Análisis de un quantum quench en el modelo de Lipkin anharmónico
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Facultad de Física Departamento de FAMN Análisis de un quantum quench en el modelo de Lipkin anharmónico Juan Gamito Gómez Tutores: D. José Miguel Arias Carrasco D. Pedro Pérez Fernández Sevilla, Diciembre de 2019
i Índice general 1. Introducción 1 1.1. ElmodelodeLipkin ............................ 3 1.2. Transicionesdefase............................. 5 1.3. Quantumquench .............................. 7 2. Modelo simplificado de Lipkin 9 2.1. Estudio exacto del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1. Modelo con α= 0 .......................... 12 2.1.2. Modelo con α= 1 .......................... 18 2.2. Aproximación de campo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Estructura y dinámica del sistema 28 3.1. Estructura de los autoestados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.1. Cociente de participación inverso (IPR) . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2. Distribución de Husimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
ii Índice general 3.2. Dinámica del quench ............................ 35 3.2.1. EcodeLoschmidt.......................... 35 3.2.2. Correlación de operadores a través del tiempo (OTOC) . . . . . 40 4. Resumen y conclusiones 44 A. Resolución algebraica de la ecuación de Schrödinger 46 B. Estados coherentes 49 C. Programa de Matlab 53 Bibliografía 59
1 Capítulo 1 Introducción El uso de modelos exactamente solubles está muy extendido en Física [1]. Estos modelos, que suelen ser lo suficientemente sencillos para poder ser resueltos de manera exacta pero aun así no son triviales, se utilizan para comprobar la validez de distintos formalismos y aproximaciones desarrollados para tratar sistemas físicos de mayor complejidad. Comparando en estos modelos las soluciones exactas con las aproximadas, podemos hacernos una idea de la validez de las aproximaciones, e incluso ayudan a comprender más profundamente las aproximaciones hechas. En el caso de la Física Nuclear, los modelos exactamente solubles se usan de manera recurrente y han servido en el desarrollo del modelo de capas o en un mejor entendimiento de las propiedades de pairing, entre muchas otras aportaciones. Una manera de construir este tipo de modelos es incorporando alguna simetría en el sistema de manera que aparezcan nuevas integrales de movimiento y, por lo tanto, se reduzcan de manera notable las dimensiones de la matriz Hamiltoniana a diagonalizar. Algunos ejemplos de estos modelos son el modelo rotacional de Elliot [2], el modelo de bosones en interacción (IBM) [3], el modelo de Dicke [4] o el modelo de Lipkin [5]. En este trabajo vamos a utilizar el modelo de Lipkin para estudiar el concepto de transición de fase cuántica en un sistema de dos niveles [6]. Vamos a obtener las soluciones exactas (numéricas) del sistema a partir de la diagonalización del Hamiltoniano, y discutiremos de qué manera podemos identificar en ellas la presencia de estas transiciones. Analizaremos el espectro de energía, las derivadas de la energía con respecto al parámetro de control del Hamiltoniano, los valores esperados de algún operador, etc. y
2 Capítulo 1. Introducción veremos cómo en todos ellos existen singularidades que nos llevan a la conclusión de la existencia de transiciones de fase en el sistema no solo en el estado fundamental, sino también en estados excitados. Además, vamos a introducir un término anharmónico en el Hamiltoniano de Lipkin original para estudiar qué efectos tiene este término en las transiciones de fase que presenta el sistema. Como hemos dicho, la utilidad de los modelos exactamente solubles es que permiten resolver el sistema de manera exacta para luego comparar estas soluciones con distintas aproximaciones. En este trabajo se va a realizar una aproximación de campo medio a partir de estados coherentes de espín para obtener una solución analítica del sistema. Veremos que en esta aproximación también aparecen transiciones de fase y que los resultados exactos tienden a los analíticos en el límite termodinámico (N→ ∞). Para terminar, se va a realizar un estudio del efecto que tienen las transiciones de fase en la estructura de los autoestados así como en la evolución dinámica del sistema. Por estructura de los autoestados entendemos la manera en que los elementos de la base forman el autoestado, e introduciremos varias magnitudes relacionadas con esta estructura como son el cociente de participación inverso (IPR, del inglés inverse participation ratio) y la distribución de Husimi [7]. Veremos cómo en la zona de transición los estados se encuentran muy localizados, lo que quiere decir que muy pocos elementos de la base contribuyen a formarlos. Para estudiar la dinámica, se someterá al sistema a un quantum quench, que se puede definir como un cambio abrupto en uno de los parámetros del Hamiltoniano, y se analizará la relajación del sistema por medio de una magnitud conocida como eco de Loschmidt [8]. Veremos que en presencia de una transición de fase la evolución del sistema presenta un comportamiento anómalo. Relacionado con el eco de Loschmidt, estudiaremos también el comportamiento de la correlación de dos operadores a través del tiempo (OTOC, del inglés out-of-time-order correlator) [9], magnitud relacionada con la propagación de la información de un sistema cuántico. Veremos cómo el OTOC también se ve afectado por la presencia de transiciones de fase en el sistema. Como parte adicional del trabajo, se va a desarrollar un programa en Matlab que permita la resolución numérica del sistema así como realizar todos los cálculos y representaciones gráficas relacionados.
1.1. El modelo de Lipkin 3 Figura 1.1: Esquema del modelo de Lipkin. 1.1. El modelo de Lipkin El modelo de Lipkin se describe como un sistema de N fermiones distribuidos en dos niveles separados por una cierta energía , cada uno con N huecos. Cada estado se describe por un número σque vale ±1según sea la capa superior o inferior, y por un número p que describe el estado degenerado dentro de la misma capa. Por tanto, para cada valor de p hay dos estados correspondientes, uno en la capa superior y otro en la inferior. En la figura 1.1 se muestra un esquema del modelo. Se asume que hay una interacción fermión-fermión que dispersa pares de partículas entre los dos niveles sin cambiar el valor de p. El Hamiltoniano que describe un sistema así puede escribirse en términos de operaciones de creación y destrucción de la siguiente forma: H=1 2X pσ σa† pσapσ +1 2VX pp0σ a† pσa† p0σap0−σap−σ+1 2WX pp0σ a† pσa† p0−σap0σap−σ,(1.1) donde a† pσ es el operación de creación de una partícula en el estado p de la capa σ, y tanto Vcomo Wson parámetros que especifican la intensidad de la interacción. El término de Vdispersa un par de partículas del mismo nivel al otro nivel, mientras que el término de Wmanda una partícula al nivel superior mientras que baja una al inferior, tal y como se ilustra en la figura 1.2. En el estado fundamental, con W=V= 0, todas las partículas se encuentran en el nivel inferior y cada una de ellas tiene un valor diferente de p. La interacción no cambia el valor de p, y solo mezcla el estado fundamental con aquellos en los que las partículas se pueden encontrar en el nivel de arriba o abajo. Por tanto, tenemos a priori un sistema con 2Nestados posibles, sin embargo, las simetrías del sistema van a permitir reducir considerablemente las dimensiones de la matriz a diagonalizar.
