Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos

Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Dep. Organización Industrial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 2016 Autor: Teresa Grandes Núñez Tutor: Pablo Cortés Achedad Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 2 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” Autor: Teresa Grandes Núñez Tutor: Pablo Cortés Achedad El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 3 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 4 Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2013 El Secretario del Tribunal Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 5 TRABAJO DE FIN DE GRADO Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos Autor: Teresa Grandes Núñez Tutor: Pablo Cortés Achedad DNI: 32059247-F G.I.T.I Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 6 INDICE 1 Notación ______________________________________________________________ 9 2 Objeto del Proyecto ____________________________________________________ 10 3 Antecedentes históricos _________________________________________________ 12 3.1 Causas de la burbuja inmobiliaria ___________________________________ 12 3.2 Definición de hipoteca subprime ____________________________________ 13 3.3 Causas de la crisis: explosión de la burbuja ____________________________ 14 3.4 Causas de la extensión de la crisis más allá de EEUU _____________________ 17 4 Selección de la cartera de países. _________________________________________ 19 5 Modelo de gestión del riesgo _____________________________________________ 31 5.1 Portafolio de inversión ____________________________________________ 31 5.2 Modelo de Markowitz. ____________________________________________ 34 5.2.1 Medición del rendimiento del portafolio ________________________________ 34 5.2.2 Medición del riesgo del portafolio _____________________________________ 35 5.3 Modelo de optimización multicriterio: rentabilidad y riesgo ______________ 38 5.3.1 Resultado del rendimiento y el riesgo esperado del portafolio de inversión ____ 38 5.3.2 Desarrollo del modelo ______________________________________________ 41 6 Algoritmo Basado en Nubes de Partículas ___________________________________ 44 6.1 Aspectos previos relativos a los algoritmos basados en nubes de partículas __ 44 6.2 Descripción general del algoritmo PSO _______________________________ 46 6.3 Particularización del PSO al problema de inversión en bonos soberanos _____ 50 6.3.1 Codificación ______________________________________________________ 51 6.3.2 Inicialización Nube de Partículas y Nube de velocidades ____________________ 52 6.3.3 Evaluación de la aptitud _____________________________________________ 52 6.3.4 Desplazamiento de las partículas en el espacio de búsqueda ________________ 53 6.3.5 Pseudocódigo _____________________________________________________ 55 7 Diagramas de flujo _____________________________________________________ 58 7.1 Crear vector ____________________________________________________ 58 7.2 Admisibilidad del vector ___________________________________________ 60 7.3 Crear vector velocidad ____________________________________________ 68 7.4 Crear Nube de población __________________________________________ 69 7.5 Crear Nube de velocidades ________________________________________ 71 7.6 Calcular Adaptación ______________________________________________ 72 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 7 7.7 Síntesis global ___________________________________________________ 75 8 Calibración del algoritmo ________________________________________________ 81 8.1 Calibración de la cota inferior y superior ______________________________ 82 8.2 Calibración del Mínimo y Máximo total a invertir _______________________ 85 8.3 Calibración de la velocidad máxima __________________________________ 88 8.4 Calibración del factor de inercia inicial y final. __________________________ 89 8.5 Calibración del tamaño de la Nube __________________________________ 91 8.6 Calibración del umbral ____________________________________________ 94 8.7 Calibración del número total de iteraciones ___________________________ 95 8.8 Resultados finales de la calibración __________________________________ 98 9 Análisis de los resultados obtenidos ______________________________________ 100 9.1 Análisis a Largo Plazo ____________________________________________ 101 9.1.1 Escenario 1: α=0 β=1 ______________________________________________ 101 9.1.2 Escenario 2: α=0.25 β=0.75 _________________________________________ 102 9.1.3 Escenario 3: α=0.5 β=0.5 ___________________________________________ 104 9.1.4 Escenario 4:α=0.75 β=0.25 __________________________________________ 104 9.1.5 Escenario 5: α=1 β=0 ______________________________________________ 106 9.2 Análisis a Medio Plazo ___________________________________________ 107 9.2.1 Escenario 1: α=0 β=1 ______________________________________________ 107 9.2.2 Escenario 2: α=0.25 β=0.75 _________________________________________ 108 9.2.3 Escenario 3: α=0.5 β=0.5 ___________________________________________ 109 9.2.4 Escenario 4: α=0.75 β=0.25 _________________________________________ 110 9.2.5 Escenario 5: α=1 β=0 ______________________________________________ 111 9.3 Análisis a Corto Plazo ____________________________________________ 112 9.3.1 Escenario 1: α=0 β=1 ______________________________________________ 113 9.3.2 Escenario 2: α=0.25 β=0.75 _________________________________________ 114 9.3.3 Escenario 3: α=0.5 β=0.5 ___________________________________________ 115 9.3.4 Escenario 4: α=0.75 β=0.25 _________________________________________ 115 9.3.5 Escenario 5: α=1 β=0 ______________________________________________ 116 9.4 Análisis del tiempo computacional de ejecución _______________________ 117 10 Conclusión __________________________________________________________ 120 11 Bibliografía __________________________________________________________ 122 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 8 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 9 1 Notación Porcentaje invertido en el bono del país i. α: Parámetro que pondera tanto en el MENB como en el MPI el riesgo. β :Parámetro que pondera tanto en el MENB como en el MPI el rendimiento. : Término que hace referencia al rendimiento del bono i. T.F.G: Trabajo de Fin de Grado. A.G.: Algoritmo Genético. L/P: Horizonte temporal a Largo Plazo, diez años para este problema. M/P: Horizonte temporal a Medio Plazo, tres años para este problema. C/P: Horizonte temporal a Corto Plazo, seis meses para este problema. FMI: Fondo Monetario Internacional. UE: Unión Europea MENB: Modelo con Especificación en el número de bonos. MPI: Modelo de Porcentajes de Inversión. BCE: Banco Central Europeo. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 16 33 eran adquiridos mediante préstamos, lo que supone un elevado riesgo de insolvencia por parte de los bancos ante situaciones de crisis y shocks externos. Figura 3.3.2: Impagos hipotecarios vs hipotecas en ejecución Fuente: BdE (El mercado hipotecario residencial en Estados Unidos. Evolución, estructura e interrelación con la crisis ) Dado que dichos bancos se habían posicionado como gigantes en el entorno económico a nivel nacional, la situación delicada por la que estaban pasando debido a la dificultad de financiación y a la atención de pagos a sus acreedores, hizo cundir el pánico a nivel bursátil. Así las cosas, a finales de 2007 los mercados de valores de todo EEUU comenzaron a desplomarse inevitablemente. A ellos debemos sumar otros factores externos tales como el incremento de precio de las materias primas, el aumento de la inflación y el estancamiento del crédito. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 17 3.4 Causas de la extensión de la crisis más allá de EEUU Dado que los activos de deuda (bonos, títulos de créditos, etc.) pueden ser objeto de transacción, y gracias al desarrollo de las nuevas tecnologías y al fenómeno de la globalización, la venta de las hipotecas las subprime (camufladas de CDO’s con clasificación AAA) fueron capaces de sobrepasar las fronteras estadunidenses. Así pues, fueron millares los bancos de inversión de otros países los que también comenzaron a sufrir pérdidas, dado que éstos también había adquirido una gran cantidad de deuda de hipotecas subprime que resultaron ser insolventes. Además estos bancos de inversión tuvieron gran facilidad en recolocar dichos títulos en un ingente número de inversores adversos al riesgo, hablamos por ejemplo de aseguradoras de planes de pensiones. Con ello, al estallar la crisis en el año 2007, ésta tuvo la capacidad de propagarse rápidamente a través de diversos canales, produciendo pérdidas de miles de millones de dólares. Muchas entidades no pudieron hacer frente a los pagos, comenzando la cascada de quiebras, cierres y rescates con el dinero de los contribuyentes. Cabe destacar como símbolo de esta crisis la declaración de bancarrota del banco de inversión de Lehman Brothers el 15 de Septiembre de 2008. Lo que al principio pareciera un simple problema de liquidez bancario, pronto tuvo la capacidad de convertirse en una de las mayores crisis de los últimos 50 años de nuestra historia, en parte a la mala práctica de los bancos, en parte al efecto contagio. Ante tales perspectivas, la actuación de los bancos centrales no tardó mucho en presentarse. Así pues se produjo una inyección masiva a los bancos por valor de miles de millones de euros con el objetivo de reforzar los mercados y evitar que el pánico los inundase y provocase un desplome masivo. Sin embargo, estas serie de medidas o consiguieron resolver la crisis de liquidez, ya que a esta se había unido un factor muy importante, la desconfianza generada por una incorrecta valoración de los riesgos. Ello provocó una serie de consecuencias: Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 18 - Que las agencias de calificación de riesgos (siendo las más conocidas “Standard & Poors’s”, “Moody’s” o “Fitch”) dedicadas a evaluar la solvencia y la calidad crediticia de las empresas y a calificarlas según distintas variables comenzaron a ser cuestionadas y perdieron una parte importante de su prestigio. - Que las entidades comenzaran a ser reacias a prestarse dinero entre ellas, tal y como había ido sucediendo hasta la fecha, provocando la inmovilización de los mercados financieros. - Que los legisladores, tanto norteamericanos como europeos, comenzaran a barajar el endurecimiento de los criterios para la concesión de créditos. Todo ello provocó, la falta de crédito disponible para los bancos, las empresas y los particulares y ha traído las negativas consecuencias que se han vivido en estos tiempos, recesión, cierre de empresas, pérdida de empleos, crisis y el empeoramiento de las condiciones de vida de los ciudadanos. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 19 4 Selección de la cartera de países. Como ya se adelantaba en el objeto del proyecto, la intención principal consistía en formar una cartera lo más representativa posible, donde se tenga la alternativa de invertir en países que nos aporten más seguridad a países que conllevasen un cierto riesgo pero consigo también traerían una rentabilidad alta en caso de éxito. De este modo, el conjunto debería estar formado por las principales economías mundiales, como EE.UU , Reino Unido y Alemania, en contraste también deberían aparecer países emergentes ,por ejemplo Portugal o Grecia, y por otro lado también parte de la cartera debería representar a los países emergentes como Brasil o Australia y otros en alto riesgo como es el caso de España e Italia. Teniendo en cuenta los cuatro escenarios que deben estar representados en la cartera de inversión, se escogerán los países que cuenten con una disponibilidad de datos a través de los cuales se estudiará la rentabilidad de cada uno de ellos, prestando especial atención al riesgo que significaba invertir en Enero de 2012. La evaluación del riesgo de la inversión en cada país se establece de acuerdo a la valoración dada por las principales Agencias de Calificación, esto es Fitch, Standard & Poor’s y Moddy’s, en dos fechas clave: Diciembre de 2011 y Diciembre de 2012. De esta manera, se obtendrá, además, una primera aproximación a la evolución de la economía de cada uno de estos países, según la valoración dada por las mencionadas Agencias de Calificación en cuanto al riesgo de invertir en deuda soberana. Antes de continuar con el análisis de países que deberían conformar la cartera, es preciso anotar algunas definiciones y aclaraciones para poder asimilar mejor el proceso de selección realizado: -Rating o calificación de la deuda: evalúa la capacidad de las empresas para pagar sus obligaciones de deuda(es decir, de solvencia) y el nivel de riesgo que conlleva invertir en ellas (en este caso, bonos del Estado). Lo que se intenta es ofrecer un indicador de la probabilidad de pago en la fecha prevista, tanto del principal como de los intereses, por parte del emisor de la deuda. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 20 Hay que recalcar la importante función de las agencias de calificación, ya que la mera comunicación de una mera baja de rating para una compañía o país suele encadenar efectos inminentes sobre su valoración por parte del mercado, ya sea por el incremento de la prima de riesgo del país o por el descenso en la cotización de las acciones de la empresa afectada. En definitiva, cuanto peor sea la calificación mayor será el riesgo contraído por los potenciales inversores. -Riesgo soberano: mide el riesgo de impago de los bonos de deuda pública emitidos por un país en el que se realiza la inversión .Cada país posee condiciones sociales, políticas y económicas que generan un riesgo específico para las inversiones que se realicen en dicho país, y todas estas circunstancias condicionan el riesgo del país o el riesgo soberano. Generalmente el riesgo país viene expresado como una prima de riesgo. -Las agencias de rating tienen en cuenta los siguientes factores a la hora de calificar a las distintas entidades:  La evolución pasada, presente y expectativas futuras del emisor.  El entorno económico (tanto macro como microeconómico).  La postura del emisor dentro de su sector.  El grado de prioridad de los acreedores en el caso de impago.  El entorno jurídico y normativo.  Los objetivos y la posición de los directores y accionistas. Las principales agencias de calificación reconocidas a nivel internacional corresponden a las multinacionales norteamericanas Moddy’s, Fitch y Standard & Poor’s. Forman parte de los organismos más influyentes económicamente a nivel mundial. Tienen como misión analizar las cuentas y balances económicos de las empresas, gobiernos y entidades sin ánimo de lucro, entre otros. Pero no sólo se centran en los números, sino que también estudian estadísticas pasadas con el fin de realizar comparaciones y poder realizar un dictamen que se aproxime lo máximo posible a la marcha futura de la entidad. De esta forma, concluyen con la elaboración de una calificación que ayuda a los inversores a tener una idea de la calidad y seguridad de la inversión. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 21 Para hacer sus valoraciones emplean códigos de letras, la escala va desde la triple A para representar la máxima calificación de crédito (aquellas que tienen menor riesgo, significa que la deuda o el país emisor y el cobro de los intereses tiene todas las garantías) hasta la D, donde invertir en este fondo conlleva riesgos, ya que se trata de la peor calificación. A continuación, se muestra la tabla 4.1 donde se explica la representación de cada código empleado por las tres agencias citadas anteriormente a la hora de calificar el riesgo. Tabla 4.1: Sistema alfabético empleado para la calificación del crédito. Moody's S & P Fitch Principal Aaa AAA AAA Alto grado Aa1 AA+ AA+ Aa2 AA AA Aa3 AAAA- Grado medio superior A1 A+ A+ A2 A A A3 A- A- Grado medio inferior Baa1 BBB+ BBB+ Baa2 BBB BBB Baa3 BBBBBB- Grado de no inversión especulativo Ba1 BB+ BB+ Ba2 BB BB Ba3 BBBB- Altamente especulativa B1 B+ B+ B2 B B B3 B- B- Riesgo sustancial Caa1 CCC+ CCC Extremadamente especulativa Caa2 CCC Pocas perspectivas de recuperación Caa3 CCC- Ca CC C Impago C D DDD DD D Un aspecto a destacar, es la pertenencia de estas agencias al sector privado, de este modo no es obligatorio obtener su calificación pero si es cierto que el hecho de no Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 22 parecer en sus listas trae consigo cierta desconfianza por parte de los inversores. Puede parecer una muestra de encubrimiento de datos y del estado de dicha empresa. En el caso de que un país tenga una mala calificación, una solución posible para que sea una opción atractiva para los inversores sería el aumento de los intereses de sus deudas. De esta forma aunque apostar por este tipo de países conllevase un mayor riesgo, traería consigo una mayor rentabilidad de la inversión. Todo depende del riesgo que esté dispuesto a asumir el inversor. En cuanto al riesgo que se quiere asumir, se verá reflejado en el algoritmo creado de forma que en la función objetivo habrá dos datos (α y β) que irán ligados al riesgo y a la rentabilidad respectivamente, y según la importancia que se quiera dar a cada uno tomarán diferente valores. Una última pincelada sobre la influencia de estas agencias, no tienen una fiabilidad absoluta ya que por ejemplo si nos remontamos al año 2008, dieron su máxima nota a las hipotecas subprime, días antes que estallará la gran crisis y se convirtieran dichos productos financieros en basura. En la siguiente tabla 4.2, se recoge la valoración de las principales economías mundiales recogidas por las prestigiosas Agencias de Calificación citadas anteriormente. Dichas puntuaciones corresponden a Diciembre del 2011 y Diciembre del 2012. Tabla 3.2: Calificación de ratings tomadas por Moddy’s, Fitch y Standard & Poor’s Diciembre 2011 Diciembre 2012 Moody's S & P Fitch Moody's S & P Fitch Alemania Aaa AAA AAA Alemania Aaa AAA AAA Argentina Ba2 B BB- Argentina B3 B- CC Australia Aaa AAA AAA Australia Aaa AAA AAA Austria Aaa AAA AAA Austria Aaa AA+ AAA Bélgica Aa3 AA AA+ Bélgica Aa3 AA AA Brasil Baa2 BBB BBB Brasil Baa2 BBB BBB Bulgaria Baa2 BBB BBB- Bulgaria Baa2 BBB BBB- Canadá Aaa AAA AAA Canadá Aaa AAA AAA Chile Aa3 A+ A+ Chile Aa3 AA- A+ China Aa3 AA- A+ China Aa3 AA- A+ Chipre Baa3 BBB BBB Chipre Caa3 CCC B Colombia Baa3 BBBBBB- Colombia Baa3 BBB BBB- Corea Sur A1 A A Corea Sur Aa3 A+ AA- Costa Rica Baa3 BB BB+ Costa Rica Baa3 BB BB+ Croacia Baa3 BBBBBB- Croacia Ba1 BB+ BBB- Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 23 Dinamarca Aaa AAA AAA Dinamarca Aaa AAA AAA Ecuador Caa2 B- B- Ecuador Caa1 B B- Eslovaquia A1 A+ A+ Eslovaquia A2 A A+ Eslovenia A1 AAAA- Eslovenia Ba1 A- A- España A1 AAAA- España Baa3 BBBBBB Estonia Baa1 AA- A+ Estonia A1 AA- A+ Filipinas Ba2 BB BB+ Filipinas Ba1 BB+ BBB- Finlandia Aaa AAA AAA Finlandia Aaa AAA AAA Francia Aaa AAA AAA Francia Aa1 AA+ AAA Grecia Ca CC CCC Grecia C B- CCC Holanda Aaa AAA AAA Holanda Aaa AAA AAA Hungría Ba1 BB+ BBB- Hungría Ba1 BB BB+ India Baa3 BBBBBB- India Baa3 BBBBBB- Indonesia Ba1 BB+ BBB- Indonesia Baa3 BB+ BBB- Irlanda Ba1 BBB+ BBB+ Irlanda Ba1 BBB+ BBB+ Islandia Baa3 BBBBB+ Islandia Baa3 BBBBBB Israel A1 A+ A Israel A1 A+ A Italia A2 A A+ Italia Baa2 BBB+ BBB+ Japón Aa1 AAAA Japón Aa3 AA- A+ Letonia Baa3 BB+ BBB- Letonia Baa2 BBB BBB Letonia Baa3 BB+ BBB- Letonia Baa2 BBB BBB Lituania Baa1 BBB BBB Lituania Baa1 BBB BBB Luxemburgo Aaa AAA AAA Luxemburgo Aaa AAA AAA Malasia A3 A- A- Malasia A3 A- A- Malta A2 A A+ Malta A3 BBB+ A+ México Baa1 BBB BBB México Baa1 BBB BBB N. Zelanda Aaa AAA AAA N. Zelanda Aaa AA AA Nicaragua B3 No valor No valor Nicaragua B3 No valor No valor Noruega Aaa AAA AAA Noruega Aaa AAA AAA Paraguay B1 BB- No valor Paraguay Ba3 BB- No valor Perú Baa3 BBB BBB Perú Baa2 BBB BBB Polonia A2 A- A- Polonia A2 A- A- Portugal Ba2 BBBBB+ Portugal Ba3 BB BB+ R. Checa A1 AA- A+ R. Checa A1 AA- A+ R. Dom. B1 B+ B R. Dom. B1 B+ B Reino Unido Aaa AAA AAA Reino Unido Aa1 AAA AAA Rumanía Baa3 BB+ BBB- Rumanía Baa3 BB+ BBB- Rusia Baa1 BBB BBB Rusia Baa1 BBB BBB Singapur Aaa AAA AAA Singapur Aaa AAA AAA Sudáfrica A3 BBB+ BBB+ Sudáfrica Baa1 BBB BBB Suecia Aaa AAA AAA Suecia Aaa AAA AAA Suiza Aaa AAA AAA Suiza Aaa AAA AAA Tailandia Baa1 BBB+ BBB Tailandia Baa1 BBB+ BBB+ Turquía Ba2 BB BB+ Turquía Ba1 BB+ BBB- Ucrania B2 B+ B Ucrania B3 B B Uruguay Ba1 BB+ BB+ Uruguay Baa3 BBBBBB- USA Aaa AA+ AAA USA Aaa AA+ AAA Venezuela B2 B+ B+ Venezuela B2 B+ B+ Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 24 Si se comparan ambas tablas, separadas por un periodo de un año se puede observar varios patrones. En primer lugar, las principales economías como es el caso de EE.UU, Reino Unido o Alemania han sabido mantenerse en el puesto mejor valorado pese a la crisis. Es un hecho a destacar debido a que ese año transcurrido podría catalogarse como uno de los peores de la crisis financiera. Por otro lado, no han gozado de la misma suerte otros países como España, donde se puede contemplar desde finales del 2011 hasta finales del 2012 se produce una bajada en la valoración de la misma por parte de estas conocidas Agencias. Este mimo patrón se repite en las economías más frágiles, por ejemplo los países del sur de Europa o Sudamérica (Italia, Argentina o Chipre). En conclusión, estos casos nos muestra la gran diferencia que se produce a lo largo de la crisis entre ambos bandos. Mientras que las principales potencias mundiales se enriquecen y se sobreponen de la crisis, el resto de las economías siguen quebrantándose. De este modo, recopilando las valoraciones tomadas por las Agencias de Calificación y adecuándose a la disponibilidad de datos a los que se tiene acceso, se ha podido confeccionar una cartera lo más representativa posible compuesta por los siguientes países recogidos en la Tabla 4.3. Tabla 4.3: Selección de países que conforman la cartera de inversión. 