Modelo líneal para la reconfiguración óptima de redes de media tensión urbanas

Universidad de Sevilla Departamento de Ingeniería Eléctrica Tesis Doctoral MODELO LINEAL PARA LA RECONFIGURACIÓN ÓPTIMA DE REDES DE MEDIA TENSIÓN URBANAS Francisco Llorens Iborra Sevilla, septiembre 2010 Universidad de Sevilla Departamento de Ingeniería Eléctrica Tesis Doctoral MODELO LINEAL PARA LA RECONFIGURACIÓN ÓPTIMA DE REDES DE MEDIA TENSIÓN URBANAS Autor Francisco Llorens Iborra Directores de la Tesis Dra. Dª Esther Romero Ramos Dr. D. Jesús Riquelme Santos Sevilla, septiembre 2010 A Carmen, mi esposa, y mis hijos Marina, Pablo y Ricardo Agradecimientos Deseo agradecer especialmente a mis directores de tesis el tiempo y esfuerzo que me han dedicado en el desarrollo de esta tesis, y sobre todo a la enorme paciencia y confianza que han tenido en estos años. También quiero agradecer a mis compañeros y amigos de la Escuela el apoyo en los primeros años y la ayuda prestada en esta última etapa para poder finalizar esta tesis. vi Índice de figuras Figura 4.16 Linealización tipo L. Rama-2 con un tamaño de intervalo de variación de potencia grande…………………………………… 87 Figura 4.17 Red ejemplo y su árbol madre………………………………….. 91 Figura 4.18 Una red radial de la red ejemplo de la figura 4.17………………. 92 Figura 4.19 Tensión de los nudos asociados a los caminos óptimos y tensión real en los nudos de la red óptima. Red de 33 nudos…………… 93 Figura 4.20 Tensión del nudo a través de su camino i k  y su coeficiente de tensiones   i kV C  ………………………………………...…... 95 Figura 4.21 Red ejemplo de 6 nudos para aplicar la técnica de reducción de caminos mediante el coeficiente de tensiones…………………... 96 Figura 4.22 Camino 4 1 n k  en el seno de una red radial………………………. 101 Capítulo 5 Figura 5.1 Número de caminos en la red de 33 nudos, variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10……………………… 112 Figura 5.2 Número de caminos en la red de 69 nudos, variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10……………………… 113 Figura 5.3 Número de caminos en la red de 84 nudos, variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10……………………… 113 Figura 5.4 Número de caminos en la red de 118 nudos, variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10……………………… 113 Figura 5.5 Número de caminos en la red de 137 nudos, variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10……………………… 114 Figura 5.6 Número de caminos en la red de 205 nudos, variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10……………………… 114 Figura 5.7 Número de caminos en la red de 409 nudos, variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10……………………… 114 Figura 5.8 Número de caminos iniciales y rechazados para la red de 33 nudos, representados de forma gráfica y a escala ………….…… 116 Figura 5.9 Tamaño del intervalo de variación de potencia y el número de caminos de cada rama en la red de 33 nudos…………………… 118 Figura 5.10 Tamaño del intervalo de variación de potencia por rama, cuando se utilizan todos los caminos iniciales y cuando solo se utilizan los caminos finales después de aplicar las técnicas de reducción de caminos en la red de 33 nudos……………………………… 120 Figura 5.11 Resultados y variables empleadas en la red de 33 nudos utilizando la linealización tipo L y variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10…………………………………….. 123 Figura 5.12 Resultados y variables empleadas en la red de 69 nudos utilizando la linealización tipo L y variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10…………………………………….. 123 Figura 5.13 Resultados y variables empleadas en la red de 84 nudos utilizando la linealización tipo L y variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10…………………………………….. 124 Índice de figuras vii Figura 5.14 Resultados y variables empleadas en la red de 118 nudos utilizando la linealización tipo L y variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10…………………………………….. 124 Figura 5.15 Resultados y variables empleadas en la red de 137 nudos utilizando la linealización tipo L y variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10…………………………………….. 124 Figura 5.16 Resultados y variables empleadas en la red de 205 nudos utilizando la linealización tipo L y variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10…………………………………….. 125 Figura 5.17 Resultados y variables empleadas en la red de 409 nudos utilizando la linealización tipo L y variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10…………………………………….. 125 Figura 5.18 Resultados obtenidos al emplear la linealización tipo L, frente a la variación del umbral de error % en las pérdidas debido a la linealización …………………………………………………… 129 Figura 5.19 Error % de la red radial obtenida y potencia perdida linealizada en la red de 33 nudos, variando el número de tramos de 1 a 20 empleando la linealización tipo N……………………………… 131 Figura 5.20 Error de la red radial obtenida y potencia perdida linealizada en la red de 69 nudos, variando el número de tramos de 1 a 20 empleando la linealización tipo N……………………………… 132 Figura 5.21 Error de la red radial obtenida y potencia perdida linealizada en la red de 84 nudos, variando el número de tramos de 1 a 20 empleando la linealización tipo N……………………………… 132 Figura 5.22 Error de la red radial obtenida y potencia perdida linealizada en la red de 118 nudos, variando el número de tramos de 1 a 20 empleando la linealización tipo N……………………………… 132 Figura 5.23 Error de la red radial obtenida y potencia perdida linealizada en la red de 137 nudos, variando el número de tramos de 1 a 20 empleando la linealización tipo N……………………………… 133 Figura 5.24 Error de la red radial obtenida y potencia perdida linealizada en la red de 205 nudos, variando el número de tramos de 1 a 20 empleando la linealización tipo N……………………………… 133 Figura 5.25 Error de la red radial obtenida y potencia perdida linealizada en la red de 409 nudos, variando el número de tramos de 1 a 20 empleando la linealización tipo N……………………………… 133 Figura 5.26 Error de la red radial obtenida y potencia perdida linealizada en la red de 1043 nudos, variando el número de tramos de 1 a 20 empleando la linealización tipo N……………………………… 134 Figura 5.27 Error de la red radial obtenida y pérdidas en la red de 84 nudos, variando el número de tramos de 1 a 20 empleando la linealización tipo N……………………………………………. 135 Figura 5.28 Resultados obtenidos al emplear la linealización tipo N, frente a la variación del umbral de error % en las pérdidas debido a la linealización…………………………………………………… 140 viii Índice de figuras Figura 5.29 Error relativo % de la red radial obtenida respecto a la mejor red conocida y potencia perdida calculada por el modelo en la red de 409 nudos, variando el tiempo de simulación. Linealización tipo N con 20 tramos……………………………………………….. 145 Figura 5.30 Error relativo %de la red radial obtenida respecto a la mejor red conocida y potencia perdida calculada por el modelo en la red de 1043 nudos, variando el tiempo de simulación. Linealización tipo N con 11 tramos……………………………………………….. 145 Figura 5.31 Tensión mínima y pérdida real de la red radial obtenida, variando la restricción de tensión mínima permitida de 0,930 a 0,947 p.u., en la red de 33 nudos………………………………………..…. 169 Figura 5.32 Tensión mínima y pérdida real de la red radial obtenida, variando la restricción de tensión mínima permitida de 0,930 a 0,947 p.u., en la red de 69 nudos………………………………………..…. 169 Apéndice A Figura A.1 Red ejemplo mallada…………………………………………… 177 Figura A.2 Una red radial de la red ejemplo propuesta…………………….. 179 Apéndice B Figura B.1 Red ejemplo mallada…………………………………………… 183 Figura B.2 Árbol madre en construcción con el nodo raíz y sus dos nodos hijo…………………………………………………………….. 186 Figura B.3 Árbol madre en construcción con el análisis del nodo 1 ejecutado………………………………………………………. 188 Figura B.4 Árbol madre en construcción con el análisis del nodo 2 ejecutado……………………………………………………..... 190 Figura B.5 Árbol madre en construcción con el análisis del nodo 3 ejecutado………………………………………………………. 192 Figura B.6 Red ejemplo y su árbol madre………………………………….. 192 Apéndice C Figura C.1 Red de 6 nudos con generación dispersa, Red6GD_v2….…...… 195 Figura C.2 Árbol madre de la red de 6 nudos con generación dispersa, Red6GD_v2, utilizando un coeficiente de caminos igual a 3…… 196 Apéndice D Figura D.1 Red ejemplo de 6 nudos con generación dispersa: Red6GD_v1... 201 Figura D.2 Red ejemplo de 6 nudos con generación dispersa: Red6GD_v2... 202 Figura D.3 Red de 33 nudos……………………………………………….. 204 Figura D.4 Red de 69 nudos……………………………………………….. 207 Figura D.5 Red de 84 nudos……………………………………………….. 210 Figura D.6 Red de 118 nudos……………………………………………… 213 Figura D.7 Red de 137 nudos……………………………………………… 217 Figura D.8 Red de 205 nudos……………………………………………… 218 Índice de figuras ix Figura D.9 Red de 409 nudos……………………………………………… 219 Figura D.10 Red de 1043 nudos…………………………………………….. 221 x Índice de tablas Índice de tablas xi Índice de tablas Capítulo 2 Tabla 2.1 Número de posibles redes radiales en cada uno de los sistemas de distribución ..……………………………………………………... 7 Capítulo 4 Tabla 4.1 Caminos de la red ejemplo mallada …...…………………………… 42 Tabla 4.2 Conjuntos j b  de la red ejemplo…….…..………………………….. 44 Tabla 4.3 Ejemplos de los conceptos definidos sobre el árbol madre …...……. 47 Tabla 4.4 Caminos obtenidos a partir del árbol madre ………………………. 49 Tabla 4.5 Potencia que circula por cada una de las ramas en el árbol madre …. 53 Tabla 4.6 Potencia máxima por cada rama………………………………….... 53 Tabla 4.7 Resultados del algoritmo para obtener la potencia mínima por cada rama………….……………………………………………………. 55 Tabla 4.8 Datos de la red ejemplo de la figura 4.20, con una potencia base de 0,1MVA…………………………………………………………… 97 Tabla 4.9 Datos sobre los nudos y caminos obtenidos de la red de la figura 4.17………………………………………………………………… 98 Tabla 4.10 Potencia que se utilizará en cada rama del camino para el cálculo de la caída máxima de tensión………………………………………... 102 Capítulo 5 Tabla 5.1 Parámetros necesarios para la definición del problema…………….. 110 Tabla 5.2 Coeficiente de caminos mínimo de la mejor red conocida…………. 126 Tabla 5.3 Resultados obtenidos imponiendo un umbral del 2,5% para el error relativo máximo de las pérdidas al linealizar el problema, para la linealización tipo L y un coeficiente de caminos igual a 3 …………... 129 Tabla 5.4 Redes radiales diferentes obtenidas en la red de 84 nudos….………. 138 Tabla 5.5 Resultados obtenidos imponiendo un umbral del 2,5% para el error relativo máximo de las pérdidas al linealizar el problema, para la linealización tipo N y un coeficiente de caminos igual a 3………….. 140 Tabla 5.6 Parámetros base del modelo lineal propuesto……………………... 143 Tabla 5.7 Datos relevantes del modelo: Tamaño del problema y tiempos de ejecución………………………………………………………….. 144 Tabla 5.8 Datos relevantes del modelo: Características de las redes radiales obtenidas………………………………………………………….. 146 Tabla 5.9 Comportamiento del modelo ante la variación del coeficiente de caminos…………………………………………………………… 148 xii Índice de tablas Tabla 5.10 Comportamiento del modelo ante la variación de la caída de tensión máxima permitida…………………………………………………. 150 Tabla 5.11 Caminos rechazados por las técnicas de reducción de caminos al aumentar la máxima caída de tensión permitida…………………… 151 Tabla 5.12 Comportamiento del modelo ante la variación del “Número de caminos mínimo de cada nudo” para considerarlo nudo activo en la técnica de reducción de caminos por el Coeficiente de tensiones….. 152 Tabla 5.13 Comportamiento del modelo ante la variación del “intervalo de tensión del nudo” para considerar un nudo activo en la técnica de reducción de caminos por el Coeficiente de tensiones………….. 153 Tabla 5.14 Comportamiento del modelo ante la variación del “Coeficiente de tensiones límite” en la técnica de reducción de caminos por el Coeficiente de tensiones…………………………………………… 154 Tabla 5.15 Coeficiente de tensiones mínimo de la mejor red conocida ………………………………………….………………. 154 Tabla 5.16 Comportamiento del modelo cuando no se utiliza alguna de las técnicas de reducción de caminos…………………………………. 155 Tabla 5.17 Comportamiento del modelo al variar el número de tramos estimado…………………………………………………………… 156 Tabla 5.18 Tabla resumen del estudio de sensibilidad del modelo frente a la variación de sus parámetros base, utilizando la linealización tipo N... 158 Tabla 5.19 Tabla resumen del estudio de sensibilidad del modelo frente a la variación de sus parámetros base, utilizando la linealización tipo L… 159 Tabla 5.20 Número de tramos estimado para aplicar la linealización tipo N y error relativo % de la red radial obtenida respecto a la mejor red conocida, al variar el ‘índice de carga de la red’……………………. 160 Tabla 5.21 Error relativo % de la red radial obtenida respecto a la mejor red conocida, al variar el ‘índice de carga de la red’, aplicando la linealización tipo L………………………………………………… 161 Tabla 5.22 Resultados relevantes al aplicar el modelo final a la red con generación dispersa Red6GD_v1………………………………... 164 Tabla 5.23 Resultados relevantes al aplicar el modelo final a la red con generación dispersa Red6GD_v2………………………………….. 165 Tabla 5.24 Tensión real de cada uno de los nudos en la red radial óptima…….. 166 Tabla 5.25 Potencia asociada a los nudos de generación en la red de 33 nudos con generación dispersa, Red33GD………………………………. 167 Tabla 5.26 Resultados relevantes al aplicar el modelo final a la red de 33 nudos con generación dispersa Red33GD………………………………. 167 Tabla 5.27 Potencia que circula por cada rama en la red radial de mínimas pérdidas de la red de 33 nudos. Valores calculados con el modelo propuesto…………………………………………………………. 172 Tabla 5.28 Potencia que circula por cada rama en la red radial de mínimas pérdidas de la red de 33 nudos, cuando se impone una limitación de potencia aparente de 2,5 p.u. en la rama nº 15. Valores calculados con el modelo propuesto………………...………………………… 172 Índice de tablas xiii Apéndice A Tabla A.1 Caminos de la red ejemplo………………………………………… 172 Tabla A.2 Caminos válidos de la red ejemplo………………………………… 172 Apéndice B Tabla B.1 Valores de la resistencia del camino más corto de cada nudo……… 183 Tabla B.2 Información del nodo…………………………………………….. 184 Tabla B.3 Actualización de los valores de la resistencia del camino más corto de cada nudo………………………………………………………. 185 Tabla B.4 Actualización de la información de cada nodo…………………….. 185 Tabla B.5 Lista FIFO con los nodos pendientes de analizar…………………. 185 Tabla B.6 Actualización de la información de cada feeder……………………. 186 Tabla B.7 Lista FIFO con los nodos pendientes de analizar………………….. 186 Tabla B.8 Actualización de los valores de la resistencia del camino más corto de cada nudo………………………………………….…………… 187 Tabla B.9 Actualización de la información de cada nodo…………………….. 187 Tabla B.10 Lista FIFO con los nodos pendientes de analizar………………….. 187 Tabla B.11 Actualización de la información de cada feeder……………….…… 187 Tabla B.12 Actualización lista FIFO con los nodos pendientes de analizar……. 188 Tabla B.13 Actualización de los valores de la resistencia del camino más corto de cada nudo………………………………………………………. 189 Tabla B.14 Actualización de la información de cada nodo…………………….. 189 Tabla B.15 Lista FIFO con los nodos pendientes de analizar………………….. 189 Tabla B.16 Actualización de la información de cada feeder……………………. 189 Tabla B.17 Actualización lista FIFO con los nodos pendientes de analizar……. 190 Tabla B.18 Actualización de los valores de la resistencia del camino más corto de cada nudo………………………………………………………. 190 Tabla B.19 Actualización de la información de cada nodo…………………….. 191 Tabla B.20 Actualización lista FIFO con los nodos pendientes de analizar……. 191 Tabla B.21 Actualización de la información de cada feeder……………………. 191 Tabla B.22 Tabla final con la información de cada nodo………………………. 193 Tabla B.23 Tabla final con la información de cada feeder……………………... 193 Tabla B.24 Caminos obtenidos a partir del árbol madre……………………….. 193 Apéndice C Tabla C.1 Características de ramas y consumo en la red 6 nudos, Red6GD_v2. 195 Tabla C.2 Obtención de la potencia máxima y mínima en cada enlace del árbol madre…………………………………………………………….... 197 Tabla C.3 Obtención de la potencia máxima y mínima en cada rama de la red.. 198 xiv Índice de tablas Apéndice D Tabla D.1 Características de ramas y consumo en la red 6 nudos, Red6GD_v1. 201 Tabla D.2 Datos relevantes de la red de 6 nudos con generación dispersa: Red6GD_v1………………………………………………………. 202 Tabla D.3 Características de ramas y consumo en la red 6 nudos, Red6GD_v2. 203 Tabla D.4 Datos relevantes de la red de 6 nudos con generación dispersa: Red6GD_v2………………………………………………………. 203 Tabla D.5 Datos relevantes de la red de 33 nudos……………………………. 204 Tabla D.6 Características de ramas y consumo en la red de 33 nudos………… 205 Tabla D.7 Potencia asociada a los nudos de generación en la red de 33 nudos con generación dispersa Red33GD……………………………...….. 206 Tabla D.8 Datos relevantes de la red de 33 nudos con generación dispersa, Red33GD…………………………………………………………. 206 Tabla D.9 Datos relevantes de la red de 69 nudos……………………………. 207 Tabla D.10 Características de ramas y consumo en la red de 69 nudos………… 208-9 Tabla D.11 Datos relevantes de la red de 84 nudos……………………………. 210 Tabla D.12 Características de ramas y consumo en la red de 84 nudos………… 211-12 Tabla D.13 Datos relevantes de la red de 118 nudos…………………………... 214 Tabla D.14 Características de ramas y consumo en la red de 118 nudos……….. 214-16 Tabla D.15 Datos relevantes de la red de 137 nudos…………………………... 217 Tabla D.16 Características de las líneas de interconexión entre las subredes de la red de 137 nudos…………………………………………………... 217 Tabla D.17 Datos relevantes de la red de 205 nudos…………………………... 218 Tabla D.18 Características de las líneas de interconexión entre las subredes de la red de 205 nudos…………………………………………………... 219 Tabla D.19 Características de las líneas de interconexión entre las subredes de la red de 409 nudos…………………………………………………... 220 Tabla D.20 Datos relevantes de la red de 409 nudos………………………….... 220 Tabla D.21 Datos relevantes de la red de 1043 nudos………………………….. 222 Tabla D.22 Características de las líneas de interconexión entre las subredes de la red de 1043 nudos…………………………………….…………… 223 Tabla D.23 Mejores redes radiales conocidas para la red de 33 nudos al aumentar el índice de carga de la red …………………………………….…… 224 Tabla D.24 Mejores redes radiales conocidas para la red de 69 nudos al aumentar el índice de carga de la red ………………………………….……… 224 Tabla D.25 Mejores redes radiales conocidas para la red de 84 nudos al aumentar el índice de carga de la red ……………………………………….… 225 Tabla D.26 Mejores redes radiales conocidas para la red de 118 nudos al aumentar el índice de carga de la red ……………………….……… 225 Tabla D.27 Mejores redes radiales conocidas para la red de 137 nudos al aumentar el índice de carga de la red …………………….………… 226 Índice de tablas xv Tabla D.28 Mejores redes radiales conocidas para la red de 205 nudos al aumentar el índice de carga de la red ……………………….……… 226 Tabla D.29 Mejores redes radiales conocidas para la red de 409 nudos al aumentar el índice de carga de la red …………………….………… 227 Tabla D.30 Mejores redes radiales conocidas para la red de 1043 nudos al aumentar el índice de carga de la red ………………………….…… 228 Tabla D.31 Mejores redes radiales conocidas para la red de 1043 nudos al aumentar el índice de carga de la red …………………….