Números constructibles

Números Constructibles Francisco Nieto Rueda Números Constructibles Francisco Nieto Rueda Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Manuel Jesus Gago Vargas Índice general English Abstract 1 Introducción 3 Preliminares 7 1. Construcciones Geométricas básicas 11 1.1. Bisección del angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Perpendicular a una recta en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Paralela a una recta que pasa por un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Regla y Compás 17 2.1. Operaciones permitidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Números constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3. Estructura de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4. Relación con extensiones de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5. Problemas clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6. Relacion con teoría de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 II NÚMEROS CONSTRUCTIBLES 3. Polígonos regulares y raíces de la unidad 31 3.1. Primos de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2. Caracterización de constructibilidad de un polígono . . . . . . . . . . . 32 4. Origami 35 4.1. Trisección del ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2. Resolución de ecuaciones cúbicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3. Números de Origami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4. Estructura de cuerpo y extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5. Relación con la teoría de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.6. Problemas clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5. Polígonos regulares por Origami 45 5.1. Primos de Pierpont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2. Caracterización de constructibilidad de un polígono con origami . . . 46 6. Regla marcada e intersección de cónicas 49 6.1. Regla marcada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.2. Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7. Axiomas de Lang 53 English Abstract / Resumen The main goal in this work is the comparison between the classical methods of drawing a figure using straight edge and compass and a new approach that uses folding a paper. These new numbers are called origami numbers, which allow us trisect an angle and duplicate the cube. We compare too the conditions for a regular polygon to be constructed, based on theorems from Galois Theory. El objetivo del trabajo es la comparativa entre las construcciones clásicas mediante regla y compás y las que se obtienen con la adicion de un tipo de plegado que da lugar a los números origami. Mediante estos últimos es posible la construcción de la trisección del angulo y de la duplicación del cubo, así como ampliar el conjunto de polígonos regulares que se pueden obtener con estas nuevas operaciones. Las demostraciones implican el uso de conceptos procedentes de la teoría de Galois. Introducción Un número constructible es un número que puede ser obtenido en base a unas operaciones permitidas. Las construcciones con regla y compás han sido el método de construcción más utilizado y conocido en toda la historia y es en lo que nos centraremos en la primera parte de nuestro trabajo. Estas creaciones siguen siendo muy importantes en la actualidad en especial para la geometría y el dibujo. En un principio veremos qué elementos podemos elaborar con movimientos de regla y compás, como pueden ser la bisección del angulo y la perpendicular a una recta para luego formalizar qué operaciones son permitidas y qué puntos iniciales tomamos. La formalización de los puntos es importante ya que elaboraremos una base con la que poder trabajar sobre los números que consideraremos constructibles. Un ejemplo será la obtención de rectas a partir de puntos constructibles ya que la intersección de estas resultara en puntos también constructibles. Con la idea en mente de expandir el número de puntos constructibles que podemos conseguir con los movimientos de regla y compás le damos estructura de cuerpo al conjunto de números constructibles de forma que podemos saber si un número es o no constructible en base a su valor sin tener que ser representado gráficamente ni obtenerlo desde cero. También veremos cadenas de extensiones de cuerpos y algunos corolarios que nos ayudarán a poder discernir mas fácilmente si un número es constructible. La teoría de Galois también nos será útil para localizar números constructibles ya que estudiando el polinomio mínimo de una raíz αpodremos saber si dicha raíz es constructible. En concreto podremos ver que siendo Lel cuerpo de descomposición del polinomio mínimo de αsobre Q, si [L:Q] es una potencia de 2 entonces α será constructible. 