1 Alemania 2 España 3 EE.UU 4 Francia 5 Italia 6 Japón 7 Reino Unido 8 Portugal 9 Grecia 10 Canadá 11 Australia Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 25 Como se comentó al principio del documento, en el objeto del proyecto, la cartera seleccionada estaba formada por cuatro grandes conjuntos que la hacen que sea lo más representativa posible: - Principales economías mundiales: Alemania, EE.UU, Francia, Canadá, Australia y Reino Unido - Países en grave riesgo: España e Italia - Países de economías emergentes: Japón - Países con graves problemas financieros: Grecia y Portugal Además, con esta recopilación de países quedan representados cuatro de los cinco continentes. Analizando la cartera formada, comentar la bajada de calificación de países como España e Italia, y sobre la complicada situación financiera de Grecia. En contraposición se encuentra, el resto de los países como Alemania o EEUU donde su economía se ha mantenido estable y no han alterado su destacada valoración. Así mismo, hay que tener en cuenta para el desarrollo del Trabajo de Fin de Grado las rentabilidades que corresponden al periodo de estudio en cuestión, tal es el caso que se necesitan dichos datos en el espacio de tiempo entre el año 2007 hasta el año 2012.Asi pues se han recabado las cifras de páginas cualificadas en el tema como www.datosmacro.com y www.forespros.es, a parte de los diferentes Bancos Centrales correspondientes a cada país y del Banco Central Europeo. Se diferencia tres tipos de rentabilidades, dependiendo del plazo de inversión ,de modo se tiene la posibilidad de analizar la inversión a corto plazo (6 meses) ligada a la Tabla 3.4, a medio plazo (3 años) recogida en la Tabla 3.5 y por último, a largo plazo (10 años), reunida en la Tabla 3.6. Tabla 4.4: Rentabilidades bonos a corto plazo (2007-2012) ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN R. UNIDO PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA ene-07 3,7 3,807 5,28 3,711 3,784 0,52 5,44 3,57 3,498 4,1 6,431 feb-07 3,77 3,878 5,29 3,78 3,866 0,54 5,5 3,641 3,511 3,97 6,37 mar-07 3,84 3,886 5,27 3,844 3,92 0,66 5,49 3,649 3,636 4,01 6,457 abr-07 3,92 4,083 5,28 3,949 4,022 0,62 5,59 3,846 3,735 4,17 6,563 may-07 4,02 4,221 5,28 4,041 4,136 0,62 5,71 3,984 3,745 4,56 6,438 jun-07 4,1 4,321 5,29 4,13 4,181 0,67 5,82 4,084 3,951 4,66 6,594 jul-07 4,16 4,364 5,31 4,188 4,248 0,72 5,97 4,127 3,995 4,71 6,596 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 32 En efecto, se puede decir que la diversificación del riesgo es clave a la hora de elegir el portafolio. Considerando esto hay que tener claro los diferentes tipos de riesgos: - Riesgo de mercado: también conocido como riesgo sistemático, atiende a la posibilidad de que los valores coticen por debajo del precio que se paga por ellos. De este modo depende en bran parte de la evolución de los tipos de interés, de las circunstancias de mercado y de condiciones económicas generales. Estos componentes con frecuencia son volátiles y ejercen una presión significativa sobre los precios. - Riesgo de liquidez: este término de liquidez se refiere a la posibilidad que tiene un inversor lo más rápido posible sin que tenga que sufrir una rebaja en el precio de la misma. De hecho, por lo general cuanto mayor sea la liquidez de un bono, menor será su rendimiento. - Riesgo por incumplimiento: la probabilidad de que un bono del emisor de un bono se vea incapacitado realizar los pagos del principal o intereses en el preciso momento que se requiera. Siempre existirá peligro de quiebra. - Riesgos tecnológicos u operativos: el uso de tecnología obsoleta así como el empleo de sistemas anticuados u la realización de operaciones equivocadas incrementa la incertidumbre de la inversión. La medición del riesgo representado numéricamente en particular en este proyecto se realizará a través de procedimientos estadísticos como la varianza, el cálculo de la media y la desviación estándar. Todas estas técnicas serán necesarias para implementar el Modelo de Markowitz, basado en el comportamiento racional del inversor donde evita el riesgo y se desea la rentabilidad , esta teoría se verá desarrollada más adelante y se profundizará sobre este tema con el fin de encontrar la cartera eficiente. Por otro lado, la idea de una inversión sin riesgo es una utopía. Cualquier inversión conlleva cierto riesgo, no obstante parte del riesgo se puede disminuir, este es el denominado riesgo no sistemático. Este último depende de las características específicas de la entidad o empresa emisora, la naturaleza de su actividad productora, solvencia financiera etc. De este modo, se puede controlar con una diversificación adecuada, Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 33 teniendo en cuenta el nivel de correlación de los bonos con ciertos índices y buscando un buen equilibrio entre los que poseen un alto nivel de correlación y los que por otro lado tienen una correlación nula o incluso negativa. Ahora bien, en este caso, se busca que los cambios en los bonos financieros sean independientes y para hacer la selección de este tipo de bonos contamos con las técnicas estadísticas como el cálculo del coeficiente de correlación (ρij) y la covarianza (σij). Es importante hacer hincapié en la interpretación del coeficiente de correlación, este parámetro estadístico puede tomar valores dentro del intervalo [-1,1].Sobre todo el comportamiento de estos bonos viene limitado por el signo, así pues se pueden dar los siguientes tres casos: 0 < ≤ 1  toma valores positivos, esto trae consigo que si la variable i aumenta, al mismo tiempo aumentará la variable j y de manera viceversa también se observará lo mismo. Es decir, en otras palabras, el comportamiento en nuestro caso de los bonos soberanos seguirá el mismo patrón j respecto a i. -1 ≤ < 0  toma valores negativos, este caso se encuentra en contraposición con el anterior, de modo que el comportamiento del bono i producirá el efecto contrario en el bono j. Tal es el caso que si la variable i aumenta o disminuye, de forma directa disminuye o aumenta respectivamente la variable j. = 0  cuando la correlación es nula esto significa que el comportamiento de la variable i es independiente al comportamiento de la variable j, en otra palabras, si i aumenta o disminuye no supondrá un efecto directo en el comportamiento de la variable j. Sobre todo, el grado de correlación dependerá de la actitud del inversor, la disposición que tenga de arriesgar. Lo deseable es elegir bonos con correlación negativa donde en una misma situación se vean todos afectados de la misma manera, de esta forma se buscaría un equilibrio. Además cabe destacar la vulnerabilidad de los mercados, eligiendo un coeficiente < 0 se aseguraría que la disminución de rendimiento de Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 34 algunos bonos irían ligadas al aumento de rendimiento de otros, corresponde con una actitud más conservadora donde el riesgo se mengua considerablemente. Antagónicamente, si se decide invertir en bonos con un coeficiente > 0 se asume un riesgo muy alto, es verdad que en situación de éxito aumentarían las ganancias considerablemente, no obstante las pérdidas serían elevadas y hay que tener presente lo citado anteriormente, el mercado es muy vulnerable y no se caracteriza precisamente por la estabilidad. 5.2 Modelo de Markowitz. El enfoque propuesto por Henry Markowitz sobre la configuración de portafolios de inversión revolucionó el campo de las finanzas, conformando principios como el de portafolios eficientes. Un portafolio eficiente es aquel que tiene que tiene un mínimo riesgo, para un retorno dado o, equivalentemente un portafolio con un máximo retorno para un nivel de riesgo dado. Asimismo, para calcula el rendimiento total y el riesgo final se deben conocer los respectivos rendimientos y riesgos de los diferentes bonos que conforman este portafolio. Para ello se emplea el cálculo de la media y la desviación estándar, y además hay que señalar que también tendrá influencia en el rendimiento final la correlación entre los diferentes bonos. 5.2.1 Medición del rendimiento del portafolio En primer lugar, calcular los rendimientos de la cartera se empleará las medias aritméticas o en otras palabras, el promedio de los diferentes datos históricos base del estudio de forma que se generarán los valores de rendimientos esperados. La expresión que se empleará para este cálculo es la siguiente: (4.2.1.1) Cada término expresa: : Rendimiento esperado del bono i. : Rendimiento del bono i en el periodo t. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 35 : numero total de periodos que se estudian. En este trabajo se analizará desde el año 2007 hasta finales del 2011 con el fin de hacer una estimación del rendimiento del 2012, de esta forma se estudiarán estos cinco años y se recogerán los datos históricos de los rendimientos de cada bono de cada mes dentro de ese intervalo. Haciendo cálculos 5 años × 12 meses dará un total de T=60 periodos a examinar. Una vez tomados estos datos y calculando el rendimiento esperado por cada bono de los 11 países que componen la cartera seleccionada previamente, se puede proceder al cómputo del rendimiento del portafolio con el siguiente cálculo: (4.2.1.2) Donde: : Rendimiento esperado del portafolio : Porcentaje invertido en el bono i : Número total de bonos a analizar En el caso del modelo original de Markowitz el sumatorio de todos los pesos debe ser igual a 100, pero el modelo resuelto por el algoritmo tiene una pequeña variación ya que se podrá invertir dentro de un determinado intervalo marcado por un mínimo de 90% y un máximo que corresponde al 110% del capital destinado para esta operación. Este intervalo puede ser acotado según la actitud del inversor y lo que esté dispuesto a invertir, de modo que al tratarse de un dato de entrada en el modelo puede ser modificado a gusto del inversor. 5.2.2 Medición del riesgo del portafolio El cálculo del riesgo se realizará a través de la desviación típica o de otra forma denomina desviación estándar. Este estadístico es la raíz cuadrada de la varianza y viene Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 36 representada por σ. Cabe recordar que la varianza es una medida de dispersión determinada por la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media. Del mismo modo, se evita falsear los resultados ya que al estar esa diferencia elevada al cuadrado se elimina la posibilidad que las diferencias negativas y positivas contrarresten entre sí a la hora del sumatorio en el caso de que fuesen simples restas. De hecho si se divide ese sumatorio entre n se le denomina varianza sesgada o poblacional representada por y es calculada según la siguiente fórmula: (5.2.2.1) Una vez introducido este nuevo término, se puede calcular el riesgo de un determinado instrumento i, en este caso de los bonos a través de la desviación típica citada anteriormente. Empleando la siguiente expresión: (5.2.2.2) Siendo tanto en la ecuación (5.2.2.1) y (5.2.2.2) T el número total de períodos que se analiza y R el rendimiento del instrumento i. En un inicio en el apartado 4.2.1 se explicó como hallar el rendimiento promedio esperado de un bono i, ahora el riesgo de modo que ya se puede analizar los distintos escenarios que se podrían dar entres dos bonos de inversión i y j. - : cuando nos encontramos en el caso en el cual los rendimientos promedios son los mismo, pero el riesgo del bono j es mayor que el de i nos decantaremos por el bono i. En definitiva, en otras palabras, entre bonos con un mismo rendimiento escoger el de menor riesgo. - : en el segundo caso, los riesgos son coincidentes pero la rentabilidad de i es mayor que la de j, de manera que se escogería el bono i para formar el portafolio debido es más eficiente a igual riesgo mayor rentabilidad. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 37 - : por último el instrumento i posee una mayor rentabilidad y menos riesgo respecto al instrumento j. Indudablemente la opción más favorable sería invertir en i. Cabe destacar que la elección de bonos en los casos anteriores sería para la selección de un único bono y como se ha ido comentando a lo largo de este documento, la base de la disminución del riesgo no sistemático es la diversificación de bono, de forma que se necesita un método para hallar el riesgo que conlleva elegir un bono combinándolo con varios de ellos, desechando así la elección única y exclusiva. Por eso, inevitablemente el cálculo de rendimientos y riesgos individuales no es de mucha ayuda para la selección del portafolio en cuestión. En relación con esto último, hay que centrarse en encontrar la manera eficiente de calcular el riesgo. Para ello se utilizará la covarianza, , dicho estadístico relaciona el riesgo de elegir dos bonos a la par (i y j).La covarianza se determina calculando el producto de dos desviaciones como se puede observar a continuación: (4.2.2.3) Hay que señalar si se invierten los factores del producto el resultado final es inalterable, tal es el caso que = , ambas covarianzas son iguales. Así pues podemos definir el portafolio de dos bonos del siguiente modo: (4.2.2.4) Así pues, la covarianza es un medio para analizar el comportamiento del rendimiento entre dos bonos de inversión, de ahí la relevancia para nuestro modelo. De forma que podemos encontrarnos con las siguientes situaciones según el signo de ésta: : El comportamiento de ambos bonos, i y j es el mismo de manera que ambos rendimientos pueden ser mejores a los esperados, o en contraposición, los rendimientos son menores que los esperados. En otras palabras, se mueven en la misma dirección. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 38 : Los comportamientos se compensan, esto quiere decir que cuando un rendimiento aumenta con respecto al esperado, el otro bono se comporta de manera contraria, en concreto en este caso disminuirá. tiende a cero : no existe relación alguna entre los rendimientos de los bonos i y j . Finalmente, se puede representar la varianza de un portafolio de n bonos de forma generalizada según la siguiente expresión: (4.2.2.5) Asimismo, a través de la ecuación (4.2.2.5), se puede hallar el riesgo del portafolio calculando la raíz cuadrada de la varianza: σ (5.2.2.6) 5.3 Modelo de optimización multicriterio: rentabilidad y riesgo En este apartado se tratará el cálculo de la rentabilidad y riesgo para nuestro problema en particular, y la presentación del modelo con función multicriterio, el cual se ha basado el estudio para aplicar el algoritmo PSO, cuyos resultados se analizarán en apartados posteriores. 5.3.1 Resultado del rendimiento y el riesgo esperado del portafolio de inversión En relación con lo propuesto en los apartados 5.2.1 y 5.2.2, se lleva a cabo el cálculo de la rentabilidad y riesgo del portafolio. En primer lugar, se evaluó los rendimientos esperados de cada uno de los 11 países, n=11, que componen la cartera de inversión. Para ello se tomó un total de 60 meses, T=60, (año 2007-2011)y se analizó para las inversiones a corto, a medio plazo y a largo plazo .Para ello se aplicó la siguiente expresión particularizada: (5.3.1.1) Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 39 A continuación se muestra los resultados del cálculo de los rendimientos esperados para el año 2012: Tabla 5.3.1.1 : Rendimientos esperados de los bonos a corto plazo (6 meses) ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA 2,3717 2,7010 1,9725 1,9327 2,4420 0,3952 2,7462 2,4640 3,8001 2,1892 4,9744 Tabla 5.3.1.2 : Rendimientos esperados de los bonos a medio plazo (3 años) ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA 2,3678 3,5278 2,0233 2,5202 3,4105 0,5573 2,8070 5,3358 9,4828 2,4392 5,3414 Tabla 5.3.1.3 : Rendimientos esperados de los bonos a largo plazo (10 años) ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA 3,3900 4,4663 3,5325 3,7260 4,5618 1,3646 3,9708 5,7578 7,8635 3,4265 5,7460 Así pues para hallar la rentabilidad del portafolio se debería el peso de cada país que conforma el portafolio: En relación con el riesgo, la matriz de covarianzas resultante fue evaluada mediante el siguiente cálculo: A continuación se muestra los resultados para cada escenario: Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 40 Tabla 5.3.1.4 : Matriz de covarianzas de bonos a corto plazo ( 6meses) Tabla 5.3.1.5 : Matriz de covarianzas de bonos a medio plazo ( 3 años) Tabla 5.3.1.6 : Matriz de covarianzas de bonos a largo plazo ( 10 años) ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA ALEMANIA 0,5333 -0,1307 0,5045 0,3736 -0,0912 0,1575 0,5859 -1,1324 -2,5316 0,3867 0,1283 ALEMANIA ESPAÑA -0,1307 0,3385 -0,1456 -0,0451 0,2730 -0,0464 -0,1726 1,2356 2,1073 -0,1329 -0,0486 ESPAÑA USA 0,5045 -0,1456 0,6221 0,3337 -0,1503 0,1656 0,6231 -1,1483 -2,4318 0,4462 0,1551 USA FRANCIA 0,3736 -0,0451 0,3337 0,2959 0,0152 0,1139 0,3996 -0,6444 -1,6209 0,2531 0,0781 FRANCIA ITALIA -0,0912 0,2730 -0,1503 0,0152 0,3561 -0,0239 -0,1501 1,1010 1,6521 -0,1393 -0,0755 ITALIA JAPÓN 0,1575 -0,0464 0,1656 0,1139 -0,0239 0,0556 0,1822 -0,3578 -0,7983 0,1222 0,0372 JAPÓN U.K. 0,5859 -0,1726 0,6231 0,3996 -0,1501 0,1822 0,7147 -1,3666 -2,9194 0,4717 0,1562 U.K. PORTUGAL -1,1324 1,2356 -1,1483 -0,6444 1,1010 -0,3578 -1,3666 6,2256 10,8503 -0,9633 -0,3836 PORTUGAL GRECIA -2,5316 2,1073 -2,4318 -1,6209 1,6521 -0,7983 -2,9194 10,8503 21,1570 -1,9973 -0,6990 GRECIA CANADÁ 0,3867 -0,1329 0,4462 0,2531 -0,1393 0,1222 0,4717 -0,9633 -1,9973 0,3547 0,1107 CANADÁ AUSTRALIA 0,1283 -0,0486 0,1551 0,0781 -0,0755 0,0372 0,1562 -0,3836 -0,6990 0,1107 0,1254 AUSTRALIA ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA ALEMANIA 2,9663 1,7631 2,9299 2,6368 2,1410 0,4933 4,1071 1,7631 1,0275 1,6498 1,8335 ALEMANIA ESPAÑA 1,7631 1,7427 1,7539 1,6581 1,8931 0,2527 2,4652 1,7137 0,8774 1,1398 1,4493 ESPAÑA USA 2,9299 1,7539 3,8496 2,8296 2,1378 0,5064 4,4831 1,7539 0,6809 2,1642 2,0073 USA FRANCIA 2,6368 1,6581 2,8296 2,5878 1,9797 0,4420 3,8312 1,6581 0,7747 1,7215 1,9880 FRANCIA ITALIA 2,1410 1,8931 2,1378 1,9797 2,3682 0,3237 3,0116 1,8931 0,9521 1,2939 1,5345 ITALIA JAPÓN 0,4933 0,2527 0,5064 0,4420 0,3237 0,0909 0,7016 0,2527 0,1561 0,2722 0,2762 JAPÓN U.K. 4,1071 2,4652 4,4831 3,8312 3,0116 0,7016 6,0894 2,4652 1,2317 2,5816 2,8153 U.K. PORTUGAL 1,7631 1,7137 1,7539 1,6581 1,8931 0,2527 2,4652 1,7427 0,8774 1,1398 1,4493 PORTUGAL GRECIA 1,0275 0,8774 0,6809 0,7747 0,9521 0,1561 1,2317 0,8774 0,8356 0,3430 0,4260 GRECIA CANADÁ 1,6498 1,1398 2,1642 1,7215 1,2939 0,2722 2,5816 1,1398 0,3430 1,4440 1,5356 CANADÁ AUSTRALIA 1,8335 1,4493 2,0073 1,9880 1,5345 0,2762 2,8153 1,4493 0,4260 1,5356 2,4441 AUSTRALIA ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALI A ALEMANIA 1,7112 0,6988 1,6131 1,5531 0,6385 0,3894 2,1699 -1,7267 -6,7037 1,2410 0,6406 ALEMANIA ESPAÑA 0,6988 1,5005 0,6677 0,7295 0,9031 0,1550 0,9203 1,8794 2,7621 0,5404 0,0100 ESPAÑA USA 1,6131 0,6677 1,9188 1,4744 0,5315 0,3898 2,2485 -2,0931 -7,1281 1,3853 0,6909 USA FRANCIA 1,5531 0,7295 1,4744 1,4910 0,7416 0,3652 2,0036 -1,1174 -5,2156 1,1298 0,5289 FRANCIA ITALIA 0,6385 0,9031 0,5315 0,7416 1,1888 0,1570 0,8001 2,7380 4,4373 0,4410 -0,1119 ITALIA JAPÓN 0,3894 0,1550 0,3898 0,3652 0,1570 0,1061 0,5178 -0,4728 -1,7201 0,2795 0,1149 JAPÓN U.K. 2,1699 0,9203 2,2485 2,0036 0,8001 0,5178 2,9748 -2,6361 -9,2940 1,6930 0,8589 U.K. PORTUGAL -1,7267 1,8794 -2,0931 -1,1174 2,7380 -0,4728 -2,6361 18,1876 38,7325 -1,3214 -1,8242 PORTUGAL GRECIA -6,7037 2,7621 -7,1281 -5,2156 4,4373 -1,7201 -9,2940 38,7325 95,1077 -4,8327 -4,8239 GRECIA CANADÁ 1,2410 0,5404 1,3853 1,1298 0,4410 0,2795 1,6930 -1,3214 -4,8327 1,1158 0,5745 CANADÁ AUSTRALI A 0,6406 0,0100 0,6909 0,5289 -0,1119 0,1149 0,8589 -1,8242 -4,8239 0,5745 0,5851 AUSTRALI A Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 41 De tal forma, que para hallar el riesgo del portafolio ya se contaría con los datos de la matriz de covarianza y sólo quedaría aplicar la fórmula: σ Observándose que a través del último término se relaciona todos los países entre sí y se tiene en cuenta el peso de cada uno de ellos a través de la variable w. Así pues, dicha variable corresponde a la incógnita que se desea hallar, es lo que el inversor nos pide, dónde sale rentable invertir teniendo en cuenta la actitud de éste frente a la inversión, este parámetro se verá representado en el modelo como se podrá comprobar en el siguiente apartado. 5.3.2 Desarrollo del modelo Ahora se propone presentar el modelo matemático a través del cual se va a resolver la cuestión de invertir en bonos soberanos. De tal forma que se dispone de un modelo lineal con una función objetivo multicriterio, la cual aborda el comportamiento del riesgo y la rentabilidad simultáneamente, queriendo disminuir el primero mientras el segundo se desea que sea la máxima posible. Para ello, se limita el problema con dos restricciones, la primera irá relacionada con el límite de inversión en cada país, y la segunda acotará el capital total a invertir. A continuación se muestra el modelo a resolver: s.a : (4.3.2.1) (4.3.2.2) Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 48 posición y adecuación de toda la población de partículas. Así pues, una vez actualizado los valores individuales de cada individuo se comparan con los mejores almacenados hasta ese instante y si la aptitud es la mejor encontrada, se actualizan estas variables globales presentadas hace un momento. 4. MODIFICACIÓN DEL VECTOR VELOCIDAD En este cuarto paso, se modifica el vector velocidad de cada partícula teniendo en cuenta la velocidad anterior, un componente cognitivo y un componente social. También tendrá protagonismo la aleatoriedad, además hay que señalar que podría considerarse la parte central del PSO, ya que dependiendo de la velocidad que tome la búsqueda se realizará en un sentido u otro, las nuevas posiciones de cada iteración dependerán de este componente como se ha citado en pasos anteriores. De tal modo, la velocidad será actualizada siguiendo la siguiente ecuación: (6.2.1) (6.2.2) Para todo Dónde cada término:  vector posición de la partícula i en la iteración t  vector velocidad de la partícula i en la iteración t  factor de inercia en la iteración t  pesos que controlan los componentes cognitivo y social, respectivamente  ambos son números aleatorios entre [0,1]  mejor posición de la partícula i hasta el momento  mejor posición de la nube hasta el momento Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 49  número total de partículas en la nube de población La primera ecuación (6.2.1), actualiza el vector de la velocidad de la partícula i. Se podrían diferenciar tres partes, cada una le aporta un valor diferente a este vector. En primer lugar aparece el término que le otorga memoria, ya que tiene en cuenta el vector velocidad anterior regulándose mediante su producto con el factor de inercia el cual se hablará más detalladamente a lo largo del documento. Seguidamente, el segundo término de la suma corresponde al componente cognitivo, el cual recuerda el peso que toma la propia experiencia en la búsqueda del espacio, y representa la distancia entre la posición actual y la mejor posición conocida por ese individuo. Y por último, al final se encuentra el componente social, representando la influencia del resto de partículas del vecindario, en otras palabras, representa la distancia entre la posición actual y la mejor posición de la población. A continuación se puede representar gráficamente lo que se acaba de explicar: Figura 6.2.1: Representación gráfica del desplazamiento de una partícula Otro término a tratar es el factor de frecuencia, el cual lo hemos introducido por primera vez con la ecuación 6.2.1. Se incorpora este factor con el fin de controlar el vector de la velocidad a través de un ajuste dinámico. Hay que señalar que el valor de velocidad tiene prioridad importancia en el PSO, ya que de éste depende que el algoritmo consiga un buen funcionamiento y eficiencia. De hecho no puede tomar valores muy altos y es conveniente ir reduciéndola gradualmente su valor. Así pues el factor de inercia reduce progresivamente en cada iteración aplicando la siguiente fórmula: (6.2.3) Siendo: -  factor de inercia adicional Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 50 -  factor de inercia final -  número de iteración actual -  número de iteraciones totales Otro tema que se debe profundizar es el valor que tomarán los dos componentes cognitivo ( y social . Según el peso de cada una de ellas se puede dar tres casos según lo que el usuario desee modelar: - , : tanto el componente cognitivo como el social actúan en el movimiento - : sólo interviene el componente cognitivo en el movimiento, de tal forma el resto de la población no influye en la búsqueda - : sólo interviene el componente social, a contraposición del caso anterior, el movimiento de la partícula no tendrá en cuenta la trayectoria particular de la misma a la hora de moverse por el espacio de búsqueda. Por último, como última pincelada, destacar la importancia de la elección de un buen tamaño de la nube de partículas que será el causante de establecer un buen equilibrio entre la calidad de las soluciones halladas y el número de iteraciones necesarias para llegar a una solución eficiente. 