4 Capítulo 1. Introducción Figura 1.2: Actuación esquemática de los términos VyWdel Hamiltoniano de la ecuación (1.1). El hecho de que cada partícula tenga solo dos estados posibles conduce a usar la formulación de quasi-espín, donde los estados de las partículas y las transiciones de un estado a otro se expresan por medio de los espinores y las matrices de Pauli, respectivamente. Los operadores de quasi-espín se definen por la relaciones siguientes: S+=X p a† p+1ap−1, S−=X p a† p−1ap+1, Sz=1 2X pσ σa† pσapσ. En esta formulación, el Hamiltoniano (1.1) se escribe: H=Sz+1 2V(S2 ++S2 −) + 1 2W(S+S−+S−S+),(1.2) donde S±=Sx±ıSyson los operadores escalera, que suben o bajan partículas de una capa a otra. Estos operadores junto con Szdefinen el álgebra de Lie su(2) en el que viene descrito el Hamiltoniano, ya que obedecen las relaciones de conmutación usuales [Sz, S±] = ±S±,[S+, S−]=2Sz.(1.3) En todo el trabajo se van a utilizar unidades naturales ~= 1. Con la introducción de estos operadores, pasamos de un sistema descrito por N partículas interactuantes de espín 1/2 a un sistema de una única partícula de espín N/2. Como el Hamiltoniano conmuta con S2, se puede dividir en submatrices asociadas a cada valor de sy de orden 2s+ 1. El operador Szes la mitad de la diferencia entre el número de partículas en la capa superior e inferior, de modo que el máximo valor de Sz, y por tanto de s, es N 2. Esta simetría reduce por tanto las dimensiones de las matrices a diagonalizar de 2N
1.2. Transiciones de fase 5 aN+ 1. El hecho de que en este trabajo estemos interesados en las propiedades del estado fundamental, aquél con Sz=−N/2,nos lleva a trabajar con la submatriz que contiene dicho estado, que es aquella con valor máximo de s. Una característica derivada de la interacción del modelo, que sólo puede excitar o desexcitar pares de partículas, es que los estados que contienen un número par de partículas excitadas no se mezclan nunca con aquellos que tienen un número impar de partículas excitadas. En la formulación de quasi-espín, decimos que la interacción sólo puede cambiar el valor de Szen dos unidades, de esta forma, para valores enteros de s(sistemas con número par de partículas), los estados con valores pares de Sz no se mezclan con los impares. En sistemas con espín semientero (número impar de partículas), los estados con Sz=. . . −3/2,1/2,5/2. . . no se mezclan con aquellos que tienen Sz=. . . −5/2,−1/2,3/2. . . 1.2. Transiciones de fase El término transición de fase se suele utilizar para describir el cambio de estado de un sistema, como por ejemplo, las transiciones entre los estados sólido, líquido y gaseoso de la materia. Una transición de fase se produce cuando los parámetros de control del sistema alcanzan un valor concreto, en el que las variables físicas del sistema cambian cualitativamente, a menudo de manera discontinua. En ese valor concreto de los parámetros, se dice que el sistema se encuentra en un punto crítico. Estos parámetros de control son parámetros externos que varían de forma continua y definen las fases del sistema. El comportamiento macroscópico del sistema puede diferir dramáticamente de una fase a otra. Algunos ejemplos clásicos de parámetros de control, fácilmente manipulables en el laboratorio, pueden ser: la temperatura T, el campo eléctrico ~ E, o el campo magnético ~ B. De manera más rigurosa, una transición de fase tiene lugar cuando la energía libre de Gibbs, G, no es analítica, de modo que alguna de sus derivadas presenta una discontinuidad [10]. Ehrenfest clasifica las transiciones de fase según el orden más bajo de la derivada de Gcon respecto a alguna variable termodinámica en la que existe una discontinuidad. De este modo, una transición de primer orden exhibe una discontinuidad en la primera derivada, una de segundo orden en la segunda derivada, etc.
12 Capítulo 2. Modelo simplificado de Lipkin Figura 2.2: Izquierda: salto escalado entre niveles de energía consecutivos frente a la energía por partícula para λ= 0.5yN= 200. Derecha: Espectro de energía por partícula frente a λpara N= 10. Las líneas continuas representan estados pares y las discontinuas estados impares. 2.1.1. Modelo con α= 0 En la figura 2.1 se representa la energía por partícula frente a λy observamos que en el caso de α= 0 el espectro se divide en dos regiones: una para E/N < 0y otra con E/N > 0. En la región de energía negativa los resultados indican que tenemos una degeneración doble de niveles de energía, dicha degeneración no existe en E/N > 0. En la figura 2.2, representamos el espectro para un número más pequeño de partículas diferenciando entre estados pares e impares, entendiendo como estados pares (impares) aquellos con (−1)(S+Sz)= +1(−1). Vemos que la degeneración observada se debe a la degeneración existente entre estados pares e impares para E/N < 0. También en la figura 2.2, representamos el salto de energía existente entre estados consecutivos para un mismo λ. Se visualiza esta degeneración y cómo desaparece a partir de E/N = 0. Además, el salto se va haciendo más pequeño a medida que nos acercamos a la energía E= 0, para después volver a crecer, lo que indica un aumento de densidad de estados alrededor de esta región. Con respecto al estado fundamental, analizando sus derivadas numéricas en la figura 2.3 observamos que tenemos una QPT de segundo orden, pues la segunda derivada es discontinua. Además, analizando el valor esperado de Szen el estado fundamental en la figura 2.4, a modo de parámetro de orden, observamos que la transición de fase se produce cerca del punto crítico λc≈0.8. Se ha representado el operador Sz+N/2 Npor
2.1. Estudio exacto del modelo 13 Figura 2.3: Primera derivada del estado fundamental con respecto al parámetro λcon α= 0 yN= 200. En el recuadro interior aparece la segunda derivada con respecto a λ. sencillez en el escalado y para que el parámetro de orden se haga nulo para λ > λc, pues normalmente por definición los parámetros de orden para el estado fundamental toman valor cero en una de las fases, aunque más adelante veremos que esto no se cumple en el caso de estados excitados. Cuando λ= 0, es decir, cuando nos encontramos en la fase definida por −1 N(S++S−)2, el valor esperado DSz+N/2 NE= 1/2, lo que quiere decir que en esta fase, el valor esperado de la proyección de espín en la dirección zes hSzi= 0. El valor esperado DSz+N/2 NEva decreciendo hasta que en el punto crítico λc toma el valor DSz+N/2 NE= 0,o lo que es lo mismo, hSzi=−N/2, que se corresponde con el valor que toma Szen el estado fundamental del modelo de Lipkin, en el que todas las partículas están en la capa inferior. Estos valores se mantienen constantes desde λchasta λ= 1, es decir cuando estamos en la otra fase definida por Sz+N 2. Hemos visto cómo tanto la derivada de la energía en el estado fundamental como el valor esperado de Sz+N/2 Ntienen una forma muy similar. Este hecho se debe a que estas dos magnitudes están relacionadas por el teorema de Hellmann–Feynman, que se expresa de la siguiente forma:
14 Capítulo 2. Modelo simplificado de Lipkin Figura 2.4: Valor esperado del operador DSz+N/2 NEen el estado fundamental en función del parámetro λpara α= 0 yN= 200. dE dλ =hΨ|dH dλ |Ψi.(2.5) Con el Hamiltoniano dado en la ecuación (2.1), la relación entre la derivada de la energía y el valor esperado de nuestro parámetro de orden Szes, según (2.5): dE dλ =hΨ|Sz+N 2|Ψi+1 NhΨ|(S++S−)2|Ψi.(2.6) A partir de esta ecuación vemos que la diferencia entre ambas es únicamente el valor esperado del operador 1 N(S++S−)2, que se comporta de manera parecida a Sz+N/2 N, es por ello que la forma es similar. Hasta aquí llega la discusión acerca del estado fundamental, a continuación vamos a estudiar los estados excitados. Si observamos la figura 2.5, vemos que en esa región crítica en E= 0 de la que antes hablábamos, la densidad de estados presenta un pico muy marcado para valores por debajo del valor crítico de λc= 0.8. De acuerdo a lo visto en la sección 1.2, podemos decir que existe una ESQPT continua para λ < λc. Una variable interesante para el estudio de los estados excitados es k/N, donde kes el k-ésimo estado excitado. Esta magnitud es esencialmente continua para un
