Sobre la existencia de atractores para ecuaciones aleatorias de reacción-difusión con retardos

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Sobre la existencia de atractores para ecuaciones aleatorias de reacci´on-difusi´on con retardos T. Caraballo1, M. J. Garrido Atienza1, B. Schmalfuß2, J. Valero3 1Dpto. E.D.A.N., Universidad de Sevilla, Aptdo. 1160, 41080 Sevilla. E-mails: [email protected], [email protected]. 2Institut f¨ur Mathematik, Fakult¨at EIM, Universit¨at Paderborn, Warburger Strasse 100, 33098, Paderborn (Germany). E-mail: [email protected]. 3Dpto. Estad´ıstica y Matem´atica Aplicada, Universidad Miguel Hern´andez, Avda. del Ferrocarril, s/n, ES03202, Elche. E-mail: [email protected]. Palabras clave: ecuaciones diferenciales con retardos, sistemas din´amicos multivaluados no aut´onomos y aleatorios, atractor pullback y atractor aleatorio Resumen En primer lugar probamos la existencia y unicidad de atractor para sistemas din´amicos multivaluados abstractos, tanto en el caso no aut´onomo como en el caso aleatorio. La hip´otesis habitual de compacidad de tales sistemas es sustituida por la hip´otesis m´as d´ebil de compacidad asint´otica. Posteriormente aplicaremos la teor´ıa abstracta para tratar una ecuaci´on de reacci´on-difusi´on con memoria donde el retardo puede incluso ser infinito. Otra particularidad de nuestros resultados es que tampoco supondremos unicidad de soluci´on para dichas ecuaciones. 1. Preliminares A continuaci´on presentamos las definiciones y resultados que consideramos fundamentales para sistemas din´amicos multivaluados no aut´onomos y aleatorios y formulamos condiciones suficientes para la existencia de un atractor pullback para tales sistemas, el cual es un conjunto aleatorio si la perturbaci´on aleatoria es un ruido. A un par (Ω, θ) donde θ= (θt)t∈Res un flujo sobre Ω, es decir, θ:R×Ω→Ω θ0= idΩ, θt+τ=θt◦θτ=: θtθτpara t, τ ∈R 1 T. Caraballo, M. J. Garrido Atienza, B. Schmalfuß, J. Valero se le denomina una perturbaci´on no aut´onoma. Sea P:= (Ω,F,P) un espacio de probabilidad. Consideremos adem´as un flujo no aut´onomo medible θ, dado por θ: (R×Ω,B(R)⊗ F)→(Ω,F). A (Ω,F,P, θ) se le denomina un sistema din´amico m´etrico. A partir de ahora supondremos que X= (X, dX) es un espacio Polaco. Sea D:ω→D(ω)∈2Xuna aplicaci´on multivaluada. Al conjunto de todas las multifunciones D:ω→D(ω)∈2Xcon im´agenes no vac´ıas y cerradas lo vamos a denotar por C(X). Denotemos por Pf(X) al conjunto de todos los subconjuntos no vac´ıos y cerrados del espacio X. Una aplicaci´on multivaluada D:ω→D(ω) se dice que es un conjunto aleatorio si ω→inf y∈D(ω)dX(x, y) es una variable aleatoria para cada x∈X. Definici´on 1 Una aplicaci´on multivaluada U:R+×Ω×X→Pf(X)se denomina sistema din´amico no aut´onomo multivaluado (MNDS de las siglas inglesas) si verifica: i) U(0, ω, ·) = idX, ii) U(t+τ, ω, x)⊂U(t, θτω, U(τ, ω, x)) (propiedad de cociclo) para todo t, τ ∈R+, x ∈ X, ω ∈Ω. Se dir´a que el MNDS es estricto si en ii) se verifica la igualdad. Un MNDS se dice que es un sistema din´amico aleatorio multivaluado (MRDS) si (t, ω, x)→U(t, ω, x)es B(R+)⊗ F ⊗ B(X)medible, i.e. {(t, ω, x) : U(t, ω, x)∩O6=∅} ∈ B(R+)⊗ F ⊗ B(X)para cada abierto Ode X. A continuaci´on vamos a introducir algunas propiedades topol´ogicas para un MNDS U, para lo que recordamos la definici´on