Aplicación del M.E.C. en elasticidad tridimensional al análisis de vigas que flectan por contacto en retroceso sin fricción

Anales de Ingeniería Mecánica Afio 7 ,Vol. 3 , pp. 239-244 VIII CONGRESO NACIONAL DE INGENIERíA MECÁNICA Barcelona, diciembre de 1989 APLICACION DEL M.E.C. EN ELASTICIDAD TRIDIMENSIONAL AL ANALISIS DE VIGAS QUE FLECTAN POR CONTACTO EN RETROCESO SIN FRICCION FOCES, A. (Al; GARRIDO, J. A. C*l; PARIS, F. '*~l C*l = E.T.S.I.I. de Valladolid ( Paseo del Cauce s/n; 47011-Valladolid C* *l = E.T.S.I.I. de Sevilla ( Avda. Reina Mercedes s/n; 41012-Sevilla ) RESUMEN.- Cuando sólidos asimilables a vigas que descansan sobre una cimentación son sometidos a cargas de compresión, éstos se separan en zonas alejadas de la carga (contacto en retroceso ).En este trabajo se presentan resultados obtenidos al aplicar el Método de los Elementos de Contorno en Elasticidad 3D a este tipo de problemas. En el sentido del eje ce la viga los resultados que se obtienen están en concordancia con los de un análisis 2D. Sin embargo, en el sentido transversal aparece la tipica evolución tensional asociada a un caso de contacto conforme, por lo que las tensiones de contacto máximas no quedarian recogidas en un análisis 2D. Los resultados que se presentan son de aplicación entre cualesquiera rigideces relativas de la viga y la cimentación, y se ciñen al caso de que no exista fricción entre ambos sólidos. SUMMARY.- When beams lying on a foundation are compressed, a gap between the b ea m and the foundation appears at a certain distance of the zone where the load is applied ( receding contact ) . Resul ts obtained applying Boundary Element Method in Elasticity 3D to this kind of problem are presented in this paper. Along the direction of the axis of the beam the results obtained with the 3D analysis are very similar to those obtained using a 2D analysis. However, a typi cal contact pressure evolution associated to a conforming case appears along any transversal direction, the maximum contact pressure not being recovered, therefore, in a two dimensional analysis. The results presented assume no friction along the contact surface, covering any relation between the compliances of the beam and the foundation. 1.- INTRODUCCION Es habitual clasificar los problemas de mecánica de sólidos en contacto en función de la evolución del tamaño de la zona inicial de contacto ( configuración indeformada ) al aplicar las cargas [Gladwell,l980] [Johnson,l985]. Asi, se dice que el contacto es con avance, estacionario o en retroceso según aumente, no varie o disminuya el tamaño de dicha zona cuando se deforma la estructura. No son muchas las publicaciones que hacen referencia a problemas de contacto en retroceso. Una relación exhaustiva de las investigaciones clásicas más relevantes en este campo pueden encontrarse en [Gladwell,l980]. Entre los trabajos más conocidos caben citar los artíc ulos de Keer, Dundurs y Tsai [Keer, 1972] [Tsai ,1974] sobre el análisis tensional de problemas planos Y axisimétricos de contacto entre elementos de longitud infinita, en los que el retroceso se Presenta súbitamente al aplicar la carga. En trabajos más recientes, basa d os en planteamientos integrales del probl ema, se p res entan r~sultados de casos de contacto en ret~oceso entre sólidos de dimensiones finitas. A si, 239 Mahmoud, Salamon y Marks , haciendo uso del Mé - todo de los Elementos Finitos en Elasticidad Bidimensional, deducen el valor final del tamaño de la zona de contacto de una viga que retrocede al ser comprimida sobre una cimentación elástica, considerando una estrategia de contacto en avance ficticio hasta llegar a una solución exenta de incompatibilidades cinemáticas ( sin interpenetraciones entre los dos dominios ) [Mahmoud,1982]. Anderson utiliza el Método de los El eme ntos de Contorno en Elasticidad Bidimensional para resolver problemas de conexiones mecánicas en los que el retroceso no se produce súbitamente, sino que ocurre a partir de una situación en la que la zona de contacto ha sido previamente comprimida por la