………… 229 2 Capítulo 1: Resumen de la Tesis problema. Estos procedimientos vienen a tener en cuenta, por ejemplo, que caminos excesivamente largos desde un punto de vista eléctrico pueden ser descartados desde el principio pues implican pérdidas eléctricas elevadas. Análogamente, caminos que den lugar a caídas de tensión por encima de las impuestas en la operación también pueden ser eliminados a priori. Un tercer criterio ha sido el no incorporar al problema final aquellos caminos de un nudo que implican un perfil de tensiones bajo, asumiendo en este último caso la “percepción” práctica de que el árbol de mínimas pérdidas suele coincidir con el de mejor perfil de tensiones. Todo ello es convenientemente justificado, cuantificado y valorado a lo largo de la tesis. Añadido a todo lo anterior, se propone una linealización a tramos del flujo de potencia cuadrático en las líneas, esto es, de las pérdidas en ellas, lo cual permite finalmente obtener un problema lineal entero mixto. Esta linealización a tramos se ejecuta no de forma aleatoria o heurística sino pseudo-óptima, tras imponer una cota al error que se comete en dicha linealización. A lo largo de la tesis se estudian dos posibles linealizaciones según se quiera definir el número de intervalos de la linealización a trozos o la longitud de estos intervalos. Tras numerosas pruebas se demuestra que ambos tipos de linealizaciones resultan igual de eficientes en cuanto a la calidad de la solución final que aportan. La solución propuesta se ha adaptado a su vez para aceptar redes con generación dispersa, las cuales requieren un tratamiento diferente debido a la posible circulación de potencia aguas arriba de la subestación, así como la limitación de las posibles sobretensiones que pudieran ocasionar. Estas peculiaridades, no presentes en ausencia de generación dispersa como ocurría hasta hace relativamente poco, han sido caracterizadas y analizadas en el modelo desarrollado. De la heurística adoptada para la simplificación del problema inicial, resulta un problema final de programación lineal entera-mixta que es función de una serie de parámetros. Para valorar la robustez del modelo y la calidad de la solución obtenida se realiza un análisis de sensibilidad, donde se verifica que se siguen obteniendo buenos resultados cuando se producen pequeñas variaciones del valor de los parámetros seleccionados en el modelo. El modelo se ha aplicado a redes de gran dimensión, de hasta 1043 nudos, 1181 ramas y 139 bucles, donde se ha considerado que cada una de sus ramas puede estar abierta o cerrada. Esta última posibilidad, aun no siendo realista, se ha tenido en cuenta para estudiar la robustez del modelo en casos extremos en el que el número de variables binarias es muy elevado, viniendo éste muy determinado por el número Capítulo 1: Resumen de la Tesis 3 real de elementos de corte susceptibles de cambiar su estado para la búsqueda de caminos alternativos en la alimentación. Finalmente señalar que los problemas de programación lineal entera-mixta son un clásico en numerosos campos, no sólo de la ingeniería, existiendo paquetes de programación comerciales muy eficientes que permiten su resolución incluso para problemas de gran dimensión. Esta característica es de especial relevancia cara al modelo propuesto en esta tesis, ya que además de permitir valorar la exactitud de la solución obtenida con el nuevo modelo propuesto, se asegura la posibilidad de la implementación práctica de la solución adoptada. 4 Capítulo 1: Resumen de la Tesis Capítulo 2: Introducción 5 Capítulo 2 Introducción Introducción Las redes de distribución, de configuración mallada y explotación radial, son el objeto de análisis de esta tesis. La planificación y operación de estas redes implican una larga lista de problemas de optimización, como son la expansión con el mínimo coste [1-3] o la reconfiguración teniendo presente una función objetivo, como puede ser equilibrar la carga entre las diferentes subestaciones, la reducción de pérdidas o el restablecimiento de la energía con el número mínimo de operaciones. Por reconfiguración se entiende la apertura o cierre de los interruptores de línea, que minimiza o maximiza según el caso la función objetivo impuesta. El problema de reconfiguración donde se minimiza la potencia activa perdida en las líneas es el más popular y extendido, y es donde se centra el contenido de esta tesis. Hasta hace poco este problema ha estado confinado a la fase de planificación, pero la aparición de las redes inteligentes permite considerar este problema en la operación de los sistemas de distribución [4]. Una característica fundamental de las redes de distribución de media tensión es que tienen una configuración mallada que permite alimentar a cada nudo de consumo desde dos circuitos diferentes, pero su explotación es radial por motivos de protección de las líneas ante la aparición de defectos en ellas. Estas redes suelen estar conectadas a una o varias subestaciones de alimentación que fijan la tensión en el punto de conexión y aportan la energía suficiente para alimentar a todos los nudos de consumo y soportar las pérdidas que se producen. La tesis se enmarca en el entorno de las redes de media tensión urbanas, por ser estas las que poseen mayor nivel de mallado, y los resultados pueden aplicarse tanto en la planificación como en la operación del sistema. Se busca definir un modelo de ecuaciones resoluble por cualquier software comercial de optimización, que permita solventar el problema de reconfiguración mencionado. 6 Capítulo 2: Introducción Definición del problema El problema de reconfiguración desde un punto de vista general es similar a un cálculo óptimo de flujo de potencia (OPF), pero con la diferencia de que presenta una carga computacional considerablemente mayor debido a la inclusión de variables adicionales para tener en cuenta el estado del interruptor y las restricciones de radialidad de la red. La formulación matemática del problema de reconfiguración para la minimización de pérdidas se ha representado en la literatura de diferentes formas; a continuación se expresa según Sarfi et al. en su estado del arte publicado en [5].    n 1i1 minimizar n j ijij LC (2.1) :a sujeto j n i ij DS   1 (2.2) max ijij SS  (2.3) max VVj (2.4)    t f ft 1  (2.5) Donde: ij L Perdidas de la línea que conecta los nudos i y j ij C Coeficiente que pondera las pérdidas de la línea ij ij S Flujo de potencia por la línea ij j D Demanda de potencia del nudo j j V Caída de tensión desde la subestación hasta el nudo j max V Caída de tensión máxima permitida en la red t f Conjunto de líneas alimentadas por el transformador t ft  1 si el conjunto t f está abierto, 0 en caso contrario En la formulación del problema de reconfiguración, la función objetivo (2.1) representa las pérdidas totales del sistema de distribución. La ecuación (2.2) asegura que se satisfaga la primera ley de Kirchhoff en los nudos. Las restricciones (2.3) y (2.4) cumplen con la máxima capacidad de las líneas y la máxima caída de tensión permitida. Por último, mediante la ecuación (2.5) se asegura la condición de radialidad de la red. Capítulo 2: Introducción 7 El problema de reconfiguración es claramente un problema de programación no lineal entero mixto. Éste presenta una carga computacional considerable incluso para un sistema de distribución de proporciones moderadas, produciéndose una verdadera explosión combinatoria de redes radiales a medida que aumenta el tamaño de la red. Una posible relajación de este tipo de problemas no es apropiado, debido al significado físico de los interruptores. Por otro lado, la naturaleza no lineal del sistema de distribución necesita que en cada iteración del algoritmo de optimización se realice una operación de cálculo del flujo de carga para determinar el nuevo punto de operación del sistema, lo cual aumenta el coste computacional del problema a resolver. Sin embargo, la principal dificultad para resolver el problema es su enorme naturaleza combinatoria. Con objeto de cuantificar este número, en la tabla 2.1 se exponen las principales características de las redes utilizadas en esta tesis, como son el número de nudos y el número de ramas. En la tercera columna se recoge el número de combinaciones posibles según el estado de los interruptores, que en este trabajo se ha considerado el caso más desfavorable, asignando un interruptor a cada una de sus ramas. De todas estas posibles combinaciones, no todas ellas forman una red radial, por tanto, en la última columna y empleando el teorema matriz-árbol de Kirchhoff [6] se indican todas las posibles redes radiales de cada uno de los sistemas. Nº nudos de la red (Nn) Nº ramas de la red (Nr) Número de combinaciones posibles según el estado de los interruptores (2Nr) Número de redes radiales posibles (Teorema matriz-árbol de Kirchhoff) 33 37 1,37439E+11 50.751 69 73 9,44473E+21 407.924 84 96 7,92282E+28 3,5196E+011 118 132 5,44452E+39 4,0320E+015 137 148 3,56812E+44 4,1998E+013 205 224 2,69599E+67 1,9506E+022 409 451 5,8147E+135 2,0827E+047 1043 1181 3,2842E+355 2,3465E+141 Tabla 2.1 Número de posibles redes radiales en cada uno de los sistemas de distribución Como puede observarse, el número real de redes posibles es mucho menor que el número de combinaciones del estado de los interruptores, pero aún así el número es muy elevado incluso para redes de tamaño moderado. Este es uno de los principales motivos por el que han surgido numerosos procedimientos para resolver este problema, unos aplicando técnicas heurísticas junto con métodos numéricos de optimización, otros que solo aplican técnicas heurísticas y finalmente un numeroso 8 Capítulo 2: Introducción grupo que aplica un variado conjunto de técnicas de inteligencia artificial, que serán analizados en el siguiente capítulo. En el trabajo de Morton y Mareels [7] se presenta un algoritmo de fuerza bruta, en el que se analizan todas las redes radiales posibles. La generación de todas las redes la realiza mediante un algoritmo recursivo de cambio de rama provocando una perturbación sobre la matriz de sensibilidad. Con objeto de calcular rápidamente las pérdidas de cada configuración, modela las cargas de la red suponiendo corriente constante. El ejemplo lo realiza con la red de 33 nudos, cuyo número total de redes radiales diferentes es de 50.751. La técnica presentada puede ser atractiva para redes de tamaño pequeño, pero si observamos el número de redes posibles para redes de mayor tamaño indicado en la tabla 2.1, el proceso presentado es inviable. Objetivo de la tesis El objetivo de la tesis es desarrollar un modelo lineal que permita analizar grandes redes en tiempos de operación, que proporcione resultados cercanos al óptimo y que el sistema de ecuaciones planteado pueda ser resuelto por cualquier software comercial de optimización. Modelo propuesto El modelo propuesto permite obtener una red radial a partir de la red mallada, imponiendo que la red final sea la de mínimas pérdidas de potencia activa en sus líneas. La principal novedad que presenta el método y la base de la originalidad de las ecuaciones planteadas, es la definición del concepto de camino como el conjunto de ramas que unen cada nudo con la subestación, al que se le asocia una variable binaria dando lugar a un problema no lineal entero mixto. La radialidad se consigue de manera sencilla, imponiendo que sólo un camino de cada nudo esté activo. Para ilustrar gráficamente el concepto de camino y la restricción de radialidad, se utiliza la figura 2.1. Se ha dibujado la red de 33 nudos en su configuración radial de mínimas pérdidas, donde las ramas abiertas se han representado mediante una línea a trazos. Se destaca en trazo más grueso y en azul el camino correspondiente al nudo 32. Puede observarse que si la red estuviera mallada, el citado nudo tendría más caminos alternativos para llegar a la subestación, pero si la red es radial solo hay un camino que une cada uno de los nudos con la subestación. Capítulo 2: Introducción 9 Figura 2.1 Red de 33 nudos en su configuración radial de mínimas pérdidas, destacando el trazado del camino correspondiente al nudo 32. Con el objeto de simplificar las ecuaciones de la red, se asumen dos aproximaciones eléctricas: aproximar las tensiones a la unidad pues se trabaja en p.u. y despreciar la circulación de las pérdidas frente al consumo de los nudos. El problema así planteado presenta una ecuación cuadrática en la función objetivo con el cuadrado de la potencia que circula por cada rama. Con objeto de facilitar la convergencia del sistema se plantea la linealización, obteniéndose finalmente un problema lineal entero mixto. Dada la red, se propone una expresión que calcula el número de tramos necesario para la linealización, acotando el error que ésta provoca en la función objetivo. Como ya se ha expuesto en esta misma sección el número de árboles posibles de explotación que puede obtenerse a partir de la red mallada original puede ser muy elevado. Con objeto de disminuir este número, se propone una primera técnica heurística que solo permite obtener aquellos caminos cuya resistencia total del mismo no exceda de un número de veces la resistencia del camino más corto eléctricamente hablando. Posteriormente y con el mismo objetivo, se proponen dos nuevas técnicas para eliminar aquellos caminos que tienen nula o escasa probabilidad de formar parte de la red óptima. La primera de ellas elimina aquellos caminos que sobrepasan la máxima caída de tensión permitida. La segunda técnica basada en la heurística, elimina aquellos caminos (pertenecientes a un mismo nudo) con mayor caída de tensión, basándose en el hecho de que las redes con menores pérdidas poseen un buen perfil de tensiones. Es necesario destacar por su singularidad, que todos los parámetros de los que depende el modelo adoptan el mismo valor para todas las redes utilizadas. Subestación 31 30 18 19 20 21 11 7 10 9 8 5 12 6 14 13 15 16 4 3 2 1 33 17 32 29 28 27 26 25 22 23 24 10 Capítulo 2: Introducción Estructura de la tesis La estructura de la tesis, que sigue cronológicamente los pasos dados durante su desarrollo, es la siguiente: La primera fase de este trabajo, capítulo 3, ha consistido en una búsqueda en la literatura técnica de los diferentes métodos planteados para resolver el problema de la reconfiguración de redes de distribución, lo cual ha permitido clasificar los diferentes métodos en tres grandes grupos. La atención se ha centrado en aquellos trabajos que abordan redes de gran tamaño. En el capítulo 4 se formula de forma completa el modelo propuesto. En el capítulo 5 se aplica el modelo a ocho redes diferentes, cuyo tamaño varía desde 32 a 1043 nudos. Los resultados permiten analizar y fijar algunos parámetros del modelo, así como comprobar la eficacia del método. Se realiza un análisis de sensibilidad frente a los parámetros utilizados. Finalmente se aplica a redes con generación dispersa, indicando las modificaciones necesarias. El capítulo 6 destaca las principales conclusiones del modelo propuesto y los resultados obtenidos al aplicarlo a las redes de prueba, así como las propuestas de futuras líneas de investigación. Finalmente se encuentran los apéndices. El apéndice A detalla la conectividad de la red y plantea las ecuaciones de forma matricial. El apéndice B desarrolla la construcción paso a paso del árbol madre, sobre el que se obtendrán los caminos y otros parámetros de importancia. En el apéndice C se calcula para una red ejemplo con generación dispersa los intervalos de variación de potencia. Las principales características de todas las redes utilizadas se muestran en el apéndice D. Finalmente se dedica el apéndice E a las características del software de optimización empleado. 3.1. Estado del arte. Introducción 11 Capítulo 3 Estado del arte 3.1. Introducción Como ya se ha mencionado en el capítulo de introducción, el problema de la reconfiguración de redes es uno de los problemas de optimización más clásicos, y entre ellos, aquel que minimiza la potencia activa perdida en las líneas. La principal característica que es necesario tener presente en este problema es que las redes de distribución de energía eléctrica tienen una configuración mallada, pero su explotación es radial. El objetivo del problema de optimización es encontrar la mejor red radial que minimiza la función objetivo entre un enorme número de combinaciones posibles. Merlin y Back en 1975 [8] plantearon por primera vez la utilización de los interruptores de las líneas para reconfigurar el sistema de distribución, con el objetivo de minimizar las pérdidas en las líneas para unas condiciones específicas de carga. Desde entonces se han propuesto numerosos métodos para resolver el problema planteado. Es en 1994 donde [5] revisa el estado del arte sobre este tema y propone una clasificación en función de los métodos empleados en resolver el problema: aquellos basados en una mezcla de métodos de optimización y heurísticos, aquellos que solo utilizan la heurística y finalmente los basados en la inteligencia artificial. A continuación se hará un repaso de los métodos de resolución más relevantes, siguiendo la misma clasificación propuesta en [5]. Dada la gran cantidad y variedad existente, sólo se indicará la principal característica de ellos sin entrar en el detalle de su contenido. Se hará un análisis más profundo de aquellos trabajos cuyos métodos han permitido a los autores su aplicación a redes de gran dimensión, con objeto de poder comparar sus resultados con los obtenidos en esta tesis. 18 3.4. Métodos basados en la inteligencia artificial evolución, para ajustar el número de mutaciones, y con ello aumentar la rapidez del proceso evolutivo.  Huang [40] utiliza un algoritmo genético mejorado basado en lógica difusa multiobjetivo para resolver el problema de reconfiguración.  Delbem et al. [41] propone un nuevo y eficiente codificado del árbol y bosque, como conjunto de árboles que representan al sistema radial completo. La codificación está basada en las cadenas gráficas. Utiliza dos operadores que trasfieren ramas de un árbol a otro para generar nuevas configuraciones.  Mendoza et al. [42] propone una estrategia de codificación basada en abrir los bucles fundamentales del sistema, lo que permite generar siempre individuos viables y reducir el espacio de búsqueda. Trabajo analizado con detalle en la sección 3.5.5.  Enacheanu et al. [43] mantiene la estrategia de codificación empleada por Mendoza, pero el algoritmo se mejora incorporando la teoría de matrices y grafos en las operaciones de cruce y mutación.  Ramos et al. [19] codifica los individuos utilizando el concepto de camino propuesto en esta tesis. Cada individuo está representado por un vector con tantos bits como caminos, y agrupados en bloques correspondientes a cada nudo. Un individuo factible será aquel que tenga activado un bit por cada bloque.  Carreno et al. [44] presenta una nueva codificación en dos bloques, en el primero almacena los interruptores cerrados y el segundo los abiertos. Aplica un operador de cruce y obtiene un único hijo, sobre el que realiza una mejora heurística. Esta mejora está basada en la estrategia propuesta por Civanlar et al. Este método mantiene la radialidad de los individuos y preserva la diversidad de las generaciones.  Ching-Tzong y Lee [45], Chiou et al. [46] y Niknam [47] presentan algoritmos híbridos de evolución diferencial, basados en búsquedas estocásticas, que consiguen una convergencia más rápida; sin embargo, esta ventaja permite una probabilidad más alta de obtener mínimos locales. Para superar este inconveniente, se proponen diferentes versiones híbridas.  Tsai y Hsu [48] propone un análisis de correlación Grey para integrar diferentes objetivos de la operación del sistema y proporcionar un valor que represente la función a minimizar. 