de semidistancia de Hausdorff entre dos conjuntos no vac´ıos A, B: distX(A, B) = sup x∈A inf y∈BdX(x, y). Decimos que U(t, ω, ·) es semicontinuo superiormente en x0si para cada entorno Ude U(t, ω, x0) existe δ > 0 tal que si dX(x0, y)< δ entonces U(t, ω, y)∈ U.Por otro lado, U(t, ω, ·) es semicontinuo superiormente si es semicontinuo superiormente en cada x0∈X. Formulamos ahora un resultado general asegurando que un MNDS define un MRDS. Para ello necesitamos que Ω sea un espacio Polaco y Fsea la σ–´algebra de Borel asociada. Lema 2 Sea Ωun espacio Polaco y Fsu σ–´algebra de Borel. Suponganos que (t, ω, x)7→ U(t, ω, x)es semicontinuo superiormente, entonces esta aplicaci´on es medible en el sentido de la Definici´on 1. Otra definici´on que necesitamos para estudiar la existencia de atractores para los sistemas din´amicos es el concepto de invarianza. Diremos que una aplicaci´on multivaluada Des negativamente, estrictamente o positivamente invariante para el MNDS Usi D(θtω) ⊂ = ⊃ U(t, ω, D(ω)) para ω∈Ω, t ∈R+. 2 Atractores para ecuaciones aleatorias de reacci´on-difusi´on con retardos Sea Duna familia de aplicaciones multivaluadas con valores en C(X). Decimos que K∈ D es pullback D-atrayente si para cada D∈ D l´ım t→+∞distX(U(t, θ−tω, D (θ−tω)), K(ω)) = 0,para todo ω∈Ω. B∈ D se dice pullback D-absorbente si para cada D∈ D existe T=T(ω, D)>0 tal que U(t, θ−tω, D (θ−tω)) ⊂B(ω),para todo t≥T. (1) Consideremos a partir de ahora una familia Dde aplicaciones multivaluadas en C(X) verificando la propiedad de inclusi´on cerrada (ver Schmalfuß [3])): si D∈ D yD0es una aplicaci´on multivaluada en C(X) tal que D0(ω)⊂D(ω) para ω∈Ω, entonces D0∈ D. Definici´on 3 Una familia A∈ D es un D-atractor pullback asociado a un MNDS Usi: 1) A(ω)es compacto para cualquier ω∈Ω; 2) Aes pullback D-atrayente; 3) Aes negativamente invariante. Ase dir´a que es adem´as global si la propiedad de invarianza en el tercer item es estricta. Definici´on 4 Supongamos que Ues un MRDS y que las propiedades de la Definici´on 3 se cumplen. En concreto, supongamos que Des un sistema de conjuntos aleatorios y que Aes tambi´en un conjunto aleatorio con respecto a Pc,el completado de P.Entonces Aes un D-atractor aleatorio (global) asociado a U. La principal herramienta para probar la existencia de un atractor es el denominado conjunto omega-l´ımite (en sentido) pullback para el MNDS U. Definimos el conjunto omega-l´ımite pullback por Λ (D, ω) = \ s≥0[ t≥s U(t, θ−tω, D (θ−tω)). Podemos probar el siguiente resultado:1 Teorema 5 Supongamos que el MNDS U(t, ω, ·)es semicontinuo superiormente para t≥0yω∈Ω. Sea Buna aplicaci´on multivaluada tal que el MNDS es asint´oticamente compacto con respecto a B, i.e., para cada sucesi´on tn→+∞yω∈Ωcada sucesi´on yn∈U(tn, θ−tnω, B(θ−tnω)) es pre-compacta. Supongamos tambi´en que B∈ D es pullback D–absorbente. Entonces, A(ω) := Λ (B, ω)es el ´unico D-atractor pullback asociado a U. Si adem´as Ues un MNDS estricto, entonces Aes global. Con respecto a la medibilidad de la Definici´on 4 podemos probar el siguiente resultado: Lema 6 Bajo las hip´otesis del Teorema 5, sea ω→U(t, ω, B(ω)) un conjunto aleatorio para t≥0. Supongamos tambi´en que U(t, ω, B(ω)) es cerrado para todo t≥0yω∈Ω. Entonces el conjunto Aintroducido en el Teorema 5 es medible. 1En general todas las demostraciones pueden consultarse en [1]. 