2.1. Estudio exacto del modelo 15 Figura 2.5: Densidad de estados para distintos valores del parámetro λcon α= 0 y N= 250 número grande de partículas. Estudiando las derivadas y el parámetro de orden para los estados excitados, magnitudes que hemos visto que están relacionadas, y a partir de las singularidades que presentan, podemos advertir la presencia de transiciones de fase. En la figura 2.6 vemos cómo la derivada de un estado excitado, en este caso el estado excitado k/N = 0.3, tiende hacia cero de manera abrupta con una curvatura que se hace infinita y cambia de signo en las proximidades de la ESQPT, siendo la tendencia más marcada a medida que aumentamos N. Tenemos una transición de segundo orden pues la segunda derivada es discontinua. Observamos que los estados excitados también presentan un punto crítico del parámetro de control λc|k/N=0.3≈0.58 en el que se produce la transición; sin embargo, este valor crítico es único de cada estado excitado y distinto del que se obtiene para el estado fundamental. Como puede intuirse si nos fijamos en el espectro de energía de la figura 2.1, en términos de k/N, el valor crítico del parámetro para un estado excitado será menor cuanto mayor sea el estado excitado. Más adelante en este trabajo, en la sección 2.2, obtendremos una forma analítica de hallar estos valores críticos del parámetro. Por otra parte, en la figura 2.7 vemos cómo el parámetro de orden toma el valor hSzi= 0 cuando λ= 0 (nos encontramos en la fase definida por −1 N(S++S−)2) y tiene un marcado descenso hacia hSzi=−N/2alrededor del punto críticoλc|k/N=0.3
16 Capítulo 2. Modelo simplificado de Lipkin Figura 2.6: Primeras derivadas del estado excitado k/N=0.3 para distintos Ncon respecto al parámetro λyα= 0. En el recuadro interior aparece la segunda derivada con respecto a λpara N= 500. correspondiente a la ESQPT, siendo este valor del parámetro de orden el que toma el sistema cuando se encuentra en la fase definida por λSz+N 2. Luego, a diferencia de lo que ocurría en el estado fundamental, vuelve a crecer hacia el valor k/N. Vemos así como en el caso de estados excitados el parámetro de orden no se hace nulo en ninguna de las fases. Estos resultados se ajustan a lo que predice el análisis semiclásico del sistema [16, 19]. Observamos que la ESQPT puede "cruzarse" tanto horizontal (variando λ) como verticalmente (variando k/N, o lo que es equivalente, la energía E/N). En la figura 2.2 comprobamos cómo el salto de energía entre estados para λ= 0.5se va haciendo cada vez más pequeño a medida que nos acercamos a la energía a la que se produce la ESQPT (E/N = 0) y después vuelve a crecer, esta propiedad definía las ESQPTs continuas. Otra forma de "cruzar" verticalmente esta ESQPT consiste en analizar cómo varía el valor esperado de Szen función de la energía para un valor fijo λ(figura 2.8). Aquí, el valor esperado tomará valores cercanos a hSzi= 0 para aquellos estados por debajo de la ESQPT, será además más cercano a cero cuanto más lo sea λ, por lo explicado en el caso del estado fundamental. En la región cercana a la ESQPT sufrirá un marcado descenso hacia hSzi=−N/2, valor que toma cuando el sistema se encuentra en la fase
2.1. Estudio exacto del modelo 17 Figura 2.7: Valor esperado del operador DSz+N/2 NEen el estado excitado k/N = 0.3para distintos N en función del parámetro λpara α= 0. Figura 2.8: Valor esperado del operador DSz+N/2 NEen función de la energía con un valor fijo del parámetro λ= 0.5para distintos N y α= 0.
18 Capítulo 2. Modelo simplificado de Lipkin dada por Sz+N 2, y luego crecerá hasta alcanzar el valor hSzi=N/2para el estado más excitado del modelo, en el que todas las partículas están en la capa superior. Cabe destacar que a medida que crece Nel comportamiento es más suave y continuo. A su vez, podremos "cruzar" horizontalmente la ESQPT analizando el valor esperado en un estado excitado de algún parámetro de orden, en este caso Sz, en función de λ(figura 2.7). En todo este apartado hemos visto cómo se advierte la presencia de transiciones de fase cuánticas en un sistema a partir del espectro de energía y otras propiedades del sistema, y hemos señalado cómo los resultados se ajustan a lo esperado de los estudios semiclásicos conforme aumentamos el número de partículas. En base a esto, podemos decir que con α= 0 el modelo presenta una QPT de segundo orden alrededor de λc= 0.8y una ESQPT continua en E/N = 0. 2.1.2. Modelo con α= 1 A continuación vamos a estudiar qué le ocurre a nuestro sistema cuando introducimos el término anharmónico dándole valores al parámetro α[18]. En este trabajo nos vamos a centrar únicamente en valores positivos de α. Tomando α= 1, obtenemos el espectro de energía que aparece en la figura 2.9. En este caso vemos que aparece una nueva línea crítica en regiones de E/N > 0, concretamente para E/N =λ, que se suma a la ya conocida línea crítica en E/N = 0. Analizando en la figura 2.10 el salto de energía entre niveles, la densidad de estados y las derivadas tanto del estado fundamental como de un par de estados excitados, concluimos que el sistema presenta dos ESQPTs continuas en esas regiones críticas. El comportamiento de las derivadas cambia en función de que atravesemos una u otra: para la ESQPT que se encuentra en E/N = 0 , la derivada presenta un mínimo y un cambio de curvatura discontinuo positivo en el punto crítico; para la que se encuentra en E/N > 0, la derivada presenta un máximo local y un cambio de curvatura discontinuo negativo para luego seguir creciendo. El valor esperado de Szen función de la energía por partícula para un λfijo presenta un comportamiento similar al caso con α= 0, con la diferencia de que en vez de tender a hSzi=N/2para el estado más excitado, obtenemos un pico marcado hacia este valor en la ESQPT situada en E/N =λy luego desciende. Este descenso hacia hSzi= 0 es mucho más marcado para valores pequeños de λy es un comportamiento análogo al que presenta Szantes de la primera ESQPT. En cuanto al salto de energía entre niveles, vemos que existe degeneración en todas las zonas excepto entre las dos
2.2. Aproximación de campo medio 19 Figura 2.9: Espectro de energía por partícula como función del parámetro λcon N= 100 para α= 1 . líneas críticas, y que además la densidad de estados es máxima en estas dos líneas. Con respecto al estado fundamental, vemos que la transición de segundo orden se produce en λc= 0.6. En resumen, el término anharmónico con α= 1 hace que la QPT del estado fundamental se produzca para valores más pequeños de λy genera en el sistema una segunda ESQPT continua en E/N =λ. 2.2. Aproximación de campo medio Una vez hemos obtenido las soluciones exactas (numéricas) del sistema, vamos a obtener una solución analítica por medio de una aproximación de campo medio [19]. La idea fundamental de la aproximación de campo medio es que, cuando el sistema es suficientemente grande, la interacción que sufre una partícula con el resto se puede aproximar por una interacción de campo medio que surge del conjunto de la acción de todas las partículas del sistema. De esta manera, los operadores que describen el Hamiltoniano se sustituyen por sus valores esperados en dicho campo.