3.4. Métodos basados en la inteligencia artificial 19  Cebrian y Kagan [49] incluyen las pérdidas de la red e índices de calidad de suministro aplicando el método de simulación Monte Carlo. Es de resaltar en este caso el uso de una codificación en base decimal.  Santos et al. [50] aplican la codificación basada en la profundidad del nodo, que permite generar con sencillez las configuraciones radiales. El diseño de operadores de cruce específicos crean de forma rápida nuevos individuos y mantienen la radialidad. Trabajo analizado con detalle en la sección 3.5.7. Redes neuronales Presentan una excelente característica para el problema de la reconfiguración, y es que ofrece reducidos tiempos de solución para redes de gran dimensión, sin embargo requieren un tiempo elevado para su entrenamiento, el cual debe ser específico para cada red y se debe actualizar para cualquier cambio que se produzca en las características del sistema. Hay que resaltar que la exactitud de la solución depende de la exactitud de los datos proporcionados durante el entrenamiento.  Kim et al. [51] dividen la red en diferentes zonas de carga con sus propias redes neuronales, con objeto de evitar el problema del entrenamiento de las redes neuronales para sistemas de gran tamaño. Los datos para el entrenamiento de las redes los obtiene planteando un problema de programación cuadrática e incluyendo las restricciones eléctricas.  Salazar et al. [52] mejoran la estructura de la red neuronal artificial usando técnicas de agrupamiento, reduciendo de esta manera el número de datos de entrada para su entrenamiento. Recocido simulado El recocido simulado se denomina así por su analogía con el proceso físico de simulación de enfriamiento de materiales, donde el control de la temperatura juega un papel relevante para llegar a un estado de mínima energía. Normalmente en las técnicas de optimización se parte de una configuración inicial y mediante perturbaciones se aceptan las nuevas configuraciones que mejoran la función objetivo. En esta técnica heurística se permiten algunos movimientos hacia soluciones peores, con el objeto de evitar que el sistema caiga en mínimos locales. Pero por si la búsqueda está realmente yendo hacia una buena solución, estos movimientos “de escape” deben realizarse de un modo controlado. Este control se realiza mediante una función de probabilidad que hará disminuir la probabilidad de 20 3.4. Métodos basados en la inteligencia artificial esos movimientos hacia soluciones peores conforme avanza la búsqueda, y por tanto estamos previsiblemente más cerca del óptimo global. El parámetro de control se denomina generalmente “temperatura”, por su analogía con su origen. Esta estrategia necesita del valor de varios parámetros, los cuales tienen una gran influencia en la calidad de las soluciones generadas [53].  Jeon et al. [54] propone la técnica del Recocido Simulado diseñando un programa de enfriamiento basado en la estadística durante el proceso de enfriamiento, lo que le permite abordar redes de gran tamaño. Trabajo analizado con detalle en la sección 3.5.1.  Jeon y Kim [55] modifica la técnica anterior incluyendo también la búsqueda tabú para mejorar la búsqueda local. Este método híbrido permite mejorar el tiempo de computación en comparación con la aplicación de las dos técnicas por separado. Sin embargo los autores no la aplican a la red de gran tamaño utilizada en su anterior publicación. Búsqueda tabú La búsqueda tabú es una estrategia para resolver problemas de optimización combinatoria. La idea básica es continuar con una búsqueda cuando se llega a un mínimo local, permitiendo movimientos que no mejoran la solución. Para evitar regresar a soluciones pasadas y entrar en ciclos, usa una memoria temporal, llamada “lista tabú”, que guarda la historia reciente de la búsqueda.  Zhang et al. [56] mejora la búsqueda tabú estándar, incluyendo un operador de mutación para evitar óptimos locales. Con objeto de disminuir el espacio de búsqueda en cada cambio de interruptor y mejorar la eficiencia del método, propone una formula aproximada para detectar el mejor interruptor de cambio en cada bucle formado. El espacio de búsqueda está formado por dicho interruptor y sus vecinos. Colonia de Hormigas Basado en el comportamiento colaborativo de las hormigas para encontrar buenas rutas desde el nido a los centros de comida. La hormiga sale del nido y se mueve alrededor aleatoriamente. Después de encontrar una buena fuente de comida la hormiga suelta feromonas en su camino de vuelta al nido, dependiendo de la cantidad y calidad de la comida encontrada, con el objeto de ayudar al resto de hormigas, que refuerzan el camino con más feromonas. Las feromonas se evaporan 3.4. Métodos basados en la inteligencia artificial 21 y desaparecen si no se las refuerza. Esta técnica se ha mostrado como una poderosa herramienta para resolver problemas de optimización discreta en diferentes campos.  Su et al. [57] emplea una función de probabilidad de cambio de interruptor que depende del nivel de feromona del interruptor y del inverso de la distancia. En cada generación realiza dos actualizaciones de las feromonas, una local para cada nueva configuración obtenida y otra global para la mejor configuración.  Carpaneto y Chicco [58] introduce la variación de las feromonas en el rango [0,1], lo que proporciona un escalado automático de la función objetivo y resulta más sencilla y robusta la implementación. Solo realiza una actualización global de feromonas en cada generación para la mejor configuración, y la función de probabilidad solo depende del nivel de feromonas. Trabajo analizado con detalle en la sección 3.5.6. Sistemas expertos Como los algoritmos basados solo en la heurística, las reglas utilizadas en los sistemas expertos están basadas en las restricciones de operación del sistema y no directamente en la reducción de las pérdidas. Las limitaciones de esta metodología son similares a los métodos basados en la heurística.  Chang et al. [59] introduce esta metodología en el desarrollo de un software para el análisis y control de los sistemas de distribución.  Das [60] utiliza la lógica difusa para alcanzar cuatro objetivos, entre los que se encuentra la minimización de pérdidas. Emplea técnicas puramente heurísticas basadas en Civanlar et al. para seleccionar los interruptores candidatos al cambio, calculando la diferencia de tensión existente en los interruptores normalmente abiertos. Las reglas heurísticas se incorporan en el algoritmo para minimizar el número de operaciones. 22 3.5. Técnicas aplicadas a redes de gran dimensión 3.5. Técnicas aplicadas a redes de gran dimensión Después de realizar un breve resumen sobre las técnicas utilizadas para resolver el problema de la reconfiguración de redes para conseguir la minimización de pérdidas, corresponde entrar en el detalle de aquellas cuyos autores la han aplicado a sistemas de gran dimensión, que es uno de los principales objetivos de esta tesis. En los resultados obtenidos en esta tesis se ha constatado que el comportamiento del modelo propuesto es similar ante cualquier red, independientemente de sus características y tamaño. Sin embargo cuando se alcanzan tamaño de redes del orden de la red de 1043 nudos (1181 ramas) se observan oscilaciones en los resultados finales (poco o nada apreciables en redes de tamaño menor), debido a la enorme naturaleza combinatoria del problema. La forma de abordar esta dificultad en la tesis ha sido la reducción del espacio de búsqueda, disminuyendo con criterios razonables (heurística) el número de caminos. Se destaca esta característica porque en los trabajos analizados en el estado del arte, es un objetivo siempre buscado “reducir el espacio de búsqueda”, independientemente de la técnica utilizada. Imponer la radialidad es otro de los grandes obstáculos, que muchos autores lo superan comprobando esta restricción en cada iteración. Otros diseñan mecanismos de intercambio de rama adecuados (heurísticos) o codifican de forma apropiada los individuos y sus operadores de cruce (algoritmos evolutivos), para conseguir que todas las configuraciones analizadas sean radiales sin necesidad de verificarlo. El modelo propuesto en esta tesis incorpora en el sistema de ecuaciones la propia restricción de radialidad. Otra característica a valorar, después de la revisión del estado del arte, es que todas las técnicas propuestas en la literatura requieren de la definición de un conjunto de parámetros, cuyo valor es ajustado por los autores en función del tipo de red y sobre todo de su tamaño. También en el modelo de solución propuesto en esta tesis existen unos parámetros asociados al mismo, pero se verá como una vez sintonizados sus valores, estos permanecen inalterados independientemente de la red analizada. El resto de características de cada modelo depende directamente de la técnica utilizada para resolver el problema y resulta complejo poder compararlas si las técnicas empleadas son diferentes, aún perteneciendo a un mismo grupo de clasificación. 3.5.1. Jeon et al. (2002) 23 3.5.1. Jeon et al. (2002) Los autores en [54] utilizan la técnica del Recocido Simulado. Para poner en práctica esta técnica es necesario definir un apropiado mecanismo de perturbación, la función de costes y el programa de enfriamiento. El mecanismo de perturbación elegido es el propuesto por Chiang y Jean-Jumeau en [14] y [15]. Parte de una red radial, selecciona uno de los interruptores abiertos y lo cierra, formando un bucle. Para volver a la configuración radial se abre aleatoriamente un interruptor del bucle formado. Se incluye como novedad el aumento de la probabilidad para elegir un interruptor que forme un bucle de gran dimensión. Con este mecanismo de perturbación se asegura la radialidad en cada paso. La función de costes representada por (2.6) incluye las pérdidas calculadas para cada configuración radial, total loss P, más las penalizaciones cuando se incumplen las restricciones eléctricas de capacidad en las líneas,   xA , y de caída de tensión,   xB . Al principio de la simulación los valores de los factores de penalización (α y β) son pequeños para suavizar el rechazo de configuraciones con violaciones eléctricas, y al final del proceso estos valores aumentan para rechazar con claridad aquellas redes radiales en las que se incumplen las restricciones eléctricas.     xBxAPxf total loss   min (2.6) El programa de enfriamiento se define mediante la selección de los siguientes parámetros:  Número de configuraciones nuevas generadas para cada temperatura.  Temperatura inicial (T0), que debe ser lo suficientemente elevada para que se acepten todas las configuraciones generadas al principio.  Función que disminuye la temperatura (Tk+1), que depende de la temperatura anterior (Tk) y de la desviación estándar de la función de costes de todas las redes generadas para la temperatura Tk (σTk). Tk k k kcteT T T       3 )1ln( 1 1 (2.7)  Temperatura final, cuyo valor está basado en una extrapolación de los costes esperados. 24 3.5.1. Jeon et al. (2002) El criterio característico del Recocido Simulado para aceptar las nuevas configuraciones que han empeorado su función de costes es el indicado en la expresión (2.8), donde ∆f representa el incremento de pérdidas que se ha producido y R es un número aleatorio en el rango [0,1]. Se observa que al disminuir la temperatura, disminuye la probabilidad de aceptar la configuración que ha empeorado la función de costes. R T f k          exp (2.8) El método propuesto se ha aplicado a varias redes conocidas en la literatura, alcanzando en todas ellas el óptimo conocido. Finalmente utiliza un sistema real con 362 nudos, 421 interruptores y 58 bucles. La validez y efectividad del método queda demostrada con las pruebas realizadas, pero en general este tipo de técnicas adolecen de necesitar un excesivo tiempo de simulación. 3.5.2. Schmidt et al. (2005) La función objetivo a minimizar en [20] está formada por un primer sumando que calcula las pérdidas de la red y un segundo que representa la primera ley de Kirchhoff en cada uno de los nudos de la red: 2 22 ) ~ (min          pjk pjkjk jk jkjkjk BpB IicKicrLiE (2.9) i ~ representa el vector de todas las corrientes de rama KyL representan los pesos de los dos sumandos en la función objetivo y son determinados por la experiencia P I corriente consumida por el nudo p B  conjunto de ramas del sistema Bp  conjunto de ramas conectadas al nudo p jk r resistencia de la rama jk base branch jk I I cmax  corriente máxima que soporta la rama en p.u. branch jk jk I I i max  corriente que circula por la rama en relación a la máxima admisible. 3.5.2. Schmidt et al. (2005) 25 El producto jkjk ic  proporciona directamente el valor de la corriente que circula por la rama en p.u., permitiendo formular de forma sencilla la restricción de capacidad por las ramas. Dado que la función objetivo es cuadrática, el problema es resuelto mediante el método estándar de Newton con segundas derivadas:   ) ~ () ~ ( ~ ~ )( 1 )(2)()1( kkkk iEiEii    (2.10) El procedimiento que realiza es el siguiente: 1. Parte de la red mallada con todos los interruptores cerrados. 2. Resuelve la ecuación (2.10) para determinar la corriente en todas las ramas y calcular las pérdidas. 3. En el caso de que se produzcan sobrecargas en las ramas, se añaden a la función objetivo términos de penalización. 4. Calcula de forma aproximada el incremento de pérdidas que provoca la apertura de cada interruptor, creando una lista ordenada. El incremento de pérdidas se calcula mediante la expresión (2.11), donde se despreciará la variación de corriente en cada una de las ramas excepto en la rama donde se ha producido la apertura del interruptor. Esta simplificación convierte la ecuación (2.11) en una simple y rápida operación escalar.       iEiEiiEiiE tt ~~ 2 1 ) ~ () ~ () ~~ (2 (2.11) 5. Toma los “n” primeros candidatos de la lista, y para cada uno de ellos, se abre el interruptor y se calcula el valor exacto del incremento de pérdidas que provoca, reordenando nuevamente la lista. El número de candidatos “n” es definido por el usuario y es un compromiso entre la rapidez y exactitud del método. 6. Comprueba si la red es conexa y abre definitivamente el interruptor que provoca menores pérdidas. En caso negativo toma el siguiente interruptor de la lista. 7. Comprueba si el número de interruptores abiertos coincide con el número de bucles. En caso positivo finaliza el proceso. 8. Repite el proceso desde el paso 2. 26 3.5.2. Schmidt et al. (2005) La rapidez del algoritmo propuesto depende del número de interruptores candidatos “n” seleccionado, un valor bajo aumenta la rapidez pero va en detrimento de la exactitud de las pérdidas y por tanto de la calidad de las soluciones obtenidas. La rapidez anunciada permite su aplicación en tiempo real y sobre redes de gran dimensión. Se presentan buenos resultados en las redes probadas, aunque no los óptimos. Se prueba sobre una red real de gran dimensión de 1107 nudos y 21 bucles, pero solo 129 interruptores. Como ya se ha expuesto en la introducción, la enorme naturaleza combinatoria del problema no la define el número de nudos y ramas, sino el número de interruptores y el número de bucles. Por lo tanto la red podríamos clasificarla dentro de las de tamaño medio dentro de los problemas de optimización. Uno de los problemas del método es que no incluye en la formulación la restricción de radialidad de la red, necesitando comprobar en cada paso que la red es conexa y que al final el número total de interruptores abiertos coincide con el número de bucles. 3.5.3. Gomes et al. (2005) El método heurístico propuesto en [35] para resolver el problema de la reconfiguración parte de la red mallada con todos los interruptores cerrados. En cada iteración se abre el interruptor que menor incremento de pérdidas provoca, calculado mediante un programa de flujo de carga. Posteriormente se permite un ajuste de la solución valorando los interruptores vecinos a los interruptores definitivamente abiertos. El método propuesto se basa en la aplicación de dos procedimientos consecutivos: Procedimiento A: 1. Actualiza la lista de ramas que pueden ser maniobradas. 2. Partiendo de la red mallada con todos los interruptores cerrados, abre una rama “i” y comprueba si la red no está aislada. 3. Si la red está aislada se cierra la rama y se vuelve al paso 2 con la siguiente rama “i+1” 4. Si la red es conexa, se resuelve y calcula las pérdidas que provoca. Se vuelve al paso 2 con la siguiente rama “i+1”. 3.5.3. Gomes et al. (2005) 27 5. Una vez comprobadas todas las ramas de la lista, se selecciona la que ha producido menores pérdidas, dejando esta rama abierta definitivamente y guardando en una lista las ramas vecinas (adyacentes) del mismo lazo. 6. Actualiza la lista de ramas que pueden ser maniobradas, eliminando la rama abierta definitivamente, así como el resto de ramas de dicho lazo que no pertenecen a otro lazo. 7. Vuelta al paso 2 con i=1, hasta que la lista de ramas operables esté vacía. 8. El procedimiento continúa hasta que el número de ramas abiertas coincide con el número de bucles independientes. Procedimiento B: 1. Parte de la red radial obtenida del procedimiento A. 2. Para cada uno de los interruptores abiertos, se intercambia dicho interruptor con cada uno de sus vecinos, se comprueba si la nueva red es factible y se calculan sus pérdidas. Si las pérdidas son menores se procede al intercambio de interruptores. El procedimiento es simple y efectivo, calcula en cada uno de los pasos las pérdidas reales de cada configuración. En todas las pruebas presentadas obtiene el óptimo o una red próxima. El método no incluye en su formulación la restricción de radialidad de la red, necesitando comprobar en cada paso que la red es conexa y que al final el número total de interruptores abiertos coincide con el número de bucles independientes. Se prueba sobre una red real de gran dimensión de 476 nudos y 22 interruptores. En este caso no se informa del número de bucles independientes, y dado el número de interruptores podemos clasificarla de tamaño pequeño dentro de los problemas de optimización, aunque el título de la publicación indique lo contrario. 34 3.5.6. Carpaneto y Chicco (2008) Para la selección del interruptor que se va a intercambiar, se asigna una probabilidad a cada uno de los interruptores que pueden participar en el intercambio, dada por la expresión (2.14), que como puede observarse depende del nivel de feromona que tiene cada interruptor con respecto al resto. Con ello se favorece que los interruptores con mayor nivel de feromona formen parte de la siguiente configuración.   M q q m m 1    (2.14) donde m  representa nivel de feromona del interruptor m de la lista de interruptores factibles para el intercambio y M es el número de interruptores de la lista. Los autores prueban la técnica diseñada con una red de 531 nudos, 554 ramas y 23 bucles, comparando los resultados con la técnica del Recocido Simulado, encontrando buenas soluciones con menos tiempo de computación. 