10 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES Teorema 0.5. (Teorema fundamental de la teoría de Galois) Sea K /k una extensión de Galois, sea G =Gal(K/k)su grupo de Galois y sea K Hel cuerpo fijo asociado al subgrupo H 1. Existe una correspondencia biyectiva entre los subcuerpos de K que contienen a k y los subgrupos de G, dada por: ©Subcuerpos M|k⊂M⊂Kª←→ ©Subgrupos H|{id}≤H≤Gª M7−→ G(K/M) KH←− H Esta correspondencia invierte las inclusiones. 2. La extensión M/k es normal si y solo si el subgrupo H =G(K/M)es normal en G. Y en este caso, el grupo de Galois G(M/k)es isomorfo al cociente G/H. Es decir: G(K/k)/G(K/M)∼ =G(M/k). 3. Para todo subcuerpo M, si denotamos H =G(K/M), se tiene: [K:M]=|H|, [M:k]=|G| |H|. Proposición 0.1.Sea Kel cuerpo de descomposición de un polinomio en F[x], y supongamos que h∈F[x] es irreducible y tiene las raíces α,β∈K. Entonces existe el isomorfismo σ:K→Kque es la identidad en Fy va de αaβ. Definición 0.14. Dado un entero positivo n, se define la función φ(n)de euler como el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n, es decir φ(m)=|{n∈N|n≤m∧mcd(m,n)=1}| Lema 0.1.Sea φla función definida anteriormente. 1. Si nymenteros son coprimos, entonces φ(nm)=φ(n)φ(m). 2. Si n>1 es un entero, entonces φ(n)=nY p|n (1−1 p), donde el producto es sobre todos los primos pque dividen a n Corolario 0.1.Sea ζn=e2π/nla raíz n-ésima primitiva de la unidad. Entonces se tiene [Q(ζn) : Q]=φ(n). 1 Construcciones Geométricas básicas A lo largo del trabajo usaremos técnicas básicas de construcción de elementos geométricos como por ejemplo la bisección del angulo. Aquí expondremos la construcción de algunos de estos elementos por diferentes métodos básicos que nos ayudarán en los siguientes capítulos. Los métodos usados serán regla y compás, donde los métodos son muy conocidos, y Origami, donde no lo son tanto. 1.1 Bisección del angulo Regla y compás: Sean rysdos rectas r6= sque se cortan en un punto γ. Trazamos una circunferencia de radio |α|>0 y centro γque corta a las rectas en los puntos RySrespectivamente. Luego trazamos dos circunferencias de mismo radio y centros RyS. La recta que une los dos puntos de corte de las dos ultimas circunferencias será la recta que divide el angulo en dos. La construcción aparece en la figura 1.1. Origami: Sean rysdos rectas r6= sque se cortan en un punto γ. Doblamos el papel de forma que las rectas se superpongan (trivialmente pasaremos por el punto γ). La recta generada por el doblez es la que divide el angulo en dos. La construcción aparece en la figura 1.2. 12 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES γ r γ2 s Figura 1.1: Bisección del angulo r γ s Figura 1.2: Bisección del angulo (Origami) 1.2 Perpendicular a una recta en un punto Regla y compás: Sea runa recta y γun punto de ella. Trazamos la circunferencia de centro el punto y radio α>0. La intersección con la recta nos da dos puntos Ry S. Ahora hacemos las circunferencias de radio d(R,S) y de centro Ry otra del mismo radio de centro S. La recta que se forma con la unión de los puntos de intersección de las circunferencias es perpendicular a la recta pasando por γ. La construcción aparece en la figura 1.3. 1. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS 13 r γ S R γ2 Figura 1.3: Perpendicular a una recta en un punto Origami: A partir de la recta y el punto γcontenido en ella basta con superponer la recta consigo misma a través de un plegado del papel dejando el punto γdentro de la recta que se genera al haber doblado dicho papel. La recta generada es la perpendicular a γ. La construcción aparece en la figura 1.4. 1.3 Paralela a una recta que pasa por un punto Regla y compás: Sea rla recta y γel punto por el que pasará la paralela. Primero hacemos una circunferencia de centro γy radio α>0 tal que la recta rcorte a la circunferencia. Luego a partir del punto de corte, que llamaremos γ2, con el mismo radio trazamos la circunferencia que pasa por γy corta la recta en γ3. Ahora trazamos otra circunferencia de centro γ3y radio d(γ2,γ3) y llamaremos γ4al punto de corte de esta circunferencia con con la primera circunferencia que hicimos. La recta que pasa por γyγ4será nuestra paralela. La construcción aparece en la figura 1.5. 14 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES γ Figura 1.4: Perpendicular a una recta en un punto (Origami) γ γ2γ3 γ4 Figura 1.5: Paralela a una recta que pasa por un punto Origami: Sea rla recta y γel punto. El método mas fácil para el calculo de la paralela no es mas que usar el método de calculo de perpendiculares dos veces. Calculas la perpendicular que pasa por γy luego otra perpendicular a la anterior que pase por γde nuevo. Con esto tendremos la recta paralela. La construcción aparece en la figura 1.6. 1. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS 15 r γ Figura 1.6: Paralela a una recta que pasa por un punto (Origami) 2 Regla y Compás La idea de hacer construcciones geométricas usando regla y compás se remonta a los antiguos griegos (en el caso de no mencionarlo nos referiremos siempre a la regla no marcada). En este capitulo veremos la formalización de las operaciones permitidas así como la conexión existente entre la teoría de Galois y dichas construcciones geométricas. 2.1 Operaciones permitidas Antes hemos podido ver construcciones básicas de regla y compás como puede ser la bisección del angulo o la perpendicular a una recta dada pero para probar teoremas sobre construcciones geométricas debemos tener cuidado describiendo qué es una construcción. La idea es empezar con algunos puntos conocidos y, a partir de estos, caracterizar los que podemos construir. Teniendo en cuenta que a partir de la regla podemos construir la linea que une dos puntos y que con el compás podemos construir círculos a partir de un radio conocido (que puede ser la distancia entre dos puntos) es intuitivo que las primeras construcciones sean las siguientes: C1. Con α6=β, podemos dibujar la recta lque une αyβ. C2. Con γyα6=β, podemos dibujar un círculo Cde centro γy radio la distancia de αaβ. Ademas, a partir de estas construcciones, podemos construir nuevos puntos con la intersección de estos: P1. El punto de intersección de dos rectas l1,l2construidas por C1. 18 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES P2. Los puntos de intersección de la recta lde C1 y la circunferencia Cde C2. P3. Los puntos de intersección de dos circunferenciasC1,C2construidas por C2. De modo que a partir de dos puntos iniciales y una secuencia de C1, C2, P1, P2 y P3 podremos obtener un conjunto de puntos. Para nosotros, el plano será el conjunto de los números complejos Cy los dos puntos iniciales serán 0 y 1. 2.2 Números constructibles Definición 2.1. Un número complejo αes constructible si se puede construir con una secuencia finita de construcciones con regla y compás usando C1, C2, P1, P2 y P3 tal que comenzando con 0 y 1 podemos construir α. Ejemplo 2.1.Desde 0 y 1 podemos obtener el eje xusando C1 y la circunferencia de radio 1 centrada en 1 usando C2. Esta interseca en los números 0 y 2. Por P2, 2 es constructible. La iteración de esto resulta en que todo n∈Zes constructible. Una vez formalizadas los operaciones permitidas necesitaremos formalizar las construcciones básicas vistas anteriormente. Ejemplo 2.2.Bisectriz: Sean rysdos rectas r6=sque se cortan en un punto γ. Por C2 trazamos una circunferencia de centro γy radio |α|>0. Por P2 la intersección de la circunferencia con las rectas nos dan los puntos RyS. Ahora por C2 trazamos las circunferencias de centro RyScon mismo radio. La intersección de ambas circunferencias, por P3, será un punto constructible y por tanto podemos obtener la bisectriz. Ejemplo 2.3.Perpendicular: Sea runa recta y γun punto de ella. Por C2 trazamos la circunferencia de radio α>0 y centro γ. Por P2 la intersección de la circunferencia y la recta nos da los puntos RyS. Ahora por C2 trazamos las circunferencias de radio d(R,S) y centro RyS. Los puntos generados por la intersección de circunferencias, por P3, son constructibles. Por tanto se puede obtener la perpendicular a una recta en un punto ya que la recta que une dichos puntos es dicha perpendicular. Ejemplo 2.4.Paralela: Sea rla recta y γel punto por el que pasará la paralela. Por C2 trazamos la circunferencia de centro γy radio α>0 tal que la recta rcorte a la circunferencia. Por P2 dicha intersección nos dará el punto γ2. Por C2 nuevamente trazamos la circunferencia de centro γ2y radio α.Por P2 la intersección de la circunferencia anterior y la recta nos da el punto γ3. 2. REGLA Y COMPÁS 19 Ahora por C2 trazamos la circunferencia de centro γ2y radio d(γ2,γ3). El punto generado por la intersección de esta circunferencia y la primera que hicimos, por P3, es constructible. Por tanto se puede obtener la paralela a una recta que pase por un punto ya que es la recta que une γcon γ4. 