La comprensión del concepto sucesión numérica en estudiantes de enseñanza secundaria obligatoria

Departamento de Didáctica de las Matemáticas Programa de doctorado en Educación TESIS DOCTORAL LA COMPRENSIÓN DEL CONCEPTO DE SUCESIÓN NUMÉRICA EN ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA Autor: José Mariano Bajo Benito Dirigida por los Doctores: Dr. José María Gavilán Izquierdo Dra. Gloria Sánchez-Matamoros García Sevilla 2023 2 3 Dr. José María Gavilán Izquierdo y Dra. Gloria Sánchez-Matamoros García, profesores del Departamento de Didáctica de las Matemáticas con sede en la Facultad de Ciencias de la Educación de la Universidad de Sevilla. HACEN CONSTAR QUE: La investigación realizada bajo la dirección de los firmantes por el Licenciado José Mariano Bajo Benito, con el título La comprensión del concepto de sucesión numérica en estudiantes de Educación Secundaria Obligatoria, reúne todos los requerimientos científicos, metodológicos y formales exigidos por la legislación vigente para su Lectura y Defensa pública ante la correspondiente Comisión, para la obtención del Grado de Doctor en Educación por la Universidad de Sevilla, por tanto consideramos procedente autorizar su presentación. 4 5 Agradecimientos No podría haber llegado hasta aquí sin los dos pilares que sustentan mi trabajo. De un lado mi familia, que me ha apoyado desde el primer momento, y de otro, mis directores de tesis José María y Gloria, quienes han sido mis maestros en esta difícil tarea de la investigación educativa. A todos quiero agradecer tanto su paciencia como sus enseñanzas. Y como viga transversal de esos grandes pilares quisiera resaltar mi agradecimiento también a aquellos estudiantes con los que he investigado y a cuantos matemáticos me han precedido con sus estudios. Gracias a todos “Las matemáticas son el lenguaje con el que Dios ha escrito el universo” Galileo Galilei 6 7 A mi Familia: Esposa e hijos, padres y hermano 8 9 Presentación Se presenta esta tesis doctoral para acceder al grado de Doctor en Educación en el ámbito de Didáctica de la Matemática por la Universidad de Sevilla. Esta tesis doctoral se presenta en la modalidad de compendio de publicaciones. Y sigue la estructura básica de contenidos planteada por el Programa de Doctorado en Educación de la Universidad de Sevilla. • Sección 1. Introducción a la problemática de estudio. • Sección 2. Referentes teóricos. • Sección 3. Método. • Sección 4. Resultados. • Sección 5. Discusión de los resultados y Conclusiones. • Sección 6. Referencias • Sección 7. Artículos publicados que conforman el compendio. Autores y afiliación: José Mariano Bajo Benito, Universidad de Sevilla, España, https://orcid.org/0000-0002-1201-6224, [email protected] José María Gavilán Izquierdo, Universidad de Sevilla, España, https://orcid.org/0000-0002-3369-5377, [email protected] Gloria Sánchez-Matamoros García, Universidad de Sevilla, España, https://orcid.org/0000-0002-7502-7924, [email protected] 16 4.1 Caracterización de los niveles de comprensión del esquema de sucesión numérica en estudiantes de Educación Secundaria Obligatoria…………………………………………………………… 100 4.1.1 Nivel INTRA del desarrollo del esquema de sucesión numérica……………………………………………………………… 101 4.1.2 Nivel INTER del desarrollo del esquema de sucesión numérica……………………………………………………………… 102 4.1.3 Nivel TRANS del desarrollo del esquema de sucesión numérica……………………………………………………………… 103 4.2 La implicación lógica entre sucesiones numéricas y progresiones numéricas como indicador de nivel……………………. 106 4.3 Uso de registros de representación para caracterizar los niveles 108 5 Capítulo V: CONCLUSIONES……………………………….. 113 5.1 Desarrollo del esquema de sucesión numérica………………... 116 5.1.1 Relaciones lógicas: la implicación lógica como indicador de nivel………………………………………………………………….. 119 5.1.2 Registros de representación gráfico: gráfico lineal y gráficocartesiano……………………………………………………………. 121 5.2 Revisión de la descomposición genética del concepto de sucesión numérica…………………………………………………… 125 5.3 Implicaciones para la enseñanza……………………………… 130 5.4 Limitaciones y perspectivas de futuro ………………………… 131 6 REFERENCIAS………………………………………………. 133 7 ARTÍCULOS…………………………………………………. 149 17 Capítulo I: INTRODUCCIÓN A LA PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN 18 19 Capítulo I: INTRODUCCIÓN A LA PROBLEMÁTICA DE INVESTIGACIÓN Un campo de interés en la investigación en Educación Matemática es la caracterización de la comprensión de conceptos de análisis matemático, debido a las dificultades que muestran los estudiantes en la comprensión de dichos conceptos y que son base para estudios superiores. Como señala Artigue (1995) en referencia a la comprensión de estos conceptos, el simple hecho de simular mecánicamente algunos algoritmos referidos a un concepto, no lo dotan de significado para después poder aplicarlo a situaciones diversas que necesiten de su comprensión. En nuestro estudio queremos profundizar en la comprensión del concepto de sucesión numérica, ya que como indican Azcárate y Camacho (2015) hay poca presencia de investigaciones sobre dicho concepto, ya sea a 20 nivel nacional como internacional, donde los estudios van encaminados principalmente al concepto de límite, derivada, función, integral y series numéricas. En este primer capítulo haremos un recorrido histórico del concepto de sucesión numérica, a continuación, situaremos las sucesiones numéricas en el currículo de Educación Secundaria Obligatoria, y por último nos centraremos en las investigaciones sobre sucesiones numéricas en educación matemática. 1.1 Recorrido histórico del concepto de sucesión numérica En este epígrafe hacemos un esbozo de los principales aportes de los que se han encontrado evidencias históricas sobre el concepto de sucesión numérica, pues es difícil establecer con precisión la historia de dicho concepto. Para ello, hemos considerado tres periodos: un primer periodo donde se recogen los inicios del concepto en las civilizaciones más antiguas. Este periodo finaliza con el primer tratado donde aparece de forma rigurosa el concepto de sucesión numérica. Un segundo periodo que comienza con la revolución científica que marcó la pauta para una nueva matemática, en este periodo mostramos los avances del concepto hasta el siglo XVIII y un último periodo en el que se separan las ramas de la matemática, marcado por la revolución industrial, en el que aparecen más aplicaciones para la teoría de números, incluyendo a las sucesiones numéricas (tabla 1). 21 Tabla 1: Periodos del recorrido histórico del concepto de sucesión numérica. • Periodo I (Hasta el Siglo III a.C.) En este periodo aparecieron las primeras sucesiones numéricas de forma natural. Evidencias empíricas de estas primeras nociones de sucesiones numéricas en nuestra civilización son: las series de números naturales, y las progresiones (primero aritméticas y posteriormente geométricas). El uso de las sucesiones numéricas aparece muy pronto en la Historia, es una de las ideas más antiguas que se conocen. Así por ejemplo, en el Museo de Aquitania de Burdeos se conserva un asta de reno, hallado en Brassempouy (Las Landas, Francia) y fechado hace unos 15.000 años. En el asta aparecen marcados 1, 3, 5, 7 y 9 con trazos rectilíneos, es decir, contiene una representación gráfica de la sucesión de los primeros números impares (González et al., 2010). También, datado en el año 1650 a.C está el papiro 22 egipcio de Rhind, en el que aparecen progresiones vinculadas al reparto del pan (Maza, 2009). Otro de los hallazgos más relevantes, situado en la época mesopotámica, fue el descubrimiento de unas tablas, fechadas en el S. IV a.C. en las que se muestran todo tipo de operaciones aritméticas, trabajo con números fraccionarios, números cuadráticos, números enteros, raíces cuadradas, potencias. Esto llevó a la resolución de ecuaciones cuadráticas y sirvió de base para el desarrollo de procedimientos para calcular las sumas de las progresiones, tanto aritméticas como geométricas (Ríbnikov, 1987). También en el siglo IV a.C., obra de la escuela pitagórica, apareció el primer compendio sobre hechos numéricos abstractos. Entre las primeras preocupaciones de esta escuela se encontraban varios tipos de números como los números cuadrados, rectangulares, triangulares, etc. Estos tipos de números fueron denominados por la ciencia de esa época como números figurados. Estas secuencias constituyen sucesiones cuadráticas y se podían hallar por medio de la representación de figuras (Wussing, 1998). Posteriormente Euclides, matemático griego del siglo III a.C., fue el primero en tratar de manera precisa las progresiones. Este matemático fundó la Escuela de Matemática de Alejandría, donde escribió su gran obra compuesta por 13 libros en la que desarrolló sobre todo la geometría, pero también resaltó la aritmética. En su libro IX trató las progresiones aritméticas 23 que él llamó proporciones continuas; y en el libro VIII las progresiones geométricas (Solís y Sellés, 2005). • Periodo II (S. II a.C. hasta S. XVII) En este segundo periodo la revolución científica marcó la pauta para una nueva matemática, sin que hubiera diferencia clara entre las disciplinas matemáticas. Uno de los tratados sobre teoría de números más importante en esta fase, fue realizado por Nicómaco de Gerasa (100 d. C), titulado: “Arithmetike eisagoge” (Introducción a la aritmética), tratado que obtuvo gran relevancia durante más de diez siglos. Nicómaco retomó los trabajos de los pitagóricos y fue uno de los artífices del resurgimiento de la aritmética, alegando que era la base de las demás disciplinas matemáticas tales como geometría, astronomía y música. Nicómaco fue más allá que los pitagóricos al ver relaciones entre conjuntos de números de forma general, descubriendo patrones numéricos como por ejemplo: “Dados los números impares, la suma de cada secuencia dada por los naturales es el cubo de la cantidad que conlleva, es decir, 1 es el cubo de 1; 3+5 es el cubo de 2; 7+9+11 es el cubo de tres, y así sucesivamente. Nicómaco repite la fórmula de Euclides sobre números perfectos y clasifica todo tipo de razones que fueron muy importantes posteriormente para la música (Kline, 1992). 24 En el siglo XII, uno de los matemáticos más importantes que realizó estudios sobre sucesiones numéricas fue Leonardo de Pisa (1170-1250), en su obra “Liber Abaci” recoge fórmulas sobre sucesiones. Este matemático planteó una serie de problemas aplicados a situaciones reales, que siguen un patrón de comportamiento que le lleva a una serie de números con una regla de formación, en la que cada número es la suma de los dos anteriores, es decir, sigue la serie de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … presente en muchos fenómenos naturales. Fue en esta época (S. XIII) cuando tuvo gran auge la resolución de problemas relacionados con las progresiones tanto geométricas como aritméticas, y donde se empezaron a plantear los problemas con infinitésimos, es decir, series infinitas que se acercan a un valor real (Struik, 1986). En el siglo XVI, el punto de partida para el descubrimiento de los logaritmos con John Napier en 1594 fueron las progresiones geométricas y progresiones aritméticas combinadas (Stewart et al. 2013). Una de las contribuciones de las sucesiones numéricas en esta época fue su aplicación al estudio de series. Así, Newton (1642-1727) desarrolló cualquier potencia de sumandos como una serie finita de términos (Teorema del binomio Newton). • Periodo III (S. XVIII hasta S. XXI) 25 En este último periodo se dividen las disciplinas matemáticas como ramas de conocimiento, y la revolución industrial marcó la pauta para una matemática con más aplicaciones a la vida cotidiana, lo que conllevó que aparecieran más aplicaciones para la teoría de números, que incluyeron a las sucesiones numéricas. Aunque una lista de números con un patrón determinado ha suscitado a lo largo de la Historia una atención especial de los matemáticos de todas las épocas, no se le dio un papel fundamental a las sucesiones numéricas hasta el desarrollo de las matemáticas del siglo XVIII, al perfeccionarse el concepto de paso al límite de una sucesión como el valor al cual se acercan de forma progresiva sus términos. Como mencionamos en el periodo anterior, las sucesiones se aplicaban al estudio de series, infinitésimos y en particular al estudio de límites, lo que nos lleva a destacar a algunos matemáticos de esta época que fundamentaron sus estudios en estos conceptos. Entre ellos destacamos a: • Otto Stolz (1842-1905) que estudió la convergencia de una sucesión a partir de otras sucesiones monótonas, • Euler (1707-1783) que utilizó métodos analíticos para descubrir características de cómo los números primos se distribuyen dentro de la sucesión de números naturales y • Taylor (1685-1731) que construyó la teoría de las series. 