Diseño de un sistema vibratorio con excitación armónica de la base

Equation Chapter 1 Section 1 Proyecto Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Diseño de un sistema vibratorio con excitación armónica de la base Autor: Alberto Herrerías Galera Tutor: Jesús Vázquez Valeo Dep. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 iii Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería Aeroespacial Diseño de un sistema vibratorio con excitación armónica de la base Autor: Alberto Herrerías Galera Tutor: Jesús Vázquez Valeo Profesor contratado doctor Dep. de Ingeniería Mecánica y Fabricación Grupo de Ingeniería Mecánica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 v Trabajo Fin de Grado: Diseño de un sistema vibratorio con excitación armónica de la base Autor: Alberto Herrerías Galera Tutor: Jesús Vázquez Valeo El tribunal nombrado para juzgar el Trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2018 El Secretario del Tribunal vii A mi familia y amigos, por su apoyo A mis maestros, por todo lo aprendido A mis compañeros, en especial a Pablo, por el último empujón. ix Agradecimientos Quiero dar las gracias a la siempre olvidada comunidad online (incluyendo aficionados, profesionales y empresas) por su labor de compilar y poner a disposición de cualquiera que se interese por ello, innumerable material relacionado con la ingeniería, desde software hasta tutoriales para usarlo, pasando por modelos 3D de prácticamente cualquier cosa en casi cualquier formato. Estas personas regalan su trabajo para hacer más sencillo el estudio y la profesión de ingeniero, incluyendo por supuesto la realización de proyectos como este. Alberto Herrerías Galera Sevilla, 2018 5.2 Simulación 58 5.3 Resultados 61 5.3.1 Resultados obtenidos con el sistema de 1 g.d.l. 61 5.3.2 Resultados obtenidos con el sistema de 2 g.d.l. 64 6 Conclusiones y Líneas Futuras 73 6.1 Conclusiones 73 6.2 Líneas futuras 73 6.3 Presupuesto estimado 75 Bliografía 77 xvii ÍNDICE DE TABLAS Tabla 5-1: Distribución de los valores de ω a muestrear para 1 g.d.l. 57 Tabla 5-2: Distribución de los valores de ω a muestrear para 2 g.d.l. 57 Tabla 5-3: Aceleraciones máximas para cada frecuencia de excitación 61 Tabla 5-4: Aceleraciones obtenidas para cada ω 65 Tabla 5-7: Aceleraciones máximas absolutas y relativas 68 xix ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1-1: Esquema típico del problema, en su versión mas simple 24 Figura 1-2: Mesa de ensayos de vibraciones 25 Figura 1-3: Plano acotado de la plataforma vibratoria 25 Figura 1-4: Equipo de análisis modal 26 Figura 2-1: Diseño conceptual con una sola masa 27 Figura 2-2: Esquema 2D del caso 1 g.d.l. 28 Figura 2-3: Equilibrio de fuerzas en el eje j 28 Figura 2-4: Equilibrio de fuerzas en el eje i 29 Figura 2-5: Diseño conceptual con dos masas 30 Figura 2-6: Esquema 2D del caso 2 g.d.l. 31 Figura 2-7: Equilibrio de fuerzas sobre la masa 1 en el eje i 31 Figura 2-8: Equilibrio de fuerzas sobre la masa 2 en el eje i 31 Figura 3-1: Aspecto general de Adams View 42 Figura 3-2: Menu principal 43 Figura 3-3: Bodies 43 Figura 3-4: Connectors 43 Figura 3-5: Motions 43 Figura 3-6: Forces 43 Figura 3-7: Design Exploration 44 Figura 3-8: Plugins 44 Figura 3-9:Simulation 44 Figura 3-10: Results 44 Figura 4-1:Vista del interior del boque deslizante 46 Figura 4-2: Modelos 3D en CATIA de guía y bloque deslizante 46 Figura 4-3: Algunas vistas de ambas piezas incluyendo las principales cotas 47 Figura 4-4: Modelo 3D de la plataforma vibratoria 47 Figura 4-5: Modelo 3D de la masa 48 Figura 4-6: Planos de la masa acotados 48 Figura 4-7: Modelo 3D del anclaje 49 Figura 4-8: Importacion de modelos en Adams View 50 Figura 4-9: modificación de las propiedades 50 Figura 4-10: Vista isométrica del conjunto ensamblado 51 Figura 4-11: Vista isométrica del conjunto ensamblado para 2 g.d.l. 51 Figura 4-12: Inclusión de uniones fijas entre partes 52 Figura 4-13: unión translacional entre guía y bloque deslizante 52 Figura 4-14: Definición del elemento Spring-Damper en el modelo 2 g.d.l. 53 xxi Notación e número e sin Función seno cos Función coseno tg Función tangente arctg Función arco tangente < Menor o igual > Mayor o igual 𝐹  Fuerza de Inercia 𝐹  Fuerza elástica 𝐹  Fuerza de amortiguamiento 𝑥 󰇘 Derivada segunda respecto del tiempo 𝑥 󰇗 Derivada primera respecto del tiempo 𝑘 Constante elástica 𝑐 Constante de amortiguamiento 𝑎𝑑𝑗 [ 𝐴 ] Adjunto de la matriz A Índice de Figuras 22 23 1 INTRODUCCIÓN Continuación se van a exponer algunos conceptos e ideas básicas relacionadas con el presente trabajo, desde su finalidad, hasta los medios empleados, pasando por la filosofía empleada para abordarlo. Dicho esto, la descripción de los mismos será muy somera dado el carácter introductorio y sin vocación académica de este capítulo. 1.1 Motivación La mecánica de vibraciones es una disciplina eminentemente ingenieril, lo que hace indispensable proporcionar una visión realista de la misma a los alumnos, de modo que el aprendizaje teórico se vea reforzado por sesiones de laboratorio en las que comprobar que los modelos teóricos son capaces de recoger, con cierta fidelidad,el comportamiento de sistemas reales.. Así mismo, la observación directa del fenómeno vibratorio en distintos sistemas complementa, y en ocasiones contradice, a la intuición que naturalmente poseemos sobre como ha de evolucionar un determinado sistema ante ciertos estímulos. Esto hace que el entendimiento por parte del alumno sea más profundo y facilita la consecución de los objetivos didácticos. Para satisfacer esta necesidad docente, las asignaturas del ámbito de la mecánica de vibraciones cuentan actuamente con distintas prácticas en las que se interactua con las versiones "reales" de sistemas teóricos ideales como por ejemplo un rotor desequilibrado sobre una viga, sin embargo no se