Dependencia continua y derivable respecto de los datos iniciales y aplicación a las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales

Universidad de Sevilla Facultad de Matem´aticas Trabajo Fin de Estudios Grado en Matem´aticas Dependencia continua y derivable respecto de los datos iniciales y aplicaci´on a las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales Blanca Mart´ınez Canto Tutor Nombre: Tom´as Caraballo Garrido Dpto.: Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico Abstract A Cauchy problem requires an initial data that sometimes cannot be obtained exactly, so the aim is to study the dependence of the solution on the initial data and its application to analyse the Cauchy problem for a first order partial differential equation. That is why throughout the different chapters the dependence on the initial data of a Cauchy problem and its application to first-order partial differential equations will be discussed. This work consists of five chapters. The first of them is a reminder of basic concepts that will be useful throughout the other chapters. In particular, Gronwall’s lemma, a result that will be of great help in proving certain important theorems. The second chapter now enters into the subject itself, in which the continuous dependence of a Cauchy problem on the initial data is studied, where we will also see some results where the dependence is not only on the initial data but also on some parameters that could have this problem. Subsequently, an attempt will be made to provide derivability results with respect to the initial data and with respect to said parameters. Finally, in the last two chapters we will work with first order partial differential equations where the preceding chapters will have a fundamental role and the Method of Characteristics will be carried out. Throughout the chapters you will see examples that can be useful when applying the theorems. Resumen Un problema de Cauchy precisa de un dato inicial que en ocasiones no se puede obtener de forma exacta por lo que se pretende hacer un estudio de la dependencia de la soluci´on respecto del dato inicial y aplicarlo luego para el an´alisis del problema de Cauchy para una ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden. Es por ello que a lo largo de los distintos cap´ıtulos se tratar´a la dependencia respecto del dato inicial de un problema de Cauchy y su aplicaci´on a las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden. Este trabajo consta de cinco cap´ıtulos. El primero de ellos es un recordatorio de conceptos b´asicos que ser´an ´utiles a lo largo de los dem´as cap´ıtulos. En especial, el lema de Gronwall, un resultado que ser´a de gran ayuda en la demostraci´on de ciertos teoremas importantes. El segundo cap´ıtulo, ya entra en materia propiamente dicha en la que se estudia la dependencia continua de un problema de Cauchy respecto de los datos iniciales donde adem´as se ver´an algunos resultados donde la dependencia no es s´olo en el dato inicial sino tambi´en en algunos par´ametros que pudiera tener dicho problema. Posteriormente, se tratar´a de dar resultados de derivabilidad respecto de los datos iniciales y respecto de dichos par´ametros. Finalmente, en los dos ´ultimos cap´ıtulos se trabajar´a con ecuaciones en derivadas parciales de primer orden donde tendr´an un papel fundamental los cap´ıtulos precedentes y se llevar´a a cabo el estudio del M´etodo de las Caracter´ısticas. A lo largo de los cap´ıtulos se ver´an ejemplos que pueden ser ´utiles a la hora de aplicar los teoremas. ´ Indice Introducci´on 2 1. Resultados previos 5 2. Continuidad respecto de los datos iniciales 8 2.1. Continuidad respecto de los datos iniciales ...................... 8 2.2. Continuidad respecto de los datos iniciales y par´ametros .............. 13 2.3. Comparaci´on de soluciones de s.d.o parecidos .................... 18 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 19 3.1. Consideraciones previas ................................ 19 3.2. Derivabilidad respecto de los datos iniciales y par´ametros ............. 21 3.3. Ejemplos ........................................ 27 4. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y quasi-lineales de primer orden 41 4.1. Ecuaciones en derivadas parciales lineales de primer orden ............. 41 4.2. Ecuaciones en derivadas parciales quasi-lineales de primer orden ......... 48 4.3. Ejemplos ........................................ 49 5. Problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales 52 5.1. Planteamiento del problema de Cauchy ....................... 52 5.2. Bandas caracter´ısticas. Existencia y unicidad de soluci´on del problema de Cauchy 55 5.2.1. Relaci´on ∇uyp................................ 58 5.3. Ejemplo ......................................... 61 Bibliograf´ıa 64 1 Introducci´on El mundo de las EDOs es muy amplio y estudian resultados muy importantes que no se abordan en la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Se pretende ampliar dichos conceptos dados y adem´as, relacionarlos con las EDPs de primer orden ya que su resoluci´on y estudio es diferente a las de orden superior donde en nuestro caso tiene un papel fundamental el M´etodo de las Caracter´ısticas. Un problema de Cauchy est´a presente en muchos ´ambitos: F´ısica, Ingenier´ıa,... En todos ellos, se precisa de un dato inicial que se debe medir. Tras una medici´on, nos encontramos con un posible error que en la manera de lo posible podemos hacer que sea m´ınimo pero no podemos prescindir de ´el. Por ello, a la hora de resolver un problema de Cauchy ese error puede afectar a la soluci´on de dicho problema, tanto en la continuidad como la derivabilidad de la soluci´on. Es por ello, el objetivo de estudiar c´omo afecta ese posible cambio en el dato inicial a la soluci´on del problema de Cauchy y su importancia debido a la presencia de las EDOs en todos los ´ambitos. La importancia del estudio de la dependencia de un problema de Cauchy respecto de los datos iniciales va m´as all´a pues tiene un papel fundamental en la demostraci´on del M´etodo de las Caracter´ısticas. Es por ello la necesidad de ampliar los conocimientos adquiridos en la asignatura de EDO con el fin de resolver los posibles problemas que puedan conllevar una perturbaci´on del problema de Cauchy inicial. El desarrollo se efectuar´a en cinco cap´ıtulos que abarcar´an lo siguiente: Cap´ıtulo 1 Cap´ıtulo recordatorio de conceptos b´asicos estudiados en la asignatura de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias donde se comienza presentando un problema de Cauchy y resultados de existencia y unicidad de soluci´on de dicho problema. Para continuar con la prolongaci´on de la soluci´on y finalizar, con el lema de Gronwall que tendr´a un papel fundamental en la demostraci´on de teoremas que se ver´an posteriormente. 