20 Capítulo 2. Modelo simplificado de Lipkin Figura 2.10: Resultados del sistema con α= 1 yN= 250.Arriba Izq: Derivadas de la energía del estado fundamental con respecto a λ.Arriba Der: Valor esperado del parámetro de orden DSz+N/2 NEen función de la energía. Medio Izq:.Derivadas de la energía del estado excitado k/N = 0.4con respecto a λ.Medio Der:Derivadas de la energía del estado excitado k/N = 0.8con respecto a λ. Abajo Izq: salto escalado de energía entre estados para λ= 0.3.Abajo Der: Densidad de estados con respecto a la energía.
2.2. Aproximación de campo medio 21 A priori no tenemos una expresión para el campo medio, por lo que vamos a hacer un tratamiento variacional en el que utilizaremos una función de prueba que dependerá de algún parámetro. Se puede demostrar que hψ(β)|H|ψ(β)i ≥ E0, donde |ψ(β)ies la familia de funciones de prueba y E0la energía real del estado fundamental del sistema. Si en la familia de funciones de prueba que hemos utilizado está la que verdaderamente describe al sistema, la energía que obtengamos por este método coincidirá con la del estado fundamental real. En caso contrario, obtendremos una energía E > E0. Vamos a utilizar como función de prueba los estados coherentes de espín [22]. Estos estados minimizan la relación de indeterminación de Heisenberg. En este sentido, son la mejor aproximación cuántica de estados clásicos y, además, forman una base sobrecompleta. El estado coherente de espín normalizado se define como |s, βi=eβS+ (1 + ββ∗)S|s, −si,(2.7) donde βes un parámetro complejo, S+el operador de espín escalera y |s, −si ≡ |−si es el estado de espín de proyección más baja. En nuestro caso recordamos que s= N/2. Con estos estados, vamos a calcular el valor esperado de la energía y luego la minimizaremos. Para obtener la funcional de energía hs, β |H|s, βi, donde Hviene dado por la ecuación (2.1), haremos uso de las relaciones obtenidas en el apéndice B: S+|s, βi=∂ ∂β |s, βi, S−|s, βi=2sβ −β2∂ ∂β |s, βi, Sz|s, βi=β∂ ∂β −s|s, βi. (2.8) Con las ecuaciones (2.8), hallamos los términos del Hamiltoniano: Ds, β S2 +s, βE=2s(2s−1)β∗2 (1 + ββ∗)2,(2.9) Ds, β S2 −s, βE=2s(2s−1)β2 (1 + ββ∗)2,(2.10) hs, β |Sz|s, βi=s(ββ∗−1) (1 + ββ∗),(2.11) Ds, β S2 zs, βE=s(sβ2β∗2−2sββ∗+s+ 2ββ∗) (1 + ββ∗)2,(2.12) hs, β |S+S−|s, βi=2sββ∗(2s+ββ∗) (1 + ββ∗)2,(2.13)
28 Capítulo 3 Estructura y dinámica del sistema Hasta ahora hemos estudiado cómo podemos advertir la presencia de transiciones de fase estudiando la derivada de la energía con respecto al parámetro de control, el valor medio del parámetro de orden hSzio la densidad de estados. En este capítulo vamos a ver otras formas de advertir la presencia de transiciones de fase en el sistema: primero estudiando la estructura de los autoestados, es decir, la forma en que los elementos de la base forman cada autoestado y por último estudiando la dinámica del sistema por medio del eco de Loschmidt y del OTOC. 3.1. Estructura de los autoestados A lo largo de este trabajo, hemos reparado en una diferencia fundamental entre las transiciones del estado fundamental (QPTs) y las de estados excitados (ESQPTs): en el estudio de los parámetros de orden, las QPTs presentan un valor constante, generalmente nulo, de los parámetros de orden a algún lado del valor crítico; mientras que en las ESQPTs esto no ocurre, causando que la distinción de fases sea más complicada en este caso. Por ello, vamos a tratar otra propiedad que nos puede dar información acerca de las transiciones de fase de estados excitados: la estructura de los autoestados [17, 20].
3.1. Estructura de los autoestados 29 3.1.1. Cociente de participación inverso (IPR) Para analizar la estructura de los autoestados vamos a utilizar una magnitud conocida como cociente de participación inverso (IPR,del inglés inverse participation ratio). Esta magnitud nos da una idea de la deslocalización de un estado en una cierta base, en otras palabras, del número de elementos de la base que participan en la construcción del estado. Está por tanto relacionada con la matriz densidad y con la pureza del estado. Diremos que un valor grande del IPR indica un estado muy mezclado y un valor pequeño un estado más localizado. Definimos el IPR como: IPR ≡P(k)=1 Pi|c(k) i|4,(3.1) donde los coeficientes c(k) ison los términos del desarrollo del autoestado ken nuestra base dada por (2.2), tal como se explica en el apéndice A. Como debe cumplirse que Pi|ci|2= 1, para un sistema de Npartículas, un estado totalmente deslocalizado tendrá contribuciones idénticas de los Nelementos de la base, por tanto ci=1 √N∀i→IPR = Nmientras que uno totalmente localizado o puro presentará una única contribución de los elementos de la base, luego ci=δx,x0→IPR = 1. En la última fila de la figura 3.1 observamos el comportamiento del IPR por número de partículas para el estado fundamental en función de λcon α= 0 yα= 1. Para λ<λcel IPR muestra un valor más o menos constante hasta que en el punto crítico decae hacia el valor 1/N, valor que se mantiene para λc< λ ≤1, lo que significa que a este lado del punto crítico el estado fundamental está compuesto únicamente por un elemento de la base. En torno a λ= 0.4obtenemos un pico que en principio no debería existir y que se debe al número relativamente bajo de partículas que hemos utilizado para los cálculos, por eficiencia computacional. Si aumentamos el número de partículas, este pico desaparece. Vamos a estudiar ahora el IPR por número de partículas para un λfijo en función de la energía. En la figura 3.1 vemos cómo P/N es una función suave con la energía en la región λc< λ < 1, mostrando estados más localizados en los extremos. Por debajo del punto crítico λc, los extremos siguen estando muy localizados y la deslocalización aumenta a medida que aumentamos la energía, pero en la región crítica (E/N = 0 yE/N =λen el caso de α= 1)P/N presenta una caída muy marcada que además es más acentuada conforme crece el número de partículas. Después de esta caída el IPR vuelve a crecer para, por último, volver a decrecer de manera suave en los extremos. De manera general, podríamos decir que es una función suave de la energía excepto cuando hay presente una transición de fase que se reconoce