3 T. Caraballo, M. J. Garrido Atienza, B. Schmalfuß, J. Valero 2. Ecuaciones de evoluci´on abstractas Consideremos la siguiente ecuaci´on de evoluci´on aleatoria con memoria dy dt =Ay +f(θtω, yt).(2) Ase supone que genera un C0semigrupo de contracciones (S(t))t≥0en un espacio de Banach separable (H, k·k), de ah´ı que kS(t)xk ≤ kxke−αt,para alg´un α > 0 y cada t≥0. Supondremos adem´as que para todo t > 0, S(t) son compactos. El t´ermino no lineal fdepende de ωy del t´ermino retardado ytdefinido por yt(s) = ½y(t+s) for s∈[−t, 0] x0(s+t)s < −t donde t≥0. Para γ > α introducimos el espacio Cγ={u∈C((−∞,0]; H) : existe l´ım τ→−∞ u(τ)eγτ }, y definimos kukγ:= supτ∈(−∞,0] eγτ ku(τ)k<∞.Dicho espacio es un Banach separable [2, p.15]. Supondremos que x0∈Cγ, y dotamos entonces la ecuaci´on (2) con la condici´on inicial y(t) = x0(t), t≤0. Finalmente sea f: Ω ×Cγ→Htal que la aplicaci´on ω→f(ω, y) es Fmedible para cualquier y∈Cγfijo, y la aplicaci´on y→f(ω, y) es continua de Cγen H para cualquier ωfijo. Supongamos que existen dos funciones no negativas ci: Ω →R,i= 1,2, medibles respecto aF. Supongamos adem´as que t→c1(θtω) es integrable con respecto a cualquier intervalo finito (a, b) y subexponencialmente creciente para t→ ±∞ yω∈Ω, es decir, que c1es una variable aleatoria temperada. Para c2supongamos que Ec2<∞y que l´ım t→±∞ 1 tZt 0 c2(θτω)dτ = ¯c2. Finalmente supongamos que se satisface la condici´on kf(ω, y)k ≤ c1(ω) + c2(ω)kykγpara ω∈Ω, y ∈Cγ.(3) Queremos enfatizar que no suponemos que fsea Lipschitz continua en ning´un sentido. Bajo las condiciones anteriores, y usando el teorema del punto fijo de Schauder, se puede probar que para cada x0la ecuaci´on (2) posee al menos una soluci´on d´ebil en Cγ sobre cada intervalo [0, T ], entendiendo que para ω∈Ω y x0∈Cγ,la funci´on [0, T ]3t→ yt∈Cγes soluci´on d´ebil de (2) con condici´on inicial x0si satisface yt(s) = ½S(t+s)x0(0) + Rs+t 0S(t+s−τ)f(θτω, yτ)dτ :s∈[−t, 0] x0(s+t) : s < −t, (4) para todo t∈[0, T ]. 4 Atractores para ecuaciones aleatorias de reacci´on-difusi´on con retardos Adem´as se puede deducir la siguiente estimaci´on a priori para la soluci´on de (2): si yt satisface (4) sobre [0, T), T ∈R+∪ {+∞}, entonces kytkγ≤e−αt+Rt 0c2(θτω)dτ kx0kγ+Zt 0 e−α(t−τ)+Rt τc2(θqω)dqc1(θτω)dτ. (5) Una consecuencia inmediata de esta cota es que cada soluci´on de (2) es global. Definimos U(t, ω, x0) como el conjunto de soluciones d´ebiles (4) en el instante t≥0, es decir, U(t, ω, x0) = ∪yt, donde la uni´on es tomada en el conjunto de las soluciones d´ebiles [0,+∞)3t→yt∈Cγtales que y0=x0. Un primer resultado que se puede probar es que la aplicaci´on Uas´ı definida es un MNDS estricto. En particular, para cualquier t≥0 fijo se verifica que U(t, ω, D (ω)) ∈C(Cγ) si D∈C(Cγ). A partir de ahora consideraremos el sistema Ddado por las aplicaciones multivaluadas Dde C(Cγ) tales que D(ω)⊂BCγ(0, %(ω)),la bola cerrada de Cγde centro cero y radio %, el cual se supone que tiene un crecimiento subexponencial, i.e., l´ım t→±∞ log+%(θtω) t= 0 para ω∈Ω. Teniendo en cuenta la estimaci´on a priori (5) podemos demostrar la existencia de una bola absorbente. En concreto Lema 7 Supongamos que Ec2= ¯c2< α. (6) Entonces la bola B(ω)de Cγcon centro cero y radio aleatorio (respecto de F) dado por R(ω) = 2 Z0 −∞ eατ+R0 τc2(θsω)dsc1(θτω)dτ (7) est´a