2.3 Estructura de cuerpo Teorema 2.1. El conjunto C={α∈C|αes constructible }es un subcuerpo de C. Ademas: 1. Sea α=a+ib ∈C, donde a,b∈R. Entonces α∈Csi y solo si a,b∈C. 2. Si α∈Centonces pα∈C Demostración. Primero vamos a probar que Ces un subgrupo para la suma. Tomamos α∈C−{0}y construimos la recta que conecta el 0 con αmediante C1 y el círculo de radio |α|centrado en el origen mediante C2. Como esto interseca en ±α,el número −αes constructible por P2. Supongamos ahora que αyβson constructibles. Si α,βy 0 no son colineales entonces usamos C2 dos veces para construir la circunferencia de radio |α|con centro el punto βy la circunferencia de radio ¯¯β¯¯con centro α. La intersección de ambas circunferencias es α+β: 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 2 2.5 0 β α α+β Figura 2.1: Suma de αyβ 26 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES Finalmente, supongamos que el ultimo paso en la construcción de αusa P3. Como anteriormente, podemos encontrar Q=F0⊂F1⊂... ⊂Fn⊂Cdonde [Fi: Fi−1]=2 y las circunferencias de P3 nos dan las siguientes ecuaciones: x2+y2+a1x+b1y+c1=0,x2+y2+a2x+b2y+c2=0, (2.5) con todos sus coeficientes perteneciendo a Fn. Ademas, sabemos que las partes reales e imaginarias de αdan una solución para 2.5 (pág.26). Si restamos estas ecuaciones obtenemos: (a1−a2)x+(b1−b2)y+(c1−c2)=0. (2.6) Mientras los círculos de 2.5 (pág.26) sean distintos pero no disjuntos, se puede ver fácilmente que los coeficientes de xyyen 2.6 (pág.26) no se anulan simultáneamente. Por tanto 2.6 define una recta. Ademas si combinamos esta ecuación con la primera ecuación de 2.5 (pág.26) estaremos en el caso anterior de intersección de una circunferencia y una recta. Por tanto concluimos que tanto la parte real como la imaginaria de αpertenecen a Fno a una extensión cuadrática de Fn, lo que completa la prueba. Corolario 2.1.Ces el menor subcuerpo de Cque es cerrado para la operación de tomar raíces cuadradas. Demostración. Por el teorema 2.1 (pág.19), sabemos que α∈Cimplica que pα∈ C. Ahora supongamos Fun subcuerpo de Ccerrado para raíces cuadradas y supongamos α∈C. Por el teorema 2.2 (pág.23) tenemos que Q=F0⊂F1⊂... ⊂Fn⊂Cdonde [Fi:Fi−1]=2 y α∈Fn. El primer apartado de la prueba del teorema 2.2 (pág.23) prueba que Fn⊂F. Por tanto α∈Fn⊂F, y C⊂Fcomo queríamos probar. Corolario 2.2.Si α∈C, entonces [Q(α) : Q]=2mpara algún m≥0. Entonces todo número constructible es algebraico sobre Qy el grado de su polinomio mínimo sobre Qes una potencia de 2. Demostración. Si α∈Centonces el teorema 2.2 (pág.23) nos da la extensión Q= F0⊂F1⊂... ⊂Fn⊂Cdonde [Fi:Fi−1]=2 y α∈Fn; por lo tanto: [Fn:Q]=[Fn:F0]=[Fn:Fn−1]···[F1:F0]=2n, por el Teorema de extensiones de cuerpos. No obstante, seguimos teniendo Q⊂ Q(α)⊂Fn. Usando de nuevo el teorema tenemos que [Q(α) : Q] divide a [Fn:Q]= 2n. 2. REGLA Y COMPÁS 27 2.5 Problemas clásicos Veamos ahora cuáles de los problemas clásicos griegos pueden ser resueltos de manera que el resultado sea constructible y cuáles no Ejemplo 2.6.Trisección del ángulo. En el primera sección podemos vimos que es posible calcular la bisección de un ángulo. Vamos a probar que no todo ángulo se puede dividir en tres. Supongamos que podemos dividir en tres un ángulo de 120 grados con regla y compás. Podemos construir un ángulo de 120 grados a partir del 0 y el 1 por lo tanto debemos poder construir un ángulo de 40 grados desde el 0 y el 1. Intersecando esto con la circunferencia unidad centrada en el origen obtenemos las raíces novenas de la unidad ζ9=e2πi/9 las cuales deben ser constructibles. x9−1=(x−1)(x2+x+1)(x6+x3+1), (2.7) donde x6+x3+1 es el polinomio mínimo de ζ9, y por el corolario anterior ζ9no es constructible. Por tanto, el ángulo de 120 grados no puede ser dividido en tres usando regla y compás y en general un ángulo cualquiera no puede ser dividido en tres. Ejemplo 2.7.Duplicación del cubo. El problema es a partir de un cubo cualquiera construir uno de exactamente el doble de volumen. Tomemos un cubo cuyos lados midan 1 unidad y por tanto volumen 1. Tenemos que construir un cubo de volumen 2. Para ello los lados deben medir 3 p2, pero x3−2 es el polinomio mínimo de 3 p2 sobre Qy por el corolario 2.2 (pág.26) no es constructible. Por tanto, no es posible obtener la duplicación del cubo con regla y compás. Ejemplo 2.8.Cuadratura del círculo. Aquí el problema es construir un cuadrado cuya área es igual a la dada por el círculo. Tomemos el círculo de radio 1 cuya área será π. Los lados del cuadrado de área πmedirán pπy por tanto podemos construir pπ. Ademas, como el círculo es de radio 1, podemos asumir la construcción a partir de 0 y 1. Asi, la cuadratura del círculo implica que pπes constructible. Como Ces un cuerpo, la constructibilidad de pπimplica que πes también constructible. Entonces el corolario 2.2 (pág.26) implicaría que πes algebraico sobre Q. Sin embargo en 1882 Lindemann probo que πes trascendente sobre Q.Una prueba de esto puede ser encontrada en [[4], Seccion 1.7]. Esta contradicción prueba que no se puede obtener la cuadratura del círculo con regla y compás. 