2 Cap´ıtulo 2 Forma parte del primer cap´ıtulo de materia propiamente dicha que no se abarca anteriormente. Pretende tratar c´omo afecta a la continuidad de soluci´on del problema una perturbaci´on del dato inicial dada por los errores que se producen en la medici´on. Es por ello, que el siguiente teorema conocido como Teorema global de dependecia continua del (PC) respecto de los datos iniciales es fundamental ya que adem´as, de tratar con EDOs ser´a el teorema que ayudar´a a relacionarlo con las EDPs. Se trabajar´a con el problema de Cauchy siguiente: (PC)   y′=f(x, y) y(x0) = y0 donde Ω ⊂RN+1 abierto no vac´ıo , f∈ C(Ω; RN)∩Liploc(y, Ω) y (x0, y0)∈Ω. Sea la soluci´on maximal de (PC) definida como sigue φ(·;x0, y0) : I(x0, y0)7−→ RN x7−→ φ(x;x0, y0) Se denota por Θ = {(x;x0, y0)∈RN+2 : (x0, y0)∈Ω, x ∈I(x0, y0)} que es el conjunto de definici´on de la soluci´on maximal del (PC) expresada en funci´on de los datos iniciales: φ(·;·,·) : (x, x0, y0)∈Θ−→ φ(x;x0, y0)∈RN Dicho esto, ya estamos en condiciones de enunciar el Teorema global de dependencia continua del (PC) respecto de los datos iniciales: Teorema 0.1 : (Teorema global de dependencia continua del (PC) respecto de los datos iniciales) Si f∈ C(Ω; RN)∩Liploc(y, Ω), se verifican: a) Dados (x∗ 0, y∗ 0)∈Ωya<x∗ 0< b tales que [a, b]⊂I(x∗ 0, y∗ 0), entonces para cada ε > 0 fijado , existe un entorno Vεde (x∗ 0, y∗ 0)de modo que 1) Vε⊂Ω 2) [a, b]⊂I(x0, y0),∀(x0, y0)∈Vε 3) m´ax x∈[a,b]|φ(x;x0, y0)−φ(x;x∗ 0, y∗ 0)| ≤ ε, ∀(x0, y0)∈Vε b) El conjunto Θes abierto , no vac´ıo y φ(·;·;·)∈ C(Θ; RN) 3 Introducci´on 4 Tras la demostraci´on de dicho teorema se quiere ir un poco m´as all´a, pues este error no s´olo puede afectar al dato inicial sino a otros par´ametros del problema. En cuyo caso, al igual que respecto al dato inicial se quiere saber hasta que punto aproxima la soluci´on obtenida a la soluci´on real. Adem´as, el problema de Cauchy est´a formado por una funci´on f(x, y). Dicha funci´on en ocasiones puede ser dif´ıcil de tratar a la hora de resolver un problema de Cauchy. En muchos casos, nos conviene sustituir esta funci´on por una un poco m´as simple que nos aproxime la soluci´on a la soluci´on real. Cap´ıtulo 3 Tras el estudio de la continuidad de soluci´on respecto del dato inicial se quiere adem´as estudiar la derivabilidad respecto de los datos iniciales y algunos par´ametros que pudiera formar parte del problema de Cauchy. En este cap´ıtulo, se ver´an ejemplos de aplicaci´on donde en su mayor´ıa no es posible resolver la EDO por lo que es necesario la aplicaci´on de los teoremas dados en este cap´ıtulo. Es por ello, que se ver´a un ejemplo donde sea posible resolver la EDO, por su sencillez, con el objetivo de resolverlo usando los teoremas y resolviendo directamente la EDO para mostrar que se llega al mismo resultado. Cap´ıtulo 4 Este cap´ıtulo se centra en las EDPs de primer orden, lineales y quasi-lineales, pero sin olvidar las EDOs y los resultados anteriores en particular el teorema de global de dependencia continua del (PC) respecto de los datos iniciales. Esto se debe a que este teorema es fundamental para la demostraci´on del M´etodo de las Caracter´ısticas resultado importante para resolver las EDPs de primer orden. Cap´ıtulo 5 Este cap´ıtulo final pretende ampliar el M´etodo de las Caracter´ısticas a las EDPs no lineales de primer orden donde se demostrar´a un importante teorema cuya demostraci´on es constructiva pues se va desarrollando por etapas la construcci´on de las bandas caracter´ısticas. Tras esta introducci´on comenzaremos con el recordatorio de conceptos b´asicos de la asignatura de EDO. TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 1 Resultados previos En este cap´ıtulo se recordar´an algunos conceptos de ecuaciones diferenciales ordinarias que ser´an ´utiles posteriormente. Sea el llamado Problema de Cauchy o Problema de Valores Iniciales para un Sistema Diferencial Ordinario (S.D.O.) de primer orden. Dicho problema viene dado por: (PC)   y′=f(t, y) y(t0) = y0 (1.1) donde Ω ⊆RN+1 es un abierto conexo (N≥1 es un n´umero natural : n´umero de ecuaciones del sistema) , f: (t, y)∈Ω7−→ f(t, y)∈RN es una funci´on que satisface f∈ C0(Ω; RN)∩Liploc(y, Ω) y (t0, y0)∈Ω Se recuerda que Liploc(y, Ω) es el espacio de funciones definidas de Ω en RNque son localmente lipschitzianas respecto de la variable yen Ω. Es decir, son las funciones f: Ω −→ RN que satisfacen: para cualquier (t0, y0)∈Ω existe dos constantes ε > 0 y L≥0 tales que B((t0, y0); ε)⊂Ω y |f(t, y1)−f(t, y2)| ≤ L|y1−y2|,∀(t, y1),(t, y2)∈B((t0, y0); ε) Sean I⊆R, un intervalo no degenerado tal que t0∈int(I), y φ:I⊆R−→ RNuna funci´on definida en I. Se dice que φes soluci´on del problema de Cauchy (1.1) en I(o soluci´on local de (1.1) en I) si φ∈ C1(I;RN) y satisface: (t, φ(t)) ∈Ω, para cualquier t∈I φ′(t) = f(t, φ(t)), para todo t∈I 5 Cap´ıtulo 2. Continuidad respecto de los datos iniciales 12 es decir, |ψ(x)−φ(x)|≤|y0−φ(x0;x∗ 0, y∗ 0)|eL(b−a)∀x∈(α, x0] Tomando l´ımite cuando x↓αse tiene que: d((α, l´ım x↓αψ(x)), K)≤ | l´ım x↓αψ(x)−φ(α;x∗ 0, y∗ 0)| ≤ ≤ |y0−φ(x0;x∗ 0, y∗ 0)|eL(b−a)< ε por ser (x0, y0)∈Vε, es decir, T− ψ=n(α, l´ım x↓αψ(x))o∈A y en consecuencia ψser´ıa prolongable por la izquierda en A, lo que es una contradicci´on por ser ψsoluci´on maximal. An´alogamente se procede si se supone β≤b. Lo que demuestra b), es decir, [a, b]⊂I(x0, y0),∀(x0, y0)∈Vε Finalmente, el apartado c) es inmediato , pues como en [a, b] se tiene que φ(x;x0, y0) = ψ(x) entonces , por el mismo c´alculo anterior se tiene: |φ(x;x0, y0)−φ(x;x∗ 0, y∗ 0|)≤ε∀x∈[a, b]⇒m´ax x∈[a,b]|φ(x;x0, y0)−φ(x;x∗ 0, y∗ 0|)≤ε 2. Probemos que Θ ⊂RN+2 es abierto, no vac´ıo y φ∈ C(Θ,RN). Sea (x∗, x∗ 0, y∗ 0)∈Θ dado, es decir, (x∗ 0, y∗ 0)∈Ω y x∗∈I(x∗ 0, y∗ 0). Sean a, b finitos tales que [a, b]⊂I(x∗ 0, y∗ 0), x∗ 0∈(a, b), x∗∈(a, b). Fijado ε > 0, existe V⊂Ω entorno de (x∗ 0, y∗ 0), se tiene por el apartado 1, tal que: [a, b]⊂I(x0, y0),∀(x0, y0)∈V m´ax x∈[a,b]|φ(x;x0, y0)−φ(x;x∗ 0, y∗ 0)| ≤ ε/2,∀(x0, y0)∈V Adem´as, existe I,entorno de x∗tal que: I⊂(a, b) |φ(x;x∗ 0, y∗ 0)−φ(x∗;x∗ 0, y∗ 0)| ≤ ε/2,∀x∈I por ser φuniformemente continua en [a, b] (es decir, φ(·;x∗ 0, y∗ 0)). Entonces, I×Ves un entorno de (x∗, x∗ 0, y∗ 0). Comprobando que I×V⊂Θ se tendr´a que Θ es abierto. Sea (x, x0, y0)∈I×V⇒   (x0, y0)∈V⊂Ω x∈I⊂(a, b)⊂I(x0, y0) ⇒(x, x0, y0)∈Θ. TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 2. Continuidad respecto de los datos iniciales 13 