30 Capítulo 3. Estructura y dinámica del sistema en forma de caída marcada del IPR a la energía de la transición. Además, el IPR es menor conforme vamos aumentando el parámetro λ(obsérvese el eje de ordenadas de la figura 3.1), indicando la existencia de estados más localizados, hasta el punto de que en λ= 1 los autoestados coinciden con los de la base y, por tanto, P/N = 1/N. Nótese que en λ= 0.4volvemos a observar el pico de alto IPR antes de la primera ESQPT relacionado con el número relativamente bajo de partículas empleado. Según todo lo estudiado, el IPR puede utilizarse como herramienta para detectar los puntos críticos en los que se producen las ESQPTs. A pesar de que pueda parecer contraintuitivo, pues en la zona de la ESQPT la densidad de estados es mayor y uno espera que los estados estén más deslocalizados en zonas con alta densidad de estados, hemos visto que el IPR se hace muy pequeño en la energía crítica y esto significa que sólo unos pocos elementos de la base contribuyen a este estado crítico. Para entender esto mejor, vamos a estudiar las contribuciones de los elementos de la base en distintos autoestados. En la figura 3.2 se muestran las estructuras de algunos autoestados escritos en la base |s, msi. Los términos |c(k) i|2 representan la probabilidad de encontrar al autoestado |Ψki=PN/2 i=−N/2c(k) i|s, msien el vector |s, iide la base y ei=hs, i |H|s, iies la energía del vector de la base en el Hamiltoniano (2.1). En los casos no críticos, vemos que contribuyen muchos elementos de la base cuya energía es más alta (baja) según nos encontremos por encima (por debajo) de la ESQPT, con un pico en ambos límites de elementos contribuyentes. Con α= 0 los estados más próximos a la ESQPT están muy localizados en el estado de la base |s, −N/2i(señalado con un círculo en la figura 3.2). En el caso α= 1, los estados próximos a la ESQPT de E/N = 0 vuelven a estar muy localizados en el estado |s, −N/2i, sin embargo, aquellos cercanos a la ESQPT de E/N =λestán muy localizados en el estado de la base |s, N/2i(señalado también con un círculo en la figura 3.2). Nótese la diferencia de escala en el eje yen los distintos casos. Hemos visto cómo en la ESQPT los autoestados están muy localizados en un elemento de la base. Además, hemos encontrado una diferencia estructural entre ambas ESQPTs: mientras que en la ESQPT de E/N = 0 los autoestados se localizan en el estado |s, −N/2ide la base, en aquella que aparece en E/N =λtras incluir una anharmonicidad en el sistema, los autoestados se localizan en el estado |s, N/2ide la base.
3.1. Estructura de los autoestados 31 Figura 3.1: Tres primeras filas: IPR por número de partículas frente a la energía por partícula con N= 300. Columna izquierda: α= 0 yλ= 0.4,0.6,0.8respectivamente de arriba a abajo (λc= 0.8). Columna derecha: α= 1 yλ= 0.4,0.6,0.8de arriba a abajo (λc= 0.6). Última fila: IPR por número de partículas del estado fundamental frente al parámetro de control λ.
32 Capítulo 3. Estructura y dinámica del sistema Figura 3.2: Coeficientes al cuadrado de distintos autoestados |Ψkien la base |s, msi frente a la energía de los correspondientes vectores de la base; N= 300,λ= 0.5y α= 0 (izquierda), λ= 0.3yα= 1 (centro y derecha). La energía y el número de autoestado aparecen en cada imagen. En la fila de en medio aparecen los autoestados próximos a las ESQPTs. Las líneas verticales representan las ESQPTs.
3.1. Estructura de los autoestados 33 3.1.2. Distribución de Husimi Relacionado también con la estructura de los autoestados y como medida de la complejidad de los mismos podemos utilizar el segundo momento de la distribución de Husimi. Partiendo de la definición de estado coherente (B.6) del apéndice B, podemos definir la distribución de cuasiprobabilidad de Husimi como el solapamiento al cuadrado de un autoestado |Ψicon el estado coherente |s, βi: QΨ(β) = |hs, β|Ψi|2.(3.2) El parámetro variacional complejo βpuede escribirse como β=tan(θ/2)eıφ en un espacio de fases definido por (θ, φ). La distribución de Husimi se puede relacionar con la probabilidad de encontrar a nuestro sistema en una pequeña región del espacio de fases alrededor de β= (θ, φ). QΨ(θ, φ)está normalizada: Z2π 0dφ Zπ 0sinθdθ2s+ 1 4πQΨ(θ, φ) = 1.(3.3) Muchas veces se recurre al segundo momento de la distribución de Husimi, definido como: M2 Ψ=4s+ 1 4πZ2π 0dφ Zπ 0sinθdθQ2 Ψ(θ, φ).(3.4) Es este segundo momento M2 Ψel que se conecta con el caos de un sistema. Para calcularlo, hay que evaluar el solapamiento hs, β|Ψi; y para ello comenzamos calculando el solapamiento hs, β|s, msi, siendo |s, msilos elementos de la base en los que esta desarrollado el autoestado |Ψi. A partir de la ecuación (B.6) obtenemos directamente: hs, β|s, msi=1 (1 + ββ∗)S 2s ms!1/2 βms.(3.5) De la definición (3.2) y escribiendo β=tan(θ/2)eıφ: Q|s,msi(θ) = 1 (1 + ββ∗)2s 2s ms!β2ms,(3.6) o, recordando que tan2(θ/2) = (1 −cosθ)(1 + cosθ)−1: Q|s,msi(θ) = 1 22s 2s ms!(1 −cosθ)ms(1 + cosθ)−ms.(3.7)
34 Capítulo 3. Estructura y dinámica del sistema Se puede demostrar que el segundo momento de Husimi es entonces: M2 |s,msi=2s ms2 4s 2ms.(3.8) Con todo esto, podemos decir que para un estado general |Ψi,el segundo momento de Husimi puede escribirse como: M2 |Ψi= 2s X m=0 |cm|22s m2 4s 2m.(3.9) Vamos a ver como los resultados obtenidos a partir de la ecuación (3.9) son muy similares a los obtenidos con el IPR, con la diferencia de que valores altos del segundo momento de Husimi M2indican estados localizados mientras que en el caso del IPR los estados localizados se relacionan con valores bajos de éste. De este modo, podemos utilizar también el segundo momento de Husimi como herramienta para localizar los puntos críticos en los que se produce la transición. En la figura 3.3 mostramos los resultados de manera análoga a la figura 3.1 en la que mostrábamos los del IPR, aunque con un número de partículas menor debido a la eficiencia computacional. Es por ello que no obtenemos picos suaves en las regiones críticas que sí obtendríamos si elevásemos el número de partículas; aunque se observa bien el comportamiento esperado. En el caso del estado fundamental, vemos un salto de valor desde M2≈0.1hasta M2= 1 en torno al punto crítico λc. Cuando representamos M2frente a la energía por partícula para valores fijos de λ, obtenemos picos marcados en las regiones críticas así como un valor cercano a la unidad para el estado más excitado cuando α= 0,indicando que el estado coincide con unos pocos elemento de la base. Una diferencia que encontramos con respecto al IPR, es que M2mantiene su valor mínimo (a priori estados deslocalizados) excepto cuando nos encontramos estados muy localizados en los que contribuyen sólo unos pocos elementos de la base; en cambio, el IPR señala también estados "intermedios", en los que intervienen un número pequeño de elementos, sin llegar a ser únicamente uno o dos elementos de la base. Podemos observar esta reflexión fijándonos en los mínimos locales que obtenemos en la figura 3.1 para el estado fundamental en los casos λ= 0.4,0.6para α= 0. Vemos cómo aquí el IPR muestra un valor pequeño (estados localizados), aunque no tan pequeño como el que se obtiene en la región crítica o para el estado más excitado; mientras que M2no da señal ninguna