28 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES 2.6 Relacion con teoría de Galois Ahora nos podemos preguntar si el recíproco del corolario anterior es cierto. En otras palabras ver que si se tiene que α∈Ces algebraico sobre Qy el grado del polinomio mínimo es una potencia de 2, se tiene que αes constructible. El siguiente resultado resolverá esta pregunta. Teorema 2.3. Supongamos que α∈Ces algebraico sobre Qy que Q⊂L es el cuerpo de descomposición del polinomio mínimo de αsobre Q. Entonces αes constructible si y solo si [L:Q]es una potencia de 2 Demostración. Primero supongamos que [L:Q] es una potencia de 2. Como Q⊂L es de Galois, |Gal(L/Q)|=[L:Q] es una potencia de 2. Por tanto Gal(L/Q) es resoluble, lo que significa que tenemos los subgrupos {e}=Gm⊂Gm−1⊂···⊂G1⊂G0=Gal(L/Q) (2.8) con Ginormal en Gi−1de indice 2 (ya que |Gal(L/Q)|=2m). Esto nos da: Q=LG0⊂LG1⊂···⊂LGm=L, donde [LGi:LGi−1]=2∀i(2.9) Por el Teorema 2.2 (pág.23), α∈Les constructible. Probemos ahora la otra implicación. Primero probemos que Q⊂Ces una extensión normal. Para ello fijemos α∈Cyftal que sea el polinomio mínimo de α sobre Q. Tenemos que probar que todas las raíces de fpertenecen a C. Como αes constructible el teorema 2.2 (pág.23) nos da las extensiones Q=F0⊂F1⊂... ⊂Fn⊂C donde [Fi:Fi−1]=2 y α∈Fn. Entonces Q⊂Mserá el cuerpo de descomposición de Q⊂Fn. Nótese que todas la raíces de fpertenecen a M, ya que Mes normal sobre Q, f es irreducible sobre Q, y α∈Fn⊂Mes una raíz de f. Ahora sea β∈Muna raíz de f. Por la proposición 0.1 (pág.10) tenemos que existe σ∈Gal(M/Q) tal que σ(α)=β. Aplicando σa los cuerpos Q=F0⊂F1⊂... ⊂Fn⊂Mtenemos: Q=σ(Q)=σ(F0)⊂···⊂σ(Fn) tal que [σ(Fi) : σ(Fi−1)] =[Fi:Fi−1]=2∀i(2.10) 2. REGLA Y COMPÁS 29 Por el teorema 2.2 (pág.23) β=σ(α)∈σ(Fn) es constructible. Esto prueba que todas la raíces de fpertenecen a C. Por tanto se tiene que Ccontiene un cuerpo de descomposición Lde fsobre Q. Por el teorema del elemento primitivo, tenemos que L=Q(γ) para γ∈L. Como γ∈C, el corolario 2.2 (pág.26) implica que [Q(γ) : Q]=[L:Q] es una potencia de 2 como queríamos probar. Podemos usar este teorema para probar que el inverso del corolario 2.2 (pág.26) es falso. Veámoslo con un ejemplo. Ejemplo 2.9.Sea αuna raíz del polinomio f=x4−4x2+x+1. (2.11) Es fácil comprobar que fes irreducible sobre Q, de modo que [Q(α) : Q]=4. Se puede comprobar que el cuerpo de descomposición Lde fsobre Qsatisface [L: Q]=24. Por el teorema 2.3 (pág.28) podemos concluir que αes no constructible. La formula de resolución de una ecuación de cuarto grado implica la resolución previa de una cúbica y como no es posible construir con regla y compás las soluciones de una ecuación cúbica también se tiene que no es constructible. 3 Polígonos regulares y raíces de la unidad 3.1 Primos de Fermat Nuestro próximo objeto de estudio son los polígonos regulares que se pueden construir con regla y compás. Nuestra principal herramienta será la extensión ciclotómica Q⊂Q(ζ) pero también usaremos los primos de Fermat. Un número primo p es un primo de Fermat si puede ser escrito de la forma: p=22m+1 con m≥0. Luego nos ayudarán a caracterizar los polígonos regulares a partir de ellos. Ejemplo 3.1.Supongamos que podemos construir un polígono regular de nlados en el plano. Usando dos vértices consecutivos y el centro del polígono podemos obtener un triángulo. Debemos de tener construido el centro en el proceso de construcción del polígono y si no, el centro es constructible por la intersección de los bisectrices de los ángulos interiores. Se puede ver fácilmente que el ángulo que forman es θ=2π/n. Copiando dicho ángulo nveces y intersecando con el círculo de radio unidad tenemos que la raíz de la unidad ζn=e2πi/nes constructible. Por tanto si un polígono de nlados se puede construir con regla y compás el mismo complejo es constructible. Ensentido contrario también se tiene ya que si se tienen los puntos constructibles basta unirlos para tener el polígono. 