encuentra entre ellas uno de los más simples: sistema masa-resorte sobre "carrito" con excitación armónica de la base A La ingeniería es un verbo, una acción. - Anónimo - Introducción 24 24 Figura 1-1: Esquema típico del problema, en su versión más simple Este problema se engloba dentro de la categoría de vibración forzada y se puede estudiar en sus variantes de uno o varios grados de libertad, asi mismo puede considerarse o no amortiguamiento en función de la importancia de este en el sistema a modelar y del grado de precisión que necesitemos. Versiones muy similares de este ejemplo académico permiten predecir el comportamiento de sistemas tales como un coche desplazandose por una carretera no perfectamente llana o estudiar la influencia de las vibraciones ambientales en un equipo de medición. Sumado al interés docente que reviste este experimento, está el hecho de que el laboratorio cuenta precisamente con una mesa de ensayos de vibraciones actualmente en desuso; siempre es deseable un aprovechamiento óptimo de los recursos disponibles, con lo cual la incorporación de esta práctica en el currículo habitual de las asignaturas supone una oportunidad excelente para la puesta en valor del equipo, a la par que se mejora la experiencia de aprendizaje de los alumnos. 1.2 Objetivos Como ya se ha mencionado con anterioridad, el principal objetivo de este trabajo es el diseño de un experimento para que este sirva de práctica en cursos venideros. Para la consecución de este objetivo es necesario superar los hitos detallados abajo:  Realizar un “diseño en servilleta” proponiendo posibles soluciones de montaje  Trasladar dicho diseño a un modelo analítico que permita su estudio y obtener, mediante este, valores adecuados de los parámetros de diseño.  Escoger de entre los disponibles en catálogos técnicos, los elementos necesarios, verificando su compatibilidad con el experimento y con el material ya existente.  Realizar un modelo multicuerpo tan fiel como sea posible a lo que sería el montaje real  Una vez realizado dicho modelo, proceder a su análisis mediante MSC.Adams, realizando un barrido de frecuencia para determinar amortiguamientos y frecuencias naturales.  Comparación de los resultados con los predichos por la teoría de vibraciones. 25 1.3 Equipo disponible: Para el correcto aprovechamiento de los recursos, es fundamental conocer el equípo del que se dispone. A tal efecto se pueden encontrar en la página web del G.I.M, dentro de la sección LABORATORIO > Equipos, las descripciones detalladas de cada uno de los equipos con que cuenta el labortorio. También es posible, siempre que se cuente con la autorización pertinente, visitar in situ el laboratorio y tomar las medidas oportunas sobre el equipo real. 1.3.1 Mesa de ensayos de Vibraciones Datos técnicos:  Fuerza máxima: 19450 N pico en seno y random  Desplazamiento máximo: 51 mm pico-pico  Velocidad máxima: 1,52 m/s  Aceleración máxima:49,6 g  Aceleración máxima de choque: 150 g  Máximo soporte de carga: 500 Kg, sin verse afectado por API (indicador de posición de armadura)  Diámetro de la armadura: 440mm  Peso adaptador para sujeción mesa:13.786 kG  Dimensiones mesa deslizante: 750mm x750mm Tras tomar medidas sobre la propia mesa, quedó patente que las dimensiones de la mesa deslizante proporcionadas en la web no son del todo correctas y además no incluyen la posición de los orificios para fijación; la geometría de la plataforma responde al siguiente plano1: Figura 1-3: Plano acotado de la plataforma vibratoria 1 Plano realizado mediante el módulo drafting de CATIA V5 Figura 1-2: Mesa de ensayos de vibraciones Estudio Analítico 32 32 Lo que conduce al sistema 1 1 2 1 2 2 2 2 0 0 I c c k k I c k F F F F F F F F            (1.7) Dado que las fuerzas responden a las siguientes expresiones: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) I k c F m x F k x y F c x y                 (1.8) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) I k c F m x F k x x F c x x                 (1.9) El sistema de ecuaciones diferenciales resultante queda: 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) _ 2 0 m x c c x c x k k x k x k y c y m x k x k x c x c x                        (1.10) Por comodidad se va a escribir el sistema en forma matricial: 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 00 m x c c c x k k k x k y c y m x c c x k k x                                                 (1.11) Para facilitar tanto los cálculos como un futurible montaje real, se va a imponer 𝑚= 𝑚 ,𝑘= 𝑘 ,𝑐= 𝑐 quedando la anterior expresión como: 1 1 1 2 2 2 1 0 2 1 2 1 0 1 1 1 1 1 0 x x x ky cy m c k x x x                                                        (1.12) 33 Es de interes obtener expresiones del tipo 11 ( , , ) Xf k m Y   , 22 ( , , ) Xf k m Y   análogas a la ecuación (1.6) , así como expresiones para las frecuencias modales del tipo 1 3 ( , ) f k m   , 2 4 ( , ) f k m  ; para ello se va a admitir que el amortiguamiento es despreciable en un análisis preliminar como el que nos ocupa, obteniendo: 1 1 2 2 1 0 2 1 0 1 1 1 0 x x ky m k x x                                     (1.13) Dado una excitación y (t)=Y sin (ωt) los vectores de desplazamientos y de aceleraciones serán: 1 1 2 2 ( ) sin( ) ( ) x t X t x t X               (1.14) 1 1 2 2 2 ( ) sin( ) ( ) x t X t x t X                   (1.15) La ecuación quedaría: 1 1 2 2 2 1 0 2 1 sin( ) sin( ) sin( ) 0 1 1 1 0 X X kY m t k t t X X                                       (1.16) 21 1 22 2 2( ) 0 X X kY k m k Z X X k k m                                (1.17) Por tanto se puede expresar dicha igualdad de la siguiente forma: 11 2 [ ( )] 0 [ ( )] 0| ( ) | kY adj Z XkY Z XZ                        (1.18) Lo que conduce a: 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 3 ( ) 3 X k m k Y m km k X k Y m km k                    (1.19) Estudio Analítico 34 34 Por otro lado tras resolver la ecuación bicuadrática de los modos las frecuencias modales se obtienen de la siguiente ecuación: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) 4 2 1 (3 5( ) ) 2 2 2 mk mk m k mk mk mk mk m m m         (1.20) 2 1 2 2 (3 5) 2 (3 5) 2 k m k m              (1.21) Expresando (1.19) en función de las frecuencias de los modos, se llega finalmente a: 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) ( )( ) ( )( ) X k m k Y m X k Y m                        (1.22) Expresión esta última que nos sera de gran utilidad en subsiguientes apartados. 