2|Bn−2 2|dz, donde φes el ángulo que forma ucon en. Haciendo el cambio de variable t=z a, tomando s=bcot φ ay observando que |un|= cos(φ) = as √b2+(as)2se tiene |K∩u⊥|=an−2|Bn−2 2|pb2+ (as)2 sZs −s (1 −t2)n−2 2dt = 2an−2b|Bn−2 2|f(s)≤2an−2b|Bn−2 2|M. Teorema 3.2.16. Sea K1={x∈Rn:P6 k=1 x2 k≤a2,|x7| ≤ b}yK2= B7 2. Entonces se pueden tomar a, b > 0de tal manera que |K1|=|K2|, pero |K1∩u⊥|<|K2∩u⊥|para todo u∈S6. 3.2. PROBLEMA DE BUSEMANN-PETTY 65 •0 xn a b u •0 xn u Figura 3.2: Los dos casos del Lema 2.2.3 Se va a dar una idea de la prueba. Para que ocurra que |K1|=|K2|se debe tener que 2a6b|B6 2|=|B7 2|. Esta expresión se puede reescribir de estas dos manera usando que c=a b a=c|B7 2| 2|B6 2|1 7 2a5b|B5 2|=|B5 2||B7 2| |B6 2|. En vista del Lema 3.2.15 para llegar a la desigualdad de las secciones basta probar 2an−2b|Bn−2 2|M < |B6 2| que se puede reesciribir usando las expresiones anteriores como |B5 2||B7 2| |B6 2|22|B6 2| c|B7 2|1 7 M < 1 En [5] se estudia la expresión anterior. Tomando c2=3056 1689 se pueden encontrar constantes a, b > 0cumpliendo el Teorema 3.2.16. Por último cabe destacar que se puede generalizar el Teorema anterior para cuando n > 7. Para los casos n= 5,6no hay un ejemplo sencillo que no sea el que se da en la prueba del Teorema 3.2.11. Bibliografía [1] K. Ball. Cube slicing in Rn.Proc. Amer. Math. Soc., (97):465–473, (1986). [2] V.I. Bogachev. Measure theory. 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