32 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES 3.2 Caracterización de constructibilidad de un polígono Veamos antes unos resultados que nos resultaran útiles en el futuro Lema 3.1.Si nes un entero positivo, entonces: an−bn=(a−b) n−1 X k=0 akbn−1−k Demostración. (a−b) n−1 X k=0 akbn−1−k= n−1 X k=0 ak+1bn−1−k− n−1 X k=0 akbn−k= =an+ n−1 X k=1 akbn−k− n−1 X k=1 akbn−k−bn=an−bn Proposición 3.1.Si 2k+1 es primo, entonces kes potencia de 2 Demostración. Supongamos que kno es potencia de 2. Entonces kpuede escribirse como k=r s con s un primo impar y 1 ≤r≤k Por el lema anterior sabemos que para un entero positivo m: (a−b)|(am−bm). Sustituyendo a=2r,b=−1 y m=sy sabiendo que ses impar, (2r+1)|(2k+1) y por tanto (2r+1)|(2k+1). Entonces como 1 <2r+1<2k+1, se tiene que 2k+1 no es primo. Por contraposición kserá potencia de 2 3. POLÍGONOS REGULARES Y RAÍCES DE LA UNIDAD 33 Teorema 3.1. Sea n >2un entero. Entonces un polígono regular puede ser construido por regla y compás si y solo si: n=2sp1···pr, donde s ≥0es un entero y p1,...,prson r ≥0primos de Fermat distintos. Demostración. En el ejemplo anterior hemos visto que un polígono regular de n lados es constructible si y solo si ζnes constructible. Por el teorema 2.3 (pág.28) sabemos que ζnes constructible si y solo si [Q(ζn) : Q] es potencia de 2 y por el corolario 0.1 (pág.10) [Q(ζn) : Q]=φ(n) donde φ(n) es la función de Euler. De forma que ζnes constructible si y solo si φ(n) es una potencia de 2. Primero supongamos que n=2sp1···pr, donde p1,...,prson primos de Fermat todos distintos. Por lema 0.1 (pág.10) apartado (2) tenemos la formula: φ(n)=nY p|nµ1−1 p¶=½2s−1(p1−1)···(pr−1), s>0, (p1−1)···(pr−1), s=0. Por lo que se deduce que φ(n) es una potencia de 2, cuando cada pies un primo de Fermat. En sentido contrario, supongamos que φ(n) es una potencia de 2, y factoricemos ncomo n=qa1 1···qas sdonde q1,···,qsson primos distintos y los exponentes a1,...,asson todos ≥1. Por lema 0.1 (pág.10) apartado (2) tenemos la formula: φ(n)=n s Y i=1µ1−1 qi¶=qa1−1 1(q1−1)···qas−1 s(qs−1). Si qies primo 6=2, entonces debemos tener ai=1, ya que φ(n) es una potencia de 2, y podemos concluir que qi−1 debe ser una potencia de 2. Ademas como sabemos que si un primo qse puede escribir de la forma 2k+1 entonces kserá una potencia de 2, es decir, será un primo de Fermat. Esto prueba que los primos que dividen ntienen exponente 1 y son primos de Fermat. Esto completa la prueba del teorema. 34 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES Los cinco primos de Fermat conocidos son F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537. Se sospecha que F0,F1,F2,F3,F4son los únicos primos de Fermat pero esto no ha sido probado. Si fuera cierto el teorema 3.1 (pág.33) implicaría que un polígono regular de nlados es constructible por regla y compás si y solo si n=2s·3a·5b·17c·257d·65537e, donde s≥0 y a,b,c,d,eson 0 o 1. 4 Origami En esta sección nos centraremos en qué es lo que puede aportar el origami en la construcción de elementos en los que solo la regla y compás no son suficientes. Nos centraremos en describir con precisión los números de origami así como a explicar qué nos aporta en el sentido de la teoría de Galois. 4.1 Trisección del ángulo Para empezar veamos una construcción que con regla y compás demostramos imposible en general, la trisección del ángulo. P1 l2 l1l1 P2 θ P2 P1 l2 Q1 Q2 θ/3 Figura 4.1: Trisección de un ángulo 42 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES Se deduce que si l1y/o l2han sido creadas a partir de C3, entonces hay una 2−3 extensión conteniendo los coeficientes de las ecuaciones. Y como probamos en el teorema 2.2 (pág.23) podemos concluir que las coordenadas de la intersección de l1 yl2están en la misma extensión. Supongamos ahora que el último paso para crear αes P2. Entonces αes creada por la intersección de una circunferencia y una recta. Por la hipótesis de inducción y por el mismo argumento que para P1 se tiene que la circunferencia y la recta están definidas por ecuaciones cuyos coeficientes están en una 2−3 extensión. Solo basta seguir el mismo argumento que en la demostración del teorema 2.2 (pág.23). Finalmente si el último paso para generar αes P3, el argumento es idéntico al hecho en la demostración del teorema 2.2 (pág.23), ya que al ser intersección de circunferencias no usa rectas. Y con esto queda probado el teorema. Ejemplo 4.2.Veamos que podemos construir el heptágono. Q⊂Q(2cos(2π/7)) ⊂Q(ζ7) Como [Q[cos(2π/7)] : Q]=3 y [Q[ζ7] : Q[cos(2π/7)]] =2 tenemos que ζ7es un número de origami ya que es una 2−3 extensión. Por tanto el heptágono puede ser construido con origami. 4.5 Relación con la teoría de Galois Vamos a clasificar ahora los números de origami usando la teoría de Galois, pero antes veamos un teorema que nos será de vital importancia. Teorema 4.2. Burnside: Si p y q son primos distintos, entonces todo grupo de orden pnqm, n,m≥0, es resoluble. La demostración de este teorema se aleja demasiado del trabajo pero pueden verse dos pruebas en [8] y en [2]. 