2.3 Limitaciones instrumentales y de montaje: Tras la obtención de las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de los sistemas propuestos en los apartados anteriores, se va a proceder a diseñar, lo que en este caso significa obtener valores numéricos de los parámetros del problema (o de las relaciones entre estos); para ello conviene recordar las carácteristicas del equipo que tienen interés en este caso , es decir, que suponen límitaciones a las variables: • De los acelerómetros: • Aceleraciones máximas medibles de hasta 50g. • Dificultad para medir frecuencias por debajo de 1Hz. • De la mesa de ensayos de vibraciones: • Desplazamiento máximo pico a pico de 51 mm • Aceleración máxima de 49,6g • Dimensiones: 795 x 760 mm 35 Es estrictamente necesario realizar un diseño que garantice que las amplitudes máximas descritas por las masas en su movimiento no excedan las dimensiones de la plataforma. En el mismo orden de cosas, tanto la amplitud como la aceleración máxima de la excitación vienen limitadas por la mesa, del mismo modo que las carcaterísticas de los acelerómetros dados limitan el rango en el que pueden encontrarse las respuestas si queremos garantizar la validez de los datos obtenidos. Nótese que le condición de desplazamiento pico a pico < 51𝑚𝑚 se traduce en 𝑌 < 25.5𝑚𝑚; del mismo modo los valores máximos de 𝑋 y 𝑋 deberán considerarse 2 veces (fases positiva y negativa), la suma de esto más las dimensiones del anclaje, la longitud natural de los muelles y la longitud de los carritos, es lo que debe ser inferior a 795 mm, sin embargo, si el diseño es bueno, los valores máximos de 𝑋 y 𝑋 serán lo suficientemente pequeños para que esto no sea un problema. En los dos apartados siguientes, estas limitaciones serán cruciales para establecer los parámetros físicos de los sistemas. 2.4 Diseño del Sistema de 1 g.d.l.: El objetivo de este apartado es encontrar una relación lineal entre k y m la cual nos permite en el futuro escoger valores para estos parámetros los cuales garanticen que las variables del problema se muevan dentro de los rangos admisibles para el montaje. Vamos a comenzar considerando la condición de que las frecuencias sean mayores que 1Hz, para la realización de la práctica será necesario hacer un barrido en frecuencia, por tanto es razonable escoger como punto de diseño (centro del intervalo del barrido) por ejemplo f=10Hz. Esta será en adelante nuestra frecuencia natural la cual lógicamente se corresponde al caso más desfavorable en amplitudes, por tanto, dado que ω=2πf: 10 2 62.83 / n k rad s m       → 2 2 3947.84 / k rad s m  (1.23) Vamos ahora a diseñar con respecto a las amplitudes; sabemos por la literatura que un valor típico de la relación de amortiguamiento en un sistema de este tipo puede estar en torno a ξ=0.1, partiendo de la ecuación (1.6) y asumiendo el caso más desfavorable, es decir τ=1: 2 2 1 (2 ) 5.099 5.1 (2 ) X Y       (1.24) Estudio Analítico 36 36 Lo que significa que para Y ∈ (10,20) mm<25.5mm obtenemos valores de X ∈ (51−102) mm los cuales se encuentran dentro del rango admisible; vamos a ver que ocurre con las aceleraciones, para ello hay que tener en cuenta que el barrido de frecuencias se hará desde 1Hz hasta al menos 20Hz (𝜔 = 20 ⋅ 2𝜋), frecuencia para la que se da τ = 2; con τ = 2, / 0.3558 X Y  luego: 2 2 2 2 | | 15791.37 (157.9 315.82) / (16.09 32.19) | | 0.3558 0.3558(16.09 32.19) max max max max max y Y Y m s g x X Y g                            (1.25) 2 2 2 2 | | 3947.84 (39.478 78.957) / (4.024 8.049) | | 5.1 5.1(20.524 41.048) n n n n max y Y Y m s g x X Y g                            (1.26) Cuando se trabaja en la frecuencia máxima el valor mas desfavorable se da en las Y, mientras que cuando se trabaja en la frecuencia natural se da en las X, siendo el valor máximo de aceleraciones encontrado 41.048g, el cual se da en las X cuando se trabaja en la frecuencia natural. Aun así, dicho valor es menor (aunque próximo) al límite de los acelerómetros luego en principio se podrían escoger los anteriores valores de frecuencia natural y de amplitud de la excitación. 2.5 Diseño del Sistema de 2 g.d.l.: De igual modo que sucedía en el caso 2 g.d.l., el objetivo de este apartado es encontrar una relación entre k y m que garantice la validez de las respuestas obtenidas, para ello se parte del sistema de ecuaciones (1.22); admitiendo que los casos más desfavorables en términos de amplitudes se darán al excitar las frecuencias de los modos, y sustituyendo llegamos a las siguientes indeterminaciones: 1 1 2 2 1 2 1 2 ; X X X X Y Y Y Y                   (1.27) Esto es debido a la ausencia de amortiguamiento en nuestro modelo y debido al propio significado físico de las frecuencias de los modos. Matemáticamente este comportamiento puede predecirse mediante inspección de los denominadores. Ante este problema, en lugar de elaborar un nuevo y complicado modelo que considere amortiguamiento el cual en cualquier caso tampoco será conocido, se va a optar por una solución imaginativa: evaluar las ecuaciones en frecuencias 𝜎 ⋅ 𝜔, 𝜎 ⋅ 𝜔. En este punto, cabe recordar que el valor del amortiguamiento ξ=0.1 se ha elegido únicamente en base a la experiencia, como ejemplo de un valor típico en esta clase de sistemas. En caso de que el sistema de guiado no estuviera adecuadamente lubricado o cualquier otra circunstancia adversa, este coeficiente puede verse incrementado ostensiblemente. En cualquier caso la estimación es perfectamente válida, habida cuenta de que el obejtivo en este momento es obtener un número grueso que permita un diseño preliminar. 