Por ´ultimo, la continuidad de φ: Si (x, x0, y0)∈I×V, |φ(x;x0, y0)−φ(x∗, x∗ 0, y∗ 0)| ≤ |φ(x;x0, y0)−φ(x, x∗ 0, y∗ 0)|+|φ(x, x∗ 0, y∗ 0)−φ(x∗, x∗ 0, y∗ 0)| ≤ ε ■ Nota: Puede probarse que φ(·;·,·)∈Liploc(y, Ω), es decir, para todo (x∗, x∗ 0, y∗ 0)∈Θ, existe un entorno de dicho punto U⊂Θ y una constante L > 0 tal que: |φ(x;x0, y0)−φ(x;x0, y0)| ≤ Lh|x−x|+|x0−x0|+|y0−y0|i,∀(x, x0, y0),(x, x0, y0)∈U 2.2. Continuidad respecto de los datos iniciales y par´ametros El objetivo de esta secci´on es analizar un problema de Cauchy del tipo: (PC)   y′=f(x, y, λ) y(x0) = y0 donde λ= (λ1, ..., λk) representa k par´ametros. Adem´as, se quiere saber c´omo afecta a la soluci´on del (PC) un cambio no s´olo del dato inicial, sino tambi´en de los par´ametros. Vamos a suponer las siguientes hip´otesis y a establecer las siguientes notaciones: Sea e Ω⊂RN+k+1 un abierto no vac´ıo cuyos puntos denotaremos (x, y, λ) con (x∈R, y ∈RN, λ ∈Rk). Suponemos que: f∈ C(e Ω; RN)∩Liploc((y, λ),e Ω; RN) Esta ´ultima condici´on significa, seg´un la notaci´on introducida , que fijado (x, y, λ)∈e Ω, existe V∈e Ω entorno de (x, y, λ) y existe L > 0 tal que |f(x, y1, λ1)−f(x, y2, λ2)| ≤ L(|y1−y2|+|λ1−λ2|),∀(x, yi, λi)∈V , i = 1,2 Dado λ∈Rkse denota Ωλ={(x, y)∈RN+1 : (x, y, λ)∈e Ω} ⊂ RN+1 que es abierto y eventualmente vac´ıo. Si Ωλ=∅, se define fλ: (x, y)∈Ωλ7−→ fλ(x, y) = f(x, y, λ)∈RN Evidentemente, se tiene fλ∈ C(Ωλ;RN)∩Liploc(y, Ωλ) TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 2. Continuidad respecto de los datos iniciales 14 Fijados λ0∈Rkcon Ωλ0=∅y (x0, y0)∈Ωλ0, el (PC)   y′=fλ0(x, y)en Ωλ0 y(x0) = y0 admite una ´unica soluci´on maximal que se denotar´a φ(·;x0, y0, λ0) definida en un intervalo abierto que contiene a x0y que se denota por I(x0, y0, λ0). En esta situaci´on, se define: e Θ = {(x, x0, y0, λ0)∈RN+2+k: (x0, y0)∈Ωλ0, x ∈I(x0, y0, λ0)} y φ: (x, x0, y0, λ0)∈e Θ7−→ φ(x;x0, y0, λ0)∈RN que es la soluci´on maximal del (PC) original expresada en funci´on de los datos iniciales y par´ametros. El resultado fundamental de la secci´on es el siguiente teorema, que fijados los preliminares anteriores se puede probar. Teorema 2.2 : (Teorema de dependencia continua del (PC) respecto de los datos iniciales y par´ametros) Sea e Ω⊂RN+k+1 abierto no vac´ıo , f∈ C(e Ω; RN)∩Liploc((y, λ),e Ω; RN), se verifican: 1. Fijados (x∗ 0, y∗ 0, λ∗ 0)∈e Ωya<x∗ 0< b tales que [a, b]⊂I(x∗ 0, y∗ 0, λ∗ 0), entonces para cada ε > 0fijado , existe un entorno Vεde (x∗ 0, y∗ 0, λ∗ 0)de modo que a)Vε⊂e Ω. b)[a, b]⊂I(x0, y0, λ0),∀(x0, y0, λ0)∈Vε. c)m´ax x∈[a,b]|φ(x;x0, y0, λ0)−φ(x;x∗ 0, y∗ 0, λ∗ 0)| ≤ ε, ∀(x0, y0, λ0)∈Vε. 2. El conjunto e Θ⊂RN+k+2 es abierto , no vac´ıo y φ(·;·,·,·)∈ C(e Θ; RN). Demostracion: Basta tomar en R(N+k)+1 la notaci´on (x, z) = (x, y, λ) y denotar : F(x, z) = f(x, y, λ) 0k! y aplicar el Teorema global de dependencia continua del (PC) respecto de los datos iniciales 2.1 al problema: (PC)   z′=F(x, z) z(x0) = z0= (y0, λ0) ■ TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 2. Continuidad respecto de los datos iniciales 15 Notas: Con las mismas hip´otesis puede probarse que φ(·;·,·,·)∈Liploc(e Θ; RN) Pueden establecerse resultados sobre dependencia continua con respecto a par´ametros sin imponer el car´acter lipschitziano de f respecto a λ. Teorema 2.3 Sean dados ∧ ⊂ Rkabierto no vac´ıo y {Iλ}λ∈∧ una familia de intervalos abiertos (no vac´ıos) tales que el conjunto e ∧={(x, λ)∈Rk+1 :λ∈ ∧, x ∈Iλ} sea abierto en Rk+1. Sea dada tambi´en, A∈ C(e ∧;L(RN)). Para cada w0∈RN,(x0, λ0)∈e ∧denotemos por ψ(x;x0, w0, λ0)la soluci´on maximal del (PC)   w′(x) = A(x, λ0)w(x)∀x∈Iλ0 w(x0) = w0 (que sabemos que tiene soluci´on y es ´unica). Denotemos por Θ = {(x, x0, w0, λ0)∈RN+k+2 :λ0∈ ∧, x0∈Iλ0, x ∈Iλ0, w0∈RN} Entonces, se tiene: 1. Θes un abierto no vac´ıo de RN+k+2 2. ψ(·;·,·,·)∈ C(Θ; RN). Antes de efectuar la demostraci´on veremos un ejemplo de aplicaci´on. Ejemplo: Sean Ω ⊂RN+1 abierto, f∈ C(Ω; RN) tales que existe ∂f ∂y ∈ C(Ω; L(RN)) y sea g∈ C(Ω; RN) dados. Denotemos por φy Θ como de costumbre y para cada (x0, y0)∈Ω y x∈I(x0, y0), sea w(x, x0, y0) el valor en xde la soluci´on del problema      w′(x) = ∂f ∂y (x, φ(x;x0, y0)) w(x)∀x∈I(x0, y0) w(x0) = g(x0, y0) Entonces, w(·;·,·)∈ C(Θ; RN). TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 2. Continuidad respecto de los datos iniciales 16 Para verlo, basta aplicar el Teorema de dependencia continua del (PC) respecto de los datos iniciales y par´ametros 2.2 con k=N+ 1 , ∧= Ω, I(x0,y0)=I(x0, y0)∀(x0, y0)∈ ∧, A(x, (x0, y0)) = ∂f ∂y (x, φ(x;x0, y0)) y e ∧= Θ que es abierto por el Teorema global de dependencia continua del (PC) respecto de los datos iniciales 2.1 y teniendo en cuenta que w(x;x0, y0) = ψ(x;x0, g(x0, y0),(x0, y0)) Demostraci´on: 1. Como e ∧es abierto se tiene que Θ es abierto ya que Θ es un entorno de todos sus puntos pues e ∧lo es. 2. Fijado λ0∈ ∧,ψ(·;·,·, λ0) es continua en Iλ0×Iλ0×RNya que la soluci´on maximal de cada problema de Cauchy est´a definida sobre el intervalo que sirve como base a la banda, es decir, sobre Iλ0. Para demostrar que ψ(·;·,·,·)∈ C(Θ; RN) basta probar la continuidad uniformemente en la variable λ0en un entorno de las otras variables. Es decir, hay que demostrar que: Fijado (x, x0, w0, λ0)∈Θ (es decir, λ0∈ ∧,x0,x∈Iλ0,w0∈RN) , existe un entorno V⊂Iλ0×Iλ0×RN de (x, x0, w0) tal que para cada ε > 0 existe δ > 0 verificando que V×B(λ0;δ)⊂Θ |ψ(x;x0, w0, λ0)−ψ(x;x0, w0, λ0)| ≤ ε∀(x, x0, w0, λ0)∈V×B(λ0;δ) Fijemos pues (x, x0, w0, λ0)∈Θ. Por ser Θ abierto se tiene: ∃a > 0 : E= [x−a, x +a]×[x0−a, x0+a]×B(w0;a)×B(λ0;a)⊂Θ y denotemos V= [x−a, x+a]×[x0−a, x0+a]×B(w0;a) , entorno de (x, x0, w0) contenido en Iλ0×Iλ0×RN(por construcci´on). Fijado (x, x0, w0, λ0)∈E, se tiene para cada tentre xyx0: ψ(t;x0, w0, λ0)−ψ(t;x0, w0, λ0) = Zt x0 A(s, λ0)ψ(s;x0, w0, λ0)ds −Zt x0 A(s, λ0)ψ(s;x0, w0, λ0)ds =Zt x0 A(s, λ0)ψ(s;x0, w0, λ0)ds −Zt x0 A(s, λ0)ψ(s;x0, w0, λ0)ds ±Zt x0 A(s, λ0)ψ(s;x0, w0, λ0)ds =Zt x0 A(s, λ0)ψ(s;x0, w0, λ0)−ψ(s;x0, w0, λ0)ds +Zt x0A(s, λ0)−A(s, λ0)ψ(s;x0, w0, λ0)ds TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 2. Continuidad respecto de los datos iniciales 17 Si denotamos u(t) = |ψ(t;x0, w0, λ0)−ψ(t;x0, w0, λ0)| y por Kcualquier intervalo cerrado y acotado fijado tal que [x−a, x +a]∪[x0−a, x0+a]⊂K⊂Iλ0 resultar´a u(t)≤c1Zt x0 u(s)ds+c2Zt x0 |A(s, λ0)−A(s, λ0)|ds  donde c1= m´ax s∈K λ∈B(λ0;a) |A(s, λ)|, c2= m´ax s∈K fx0∈[x0−a, x0+a] fw0∈B(w0;a) |ψ(s;fx0,fw0, λ0)| constantes independientes del punto (x, x0, w0, λ0)∈E, se sigue de aqu´ı para todo tentre xyx0: u(t)≤c1Zt x0 u(s)ds+c3m´ax s∈K|A(s, λ0)−A(s, λ0)| donde c3=c2·(longitud de K) = c2·lk. El lema de Gronwall 1.6 nos proporciona: u(x)≤c3ec1|x−x0|m´ax s∈K|A(s, λ0)−A(s, λ0)| ∀(x, x0, w0, λ0)∈E De modo que llamando C=c3ec1lk puede afirmarse que: Existe C > 0 (independiente del punto (x, x0, w0, λ0)∈Ey un intervalo compacto K⊂Iλ0 tal que ∀(x, x0, w0, λ0)∈Ese tiene: |ψ(x;x0, w0, λ0)−ψ(x;x0, w0, λ0)| ≤ Cm´ax s∈K|A(s, λ0)−A(s, λ0)| Usando el car´acter uniformemente continuo de A(·,·) sobre el compacto K×B(λ0;a) se tiene el resultado. ■ TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 2. Continuidad respecto de los datos iniciales 18 2.3. Comparaci´on de soluciones de s.d.o parecidos Teorema 2.4 Sean Ω⊂RN+1 y(x0, y0)∈Ω. Supongamos que f∈ C(Ω; RN)∩Liploc(y, Ω) y g∈ C(Ω; RN)y consideremos los siguientes problemas: (PC)1   y′=f(x, y) y(x0) = y0 (PC)2   y′=g(x, y) y(x0) = y0 Supongamos que la soluci´on maximal de (PC)1,φ(·;x0, y0), y una soluci´on del (P C)2, ψ(·), est´an definidas en un mismo intervalo compacto Iδ= [x0−δ, x0+δ]y que |f(x, y)−g(x, y)|< M para (x, y)∈(Iδ×RN)∩Ω Entonces, existe L > 0tal que |φ(x;x0, y0)−ψ(x)| ≤ δ M eL|x−x0|∀x∈Iδ Demostraci´on: Se considera el conjunto compacto K={(x, φ(x;x0, y0)) : x∈Iδ} ∪ {(x, ψ(x)) : x∈Iδ} ⊂ Ω Sea Luna constante global de Lipschitz para fen K. Entonces, |φ(x;x0, y0)−ψ(x)|=Zx x0 (f(s, φ(s;x0, y0)) −g(s, ψ(s))) ds ≤ ≤Zx x0 |f(s, φ(s;x0, y0)) −f(s, ψ(s))|ds +Zx x0 |f(s, ψ(s)) −g(s, ψ(s))|ds ≤ ≤LZx x0 |φ(s;x0, y0)) −ψ(s)|ds +Mδ Aplicando el lema de Gronwall 1.6 se obtiene el resultado. ■ Nota: La acotaci´on anterior es v´alida para cualquiera de las posibles soluciones de (PC)2. TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3 Derivabilidad respecto de los datos iniciales Siguiendo con el estudio de la dependencia de las condiciones iniciales respecto a un problema de Cauchy, en este cap´ıtulo se tratar´a c´omo afecta a la derivabilidad de la soluci´on. 3.1. Consideraciones previas Sea Ω ⊂RN+1 abierto, (x0, y0)∈Ω y f∈ C(Ω; RN)∩Liploc(y, Ω). Consideremos el problema de Cauchy: (PC)   y′=f(x, y) y(x0) = y0 Sabemos que φ(·;·,·)∈ C(Θ; RN), y adem´as ∂φ ∂x (x;x0, y0) = f(x, φ(x;x0, y0)). Como (x, x0, y0)∈Θ7−→ (x, φ(x;x0, y0)) ∈Ω7−→ f(x, φ(x;x0, y0)) ∈RN es una composici´on de funciones continuas, resulta que ∂φ ∂x (·;·,·)∈ C(Θ; RN) El objetivo de este cap´ıtulo es obtener un resultado similar, con hip´otesis adecuadas para ∂φ ∂x0 ,∂φ ∂y0j j= 1,2, . . . , N Supongamos, por ahora, que existe ∂f ∂y ∈ C(Ω; L(RN)), que es m´as fuerte que imponer f∈Liploc(y, Ω). Procederemos de modo puramente formal, es decir, admitiremos que las derivadas ∂φ ∂x0 ,∂φ ∂y0j j= 1, . . . , N existen y son suficientemente regulares para que los c´alculos que siguen sean correctos. 19 Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 20 La idea es obtener alguna condici´on que dichas derivadas debieran cumplir. Una vez conocida esta condici´on podemos invertir el proceso y establecer el teorema: se intentar´a probar que las funciones que cumplen tales condiciones existen y son justamente las derivadas parciales de φ respecto de x0y de y0jj= 1, . . . , N y tienen las condiciones de regularidad que se necesitaron hasta llegar a efectuar el c´alculo formal correctamente. C´alculo formal: Supongamos que existen ∂φ ∂x0 ,∂φ ∂y0j j= 1, . . . , N y que las derivadas parciales cruzadas de φcoinciden. Se tiene por la regla de la cadena: ∂ ∂x ∂φ ∂x0 (x;x0, y0)=∂ ∂x0∂φ ∂x (x;x0, y0)= =∂ ∂x0 f(x;φ(x;x0, y0)) = =∂f ∂y (x, φ(x;x0, y0)) ·∂φ ∂x0 (x;x0, y0) ∂ ∂x ∂φ ∂y0j (x;x0, y0)=∂ ∂y0j∂φ ∂x (x;x0, y0)= =∂ ∂y0j f(x;φ(x;x0, y0)) = =∂f ∂y (x, φ(x;x0, y0)) ·∂φ ∂y0j (x;x0, y0)j= 1, . . . , N Adem´as, como φ(x0;x0, y0) = y0, se tiene que ∂φ ∂y0j (x;x0, y0)x=x0 =ej=           0 . . . 1 . . . 0           ←(j(∈RN) ∂φ ∂x0 (x;x0, y0)x=x0 = l´ım ε→0 φ(x0;x0+ε, y0)−φ(x0;x0, y0) ε= = l´ım ε→0 1 εZx0 x0+ε f(s, φ(s, ;x0+ε, y0)) ds = = l´ım ε→0 1 ε(−ε)f(x0+θε, φ(x0+θε;x0+ε, y0)) = =−f(x0, y0) TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 21 Por tanto, al menos formalmente se puede afirmar que llamando w0(x;x0, y0) = ∂φ ∂x0 (x;x0, y0), wj(x;x0, y0) = ∂φ ∂y0j (x;x0, y0), j = 1, . . . , N se tiene que w0, w1, . . . , wNson soluciones del siguiente problema de Cauchy: (S.D.V.P )                              w′ i(x) = ∂f ∂y (x, φ(x, x0, y0)) ·wi(x), i = 0,1, . . . , N w0(x0) = −f(x0, y0) wi(x0) = ei∈RN, i = 1, . . . , N, ei=         0 . . . 1 . . . 0         ←(i Este sistema diferencial lineal se llama sistema variacional lineal (o sistema de variaci´on primera) asociado al SDO y′=f(x, y). En la siguiente secci´on se har´an rigurosos los razonamientos precedentes. 3.2. Derivabilidad respecto de los datos iniciales y par´ametros Se tiene el siguiente teorema. Teorema 3.1 (Teorema de derivabilidad respecto de los datos iniciales) Con la notaci´on usual, supongamos f∈ C(Ω; RN)y que existe ∂f ∂y (x, y)∈ C(Ω; L(RN)). Entonces: 1) φ(·;·,·)∈ C1(Θ; RN) 2) En concreto, fijado (x∗ 0, y∗ 0)∈Ω, para cada x∈I(x∗ 0, y∗ 0) ∂φ ∂x0 (x;x∗ 0, y∗ 0) = w0(x;x∗ 0, y∗ 0) ∂φ ∂y0j (x;x∗ 0, y∗ 0) = wj(x;x∗ 0, y∗ 0), j = 1, . . . , N donde wi(x;x∗ 0, y∗ 0), i = 0, . . . , N son las soluciones del SDO lineal variacional, a saber,            w′ i(x) = ∂f ∂y (x, φ(x, x∗ 0, y∗ 0)) ·wi(x), i = 0,1, . . . , N x ∈I(x∗ 0, y∗ 0) w0(x∗ 0) = −f(x∗ 0, y∗ 0) wj(x∗ 0) = ej∈RN, j = 1, . . . , N 3) Adem´as, ∃∂2φ ∂x∂x0 =∂2φ ∂x0∂x ∈ C(Θ; RN) ∃∂2φ ∂x∂y0j =∂2φ ∂y0j∂x ∈ C(Θ; RN), j = 1, . . . , N TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 28 donde en la mayor´ıa de los casos no es posible. Sea λ∈R, se denota por φ(x;λ) la soluci´on maximal de    y′=y+λy y(0) = −2 Se pide hallar ∂φ ∂λ (x;λ)λ=0 Resolviendo la EDO    y′=y+λy = (1 + λ)y y(0) = −2 =⇒y′ y= (1 + λ) =⇒log(y) = (1 + λ)x+c y=e(1+λ)xc Como y(0) = −2 Se tiene que c=−2. Por tanto, y=−2e(1+λ)x Derivando respecto a λse obtiene: ∂φ ∂λ (x;λ) = −2xe(1+λ)x Finalmente, se tiene ∂φ ∂λ (x;λ)λ=0 =−2xex Utilizando el teorema de Derivabilidad Sea f(x, y, λ, µ) = y+λy y definimos el problema de Cauchy siguiente: (PC)   y′=f(x, y, λ) y(0) = −2 Tenemos que f∈ Cw, luego φ∈ Cw, en particular φ∈ C1. Entonces    ∂φ ∂x (x;λ) = φ(x;λ) + λφ(x;λ) φ(0; λ) = −2 Derivando respecto λe intercambiando el orden de derivaci´on se obtiene: ∂ ∂x∂φ ∂λ (x;λ)=∂φ ∂λ (x;λ) + λ∂φ ∂λ (x;λ) + φ(x;λ) TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 29 Tomando λ= 0 ∂ ∂x∂φ ∂λ (x;λ)λ=0=∂φ ∂λ (x;λ)λ=0 +φ(x; 0) Sea w(x) = ∂φ ∂λ (x;λ)λ=0 y sea el problema siguiente (W)   w′=w+φ(x; 0) w(0) = 0 Se tiene que w(0) = 0 ya que φ(0; λ) = −2. Luego, w(0) = ∂φ ∂λ (0; λ)λ=0 = 0 Veamos φ(x; 0) para ello sabemos que es la soluci´on del siguiente problema    y′=y y(0) = −2 =⇒y′ y= 1 =⇒φ(x; 0) = −2ex Volviendo a (W) y sustituyendo φ(x; 0) se tiene w′=w−2ex w′e−x−we−x=−2 (we−x)′=−2 we−x=−2x+c w=−2xex+cex Como w(0) = 0 se tiene que c= 0. Finalmente, se tiene ∂φ ∂λ (x;λ)λ=0 =−2xex En ambos casos se ha llegado a la misma soluci´on, esto ha sido posible gracias a que se pod´ıa resolver la EDO , sin embargo, estos son casos particulares pues en general la EDO no se puede resolver y s´olo se puede resolver utilizando el teorema como ser´a el caso de los siguientes ejemplos. 