3.5.7. Santos et al. (2010) 35 3.5.7. Santos et al. (2010) En esta publicación [50] los autores aplican la codificación basada en la profundidad del nodo, que permite generar con sencillez las configuraciones radiales. Asimismo se han diseñado operadores de cruce que se adaptan perfectamente a la codificación seleccionada y permiten obtener nuevos individuos viables. Figura 3.3 Red ejemplo para la codificación mediante la profundidad del nodo. El sistema de la figura 3.3 está compuesto por 27 nudos, donde los nudos 1, 2 y 3 representan subestaciones. Las ramas representadas por líneas de trazos discontinuos representan interruptores abiertos que permiten la configuración radial. Las líneas con trazos continuos se corresponden con interruptores cerrados, formando 3 feeders diferentes, que se destacan con colores diferentes. La codificación mediante la profundidad del nodo utiliza un vector para cada feeder donde almacena el nodo y su profundidad, entendiendo por profundidad el número de ramas que separan al nodo de la subestación que lo alimenta. El orden de aparición de los nodos en el vector va desde el nodo correspondiente a la subestación hasta cada uno de los nodos terminales de cada feeder. En la figura 3.4 se representa la codificación de los tres árboles de la red ejemplo, formando el bosque (conjunto de los tres árboles) de la configuración radial mostrada en la figura 3.3.              2322161211106541 4434323210 node depth 1 T              1378141592 3323210 node depth 2 T              2425171819262021273 4354323210 node depth 3 T Figura 3.4 Codificación de los tres árboles de la red ejemplo. 1 2 3 4 10 16 22 5 11 17 23 6 12 18 24 7 13 19 25 8 14 20 26 9 15 21 27 Feeder 1 Feeder 2 Feeder 3 36 3.5.7. Santos et al. (2010) Una vez definida la codificación de cada individuo, propone dos operadores que modifican al individuo padre y genera un nuevo individuo hijo:  En el primer operador, se seleccionan dos árboles origen y destino de un mismo bosque (T1 y T3), un nodo del árbol origen (nodo 11) y otro nodo adyacente que pertenezca al árbol destino (nodo 17). Se abre el interruptor (poda) que une el nodo seleccionado (11) con el árbol origen (T1) y se cierra el interruptor que une ambos nodos adyacentes. Con esta operación se transfiere nodos de un árbol a otro. En la figura 3.5 se representa la operación descrita. Destacar que en el nuevo árbol destino (T3’) los nuevos nodos añadidos continúan con la profundidad del nodo adyacente seleccionado.              2322161211106541 4434323210 node depth 1 T              2425171819262021273 4354323210 node depth 3 T                232216106541 44323210 node depth 1 T                24251211171819262021273 437654323210 node depth 3 T Figura 3.5 Operación de transferencia de nodos de un árbol a otro.  Existe otro operador similar al anterior, pero en este caso en el árbol origen se seleccionan dos nodos, en uno de ellos se realiza la poda y a través del otro se realiza la unión con el árbol destino. Esta operación provoca mayores alteraciones que las del primer operador. Otra aportación en este trabajo es el tratamiento de la función multiobjetivo. La idea básica es dividir la población de cada generación en tablas de subpoblaciones, donde cada fila representa un objetivo y en cada columna se recogen por orden los mejores individuos de cada objetivo. En la última fila de la tabla se encuentra la función multiobjetivo, que agrupa todos los objetivos y las penalizaciones por incumplimiento de las restricciones de operación. Los nuevos individuos generados se incluyen en la tabla si aún no está completa o si el valor de la función objetivo es mejor que el peor individuo de la subpoblación. Indicar que un individuo puede 3.5.7. Santos et al. (2010) 37 estar en varias filas. El proceso finaliza cuando el número de individuos generados alcanza un valor máximo predefinido. El método propuesto por los autores se aplica a redes de muy diferente tamaño, alcanzando redes de hasta 30.880 nudos, 5.166 interruptores y 1094 bucles. Estos sistemas son de gran dimensión, no usuales en la literatura, con tiempos de ejecución aptos para su utilización en la operación del sistema. Hay que destacar en el trabajo la codificación basada en la profundidad del nodo y los operadores utilizados, que permiten cruces rápidos manteniendo la radialidad. 38 3.5.7. Santos et al. (2010) 4.1. Introducción 39 Capítulo 4 Reconfiguración de redes de distribución utilizando el concepto de camino 4.1. Introducción. Como ya se ha expuesto en el capítulo dedicado a la introducción, la originalidad de las ecuaciones propuestas a lo largo de esta tesis se basa en el concepto de camino, el cual permite imponer las restricciones de radialidad de la red y del resto de restricciones eléctricas sin el conocimiento previo de la configuración final del sistema. En este capítulo se formula de forma teórica y completa el modelo propuesto. Solo la elección del valor de algunos parámetros se posponen para el capítulo 5, donde es necesario observar cómo se comportan cuando se aplican a las diferentes redes de prueba. En la sección 4.2 se presenta el concepto de camino y cómo se consigue imponer la radialidad de la red. En la sección 4.3 se propone un método eficiente de obtención de los caminos a través del denominado “árbol madre”. Sobre él se calcularán los principales datos del modelo, de ahí la importancia en su construcción, como son las potencias máximas y mínimas que pueden circular por cada rama en cualquiera de las posibles configuraciones de redes radiales, cuyo procedimiento se detalla en la sección 4.4, para redes con y sin generación dispersa. En la sección 4.5 se presenta la función objetivo que calcula las pérdidas en las ramas, y se incluyen las simplificaciones eléctricas. En la sección 4.6 se recuerda la restricción de radialidad y se formulan las restricciones de máxima circulación de potencia y máxima caída de tensión permitida. Finalmente en la sección 4.7 se recoge el sistema de ecuaciones completo, obteniéndose un modelo no lineal entero puro, cuyas variables binarias representan a cada uno de los caminos. 40 4.1. Introducción La linealización del modelo se desarrolla en la sección 4.8. En ella se aproxima el flujo de potencia cuadrático por una función lineal a trozos, y se clasifican los diferentes tipos de ramas en función del sentido de la circulación de potencia que puede circular por ella en cualquiera de las configuraciones posibles. La linealización a emplear es un factor importante del proceso, pues mejores aproximaciones provocan mejores convergencias hacia el óptimo global durante el proceso de optimización, como se mostrará en el capítulo 5. En la sección 4.9 se proponen dos tipos de linealizaciones, una de ellas que impone un número de tramos constante para cada una de las ramas y una segunda que impone una longitud de tramo constante para todas las ramas. Para cada una de las linealizaciones se deduce una expresión que estima el valor del número de tramos o la longitud del tramo según el caso, imponiendo un umbral al error máximo provocado por la linealización en la función objetivo. En ambos tipos de linealización se destaca sus ventajas e inconvenientes. Con objeto de reducir el tamaño del problema, que se convierte en uno de los grandes inconvenientes en las redes de gran dimensión, se proponen dos técnicas para reducir el número de caminos, rechazando aquellos que tienen nula o escasa probabilidad de formar parte de la red óptima. Ambas técnicas se detallan en las secciones 4.10 y 4.11; la primera utiliza la máxima caída de tensión permitida y la segunda técnica se basa una característica propia de las redes de mínimas pérdidas, y es que poseen un buen perfil de tensiones. La última sección del capítulo 4 propone dos metodologías para reducir el número de restricciones eléctricas, eliminando aquellas que bajo las condiciones más extremas de circulación de potencia no superan los límites de máxima caída de tensión y máxima capacidad de las líneas. Esta acción provoca una nueva disminución del tamaño del problema, permitiendo la aplicación del modelo a redes de gran dimensión y disminuyendo los tiempos de ejecución. 4.2. El concepto de camino 41 4.2. El concepto de camino. Se define “camino asociado a un nudo” como el conjunto de ramas que une a dicho nudo con la subestación, prohibiéndose la repetición de ramas y nudos, y con ello, la formación de bucles. Realizada esta definición, la primera observación que hay realizar sobre una red mallada es que, supuesta una única subestación (Slack), existen diferentes “caminos” que unen cada nudo con la subestación. Si la red es radial, hay que destacar que sólo existe un único camino que une a cada uno de los nudos con el Slack. En el caso de existir más de una subestación, a todos los efectos es como si éstas estuvieran unidas entre sí. Se define i n  como el conjunto de caminos asociados al nudo i, es decir, el conjunto de todos los posibles caminos que unen el nudo i con la subestación.   i p i k iii n  ,...,,...,, 21  (4.1) donde “ i k  ” representa el camino k del nudo i y “p” es el número total de posibles caminos desde el nudo i a la subestación. Para ilustrar gráficamente los conceptos introducidos, se presenta en la figura 4.1 una red ejemplo mallada, con tres nudos más la subestación y 5 ramas. En la tabla 4.1 se muestran todos los caminos posibles indicando las ramas que lo forman, así como su clasificación en los diferentes conjuntos de caminos asociados a cada nudo i n . Figura 4.1 Red ejemplo mallada. B r1 A C Subestación r4 r3 r2 r5 42 4.2. El concepto de camino Tabla 4.1 Caminos de la red ejemplo mallada. Como ya se ha indicado anteriormente, una red radial se caracteriza porque cada uno de los nudos sólo tiene un camino activo. Por ello, en el conjunto i n  se exigirá que sólo uno de sus elementos esté activo, lo que lleva a la necesidad de definir una variable binaria asociada a cada camino, que indicará si está o no activo.    abiertas ramas sus de alguna tieneactivo, está no camino el si 0 cerradasestán ramas sus todasactivo, está camino el si 1 i k i k i k W   (4.2) Por lo tanto, la restricción que debe imponerse para conseguir la radialidad de la red es que cada nudo tenga uno y solo un camino activo: i nudo 1    i n k i k W (4.3) Los caminos no pueden seleccionarse de forma independiente para conseguir una red radial, sino que dado un camino asociado a un nudo, el camino asociado al siguiente nudo aguas arriba está contenido en el anterior y así sucesivamente. Para aclarar este concepto se ilustrará sobre una de las posibles redes radiales representada en la figura 4.2. El camino C 3  del nudo C está activo, donde los nudos que también forman parte de este camino son el B y el A. Tal y como se ha comentado en el párrafo anterior, las ramas de los caminos que se elijan para cada uno de estos dos nudos aguas arriba, deben estar contenidas en el camino C 3  , con el objeto de evitar la formación de bucles. i n  Caminos Ramas del camino i n  Caminos Ramas del camino A n  A 1  r1 C n  C 1  r1, r4 A 2  r2, r3 C 2  r2, r5 A 3  r2, r5, r4 C 3  r1, r3, r5 B n  B 1  r2 C 4  r2, r3, r4 B 2  r1, r3 B 3  r1, r4, r5 4.2. El concepto de camino 43 Figura 4.2 Una red radial de la red ejemplo. Una vez elegido el camino C 3  formado por las ramas 1, 3 y 5, para el nudo B situado inmediatamente aguas arriba, hay que seleccionar necesariamente el camino B 2  (ramas 1 y 3), pues las ramas del camino seleccionado deben estar contenidas en el camino C 3  . Por lo tanto la restricción que debe imponerse en este caso es que BC WW 23 . Razonando de igual forma con el nudo B, su camino B 2  y su nudo A aguas arriba, se llega a que AB WW 12 . Dado que se ha alcanzado la subestación, se concluye que la ecuación que debe cumplirse es ABC WWW 123  , es decir, que si el camino C 3  está activo, necesariamente los caminos B 2  y A 1  deben estar activos. Las ecuaciones que vinculan a los caminos en la red ejemplo mallada de la figura 4.1 son las siguientes: ACB WWW 113  BCA WWW 123  ABC WWW 123  BAC WWW 124  Expresando las ecuaciones anteriores de forma compacta y para un caso general, se obtiene la siguiente restricción al problema: si el camino i k  está activo entonces cualquier camino l m  contenido en i k  también está activo. l m i kWW i k l m   (4.4) Por lo tanto, imponiendo las restricciones (4.3) y (4.4) se consigue que la red obtenida tenga una estructura radial. B r1 A C Subestación r4 r3 r2 r5 50 4.4. Obtención de las potencias máximas y mínimas por cada rama 4.4. Obtención de las potencias máximas y mínimas por cada rama. Con el objetivo de hacer más eficiente la linealización del cuadrado de la potencia que circula por cada una de las ramas, es necesario acotar el intervalo de variación de la potencia. Para ello se calculará la potencia máxima y mínima que puede circular por cada una de las ramas bajo cualquier configuración posible, que serán los valores que limiten el intervalo de variación de la potencia, y sobre el cual se realizará la linealización a tramos. Una vez generado el "árbol madre" del sistema eléctrico, para obtener la potencia máxima y mínima que pueden circular por cada una de las ramas para todos los posibles caminos encontrados, se recorrerá el árbol hacia atrás, partiendo de los nodos terminales y finalizando en el nodo raíz. En el recorrido del árbol hacia arriba se utiliza el concepto de feeder, donde los datos relevantes serán los nudos situados aguas abajo del nodo considerado, pues al ser una red radial, la potencia que circula por una rama es la suma de la potencia consumida en los nudos situados aguas abajo, despreciando la circulación de la potencia perdida. La obtención de la potencia máxima y mínima que pueden circular por cada una de las ramas se hará desde la seguridad, es decir, serán los valores máximos y mínimos que pueden circular por cada una de las ramas en todas las posibles combinaciones, pero no se puede asegurar que estos valores extremos se puedan alcanzar simultáneamente en alguna configuración radial de la red. El método propuesto para la obtención de las potencias límites es diferente en el caso de que existan o no inyecciones de potencia en los nodos. En los siguientes apartados se analizarán ambos casos. 4.4.1. Potencia máxima en redes sin generación dispersa 51 4.4.1. Potencia máxima en redes sin generación dispersa. Por redes sin generación dispersa se entiende aquellas donde la potencia consumida en todos sus nudos es mayor que cero. La red que se va a obtener finalmente es una red radial, por lo tanto la potencia que circula por una rama es la suma de la potencia consumida en los nudos situados aguas abajo. Trasladando este concepto al árbol madre, la potencia que circula por cada uno de los enlaces del árbol (ramas de la red), es la suma de las potencias de todos los nudos que hay aguas abajo del enlace en el árbol. La potencia máxima que puede circular por una rama de la red eléctrica será la mayor de todas las potencias que circulan por alguno de sus enlaces en el árbol madre, dado que pueden existir varios enlaces que corresponden a la misma rama. Para conseguir el propósito descrito hay que analizar todos los enlaces del árbol madre, y es necesario hacerlo de una forma eficiente, recorriendo todo el árbol y aprovechando la información de los enlaces que ya hayan sido analizados. Para ello se propone recorrer el árbol mediante los feeder comenzando desde el último feeder al primero y en cada feeder desde su nodo terminal hasta su feeder padre o hasta el nodo raíz en el caso de que no tenga feeder padre. Esta propuesta tiene las siguientes ventajas:  Permite recorrer todos los enlaces del árbol de forma ordenada (recorrido de los feeder).  Se aprovecha la información obtenida previamente. En el análisis de cada enlace se toma la información obtenida del enlace situado aguas abajo y que acaba de ser analizado (recorrido del feeder desde su nodo terminal).  Se aprovecha la información obtenida previamente. En el análisis de los enlaces que se bifurcan posteriormente se toma la información obtenida de ambos enlaces situados aguas abajo y que ya han sido analizados, correspondiendo a su propio feeder y a su feeder hijo. A continuación se detalla el procedimiento a seguir para la red ejemplo y su árbol madre de la figura 4.3. 1. Se comienza con el nodo terminal del último feeder F4, nodo “6”, que tiene el enlace r5:  El único nodo que tiene aguas abajo es el 6, su nudo es el C y la potencia que consume es PLC. 52 4.4.1. Potencia máxima en redes sin generación dispersa  El siguiente nodo es su padre, que corresponde al nodo “2”, y pertenece a otro feeder (F2). Luego ha finalizado el análisis del feeder F4. 2. El siguiente nodo que se toma es el nodo terminal del siguiente feeder F3, nodo “4”, que tiene el enlace r4.  El único nodo que tiene aguas abajo es el “4”, su nudo es el C y la potencia que consume es PLC.  El siguiente nodo es su padre, que corresponde al nodo “1”, y pertenece a otro feeder (F1). Luego ha finalizado el análisis del feeder F3. 3. Se continúa con el nodo terminal del siguiente feeder F2, nodo “8”, que tiene el enlace r4.  El único nodo que tiene aguas abajo es el “8”, su nudo es el C y la potencia que consume es PLC.  El siguiente nodo es su padre, que corresponde al nodo “5”; sigue perteneciendo al feeder F2 y tiene el enlace r3.  El nodo que tiene aguas abajo es el “5”, su nudo es el A y la potencia que consume es: PLA. Hay que añadirle los consumos acumulados en el feeder F2. Luego la potencia que circula es: PLA+ PLC.  El siguiente nodo es su padre, que corresponde al nodo “2”, sigue perteneciendo al feeder F2 y tiene el enlace r2.  El nodo que tiene aguas abajo es el “2”, su nudo es el B y la potencia que consume es: PLB. Hay que añadirle los consumos acumulados en el feeder F2 (PLA+PLC) y los consumos acumulados en su feeder hijo F4 (PLC). Teniendo en cuenta que no puede repetirse el consumo de un mismo nudo, la potencia que circula es: PLA+PLB+PLC  El siguiente nodo es su padre, que corresponde al nodo raíz “0”. Luego ha finalizado el feeder F2. 4. El último feeder pendiente del análisis es el F1 y su nodo terminal el “7”, que tiene el enlace r5.  El único nodo que tiene aguas abajo es el “7”, su nudo es el C y la potencia que consume es: PLC.  El siguiente nodo es su padre, que corresponde al nodo “3”, sigue perteneciendo al feeder F1 y tiene el enlace r3. 4.4.1. Potencia máxima en redes sin generación dispersa 53  El nodo que tiene aguas abajo es el “3”, su nudo es el B y la potencia que consume es PLB. Hay que añadirle los consumos acumulados en el feeder F1. Luego la potencia que circula es: PLB+ PLC.  El siguiente nodo es su padre, que corresponde al nodo “1”, sigue perteneciendo al feeder F1 y tiene el enlace r1.  El nodo que tiene aguas abajo es el “1”, su nudo es el A y la potencia que consume es: PLA. Hay que añadirle los consumos acumulados en el feeder F1 (PLB+PLC) y los consumos acumulados en su feeder hijo F3 (PLC). Luego la potencia que circula es: PLA+ PLB+PLC.  El siguiente nodo es su padre, que corresponde al nodo raíz “0”. Luego ha finalizado el feeder F1. En la tabla 4.5 se recogen las potencias que circulan por cada uno de los enlaces según el orden de aparición en el procedimiento descrito. Se toma la potencia máxima de cada uno de los enlaces y se obtiene definitivamente el valor de la potencia máxima para cada rama, según se recoge en la tabla 4.6. Hay que señalar que por la rama r3, la potencia máxima será el mayor valor entre (PLA+PLC) y (PLB+PLC). Enlace Nodo Feeder Potencia máxima r5 6 F4 PLC r4 4 F3 PLC r4 8 F2 PLC r3 5 PLA+PLC r2 2 PLA+PLB+PLC r5 7 F1 PLC r3 3 PLB+PLC r1 1 PLA+PLB+PLC Tabla 4.5 Potencia que circula por cada una de las ramas en el árbol madre. Rama Potencia máxima r1 PLA+PLB+PLC r2 PLA+PLB+PLC r3 max (PLA+PLC , PLB+PLC) r4 PLC r5 PLC Tabla 4.6 Potencia máxima por cada rama. 54 4.4.1. Potencia máxima en redes sin generación dispersa El método descrito para obtener la potencia máxima es igualmente válido tanto para la potencia activa como para la potencia reactiva, y su cálculo se realiza de forma simultánea. 