32 (2015) “Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas”, (p. 116), y “Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas”, (p. 116). Figura 5: Representación gráfica cartesiana de una sucesión numérica de los libros de la editorial Vicens-Vives (2015, p.116). También en algunos libros de texto podemos encontrar ejemplos del registro de representación gráfico lineal de una sucesión numérica, como sucede en los libros de “Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académicas” y “Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas” de la Editorial SM (2017) (Figura 6). Figura 6: Representación gráfica lineal de una sucesión numérica, libros de la editorial SM (2017, p. 227). Otro tipo de tareas que aparece en los libros de textos son aquellas en las que a partir de expresiones dadas en el registro de representación algebraico, se le demanda al estudiante una traslación a los registros de 33 representación gráfico lineal y gráfico cartesiano, un ejemplo de este tipo de tarea lo mostramos en la figura 7. Figura 7: Tarea del libro de la editorial Guadiel (2002, p.206) Otro tipo de tareas que aparecen en libros especializados son aquellas en las que se le demanda al estudiante que emparejen sucesiones numéricas dadas en distintos registros de representación. Un ejemplo de ello podemos encontrarlo en el libro de Stewart et al. (2013) (Figura 8), en esta tarea, en particular, deben emparejar sucesiones numéricas dadas en registros de representación gráfico-cartesiano con sucesiones dadas en registros de representación algebraico 34 Figura 8: Tareas correspondientes al libro de Stewart et al. (2013, p.708). 1.3 Las sucesiones en las investigaciones en Educación Matemática En relación a la comprensión del concepto de sucesión numérica, diversas investigaciones en distintos conceptos del análisis matemático han mostrado que la relevancia de la comprensión del concepto de sucesión numérica es un requisito previo para la comprensión de otros conceptos como series (Codes, 2013), límites (Mamona-Downs, 1990 y 2001; Roh, 2008; Sierpinska, 1990; Tall y Vinner, 1981), o en la integral cunado se introduce mediante las sumas de Riemann (Boigues et al., 2010). Una primera muestra de investigaciones en las que se pone de manifiesto que una concepción correcta del concepto de sucesión numérica es una condición necesaria para la comprensión de otros conceptos 35 matemáticos como límites y convergencia de series numéricas, lo tenemos en las investigaciones de Sierpinska (1990). Este autor distinguió diversas percepciones sobre las sucesiones numéricas. Por una parte, una percepción de sucesión numérica relacionada con una fórmula que permite calcular los términos de la misma, y por otra, una percepción de sucesión numérica como lista de números (sucesión infinita). Sierpinska usó estas percepciones para estudiar el paso al límite y la convergencia de sucesiones numéricas. Además, en la investigación sobre el concepto de límite de Roh (2008) se mostró que un aspecto importante vinculado a las sucesiones numéricas es el uso de diferentes registros de representación. Esta autora usó tareas con sucesiones numéricas expresadas en registro algebraico a través de su término general (figura 9), y en registro de representación gráfico cartesiano relacionándolas con su expresión analítica (figura 10). Figura 9: Ejemplos de término general de sucesiones que aparecen en las entrevistas de la investigación de Roh (2008, p.221). 36 Figura 10: Tarea de la investigación de Roh (2008), relativas a las sucesiones (p.221). También, Claros et al. (2016) en su investigación hace uso de diferentes registros de representación numérico, algebraico y gráfico (figuras 11 y 12), e introduce el fenómeno aproximación simple intuitiva (a.s.i.) para referirse a la idea informal de límite. Estos autores consideran que los registros de representación de las sucesiones numéricas juegan un papel importante para avanzar en la comprensión de conceptos relacionados con estas. Figura 11: Ejemplo de representación analítica de Claros et al. (2016, p. 93). 37 Figura 12: Ejemplo de registro de representación algebraico y registro de representación gráfico-cartesiano, Claros et al. (2016, p. 93). De la misma forma, distintas investigaciones (Bagni, 2005; Codes, 2010; Codes y González-Martín, 2017; Martínez-Planell et al., 2011) destacan la relevancia de la investigación sobre el concepto de sucesión numérica en relación con las series numéricas, puesto que formalmente la suma de una serie es el límite de una sucesión de sumas parciales, y tanto las sucesiones numéricas como sus límites son claves en la comprensión del concepto de serie numérica e inevitablemente las concepciones erróneas sobre sucesiones numéricas repercuten en la comprensión de las series. A partir de las investigaciones centradas en otros conceptos matemáticos, ha surgido la necesidad de realizar investigaciones en educación matemática centradas en el concepto de sucesión numérica. Una de las primeras investigaciones centradas en dicho concepto fue la realizada por Mamona-Downs (2001) que vio la conveniencia de introducir el concepto de sucesión sin vincularlo al límite, puesto que los estudiantes confunden el valor final de una sucesión infinita con el límite de la misma. 38 Diferentes investigadores han planteado sus trabajos centrándose en distintos aspectos relacionados con el concepto de sucesión numérica (Biza et al., 2020; Cañadas, 2007; Crisp et al., 2012; Djasuli et al.,2017; González et al., 2011; McDonald et al., 2000; Montenegro et al., 2018; Mor et al., 2006; Przenioslo, 2006; Rivera, 2013; Roh, 2008). Un interés común en estos trabajos es la necesidad de que los estudiantes construyan generalizaciones mediante la expresión algebraica del término general a partir de una serie de datos expresados en diferentes registros de representación. Centrándose en las generalizaciones, Mor et al. (2006) en su investigación con estudiantes de Educación Secundaria (10-14 años) observaron que las sucesiones numéricas son consideradas intuitivamente recursivas por los estudiantes de Educación Secundaria. Es decir, más que una relación entre los valores y sus posiciones, respectivamente se ven como relación entre valores sucesivos de una secuencia. Con este mismo foco, McDonald et al. (2000) hace un estudio con estudiantes universitarios. Los resultados de esta investigación muestran que los estudiantes universitarios identifican dos objetos cognitivos diferentes en relación con el concepto de sucesión, por una parte, un objeto como un listado de números que denominaba Seqlist y, por otra parte, otro objeto que sería una función, cuyo dominio pertenece al conjunto de los naturales, que llamó Seqfunc. 39 McDonald et al. (2000), por las características de los estudiantes (universitarios) con los que realizaron su investigación, centraron su interés en el segundo objeto cognitivo, Seqfunc. Complementando la investigación de McDonald et al. (2000), Przenioslo (2006) realizó una investigación sobre la comprensión del concepto de sucesión numérica con estudiantes que iban a acceder a estudios universitarios (16-19 años), y se centró en el objeto cognitivo Seqlist. En su trabajo consideró diferentes registros de representación: numérico, algebraico y gráfico (plano cartesiano) (figura 13). Entre los resultados de su investigación destacamos que la mayoría de los estudiantes percibían una sucesión como una progresión aritmética. Y que se debía profundizar en caracterizar las sucesiones numéricas en diferentes registros de representación (gráficos, tablas, numéricos y expresiones algebraicas). 40 Figura 13: Problemas 1 y 2 de la investigación de Przenioslo (2006, pp.808-809). También, en una investigación posterior sobre el razonamiento inductivo utilizado por estudiantes de Educación Secundaria Obligatoria (12-14 años) al resolver tareas relacionadas con sucesiones lineales y cuadráticas, Cañadas (2007) considera, en los resultados de su estudio, que no sólo es importante el uso de diferentes registros de representación sino también la traslación entre ellos. Esta investigadora en la presentación de las tareas de su estudio solo usa las representaciones numéricas, verbal y el 41 dibujo (figura 14). Sin embargo, entre los resultados de su estudio considera además de los registros numérico, algebraico y gráfico (plano cartesiano) tratados también en la investigación de Przenioslo (2006), el registro gráfico vinculado a la recta numérica. Figura 14: tareas de la investigación de Cañadas (2007, pp. 476). Una limitación de este trabajo, según señala esta autora en sus conclusiones, ha sido el hecho de centrarse solo en las progresiones, y sugiere ampliar el contenido de las tareas a todo tipo de sucesiones numéricas. Además, aquellos estudiantes que usan un mayor número de registros de representación son los que llegan a la resolución de la tarea, siendo el registro gráfico el menos usado por los estudiantes. En la investigación de González et al. (2011), realizada con estudiantes universitarios, se plantearon tareas que abordan las traslaciones en distintos registros de representación (figura 15). Uno de los resultados de su estudio es que los estudiantes tienen dificultades en realizar traslaciones entre los registros de representación gráfico y algebraico al abordar el 48 49 Capítulo II: MARCO TEÓRICO Para estudiar la comprensión del concepto de sucesión numérica, consideramos como marco teórico la Teoría APOS (Arnon et al., 2014; Dubinsky, 1991). Este marco aborda el desarrollo de la comprensión de conceptos matemáticos en términos de la construcción de esquemas, mediante el mecanismo de abstracción reflexiva (Piaget y García, 1983). En este modelo se define un esquema “como la colección de acciones, procesos, objetos y otros esquemas que están relacionados consciente o inconscientemente en la mente de un individuo en una estructura coherente y que pueden ser empleados en la solución de una situación problemática” (Trigueros, 2005, p. 11). Un esquema se puede transformar en una estructura estática (objeto) y/o se puede usar como una estructura dinámica que asimila otros objetos o esquemas relacionados. 