37 Para determinar el valor adecuado de σ se realiza una analogía con el caso 1 g.d.l. en el cual, recordando, se tenía: 2 2 2 2 1 (2 ) (1 ) (2 ) X Y       (1.28) En esta ecuación para τ=1 admitiendo ξ=0.1, se obtenía 5.1 X Y , si ξ=0, ¿para qué valor de τ, es decir, en que porcentaje de la frecuencia natural, se obtiene el mismo valor de la transmisibilidad que en el caso anterior? 2 1 5.1 1    → 2 1 1 5.1    → 0.8039 0.8966 0.9     (1.29) Se van a evaluar pues las ecuaciones (1.22) en el 90% de las frecuencias de los modos, es decir, se toma σ = 0.9; comenzando con 𝜔: 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 0.9 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0.9 1 2 1 ( 0.9 ) (1 0.9 )( 0.9 ) (1 0.9 )( 0.9 ) X k m k Y m X k Y m                   (1.30) Dado que 2 1 (3 5) 2 k m    : 1 1 2 1 0.9 2 2 2 0.9 2 2 0.9 1 (3 5) 1.12 2 1.29 0 0.8648 (3 5) (1 0.9 ) )[(3 5) 0.9 (3 5)] 4 1 1.12 1.156 0 0.8648 (3 5) (1 0.9 ) )[(3 5) 0.9 (3 5)] 4 X Y X Y                                (1.31) El hecho de que los resultados tengan signos contrarios indica que nos encontramos muy cerca del modo 2, el cual se corresponde con desplazamiento asíncrono de las masas (se separan y acercan entre si). Este modo es el más favorable en términos de desplazamientos, por lo que posee escaso interés en nuestro caso. Considerando ahora 𝜔: 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0.9 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.9 2 1 2 ( 0.9 ) (1 0.9 )( 0.9 ) (1 0.9 )( 0.9 ) X k m k Y m X k Y m                   (1.32) Estudio Analítico 38 38 Dado que 2 2 (3 5) 2 k m    : 2 2 2 1 0.9 2 2 2 0.9 2 2 0.9 1 (3 5) 0.69 2 4.122 0 0.16754 (3 5) (1 0.9 ) )[(3 5) 0.9 (3 5)] 4 1 1 5.969 0 0.16754 (3 5) (1 0.9 ) )[(3 5) 0.9 (3 5)] 4 X Y X Y                           (1.33) Estos resultados han de corresponderse al modo 1, en el cual ambas masas se desplazan de manera síncrona (manteniendo constante la distancia entre ellas). Como vemos, las transmisibilidades al excitar este modo de vibración son ostensiblemente mayores provocando evidentemente amplitudes mayores en la respuesta. Hecho esto se va a analizar el comportamiento respecto de las aceleraciones en cada uno de los casos para determinar si estas son admisibles o no. Es necesario partir de un valor inicial de 𝑘/𝑚, para ello vamos a suponer por ejemplo que 𝑓= 10𝐻𝑧: 2 2 2 62.832 / f rad s      → 2 2 2 2 3947.842 / rad s   (1.34) 2 2 (3 5) 2 k m    → 2 2 2 10334.5839 3 5 k m     (1.35) 2 2 2 1 27058.91 / rad s   → 1 164.496 / rad s   → 𝑓= 26.2 𝐻𝑧 (1.36) El valor de 𝑓 que se obtiene para el valor de 𝑓 impuesto resulta quizás demasiado grande para los valores que venimos manejando, a fin de solucionarlo se va a probar imponiendo 𝑓= 15𝐻𝑧: 1 1 2 94.248 / f rad s      → 2 2 2 1 8882.644 / rad s   (1.37) 2 1 (3 5) 2 k m    → 2 1 2 3392.87 3 5 k m     (1.38) 2 2 2 2 1295.961 / rad s   → 2 35.999 / rad s   → 𝑓= 5.73𝐻𝑧 (1.39) En principio estos valores de las frecuencias modales son aceptables. De hacer un barrido hasta el doble de 𝑓, el valor final sería 𝑓  = 30𝐻𝑧. A continuación se va a estudiar que sucede con las aceleraciones para las frecuencias de interés: Se excita en primer lugar con 𝜔 para Y ∈ (10, 20) mm: 3 2 1 3 2 2 | | 1.29 8882.644(10,20) 10 (114.58,229.17) / (11.68,23.36) | | 1.156 8882.644(10,20) 10 (102.68,205.367) / (10.47,20.93) x m s g x m s g                  (1.40) 39 A continuación con 𝜔 e Y en el mismo rango: 3 2 1 3 2 2 | | 4.122 1295.961(10,20) 10 (53.41,106.839) / (5.45,10.89) | | 5.969 1295.961(10,20) 10 (77.36,154.71) / ( 7.88,15.77) x m s g x m s g                  (1.41) Cuando 𝜔 = 𝜔 , es decir 𝜔= 35530.57 , se tiene: 1 2 0.2854 ; 0.11707 X X Y Y    (1.42) Lo cual conduce a: 3 2 1 3 2 2 | | 0.2854 35530.576(10,20) 10 (101.4,202.81) / (10.34,20.67) | | 0.11707 35530.576(10,20) 10 (41.6,83.19) / (4.24,8.48) x m s g x m s g                  (1.43) Tras realizar este análisis queda patente que no se supera en ningún punto del diseño los 50 g en el caso de las respuestas (límite de los acelerómetros) ni 49.6 g en el caso de la excitación (límite de la mesa), todo esto estando siempre en un rango admisible de las frecuencias (por encima del hercio y sin alcanzar valores disparatados), con lo cual se está en disposición de afirmar con rotundidad que los valores 3392.87 k m  e Y ∈ (10−20) mm satisfacen los criterios de diseño. Estudio Analítico 40 40 41 3 DESCRIPCIÓN DE MSC.ADAMS ara realizar las simulaciones necesarias para el desarrollo del trabajo se ha optado por usar el software conocido como MSC.Adams. En el presente capítulo se va a proporcionar una visión general del mismo, en concreto de su versión 2016, mostrando los módulos que posee y las capacidades de las que disfruta el usuario, haciendo mayor énfasis en aquellas de utilidad para el tema que nos ocupa. 3.1 Breve reseña histórica: MSC.Adams es la denominación comercial de un software de simulación de sistemas mecánicos desarrollado por MSC Software Corporation. Lanzado por primera vez en 1980, su origen se remonta a 1967 en la Universidad de Michigan, donde se desarrolló inicialmente DAMN (Dynamic Analysis of Mechanical Networks) derivando en 1977 en DRAM (Dynamic Response of Articulated Machinery). En la actualidad MSC.Adams se ha convertido en el software más extendido en el ámbito de la simulación dinámica de gran longitud, destacando su aplicación en la industria automotriz. La empresa desarrolladora, MSC Software, se fundó en 1963 bajo el nombre MacNeal-Schwendler Corporation, tiene su base en Newport Beach, California, cuenta con más de 50 años de experiencia, desde que respondiera en 1965 al RFP (Request For Proposal) lanzado por la NASA para el desarrollo de un programa de análisis estructural de propósito general, que derivaría finalmente en el archiconocido NASTRAN (NASA Structural Analysis), comercializado por primera vez en 1971 bajo la denominación MSC/Nastran. 