4. ORIGAMI 43 Teorema 4.3. Sea α∈Calgebraico sobre Qy sea Q⊂L el cuerpo de descomposición del polinomio mínimo de αsobre Q. Entonces αes un número de origami si y solo si [L:Q]=2a3bpara a,b≥0enteros. Demostración. Primero supongamos que [L:Q]=2a3bpara a,b≥0 enteros. Como Q⊂Les de Galois, |Gal(L/Q)|=[L:Q]=2a3b. Por el teorema anterior 4.2 (pág.42) tenemos que resoluble. e=Gm⊂Gm−1⊂···⊂G1⊂G0=Gal(L/Q) Con Ginormal en Gi−1de indice 2 o 3 (ya que |Gal(L/Q) ya que Q=LG0⊂LG1⊂···⊂LGm=L, donde [LGi:LGi−1]=2 o 3 para todo i Por el teorema 4.1 (pág.40) ,α∈Les constructible. Probemos ahora la otra implicación. Primero probemos que Q⊂Oes una extensión normal. Para ello fijemos α∈Oyftal que sea el polinomio mínimo de αsobre Q. Tenemos que probar que todas las raíces de fpertenecen a O. Como αes constructible el teorema 4.1 (pág.40) nos da las extensiones Q=F0⊂F1⊂ ··· ⊂ Fn⊂C donde [Fi:Fi−1]=2 o 3 y α∈Fn. Entonces Q⊂Mserá el cuerpo de descomposición de Q⊂Fn. Nótese que todas las raíces de fpertenecen a M, ya que Mes normal sobre Q,f es irreducible sobre Q, y α∈Fn⊂Mes una raíz de f. Ahora sea β∈Muna raíz de f. Por la proposición 0.1 (pág.10) tenemos que existe σ∈Gal(M/Q) tal que σ(α)=β. Aplicando σa los cuerpos Q=F0⊂F1⊂···⊂Fn⊂Mtenemos: Q=σ(Q)=σ(F0)⊂···⊂σ(Fn) tal que [σ(Fi) : σ(Fi−1)] =[Fi:Fi−1]=2 o 3 para todo i Por el teorema 4.1 (pág.40) β=σ(α)∈σ(Fn) es constructible. Esto prueba que todas las raíces de fpertenecen a O. Por tanto se tiene que Ocontiene un cuerpo de descomposición Lde fsobre Q. Por el teorema del elemento primitivo, tenemos que L=Q(γ) para γ∈O, el corolario 2.2 (pág.26) implica que [Q(γ) : Q]=[L:Q] es una potencia de 2 o 3 como queríamos probar. 44 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES Ejemplo 4.3.Sea α∈Cuna raíz de f=x6+x+1. Se puede comprobar que fes irreducible sobre Q, por tanto Q⊂Q(α) es una extensión de grado 6. Sin embargo, aunque 6 =2·3, αno es un número de origami. Si calculamos el grupo de Galois asociado al cuerpo de descomposición de Q⊂Lobtenemos que Gal(L/Q∼ =S6. Entonces el teorema 4.3 (pág.43) implica que α∉O, ya que [L:Q]=|Gal(L/Q)|=6! =24·32·5. 4.6 Problemas clásicos Al comienzo de este capitulo vimos la trisección del ángulo ya que era necesario para la construcción de los números de origami pero no es la única construcción que, a pesar de no poder construirla por regla y compás, podemos realizar. Veamos el caso de la duplicación del cubo. El problema de construir un cubo tal que tenga el doble de volumen que un cubo dado es equivalente a poder construir 3 p2. Ya vimos que con regla y compás es imposible pero por origami es posible por el teorema 4.1 (pág.40). De hecho basta hacer el doblez siguiente para probar que 3 p2 es constructible. P2 P1 Q2 Q1 X Y=3 p2 Y X Figura 4.3: El caso de la cuadratura del círculo sigue siendo imposible por la trascendencia de π. 5 Polígonos regulares por Origami 5.1 Primos de Pierpont En el capitulo 3 vimos una caracterización de qué polígonos eran constructibles por regla y compás. Lo lógico sería ver si es posible encontrar una nueva caracterización para el caso de Origami. Al igual que con regla y compás nos ayudaremos de unos tipos de números primos que nos serán muy útiles, los primos de Pierpont. Un primo de Pierpont es un primo p>3 de la forma: p=2u3v+1, (5.1) con uyventeros no negativos. Ademas si v=0 y u>0, entonces userá una potencia de 2, y el número primo será por tanto de Fermat. Los primeros primos de Pierpont serán: 2,3,5,7,13,17,19,37,73,97,109,163,193, 257,433,487,577,769,... y el mayor primo de Pierpont conocido es 3∗25082306 +1 el cual tiene 1529928 dígitos. 46 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES 5.2 Caracterización de constructibilidad de un polígono con origami Teorema 5.1. Un polígono regular de n lados puede ser constructible por origami si y solo si n=2a3bp1p2···ps, donde a,b≥0y p1,...,psson primos de Pierpont distintos. Demostración. Seguiremos la construcción de la demostración para regla y compás ya que presenta muchas similitudes. Al igual que vimos en el caso de regla y compás un polígono será constructible si y solo si ζnes constructible. Por el teorema 4.3 (pág.43) sabemos que ζnes constructible si y solo si [Q(ζn) : Q]=2a3bcon a.b≥0 enteros y por el corolario 0.1 (pág.10) [Q(ζn) : Q]=φ(n) donde φ(n) es la función de euler. De forma que ζnes constructible si y solo si φ(n)=2a3b. Primero supongamos que n=2s3tp1···pr, donde p1,...,prson primos de Pierpont distintos. Por el lema 0.1 (pág.10) apartado 2 tenemos la formula: φ(n)=nY p|nµ1−1 p¶=½2s−13t−1(p1−1)···(pr−1), s>0t>0, (p1−1)···(pr−1), s,t=0. Por lo que se deduce que φ(n)=2a3b, cuando cada pies un primo de Pierpont. En sentido contrario, supongamos que φ(n)=2a3b, y factoricemos ncomo n=qa1 1···qas sdonde q1,···,qsson primos distintos y los exponentes a1,...,asson todos ≥1. Por lema 0.1 (pág.10) apartado (2) tenemos la formula: φ(n)=n s Y i=1µ1−1 qi¶=qa1−1 1(q1−1)···qas−1 s(qs−1). 