En memoria de Jacques-Louis Lions

En memoria de Jacques-Louis Lions E. Fern´ andez Cara Departamento de Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Nnum´erico Universidad de Sevilla 41080 SEVILLA [email protected] Mis primeros recuerdos del Profesor Lions se remontan a finales de 1979. Naturalmente, hab´ıa o´ıdo hablar mucho de ´el y conoc´ıa con cierto detalle lo que hab´ıa sido su trayectoria cient´ıfica hasta ese momento. Adem´as, varios compa˜neros algo mayores que yo hab´ıan tenido la ocasi´on de conocerle personalmente en Sevilla, en unas Jornadas organizadas por el Profesor Antonio Valle en 1976. Uno de ellos, Jos´e Real, me hab´ıa dicho de ´el y de su charla algo que recuerdo muy bien: En la conferencia de Lions, todo estaba absolutamente claro. Todo. A finales de 1979, yo era becario predoctoral en el I.N.R.I.A - Rocquencourt, cerca de Par´ıs. Justamente por aquella ´epoca y tan s´olo unos d´ıas antes de mi llegada, Lions hab´ıa sido designado Presidente del Instituto. Su cambio de despacho origin´o toda una avalancha de “mudanzas”. As´ı que, durante varias semanas, me instalaron en una sala compartida con otros dos becarios en la que, casualmente, Lions hab´ıa guardado una colecci´on de art´ıculos seleccionados personalmente. Confieso que, muy a menudo, por la tarde, cuando no quedaba casi nadie, no pod´ıa resistir la tentaci´on de ojear a hurtadillas estos trabajos. Por supuesto, yo era un inexperto estudiante en aquella ´epoca y carec´ıa de criterio serio para seleccionar temas, autores y resultados. No obstante, creo que aprend´ı mucho descubriendo cu´ales eran, al parecer, los art´ıculos preferidos de Lions y pregunt´andome por qu´e hab´ıa seleccionado ´este o aqu´el. Tambi´en pienso que este archivo me ayud´o a comprender, al menos en parte, c´omo pensaba Lions que hab´ıa que estudiar y desarrollar las Matem´aticas y qu´e era lo que le interesaba principalmente a ´el. Con el tiempo, pude intuir que Lions pretend´ıa hacer que las Matem´aticas fueran capaces de describir con la mayor precisi´on posible el mundo real. Sus objetivos prioritarios siempre arrancaban de problemas reales concretos que intentaba modelar, posteriormente 37 38 E. Fern´ andez Cara analizar y comprender cualitativa y cuantitativamente y, finalmente, controlar. De alg´un modo, posiblemente influido por sus or´ıgenes y aficiones, hab´ıa llegado a la conclusi´on de que la herramienta m´as eficaz para ello eran las ecuaciones en derivadas parciales (EDPs). Una vez encarada la resoluci´on de alguno de estos problemas, sus portentosas cualidades le permit´ıan desarrollar la teor´ıa matem´atica adecuada, ayud´andose simult´aneamente de conceptos y resultados cl´asicos h´abilmente “revisitados” y de t´ecnicas y conceptos nuevos, creados espec´ıficamente para ello. Recuerdo que, en aquella ´epoca, yo miraba a Lions casi como a un dios. Con frecuencia, Juan M. Via˜no y yo le ve´ıamos llegar al comedor del I.N.R.I.A. con sus colaboradores m´as pr´oximos, con paso decidido, dispuesto a rentabilizar el tiempo dedicado al almuerzo sin perder por ello el buen humor. Como a muchas personas que conozco, algo que nunca dej´o de impresionarme fue su enorme capacidad de trabajo. Era capaz de resolver 20 problemas distintos, todos de envergadura, al cabo del d´ıa. Y era capaz de simultanear todo esto con una dedicaci´on constante a las Matem´aticas, manteni´endose en la vanguardia de la Ciencia, en el l´ımite de lo conocido y lo que est´a a´un por descubrir. En fechas posteriores, a partir de 1987, tuve la ocasi´on de conocer m´as de cerca a Lions como gestor. Fue en el marco del Proyecto HERMES, parcialmente financiado por el C.N.E.S. (Centre National des Etudes Spatiales), del que hab´ıa sido nombrado Presidente. Me acuerdo muy en particular de una reuni´on que hubo en Madrid hacia 1989 a la que asistimos rodeados de representantes de distintas empresas