4.4.2. Potencia mínima en redes sin generación dispersa. La potencia mínima que circula por cada rama, siempre en el supuesto de redes radiales y sin generación dispersa, se producirá cuando cada rama "r" tenga un solo nudo aguas abajo al que alimentar, que se corresponde con los consumos de los nudos extremos, y de ellos el que consuma menor potencia. Puede producirse la circunstancia de que un nudo o un conjunto de nudos contengan a la rama "r" en todos sus caminos, en este caso se define "potencia segura de la rama r" como la suma de las potencias consumidas por dichos nudos. Si alguno de los nudos extremos de la rama se encuentra en su potencia segura, la potencia mínima de dicha rama será su potencia segura. En caso contrario, la potencia mínima de dicha rama es la suma de su potencia segura más la potencia menor de sus dos nudos extremos. El algoritmo que se propone para obtener la potencia mínima de todas las ramas es el siguiente: 1. Obtener la potencia segura de todas las ramas. 1.a. Inicializar la potencia segura de todas las ramas a cero. 1.b. Para cada nudo de la red.  Obtener el conjunto de ramas que se encuentran en cada uno de los caminos asociados a un nudo.  Para cada rama que se encuentra en todos los caminos asociados a un nudo.  Añadir la potencia consumida por el nudo a la potencia segura de la rama.  Si el nudo es uno de los extremos de la rama, activar el ‘flag’ de la rama. 2. Para cada rama de la red. 2.a. Si el ‘flag’ de la rama está activado, nos informa que alguno de sus extremos ya pertenece a la potencia segura.  La potencia mínima de la rama es la potencia segura de la misma ya calculada 4.4.2. Potencia mínima en redes sin generación dispersa 55 2.b. Si el ‘flag’ de la rama no está activado, nos informa que ninguno de sus extremos contribuye a la potencia segura.  La potencia mínima de la rama es la potencia segura de la misma, más la menor de las potencias consumidas en sus nudos extremos. El resultado del desarrollo del algoritmo descrito, aplicado a la red ejemplo y árbol madre de la figura 4.3, se muestra en la tabla 4.7. El valor "1" en la fila correspondiente a cada camino indica que dicha rama pertenece al camino y "0" en caso contrario. En este caso particular todas las ramas tienen potencia segura nula, es decir, que no hay ningún nudo en el que alguna de las ramas se repita en todos sus caminos asociados. En el caso de las ramas "r1" y "r2" se ha puesto directamente los consumos PLA y PLB respectivamente, porque el otro nudo extremo corresponde a la propia subestación y por tanto el flujo de potencia no va nunca hacia él. Nudos Caminos Ramas Ramas en todos los caminos del mismo nudo r1 r2 r3 r4 r5 A A 1  1 0 0 0 0 ninguna A 2  0 1 1 0 0 B B 1  0 1 0 0 0 ninguna B 2  1 0 1 0 0 C C 1  1 0 0 1 0 ninguna C 2  0 1 0 0 1 C 3  1 0 1 0 1 C 4  0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Potencia segura de la rama PLA PLB min(PLA,PLB)P LC PLC Potencia mínima de la rama Tabla 4.7 Resultados del algoritmo para obtener la potencia mínima por cada rama. Un aspecto que hay que destacar en la tabla de resultados 4.7 es que las ramas "r4" y "r5" no pertenecen a ninguno de los caminos asociados a los nudos A y B. Esto quiere decir que por estas ramas no circulará en ningún caso los consumos de estos nudos, luego no deben aparecer en su potencia mínima. Esto no ha sido un error en el planteamiento global o en el algoritmo, sino que se han despreciado caminos 56 4.4.2. Potencia mínima en redes sin generación dispersa excesivamente largos mediante la utilización del "coeficiente de caminos" ( C C), que sí incluían estos caminos. Por ello la potencia mínima real alcanzable de cada rama, con los caminos propuestos, no contempla los nudos A y B para las ramas “r4” y “r5”. Finalmente el valor de la potencia mínima de cada rama se muestra en la última fila de la tabla. 4.4.3. Potencia máxima y mínima en redes con generación dispersa 57 4.4.3. Potencia máxima y mínima en redes con generación dispersa. En el caso de redes con generación dispersa las potencias consumidas por los nudos de la red pueden ser positivas o negativas, lo que significa que al aumentar el número de nudos aguas abajo de una rama, no tiene porque aumentar la potencia que circula por la rama, incluso puede disminuir en el caso de la existencia de nudos que inyecten potencia a la red. Para obtener las potencias máximas y mínimas en esta situación, se recorre el árbol aguas arriba, recorriendo el árbol mediante los feeder, comenzando desde el último feeder al primero y en cada feeder desde su nodo terminal hasta su feeder padre o hasta el nodo raíz en el caso de que no tenga feeder padre; del mismo modo que se hizo para obtener las potencias máximas en redes sin generación dispersa. En cada feeder se van almacenando los nudos aguas abajo, junto con la potencia máxima y mínima de cada enlace recorrido a lo largo del feeder. Para ilustrar el algoritmo de obtención de las potencias máximas y mínimas, se tomarán dos situaciones, una en la que el nodo solo tenga un nodo hijo y otra en la que tenga dos o más nodos hijos. En la figura 4.4 se representa una parte de un árbol madre donde todos los nodos del feeder tienen un solo hijo. Figura 4.4 Nodos con un solo nodo hijo El procedimiento para esta situación es el siguiente: 1. Elección del feeder: F2. 2. El nodo terminal "3", está asociado al nudo C y tiene como enlace la rama r4.  La potencia máxima y mínima que puede circular por esta rama, por ser nodo terminal, es PLC. 3. El nodo padre "2", está asociado al nudo B y tiene como enlace la rama r3.  Si su nodo hijo no estuviese activo, es decir, si el camino asociado al nodo debe estar desconectado, la potencia que circula por el enlace r3 sería: Pr3= PLB. 3 C 1 A 2 B r4 F2 r2 r3 58 4.4.3. Potencia máxima y mínima en redes con generación dispersa  Si por el contrario su nodo hijo está activo, la potencia que circularía por el enlace r3 sería: Pr3= PLB+ PLC.  Uno de estos valores será la potencia máxima y el otro la mínima, con ellos se actualizan los valores de "potencia máxima del feeder F2 (Pmax,F2)" y "potencia mínima del feeder F2 (Pmin,F2)". 4. El nodo padre "1", está asociado al nudo A y tiene como enlace la rama r2.  Potencia máxima  Si su nodo hijo no estuviese activo, la potencia que circula por el enlace r2 sería: Pr2= PLA  Si por el contrario su nodo hijo está activo, la potencia que circularía por el enlace r2 sería: Pr2= PLA + Pmax,F2.  El mayor de estos valores será la potencia máxima del enlace r2. Actualizar la "potencia máxima del feeder F2".  Potencia mínima  Si su nodo hijo no está activo, la potencia que circula por el enlace r2 es: Pr2= PLA.  Si su nodo hijo está activo, la potencia que circula por el enlace r2 es: Pr2= PLA + Pmin,F2.  El menor de estos valores será la potencia mínima del enlace r2. Actualizar la "potencia mínima del feeder F2". Otra situación que es habitual encontrar en un árbol madre corresponde a un nodo que tiene varios nodos hijo. En la figura 4.5 se propone un ejemplo como parte de un árbol madre que tiene dos nodos (1 y 4) que tienen dos nodos hijo. Para este caso se proponen dos procedimientos diferentes, según se repitan o no los mismos nudos en los feeder bajo análisis. El primero de esos procedimientos está basado en las potencias máximas y mínimas de los feeder, y el segundo está basado en los nudos aguas abajo. 4.4.3. Potencia máxima y mínima en redes con generación dispersa 59 Figura 4.5 Porción de un árbol madre cuyos nodos 1 y 4 tienen dos nodos hijo El primer procedimiento que se analiza es el basado en las potencias máximas y mínimas de los feeder. Se aplicará sobre el nodo 4 porque los nudos situados aguas abajo no se repiten. Para ello se define Pmax,F3 y Pmin,F3, como la potencia máxima y mínima del feeder F3, cuando ya se han analizado los nodos previos al nodo "4", y de forma similar para el feeder F4. 1. La potencia máxima del enlace r7 que representa el enlace del nodo "4" asociado al nudo D, es la suma de la potencia consumida por el nudo D, más el sumatorio de las potencias máximas que sean mayores que cero del feeder del nodo y de sus feeder hijos. 2. La potencia mínima del enlace r7 que representa el enlace del nodo "4" asociado al nudo D, es la suma de la potencia consumida por el nudo D, más el sumatorio de las potencias mínimas que sean menores que cero del feeder del nodo y de sus feeder hijos. El segundo procedimiento que se analiza es una generalización del método seguido para la obtención de la potencia máxima en redes sin generación dispersa. Se utiliza cuando se repite algún nudo en los nodos situados aguas abajo del nodo analizado, como es el caso del nodo 1 en la figura 4.5. Los pasos a seguir son: r3 13 F r5 F1 7 C r4 8 F r5 3 B r2 4 D r7 1 A r1 F3 F4 10 D r4 6 C 11 B r3 66 4.6.3. Máxima caída de tensión 4.6.3. Máxima caída de tensión Para la restricción de máxima caída de tensión se utilizará una aproximación más exacta que la ecuación de Blondel. En esta expresión, formulada por Baran y Wu en [28], se han despreciado las pérdidas en la rama frente al consumo de los nudos y ramas situadas aguas abajo, y toma la forma:   jjjjji QXPRVV  2 22 (4.14) donde  “i y j ” nudo origen y extremo de la línea respectivamente,  “j R y j X” características de la línea.  “j P y j Q” potencia que circula por la línea en el extremo j. Utilizando esta aproximación para calcular la caída de tensión en un camino i k  , se tiene:      i k j jjjjiS QXPRVV  2 22 (4.15) donde  “S V” representa la tensión en la subestación.  “i V” tensión en el nudo extremo del camino. Si max V representa la máxima caída de tensión permitida, la restricción que debe imponerse es max VVV iS  . Si se reformula esta restricción para que tome la forma de diferencia de tensiones cuadráticas, podrá utilizarse la ecuación (4.15).  22 max iS VVV   2 max 2 max 22iSS VVVVV   maxmax 22 2VVVVV SiS  (4.16) Utilizando la aproximación de la ecuación (4.15), se obtiene:     maxmax 22 VVVQXPR S j jjjj i k     (4.17) Sustituyendo la formulación de la potencia que circula por cada rama por su valor en función de las cargas situadas aguas abajo (4.10), se obtiene la expresión: 4.6.3. Máxima caída de tensión 67   i kS jk Li i kj k Li i kj WVVVQWXPWR i k j b j b                            122 maxmax  (4.18) donde el término   i k W1 se añade para dejar sin efecto la restricción cuando se está valorando un camino inactivo, pues el segundo término tendría un valor muy elevado, lo que haría cumplir la restricción para cualquier valor del resto de variables y parámetros. La nueva restricción obtenida es más simple que la anterior, pues no contiene variables enteras cuadráticas. En el caso de que existan dos o más subestaciones, la aplicación de la restricción de máxima caída de tensión (4.18) es la misma, pues en ésta solo se hace uso del conjunto de ramas que forman el camino que se está analizando. Como ya se ha indicado en la sección 4.2, a todos los efectos es como si estuvieran unidas entre sí, pero la restricción (4.18) permite imponer diferentes tensiones de consigna para cada una de las diferentes subestaciones. 68 4.7. Sistema de ecuaciones 4.7. Sistema de ecuaciones A continuación se muestra el problema de optimización completo hasta ahora planteado. Éste es aún un problema de optimización no lineal entero puro. Función objetivo: pérdidas en las ramas de la red                             b jk Li i k k Li i kj loss j b j b QWPWRP 1 22 (4.11) Restricción de radialidad i nudo ,1    i n k i k W (4.3) i k l m l m i kWW   , (4.4) Restricción de potencia máxima admisible para cada rama j  2 max 22 j k Li i k k Li i kSQWPW j b j b                   (4.13) Restricción de máxima caída de tensión para cada camino i k    i kS jk Li i kj k Li i kj WVVVQWXPWR i k j b j b                            122 maxmax  (4.18) Variables del sistema i k W: variable binaria asociada al camino i k  Debido a las simplificaciones realizadas, las tensiones complejas han sido eliminadas del modelo propuesto, lo que significa que no es necesario realizar ningún reparto de cargas durante el proceso de resolución. El modelo en su conjunto presenta una gran complejidad, pues tanto en la función objetivo (4.11) como en la restricción de máxima potencia admisible (4.13) aparecen las variables binarias al cuadrado. Adicionalmente, y dada la enorme naturaleza combinatoria del problema, el número de caminos es muy elevado, provocando un sistema de ecuaciones de gran tamaño para redes con un número elevado de ramas y bucles. El objetivo ahora consiste en llegar a definir un problema lineal, ya que éstos son fácilmente resolubles incluso para problemas de gran dimensión. 4.8. Linealización del modelo 69 4.8. Linealización del modelo Como ya se ha mencionado en la sección anterior, el problema de optimización planteado es cuadrático en sus variables binarias i k W, lo que dificulta la búsqueda de soluciones. Con el objetivo de obtener un modelo lineal, se aproximará el flujo de potencia cuadrático por una función lineal a trozos, como se muestra en la figura 4.8. Figura 4.8 Linealización a trozos de una función cuadrática Suponiendo una linealización en tres intervalos, e identificando con el superíndice la pertenencia a cada uno de los intervalos, el flujo de potencia P toma la forma:     321 PPPP   Sujeto a:   11 0PP       122 0PPP          233 0PPP  (4.19) donde:   t P es la variable de potencia en el tramo   t y  t P es el valor límite del tramo  t. La linealización descrita puede aplicarse a las pérdidas en una rama:   22 jjj loss jQPRP                        332211332211 jjjjjjjjjjjjjj loss jQcqQcqQcqRPcpPcpPcpRP  (4.20) donde los coeficientes       3,2,1, tcqcp t j t j corresponden a la pendiente de la recta de cada uno de los tramos linealizados. Pueden imponerse diferentes intervalos de linealización para cada rama, así como para la potencia activa y reactiva. Cuanto más pequeños sean los tramos más exacta será la aproximación, pero aumenta el número de variables continuas. Por ello es   1 P   2 P   3 P   3   2  1 2 P P 70 4.8. Linealización del modelo necesario dedicar una especial atención al número de tramos elegidos cuando se realice la implementación práctica del algoritmo. Un dato que ayuda a limitar el número de tramos de linealización, es el cálculo previo de la máxima y mínima potencia que puede circular por cada rama para cualquiera de las configuraciones posibles, valor que se obtiene cuando ya se han localizado todos los caminos del sistema de distribución que formarán parte del problema de optimización. Por lo tanto, la función a optimizar toma la forma:                b jtqt t j t j tpt t j t jj loss QcqPcpRP 1 (4.21) donde “tp y tq ” indican el número de tramos elegidos para linealizar cada uno de los intervalos de variación de potencia activa y reactiva respectivamente. La potencia que circula por cada rama, en función de las nuevas variables, toma la forma:      j b k Li i k tpt t jj PWPP      j b k Li i k tqt t jj QWQQ (4.22) Es importante destacar que debido a la concavidad de la función de pérdidas de potencia activa, la pendiente de la curva crece continuamente a medida que aumenta la potencia, cumpliéndose las siguientes desigualdades   tt cpcp  1 0 y   tt cqcq  1 0. Esta circunstancia provoca que, durante la búsqueda de un mínimo de la función objetivo,  t j P permanezca nula hasta que   1t j P alcanza su límite superior. Aunque se observa que la linealización a trozos provoca una sobreestimación de las perdidas, ésta se ve compensada por las aproximaciones (4.7), donde la tensión toma el valor unidad (habitualmente será menor), y la aproximación (4.8), donde se desprecian las pérdidas en las líneas frente al consumo en los nudos, a la hora de calcular el flujo de potencia que circula por cada rama. Aplicando la misma metodología, la linealización de la restricción de máxima potencia permitida por cada línea toma la forma: 4.8. Linealización del modelo 71         jSQcqPcp j tqt t j t j tpt t j t jrama, 2 max    (4.23) Finalmente el problema lineal entero mixto consiste en minimizar                b jtqt t j t j tpt t j t jj loss QcqPcpRP 1 (4.24) Sujeto a: i nudo ,1    i n k i k W (4.25) i k l m l m i kWW   , (4.26)   i kS jk Li i kj k Li i kj WVVVQWXPWR i k j b j b                            122 maxmax  i k  camino  (4.27)  j rama,   j b k Li i k tpt t jPWP (4.28)  j rama,   j b k Li i k tqt t jPWQ (4.29)       j rama, 2 max    j tqt t j t j tpt t j t jSQcqPcp (4.30) Límites de las nuevas variables:     11 0jj PP          122 0jjj PPP  …      1 0  tp j tp j tp jPPP (4.31)     11 0jj QQ          122 0jjj QQQ  …      1 0  tq j tq j tq jQQQ (4.32) Variables:   t j t jQP , i k W 72 4.8. Linealización del modelo Con el objetivo de reducir el tamaño del problema y reducir el tiempo de cálculo, se tendrán en consideración las siguientes simplificaciones y características:  Se descartarán para cada nudo, aquellos caminos cuya longitud eléctrica supera un determinado número de veces la longitud del camino más corto.  Se rechazarán aquellos caminos cuya caída de tensión supere la caída de tensión máxima permitida en la explotación de la red.  Si el conjunto de caminos asociados a un nudo contiene un solo camino, entonces dicho camino está activo para todas las configuraciones posibles.  Si el conjunto de caminos asociados a una rama contiene un solo camino, entonces el flujo por dicha rama es constante para todas las configuraciones posibles. Después del proceso de selección de los caminos, se obtendrá la potencia máxima, max j P, y mínima, min j P, que puede circular por cada rama para todas las posibles configuraciones de redes radiales. Estos valores límites del flujo de potencia definirán los valores de       t j t j t j t jQcqPcp ,,, , y los diferentes tipos de curvas. A continuación, se ilustran todos los posibles casos que pueden darse, pues cada uno de ellos requiere una linealización específica, que influye a la hora de obtener las constantes  t j cp y   t j cq y los límites de las variables de cada tramo. Para ilustrar los diferentes tipos se tomará un número representativo de tramos de 3, por simplicidad en la exposición. 4.8.1. Rama con potencia siempre positiva 73 4.8.1. Rama con potencia siempre positiva En este caso, la potencia máxima y la mínima son positivas ( maxmin 0PP  ), cuya banda de operación se encuentra entre los límites   maxmin ,PP , y se denominan como ramas tipo “p1”. La potencia real que circule por esta rama estará finalmente dentro del tramo de operación o tomará el valor nulo en el caso de que la rama no se encuentre activa en la solución final. Si se toma un número de intervalos de linealización igual a tres dentro de la banda de operación, más el intervalo inicial, se tienen finalmente cuatro intervalos como se muestra en la figura 4.9. Figura 4.9 Linealización para ramas del tipo "p1" En este tipo de ramas   min1 PP  y   max4 PP  , y las desigualdades de la linealización a trozos se muestran en las ecuaciones (4.33), donde la variable   0 j P solo puede tomar los valores extremos.     10 0jj PP          121 0jjj PPP          232 0jjj PPP          343 0jjj PPP  (4.33) En cada tramo, se aproximará el valor de la función 2 P por el de la recta correspondiente a dicho tramo, como se indica a continuación.   