50 Fundamentalmente, la teoría APOS es un marco utilizado para explicar cómo los individuos construyen, a partir de constructos mentales, la comprensión de una noción matemática. Por lo tanto, desde una perspectiva cognitiva, es un modelo para describir la comprensión de conceptos matemáticos. Desde el marco APOS, una herramienta poderosa a la hora de describir y conjeturar el pensamiento matemático, detallando las estructuras involucradas en el aprendizaje de un concepto matemático, es la descomposición genética (Arnold et al., 2014). 2.1 Descomposición Genética de un Concepto Matemático. Uno de los constructos principales de la teoría APOS es la descomposición genética de un concepto, definida por Asiala et al. (1996) “La descomposición genética de un concepto matemático es un conjunto estructurado de constructos mentales, que pueden describir cómo el concepto se desarrolla en la mente del individuo” (p. 7). La descomposición genética de una noción matemática no es única y proporciona una trayectoria posible del estudiante para la formación del concepto, sin embargo, no tiene que ser representativa de todas las trayectorias posibles que pueden realizar los estudiantes. La construcción de la descomposición genética está basada en la experiencia de los investigadores sobre la enseñanza/aprendizaje del 51 concepto sobre el que se está trabajando, el conocimiento de estos sobre el modelo APOS, el conocimiento de estos sobre las matemáticas, el desarrollo histórico del concepto y la revisión de investigaciones sobre el mismo (Arnon et al., 2014). Por lo tanto, una descomposición genética es un modelo hipotético que describe las estructuras (acción, proceso, objeto) y mecanismos mentales (interiorización, encapsulación, desencapsulación, reversión, coordinación) que un estudiante podría necesitar construir para aprender un concepto matemático específico. Según Arnon et al. (2014) un concepto se concibe primero como una acción, es decir como una transformación externa de un objeto u objetos concebidos previamente. Una acción es externa ya que cada transformación necesita ser realizada explícitamente y guiada por instrucciones externas, además cada paso demanda el siguiente, es decir, los pasos no pueden ser imaginados ni saltados. Un individuo que está limitado a una concepción acción se basa en señales externas. A medida que las acciones se repiten, el individuo pasa de depender de señales externas a tener control interno sobre ellas. Esto se caracteriza por la capacidad de imaginar la realización de los pasos sin necesariamente tener que realizar cada uno de manera explícita y por ser capaz de saltar pasos o invertir los pasos del proceso sin necesidad de hacerlo. 52 Los procesos se construyen utilizando uno de los dos mecanismos mentales: interiorización o coordinación, y cada uno de estos mecanismos da lugar a nuevos procesos. La interiorización es el mecanismo que hace posible este cambio mental. Esta permite ser consciente de una acción, reflexionar sobre ella y combinarla con otras acciones. (Dubinsky, 1991), es decir, un proceso es una estructura mental que realiza la misma transformación que la acción siendo interiorizada, pero completamente en la mente del individuo, permitiéndole así realizar la transformación sin tener que ejecutar cada paso explícitamente. Una acción interiorizada es un proceso. En contraste con una acción, un proceso es percibido por el individuo como interno y bajo su control. La coordinación de procesos es el acto cognitivo de coger dos o más procesos y usarlos para construir un nuevo proceso. De forma general la coordinación puede transformar procesos en procesos o procesos en objetos a partir de la encapsulación, ya que esta es el resultado de aplicar transformaciones a un proceso para convertirlo en una estructura estática donde se le pueden aplicar acciones. La encapsulación se produce cuando un individuo aplica una acción a un proceso, es decir, ve una estructura dinámica (proceso) como una estructura estática a la que se pueden aplicar acciones. Si uno se da cuenta del proceso como una totalidad, vislumbra que las transformaciones pueden 53 actuar sobre esa totalidad y puede realmente construir tales transformaciones (explícitamente o en su imaginación). Entonces decimos que el individuo ha encapsulado el proceso en un objeto cognitivo. Una vez que un proceso ha sido encapsulado en un objeto, puede ser desencapsulado, cuando sea necesario, y volver a su proceso subyacente. En otras palabras, aplicando el mecanismo de desencapsulación, un individuo puede volver al proceso que dio origen al objeto (figura 18). Figura 18: Mecanismos y estructuras mentales para la construcción del conocimiento matemático, Arnon et al. (2014) (p.10). Además, la descomposición genética de un concepto es la base del ciclo de investigación en la teoría APOS. Un ciclo de investigación consta principalmente de tres partes: Análisis teórico, Diseño e implementación y Observación, análisis y verificación de datos (figura 19). Figura 19: Adaptado del ciclo de investigación (Arnon et al., 2014) 54 Cada vez que se implementa un ciclo permite obtener una descripción más detallada y cercana a la construcción de los conceptos matemáticos, y la descomposición genética inicial se refina como resultado del análisis sobre los datos empíricos que se obtuvieron. Los trabajos de investigación en educación matemática han aportado descomposiciones genéticas de diversos conceptos matemáticos, como ejemplos podemos citar los trabajos Cottrill et al. (1996) referido al concepto de límite; MacDonald et al. (2000) relativo al concepto de sucesión como función; Martinez-Planell et al. (2012) en relación con el concepto de series numéricas; Vargas et al. (2011) referido a la función exponencial; Roa- Fuentes y Oktaҫ (2010) y (2012), en relación al concepto de transformación lineal, y Orts et al. (2016) referido al concepto de recta tangente, entre otros. 2.2 La noción y desarrollo de un esquema en la teoría APOS El desarrollo de un esquema, basado en la caracterización de Piaget y García (1983), ha sido considerado en distintas investigaciones para describir la comprensión de diferentes conceptos matemáticos (Ariza y Llinares, 2009; Arnold et al. 2014; Baker et al., 2000; Fuentealba et al., 2019; McDonald et al., 2000; Sánchez-Matamoros et al., 2006). En dichas investigaciones, un esquema se desarrolla pasando por tres etapas o niveles (triada): INTRA – INTER – TRANS, en un orden fijo. 55 A continuación, vamos a describir cada uno de estos niveles según Piaget y García y según las diferentes adaptaciones que cada uno de estos autores han realizado sobre cada uno de estos niveles. Nivel INTRA: Para Piaget y García (1983), este nivel se caracteriza por: El descubrimiento de diversas propiedades internas o de sus consecuencias inmediatas, acción operatoria cualquiera, y la búsqueda del análisis de sus propiedades, pero con una doble limitación. En primer lugar, no hay, coordinación de esta preoperación con otras en un agrupamiento organizado; pero además el análisis interno de la operación en juego se acompaña de errores (p.163). Para estos autores, esta es la fase inicial del conocimiento de un concepto. El individuo toma contacto por vez primera con este nuevo concepto e intenta interactuar con él para ver sus propiedades, es decir, utiliza el concepto de distintas formas para ver sus limitaciones y dónde lo puede aplicar, aunque no sea correcto. Una de las primeras adaptaciones del desarrollo del esquema basada en esta investigación fue la de McDonald et al. (2000) apoyándose en la descripción de Clark et al. (1997) que caracteriza este nivel por la inexistencia de vínculos entre los constructos mentales. Los estudiantes en este nivel van formando estructuras cognitivas de un concepto matemático 56 de forma aislada y sin relación, de forma que usan estas estructuras sin conexión entre ellas. Según estos autores, para los estudiantes situados en el nivel Intra, las dos construcciones de Seqlist y Seqfunc son distintas y no están relacionados cognitivamente. En este nivel de desarrollo del esquema, hacen uso de manera más frecuente de la sucesión como sucesión numérica, sin tener la percepción de la equivalencia de dos representaciones del mismo concepto. En esta misma línea Baker et al. (2000) consideran que en el nivel Intra el estudiante se centra en repetir una acción, pero no relaciona distintas facetas del concepto. Los objetos se analizan en términos de sus propiedades, pero los estudiantes no los reconocen como necesarios. Estos investigadores a lo largo de sus distintos trabajos han refinado esta caracterización del nivel Intra considerando que en este nivel un individuo se centra en acciones, procesos y objetos individuales de forma aislada de otros procesos cognitivos. En este nivel, el individuo se concentra en una acción que se repite y se pueden reconocer algunas relaciones o transformaciones entre acciones en diferentes componentes del esquema Arnon et al. (2014). Otra de las adaptaciones de este marco teórico es la de Sánchez- Matamoros (2004), en esta investigación se considera un esquema como “la estructura matemática formada por las relaciones lógicas (conjunción lógica, contrarrecíproco y equivalencia lógica) que se establecen entre los elementos 57 matemáticos que constituyen una noción matemática, y que puede ser evocado para la resolución de un problema” (p.73). Para esta autora el nivel Intra viene caracterizado, en general, por el descubrimiento de una acción operatoria (en este caso, el uso de un elemento matemático en la resolución del problema) y la búsqueda de sus consecuencias inmediatas, que algunas veces se realiza con errores y mostrando algunas lagunas en las inferencias que el estudiante realiza. Los estudiantes situados en este nivel podían usar los elementos matemáticos para inferir informaciones o para interpretar la situación dada, pero no establecían ninguna relación entre dichos elementos. Suelen usar algunos elementos matemáticos (pocos) de forma correcta y, generalmente, vinculados a un modo de representación (p.154). Nivel INTER: El segundo nivel de desarrollo, INTER viene caracterizado de la siguiente forma: Una vez comprendida una operación inicial es posible deducir de ella las operaciones que están implicadas, o de coordinarlas con otras más o menos similares, hasta la constitución de sistemas que involucran ciertas transformaciones. Si bien hay aquí una situación nueva, existen limitaciones que provienen del hecho de que las composiciones son restringidas ya que 64 nuevas estructuras. A través de las síntesis de estas relaciones, el estudiante es consciente de las transformaciones que se desarrollan en el esquema y construye una estructura nueva. En esta etapa aparece el desarrollo de la coherencia, que se demuestra por la capacidad de un individuo para reconocer las relaciones que se incluyen en el esquema y para reflexionar sobre la estructura explícita del esquema y de ella considerar el contenido que es adecuado en la solución de un problema. En cada nivel de la tríada, el estudiante reorganiza conocimientos adquiridos en el nivel anterior. El paso de un nivel al siguiente por parte del estudiante, incluye un aumento en el repertorio de los elementos matemáticos y la construcción de nuevas formas de relaciones o transformaciones entre los elementos matemáticos usados en la resolución de un problema. Una vez formado/construido el esquema, este puede ser tematizado. Piaget y García (1983/89) definen la tematización como: "el pasaje del uso o aplicación implícita a la utilización consciente, a la conceptualización" (p.103). 