y organismos. En un peque˜no descanso, con cierta complicidad, sac´o tiempo para hablarme de un problema matem´atico que le preocupaba y que consideraba interesante. Yo era consciente de su actividad al frente del C.N.E.S. y de qui´en sabe cu´antas instituciones m´as. Era ya una persona convocada con frecuencia por los consejos de administraci´on de multitud de empresas e incluso por responsables del m´as alto rango pol´ıtico en Francia y en Europa. Resultaba asombroso que pudiera organizarse para hacer Matem´aticas. Hoy sabemos que justamente en esta ´epoca estaba desarrollando algunas de las ideas que m´as han dado que hablar y m´as trabajo han generado. Eran los a˜nos del m´etodo H.U.M. y de su renovado inter´es por el control de sistemas gobernados por EDPs. Con objeto de clarificar hasta qu´e punto ´el iba por delante y c´omo era capaz de intuir qu´e era importante y qu´e hab´ıa que impulsar, he aqu´ı el enunciado del problema del que me habl´o. Problema 1: Para un sistema disipativo “simple” de la forma (1) (yt+Ay =ξ y|t=0 =y0 En memoria de Jacques-Louis Lions 39 (donde Aes, por ejemplo, un operador en derivadas parciales lineal, de propiedades similares a las del operador de Laplace), es posible definir el concepto de centinela. En t´erminos “vagos”, si ponemos y0=y0 1+τy0 2con τ“peque˜no” y llamamos yτa la correspondiente soluci´on de (1), un centinela es un funcional Φ = Φ(y)tan parecido como sea posible a un promedio de los valores de yinsensible a la presencia de la perturbaci´on τy0 2, i.e. tal que ∂ ∂τ Φ(yτ)¯¯¯¯τ=0 = 0. Entre otras cosas, disponer de un centinela puede ser ´util para conocer la influencia que tiene ξ(un t´ermino de poluci´on) cuando la informaci´on sobre el dato inicial es incompleta. Pero, ¿es posible recurrir al concepto de centinela para modelar y describir cuantitativamente la Turbulencia ? En otras palabras, si cambi´aramos (1) por el sistema de Navier-Stokes, ¿ser´ıa posible utilizar la idea de centinela para definir variables macrosc´opicas z=z(x, t) que contengan informaci´on relevante distribuida en tiempo y espacio, de nuevo independiente de τy0 2, cuya aproximaci´on num´erica sea factible ? A partir de 1987, Lions prodig´o enormemente sus visitas a Espa˜na. En muchos casos, el “culpable” directo o indirecto fue (de nuevo) Antonio Valle. Consciente de lo extremadamente ´util que resultaban sus visitas, en especial para los m´as j´ovenes, tanto ´el como muchos otros colegas espa˜noles hicimos todo lo posible por tenerlo cerca. A ra´ız de una de estas visitas, comenc´e a interesarme m´as, junto con varios compa˜neros de mi Departamento, por las cuestiones que le interesaban a ´el. Esto ocurri´o en M´alaga, en oto˜no de 1990 y acab´o por hacer m´as intensa y fluida mi relaci´on con ´el. A partir de 1993, tuve la enorme suerte de contarme entre las personas que, de vez en cuando, recib´ıan un Fax con sus cuestiones, observaciones y consejos. A modo de ejemplo, he aqu´ı uno de los problemas que me plante´o hace varios a˜nos, formulado con su estilo propio: Problema 2: Se considera el sistema parab´olico (2)      yt−∆y+a(x, t)y=vχωen Ω ×(0, T), y(x, t) = 0 sobre ∂Ω×(0, T), y(x, 0) = y0(x) en Ω, donde Ω ⊂RNes un abierto acotado, ω⊂⊂ Ω es un abierto “peque˜no” y χω es la funci´on caracter´ıstica de ω. Sabemos que, cualquiera que sea a∈L∞(ω×(0, T )), (2) tiene la propiedad de la controlabilidad aproximada con controles v∈L2(ω×(0, T )). Esto es, la 40 E. Fern´ andez Cara variedad lineal formada por los estados finales {y(·, T) : v∈L2(ω×(0, T))}es densa en L2(Ω). Sean M⊂L∞(Ω ×(0, T)) y pongamos V(T;M) = {y(·, T) : v∈L2(ω×(0, T)), a ∈M}. Cuanto mayor es M, m´as cerca est´a V(T;M) de su adherencia L2(Ω), pero siempre tenemos V(T;M)6=L2(Ω). Entonces, ¿qu´e significa realmente que V(T;M) se va acercando a L2(Ω) ? Por otra parte, para un sistema similar a (2) con la ecuaci´on cambiada por