ac ción de otras ~argas [Anderson,1981]. Desde el punto de vista de la sistematiza~ión del análisis, este tipo de situaciones resultan menos complejas de resolver que la anterior, pues admit en un tratamiento en el que el retroceso se detecta por incrementos asociados a la descarga de un par de nodos en contacto. Más re cientemente, Paris y Garrido abordan a lgunos probl e mas particulares de contacto plano entre más de dos sólidos en los que aparecen fenómenos de retror. e so súbito [Paris,l988b], y luego describen un procedimiento sistemático para la resolución de problemas planos de contacto en retroceso ( s6bito o progresivo 1 con fricción [Garrido,1989a] , utilizando elementos de contorno lineales discontinuos [París, 1985]. En casos de retroceso súbito, la estrategia se basa en el chequeo simultáneo de las condiciones cinemáticas en la zona de retroceso ( ausencia de interpenetraciones ) y de las estáticas en la zona de contacto (ausencia de tracciones ), mientras que en contacto con retroceso progresivo se sigue la técnica descrita por Anderson [Anderson,1981]. El presente trabajo tiene como objetivo aplicar el procedimiento antes mencionado al análisis de problemas tridimensionales de contacto en retroceso s6bito y sin fricción, representando la continuación natural de los estudios realizados por Garrido, roces y Paris [Garrido,1989a] sobre la aplicación del M.E.C: a problemas tridimensionales de contacto estaclonario sin fricción. 2.- PLANTEAMIENTO INTEGRAL DEL PROBLEMA DE CONTACTO EN RETROCESO Como es sabido, el planteamiento integral del problema elistico a partir de los Teoremas de Reciprocidad conduce a la conocida Identidad de Somigliana para desplazamientos. En ausencia de fuerzas de volumen esta ecuación integral, escrita para un punto genérico ( x 1 del contorno ( ao l del dominio elástico (D) en estudio, es de la forma : C __ (x)u_(x) + J T . . lx,y)u . (y)ds(y) 'J J 1 J J ao J U.(x,y)t _ (y)ds(y) 0 'J J aD (2.1) i,j = X,Y,Z ; x,y E OD u. (y) y t _(y) representan, respectivamente, J . J a las componentes del desplazamiento y de la tensión en puntos (y) de ao, expresadas en el sistema global de coordenadas ( X, Y, Z ) • Los tensores T .. (x,y) y U . (x,y) representan las 1 J 1 J soluciones tridimensionales de Kelvin para tensiones y desplazamientos, respectivamente [Cruse,1973]. El término libre de la ecuación integral, e __ (x), depende de la forma local del contorno 'J en el punto (x). En puntos donde la superficie es suave se tiene e. (xl 1 J { 0 1/2 si i=j si i;tj En una estructura elástica en la que inter - vienen dos cuerpos en contacto, puede a plicarse la ecuación (2.1) a todo punto (xl del contorno de cad a cue r9o , r e sultando : 240 siendo { TK _ (x,y) l J T~j (x,y) + y=x si y;tx K e. lxl l J si CUERPO CUERPO X Figura 2.1 : Definición del problema Con referencia a la Figura 2.1, podemos considerar la siguiente partición del contorno ( anK ) de un sólido en contacto con retroceso : (2. 3) donde ODK incluye toda la superficie del dominio L DK a excepción de su interfase natural ~ en la estructura indeformada ) con el otro sól1do. En puntos de esta zona se desconocen siempre tres . K K ( ) Ó variables del modelo matemát1co ( uj(y), tj Y combinaciones de ambas en el caso de condiciones de contorno mixtas ) y se desconocen otras tres. - o DK representa a la part e de la superficie R de i nt e rfase natural con el ot ro c uerpo que sufr e ret r oc e so al cargar la es t ruc tura. En puntos de esta zona el vector tensión es idénticamente nulo y se desconocen las tres componentes del vector de desplazamientos. Por tanto, a efectos de incluir la partición (2.3) en la representa - ción integral (2.2) consideraremos que : J K K K U .. (x,y)t (y)ds (y)= 0 1 J J ODK R K = A,B (2.4) K ODc es la superficie que realmente permanece en contacto con el otro cuerpo al cargar la estructura. En estos puntos se desconocen las tres variables cinemiticas ( uK(y) ) y las tres . K J estát1cas ( t . (y) l, lo que implica doce variaJ bles desconocidas considerando que estos puntos pertenecen