2.3 Preguntas de investigación A partir de las ideas planteadas en este marco teórico, las preguntas que abordamos en esta investigación son las siguientes: 65 ¿Qué caracteriza el esquema de sucesión numérica en estudiantes de Educación Secundaria Obligatoria a los que se les ha introducido previamente dicho concepto? ¿Cuáles son las características de los niveles de desarrollo del esquema de sucesión numérica? ¿Qué elementos matemáticos, qué relaciones lógicas y qué registros de representación se ponen de manifiesto en los niveles de desarrollo del esquema del concepto de sucesión numérica? 66 67 Capítulo III: DISEÑO DE INVESTIGACIÓN 68 69 Capítulo III: DISEÑO DE INVESTIGACIÓN En esta sección presentamos la metodología de la investigación que hemos dividido en tres partes. En la primera presentamos a los participantes en ella, en la segunda presentamos el diseño y aplicación de los instrumentos de recogida de datos que nos han servido para desarrollar nuestra investigación, y por último el procedimiento de análisis. 3.1 Participantes Los participantes que formaron parte de esta investigación son 105 estudiantes de segundo ciclo de Educación Secundaria Obligatoria (en adelante ESO) (14-16 años) de un centro de la comunidad autónoma 70 andaluza. Los estudiantes (tabla 2) accedieron de forma voluntaria a realizar el cuestionario, previamente se les había introducido el concepto de sucesión numérica en el tercer trimestre de la asignatura de matemáticas de 3º de ESO. Tabla 2: Número de estudiantes seleccionados en cada curso ESTUDIANTES 3er curso de ESO 75 4º curso de ESO 30 En relación a a la codificación, informar que en un primer momento se codificaron los estudiantes teniendo en cuenta el curso y el grupo en el que estaban, por ejemplo, el estudiante codificado como 3b2 se correspondía con un estudiante de 3º de ESO del grupo b con el número 2 de lista. Posteriormente consideramos que era más anónimo si reorganizábamos la forma de codificar a los estudiantes que intervenían en la investigación. En lugar de codificarlos por curso, clase y número de lista, se codificaron desde el primero (e1) hasta el último (e105) de forma consecutiva. 3.2 Diseño del instrumento de recogida de datos El procedimiento de elaboración de los instrumentos de recogida de datos se llevó a cabo en tres etapas: _ Análisis del concepto de sucesión numérica, con el objetivo de identificar los elementos matemáticos, relaciones lógicas y registros 71 de representación que pueden darse entre ellos para la resolución de tareas que involucran a las sucesiones numéricas. _ Descomposición genética del concepto. _ Selección de problemas del cuestionario. 3.2.1 Elementos matemáticos, relaciones lógicas y registros de representación Elementos matemáticos A partir del análisis del concepto de sucesión numérica realizado consultando libros de texto de Educación Secundaria (Editoriales: SM, Oxford, Santillana, Anaya, Vicens-Vives), libros de nivel universitario (Autores: Apostol, Stewart, González) e investigaciones previas sobre dicho concepto, los elementos matemáticos vinculados al concepto de sucesión numérica considerados en nuestra investigación son los siguientes: E1 Sucesión (como lista): secuencia de números Reales dispuestos en un orden, es decir, para todo número natural n existe un número real E2 Términos: se definen como los integrantes de la sucesión. El lugar que ocupa lo determina su posición que se denota por un subíndice que pertenece a los números naturales. E3 Término General: se define como el término que, dependiendo de su posición (subíndice) sabemos su valor, y se denota por “an” (con n perteneciente a los naturales) 72 E4 Progresión Aritmética: sucesión donde cada término se obtiene del anterior sumándole una cantidad fija que denominamos diferencia. E5 Término general de una progresión aritmética: { a n = a 1 + (n − 1)·d,n ∈ N } . Siendo a1 el primer término y d la diferencia entre términos consecutivos E6 Progresión Geométrica: sucesión donde cada término se obtiene del anterior multiplicándole una cantidad fija que denominamos razón. E7 Término general de una progresión geométrica: {a = a ·rn−1,n∈ N} . Siendo a el primer término y r la razón de la progresión n 1 1 E8 Sucesión Recurrente: una sucesión es recurrente si hay definida sobre ella una ley de recurrencia, es decir, una relación entre un término y los anteriores. E9 Sucesión por Extensión: se define una sucesión por extensión cuando se da una serie de términos consecutivos de la misma. E10 Sucesión Creciente: se dice que una sucesión{a n , n ∈ N} es creciente si cada término es menor o igual que el término siguiente. E11 Sucesión Decreciente: se dice que una sucesión{a n , n ∈ N} es decreciente si cada término es mayor o igual que el término siguiente. Relaciones lógicas Las relaciones lógicas que se pueden establecer entre los elementos matemáticos consideradas en nuestra investigación son las siguientes: 73  Conjunción lógica (o y lógica): es la relación que se produce entre elementos matemáticos cuando se usan conjuntamente para hacer inferencias. Un ejemplo de esta relación lo podemos ver en el uso conjunto de los elementos matemáticos, términos de una sucesión (E2) y sucesión como lista (E1) para identificar una sucesión numérica.  Implicación lógica: [A→B]: Esta relación es una estructura en la que un elemento matemático es consecuencia lógica de otro u otros. Un ejemplo es la relación que existe entre progresiones y sucesiones numéricas: progresión aritmética o geométrica (E4 o E6) implica sucesión numérica (E1).  Contrarrecíproco: es la relación que se establece en un condicional directo y su negación [(A→B) ↔ (┐B→ ┐A)] Un ejemplo de esta relación lógica la podemos encontrar la relación entre sucesiones numéricas y términos de una sucesión numérica, es decir, si existe una sucesión numérica (E1) implica que existen todos sus términos (E2), y su negación si no existe algún término (E2) entonces no existe sucesión numérica (E1).  Equivalencia lógica (o doble implicación): es la relación que se establece en un bicondicional y la conjunción de los condicionales [(A↔B); (A→B) ^ (B → A)] Registros de Representación Los resultados de investigaciones sobre diferentes conceptos matemáticos ponen de manifiesto cómo los registros de representación pueden jugar un papel relevante para caracterizar el desarrollo de la comprensión de estos conceptos (Duval, 2006), ya que el uso de varios registros de representación y la coordinación entre ellos pueden informarnos 80 La tarea 4 es similar a una tarea del libro de Stewart et al. (2013), mostrada en la figura 8 (p.35), en dicha tarea aparecen sucesiones numéricas en diferentes registros de representación, y se demanda a los estudiantes que relacionen las expresiones algebraicas con su correspondiente registro de representación gráfico-cartesiano o gráfico-lineal. En este trabajo se modificó la tarea original de tal forma que no todas las expresiones algebraicas tenían su correspondiente registro de representación gráficocartesiano o gráfico-lineal, en particular, el gráfico-lineal 4) y la expresión algebraica a) no se podían emparejar. A continuación, mostramos los objetivos que se pretenden alcanzar con cada una de las tareas del cuestionario (tabla 3). Tabla 3: Objetivo de las tareas del cuestionario TAREA REGISTROS DE REPRESENTACIÓN OBJETIVOS T1 Algebraico y numérico Movilizar el concepto de sucesión como lista numérica para distinguir entre aquellas que son sucesiones numéricas y aquellas que no lo son. T2 Algebraico A partir de una sucesión dada en registro de representación algebraico, realizar, mediante la estructura mental acción, traslaciones del registro de representación algebraico al registro de representación numérico, y viceversa, obtener a partir de un valor , su posición o decidir si ese valor corresponde o no a la sucesión. 81 Movilizar los elementos sucesión decreciente a partir de la estructura mental proceso y obtener una aproximación de la sucesión al aumentar la posición. T3 Gráfico-cartesiano A partir de una sucesión dada en registro de representación gráficocartesiano, realizar traslaciones del registro de representación gráficocartesiano al registro de representación numérico, y viceversa, obtener a partir de un valor, s u posición o decidir si ese valor corresponde o no a la sucesión. Movilizar los elementos sucesión creciente a partir de la estructura mental proceso y obtener una aproximación de la sucesión cuando la posición aumenta. T4 Gráfico-lineal, gráfico-cartesiano y algebraico Movilizar el uso de las traslaciones entre los diferentes registros de representación, gráfico-lineal o gráficocartesiano, registro de representación algebraico y registro de representación numérico. Un análisis detallado de las características de la comprensión del concepto de sucesión numérica que se pondrían de manifiesto en un estudiante que resuelva cada una de las tareas se describe en Bajo et al. (2019) El cuestionario se presentó con el siguiente formato: una primera hoja independiente, donde identificábamos al estudiante, con el objetivo de localizar al estudiante para posteriormente hacer la entrevista semiestructurada escrita. Y en las siguientes cuatro hojas se le presentaba la 82 tarea en forma de tabla, donde en la parte superior se mostraba el enunciado de la tarea a realizar y en la parte inferior se dividía en dos cuadros, uno para la realización de la tarea, y en el otro cuadro donde se le pedía al estudiante que justificase todas las respuestas dadas (Figura 21). Figura 21: Formato del cuestionario. 3.3 Aplicación de los Instrumentos de recogida de datos Para nuestra investigación, hemos diseñado dos instrumentos de recogida de datos, un cuestionario que consta de cuatro tareas (descritas en el apartado anterior) que se respondió en una hora de clase, y una entrevista semiestructurada escrita, diseñada para cada estudiante, a partir de las respuestas dadas al cuestionario. El objetivo de este segundo instrumento fue profundizar en aquellas respuestas que no habían sido suficientemente justificadas. Un ejemplo de cómo se diseñó la entrevista semiestructurada escrita a partir de las respuestas de los estudiantes a cada una de las tareas del cuestionario lo mostramos con la tarea 1 del cuestionario del estudiante e39: En el apartado b) de la tarea 1 (figura 20), el estudiante e39 escribe que “no sería sucesión [la expresión an= 1/ n2 +1] porque el término general 83 ¿Podrías aclarar la respuesta dada al apartado b: ¿Por qué no es sucesión? no se va sumando, multiplicando, restando o dividiendo por un número fijo” (figura 22). Figura 22: Respuesta del estudiante e39 al apartado b) de la tarea 1 del cuestionario En la entrevista semiestructurada escrita, para saber qué estaba queriendo decir el estudiante con esta respuesta, le preguntamos: ¿Podrías aclarar la respuesta dada al apartado b) (¿Por qué no es sucesión?). Y es entonces cuando el estudiante e39 modifica su respuesta haciendo uso del elemento matemático término general (E3), respondiendo que a pesar de no ser una progresión (“no se multiplique, sume, reste o divida por un número fijo”), si es una sucesión numérica porque “sigue un patrón fijo” (refiriéndose al término general de la sucesión proporcionado en el enunciado) (figura 23). Con esta nueva respuesta del estudiante pudimos ampliar la información sobre la comprensión que ese estudiante tenía sobre el concepto de sucesión numérica. Figura 23: Respuesta del estudiante e39 al apartado b) de la tarea 1 de la entrevista semiestructurada escrita. 