5. POLÍGONOS REGULARES POR ORIGAMI 47 Si qies primo 6= 2 o 3, entonces debemos tener ai=1, ya que φ(n)=2a3b, y podemos concluir que qi−1=2a3b. Ademas si un primo se puede escribir de la forma 2k3t+1 será un primo de Pierpont. Esto prueba que los primos que dividen n tienen exponente 1 y son primos de Pierpont. Esto completa la prueba del teorema. Gracias a esto podemos afirmar que el heptágono es constructible con origami ya que 7 es un primo de Pierpont, así como otros muchos que con regla y compás sería imposible. En esta lista podemos ver que dicho avance no es pequeño. 1. Polígonos constructibles por regla y compás: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96. 2. Polígonos constructibles por origami: 7, 9, 13, 14, 18, 19, 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97. 6 Regla marcada e intersección de cónicas Los números de origami se pueden construir con regla marcada o con intersección de cónicas. En este capitulo veremos brevemente los métodos de construcción así como comentar qué nos aporta. 6.1 Regla marcada Una regla marcada es una regla con dos marcas que nos indican la medida de una unidad. De modo que una regla marcada puede construir una recta a partir de dos puntos conocidos como con la regla normal y por otro método alternativo. Dicho método consiste en dado un punto Py las rectas l1yl2dibujar la recta que pasa por Py y los puntos Q1yQ2de l1yl2respectivamente tal que d(Q1,Q2) es 1. Las construcciones con regla marcada comienzan con los puntos 0,1 y i. En cada paso, uno puede construir una nueva recta aplicando cualquiera de las dos operaciones descritas antes a rectas y puntos ya construidos de forma que se obtienen nuevas rectas y puntos en Cformados por la intersección de estas. Ejemplo 6.1.Sea l1la recta y=x,l2la recta y=−1 2xyP=(1 2,0). Ahora tomamos la recta rcon pendiente mque pasa por P. Se puede comprobar que rinterseca con l1 en el punto Q1=(x1,x1)∈l1, donde x1=m 2m−2y con l2en el punto Q2=(x2,−1 2x2)∈ l2donde x2=m 2m+1. Si tenemos en cuenta rla construimos con regla marcada la distancia entre Q1y Q2es 1 y obtenemos la ecuación 50 NÚMEROS CONSTRUCTIBLES (m 2m−1−m 2m−2)2+(−m 2(2m+1) −m 2m−2)2=1, que se simplifica en la ecuación de cuarto grado 7m4−16m3−21m2+8m+4=0 Las raíces de esta ecuación son todas reales y representan las pendientes de las cuatro rectas que pasan por Pque han sido construidas con regla marcada con las rectas l1yl2. Se puede comprobar que el grupo de Galois de la ecuación es S4. Por lo tanto el cuerpo de descomposición es una extensión de Qde grado 24. Al no ser potencia de 2 estas rectas no son constructibles con regla y compás. Teorema 6.1. Sea α∈C. Entonces αpuede ser construido usando una regla marcada si y solo si αes un número de origami, es decir, α∈O. Una prueba de este resultado se encuentra en [[7],Cap.10] 6.2 Cónicas Las cónicas pueden ser definidas geométricamente en términos de focos, directrices y excentricidades o algebráicamente tratando las elipses, hipérbolas y parábolas por separado. Para nuestro caso usaremos una tercera forma de definirlas, la cual define una cónica como una curva en el plano definida por una ecuación de la forma F(x,y)=ax2+bxy +cy2+dx +ey +f=0 donde a,b,c,d,e,f∈Ry (a,b,c)6=(0,0,0). Asumiremos que tiene, al menos, una solución con x,yreales. Escribiendo la ecuación en la forma matricial tenemos A=   a1 2b1 2d 1 2b c 1 2e 1 2d1 2e f    6. REGLA MARCADA E INTERSECCIÓN DE CÓNICAS 51 y x=   x y 1   tal que F=(x,y)=xtAx. Entonces la cónica Cdefinida por Fes no degenerada si det(A)6=0. Entonces si Ces no degenerada 1. b2−4ac <0⇔Ces una eclipse, 2. b2−4ac =0⇔Ces una parábola, 3. b2−4ac >0⇔Ces una hipérbola. Para hacer construcciones por intersección de cónicas empezamos con 0,1 y las posibles construcciones serán una recta que conecte dos puntos ya construidos o una cónica cuyos coeficientes son números reales ya construidos. Entonces podemos obtener nuevos puntos con la intersección de rectas y cónicas Teorema 6.2. Sea α∈C. Entonces αes constructible por intersección de cónicas si y solo si αes un número de origami, es decir, α∈O. Una prueba de este resultado se encuentra en [1] Como resultado final tenemos el conjunto de caracterizaciones de un número de origami: αes un número de origami ⇔αes constructible con regla marcada αes un número de origami ⇔αes constructible por intersección de cónicas αes un número de origami ⇔αesta en una 2−3 extensión Q=F0⊂···⊂Fn αes un número de origami ⇔αes algebraico sobre Q, y el grupo de Galois del polinomio mínimo tiene orden 2a3b