a las superficies de los dos cuerpos. De estas, solamente seis resultan ser independientes al aplicar las condiciones de contacto : Equilibrio en el contorno de la zona de contacto 0 (2.5) 0 j 1,3 ; y E OD~, OD~ Condición de contacto sin fricción K K t2(y) = t3(y) = 0 K = A,B ; (2.6) A efectos de la regionalización propuesta (2.3) la condición de contacto sin fricción implica que: 0 (2.7) 0 ~ión cinemática de coptinuida_Q_ A D U1 (y) + u1 (y) = 0 (2.8) En estas ecuaciones los subindices 1, 2 y 3 representan a las direcciones locales utilizadas Para referenciar los grados de libertad asociados a puntos de la zona de contacto, Figura 2.1. La d1rección 1 es, en cada cuerpo, la de la normal exterior a oD~ en (y). Las direcciones 2 y 3 se orientan arbitrariamente en el plano indeformado de contacto de uno de los cuerpos, tomándose en el otro cuerpo como se indica en la Figura 2.2. En lo qu e sigue, consid er ar emos qu e los ten - sor es UK l j y T~K han s ido e xpresados en confor - i j 241 midad con las transformaciones de coordenadas que. son necesar1as para referenciar todas las var1ables del modelo en su sistema local de coordenadas. CUERPO ( A ) CUERPO ( B ) PLANO DE CONTACTO Fig 2.2 Definición del sistema local de coordenadas. Definitivamente, las seis variables desconocidas en los puntos de la zona de contacto son A' A A B B A ut(y), uz(y), u3(y),uz(y),u3(y), tt(y) Obsérvese que los desplazamientos en el 1 d (A B A B pano e contacto u2 (y), u2 (y), u3(y) u3(y) ) son desconocidos, pues la (2.6) implica el libre deslizamiento entre los sólidos a través de (y) . Haciendo uso de la partición (2.3) y considerando las condiciones de contacto antes enumeradas, podemos particionar la ecuación (2.2) del siguiente modo x,y E ODA J ~A A A T. (x, y) u. (y) ds {y) 1 J J ODA+ODA +ODA . L R C J A A A U. _(x,ylt . (y)ds (y) 1 J J ODA 0 (2. 9) L J ~B B B T .. <x,y)u _ (y)ds (y) 1 J J ÜDB +ODB L R Cualquier punto del contorno de la estructur a ap orta el mismo número de variables de sconoci da s que de ecuaciones aplicables en él ( tres en el caso de puntos de o D~ y oD: y seis en puntos de la zona de contacto). Es claro, por tanto, que conocido el tamaño de la zona en retroceso ( o bien la de c?ntactol es posible caracterizar el problema me~1ante un sistema de 3N ecuaciones lineales, asoc1adas a N puntos fijados sobre el contorno de la estructura de contacto, siguiendo la técn1ca de aproximación del Método de los Elementos de Contorno. 3.- FORMULACION NUMERICA Los contornos de los cuerpos en con~acto se discretizan con elementos de contorno tr~ang~la  res. sobre cada elemento se supone una d1str1bución constante de los campos de tenslon.es Y de desplazamientos ( Los nodos son los bar1centros de los triángulos) La interfase natural común a ambos cuerpos 00K U aoK l se discretiza de idéntica forma en R e . cada contorno ( los elementos que v1rtualmente pudieran contactar al cargar la estructura son idénticos). Las integraciones sobre los elementos se realizan analítica o numéricamente según pertenezca 0 no, respectivamente, el nodo al que se aplica la ecuación integral al element~ sobre el que se integra. En el caso de integrac1ones a~a  liticas, éstas se realizan en la forma descr~ta por cruse [Cruse,1973]. Detalles complementarlos sobre el análisis numérico pueden encontrarse en [Paris,1979]. Si NA y N8 representan respecti~a~ente a los números de elementos de contorno ut1l1zados para modelar ODA y ao 8, la aplicación de las ecuaciones (2.9) y (2.10) a cada baricentro conduce a un sistema de 3 ( NA + N8 l ecuacion7s line ales, acopladas a través de las 6Nc var1ables de la zona de contacto ( Ne es el número de elementos que, en cada cuerpo, resultan pertenecer a ao~ l. Este sistema de ecuaciones admite la siguiente representación ( Q~ ! Gil ! GA ~ - e - L 0 G8 ! GB i! GB - -R -e - L aoR aDe aoL ( 3.1) ( !!