3.2. Dinámica del quench 35 de esto. 3.2. Dinámica del quench En esta sección vamos a ver cómo podemos encontrar indicios de las ESQPTs estudiando la evolución en el tiempo del sistema. Tal y como explicamos en la sección 1.3, vamos a someter al sistema a un quantum quench, un cambio abrupto del parámetro λ, y a estudiar cómo evoluciona por medio de dos magnitudes: el eco de Loschmidt y el OTOC. 3.2.1. Eco de Loschmidt Vamos a empezar estudiando el proceso de relajación del sistema por medio del estudio del eco de Loschmidt: r(t) = DΨ0|eıH2te−ıH1t|Ψ0E hΨ0|Ψ0i 2 .(3.10) Por comodidad, vamos a estudiar el caso en el que el sistema parte del estado fundamental |Ψ0ique es autoestado del Hamiltoniano H1=H(λ1), aunque se puede calcular en cualquier otro caso. Con esta elección la expresión (3.10) queda: r(t) = DΨ0|eıH2t|Ψ0E hΨ0|Ψ0i 2 .(3.11) Hacemos que en el instante t= 0 el parámetro λcambie súbitamente de un valor λ1 a otro valor λ2. El estado |Ψ0ino es autoestado del nuevo Hamiltoniano H2=H(λ2), por tanto, para calcular r(t)será útil expresar |Ψ0ien función de los autoestados del nuevo Hamiltoniano H2|φ2ii: |Ψ0i=X i ci|φ2ii,(3.12)
36 Capítulo 3. Estructura y dinámica del sistema Figura 3.3: Tres primeras filas: Segundo momento de Husimi frente a la energía por partícula con N=100. Columna izquierda: α= 0 yλ= 0.4,0.6,0.8de arriba a abajo (λc= 0.8).Columna derecha: α= 1 yλ= 0.4,0.6,0.8de arriba a abajo (λc= 0.6). Última fila: Segunda distribución de Husimi del estado fundamental frente al parámetro de control λ.
3.2. Dinámica del quench 37 de modo que r(t) = PieıE2ithφ2i|Ψ0ihΨ0|φ2ii hΨ0|Ψ0i 2 ,(3.13) donde E2ies el autovalor del Hamiltoniano H2asociado a cada autoestado φ2i. Antes hemos indicado que el objetivo de todo esto es estudiar como influyen las ESQPTs en la relajación del sistema, por ello, la elección del λ2será crucial para observar tal comportamiento. Si escogemos el nuevo parámetro tal que λ2=λ1+δsiendo δun parámetro real, podemos escribir: H2=H1+δSz+N 2+1 N(S++S−)2.(3.14) A partir de esta expresión podemos deducir el valor crítico que debe tomar δpara que el sistema se encuentre en la línea correspondiente a la ESQPT tras el quench: δc=εc−hΨ0|H1|Ψ0i hΨ0|H0|Ψ0i=εc−ε1 ε0 1 ,(3.15) donde εc=hΨ0|H2|Ψ0ies la energía a la que queremos mandar el sistema ( la de la línea crítica) y H0=Sz+N 2+1 N(S++S−)2. En la columna izquierda de la figura 3.4 observamos el eco de Loschmidt para α= 0 calculado para distintos valores de δpartiendo siempre desde el estado fundamental con λ1= 0.4. Apreciamos que el eco de Loschmidt presenta unas oscilaciones regulares amortiguadas en los casos en los que no nos encontramos cerca de la región crítica. Cuando nos encontramos lejos de la ESQPT, las oscilaciones presentan mayor frecuencia y amplitud constante (el sistema vuelve periódicamente a su estado inicial con r(t) = 1). En cambio, conforme nos vamos acercando a la ESQPT nos encontramos con menos oscilaciones y además la amplitud de éstas va decreciendo (el sistema no vuelve a su estado inicial). Como caso límite, en las regiones cercanas a la ESQPT con δc= 0.3, este comportamiento amortiguado deja de existir y nos encontramos con que el eco de Loschmidt decae rápidamente a cero y solo se aprecian unas pequeñas oscilaciones (cuanto mayor sea Nmenores son estas oscilaciones). Otra peculiaridad es que la anchura de los picos varía con el tiempo y con la región en la que nos encontremos. Vamos a analizar ahora el eco de Loschmidt para α= 1, parámetro para el cual el espectro de energía mostraba dos líneas críticas. En la columna central de la figura 3.4 observamos el eco para distintos valores del parámetro δpartiendo del estado fundamental con λ1= 0.3.En este caso volvemos a apreciar las oscilaciones regulares
44 Capítulo 4 Resumen y conclusiones A lo largo del trabajo se ha presentado un modelo simplificado de Lipkin con el cual introducirnos en los conceptos de transición de fase cuántica del estado fundamental (QPT) y de estados excitados (ESQPT). Se ha resuelto el sistema de manera exacta (numérica) por medio de la diagonalización del Hamiltoniano en una base adecuada. Además, para comparar los resultados, se ha hecho una aproximación de campo medio a partir de estados coherentes de espín para obtener una solución analítica del sistema en el límite termodinámico. Por último, se ha estudiado el efecto de un quantum quench en el sistema y su relación con las transiciones de fase. Concretamente, hemos estudiado el Hamiltoniano y el espectro de energías del modelo de Lipkin, identificando en él una zona con alta densidad de estados que corresponde a la zona de transición de fases. A su vez, hemos visto cómo al añadir un término anharmónico al Hamiltoniano, el espectro se ve afectado mostrando una nueva zona de alta densidad de estados, correspondiente a una nueva transición de fase del sistema. Hemos comprobado cómo las transiciones se producen para un valor concreto del parámetro del Hamiltoniano del sistema, y hemos hallado este valor estudiando las derivadas de la energía o el valor esperado de algún operador, que hemos identificado como parámetro de orden al hacerse nulo en una de las fases. Se ha observado cómo en el estado fundamental, podemos distinguir dos "fases" en función del valor que toma el parámetro de orden Sza ambos lados del punto crítico, siendo nulo en uno de ellos. Por contra, muchas veces para los estados excitados, el parámetro de orden no muestra diferencia cualitativa a ambos lados de la ESQPT, impidiendo así distinguir entre dos "fases".