84 Esta entrevista se elaboró para cada estudiante en función a las respuestas que previamente cada uno había dado en el cuestionario tres semanas antes. Esta entrevista semiestructurada escrita nos permitió indagar en aquellas respuestas que o no habían sido argumentadas, no estaban suficientemente justificadas, o no habían sido respondidas. Los estudiantes, para responder a esta entrevista semiestructurada escrita, tenían a su disposición el cuestionario que ya habían contestado hacía tres semanas. 3.4 Procedimiento de análisis En este epígrafe describimos tanto la caracterización de los distintos niveles de desarrollo del esquema de sucesión numérica a partir del marco teórico (descrito en la sección anterior) como el procedimiento de análisis realizado a las respuestas dadas por los estudiantes al cuestionario y la entrevista semiestructurada escrita de forma conjunta. 3.4.1 Caracterización de los niveles de desarrollo del esquema A partir del marco teórico, caracterizamos el esquema de sucesión numérica por los elementos matemáticos, los registros de representación, las diferentes relaciones entre los elementos matemáticos y las estructuras mentales (Tabla 4) 85 Tabla 4: Caracterización de los niveles del esquema de sucesión numérica. NIVEL CARACTERÍSTICAS INTRA Un mismo elemento puede ser usado de forma correcta en determinadas tareas e incorrecta en otras, vinculadas a un registro de representación. Las relaciones lógicas entre elementos se producen siempre con errores. Se pone de manifiesto la estructura mental acción del concepto de sucesión numérica. INTER Los elementos matemáticos se usan de forma correcta en un mismo registro de representación. Uso correcto de las relaciones lógicas (conjunción lógica, implicación lógica y contrarrecíproco) entre elementos matemáticos en algunas ocasiones y en un mismo registro de representación. Se pone de manifiesto la traslación entre registros de representaci ón en algunas situaciones. Se pone de manifiesto la estructura mental proceso del concepto de sucesión numérica. Se pone de manifiesto la coordinación proceso en algunas situaciones. TRANS Uso de todos los elementos matemáticos de forma correcta en el registro de representación necesario en cada tarea. Uso de las relaciones lógicas entre los elementos matemáticos de forma correcta. Se pone de manifiesto la síntesis entre los diferentes registros de representación. Se pone de manifiesto la estructura mental objeto del concepto de sucesión numérica y desencapsulación de este en procesos. 3.4.2 Descripción de las fases del análisis A continuación, procedemos a mostrar el procedimiento de análisis llevado a cabo en esta investigación. La primera fase se centró en identificar los elementos matemáticos, las relaciones lógicas que se establecen entre ellos, los registros de representación, las traslaciones entre ellos y las 86 estructuras mentales del concepto de sucesión numérica que se ponían de manifiesto en las respuestas de los estudiantes en la resolución de cada una de las tareas, considerando conjuntamente las respuestas dadas a la tarea en el cuestionario y la entrevista semiestructurada escrita. Con ello obtuvimos una caracterización de la comprensión del concepto de sucesión por parte del estudiante para cada una de las tareas. En la segunda fase del análisis, a partir de los resultados obtenidos en la primera fase, se analizó la resolución de todas las tareas para cada uno de los estudiantes. De esta manera se obtuvo una caracterización del nivel comprensión del concepto de sucesión numérica que ha alcanzado el estudiante. A continuación, mostramos cómo se han realizado ambas fases con un ejemplo en cada una de ellas, el estudiante e5 para la fase 1, y el estudiante e17 para la fase 2. Fase 1 Vemos a continuación un ejemplo de esta fase de análisis con la tarea 1 del estudiante e5. Este estudiante, en el apartado a) de la tarea 1 del cuestionario, hace uso de la relación “Implicación lógica” cuando responde que como hay términos hay sucesión, es decir, dando valores a la posición obtenemos los términos de la sucesión E1=>E3, por lo que el estudiante hace uso de la 87 estructura mental acción para ir dando valores a la expresión algebraica y obteniendo los distintos valores según la posición, seguidamente hace uso de la estructura mental proceso del concepto de sucesión numérica, ya que considera que es posible obtener los infinitos valores que constituyen la sucesión al decir que hay una relación entre los valores de an cuando se le dan valores a “n”, como muestra la figura 25. Figura 25: Respuesta del estudiante e5 al apartado a) de la tarea 1 del cuestionario Este estudiante no se da cuenta del quinto término, lo que nos indica que en la entrevista semiestructurada escrita debemos preguntárselo: Figura 26: Respuesta del estudiante e5 al apartado a) de la tarea 1 de la entrevista semiestructurada escrita 88 Por la respuesta de este estudiante, comprobamos que hace uso de la relación lógica de contrarrecíproco, es decir, ┐ E2 => ┐ E1 al decir que no hay sucesión al no existir el quinto término (figura 26). De esta manera el estudiante indica que no es sucesión numérica en este apartado por no existir el término correspondiente a n=5. Por lo tanto, el estudiante e5 en el apartado a) de la tarea 1 muestra evidencias del uso de las relaciones “implicación lógica” y la relación de “contrarrecíproco” entre elementos matemáticos relativos a las sucesiones numéricas; usando la traslación del registro de representación algebraico al registro numérico y también utiliza las estructuras mentales acción y proceso para ir extrayendo los cuatro primeros términos de la expresión algebraica y respondiendo de forma adecuada a la tarea 1 del cuestionario. En ocasiones, a través del análisis realizado, no obtenemos información clara sobre las respuestas dadas por los estudiantes, y hay que realizar una inferencia, por lo que realizamos una hipótesis de trabajo sobre el desarrollo del esquema que deberá ser aceptada o rechazada a través del análisis de la Fase 2. Fase 2 Para mostrar un ejemplo de esta fase nos fijamos en el estudiante e17. A partir del análisis de cada tarea por separado que hemos realizado en la fase primera, nos fijamos cómo resuelve todas las tareas, con el objetivo de 89 caracterizar el nivel de desarrollo del esquema de sucesión alcanzado por este estudiante. El estudiante e17 en la respuesta de la primera tarea en sus distintos apartados, pone de manifiesto el uso incorrecto de la equivalencia lógica entre progresión y sucesión, es decir este estudiante no diferencia entre progresión y sucesión. Figura 27: Respuesta del estudiante e17 al apartado a) y b) de la tarea 1 del cuestionario Como nos muestra en estos dos primeros apartados, donde usa de forma errónea la implicación lógica en forma negativa (┐ E4 ≠> ┐ E1 o ┐ E6 ≠> ┐ E1), es decir, no hay progresión entonces no hay sucesión, al responder que la razón no se mantiene entre dos pares de números consecutivos. Cuando la sucesión es progresión no tiene problemas como muestra en el apartado d) donde usa correctamente la relación de implicación lógica, es decir, progresión implica sucesión: 96 97 Capítulo IV: RESULTADOS 98 99 Capítulo IV: RESULTADOS En este apartado se presentan los resultados expuestos en los tres artículos que conforman la tesis. En Bajo et al. (2019) se muestra la caracterización de los niveles de comprensión del concepto de sucesión numérica puesto de manifiesto por los estudiantes de Segundo Ciclo de Educación Secundaria Obligatoria, según las relaciones lógicas (que se establecen entre los elementos matemáticos), el repertorio de elementos matemáticos utilizados por los estudiantes en las diferentes tareas del cuestionario, los registros de representación involucrados en su resolución, y las estructuras mentales que se ponen de manifiesto en las respuestas de los estudiantes en la resolución de las diferentes tareas del cuestionario. En Bajo et al. (2021) focalizamos el papel que tiene la relación de implicación lógica como indicador de la transición de nivel Inter al nivel Trans en el concepto de sucesión numérica. Y, por último, en Bajo et al. 100 (2023) nos centramos en el papel que desempeña el registro de representación gráfico en la caracterización del esquema del concepto de sucesión numérica, al ser el uso de este registro de representación fundamental en la transición de niveles. 4.1 Caracterización de los niveles de comprensión del esquema de sucesión numérica en estudiantes de Educación Secundaria Obligatoria El análisis realizado nos permitió asignar cada individuo a un determinado nivel de comprensión del esquema de sucesión numérica poniéndose de manifiesto que: - La construcción del esquema de sucesión numérica se hacía de forma progresiva a partir de la cantidad de elementos y relaciones consideradas por los estudiantes asignados a un mismo nivel, es decir, a medida que avanzamos en cada nivel, se iban incorporando nuevos elementos matemáticos y sus relaciones entre ellos, dotando de una estructura más consistente al esquema de sucesión numérica. - Los registros de representación tienen una influencia crucial en la construcción del esquema de sucesión numérica. Y esto, tanto en la forma de establecer relaciones lógicas entre los elementos matemáticos en un mismo registro de representación, como a la hora de realizar traslaciones entre varios registros de representación cuando el estudiante resuelve la tarea. 101 4.1.1 Nivel INTRA del desarrollo del esquema de sucesión numérica Este nivel se caracteriza por el uso que hace el estudiante de elementos matemáticos de forma correcta en determinadas tareas e incorrecta en otras, vinculadas a un mismo registro de representación, sin establecer relaciones entre los registros de representación. Es decir, los registros de representación son considerados como diferentes y no los relaciona cognitivamente. Se pone de manifiesto una forma de conocer acción del concepto de sucesión numérica. Las relaciones lógicas entre elementos matemáticos se producen siempre con errores. Los elementos usados en este nivel son: E1, E2, E3, E4 y E6. Un ejemplo de un estudiante típico de este nivel Intra del desarrollo del esquema de sucesión numérica está recogido en Bajo et al. (2019) en la página 158. En la siguiente tabla (tabla 5), se muestran los estudiantes situados en este nivel: Tabla 5: Estudiantes situados en el nivel INTRA Nivel Estudiantes Número INTRA e2, e13, e14, e20, e29, e32, e34, e35, e37, e38, e42,e43,e45,e48,e49,e50,e51,e54,e57,e62,e63,e66 e67, e68, e69, e70, e71, e72, e74, e75, e76, e77, e78, e79, e80, e81, e82, e84, e85, e86, e87, e88, e89, e90, e92, e93, e94, e95, e96, e97, e98, e99, e100, e101, e102, e105. 56 102 4.1.2 Nivel INTER del desarrollo del esquema de sucesión numérica Este nivel de desarrollo se caracteriza porque aumenta el repertorio de elementos matemáticos relativos a las sucesiones numéricas. Además de los elementos matemáticos usados en el nivel Intra, los estudiantes en el nivel Inter usan los elementos matemáticos E5, E7, E8, E9, E10 y E11. También, en este nivel, se pone de manifiesto un uso correcto de las relaciones lógicas (conjunción lógica, implicación lógica y contrarrecíproco) entre elementos matemáticos situados en un mismo registro de representación. Uso incorrecto de la relación lógica de equivalencia (implicación lógica en forma negativa). También en este nivel de desarrollo se pone de manifiesto por parte del estudiante el uso de las traslaciones de un registro de representación a otro como, por ejemplo: -Manipulan varios registros de representación de forma aislada, sin conexión entre ellos. -Uso de los registros de representación gráfico (lineal y cartesiano) con errores. -Traslaciones de los registros numéricos y algebraicos a los registros gráfico lineal y cartesiano a veces con errores. Para este nivel de desarrollo, los estudiantes empiezan a interiorizar las acciones para convertirlas en procesos. 