yt−∆y+a(x, t)y+y3=vχω, en general la familia V(T;M) no es densa en L2(Ω). ¿Es cierto que, cuando M⊂L∞(Ω ×(0, T)) es “muy grande”, la correspondiente V(T;M) es densa ? Finalmente, ¿pueden usarse estas ideas para resolver problemas de controlabilidad estoc´astica del mismo tipo ? Est´a en la mente de muchos que habr´a un antes y un despu´es de Lions en las Matem´aticas, en particular en la Matem´atica Aplicada francesa. A m´ı me parece apropiado extender esta afirmaci´on, de manera que cubra tambi´en el ´ambito de la Matem´atica Aplicada espa˜nola. Si observamos seriamente la evoluci´on y la situaci´on actual de los numerosos Departamentos de Universidades espa˜nolas donde se estudian problemas ligados a las ecuaciones diferenciales, veremos que, en un alto porcentaje de ellos, hay personas que han sido alumnos de Lions o alumnos de alguno de sus alumnos. Y tambi´en comprobaremos que la influencia de esta presencia ha ido creciendo de forma espectacular en los ´ultimos a˜nos. De manera que se puede decir que, en la actualidad, el esp´ıritu de la investigaci´on matem´atica realizada por Lions (e incluso en algunos casos los mismos temas y problemas que ´el propuso) forman parte del programa de trabajo de buena parte de nuestros compa˜neros. La influencia de Lions en las Matem´aticas que se han hecho en Espa˜na comenz´o con su feliz contacto con Antonio Valle, a mediados de los sesenta. Gracias a la abnegada labor docente de ´este y a las horas que dedic´o a la caza y captura de Becas y Ayudas de todo organismo viviente, se pudieron establecer varios lazos, escasos en n´umero pero de fundamental importancia, que sirvieron para que personas como Alfredo Berm´udez, Carlos Moreno, Jos´e Real y Jos´e D. Mart´ın pudieran realizar sus Tesis Doctorales bajo la direcci´on de algunos de los primeros alumnos de Lions. Paralelamente, se fue produciendo la entrada en escena de otros investigadores espa˜noles, entre los cuales estuvieron Jes´us Hern´andez, Ildefonso D´ıaz, Juan Luis V´azquez y Miguel A. Herrero, que iniciaron una colaboraci´on cient´ıfica con otros miembros de la “Escuela” creada por Lions. En los a˜nos posteriores, la afluencia de estudiantes y j´ovenes profesores se fue incrementando progresivamente, hasta llegar a niveles insospechados que llegaron a hacer hablar de “colonias espa˜nolas” en Par´ıs. Que yo recuerde, por esas “colonias” pasaron personas como Mar´ıa J. Esteban, Juan M. Via˜no, Luis Ferragut, Tom´as Chac´on, Carlos Par´es, Francisco Palma, En memoria de Jacques-Louis Lions 41 Francisco Orteg´on, Rafael Mu˜noz, Juan Casado, Jos´e M. Rodr´ıguez Seijo, Javier Bar´on, etc. Menci´on especial debo hacer de Enrique Zuazua, que fue un verdadero testigo de excepci´on del acercamiento de Lions a Espa˜na y mantuvo con ´el un contacto permanente y muy personal casi hasta el ´ultimo momento en que le fue posible. Sin duda, Lions fue sensible a la evoluci´on de nuestro pa´ıs, al que lleg´o a profesar una profunda simpat´ıa. En cierta ocasi´on le o´ı decir con gran sencillez en presencia del Secretario de Estado de Universidades y del Embajador de Francia que ´el no cre´ıa realmente que existiera ya diferencia cient´ıfica apreciable entre Espa˜na y Francia. Naturalmente, era una elegante y educada exageraci´on, pero el hecho es que se fue acercando cada vez m´as a investigadores espa˜noles. De todas sus visitas a Espa˜na, guardo un recuerdo muy especial de la ´ultima, la que tuvo lugar en Madrid en febrero de 2000 y le permiti´o hablar ante el Parlamento. La iniciativa de la Real Academia de Ciencias y en especial de Ildefonso D´ıaz hizo posible que Lions disertara con admirable capacidad ante el gran p´ublico, con palabras bien escogidas, sobre las Matem´aticas m´as complicadas y actuales, en un acto sin precedentes. No obstante, me qued´o un cierto sabor agridulce del 2000. Junto con varios compa˜neros, hab´ıamos previsto una visita de