45 Hemos estudiado también cómo los resultados exactos se ajustan bien para un número relativamente bajo de partículas a los obtenidos en la aproximación de campo medio en el límite termodinámico, a partir de un método variacional utilizando estados coherentes de espín como función de prueba. Se ha comprobado cómo el término anharmónico influye en los resultados obtenidos y se ajustan bien a los analíticos, excepto en la región de energía superior a la ESQPT que se encuentra en E/N =λ, donde de manera exacta se obtienen varios estados degenerados de los cuales la aproximación de campo medio no parece dar ningún indicio. De igual forma, hemos visto que la estructura de los autoestados nos puede dar información acerca de las zonas críticas de transición; y cómo magnitudes como el IPR o el segundo momento de la distribución de Husimi, pueden ser tomados como parámetros de orden para detectar los puntos en los que se producen las transiciones. Además, hemos comprobado cómo en el caso anharmónico la estructura de las dos ESQPTs es distinta. En cuanto a la dinámica del quench, se ha comprobado que la presencia de ESQPTs en el sistema influye de manera notable en el comportamiento dinámico del sistema. Se ha estudiado cómo el eco de Loschmidt nos da información acerca de la relajación del sistema y cómo para cierto quench crítico, relacionado con la ESQPT, el sistema se comporta de manera muy singular, permitiendo así reconocer estas zonas críticas. Además, se ha explicado por qué nuestra elección del quench nos impide llevar al sistema a la nueva línea crítica cuando añadimos el término anharmónico y se ha introducido una manera alternativa de examinar esa zona crítica. Por otra parte, hemos trabajado con la dinámica del OTOC tras un quench y se ha comprobado que la presencia de una transición de fase afecta de manera considerable a éste, permitiendo así identificar la región crítica. Además hemos visto que el valor estacionario del OTOC puede tomarse como un nuevo parámetro de orden que permita estudiar las ESQPTs presentes en el sistema. Sin embargo, el OTOC no nos permite estudiar la transición adicional que presenta el sistema en el caso anharmónico. En definitiva, se ha trabajado con un modelo exactamente soluble para acercarnos al concepto de transición de fase cuántica y se han estudiado diversas formas de identificarlas a partir de la influencia que éstas tienen en el sistema. Para realizar todos los cálculos necesarios, se ha desarrollado un programa en MATLAB.
46 Apéndice A Resolución algebraica de la ecuación de Schrödinger Vamos a comprobar que resolver la ecuación diferencial de Schrödinger es equivalente a diagonalizar el Hamiltoniano en una base. Antes de abordar el problema, analizaremos un caso similar de aspecto puramente matemático para explicar el método de diagonalización. Supongamos un operador A, definido en un espacio vectorial de dimensión 2 y queremos resolver el problema de autovalores dado por A~u =λ~u , (A.1) o lo que es lo mismo, queremos hallar los vectores propios ~u de A, tal que el operador A actuando sobre dichos vectores nos devuelve el mismo vector multiplicado por una cierta constante λ. Sea {~ i,~ j}una base de nuestro espacio vectorial 2-dimensional, el operador A quedará completamente determinado si sabemos cómo actúa dicho operador sobre los vectores de la base. Generalmente, la acción de A sobre los estados de la base nos devolverá una combinación lineal de dichos estados: A ~ i=a ~ i+b~ j , (A.2) A~ j=c ~ i+d~ j , (A.3)
47 de igual forma, los vectores ~u serán una combinación lineal de los elementos de la base ~u =u1 ~ i+u2~ j , (A.4) por tanto, calcular ~u se reduce a obtener los coeficientes u1yu2en una cierta base. Usando estas tres últimas ecuaciones, podemos escribir la ecuación (A.1) en forma matricial a b c d u1 u2 =λ u1 u2 , de manera que resolver el problema de autovalores (A.1) es equivalente a diagonalizar la matriz del operador. Ahora vamos a analizar nuestro problema cuántico. El objetivo es resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo dada por Hψk=Ekψk,(A.5) que es un problema de autovalores para el operador Hamiltoniano. Para resolverlo es necesario encontrar las autofunciones ψky los autovalores de energía Ekpara k= 1,2,3... Haciendo un paralelismo con el caso estudiado antes, podemos partir de una base del espacio de Hilbert del problema que llamaremos {φn}. Los autoestados ψk podemos desarrollarlos en términos de esta base: ψk=∞ X n=1 c(k) nφn.(A.6) Sustituyendo este desarrollo en la ecuación (A.5), obtenemos H∞ X n=1 c(k) nφn=Ek ∞ X n=1 c(k) nφn.(A.7) De modo que hallar los autoestados ψkes lo mismo que determinar los coeficientes {c(k) n}. Multiplicando esta ecuación por φ∗ ma la izquierda e integrando en todo el espacio ∞ X n=1 c(k) nhm|H|ni=Ek ∞ X n=1 c(k) nhm|ni=Ekc(k) m,(A.8) donde se ha usado la notación de Dirac1y las propiedades de ortogonalidad de una base del espacio de Hilbert, i.e, hm|ni=δm,n. La ecuación (A.8) puede escribirse en 1En la notación de Dirac: RdV φ∗ m(x)H φn(x)→ hm|H|ni.
48 Apéndice A. Resolución algebraica de la ecuación de Schrödinger forma matricial H1,1H1,2··· H2,1H2,2··· . . .. . .... c(k) 1 c(k) 2 . . . =Ek c(k) 1 c(k) 2 . . . ,(A.9) donde Hm,n =hm|H|ni. La matriz hamiltoniana se puede interpretar como una representación del Hamiltoniano en la base {φn}. Así que resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es equivalente a resolver una ecuación matricial lineal en la que para obtener los autovectores y autovalores es necesario diagonalizar la matriz hamiltoniana.