6.3 Particularización del PSO al problema de inversión en bonos soberanos Para la determinación de la cartera de inversión se ha empleado la técnica metaheurítica basada en la nube de partículas, PSO, incorporando una variante significante ya que se codificará variables continuas y binarias al mismo tiempo. Así de esto modo, cada país tendrá asociado una variable binaria que será la que determinará la posibilidad a invertir en esos bonos o en el caso contrario vetarlos e incapacitarlos a que no formen parte de la selección de los bonos soberanos, y por otra parte, también existirá un variable continua que corresponde a los pesos, , que indicará la porción que se va a destinar a los bonos soberanos del país i . Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 51 6.3.1 Codificación En el capítulo 5.2.2 se introdujo las componentes que iban asociados a cada partícula, en este apartado se va a particularizar cada una de ellas para el problema de inversión de los bonos. En primer lugar, se codifica los vectores, , y . Los dos primeros conforman un vector de tamaño 22, dentro del cual hay 11 variables binarias, y las otras 11 restantes continuas , una de cada tipo para cada país de la cartera de inversión que se seleccionó en capítulos anteriores. Figura 6..3.1: Representación vectores y ALE ESP USA FRA ITA JAP U.K POR GRE CAN POR El tercer vector de velocidad tiene un tamaño de 11, sólo aparecen variables continuas, una por cada país. Figura 6..3.2: Representación vector Por otro lado, se hallará la función objetivo para cada posición , recordemos que la era una función multicriterio que se pretende minimizar y era la siguiente: Para cada partícula se calculará su adaptación y se almacenará en , actualizando ésta en cada iteración. En el caso de que la aptitud de la partícula sea el mejor resultado tomado con respecto a las posiciones anteriores, se almacenará ese nuevo valor en . Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 52 Además se contará con los términos y su , con la mejor posición (y por tanto composición de la cartera a invertir) encontrada hasta el momento entre todas las partículas y el segundo recoge el valor de la adaptación de esta posición. Lo que al usuario, en este caso el inversionista, quiere saber es la composición final del portafolio donde va a invertir, dónde va a ir destinado su capital pero sobre todo el riesgo al que se somete al realizar esta inversión. 6.3.2 Inicialización Nube de Partículas y Nube de velocidades Una vez detallados todos los vectores y variables en los que se va apoyar el algoritmo, se comienza inicializando la Nube. Para el problema que se va a resolver la Nube va a constituir una matriz de tamaño Np × 22, siendo Np el número de partículas totales que van a formar parte de la población. De este modo, cada fila almacenará en cada iteración la posición de la partícula i. Para este problema se ha escogido basándose en pruebas experimentales que el número de partículas más eficiente es 50, quedando así una matriz de 50 × 22.Cabe destacar, que nube inicial se creará aleatoriamente, pero estará limitada en caso de la variable por la cota inferior y superior que se impone en el modelo. Del mismo modo se crea aleatoriamente una Nube de velocidades, que posee el mismo número de filas que la anterior, en este caso 50, pero en número de columnas se ve alterado ya que no se hace falta disponer de las variables binarias, quedando así un numero de filas igual a 11.Concluyendo, el tamaño de la matriz de velocidades será 50 × 11.Hay que recalcar que los valores de las velocidades no podrá superar la . 6.3.3 Evaluación de la aptitud En cada iteración se evaluará la aptitud de cada partícula, calculando la FO en cada posición. Para ello el programa deberá contar con el vector de las rentabilidades esperadas y la matriz de covarianzas. A lo largo de la resolución del problema, en cada iteración será actualizando los diferentes valores asociados a la adaptación de las partículas individualmente como de forma global seleccionando la mejor aptitud de todas ellas. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 53 6.3.4 Desplazamiento de las partículas en el espacio de búsqueda Este apartado es de vital importancia, ya que el desplazamiento de las partículas condicionará la búsqueda por lo que hay que encontrar unos valores óptimos para los datos que se necesitan como el factor de inercia, la velocidad máxima o por ejemplo número de iteraciones. En primer lugar se va a explicar el procedimiento que se lleva a cabo y luego se darán los factores calibrados. Como se ha explicado anteriormente cada partícula iteración tras iteración se debe actualizar su posición, pero ahora hay que matizar algunos pasos ya que en la descripción general no profundizaba demasiado y existen variantes al incorporar las variables binarias. Una vez que ya se hayan hecho la comparativa de las aptitudes y se halla almacenado la aptitud actual en la variable correspondiente, se procede a la actualización del vector de velocidad para la partícula i. Para ello se realiza a través de la ecuación (5.2.1): También en cada iteración se deberá actualizar en cada iteración el factor de inercia: (5.2.3) No obstante, la diferencia se encuentra en el paso siguiente ya que no se suma directamente a la posición , antes se debe calcular la función sigmoidea de cada velocidad , en otras palabras, la velocidad del bit j de la partícula i se interpreta como la probabilidad que tome el valor “1” de esta forma si una vez calculada la función , hace una comparativa con el umbral ρ, donde si la velocidad es muy alta superará el umbral y por tanto la variable será 1 ,en caso contrario tomará el valor nulo. Es decir seguirá el siguiente procedimiento: 1. Cálculo de la función sigmoidea, la cual se emplea para transformar el valor de la velocidad dentro del rango del valor umbral establecido comprendido entre [0,1]: Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 54 (5.3.4) 2. Equiparación con el valor umbral: Si  Si  Es preciso aclarar los subíndices en esta parte, para ello debemos recordar el tamaño y la naturaleza de los vectores y . El primero era de un tamaño de 22, ya que se compone de variables binarias y continuas, siendo estas últimas las que preceden a cada variable binaria , sin embargo el vector velocidad tiene un tamaño de 11, una variable continua por cada país, de forma que para realizar la comparación y a continuación el cambio del bit donde reside la variable binaria se debe jugar con los índices haciendo coincidir la posición de las velocidades de cada país j con sus respectivas variables binarias y ya entonces se podrá actualizar el valor de . 3. Actualización de las variables continuas dentro del vector .Este paso sigue el mismo procedimiento que el algoritmo PSO codificado con variables continuas, sólo que hay que tener en cuenta que aquellos bit binarios que contengan un valor nulo, directamente su variable binaria asociada en j+1 será nula, ya que no se podrá invertir en ese país j en esa partícula i. De este modo, resumido esquemáticamente sería así: Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 55 Si  Si  En este punto también hacemos una especial aclaración con los subíndices, ahora como queremos actualizar la variable continua del vector posición se debe desplazar el índice una posición más que es donde se encuentran este tipo de variables, precedidas de las binarias. 4. Admisibilidad final : Por último hay que tener excesivo cuidado para que las soluciones buscadas cumplan las restricciones del modelo, para ello en esta parte del algoritmo se debe revisar que cumpla las restricciones y si no es así, transformar la solución de manera que las cumpla y se encuentre dentro de la región de admisibilidad. Para finalizar este apartado, haciendo hincapié que es la parte más importante del algoritmo, es más se podría decir que compone el pilar fundamental para la resolución del problema, se muestra los valores que se han definido para este problema en particular y que se emplearán tanto en la inversión a corto, como a medio y a largo plazo. Hay que señalar que más adelante se explicará el porqué de esas cifras dentro del capítulo de calibrado:   ;   6.3.5 Pseudocódigo Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 56 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 57 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 64 Figura 7.2.2: Diagrama de flujo “Función de Admisibilidad MIN” Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 65 Ya por último queda aclarar el modo de actuar de la segunda función, llamada “Función de Admisibilidad MAX”. Ésta evita que no se invierta más del total estipulado. En primer lugar se calcula la diferencia entre la totalidad de los pesos del vector no admisible y el MAX permitido. Al igual que la otra función, se recorre las posiciones asociadas a las variables continuas del vector y si estudia uno de los dos casos siguientes se debería rectificar el vector, en el caso de que esté analizando una variable continua nula se deberá recorrer la siguiente posición aleatoria hasta encontrar una que sea distinta a cero: - Caso 1: se analiza una variable continua no nula dónde la diferencia entre el peso asociado a esa posición y la inversión a restar ( para llegar al MAX es menor a la CS. Una vez situados aquí se pueden plantear tres subcasos: o  se disminuye el peso de esa posición hasta que llegue a alcanzar CI y se actualiza el nuevo valor restándole lo ya retirado de la inversión en los bonos de ese país donde se encuentra y seguirá recorriendo otras posiciones hasta que sea nulo o  se anula esa variable, tomando el valor cero .Pero hay que diferenciar, si es igual a cero ya se ha llegado al vector admisible, se para el recorrido por el resto del vector, en cambio si es negativo se debe actualizar el valor de inv_rest ya que no se ha podido disminuir toda la inversión que se requería - Caso 2: en este caso, ocurre lo contrario, la diferencia entre el peso asociado a esa posición y la inversión a restar ( es mayor a CS. En esta ocasión se puede disminuir la inversión, restando todo inv_rest. Una vez modificado el peso de la posición estudiada, ya se logrado rectificar el vector y ya es admisible, habiendo conseguido la solución buscada por esta función. En la figura 7.2.3 se ve aclara gráficamente lo que se acaba de comentar Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 66 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 67 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 68 Figura 7.2.3: Diagrama de flujo “Función de Admisibilidad MAX” 7.3 Crear vector velocidad En este apartado se dispone a generar el vector de velocidad inicial, a partir del cual se harán modificaciones tras cada iteración. Sigue un mecanismo parecido a la función “Crear vector aleatorio”, con la diferencia que ahora se trata de crear un vector aleatorio de tamaño 11 donde sólo aparecen las variables continuas .Lo único que hay que cerciorarse es que las velocidades no se salgan del rango , en el problema en particular que se está tratando se ha tomando . De este modo, el desarrollo de esta función se representa en la figura 7.3.1: Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 69 Figura 7.3.1: Diagrama de flujo “Crear vector de velocidad” 7.4 Crear Nube de población Esta función su único fin es almacenar cada vector admisible i, en su fila correspondiente i de una matriz de tamaño Np×22, en el caso particular al problema Np=50, por tanto la matriz en cuestión tendrá un tamaño predeterminado por el número de columnas del vector posición y número de filas igual al número de partículas con las que trabaje el algoritmo. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 70 Así de este modo, se dispone a representar el diagrama de flujo de esta función en la siguiente figura 7.4.1: Figura 7.4.1: Diagrama de flujo “Crear Nube de población” Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 71 7.5 Crear Nube de velocidades El desarrollo de esta función es análogo al del anterior apartado “Crear Matriz de poblaciones”. La única diferencia es el tamaño de la matriz, ya que ésta va a almacenar los distintos vectores creados aleatoriamente al principio y que tras cada iteración van a ser modificados. De este modo, el tamaño en este caso es de 100×11, conformada únicamente por variables continuas. Después de lo comentado, se presenta su diagrama de flujo en la figura 7.5.1 Figura 7.5.1: Diagrama de flujo “Crear Nube de velocidades” Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 72 7.6 Calcular Adaptación Esta función tiene el fin de calcular la adaptación o aptitud de cada una de las partículas que conforman la Nube, en otras palabras, calcula la función objetivo del modelo de inversión de carteras. Siendo ésta . De este modo dividiremos esta función principal en dos funciones: -La función “Riego”, que calculará el riesgo del portafolio realizando recorriendo doblemente las variables continuas que componen el vector de posición y multiplicando ambas por su covarianza asociada al par de pesos que se están analizando en la matriz. Las covarianzas se encontrarán recogidas en una matriz de covarianza (Mat_Cov). -La función “Rentabilidad”, será la responsable del cálculo de la rentabilidad del portafolio que se analiza. Para ello se recorrerá el vector de posición de la partícula multiplicando cada peso por su rentabilidad esperada y finalmente se halla la rentabilidad generando un sumatorio de los productos realizados anteriormente en cada variable continua del vector. Cabe destacar, que los datos de los rendimientos esperados de cada país están recogidos en un vector denominado (RENT) Una vez calculados tanto el riesgo como la rentabilidad, ya se puede calcular la adaptación final calculando el sumatorio del riesgo multiplicado por el parámetro α y de la inversa del rendimiento calculado por el parámetro β. Hay que señalar que estos parámetros se irán dando diferentes valores según la actitud del inversor y su disposición o su aversión al riesgo. En primer lugar se muestra el diagrama de la función “Riesgo”, representada en la figura 7.6.1 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 73 Figura 7.6.1: Diagrama de flujo “Riesgo” A continuación se presenta el diagrama de flujo de la segunda función en la figura 7.6.2: Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 80 Figura 7.7.1: Diagrama de flujo ”Síntesis global” Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 81 8 Calibración del algoritmo El fin de este capítulo es calibrar los parámetros principales del algoritmo PSO implementado para el problema de la cartera de inversión. Hay que señalar que este algoritmo al ser una técnica metaheurística, su carácter aleatorio es intrínseco. Debido a esto los datos que se desean predeterminar deben ser recogidos a través de un estudio de calibración experimental. En este caso, al implantar el algoritmo con el programa Matlab, se han seleccionado los parámetros uno a uno, variando el valor que se deseaba hallar dentro de un intervalo determinado y manteniendo constantes el resto de datos del algoritmo. Así pues, se ha visualizado los resultados de las mejores aptitudes encontradas frente a los distintos valores que tomaba el parámetro estudiado mediante una gráfica bidimensional. Este estudio se ha realizado tanto para bonos de corto, medio y largo plazo, ya que si sólo se estudian estos datos para un solo caso, por ejemplo a corto plazo, serían soluciones incompletas para el resto de caso ya que no les convienen siempre el mismo parámetro de este modo hay que buscar un equilibrio para que favorezcan a los plazos. Una vez introducida el método que se ha llevado a la hora de calibrar, se muestran los 10 parámetros que se han sometido a la calibración experimental: - CI  Cota Inferior a invertir en un país en particular - CS Cota Superior a invertir en un país en particular - MIN Cantidad total mínima a invertir en el conjunto de bonos - MAX Cantidad total máxima a invertir en el conjunto de bonos -  Velocidad máxima de las partículas -  Factor de inercia inicial - Factor de inercia final -  Número total de iteraciones Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 82 -  Número total de partículas que conforman la Nube - ρ  Umbral Hay que señalar que el calibrado se ha estudiado igualando los valores asociados al tanto por uno del riesgo como de la rentabilidad a α, β = 0. A continuación se va a explicar detalladamente la calibración de cada uno de los 10 parámetros. 8.1 Calibración de la cota inferior y superior La elección de estos dos datos marcarán la predisposición del modelo a la diversificación, cuanto menor sea ambas cotas, el problema tendería a invertir en mayor número de países. Tampoco es aconsejable, que la diversificación sea tan alta, ya que limitaría el carácter del inversionista, es decir, si se trata de un usuario que está dispuesto a asumir riesgos la condición de una cota superior baja le inhabilitaría depositar más capital en aquellos bonos que llevan asociados mayor riesgo. Así pues se debe buscar un equilibrio dónde se produzca cierta diversificación y de otro modo se deje mayor libertad al modelo para poder invertir más en función de la actitud del inversionista. En primer lugar se calibró la CI. Se estudió el comportamiento de esta frente a la mejor aptitud encontrada (la menor función objetivo) en un rango de CI [0.05, 0.5] como se ve representado en la figura 8.1.1, dónde se puede observar la zona donde se daba las mejores soluciones. De esa zona se tomaron tres valores diferentes y seguidamente, se volvió a analizar esos valores en concreto, siendo el parámetro deseado aquel que dé lugar a la menor FO. El resultado de este análisis se ve recogido en la tabla 8.1.1 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 83 Figura 8.1.1: Representación de la CI frente a la mejor aptitud global en la inversión a CP, MP y LP Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 84 Figuras 8.1.2: Resultados CI[[0.05,0.1,0.15] a CP,MP y LP Tabla 8.1.1: Comparativa de CI [0.05, 0.1, 0.15] frente a la FO Vistos los resultados, marcando en la tabla 8.1.1 en negrita los mejores valores obtenidos, se fija el parámetro CI a 0.1, ya que la FO en los tres plazos diferentes es la menor en comparación con las otras dos cotas, aun así cabe decir que las cotas restantes analizadas no se desvían casi nada en comparación con el mejor resultado. Ahora se dispone a analizar la CS, para ello en un primer momento se analizó la FO para una cota superior acotada entre [0.4, 0.6], mostrando en la figura 8.1.3 los resultados obtenidos. Si se analizan los resultados queda en evidencia que cuanto mayor es la cota superior menor es la función objetivo, en consecuencia a esto se fija el parámetro a 0.6 , cabe señalar que se estudió la respuesta del algoritmo con una cota superior a la fijada y resultaban valores más óptimos pero hay que tener en cuenta que el riesgo no sistemático hay que reducirlo y por ello una manera para reducirlo es limitar la inversión para que todo el capital no se deposite en un solo país .Se mostrarán los valores de la mejor aptitud global calculada en la tabla 8.1.2 obtenidos para tres valores diferentes de CS, en negrita se puede comprobar los mejores valores obtenidos para CI → 0,05 0,1 0,15 FO Corto Plazo 15,18 13,04 14,4 Medio Plazo 13,65 12,6 13,86 Largo Plazo 7,15 7,08 7,28 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 85 cada plazo y se podrá ver claramente el contraste de las soluciones a medida que aumenta la cota superior ,corroborando así lo explicado. Figura 8.1.3: Representación de la CS frente a la mejor aptitud global en la inversión a CP, MP y LP Tabla 8.1.2: Comparativa de CS [0.4,0.5,0.6] frente a la FO CS → 0,4 0,5 0,6 FO Corto Plazo 22,56 19,62 15,17 Medio Plazo 19,24 19,84 13,87 Largo Plazo 9,43 9,19 7,08 8.2 Calibración del Mínimo y Máximo total a invertir Los parámetros MIN y MAX otorgan una mayor flexibilidad a la hora de invertir, se comentaba en capítulos anteriores, que cuanto mayor sea el rango entre el mínimo y Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 86 máximo, mayor será la región de admisibilidad y por lo tanto, mayor será el espacio de búsqueda. De este modo, primero se calibró el capital mínimo que se podía invertir en total, se ha analizado desde MIN=0.7 hasta alcanzar un valor de MIN=0.9, y los resultados obtenidos se muestra gráficamente en la figura 8.2.1: Figura 8.2.1: Representación de MIN frente a la mejor aptitud global en la inversión a CP, MP y LP Vistas las gráficas, se puede observar que el valor que da buenos resultados es MIN=0.9, hay que señalar que a corto plazo el mínimo establecido no altera a la solución dada, permaneciendo constante en todo momento la mejor aptitud global del problema y a corto plazo sin embargo la FO tiende disminuir a partir de 0.8 aunque la variación es minúscula, el resultado queda casi inalterable. Tabla 8.2.1: Comparativa de MIN [0.7, 0.8, 0.9] frente a la FO MIN → 0,7 0,8 0,9 FO Corto Plazo 13,04 13,04 13,04 Medio Plazo 12,6 13,87 12,6 Largo Plazo 7,08 7,08 6,94 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 87 Hay que señalar, viendo los resultados de la tabla 8.2.1, las variaciones de la FO objetivo en función al rango tomado para los valores del parámetro MIN son minúsculas, la función objetivo casi no aprecia diferencia, aun así se ha establecido MIN=0.9 porque en todos los plazos consigue el menor valor. En cuanto al máximo, se analizó la adaptación del problema tomando este parámetro desde 1.1 hasta 1.5, como se puede apreciar en la figura 8.2.2 y los valores de la tabla 8.2.2, coincide que cuanto mayor es el máximo a invertir, peor son los resultados obtenidos, la función aumenta, de este modo nos quedaremos con el valor más bajo del parámetro MAX Figura 8.2.2: Representación de MAX frente a la mejor aptitud global en la inversión a CP, MP y LP Tabla 8.2.2: Comparativa de MAX [1.1, 1.3, 1.5] frente a la FO MAX → 1,1 1,3 1,5 FO Corto Plazo 20,1 31,6 33,59 Medio Plazo 18,38 24,51 23,95 Largo Plazo 7,79 11,2 12,65 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 88 Aquí, por el contrario al caso del MIN, la diferencia es bastante apreciable, se ve claramente que el valor óptimo establecer al parámetro MAX es 1.1. 8.3 Calibración de la velocidad máxima En primer lugar, es conveniente que este parámetro no tome valores muy altos ya que se podría producir una pérdida de la eficiencia, sin embargo no es conveniente tampoco que tome un valor nulo. Teniendo en cuenta esta premisa, se va analizar este parámetro dentro del siguiente rango [5,20], cuyos resultados se representan en la figura 8.3.1 y se muestran en la tabla 8.3.1. Figura 8.3.1: Representación de vmax frente a la mejor aptitud global en la inversión a CP, MP y LP Tabla 8.3.1: Comparativa de vmax[5,10,15] frente a la FO vmax → 5 10 15 FO Corto Plazo 18,25 20,08 20,1 Medio Plazo 15,55 18,5 18,04 Largo Plazo 7,79 9,45 8,04 Viendo los resultados obtenidos, se puede observar tanto en corto como a largo plazo que la función objetivo tiende a incrementarse de forma proporcional con la velocidad, este comportamiento no es tan visible en el caso de largo plazo ya que las variaciones Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 89 son pequeñas dentro del rango. De este modo, sobre todo atendiendo al comportamiento de las dos primeras se estipulará vmax=5. 