contenida en D. Adem´as Bes pullback D–absorbente en el sentido de (1) y verifica U(t, ω, B(ω)) ⊂B(θtω)para t≥0yω∈Ω. A partir de aqu´ı podemos probar que, bajo la condici´on (6), el sistema din´amico multivaluado Ues semicontinuo superiormente y pullback asint´oticamente compacto con respecto aBdefinido en el Lema 7, y que el MNDS generado por (2) tiene asociado un D–atractor pulback Aen C(Cγ). Ahora queremos demostrar la existencia de un atractor aleatorio para (2). A partir de aqu´ı supondremos que podemos dotar a Ω de una m´etrica de forma que tengamos un espacio Polaco. Fes la σ–´algebra de Borel de Ω, y θtse supone continua sobre Ω para t∈R. Supondremos adem´as que Ω×Cγ3(ω, y)7→ f(ω, y)∈H(8) es continua. Veamos una condici´on suficiente bajo la cual el MNDS generado por (2) es un MRDS. 5 T. Caraballo, M. J. Garrido Atienza, B. Schmalfuß, J. Valero Teorema 8 Supongamos (8) y que para cada ω0∈Ωyt0∈Rexiste un entorno V= V(ω0, t0)tal que para alg´un µ > 1 Zt 0 (c1(θτω)µ+c2(θτω)µ)dτ ≤C(ω0, t0)<∞,para todo (ω, t)∈V. (9) Entonces la aplicaci´on (t, ω, x0)→U(t, ω, x0)es B(R+)⊗ F ⊗ B(Cγ)medible. Finalmente vemos que el atractor pullback es tambi´en atractor aleatorio: Teorema 9 Supongamos las condiciones (8), (6) de tal modo que existe el D–atractor pullback Aen Cγ. Supongamos adem´as que para alg´un µ > 1 Zt 0 (c1(θτω)µ+c2(θτω)µ)dτ ≤C(t)<∞, para todo ω∈Ω,(10) y que el radio de la bola absorbente R(ω)es uniformemente acotado sobre ω∈Ω. Entonces: 1) ∪ω∈ΩA(ω)es pre-compacto en Cγ. 2) La aplicaci´on ω→A(ω)es semicontinua superiormente. 3) La aplicaci´on ω→A(ω)es Fmedible en Cγ. Queremos se˜nalar que podemos tambi´en probar que Aes el atractor aleatorio usando el Lema 6 pero en dicho caso necesitar´ıamos que el espacio de probabilidad fuera completo. 3. Ecuaci´on aleatoria de reacci´on-difusi´on con retardos En esta secci´on vamos a aplicar los resultados abstractos para demostrar la existencia de atractor pullback y aleatorio asociado a una ecuaci´on aleatoria de reacci´on-difusi´on con memoria. Sea O ⊂ Rnun abierto acotado con frontera suficientemente regular. Sea H=L2(O), y denotemos por ||·|| su norma. Sea −Ael operador de Laplace ∆ con condiciones Dirichlet homog´eneas. Entonces se sabe que D(A) = {u∈H1 0(O) : Au ∈L2(O)}, α= inf{||∇u||L2(O):u∈H1 0(O),||u|| = 1}. H1 0(O) es el espacio de Sobolev de las funciones en Hcon derivadas generalizadas en H las cuales se anulan sobre la frontera ∂O. Entonces Aes el generador de un C0semigrupo de contracciones (S(t))t≥0sobre Hverificando ||S(t)ψ|| ≤ e−αt||ψ||,para cada t≥0 y ψ∈H, siendo α > 0 el primer autovalor de Aen H1 0(O).Adem´as S(t), t > 0,son operadores compactos sobre H. Supongamos que Ω es un espacio Polaco sobre el cual θtson continuas y sea Fla σ–´algebra de Borel de Ω.Sea γ > α. Consideremos una funci´on continua g:H→Htal que ||g(u)|| ≤ d1+d2||u||,para todo x∈H, 6 Atractores para ecuaciones aleatorias de reacci´on-difusi´on con retardos donde d1, d2son constantes reales positivas. Sea σ: Ω ×R−→R+tal que para a∈R− fijo la aplicaci´on σ(·, a) es medible, y para ω∈Ω fijo, (ω, s)7−→σ(ω, s) es suficientemente regular de forma que la integral ec2(ω) := Z0 −∞ σ(ω, s)e−γsds es finita para ω∈Ω, siendo ec2una variable aleatoria tempererada con Eec2<α d2. De ah´ı que la aplicaci´on f: Ω ×Cγ→Hdada por f(ω, ξ) = Z0 −∞ σ(ω, s)g(ξ(s))ds, est´a