103 Un ejemplo de un estudiante típico de este nivel Inter del desarrollo del esquema de sucesión numérica está recogido en Bajo et al. (2019) en la página 159. En la tabla 6, se muestran los estudiantes participantes en nuestro estudio situados en este nivel: Tabla 6: Estudiantes situados en el nivel INTER Nivel Estudiantes Número INTER e1, e4, e5, e6, e8, e11, e12, e15, e17, e18, e19, e21, e22, e26, e27, e28, e30, e31, e33, e36, e41, e44, e46, e47, e52, e53, e55, e56, e58, e59, e60, e61, e64, e65, e73, e83, e91, e103, e104. 39 4.1.3 Nivel TRANS del desarrollo del esquema de sucesión numérica Este nivel se caracteriza porque los estudiantes hacen uso de todos los elementos matemáticos de forma correcta en el registro de representación necesario en cada tarea, y apenas tienen restricciones a la hora de establecer relaciones entre los elementos del esquema (usando todas las relaciones de forma correcta), y también se produce coordinación entre los distintos registros de representación, estableciéndose la síntesis entre los diferentes registros de representación a través de las traslaciones entre ellos. Se pone de manifiesto la estructura mental objeto del concepto de sucesión numérica y la desencapsulación de éste en proceso. 104 Un ejemplo de un estudiante típico de este nivel Trans de desarrollo del esquema de sucesión numérica está recogido en Bajo et al. (2019) en la página 161. En la tabla 7, se muestran los estudiantes participantes en nuestro estudio situados en este nivel: Tabla 7: Estudiantes situados en el nivel TRANS Nivel Estudiantes Número TRANS e3, e7, e9, e10, e16, e23, e24, e25, e39, e40 10 El análisis de los datos realizado nos permitió caracterizar el esquema de sucesión numérica. En la tabla 8 se muestran las características propias de cada nivel, sin olvidar su carácter progresivo, es decir, en cada nivel superior se van añadiendo todos los elementos matemáticos y las relaciones lógicas de los niveles anteriores (Bajo et al., 2019). Tabla 8: Caracterización de los niveles de desarrollo del esquema de sucesión numérica. NIVEL CARACTERÍSTICAS ELEMENTOS MATEMÁTICOS Nº EST INTRA Un mismo elemento puede ser usado de forma correcta en determinadas tareas e incorrecta en otras, vinculadas a un registro de representación. Las relaciones lógicas entre elementos se producen siempre con errores. Se pone de manifiesto la estructura mental acción del concepto de sucesión numérica. Sucesión como lista (E1) Términos de la sucesión (E2) Término general (E3) Progresión aritmética (E4) Progresión geométrica (E6) 56 105 INTER Los elementos matemáticos se usan de forma correcta en un mismo registro de representación. Uso correcto de las relaciones lógicas (conjunción lógica, implicación lógica y contrarrecíproco) entre elementos matemáticos en un mismo registro de representación. Uso incorrecto de la relación lógica de equivalencia (implicación lógica en forma negativa). Se pone de manifiesto la traslación entre registros de representación en algunas situaciones. Se pone de manifiesto la estructura mental proceso del concepto de sucesión numérica. Se pone de manifiesto la coordinación proceso en algunas situaciones. Sucesión creciente (E10) Sucesión decreciente (E11) Sucesiones recurrentes(E8) Sucesiones por extensión (E9) Término general progresión aritmética(E5) Término general de una progresión geométrica (E7) 39 TRANS Uso de todos los elementos matemáticos de forma correcta en el registro de representación necesario en cada tarea. Uso de las relaciones lógicas entre los elementos matemáticos de forma correcta. Se pone de manifiesto la síntesis entre los diferentes registros de representación. Se pone de manifiesto la estructura mental objeto del concepto de sucesión numérica y desencapsulación de este en procesos. 10 Esta caracterización también nos ha permitido identificar algunos indicadores de la comprensión del concepto de sucesión numérica, tratados de forma detallada en Bajo et al. (2021) y (2023). En Bajo et al. (2021) se trata de forma pormenorizada el papel que desempeña la relación de implicación lógica entre progresiones y sucesiones en la transición del nivel 112 113 Capítulo V: CONCLUSIONES 114 115 Capítulo V: CONCLUSIONES Mostramos algunas conclusiones que se derivan de los resultados obtenidos en nuestra investigación sobre la comprensión del esquema de sucesión numérica, señalando características propias de cada nivel de comprensión del esquema. Y de forma específica nos fijamos en dos indicadores relevantes en la caracterización de dicho esquema como son el uso de las relaciones lógicas, y los registros de representación por parte de los estudiantes cuando resuelven tareas que involucran a las sucesiones numéricas. Además, proponemos, en base a los resultados que hemos obtenido, una revisión de la descomposición genética inicial del concepto de sucesión 116 numérica. Indicamos algunas implicaciones para la enseñanza de las sucesiones numéricas en estudiantes de Educación Secundaria Obligatoria. Finalmente, mostramos algunas limitaciones y perspectivas de futuro de nuestra investigación. 5.1 Desarrollo del esquema de sucesión numérica Esta investigación ha permitido identificar características de los diferentes niveles de la comprensión del concepto de sucesión numérica, Intra, Inter y Trans (Bajo et al., 2019). Para ello hemos considerado los elementos matemáticos que conforman el concepto, las relaciones lógicas que se establecen entre ellos (Y lógica, equivalencia lógica, implicación lógica y el contrarrecíproco), las transformaciones y traducciones entre los diferentes registros de representación, numérico, algebraico y gráfico (lineal y cartesiano). Así como, las estructuras mentales (acción, proceso, objeto y esquema) y los mecanismos de construcción (interiorización, encapsulación, desencapsulación). Las características propias de cada nivel de comprensión del esquema de sucesión numérica (Intra, Inter y Trans) son las siguientes: - Características del nivel Intra del esquema de sucesión numérica: dicho nivel se caracteriza porque el estudiante, en la resolución de las diferentes tareas del cuestionario, a veces usa un mismo elemento 117 tanto de forma correcta como incorrecta, vinculando el uso de los elementos matemáticos a un registro de representación y no se realizan traslaciones entre registros de representación. Las relaciones lógicas entre elementos se producen siempre con errores, poniéndose de manifiesto una forma de conocer acción del concepto de sucesión numérica. Los estudiantes, para este nivel de desarrollo del esquema de sucesión numérica, hacen uso de las estructuras mentales orientadas a acciones, procesos y objetos individuales sin relacionarlos entre sí. De este registro, el estudiante hace uso de (pocos) elementos matemáticos de forma aislada (a veces de forma correcta) en algún registro de representación, sin establecer relaciones, es decir, no los relaciona cognitivamente. -Características del nivel Inter del esquema de sucesión numérica: en este nivel el estudiante usa los elementos matemáticos de forma correcta vinculados a determinadas tareas, pero solo en algunos registros de representación, y establecen relaciones entre los elementos matemáticos cuando se encuentran en un mismo registro de representación, a veces de forma incorrecta. Se empiezan a poner de manifiesto el establecimiento de relaciones lógicas entre elementos matemáticos de forma correcta (conjunción lógica, implicación lógica 118 y contrarrecíproco) y en otros casos con errores (la equivalencia lógica que lleva al estudiante a identificar las progresiones con las sucesiones). Se ponen de manifiesto las diferentes las estructuras mentales del concepto de sucesión numérica (acción, proceso y coordinación de procesos). También en este nivel se ponen de manifiesto las traslaciones de un registro de representación a otro. -Características del nivel Trans del esquema de sucesión numérica: aquí el estudiante usa siempre los elementos matemáticos necesarios en la resolución de las diferentes tareas vinculadas a los distintos registros de representación, lo que evidencia la síntesis entre ellos. Además, se establecen diferentes tipos de relaciones lógicas (conjunción lógica, implicación lógica, contrarrecíproco, equivalencia lógica) cuando son necesarias en la resolución de la tarea, porque los estudiantes no tienen restricciones a la hora de establecer relaciones entre los elementos del esquema, se producen coordinaciones entre los distintos registros de representación de forma fluida, y se ponen de manifiesto las diferentes las estructuras mentales del concepto de sucesión numérica, evidenciándose la síntesis entre los registros de representación. La investigación de McDonald et al. (2000) sobre el concepto de sucesión señaló que para la construcción de dicho concepto los estudiantes 119 construyen dos objetos cognitivos diferentes, la sucesión como lista numérica (Seqlist) y la sucesión como función de dominio los números naturales (Seqfun), centrándose estos investigadores en el segundo de ellos, puesto que los estudiantes con los que realizan su investigación tienen construido el concepto Seqlist (estudiantes universitarios) como objeto. Nosotros, en nuestro trabajo complementamos dicha investigación centrándonos en la construcción del primero de ellos Seqlist. Además, esta investigación nos ha permitido identificar dos indicadores de la transición entre los niveles Inter y Trans en el esquema de sucesión numérica que son, por un lado, la relación de implicación lógica que hay entre el concepto de sucesión numérica y progresión numérica. Y por otro lado, el uso del registro de representación gráfico (lineal y cartesiano) vinculado a dicho concepto. 5.1.1 Relaciones lógicas: la implicación lógica como indicador de nivel del esquema Un tipo particular de sucesión numérica son las progresiones aritméticas. En relación con este tipo de sucesiones, uno de los resultados obtenidos en la investigación de Przenioslo (2006) fue que los estudiantes consideraban las sucesiones como progresiones aritméticas. Este resultado está en coherencia con los resultados obtenidos en nuestra investigación, en la que de los estudiantes situados en el nivel Inter del esquema de sucesión numérica establecen una relación de equivalencia 120 lógica entre sucesión numérica y progresión. En este sentido, los resultados de nuestra investigación complementan los resultados de Przenioslo (2006) al considerar los estudiantes las sucesiones como progresiones, tanto las progresiones aritméticas como las geométricas. La relación entre las progresiones y las sucesiones numéricas, hemos podido estudiarlas y caracterizarlas a través de la relación de implicación lógica (Bajo et al., 2021). En este sentido, nuestros resultados nos han permitido poner de manifiesto que el uso correcto de la implicación lógica en la resolución de las tareas por parte del estudiante es un indicador de la transición entre los niveles inter y trans del desarrollo del esquema del concepto de sucesión numérica. Aquellos estudiantes que hacen un uso correcto de esta relación, tanto para afirmar como para negar, es decir, si se verifica “A” entonces se verifica “B” (si A → B, forma afirmativa), pero si no se verifica “A” no implica que no se verifique “B” (no A ≠> no B, forma negativa), evidencian un uso flexible de dicha relación y son estudiantes que se encuentran en el nivel Trans del desarrollo del esquema de sucesión numérica. En nuestra investigación, dicho uso flexible se ha evidenciado en la relación de implicación lógica que se establece entre los elementos matemáticos sucesión numérica (E1) y progresión aritmética (E4) o geométrica (E6), es decir, progresión (aritmética o geométrica) implica sucesión numérica [(E4 o E6) => E1], sin embargo, no progresión (aritmética o geométrica), no implica no sucesión, [ ┐ E4 ≠> ┐ E1 o ┐ E6 ≠> ┐ E1]. 