2. Sea f(x, y) = y3−exy2+exen R2 Se denota por φ=φ(x;x0, y0) a la soluci´on maximal del problema de Cauchy    y′=f(x, y) y(x0) = y0 expresada en funci´on de los datos iniciales. TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 30 Se pide calcular ∂φ ∂x0 ,∂2φ ∂x∂x0 ,∂2φ ∂x0∂x en todos los puntos (x; 0,1). Se tiene el siguiente problema de Cauchy:    y′=y3−exy2+ex y(x0) = y0 Adem´as, f(x, y) = y3−exy2+ex,∂f ∂y = 3y2−2yex,x0= 0 y y0= 1 Por el Teorema 3.1 de derivabilidad respecto de los datos iniciales . Sea w=∂φ ∂x0 entonces w(·,0,1) es la soluci´on del problema de Cauchy: (1)      w′=∂f ∂y (x, φ(x; 0,1)) w w(0) = −f(0,1) = −1 Calculamos φ(x; 0,1). Se tiene que g(x) = exsatisface g(0) = 1 g′(x) = ex=e3x−exe2x+ex Luego, φ(x; 0,1) = ex De esto, se tiene: (1)    w′=e2xw w(0) = −1 Resolviendo el sistema se obtiene la soluci´on siguiente: w′ w=e2x=⇒log |w|=1 2e2x+c=⇒w=Ce1 2e2x Como w(0) = −1 =⇒C=−e−1 2 Luego , ∂φ ∂x0 (x; 0,1) = −e−1 2e1 2e2x Veamos ahora ∂2φ ∂x∂x0 . Para ello, tenemos que ∂2φ ∂x∂x0 (x;x0, y0) = ∂ ∂xh∂φ ∂x0 (x;x0, y0)i=d dxh∂φ ∂x0 (x;x0, y0)i=∂ ∂xhw(x)i=fy(x, φ(x;x0, y0))w TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 31 Luego, en (x; 0,1) se tiene: ∂2φ ∂x∂x0 (x; 0,1) = fy(x, ex)∂φ ∂x0 (x; 0,1) = −e−1 2e1 2e2xe2x Por tanto, ∂2φ ∂x∂x0 (x; 0,1) = −e−1 2e1 2e2xe2x Veamos ahora ∂2φ ∂x0∂x. ∂2φ ∂x0∂x(x; 0,1) = ∂ ∂x0∂φ ∂x (x; 0,1) = ∂ ∂x0h∂φ ∂x (x;x0, y0)i(x;0,1) Tenemos que ∂φ ∂x (x;x0, y0) = f(x;φ(x;x0, y0)). Adem´as, φ∈C1yf∈C∞, luego ∂φ ∂x es de clase C1respecto de x0, y0, x (de clase 2). Por tanto, ∂ ∂x0∂φ ∂x (x;x0, y0) = fy(x;φ(x;x0, y0)) ∂φ ∂x0 (x;x0, y0). Finalmente, se tiene ∂2φ ∂x0∂x(x; 0,1) = fy(x;φ(x; 0,1)) ∂φ ∂x0 (x; 0,1) = (3φ(x; 0,1)2−2φ(x; 0,1)ex)(−e−1 2e1 2e2x) =−e2xe−1 2e1 2e2x Por tanto, ∂2φ ∂x0∂x(x; 0,1) = −e2xe−1 2e1 2e2x Este resultado era el esperado pues φ∈C∞respecto de las variables x, x0, y0. 3. Se considera el SDO siguiente    y′ 1=y3 2−1 y′ 2= 1 −y3 1 (3.1) Se denota por φ(x;x0, y0) a la soluci´on maximal de (3.1) expresada en funci´on de las condiciones iniciales. Se pide calcular ∂φ ∂x0 (x;x0, y0) y ∂φ ∂y0 (x;x0, y0) en x0= 0 , y0= 1 1! TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 32 Sea (3.1)   y′ 1=y3 2−1 y′ 2= 1 −y3 1 ⇐⇒ y′=f(x, y) = y3 2−1 1−y3 1! Es claro que f∈C1(R3;R2) entonces se tiene que φ∈C1(Θ; R2),∂φ ∂x (x;x0, y0) = f(x, φ(x;x0, y0)) ∀(x;x0, y0)∈Θ Sea ahora w=∂φ ∂x0 , donde w: (x;x0, y0)∈Θ−→ w(x;x0, y0)∈R2entonces para cada (x0, y0)∈R3,w(·;x0, y0) es la soluci´on maximal de        w′=∂f ∂y (x, φ(x;x0, y0))w= 2 X i=1 ∂f ∂yi (x, φ(x;x0, y0))wi w(x0) = −f(x0, y0) (3.2) Sea zj=∂φ ∂y0j (x;x0, y0) donde zj: (x;x0, y0)∈Θ−→ zj(x;x0, y0)∈R2, j = 1,2. Entonces, para cada (x0, y0)∈R3,zj(·;x0, y0) es la soluci´on maximal de (3)j       z′=∂f ∂y (x, φ(x;x0, y0))z= 2 X i=1 ∂f ∂yi (x, φ(x;x0, y0))zi z(x0) = ej En el caso que nos ocupa, ∂f ∂y =    ∂f1 ∂y1 ∂f1 ∂y2 ∂f2 ∂y1 ∂f2 ∂y2    = 0 3y2 2 −3y2 10  Es claro que φ(x; 0,1 1) = 1 1 Luego, ∂f ∂y (x;φ(x; 0,1 1)) = 0 3 −3 0! Sea w=∂φ ∂x0 ((x; 0,1 1)). Entonces, w es la soluci´on de (3.2) que en este caso viene dada por (2)                   w′ 1 w′ 2 = 0 3 −3 0  w1 w2 =A w1 w2  w(0) =  0 0  TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 33 Por tanto, w(x) = ∂φ ∂x0 =eAx 0 0!= 0 0! Para calcular ∂φ ∂y01 se resuelve el sistema (3)1                  z′= 0 3 −3 0 z z(0) =  1 0  Luego, z(x) = eAx 1 0!= cos(3x) sin(3x) −sin(3x) cos(3x)! 1 0!= cos(3x) −sin(3x)! Para calcular ∂φ ∂y02 se resuelve el sistema (3)2                  z′= 0 3 −3 0 z z(0) =  0 1  Luego, z(x) = eAx 0 1!= cos(3x) sin(3x) −sin(3x) cos(3x)! 0 1!= sin(3x) cos(3x)! Por tanto, ∂φ ∂y0 (x; 0,1 1) = cos(3x) sin(3x) −sin(3x) cos(3x)! 4. Para cada valor (λ, µ)∈R2se denota por φ(x;λ, µ) la soluci´on maximal de          y′ 1=y2+λ2y3 1+µx y′ 2=−y1+ 2y2 y1(0) = y2(0) = 0 (3.3) Se pide calcular ∂φ ∂µ(x;λ, µ) cuando λ= 0. TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 34 Empezaremos realizando el cambio de variables siguiente:                  z1=y1 z2=y2 z3=λ z4=µ Efectuando el cambio de variables en (3.3) se obtiene:                        z′ 1=z2+z2 3z3 1+z4x z′ 2=−z1+ 2z2 z′ 3= 0 z′ 4= 0 z1(0) = z2(0) = 0, z3(0) = λ, z4(0) = µ (3.4) Consideremos f(x, z1, z2, z3, z4) = f(x, z) =        z2+z2 3z3 1+z4x −z1+ 2z2 0 0        Es claro que f∈ Cω(R5;R4) , por tanto, la soluci´on maximal de (3.4) , eφser´a anal´ıtica de Θ en R4y adem´as, eφ= (φ(x;λ, µ), λ, µ). Luego, el problema queda reducido a calcular: w(x) = ∂eφ ∂z04 (x; 0, z0) z01 =z02 = 0 z03 = 0 z04 =µ Tenemos que w(·) es soluci´on del problema siguiente                      w′= 4 X i=1 ∂f ∂zi (x;eφ(x; 0,(0,0,0, µ)))wi w(0) =       0 0 0 1       (3.5) donde ∂f ∂zi =       3z2 1z2 31 2z3z3 1x −1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0        TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 35 y adem´as tenemos que eφ(x; 0,(0,0,0, µ)) = (φ(x; 0,(0, µ)),0, µ)=(φ(x; 0, µ),0, µ). Veamos φ(x; 0, µ).          y′ 1=y2+µx y′ 2=−y1+ 2y2 y1(0) = y2(0) = 0 =⇒y′′ 2=−y′ 1+ 2y′ 2=−y2+ 2y′ 2+µx (3.6) Luego, y′′ 2−2y′ 2+y2=µx Resolvemos utilizando el polinomio caracter´ıstico la ecuaci´on y′′ 2−2y′ 2+y2= 0 El polinomio caracter´ıstico es r2−2r+ 1 = (r−1)2= 0 cuya soluci´on es r= 1 doble, por tanto el espacio de las funciones viene dado por {ex, xex}. Y adem´as, una soluci´on particular es µx + 2µ. Luego, y2=c1ex+c2xex+µx + 2µ=⇒y′ 2=c1ex+c2(x+ 1)ex+µ Imponiendo y2(0) = 0, y′ 2(0) = 0 tenemos: 0 = c1+ 2µ−→ c1=−2µ 0 = c1+c2+µ−→ c2=−c1−µ= 2µ−µ=µ Por tanto, φ2(x; 0, µ) = −2µex+µxex+µx + 2µ Veamos ahora la soluci´on de y1. y′ 1=−2µex+µxex+µx + 2µ+µx =−2µex+µxex+ 2µx + 2µ y1(x) = −2µex+µ(x−1)ex+µx2+ 2µx +c 0 = −2µ−µ+c=⇒c= 3µ(y1(0) = 0) y1(x) = −2µex+µ(x−1)ex+µx2+ 2µx + 3µ En conclusi´on, φ(x; 0, µ)=(−2µex+µ(x−1)ex+µx2+2µx+3µ, −2µex+µxex+µx+2µ) Volviendo a (3.5) y siendo eφ(x; 0,(0,0,0, µ)) = (eφ1,eφ2,eφ3,eφ4)                        w′ 1= 3eφ2 1eφ2 3w1+w2+ 2eφ3eφ3 1w3+xw4 w′ 2=−w1+ 2w2 w′ 3= 0 w′ 4= 0 w(0) = e4 TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 36 donde e4=    0 0 0 1     Resolviendo, se obtiene w3= 0, w4= 1    w′ 1= 3eφ2 1eφ2 3w1+w2+x w′ 2=−w1+ 2w2 =⇒ Como eφ3=0          w′ 1=w2+x w′ 2=−w1+ 2w2 w1(0) = w2(0) = 0 Este ´ultimo se resuelve de manera similar a (3.6) tomando µ= 1. Por tanto, w1(x) = −2ex+ (x−1)ex+x2+ 2x+ 3 w2(x) = −2ex+xex+x+ 2 