~ ~ Hll ! - r. 0 H8 ~ HB - - e - L an élD e l. 242 Las submatrices Q Y mente, las integraciones H recogen, respectivade los tensores T. . Y 1 J u sobre los elementos de contorno. Los subindi j R e y L definen las zonas del contorno 1ces , . t · - ( de retroceso, de contacto y . l1bre, ~espec 1~a mente ) a que hacen referencia las 1ntegrac1ones. un esquema más detal~ado sobre la organlzación del sistema, espec1almente en lo que ~= refiere a su acoplamiento a través de las cond1 ciones de contacto, puede encontrarse en [Garrido,1989a]. 4.- DETERMINACION DE LA ZONA EN RETROCESO En general, no es posible establecer a ri la partición (2. 3), por lo que se h. ace sario realizar un ~roceso . d7 resoluCión correctivo que perm1ta def1n1rla, y, con resolver el sistema (3 . 1). prioneceautoello, A todos los efectos, la estrategia de r7s~ lución utilizada para resolver problemas trldlmensionales de contacto en retroceso es análoga a la que se propone en [Paris, 1988a.J Y [Garrido,1989a] para el tratamiento de casos planos : 1 Inicialmente, se supone que no existe zona de retroceso ( aD~ = 0 ). 2Se resuelve el sistema (3.1). 3 - se constituye la zona de retroceso con los elementos cuyos nodos han resultado traccionados. 4 - se resuelve de nuevo el sistema (3.1), teniendo en cuenta las modificaciones realizadas en el apartado anterior. 5 - se repiten los pasos 3 y 4 hasta encontrar una zona de contacto exenta de tracciones. En los casos en los que la discretización no sea lo suficientemente fina es posible que aparezcan pequeñas interpenetraciones en la zona en retroceso próxima a la zona de contacto. Esto se produce porque el tamaño real de la zona de contacto no puede ser detectado exactamente con un procedimiento aproximado. En estos casos pod~~a establecerse un proceso de mejora de la solucl n siguiendo las directrices que se marcan. ~: [Garrido, 1988], aunque desde el punto de VlS a ingenieril la solución podria darse por bu e:_ dado que las tensiones en esta zona son despr ciables. Destacaremos, por último, que el cos~o computacional del procedimiento autocorr~ct1vo an= tes descrito se ve notablemente reduc1do. resol viendo el sistema (3.1) mediante la técn1ca del gradiente conjugado considerando en cada prueba la solución obtenida en la anter1or. 5.- RESULTADOS Como ejemplo ilustrativo sobre la aplicación práctica del procedimiento antes descrito al análisis de vigas que flectan por contacto en retroceso, se ha resuelto ( para todo el abani - co de rigideces relativas entre viga y sustentación ) el problema tridimensional mostrado en la Figura 2.1. Las dimen siones de la estructura se recogen en la Tabla 5.1. Tabla 5.1 : Características geométricas X (L) y (L) z (L) Viga ( A ) 16 1 1 Sustentación ( B ) 20 12 10 (Ll s Unidad de longitud Las características mecánicas de los materiales son variables, y se representan a través del parámetro de flexibilidad <~ definido por Dundurs y Stippes [Dundurs,1970] 1 + v 11 <X 1 + VA ( -1 ~a~ 1 ); GK(F/L2 l; (F) s Unidad de fuerza donde GK representa el Módulo de Rigidez del cuerpo (K) y vK su Coeficiente de Poisson . Para el análisis con elementos de contorno se considera solamente un cuarto de estructura, aplicando simetria implicita en la forma descrita por Watson [Watson,1979]. Se utilizan · 117 elementos de contorno para modelar la superficie de la viga y 145 para representar a la sustentación. Por tanto, el modelo tiene, en total, 786 grados de libertad. La carga que provoca el retroceso de la viga P (F) se ha modelado con una distribución de tensiones constante (F/L2) aplicada sobre un conjunto de elementos situados en el entorno del punto de aplicación de P (F). Estos elementos " se han considerado de tamaño lo suficientemente pequeño co mo para garantizar que la solución no se vea afectada significativa - mente por la forma de modelar la carga . En la Figura 5.1 se representa una vista de las distribuciones de tensiones normales de contacto para cuatro valores concretos del parámetro de flexibilidad a En dicha Figura se aprecia el efecto de punzonamiento de la viga sobre la línea exterior de la zona de co ntacto . Este efecto, no es recogido por los modelos bidimensionales. A efectos de tensiones, los modelos bidimensionales son válidos para profundidades