121 Y por otro lado están aquellos estudiantes que haciendo uso correcto de algunas relaciones (por ejemplo, Y lógica) sin embargo la relación de implicación lógica, cuando la resolución de la tarea les exige hacer uso de dicha relación en su forma negativa, la usan de manera incorrecta. Estos estudiantes se encuentran en el nivel inter del desarrollo del esquema de sucesión numérica. Estos resultados de nuestra investigación están en consonancia con investigaciones previas en relación a otros conceptos matemáticos como el de función derivada (Fuentealba et al., 2019; Sánchez-Matamoros, 2004; Sánchez-Matamoros et al., 2008). En dichas investigaciones se puso de manifiesto cómo el uso de las relaciones lógicas Y lógica, contrarrecíproco y equivalencia lógica son indicadores del desarrollo del esquema del concepto de función derivada. En nuestra investigación hemos podido corroborar cómo, además de estas relaciones lógicas, también la relación de implicación lógica es un indicador del desarrollo del esquema del concepto de sucesión numérica. Este hecho nos permite considerar que el uso que hacen los estudiantes de las relaciones lógicas cuando resuelven tareas son indicadores del desarrollo del esquema de conceptos matemáticos. 5.1.2 Registros de representación gráfico: gráfico lineal y gráficocartesiano El uso de diferentes registros de representación se ha considerado como un elemento clave para caracterizar la comprensión de conceptos 128 5.3 Implicaciones para la enseñanza El aprendizaje del concepto de sucesión numérica es un desafío para los estudiantes de Educación Secundaria ya que es uno de los primeros conceptos matemáticos que no se desarrolla en un contexto finito sino en un contexto infinito. Específicamente, un contexto infinito discreto (se basan en los números naturales, que es un conjunto numerable infinito) que es la transición hacia conceptos del análisis matemático en contexto infinitos no discretos (continuos, conjunto no numerable) con base en los números reales. Estas investigaciones son fundamentales cuando se plantea el diseño de la enseñanza en estos niveles educativos que permita a los estudiantes comprender el concepto. Por ejemplo, este trabajo pone de manifiesto que los dos registros de representación gráficos de las sucesiones numéricas no tienen la misma naturaleza: el registro grafico-lineal se representa en una dimensión (recta real) y requiere unas habilidades de lectura diferentes al registro gráficocartesiano que se representa bidimensionalmente (plano euclídeo). En este registro de representación gráfico, las conversiones entre ambos gráficolineal y gráfico-cartesiano no son inmediatas. Una posible forma de facilitar estas conversiones puede ser a través de tareas que permitan la conversión al registro de representación numérico. 129 Asimismo, los resultados de esta investigación pueden ser útiles para la enseñanza cuando el profesor en su planificación elabore trayectorias hipotéticas de aprendizaje (Simon, 1995). En la elaboración de estas trayectorias, nuestro trabajo proporciona una posible progresión en el aprendizaje del concepto de sucesión numérica. También, los resultados obtenidos en esta investigación pueden usarse para el diseño de un módulo de formación para (futuros) profesores de Educación Secundaria (Sánchez-Matamoros, 2014). 5.4 Limitaciones y perspectivas de futuro El tamaño de la muestra y los cambios curriculares que se han propuesto en los últimos años pueden ser una limitación de este trabajo. Para futuras investigaciones a partir de la caracterización de los niveles Intra, Inter y Trans para el concepto de sucesión numérica podemos empezar a considerar la identificación de subniveles dentro de cada uno de los niveles considerados ya que cada nivel implica a su vez algunos subniveles siguiendo el mismo orden de progresión, así como la tematización del esquema (Piaget y García, 1983). Además, dado que este trabajo se ha realizado con estudiantes de Secundaria Obligatoria (14-16 años), una línea de investigación futura es realizar la investigación con estudiantes de niveles de Bachillerato y/o universitarios para indagar en el desarrollo de la comprensión de dicho 130 concepto, caracterizar con más detalle el nivel Trans- y poder evidenciar la tematización del esquema. También la realización de un análisis cuantitativo de los datos nos permitirá confirmar y refinar las caracterizaciones realizadas de los niveles de desarrollo del esquema, dando lugar a una metodología mixta (Fuentealba, 2019). Asimismo, los resultados obtenidos de esta investigación nos han proporcionado una descomposición genética refinada del concepto de sucesión numérica que puede utilizarse como punto de partida del ciclo de desarrollo curricular e investigación para la enseñanza (Arnon et al., 2014) de dicho concepto. Además, el uso de esta investigación para el diseño de un módulo de formación para (futuros) profesores de Educación Secundaria, permitirá realizar investigaciones en el contexto de aula sobre el aprendizaje de los (futuros) profesores (Sánchez-Matamoros, 2014). 131 REFERENCIAS 132 133 REFERENCIAS Altay, M. K., Akyüz, E. Ö., y Erhan, G. K. (2014). A study of middle grade students’ performances in mathematical pattern tasks according to their grade level and pattern presentation context. Procedia – Social and Behavioural Sciences, 116, 4542–4546. https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2014.01.982 Amaya, T. (2020). Evaluación de la faceta epistémica del conocimiento didáctico-matemático de futuros profesores de matemáticas en el desarrollo de una clase utilizando funciones. Bolema, 34(66), 110-131. https://doi.org/10.1590/1980-4415v34n66a06 Apostol T.M. (1996). Calculus. Reverte. Aranda, C. y Callejo, M.L. (2015). 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Sevilla (España) jba[email protected] , [email protected] , gsanchezmatamoro[email protected] RESUMEN • El objetivo de esta investigación es la caracterización de la compresión del concepto de sucesión numérica en los estudiantes de segundo ciclo de Educación Secundaria Obligatoria (14- 16 años), considerando como marco teórico APOS, a través del uso que hacen los estudiantes de los elementos matemáticos, las relaciones que se establecen entre ellos, los modos de representación y los modos de conocer que se ponen de manifiesto en la resolución de las tareas matemáticas que se les proponen. Nuestra metodología es cualitativa, usando datos provenientes de dos cuestionarios de distinta naturaleza. A partir del análisis conjunto de los dos cuestionarios contestados por cada estudiante, se caracterizan los distintos niveles de comprensión del esquema del concepto de sucesión como lista numérica. PALABRAS CLAVE: Sucesiones numéricas; Estudiantes de educación secundaria obligatoria; Teoría APOS; Desarrollo de un esquema. ABSTRACT • The aim of this research is to characterize the understanding of the numerical sequence concept in high school students (14-16 years old). The study draws on the APOS theory, which considers how students use mathematical elements, the relationships established between them, theirs modes of representation and the cognitive structures that are showed in the resolution of mathematical tasks. Our methodology is qualitative, using data from two questionnaires of diverse nature. The different levels of understanding of the scheme of the concept of numerical sequence were characterized taking into consideration the analysis of the two questionnaires. KEYWORDS: Numerical sequences; High school students; APOS theory; Schema development. Recepción: mayo 2018 • Aceptación: abril 2019 • Publicación: noviembre 2019 Bajo Benito, J. M., Gavilán-Izquierdo, J. M. y Sánchez-Matamoros García, G. (2019). Caracterización del esquema de sucesión numérica en estudiantes de Educación Secundaria Obligatoria. Enseñanza de las ciencias, 37(3), 149-167 https://doi.org/10.5565/rev/ensciencias.2673 149 J. M. Bajo Benito, J. M. Gavilán-Izquierdo, G. Sánchez-Matamoros García INTRODUCCIÓN Diversas investigaciones han resaltado la importancia de la investigación sobre el concepto de sucesión numérica por las implicaciones en la comprensión de otros conceptos de análisis matemático. Así, Mamona-Downs (2001) y Roh (2008), en sus investigaciones sobre el concepto de límite, destacaron que una buena concepción del concepto de sucesión es fundamental para la comprensión del concepto de límite. Vinculadas a la comprensión del concepto de serie numérica, las investigaciones de Bagni (2005) y Codes Valcarce y González-Martín (2017) señalan la relevancia de las investigaciones sobre el concepto de sucesión numérica, ya que formalmente una serie numérica es una sucesión de sumas parciales. Debido al auge de la tecnología, actualmente Weigand (2015) considera que se debería prestar más atención a las sucesiones numéricas en términos de relaciones de recurrencia, pues son prototipos de objetos discretos en matemáticas. El análisis de la comprensión del concepto de sucesión ha sido abordado por diferentes investigadores desde distintas perspectivas teóricas. Así, McDonald, Mathews y Strobel (2000), en su investigación con estudiantes universitarios, en relación con el tipo de construcciones mentales que hacen los estudiantes sobre la comprensión de dicho concepto, indican que construyen dos objetos cognitivos diferentes: por una parte, un objeto como listado de números ( Seqlist ), y, por otra, otro objeto como función, cuyo dominio pertenece al conjunto de los naturales ( Seqfun ), centrando su estudio en este último. Przenioslo (2006), en su investigación con estudiantes de secundaria (16-19 años), dividió las concepciones de los estudiantes en dos grupos: en un primer grupo se percibía una sucesión como una función, y en un segundo grupo se percibía una sucesión conectada con un conjunto ordenado de números, en el que debe existir una relación entre los términos o una cierta regularidad. Esta autora considera que para la comprensión del concepto de sucesión numérica es conveniente el uso de diferentes modos de representación, distinguiendo dentro del modo gráfico entre gráfico-lineal (representación de las sucesiones como puntos de la recta numérica) y gráfico-cartesiano (representación de las sucesiones como puntos del plano cartesiano). Por su parte, Mor, Noss, Hoyles, Kahn y Simpson (2006), en su investigación también con estudiantes de Secundaria, observaron que las secuencias numéricas son consideradas intuitivamente recursivas por dichos estudiantes. Es decir, más que como una relación entre los valores y sus posiciones respectivamente, se ven como una relación entre valores sucesivos de una secuencia. Cañadas (2007), en su investigación sobre sucesiones de números naturales lineales y cuadráticos, se centra en cuatro sistemas relacionados con las representaciones discretas (numérica, gráfica, algebraica y verbal) y sus variantes. González, Medina, Vilanova y Astiz (2011), en su investigación con estudiantes universitarios, identificaron dificultades en la relación entre la interpretación gráfica y la algebraica en el concepto de sucesión. En este trabajo, nos centramos en caracterizar la comprensión del concepto de sucesión como lista numérica en alumnos de segundo ciclo de Educación Secundaria Obligatoria (14-16 años) a través del desarrollo de un esquema (Arnon et al., 2014). Desde el punto de vista curricular, el concepto de sucesión numérica aparece en segundo ciclo de Educación Secundaria Obligatoria, recogido en el bloque de Álgebra, en los siguientes términos «Estudio y análisis de sucesiones numéricas. Progresiones aritméticas y geométricas. Sucesiones recurrentes. Curiosidad e interés por investigar las regularidades, relaciones y propiedades que aparecen en los conjuntos de números» (BOE, n.