Finalmente, se obtiene que ∂φ ∂µ(x;λ, µ)λ=0 = ((x−3)ex+x2+ 2x+ 3,(x−2)ex+x+ 2) 5. Sean (λ, µ)∈R2, se denota por φ(x;λ, µ) la soluci´on maximal de    y′=y+ (1 −λ)y2+µey y(0) = −2 Se pide hallar ∂φ ∂λ (x;λ, µ)λ=µ=0 e indicar el intervalo de valores para los que existe dicha derivada. Sea f(x, y, λ, µ) = y+ (1 −λ)y2+µeyy definimos el problema de Cauchy siguiente: (PC)   y′=f(x, y, λ, µ) y(0) = −2 Tenemos que f∈ Cw, luego φ∈ Cw, en particular φ∈ C1. Entonces como    ∂φ ∂x (x;λ, µ) = φ(x;λ, µ) + (1 −λ)φ(x;λ, µ)2+µeφ(x;λ,µ) φ(0; λ, µ) = −2 Derivando respecto λe intercambiando el orden de derivaci´on se obtiene: ∂ ∂x∂φ ∂λ (x;λ, µ)=∂φ ∂λ (x;λ, µ) + 2(1 −λ)φ(x;λ, µ)∂φ ∂λ (x;λ, µ)−φ(x;λ, µ)2 +µeφ(x;λ,µ)∂φ ∂x (x;λ, µ) TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 3. Derivabilidad respecto de los datos iniciales 37 Tomando λ=µ= 0 ∂ ∂x∂φ ∂λ (x;λ, µ)λ=µ=0=∂φ ∂λ (x;λ, µ)λ=µ=0 + 2φ(x; 0,0)∂φ ∂λ (x;λ, µ)λ=µ=0 −φ(x; 0,0)2 Sea w(x) = ∂φ ∂λ (x;λ, µ)λ=µ=0 y sea el problema siguiente (W)   w′=w+ 2φ(x; 0,0)w−φ(x; 0,0)2 w(0) = 0 Se tiene que w(0) = 0 ya que φ(0; λ, µ) = −2. Luego, w(0) = ∂φ ∂λ (0; λ, µ)λ=µ=0 = 0 Veamos φ(x; 0,0) para ello sabemos que es la soluci´on del siguiente problema    y′=y+y2 y(0) = −2 =⇒y′ y+y2= 1 =⇒φ(x; 0,0) = 2ex 1−2ex Volviendo a (W) y sustituyendo φ(x; 0,0) se tiene w′=1 + 4ex 1−2exw−4e2x (1 −2ex)2 w′ H=1+2ex 1−2exwH=⇒w′ H wH =1+2ex 1−2ex=⇒wH=Cex (1 −2ex)2 Resolviendo por variaci´on de constantes C′ex (1 −2ex)2=−4e2x (1 −2ex)2=⇒C′=−4ex=⇒C=−4ex Finalmente, se tiene w(x) = Cex (1 −2ex)2−4e2x (1 −2ex)2 Como w(0) = 0 se tiene 0 = c 1−4 1=⇒c= 4 Luego, w(x) = ∂φ ∂λ (x;λ, µ)λ=µ=0 =4ex(1 −ex) (1 −2ex)2 Falta ver el dominio de definici´on, para ello se debe excluir donde el denominador se anula por ello, 1 −2ex= 0, es decir, x= log(2) pero como west´a definido en un intervalo, w tiene sentido para x∈(−∞,−log(2)) o para x∈(−log(2),∞). Como 0 ∈(−log(2),∞). Por tanto, se tiene que ∂φ ∂λ (x;λ, µ)λ=µ=0 est´a definido para x∈(−log(2),∞). TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 4. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y quasi-lineales de primer orden 44 y la funci´on (y, v):(t, t1, . . . , tN−1)∈e Θ−→ (y(t, t1, . . . , tN−1), v(t1, . . . , tN−1)) = = (y(t; 0,(ξ(t1, . . . , tN−1), u0(t1, . . . , tN−1))), v(t; 0,(ξ(t1, . . . , tN−1), u0(t1, . . . , tN−1)))) ∈RN+1 es continuamente diferenciable. Adem´as, y(0; t1, . . . , tN−1) = y(0; 0,(ξ(t1, . . . , tN−1), u0(t1, . . . , tN−1))) = ξ(t1, . . . , tN−1),∀(t1, . . . , tN−1)∈ϑ y en particular y(0; 0,...,0) = ξ(0) = amientras que ∂yi ∂tj (0; 0,...,0) = ∂ξi ∂tj (0) ,∀i: 1 ≤i≤N , ∀j: 1 ≤i≤N−1 En consecuencia, sea b= (0; 0,...,0) se tiene: 0=det       ∂y1 ∂t1 (b)· · · ∂y1 ∂tN−1 (b)∂y1 ∂t (b) . . .. . .. . . ∂yN ∂t1 (b)· · · ∂yN ∂tN−1 (b)∂yN ∂t (b)      =det       ∂ξ1 ∂t1 (0) · · · ∂ξ1 ∂tN−1 (0) f1(a) . . .. . .. . . ∂ξN ∂t1 (0) · · · ∂ξN ∂tN−1 (0) fN(a)       Por el teorema de funci´on inversa, la funci´on (t;t1, . . . , tN−1)∈e Θ−→ y(t;t1, . . . , tN−1)∈RN es invertible con inversa continuamente diferenciable en un entorno de (0; 0,...,0), es decir, existe ∆ ⊂Dentorno de y(0; 0,...,0) = ξ(0) = ay una funci´on continuamente diferenciable ψ:x∈∆−→ ψ(x)=(ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) ∈e Θ de tal forma que y(ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) = x , ∀x∈∆ Consideremos la funci´on u:x∈∆⊂D−→ u(x) = v(ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) ∈R Se trata de una funci´on continuamente diferenciable. Adem´as, si x∈∆, (x, u(x)) = (y(ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)), v(ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x))) = (y(t;t1, . . . , tN−1), v(t;t1, . . . , tN−1)) para alg´un (t;t1, . . . , tN−1)∈e Θ de donde (x, u(x)) ∈U. TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 4. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y quasi-lineales de primer orden 45 Obs´ervese que, para cada x∈∆ Id =      ∂y1 ∂t1 · · · ∂y1 ∂tN−1 ∂y1 ∂t . . .. . .. . . ∂yN ∂t1 · · · ∂yN ∂tN−1 ∂yN ∂t      (ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) ·           ∂ψ1 ∂x1 · · · ∂ψ1 ∂xN−1 ∂ψ1 ∂xN . . .. . .. . . ∂ψN−1 ∂x1 · · · ∂ψN−1 ∂xN−1 ∂ψN−1 ∂xN ∂ψ ∂x1 · · · ∂ψ ∂xN−1 ∂ψ ∂xN           (x) =      ∂ψ1 ∂x1 · · · ∂ψ1 ∂xN−1 ∂ψ1 ∂xN . . .. . .. . . ∂ψ ∂x1 · · · ∂ψ ∂xN−1 ∂ψ ∂xN      (x)·      ∂y1 ∂t1 · · · ∂y1 ∂tN−1 ∂y1 ∂t . . .. . .. . . ∂yN ∂t1 · · · ∂yN ∂tN−1 ∂yN ∂t      (ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) Por tanto, si x∈∆, N X i=1 fi(x)∂u ∂xi (x) = N X i=1 fi(x)∂v ∂t (ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) ·∂ψ ∂xi (x) + N−1 X j=1 ∂v ∂tj (ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) ·∂ψj ∂xi (x) =N X i=1 ∂yi ∂t (ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) ·∂ψ ∂xi (x)·∂v ∂t (ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) + N−1 X j=1 N X i=1 ∂yi ∂t (ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) ·∂ψj ∂xi (x)·∂v ∂tj (ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) =∂v ∂t (ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) =gy(ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)), v(ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) =g(x, u(x)) Esto prueba que u: ∆ −→ Res soluci´on de (4.1). Adem´as, si (t1, . . . , tN−1)∈ϑyξ(t1, . . . , tN−1)∈∆ se tiene para x=ξ(t1, . . . , tN−1) = y(0; t1, . . . , tN−1) que ψ(x)=(ψ(x); ψ1(x), . . . , ψN−1(x)) = (0; t1, . . . , tN−1) Luego, u(ξ(t1, . . . , tN−1)) = u(x) = v(0; t1, . . . , tN−1) = u0(t1, . . . , tN−1). Por tanto, queda probada la existencia de soluci´on (local) del problema de Cauchy asociado a (4.1) y a (4.3). Veamos que esta soluci´on es ´unica. TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 4. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y quasi-lineales de primer orden 46 Supongamos que existe eu: ∆ −→ Rsoluci´on de (4.1) que adem´as verifica (4.3) y sea evla funci´on definida por ev: (t;t1, . . . , tN−1)∈y−1(∆) | {z } abierto ⊂RN−→ ev(t;t1, . . . , tN−1) = eu(y(t;t1, . . . , tN−1)) ∈R La funci´on eves continuamente diferenciable y verifica: ∂ev ∂t (t;t1, . . . , tN−1) = N X i=1 ∂eu ∂xi (y(t;t1, . . . , tN−1)) ·fi(y(t;t1, . . . , tN−1)) = =gy(t;t1, . . . , tN−1),eu(y(t;t1, . . . , tN−1)),∀(t;t1, . . . , tN−1)∈y−1(∆) ev(0; t1, . . . , tN−1) = eu(ξ(t1, . . . , tN−1)) = u0(t1, . . . , tN−1),∀(t1, . . . , tN−1)∈ϑtal que y(0; t1, . . . , tN−1) = ξ(t1, . . . , tN−1)∈∆ Por tanto, ev(t;t1, . . . , tN−1) = v(t; 0,(ξ(t1, . . . , tN−1), u0(t1, . . . , tN−1))) = v(t;t1, . . . , tN−1),∀(t, t1, . . . , tN−1)∈y−1(∆) Dicho de otra manera, para x∈∆, eu(x) = eu(y(t;t1, . . . , tN−1)) = ev(t;t1, . . . , tN−1) = v(t;t1, . . . , tN−1) = u(x),((t;t1, . . . , tN−1)∈y−1(∆)) ■ Notas: Las soluciones del SDO dy dt=f(y) que pasan por puntos de S, es decir, definidas por soluci´on del problema de Cauchy    dy dt=f(y) y(0) = ξ(t1, . . . , tN−1) se llaman caracter´ısticas de (4.1) y (4.3). Como el vector tangente a la caracter´ıstica que pasa por aes f(a), que no est´a contenido en el hiperplano tangente a Sen aresulta que (en un entorno de a) , las caracter´ısticas de (4.1) y (4.3) cortan transversalmente a S. TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 4. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y quasi-lineales de primer orden 47 En la demostraci´on precedente se ha llevado a cabo: i. Un cambio de coordenadas (de (x1, . . . , xN) coordenadas cartesianas que definen puntos en un entorno de a,a(t;t1, . . . , tN−1) = ψ(x), coordenadas curvil´ıneas que definen ahora los puntos de un entorno de (0; 0,...,0) = ψ(a); tes la coordenada que describe el movimiento a lo largo de una caracter´ıstica y (t1, . . . , tN−1) son las coordenadas que describen el movimiento sobre S). ii. La resoluci´on del problema de Cauchy    dv dt=g(y(t;t1, . . . , tN−1), v) v(0) = u0(t1, . . . , tN−1) tras el cambio de coordenadas anterior. La condici´on que se impuso sobre Sen aes esencial (para que pueda realizarse el cambio de coordenadas). Si no se verifica, el problema de Cauchy (4.1,4.3) no posee soluci´on en general. En el ejemplo siguiente se muestra un problema que no tiene soluci´on. Ejemplo: Se considera la EDP de primer orden lineal ∂u ∂x1 +∂u ∂x2 = 0. Sea ∆ abierto entonces si u: ∆ −→ Res una soluci´on y se tiene: e ∆ = n(t, s)|(t, s)∈R2,1 2(t+s),1 2(t−s)∈∆o eu(t, s) = u1 2(t+s),1 2(t−s),∀(t, s)∈e ∆ Las relaciones x1=1 2(t+s) y x2=1 2(t−s) definen un cambio de variables pues e ∆⊂R2es abierto y eu:e ∆−→ Res continuamente diferenciable y verifican: ∂eu ∂t =1 2 ∂u ∂x11 2(t+s),1 2(t−s)+1 2 ∂u ∂x21 2(t+s),1 2(t−s)= 0 ,∀(t, s)∈e ∆ Luego, existe una funci´on φtal que eu(t, s) = φ(s)∀(t, s)∈e ∆ o bien u(x1, x2)≡eu(x1+x2, x1−x2) = φ(x1−x2),∀(x1, x2)∈∆ Sea ahora a= (a1, a2)∈∆ y tomamos ξ1(t1) = a1+t1, ξ2(t1) = a2+t1para t1en un entorno ϑde O Las relaciones x1=ξ1(t1), x2=ξ2(t1), t1∈ϑdefinen una curva S(hipersuperficie de R2) que pasa por acuyo vector tangente en aes (1,1). TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 4. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y quasi-lineales de primer orden 48 Si u: ∆ −→ Res una soluci´on de la EDP, entonces para t1∈ϑtal que (ξ1(t1), ξ2(t1)) ∈∆, se debe tener u(ξ1(t1), ξ2(t1)) = φ(ξ1(t1)−ξ2(t1)) = φ(a1−a2) Por tanto, el problema de Cauchy      ∂u ∂x1 +∂u ∂x2 = 0 uS=x1 (es decir, u(ξ1(t1), ξ2(t1)) = a1+t1para t1en un entorno de O) no posee soluci´on. 4.2. Ecuaciones en derivadas parciales quasi-lineales de primer orden Definici´on 4.2 Sea U⊂RN+1 un abierto y sean f1, . . . , fN, g :U⊂RN+1 −→ Rcontinuamente diferenciables. Se llama EDP de primer orden quasi-lineal a la expresi´on N X i=1 fi(x, u)∂u ∂xi =g(x, u) (4.8) Dados un abierto ∆ ⊂RNy una funci´on u: ∆ ⊂RN−→ R, se dice que ues soluci´on en ∆ de (4.8) si: A. u: ∆ ⊂RNes continuamente diferenciable. B. (x, u(x)) ∈U , ∀x∈∆ C. N P i=1 fi(x, u(x)) ∂u ∂xi (x) = g(x, u(x)) ,∀x∈∆ Sean de nuevo ϑ⊂RN−1un entorno de Oy ξ: (t1, . . . , tN−1)∈ϑ−→ ξ(t1, . . . , tN−1)∈RN una funci´on continuamente diferenciable. Sean a=ξ(0,...,0) y u0:ϑ−→ Runa funci´on continuamente diferenciable. Supongamos que (ξ(t1, . . . , tN−1), u0(t1, . . . , tN−1)) ∈U , ∀(t1, . . . , tN−1)∈ϑ (en particular, (a, u0(0,...,0)) ∈Uy que det       ∂ξ1 ∂t1 (0) · · · ∂ξ1 ∂tN−1 (0) f1(a, u0(0)) . . .. . .. . . ∂ξN ∂t1 (0) · · · ∂ξN ∂tN−1 (0) fN(a, u0(0))      = 0 Por un m´etodo totalmente an´alogo al de una EDP lineal de primer orden se prueba el siguiente resultado: TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 4. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y quasi-lineales de primer orden 49 Teorema 4.3 Existe un entorno ∆de atal que existe una ´unica soluci´on u: ∆ ⊂RN−→ R de (4.8) que adem´as verifica (4.3). Por analog´ıa, con el problema (4.1,4.3) al SDO (de dimensi´on N+ 1) dy dt=f(y, v),dv dt=g(y, v) donde f(y, v)≡(f1(y, v), . . . , fN(y, v)), se le vuelve a llamar sistema caracter´ıstico. Sea de nuevo e Θ = {(t;t1, . . . , tN−1)|(t;t1, . . . , tN−1)∈RN,(t1, . . . , tN−1)∈ϑ , (t, 0,(ξ(t1, . . . , tN−1), u0(t1, . . . , tN−1))) ∈Θ} con la notaci´on habitual y sean y(t;t1, . . . , tN−1) = y(t; 0,(ξ(t1, . . . , tN−1), u0(t;t1, . . . , tN−1))) ,∀(t;t1, . . . , tN−1)∈e Θ v(t;t1, . . . , tN−1) = v(t; 0,(ξ(t1, . . . , tN−1), u0(t;t1, . . . , tN−1))) ,∀(t;t1, . . . , tN−1)∈e Θ Para cada (t1, . . . , tN−1)∈ϑ, la curva definida por y(·;t1, . . . , tN−1) : I(t1, . . . , tN−1)−→ RN se llama caracter´ıstica de (4.8,4.3). 4.3. Ejemplos En esta secci´on se ver´an algunos ejemplos de resoluci´on de problemas de Cauchy mediante el m´etodo de las caracter´ıaticas: 1. Sea el problema de Cauchy    uy+cux= 0 con c= constante u(x, 0) = h(x) Se resuleve en un entorno de (0,0) La hipersuperficie inicial Sviene parametrizada en un entorno de (0,0) por S:ξ(t1) = (t1,0) (ξ(0) = 0) La funci´on u0:t1∈ϑ−→ u0(t1) = u(ξ(t1)) = h(t1) TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 4. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y quasi-lineales de primer orden 50 La condici´on de transversalidad se cumple pues det 1c 0 1!= 1 = 0 (∀c) Adem´as, ξyu0son de clase C1(ϑ). Entonces, existe una ´unica soluci´on local del problema. Para hallarla, veamos el sistema caracter´ıstico que viene dado por:          y′ 1=c y′ 2= 1 v′= 0 con condiciones iniciales          y1(0; t1) = t1 y2(0; t1) = 0 v(0; t1) = h(t1) Resolviendo los sistemas se obtiene: y1(t;t1) = t1+ct y2(t;t1) = t v(t;t1) = h(t1) La soluci´on viene dada por la eliminaci´on de tyt1en x1=t1+ct x2=t u=h(t1) Luego, u(x1, x2) = h(t1) = h(x1−ct) = h(x1−cx2) 2. Se considera un problema de Cauchy para una ecuaci´on quasi-lineal.    uy+uux= 0 u(x, 0) = h(x) Las funciones ξyu0son como en el ejemplo 1. Adem´as, la condici´on de transversalidad se cumple pues det 1u 0 1!= 1 = 0 Luego, existe una ´unica soluci´on local del problema:          y′ 1=v y′ 2= 1 v′= 0 con condiciones iniciales          y1(0; t1) = t1 y2(0; t1)=0 v(0; t1) = h(t1) TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 4. Ecuaciones en derivadas parciales lineales y quasi-lineales de primer orden 51 Resolviendo se obtiene, y1(t;t1) = t1+h(t1)t y2(t;t1) = t v(t;t1) = h(t1) La soluci´on viene dada por las relaciones x1=t1+h(t1)t x2=t u=h(t1) Eliminando t1ytse obtiene la soluci´on: u(x1, x2) = h(t1) = h(x1−ux2) Luego, u queda definida de modo impl´ıcito por la ecuaci´on: u−h(x1−ux2)=0 TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 5 Problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales En esta secci´on se pretende ampliar el m´etodo de las caracter´ısticas a las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales. 5.1. Planteamiento del problema de Cauchy Definici´on 5.1 Sea U⊂RN×R×RNun abierto y F:U−→ Runa funci´on continua. Se llama EDP de primer orden a la expresi´on: Fx1, . . . , xN, u, ∂u ∂x1 ,..., ∂u ∂xN=0=F(x, u, ∇u) (5.1) Definici´on 5.2 Dados un abierto ∆ ⊂RNy una funci´on u: ∆ ⊂RN−→ R, se dice que ues soluci´on en ∆ de (5.1) si 1. u: ∆ −→ Res continuamente diferenciable. 