3.2 Características generales: El programa permite crear sistemas con gran número de cuerpos, denominados partes, los cuales pueden ser rígidos o flexibles. Es capaz también de modelar las relaciones entre partes, sean estas ligaduras cinemáticas o dinámicas, tales como uniones rígidas, juntas cardan, contacto entre superficies, o unión mediante elementos de fuerza (resortes, elementos resorte-amortiguador...). P Los científicos estudian el mundo tal como es, los ingenieros crean el mundo que nunca ha sido - Theodore Von Karman - Modelado de Sistemas 48 48 La creación de este modelo es de extrema sencillez, simplemente se ha dibujado la forma en planta haciendo uso de simetrías para colocar los orificios con mas rapidez, y posteriormente se ha extruido en la dirección del espesor. 4.2.2 Masa Para crear la pieza que proporciona la mayor parte de la masa a las partes móviles (los bloques deslizantes están construidos en aluminio y plástico y pesan menos de 100g), se ha optado por un diseño personalizado pero a la vez sencillo. Se trata simplemente de un bloque prismático con 4 taladros pasantes coincidentes con los orificios del bloque deslizante, para poder ser atornillado a este: Figura 4-5: Modelo 3D de la masa Figura 4-6: Planos de la masa acotados En la sección A-A se aprecia un orificio pasante y otro, más ancho, que permiten atornillar la masa al bloque deslizante. 49 4.2.3 Utillaje En este montaje el único elemento de utillaje necesario aparte de los tornillos y tuercas necesarias para la fijación de las partes, es la plataforma vertical a la que se fija el extremo inicial del resorte. Esta parte se ha diseñado para hacer coincidir la plataforma vertical con el inicio del rail, a la vez ha de fijarse en dos puntos para evitar que se produzcan giros debido a momentos; estos requerimientos dan lugar a la siguiente geometría: Figura 4-7: Modelo 3D del anclaje 4.3 Montaje del Sistema; Ensamblado de las partes 4.3.1 Importación y definición Una vez se cuenta con los modelos 3D de las distintas partes del sistema es preciso importarlas desde Adams View para proceder al ensamblado de las mismas; Adams View permite importar archivos prácticamente en todos los formatos comerciales, si bien en algunos foros se recomienda convertir a formatos concretos como ESTEP antes de importar, en el caso que nos ocupa no se ha dado ninguna complicación para importar directamente desde el formato nativo de CATIA V5 (CATIA Part/Product). Una vez que se ha importado la pieza deseada será necesario modificar propiedades como posición y orientación (Name and possition) a fin de situarla correctamente con respecto a las demás; asi mismo habrá que asignarle propiedades mecánicas, en nuestro caso calculadas automáticamente por el programa al seleccionar un material de entre los disponibles en la librería de Adams (Geometry and material type). Modelado de Sistemas 50 50 Figura 4-8: Importacion de modelos en Adams View Figura 4-9: modificación de las propiedades En este caso se ha tomado Stainless Steel para la plataforma vibratoria, el anclaje y las masas, y Aluminum para la guía y los carritos deslizantes. Tras repetir el proceso importación/orientación/colocación/definición, para todas las partes el conjunto obtenido presenta el siguiente aspecto: 51 Figura 4-10: Vista isométrica del conjunto ensamblado La imagen anterior muestra el modelo del sistema de 1 g.d.l., para transformarlo en el de 2 g.d.l. simplemente hay que añadir una pareja masa-bloque deslizante a una distancia razonable del que ya está colocado: Figura 4-11: Vista isométrica del conjunto ensamblado para 2 g.d.l. 4.3.2 Conectores y fuerzas El siguiente paso es establecer las relaciones existentes entre las partes. En la figura anterior se aprecia como se han hecho coincidir los orificios de la plataforma con los orificios del anclaje y algunos de la guía, es en estos puntos donde se van a establecer uniones fijas, lo que equivaldría en un montaje real a atornillar las piezas; para ello usaremos la opción créate a fixed joint representada por un candado en la pestaña connectors. Modelado de Sistemas 52 52 Figura 4-12: Inclusión de uniones fijas entre partes Se observa como la plataforma ha sido anclada a ground, y a su vez tanto la guía como el utillaje se han fijado a la plataforma; por otro lado la masa se ha unido al bloque deslizante. Por otra parte la relación entre bloque deslizante y guía será de tipo telescópico, creada también en el menú connectors mediante la opción créate a translational joint: Figura 4-13: unión translacional entre guía y bloque deslizante Una vez fijadas estas relaciones de tipo cinemático, vamos a pasar a las relaciones dinámicas. En primer lugar se va a colocar el resorte mediante la opción créate a translational spring-damper de la pestaña forces, como su propio nombre indica, este elemento incluye además del resorte, un amortiguador, permitiendo fijar los valores deseados de k y c. Recordando los resultados obtenidos en el capítulo 2, secciones 2.4 y 2.5, se obtuvieron valores del cociente 𝑘/𝑚 aproximadamente de 3900 y 3300 para uno y dos grados de libertad respectivamente; para la simulación se va a optar por un valor de 3500, aceptable en ambos casos, con vistas a que, en el caso de que se llegara a montar el experimento, se puedan usar los mismos muelles para ensayar los casos de uno y dos grados de libertad. Con  = 3500 𝑁/𝑚 ⋅ 𝑘𝑔 y dado que la masa del cojunto bloque deslizante-masa medida en Adams es de 627 g se obtiene una 𝑘 = 2.1998 ≃ 2.2 𝑁/𝑚𝑚 . 