2 P   3 P   4 P   3   2   1 2 P P  1 P  0 74 4.8.1. Rama con potencia siempre positiva        1 000 1 2 1 20 si , 0 jjjjj j j jPPPcpP P P P                  21 11 2 11 12 2 1 2 2 2 12 si , jjjjjjj jj jj jj PPPPcpPP PP PP PP                    32 22 2 22 23 2 2 2 3 2 22 si , jjjjjjj jj jj jj PPPPcpPP PP PP PP                    43 33 2 33 34 2 3 2 4 2 32 si , jjjjjjj jj jj jj PPPPcpPP PP PP PP     (4.34) De forma compacta, se obtiene la siguiente expresión:            332211002 jjjjjjjjj PcpPcpPcpPcpP  (4.35) Como ya se indicó anteriormente, la función que se pretende linealizar, 2 P, es cóncava, y por lo tanto su pendiente es continuamente creciente, es decir,     3210 0jjjj cpcpcpcp  . Según las definiciones realizadas,   t j P debe ser nula hasta que  1t j P alcance su límite superior. Esta circunstancia no es necesaria imponerla mediante una restricción, pues al minimizar la función objetivo, la variable  t j P que posea un coeficiente   t j cp de mayor coste será nula hasta que las variables anteriores   1t j P con coeficientes   1t j cp de menor coste, no hayan alcanzado su valor límite. Es decir, el sumando del tramo "t" será nulo hasta que el sumando del tramo "t-1" haya alcanzado su límite superior. De forma similar se linealiza para la potencia reactiva, 2 j Q, y se las denomina ramas tipo “q1”. Puesto que en la linealización de cada intervalo de variación de potencia de cada rama se impondrá que la longitud de cada uno de sus tramos sea la misma, los límites de las variables asociadas a cada tramo se ponen en función de este valor. En la ecuación (4.36) se muestra su cálculo para la potencia activa de la rama j, así como los nuevos límites de las variables en las ecuaciones (4.37). El mismo procedimiento se sigue para la potencia reactiva. P jj pj t PP L minmax   (4.36) 4.8.1. Rama con potencia siempre positiva 75  min 0 0jj PP        pjjjj LPPP  321 ,,0 (4.37) donde ma x j P y min j P son la potencia máxima y mínima que puede circular por la rama j , y P t el número de tramos de linealización. 82 4.9.1. Linealización tipo N: número de tramos constante Figura 4.13 Linealización tipo N. Rama-2 con un tamaño de intervalo de variación de potencia grande. Esta linealización presenta las siguientes ventajas:  El número de tramos es el mismo para cada rama, facilitando la programación de las ecuaciones.  El número de parámetros a calcular es el mismo para cada rama: longitud del tramo y pendiente de la recta de cada tramo.  El almacenamiento y utilización de los parámetros necesarios es sencillo y compacto.  La formulación de las ecuaciones en el lenguaje de programación que realiza la optimización es sencilla y compacta. Los inconvenientes se pueden deducir directamente de las figuras 4.12 y 4.13:  La diferencia entre la linealización realizada en la rama-2, que posee un intervalo de mayor tamaño (figura 4.13) y la curva real es superior a la que se produce en la rama 1 (figura 4.12), lo que se traduce en una peor aproximación de las pérdidas en la rama-2 con respecto a la que se produce en la rama-1.  La aproximación lineal siempre toma un valor mayor que el real, lo que provocará una penalización del aumento de potencia que puede circular por la rama-2 (intervalo de mayor tamaño) en la función objetivo, en la que se persigue la minimización de las pérdidas. P P2 ( r2.0 ) ( r2.1 ) ( r2.2 ) min 2r P max 2r P A2 B2 4.9.1. Linealización tipo N: número de tramos constante 83 Los inconvenientes descritos son más acusados cuando el número de tramos elegido es pequeño, lo que puede provocar que durante el proceso de optimización se tomen decisiones que no se ajustan a valores reales, fruto de una linealización deficiente y diferente en cada una de las ramas. Es importante destacar que en este tipo de linealización es necesario decidir a priori el número de tramos que se va a utilizar. Si el número de tramos es elevado, la aproximación será cada vez mejor, pero el número de variables continuas aumenta pues es necesaria una variable por cada tramo. En la sección 5.5.3. se realizan las pruebas sobre todas las redes empleadas en este trabajo, y se comprueba que a medida que aumenta el número de tramos de linealización, las redes radiales obtenidas después del proceso de optimización presentan pérdidas cada vez menores, tendiendo hacia el mínimo global, debido a la mejor aproximación que se consigue de la curva cuadrática. Por este motivo, se propone utilizar un número de tramos que acote el error que provoca la linealización sobre la pérdida de potencia calculada en la función objetivo. El procedimiento para el cálculo de este error es el siguiente: 1) Cálculo del error máximo entre la curva cuadrática y la recta que lo aproxima. Sea la curva cuadrática de la figura 4.14, donde se desea linealizar el intervalo [Pmin, Pmax] mediante tres tramos de linealización de igual longitud. Centrando la atención sobre el tramo intermedio para conseguir una mayor generalidad, se representa el error en el tramo mediante expresión (4.48), que viene dado por la diferencia entre la curva cuadrática y la recta que la aproxima. crt yyE   (4.48) donde t E es error o diferencia entre la curva cuadrática y la recta que lo linealiza, r y es la ecuación de la recta que aproxima la curva cuadrática, e c y es la ecuación de la curva cuadrática  PPPPP PP PP PPCPy lll ll ll llr 122 12 2 1 2 2 2 12 2 1    (4.49) donde 2 C es la pendiente de la curva, P la variable de la ecuación de la recta en el tramo intermedio y ll PP 12 , potencia máxima y mínima, todas ellas en el tramo intermedio 84 4.9.1. Linealización tipo N: número de tramos constante  2 1 2PPxy lc  (4.50) donde c y es la ecuación de la curva cuadrática en el tramo intermedio Sustituyendo las expresiones (4.49) y (4.50) en la ecuación (4.48), se tiene: 2 PLPyyE tcrt  (4.51) donde t L es la longitud del tramo intermedio Figura 4.14 Linealización de un intervalo de variación de potencia mediante tres tramos. Error máximo que se produce Derivando la función que representa el error en el tramo (4.51), se obtiene que el máximo se produce en el punto medio, por lo que el error máximo que puede cometerse toma el valor indicado en la ecuación (4.52). Se observa que esta diferencia máxima no depende del tramo que se esté considerando, y solo es función de la longitud del tramo, es decir, del tamaño del intervalo y del número de tramos seleccionado. 2 0tt L P dP dE  2 minmax 2 max, 222                         t tt tn PP LL PE (4.52) donde Pt tn  es el número de tramos en el que se ha dividido el intervalo de variación de potencia, limitado por la potencia máxima y la mínima. l P1l P2max P 2 P P min P 4.9.1. Linealización tipo N: número de tramos constante 85 Si 2 ,linealj P es el cuadrado de la potencia activa que circula por la rama j obtenida con la linealización a trozos, 2 j P es el cuadrado de la potencia activa que circula por la rama j, y Pj E, es el error máximo que puede cometerse entre los valores anteriores (valor que viene dado por la expresión (4.52); entonces la relación entre la curva cuadrática y la linealización a trozos en el punto de máxima diferencia viene dada por la siguiente expresión: Pjjlinealj EPP , 22 , (4.53) Señalar que el procedimiento descrito para la potencia activa es el mismo que se sigue para la potencia reactiva. 2) Cálculo de la potencia perdida en las ramas utilizando la linealización a tramos. La función objetivo representa las pérdidas en las líneas de la red empleando la linealización a trozos, y viene dada por la expresión (4.54). Sustituyendo el valor de la potencia cuadrática lineal dada por (4.53), se obtiene la ecuación (4.55). Se observa que el segundo sumando representa el error provocado por la linealización en la función objetivo.      Bj linealjlinealjj loss QPRP 2 , 2 , (4.54)        Bj QjPjj Bj jjj loss EERQPRP ,, 22 (4.55) 3) Cálculo del error relativo de las pérdidas debido a la linealización expresado en %. Con objeto de poder valorar y comparar el error en las diferentes redes, se define el error relativo de las pérdidas calculado por la función objetivo, debido a la linealización y expresado en % según la expresión (4.56), tomándose como valor de referencia las pérdidas de la red con configuración mallada.      Bj QjPjj loss mallada linealloss EER P E,,, 100 % (4.56) donde loss mallada P representa la potencia activa perdida en las ramas de la red en configuración mallada. 86 4.9.1. Linealización tipo N: número de tramos constante 4) Cálculo del número de tramos. Finalmente el número de tramos se obtiene sustituyendo el error máximo en cada rama (4.52), en la expresión (4.56), obteniéndose la ecuación (4.57) que estima el número de tramos, y tras asumir que QPt ttn   :     loss malladalinealloss Bj jjjjj tPE QQPPR n     % 2 10 , 2 minmax 2 minmax (4.57) Para poder aplicar esta expresión, es necesario fijar el error máximo permitido debido a la linealización, % ,linealloss E. Valores altos de este umbral implican un número bajo del número de tramos, y por lo tanto un número reducido de variables continuas asociadas a cada tramo, pero escasa aproximación en la linealización y baja probabilidad de encontrar la red óptima. De forma contraria sucede al imponer un valor del umbral bajo. En el siguiente capítulo se justificará el valor finalmente propuesto. 4.9.2. Linealización tipo L: longitud de tramo constante 87 4.9.2. Linealización tipo L: longitud de tramo constante. De los inconvenientes expuestos para la linealización anterior, surge de forma natural la nueva propuesta de linealización. Consiste en hacer que la longitud de los tramos sea constante para cualquier intervalo de variación de potencia de cada rama y por tanto, que el número de tramos para cada intervalo sea distinto. Figura 4.15 Linealización tipo L. Rama-1 con un tamaño de intervalo de variación de potencia pequeño Figura 4.16 Linealización tipo L. Rama-2 con un tamaño de intervalo de variación de potencia grande P P2 (r1.0) (r1.1) ( r1.2 ) min 1r Pmax 1r P A 1 B1 P P2 ( r2.0 ) ( r2.1 ) ( r2.4 ) min 2r Pmax 2r P A2 B2 ( r2.2 ) ( r2.3 ) 88 4.9.2. Linealización tipo L: longitud de tramo constante En las figuras 4.15 y 4.16 se pone de manifiesto de forma gráfica el cambio propuesto, donde se observa que en ambas ramas la aproximación es similar, aún teniendo tamaño de intervalo muy diferente. Las mejoras que se producen respecto a la linealización tipo N son las siguientes:  La máxima diferencia entre el valor de P2 y Q2 en la linealización y la curva real, está acotada independientemente de la rama a la que corresponda.  No hay ramas desfavorecidas frente a otras por una linealización menos eficiente. Sin embargo, aparecen los siguientes inconvenientes:  Cada una de las ramas tiene un número de variables diferente, debido a que poseen un número de tramos diferente. Este aspecto complica la codificación de las ecuaciones en el lenguaje de programación.  El almacenamiento y utilización de los parámetros que definen cada uno de los tramos de linealización deja de ser compacto. El procedimiento que se propone para su implementación es el siguiente: 1. Se obtiene el intervalo de variación de potencia de cada una de las ramas para todos los caminos posibles. 2. Se selecciona el intervalo de menor tamaño. 3. Se toma como longitud del tramo el tamaño del intervalo menor: Lmin 4. Se divide el intervalo de variación de potencia de cada rama entre Lmin, y se toma el entero superior, que representa el número de tramos de dicho intervalo, obteniéndose una longitud de intervalo ligeramente inferior a Lmin, garantizando de esta forma una linealización uniforme. 5. Finalmente se calculan las pendientes de los tramos linealizados para cada uno de los tramos de cada uno de los intervalos de potencia de las ramas. El procedimiento descrito asegura una longitud de tramo prácticamente igual para los intervalos de variación de potencia de cada una de las ramas, corrigiendo de esta manera las aproximaciones diferentes en las distintas ramas que se producían al emplear la linealización anterior. Sin embargo, pueden aparecer dos inconvenientes que no pueden evitarse y que solo dependen de las características de la red en estudio y del número de caminos obtenido. 4.9.2. Linealización tipo L: longitud de tramo constante 89  Si el tamaño del intervalo más pequeño es muy bajo en comparación con el resto, aparecerán un número muy elevado de tramos, y por tanto el número de variables continuas puede hacerse excesivamente elevado, provocando que el tamaño del problema lo haga inabordable.  En el caso contrario, el número de tramos será muy pequeño y se producirá una linealización deficiente, que impedirá la búsqueda del óptimo real. Con objeto de evitar estos problemas y mantener el concepto de longitud constante para todos los tramos de la linealización, se propone utilizar una longitud de tramo constante para P2 y Q2, que acote el error que provoca la linealización sobre la pérdida de potencia calculada en la función objetivo. En la sección anterior se obtuvo la ecuación (4.56), que define el error relativo de las pérdidas debido a la linealización expresado en %. Sobre esta expresión se sustituye el valor del error máximo cometido en cada tramo dado por la ecuación (4.52), obteniéndose la expresión (4.58). En este caso se parte de la base de que la longitud de todos los tramos es la misma, independientemente de la rama a la que pertenezcan, y está representado en la ecuación por ‘L’.            Bj j loss mallada linealloss R P L E 2 , 2 2100 % (4.58) Finalmente la estimación de la longitud de tramo viene fijada por la ecuación (4.59), donde es necesario fijar el valor de umbral del error impuesto a la linealización. Valores altos de este umbral implican una longitud grande, y por lo tanto un número reducido de variables continuas asociadas a cada tramo, pero escasa aproximación en la linealización y baja probabilidad de encontrar la red óptima real. De forma contraria sucede al imponer un valor del umbral bajo.      Bj j loss malladalinealloss R PE L50 % , (4.59) El número de tramos real en cada intervalo de variación de potencia de cada rama, se obtiene al dividir el tamaño del intervalo entre la longitud estimada (L), tomando el valor entero superior, como ya se razonó anteriormente. 90 4.10. Reducción del número de caminos imponiendo la restricción de máxima caída de tensión 4.10. Reducción del número de caminos imponiendo la restricción de máxima caída de tensión El propósito de esta sección es la reducción del número de caminos obtenidos inicialmente. Cada camino tiene asociado una variable binaria en las ecuaciones del modelo, que indicarán si el camino correspondiente está o no activo en la red radial finalmente obtenida. La reducción del número de caminos implica de manera directa una reducción del número de variables binarias, por lo que reduce el tamaño del problema y facilita la convergencia del algoritmo de optimización hacia el óptimo global, o en su caso, a redes próximas a él. En la sección 5.4 se presentan los resultados sobre todas las redes de prueba, donde se pone de manifiesto el elevado número de caminos inicialmente obtenidos y la necesidad de reducirlo. La máxima caída de tensión es una de las restricciones que forma parte de la formulación del problema, por lo que las redes obtenidas deben cumplir finalmente esta restricción. Lo que en este apartado se plantea es imponer a priori la restricción de la máxima caída de tensión a los caminos, es decir, rechazar aquellos caminos que no la cumplan antes de ejecutar el algoritmo de optimización sobre las ecuaciones propuestas. El cálculo de la caída de tensión de cada camino se hará mediante la ecuación (4.15), que como ya se ha indicado, presenta la ventaja de ser un valor más exacto que la ecuación de Blondel. A partir de este valor se calculará la tensión del nudo asociado a cada camino, i V. La implementación práctica se hará en dos fases:  Inicialmente, se obtienen los caminos que cumplen con el “coeficiente de caminos, Cc”, que como ya se ha indicado, impone un límite a la resistencia de los caminos comparándolos con el camino de menor resistencia.  Una segunda fase toma cada uno de los caminos anteriores y se calcula la caída de tensión en cada uno de ellos, obteniéndose la tensión de su nudo asociado, i V.  Se toma el valor máximo de caída de tensión permitido, iS VVV   max , o lo que es lo mismo, el valor de tensión mínima permitida en los nudos, maxmin VVV S   .  Finalmente se desechan aquellos caminos cuyo nudo asociado no alcance el umbral min V fijado. 4.10. Reducción del número de caminos imponiendo la restricción de máxima caída de tensión 91 La obtención de la caída de tensión de cada camino se realiza sobre el árbol madre, se parte desde la posición de dicho camino o nodo en el árbol madre y se recorre el árbol hacia arriba hasta el origen, siguiendo su feeder. Para el cálculo de la caída de tensión se utilizará la resistencia y reactancia de cada una de las ramas recorridas, y la potencia activa y reactiva de los nudos situados aguas abajo, sin tener en cuenta el resto de caminos. Como ejemplo ilustrativo, se hace uso de la red ejemplo y su árbol madre representado en la figura 4.17, mostrándose en la ecuación (4.60) la caída de tensión del camino “3” que está formado por las ramas r1 y r3.          LBLALBLALBLB CAMINO BS PPXPPRQXPRVV  1133 22 22 (4.60) donde jj XyR es la resistencia y reactancia de la rama rj, y LiLi QyP es el consumo de potencia activa y reactiva del nudo i. Figura 4.17 Red ejemplo y su árbol madre Es necesario destacar que la red final es una superposición de caminos, por lo que los caminos tratados de forma individualizada no tienen en cuenta toda la potencia que realmente circula por cada una de sus ramas cuando forman parte de una red. Para concretar e ilustrar esta característica, se utiliza la red radial de la figura 4.18, que es una de las posibles redes radiales de la red ejemplo de la figura 4.17. El r1 A C Subestación r4 r3 r2 r5 B F4 r4 8 CF2 r5 7 C r1 r2 r4 1 A r3 r5 2 B F1 3 B 4 C 5 A 6 C r3 F3 0 Slack 98 4.11. Reducción del número de caminos empleando el “coeficiente de tensiones”  Óptimos: columna donde se indica el camino que forma parte de la red radial de mínimas pérdidas. Nudo Camino Ramas   i k V  Número caminos por nudo   iInt V Estado del nudo   i kV C  Caminos eliminados Caminos óptimos n1 1 r1 0,99987 3 0,00414 No activo 1,00 -- Optimo 10 r6,r5,r7 0,99902 0,79 -- -- 16 r6,r5,r4,r3,r2 0,99573 0,00 -- -- n2 3 r1,r2 0,99940 4 0,00296 Activo 1,00 -- Optimo 14 r6,r5,r7,r2 0,99804 0,54 -- -- 12 r1,r7,r4,r3 0,99683 0,13 Eliminado -- 13 r6,r5,r4,r3 0,99644 0,00 Eliminado -- n3 6 r1,r2,r3 0,99836 4 0,00234 Activo 1,00 -- Optimo 7 r1,r7,r4 0,99781 0,77 -- -- 9 r6,r5,r4 0,99749 0,63 -- - 17 r6,r5,r7,r2,r3 0,99602 0,00 Eliminado -- n4 4 r1,r7 0,99960 3 0,00185 No activo 1,00 -- -- 5 r6,r5 0,99942 0,90 -- Optimo 11 r1,r2,r3,r4 0,99775 0,00 -- -- n5 2 r6 0,99973 3 0,00272 No activo 1,00 -- Optimo 8 r1,r7,r5 0,99923 0,82 -- -- 15 r1,r2,r3,r4,r5 0,99701 0,00 -- -- Tabla 4.9 Datos sobre los nudos y caminos obtenidos de la red de la figura 4.17. Como ya se ha indicado anteriormente, el nudo es activo si cumple dos características:  El número de caminos por nudo debe ser igual o superior a un umbral fijado en 4, que en la red ejemplo se cumple en los nudos n2 y n3.  