2. (x, u(x),∇u(x)) ∈U , ∀x∈∆ 3. F(x, u(x),∇u(x)) = 0 ,∀x∈∆ Como en el caso lineal y en el caso quasi-lineal, se busca soluci´on de (5.1) que verifiquen adem´as, una condici´on suplementaria (de valores iniciales). Sean entonces, ϑ⊂RN−1un abierto con O∈ϑyξ:ϑ−→ RNdos veces continuamente diferenciable. 52 Cap´ıtulo 5. Problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales 53 Supongamos que se tiene rango       ∂ξ1 ∂t1 · · · ∂ξ1 ∂tN−1 . . .. . . ∂ξN ∂t1 · · · ∂ξN ∂tN−1      t1=. . . =tN−1= 0 =N−1 Consideremos la hipersuperficie Sdefinida por: S:xi=ξi(t1, . . . , tN−1),1≤i≤N , (t1, . . . , tN−1)∈ϑ Sea, tambi´en, u0:ϑ−→ Runa funci´on dos veces continuamente diferenciable. Se buscar´a una soluci´on u: ∆ −→ Rde (5.1) tal que u(ξ(t1, . . . , tN−1)) = u0(t1, . . . , tN−1),∀(t1, . . . , tN−1)∈ϑtal que ξ(t1, . . . , tN−1)∈∆ (5.2) Para ello, extenderemos el m´etodo de las caracter´ısticas. Se observa que si (5.1) es lineal entonces, Fes de la forma F(x, u, p) = N X i=1 fi(x)pi−g(x, u)≡ N X i=1 ∂F ∂pi (x, u, p)pi−g(x, u) (5.3) Supongamos g≡0 y Fcomo en (5.3), entonces el m´etodo de las caracter´ısticas consiste en resolver el SDO dy dt=f(y)≡Fp(y) (5.4) junto con la condici´on de Cauchy y(0) = ξ(t1, . . . , tN−1) obteni´endose la funci´on y: (t;t1, . . . , tN−1)∈Θ−→ y(t;t1, . . . , tN−1)∈R que es continuamente diferenciable si se verifica la condici´on det       ∂ξ1 ∂t1 (0) · · · ∂ξ1 ∂tN−1 (0) f1(a) . . .. . .. . . ∂ξN ∂t1 (0) · · · ∂ξN ∂tN−1 (0) fN(a)      = 0 La funci´on yes invertible en un entorno de (0; 0,...,0), de inversa ψ: ∆ −→ Θ continuamente diferenciable. Entonces, la soluci´on viene dada por u(x) = v(ψ(x)) ,∀x∈∆ donde TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 5. Problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales 60 o bien de la siguiente forma            ∂v ∂t ∂v ∂t1 . . . ∂v ∂tN−1            =            ∂y1 ∂t ∂y2 ∂t · · · ∂yN ∂t ∂y1 ∂t1 ∂y2 ∂t1 · · · ∂yN ∂t1 . . .. . .. . . ∂y1 ∂tN−1 ∂y2 ∂tN−1 · · · ∂yN ∂tN−1                   p1 p2 . . . pN        En este sistema, la primera igualdad es cierta pues: ∂v ∂t =p Fp(y, v, p) = p∂y ∂t = N X i=1 pi ∂yi ∂t Por otro lado, si 1 ≤j≤N−1 λj(t;t1, . . . , tN−1) = ∂v ∂tj (t;t1, . . . , tN−1)− N X i=1 ∂yi ∂tj (t;t1, . . . , tN−1)pi(t;t1, . . . , tN−1) para (t;t1, . . . , tN−1) en un entorno de (0; 0,...,0) se tiene: a. λj(0; t1, . . . , tN−1) = ∂u0 ∂tj (t1, . . . , tN−1)− N X i=1 p0(t1, . . . , tN−1)∂ξi ∂tj (t1, . . . , tN−1)=0 para (t1, . . . , tN−1) en un entorno de (0,...,0) b. λj(·;t1, . . . , tN−1) es continuamente diferenciable y ∂λj ∂t (t;t1, . . . , tN−1) = ∂ ∂tj∂v ∂t (t;t1, . . . , tN−1)− N X i=1 h∂ ∂tj∂yi ∂t (t;t1, . . . , tN−1)pi(t;t1, . . . , tN−1) +∂yi ∂tj (t;t1, . . . , tN−1)∂pi ∂t (t;t1, . . . , tN−1)i =∂ ∂tjN X i=1 ∂F ∂pi (y, v, p)pi− N X i=1 ∂ ∂tj∂F ∂pi (y, v, p)pi + N X i=1 ∂yi ∂tj∂F ∂xi (y, v, p) + ∂F ∂u (y, u, p)pi =−∂F ∂u (y, v, p)∂v ∂tj − N X i=1 ∂yi ∂tj pi +h∂F ∂u (y, v, p)∂v ∂tj + N X i=1 ∂F ∂pi ∂pi ∂tj +∂F ∂xi ∂yi ∂tji =−∂F ∂u (y, v, p) | {z } =0 λj+∂F ∂tj (y, v, p) | {z } =0 = 0 TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 5. Problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales 61 En efecto, en un entorno de (0; 0,...,0) F(y(t;t1, . . . , tN−1), v(t;t1, . . . , tN−1), p(t;t1, . . . , tN−1)) = F(ξ(t1, . . . , tN−1), u0(t1, . . . , tN−1), p0(t1, . . . , tN−1)) = 0 Luego, λjno depende de ty por a) se sigue el resultado. 5.3. Ejemplo Se considera el problema de Cauchy ∂u ∂x1 ∂u ∂x2 −∂u ∂x12=u uS=x1+x2 1−x2 2en un entorno de (2,−2) siendo S={x∈R2|x1+x2= 0} Vamos a probar que el problema posee soluci´on ´unica en un entorno de (2,−2) y vamos a encontrarla. Teniendo en cuenta S, podemos simplificar uSauS=x1. Parametrizaci´on de S S:   x1=ξ1(t1) = 2 + t1 x2=ξ2(t1) = −2−t1 ξ(0) = (ξ1(0), ξ2(0)) = (2,−2) = a u0(t1) = u(ξ(t1)) = ξ1(t1) = 2 + t1 F(x, u, p) = p1p2−p2 1−u Fp= p2−2p1 p1! F(a, u0(a), pa)=0⇐⇒ pa1pa2−p2 a1−2=0 Tambi´en ha de tenerse ∂u0 ∂t1 (0) = pa1 ∂ξ1 ∂t1 (0) + pa2 ∂ξ2 ∂t1 (0) =⇒pa1−pa2= 1 Luego, se tiene pa1pa2−p2 a1−2=0 pa1−pa2= 1 )=⇒(1 + pa2)pa2−(1 + pa2)2−2=0 pa1= 1 + pa2)=⇒ TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 5. Problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales 62 =⇒pa2−2pa2−3=0 pa1= 1 + pa2)=⇒pa2=−3 pa1=−2 Por ´ultimo, ha de tenerse 0=det       ∂F ∂p1 (a, u0(a), pa)∂ξ1 ∂t1 (0) ∂F ∂p2 (a, u0(a), pa)∂ξ2 ∂t1 (0)      =det 1 1 −2−1!= 1 Como F, u0, ξ son dos veces continuamente diferenciables entonces existe una ´unica soluci´on local. Para hallarla por el m´etodo de las caracter´ısticas necesitamos encontrar una funci´on p0(t1) que satisfaga: F(ξ(t1), u0(t1), p0(t1)) = 0 p01(t1)∂ξ1 ∂t1 +p02(t1)∂ξ2 ∂t1 (t1) = ∂u0 ∂t1 (t1)          eliminando el 0 de p0i p1p2−p2 1−t1−2=0 p1−p2= 1 )=⇒(1 + p2)p2−(1 + p2)2−t1= 2 p1= 1 + p2)=⇒ =⇒−1−p2−t1= 2 p1= 1 + p2)=⇒p1(t1) = −2−t1 p2(t1) = −3−t1 Se resuelve el sistema caracter´ıstico : dy dt=Fp,dv dt=p Fp,dp dt=−Fx−p Fu                        y′ 1=p2−2p1 y′ 2=p1 v′= 2p1p2−2p2 1 p′ 1=p1 p′ 2=p2 con condiciones iniciales                        y1(0; t1) = ξ1(t1) = 2 + t1 y2(0; t1) = ξ2(t1) = −2−t1 v(0; t1) = u0(t1) = 2 + t1 p1(0; t1) = −2−t1 p2(0; t1) = −3−t1 De las dos ´ultimas ecuaciones se obtiene: p1(t;t1)=(−2−t1)et, p2(t;t1)=(−3−t1)et v′= (2t1+ 4) e2t−→ v(t;t1)=(t1+ 2) e2t y′ 2= (−2−t1)et−→ y2(t;t1)=(−2−t1)et TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Cap´ıtulo 5. Problema de Cauchy para ecuaciones en derivadas parciales de primer orden no lineales 63 y′ 1= (1 + t1)et−→ y1(t;t1) = (1 + t1)et+ 1 Luego, la soluci´on viene dada por: x1= (1 + t1)et+ 1 x2= (−2−t1)et u= (2 + t1)e2t Eliminando tyt1se obtiene x1+x2=−et+ 1 −→ et= 1 −x1−x2 1 + t1=x1−1 et=x1−1 1−x1−x2 2 + t1= 1 + x1−1 1−x1−x2 =−x2 1−x1−x2 Luego, u(x1, x2) = −x2 1−x1−x2 (1 −x1−x2)2=−x2(1 −x1−x2) TFG Blanca Mart´ınez Canto. Grado en Matem´aticas Bibliograf´ıa [1] Philip Hartman, Ordinary Differential Equations. John Wiley and Sons,Inc.,New York- London-Sidney, 1964. [2] Departamento de Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico,Universidad de Sevilla, Apuntes de Ampliaci´on de Ecuaciones Diferenciales. 64