Lions a Sevilla para mediados de marzo de ese a˜no. Nuestra intenci´on era, una vez m´as, hacerle hablar ante un p´ublico diverso, como acto central de una serie de actividades conmemorativas del A˜no Mundial de las Matem´aticas. Debido a la convocatoria de elecciones legislativas y auton´omicas para esos d´ıas, nos vimos forzados a retrasar estos actos y por tanto su visita casi en el ´ultimo momento. Por desgracia, ya no pudimos volver a encontrar una fecha que le resultara posible. En poco tiempo, como sabemos ahora, se agudiz´o su enfermedad y se vio repentinamente obligado a reducir e incluso detener su extraordinario ritmo de actividades. Jacques-Louis Lions era una persona de talla excepcional. He tenido la gran suerte de haberle conocido y espero sinceramente haber sido capaz de aprender algo de sus muchas virtudes. Lamento profundamente que nos haya dejado tan pronto. Era una persona capaz de hacer f´acil lo dif´ıcil. Tanto en su manera de plantear y abordar la resoluci´on de problemas matem´aticos como en las actividades de gesti´on y en las relaciones humanas, su clarividencia le permit´ıa simplificar los conflictos superando una tras otra todas las dificultades y vislumbrar la soluci´on con rapidez. Ayudado adem´as de un optimismo vital envidiable, era capaz de conseguir que la gran mayor´ıa de las tareas que se encomendaba a s´ı mismo salieran a flote. Una lecci´on que nos dej´o es que no hay que dejarse vencer f´acilmente por las circunstancias. Ten´ıa adem´as la rar´ısima virtud de conseguir que sus cursos y conferencias, aparte de amenos, fueran interesantes y ´utiles para oyentes de todo tipo, desde 42 E. Fern´ andez Cara estudiantes de segundo o tercer a˜no hasta Catedr´aticos de Universidad, desde personas interesadas por el Algebra y la Geometr´ıa hasta especialistas del an´alisis te´orico y num´erico de las EDPs. Las ideas que presentaba siempre aportaban algo nuevo, siempre eran aprovechables y, con gran frecuencia, abr´ıan nuevas posibilidades. Otro rasgo que me fascin´o de Lions fue su capacidad de iniciativa. Era capaz de lanzar propuestas constructivas tanto en Matem´aticas como en sus otros ´ambitos de trabajo. Y, llegado el caso, era capaz de convencer a las personas indicadas de poner manos a la obra. Todo esto no era por casualidad. Sus propuestas hab´ıan sido siempre seriamente meditadas, aunque muchas veces en tiempo “record”, dada su rapidez mental. Por otra parte, de todas las posibles v´ıas, casi siempre se decantaba por la m´as constructiva, aunque esto significara innovaci´on y pisar terreno a´un no explorado. Ante una sugerencia o ruego de Lions, uno tan s´olo pod´ıa aceptar, con independencia del trabajo o dificultad que trajera consigo. Durante todo el tiempo que le conoc´ı, Lions consigui´o estar por encima de envidias y de sentimientos malsanos. Se podr´ıa decir que sus actividades fueron observadas por el 99 % de sus colegas y disc´ıpulos sin desconfianza y sin malas interpretaciones. A decir verdad, creo que este hecho le honra a ´el y a la “Escuela” que supo crear, que ha demostrado profesionalidad y honradez a raudales. A menudo tuve la impresi´on de que, en presencia de Lions, los intereses oscuros o inconfesables estaban de m´as. Su actitud, siempre positiva y al mismo tiempo comprensiva con los sentimientos de los dem´as, contribu´ıa en gran medida a que las reuniones de trabajo, las cient´ıficas y las de otro tipo, fueran sobre todo limpias. Y esto hac´ıa indudablemente posible el progreso, la mejora y el beneficio para todos. Desde la ´optica de las relaciones humanas, quiz´a sea ´esta la mejor lecci´on que hayamos recibido de este hombre de excepci´on. Tal vez nos convenga a todos imitarle en limpieza de sentimientos y esforzarnos como ´el por usar nuestro tiempo y nuestras energ´ıas en prestar nuestra colaboraci´on a la resoluci´on de cuestiones verdaderamente trascendentes.