lo sufi - ciente mente grandes como para garantizar que el retroceso se produce también en la dirección ( Y ) . En estos casos, el contacto se produ ce sin tensión normal singular y l a presión de contacto dom i nante actúa sobre la lin ea Y = 0. X -t, (x.y)•h•b p X 0: = -0.2 - t.. (x.y)•h•b p X 0.6 243 a - O. y a = O . Q Figura 5.1 : Distribuciones de tensione~ en la zona de contacto para diferentes valores del parámetro a . En la Figura 5.2 se muestra la variación de la tensión de contacto máxima (punto (0,b/2,0)) y la variación del valor máximo de la tensión en el punto central ( (0,0,0) ) con el parámetro de flexibilidad a . En la misma figura se incluye la variación de la tensión normal máxima supuesto el problema· bidimensional. En la mencionada Figura se aprecia que conforme aumenta la rigidez de la sustentación e~ relación a la de la viga (a~ 1 ), las presiones máximas aumentan, ya que la zona de contacto disminuye (Ver Figura 5.3 ). Asimismo, se aprecia también que las presiones máximas sobre la linea media se ajustan bastante a las que se deducen con el modelo 2D. "' ...... 1.25 "" -" 1.00 < 2 ~ 0.75 2 o t; ~ 0.50 o u ~ 0.25 z o ¡¡; o. z .. - l. ¡.. Figura 5.2 •-----• - -- --• M.E . C. ( 3D - Exterior ) 1 • • • M.E.C. ( 3D - Centro ) 1 • e !i.E.C. ( 2D ) - 0.6 o. 0.6 l. a Var iac ión de la t en si ón máxima con el par ámetro a Finalmente, en la Figura 5.3 se muestra la variación de la semilongitud de contacto con el parámetro o: • Para valores positivos de a , lo cual implica que la sustentación es más rigida que la viga, los resultados que arroja el modelo tridimensional coinciden prácticamente con los deducidos con representaciones 2D por Keer, Dundurs y Tsai para casos con longitud infinita, asi como con las obtenidas mediante el Método de los Elementos de Contorno en Elasticidad bidimensional. 6.~----------------------------------, ~ ~ 4. o u "' Q Q E 2. <> ~ 2 .. • 6 .t. KEER, DUNDURS y TSAI ._ ...... - lf.E.C. ( 20 ) • • • JI.E.C. ( 3D ) "' 0.+---r-~---+--~--+---r-~---+--~~ -1. -0.6 o. 0.8 l. "' Figura 5. 3 : Variación de la semilongi tud de contacto con el parámetro a . Para valores negativos de a , que implican que la viga es más rigida que la sustentación, con el modelo tridimensional se obtienen zonas de contacto mayores que con los bidimensiona - les, consiguiéndose el contacto completo para a = -0 .8. 6.- CONCLUSIONES Se ha descrito un procedimiento general de análisis numérico, con el Método de los Elementos de Contorno, para la resolución de problemas de contacto tridimensionales que evolucionan con retroceso de la superficie inicial de contacto. De la aplicación del método a un caso simple en el que una viga flecta por contacto en retroceso, se aprecia que es necesario abordar este tipo de problemas usando el modelo elástico tridimensional, pues la solución de tensiones que se deriva de representaciones bidim en sionales no recoge el efecto de punzonam ien to en el contorno exter ior de la zona de contacto, donde las tensiones resultan ser máximas. En lo que a la estrategia para la determinación de la zona de retroceso se refiere, ésta no presenta particularidades especiales en relación a la que se utiliza para tratar problemas bidi - mensionales de contacto en retroceso [París, 1988a] [Garrido, 1989a]. Por último, se comprueba que las ventajas tradicionales del Método de los Elementos de Contorno sobre las técnicas de dominio ( Método de los Elementos Finitos, fundamentalmente ) en problemas bidimensionales de interfase [Paris,l988], se ac e nt~Gn en el caso d el análisis tridimensional. 244 7.- REFERENCIAS ANDERSON, T. (1981); The Boundary Element Method Applied to Two Dimensional Contact Problems with Friction. Boundary Element Hethod, Ed. por C.A. Brebbia, Springer Verlag. CRUSE, T.A. (1973}; Application of the Boundary Integral Equation Method to Three Dimensional Stress Analysis. Computers and Structures, Vol. 3,pp. 509-527. DUNDURS, J.; STIPPES, M. (1970); Role of Elastic Constans in Certain Contact Problems. 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