8.4 Calibración del factor de inercia inicial y final. Ambos factores serán los responsables de controlar al vector velocidad, haciendo así que al principio se tomen valores altos y en función vaya acabando las iteraciones se reduzca su valor, así pues, al principio con velocidades altas permite una búsqueda más amplia dónde se evita encasillarse en óptimos locales y a función de que vaya disminuyendo la búsqueda se centra más en un espacio concreto encontrando la mejor solución más próximo al óptimo. En primer lugar, se ha estudiado la variación de la mejor aptitud encontrada en función a los valores de wmax = [1,10], dando lugar la siguiente grafica que se muestra en la figura 8.4.1 y cuyos valores están recogidos en la tabla 8.4.1. Figura 8.4.1: Representación de wmax frente a la mejor aptitud global en la inversión a CP, MP y LP Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 96 Sin embargo, aunque lo ideal sería iterar lo máximo posible, se debe tener en cuenta el tiempo computacional, que muchas veces no sale rentable tardar tanto en conseguir una solución pudiendo hacer menos iteraciones y encontrar soluciones igual de válidas. Como se comento en apartados anteriores, todo depende de buscar el equilibrio entre la eficiencia y la calidad, no se es más eficiente empleando tanto tiempo en problemas que no son de tanta complejidad. Dicho esto, para calibrar el parámetro tmax, se procede al mismo criterio realizado en el apartado 8.5, en este caso se tomará un tamaño Np=100 y se tomarán para este parámetro los valores tmax=30, 250,500. Se generarán 10 ejemplos de cada uno de los casos, analizando los resultados obtenidos y viendo el número de iteraciones más óptimas. Figura 8.7.1: Comportamiento de la FO con tmax=30 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 97 Figura 8.7.1: Comportamiento de la FO con tmax=30 Figura 8.7.1: Comportamiento de la FO con tmax=600 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 98 Tabla 8.7.1: MAX y MIN de la FO para tmax=30,250 y 600 tmax=30 tmax=250 tmax=600 MIN MAX MIN MAX MIN MAX FO Corto Plazo 16,99 20,1 17,3 20,08 17,3 18,25 Medio Plazo 15,55 20,86 15,1 18,38 15,1 17,85 Largo plazo 7,79 10,25 7,79 9,47 7,79 8,038 Cómo se ha comentado antes, en la tabla podemos contemplar que cuando mayor el número de iteraciones menor es la mejor aptitud global, se consiguen mejores resultados pero esto lleva consigue un tiempo mayor de resolución. Así pues es conveniente pararse a equiparar los resultados obtenidos con tmax=250 con los tmax=600, se observar que el segundo mejora los resultados del primero pero tampoco la mejora muy significativa, el tiempo computacional es mucho menor en el primer caso y no compensa emplear más tiempo en realizar más iteraciones porque con 250 se obtienen resultados bastante competentes. En cuanto, a un número de iteraciones más reducido, se consiguen peores soluciones y en este caso el incremento de de tiempo computaciones es mínimo respecto a un número medio de iteraciones. Ante esto, definitivamente el valor óptimo para el para el parámetro de número de iteraciones total es de 250. 8.8 Resultados finales de la calibración Una vez estudiados todos los parámetros, se recoge en este apartado los valores finales establecidos:  CI=0.1  CS=0.6  MAX=1.1  MIN=0.9  vmax=5 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 99  wmax=1  wmin=0.3  Np=50  tmax=250  umbral=0.2 Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 100 9 Análisis de los resultados obtenidos En este capítulo se presentarán los resultados obtenidos mediante el algoritmo PSO implantado en Matlab y que resuelve el modelo expuesto al principio del trabajo, MEN B, que constituye una variación del Modelo en Porcentajes de Inversión (modelo desarrollado en el Proyecto Fin de Carrera de Casado (2013)) , ya que este último no tenía en cuenta la limitación de la CS y la CI ni tampoco tenía una mayor flexibilidad a la hora de invertir ya que el sumatorio de los pesos tenía que ser igual a 1. Para analizar los datos y ver la eficiencia de la técnica metaheurística empleada para la resolución del modelo se ha comparado con los datos obtenidos mediante el mismo modelo pero siendo resuelto con el software de optimización SOLVER de Excel - Microsoft®, y por tanto obteniendo los valores óptimos del problema. Comprobando, de esta manera, un valor meta de la resolución del modelo por MATLAB. En definitiva, el fin del proyecto es comprobar si los resultados obtenidos por medio de la metaheurística pueden llegar a ser soluciones competentes y de calidad respecto a las óptimas, viendo así una medio a veces más rápido para encontrar soluciones a determinados tipos de problemas que no conlleven mucha complejidad. Como se ha venido comentando a lo largo del trabajo, se analizan tanto la inversión de bonos a largo, a medio como a corto plazo. En cada unos de ellos, variaremos la situación en función de la ponderación que se le otorgue al riesgo y a la rentabilidad, dando lugar a los siguientes 5 escenarios: 1. α=0; β=1. Caso límite. Válido para inversores que no tengan en cuenta el riesgo. Así pues la función objetivo solo tiene en cuenta llegar a una solución con las máximas rentabilidades, ya que no tiene en cuenta minimizar el riesgo. 2. α=0.25; β=0.75Se tiene en cuenta tanto el riesgo como el rendimiento, aun así se prioriza el rendimiento el segundo frente al primero. 3. α=0.5; β=0.5 Las ponderaciones coinciden, dando así lugar a un problema destinado a los inversores que buscan el equilibrio a la hora de depositar su capital. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 101 4. α=0.75; β=.25Este caso sigue teniendo en cuenta tanto el riesgo como la rentabilidad, pero el minimizar el riesgo cobra mayor importancia frente a ,maximizar la rentabilidad 5. α=1; β=0Segundo caso límite de estos cincos escenarios, donde sólo se tiene en cuenta minimizar el riesgo. En conclusión, este tipo de escenario es válido para inversores que no tendrán en cuenta la rentabilidad. A continuación, se detallan los análisis llevados a cabo para los diferentes casos que se plantean a la hora de invertir. 9.1 Análisis a Largo Plazo En este apartado se analiza la inversión en bonos soberanos en un horizonte temporal de 10 años. Para realizar un estudio, se han recogido tanto la rentabilidad, como la desviación típica y la función objetivo en cada uno de los casos. Además de la selección final de bonos de países a invertir, así como las cantidades que se deberían depositar en éstos. Se comparará el mismo modelo resuelto por dos técnicas diferentes, siendo los primeros resultados generados por MATLAB y los segundos por SOLVER. Para el estudio, se diferenciarán los 5 escenarios recientemente comentados, cada uno caracterizado por la ponderación que se le dé a α y a β. Cabe señalar que los resultados obtenidos se han acercado en gran medida al óptimo, no obstante al tratarse de una metaheurística en ocasiones se han desviado las inversiones de algunos bonos de países destino por otros. 9.1.1 Escenario 1: α=0 β=1 En la tabla 9.1.1.1 y la figura 9.9.1.1, se muestran los resultados recogidos del estudio de este escenario en concreto: Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 102 Figura 9.1.1.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a L/P para α=0 β=1 Tabla 9.1.1.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a L/P para α=0 β=1 α =0 β=1 ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA Riesgo σ Rend F.O PSO 0 0 0 0 0 0 0 50 60 0 0 396,02 7,60 0,13 SOLVER 0 0 0 0 0 0 0 50 60 0 0 396,02 7,60 0,13 Cómo se puede observar, en los casos límite coinciden tanto la metaheurística como la programación lineal. Al priorizar ante todo la rentabilidad, no ha se ha tenido en cuenta a la hora de invertir lo que esto conlleva, por eso depositan gran cantidad en países como Grecia tiene un alto riesgo de impago en las calificaciones estudiadas al principio del proyecto. Debido a eso el riesgo que se toma es alto 115.95 ya que no se ha limitado en ningún momento a la hora de resolver el problema. 9.1.2 Escenario 2: α=0.25 β=0.75 Este escenario, a contraposición del anterior, ya tiene en cuenta en cierta medida la disminución del riesgo, aún así el inversor da mayor prioridad al maximizar la 0 10 20 30 40 50 60 70 PSO SOLVER Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 103 rentabilidad de la inversión. Se puede observar en la figura 9.1.2.1 y la tabla 9.1.2.1 los resultados obtenidos Figura 9.1.2.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a L/P para α=0.25 β=0.75 Tabla 9.1.2.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a L/P para α=0.25 β=0.75 α =0,25 β=0,75 ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA Riesgo σ Rend F.O PSO 0 10 0 0 0 60 0 0 0 0 30 20,30 3,45 5,29 SOLVER 0 18,82 0 0 0 55,29 0 0 0 0 15,89 16,17 2,51 4,34 La diferencia de los dos casos viendo los resultados, es mínima, la función objetivo se mantiene casi inalterable comparando los dos casos. Podemos observar que el riesgo ha disminuido considerablemente respecto al caso anterior donde α=0.La solución óptima obtenida por SOLVER dispone más capital en los bonos griegos, por el contrario el algoritmo PSO tiende a diversificar destinando parte del capitán en los bonos australianos, lo que hace que tenga una actitud más conservadora a la hora de la búsqueda de la solución. Aun se puede comprobar la calidad de los resultados obtenidos con PSO donde la solución es muy próxima a la óptima aunque siempre existe el margen de error. 0 10 20 30 40 50 60 70 PSO SOLVER Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 104 9.1.3 Escenario 3: α=0.5 β=0.5 Este caso, es el más equitativo a la hora de ponderar el riesgo y la rentabilidad. De este modo se busca el equilibrio entre ambos Figura 9.1.3.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a L/P para α=0.5 β=0.5 Tabla 9.1.3.2: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a L/P para α=0.5 β=0.5 α =0,5 β=0,5 ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA Riesgo σ Rend F.O PSO 0 22,50 0 0 0 60 0 0 0 0 27,50 20,093 3,404 10,194 SOLVER 0 18,57 0 0 0 57,53 0 0 0 0 13,90 16,137 2,413 8,275 9.1.4 Escenario 4:α=0.75 β=0.25 Este escenario, prioriza la disminución del riesgo frente al aumento de la rentabilidad, así pues la actitud del inversionista es más conservadora que en otros casos mostrando menos disposición al riesgo que conlleva la inversión. Los resultados generados se muestran representados gráficamente en la figura 9.1.4.1 y recogidos en la tabla 9.1.4.1. 0 10 20 30 40 50 60 70 PSO SOLVER Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 105 Figura 9.1.4.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a L/P para α=0.75 β=0.25 Tabla 9.1.4.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a L/P para α=0.75 β=0.25 α =0,75 β=0,25 ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA Riesgo σ Rend F.O PSO 0 20 0 0 10 60 0 0 0 0 0 18,46 2,17 13,96 SOLVER 0 18,48 0 0 0 58,35 0 0 0 0 13,17 12,21 2,38 12,21 En este caso, no coinciden completamente los resultados, como en el caso primero pero si guardan bastante parecido, la rentabilidad obtenida es del mismo rango, la diferencia se encuentra en el riesgo de la cartera siendo 6 puntos superior la obtenida por PSO frente al SOLVER. Esto último viene causado por la inversión de la primera frente a la de los bonos australianos de la segunda, cabe señalar que Italia según las Agencias de Calificación en el año 2011 no obtenía sus mejores resultados e incluso en Diciembre 2012 de posición en las valoraciones, en cambio Australia se encontraba entre las principales economías donde invertir y una año después mantuvo su estatus económico, haciendo que su inversión fuse una apuesta segura para la disminución de riesgo. 0 10 20 30 40 50 60 70 PSO SOLVER Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 112 tiene ninguna predisposición a aumentar su rentabilidad arriesgando en su inversión más de lo debido Figura 9.2.5.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a M/P para α=1 β=0 Tabla 9.2.5.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a M/P para α=1 β=0 α =1 β=0 ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA Riesgo σ Rend F.O PSO 0 0 0 0 10 60 0 0 0 0 21,7 34,84 1,22 34,84 SOLVER 0 0 0 0 10 60 0 0 0 0 20 33,97 1,74 33,97 9.3 Análisis a Corto Plazo El último horizonte temporal a analizar es el de 6 meses, dónde se va a disponer a comparar cada uno de los cinco escenarios, obteniendo los valores recogidos del modelo MENB mediante PSO y estudiando la eficiencia de éstos equiparándolos con las soluciones óptimas obtenidas mediante programación lineal. Para ello se recogerán en cada uno de los casos, la desviación, la rentabilidad y la función objetivo obtenida con PSO y SOLVER. 