El intervalo de tensión del nudo debe ser superior a la máxima caída de tensión que se produce en la red cuando se encuentra mallada. En la red ejemplo este umbral corresponde al valor lim V Int =0,00126 p.u. y se cumple en todos los nudos. Analizados todos los nudos se tiene que solo los nudos n2 y n3 son activos, luego solo se aplicará la técnica de reducción de caminos sobre ellos. El siguiente paso es calcular el coeficiente de tensiones,   i kV C  , de cada uno de los caminos mediante la 4.11. Reducción del número de caminos empleando el “coeficiente de tensiones” 99 expresión (4.62). A continuación se eliminan aquellos caminos cuyo coeficiente de tensiones es inferior al límite fijado de 0,5, actuando solo sobre los nudos activos. En la tabla 4.9 se reflejan los valores obtenidos y aquellos caminos eliminados. Finalmente hay que resaltar la información de la última columna de la tabla 4.9 en la que se indican los caminos que forman parte de la red radial óptima de mínimas pérdidas, y que se corresponde con la apertura de las ramas r4 y r7. Es de destacar que todos los caminos óptimos poseen un coeficiente de tensiones igual a 1,0, salvo en el nudo 4 que tiene un valor de 0,9. Los resultados confirman pues, que la red radial obtenida es una red que presenta un perfil de tensiones muy bueno, y avala la técnica aplicada. La utilización de esta técnica presenta la ventaja de poder reducir el número de caminos y por tanto del número de variables binarias que intervienen en el proceso de optimización. En la sección 5.3 se aplicará la presente propuesta a todas las redes de prueba y se comprobará la eficacia de la misma. 100 4.12. Reducción del número de restricciones 4.12. Reducción del número de restricciones. Con el objetivo de disminuir el tamaño del problema, reducir el tiempo de ejecución del algoritmo de optimización, y no consumir memoria innecesaria, se propone no incluir aquellas restricciones que incluso en las situaciones más extremas, siempre se van a cumplir, por lo que no suponen en ningún caso una limitación al problema. Se analizarán las restricciones eléctricas de máxima caída de tensión impuesta a todos los caminos y las de máxima circulación de potencia sobre cada una de las ramas. 4.12.1. Restricción de máxima caída de tensión. Las ecuaciones que hacen cumplir la restricción de máxima caída de tensión para cada uno de los nudos de la red radial se aplican sobre cada uno de los caminos, y toma la forma de la ecuación (4.63). Se propone no imponer aquellas restricciones de máxima caída de tensión sobre aquellos caminos que, aún circulando la máxima potencia posible por sus ramas, cumplen siempre con la limitación.    maxmax 22 VVVQXPR S jtpt t jj tpt t jj i k             (4.63) Para detallar el procedimiento utilizado, se utiliza el camino ejemplo de la figura 4.22, que forma parte de una red radial desconocida. El camino “ 4 1 n k  ” está destacado en trazo grueso y formado por las ramas r1, r2, r3 y r4, teniendo como nodo asociado o nodo terminal, el n4. Igualmente se ha representado parte de la red con líneas a trazos, con el objeto de destacar que desde todos los nudos que forman parte del camino pueden partir ramas que alimenten a otros nudos. Es necesario calcular la máxima caída de tensión del camino bajo cualquier configuración posible, para ello se utiliza como dato la máxima potencia que puede circular por cada una de las ramas, y cuyo cálculo se ha detallado en la sección 4.4. El procedimiento seguido es el siguiente: a. Se toma cada nodo/camino sobre el árbol madre y se recorre aguas arriba hasta la subestación, con objeto de localizar todas sus ramas. b. Se calcula la caída de tensión en la primera rama que parte de la subestación, tomando la potencia máxima que puede circular por ella. 4.12.1. Restricción de máxima caída de tensión 101 c. Se calcula la caída de tensión en la siguiente rama aguas abajo. Teniendo en cuenta que la circulación de potencia en una red radial debe ir decreciendo a medida que se avanza aguas abajo en el camino, se toma como potencia el menor valor entre: c.1. Máxima potencia que puede circular por la rama bajo cualquier configuración posible, obtenida en la sección 4.4. c.2. Potencia que se ha tomado en la rama situada inmediatamente aguas arriba. En el caso de redes con generación dispersa, la potencia no tiene porqué ir siempre decreciendo a lo largo del camino, por lo tanto se toma siempre el valor descrito en paso c.1. d. Se repite el proceso hasta llegar al nudo terminal del camino. e. Se suman todas las caídas de tensión calculadas, obteniéndose la mayor caída de tensión posible en dicho camino. f. Si bajo estas condiciones de cálculo, se cumple la desigualdad (4.63), se puede asegurar que la restricción se va a cumplir para todas las configuraciones posibles, y por tanto no es necesario imponerla durante el proceso de optimización. Figura 4.22 Camino 4 1 n k  en el seno de una red radial r1 n2 n4 Subestación r4 r3 r2 n3 n1 102 4.12.1. Restricción de máxima caída de tensión En la tabla 4.10 se pone en práctica el procedimiento descrito, seleccionando la potencia máxima que puede circular por cada una de las ramas del camino de la figura 4.22. En la segunda columna de la tabla se encuentran los valores del intervalo de variación de potencia para cada una de las ramas, y en la última columna se ha representado el valor máximo de potencia que puede circular por cada rama en dicho camino, y por tanto el valor que se utilizará para calcular la máxima caída de tensión. En la misma tabla se destaca el valor utilizado en la rama r3, donde se ha tomado el valor descrito en el paso c.2 del procedimiento, con objeto de no superar la potencia que circula aguas arriba. Rama Intervalo de potencia Potencia máxima por cada rama del camino 4 1 n k  r1 [ 3 , 15 ] 15 r2 [ 2 , 10 ] 10 r3 [ 3 , 12 ] 10 r4 [ 3 , 4 ] 4 Tabla 4.10 Potencia que se utilizará en cada rama del camino para el cálculo de la caída máxima de tensión. 4.12.2. Restricción de máxima circulación de potencia 103 4.12.2. Restricción de máxima circulación de potencia. Las ecuaciones que hacen cumplir la restricción de máxima circulación de potencia en la red radial se aplican sobre cada una de las ramas, y toman la forma de la ecuación (4.64).         j rama, 2 max    j tqt t j t j tpt t j t jSQcqPcp (4.64) Al igual que en la sección anterior, se propone no imponer aquellas restricciones sobre las ramas que, aún circulando la máxima potencia en cualquiera de las configuraciones posibles, cumplen siempre la limitación. Para su aplicación es necesario utilizar como dato la máxima potencia que puede circular por cada una de las ramas ( max j P), y cuyo cálculo se ha detallado en la sección 4.4. El procedimiento es sencillo, pues solo basta comprobar si se cumple la desigualdad (4.65) para cada una de las ramas. Este caso es la situación más extrema, por lo que si se cumple la desigualdad quiere decir que no suponen en ningún caso una limitación al problema, y no es necesario imponer la restricción de máxima circulación de potencia a dicha rama.  j rama , 2 max 2 max 2 max  jjj SQP (4.65) 104 4.12.2. Restricción de máxima circulación de potencia 5.1. Introducción 105 Capítulo 5 Resultados 5.1. Introducción En el capítulo anterior se obtuvo el sistema de ecuaciones con una función objetivo que representa de forma aproximada las pérdidas en todas las ramas de la red, sujeto a una serie de restricciones que obligan a que la red obtenida sea radial y que cumpla los límites de máxima caída de tensión y potencia máxima aparente que puede circular. El problema a optimizar es lineal entero mixto, presentando dos tipos de variables, una de ellas binaria que está asociada a la activación o no del camino que representa, y un segundo tipo de variables continuas que indica la circulación de potencia activa y reactiva por cada una de las ramas y están asociadas a cada uno de los tramos de linealización. La formulación del problema lineal entero mixto se ha codificado en formato GAMS y ejecutado en la clasificación MIP (Mixed Integer Problem) con el módulo CPLEX. Hay que destacar que, a diferencia de investigaciones anteriores, los resultados obtenidos en este trabajo son fruto de la aplicación de un software de optimización comercial a un sistema de ecuaciones con una función a optimizar, donde solo se han empleado técnicas heurísticas para la reducción del número de caminos que intervienen finalmente en la definición del problema. Las simulaciones se han ejecutado en un equipo con procesador Intel Pentium III Xeon, 2,83 GHz y 3,5 GB de RAM. El modelo propuesto se ha aplicado a ocho redes diferentes (33, 69, 84, 118, 137, 205, 409 y 1043 nudos). Las redes de 33 y 69 nudos han sido estudiadas en numerosos trabajos anteriores y son ampliamente conocidas, así como la red radial óptima que debe obtenerse. Las redes de 84 y 118 nudos también han sido propuestas y tratadas en algunos trabajos anteriores, y se conoce la red óptima buscada. Las redes de mayor tamaño, 137, 205 y 409 nudos, se han generado repitiendo 2, 3, y 6 veces respectivamente la red de 69 nudos, y uniéndolas mediante líneas de interconexión. Finalmente la red de 1043 nudos se ha generado uniendo la red de 409 nudos con cuatro redes de 118 nudos y dos de 84 nudos, y uniéndolas 106 5.1. Introducción mediante líneas de interconexión. Su construcción y valores se explican con detalle en el Apéndice D de redes. Las redes mencionadas en el apartado anterior no tienen generación dispersa, y dada la dificultad para encontrar en la literatura redes con nudos donde solo se inyecta potencia, se proponen dos redes de prueba donde aparece la generación dispersa. Una primera red de 6 nudos y dos bucles (Red 6GD), donde dada su simplicidad, se conoce perfectamente la red radial óptima, con el objeto de comprobar los resultados obtenidos. Finalmente se tomará la clásica red de 33 nudos, seleccionando varios de sus nudos donde se asignará un determinado valor de inyección de potencia tanto activa como reactiva (Red 33GD). Su construcción y valores se explican con detalle en el Apéndice D de redes. Un aspecto a tener en cuenta y que influye de manera decisiva en los resultados, es que los algoritmos de optimización para este tipo de problemas no aseguran alcanzar el óptimo global, sino mínimos locales que cumplen con las restricciones dadas en la definición del problema. Por ello es de vital importancia en este trabajo analizar el comportamiento y la influencia que tienen los parámetros y variables del problema para mejorar los resultados del algoritmo de optimización, aspecto que se trata en las secciones 5.2 a 5.5. Puede adelantarse que los resultados finales alcanzan la mejor red radial conocida para las redes de pequeño y mediano tamaño (32 a 205 nudos), y configuraciones muy próximas a la mejor red radial conocida en las redes de gran tamaño (409 y 1043 nudos). Los datos relevantes del modelo completo aplicado a cada una de las redes se exponen en la sección 5.6. En la sección 5.7 de este capítulo se estudia la sensibilidad del modelo, valorando las soluciones obtenidas al producirse variaciones pequeñas de los diferentes parámetros seleccionados. En la sección 5.8 se aumenta el índice de carga de la red, definido como la carga total sistema dividido por el número de nudos de consumo, y se observa el comportamiento del modelo. La sección 5.9 se dedica a redes con generación dispersa, donde el modelo responde de forma satisfactoria para las redes probadas. En la última sección del capítulo, se imponen restricciones eléctricas más severas, disminuyendo los valores de máxima caída de tensión y máxima circulación de potencia aparente. Ante estas nuevas restricciones el modelo responde con nuevas soluciones que respetan las nuevas limitaciones impuestas. 5.2. Parámetros y variables que definen el problema 107 5.2. Parámetros y variables que definen el problema. Antes de realizar las simulaciones para cada una de las redes de prueba, se hará una clasificación de los parámetros y variables que definen el problema: A) Parámetros fijos que definen la red. Estos datos se obtienen del fichero con extensión "raw" que sigue el formato de entrada de la aplicación de análisis de redes PSS, ampliamente extendida entre las empresas propietarias de redes. Son los valores relacionados con el modelo eléctrico de las líneas y los consumos y/o generaciones en términos de potencia en cada nudo. Definen cada red y son fijos, pues una variación en ellos implica modificar la red en estudio. Los valores de los parámetros se utilizarán en “por unidad”. En dichos ficheros de datos se obtienen los siguientes parámetros de la red:  Tensión de consigna en p.u. de los nudos PV.  Potencia aparente base, en las unidades de MVA.  Potencia consumida/generada por cada nudo, en MW y Mvar.  Elementos shunt conectados en cada nudo, en MW y Mvar a tensión nominal.  Resistencia y reactancia de cada rama, en por unidad.  Límites de potencia que puede transportar cada rama en MVA.  Etc. B) Parámetros que limitan la explotación de la red. Estos parámetros son impuestos por la propia explotación de la red y las características de los materiales y receptores, su valor debe suministrarlos el agente que gestiona la red. Los más importantes y comúnmente utilizados son:  Límite de potencia aparente que puede circular por cada rama ( max j S ).  Caída de tensión máxima permitida ( max V  ). 114 5.3. Reducción del número de caminos 5.5.a 5.5.b Figura 5.5 Número de caminos en la red de 137 nudos, variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10. 5.6.a 5.67.b Figura 5.6 Número de caminos en la red de 205 nudos, variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10. 5.7.a 5.7.b Figura 5.7 Número de caminos en la red de 409 nudos, variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10. 5.3. Reducción del número de caminos 115 Los resultados obtenidos muestran un elevado porcentaje de caminos rechazados, que se traducen en las siguientes ventajas:  Importante reducción en el número de variables binarias que forman finalmente parte del modelo propuesto, lo que se traduce en una reducción del tamaño del problema.  Una elección elevada del coeficiente de caminos de la red no supone un gran problema de aumento excesivo del tamaño del problema, pues se incrementa de forma simultánea el número de caminos rechazados, estabilizándose el número de caminos usados.  Permite abordar redes de gran tamaño, pues se reduce el tamaño del problema.  Disminuye el intervalo de variación de potencia de cada rama, permitiendo mejorar la linealización o en su caso disminuir el número de variables continuas asociadas a cada tramo de linealización. Un análisis detallado sobre esta característica se realizará en la siguiente sección. En todas las pruebas realizadas se ha tomado el valor del 7% para la caída máxima de tensión permitida, por ser el valor límite que nos permite alcanzar los óptimos suministrados en la literatura para las redes de 33 y 118 nudos, cuyas tensiones mínimas toman los valores de 0,938 y 0,932 respectivamente. Esta limitación debe ser suministrada por el operador de la red, siendo este valor del 7% bastante realista para redes de media tensión. En cuanto a la reducción de caminos imponiendo la técnica del coeficiente de tensiones, se han utilizado los parámetros justificados en la sección 4.11, siendo el de mayor relevancia el valor del “coeficiente de tensiones límite”, que se ha fijado en 0,5. Un umbral mayor implicaría rechazar un mayor número de caminos, pero se corre el riesgo de eliminar caminos que formen parte de la red óptima. El análisis de sensibilidad del modelo con respecto a variaciones en estos parámetros se hará en la sección 5.7. La bondad de estas técnicas de eliminación de caminos, desde el punto de vista cualitativo, se verificará en la sección 5.6 cuando se compruebe que permiten alcanzar la red radial óptima o redes cercanas a ella. 116 5.3. Reducción del número de caminos Relación entre las dos técnicas de reducción de caminos Las dos técnicas propuestas de reducción de caminos están basadas en la caída de tensión en cada uno de los caminos, por lo que gran parte de los caminos eliminados por ambas técnicas son los mismos. En la figura 5.8 se representa de forma gráfica y a escala los valores correspondientes a la red de 33 nudos para un coeficiente de caminos igual a 3:  El color amarillo representa el conjunto de caminos eliminados simultáneamente por ambas técnicas (55 caminos).  El color verde representa el conjunto de caminos eliminados sólo por la técnica de máxima caída de tensión (17 caminos).  El color azul representa el conjunto de caminos eliminados sólo por la técnica del coeficiente de tensiones (5 caminos).  El color blanco representa el conjunto de caminos que finalmente se utilizarán en el proceso de optimización después de aplicar las dos técnicas reducción (129 caminos). Figura 5.8 Número de caminos iniciales y rechazados para la red de 33 nudos, representados de forma gráfica y a escala. De los resultados expuestos gráficamente en la figura 5.8 puede observarse que:  La mayor parte de caminos rechazados son eliminados por ambas técnicas simultáneamente (color amarillo), debido a que en los dos procedimientos se utiliza la caída de tensión en el camino.  En el caso de que el gestor de la red relaje la restricción de máxima caída de tensión, únicamente implicará la disminución de los caminos eliminados solo por esta técnica (color verde), sin alterar de forma significativa el número total de caminos eliminados. Este hecho se pondrá de manifiesto en la 5.3. Reducción del número de caminos 117 sección 5.7.2. al analizar la sensibilidad del modelo frente variaciones de max V.  Las dos técnicas se pueden aplicar conjuntamente o solo una de ellas, pues como se ha mostrado, el porcentaje de caminos que rechazan de forma simultánea es elevado si la caída máxima de tensión impuesta es muy restrictiva.  La técnica basada en el coeficiente de tensiones (técnica heurística), se hace necesaria cuando no se dispone de restricción de caída de tensión máxima o las caídas de tensión en la red son pequeñas respecto a la máxima caída de tensión permitida (esto último suele ser lo habitual en redes urbanas). 118 5.4. Intervalos de variación de potencia por rama 5.4. Intervalos de variación de potencia por rama. En esta sección se analiza la posible relación entre el intervalo de variación de potencia de cada rama y el número de caminos. Asimismo se estudiará la repercusión de la reducción de caminos en el tamaño del intervalo de variación de potencia de cada rama, y las consecuencias que esto provoca en las dos linealizaciones propuestas. 5.4.1. Relación entre el intervalo de variación de potencia de cada rama y el número de caminos En el caso de que los consumos de todos los nudos sean de igual valor, las ramas que involucran pocos caminos tendrán un intervalo de variación de potencia menor y de forma contraria ocurre con las ramas que pertenecen a un elevado número de caminos. En este supuesto habría una relación lineal entre el número de caminos que contiene a una rama y el tamaño del intervalo de variación de potencia. La situación más habitual es que el consumo de los nudos sea variable y por tanto no exista relación lineal entre el número de caminos de cada rama y el tamaño de su intervalo de potencia. Figura 5.9 Tamaño del intervalo de variación de potencia y el número de caminos de cada rama en la red de 33 nudos. En la figura 5.9 se representa gráficamente ambos valores para cada una de las ramas de la red de 33 nudos. Para su obtención se ha tomado un valor del 5.4.1. Relación entre el intervalo de variación de potencia y el número de caminos de cada rama 119 coeficiente de caminos de la red igual a 3 y los caminos inicialmente obtenidos, sin aplicar las técnicas de reducción. Se observa efectivamente que no existe relación lineal entre ambos valores, aunque sí de otro tipo como se pone de manifiesto en el siguiente apartado. Es necesario mencionar que la rama nº 1 es del "tipo p0", donde la potencia máxima coincide con la mínima, lo que provoca un tamaño de intervalo de valor nulo. 5.4.2. Repercusión de la reducción de caminos sobre el tamaño del intervalo de variación de potencia de cada rama. En la sección 5.3 se menciona que una reducción de caminos implica una mejora en la linealización o en el número de variables que ella provoca. Veamos si se corresponde con los datos obtenidos. Los datos más relevantes y que influyen de manera decisiva en la linealización son:  Tamaño de los intervalos de variación de potencia de cada rama  Número de tramos seleccionado, para la linealización tipo N.  