49 Apéndice B Estados coherentes Un estado coherente de espín se define de manera general como la autofunción del operador de bajada de espín S−: S−|s, βi=β|s, βi.(B.1) donde βes un número complejo. Es fácil demostrar entonces que: |s, βi=AeβS+|s, −si,(B.2) donde Aes una constante de normalización, βes un parámetro complejo, S+el operador de subida de espín y |s, −si ≡ |−sies el estado de espín de proyección más baja. En este trabajo, el espín vale s=N/2. Para hallar la constante de normalización Adebemos hacer hs, β|s, βi= 1. Para ello primero debemos demostrar que: Sn +|−si=n!v u u t 2s n!|−s+ni.(B.3) Lo haremos aplicando de manera iterativa la ecuación de autovalores de S+de la ecuación (2.3): k= 1; S+|−si=qs(s+ 1) −(−s)(−s+ 1)|−s+ 1i=√2s|−s+ 1i, k= 2; S2 +|−si=S+√2s|−s+ 1i=q2(2s−1)√2s|−s+ 2i, k= 3; S3 +|−si=q3(2s−2)q2(2s−1)√2s|−s+ 3i,
50 Apéndice B. Estados coherentes . . . k=i;Si +|−si=qi[2s−(i−1)]. . . q3(2s−2)q2(2s−1)√2s|−s+ii.(B.4) Con la forma del término i-ésimo, tenemos la forma general para n: Sn +|−si=qn[2s−(n−1)]q(n−1)[2s−(n−2)] . . . q[n−(n−1)] [2s−(n−n)]|−s+ni, Sn +|−si=qn![2s−(n−1)][2s−(n−2)] . . . [2s]|−s+ni= =sn!2s! (2s−n)! |−s+ni=n!v u u t 2s n!|−s+ni.(B.5) Una vez hemos demostrado esto, usaremos la expansión en serie de la exponencial ex=P∞ n=0 xn n!para escribir la ecuación (B.2): |s, βi=A 2s X n=0 (βS+)n n!|−si=A 2s X n=0 βnv u u t 2s n!|−s+ni.(B.6) En nuestro caso la suma sólo es hasta 2sporque es el número de elementos de la base. De igual forma, el estado coherente conjugado es: hs, β|=A∗ 2s X m=0 β∗S+ +m m!h−s|=A∗ 2s X m=0 β∗mv u u t 2s m!|−s+mi,(B.7) por tanto, la constante de normalización se obtiene de: hs, β|s, βi=AA∗ 2s X n=0 2s X m=0 βnβ∗mv u u t 2s n! 2s m!δm,n =|A|2 2s X n=0 (ββ∗)n 2s n!= =|A|2(1 + ββ∗)2s= 1 ⇒ |A|= (1 + ββ∗)−s.(B.8) Donde en el último paso se ha utilizado el teorema del binomio: (1 + x)n=Pn k=0 n kxk. Por tanto el estado coherente normalizado es: |s, βi=eβS+ (1 + ββ∗)s|−si.(B.9) Ahora vamos a demostrar las relaciones diferenciales de la ecuación (2.8). Empeza-
51 remos con S+|s, βi=∂ ∂β |s, βi, tenemos que (no escribiremos la constante de normalización por simplicidad en la notación y porque no influye en los cálculos): S+|s, βi= 2s X n=0 βnSn+1 + n!|−si.(B.10) Teniendo en cuenta que ∂ ∂β βn+1 = (n+ 1)βn, multiplicamos y dividimos por (n+ 1) y obtenemos: S+|s, βi= 2s X n=0 ∂ ∂β βn+1Sn+1 + (n+ 1)! |−si=∂ ∂β |s, βi.(B.11) La última igualdad se obtiene simplemente haciendo un cambio de variable en los índices de la suma n+ 1 = k. Vamos a demostrar ahora Sz|s, βi=β∂ ∂β −s|s, βi: Sz|s, βi=Sz 2s X n=0 βnSn + n!|−si.(B.12) Tenemos, por tanto, que examinar el término SzSn +, utilizando la relación de conmutación [Sz, S+] = S+: SzSn +=SzS+Sn−1 += (S++S+Sz)Sn−1 +=Sn ++S+SzSn−1 +=Sn ++S+(S++S+Sz)Sn−2 += = 2Sn ++S2 +SzSn−2 +=... =nSn ++Sn +Sz.(B.13) Hemos llevado el término Sza la derecha, que es lo que buscábamos y aparte tenemos un término más: Sz|s, βi= 2s X n=0 βnSn + n!(n+Sz)|−si.(B.14) Si utilizamos ahora que Sz|ms>=ms|ms>, obtenemos: Sz|s, βi= 2s X n=0 βnSn + n!(n−s)|−si= 2s X n=0 n βnSn + n!|−si−s|s, βi.(B.15) Nos damos cuenta que ∂ ∂β βn=n βn−1, por tanto multiplicamos y dividimos por βen el sumatorio y obtenemos la derivada de beta: Sz|s, βi=β 2s X n=0 ∂ ∂β βnSn + n!|−si−s|s, βi= β∂ ∂β −s!|s, βi.
52 Apéndice B. Estados coherentes Por último, vamos a demostrar S−|s, βi=2sβ −β2∂ ∂β |s, βi: S−|s, βi=S− 2s X n=0 βnSn + n!|−si.(B.16) Ahora debemos examinar el término S−Sn +, utilizando la relación de conmutación [S+, S−]=2Sz: S−Sn += (S+S−−2Sz)Sn−1 +=S+(S+S−−2Sz)Sn−2 +−2(S++S+Sz)Sn−2 += = (S2 +S−−4S+Sz)Sn−2 +−2Sn−1 += (S3 +S−−6S2 +Sz)Sn−3 +−6Sn−1 +=. . . = = (Sk +S−−2kSk−1 +Sz)Sn−k +−k(k−1)Sn−1 +=Sn +S−−2nSn−1 +Sz−n(n−1)Sn−1 +.(B.17) Una vez tenemos estos términos, podemos expresar : S−|s, βi= 2s X n=0 βn n!Sn +S−−2nSn−1 +Sz−n(n−1)Sn−1 +|−si.(B.18) Sabemos que S−|−s >= 0 , luego nos queda S−|s, βi= 2s X n=0 βnSn−1 + n!(−2nSz−n(n−1))|−si.(B.19) Multiplicamos y dividimos por βen el primer término además de usar de nuevo la ecuación de autovalores de Sz, y por β2en el segundo además de la sustitución ∂ ∂β βn−1= (n−1)βn−2. Obtenemos: S−|s, βi= 2sβ −β2∂ ∂β !|s, βi.(B.20)
53 Apéndice C Programa de Matlab En este apéndice se muestra el programa de Matlab desarrollado para obtener todos los resultados del trabajo. No se han incluido aquellas líneas de código destinadas a la obtención de representaciones gráficas por simplificar el código. 1%En este programa se diagonaliza el hamiltoniano de Lipkin 2%con una anharmonicidad en una base de spin S=N/2, Ms. 3tic 4close all 5clear variables 6%Definimos los parámetros 7alpha =0; %Parámetro alpha 8incremento =0.005; lambda =0.0: incremento :1; %Parámetro lambda 9%Valor fijo de lambda y su posicion en el vector 10 lambda1 =.4; poslambda1 = find(abs ( lambda - lambda1 ) <1e -4) ; 11 delta =0.7; lambda2 = lambda1 + delta ; %Parámetro delta y lambda 2 12 N =100; %Número de partículas del sistema 13 %Número de excitación k/N 14 eqn =(0:1: N)/N; estex =0; posestex = find(abs(eqn - estex ) <1e -3) ; 15 %Definimos la base y los operadores Sz Smas Smenos 16 s=N/2; ms=-s:s; 17 Szmedio=zeros (length(ms),length(lambda),length(N)); 18 Sx= zeros (length( ms)); Sy = zeros (length(ms)); 19 Szi = zeros (1, length(ms)); 20 for ii =1:2* s +1;
60 Bibliografía [16] M.A. Caprio, P. Cejnar, F. Iachello. Annals of Physics 323, 1106–1135 (2008). [17] Lea F. Santos, Francisco Pérez-Bernal. Phys. Rev. A 92, 050101 (2015). [18] F. Perez-Bernal y O. Alvarez-Bajo. Phys. Rev. A 81, 050101(R) (2010). [19] F. Pérez-Bernal y F. Iachello. Phys. Rev. A 77, 032115 (2008). [20] L. F. Santos, M. Tavora, y F. P-Bernal, Phys. Rev. A 94, 012113 (2016) [21] P. Cejnar, M. Macek, S. Heinze, J. Jolie, y J. Dobes, J. Phys. A: Math. Gen. 39, L515 (2006). [22] J M Radcliffe. Some properties of coherent spin states. J. Phys. A: General Physics, Volume 4, Number 3 (1971). [23] Q. Wang y F. Perez-Bernal. Probing excited-state quantum phase transition in a quantum many body system via out-of-time-ordered correlator. arXiv:1812.01920 (2018). [24] J. J. Sakurai y J. Napolitano. Modern Quantum Mechanics: Second Edition. Ed. Pearson (2010).