º 5, 05/01/2007, p. 756). En nuestra investigación, siguiendo la definición de Stewart, Hernández y Sanmiguel (2007), consideramos el concepto de sucesión numérica de la siguiente forma: una sucesión es un conjunto infinito de números escritos en un orden específico, a 1 , a 2 , a 3 ..., a n ..., donde cada miembro del conjunto ha sido etiquetado con un subíndice natural, siendo a 1 el primero y, en general, el término n-ésimo a n . Anotaremos la sucesión como {a n }. 150 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 37-3 (2019), 149-167 1 Caracterización del esquema de sucesión numérica en estudiantes de ESO Existen diversas formas de construir los términos de una sucesión numérica; nosotros vamos a considerar las siguientes: mediante una fórmula que defina el término n-ésimo (término general), a través de un conjunto de instrucciones que indican cómo se obtiene un término a partir de los anteriores (por recurrencia) o dando una serie de términos consecutivos ordenados, uno detrás de otro, como una lista infinita de números (por extensión). Del mismo modo, una progresión aritmética es una sucesión de la forma a, a+d… a+nd..., y una progresión geométrica es una sucesión de la forma a, ar..., ar n ... (Stewart et al., 2007). En consecuencia, en este trabajo vamos a considerar los siguientes elementos matemáticos con relación al concepto de sucesión como lista numérica: – E1 Sucesión (como lista): secuencia de números reales dispuestos en un orden, es decir, para todo número natural n existe un número real. – E2 Términos de una sucesión: se definen como los integrantes de la sucesión; el lugar que ocupa lo determina su posición, que se denota por un subíndice que pertenece a los números naturales. – E3 Término general de una sucesión: se define como el término que, dependiendo de su posición, es decir, subíndice, sabemos su valor, y se denota por «a n » (con n perteneciente a los naturales). – E4 Progresión aritmética: sucesión donde cada término se obtiene del anterior sumándole una cantidad fija que denominamos diferencia. – E5 Término general de una progresión aritmética: { a n = a 1 + ( n − 1) ⋅ d , n ∈ N } siendo a 1 el primer término y d la diferencia entre términos consecutivos. – E6 Progresión geométrica: sucesión donde cada término se obtiene del anterior multiplicándolo una cantidad fija que denominamos razón. – E7 Término general de una progresión geométrica: { a n = a 1 ⋅ r n − 1 , n ∈ N } donde a es el primer término y r la razón de la progresión. – E8 Sucesión recurrente: una sucesión es recurrente si hay definida sobre ella una ley de recurrencia, es decir, una relación entre un término y los anteriores. – E9 Sucesión por extensión: se define una sucesión por extensión cuando se dan una serie de términos consecutivos de ella. – E10 S ucesión creciente: se dice que una sucesión { a n , n ∈ N } es creciente cuando cada término es menor o igual que el término siguiente. – E11 Sucesión decreciente: se dice que una sucesión término es mayor o igual que el término siguiente. { a n , n ∈ N } es decreciente cuando cada MARCO TEÓRICO Consideramos como marco teórico para estudiar la comprensión del concepto de sucesión numérica el marco APOS (Arnon et al., 2014; Dubinsky, 1991). En este marco, acciones, procesos, objetos y esquemas son constructos mentales para la construcción de conocimiento matemático que se organizan en la descomposición genética de un concepto, entendida como «un conjunto estructurado de constructos mentales, que pueden describir cómo el concepto se desarrolla en la mente del individuo» (Asiala et al., 1996). La descomposición genética de un concepto matemático no es única y proporciona una posible progresión en el aprendizaje del estudiante para la formación del concepto. ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 37-3 (2019), 149-167 151 J. M. Bajo Benito, J. M. Gavilán-Izquierdo, G. Sánchez-Matamoros García Según Arnon et al. (2014), un concepto se concibe primero como una acción, es decir, como una transformación externa que necesita ser realizada explícitamente sobre un objeto u objetos concebidos previamente. A medida que las acciones se repiten, el individuo pasa de depender de señales externas a tener control interno sobre ellas, pasando a concebir el concepto como un proceso. Los procesos se construyen utilizando uno de los siguientes mecanismos mentales: interiorización, inversión o coordinación, y cada uno de estos mecanismos da lugar a nuevos procesos. La interiorización permite ser consciente de una acción, reflexionar sobre ella y combinarla con otras acciones (Dubinsky, 1991). Una acción interiorizada es un proceso. La inversión de un proceso es la posibilidad de pensarlo invertido en el sentido de deshacer los pasos del proceso interiorizado, lo que da lugar a un nuevo proceso. La coordinación de procesos es el acto cognitivo de coger dos o más procesos y usarlos para construir un nuevo proceso. En general, la coordinación puede transformar procesos en procesos o procesos en objetos a partir de la encapsulación. La encapsulación se produce cuando un individuo aplica una acción o proceso a un proceso, es decir, ve una estructura dinámica (proceso) como una estructura estática (objeto) a la que se pueden aplicar acciones. Desarrollo de un esquema en la teoría APOS La teoría APOS aborda el desarrollo de la comprensión de conceptos matemáticos en términos de construcción de esquemas, mediante el mecanismo de abstracción reflexiva (Piaget y García, 1983). En este modelo se define un esquema como la colección de acciones, procesos, objetos y otros esquemas que están relacionados consciente o inconscientemente en la mente de un individuo en una estructura coherente y que pueden ser empleados en la solución de una situación problemática (Trigueros, 2005: 11). Un esquema se puede transformar en una estructura estática (objeto) y/o se puede usar como una estructura dinámica que asimila otros objetos o esquemas relacionados. Esta aproximación al desarrollo de un esquema ha sido considerada en distintas investigaciones para caracterizar la comprensión de diferentes conceptos matemáticos como, por ejemplo, el de derivada (Baker, Cooley y Trigueros, 2000; Sánchez-Matamoros, García y Llinares, 2006), transformación lineal (Roa-Fuentes y Oktac, 2010) o límite (Valls, Pons y Llinares, 2011). En dichas investigaciones, un esquema se desarrolla pasando por tres niveles (tríada): intra-inter-trans, en un orden fijo. En el esquema de sucesión como lista numérica, estos tres niveles se caracterizan de la siguiente forma: Nivel intra Está caracterizado por el uso de elementos matemáticos de forma aislada en algún modo de representación, sin establecer relaciones. Es decir, los modos de representación son considerados por el estudiante como distintos y no los relaciona cognitivamente. Es decir, los estudiantes, en este nivel, no son capaces de entender que un elemento matemático puede estar representado en diferentes modos de representación. Un individuo, en este nivel de desarrollo de un esquema, se centra en acciones, procesos y objetos individuales sin relacionarlos con otros. 152 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 37-3 (2019), 149-167 Caracterización del esquema de sucesión numérica en estudiantes de ESO Nivel inter Está caracterizado por el uso de elementos matemáticos de forma correcta en algunos modos de representación y se establecen relaciones lógicas entre elementos matemáticos que se encuentran en el mismo modo de representación. Este nivel está caracterizado por la construcción de relaciones y transformaciones entre los procesos y los objetos que constituyen el esquema. Nivel trans En este nivel aumenta el repertorio de uso de las relaciones lógicas entre los elementos matemáticos. Se produce la síntesis de los modos de representación. Es decir, los estudiantes, en este nivel, son capaces de entender que un elemento matemático puede estar representado en diferentes modos de representación y tratarse de un mismo objeto. Todo ello lleva a la construcción de la estructura matemática. En este nivel es cuando el estudiante reflexiona sobre las conexiones y las relaciones desarrolladas en el nivel anterior y aparecen nuevas estructuras. A través de las síntesis de estas relaciones, el estudiante es consciente de las transformaciones que se desarrollan en el esquema y construye una estructura nueva. En este nivel aparece el desarrollo de la coherencia del esquema, que se demuestra por la capacidad de un individuo para reconocer las relaciones que se incluyen en el esquema, reflexionar sobre la estructura explícita del esquema y considerar el contenido del esquema adecuado a la resolución de un problema. En los niveles inter y trans de la tríada, el estudiante reorganiza conocimientos adquiridos en el nivel anterior. El paso de un nivel al siguiente por parte del estudiante incluye un aumento en el repertorio de los elementos matemáticos, así como la construcción de nuevas formas de relaciones o transformaciones entre los elementos matemáticos usados por el estudiante en la resolución de un problema. A partir de las ideas planteadas en este marco teórico, la pregunta que abordamos en este trabajo es la siguiente: ¿Podemos caracterizar los niveles de comprensión del esquema de sucesión numérica en estudiantes de segundo ciclo de Educación Secundaria? METODOLOGÍA Participantes Los participantes en esta investigación son 105 estudiantes de segundo ciclo de la ESO (14-16 años) de un centro de la Comunidad Autónoma de Andalucía. A dichos estudiantes se les había introducido el concepto de sucesión numérica según el currículo oficial (BOE, n.º 5, 5/01/2007, p. 756; BOJA, n.º 171, 10/08/2007, p. 54). Es en este ciclo de ESO donde aparece por primera vez este concepto en el currículo. Instrumentos de recogida de datos Como instrumentos de recogida de datos, usamos dos cuestionarios. Un primer cuestionario con cuatro tareas y un segundo cuestionario diseñado para cada estudiante a partir de las respuestas dadas en el primer cuestionario (entrevista semiestructurada escrita), y profundizar así en aquellas respuestas que no habían sido explicadas. El primer cuestionario se diseñó a partir de una descomposición genética del concepto de sucesión como lista numérica, construida a partir de la experiencia de los investigadores sobre la enseñanzaaprendizaje de dicho concepto, su conocimiento del modelo APOS, su conocimiento matemático, el ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 37-3 (2019), 149-167 153