Longitud de tramo seleccionado, para la linealización tipo L. En la figura 5.10 se representa la reducción del tamaño de los intervalos de variación de potencia cuando se pasa de considerar todos los caminos iniciales, a tomar solo aquellos caminos que finalmente utiliza el modelo, después de aplicar las técnicas de reducción. Para su obtención se ha tomado un valor del coeficiente de caminos de la red igual a 3 y la red de 33 nudos. Se observa que en todos los casos se ha producido una disminución del tamaño del intervalo, excepto en las ramas 1 a 5 donde se ha mantenido constante. Queda pues de manifiesto que para cada una de las ramas, considerar un número menor de caminos implica tener un tamaño de intervalo igual o menor. La disminución del tamaño del intervalo cuando se está utilizando la linealización tipo N, donde se emplea un número de tramos constante en cada intervalo, provoca que la longitud del tramo disminuya, consiguiéndose mejores aproximaciones a la curva real con el mismo número de variables continuas, lo que conlleva una mejora de la convergencia hacia el óptimo. 120 5.4.2. Repercusión de la reducción de caminos sobre el tamaño del intervalo de potencia por rama Figura 5.10 Tamaño del intervalo de variación de potencia por rama, cuando se utilizan todos los caminos iniciales y cuando solo se utilizan los caminos finales después de aplicar las técnicas de reducción de caminos en la red de 33 nudos En el caso de que se utilice la linealización tipo L, de longitud constante para todos los tramos, al disminuir el tamaño de los intervalos provoca una disminución directa del número de variables continuas asociadas a cada tramo. Esta circunstancia reduce el tamaño del problema, disminuyendo los tiempos de ejecución y mejorando la convergencia. 5.5. Resultados en las redes de prueba y ajuste de los parámetros del modelo 121 5.5. Resultados en las redes de prueba y ajuste de los parámetros del modelo. Para la aplicación del modelo propuesto a las redes son necesarios los parámetros que se muestran en la tabla 5.1 de la sección 5.2. De estos parámetros, algunos se encuentran ya definidos y otros como el “coeficiente de caminos de la red, CC” y el “Umbral de error % debido a la linealización”, se tomarán fruto de la experiencia al aplicar el modelo lineal a las diferentes redes. Las pruebas se realizarán para valores del coeficiente de caminos de la red entre 2 y 10, con el objeto de decidir al final del análisis el valor más idóneo. Se aplicarán en todos los casos las dos técnicas de reducción de caminos analizadas en las dos secciones anteriores, que han supuesto una importante disminución del número de variables binarias. Se emplearán los dos tipos de linealizaciones, con objeto de identificar cuál de ellas se adapta mejor al modelo, proporcionando los mejores resultados al aplicarlo a diferentes tipos de redes y consiguiendo un modelo robusto frente a variaciones del valor de los parámetros necesarios. En todas las soluciones presentadas, se muestra el “error relativo en porcentaje de la red radial obtenida”, cuya comparación se ha realizado con respecto a la mejor red radial conocida de mínimas pérdidas; en este caso un valor del 0,00% implica que la red obtenida coincide con la mejor red radial conocida. Las características de las redes y sus mejores redes radiales conocidas se encuentran en el Apéndice D. 122 5.5.1. Coeficiente de caminos 5.5.1. Coeficiente de caminos. En esta sección se analizará el comportamiento del modelo frente a la variación del coeficiente de caminos, con objeto de identificar el valor más idóneo. Para su análisis se empleará la linealización tipo L, con longitud de tramo constante para todas las ramas, y cuyo valor corresponde al tamaño del intervalo de variación de potencia más pequeño, diferenciando para la potencia activa y reactiva. Se ha seleccionado este tipo de linealización porque no requiere de ningún parámetro ni estimación adicional, con objeto de centrar toda la atención sobre los resultados variando solo el coeficiente de caminos. En las figuras 5.11 a 5.17 se muestran los resultados obtenidos en siete de las ocho redes de prueba, donde se ha variado el valor del coeficiente de caminos desde 2 a 10. En la gráfica situada a la izquierda y representada por la serie aspa, se muestra el error relativo en % de la red radial obtenida. Además se representa la longitud de tramo utilizado para la linealización del cuadrado de la potencia activa y reactiva. De los resultados obtenidos puede afirmarse que:  En todas las redes con un valor del coeficiente de caminos igual o superior a 3 se consigue la red radial óptima o redes muy próximas a ella.  En la red de 409 nudos, aparecen problemas de falta de memoria durante el proceso de optimización, cuando se utilizan valores del coeficiente de caminos igual o superior a 3. Esto es debido al enorme tamaño que adquiere el problema, alcanzando 6.362 variables binarias y 84.681 variables continuas para un coeficiente de caminos igual a 3. Con objeto de poder realizar las simulaciones, se ha reducido el tamaño del problema eliminando las restricciones de máxima caída de tensión y de máxima circulación de potencia. En todos los casos se ha comprobado a posteriori sobre la red obtenida que no se superan los límites de las restricciones eléctricas.  Si se analiza la gráfica de barras de la figura de la derecha, donde aparece en la primera barra el número de variables binarias y en la segunda el número de variables continuas. Se observa con carácter general que el número de variables binarias aumenta progresivamente al aumentar el coeficiente de caminos, pues se permite la participación de un mayor número de caminos. Sin embargo el número de variables continuas presenta un valor inesperadamente elevado para un coeficiente de caminos de 3 en la red de 69 y 118 nudos, y aparece una brusca caída en la red de 409 nudos para un coeficiente de caminos de 6. Estas variaciones bruscas se deben a cambios en 5.5.1. Coeficiente de caminos 123 el valor de la longitud del intervalo menor con respecto al resto de intervalos, que a su vez ambos dependen del conjunto de caminos utilizado. El objetivo de esta sección es identificar el valor del coeficiente de caminos idóneo, que permita obtener la red radial óptima o redes muy próximas a ella para cualquier red. En las figuras se observa que se obtienen muy buenos resultados para un coeficiente de caminos igual a 3, y que valores superiores implican un tamaño de problema mayor al aumentar el número de variables binarias sin que se produzcan mejoras en la solución o incluso empeora. 5.11.a 5.11.b Figura 5.11 Resultados y variables empleadas en la red de 33 nudos utilizando la linealización tipo L y variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10. 5.12.a 5.12.b Figura 5.12 Resultados y variables empleadas en la red de 69 nudos utilizando la linealización tipo L y variando el coeficiente de caminos de la red de 2 a 10. 226 Apéndice D: Características de las redes utilizadas Red de 137 nudos Factor max V Pérdidas reales (kW) Ramas abiertas 1,25 10% 118,13 13A-14A 47A-48A 50A-51A 10A-68A 12A-20A 13B-14B 47B-48B 50B-51B 10B-68B 12B-20B 48A-34B 24A-24B 1,50 13% 216,22 13A-14A 47A-48A 50A-51A 10A-68A 12A-20A 13B-14B 47B-48B 50B-51B 10B-68B 12B-20B 48A-34B 24A-24B 1,75 17% 377,40 13A-14A 47A-48A 50A-51A 10A-68A 12A-20A 13B-14B 47B-48B 50B-51B 10B-68B 12B-20B 48A-34B 24A-24B 2,00 20% 639,11 13A-14A 47A-48A 50A-51A 10A-68A 12A-20A 13B-14B 47B-48B 50B-51B 10B-68B 12B-20B 48A-34B 24A-24B Tabla D.27 Mejores redes radiales conocidas para la red de 137 nudos al aumentar el índice de carga de la red. Red de 205 nudos Factor max V Pérdidas reales (kW) Ramas abiertas 1,25 10% 166,09 13A-14A 47A-48A 50A-51A 13B-14B 24B-25B 47B-48B 49B-50B 15C-16C 20C-21C 47C-48C 50C-51C 10A-68A 12A-20A 10B-68B 12B-20B 38B-48B 10C-68C 14C-62C 48A-34B 21A-24B 1,50 13% 302,00 13A-14A 47A-48A 50A-51A 13B-14B 24B-25B 47B-48B 49B-50B 15C-16C 20C-21C 47C-48C 50C-51C 10A-68A 12A-20A 10B-68B 12B-20B 38B-48B 10C-68C 14C-62C 48A-34B 21A-24B 1,75 17% 522,94 13A-14A 47A-48A 50A-51A 13B-14B 24B-25B 47B-48B 49B-50B 15C-16C 20C-21C 47C-48C 50C-51C 10A-68A 12A-20A 10B-68B 12B-20B 38B-48B 10C-68C 14C-62C 48A-34B 21A-24B 2,00 20% 876,58 13A-14A 47A-48A 50A-51A 13B-14B 24B-25B 47B-48B 49B-50B 15C-16C 20C-21C 45C-46C 50C-51C 10A-68A 12A-20A 10B-68B 12B-20B 38B-48B 10C-68C 14C-62C 48A-34B 21A-24B Tabla D.28 Mejores redes radiales conocidas para la red de 205 nudos al aumentar el índice de carga de la red. Apéndice D: Características de las redes utilizadas 227 Red de 409 nudos Factor max V Pérdidas reales (kW) Ramas abiertas 1,25 10% 324,27 13A-14A 47A-48A 50A-51A 69-1B 1B-2B 16B-17B 28B-29B 52B-53B 10B-55B 5C-6C 6C-7C 8C-9C 9C-10C 25C-26C 30C-31C 57C-58C 2D-3D 10D-11D 12D-13D 15D-16D 16D-17D 32D-33D 65D-66D 9E-10E 12E-13E 20E-21E 59E-63E 37E-38E 14F-15F 16F-17F 20F-21F 25F-26F 2F-27F 28F-29F 35F-36F 40F-41F 24B-21C 14D-62D 10F-68F 14F-62F 48D-34E 21D-24E 37C-31D 1,50 13% 589,31 13A-14A 47A-48A 50A-51A 11B-12B 23B-24B 47B-48B 49B-50B 15C-16C 20C-21C 47C-48C 50C-51C 12D-13D 19D-20D 47D-48D 50D-51D 11E-12E 23E-24E 47E-48E 49E-50E 53E-54E 15F-16F 20F-21F 47F-48F 50F-51F 10A-68A 12A-20A 10B-68B 12B-20B 38B-48B 26B-54B 10C-68C 14C-62C 48A-34B 21A-24B 10D-68D 10E-68E 12E-20E 38E-48E 10F-68F 14F-62F 48D-34E 21D-24E 37C-31D 1,75 17% 1019,86 13A-14A 47A-48A 50A-51A 11B-12B 23B-24B 47B-48B 49B-50B 15C-16C 20C-21C 47C-48C 50C-51C 12D-13D 19D-20D 47D-48D 50D-51D 11E-12E 23E-24E 47E-48E 49E-50E 53E-54E 15F-16F 20F-21F 45F-46F 50F-51F 10A-68A 12A-20A 10B-68B 12B-20B 38B-48B 26B-54B 10C-68C 14C-62C 48A-34B 21A-24B 10D-68D 10E-68E 12E-20E 38E-48E 10F-68F 14F-62F 48D-34E 21D-24E 37C-31D 2,00 20% 1708,40 13A-14A 47A-48A 50A-51A 11B-12B 23B-24B 47B-48B 49B-50B 53B-54B 15C-16C 20C-21C 47C-48C 50C-51C 12D-13D 19D-20D 47D-48D 50D-51D 11E-12E 23E-24E 47E-48E 49E-50E 15F-16F 20F-21F 45F-46F 50F-51F 10A-68A 12A-20A 10B-68B 12B-20B 38B-48B 26B-54B 14C-62C 48A-34B 21A-24B 10D-68D 10E-68E 12E-20E 38E-48E 26E-54E 10F-68F 14F-62F 48D-34E 21D-24E 37C-31D Tabla D.29 Mejores redes radiales conocidas para la red de 409 nudos al aumentar el índice de carga de la red. 228 Apéndice D: Características de las redes utilizadas Red de 1043 nudos Factor max V  Pérdidas reales (kW) 1,25 10% 6642,46 Ramas abiertas 13A-14A 47A-48A 50A-51A 11B-12B 23B-24B 47B-48B 49B-50B 53B-54B 15C-16C 47C-48C 50C-51C 12D-13D 19D-20D 20D-21D 47D-48D 50D-51D 13E-14E 24E- 25E 47E-48E 49E-50E 15F-16F 23F-24F 47F-48F 50F-51F 13G-14G 23G-24G 25G- 26G 35G-36G 41G-42G 44G-45G 52G-53G 61G-62G 74G-75G 77G-78G 95G-100G 101G-102G 114G-115G 6H-7H 12H-13H 33H-34H 38H-39H 41H-42H 54H-55H 61H-62H 71H-72H 82H-83H 23I-24I 26I-27I 35I-36I 41I-42I 44I-45I 53I-54I 61I-62I 74-75I 77I-78I 95I-100I 101I-102I 114I-115I 13J-14J 23J-24J 25J-26J 35J-36J 41J-42J 44J-45J 52J-53J 61J-62J 74J-75J 77J-78J 95J-100J 101J-102J 114J-115J 6K-7K 12K-13K 33K-34K 38K-39K 41K-42K 54K-55K 61K-62K 71K-72K 82K-83K 23L-24L 26L-27L 35L-36L 41L-42L 44L-45L 53L-54L 61L-62L 74L-75L 77L-78L 95L-100L 101L-102L 114L-115L 10A-68A 12A-20A 10B-68B 12B-20B 38B-48B 10C-68C 12C-20C 14C-62C 48A-34B 21A-24B 10D-68D 10E-68E 12E-20E 38E-48E 10F-68F 14F-62F 48D-34E 24E-21F 37C-31D 24B-24E 65G-51G 113G-86G 110G-89G 11H-43H 14H-18H 16H-26H 28H-32H 65I-51I 113I-86I 110I-89I 65J-51J 113J-86J 110J-89J 11K-43K 14K-18K 16K-26K 28K-32K 65L-51L 113L-86L 110L-89L 25C-56G 123G-55H 83H-27I 123J-55K 83K-27L 60H-12L 80I-123L Factor max V  Pérdidas reales (kW) 1,50 13% 11944,24 Ramas abiertas 13A-14A 47A-48A 50A-51A 11B-12B 47B-48B 49B-50B 53B-54B 15C-16C 47C-48C 50C-51C 12D-13D 19D-20D 45D-46D 50D-51D 11E-12E 47E-48E 49E-50E 53E-54E 13F-14F 15F-16F 20F-21F 23F-24F 47F-48F 50F-51F 13G-14G 23G-24G 25G-26G 35G-36G 41G-42G 44G-45G 52G-53G 61G-62G 74G-75G 77G-78G 95G-100G 101G-102G 114G-115G 6H-7H 12H-13H 33H-34H 38H-39H 41H-42H 54H-55H 61H-62H 71H-72H 82H-83H 23I-24I 26I-27I 35I-36I 41I-42I 44I-45I 53I-54I 61I-62I 74-75I 77I-78I 95I-100I 101I-102I 114I-115I 14J-15J 23J-24J 25J-26J 35J-36J 41J-42J 44J-45J 52J-53J 61J-62J 74J-75J 77J-78J 95J-100J 101J-102J 114J-115J 6K-7K 12K-13K 33K-34K 38K-39K 41K-42K 54K-55K 61K-62K 71K-72K 82K-83K 23L-24L 25L-26L 35L-36L 41L-42L 44L-45L 53L-54L 61L-62L 74L-75L 77L-78L 95L-100L 101L-102L 114L-115L 10A-68A 12A-20A 10B-68B 12B-20B 38B-48B 10C-68C 12C-20C 14C-62C 48A-34B 21A-24B 24B-21C 10D-68D 10E-68E 12E-20E 38E-48E 10F-68F 48D-34E 21D-24E 37C-31D 24B-24E 65G-51G 113G-86G 110G-89G 11H-43H 14H-18H 16H-26H 28H-32H 65I-51I 113I-86I 110I-89I 65J-51J 113J-86J 110J-89J 11K-43K 14K-18K 16K-26K 28K-32K 65L-51L 113L-86L 110L-89L 25C-56G 123G-55H 83H-27I 123J-55K 83K-27L 60H-12L 80I-123L Tabla D.30 Mejores redes radiales conocidas para la red de 1043 nudos al aumentar el índice de carga de la red. Apéndice D: Características de las redes utilizadas 229 Red de 1043 nudos Factor max V  Pérdidas reales (kW) 1,75 17% 20365,34 Ramas abiertas 13A-14A 47A-48A 50A-51A 11B-12B 23B-24B 25B-26B 47B-48B 49B-50B 14C-15C 20C-21C 47C-48C 50C-51C 13D-14D 19D-20D 20D-21D 47D-48D 50D-51D 11E- 12E 23E-24E 47E-48E 49E-50E 14F-15F 23F-24F 46F-47F 50F-51F 13G-14G 23G-24G 25G-26G 35G-36G 41G-42G 44G-45G 52G-53G 61G-62G 74G-75G 77G-78G 95G-100G 101G-102G 114G-115G 6H-7H 12H-13H 33H-34H 38H-39H 41H-42H 61H-62H 71H-72H 82H-83H 23I-24I 26I-27I 35I-36I 41I-42I 44I-45I 52I- 53I 61I-62I 74-75I 77I-78I 95I-100I 101I-102I 114I-115I 13J-14J 23J-24J 25J-26J 35J-36J 41J-42J 44J-45J 52J-53J 61J-62J 74J-75J 77J-78J 95J-100J 101J-102J 114J-115J 6K-7K 12K-13K 33K-34K 38K-39K 41K-42K 54K-55K 60K-61K 71K-72K 82K-83K 23L-24L 26L-27L 35L-36L 41L-42L 44L-45L 52L-53L 61L-62L 74L-75L 77L-78L 95L-100L 101L-102L 114L-115L 10A-68A 12A-20A 10B-68B 12B-20B 38B-48B 10C-68C 14C-62C 48A-34B 21A-24B 10D-68D 10E-68E 12E-20E 38E-48E 26E-54E 10F-68F 14F-62F 48D-34E 24E-21F 37C-31D 65G-51G 113G-86G 110G-89G 5H-55H 11H-43H 14H-18H 16H-26H 28H-32H 65I-51I 113I-86I 110I-89I 65J-51J 113J-86J 110J-89J 11K-43K 14K-18K 16K-26K 28K-32K 65L-51L 113L-86L 110L-89L 25C-56G 123G-55H 83H-27I 123J-55K 83K-27L 60H-12L 80I-123L Factor max V  Pérdidas reales (kW) 2,00 20% 33361,87 Ramas abiertas 13A-14A 47A-48A 50A-51A 12B-13B 23B-24B 47B-48B 49B-50B 13C-14C 14C-15C 20C-21C 47C-48C 50C-51C 13D-14D 16D-17D 20D-21D 47D-48D 50D-51D 12E-13E 23E-24E 47E-48E 49E-50E 13F-14F 15F-16F 23F-24F 47F-48F 50F-51F 13G-14G 23G-24G 25G-26G 35G-36G 41G-42G 44G-45G 52G-53G 61G-62G 74G-75G 77G-78G 95G-100G 101G-102G 114G-115G 6H-7H 33H-34H 38H-39H 41H-42H 54H-55H 61H-62H 71H-72H 82H-83H 23I-24I 26I-27I 35I-36I 41I-42I 44I-45I 52I-53I 61I-62I 74-75I 77I-78I 95I-100I 101I-102I 114I-115I 13J-14J 23J-24J 25J-26J 35J-36J 41J-42J 44J-45J 52J-53J 61J-62J 74J-75J 77J-78J 95J-100J 101J-102J 114J-115J 6K-7K 33K-34K 38K-39K 41K-42K 54K-55K 62K-63K 71K-72K 82K-83K 23L-24L 26L-27L 35L-36L 41L-42L 44L-45L 52L-53L 61L-62L 74L-75L 77L-78L 95L-100L 101L-102L 114L-115L 10A-68A 12A-20A 10B-68B 12B-20B 38B-48B 26B-54B 10C-68C 48A-34B 21A-24B 10D-68D 10E-68E 12E-20E 38E-48E 26E-54E 10F-68F 48D-34E 24E-21F 37C-31D 65G-51G 113G-86G 110G-89G 11H-43H 13H-76H 14H-18H 16H-26H 28H-32H 65I-51I 113I-86I 110I-89I 65J-51J 113J-86J 110J-89J 11K-43K 13K-76K 14K-18K 16K-26K 28K-32K 65L-51L 113L-86L 110L- 89L 25C-56G 123G-55H 83H-27I 123J-55K 83K-27L 60H-12L 80I-123L Tabla D.31 Mejores redes radiales conocidas para la red de 1043 nudos al aumentar el índice de carga de la red. 230 Apéndice D: Características de las redes utilizadas Apéndice E: GAMS y opciones utilizadas 231 Apéndice E GAMS y opciones utilizadas El software utilizado ha sido el GAMS (General Algebraic Modeling System), que es un lenguaje de programación que permite el modelado, análisis y resolución de diversos problemas de optimización [61]. Entre sus principales características pueden citarse: 1. Su capacidad para resolver tanto problemas de pequeña dimensión (docenas de variables y restricciones) como problemas mayores (miles de variables y restricciones) sin variar el código sustancialmente. 2. Proporciona un lenguaje de alto nivel para representar de forma compacta modelos matemáticos complejos y de gran dimensión. El manejo eficiente de sus índices permite escribir de manera compacta restricciones similares mediante una sola expresión. 3. Separa el proceso de modelado del proceso de resolución del problema. Así, puede conseguirse una formulación consistente del problema, y una vez expresada en la notación de GAMS, este lenguaje hace uso de alguno de los optimizadores (solvers) disponibles para obtener su solución. De esta manera, el usuario sólo ha de centrarse en obtener un modelo del problema y puede ignorar el funcionamiento interno del algoritmo que se necesita para resolverlo. 4. La forma en que GAMS representa un problema de optimización coincide, prácticamente, con la descripción matemática de ese problema. Por tanto, el código GAMS es sencillo de comprender para aquellos usuarios familiarizados con la optimización. 5. Con GAMS puede usarse un fichero de datos que contenga todas las instrucciones y datos necesarios del problema, o bien se puede recurrir a leer ficheros de datos externos. Además permite una buena organización de los datos y su transformación 232 Apéndice E: GAMS y opciones utilizadas El tipo de problema modelado es de programación lineal entera-mixta (mip), utilizando el optimizador CPLEX (solver) y las siguientes opciones:  optcr; donde ha impuesto que la solución mostrada y la mejor solución posible difiera en un valor inferior al 0,01%.  iterlim; donde se ha impuesto un valor muy elevado al límite de iteraciones, con objeto de evitar que esta sea la razón de finalización.  reslim; donde se imponen límites de tiempo en segundos para la finalización del proceso de optimización, necesario para las redes de gran tamaño con un número de variables y restricciones muy elevado. Se ha seleccionado el CPLEX por ser un módulo de optimización diseñado para resolver problemas complejos y de gran dimensión, de forma rápida y con una intervención mínima del usuario, que permite abordar problemas lineales con programación entera-mixta. Referencias 233 Referencias [1] Eloy Díaz-Dorado, José Cidrás, and Edelmiro Míguez, “Application of Evolutionary Algorithms for the Planning of Urban Distribution Networks of Medium Voltage”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 11, No. 3, pp. 879-884, August 2002. [2] P. C. Paiva, H. M. Khodr, , J. A. Domínguez-Navarro, J. M. Yusta, and A. J. Urdaneta, “Integral Planning of Primary-Secondary Distribution Systems using Mixed Integer Linear Programming”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 20, No. 2, pp. 1134-1143 May 2005. [3] Ignacio J. Ramírez-Rosado and José Antonio Domínguez-Navarro, “New Multiobjetive Tabu Search Algorithm for Fuzzy Optimal Planning of Power Distribution Systems”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 21, No. 1, pp. 224-233, February 2006. [4] Jiyuan Fan and Stuart Borlase. “The evolution of distribution”. IEEE Power and Energy Magazine, vol 7, No 2, March-April 2009 [5] R.J. Sarfi, M.M.A. Salama and A.Y. 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