0 10 20 30 40 50 60 70 PSO SOLVER Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 113 9.3.1 Escenario 1: α=0 β=1 En primer lugar se analiza el escenario donde el riesgo es el máximo, en este escenario siempre han coincidido las soluciones óptimas con las generadas por la metaheurística implantada en este trabajo. De este modo el riesgo, recogido en la tabla 9.3.1.1 se dispara debido a la inversión de los bonos griegos, en consecuencia de lo comentado en los apartados anteriores, la economía en ese momento en Grecia se encuentra en riesgo de impago. Así pues, cabe destacar que el asumo de riesgo conlleva altas rentabilidades. En definitiva, se podría decir que el PSO en este escenario garantiza llegar a la solución óptima tanto a largo, a media como a corto plazo. Figura 9.3.1.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a C/P para α=0 β=1 Tabla 9.3.1.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a L/P para α=0 β=1 α =0 β=1 ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA Riesgo σ Rend F.O PSO 0 0 0 0 0 0 0 0 50 0 60 115,95 4,88 0,20 SOLVER 0 0 0 0 0 0 0 0 50 0 60 115,95 4,88 0,20 0 10 20 30 40 50 60 70 MATLAB SOLVER Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 114 9.3.2 Escenario 2: α=0.25 β=0.75 Este segundo escenario, ya no garantiza el óptimo, aún así se encuentra muy próximo al óptimo. PSO para este caso garantiza mayor rentabilidad debido a parte de su inversión en Australia pero esto conlleva inevitablemente aumento del riesgo, aun así la diferencia es mínima y no se produciría mucho la cartera óptima y la generada a través de MATLAB. Figura 9.3.2.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a C/P para α=0.25 β=0.75 Tabla 9.3.2.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a C/P para α=0.25 β=0.75 α =0,25 β=0,75 ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA Riesgo σ Rend F.O PSO 0 0 0 0 0 60 0 0 20,11 0 10 42,30 1,5 11,07 SOLVER 0 0 0 0 0 60 0 0 30 0 0 40,51 1,38 10,67 0 10 20 30 40 50 60 70 PSO SOLVER Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 115 9.3.3 Escenario 3: α=0.5 β=0.5 Comparando los resultados, viéndose claro en la gráfica mostrada en la figura 9.3.3.1 se muestra más contraste entre la cartera óptima y la generada por PSO. Si se analizan los datos de la tabla 9.3.3.1, el riesgo aumenta 2 puntos en comparación con la solución óptima, aún así la rentabilidad obtenida es casi la misma. Cabe destacar, que a la mínima que el parámetro asociado al riesgo tome algún valor se puede observar que la máxima inversión va dirigida siempre a los bonos soberanos de Japón disminuyendo el riesgo en gran medida. Figura 9.3.3.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a C/P para α=0.5 β=0.5 Tabla 9.3.3.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a C/P para α=0.5 β=0.5 α =0,5 β=0,5 ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA Riesgo σ Rend F.O PSO 0 0 0 0 0 60 0 0 0 10 10 45,89 1,33 23,32 SOLVER 0 0 0 0 0 60 0 0 30 0 0 40,51 1,38 20,62 9.3.4 Escenario 4: α=0.75 β=0.25 En este penúltimo caso, la selección de la cartera elegida por PSO coincide con la solución óptima a la hora de invertir el máximo posible en Japón e invertir en torno al 0 10 20 30 40 50 60 70 PSO SOLVER Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 116 30 por ciento en Grecia, pero en contraposición invierte un 10 por ciento en bonos españoles, trayendo consigo un aumento alrededor de 8 puntos del riesgo, este hecho empeora la función objetivo notablemente ya que se le otorga mayor prioridad a la disminución de riesgo frente a la rentabilidad de la inversión, como se puede observar en la figura y tabla 9.3.4.1. Figura 9.3.4.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a C/P para α=0.75 β=0.25 Tabla 9.3.4.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a C/P para α=0.75 β=0.25 α =0,75 β=0,25 ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA Riesgo σ Rend F.O PSO 0 10 0 0 0 60 0 0 26,02 0 0 48,11 1,50 36,25 SOLVER 0 0 0 0 0 60 0 0 30 0 0 40,51 1,38 30,57 9.3.5 Escenario 5: α=1 β=0 Por último, se analiza el comportamiento extremo donde la disminución de riesgo es absoluta prioridad de este modo además de invertir el máximo del capital en Japón, se 0 10 20 30 40 50 60 70 PSO SOLVER Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 117 diversifica el riesgo invirtiendo tanto en Canadá que conforma una de las inversiones seguras frente como en Grecia aumentando así el riesgo pero otorgando cierto aumento de la rentabilidad en la inversión. Otro de los aspectos a comentar, es la coincidencia de los resultados, significando así que el PSO ha llegado a generar la solución óptima, dichos resultados se reflejan a continuación en la figura y tabla 9.3.5.1. Figura 9.3.5.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a C/P para α=1 β=0 Tabla 9.3.5.1: Comparativa entre PSO y programación lineal en problema a C/P para α=1 β=0 α =1 β=0 ALEMANIA ESPAÑA USA FRANCIA ITALIA JAPÓN U.K. PORTUGAL GRECIA CANADÁ AUSTRALIA Riesgo σ Rend F.O PSO 0 0 0 0 0 60 0 0 20 10 0 40,55 1,22 40,55 SOLVER 0 0 0 0 0 60 0 0 20 10 0 40,55 1,22 40,55 9.4 Análisis del tiempo computacional de ejecución En este apartado se dispone analizar los tiempos de ejecución al generar los resultados obtenidos con SOLVER y con MATLAB. Los tiempos medidos se recopilan en las siguientes tablas 9.4.1 y 9.4.2, medidos en segundos, para la evaluación de éstos se ha ejecutado tres veces cada situación y posteriormente se ha calculado su tiempo promedio. 0 10 20 30 40 50 60 70 MENB PSO MENB SOLVER Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 118 Tabla 9.4.1: Promedio del tiempo computacional del algoritmo PSO en MATLAB TIEMPO DE EJECUCIÓN PSO α =0 β=1 α =0,25 β=0,75 α =0,5 β=0,5 α =0,75 β=0,25 α =1 β=0 L/P 7,80 7,83 7,70 7,88 7,24 M/P 14,69 14,05 13,95 14,23 14,45 C/P 7,81 7,75 7,93 8,13 7,43 Tabla 9.4.2: Promedio del tiempo computacional de la programación lineal mediante SOLVER TIEMPO DE EJECUCIÓN SOLVER α =0 β=1 α =0,25 β=0,75 α =0,5 β=0,5 α =0,75 β=0,25 α =1 β=0 L/P 3,01 13,61 12,57 10,07 10,65 M/P 2,55 4,19 6,01 9,74 4,06 C/P 3,05 1,52 1,65 2,00 2,49 Como era previsible, desde la perspectiva del tiempo de computación, el tiempo de convergencia del software SOLVER crece a un ritmo mayor que el del algoritmo PSO. Es por ello, que la implementación de esta metaheurística gana en interés y aplicabilidad para el caso de resolución de problemas de gran tamaño, como por ejemplo en la consideración de un mayor número de países y de un número mayor de periodos, haciéndolo viable incluso para la consideración de toma de decisiones cada muy cortos periodos de tiempo. Todo esto se puede ver reflejado en las figuras 9.4.1, 9.4.2 y 9.4.3 que se muestran a continuación dónde se representa en cada uno de los escenarios el tiempo de ejecución de cada uno y pudiendo hacer una comparativa de ambos. Figura 9.4.1: Comparativa del tiempo computacional del algoritmo PSO frente al SOLVER a L/P 0 2 4 6 8 10 12 14 16 α =0 β=1 α =0,25 β=0,75 α =0,5 β=0,5 α =0,75 β=0,25 α =1 β=0 TIEMPO DE EJECUCIÓN SOLVER TIEMPO DE EJECUCIÓN PSO Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 119 Figura 9.4.2: Comparativa del tiempo computacional del algoritmo PSO frente al SOLVER a M/P Figura 9.4.3: Comparativa del tiempo computacional del algoritmo PSO frente al SOLVER a C/P 0 2 4 6 8 10 12 14 16 α =0 β=1 α =0,25 β=0,75 α =0,5 β=0,5 α =0,75 β=0,25 α =1 β=0 TIEMPO DE EJECUCIÓN SOLVER TIEMPO DE EJECUCIÓN PSO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 α =0 β=1 α =0,25 β=0,75 α =0,5 β=0,5 α =0,75 β=0,25 α =1 β=0 TIEMPO DE EJECUCIÓN SOLVER TIEMPO DE EJECUCIÓN PSO Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 120 10 Conclusión La extensión de este Trabajo Fin de Grado se ha fundamentado en la resolución de un modelo matemático con función objetivo multicriterio, mediante un algoritmo basado en la exploración a través de nubes de partículas (Particle Swarm Optimization - PSO). Una vez desarrollado gracias al programa MATLAB, se han generado unos resultados los cuales han sido objeto de estudio y análisis. Seguidamente se han comparado estos mismo resultados con otros obtenidos a través de SOLVER, a través de los cuales se ha podido medir el nivel de eficiencia de las soluciones aportadas por esta particular técnica metaheurística. En primer lugar, una vez definido el problema resolver, la inversión en una cartera de bonos soberanos, se estableció tres horizontes temporales a 10 años(L/P) ,a 3 años(M/P) y a 6 meses(C/P) para estudiar el comportamiento de los resultados en cada uno de ellos .En cada uno de estos horizontes, se distinguían cinco escenarios distintos que dependían de la ponderación dada a los parámetros α y β , que fijaban la actitud del inversor y la predisposición de este ante el riesgo y la rentabilidad. Previamente, ante la variedad de países que emiten Deuda Pública , se hizo una selección n de 11 países que representasen una cartera variada, para ello este estudio se basó en las ratings de los años 2011 y 2012 extraídos de las tres Agencias de Calificación más influyentes del todo el mundo. La cartera final representaba tanto países de cuatro continentes y en situaciones muy diversas donde por ejemplo contrataban las mejores potencias económicas como EE.UU frente a países cuya economía se veía muy afectada por la crisis sucedida en aquellos años y con una situación inestable como era el caso de Grecia. Para plantear el modelo teórico, se ha llevado a cabo una presentación acerca de la inversión, puntualizando la importancia del riesgo y la rentabilidad a la hora de resolver el problema base de éste trabajo. También para una mejor compresión de la técnica metaheurística empleada para resolver el modelo. Se ha introducido una vista general de los algoritmos basados en Nubes de partículas y sus características principales. Trabajo Fin de grado: “Algoritmo basado en optimización mediante nubes de partículas para el diseño de bonos soberanos” para el diseño de carteras de bonos soberanos” Autora: Teresa Grandes Núñez 121 Una vez recogida información suficiente para la compresión del modelo que se plantea, se dispone a resolverlo a través del PSO mediante funciones implantadas por Matlab. Para generar resultados eficientes, se tuvo que realizar una calibración experimental del programa, donde se fueron variando uno a uno cada parámetro dejando permaneciendo constantes el resto. Una vez realizado el calibrado, se recogieron los datos de los 15 escenarios totales (5 escenarios por cada unos de los tres horizontes temporales) y fueron comparados su riesgo y rendimiento asociados con los resultados obtenidos mediante SOLVER del mismo modelo, los cuales conformaban la solución óptima del problema debido al uso de la programación lineal. Lo más significativo del análisis de los resultados al ser comparados es la gran similitud de las soluciones obtenidas, se ha podido comprobar que aun siendo el PSO una técnica metaheurística y teniendo las características de ésta, se han conseguido soluciones muy próximas al óptimo, por tanto de buena calidad y en algunos de los casos, como en los escenarios límites dónde solo se tenía en cuenta el parámetro α o β, llega a encontrar el óptimo del problema planteado. Por último, se ha realizado un estudio de medida del tiempo computacional de ejecución dónde se pudo llegar a la conclusión de que la implementación de este tipo de técnicas metaheurísticas cobra especial interés a medida que el problema aumenta de tamaño. En los casos de tamaño pequeño implementados el programa SOLVER conseguía proporcionar la mejor solución en menor tiempo, pero para los casos de modelos a tratar de grandes dimensiones con carteras más amplia de países (o incluso incluyendo bonos corporativos de diferentes empresas y no solo soberanos) podría ser muy interesante el empleo de esta técnica.