53 Por otro lado, se había acordado tomar un valor de la relación de amortiguamiento 𝜉 = 0.1 (Apartado 2.4), lo cual aplicando la definición 𝜉 =󰇗  ⋅⋅ nos deja con un valor de 𝑐 = 7.43 ⋅ 10 𝑁 ⋅ 𝑠/𝑚𝑚 . Figura 4-14: Definición del elemento Spring-Damper en el modelo 2 g.d.l. Una vez caracterizados todos los elementos de ambos sistemas y las relaciones existentes entre ellos, el modelo está listo para realizar las simulaciones necesarias sin más dilación. Modelado de Sistemas 54 54 55 5 SIMULACIÓN Y RESULTADOS n este capítulo se va a tratar el problema de como abordar la simulación, es decir, como se va a modelar la excitación, que datos es necesario tomar y como se van a obtener; Seguidamente se describirá el proceso de las simulaciónes en si mismas para finalmente presentar los datos e interpretarlos en el marco del presente proyecto y los objetivos iniciales. 5.1 Diseño de la simulación En primera instancia lo lógico sería someter la plataforma vibratoria a una excitación armónica en desplazamientos, dado que esto es lo que se ha considerado desde un principio, sin embargo de cara a Adams, imponer condiciones en desplazamientos es relativamente complicado, ya que require de la creación de una translational joint entre la plataforma vibratoria y ground y una vez hecho esto, no es inmediato imponer desplazamientos como función del tiempo debido a esto se decide buscar una manera alternativa que sea equivalente desde el punto de vista dinámico. Si recordamos las ecuaciónes (1.3) y(1.12) , imponer un desplazamiento y en la base es equivalente a aplicar una fuerza 𝐹 = 𝑐 ⋅ 𝑦󰇗 + 𝑘 ⋅ 𝑦 sobre la primera de las masas, siendo esto applicable en ambos casos de 1 y 2 g.d.l. Dado que la excitación y su derivada obeden a las expresiones: ( ) sin( ) ( ) cos( ) y t Y t y t Y t          (1.44) La fuerza que debemos aplicar será: 3 ( ) ( ) 7.43 10 10 ( ) 2.2 10 ( ) 0.0743 ( ) 22 ( ) ext ext ext F c Y cos t k Y sin t F cos t sin t F cos t sin t                                     (1.45) E Uno no puede discutir con un teorema matemático - Stephen Hawking - Simulación y Resultados 56 56 Una vez obtenida la expresión analítica de la fuerza externa, esta se incluye en el modelo seleccionando create a Force (Single-Component) Applied force dentro del menú Forces/Applied Forces y la aplicamos en el punto y sentido deseado: Figura 5-1: Dirección y punto de aplicación de la fuerza externa Una vez hecho esto solo hay que modificar dicha fuerza seleccionando Define Using Function e introduciendo en este campo la ecuación correspondiente; a tal efecto efecto Adams View proporciona un Function builder para asistir al usuario en la creación de funciones ante las dificultades que pueda encontrar, por ejemplo, la manera de decirle al programa que queremos usar la variable tiempo es mediante TIME, así mismo cuenta con gran variedad de funciones predefinidas, como arcotangentes, funciones hiperbólicas etc. Figura 5-2: Definición de la función que define la fuerza externa La expresión de la fuerza depende no solo de 𝑡 si no también de 𝜔, por lo tanto habrá que proporcionar valores de 𝜔 para que la función restante dependa únicamente del tiempo y sea interpretable por Adams. Si bien existen recursos para realizar análisis frecuenciales de forma automátizada, dada la finalidad docente del presente Proyecto, se ha optado por hacer el barrido frecuencial al modo en que se haría en el laboratorio por parte de los alumnos, es decir, variando manualmente la frecuencia de excitación dentro de un rango preestablecido, para así obtener las aceleraciones máximas asociadas a cada frecuencia. 57 Los valores de 𝜔 en los que se muestreará la aceleración, no son regulares, ni por supuesto arbitrarios, si no que estarán más espaciados lejos de las frecuencias naturales, y más seguidos cerca de estas, de modo que se obtenga mas información en las zonas mas sensibles para poder identificar donde se encuentran los puntos singulares de las aceleraciones. En el experimento de 1 g.d.l. la frecuencia natural prevista es de 59.16 𝑟𝑎𝑑/𝑠, por tanto se barrerá desde 𝜔 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (mayor que 1 𝐻𝑧 = 6.28 𝑟𝑎𝑑/𝑠) hasta 130 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (algo más de dos veces la frecuencia natural) siguiendo la siguiente distribución: Tabla 5-1: Distribución de los valores de 𝜔 a muestrear para 1 g.d.l. Las zonas en verde son aquellas en las que el paso es de 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠, en naranja 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y en rojo 1 𝑟𝑎𝑑/𝑠. En el caso de 2 g.d.l. las frecuencias de los modos son 36.56 y 95.72 𝑟𝑎𝑑/𝑠, así que el barrido se realizará desde 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 igual que en el caso anterior, solo que en este caso se ampliará el rango hasta 200 𝑟𝑎𝑑/𝑠. La distribución sería la siguiente: En la zona en verde claro el paso es de 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠; Este paso es el más grande debido al escaso interés que presenta esta zona. El último paso antes de simular es definir las medidas que vamos a tomar, en este caso los parámetros de interés son las aceleraciones de las masas, para obtenerlas se ha de seleccionar measure entre las opciones de cuerpo que se desea medir, o bien Create a Measure en la pestaña Design Exploration: Figura 5-3: Menu Part Measure 10 20 30 40 45 50 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 70 75 80 90 100 110 120 130 10 20 25 30 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 60 70 80 85 90 92 93 94 95 96 97 98 99 100 105 110 120 140 160 180 200 Tabla 5-2: Distribución de los valores de 𝜔 a muestrear para 2 g.d.l. Simulación y Resultados 64 64 Y el amortiguamiento: max 1 1 0.1 2 2 5FDC       (1.48) Por otro lado, el método del ancho de banda se basa en identificar los valores de 𝜔 en los que se da que la aceleración es igual a la aceleración máxima dividida entre √2, en este caso  √= 122.82 𝑚/𝑠, buscando en la gráfica: Figura 5-13: Método del ancho de banda Los valores de 𝜔 y 𝜔 obtenidos son 52.8 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y 64.3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 respectivamente, según este método 𝜉 se calcula como: 2 1 64.3 52.8 2 58.96 0.106 0.11 n           (1.49) Si bien el resultado obtenido mediante este método presenta cierta discrepancia con el valor anterior de 0.1, esta es razonablemente pequeña, representando una variación del 10% 5.3.2 Resultados obtenidos con el sistema de 2 g.d.l. De igual modo al apartado anterior se van a presentar en formato tabla los resultados de aceleraciones obtenidos con ADAMS para cada frencuencia de excitación, si bien en este caso se trata de dos medidas distintas de la aceleración, la primera corrspondiente a la masa 1 y la segunda a la masa 2: 𝝎 [ 𝒓𝒂𝒅 / 𝒔 ] 10 20 25 30 34 35 36 37 40 45 50 60 70 𝑎 1  [ 𝑚 / 𝑠  ] 1.06 5.248 10.41 21.9 50.9 65.9 78.57 80 45.73 21.5 12.9 6.88 16.94 𝑎 2  [ 𝑚 / 𝑠  ] 1.09 5.93 12.56 29.4 75.31 99.46 123.08 130 82.3 49 38.9 34.4 36.66 𝝎 80 85 90 94 95 96 97 100 105 110 120 140 160 180 𝑎 1  36.58 51.92 67.95 78.8 80.94 82.7 84.2 86.54 85.4 81.2 72.1 61 55.4 51.2 𝑎 2  44.2 51.96 53 53.4 53.4 53.1 52.7 48.975 42.3 35.58 25.5 15.2 10.14 7.87 65 Tabla 5-4: Aceleraciones obtenidas para cada 𝜔 Los puntos singulares deberían localizarse en las frecuencias naturales amortiguadas de cada uno de los modos. Para calcularlas se va a introducir el concepto de amortiguamiento proporcional mediante la siguiente ecuación matricial: M K C       (1.50) Desarrollando sus términos: 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 02 0 0 2 0 m k k m k k m c c c k k k m c c c c c c k k                                                        (1.51) Lo que conduce a: (c )m 0 (2 m) (2 m) k c c k k                      (1.52) Dado que los coeficientes adimensionales de amortiguamiento obedecen a 𝜉= ⋅+⋅  queda finalmente: 2 2 31 1 1 32 36.49 / 1.69 0.06 94.48 / 21 10 1.69 0.160 d i i d rad s c rad s k                                 (1.53) Estos valores en efecto difieren del 𝜉 = 0.1 que se tomó para el diseño de un grado de libertad, aunque siguen moviéndose en torno a ese 10%. Se puede observar que las frecuencias amortiguadas obtenidas son muy similares a las frecuencias naturales de los modos.Con objeto de refinar los resultados anteriores en las zonas de mayor interés, se va a realizar un barrido de precisión en el entorno de los puntos singulares. Los datos obtenidos se muestran a continuación: Representando mediante Matlab los puntos de la tabla 5-4 y añadiendo los puntos de las frecuencias naturales se obtienen las gráficas: Figura 5-14: Aceleración 1 frente a 𝜔 Simulación y Resultados 66 66 Figura 5-15: Aceleración 2 frente a 𝜔 Figura 5-16: Aceleraciones 1 y 2 frente a 𝜔 Del mismo modo que para un 1 g.d.l., se pueden identificar las frecuencias naturales amortiguadas por inspección de las gráficas. Sorprendentemente encontramos que el máximo de la aceleración 1 se da cuando 𝜔 = 100 𝑟𝑎𝑑/𝑠 en lugar de darse para la frecuencia natural calculada 𝜔, como si hace la aceleración 2, para dilucidar que está ocurriendo se recurre a representar las amplitudes en lugar de las aceleraciones: 67 Figura 5-17: Amplitud 1 frente a 𝜔 Figura 5-18: Amplitud 2 frente a 𝜔 En efecto, al representar las amplitudes se observa que el máximo relativo se encuentra en 𝜔 = 𝜔 = 94.48𝑟𝑎𝑑/𝑠 como se había calculado analíticamente. Como se puede observar en la gráfica, cerca del punto singular asociado a 𝜔 , esta es muy suave. Es debido a esta escasa variación sumado a las altas frecuencias a las que trabajamos que el máximo de las aceleraciones se desplaza a 100 𝑟𝑎𝑑/𝑠, puesto que dicha curva no comienza a descender hasta que las amplitudes no decrecen mas rápido que el cuadrado de la frecuencia. En el resto de casos los máximos se dan en las frecuencias naturales calculadas según lo previsto, lo que significa que los resultados de la simulación son extremedamente similares a los arrojados por la teoría. Simulación y Resultados 68 68 Respecto a los valores máximos de las aceleraciones se muestran resumidos en la siguiente tabla: 𝑎  ( 𝜔   ) 81 . 37 𝑚 / 𝑠  𝑎  ( 100 ) 86 . 54 𝑚 / 𝑠  𝑎  ( 𝜔   ) 130 . 16 𝑚 / 𝑠  𝑎  ( 𝜔   ) 53 . 6 𝑚 / 𝑠  Tabla 5-5: Aceleraciones máximas absolutas y relativas Para verificar la validez de los resultados se van a comparar estos con los calculados de manera analítica, por comodidad se van a estudiar en las frecuencias naturales, recordando, 𝜔= 36.56 y 𝜔= 95.72. Las amplitudes correspondientes pueden extraerse de la anterior tabla, dividiendo por el cuadrado de la frecuencia, si bien es más comodo medirlas directamente en Adams, quedando las relaciones entre amplitudes de la respuesta y de la excitación: 1 1 2 2 1 2 1 2 9.759; 0.8993;6.1015; 0.5793 X X X X Y Y Y Y                 (1.54) Recordando los valores predichos por el análisis teórico en las expresiones (1.31) y (1.33) los porcentajes de variación con respecto a los resultados del análisis informático son: 2 1 1 2 * 11 1 * 22 * 11 2 * 1 22 2 1. 1.29 ( ) 43.44% ( ) 99.55% ( ) 32.44% ( ) 38. 156 4.12 83 2 5.969 % XX Y XX Y XX Y XX Y                                 (1.55) Llama la antención la gran variación que se oberva entre los resultados analíticos y simulados, el resultado obtenido parece inaceptable. Esto obedece a que durante el diseño preliminar no se consideró amortiguamiento, si no que se usó un método aproximado propio para evitar la singularidad cuando la frecuencia de excitación coincide con alguna de las naturales del sistema. A pesar de esto dicha hipótesis ha demostrado su validez para obtener números gruesos puesto que el diseño realizado a partir de ella ha resultado eficaz. 