bien definida para ω∈Ω, ξ ∈Cγ.Definiendo adem´as ec1(ω) := R0 −∞ σ(ω, s)ds entonces ||f(ω, ξ)|| ≤ d1Z0 −∞ σ(ω, s)ds +d2Z0 −∞ σ(ω, s)e−γseγs||ξ(s)||ds =d1ec1(ω) + d2ec2(ω)||ξ||γ=: c1(ω) + c2(ω)||ξ||γ. Claramente ω→f(ω, ξ) es medible para cualquier ξ∈Cγfijo. Probemos ahora que para cualquier ωfijo la aplicaci´on ξ→f(ω, ξ) es continua de Cγ en H. Supongamos que ξn→ξen Cγ. Notemos que entonces σ(ω, s)g(ξn(s)) →σ(ω, s)g(ξ(s)), para todo s≤0, y para cualquier M≥0 kσ(ω, s)g(ξn(s)) −σ(ω, s)g(ξ(s))k ≤ σ(ω, s)C(M), para cualquier s∈[−M, 0] . Entonces usando el teorema de Lebesgue obtenemos Z0 −M kσ(ω, s)g(ξn(s)) −σ(ω, s)g(ξ(s))kds →0, para cualquier M > 0. Adem´as, para cualquier ε > 0 existe M=M(ε) tal que Z−M −∞ kσ(ω, s)g(ξn(s)) −σ(ω, s)g(ξ(s))kds ≤2d1Z−M −∞ σ(ω, s)ds +d2µsup n kξnkCγ+kξkCγ¶Z−M −∞ e−γsσ(ω, s)ds ≤ε. De ah´ı que para cualquier ε > 0 existe N(ε) tal que kf(ωn, ξn)−f(ω, ξ)k ≤ 2ε, si n≥N, con lo cual la continuidad est´a probada. Ya que ec1(ω)≤ec2(ω) para todo ω∈Ω,gracias a las hip´otesis sobre ec2,sabemos que ci est´an bien definidas y son variables aleatorias positivas y temperadas. Adem´as fsatisface la condici´on (3). Suponemos que t7−→ ec1(θtω) es integrable con respecto a cada intervalo 7 T. Caraballo, M. J. Garrido Atienza, B. Schmalfuß, J. Valero finito (t1, t2) y ω∈Ω.Por el teorema erg´odico lo mismo es cierto para ec2. Claramente se verifica (6). Por tanto, hasta ahora tenemos garantizado que la siguiente ecuaci´on aleatoria de evoluci´on con memoria dy dt =−∆y+f(θtω, yt) genera un MNDS que tiene asociado un ´unico atractor pullback A. Queremos probar que este MNDS es tambi´en un MRDS y que Aes su ´unico atractor aleatorio asociado. Para ello supongamos que Ω ×R−3(ω, s)7→ σ(ω, s)≥0 es continua y verifica σ(ω, s)≤D(ω)eδs, con δ > γ siendo ω7→ D(ω) una funci´on acotada. En particular suponemos D(ω)≤C:= α(δ−γ) 2d2 ,para todo ω∈Ω.(11) De manera similar a como antes se demostr´o la continuidad de fde Cγen Hse puede probar la condici´on (8). Ahora probemos la condici´on (9). Sea µ > 1.Teniendo en cuenta que δ > γ y las definiciones de c1(ω) y c2(ω),obtenemos que para todo ω∈Ω Zt 0 (c1(θτω)µ+c2(θτω)µ)dτ ≤Zt 0Z0 −∞ D(θτω)µeµδs(dµ 1+dµ 2e−µγs)dsdτ < ∞, as´ı que la condici´on del Teorema 8 se cumple, y por tanto tenemos un MRDS. Para probar que Aes adem´as un atractor aleatorio para este MRDS tengamos presente que R(ω) viene definido por R(ω) = 2 Z0 −∞ eατ+R0 τ(d2R0 −∞ σ(θsω,r)e−γrdr)ds µd1Z0 −∞ σ(θτω, s)ds¶dτ. Por tanto R(ω)≤2Z0 −∞ eατ+Cd2R0 τ(R0 −∞ e(δ−γ)rdr)dsCd1µZ0 −∞ eδsds¶dτ ≤2Cd1 δZ0 −∞ eα−Cd2 δ−γτdτ =2Cd1 δ³α−Cd2 δ−γ´=4Cd1 δα , as´ı que R(ω) es uniformemente acotado sobre ω∈Ω, y entonces las condiciones del Teorema 9 se verifican. Por tanto, Aes el atractor aleatorio asociado al MRDS. Referencias [1] T. Caraballo, M.J. Garrido-Atienza, B. Schmalfuß, and J. Valero. Non–autonomous and random attractors for delay random semilinear equations without uniqueness, enviado. [2] Y. Hino, S. Murakami, and T. Naito, Functional Differential Equations with Infinite Delay, Lecture Notes in Mathematics, 1473, Berlin: Springer-Verlag, 1991. [3] B. Schmalfuß. Attractors for the non-autonomous dynamical systems. In International Conference on Differential Equations, Vol. 1, 2 (Berlin, 1999), World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 2000, 684–689. 8