69 Si repetimos el proceso explicado en el apartado 2.5 sustituyendo en cada caso el valor de 𝜉= 0.1 que se tomó en un principio por los dos valores calculados en (1.56) se llega a: 2 2 1 1 * 11 1 * 22 * 11 2 * 22 2 1 0.8993 ( ) 3.1% ( ) 23.4% ( ) 4. 0.714 7% ( ) 1.3 7 6.39 . %9 63 XX Y XX Y XX Y XX Y                                 (1.56) Estos resultados son a todas luces mejores que los anteriores. Para obtener resultados analíticos aún más finos con los que comparar los de la simulación habría que recurrir a un análisis modal, el cual es bastante más costoso de resolver a mano. En primer lugar se calculan los autovectores asociados a los autovalores del sistema de ecuaciones [𝒎 ⋅ 𝒌 − 𝜆 ⋅ 𝑰]𝝋 = 𝟎 , cuyos autovalores coinciden con el cuadrado de las frecuencias naturales, 𝜆= 𝜔 , obteniendo: 1 2 0.618 1.618 1 0.618 1.168 1 ; 1 1                           (1.57) Haciendo el cambio de variable 𝑥 = 𝑥⋅ Ψ y premultiplicando por Ψ el sistema se convierte en el siguiente: (t) T M C x x x f K            (1.58) Cuyos elementos son: 3 3 0.8678 0 0 2.2721 3.9219 0 0 70.3758 3.0375 10 0 0 7.9522 10 0.618 (t) (2198 (t) 7.43 (t)) 1 T T T T M m C c K k f y y                                                               (1.59) Este nuevo sistema consta de 2 ecuaciones diferenciales de segundo orden independientes entre si, cuya solución, tras deshacer el cambio de variable, debe ser prácticamente idéntica a la proporcionada por Adams. Resolver ecuaciones diferenciales puede ser muy tedioso, por ello se va a recurrir a Matlab para resolver numéricamente este sistema, para ello se usarán los códigos mostrados a continuación, los cuales están basados en el famoso integrador de Matlab ode45 “camuflando” el sistema de segundo orden bajo la apariencia de uno de primer orden de manera que ode45 pueda procesarlo. Simulación y Resultados 70 70 Los códigos anteriores son capaces de generar las respuestas de ambos grados de libertad para una frecuencia de excitación dada; a continuación se muestran las respuestas generadas para ambas frecuencias naturales: Figura 5-19: Respuesta calculada mediante Matlab para 𝜔 71 Figura 5-20: Respuesta calculada mediant Matlab para 𝜔 Los valores obtenidos de estas gráficas son: 2 1 2 1 * * 1 2 * * 1 2 0.00579 0 0 .09 .009142 0.05891 492 m X X X m m X m                (1.60) Comparándolos con los resultados simulados: 2 2 1 1 * 11 1 * 22 * 11 2 * 22 2 1 0.579 5.891 9.4 0.9142 ( ) 1.6% ( ) 0% ( ) 3.4% ( ) . % 9 2 7 2 XX Y XX Y XX Y XX Y                                (1.61) Como era de esperar, estos resultados si que son verdaderamente buenos, pudiendo explicarse las pequeñas diferencias mediante temas de redondeo y de precisión del propio algoritmo de Matlab. Simulación y Resultados 72 72 Para finalizar se va a estudiar el amortiguamiento aplicando el método del ancho de banda sobre la gráfica siguiente, la cual se corresponde al factor dinámico de carga obtenido a partir de datos de ADAMS: Figura 5-21: FDC frente a 𝜔 para ambos grados de libertad Para la variable 1 se ha encontrado 𝜉(𝜔)= 0.054 𝑦 𝜉(𝜔)= 0.071, haciendo lo mismo con la variable 2 se obtiene 𝜉(𝜔)= 0.178 y 𝜉(𝜔)= 0.157, promediando estos valores quedan 𝜉(𝜔)= 0.0625 y 𝜉(𝜔)= 0.1675 Respecto a los obtenidos analíticamente presentan una gran similitud, obteniendo un pocentaje de variación del 4% para 𝜉 y del 4.4% en el caso de 𝜉. Todos estos cálculos permiten confiar en los resultados obtenidos mediante simulación, estando en posición de afirmar que estos son correctos. 73 6 CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS L alcance de un documento como este es, lamentablemente, muy limitado, debido a esto es conveniente indicar o sugerir posibles formas de seguir esta línea de desarrollo. En los siguientes apartados se muestran las conclusiones obtenidas, así como un esbozo de lo que, a juicio del autor, debe ser la continuación de lo expuesto anteriormente. 6.1 Conclusiones Los diseños propuestos para uno y dos grados de libertad han demostrado ser válidos al proporcionar valores de amplitudes y aceleraciones contenidas dentro del rango operativo del equipo de laboratorio disponible. Así mismo las gráficas que se obtienen son de sencilla interpretación y se corresponden con las predichas por la teoría de vibraciones. En otro orden de cosas, se ha puesto de relieve la capacidad de Adams de simular sistemas mecánicos de manera sencilla, rápida y con gran precisión. Debido a esto se propone la inclusión de prácticas informáticas con MSC Adams en las asignaturas a modo de complemento a las prácticas de laboratorio. 6.2 Líneas futuras La evolución natural del presente trabajo es evidentemente la realización de un montaje físico que refrende (o desmienta) las conclusiones obtenidas y sirva en cursos venideros como elemento didáctico para las futuras promociones de estudiantes de ingeniería. El equipo necesario para realizar el montaje ha sido descrito con anterioridad a excepción del Sistema de fijación de los resortes, la opción más evidente es la soldadura, sin embargo este tipo de unión es permanente y por tanto desaconsejable; una unión desmontable permitiría cambiar unos resortes por otros en caso de que se quisiera usar parte del montaje para realizar experimentos distintos. Algunos resortes industriales se suministran con su propia platina de sujeción, otros acaban en una suerte de gancho, mientras que otros no cuentan con terminación alguna pues se venden por metros, la naturaleza del sistema de sujeción depende de lo anterior, aún así se van a mostrar algunos ejemplos para proporcionar al menos una orientación en este sentido: E Hay que vigilar a los ingenieros, comienzan con una maquina de coser y terminan con la bomba atómica. - Marcel Pagnol -